Phân loại và phương pháp giải bài tập đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

Tài liệu gồm 103 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Hình học 11 chương 2 (Toán 11).

96 48 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

103 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 592
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
1. Mở đầu về hình học không gian
Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
Quan hệ thuộc: Trong không gian:
a. Với một điểm
A
và một đường thẳng
d
có thể xảy ra hai trường hợp:
· Điểm
A
thuộc đường thẳng d , kí hiệu .AdÎ
· Điểm
A
không thuộc đường thẳng, kí hiệu .AdÏ
b. Với một điểm
A
và một mặt phẳng
()
P
có thể xảy ra hai trường hợp:
· Điểm
A
thuộc mặt thẳng
()
P
, kí hiệu
()
.
A
PÎ
·
Điểm
A
không thuộc đường thẳng, kí hiệu
()
.
A
PÏ
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất thừa nhận 4:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường
thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi
điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
3. Điều kiện xác định mặt phẳng
Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:
Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm
,,
A
BC không thẳng hàng của
mặt phẳng, kí hiệu
()
.
A
BC
Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng
d và một điểm
không thuộc
,d kí hiệu
()
,.
A
d
Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng
,ab cắt nhau, kí hiệu
()
,.ab
Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng
,ab song song, kí hiệu
()
,.ab
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 593
4. Hình chóp và tứ diện
Định nghĩa: Cho đa giác
12
...
n
AA A và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với
các đỉnh
12
, , ...,
n
AA A ta được
n
miền đa giác
12 23 1
, , ..., .
nn
SA A SA A SA A
-
Hình gồm
n
tam giác đó và đa giác
123
...
n
AAA A
được gọi là hình chóp
123
. ... .
n
SAAA A
Trong đó:
· Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.
· Đa giác
12
...
n
AA A gọi là mặt đáy của hình chóp.
·
Các đoạn thẳng
12 23 1
, , ...,
nn
AA AA A A
-
gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
· Các đoạn thẳng
12
, , ...,
n
SA SA SA gọi là các cạnh bên của hình chóp.
· Các miền tam giác
12 23 1
, , ...,
nn
SA A SA A SA A
-
gọi là các mặt bên của hình chóp.
(P)
A
5
A
6
A
4
A
3
A
2
A
1
S
Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là
hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
Chú ý
a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình
tứ diện đều.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPCÂ
Dạng 1: Dạng toán lý thuyết
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng
.
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng
.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng
.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 594
Lời giải
Chọn C
A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập
một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi
đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 đi
ểm phân biệt thẳng hàng.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4
điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điể
m đã cho?
A.
6. B. 4. C. 3. D. 2.
Lời giải
Chọn B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa
3
4
4C =
mặt phẳng.
Câu 3: Trong mặt phẳng
()
a , cho 4 điểm ,,,
A
BC D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Điểm
S
không thuộc mặt phẳng
()
a
. Có mấy mặt phẳng tạo bởi
S
và 2 trong 4 điểm nói
trên?
A.
4. B.
5.
C. 6. D. 8.
Lời giải
Chọn C
Với điểm
S không thuộc mặt phẳng
()
a và 4 điểm
,,,
A
BC D
thuộc mặt phẳng
()
a , ta có
2
4
C cách chọn 2 trong 4 điểm ,,,ABCD cùng với điểm
S
lập thành 1 mặt phẳng xác định.
Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.
Câu 4: Cho 5 điểm
,,,,
A
BC DE
trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu
mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?
A.
10. B. 12. C. 8. D. 14.
Lời giải
Chọn A
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Ta có
3
5
C cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Số
mặt phẳng tạo được là 10.
Câu 5: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm phân biệt
. B. Một điểm và một đường thẳng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 595
C. Hai đường thẳng cắt nhau
.
D. Bốn điểm phân biệt
.
Lời giải
Chọn C
A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3
điểm thẳng hàng đã cho.
B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường
thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt ph
ẳng đi qua 4
điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 6: Cho tứ giác
ABCD . Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của
tứ giác
ABCD ?
A.
1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải
Chọn A
4 điểm
,,,
A
BC D
tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm
,,,
A
BC D
đã đồng phẳng và tạo
thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng
()
A
BCD .
Câu 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm
,,
A
BC là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng
()
P
và
()
Q thì ,,
A
BC thẳng
hàng
.
B. Nếu
,,
A
BC
thẳng hàng và
()
P
,
()
Q có điểm chung là
thì
,BC
cũng là 2 điểm
chung của
()
P
và
()
Q .
C. Nếu 3 điểm ,,
A
BC là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng
()
P
và
()
Q phân biệt thì ,,
A
BC
không thẳng hàng
.
D. Nếu
,,
A
BC thẳng hàng và ,
A
B là 2 điểm chung của
()
P
và
()
Q thì C cũng là điểm
chung của
()
P
và
()
Q
.
Lời giải
Chọn D
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
A sai. Nếu
()
P
và
()
Q
trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa
đủ điều kiện để kết luận
,,
A
BC thẳng hàng.
B sai. Có vô số đường thẳng đi qua
A
, khi đó ,BC chưa chắc đã thuộc giao tuyến của
()
P
và
()
Q
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 596
C sai. Hai mặt phẳng
()
P
và
()
Q
phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3
điểm
,,
A
BC là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì ,,
A
BC cùng thuộc giao tuyến.
Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa
.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy
nhất
.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm
,,ABC không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó
trùng nhau
.
Lời giải
Chọn B
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô
số đường thẳng.
Câu 9: Cho 3 đường thẳng
123
,,ddd không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy
. B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác
.
D. Các khẳng
định ở A, B, C đều sai
.
Lời giải
Chọn A
B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm
phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác
định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là:
A. Tam giác
. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Tam giác
hoặc tứ giác
.
Lời giải
Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 597
Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành
1 hình tam giác.
Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập
thành 1 hình tứ giác.
Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4.
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
1. Phương pháp
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt
phẳng đó. Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song với
nhau. Gọi M là điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của các cặp mặt phẳng:
a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD)
c. (SBC) và (SAD) d. (BCM) và (SAD)
e. (CDM) và (SAB) f. (BDM) và (SAC)
Giải
a. Trong mp (ABCD):



AC BD O
AC SAC O SAC SBD
BD SBD


Mà
SSAC SBD
nên

SO S A C SBD
.
b. Trong (ABCD) ta có:



AB CD F
AB SAB F SAB SCD
CD SCD


Mà

SSAB SCD
nên
SF SA B SCD
.
E
F
O
A
D
C
B
S
M
c. Trong (ABCD) ta có:



BC AD E
BC SBC E SAD SBC
AD SAD


Mà

SSAD SBC
nên

SE SAD SBC
.
d. Ta có:

MMBC SAD
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 598

EBCAD E MBC SAD
Nên
ME MBC SAD
.
e. Ta có:

MMCD SAB

FABCD F MCD SAB
Vậy

MF MCD SAB
.
f. Ta có:

MBDM SAC

OBDM SAC
Do đó

MO BDM SAC
.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, AD. Tìm
giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a. (ABN) và (CDM); b. (ABN) và (BCP).
Giải
a. Ta có M và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng
(ABN) và (CDM), nên giao tuyến của hai mặt phẳng này
chính là đường thẳng MN.
b. Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP tại K. Do đó K là
điểm chung của hai mặt phẳng (BCP) và (ABN).
Mà B cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên giao
tuyến của chúng là đường thẳng BK.
K
A
B
C
D
M
P
N
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp
.SABCD có đáy là hình thang
()
.
A
BCD AB CD
Khẳng định nào sau đây
sai?
A. Hình chóp
.SABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng
()
SAC
và
()
SBD
là SO
(O
là giao điểm của AC và
).BD
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng
()
SAD và
()
SBC là SI (I là giao điểm của
A
D
và ).BC
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng
()
SAB và
()
SAD là đường trung bình của .ABCD
Lời giải
Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 599
I
O
A
B
D
C
S
· Hình chóp .SABCD có 4 mặt bên:
()()()( )
,,,.SAB SBC SCD SAD Do đó A đúng.
·
S
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng
()
SAC
và
()
.SBD
() ()
() ()
O AC SAC O SAC
O
OBD SBD O SBD
ì
ï
ÎÌ Î
ï
í
ï
ÎÌ Î
ï
î
là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng
()
SAC
và
()
.SBD
()()
.SAC SBD SO¾¾Ç= Do đó B đúng.
·
Tương tự, ta có
()()
.SAD SBC SIÇ=
Do đó C đúng.
·
()( )
SAB SAD SAÇ= mà SA không phải là đường trung bình của hình thang .ABCD Do
đó D sai.
Câu 2: Cho tứ diện
.ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác .BCD Giao tuyến của mặt phẳng
()
A
CD và
()
GAB là:
A.
(AM M là trung điểm của ).AB B. (AN N là trung điểm của ).CD
C.
(AH H là hình chiếu của
B
trên ).CD D. (AK K là hình chiếu củaC trên ).BD
Lời giải
Chọn B
G
N
A
C
D
B
·
A
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
()
A
CD và
()
.GAB
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 600
·
Ta có
() ()
() ()
NBG ABG N ABG
BG CD N N
N CD ACD N ACD
ì
ïÎ Ì Î
ï
Ç=¾¾
í
ï
ÎÌ Î
ï
î
là điểm chung thứ hai giữa
hai mặt phẳng
()
A
CD và
()
.GAB
Vậy
()()
.
A
BG ACD ANÇ=
Câu 3: Cho điểm
không nằm trên mặt phẳng
()
a chứa tam giác .BCD Lấy ,
E
F là các điểm
lần lượt nằm trên các cạnh
,.
A
BAC
Khi
EF
và BC cắt nhau tại ,I thì
I
không phải là
điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
A.
()
BCD và
()
.
D
EF B.
()
BCD và
()
.
A
BC
C.
()
BCD
và
()
.
A
EF
D.
()
BCD
và
()
.
A
BD
Lời giải
Chọn D
I
B
C
D
A
E
F
Điểm
I
là giao điểm của EF và BC mà
()
()
()
()()
()()
()()
.
E
FDEF IBCDDEF
E
FABC IBCDABC
E
FAEF IBCDAEF
ìì
ïïÌ=Ç
ïï
ïï
ïï
Ì=Ç
íí
ïï
ïï
ïï
Ì=Ç
ïï
îî
Câu 4: Cho tứ diện
.ABCD Gọi ,
M
N lần lượt là trung điểm của , .AC CD Giao tuyến của hai mặt
phẳng
()
M
BD và
()
A
BN là:
A. đường thẳng
.
M
N
B. đường thẳng
(AH H là trực tâm tam giác ).ACD
C. đường thẳng
(BG G là trọng tâm tam giác ).ACD
D. đường thẳng
.AM
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 601
G
N
M
B
D
C
A
·
B
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
()
M
BD và
()
.
A
BN
· Vì ,
M
N lần lượt là trung điểm của , AC CD nên suy ra , AN DM là hai trung tuyến của
tam giác
.ACD Gọi GANDM=Ç
() ()
() ()
GAN ABN G ABN
G
G DM MBD G MBD
ì
ïÎ Ì Î
ï

í
ï
ÎÌ Î
ï
î
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
()
M
BD
và
()
.
A
BN
Vậy
()()
.
A
BN MBD BGÇ=
Câu 5: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,
M
N lần lượt là trung điểm
A
D và .BC Giao tuyến của hai mặt phẳng
()
SMN
và
()
SAC
là:
A.
.SD
B.
(SO O là tâm hình bình hành ).ABCD
C.
(SG G là trung điểm ).AB
D.
(SF F là trung điểm ).CD
Lời giải
Chọn B
T
O
N
D
B
C
A
S
· S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
()
SMN
và
()
.SAC
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 602
· Gọi
OACBD=Ç
là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng
()
A
BCD
gọi
TACMN=Ç
() ()
() ()
O AC SAC O SAC
O
O MN SMN O SMN
ì
ïÎ Ì Î
ï

í
ï
ÎÌ Î
ï
î
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
()
SMN
và
()
.SAC
Vậy
()()
.SMN SAC SOÇ=
Câu 6: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , IJ lần lượt là trung điểm
, .SA SB
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
IJCD
là hình thang. B.
()()
.SAB IBC IBÇ=
C.
()()
.SBD JCD JDÇ= D.
()()
(
I
AC JBD AO OÇ= là tâm ).ABCD
Lời giải
Chọn D
M
O
I
J
D
C
A
S
B
· Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
IJ AB CD IJ CD

IJCD là hình thang. Do đó A đúng.
· Ta có
()
()
()()
.
IB SAB
SAB IBC IB
IB IBC
ì
ïÌ
ï
Ç=
í
ï
Ì
ï
î
Do đó B đúng.
· Ta có
()
()
()()
.
JD SBD
SBD JBD JD
JD JBD
ì
ïÌ
ï
Ç=
í
ï
Ì
ï
î
Do đó C đúng.
· Trong mặt phẳng
()
I
JCD
, gọi
M
IC JD=Ç
()()
.
I
AC JBD MOÇ=
Do đó D sai.
Câu 7: Cho hình chóp
.SABCD có đáy là hình thang
()
.
A
BCD AD BC
Gọi
M
là trung điểm .CD
Giao tuyến của hai mặt phẳng
()
M
SB và
()
SAC là:
A.
(SI I là giao điểm của AC và ).BM
B.
(SJ J là giao điểm của
A
M và ).BD
C.
(SO O là giao điểm của AC và ).BD
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 603
D.
(SP P là giao điểm của
A
B và ).CD
Lời giải
Chọn A
I
M
A
D
B
C
S
· S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
()
M
SB và
()
.SAC
· Ta có
() ()
()() ()
IBM SBM I SBM
I
I AC SAC I SAC
ì
ïÎ Ì Î
ï
í
ï
ÎÎ Î
ï
î
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
()
M
SB
và
()
.SAC
Vậy
()()
.
M
SB SAC SIÇ=
Câu 8: Cho 4 điểm không đồng phẳng
,,,.
A
BC D Gọi ,
I
K lần lượt là trung điểm của
A
D và
.BC Giao tuyến của
()
I
BC và
()
K
AD là:
A.
.IK B. .BC C. .AK D. .
D
K
Lời giải
Chọn A
K
I
B
D
C
A
Điểm
K
là trung điểm của BC suy ra
() ()
.
K
IBC IK IBCÎÌ
Điểm
I
là trung điểm của
A
D suy ra
() ()
.
I
KAD IK KADÎÌ
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
()
I
BC và
()
K
AD là .IK
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 604
Câu 9: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD
. Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
BD
. Trên cạnh
SB
lấy điểm
M
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
()
A
DM
và
()
SAC .
A.
.SI
B.
A
E ( E là giao điểm của
D
M và
SI
).
C.
.
D
M
D.
D
E
(
E
là giao điểm của
D
M
và SI ).
Lời giải
Chọn B
S
A
B
C
D
M
I
E
Ta có
A
là điểm chung thứ nhất của
()
A
DM và
()
SAC . Trong mặt phẳng
()
SBD , gọi
E
SI DM=Ç .
Ta có:
●
E
SIÎ
mà
()
SI SACÌ
suy ra
()
E
SACÎ
.
●
E
DMÎ mà
()
D
MADMÌ
suy ra
()
E
ADMÎ
.
Do đó
E
là điểm chung thứ hai của
()
A
DM và
()
SAC .
Vậy
A
E là giao tuyến của
()
A
DM
và
()
SAC
.
Câu 10: Cho tứ diện
ABCD và điểm
M
thuộc miền trong của tam giác .
A
CD Gọi
I
và
J
lần lượt
là hai điểm trên cạnh
BC và BD sao cho IJ không song song với .CD Gọi ,
H
K lần lượt
là giao điểm của
IJ với CD của
M
H và .
A
C Giao tuyến của hai mặt phẳng
()
A
CD và
()
I
JM là:
A.
.
K
I B. .
K
J C. .
M
I D. .
M
H
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 605
K
H
M
A
C
D
B
I
J
Trong mặt phẳng
()
,BCD
IJ
cắt
CD
tại
()
.
H
HACDÎ
Điểm
H
IJÎ suy ra bốn điểm ,,,
M
IJH đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng
()
IJM
,
M
H cắt
IJ
tại
H
và
()
.
M
HIJMÌ
Mặt khác
()
()
()
.
MACD
M
HACD
HACD
ì
ïÎ
ï
Ì
í
ï
Î
ï
î
Vậy
()()
.
A
CD IJM MHÇ=
Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
1. Phương pháp
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt
phẳng

, ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b
nằm trong

.


abM
Ma
b



b
a
β
α
M
Phương pháp:
- Bước 1: Xác định mp

chứa a.
- Bước 2: Tìm giao tuyến

b 
.
- Bước 3: Trong

:a b M
, mà
b 
, suy ra
Ma

.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng
. S là
điểm không nằm trên

.
a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD).
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng
BN với mặt phẳng (SAC).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 606
c. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R đồng
phẳng.
Giải
a. * Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD. Ta có:



SSAC
SSAC SBD
SSBD

Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) và
mp(SBD).





OAC
OSAC
AC SAC
O SAC SBD
OBD
OSBD
BD SBD



(2)
Từ (2) suy ra O là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và
mp(SBD).
Vậy

SO SAC SBD
.
P
T
R
Q
N
M
O
A
D
J
S
B
C
* Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có:



SSAB
SSAB SCD
SSCD

(3)
Từ (3) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAB) và mp(SCD).





EAB
ESAB
AB SAB
E S AB SCD
ECD
ESCD
CD SCD



(4)
Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD).
Vậy:

SE SAB SC D
.
b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có:
 
PBN
P SO SAC P SAC

P là giao điểm của BN và (SAC).
Vậy P là giao điểm cần tìm.
c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:
Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác
SCD nên
MN CD∥
. Xét tam giác SDE, ta có:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 607
∥MN CD
N laø trung ñieåm cuûa SD
T là trung điểm của SE.
Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên
QR AB∥
. Xét tam giác SAE, ta có:
QR
∥AB
Q laø trung ñieåm cuûa SA
QR đi qua trung điểm T của SE.
Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ
nên chúng đồng phẳng.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng

, cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc

, M là điểm nằm
trong tam giác SCD.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD).
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).
Giải
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD):
Gọi N là giao điểm của SM và CD, gọi E là giao điểm của aN
và BD. Rõ ràng

mp SAM mp SAN
. Ta có:



EAN E SAM
ESAM SBD 1
EBD E SBD



Mặt khác:
SSAM SBD 2
Từ (1) và (2) suy ra:

SE SA M SBD
.
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Ta có:




SAM AM
SAM SBD SE F AM SBD
FAMSE SAM


F
E
A
D
C
B
S
N
M
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN
không song song vói AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng
(OMN) với các đường thẳng AC, BC và AB.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 608
Trong mp(SAC):
MN AC K
, mà
MN OMN
nên

KACOMN
.
Trong mp(ABC):
OK BC H
, mà
OK OMN
nên

HBCOMN
.
Ta có:
OK AB G
, mà
OK OMN
nên
GABOMN
.
H
G
K
A
C
B
S
O
M
N
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm
trên hai cạnh SB và CD.
a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC).
b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC.
Giải
a. Ta có
EF SBF
.
Trong mp(ABCD):
BF AC O
, suy ra
SAC SBF SO
.
Trong mp(SBF):
EF SO K
, mà
SO SAC
,
suy ra

KEFSAC
.
b. Trong mp(ABCD):
AF BC G
, mà
AF AEF
, suy ra

GBCAEF
.
Khi đó:

AEF AEG
.
K
H
G
O
A
D
C
B
S
E
F
Trong mp(SBC):
EG SC H
, mà
EG AEF
, suy ra
HSCAEF
.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho bốn điểm
,,,
A
BC D không đồng phẳng. Gọi ,
M
N lần lượt là trung điểm của AC và
.
B
C
Trên đoạn
BD
lấy điểm
P
sao cho
2.
B
PPD=
Giao điểm của đường thẳng
CD
và
mặt phẳng
()
M
NP là giao điểm của
A. CD và .NP B. CD và .
M
N C. CD và .
M
P D. CD và .AP
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 609
E
N
M
B
A
C
D
P
Cách 1. Xét mặt phẳng
BCD chứa
.CD
Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại
.
E
Điểm
()
.
E
NP E MNPÎÎ Vậy
()
CD MN PÇ tại .
E
Cách 2. Ta có
()
NBC
NP BCD
PBD
ì
Î
ï
ï
Ì
í
ï
Î
ï
î
suy ra ,NP CD đồng phẳng.
Gọi
E
là giao điểm của
N
P
và
CD
mà
()
NP MNPÌ suy ra
()
.CD MN P EÇ=
Vậy giao điểm của
CD và
()
mp MNP là giao điểm
E
của NP và .CD
Câu 2: Cho tứ diện
.ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của
A
B và CD ; G là trọng tâm
tam giác
.BCD Giao điểm của đường thẳng
E
G và mặt phẳng
()
A
CD
là:
A. điểm
.F B. giao điểm của đường thẳng
E
G và
.AF
C. giao điểm của đường thẳng
E
G và .AC D. giao điểm của đường thẳng
E
G và
.CD
Lời giải
Chọn B
M
G
E
F
D
C
A
B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 610
Vì
G
là trọng tâm tam giác ,BCD F là trung điểm của
CD
()
.GABFÎ
Ta có
E
là trung điểm của
A
B
()
.
E
ABFÎ
Gọi
M
là giao điểm của
E
G và
A
F mà
()
A
FACDÌ
suy ra
()
.
M
ACDÎ
Vậy giao điểm của
E
G
và
()
mp ACD
là giao điểm
.
M
EG AF=Ç
Câu 3: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
M
là trung điểm của .SC
Gọi
I
là giao điểm của
A
M
với mặt phẳng
()
.SBD Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2.IA IM=-

B. 3.IA IM=-

C. 2.IA IM=

D. 2,5 .
I
AIM=
Lời giải
Chọn A
I
O
M
A
B
D
C
S
Gọi
O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của .
A
C
Nối
A
M cắt SO tại
I
mà
()
SO SBDÌ suy ra
()
.
I
AM SBD=Ç
Tam giác
SAC có
,
M
O
lần lượt là trung điểm của
,.SC AC
Mà
IAMSO=Ç suy ra
I
là trọng tâm tam giác
2
2.
3
SAC AI AM IA IM= =
Điểm
I
nằm giữa
A
và
M
suy ra 22.IA MI IM==-
 
Câu 4: Cho tứ giác
ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt
phẳng
()
A
BCD . Trên đoạn SC lấy một điểm
M
không trùng với S và C . Giao điểm của
đường thẳng
SD với mặt phẳng
()
A
BM là:
A. giao điểm của
SD và .AB B. giao điểm của SD và
A
M .
C. giao điểm của
SD và BK (với
K
SO AM=Ç ). D. giao điểm của
SD và
M
K (với
K
SO AM=Ç ).
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 611
S
A
B
C
D
M
N
K
O
● Chọn mặt phẳng phụ
()
SBD
chứa SD .
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
()
SBD và
()
A
BM .
Ta có
B
là điểm chung thứ nhất của
()
SBD
và
()
A
BM
.
Trong mặt phẳng
()
A
BCD , gọi OACBD=Ç. Trong mặt phẳng
()
SAC , gọi
K
AM SO=Ç.
Ta có:
▪
K
SOÎ mà
()
SO SBDÌ suy ra
()
K
SBDÎ .
▪
K
AMÎ
mà
()
AM ABMÌ
suy ra
()
K
ABMÎ
.
Suy ra
K
là điểm chung thứ hai của
()
SBD và
()
A
BM .
Do đó
()( )
SBD ABM BKÇ=
.
● Trong mặt phẳng
()
SBD
, gọi
NSDBK=Ç
. Ta có:
▪
NBKÎ mà
()
BK ABMÌ
suy ra
()
NABMÎ
.
▪
NSDÎ .
Vậy
()
NSDABM=Ç .
Câu 5: Cho bốn điểm , , , ABCS không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi , IH lần lượt là trung
điểm của
, SA AB . Trên SC lấy điểm
K
sao cho
I
K không song song với AC (
K
không
trùng với các đầu mút). Gọi
E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng
()
I
HK .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
E
nằm ngoài đoạn BC về phía .B B.
E
nằm ngoài đoạn BC về phía .C
C.
E
nằm trong đoạn .BC D.
E
nằm trong
đoạn
BC và , .
E
BE C¹¹
Lời giải
Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 612
S
A
B
C
I
H
K
E
F
● Chọn mặt phẳng phụ
()
A
BC
chứa
B
C
.
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
()
A
BC và
()
I
HK .
Ta có
H
là điểm chung thứ nhất của
()
A
BC
và
()
I
HK
.
Trong mặt phẳng
()
SAC
, do
I
K không song song với
AC
nên gọi
FIKAC=Ç
. Ta có
▪
FACÎ mà
()
A
CABCÌ
suy ra
()
FABCÎ
.
▪
FIKÎ
mà
()
IK IHKÌ
suy ra
()
FIHKÎ
.
Suy ra
F là điểm chung thứ hai của
()
A
BC và
()
I
HK .
Do đó
()()
A
BC IHK HFÇ=.
● Trong mặt phẳng
()
A
BC , gọi
E
HF BC=Ç. Ta có
▪
E
HFÎ mà
()
H
FIHKÌ suy ra
()
E
IHKÎ .
▪
E
BCÎ .
Vậy
()
E
BC IHK=Ç .
Dạng 4. Thiết diện
1. Phương pháp
Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa
giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm nằm trên
AB, BC, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 613
Trong mp(ABCD):


MN AD E
MN CD F
NO AD K



Trong mp(SKN):
NP SK Q
.
Trong mp(SAD):

EQ SA G
EQ SD H


Khi đó:

MNP HEF
R
H
G
F
E
Q
K
O
A
D
C
B
S
M
N
P
Trong mp(SCD):
HF SC R
.
Vậy ta có các đoạn giao tuyến do mp(MNP) cắt các mặt của hình chóp là:
 
 
MNP ABCD MN; MNP SAD GH; MNP SAB MG;
MNP SCD HR; MNP SBC RN.


Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNRHG.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên
cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD).
Giải
Trong mp(ABCD):
AB CD E
.
Trong mp(SAB):
AM SE K
.
Do đó
mp AMD mp AKD
.
Trong mp(SCD):
KD SC N
Do đó

MN AMD SBC
,
ND AMD SCD
.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND.
K
N
C
A
D
E
S
B
M
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, E là một điểm trên cạnh BC, F là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm K của BF và mp(SAC).
b. Tìm giao điểm J của EF và mp(SAC).
c. Chứng minh ba điểm C, K, J thẳng hàng.
d. Xác định thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (BCF).
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 614
a. Ta có:
BF SBD
.
Trong mp(ABCD):
AC BD O
Do đó

SO SAC SBD
.
Trong mp(SBD):
BF SO K
Do đó

KBFSAC
.
b. Ta có

EF SED
Trong mp(ABCD):
AC ED H
Trong mp(SED):
EF SH J
Mà
SH SAC
nên

J
EF SAC
.
c. Ta có:


 

KBFSAC
J
EF SAC K,J BCF SAC
BF BCF ,EF BCF



K
G
J
H
O
A
D
C
B
S
E
F
Mà

CBCF SAC
, nên K, J, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng (BCF) và (SAC), suy ra
chúng thẳng hàng.
d. Trong mp(SAC):
CK SA G
, suy ra
mp BCF mp BCFG
.
Vậy ta có các đoạn giao tuyến của mp(BCF) với các mặt của hình chóp là:

BG BCF SAB
,
 
GF BCF SAD , FC BCF SCD 
.
Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BCFG.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh SB và AD; G là trọng tâm tam giác SAD. Đường thẳng BN cắt CD tại K.
a. Chứng minh ba điểm M, G, K thẳng hàng.
b. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MCG).
Tính tỉ số mà thiết diện chia đoạn SA. Từ đó cho biết thiết diện là hình gì?
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 615
a. Ta có SN là đường trung tuyến của tam giác SAD.
G là trọng tâm của tam giác SAD nên:
SG 2
SN 3
.
Xét tam giác BCK có:
ND BC∥
và
1
ND BC
2
(do N
là trung điểm của AD) nên SN là đường trung tuyến
của tam giác SBK. Mà
SG 2
SN 3
nên G cũng là trọng
tâm của tam giác SBK.
Ta lại có MK là đường trung tuyến của tam giác SBK.
Do đó KM đi qua trọng tâm G.
Q
K
G
N
M
B
A
D
C
S
Vậy ba điểm M, G, K thẳng hàng.
b. Do ba điểm M, G, K thẳng hàng nên
mp MCG mp MCK
, suy ra

CD MCG
và

DG MCG
.
Trong mp(SAD):
DG SA Q
, suy ra
DQ MC G SAD
và

MQ MCG SAB
.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MCDQ.
Vì G là trọng tâm tam giác SAD nên DG là đường trung tuyến của tam giác SAD. Do đó Q là trung
điểm của SA.
Vậy thiết diện chia đoạn SA theo tỉ số
QS
1
QA
.
Như vậy MQ là đường trung bình của tam giác SAB.
Do đó
MQ AB∥
, mà
AB CD∥
nên
MQ CD∥
.
Vậy thiết diện MCDQ là hình thang.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tứ diện
.
A
BCD Gọi ,
M
N lần lượt là trung điểm các cạnh
A
B và ,AC
E
là điểm trên
cạnh
CD với 3.
E
DEC= Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
()
M
NE
và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác
.
M
NE
B. Tứ giác
M
NEF với F là điểm bất kì trên cạnh .BD
C. Hình bình hành
M
NEF với F là điểm trên cạnh BD mà
E
F // .
B
C
D. Hình thang
M
NEF với
F
là điểm trên cạnh
BD
mà
EF
// .BC
Lời giải
Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 616
F
N
M
A
C
D
B
E
Tam giác
ABC có ,
M
N lần lượt là trung điểm của ,.
A
BAC
Suy ra
M
N là đường trung bình của tam giác ABC
M
N
//
.BC
Từ
E
kẻ đường thẳng
d
song song với
B
C
và cắt
BD
tại FEF //
.
B
C
Do đó
M
N //
E
F suy ra bốn điểm ,,,
M
NEF đồng phẳng và
M
NEF là hình thang.
Vậy hình thang
M
NEF là thiết diện cần tìm.
Câu 2: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
H
,
K
lần lượt là trung điểm các cạnh
A
B ,
BC
. Trên đường
thẳng
CD lấy điểm
M
nằm ngoài đoạn CD . Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
()
H
KM
là:
A. Tứ giác
H
KMN với .NADÎ B. Hình thang
H
KMN với NADÎ và
.
H
KMN
C.Tam giác
H
KL
với .
L
KM BD=Ç D. Tam giác
H
KL
với .
L
HM AD=Ç
Lời giải
Chọn C
L
M
K
H
D
C
B
A
Ta có
H
K
,
K
M
là đoạn giao tuyến của
()
H
KM với
()
A
BC và
()
BCD .
Trong mặt phẳng
()
BCD , do
K
M không song song với BD nên gọi
L
KM BD=Ç.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 617
Vậy thiết diện là tam giác
H
KL .
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều
.SABCD có cạnh đáy bằng
()
0.aa>
Các điểm ,,
M
NP lần
lượt là trung điểm của
,, .SA SB SC Mặt phẳng
()
M
NP
cắt hình chóp theo một thiết diện có
diện tích bằng:
A.
2
.a B.
2
.
2
a
C.
2
.
4
a
D.
2
.
16
a
Lời giải
Chọn C
Q
P
N
M
A
B
D
C
S
Gọi
Q
là trung điểm của .SD
Tam giác
SAD có ,
M
Q lần lượt là trung điểm của ,SA SD suy ra
M
Q // .
A
D
Tam giác
SBC có ,NP lần lượt là trung điểm của ,SB SC suy ra NP // .BC
Mặt khác
AD
//
B
C
suy ra
M
Q
//
N
P
và
M
QNP MNPQ= là hình vuông.
Khi đó
,,,
M
NPQ đồng phẳng
()
M
NP cắt SD tại Q và
M
NPQ là thiết diện của hình
chóp
.SABCD với
()
.mp MNP
Vậy diện tích hình vuông
M
NPQ là
2
.
44
ABCD
MNPQ
S
a
S ==
Câu 4: Cho tứ diện đều
ABCD có cạnh bằng .a Gọi G là trọng tâm tam giác .ABC Mặt phẳng
()
GCD
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A.
2
3
.
2
a
B.
2
2
.
4
a
C.
2
2
.
6
a
D.
2
3
.
4
a
Lời giải
Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 618
H
G
M
N
A
B
C
D
Gọi
,
M
N lần lượt là trung điểm của ,AB BC suy ra
.AN MC GÇ=
Dễ thấy mặt phẳng
()
GCD
cắt đường thắng
A
B tại điểm .
M
Suy ra tam giác
M
CD là thiết diện của mặt phẳng
()
GCD và tứ diện
.
A
BCD
Tam giác
A
BD đều, có
M
là trung điểm
A
B suy ra
3
.
2
a
MD
=
Tam giác
ABC đều, có
M
là trung điểm
A
B suy ra
3
.
2
a
MC =
Gọi
H
là trung điểm của
1
..
2
MCD
CD MH CD S MH CD
D
^ =
Với
2
22 2
2
.
42
CD a
MH MC HC MC=-=-=
Vậy
2
12 2
.. .
22 4
MCD
aa
Sa
D
==
Câu 5: Cho tứ diện đều
ABCD có độ dài các cạnh bằng
2a
. Gọi
M
, N lần lượt là trung điểm
các cạnh
AC , BC ;
P
là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng
()
M
NP cắt tứ diện theo một
thiết diện có diện tích là:
A.
2
11
.
2
a
B.
2
2
.
4
a
C.
2
11
.
4
a
D.
2
3
.
4
a
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 619
A
B
C
D
P
N
M
D
M
N
H
Trong tam giác
BCD có:
P
là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N ,
P
,
D
thẳng
hàng.
Vậy thiết diện là tam giác
M
ND .
Xét tam giác
M
ND
, ta có
2
AB
M
Na==
;
3
3
2
AD
D
MDN a== =
.
Do đó tam giác
M
ND cân tại
D
.
Gọi
H
là trung điểm
M
N suy ra
D
HMN^ .
Diện tích tam giác
2
22
11 11
..
22 4
MND
a
SMNDHMNDMMH
D
== -=.
Dạng 5. Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy
1. Phương pháp
- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau và giao
điểm đó nằm trên đường thẳng thứ 3 (Hình a).
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
(Hình b).
b
a
c
K
Hình a.
β
α
A
B
C
Hình b.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 620
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Gọi a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q); A là điểm không nằm trên cả hai mặt
phẳng này; C và D là hai điểm nằm trên (P). Gọi E là giao điểm của a với CD; F và G lần lượt là
giao điểm của AC, AD với (Q). Chứng minh rằng ba điểm E, F và G thẳng hàng.
Giải
Ta thấy D và C thuộc mp(P), A không thuộc mp(P) nên
A, C và D không thẳng hàng. Do đó, tồn tại mặt phẳng
(ACD). Ta có:


FAC F ACD
FACD Q 1
FQ





GAD G ACD
GACD Q 2
GQ


a
Q
P
D
F
A
E
G
C

 

ECD E ACD
EACD Q 3
Ea Q E Q



Như vậy, F, G, E nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (Q) nên chúng thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng, sao cho chúng đôi một
cắt nhau. Chứng minh chúng đồng quy.
Giải
Theo giả thiết a và b cắt nhau, giả sử tại O.
Ta chứng minh O thuộc c.
Do a và c cắt nhau nên tồn tại mp(a,c).
Do b và c cắt nhau nên tồn tại mp(b,c). Ta có:



Oa O a,c
Oa,c b,c
Ob O b,c



Mà

a,c b,c c
nên
Oc
.
Vậy ba đường thẳng a, b, c đồng quy tại O.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA, SB,
SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Chứng minh:
a. S, E, E’ thẳng hàng.
b. A’C’, B’D’, SO đồng quy.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 621
a.



BC AD E
BC SBC E SBC SAD 1
AD SAD





BʹCʹ AʹDʹ Eʹ
BʹCʹ SBʹCʹ Eʹ SBʹCʹ SAʹ Dʹ 2
AʹDʹ SAʹDʹ


Mà
SSBC SAD 3
Kết hợp (1), (2), (3) ta có ba điểm S, E, E’ cùng
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và
(SAD). Do đó ba điểm đó thẳng hàng.
K
D'
C'
O
A
D
B
S
E
C
'
'
'
b. Trong mp(A’B’C’D’):



AʹCʹ BʹDʹ K
AʹCʹ SAC K SAC SBD i
Bʹ Dʹ SBD


Mà

SAC SBD SO ii
nên từ (i), (ii) suy ra
KSO
.
Vậy ba đường thẳng SO, A’C’, B’D’ đồng quy.
Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB,
sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA.
a. Tìm giao điểm D của (IJK) và BC.
b. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy.
Giải
a. Trong mp(SBC):
IJ BC D
(do IJ không song
song với BC).
Mà

IJ IJK
nên

DIJKBC
.
b. Ta có IK không song song với SA nên trong
mp(ABC):
IK SA F
.
Ta có:


IK SA F
IK IJK ,SA SA C F EJ
EJ IJK S AC



.
Vậy ba đường thẳng SA, IK, EJ đồng quy.
E
D
F
A
C
S
B
I
J
K
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 622
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và
BD, K là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm E của mặt phẳng (ABK) với CD.
b. Tìm giao điểm F của mặt phẳng (ABK) với SC.
c. Chứng minh các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.
Giải
a. Trong mp(ABCD):
AB CD E
.
Mà

AB ABK
nên

EABKCD
.
b. Ta có:

ABK AEK
Trong mp(SCD):
EK SC F
.
Mà

EK ABK
nên

FABKSC
.
c. Trong mp(ABK):
AF BK G
.
Mà
AF SAC , BK SBD
nên
GSAC SBDSO
.
Vậy ba đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.
F
G
E
O
A
D
B
S
C
K
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tứ diện
.ABCD Gọi ,
M
N lần lượt là trung điểm của
A
B và .CD Mặt phẳng
()
a qua
M
N cắt , AD BC lần lượt tại
P
và .Q Biết
M
P cắt NQ tại .I Ba điểm nào sau đây thẳng
hàng?
A.
, , .IAC B. , , .IBD C. , , .IAB D. , , .ICD
Lời giải
Chọn B
Q
I
N
M
B
D
C
A
P
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 623
Ta có
()()
ABD BCD BDÇ=
.
Lại có
()
()
IMP ABD
I
INQ BCD
ì
ïÎ Ì
ï
í
ï
ÎÌ
ï
î
thuộc giao tuyến của
()
A
BD và
()
BCD
, , IBD IBDÎ
thẳng hàng.
Câu 2: Cho tứ diện
SABC . Gọi , ,
L
MN lần lượt là các điểm trên các cạnh , SA SB và AC sao
cho
L
M không song song với
A
B ,
L
N không song song với SC . Mặt phẳng
()
L
MN
cắt
các cạnh
, , AB BC SC
lần lượt tại
, ,
K
IJ
. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A.
, , .
K
IJ B. , , .
M
IJ C. , , .NIJ D. , , .
M
KJ
Lời giải
Chọn B
S
A
B
C
L
M
N
I
J
K
Ta có
●
M
SBÎ suy
M
là điểm chung của
()
L
MN và
()
SBC .
●
I
là điểm chung của
()
L
MN và
()
SBC .
●
J
là điểm chung của
()
L
MN
và
()
SBC
.
Vậy
, ,
M
IJ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của
()
L
MN và
()
SBC .
Câu 3: Cho tứ diện .ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác
,
B
CD
M
là trung điểm
,CD
I
là điểm ở
trên đoạn thẳng
,AG
BI cắt mặt phẳng
()
A
CD tại .
J
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
()()
.
A
MACDABG=Ç B. , , AJM thẳng hàng.
C.
J
là trung điểm của .AM D.
()()
.
D
JACDBDJ=Ç
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 624
J
G
M
A
C
D
B
I
Ta có
A
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
()
A
CD và
()
.GAB
Do
() ()
() ()
MBG ABG M ABG
BG CD M M
M CD A CD M A CD
ì
ïÎ Ì Î
ï
Ç=
í
ï
ÎÌ Î
ï
î
là điểm chung thứ hai giữa hai
mặt phẳng
()
A
CD
và
()
.GAB
()()
ABG ACD AMÇ=¾¾ A đúng.
Ta có
()
()
()( )
,
BI ABG
AM ABM AM BI
ABG ABM
ì
ïÌ
ï
ï
ï
Ì
í
ï
ï
ï
º
ï
î
đồng phẳng.
,,
J
BI AM A J M= Ç
thẳng hàng
¾¾
B đúng.
Ta có
()
()
()()
DJ ACD
DJ ACD BDJ
DJ BDJ
ì
ï
Ì
ï
= Ç ¾¾
í
ï
Ì
ï
î
D đúng.
Điểm
I
di động trên
AG
nên
J
có thể không phải là trung điểm của
A
M
¾¾
C sai.
Câu 4: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
, ,
E
FG
là các điểm lần lượt thuộc các cạnh
, , AB AC BD
sao cho
EF cắt BC tại
I
,
E
G cắt
A
D tại
H
. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A.
, , .CD EF EG B. , , .CD IG HF C. , , AB IG HF . D. , , .AC IG BD
Lời giải
Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 625
A
B
C
D
E
F
G
I
H
O
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng
123
, , ddd đồng quy ta chứng minh giao
điểm của hai đường thẳng
1
d và
2
d là điểm chung của hai mặt phẳng
()
a
và
()
b
; đồng
thời
3
d là giao tuyến
()
a
và
()
b
.
Gọi
OHFIG=Ç. Ta có
●
OHFÎ mà
()
H
FACDÌ suy ra
()
OACDÎ .
●
OIGÎ
mà
()
I
GBCDÌ suy ra
()
OBCDÎ .
Do đó
()()
OACD BCDÎÇ.
()
1
Mà
()()
A
CD BCD CDÇ=.
()
2
Từ
()
1 và
()
2 , suy ra OCDÎ .
Vậy ba đường thẳng
, , CD IG HF đồng quy.
Câu 5: Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
không phải là hình thang. Trên cạnh
SC
lấy điểm
M
. Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng
()
A
MB . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. Ba đường thẳng
, , AB CD MN đôi một song song.
B. Ba đường thẳng
, , AB CD MN đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng
, , AB CD MN
đồng quy.
D. Ba đường thẳng
, , AB CD MN
cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 626
D
C
B
A
S
M
N
I
K
O
Gọi
.IADBC=Ç Trong mặt phẳng
()
SBC
, gọi
K
BM SI=Ç. Trong mặt phẳng
()
SAD
, gọi
NAKSD=Ç.
Khi đó
N
là giao điểm của đường thẳng
SD
với mặt phẳng
()
A
MB .
Gọi
OABCD=Ç. Ta có:
●
OABÎ mà
()
A
BAMBÌ suy ra
()
OAMBÎ .
●
OCDÎ
mà
()
CD SCDÌ
suy ra
IJ, ,
M
NSE
.
Do đó
()()
OAMB SCDÎÇ.
()
1
Mà
()()
AMB SCD MNÇ=
.
()
2
Từ
()
1 và
()
2 , suy ra OMNÎ . Vậy ba đường thẳng , , AB CD MN đồng quy.
Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng.
1. Phương pháp
Áp dụng kết quả:


Iab
aP,bQ Ic
PQc



2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện aBCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên cạnh
AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt các cạnh BD và AD lần lượt tại M và N.
a. Giả sử cho trước điểm M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N.
b. Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường HM và KN khi M di động trên canh BD.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 627
a. Trong mp(BCD):
KM CD E
.
Trong mp(ACD):
HE AD N
.
Mà

HE P
nên

NAD P
là điểm cần
tìm.
b. Ta có:



IHMKN
HM HBD I HBD AKD 1
KN AKD


Trong mp(ABC):
BH AK F

FHBD AKD
I
F
N
E
K
A
B
D
C
M
H
Mà

DHBD AKD
, nên

DF HB D AKD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra I chạy trên đường thẳng cố định DF.
Giới hạn:
Cho
MD
thì
ND
. Khi đó
ID
.
Cho
MB
thì
NA
. Khi đó
IF
.
Vậy tập hợp điểm I là đoạn DF.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và AC, sao cho MN
không song song với BC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt
tại E và F.
a. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định.
b. Tìm tập hợp giao điểm của ME và NF.
c. Tìm tập hợp giao điểm của MF và NE.
Giả
i
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 628
a. Trong mp(ABC):
MN BC K
.
Khi đó K là điểm chung của (BCD) và (P), mà EF là
giao tuyến của (BCD) và (P) nên EF đi qua điểm K cố
định.
b. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I là điểm
chung của (NBD) và (MCD), suy ra I thuộc giao tuyến
DJ của mp(MCD) và (NBD).
Giới hạn: Tậm hợp cần tìm là đoạn DJ.
c. Gọi H là giao điểm của MF và NE thì H là điểm
chung của (ABD) và (ACD), suy ra H thuộc giao tuyến
AD của mp(ABD) và mp(ACD).
Giới hạn: Tập hợp đi
ểm cần tìm là đường thẳng AD trừ
đi đoạn AD.
J
H
E
K
A
B
D
C
M
N
F
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 629
BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Cho hai đường thẳng
a và .b Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của hai đường thẳng ta có
bốn trường hợp sau:
a. Hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, tức là
() ()
;
.
aPbP
ab
ab
ì
ï
ÌÌ
ï
í
ï
Ç=Æ
ï
î
b. Hai đường thẳng cắt nhau: chỉ có một điểm chung.
a
cắt
b
khi và chỉ khi
.ab IÇ=
c. Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt.
{
}
,.ab AB a bÇ= º
d. Hai đường thẳng chéo nhau: không cùng thuộc một mặt phẳng.
a chéo b khi và chỉ khi ,ab không đồng phẳng.
2. Hai đường thẳng song song
Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường
thẳng song song với đường thẳng đó.
Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau.
Định lí (về giao tuyến của hai mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặ
c đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu
có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 630
B.PHÂNLOẠIVÀPHƯƠNGPHÁPGIẢIBÀITẬP
Dạng 1.Câuhỏilýthuyết
1.Phươngpháp
2.Cácvídụrènluyệnkĩnăng
3.Bàitậptrắcnghiệm
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Lời giải
Chọn A
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo
nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Lời giải
Chọn D
A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm
chung.
Câu 3: Trong các mệ
nh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc
trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng song song.
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 631
Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Lời giải
Chọn B
A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
C sai. Có thể xả
y ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau
a và b . Lấy ,
A
B thuộc a và ,CD thuộc b . Khẳng định nào
sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng
A
D và BC ?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.
C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.
Lời giải
Chọn D
a
b
A
B
C
D
Theo giả thiết,
a và b chéo nhau a và b không đồng phẳng.
Giả sử
A
D và BC đồng phẳng.
Nếu
()()
;AD BC I I ABCD I a bÇ=Î Î
. Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại
điểm
I
.
Nếu
A
DBC
a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó
A
D
và BC chéo nhau.
Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt
() () ()
, , abg có
() ()
1
dabÇ=;
() ()
2
dbgÇ=;
() ()
3
dagÇ=. Khi đó
ba đường thẳng
123
,,ddd:
A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 632
C. Đồng quy. D. Đôi một song song hoặc đồng quy.
Lời giải
Chọn D
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng
quy hoặc đôi một song song.
Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng
,,abc, biết ab
, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường
thẳng
b và c :
A. Trùng nhau hoặc chéo nhau. B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Chéo nhau hoặc song song. D. Song song hoặc trùng nhau.
Lời giải
Chọn B
Giả sử
bc ca

(mâu thuẫn với giả thiết).
Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt
,,abc trong đó ab
. Khẳng định nào sau đây
sai?
A. Nếu
ca
thì cb
.
B. Nếu
c cắt a thì c cắt b .
C. Nếu
AaÎ
và
B
bÎ
thì ba đường thẳng ,,abAB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua
a và b .
Lời giải
Chọn B
Nếu
c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b .
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau
,ab và điểm
M
ở ngoài a và ngoài b . Có nhiều nhất bao
nhiêu đường thẳng qua
M
cắt cả a và b ?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 633
c
a
b
P
Q
M
Gọi
()
P
là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và
M
;
()
Q là mặt phẳng tạo bỏi đường thẳng b
và
M
.
Giả sử
c là đường thẳng qua
M
cắt cả a và b .
()
()
()()
cP
cPQ
cQ
ì
ïÎ
ï
=Ç
í
ï
Î
ï
î
.
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua
M
cắt cả a và b .
Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng
,,abc
chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
Lời giải
Chọn D
Gọi
M
là điểm bất kì nằm trên a .
Giả sử
d là đường thẳng qua
M
cắt cả b và c . Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi
M
và
b
với mặt phẳng tạo bởi
M
và
c
.
Với mỗi điểm
M
ta được một đường thẳng d .
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng
,,abc.
Dạng2.Chứngminhhaiđườngthẳngsongsong
1. Phươngpháp
Cách1.(Dùngđịnhnghĩa)chứngminhhaiđườngthẳngđồngphẳngvàkhôngcóđiểmchung.
Cách2.Chứngminhhaiđườngthẳngđócùngsongsongvớimộtđườngthẳng.
Cách3.Dùngđịnhlí
vềgiaotuyếncủabamặtphẳng.
2. Cácvídụ
Vídụ1.Chứngminhbađoạnnối trungđiểmcáccạnhđốidiệncủam ộttứdiệnđồngquytạitrung
điểmc
ủamỗiđoạn.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 634
GọiM,N,P,Q,R,Slầnlượtlàtrungđiểmcủa
cácđoạn AB, CD, AD, BC, AC, BD. Ta cần
chứngminhcácđoạnMN,PQ,RSđồngquytại
trungđiểmcủachúng.
Tacó:
MP làđường trung bình của
ABD
nên
MP BD∥
và
1
MP BD
2
 (1)
NQ làđường trung bình của
BCD
nên
NQ BD∥
và
1
NQ BD
2
 (2)
VậytứgiácMPNQlàhìnhbìnhhành.
G
N
M
Q
R
P
S
B
D
A
C
GọiGlàgiaođiểmcủahaiđườngchéoMNvàPQ.KhiđótacóGlàtrungđiểmcủaMNvàPQ.
TươngtựtachứngminhđượctứgiácPSQRlàhìnhbìnhhành.SuyratrungđiểmG
củađườngchéoPQ
cũnglàtrungđiểmcủađườngchéoRS.
VậybađoạnMN,PQ,RSđồngquytạitrungđiểmGcủamỗiđường.
Chúý:ĐiểmGnóitrênđượcgọilàtrọngtâm
củatứdiện.
Vídụ2.ChotứdiệnABCD.GọiIvàJlầnlượt làtrungđiểmcủaBCvàBD;ElàmộtđiểmtrêncạnhAD
nhưngkhôngtrùngvớiAvàD.
a. Xácđịnhthiếtdiệncủatứdiệnvớimp(IJE).
b. XácđịnhvịtrícủađiểmEtrênADsaochothiếtdiệnđólàhìnhbìnhhành.
c. Tìmđi ềukiệncủatứdiệnABCDvà
vịtrícủađiểmEtrênADsaochothiếtdiệnđólàhìnhthoi.
Giải
a. Xácđịnhthiếtdiệncủatứdiệnvớimp(IJE):TacóIJlà
đườngtrungbìnhcủa
BCD
nên:
IJ CD∥
(1)






IJ IJE
CD ACD
IJE ACD EF IJ F AC
IJ CD
EIJE ACD
∥
∥
(2)
Nhưvậy,mp(IJE)cắtcácmặtcủatứdiệntheocácđoạn
giao tuyến nối tiếp nhau IJ, JE, EF và FI,nênthiết diện
cầntìmlàtứgiácIJEFcó
EF IJ∥
(theo(2))nênthiếtdiện
nàylàhìnhthang.
E
I
J
B
D
C
A
F
b. XácđịnhvịtrícủađiểmEtrênADsaochothiếtdiệnlàhìnhbìnhhành:IJEFlàhìnhbìnhhànhkhi
vàchỉkhi
J
EIFAB∥∥
,tứclàElàtrungđiểmcủaAD.
c. TìmđiềukiệncủatứdiệnABCDvàvịtrícủađiểmEtrênADđểthiếtdiệnlàhìnhthoi:IJEFlàhình
thoikhivàchỉkhiIJEFlà
hìnhbìnhhànhvà
IJ JE
,tứclàElàtrungđiểmcủaADvà
AB CD
.
Vídụ3.ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhbìnhhành.GọiE,F,G,Hlầnlượtlàcácđiểmnằm
trêncáccạnhBC,AD,SD,SCsaocho
EH SB∥
,
EF AB, GH CD∥∥
.
a. Chứngminh4điểmE,F,G,Hđồngphẳng.
b. Chứngminh
GF SA∥
.
c. GọiIlàgiaođiểmcủaEHvàFG.ChứngminhrằngkhiEdiđộngtrênBCthìIchạytrênmộtđường
thẳngcốđịnh.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 635
a. Chứngminh4điểmE,F,G,Hđồngphẳng.Tacó:
EF AB
EF CD
AB CD
∥
∥
∥
 (1)
Mặtkhác:
GH CD∥
 (2)
Từ(1)và(2)suyra:
EF GH∥
(3)
(3) chứng tỏ tồn tại duy nhất mặt phẳng qua hai
đườngthẳngsongsongEFvàGH.VậybốnđiểmE,F,
G,Hđồngphẳng(cùngthuộc

mp EF,GH
).
b. Chứngminh
GF SA∥
:
x
G
H
E
B
A
D
C
S
F
I
SCD
có
GH CD∥
nên:
DG CH
DS CS
 (4)
CBS
có
EH SB∥
nên:
CH CE
CS CB
 (5)
HìnhbìnhhànhABCDcó
EF AB CD∥∥
nên:
CE DF
CB DA
(6)
Từ(4),(5),(6)suyra:

DG DF
GF SA
DS DA
∥
.
c. ChứngminhIchạytrênđườngthẳngcốđịnh.Tacó:
 
 




I EH SBC I SBC
ISBC SAD
I FG SAD I SAD

ĐiềunàychứngtỏIchạytrêngiaotuyếncốđịnhSxcủahaimặtphẳngcốđịnh(SBC)và(SAD)khiE
chạytrênBC.
Vídụ4.Chotứ diện ABCD.GọiM,N, E,Flàcác
điểmlần
lượtnằmtrêncáccạnhAB,BC,CDvàDA.GiảsửMNcắtEF.
ChứngminhrằngMN,ACvàEFđồngquy.
Giải
VìMNcắtEFnênbốnđiểmM,N,E,Fđồ
ngphẳng.
Giả sử MN cắt EF tại J. Áp dụngđịnh lí 3 (định lí về giao
tuyếncủabamặtphẳng)chobamặtphẳng(ABC),(ACD)và
(NJF),tacóbagiaotuyếnMN,AJvà
EFđồngquytạiJ.
E
N
B
D
A
J
M
F
C
Vídụ5.ChohìnhchóptứgiácS.ABCD.GọiMvàNlầnlượtlàtrọngtâmcủahaitamgiácSABvàSAD;
ElàtrungđiểmcủacạnhBC.
a. Chứngminh
MN BD∥
.
b. Xácđịnhthiếtdiệncủahìnhchópvớimp(MNE).
c. Gọi H và L lần lượt là các giaođiểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng
LH BD∥
.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 636
a. Chứngminh
MN BD∥
.GọiPvàQlầnlượtlàtrung
điểmcủaABvàAD.Tacó:
MSP,NSQ
MN PQ
PM QN 1
(tính chaát troïng taâm)
PS QS 3


∥
(1)
Mặt khác: PQ làđường trung bình của
ABD
nên:
PQ BD∥
 (2)
Từ(1)và(2)suyra:
MN BD∥
.
b.
Xácđịnh thiết diện của hình chóp với mp(MNE).
Theohệquảcủađịnhlí3,tacó:




MN MNE
BD ABCD
MN BD
ABCD MNE EK MN BD K CD
∥
∥∥
H
L
R
K
I
P
Q
N
M
E
A
D
S
B
C
Trongmp(ABCD),gọi
IABEK
.
Trongmp(SAB),gọi
 RIMSA,HIMSB
.
Trongmp(SAD),gọi
LRNSD
.
Nhưvậy,mp(MNE)cắtcácmặt(ABCD),(SBC),(SAB),(SAD),(SCD)lần lượttheocácđoạngiaotuyến
nốitiếpnhauKE,EH,HR,RL,LK.DođóthiếtdiệncầntìmlàngũgiácKEHRL.
c.
Chứngminh
LH BD∥
:



MN MNE
BD SBD
LH BD
MN BD
SBD MN E HL
∥
∥
.
Dạng3.Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng
1. Phươngpháp
Cách1.Tìmhaiđiểmchungphânbiệt(đãđềcậpởbài1).
Cách2.(Dùnghệquảđịnhlívềgiaotuyếncủahaimặtphẳng).




ab
aP,bQ cab
PQc
∥
∥∥
2. Cácvídụ
Vídụ1.
Chot ứdiệnSABC.GọiEvàFlầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhSBvàAB,Glàmộtđiểmtrên
cạnhAC.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặtphẳng:
a.
(SAC)và(EFC).
b.
(SAC)và(EFG).
Giải
a. Tacó:EFlàđườngtrungbìnhcủatamgiácSAB
EF SA∥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 637
Mà




EF EFC ,SA SAC
CEFC SAC
Suyra

EFC SAC Cx EF SA∥∥
b.
Tacó:
EF SA∥
Mà




EF EFG ,SA SAC
GEFG SAC
EFG SAC Gy EF SA∥∥
H
F
E
A
C
S
B
G
Trongmp(SAC):GycắtSCtạiH.Vậy
GH EFG SAC
.
Vídụ2.ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhbìnhhànhABCD.GọiMvàNlầnlượtlàtrungđiểmcủa
SAvàSB,PlàmộtđiểmtrêncạnhBC.Tìmgiaotuyếncủacáccặpmặt
phẳng:
a.
(SBC)và(SAD).
b.
(SAB)và(SCD).
c.
(MNP)và(ABCD).
Giải
a. Tacó:




BC AD
BC SBC ,AD SAD
SSBC SAD
∥

 SBC SA D Sx BC AD∥∥
.
b.
Tacó:




AB CD
AB SAB ,CD SCD
SSAB SCD
∥
y
x
Q
M
N
B
A
D
C
S
P

SAB SCD Sy AB CD∥∥
.
c.
Tacó:





MN AB
MN MNP ,AB ABCD MNP ABCD PQ AB MN Q AD
PMNP ABCD
∥
∥∥
.
Vídụ3.ChotứdiệnABCD.GọiGvàJlầnlượtlàtrọngtâmtamgiácBCDvàtamgiácACD.
a.
Chứngminh
GJ AB∥
.
b.
Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng(ABD)và(GJD).
Giải
a. GọiKlàtrungđiểmcủaCD.
Theotínhchấttrọngtâmtamgiáctacó:

KG KJ 1
GJ AB
KB KA 3
∥
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 638
b. Tacó:






GJ AB
GJ GJD ,AB ABD
DGJD ABD
GJD ABD Dx AB GJ
∥
∥∥
x
J
G
K
B
D
A
C
Vídụ4.ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhbìnhhànhABCDtâmOvàIlàmộtđiểmtrênđoạnSO.
a.
TìmgiaođiểmEvàFcủamặtphẳng(ICD)lầnl ượtvớicácđườngSAvàSB.Chứngminh
EF AB∥
.
b.
GọiKlàgiaođiểmcủaDEvàCF.Chứngminh
SK BC∥
.
Giải
a. Trongmp(SAC):
IC S A E
Trongmp(SBD):
ID SB F
Mà
IC IC D , ID IC D

nên
 
EICDSA,FICDSB
.
Tacó:




EF SAB ICD
AB CD EF AB CD
AB SAB ,CD SCD
∥∥∥
.
b.
Tacó:
I
K
F
O
B
A
D
C
S
E





CF DE K
CF SBC K SBC SAD
DE SAD
.
Mà
SSBC SAD
nên

SK SBC SAD
.
Vậy:



SK SBC SAD
BC AD SK BC AD
BC SBC ,AD SAD
∥∥∥
.
Dạng4.Bàitậpứngdụng
Câu 1: Cho tứ diện .ABCD Gọi ,IJ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và .ABD Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?
A.
IJ song song với .CD
B.
IJ song song với .AB
C.
IJ chéo .CD
D.
IJ cắt .AB
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 639
Chọn A
J
I
N
M
A
D
C
B
Gọi
,
M
N lần lượt là trung điểm của ,.BC BD
M
N là đường trung bình của tam giác BCD
()
// 1MN CD
,IJ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và
A
BD
()
2
2
3
AI AJ
IJ MN
AM AN
==
Từ
()
1 và
()
2 suy ra: .IJ CD
Câu 2: Cho hình chóp
.SABCD có
A
D không song song với .BC Gọi ,,
M
N ,,,PQRTlần lượt là trung
điểm
,,,,,.AC BD BC CD SA SD Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A.
M
P và .RT B.
M
Q và .RT C.
M
N và .RT D. PQ và .RT
Lời giải
Chọn B
T
R
Q
P
N
M
S
C
B
D
A
Ta có:
,
M
Q lần lượt là trung điểm của ,AC CD
M
Q là đường trung bình của tam giác
()
1CAD MQ AD
Ta có:
,
R
T
lần lượt là trung điểm của
,SA SD
RT là đường trung bình của tam giác
()
2SAD RT AD
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 640
Từ
()( )
1,2
suy ra: .
M
QRT
Câu 3: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,, ,IJEF lần lượt là trung điểm
,,,.SA SB SC SD
Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với ?IJ
A.
.
E
F
B.
.DC
C.
.AD
D.
.AB
Lời giải
Chọn C
E
J
F
I
C
A
D
B
S
Ta có
IJ AB
(tính chất đường trung bình trong tam giác SAB ) và
E
FCD
(tính chất đường
trung bình trong tam giác
SCD ).
Mà
CD AB
(đáy là hình bình hành)
.CD AB EF IJ¾¾

Câu 4: Cho tứ diện
.ABCD Gọi ,
M
N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng ;,AB P Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng
.CD Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ,.
M
PNQ
A.
.
M
PNQ
B. .
M
PNQº
C.
M
P
cắt .NQ D. ,
M
PNQ chéo nhau.
Lời giải
Chọn D
B
D
C
A
M
N
P
Q
Xét mặt phẳng
()
.
A
BP
Ta có:
,
M
N thuộc ,AB M N thuộc mặt phẳng
()
.
A
BP
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 641
Mặt khác:
()
.CD ABP PÇ=
Mà:
()
,,,QCD Q ABP MNPQÎÏ không đồng phẳng.
Câu 5: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
()
SAD và
()
.SBC Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
d qua S và song song với .BC B. d qua S và song song với .
D
C
C.
d
qua S và song song với .AB D.
d
qua S và song song với .BD
Lời giải
Chọn A
d
C
A
D
B
S
Ta có
()()
() ()
,
SAD SBC S
AD SAD BC SBC
AD BC
ì
ïÇ=
ï
ï
ï
ÌÌ
í
ï
ï
ï
ï
î
¾¾
()()
SAD SBC Sx AD BCÇ=

(với
dSxº
).
Câu 6: Cho tứ diện
.ABCD Gọi
I
và
J
theo thứ tự là trung điểm của
A
D và
,AC G
là trọng tâm tam
giác
.
B
CD
Giao tuyến của hai mặt phẳng
()
GIJ
và
()
BCD
là đường thẳng:
A. qua
I
và song song với .AB B. qua
J
và song song với .BD
C. qua
G và song song với .CD D. qua G và song song với .BC
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 642
x
M
I
J
A
D
B
C
G
Ta có
()( )
() ( )
,
GIJ BCD G
IJ GIJ CD BCD
IJ CD
ì
ïÇ =
ï
ï
ï
ÌÌ
í
ï
ï
ï
ï
î
¾¾
()( )
.GIJ BCD Gx IJ CDÇ=

Câu 7: Cho hình chóp
.SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là
A
B và .CD Gọi ,IJ lần lượt là
trung điểm của
AD
và
B
C
và
G
là trọng tâm của tam giác
.SAB
Giao tuyến của
()
SAB
và
()
IJG
là
A.
.SC
B. đường thẳng qua
S và song song với .AB
C. đường thẳng qua
G và song song với .
D
C
D. đường thẳng qua
G
và cắt
.
B
C
Lời giải
Chọn C
Q
P
G
J
I
S
D
B
A
C
Ta có:
,IJ lần lượt là trung điểm của
A
D và BC
IJ là đường trunh bình của hình thang .ABCD IJ AB CD

Gọi
()()
dSABIJG=Ç
Ta có:
G là điểm chung giữa hai mặt phẳng
()
SAB và
()
I
JG
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 643
Mặt khác:
() ()
;SAB AB IJG IJ
AB IJ
ì
ï
ÉÉ
ï
í
ï
ï
î
Giao tuyến d của
()
SAB và
()
I
JG là đường thẳng qua G và song song với
A
B và .IJ
Câu 8: Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
I
là trung điểm
.SA
Thiết diện
của hình chóp
.SABCD cắt bởi mặt phẳng
()
I
BC
là:
A. Tam giác .IBC
B. Hình thang
IBCJ
(
J
là trung điểm
SD
).
C. Hình thang
IGBC (G là trung điểm SB ).
D. Tứ giác
.IBCD
Lời giải
Chọn B
J
I
C
A
D
B
S
Ta có
()( )
() ( ) ()( )
,
IBC SAD I
BC IBC AD SAD IBC SAD Ix BC AD
BC AD
ì
ï
Ç=
ï
ï
ï
Ì̾¾Ç =
í
ï
ï
ï
ï
î

Trong mặt phẳng
()
:SAD ,Ix AD
gọi Ix SD JÇ=¾¾ IJ BC
Vậy thiết diện của hình chóp
.SABCD cắt bởi mặt phẳng
()
I
BC là hình thang .IBCJ
Câu 9: Cho tứ diện
,ABCD
M
và N lần lượt là trung điểm
A
B
và .AC Mặt phẳng
()
a qua
M
N cắt tứ
diện
ABCD theo thiết diện là đa giác
()
.T Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
()
T là hình chữ nhật.
B.
()
T là tam giác.
C.
()
T
là hình thoi.
D.
()
T là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 644
Chọn D
M
M
B
C
D
A
A
D
C
B
I
J
K
Trường hợp
()
A
DKa Ç=
()
T¾¾
là tam giác
.
M
NK
Do đó A và C sai.
Trường hợp
() ( )
,BCD IJa Ç= với ,;IBDJCDÎÎ ,IJ không trùng .
D
()
T¾¾ là tứ giác. Do đó B đúng.
Câu 10: Cho hai hình vuông
ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác
SAC cân tại , 8.SSB= Thiết diện của mặt phẳng
()
A
CI và hình chóp .SABCD có diện tích bằng:
A.
62. B. 82. C. 10 2. D. 92.
Lời giải
Chọn B
N
O
A
I
B
S
D
C
Gọi
;.OSDCIN ACBD=Ç = Ç
,ON lần lượt là trung điểm của
1
,4.
2
DS DB ON SB= =
Thiết diện của
()
mp ACI và hình chóp .SABCD là tam giác .OCAD
Tam giác
SACD cân tại SSCSA SDC SDA=D =D
CO AO= (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng) OCAD cân tại O
11
..4.4282.
22
OCA
SONAC
D
= = =
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 645
Câu 11: Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình thang với đáy lớn
AB
đáy nhỏ
.CD
Gọi ,
M
N lần
lượt là trung điểm của
SA
và
.SB
Gọi
P
là giao điểm của
SC
và
()
.
A
ND
Gọi
I
là giao điểm
của
AN và .
D
P Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.
C. Hình vuông. D. Hình thoi.
Lời giải
Chọn A
I
E
P
N
M
D
C
B
A
S
Gọi
,
E
AD BC P NE SC=Ç =Ç. Suy ra
()
P
SC AND=Ç .
Ta có
·
S
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng
()
SAB
và
()
SCD
;
· IDPAN I=Ç là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng
()
SAB và
()
.SCD
Suy ra
()()
SI SAB SCD=Ç
. Mà .AB CD SI AB CD¾¾

Vì
M
N là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình
của tam giác
SAI nên suy ra SI AB= .
Vậy
SABI là hình bình hành.
Câu 12: Cho tứ diện
.ABCD
Các điểm
,
P
Q
lần lượt là trung điểm của
A
B
và
;CD
điểm
R
nằm trên
cạnh
BC sao cho
2.
B
RRC=
Gọi S là giao điểm của mặt phẳng
()
P
QR và cạnh .AD Tính tỉ số
.
SA
SD
A.
2. B. 1. C.
1
.
2
D.
1
.
3
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 646
S
Q
P
A
D
C
B
R
I
Gọi
I
là giao điểm của BD và
.
R
Q
Nối
P
với
,I
cắt
A
D tại .S
Xét tam giác
BCD
bị cắt bởi
,IR
ta có
1
.. 1 .2.11 .
2
DI BR CQ DI DI
IB RC QD IB IB
= = =
Xét tam giác
ABD
bị cắt bởi
,PI
ta có
1
.. 1 ..11 2.
2
AS DI BP SA SA
SD IB PA SD SD
= = =
Câu 13: Cho tứ diện
ABCD và ba điểm
,,
P
QR
lần lượt lấy trên ba cạnh
,,.
A
BCDBC
Cho
P
R
// AC và
2.CQ QD=
Gọi giao điểm của
A
D
và
()
P
QR là
.S
Chọn khẳng định đúng?
A.
3.AD DS= B. 2.AD DS= C. 3.AS DS= D.
.AS DS=
Lời giải
Chọn A
S
I
Q
P
B
C
D
A
R
Gọi
I
là giao điểm của BD và .
R
Q Nối
P
với ,I cắt
A
D tại .S
Ta có
.. 1
DI BR CQ
IB RC QD
= mà 2
CQ
QD
= suy ra
11
...
22
D
IBR DI RC
IB RC IB BR
= =
Vì
P
R song song với AC suy ra
1
..
2
RC AP DI AP
BR PB IB PB
==
Lại có
1
.. 1 ... 1 2 3.
2
SA DI BP SA AP BP SA
AD DS
SD IB PA SD PB PA SD
= = = ¾¾=
Câu 14: Gọi
G là trọng tâm tứ diện .ABCD Gọi A
¢
là trọng tâm của tam giác .BCD Tính tỉ số .
GA
GA
¢
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 647
A.
2.
B.
3.
C.
1
.
3
D.
1
.
2
Lời giải
Chọn B
G
A
'
E
M
B
D
C
A
Gọi
E
là trọng tâm của tam giác ,
A
CD M là trung điểm của .CD
Nối
BE
cắt
AA
¢
tại
G
suy ra
G
là trọng tâm tứ diện.
Xét tam giác
,
M
AB có
1
3
ME MA
MA MB
¢
==
suy ra AE
¢
//
1
.
3
AE
AB
AB
¢
=
Khi đó, theo định lí Talet suy ra
1
3.
3
AE AG GA
AB AG GA
¢¢
===
¢
Câu 15: Cho tứ diện
ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi
,
M
N
lần lượt là trung điểm của
,
A
BCD và
G
là trung điểm của đoạn
.
M
N
Gọi
1
A
là giao điểm của
AG
và
()
.BCD
Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
1
A là tâm đường tròn tam giác .BCD
B.
1
A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
.BCD
C.
1
A là trực tâm tam giác .BCD
D.
1
A là trọng tâm tam giác .BCD
Lời giải
Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 648
A
1
P
G
N
M
A
C
D
B
Mặt phẳng
()
A
BN cắt mặt phẳng
()
BCD theo giao tuyến .BN
Mà
()
A
GABNÌ suy ra AG cắt BN tại điểm
1
.A
Qua
M
dựng
M
P //
1
AA với .
M
BNÎ
Có
M
là trung điểm của
A
B
suy ra
P
là trung điểm
()
11
1.BA BP PA=
Tam giác
M
NP có
M
P //
1
GA và G là trung điểm của .
M
N
1
A là trung điểm của
()
11
2.NP PA NA=
Từ
()( )
1,2
suy ra
1
11
2
3
BA
BP PA A N
BN
== =
mà N là trung điểm của .CD
Do đó,
1
A là trọng tâm của tam giác .BCD
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 649
BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
A. LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
a
và mặt phẳng
()
.
P
Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta
có ba trường hợp sau:
a. Đường thẳng
a
và mặt phẳng
()
P
không có điểm chung, tức là:
() ()
.aP aPÇ=Æ
b. Đường thẳng
a
và mặt phẳng
()
P
chỉ có một điểm chung, tức là:
()
aP A aÇ= cắt
()
P
tại .
A
c. Đường thẳng
a
và mặt phẳng
()
P
có hai điểm chung, tức là:
()
{
}
()
,.aP AB a PÇ= Ì
a
(P)
() ()
.aP a PÇ=Æ
A
a
(P)
()
{
}
aP A aÇ=
cắt
()
.
P
B
A
(P)
a
()
{
}
()
,.aP AB a PÇ= Ì
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1: Nếu đường thẳng
a không nằm trong mặt phẳng
()
P
và song song với một đường thẳng
nào đó trong
()
P
thì a song song với
()
.
P
Tức là,
()
aPË thì nếu:
() ()
.ad P a PÌ

a
d
(P)
3. Tính chất
Định lí 2: Nếu đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
()
P
thì mọi mặt phẳng
()
Q chứa
a
mà cắt
()
P
thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với .a
Tức là, nếu
()
()()()
.
aP
ad
aQQ Pd
ì
ï
ï
ï
í
ï
éù
ÌÇ=
ï
ëû
ï
î
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 650
d
a
(Q)
(P)
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường
thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu
có) của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là:
()()
()
()
.
PQd
Pa da
Qa
ì
ïÇ =
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î

(Q)
(P)
d
a
Hệ quả 3: Nếu
a
và
b
là hai đường thẳng chéo nhau thì qua
a
có một và chỉ một mặt phẳng song
song với
.b
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Câu hỏi lý thuyết
Câu 1: Cho đường thẳng
a
và mặt phẳng
()
P
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối
của
a và
()
P
?
A.
2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
Chọn B
(P)
a
A
a
(P)
a
(P)
Có 3 vị trí tương đối của
a và
()
P
, đó là: a nằm trong
()
P
, a song song với
()
P
và a
cắt
()
P
.
Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt
,ab và mặt phẳng
()
a
. Giả sử ab
,
()
b a
. Khi đó:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 651
A.
()
.a a
B.
()
.a aÌ
C.
a
cắt
()
.a
D.
()
a a
hoặc
()
.a aÌ
Lời giải
Chọn D
Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt
,ab
và mặt phẳng
()
a
. Giả sử
()
a a
,
()
b aÌ
. Khi đó:
A.
.ab
B. ,ab chéo nhau.
C.
ab
hoặc ,ab chéo nhau. D. ,ab cắt nhau.
Lời giải
Chọn C
c
a
b
b
a
Vì
()
a a
nên tồn tại đường thẳng
()
c aÌ
thỏa mãn
.ac
Suy ra
,bc
đồng phẳng và xảy
ra các trường hợp sau:
Nếu
b
song song hoặc trùng với
c
thì
ab
.
Nếu
b cắt c thì b cắt
() ( )
,acb º nên ,ab không đồng phẳng. Do đó ,ab chéo nhau.
Câu 4: Cho đường thẳng
a
nằm trong mặt phẳng
()
a . Giả sử
()
b aË . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu
()
b a
thì .ba
B. Nếu
b cắt
()
a thì b cắt .a
C. Nếu
ba
thì
()
.b a
D. Nếu
b cắt
()
a và
()
b chứa b thì giao tuyến của
()
a và
()
b là đường thẳng cắt cả a và
.b
Lời giải
Chọn C
A sai. Nếu
()
b a
thì ba
hoặc ,ab chéo nhau.
B sai. Nếu
b cắt
()
a thì b cắt a hoặc
,ab
chéo nhau.
D sai. Nếu
b cắt
()
a
và
()
b
chứa b thì giao tuyến của
()
a
và
()
b
là đường thẳng cắt a
hoặc song song với
a
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 652
Câu 5: Cho hai đường thẳng phân biệt
,ab và mặt phẳng
()
a
. Giả sử
()
a a
và
()
b a
. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A.
a và b không có điểm chung.
B.
a
và
b
hoặc song song hoặc chéo nhau.
C.
a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D.
a
và
b
chéo nhau.
Lời giải
Chọn C
Câu 6: Cho mặt phẳng
()
P
và hai đường thẳng song song a và b . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Nếu
()
P
song song với a thì
()
P
cũng song song với .b
B. Nếu
()
P
cắt
a
thì
()
P
cũng cắt
.b
C. Nếu
()
P
chứa a thì
()
P
cũng chứa .b
D. Các khẳng định A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn B
Gọi
() ( )
,Qabº
.
A sai. Khi
()() ()
bPQ bP=ÇÌ.
C sai. Khi
() () ()
P
QbP¹
.
Xét khẳng định B, giả sử
()
P
không cắt b khi đó
()
bPÌ hoặc
()
bP
. Khi đó, vì ba
nên
()
aPÌ hoặc a cắt
()
P
(mâu thuẫn với giả thiết
()
P
cắt a ).
Vậy khẳng định B đúng.
Câu 7: Cho
()
d a
, mặt phẳng
()
b
qua d cắt
()
a
theo giao tuyến d
¢
. Khi đó:
A.
.dd
¢
B. d cắt d
¢
. C. d và d
¢
chéo nhau. D. .dd
¢
º
Lời giải
Chọn A
Ta có:
() ()
d ab
¢
=Ç
. Do d và
d
¢
cùng thuộc
()
b
nên d cắt
d
¢
hoặc
dd
¢
.
Nếu d cắt d
¢
. Khi đó, d cắt
()
a (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy
dd
¢
.
Câu 8: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
A.
1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 653
Lời giải
Chọn D
c
a
b
Gọi
a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, c là đường thẳng song song với a và cắt b .
Gọi
() ( )
,bca º . Do
()
ac a a

.
Giả sử
()()
ba
. Mà
() ()
bbabÎ
.
Mặt khác,
() ()
aaab

.
Có vô số mặt phẳng
()()
ba
. Vậy có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo
nhau.
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau
a và b . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với
a và .b
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua
a và song song với .b
C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm
M
, song song với a và b (với
M
là điểm cho
trước).
D. Có vô số đường thẳng song song với
a và cắt .b
Lời giải
Chọn A
Có có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
Do đó A sai.
Câu 10: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau
,,abc. Gọi
()
P
là mặt phẳng qua a ,
()
Q là mặt
phẳng qua
b sao cho giao tuyến của
()
P và
()
Q song song với c . Có nhiều nhất bao
nhiêu mặt phẳng
()
P
và
()
Q thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Một mặt phẳng
()
P
, một mặt phẳng
()
.Q B. Một mặt phẳng
()
P
, vô số mặt phẳng
()
.Q
C. Một mặt phẳng
()
Q , vô số mặt phẳng
()
.
P
D. Vô số mặt phẳng
()
P
và
()
.Q
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 654
c
(Q)
(P)
b
a
Vì
c
song song với giao tuyến của
()
P
và
()
Q nên
()
cP
và
()
cQ
.
Khi đó,
()
P
là mặt phẳng chứa a và song song với ,c mà a và c chéo nhau nên chỉ có
một mặt phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng
()
Q chứa b và song song với c .
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng
()
P
và một mặt phẳng
()
Q thỏa yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)
1. Phương pháp
(Dùng định lí 1)




ab
b
PaP
aP
∥
∥
Nếu không có sẵn đường thẳng b trong mặt phẳng (P) thì ta tìm đường thẳng b bằng cách chọn một
mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P), giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng b cần tìm.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và
O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.
a. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABF. Chứng minh
GGʹ DCEF∥
.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 655
a. Ta có OO’ là đường trung bình của tam giác ACE và
tam giác BDF nên:
OOʹ CE∥
và
OOʹ DF∥
.
Mà

CE BCE , DF ADF
nên
OOʹ BCE∥
và
OOʹ ADF∥
.
b. Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta có:

AG AGʹ 2
AO AOʹ 3
Vậy
GGʹ OOʹ∥
Cd
OOʹ CE∥
nên
GGʹ CE∥
.
G
G'
M
O
O'
E
C
A
B
D
F
Mà

CE CDEF
nên

GGʹ DCEF∥
.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho
MB 2MC
.
Chứng minh

MG ACD∥
.
Giải
Gọi E là trung điểm của AD. Ta có:
BG 2
BE 3
(do G là trọng tâm
của tam giác ABD).
Mà
BM 2
BC 3
(do
MB 2MC
) nên
BG BM
BE BC
.
Suy ra
MG CE∥
.
Mà

CE ACD
do đó

MG ACD∥
.
M
G
E
A
B
D
C
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng
minh rằng

MN ABD∥
và

MN ACD∥
.
Giải
Gọi H là trung điểm của BC, ta có:
MAH,NDH
. Do đó:

HM HN 1
HA HD 3
(tính chất trọng tâm tam giác)
MN AD∥
.
Như vậy:




MN AD
MN ABD
AD ABD
MN AD
MN ACD
AD ACD
∥
∥
∥
∥
M
N
H
A
B
D
C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 656
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC;
là mặt phẳng qua M và
song song với AB và CD, cắt các cạnh BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q. Chứng minh rằng MNPQ
là hình bình hành.
Giải
Ta có:





AB
ABC AB MQ AB
ABC MQ
∥
∥
(1)
Tương tự, ta có:
NP AB∥
(2)





CD
ACD CD PQ CD
ACD PQ
∥
∥
(3)
Tương tự, ta có:
MN CD∥
(4)
Từ (1) và (2) suy ra:
MQ NP∥
(5)
Từ (3) và (4) suy ra:
PQ MN∥
(6)
α
P
N
M
Q
A
B
D
C
Từ (5) và (6) suy ra MNPQ là hình bình hành.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành; F, G lần lượt là trung điểm
của AB và CD.
a. Chứng minh rằng FG song song với các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b. Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB, SC song song với mặt phẳng (FGE).
Giải
a. Ta có:


FG AD
FG SAD
AD SAD
∥
∥
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
FG SBC∥
b. Gọi

EFG SD H
. Ta có:





ABCD EFG FG
ABCD SAD AD
EH AD FG
SAD EFG EH
FG AD
∥∥
∥
H
F
G
A
D
C
B
S
E
Suy ra H là trung điểm của SD.
Như vậy:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 657


GH SC (tính chaát ñöôøng trung bình)
SC EFG
HG EFG
∥
∥
.
Tương tự, ta có:

SB EFG∥
.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
là mặt phẳng đi qua trung
điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB, cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại Q, P và N. Hãy
xác định hình tính của tứ giác MNPQ?
Giải
Ta có:





AB
SAB MQ AB
MSAB
∥
∥
(1)
Mặt khác:






1
DC AB DC QM *
DC
QM
∥∥
∥
α
N
M
Q
A
D
C
B
S
P
Như vậy:



DC
PN DC
PN SCD
∥
∥
(2)
Từ (*) và (2) suy ra MNPQ là hình bình thang.
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một
đường thẳng
1. Phương pháp
Ngoài hai cách đã đề cập ở Bài 1 và Bài 2 ta có hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cách 1. Dùng định lí 2.




aP
aQ da
PQd
∥
∥
Cách 2. Dùng hệ quả 2.



Pa
Qa da
PQd
∥
∥∥
Tìm thiết diện là tìm các đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến được nêu ở trên, cho đến
khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 658
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của SA và SD.
a. Chứng minh

MN SBC , SB OMN , SC OM N∥∥ ∥
.
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN). Thiết diện là hình gì?
Giải
a. Ta có
MN AD∥
(MN là đường trung bình của
tam giác SAD) và
AD BC∥
(tứ giác ABCD là hình
bình hành), suy ra
MN BC∥
.
Mà

BC SBC
nên

MN SBC∥
.
Ta có:
ON SB∥
(ON là đường trung bình của tam
giác SBD) nên

ON OMN
.
Do đó:
SB OM N∥
.
Ta có
OM SC∥
(OM là đường trung bình của
SAC) và

OM OMN
.
Vậy

SC OM N∥
.
M
N
Q
P
O
B
A
D
C
S
b. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ đó có:
PQ AD∥
, suy ra
PQ MN∥
.
Vậy MN và PQ đồng phẳng, nghĩa là
OMN MNPQ
.
Ta có thiết diện do mp(OMN) cắt hình chóp là hình thang MNPQ
MN PQ∥
.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên
đoạn IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ICD).
b. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì?
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 659
a. Ta có:






PCD
CD ICD P ICD Mx CD
MP ICD
∥
∥
.
Trong mp(ICD) ta có Mx cắt IC tại E và cắt ID tại F. Suy
ra

EF P ICD
.
b. Ta có:






PAB
AB ABC P ABC Ey AB
EP ABC
∥
∥
.
Q
R
S
P
E
F
I
J
A
B
D
C
M
Trong mp(ABC) ta có Ey cắt BC tại P và cắt AC tại S.
Suy ra
PS P ABC
.
Ta có:






PAB
AB ABD P ABD Ft AB
FP ABD
∥
∥
.
Trong mp(ABD) ta có Ft cắt BD tại Q và cắt AD tại R.
Suy ra

QR P ABD
.
Khi đó:

PQ P CBD
và

RS P ACD
.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác PQRS.
Theo chứng minh trên ta có thể suy ra được:
PS AB, Q R AB∥∥
nên
PS QR∥
.
(1)
Mặt khác, ta có:






PCD
RS CD
RS P ACD
RS PQ
PCD
PQ CD
PQ P BCD
∥
∥
∥
∥
∥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra thiết diện PQRS là hình bình hành.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 660
Dạng 4. Bài tập ứng dụng
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác .SABCD. Gọi
M
và N lần lượt là trung điểm của SA và .SC
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
M
N //
()
.mp ABCD B.
M
N //
()
.mp SA B
C.
M
N
//
()
.mp SCD
D.
M
N
//
()
.mp SBC
Lời giải
Chọn A
Xét tam giác
SAC có ,
M
N lần lượt là trung điểm của ,.SA SC
Suy ra
M
N // AC mà
()
A
CABCD MN̾¾ //
()
.mp A BCD
Câu 2: Cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
M
và N là hai điểm trên
,SA SB
sao cho
1
.
3
SM SN
SA SB
==
Vị trí tương đối giữa
M
N và
()
A
BCD là:
A.
M
N nằm trên
()
.mp ABCD B.
M
N cắt
()
.mp ABCD
C.
M
N
song song
()
.mp ABCD
D.
M
N
và
()
mp ABCD
chéo nhau.
Lời giải
Chọn C
Theo định lí Talet, ta có
SM SN
SA SB
=
suy ra
M
N song song với
.
A
B
Mà
A
B nằm trong mặt phẳng
()
A
BCD suy ra
M
N //
()
.
A
BCD
Câu 3: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
,
A
BD Q
thuộc cạnh
A
B
sao cho
2,AQ QB P= là trung điểm của .
A
B Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
M
N //
()
.BCD B. GQ //
()
.BCD
C.
M
N cắt
()
.BCD D. Q thuộc mặt phẳng
()
.CDP
Lời giải
Chọn B
Q
G
P
M
A
C
D
B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 661
Gọi
M
là trung điểm của .BD
Vì
G là trọng tâm tam giác
A
BD
2
.
3
AG
AM
=
Điểm
QABÎ
sao cho
2
2.
3
AQ
AQ QB
AB
== Suy ra
AG AQ
GQ
AM AB
=¾¾
//
.BD
Mặt khác
BD nằm trong mặt phẳng
()
BCD suy ra GQ //
()
.BCD
Câu 4: Cho hai hình bình hành
ABCD
và
A
BEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi
1
,OO lần lượt là tâm của ,.
A
BCD ABEF
M
là trung điểm của .CD Khẳng định nào sau
đây sai?
A.
1
OO //
()
.BEC B.
1
OO //
()
.
A
FD C.
1
OO //
()
.
E
FM D.
1
M
O cắt
()
.BEC
Lời giải
Chọn D
Xét tam giác
ACE có
1
,OO lần lượt là trung điểm của ,.
A
CAE
Suy ra
1
OO là đường trung bình trong tam giác
ACE
1
OO // .
E
C
Tương tự,
1
OO là đường trung bình của tam giác BFD nên
1
OO // .FD
Vậy
1
OO //
()
BEC ,
1
OO //
()
A
FD và
1
OO //
()
E
FC . Chú ý rằng:
()( )
.
E
FC EFM=
Câu 5: Cho tứ diện
.
A
BCD Gọi ,,,,,
M
NPQRS theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
,,,,,.
A
CBDABCDADBC Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A.
,,,.
P
QRS B. ,,,.
M
PRS C. ,,, .
M
RSN D. ,,,.
M
NPQ
Lời giải
O
1
O
E
F
C
D
B
A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 662
Q
P
N
S
R
M
B
C
D
A
Chọn C
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
PS // AC //QR suy ra ,,,
P
QRS đồng phẳng
Tương tự, ta có được
P
M // BC // NQ suy ra ,,,
P
MNQ đồng phẳng.
Và
NR
//
CD
//
SN
suy ra ,,,
M
RSN đồng phẳng.
Câu 6: Cho tứ diện
.
A
BCD
Gọi
H
là một điểm nằm trong tam giác
()
,ABC a là mặt phẳng đi
qua
H
song song với
A
B và .CD Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của
()
a của tứ
diện?
A. Thiết diện là hình vuông. B. Thiết diện
là hình thang cân.
C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình chữ nhật.
Lời giải
P
Q
M
N
H
A
D
C
B
Chọn C
Qua
H
kẻ đường thẳng
()
d song song
A
B và cắt ,BC AC lần lượt tại ,.
M
N
Từ
N
kẻ
N
P song song vớ
()
.CD P CDÎ Từ P kẻ PQ song song với
()
.AB Q BDÎ
Ta có
M
N // PQ //
A
B suy ra ,,,
M
NPQ đồng phẳng và
A
B //
()
.
M
NPQ
Suy ra
M
NPQ là thiết diện của
()
a và tứ diện.
Vậy thiết diện là hình bình hành.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 663
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều
.SABCD
có cạnh đáy bằng
10.
M
là điểm trên
SA
sao cho
2
.
3
SM
SA
= Một mặt phẳng
()
a đi qua
M
song song với
A
B và ,CD cắt hình chóp theo một
tứ giác có diện tích là:
A.
400
.
9
B.
20
.
3
C.
4
.
9
D.
16
.
9
Lời giải
Q
P
N
C
D
B
A
S
M
Chọn A
Ta có
()
A
Ba
và CD mà
,,,
A
BCD
đồng phẳng suy ra
() ( )
.
A
BCDa
Giả sử
()
a cắt các mặt bên
()()()()
,,,SAB SBC SCD SDA lần lượt tại các điểm ,,NPQ với
,,NSBPSCQSDÎÎÎ
suy ra
() ( )
.
M
NPQa º
Khi đó
M
N //
A
B
M
N là đường trung bình tam giác SAB
2
.
3
SM M N
SA AB
==
Tương tự, ta có được
2
3
NP PQ QM
BC CD DA
== = và
M
NPQ là hình vuông.
Suy ra
2
2 4 4 400
.10.10 .
3999
MNPQ ABCD ABCD
SSS
æö
÷
ç
====
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 8: Cho hình chóp
.SABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn .
A
D ,
M
N lần lượt là hai
trung điểm của
AB và
.CD
()
P
là mặt phẳng qua
M
N và cắt mặt bên
()
SBC theo một
giao tuyến. Thiết diện của
()
P
và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 664
N
M
S
C
B
D
A
P
Q
Chọn B
Xét hình thang
ABCD
, có ,
M
N lần lượt là trung điểm của ,.
A
BCD
Suy ra
M
N là đường trung bình của hình thang
A
BCD MN // .BC
Lấy điểm
PSBÎ , qua
P
kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BC tại .Q
Suy ra
()( )
P
SBC PQÇ=
nên thiết diện
()
P
và hình chóp là tứ giác
M
NQP
có
M
N // PQ // BC . Vậy thiết diện là hình thang .
M
NQP
Câu 9: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .O Gọi
M
là điểm thuộc
cạnh
SA
(không trùng với
S
hoặc
A
).
()
P
là mặt phẳng qua
OM
và song song với .AD
Thiết diện của
()
P
và hình chóp là
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình tam
giác.
Lời giải
P
Q
O
S
C
D
B
A
M
N
Chọn B
Qua
M
kẻ đường thẳng
M
N //
A
D và cắt SD tại NMN // .
A
D
Qua
O kẻ đường thẳng PQ //
A
D và cắt ,
A
BCD lần lượt tại ,QP PQ // .
A
D
Suy ra
M
N // PQ //
A
D ,,,
M
NPQ¾¾ đồng phẳng
()
P cắt hình chóp .SABCD theo
thiết diện là hình thang
.
M
NPQ
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 665
Câu 10: Cho tứ diện
.ABCD Gọi ,IJ lần lượt thuộc cạnh ,AD BC sao cho 2IA ID= và 2.
J
BJC=
Gọi
()
P
là mặt phẳng qua
IJ
và song song với
.
A
B
Thiết diện của
()
P
và tứ diện
ABCD
là
A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Tam giác đều.
Lời giải
Chọn B
H
J
K
A
C
D
B
I
Giả sử
()
P
cắt các mặt của tứ diện
()
A
BC và
()
A
BD theo hai giao tuyến
J
H và
.
I
K
Ta có
()( ) ()( )
,
P
ABC JH P ABD IKÇ= Ç=
()() ()
,ABC ABD AB PÇ=
// AB JH¾¾ //
I
K // .
A
B
Theo định lí Thalet, ta có
2
JB HA
JC HC
== suy ra
HA IA
IH
HC ID
=//
.CD
Mà
()
IH PÎ
suy ra
IH
song song với mặt phẳng
()
.P
Vậy
()
P
cắt các mặt phẳng
()
A
BC ,
()
A
BD theo các giao tuyến ,
I
HJK với
I
H // .
J
K
Do đó, thiết diện của
()
P
và tứ diện ABCD là hình bình hành.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 666
BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A. LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
Cho 2 mặt phẳng
()
P
và
()
.Q
Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường
hợp sau:
a. Hai mặt phẳng
()
P
và
()
Q
không có đường thẳng chung, tức là:
()() () ()
.
P
QPQÇ=Æ
b. Hai mặt phẳng
()
P
và
()
Q chỉ có một đường thẳng chung, tức là:
()() ()
P
Qa PÇ=
cắt
()
.Q
c. Hai mặt phẳng
()
P
và
()
Q có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:
()()
{
}
() ()
,.
P
Qab PQÇ= º
(P)
(Q)
()() () ()
.
P
QPQÇ=Æ
a
(Q)
(P)
()() ()
P
Qa PÇ=
cắt
()
.Q
(Q)
(P)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
,.
P
Qab PQÇ= Ç
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Định lí 1: Nếu mặt phẳng
()
P
chứa hai đường thẳng ,ab cắt nhau và cùng song song với mặt
phẳng
()
Q thì
()
P
song song
()
.Q
Tức là:
()
{}
() ()
() ()
,
.
,
ab P
ab I P Q
aPbQ
ì
ïÎ
ï
ï
ï
Ç=
í
ï
ï
ï
ï
î

(P)
b
a
(Q)
3. Tính chất
Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với
mặt phẳng đó.
Tức là:
() ()
()
() ()
!: .
OQ
OP Q
PQ
ì
ïÎ
ï
Ï$
í
ï
ï
î
Cách dựng:
- Trong
()
P
dựng ,ab cắt nhau.
- Qua
O dựng
11
,.aabb

- Mặt phẳng
()
11
,ab là mặt phẳng qua O và song song với
()
.
P
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 667
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng
a song song với mặt phẳng
()
Q
thì qua a có một và chỉ một mặt
phẳng
()
P
song song với
()
.Q
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với
nhau.
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng
()
P
và
()
Q song song thì mặt phẳng
()
R đã cắt
()
P
thì phải cắt
()
Q và các giao tuyến của chúng song song.
Tức là:
() ()
()()
()()
.
PQ
aP R ab
bQ R
ì
ï
ï
ï
ï
=Ç
í
ï
ï
ï
=Ç
ï
î
b
a
(R)
(P)
(Q)
Định lí Ta – let trong không gian:
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Tức là:
() () ()
() () ()
() () ()
111
222
;;
;;
PQR
aP AaQ BaR C
bP AbQ BbP C
ì
ï
ï
ï
ï
Ç= Ç= Ç=
í
ï
ï
ï
Ç= Ç= Ç=
ï
î

11 22
11 22
.
AB AB
BC BC
=
C
2
C
1
B
2
B
1
A
2
A
1
ba
(R)
(P)
(Q)
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Định nghĩa hình lăng trụ:
Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và
tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.
Trong đó:
 Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
 Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
 Tùy theo đa giác đáy, ta có hình l
ăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …
Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:
a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.
b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.
c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 668
(Q)
A
'
5
A
'
4
A
'
3
A
'
2
A
'
1
(P)
A
5
A
4
A
3
A
2
A
1
Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
5. Hình chóp cụt
Định nghĩa: Cho hình chóp
12
. ... .
n
SAA A Một mặt phẳng
()
P
song song với mặt phẳng chứa đa giác
đáy cắt các cạnh
12
, , ...,
n
SA SA S A theo thứ tự tại
12
, , ..., .
n
AA A
¢¢ ¢
Hình tạo bởi thiết diện
12
...
n
AA A
¢¢ ¢
và đáy
12
...
n
AA A của hình chóp cùng với các mặt bên
1221 2332 11
, , ...,
nn
AAAA AAAA AAAA
¢¢ ¢¢ ¢¢
gọi là một hình chóp
cụt.
Trong đó:
Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp
cụt.
A'
5
A'
4
A'
3
A'
2
A
'
1
A
5
A
4
A
3
A
2
A
1
(P)
S
 Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
 Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như
11 2 2
, , ...,
nn
AA AA AA
¢¢ ¢
gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.
Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác,
hình chụp cụt ngũ giác,…
Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 669
1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Bài toán lý thuyết
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song
song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với
m
ặt phẳng đó.
Lời giải
Chọn C
P
a
Q
Trong không gian, hai mặt phẳng có
3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song
với nhau. Vì vậy,
2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song hoặc trùng nhau
A
là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau
(hình vẽ)
B là mệnh đề sai.
Ta có:
() ()
,aPaQ

nhưng
()
P
và
()
Q vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
Câu 2: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận
() ()
?mp mpab
A.
() ()
ag
và
() ()()
(bgg
là mặt phẳng nào đó).
B.
()
aa
và
()
ba
với ,ab là hai đường thẳng phân biệt thuộc
()
.b
C.
()
aa
và
()
ba
với ,ab là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
()
.b
D.
()
aa
và
()
ba
với
,ab
là hai đường thẳng cắt nhau thuộc
()
.b
Lời giải
Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 670
a
b
b
a
Trong trường hợp:
() ()
ag
và
() ()()
(bgg
là mặt phẳng nào đó) thì
()
a và
()
b có thể
trùng nhau
Loại A.
()
aa
và
()
ba
với
,ab
là hai đường thẳng phân biệt thuộc
()
b thì
()
a và
()
b vẫn có
thể cắt nhau (hình 1)
Loại B.
()
aa
và
()
ba
với
,ab
là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
()
b
thì
()
a
và
()
b
vẫn có thể cắt nhau (hình 2)
Loại C.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu mặt phẳng
()
a
()
b thì mọi đường thẳng nằm trong
()
a đều song song với
()
.b
B. Nếu hai mặt phẳng
()
a và
()
b song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm
trong
()
a cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong
()
.b
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt
a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
()
a
và
()
b
phân biệt thì
() ( )
.a b
D. Nếu đường thẳng
d song song với
()
mp a thì nó song song với mọi đường thẳng nằm
trong
()
.mp a
Lời giải
Chọn A
Hình 3
Hình 2Hình 1
b
a
b
a
a
d
Nếu hai mặt phẳng
()
a và
()
b song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt
thuộc
()
a
và
()
b
có thể chéo nhau (Hình 1)
Loại B.
Nếu hai đường thẳng phân biệt
a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
()
a
và
()
b phân biệt thì hai mặt phẳng
()
a và
()
b có thể cắt nhau (Hình 2) Loại C.
Nếu đường thẳng
d
song song với
()
mp a thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng
nào đó nằm trong
()
.a
(Hình 3).
Câu 4: Cho hai mặt phẳng song song
()
a
và
()
b
, đường thẳng
()
a a
. Có mấy vị trí tương đối
của
a và
()
.b
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 671
Lời giải
Chọn B
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có
3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt
mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
()
a a
mà
() ()
aab
và
()
a
không thể cắt nhau.
Vậy còn
2 vị trí tương đối.
Câu 5: Cho hai mặt phẳng song song
()
P
và
()
Q
. Hai điểm
,
M
N
lần lượt thay đổi trên
()
P
và
()
.Q
Gọi
I
là trung điểm của
.
M
N
Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm
I
là đường thẳng song song và cách đều
()
P
và
()
.Q
B. Tập hợp các điểm
I
là mặt phẳng song song và cách đều
()
P
và
()
.Q
C. Tập hợp các điểm
I
là một mặt phẳng cắt
()
.
P
D. Tập hợp các điểm
I
là một đường thẳng cắt
()
.
P
Lời giải
Chọn B
Q
P
I
N
M
Ta có:
I
là trung điểm của
M
N
Khoảng cách từ
I
đến
()
P
bằng khoảng cách từ
I
đến
()
Q
Tập hợp các điểm
I
là mặt phẳng song song và cách đều
()
P
và
()
.Q
Câu 6: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
()
?
P
A.
ab
và
()
.bPÌ B. ab
và
()
.bP
C.
()
aQ
và
() ()
.QP
D.
()
aQÌ và
()
.bPÌ
Lời giải
Chọn D
Ta có:
ab
và
()
bPÌ
suy ra
()
aP
hoặc
()
aPÌ
LoạiA.
ab
và
()
bP
suy ra
()
aP
hoặc
()
aPÌ
Loại B.
()
aQ
và
() ()
QP
suy ra
()
aP
hoặc
()
aPÌ
Loại C.
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu
() ()
ab
và
() ()
,ababÌÌ thì .ab
B. Nếu
() ()
ab
và
() ()
,ababÌÌ thì
a
và
b
chéo nhau.
C. Nếu
ab
và
() ()
,ababÌÌ thì
() ()
.ab
D. Nếu
() () () ()
,abga gbÇ= Ç= và
() ()
ab
thì .ab
Lời giải
Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 672
Nếu
() ()
ab
và
() ()
,ababÌÌ
thì ab
hoặc a chéo b A, B sai.
Nếu
ab
và
() ()
,ababÌÌ thì
() ()
ab
hoặc
()
a và
()
b cắt nhau theo giao tuyến song
song với
a và .b
Câu 8: Cho đường thẳng
()
ampPÌ và đường thẳng
()
.bmpQÌ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
() ()
.
P
Qab

B.
() ()
.ab P Q

C.
() () ()
P
QaQ

và
()
.bP
D. a và b chéo nhau.
Lời giải
Chọn C
Với đường thẳng
()
ampPÌ và đường thẳng
()
bmpQÌ
Khi
() ()
P
Qab

hoặc
,ab
chéo nhau A sai.
Khi
() ()
ab P Q

hoặc
()()
,
P
Q cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b B
sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau D sai.
Câu 9: Hai đường thẳng
a và b nằm trong
()
.mp a Hai đường thẳng
a
¢
và
b
¢
nằm trong
()
.mp b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu
aa
¢
và
bb
¢
thì
() ()
.ab
B. Nếu
() ()
ab
thì
aa
¢
và
.bb
¢
C. Nếu
ab
và
ab
¢¢
thì
() ()
.ab
D. Nếu
a
cắt
b
và ,aabb
¢¢

thì
() ()
.ab
Lời giải
Chọn D
Hình 1 Hình 2
a
b
b'
a'
a
a'
Nếu
aa
¢
và bb
¢
thì
() ()
ab
hoặc
()
a
cắt
()
b
(Hình 1) A sai.
Nếu
() ()
ab
thì aa
¢
hoặc ,aa
¢
chéo nhau (Hình 2) B sai.
Nếu
ab
và ab
¢¢
thì
() ()
ab
hoặc
()
a cắt .CC
¢
(Hình 1) C sai.
Câu 10: Cho hai mặt phẳng
()
P
và
()
Q
cắt nhau theo giao tuyến .D Hai đường thẳng
p
và q lần
lượt nằm trong
()
P
và
()
.Q
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
p
và q cắt nhau. B.
p
và q chéo nhau.
C.
p
và q song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 673
Chọn D
P
Q
p
q
q
p
P
Q
q
p
Q
P
Ta có
p
và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng song song
1. Phương pháp
Áp dụng kết quả sau:





ac,bd
a, b P
PQ
c,d Q
ab A
∥∥
∥
Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).


aQ
aP
QP
∥
∥
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,
AD BC, AD 2BC∥
. Gọi E, F, I lần
lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.
a. Chứng minh

EFB SCD∥
. Từ đó chứng minh
CI EFB∥
.
b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh

SBF K C D∥
.
Giải
a. Ta có:
EF SD∥
(EF là đường trung bình của tam giác SAD).
BF CD∥

BC FD, BC FD∥
.
Suy ra

EFB SCD∥
.
Mà

CI SCD
nên

CI EFB∥
.
b. Ta có:






BC AD
BC SBC , AD SAD
SSBC SAD
SBC SAD Sx, Sx AD BC
∥
∥∥
x
K
I
E
F
A
D
C
B
S
Trong mp(SAD): FI cắt Sx tại K.
Ta có:
SK FD, IS ID∥
nên
IK IF
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 674
Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra
SF KD∥
.
Mặt khác
BF CD∥
nên

SBF K C D∥
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của SA và CD.
a. Chứng minh mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau.
b. Giả sử hai tam giác SAD và ABC đều là tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các
đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng
(SAD).
Giải
a. Ta có:
ON BC∥
(ON là đường trung bình của tam
giác BCD).
OM SC∥
(OM là đường trung bình của tam
giác SAC)
Vì

OM,ON OMN ; BC,SC SBC
nên

OMN SBC∥
.
b. Từ E kẻ đường thẳng
EP AD∥
(P thuộc
AB) (1)
Khi đó theo tính chất đường phân giác và tam
giác cân ta có:

PB EC AC AB FB
PA ED AD AS FA
P
F
E
O
N
M
B
A
D
C
S
Do đó:
PF SA∥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra

PEF SAD∥
.
Mặt khác

EF PEF
nên

EF SAD∥
.
Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh
EF SAD∥
như sau:
Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được:

AB AC FB EC
AS AD FS ED
.
Theo định lí Thales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song, suy
ra EF song song với mặt phẳng chứa BC và song song với mặt phẳng chứa SD. Mặt khác
BC AD∥
nên EF song song với mặt phẳng (SAD).
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và
B’D’C.
c. Chứng minh G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Giải
a. Ta có:
AʹBDʹC∥
(vì tứ giác A’BCD’ là hình bình hành).
BD BʹDʹ∥
(vì tứ giác BB’D’D là hình bình hành), suy ra
mp BDAʹ mp BʹDʹC∥
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 675
b. Gọi O, O’ và Q lần lượt là tâm các hình bình hành
ABCD, A’B’C’D và AA’C’C.
Ta có: A’O là đường trung tuyến và G là trọng tâm của
tam giác BDA’ nên
AʹG2
AʹO3
.
Do đó G cũng là trọng tâm tam giác A’AC (vì A’O là
đường trung tuyến của tam giác A’AC).
Mà AQ là đường trung tuyến của tam giác A’AC nên G
thuộc AQ, G thuộc AC’ . (1)
Tương tự ta có G’ là trọng tâm của tam giác B’D’C và
cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C.
Mà C’Q là đường trung tuyến của tam giác A’C’C nên
G’ thuộc C’Q. Suy ra G’ thuộc AC’. (2)
G'
G
Q
O
O'
A'
B'
C'
A
D
C
B
D
'
Từ (1) và (2) suy ra đường chéo AC’ đi qua hai trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’
và B’D’C.
c. Ta có:
G là trọng tâm tam giác A’AC nên


AG 2 AG 1
ACʹ 2AQ
AQ 3 ACʹ 3
. Suy ra
1
AG ACʹ
3
.
G’ là trọng tâm tam giác A’C’C nên


CʹGʹ 2CʹGʹ 1
ACʹ 2CʹQ
CʹQ3 CʹA3
. Suy ra
1
CʹGʹ ACʹ
3
.
Vậy

1
AG GGʹ CʹGʹ ACʹ
3
. Tức là G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Dạng 3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với
một mặt phẳng
1. Phương pháp
Dùng tính chất thứ 2.




PQ
Pa ab
Qb
∥
∥
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AD. Gọi
và

là mặt phẳng qua
điểm M và lần lượt song song với mặt phẳng (SBD) và (SAC).
a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
.
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
.
c. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của
và
với AC và BD. Chứng minh tứ giác OHMK là
hình bình hành.
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 676
a.




SBD
ABCD SBD BD
MABCD
∥

 ABCD MN BD N AB∥
Gọi M là trung điểm của AD nên N là trung điểm của AB. Ta
có:






SBD
SAB SBD SB SAB NE SB E SA
NSAB
∥
∥
Mà N là trung điểm của AB nên E là trung điểm của SA.
Khi đó:

ME SAD
.
K
H
F
E
N
P
M
A
D
C
B
S
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNE.
b.






SAC
ABCD SAC AC ABCD MP AC P CD
MABCD
∥
∥
Mà M là trung điểm của AD nên P là trung điểm của CD.
Ta có:





SAC
SCD SAC SC SCD PF SC F SD
PSCD
∥
∥
Mà P là trung điểm của CD nên F là trung điểm của SD.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MPF.
c. Trong mp(ABCD): AC cắt MN tại H, BD cắt MP tại K. Do MN chứa trong
mp
và MP chứa
trong

mp
nên H chính là giao điểm của AC với
mp
và K chính là giao điểm của BD với

mp
.
Ta có
MN BD∥
nên
MH OK, MP AC∥∥
nên
MK HO∥
. Vậy tứ giác OHMK là hình bình hành.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song
với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P’)
cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh:
a. Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
b.
AAʹ CCʹ BBʹ DDʹ
.
Giải
a. Ta có
AB CD∥
và
Ax Dt∥
nên
mp Ax, By mp Cz,Dt∥
.
Mà
Pʹ Ax,By AʹBʹ
;

Pʹ Cz,Dt CʹDʹ
nên
AʹBʹ CʹDʹ∥
(1)
Tương tự:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 677





mp Ax,Dt mp By,Cz
Pʹ Ax,Dt AʹDʹ AʹDʹ BʹCʹ
Pʹ By,Cz BʹCʹ
∥
∥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình
hành.
b. Gọi O và O’ lần lượt là tâm các hình bình hành
ABCD và A’B’C’D’.
Khi đó ta có OO’ là đường trung bình của hình
thang AA’C’C và hình thang BB’D’D.
Do đó:
AAʹ CCʹ 2OOʹ
và
BBʹ DDʹ 2OOʹ
.
Vậy
AAʹ CCʹ BBʹ DDʹ
.
x
t
y
z
O
O'
C'
D
'
C
A
D
B
A'
B'
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Mặt phẳng

chứa MN
cắt các cạnh AD và BC lần lượt là P và Q.
a. Cho trước điểm P, hãy nói cách dựng điểm Q.
b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng
KP KQ
.
Giải
a. Ta có

là mp(MNP).
Trong mp(ABD): MP cắt BD tại E.
Trong mp(BCD): EN cắt BC tại Q.
Vậy

chính là mp(MPNQ). Q là điểm cần tìm.
b. Trên hai đường thẳng chéo nhau AB và CD lần
lượt có các điểm A, M, B và C, N, D định ra các tỉ số
bằng nhau:

MA ND
1
MB NC
.
Theo định lí Thales ta suy ra AD, MN, BC nằm trên ba
mặt phẳng song song.
K
P
Q
M
N
B
C
A
D
E
Mà PQ là cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại P, K, Q nên:

KP MA N D
1
KQ MB NC
.
Vậy K là trung điểm của PQ.
Dạng 3. Tìm thiết diện của lăng trụ, hình chóp cụt
1. Phương pháp
Tìm thiết diện của lăng trụ hay hình chóp cụt cũng thực hiện tương tự như xác định thiết diện của
hình chóp.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CC’.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (A’MN). Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AB.
b. Gọi P là đ
iểm đối xứng của C qua A. Hãy xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng
(MNP). Tính tỉ số các đoạn thẳng mà thiết diện chia các cạnh AA’ và AB.
Giải
a. Trong mp(BCC’B’): MN cắt BB’ tại D.
Khi đó mp(A’MN) chính là mp(A’DN).
Trong mp(AA’B’B): A’D cắt AB tại E.
Vậy thiết diện do mp(A’MN) cắt lăng trụ là tứ giác A’EMN.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 678
Ta có:

EA AAʹ 2CN MC
22
EB BD BD MB
(vì
AAʹ CCʹ 2C N, C N BD∥
và
MB MC
). Do đó
EA
2
EB
.
b. Trong mp(ABC): MP cắt AC tại F. Khi đó mp(MNP) chính là mp(MNF).
Trong mp(AA’C’C): NF cắt AA’ tại K. Vậy thiết diện do mp(MNP) cắt lăng trụ là tứ giác MNPK.
Ta có:

KA KA 1 KA 1 FA 1 1 1
...
AAʹ CCʹ 2CN 2FC 22 4
(vì
AAʹ CCʹ 2C N, K A C N∥
).
Vậy
KA 1
KAʹ 3
.
Tam giác FBC có FM và BA là hai đường trung tuyến cắt nhau tại P nên P là trọng tâm tam giác
FBC. Vậy theo tính chất trọng tâm ta có
PA 1
PB 2
.
K
F
M
N
B'
C'
E
D
M
N
B
'
C'
A
C
B
A'
B
A
'
C
A
P
Ví dụ 2. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’,
B’B và BC. Xác định thiết diện của hình chóp cụt cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Giải
Gọi

là mp(MNP).
Trong mp(AA’B’B): MN cắt AB tại F và cắt AA’ tại
E.
Trong mp(ABC): FP cắt AC tại Q.
Trong mp(AA’C’C): QE cắt A’C’ tại R.
Khi đó:










MN AAʹBʹB
NP BBʹCʹC
PQ ABC
QR AAʹCʹC
RM AʹBʹCʹ
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.
R
Q
E
F
P
N
M
C'
A
C
B
A'
B'
Ví dụ 3. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’ và
AC. Xác định thiết diện của hình chóp cụt cắt bởi mặt phẳng chứa MP và song song với mặt phẳng
(BB’C’C).
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 679
Gọi

là mặt phẳng chứa MP và song song với
mp(BB’C’C).
Ta có:






BBʹCʹC
ABC BBʹCʹCBC
PABC
ABC PN BC N AB
∥
∥
Vì P là trung điểm của AC nên N là trung điểm của AB.
Ta có:







BBʹCʹC
AʹBʹCʹ BBʹCʹCBʹCʹ
MAʹBʹCʹ
AʹBʹCʹ MQ BʹCʹ QAʹCʹ
∥
∥
N
Q
M
P
C'
A
C
B
A
'
B'
Vì M là trung điểm của A’B’ nên Q là trung điểm của A’C’.
Khi đó:



MN AAʹBʹB
PQ AAʹCʹC
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ
MQ NP∥
.
Dạng 4: Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .O Gọi ,,
M
NI theo thứ tự
là trung điểm của
,SA SD và .AB Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
()
NOM cắt
()
.OPM B.
()
M
ON //
()
.SBC
C.
()( )
.
P
ON MNP NPÇ= D.
()
NMP //
()
.SBD
Lời giải
Chọn B
P
N
M
O
A
B
D
C
S
Ta có
M
N là đường trung bình của tam giác SA D suy ra
M
N // .AD
()
1
Và
OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP // .AD
()
2
Từ
()( )
1,2 suy ra
M
N //OP //
A
D
,,,
M
NOP
đồng phẳng.
Lại có
M
P // ,SB OP // BC suy ra
()
M
NOP //
()
SBC hay
()
M
ON //
()
.SBC
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 680
Câu 2: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .O Tam giác SBD đều. Một
mặt phẳng
()
P
song song với
()
SBD và qua điểm
I
thuộc cạnh AC (không trùng với
hoặc
C ). Thiết diện của
()
P
và hình chóp là hình gì?
A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam
giác đều.
Lời giải
Chọn D
O
P
M
N
S
A
D
B
C
I
Gọi
M
N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng
()
P
và mặt đáy
()
.
A
BCD
Vì
()
P
//
()()( )
,SBD P ABCD M NÇ= và
()( )
SBD ABCD M NÇ= suy ra
M
N // .BD
Lập luận tương tự, ta có
()
P
cắt mặt
()
SAD
theo đoạn giao tuyến
N
P
với
N
P
//
.SD
()
P
cắt mặt
()
SAB
theo đoạn giao tuyến
M
P
với
M
P
//
.SB
Vậy tam giác
M
NP
đồng dạng với tam giác
SBD
nên thiết diện của
()
P
và hình chóp
.SABCD là tam giác đều .
M
NP
Câu 3: Cho hình chóp
.SABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
4,AB AC==
30 .BAC = Mặt
phẳng
()
P song song với
()
ABC cắt đoạn SA tại
M
sao cho
2.SM MA=
Diện tích thiết
diện của
()
P và hình chóp .SABC bằng bao nhiêu?
A.
16
.
9
B.
14
.
9
C.
25
.
9
D. 1.
Lời giải
Chọn A
N
P
S
B
C
A
M
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 681
Diện tích tam giác
ABC
là
0
11
. . .sin .4.4.sin30 4.
22
ABC
SABACBAC
D
===
Gọi
,NP
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
()
P
và các cạnh
,.SB SC
Vì
()
P
//
()
A
BC nên theoo định lí Talet, ta có
2
.
3
SM SN SP
SA SB SC
===
Khi đó
()
P
cắt hình chóp .SABC theo thiết diện là tam giác
M
NP đồng dạng với tam giác
ABC theo tỉ số
2
.
3
k =
Vậy
2
2
216
..4.
39
MNP ABC
SkS
DD
æö
÷
ç
===
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 4: Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình thang cân với cạnh bên
2,BC =
hai đáy
6, 4.AB CD== Mặt phẳng
()
P
song song với
()
ABCD
và cắt cạnh SA tại
M
sao cho
3.SA SM= Diện tích thiết diện của
()
P
và hình chóp .SABCD bằng bao nhiêu?
A.
53
.
9
B.
23
.
3
C.
2.
D.
73
.
9
Lời giải
Chọn A
O
P
N
B
A
C
D
D
C
A
B
S
M
H
K
Gọi
,
H
K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,
D
C trên .AB
ABCD là hình thang cân
;
1.
AH BK CD HK
BK
AH HK BK AB
ì
==
ï
ï
=
í
ï
++=
ï
î
Tam giác
BCK vuông tại ,
K
có
2222
21 3.CK BC BK=-=-=
Suy ra diện tích hình thang
ABCD là
46
.3.53.
22
ABCD
AB CD
SCK
++
===
Gọi
,,NPQ lần lượt là giao điểm của
()
P
và các cạnh ,,.SB SC SD
Vì
()
P
//
()
A
BCD nên theo định lí Talet, ta có
1
.
3
MN NP PQ QM
AB BC CD AD
=== =
Khi đó
()
P
cắt hình chóp theo thiết diện
M
NPQ có diện tích
2
53
..
9
MNPQ ABCD
SkS==
Câu 5: Cho hình chóp
.SABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm ,8OAB= , 6.SA SB==
Gọi
()
P
là mặt phẳng qua O và song song với
()
.SA B Thiết diện của
()
P
và hình chóp
.SABCD là:
A.
55. B. 65. C. 12. D. 13.
Lời giải
Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 682
M
N
Q
P
S
D
C
A
B
Qua
O
kẻ đường thẳng
()
d
song song
A
B và cắt ,BC AD lần lượt tại ,.
P
Q
Kẻ
PN
song song với
()
SB N SBÎ
, kẻ
QM
song song với
()
.SA M SAÎ
Khi đó
()
M
NPQ //
()
SAB thiết diện của
()
P
và hình chóp
.SABCD
là tứ giác
M
NPQ
Vì
,
P
Q
là trung điểm của
,BC AD
suy ra
,NM
lần lượt là trung điểm của
,.SC SD
Do đó
M
N là đường trung bình tam giác SCD 4.
22
CD AB
MN===
Và
3; 3
22
SB SA
NP QM NP QM MNPQ== == =
là hình thang cân.
Hạ
,NH MK vuông góc với .PQ Ta có
()
1
2.
2
PH KQ PH PQ MN== - =
Tam giác
PHN vuông, có 5.NH =
Vậy diện tích hình thang
M
NPQ
là .65.
2
MNPQ
PQ NM
SNH
+
==
Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.
Lời giải
Chọn C
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác,… ), ta thấy rằng
Hình lăng trụ luôn có các cạnh bên song song và bằng nhau.
Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác,… )
Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình
lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Câu 7: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên c
ủa hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Lời giải
Chọn C
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 683
Câu 8: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
Lời giải
Chọn C
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác,… ) ta thấy rằng:
Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một cắt nhau.
Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
Hai
đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
Câu 9: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các
tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
Lời giải
Chọn C
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Câu 10: Cho hình lăng trụ
..
A
BC A B C
¢¢¢
Gọi ,
M
N lần lượt là trung điểm của
B
B
¢
và .CC
¢
Gọi D
là giao tuyến của hai mặt phẳng
()
AMN
và
()
.ABC
¢¢¢
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.
A
BD
B.
.
A
CD
C.
.BCD
D.
.AA
¢
D
Lời giải
Chọn C
N
M
C'
B
'
A
'
C
B
A
Ta có
()
()
MN AMN
BC ABC
MN B C
ì
ï
Ì
ï
ï
ï
ï
¢¢ ¢¢¢
̾¾
í
ï
ï
ï
¢¢
ï
ï
î
D là giao tuyến của hai mặt phẳng
()
A
MN và
()
ABC
¢¢¢
sẽ
song song với
M
N và BC
¢¢
. Suy ra .BCD
Câu 11: Cho hình lăng trụ
..
A
BC A B C
¢¢¢
Gọi
H
là trung điểm của .
A
B
¢¢
Đường thẳng BC
¢
song
song với mặt phẳng nào sau đây?
A.
()
.AHC
¢
B.
()
.AA H
¢
C.
()
.
H
AB D.
()
.
H
AC
¢
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 684
Chọn A
M
A'
C
B
A
B'
C'
H
Gọi
M
là trung điểm của
A
B suy ra
()
.
M
BAH MB AHC
¢¢¢
¾¾

()
1
Vì
M
H là đường trung bình của hình bình hành ABB A
¢¢
suy ra
M
H song song và bằng
BB
¢
nên
M
H
song song và bằng CC
¢
¾¾
M
HC C
¢
là hình hình hành
()
.
M
CHC MC AHC
¢¢
¾¾¾¾

()
2
Từ
()
1 và
()
2 , suy ra
()() ()
.BMC AHC BC AHC
¢¢¢¢
¾¾

Câu 12: Cho hình lăng trụ
.
A
BC A B C
¢¢¢
. Gọi
H
là trung điểm của
.
A
B
¢¢
Mặt phẳng
()
AHC
¢
song
song với đường thẳng nào sau đây?
A.
.CB
¢
B. .BB
¢
C. .BC D. .BA
¢
Lời giải
Chọn A
M
A'
C
B
A
B'
C'
H
Gọi
M
là trung điểm của AB suy ra
()
.
M
BAH MB AHC
¢¢¢
¾¾

()
1
Vì
M
H là đường trung bình của hình bình hành
ABB A
¢¢
suy ra
M
H song song và bằng
BB
¢
nên
M
H song song và bằng
CC
¢
¾¾
M
HC C
¢
là hình hình hành
()
.
M
CHC MC AHC
¢¢
¾¾¾¾

()
2
Từ
()
1
và
()
2
, suy ra
()() ()
.BMC AHC BC AHC
¢¢¢¢
¾¾

Câu 13: Cho hình lăng trụ
111
..ABC A BC Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
()
A
BC //
()
111
.
A
BC B.
1
AA //
()
1
.BCC
C.
A
B //
()
111
.
A
BC D.
11
AA B B là hình chữ nhật.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 685
Lời giải
Chọn D
Vì mặt bên
11
AA B B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu
111
.ABC A BC là hình
lăng trụ đứng.
Câu 14: Cho hình hộp
111 1
..ABCD A BC D Khẳng định nào dưới đây là sai?
A.
ABCD là hình bình hành. B. Các đường thẳng
1111
,,,AC AC DB DB
đồng quy.
C.
()
11
A
DD A
//
()
11
.BC C B
D.
1
ADCB
là hình chữ nhật.
Lời giải
Chọn D
D
C
A
B
B
1
A
1
C
1
D
1
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy rằng:
· Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành.
· Các đường thẳng
1111
,,,AC AC DB DB cắt nhau tại tâm của
11 11
,.AACC BDD B
· Hai mặt bên
()()
11 11
,
A
DD A BCC B đối diện và song song với nhau.
·
1
AD và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra
1
ADCB không phải là hình chữ nhật.
Câu 15: Cho hình hộp
.
A
BCD A B C D
¢¢¢¢
có các cạnh bên
,,, .AA BB CC DD
¢¢¢ ¢
Khẳng định nào dưới
đây sai?
A.
()
AA B B
¢¢
//
()
.
D
DCC
¢¢
B.
()
BA D
¢¢
//
()
.ADC
¢
C.
A
BCD
¢¢
là hình bình hành. D.
B
BDD
¢¢
là một tứ giác.
Lời giải
Chọn B
D
' C'
A
'
B
'
B
A
C
D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 686
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
· Hai mặt bên
()
AA B B
¢¢
và
()
D
DCC
¢¢
đối diện, song song với nhau.
· Hình hộp có hai đáy
()
()
,ABCD A B C D
¢¢¢¢
là hình bình hành AB CD
¢¢
= và AB
¢¢
//CD
suy ra
A
BCD
¢¢
là hình hình hành.
· BD //
B
D
¢¢
suy ra
,, ,
B
BDD
¢¢
đồng phẳng
B
BDD
¢¢
là tứ giác.
· Mặt phẳng
()
BA D
¢¢
chứa đường thẳng CD
¢
mà CD
¢
cắt CD
¢
suy ra
()
BA D
¢¢
không song
song với
()
.ADC
¢
Câu 16: Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó
có nhiều nhất mấy cạnh?
A.
3
cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D.
6
cạnh.
Lời giải
Chọn C
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất
5 cạnh với
các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Câu 17: Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều
nhất mấy cạnh?
A.
4 cạnh. B. 5 cạnh. C.
6
cạnh. D. 7 cạnh.
Lời giải
Chọn C
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có
6
mặt nên thiết diện của hình hộp và
mặt phẳng bất kì là một đa giác có nhiều nhất
6 cạnh.
Câu 18: Cho hình hộp
.
A
BCD A B C D
¢¢¢¢
. Gọi
I
là trung điểm của .AB Mặt phẳng
()
IB D
¢¢
cắt hình
hộp theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ
nhật.
Lời giải
Chọn B
M
I
D
'
C'
B
'
A
'
D
C
B
A
Ta có
()
()
BD IBD
BD ABCD
BD BD
ì
¢¢ ¢¢
ï
Ì
ï
ï
ï
ï
̾¾
í
ï
ï
ï
¢¢
ï
ï
î
Ggiao tuyến của
()
IB D
¢¢
với
()
A
BCD
là đường thẳng d đi qua
I
và song song với BD .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 687
Trong mặt phẳng
()
A
BCD
, gọi
M
dAD IM BDBD
¢¢
=Ç ¾¾

.
Khi đó thiết diện là tứ giác
IMB D
¢¢
và tứ giác này là hình thang.
Câu 19: Cho hình hộp
.
A
BCD A B C D
¢¢¢¢
. Gọi
()
a
là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác
()
T
. Khẳng định nào sau đây không sai?
A.
()
T
là hình chữ nhật. B.
()
T
là hình bình hành. C.
()
T
là hình thoi. D.
()
T
là hình
vuông.
Lời giải
Chọn B
d
B
C
A
D
D
'
A
'
C'
B
'
Giả sử mặt phẳng
()
a đi qua cạnh
A
B và cắt hình hộp theo tứ giác
()
.T
Gọi
d là đường thẳng giao tuyến của
()
a
và mặt phẳng
()
.ABCD
¢¢¢¢
Ta chứng minh được
A
B // d suy ra tứ giác
()
T là một hình bình hành.
Câu 20: Cho hình chóp cụt tam giác
.ABC A B C
¢¢¢
có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại
và A
¢
và có
1
.
2
AB
AB
=
¢¢
Khi đó tỉ số diện tích
ABC
ABC
S
S
D
¢¢¢
D
bằng
A.
1
.
2
B.
1
.
4
C. 2. D. 4.
Lời giải
Chọn B
B
C
B
'
C'
A
'
A
Hình chóp cụt
.
A
BC A B C
¢¢¢
có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song nên tam giác ABC
đồng dạng tam giác
A
BC
¢¢¢
suy ra
1
..
1
2
..
1
4
..
2
ABC
ABC
AB AC
S
AB AC
SABAC
AB AC
D
¢¢¢
D
===
¢¢ ¢¢
¢¢ ¢¢
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang688
BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. PHÉP CHIẾU SONG SONG
Cho mặt phẳng

và đường thẳng
cắt
. Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng
đi qua M và song song hoặc trùng với
sẽ cắt
tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là
hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng
theo phương của đường thẳng
hoặc nói
gọn là theo phương
.
Mặt phẳng

gọi là mặt phẳng chiếu. Phương
gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt
phẳng

được gọi là phép chiếu song song lên
theo phương
.
Nếu
H là một hình nào đó thì tập hợp Hʹ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M
thuộc
H
được gọi là hình chiếu của
Hʹ
qua phép chiếu song song nói trên.
Chú ý. Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng
đó là một điểm. Sau đây, ta chỉ xét các phép chiếu của những đường thẳng có phương không
trùng với phương chiếu.
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
Định lí 1
a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự ba điểm đó.
b) Phép chiế
u song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc
trùng nhau.
d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường
thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
III. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng
Hình biểu diễn của m
ột hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Hình biểu diễn của các hình thường gặp
+ Tam giác: Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có
dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,v.v…)
+ Hình bình hành: Một hình bình hành bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình
bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…)
+ Hình thang: Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình
thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai
đáy của hình thang ban đầu.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang689
+ Hình tròn: Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
1. Phương pháp
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta cần chú ý một số điểm sau:
- Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng cùng phương thì trên hình H’ hình chiếu của hai đoạn thẳng đó
phải cùng phương.
- Trung điểm của một đoạn thẳng có hình chi
ếu là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
- Trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm trên
cạnh đối diện mà nằm ở trên phần kéo dài của cạnh ấy.
- Một góc bất kì có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù).
- Một tam giác bất kì có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông).
- Hình bình hành có thể dùng làm hình biểu diễn cho các hình có tính chất của hình bình hành (vuông,
thoi, chữ nhậ
t,…)
- Một đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là
một đoạn thẳng.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam
giác ABC trên mặt phẳng (P) là:
a. Một tam giác cân.
b. Một tam giác vuông.
Giải
Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A.
a. Trong mặt phẳng (P), dự
ng tam giác BCA’ cân tại A’.
Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu
AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.
b. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông tại
A”. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương
chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác vuông
A”BC.
Ví dụ 2. Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt
phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song
với (P)).
Giải
Vì phương chiếu d là SA nên SA cắt (P) tại A’. Các
đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’,
D’

BBʹ AAʹ,CCʹ AAʹ,DDʹ AAʹ∥∥ ∥
. Vậy hình chiếu
của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.
Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH.
Giải
Xem hình vẽ sau:
P
A
'
A
B
C
A"
d
P
A
D
C
B
S
A
'
B
'
C'
D
'
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang690
Hình thật
Hình biểu diễn
Ví dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của đường tròn có hai đường kính vuông góc.
Giải
Giả sử trên hình thật ta có đường tròn tâm (O), tâm O, có hai đường kính AB và CD vuông góc. Nếu
ta vẽ dây dung MN song song với AB thì CD sẽ cắt MN tại trung điểm I của MN.
Suy ra cách vẽ hình biểu diễn như sau:
- Vẽ elip (E), tâm O’ và đường kính
A’B’ (qua O’) của nó.
- Vẽ dây cung
MʹNʹ AʹBʹ∥
.
- Lấy I’ là trung điểm của M’N’.
Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) tại C’,
D’. Ta có A’B’ và C’D’ là hình biểu
diễn hai đường kính vuông góc với
nhau của đường tròn.
Hình thật
Hình biểu diễn
Ví dụ 5. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.
Giải
Xét hình lục giáo đều ABCDEF, ta thấy:
- Tứ giác OABC là một hình thoi.
- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O. Suy ra cách vẽ
như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC.
+ Lấy các điểm D’, E’, F’ đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O’.
+ A’B’C’D’E’F’ là hình cần vẽ.
Hình biểu diễn lục giác đều
Ví dụ 6. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều.
Giải
Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ giác
OBDC là hình thoi. Từ đó suy ra cách vẽ như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu di
ễn cho hình thoi OBDC.
+ Lấy điểm A’ là điểm đối xứng của D’ qua O’.
+ Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cần tìm.
H
B
C
A
C
'
B'
A'
H'
D
C
M
N
A
O
B
I
N
'
M'
'
C'
O'
'
D'
I'
C
F
D
A
E
O
B
A
'
F'
E'
D'
O'
B
'
C'
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang691
Hình biểu diễn tam giác đều
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song
1. Phương pháp
Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu song
song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm phương
chiếu đóng vai trò khá quan trọng.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.
a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng
tâm của tam giác BCD.
b. Gọi M, N lầ
n lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N
theo phép chiếu nói trên.
Giải
a. Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD:
- Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song
phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng
(BCD).
- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự
ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và
ở giữa B và I.
Trong tam giác IAB, ta có:

IG IGʹ
IGʹ 1
IA IB
IG 1
IB 3
IA 3
.
Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.
b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy:
- BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của
BD.
- BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của
BC.
Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M
trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho
MN BC ʹ∥
.
Giải
D
O
A
B
C
A
'
C'
O'
B
'
D'
d
M
N
M'
G
G'
N'
I
B
C
A
D
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang692
- Phân tích:
Giả sử đã tìm được
MDBʹ
và
NAC
sao cho
MN BCʹ∥
.
Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên
mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này,
hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D,
N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng
thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và
AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau:
- Cách dựng:
+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD).
+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC.
+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ
NM BʹBʺ∥
cắt DB’ tại M.
Vậy M và N là các điểm cần tìm.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng song song.
B. Hình chiếu song song của một hình bình hành là một hình bình hành.
C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác nếu mặt phẳng chứa tam giác không
cùng phương với phương chiếu.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài củ
a hai đoạn thẳng.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C.
Câu 2. Trên hình
có
AH BC
HB HC
và hình
có
AB CD,AD BC
AC BD
∥∥
Hình
Hình
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. ABC là tam giác đều. B. ABC là tam giác cân tại A.
C. ABCD là hình thoi. D. B và C đúng.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D.
Nhìn hình vẽ, ta thấy:
- Tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại A B đúng.
- Tứ giác ABCD có
AB CD , AC BD∥∥
nên là hình bình hành. Mặt khác hai đường chéo của nó vuông
góc nên ABCD là hình thoi C đúng.
Câu 3. Trên hình
, ta có phép chiếu song song theo phương d và mặt phẳng chiếu (P);
AB CG∥
và
AB DG
; A’, B’, C’, D’, E’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, E, G qua phép chiếu nói trên.
M
N
B
'
'
A
B'
B
C
C'
D
H
A
B
C
O
D
A
B
C
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang693
Hình
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

DG DʹGʹ
1
AB AʹBʹ
. B.
CʹDʹ CD
DʹEʹ DE
.
C.
DʹGʹ AʹBʹ
. D. Tất cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D.
The định lí 2, ta thấy câu A và câu B đúng. Từ câu A đúng suy ra câu C đúng.
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì song song.
C. Hình chiếu song song của hai một hình vuông là một hình vuông.
D. Hình chiếu song song của một lục giác đều là một lục giác đều.
Hướ
ng dẫn giải
ĐÁP ÁN A.
Dựng mặt phẳng (P) qua a và song song với b. Dựng
mặt phẳng (Q) qua b và song song với a. Giả sử (P)
song song với (Q). Ta chọn phương chiếu d song song
với (P) và mặt phẳng chiếu (R) sao cho (R) cắt (P) và
(Q) lần lượt theo hai giao tuyến a’ và b’. Khi đó hình
chiếu a’, b’ song song với nhau.
Câu 5. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo nhau a và b có hình chiếu
là hai đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a’ và b’ luôn luôn cắt nhau.
B. a’ và b’ có thể trùng nhau.
C. a và b không thể
song song.
D. a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D.
Gọi l là phương chiếu,

và

là các mặt phẳng song song với l và lần lượt đi qua a và b. Khi đó
nếu

và

cắt nhau thì a’ và b’ cắt nhau, nếu
và
song song thì a’ và b’ song song.
Câu 6. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là hai
đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó:
A. a và b phải song song với nhau.
B. a và b phải cắt nhau.
C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.
D. a và b không thể song song.
d
P
B
'
A
'
G'
E
'
D
'
C'
B
A
C
D
E
G
a'
b'
a
b
Q
R
P
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang694
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C.
Nếu
aʹ bʹ∥
thì

mp a,aʹ mp b,bʹ∥
. Bởi vậy a và b có thể song song hoặc chéo nhau.
Câu 7. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song trên mặt phẳng (P) lần
lượt là bốn điểm A’, B’, C’, D’. Những trường hợp nào sau đây không thể xảy ra?
A. A’B’C’D’ là bốn đỉnh của một hình bình hành.
B. D’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
C. D’ là trung điểm cạnh A’B’.
D. Hai điểm B’, C’ nằm giữa hai điểm A’ và D’.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D.
Bốn điể
m không đồng phẳng A’, B’, C’, D’ không thể thẳng hàng.
Câu 8. Hình chiếu song song của một hình thang ABCD không thể là hình nào dưới đây?
A. Hình bình hành. B. Hình tam giác cân.
C. Đoạn thẳng. D. Bốn điểm thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B.
| 1/103
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG
BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A. LÝ THUYẾT
1. Mở đầu về hình học không gian
Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
Quan hệ thuộc: Trong không gian:
a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:
· Điểm A thuộc đường thẳng d , kí hiệu A Î d .
· Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A Ï d .
b. Với một điểm A và một mặt phẳng (P) có thể xảy ra hai trường hợp:
· Điểm A thuộc mặt thẳng (P) , kí hiệu A Î(P).
· Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A Ï (P).
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường
thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
3. Điều kiện xác định mặt phẳng
Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:
Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng của
mặt phẳng, kí hiệu (ABC).
Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A
không thuộc d, kí hiệu (A,d).
Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng ,
a b cắt nhau, kí hiệu ( , a b).
Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng ,
a b song song, kí hiệu ( , a b).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 592
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
4. Hình chóp và tứ diện
Định nghĩa: Cho đa giác A A ...A và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với 1 2 n
các đỉnh A , A , ..., A ta được n miền đa giác SA A , SA A , ..., SA A . 1 2 n 1 2 2 3 n 1 - n
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A A A ...A được gọi là hình chóp S.A A A ...A . 1 2 3 n 1 2 3 n Trong đó:
· Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.
· Đa giác A A ...A gọi là mặt đáy của hình chóp. 1 2 n
· Các đoạn thẳng A A , A A , ..., A A gọi là các cạnh đáy của hình chóp. 1 2 2 3 n 1 - n
· Các đoạn thẳng SA , SA , ..., SA gọi là các cạnh bên của hình chóp. 1 2 n
· Các miền tam giác SA A , SA A , ..., SA A gọi là các mặt bên của hình chóp. 1 2 2 3 n 1 - n S A6 A1 A5 A2 (P) A4 A3
Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là
hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… Chú ý
a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPCÂ
Dạng 1: Dạng toán lý thuyết 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 593
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn C
 A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập
một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
 B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi
đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
 D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4
điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đã cho? A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa 3
C = 4 mặt phẳng. 4
Câu 3: Trong mặt phẳng (a) , cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Điểm S không thuộc mặt phẳng (a) . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn C
Với điểm S không thuộc mặt phẳng (a) và 4 điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng (a) , ta có 2
C cách chọn 2 trong 4 điểm A, B, C, D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. 4
Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.
Câu 4: Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu
mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8. D. 14. Lời giải Chọn A
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Ta có 3
C cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Số 5
mặt phẳng tạo được là 10.
Câu 5: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Ba điểm phân biệt.
B. Một điểm và một đường thẳng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 594
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
C. Hai đường thẳng cắt nhau.
D. Bốn điểm phân biệt. Lời giải Chọn C
 A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3
điểm thẳng hàng đã cho.
 B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường
thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
 D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4
điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 6: Cho tứ giác ABCD . Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác ABCD ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn A
4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo
thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng (ABCD) .
Câu 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng.
B. Nếu A, B, C thẳng hàng và (P) , (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm
chung của (P) và (Q) .
C. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thì A, B, C không thẳng hàng.
D. Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của (P) và (Q) thì C cũng là điểm
chung của (P) và (Q) . Lời giải Chọn D
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
 A sai. Nếu (P) và (Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa
đủ điều kiện để kết luận A, B, C thẳng hàng.
 B sai. Có vô số đường thẳng đi qua A , khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P) và (Q) .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 595
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 C sai. Hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3
điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì A, B, C cùng thuộc giao tuyến.
Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Lời giải Chọn B
Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô
số đường thẳng.
Câu 9: Cho 3 đường thẳng d , d , d không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. 1 2 3
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 đường thẳng trên đồng quy.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác. D. Các khẳng
định ở A, B, C đều sai. Lời giải Chọn A
 B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
 C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm
phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác
định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là: A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Tam giác hoặc tứ giác. Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 596
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành 1 hình tam giác.
Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập thành 1 hình tứ giác.
Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4.
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1. Phương pháp
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt
phẳng đó. Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song với
nhau. Gọi M là điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của các cặp mặt phẳng: a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD) c. (SBC) và (SAD) d. (BCM) và (SAD) e. (CDM) và (SAB) f. (BDM) và (SAC) Giải a. Trong mp (ABCD): S AC  BD    O  M  AC  SAC
  O SAC  SBD  BD  SBD  D A E
Mà SSAC SBD nên SO  SAC SBD . O b. Trong (ABCD) ta có: C B AB  CD    F 
AB  SAB   F SAB  SCD  F CD  SCD 
Mà SSAB SCD nên SF  SAB SCD . c. Trong (ABCD) ta có: BC  AD    E  BC  SBC
  E SAD  SBC  AD  SAD 
Mà SSAD SBC nên SE  SAD SBC .
d. Ta có: MMBC SAD
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 597
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
EBC  AD  EMBC SAD
Nên ME  MBC SAD .
e. Ta có: MMCD SAB
F  AB  CD  FMCD SAB
Vậy MF  MCD SAB .
f. Ta có: MBDM SAC OBDM SAC
Do đó MO  BDM SAC.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, AD. Tìm
giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (ABN) và (CDM); b. (ABN) và (BCP). Giải
a. Ta có M và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng A
(ABN) và (CDM), nên giao tuyến của hai mặt phẳng này
chính là đường thẳng MN. M P
b. Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP tại K. Do đó K là
điểm chung của hai mặt phẳng (BCP) và (ABN). K
Mà B cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên giao B D
tuyến của chúng là đường thẳng BK. N C
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD. Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 598
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 S A B O D C I
· Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD). Do đó A đúng.
· S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). O
ìï Î AC Ì(SAC) O Î(SAC) ïí
O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và O
ï Î BD Ì(SBD) O Î ï (SBD) î (SBD). ¾¾
(SAC)Ç(SBD) = . SO Do đó B đúng.
· Tương tự, ta có (SAD)Ç(SBC) = SI. Do đó C đúng.
· (SAB)Ç(SAD) = SA mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó D sai.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng
(ACD) và (GAB) là:
A. AM (M là trung điểm của AB).
B. AN (N là trung điểm của CD).
C. AH (H là hình chiếu của B trên CD).
D. AK (K là hình chiếu củaC trên BD). Lời giải Chọn B A B D G N C
· A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 599
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ìïN Î BG Ì(ABG) N Î(ABG) · Ta có BG CD N ï Ç = ¾¾ í
N là điểm chung thứ hai giữa
ïN ÎCD Ì(ACD) N Î ï (ACD) î
hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Vậy (ABG)Ç(ACD)= AN .
Câu 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (a) chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm
lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I , thì I không phải là
điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
A. (BCD) và (DEF ).
B. (BCD) và (ABC).
C. (BCD) và (AEF ).
D. (BCD) và (ABD). Lời giải Chọn D A E B D F C I
ìïEF Ì(DEF ) ìïI = (BCD)Ç(DEF ) ï ï ï ï
Điểm I là giao điểm của EF và BC mà ïíEF (ABC) ï Ì
 íI = (BCD)Ç(ABC). ï ï ï ï
ïïEF Ì(AEF) ï î
ïI = (BCD)Ç(AEF ) î
Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC,
CD. Giao tuyến của hai mặt
phẳng (MBD) và (ABN ) là:
A. đường thẳng MN .
B. đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD).
C. đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
D. đường thẳng AM . Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 600
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A M G B D N C
· B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABN ).
· Vì M , N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN , DM là hai trung tuyến của
tam giác ACD. Gọi G = AN Ç DM G
ìï Î AN Ì(ABN ) G Î(ABN ) ï  í
G là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (MBD) G
ï Î DM Ì(MBD) G Î ï (MBD) î và (ABN ).
Vậy (ABN )Ç(MBD)= BG.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN ) và (SAC) là: A. SD.
B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD).
C. SG (G là trung điểm AB).
D. SF (F là trung điểm CD). Lời giải Chọn B S A M D T O B N C
· S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN ) và (SAC).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 601
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
· Gọi O = AC Ç BD là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi T = AC Ç MN O
ìï Î AC Ì(SAC) O Î(SAC) ï  í
O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN ) và O
ï Î MN Ì(SMN ) O Î ï (SMN ) î (SAC).
Vậy (SMN )Ç(SAC)= . SO
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm SA, S .
B Khẳng định nào sau đây sai?
A. IJCD là hình thang.
B. (SAB)Ç(IBC)= I . B
C. (SBD)Ç(JCD) = JD.
D. (IAC)Ç(JBD)= AO (O là tâm ABCD). Lời giải Chọn D S I J M A D O B C
· Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB IJ AB CD IJ CD
IJCD là hình thang. Do đó A đúng. ìïIB Ì(SAB) · Ta có ïí
 (SAB)Ç(IBC) = IB. Do đó B đúng. ïIB Ì ï (IBC) î ìïJD Ì(SBD) · Ta có ïí
 (SBD)Ç(JBD) = JD. Do đó C đúng. ïJD Ì ï (JBD) î
· Trong mặt phẳng (IJCD) , gọi M = IC Ç JD  (IAC)Ç(JBD) = M .
O Do đó D sai.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD BC). Gọi M là trung điểm CD.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
A. SI (I là giao điểm của AC và BM ).
B. SJ (J là giao điểm của AM và BD).
C. SO (O là giao điểm của AC và BD).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 602
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
D. SP (P là giao điểm của AB và CD). Lời giải Chọn A S A D I M B C
· S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (MSB) và (SAC).
ìïI Î BM Ì(SBM ) I Î(SBM ) · Ta có ïí
I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
ïI Î(AC)Î(SAC) I Î ï (SAC) î
(MSB) và (SAC).
Vậy (MSB)Ç(SAC) = SI.
Câu 8: Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Giao tuyến của (IBC) và (KAD) là: A. IK. B. BC. C. AK. D. DK . Lời giải Chọn A A I B D K C
Điểm K là trung điểm của BC suy ra K Î(IBC)  IK Ì(IBC).
Điểm I là trung điểm của AD suy ra I Î(KAD)  IK Ì(KAD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 603
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD . Gọi I là giao điểm của
AC và BD . Trên cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM ) và (SAC) . A. SI.
B. AE ( E là giao điểm của DM và SI ). C. DM .
D. DE ( E là giao điểm của DM và SI ). Lời giải Chọn B S M E A B I D C
Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM ) và (SAC) . Trong mặt phẳng (SBD) , gọi
E = SI Ç DM . Ta có:
● E Î SI mà SI Ì(SAC) suy ra E Î(SAC) .
● E Î DM mà DM Ì(ADM ) suy ra E Î(ADM ) .
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM ) và (SAC) .
Vậy AE là giao tuyến của (ADM ) và (SAC) .
Câu 10: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J lần lượt
là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H , K lần lượt
là giao điểm của IJ với CD của MH và AC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJM ) là: A. KI. B. KJ. C. MI. D. MH. Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 604
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A K M I C B J D H
Trong mặt phẳng (BCD), IJ cắt CD tại H H Î(ACD).
Điểm H Î IJ suy ra bốn điểm M , I , J, H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng (IJM ), MH cắt IJ tại H và MH Ì(IJM ). ìïM Î(ACD) Mặt khác ïí
MH Ì(ACD). Vậy (ACD)Ç(IJM ) = MH. ïH Î ï (ACD) î
Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt β
phẳng  , ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b a nằm trong  . b a  b  M M      b   M a    α Phương pháp:
- Bước 1: Xác định mp  chứa a.
- Bước 2: Tìm giao tuyến b    .
- Bước 3: Trong  : a  b  M , mà b   , suy ra M  a  .
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng  . S là
điểm không nằm trên  .
a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD).
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 605
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
c. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng. Giải
a. * Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: S SAC S     S SBD S SAC SBD 
Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) và Q mp(SBD). N R M O  AC        AC  SAC O SAC   P T
  OSAC SBD (2) A D O  BD   O     BD  SBD O SBD   B C
Từ (2) suy ra O là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và mp(SBD). J
Vậy SO  SAC SBD .
* Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có:
S SAB    (3) S SCD S SAB SCD 
Từ (3) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAB) và mp(SCD). E  AB        AB  SAB E SAB  
  ESAB SCD (4) E  CD       CD  SCD E SCD  
Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD).
Vậy: SE  SAB SCD .
b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có: P  BN 
 P là giao điểm của BN và (SAC).
P SO  SAC  P   SAC
Vậy P là giao điểm cần tìm.
c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:
 Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD nên MN C
∥ D . Xét tam giác SDE, ta có:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 606
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ∥ MN CD 
  T là trung điểm của SE.
N laø trung ñieåm cuûa SD
 Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên QR A
∥ B . Xét tam giác SAE, ta có: QR∥AB 
  QR đi qua trung điểm T của SE.
Q laø trung ñieåm cuûa SA
Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng đồng phẳng.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng  , cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc  , M là điểm nằm trong tam giác SCD.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD).
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Giải
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD): S
Gọi N là giao điểm của SM và CD, gọi E là giao điểm của aN
và BD. Rõ ràng mpSAM  mpSAN . Ta có:
E  AN  E SAM   
  ESAMSBD  1 E BD E SBD  F M A D
Mặt khác: SSAM SBD 2
Từ (1) và (2) suy ra: SE  SAM SBD. E N
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Ta có: BC SAM  AM   
SAM  SBD  SE   F  AM  SBD 
F  AM  SE  SAM
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN
không song song vói AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng
(OMN) với các đường thẳng AC, BC và AB. Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 607
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trong mp(SAC): MN AC   K , mà MN  OMN nên S   K  AC OMN . M N
Trong mp(ABC): OK  BC   H , mà OK  OMN nên C   A K H  BC OMN . H G O Ta có: OK  AB   G , mà OK  OMN nên B   G  AB OMN .
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh SB và CD.
a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC).
b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC. Giải a. Ta có EF  SBF . S
Trong mp(ABCD): BFAC   O , suy ra SACSBF SO. E H
Trong mp(SBF): EF SO   K , mà SO  SAC , K A D suy ra   K  EF SAC . b. F
Trong mp(ABCD): AF  BC    G , mà O G B C
AF  AEF , suy ra   G  BC AEF .
Khi đó: AEF  AEG .
Trong mp(SBC): EG SC  
H , mà EG  AEF , suy ra   H  SC AEF .
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và
BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và
mặt phẳng (MNP) là giao điểm của
A. CD và NP.
B. CD và MN .
C. CD và MP.
D. CD và AP. Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 608
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A E M B D P N C
Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E .
Điểm E Î NP E Î(MNP). Vậy CD Ç(MNP) tại E. ìïN Î BC Cách 2. Ta có ïí
NP Ì(BCD) suy ra NP, CD đồng phẳng. ïP Î BD ïî
Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP Ì(MNP) suy ra CD Ç(MNP)= E .
Vậy giao điểm của CD và mp (MNP) là giao điểm E của NP và CD.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD ; G là trọng tâm
tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là: A. điểm F.
B. giao điểm của đường thẳng EG và AF.
C. giao điểm của đường thẳng EG và AC.
D. giao điểm của đường thẳng EG và CD. Lời giải Chọn B A E B D G F C M
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 609
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vì G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD G Î(ABF ).
Ta có E là trung điểm của AB E Î(ABF ).
Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF Ì(ACD) suy ra M Î(ACD).
Vậy giao điểm của EG và mp (ACD) là giao điểm M = EG Ç AF .
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD). Mệnh đề nào dưới đây đúng?      
A. IA = -2IM .
B. IA = -3IM .
C. IA = 2IM .
D. IA = 2,5IM . Lời giải Chọn A S M I A D O B C
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.
Nối AM cắt SO tại I mà SO Ì(SBD) suy ra I = AM Ç(SBD).
Tam giác SAC có M , O lần lượt là trung điểm của SC, AC.
Mà I = AM ÇSO suy ra I là trọng tâm tam giác 2
SAC AI = AM IA = 2IM . 3   
Điểm I nằm giữa A và M suy ra IA = 2MI = -2IM .
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt
phẳng (ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Giao điểm của
đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) là:
A. giao điểm của SD và AB.
B. giao điểm của SD và AM .
C. giao điểm của SD và BK (với K = SO Ç AM ). D. giao điểm của
SD và MK (với K = SO Ç AM ). Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 610
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 S N M K A D O B C
● Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD .
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM ).
Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và (ABM ).
Trong mặt phẳng (ABCD) , gọi O = AC Ç BD . Trong mặt phẳng (SAC) , gọi K = AM ÇSO . Ta có:
▪ K Î SO mà SO Ì(SBD) suy ra K Î(SBD) .
▪ K Î AM mà AM Ì(ABM ) suy ra K Î(ABM ) .
Suy ra K là điểm chung thứ hai của (SBD) và (ABM ).
Do đó (SBD)Ç(ABM ) = BK .
● Trong mặt phẳng (SBD) , gọi N = SD Ç BK . Ta có:
▪ N Î BK mà BK Ì(ABM ) suy ra N Î(ABM ) . ▪ N Î SD .
Vậy N = SD Ç(ABM ) .
Câu 5: Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I , H lần lượt là trung
điểm của SA, AB . Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC ( K không
trùng với các đầu mút). Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK ).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B.
B. E nằm ngoài đoạn BC về phía C.
C. E nằm trong đoạn BC.
D. E nằm trong
đoạn BC và E ¹ B, E ¹ C. Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 611
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 S K I A F C H E B
● Chọn mặt phẳng phụ (ABC) chứa BC .
● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK ).
Ta có H là điểm chung thứ nhất của (ABC) và (IHK ).
Trong mặt phẳng (SAC) , do IK không song song với AC nên gọi F = IK Ç AC . Ta có
▪ F Î AC mà AC Ì(ABC) suy ra F Î(ABC) .
▪ F Î IK mà IK Ì(IHK ) suy ra F Î(IHK ).
Suy ra F là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IHK ).
Do đó (ABC)Ç(IHK ) = HF .
● Trong mặt phẳng (ABC), gọi E = HF Ç BC . Ta có
▪ E Î HF mà HF Ì(IHK ) suy ra E Î(IHK ). ▪ E Î BC .
Vậy E = BC Ç(IHK ) .
Dạng 4. Thiết diện 1. Phương pháp
Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa
giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm nằm trên
AB, BC, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 612
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trong mp(ABCD): S MN  AD    E  MN  CD    F  H R NO  AD     K Q P
Trong mp(SKN): NP SK   Q . G D C F Trong mp(SAD): K O N EQ SA     G  A M B EQ  SD   E    H
Khi đó: MNP  HEF
Trong mp(SCD): HF SC   R .
Vậy ta có các đoạn giao tuyến do mp(MNP) cắt các mặt của hình chóp là: MNPABCD  MN; MNPSAD  GH; MNPSAB  MG;  MNP  SCD  HR; MNPSBC  RN.
Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNRHG.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên
cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD). Giải
Trong mp(ABCD): ABCD   E . S
Trong mp(SAB): AM SE    K . K M N
Do đó mpAMD  mpAKD .
Trong mp(SCD): KDSC   N A D B Do đó C
MN  AMD SBC , ND  AMD SCD . E
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, E là một điểm trên cạnh BC, F là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm K của BF và mp(SAC).
b. Tìm giao điểm J của EF và mp(SAC).
c. Chứng minh ba điểm C, K, J thẳng hàng.
d. Xác định thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (BCF). Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 613
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a. Ta có: BF  SBD . S
Trong mp(ABCD): AC BD   O
Do đó SO  SAC SBD . G F
Trong mp(SBD): BF SO   K Do đó   K  BF SAC . K A D J b. Ta có EF  SED
Trong mp(ABCD): ACED   H O H C E Trong mp(SED): B EF SH    J
Mà SH  SAC nên   J  EF SAC . c. Ta có:   K  BF  SAC
 J  EFSAC
 K,JBCF SAC BF  BCF,EF  BCF
Mà CBCF SAC , nên K, J, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng (BCF) và (SAC), suy ra chúng thẳng hàng.
d. Trong mp(SAC): CK SA  
G , suy ra mpBCF  mpBCFG .
Vậy ta có các đoạn giao tuyến của mp(BCF) với các mặt của hình chóp là: BG  BCF SAB ,
GF  BCF SAD, FC  BCF SCD .
Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BCFG.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh SB và AD; G là trọng tâm tam giác SAD. Đường thẳng BN cắt CD tại K.
a. Chứng minh ba điểm M, G, K thẳng hàng.
b. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MCG).
Tính tỉ số mà thiết diện chia đoạn SA. Từ đó cho biết thiết diện là hình gì? Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 614
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a. Ta có SN là đường trung tuyến của tam giác SAD. S
G là trọng tâm của tam giác SAD nên: SG 2  . Q SN 3 M K Xét tam giác BCK có: ND B ∥ C và 1 ND  BC (do N G 2
là trung điểm của AD) nên SN là đường trung tuyến A N D của tam giác SBK. Mà SG 2  nên G cũng là trọng SN 3 B C tâm của tam giác SBK.
Ta lại có MK là đường trung tuyến của tam giác SBK.
Do đó KM đi qua trọng tâm G.
Vậy ba điểm M, G, K thẳng hàng.
b. Do ba điểm M, G, K thẳng hàng nên mpMCG  mpMCK , suy ra CD  MCG và DG  MCG .
Trong mp(SAD): DG SA   
Q , suy ra DQ  MCG SAD và MQ  MCG SAB .
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MCDQ.
Vì G là trọng tâm tam giác SAD nên DG là đường trung tuyến của tam giác SAD. Do đó Q là trung điểm của SA.
Vậy thiết diện chia đoạn SA theo tỉ số QS  1 . QA
Như vậy MQ là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó MQ A ∥ B , mà AB C ∥ D nên MQ C ∥ D .
Vậy thiết diện MCDQ là hình thang.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên
cạnh CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác MNE.
B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC.
D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC. Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 615
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A M N B D F E C
Tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC MN // BC .
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F EF // BC.
Do đó MN // EF suy ra bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang.
Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi H , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC . Trên đường
thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD . Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM ) là:
A. Tứ giác HKMN với N Î AD.
B. Hình thang HKMN với N Î AD và HK MN .
C.Tam giác HKL với L = KM Ç BD.
D. Tam giác HKL với L = HM Ç AD. Lời giải Chọn C A H M L B D K C
Ta có HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM ) với (ABC) và (BCD) .
Trong mặt phẳng (BCD) , do KM không song song với BD nên gọi L = KM Ç BD .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 616
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vậy thiết diện là tam giác HKL .
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a (a > 0). Các điểm M , N , P lần
lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng: 2 2 2 A. a a a 2 a . B. . C. . D. . 2 4 16 Lời giải Chọn C S Q M N P A D B C
Gọi Q là trung điểm của SD.
Tam giác SAD có M , Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy ra MQ // AD.
Tam giác SBC có N , P lần lượt là trung điểm của SB, SC suy ra NP // BC.
Mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP và MQ = NP MNPQ là hình vuông.
Khi đó M , N , P, Q đồng phẳng  (MNP) cắt SD tại Q và MNPQ là thiết diện của hình
chóp S.ABCD với mp (MNP). 2
Vậy diện tích hình vuông S a MNPQ là ABCD S = = . MNPQ 4 4
Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng
(GCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là: 2 2 2 2 A. a 3 a 2 a 2 a 3 . B. . C. . D. . 2 4 6 4 Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 617
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A M G B D N H C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN Ç MC = G.
Dễ thấy mặt phẳng (GCD) cắt đường thắng AB tại điểm M .
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện ABCD. Tam giác a
ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra 3 MD = . 2 Tam giác a
ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra 3 MC = . 2
Gọi H là trung điểm của 1
CD MH ^ CD S = .MH .CD MC D D 2 2 Với CD a 2 2 2 2
MH = MC - HC = MC - = . 4 2 2 Vậy 1 a 2 a 2 S = . .a = . MC D D 2 2 4
Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
các cạnh AC , BC ; P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo một
thiết diện có diện tích là: 2 2 2 2 A. a 11 a 2 a 11 a 3 . B. . C. . D. . 2 4 4 4 Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 618
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A D M B D P M H N N C
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND . Xét tam giác AB AD
MND , ta có MN = = a ; 3 DM = DN = = a 3 . 2 2
Do đó tam giác MND cân tại D .
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH ^ MN . 2 Diện tích tam giác 1 1 a 11 2 2 S
= MN .DH = MN . DM - MH = . MND D 2 2 4
Dạng 5. Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy 1. Phương pháp
- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau và giao
điểm đó nằm trên đường thẳng thứ 3 (Hình a).
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (Hình b). a A B b K C c β α Hình a. Hình b.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 619
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Gọi a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q); A là điểm không nằm trên cả hai mặt
phẳng này; C và D là hai điểm nằm trên (P). Gọi E là giao điểm của a với CD; F và G lần lượt là
giao điểm của AC, AD với (Q). Chứng minh rằng ba điểm E, F và G thẳng hàng. Giải
Ta thấy D và C thuộc mp(P), A không thuộc mp(P) nên A
A, C và D không thẳng hàng. Do đó, tồn tại mặt phẳng (ACD). Ta có: C P
F  AC  FACD D     F Q F ACD Q 1  a E G
G  AD  G ACD F Q     G Q G ACD Q 2 
E  CD  E ACD   
E a  Q  EQ E ACD Q 3 
Như vậy, F, G, E nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (Q) nên chúng thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng, sao cho chúng đôi một
cắt nhau. Chứng minh chúng đồng quy. Giải
Theo giả thiết a và b cắt nhau, giả sử tại O. Ta chứng minh O thuộc c.
Do a và c cắt nhau nên tồn tại mp(a,c).
Do b và c cắt nhau nên tồn tại mp(b,c). Ta có:
O a  Oa,c    O  b  O b,c O a,c b,c 
Mà a,c b,c  c nên Oc .
Vậy ba đường thẳng a, b, c đồng quy tại O.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA, SB,
SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Chứng minh: a. S, E, E’ thẳng hàng.
b. A’C’, B’D’, SO đồng quy. Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 620
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 BC  AD    E S  a.  BC  SBC
 ESBC  SAD 1 AD   SAD A' D'E' BʹCʹ Aʹ Dʹ  E  ʹ   K BʹCʹ  SBʹCʹ
 EʹSBʹCʹ  SAʹDʹ 2 C'B' Aʹ Dʹ   SAʹDʹ D A E Mà SSBC SAD 3 O
Kết hợp (1), (2), (3) ta có ba điểm S, E, E’ cùng C
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và B
(SAD). Do đó ba điểm đó thẳng hàng.
b. Trong mp(A’B’C’D’):
A ʹCʹ Bʹ Dʹ  K A ʹCʹ  SAC
  K SAC  SBD i  Bʹ Dʹ  SBD 
Mà SAC SBD  SO ii nên từ (i), (ii) suy ra KSO .
Vậy ba đường thẳng SO, A’C’, B’D’ đồng quy.
Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB,
sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA.
a. Tìm giao điểm D của (IJK) và BC.
b. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy. Giải
a. Trong mp(SBC): IJ  BC   D (do IJ không song S song với BC).
Mà IJ  IJK nên D  IJK BC .
b. Ta có IK không song song với SA nên trong I J D mp(ABC): IK SA    F . A E C Ta có: K IK  SA    F   B
IK  IJK ,SA  SAC  F  EJ . F  EJ  IJK  SAC 
Vậy ba đường thẳng SA, IK, EJ đồng quy.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 621
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và
BD, K là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm E của mặt phẳng (ABK) với CD.
b. Tìm giao điểm F của mặt phẳng (ABK) với SC.
c. Chứng minh các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy. Giải
a. Trong mp(ABCD): ABCD   E . S
Mà AB  ABK nên EABK CD . K
b. Ta có: ABK  AEK G F
Trong mp(SCD): EK SC   F . D A
Mà EK  ABK nên FABK SC. O C
c. Trong mp(ABK): AF  BK   G . B
Mà AF  SAC, BK  SBD E
nên GSAC SBD  SO.
Vậy ba đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (a) qua
MN cắt AD, BC lần lượt tại P và .
Q Biết MP cắt NQ tại I . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. I , A, C.
B. I , B, D.
C. I , A, . B
D. I , C, D. Lời giải Chọn B A M P D B I N Q C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 622
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta có (ABD)Ç(BCD)= BD .
ìïI Î MP Ì(ABD) Lại có ïí
I thuộc giao tuyến của (ABD) và (BCD) ïI Î NQ Ì ï (BCD) î
I Î BD I , B, D thẳng hàng.
Câu 2: Cho tứ diện SABC . Gọi L, M ,
N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao
cho LM không song song với AB , LN không song song với SC . Mặt phẳng (LMN ) cắt các cạnh AB, BC,
SC lần lượt tại K , I , J . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. K , I , J.
B. M , I , J.
C. N , I , J.
D. M , K , J. Lời giải Chọn B S L M A N C I B J K Ta có
● M Î SB suy M là điểm chung của (LMN ) và (SBC) .
● I là điểm chung của (LMN ) và (SBC) .
● J là điểm chung của (LMN ) và (SBC).
Vậy M , I , J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LMN ) và (SBC).
Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở
trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = (ACD)Ç(ABG). B. A, J, M thẳng hàng.
C. J là trung điểm của AM .
D. DJ = (ACD)Ç(BDJ ). Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 623
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A J I B D G M C
Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
ìïM Î BG Ì(ABG) M Î(ABG) Do BG CD M ï Ç =  í
M là điểm chung thứ hai giữa hai
ïM ÎCD Ì(ACD) M Î ï (ACD) î
mặt phẳng (ACD) và (GAB).
 (ABG)Ç(ACD) = AM ¾¾  A đúng. ìïBI Ì(ABG) ïï
Ta có ïíAM Ì(ABM )  AM , BI đồng phẳng. ï(ïïABG)º ï (ABM ) î
J = BI Ç AM A, J, M thẳng hàng ¾¾  B đúng. ìïDJ Ì(ACD) Ta có ïí
DJ = (ACD)Ç(BDJ ) ¾¾  D đúng. ïDJ Ì ï (BDJ ) î
Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM ¾¾  C sai.
Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho
EF cắt BC tại I , EG cắt AD tại H . Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy? A. CD, EF, EG. B. CD, IG, HF. C. AB, IG, HF . D. AC, IG, BD. Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 624
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A E F B C I O G D H
Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng d , d ,
d đồng quy ta chứng minh giao 1 2 3
điểm của hai đường thẳng d và d là điểm chung của hai mặt phẳng (a) và (b) ; đồng 1 2
thời d là giao tuyến (a) và (b) . 3
Gọi O = HF Ç IG . Ta có
● O Î HF mà HF Ì(ACD) suy ra O Î(ACD).
● O Î IG mà IG Ì(BCD) suy ra O Î(BCD).
Do đó O Î(ACD)Ç(BCD) . ( ) 1
Mà (ACD)Ç(BCD)= CD . (2) Từ ( )
1 và (2) , suy ra O ÎCD .
Vậy ba đường thẳng CD, IG,
HF đồng quy.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm
M . Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng AB, CD,
MN đôi một song song.
B. Ba đường thẳng AB, CD,
MN đôi một cắt nhau.
C. Ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
D. Ba đường thẳng AB, CD,
MN cùng thuộc một mặt phẳng. Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 625
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 S N K M O A B C D I
Gọi I = AD Ç BC. Trong mặt phẳng (SBC), gọi K = BM ÇSI . Trong mặt phẳng (SAD), gọi
N = AK ÇSD .
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB).
Gọi O = AB ÇCD . Ta có:
● O Î AB mà AB Ì(AMB) suy ra O Î(AMB) .
● O ÎCD mà CD Ì(SCD) suy ra IJ, MN ,SE .
Do đó O Î(AMB)Ç(SCD) . ( ) 1
Mà (AMB)Ç(SCD)= MN . (2) Từ ( )
1 và (2) , suy ra O Î MN . Vậy ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng. 1. Phương pháp I  a  b  
Áp dụng kết quả: a  P,b Q  Ic   P  Q  c  2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện aBCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên cạnh
AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt các cạnh BD và AD lần lượt tại M và N.
a. Giả sử cho trước điểm M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N.
b. Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường HM và KN khi M di động trên canh BD. Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 626
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a. Trong mp(BCD): KMCD   E . A
Trong mp(ACD): HE  AD   N . E
Mà HE  P nên N  ADP là điểm cần N H tìm. F b. Ta có: I B M D I  HM  KN 
HM  HBD  I HBD  AKD   1 K  KN  AKD  C
Trong mp(ABC): BH AK   F  FHBDAKD
Mà DHBD AKD , nên DF  HBD AKD (2)
Từ (1) và (2) suy ra I chạy trên đường thẳng cố định DF. Giới hạn:
Cho M  D thì N  D . Khi đó I  D .
Cho M  B thì N  A . Khi đó I  F .
Vậy tập hợp điểm I là đoạn DF.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và AC, sao cho MN
không song song với BC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định.
b. Tìm tập hợp giao điểm của ME và NF.
c. Tìm tập hợp giao điểm của MF và NE. Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 627
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a. Trong mp(ABC): MN  BC  K . A
Khi đó K là điểm chung của (BCD) và (P), mà EF là
giao tuyến của (BCD) và (P) nên EF đi qua điểm K cố M định.
b. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I là điểm N J
chung của (NBD) và (MCD), suy ra I thuộc giao tuyến B D DJ của mp(MCD) và (NBD). F E
Giới hạn: Tậm hợp cần tìm là đoạn DJ.
c. Gọi H là giao điểm của MF và NE thì H là điểm C
chung của (ABD) và (ACD), suy ra H thuộc giao tuyến AD của mp(ABD) và mp(ACD). H K
Giới hạn: Tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng AD trừ đi đoạn AD.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 628
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Cho hai đường thẳng a và b. Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của hai đường thẳng ta có bốn trường hợp sau:
a. Hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, tức là a
ìï Ì(P); b Ì(P) ï a b  í . a ïï Çb = Æ î
b. Hai đường thẳng cắt nhau: chỉ có một điểm chung.
a cắt b khi và chỉ khi a Ç b = I .
c. Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt.
a Ç b = {A, B}  a º b.
d. Hai đường thẳng chéo nhau: không cùng thuộc một mặt phẳng.
a chéo b khi và chỉ khi ,
a b không đồng phẳng.
2. Hai đường thẳng song song
Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường
thẳng song song với đường thẳng đó.
Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Định lí (về giao tuyến của hai mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu
có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 629
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Câu hỏi lý thuyết 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song. Lời giải Chọn A
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo
nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng. Lời giải Chọn D
 A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
 B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song. Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 630
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau. Lời giải Chọn B
 A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
 C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
 D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b . Khẳng định nào
sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC ?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.
C. Song song với nhau. D. Chéo nhau. Lời giải Chọn D a B A D b C
Theo giả thiết, a và b chéo nhau  a và b không đồng phẳng.
Giả sử AD và BC đồng phẳng.
 Nếu AD Ç BC = I I Î(ABCD)  I Î( ;
a b) . Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I .
 Nếu AD BC a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau.
Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt (a), (b) , (g) có (a)Ç(b) =
; (b)Ç(g)= ; (a)Ç(g)= . Khi đó 1 d d2 d3
ba đường thẳng d , d , 1 2 d : 3
A. Đôi một cắt nhau.
B. Đôi một song song.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 631
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. Đồng quy.
D. Đôi một song song hoặc đồng quy. Lời giải Chọn D
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng
quy hoặc đôi một song song.
Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng , a ,
b c , biết a b , a và c chéo nhau. Khi đó hai đường
thẳng b và c :
A. Trùng nhau hoặc chéo nhau.
B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Chéo nhau hoặc song song.
D. Song song hoặc trùng nhau. Lời giải Chọn B
Giả sử b c c a (mâu thuẫn với giả thiết).
Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt , a ,
b c trong đó a b . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu a  c thì b  c .
B. Nếu c cắt a thì c cắt b .
C. Nếu A Î a và B Î b thì ba đường thẳng , a ,
b AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b . Lời giải Chọn B
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b .
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau ,
a b và điểm M ở ngoài a và ngoài b . Có nhiều nhất bao
nhiêu đường thẳng qua M cắt cả a và b ? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 632
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 c M b a Q P
Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; (Q) là mặt phẳng tạo bỏi đường thẳng b và M .
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b . c ìï Î(P) ï  í
c = (P)Ç(Q) . c ï Î ï (Q) î
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b .
Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng , a ,
b c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải Chọn D
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a .
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c . Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi
M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c .
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d .
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng , a , b c .
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song 1. Phương pháp
Cách 1. (Dùng định nghĩa) chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
Cách 2. Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng.
Cách 3. Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh ba đoạn nối trung điểm các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn. Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 633
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của A
các đoạn AB, CD, AD, BC, AC, BD. Ta cần
chứng minh các đoạn MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của chúng. M P Ta có:
MP là đường trung bình của ABD nên R G MP B ∥ D và  1 MP BD (1) S B D 2
NQ là đường trung bình của BCD nên Q N NQ BD ∥ và  1 NQ BD (2) 2
Vậy tứ giác MPNQ là hình bình hành. C
Gọi G là giao điểm của hai đường chéo MN và PQ. Khi đó ta có G là trung điểm của MN và PQ.
Tương tự ta chứng minh được tứ giác PSQR là hình bình hành. Suy ra trung điểm G của đường chéo PQ
cũng là trung điểm của đường chéo RS.
Vậy ba đoạn MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đường.
Chú ý: Điểm G nói trên được gọi là trọng tâm của tứ diện.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm trên cạnh AD
nhưng không trùng với A và D.
a. Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJE).
b. Xác định vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện đó là hình bình hành.
c. Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện đó là hình thoi. Giải
a. Xác định thiết diện của tứ diện với mp (IJE): Ta có IJ là A
đường trung bình của BCD nên: IJ C ∥ D (1) IJ  IJE  E CD ACD   
  IJE ACD  EF I ∥ JFAC (2) F IJ C ∥ D  E IJE ACD    B D
Như vậy, mp(IJE) cắt các mặt của tứ diện theo các đoạn J
giao tuyến nối tiếp nhau IJ, JE, EF và FI, nên thiết diện I
cần tìm là tứ giác IJEF có EF I
∥ J (theo (2)) nên thiết diện C này là hình thang.
b. Xác định vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành: IJEF là hình bình hành khi và chỉ khi JE I ∥ F A
∥ B , tức là E là trung điểm của AD.
c. Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD để thiết diện là hình thoi: IJEF là hình
thoi khi và chỉ khi IJEF là hình bình hành và IJ  JE , tức là E là trung điểm của AD và AB  CD .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G, H lần lượt là các điểm nằm
trên các cạnh BC, AD, SD, SC sao cho EH S ∥ B , EF A ∥ B, GH C ∥ D .
a. Chứng minh 4 điểm E, F, G, H đồng phẳng. b. Chứng minh GF S ∥ A .
c. Gọi I là giao điểm của EH và FG. Chứng minh rằng khi E di động trên BC thì I chạy trên một đường thẳng cố định. Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 634
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a. Chứng minh 4 điểm E, F, G, H đồng phẳng. Ta có: S I x EF AB ∥    EF CD ∥ (1) AB C ∥ D G H Mặt khác: GH CD ∥ (2) Từ (1) và (2) suy ra: EF GH ∥ (3)
(3) chứng tỏ tồn tại duy nhất mặt phẳng qua hai
đường thẳng song song EF và GH. Vậy bốn điểm E, F, D A E
G, H đồng phẳng (cùng thuộc mpEF,GH ). b. Chứng minh GF S ∥ A : B F C  DG CH SCD có GH CD ∥ nên:  (4) DS CS  CH CE CBS có EH S ∥ B nên:  (5) CS CB CE DF
Hình bình hành ABCD có EF A ∥ B C ∥ D nên:  (6) CB DA DG DF Từ (4), (5), (6) suy ra:   GF S ∥ A . DS DA
c. Chứng minh I chạy trên đường thẳng cố định. Ta có:
I EH  SBC  I SBC  I SBC SAD
I FG  SAD  I SAD     
Điều này chứng tỏ I chạy trên giao tuyến cố định Sx của hai mặt phẳng cố định (SBC) và (SAD) khi E chạy trên BC.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, E, F là các điểm lần A
lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Giả sử MN cắt EF.
Chứng minh rằng MN, AC và EF đồng quy. Giải M F
Vì MN cắt EF nên bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. B D
Giả sử MN cắt EF tại J. Áp dụng định lí 3 (định lí về giao
tuyến của ba mặt phẳng) cho ba mặt phẳng (ABC), (ACD) và N E
(NJF), ta có ba giao tuyến MN, AJ và EF đồng quy tại J. C J
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SAD;
E là trung điểm của cạnh BC. a. Chứng minh MN B ∥ D.
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(MNE).
c. Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH B ∥ D . Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 635
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a. Chứng minh MN B
∥ D. Gọi P và Q lần lượt là trung S
điểm của AB và AD. Ta có: MSP,NSQ   PM QN 1   MN P ∥ Q 
 (tính chaát troïng taâm) (1) PS QS 3   R
Mặt khác: PQ là đường trung bình của ABD nên: N L PQ B ∥ D (2) M Q Từ (1) và (2) suy ra: MN B ∥ D. A D
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(MNE).
Theo hệ quả của định lí 3, ta có: H P K MN  MNE  B BD ABCD   E CI MN BD ∥ 
 ABCDMNE  EK M ∥ N B ∥ DKCD
Trong mp(ABCD), gọi I  AB  EK .
Trong mp(SAB), gọi R  IM  SA, H  IM  SB .
Trong mp(SAD), gọi L  RNSD .
Như vậy, mp(MNE) cắt các mặt (ABCD), (SBC), (SAB), (SAD), (SCD) lần lượt theo các đoạn giao tuyến
nối tiếp nhau KE, EH, HR, RL, LK. Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác KEHRL. c. Chứng minh LH B ∥ D : MN  MNE  BD SBD      LH BD ∥ . MN BD ∥  SBD MNE    HL
Dạng 3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1. Phương pháp
Cách 1. Tìm hai điểm chung phân biệt (đã đề cập ở bài 1).
Cách 2. (Dùng hệ quả định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng).  a b ∥ a P,b Q     c a ∥ b ∥ P Q    c  2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB, G là một điểm trên
cạnh AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (SAC) và (EFC). b. (SAC) và (EFG). Giải
a. Ta có: EF là đường trung bình của tam giác SAB  EF S ∥ A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 636
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Mà S
EF  EFC ,SA  SAC C EFC SAC    
Suy ra EFC SAC  Cx E ∥ F S ∥ A H E b. Ta có: EF S ∥ A Mà A C G
EF  EFG ,SA  SAC F G EFG SAC     B
 EFGSAC  Gy EF ∥ S ∥ A
Trong mp(SAC): Gy cắt SC tại H. Vậy GH  EFG SAC .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
SA và SB, P là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (SBC) và (SAD). b. (SAB) và (SCD). c. (MNP) và (ABCD). Giải a. Ta có: y  BC AD ∥ S BC SBC,AD SAD    x S SBC SAD       M SBC SAD  Sx B ∥ C A ∥ D . N b. Ta có: A Q  AB C ∥ D D AB SAB,CD SCD    S SAB SCD     B P C
 SABSCD  Sy A ∥ B C ∥ D . c. Ta có:  MN A ∥ B MN MNP,AB ABCD  
  MNP ABCD  PQ A ∥ B M ∥ N QAD . P MNP ABCD    
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD. a. Chứng minh GJ AB ∥ .
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (GJD). Giải
a. Gọi K là trung điểm của CD.
Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: KG  KJ  1 GJ AB ∥ . KB KA 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 637
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 b. Ta có: A  GJ AB ∥ GJ GJD,AB ABD    x D GJD ABD     J   B GJD ABD  Dx AB ∥ GJ ∥ D G K C
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O và I là một điểm trên đoạn SO.
a. Tìm giao điểm E và F của mặt phẳng (ICD) lần lượt với các đường SA và SB. Chứng minh EF A ∥ B.
b. Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh SK B ∥ C. Giải
a. Trong mp(SAC): IC SA    E K S
Trong mp(SBD): ID SB    F
Mà IC  ICD , ID  ICD E
nên E  ICD SA, F  ICD SB . F Ta có: I A EF  SAB ICD  D  AB C ∥ D   EF AB ∥ C ∥ D . O AB SAB,CD SCD    B C b. Ta có: CF  DE    K  CF SBC  
  KSBC SAD . DE SAD   
Mà S SBC SAD nên SK  SBC SAD . Vậy: SK  SBC SAD   BC AD ∥   SK BC ∥ AD ∥ . BC SBC,AD SAD   
Dạng 4. Bài tập ứng dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?
A. IJ song song với CD.
B. IJ song song với . AB
C. IJ chéo CD.
D. IJ cắt AB. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 638
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn A A J I N B C M D
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC, BD.
MN là đường trung bình của tam giác BCD MN / / CD ( ) 1 AI AJ 2
I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD  =
=  IJ MN (2) AM AN 3 Từ ( )
1 và (2) suy ra: IJ CD.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M , N , P, ,
Q R,T lần lượt là trung
điểm AC, BD, BC,CD,SA,SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A. MP và RT .
B. MQ và RT .
C. MN và RT .
D. PQ và RT . Lời giải Chọn B S R T A D M Q N C P B
Ta có: M ,Q lần lượt là trung điểm của AC,CD
MQ là đường trung bình của tam giác CAD MQ AD ( ) 1
Ta có: R,T lần lượt là trung điểm của SA,SD
RT là đường trung bình của tam giác SAD RT AD (2)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 639
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Từ ( )
1 ,(2) suy ra: MQ RT .
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J, E, F lần lượt là trung điểm
SA,SB, SC,SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ ? A. EF. B. DC. C. AD. D. . AB Lời giải Chọn C S F I J E A D B C
Ta có IJ AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB ) và EF CD (tính chất đường
trung bình trong tam giác SCD ).
Mà CD AB (đáy là hình bình hành) ¾¾
CD AB EF IJ.
Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB;P,Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, N . Q
A. MP N . Q
B. MP º N . Q C. MP cắt . NQ
D. MP, NQ chéo nhau. Lời giải Chọn D A M N B D Q P C
Xét mặt phẳng (ABP).
Ta có: M , N thuộc AB M , N thuộc mặt phẳng (ABP).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 640
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Mặt khác: CD Ç(ABP)= P.
Mà: Q ÎCD Q Ï (ABP) M , N , P,Q không đồng phẳng.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD)và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d qua S và song song với BC.
B. d qua S và song song với DC.
C. d qua S và song song với . AB
D. d qua S và song song với BD. Lời giải Chọn A S d A D B C (
ìï SAD)Ç(SBC)= S ïï
Ta có ïíAD Ì(SAD), BC Ì(SBC) ¾¾
 (SAD)Ç(SBC) =   (với º ). ï Sx AD BC d Sx ïïAD BC ïî 
Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC,G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ ) và (BCD) là đường thẳng:
A. qua I và song song với AB.
B. qua J và song song với BD.
C. qua G và song song với CD.
D. qua G và song song với BC. Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 641
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A J I C D x G M B (
ìï GIJ )Ç(BCD)= G ïï
Ta có ïíIJ Ì(GIJ ), CD Ì(BCD) ¾¾
 (GIJ )Ç(BCD) = Gx IJ CD. ïïïIJ CD ïî 
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SA .
B Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là A. SC.
B. đường thẳng qua S và song song với . AB
C. đường thẳng qua G và song song với DC.
D. đường thẳng qua G và cắt BC. Lời giải Chọn C S P G Q A B I J D C
Ta có: I , J lần lượt là trung điểm của AD và BC
IJ là đường trunh bình của hình thang ABCD IJAB CD.
Gọi d = (SAB)Ç(IJG)
Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAB) và (IJG)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 642
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (
ìï SAB)É AB;(IJG)É Mặt khác: IJ ïí ïïAB IJ î 
 Giao tuyến d của (SAB) và (IJG) là đường thẳng qua G và song song với AB và IJ.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là:
A. Tam giác IBC.
B. Hình thang IBCJ ( J là trung điểm SD ).
C. Hình thang IGBC ( G là trung điểm SB ).
D. Tứ giác IBCD. Lời giải Chọn B S J I A D B C (
ìï IBC)Ç(SAD)= I ïï
Ta có ïíBC Ì(IBC), AD Ì(SAD) ¾¾
(IBC)Ç(SAD) = Ix BC AD ïïïBC AD ïî
Trong mặt phẳng (SAD): Ix AD, gọi Ix ÇSD = J ¾¾  IJ BC
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là hình thang IBCJ.
Câu 9: Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (a) qua MN cắt tứ
diện ABCD theo thiết diện là đa giác (T ). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (T ) là hình chữ nhật.
B. (T ) là tam giác.
C. (T ) là hình thoi.
D. (T ) là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 643
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn D A A K M M N N B D B D I J C C
Trường hợp (a)Ç AD = K ¾¾
(T ) là tam giác MNK . Do đó A và C sai.
Trường hợp (a)Ç(BCD)= IJ, với I Î BD, J ÎCD; I, J không trùng D. ¾¾
(T ) là tứ giác. Do đó B đúng.
Câu 10: Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác
SAC cân tại S,
SB = 8. Thiết diện của mặt phẳng (ACI ) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng: A. 6 2. B. 8 2. C. 10 2. D. 9 2. Lời giải Chọn B S I O C D N B A
Gọi O = SD ÇCI ; N = AC Ç BD.  ,
O N lần lượt là trung điểm của 1
DS , DB ON = SB = 4. 2
Thiết diện của mp(ACI ) và hình chóp S.ABCD là tam giác OC D A. Tam giác SA D
C cân tại S SC = SA S D DC = S D DA
CO = AO (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng)  OC D
A cân tại O 1 1  S
= ON .AC = .4.4 2 = 8 2. OC D A 2 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 644
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của SA và .
SB Gọi P là giao điểm của SC và (AND). Gọi I là giao điểm
của AN và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.
C. Hình vuông. D. Hình thoi. Lời giải Chọn A S I N M A B P D C E
Gọi E = AD Ç BC, P = NE ÇSC . Suy ra P = SC Ç(AND) . Ta có
· S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) ;
· I = DP Ç AN I là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Suy ra SI = (SAB)Ç(SCD). Mà AB CD ¾¾
SI AB CD.
Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình
của tam giác SAI nên suy ra SI = AB .
Vậy SABI là hình bình hành.
Câu 12: Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên
cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Tính tỉ số SA . SD A. 2. B. 1. C. 1 . D. 1. 2 3 Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 645
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A P S B I D Q R C
Gọi I là giao điểm của BD và R .
Q Nối P với I , cắt AD tại S . Xét tam giác DI BR CQ DI DI
BCD bị cắt bởi IR, ta có 1 . . = 1  .2.1 = 1  = . IB RC QD IB IB 2 Xét tam giác AS DI BP SA SA
ABD bị cắt bởi PI , ta có 1 . . = 1  . .1 = 1  = 2. SD IB PA SD 2 SD
Câu 13: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Cho PR // AC và
CQ = 2QD. Gọi giao điểm của AD và (PQR ) là S . Chọn khẳng định đúng?
A. AD =3DS.
B. AD = 2 DS.
C. AS = 3 DS.
D. AS = DS. Lời giải Chọn A A P S B D I Q R C
Gọi I là giao điểm của BD và R .
Q Nối P với I , cắt AD tại S .
Ta có DI . BR . CQ =1 mà CQ = 2 suy ra DI BR 1 DI 1 . =  = . RC . IB RC QD QD IB RC 2 IB 2 BR Vì RC AP DI AP
PR song song với AC suy ra 1 =  = . . BR PB IB 2 PB Lại có SA DI BP SA 1 . . = 1  . . AP . BP = 1 SA  = 2 ¾¾
AD = 3 DS. SD IB PA SD 2 PB PA SD Câu 14: GA
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Gọi A¢ là trọng tâm của tam giác BCD . Tính tỉ số . GA ¢
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 646
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 2. B. 3. C. 1 . D. 1 . 3 2 Lời giải Chọn B A G E B D A' M C
Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD.
Nối BE cắt AA¢ tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện. ¢ ¢ Xét tam giác ME MA A E MAB, có 1 = = suy ra A¢E // 1 AB  = . MA MB 3 AB 3 ¢ ¢
Khi đó, theo định lí Talet suy ra A E A G 1 GA = =  = 3. AB AG 3 GA ¢
Câu 15: Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN . Gọi Khẳng định 1
A là giao điểm của AG và (BCD). nào sau đây đúng? A. 1
A là tâm đường tròn tam giác BCD . B. 1
A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD . C. 1
A là trực tâm tam giác BCD . D. 1
A là trọng tâm tam giác BCD . Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 647
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A M G B D P A1 N C
Mặt phẳng (ABN ) cắt mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến BN .
Mà AG Ì(ABN ) suy ra AG cắt BN tại điểm A . 1
Qua M dựng MP // Î 1 AA với M BN .
Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA BP = PA 1 . 1 1 ( )
Tam giác MNP có MP // 1
GA và G là trung điểm của MN . 
NP PA = NA 2 . 1
A là trung điểm của 1 1 ( ) Từ ( ) BA 2 1 ,(2) suy ra 1 BP = P =  = mà 1 A 1 A N
N là trung điểm của CD . BN 3 Do đó, 1
A là trọng tâm của tam giác BCD .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên Trang 648
hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A. LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là:
a Ç(P) = Æ  a  (P).
b. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là:
a Ç(P) = A a cắt (P) tại A .
c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:
a Ç(P) = {A, B}  a Ì (P). a a A A B a (P) (P) (P)
a Ç(P) = Æ  a  (P).
a Ç(P) = {A}  a cắt (P).
a Ç(P) = {A, B}  a Ì (P).
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng
nào đó trong (P) thì a song song với (P).
Tức là, a Ë(P) thì nếu:
a d Ì (P)  a  (P). a d (P) 3. Tính chất
Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt
(P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a. a ìï  (P) Tức là, nếu ïí  a d. a
ï Ì(Q) (éQ)Ç(P)= ï d ù ïî ë û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 649
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (Q) a d (P)
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường
thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu
có) của chúng song song với đường thẳng đó. (
ìï P)Ç(Q)= d ïï Tức là: ( ïí P) ad  . a ï(ïïïQ) a î (Q) d a (P)
Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Câu hỏi lý thuyết
Câu 1: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối
của a và (P) ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn B a a a A (P) (P) (P)
Có 3 vị trí tương đối của a và (P) , đó là: a nằm trong (P) , a song song với (P) và a cắt (P) .
Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt ,
a b và mặt phẳng (a) . Giả sử a b , b  (a) . Khi đó:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 650
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
A. a  (a).
B. a Ì(a).
C. a cắt (a).
D. a  (a) hoặc a Ì(a). Lời giải Chọn D
Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt ,
a b và mặt phẳng (a) . Giả sử a  (a) , b Ì (a) . Khi đó: A. a  . b B. , a b chéo nhau.
C. a b hoặc , a b chéo nhau. D. , a b cắt nhau. Lời giải Chọn C a a b c   b
Vì a  (a) nên tồn tại đường thẳng c Ì(a) thỏa mãn a  .c Suy ra ,
b c đồng phẳng và xảy ra các trường hợp sau:
 Nếu b song song hoặc trùng với c thì a b .
 Nếu b cắt c thì b cắt (b) º ( , a c) nên ,
a b không đồng phẳng. Do đó , a b chéo nhau.
Câu 4: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (a) . Giả sử b Ë(a). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu b  (a) thì b  . a
B. Nếu b cắt (a) thì b cắt . a
C. Nếu b a thì b  (a).
D. Nếu b cắt (a) và (b) chứa b thì giao tuyến của (a) và (b) là đường thẳng cắt cả a và . b Lời giải Chọn C
 A sai. Nếu b  (a) thì b a hoặc , a b chéo nhau.
 B sai. Nếu b cắt (a) thì b cắt a hoặc , a b chéo nhau.
 D sai. Nếu b cắt (a) và (b) chứa b thì giao tuyến của (a) và (b) là đường thẳng cắt a
hoặc song song với a .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 651
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 5: Cho hai đường thẳng phân biệt ,
a b và mặt phẳng (a) . Giả sử a  (a) và b  (a) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
C. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D. a và b chéo nhau. Lời giải Chọn C
Câu 6: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu (P) song song với a thì (P) cũng song song với . b
B. Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt . b
C. Nếu (P) chứa a thì (P) cũng chứa . b
D. Các khẳng định A, B, C đều sai. Lời giải Chọn B Gọi (Q) º ( , a b).
 A sai. Khi b = (P)Ç(Q) b Ì(P) .
 C sai. Khi (P)¹ (Q)  b  (P) .
 Xét khẳng định B, giả sử (P) không cắt b khi đó b Ì(P) hoặc b  (P). Khi đó, vì b a
nên a Ì(P) hoặc a cắt (P) (mâu thuẫn với giả thiết (P) cắt a ).
Vậy khẳng định B đúng.
Câu 7: Cho d  (a) , mặt phẳng (b) qua d cắt (a) theo giao tuyến d¢ . Khi đó:
A. d d .¢
B. d cắt d¢ . C. d và d¢ chéo nhau.
D. d º d .¢ Lời giải Chọn A
Ta có: d¢ = (a)Ç(b). Do d và d¢ cùng thuộc (b) nên d cắt d¢ hoặc d d¢ .
Nếu d cắt d¢ . Khi đó, d cắt (a) (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy d d¢ .
Câu 8: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 652
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn D a cb
Gọi a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, c là đường thẳng song song với a và cắt b . Gọi (a)º ( ,
b c) . Do a c a  (a) .
Giả sử (b) (a) . Mà b Î(a) b  (b) .
Mặt khác, a  (a) a  (b) .
Có vô số mặt phẳng (b) (a) . Vậy có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và . b
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với . b
C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M , song song với a và b (với M là điểm cho trước).
D. Có vô số đường thẳng song song với a và cắt . b Lời giải Chọn A
Có có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau. Do đó A sai.
Câu 10: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau , a ,
b c . Gọi (P) là mặt phẳng qua a , (Q) là mặt
phẳng qua b sao cho giao tuyến của (P) và (Q) song song với c . Có nhiều nhất bao
nhiêu mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Một mặt phẳng (P) , một mặt phẳng (Q).
B. Một mặt phẳng (P) , vô số mặt phẳng (Q).
C. Một mặt phẳng (Q) , vô số mặt phẳng (P). D. Vô số mặt phẳng (P) và (Q). Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 653
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a c b (Q) (P)
Vì c song song với giao tuyến của (P) và (Q) nên c  (P) và c  (Q) .
Khi đó, (P) là mặt phẳng chứa a và song song với ,c mà a và c chéo nhau nên chỉ có
một mặt phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng (Q) chứa b và song song với c .
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng (P) và một mặt phẳng (Q) thỏa yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) 1. Phương pháp (Dùng định lí 1)  a b ∥ b P    a  ∥ P a P  
Nếu không có sẵn đường thẳng b trong mặt phẳng (P) thì ta tìm đường thẳng b bằng cách chọn một
mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P), giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng b cần tìm. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và
O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.
a. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABF. Chứng minh GGʹ  ∥ DCEF . Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 654
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a. Ta có OO’ là đường trung bình của tam giác ACE và F tam giác BDF nên: E OOʹ CE ∥ và OOʹ DF ∥ . O' G'
Mà CE  BCE, DF  ADF nên OOʹ  ∥ BCE và M A B OOʹ  ∥ ADF . G b. O
Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta có: C D AG  AGʹ  2 AO AOʹ 3 Vậy GGʹ OO ∥ ʹ Cd OOʹ CE ∥ nên GGʹ CE ∥ .
Mà CE  CDEF nên GGʹ  ∥ DCEF .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho MB  2MC . Chứng minh MG  ∥ ACD . A Giải E
Gọi E là trung điểm của AD. Ta có: BG  2 (do G là trọng tâm G BE 3 của tam giác ABD). B D Mà BM  2 (do BG BM MB  2MC ) nên  . BC 3 BE BC M C Suy ra MG CE ∥ .
Mà CE  ACD do đó MG  ∥ ACD .
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng MN  ∥ ABD và MN  ∥ ACD . Giải A
Gọi H là trung điểm của BC, ta có: MAH, NDH . Do đó:
HM  HN  1 (tính chất trọng tâm tam giác) MN A ∥ D . HA HD 3 M Như vậy: B D MN AD ∥  N ∥ H
AD  ABD  MN ABD  C MN AD ∥  ∥
AD  ACD  MN ACD 
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 655
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC;  là mặt phẳng qua M và
song song với AB và CD, cắt các cạnh BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành. Giải AB  ∥    Ta có: ABC  AB   MQ A ∥ B (1) ABC       MQ Tương tự, ta có: NP A ∥ B (2) A CD  ∥    P ACD   CD   PQ C ∥ D (3)  α Q ACD       PQ B D N Tương tự, ta có: MN CD ∥ (4) M Từ (1) và (2) suy ra: MQ N ∥ P (5) C Từ (3) và (4) suy ra: PQ MN ∥ (6)
Từ (5) và (6) suy ra MNPQ là hình bình hành.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành; F, G lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Chứng minh rằng FG song song với các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b. Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB, SC song song với mặt phẳng (FGE). Giải a. Ta có: S FG A ∥ D  ∥
AD  SAD  FG SAD  H E
Chứng minh tương tự, ta cũng có: D G FG  ∥ SBC C
b. Gọi EFG SD  H. Ta có: AF B
ABCD EFG  FG  ABCD SAD    AD   EH A ∥ D F ∥ G SAD  EFG    EH  FG AD ∥ 
Suy ra H là trung điểm của SD. Như vậy:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 656
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 GH SC ∥
(tính chaát ñöôøng trung bình) . HG  EFG SC  ∥ EFG  Tương tự, ta có: SB  ∥ EFG .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.  là mặt phẳng đi qua trung
điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB, cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại Q, P và N. Hãy
xác định hình tính của tứ giác MNPQ? Giải S Ta có: N P AB  ∥   SAB MQ A ∥ B (1)
M   SAB        α  Q M D Mặt khác: C 1  DC AB ∥ DC Q ∥ M *  A   DC  ∥  B QM       Như vậy: DC  ∥   PN DC ∥ (2)
PN   SCD  
Từ (*) và (2) suy ra MNPQ là hình bình thang.
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng 1. Phương pháp
Ngoài hai cách đã đề cập ở Bài 1 và Bài 2 ta có hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Cách 1. Dùng định lí 2. a  ∥ P  a Q     d a ∥ P Q    d Cách 2. Dùng hệ quả 2. P a ∥  Q  a ∥   d a ∥ P Q    d
Tìm thiết diện là tìm các đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến được nêu ở trên, cho đến
khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 657
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của SA và SD. a. Chứng minh MN  ∥ SBC, SB  ∥ OMN, SC  ∥ OMN .
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN). Thiết diện là hình gì? Giải a. Ta có MN A
∥ D (MN là đường trung bình của S tam giác SAD) và AD B
∥ C (tứ giác ABCD là hình bình hành), suy ra MN B ∥ C . Mà M N BC  SBC nên MN  ∥ SBC . Ta có: ON S
∥ B (ON là đường trung bình của tam A D
giác SBD) nên ON  OMN . P Q Do đó: O SB  ∥ OMN . B C Ta có OM S
∥ C (OM là đường trung bình của
SAC) và OM  OMN . Vậy SC  ∥ OMN .
b. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ đó có: PQ AD ∥ , suy ra PQ M ∥ N .
Vậy MN và PQ đồng phẳng, nghĩa là OMN  MNPQ .
Ta có thiết diện do mp(OMN) cắt hình chóp là hình thang MNPQ MN P ∥ Q .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên
đoạn IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ICD).
b. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì? Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 658
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a. Ta có: A P C ∥ D  CD ICD  
  P ICD  Mx C ∥ D . I M P ICD    R
Trong mp(ICD) ta có Mx cắt IC tại E và cắt ID tại F. Suy S F M
ra EF  P ICD . B D E Q b. Ta có: P J P A ∥ B  C AB ABC  
  P ABC  Ey A ∥ B . E P ABC   
Trong mp(ABC) ta có Ey cắt BC tại P và cắt AC tại S.
Suy ra PS  P ABC . Ta có: P A ∥ B  AB ABD  
  P ABD  Ft A ∥ B . F P ABD   
Trong mp(ABD) ta có Ft cắt BD tại Q và cắt AD tại R.
Suy ra QR  P ABD .
Khi đó: PQ  P CBD và RS  P ACD .
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác PQRS.
Theo chứng minh trên ta có thể suy ra được: PS A ∥ B, QR A ∥ B nên PS Q ∥ R . (1) Mặt khác, ta có: P C ∥ D    RS C ∥ D
RS  P  ACD           RS P ∥ Q P C ∥ D   ∥
PQ P BCD  PQ CD     (2)
Từ (1) và (2) suy ra thiết diện PQRS là hình bình hành.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 659
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dạng 4. Bài tập ứng dụng
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN // mp (ABCD). B. MN // mp (SAB).
C. MN // mp (SCD).
D. MN // mp (SBC). Lời giải Chọn A
Xét tam giác SAC có M , N lần lượt là trung điểm của SA, SC .
Suy ra MN // AC mà AC Ì(ABCD) ¾¾
MN // mp(ABCD).
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SM SN SA, SB sao cho 1 =
= . Vị trí tương đối giữa MN và (ABCD) là: SA SB 3
A. MN nằm trên mp (ABCD).
B. MN cắt mp (ABCD).
C. MN song song mp (ABCD).
D. MN và mp (ABCD) chéo nhau. Lời giải Chọn C
Theo định lí Talet, ta có SM SN =
suy ra MN song song với AB. SA SB
Mà AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) suy ra MN //(ABCD).
Câu 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho
AQ = 2 QB, P là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN //(BCD).
B. GQ //(BCD).
C. MN cắt (BCD).
D. Q thuộc mặt phẳng (CDP). Lời giải Chọn B A P Q G D B M C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 660
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Gọi M là trung điểm của BD. Vì AG 2
G là trọng tâm tam giác ABD  = . AM 3 Điểm AQ
Q Î AB sao cho 2 AQ = 2 QB  = . Suy ra AG AQ = ¾¾  GQ // BD. AB 3 AM AB
Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ //(BCD).
Câu 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi , O Khẳng định nào sau 1
O lần lượt là tâm của ABCD, ABEF . M là trung điểm của CD . đây sai? A. B. C. D. 1 OO // (BEC). 1 OO // (AFD). 1 OO // (EFM ). M 1 O cắt (BEC). Lời giải D C O A B O1 F E Chọn D
Xét tam giác ACE có , O 1
O lần lượt là trung điểm của AC, AE . Suy ra  // EC. 1
OO là đường trung bình trong tam giác ACE 1 OO Tương tự, 1
OO là đường trung bình của tam giác BFD nên 1 OO // FD . Vậy , và
. Chú ý rằng: (EFC)= (EFM ). 1 OO // (BEC) 1 OO // (AFD) 1 OO // (EFC)
Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P, ,
Q R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
AC, BD, AB, CD, AD, BC . Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. P, Q, R, S.
B. M , P, R, S.
C. M , R, S, N .
D. M , N , P, . Q Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 661
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A R M P B C Q S N D Chọn C
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
PS // AC // QR suy ra P, ,
Q R, S đồng phẳng
Tương tự, ta có được PM // BC // NQ suy ra P, M , N , Q đồng phẳng.
Và NR //CD // SN suy ra M , R, S, N đồng phẳng.
Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC, (a) là mặt phẳng đi
qua H song song với AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của (a) của tứ diện?
A. Thiết diện là hình vuông. B. Thiết diện là hình thang cân.
C. Thiết diện là hình bình hành.
D. Thiết diện là hình chữ nhật. Lời giải A N P H B C M Q D Chọn C
Qua H kẻ đường thẳng (d) song song AB và cắt BC, AC lần lượt tại M , N .
Từ N kẻ NP song song vớ CD (P ÎCD). Từ P kẻ PQ song song với AB (Q Î BD).
Ta có MN // PQ // AB suy ra M , N , P, Q đồng phẳng và AB //(MNPQ).
Suy ra MNPQ là thiết diện của (a) và tứ diện.
Vậy thiết diện là hình bình hành.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 662
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho SM 2
= . Một mặt phẳng (a) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một SA 3
tứ giác có diện tích là: A. 400 . B. 20 . C. 4 . D. 16 . 9 3 9 9 Lời giải S Q M D N A P B C Chọn A
Ta có (a)  AB và CD mà A, B, C, D đồng phẳng suy ra (a)  (ABCD).
Giả sử (a) cắt các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) lần lượt tại các điểm N , P, Q với
N Î SB, P Î SC, Q Î SD suy ra (a) º (MNPQ). Khi đó SM MN
MN // AB MN là đường trung bình tam giác SAB 2  = = . SA AB 3
Tương tự, ta có được NP PQ QM 2 = =
= và MNPQ là hình vuông. BC CD DA 3 2 æ ö Suy ra 2 4 4 400 S = ç ÷ ç ÷ S = S = .10.10 = . MNPQ çè3 ABCD ÷ø 9 ABCD 9 9
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. M , N lần lượt là hai
trung điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một
giao tuyến. Thiết diện của (P) và hình chóp là A. Hình bình hành.
B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 663
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 S P Q A D M N B C Chọn B
Xét hình thang ABCD , có M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD MN // BC.
Lấy điểm P Î SB , qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BC tại Q.
Suy ra (P)Ç(SBC)= PQ nên thiết diện (P) và hình chóp là tứ giác MNQP có
MN // PQ // BC . Vậy thiết diện là hình thang MNQP .
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc
cạnh SA (không trùng với S hoặc A ). (P) là mặt phẳng qua OM và song song với AD.
Thiết diện của (P) và hình chóp là A. Hình bình hành.
B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình tam giác. Lời giải S M N D A Q P O B C Chọn B
Qua M kẻ đường thẳng MN // AD và cắt SD tại N MN // AD.
Qua O kẻ đường thẳng PQ // AD và cắt AB, CD lần lượt tại ,
Q P PQ // AD .
Suy ra MN // PQ // AD ¾¾
M , N , P, Q đồng phẳng  (P) cắt hình chóp S.ABCD theo
thiết diện là hình thang MNPQ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 664
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi I , J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA = 2 ID và JB = 2 JC.
Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Thiết diện của (P) và tứ diện ABCD là A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Tam giác đều. Lời giải Chọn B A I B D H K J C
Giả sử (P) cắt các mặt của tứ diện (ABC) và (ABD) theo hai giao tuyến JH và IK .
Ta có (P)Ç(ABC)= JH , (P)Ç(ABD)= IK
(ABC)Ç(ABD)= AB, (P) // AB ¾¾
JH // IK // AB.
Theo định lí Thalet, ta có JB HA = = 2 suy ra HA IA =  IH //CD . JC HC HC ID
Mà IH Î(P) suy ra IH song song với mặt phẳng (P).
Vậy (P) cắt các mặt phẳng (ABC), (ABD) theo các giao tuyến IH, JK với IH // JK .
Do đó, thiết diện của (P) và tứ diện ABCD là hình bình hành.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 665
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A. LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q). Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Hai mặt phẳng (P) và (Q) không có đường thẳng chung, tức là:
(P)Ç(Q) = Æ  (P)  (Q).
b. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chỉ có một đường thẳng chung, tức là:
(P)Ç(Q)= a  (P) cắt (Q).
c. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là: (P)Ç(Q)= { , a }
b  (P) º (Q). a (P) (Q) (Q) (Q) (P) (P)
(P)Ç(Q) = Æ  (P)  (Q).
(P)Ç(Q)= a  (P) cắt (Q). (P)Ç(Q)= { , a }
b  (P)Ç(Q).
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng ,
a b cắt nhau và cùng song song với mặt
phẳng (Q) thì (P) song song (Q). ìï , a b Î (P) ïï Tức là: ïa í Ç b = {I }
 (P)  (Q).
ïïaïï (P), b (Q) î a b (Q) (P) 3. Tính chất
Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. O ìï Î(Q) Tức là: ï
O Ï (P)  $! (Q) : í . ( ïï P) (Q) î  Cách dựng: - Trong (P) dựng , a b cắt nhau.
- Qua O dựng a  , a b  . 1 1 b - Mặt phẳng (a , là mặt phẳng qua 1 1 b )
O và song song với (P).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 666
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ một mặt
phẳng (P) song song với (Q).
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt
(Q) và các giao tuyến của chúng song song. ( ìï P)  (Q) ïï Tức là: ïa
í = (P)Ç(R)  a  . b
ïïbïï=(Q)Ç(R) î a (P) b (Q) (R)
Định lí Ta – let trong không gian:
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. (
ìï P)  (Q)  (R) ïï Tức là: ï A B A B a
í Ç(P) = A ; a Ç Q = B ; Ç = 1 1 2 2  = . 1 ( ) 1 a (R) 1 C ïï 1 B 1 C 2 B C2 b
ïï Ç(P)= A ; bÇ Q = B ; Ç = 2 ( ) 2 b (P) C2 î a b A1 A2 (P) B B 1 2 (Q) C C 1 2 (R)
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Định nghĩa hình lăng trụ:
Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và
tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau. Trong đó:
Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …
Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:
a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.
b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.
c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 667
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (Q) A'5 A'1 A' A' 4 2 A'3 A1 A5 A A 2 4 (P) A3
Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương. D1 C D 1 1 C1 A B A B 1 1 1 1 D C D C A B A B
Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 5. Hình chóp cụt
Định nghĩa: Cho hình chóp S.A A ...A . Một mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng chứa đa giác 1 2 n
đáy cắt các cạnh SA , SA , ...,
A ,¢ A ¢, ..., A ¢ . Hình tạo bởi thiết diện A A ¢ ¢... ¢ và đáy 1 2
SA theo thứ tự tại A n 1 2 n 1 2 n A A ...
A A A ¢A ,¢ A A A ¢A ¢, ...,
¢ ¢ gọi là một hình chóp 1 2
A của hình chóp cùng với các mặt bên A A A A n 1 2 2 1 2 3 3 2 n 1 1 n cụt. Trong đó:
Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. S A'1 A'5 A'4 (P) A' A' 2 3 A5 A1 A4 A A 2 3
Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như A A ,¢ A A¢, ...,
¢ gọi là cạnh bên của hình chóp cụt. 1 1 2 2 A A n n
Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác,
hình chụp cụt ngũ giác,…
Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 668
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Bài toán lý thuyết
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song
song với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Lời giải Chọn C a P Q
Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song
với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song hoặc trùng nhau  A là mệnh đề sai.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau
(hình vẽ)  B là mệnh đề sai.
Ta có: a  (P),a  (Q) nhưng (P) và (Q) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
Câu 2: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp(a)  mp(b)?
A. (a)  (g) và (b)  (g) ((g) là mặt phẳng nào đó ).
B. (a)  a và (a)  b với ,
a b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (b).
C. (a)  a và (a)  b với ,
a b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (b).
D. (a)  a và (a)  b với ,
a b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc (b). Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 669
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a ba b  
Trong trường hợp: (a)  (g) và (b)  (g) ((g) là mặt phẳng nào đó) thì (a) và (b) có thể
trùng nhau  Loại A.
(a)  a và (a)  b với ,
a b là hai đường thẳng phân biệt thuộc (b) thì (a) và (b) vẫn có
thể cắt nhau (hình 1)  Loại B.
(a)  a và (a)  b với ,
a b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với (b) thì (a) và
(b) vẫn có thể cắt nhau (hình 2)  Loại C.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu mặt phẳng (a)  (b) thì mọi đường thẳng nằm trong (a) đều song song với (b).
B. Nếu hai mặt phẳng (a) và (b) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm
trong (a) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (b).
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
(a) và (b) phân biệt thì (a)  (b).
D. Nếu đường thẳng d song song với mp(a) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp(a). Lời giải Chọn A a daba b  Hình 1 Hình 2 Hình 3
Nếu hai mặt phẳng (a) và (b) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt
thuộc (a) và (b) có thể chéo nhau (Hình 1)  Loại B.
Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (a)
và (b) phân biệt thì hai mặt phẳng (a) và (b) có thể cắt nhau (Hình 2)  Loại C.
Nếu đường thẳng d song song với mp(a) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng
nào đó nằm trong (a). (Hình 3).
Câu 4: Cho hai mặt phẳng song song (a) và (b) , đường thẳng a  (a). Có mấy vị trí tương đối
của a và (b). A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 670
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn B
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt
mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
a  (a) mà (a)  (b)  a và (a) không thể cắt nhau.
Vậy còn 2 vị trí tương đối.
Câu 5: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) . Hai điểm M , N lần lượt thay đổi trên (P) và
(Q). Gọi I là trung điểm của MN . Chọn khẳng định đúng.
A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều (P) và (Q).
B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q).
C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P).
D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt (P). Lời giải Chọn B M P I Q N
Ta có: I là trung điểm của MN
 Khoảng cách từ I đến (P) bằng khoảng cách từ I đến (Q)
Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q).
Câu 6: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)?
A. a b và b Ì(P). B.
a b và b  (P).
C. a  (Q) và (Q)  (P).
D. a Ì(Q) và b Ì(P). Lời giải Chọn D
Ta có: a b và b Ì(P) suy ra a  (P) hoặc a Ì(P) LoạiA.
a b và b  (P) suy ra a  (P) hoặc a Ì (P)  Loại B.
a  (Q) và (Q)  (P) suy ra a  (P) hoặc a Ì (P)  Loại C.
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu (a)  (b) và a Ì(a), b Ì(b) thì a  . b
B. Nếu (a)  (b) và a Ì(a), b Ì(b) thì a và b chéo nhau.
C. Nếu a b và a Ì(a), b Ì(b) thì (a)  (b).
D. Nếu (g)Ç(a)= ,
a (g)Ç(b) = b và (a)  (b) thì a  . b Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 671
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Nếu (a)  (b) và a Ì(a), b Ì(b) thì a b hoặc a chéo b  A, B sai.
Nếu a b và a Ì(a), b Ì(b) thì (a)  (b) hoặc (a) và (b) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và . b
Câu 8: Cho đường thẳng a Ì mp(P) và đường thẳng b Ì mp(Q). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (P)  (Q) a  . b
B. a b  (P)  (Q).
C. (P)  (Q) a  (Q) và b  (P).
D. a và b chéo nhau. Lời giải Chọn C
Với đường thẳng a Ì mp(P) và đường thẳng b Ì mp(Q)
Khi (P)  (Q) a b hoặc ,
a b chéo nhau  A sai.
Khi a b  (P)  (Q) hoặc (P),(Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b  B sai.
a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau  D sai.
Câu 9: Hai đường thẳng a và b nằm trong mp(a). Hai đường thẳng a¢ và b¢ nằm trong mp(b).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a a¢ và b b¢ thì (a)  (b).
B. Nếu (a)  (b) thì a a¢ và b b .¢
C. Nếu a b và a¢  b¢ thì (a)  (b).
D. Nếu a cắt b và a a ,¢ b b¢ thì (a)  (b). Lời giải Chọn D a a   b a' b' a'  Hình 1 Hình 2
Nếu a a¢ và b b¢ thì (a)  (b) hoặc (a) cắt (b) (Hình 1)  A sai.
Nếu (a)  (b) thì a a¢ hoặc ,
a a¢ chéo nhau (Hình 2)  B sai.
Nếu a b và a¢  b¢ thì (a)  (b) hoặc (a) cắt CC .¢ (Hình 1)  C sai.
Câu 10: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến .
D Hai đường thẳng p và q lần
lượt nằm trong (P) và (Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. p và q cắt nhau.
B. p và q chéo nhau.
C. p và q song song.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 672
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn D P P p P p p Qq Q q Q   q
Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).
Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng song song 1. Phương pháp
Áp dụng kết quả sau: a c ∥ , b d ∥  a, b P    ∥
c,d  Q   P Q  a b     A 
Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). a  Q   ∥ Q  ∥ P  a P  2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD B
∥ C, AD  2BC . Gọi E, F, I lần
lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD. a. Chứng minh EFB 
∥ SCD . Từ đó chứng minh CI  ∥ EFB .
b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh SBF  ∥ KCD . Giải a. Ta có: S K x EF S
∥ D (EF là đường trung bình của tam giác SAD). BF C ∥ D BC F ∥ D, BC  FD . Suy ra EFB  ∥ SCD . E I
Mà CI  SCD nên CI  ∥ EFB . b. Ta có: AD BC AD ∥ F BC SBC, AD SAD    S SBC SAD     B C
 SBCSAD  Sx, Sx A ∥ D B ∥ C
Trong mp(SAD): FI cắt Sx tại K. Ta có: SK FD ∥ , IS  ID nên IK  IF .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 673
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra SF K ∥ D . Mặt khác BF C ∥ D nên SBF  ∥ KCD .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a. Chứng minh mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau.
b. Giả sử hai tam giác SAD và ABC đều là tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các
đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD). Giải a. Ta có: S ON B
∥ C (ON là đường trung bình của tam giác BCD). OM S
∥ C (OM là đường trung bình của tam giác SAC) M
Vì OM,ON  OMN; BC,SC  SBC nên OMN  ∥ SBC . F
b. Từ E kẻ đường thẳng EP AD ∥ (P thuộc D AB) (1) A
Khi đó theo tính chất đường phân giác và tam P O N E giác cân ta có: B C
PB  EC  AC  AB  FB PA ED AD AS FA Do đó: PF S ∥ A (2)
Từ (1) và (2) suy ra PEF  ∥ SAD .
Mặt khác EF  PEF nên EF  ∥ SAD .
Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh EF  ∥ SAD như sau:
Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được: AB  AC  FB  EC . AS AD FS ED
Theo định lí Thales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song, suy
ra EF song song với mặt phẳng chứa BC và song song với mặt phẳng chứa SD. Mặt khác BC AD ∥
nên EF song song với mặt phẳng (SAD).
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c. Chứng minh G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. Giải a. Ta có: AʹB D
∥ ʹC (vì tứ giác A’BCD’ là hình bình hành). BD B
∥ ʹDʹ (vì tứ giác BB’D’D là hình bình hành), suy ra mpBDAʹ mp ∥ BʹDʹC.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 674
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
b. Gọi O, O’ và Q lần lượt là tâm các hình bình hành D' C'
ABCD, A’B’C’D và AA’C’C.
Ta có: A’O là đường trung tuyến và G là trọng tâm của O' A'
tam giác BDA’ nên AʹG  2 . B' AʹO 3 G'
Do đó G cũng là trọng tâm tam giác A’AC (vì A’O là
đường trung tuyến của tam giác A’AC). Q
Mà AQ là đường trung tuyến của tam giác A’AC nên G G thuộc AQ, G thuộc AC’ . (1) D C
Tương tự ta có G’ là trọng tâm của tam giác B’D’C và
cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C. O
Mà C’Q là đường trung tuyến của tam giác A’C’C nên A B
G’ thuộc C’Q. Suy ra G’ thuộc AC’. (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường chéo AC’ đi qua hai trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c. Ta có:
G là trọng tâm tam giác A’AC nên AG  2  AG  1 ACʹ  2AQ . Suy ra  1 AG ACʹ . AQ 3 ACʹ 3 3
G’ là trọng tâm tam giác A’C’C nên CʹGʹ  2  CʹGʹ  1 ACʹ  2CʹQ . Suy ra  1 CʹGʹ ACʹ . CʹQ 3 Cʹ A 3 3 Vậy    1 AG GGʹ CʹGʹ
ACʹ . Tức là G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. 3
Dạng 3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng 1. Phương pháp
Dùng tính chất thứ 2. P  ∥ Q    P     a   a b ∥   Q     b 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AD. Gọi  và  là mặt phẳng qua
điểm M và lần lượt song song với mặt phẳng (SBD) và (SAC).
a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .
b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .
c. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của  và  với AC và BD. Chứng minh tứ giác OHMK là hình bình hành. Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 675
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   ∥ SBD   S
a. ABCD SBD  BD M ABCD          F ABCD   MN BD ∥ NAB E
Gọi M là trung điểm của AD nên N là trung điểm của AB. Ta có:   ∥ A SBD  D MH SAB SBD  
 SB  SAB   NE S ∥ B E SA K N N SAB        P
Mà N là trung điểm của AB nên E là trung điểm của SA. B
Khi đó: ME   SAD . C
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNE.   ∥ SAC   b. 
ABCD  SAC  AC  ABCD    MP A ∥ C P CD M ABCD       
Mà M là trung điểm của AD nên P là trung điểm của CD. Ta có:   ∥ SAC  SCD SAC  
 SC  SCD   PF S ∥ C FSD P SCD       
Mà P là trung điểm của CD nên F là trung điểm của SD.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MPF.
c. Trong mp(ABCD): AC cắt MN tại H, BD cắt MP tại K. Do MN chứa trong mp và MP chứa
trong mp nên H chính là giao điểm của AC với mp và K chính là giao điểm của BD với mp . Ta có MN B ∥ D nên MH OK ∥ , MP A ∥ C nên MK H
∥ O . Vậy tứ giác OHMK là hình bình hành.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song
với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P’)
cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh:
a. Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
b. AAʹ CCʹ  BBʹ DDʹ . Giải a. Ta có AB CD ∥ và Ax Dt ∥ nên mpAx,By m ∥ pCz,Dt .
Mà Pʹ Ax,By  AʹBʹ ; Pʹ Cz,Dt  CʹDʹ nên AʹBʹ C ∥ ʹDʹ (1) Tương tự:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 676
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 mpAx,Dt m ∥ pBy,Cz y z Pʹ Ax,Dt    AʹDʹ   AʹDʹ B ∥ ʹCʹ x t C' Pʹ By,Cz    BʹCʹ  (2) D' B'
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình O' hành.
b. Gọi O và O’ lần lượt là tâm các hình bình hành D A' ABCD và A’B’C’D’. C
Khi đó ta có OO’ là đường trung bình của hình O
thang AA’C’C và hình thang BB’D’D. A B
Do đó: AAʹ CCʹ  2OOʹ và BBʹ DDʹ  2OOʹ .
Vậy AAʹ CCʹ  BBʹ DDʹ .
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Mặt phẳng  chứa MN
cắt các cạnh AD và BC lần lượt là P và Q.
a. Cho trước điểm P, hãy nói cách dựng điểm Q.
b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng KP  KQ . Giải
a. Ta có  là mp(MNP). A
Trong mp(ABD): MP cắt BD tại E.
Trong mp(BCD): EN cắt BC tại Q.
Vậy  chính là mp(MPNQ). Q là điểm cần tìm. M
b. Trên hai đường thẳng chéo nhau AB và CD lần P
lượt có các điểm A, M, B và C, N, D định ra các tỉ số bằng nhau: B E MA D  ND  1. K MB NC N
Theo định lí Thales ta suy ra AD, MN, BC nằm trên ba Q mặt phẳng song song. C
Mà PQ là cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại P, K, Q nên: KP  MA  ND  1. KQ MB NC
Vậy K là trung điểm của PQ.
Dạng 3. Tìm thiết diện của lăng trụ, hình chóp cụt 1. Phương pháp
Tìm thiết diện của lăng trụ hay hình chóp cụt cũng thực hiện tương tự như xác định thiết diện của hình chóp. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CC’.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (A’MN). Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AB.
b. Gọi P là điểm đối xứng của C qua A. Hãy xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng
(MNP). Tính tỉ số các đoạn thẳng mà thiết diện chia các cạnh AA’ và AB. Giải
a. Trong mp(BCC’B’): MN cắt BB’ tại D.
Khi đó mp(A’MN) chính là mp(A’DN).
Trong mp(AA’B’B): A’D cắt AB tại E.
Vậy thiết diện do mp(A’MN) cắt lăng trụ là tứ giác A’EMN.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 677
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta có: EA  AAʹ  2CN  MC EA 2
 2 (vì AAʹ  CCʹ  2CN, CN B
∥ D và MB  MC ). Do đó  2 . EB BD BD MB EB
b. Trong mp(ABC): MP cắt AC tại F. Khi đó mp(MNP) chính là mp(MNF).
Trong mp(AA’C’C): NF cắt AA’ tại K. Vậy thiết diện do mp(MNP) cắt lăng trụ là tứ giác MNPK.
Ta có: KA  KA  1 KA  1 FA  1 1  1 . . .
(vì AAʹ  CCʹ  2CN, KA C ∥ N ). AAʹ CCʹ 2 CN 2 FC 2 2 4 Vậy KA  1 . KAʹ 3
Tam giác FBC có FM và BA là hai đường trung tuyến cắt nhau tại P nên P là trọng tâm tam giác
FBC. Vậy theo tính chất trọng tâm ta có PA  1 . PB 2 A' C' A' C' B' N B' N K A C A F C E M P B M B D
Ví dụ 2. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’,
B’B và BC. Xác định thiết diện của hình chóp cụt cắt bởi mặt phẳng (MNP). Giải E Gọi  là mp(MNP).
Trong mp(AA’B’B): MN cắt AB tại F và cắt AA’ tại R C' A' E.
Trong mp(ABC): FP cắt AC tại Q. M B'
Trong mp(AA’C’C): QE cắt A’C’ tại R. Khi đó:
MN    AAʹ BʹB Q A C
NP    BBʹCʹC N PQ    ABC P
QR    AAʹCʹC B
RM    Aʹ BʹCʹ F
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.
Ví dụ 3. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’ và
AC. Xác định thiết diện của hình chóp cụt cắt bởi mặt phẳng chứa MP và song song với mặt phẳng (BB’C’C). Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 678
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Gọi  là mặt phẳng chứa MP và song song với Q C' A' mp(BB’C’C). Ta có: MB'   ∥ BBʹCʹC  ABC BBʹCʹC    BC P ABC        C A
 ABC  PN B ∥ C N AB P
Vì P là trung điểm của AC nên N là trung điểm của AB. N Ta có:   ∥ BBʹCʹC  B AʹBʹCʹ BBʹCʹC    BʹCʹ M AʹBʹCʹ       
 AʹBʹCʹ  MQ B ∥ ʹCʹ Q AʹCʹ
Vì M là trung điểm của A’B’ nên Q là trung điểm của A’C’. MN    AAʹBʹB Khi đó:  PQ     AAʹCʹC
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ MQ NP ∥  .
Dạng 4: Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .
O Gọi M , N , I theo thứ tự
là trung điểm của SA, SD và .
AB Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (NOM ) cắt (OPM ).
B. (MON ) //(SBC).
C. (PON )Ç(MNP)= NP.
D. (NMP) //(SBD). Lời giải Chọn B S M P N A B O D C
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN // AD. ( ) 1
Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP // AD. (2) Từ ( )
1 ,(2) suy ra MN //OP // AD M , N , O, P đồng phẳng.
Lại có MP // SB, OP // BC suy ra (MNOP) //(SBC) hay (MON ) //(SBC).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 679
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .
O Tam giác SBD đều. Một
mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A
hoặc C ). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì? A. Hình hình hành.
B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều. Lời giải Chọn D S P C B O I M D N A
Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy (ABCD).
Vì (P) //(SBD), (P)Ç(ABCD)= MN và (SBD)Ç(ABCD) = MN suy ra MN // BD.
Lập luận tương tự, ta có
(P) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP // SD.
(P) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP // . SB
Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của (P) và hình chóp
S.ABCD là tam giác đều MNP.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,  BAC = 30. Mặt
phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết
diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? A. 16 . B. 14 . C. 25. D. 1. 9 9 9 Lời giải Chọn A S N M A C P B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 680
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Diện tích tam giác 1 1 ABC là  0 S = .A . B AC. sin BAC = .4.4.sin 30 = 4. AB D C 2 2
Gọi N , P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC. Vì ( SM SN SP
P) // (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có 2 = = = . SA SB SC 3
Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam giác 2 æ2ö 16 ABC theo tỉ số 2 k = . Vậy 2 S = k .S = ç ÷ ç ÷ .4 = . 3 MNP D A D BC çè3÷ø 9
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy
AB = 6, CD = 4. Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho
SA = 3SM . Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? A. 5 3 . B. 2 3 . C. 2. D. 7 3 . 9 3 9 Lời giải Chọn A S O P M N D C D C A B A H K B
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên . AB
ìïAH = BK ; CD = HK ï
ABCD là hình thang cân  í  BK = 1.
ïAH + HK + BK = AB ïî
Tam giác BCK vuông tại K , có 2 2 2 2 CK = BC - BK = 2 -1 = 3.
Suy ra diện tích hình thang AB +CD + ABCD là 4 6 S = CK . = 3. = 5 3. ABCD 2 2
Gọi N , P, Q lần lượt là giao điểm của (P) và các cạnh SB, SC, SD. Vì ( MN NP PQ QM
P) // (ABCD) nên theo định lí Talet, ta có 1 = = = = . AB BC CD AD 3 Khi đó ( 5 3
P) cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích 2 S = k .S = . MNPQ ABCD 9
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm ,
O AB = 8 , SA = SB = 6.
Gọi (P) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB). Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là: A. 5 5. B. 6 5. C. 12. D. 13. Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 681
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 S M N A B Q P C D
Qua O kẻ đường thẳng (d) song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại P, . Q
Kẻ PN song song với SB (N Î SB), kẻ QM song song với SA (M Î SA).
Khi đó (MNPQ) //(SAB)  thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ
Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N , M lần lượt là trung điểm của SC, SD. Do đó CD AB
MN là đường trung bình tam giác SCD MN = = = 4. 2 2 Và SB = = 3; SA NP QM =
= 3  NP = QM MNPQ là hình thang cân. 2 2 Hạ 1
NH , MK vuông góc với PQ. Ta có PH = KQ PH = (PQ - MN ) = 2. 2
Tam giác PHN vuông, có NH = 5.
Vậy diện tích hình thang PQ + NM MNPQ là S = NH . = 6 5. MNPQ 2
Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.
B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.
D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành. Lời giải Chọn C
Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác,… ), ta thấy rằng
Hình lăng trụ luôn có các cạnh bên song song và bằng nhau.
Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác,… )
Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình
lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.
Câu 7: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. Lời giải Chọn C
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 682
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 8: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?
A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song.
B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. Lời giải Chọn C
Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác,… ) ta thấy rằng:
Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một cắt nhau.
Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
Câu 9: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các
tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.
D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. Lời giải Chọn C
Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A¢B C
¢ .¢ Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB¢ và CC .¢ Gọi D
là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN ) và (A¢B C
¢ ¢). Khẳng định nào sau đây đúng? A. D  A . B B. D  AC. C. D  BC. D. D  AA .¢ Lời giải Chọn C C' A' B' N M A C B ìïMN Ì(AMN ) ïï Ta có ïíB C ¢ ¢ Ì(A¢B C ¢ ¢) ¾¾
 D là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN ) và (A¢B C ¢ ¢) sẽ ïïïMN B C¢¢ ïî 
song song với MN và B C
¢ ¢ . Suy ra D  BC.
Câu 11: Cho hình lăng trụ ABC.A¢B C
¢ .¢ Gọi H là trung điểm của A¢B .¢ Đường thẳng B C ¢ song
song với mặt phẳng nào sau đây? A. (AHC¢).
B. (AA¢H ). C. (HAB).
D. (HA¢C). Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 683
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn A C A M B C' A' B' H
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB¢  AH ¾¾
MB¢  (AHC¢). ( ) 1
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB A
¢ ¢ suy ra MH song song và bằng
BB ¢ nên MH song song và bằng CC ¢ ¾¾  MHC C ¢ là hình hình hành ¾¾
MC HC ¢ ¾¾
MC  (AHC¢). (2) Từ ( ) 1 và (2) , suy ra (B M
¢ C)  (AHC¢) ¾¾  B C
¢  (AHC¢).
Câu 12: Cho hình lăng trụ ABC.A¢B C
¢ ¢ . Gọi H là trung điểm của A¢B .¢ Mặt phẳng (AHC¢) song
song với đường thẳng nào sau đây? A. CB .¢ B. BB .¢ C. BC. D. BA .¢ Lời giải Chọn A C A M B C' A' B' H
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB¢  AH ¾¾
MB¢  (AHC¢). ( ) 1
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB A
¢ ¢ suy ra MH song song và bằng
BB ¢ nên MH song song và bằng CC ¢ ¾¾  MHC C ¢ là hình hình hành ¾¾
MC HC ¢ ¾¾
MC  (AHC¢). (2) Từ ( ) 1 và (2) , suy ra (B M
¢ C)  (AHC¢) ¾¾  B C
¢  (AHC¢).
Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 1
A. (ABC)//(A B C . B. BCC . 1 1 1 ) 1 AA // ( 1 )
C. AB //(A B C . D. 1 1 1 ) 1 AA 1
B B là hình chữ nhật.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 684
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn D Vì mặt bên ABC. 1 AA 1
B B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu 1 A 1 B 1 C là hình lăng trụ đứng.
Câu 14: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Khẳng định nào dưới đây là sai? 1 1 1 1
A. ABCD là hình bình hành.
B. Các đường thẳng A C, AC , DB , 1 1 1 1 D B đồng quy. C. (A //(BCC B . D. 1 1 ) 1 DD 1 A ) 1
AD CB là hình chữ nhật. Lời giải Chọn D D C A B D1 C1 A1 B1
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy rằng:
· Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành.
· Các đường thẳng A C, AC , DB , AA C C, BDD B . 1 1 1 1
D B cắt nhau tại tâm của 1 1 1 1
· Hai mặt bên (ADD A ,
đối diện và song song với nhau. 1 1 ) (BC 1 C 1 B ) · 1
AD và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra 1
AD CB không phải là hình chữ nhật.
Câu 15: Cho hình hộp ABCD.A¢B C ¢ D
¢ ¢ có các cạnh bên AA ,¢ BB ,¢ CC ,¢ DD .¢ Khẳng định nào dưới đây sai?
A. (AA¢B B ¢ )//(DD C ¢ C
¢ ). B. (BA¢D¢)//(ADC¢). C. A¢B C
¢ D là hình bình hành. D. BB D ¢ D ¢ là một tứ giác. Lời giải Chọn B D C A B D' C' A' B'
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 685
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
· Hai mặt bên (AA¢B B ¢ ) và (DD C ¢ C
¢ ) đối diện, song song với nhau.
· Hình hộp có hai đáy (ABCD), (A¢B C ¢ D
¢ ¢) là hình bình hành  A¢B¢ = CD và A¢B¢ //CD suy ra A¢B C
¢ D là hình hình hành. · BD // B D
¢ ¢ suy ra B, B ,¢ D ,¢ D đồng phẳng  BB D ¢ D ¢ là tứ giác.
· Mặt phẳng (BA¢D¢) chứa đường thẳng CD¢ mà CD¢ cắt C D
¢ suy ra (BA¢D¢) không song song với (ADC¢).
Câu 16: Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó
có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh. Lời giải Chọn C
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với
các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Câu 17: Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh. Lời giải Chọn C
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và
mặt phẳng bất kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh.
Câu 18: Cho hình hộp ABCD.A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Gọi I là trung điểm của .
AB Mặt phẳng (IB D ¢ ¢) cắt hình
hộp theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. Lời giải Chọn B B' C' I A' M D' B C A D ìïB D ¢ ¢ Ì ï (IB D ¢ ¢) ï
Ta có ïíBD Ì(ABCD) ¾¾
 Ggiao tuyến của (IB D
¢ ¢) với (ABCD) là đường thẳng ï d đi qua ïïB D ¢ ¢ BD ïïî 
I và song song với BD .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 686
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi M = d Ç AD ¾¾
IM BD B D ¢ ¢ .
Khi đó thiết diện là tứ giác IMB D
¢ ¢ và tứ giác này là hình thang.
Câu 19: Cho hình hộp ABCD.A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Gọi (a) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giác (T ) . Khẳng định nào sau đây không sai?
A. (T ) là hình chữ nhật. B. (T ) là hình bình hành. C. (T ) là hình thoi. D. (T ) là hình vuông. Lời giải Chọn B B C A D C' B' A' D' d
Giả sử mặt phẳng (a) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ giác (T ).
Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (a) và mặt phẳng (A¢B C ¢ D ¢ ¢).
Ta chứng minh được AB // d suy ra tứ giác (T ) là một hình bình hành.
Câu 20: Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A¢B C
¢ ¢ có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A¢ và có AB 1 = S
. Khi đó tỉ số diện tích AB D C bằng A ¢B¢ 2 S A D B ¢ C ¢ ¢ A. 1 . B. 1 . C. 2. D. 4. 2 4 Lời giải Chọn B A C B A' C' B'
Hình chóp cụt ABC.A¢B C
¢ ¢ có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song nên tam giác ABC 1 .AB.AC đồng dạng tam giác S AB AC 1 AB D C 2 A ¢B C ¢ ¢ suy ra = = . = . S 1
A ¢B ¢ A ¢C ¢ 4 A D B ¢ C ¢ ¢
.A¢B .¢A¢C ¢ 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 687
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. PHÉP CHIẾU SONG SONG
Cho mặt phẳng  và đường thẳng  cắt . Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng
đi qua M và song song hoặc trùng với  sẽ cắt  tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là
hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng  theo phương của đường thẳng  hoặc nói gọn là theo phương .
Mặt phẳng  gọi là mặt phẳng chiếu. Phương  gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt
phẳng  được gọi là phép chiếu song song lên  theo phương .
Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp Hʹ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M
thuộc H được gọi là hình chiếu của Hʹ qua phép chiếu song song nói trên.
Chú ý. Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng
đó là một điểm. Sau đây, ta chỉ xét các phép chiếu của những đường thẳng có phương không
trùng với phương chiếu.
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG Định lí 1
a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự ba điểm đó.
b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường
thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
III. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Hình biểu diễn của các hình thường gặp
+ Tam giác: Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có
dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,v.v…)
+ Hình bình hành: Một hình bình hành bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình
bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…)
+ Hình thang: Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình
thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai
đáy của hình thang ban đầu.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 688
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
+ Hình tròn: Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian 1. Phương pháp
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta cần chú ý một số điểm sau:
- Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng cùng phương thì trên hình H’ hình chiếu của hai đoạn thẳng đó phải cùng phương.
- Trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
- Trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm trên
cạnh đối diện mà nằm ở trên phần kéo dài của cạnh ấy.
- Một góc bất kì có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù).
- Một tam giác bất kì có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông).
- Hình bình hành có thể dùng làm hình biểu diễn cho các hình có tính chất của hình bình hành (vuông, thoi, chữ nhật,…)
- Một đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam
giác ABC trên mặt phẳng (P) là: a. Một tam giác cân. b. Một tam giác vuông. Giải A
Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A.
a. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’.
Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu
AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.
b. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông tại P C
A”. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương
chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác vuông A" A' A”BC. B
Ví dụ 2. Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt S
phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song d với (P)). Giải
Vì phương chiếu d là SA nên SA cắt (P) tại A’. Các D
đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, A P D’ BBʹ AA ∥ ʹ,CCʹ AA ∥ ʹ,DDʹ AA ∥ ʹ . Vậy hình chiếu B A' C D'
của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’. B' C'
Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH. Giải Xem hình vẽ sau:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 689
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B' H A B C C' H' A' Hình thật Hình biểu diễn
Ví dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của đường tròn có hai đường kính vuông góc. Giải
Giả sử trên hình thật ta có đường tròn tâm (O), tâm O, có hai đường kính AB và CD vuông góc. Nếu
ta vẽ dây dung MN song song với AB thì CD sẽ cắt MN tại trung điểm I của MN.
Suy ra cách vẽ hình biểu diễn như sau: C C'
- Vẽ elip (E), tâm O’ và đường kính M'
A’B’ (qua O’) của nó. M N N' - Vẽ dây cung MʹNʹ A ∥ ʹ Bʹ . I I'
- Lấy I’ là trung điểm của M’N’. A' A
Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) tại C’, O B O' B'
D’. Ta có A’B’ và C’D’ là hình biểu
diễn hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn. D D' Hình thật Hình biểu diễn
Ví dụ 5. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều. Giải
Xét hình lục giáo đều ABCDEF, ta thấy:
- Tứ giác OABC là một hình thoi.
- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O. Suy ra cách vẽ như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC.
+ Lấy các điểm D’, E’, F’ đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O’.
+ A’B’C’D’E’F’ là hình cần vẽ. F A A' B' F' B E O O' C' E' D' D C
Hình biểu diễn lục giác đều
Ví dụ 6. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều. Giải
Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ giác
OBDC là hình thoi. Từ đó suy ra cách vẽ như sau:
+ Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu diễn cho hình thoi OBDC.
+ Lấy điểm A’ là điểm đối xứng của D’ qua O’.
+ Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cần tìm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 690
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A A' B' O O' D' B C C' D
Hình biểu diễn tam giác đều
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song 1. Phương pháp
Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu song
song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm phương
chiếu đóng vai trò khá quan trọng. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.
a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD.
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N
theo phép chiếu nói trên. Giải
a. Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD: A
- Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song d
phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD).
- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự M
ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I. N M' G Trong tam giác IAB, ta có: B D IG IGʹ    G' IA IB  IGʹ 1    . N' I IG 1   IB 3 IA 3  C
Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.
b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy:
- BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của BD.
- BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của BC.
Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M
trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN B ∥ Cʹ . Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 691
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 - Phân tích: B' C'
Giả sử đã tìm được MDBʹ và NAC sao cho MN B ∥ Cʹ .
Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên B'' B
mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, C
hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, M N
N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng
thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và A D
AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau: - Cách dựng:
+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD).
+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC.
+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ NM B
∥ ʹ Bʺ cắt DB’ tại M.
Vậy M và N là các điểm cần tìm.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng song song.
B. Hình chiếu song song của một hình bình hành là một hình bình hành.
C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác nếu mặt phẳng chứa tam giác không
cùng phương với phương chiếu.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. AH   Câu 2. Trên hình BC AB C ∥ D,AD B ∥ C  có  và hình  có  HB   HC AC   BD A A D O B C H B C Hình  Hình 
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. ABC là tam giác đều.
B. ABC là tam giác cân tại A.
C. ABCD là hình thoi. D. B và C đúng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.
Nhìn hình vẽ, ta thấy:
- Tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại A  B đúng. - Tứ giác ABCD có AB C ∥ D, AC B
∥ D nên là hình bình hành. Mặt khác hai đường chéo của nó vuông
góc nên ABCD là hình thoi  C đúng.
Câu 3. Trên hình  , ta có phép chiếu song song theo phương d và mặt phẳng chiếu (P); AB C ∥ G và
AB  DG ; A’, B’, C’, D’, E’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, E, G qua phép chiếu nói trên.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 692
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 G E D C B d A C' D' G' E' P A' B' Hình 
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. DG  DʹGʹ  Cʹ Dʹ CD 1 . B.  . AB Aʹ Bʹ DʹEʹ DE C. DʹGʹ  AʹBʹ .
D. Tất cả A, B, C đều đúng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.
The định lí 2, ta thấy câu A và câu B đúng. Từ câu A đúng suy ra câu C đúng.
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì song song.
C. Hình chiếu song song của hai một hình vuông là một hình vuông.
D. Hình chiếu song song của một lục giác đều là một lục giác đều. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. P Q
Dựng mặt phẳng (P) qua a và song song với b. Dựng
mặt phẳng (Q) qua b và song song với a. Giả sử (P) a b
song song với (Q). Ta chọn phương chiếu d song song
với (P) và mặt phẳng chiếu (R) sao cho (R) cắt (P) và
(Q) lần lượt theo hai giao tuyến a’ và b’. Khi đó hình a' b' R
chiếu a’, b’ song song với nhau.
Câu 5. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo nhau a và b có hình chiếu
là hai đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a’ và b’ luôn luôn cắt nhau.
B. a’ và b’ có thể trùng nhau.
C. a và b không thể song song.
D. a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.
Gọi l là phương chiếu,  và  là các mặt phẳng song song với l và lần lượt đi qua a và b. Khi đó
nếu  và  cắt nhau thì a’ và b’ cắt nhau, nếu  và  song song thì a’ và b’ song song.
Câu 6. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là hai
đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó:
A. a và b phải song song với nhau.
B. a và b phải cắt nhau.
C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.
D. a và b không thể song song.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 693
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Nếu aʹ b ∥ ʹ thì mpa,aʹ mp ∥
b,bʹ. Bởi vậy a và b có thể song song hoặc chéo nhau.
Câu 7. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song trên mặt phẳng (P) lần
lượt là bốn điểm A’, B’, C’, D’. Những trường hợp nào sau đây không thể xảy ra?
A. A’B’C’D’ là bốn đỉnh của một hình bình hành.
B. D’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
C. D’ là trung điểm cạnh A’B’.
D. Hai điểm B’, C’ nằm giữa hai điểm A’ và D’. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.
Bốn điểm không đồng phẳng A’, B’, C’, D’ không thể thẳng hàng.
Câu 8. Hình chiếu song song của một hình thang ABCD không thể là hình nào dưới đây? A. Hình bình hành.
B. Hình tam giác cân. C. Đoạn thẳng.
D. Bốn điểm thẳng hàng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 694
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133