Phân dạng và bài tập hệ phương trình nhiều ẩn – Trần Sĩ Tùng
Tài liệu gồm 69 trang phân dạng và tuyển tập các bài tập hệ phương trình nhiều ẩn do thầy Trần Sĩ Tùng biên soạn.
Nội dung tài liệu:
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
Preview text:
TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ----
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2012
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
ìa x + b y = c 1 1 1 í
(a2 + b2 ¹ 0, a2 + b2 ¹ 0) a x + b y = c 1 1 2 2 î 2 2 2
Giải và biện luận: a b c b a c
– Tính các định thức: D 1 1 = , D 1 1 = , D 1 1 = . a b x y 2 2 c b 2 2 a c 2 2 Xét D Kết quả æ D D ö D ¹ 0
Hệ có nghiệm duy nhất x y ç x = ; y = ÷ è D D ø Dx ¹ 0 hoặc Dy ¹ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 Dx = Dy = 0
Hệ có vô số nghiệm Chú
ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1.
Giải các hệ phương trình sau: ì5x - 4y = 3 ì2x + y = 11 3 ì x - y = 1 a) í b) í c) í î7x - 9y = 8 î5x - 4y = 8 î6x - 2y = 5 ì ( 3 2 ìï 2 + ) 1 x + y = 2 -1 x + y = 16 ï ìï 3x - y =1 d) í e) 4 3 í f) í ïî2x - ( 2 - ) 1 y = 2 2 5 ï x 3 - y = 11 ïî5x + 2y = 3 î2 5 ĐS: Bài 2.
Giải các hệ phương trình sau: ì1 8 ì6 5 ì 10 1 - = 18 ï + = 3 + = 1 ï x y ïïx y ïïx -1 y +2 a) í5 4 b) í c) í ï 9 10 25 3 + = 51 ï - = 1 ï + = 2 ïî x y ïî x y ïî x -1 y + 2 ì 27 32 ì 6 2 ì 4 1 + = 7 ï + = 3 + = 3
ï2x - y x + 3y
ïïx -2y x + 2y ïïx y -1 d) í 45 48 e) í f) í ï 3 4 2 2 - = 1 - ï + = -1 ï - = 4
ïî2x - y x + 3y
ïî x - 2y x + 2y ïî x y -1 ĐS: a) b) c) d) e) æ 3 87 ö ;- ç ÷ f) è 70 140 ø Bài 3.
Giải các hệ phương trình sau: ì6x - 3 2y ì3x - 6 x ì2x - 3 y + 7 - = 5 ï - = 1 + = 5 ï y -1 x +1 ïï y +1 y -2 ïï x - 2 y + 3 a) í4x b) c) - 2 4y í í ï x - 2 3x x +1 3y +1 - = 2 ï + = 7 ï + = 5 ïî y -1 x +1 ïî y +1 y - 2 ïî x - 2 y + 3 Trang 1
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì æ ö ì3(x + y) ï x + y 1 1 3( ) + 2 - = 6 ç = -7 è x y ÷ ï ïï x - y d) ø í e) í5x f) - y 5 x y æ 1 1 3( ) 2 ö ï - + + = 4 ç ï = x y ÷ ïî è ø ïî y - x 3 ĐS: a) æ 1 ö æ ö 0; æ ö æ ö æ ö ç ÷ b) 5 7 ; ç ÷ c) d) ( ) 2 2 2 2 1;1 , 1; - , ;1 , ; - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 8 4 ø è 3 ø è 3 ø è 3 3 ø Bài 4.
Giải các hệ phương trình sau: ì - x2 5 2(4 ) + = 2 ì ï
ï2x2 + 2x - y -1 = 3 ìïx2 + 3y =1 ï y a) í b) í c) í
ïx2 + x + 2 y -1 = 4 2 î ïî2x - 7y = 15 ï - x2 2 4 + = 4 ï y î
ĐS: a) (1;2),(-2;2) b) (± 2;- ) 1 c) Bài 5.
Giải các hệ phương trình sau: ì x -1 + y = 0
ì x -1 + y - 2 = 1 ìx + 2y = 2 a) í b) í c) í î2x - y = 1 î x -1 + y = 3 2x - 3y = 1 î
ì2 x - 6 + 3 y +1 = 5
ì2 x + y - x - y = 9
ì4 x + y + 3 x - y = 8 d) í e) f)
5 x - 6 - 4 y +1 = 1 í í î
3 x + y + 2 x - y = 17 î
3 x + y - 5 x - y = 6 î ĐS: Bài 6.
Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìmx + (m -1)y = m +1 ì
mx + (m - 2)y = 5 (
ì m -1)x + 2y = m 3 -1 a) í b) í c) í î 2x + my = 2 (
î m + 2)x + (m +1)y = 2
î (m + 2)x - y = 1- m Bài 7.
Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. (
ì m +1)x - 2y = m -1 ì mx - y = 1 ìmx + y - 3 = 3 a) í b) í c) í î
m2x - y = m2 + 2m
îx + 4(m +1)y = 4m
îx + my - 2m +1 = 0 Bài 8.
Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
ìmx + 2y = m +1
ì6mx + (2 - m)y = 3
ìmx + (m -1)y = m +1 a) í b) í c) í
î2x + my = 2m + 5
î (m -1)x - my = 2 î 2x + my = 2
Bài 9. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. ì2x + y = 5
ìmx + y = m 3
ìx - 2y = 4 - m a) í b) í c) í
î2y - x = 10m + 5
îx + my = 2m +1
î2x + y = m 3 + 3
Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìax + y = b
ìy - ax = b
ìax + y = a + b a) 3 í b) í c) í î x + 2y = 5 - î2x - 3y = 4
îx + 2y = a
Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: 3
ì x + y - z = 1 ï
ìx + 3y + 2z = 8 ï
ìx - 3y + 2z = -7 ï
a) í2x - y + 2z = 5
b) í2x + y + z = 6
c) í-2x + 4y + z 3 = 8
ïîx - 2y -3z = 0 3
ïî x + y + z = 6 3
ïî x + y - z = 5 ĐS: Trang 2
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
ì f (x, y) = 0 Hệ có dạng: (I) í
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
îg(x, y) = 0
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
· Đặt S = x + y, P = xy.
· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
· Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0 .
3. Hệ đối xứng loại 2
ì f (x, y) = 0 (1) Hệ có dạng: (I) í
î f (y, x) = 0 (2)
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
ì f (x, y) - f (y, x) = 0 (3) (I) Û í
î f (x, y) = 0 (1)
· Biến đổi (3) về phương trình tích: éx = y
(3) Û (x - y) g
. (x, y) = 0 Û ê .
ëg(x, y) = 0
éì f (x,y) = 0 êíîx = y · Như vậy: (I) Û ê . ì
ê f (x, y) = 0 í
êëîg(x,y) = 0
· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm (x ; y
0 0 ) thì (y ; x 0 0 )
cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x = y 0 0 .
4. Hệ đẳng cấp bậc hai
ìïa x2 + b xy + c y2 = d Hệ có dạng: (I) 1 1 1 1 í .
ïa x2 + b xy + c y2 = d î 2 2 2 2
· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
· Khi x ¹ 0, đặt y = kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Trang 3
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai Bài 1.
Giải các hệ phương trình sau: ì 2 2 ì 2 ì 2 a) x + 4y = 8 í b) x - xy = 24 í c) (x - y) = 49 í î x + 2y = 4 î2x - 3y = 1 3 î x + 4y = 84 ì 2 2 3 ì x - 4y +1 = 0 ì2x + 3y = 2
d) x + 2xy + y - x - y = 6 í e) í f) í îx - 2y = 3
îxy = 3(x + y) - 9
îxy + x + y + 6 = 0 ì 2 ì2x + 3y = 5 ì2x - y = 5
g) y + x = 4x í h) í i) í î2x + y - 5 = 0 3
î x2 - y2 + 2y = 4
îx2 + xy + y2 = 7 ĐS: Bài 2.
Giải các hệ phương trình sau: ì2x - y - 7 = 0 ì4x + 9y = 6
ìï2x2 + x + y +1 = 0 a) í b) í c) í
îy2 - x2 + 2x + 2y + 4 = 0 3
î x2 + 6xy - x + 3y = 0
ïîx2 +12x + 2y +10 = 0 (
ì x + 2y +1)(x + 2y + 2) = 0 (
ì 2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = 0 ì 2 2 d) í e) +11 = 5 í f) x y í
îxy + y2 + 3x +1 = 0 îx - 3y = 1 î2x + 3y = 12 ĐS: Bài 3.
Giải các hệ phương trình sau: ì 2 2 ì 2 2
a) 2x - xy + 3y = 7y +12y -1 í
b) x + y + 6x + 2y = 0 í îx - y +1 = 0 îx + y + 8 = 0 ì 2 2 ì 2
c) 9x + 4y + 6xy + 42x - 40y + 135 = 0
d) x + xy + x = 10 3 í í
î x - 2y + 9 = 0 îx - 2y = 5 - ì 2 2 ì 2 2
d) 7x + 9y -12xy + 5x + 3y + 5 = 0 í
e) x - 3xy + y + 2x + 3y - 6 = 0 í î2x - 3y = 1 î2x - y = 3 ĐS: Bài 4.
Giải các hệ phương trình sau: ì 1 1 1 ì 1 1 1
ì3x + y x - y - = + = ï - = 2 ïï3x 2y 3 ïïx +1 y 3 a) í x -1 2y b) í c) í ï 1 1 1 1 1 1 îx - y = 4 ï - = ï - = ïî9x2 4y2 4 ïî(x 2 +1) y2 4 ì 2 2 ìx - y = 1 ì 2 2
d) (x + y) + 4(x + y) -117 = 0 í e) í
f) (x - y)(x - y ) = 45 í îx - y = 25 îx3 - y3 = 7 îx + y = 5 ĐS: Bài 5.
Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìx + y = 6
ìx + y = m 3 ì x - 2y = 1 a) í b) í c) í
îx2 + y2 = m
îx2 - y2 + 2x = 2
îx2 + y2 = m ĐS: Trang 4
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại 1
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
ìx + xy + y = 11 ìx + y = 4
ìxy + x + y = 5 a) í b) í c) í
îx2 + y2 - xy - 2(x + y) = -3
îx2 + xy + y2 = 13
îx2 + y2 + x + y = 8 ì x y 13 ï + = ì 3 3 3 3
ìïx4 + x2y2 + y4 = 481 d) í y x 6
e) x + x y + y = 17 í f) í ï
îx + y + xy = 5
ïîx2 + xy + y2 = 37 îx + y = 6
ĐS: a) (2;3),(3;2) b) (1;3),(3;1) c) (1;2),(2;1) æ12 8 ö æ 8 12 ö d) ç ; ÷,ç ;
e) (1;2),(2;1) f) (4;3),(3;4),(-4; 3 - ),(-3; 4) - 5 5 5 5 ÷ è ø è ø Bài 2.
Giải các hệ phương trình sau:
ìx + xy + y = -1 ìïx2 + y2 = 5
ìïx2y + y2x = 30 a) í b) í c) í
îx2y + y2x = -6
ïîx4 - x2y2 + y4 = 13 ïîx3 + y3 = 35 ìïx3 + y3 =1
ìïx2 + y2 + xy = 7
ìx + y + xy = 11 d) í e) í f) í ï 2 2
îx5 + y5 = x2 + y2
ïîx4 + y4 + x2y2 = 21
îx + y + 3(x + y) = 28 ĐS: a) b) c) (2;3),(3;2) d) e) f) Bài 3.
Giải các hệ phương trình sau: ì 2 2
ìx + xy - y = 5 ì 2 2
a) x + xy + y = 4 í b) í
c) x - xy + y = 19 í
îx + xy + y = 2
îx2 + y2 + xy = 13
îx + xy + y = 7 -
ìx + y + xy = 11 ì 2 2
ìx + y + xy = 5 d) í
e) x + xy + y = 3 í f) í
îx2 + y2 + 3(x + y) = 28
î2x + xy + 2y = 3 -
îx2 + y2 + xy = 7 ĐS: a) (1;1) b) c) d) e) f) (1;2),(2;1) Bài 4.
Giải các hệ phương trình sau:
ìïx2 + xy + y2 = 7 ìïx2 + y2 = 5 ìïx4 + y4 =17 a) í b) í c) í
ïîx4 + x2y2 + y4 = 21
ïîx4 - x2y2 + y4 = 13
ïîx2 + y2 + xy = 3 ì 3 3 ì 3 3 ìïx5 + y5 =1 d) x + y = 7 í e) x + y = 19 í f) í
îxy(x + y) = -2 (
î x + y)(8 + xy) = 2
ïîx9 + y9 = x4 + y4 ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 5.
Giải các hệ phương trình sau: ì 2 2
ìx(x + 2)(2x + y) = 9 ì x + y = 1 ï
a) x + x + y + y = 18 í b) í c) í 1
îx(x +1).y(y +1) = 72
îx2 + 4x + y = 6 x2 + y2 = ïî 2 ì x ì x x - y + = 3 ï x + y + = 9
ìx + y + xy = 11 ï y ïï y ï d) í í6 6 (x e) f) - y)x í ï (x + y)x + + xy = 11 = 2 ï = 20 ïîx y ïî y ïî y
ĐS: a) (3;-3),(-3;3),(2;3),(3,2),(-4;-3),(-3;-4),(2;-4),( 4 - ;2) b) c) d) e) f) (2;3),(3;2) Bài 6.
Giải các hệ phương trình sau: Trang 5
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì æ ö ï x + y 1 ( ) 1+ = 5 ç
ìy(x2 +1) = 2x(y2 +1) è xy ÷ ï ï a) ø í æ ö æ ö b) (íx2 + y2 ) 1 ï x2 + y2 1 ( ) 1+ = 49 ç1+ ÷ = 24 ç ÷ ï ç 2 2 ÷ ï î è x y ø î è x2y2 ø ì ì x x y 2 + y 1 1 + + = 4 ï + = ï x y ï 2 2 ï +1 +1 3 c) í d) x y í ïx2 + y2 1 1 + + = 4 ï x + y 1 ( )(1+ ) = 6 ïî x2 y2 ïî xy ì 1
ì x2y + y2 2
x + 2y + x = 6xy xy + = 4 ï ïï xy e) í 1 y x f) xy + + + = 4 í ï æ 1 ö î xy x y ( ï x + y) 1+ = 5 ç xy ÷ ïî è ø æ ± ö æ ± ö ĐS: a) 7 3 5 7 3 5 ç ; 1 - ÷,ç 1 - ; ÷ b) c) (1;1) è 2 ø è 2 ø d) e) f) Bài 7.
Giải các hệ phương trình sau: 3
ìï xy - (x2 + y2) = 5
ìïx y + y x = 30 a) í b) í
ïî7x2y2 - (x4 + y4) = 155 ïx x + y y = 35 î ì ï x y æ 1 1 ( ) ö + + = 5 ì ç ÷ ï x + y = 4 ï è x y c) ø í d) í
ïx + y - xy = 4 î æ ö ï x2 + y2 1 1 ( ) + = 49 ç ÷ ïî è x2 y2 ø ì x y 7 ï + = +1
ìï x +1 + y +1 = 3 e) í y x xy f) í ï
ïx y +1 + y x +1 + x +1 + y +1 = 6 x xy + y xy = 78 î î ĐS: a) b) (4;9),(9;4) c) d) e) f) Bài 8.
Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìx + y + xy = m
ìx + y = m +1 (
ì x +1)(y +1) = m + 5 a) í b) í c) í
îx2 + y2 = 3 - 2m
îx2y + xy2 = 2m2 - m - 3
îxy(x + y) = 4m Trang 6
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại 2
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
ìïx2 = 3x + 2y
ìïx2 - 2y2 = 2x + y
ìïx2 - 2y2 = 5y + 4 a) í b) í c) í
ïîy2 = 3y + 2x
ïîy2 - 2x2 = 2y + x
ïîy2 - 2x2 = 5x + 4
ìïxy + x2 = 8(y -1)
ìïx3 = 3x + 8y
ìïx3 = 2x + y d) í e) í f) í
ïîxy + y2 = 8(x -1)
ïîy3 = 3y + 8x
ïîy3 = 2y + x ĐS: a) b) c) d) e) f)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
ìï2x2 - 3x = y2 - 2
ìïx2 = x + 2y + 4
ìï2x = y2 - 4y + 5 a) í b) í c) í
ïî2y2 - 3y = x2 - 2
ïîy2 = y + 2x + 4
ïî2y = x2 - 4x + 5 ì 3 3
ìïxy + x2 =1- y
ìïx3 + 2x = y
x + 4x = y + ï d) í e) í f) 2 í
ïîxy + y2 = 1- x
ïîy3 + 2y = x
ïy3 + y = x 3 4 + î 2 ĐS: a) b) c) d) e) (0;0) f)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì y ì 3 ì x2 + 2 x - 3y = 4 ï 2x + y = 3 ï x = ï ï 2 ï 2 ï a) x í x y x b) í c) í ïy 3 - 3x = 4 ï2y + x = ï y2 + 2 ïî y ï 3y = î y2 ïî x2 ì ì 1 3 x2 = y 1 2 + ï 2x + = ï ïï y x d) y í e) í f) ï 1 3 y2 = x 1 2 + ï2y + = ïî x ïî x y ĐS: a) b) c) (1;1) d) e)
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
ìï 2x + 3 + 4 - y = 4
ìï x +1 + y - 7 = 4
ìï x + 2 - y = 2 a) í b) í c) í
ï 2y + 3 + 4 - x = 4 î
ï y +1 + x - 7 = 4 î ï 2 - x + y = 2 î
ìï x + 6 - y = 2 3
ìï x + 5 + y - 2 = 7 2 2
ìï x +91 = y - 2 + y d) í e) í f) í
ï y + 6 - x = 2 3 î
ï x - 2 + y + 5 = 7 î 2 2
ï y + 91 = x - 2 + î x æ11 11ö ĐS: a) (3;3),ç ; b) (8;8) c) 9 9 ÷ è ø d) e) f) (3;3) Bài 5.
Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìïx2 = 3x + my
ìïx(3- 4y2) = m(3- 4m2)
ìïxy + x2 = m(y -1) a) í b) í c) í
ïîy2 = 3y + mx
ïîy(3- 4x2) = m(3- 4m2)
ïîxy + y2 = m(x -1) Bài 6.
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Trang 7
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì m2 2 ì ï2x = y +
ïx2y + m = y2
ìïxy + x2 = m(y -1) ï a) y í b) í c) í
ïîxy2 + m = x2
ïîxy + y2 = m(x -1) ï 2 m2 2y = x + ïî x
VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
ìïx2 -3xy + y2 = -1
ìï2x2 - 4xy + y2 = 1 - ìïy2 -3xy = 4 a) í b) í c) í 3
ïî x2 - xy + 3y2 = 13 3
ïî x2 + 2xy + 2y2 = 7
ïîx2 - 4xy + y2 = 1 3
ìï x2 + 5xy - 4y2 = 38
ìïx2 - 2xy + 3y2 = 9 3
ìï x2 -8xy + 4y2 = 0 d) í e) í f) í
ïî5x2 - 9xy -3y2 = 15
ïîx2 - 4xy + 5y2 = 5
ïî5x2 - 7xy - 6y2 = 0 ĐS: a) b) c) d) e) f)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: 3
ìï x2 + 2xy + y2 =11 3
ìï x2 + 5xy - 5y2 = 37
ìïx2 - 4xy + 2y2 =1 a) í b) í c) í
ïîx2 + 2xy + 3y2 = 17
ïî5x2 - 9xy - 3y2 = 15
ïî2x2 - xy + y2 = 4
ìïx2 - 3xy + y2 = 1 -
ìï2x2 + 3xy - y2 = -2 3
ìï x2 - 5xy - 4y2 = 3 - d) í e) í f) í
ïî2x2 + xy + 2y2 = 8
ïîx2 - xy + 2y2 = 4 ïî9y2 +1 x 1 y - 8x2 = 13 ĐS: a) b) c) d) e) f)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì 3 3 ìïy3 - x3 = 7 ìïx3 + y3 =1 a) x - y = 7 í b) í c) í
îxy(x - y) = 2
ïî2x2y + 3xy2 = 16
ïîx2y + 2xy2 + y3 = 2
ìïx3 - xy2 + y3 =1
ìïx3 + 3x2y + xy2 + y3 = 6 (
ìï x - y)(x2 + y2) =13 d) í e) í f) í
ïî2x3 - x2y + y3 = 2 3
ïî y3 + x2y - 2xy2 = 2 (
ïî x + y)(x2 - y2) = 25 ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 4.
Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìïx2 + mxy + y2 = m ìïxy - y2 =12
ìïx2 - 4xy + y2 = m a) í b) í c) í
ïîx2 + m - xy + my2 ( 1) = m
ïîx2 - xy = m + 26 ïîy2 - 3xy = 4 Trang 8
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Vấn đề 1: Phương pháp thế
Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo
ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại. Giải phương trình này. Số nghiệm của hệ tuỳ
thuộc số nghiệm của phương trình này.
Một số dạng thường gặp:
· Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y).
· Dạng 2: Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng tích của các biểu thức bậc nhất hai ẩn.
· Dạng 3: Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng phương trình bậc hai của
một ẩn với ẩn còn lại là tham số.
Chú ý: Đôi khi có thể ta phải kết hợp biến đổi cả 2 phương trình của hệ để đưa về một trong các dạng trên.
ìïx2 + 5x + y = 9
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: í
ïî3x3 + x2y + 2xy + 6x2 = 18 ìy = - x2 9 - 5x
ìïy = 9 - x2 - 5x ïïéx =1 · HPT Û í Û í ï ê
îx4 + 4x3 - 5x2 -18x+18 = 0 x = -3 ïê ïîëx = -1± 7 éx = 1; y = 3 êx = -3; y =15 Û ê
êx = -1- 7; y = 6 + 3 7
êëx = -1+ 7; y = 6 -3 7
Bài tương tự:
ìï2x2y + 3xy = 4x2 + 9y æ 16 ö æ 1 1 ö æ 9 - ± 3 33 ö a) í . Nghiệm ç 2 - ;- ÷,ç ;- ÷,ç ;3÷ .
ïî7y + 6 = 2x2 + 9x è 7 ø è 2 7 ø è 4 ø
ìïx2 + y2 - xy =1
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x3 = x + y
ìï4x6 - 6x4 + 3x2 -1 = 0 ìx = 1 · HPT Û í Û í .
ïîy = 2x3 - x îy = 1 Nghiệm: (1;1),( 1 - ; 1) - .
ìïx4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 (1)
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + 2xy = 6x + 6 (2) x + - x2 6 6 éx = 0 · Từ (2), rút xy =
. Thay vào (1) ta được: x x 3 ( + 4) = 0 Û 2 êëx = 4 - æ 17 ö Nghiệm: ç 4; - . 4 ÷ è ø Trang 9
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
ìïx2 - 3xy + y2 =11 (1)
Bài 4. Giải hệ phương trình sau: í ïîy2 - 2xy = 5 (2) y2 - 5
· Dễ thấy y ¹ 0 . Từ (2), rút x = . 2y 2 æ y2 5 ö - y2 - 5
Thay vào (1) ta được: ç ÷ - 3
y + y2 = 11 Û y4 + y2 24 - 25 = 0 Û y = 1 ± è 2y ø 2y Nghiệm: (2; 1 - ),(-2;1) .
ìïx2 +1+ y(y + x)= 4y (1)
Bài 5. Giải hệ phương trình sau: í (
ïî x2 +1)(y + x - 2) = y (2) 2
· Dễ thấy y ¹ 0. HPT Þ [4y - y(y + x)](y + x - 2) = y Û [y - (3- x)] = 0 Û y = 3- x
Nghiệm: (1;2), (-2;5).
ìïx2 + 2x +1- y2 = 0 (1)
Bài 6. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + y2 - x + 3y - 2 = 0 (2) éy = x +1 · (1) Û x 2 + = y2 ( 1) Û ê ëy = -x -1 Nghiệm:
ìïx2 + 4xy + 3y2 = 0 (1)
Bài 7. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + x + 2y = 1- 3xy (2) éx = -y
· (1) Û (x + y)(x + 3y) = 0 Û ê ëx = 3 - y
Nghiệm: (3;-1) .
ìï2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y - 2 = 0 (1)
Bài 8. Giải hệ phương trình sau: í 3
ïî x2 - 32y2 + 5 = 0 (2) éx + y = -2
· (1) Û x + y 2 2(
) + 3(x + y) - 2 = 0 Û ê êx + y 1 = ë 2 Nghiệm:
ìïx3 + 3x2 = y3 - 3x -1 (1)
Bài 9. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + xy + y = 5 (2)
· (1) Û x3 + x2 + x + = y3 3 3 1 Û x 3 + = y3 ( 1)
Û y = x +1
Nghiệm: (1;2),(-2;-1) . ì x2 2 + 4xy +1 ï = 5 - (1) ï
Bài 10. Giải hệ phương trình sau: x + 2y í x ï = 3 - (2) ïîx + 2y 1 éx = 3 - (y = 2) · (1) Û 2x +
= -5 . Thay vào (2) ta được: x2
2 + 5x - 3 = 0 Û ê 1 1 x + 2y êx = (y = - ) ë 2 3 Trang 10
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn æ 1 1 ö Nghiệm: ( 3 - ;2),ç ;- . 2 3 ÷ è ø
ìï2(x2 + y2) =1 (1)
Bài 11. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x3 + 6xy2 = 1 (2)
· HPT Þ x x2 + y2 + xy2 2 ( ) 4 = 1 Û x + xy2 4 = 1 Û xy2 1 = (1- x) (*) 4 éx = 1 -
Thay vào (2) ta được: x3
4 - 3x +1 = 0 Û ê . êx 1 = ë 2 Nghiệm:
ìï2x2 + 4xy - 2x - y + 2 = 0 (1)
Bài 12. Giải hệ phương trình sau: í 3
ïî x2 + 6xy - x + 3y = 0 (2) éx = 2 -
· Lấy (2) - (1) ta được: x2 + (2y +1)x + 4y - 2 = 0 Û ê ëx = 1- y Nghiệm:
ìïx2(1+ y2) = 2
Bài 13. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2y2 + xy = 3x2 -1
ìïx2 + x2y2 = 2 (1) · HPT Û í .
ïîx2y2 + xy = 3x2 -1 (2)
Lấy (1) - (2) ta được: x2 - xy = - x2 3 3 Û xy = x2 4 - 3 . éx2 =1
Thay vào (1) ta được: x4 - x2 16 23 + 7 = 0 Û êê . x2 7 = ë 16 Nghiệm: ì1 1 + = 2(x2 + y2) (1) ïïx 2y
Bài 14. Giải hệ phương trình sau: í1 1 ï - = y2 - x2 (2) ïî x 2y ì2 = x2 +3y2 ïï
ìïx3 + 3xy2 = 2 (3)
· Lấy (1) ± (2) ta được: x í1 Û í ï 3 2 = 3x2 + y2
ïîy + 3x y = 1 (4) ïîy (
ìï x + y 3) = 3 ì 3
Lấy (3) ± 4 ta được: + = 3 í Û x y í ( ïî x - y 3 ) = 1 îx - y = 1 æ 3 3 3 1 3 1ö + - Nghiệm: ç ; ÷ . è 2 2 ø
ìïx2 + y2 + 4xy = 6 (1)
Bài 15. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x2 + 8 = 3y + 7x (2) éx = 2 - y
· Lấy (1) + (2) ta được: x2 + y - x + y2 3 (4 7)
- 3y + 2 = 0 Û ê 1- y . êx = ë 3 Trang 11
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng Nghiệm:
ìïx2 + xy + y2 = 3 (1)
Bài 16. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + 2xy - 7x - 5y + 9 = 0 (2) éy = 3 - 2x
· Lấy (1) + (2) ta được: (2x + y - 3)(x + y - 2) = 0 Û ê ëy = 2 - x Nghiệm: (1;1),(2; 1) - .
ìx4 + y3 - x 1 2 = - + 3 3 (1) ï
Bài 17. Giải hệ phương trình sau: 4 í
ïy4 + x3 - y 1 2 = - - 3 3 (2) î 4 1
· Lấy (1) + (2) ta được: x4 + 2x3 - x + y4 + 2y3 - y = - 2 1 1
Û (x2 + x 2
) - (x2 + x) + + (y2 + y 2
) - (y2 + y) + = 0 4 4 ì 1 - - 3 2 2 æ 1 ö æ 1 ö ïx = ï
Û ç x2 + x - ÷ + ç y2 + y - ÷ = 0 Û 2 è 2 ø è 2 ø í ïy 1 - + 3 = ïî 2 æ 1 3 1 3 ö - - - + Nghiệm: ç ; ÷ . è 2 2 ø
ìx2 - 4xy + 4z2 +12 = 0 (1) ï
Bài 18. Giải hệ phương trình sau:
íy2 - 4yz + x2 -12 = 0 (2) 1 ï
î 6z2 - 8xz + 4y2 = 0 (3) ìx = 2y ï
· Lấy (1) + (2) + (3) ta được: x - y 2 + z - x 2 + y - z 2 ( 2 ) (4 ) (
2 ) = 0 Û íx = 4z ïîy = 2z
Thay vào HPT ta được: z2 = 1 Þ z = 1 ± . Nghiệm: (4;2;1),( 4 - ; 2 - ;-1) . ìïx3 - y3 = 35 (1)
Bài 19. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x2 + 3y2 = 4x - 9y (2)
· Lấy (1) - 3´(2) , ta được x 3 - = + y 3 ( 2) (3
) Þ x = y + 5. Nghiệm: (3; 2 - ),(2; 3) - . ìïx3 + y3 = 9 (1)
Bài 20. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + 2y2 = x + 4y (2)
· Lấy (1) - 3´(2) , ta được x 3 - = - y 3 ( 1) (2
) Þ x = 3 - y .
Nghiệm: (2;1),(1;2) . ìïx3 + y3 = 91 (1)
Bài 21. Giải hệ phương trình sau: í
ïî4x2 + 3y2 = 16x + 9y (2)
· Lấy (1) - 3´(2) , ta được x 3 - = - y 3 ( 4) (3
) Þ x = 7 - y .
Nghiệm: (3;4),(4;3) . Trang 12
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
ìxy - 3x - 2y = 16 (1)
Bài 22. Giải hệ phương trình sau: í
îx2 + y2 - 2x - 4y = 33 (2)
· Lấy 2´(1) + (2), ta được x + y 2 (
) - 8(x + y) - 65 = 0 Û (x + y + 5)(x + y -13) = 0 éx + y + 5 = 0 Û ê ëx + y -13 = 0 Nghiệm:
ì2xy + 3x + 4y = -6 (1)
Bài 23. Giải hệ phương trình sau: í
îx2 + 4y2 + 4x +12y = 3 (2) éx + 2y = -1
· Lấy 2´(1) + (2), ta được x + y 2 (
2 ) +10(x + 2y) + 9 = 0 Û ê ëx + 2y = -9 Nghiệm:
ìïx2 + xy - y2 + 3y + 4 = 0 (1)
Bài 24. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + 2xy - 2y2 +1 x 1 + 6y - 2 = 0 (2) éx = 1
· Lấy 2´(1) - (2) , ta được x2 -1 x 1 +10 = 0 Û ê ëx = 10 Nghiệm: ìx2 + y2 1 = (1) ï
Bài 25. Giải hệ phương trình sau: 5 í ï x2 + x 57 4 3 - = -y(3x +1) (2) î 25 é x + y 7 3 = ê
· Lấy (1)´ 25 + (2)´ 50 , ta được x + y 2 25(3
) + 50(3x + y) -119 = 0 Û 5 ê ê x + y 17 3 = - ë 5 æ 2 1 ö æ 11 2 ö Nghiệm: ç ; ÷,ç ; . 5 5 25 25 ÷ è ø è ø
ìïx3 + 3xy2 = -49 (1)
Bài 26. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 - 8xy + y2 = 8y -17x (2) éx = 1 -
· Lấy (1) + 3´(2) ta được: x éë x 2 y 2 ( 1) ( 1) 3( 4) ù + + + - û = 0 Û ê ëx = 1 - ,y = 4 Nghiệm: ( 1 - ;4),(-1;-4).
ìï6x2y + 2y3 + 35 = 0 (1)
Bài 27. Giải hệ phương trình sau: í
ïî5x2 + 5y2 + 2xy + 5x +13y = 0 (2) é 5 é 2 2 1 5 ù æ ö æ ö y = - ê
· Lấy (1) + 3´(2) ta được: (2y + 5) ê3ç x + ÷ + ç y + ú ÷ = 0 Û 2 ê ê ë è 2 ø è 2 ø úû êx 1 = - y 5 , = - ë 2 2 æ 1 5 ö æ 1 5 ö
Nghiệm: ç ;- ÷,ç - ;- . 2 2 2 2 ÷ è ø è ø
ìïx2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0 (1)
Bài 28. Giải hệ phương trình sau: í
ïîy2 + xy + 3y +1 = 0 (2) Trang 13
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng éx + 2y +1 = 0
· Lấy (1) + 2´(2) ta được: x + y 2 (
2 ) + 3(x + 2y) + 2 = 0 Û ê ëx + 2y + 2 = 0 æ 1 5 ö æ 1 5 ö - + Nghiệm: ( 3 - - 2 2;1+ 2),( 3 - + 2 2;1- 2) , ç 3 - + 5; ÷,ç 3 - - 5; ÷ . è 2 ø è 2 ø
ìïx4 - y4 = 240 (1)
Bài 29. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx3 - 2y3 = 3(x2 - 4y2) - 4(x - 8y) (2) éx = y - 2
· Lấy (1) - 8´(2) ta được: x 2 - = y 4 ( 2) ( - 4) Û ê . ëx = 6 - y Nghiệm: (4;2),( 4 - ;-2) . ìïx2 + 3y = 9 (1)
Bài 30. Giải hệ phương trình sau: í
ïîy4 + 4(2x - 3)y2 - 48y - 48x +155 = 0 (2) 2
· Lấy 16´(1) + (2) ta được: éëy2 2(2x 3)ù + - û = 25 Nghiệm:
ìï2x3 + 3x2y = 5 (1)
Bài 31. Giải hệ phương trình sau: í
ïîy3 + 6xy2 = 7 (2)
· Lấy 4´(1) + (2) ta được: x3 + x2y + xy2 + y3 8 12 6 = 27 Û x + y 3 (2
) = 27 Û 2x + y = 3 æ 5 105 7 105 ö æ 5 105 7 105 ö - + + - Nghiệm: (1;1),ç ; ÷,ç ; ÷ . è 8 4 ø è 8 4 ø ìïx3 - y3 = 9 (1)
Bài 32. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + 2y2 - x + 4y = 0 (2)
· Lấy (1) - 3´(2) ta được: x 3 - = y 3 ( 1)
( + 2) Û x = y + 3. Nghiệm: (2; 1 - ),(1;-2) . 3
ìï (x3 - y3) = 4xy (1)
Bài 33. Giải hệ phương trình sau: í ïîx2y2 = 9 (2)
· Từ (2): x2y2 = 9 Û xy = ±3 .
· Khi: xy = 3 , ta có: x3 - y3 = 4 và x3 (-y3 . ) = 27 - Suy ra: x3 -y3 ;(
) là các nghiệm của phương trình: X2 - 4X - 27 = 0 Û X = 2 ± 31
Vậy nghiệm của Hệ PT là x 3 = + y 3 2 31, = - 2 - 31 hoặc x 3 = - y 3 2 31, = - 2 + 31 .
· Khi: xy = -3 , ta có: x3 - y3 = -4 và x3 (-y3 . ) = 27 Suy ra: x3 -y3 ;(
) là nghiệm của phương trình: X2 + 4X + 27 = 0 (PTVN) ì ïx 1 - = y 1 - (1)
Bài 34. Giải hệ phương trình sau: í x y (A - 2003)
ïî2y = x3 +1 (2) æ 1 ö éx = y
· Điều kiện: xy ¹ 0. Ta có: (1) Û (x - y) 1+ = 0 Û ç è xy ÷ ê ø ëxy = -1 Trang 14
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn éx = y = 1 x = y x = y ê ì ì 1 - + 5 Trường hợp 1: í Û í Û êx = y = î2x = x3 +1 (
î x -1)(x2 + x -1) = 0 ê 2 ê êx = y 1 - - 5 = ë 2 ìy 1 ìxy = - ì = - ï ïy 1 1 = - Trường hợp 2: x í 3 Û í Û í x î2y = x +1 2 ï- = x3 +1
ïîx4 + x +2 = 0 VN ( ) ïî x æ 1 5 1 5 ö æ 1 5 1 5 ö - - - - - + - + Nghiệm (1;1), ç ; ÷, ç ; ;÷ . è 2 2 ø è 2 2 ø
ìïx2(y +1)(x + y +1) = 3x2 - 4x +1 (1)
Bài 35. Giải hệ phương trình sau: í
ïîxy + x +1 = x2 (2) x2 1
· Dễ thấy x = 0 không thoả mãn (2) nên (2) Û y 1 - + =
, thay vào (1) ta được: x æ ö 2 x2 -1 x2 -1 x . ç x +
÷ = 3x2 - 4x +1Û x - x3 + x2 ( 1)(2
2 - 4x) = 0 Û x = 1; x = 2 - . x è x ø æ 5 ö
Þ Hệ có nghiệm: (1;-1), ç 2; - - . 2 ÷ è ø
ìïy2 = (5x + 4)(4 - x) (1)
Bài 36. Giải hệ phương trình sau: í
ïîy2 - 5x2 - 4xy +16x - 8y +16 = 0 (2)
· Từ (1) Þ y2 = - x2 5 +16x +16 . éy = 0
Thay vào (2) ta được: y2
2 - 4xy - 8y = 0 Û ê ëy = 2x + 4 éx 4
· Với y = 0 Þ - x2
5 +16x +16 = 0 Û = - ê 5 ê ëx = 4
· Với y = 2x + 4 Þ x 2 + = - x2 (2 4)
5 +16x +16 Û x = 0 Þ y = 4. æ 4 ö
Kết luận: Nghiệm (x; y): (0;4), (4;0), ç - ;0 . 5 ÷ è ø
ìxy + x - 7y = 1 - (1)
Bài 37. Giải hệ phương trình sau: í
îx2y2 + xy -13y2 = -1 (2) éx = 3y
· Từ (1) Þ xy +1 = 7y - x . Thay vào (2) ta được: x2 - xy + y2 15 36 = 0 Û ê ëx = 12y æ 1 ö Nghiệm: (3;1),ç1; . 3 ÷ è ø
ìxy = x + 7y +1 (1)
Bài 38. Giải hệ phương trình sau: í
îx2y2 = 10y2 -1 (2) 7y +1 æ 7y 2 +1ö · Từ (1) Þ x =
. Thay vào (2) ta được:
y2 = 10y2 -1 y -1 ç è y 1 ÷ - ø Trang 15
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng éy = 1 - (x = 3)
Û y4 + y3 - y2 39 34
8 - 2y +1 = 0 Û ê êy 1 = - (x = 1) ë 3 æ 1 ö Nghiệm: (3; 1 - ),ç1;- . 3 ÷ è ø
ìïy2 - xy +1 = 0 (1)
Bài 39. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + y2 + 2x + 2y +1 = 0 (2) éx = -2
· Từ (1) Û y2 +1 = xy . Thay vào (2) ta được: (x + 2)(x + y) = 0 Û ê ëx = -y Nghiệm: ( 2 - ; 1) - .
ìïx4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0 (1)
Bài 40. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2y + x2 + 2y - 22 = 0 (2) 22 - x2 · Từ (2) Þ y =
. Thay vào (1) ta được: x2 + 2 2 æ ö 2 2 4 2 22 - x2 2 2 16(x - 4) x - 4x + ç - 3÷ = 0 ç Û x (x - 4) + = 0 è x2 2 ÷ + ø (x2 2 + 2) éx = -2 (y = 3) êx = 2 (y = 3) Û x2 -
x6 + x4 + x2 ( 4)( 4 20 - 64) = 0 Û ê êx = - 2 (y = 5) êëx = 2 (y = 5)
ìïx2 + 2y2 = xy + 2y (1)
Bài 41. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2y (2)
· Với y = 0 Þ x = 0 là nghiệm của hệ.
Với y ¹ 0 , nhân (1) với -y rồi cộng với (2), ta được:
x3 - x2y + xy2 - y3 2 4 4 2 = 0 Û x = y
Nghiệm: (1;1),(0;0) . ( ìï x 2
-1) + 6(x -1)y + 4y2 = 20 (1)
Bài 42. Giải hệ phương trình sau: í ïîx2 + (2y 2 +1) = 2 (2) ì x ïy + 9 = · HPT Û í 3x - 5 .
ïîx2 + 4y2 =1- 4y Nghiệm: ( 1 - ; 1) - . ì x + 3y x + = 3 (1) ïï x2 + y2
Bài 43. Giải hệ phương trình sau: í y - 3x ïy - = 0 (2) ïî x2 + y2
· + Với x = 0 Þ y = 1 Þ (0;1) là 1 nghiệm của HPT.
+ Với y = 0 không thoả HPT. xy + 3y2
+ Với x ¹ 0, y ¹ 0 ta có: (1) Û xy + = 3y (3) x2 + y2 Trang 16
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn xy - 3x2 (2) Û xy - = 0 (4) x2 + y2 3 æ y -1ö
Lấy (3) + (4) ta được: 2xy + 3 = 3y Û x = 2 ç y ÷ è ø Nghiệm: ì ï x6 1
8 - xy = y - 3x4 (1)
Bài 44. Giải hệ phương trình sau: í 2
ïîx3 - 4x2y = y (2) x6 + x2 8 3 x3 · (1) Û y = ; (2) Û y = x + 2 x2 4 +1 8x6 + 3x2 x3 Từ đó: = Þ x3
x6 + x4 + x2 (64 16
23 - 2x + 6) = 0 Þ x = 0(y = 0) x + 2 4x2 +1
Nghiệm: (0;0) .
ìx(x + y +1) - 3 = 0 ï
Bài 45. Giải hệ phương trình sau: í x + y 2 5 ( ) - +1 = 0 (D – 2009) ïî x2 ì ì x 3 + y 3 = -1 ï x + y = -1 ï ïï
· Vì x ¹ 0 nên HPT Û x x í Û í ï x 4 6 + y 2 5 ( ) - +1 = 0 ï - + 2 = 0 ïî x2 ïî x2 x ì1 1 ì1 ï = 1 = ï æ 3 ö Û x í x 2 Ú í
. Nghiệm: (1;1), ç2;- ÷ . ï è 2 ø îx + y = ïx + y 1 2 = ïî 2
ìïx3 -8x = y3 + 2y
Bài 46. Giải hệ phương trình sau: í (DB A – 2006)
ïîx2 - 3 = 3(y2 +1) 3
ìï (x3 - y3) = 6(4x + y) (1) · Hệ PT Û í . ïîx2 - 3y2 = 6 (2)
Thế (2) vào (1) ta được: x3 - y3 = x2 - y2 3( ) (
3 )(4x + y) Û x3 + x2y - xy2 12 = 0 éx = 0
Û êx = 3y . ê ëx = -4y æ 6 6 ö æ 6 6 ö
Nghiệm (x; y): (3;1), (-3; 1 - ), ç 4 - . ; ÷, ç 4. ;- ÷ . è 13 13 ø è 13 13 ø ì 3 3 - = 7
Bài 47. Giải hệ phương trình sau: x y í
îxy(x - y) = 2 ì 3 3
· Hệ PT Û 2(x - y ) = 14 (1) í .
îxy(x - y) = 2 (2) Trang 17
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng éx = y
Thay (2) vào (1) ta được: x - y
x2 - xy + y2 ( )(2 5
2 ) = 0 Û êx = 2y . ê ëy = 2x
Nghiệm: (2;1),(-1;-2) .
ìï2x3 - 9y3 = (x - y)(2xy + 3) (1)
Bài 48. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 - xy + y2 = 3 (2)
· Thay (2) vào (1) ta được: x3 - y3 = x3 - y3 2 9 Û x = 2y
Nghiệm: (2;1),(-2;-1) .
ìïx3 + 4y = y3 +16x (1)
Bài 49. Giải hệ phương trình sau: í 1
ïî + y2 = 5(1+ x2) (2) · Từ (2) suy ra y2 x2
–5 = 4 (3). Thế vào (1) được: éx = 0 x3 + (y2
x2 ) y = y3 –5 . +16x Û x3 x2
–5 y –16 x = 0 ê
ëx2 - 5xy -16 = 0
· Với x = 0 Þ y2 = 4 Û y = 2 ± . x2 -16
· Với x2 –5xy –16 = 0 Û y =
(4). Thế vào (3) được: 5x 2 æ x2 16 ö - ç
÷ - 5x2 = 4 Û x4 x2 + x4 = x2 –32 256 –125 100 è 5x ø éx =1 (y = 3) - Û x4 + x2 124
132 –256 = 0 Û x2 =1 Û ê . ëx = 1 - (y = 3)
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) ì 2 (2 + )( + ) + (2 +1) = 7 - 2 (1)
Bài 50. Giải hệ phương trình sau: x y x y x x y í
îx(4x +1) = 7 - 3y (2) é 2 · Thế = x2
7 4 + x + 3y ở (2) vào (1) ta được: x2 + y x + y = x2 (2 )( ) 2 + y Û y = 2 - x ê ëy = 1- x æ1 17 3 17 ö æ1 17 3 17 ö - + + - Nghiệm: ç ; ÷,ç ; ÷ . è 4 4 ø è 4 4 ø
ìïx3 + 7y = (x + y 2) + x2y + 7x + 4 (1)
Bài 51. Giải hệ phương trình sau: í 3
ïî x2 + y2 + 8y + 4 = 8x (2)
· Ta có: (2) Û = x - x2 - y2 4 8 3 - 8y . éx = y
Thay vào (1) ta được: x - y x2 (
)( + 2x -15) = 0 Û êx = 3 . ê ëx = 5 - Nghiệm: (3; 1 - ),(3; 7) - .
ìïx3 + y3 - xy2 =1 (1)
Bài 52. Giải hệ phương trình sau: í
ïî4x4 + y4 - 4x - y = 0 (2)
· Thay (1) vào (2) ta được: x4 + y4 = x + y x3 + y3 - xy2 4 (4 )( ) Trang 18
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn éx = 0 êy = 0
Û xy y2 - xy + x2 (3 4 ) = 0 Û êx . = y ê êëx = 3y æ 3 1 ö
Nghiệm: (0;1),(1;0),(1;1), ; ç . 3 3 ÷ è 25 25 ø ìï2y2 - x2 =1 (1)
Bài 53. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x3 - y3 = 2y - x (2)
· Thay (1) vào (2) ta được:
x3 - y3 = y - x y2 - x2 2 (2 )(2
) Û x3 + x2y + xy2 - y3 2 2 5 = 0 (3) x
Dễ thấy y ¹ 0 . Đặt t = , ta có (3) Û t3 + t2 2 + t
2 - 5 = 0 Û t = 1 Þ x = y . y Nghiệm: (1;1),( 1 - ; 1) - . ìïx3 + y3 =1 (1)
Bài 54. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2y + 2xy2 + y3 = 2 (2)
· Thay (1) vào (2) ta được:
x2y + xy2 + y3 = x3 + y3 2 2(
) Û x3 - x2y - xy2 + y3 2 2 = 0 (3) x ét = 1 éx = y
Dễ thấy y ¹ 0 . Đặt t = , ta có (3) Û t3 - t2 2 - t
2 +1 = 0 Û êt = -1 Þ êx = -y . y ê ê êt 1 ë2x = y = ë 2 æ 1 1 ö æ 1 2 ö Nghiệm: ; , ; ç . 3 3 ÷ ç 3 3 ÷ è 2 2 ø è 9 9 ø
ìïx3 + y3 + 2xy(x + y) = 6
Bài 55. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx5 + y5 + 30xy = 32
ìïx3 + y3 + 2xy(x + y) = 6 (1) · HPT Û í
. Thay (1) vào (2) ta được:
ïîx5 + y5 + 6.5xy = 32 (2) x5 y5 éëx3 y3 5 2xy(x y)ù + + + +
+ û xy = 32 Û x + y 5 (
) = 32 Û x + y = 2 Nghiệm:
ìx(x + y) = 6
Bài 56. Giải hệ phương trình sau: í
îx3 + y3 +18y = 27
ìx(x + y) = 6 (1) · HPT Û í
. Thay (1) vào (2) ta được:
îx3 + y3 + 6.3y = 27 (2)
x3 + y3 + 3xy(x + y) = 27 Û x + y 3 (
) = 27 Û x + y = 3 Nghiệm: ìïx2 + y2 = 2 (1)
Bài 57. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx3 + y3 + xy2 = x + 2y (2)
· Thay (1) vào (2) ta được: x3 xy2 x x2 +
= + y Û x2 + y2 = 1+ xy Þ xy = 1 Nghiệm: ( 1 - ; 1 - ),(1;1) . Trang 19
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
ìïx3 + 2xy2 +12y = 0 (1)
Bài 58. Giải hệ phương trình sau: í 8
ïî y2 + x2 = 12 (2)
· Thay (2) vào (1) ta được: x3 + xy2 + y2 + x2 2 (8
)y = 0 Û x3 + x2y + xy2 + y3 2 8 = 0 (3)
Dễ thấy y = 0 không thoả HPT. x
Với y ¹ 0 , đặt t = ta được: (3) Û t3 + t2 + t 2 + 8 = 0 Û t = 2 - Þ x = 2 - y y Nghiệm: (2; 1 - ),(-2;1) .
ìï2x2 - y2 =1 (1)
Bài 59. Giải hệ phương trình sau: í ïîxy + x2 = 2 (2)
· Thay (1) vào (2) ta được: xy + x2 = x2 - y2 2(2 ) Û x2 - y2 3 2 - xy = 0 (3)
Dễ thấy x = 0 không thoả HPT. y ét = 1 éy = x
Với x ¹ 0 , đặt t = ta được: (3) Û t2
2 + t - 3 = 0 Û ê 3 Þ ê 3 x êt = - êy = - x ë 2 ë 2 Nghiệm: ( 1 - ; 1 - ),(1;1) . ì æ ö ï x + y 1 ( ) 1+ = 6 (1) ç xy ÷ ï è ø
Bài 60. Giải hệ phương trình sau: í 2 ï x2 + y2 æ 1 ( ) 1 ö + = 18 (2) ç xy ÷ ïî è ø (x + y 2 )
· Bình phương (1) rồi chia vế theo vế, được
= 2 Û x2 + y2 - 2xy = 0 Û x = y x2 + y2 Nghiệm:
ìxy(2x + y - 6) + 2x + y = 0 ï
Bài 61. Giải hệ phương trình sau: 2 í æ ö x2 + y2 1 ( ) 1+ = 8 ï ç î è xy ÷ø (
ì 2x + y)(xy +1) = 6xy (1)
· Điều kiện: xy ¹ 0 . HPT Û ( í
î x2 + y2)(1+ xy 2 ) = 8x2y2 (2) (2x + y 2 ) 9 éx = 7y
Bình phương (1) rồi chia vế theo vế, được = Û . x2 + y2 2 êëx = y Nghiệm: ì ïx4 + y2 698 = (1)
Bài 62. Giải hệ phương trình sau: í 81
ïîx2 + y2 + xy -3x - 4y + 4 = 0 (2)
· Ta có: (2) Û x2 + y - x + y 2 ( 3) ( - 2) = 0 .
Để PT này có nghiệm đối với x thì ta phải có: D = y 2 - - y 2 ( 3)
4( - 2) ³ 0 Û £ y 7 1 £ (3) 3
Mặt khác (2) Û y2 + x - y + x2 ( 4) - 3x + 4 = 0 .
Để PT này có nghiệm đối với y thì ta phải có: Trang 20
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn D = x 2 - - x2 ( 4)
4( - 3x + 4) ³ 0 Û £ x 4 0 £ (4) 3
Từ (3) và (4) ta có: x4 + y2 256 49 697 698 £ + = < Þ không thoả (1) 81 9 81 81
Vậy: HPT đã cho vô nghiệm.
ìï xy - 4 = 8- y2
Bài 63. Giải hệ phương trình sau: í ïîxy = 2 + x2
ìïxy - 4 = 8- y2 (1)
· Nếu xy ³ 4 thì HPT Û í ïîxy = 2 + x2 (2) x2 2 +
Từ (2) Þ x ¹ 0, x2 ³ 2 và y = x 2 æ ö 2 2 + x2
Thay vào (1) ta được: 2 + x - 4 = 8 - ç ÷ Û x2 - x2 (
2)( -1) = 0 Û x = ± 2 è x ø
Þ Hệ có nghiệm (x; y) là: ( 2; 8), (- 2;- 8)
· Nếu xy < 4 thì x2 < 2 . 2
ìï4 - xy = 8- y2 æ ö 2 2 + x2 HPT Û í
Þ 4 - 2 - x = 8 - ç ÷ Û - x2 2(2
) = 0 Û x2 = 2 (loại) ïîxy = 2 + x2 è x ø
Kết luận: Nghiệm (x; y) của hệ: ( 2; 8), (- 2;- 8) ì - = + 8 (1)
Bài 64. Giải hệ phương trình sau: x x x y y y í îx - y = 5 (2) ìx > 0 · Điều kiện í
. (1) Û x ( x - )
1 = y(y + 8) Û x x 2 - = y y 2 ( 1) ( + 8) (3) îy > 0
Thay (2) vào (3) ta được: y2
3 + 8y - 80 = 0 Û y = 4 (x = 9) (vì y > 0)
Nghiệm: (9;4) . ì - = 8 + 2
Bài 65. Giải hệ phương trình sau: x x y y x y í îx - 3y = 6 ìx > 0 3
ìï (x x - y y) = 6(4 x + y) · Điều kiện: (1) í . HPT Û í îy > 0 ïîx - 3y = 6 (2)
Thay (2) vào (1) ta được: 3( x x - y y ) = (x - 3y)(4 x + y )
Û x ( x - 3 y )( x + 4 y ) = 0 Û x = 3 y .
Nghiệm: (9;1) .
ìïx x + y y = 2 xy
Bài 66. Giải hệ phương trình sau: í ï x + y = 2 î ìx ³ 0 ìï x + y 3 (
) - 3 xy( x + y) = 2 xy ìï xy =1 · Điều kiện: í . HPT Û í Û í îy ³ 0 ï x + y = 2 î ï x + y = 2 î
Nghiệm: (1;1) . Trang 21
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì 2 2 ï + + 2 = 8 2 (1)
Bài 67. Giải hệ phương trình sau: x y xy í ï x + y = 4 (2) î 2 · (1) Û x2 + y2 2 2 = 16 - 2 xy Û x2 + y2 2 2
= ( x + y ) - 2 xy Û x2 + y2 2 2
= x + y Û x2 + y2 = x + y 2 2 2 ( ) Û x - y 2 ( ) = 0 Û x = y
Nghiệm: (4;4) . 2 2
ìï x + x + y +1 + x + y + x + y +1+ y =18 (1)
Bài 68. Giải hệ phương trình sau: í 2 2
ï x + x + y +1 - x + y + x + y +1 - y = 2 (2) î
· Lấy (1) - (2) ta được: x + y = 8
Nghiệm: (4;4) . 2 2
ìx + y - xy = 3 (1) ï
Bài 69. Giải hệ phương trình sau: í 2 2
ï x +1 + y +1 = 4 (2) î
· (2) Û x2 + y2 + x2 + y2 + = Û xy + xy 2 2 ( 1).( 1) 14
2 ( ) + xy + 4 = 11 (3) é p = 3 2 ìp £ 11
Đặt xy = p. (3) Û 2 p + p + 4 = 11- p Û í Û ê -35 3
î p2 + 26p -105 = 0 ê p = ë 3 2 35
(1) Û (x + y) = 3xy + 3 · p = xy = - (loại)
· p = xy = 3 Þ x + y = ±2 3 3 ìxy = 3 ìxy = 3 1/ Với í
Þ x = y = 3 2/ Với í
Þ x = y = - 3 îx + y = 2 3 îx + y = -2 3
Vậy hệ có hai nghiệm là: ( 3; 3), (- 3;- 3)
ìï2 2x + y = 3- 2x - y (1)
Bài 70. Giải hệ phương trình sau: í 3
ï x + 6 + 1- y = 4 (2) î
· Đặt t = 2x + y, (t ³ 0) . (1) Û t2 + 2t - 3 = 0 Û t = 1 Û 2x + y =1. ìïu 3 = x + 6
Thay vào (2) ta được: 3 x + 6 + 2x = 4 (4). Đặt í (v ³ 0) . ïîv = 2x ìu + v = 4 ìu = 2 ìx = 2 Khi đó: (4) Û í Û í Þ í . î u3 2 - v2 = 12 îv = 2 îy = -3 Nghiệm: (2; 3) - . ì x
6 - 2 = 3x - y + 3y (1) ï
Bài 71. Giải hệ phương trình sau: y í
ï2 3x + 3x - y = 6x +3y - 4 (2) î 3x - y
· Điều kiện y ¹ 0 . Đặt t = . y 3x é - y 3x - y ét = -1
3x - y = -y Ta có: (1) Û 2. - - 3 = 0 Û t2
2 - t - 3 = 0 Û ê 3 Þ ê 3 y2 y êt =
ê 3x - y = y ë 2 êë 2 Trang 22
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ì 2 ìx = 4
+ Với 3x - y = -y Þ y £ 0 . Thay vào (2) ta được: 3x - y = y í Û í î 2
- y = 6x + 3y - 4 îy = 4 3 ì ï x - y 9 3 = y2
+ Với 3x - y = y Þ y ³ 0 . Thay vào (2) ta được: 2 í 4
ï 2 6x + 3y = 6x + 3y - 4 î Û x = y 8 = 9 æ 8 8 ö Nghiệm: (4;4),ç ; . 9 9 ÷ è ø 8
ìï x2 +18y2 + 36xy - 5(2x + 3y) 6xy = 0 (1)
Bài 72. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x2 + 3y2 = 30 (2) æ x + y 2 2 3 ö 2x + 3y
· Điều kiện: xy ³ 0 . Dễ thấy x ¹ 0, y ¹ 0 . (1) Û 2 - 5 + 2 = 0 ç ÷ ç (3) 6xy ÷ 6xy è ø 2x + 3y ét = 2 Đặt t = . (3) Û t2 2 - t 5 + 2 = 0 Û ê 1 6xy êt = ë 2 2x + 3y
+ Với t = 2 Þ
= 2 Þ 2x = 3y . Thay vào (2) ta được: x = 3 Þ y = 2 . 6xy 2x + 3y 1 + Với t 1 = Þ = Þ vô nghiệm 2 6xy 2
Nghiệm: (3;2) .
ìïx3 - x2y + xy2 - y3 6 9 4 = 0 (1)
Bài 73. Giải hệ phương trình sau: í
ï x - y + x + y = 2 (2) î éx = y
· Ta có: (1) Û x - y 2 (
) (x - 4y) = 0 Û ê ëx = 4y + Với x = y: (2) Þ x = y = 2 + Với x = 4y:
(2) Þ x = 32 - 8 15; y = 8 - 2 15
ìïxy + x + y = x2 - y2 2 (1)
Bài 74. Giải hệ phương trình sau: í
ïx 2y - y x -1 = 2x - 2y (2) î ìx ³ 1 · Điều kiện: í
. Ta có: (1) Û x + y y + = x2 - y2 ( )( 1)
Û (x + y)(2y - x +1) = 0 îy ³ 0
Û 2y - x +1 = 0
Thay vào (2) ta được: (y +1) 2y = 2y + 2 Û y = 2 (vì y ³ 0 ) Þ x = 5 .
Nghiệm: (2;5) .
ìïx - 2y - xy = 0 (1)
Bài 75. Giải hệ phương trình sau: í
ï x -1 + 4y -1 = 2 (2) î ìx ³ 1 ï · Điều kiện: í x + y x - 2 y = 0 - 2 = 0 = 4 y 1 . (1) Û ( )( ) Û x y Û x y . ³ ïî 4 Trang 23
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
Thay vào (2) ta được: 4y -1 =1 Û y 1 = Þ x = 2 . 2 æ 1 ö Nghiệm: ç2; . 2 ÷ è ø
Bài tương tự:
ìïx - 2y - xy = 0 æ 1 ö æ 5 ö a) í
. Nghiệm: ç2; ÷, ç10; ÷ .
ï x -1 - 2y -1 = 1 î è 2 ø è 2 ø ì 2 2 2xy ïx + y + = 1 (1)
Bài 76. Giải hệ phương trình sau: í x + y
ï x + y = x2 - y (2) î
· Điều kiện: x + y > 0 . æ 1 ö
(1) Û (x + y 2 ) -1- 2xy 1- = 0 2 2 ç
Û (x + y -1)(x + y + x + y) = 0 Û x + y -1 = 0 è x y ÷ + ø
(vì x + y > 0 nên x2 + y2 + x + y > 0 ) éx = 1 (y = 0)
Thay x = 1- y vào (2) ta được: = x2 1
- (1- x) Û x2 + x - 2 = 0 Û ê ëx = -2 (y = 3)
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).
ìï 3(x - y) = 2 xy (1)
Bài 77. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî2x - y = 8 (2) · Điều kiện : x y . ³ 0 ; x ³ y y Ta có: (1) Û x - y 2 3(
) = 4xy Û (3x - y)(x - 3y) = 0 Û x = 3y hay x = 3
· Với x = 3y , thế vào (2) ta được : y2 - 6y + 8 = 0 Û y = 2 ; y = 4 ìx = 6 ìx = 12 Þ Hệ có nghiệm í ; îy 2 í = îy = 4 y
· Với x = , thế vào (2) ta được : y2
3 - 2y + 24 = 0 Vô nghiệm. 3 ìx = 6 ìx = 12
Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: í ; îy 2 í = îy = 4
ìïxy + x + y = x2 - y2 2 (1)
Bài 78. Giải hệ phương trình sau: í
ïx 2y - y x -1 = 2x - 2y (2) î
· Điều kiện x ³ 1, y ³ 0 Þ x + y > 0.
(1) Û (x + y)(x - 2y -1) = 0 Û x = 2y +1 (3)
Thay (3) vào (2) ta được: (2y +1) 2y - y 2y = 2(2y +1) - 2y
Û (y +1)( 2y - 2) = 0 Û y = 2 Þ x = 5
Nghiệm: (5;2) . ì 2 2 8xy ïx + y + = 16 (1)
Bài 79. Giải hệ phương trình sau: í x + y ï x + y 3
- 3x + y + 3 = 2x -1 (2) î
· Điều kiện: x + y > 0. Trang 24
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn æ 4 ö
Từ (1) Û (x + y 2 ) -16 - 2xy 1- = 0 é 2 2 ç
Û (x y 4) ëx y 4(x y)ù + - + + + û = 0 è x y ÷ + ø
Û x + y - 4 = 0 Û x + y = 4 1 æ 7 ö
Thay vào (2) ta được: 3 2x + 7 = 3 - 2x Û x3 - x2 2
9 +14x - 5 = 0 Û x = ç y = 2 2 ÷ è ø æ 1 7 ö Nghiệm: ç ; . 2 2 ÷ è ø ì3
ï x - y = x - y (1)
Bài 80. Giải hệ phương trình sau: í (B - 2002)
ïx + y = x + y + 2 (2) î ìx - y ³ 0 é = · Điều kiện: í (3) . (1) Û 3 - ( 6 1- - ) x y x y x y = 0 Û . îx + y ³ 0 êëx = y +1 éx = y = 1
Thay vào (2) ta được: ê . êx 3 = y 1 , = ë 2 2 æ 3 1 ö Nghiệm: (1;1),ç ; . 2 2 ÷ è ø
ìïxy + x + y = x2 - y2 2 (1)
Bài 81. Giải hệ phương trình sau: í
ïx 2y - y x -1 = 2x - 2y (2) î
· Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0 . (1) Û (x + y)(x - 2y -1) = 0 Û x - 2y -1 = 0 Û x = 2y +1.
Thay vào (2) ta được: (y +1)( 2y - 2) = 0 Û 2y - 2 = 0 Û y = 2 Þ x = 5 .
Nghiệm: (5;2) . ì 2x 2y ï + = 3
Bài 82. Giải hệ phương trình sau: í y x
ïîx - y + xy = 3 ì2x 2y ìx > 0 ï + = 5 (
ì x - 2y)(2x - y) = 0 · Điều kiện: í . HPT Û í y x Û í îy > 0 ï
îx - y + xy = 3
îx - y + xy = 3 æ 3 ö æ 3 ö
Nghiệm: (2;1),(-1;-2),ç 3 - ;- ÷,ç ;3 . 2 2 ÷ è ø è ø
ìï 2(x - y) = xy (1)
Bài 83. Giải hệ phương trình sau: í ïîx2 - y2 = 3 (2) éx = 2y
· Điều kiện: x ³ y . Khi đó (1) Û x2 - xy + y2 2 5 2 = 0 Û ê . ëy = 2x
Nghiệm: (2;1) .
ìï2 x + 3y + 2 - 3 y = x + 2 (1)
Bài 84. Giải hệ phương trình sau: í
ï y -1 - 4 - x + 8 - x2 = 0 (2) î
· (1) Û 2 x + 3y + 2 = x + 2 + 3 y Û 4(x + 3y + 2) = x + 2 + 9y + 6 y(x + 2) 2
Û ( x + 2 - y ) = 0 Û y = x + 2 . Thay vào (2) ta được: Trang 25
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng æ 1 1 ö x + - - x + - x2 1 4 8 = 0 Û (x - 3) + - 3 - x = 0 ç ÷ è x +1 + 2 4 - x +1 ø
Û x = 3 Þ y = 5 . 1 1
Ta cần chứng minh PT: +
= x + 3 (*) vô nghiệm trên đoạn [-1;4]. x +1 + 2 4 - x +1 1 1 1 1 1 3 Thật vậy: £ ; £ 1 Þ + £
x +1 + 2 2 4 - x +1 x +1 + 2 4 - x +1 2
Mà: x + 3 ³ 2 nên (*) vô nghiệm.
Kết luận: Nghiệm (3;5) . (
ì x + x2 +1)(y + y2 +1) =1 (1) ï
Bài 85. Giải hệ phương trình sau: í y y 35 + + = 0 (2) ï î x2 12 -1
· Chú ý: x2 + + x x2 ( 1 )(
+1 - x) = 1, y2 + + y y2 ( 1 )( +1 - y) = 1
ìï x2 +1 + x = y2 +1 - y (3) Từ (1) Þ í
. Lấy (3) - (4) ta được: x = -y .
ï x2 +1 - x = y2 +1 + y (4) î æ 5 5 ö æ 5 5 ö
Nghiệm: ç ;- ÷,ç ;- . è 3 3 ø è 4 4 ÷ø
ìï 7 + x + 11- y = 6 (1)
Bài 86. Giải hệ phương trình sau: í
ï 7 + y + 11- x = 6 (2) î
· Lấy (1) - (2) ta được: 7 + x - 7 - y + 11- y - 11- x = 0 x - y x - y Û +
= 0 Û x - y = 0 7 + x + 7 + y 11- x + 11- y
Nghiệm: (2;2) .
Bài tương tự:
ìï x + 2 - y = 2
ìï x +1 + 7 - y = 4 a) í
. Nghiệm: (0;0),(2;2) . b) í
. Nghiệm: (3;3) . ï y + 2 - x = 2 î
ï y +1 + 7 - x = 4 î
(ìï x2 +y + x2 +3)x = y-3 (1)
Bài 87. Giải hệ phương trình sau: í
ï x2 + y + x = x + 3 (2) î
· Để ý rằng: ( x2 + y + x2 + )( x2 + y - x2 3 + 3) = y - 3
Do đó: (1) Û ( x2 + y + x2 + )( x2 + y - x2 3
+ 3 - x) = 0 Û x2 + y - x2 + 3 = x
Kết hợp với (2) ta được: x + x2 + 3 = 3 Û x = 1 Þ y = 8
Nghiệm: (1;8) .
ìï y ( x + x + 3) = 3 (1)
Bài 88. Giải hệ phương trình sau: í
ï x + y = x +1 (2) î ìx ³ 0 · Điều kiện: í
. Ta có: (1) Û y = x + 3 - x (nhân lượng liên hợp). îy ³ 0
Thay vào (2) ta được: x + 3 = x +1 Û x = 1 Þ y = 1. Trang 26
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
Nghiệm: (1;1) .
ìï x + y - x - y =1 (1)
Bài 89. Giải hệ phương trình sau: í
ï x2 + y2 + x2 - y2 = 1 (2) î ìx + y ³ 0 · Điều kiện: í . îx - y ³ 0
ìï x + y - x - y =1 1 Ta có (1) Þ í
Þ 2 x + y = 2y +1 Þ y2 = x - (3)
ï x + y + x - y = 2y î 4
ìï x2 + y2 + x2 - y2 =1 (2) Þ í Þ
x2 + y2 = y2 2 2 +1 Þ x2 = y4 4 4 +1 (4)
ï x2 + y2 - x2 - y2 = 2y2 î Từ (3), (4) Þ x 5 = Þ y 3 = ± . 8 8 æ 5 3 ö Nghiệm: ç ;± ÷ . è 8 8 ø
Bài tương tự:
ìï x + y - x - y = 2 a) í . Nghiệm:
ï x2 + y2 + x2 - y2 = 4 î ìï x + y = 2 b) í . Nghiệm:
ï x + 3 + y + 3 = 4 î ì 1 x ï x + 1+ = (1)
Bài 90. Giải hệ phương trình sau: í y y
ï xy + y +1 + 1- x =1 (2) î ì0 £ x £ 1 · Điều kiện: í
. Ta có (1) Û xy + y +1 = x . î 1 - £ y ¹ 0 éx = 0
Thay vào (2) ta được: x + 1- x = 1 Û ê . ëx = 1
Nghiệm: (0;-1),(1;0) . (
ìï x2 + xy + y2) x2 + y2 =185 (1)
Bài 91. Giải hệ phương trình sau: í (
ï x2 - xy + y2) x2 + y2 = 65 (2) î
· Lấy (1) + (2) ta được: x2 + y2 x2 + y2 2( )
= 250 Û x2 + y2 = 5 Û x2 + y2 = 25 ì 2 2
Khi đó: HPT Û x + y = 25 í îxy = 12 Nghiệm: (4;3),( 4 - ; 3 - ),(3;4),(-3; 4) - . ì æ ö ï x 1 3 1+ = 2 ç è x y ÷ ï +
Bài 92. Giải hệ phương trình sau: ø í y æ 1 7 1 ö ï - = 4 2 ç î è x y ÷ ï + ø
· ĐK: x ³ y ³ x2 + y2 0, 0,
¹ 0 . Dễ thấy nếu (x; y) là nghiệm của hệ thì x > 0, y > 0 . Trang 27
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì 1 2 ì 1 1 1 2 2 + = ï ï = - (1) ï x + y 3x ï x + y 3x 7y Do đó: HPT Û í 1 4 2 Û í 1 ï - = ï 1 2 2 ï x + y 1 = + (2) 7y î ï 3x 7y î 1 1 8
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được: = - Û 2 x
1 y = (x + y)(7y - 3x)
x + y 3x 7y
Û (y - 6x)(7y + 4x) = 0 Û y = 6x (vì x > 0,y > 0 ). æ11 4 7 22 8 7 ö + + Nghiệm: ç ; ÷ . è 21 7 ø ìæ 12 ö ï 1- x = 2 ç ïè y 3x ÷ +
Bài 93. Giải hệ phương trình sau: ø í æ 12 1 ö ï + y = 6 ç è y 3x ÷ ï + î ø ì 12 2 ì 1 3 1- = ï 1 = + (1) ï ï y + 3x x ï x y · HPT Û í 12 6 Û í 1 ï + = 12 3 1 ï = - (2) ï y + 3x y î ï y + 3x y x î 12 3 1
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:
= - Û x - y 2 = y2 (3 2 ) 5 . 3x + y y x Nghiệm:
Bài 94. Giải hệ phương trình sau: · Trang 28
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Biến đổi các phương trình của hệ để có thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản.
ì f (u,v) = 0
Thông thường đưa về dạng: í
îg(u,v) = 0
ìïx4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2y + x2 + 2y - 22 = 0 ( ìï x2 2 - 2) + (y 2 - 3) = 4 · HPT Û í . (
ïî x2 - 2 + 4)(y - 3+ 3)+ x2 - 2 - 20 = 0 ì 2 ìu2 + v2 = 4 ìu = 2 ìu = 0 Đặt u = x - 2 í . HPT Û í Û í Ú í . îv = y - 3 îuv + 4 u ( + v) = 8 îv = 0 îv = 2
Nghiệm: (2;3),(-2;3),( 2;5),(- 2;5) .
ìïx2 + 5x + y = 9
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: í
ïî3x3 + x2y + 2xy + 6x2 = 18
ìïx2 + 2x + 3x + y = 9 ì 2 ìu + v = 9 · HPT Û í
. Đặt u = x + 2x í . HPT Û í (
ïî x2 + 2x)(3x + y) =18
îv = 3x + y îuv = 18 Nghiệm: (1;3),( 3
- ;15),(-1- 7;6 + 3 7),(-1+ 7;6 - 3 7) .
ìïx2 + y2 -3x + 4y =1
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: í 3
ïî x2 - 2y2 - 9x - 8y = 3
ìïx2 -3x + y2 + 4y =1
ìïu = x2 -3x ìu + v = 1 · HPT Û í . Đặt í . HPT Û í . 3
ïî (x2 - 3x)- 2(y2 + 4y) = 3
ïîv = y2 + 4y î u 3 - 2v = 3 æ 3 13 ö æ 3 13 ö ± ± Nghiệm: ç ;0÷, ç ;-4÷ . è 2 ø è 2 ø
ìxy + x + y = 3 ï
Bài 4. Giải hệ phương trình sau: 1 1 2 í + = ×
ïîx2 + 2x y2 + 2y 3 (
ì x +1)(y +1) = 4 ï ìu = x +1 · HPT Û 1 1 2 í + = . Đặt í u
( ¹ ±1,v ¹ ±1) . ï îv = y +1 î(x 2 +1) -1 (y 2 +1) -1 3 ìuv = 4 ï ìuv = 4 ìuv = 4 HPT Û í 1 1 2 + = Û í 2 2 2 2 2 2 Û í 2 2 ï 3
î (u + v - 2) = 2(u v - u - v +1) îu + v = 8 îu2 -1 v2 -1 3 éu = v = 2 ìx = 1 ìx = -3 Û ê . Nghiệm: í ;í . ëu = v = -2 îy = 1 îy = 3 - ìx + y 1 1 + + = 4 - ïï x y
Bài 5. Giải hệ phương trình sau: í 1 x y ïxy + + + = 4 ïî xy y x Trang 29
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ìx + y 1 1 + + = 4 - ì 1 ï u = x ï x y + ïï ìu + v = 4 - ìu = 2 - · HPT Û í x æ öæ ö . Đặt í . HPT Û í Û í ï 1 îuv = 4 îv = 2 - ç x 1 + ÷ y 1 + = 4 ïv = y + ï x ç î è y ÷ è ø ø ïî y Nghiệm: ( 1 - ; 1) - .
ìy(x2 +1) = 2x(y2 +1) ï
Bài 6. Giải hệ phương trình sau: í æ ö x2 + y2 1 ( ) 1+ = 24 ï ç ÷ î è x2y2 ø ì x2 +1 y2 +1 ì 1 æ 1 ö ï = 2 ïx + = 2 y + ç ÷ ï ï x è y ø · HPT Û x y í Û í 2 2 . ïx2 1 + + y2 1 + = 24 æ ï 1 ö æ 1 ö ï ç x + ÷ + y + = 28 ç ÷ î x2 y2 ïè x ø î è y ø ìu = x 1 + ïï ìu = 2v Đặt x í . HPT Û í 2 2 ïv = y 1 + îu + v = 28 ïî y Nghiệm: ì x y 2 + =
ïïx2 +1 y2 +1 3
Bài 7. Giải hệ phương trình sau: í æ ö ï x + y 1 ( ) 1+ = 6 ç xy ÷ ïî è ø ì 1 1 2 + = ï ì 1 ï x 1 + y 1 3 + u = x + ïï ì1 1 2 ï · HPT Û + = í x y . Đặt x í
. HPT Û íu v 3 Û u = v = 3 ï ïv = y 1 + ïîu + v = 6 ïx 1 + + y 1 + = 6 ïî y î x y Nghiệm: ì 2 x2 y2 æ 1 ( ) 1 ö ï + + = 9 ç è xy ÷ ï
Bài 8. Giải hệ phương trình sau: ø í 3 ï æ ö x3 + y3 1 ( ) 1+ = 27 ï ç î è xy ÷ø ì 2 2 æ x 1ö æ ì 1 ç ÷ ç y 1 ö ï + + + ÷ = 9 u = x ï + è y ø è x ø ïï ìïu2 + v2 = 9 · HPT Û í . Đặt y . HPT Û . 3 3 í í æ ï ö æ ö 1 ïîu3 + v3 = 27 x 1 + + ïv = y ç + ï ÷ ç y 1 + ÷ = 27 ï è y î x î ø è x ø Nghiệm: ïì 3 x y 1 ( + y) + 2 2 x y (2 + y) + 3 xy - 30 = 0
Bài 9. Giải hệ phương trình sau: í ïî 2 x y + x 1 ( + y + 2 y ) + y -11 = 0 ì 2 2 2
ìxy(x + y)(x + y + xy) = 30
· Hệ PT Û xy(x + y) + x y (x + y) = 30 í Û í
îxy(x + y) + xy + x + y = 11
îxy(x + y) + xy + x + y = 11 Trang 30
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
ìx + y = u ìuv u ( + v) = 30
ìuv(11- uv) = 30 (1) éuv = 5 Đặt í . HPT Û í Û í . Từ (1) Þ îxy = v
îuv + u + v = 11
îuv + u + v = 11 (2) êëuv = 6 æ 5 21 5 21 ö - + æ 5 21 5 21 ö + -
· Với uv = 5 Þ u + v = 6 . Nghiệm (x; y) là: ç ; ÷ và ç ; ÷ è 2 2 ø è 2 2 ø
· Với uv = 6 Þ u + v = 5 . Nghiệm (x; y) là: (1;2) và (2;1) æ 5 21 5 21 ö - + æ 5 21 5 21 ö + -
Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm: (1;2) , (2;1) , ç ; ÷ , ç ; ÷ è 2 2 ø è 2 2 ø
ìxy - 3x - 2y = 16
Bài 10. Giải hệ phương trình sau: í
îx2 + y2 - 2x - 4y = 33 (
ì x -1)(y - 2) - (x -1) - (y - 2) = 21 ìu = x -1 ìuv - u ( + v) = 21 · HPT Û . Đặt . HPTÛ ( í í í î x 2 -1) + (y 2 - 2) = 38 îv = y - 2 îu2 + v2 = 38 Nghiệm: (-3 + 3; 2
- - 3), (-3 - 3;-2 + 3) . ì x2 2 + 4xy +1 ï = -5 ï
Bài 11. Giải hệ phương trình sau: x + 2y í x ï = -3 ïîx + 2y ì x 1 2 + = -5 ï ìu = 2x ï x + 2y ï ìu + v = 5 - éu = 2 - ,v = -3 · HPT Û í . Đặt í 1 . HPT Û í Û ê . ï v = x 1 2 îuv = 6 ëu = 3 - ,v = -2 = -6 ïî x + 2y ïî x + 2y æ 1 ö æ 3 1 ö Nghiệm: ç 1 - ; ÷,ç- ; . è 3 ø è 2 2 ÷ø ì æ ö ïy x + x 1 ( 1) +1+ = 2 ç è y ÷ ï
Bài 12. Giải hệ phương trình sau: ø í x yæ x 1 2( 1) 1 ö ï + = + + ç y ÷ ïî è ø ìu = x +1 ï ìuv = 2 éu = 1,v = 2 · Đặt í æ ö v = y x 1 +1+ . HPT Û í Û . ç î2u = v êëu = 1 - ,v = 2 - y ÷ ïî è ø
Nghiệm: (0;1),(-2;3).
ì x2 + y2 + xy 3 4( ) + = 7 ï 2 ï
Bài 13. Giải hệ phương trình sau: (x + y) í ï x 1 2 + = 3 ïî x + y ì 2 æ ö ï x + y 1 3 + + (x - y 2 ) = 13 ç ÷ ì 1 ï
ïu = x + y + · HPT Û è x + y ø í . Đặt í
x + y (với u ³ 2 ) ïx + y 1 + + x - y = 3
ïîv = x - y ïî x + y Trang 31
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì 2 2 ì 1 ìu = 2 ïx + y + = 2 ìx = 1 HPT Û u 3 + v = 13 í Û í
(vì u ³ 2) Þ í x + y Û í . îu + v = 3 îv = 1 ï îy = 0 îx - y = 1 ì x2 + y2 1 3( ) + = 2(10 - xy) ï 2 ï
Bài 14. Giải hệ phương trình sau: (x - y) í ï x 1 2 + = 5 ïî x - y
ì x + y 2 + x - y 2 1 2( ) ( ) + = 20 ï 2
ìu = x + y ï ï · HPT Û (x - y) í . Đặt í
1 (với v ³ 2 ) ï
v = x - y +
x + y + x - y 1 + = 5 ïî x - y ïî x - y ì 1 ì 2 2 u ìu = 3 = ï
HPT Û 2u + v - 2 = 20 í Û 3 í Ú í . îu + v = 5 îv = 2 ïv 14 = î 3 æ 4 10 3 10 ö æ 4 10 3 10 ö + - - - - + Nghiệm: (2;1),ç ; ÷, ç ; ÷ . è 3 3 ø è 3 3 ø ïì2 2 x y + 2 xy = 15
Bài 15. Giải hệ phương trình sau: í ïî8 3 x + 3 y = 35
ì2xy(2x + y) = 30 ìu = 2x ìuv u ( + v) = 30 éu = 2; v = 3 · Hệ PT Û . Đặt . Hệ PT Û Û ( í í í î 2x 3 ) + y3 = 35 îv = y îu3 + v3 = 35 êëu = 3; v = 2 æ 3 ö
Nghiệm (x; y): (1;3), ç ;2 . 2 ÷ è ø ìx(x + )( 2 2x + y) = 9
Bài 16. Giải hệ phương trình sau: í î 2
x + 4x + y = 6 (
ìï x2 + 2x)(2x + y) = 9 ì 2 ìuv = 9 · Hệ PT Û í
. Đặt u = x + 2x í . HPT Û í (
ïî x2 + 2x)+ (2x + y) = 6
îv = 2x + y îu + v = 6
Nghiệm: (1;1),(-3;9) .
ìïx2 + y2 = xy + x + y (1)
Bài 17. Giải hệ phương trình sau: í ïîx2 - y2 = 3 (2) 1
ìu = x + y ì 2 2
· Chú ý: x2 xy y2 é 3 + = 4 ë3(x y 2 ) (x y 2 ) ù - + = - + + , ta được: u v v 4 û . Đặt í í
îv = x - y îuv = 3
Nghiệm: (2;1) .
ìï x + y + x - y + x2 - y2 = 5
Bài 18. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2(x2 + y2) = 5
ìu = x + y
ìu + v + uv = 5 ìu + v = 3 éu = 1,v = 2 · Đặt í
(u,v ³ 0) . HPT Û Û Û v = x - y í 2 2 í ê î îu + v = 5 îuv = 2 ëu = 2,v = 1 æ 1 3 ö æ 1 3 ö æ 3 1 ö æ 3 1 ö
Nghiệm: ç - ;± ÷,ç ;± ÷,ç - ;± ÷,ç ;± . 2 2 2 2 2 2 2 2 ÷ è ø è ø è ø è ø Trang 32
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ì 3 y + 2 = 1
ïïx2 + y2 -1 x
Bài 19. Giải hệ phương trình sau: í ï 2 2 x x + y + 4 = 22 ïî y
· Điều kiện: x ¹ y ¹ x2 + y2 0, 0, -1 ¹ 0 ì3 2 ì3 2 2 2 x ï + = 1 ï + =1 (1)
Đặt u = x + y -1;v = . Hệ PT trở thành: í Û y u v íu v
ïîu +1+ 4v = 22 ïîu = 21- 4v (2) év = 3 3 2
Thay (2) vào (1) ta được:
+ = 1 Û 2v2 -1 v 3 + 21 = 0 Û ê 7 21- 4v v êv = ë 2
· Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT: ìx2 + y2 -1= 9 ï ìx2 + y2 =10 ìx = 3 ìx = -3 í x Û í Û í Ú = 3 ï îx = 3y îy 1 í = îy = 1 - î y · Nếu v 7
= thì u = 7, ta có Hệ PT: 2 ì 2 ì 2 ìx2 + y2 -1= 7
ìx2 + y2 = 8 ïy = 4 ïy = 4 - ï ï ï ï í x 53 53 7 Û í Û í Ú x 7 y í = = ïîy ïî 2 ïx 2 ï = x 2 2 14 = 14 - ï 53 ï î î 53
So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT. ì ïx x 1 æ 1 (1 ) 1ö + + + = 4 (1) ç ÷
Bài 20. Giải hệ phương trình sau: í y è y ø ï
îx3y3 + x2y2 + xy +1 = 4y3 (2) ìæ ï x 1 ö æ x2 1 ö + + + = 4 ç y ÷ ç ÷ ïè ø è y2
· Dễ thấy y ¹ 0 . HPT Û ø í . æ öæ ö ï x 1 + x2 1 + = 4 ç y ÷ç ÷ ïè ø î è y2 ø ìu = x 1 + ïï y ìu + v = 4 Đặt í . HPT Û í
Û u = v = 2 . ïv = x2 1 + îuv = 4 ïî y2
Nghiệm: (1;1) .
ìxy + x +1 = 7y
Bài 21. Giải hệ phương trình sau: í (B - 2009)
îx2y2 + xy +1 = 13y2 ìæ 1 ö x ì ï x + + = 1 ç ÷ 7 u = x + ïè y ø y ïï y ìu + v = 7
· Dễ thấy y ¹ 0. HPT Û í 2 . Đặt í . HPT Û í æ 2 ï 1 ö x x îu - v = 13 x + - = 13 ï ç v = y ÷ ïè î ø y ïî y Trang 33
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng æ 1 ö
Nghiệm ç1; ÷, (3;1). è 3 ø 8
ìï x3y3 + 27 =18y3
Bài 22. Giải hệ phương trình sau: í
ïî4x2y + 6x = y2 ì 3 æ ö ï x 3 3 (2 ) + ç ÷ =18 ï 3
· Dễ thấy y ¹ 0 . HPT Û è y ø ì + = 3 í
. Đặt a = 2x; b = . HPT Û a b í ï æ ö y îab = 1 x 3 ç x 3 2 . 2 + ÷ = 3 ï y î è y ø æ 3 5 6 ö æ 3 5 6 ö - + Nghiệm: ç ; ÷, ç ; ÷ ç 4 3 5 ÷ ç 4 3 5 ÷ + - è ø è ø 8
ìï x3y3 + 27 =18y3
Cách 2: Dễ thấy y ¹ 0 . HPT Û í Þ x3y3 + = x2y2 8 27 18(4 + 6xy) (*)
ïî4x2y2 + 6xy = y3 ét 3 = - ê
Đặt t = xy . (*) Û t + t2 (2 3)(4 - 4 t 2 + 9) = 0 Û 2 ê êt 21± 9 5 = êë 4
Bài tương tự:
ìï27x3y3 +125 = 9y3 æ 2 ö æ 1 5 ö a) í
. Nghiệm ç ;5÷,ç ; ÷ .
ïî45x2y + 75x = 6y2 è 3 ø è 3 2 ø
ìx3y3 +1 = 2y3 ï
Bài 23. Giải hệ phương trình sau: í x2 x + =2 ï y î y2 ìx3 1 + = 2 ïï y3
· Dễ thấy y ¹ 0 . HPT Û í . x æ ö ï x 1 + =2 y ç y ÷ ïî è ø 1 ì 3 3 ìx + t = 2 Đặt + = 2 t = . HPT Û x t Û y í í
îxt(x + t) =2 îxt = 1
Nghiệm: (1;1) .
ìïy + xy2 = 6x2
Bài 24. Giải hệ phương trình sau: í 1
ïî + x2y2 = 5x2 ì 1 æ x 2 x 6 ö ï + = ìu = x 1 + y ç è y ÷ ï ïï y
· Dễ thấy y ¹ 0. HPT Û ø í . Đặt . 2 í æ ï 1 ö æ x 2 ö x x x + = 5 + 2 ïv = ç ï ïî y è y ÷ ç î ø è y ÷ø y ìïu = 6v2 HPT Û í ïîu2 = v2 5 + 2v Nghiệm:
Bài tương tự: Trang 34
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ìïy + xy2 = 6 - x2 æ 1 ö æ 1 ö a) í . Nghiệm ç ; 2 - ÷,ç- ;3÷ . 1
ïî + x3y3 = 19x3 è 3 ø è 2 ø
ìïx2 +1+ y(y + x)= 4y
Bài 25. Giải hệ phương trình sau: í (
ïî x2 +1)(y + x - 2) = y ì x2 +1 ï + y + x - 2 = 2 ì 2 ï y x +1 ï ìu + v = 2
· Dễ thấy y ¹ 0. HPT Û u = í . Đặt í y . HPT Û í ï x2 +1 îuv = 1 (y + x - 2) = 1
ïîv = y + x -2 ïî y Nghiệm: (1;2),( 2 - ;5).
ìïx2y2 + 2y2 + 4= 7xy
Bài 26. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2 + 2y2 + 6y = 3xy2 ì ì 2 2 4 x x + 2 + = 7 æ 2 ö x ï ï x - - 3 = 2 - ï y2 y ç y ÷ ïè ø y
· Dễ thấy y ¹ 0. HPT Û í Û í æ ï x 2 ö 6 2 + 2 + = 3x æ ï x ö æ 2 ö ç y ÷ ï - 3 x - = -2 è ç ï ÷ ç ÷ î ø y è y î ø è y ø ìu = x 2 - ïï y ìïu2 - v 3 = 2 - éu = v = 1 Đặt í x . HPT Û í Û ê ï 2 v ëu = v = 2 = ïîv - u 3 = 2 - ïî y ìx 2 - = 1 ïï y éx = y = 1 -
+ Với u = v = 1 thì í x Û ê ï ëx = y = 2 = 1 ïî y ì é x 2 - = 2 1- 5 ïï y êx = 1- 5; y =
+ Với u = v = 2 thì í 2 ê x Û ï = 2 ê 1+ 5 ï x = 1+ 5; y = î y êë 2 æ 1 5 ö æ 1 5 ö - + Nghiệm: ( 1 - ; 1 - ),(2;2),ç1- 5; ÷, ç1+ 5; ÷ . è 2 ø è 2 ø
ìïx2(y +1)= 6y - 2
Bài 27. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx4y2 + 2x2y2 + y(x2 +1) = 12y2 -1 ì æ ö ì 2 1 x2 +1 ïx2 1 2 1+ = 6 - ç ïx +1+ + = 7 y ÷ ï è ø y ï y y
· Dễ thấy y ¹ 0. HPT Û í Û í 2 ï 4 2 x2 2 x + x +1 1 2 + = 12 - æ ï 2 1 ö x +1 ï y x +1+ - = 13 ç ï ÷ î y2 è y î ø y ìu = x2 1 +1+ ïï y ìu + v = 7 éu = 5 - ,v = 12 Đặt í . HPT Û Û x2 í 2 ê ï ëu = 4,v = 3 v +1 îu - v = 13 = ïî y Trang 35
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ìx2 1 +1+ = 5 - ìu = -5 ïï y + Với í Þ í (vô nghiệm) îv = 12 x2 +1 ï = 12 ïî y ìx2 1 +1+ = 4 é 1 ìu = 4 ïï y x = 0, y = + Với í Þ í Þ ê 3 . îv = 3 x2 +1 ï ê = 3
ëx = ± 2, y = 1 ïî y æ 1 ö
Nghiệm: ç 0; ÷,(± 2 ) ;1 . è 3 ø
ìïx2y + y + xy2 + x =18xy
Bài 28. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx4y2 + y2 + x2y4 + x2 = 208x2y2
· Với x = 0 Þ y = 0 . ì ì 1 1 x 1 + + y 1 + = 18 x + + y + = 18 ï ìx ¹ 0 ïï x y ï x y + Với í ta có: HPT Û í Û í 2 2 îy ¹ 0 ïx2 1 + + y2 1 + = 208 æ ö æ ö ïç x 1 + ÷ + y 1 + = 212 ï ç ÷ î x2 y2 ïè x ø î è y ø ìu = x 1 + ïï ìu + v = 18 ìu = 4 ìu = 14 Đặt x í
. Ta được HPT Û í 2 2 Û í Ú í ïv = y 1 + îu + v = 212 îv = 14 îv = 4 ïî y
Nghiệm: (0;0),(2 + 3;7 ± 4 3),(2 - 3;7 ± 4 3) , (7 + 4 3;2 ± 3),(7 - 4 3;2 ± 3) .
ìïx2 - 2xy + x + y = 0
Bài 29. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx4 - 4x2y + 3x2 + y2 = 0
· Với x = 0 Þ y = 0 . ì y ì x y - 2y +1+ = 0 2y = x + +1 (1) ìx ¹ 0 ïï x ïï x + Với í ta có: HPT Û í 2 Û í 2 îy ¹ 0 2 æ y x 4y 3 ö ï æ y ö æ y ö - + + ç ÷ = 0
ïç x + ÷ -3ç x + ÷ = 0 (2) ïî è x ø ïè î x ø è x ø y ét = 0 y y
Đặt t = x + . (2) Û t2 - t 3 = 0 Û
Þ x + = 0 Ú x + = 3 x êët = 3 x x
Nghiệm: (0;0),(1;2),(2;2) . ì ï x2 + x 1 2 - = 2
Bài 30. Giải hệ phương trình sau: í y
ïîy - y2x -2y2 = 2 - ì x2 + x 1 2 - = 2 ï ìu = x ï y ï
ìï2u2 + u - v = 2 (1) · HPT Û í1 . Đặt í 1 . HPT Û í ï v 2 - x 2 - 2 = - = ï
ïî2v - u + v = 2 (2) î y ï y î y2 éu - v = 0
Lấy (1) - (2) ta được: u2 - v2 2( ) + 2 u
( - v) = 0 Û ê ëu + v +1 = 0 Trang 36
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn æ 3 1 ö æ 3 1 ö + - Nghiệm: (1;1),( 1 - ; 1 - ),ç - ; 3 +1÷,ç ;1- 3 ÷ . è 2 ø è 2 ø 2 2 ìï2y - x =1
Bài 31. Giải hệ phương trình sau: í 3 3
ïî2x - y = 2y - x
· HPT Þ x3 - y3 = y2 - x2
y - x Û x3 + x2y + xy2 - y3 2 (2 )(2 ) 2 2 5 = 0
Khi y = 0 thì hệ VN. æ x 3 ö æ x 2 ö æ x ö
Khi y ¹ 0 , chia 2 vế cho y3 ¹ 0 ta được: + 2 + 2 - 5 = ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 è y ø è y ø è y ø x ìy = x éx = y = 1
Đặt t = , ta có : t3 + t2
2 + 2t - 5 = 0 Û t = 1 Û í Û y îy2 = 1 êëx = y = -1 Nghiệm: (1;1),( 1 - ; 1) - . 2 2
ì x + y + xy +1 = 4y
Bài 32. Giải hệ phương trình sau: í 2 2
î y(x + y) = 2x + 7 y + 2 ì x2 +1 ï + x + y = 4
ìï x2 + y2 + xy +1= 4y ï y
· Từ hệ PT Þ y ¹ 0 . Khi đó ta có: í Û í .
ïîy(x + y 2 ) = 2x2 + 7y + 2 ï 2 x2 x + y +1 ( ) - 2 = 7 ïî y x2 +1 ìï u + v = 4 ìï u = 4 - v é v = 3, u = 1 Đặt u =
, v = x + y ta có hệ: í Û í Û y ê ïîv2 - 2u = 7
ïîv2 + 2v -15 = 0 ëv = -5, u = 9 ìïx2 +1= y ìïx2 +1= y ì 2 é x = 1, y = 2
· Với v = 3, u = 1ta có hệ: x + x - 2 = 0 í Û í Û í Û ê . ïî x + y = 3 ïî y = 3- x îy = 3 - x ëx = 2 - , y = 5 ìïx2 + = y ìïx2 + = y ìïx2 1 9 1 9 + 9x + 46 = 0
· Với v = -5, u = 9 ta có hệ: í Û í Û í , hệ VN ïî x + y = -5 ïî y = 5 - - x ïî y = 5 - - x
Nghiệm: (1; 2), (-2; 5) . ì x + y 2 - x2 - y2 (2 ) 5(4
) + 6(2x + y) = 0 (1) ï
Bài 33. Giải hệ phương trình sau: í x + y 1 2 + = 0 (2) ïî 2x - y (
ì 2x + y) - 5(2x - y) + 6 = 0 ï
ìu = 2x + y
· Dễ thấy 2x + y ¹ 0 . HPT Û í x í u ( v . ¹ 0) + y 1 2 + = 0 . Đặt . ï
îv = 2x - y î 2x - y ìu - v 5 = 6 - ï éu = 1 - ,v = 1 HPT Û í ê u 1 Û 1 . + = 0 ï êu = 5, - v = î v ë 5 Nghiệm: ì 2 ï + 2 + 6 = +1 (1)
Bài 34. Giải hệ phương trình sau: x x y í
ïîx2 + xy + y2 = 7 (2) (
ì x - y)(x + y + 2) = -5
· Điều kiện: y ³ -1. HPT Û . 3 í î (x + y 2 ) + (x - y 2 ) = 28 Trang 37
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
ìu = x + y ìv(u + 2) = 5 - Đặt í , ta được: í .
îv = x - y î u2 3 + v2 = 28 Nghiệm: ( 3 - ;2),(1;2). ì 2 + +1 - + = 1
Bài 35. Giải hệ phương trình sau: x y x y 3 í î x + 2y = 4 ì · Hệ PT Û
2x + y +1 - x + y = 1. Đặt u = 2x + y +1 ³ 0, v = x + y ³ 0 . ( í
î 2x + y +1) + (x + y) = 5 ìu - v = 1 éu = 2, v = 1 Hệ PT Û í Û îu2 + v2 = 5
êëu = -1, v = -2 l(oaïi) Nghiệm: (2; 1) - .
Bài tương tự: ì a)
2x + y +1 - x + y = 20 3 í î x + 2y = 4 ì 2 ï + 6 = + 3
Bài 36. Giải hệ phương trình sau: x y y í
ï x + y + x - y î ìx + y ³ 0
ìïx2 + y = y2 6 + 6y + 9 (
ì x + y)(x - y) = 9 · Điều kiện í . Hệ PT Û í Û í îx ³ y ³ 3 -
ï x + y + x - y = 4 î
x + y + x - y = 4 î
ìïu = x + y ì 2 2 éu = 1,v = 3 Đặt = 9 í u
( ,v ³ 0) . HPT Û u v í Û ê
ïv = x - y î îu + v = 4 ëu = 3,v = 1
Nghiệm: (5;4).
ìï x + y = 2 + x - y
Bài 37. Giải hệ phương trình sau: í
ï x2 + y2 +1 - x2 - y2 = 3 î
· Điều kiện: x + y > 0, x - y ³ 0 . ì u v 2 (u v) ì - = >
u + v = 2 uv + 4
ìu = x + y ï ï Đặt: í ta có hệ: í 2 2 Û í 2 2
îv = x - y u + v + 2 u + v ï - uv + 2 = 3 ï - uv = 3 î 2 î 2
ìu + v = 2 uv + 4 (1) ï
Û í (u+ v 2) - uv 2 + 2 . ï - uv = 3 (2) î 2
Thế (1) vào (2) ta có: uv +
uv + - uv = Û uv + uv + = + uv 2 8 9 3 8 9 (3 ) Û uv = 0 . ì uv = 0
Kết hợp (1) ta có: í
Û u = 4, v = 0 (với u > v). îu + v = 4
Nghiệm: (2; 2) .
Bài tương tự:
ìï x + y - x - y = 2 a) í
ï x2 + y2 + x2 - y2 = 4 î Trang 38
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ì + = 9 - + 2
Bài 38. Giải hệ phương trình sau: x y x y í
îx(x + 4y - 2) + y(4y + 2) = 41
ìï x - y + x + 2y = 9
ìïu = x - y · HPT Û í . Đặt í
(u,v ³ 0). ( ïî x + 2y 2
) - 2(x - y) = 41
ïv = x + 2y î ìu + v = 9 ìu = 2 ì ì HPT Û - = 2 - = 2 í Û í Þ x y x y í Ú í îv2 - 2u2 = 41 îv = 7 îx + 2y = 7 îx + 2y = -7 æ 1 11ö Nghiệm: (5;1),ç ;- . 3 3 ÷ è ø
ìï x + y +1 +1 = 4(x + y 2) + 3x + 3y (1)
Bài 39. Giải hệ phương trình sau: í 1
ïî 2x(2x2 + 3y + 7xy) = -1-12y2(3 + 5x) (2)
ìï x + y +1 = u ³ 0 ìï u2 3 - v2 = 3 ìï u2 3 - v2 = 3 · Đặt í . (1) Û í Û í
ï 3x + 3y = v ³ 0 4 2 2 2 4 î
ïî9u + 9 = 4v + 9v ïî9u + ( u
3 - v ) = 4v + 9v ìï u2 3 - v2 = 3 Û í Û u = v 6 =
Þ 2x + 2y = 1. ïî u ( - v)( u3
9 + 9u2v + u 3 v2 + v3 3 ) = 0 2 æ 5 4 ö æ 7 1 ö Nghiệm: ç - ; ÷,ç ;- . 6 3 10 6 ÷ è ø è ø
ìï 7x + y + 2x + y = 5 (1)
Bài 40. Giải hệ phương trình sau: í
ï 2x + y + x - y = 2 (2) î
ìïu = 7x + y ì 2 2 - x · Đặt - = 5 í u
( ,v ³ 0). (1) Û u v x í Þ v 5 = .
ïv = 2x + y î îu + v = 5 2
Thay vào (2) ta được: x = 2y -1. æ 11 77 ö - Nghiệm: ç10 - 77; ÷ . è 2 ø
ìïy x2 - y2 =12 (1)
Bài 41. Giải hệ phương trình sau: í
ïx + y + x2 - y2 = 12 (2) î ì u2 + v2 ì ì 2 ï 2 2 u ï ïx = ï
· Đặt u = x - y í Þ x - y = í 2v v Þ í ï 2 2
îv = x + y ï ï v - u 6(v - u)
îx + y = v y = = ïî 2v v ì6(v - u) ï u . = 12 éu = 3,v = 9 éx = 5, y = 4 HPT Þ í v Û ê Þ ê . ï ëu = 4,v = 8 ëx = 5, y = 3 îu + v = 12
Nghiệm: (5;4),(5;3) .
ìï2(x + y) = 3(3 x2y 3 + xy2 )
Bài 42. Giải hệ phương trình sau: í 3 ï x 3 + y = 6 î ìïu 3 = x ì 3 3 2 2 ìu + v = 6 éu = 2,v = 4 · Đặt 2( + ) = 3( + ) í . HPT Û u v u v uv í Û í Û . ïv 3 = y ê î îu + v = 6 îuv = 8 ëu = 4,v = 2
Nghiệm: (8;64),(64;8) . Trang 39
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì4 3 5 3 ï + = 35
Bài 43. Giải hệ phương trình sau: x y í 4 ï x 5 + y = 5 î ìïu 4 = x ì 3 3 éu = 2,v = 3 · Đặt + = 35 í . HPT Û u v í Û . ïv 5 = y ê î îu + v = 5 ëu = 3,v = 2
Nghiệm: (16;243),(81;32) . ì3 3 -1 + -1 = 3
Bài 44. Giải hệ phương trình sau: x y í îx + y = 11 ìïu 3 = x -1 ìu + v = 3 · Đặt í . HPT Û í ïv 3 = y -1 3 3 î îu + v = 9
Nghiệm: (2;9),(9;2) . ì + + 2 + + 2 = 7
Bài 45. Giải hệ phương trình sau: x y x y 3 í î x + 2y = 23
ìïu = x + y ìu + v = 7 · Đặt í u
( ,v ³ 0) . HPT Û í
ïv = 2x + y + 2 2 2 î îu + v = 25
Nghiệm: (5;4),(-9;25) .
Bài tương tự: ì ï x 1
+ + x + y - 3 = 3 ï a) y í . Nghiệm (3;1),(5; 1
- ),(4 + 10;3 - 10),(4 - 10;3 + 10) ï x + y 1 2 + = 8 ïî y ìïx + y -1 = 6
Bài 46. Giải hệ phương trình sau: í
ï x2 + 2x + y + 2x y -1 + 2 y -1 = 29 î
ìïx +1+ y -1 = 7 ìu = x +1 · HPT Û í . Đặt í (v ³ 0) ï x 2 ( 1
+ ) + y -1 + 2 y -1(x +1) = 29 î v = y -1 î ìïu + v = 7 éu = 3,v = 4 éx = 2,y = 17 HPT Û í Û Þ ï ê ê
î u2 + v2 + uv 2 = 29 ëu = 4,v = 3 ëx = 3, y = 10
Nghiệm: (2;17),(3;10) . (
ìï 3- x) 2 - x - 2y 2y -1 = 0 (1)
Bài 47. Giải hệ phương trình sau: í ï2 2 - x - (2y 3 -1) = 1 (2) î ìïu = 2 - x ìï u2 ( +1 u ) - (v2 +1)v = 0 (3) · Đặt í u
( ,v ³ 0). HPT Û í ïv = 2y -1 î ïî2u - v3 = 1 (4)
Ta có (3) Û u - v u2 + uv + v2 ( )(
+1) = 0 Û u = v éu = 1 éx = 1 (y = 1)
Thay vào (4) ta được: u3 - u 2 +1 = 0 Û ê Þ ê êu 5 -1 5 +1 5 - 5 = êx = (y = ) ë 2 ë 2 4 æ 5 1 5 5 ö + - Nghiệm: (1;1),ç ; ÷ . è 2 4 ø Trang 40
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ìï x + y = 5
Bài 48. Giải hệ phương trình sau: í
ï x + 5 + y + 7 = 7 î (ì
(ì x +5 + x)+( y+7 + y) =12
ï x + 5 + x ) + ( y + 7 + y ) = 12 ï · HPT Û (í Û í 5 7 ï x + 5 - x ) + + = 2 î ( y +7 - y) = 2 ï x + 5 + x y + 7 + y î
ìïu = x + 5 + x ìu + v = 12 ï Đặt í u
( ,v ³ 0). HPT Û í5 7
ïv = y + 7 + y î + = 2 ïîu v Nghiệm:
Bài tương tự:
ìï x +1 + y -1 = 4 ìï 2x + 2y = 4 a) í
. Nghiệm (3;5) . b) í
. Nghiệm (2;2)
ï x + 6 + y + 4 = 6 î
ï 2x + 5 + 2y + 5 = 6 î ìï 3x + 3y = 6 ìï x + y = 6 c) í
. Nghiệm (3;3) . d) í
. Nghiệm (9;9)
ï 3x +16 + 3y +16 = 10 î
ï x + 7 + y + 7 = 8 î
Bài 49. Giải hệ phương trình sau: · Trang 41
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá
Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức.
ìx3 = 9z2 - 27(z -1) (a) ï
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
íy3 = 9x2 - 27(x -1) (b) ï
îz3 = 9y2 - 27(y -1) (c)
· Cộng (a), (b), (c) ta được: x 3 - + y 3 - + z 3 ( 3) ( 3) ( - 3) = 0 (d)
+ Nếu x > 3 thì từ (b) suy ra: 3
y = 9x(x - 3) + 27 > 27 Þ y > 3 từ (c) suy ra: 3
z = 9y( y - 3) + 27 > 27 Þ z > 3 Þ (d) không thoả mãn
+ Tương tự, nếu x < 3 thì từ (a) Þ 0 < z < 3 Þ 0 < y <3 Þ (d) không thoả mãn
+ Nếu x = 3 thì từ (b) Þ y = 3; thay vào (c) Þ z = 3.
Vậy: x = y = z = 3 .
Bài tương tự:
ìx3 =12z2 - 48z + 64 ï
a) íy3 = 12x2 - 48x + 64 . Nghiệm: x = y = z = 4 . ï
îz3 = 12y2 - 48y + 64
ìx3 = 6z2 -12z + 8 ï
b) íy3 = 6x2 -12x + 8 . Nghiệm: x = y = z = 2 . ï
îz3 = 6y2 -12y + 8 ìx - y =1 ï
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: íy - z = 1 ï îz - x = 1
· Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0.
Không mất tính tổng quát, giả sử x ³ y Þ y +1 ³ z +1 Þ y ³ z .
Ta lại có: z = x +1 ³ y +1 = x Þ x ³ y ³ z ³ x Þ x = y = z. ( + )2 5 1 ( + )2 5 1
Þ x - x -1 = 0 Û x = . Nghiệm x = y = z = . 4 4
Bài tương tự:
ìïx2 + x = 2y æ 3 5 3 5 ö - - a) í
. Nghiệm (0;0),(1;1),ç ; ÷ .
ïy2 + y = 2x î è 2 2 ø ì 2x2 ï = y ï x2 +1 ïï 2y2
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: í = z ï y2 +1 ï 2z2 ï = x ïîz2 +1
· Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0 Þ Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0)
· Nếu x ¹ 0 thì y > 0, z > 0 Þ x > 0. 2x2 2x2 Ta có: y = £
= x . Tương tự ta suy ra được: y £ x £ z £ y Þ x = y = z x2 +1 2x Trang 42
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn 2x2 Þ
= x Þ x = 1. Nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1). x2 +1
Bài tương tự: 3
ì 6x2y - 60x2 + 25y = 0 ï æ 5 5 5 ö a) 3
í 6y2z - 60y2 + 2 z
5 = 0 . Nghiệm (0;0;0),ç ; ; . è 6 6 6 ÷ 3 ï ø
î 6z2x - 60z2 + 25x = 0
ìïy = -x3 + 3x + 4
Bài 4. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx = 2y3 - 6y - 2
ìïy = -x3 + 3x + 4 ìïy - 2 = -(x 2 +1) (x - 2) (1) · í Û í
ïîx = 2y3 - 6y - 2 ïîx - 2 = 2(y 2 +1) (y - 2) (2)
Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) là một nghiệm của hệ.
Nếu x > 2 thì từ (1) Þ y < 2. Nhưng từ (2) Þ x – 2 và y – 2 cùng dấu Þ Mâu thuẫn.
Nếu x < 2 thì cũng suy ra điều mâu thuẫn tương tự.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2.
ìï2x2 + y3 - 4x + 3 = 0
Bài 5. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx2y2 - 2x + y2 = 0 ì2(x 2 -1) + (y3 +1) = 0 (1) ï · HPT Û í 2 2x y = (2) ïî 1+ x2
Từ (1) Þ y3 +1 £ 0 Þ y £ -1 (3) 2x
Từ (2) Þ x ³ 0 . Ta có
£ 1 Þ y2 £ 1 Þ 1 - £ y £ 1 (4) 1+ x2 Từ (3), (4) Þ y = 1 - Þ x = 1. Nghiệm: (1; 1) - .
ìïx2y2 - 2x + y2 = 0
Bài 6. Giải hệ phương trình sau: í
ïî2x3 + 3x2 + 6y -12x +13 = 0 2 2x
· Ta có: (1) Û y = Þ x ³ y2 0, £ 1 x2 +1 ìx = 1 (2) Û x 2
( -1) (2x + 7) + 6(y +1) = 0 Û í (vì x 2
( -1) (2x + 7),(y +1) không âm) îy = 1 - Nghiệm: (1; 1) - .
ìï xy -10 = 20 - x2 (1)
Bài 7. Giải hệ phương trình sau: í ïîxy = 5+ y2 (2) 5 + y 2 5 · Từ (2) Þ x = = + y . y y 5
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: x =
+ y ³ 2 5 Þ x2 ³ 20 . Mà theo (1) thì x2 £ 20 . y éx = 2 5 (y = 5)
Do đó x2 = 20 Û ê ëx = -2 5 (y = - 5) Trang 43
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ì 2xy x + = x2 + y ï 3 ï x2 - 2x + 9
Bài 8. Giải hệ phương trình sau: í 2xy ïy + = y2 + x ï 3 y2 - 2y + 9 î 2xy 2xy
· Cộng hai phương trình, vế theo vế, ta được: +
= x2 + y2 (*) 3 x2 -2x 3 + 9 y2 - 2y + 9
Ta có: 3 x2 - x 3 2 + 9 = (x 2
-1) + 8 ³ 2 , 3 y2 - y 3 2 + 9 = (y 2 -1) + 8 ³ 2 2xy 2xy éx = y = 1 Þ VT (*) £ +
= 2xy £ 2 xy £ x2 + y2 . Dấu "=" xảy ra Û . 2 2 êëx = y = 0
Nghiệm: (0; 0), (1; 1) . ìï x 4
+ 32 - x - y2 + 3 = 0 (1)
Bài 9. Giải hệ phương trình sau: í 4
ïî x + 32 - x + 6y - 24 = 0 (2) ì0 £ x £ 32 · Điều kiện: í .
î 3 £ y £ 4; y £ - 3
Lấy (1) + (2) ta được: x + - x 4 + x 4 32
+ 32 - x = y2 - 6y + 21 (*) Mà: + y2 - y + = y 2 6 21 ( - 3) +12 ³ 12
+ x + 32 - x £ (1+1)(x + 32 - x) = 8 ; 4 x 4
+ 32 - x £ (1+1)( x + 32 - x ) £ 4 Þ x + - x 4 + x 4 32 + 32 - x £ 12 ì x = 32 - x ï ìx = 16 Do đó (*) Û 4 í x 4 = 32 - x Û í . ï îy = 3 îy - 3 = 0
Nghiệm: (16;3) . x y ì2 + 4 = 32 (1)
Bài 10. Giải hệ phương trình sau: í îxy = 8 (2)
· Ta có x, y phải là các số dương. Vì nếu x, y < 0 thì x y 2 + 4 < 2 < 32 . Khi đó ta có: x y x y 2+2y 2 2xy 2 + 4 ³ 2 2 .4 = 2 2 ³ 2 2 = 32
Do đó: (1) Û x = 2y . Thay vào (2), ta được: x = 4, y = 2 .
Nghiệm: (4;2) . ì 3 2 2 ï + = 64 - (1)
Bài 11. Giải hệ phương trình sau: y x x y í ( ïî x2 3 + 2) = y + 6 (2)
· Từ (2): y + = x2 3
6 ( + 2) ³ 8 Þ y ³ 2 Þ y3 + x2 ³ 8 ìïy3 + x2 = 8 ìx = 0 Mặt khác - x2 64
y £ 8 . Do đó (1) Û í Û í ï 64 - x2y = 8 îy î = 2
Nghiệm: (0;2) .
ìï x +1 + x + y = 3 (1)
Bài 12. Giải hệ phương trình sau: í ï x + (y 2 - 4) + 5 = 5 (2) î Trang 44
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ìx = 0 · Ta có: x ³ y 2
0, ( - 4) + 5 ³ 5 . Do đó: (2) Û í (thoả (1)) îy = 4
Nghiệm: (0;4) . 3
ìï x 3 + y + x2 = 4 (1)
Bài 13. Giải hệ phương trình sau: í
ï x2 -1 + x + y2 = 1 (2) î ìïx2 -1³ 0 3 ì x = 1 · Điều kiện: í
. Từ đó x + y + x2 3
³ 4. Dó đó (1) Û í ïîx + y2 ³ 0 îy = 0
Nghiệm: (1;0) . ìï - y 2
3 ( +1) = x - y (1)
Bài 14. Giải hệ phương trình sau: í
ïx + 8y = x - y - 9 (2) î
· Ta có: (1) Û x - y - = - y 2 3
( +1) £ 0 Þ x - y £ 3 Þ 0 £ x - y £ 9 (a)
Từ (2) ta có điều kiện: x - y - 9 ³ 0 Þ x - y ³ 9 (b)
Từ (a) và (b) Þ x - y = 9
Nghiệm: (8;-1) .
Bài 15. Giải hệ phương trình sau: · Trang 45
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
Vấn đề 4: Phương pháp hàm số
Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đó, với mọi
a, b Î (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b.
ìx = f (y) ï
Chú ý: Các hệ phương trình hoán vị vòng quanh íy = f (z) , thường sử dụng tính đơn
ïîz = f (x)
điệu của hàm số để chứng minh x = y = z.
– Xét tính đơn điệu hàm số f(t).
– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra.
– Từ đó suy ra x = y = z. Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z.
ìïx3 - 5x = y3 - 5y (1)
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: í ïîx8 + y4 = 1 (2)
· Từ (2) Þ x8 £ y4 1,
£ 1 Þ x £ 1, y £ 1.
Xét hàm số f t = t3 ( ) - t
5 , t Î[ -1;1] Þ f ¢ t = t2 ( ) 3 - 5 < 0, t
" Î[ -1;1] Þ f(t) nghịch biến trên [–1; 1].
Do đó: Từ (1) Þ f(x) = f(y) Û x = y. - +
Thay vào (2) ta được: x8 + x4 -1 = 0 Û x 4 1 5 = ± = y 2
ìïx3 -3x = y3 -3y
Bài tương tự: í ïîx6 + y6 = 1
ìïx3 + x - 2 = y3 + 3y2 + 4y (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: í
ïîy3 - x2y + 3 = 0 (2)
· Ta có: (1) Û x3 + x = y 3
( +1) + y +1 (3). Xét hàm số f t t3
( ) = + t Þ f t() đồng biến trên R. Do đó (3) Û x = y +1. éy = 1
Thay vào (2) ta được: y3 - y 3
( +1) y + 3 = 0 Û ê . êy 3 = - ë 2 æ 1 3 ö Nghiệm: (2;1),ç - ;- . 2 2 ÷ è ø
ì x4 y4 æ x2 y2 ö x y ï + - ç + ÷ + + = -2 (1)
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
y4 x4 çè y2 x2 ÷ í y x ø ï
îx2 + y6 - 8x + 6 = 0 (2) ìx ¹ 0 x y x2 y2 x4 y4 · Điều kiện: í . Đặt + = t Þ + = t2 - 2 , +
= t4 - 4t2 + 2 îy ¹ 0 y x y2 x2 y4 x4 x2 y2 Mặt khác, ta có: +
³ 2 Þ t2 ³ 4 Þ t ³ 2 y2 x2
Xét vế trái của (1), ta có: g t = t4 - t2 ( )
5 + t + 4 ( t ³ 2) Þ g¢ t = t t2 ( ) 2 (2 - 5) +1 Trang 46
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
+ Với t ³ 2 Þ g¢ t() > 0
+ Với t £ -2 Þ g¢ t ( ) < 0
Dựa vào BBT, ta có g(t) = -2 Û t = 2 - Û x = -y
Thay vào (2) ta được: x6 + x2 - 8x + 6 = 0 Û x 2 éëx2 x 2 x 2 ( 1) ( 1) 2( 1) 4ù - + + + + û = 0 Û x = 1Þ y = 1 - . Nghiệm: (1; 1) - . ì ï x2 - y2 7 (2 1)(2 -1) = xy
Bài 4. Giải hệ phương trình sau: í 2
ïîx2 + y2 + xy - 7x - 6y +14 = 0
· Dễ thấy xy = 0 không thoả HPT. ìæ ïç x 1 öæ - ÷ y 1 ö 7 2 2 - = (1)
Với xy ¹ 0 ta có: HPT Û í x çè y ÷ è ø ø 2 ï
îx2 + y2 + xy - 7x - 6y +14 = 0 (2) 7
+ Điều kiện để (2) (ẩn x) có nghiệm là: D = (y 2
- 7) - 4y2 + 24y - 56 ³ 0 Û 1 £ y 1 £ 310
+ Điều kiện để (2) (ẩn y) có nghiệm là: D = (x 2
- 6) - 4x2 + 28x - 56 ³ 0 Û 2 £ x 2 £ 3 1
Xét hàm số f (t) = t
2 - Þ f t() đồng biến trên (0;+¥) Þ f x f y ³ f f 7 ( ). ( ) (2). (1) = t 2 ìx = 2 Do đó: (1) Û í . îy = 1
Nghiệm: (2;1) . ì x4 -16 y4 -1 ï = (1)
Bài 5. Giải hệ phương trình sau: í 8x y ï
îx2 - 2xy + y2 = 8 (2) ìx ¹ 0 x3 2 1 · Điều kiện: í . (1) Û - = y3 - (*) îy ¹ 0 8 x y 1
Xét hàm số f t = t3 1 ( ) -
t( ¹ 0) Þ f ¢ t() = t2 3 + > 0, t
" ¹ 0 Þ f t() đồng biến trên các t t2 khoảng (- ;
¥ 0),(0;+¥) . Do đó: x + Trên ( ;
-¥ 0) : (*) Û = y . Thay vào (2), ta được: y2 = 8 Û y = 2
- 2 Þ x = -4 2 2x
+ Trên (0;+¥) : (*) Û = y . Thay vào (2), ta được: y2 = 8 Û y = 2 2 Þ x = 4 2 2 Nghiệm: (-4 2; 2 - 2 ),(4 2;2 2 ) .
ìïx3(3y + 55) = 64
Bài 6. Giải hệ phương trình sau: í
ïîxy(y2 + 3y + 3) = 12 + x 51 3 ìï y + 55 = t3 4
· Dễ thấy x = 0 không thoả HPT. Với x ¹ 0 , HPT Û í t( = )
ïîy3 + 3y2 + 3y = t 3 + 51 x
Cộng 2 phương trình, vế theo vế, ta được: y 3 + + y + + = t3 ( 1) 3( 1) 51 + t 3 + 51 (*)
Xét hàm số f t = t3 ( ) + t
3 + 51 Þ f t() đồng biến trên R. Do đó: (*) Û y +1 = t . Trang 47
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
Từ đó ta có: t3 -3(y -1) - 55 = 0 Û t - t2
( 4)( + 4t +13) = 0 Û t = 4
Nghiệm: (1;3) .
ìïx3(2 + 3y) =1 (1)
Bài 7. Giải hệ phương trình sau: í
ïîx(y3 - 2) = 3 (2) ì + y 1 2 3 = (3) ïï 3
· Dễ thấy x = 0 không thoả HPT. Với x ¹ 0 ta có: HPT Û x í ïy3 3 = + 2 (4) ïî x 1 3
Lấy (3) + (4) ta được: y3 + 3y + 2 = + + 2 (*) x3 x 1
Xét hàm số f t = t3 ( ) + t
3 + 2 Þ f t() đồng biến. Do đó (*) Û y = x æ 1 ö Nghiệm: ( 1 - ; 1 - ),ç ;2 . 2 ÷ è ø
Bài tương tự:
ìïx3(2 + 3y) = 8 a) í
. Nghiệm (1;2),(-2;-1) .
ïîx(y3 - 2) = 6 (
ìï 1+ x)(1+ x2)(1+ x4) =1+ y7
Bài 8. Giải hệ phương trình sau: í (
ïî 1+ y)(1+ y2)(1+ y4) = 1+ x7
· HPT Þ + x + x2 + x4 + x7 = + y + y2 + y4 + y7 (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) (*)
Xét hàm số f t = + t + t2 + t4 + t7 ( ) (1 )(1 )(1 ) .
Ta có: f ¢ t = t6 + t4 t 2 + + t2 t 2 + + t 2 ( ) 11 3 ( 1) 2 ( 1) ( +1) > 0, t
" Þ f t() đồng biến trên R. éx = 0
Do đó: (*) Û x = y . HPT Þ + x + x2 + x4 = + x7 (1 )(1 )(1 ) 1 Û ê . ëx = 1 - Nghiệm: (0;0),( 1 - ; 1) - .
ìïx3 - y3 + 3y2 -3x = 2
Bài 9. Giải hệ phương trình sau: í
ïx2 + 1- x2 - 3 2y - y2 = 2 - î 1 ìï - x2 ³ 0 ì-1 £ x £ 1 · Điều kiện: í Û í (*) ïî2y - y2 ³ 0 î0 £ y £ 2 ìït3 - t2 3 = y3 - 3y2 (1)
Đặt t = x +1, 0 £ t £ 2 . HPT Û í
ïx2 + 1- x2 - 3 2y - y2 = -2 (2) î éa = 0
Xét hàm số f a = a3 - a2 ( )
3 , 0 £ a £ 2 . f ¢ a = a2
( ) 3 - 6a , f (¢a) = 0 Û ê . ëa = 2
Dựa vào BBT Þ f (a) nghịch biến trên [0;2] .
Do đó (1) Û f (t) = f (y) Û t = y Û x +1 = y .
Nghiệm: (0;1) . ì 2 y
ïx + x - 2x 1 + 2 = 3 - +1
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau: í 2 x
ïy + y - 2y 1 + 2 = 3 - +1 î Trang 48
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ìu = x -1 ì 2 v ïu + u +1 = 3 · Đặt í . HPT Û í îv = y -1 2 u ïîv + v +1 = 3 Þ u 2 v + u + u + = + v + v2 3 1 3 +1 Û f u
( ) = f (v) với t
f t = + t + t2 ( ) 3 +1 . 2 + +1 Ta có: t t t
f (¢t) = 3 ln3 +
> 0 Þ f(t) đồng biến. t2 +1 Þ u = v Þ 2 u
u + u +1 = 3 Û u - log (u + u2 +1) 3 = 0 (2) Xét hàm số: g u
( ) = u - log (u + u2 +1) ¢ 3
Þ g (u) > 0 Þ g(u) đồng biến.
Mà g(0) = 0 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của (2). Nghiệm: (1; 1).
(ìïx + + x2 )(y+ + y2 1 1 )=1 (1)
Bài 11. Giải hệ phương trình sau: í
ïx 6x - 2xy +1 = 4xy + 6x +1 (2) î t t2 +1 + t
· Xét hàm số f t = t + t2 ( )
+1 . Ta có: f ¢ t ( ) = 1+ = ³ 0, t " t2 +1 t2 +1
Þ f t() đồng biến trên R.
(1) Û x + x2 + = -y + y2 1
+1 Û f (x) = f (-y) Û x = -y . æ 2 x 2 ö 25 (2) Û x
x + x2 + = - x2 6 2 1
4 + 6x +1 Û ç 2x + 6x +1 - ÷ = x2 è 2 ø 4 é éx = 1 (y = 1) -
2x2 + 6x +1 = 3x Û ê Û ê 3 - 11 3 - + 11 ê ê
ë 2x2 + 6x +1 = 2 - x x = (y = ) ë 2 2 æ 3 11 3 11 ö - - + Nghiệm: (1;-1),ç ; ÷ . è 2 2 ø
ìï2x3 - 4x2 + 3x -1= 2x3(2 - y) 3- 2y (1)
Bài 12. Giải hệ phương trình sau: í ï x 3
+ 2 = 14 - x 3 - 2y +1 (2) î 3 æ 1 ö æ 1 ö
· Dễ thấy x ¹ 0 . (1) Û ç1- ÷ + ç1- ÷ = (3- 2y 3 ) + 3 - 2y (*) è x ø è x ø Xét hàm số f t t3
( ) = + t . Ta có f ¢ t = t2 ( ) 3 +1 > 0, t
" Þ f t() đồng biến trên R. æ 1 ö 1
Do đó (*) Û f ç1- ÷ = f ( 3 - 2y ) Û 1- = 3 - 2y . Thay vào (2), ta được: è x ø x x - 7 x - 7 ( x + - ) - ( 3 2 3
15 - x - 2) = 0 Û + = 0
x + 2 + 3 3 (15- x 2 3 ) + 2 15 - x + 4 Û x = y 111 7 ( = ) 98 æ 111ö Nghiệm: ç 7; . 98 ÷ è ø
Bài 13. Giải hệ phương trình sau: Trang 49
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
ìïlog (2x +1)- log (x - y) = 4x2 + 4x + 2 - (x - y 2) +1 -3x2 + y2 - 4x -2xy -1 (1) 3 3 í
ïlog (2x) + 4x2 - 4x2 î 3 +1 = 1- 2 (2) · (1)Û (2x 2 +1) +1 - (2x 2
+1) - log (2x +1) = (x - y 2 ) +1 - (x - y 2 ) - log (x - y 3 3 ) (*) t æ 1 ö
Xét hàm số: f (t) = t2 +1 - t2 - log t t ¢ 3 ( > 0) Þ f t ( ) = - ç t 2 + ÷ £ 0 è t t2 ln3 1 ø +
Þ f t() nghịch biến. Do đó (*) Û f (2x +1) = f (x - y) Û 2x +1 = x - y (1)
Với phương trình (2), xét hàm số: f (x) = log (2x) + 4x2 - 4x2 +1 (x 3 > 0) æ 1 ö 1
Þ f (¢x) = 4x 2 - + > 0 ç ÷ ( ) ç ÷
Þ f x đồng biến. x è x2 ln3 4 +1 ø æ ö Mà f 1 ç ÷ = 1- 2 nên x 1 = Þ y 3 = - . è 2 ø 2 2 æ 1 3 ö Nghiệm: ç ;- . 2 2 ÷ è ø
ìï x2 + 2x + 22 - y = y2 + 2y +1 (1)
Bài 14. Giải hệ phương trình sau: í
ï y2 + 2y + 22 - x = x2 + 2x +1 (2) î ìx ³ 0 · Điều kiện: í
. Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 không thoả HPT, nên x > 0, y > 0 . îy ³ 0
Lấy (1) - (2) ta được: x2 + x +
+ x + x2 + x + = y2 + y + + y + y2 2 22 2 1 2 22 + 2y +1 (a)
Phương trình (a) có dạng: f (x) = f (y) với f t = t2 + t + + t + t2 ( ) 2 22
+ 2t +1,(t > 0) t +1 1 Ta có: f ¢ t ( ) = + + t 2 + 2 > 0, t
" > 0 Þ f t() đồng biến t2 + t 2 + 22 2 t
Do đó: (a) Û x = y . Thay vào (1) ta được: x2 + x + - x2 2 1
+ 2x + 22 + x = 0 (b)
Phương trình (b) có dạng: g(x) = g(1) với g t = t2 + t + - t2 ( ) 2 1 + t 2 + 22 + t 1 t +1 t +1 Ta có: g¢ t ( ) = t 2 + 2 + - > 2 -
> 0 Þ g(t) đồng biến 2 t t2 + t 2 + 22 t2 + t 2 + 22
Do đó: (b) Û x = 1 Þ y = 1
Nghiệm: (1;1) . ì 2 2 2 3 ï - 2 - 5 + 2 +1 = 2( +1) + 2 + 2
Bài 15. Giải hệ phương trình sau: x x x x y y y í
ïîx2 + 2y2 = 2x - 4y + 3 ì 2 2 2 ï
· HPT Û 3x - 2x - 5 + 2x x +1 = 2(y +1) y + 2y + 2 (1) í ïîx2 - 2x = 2 - y2 - 4y + 3 (2)
Lấy (1) - (2) ta được: x2 + x x2 + = y 2 + + y + y 2 1 ( 1) ( 1) ( +1) +1 (3) 2 t2
Xét hàm số: f t = t2 + t t2 ( )
+1 . Ta có: f ¢ t
( ) = 2t + t +1 +
> 2t + 2 t ³ 0, t " t2 +1
Þ f t() đồng biến trên R. Do đó (3) Û x = y +1. Trang 50
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn æ 8 5 ö Nghiệm: ( 1 - ; 2 - ),ç ; . 3 3 ÷ è ø
ìï x -1 - y = 8 - x2 (1)
Bài 16. Giải hệ phương trình sau: í ( ïî x 4 -1) = y (2) ìx ³ 1 · Điều kiện: í . îy ³ 0
Thế (2) vào (1) ta được: x - - x 2 - = - x3 1 ( 1) 8
Û x - = -x3 + x2 1 - 2x + 9 (3)
+ Xét hàm số f x = -x3 + x2 ( )
- 2x + 9, x ³ 1. Ta có: f ¢ x = - x2 ( )
3 + 2x - 2 < 0, x " ³ 1
Þ f (x) nghịch biến khi x ³ 1
+ Xét hàm số g(x) = x -1 Þ g(x) đồng biến khi x ³ 1
Mặt khác, f (2) = g(2) nên x = 2 là nghiệm duy nhất của (3)
Nghiệm: (2;1) .
ìïx5 + xy4 = y10 + y6 (1)
Bài 17. Giải hệ phương trình sau: í
ï 4x + 5 + y2 + 8 = 6 (2) î æ x 5 ö x
· Dễ thấy y ¹ 0 . Khi đó (1) Û + = y5 + y ç (*) y ÷ è ø y Xét hàm số f t t5
( ) = + t Þ f ¢ t = t4 ( ) 5 +1 > 0, t
" Þ f t() đồng biến trên R x
Do đó (*) Û = y Û x y2 =
. Thay vào (2) ta được: 4x + 5 + x + 8 = 6 Û x = 1 y
Nghiệm: (1;1),(1;-1) . (
ìï 3- x) 2 - x - 2y 2y -1 = 0 (1)
Bài 18. Giải hệ phương trình sau: í ï2 2 - x - (2y 3 -1) = 1 (2) î · Ta có: (1) Û ( - x 2 + ) - x = ( y 2 (2 ) 1 2 (2 -1) + ) 1 2y -1 (*)
Xét hàm số f t = t2 ( ) ( + t
1) Þ f t() đồng biến.
Do đó (*) Û f ( 2 - x ) = f ( 2y -1) Û 2 - x = 2y -1 Û x = 3 - 2y æ 5 1 5 5 ö + - Nghiệm: (1;1),ç ; ÷ . è 2 4 ø ìï x 3
2(2 +1) + 2x +1 = (2y - 3) y - 2 (1)
Bài 19. Giải hệ phương trình sau: í
ï 4x + 2 + 2y + 4 = 6 (2) î · (1) Û x 3 + + x + = y 3 2(2 1) 2
1 2 ( - 2) + y - 2 (*)
Xét hàm số f t = t3
( ) 2 + t Þ f t() đồng biến.
Do đó (*) Û 2x +1 = y - 2 Û y = x2 4 + 4x + 3 æ 1 ö
Nghiệm: ç ;6 . 2 ÷ è ø
ìïy3 + y = x3 + 3x2 + 4x + 2 (1)
Bài 20. Giải hệ phương trình sau: í
ï 1- x2 - y = 2 - y -1 (2) î Trang 51
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
· (1) Û y3 + y = x 3
( +1) + x +1 (*). Xét hàm số f t t3
( ) = + t Þ f t() đồng biến.
Do đó (*) Û f (y) = f (x +1) Û y = x +1
Nghiệm: (0;1) .
ìï2y3 + y + 2x 1- x = 3 1- x (1)
Bài 21. Giải hệ phương trình sau: í
ï 2y2 +1 + y = 4 + x + 4 (2) î
· Điều kiện: -4 £ x £ 1. Ta có: (1) Û y3
2 + y = 2(1- x) 1- x + 1- x (3)
Xét hàm số f t = t3
( ) 2 + t Þ f t() đồng biến trên R. Do đó (3) Û y = 1- x .
Thay vào (2) ta được: 3 - 2x + 1- x = 4 + x + 4 (4)
Ta có: VT của (4) là hàm số nghịch biến trên ( 4
- ;1), VP của (4) là hàm số đồng biến trên ( 4
- ;1), nên (4) có nghiệm duy nhất x = 3 - . Nghiệm: ( 3 - ;2) .
ìx(4x2 +1) - y 2y -1 = 0 (1) ï
Bài 22. Giải hệ phương trình sau: í 2 x ï 2
- x + xy + 3x - + 2 = 0 (2) î 2
· Điều kiện: x ³ - y 1 4, ³ . 2
Ta có (1) Û x x2 + - y y - = Û x x2 (4 1) 2 1 0
2 (4 +1) = 2y 2y -1 = 0 Û x 3 + x = y 3 (2 ) 2
( 2 -1) + 2y -1 (3) Xét hàm số f t t3
( ) = + t Þ f t() đồng biến trên ¡ , từ đó Û x = y - Û x2 (3) 2 2 1
4 +1 = 2y (x ³ 0)
Thay vào (2) ta được:
- x2 + x x2 + + x -
x + = Û x3 - x2 4 (4 1) 6 2 8 0 4
4 + 7x - 2x + 8 = 0 (4)
Xét hàm số g x = - x2 + x3 ( ) 4
4 + 7x - 2x + 8 có 2 1 2 2 5 2x
g¢ x = x - x + - = x + x + 8 -1 ( ) 12 8 7 4 2(2 -1) + > 0, x " ³ 0 2x + 8 2x + 8 æ ö
nên g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0;+¥) . Mà g x = g 1 ( ) ç nên (4) Û x 1 = . 2 ÷ è ø 2 æ 1 ö
Nghiệm: ç ;1 . 2 ÷ è ø
ìx - y = cos x - cos y
Bài 23. Giải hệ phương trình sau: í
îx2y - 3y -18 = 0
ìx - cos x = y - cos y (1) · HPT Û í .
îx2y - 3y -18 = 0 (2)
Xét hàm số f (t) = t - cost Þ f ¢ t
( ) = 1+ sin t ³ 0, t
" Þ f t() đồng biến trên R.
Do đó (1) Û f (x) = f (y) Û x = y . Thay vào (2) ta được: x3 - 3x -18 = 0 Û x = 3 .
Nghiệm: (3;3) .
Bài 24. Giải hệ phương trình sau: · Trang 52
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
Vấn đề 5: Hệ phương trình hoán vị vòng quanh
ìx = f (y) ï
Để giải các hệ phương trình hoán vị vòng quanh íy = f (z) , thường sử dụng tính đơn
ïîz = f (x)
điệu của hàm số để chứng minh x = y = z.
– Xét tính đơn điệu hàm số f(t).
– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra.
– Từ đó suy ra x = y = z. Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z. ìx + y = 1 (1) ï
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: íy + z = 2 (2) ïîz + x = 3 (3)
· Cộng 3 phương trình, vế theo vế, ta được:
x + y + z = 3 (4)
Từ (4) và (1) Þ z = 2; từ (4) và (2) Þ x = 1; từ (4) và (3) Þ y = 0.
Thử lại Þ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2).
ì2xy = x + y +1 ï
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
í2yz = y + z + 7
ïî2zx = z + x + 2
ì2xy = x + y +1 ï (
ì 2x -1)(2y -1) = 3 ï
· í2yz = y + z + 7 Û (
í 2y -1)(2z -1) = 15 (*)
ïî2zx = z + x + 2 (
ïî 2z -1)(2x -1) = 5
Nhân các phương trình trên, vế theo vế, ta được:
é(2x -1)(2y -1)(2z -1) = 15 (a) x 2 - y 2 - z 2 (2 1) (2 1) (2 -1) = 225 Û ê
ë(2x -1)(2y -1)(2z -1) = -15 (b)
Kết hợp với (*) ta được: ì2x -1 = 1 ï ìx = 1 ï
+ Trường hợp (a) Þ í2y -1 = 3 Û íy = 2 ïî2z -1= 5 ïîz = 3 ì2x -1 = -1 ï ìx = 0 ï
+ Trường hợp (b) Þ í2y -1 = -3 Û íy = 1 - ïî2z -1= 5 - ïîz = -2
Thử lại Þ Nghiệm (x; y; z): (1;2;3), (0;-1; 2) - .
Bài tương tự:
ìx + xy + y = 1 ï (
ì x +1)(y +1) = 2 ï
a) íy + yz + z = 3 Û (
í y +1)(z +1) = 4 . Nghiệm: (1;0;3),(-3; 2 - ; 5) - .
ïîz + zx + x = 7 (
ïî z +1)(x +1) = 8 ( ì x 2 -1) = 2y ï
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: ( í y 2 -1) = 2z (I) ( ï î z 2 -1) = 2x
· Từ (I) Þ x,y,z ³ 0 . 1
Xét hàm số f (t) = (t 2
-1) Þ f t() đồng biến trên (1;+¥) , nghịch biến trên [0;1]. 2
ì f (x) = y ï
Khi đó HPT Û í f (y) = z .
ïî f (z) = x Trang 53
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
Từ hệ (I) ta suy ra được: + nếu x < 1 thì y < 1,z < 1
+ nếu x > 1 thì y > 1,z > 1
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f t
( ) ta chứng minh được x = y = z . Khi đó: x 2
( -1) = 2x Û x = 2 ± 3 .
Nghiệm: (2 - 3;2 - 3;2 - 3),(2 + 3;2 + 3;2 + 3) .
Bài tương tự: ìx2 = y +1 ï æ1 5 1 5 1 5 ö æ1 5 1 5 1 5 ö - - - + + +
a) íy2 = z +1 . Nghiệm: ç ; ; ÷,ç ; ; ÷ . ï è 2 2 2 ø è 2 2 2 ø îz2 = x +1
ìx3 + 3x2 + 2x - 5 = y ï
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:
íy3 + 3y2 + 2y - 5 = z ï
îz3 + 3z2 + 2z - 5 = x
· Giả sử x = max x
{ ,y,z}. Xét 2 trường hợp:
a) x ³ y ³ z .
ìïx3 + 3x2 + 2x - 5 £ x ( ìï x -1)éë(x 2 + 2) +1ùû £ 0 ìx £ 1 Từ HPT ta có: í Þ í Þ í
ïîz3 + 3z2 + 2z - 5 ³ z ( ï z 1)é î ë(z 2 2) 1ù - + + û ³ 0 îz ³ 1
b) x ³ z ³ y .
ìïx3 + 3x2 + 2x - 5 £ x ( ì x 1)éë(x 2 2) 1ù ï - + + û £ 0 ìx £ 1 Từ HPT ta có: í Þ í Þ í
ïîy3 + 3y2 + 2y - 5 ³ y ( ï y 1) é î ë(y 2 2) 1ù - + + û ³ 0 îy ³ 1
Cả 2 trường hợp đều cho: x = y = z = 1. Thử lại thấy x = y = z = 1 là nghiệm của HPT.
Nghiệm: (1;1;1) .
ìx3 + 3x - 3 + ln(x2 - x +1) = y ï
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
íy3 + 3y - 3 + ln(y2 - y +1) = z ï îz3 + z
3 - 3 + ln(z2 - z +1) = x 2 2t -1
· Xét hàm số f t = t3 + t - + t2 ( )
3 3 ln( - t +1) Þ f ¢ t() = t 3 +1+ > 0, t " t2 - t +1
ì f (x) = y ï
Þ f t() đồng biến trên R. Khi đó HPT Û í f (y) = z .
ïî f (z) = x
Giả sử x = min(x, y,z) . Khi đó x £ y Þ f (x) £ f (y) Þ y £ z Þ f (y) £ f (z) Þ z £ x
Þ x £ y £ z £ x Þ x = y = z .
Với x = y = z ta có: x3 + x - + x2 2
3 ln( - x +1) = 0 (*)
Hàm số g x = x3 + x - + x2 ( ) 2
3 ln( - x +1) đồng biến và g(1) = 0 nên (*) có nghiệm duy nhất x = 1.
Nghiệm: (1;1;1) .
Bài tương tự:
ì2x +1 = y3 + y2 + y ï
t3 + t2 + t -1
a) í2y +1 = z3 + z2 + z . Xét hàm số f (t) = . Nghiệm: (1;1;1),( 1 - ; 1 - ; 1) - . ï 2
î2z +1 = x3 + x2 + x Trang 54
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
ìx3 - 3x2 + 5x +1 = 4y ï
b) íy3 - 3y2 + 5y +1 = 4z . Xét hàm số f t = t3 - t2 ( ) 3 + t 5 +1. ï 3 2
îz - 3z + 5z +1 = 4x
Nghiệm: (1;1;1) , (1± 2;1± 2;1± 2 ) .
ì x2 -2x + 6.log (6- y) = x ï 3 ï
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:
í y2 - 2y + 6.log (6 - z) = y 3 ï
ï z2 - 2z + 6.log (6 - x) = z î 3 ì x log (6 - y 3 ) = ï ï x2 - 2x + 6 ï y
· Điều kiện x, y,z £ 6. HPT Û ïlog (6 - z 3 ) = í (a) ï y2 - 2y + 6 ï z log (6 - x 3 ) = ï ïî z2 - 2z + 6 t
Xét các hàm số f (t) =
, g(t) = log (6 - t 3
) với t < 6 . Ta có: t2 - t 2 + 6 6 - t + f ¢ t ( ) = > 0, t
" < 6 Þ f t() đồng biến t2 - t 2 + 6 1 + g¢ t ( ) = < 0, t
" < 6 Þ g(t) nghịch biến t - 6
ì f (x) = g(y) ï
Khi đó: (a) Û í f (y) = g(z)
ïî f (z) = g(x)
Giả sử x = min(x, y,z) . Khi đó x £ y Þ f (x) £ f (y) Þ g(y) £ g(z) Þ y ³ z
Þ f (y) ³ f (z)Þ g(z) ³ g(x) Þ z £ x Þ f (z) £ f (x) Þ g(x) £ g(y) Þ x ³ y
Þ x = y = z . x
Với x = y = z ta có: log (6 - x 3 ) = (b) x2 - 2x + 6 t
Hàm số f (t) =
đồng biến, g(t) = log (6 - t 3
) nghịch biến và f (3) = g(3) = 1 t2 - t 2 + 6
nên (b) có nghiệm duy nhất x = 3 .
Nghiệm: (3;3;3) .
Bài 7. Giải hệ phương trình sau: · Trang 55
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
Vấn đề 6: Hệ phương trình giải được bằng phương pháp lượng giác hoá
· Nếu x £ a (a > 0) ta đặt x = acosa với a Î[0;p ].
· Nếu x2 + y2 = a (a > 0) ta đặt x = a sina, y = a cosa với a Î[0;2p ]. æ p p ö
· Với mọi số thực x luôn có một số a với a Îç- ;
sao cho x = tana . 2 2 ÷ è ø ìï 2 2
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
x 1- y + y 1- x = 1 (1) í (
ïî 1- x)(1- y) = 2 (2) 1 ìï - x2 ³ 0 ì 1 - £ x £ 1 · Điều kiện: í Û í
. Đặt x = cosa, y = cos b với a , b Î[0;p ] . 1 ïî - y2 ³ 0 î 1 - £ y £ 1 ìcosa.sin b ì + cos b.sina = 1 p ï Khi đó: HPT Û a + b = ( í Û í 2
î 1- cosa)(1+ cos b ) = 2 s
ïî ina - cosa -sina cosa -1= 0 (3) t2 1
Đặt t = sina - cosa, t £ 2 Þ sina cosa - = . 2 - t2 1 Khi đó: (3) Û t -
-1 = 0 Û t2 + 2t - 3 = 0 Þ t = 1 2 æ p ö p ìx = 0
Với t = 1 ta có: 2 sinça - ÷ = 1 Þ a = Þ b = 0 Þ è 4 ø 2 í îy = 1
Nghiệm: (0;1) .
ìï 2(x - y)(1+ 4xy) = 3 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: í ïîx2 + y2 = 1 (2)
· Do x2 + y2 = 1 nên x,y Î[ -1;1]. Đặt x = sina,y = cosa với a Î[0;2p ].
Khi đó (1) Û 2(sina - cosa)(1+ 2sin 2a) = 3 æ p öæ p ö æ p ö æ p ö æ p ö
Û 4sinça - ÷çsin2a + sin ÷ = 3 Û 8sinça - ÷sinça + ÷cosça - ÷ = 3 è 4 øè 6 ø è 4 ø è 12 ø è 12 ø æ p ö é p æ p öù
Û 4cosça - ÷êcos - cosç2a - ÷ú = 3 è 12 ø ë 3 è 6 øû æ p ö æ p ö æ p ö
Û 2cosça - ÷ - 4cosça - ÷cosç2a - ÷ = 3 è 12 ø è 12 ø è 6 ø æ p ö é æ p ö æ p öù
Û 2cosça - ÷ - 2êcosç3a - ÷ + cosça - ÷ú = 3 è 12 ø ë è 4 ø è 12 øû é 13p 2p æ p ö æ p ö 3 a = + k ê
Û -2cosç3a - ÷ = 3 Û cosç3a - ÷ = - Û 36 3 ê
(k Î Z) è 4 ø è 4 ø 2 7p ê = - + k 2p a ë 36 3
ì13p 37p 51p 17p 41p 65p ü
Vì a Î[0;2p ] nên a Î í , , , , , ý î 36 36 36 36 36 36 þ Trang 56
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ìæ 13p 13p ö æ 37p 37p ö æ 51p 51 ö ü ç ï sin ;cos ÷,çsin ;cos ÷,çsin ;cos p ÷, ï ïè ø è ø è ø ï Nghiệm: x y 36 36 36 36 36 36 ( ; )Î í 17p 17p ö æ 41p 41p ö æ 65p 65 ý æsin ;cos ÷,çsin ;cos ÷,çsin ;cos p ö ï ï ç è î 36 36 ø è 36 36 ø è 36 36 ÷ ï ø ïþ
ì2x + x2y = y ï
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
í2y + y2z = z (I) ï
î2z + z2x = x
· Từ các phương trình của hệ ta suy ra x,y,z ¹ ±1. ì 2x y = (1) ï 1- x2 ï ï 2y Do đó: (I) Û z = (2) í . 1- y2 ï ï 2z x = (3) ï î 1- z2 æ p p ö
Đặt x = tana với a Îç - ;
sao cho tana ,tan 2a ,tan 4a ¹ 1 ± . 2 2 ÷ è ø ìy = tan2 ï a p
Khi đó ta có: íz = tan 4a Þ tan8a = tana Þ a = k
(k Î Z) ï 7 îx = tan8a æ p p ö Vì a Îç - ; nên k = 0, 1 ± ,±2, 3 ± . 2 2 ÷ è ø ìæ kp k2p k4p ö ü
Nghiệm: (x; y; z)Î íç tan ;tan ;tan ÷,k Î Z, 3 - £ k £ 3ý . è î 7 7 7 ø þ ìx - z2 3 x - z 3 + z3 = 0 ï
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:
íy - 3x2y - 3x + x3 = 0 ï
îz - 3y2z - 3y + y3 = 0 ìx(1- z2 3 ) = 3z - z3 ï
· HPT Û íy(1- 3x2) = 3x - x3 (I). Từ hệ suy ra x y z 1 , , ¹ ± . ï 3
îz(1- 3y2) = 3y - y3 ì z 3 - z3 ïx = (1) ï 1- z2 3 ï 3x - x3
Do đó: (I) Û íy = (2) (II) ï 1- 3x2 ï 3y - y3 ïz = (3) ïî 1- 3y2 æ p p ö 1
Đặt x = tana với a Îç - ;
sao cho tana ,tan3a ,tan9a ¹ ± . 2 2 ÷ è ø 3 ìy = tan3 ï a kp
Khi đó ta có: íz = tan 9a Þ tan 27a = tana Þ a =
, (k Î Z ) ï 26 îx = tan 27a Trang 57
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng æ p p ö Vì a Îç - ; nên k £ 12 . 2 2 ÷ è ø ìæ kp k3p k9p ö ü
Nghiệm: (x; y; z)Î íç tan ;tan ;tan ÷,k Î Z, 1
- 2 £ k £ 12ý. è î 26 26 26 ø þ ì æ ö æ ö æ ö ï ç x 1 + ÷ = y 1 + = ç ÷ ç z 1 3 4 5 +
Bài 5. Giải hệ phương trình sau: í è x ø è y ø è z ÷ø
ïîxy + yz+ zx =1
· Nhận xét: xyz ¹ 0 và x,y,z cùng dấu. Nếu (x; y;z) là một nghiệm của HPT thì
(-x;-y;-z) cũng là nghiệm của hệ, nên ta sẽ tìm nghiệm x, y,z dương của hệ. Đặt x = a y = b z 0 tan ,
tan , = tang (0 < a ,b ,g < 90 ). ì æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö 3 ï çtana + ÷ = 4 tan b + = 5 tang + (1)
Khi đó: HPT trở thành: tana ç tan b ÷ ç tang ÷ í è ø è ø è ø
ïîtana.tanb + tanb.tang + tang.tana =1 (2) æ 2 ö æ 2 ö æ 2 1 tan a 1 tan b 1 tan g ö + + + Ta có: (1) Û 3ç ÷ = 4ç ÷ = 5ç ÷ Û 3 4 5 = = è tana ø è tan b ø è tang ø
sin2a sin2b sin2g
Từ (2) Þ tang (tana + tan b ) = 1- tana tan b Þ cotg = tan(a + b ) Þ ( 0
tan 90 -g ) = tan(a + b ) Þ 0
a + b +g = 90 ì 3 4 5 ï = = Do đó: ísin2a sin2b sin2g
Þ 2a ,2b ,2g là các góc của một tam giác ï 0 0
î0 < a , b ,g < 90 ; a + b +g = 90
có độ dài 3 cạnh là 3, 4, 5.
Do tam giác có độ dài 3 cạnh là 3, 4, 5 là tam giác vuông nên: 0 2g = 90 Þ 0
g = 45 Þ z = tang = 1 2 tana 3 2x 3 + tan2a = = Û = Þ x 1 = 2 1- tan a 4 1- x2 4 3 2tan b 4 2y 4 + tan2b = = Û = Þ y 1 = . 2 1- tan b 3 1- y2 3 2 æ 1 1 ö æ 1 1 ö
Nghiệm: ç ; ;1÷,ç - ;- ;-1 . 3 2 3 2 ÷ è ø è ø
Bài 6. Giải hệ phương trình sau: · HPT Trang 58
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số 2 2
ìïx y - x + y = 2
Bài 1. Tìm m để hệ phương trình: í
có ba nghiệm phân biệt. 2 2
ïîm(x + y) - x y = 4 (
ì m -1)x4 + 2(m -3)x2 + 2m - 4 = 0 (1) ï · Hệ PT Û í x2 . y + 2 = ï î x2 +1 ì2x2 +1 = 0 ï
+ Khi m = 1: Hệ PT Û í x2 + 2 VN ( ) y = ï î x2 +1
+ Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t ³ 0 . Xét f t = m - t2 ( ) (
1) + 2(m - 3 t) + 2m - 4 = 0 (2)
Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt Û (1) có ba nghiệm x phân biệt ì f (0) = 0 ï
Û (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 Û í 2(m -3)
Û ... Û m = 2 . S = > 0 ïî 1- m
ìï2x2 + xy - y2 =1
Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í (I)
ïîx2 + xy + y2 = m ìï2x2 =1
· + Với y = 0 HPT trở thành: í
. Hệ có nghiệm khi m 1 = . ïîx2 = m 2 ì t2 +t 1 2 -1 = ì 1 x ïï 2 y2 ï2t + t -1 =
+ Với y ¹ 0 . Đặt = t . (I) trở thành: Û í y2 (II) y í 2 m ït + t +1 = ï 2 2 ï
ît + t +1 = m( t 2 + t -1) î y2
Do đó (I) có nghiệm (x; y) Û (II) có nghiệm t ( ; y) . 1 ét < 1 - Xét hệ (II), từ t2 2 + t -1 = Þ t2 2 +1-1 > 0 Û ê 1 . y2 êt > ë 2 t2 + t +1 æ ö
Do đó (II) có nghiệm t ( ; y) Û m = có nghiệm t 1 Î(- ; ¥ 1 - ) È ç ;+¥÷. t2 2 + t -1 è 2 ø t2 + t +1 æ ö
Xét hàm số f (t) = , t 1 Î(- ; ¥ 1 - ) È ç ;+¥÷. t2 2 + t -1 è 2 ø t2 + t 6 + 2 ét = -3- 7 Ta có: f ¢ t ( ) = - , f ¢ t ( ) = 0 Û ê . ( t2 2 + t 2 -1) ët = -3 + 7 +
Dựa vào BBT của hàm số f t
( ) suy ra HPT có nghiệm khi m 14 5 7 ³ . 28 +11 7
ìx + y = m
Bài 3. Biết (x; y) là nghiệm của hệ í
. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
îx2 + y2 = - m2 6
biểu thức A = xy + 2(x + y) . Trang 59
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
ìx + y = m · HPT Û í (I). îxy = m2 - 3
Hệ (I) có nghiệm Û S2 - P ³ Û m2 - m2 4 0 4
+12 ³ 0 Û -2 £ m £ 2
A = P + S = m2 2
+ 2m - 3 . Bài toán tìm lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số với m Î éë-2;2ùû
Đạo hàm A¢ = 2m + 2 , A¢ = 0 Û m = 1 - ìx + y = 2
Tìm được max A = 5 , tại m = 2 hay í
Û x = y = 1 îxy = 1 ìx + y = 1 - ìx = -2 ìx = 1
min A = - 4 , tại m = -1 hay í Û hoặc í . îxy 2 í = - îy = 1 îy = -2
ìxy + x + y = m + 2
Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: í
îx2y + xy2 = m +1
· Nếu(x ;y
0 0 ) là nghiệm của hệ thì ( y ; x
0 0 ) cũng là nghiệm của hệ.
Vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x = y 0 0 .
ìïx2 + 2x = m + 2
Khi đó, hệ trở thành: 0 0 í
Þ x2 + 2x = 2x3 3 2 0 0
0 + 1 Û 2x - x - 2x 0 0 0 + 1 = 0 ï2x3 = m î 0 +1 1 3 1) x = Þ m 0 1 = 1 2) x = - Þ m 0 1 = -3 3) x = Þ m 0 = - 2 4 Ngược lại:
ìxy + x + y = 3 ìS + P = 3 ìS = 2 ìS = 1
1) m = 1, hệ trở thành í ® í Û í (I) hoặc í (II)
îx2y + xy2 = 2 îSP = 2 îP = 1 îP = 2
Hệ (I) có nghiệm (1 )
;1 , hệ (II) vô nghiệm. Như vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
ìxy + x + y = -1 ìS + P = 1 - ìS = -2 ìS = 1
2) m = -3 , hệ trở thành í ® í Û í (I) v í (II)
îx2y + xy2 = -2 îSP = 2 - îP = 1 îP = 2 -
Hệ (I) có nghiệm ( 1
- ;-1) , hệ (II) có nghiệm ( 1
- ;2),(2;-1) . Như vậy, hệ đã cho có 3 nghiệm. ìxy ì 5 + x + y 5 = ï S + P = ï ìS = 1 ï ìïS 1 3) m 3
= - , hệ trở thành 4 4 ® Û = í 1 (I) v (II) 4 í í í 4 ïx2y 1 + xy2 1 = ïSP = P = ï ïîP =1 î 4 î 4 î 4 æ 1 1 ö Hệ (I) có nghiệm ; ç
, hệ (II) vô nghiệm. Như vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất. 2 2 ÷ è ø ì ü ĐS: m 3 Î 1; í - . 4ý î þ
ìïx = y2 - y + m
Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau: í
ïîy = x2 - x + m a) có nghiệm b) có nghiệm duy nhất. éx = y · HPT x y y2 x2 Þ - = -
+ x - y Û x - y = (x - y)(1- x - y) Û ê ëx + y = 0
a) *) Với x = y , ta được x x2 =
- x + m Û x2 - 2x + m = 0 (1)
*) Với x = -y , ta được x x2 =
+ x + m Û x2 + m = 0 (2) Trang 60
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn éD¢ =1- m ³ 0
Vậy hệ có nghiệm Û một trong 2 pt có nghiệm Û 1 ê
Û m £ 1 D = -4m ë 2 ³ 0
b) Nếu (x ; y 0
0 ) là nghiệm của hệ thì ( y ; x
0 0 ) cũng là nghiệm của hệ.
Vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x = y 0 0 .
Khi đó, ta có: x = x2 - x + m 2 0 0 0
Û x - 2x + m 0 0 = 0 (*)
Phương trình (*) có nghiệm x /
0 duy nhất Û D = 1 - m = 0 .
ìïx = y2 - y +1 éx = y
Thử lại, m = 1 hệ trở thành: í Þ ï ê
îy = x2 - x +1 ëx + y = 0
* Với x = y : ta có x = x2 - x +1 Û x2 - 2x +1 = 0 Û x = 1 Þ y = 1, nghiệm duy nhất.
* Với x = -y : ta có Û x2 +1 = 0 , vô nghiệm ĐS: m = 1.
Bài 6. Chứng tỏ rằng với m ¹ 0 thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ì 2 m2 ï2x = y + ï y í ï 2 m2 2y = x + ïî x m2
· Với m ¹ 0 Þ y,
cùng dấu, mặt khác x2
2 ³ 0 nên y > 0 . Tương tự x > 0 . y
ìï2x2y = y2 + m2 éx = y HPT Û í
Þ 2xy(x - y) = (y - x)(y + x) Û ï ê
î2y2x = x2 + m2
ëx + y + 2xy = 0 (*)
(*) vô nghiệm vì x > 0, y > 0 ìx = y Vậy HPT Û í
, ta chỉ cần chứng tỏ hệ này có nghiệm duy nhất.
î x3 - x2 = m2 2 (1)
Xét hàm số f x = x3 - x2 ( ) 2
, f ¢ x = x2 ( ) 6 - 2x x 1 -¥ 0 +¥ 3 f (¢x) + 0 - 0 + f (x) 0 1 +¥ - -¥ 27
Dựa vào BBT, đường thẳng y m2 =
cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất có hoành độ
dương hay phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất khi và chỉ khi m2 > 0 Û m ¹ 0 .
Bài 7. Chứng tỏ rằng với m > 0 thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3
ìï x2y - 2y2 - m = 0 (1) í 3
ïî y2x - 2x2 - m = 0 (2)
· Nếu y £ 0 thì VT của (1) âm Þ (1) không thỏa mãn , suy ra y > 0 . Tương tự x > 0 .
Lấy (1) - (2) , ta được: x2y - y2x + x2 - y2 3 3 2
2 = 0 Û (x - y)(3xy + 2x + 2y) = 0 (3)
Vì x , y > 0 nên (3) Û x = y . Thay vào (1) ta được: f x = x3 - x2 ( ) 3 2 = m Trang 61
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng f x = x2
'( ) 9 - 4x , f x = Û x = x 4 '( ) 0 0, = 9
Dựa vào BBT ta thấy với mọi m > 0 phương trình f (x) = m có nghiệm x > 0 duy nhất. ìï x + y =1
Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í (D – 2004)
ïx x + y y = 1- m 3 î ìu + v = 1 ìu + v = 1
· Đặt u = x,v = y u
( ³ 0, v ³ 0) . Hệ PT Û í Û .
îu3 + v3 = 1- m 3 í îuv = m ĐS: £ m 1 0 £ . 4
ì2y - x = m (1)
Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: í y + xy = 1 (2) î ìy £ 1 ï
· Từ (1) Þ x = 2y - m , nên (2) Û y2
2 - my = 1- y Û ím = y 1 - + 2 (vì y ¹ 0) ïî y 1 1
Xét f (y) = y - + 2 Þ f ( ¢ y) = 1+ > 0 y y2
Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất Û m > 2 . ĐS: m > 2 .
ìï x +1 + y -1= m (1)
Bài 10. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í (I)
ïîx + y = m2 - 4m + 6 (2) ìïu = x +1
ìu + v = m
ìu + v = m · Đặt í u
( ,v ³ 0), ta được hệ í Û í (II) ïv = y -1 2 2 2 î
îu + v = m - 4m + 6 îuv = 2m - 3
Hệ (I) có nghiệm (x; y) Û hệ (II) có nghiệm u
( ;v) với u ³ 0;v ³ 0
Ta biết u, v là nghiệm của phương trình f (t) = t2 - mt + 2m - 3 = 0 (*), nên hệ (II) có
nghiệm u ³ 0,v ³ 0 khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép không âm hay có hai nghiệm phân biệt không âm ì ìS2 - 4P ³ 0 ìm2 - m 8 +12 ³ 0 ïm £ 2, m ³ 6 ï ï ï ém ³ 6 Û íS ³ 0 Û ím ³ 0 Û ím ³ 0 Û ê3 ïP ³ 0 ï2m - 3 ³ 0 ï 3 ê £ m £ 2 î î m ³ ë2 ïî 2 3
ĐS: £ m £ 2 Ú m ³ 6 . 2
ìï2x + y -1= m
Bài 11. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í .
ïî2y + x -1= m
· Đặt u = x - ³ Þ x = u2 1 0
+1, v = y - ³ Þ y = v2 1 0 +1
ìï2u2 + 2 + v = m HPT trở thành: í (II)
ïî2v2 + 2 + u = m
Vì u ³ 0, v ³ 0 nên điều kiện cần để hệ có nghiệm là m ³ 2 .
Ngược lại với m ³ 2 thì: Trang 62
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn éìu = v êí (A)
êî2u2 + u + 2 - m = 0 (II) Þ u ( - v)( u
2 + 2v -1)= 0 . Hệ (II) Û
êì2u + 2v -1 = 0 êí (B)
ëî2u2 + v + 2 - m = 0 - m Với hệ (A), PT: u2
2 + u + 2 - m = 0 có P 2 =
£ 0 (vì m ³ 2 ) nên có nghiệm u 2 0 .
Khi đó hệ (II) có nghiệm u = v = u0 Þ hệ ban đầu có nghiệm x = y = u20 +1. ĐS: m ³ 2 .
Chú ý: Ta không cần xét hệ (B), vì chỉ cần (A) có nghiệm thì hệ ban đầu có nghiệm.
ìï x +1 + 3- y = m (1)
Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í
ï y +1 + 3 - x = m (2) î
· Điều kiện: -1£ x,y £ 3.
Lấy (1) - (2) ta được: x +1 - 3 - x = y +1 - 3 - y (3)
Xét hàm số f (t) = t +1 - 3 - t Þ f t
( ) đồng biến trên ( 1 - ;3) .
Do đó (3) Û x = y . Thay vào (1) ta được: g(x) = x +1 + 3 - x = m (4)
HPT có nghiệm Û (4) có nghiệm 1 1
g(x) là hàm số liên tục trên [ -1;3] và g'(x) = -
,g'(x) = 0 Û x = 1 2 x +1 2 3 - x
Dựa vào BBT ta có (4) có nghiệm Û 2 £ m £ 2 2
Kết luận: 2 £ m £ 2 2 .
ìïx3 - y3 + 3y2 -3x - 2 = 0 (1)
Bài 13. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í
ïx2 + 1- x2 - 3 2y - y2 + m = 0 (2) î
· Điều kiện -1£ x £ 1; 0 £ y £ 2 . Khi đó -1 £ y -1 £ 1 nên: ) 1 ( 3
Û x - 3x = (y - ) 1 3 - ( 3 y - )
1 Û f (x) = f ( y - )
1 trong đó f (t) 3
= t - 3t,t Î [- ] 1 ; 1
Ta có: f '(t) = 3 2
t - 3 ³ 0"t Î [- ] 1 ;
1 Þ f (t) đồng biến trên đoạn [- ] 1 ; 1 . Do đó ) 1
( Û x = y -1 , thế vào (2) ta được m = 2 2 2 y - y + 2 2
y - y -1. Đặt 2
t = 2y - y , vì 0 £ y £ 2 nên 0 £ t £ 1.
Khi đó (2) Û m = f (t) với f (t) 2 = t + 2t - , 1 t Î [ ] 1 ; 0 .
Xét hàm số g t = t2 ( )
+ 2t -1 trên đoạn [ ] 1 ; 0 , ta có g' t
( ) = 2t + 2 , g' t() = 0 Û t = 1. -
Suy ra bảng biến thiên của g t = t2 ( ) + t 2 -1 trên đoạn [ ] 1 ; 0 là: x 0 1 g’(x) + 2 g(x) -1
Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị cần tìm của m là m Î [- ; 1 2].
Bài 14. Tìm m để hệ phương trình sau: · Trang 63
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng
Vấn đề 8: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình
Bài 1. Giải phương trình sau: x 3 x 1 8 1 2 2 + + = -1 · Đặt x 3 x u 1 2 0; 2 + = > -1 = v . ìïu3 +1= 2v ìïu3 +1= 2v ìu = v > 0 Ta được hệ í Û í Û í ïîv3 +1 = u 2 (
ïî u - v)(u2 + uv + v2 + 2) = 0 îu3 - 2u +1 = 0 éx = 0 Û êê x 1 - + 5 = log2 ë 2
Bài 2. Giải phương trình sau: x3 3 +1 = 2 2x -1 ìïx3 +1 = 2y · Đặt y 3
= 2x -1 . Ta được hệ í
Þ x - y x2 + y2 ( )(
+ xy + 2) = 0 Û x = y ïîy3 +1 = 2x éx = 1
Þ x3 - 2x +1 = 0 Û êê . x 1 - ± 5 = ë 2
Bài 3. Giải phương trình sau: 3
2 3x - 2 + 3 6 - 5x - 8 = 0 · Đặt u 3
= 3x - 2, v = 6 - 5x, v ³ 0 (*) . ì u 2 ì 8 - 2u + v 3 = 8 ïv = ìu = -2 Ta có hệ: í Û í 3 Û í Þ x = –2. î u3 5 + v2 3 = 8 îv = 4 1 ïî u3 5 + u2 4 - 32u + 40 = 0
Bài 4. Giải phương trình sau: · Trang 64
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn ĐỀ THI ĐẠI HỌC ì3
ï x - y = x - y
Baøi 1. (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình: í .
ïx + y = x + y + 2 î æ 3 1 ö ĐS: (1;1), ç ; 2 2 ÷ è ø ì ïx 1 - = y 1 -
Baøi 2. (ĐH 2003A) Giải hệ phương trình: í x y . ïî2y = x3 +1 æ 1 5 1 5 ö æ 1 5 1 5 ö - + - + - - - - ĐS: (1;1), ç ; ÷, ç ; ÷ è 2 2 ø è 2 2 ø ì y2 ï y + 2 3 = 2 Baøi 3. ï
(ĐH 2003B) Giải hệ phương trình: x í . x2 ï x + 2 3 = ïî y2 ĐS: (1; 1) ìï x + y =1
Baøi 4. (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm í
ïx x + y y = 1- m 3 î ĐS: £ m 1 0 £ 4 Baøi 5.
ìx - my = 2 - 4m
(ĐH 2004A–db1) Gọi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình í (m là
îmx + y = m 3 +1
tham số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 + y2 - 2x , khi m thay đổi. ĐS: ì 2 2
Baøi 6. (ĐH 2005A–db1) Giải hệ phương trình: x + y + x + y = 4 í .
îx(x + y +1) + y(y +1) = 2
ĐS: ( 2;- 2 ), (- 2; 2 ), (1;-2), ( 2 - ;1) ì Baøi 7. 2 + +1 - + = 1
(ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình: x y x y . 3 í î x + 2y = 4 ĐS: (2;-1)
ìï x + y - xy = 3
Baøi 8. (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: í .
ï x +1 + y +1 = 4 î
ĐS: (3; 3). Đặt t = xy . ì 2 Baøi 9.
ï x +1+ y(y + x) = 4y
(ĐH 2006A–db1) Giải hệ phương trình: í . (
ïî x2 +1)(y + x - 2) = y
ĐS: (1;2), (-2;5) ì 3 3 Baøi 10.
ïx - 8x = y + 2y
(ĐH 2006A–db2) Giải hệ phương trình: í .
ïîx2 -3 = 3(y2 +1) Trang 65
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng æ 6 6 ö æ 6 6 ö ĐS: (3;1), (-3; 1 - ), ç 4 - ; ÷, ç 4 ;- ÷ . è 13 13 ø è 13 13 ø
Chú ý: x3 - y3 =
x + y = x2 - y2 3( ) 6(4 ) (
3 )(4x + y). ì 2 2 Baøi 11. (
ï x - y)(x + y ) = 13
(ĐH 2006B–db2) Giải hệ phương trình: í . (
ïî x + y)(x2 - y2) = 25 ì 3 3
ĐS: (3;2), (-2;-3) . HPT Û x - y = 19 í .
îxy(x - y) = 6 ì 2 2 Baøi 12.
ïx - xy + y = 3(x - y)
(ĐH 2006D–db1) Giải hệ phương trình: í .
ïîx2 + xy + y2 = 7(x - y 3 )
ìu = x - y
ĐS: (2;1), (-1;-2) . Đặt í . îv = xy
Baøi 13. (ĐH 2007D) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: ìx 1 + + y 1 + = 5 ïï x y í . ïx3 1 + + y3 1 + = 1 m 5 -10 ïî x3 y3 ì 1 7 u = x + ïï
ĐS: £ m £ 2 Ú m ³ 22 . Đặt x í
( u ³ 2, v ³ 2). Dùng PP hàm số. 4 ïv = y 1 + ïî y ì 4 3 2 2 Baøi 14.
ïx - x y + x y = 1 (1)
(ĐH 2007A–db2) Giải hệ phương trình: í .
ïîx3y - x2 + xy = 1 (2)
ìïu = x2 - xy ì 2 2 ìx = 1 ±
ĐS: (1;1), (-1;-1) . Đặt í
. Cách 2: Hệ PT Û x (x -1) = 0 í Û í
ïîv = x3y îxy -1 = 0 îxy = 1 ì 2xy x + = x2 + y ï 3 2 ï Baøi 15. x - 2x + 9
(ĐH 2007B–db2) Giải hệ phương trình: í 2xy . ïy + = y2 + x ï 3 y2 - 2y + 9 î
ĐS: (0;0), (1;1) . Cộng 2 PT vế theo vế, ta được: æ 1 1 ö VT = 2xy +
= x2 + y2 = VP ç ÷ ç 3 (x 2 3 1) 8 (y 2 1) 8 ÷ - + - + è ø éx = y = 0
Mà VT £ xy £ x2 + y2 2
= VP . Dấu "=" xảy ra Û ê . ëx = y = 1
ì2x - y - m = 0
Baøi 16. (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: í x + xy = 1 î ìx £ 1
ĐS: m > 2. PT Û í
. Dùng tam thức bậc hai.
îx2 + (2 - m)x -1 = 0 Trang 66
Trần Sĩ Tùng
Hệ phương trình nhiều ẩn
ìx2 + y + x3y + xy2 + xy 5 = - ï
Baøi 17. (ĐH 2008A) Giải hệ phương trình: 4 í .
ïx4 + y2 + xy + x 5 (1 2 ) = - î 4 æ 5 25 ö æ 3 ö ì 2 ĐS: 3 3 ç ;- ÷, ç1;-
. Đặt u = x + y í . è 4 16 ø 2 ÷ è ø îv = xy ì 4 3 2 2 Baøi 18.
ïx + 2x y + x y = 2x + 9
(ĐH 2008B) Giải hệ phương trình: í .
ïîx2 + 2xy = 6x + 6 æ 17 ö ĐS: ç -4; . HPT Þ x x 3
( + 4) = 0 Þ x = -4 (x ¹ 0). 4 ÷ è ø ì 2 2 Baøi 19.
ïxy + x + y = x - 2y
(ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: í .
ïx 2y - y x -1 = 2x - 2y î (
ì x + y)(x - 2y -1) = 0
ĐS: (5; 2). HPT Û í
. Chú ý x + y > 0 .
x 2y - y x -1 = 2x - 2y î
ìxy + x +1 = 7y
Baøi 20. (ĐH 2009B) Giải hệ phương trình: í .
îx2y2 + xy +1 = 13y2 ìu = x 1 + æ 1 ö ïï y
ĐS: ç1; ÷, (3;1). Đặt . è 3 ø í x ïv = ïî y
ìx(x + y +1) - 3 = 0 Baøi 21. ï
(ĐH 2009D) Giải hệ phương trình: í x + y 2 5 ( ) - +1 = 0 . ïî x2 ì 3 æ 3 ö x + y +1- = 0 ïï
ìu = x + y ï ĐS: (1;1), ç2;- . HPT Û x . Đặt í 1 . 2 ÷ è ø í ï x + y 2 5 ( ) - +1 = 0 v = ï ï î x î x2 Baøi 22. (ĐH 2010A) (
ìï 4x2 +1)x + (y -3) 5- 2y = 0
Giải hệ phương trình: í .
ïî4x2 + y2 + 2 3- 4x = 7 æ 1 ö 2 æ 5 ö
ĐS: ç ;2 . HPT Þ 4x2 + ç - 2x2 ÷ + 2 3 - 4x - 7 = 0 . Dùng phương pháp hàm số. 2 ÷ è ø è 2 ø ì 2 2 3 Baøi 23.
ï5x y - 4xy + 3y - 2(x + y) = 0 (1)
(ĐH 2011A) Giải hệ phương trình: í .
ïîxy(x2 + y2) + 2 = (x + y 2 ) (2)
ĐS: Ta có: (2) Û xy - x2 + y2 ( 1)(
- 2) = 0 Û xy = Ú x2 + y2 1 = 2 . æ 2 10 10 ö æ 2 10 10 ö
Hệ có nghiệm: (1;1), (-1;-1), ç ; ÷, ç - ;- ÷ . è 5 5 ø è 5 5 ø ì 3 2 Baøi 24.
ï2x - (y + 2)x + xy = m
(ĐH 2011D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í
ïîx2 + x - y =1- 2m Trang 67
Hệ phương trình nhiều ẩn
Trần Sĩ Tùng ( ìï x2 ì 1
- x)(2x - y) = m (1)
ïu = x2 - x, u ĐS: HPT Û ³ - í . Đặt í . ( 4
ïî x2 - x)+ (2x - y) = 1- 2m (2)
ïîv = 2x - y -u2 + u Với u 1
³ - , ta có: (1) Û m u + = -u2 (2 1) + u Û m = . 4 2u +1 -u2 + u 1 Xét hàm số f u ( ) = , u ³ - . 2u +1 4 -
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra giá trị cần tìm là: m 2 3 £ . 2
ìx3 - 3x2 - 9x + 22 = y3 + 3y2 - 9y Baøi 25. ï
(ĐH 2012A) Giải hệ phương trình: í 1
(x, y Î R) .
x2 + y2 - x + y = ïî 2 æ 1 3 ö æ 3 1 ö ĐS: ç ;- ÷, ç ;- . 2 2 2 2 ÷ è ø è ø ìxy + x - 2 = 0
Baøi 26. (ĐH 2012D) Giải hệ phương trình: í
(x,y Î R) .
î2x3 - x2y + x2 + y2 - 2xy - y = 0 æ 1 5 ö æ 1 5 ö - + - - ĐS: (1;1), ç ; 5 ÷, ç ;- 5 ÷ . è 2 ø è 2 ø
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
transitung_tv@yahoo.com Trang 68