Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn – Trần Đình Cư

Tài liệu gồm 55 trang phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề giới hạn, các bài tập trong tài liệu được giải chi tiết. Nội dung tài liệu:

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.

108 54 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

55 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO MÔN TOÁN
SĐT: 01234332133. ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ
Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư
Bài giảng Giải tích11
Chương IV
TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH
LỚP TOÁN 11-THẦY CƯ
HUẾ, NGÀY 4/1/2017
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
1
MỤC LỤC
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN ....................................................................................................................... 2
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ......................................................................................................... 2
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số ........................................................................... 3
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số ............................................................................. 4
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. .......................... 5
Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân
vô hạn tuần hoàn thành phân số ............................................................................................................ 6
Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa .................................................................... 9
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực ........................ 10
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ............................................................................. 12
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ .................................................................................................................. 20
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn ............................................................................................ 23
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức .................................................................................. 26
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên ............................................................................... 27
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên ................................................................. 27
Dạng 5. Tính giới hạn vô cực .............................................................................................................. 29
Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định
0
0
........................................................................ 29
Dạng 7. Dạng vô định
.................................................................................................................. 31
Dạng 8. Dạng vô định
;0.
....................................................................................................... 32
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ............................................................................. 35
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................................................... 38
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 ............................................................................ 38
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ................................................................................ 41
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K ....................................................................... 43
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) ....................................................................................... 45
Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm ........................................................................... 45
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} ...................................................................................... 51
ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ............................................................................................................................ 53
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
2
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Dãy
n
(u )
có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số
hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, |un| đều có thể nhỏ hơn một số dương đó.
Kí hiệu:
n 0 0 n
limu 0 0, n , n n u 
(Kí hiệu
n
"limu 0"
còn được viết

n
n
"limu 0"
, đọc dãy số
n
(u )
có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô
cực)
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng
a) Dãy số
n
(u )
có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số
n
u
có giới hạn 0
b) Dãy số không đổi
n
(u )
, với
n
u0
có giới hạn 0.
2. Các định lí
* Định lí 1: Cho hai dãy số
n
u
và
n
v
. Nếu
nn
uv
với mọi n và
n
limv 0
thì
n
limu 0
* Định lí 2: Nếu
q1
thì
n
limq 0
3. Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn
* Định nghĩa 1: Ta nói dãy
n
(v )
có giới hạn là số L ( hay
n
v
dần tới L) nếu
n
n
lim v L 0


.
Kí hiệu:
nn
limv L hay v L
Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ
):
n 0 0 n
limv L 0, n , n n v L
4. Một số định lí
* Định lí 1: Giả sử
n
limu L.
Khi đó
n
lim u L
và
3
3
n
lim u L
Nếu
n
u0
với mọi
n
thì
L0
và
n
lim u L
* Định lí 2: Giả sử
nn
limu L vaø lim v M 0, c laø moät haèng soá. Ta coù:
nn
n n n n n n n
nn
u limu
a
lim u v a b; lim cu cL; limu .v limu .limv ; lim ;
v limv b
5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội q thoã mãn
q1
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
1
1 2 n
u
S u u .... u ...
1q
6. Dãy có giới hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số
n
(u )
có giới hạn

, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
3
Kí hiệu:
n
limu
hay
n
u 
n 0 0 n
limu M 0, n , n n u M 
7. Dãy có giới hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số
n
(u )
có giới hạn

, nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu:
n
limu
hoặc
n
u 
n 0 0 n
limu M 0, n , n n u M 
Chú ý: Các dãy số có giới hạn

và

được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô
cực
8. Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực
n
nn
n
n
n n n
n
n n n n
u
a)Neáu limu a vaø limv thì lim 0
v
u
b)Neáu limu a 0 vaø limv 0 vaø v 0 vôùi moïi n thì lim
v
Töông töï ta laäp luaän caùc tröôøng hôïp coøn laïi
c) Neáu limu vaø limv a 0 thì limu v



Töông töï ta laäp luaän caùc tröôøng hôïp coøn laïi

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp:
n
limu 0
khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó
trở đi.
Ví dụ 1. Biết dãy số (un) thoã mãn
n
2
n1
u
n
với mọi n. Chứng minh rằng
n
limu 0
Giải
Đặt
n
2
n1
v
n
.


nn
2
nnn
n
n1
Ta coù limv lim 0. Do ñoù, v coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi (1)
n
Maët khaùc, theo giaû thieát ta coù u v v (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra u coù theå
n
nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi, nghóa laø limu 0
Ví dụ 2. Biết rằng dãy số (un) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng có giới hạn là
0. Chiều ngược lại có đúng không?
Hướng dẫn
nn
n n n n
Vì (u ) coù giôùi haïn laø 0 neân u coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïng
naøo ñoù trôû ñi.
Maët khaùc, v u u . Do ñoù, v cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy y
n
n
ù, keå
töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (u ) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá
haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (v ) cuõng coù giôùi haïn laø 0.
(Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng).
Ví dụ 3. Vì sao dãy
n
(u )
với
n
n
u1
không thể có giới hạn là 0 khi
n
?
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
4
Ví dụ 4. Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh rằng
sinn
lim 0
n
Hướng dẫn
Ta có
n0
0 0 n n
sinn 1 1
u 0 n ,n . Khi ñoù:
nn
>0, n : n n u 0 . Vaäy :limu 0

Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp: Ta dụng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp



k
n
1A
lim 0 haylim 0
nn
11
lim 0 ; lim 0 vôùi k nguyeân döông
n
n
limq 0 neáu q 1
Ví dụ 1.
a) Cho hai dãy số
nn
(u ) vaø (v )
. Chứng minh rằng nếu
n n n
limv 0 vaø u v
với mọi n thì
n
limu 0
b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
n
n n n
2
nn
nn
1 ( 1) 2 n( 1)
a) u b) u c) u
n! 2n 1
1 2n
d)u (0,99) cosn e) u 5 cos n
Ví dụ 2. Tình giới hạn sau:


n
n
n 1 n 1 n n n 1
n n n n n n 1
n1
23
3 2 5 1 4.3 7
a) lim ; b)lim ; c)lim ; d)lim
3 2 5 1 2.5 7
23
Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng công thức
n
limq 0, q 1
1
a) 3 b)1 c)7 d)
3
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn
Phương pháp:
nn
nn
lim v a lim v a 0
 
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh
3n 2
lim 3
n1
Hướng dẫn
n 0 0
0 0 n n
1 1 1 1
u 3 n ; choïn n ,n . Khi ñoù:
n 1 n
>0, n : n n u 3 . Vaäy:limu 3
Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh
n
( 1)
lim 1 1
n





Ví dụ 3. Cho dãy (un) xác định bởi:
n
3n 2
u
n1
a) Tìm số n sao cho
n
1
u3
1000

Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
5
b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng
(2,999;3,001).
Hướng dẫn
n
n n n
11
a) u 3 n 999
n 1 1000
1 1 1
b) Khi n 999 u 3 3 u 3 2,999 u 3,001
1000 1000 1000
BTTT: Cho dãy (un) xác định bởi:
n
2n 1
u
n2
a) Tìm số n sao cho
n
1
u2
100

b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng
(1,998;2,001).
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn
dãy.
Phương pháp
Ta thường sử dụng:
nn
nn
nn
AA
lim 0 lim v ; lim lim v 0
vv
 
Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho
n
k
với k là mũ cao nhất bậc ở mẫu.
Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.
3
33
22
3
33
22
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B









Ví dụ 1. Tính

32
32
3n 5n 1
lim
2n 6n 4n 5
.
Giải




32
3
32
n
23
51
3
3n 5n 1 3
n
n
lim lim
6 4 5
2
2n 6n 4n 5
2
n
nn
Ví dụ 2. Tính
2
2
2n 1 5n
lim
1 3n

.
Giải
2
2
2
2
1 1 5
2
nn
2n 1 5n 0
n
lim lim 0
1
3
1 3n
3
n


Ví dụ 3. Tính
22
lim n 7 n 5



Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
6
Giải
22
22
2 2 2 2
n 7 n 5 2
lim n 7 n 5 lim lim 0
n 7 n 5 n 7 n 5



Ví dụ 4. Tính
22
lim n 3n n




Giải
22
22
3n 3 3
lim n 3n n lim lim
2
3
n 3n n
11
n





BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các giới hạn sau:





22
2
23
m m 1
0 1 m 1 m
p p 1
n
0 1 p 1 p
4n n 1 n n 1 2
a)lim b)lim c)lim n
n1
3 2n 2n 5
a n a n ... a n a
Tính giôùi haïn: lim
b n b n ... b n b
Xeùt p m
HöôùngDaãn: Xeùt n p .Chia caû töû vaø maãu cho
Xeù
Toång qua
t
t:
p
ù
n


p
32
42
5
2
n ,p laø baäc cao nhaát ôû maãu
Tính giôùi haïn sau:
2 3n n 1
2n n 1
d) lim e) lim
1 4n
2n 1 3 n n 2
Đáp số:
27
a) 2 b)0 c) d) 1 e)
4
Bài 2. Tính các giới hạn:

3
4 2 2 2 2 3
22
n
2n n 7 3n 1 n 1 3n 14 n 2n n
a)lim ; b)lim ; c) lim ; d)lim
n n 2
2n n 3 1 2n
Đáp số:
3
2
a) b) 3 1 c)0 d) 2
2
Bài 4. Tính các giới hạn sau:




3
2 3 2
2
2 2 2
2
3
3
a)lim n 1 n b)lim n 3n n 2 c) lim n 2n n
4n 1 2n 1
d)lim n n n e)lim f)limn n 1 n 2
n 2n n
g) lim n n n 2
Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp
7 2 1 3
a)0 b) c) d) e)1 f) g)3
2 3 2 2
Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu
thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q|<1.
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un)
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
7
1
1 2 n
u
S u u ... u ...
1q
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10
n
3
12
1 2 3 n
2 3 n
a
aa
a
X N,a a a ...a ... N ... ...
10
10 10 10
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.
Giải
n
3
3 3 3 3 1 100
100
m 3 ... 3 3 3
1
100 10000 99 33 33
100
1
100
Ví dụ 2. Tính tổng
11
S 2 2 1 ...
2
2
Giải
Xét dãy: 2,-
2
,1,
1
2
,... là cấp số nhân
2
2 1 1
q ; q 1
22
2
Vậy
2 2 2
S 4 2 2
1
21
1
2
II. Bài tập rèn luyên
Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.
34,1212...
(chu kỳ 12).
Hướng dẫn và đáp số
2n
1
12 12 12 1134
100
34,1212... 34 ... 34 12
1
100 33
100 100
1
100






Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
n1
1 1 1 2 1 1 1
a)S 1 ... ... b) S ...
4 16
4
2 1 2 2 2

Hướng dẫn :a)
14
q ; S
43

b)
22
q ;S 4 3 2
2
Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội
2
q
3
.
Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1;
n1
2 4 2
; ;...
3 9 3



Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tìm hai số hạng đầu
12
1
u u 4
2

Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
8
Hướng dẫn:
1
1
1
11
u
u 6 1 q
S6
1
1q
q
1
1
u 1 q 4
2
u u q 4
2
2







Bài 5. Giải phương trình sau:
n
2 3 4 5 n
13
2x 1 x x x x ... 1 x ...
6
với
x1
Hướng dẫn: Dãy số
n
2 3 4 5 n
x , x ,x , x ,..., 1 x ...
là một cấp số nhân với công bội
qx
.
ĐS:
17
x ; x
29
Bài 6.
a) Tính tổng
2 3 n 1
S 1 0,9 0,9 0,9 .... 0,9 ...
b) Cho
0.
4
Tính tổng
23
S 1 tan tan tan ...
c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ
a = 0,272727...... b = 0,999999999...........
d) Cho dãy
2 3 n
n
b sin sin sin ... sin
với
k
2
. Tìm giới hạn dãy bn.
Hướng dẫn:
a)
1
S 10
1 0,9

b)
1
S
1 tan

234
3 2n 1 2 4
22
2 7 2 7
a 0 ...
10
10 10 10
11
2 2 2 7 7 3
10 10
... ... .... 2 7
11
10 11
10 10 10 10
11
10 10
91
b . 1
1
10
1
10


c) Cấp số nhân lùi vô hạn d)
n
sin
limb
1 sin

Bài 9. Tính
n soá haïng
n
n
a aa ... aaa...a
lim
10

Hướng dẫn: Ta có
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
9
n soá haïng n soá haïng
n
n
n soá haïng
n
nn
n
10 1 100 1 10 1
a aa ... aaa..a a 1 11 ... 111..1 a ...
9 9 9
10 10 1 9n
a
81
a aa ... aaa..a 10a 10 1 9n 10a
Vaäy lim
81 81
10 10
















Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa
Phương pháp
n
limu
khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
nn
limu lim( u ) 
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh:
2
3
3
n2
a)lim b)lim 1 n
n1
 
Hướng dẫn:
22
n
2
0 0 0 n n
32
3
3
n
a)Laáy soá döông M lôùn tuøy yù.
n 2 n 1
u n 1 M n M 1;
n 1 n 1
n2
Choïnn M 1,n . Khiñoù: n n n M 1 u M.Vaäy lim u
n1
b)Ta coù: 1-n (1 n)(n n 1) 1 n; n
Laáy soá döông M lôùn tuøy yù.
u 1 n



3
3 3 3
00
3
33
0 n n
1 n M n M 1;choïnn M 1,n .
Khi ñoù: n n n M 1 u 1 n M. Vaäy :limu

Ví dụ 2. Cho dãy (un) thoả mãn
n
un
với mọi n. Chứng minh rằng
n
limu
Giải
nn
n
n
lim n vì vaäy n lôùn hôn moät soá döông baát kì keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi. maët khaùc u n neân u lôùn hôn moät soá döông baát kì keå
töø moät soá haïng naøo ñoù.
Vaäy lim u



Ví dụ 3. Biết dãy số (un) thoã mãn
2
n
un
với mọi n. Chứng minh rằng
n
limu
Giải
22
2
nn
Vì limn neân n coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi
Maët khaùc, theo giaû thieát u n vôùi moïi n, neân u cuõng coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy
y,ù k

n
eå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy limu . 
Ví dụ 4. Cho biết
n
limu
và
nn
vu
với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn.
Hướng dẫn
n n n n n
n
limu lim( u ) v u lim( v )
Vaäy limv
  

Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
10
Ví dụ 5. Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy
nn
uv
.
Hướng dẫn: Kết luận dãy
nn
uv
không hội tụ
Thật vậy:
n n n n n
nn
nn
nn
n
nn
Xeùt daõy u v , giaû söû noù hoäi tuï nghóa laø lim u v a vaø limu b.
Khi ñoù limu limv a
Vaäy limv a limu
Vì limu b limv a b
Vaäy(v ) laø hoäi tuï, ñieàu naøy khoâng ñuùng.
Vaäy daõy u v


khoâng hoäi tuï.
Ví dụ 6.
a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết
n n n
limu vaø v u vôùi moïi n.
n
Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy (v ) khi n + ?
b) Tìm
nn
limv vôùi v n!
Hướng dẫn
a) Vì
nn
limu nên lim(-u ) . 
Do đó, (un) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số
hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, vì
n n n n
v u vôùi moïi n neân (-v ) ( u )vôùi moïi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (-vn) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do
đó,
nn
lim( v ) hay limv 
.
b) Xét dãy số (un)=-n.
Ta có:
n n n
n! n hay v u vôùi moïi n. Maët khaùc limu lim( n) . 
Từ kết quả câu a) suy ra
n
limv lim( n!) 
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô
cực
Phương pháp
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số
n
u
với
3
8 2 3 2 3 2
n n n n
a)u n 50n 11; b)u 109n n ; c)u 105n 3n 27 ; d)u 8n n 2
Đáp số:
a) ; b) ; c) ; d)
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số
n
u
với
3 4 2 2
n n n n
3
2 3 2
2n 1 1 3n
3n n 2n n 7 2n 15n 11
a)u ; b)u ; c)u ; d)u
2n 19 3n 5
3n n 3 n 7n 5


Đáp số:
a) ; b) ; c) ; d)
Ví dụ 3: Tính các giới hạn
22
22
1
a)lim ; b) lim 2n 3 n 1
n 2 n 4



Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
11
Ví dụ 4: Tính các giới hạn
n n 1 n
n n 1
n n n
3 11 2 3.5 3
a)lim 3.2 5 10 ; b) lim ; c)lim
1 7.2 3.2 7.4


Đáp số:
a) ; b) ; c) ;
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
12
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}
Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số có quy luật
Ví dụ 1 :Tính các giới hạn sau:
22
nn
n 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n
a) lim b) lim
n n 1 n
 

Hướng dẫn
2
22
2
n n n
1n
nn
2
n 1 2 3 ... n n n n 1
a) lim lim lim
n n 1 n n 1
2
n n 1 2
  




b)
1
2
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
2n
2 n 2
1 a a ... a n 1 3 ... 2n 1
a) lim vôùi a 1, b 1; b)lim
1 b b ... b 2n n 1

Hướng dẫn
a)
n
1
1b
1a
S lim
1
1a
1b


b)
22
nn
1 2n 1 n
n
n 1 3 ... 2n 1 1
2
S lim lim
2
2n n 1 2n n 1
 

Ví dụ 3. Tính giới hạn sau:
n
1 1 1 1
lim ...
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n 1) n 2






Hướng dẫn
nn
1 1 1 1
Söû duïng:
2
k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2
1 1 1 1 1 1
Vaäy: ...
1.2.3 2.3.4 2 2
n. n 1 n 2 n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 1
Vaäy lim ... lim
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2 2 4
n(n 1) n 2 n 1 n 2
 









Ví dụ 4. Tính giới hạn
2 2 2
lim 1 1 ... 1
2.3 3.4
n 1 n 2





Hướng dẫn
k 1 k 2
2
Ta thaáy: 1
k k 1 k k 1



n
2 2 2 2
Vaäy: 1 1 ... 1 ... 1
2.3 3.4
k. k 1 n. n 1
k 1 k 2 n 1 n 2
1.4 2.5 1 n 3
. ... ...
2.3 3.4 3 n 1
k k 1 n n 1
2 2 2 1
Vaäy lim 1 1 ... 1
2.3 3.4 3
n 1 n 2












Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
13
Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau
n
2 2 2
4
n
n
*
2 3 n
n
1 1 1 1
a) lim ...
1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)
2.1 3.2 ... n 1 n
b) lim
n
1 1 1
c) lim ...
2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
1 3 5 2n 1
d ) lim ...
2
2 2 2















Hướng dẫn và đáp số
n
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a)S ... 1 ...
1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 3 3 5 2n 1 2n 1
1 1 1
1 neân limS
2 2n 1 2






2 2 2 2 2 2
n
2
3 3 3 2 2 2
n
2
2
n
4 4 4
b)Ta coù: S 2.1 3.2 ... n 1 n 1 1 1 2 1 2 ... n 1 n
n n 1 n n 1 2n 1
S 1 2 ... n 1 2 .... n
26
n n 1 n n 1 2n 1
S
1
lim lim
4
n 4n 6n








2
2
n
n
n 1 n n n 1
1 1 1
c)Ta coù:
n 1 n n n 1 n n 1
n 1 n n n 1
1 1 1
S ...
2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1
1 1 1 1 1 1
1 ... 1 limS 1
2 2 3 n n 1 n 1

n
2 3 n
nn
2 2 3 3 n n n 1
n1
2 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1
n
n
1 3 5 2n 1
d)Ta coù: S ...
2
2 2 2
1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 3 2n 1
S S ...
22
2 2 2 2 2 2 2
11
1 1 1 1 2n 1 1 2n 1 1 1 2n 1
2
2
... 1
1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2
1 1 1
Suy ra: S 1
22
2
n
2 n 1 n 3 n n
n n n
nn
n
n
2n 1 1 2n 1
S3
2 2 2 2
n n 2 2 n
Maët khaùc: . Maø lim 0 lim 0
n 1 n 1
22
11
Vaäy lim S 3
 


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
14
Dạng 2. Dùng nguyên lí kẹp
Phương pháp
Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu
n n n
u v w vôùi moïi n
Và
n n n
limu limw L(L ) thìlimv L
Ví dụ mẫu. Tính
2 2 2
n
1 2 n
lim ....
n 1 n 2 n n




.
Giải
Ta thấy:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2
n
2 2 2
n
1 2 n 1 2 ... n 1
....
2
n 1 n 2 n n n n
n n 1
1 2 n 1 2 n
Vaø .... ...
n 1 n 2 n n n 1 n 1 n 1
2 n 1
n n 1
1 1 2 n
Vaäy ....
2
n 1 n 2 n n
2 n 1
n n 1
1
Maø lim
2
2 n 1
1 2 n 1
Vaäy lim ....
2
n 1 n 2 n n





BÀI TẬP RÈN LUYÊN
Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau:
n
n n n
n
2
2
nn
n
2 2 2
1 1 3sinn 4cosn n sinn
a) lim b) lim c) lim
2 3n n+1 3n+4
1 3n
sin2n cos2n
d) lim e) lim
3n+1
cosn+5n
1 1 1
f) lim ...
n 1 n 2 n n
  
 










Hướng dẫn và đáp số
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
15
nn
*
n
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a)0 0 , n .Ñs: 0
2 3n 2 2 3n 2
55
b) u .Ñs:0
n 1 n 1
n 1 n sinn n 1 1
c) 1 sinn 1 .ÑS:
3n 4 3n 4 3n 4 3
d)Töôngtöïcaâu b
1 cosn 1 1 1 cosn
e)- . Tacoù:lim lim 0 lim 0
n n n n n n
Neân :l


n
n2
2
2
2
n
2 2 2 2 2 2
n
2 2 2 2
( 1)
3
( 1) 3n 3
n
im lim
cosn
5
cosn 5n
5
n
1 1 1 1 1 1
f) ... u ...
n n n n n n n 1 n 1 n 1
n n n n
u .Tacoù:lim lim 1
n n n 1 n n n 1


Dạng 3. Chứng minh một dãy số có giới hạn
Phương pháp
1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:
Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.
2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực
hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng
(chiều giảm) và số M.
3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:
* Phương pháp 1:
Đặt
n
limu a
Từ
n 1 n
limu limf(u )
ta được một phương trình theo ẩn a.
Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của
phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần
tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để
loại nghiệm.
Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
* Phương pháp 2:
Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./
Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học.
Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi
1
n 1 n
u2
u 2 u vôùi n 1

.
Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Giải
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
16
Ta có:
1 n 1 n n
u 2 vaø u 2 u ,u 0 vôùi n N
Ta chứng minh :
n
u 2 vôùi n N (1)
1
k
n
Vôùi n=1, ta coù u 2 2 thì (1) ñuùng
Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì u 2.
Vaäyu 2, n N

Chứng minh dãy (un) tăng:
2
n 1 n n n n n n
n n 1 n n
n
Xeùt u u 2 u u u u 2 0 1 u 2
Maø 0 u 2 neân u u . Vaäy (u ) laø daõy taêng (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra (u ) coù giôùi haïn.
Đặt
n
n
lim u athì 0 a 2

Ta có:
n 1 n n 1 n
nn
2
n n n
nn
Löu yù:
u 2 u lim u lim 2 u
a 2 a a a 2 0 a 1hoaëc a=2
Vì u 0neân lim u a 0.Vaäy lim u =2
Trong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau:
" Neáu l

 
 
n n 1
nn
im u a thì lim u a"
 

Ví dụ 2. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi
1
n1
n
u2
1
u2
u

.
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có :
1 2 3 4 n
1
1 3 2 1 4 3 1 5 n 1
u 2;u 2 ;u ;u .Töø ñoù ta döï ñoaùn: u (1)
2 2 2 3 3 4 n
Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp:
Vôùi n=1, ta coù: u 2 (ñuùng)
Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k 1), nghóa laø


k
k1
u .
k
*
n
n
...
n
Vaäy u , n .
n1
n1
Töø ñoù ta coù limu lim 1
n

BTTT. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi
1
n1
n
1
u
2
1
u neáu n 1
2u

.
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn:
n
n
limu lim 1
n1

Ví dụ 3. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức
*
n
u sinn;n
. Chứng minh dãy không có giới
hạn.
Hướng dẫn
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
17
n
n n n n
n n n
n
n
Giaû söû lim u lim sinn a.Khiñoù lim sin n 2 a lim sin n 2 sinn 0
2 lim cos n 1 sin1 0 lim cos n 1 0 lim cosn 0
maët khaùc: cos n 1 cosncos1 sinnsin1,Suy ra lim sinn 0
Suy ra: lim
   
  




22
nn
cos n sin n 0, voâ lyù
Vaäy daõy soá (u ) vôùi u sinn khoâng coù giôùi haïn.

II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Chứng minh dãy (un) với
n
n daáucaên
u 2 2 ... 2 2
là dãy hội tụ.
Hướng dẫn
Bước 1: Chứng minh dãy (un) tăng
Bước 2: Chứng minh (un) bị chặn trên
Bài 2. Cho dãy truy hồi
1
n1
n
u0
u3
u (n 2)
4

. Tìm giới hạn của dãy.
Hướng dẫn và đáp số
1
1
2
2
2
n1
n
n1
n
n1
n
u0
31
u1
44
15 1
u1
16 4
.
.
.
1
u1
4
1
baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh u1
4
1
Vaäy lim 1 1
4























Bài 3. Cho dãy truy hồi
1
n1
n
u2
u1
u (n 2)
2

. Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số
Cách 1
n1
n
n
n1
n
n
nn
21
Döï ñoaùn u
21
21
lim u lim 1
21
 

Cách 2
Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới.
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
18
Giả sử
n
n
n n 1
nn
n
n
lim u a, tìm a
a1
lim u lim u a a 1
2
lim u 1

 

Bài 4.
a) Cho dãy truy hồi
1
n
n1
u2
u1
u (n 1)
2

. Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
b) Cho dãy (un) xác định bởi:
n
n 1 n
0 u 1
1
u 1 u (n 1)
4

. Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm
giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số
n
n
*
n 1 n n 1 n n 1 n
nn
b) * Chöùng minh (u ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân
Ta coù: 0 u 1,n N
AÙp duïng baát ñaúng thöùc cauchy
1
u 1 u 2 u 1 u 2 1 u u ,n N
4
Vaäy (u ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì (u ) thì
n
n
2
n 1 n n 1 n
n
n
n
daõy coù giôùi haïn
* Ñaët lim u a,a 0
1 1 1 1 1
Tacoù: u 1 u lim u 1 u a 1 a a 0 a
4 4 4 2 2
1
Vaäy lim u
2










Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi
n 1 n 1
n
12
u u vaø u 0
2u




a) Chứng minh rằng
n
u 2 vôùi moïi n 2
b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số
*
1 n 1 n n
n
n 1 n n
nn
n
nn
12
a) Ta coù: u 0,u u u 0, n N
2u
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si:
1 2 2
u u u . 2, n 1,n
2 u u
Suy ra u 2, n 2,n N
b)Ta coù: u 2,n 2,n N neân u laø daõy bò chaën döôùi
Xeùt








2
*
n
n 1 n n n n 1 n
nn
n
n
2
n 1 n n 1 n
nn
nn
u
1 2 1
u u u u 1 0, n 2,n Nneân u u , n N
2 u u 2
* Ñaët lim u a,a 2.Ta coù:
1 2 1 2 1 2
a2
u u lim u lim u a a a 2
2 u 2 u 2 a
a2
Vaäy l



 













n
n
im u 2

Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
19
Bài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức
*
n
u cosn;n
. Chứng minh dãy không có giới
hạn.
Hướng dẫn
n
n n n n
n n n
n
2
n
Giaû söû lim u lim cosn a lim cos n 2 a lim cos n 2 cosn 0
2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sinn 0
maët khaùc: sin n 1 sinncos1 cosnsin1,Suy ra lim cosn 0
Suy ra: lim cos n
   
  




2
nn
sin n 0, voâ lyù
Vaäy daõy soá (u ) vôùi u cosn khoâng coù giôùi haïn.

Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ:
n
2 2 2
n
2 3 n
1 1 1
a) 1 ... ; n N
2 3 n
1 1 1
b) 1 ... ; n N
2 3 n
Hướng dẫn
a) Ta thấy
n
2 2 2
2 2 2
1 1 1
Daõy 1 ... laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën.
2 3 n
1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1 ... 2 2
1.2 2.3 (n 1)n n
2 3 n
Vaäy daõy hoäi tuï.
b)
n
2 3 n
n
2 3 n 2 2 2
1 1 1
Daõy 1 ... laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën.
2 3 n
1 1 1 1 1 1
1 ... 1 ... 2
2 3 n 2 3 n
Vaäy daõy bò chaën treân neân hoäi tuï.
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
20
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giới hạn hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên
0
K \{x }
.
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,
n 0 n 0 n
x K \{x } vaø x x ,tacoù f(x ) L
.
Kí hiệu:
0
xx
0
lim f(x) L hay f(x) L khix x
n n 0 n 0 n
xx
0
lim f(x) L (x ),x K \{x },limx x limf(x ) L
b) Giới hạn vô cực
Các định nghĩa về giới hạn

( hoặc

) của hàm số được phát biểu tương tự các định ở trên
Chẳng hạn, giới hạn

của hàm số y=f(x) khi x dần đến dương vô vực được định nghĩa như sau:
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng
a;
.
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là

khi
x
nếu với mọi dãy số
n
(x )
bất kì,
n n n
x a vaø x , ta coù: f(x ) .  
Kí hiệu:
x
lim f(x) hay f(x) khi x

  
n n n n
x
lim f(x) (x ),x a,limx limf(x )

  
Nhận xét:
xx
lim f(x) lim f( x)
 
 
* Các giới hạn đặc biệt:
xx
x
k
x
k
x
c
1. lim c c lim 0 vôùi c laø haèng soá
x
2. lim x
neáu k nguyeân döông
3. lim x
0 neáu k nguyeân aâm
neáu k chaün
4. lim x
neáu k leû
 








2. Giới hạn hàm số tại vô cực
Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng
(a; )
. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi
x
nếu với mọi dãy số (xn) bất kì,
n n n
x a vaø x ta coù: f(x ) L
.
Kí hiệu:
x
lim f(x) L hay f(x) Lkhix

n n n n
x n n
lim f(x) L x ,x a, lim x lim f(x ) L
  

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng
( ;a)
. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi
x
nếu với mọi dãy số (xn) bất kì,
n n n
x a vaø x ta coù: f(x ) L 
.
Kí hiệu:
x
lim f(x) L hay f(x) Lkhix


n n n n
x n n
lim f(x) L x ,x a, lim x lim f(x ) L
  

3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
21
Định lý 1:
x x x x
00
xx
0
xx
0
xx
0
Giaûi söû lim f(x) L vaø lim g(x) M.Khi ñoù:
* lim f(x) g(x) L M
* lim f(x).g(x) L.M
f(x) L
* lim neáuM 0
g(x) M










Định lý 2:
x x x x
00
Giaûi söû lim f(x) L vaø lim g(x) M.Khi ñoù:


xx
0
3
3
xx
0
x x x x
00
0
a) lim f(x) L
b) lim f(x) L
c)Neáuf(x) 0 vaø lim f(x) L thì :L 0 vaø lim f(x)L
Daáu cuûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x x

4. Giới hạn một bên
Định nghĩa1: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm
số y=f(x) khi
0
xx
nếu với dãy số (xn) bất kì,
0 n n 0 n
x x b vaø x x ta coù: f(x ) L
. Kí hiệu:
xx
0
lim f(x) L
n 0 n n 0 n
xx
0
lim f(x) L x ,x x b,limx x limf(x ) L
Định nghĩa 2: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm
số y=f(x) khi
0
xx
nếu với dãy số (xn) bất kì,
. Kí hiệu:
xx
0
lim f(x) L
n n 0 n 0 n
xx
0
lim f(x) L x ,a x x ,limx x limf(x ) L
Nhận xét:
xx
0
x x x x
00
lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L


5. Giới hạn vô cực
Các định nghĩa
x x x x x x x x
0 0 0 0
lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ;
   
được phát biểu tương tự
định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
Định lý: Nếu
xx
0
lim f(x)

thì
xx
0
1
lim 0
f(x)
6. Các quy tắc tính giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích
f(x).g(x)
Nếu
x x x x x x
0 0 0
lim f(x) L 0 vaø lim g(x) hoaëc thì lim f(x)g(x)

được tính theo quy tắc trong bảng
sau:
xx
0
lim f(x)
xx
0
lim g(x)
xx
0
lim f(x).g(x)
L>0


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
22


L<0


-
+
b) Quy tắc tìm giới hạn của tích
f(x)
g(x)
xx
0
lim f(x)
xx
0
lim g(x)
Dấu của g(x)
xx
0
f(x)
lim
g(x)
L

Tuỳ ý
0
L>0
0
+

-

L<0
+

-

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp
00
x x ,x x ,x ,x

 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
23
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn
Phương pháp
1.
n n 0 n 0 n
x x n n
0
lim f(x) L (x ),x K \ x , lim x x lim f(x ) L
 
2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi
0
xx
ta thực hiện:
Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0
n 0 n 0
nn
lim x x , lim y x
 

nn
nn
Chöùng minh lim f x lim f y hoaëc moät trong hai
 
giới hạn đó không tồn tại
Ví dụ 1. Cho hàm số
2
x x 2
y
x1

. Dùng định nghĩa chứng minh rằng
x1
limf(x) 3
.
Giải
Hàm số y=f(x) xác định trên
R \ 1 .
Giả sử (xn) là dãy số bất kì
n
x1
và
n
x1
2
nn
nn
nn
nn
x 2 x 1
x x 2
limf(x ) lim lim lim x 2 3
x 1 x 1



BTTT: Cho hàm số:
2
2x x 3
f(x)
x1

. Dùng định nghĩa chứng minh:
x1
limf(x) 5
Ví dụ 2. Cho hàm số
x neáu x 0
y f(x) .
2 x neáux 0


Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y=f(x) không có
giới hạn khi
x0
Giải
n
n
nn
nn
n
nn
11
Xeùt daõy x 0 0
nn
1
lim f(x ) lim 0 (1)
n
1
Xeùt daõy x khi n ;x 0
n
1
lim f(x ) lim 2 2 (2)
n
Vaäy vôùi (1) vaø (2) haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x 0
 
 










BTTT: Cho hàm số:
x neáux 0
f(x)
1 x neáux 0

. Dùng định nghĩa chứng minh hàm số không có giới hạn
khi
x0
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
1
f(x) cos
x
. Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f(x) không có giới hạn khi
x dần đến 0.
Hướng dẫn
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
24
2
n n n
2
n
n n n
2
n
1
Haøm soá : f(x) cos xaùc ñònh treân K=R\{0}
x
11
*Laáy daõy soá (x ) K vaø limx 0;limf(x ) lim cos limcos(2n ) 1
x
2n
11
*Laáy daõy soá (y ) K vaø limy 0;limf(y ) lim cos limcos(2n ) 0
2
y
2n
2

Vậy hàm số không có giới hạn.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau
23
2
x 3 x 5 x
2
x1
x 9 1 x 3 x 1
a) lim 6; b) lim ; c) lim 4; d) lim
x 3 3 x
x1
x1
 
 

Hướng dẫn
2
n
n n n
n
n n n
2
n
n
n n n
n
n
32
nn
nn
2
n
2
n
x9
a) (x ),x 3,limx 3 lim 6
x3
1
b) (x ),x 1; ,limx 1 lim
x1
x3
53
c) (x ),x 3,limx 5 lim 4
3 x 3 5
1
x
x 1 x
d) (x ),limx lim lim
1
x1
1
x
 

 
Bài 2.
1. Cho hàm số
2
2
x neáu x 0
f(x)
x 1 neáu x 0

.
a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi
x0
.
b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.
Hướng dẫn
a) Dự đoán: Hàm số không có giới hạn khi
x0
b) Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là
nn
11
a ; vaø b
nn
2. Cho hàm số
2
1
f(x) sin
x
. Chứng minh hàm số không có giới hạn khi
x0
.
Bài 3.
a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi
x
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)
Hưóng dẫn:
n n n n
Xeùt hai daõy a vôùi a 2n vaø b vôùi b 2n
2
Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng
;a
. Dùng định nghĩa chứng minh
rằng, nếu
x x x
lim f(x) L vaø lim g(x) M thì lim f(x)g(x) L.M
  
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
25
Hướng dẫn
n n n n
xn
n n n
x n n
x
Giaû söû (x )laø daõy baát kì thoõa maõn x a vaø x . Vì lim f(x) L neân lim f(x ) L
Vì lim g(x) M neân lim g(x ) M. Do ñoù: lim f(x ).g(x ) L.M.
Töø ñònh nghóa suy ra: lim f(x).g(x)
 
  


L.M
Bài 5. Cho hàm số y=f(x) xác định trên
a;
. Chứng minh rằng nếu
x
lim f(x)


thì luôn tồn tại ít
nhất một số c thuộc
a;
sao cho f(c)<0.
Hướng dẫn
n n n n
xn
n
n
n
Vì lim f(x) neân vôùi daõy soá x baát lyø, x a vaø x ta luoân coù lim f(x ) .
Doñoù lim f(x )
Töø ñònh nghóa suy ra f(x ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø mo
 

  



n
k k k
ät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Neáu soá döông naøy laø 2 thì -f(x ) 2 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi ít nhaát moät soá x a; sao cho -f(x ) 2 hay f(x ) 2 0

k
Ñaët c x , ta coùf(c) 0
Bài 6. Cho
khoảng K,
0
xK
và hàm số f(x) xác định trên
0
K \ x
.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu
xx
0
lim f(x)

thì luôn tồn tại ít nhât một số c thuộc
0
K \ x
sao cho f(c)>0.
Hướng dẫn
n n 0 n 0 n
x x n
0
n
Vì lim f(x) neân vôùi daõy soá x baát lyø, x K \ x vaø x x ta luoân coù lim f(x ) .
Töø ñònh nghóa suy raf(x ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù tr

 
n
k 0 k
k
ôû ñi.
Neáu soá döông naøy laø 1 thì f(x ) 1 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Noùi caùch khaùc, luoân toøn taïi ít nhaát moät soá x K \ x sao cho f(x ) 1.
Ñaët c x , ta coùf(c) 0


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
26
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:
1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì
0
xx
0
lim f(x) f x
2. Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn

Ví dụ 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
2
2
x 1 x 2
x3
x 1 x 4
a)lim 2 x 1 ; b) lim ; e)lim
x 3 2x 2







Giải
2
2
x 1 x 2
x3
x 1 3 1 1 x 4 0
a)lim 2 x 1 2 1 1 3 1; b) lim ; c)lim 0
x 3 3 3 3 2x 2 4




Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau
2 6 6
2 3 2
44
x 2 x 0 x 1
x
2
x 5 1 sin x 5cos x
a) lim x 5 1 ; b)lim x 5x 10x 1 ; c) lim ; d) lim
x5
1 sin x cos x
 




Hướng dẫn và đáp số
66
44
x
2
3
a) 2 b) 1 c)
2
1 sin x 5cos x 1 1 5.0
d) f(x) xaùc ñònh taïi x neân lim f(x) 1
2 1 1 0
1 sin x cos x


Ví dụ 3: Tìm các giới hạn của hàm số sau
2
2
x 4 x 1
3 x x 1
a) lim ; b) lim ; c)
x1
x4

2
22
x 5 x 4
x 5 1 x
lim ; d) lim
x 5 x 4



Đáp số
2
2
x 4 x 4
x4
2
x1
3x
a)Ta coù: lim 3 x 1 0 vaø lim x 4 0 neân lim
x4
x1
b) lim ; c) ; d)
x1




Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
2
2
2
2 3 2 2
x 0 x 9 x 0 x 2 x 3
1
1
x x 6
3 x 3 x x 6
x
a)lim x 2 ; b) lim ; c)lim ; d) lim ; e) lim
1
x
9x x x 2x x 3x
1
x









Đáp số:
15
a) 3; b) ; c) 1; d)0; e)
54 3
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau
32
6 5 3 2
x x x
2
2x 7x 11 2x 1 2x 3
a) lim ; b) lim x ; c) lim
3x 2x 5 3x x 2
2x 3
  
Đáp số:
6
a)0; b) ; c) 2
3
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
27
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên
Phương pháp
n 0 n n 0 n
nn
xx
0
lim f(x) L x ,x x b, lim x x lim f(x ) L
 
n n 0 n 0 n
nn
xx
0
lim f(x) L x ,a x x , lim x x lim f(x ) L
 
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau
2
x 2 x 1
11
a) lim ; b) lim
x2
x 3x 4



Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau
x 2 x 7
a) lim 2x 4; b) lim 7 x 3x


Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên
Phương pháp
xx
0
x x x x
00
lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L


I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số
2
2
x 2x 3 neáu x 3
f(x) 1 neáux=3
3-2x neáu x 3
Tính
x3
x 3 x 3
lim f(x) ; lim f(x) ; limf(x)


Hướng dẫn
22
x 3 x 3
23
x 3 x 3
x 3 x 3
* lim f(x) lim 3 2x 3 2.3 15
* lim f(x) lim x 2x 3 3 2.3 3 6
* lim f(x) lim f(x) neân haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x 3







Ví dụ 2. Cho hàm số
x3
x 3 x 3
f(x) 1 2x 6 . Tính lim f(x); lim f(x); limf(x)


Hướng dẫn
x 3 x 3
x 3 x 3
x3
x 3 x 3
2x 6 neáu x 3 2x 5 neáu x 3
Ta coù: 2x 6 neân f(x)
2x 6 neáux 3 2x 7 neáux 3
* lim f(x) lim 2x 5 2.3 5 1
* lim f(x) lim 2x 5 2.3 7 1
* lim f(x) lim f(x) 1 lim f(x) 1






Ví dụ 3. Cho hàm số:
3
13
neáu x 1
f(x)
x1
x1
mx 2 neáu x 1


Tìm giá trị của m để hàm số f(x) có giới hạn khi
x 1. Tính giôùi haïn ñoù
Giải
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
28
2
33
x 1 x 1 x 1
2
2
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
1 3 x x 2
* lim f(x) lim lim
x1
x 1 x 1
x 1 x 2
x2
lim lim 1
x x 1
x 1 x x 1
* lim f(x) lim mx 2 m 2
Haøm soá f(x) coù giôùi haïn thì lim f(x) lim f(x) 1 m 2 m 1
* khi ñoù













x1
limf(x) 1
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
22
2
x 0 x 3 x 4
2x x 9 x x 5x 4
a) lim ; b) lim ; c) lim
x 2 x 6 2x
16 x

II. Bài tập rèn luyện
Bài tập 1.
a) Cho hàm số
2
2
x x 2
neáu x 1
f(x)
x1
x x 1 neáu x 1

. Tính
x1
x 1 x 1
lim f(x); lim f(x); limf(x)


b) Cho hàm số
x5
x 5 x 5
5x
f(x) . Tính lim f(x); lim f(x);lim f(x)
x5


Đáp số:
a) 3
b)
x5
lim f(x) 1

;
x5
lim f(x) 1
Bài tập 2. Cho hàm số
3
x1
neáu x 1
f(x) .
x1
mx 2 neáu x 1

Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn
x1
Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x=1
2
12
vôùi x 1
f(x)
x1
x1
mx 5 vôùi x 1


Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x=0
sinx vôùi x 0
f(x)
3x a vôùi x 0

Đáp số: a = 0
Bài tập 5. Tính các giới hạn sau
2
x 1 x 0
x2
3x 6
x 1 3 x x
a) lim ; b) lim ; c) lim
x 1 x 2
2x x




Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
29
Dạng 5. Tính giới hạn vô cực
Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:
3
2
2
x x 2
2x 15
a) lim 4x x 1 b) lim
x2
 

Đáp số:
2
2
xx
2
4x x 1
a) lim 4x x 1 lim b)
4x x 1
 



Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:
22
a)y f(x) 4x 2x 5 khi x ; b)y f(x) 3x 6x 1 khi x
x 15 x 15
c)y f(x) khi x 2 ; d)y f(x) khi x 2
x 2 x 2

 


Đáp số:
a) b) c) d)
Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định
0
0
Phương pháp:
1. Nhận dạng vô định
0
0
:
x x x x x x
0 0 0
u(x)
lim khi lim u(x) lim u(x) 0
v(x)

2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước
0
x x x x x x x x
o o o o
0
(x x )A(x)
u(x) A(x) A(x)
lim lim lim vaø tính lim
v(x) (x x )B(x) B(x) B(x)

Nếu phương trình f(x)=0 có nghiệm là x0 thì f(x)=(x-x0).g(x)
Đặc biệt:
Nếu tam thức bậc hai
2
12
12
f(x) ax bx c,maø f(x) 0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,x
thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x) a x -x x -x
Phương trình bậc 3:
32
ax bx cx d 0 (a 0)
1
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner
1
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner
3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân
tích chúng thành tích để giản ước.
3
33
22
3
33
22
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B









I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính giới hạn sau:
2
x1
xx
lim
x1
Giải
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
30
2
x 1 x 1 x 1
x x 1
xx
lim lim limx 1
x 1 x 1

Ví dụ 2. Tính giới hạn sau:
2
x2
4x
lim
x73

Giải
2
x 2 x 2
x2
2 x 2 x x 7 3
4x
lim lim
x2
x73
lim 2 x x 7 3 4.6 24





II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
3
2 3 2
2
x 1 x 0 x 1
3 2 3
4 2 2
x 1 x 1
1 x 1
x 2x 3 x x x 1
a) lim b) lim c) lim
x x 1
2x x 1
x 5x 3x 1 x 2x 4
d) lim e)lim
x 8x 9 x 2x



Đáp số:
41
a) b) 3 c)2 d) e) 5
35

Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
2
x 2 x 5 x 2
3
2
3
x 5 x 2 x 0
4 x x 5 x 4 x 4 2
a) lim b) lim c)lim
x5
x 7 3 x 5
x x 2 x 4 1 x 1 x
d)lim e) lim f) lim
x
4x 1 3 3x 2 2

Đáp số:
1 9 1
a) 24 b) 2 5 c) d) e) 16 f)
3 8 6

Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau:
22
32
x 0 x 1 x 0
33
2
x 0 x 1 x 0
3
2
23
x 0 x 1
x 3 3 x 1 1 x x 1 x x
a) lim ; b) lim ; c) lim
x
xx
x1
x 9 x 16 7 x 7 5 x 2 1 x 8 x
d) lim ; e) lim ; f) lim
x x 1 x
5 x x 7 x 1 2
g)lim ; h) lim
x1
x1

Đáp số:
1 7 7 11 5 3
a) b) 3 c) 1 d) e) f) g) h)
24 12 12 12
2 3 2 2
Bài 4. Tính các giới hạn sau
3 3 2 4 4
33
h 0 x a
3 3 n
2
h 0 x 1
x a
(x h) x x (a 1)x a x a
a) lim ; b)lim ; c) lim ;
h x a
xa
2(x h) 2x x nx n 1
d) lim ; e)lim
h
(x 1)


Bài 5. Tính các giới hạn sau
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
31
3 2 2 4 2
2 3 2
x 1 x 3x 2
x x x 1 2x x 6 x x 72
a) lim ; b) lim ; c)lim
x 3x 2 x 8 x 2x 3

3 2 1992
4 2 1990
x 3 x 1
x 5x 3x 9 x x 2
d) lim ; e)lim
x 8x 9 x x 2

Bài 6. Tính các giới hạn sau
2 3 2 2
x 1 x 1x1
2 1 1 3 x 2 x 4
a)lim ; c) lim ; d)lim
x 1 1 x
x 1 1 x x 5x 4 3(x 3x 2)







Bài 7.Tính các giới hạn sau
a)
2
x0
x 1 x x 1
lim
x
b)
2
x7
x 3 2
lim
49 x

c)
2
x2
2 x 2
lim
x 3x 2


d)
2
x2
4x 1 3
lim
x4

Bài 8. Tính các giới hạn sau
a.
x0
x 1 x 4 3
lim
x
b.
x0
x 9 x 16 7
lim
x
c.
3
x0
x 1 x 4 3
lim
x
d.
3
x0
x 1 x 1
lim
x
e.
3
2
x1
x 3 3x 5
lim
x1
f.
3
2
x1
8x 11 x 7
lim
x 3x 2

Dạng 7. Dạng vô định
Phương Pháp:
1. Nhận biết dạng vô định
x x x x x x
0 0 0
x x x x x
00
u(x)
lim khi lim u(x) , lim v(x)
v(x)
u(x)
lim khi lim u(x) , lim v(x)
v(x)

 
 
2. Chia tử và mẫu cho
n
x
với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa
nhân tử
n
x
rồi giản ước)
3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x
k
ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao
nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc
cao nhất ở mẫu).
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính giới hạn
3
32
x
3x 5x
lim
6x x

Giải:
3
2
32
xx
5
3
3x 5x 1
x
lim lim
1
2
6x x
6
x
 

Ví dụ 2. Tính giới hạn sau
2
x
lim 4x x 2x





Giải:
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
32
22
2
x x x
22
x
4x x 2x 4x x 2x
x
lim 4x x 2x lim lim
4x x 2x 4x x 2x
11
lim
4
1
42
x
  




II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau
2
3 4 2
32
3
x x x
2 2 2
x x x 1
2
2
3x 1 5x 3
2x 3x 4 x 7x x 5
a) lim b) lim ; c) lim
3 x 13
x x 1
2x 1 x 1
1
3
x 1 4x 1 x x 2 3x
x1
d) lim e) lim f) lim
2x 3
2x 3
4x 1 x 1
x 3x 2
  
  









Đáp số
2
x
2
2
x
2
x x 2 3x
khi x : lim = 4
11
4x 1 x 1
a) 2 b) 0 c) d) e) ; f)
25
x x 2 3x 2
khi x : lim =-
3
4x 1 x 1




Bài 2. Tính các giới hạn sau
5
2
32
37
x x x
2
2 4 2 2
3
x x x
3
x 1 1 2x
1 2x 3x x 2x 3 4x 1
a) lim ; b) lim ; c) lim
x 9 x x 3
4x 1 2 x
9x x 1 4x 2x 1 x 7x x 5 x 2x 3
d) lim ; e) lim ; f) lim
x1
3 x 13
x x 1
  
  


Đáp số:
a)3; b) 32; c)5 khi x ; 1 khi x ; d)1 khi x ; 1 khi x
11
e) khi x ; khi x ; f)1 khi x ; 1 khi x
33
   
  
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
2 2 2
2 2 4
x x x
2 2 2
x x x
2
x x 1 3x(2x 1) (x 1) (7x 2)
a) lim ; b) lim ; c) lim
x x 1 (5x 1)(x 2x) (2x 1)
4x 1 x 3x 2x x x 2 3x 1
d) lim ; e) lim ; f) lim
3x 1 3x 1
4x 1 1 x

 

Bài 4. Tính các giới hạn sau:
22
2
x x x
22
4x 2x 1 2 x x 2x 3 4x 1 x x 3
a) lim ; b) lim ; c) lim
x1
9x 3x 2x 4x 1 2 x

3
3
3 2 2 3 2 2
3
32
2
x x x
(x 2x ) x x 2x x
x 2x x (x x x 1)( x 1)
d) lim ; e) lim ; f) lim
2x 2 (x 2)(x 1)
3x 2x
 
Dạng 8. Dạng vô định
;0.
Phương pháp:
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
33
1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp
2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.
3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định
;0.
hoặc
chuyển về dạng vô định
0
;
0
Ví dụ 1. Tìm các giớí hạn của hàm số sau:
2
x 0 x
23
2
x
x1
3
2 2 2 3
xx
11
a) lim 1 b) lim 4x x 2x
x x 1
x
c) lim 2x 3 4x 4x 3 d) lim x 1
x1
e) lim x 2x 1 x 7x 3 f) lim x 1 x 1


 













Đáp số:
1
a) 1 b) c)khi x :ÑS: 4 ;khi x :ÑS: d)0
4
55
e)khi x :ÑS: ;khi x :ÑS: f) 0
22
 
 
Ví dụ 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau
2 2 2 2
xx
3
3 2 2
xx
a) lim x x x 1 b) lim x 8x 3 x 4x 3
c) lim x x x x d) lim x x x x
 
 






Đáp số
33
3 2 2 3 2 2
xx
2
x
22
3
3 2 3 2 2
3
xx
11
a) khi x ; khi x ; b)2 khi x ; 2khi x
22
c) lim x x x x lim x x x x x x
x x 1 1 5
lim
3 2 6
x x x
x x x x x x
xx
d) lim x x x x lim
xxx
 

 
   











x
1
1
1
x
lim
2
11
x
11
x
xx


II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính các giới hạn sau
3 2 2
x x x
a) lim (2x 3x); b) lim x 3x 4; c) lim ( x x x)
 
Bài 2. Tính các giới hạn sau
2 2 2
x x x
a) lim ( x 2x 4 x); b) lim ( x 2 x 2); c) lim ( x 4x 3 x 3x 2)
 
Bài 3. Tính các giới hạn sau
2 2 2
x x x
a) lim x( x 5 x); b) lim (3x 2 9x 12x 3); c) lim ( x 3x 2 x 2)
 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
34
Bài 4. Tính các giới hạn sau
33
2 3 2 3 2
x x x
a) lim ( x 3x 1 x 3); b) lim ( x x x x); c) lim ( x 2x 1 x 3x)
  
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
35
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}
Dạng 1. Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định
0
0
)
Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng có thể sử
dụng định lí:
x 0 x 0 u(x) 0 u(x) 0
sinx sinu(x) u(x)
lim 1 hoaëc lim u(x) 0 lim 1; lim 1
x u(x) sinu(x)
Ví dụ 1. Tính các giới hạn của hàm số sau
2
3
x 0 x 0
x0
tanx sinx 1 sin2x cos2x 1 cos 2x
a)lim b) lim c) lim
1 sin2x cos2x xsinx
x


Hướng dẫn
2
3 3 3
x 0 x 0 x 0
2
2
x 0 x 0 x 0
2
2
x 0 x 0 x 0
1
x
sinx 1
2sinxsin
cosx
tanx sinx
2
a)lim lim lim
x x x cosx
x
sin
sinx 1 1
2
2 lim .lim .lim
x cosx 2
x
2
2sinx sin
1 sin2x cos2x 2sin x sin2x
b) lim lim lim
1 sin2x cos2x
2sin x sin2x









2 2 2
x 0 x 0 x 0
x cosx
1
2sinx sinx cosx
1 cos 2x sin 2x 4sinxcos x
c) lim lim lim 4
xsinx xsinx x
Ví dụ 2. Tính các giới hạn của hàm số sau:
2
x 0 x 0 x 0
sin3x 1 cos5xcos7x cos12x cos10x
a)lim b)lim c)lim
1 2cosx cos8x cos6x
sin 11x


Hướng dẫn và Đáp số
2
x0
sin3x
a)Xeùt haøm soá f(x) ,ñaëtx t
1 cosx 3
sin 3t
sin3t
Luùc ñoù: f(x) f t
3
1 cost 3sint
1 2 cos cost sin sint
33
sin3t sin3t
t t t
t t t
1 sin 2 3sin cos
2sin sin 3 cos
2 2 2
2 2 2
sin3x
lim li
1 cosx















t 0 t 0
6t sin3t
.
sin3t
2 3t
m lim 3
t t t t t t
2sin sin 3 cos 2sin sin 3 cos
2 2 2 2 2 2


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
36
2
2 2 2
x 0 x 0 x 0
22
22
22
22
x 0 x 0
2
5x
2sin cos5x 1 cos7x
1 cos5xcos7x 1 cos5x cos5x cos5xcos7x
2
b) lim lim lim
sin 11x sin 11x sin 11x
25 5x 49 7x
sin sin
4 2 4 2
cos5x
5x 7x
5x 7x
2sin 2cos5xsin
22
22
lim 2 lim
sin 11x sin 11x
11




2
2
x 0 x 0
11x
25 49
37
44
2.
121
11
cos12x cos10x sin11x 11
c)lim lim
cos8x cos6x sin7x 7



II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính các giới hạn sau
x 0 x 1
x
4
44
2
x 0 x 0 x 0
2
2 x 3 2x
a)lim cotx ; b)lim ; c) lim tan2xtan x
sin2x 4
tan x 1
sin sinx
98 1 cos3xcos5xcos7x cos x sin x 1
d) lim ; e) lim ; f) lim
83 x
sin 7x
x 1 1












3
3
2
2
x 1 x 0
2x 1 x 1 cosx cosx
g)lim h) lim
sinx
sin x

Đáp số:
7 1 1
a)0 b) c) d)1 e) 4 f)1 g)1 h)
4 2 12
Bài 2. Tính các giới hạn sau
a)
x0
sin5x
lim
3x
b)
2
x0
1 cos2x
lim
x
c)
2
x0
cosx cos7x
lim
x
d)
2
x0
cosx cos3x
lim
sin x
e)
3
x0
tgx sinx
lim
x
f)
x0
13
lim x
sinx sin3x



g)
x0
sin2x sinx
lim
3sinx
h)
x0
1 sinx cos2x
lim
sinx

Dạng 2. Giới hạn kẹp
Phương pháp:
00
h(x) f(x) g(x), x K \ x ,x K
và
x x x x x x
0 0 0
lim h(x) lim g(x) L lim f(x) L
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1.Tính giới hạn
2
2
x
x sin2x 3cos2x
lim
3x 6


Giải
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
37
2 2 2
2 2 2
22
2
22
xxx
2
2
2
x
Ta nhaän thaáy: -2 sin2x 3 cos2x 2
x 2 x sin2x 3 cos2x x 2
Vaäy
3x 6 3x 6 3x 6
2
1
x 2 x 2 1
x
Maø lim lim lim
6
3
3x 6 3x 6
3
x
x sin2x 3 cos2x 1
Vaäy lim
3
3x 6
  





Bài 2. Tìm
2
x0
1
lim x sin
x
Giải
2 2 2
22
x 0 x 0
2
x0
1
Ta nhaän thaáy : x x sin x
x
lim x lim x 0
1
Vaäy lim x sin 0
x

II. Bài tập rèn luyện
Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2
2
2
x x 0 x
2x sin x 5cos2x 1 x 1 x
a) lim ; b)lim x cos ; c) lim cos x 1 x
xx
x3
 

Hướng dẫn và Đáp số:\
22
2
2 2 2
a) Ta coù: sin x 5cos2x 11sin x 5
2x 5 2x sin x 5cos2x 2x 6
x 3 x 3 x 3
....Ñs:0

b) Töông tuï baøi maãu 2. ÑS:0
c)Ta coù: 1 cos x 1 x 1, x
x 1 x x 1 x x 1 x
cos x 1 x , x \{0}
x x x
....ÑS: 0
Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2
3 2 2
x x x
x 5cosx xsinx sin2x 2cos2x
a) lim ; b) lim ; c) lim
x 1 2x 1 x x 1
  

Hướng dẫn và Đáp số
2 2 2 2
3 3 3 3
x
2 2 2 2
3 3 3 3
x
2 2 2 2
x
a)
x 5 x 5cosx x 5 x 5cosx
*TH1: x 1, lim 0
x 1 x 1 x 1 x 1
x 5 x 5cosx x 5 x 5cosx
*TH2: x 1, lim 0
x 1 x 1 x 1 x 1
x xsinx x xsinx
b) lim 0
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
c)ÑS: 0



Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
38
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hám số liên tục tại một điểm
Định nghĩa: Cho hàm số
0
y f(x) xaùc ñinh treân khoaûng K vaø x K
. Hàm số
00
xx
0
y f(x) lieân tuïc taïi x khi vaø chæ khi lim f(x) f(x )

. Hàm số không liên tục tại
0
x
được gọi là gián đoạn
tại
0
x
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Định nghĩa:
y f(x) lieân tuïc treân moät khoaûng neáu noù lieân tuïc taïi moïi ñieåm cuûa
khoảng đó
y f(x)
liên tục trên đoạng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
x a x b
lim f(x) f(a) , lim f(x) f(b)



Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “ đường liền” trên khoảng đó.
3. Các định lí:
Định lí 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định
của chúng
Định lí 2: Giả sử
y f(x) vaø y g(x)
là hai hàm số liên tục tại điểm điểm
0
x
. Khi đó:
a) Các hàm số
0
f(x) g(x), f(x) g(x) vaø f(x).g(x) cuõng lieân tuïc taïi ñieåm x
b) Hàm số
00
f(x)
lieân tuïc taïi ñieåm x , neáu g x 0
g(x)
Định lí 3: Nếu hàm số
y f(x)
liên tục trên đoạn
a;b


và
f(a).f(b) 0
thì tồn tại ít nhất một điểm
c a;b sao cho f(c)=0
Mệnh đề tương đương: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0. Khi đó phương trình
f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0
Phương pháp
Cho hàm số:
10
20
f (x) khi x x
f(x)
f (x) khi x x
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, chúng ta thực hiện
theo các bước sau:
Bước 1: Tính
1
x x x x
00
lim f(x) lim f (x) L


Bước 2: Tính
0 2 0
f x f x
Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương rình
20
L f x
, từ đó đưa ra kết luận
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
39
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
0
x1
2
x1
khi x 1
f(x)
x1
x a khi x 1

Giải
2
x 1 x 1 x 1
x1
x1
Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi x
Tacoù:
x1
limf(x) lim lim x 1 2
x1
f(1) a 1
Vaäy:
*Neáu:
2 a 1 a 1 f(1) 2 limf(x), thì haøm soá lieân tuïc
*Neáu:
2 a 1 a 1 f(1) 1 limf(x), thì haøm

0
soá giaùn ñoaïn taïi ñieåm x 1
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x1
2
x 5x 4
khi x 1
f(x)
x1
3 khi x 1



Giải
Hàm đã cho xác định trên
.
Ta có
2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 4
x 5x 4
limf(x) lim lim lim x 4 3
x 1 x 1
f 1 3.
Vaäy haøm soá lieân tuïc taïi x -1.





Ví dụ 3. Tìm m để hàm số
2
x x 2
neáu x 2
f(x) lieân tuïc taïi x=2
x2
m+1 neáu x 2

Giải
Hàm đã cho xác định trên
.
Ta có
x 2 x 2
x 2 x 1
lim lim x 1 3
x2


và
f 2 m 1
.
Để hàm số liên tục tại
x2
thì
x2
limf x f 2 m 1 3 m 2.
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
0
x0
3
x 1 x 1
, khi x 0
fx
x
2x 1, khi x 0

Giải
II. Bài tập rèn luyện
BT 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
0
x1
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
40
32
x x 2x 2
khi x 1
f(x)
x1
4 khi x 1
Hướng dẫn giải
Hàm đã cho xác định trên
.
Ta có
2
32
2
x 1 x 1 x 1
x 1 x 2
x x 2x 2
lim lim lim x 2 3.
x 1 x 1


f 1 4
.
Vì
x1
limf x f 1
nên hàm số gián đoạn tại
0
x1
BT 2. Cho hàm số:
2
2
x1
neáu x 1
f(x)
x1
m x neáu x 1
.
Tìm m ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x=1
.
Hướng dẫn giải
Hàm đã cho xác định trên
.
Ta có
2
x 1 x 1
x 1 1 1
lim lim
2
x1
x1


và
2
f 1 m
.
Để hàm số liên tục tại
x1
thì
2
x1
11
limf x f 1 m m .
2
2
BT 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
2
2
1x
x2
neáu x 2
neáu x 2
a)f(x) ; b)g(x)
x2
x2
2 2 neáu x 2
2 neáu x=2




Hướng dẫn giải
a) Hàm đã cho xác định trên
.
Khi
x2
thì
2
x2
fx
x2
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên
;2
và
2;
.
Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm
x2
.
Ta có
2
x 2 x 2
x2
lim lim x 2 2 2
x2

và
f 2 2 2
.
Vì
x2
lim f x f 2
nên hàm số liên tục tại
x2
.
Vậy hàm số liên tục trên
.
b) Hàm đã cho xác định trên
.
Khi
x2
thì
2
1x
gx
x2
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên
;2
và
2;
.
Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm
x2
.
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
41
Ta có
2
x2
1x
lim
x2

và
g 2 2
.
Vì
x2
limg x g 2
nên hàm số không liên tục tại
x2
.
Vậy hàm số không liên tục trên
.
Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 và x=3
2
2
a Khix 0
x x 6
f(x) khi x 3x 0
x x 3
b khi x 3

Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số sau:
2
2
1
x
xcos neáu x 0
1 x neáu x 0
a)f(x) b)f(x)
x
x
0 neáu x 0
0 neáu x 0




Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp
Cho hàm số:
10
20
f (x) khi x x
f(x)
f (x) khi x x
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, chúng ta thực hiện
các bước sau:
- Bước 1: Tính f(x0)=f2(x0)
- Bước 2: (Liên tục trái) tính:
11
x x x x
00
lim f(x) lim f (x) L



Đánh giá hoặc giải phương trình
1 2 0
L f (x ),
từ đó đưa ra kết luận liên tục trái.
- Bước 3: (Liên tục phải) tính:
22
x x x x
00
lim f(x) lim f (x) L



Đánh giá hoặc giải phương trình
1 2 0
L f (x ),
từ đó đưa ra kết luận liên tục phải.
- Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1=L2 , từ đó đưa ra kết luận
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0=0:
2
x a khi x 0
f(x)
x 1 khi x 0


Giải
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
42
2
x 0 x 0 x 0 x 0
0
x 0 x 0
Haøm soá xaùc ñònh taïi moïi x .
Ta coù:
lim f(x) lim x 1 1 vaø lim f(x) lim x a a.
f(0) 1
Vaäy :
Neáua 1 thì lim f(x) lim f(x) f(0) 1 Haøm soá lieân tuïc taïi x 1
N


0
x 0 x 0
eáua 1 thì lim f(x) lim f(x) Haøm soá giaùn ñoaïn taïi x 1


Ví dụ 2. Cho hàm số:
2
x 3x 2
khi x 1
f(x)
x1
a khi x 1

a) Tìm a để f(x) liên tục tại trái điểm x=1
b) Tìm a để f(x) liên tục tại phải điểm x=1
c) Tìm a để f(x) liên tục trên R.
Giải
Ta có:
x 2 khi x 1
f(x) a khi x 1
2-x khi x 1


a) Để f(x) liên tục trái tại điểm x=1
x 1 x 1
x 1 x 1
lim f(x) toàn taïi vaø lim f(x) =f(1)
Ta coù: lim f(x) lim 2 x 1 vaø f(1) a
Vaäy ñieàu kieän laø a=1




b) Để f(x) liên tục phải tại điểm x=1
x 1 x 1
x 1 x 1
lim f(x) toàn taïi vaø lim f(x) =f(1)
Ta coù: lim f(x) lim x 2 1 vaø f(1) a
Vaäy ñieàu kieän laø a=-1




c) hàm số liên tục trên R trước hết phải có:
x 1 x 1
lim f(x) lim f(x) 1 1 (maâu thuaãn)
Vaäy khoâng toàn taïi a ñeå haøm soá lieân tuïc treân R


II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại
0
x 0:
2
x 2a khi x 0
f(x)
x x 1 khi x 0

Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
f(x) x 5 taïi x 4
b)
x1
neáux 1
g(x) taïi x 1
2x1
2x neáux 1



Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=1 và x=-1
x
cos khi x 1
f(x)
2
x 1 khi x 1

Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
43
Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số
2
5x sin3x
neáu x 0
f(x)
x
x 2x 2 neáu x 0
tại điểm x=0
Bài 5. Cho hàm số
2
ax neáux 2
f(x)
3 neáux>2
. Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2.
Bài 6. Tìm a để hàm số
3
3x 2 2
neáu x 2
x3
f(x) lieân tuïc treân
1
ax neáux 2
4


Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số sau:
2
2x neáu x 2
f(x) 5 neáux 2
3x 1 neáu x 2


Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K
Phương pháp
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng K, chúng ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn
Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao
Bước 3: Kết luận.
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R:
2
1
xcos khi x 0
f(x)
x
0 Khi x 0
Giải
22
22
x0
x0
Haøm soá f(x) lieân tuïc vôùi moïi x 0.
Xeùt tính lieân cuûa f(x) taïi x=0
Ta coù:
11
x.cos x cos x
xx
11
x x.cos x lim x.cos 0
xx
Maët khaùc f(0)=0
Do ñoù, lim f(x) f(0) Haøm soá lieân




 tuïc taïi x 0.
Vaäy haøm soá lieân tuïc treân toaøn boä truïc soá.
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số:
2
x x neáux 1
f(x)
ax 1 neáux 1


Hướng dẫn
Hàm số xác định với mọi
x
1. Khi x <1. Hàm số liên tục
2. Khi x>1. Hàm số liên tục
3. Khi x =1
a=1: Hàm liên tục tại x=1
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
44
a1
: Hàm số gián đoạn tại x=1
Kết luận:
a=1: Hàm số liên tục trên toàn bộ trục số
a1
, hàm số liên tục trên
;1 vaø 1; vaø giaùn ñoaïn taïi x=1 
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số
1x
neáu x 1
y f(x) .
2x1
2x neáux 1


Xét sự liên tục của hàm số.
Hướng dẫn và đáp số
- Với x<1: hàm số liên tục
- Với x>1 Hàm số liên tục
- Xét x=1: Hàm số liên tục. Vậy hàm số liên tục trên R
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác đinh của chúng:
a)
2
x2
, neáux 2
f(x)
x2
2 2 neáux 2
2
1x
, neáu x 2
b) g(x)
x2
3 neáu x 2
Đáp số
a) y=f(x) liên tục trên R
b) y=g(x) liên tục trên
;2 vaø 2; nhöng giaùn ñoaïn taïi x=2
Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số
2
2
x1
neáu x 1
f(x)
x1
m neáu x 1
liên tục trên
0;
.
Đáp số:
1
m
2

Bài 4.
a) Cho hàm số
2
x x 4 neáu x 2
x2
f(x)
neáu -7 x 2
x73


. Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng
7;
.
b) Cho hàm số
1 neáu x 3
f(x) ax b neáu 3 x 5
3 neáu x 5
. Tìm a và b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị của hàm số.
Hướng dẫn
a) x>2: hàm số liên tục trên khoảng
2;
-7<x<2 thì
x2
f(x) lieân tuïc treân (-7;2). Vì sao?
x73

x=2: Hàm số liên tục.
Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng
7;
b) a=1 bà b=-2 thì hàm số liên tục.
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
45
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông
thường x0 thoã mãn một trong các trường hợp:
1. f(x) không tồn tại
2.
xx
0
lim f(x) khoâng toàn taïi
,
0
xx
0
lim f(x) f(x )
Ví dụ 1. Cho hàm số:
2
x x 6
neáux x 3 0
x x 3
f(x) a neáux 0
b neáu x=3



Với a, b là hai tham số. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số
Giải
D=R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x=0 và x=3
Tại x=0, ta có f(0)=a và
2
x 0 x 0
x x 6
lim f(x) lim
x x 3



Vậy x=0 là điểm gián đoạn của hàm số
Tại x=3 và f(3)=b và
2
x 3 x 3 x 3
x x 6 x 2 5
limf(x) lim lim
x3
x x 3
Vậy khi
5
b vaø vôùi moïi a thì ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm soá laø x=0;x=3
3
Khi
5
b vaø vôùi moïi a thì ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm soá laø x=0
3
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của a và b để hàm số
2
ax b neáux 1
f(x) 3x neáu 1 x 2
bx a neáux 2


liên tục tại điểm x=1 và gián
đoạn tại x=2
Hướng dẫn và đáp số
Hàm số liên tục tại x=1 và gián đoạn tại c=2 thì
x 1 x 1
x 2 x 2
lim f(x) lim f(x) f(1)
a b 3 a b 3
lim f(x) lim f(x) 4b a 6 b 3






Ví dụ 3. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số:
3
2
2 x 2
x 1 neáux 0
neáux 8
a)f(x) b)f(x)
x8
2 neáu x 0
0 neáu x 8





Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm
Phương pháp
1. Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm
- Tìm hai số a và b sao cho f(a).f(b)<0
- Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
46
- Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x0
(a;b)
2. Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất k nghiệm
- Tìm k cặp số ai ,bi sao cho các khoảng
ii
a ;b
rời nhau và
ii
f(a )f(b ) 0, i 1,...,k
- Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm
i i i
x a ;b
3. Khi phương trình f(x)=0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :
- f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc chưa tham số nhưng dấu không đổi.
- Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình
3
2x 10x 7 0
có ít nhất một nghiệm âm
Hướng dẫn
Xét hàm số
3
3
3
f(x) 2x 10x 7, ta coù f(-1)=1; f(0)=-7; f(3)=17
neân f(-1).f(0) 7 0vaø f(0).f(3) 119 0.
Maët khaùc: f(x)=2x 10x 7 laø haøm ña thöùc neân lieân tuïc treân 1;0 vaø 0;3
Suy ra, phöông trình 2x
01
3
10x 7 0 coù ít nhaát moät nghieäm x 1;0 vaø x 0;3
Vaäy phöông trình 2x 10x 7 0 coù ít nhaát hai nghieäm.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình
25
1 m x 3x 1 0
luôn có nghiệm với mọi m.
Hướng dẫn
Xét hàm số
2 5 2
2
25
25
f(x) 1 m x 3x 1, ta coù f(0)=-1 vaø f(-1)=m +1
neân f(-1).f(0) m 1 0, m
Maët khaùc: f(x)= 1 m x 3x 1 laø haøm ña thöùc neân lieân tuïc treân 1;0
Suy ra, phöông trình 1 m x 3x 1 0 coù ít nhaát


0
25
moät nghieäm x 1;0
vaäy phöông trình 1 m x 3x 1 0 luoân coù nghieäm vôùi moïi m.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình
11
a
sinx cosx

luôn có nghiệm trong khoảng
;
2



với mọi a
Hướng dẫn
11
x
2
12
x
11
Xeùt haøm soá f(x) a lieân tuïc trong khoaûng ;
sinx cosx 2
11
lim a neân toàn taïi x gaàn ñeå f(x ) 0
sinx cosx 2
11
lim a neân toàn taïi x gaàn ñeå f(x )
sinx cosx












12
0
Suy ra f(x ). f(x ) 0 neân phöông trình f(x)=0 luoân coù nghieäm trong khoaûng ;
2




Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình
3
x x 1 0
có nghiệm duy nhất x0 thoả mãn
0
1
0x
2

.
Hướng dẫn:
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
47
3
3
3 3 2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
12
1 2 1 2 1
Xeùt haøm soá f(x) x +x-1, ta coù f(0)=-1 vaø f(1)=1 neân f(0).f(1)<0
Maët khaùc: f(x) x x -1 laø haøm ña thöùc neân lieân tuïc treân [0;1]
x x 1 x x 1 x x x x x x 1
f(x ) f(x )
x x x x x


2
2
2
22
22
1 1 2 2 1 1 2
33
0
x
x 3x
=x x x x 1 x 1 0 vôùi moïi x ;x thuoäc R
24
Suy ra f(x) x +x-1 ñoàng bieán treân R neân phöông trình x x -1=0 coù nghieäm duy nhaát x 0;1
Theo baát ñaúng




3 4 2 2
0 0 0 0 0 0
thöùc Co si:
11
1 x x 2 x 1 2x x 0 x
2
2
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1.
a) Cho ba số thực a,b,c thoã mãn a<b<c
Chứng minh phương trình (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Cho phương trình
2
ax bx c 0(a 0)thoõa maõn 2a 6b 19c 0.
Chứng minh phương trình có
nghiệm trong
1
0;
3



c) Cho phương trình
2
a b c
ax bx c 0(a 0)thoõa maõn 0(Vôùi m 0)
m 2 m 1 m

Chứng minh phương trình có nghiệm (0;1).
Hướng dẫn và đáp số
a) Xét hàm số f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) là tam thức bậc hai có hệ số A=3 nên phương trình
f(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm
Ta có: f(a)>0;f(b)<0);f(c)>0
Vậy f(a).f(b)<0 và f(b).f(c)<0
Mặt khác f(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên [a;b] và [b;c]
Suy ra, phương trình f(x)=0 có nghiệm
12
x a;b vaø x b;c
.
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm.
b) Xét hàm số
2
f(x) ax bx c(a 0) lieân tuïc treân R
Tính
11
f(0) c;f (a 3b 9c)
39



2
1
f(0) 18f 0
3
11
Suy ra f(0),f traùi daáu hoaëc f(0) f 0
33
1
Vaäy phöông trình ax bx c 0(a 0) coù nghieäm trong 0;
3








c) Xét hàm số
2
f(x) ax bx c lieân tuïc treân R
+ Khi c=0, ta có ax
2
+bx=0
Néu a=0 thì từ giả thiết
a b c
0
m 2 m 1 m

suy ra b=0, phương trình có vô số nghiệm nên
phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1)
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
48
Nếu
a0
, ta có
2
ax bx c 0 x ax b 0
x0
b m 1
x 0;1
a m 2
Khi
c 0, ta coù f(0)=c vaø
m 1 c
f
m2
m m 2




Suy ra phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng
m1
0; 0;1
m2



Bài 2.
a) Chứng minh phương trình
3
2x 6x 1 0 coù 3 nghieäm treân khoaûng (-2;2)
b) Chứng minh phương trình
3
5
0
2x x 2 0 coù 3 coù nghieäm duy nhaát x 2
c) Chứng minh phương trình
7
4
00
x x 3 0 coù 3 coù nghieäm x 1;2 vaø x 12
Hướng dẫn và đáp số:
a) Tính f(-2);f(0);f(1);f(2)
b) Xét hàm
5
f(x) x x 2 lieân tuïc treân R vaø f(1) -2; f(2) 28 f(1).f(2) 0
ta chứng minh đc hàm f(x) đồng biến trên (1;2) nên phương trình
5
0
x x 2 0 coù nghieäm duy nhaát x 1;2
.
Ta có:
3
5 10 9
0 0 0 0 0 0 0
x x 2 2 2x x 8x x 8 x 2
c) Tương tự câu b)
Bài 3.
a) Cho phương trình
2
ax bx c 0 thoõa maõn 2a+3b+6c=0.
Chứng minh phương trình có nghiệm
trong khoảng (0;1)
b) Cho phương trình
2
atan x btanx c 0 thoõa maõn 2a+3b+6c=0.
Chứng minh phương trình có ít
nhất nhất một nghiệm trong khoảng
k ; k ,k Z
4



Hướng dẫn và đáp số:
b)
2
atan x btanx c 0 (1) vaø 2a+3b+6c=0
Đặt
2
t tanx vôùi x k ; k t 0;1 , ta coù : at bt c 0 (2)
4



Trường hợp 1: Nếu c=0 thì at
2
+bt=0
+ khi a=0 thì b=0....
+ Khi
a0
thì
2
t0
b2
2
, töø phöông trình at bt 0
t
a3
3
.......
Trường hợp 2: Nếu
2 1 c
c 0, ta coù f(0)=c vaø f 12c 9c
3 9 3



....
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
49
Phương trình (2) có nghiệm
2
0; 0;1
3



nên phương trình (1) có nghiệm trong khoảng
k ; k ,k
4



Bài 4. Chứng minh phương trình :
3
2x 6 1 x 3
có ba nghiệm phân biệt thuộc
7;9
.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m phương trình
32
x mx 1 0
luôn có một nghiệm dương.
Bài 6. Cho phương trình:
3
2
x mx m 1 x 2 0
a) Giải phương trình với m=1
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt
Hướng dẫn và đáp số:
Đặt t=|x|,
t0
, ta được:
32
t mt m 1 t 2 0
a)
x1
b) Xét hàm
32
t
11
f(t) t mt m 1 t 2 lieân tuïc treân R
Ta coù: f(0)=-2<0,
lim f(t) c 0 sao cho f(c)>0
Suy ra:
f(0).f(c) 0,(2) coù moät nghieäm t 0,c x t
Vaäy, vôùi moïi m phöông trình luoân coù ít nhaát hai nghie


äm phaân bieät.
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m phương trình:
3
x 1 mx m 1
. luôn có một nghiệm lớn hơn 1.
Giải
32
t
Ñaëtt x 1,ñieàu kieän t 0
Khi ñoù phöông trình coù daïng:
f(t) t mt t 0
Xeùt haøm soá y=f(t) lieân tuïc treân 0;
Tacoù:
f(0) 1 0
lim f(t) ,vaäy toàn taïi c>0 ñeå f(c)>0
Suy ra:
f(0).f(c)<0
Vaäy phö



0
2
00
ông trình f(t)=0 luoân coù nghieäm t 0;c , khi ñoù:
x 1 t t 1 1
Vaäy vôùi moïi m phöông trình luoân coù moät nghieäm lôùn hôn 1.
Bài 8. Cho a,b,c là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng phương trình:
a x b x c b x a x c c x b x a 0
luôn có hai nghiệm phân biệt.
Giải
Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû a b c vaø ñaët:
f(x) a x b x c b x a x c c x b x a

2
12
Ta coù: f(b)<0 vaø heä soá x cuûa f(x) baèng a+b+c>0
Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa maõn x b x
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
50
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình :
p x a x c q x b x d 0
luôn có nghiệm, biết rằng
a b c d
, p và q là hai số thực bất kì.
Bài 10. Chứng minh phương trình
a)
23
m 1 x 4x 1 0
luôn luôn có nghiệm.
b)
cos2x 2sinx 2
có ít nhất 2 nghiệm tong khoảng
;
6




c)
3
x 6x 1 2 0
có nghiệm dương
d)
52
x x 2x 1 0
có nghiệm.
Hướng dẫn và đáp số:
a) Xét f(0) và f(1)
b)
Xeùt haøm soá y=f(x)=cos2x-sin2x+2
Xét trên khoảng
, ; ;
6 2 2

c) Xét f(0) và f(1)
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
51
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo}
Bài 1. Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a;b] và trên (b;c) nhưng không liên tục trên (a;c).
Hướng dẫn
2
2
x 2, neáu x 0
1
Xeùt haøm soá f(x)
, neáu x 0
x
* Tröôøng hôïp x 0:
f(x) laø haøm ña thöùc, lieân tuïc treân , neân noù lieân tuïc treân 2;0
*Tröôøng hôïp x 0 :
1
f(x) laø haøm soá phaân thöùc höõu t
x

2
x 0 x 0
æ neân lieân tuïc treân (0;2) thuoäc taäp xaùc ñònh cuûa
noù. Nhö vaäy f(x) lieân tuïc treân (-2;0] vaø treân (0;2).
1
Tuy nhieân, vì lim f(x) lim neân haøm soá f(x) khoâng coù giôùi haïn hö
x


 õu haïn
taïi x=0. Do ñoù, noù khoâng lieân tuïc taïi x=0. Nghóa laø khoâng lieân tuïc treân (-2;2).
Bài 2. Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a;b] và trên [b;c) thì nó liên tục trên (a;c).
Hướng dẫn
xb
xb
Vì haøm soá lieân tuïc treân a;b neân lieân tuïc treân a;b vaø lim f(x) f(b) (1)
Vì haøm soá lieân tuïc treân b;c neân lieân tuïc treân b;c vaø lim f(x) f(b) (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra f(x) lieân
xb
tuïc treân caùc khoaûng a;b vaø b;c vaø lieân tuïc taïi x=b
(vì lim f(x) f(b)). Nghóa laø noù lieân tuïc treân (a;c)
Bài 3. Cho hàm số
x 1 x
f(x)
x
. Vẽ đồ thị hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số
liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Hướng dẫn
x 1 x
x 1,neáux 0
a)f(x)
1 x,neáux 0
x
Haøm soá naøy xoù taäp xaùc ñònh laø \{0}.
b)Töø ñoà thò döï ñoaùn f(x) lieân tuïc treân caùc khoaûng ;0 , 0; ,nhöng
khoâng lieân tuïc treân . Thaät vaäy:
* Vôùi x>0



 
, f(x)=x-1 laø haøm phaân thöùc neân lieân tuïc treân . Do ñoù lieân tuïc treân (0;+ ).
* Vôùi x>0, f(x)=1-x laø haøm phaân thöùc neân lieân tuïc treân . Do ñoù lieân tuïc treân (- ;0)
Deã thaáy haøm
x 0 x 0
soá giaùn ñoaïn taïi x=0, vì lim f(x) 1; lim f(x) 1


Bài 4. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a).f(b)>0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm hay
không trong khoảng (a;b)? Cho ví dụ minh hoạ.
Hướng dẫn
2
Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn a;b vaøf(a).f(b) 0 thì phöông trình f(x)=0
coù theå coù nghieäm hoaëc voâ nghieäm trong khoaûng (a;b).
Ví duï minh hoïa:
* f(x)=x 1 lieân tuïc treân [-2;2


2
22
],f(-2).f(2)=9>0.Phöông trình x 1 0
coù nghieäm x= 1trong khoaûng (-2;2).
* f(x)=x 1 lieân tuïc treân [-1;1],f(-1).f(1)=4>0.Phöông trình x 1 0
coù nghieäm x= 1trong khoaûng (-1;1).

Bài 5. Nếu hàm số y=f(x) không liên tục trên đoạn [a;b] nhưng f(a).f(b)<0, thì phương trình f(x)=0 có
nghiệm hay không trong khoảng (a;b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.
Hướng dẫn
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
52
Neáu haøm soá y=f(x) khoâng lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] nhöng f(a).f(b)<0 thì
phöông trình f(x)=0 coù theå coù nghieäm hoaëc voâ nghieäm trong khoaûng (a;b)
Minh hoạ hình học: Bổ sung hình vẽ /185.SBT
Bài 5. Chứng minh phương trình:
n n 1 n 2
1 2 n 1 n
x a x a x ... a x a 0

luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.
Hướng dẫn
n n 1 n 2
1 2 n 1 n
nn
xx
nn
Haøm soá f(x)=x a x a x ... a x a xaùc ñònh treân .
*Ta coù: lim f(x) .Vì lim f(x) neân vôùi daõy soá (x ) baát kì maø x ,
ta luoân coù limf(x ) .Do ñoù f(x )coù theå lôùn hôn

 
  

n
xx
moät soá döông tuøy yù,
keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi soá a sao cho f(a)>1. (1)
*Ta coù: lim f(x) ( do n leû).Vì lim f(x) neân vôùi daõy soá (x
 
 
n n n
n
n
)
baát kì maø x ,ta luoân coù limf(x ) haylim f(x ) .
Do ñoù -f(x )coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Neáu soá döông naøy laø 1 thì -f(x ) 1

  

keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc,
luoân toàn taïi soá b sao cho -f(b)>1 hay f(b)<-1. (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra f(a).f(b)<0.
Maët khaùc haøm ña thöùc f(x) lieân tuïc treân , neân lieân tuïc treân a;b
Doño,ù phöông trình f(x)=0 luoân coù nghieäm


Bài 6. Cho hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn có
các số c1,c2,c3,...,cn cùng thuộc [a;b] thì phương trình:
1 2 n
1
f(x) f(c ) f(c ) ... f c
n


luôn có nghiệm
trong đoạn [a;b]
Hướng dẫn
1 2 3
1
2
3
n
1 2 n
1
Ta coù: a c b;a c b;a c b;...
Haøm soá f(x) ñoàng bieán treân [a;b]
f(a) f(c ) f(b)
f(a) f(c ) f(b)
Neân : f(a) f(c ) f(b)
..............
f(a) f(c ) f(b)
Suyra:
nf(a) f(c ) f(c ) ... f(c ) nf(b)
1
f(a) f(c )
n





2n
1 2 n
f(c ) ... f(c ) f(b)
1
ÑaëtM M f(c ) f(c ) ... f(c )
n




Xeùt haøm g(x)=f(x)-M lieân tuïc treân [a;b]; g(a)=f(a)-M 0 vaø
g(b)=f(b)-M 0.Suy ra: g(a).g(b) 0.
g(a) 0
*Khi g(a).g(b)=0 neân a hoaëc b laø nghieäm cuûa phöông trình f(x)=M
g(b) 0
*Khi g(a).g(b)<0 th

1 2 n
ì phöông trình f(x)-M=0 coù ít nhaát moät nghieäm trong (a;b)
1
Vaäy, phöông trình : f(x)= f(c ) f(c ) ... f(c ) luoân coù nghieäm trong a;b
n
Bài 7. Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm x0. Chứng minh rằng nếu
0
xx
0
0
f(x) f(x )
lim L
xx
thì hàm số f(x) liên tục tại x0
Hướng dẫn: Đặt
0
0
f(x) f(x )
g(x) L vaø bieåu dieãn f(x) qua g(x)
xx

Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
53
ÔN TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
n
n
23
2 2 n 1
x x x
n1
23
n 3n 2 n 3n 2
a) lim b) lim c) lim
2n 3n 2 4n 1
23
  


Đáp số:
11
a) b) c)
23

Bài 2. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn:
2n
n1
2 n 1
a)1 0,03 0,03 ... 0,03 ...
1 1 1 1
b)1 ... ...
2 4 8 2
c)1 0,9 0,9 ... 0,9 ...



Hướng dẫn và Đáp số:
3
1
100 3
100
2
a)1 b) 1 c) 10
31
97 3
11
100 2

Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131...( chu kì 131) dưới dạng số hữu tỉ.
Đáp số:
131
131
1000
S 2 2
131
999
1
1000
Bài 4. Cho dãy số (xn):
n
2n 1
x
3n 1
a) Chứng minh dãy số (xn) dãy tăng
b) Dãy (xn) hội tụ có giới hạn hữu hạn.
Hướng dẫn và đáp số:
a) Chứng minh
n 1 n
x x 0, n
b)
n
2
limx
3
Bài 5. Dùng định nghĩa giới hạn chứng minh:
2
x 1 x 1
3
a)lim 2x 6 4 b)lim
1x


Bài 6. Tìm các giới hạn sau:
3
2
2
2
x 2 x 2 x 0 x
x 2 x 5 3 2 1 x 8 x
a) lim ; b)lim ; c)lim ; d) lim x x 1 .
x 2 x
x 3x 2






Đáp số:
2 13
a)1; b) c) d)0
3 12
Bài 7. Cho hàm số
2
1 neáu x 0
y f(x)
x x 1 neáu x 1

. Chứng minh hàm số liên tục.
Hướng dẫn:
Với
x 0:Haømsoá lieân tuïc.
Với x=0. Hàm số liên tục
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
54
Vậy hàm số liên tục trên tập xác định
Bài 8. Cho hàm số
2
x a neáu x 0
y f(x)
ax bx 1 neáu x 0


. Tìm a,b để hàm số liên tục.
Đáp số: với a=1, b bất kì thì hàm số liên tục trên R
Bài 9. Tìm các giới hạn sau:
3
3 2 2
2
x x x x 1
x x x 2 x 3 x 3x x 7 2
a) lim ; b) lim ; c) lim ; d)lim
3x 2 x 5 x 1
3x 4
1 2 x
  




Đáp số:
21
a) b) c)1 d)
9 12

Bài 10. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
a)
32
3x 2x 3x 2 0
có ít nhất một nghiệm
b) Chứng minh rằng phương trình
5 4 3 2
x 3x 6x x 4x 1 0
có nghiệm trong khoảng (0;2)
c)
32
4x 12x x 3 0
có 3 nghiệm trong các khoảng (-1;0),(0;1),(2;4).
Hướng dẫn:
f(x)=0 có nghiệm trong đoạn [a;b]
f(a).f(b) 0
a) khoảng (0;1)
b) (0;2)
c) (-1;0),(0;1),(2;4).
| 1/55
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO MÔN TOÁN
SĐT: 01234332133. ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ
Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư Bài giảng Giải tích11 Chương IV
TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH
LỚP TOÁN 11-THẦY CƯ HUẾ, N GÀY 4/1/2017
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. MỤC LỤC
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN ....................................................................................................................... 2
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ......................................................................................................... 2
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số ........................................................................... 3
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số ............................................................................. 4
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. .......................... 5
Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân
vô hạn tuần hoàn thành phân số ............................................................................................................ 6
Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa .................................................................... 9
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực ........................ 10
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ............................................................................. 12
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ .................................................................................................................. 20
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn ............................................................................................ 23
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức .................................................................................. 26
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên ............................................................................... 27
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên ................................................................. 27
Dạng 5. Tính giới hạn vô cực .............................................................................................................. 29 0
Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 ........................................................................ 29
Dạng 7. Dạng vô định
.................................................................................................................. 31
Dạng 8. Dạng vô định   ;
 0. ....................................................................................................... 32
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ............................................................................. 35
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................................................... 38
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 ............................................................................ 38
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ................................................................................ 41
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K ....................................................................... 43
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) ....................................................................................... 45
Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm ........................................................................... 45
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} ...................................................................................... 51
ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ............................................................................................................................ 53 1
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Dãy (un ) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số
hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, |un| đều có thể nhỏ hơn một số dương đó.
Kí hiệu: limun   0 hay lim un  0 hoaëc un  0
lim un  0    0, n  0  , n
  n0  un   (Kí hiệu "lim n
u  0" còn được viết "lim u  n
0" , đọc dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô n cực)
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng a) Dãy số (u u
n ) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số  n  có giới hạn 0
b) Dãy số không đổi (un ) , với un  0 có giới hạn 0. 2. Các định lí
* Định lí 1: Cho hai dãy số un  và vn  . Nếu un  vn với mọi n và limvn  0 thì lim un  0 n
* Định lí 2: Nếu q  1 thì lim q  0
3. Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn
* Định nghĩa 1: Ta nói dãy (vn ) có giới hạn là số L ( hay vn dần tới L) nếu lim vn L  0 . n
Kí hiệu: lim vn  L hay vn  L
Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):
limvn  L    0, n  0  , n
  n0  vn  L  
4. Một số định lí
* Định lí 1: Giả sử lim un  L. Khi đó  3 lim u 3 lim u  L n  L và n  Nếu u lim u  L
n  0 với mọi n thì L  0 và n
* Định lí 2: Giả sử lim un  L vaø lim vn  M  0, c laø moät haèng soá. Ta coù:
  v   a b; limcu  un limun a lim un n n  cL; lim un.vn  limun.limvn; lim   ; v n limvn b
5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
 Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội q thoã mãn q  1 u
 Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: 1 S  1 u  u2 .... n u  ... 1q
6. Dãy có giới hạn 
Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. 2
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Kí hiệu: lim un   hay un   lim un    M   0, n  0  , n   n0  un  M
7. Dãy có giới hạn 
Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim un   hoặc un   lim un    M   0, n  0  , n   n0  un  M
Chú ý: Các dãy số có giới hạn  và  được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực
8. Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực un
a)Neáu lim un  a vaø limvn   thì lim  0 vn un
b)Neáu lim un  a  0 vaø limvn  0 vaø vn  0 vôùi moïi n thì lim   vn
Töông töï ta laäp luaän caùc tröôøng hôïp coøn laïi
c) Neáu lim un   vaø limvn  a  0 thì lim unvn  
Töông töï ta laäp luaän caùc tröôøng hôïp coøn laïi
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp: lim un  0 khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. n 1
Ví dụ 1. Biết dãy số (un) thoã mãn un  lim u  0
2 với mọi n. Chứng minh rằng n n Giải n 1 Đặt vn  2 . n n 1 Ta coù lim v  lim  n
0. Do ñoù, v coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi (1) 2 n n
Maët khaùc, theo giaû thieát ta coù u  v  n n vn (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra un coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi, nghóa laø lim u  n 0
Ví dụ 2. Biết rằng dãy số (un) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng có giới hạn là
0. Chiều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn
Vì (un) coù giôùi haïn laø 0 neân un coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Maët khaùc, vn  un  un . Do ñoù, vn cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå
töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (un) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá
haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (vn) cuõng coù giôùi haïn laø 0.
(Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng).
Ví dụ 3. Vì sao dãy (un ) với u   n n
1 không thể có giới hạn là 0 khi n   ? 3
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. sinn
Ví dụ 4. Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh rằng lim  0 n Hướng dẫn Ta có sinn 1 1 un  0 
    n  ,n0  . Khi ñoù: n n  >0, n  0  : n
  n0  un  0  . Vaäy :limun  0
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp: Ta dụng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp 1  A 
lim  0 haylim  0  n  n  1 1 lim  0 ; lim
 0 vôùi k nguyeân döông k n n  n lim q  0 neáu q 1 Ví dụ 1.
a) Cho hai dãy số (un) vaø (vn). Chứng minh rằng nếu lim n v  0 vaø n u  n
v với mọi n thì lim un  0
b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: n 1 ( 1  ) 2  n( 1  ) a) un  b) un  c) un  2 n! 2n 1 1 2n n n d)un  (0,99) cosn e) un  5  cos n
Ví dụ 2. Tình giới hạn sau:    n 3  2 5 1 4.3  7 2  n n 1 n 1 n n n 1 3 a) lim ; b)lim ; c)lim ; d)lim n 3  n n 2 5  n 1 2.5  n 7 2n1 n  1 3 n
Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng công thức lim q  0, q 1 1 a) 3 b)1 c)7 d) 3
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn
Phương pháp: lim vn  a  lim vn  a  0 n n 3n  2
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim  3 n 1 Hướng dẫn 1 1 1 1 un 3 
    n  ; choïn n0  ,n0  . Khi ñoù: n 1 n   >0, n  0  : n
  n0  un 3  . Vaäy :limun  3 n  ( 1  ) 
Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim 1  1  n    3n  2
Ví dụ 3. Cho dãy (un) xác định bởi: un  n 1 1
a) Tìm số n sao cho un  3  1000 4
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng (2,999;3,001). Hướng dẫn 1 1 a) un 3    n  999 n 1 1000 1 1 1
b) Khi n  999  un 3   3   un  3  2,999  un  3,001 1000 1000 1000 2n 1
BTTT: Cho dãy (un) xác định bởi: un  n  2 1
a) Tìm số n sao cho un  2  100
b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng (1,998;2,001).
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. Phương pháp A A
 Ta thường sử dụng: lim  0  lim vn   ; lim    lim vn  0 v n v n n n 
 Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho
nk với k là mũ cao nhất bậc ở mẫu.
 Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B
A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B 3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B        3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B        3 3n  2 5n 1 Ví dụ 1. Tính lim 3 . 2n  2 6n  4n  5 Giải 5 1 3   3 3n  2 5n  3 1 n n 3 lim  lim  3 2 n 2n  6n  4n  5 6 4 5 2 2    2 3 n n n 2 2n 1  5n Ví dụ 2. Tính lim 2 . 1 3n Giải 1 1 5 2 2   2 2n 1  5n n n n 0 lim  lim   0 2 1 3n 1 3  3  2 n  2 2 
Ví dụ 3. Tính lim n  7  n  5    5
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Giải 2 2  2 2  n  7  n  5 2
lim n  7  n  5   lim  lim  0   2 2 2 2 n  7  n  5 n  7  n  5  2 2 
Ví dụ 4. Tính lim n  3n  n    Giải  2 2  3n 3 3
lim n  3n  n   lim  lim    2 2 n  3n  n 3 2 1  1 n BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2 4n  n  2 1 n  n 1  2 2  a)lim b)lim c)limn   3  2 3 2n 2n  5  n 1 m m a n  1 a n  ...  a n  0 1 m a 1 m Toång quaù Tí t: nh giôùi haïn: lim p p  b n  1 n b n  ...  b n  0 1 p b 1 p Xeùt p  m
HöôùngDaãn: Xeùt n  p .Chia caû töû vaø maãu cho p
n ,p laø baäc cao nhaát ôû maãu Xeùt n   p Tính giôùi haïn sau: 3 2 4 2n  2 n 1 23n n  1 d) lim e) lim
2n  13n 2n 2 1 5 4n 27 Đáp số: a) 2 b)0 c)   d) 1 e) 4
Bài 2. Tính các giới hạn: 4 2n  2 n  2 7 3n 1  2 n  2 1 3n 14  3 3 n 2n  n a)lim ; b)lim ; c) lim ; d)lim 2 2n n 3 n    1 2 n 2n n  2 2 3 Đáp số: a) b) 3 1 c)0 d) 2 2
Bài 4. Tính các giới hạn sau: a)lim n 1 n  2   3 3 2   
b)lim n  3n  n  2 c) lim n  2n  n       2 2 4n 1  2n 1  2 2  d)lim n  n  n e)lim
f)lim n n 1  n  2    2   n  2n  n  3 3 
g) lim n  n  n  2  
Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp 7 2 1 3 a)0 b) c)  d) e)1 f) g)3 2 3 2 2
Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu
thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q|<1.
 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) 6
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 1 u S  1
u  u2 ... un ...  1  q
 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 n a a a 1 2 3 a X  N, 1 a 2 a 3 a ...an...  N     ...   ... 2 3 n 10 10 10 10 I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. Giải 3 3 3 3 100 3 1 100 m  3    ...   3   3   3   n 100 10000 100 1 99 33 33 1 100 1 1
Ví dụ 2. Tính tổng S  2  2 1   ... 2 2 Giải 1  2 1 1 Xét dãy: 2,- 2 ,1, 
,... là cấp số nhân q    ; q   1 2  2 2 2 2 2 2 2 Vậy S    4  2 2 1 2 1 1 2
II. Bài tập rèn luyên
Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.   34,1212... (chu kỳ 12).
Hướng dẫn và đáp số  1  12 12 12  100  1134   34,1212...  34    ...  34 12   2 n 100 100 100  1  33 1 100   
Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 2 1 1 1 a)S 1   ...   ... b) S     ... n 1 4 16 4  2 1 2  2 2 1 4 2  2
Hướng dẫn :a) q  ; S  q  ;S  4  3 2 4 3 b) 2 2
Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội q  3 . n 1 2 4 2   
Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;... 3 9  3   1
Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tìm hai số hạng đầu 1 u  u2  4 2 7
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  1 u S   6    1 u  61 q 1 Hướng dẫn: 1 q    1  q   1     1 u 1 q  4 2 1 u 1 u q 4  2  2
Bài 5. Giải phương trình sau:         n 2 3 4 5 n 13 2x 1 x x x x ... 1 x  ...   6 với x 1
Hướng dẫn: Dãy số    n 2 3 4 5 n
x , x ,x , x ,..., 1 x ... là một cấp số nhân với công bội q  x . 1 7 ĐS: x  ; x   2 9 Bài 6. 2 3 n 1 
a) Tính tổng S  1 0,9  0,9  0,9  ....  0,9  ...  2 3 b) Cho 0    .
S 1 tan  tan   tan   ... 4 Tính tổng
c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ
a = 0,272727...... b = 0,999999999...........  d) Cho dãy b  2 3 n
n  sin  sin   sin   ...  sin  với    k 2 . Tìm giới hạn dãy bn. Hướng dẫn: 1 a) S  10 1  0,9 1 b) S  1  tan 2 7 2 7 a  0      ... 2 3 4 10 10 10 10 1 1 2 2 2 7 7 10 10 3    ...   ...    ....  2  7  3 2n 1  2 4 10 10 10 10 10 1 1 11 1 1 2 2 10 10 9 1 b  .  1 10 1 1 10 sin
c) Cấp số nhân lùi vô hạn d) lim bn  1  sin n soá haïng a  aa  ...  aaa...a Bài 9. Tính lim n n 10
Hướng dẫn: Ta có 8
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. n soá haïng n soá haïng   n    10 1 100 1 10 1
a  aa  ...  aaa..a  a 111 ...  111..1  a   ...      9 9 9        10 n 10  1 9n  a 81 n soá haïng n a  aa  ...  aaa..a 10a 10 1 9n  10a Vaäy lim     n  n n 10 81 10  81  
Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa Phương pháp
 lim un   khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 lim un    lim(un)  
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh: 2 n  2 3 3 a)lim   b)lim 1 n   n 1 Hướng dẫn:
a)Laáy soá döông M lôùn tuøy yù. 2 2 n  2 n 1 un  
 n 1  M  n  M 1; n 1 n 1 2 n  2
Choïnn0  M 1,n0  . Khiñoù: n
  n0  n  M 1 un   M.Vaäy lim un   n 1 3 2
b)Ta coù: 1-n  (1 n)(n  n 1) 1 n; n  
Laáy soá döông M lôùn tuøy yù. 3 3 un  1 n  3 3 3 3
1 n  M  n  M 1;choïnn0  M 1,n0  . 3 3 3 Khi ñoù: n
  n0  n  M 1 un  1 n  M. Vaäy :lim un  
Ví dụ 2. Cho dãy (un) thoả mãn un  n với mọi n. Chứng minh rằng lim un   Giải
lim n   vì vaäy n lôùn hôn moät soá döông baát kì keå töø moät soá haïng
naøo ñoù trôû ñi. maët khaùc un  n neân un lôùn hôn moät soá döông baát kì keå
töø moät soá haïng naøo ñoù. Vaäy lim un   n 2
Ví dụ 3. Biết dãy số (un) thoã mãn un  n với mọi n. Chứng minh rằng lim un   Giải 2 2
Vì lim n   neân n coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi 2
Maët khaùc, theo giaû thieát un  n vôùi moïi n, neân un cuõng coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy
y,ù keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy lim un   . 
Ví dụ 4. Cho biết lim un   và vn  un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn. Hướng dẫn
lim un    lim(un)    vn  un  lim(vn)   Vaäy limvn   9
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Ví dụ 5. Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy un  vn  .
Hướng dẫn: Kết luận dãy un  vn  không hội tụ Thật vậy:
Xeùt daõy un  vn , giaû söû noù hoäi tuï nghóa laø limun  vn   a vaø limun  b.
Khi ñoù limun  limvn  a Vaäy limvn  a  limun Vì limu n  b  limvn  a  b
Vaäy(vn) laø hoäi tuï, ñieàu naøy khoâng ñuùng.
Vaäy daõy un  vn  khoâng hoäi tuï. Ví dụ 6.
a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết limun  
 vaø v n  u nvôùi moïi n.
Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy (vn) khi n + ? 
b) Tìm limvn vôùi vn  n! Hướng dẫn
a) Vì lim un   nên lim(-un)   .
 Do đó, (un) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số
hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, vì vn  un vôùi moïi n neân (-vn)  (un)vôùi moïi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (-vn) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do
đó, lim(vn)   hay limvn   . b) Xét dãy số (un)=-n.
Ta có: n!  n hay vn  un vôùi moïi n. Maët khaùc limun  lim(n)   .
 Từ kết quả câu a) suy ra
limvn  lim(n!)  
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực Phương pháp
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số un  với 8 3 2 3 2 3 2
a)un  n 50n 11; b)un  109n  n ; c)un  105n 3n  27 ; d)un  8n  n 2 Đáp số: a) ;  b)  ;  c)  ;  d)  
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số un  với 3 4 2 2 3n  n 2n  n  7 2n 15n 11 2n 113n a)un  ; b)un  ; c)un  ; d)un  2n 19 3n  5 2 3 3 2 3n  n  3 n  7n  5 Đáp số: a) ;  b)  ;  c)  ;  d) 
Ví dụ 3: Tính các giới hạn 1  2 2 a)lim ; b) lim 2n 3 n 1     2 2 n 2 n 4      10
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Ví dụ 4: Tính các giới hạn      n n 1  n n n 1 3 11 2  3.5  3 a)lim 3.2 5 10 ; b) lim ; c)lim n n n 1 7.2 3.2  7.4 Đáp số: a) ;  b)  ;  c)  ;  11
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}
Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số có quy luật
Ví dụ 1 :Tính các giới hạn sau: n 1 2  3  ...  n 1 2  3  ... n a) lim b) lim 2 2 n n n  n 1  n Hướng dẫn 1 n n n    2 n 1 2  3  ...  n  2  n n  n 1 a) lim  lim  lim  2 2 n n n n  n 1 n  n 1   2 n  n  1 2 2 1 b) 2
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau 2 n 1 a  a  ...  a n 1 3  ...  2n 1 a) lim vôùi a 1, b 1; b)lim 2 n 2 1 b  b  ...  b 2n  n 1 Hướng dẫn 1 12n  1n n 1 a 1 b n 1 3  ...  2n 1 2 1 a) S  lim  b) S  lim  lim  n 1 1 a 2 2 n n 2n  n 1  2n  n 1 2 1 b  1 1 1 1 
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: lim     ...   n  1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)  n 2 Hướng dẫn 1 1  1 1  Söû duïng:     kk  
1 k  2 2 kk   1 k  1k 2   1 1 1 1 1 1  Vaäy:   ...      1.2.3 2.3.4 n.n  
1 n  2 2 2 n   1 n  2    1 1 1 1  1 1 1  1 Vaäy lim     ...    lim     n  1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) 
n 2 n 2 2   n  1n 2 4  2 2  2    
Ví dụ 4. Tính giới hạn lim1 1 ...1   2.3  3.4    n   1 n  2  Hướng dẫn 2 k  1k 2 Ta thaáy: 1  kk   1 kk   1 2 2  2   2     Vaäy:1 1 ...1        ...1  2.3 3.4 k. k 1   n.   n  1 1.4 2.5 k   1 k  2 n  
1 n  2 1 n  3   . ...  kk   ... 2.3 3.4 1 nn   1 3  n 1    2 2  2     1 Vaäy lim 1 1 ...1   n  2.3  3.4    n   1 n  2  3  12
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau  1 1 1 1  a) lim     ...   n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)  2 2
2.1  3.2  ...  n   2 1 n b) lim 4 n n  1 1 1  c) lim    ...   n  2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1        *  1 3 5 2n 1 d ) lim     ...  2 3 n  n  2 2 2 2 
Hướng dẫn và đáp số 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  a) n S     ...   1    ...  1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2  3 3 5 2n 1 2n 1      1  1  1  1 neân lim   n S  2  2n 1 2 2 2
b)Ta coù: S  2.1  3.2  ...  n   2 1 n  1  2 1 1  2   2 1 2  ...  n   2 n 1 n nn   2 1  n n 1 2n 1 3 3 3 2 2 2    n
S 1  2  ...  n 1  2  ....  n      2  6   S n  n 2 2 1 n n 1 2n 1     n    1 lim lim     4  4 4 n 4n 6n  4   1 n  1 n n n 1 1 1 c)Ta coù:     n   1 n  n n 1 n  2 2 1 n  n n   1 n n 1 1 1 1 n S    ...  2 1  2 3 2  2 3 n  1 n  n n 1 1 1 1 1 1 1  1    ...    1  lim n S  1 2 2 3 n n 1 n 1 1 3 5 2n 1 d)Ta coù n : S     ...  2 3 n 2 2 2 2 1 1  3 1   5 3 
 2n 1 2n  3  2n 1 n S  n
S           ...     2 2 3 3 n n n 1 2 2  2 2   2 2   2 2  2  1 1  n 1 1 1 1 1 2n 1 1 2 2  2n 1 1 1 2n 1     ...       1  2 n 1  n 1  n 1  n2 n 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2  1 2 1 1 1 2n 1 1 2n 1 Suy ra: n S  1   S  3    n 2 2 2 2 n 1 n  n3 n n 2 2 2 2 n n 2 2 n Maët khaùc:   . Maø lim  0  lim  0 n 2 1 n n n 1 n n 1 n 1  2 Vaäy lim n S  3 n 13
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Dạng 2. Dùng nguyên lí kẹp Phương pháp
Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu un  vn  n w vôùi moïi n Và lim n u  lim n
w  L(L ) thìlimvn  L  1 2 n 
Ví dụ mẫu. Tính lim    ....  2 2 2  . n  n 1 n  2 n  n  Giải Ta thấy: 1 2 n 1 2  ...  n 1   ....    2 2 2 2 n 1 n  2 n  n n  n 2 1 2 n 1 2 n nn   1 Vaø   ....     ...   2 2 2 2 2 2 n 1 n  2 n  n n 1 n 1 n 1 2 2 n  1 1 1 2 n nn   1 Vaäy    ....   2 2 2 2 n 1 n  2 n  n 2 2 n  1 nn   1 1 Maø lim  n  2   2 2 n 1  1 2 n  1 Vaäy lim    ....    2 2 2 n  n 1 n  2 n  n  2 BÀI TẬP RÈN LUYÊN
Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau: n  1 1  3sinn  4cosn n  sinn a) lim    b) lim c) lim n  2 3n n  n+1 n 3n+4 sin2n  cos2n  n 2 1  3n d) lim e) lim 2 n 3n+1 n cosn+5n  1 1 1  f) lim    ...   n  2 2 2  n 1 n 2 n n     
Hướng dẫn và đáp số 14
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. n n 1 1 1  1 1   1  * a)0  
  0        , n   .Ñs : 0 2 3n 2  2 3n   2  5  5 b)  un  .Ñs :0 n 1 n 1n1 nsinn n1 1 c)1 sinn  1   .ÑS: 3n  4 3n  4 3n  4 3 d)Töôngtöï caâu b 1 cosn 1  1   1  cosn e)-  
. Tacoù:lim   lim   0  lim  0 2 2 2 2 2 2 n n n  n   n  n n ( 1  ) n 2  3 2 Neân :l ( 1  )  3n n 3 im  lim  2 cosn  5n cosn 5  5 2 n 1 1 1 1 1 1 f)   ...   un    ...  2 2 2 2 2 2 n  n n  n n  n n 1 n 1 n 1 n n n n   un  .Tacoù:lim  lim  1 2 2 2 2 n  n n 1 n  n n 1
Dạng 3. Chứng minh một dãy số có giới hạn Phương pháp
1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:
 Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
 Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.
2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực
hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.
3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1:  Đặt lim un  a  Từ lim un 1  limf(un) 
ta được một phương trình theo ẩn a.
 Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của
phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần
tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.
Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. * Phương pháp 2:
 Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./
 Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học.
 Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó. I. Các ví dụ mẫu u  2
Ví dụ 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi 1 u .
 n 1  2  un vôùi n 1 
Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó. Giải 15
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Ta có: 1
u  2 vaø un 1  2  un ,un  0 vôùi n  N 
 Ta chứng minh : un  2 vôùi n  N (1) Vôùi n=1, ta coù 1 u  2  2 thì (1) ñuùng
Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì uk  2. Vaäy un  2, n  N
 Chứng minh dãy (un) tăng: 2 Xeùt un 1  u             n 2 un un un un 2 0 1 un 2
Maø 0  un  2 neân un 1  u 
n. Vaäy (un ) laø daõy taêng (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra (un) coù giôùi haïn.
 Đặt lim un  athì 0  a  2 n Ta có: un 1  2  u     n lim un 1 lim 2 u  n n n 2
 a  2  a  a  a  2  0  a  1  hoaëc a=2
Vì un  0neân lim un  a  0.Vaäy lim un =2 n n Löu yù: T
rong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau:
" Neáu lim un  a thì lim un 1  a" n n     1 u  2  Ví dụ 2. Cho dãy (u 1
n) bởi công thức truy hồi u . n 1  2    u  n
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải Ta có : 1 3 2 1 4 3 1 5 n 1 1 u  2;u2  2    ;u3  
;u4  .Töø ñoù ta döï ñoaùn: un  (1) 2 2 2 3 3 4 n
Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp: Vôùi n=1, ta coù: 1 u  2 (ñuùng) k 1
Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k 1), nghóa laø uk  . k ... n * Vaäy un  , n   . n 1 n 1
Töø ñoù ta coù lim un  lim  1 n  1 1 u   2
BTTT. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi  1 . un 1  neáu n 1   2  u  n
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. n
Hướng dẫn: lim un  lim 1 n 1 *
Ví dụ 3. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un  sinn;n 
. Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn 16
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Giaû söû lim u          n
lim sinn a.Khiñoù lim sinn 2 a lim sin  n 2 sinn  0 n      2 lim cos n n   n
1 sin1  0  lim cosn   n 1  0  lim cosn  0 n   maët khaùc: cosn   n n
1  cosncos1 sinnsin1,Suy ra lim sinn  0 n Suy ra : lim  2 2
cos n  sin n  0, voâ lyù n
Vaäy daõy soá (un) vôùi un  sinn khoâng coù giôùi haïn.
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Chứng minh dãy (un) với un  2  2  ... 2  2 là dãy hội tụ. n daáu caên Hướng dẫn
Bước 1: Chứng minh dãy (un) tăng
Bước 2: Chứng minh (un) bị chặn trên  1 u  0 
Bài 2. Cho dãy truy hồi  un 1  3 u 
. Tìm giới hạn của dãy.  n  (n  2)  4
Hướng dẫn và đáp số 1 u  0 1 3  1  u2  1 4  4    2 15  1  u2  1 16  4    . . . n 1  1   un 1  4   n 1  1  
baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh un 1  4   n 1  1     Vaäy lim 1       1 n   4      1 u  2 
Bài 3. Cho dãy truy hồi  un 1 1 u 
. Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới hạn đó.  n  (n  2)  2
Hướng dẫn và đáp số Cách 1 n 1 2  1 Döï ñoaùn un  n 2 1 n 1 2  1 lim un  lim  1 n n n 2 1 Cách 2
 Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. 17
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. lim un  a, tìm a n a 1
 Giả sử lim un  lim un 1  a   a  1 n n    2 lim un 1 n Bài 4.  1 u  2 
a) Cho dãy truy hồi  un 1 u
. Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.  n 1  (n 1)   2 0  u  n  1
b) Cho dãy (un) xác định bởi:  1 u
. Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm n 1      1 un  (n 1)  4 giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số
b) * Chöùng minh (un) laø daõy taêng vaø bò chaën treân Ta coù: 0  un 1,nN
AÙp duïng baát ñaúng thöùc cauchy u           1 u  2 u  1 u  1 * n 1 n n 1 n 2 1 un 1 u  n ,n N 4
Vaäy (un) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì (un) thì daõy coù giôùi haïn * Ñaët lim u n  a,a  0 n 2 1 1 1  1  1 Tacoù: u       n 1               1 un  lim un 11 un  a1 a a 0 a 4 n 4 4  2  2 1 Vaäy lim un  n 2 1  2 
Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi un 1   u      n vaø  1 u 0 2 u  n 
a) Chứng minh rằng un  2 vôùi moïi n  2
b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số 1  2  * a) Ta coù 1
: u  0,un 1  u         n u  n 0, n N 2 u  n 
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si: 1  2  2 un 1  u           n u  n . 2 , n 1,n 2 u  n u  n Suy ra un  2, n   2,n N
b)Ta coù: un  2,n  2,nN neân un  laø daõy bò chaën döôùi 2 1  2  1  u  Xeùt n * u           n 1 u         n u  n u  n 1 0, n 2,n N neân un 1 u  n , n N 2 u    n u  n 2  
* Ñaët lim un  a,a  2.Ta coù: n 1  2  1  2  1  2  2 a  2 un 1  u                  n lim u  n 1 lim u   n a a a 2 2 u   n n  n  2 u   n 2   a  a   2 Vaäy lim un  2 n 18
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. *
Bài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un  cosn;n
. Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn Giaû söû lim u           n lim cosn a lim cosn 2 a lim cos  n 2 cosn  0 n      2  lim sin n n   n
1 sin1  0  lim sinn   n 1  0  lim sinn  0 n   maët khaùc: sinn   n n
1  sinncos1 cosnsin1,Suy ra lim cosn  0 n 2 Suy ra : lim cos n 2  sin n  0, voâ lyù n
Vaäy daõy soá (un) vôùi un  cosn khoâng coù giôùi haïn.
Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ: 1 1 1
a) n 1  ... ; nN 2 2 2 2 3 n 1 1 1
b)n 1   ... ; nN 2 3 n 2 3 n Hướng dẫn a) Ta thấy 1 1 1
Daõy n 1   ... laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën. 2 2 2 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1   ...   1   ...   2   2 2 2 2 2 3 n 1.2 2.3 (n 1)n n Vaäy daõy hoäi tuï. b) 1 1 1
Daõy n 1  ... laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën. 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 n 1   ...   1   ...  2 2 3 n 2 2 2 2 3 n 2 3 n
Vaäy daõy bò chaën treân neân hoäi tuï. 19
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giới hạn hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,
xn K \{x0} vaø xn x0,tacoù f(xn) L .
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x0 x x  0 lim f(x)  L  (
 xn),xn K \{x0},limxn  x0  limf(xn)  L x x  0
b) Giới hạn vô cực
Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định ở trên
Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y=f(x) khi x dần đến dương vô vực được định nghĩa như sau:
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a; .
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (xn ) bất kì, x
lim f(x)   hay f(x)   khi x n  a vaø xn   ,  ta coù: f(xn)   .  Kí hiệu:   x lim f(x)    (
 xn),xn  a,limxn    limf(xn)   x
Nhận xét: lim f(x)    lim f(x)   x x
* Các giới hạn đặc biệt: c 1. lim c  c lim
 0 vôùi c laø haèng soá x x x 2. lim x  
x k  neáu k nguyeân döông 3. lim x  x 0 neáu k nguyeân aâm k  neáu k chaün 4. lim x  x  neáu k leû
2. Giới hạn hàm số tại vô cực Định nghĩa
 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; )
 . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi
x   nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xn  a vaø xn   ta coù: f(xn) L .
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x   x
lim f(x)  L  xn ,xn  a, lim xn    lim f(xn)  L x n n
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ( ;
 a) . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi
x   nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xn  a vaø xn   ta coù: f(xn) L .
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x   x
lim f(x)  L  xn ,xn  a, lim xn    lim f(xn)  L x n n
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn 20
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Định lý 1:
Giaûi söû lim f(x)  L vaø lim g(x)  M.Khi ñoù: xx xx 0 0
* lim f(x)  g(x)  L  M x   x0 * lim f(x).g(x)  L.M x   x0 f(x) L * lim    neáuM  0 xx0 g(x) M
Định lý 2: Giaûi söû lim f(x)  L vaø lim g(x)  M.Khi ñoù: x x  x x 0  0 a) lim f(x)  L xx0 3 3 b) lim f(x)  L xx0
c)Neáuf(x)  0 vaø lim f(x)  L thì :L  0 vaø lim f(x)  L  xx xx 0 0
Daáu cuûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x  x0 
4. Giới hạn một bên
Định nghĩa1: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm
số y=f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0  xn  b vaø xn  x0 ta coù: f(xn)  L . Kí hiệu: lim f(x)  L x x  0
lim f(x)  L  xn ,x0  xn  b,limxn  x0  limf(xn)  L x x  0
Định nghĩa 2: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm
số y=f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a  xn  x0 vaø xn  x0 ta coù: f(xn)  L . Kí hiệu: lim f(x)  L x x  0
lim f(x)  L  xn ,a  xn  x0,limxn  x0  limf(xn)  L x x  0 Nhận xét:
lim f(x)  L  lim f(x)  lim f(x)  L x x  0 xx x x 0  0
5. Giới hạn vô cực
Các định nghĩa lim f(x)   ;  lim f(x)   ;  lim f(x)   ;  lim f(x)   ;
 được phát biểu tương tự x x x x  x x  x x  0 0 0  0
định nghĩa 1 và định nghĩa 2. 1
Định lý: Nếu lim f(x)   thì lim  0 xx0 xx0 f(x)
6. Các quy tắc tính giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
Nếu lim f(x)  L  0 vaø lim g(x)  hoaëc  thì lim f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng xx xx xx 0 0 0 sau: lim f(x) lim g(x) lim f(x).g(x) xx0 xx0 xx0 L>0   21
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.     L<0 -  +  f(x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của tích g(x) lim f(x) lim g(x) Dấu của g(x) f(x) xx lim 0 xx0 xx0 g(x) L  Tuỳ ý 0 +  L>0 -  0 +  L<0 -   
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x  x0 ,x  x0,x   ,  x   22
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn Phương pháp 1. lim f(x)  L  (
 xn),xn K \ x0, lim xn  x0  lim f(xn)  L x x  n n 0 
2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi x  x0 ta thực hiện:
Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0  lim xn  x0, lim yn  x0 n n
 Chöùng minh lim f xn   lim f yn  hoaëc moät trong hai giới hạn đó không tồn tại n n 2 x  x  2
Ví dụ 1. Cho hàm số y  lim f(x)  3 x
. Dùng định nghĩa chứng minh rằng . 1 x 1  Giải
Hàm số y=f(x) xác định trên R \  
1 . Giả sử (xn) là dãy số bất kì xn 1 và xn 1 2 x  x  2 x  2 x 1 n n  n  n  lim f(xn)  lim  lim  limxn  2  3 x n 1 xn 1 2 2x  x 3
BTTT: Cho hàm số: f(x)  lim f(x)  5 x
. Dùng định nghĩa chứng minh: 1 x 1  
Ví dụ 2. Cho hàm số   x neáu x 0 y f(x) .
2  x neáux  0 Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y=f(x) không có giới hạn khi x  0 Giải  1   1 
Xeùt daõy xn      0   0 n n      1 lim f(xn)  lim  0 (1) n n n   1 
Xeùt daõy xn     khi n   ;  xn  0  n   1 
lim f(xn)  lim 2    2 (2) n n  n 
Vaäy vôùi (1) vaø (2) haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x  0  BTTT: Cho hàm số:  x neáux 0
f(x) 1x neáux 0 . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số không có giới hạn khi x  0 1
Ví dụ 3. Cho hàm số f(x)  cos 2 . Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f(x) không có giới hạn khi x x dần đến 0. Hướng dẫn 23
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 1 Haøm soá : f(x)  cos xaùc ñònh treân K=R\{0} 2 x 1 1 *Laáy daõy soá (xn) 
K vaø limxn  0;limf(xn)  lim cos  lim cos(2n )   1 2 2 n  xn 1 1 *Laáy daõy soá (y  n ) 
K vaø limyn  0;limf(yn)  lim cos  lim cos(2n  )  0 2  y 2 n 2 n   2
Vậy hàm số không có giới hạn. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau 2 3 x  9 1 x  3 x 1 a) lim  6  ; b) lim   ;  c) lim  4  ; d) lim   2 x 3  x  3  2 x 5  3  x x x 1 x 1   x 1 Hướng dẫn 2 xn  9 a) (  xn),xn  3  ,lim xn  3   lim  6  xn  31 b) (
 xn),xn 1;,limxn 1 lim   2 xn 1 xn  3 5 3 c) (
 xn),xn  3,limxn  5  lim   4  3  xn 3  51 x  3 n 2 xn 1 xn d) (
 xn),limxn    lim  lim   2 x 1 1 n 1 2 xn Bài 2. 2 x neáu x  0
1. Cho hàm số f(x)   2 . x 1 neáu x  0
a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x  0 .
b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên. Hướng dẫn
a) Dự đoán: Hàm số không có giới hạn khi x  0 1 1
b) Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là an  ; vaø bn   n n 1 2. Cho hàm số f(x)  sin 
2 . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi x 0 . x Bài 3.
a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x  
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)
Hưóng dẫn: Xeùt hai daõy an  vôùi an  2n vaø bn  vôùi bn   2n 2
Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng  ;a
  . Dùng định nghĩa chứng minh
rằng, nếu lim f(x)  L vaø lim g(x) M thì lim f(x)g(x) L.M x x x 24
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Hướng dẫn
Giaû söû (xn)laø daõy baát kì thoõa maõn xn  a vaø xn   .
 Vì lim f(x)  L neân lim f(xn)  L x n
Vì lim g(x)  M neân lim g(xn)  M. Do ñoù: lim f(xn).g(xn)  L.M. x n n
Töø ñònh nghóa suy ra: lim f(x).g(x)  L.M x
Bài 5. Cho hàm số y=f(x) xác định trên a; . Chứng minh rằng nếu lim f(x)   thì luôn tồn tại ít x
nhất một số c thuộc a; sao cho f(c)<0. Hướng dẫn
Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá xn  baát lyø, xn  a vaø xn   ta luoân coù lim f(xn)   . x n Doñoù lim f(x   n )   n  
Töø ñònh nghóa suy ra f(xn) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.Bài 6. Cho
Neáu soá döông naøy laø 2 thì -f(xn)  2 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi ít nhaát moät soá xk a; sao cho -f(xk)  2 hay f(xk)  2   0
Ñaët c  xk, ta coùf(c)  0 khoảng K, x K \ x
0 K và hàm số f(x) xác định trên  0.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu lim f(x)   thì luôn tồn tại ít nhât một số c thuộc K \ x0 sao cho f(c)>0. xx0 Hướng dẫn
Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá xn  baát lyø, xn K \ x0 vaø xn  x0 ta luoân coù lim f(xn)   . xx n 0 
Töø ñònh nghóa suy raf(xn) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Neáu soá döông naøy laø 1 thì f(xn) 1 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Noùi caùch khaùc, luoân toøn taïi ít nhaát moät soá xk K \ x0 sao cho f(xk) 1.
Ñaët c  xk, ta coùf(c)  0 25
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:
1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f(x)  f x0  xx0
2. Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn 
Ví dụ 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau: 2  2  x 1 x  4 a)lim 2  x 1 ; b) lim ; e) lim x 1    x  3 x 2 x 3   2x  2 Giải 2  2  x 1 3 1 1 x  4 0
a)lim 2  x 1  2 1 1 3 1; b) lim   ; c) lim   0 x 1    x  3 3  3 3 x 2 x 3   2x  2 4
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau            2 6 6 2 3 2 x  5 1 sin x  5cos x a) lim x 5 1 ; b) lim x 5x 10x 1 ; c) lim ; d) lim 4 4 x 2    x0 x 1  x  5 x   1  sin x  cos x 2
Hướng dẫn và đáp số 3 a) 2 b)1 c) 2 6 6 1 sin x  5cos x  11 5.0 d) f(x)  xaùc ñònh taïi x  neân lim f(x)  1 4 4 1 sin x  cos x 2  11 0 x2
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn của hàm số sau 2 3  x x 1 2 x  5 1 x a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim 2 2    2 x 4 x 1  x  1 x 4 x 5  x  5 x4 x  4 Đáp số         2 3  x a)Ta coù: lim 3 x
1 0 vaø lim x 4  0 neân lim      x  42 x 4 x 4 x 4 2 x 1 b) lim   ;  c)  ;  d)   x 1  x  1
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 1 1        x x x 6 3 x 3 2 2 2 x  x  6
a) lim x2  ; b)lim  ; c) lim ; d) lim ; e) lim  2  3 2 2 x0  x x 9  x0  9x  x 1 x 2  x 3 x  2x  x  3x   1 x 1 5 Đáp số: a)  3; b)  ; c) 1; d)0; e) 54 3
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau 3 2 2x  7x 11 2x 1 2x  3 a) lim ; b) lim x ; c) lim 6 5 3 2 x x x 2 3x  2x  5 3x  x  2 2x  3 6 Đáp số: a)0; b) ; c)  2 3 26
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên Phương pháp
lim f(x)  L  xn ,x0  xn  b, lim xn  x0  lim f(xn)  L  n n x x   0
lim f(x)  L  xn ,a  xn  x0, lim xn  x0  lim f(xn)  L  n n x x   0
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau 1 1 a) lim ; b) lim 2 x 2 x  2 x 1   x  3x  4
Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau a) lim 2x  4;
b) lim  7x 3x x 2 x 7  
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên Phương pháp
lim f(x)  lim f(x)  L  lim f(x)  L   x x x x x x    0 0 0 I. Các ví dụ mẫu 2
x  2x  3 neáu x  3 
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x)  1  neáux=3 2 3-  2x neáu x  3 
Tính lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x)   x 3 x 3 x 3    Hướng dẫn * lim f(x)  lim  2 3  2x  2  3  2.3  15  x 3 x 3   * lim f(x)  lim  2 x  2x  3 3  3  2.3  3  6 x 3 x 3  
* lim f(x)  lim f(x) neân haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x  3 x 3 x 3  
Ví dụ 2. Cho hàm số f(x)  1 2x  6 . Tính lim f(x); lim f(x); lim f(x)   x 3 x 3 x 3    Hướng dẫn
  2x 6 neáu x 3     2x5 neáu x3 Ta coù: 2x 6 neân f(x) 2x 6 neáux 3 2  x  7 neáux  3
* lim f(x)  lim 2x  5  2.3  5 1 x 3 x 3  
* lim f(x)  lim 2x  5  2.  3  7 1 x 3 x 3  
* lim f(x)  lim f(x) 1 lim f(x) 1   x 3 x 3 x 3   
Ví dụ 3. Cho hàm số:  1 3   neáu x 1 f(x)   3 x 1 x 1 mx  2 neáu x 1
Tìm giá trị của m để hàm số f(x) có giới hạn khi x 1. Tính giôùi haïn ñoù Giải 27
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 2  1 3  x  x  2 * lim f(x)  lim     lim 3 3 x 1 x 1  x 1   
  x  1 x 1  x 1 x 1 x 2 x  2  lim  lim 1  x   1  2 x 1 x  x   2 1 x 1   x  x 1
* lim f(x)  lim mx  2  m  2 x 1 x 1  
Haøm soá f(x) coù giôùi haïn thì lim f(x)  lim f(x)  1  m  2  m  1  x 1 x 1   * khi ñoù lim f(x) 1 x 1 
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 2 2 2x  x 9  x x  5x  4 a) lim ; b) lim ; c) lim    2 x0 x  2 x x 3  6  2x x4 16  x
II. Bài tập rèn luyện Bài tập 1. 2 x  x  2  neáu x  1 a) Cho hàm số f(x)   x 1
. Tính lim f(x); lim f(x); lim f(x) 2    x 1  x  x 1 neáu x  1 x 1  x 1  5  x b) Cho hàm số f(x) 
. Tính lim f(x); lim f(x); lim f(x) x  5   x 5 x 5 x 5    Đáp số: a) 3 b) lim f(x)  1  ; lim f(x) 1 x 5  x 5  3 x 1 
Bài tập 2. Cho hàm số neáu x  1 f(x)   . x 1
Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn mx  2 neáu x 1 x 1
Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x=1  1 2   vôùi x 1 f(x)   2 x 1 x 1 mx  5 vôùi x 1
Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x=0  sinx vôùi x  0 f(x) 3x  a vôùi x  0 Đáp số: a = 0
Bài tập 5. Tính các giới hạn sau 2 x 1 3x  6 3 x  x a) lim ; b) lim ; c) lim x 1 x 1  x  2 x   2   x 0   2x  x 28
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Dạng 5. Tính giới hạn vô cực
Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau: 3 2 2x 15 a) lim 4x  x 1 b) lim   x  22 x x 2 2 4x  x 1 Đáp số: 2 a) lim 4x  x 1  lim   b)   x x 2 4x  x 1
Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau: 2 2
a)y  f(x)  4x  2x  5 khi x   ; 
b)y  f(x)  3x  6x 1 khi x   x 15  x 15 c)y  f(x)  khi x  2  ; d)y  f(x)  khi x  2  x  2 x  2 Đáp số: a)   b)   c)   d)   0
Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 Phương pháp: 0 u(x)
1. Nhận dạng vô định lim khi lim u(x) lim u(x) 0 0 : xx v(x) xx xx 0 0 0
2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước u(x) (x  x0)A(x) A(x) A(x) lim  lim  lim vaø tính lim xx v(x) x x  (x  x )B(x) x x  B(x) x x o o 0 o  o B(x)
Nếu phương trình f(x)=0 có nghiệm là x0 thì f(x)=(x-x0).g(x) Đặc biệt: 2
f(x)  ax  bx  c,maø f(x)  0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,x
Nếu tam thức bậc hai thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x)  ax-x x-x  1 2 1 2
Phương trình bậc 3: 3 2
ax  bx  cx  d  0 (a  0) 
a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích 1
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner 
a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x  1  , ñeå phaân tích 1
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner
3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân
tích chúng thành tích để giản ước. A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B
A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B 3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B        3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B        I. Các ví dụ mẫu 2 x  x
Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: lim x 1  x 1 Giải 29
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 2 x  x xx   1 lim  lim  lim x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  2 4  x
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: lim x 2  x  7  3 Giải 2 
2x2 x x7 3 4 x  lim  lim x2 x2 x  7  3 x2 lim  2 x   x 7 3       4.6   24  x2 
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau: x  2x  3 1 x3 2 3 2 1 x  x  x 1 a) lim b) lim c) lim 2 x 1  x0 2x  x 1 x x 1  x 1 3 2 3 x  5x  3x 1 x  2x  4 d) lim e)lim 4 2 2 x 1  x 1 x  8x  9  x  2x 4 1 Đáp số: a) b) 3 c)2 d) e) 5 3 5
Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau: 2 4  x x  5 x  4  x  4  2 a) lim b) lim c) lim x2 x5 x2 x  7  3 x  5 x  5 2 3 x  x  2 x  4 1 x  1 x d) lim e) lim f) lim 3 x5 x 2  x0 4x 1  3 3x  2  2 x 1 9 1 Đáp số: a)  24 b) 2 5 c) d) e)16 f) 3 8 6
Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau: 2 2 x  3  3 x 1 1 x  x  1 x  x a) lim ; b) lim ; c) lim 3 2 x0 x x 1  x0 x 1 x  x 3 2 3 x  9  x 16  7 x  7  5  x 2 1 x  8  x d) lim ; e) lim ; f) lim x0 x x 1  x 1 x0 x 3 2 5  x  x  7 x 1  2 g) lim ; h) lim 2 3 x0 x 1 x 1  x 1 1 7 7 11 5 3 Đáp số: a) b) 3 c)1 d) e) f)  g)  h) 2 3 24 12 12 12 2 2
Bài 4. Tính các giới hạn sau 3 3 2 4 4 (x  h)  x x  (a 1)x  a x  a a) lim ; b) lim ; c) lim ; 3 3 h0 h x a  x a x  a x  a 3 3 n 2(x  h)  2x x  nx  n 1 d) lim ; e)lim 2 h0 h x 1  (x 1)
Bài 5. Tính các giới hạn sau 30
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 3 2 2 4 2 x  x  x 1 2x  x  6 x  x  72 a) lim ; b) lim ; c) lim 2 3 2 x  1 x 2 x 3 x  3x  2 x  8  x  2x  3 3 2 1992 x  5x  3x  9 x  x  2 d) lim ; e)lim 4 2 1990 x  3 x 1 x  8x  9  x  x  2
Bài 6. Tính các giới hạn sau  2 1   1 3   x  2 x  4  a)lim   ; c) lim   ; d)lim   2 3  2 2 x 1   x 1 x 1 x 1   1 x x 1 1 x  
 x  5x  4 3(x  3x  2)    
Bài 7.Tính các giới hạn sau 2 x 1  x  x 1 x  3  2 2  x  2 4x 1  3 a) lim b) lim c) lim d) lim x0 x 2 x7 49  x 2 x 2  x  3x  2 2 x 2  x  4
Bài 8. Tính các giới hạn sau x 1  x  4  3 x  9  x 16  7 3 x 1  x  4 3 a. lim b. lim c. lim x0 x x0 x x  0 x 3 x 1  x 1 3 x  3  3x  5 3 8x 11  x  7 d. lim e. lim f. lim x  0 x 2 x 1  x 1 2 x  1 x  3x  2 
Dạng 7. Dạng vô định Phương Pháp:
1. Nhận biết dạng vô định  u(x) lim khi lim u(x)   ,  lim v(x)   xx v(x) xx xx 0 0 0 u(x) lim khi lim u(x)   ,  lim v(x)   x v(x) xx xx 0 0 n
2. Chia tử và mẫu cho x với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa n
nhân tử x rồi giản ước)
3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao
nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu). I. Các ví dụ mẫu 3 3x  5x
Ví dụ 1. Tính giới hạn lim 3 2 x 6x  x Giải: 5 3 3  2 3x  5x x 1 lim  lim  3 2 x x 6x  x  1 2 6  x  2 
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau lim  4x  x  2x  x   Giải: 31
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  2  2  4x x 2x 4x x 2x       2     x
lim  4x  x  2x  lim  lim x   x  2  x  2  4x x 2x  4x x 2x          1 1  lim   x 1 4  4   2 x
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau    2 3 3x  15x 3 2x 3x 4  4 2 x  7x  x  5 a) lim b) lim ; c) lim 3 2 x x x  x 1   3 2x  1x   x 1  3 x 13  1  2 2 2   3 x 1 4x 1 x x 2 3x        x 1 d) lim e) lim f) lim   x 2x  3 x 2 x 1   2x  3 4x 1 x 1      2  x 3x 2     Đáp số  2 x  x  2  3x khi x   : lim = 4 1  x 2 1 4x 1  x 1 a)  2 b) 0 c)  d) e) ; f)   2 2 x  x  2  3x 2 5 khi x  : lim =-  x 2 3  4x 1  x 1
Bài 2. Tính các giới hạn sau   x  112x 1 2x 3x 5 2 3 2 x  2x  3  4x 1 a) lim ; b) lim ; c) lim 3 7 x x x 2 x  9 x  x  3 4x 1  2  x 2 4 2 2
9x  x 1  4x  2x 1 x  7x  x  5 x  2x  3 d) lim ; e) lim ; f) lim x x 1 x 3 x 13 x 3 3 x  x 1 Đáp số: a)3; b)  32; c)5 khi x   ;  1 khi x   ;  d)1 khi x   ;  1 khi x   1 1 e) khi x   ;   khi x   ;  f)1 khi x   ;  1 khi x   3 3
Bài 3. Tính các giới hạn sau: 2 2 2 x x 1 3x(2x 1) (x 1) (7x  2) a) lim ; b) lim ; c) lim 2 2 4 x x x x  x 1 (5x 1)(x  2x)  (2x 1) 2 2 2 4x 1 x  3x  2x x  x  2  3x 1 d) lim ; e) lim ; f) lim x 3x 1 x 3x 1 x  2 4x 1 1 x
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 2 2 4x  2x 1  2  x x  2x  3  4x 1 x x  3 a) lim ; b) lim ; c) lim 2 x 2 x 2 x 9x  3x  2x 4x 1  2  x  x 1 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 x  2x  x
(x  2x )  x x  2x  x (x x  x 1)( x 1) d) lim ; e) lim ; f) lim 2 x 2x  2 x x 3x  2x  (x  2)(x 1)
Dạng 8. Dạng vô định   ;  0. Phương pháp: 32
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp
2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.
3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định   ;  0. hoặc  0
chuyển về dạng vô định ;  0
Ví dụ 1. Tìm các giớí hạn của hàm số sau: 1  1   2 a) lim  1 b) lim  4x x 2x     x0 x  x 1 x       2         3   x c) lim 2x 3 4x 4x 3 d) lim x 1      2 x  x 1  x 1    2 2   2 3 3 e) lim  x 2x 1 x 7x 3  f) lim  x 1 x 1          x   x   Đáp số: 1 a) 1 b)
c)khi x   :ÑS: 4 ;khi x   :ÑS:   d)0 4 5 5
e)khi x   :ÑS: ;khi x   :ÑS:  f) 0 2 2
Ví dụ 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau  2 2   2 2 a) lim  x x x 1 b) lim  x 8x 3 x 4x 3           x   x    3 3 2 2   
c) lim  x  x  x  x 
d) lim  x  x  x  x  x   x   Đáp số 1 1 a)  khi x   ;  khi x   ;  b)2 khi x   ;   2 khi x   2 2  3 3 2 2   3 3 2 2 c) lim  x x x x  lim  x x x x x x            x   x     2 x x  1 1 5  lim       x   3 2 6 3   3 2  2 2 3 3 2 2 x  x  x x x  x x  x  x    1   x 1  x  d) lim x 1
 x  x  x  x   lim  lim  x x   x  2  x  x x  x 1 1 1  1 x x x
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính các giới hạn sau 3 2 2 a) lim (2x  3x); b) lim x  3x  4; c) lim ( x  x  x) x x x
Bài 2. Tính các giới hạn sau 2 2 2
a) lim ( x  2x  4  x); b) lim ( x  2  x  2);
c) lim ( x  4x  3  x 3x  2) x x x
Bài 3. Tính các giới hạn sau 2 2 2 a) lim x( x  5  x);
b) lim (3x  2  9x 12x  3);
c) lim ( x 3x  2  x  2) x x x 33
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Bài 4. Tính các giới hạn sau 2 3 3 2 3 3 2
a) lim ( x  3x 1  x  3); b) lim ( x  x  x  x);
c) lim ( x  2x 1  x 3x) x x x 34
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 0
Dạng 1. Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định 0 )
Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí: sinx sinu(x) u(x) lim
1 hoaëc lim u(x)  0  lim 1; lim 1 x 0  x x 0  u(x) 0  u(x) u(x) 0  sin u(x)
Ví dụ 1. Tính các giới hạn của hàm số sau 2 tanx  sinx 1 sin2x  cos2x 1 cos 2x a) lim b) lim c) lim 3 x0 x 0 x  1 sin2x  cos2x x0 xsinx Hướng dẫn  1   2 x sinx 1   2sinxsin tanx  sinx  cosx  2 a) lim  lim  lim  3 3 3 x0 x0 x0 x x x cosx 2 x sin sinx 2 1 1  2 lim . lim . lim  2 x0 x x0 x0 cosx 2  x   2    2 1 sin2x  cos2x 2sin x  sin2x 2sinxsinx  cosx b) lim  lim  lim  1 2 x0 1 sin 2x  cos2x x0 x0 2sin x  sin2x 2sinxsinx  cosx 2 2 2 1 cos 2x sin 2x 4sinxcos x c) lim  lim  lim  4 x0 xsinx x0 x s inx x0 x
Ví dụ 2. Tính các giới hạn của hàm số sau: sin3x 1 cos5xcos7x cos12x  cos10x a) lim b) lim c) lim 2 x 0  1 2cosx x 0  x 0 sin 11x  cos8x  cos6x
Hướng dẫn và Đáp số sin3x a)Xeùt haøm soá f(x) ,ñaët x     t 1 cosx    3 sin   3t sin3t
Luùc ñoù: f(x)  f   t    3      1 cost  3sint 1 2 cos cost  sin sint  3 3    sin3t sin3t   2 t t t t  t t 1 sin 2 3 sin cos 2sin sin 3 cos     2 2 2 2  2 2    6t sin3t sin3x . lim sin3t  li 2 3t m  lim   3 x0 1  cos x t0 t  t t  t0 t  t t 2sin sin 3 cos 2sin sin 3 cos    2  2 2  2  2 2      35
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 2 5x 2sin  cos5x1 cos7x 1 cos5x cos7x
1 cos5x  cos5x  cos5x cos7x 2 b) lim  lim  lim 2 2 2 x0 x0 x0 sin 11x sin 11x sin 11x 25 2 5x 49 2 7x sin sin 4 2 4 2  cos5x 2 2  5x   7x  2 5x 2 7x 2sin  2cos5xsin   2     2  2 2 lim 2 lim    2 2 x0 x0 sin 11x 2 sin 11x 11 11x2 25 49  4 4 37  2.  2 11 121 cos12x  cos10x sin11x 11 c) lim  lim  x0 cos8x  cos6x x0 sin 7x 7
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính các giới hạn sau  2  x  3  2x     a) lim   cot x; b)lim ;
c) lim tan2xtan  x x0 sin2x x 1   tanx   1    4 x  4 4 4
981 cos3xcos5xcos7x  cos x  sin x 1 sinsinx d) lim   ; e) lim ; f) lim 2 x0 83 x0 2 x0   sin 7x  x  x 1 1 3 2 3 2x 1  x 1 cosx  cosx g)lim h) lim 2 x 1  sinx x0 sin x 7 1 1 Đáp số: a)0 b)  c) d)1 e) 4 f)1 g)1 h)  4 2 12
Bài 2. Tính các giới hạn sau sin5x 1 cos2x cosx  cos7x cosx  cos3x a) lim b) lim c) lim d) lim x  0 3x 2 x  0 x 2 x  0 x 2 x  0 sin x tgx  sinx  1 3  sin2x  sinx 1 sinx  cos2x e) lim lim   x lim lim 3 f) g) h) x  0 x x  0 sinx sin3x  x0 3sinx x0 sinx
Dạng 2. Giới hạn kẹp
Phương pháp: h(x)  f(x)  g(x), x  K \ x0,x0 K
và lim h(x)  lim g(x)  L  lim f(x)  L x x  x x  x x 0 0  0 I. Các ví dụ mẫu 2 x  sin2x  3 cos2x
Ví dụ 1.Tính giới hạn lim 2 x 3x  6 Giải 36
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Ta nhaän thaáy: -2  sin2x  3 cos2x  2 2 2 2 x  2 x  sin2x  3 cos2x x  2 Vaäy   2 2 2 3x  6 3x  6 3x  6 2 2 2 1 2 x  2 x  2 x 1 Maø lim  lim  lim  2 2 x x x 3x  6 3x  6  6 3 3  2 x 2 x  sin2x  3 cos2x 1 Vaäy lim  2 x 3x  6 3 2 1
Bài 2. Tìm lim x sin x0 x Giải 2 2 1 2
Ta nhaän thaáy :  x  x sin  x lim  x 2 x  2  lim x  0 x0 x0 2 1 Vaäy lim x sin  0 x0 x
II. Bài tập rèn luyện
Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 2 2x  sin x  5cos2x 2 1 x 1  x a) lim ; b) lim x cos ; c) lim cos x 1  x 2   x x 0 x  3  x x x
Hướng dẫn và Đáp số:\ 2 2
a) Ta coù: sin x  5cos2x 11sin x  5 2
2x  5 2x  sin x  5cos2x 2x  6   2 2 2 x  3 x  3 x  3 ....Ñs :0 b) Töông tuï baøi   maãu 2. ÑS:0
c)Ta coù: 1 cos x 1  x  1, x   x 1  x x 1  x        x1 x cos x 1 x  , x   \ {0} x x x ....ÑS: 0
Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 2 x  5cosx xsinx sin2x  2cos2x a) lim ; b) lim ; c) lim 3 2 2 x x x x 1 2x 1  x  x 1
Hướng dẫn và Đáp số a) 2 2 2 2 x  5 x  5cosx x  5 x  5cosx *TH1: x   1,    lim  0 3 3 3 3 x x 1 x 1 x 1  x 1 2 2 2 2 x  5 x  5cosx x  5 x  5cosx *TH2 : x   1,    lim  0 3 3 3 3 x x 1 x 1 x 1  x 1 x xsinx x xsinx b)    lim  0 2 2 2 2 x 2x 1 2x 1 2x 1  2x 1 c)ÑS: 0 37
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hám số liên tục tại một điểm Định nghĩa: Cho hàm số
y  f(x) xaùc ñinh treân khoaûng K vaø x0 K . Hàm số
y  f(x) lieân tuïc taïi x0 khi vaø chæ khi lim f(x)  f(x0) . Hàm số không liên tục tại x được gọi là gián đoạn x x  0 0 tại x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Định nghĩa:
y  f(x) lieân tuïc treân moät khoaûng neáu noù lieân tuïc taïi moïi ñieåm cuûa khoảng đó
y  f(x)liên tục trên đoạng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
lim f(x)  f(a) , lim f(x)  f(b) x a x b  
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “ đường liền” trên khoảng đó. 3. Các định lí: Định lí 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng
Định lí 2: Giả sử y  f(x) vaø y  g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm điểm x0 . Khi đó: a) Các hàm số
f(x)  g(x), f(x)  g(x) vaø f(x).g(x) cuõng lieân tuïc taïi ñieåm x0 f(x) b) Hàm số
lieân tuïc taïi ñieåm x0, neáu gx0   0 g(x)
Định lí 3: Nếu hàm số y  f(x) liên tục trên đoạn a; b 
 và f(a).f(b)  0 thì tồn tại ít nhất một điểm ca;b sao cho f(c)=0
Mệnh đề tương đương: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0. Khi đó phương trình
f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 Phương pháp f (x) khi x  x Cho hàm số: 1 0 f(x)    2 f (x) khi x  x0
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, chúng ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Tính lim f(x)  lim 1f(x)  L x x  x x 0  0
Bước 2: Tính f x0   2f x0 
Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương rình L  2f x0 , từ đó đưa ra kết luận 38
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1 2 x 1  khi x  1 f(x)   x 1 x  a khi x 1 Giải
Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi x Tacoù: 2 x 1 lim f(x)  lim  lim x   1  2 x 1  x 1  x 1 x 1  f(1)  a 1 Vaäy: *Neáu:
2  a 1  a  1  f(1)  2  lim f(x), thì haøm soá lieân tuïc x 1 
*Neáu: 2a1 a1 f(1)1 limf(x), thì haøm soá giaùn ñoaïn taïi ñieåm x 1 x 1  0
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x  1  2 x  5x  4  khi x  1 f(x)    x 1 3  khi x  1  Giải
Hàm đã cho xác định trên . Ta có 2 x  5x  4 x 1x 4 lim f(x)  lim  lim  lim x  4  3 x      f  1  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1  3.
Vaäy haøm soá lieân tuïc taïi x  -1. 2 x  x  2 
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số neáu x  2 f(x)   lieân tuïc taïi x=2 x  2 m+1 neáu x  2 Giải
Hàm đã cho xác định trên . Ta có x2x 1 lim  lim x  
1  3 và f 2  m 1. x 2  x  2 x 2 
Để hàm số liên tục tại x  2 thì lim f x  f 2  m 1 3  m  2. x 2 
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  0 3    x 1 x1  , khi x  0 f x   x 2x 1, khi x  0 Giải
II. Bài tập rèn luyện
BT 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1 39
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 3 2 x  x  2x  2  khi x  1 f(x)   x 1 4 khi x  1 Hướng dẫn giải
Hàm đã cho xác định trên . Ta có    x 1 2 3 2 x  2 x x 2x 2  lim  lim  lim 2 x  2  3. x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  f   1  4 .
Vì lim f x  f  
1 nên hàm số gián đoạn tại x 1 x 1  0  x 1  neáu x  1
BT 2. Cho hàm số: f(x)   2 x 1
. Tìm m ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x=1.  2 m x neáu x 1 Hướng dẫn giải
Hàm đã cho xác định trên . Ta có x 1 1 1 lim  lim   2 và   2 f 1 m . x 1  x 1 x 1  x 1 2 1 1
Để hàm số liên tục tại x  1thì lim f x  f   2 1  m   m   . x 1  2 2
BT 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 2   1 x x  2    neáu x  2 neáu x 2 a)f(x)   ; b)g(x) x  2  x 22  2 2 neáu x 2   2 neáu x=2 Hướng dẫn giải
a) Hàm đã cho xác định trên .  Khi x  2 thì   2 x 2 f x 
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên  ;
 2  và  2; . x  2
Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm x  2 . Ta có 2 x  2 lim
 lim x  2  2 2 và f 2  2 2 . x 2 x  2 x 2
Vì lim f x  f  2 nên hàm số liên tục tại x  2 . x 2
Vậy hàm số liên tục trên .
b) Hàm đã cho xác định trên . 1 x Khi x  2 thì gx  ;2  2; 
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên   và  . x  22
Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm x  2 . 40
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Ta có 1 x lim
  và g2  2 .  x 22 x 2
Vì lim gx  g2 nên hàm số không liên tục tại x  2 . x 2 
Vậy hàm số không liên tục trên .
Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 và x=3 a Khix  0  2 x  x  6 2 f(x)       khi x  3x  0 x x 3 b khi x  3
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số sau:  2  1  x xcos neáu x  0 a)f(x)  1 x  neáu x  0  b)f(x)   2 x x 0 neáu x  0 0 neáu x  0
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp f (x) khi x  x Cho hàm số: 1 0 f(x)    2 f (x) khi x  x0
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, chúng ta thực hiện các bước sau: -
Bước 1: Tính f(x0)=f2(x0) -
Bước 2: (Liên tục trái) tính: lim f(x)  lim 1f(x)  1 L x x xx  0 0
Đánh giá hoặc giải phương trình 1
L  2f(x0), từ đó đưa ra kết luận liên tục trái. -
Bước 3: (Liên tục phải) tính: lim f(x)  lim 2f(x)  L2 x x xx  0 0
Đánh giá hoặc giải phương trình 1
L  2f(x0), từ đó đưa ra kết luận liên tục phải. -
Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1=L2 , từ đó đưa ra kết luận I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0=0: x  a khi x  0 f(x)   2 x 1 khi x  0 Giải 41
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Haøm soá xaùc ñònh taïi moïi x . Ta coù: lim f(x)  lim  2
x  1 1 vaø lim f(x)  lim x a  a. x 0 x 0 x 0 x 0     f(0) 1 Vaäy :
Neáua 1 thì lim f(x)  lim f(x)  f(0) 1  Haøm soá lieân tuïc taïi x0 1 x 0 x 0  
 Neáua  1 thì lim f(x)  lim f(x)  Haøm soá giaùn ñoaïn taïi x0 1 x 0 x 0   2 x 3x  2  khi x 1
Ví dụ 2. Cho hàm số: f(x)   x 1  a khi x 1
a) Tìm a để f(x) liên tục tại trái điểm x=1
b) Tìm a để f(x) liên tục tại phải điểm x=1
c) Tìm a để f(x) liên tục trên R. Giải Ta có: x  2 khi x 1  f(x)  a khi x 1 2 - x khi x  1 
a) Để f(x) liên tục trái tại điểm x=1
 lim f(x) toàn taïi vaø lim f(x) =f(1) x 1   
Ta coù: lim f(x)  lim x 1
2  x 1 vaø f(1)  a x 1 x 1   Vaäy ñieàu kieän laø a=1
b) Để f(x) liên tục phải tại điểm x=1
 lim f(x) toàn taïi vaø lim f(x) =f(1) x 1   
Ta coù: lim f(x)  lim x 1 x  2  1  vaø f(1)  a x 1 x 1   Vaäy ñieàu kieän laø a=-1
c) hàm số liên tục trên R trước hết phải có:
lim f(x)  lim f(x) 1  1  (maâu thuaãn) x 1 x 1  
Vaäy khoâng toàn taïi a ñeå haøm soá lieân tuïc treân R
II. Bài tập rèn luyện x  2a khi x  0
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0  0 : f(x)   2 x  x 1 khi x  0
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau:  x 1  neáux 1
a) f(x)  x  5 taïi x  4 b) g(x)   taïi x 1 2  x 1  2  x neáux 1
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=1 và x=-1  x cos   khi x 1 f(x)   2  x 1 khi x 1  42
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 5x  sin3x  neáu x  0
Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số f(x)   x tại điểm x=0 2 x  2x  2 neáu x  0 2  Bài 5. Cho hàm số ax neáux  2 f(x)  3 
. Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2.  neáux>2 3  3x  2  2  neáu x  2 
Bài 6. Tìm a để hàm số f(x)  x  3  lieân tuïc treân 1 ax  neáux  2  4 2 2x neáu x  2 
Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x)  5  neáux  2 3  x 1 neáu x  2 
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K Phương pháp
Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng K, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn
Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao
Bước 3: Kết luận. I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R:  1 xcos khi x  0 f(x)   2 x 0 Khi x  0 Giải
Haøm soá f(x) lieân tuïc vôùi moïi x  0.
Xeùt tính lieân cuûa f(x) taïi x=0 Ta coù: 1 1 x.cos  x cos  x 2 2 x x 1  1    x  x.cos
 x  lim x.cos   0 2 2 x0 x  x  Maët khaùc f(0)=0
Do ñoù, lim f(x)  f(0)  Haøm soá lieân tuïc taïi x  0. x0
Vaäy haøm soá lieân tuïc treân toaøn boä truïc soá.
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số: 2 x  x neáux 1 f(x)   a  x1 neáux 1 Hướng dẫn
Hàm số xác định với mọi x
1. Khi x <1. Hàm số liên tục
2. Khi x>1. Hàm số liên tục 3. Khi x =1
 a=1: Hàm liên tục tại x=1 43
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
 a  1: Hàm số gián đoạn tại x=1 Kết luận:
 a=1: Hàm số liên tục trên toàn bộ trục số
 a  1, hàm số liên tục trên  ;  
1 vaø1; vaø giaùn ñoaïn taïi x=1
II. Bài tập rèn luyện  1 x  neáu x 1
Bài 1. Cho hàm số y  f(x)   . 2  x 1
Xét sự liên tục của hàm số. 2x neáux 1
Hướng dẫn và đáp số -
Với x<1: hàm số liên tục -
Với x>1 Hàm số liên tục -
Xét x=1: Hàm số liên tục. Vậy hàm số liên tục trên R
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác đinh của chúng: 2  x  2  1 x  , neáux  2  , neáu x  2 a) f(x)  x  2 b) g(x)  x  22   2 2 neáux  2 3  neáu x  2 Đáp số a) y=f(x) liên tục trên R
b) y=g(x) liên tục trên  ;
 2 vaø 2; nhöng giaùn ñoaïn taïi x=2  x 1  neáu x  1
Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x)   2 x 1
liên tục trên 0; .  2 m neáu x 1 1
Đáp số: m   2 Bài 4. 2 x  x  4 neáu x  2  a) Cho hàm số f(x)   x  2
neáu - 7  x  2 . Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng  x  7 3  7;  . 1  neáu x  3  b) Cho hàm số f(x)  a
 x  b neáu 3  x  5 . Tìm a và b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị của hàm số. 3  neáu x  5  Hướng dẫn
a) x>2: hàm số liên tục trên khoảng 2; x  2
-7 lieân tuïc treân (-7;2). Vì sao? x  7  3 x=2: Hàm số liên tục.
Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng  7;  
b) a=1 bà b=-2 thì hàm số liên tục. 44
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông
thường x0 thoã mãn một trong các trường hợp:
1. f(x) không tồn tại 2.
lim f(x) khoâng toàn taïi , lim f(x)  f(x ) x x  0 0 xx0 2 x  x 6      neáux x 3  0 x x 3 
Ví dụ 1. Cho hàm số: f(x)  a  neáux 0 b neáu x=3  
Với a, b là hai tham số. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số Giải
D=R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x=0 và x=3 2 x  x  6
Tại x=0, ta có f(0)=a và lim f(x)  lim   x0 x0 xx  3
Vậy x=0 là điểm gián đoạn của hàm số 2 x  x  6 x  2 5
Tại x=3 và f(3)=b và lim f(x)  lim  lim  x 3  x 3  xx  3 x 3  x 3 5
Vậy khi b  vaø vôùi moïi a thì ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm soá laø x=0;x=3 3 5
Khi b  vaø vôùi moïi a thì ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm soá laø x=0 3 ax  b neáux 1 
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của a và b để hàm số f(x)  3  x
neáu 1 x  2 liên tục tại điểm x=1 và gián 2 bx  a neáux  2 đoạn tại x=2
Hướng dẫn và đáp số
Hàm số liên tục tại x=1 và gián đoạn tại c=2 thì
 lim f(x)  lim f(x)  f(1) x 1 x 1      ab3    ab3 lim f(x) lim f(x) 4b a 6 b  3 x 2 x 2  
Ví dụ 3. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số:  3 2   2  x  2 x 1 neáux  0 a)f(x)   b)f(x)  neáux  8  2  neáu x  0  x  8 0 neáu x  8
Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm Phương pháp
1. Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm -
Tìm hai số a và b sao cho f(a).f(b)<0 -
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] 45
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. -
Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x0(a;b)
2. Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất k nghiệm -
Tìm k cặp số ai ,bi sao cho các khoảng ai;bi  rời nhau và
f( ia)f(bi)  0, i 1,...,k -
Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm xi ai;bi 
3. Khi phương trình f(x)=0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : -
f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc chưa tham số nhưng dấu không đổi. -
Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm I. Các ví dụ mẫu 3
Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình 2x 10x  7  0 có ít nhất một nghiệm âm Hướng dẫn Xét hàm số 3
f(x)  2x 10x  7, ta coù f(-1)=1; f(0)=-7; f(3)=17 neân f(-1).f(0)  7
  0vaø f(0).f(3)  119   0. 3
Maët khaùc: f(x)=2x 10x  7 laø haøm ña thöùc neân lieân tuïc treân  1  ;0 vaø 0;3     3
Suy ra, phöông trình 2x 10x  7  0 coù ít nhaát moät nghieäm x0  1  ;0 vaø 1 x 0;3 3
Vaäy phöông trình 2x 10x  7  0 coù ít nhaát hai nghieäm.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình  2   5
1 m x  3x 1  0 luôn có nghiệm với mọi m. Hướng dẫn Xét hàm số f(x)   2 1 m  5 2
x  3x 1, ta coù f(0)=-1 vaø f(-1)=m +1 neân f(-1).f(0)   2 m  1  0, m   Maët khaùc: f(x)= 2 1 m  5
x  3x 1 laø haøm ña thöùc neân lieân tuïc treân  1  ;0   Suy ra, phöông trình 2 1 m  5
x  3x 1  0 coù ít nhaát moät nghieäm x  1  ;0
vaäy phöông trình 1 m  0 2 5
x  3x 1  0 luoân coù nghieäm vôùi moïi m. 1 1   
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình   a   sinx cosx
luôn có nghiệm trong khoảng ; 2  với mọi a   Hướng dẫn 1 1    Xeùt haøm soá f(x)  
 a lieân tuïc trong khoaûng  ; sinx cosx 2     1 1  lim  a  neân toàn taïi      1 x gaàn ñeå f( 1 x )  0   sinx cosx  2 x  2  1 1  lim  
 a   neân toàn taïi 1 x gaàn ñeå f(x2)  0 x   sinx cosx      Suy ra f( 1
x ). f(x2)  0 neân phöông trình f(x)=0 luoân coù nghieäm trong khoaûng ;  2  3 1
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình x  x 1  0 có nghiệm duy nhất x 0  x 0 thoả mãn 0  . 2 Hướng dẫn: 46
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 3
Xeùt haøm soá f(x)  x +x-1, ta coù f(0)=-1 vaø f(1)=1 neân f(0).f(1)<0 3 Maët khaùc: f(x)   x )  f(x )  x
x -1 laø haøm ña thöùc neân lieân tuïc treân [0;1] 3 x  x  1  3
x  x  1 x  x  2 2 1 1 2 2 1 2 1 x  1 x x2  x2 1 f( 1 2    1 x  x2 1 x  x2 1 x  x2 2 2 2 2  x  2 3x2 = 1 x  1
x x2  x2 1  1x    1  0 vôùi moïi  1 x ;x2 thuoäc R 2 4   3 3
Suy ra f(x)  x +x-1 ñoàng bieán treân R neân phöông trình x  x -1=0 coù nghieäm duy nhaát x0 0  ;1
Theo baát ñaúng thöùc Co si: 3 4 2 2 1 1
1  x0  x0  2 x0 1 2x0  x0   0  x0  2 2
II. Bài tập rèn luyện Bài 1.
a) Cho ba số thực a,b,c thoã mãn aChứng minh phương trình (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 luôn có hai nghiệm phân biệt. 2
b) Cho phương trình ax  bx  c  0(a  0)thoõa maõn 2a  6b 19c  0. Chứng minh phương trình có  1 nghiệm trong 0;  3   2 a b c
c) Cho phương trình ax  bx  c  0(a  0)thoõa maõn    0(Vôùi m  0) m  2 m 1 m
Chứng minh phương trình có nghiệm (0;1).
Hướng dẫn và đáp số
a) Xét hàm số f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) là tam thức bậc hai có hệ số A=3 nên phương trình
f(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm
Ta có: f(a)>0;f(b)<0);f(c)>0
Vậy f(a).f(b)<0 và f(b).f(c)<0
Mặt khác f(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên [a;b] và [b;c]
Suy ra, phương trình f(x)=0 có nghiệm 1
x a;b vaø x2 b;c .
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm. 2
b) Xét hàm số f(x)  ax  bx  c(a  0) lieân tuïc treân R  1  1
Tính f(0)  c;f    (a  3b  9c)  3  9  1  f(0) 18f    0  3 1  1 
Suy ra f(0),f   traùi daáu hoaëc f(0)  f    0  3   3  2  1
Vaäy phöông trình ax  bx  c  0(a  0) coù nghieäm trong 0;  3   2
c) Xét hàm số f(x)  ax  bx  c lieân tuïc treân R + Khi c=0, ta có ax2+bx=0 a b c
 Néu a=0 thì từ giả thiết    0 m  2 m 1 m
suy ra b=0, phương trình có vô số nghiệm nên
phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1) 47
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  2
Nếu a  0 , ta có ax  bx  c  0  xax  b  0 x  0   b m 1 x    0;  1  a m  2  m 1  c
 Khi c  0, ta coù f(0)=c vaø f     m  2  mm  2  m 1 
Suy ra phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng  0;   0;  1  m  2  Bài 2. 3
a) Chứng minh phương trình 2x  6x 1  0 coù 3 nghieäm treân khoaûng (-2;2) 5 3
b) Chứng minh phương trình 2x  x  2  0 coù 3 coù nghieäm duy nhaát x0  2 4
c) Chứng minh phương trình x  x  3  0 coù 3 coù nghieäm x0 1;2 7 vaø x0  12
Hướng dẫn và đáp số: a) Tính f(-2);f(0);f(1);f(2) 5
b) Xét hàm f(x)  x  x  2 lieân tuïc treân R vaø f(1)  -2; f(2)  28  f(1).f(2)  0 ta chứng minh đc hàm f(x) đồng biến trên (1;2) nên phương trình 5
x  x  2  0 coù nghieäm duy nhaát x0 1;2. 5 10 9 3
Ta có: x0  x0  2  2 2x0  x0  8x0  x0  8  x0  2 c) Tương tự câu b) Bài 3. 2
a) Cho phương trình ax  bx  c  0 thoõa maõn 2a+3b+6c=0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1) 2
b) Cho phương trình atan x  btanx  c  0 thoõa maõn 2a+3b+6c=0. Chứng minh phương trình có ít   
nhất nhất một nghiệm trong khoảng  k ;   k,kZ  4 
Hướng dẫn và đáp số: 2
b) atan x  btan x c 0 (1) vaø 2a+3b+6c=0    Đặt 
       2 t tanx vôùi x k ; k t
0;1 , ta coù : at  bt  c  0 (2)  4 
 Trường hợp 1: Nếu c=0 thì at2+bt=0 + khi a=0 thì b=0.... t  0 b 2 2
+ Khi a  0 thì   , töø phöông trình at  bt  0   2 a 3 t   3 .......  2  1 c
 Trường hợp 2: Nếu c  0, ta coù f(0)=c vaø f   12c 9 c   ....  3  9 3 48
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  2 
Phương trình (2) có nghiệm  0;   0;1 nên phương trình (1) có nghiệm trong khoảng  3      k ;   k,k  4  3
Bài 4. Chứng minh phương trình : 2x  6 1 x  3 có ba nghiệm phân biệt thuộc  7  ;9 . 3 2
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m phương trình x  mx 1  0 luôn có một nghiệm dương. 3
Bài 6. Cho phương trình: 2 x  mx  m   1 x  2  0
a) Giải phương trình với m=1
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt
Hướng dẫn và đáp số: 3 2
Đặt t=|x|, t  0 , ta được: t  mt  m   1 t  2  0 a) x  1  b) Xét hàm 3 2
f(t)  t  mt  m  
1 t  2 lieân tuïc treân R Ta coù: f(0)=-2<0, lim f(t)    c   0 sao cho f(c)>0 t Suy ra:
f(0).f(c)  0,(2) coù moät nghieäm t1 0,c  x  t1
Vaäy, vôùi moïi m phöông trình luoân coù ít nhaát hai nghieäm phaân bieät.
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m phương trình:   3
x 1  mx  m 1. luôn có một nghiệm lớn hơn 1. Giải
Ñaët t  x 1,ñieàu kieän t  0
Khi ñoù phöông trình coù daïng: 3 2 f(t)  t  mt  t  0
Xeùt haøm soá y=f(t) lieân tuïc treân 0;   Tacoù:f(0) 10
lim f(t)  ,vaäy toàn taïi c>0 ñeå f(c)>0 t Suy ra:f(0).f(c)<0
Vaäy phöông trình f(t)=0 luoân coù nghieäm t0 0;c, khi ñoù: 2 x 1  t0  t0 11
Vaäy vôùi moïi m phöông trình luoân coù moät nghieäm lôùn hôn 1.
Bài 8. Cho a,b,c là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng phương trình:
ax  bx  c  bx ax  c  cx  bx a  0
luôn có hai nghiệm phân biệt. Giải
Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû a  b  c vaø ñaët:
f(x)  ax  bx  c  bx ax  c  cx  bx a 2
Ta coù: f(b)<0 vaø heä soá x cuûa f(x) baèng a+b+c>0
Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa maõn 1 x  b  x2 49
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình : px  ax  c  qx  bx  d  0 luôn có nghiệm, biết rằng
a  b  c  d , p và q là hai số thực bất kì.
Bài 10. Chứng minh phương trình a)  2    3 m
1 x  4x 1 0 luôn luôn có nghiệm.   
b) cos2x  2sinx  2 có ít nhất 2 nghiệm tong khoảng   ; 6    3 c)
x  6x 1  2  0 có nghiệm dương 5 2
d) x  x  2x 1  0 có nghiệm.
Hướng dẫn và đáp số: a) Xét f(0) và f(1)
b) Xeùt haøm soá y=f(x)=cos2x-sin2x+2       
Xét trên khoảng   , ; ; 6 2 2      c) Xét f(0) và f(1) 50
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo}
Bài 1. Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a;b] và trên (b;c) nhưng không liên tục trên (a;c). Hướng dẫn x  2, neáu x  0 Xeùt haøm soá f(x)   1  , neáu x  0  2 x * Tröôøng hôïp x  0 :
f(x) laø haøm ña thöùc, lieân tuïc treân , neân noù lieân tuïc treân 2  ;0 *Tröôøng hôïp x  0 : 1 f(x) 
laø haøm soá phaân thöùc höõu tæ neân lieân tuïc treân (0;2) thuoäc taäp xaùc ñònh cuûa 2 x
noù. Nhö vaäy f(x) lieân tuïc treân (-2;0] vaø treân (0;2). 1
Tuy nhieân, vì lim f(x)  lim
  neân haøm soá f(x) khoâng coù giôùi haïn höõu haïn 2 x 0 x 0   x
taïi x=0. Do ñoù, noù khoâng lieân tuïc taïi x=0. Nghóa laø khoâng lieân tuïc treân (-2;2).
Bài 2. Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a;b] và trên [b;c) thì nó liên tục trên (a;c). Hướng dẫn
Vì haøm soá lieân tuïc treân a;b neân lieân tuïc treân 
a;b vaø lim f(x)  f(b) (1)  
Vì haøm soá lieân tuïc treân b;c 
neân lieân tuïc treân b;c x b vaø lim f(x)  f(b) (2) x b 
Töø (1) vaø (2) suy ra f(x) lieân tuïc treân caùc khoaûng a;bvaø b;c vaø lieân tuïc taïi x=b
(vì lim f(x)  f(b)). Nghóa laø noù lieân tuïc treân (a;c) xb x 1 x
Bài 3. Cho hàm số f(x)  x
. Vẽ đồ thị hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số
liên tục và chứng minh dự đoán đó. Hướng dẫn x  1 x     x x 1,neáux 0 a)f(x) 1 x,neáux  0
Haøm soá naøy xoù taäp xaùc ñònh laø \{0}.
b)Töø ñoà thò döï ñoaùn f(x) lieân tuïc treân caùc khoaûng  ;  0,0;,nhöng
khoâng lieân tuïc treân . Thaät vaäy:
* Vôùi x>0, f(x)=x-1 laø haøm phaân thöùc neân lieân tuïc treân . Do ñoù lieân tuïc treân (0;+).
* Vôùi x>0, f(x)=1-x laø haøm phaân thöùc neân lieân tuïc treân . Do ñoù lieân tuïc treân (- ;  0)
Deã thaáy haøm soá giaùn ñoaïn taïi x=0, vì lim f(x)  1  ; lim f(x) 1 x 0 x 0  
Bài 4. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a).f(b)>0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm hay
không trong khoảng (a;b)? Cho ví dụ minh hoạ. Hướng dẫn
Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn a;b vaø f(a).f(b)  0 thì phöông trình f(x)=0  
coù theå coù nghieäm hoaëc voâ nghieäm trong khoaûng (a;b). Ví duï minh hoïa: 2
* f(x)=x 1 lieân tuïc treân [-2;2 2
],f(-2).f(2)=9>0.Phöông trình x 1  0
coù nghieäm x= 1trong khoaûng (-2;2). 2 2
* f(x)=x 1 lieân tuïc treân [-1;1],f(-1).f(1)=4>0.Phöông trình x 1  0
coù nghieäm x= 1trong khoaûng (-1;1).
Bài 5. Nếu hàm số y=f(x) không liên tục trên đoạn [a;b] nhưng f(a).f(b)<0, thì phương trình f(x)=0 có
nghiệm hay không trong khoảng (a;b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học. Hướng dẫn 51
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Neáu haøm soá y=f(x) khoâng lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] nhöng f(a).f(b)<0 thì
phöông trình f(x)=0 coù theå coù nghieäm hoaëc voâ nghieäm trong khoaûng (a;b)
Minh hoạ hình học: Bổ sung hình vẽ /185.SBT
Bài 5. Chứng minh phương trình: n n 1  n 2 x   1 a x  2 a x  ...  an 1x    n a
0 luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ. Hướng dẫn n n 1  n2 Haøm soá f(x)=x  1 a x  a2x  ...  an 1x  a  n xaùc ñònh treân . *Ta coù: lim f(x)   .
 Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá (xn) baát kì maø xn  , x x
ta luoân coù lim f(xn)   .
 Do ñoù f(xn)coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù,
keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi soá a sao cho f(a)>1. (1)
*Ta coù: lim f(x)   ( do n leû).Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá (xn) x x baát kì maø x       n ,ta luoân coù lim f(xn) haylim f(x  n )   . 
Do ñoù -f(xn)coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Neáu soá döông naøy laø 1 thì -f(xn) 1 keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc,
luoân toàn taïi soá b sao cho -f(b)>1 hay f(b)<-1. (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra f(a).f(b)<0.
Maët khaùc haøm ña thöùc f(x) lieân tuïc treân , neân lieân tuïc treân a;b  
Doño,ùphöông trình f(x)=0 luoân coù nghieäm
Bài 6. Cho hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn có 1 các số c      
1,c2,c3,...,cn cùng thuộc [a;b] thì phương trình: f(x) f(  1 c ) f( 2 c ) ... f cn  n  luôn có nghiệm trong đoạn [a;b] Hướng dẫn
Ta coù: a  1c  b;a  c2  b;a  3 c  b;...
Haøm soá f(x) ñoàng bieán treân [a;b] f(a)  f( 1c)  f(b) f(a)  f(c2)  f(b)
Neân : f(a)  f(c3)  f(b) .............. f(a)  f(cn)  f(b) Suyra :
nf(a)  f( 1c)  f(c2) ... f(cn)  nf(b) 1  f(a)  f(      1 c ) f(c ) ... f(c )  f(b) n 2 n  1 Ñaët M  M  f(      1 c ) f(c2) ... f(cn) n 
Xeùt haøm g(x)=f(x)-M lieân tuïc treân [a;b]; g(a)=f(a)-M  0 vaø
g(b)=f(b)-M  0.Suy ra: g(a).g(b)  0. g(a)  0 *Khi g(a).g(b)=0 
neân a hoaëc b laø nghieäm cuûa phöông trình f(x)=M  g(b)  0
*Khi g(a).g(b)<0 thì phöông trình f(x)-M=0 coù ít nhaát moät nghieäm trong (a;b) 1
Vaäy, phöông trình : f(x)= f(        1 c ) f( 2
c ) ... f(cn) luoân coù nghieäm trong a;b n   
Bài 7. Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm x0. Chứng minh rằng nếu f(x)  f(x0) lim
 L thì hàm số f(x) liên tục tại x0 xx0 x  x0 f(x)  f(x )
Hướng dẫn: Đặt 0 g(x) 
 L vaø bieåu dieãn f(x) qua g(x) x  x 0 52
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. ÔN TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1. Tính các giới hạn sau: n  3n  2 n 3n  2  2  n n 2 3  3 a) lim b) lim c) lim 2 2 2n  3n  2 4n 1  2  n 1 x x x     n 1  3  1 1 Đáp số: a) b)  c) 2 3
Bài 2. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn:
a) 1 0,03  0,032 ... 0,03n ... n 1 1 1 1  1  
b)1    ...     ... 2 4 8  2 
c)1 0,9  0,92 ... 0,9n 1 ... 3 1  100 100 2 3
Hướng dẫn và Đáp số: a) 1  b) 1  c) 10 3 97 1 3 1 1 100 2
Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131...( chu kì 131) dưới dạng số hữu tỉ. 131 1000 131 Đáp số: S  2   2  131 999 1 1000 2n 1
Bài 4. Cho dãy số (xn): xn  3n 1
a) Chứng minh dãy số (xn) dãy tăng
b) Dãy (xn) hội tụ có giới hạn hữu hạn.
Hướng dẫn và đáp số:
a) Chứng minh xn 1  xn  0, n    2 b) lim x  n 3
Bài 5. Dùng định nghĩa giới hạn chứng minh:    3 a)lim 2x 6  4  b)lim     1 x2 x 1 x 1
Bài 6. Tìm các giới hạn sau: 2 3 x  2 x  5  3 2 1 x  8  x  2 a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim x x 1   . 2 x 2  x 2 x  3x  2  x  2 x0 x x   2 13 Đáp số: a) 1; b) c) d)0 3 12 1  neáu x  0
Bài 7. Cho hàm số y  f(x)   2
. Chứng minh hàm số liên tục. x  x 1 neáu x 1 Hướng dẫn:
 Với x  0:Haømsoá lieân tuïc.
 Với x=0. Hàm số liên tục 53
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
 Vậy hàm số liên tục trên tập xác định x  a neáu x 0
Bài 8. Cho hàm số y  f(x)   2 a
. Tìm a,b để hàm số liên tục.  x  bx 1 neáu x 0
Đáp số: với a=1, b bất kì thì hàm số liên tục trên R
Bài 9. Tìm các giới hạn sau: 3 2 2 3  x x  x  2 x  3 x  3x x  7  2 a) lim   ; b) lim ; c) lim ; d)lim  2
x 3x  4 3x  2  x x 1   2 x  x  5 x 1  x 1 2 1 Đáp số: a) b)   c)1 d) 9 12
Bài 10. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 3 2
a) 3x  2x  3x  2  0 có ít nhất một nghiệm 5 4 3 2
b) Chứng minh rằng phương trình x  3x  6x  x  4x 1  0 có nghiệm trong khoảng (0;2) 3 2
c) 4x 12x  x  3  0 có 3 nghiệm trong các khoảng (-1;0),(0;1),(2;4). Hướng dẫn:
f(x)=0 có nghiệm trong đoạn [a;b]  f(a).f(b)  0 a) khoảng (0;1) b) (0;2) c) (-1;0),(0;1),(2;4). 54