Phân loại và phương pháp giải bài tập giới hạn

Tài liệu gồm 101 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập giới hạn, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4 (Toán 11).

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 279
CHƯƠNG 4. GII HN
BÀI 1. GII HN DÃY S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I – GII HN HU HN CA DÃY S
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy s
()
n
u
có gii hn là
0
khi n dn ti dương vô cc, nếu
n
u
có th nh hơn mt s dương
bé tu ý, k t mt s hng nào đó tr đi.
Kí hiu:
lim 0
n
n
u
+¥
=
hay 0
n
u khi .n +¥
Định nghĩa 2
Ta nói dãy s
()
n
v
có gii hn là a (hay
n
v
dn ti a ) khi
,n +¥
nếu
()
lim 0.
n
n
va
+¥
-=
Kí hiu:
lim
n
n
va
+¥
=
hay
n
va khi .n +¥
2. Mt vài gii hn đặc bit
a)
1
lim 0;
n
n
+¥
=
1
lim 0
k
n
n
+¥
=
vi
k
nguyên dương;
b)
lim 0
n
n
q
+¥
=
nếu 1;q <
c) Nếu
n
uc=
( c hng s) thì
lim lim .
n
nn
ucc
+¥ +¥
==
Chú ý: T nay v sau thay cho
lim
n
n
ua
+¥
=
ta viết tt là
lim
n
ua=
.
II – ĐỊNH LÝ V GII HN HU HN
Định lí 1
a) Nếu
lim
n
ua= lim
n
vb= thì
()
lim
nn
uv ab·+=+
()
lim
nn
uv ab·-=-
()
lim . .
nn
uv ab·=
lim
n
n
u
a
vb
æö
÷
ç
÷
·=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(nếu
0b ¹
).
b) Nếu
lim
0,
n
n
ua
un
ì
=
ï
ï
í
ï
³"
ï
î
thì
lim
.
0
n
ua
a
ì
ï
=
ï
í
ï
³
ï
î
III – TNG CA CP S NHÂN LÙI VÔ HN
Cp s nhân vô hn
()
n
u
có công bi
q
, vi
1q <
được gi là cp s nhân lùi vô hn.
Tng ca cp s nhân lùi vô hn:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 280
()
123
1
1.
1
n
Suu u u
u
q
q
=++++ =
-
¼<¼+
IV – GII HN VÔ CC
1. Định nghĩa
·
Ta nói dãy s
()
n
u
có gii hn là khi n +¥, nếu
n
u
có th ln hơn mt s dương bt kì, k
t mt s hng nào đó tr đi.
Kí hiu:
lim
n
u =+¥
hay
n
u +¥ khi
.n +¥
· Dãy s
()
n
u
có gii hn là
khi
n +¥
, nếu
()
lim
n
u-=+¥
.
Kí hiu:
lim
n
u =-¥
hay
n
u -¥
khi .n +¥
Nhn xét:
()
lim .
nn
uu=+¥ - =-¥
2. Mt vài gii hn đặc bit
Ta tha nhn các kết qu sau
a)
lim
k
n =+¥ vi
k
nguyên dương;
b)
lim
n
q =+¥ nếu
1q>
.
3. Định lí 2
a) Nếu
lim
n
ua=
lim
n
v =¥
thì
lim 0
n
n
u
v
=
.
b) Nếu
lim 0
n
ua=>
,
lim 0
n
v =
0, 0
n
vn>">
thì
lim .
n
n
u
v
=+¥
c) Nếu
lim
n
u =+¥
lim 0
n
va=>
thì
.lim .
nn
uv =
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. S dng nguyên lý kp
1. Phương pháp
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
Ví d 1 : Cho hai dãy s
()
n
u
()
n
v
()
2
1
1
n
n
u
n
-
=
+
2
1
.
2
n
v
n
=
+
Khi đó
()
lim
nn
uv+
có giá tr bng:
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Li gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 281
Ta có
()
2
2
0
lim lim 0 li
11
0
1
1
.
0
m
2
0
1
0
nn
n
nn
n
u
n
u
n
uv
n
v
n
v
ì
ï
ï
ï
ï
ï
¾¾==¾
££ £
+
££ £
¾+=
í
ï
ï
ï
ï
î
ï
+
Ví d 2: Kết qu ca gii hn
sin 5
lim 2
3
n
n
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
bng:
A.
2.-
B. 3. C. 0. D.
5
.
3
Li gii
Chn A
Ta có
sin 5 1
,0
3
n
nn
££
1
lim 0
n
=
nên
sin 5
lim 0,
3
n
n
=
do đó
sin 5
lim 2 2.
3
n
n
æö
÷
ç
-=-
÷
ç
÷
ç
èø
Nhn xét : Có th dùng MTCT để tính (có th chính xác hoc gn đúng) gii hn như sau
(các bài sau có th làm tương t) :
Nhp
()
sin 5
2.
3
X
X
-
Bm CALC và nhp
9999999999
(mt s dòng MTCT khi bm nhiu s « 9 » thì nó báo li,
khi đó ta cn bm ít s « 9 » hơn.
Bm « = » ta được kết qu (có th gn đúng), sau đó chn đáp án có giá tr gn đúng vi
kết qu hin trên MTCT.
Ví d 3 : Kết qu ca gii hn
3sin 4cos
lim
1
nn
n
+
+
bng:
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Li gii
Chn B
Ta có
3sin 4cos 7 7
0
11
3sin 4cos
0lim0.
1
nnnn
nnnn
+
£££
+
¾
+
¾=
++
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Giá tr ca gii hn
()
1
lim 4
1
n
n
æö
-
÷
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
+
÷
ç
èø
bng:
A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.
Li gii
Chn C
Ta có
() () ()
11
11
0
1
0lilim m 4 40
11 1
.
1
nnn
nnn n n
--
£££¾¾=¾
æö
-
÷
ç
÷
ç
+=
÷
ç
÷
ç
÷
+
÷
ç
èø
¾
++ +
Câu 2: Có bao nhiêu s t nhiên chn
k
để
1
2cos
1
lim .
22
k
nn
n
n
-
=
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 282
A.
0.
B. 1. C.
4.
D. Vô s.
Li gii
Chn A
Ta có
11
2cos cos
1
22
kk
nn n
nn
nn
-
=-
.
Điu kin bài toán tr thành
1
cos
lim 0.
k
n
n
n
=
Ta có
1
lim cos cos 0 1
n
==
nên bài toán tr thành tìm
k
sao cho
*
1
2
,3
lim lim 0 1 0 2
2
k
k
kkl
nk
nk
n
Î
-
=
==-<<¾¾¾¾
không tn ti
k
(do
k
nguyên dương và
chn).
Câu 3: Kết qu ca gii hn
2
cos 2
lim 5
1
nn
n
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
+
bng:
A. 4. B.
1
.
4
C. 5. D.
4.-
Li gii
Chn C
Ta có
22 2 2
cos 2 1 c cos 2
0lim5
os 2
0lim 0
11 1
5.
1
nn n nn nn
nnnnn
£££¾¾=¾¾
++ +
æö
÷
ç
-=
÷
ç
÷
ç
èø
+
Câu 4: Kết qu ca gii hn
23
lim sin 2
5
n
nn
p
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
là:
A.
. B.
2.-
C. 0. D. .
Li gii
Chn A
Ta có
233
1sin
lim sin 2 lim . 2 .
55
nn
nnn
n
pp
æöæö
÷÷
çç
-= -
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
33
3
lim lim
1sin
lim . 2 .
1sin
5
0lim.220
1sin 1
55
.0
n
nn
n
n
n
n
nn n
p
pp
ìì
ïï
=+¥ =+¥
ïï
æö
ïï
ïï
÷
ç
¾¾¾¾-=-¥
÷
æö
íí
ç
÷
ç
÷
ç
ïï
èø
-=-<
÷
ç
ïï
÷
ç
ïï
èø
ïï
î
£
î
£
Dng 2. Gii hn hu t
1. Phương pháp
Chú ý : Cho
() ()
,Pn Qn
ln lượt là các đa thc bc ,mk theo biến :n
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 283
() ( )
() ( )
10
1
1
110
1
0
0
m
kk
kk k
mm
mm
an a a
Qn bn b n bn
Px an
bb
an
-
-
-
-
=+ ++ =/+
=+ +++ =/
Khi đó
()
()
lim lim
m
m
k
k
Pn
an
Qn bn
=
, viết tt
()
()
m
m
k
k
Pn
an
Qn bn
, ta có các trường hp sau :
Nếu « bc t »
< « bc mu (
mk<
) thì
()
()
lim 0.
Pn
Qn
=
Nếu « bc t »
=
« bc mu (
mk=
) thì
()
()
lim .
m
k
Pn
a
Qn b
=
Nếu « bc t »
> « bc mu (
mk>
) thì
()
()
0
lim .
0
mk
mk
khi a b
Pn
khi a b
Qn
ì
>
ï
ï
=
í
ï
<
ï
î
Để ý rng nếu
() ()
,Pn Qn
có cha « căn » thì ta vn tính được bc ca nó. C th
m
k
n
tì có bc là
.
k
n
Ví d n bc là
3
4
1
,
2
n
có bc là
4
,...
3
Trong các bài sau ta có th dùng du hiu trên để ch ra kết qu mt cách nhanh
chóng !
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
dụ1.Tính


32
32
3n 5n 1
lim
2n 6n 4n 5
.
Gii





32
3
32
23
51
3
3n 5n 1 3
n
n
lim lim
64 5
2
2n 6n 4n 5
2
n
nn
Ví d 2: Tính
2
3
2
lim
31
nn
nn
+
+-
Li gii
Ta có
2
2
3
23
12
20
lim lim 0.
31
131
1
nn
nn
nn
nn
+
+
===
+-
+-
Gii nhanh : Dng « bc t »
< « bc mu » nên kết qu bng 0.
Ví d 3 : Cho dãy s
()
n
u
vi
2
53
n
nb
u
n
+
=
+
trong đó
b
tham s thc. Đểy s
()
n
u
có gii hn hu
hn, giá tr ca
b
bng bào nhiêu
Li gii
Ta có
()
2
22
lim lim lim
3
53 5
5
n
b
nb
n
u
n
n
b
+
+
===
+
"
+
Î
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 284
Gii nhanh :
222
535 5
nb n
nn
+
=
+
vi mi
.b Î
Ví d 4: Cho dãy s
()
n
u
vi
2
2
42
.
5
n
nn
u
an
++
=
+
Để dãy s đã cho có gii hn bng
2
, giá tr ca a
bng bao nhiêu
Li gii
()
2
2
2
2
12
4
42 4
2 lim lim lim
5
02.
5
n
nn
n
n
uaa
a
an
a
n
++
++
== = = =
+
+
=/
Gii nhanh :
22
22
4244
22.
5
nn n
a
aan an
++
==
+

Ví d 5 : Tính gii hn
()()
()
()()
23
42
22 14 5
lim .
313 7
nnn n
L
nn n
+++
=
-- -
Li gii
()()
()
()()
23
3
42
34 2
215
12 4
22 14 5
1.2.4 8
lim lim .
31 7
1.3 3
313 7
13
nnn n
nn
n
L
nn n
nn n
æöæ öæ ö
÷÷÷
çç ç
++ +
÷÷÷
çç ç
÷÷÷
+++
çç ç
èøè øè ø
====
æöæö
-- -
÷÷
çç
-- -
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Gii nhanh:
()()
()
()()
23
23
42
42
22 14 5
.2 .4 8
.
3
.3
313 7
nnn n
nnn
nn
nn n
+++
=
-- -
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Giá tr ca gii hn
2
3
lim
421
nn
-
-+
là:
A.
3
.
4
-
B. . C. 0. D.
1.-
Li gii
Chn C
Ta có
2
2
2
3
30
lim lim 0.
21
4
421
4
n
nn
n
n
-
-
===
-+
-+
Gii nhanh : Dng « bc t »
< « bc mu » nên kết qu bng 0.
Câu 2: Giá tr ca gii hn
3
4
321
lim
421
nn
nn
-+
++
là:
A.
.
B. 0. C.
2
.
7
D.
3
.
4
Li gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 285
Ta có
3
24
4
34
32 1
321 0
lim lim 0.
21
4421
4
nn
nn n
nn
nn
-+
-+
===
++
++
Gii nhanh : Dng « bc t »
< « bc mu » nên kết qu bng 0.
Câu 3: Cho hai dãy s
()
n
u
()
n
v
1
1
n
u
n
=
+
2
.
2
n
v
n
=
+
Khi đó
lim
n
n
v
u
có giá tr bng:
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Li gii
Chn A
Ta có
1
1
11
lim lim lim 1.
2
21
1
n
n
v
n
n
un
n
+
+
====
+
+
Gii nhanh :
1
1.
2
nn
nn
+
=
+
Câu 4: Cho dãy s
()
n
u
vi
4
53
n
an
u
n
+
=
+
trong đó a là tham s thc. Để dãy s
()
n
u
có gii hn
bng
2
, giá tr ca a là:
A.
10.a =
B.
8.a =
C.
6.a =
D.
4.a =
Li gii
Chn A
Ta có
4
4
lim lim lim .
3
53 5
5
n
a
an a
n
u
n
n
+
+
===
+
+
Khi đó
lim 2 2 10
5
n
a
ua= ==
Gii nhanh :
4
210.
535 5
an an a
a
nn
+
==
+

Câu 5: Tính gii hn
2
2
5
lim .
21
nn
L
n
++
=
+
A.
3
.
2
L =
B.
1
.
2
L =
C.
2.L =
D.
1.L =
Li gii
Chn B
Ta có
2
2
2
2
15
1
51
lim lim
1
2
21
2
nn
n
n
L
n
n
++
++
== =
+
+
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 286
Gii nhanh:
22
22
51
.
2212
nn n
nn
++
=
+
Câu 6: Tính gii hn
23
3
3
lim .
252
nn
L
nn
-
=
+-
A.
3
.
2
L =-
B.
1
.
5
L =
C.
1
.
2
L =
D.
0.L =
Li gii
Chn A
23
3
23
1
3
33
lim lim
52
2252
2
nn
n
L
nn
nn
-
--
===
+-
+-
Gii nhanh:
23 3
33
333
.
22522
nn n
nn n
--
=-
+-
Câu 7: Tìm tt c các giá tr ca tham s
a để
()
24
4
53
lim 0.
121
nan
L
an n
-
=>
-++
A.
0; 1.aa£³
B.
01.a<<
C.
0; 1.aa<>
D.
01.a£<
Li gii
Chn C
()
()
()
24
2
4
34
5
3
0
53 3
lim lim 0 .
21
1
1
121
1
a
a
nan a
n
L
a
a
an n
a
nn
-
é
<
--
ê
===>
ê
>
-
-++
ë
-+ +
Câu 8: Tính gii hn
()()
()
()
32
4
231
lim .
21 7
nn n
L
nn
-+
=
--
A.
3
.
2
L =-
B.
1.L =
C.
3.L =
D.
.L =+¥
Li gii
Chn A
Ta có
()()
()
()
32
32
2222
4
4
44
2121
1. 3 1 3
231
1.3 3
lim lim lim .
17 17
2.1 2
21 7
2.1 2 1
nn
nn n
nnnn
L
nn
nn
nnnn
æöæ ö æöæ ö
÷÷ ÷÷
çç çç
-+ -+
÷÷ ÷÷
çç çç
÷÷ ÷÷
-+
çç çç
èøè ø èøè ø
-
== ===-
æöæ ö æöæ ö
--
÷÷ ÷÷
çç çç
-- --
÷÷ ÷÷
çç çç
÷÷ ÷÷
çç çç
èøè ø èøè ø
Gii nhanh:
()()
()
()
32
32
4
4
231
.3 3
.
2
2.
21 7
nn n
nn
nn
nn
-+
-
=-
--
Câu 9: Kết qu ca gii hn
3
2
2
lim
13
nn
n
-
-
là:
A.
1
.
3
-
B. . C. . D.
2
.
3
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 287
Li gii
Chn C
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
lim lim lim . .
1
1
13
3
3
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
æö
÷
ç
-
÷
-
ç
÷
ç
èø
-
==
æö
-
÷
ç
-
-
÷
ç
÷
ç
èø
Ta có
3
2
2
2
2
2
lim
2
1
2
2
1
im lim .
1
1
lim 0
13
3
1
3
3
n
nn
n
n
n
n
n
n
ì
=+¥
ï
ï
ï
ï
-
ï
-
-
ï
¾¾= =-¥
í
ï
=- <
-
ï
-
ï
ï
-
ï
ï
î
Gii nhanh :
33
22
21
.
313 3
nnn
n
nn
-
=- ¾¾-¥
--
Câu 10: Kết qu ca gii hn
3
2
23
lim
421
nn
nn
+
++
là:
A.
3
.
4
B. . C. 0 D.
5
.
7
Li gii
Chn B
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
23
lim lim lim . .
21
21
421
4
4
n
nn
n
n
n
nn
n
n
n
nn
æö
÷
ç
+
÷
+
ç
÷
ç
èø
+
==
æö
++
÷
ç
++
++
÷
ç
÷
ç
èø
Ta có
3
2
2
2
2
2
lim
2
3
2
23
3
im lim . .
3
21
lim 0
421
4
21
4
4
n
nn
n
n
n
nn
nn
nn
ì
=+¥
ï
ï
ï
ï
+
ï
+
+
ï
¾¾= =+¥
í
ï
=>
++
ï
++
ï
ï
++
ï
ï
î
Gii nhanh :
33
22
23 3 3
..
44214
nn n
n
nn n
+
¾+¥
++
Câu 11: Kết qu ca gii hn
4
3
lim
45
nn
n
-
-
là:
A.
0.
B. . C. . D.
3
.
4
Li gii
Chn C
4
4
3
3
3
3
3
1
1
3
lim lim lim . .
5
5
45
4
4
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
æö
÷
ç
-
÷
-
ç
÷
ç
èø
-
==
æö
-
÷
ç
-
-
÷
ç
÷
ç
èø
Ta có
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 288
3
4
3
3
3
lim
3
1
3
3
1
lim l lim . .
1
5
45
lim 0
4
5
4
4
n
nn
n
n
n
n
n
n
ì
ï
=+¥
ï
ï
ï
-
ï
-
ï
ï-
¾¾= =-¥
í
ï
-
=- <
ï
-
ï
ï
-
ï
ï
ï
î
Gii nhanh :
44
3
31
..
45 4 4
nn n
n
nn
--
=- ¾¾-¥
-
Câu 12: Trong các gii hn sau đây, gii hn nào bng 0?
A.
3
2
32
lim .
21
n
n
+
-
B.
2
3
23
lim .
24
n
n
-
--
C.
3
2
23
lim .
21
nn
n
-
--
D.
24
42
23
lim .
2
nn
nn
-
-+
Li gii
Chn B
. Theo du hiu đã nêu phn Chú ý trên thì ta chn gii hn nào rơi vào trường hp
« bc t »
< « bc mu » !
3
2
32
lim
21
n
n
+
=+¥
-
: « bc t » > « bc mu » và 2.2 4 0.
mk
ab==>
2
3
23
lim 0
24
n
n
-
=
--
: « bc t »
<
« bc mu ».
3
2
23
lim
21
nn
n
-
=+¥
--
: « bc t » > « bc mu » và
()()
3. 2 0.
nk
ab =- - >
24
42
23 33
lim
222
nn
nn
--
==
--+
: « bc t »
=
« bc mu » và
33
.
22
m
k
a
b
-
==
-
Câu 13: y s nào sau đây có gii hn là
?
A.
2
12
.
55
n
nn
+
+
B.
3
3
21
.
2
n
nn
u
nn
+-
=
-+
C.
24
23
23
.
2
n
nn
u
nn
-
=
+
D.
2
2
.
51
n
nn
u
n
-
=
+
Li gii
Chn C
Ta chn đáp án dng « bc t »
=
« bc mu » và 0.
mk
ab<
24
23
23
2
n
nn
u
nn
-
=
+
: « bc t » > « bc mu » và 3.2 6 0 lim .
mk n
ab u=- =- < ¾¾=-¥
Chú ý : (i)
()
10
1
1
0
lim .
0
n
mm
mn
n
khi a
an a n
khi a
an a
-
-
ì
>
ï
ï
++ =
í
ï
-<
++
¥
ï
î
(ii) Gi s
{
}
max : 1; 2 ;
i
qqim>
thì
()
0
11 0
1
lim . 0, 1.
0, 1
nn
mm
n
akhiq
aq a q khi a q
khi
a
q
aq
a
ì
ï<
ï
ï
ï
++ =+¥++ >>
í
ï
ï
ï-¥ < >
ï
î
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 289
Ta dùng « du hiu nhanh » này để đưa ra kết qu nhanh chóng cho các bài sau.
Câu 14: Tính gii hn
()
2
lim 3 5 3 .Lnn=+-
A.
3.L =
B.
.L =-¥
C.
5.L =
D.
.L =+¥
Li gii
Chn D
.
()
22
2
53
lim3 53lim2Lnn n
nn
æö
÷
ç
=+-= +-=+¥
÷
ç
÷
ç
èø
2
2
lim
.
53
lim 2 2 0
n
nn
ì
ï
=+¥
ï
ï
ï
æö
í
÷
ç
ï
+- =>
÷
ç
ï
÷
ç
ï
èø
ï
î
Gii nhanh :
22
3533 .nn n+- ¾¾+¥
Câu 15: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
a thuc khong
()
10;10-
để
()
()
23
lim 5 3 2Lnan=--=-¥
.
A. 19. B. 3. C. 5. D. 10.
Li gii
Chn B
Ta có
()
()
()
23 3 2
2
5
lim 5 3 2 lim 3 2na n n a
n
æö
÷
ç
-- = --=-¥
÷
ç
÷
ç
èø
()
()
22
2
,10;10
5
lim 3 2 2 0 2 2 1; 0; 1.
aa
aa a a
n
ÎÎ-
æö
÷
ç
--=-<-<<¾¾¾¾¾=-
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 16: Tính gii hn
()
42
lim 3 4 1 .nnn+-+
A.
7.L =
B.
.L =-¥
C.
3.L =
D.
.L =+¥
Li gii
Chn D
Ta có
()
42 4
234
411
lim 3 4 1 lim 3nnn n
nnn
æö
÷
ç
+-+= +-+=+¥
÷
ç
÷
ç
èø
4
234
lim
.
411
lim 3 3 0
n
nnn
ì
ï
=+¥
ï
ï
ï
æö
í
÷
ç
ï
+-+ =>
÷
ç
ï
÷
ç
ï
èø
ï
î
Gii nhanh :
42 4
34 13 .nnn n+-+ ¾¾+¥
Câu 17: Cho dãy s
()
n
u
vi
() ()
2
2 2 ... 2 .
n
n
u =+ ++
Mnh đề nào sau đây đúng ?
A.
lim .
n
u =-¥
B.
2
lim .
12
n
u =
-
C.
lim .
n
u =+¥
D. Không tn ti
lim .
n
u
Li gii
Chn C
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 290
() ()
2
2, 2 , , 2
n
¼
lp thành cp s nhân có
1
2uq==
nên
()
()()
12
2. 2 2 2 1 lim
12
n
n
n n
uu
-
éù
==--¾¾=+¥
êú
êú
ë
û
-
220
.
21
a
q
ì
ï
=- >
ï
ï
í
ï
=>
ï
ï
î
Câu 18: Giá tr ca gii hn
2
13
1...
22 2
lim
1
n
n
++ + +
+
bng:
A.
1
.
8
B.
1.
C.
1
.
2
D.
1
.
4
Li gii
Chn D
Ta có
()
()
1
13 1 1
1 ... 1 2 . .
22 22 22
n
nn
n
+
+
++ + + = + + =
Do đó
2
22
13
1...
1
22 2
lim lim
4144
n
nn
nn
++ + +
+
==
++
(“bc t
=
“bc mu”).
Câu 19: Giá tr ca gii hn
22 2
12 1
lim ...
n
nn n
æö
-
÷
ç
+++
÷
ç
÷
ç
èø
bng:
A. 0. B.
1
.
3
C.
1
.
2
D. 1.
Li gii
Chn C
Ta có
()
()( )
2
22 2 2 2 2
11 1
12 11 1
... 1 2 . .
2
1
2
nn
nnn
nn n n n
n
n
+
-+-
--
+++ = ++ = =-
Do đó
2
22 2 2
12 1 1
lim ... lim .
2
2
nnn
nn n n
æö
--
÷
ç
+++ = =
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 20: Giá tr ca gii hn
()
2
135 2 1
lim
34
n
n
æö
+++ + +
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
+
èø
bng:
A. 0. B.
1
.
3
C.
2
.
3
D. 1.
Li gii
Chn B
Ta có
()
()
2
12 1
521
2
13
nn
nn
+-
-=++ =+
nên
()
2
22
135 2 1
1
lim lim
334 34
n
n
nn
æö
+++ + +
÷
ç
÷
==¾¾
ç
÷
ç
÷
÷
ç
++
èø
Câu 21: Giá tr ca gii hn
()
11 1
lim ...
1.2 2.3 1nn
æö
÷
ç
÷
ç
+++
÷
ç
÷
÷
ç
+
èø
là:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 291
A.
1
.
2
B.
1.
C.
0.
D. .
Li gii
Chn B
Ta có
()
11 1 111 1
lim ... lim 1 lim 1 1.
1.2 2.3 1 2 2 3 1
11
1nn nnn
æö
æöæö
÷
ç
÷÷
çç
÷
ç
+ ++ = -+-+ = - =
÷÷
çç÷
ç
÷÷
çç
÷
÷
èøèø
ç
++
ø
+-
+
è
Câu 22: Giá tr ca gii hn
()()
11 1
lim ...
1.3 3.5 2 1 2 1nn
æö
÷
ç
÷
ç
+++
÷
ç
÷
÷
ç
-+
èø
bng:
A.
1
.
2
B.
1
.
4
C. 1. D. 2.
Li gii
Chn A
Vi mi
*
k Î thì
()()
1111
2121 22121kk k k
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
èø
-+ - +
, do đó
()()
11 1 1111 1 1
lim ... lim 1
1.33.5 2121 2 3352121
111
lim 1 .
2212
nn n n
n
æö
é
ù
÷
ç
÷
çêú
+++ = -+-+ -
÷
ç
÷
ê
ú
÷
ç
-+ - +
èø
ë
û
éù
êú
=-=
êú
+
ë
û
Câu 23: Giá tr ca gii hn
()
11 1
lim ......
1.4 2.5 3nn
éù
êú
++ +
êú
+
êú
ëû
bng:
A.
11
.
18
B. 2. C. 1. D.
3
.
2
Li gii
Chn A
Ta có
()
11 1 111111
...... 1
1.42.5 3 3 42536
111 111
1
3 23 456
1111 1 1
1
323 1 2 3
1
11
3
11
3
11 1 1 1
36 1 2 3
nn
nn
nn
nn
n
nn n
é
ù
êú
+++ =-+-+-+
êú
+
ëû
é
ù
æöæ ö
÷÷
çç
ê
ú
=+++ -+++
÷÷
çç
÷÷
çç
ê
+-
+
++
+
ú
èøè ø
ë
û
æö
÷
ç
=++- - -
÷
ç
÷
ç
èø
++ +
æö
÷
ç
=-- -
÷
ç
÷
ç
èø
++ +

Do đó
()
11 1 1111 1 1 11
lim ...... lim .
1.4 2.5 3 3 6 1 2 3 8nn n n n
æö
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+++ = - - - =
÷
ç÷
ç
÷
ç
÷
÷
èø
ç
++++
èø
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 292
Câu 24: Giá tr ca gii hn
()
22 2
2
1 2 ...
lim
1
n
nn
+++
+
bng:
A. 4. B. 1. C.
1
.
2
D.
1
.
3
Li gii
Chn D
Đặt
()
()( )
32
12 1
23
66
nn n
nnn
Pn
-+
-+
==
thì ta có
() ()
()
() ()
()
()()
()
()()
()( )
22 22
121321
12 3
11
6
23 nP P P P Pn Pn
nn n
Pn P
+= - + - ++ +-
++
=+ =
++
-
+ 
Do đó
()
()( )
()
22 2
22
1 2 ...
lim li
12 3
21
3
1
6
m.
61
nn n
n
nn nn
++
=
+
++
=
+
=
+
Câu 25: Cho dãy s có gii hn
()
n
u
xác định bi
1
1
1
2
.
1
, 1
2
n
n
u
un
u
+
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
-
ï
î
Tính lim .
n
u
A.
lim 1.
n
u =-
B.
lim 0.
n
u =
C.
1
lim .
2
n
u =
D.
lim 1.
n
u =
Li gii
Chn D
Gi s
lim
n
ua=
thì ta
()
1
2
2
2
21
11
lim lim 1
2
2
1
.
0
2
n
n
a
a
au
aa
a
ua
aa
+
ì
ì
ï
=/
=/
-=
-+=
ï
ïï
== = =
íí
ïï
--
ïï
î
î
Câu 26: Cho dãy s có gii hn
()
n
u
xác định bi
1
1
2
.
1
, 1
2
n
n
u
u
un
+
ì
=
ï
ï
ï
ï
í
+
ï
ï
ï
ï
î
Tính
lim .
n
u
A.
lim 1.
n
u =
B.
lim 0.
n
u =
C.
lim 2.
n
u =
D.
lim .
n
u =+¥
Li gii
Chn A
Gi s
lim
n
ua=
thì ta
1
1
1
lim lim 1
22
n
n
u
a
au a
+
+
+
== ==¾¾
Câu 27: Kết qu ca gii hn
2
91
lim
42
nn
n
-+
-
bng:
A.
2
.
3
B.
3
.
4
C. 0. D. 3.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 293
Li gii
Chn B
.
2
2
11
9
91 3
lim lim
2
42 4
4
nn
n
n
n
n
-+
-+
==
-
-
Gii nhanh:
22
9193
.
42 4 4
nn n
nn
-+
=
-
Câu 28: Kết qu ca gii hn
2
4
21
lim
32
nn
n
-+ +
+
bng:
A.
2
.
3
-
B.
1
.
2
C.
3
.
3
-
D.
1
.
2
-
Li gii
Chn C
2
2
4
4
21
1
21 1
lim lim
23
32
3
nn
nn
n
n
-+ +
-+ +
==-
+
+
Gii nhanh :
22
44
21 1
.
3
32 3
nn n
nn
-+ + -
=-
+
Câu 29: Kết qu ca gii hn
23
lim
25
n
n
+
+
là:
A.
5
.
2
B.
5
.
7
C. . D.
1.
Li gii
Chn D
3
2
23 2
lim lim 1.
5
25 2
2
n
n
n
n
+
+
===
+
+
Gii nhanh:
23 2
1.
25 2
nn
nn
+
=
+
Câu 30: Kết qu ca gii hn
14
lim
1
n
nn
+-
++
bng:
A. 1. B. 0. C.
1.-
D.
1
.
2
Li gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 294
2
2
114
14 0
lim lim 0
1
111
1
n
nn
n
nn
nn
+-
+-
===
++
++
Gii nhanh:
14 1
0.
1
nn
n
nn n
+-
¾
++
Câu 31: Biết rng
2
2
1
lim sin .
4
2
nn
ab
nn
p++
=+
--
Tính
33
.Sa b=+
A.
1.S =
B.
8.S =
C.
0.S =
D.
1.S =-
Li gii
Chn B
Ta có
2
2
2
1
11
111
lim lim 2 2 sin
14
12
2
1
nn
n
nn
nn
p
++
++ +
===
--
--
ì
ï
=
ï
¾
¾¾¾=
í
ï
=
ï
î
22
8
0
a
S
b
Câu 32: Kết qu ca gii hn
42
10
lim
1nn++
là:
A.
. B. 10. C. 0. D. .
Li gii
Chn C
2
42
24
10
10 0
lim lim 0.
1
11
1
1
n
nn
nn
===
++
++
Gii nhanh:
2
42 4
10 10 10
0.
1
n
nn n
¾
++
Câu 33: Kết qu ca gii hn
()
42
22
lim 1
1
n
n
nn
+
+
+-
là:
A.
. B. 1. C. 0. D. .
Li gii
Chn C
()
()
3
42 42
21
22
lim 1 lim 0
11
n
n
n
nn nn
+
+
+= =
+- +-
(“bc t< “bc mu”).
Gii nhanh:
()
42 4
22 2 2
1.0.
1
nn
nn
nn n
n
+
+=¾¾
+-
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 295
Câu 34: Biết rng
32
3
2
57
lim 3
32
an n
bc
nn
+-
=+
-+
vi
,,abc
là các tham s. Tính giá tr ca biu thc
3
.
ac
P
b
+
=
A.
3.P =
B.
1
.
3
P =
C.
2.P =
D.
1
.
2
P =
Li gii
Chn B
Ta có
3
32
3
33
3
2
2
57
57
lim lim 3
3
12 3
32
3
a
an n b a
nn
nn
nn
+-
+-
===
-+
-+
3
1
3.
3
3
0
b
a
bc P
c
ì
ï
ï
=
ï
=+ =
í
ï
ï
=
ï
î
Câu 35: Kết qu ca gii hn
52
5
lim 200 3 2nn-+ là:
A.
.
B. 1. C. 0. D.
.
Li gii
Chn D
Ta có
52
5
5
53
200 2
lim 200 3 2 lim 3
nn n
nn
æö
÷
ç
÷
ç
-+ = -+ =-¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
5
5
53
lim
.
200 2
lim 3 3 0
n
nn
ì
=+¥
ï
ï
ï
ï
æö
í
÷
ç
÷
ï
ç
-+ =- <
÷
ï
ç
÷
÷
ç
ï
èø
ï
î
Gii nhanh:
5
52 5
5
5
200 3 2 3 3. .nn n n-+ -=- ¾¾-¥
Dng 3. Dãy s cha căn thc
1. Phương pháp
Nếubiu thcchacănthccnnhânmtlượngliênhipđểđưavềdngcơbn.
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
dụ1.Tính
22
lim n 7 n 5




Gii
22
22
22 22
n7n5 2
lim n 7 n 5 lim lim 0
n7 n5 n7 n5





 
3
33
22
3
33
22
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B
A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B











Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 296
dụ2.Tính
22
lim n 3n n




Gii
22
22
3n 3 3
lim n 3n n lim lim
2
3
n3n n
11
n






dụ3.Tính
()
2
lim 1nn n-+-
Li gii
.
22
10nn n nn-+- -= ¾¾ nhân lượng liên hp :
()
2
2
2
1
1
11
lim 1 lim lim
2
11
1
11
n
n
nn n
nn n
nn
-+
-+
-+- = = =-
-++
-+ +
Gii nhanh :
2
22
11
1.
2
1
nn
nn n
nn n nn
-+ -
-+-= =-
-++ +
dụ4.Tính
()
3
23
lim nnn-+
Li gii
33
23 3
0nnn nn-+ -+=¾¾ nhân lượng liên hp :
()
()
2
3
23
22
3
23 23 2
3
33
11
lim lim lim .
3
11
111
n
nnn
nn nnnn
nn
-+= = =
æö
-- -+
÷
ç
-- -+
÷
ç
÷
ç
èø
Gii nhanh :
()
22
3
23
33
2632
3
23 23 2
3
1
.
3
nn
nnn
nnnn
nn nnnn
-+= =
--+
-- -+
dụ5.Tính
()
lim 1nn n
éù
+-
êú
ëû
Li gii
()()
10nn n nn n+- - = ¾¾ nhân lượng liên hp :
()
11
lim 1 lim lim
2
11
11
n
nn n
nn
n
+- = = =
++
++
Gii nhanh :
()
1
1.
2
1
nn
nn n
nnnn
+- = =
++ +
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Giá tr ca gii hn
()
lim 5 1nn+- + bng:
A.
0.
B.
1.
C.
3.
D.
5.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 297
Li gii
Chn A
51 0nnnn+- + - =¾¾
nhân lượng liên hp :
()
4
lim 5 1 lim 0
51
nn
nn
+- + = =
++ +
Câu 2: Giá tr ca gii hn
()
22
lim 1 3 2nn-- +
là:
A.
2.-
B.
0.
C.
.
D.
.
Li gii
Chn C
()
22
22
12
lim 1 3 2 lim 1 3nn n
nn
æö
÷
ç
÷
ç
-- + = - - + =-¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
22
12
lim , lim 1 3 1 3 0.n
nn
æö
÷
ç
÷
ç
=+¥ - - + = - <
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Gii nhanh :
()
2222
13 2 3 13 .nnnn n-- + - = - ¾¾-¥
Câu 3: Giá tr ca gii hn
()
22
lim 2 2nnnn+- -
là:
A.
1.
B.
2.
C.
4.
D.
.
Li gii
Chn B
22 22
22 0nnnnn n+- - - =¾¾ nhân lượng liên hp :
()
22
22
44
lim 2 2 lim lim 2.
22
22
11
n
nnnn
nnnn
nn
+- - = = =
++ -
++ -
Gii nhanh :
22
22 22
44
22 2.
22
nn
nnnn
nnnnn n
+- -= =
++ - +
Câu 4: Có bao nhiêu giá tr ca
a để
()
()
22 2
lim 2 1 0.nan n a n+- +++=
A.
0.
B. 2. C.
1.
D. 3.
Li gii
Chn B
()
22 2 2 2
21 0nan n a n n n+- +++ - =¾¾
nhân lượng liên hp:
Ta có
()
()
()
2
22 2
22
21
lim 2 1 lim
1
aa n
nan n a n
nn n
-- -
+ - ++ +=
++ +
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 298
2
2
2
1
2
1
2
lim 0 .
2
2
11
11
aa
a
aa
n
a
nn
---
é
=-
--
ê
===
ê
=
ë
++ +
Câu 5: Giá tr ca gii hn
()
22
lim 2 1 2 3 2nn n n-+- - +
là:
A.
0.
B.
2
.
2
C.
.
D.
.
Li gii
Chn B
22 22
21232220nn n n n n-+- - + - = ¾¾ nhân lượng liên hp :
()
22
22
22
21
lim 2 1 2 3 2 lim
21232
1
2
1
lim .
11 32 2
22
n
nn n n
nn n n
n
nn
nn
-
-+- - + =
-++ - +
-
==
-+ + -+
Gii nhanh :
22
22 22
21 2 1
21232 .
2
2123222
nn
nn n n
nn n n n n
-
-+- - + = =
-++ - + +
Câu 6: Giá tr ca gii hn
()
22
lim 2 1 2nn nn+-- +
là:
A.
1.-
B.
12.-
C. . D. .
Li gii
Chn C
Gii nhanh :
()
2222
21 2 2 1 2 .nn nnn n n+-- + - =- ¾¾-¥
C th :
()
22
2
21 1
lim 2 1 2 lim . 1 2nn nn n
nnn
æö
÷
ç
÷
ç
+-- += +- - + =-¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
2
21 1
lim , lim 1 2 1 2 0n
nnn
æö
÷
ç
÷
ç
=+¥ +--+=- <
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Câu 7: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
a tha
()
22
lim 8 0nnna--+ =
.
A.
0.
B. 2. C. 1. D. Vô s.
Li gii
Chn B
Nếu
222
80nnna nn--+ -=¾¾ nhân lượng liên hp :
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 299
Ta có
()
()
2
2
22
2
28
28
lim 8 lim lim
1
11
an
a
nnna
nnn
n
-
-
--+ = =
++
++
2
40 2.aa=-==
Câu 8: Giá tr ca gii hn
()
2
lim 2 3nn n-+-
là:
A.
1.-
B.
0.
C.
1.
D. .
Li gii
Chn A
22
23 0nn nnn-+- -=¾¾ nhân lượng liên hp :
()
2
2
2
3
2
23
lim 2 3 lim lim 1
23
23
11
n
n
nn n
nn n
nn
-+
-+
-+-= = =-
-++
-+ +
Gii nhanh :
2
22
23 2
23 1.
23
nn
nn n
nn nnn
-+ -
-+-= =-
-++ +
Câu 9: Cho dãy s
()
n
u
vi
22
51
n
unan n=++-+
, trong đó a là tham s thc. Tìm a để
lim 1.
n
u =-
A.
3.
B.
2.
C.
2.-
D.
3.-
Li gii
Chn C
2222
51 0nan n n n++- + - =¾¾ nhân lượng liên hp :
()
22
22
22
4
1 lim lim 5 1 lim
51
4
lim 2.
2
51
11
n
an
unann
nan n
a
a
n
a
a
n
nn
+
-= = + + - + =
+++ +
+
===-
++ + +
Gii nhanh :
22
2222
4
151 2.
2
51
an an a
nan n a
nan n n n
+
-++-+= ==-
+++ + +

Câu 10: Giá tr ca gii hn
()
33
33
lim 1 2nn+- +
bng:
A.
3.
B.
2.
C.
0.
D.
1.
Li gii
Chn C
33
33 33
33
12 0nn nn+- + - = ¾¾ nhân lượng liên hp :
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 300
()
() ()
33
33
2
3333
33
3
3
1
lim 1 2 lim 0.
11.22
nn
nnnn
-
+- + = =
++ + ++ +
Câu 11: Giá tr ca gii hn
()
3
32
lim 2nnn--
bng:
A.
1
.
3
B.
2
.
3
-
C.
0.
D.
1.
Li gii
Chn B
33
32 3
20nnnnn-- -=¾¾ nhân lượng liên hp :
()
()
2
3
32
22
3
32 322
3
33
222
lim 2 lim lim .
3
22
2.2
111
n
nnn
nn nnnn
nn
--
--= = =-
æö
-+-+
÷
ç
-+-+
÷
ç
÷
ç
èø
Gii nhanh :
()
22
3
32
33
2632
3
32 322
3
222
2.
3
.
2.2
nn
nnn
nnnn
nn nnnn
--
--= =-
++
-+-+
Câu 12: Giá tr ca gii hn
()
lim 1 1nn n
éù
+- -
êú
ëû
là:
A.
1.-
B. . C.
0.
D.
1.
Li gii
Chn D
()()
11 0nn n nn n+- - - = ¾¾ nhân lượng liên hp :
()
22
lim 1 1 lim lim 1
11 1 1
11
n
nn n
nn
nn
+- - = = =
++ -
++ -
Gii nhanh :
()
22
11 1.
11
nn
nn n
nn nn
+- - = =
++ - +
Câu 13: Giá tr ca gii hn
()
22
lim 1 3nn n
éù
+- -
êú
ëû
bng:
A.
1.-
B.
2.
C.
4.
D.
.
Li gii
Chn B
()()
22 22
13 0nn n nn n+- - - = ¾¾
nhân lượng liên hp :
()
22
22
22
44
lim 1 3 lim lim 2
13
13
11
n
nn n
nn
nn
+- - = = =
++ -
++-
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 301
Gii nhanh :
()
22
22 22
44
13 2.
13
nn
nn n
nn nn
+- - = =
++ - +
Câu 14: Giá tr ca gii hn
()
22
lim 1 6nn n n n
éù
++- +-
êú
ëû
là:
A.
71.-
B.
3.
C.
7
.
2
D.
.
Li gii
Chn C
()()
22 22
16 0nn n n n nn n++- +- - = ¾¾
nhân lượng liên hp :
()
22
22
22
7
lim 1 6 lim
16
77
lim .
2
11 16
11
n
nn n n n
nn nn
nn
nn
++- +- =
+++ +-
==
++ + +-
Gii nhanh :
()
22
22 22
777
16 .
2
16
nn
nn n n n
nn nn n n
++- +- = =
+++ +- +
Câu 15: Giá tr ca gii hn
2
1
lim
24nn
2
+- +
là:
A.
1.
B.
0.
C. . D. .
Li gii
Chn C
222
24 0nn nn
2
+- + - =¾¾ nhân lượng liên hp :
()
22
22
2
11 124
lim lim 2 4 lim . 1 1
22
24
nn n
nn
nn
2
é
ù
æö
÷
ç
êú
÷
ç
=- ++ += - +++ =-¥
÷
êú
ç
÷
÷
ç
èø
+- +
ê
ú
ë
û
22
12 4
lim , lim 1 1 1 0
2
n
nn
éù
æö
÷
ç
êú
÷
ç
=+¥ - + + + =- <
÷
êú
ç
÷
÷
ç
èø
êú
ëû
Gii nhanh :
()()
22 22
2
11 1
24 .
22
24
nn nnn
nn
2
=- + + + - + =- ¾¾-¥
+- +
Câu 16: Giá tr ca gii hn
2
92
lim
32
nn n
n
-- +
-
là:
A.
1.
B.
0.
C.
3.
D. .
Li gii
Chn A
22
92930nn n n n=/-=¾-+ ¾ gii nhanh :
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 302
22
929
1
32 3
nn n n
nn
-- +
=
-
C th :
2
2
112
9
92 9
lim lim 1.
2
32 3
3
nn n
nn
n
n
n
-- +
-- +
===
-
-
Câu 17: Giá tr ca gii hn
3
3
1
lim
1nn+-
là:
A.
2.
B.
0.
C.
.
D.
.
Li gii
Chn B
3
33
3
10nnnn+- - = ¾¾ nhân lượng liên hp :
()
()
3
3
2
332
3
3
1
lim 1 lim 0
11
nn
nnnn
+- = =
++ ++
Dng 4. Dãy s cha hàm lũy tha
1. Phương pháp
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
Ví d 1: Tính
1
1
32.5
lim
25
nn
nn
+
+
-
+
Li gii
Gii nhanh :
11
1
32.5 2.5
10
25 5
nn n
nn n
++
+
--
=-
+
C th :
1
1
3
10
32.5
5
lim lim 10.
25
2
2. 1
5
n
nn
nn n
+
+
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
-
==-
+
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
Ví d 2: Tính
1
34.2 3
lim
3.2 4
nn
nn
+
--
+
Li gii
Gii nhanh :
1
34.2 33 3
0.
4
3.2 4 4
n
nn n
nn n
+
æö
--
÷
ç
¾
÷
ç
÷
ç
èø
+
C th :
1
311
8. 3.
34.2 3 0
424
lim lim 0.
1
3.2 4
1
3. 1
2
nnn
nn
nn n
+
æö æö æö
÷÷÷
ççç
--
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èø èø èø
--
===
+
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
dụ3:Tính

n
5n 1
5n 2
12
lim
3

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 303
Hướngdngii
Cách1:Giibngtựlun
Tacó:


n
n
5n 1
n
5n 2
12
22
lim lim 1 . 0.
93
3




Cách2:Mogiinhanh


n
5n
5n 1
n
5n 2
12
2
1. 0.
3
3




dụ4:Tính
nn1
nn
34.2 3
lim .
3.2 4


Hướngdngii
Cách1:Giibngtựlun
Tacó:
 

 

 



nn
nn1
4
nn n
323
4.2
44
34.2 3
n
3.2 4
2
3. 1
4
(chiatửmucho
4
n
).
Suyra
nn1
nn
34.2 30
lim 0.
1
3.2 4


Cách2:Mogiinhanh
n
nn1 n
nn n
34.2 33 3
0.
4
3.2 4 4





Ví d 5: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca a thuc
()
0;20
sao cho
2
2
11
lim 3
32
n
an
n
-
+-
+
là mt s nguyên.
Li gii
Ta có
2
2
2
2
2
2
1
1
lim lim
3
3
11
1
lim 3 3 .
32
11
lim lim 0
22
n
n
n
a
an
n
a
n
an
a
n
n
ì
ï
ï
-
ï
-
ï
ï
==
ï
ï
+
-
ï
+
+ -=+
í
ï
+
ï
ï
ï
æö
ï
÷
ç
==
÷
ï
ç
÷
ï
ç
èø
ï
î
Ta có
()
{}
0;20 ,
1; 6;13 .
3
aa
a
a
ì
ï
ï
ÎÎ
Î
ï
¾¾
í
ï
ï
î
Î+
ï
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Kết qu ca gii hn
2
25
lim
32.5
n
nn
+
-
+
bng:
A.
25
.
2
-
B.
5
.
2
C.
1.
D.
5
.
2
-
Li gii
Chn A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 304
C th :
2
1
225
25 25
5
lim lim .
2
32.5
3
2
5
n
n
nn n
+
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
-
==-
+
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
Gii nhanh :
22
25 5 25
2
32.5 2.5
nn
nn n
++
--
=-
+
Câu 2: Kết qu ca gii hn
31
lim
22.31
n
nn
-
-+
bng:
A.
1.-
B.
1
.
2
-
C.
1
.
2
D.
3
.
2
Li gii
Chn B
Gii nhanh :
31 3 1
2
2 2.3 1 2.3
nn
nn n
-
=-
-+-
C th :
1
1
31 1
3
lim lim .
2
2 2.3 1
21
2
33
n
n
nn n n
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
-
==-
-+
æö æö
÷÷
çç
-+
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
Câu 3: Biết rng
()
()
1
2
12
52 1
23 5
lim
1
5.2 5 3
n
n
n
n
na
c
b
n
+
+
æö
÷
ç
-+
÷
+
ç
÷
ç
÷
+=+
ç
÷
ç
÷
-
ç
÷
+-
÷
ç
èø
vi ,, .abcÎ Tính giá tr ca biu thc
222
.Sabc=++
A.
26.S =
B.
30.S =
C.
21.S =
D.
31.S =
Li gii
Chn B
()
()
1
2
2
12
2
21
3
12.
2
52 1
23
55
lim lim
1
1
21
5.2 5 3
1
5. 5 .
55
nn
n
n
nnn
n
n
n
n
n
+
+
æö
æöæö
÷
ç
÷÷
çç ÷
ç
æö
-+
÷÷
÷
çç
+
ç
÷
÷÷
ç
÷
-+
çç
÷÷
ç
÷
èøèø
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
++ = +
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
-
÷
çæ ö æ ö
ç
÷
÷
+-
ç
-
÷÷
÷
ç
çç
÷
èø
+-
÷÷
ç
çç
÷
÷÷
ç
çç
÷÷
÷
ç
èø èø
èø
15
22.
5
5
=+=+
Gii nhanh :
()
()
()
()
1
22
12 12
1
52 1 5
23 2 1 5
22 5.
51
5
5.2 5 3 5
2
nn
n
nn
n
a
nn
b
nn
c
+
++
ì
=
ï
ï
-+
+
ï
ï
+ + =+=+¾¾=
í
ï
-
ï
+-
ï=
ï
î
Vy
222
1 5 2 30.S =++ =
Câu 4: Kết qu ca gii hn
2
22
32
lim
332
nn n
nn n
p
p
+
++
-+
là:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 305
A.
1.
B.
1
.
3
C. . D.
1
.
4
Li gii
Chn D
Gii nhanh:
2
22
32 34 4 1
4332 334.44.4
nn n nnn n
nn n nn n n
pp
pp
+
++ ++
==
-+ -+
C th :
2
22
3
1
32 1
44
lim lim .
4
332
3
3. 3. 4
44
nn
nn n
nn n n n
p
p
p
p
+
æö æö
÷÷
çç
++
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
++
==
-+
æö æö
÷÷
çç
-+
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
Câu 5: Kết qu ca gii hn
lim 3 5
n
n
éù
-
êú
ëû
là:
A.
3.
B.
5.-
C.
.
D.
.
Li gii
Chn D
Gii nhanh : Vì
35> nên 353 .
n
nn
¾+¥
C th :
5
lim 3 5 lim 3 1
3
n
n
nn
æö
æö
÷
ç
éù
÷
ç÷
ç
÷
÷
ç
-= - =+¥
ç
êú
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ëû
ç
èø
÷
ç
èø
lim 3
.
5
lim1 1 0
3
n
n
ì
ï
=+¥
ï
ï
ï
ï
æö
í
÷
ç
ï
÷
ç
-=>
ï
÷
ç
÷
ï
÷
ç
èø
ï
ï
î
Câu 6: Kết qu ca gii hn
)
41
lim 3 .2 5.3
nn+
-
là:
A.
2
.
3
B.
1.-
C. . D.
1
.
3
Li gii
Chn C
Gii nhanh :
()
41
3.2 5.3 5.3 5 0.
nn n+
--=-¥-<
C th :
()
41
2
lim 3 .2 5.3 lim 3 162. 5
3
n
nn n+
æö
æö
÷
ç
÷
ç÷
ç
-= -=-¥
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
èø
÷
èø
lim 3
.
2
lim 162. 5 5 0
3
n
n
ì
ï
=+¥
ï
ï
ï
ï
æö
æö
í
÷
ç
÷
ç÷
ï
ç
-=-<
÷
÷
ç
ï
ç
÷
÷
ç
ï
çèø
÷
èø
ï
ï
î
Câu 7: Kết qu ca gii hn
1
34.2 3
lim
3.2 4
nn
n
n
+
--
+
là:
A.
0.
B.
1.
C. . D. .
Li gii
Chn A
Gii nhanh :
1
3 4.2 3 3 3
0.
4
3.2 4 4
n
nn n
nn
n
+
æö
--
÷
ç
¾
÷
ç
÷
ç
èø
+
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 306
C th :
11 1
8.3 3
24. 0
44
34.2 3 34.2 3
0lim0.
3.2 4 3.2 4
nn nn
nn n
n
n
nn
+++
æö
÷
ç
££=¾¾
÷
ç
-- --
=
++
÷
ç
èø
Câu 8: Kết qu ca gii hn
1
2
2310
lim
32
n
n
nn
+
++
-+
là:
A.
. B.
2
.
3
C.
3
.
2
D. .
Li gii
Chn A
. Ta có
()( )
3
0
3
2
2
0
12
2
.
6
2
2
6
n
n
n
n
nkn
n
k
n
nn n
n
C
n
C
=
ì
ï
ï
ï
--
ï
ï
³=
í
ï
ï
+¥
ï
ï
ï
î
=
å
Khi đó:
1
22
2
1
2 3. 10.
2310 2
2
2
lim lim .
12
32
3
n
nn
n
n
n
nn n
n
n
+
æö
÷
ç
++
÷
ç
÷
ç
èø
++
==+¥
-+
-+
2
2
2
lim
1
.
23. 10.
2
2
2
lim 0
12
3
3
n
n
n
n
n
nn
ì
ï
ï
=+¥
ï
ï
ï
ï
ï
ï
æö
ï
÷
ç
í
++
÷
ç
ï
÷
ç
èø
ï
ï
=>
ï
ï
ï
-+
ï
ï
ï
î
Câu 9: Tìm tt c giá tr nguyên ca
a
thuc
()
0;2018
để
1
4
1
.
1024
42
lim
34
nn
nna
+
+
+
+
£
A.
2007.
B.
2008.
C.
2017.
D.
2016.
Li gii
Chn B
()
1
4
4
2
1
12.
42 1 1 1
2
lim lim .
34 4 2
3
2
4
4
n
nn
nna n a a
a
a
+
+
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
+
====
+
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
Gii nhanh:
1
4
10
4
2
42 4 1
34 4 2
1
2 1024 2 10.
1024
nn n
a
nn na a
a
+
++
£³
+
=³=
+
()
0;2018a Î
a Î
nên
{
}
10;2017a ξ¾
có 2008 giá tr
.a
Câu 10: Kết qu ca gii hn
()
2
1
2
lim
31 3
n
n
nn
n
æö
-
÷
+
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
-
÷
ç
èø
bng:
A.
2
.
3
B.
1.-
C.
1
.
3
D.
1
.
3
-
Li gii
Chn C
. Ta có
() ()
22
11
22
lim lim lim .
31 3133
nn
nn
nn nn
nn
æö
--
÷
++
ç
÷
ç
+= +
÷
ç
÷
ç
÷
--
÷
ç
èø
Ta có
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 307
() ()
()
2
2
1
1
0lim 0
2
1
21
lim lim
1
31 3
3
3
1
21
3
lim .
31 3
3
1
0
3
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
n
ì
ï
ï
-
æö
÷
ç
££ =
÷
ç
+
ï
ï
+
ï
==
ï
ï
æö
-
ï
-
÷
+
ç
-
ï
÷
ç
+=
÷
í
ç
÷
ç
ï
÷
-
÷
ç
ï
èø
÷
ç
è
ï
ï
-
ï
ï
ï
ø
ï
ï
î
Câu 11: Kết qu ca gii hn
()
31cos3
lim
1
n
nn
n
æö
+-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
-
ç
èø
bng:
A.
3
.
2
B.
3.
C.
5.
D.
1.-
Li gii
Chn B
.
() ()
3 1 cos3 1 cos3
3
lim lim .
11
nn
nn n
n
nnn
æöæ ö
+- -
÷÷
çç
÷÷
çç
=+
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
÷÷
--
çç
èøè ø
Ta có :
() ()
()
1cos3 1cos3
1
0li
33
lim 3
1
1
31co
m
s3
lim 3
0
11 1
.
1
0
n
nn
nn
nn n
n
n
nn
n
ì
ï
ï
==
ï
ï
æö
-
ï
+-
÷
ç
ï
ï
÷
ç
=
÷
í
ç
÷
ç
ï
÷
÷
-
ç
ï
èø
--
££ =
-- -
ï
ï
ï
ï
ï
î
Câu 12: Kết qu ca gii hn
lim 2.3 2
n
n-+
là:
A.
0.
B.
2.
C.
3.
D. .
Li gii
Chn D
Ta có
1
lim 2.3 2 lim 3 . 2 2. .
33
n
nn
n
n
n
æö
÷
ç
-+ = - +
÷
ç
÷
ç
èø
()
2
lim 3
0
1
22. 20
3
lim 3
2
0lim 0 ,
1
133
lim
2
1
lim 0
3
3
n
nn
n
n
n
n
n
nn n n
n
n
n
nC
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ì
ï
ï
=+¥
ï
ï
=+¥
æö
÷
ç
-+
ï
ï
ï
ï
ïï
££ = =
=>
÷
ç
÷
ç
 = ¾¾
ýí
ïï
-
-
ïï
ïï
ïï
ï
î
ï
ï
ï
ï
æö
ï
÷
ç
=
ï
÷
ç
֕
ç
èø
ï
è
ï
ø
þ
do đó
lim 2.3 2 .
n
n-+ =+¥
Dng 5. Tng ca cp s nhân lùi vô hn
1. Phương pháp
Cpsốnhânlùihncpsốnhânhncôngbi
q1.

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 308
Tngcácsốhngcamtcpsốnhânlùihn(un)
1
12 n
u
S u u ... u ...
1q

Misốthpphânđềuđượcbiudindướidngluỹthaca10
n
3
12
123 n
23 n
a
aa
a
X N,a a a ...a ... N ... ...
10
10 10 10

2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
dụ1:Tínhtngcacpsốnhânlùihn




n1
11 1 1
1, , , ,..., ,...
24 8 2
Hướngdngii
Theođềchotacó:
1
1
u1,q .
2

1
u
12
S.
1
1q 3
1
2

dụ2:Chosốthpphânhntunhoàn
a 0,212121...
(chukỳ21).Tìmadướidngphân
s.
Hướngdngii
Cách1:Giibngtựlun
Tacó:
a 0,212121...





246
0,21 0,0021 0,000021 ...
111
21 ...
10 10 10
Tng

246
111
S...
10 10 10
tngcpsốnhânihn
1
22
11
u,q.
10 10

2
1
2
1
u
1
10
S.
1
1q 99
1
10

Dođó
17
A21. .
99 33

Cách3:Giinhanhbngmáytính
Nhpvàomànhình
0, 21 ấnphím
tađượckếtquả
7
.
33

dụ3:Tng
 

23 n1
n
S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ...
kếtquảbngbaonhiêu?
Hướngdngii
 

23 n1
S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ...
Đâytngcacpsốnhânlùihng
1
u1,q0,9.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 309
1
u
1
S 10.
1q 10,9


dụ4:Cho

23
S 1 q q q ..., q 1


23
22 33
T 1 Q Q Q ..., Q 1
E 1 qQ q Q q Q ...
Biuthịbiuthc
E
theo ,ST
Hướngdngii

23
S 1 q q q ..., q 1
tngcacpsốnhânlùihn,
1
u1,qq.
Khiđó:
1
u
1S1
Sq.
1q 1q S


(1)
Tươngt:
1T1
TQ.
1Q T

(2)

22 33
E1q.Qq.Q q.Q ...
tngcacpsốnhânlùihngcôngbi
qQ
(vì
qQ 1,
1
u1
).
1
u
E
1qQ
 (3)
Thay(1),(2)vào(3):
1
u
ST
EE.
T1S1
ST1
1.
TS


dụ5:Tìmsốhng
1
U
cacpsốnhânlùihn,biết
1
S4;q .
2
Hướngdngii
Tacó:

11
1
uu
Sq14 u2.
1
1q
1
2

dụ6:Tìmcôngbicacpsốnhânlùihn,biết
1
S6;U 3.

Hướngdngii
Tacó:

1
u
31
Sq16 q.
1q 1q 2


3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Tng ca mt cp s nhân lùi vô hn bng
2
, tng ca ba s hng đầu tiên ca cp s nhân
bng
9
4
. S hng đầu
1
u
ca cp s nhân đó là:
A.
1
3.u = B.
1
4.u = C.
1
9
.
2
u =
D.
1
5.u =
Li gii
Chn A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 310
Gi
q
là công bi ca cp s nhân, ta có :
()
()
1
1
3
3
1
31
1
2
21
1
2
.
9
1
19
21
21 3
.
4
2
14
u
q
uq
q
q
q
u
Su
q
ì
ì
ï
ï
ï
ï
=
ì
=-
ï
=-
ï
ï
ï
ï
-
ï
ï
ï
ïïï

ííí
æö
ïïï
-
-=
÷
ïïï
ç
=+=
÷
==
ïïï
ç
ï
î
÷
ç
ïï
èø
-
ïï
î
ï
î
Câu 2: Tính tng
3
11 1
931
39 3
n
S
-
=+++++ + +
.
A.
27
.
2
S =
B.
14.S =
C.
16.S =
D.
15.S =
Li gii
Chn A
Ta có
1
324
1
:1,
1
3
11 1 1 1 1 1 27
931 91 9 .
1
39 3 2
1
333
1
3
3
n
CSN lvh u q
n
S
-
==
-
æö
÷
æö
ç
÷
ç÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
=++++++ += ++++ = =
ç
÷
ç
÷
֍
ç
÷
÷
ç
֍
÷
-
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
èø
÷
÷
ç
èø
++


Câu 3: Tính tng
111 1
21
248 2
n
S
æö
÷
ç
=++++++
÷
ç
÷
ç
èø

.
A.
21.S =+ B.
2.S =
C. 22.S = D.
1
.
2
S =
Li gii
Chn C
Ta có
1
1
:1,
2
111 1 1
21 2 2 2.
1
248
2
1
2
n
CSN lvh u q
S
==
æö
÷
æö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
=++++++= =
ç
÷
ç
÷
֍
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷-
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
èø
÷
÷
ç
èø


Câu 4: Tính tng
24 2
1
39
3
n
n
S =+ + + + +
.
A.
3.S =
B.
4.S =
C.
5.S =
D.
6.S =
Li gii
Chn A
Ta có
1
2
:1,
3
2
24 2 2 2
11
39 3 3
21
3.
2
3
1
3
3
n
CSN lv
n
hu q
n
S
==
æö
÷
ç
++
æ
=
ö
÷
ç
=+ + + + + =+ + +
÷
ç
÷
=
÷
ç
÷
ç
èø
-
ç
èø



Câu 5: Tng ca cp s nhân vô hn
()
1
1
1
111
,,,..., ,...
2 6 18 2.3
n
n
+
-
-
-
bng:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 311
A.
3
.
4
B.
8
.
3
C.
2
.
3
D.
3
.
8
Li gii
Chon D
. Ta có :
() ()
1
1
21
1
:
1
1
1,
3
1
111 11 3
1.
1
23 2 8
33
1
1
11 1
2618
2.3
3
n
n
CSN lvh u
n
n
q
S
++
-
==
-
-
æö
÷
æö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
-
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
+=-+++==
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
֍
÷
+
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
èø
÷
-
=++ +
÷
ç
èø
-


Câu 6: Tính tng
11 11 1 1
... ...
23 49 2 3
nn
S
æöæö æ ö
÷÷ ÷
çç ç
=-+-++ - +
÷÷ ÷
çç ç
÷÷ ÷
çç ç
èøèø è ø
.
A.
1.
B.
2
.
3
C.
3
.
4
D.
1
.
2
Li gii
Chn D
Ta có
1
1
1
2
1
:
3
:
11 11
11
2
11
... ...
23 49 2 3
11 11
24 39
3
nn
CSN lvh
n
uq
n
CSN lvh u q
S
==
==
æöæö æ ö
÷÷ ÷
çç ç
=-+-++ - +
÷÷ ÷
çç ç
÷÷ ÷
çç ç
èøèø è ø
æö
æö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
ç
÷
=++ -++
ç
ç
÷
ç
֍
÷
ç
ç
÷
ç
ç
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
èø
èø
++ ++





1
1
11
3
2
1.
11
22
11
23
÷
÷
=-=-=
÷
÷
÷
÷
--
÷
÷
÷
Câu 7: Giá tr ca gii hn
()
2
2
1 ...
lim 1, 1
1 ...
n
n
aa a
ab
bb b
++ + +
<<
++ + +
bng:
A.
0.
B.
1
.
1
b
a
-
-
C.
1
.
1
a
b
-
-
D. Không tn ti.
Li gii
Chn B
Ta có
2
1...
n
aa a++ + +
là tng
1n +
s hng đầu tiên ca cp s nhân vi s hng đầu là 1
công bi là
a , nên
()
1
1
2
1. 1
1
1 ... .
11
n
n
n
a
a
aa a
aa
+
+
-
-
++ + + = =
--
Tương t:
()
1
1
2
11
1
1 ... .
11
n
n
n
b
b
bb b
bb
+
+
-
-
++ + + = =
--
Do đó
()
1
21
211
1
1... 111
1
lim lim lim . 1, 1 .
11
1 ... 1 1
1
n
nn
nn n
a
aa a b a b
a
ab
aa
bb b b b
b
+
+
++
-
++ + + - - -
-
== =<<
--
++ + + - -
-
Câu 8: Rút gn
246 2
cos cos cos1cos
n
xxx xS ++++=++ 
vi
cos 1.x ¹
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 312
A.
2
sin .Sx=
B.
2
cos .Sx=
C.
2
1
.
sin
S
x
=
D.
2
1
.
cos
S
x
=
Li gii
Chn C
Ta có
2
1
246 2
22
:1,cos
11
cos cos cos cos1.
1cos sin
n
CSN lvh u q x
xxx x
x
x
S
==
++++ += ==+
-


Câu 9: Rút gn
()
246 2
1 sin sin sin 1 in.s
n
n
Sxxx x=- + - + +- +
vi
sin 1.x ¹
A.
2
sin .Sx=
B.
2
cos .Sx=
C.
2
1
.
1sin
S
x
=
+
D.
2
tan .Sx=
Li gii
Chn C
Ta có
()
2
1
2
:1, s
6
n
24 2
i
1si
1
1nsi .nsin s
1n
in .
si
n
CSN lvh x
n
uq
Sxxx x
x
==-
+-++--+==
+


Câu 10: Thu gn
23
1tan tan tanS aaa-=- + +¼
vi
0.
4
a
p
<<
A.
1
.
1tan
S
a
=
-
B.
cos
.
2sin
4
S
a
p
a
=
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
C.
tan
.
1tan
S
a
a
=
+
D.
2
tan .S a=
Li gii
Chn B
Ta có
()
tan 0;1a Î
vi mi
0; ,
4
p
a
æö
÷
ç
Î
÷
ç
÷
ç
èø
do đó
1
23
:1, tan
1cos cos
tan .
1tan sin co
1tan tan
s
2sin
4
CSN lvh u q
S
a
aa
p
aaa
aaa
a
==-
-+¼= = =
æö
++
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
=- +

Câu 11: Cho
,mn
là các s thc thuc
()
1; 1-
và các biu thc:
23
1Mmmm=+ + + +
23
1Nnnn=++ + +
22 33
1Amnmnmn=+ + + +
Khng định nào dưới đây đúng?
A.
.
1
MN
A
MN
=
+-
B.
.
1
MN
A
MN
=
++
C.
11 1
.A
M
NMN
=+-
D.
11 1
.A
M
NMN
=++
Li gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 313
Chn A
Ta có
1
1
1
1
,
1
1
1
1
M
m
m
M
n
N
N
n
ì
ì
ï
ï
ï
ï
=
=-
ï
ï
ï
ï
-
ïï
íí
ïï
ïï
=-
=
ïï
ïï
-
ï
ï
î
î
khi đó
11
.
11
11
11 1
MN
A
mn M N
MN
== =
æöæö
-+-
÷÷
çç
-- -
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Câu 12: S thp phân vô hn tun hoàn
0,5111
được biu din bi phân s ti gin
a
b
. Tính tng
.Tab=+
A.
17.
B.
68.
C.
133.
D.
137.
Li gii
Chn B
Ta có
23
0, 5111 0, 5 10 10 10
n-- -
=+ + ++ +
Dãy s
23
10 ;10 ;...;10 ;...
n-- -
là mt cp s nhân lùi vô hn có s hng đầu bng
2
1
10 ,u
-
= công
bi bng
1
10q
-
= nên
2
1
1
10 1
.
190
110
u
S
q
-
-
== =
-
-
Vy
23
46 23
0,5111... 0,5 68.
45
90 45
a
STab
b
ì
=
ï
ï
=+==¾¾¾¾=+=
í
ï
=
ï
î
Câu 13: S thp phân vô hn tun hoàn
0,353535...A =
được biu din bi phân s ti gin
a
b
. Tính
.Tab=
A.
3456.
B.
3465.
C.
3645.
D.
3546.
Li gii
Chn B
Ta có
2
24
2
35
35
35 35 35
10
0,353535... 0,35 0, 0035 ... ... 3465.
1
99
9910 10
1
10
a
A T
b
ì
=
ï
ï
==++=++===
í
ï
=
ï
î
-
.
Câu 14: S thp phân vô hn tun hoàn
5, 231231...B =
được biu din bi phân s ti gin
a
b
. Tính
.Tab=-
A.
1409.
B.
1490.
C.
1049.
D.
1940.
Li gii
Chn A
Ta có
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 314
3
36
3
5,231231... 5 0, 231 0,000231 ...
231
1742
231 231 231 1742
10
5 ... 5 5 1409
1
333
999 33310 10
1
10
B
a
T
b
==+++
ì
=
ï
ï
=+++=+ =+= ¾¾=
í
ï
=
ï
î
-
Câu 15: S thp phân vô hn tun hoàn
0,17232323¼
được biu din bi phân s ti gin
a
b
. Khng
định nào dưới đây đúng?
A.
15
2.ab->
B.
14
2.ab->
C.
13
2.ab->
D.
12
2.ab->
Li gii
Chn D
Ta có
468
12 13
111
0,17232323 0,17 23
10 10 10
1
17 17 23 1706 853
10000
23.
1
100 100 100.99 9900 4950
1
100
853
2 4097 2 .
4950
a
T
b
æö
÷
ç
¼= + + +
÷
ç
÷
ç
èø
=+ =+ = =
-
ì
=
ï
ï
¾¾<=<
í
ï
=
ï
î
.
Dng6:Giihndãysốquylutcôngthc,dãychobihệthctruyhi
1.Phươngpháp
Dãytăngbịchntrênhocgimbịchndướithìtntigiihn.
Phươngphápquynpthườngđượcsửdng.
2.Cácdụrènluy
nkĩnăng
dụ1:Cho


n
11 1
u...
1.2 2.3
nn 1
.Tính
n
limu

Hướngdngii
Taluôncó:


111
kk1
kk 1
ápdngvào
n
u:


n
111 1
u...
1.2 2.3 3.4
nn 1




11 11 11 1 1 1
... 1
12 23 34 nn1 n1
Dođó:
n
1
limu lim 1 1.
n1




dụ2:Cho

n
111 1
u....
3.5 5.7 7.9
2n 1 2n 1


Tính
n
limu
Hướngdngii
Taluôncó:

1111
.
22k1 2k1
2k 1 2k 1






Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 315

n
111 1
u...
3.5 5.7 7.9
2n 1 2n 1
11 1 11 1 11 1 1 1 1
...
23 5 25 7 27 9 22n1 2n1
11 1
.
23 2n1










Dođó
n
11 1 1
lim u lim .
23 2n1 6




dụ3:

2
123...n
lim
2n
bngbaonhiêu?
Hướngdngii


nn 1
1 2 3 ... n
2
nên:
22
nn 1
1 2 3 ... n 1
lim lim .
4
2n 4n

dụ4:Tínhgiihn:
22 2
11 1
lim 1 1 ... 1 .
23 n







Hướngdngii
Tacó:





22 2
22 2222
11 12131n1
1 1 ... 1 . ...
23 n23n
22 2
2 1.2 1.3 1.3 1...n 1 n 1
n1
.
2n
2.3...n


Vy
22 2
11 11
lim 1 1 ... 1 .
2
23 n







dụ5:Tìmgiihncadãy:
1
*
n
n1
U2
.
U1
U;n
2

Hướngdngii
Cách1:Giibngtựlun
Tachngminhy
n
U bịchn:
n
1U 2.
Dãy
n
U dãygim.
Thtvytaxét

n
k1 k k
U1
UU U
2

kk k
2U U 1 U 1
(đúng).
Vydãy
n
U giihn.Đt
n
limU a
.
Tacó:





n
n1
U1
lim U lim
2
hay
a1
aa1.
2

Cách2:Giinhanhbngmáytính
Khaibáo:
1X
{biếnđếm};
2A
{giátrị
1
u
}
Ghivàomànhình:
A1
XX1:A
2


n
CALC
lpliphím
,quansáttathydãygimbịchndướibi1.V y
n
limU 1.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 316
dụ6:Tìmgiihncadãy:
1
*
n1 n
U2
.
U2U;n

Hướngdngii
Cách1:Giibngtựlun
Tasẽchngminhdãybịchn:

n
2U 2
(bngphươngphápquynp).
1
U3
(đúng).
Giảsử
k
U2,k1.
Tacó:

k1 k
U2U222k1.
 
Vy
*
k
U2n.
Tươngt:
*
n
U2n . Tachngminhdãy
n
U dãytăng(bngphươngphápquynp).
+
12 12
U2;U22UU.
+Giảsử

k1 k
UUk2
.Taxét

*
kk1
UU;k
 
22
kmkkkk
U2UU2UUU20

k
1U 2
(luônđúng 
*
k
2U 2,k )
Vydãy
n
U tăng;bịchntrênnêngiihn,gi

nn1
alimU limU
.
Tacó:
 
2
nn
limU 2 LimU a 2 a a 2 a

2
aa20

a2 (nhaän)
a1 (loaïi)
Cách2:Giinhanhbngmáytính
Khaibáo:
1X
{biếnđếm};
2A
{giátrị
1
u
}
Ghivàomànhình:
XX1:A 2A

n
CALC
lpliphím
,quansáttathydãytăngbịchndướibi2.Vy
n
limU 2.
dụ7:Tìmgiihncadãy:
1
*
n1 n
n
U3
.
13
UU;n
2U





A.
2.
B.
13
.
2
C.
3.
D.
3
.
2
Hướngdngii
ĐÁPÁNC
Tacó:

*
n
U0,n .
Theobtđẳngthcsi,tacó:
*
n1 n
n
13
UU 3,n.
2U






Vy
n
U dãybịchndưới.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 317









2
2
n
nnn1n n
nn
U
131
U3U3U U U
2U2U

*
nn n
1
UU U,n .
2

Dãyđãchogim.Vydãygiihn.Đặt
n1 n
limU limU a.
Tacó:









nn
n
13
limU lim U
2U
2
13
aa a3a3.
2a

 


3. Bài tp trc nghm
Câu1:Tínhgiihn:
2
135... 2n1
lim .
3n 4

A.0. B.
1
.
3
C.
2
.
3
D.1.
Ligii
ĐÁPÁNB
Tacó:

2
135... 2n1 n1.
Vy:
 


2
22
135... 2n1 n1
lim lim
3n 4 3n 4
2
2
2
2
21
1
n2n1 1
n
n
lim lim .
4
3
3n 4
3
n



Câu2:Tínhgiihn:

11 1
lim ... .
1.2 2.3
nn 1




A.0. B.1.
C.
3
.
2
 D.Khônggiihn.
Ligii
ĐÁPÁNB
Tacó:








11 1 111 11
lim ... lim 1 ...
1.22.3 223 nn1
nn 1
1
lim 1 1.
n1




Câu3:Tínhgiihn:

11 1
lim ... .
1.3 3.5
n2n 1 2n 1





A.1. B.0. C.
1
.
2
D.2.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 318
Ligii
ĐÁPÁNC.
Tacó:






11 1
lim ...
1.3 3.5
n2n 1 2n 1
1111111 11
lim 1 ... lim 1 .
2 3 3 5 2n12n1 2 2n1 2





Câu4:Tínhgiihn:

11 1
lim ... .
1.3 2.4
nn 2




A.
3
.
4
B.1. C.0. D.
2
.
3
Ligii
ĐÁPÁNA
Tacó:


11 1
...
1.3 2.4
nn 2










111111 1 111
1...
232435 n1n1nn2
111 1
1
22n1n2
Vy

11 1 3
lim ... .
1.3 2.4 4
nn 2




Câu5:Tínhgiihn:

11 1
lim ... .
1.4 2.5
nn 3




A.
11
.
18
B.2. C.1. D.
3
.
2
Ligii
ĐÁPÁNA
Tacó:


11 1
...
1.4 2.5
nn 3







111111111 1 1 1 1 1 1 1 1
...
31 4 2 5 3 6 4 7 n 3 n n 2 n 1 n 1 n 2 n n 3
1111 1 1
1
323n1n2n3
vy:

11 1 11
lim ... .
1.4 2.5 18
nn 3




Câu6:Chodãy
n
u vi
n
2
1 2 3 ... n
u.
n1

Mnhđềnàosauđâymnhđềđúng?
A.
n
limu 0.
 B.
n
1
limu .
2
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 319
C.
n
limu 1.
 D.
n
limu
khôngtnti.
Ligii
ĐÁPÁNB
Dãysố1,2,3,…,ncpsốcngsốhngđu
1
u1
sốhngcuicùng
n
un
,côngsai
d1
.
Khiđó

1
n
nu n nn 1
S123...n .
22


Viếtli:


n
2
nn 1
u
2n 1


2
n
2
2
2
1
n1
nn 1
n
1
limu lim lim lim .
2
2
2n 1
n2
n







Câu7:Tìmgiihncay:
1
2
*
n
n1
1
U
2
.
U
1
U;n
22

A.2. B.1.
C.
2.
 D.Khônggiihn.
Ligii
ĐÁPÁNB
Tacó:

123
1557
U;U;U ;...
2864
Tachngminh:

*
n
U1n (bngphươngphápquynp).Vyybịchntrên.
Tachngminh
n
U dãytăng.Thtvy:
Tacó:

2
n
n1 n n
U
1
UU U
22


2
2
nn n
U2U10 U1 0
luônđúng

*
n
,
n
U1
.
Vydãygiihn.Đặt

nn1
alimU limU
.
Tacó:





2
2
2
n
n1
U
11a
limU lim a 2a 1 a
22 22

2
a2a10a1
.
Câu8:Tìmgiihncay:
1
2
*
n
n1
n
U5
.
2U
U;n
2U


A.1. B.
2.

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 320
C.
3.
 D.Khônggiihn.
Ligii
ĐÁPÁNB
Tacó:

n1 n
n
11
UU2
U2
(theobtđẳngthcsivi
n
U0
).Vy
n
U ybịchndưới.
Du“=”khôngxyra,nên
*
n
U2,n.
Licó:

2
n1 n
22
n
nn
U2U
11
U2
2U U
. 
2
nn
U2U2
*
n1 n
22
nn
11 1111
1U U,n .
2222
UU

Vydãygim,khiđó
n
U
giihn.Đặt
n1 n
limU limU a
a0
.
Tacó:

2
2
22
n
n1
n
2U
2a
limU lim a 2a 2 a
2U 2a

2
a2a 2
(vì
a0
).
Câu9:Tìmgiihncay:

1
*
n1 n
U2
U2.U;n
A.2. B.
12.

C.
17
.
2
 D.Khônggiihn.
Ligii
ĐÁPÁNA
Tacó:

12
U2;U22
;…
Tasẽchngminh
n
U2
;

*
n
(bngphươngphápquynp).

1
n1,U 22.Giảsử

k
U2,k1
.
Tacó:
k1 k
U2U2.242.

Vy

n
U2,n
.Licó:
*
n
U0,n .
Licó:

n
n1
nn n
2U
U
22
1
UU U2
dãytăng.
Vydãyđãchogiihn.Đặt

n1 n
limU limU a a 0
Tacó:
2
n1 n
limU lim 2U a 2a a 2a a 2.

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 321
BÀI 2. GII HN HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. GII HN HU HN CA HÀM S TI MT ĐIM
1. Định nghĩa
Cho khong K cha đim
0
x
và hàm s
yfx
xác định trên K hoc trên
0
K\{x }
. Ta nói hàm s

yfx có gii hn là s L khi x dn đến
0
x
nếu vi dãy s

n
x bt kì,
n0n0 n
x K \{x } vaø x x ,tacoù f(x ) L.
Kí hiu:
0
xx
0
lim f(x) L hay f(x) L khix x

nn 0n 0 n
xx
0
lim f(x) L (x ),x K \{x },x x f(x ) L

2. Định lí v gii hn hu hn:
Ta tha nhn định lý sau:

xx xx
00
xx
0
xx
0
xx
0
xx xx
00
a)Giaûi söû lim f(x) L vaø lim g(x) M.Khi ñoù:
* lim f(x) g(x) L M;
*lim f(x).g(x) L.M;
f(x) L
* lim neáuM 0 .
g(x) M
b)Neáuf(x) 0 vaø lim f(x) L thì :L 0 vaø lim f(x) L.
Daáu cu














0
ûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x x
3. Gii hn mt bên
* Định nghĩa:
Cho hàm s

yfx
xác định trên khong
0
x;b.
S L được gi là gii hn bên phi ca hàm s
yfx
khi
0
xx nếu vi dãy s

n
x
bt kì,
0n n 0 n
x x b vaø x x ta coù: f(x ) L.
Kí hiu:
xx
0
lim f(x) L
n0 n n 0 n
xx
0
lim f(x) L x ,x x b,x x f(x ) L

Cho hàm s

yfx
xác định trên khong
0
a;x .
S L được gi là gii hn bên trái ca hàm
s

yfx
khi
0
xx nếu vi dãy s
n
x
bt kì,
n0 n 0 n
a x x vaø x x ta coù: f(x ) L.
hiu:
xx
0
lim f(x) L.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 322

nn0n0n
xx
0
lim f(x) L x ,a x x ,x x f(x ) L.

* Định lí
xx
0
xx xx
00
lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L.



II. GII HN HU HN CA HÀM S TI VÔ CC
* Định nghĩa
Cho hàm s

yfx
xác định trên khong (a; ).
Ta nói hàm s
yfx
có gii hn là s L
khi khi
x  nếu vi mi dãy s
n
x bt kì,
nn n
x a vaø x ta coù: f(x ) L.
.
Kí hiu:
x
lim f(x) L hay f(x) Lkhix .



nn n n
x
lim f(x) L x ,x a,x f(x ) L.


Cho hàm s

yfx
xác định trên khong (;a).
Ta nói hàm s
yfx
có gii hn là s L
khi khi
x 
nếu vi mi dãy s
n
x
bt kì,
nn n
x a vaø x ta coù: f(x ) L.
Kí hiu:
x
lim f(x) L hay f(x) Lkhix .



nn n n
x
lim f(x) L x ,x a,x f(x ) L.


III. GII HN VÔ CC CA HÀM S
1. Gii hn vô cc
Các định nghĩa v gii hn
 ( hoc
) ca hàm s được phát biu tương t các định nghĩa 1,2
hay 3 trên. Chng hn, gii hn
 ca hàm s
yfx
khi x dn đến dương vô vc được định
nghĩa như sau:
* Định nghĩa: Cho hàm s

yfx
xác định trên khong
a; .
Ta nói hàm s

yfx
có gii hn là
khi
x 
nếu vi mi dãy s
n
(x ) bt kì,
nn n
x a vaø x , ta coù: f(x ) .
Kí hiu:
x
lim f(x) hay f(x) khi x

  
nn n n
x
lim f(x) (x ),x a,x f(x ) .

  
Nhn xét:
xx
lim f(x) lim f( x) .
 
 
2. Các gii hn đặc bit
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 323
xx
x
k
x
k
x
c
1. lim c c lim 0 vôùi c laø haèng soá
x
2. lim x
neáu k nguyeân döông
3. lim x
0 neáu k nguyeân aâm
neáu k chaün
4. lim x
neáu k leû
 








3. Mt vài quy tc v gii hn vô cc:
a) Quy tc tìm gii hn ca tích
f(x).g(x)
Nếu
xx xx xx
00 0
lim f(x) L 0 vaø lim g(x) hoaëc thì lim f(x)g(x)

 được tính theo quy tc trong
bng sau:
xx
0
lim f(x)
xx
0
lim g(x)
xx
0
lim f(x).g(x)
L0


L0

-
+
b) Quy tc tìm gii hn ca tích
f(x)
g(x)
xx
0
lim f(x)
xx
0
lim g(x)
Du ca g(x)
xx
0
f(x)
lim
g(x)
L

Tu ý 0
L0
0
+
-
L<0
+
-
Các quy tc trên vn đúng cho các trường hp
00
xx,xx,x ,x


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 324
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Dãy s có gii hn hu hn
1. Phương pháp
Nếu hàm s

fx xác định trên
0
Kx
thì
0
xx
0
lim f x f x .
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
Ví d 1: Tính

2
x1
lim x x 7 .


Hướng dn gii

2
x1
lim x x 7 1 1 7 9.


Ví d 2: Tính
45
46
x1
3x 2x
lim
5x 3x 1

Hướng dn gii
45
46
x1
3x 2x 3 2 1
lim .
531 9
5x 3x 1




Ví d 3: Tính
3
x1
lim 4x 2x 3


là:
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN A
3
x1
lim 4x 2x 3 4 2 3 5.


Ví d 4: Tính
3
3
x1
2
x1
lim
x32


Hướng dn gii
3
3
3
x1
2
x1 11
lim 0.
42
x32




Ví d 5: Tính
42
2
x2
x4x3
lim
7x 9x 1



Hướng dn gii
42
2
x2
x 4x 3 16 16 3 1
lim .
28 18 1 3
7x 9x 1





3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Giá tr ca gii hn
()
2
2
lim 3 7 11
x
xx
++
là:
A.
37. B. 38. C. 39. D. 40.
Li gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 325
Chn A
()
22
2
lim 3 7 11 3.2 7.2 11 37
x
xx
++ = + +=
Câu 2: Giá tr ca gii hn
2
3
lim 4
x
x
-
là:
A.
0. B. 1. C. 2. D. 3.
Li gii
Chn B
()
2
2
3
lim 4 3 4 1
x
x
-= -=
Câu 3: Giá tr ca gii hn
2
0
1
lim sin
2
x
x
là:
A.
1
sin .
2
B.
.
C.
.
D.
0.
Li gii
Chn D
Ta có
2
0
11
lim sin 0.sin 0
22
x
x
==
Câu 4: Giá tr ca gii hn
2
3
1
3
lim
2
x
x
x
-
-
+
là:
A.
1.
B.
2.-
C.
2.
D.
3
.
2
-
Li gii
Chn B
()
()
2
2
33
1
13
3
lim 2
2
12
x
x
x
-
--
-
==-
+
-+
Câu 5: Giá tr ca gii hn
()
()
3
4
1
lim
21 3
x
xx
xx
-
--
là:
A.
1.
B.
2.-
C. 0. D.
3
.
2
-
Li gii
Chn C
()
()
()
()
33
44
1
11
lim 0
21 3 2.1113
x
xx
xx
--
==
-- --
Câu 6: Giá tr ca gii hn
4
1
1
lim
3
x
x
xx
-
-
+-
là:
A.
3
.
2
-
B.
2
.
3
C.
3
.
2
D.
2
.
3
-
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 326
Li gii
Chn D
Ta có
4
1
11
12
lim
113 33
x
x
xx
-
--
-
==-
--+-
Câu 7: Giá tr ca gii hn
2
1
31
lim
1
x
x
x
x
-
+-
-
là:
A.
3
.
2
-
B.
1
.
2
C.
1
.
2
-
D.
3
.
2
Li gii
Chn A
Ta có
2
1
31 311 3
lim
1112
x
xx
x
-
+- ++
==-
---
Câu 8: Giá tr ca gii hn
()
()
2
4
3
9
lim
21 3
x
xx
xx
-
--
là:
A.
1
.
5
B. 5. C.
1
.
5
D. 5.
Li gii
Chn C
()
()
()
()
22
44
3
99.331
lim
21 3 2.3133
5
x
xx
xx
--
==
-- --
Câu 9: Giá tr ca gii hn
2
3
2
2
1
lim
2
x
xx
x
x
-+
+
là:
A.
1
.
4
B.
1
.
2
C.
1
.
3
D.
1
.
5
Li gii
Chn B
22
3
22
2
12211
lim
2222.2
x
xx
xx
-+ -+
==
++
Câu 10: Giá tr ca gii hn
3
2
2
3432
lim
1
x
xx
x
-- -
+
là:
A.
3
.
2
-
B.
2
.
3
-
C.
0.
D.
.
Li gii
Chn C
Ta có:
3
2
3
2
3432124620
lim 0
133
x
xx
x
-- - -- -
===
+
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 327
Dng 2. gii hn mt bên
1. Phương pháp
Ta cn nm các tính cht sau

n0 n n 0 n
nn
xx
0
lim f(x) L x ,x x b, lim x x lim f(x ) L
 


nn0 n0 n
nn
xx
0
xx
0
xx xx
00
lim f(x) L x ,a x x , lim x x lim f(x ) L
lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L
 




2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
Ví d 1: Tính
x3
x3
lim
2x 6
Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun

x3 x3
x3
x3 1
lim lim .
2x 6 2
2x 3



Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
x3
2x 6
n
5
CALC 3 10
ta được kết qu
Ví d 2: Tính
3
2
x1
1x
lim
3x x
Hướng dn gii
3
2
x1
1x 0
lim 0.
4
3x x

Ví d 3: Tính
3
2
x2
x2x3
lim
x2x


Hướng dn gii
ĐÁP ÁN D
T s có gii hn là
1 , mu s có gii hn 0 và khi x2
thì
2
x2x0.
Do đó
3
2
x2
x2x3
lim .
x2x



Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 328
Ví d 4: Tính
x0
2x x
lim
5x x
Hướng dn gii



x0 x0 x0
x2x 1 2x 1
2x x 1
lim lim lim 1.
1
5x x
x5x 1 5x 1






Ví d 5: Tính

2
32
x1
x4x3
lim
xx


Hướng dn gii
 



2
32 2 2
x1 x1 x1
x1x3 x1x3
x4x3 0
lim lim lim 0.
1
xx xx1 x

  




Ví d 6: Cho hàm s

2
x1
vôùi x 1
fx .
1x
2x 2 ùi x 1

Khi đó
x1
lim f x
bng bao nhiêu?
Hướng dn gii

2
x1 x1
x1
lim f x lim
1x



vì t s có gii hn là 2, mu s có gii hn 0 và
1x 0
vi
x1.
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Kết qu ca gii hn
2
15
lim
2
x
x
x
+
-
-
là:
A.
. B.
.
C.
15
.
2
-
D. 1.
Li gii
Chn A
.
()
()
2
2
2
lim 15 13 0
15
lim .
2
lim 2 0 & 2 0, 2
x
x
x
x
x
x
xxx
+
+
+
ì
ï
-=-<
ï
-
ï
¾¾=-¥
í
ï
-
-= ->">
ï
ï
î
Câu 2: Kết qu ca gii hn
2
2
lim
2
x
x
x
+
+
-
là:
A.
.
B.
.
C.
15
.
2
-
D. Không xác định.
Li gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 329
2
2
2
lim 2 2 0
2
lim .
2
lim 2 0 & 2 0, 2
x
x
x
x
x
x
xxx
+
+
+
ì
ï
+=>
ï
+
ï
ï
¾¾=+¥
í
ï
-
-= -> ">
ï
ï
ï
î
Câu 3: Kết qu ca gii hn
()
2
36
lim
2
x
x
x
+
-
+
+
là:
A.
. B. 3.
C.
. D. Không xác định.
Li gii
Chn B
Ta có
22xx+=+
vi mi
2,x >-
do đó :
() () ()
()
()
22 2 2
36 3 2 3 2
lim lim lim lim 3 3
22 2
xx x x
xx x
xx x
++ + +
- - - -
++ +
== ==
++ +
Câu 4: Kết qu ca gii hn
2
2
2
lim
252
x
x
xx
-
-
-+
là:
A.
.
B.
.
C.
1
.
3
-
D.
1
.
3
Li gii
Chn C
Ta có
()( )
2
22 2
2211
lim lim lim .
212 12 3252
xx x
xx
xx xxx
-- -

--
===-
-- --+
Câu 5: Kết qu ca gii hn
()
()
2
2
3
13 30
lim
35
x
xx
xx
+
-
++
++
là:
A.
2.-
B.
2.
C.
0.
D.
2
.
15
Li gii
Chn C
Ta có
30x +> vi mi
3,x >-
nên:
()
()
()( )
()
()
() ()
()
2
22
22
333
310 3.10 3337
13 30
lim lim lim 0
5
35 35
35
xxx
xx xx
xx
x
xx xx
+++
- - -
+ + + + -+ -+
++
====
+
++ ++
-+
.
Câu 6: Cho hàm s
()
2
2
1
1
31 1
.
x
x
x
fx
xx
<
-
=
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
víi
víi
Khi đó
()
1
lim
x
f
x
+
là:
A.
.
B.
2.
C.
4.
D.
.
Li gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 330
()
22
11
lim lim 3 1 3.1 1 2
xx
fx x
++

=+=+=
Câu 7: Cho hàm s
()
2
.
1
1
1
22 1
x
x
fx
x
xx
+
<
=
-
³
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
-
víi
víi
Khi đó
()
1
lim
x
fx
-
là:
A.
. B.
1.-
C.
0.
D.
1.
Li gii
Chn A
()
2
11
1
lim lim
1
xx
x
fx
x
--

+
==+¥
-
()
() ( )
2
1
1
lim 1 2
.
li 0 0 1m1 &1
x
x
x
xxx
-
-
"<
ì
ï
+=
ï
ï
í
ï
-= ->
ï
ï
î
Câu 8: Cho hàm s
()
2
.
3 2
1 2
xx
fx
xx
-
ì
ï
ï
³
=
-<
í
ï
ï
î
víi
víi
Khi đó
()
2
lim
x
f
x
là:
A.
1.-
B.
0.
C.
1.
D. Không tn ti.
Li gii
Chn C
Ta có
()
()
() ( )
() () ()
2
22
2
22
22
lim lim 3 1
lim lim 1 lim 1.
lim lim 1 1
xx
x
xx
xx
fx x
fx fx fx
fx x
++
+-
--



ì
ï
=-=
ï
ï
===
í
ï
=-=
ï
ï
î
Câu 9: Cho hàm s
()
23 2
1 2
.
xx
fx
ax x
-+ ³
=
-
ì
ï
ï
í
ï
<
ï
î
víi
víi
Tìm
a
để tn ti
()
2
lim .
x
f
x
A.
1.a =
B.
2.a =
C.
3.a =
D.
4.a =
Li gii
Chn B
Ta có
() ( )
()
()
22
22
lim lim 1 2 1
.
lim lim 2 3 3
xx
xx
fx ax a
fx x
--
++


ì
ï=-=-
ï
ï
í
ï
=-+=
ï
ï
î
Khi đó
()
2
lim
x
f
x
tn ti
() ()
22
lim lim 2 1 3 2.
xx
fx fx a a
-+

=-==
Câu 10: Cho hàm s
()
2
2
23 3
1 3
2
.
3 3
xx x
fx x
xx
-+ >
==
-<
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
víi
víi
víi
Khng định nào dưới đây sai?
A.
()
3
lim 6.
x
fx
+
=
B. Không tn ti
()
3
lim .
x
f
x
C.
()
3
lim 6.
x
fx
-
=
D.
()
3
lim 15.
x
fx
-
=-
Li gii
Chn C
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 331
Ta có
()
()
()
()
() ()
2
33
2
33
33
lim lim 2 3 6
lim lim
lim lim 3 2 15
++
+-
--



ì
ï
=-+=
ï
ï
ï
¾¾¹
í
ï
=-=-
ï
ï
ï
î
xx
xx
xx
fx x x
f
xfx
fx x
¾¾ không tn ti gii hn khi
3.x
Vy ch có khng định C sai.
Dng 3. Gii hn ti vô cc
1. Phương pháp
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
3. Bài tp trc nghim
Câu 11: Giá tr ca gii hn
()
3
lim 1
x
xx
-¥
-+
là:
A.
1. B. . C. 0. D.
.
Li gii
Chn D
()
33
23
11
lim 1 lim 1
xx
xx x
xx
-¥ -¥
æö
÷
ç
-+= -+ =+¥
÷
ç
÷
ç
èø
3
23
lim
.
11
lim 1 1 0
x
x
x
xx
-¥
-¥
ì
ï
=-¥
ï
ï
ï
í
æö
ï
÷
ç
-+ =-<
÷
ï
ç
÷
ï
ç
èø
ï
î
Gii nhanh:
()
33
11xx x-+ - ¾¾+¥
khi
.
x
-¥
Câu 12: Giá tr ca gii hn
()
3
2
lim 2 3
x
x
xx
-¥
++
là:
A.
0.
B.
.
C.
1.
D. .
Li gii
Chn B
Ta có
()
()
3
2323
2
23
lim 2 3 lim 2 3 lim 1 .
xxx
xxx xxx x
xx
-¥ -¥ -¥
æö
÷
ç
++ = -+-= -+-=+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Gii nhanh:
33
2
23xxxx++ +¥
khi
.
x
-¥
Câu 13: Giá tr ca gii hn
()
2
lim 1
x
x
x
+¥
++
là:
A.
0.
B.
.
C. 21.- D. .
Li gii
Chn B
Gii nhanh:
22
:1 2xxxxxx+¥ + + + = +¥
.
Đặt
x
làm nhân t chung:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 332
()
2
2
1
lim 1 lim 1 1
xx
xx x
x
+¥ +¥
æö
÷
ç
÷
ç
++ = + + =+¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
2
2
lim
.
1
lim 1 1 2 0
x
x
x
x
+
+¥
ì
=+¥
ï
ï
ï
ï
í
ï
++=>
ï
ï
ï
î
Câu 14: Giá tr ca gii hn
()
3
32
lim 3 1 2
x
xx
+¥
-+ +
là:
A.
3
31.+ B.
.
C.
3
31.- D. .
Li gii
Chn B
Gii nhanh:
()
33
32 32
3
:3 1 2 3 31 .xxxxxx+¥ - + + + = + +¥
Đặt
x
làm nhân t chung:
()
3
32
3
32
12
lim 3 1 2 lim 3 1
xx
xx x
xx
+¥ +¥
æö
÷
ç
÷
ç
-+ + = - + + =+¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
3
3
32
lim
.
12
lim 3 1 3 1 0
x
x
x
xx
+¥
+¥
ì
=+¥
ï
ï
ï
ï
ï
æö
í
÷
ç
ï
÷
ç
-++ = +>
ï
÷
ç
ï
÷
÷
ç
èø
ï
ï
î
Câu 15: Giá tr ca gii hn
()
2
lim 4 7 2
x
x
xxx
+¥
++
là:
A.
4.
B.
.
C.
6.
D. .
Li gii
Chn D
Đặt
2
x
làm nhân t chung:
()
22
7
lim 4 7 2 lim 4 2
xx
xx xx x
x
+¥ +¥
æö
÷
ç
÷
ç
++ = ++=+¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
2
lim
.
7
lim 4 2 4 0
x
x
x
x
+¥
+¥
ì
ï
=+¥
ï
ï
ï
ï
æö
í
÷
ç
ï
÷
ç
++ =>
ï
÷
ç
ï
÷
÷
ç
ï
èø
ï
î
Gii nhanh:
()()
222
:4 72 4 2 4 .xxxxxxxxx+¥ + + + = +¥
Dng 4. Dng vô định
0
0
1. Phương pháp
Nhn dng vô định
0
0
:
xx xx xx
000
u(x)
lim khi lim u(x) lim u(x) 0.
v(x)

Phân tích t và mu thành các nhân t và gin ước
0
xx xx xx xx
oo o o
0
(x x )A(x)
u(x) A(x) A(x)
lim lim lim vaø tính lim .
v(x) (x x )B(x) B(x) B(x)


Nếu phương trình
fx 0
có nghim là
0
x thì
0
fx x x .gx
Đặc bit:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 333
Nếu tam thc bc hai

2
12
12
f(x) ax bx c,maø f(x) 0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,x
thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x) a x -x x -x

Phương trình bc 3:
32
ax bx cx d 0 (a 0)
1
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner

1
a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner

Nếu
ux
vx có cha du căn thì có th nhân t và mu vi biu thc liên hip, sau đó
phân tích chúng thành tích để gin ước.
3
33
22
3
33
22
A B löôïng lieân hieäp laø: A B.
A B löôïng lieân hieäp laø: A B.
A B löôïng lieân hieäp laø: A B.
A B ôïng lieân hieäp laø: A B A B .
A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B .











2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
Ví d 1: Tính
2
x1
x3x2
lim
x1

Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun

2
x1 x1 x
x1x2
x3x2
lim lim lim x 2 1.
x1 x1





Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
2
X3X2
X1

n
10
CALC 1 10
ta được kết qu
Ví d 2: Tính
2
2
x1
2x 3x 1
Llim .
1x

Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun



2
2
x1 x1 x1
2x 1 x 1 2x 1
2x 3x 1 1
lim lim lim .
2
1x1x 1x
1x





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 334
Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
2
2
2X 3X 1
1X

n
10
CALC 1 10
ta được kết qu
Ví d 3: Tính
2
3
x1
x3x2
lim
x1

Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun



2
32
2
x1 x1 x1
x1x2
x3x2 x2 1
lim lim lim .
3
x1 xx1
x1x x1






Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
2
3
x3x2
x1

n
10
CALC 1 10
ta đưc kết qu
Ví d 4: Tính
44
ta
ta
lim
ta
Hướng dn gii

44
32 2 3 3
ta ta
ta
lim lim t t a ta a 4a .
ta


Ví d 5: Tính
4
3
y1
y1
lim
y1
Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun




32
432
32
2
y1 y1 y1
y1y y y1
y1 yyy14
lim lim lim .
3
y1 yy1
y1y y1






Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
4
3
Y1
Y1
n
10
CALC 1 10
ta được kết qu
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 335
Ví d 6: Tính
2
x2
4x
lim
x73

Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
2
x2
4x
lim
x73






2
x2 x2
x2
x4x73 x2x2x73
lim lim
x79
x73 x73
lim x 2 x 7 3 24.




 




Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
2
4X
X73

n
5
CALC 1 10
ta được kết qu
24.
Lưu ý: Để ra kết qu chính xác
24 ta có th tính theo quy tc Lô-pi-tan như sau:
Nhp


2
x2
x2
d
4X
dx
d
X73
dx

ri n phím
ta được kết qu chính xác 24.
Ví d 7: Tính
x0
1x1
lim
x

Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun

x0 x0 x0
1x1 1x1 1 1
lim lim lim .
x2
1x1
x1x1





Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 336
Nhp vào màn hình
1x1
x

n
5
CALC 0 10
ta được kết qu
1
.
2
Lưu ý: Để ra kết qu chính xác
1
2
ta có th tính theo quy tc Lô-pi-tan như sau:
Nhp


x0
x0
d
1X1
dx
d
X
dx

ri n phím
ta được kết qu chính xác
1
0,5 .
2
Ví d 8: Tính
2
x4
x6x8
lim
x2

Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun




2
x4 x4 x4
x2x4 x2
x6x8
lim lim lim x 2 x 2 2 4 8.
x4
x2




Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
2
x6x8
x2

n
5
CALC 4 10
ta được kết qu
8.
Lưu ý: Để ra kết qu chính xác
8
ta có th tính theo quy tc Lô-pi-tan như sau:
Nhp


2
x4
x4
d
X6X8
dx
d
X2
dx

ri n phím
ta được kết qu chính xác
8.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 337
Ví d 9: Tính
3
2
x2
2
x42
lim
42x8


b
Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
3
2
x2
2
x42
Elim
42x8


Nhân t và mu hai lượng liên hp:
2
33
22 2
x4 2x4442x8









2
333
222 2
2
x2
33
2222
x42 x4 2x4442x8
Elim
42x842x8 x4 2x44


 

















22
2
x2
33
22 2
22
2
x2
33
22 2
2
2
x2
33
22
x484 2x8
lim
16 2x 8 x 4 2 x 4 4
x442x8
lim
2x 4 x 4 2 x 4 4
42x8 8 1
lim .
24 3
2x4 2x44





































Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
3
2
2
x42
42x8


n
5
CALC 4 10
ta được kết qu
1
.
3
Li bình: Nếu ta dùng quy tc Lô-pi-tan
Nhp
3
2
x2
2
x2
d
x42
dx
d
42x8
dx








ri n phím
ta được kết qu

1
0, 3 .
3

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 338
Ví d 10: Tính
4
2
2
x2
x122
lim
x4


Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
4
2
2
x2
x122
Elim
x4



44
22
x2
4
22
x122 x122
lim
x4 x122


 







2
x2
4
22
x124
lim
x4 x122






(vn còn dng vô định
0
0
)


22
x2
4
22 2
2
x2
4
22 2
x2
4
22
x124 x124
lim
x4 x122 x124
x1216
lim
x4 x122 x124
11
lim .
32
x122 x124




 













 


Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Ta dùng quy tc Lô-pi-tan
Nhp

4
2
x2
2
x2
d
x122
dx
d
x4
dx






ri n phím
ta được kết qu
1
0,03125 .
32
Ví d 11: Tính
6
2
x1
x1
lim
x1
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 339
Cách 1: Gii bng t lun
6
2
x1
x1
E lim
x1


6
66
2
6x1
6
22
x1 x x1
lim
x1 x x1









6
x1
6
22
x1
lim
x1 x x1




(Vn dng vô định
0
0
)





6x1
6
2
6x1
6
2
x1 x1
lim
x1x1 x x1 x1
11
lim .
12
x1 x x1 x1










Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Ta dùng quy tc Lô-pi-tan
Nhp


6
x1
2
x1
d
X1
dx
d
x1
dx
ri n phím
ta được kết qu

1
0,08 3 .
12
Để chuyn

1
0,08 3
12
ta bm như sau 0.08Qs3=
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Giá tr ca gii hn
3
2
2
8
lim
4
x
x
x
-
-
là:
A.
0.
B.
.
C.
3. D. Không xác định.
Li gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 340
Chn C
Ta có
322
2
22 2
8(2)(24) 2412
lim lim lim 3
(2)(2) 2 4
4
xx x
x x xx xx
xx x
x

--++ ++
====
-+ +
-
Câu 2: Giá tr ca gii hn
5
3
1
1
lim
1
x
x
x
-
+
+
là:
A.
3
.
5
-
B.
3
.
5
C.
5
.
3
-
D.
5
.
3
Li gii
Chn D
()
()
()
()
432
5 432
3 2
2
11 1
11
115
lim lim lim .
311
11
xx x
xxxxx
xxxxx
xxx
xxx
- - -
+-+-+
+-+-+
===
+-+
+-+
Câu 3: Biết rng
3
2
3
263
lim 3 .
3
x
x
ab
x
-
+
=+
-
Tính
22
.ab+
A.
10.
B.
25.
C. 5. D.
13.
Li gii
Chn A
Ta có
()()
()()
()
22
3
2
33 3
23 33 2 33
233
lim lim lim
3
3
33
xx x
xxx xx
x
x
x
xx
- - -
+-+ -+
+
==
-
-
-+
() ()
()
2
22
23 3.33
3
18
33 10
1
23
33
a
ab
b
éù
---+
êú
ì
=
ï
êú
ëû
ï
===¾¾+=
í
ï
=
--
ï
î
.
Câu 4: Giá tr ca gii hn
2
2
3
6
lim
3
x
xx
x
x
-
--+
+
là:
A.
1
.
3
B.
2
.
3
C.
5
.
3
D.
3
.
5
Li gii
Chn C
()()
()
2
2
33 3
32
62325
lim lim lim .
3333
xx x
xx
xx x
xx xxx
- - -
+-
--+ - --
====
+-+
Câu 5: Giá tr ca gii hn
3
3
3
lim
27
x
x
x
-
-
-
là:
A.
1
.
3
B.
0.
C.
5
.
3
D.
3
.
5
Li gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 341
Ta có
30x->
vi mi 3,x < do đó:
()
()
3
2
33
33
lim lim
27
393
xx
xx
x
x
xx
--

--
=
-
-++
22
3
333
lim 0.
93 93.33
x
x
xx
-
--
===
++ + +
Câu 6: Giá tr ca gii hn
()
221 21
7
0
12
lim
x
xx
x
pp
+--
là:
A.
21
2
.
7
p
-
B.
21
2
.
9
p
-
C.
21
2
.
5
p
-
D.
21
12
.
7
p-
Li gii
Chn A
Ta có
()
()
()
221
7
221 21
7
21
000
12 1
12
2
lim lim lim .
7
xxx
xx
xx
x
xx
p
pp
p

+--
+--
=+=-
Câu 7: Giá tr ca gii hn
2
2
0
lim
x
x
xx
x
+
+-
là:
A.
0.
B.
.
C.
1.
D.
.
Li gii
Chn D
Ta có
()
()
2
2
2
2
22
00 0
1
lim lim lim
xx x
xxx
xx x
x
xx x
xxx x
++ +

+-
+-
===+¥
++
++
10>
;
()
2
0
lim 0
x
xx x
+
++ =
2
0xx x++ > vi mi
0.x >
Câu 8: Giá tr ca gii hn
3
3
1
1
lim
442
x
x
x
-
+-
là:
A.
1.-
B.
0.
C.
1.
D.
.
Li gii
Chn C
Ta có
()
()
()
()
2
3
3
3
3
11
3
2
3
(1)4 4 24 44
1
lim lim
442
448 1
xx
xx x
x
x
xxx

-++++
-
=
+-
+- + +
()
()
()
2
3
3
1
3
2
3
44 2444
12
lim 1.
12
41
x
xx
xx
++ ++
===
++
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 342
Câu 9: Giá tr ca gii hn
3
0
21 8
lim
x
x
x
x
+- -
là:
A.
5
.
6
B.
13
.
12
C.
11
.
12
D.
13
.
12
-
Li gii
Chn B
Ta có
33
00
21 8 21 2 2 8
lim lim
xx
x
xx x
xxx

æö
+- - +- - -
÷
ç
÷
ç
=+
÷
ç
÷
÷
ç
èø
()
2
0
3
3
21 113
lim 1 .
12 12
11
428 8
x
x
xx
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
=+ =+=
÷
ç
÷
ç
÷
++
ç
+-+-
÷
èø
Câu 10: Biết rng
0, 5bab>+=
3
0
11
lim 2
x
ax bx
x
+- -
=
. Khng định nào dưới đây sai?
A.
13.a<< B. 1.b > C.
22
10.ab+>
D. 0.ab-<
Li gii
Chn A
Ta có
33
00
11 1111
lim lim
xx
ax bx ax bx
xxx

æö
+- - +- - -
÷
ç
÷
ç
=+
÷
ç
÷
èø
()
()
()
()
()
()
0
2
3
3
0
2
3
3
lim
11
111
lim 2.
32
11
111
x
x
ax bx
xx
xx x
abab
x
xx
æö
÷
ç
=+
÷
ç
÷
ç
÷
+-
ç
÷
++++
ç
÷
÷
ç
èø
æö
÷
ç
=+=+=
÷
ç
÷
ç
÷
+-
ç
÷
++++
ç
÷
÷
ç
èø
Vy ta đưc:
ì
+=
ï
ï
ì
+=
ï
ï
ï
==
íí
ïï
+=
+=
ï
ïî
ï
î
5
5
3, 2
2312
2
32
ab
ab
ab
ab
ab
Dng 5. Dng vô định
¥
¥
1. Phương pháp
Nhn biết dng vô định
xx xx xx
00 0
xxxxx
00
u(x)
lim khi lim u(x) , lim v(x) .
v(x)
u(x)
lim khi lim u(x) , lim v(x) .
v(x)


 
 
Chia t và mu cho
n
x vi n là s mũ cao nht ca biến mu ( Hoc phân tích thành tích cha
nhân t
n
x
ri gin ước)
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 343
Nếu u(x) hoc v(x) có cha biến x trong du căn thì đưa x
k
ra ngoài du căn (Vi k là mũ cao
nht ca biến x trong du căn), sau đó chia t và mu cho lu tha cao nht ca x (thường là bc
cao nht mu).
Cách tính gii hn dng này hoàn toàn tương t gii hn dãy s.
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
Ví d 1: Tính
43 2
4
x
2x x 2x 3
lim
x2x


Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
43 2
24
4
xx
3
12 3
2
2x x 2x 3
x
xx
lim lim 1.
1
x2x
2
x
 



Cách 2: Mo gii nhanh
43 2 4
44
2x x 2x 3 2x
1.
x2x 2x



Cách 3: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
43 2
4
2x x 2x 3
x2x

n
15
CALC 10
ta được kết qu
1.
Li bình: “Bc t bng bc mu” nên kết qu
2
1.
2
Ví d 2: Tính
45
4
x
3x 2x
lim
5x 3x 2


Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun

45
4
xx
34
34
xx
3x 2x 3 2x
lim lim
32
5x 3x 2
5
xx
32
lim 5 5 0; lim 3 2x .
xx
 
 







Do đó:
45
4
x
3x 2x
lim .
5x 3x 2



Cách 2: Mo gii nhanh
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 344
45 5
44
3x 2x 2x 2
x.
5
5x 3x 2 5x

 

Cách 3: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
45
4
3x 2x
5x 3x 2

n
15
CALC 10
ta đưc kết qu .

Li bình: Bc t ln hơn bc mu nên kết qu
.
Ví d 3: Tính
45
46
x
3x 2x
lim
5x 3x 2


Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
45
2
46
xx
26
32
3x 2x 0
x
x
lim lim 0.
52
3
5x 3x 2
3
xx
 



Cách 2: Mo gii nhanh
45 5
46 6
3x 2x 2x 2 1
.0.
3x
5x 3x 2 3x



Cách 3: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
45
46
3x 2x
5x 3x 2

n
15
CALC 10
ta được kết qu
0.
Li bình: “Bc t bé hơn bc mu” nên kết qu
0.
Ví d 4: Tính
45
54
x
3x 4x 2
lim
9x 5x 4



Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
45
5
54
xx
5
32
4
3x 4x 2 2
x
x
lim lim .
54
3
9x 5x 4
9
x
x
 





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 345
Cách 2: Mo gii nhanh
45 5
54 5
3x 4x 2 4x 4 2
.
93
9x 5x 4 9x



Cách 3: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
45
54
3x 4x 2
9x 5x 4


n
15
CALC 10
ta được kết qu
0.
Ví d 5: Tính
2
x
2
x2x3x
Llim .
4x 1 x 2



Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
2
xx x
2
22
22
x1 3x 1 3
x2x3x 2
xx
lim lim lim .
3
112
4x 1 x 2
x4 x2 4 1
x
xx
  




 
Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
2
2
x2x3x
4x 1 x 2


n
15
CALC 10
ta được kết qu
2
.
3
Ví d 6: Tính
2
x
4x 1 x 5
lim
2x 7


Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun
2
22
xx
115
4
x
4x 1 x 5 2 0
xx
lim lim 1.
7
2x 7 2 0
2
x
 




Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình
2
4x 1 x 5
2x 7

n
25
CALC 10
ta được kết qu
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 346
Ví d 7: Tính

3
x
x
lim x 5
x1

Hướng dn gii
Cách 1: Gii bng t lun


2
2
33
xxx
3
5
1
xx 5
x
x
lim x 5 lim lim 1.
1
x1 x1
1
x
  





Cách 2: Gii nhanh bng máy tính
Nhp vào màn hình

3
x
x5
x1
n
25
CALC 10
ta được kết qu
Ví d 8: Tính


3
94
2
100
x
x112x
lim
2x 3


Hướng dn gii



394
2
3
94
2
2
100
xx
100
100
94
3
694
2
x
100
100
394
394
2
x
100
11
x1 x 2
x112x
x
x
Elim lim
3
2x 3
x2
x
11
x1 x 2
x
x
lim
3
x2
x
11
12
1.2
x
x
lim
3
2
2
x
 



























93
2.
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Kết qu ca gii hn
2
2
253
lim
63
x
xx
xx
-¥
+-
++
là:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 347
A.
2.-
B. . C.
3.
D.
2
.
Li gii
Chn D
Ta có
2
2
2
2
53
2
253
lim lim 2
63
63
1
xx
xx
xx
xx
x
x
-¥ +¥
+-
+-
==
++
++
.
Gii nhanh : khi
x
-¥
thì :
22
22
2532
2.
63
xx x
xx x
+-
=
++
Câu 2: Kết qu ca gii hn
32
2
253
lim
63
x
xx
xx
-¥
+-
++
là:
A.
2.-
B.
.
C.
.
D. 2 .
Li gii
Chn C
Ta có:
32
3
2
2
53
2
253
lim lim . .
63
63
1
xx
xx
xx
x
xx
x
x
-¥ -¥
+-
+-
==-¥
++
++
Gii nhanh : khi
x
-¥ thì :
32 3
22
2532
2.
63
xx x
x
xx x
+-
=-¥
++
Câu 3: Kết qu ca gii hn
32
65
2711
lim
325
x
xx
xx
-¥
-+
+-
là:
A.
2.-
B.
.
C.
0.
D.
.
Li gii
Chn C
Ta có:
32
34 6
65
6
2711
2711 0
lim lim 0.
25
3325
3
xx
xx
xx x
xx
x
x
-¥ -¥
-+
-+
===
+-
+-
Gii nhanh : khi
x
-¥
thì :
32 3
65 6 3
27112 21
.0.
33253
xx x
xx x x
-+
=
+-
Câu 4: Kết qu ca gii hn
2
23
lim
1
x
x
x
x
-¥
-
+-
là:
A.
2.-
B. . C.
3.
D.
1-
.
Li gii
Chn D
. Khi
x
-¥
thì
222
201xx x xxxxxx=- ¾¾+- -=--=-=/
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 348
¾¾
chia c t và mu cho
x
, ta được
2
2
3
2
23
lim lim 1
1
1
11
xx
x
x
xx
x
-¥ -¥
-
-
==-
+-
-+ -
.
Câu 5: Biết rng
()
2
23
1
ax
x
x
--
+-
có gii hn là
khi
x
+¥
(vi
a
là tham s). Tính giá tr nh
nht ca
2
24.Pa a=-+
A.
min
1.P =
B.
min
3.P =
C.
min
4.P =
D.
min
5.P =
Li gii
Chn B
Khi
x
+¥ thì
222
10xx x x xxxx¾+- -=-=
¾¾
Nhân lượng liên hp:
Ta có
()
()
()
()
22
2
2
23
31
lim lim231lim2 11.
1
xx x
ax
ax x x x a
xx
xx
+¥ +¥ +¥
æö
--
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
=--++= --++
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
èø
ç
èø
+-
()
2
2
2
lim
23
lim
1
lim 1 1 4 0 1
x
x
x
x
ax
xx
x
+¥
+¥
+¥
ì
ï
=+¥
ï
ï
--
ï
ï
=+¥
æö
í
÷
ç
ï
÷
ç
++=> +-
ï
÷
ç
ï
÷
÷
ç
ï
èø
ï
î
3
lim 2 2 0 2
x
aaa
x
+¥
æö
÷
ç
--=-><
÷
ç
÷
ç
èø
.
Gii nhanh : ta có
2
23
1
x
x
x
x
-
+¥¾¾
+-
()
()
()
()
()
()
22
2312. 22 2ax x x ax x x ax a=--++- +=-+¥<
.
Khi đó
()
2
in
2
m
3, 324 1 3 12 3.Pa a a P a P³==-+=- + =< =
Câu 6: Kết qu ca gii hn
2
41
lim
1
x
xx
x
-¥
-+
+
là:
A.
2.-
B.
1.-
C.
2.-
D.
.
Li gii
Chn C
Gii nhanh: khi
22
4142
2.
1
xx x x
x
xxx
-+ -
-¥¾¾==-
+
C th:
2
2
11
4
41 4
lim lim 2.
1
11
1
xx
xx
x
x
x
x
-¥ -¥
--+
-+ -
===-
+
+
Câu 7: Kết qu ca gii hn
2
2
4212
lim
932
x
x
xx
xxx
+¥
-++-
-+
là:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 349
A.
1
.
5
-
B.
.
C.
.
D.
1
5
.
Li gii
Chn D
Gii nhanh : khi
22
22
4212 4 2 1
.
32 5
932 9 2
xx x xx xx
x
xx
xxx x x
-++- - -
+¥¾¾==
+
-+ +
C th :
2
2
2
212
41
4212 1
lim lim .
5
3
932
92
xx
xx x
xx
x
xxx
x
+¥ +¥
-+ +-
-++-
==
-+
-+
Câu 8: Biết rng
2
2
4212
lim 0
3
x
xx x
L
ax x bx
-¥
-++-
=>
-+
là hu hn (vi ,ab là tham s). Khng định
nào dưới đây đúng.
A.
0.a ³ B.
3
L
ab
=-
+
C.
3
L
ba
=
-
D.
0.b >
Li gii
Chn B
Ta phi có
2
30ax x->
trên
()
0.; aa ³
Ta có
22
4212 4 30.xxxxxxx-¥¾¾-++- =-=/-
Như vy xem như “t” là mt đa thc bc 1. Khi đó
2
2
4212
lim 0
3
x
xx x
ax x bx
-¥
-++-
>
-+
khi và
ch khi
2
3ax x bx-+
đa thc bc 1.
Ta có
()
22
0.3ax x bx ax bx a b x a b-+ +=-+ ¾-+=/¾
Khi đó
()
2
2
4212 3 3
00.
3
xx x x
L
ba b a
ba
abx
ax x bx
-++- -
==>->>
-
-+
-+
Câu 9: Kết qu ca gii hn
32
3
2
21
lim
21
x
xx
x
-¥
++
+
là:
A.
2
.
2
B.
0.
C.
2
.
2
-
D.
1.
Li gii
Chn C
Gii nhanh:
3
32 3
3
22
21 1
.
22
21 2
xx x x
x
x
xx
++
-¥¾¾==-
-
+
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 350
C th:
3
32
3
3
2
2
21
1
21 1
lim lim .
12
21
2
xx
xx
xx
x
x
-¥ -¥
++
++
==-
+
-+
Câu 10: Tìm tt c các giá tr ca
a
để
()
2
lim 2 1
x
x
ax
-¥
++
.
A.
2.a > B. 2.a < C.
2.a >
D.
2.a <
Li gii
Chn B
Gii nhanh:
22
21 2
x
xaxxx-¥¾¾++ +
()
22 202.xax a x a a=- + = - +¥ - < <
C th: vì
lim
x
x
-¥
=-¥ nên
()
2
2
1
lim 2 1 lim 2
xx
xax x a
x
-¥ -¥
æö
÷
ç
÷
ç
++ = - + + =+¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
2
1
lim 2 2 0 2.
x
aa a
x
-¥
æö
÷
ç
÷
ç
-++=-<<
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Dng 6. Dng vô định ¥-¥, 0.¥
1. Phương pháp
Nếu biu thc cha biến s dưới du căn thì nhân và chia vi biu thc liên hp
Nếu biu thc cha nhiu phân thc thì quy đồng mu và đưa v cùng mt biu thc.
Thông thường, các phép biến đổi này có th cho ta kh ngay dng vô định
;0.
hoc
chuyn v dng vô định
0
;
0
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
Ví d 1: Tính

x
lim x 1 x 3


Hướng dn gii

xxx
4
x1x3
x
lim x 1 x 3 lim lim 0.
x1 x3
13
11
xx
  








Ví d 2: Tính
2
x
lim x x 5 x





Hướng dn gii
22
2
xxx
2
2
x5x 5 5
lim x x 5 x lim x lim .
2
5
x5x
11
x
  







Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 351
Ví d 3: Tính
2
x
lim x x 5x





Hướng dn gii
2
x
Elimx x5x





Nhân và chia liên hp
2
xx5x
22
22
xx
2
xx5xxx5x
xx5x
Elim lim
5
xx5x
xx1
x
 

 





x
5x
lim
5
xx1
x


(Vì
xx
lim x lim x
 
)
x
555
lim .
2
51 10
11
x





Ví d 4: Tính
x0
11
lim 1
xx1



Hướng dn gii
x0
11
Elim 1
xx1




(Dng vô định 0.
)

x0 x0
1x1 1
lim lim 1.
x1
xx 1




Ví d 6: Tính
2
x
1
lim x 5 0.
x


Hướng dn gii
2
xx
15
lim x 5 lim 1 1.
xx
 

Ví d 7: Tính
2
x
lim x x 2 x





Hướng dn gii
22
2
xxx
2
2
x2x 2 2
lim x x 2 x lim x lim 1
2
2
x2x
11
x
  







.
Ví d 8: Tính
2
x0
x1 x x1
lim
x

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 352
Hướng dn gii
22
x0 x0
2
x0
2
x1 x x1 x1x x1
lim lim
x
x1 x x1
x0
lim 0
2
x1 x x1





Ví d 9: Tính

x
lim x 5 x 7


Hướng dn gii

xxx
x
x5x7 12
lim x 5 x 7 lim lim
x5 x7 x5 x7
12
0
x
lim 0.
2
57
11
xx
  



 


Ví d 8: Tính
2
x
2
lim x 5x x
5





.
Hướng dn gii
22
2
xxx
22
x
xxx 5x
lim x 5x x lim lim
x 5xx x 5xx
55
lim .
2
5
11
x
 






 


Ví d 8: Tính
2
x
1
lim x 5 1
x

.
Hướng dn gii
2
22
2
xx x x
55
x. 1 x 1
x5 5
xx
lim lim lim lim 1 1.
xx x
x
   


3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Giá tr ca gii hn
()
32
lim 2
x
x
x
-¥
-
là:
A.
1.
B.
.
C.
1.-
D. .
Li gii
Chn D
Gii nhanh :
32 3
22.xxxx-¥¾¾- -¥
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 353
C th:
()
32 3
1
lim 2 lim 2
xx
xx x
x
-¥ -¥
æö
÷
ç
-= -=-¥
÷
ç
÷
ç
èø
3
lim
.
1
lim 2 2 0
x
x
x
x
-¥
-¥
ì
ï
=-¥
ï
ï
ï
í
æö
ï
÷
ç
-=>
÷
ï
ç
÷
ï
ç
èø
ï
î
Câu 2: Giá tr ca gii hn
2
2
11
lim
24
x
xx
-
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
--
là:
A.
.
B.
.
C.
0.
D.
1.
Li gii
Chn A
Ta có
222
222
11 21 1
lim lim lim
24 4 4
xxx
xx
xx x x
---

æöæöæö
+- +
÷÷÷
ççç
-= = =-¥
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø
-- - -
()
()
2
22
lim 1 3 0; lim 4 0
xx
xx
--

+=> - =
2
40x -< vi mi
()
2;2 .x Î-
Câu 3: Biết rng
4ab+=
3
1
lim
11
x
ab
x
x
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
--
hu hn. Tính gii hn
3
1
lim
11
x
ba
L
x
x
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
èø
--
.
A.
1.
B.
2.
C. 1. D.
2.-
Li gii
Chn C
Ta có
()
()
22
33
2
111
lim lim lim .
1
11
11
xxx
a b aax ax b aaxax b
x
xx
x
xx

æö
++ - ++ -
÷
ç
-= =
÷
ç
÷
ç
èø
-
--
-++
Khi đó
3
1
lim
11
x
ab
x
x
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
--
hu hn
2
1.1.1 02 1.aa b ab+ + -= -=-
Vy ta
3
1
41
lim
213
11
x
ab a
ab
L
ab b
x
x
ìì
+= =
æö
ïï
ïï
÷
ç
=- -
÷
íí
ç
÷
ç
ïï
èø
-=- =
--
ïï
îî
()
()
()
2
2
2
11
2
2
lim lim 1
1
11
xx
x
xx
xx
xxx

-+
+-
=- =- =
++
-++
.
Câu 4: Giá tr ca gii hn
()
2
lim 1 2
x
x
x
+¥
+-
là:
A.
0.
B. . C.
21.-
D. .
Li gii
Chn B
Ta có
()
2
2
1
lim 1 2 lim 2 1
xx
xx x
x
+¥ +¥
æö
÷
ç
÷
ç
+-= +-=+¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
2
1
lim ; lim 2 1 2 1 0.
xx
x
x
+¥ +¥
æö
÷
ç
÷
ç
=+¥ + - = - >
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Gii nhanh :
()
22
12 2 2 21 .xxxxxxxx+¥¾¾+ - -= -= - +¥
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 354
Câu 5: Giá tr ca gii hn
()
2
lim 1
x
x
x
+¥
+-
là:
A.
0.
B.
.
C.
1
.
2
D. .
Li gii
Chn A
.
22
10xxxxxxx+¥¾¾+- -=-=¾¾
Nhân lượng liên hp.
Gii nhanh:
2
22
111
10.
2
1
xxx
x
xxxx
+¥¾¾+-= =
++ +
C th:
()
2
2
2
1
10
lim 1 lim lim 0.
2
1
1
11
xxx
x
xx
xx
x
+¥ +¥ +¥
+- = = = =
++
++
Câu 6: Biết rng
()
2
lim 5 2 5 5 .
x
x
xx a b
-¥
++ = +
Tính
5.Sab=+
A.
1.S =
B.
1.S =-
C. 5.S = D. 5.S =-
Li gii
Chn A
22
52 55 5 5 50xxxxxxxx-¥¾¾++ +=-+=
¾¾
Nhân lượng liên hp:
Gii nhanh:
2
52 5xxxx-¥¾¾++
22
2221
.
25 5
52 55 5
xxx
x
xxx xx
===-
-
++ -
C th: Ta có
()
2
2
2
lim 5 2 5 lim
52 5
xx
x
xxx
xxx
-¥ -¥
++ =
++
1
2211
lim 5 1.
5
5
2255
0
55
x
a
S
b
x
-¥
ì
ï
ï
=-
ï
= = =- =- ¾¾=-
í
ï
-
ï
=
ï
-++
î
Câu 7: Giá tr ca gii hn
()
22
lim 3 4
x
x
xx x
+¥
+- +
là:
A.
7
.
2
B.
1
.
2
-
C.
.
D.
.
Li gii
Chn B
. Khi
22 22
34 0xxxxxxx+¥¾¾+-+ - =
¾¾
Nhân lượng liên hp:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 355
Gii nhanh:
22
34
x
xxxx+¥¾¾+-+
22 22
1
.
22
34
xxx
x
xxxx x x
---
===-
++ + +
C th:
()
22
lim 3 4
x
xxxx
+¥
+- + =
22
11
lim lim .
2
34
34
11
xx
x
xxxx
xx
+¥ +¥
--
==-
++ +
++ +
Câu 8: Giá tr ca gii hn
()
3
32
lim 3 1 2
x
xx
-¥
-+ +
là:
A.
3
31.+
B. . C.
3
31.-
D.
.
Li gii
Chn D
()
3
32
3
32
12
lim 3 1 2 lim 3 1
xx
xx x
xx
-¥ -¥
æö
÷
ç
÷
ç
-+ + = - - + =-¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
3
3
32
12
lim , lim 3 1 3 1 0.
xx
x
xx
-¥ -¥
æö
÷
ç
÷
ç
=-¥ - - + = - >
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Gii nhanh:
()
33
32 32
3
31 23 31 .xxxxxx-¥¾¾-++ +=--¥
Câu 9: Giá tr ca gii hn
()
3
232
lim
x
x
xxx
+¥
+- -
là:
A.
5
.
6
B. . C.
1.-
D. .
Li gii
Chn A
Khi
33
23223
0xxxxxxxxx+¥¾¾+-- --=-=
¾¾
Nhân lượng liên hp:
()()
33
232 2 32
lim lim
xx
x
xxx xxxxxx
+¥ +¥
+- - = +-+- -
()
2
22
3
23 3
3
11 5
lim .
23 6
1
11
x
xx
xx
xxx x
+¥
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=+ =+=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
++
֍+-+-
÷
ç
èø
Gii nhanh:
()()
33
2322 32
x
xxx xxxxxx+- - = +- + - -
()
22
36
222236
3
23 3
3
1
11
xxxx
x
xxxxxxx
xxx x
=+ +
++ + + +
+-+-
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 356
()
11 5
.
236
x=+= +¥
Câu 10: Giá tr ca gii hn
()
3
3
lim 2 1 2 1
x
xx
+¥
-- +
là:
A.
0. B.
.
C. 1.- D. .
Li gii
Chn A
333
3
21 21 2 2 0xxxxx+¥¾¾--+ - =¾¾ nhân lượng liên hp:
()
()()()()
3
3
22
33
3
2
lim 2 1 2 1 lim 0.
21 2121 21
xx
xx
xxxx
+¥ +¥
-
-- + = =
-+ - ++ +
Gii nhanh:
3
3
21 21xx-- + =
() ()
333 3
2 2 222 2
3
2
3
3
222
0.
44434
21 4 1 21
xxx x
xxx
---
=
++
-+ -- +
Câu 11: Kết qu ca gii hn
0
1
lim 1
x
x
x
éù
æö
÷
ç
êú
-
÷
ç
÷
ç
êú
èø
ëû
là:
A.
.
B. 1.- C. 0. D.
.
Li gii
Chn B
Ta có
()
00
1
lim 1 lim 1 0 1 1.
xx
xx
x

éù
æö
÷
ç
êú
-= -=-=-
÷
ç
÷
ç
êú
èø
ëû
Câu 12: Kết qu ca gii hn
()
2
2
lim 2
4
x
x
x
x
+
-
-
là:
A.
1.
B.
.
C.
0.
D. .
Li gii
Chn C
Ta có
()
2
22
2. 0. 2
lim 2 lim 0
2
4
2
xx
xxx
x
x
x
++

-
-= ==
-
+
.
Câu 13: Kết qu ca gii hn
32
21
lim
32
x
x
x
xx
+¥
+
++
là:
A.
2
.
3
B.
6
.
3
C.
.
D. .
Li gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 357
()
2
32 32
3
1
2
21
21 6
lim lim lim .
12
3
3232
3
xxx
xx
x
x
x
xx xx
xx
+¥ +¥ +¥
+
+
+
===
++ ++
++
Gii nhanh:
32 2
2
21 2 6 1 61 6
......
333323
xx
xx xxx
xxx x
x
+
+¥¾¾===
++
Câu 14: Kết qu ca gii hn
2
2
0
1
lim sin
x
xx
x
p
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
là:
A.
0
. B.
1-
. C.
.p
D. .
Li gii
Chn B
Ta có
()
22
2
00
1
lim sin lim sin 1 1.
xx
xx xx
x
pp

æö
÷
ç
-= -=-
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 15: Kết qu ca gii hn
()
()
3
2
1
lim 1
1
x
x
x
x
+
-
+
-
là:
A.
3.
B.
.
C.
0.
D. .
Li gii
Chn C
. Vi
()
1; 0x Î-
thì
10x +>
0
1
x
x
>
-
.
Do đó
()
()
()
()
()
()()
32
2
11
lim 1 lim 1 1
11
1
xx
xx
xxxx
xx
x
++
- -
+=+-+
-+
-
()
()
2
1
lim 1 1 0
1
x
x
xxx
x
+
-
=+-+=
-
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 358
BÀI 3. HÀM S LIÊN TC
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I – HÀM S LIÊN TC TI MT ĐIM
Định nghĩa 1
Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên khong
K
0
.
x
KÎ
Hàm s
()
yfx=
được gi là liên tc ti
0
x
nếu
() ( )
0
0
lim .
xx
f
xfx
=
II – HÀM S LIÊN TC TRÊN MT KHONG
Định nghĩa 2
Hàm s
()
yfx=
được gi là liên tc trên mt khong nếu nó liên tc ti mi đim ca khong đó.
Hàm s
()
yfx=
được gi là liên tc trên đon
[
]
;ab
nếu nó liên tc trên khong
()
;ab
() () () ()
lim , lim .
xa xb
f
xfa fxfb
+-

==
Nhn xét: Đồ th ca hàm s liên tc trên mt khong là mt
''
đường lin
''
trên khong đó.
Hàm s liên tc trên khong
()
;ab
Hàm s không liên tc trên khong
()
;ab
III – MT S ĐỊNH LÍ CƠ BN
Định lí 1
a) Hàm s đa thc liên tc trên toàn b tp s thc
.
b) Hàm s phân thc hu t và hàm s lượng giác liên tc trên tng khong xác định ca chúng.
Định lí 2
Gi s
()
yfx=
()
ygx=
là hai hàm s liên tc ti đim
0
x
. Khi đó:
a) Các hàm s
() ()
yfxgx=+
,
() ()
yfxgx=-
() ()
.yfxgx=
liên tc ti
0
x
;
b) Hàm s
()
()
f
x
g
x
liên tc ti
0
x
nếu
()
0
0gx ¹
.
Định lí 3
Nếu hàm s
()
yfx=
liên tc trên đon
[
]
;ab
() ()
.0,fa fb<
thì tn ti ít nht mt đim
()
;cabÎ
sao cho
()
0fc=
.
O
x
y
b
a
y
O
x
a
b
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 359
Định lí 3 có th phát biu theo mt dng khác như sau:
Nếu hàm s
()
yfx=
liên tc trên đon
[
]
;ab
() ()
.0,fa fb<
thì phương trình
()
0fx=
có ít nht
mt nghim nm trong khong
()
;ab
.
B. CÂU HI TRC NGHIM
Dng 1. Xét tính liên tc ca hàm s
1. Phương pháp
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Hàm s
()
1
3
4
fx x
x
=-+
+
liên tc trên:
A.
[
]
4;3 .-
B.
[
)
4;3 .-
C.
(]
4;3 .-
D.
[
]
[
)
;4 3; . - È
Li gii
Chn C
Điu kin:
(]
34
4;
0
40
3
3
TXD
xx
D
xx
³
+> £-
ìì
->-
ïï
ïï
¾¾¾=- ¾¾
íí
ïï
ïï
îî
hàm s liên tc trên
()
4; 3 .-
Xét ti
3,x =
ta có
() ()
33
11
lim lim 3 3
47
xx
fx x f
x
--

æö
÷
ç
÷
=-+ ==¾¾
ç
÷
ç
÷
ç
èø
+
Hàm s liên tc trái ti 3.x =
Vy hàm s liên tc trên
(]
4; 3 .-
Câu 2: Hàm s
()
3
cos sin
2sin 3
x
xx x
fx
x
++
=
+
liên tc trên:
A.
[
]
1;1 .-
B.
[
]
1; 5 .
C.
3
;.
2
æö
÷
ç
-+¥
÷
ç
÷
ç
èø
D. .
Li gii
Chn D
02sin 3x+=/ vi mi
TXD
xDξ¾¾= ¾¾
Hàm s liên tc trên .
Câu 3: Cho hàm s
()
f
x
xác định và liên tc trên
vi
()
2
32
1
xx
fx
x
-+
=
-
vi mi 1.x =/ Tính
()
1.f
A.
2.
B.
1.
C.
0.
D.
1.-
Li gii
Chn D
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 360
()
f
x
liên tc trên
nên suy ra
() ( ) ()
2
11 1
32
1 lim lim lim 2 1.
1
xx x
xx
ffx x
x

-+
== =-=-
-
Câu 4: Cho hàm s
()
f
x
xác định và liên tc trên
[
]
3; 3-
vi
()
33
x
x
fx
x
+- -
=
vi
0x ¹
.
Tính
()
0f
.
A.
23
.
3
B.
3
.
3
C.
1.
D.
0.
Li gii
Chn B
()
f
x
liên tc trên
[
]
3; 3-
nên suy ra
() ()
00 0
33 2 1
0lim lim lim .
33 3
xx x
xx
ffx
x
xx

+- -
== = =
++ -
Câu 5: Cho hàm s
()
f
x
xác định và liên tc trên
()
4;-+¥
vi
()
42
x
fx
x
=
+-
vi
0x ¹
.
Tính
()
0f
.
A.
0.
B.
2.
C.
4.
D.
1.
Li gii
Chn C
()
f
x
liên tc trên
()
4;-+¥
nên suy ra
() ()
()
00 0
0 lim lim lim 4 2 4.
42
xx x
x
ffx x
x

== =++=
+-
Dng 2. Hàm s liên tc ti mt đim
1. Phương pháp
Tacnphinmvngđịnhnghĩa:
Chohàmsố
yfx
xácđnhtrênkhong
K
0
xK.
Hàmsố
yfx
giliêntcti
0
x
nếu
00
xx
0
xx xx
oo
lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).



2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
dụ1:Cho

x2 2x
fx
x

vi x0.
Phibổsungthêmgiátrị
f0
bngbaonhiêuthì
hàmsốliênt cti
x0?
Hướngdngii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 361



x0 x0 x0
x0
x2 2x x22x
lim f x lim lim
x
x2 2x
21
lim .
2
x2 2x






Nhưvyđểhàmsốliêntcti
x0
thìphibổsungthêmgiátrị

1
f0 .
2
dụ2:Chohàmsố

2
a x vôùi x 1 vaø a
fx .
3vôùi x1

Giátrịcaađ
fx
liêntcti x1 bao
nhiêu?
Hướngdngii
TXĐ:
D.
Tacó:

2
x1 x1
lim f x lim a x a 1.


Đểhàmsốliêntcti

x1
x1 limfx f1 a13 a4.

dụ3:Chohàmsố

2
3
x1
vôùi x 3 vaø x 2
fx .
xx6
b 3 vôùi x 3 vaø b



Tìmbđể
fx
liêntcti x3.
TXĐ:
D.
Tacó:
 
2
3
x3 x3
x1 3
lim f x lim ; f 3 b 3.
3
xx6



Đểhàmsốliêntcti

x3
323
x3 limfx f3 b 3 b .
33

dụ4:Chohàmsố

a2khi x2
fx .
sin khi x 2
x

Vigiátrịnàocaathìhàmsốliêntcti x2.
Hướngdngii
TXĐ: D. Ta



x2 x2
x2 x2
f2 sin 1
2
lim f x lim a 2 a 2
lim f x lim sin 1
2







Hàmsốliêntcti
x2
khia12 a3. 
dụ5:Tìmsốađểhàmsốsauliêntctiđim
0
x.

3
3x 2 2
neáu x 2
fx
x2
ax 2 neáu x 2

;
0
x2.
Hướngdngii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 362
TXĐ: D.
Tacó:



3
2
x2 x2 x2
33
3x 2
3x 2 2 1
lim f x lim lim .
x2 4
x2 3x2 23x24









x2
lim f x ax 2 2a 2.


Licó:

f2 2a 2
.
Hàmsốliêntcti
0
x2
nếu
17
2a 2 a .
48
 
dụ6:Xéttínhliêntccahàmsốsauti
0
x.

2
2
x32
neáu x 1
x1
1
fx neáu x 1
4
x1
neáu x 1
x6x7



;
00
x0,x1.
Hướngdngii
Tacó:



x1 x1 x1
x32 x1 1
lim f x lim lim .
x1 4
x1 x32





 
2
2
x1 x1 x1
x1 x11 1
lim f x lim lim ; f 1 .
x7 4 4
x6x7





Vy
 
x1 x1
1
lim f x lim f x f 1
4



,nênhàmsốliêntcti
0
x1.
Dễthy
 
2
2
x0 x0
x1 1
lim f x lim f 0
7
x6x7



nênhàmsốliêntcti x0.
dụ7:Xéttínhliêntccahàmsốsauti
0
x.
00
fx x 2;x 2,x 1.

Hướngdngii
Tacó:
fx x 2

x2 neáu x 2
x2 neáu x 2


Tacó:

x1 x1
limf x lim x 2 3; f 1 3.


Vy

x1
limf x f 1
,nênhàmsốliêntctiti
0
x1.

Licó:

x2 x2 x2
lim f x lim x 2 0; lim f x 0; f 2 0.

  

Vy
 
x2
x2 x2
lim f x lim f x lim f 2 0


 

nênhàmsốliêntcti
0
x2.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 363
dụ8:Chohàmsố

x2
vôùi 5 x 4
x5
fx mx 2vôùi x 4 .
x
vôùi x 4
3


Tìmgiátrịcamđể
fx
liêntcti
x4
.
Hướngdngii
Tacó:

x4 x4 x4
x2 2 x 2
lim f x lim ; lim .
333
x5




f4 4m 2
Đểhàmsốliêntcti
x4
thì
x4 x4
lim f x lim f x f 4



21
4m 2 m .
33

dụ9:Chohàmsố

2
2
2
x83
neáu x 1
x4x3
fx .
1
cos x a x neáu x 1
6



Tìmgiátrịcaađể
fx
liêntcti
x1
.
Hướngdngii
TXĐ:
D. 

22
11
f1 cos a 1 a 1.
66


22
x1 x1
11
lim f x lim cos x a x a 1.
66








22
2
2
22
x1 x1 x1
x83 x83
x83
lim f x lim lim
x4x3
x4x3 x83
















2
22 2
x1 x1
2
x1
x1x1
x89
lim lim
x4x3 x83 x1x3 x83
x1 1
lim .
6
x3 x 83





 
 
 
 





Đểhàmsốliêntcti

x1 x1
x1 limfx limfx f1



2
11
a1 a 1.
66
  
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Tìm giá tr thc ca tham s
m để hàm s
()
2
2
khi 2
2
khi 2
xx
x
fx
x
mx
ì
ï
ï
ï
--
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
¹
=
-
=
liên tc ti 2.x =
A.
0.m = B. 1.m = C. 2.m = D. 3.m =
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 364
Li gii
Chn D
. Tp xác định:
D =
, cha 2x = . Theo gi thiết thì ta phi có
() () ()
2
22 2
2
2 lim lim lim 1 3.
2
xx x
xx
mf fx x
x

--
== = = +=
-
Câu 2: Tìm giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
()
32
22
khi 1
1
3khi 1
xx x
x
fx
x
xm x
ì
ï
-+
ï
ï
-
¹
=
-
+
í
=
ï
ï
ï
ï
ï
î
liên tc ti
1.x =
A.
0.m = B. 2.m = C. 4.m = D. 6.m =
Li gii
Chn A
. Hàm s xác định vi mi
x Î . Theo gi thiết ta phi có
() ( )
()
()
()
2
32
2
11 1 1
12
22
3 1 lim lim lim lim 2 3 0.
11
xx x x
xx
xx x
mf fx x m
xx

-+
-+-
+= = = = = + ==
--
Câu 3: Tìm giá tr thc ca tham s
k
để hàm s
()
1
khi 1
1
1khi 1
x
x
yfx
x
kx
-
¹
==
-
+
ì
ï
ï
ï
ï
í
=
ï
ï
ï
ï
î
liên tc ti
1.x =
A.
1
.
2
k =
B.
2.k =
C.
1
.
2
k =-
D.
0.k =
Li gii
Chn C
Hàm s
()
f
x
có TXĐ:
[
)
0; .D =+¥
Điu kin bài toán tương đương vi
Ta có:
()
11 1
111 1
11limlim lim .
122
1
xx x
x
ky y k
x
x

-
+= = = = = =-
-
+
Câu 4: Biết rng hàm s
()
3
khi 3
12
khi 3
x
x
fx
x
mx
ì
ï
ï
ï
-
¹
=
+
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
-
=
liên tc ti 3x = (vi m là tham s). Khng
định nào dưới đây đúng?
A.
()
3; 0 .m Î-
B.
3.m £-
C.
[
)
0;5 .m Î
D.
[
)
5; .m Î+¥
Li gii
Chn B
Hàm s
()
f
x
có tp xác định là
()
1; .-+¥
Theo gi thiết ta phi có
() ()
()
()
()
33 3 3
312
3
3 lim lim lim lim 1 2 4.
3
12
xx x x
xx
x
mf fx x
x
x

-++
-
= = = = =- + + =-
-
+-
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 365
Câu 5: Tìm giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
()
2
1
sin khi 0
khi 0
xx
fx
x
mx
ì
ï
ï
ï
í
¹
=
=
ï
ï
ï
î
liên tc ti
0.x =
A.
()
2; 1 .m Î- -
B.
2.m £-
C.
[
)
1; 7 .mÎ-
D.
[
)
7; .m Î+¥
Li gii
Chn C
Vi mi
0x =/ ta có
()
22
1
si0n0fx x x
x
£= £
khi 0x ¾¾
()
0
lim 0.
x
fx
=
Theo gii thiết ta phi có:
() ()
0
0lim 0.
x
mf fx
== =
Câu 6: Biết rng
0
sin
lim 1.
x
x
x
=
Hàm s
()
tan
khi 0
0khi 0
x
x
fx
x
x
¹
=
=
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
liên tc trên khong nào sau đây?
A.
0; .
2
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
B.
;.
4
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
C.
;.
44
pp
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
D.
()
;.
Li gii
Chn A
Tp xác định:
33
|; ;
2222222
k
kk kDk
ppppppp
ppp
Î
ìüæ öæöæö
ïï
ïï
÷÷÷
ççç
= + +=È-È+È
÷÷÷
íý
ççç
÷÷÷
ççç
ïï
èøèøèø
ïï
î
=
þ

Ta có
() ()
000
tan sin 1 1
lim lim lim . 1. 1
cos co
0
s
0
0
xxx
xx
fx
xxx
f

== =/=== ¾¾
()
f
x
không liên tc ti
0.x =
Câu 7: Biết rng
0
sin
lim 1.
x
x
x
=
Tìm giá tr thc ca tham s m để hàm s
()
sin
khi 1
1
khi 1
x
x
fx
x
mx
p
ì
ï
ï
ï
¹
=
-
=
í
ï
ï
ï
î
liên tc ti
1.x =
A.
.m p=-
B.
.m p=
C. 1.m =- D. 1.m =
Li gii
Chn A
Tp xác định
.D = Điu kin bài toán tương đương vi
() ( )
() ()
()
()
()
()
11
111
sin
1lim lim
1
sin sin 1 sin 1
lim lim lim . * .
11 1
xx
xxx
x
mf fx
x
xxx
xx x
p
ppp p p
p
p


== =
-
éù
-+ - - -
êú
===-
êú
-- -
ê
ú
ë
û
Đặt
()
1txp=-
thì 0t khi 1.x Do đó (*) tr thành:
()
0
sin
lim . .
t
t
m
t
pp
=- =-
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 366
Câu 8: Biết rng
0
sin
lim 1.
x
x
x
=
Tìm giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
() ( )
2
1cos
khi
khi
x
x
fx x
mx
p
p
p
ì
ï
ï
ï
ï
+
í
ï
ï
ï
ï
î
¹
=-
=
liên tc ti
.
x
p=
A.
.
2
m
p
= B. .
2
m
p
=- C.
1
.
2
m =
D.
1
.
2
m =-
Li gii
Chn C
. Hàm s xác định vi mi
x Î . Điu kin cz bài toán tr thành:
() ()
()
() ()
()
2
2
2
22 2
2sin sin
2cos
1cos 1
22 22
2
lim lim lim lim lim *
2
22
xx x x x
xx
x
x
mf fx
x
xx x
pp p p p
p
pp
p
pp p

éù
æö æö
÷÷
çç
êú
--
÷÷
çç
÷÷
çç
êú
èø èø
+
êú
== = = = =
êú
æö
-- -
÷
ç
êú
-
÷
ç
÷
ç
êú
èø
ëû
Đặt
0
22
x
t
p
=- khi 1.x Khi đó (*) tr thành:
2
2
0
1sin 1 1
lim .1 .
222
t
t
m
t
æö
÷
ç
===
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 9: Hàm s
()
4
2
3khi1
khi 1, 0
1khi0
x
xx
fx x x
xx
x
ì
ï
ï
ï
ï
=-
+
=
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
¹- ¹
+
=
liên tc ti:
A. mi đim tr
0, 1.xx==
B. mi đim .x Î
C. mi đim tr
1.x =-
D. mi đim tr
0.x =
Li gii
Chn B
Hàm s
()
yfx=
có TXĐ:
D =
.
D thy hàm s
)
yfx=
liên tc trên mi khong
()()
;1, 1;0 - -
)
0;
.
(i) Xét ti 1x =- , ta
()
()
()
()
()
()
2
4
2
2
11 1 1
11
lim lim lim lim 1 3 1 .
1
xx x x
xx x x
xx
fx x x f
xx
xx
- - - -
+-+
+
== =-+==-
+
+
¾¾
hàm s
()
yfx=
liên tc ti
1x =-
.
(ii) Xét ti
0x = , ta
()
()
()
()
()
()
2
4
2
2
00 0 0
11
lim lim lim lim 1 1 0 .
1
xx x x
xx x x
xx
fx x x f
xx
xx

+-+
+
== =-+==
+
+
¾¾
hàm s
()
yfx=
liên tc ti
0x =
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 367
Câu 10: S đim gián đon ca hàm s
()
()
2
0, 5 khi 1
1
khi 1, 1
1
1khi1
x
xx
fx x x
x
x
ì
ï
ï
ï
ï
=-
+
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
-
=
là:
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Li gii
Chn B
. Hàm s
)
yfx=
có TXĐ
D =
.
Hàm s
()
()
2
1
1
xx
fx
x
+
=
-
liên tc trên mi khong
()
;1 -
,
()
1;1-
()
1;
.
(i) Xét ti
1x =-
, ta có
()
()
()
2
11 1
1
1
lim lim lim 1
121
xx x
xx
x
fx f
xx
- - -
+
====-
--
¾¾
Hàm s liên tc
ti
1x =-
.
(ii) Xét ti
1x =
, ta có
()
()
()
()
2
11 1
2
11 1
1
lim lim lim
1
1
1
lim lim lim
11
xx x
xx x
xx
x
fx
x
x
xx
x
fx
xx
++ +
-- -


ì
ï+
ï
===+¥
ï
ï
-
-
ï
¾¾
í
ï
+
ï
ï
===-¥
ï
ï
--
î
Hàm s
()
yfx=
gián
đon ti
1x =
.
Dng 3. Hàm s liên tc trên mt khong
1. Phương pháp
Hàmsố
yfx
đưcgiliêntctrênmtkhongnếuliêntctimiđimthuckhong
đó.
Hàm số
yfx
đưc gi liên tc trênđon
a,b
nếu liên tc trên

a,b
xa xb
lim f(x) f(a), lim f(x) f .(b)



2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
dụ1:Chohàmsố

2
2
x1
fx .
x5x6

Khiđó
fx
liêntctrêncáckhongnàosauđây?
A.

3;2 .
B.

3; .
C.
;3 .
D.
2;3 .
Hướngdngii
ĐÁPÁND

2
2
x1
fx
x5x6

khôngliêntcti x2;x3,
suyra
fx
liêntctrênkhong

2;3 .
dụ2:Hàmsốnàodướiđâyliêntctrên
?
A.
2
3x 1
y.
1x
 B. y3tanx.
C.
2
4x
y.
21x

 D.
32x
y.
1sinx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 368
Hướngdngii
ĐÁPÁNC
Tađịnhlí:Mihàmsơcpđềuliêntctrêntngkhongxácđịnh.
Dođó:PhươngánAsaitpxácđịnh
\
1; 1 .
PhươngánBsai
tanx chỉxácđịnhkhi
xk,k.
2

PhươngánDsai
1sinx 0,nghĩamsốchỉxácđịnhkhixk2,k.
2

PhươngánCđúngmsốtpxácđịnh
D
nênliêntctrên
.
dụ3:Hàmsốnàodướiđâyliêntctrên
0; ?
A.
yx1. B.
2
sinx 2
y.
x1
C.
32x
y.
x1
D.
2
yxx.
Hướngdngii
ĐÁPÁNC
Tpxácđịnhcahàmsố
yx1
1;
suyraykhôngliêntctrên
0; .
Tpxácđịnhcahàmsố
2
sinx 2
y
x1
\
1; 1
suyraykhôngliêntctrên
0; .
Tp xácđnh ca hàm số
32x
y
x1
1; .

Suy ra y liên tc trên

1; .
Mt khác

1; 0;
nênycũngliêntctrên
0; .
Tpxácđịnhcahàmsố
2
yxx
;0 1; .



Suyraykhôngliêntctrên
0; .
dụ4:Hàmsố
ytanx.cotx
liêntctrênkhongnàodướiđây?
A.
0; .
2



B.
;. 
C.
0; .
D. ;.
22



Hướngdngii
ĐÁPÁNA
Hàmsố
ytanx.cotx
xácđịnhkhi
1
12
2
xk
;k,k .
xk
2


Dođó trong bn khong cađbài thì chỉ
0;
2



thađiu kin xácđnh ca hàm số
ytanx.cotx.
Nghĩaliêntctrên 0; .
2



dụ5:Chohàmsố

tanx
vôùi x 0
fx
x
0vôùi x0
.Hàmsố
fx
liêntctrêncáckhongnàosauđây?
A.
0; .
2



B.
;.
4




C.
;.
44



. D.
;.

Hướngdngii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 369
ĐÁPÁNA

x0
tanx
lim 1 f 0 0.
x
 Hàmsố
fx
giánđonti
0
x0
0
xk,
2
suyra
fx
liêntctrên
khong
0; .
2



dụ6:Chohàmsố


22
2
ax vôùi x 2,a
fx .
2axvôùi x 2


Giátrịcaađể
fx
liêntctrên là:
A.12. B.1
1 . C. 1
2. D.1
2.
Hướngdngii
ĐÁPÁND




2
x2 x2
lim f x 2a lim f x 2 2 a f 2


 
22
a1
a2aaa20 .
a2


3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Có bao nhiêu giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
()
()
22
khi 2
1khi 2
mx x
fx
mx x
ì
ï
£
=
-
í
>
ï
ï
ï
î
liên tc
trên
?
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Li gii
Chn A
. TXĐ:
D =
. Hàm s liên tc trên mi khong
()
;2
;
)
2;
.
Khi đó
)
f
x
liên tc trên
)
f
x
liên tc ti
2x =
() () () () ()
2
22
lim 2 lim lim 2 .
x
xx
fx f fx fx f
+-

= = =
()
*
Ta có
()
() () ()
()
() ( )
2
2
22
22 2
22
24
1
lim lim 1 2 1 * 4 2 1 .
1
2
lim lim 4
xx
xx
fm
m
fx mx m m m
m
fx mx m
++
--


ì
ï
ï
=
ï
é
=-
ï
ê
ï
ï
éù
ê
=-=-¾¾ = -
í
ëû
ï
ê
=
ï
ê
ï
ë
ï
==
ï
ï
î
Câu 2: Biết rng hàm s
()
[
]
(]
khi
1khi
0;4
4;6
xx
fx
mx
ì
ï
Î
ï
í
Î
=
+
ï
ï
î
tc trên
[
]
0;6 .
Khng định nào sau đây đúng?
A.
2.m <
B.
23.m£<
C.
35.m<<
D.
5.m ³
Li gii
Chn A
D thy
()
f
x
liên tc trên mi khong
)
0;4
()
4;6
. Khi đó hàm s liên tc trên đon
[
]
0;6
khi và ch khi hàm s liên tc ti 4, 0, 6xxx===.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 370
Tc là ta cn có
() ()
() ()
() () ()
()
0
6
44
lim 0
lim 6 . *
lim lim 4
x
x
xx
fx f
fx f
fx fx f
+
-
-+

ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
ï
==
ï
ï
î
()
()
00
lim lim 0
;
000
xx
fx x
f
++

ì
ï
==
ï
ï
·
í
ï
ï
==
ï
î
() ( )
()
66
lim lim 1 1
;
61
xx
f
xmm
fm
--

ì
ï
=+=+
ï
ï
·
í
ï
=+
ï
ï
î
()
() ( )
()
4
4
44
lim lim 2
lim lim 1 1 ;
41
x
x
xx
fx x
f
xmm
fm
-
-
++

ì
ï
==
ï
ï
ï
ï
ï
·=+=+
í
ï
ï
ï
ï
=+
ï
ï
î
Khi đó
()
*
tr thành
12 12.mm+==<
Câu 3: Có bao nhiêu giá tr ca tham s
a để hàm s
()
2
32
khi 1
1
khi 1
xx
x
x
fx
ax
ì
ï
-+
ï
¹
ï
ï
-
=
í
ï
ï
ï
=
ï
î
liên tc trên
.
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Li gii
Chn C
Hàm s
()
f
x
liên tc trên
()
;1
()
1; .
Khi đó hàm s đã cho liên tc trên khi
và ch khi nó liê tc ti
1,x =
tc là ta cn có
() () () () () ()
1
11
lim 1 lim lim 1 . *
x
xx
fx f fx fx f
+-

= = =
Ta có
()
() ( )
() ( )
()
11
11
2khi 1
lim lim 2 1
khi 1 *
lim lim 2 1
2khi 1
xx
xx
xx
fx x
fx a x
fx x
xx
--
++


->
ì
ï=-=
ï
ï
== ¾¾
í
ï
=-=-
ï
ï-<
î
ì
ï
ï
ï
ï
¾¾
í
ï
ï
ï
ï
î
không ta mãn vi
mi
.a Î Vy không tn ti giá tr
a
tha yêu cu.
Câu 4: Biết rng
()
2
1
khi 1
1
khi 1
x
x
fx
x
ax
ì
ï
ï
ï
ï
-
í
ï
ï
ï
ï
î
¹
=
-
=
liên tc trên đon
[
]
0;1
(vi
a
là tham s). Khng định
nào dưới đây v giá tr
a
đúng?
A.
a
là mt s nguyên. B.
a
là mt s vô t. C. 5.a > D.
0.a <
Li gii
Chn A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 371
Hàm s xác định và liên tc trên
[
)
0;1
. Khi đó
()
f
x
liên tc trên
[
]
0;1
khi và ch khi
() () ()
1
lim 1 . *
x
fx f
-
=
Ta có
()
()
()
()
()
2
11 1
1
*4.
1
lim lim lim 1 1 4
1
xx x
fa
a
x
fx x x
x
-- -

ì
ï
=
ï
ï
ï
¾¾=
í
-
éù
ï
==++=
ï
êú
ï
ëû
-
ï
î
Câu 5: Xét tính liên tc ca hàm s
()
1
khi 1
21
.
2khi 1
x
x
fx
x
xx
ì
ï
ï
ï
ï
-
<
=
--
í
ï
ï
ï
ï
î
Khng định nào dưới đây đúng?
A.
)
f
x
không liên tc trên . B.
)
f
x
không liên tc trên
()
0;2 .
C.
)
f
x
gián đon ti
1.x =
D.
()
f
x
liên tc trên
.
Li gii
Chn D
Ta có
()
() ( )
()
()
()
11
11 1
12
lim lim 2 2
1
lim lim lim 2 1 2
21
xx
xx x
f
f
xx fx
x
fx x
x
++
-- -


ì
ï
ï
ï
ï
=-
ï
ï
ï
ï
=-=- ¾¾
í
ï
ï
ï
ï
-
éù
ï
==--+=-
ï
êú
ï
ëû
--
ï
î
liên tc ti 1.x =
Vy hàm s
)
f
x
liên tc trên
.
Câu 6: Tìm giá tr nh nht ca
a
để hàm s
()
2
2
56
khi 3
43
1khi 3
xx
x
fx
xx
ax x
-+
>
=
--
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
liên tc ti
3x =
.
A.
2
3
-
. B.
2
.
3
C.
4
.
3
-
D.
4
.
3
Li gii
Chn A
Điu kin bài toán tr thành:
() () () ()
33
lim lim 3 . *
xx
fx fx f
+-

==
Ta có
()
()
()
()
()
()
2
2
33 3
23
33
313
243
56
lim lim lim 3
1
43
lim lim 1 1 3 .
xx x
xx
fa
xxx
xx
fx
x
xx
fx ax a
++ +
--


ì
ï
=-
ï
ï
ï
ï
--+
ï
-+
ï
== =-
í
ï
-
--
ï
ï
ï
ï
=-=-
ï
ï
î
()
min
22
3
*.
3
aa¾¾¾= =-¾
Câu 7: Tìm giá tr ln nht ca
a
để hàm s
()
3
2
322
khi 2
2
1
khi 2
4
x
x
x
fx
ax x
+-
>
-
=
+
ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
£
ï
ï
ï
ï
ï
î
liên tc ti
2.x =
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 372
A.
max
3.a = B.
max
0.a = C.
max
1.a = D.
max
2.a =
Li gii
Chn C
Ta cn có
() () () ()
22
lim lim 2 . *
xx
fx fx f
+-

==
Ta có
()
()
()
()
2
3
22
2
ma
2
22
x
7
22
4
3221
lim lim *
24
17
lim li 2
1
44
1
m
.
xx
xx
fa
x
fx a
x
fx
a
ax a
++
--


ì
ï
ï
=-
ï
ï
ï
ï
ï
+-
ï
ï
==¾¾=
í
ï
-
ï
ï
ï
æö
ï
÷
ç
ï
=+
¾¾
=-
÷
ç
ï
÷
ç
ø
ï
ï
=
è
î
Câu 8: Xét tính liên tc ca hàm s
()
1cos khi 0
1khi 0
.
xx
x
f
x
x
+
ì
ï
ï
í
>
=
ï
ï
î
Khng định nào sau đây đúng?
A.
)
f
x
liên tc ti
0.x =
B.
()
f
x
liên tc
trên
()
;1 .
C.
)
f
x
không liên tc trên
.
D.
()
f
x
gián đon ti
1.x =
Li gii
Chn C
Hàm s xác định vi mi
x Î .
Ta có
)
f
x
liên tc trên
()
;0
()
0; .
Mt khác
()
() ( )
()
()
00
00
01
lim lim 1 cos 1 cos0 0
lim lim 1 0 1 1
xx
xx
f
f
xx fx
fx x
--
++


ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
=-=-=¾¾
í
ï
ï
ï
ï
=+=+=
ï
ï
î
gián đon ti 0.x =
Câu 9: Tìm các khong liên tc ca hàm s
()
cos khi 1
2
1khi 1
.fx
x
x
xx
p
£
->
ì
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
ï
î
Mnh đề nào sau đây là
sai?
A. Hàm s liên tc ti
1x =-
.
B. Hàm s liên tc trên các khong
()()
;,1 1; . -
C. Hàm s liên tc ti
1x =
.
D. Hàm s liên tc trên khong
()
1, 1-
.
Li gii
Chn A
Ta có
)
f
x
liên tc trên
()()()
;1, 1;1,1; . - -
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 373
·
Ta có
()
()
()
()
()
()
11
1cos 0
2
lim lim 1 2
xx
f
f
x
fx x
p
--
- -
ì
æö
ï
÷
ï
ç
-= - =
÷
ïç
÷
ç
ï
èø
ï
¾¾
í
ï
ï
=-=-
ï
ï
ï
î
gián đon ti
1.x =-
· Ta có
()
() ( )
()
()
11
11
1cos 0
2
lim lim 1 0
lim lim cos 0
2
xx
xx
f
f
xx fx
fx
xp
p
++
--


ì
ï
ï
ï
==
ï
ï
ï
ï
ï
=-=¾¾
í
ï
ï
ï
ï
ï
==
ï
ï
ï
î
liên tc ti 1.x =
Câu 10: Hàm s
)
f
x
đồ th như hình bên không liên tc ti
đim có hoành độ bao nhiêu?
A.
0.x =
B.
1.x =
C.
2.x =
D.
3.x =
Li gii
Chn B
D thy ti đim có hoành độ
1x =
đồ th ca hàm s b
''
đứt
''
nên hàm s không liên tc ti đó.
C th:
() ()
11
lim 0 3 lim
xx
ff
x
x
+-

=/==
nên
)
f
x
gián đon ti
1.x =
x
2
3
y
1
O
1
Câu 11: Cho hàm s
()
2
khi 1, 0
0khi 0.
khi 1
x
xx
x
fx x
xx
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
ï
ï
î
Hàm s
()
f
x
liên tc ti:
A. mi đim thuc
. B. mi đim tr
0x =
.
C. mi đim tr
1x =
. D. mi đim tr
0x =
1x =
.
Li gii
Chn A
Hàm s
()
yfx=
có TXĐ:
D =
.
D thy hàm s
)
yfx=
liên tc trên mi khong
()()
;0 , 0;1
()
1;
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 374
Ta có
()
()
()
()
2
000
2
000
00
lim lim lim 0
lim lim lim 0
xxx
xxx
f
x
f
xxfx
x
x
fx x
x
---
+++


ì
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
===¾¾
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
===
ï
ï
î
liên tc ti
0.x =
Ta có
()
()
()
()
2
111
11
11
lim lim lim 1
lim lim 1
xxx
xx
f
x
f
xxfx
x
fx x
---
++


ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
===¾¾
í
ï
ï
ï
ï
==
ï
ï
ï
î
liên tc ti
1.x =
Vy hàm s
()
yfx=
liên tc trên
.
Câu 12: Cho hàm s
()
2
1
khi 3, 1
1
4khi1
1khi 3
x
xx
x
fx x
xx
ì
ï
-
ï
ï
ï
-
ï
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
. Hàm s
)
f
x
liên tc ti:
A. mi đim thuc
. B. mi đim tr
1x =
.
C. mi đim tr
3x =
. D. mi đim tr
1x =
3x =
.
Li gii
Chn D
Hàm s
()
yfx=
có TXĐ:
D =
.
D thy hàm s
)
yfx=
liên tc trên mi khong
()()
;1 , 1;3
()
3;
.
Ta có
()
()
()
()
2
11 1
14
1
lim lim lim 1 2
1
xx x
f
f
x
x
fx x
x

ì
ï
=
ï
ï
ï
¾¾
í
-
ï
==+=
ï
ï
-
ï
î
gián đon ti
1.x =
Ta có
()
()
()
()
2
33 3
32
1
lim lim lim 1 4
1
xx x
f
f
x
x
fx x
x
-- -

ì
ï
=
ï
ï
ï
¾¾
í
-
ï
==+=
ï
ï
-
ï
î
gián đon ti
3.x =
Câu 13: S đim gián đon ca hàm s
()
2
2 khi 0
1 khi 0 2
3 1 khi 2
xx
hx x x
xx
ì
<
ï
ï
ï
ï
=+ ££
í
ï
ï
ï- >
ï
î
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Li gii
Chn A
Hàm s
()
yhx=
có TXĐ:
D =
.
D thy hàm s
()
yhx=
liên tc trên mi khong
()()
;0 , 0;2
)
2;
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 375
Ta có
()
()
()
00
01
lim lim 2 0
xx
h
f
x
hx x
--

ì
ï
=
ï
ï
¾¾
í
ï
==
ï
ï
î
không liên tc ti
0x =
.
Ta có
()
()
()
() ( )
()
2
22
22
25
lim lim 1 5
lim lim 3 1 5
xx
xx
h
hx x f x
hx x
--
++


ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
=+=¾¾
í
ï
ï
ï
ï
=-=
ï
ï
î
liên tc ti
2x =
.
Câu 14: Tính tng
S gm tt c các giá tr
m
để hàm s
()
2
2
khi 1
2 khi 1
1khi 1
xx x
fx x
mx x
ì
ï
+<
ï
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
+>
ï
î
liên tc ti
1x =
.
A.
1.S =-
B.
0.S =
C.
1.S =
D.
2.S =
Li gii
Chn B
Hàm s xác định vi mi
x Î .
Điu kin bài toán tr thành
() () () ()
11
lim lim 1 . *
xx
fx fx f
+-

==
Ta có
()
()
()
()
()
()
22 2
11
2
11
12
lim lim 1 1 * 1 2
lim lim 2
xx
xx
f
fx mx m m
fx x x
++
--


ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
=+=+¾¾+=
í
ï
ï
ï
ï
=+=
ï
ï
î
10.Sm ¾¾==
Câu 15: Cho hàm s
()
2
3
cos khi 0
khi 0 1.
1
khi 1
xx x
x
fx x
x
xx
ì
-<
ï
ï
ï
ï
ï
ï
<
í
ï
+
ï
ï
ï
³
ï
ï
î
Hàm s
)
f
x
liên tc ti:
A. mi đim thuc
.x Î B. mi đim tr
0.x =
C. mi đim tr
1.x =
D. mi đim tr
0; 1.xx==
Li gii
Chn C
Hàm s
()
yfx=
có TXĐ: D = .
D thy
)
f
x
liên tc trên mi khong
()()
;0 , 0;1
()
1;
.
Ta có
()
() ( )
()
()
00
2
00
00
lim lim cos 0
lim lim 0
1
xx
xx
f
f
xxx fx
x
fx
x
--
++


ì
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
=- =¾¾
í
ï
ï
ï
ï
ï
==
ï
ï
+
ï
î
liên tc ti
0x =
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 376
Ta có
()
()
()
()
2
11
3
1
1
11
1
lim lim
12
lim lim 1
xx
x
x
f
x
f
xfx
x
fx x
--
+
+

ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
==¾¾
í
ï
+
ï
ï
ï
==
ï
ï
ï
î
không liên tc ti
1x =
.
Dng 4. S nghim ca phương trình trên mt khong
1. Phương pháp
Chngminhphươngtrình

fx 0
ítnhtmtnghim
- Tìmhaisốabsaocho
fa.fb 0

- Hàmsố

fx
liêntctrênđon
a;b

- Phươngtrình

fx 0
ítnhtmtnghim
0
xa;b

Chngminhphươngtrình

fx 0
ítnhtknghim
- Tìmkcpsố
ii
a,b
saochocáckhong
ii
a;b
rinhau
ii
f(a )f(b ) 0, i 1,...,k
- Phươngtrình

fx 0
ítnhtmtnghim
iii
xa;b.
Khiphươngtrình

fx 0
chathamsốthìcnchna,bsaocho:
-

fa, fb
khôngcònchathams ốhocchathamsốnhưngdukhôngđổi.
- Hoc

fa, fb
cònchathamsốnhưngtíchf(a).f(b)luônâm.
2. Các ví d rèn luyn kĩ năng
dụ1:Tìmmđểphươngtrìnhsaunghim:
mx 1 x 2 2x 1 0.

Hướngdngii
Đặt

fx mx 1 x 2 2x 1.
Tpxácđịnh:
D nênhàmsốliêntctrên
.
Tacó:
 
f1 3;f2 3 f1.f2 0.
Vyphươngtrìnhđãchonghimvimim.
dụ2:Chohàmsố


2
2
x4 x0;2
fx
x4 6x 2;4


.Phươngtrình
fx 7
baonhiêunghim?
Hướngdngii
Xétphươngtrình:
2
x47trên
0;2
Tacó:
22
x47x3
x3(nhaän)
x3(loaïi)

Xétphươngtrình:

2
x4 67
trên
2;4
Tacó:

2
2
x4 67 x 8x150
x 3 (nhaän)
x5(loaïi)
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 377
Vyphươngtrình

fx 7
đúnghainghim.
3. Bài tp trc nghim
Câu 1: Cho hàm s
()
3
441.fx x x=- + -
Mnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm s đã cho liên tc trên
.
B. Phương trình
()
0fx=
không có nghim trên khong
()
;1 .
C. Phương trình
()
0fx=
có nghim trên khong
()
2;0 .-
D. Phương trình
()
0fx=
có ít nht hai nghim trên khong
1
3; .
2
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
Li gii
Chn B
(i) Hàm
()
f
x
là hàm đa thc nên liên tc trên
¾¾
A đúng.
(ii) Ta có
()
()
()
110
0
2230
f
fx
f
ì
ï
-=-<
ï
¾¾=
í
ï
-= >
ï
î
có nghim
1
x
trên
()
2;1-
, mà
()()()
2; 0 ;21 1; Ì- Ì-¥-- ¾¾
B sai và C đúng
(iii) Ta có
()
()
010
0
11
0
22
f
fx
f
ì
ï=-<
ï
ï
ï
¾¾=
æöí
÷
ç
ï
=>
÷
ç
ï
÷
ç
ï
èø
ï
î
có nghim
2
x
thuc
1
0; .
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Kết hp vi (1) suy ra
()
0fx=
có các nghim
12
,
x
x tha:
12
1
310
2
xx-< <-< < < ¾¾
D đúng.
Câu 2: Cho phương trình
42
25 10.xxx-++=
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình không có nghim trong khong
()
1;1 .-
B. Phương trình không có nghim trong khong
()
2;0 .-
C. Phương trình ch có mt nghim trong khong
()
2;1 .-
D. Phương trình có ít nht hai nghim trong khong
()
0;2 .
Li gii
Chn D
Hàm s
()
42
25 1fx x x x=-++
là hàm đa thc có tp xác định là
nên liên tc trên
.
Ta có
(i)
()
()
()() ()
01
1. 0 0 0
13
f
ff fx
f
ì
ï=
ï
- <¾¾=
í
ï
-=-
ï
î
có ít nht mt nghim
1
x
thuc
()
1; 0-
.
(ii)
()
()
() () ()
01
0. 1 0 0
11
f
ff fx
f
ì
ï
=
ï
<¾¾=
í
ï
=-
ï
î
có ít nht mt nghim
2
x
thuc
()
0;1 .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 378
(iii)
()
()
() ( ) ( )
11
1. 2 0 0
215
f
ff fx
f
ì
ï
=-
ï
<¾¾=
í
ï
=
ï
î
có ít nht mt nghim
3
x
thuc
()
1; 2 .
Vy phương trình
()
0fx=
đã cho có các nghim
123
,,
x
xx tha
123
1012xxx-< < < << <
Câu 3: Cho hàm s
3
(1)3fxxx -=-
. S nghim ca phương trình
()
0fx=
trên
là:
A.
0. B. 1. C. 2. D. 3.
Li gii
Chn D
Hàm s
()
3
31xfx x--=
là hàm đa thc có tp xác định là
nên liên tc trên
. Do đó
hàm s liên tc trên mi khong
()()()
2; 1 , 1;0 , 0;2 .-- -
Ta có
·
()
()
()() ()
23
210 1
11
f
ff
f
ì
ï
-=-
ï
- -<¾¾
í
ï
-=
ï
î
có ít nht mt nghim thuc
()
2; 1 .--
·
()
()
()() ()
11
100 1
01
f
ff
f
ì
ï
-=
ï
- <¾¾
í
ï
=-
ï
î
có ít nht mt nghim thuc
)
1; 0 .-
·
()
()
() () ()
21
200 1
01
f
ff
f
ì
ï=
ï
<¾¾
í
ï
=-
ï
î
có ít nht mt nghim thuc
()
0;2 .
Như vy phương trình
()
1
có ít nht ba thuc khong
()
2;2-
. Tuy nhiên phương trình
()
0fx=
là phương trình bc ba có nhiu nht ba nghim. Vy phương trình
()
0fx=
đúng nghim trên
.
Cách CASIO. (i) Chn MODE 7 (chc năng TABLE) và nhp:
3
3() 1.FX X X--=
(ii) n “=” và tiếp tc nhp: Start
5«- (có th chn s nh hơn).
End
5« (có th chn s ln hơn).
Step
1«
(có th nh hơn, ví d
1
2
).
(iii) n “=” ta được bng sau:
Bên ct X ta cn chn hai giá tr
a
b
()
ab<
sao cho tương ng bên ct ()FX nhn
các giá tr trái du, khi đó phương trình có nghim
()
;ab
. Có bao nhiêu cp s ,ab như
thế sao cho khác khong
()
;ab
ri nhau thì phương trình
()
0fx=
có by nhiêu nghim.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 379
Câu 4: Cho hàm s
()
f
x
liên tc trên đon
[
]
1; 4-
sao cho
()
12f -=
,
()
47f =
. Có th nói gì v
s nghim ca phương trình
()
5fx=
trên đon
[1;4]-
:
A. Vô nghim. B. Có ít nht mt nghim. C. đúng mt
nghim. D. đúng hai nghim.
Li gii
Chn B
Ta có
() ()
550fx fx= -=
. Đặt
() ()
5.gx f x=-
Khi đó
() ()
() ()
()()
115253
140.
445752
gf
gg
gf
ì
ï
-= --=-=-
ï
- <
í
ï
=-=-=
ï
î
Vy phương trình
()
0gx=
có ít nht mt nghim thuc khong
()
1; 4
hay phương trình
()
5fx=
có ít nht mt nghim thuc khong
()
1; 4
.
Câu 5: Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
thuc khong
()
10;10-
để phương trình
()
32
322 30xx mxm-+ -+-=
có ba nghim phân bit
123
, ,
x
xx
tha mãn
123
1
x
xx<- < <
?
A.
19.
B.
18.
C.
4.
D.
3.
Li gii
Chn C
Xét hàm s
() ( )
32
322 3fx x x m x m=- + - +-
liên tc trên
.
Gi s phương trình có ba nghim phân bit
123
, ,
x
xx sao cho
123
1
x
xx<- < < . Khi đó
() ( )( )( )
123
f
xxxxxxx=- - -
.
Ta có
()( )( )( )
123
11 1 1 0fxxx- =-- -- -- >
(do
123
1
x
xx<- < < ).
()
15fm-=--
nên suy ra
50 5.mm--> <-
Th li: Vi
5m <- , ta có
()
lim
x
fx
-¥
=-¥
nên tn ti 1a <- sao cho
()
0fa<
.
()
1
Do
5m <- nên
()
150fm-=-->
.
(
)
2
()
030fm=-<
.
()
3
()
lim
x
fx
+¥
=+¥
nên tn ti
0b >
sao cho
)
0fb>
.
(
)
4
T
()
1
(
)
2
, suy ra phương trình có nghim thuc khong
()
;1 -
; T
(
)
2
()
3
, suy
ra phương trình có nghim thuc khong
()
1; 0-
; T
()
3
(
)
4
, suy ra phương trình có
nghim thuc khong
()
0; .
Vy khi
5m <- tha mãn
()
{
}
10;10
9; 8; 7; 6 .
m
m
m
Î
Î-
¾¾¾¾ Î - - - -
| 1/101

Preview text:

CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa Định nghĩa 1
Ta nói dãy số (u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u có thể nhỏ hơn một số dương n ) n
bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim u = 0 hay u  0 khi n  + . ¥ n n n +¥ Định nghĩa 2
Ta nói dãy số (v có giới hạn là a (hay v dần tới a ) khi n  + ,
¥ nếu lim (v -a = n ) 0. n ) n n+¥
Kí hiệu: lim v = a hay v a khi n  + . ¥ n n n +¥
2. Một vài giới hạn đặc biệt a) 1 lim = 0; 1 lim
= 0 với k nguyên dương; n+¥ n k n+¥ n b) lim n
q = 0 nếu q < 1; n+¥
c) Nếu u = c ( c là hằng số) thì lim u = lim c = .c n n n +¥ n+¥
Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim u = a ta viết tắt là lim u = a . n n n +¥
II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1
a) Nếu lim u = a và lim v = b thì n n
· lim (u + v ) = a+ b · lim (u -v ) = a-b n n n n æ ö li · m ( u ç ÷ a u .v ) = . a b · lim n
ç ÷ = (nếu b ¹ 0 ). n n ç ÷ çèv ÷ø b n ìïlim = ìï b) Nếu u a ï = n u a í thì lim ï n í . u ï ³ 0, "n ïî a ïï ³ 0 n î
III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn (u có công bội q , với q <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. n )
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 279
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 u
S = u + u + u +¼+ u +¼ = q < 1 . 1 2 3 n ( ) 1-q
IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa
· Ta nói dãy số (u có giới hạn là +¥ khi n  +¥ , nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể n ) n
từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim u = +¥ hay u  +¥ khi n  + . ¥ n n
· Dãy số (u có giới hạn là -¥ khi n  +¥ , nếu lim ( u - ) = +¥ n ) n .
Kí hiệu: lim u = -¥ hay u  -¥ khi n  + . ¥ n n
Nhận xét: u = +¥  lim ( u - ) = - . ¥ n n
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim k
n = +¥ với k nguyên dương; b) lim n
q = +¥ nếu q >1 . 3. Định lí 2 a) Nếu u lim u =
a và limv = ¥ thì lim n = 0 . n n vn b) Nếu u lim u = a 0
> , limv = 0 và v > 0, "n > 0 thì lim n = + . ¥ n n n vn
c) Nếu lim u = +¥ và lim v = a > 0 thì lim u .v = . +¥ n n n n
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng nguyên lý kẹp 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng (- ) 1 n
Ví dụ 1 : Cho hai dãy số ( 1 u và (v u = và v =
. Khi đó lim (u +v có giá trị bằng: n n ) n ) n ) n 2 n +1 n 2 n + 2 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 280
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï 1 1 0 ï £ u £ £  0 ï n 2 Ta có ïï n +1 n í ¾¾
limu = lim v = 0 ¾¾ lim u + v = n n ( n n ) . 0 ï 1 1 0 ïï £ v £ £  0 n 2 ïîï n + 2 n æ ö
Ví dụ 2: Kết quả của giới hạn sin 5 lim n çç -2÷÷ ç bằng: è 3 ÷ n ø A. -2. B. 3. C. 0. D. 5. 3 Lời giải Chọn A æ ö Ta có sin 5n 1 0 £ £ , mà 1 n lim = 0 nên sin 5 lim n = 0, do đó sin 5 limçç -2÷÷ = 2. - 3 ç ÷ n n n 3n è 3n ø
Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau
(các bài sau có thể làm tương tự) : sin(5X ) Nhập -2. 3X
Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi,
khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.
Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với
kết quả hiện trên MTCT.
Ví dụ 3 : Kết quả của giới hạn 3sin n + 4 cos lim n bằng: n +1 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Ta có 3sin n + 4cos n 7 7 3sin n + 4cos 0 £ £ £  0 ¾ ¾ lim n = 0. n +1 n +1 n n +1
3. Bài tập trắc nghiệm æç ( )n ö - Câu 1: 1 ÷
Giá trị của giới hạn lim çç4 ÷ + ÷ bằng: ç ÷ ç n +1 ÷ è ø A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn C (- ) 1 n 1 1 (- ) 1 n æç ( )1n ö - Ta có ÷ 0 £ £ £  0 ¾¾ lim = 0 ¾¾ limçç4 ÷ + ÷ = 4. + + + ç ÷ n 1 n 1 n n 1 ç n +1 ÷ è ø k 1 n - 2 n cos Câu 2: 1
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim n = . 2n 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 281
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số. Lời giải Chọn A k 1 k 1 n - 2 n cos n cos Ta có 1 n n = - . 2n 2 n k 1 n cos
Điều kiện bài toán trở thành lim n = 0. n Ta có 1
lim cos = cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho n k k 1 n - k 2 lim = lim n
= 0  -1 < 0  k < 2 ¾¾¾¾ không tồn tại *
k (do k nguyên dương và k Î , k =3 n 2 l chẵn). æ ö Câu 3: n cos 2n
Kết quả của giới hạn lim 5 ç ÷ ç - ÷ bằng: 2 ç ÷ è n +1 ø A. 4. B. 1 . C. 5. D. -4. 4 Lời giải Chọn C Ta có n cos 2n n 1 n cos 2n æ n cos 2 ö 0 £ £ £  0 ¾¾ lim = 0 ¾¾ lim 5 n ç ÷ ç - ÷ = 5. 2 2 2 2 ç ÷ n +1 n +1 n n +1 è n +1 ø æ ö Câu 4: np
Kết quả của giới hạn 2 3 lim ççn sin -2n ÷÷ ç là: è 5 ÷ø A. . -¥ B. -2. C. 0. D. . +¥ Lời giải Chọn A æ ö æ ö Ta có np 1 sin p 2 3 3 limçç sin -2 ÷÷ = lim çç . n n n n -2÷÷. ç è 5 ÷ø ç ÷ èn 5 ø Vì 3 3 li ìï m n = +¥ l ìï im n = +¥ ï ï ï ï æ1 sin p ö ï ï 3 n í 1 sin ¾¾ í æ ö ¾¾  ç ÷ np 1 1 sin np lim n ç . - 2÷ = - . ¥ 0 ï £ . £  0 l ï imç ï ï ç . - 2÷÷ = -2 < 0 ç ÷ èn 5 ø ï ï ç ÷ n 5 n èn 5 ø ïî ïî
Dạng 2. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp
Chú ý : Cho P(n), Q(n) lần lượt là các đa thức bậc ,
m k theo biến n :
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 282
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 P(x) m m 1
= a n + a n - ++ a n + a a = / 0 m m 1 - 1 0 ( m ) Q(n) k k 1
= b n + b n - ++ b n +b b = / 0 k k 1 - 1 0 ( k ) P(n) m P(n) m Khi đó a n a n lim = lim m , viết tắt m
, ta có các trường hợp sau : Q(n) k b n Q(n) k b n k k P(n)
Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì lim = 0. Q(n) P(n)
Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( a m = k ) thì lim m = . Q(n) bk P(n) ì+¥ ï khi a b > 0
Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( ï m k
m > k ) thì lim = í . Q(n) ï-¥ khi a b < 0 ïî m k
Để ý rằng nếu P(n), Q(n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể 1 m k k
n tì có bậc là . Ví dụ n có bậc là 3 4
, n có bậc là 4 ,... n 2 3
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng !
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3 3n  2 5n 1 Ví dụ 1. Tính lim 3 . 2n  2 6n  4n  5 Giải 5 1 3   3 3n  2 5n  3 1 n n 3 lim  lim  3 2n  2 6n  4n  5 6 4 5 2    2 2 3 n n n 2 Ví dụ 2: Tính n + 2 lim n 3 n + 3n -1 Lời giải 1 2 2 + Ta có 2 n + 2n 0 lim = lim n n = = 0. 3 n + 3n -1 3 1 1 1+ - 2 3 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
Ví dụ 3 : Cho dãy số ( n + b u với 2 u =
trong đó b là tham số thực. Để dãy số (u có giới hạn hữu n ) n ) n 5n + 3
hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu Lời giải 2 b + Ta có 2n + b 2 lim = lim = lim n u = "b Î  n ( ) 5n + 3 3 5 5 + n
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 283
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Giải nhanh : 2n + b 2n 2  = với mọi b Î . 5n + 3 5n 5 2
Ví dụ 4: Cho dãy số ( 4n + n + 2 u với u =
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a n ) n 2 an + 5 bằng bao nhiêu Lời giải 1 2 2 4 + + 2 4n + n + 2 4 2 = lim = lim = lim n n u = (a =
/ 0)  a = 2. n 2 an + 5 5 a a + 2 n 2 2 Giải nhanh : 4n + n + 2 4n 4 2   =  a = 2. 2 2 an + 5 an a ( 2 n + 2n)( 3 2n + ) 1 (4n +5)
Ví dụ 5 : Tính giới hạn L = lim ( . 4 n -3n - ) 1 ( 2 3n -7) Lời giải æ 2öæ 1 öæ 5ö ( ç ÷ ç + ç ÷ ÷ç + ç ÷ 2 ÷ç + ÷ n + 2n)( 3 2n + ) 1 (4n + ) 1 2 4 ç ÷ 3 5 è øç ÷ è øç ÷ n n è nø 1.2.4 8 L = lim ( = lim = = . 4 n - 3n - ) 1 ( 2 3n -7) æ 3 1 öæ 7 ö 1.3 3 1 ç ÷ ç - - ÷ 3 ç ÷ ç ÷ç - ÷ 3 4 2 è øç ÷ n n è n ø ( 2 n + 2n)( 3 2n + ) 1 (4n + ) 2 3 5 Giải nhanh: n .2n .4n 8 (  = . 4 n - 3n - ) 1 ( 2 3n -7) 4 2 n .3n 3
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: -3
Giá trị của giới hạn lim là: 2 4n - 2n +1 A. 3 - . B. . -¥ C. 0. D. -1. 4 Lời giải Chọn C -3 Ta có 2 -3 0 lim = lim n = = 0. 2 4n - 2n +1 2 1 4 4- + 2 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. 3 Câu 2: 3n -2n +1
Giá trị của giới hạn lim là: 4 4n + 2n +1 A. . +¥ B. 0. C. 2 . D. 3 . 7 4 Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 284
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 2 1 3 - + Ta có 2 4 3n - 2n +1 0 lim = lim n n n = = 0. 4 4n + 2n +1 2 1 4 4 + + 3 4 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 3: v
Cho hai dãy số (u ) và (v có 1 u = và 2 v =
. Khi đó lim n có giá trị bằng: n ) n n n +1 n n + 2 un A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A 1 1+ Ta có v n +1 1 lim n = lim = lim n = =1. u n + 2 2 1 n 1+ n
Giải nhanh : n +1 n  = 1. n + 2 n Câu 4: + Cho dãy số ( an u với 4 u =
trong đó a là tham số thực. Để dãy số (u có giới hạn n ) n ) n 5n + 3
bằng 2 , giá trị của a là: A. a = 10. B. a = 8. C. a = 6. D. a = 4. Lời giải Chọn A 4 a + Ta có an + 4 lim = lim = lim a n u = . Khi đó n 5n + 3 3 5 5 + n lim = 2 a u
 = 2  a = 10 n 5 Giải nhanh : an + 4 2 an a   =  a = 10. 5n + 3 5n 5 2 Câu 5: n + n + 5
Tính giới hạn L = lim . 2 2n +1 A. 3 L = . B. 1 L = . C. L = 2. D. L = 1. 2 2 Lời giải Chọn B 1 5 2 1+ + Ta có 2 n + n + 5 1 = lim = lim n n L = 2 2n +1 1 2 2 + 2 n
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 285
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2
Giải nhanh: n + n +5 n 1  = . 2 2 2n +1 2n 2 2 3 Câu 6: n -3n
Tính giới hạn L = lim . 3 2n + 5n -2 A. 3 L = - . B. 1 L = . C. 1 L = . D. L = 0. 2 5 2 Lời giải Chọn A 1 2 3 -3 n - 3n -3 = lim = lim n L = 3 2n + 5n - 2 5 2 2 2 + - 2 3 n n 2 3 3
Giải nhanh: n -3n 3 - n 3  = - . 3 3 2n + 5n- 2 2n 2 2 4 Câu 7: 5n -3
Tìm tất cả các giá trị của tham số an a để L = lim > 0. (1-a) 4 n + 2n +1
A. a £ 0;a ³1.
B. 0 < a <1.
C. a < 0; a >1.
D. 0 £ a <1. Lời giải Chọn C 5 2 4 -3a 2 5n -3an -3a éa < 0 = lim = lim n L = > 0  ê . (1-a) 4 n + 2n +1 - ê (1 > -a) 2 1 (1 a) a 1 + + ë 3 4 n n ( 3 2n -n )( 2 3n + ) 1
Câu 8: Tính giới hạn L = lim . (2n - ) 1 ( 4 n -7) A. 3 L = - . B. L = 1. C. L = 3. D. L = + . ¥ 2 Lời giải Chọn A Ta có æ 2 ö æ 1 ö æ 2 öæ 1 ö ( ç ÷ ç - ç ÷ ÷ ç + ç ÷ ÷ ç - ç ÷ 2 ÷ç + ÷
n - n )(3n + ) 3 2 3 2 n 1 .n 3 1 3 2 ç ÷ 2 è ø ç ÷ 2 è ø ç ÷ 2 1 è øç ÷ n n n è n ø -1.3 3 L = lim = lim = lim = = - . (2n- ) 1 ( 4 n - 7) æ 1ö æ ö æ öæ ö 4 7 1 7 2.1 2 nçç2 ÷ - ÷.n 1 ç ÷ ç - ç ÷ ç2 ÷ - ÷ 1 ç ÷ ç - ÷ ç ÷ 4 è ø ç ÷ è ø ç ÷ 4 è øç ÷ n n n è n ø ( 3 2n - n )( 2 3n + ) 3 2 1 Giải nhanh: n - .3n 3  = - . (2n- ) 1 ( 4 n - 7) 4 2 . n n 2 3 Câu 9: n - 2n
Kết quả của giới hạn lim là: 2 1-3n A. 1 - . B. . +¥ C. . -¥ D. 2 . 3 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 286
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn C æ ö 3 2 ç ÷ 2 n 1 ç - ÷ 3 - 2 1 - ç ÷ 2 n 2 è ø lim n = lim n = lim . n n . Ta có 2 1-3n æ 1 ö 1 2 n çç -3÷÷ -3 2 2 ç ÷ èn ø n li ìï m n = +¥ ïï 2 ï 2 3 1- ï 2 ï 1- n - 2n n 2 í 1 ¾¾ im = lim . n = -¥ n 2 li ï m = - < 0 1-3n 1 ïï 1 -3 3 2 ï -3 n ï 2 ïî n 3 3
Giải nhanh : n -2n n 1  = - n ¾¾ - . ¥ 2 2 1-3n 3 - n 3 3 Câu 10: 2n + 3n
Kết quả của giới hạn lim là: 2 4n + 2n +1 A. 3 . B. . +¥ C. 0 D. 5. 4 7 Lời giải Chọn B æ ö 3 2 ç ÷ 2 n ç + 3÷ 3 + 2 3 + ç ÷ 2 2n 3 è ø lim n = lim n = lim . n n . Ta có 2 4n + 2n +1 æ 2 1 ö 2 1 2 n çç4 ÷ + + ÷ 4 + + 2 2 ç ÷ è n n ø n n li ìï m n = +¥ ïï 2 ï 2 3 + 3 ï 2 ï + 3 2n + 3n n 2 í 3 ¾¾ im = lim . n = + . ¥ n 2 li ï m = > 0 4n + 2n +1 2 1 ïï 2 1 4 4 + + 2 ï 4 + + n n ï 2 ïî n n 3 3
Giải nhanh : 2n +3n 3n 3  = .n ¾¾ + . ¥ 2 2 4n + 2n +1 4n 4 4 Câu 11: 3n -n
Kết quả của giới hạn lim là: 4n -5 A. 0. B. . +¥ C. . -¥ D. 3 . 4 Lời giải Chọn C æ ö 4 3 ç ÷ 3 n ç -1÷ 4 - 3 1 - ç ÷ 3 3n n èn ø 3 lim = lim = lim . n n . Ta có 4n -5 æ 5ö 5 nçç4 ÷ - ÷ 4- ç ÷ è nø n
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 287
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 li ìï m n = +¥ ïï 3 ïï 3 4 -1 3 ï 3 ï -1 n - n 3 n 3 í 1 ¾¾  lim = l lim n . = - . ¥ li ï m n = - < 0 4n -5 5 ïï 5 4 4 - ïï 4- n ïî n 4 4
Giải nhanh : 3n-n n - 1 3  = - .n ¾¾ - . ¥ 4n-5 4n 4
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 3 2 3 2 4 A. 3 + 2 2n -3 2n -3 2n -3 lim n . B. lim . C. lim n . D. lim n . 2 2n -1 3 2 - n -4 2 2 - n -1 4 2 2 - n + n Lời giải Chọn B
. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp
« bậc tử » < « bậc mẫu » ! 3 3+ 2 lim
n = +¥ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và a b = 2.2 = 4> 0. 2 2n 1 - m k 2 2n -3 lim
= 0 : « bậc tử » < « bậc mẫu ». 3 2 - n -4 3 2n-3 lim
n = +¥ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và a b = - - > n k ( ) 3 ( . ) 2 0. 2 2 - n 1 - 2 4 2n -3n 3 - 3 - lim =
= : « bậc tử » = « bậc mẫu » và a 3 3 m = = . 4 2 2 - n + n 2 - 2 b -2 2 k
Câu 13: Dãy số nào sau đây có giới hạn là -¥ ? 3 2 4 2 A. 1+ 2n n + 2n -1 2n -3n n - 2n . B. u = . C. u = . D. u = . 2 5 n n n n + 5n 3 n - + 2n 2 3 n + 2n 5n +1 Lời giải Chọn C
Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và a b < 0. m k 2 4 2n -3n u =
: « bậc tử » > « bậc mẫu » và a b = -3.2 = -6 < 0 ¾¾  lim u = - . ¥ n 2 3 n + 2n m k n ì+¥ ï khi a > 0 Chú ý : (i) lim( m m 1 - ï n a n + a n
++ a n + a = í . m n 1 - 1 0 ) ï-¥ khi a < 0 ïî n
(ii) Giả sử q > max{ q : i =1;2¼;m thì i } ìïa khi q <1 ï 0 ï lim( . n n n ï
a q + a q ++ a q + a = +
í ¥ khi a > 0, q >1. m m 1 1 0 )
ïïï-¥ khi a<0, q>1 ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 288
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau.
Câu 14: Tính giới hạn L = ( 2
lim 3n + 5n - 3). A. L = 3. B. L = - . ¥ C. L = 5. D. L = + . ¥ Lời giải Chọn D 2 li ìï m = +¥ æ ö n ï . ïï L = lim( 5 3 2 3n + 5n - ) 2 3 = lim n çç2 ÷ + - ÷ = +¥ vì í æ 5 3 ö . 2 ç ÷ è n n ø li ï mç ï ç2 ÷ + - ÷ = 2 > 0 2 ï ç ÷ è n n ø ïî Giải nhanh : 2 2
3n +5n-3  3n ¾¾ + . ¥
Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng ( 10 - ;10) để L = ( n- ( 2a - ) 3 lim 5 3 2 n )= -¥ . A. 19. B. 3. C. 5. D. 10. Lời giải Chọn B æ ö Ta có lim (5n-3( 5 2 a - 2) 3 n ) 3 = lim n çç -3( 2 a - 2 ÷÷ = -¥ 2 ) ç ÷ èn ø æ 5 ö  lim çç -3( 2 a - 2) 2
÷÷= a -2 < 0  - 2 < a < 2 ¾¾¾¾¾a = 1 - ; 0; 1. 2 ç ÷ a , a ( 10;10) èn Î Î - ø 
Câu 16: Tính giới hạn ( 4 2
lim 3n + 4n - n + ) 1 . A. L = 7. B. L = - . ¥ C. L = 3. D. L = + . ¥ Lời giải Chọn D Ta có 4 li ìï m = +¥ æ ö n ïï lim( 4 1 1 4 2 3 ï
n + 4n - n + ) 4 1 = lim n 3 ç ÷ ç + - + ÷ = +¥ vì í æ 4 1 1 ö . 2 3 4 ç ÷ è n n n ø li ï m 3 ç ÷ ï ç + - + ÷ = 3 > 0 2 3 4 ï ç ÷ è n n n ø ïî Giải nhanh : 4 2 4
3n + 4n -n +1 3n ¾¾ + . ¥ Câu 17: 2 n
Cho dãy số (u với u = 2 + + +
Mệnh đề nào sau đây đúng ? n ( 2) ... ( 2) . n ) A. lim u = - . ¥ B. 2 lim u = . C. lim u = + . ¥ D. Không tồn tại n n 1- 2 n lim u . n Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 289
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Vì ( )2 n 2,
2 , ¼ ,( 2) lập thành cấp số nhân có u = 2 = nên 1 q n 1-( 2) ìï n é ù a = 2 - 2 > 0 ï u = 2. = - ê - ú ¾¾  u = +¥ vì í . n (2 2) ( 2) 1 lim 1- 2 n êë úû ïïq = 2 >1 ïî 1 3 +1+ +... n +
Câu 18: Giá trị của giới hạn 2 2 2 lim bằng: 2 n +1 A. 1. B. 1. C. 1 . D. 1 . 8 2 4 Lời giải Chọn D 1 3 n 1 1 n(n + ) Ta có 1
+1+ +...+ = (1+ 2 ++ n) = . . Do đó 2 2 2 2 2 2 1 3 +1+ +... n + 2 n + n 1 2 2 2 lim = lim
= (“bậc tử” = “bậc mẫu”). 2 2 n +1 4n + 4 4 æ - ö Câu 19: 1 2 1
Giá trị của giới hạn lim çç + +... n ÷ + ÷ bằng: 2 2 2 ç ÷ èn n n ø A. 0. B. 1. C. 1 . D. 1. 3 2 Lời giải Chọn C 1 2 n -1 1 1 (n - ) 1 (1+ n- ) 2 1 Ta có - + +...+ = (1+ 2++ n- ) 1 = . n n = . Do đó 2 2 2 2 2 2 n n n n n 2 2n 2 æ 1 2 n -1ö n - n 1 limçç + +... ÷ + ÷ = lim = . 2 2 2 ç ÷ 2 èn n n ø 2n 2 1 æ +3+5++(2n + ) 1 ö Câu 20: ç ÷
Giá trị của giới hạn lim ç ÷ ç bằng: 2 ÷ çè 3n + 4 ÷ø A. 0. B. 1. C. 2 . D. 1. 3 3 Lời giải Chọn B n(1+ 2n - ) Ta có 1+3+5+ (  2n - ) 1 2 1 = = n nên 2 1 æ +3+5++(2n + ) 2 1 ö ç ÷ n 1 limç ÷ = ç ÷ lim = ¾¾  2 2 çè 3n + 4 ÷ø 3n + 4 3 æ ö Câu 21: ç 1 1 1 ÷
Giá trị của giới hạn lim ç + +... + ÷ ç ÷ là: çè1.2 2.3 n(n + ) 1 ÷ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 290
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 1 . B. 1. C. 0. D. . -¥ 2 Lời giải Chọn B Ta có æç 1 1 1 ö÷ æ 1 1 1 1 1 ö æ 1 ö limç + +...+ ÷ ç ÷ = lim 1 ç ÷ ç - + - ++ - ÷ = lim 1 ç ÷ ç ÷ è + ç ÷ ç - ÷ =1. 1.2 2.3 ø è + ø ç ÷ n(n ) 1 2 2 3 n n 1 è n +1ø æ ö Câu 22: ç 1 1 1 ÷
Giá trị của giới hạn lim ç + +... + ÷ ç ÷ bằng: çè1.3 3.5 (2n - ) 1 (2n + ) 1 ÷ø A. 1 . B. 1 . C. 1. D. 2. 2 4 Lời giải Chọn A æ ö Với mọi * 1 1 1 1 k Î  thì = ç ÷ ç - ÷ , do đó (2 ç ÷ k - ) 1 (2k + ) 1
2 è2k -1 2k +1ø æç 1 1 1 ö÷ 1 é 1 1 1 1 1 ù limç + +...+ ÷ ç ÷ = lim 1 ê - + - + - ú 1 çè .3 3.5 (2n- ) 1 (2n + ) 1 ÷ø 2 êë 3 3 5 2n 1 - 2n +1úû 1 é 1 ù 1 = lim 1 ê - ú = . 2 êë 2n +1úû 2 é ù Câu 23: 1 1 1
Giá trị của giới hạn lim ê ...... ú + + + ê bằng: 1.4 2.5 ú n ê (n +3) ë úû A. 11 . B. 2. C. 1. D. 3 . 18 2 Lời giải Chọn A Ta có 1 1 1 1 é 1 1 1 1 1 1 1 ù + +......+ = 1 ê - + - + - ++ - ú 1.4 2.5 n(n + ) 3 3 êë 4 2 5 3 6 n n + 3úû 1 éæ 1 1 1ö æ1 1 1 1 ùö = ê 1 ç ÷ ç + + ++ ÷-ç ÷ ç + + ++ ú÷ 3 çêè 2 3 ÷ø ç ÷ n è4 5 6 n + 3 ú ø ë û 1æ 1 1 1 1 1 ö = 1 ç ÷ ç + + - - - ÷ 3çè 2 3 ÷ n +1 n + 2 n + 3ø 1 11 æ 1 1 1 ö = ç ÷ ç - - - ÷ 3çè 6 ÷ n +1 n + 2 n + 3ø æ ö ç ÷ æ ö Do đó 1 1 1 1 11 1 1 1 11 limç + +......+ ÷ ç ÷ = lim ç ÷ ç - - - ÷ = . 1. çè 4 2.5 ÷ + ç ÷ n(n ) 3 ø 3è 6 n +1 n + 2 n + 3ø 8
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 291
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2 2 Câu 24: 1 + 2 +... +
Giá trị của giới hạn lim n bằng: n ( 2 n + ) 1 A. 4. B. 1. C. 1 . D. 1. 2 3 Lời giải Chọn D 3 2
2n -3n + n n(n - ) 1 (2n + ) 1 Đặt P(n)= = thì ta có 6 6 2 2 2 2
1 + 2 + 3 ++ n = (P(2)- P( ) 1 )+(P( )
3 - P(2))++(P(n + ) 1 - P(n)) n(n + ) 1 (2n + )
= P(n + )- P( ) 3 1 1 = 6 2 2 2 1 + 2 +...+ n n(n + ) 1 (2n + ) Do đó 3 2 1 lim = = = n( lim . 2 n + ) 1 6n( 2 n + ) 1 6 3 ìï 1 ï = ï 1 u ï Câu 25: 2
Cho dãy số có giới hạn ( ï u xác định bởi í . Tính lim u . n ) ï 1 n u ïï = , n ³1 n 1 + ï 2-u ïî n A. lim u = 1 - . B. lim u = 0. C. 1 lim u = . D. lim u =1. n n n 2 n Lời giải Chọn D
Giả sử limu = a thì ta có n 1 1 a ìï =/ 2 ìïa =/ 2 ï ï a = lim u = lim =  í  í  a =1. n 1 + 2-u 2-a a ï (2-a) 2 =1 ï ïî ïa -2a +1= 0 n î u ìï = 2 1 ï
Câu 26: Cho dãy số có giới hạn ( ï u xác định bởi í u +1 . Tính lim u . n ) n n u ï = , n ³ ï 1 n 1 + ïî 2 A. lim u =1. B. lim u = 0. C. lim u = 2. D. lim u = + . ¥ n n n n Lời giải Chọn A
Giả sử limu = a thì ta có n u +1 a +1 a = lim u = lim n =  a = 1 ¾¾  n 1 + 2 2 2 Câu 27: 9n -n +1
Kết quả của giới hạn lim bằng: 4n -2 A. 2 . B. 3 . C. 0. D. 3. 3 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 292
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn B 1 1 - + 2 9 2 . 9n - n +1 n n 3 lim = lim = 4n - 2 2 4 4- n 2 2
Giải nhanh: 9n -n +1 9n 3  = . 4n - 2 4n 4 2 Câu 28: n - + 2n +1
Kết quả của giới hạn lim bằng: 4 3n + 2 A. 2 - . B. 1 . C. 3 - . D. 1 - . 3 2 3 2 Lời giải Chọn C 2 1 2 -1+ + 2 n - + 2n +1 1 lim = lim n n = - 4 3n + 2 2 3 3+ 4 n 2 2 Giải nhanh : n - + 2n +1 n - 1  = - . 4 4 3n + 2 3n 3 Câu 29: n +
Kết quả của giới hạn 2 3 lim là: 2n +5 A. 5 . B. 5. C. . +¥ D. 1. 2 7 Lời giải Chọn D 3 2 + 2n + 3 n 2 lim = lim = = 1. 2n + 5 5 2 2 + n
Giải nhanh: 2n +3 2n  =1. 2n + 5 2n Câu 30: + -
Kết quả của giới hạn n 1 4 lim bằng: n +1 + n A. 1. B. 0. C. -1. D. 1 . 2 Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 293
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 4 + - 2 n +1 - 4 n n n 0 lim = lim = = 0 n +1 + n 1 1 1 + +1 2 n n
Giải nhanh: n +1-4 n 1  = ¾¾ 0. n +1 + n n n 2 Câu 31: n + n +1 p Biết rằng lim = a sin + . b Tính 3 3
S = a + b . 2 - - 4 n n 2 A. S = 1. B. S = 8. C. S = 0. D. S = -1. Lời giải Chọn B 1 1+ 1+ 2 2 Ta có n + n +1 n 1+ 1 p lim = lim = = 2 2 sin 2 n - n - 2 1 2 1 4 1- - n n ìïa = ï 2 2 ¾¾ í ¾¾ S = 8 ïïb = î 0 Câu 32: 10
Kết quả của giới hạn lim là: 4 2 n + n +1 A. . +¥ B. 10. C. 0. D. . -¥ Lời giải Chọn C 10 2 10 0 lim = lim n = = 0. 4 2 n + n +1 1 1 1 1+ + 2 4 n n Giải nhanh: 10 10 10  = ¾¾ 0. 2 4 2 4 + +1 n n n n Câu 33: 2n + 2
Kết quả của giới hạn lim (n + ) 1 là: 4 2 n + n -1 A. . +¥ B. 1. C. 0. D. . -¥ Lời giải Chọn C 2n + 2 2(n + )3 1 lim(n + ) 1 = lim
= 0 (“bậc tử” < “bậc mẫu”). 4 2 4 2 n + n -1 n + n -1 Giải nhanh: ( + n + ) 2n 2 2n 2 1  . n = ¾¾ 0. 4 2 4 n + n -1 n n
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 294
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 3 2 Câu 34: an + 5n -7 Biết rằng lim
= b 3 + c với , a ,
b c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức 2 3n -n + 2 a + c P = . 3 b
A. P = 3. B. 1 P = . C. P = 2. D. 1 P = . 3 2 Lời giải Chọn B 5 7 3 + - 3 3 2 a 3 3 3 Ta có an + 5n -7 lim = lim n n b a = = 3 2 3n -n + 2 1 2 3 3 3- + 2 n n ìï3 b ï a = ï 1 = b 3 + c  í 3  P = . ï 3 c ïï = 0 î
Câu 35: Kết quả của giới hạn 5 5 2
lim 200 -3n + 2n là: A. . +¥ B. 1. C. 0. D. . -¥ Lời giải Chọn D Ta có li ìï m = +¥ æ n ï ç 200 2 ö ï 5 5 2 ÷ ï 5
lim 200-3n + 2n = lim nç -3+ ÷ ç ÷ = -¥ vì æç 200 2 ö í . 5 3 ç ÷ è n n ÷ø 5 ï 5 limç -3+ ÷ ï ç ÷ = - 3 < 0 5 3 ï ç ï è n n ÷ø î Giải nhanh: 5 5 2 5 5 5
200-3n + 2n  -3n = - 3.n ¾¾ - . ¥
Dạng 3. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp
 Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B
A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B 3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B        3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B       
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng  2 2 
Ví dụ 1. Tính lim  n  7  n  5    Giải 2 2  2 2  n  7  n  5 2
lim  n  7  n  5   lim  lim  0   2 2 2 2 n  7  n  5 n  7  n  5
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 295
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  2 2 
Ví dụ 2. Tính lim  n  3n  n    Giải  2 2  3n 3 3
lim n  3n  n   lim  lim    2 2 n  3n  n 3 2 1  1 n Ví dụ 3. Tính ( 2 lim
n -n +1 -n) Lời giải . 2 2
n - n +1 - n n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : 1 - + - + lim( 1 n 1 1 2 - +1- )= lim = lim n n n n = - 2
n - n +1 + n 1 1 2 1- + +1 2 n n Giải nhanh : n - +1 n - 1 2
n - n +1 - n =  = - . 2 2 - + + + 2 n n 1 n n n Ví dụ 4. Tính (3 2 3 lim
n -n + n) Lời giải 3 2 3 3 3
n - n + n n - + n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp :
lim( n -n + n) 2 3 n 1 1 2 3 = lim = lim = . ( 2 3 n - n )2 2 3 2 3 2 3 3
- n n - n + n æ1 ö 1 3 ç ÷ 3 ç -1÷ - -1 +1 ç ÷ èn ø n 2 2 Giải nhanh : 3 n n 1 2 3
n - n + n =  = . ( 2 3 - )2 3 6 3 3 2 3 2 3 2 - - + 3 3 n n n n n n
- n n - n + n
Ví dụ 5. Tính lim é ù n ê ( n+1- n)ú ë û Lời giải
n ( n +1- n)  n ( n - n) = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp :
n ( n + - n) n 1 1 lim 1 = lim = lim = n +1 + n 1 2 1+ +1 n
Giải nhanh : n ( n+ - n) n n 1 1 =  = . n +1 + n n + n 2
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị của giới hạn lim ( n +5 - n +1) bằng: A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 296
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn A
n +5 - n +1  n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : ( n+ - n+ ) 4 lim 5 1 = lim = 0 n + 5 + n +1
Câu 2: Giá trị của giới hạn ( 2 2 lim
n -1 - 3n + 2 ) là: A. -2. B. 0. C. . -¥ D. . +¥ Lời giải Chọn C æ ö lim( ç 1 2 2 2 ÷ n 1
- - 3n + 2)= limnç 1- - 3+ ÷ ç ÷ = -¥ vì 2 2 çè n n ÷ø æç 1 2 ö lim ÷ n = + , ¥ limç 1- - 3+ ÷ ç ÷ =1- 3 < 0. 2 2 çè n n ÷ø Giải nhanh : 2 2 2 2
n -1 - 3n + 2 
n - 3n = (1- 3)n ¾¾ - . ¥
Câu 3: Giá trị của giới hạn ( 2 2 lim
n + 2n - n -2n ) là: A. 1. B. 2. C. 4. D. . +¥ Lời giải Chọn B 2 2 2 2
n + 2n - n - 2n n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : lim( 4n 4 2 2
n + 2n - n - 2n ) = lim = lim = 2. 2 2
n + 2n + n - 2n 2 2 1+ + 1- n n Giải nhanh : 4n 4 2 2 + 2 - - 2 n n n n n =  = 2. 2 2 2 2
n + 2n + n - 2n n + n
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị của a để ( 2 2 2 lim
n + a n - n +(a + 2)n +1)= 0. A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B 2 2 2
n + a n - n +(a + ) 2 2
2 n +1  n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp: 2
a - a - 2 n -1 Ta có lim ( 2 2 2
n + a n - n +(a + 2)n +1) ( ) = lim 2 2
n + n + n +1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 297
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 1 a - a - 2 - 2 a - a - 2 éa = -1 = lim n = = 0  ê . 1 1 2 êa = 2 1 1 ë + + + 2 n n
Câu 5: Giá trị của giới hạn ( 2 2 lim
2n -n +1 - 2n -3n + 2) là: A. 0. B. 2 . C. . -¥ D. . +¥ 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2
2n - n +1- 2n -3n + 2  2n - 2n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : - lim( 2n 1 2 2
2n - n +1- 2n -3n + 2)= lim 2 2
2n - n +1 + 2n -3n + 2 1 2- 1 = lim n = . 1 1 3 2 2 2- + + 2- + 2 2 n n n n Giải nhanh : 2n -1 2n 1 2 2
2n - n +1- 2n -3n + 2 =  = . 2 2 2 2
2n - n +1 + 2n -3n + 2 2n + 2n 2
Câu 6: Giá trị của giới hạn ( 2 2 lim
n + 2n -1 - 2n + n ) là: A. -1. B. 1- 2. C. . -¥ D. . +¥ Lời giải Chọn C Giải nhanh : 2 2 2 2
n + 2n -1 - 2n + n
n - 2n = (1- 2)n ¾¾ - . ¥ æ ö Cụ thể : lim( ç 2 1 1 2 2 ÷ n + 2n 1
- - 2n + n)= lim .nç 1+ - - 2+ ÷ ç ÷ = -¥ vì 2 çè n n n ÷ø æç 2 1 1 ö lim ÷ n = + , ¥ limç 1+ - - 2 + ÷ ç ÷ =1- 2 < 0 2 çè n n n ÷ø
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa ( 2 2 lim
n -8n -n + a )= 0 . A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. Lời giải Chọn B Nếu 2 2 2
n -8n - n + a n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp :
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 298
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2 2a -8 n Ta có - lim ( 2a 8 2 2
n -8n - n + a ) ( ) = lim = lim 2 n + n + n 1 1+ +1 n 2
= a -4 = 0  a = 2  .
Câu 8: Giá trị của giới hạn ( 2 lim
n - 2n + 3 - n) là: A. -1. B. 0. C. 1. D. . +¥ Lời giải Chọn A 2 2
n - 2n + 3 - n n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : 3 - + - + lim( 2 2n 3 2 - 2 + 3 - )= lim = lim n n n n = -1 2
n - 2n + 3 + n 2 3 1- + +1 2 n n Giải nhanh : 2 - n +3 2 - 2 - 2 + 3 n n n -n =  = 1 - . 2 2
n - 2n + 3 + n n + n
Câu 9: Cho dãy số (u với 2 2 u =
n + an + 5 - n +1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a để n ) n lim u = 1 - . n A. 3. B. 2. C. -2. D. -3. Lời giải Chọn C 2 2 2 2
n + an + 5 - n +1  n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : + -1= lim = lim an u
n + an + - n + = n ( 4 2 2 5 1) lim 2 2
n + an + 5 + n +1 4 a + = lim a n =  a = -2. a 5 1 2 1+ + + 1+ 2 2 n n n Giải nhanh : an + 4 2 2 -1  + + 5 - +1 an a n an n =  =  a = 2 - . 2 2 2 2 + + + + + 2 n an 5 n 1 n n
Câu 10: Giá trị của giới hạn lim (3 3 3 3
n +1 - n + 2 ) bằng: A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn C 3 3 3 3 3 3 3 3 n +1 - n + 2  n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp :
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 299
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 - lim( 1 3 3 3 3
n +1- n + 2) = lim = 0. 3 (n + )2 3 3 3 3 3 3
1 + n +1. n + 2 + ( 3 n + 2)
Câu 11: Giá trị của giới hạn (3 3 2 lim
n -2n -n) bằng: A. 1. B. 2 - . C. 0. D. 1. 3 3 Lời giải Chọn B 3 3 2 3 3
n - 2n - n n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : - -
lim( n -2n -n) 2 3 2n 2 2 3 2 = lim = lim = - . ( 3 2 n - 2n )2 2 3 3 2 2 3 3 + .
n n - 2n + n æ 2ö 2 3 ç ÷ 3 1 ç - ÷ + 1- +1 ç ÷ è n ø n 2 2 Giải nhanh : - - 3 2n 2n 2 3 2
n - 2n - n =  = - . ( 3 2 - 2 )2 3 6 3 3 2 3 3 2 2 n + . + 3 3 + . - 2 n n n n n n n n + n
Câu 12: Giá trị của giới hạn lim é ù n ê
( n+1- n-1)ú là: ë û A. -1. B. . +¥ C. 0. D. 1. Lời giải Chọn D
n ( n +1- n - )
1  n ( n - n) = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp :
n ( n + - n - ) 2 n 2 lim 1 1 = lim = lim =1 n +1 + n -1 1 1 1+ + 1- n n Giải nhanh : ( + - - ) 2 n 2 1 1 n n n n =  = 1. n +1 + n -1 n + n Câu 13: é ù
Giá trị của giới hạn ên( 2 2 lim
n +1 - n -3)ú bằng: ë û A. -1. B. 2. C. 4. D. . +¥ Lời giải Chọn B n( 2 2
n + - n - )  n( 2 2 1 3 n - n ) = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : lim n( 4n 4 2 2
n +1 - n - 3) = lim = lim = 2 2 2 n +1 + n - 3 1 3 1+ + 1- 2 2 n n
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 300
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Giải nhanh : ( 4n 4 2 2 +1- -3) n n n n =  = 2. 2 2 2 2 n +1 + n -3 n + n Câu 14: é ù
Giá trị của giới hạn ên( 2 2 lim
n + n +1 - n + n - 6 )ú là: ë û A. 7 -1. B. 3. C. 7 . D. . +¥ 2 Lời giải Chọn C n( 2 2
n + n + - n + n - )  n( 2 2 1 6 n - n )= 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : lim ( 7 2 2 + +1- + -6)= lim n n n n n n 2 2
n + n +1 + n + n - 6 7 7 = lim = . 1 1 1 6 2 1+ + + 1+ - 2 2 n n n n
Giải nhanh : n( 7n 7n 7 2 2
n + n +1 - n + n - 6) =  = . 2 2 2 2 + + + + - + 2 n n 1 n n 6 n n Câu 15: 1
Giá trị của giới hạn lim là: 2 2 n + 2 - n + 4 A. 1. B. 0. C. . -¥ D. . +¥ Lời giải Chọn C 2 2 2 2
n + 2 - n + 4  n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : 1 1 é æ ùö lim = lim ê ç ÷ú - + + + = - ç + + + ÷ ê ç ÷ = -¥ ú 2 ( 1 2 4 2 2 n 2 n 4) lim .n 1 1 2 2 2 + - + 2 2 2 4 ç ê è n n ÷ n n ø ë úû é æ ùö vì 1 ê ç 2 4 lim ÷ú n = + , ¥ lim - ç 1+ + 1+ ÷ ê ç ÷ = 1 - < 0 2 2 2 ú ç ê è n n ÷ø ë úû Giải nhanh : 1 1 = - + + +  - + = - ¾¾ -¥ 2 ( 1 2 2 n 2 n 4) ( 2 2 n n n . 2 ) + - + 2 2 n 2 n 4 2 Câu 16:
9n -n - n + 2
Giá trị của giới hạn lim là: 3n -2 A. 1. B. 0. C. 3. D. . +¥ Lời giải Chọn A 2 2
9n - n - n + 2  9n = 3n = / 0 ¾¾  giải nhanh :
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 301
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2
9n - n - n + 2 9n  = 1 3n - 2 3n 1 1 2 - - + 2 9 2 Cụ thể :
9n - n - n + 2 n n n 9 lim = lim = = 1. 3n - 2 2 3 3- n Câu 17: 1
Giá trị của giới hạn lim là: 3 3 n +1 - n A. 2. B. 0. C. . -¥ D. . +¥ Lời giải Chọn B 3 3 3 3 n +1 - n n - n = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp : lim( 1 3 3 n +1 - n) = lim = 0 3 (n + )2 3 3 3 2 1 + n n +1 + n
Dạng 4. Dãy số chứa hàm lũy thừa 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n n 1 + Ví dụ 1: Tính 3 -2.5 lim n 1 2 + + 5n Lời giải n n 1 + n 1 + Giải nhanh : 3 -2.5 2 - .5  = 10 - n 1 2 + +5n 5n æ3 n ö ç ÷ ç ÷ -10 n n 1 + - ç ÷ Cụ thể : 3 2.5 è5ø lim = lim = -10. n 1 2 + + 5n æ2 n ö 2.ç ÷ ç ÷ +1 çè5÷ø n n 1 + Ví dụ 2: Tính 3 -4.2 -3 lim 3.2n + 4n Lời giải 1 n n n+ n - - æ ö Giải nhanh : 3 4.2 3 3 3  = ç ÷ ç ÷ ¾¾ 0. 3.2n + 4n 4n çè4÷ø æ3 n ö æ1 n ö æ1 n ö ç ÷ ç ÷ -8.ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ -3.ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ n n 1 + è ø ç ÷ Cụ thể : 3 4.2 3 4 2 è4ø 0 lim = lim = = 0. 3.2n + 4n æ1 n ö 1 3.ç ÷ ç ÷ +1 çè2÷ø  n 5n1 1 2 Ví dụ 3: Tính lim 5n2 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 302
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận  n 5n 1 n 1 2 n 2  2  Ta có: lim  lim  1 .    0. 5n 2 3 9  3 
Cách 2: Mẹo giải nhanh  n 5n 1 5n 1 2   n  2  1 .   0. 5n 2 3  3  n n 1 3 4.2    3 Ví dụ 4: Tính lim . n n 3.2  4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận  3 n  2 n 3  4.2  n n1     3  4.2  3  4   4  4 n 4 Ta có: 
(chia tử và mẫu cho n ). n 3.2  n 4  2 n 3.    1  4  n n 1 3 4.2    3 0 Suy ra lim   0. n n 3.2  4 1
Cách 2: Mẹo giải nhanh n n n 1  n 3  4.2  3 3  3       0. n n n 3.2  4 4  4  2
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của an -1 1
a thuộc (0;20) sao cho lim 3 + - là một số nguyên. 2 3 + n 2n Lời giải ìï 1 ï 2 a - ï 2 ï an -1 ïlim = lim n = a ï 2 2 ï 3 + n 3 Ta có an -1 1 ï +1 í 2  lim 3 + - = 3 + a. 2 ï n 3 + n 2n ïïï 1 æ1 n ö ïïlim = limç ÷ ç ÷ = 0 ïï 2n çè2÷ø î a ìï (0;20), a  Ta có ï Î Î ïí ¾¾ a Î {1;6;1 } 3 . ïï a+3 ïî Î 
3. Bài tập trắc nghiệm n+2 Câu 1: 2 -5
Kết quả của giới hạn lim bằng: 3n + 2.5n A. 25 - . B. 5 . C. 1. D. 5 - . 2 2 2 Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 303
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ1 n ö 2ç ÷ ç ÷ - 25 n+2 - ç ÷ Cụ thể : 2 5 è5ø 25 lim = lim = - . 3n + 2.5n æ3 n ö 2 ç ÷ ç ÷ + 2 çè5÷ø n+2 n+2 Giải nhanh : 2-5 5 - 25  = - 3n + 2.5n 2.5n 2 n Câu 2: -
Kết quả của giới hạn 3 1 lim bằng: 2n -2.3n +1 A. -1. B. 1 - . C. 1 . D. 3 . 2 2 2 Lời giải Chọn B n n Giải nhanh : 3 1 - 3 1  = - 2n -2.3n +1 2 - .3n 2 æ1 n ö 1-ç ÷ ç ÷ n - ç ÷ Cụ thể : 3 1 è3ø 1 lim = lim = - . 2n - 2.3n +1 æ2 n ö æ1 n ö 2 ç ÷ ç ÷ - 2 +ç ÷ ç ÷ çè3÷ø çè3÷ø æçç ( n ö 5) n 1 -2 + +1 2 ÷ + ÷ Câu 3: 2n 3 a 5 Biết rằng lim ç ÷ ç + ÷ = + c với , a , b c Î .
 Tính giá trị của biểu thức + ÷ çç - ÷ n ç + è ( )n 1 2 n 1 5.2 5 -3 b ÷÷ø 2 2 2
S = a + b + c . A. S = 26. B. S = 30. C. S = 21.
D. S = 31. Lời giải Chọn B æç 2 n 1 n ö æ ö æ ö ÷ æçç ( )n ö ç ç ÷ ç ÷ 3 ÷ - - + ÷ ç ç ÷ + n 1 + 1 2. ç ÷ + ÷ ç ç ÷ ç ÷ + ÷ 2 2 5 2 1 ÷ 2 2 ÷ n 3 è ç ÷ ç 5 ø è 5 ø ÷ lim ç ++ ÷ = lim n ÷ ç + ÷ n+ ÷ ç ç n n ÷ çç5.2 - ÷ n + è ( 5) 1 2 n 1 - ÷ ç æ ö æ ö 1 3 ÷ ç 2 1 ø ç ÷ ç ÷ 1 ÷ ç5.ç ÷ + 5 -. - ÷ çç ç ÷ ç ÷ 2 ÷ ÷ ç ÷ ÷ è è 5 ø è 5 ÷ n ø ÷ø 1 5 = + 2 = + 2. 5 5 Giải nhanh : ( )n ì 1 n ï = n+ a 1 5 -2 +1 2 ï n + ( 5 2 3 ) 2 2n 1 5 ï  2 2 + + = + = + ¾¾  b í = 5. n+ n+ 5.2 - ï n +( 5) 1 2 n 1 -3 ( 5) 1 2 n 5 5 ïc ï = 2 ïî Vậy 2 2 2
S = 1 + 5 + 2 = 30. n n 2n Câu 4: p +3 + 2
Kết quả của giới hạn lim là: n n 2n+2 3p -3 + 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 304
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 1. B. 1. C. . +¥ D. 1 . 3 4 Lời giải Chọn D n n 2n n n n n Giải nhanh: p +3 + 2 p +3 + 4 4 1 =  = n n 2n+2 3p -3 + 2 3 n
p -3n + 4.4n 4.4n 4 n æpö æ3 n ö ç ÷ ç ÷ +ç ÷ ç ÷ +1 n n 2n + + ç ÷ è ø ç ÷ Cụ thể : p 3 2 4 è4ø 1 lim = lim = . n n 2n+2 3p -3 + 2 n æpö æ3 n ö 4 3.ç ÷ ç ÷ -3.ç ÷ ç ÷ + 4 çè 4÷ø çè4÷ø Câu 5: é ù
Kết quả của giới hạn lim ê3 - 5n n ú là: ë û A. 3. B. - 5. C. . -¥ D. . +¥ Lời giải Chọn D
Giải nhanh : Vì 3> 5 nên 3 5n n  3n - ¾¾ + . ¥ li ìï m3n = +¥ n æ ö æ ö ï é ù ç ÷ ï Cụ thể : n ç ç ÷ ï n n 5 lim ê3 - 5 ú = lim 3 1 ÷ ç -ç ÷ ÷ n í æ ö ç ç ÷ = +¥ vì . ë û ï ç 5 ç ç ÷ ç è 3 ÷ ÷ ÷ ø ÷ è ø li ï m1-ç ÷ ï ç ÷ =1> 0 ç ï è 3 ÷ø ïî
Câu 6: Kết quả của giới hạn ( 4 n 1
lim 3 .2 + -5.3n ) là: A. 2 . B. -1. C. . -¥ D. 1. 3 3 Lời giải Chọn C Giải nhanh : 4 n 1 3 .2 + -5.3n  5 - .3n = -¥ ( 5 - < ) 0 . li ìï m3n = +¥ ï n æ ö æ ö ï Cụ thể : ç ÷ lim( ï n+ n n 2 4 1 3 .2 -5.3 ) = lim3 1 ç 62.ç ÷ ç ç ÷ -5÷÷ = -¥ vì æ í ç 2 n ö æ ö . ç çè ÷ 3÷ø ÷÷ è ø l ï im 162 ç .ç ÷ ï ç ç ÷ -5÷÷ = 5 - < 0 ï ç çè3÷ø ÷÷ ï è ø ïî n n 1 + Câu 7: 3 - 4.2 -3
Kết quả của giới hạn lim là: 3.2 + 4n n A. 0. B. 1. C. . -¥ D. . +¥ Lời giải Chọn A 1 n n n+ n - - æ ö Giải nhanh : 3 4.2 3 3 3  = ç ÷ ç ÷ ¾¾ 0. 3.2 + 4n 4n ç ÷ n è4ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 305
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 n n 1 + 1 n n+ n n 1 + - - æ ö Cụ thể : 3 4.2 3 8.3 3 3 -4.2 -3 0 £ £ = 24.ç ÷ ç ÷  0 ¾¾ lim = 0. 3.2 ç ÷ n + 4n 4n è4ø 3.2n + 4n n 1 + Câu 8: 2 +3n +10
Kết quả của giới hạn lim là: 2 3n -n + 2 A. . +¥ B. 2 . C. 3 . D. . -¥ 3 2 Lời giải Chọn A ìï n ï  ï n n(n - ) 1 (n - 2) 0 3 n . Ta có n ï n k n 3 ï2
2 = åC  2 ³ C =   í . Khi đó: n n ï k = 6 6 n 0 2 ïï  +¥ ï 2 ïîn ìï 2n li ïï m = +¥ n æ1 n ö 2 ï 2 + 3. +10.ç ÷ ç ÷ ï n ï n 1 2 + + 3n +10 2n 2n çè2÷ø ï n lim = lim . = +¥ vì ï n æ1ö í + + ç ÷ . 2 2 3 2 3. 10. ï ç ÷ n - n + 2 n 1 2 ç ÷ 3- + ï 2n è2ø 2 2 li ï m = > 0 n n ïï 1 2 3 ï 3- + ï 2 ïî n n n n 1 + Câu 9: 4 + 2 1
Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0;2018) để 4 lim £ . 3n + 4n+a 1024 A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016. Lời giải Chọn B æ1 n ö 1+ 2.ç ÷ ç ÷ n n 1 4 + 2 + çè2÷ø 1 1 1 4 lim = lim = = = . + 4 3n + 4n a æ3 n ö 4a a ç ÷ (2 )2 2a a ç ÷ + 4 çè4÷ø n n 1 + n Giải nhanh: 4 + 2 4 1 1 4 a 10 4  = £
 2 ³1024 = 2  a ³10. n n+2 3 + 4 4n+a 2a 1024 Mà a Î(0; )
2018 và a Î  nên a Î {10;2017} ¾¾  có 2008 giá trị . a æ 2 ö ç n + 2n (- )n Câu 10: 1 ÷
Kết quả của giới hạn lim ç ÷ ç + ÷ bằng: çç 3 ÷ n -1 3n ÷ è ø A. 2 . B. -1. C. 1. D. 1 - . 3 3 3 Lời giải Chọn C æ 2 ö ç n + 2n (- )n 2 1 ÷ n + 2n (- )n . Ta có 1 limç ÷ ç + ÷ = lim + lim . Ta có çç 3 ÷ n -1 3n ÷ 3n -1 3n è ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 306
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï 2 ïï + 2 1 ï n + 2n ï n 1 li ï m = lim = ïï 3n -1 1 æ 2 3 n ö ï 3- ç n + 2n (- ) 1 ÷ 1 í  limç ÷ ç + ÷ = . n ï ç ï ç 3 ÷ n -1 3n ÷ 3 è ø ïï (- ) 1 n æ1ö (- ) 1 n n 0 ïï £ £ ç ÷ ç ÷  0  lim = 0 ïï 3n çè3÷ø 3n ïî æç 3 ö n +(- )n Câu 11: 1 cos 3n ÷
Kết quả của giới hạn lim ç ÷ ç ÷ bằng: ç ÷ çè n -1 ÷ø A. 3 . B. 3. C. 5. D. -1. 2 Lời giải Chọn B æç 3 ö æ ö n +(- ) 1 n cos 3n÷ ç 3n (- )n . 1 cos 3n÷ limç ÷ ç ÷ = limç ÷ Ta có : ç ÷ ç + ÷. ç - ÷ ç ÷ è n 1 ÷ø çè n -1 n ÷ø ìï 3n 3 li ïï m = = 3 ïï n -1 1 æ ï ç 3 ö n +(- ) 1 n cos 3n÷ í  limç ÷ ç ÷ = 3. ïï (- ) 1 n cos 3 1 (- ) 1 n ç ÷ n cos 3n çè n -1 ÷ 0 ï £ £  0  lim = 0 ø ïï n -1 n -1 n -1 ïî
Câu 12: Kết quả của giới hạn lim 2.3n -n +2 là: A. 0. B. 2. C. 3. D. . +¥ Lời giải Chọn D n Ta có n æ ö n n 1
lim 2.3 - n + 2 = lim 3 . 2- + 2.ç ÷ ç ÷ . Vì 3n çè3÷ø üïïïïïï lim 3n ï = +¥ ïï li ìï ï ï m 3n = +¥ ï ï n n n 2 ï ï 0  0  lim n = 0 £ £ = = ý ¾¾  n í , n 2 3 æ ö C n(n - ) n - ï ï n 1 1 n 1 3 ï ï - + ç ÷ n lim 2 2. ï ï ç ÷ = 2 > 0 ï ï 3n çè3÷ 2 ï ïî ø ïï æ1 n ö ï limç ÷ ç ÷ = 0 ïï çè3÷ ï ø ïþ
do đó lim 2.3n -n + 2 = + . ¥
Dạng 5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1. Phương pháp
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q  1.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 307
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) 1 u S  1
u  u2 ... un  ...  1q
 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 n 1 a a2 3 a a X  N, 1 a a2 3 a ...an...  N     ...   ... 2 3 n 10 10 10 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n   1 1 1 1 1
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1,  , ,  ,...,   ,... 2 4 8  2 Hướng dẫn giải 1 Theo đề cho ta có: 1 u 1, q   . 2 1 u 1 2 S    . 1  q 1 3 1 2
Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a  0,212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có: a  0,212121...
 0,21 0,0021 0,000021 ...  1 1 1   21     ...  2 4 6 10 10 10  1 1 1 1 1 Tổng S     ... u  , q  . 2 4 6
là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có 10 10 10 1 2 2 10 10 1 u 2 1 10 1 1 7 S    . A  21.  . 1 Do đó  q 1 99 1 99 33 2 10
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 7
Nhập vào màn hình 0,2 
1 và ấn phím  ta được kết quả . 33 2 3 n 1
Ví dụ 3: Tổng Sn 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9       
 ... có kết quả bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải  2  3  n       1 S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9  ...
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có 1 u 1, q  0,9.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 308
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 u 1 S   10. 1 q 1 0,9 2 3
Ví dụ 4: Cho S  1  q  q  q  ..., q  1 T  1 Q  2 Q  3 Q  ..., Q  1 E  1 qQ  2 2 q Q  3 3 q Q  ...
Biểu thị biểu thức E theo S,T Hướng dẫn giải  2 3
S  1 q  q  q  ..., q  1 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có 1 u 1, q  q.  Khi đó: 1 u 1 S 1 S    q  . 1 q 1 q S (1) 1 T 1  Tương tự: T   Q  . 1 (2)  Q T  2 2 3 3
E 1 q.Q  q .Q  q .Q  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội qQ (vì qQ 1, và  1 u 1).  1 u E 1qQ (3) Thay (1), (2) vào (3): 1 u ST E   E  . T 1 S 1 S  T 1 1 . T S 1
Ví dụ 5: Tìm số hạng 1
U của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  4; q  . 2 Hướng dẫn giải u u Ta có: 1 S   q   1 1  4   1 u  2. 1  q 1 1 2
Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  6  ; 1 U  3  . Hướng dẫn giải 3  1 Ta có: 1 u S   q  1 6   q  . 1 q 1 q 2
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 9 . Số hạng đầu 4 1
u của cấp số nhân đó là: A. 9 u = 3. B. u = 4. C. u = . D. u = 5. 1 1 1 2 1 Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 309
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có : ìï ì 1 u ï 1 ï = 2 ï u ìï = 2 1-q ïq = - ï - ï 1 ( ) 1 ï q ï ï ï 2 ï ï í  í  í . 3 ïï 1- q 9 ïï2( 9 3 1- q ) ï æ = 1ö ï ï = = ï ï = ç ÷ S u . u 2 1 ï ïî ç + ÷ = 3 3 1 4 1 ï 1 ï ç ÷ - q 4 è ï ï 2ø î î Câu 2: 1 1 1
Tính tổng S = 9 +3+1+ + ++ + . 3 3 9 3n- A. 27 S = . B. S = 14. C. S = 16. D. S = 15. 2 Lời giải Chọn A Ta có æ ö ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 1 1 ç 1 1 1 1 ÷ ç ÷ ç 1 ÷÷ 27 ç = + + + + ++ += ç + + + ++ + ÷÷  = ç ÷ S 9 3 1 9 1 9 ÷ = ç . n 3 - 2 4 n 1 3 9 3 çç 3 3 3 3 - ÷ ç
÷ 1 ÷÷ 2 ç ÷ 1 ç ÷ ç ÷ ç - ÷ 1 ç ÷ ç ÷ è ø
CSN lvh: u = q= ÷ 3 1 1, è ø 3 æ ö Câu 3: Tính tổng 1 1 1 1 S = 2 1 ç ÷ ç + + + ++ + ÷ ç  . è 2 4 8 2n ÷ø A. S = 2 +1. B. S = 2. C. S = 2 2. D. 1 S = . 2 Lời giải Chọn C Ta có æ ö ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 1 1 1 1 ÷ ç ÷ ç 1 ÷÷ ç = ç + + + ++ + ÷÷  = ç ÷ S 2 1 2 ÷ = 2 2. ç ç ç 2 4 8 2n ÷ ç 1 ÷
÷ ÷ ç ÷ 1 ç ç ÷ ç - ÷÷ 1 ç ç ÷ è ø CSN lv : h u = q= ÷ 2 1 1, è ø 2 n Câu 4: Tính tổng 2 4 2 S = 1+ + ++ + . 3 9 3n A. S = 3. B. S = 4. C. S = 5. D. S = 6. Lời giải Chọn A Ta có 2 2 4 2n 2 æ2ö æ2 n ö 1 S = 1+ + ++ + =1+ +ç ÷ ç ÷ ++ç ÷ ç ÷ + = 3. 3 9 3n 3 çè3÷ = ø çè3÷ø 2
 1- 2 = = 3 CSN lvh: 1 u 1, q 3 + 1 1 1 (- )n 1 1
Câu 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn ,- , ,..., ,... bằng: n 1 2 6 18 2.3 -
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 310
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 3 . B. 8. C. 2 . D. 3. 4 3 3 8 Lời giải Chon D . Ta có : æ ö ç ÷ æ ö ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ 1 1 1 (- )n 1 1 1 ç 1 1 (- )n 1 1 ÷÷ 1çç 1 ÷÷ 3 ç = - + ++ += ç - + ++ ÷÷= ç ÷ S 1 ÷ = ç . n 1 - 2 n 1 2 6 18 2.3 2 çç 3 3 3 - ÷
÷ 2 ç 1 ÷÷ 8 ç ÷ 1 ç ÷ ç ÷ ç + ÷ 1 ç ÷ ç ÷ è ø CSN lvh:u = q=- ÷ 3 1 1, è ø 3 æ ö æ ö æ ö Câu 6: Tính tổng 1 1 1 1 1 1 S = ç ÷ ç - ÷+ç ÷ ç - ÷+... +ç ÷ ç - ÷+... ç . è2 3÷ø çè4 9÷ø çè2n 3n ÷ø A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 1 . 3 4 2 Lời giải Chọn D Ta có æ1 1ö æ1 1ö æ 1 1 ö S = ç ÷ ç - ÷+ç ÷ ç - ÷+...+ç ÷ ç - ÷+... çè2 3÷ø çè4 9÷ø çè2n 3n ÷ø æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 1 1 ÷ ç1 1 1 ÷÷ 1 1 = çç + ++ + ÷ ç 2 3 ÷  -ç + ++ + ÷÷ = - = - = ç  1 . ç2 4  2n ÷ ç
÷ ç3 9 3n ÷ 1 1 ç
÷ ç÷ 2 2 ç ÷ 1- 1- 1 ÷ ç 1 ç ÷ ÷÷ CSN lvh: ÷ è ø ç 2 3 1 u =q= CSN lv : h 1 u =q= è ø 2 3 2 n Câu 7:
1+ a + a +... + a
Giá trị của giới hạn lim
a < 1, b <1 bằng: 2 ( ) 1+b +b +... n +b A. -b -a 0. B. 1 . C. 1 . D. Không tồn tại. 1-a 1-b Lời giải Chọn B Ta có 2 1+ + +... n a a
+a là tổng n +1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và 1.( n 1 1 a + ) n 1 + - công bội là -a n 1 a , nên 2
1+ a + a +... + a = = . 1-a 1-a 1( n 1 1 b + ) n 1 + - Tương tự: -b n 1 2
1+ b + b +... + b = = . 1-b 1-b n 1 1-a + 2 n n 1 + Do đó
1+ a + a +... + a 1- 1-b 1-a 1- lim = lim = lim . b a =
a <1, b < 1 . 2 n n 1 + n 1 + ( )
1+ b + b +... +b 1-b 1-a 1-b 1-a 1-b Câu 8: Rút gọn 2 4 6 2 S = 1+ cos +cos +cos ++cos n x x x
x + với cos x ¹ 1.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 311
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 2 1 1 S = sin x. B. 2 S = cos x. C. S = . D. S = . 2 sin x 2 cos x Lời giải Chọn C Ta có n 1 1 2 4 6 2
S = 1+ cos x + cos x + cos x ++ cos x + = = .
 2 2 1-cos x sin 2 x CSN lvh: 1 u 1 = , q=cos x Câu 9: Rút gọn 2 4 6 = - + - ++(- )n 2 1 sin sin sin 1 . sin n S x x x
x + với sin x ¹ 1. A. 2 1 S = sin x. B. 2 S = cos x. C. S = . D. 2 S = tan x. 2 1+ sin x Lời giải Chọn C Ta có n n 1 2 4 6
S = 1-sin x + sin x -sin x ++(- ) 2 1 .sin x += . 2
 1+ sin x 2 CSN lv : h 1 u 1 = , q=-sin x Câu 10: p Thu gọn 2 3
S = 1- tan a + tan a - tan a +¼ với 0 < a < . 4 A. 1 a a S = . B. cos S = . C. tan S = . D. 2 S = tan . a 1- tan a æ pö 1+ tan a 2 sin a ç ÷ ç + ÷ çè 4 ÷ø Lời giải Chọn B æ ö Ta có p tan a Î(0 )
;1 với mọi a Îçç0; ÷÷, ç do đó è 4÷ø 1 cos a cos a 2 3
S = 1- tan a + tan a - tan a +¼ = = = .
 + + æ ö = =- a a a p a 1 tan sin cos CSN lv : h ç ÷ 1 u 1, q tan 2 sin a ç + ÷ çè 4 ÷ø
Câu 11: Cho m, n là các số thực thuộc ( 1 - ; ) 1 và các biểu thức: 2 3
M = 1+ m + m + m + 2 3
N = 1+ n + n + n + 2 2 3 3
A = 1+ mn + m n + m n +
Khẳng định nào dưới đây đúng? A. MN MN A = . B. A = . C. 1 1 1 A = + - . D. M + N -1 M + N +1 M N MN 1 1 1 A = + + . M N MN Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 312
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn A ìï 1 ìï 1 ïM = ïm =1- ï ï Ta có ïï 1- m ï M í  í , khi đó ï 1 ï 1 ï ï ïN = ïn = 1- ïïî 1 n ï - ïî N 1 1 MN A = = = . 1- mn æ 1 öæ 1 ö M + N -1 1- 1 ç ÷ ç - ÷ 1 ç ÷ ç - ÷ ç ÷ è øç ÷ M è N ø
Câu 12: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính tổng b T = a + . b A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. Lời giải Chọn B Ta có 2 - 3
0,5111= 0,5 +10 +10- ++10-n + Dãy số -2 3
10 ;10- ;...;10-n ;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng -2 u = 10 , công 1 2 - bội bằng - u 10 1 1 q = 10 nên 1 S = = = . -1 1-q 1-10 90 46 23 a ìï = 23 Vậy 0,5111... 0,5 ï = +S = = ¾¾ í ¾¾ T
 = a +b = 68. 90 45 b ï = 45 ïî
Câu 13: Số thập phân vô hạn tuần hoàn A = 0,353535... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính b T = a . b A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. Lời giải Chọn B Ta có 35 2 35 35 35 ìïa = 35 10 ï
A = 0,353535... = 0, 35 + 0, 0035 + ... = + +... = =  í  T = 3465. . 2 4 10 10 1 99 b ï = 99 1 ï - î 2 10
Câu 14: Số thập phân vô hạn tuần hoàn B = 5,231231... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính b T = a - . b A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940. Lời giải Chọn A Ta có
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 313
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B = 5, 231231... = 5 + 0, 231+ 0, 000231+... 231 3 231 231 231 1742 ìïa =1742 10 5 ... 5 5 ï = + + + = + = + = ¾¾ í  T =1409 3 6 10 10 1 999 333 b ï = 333 1- ïî 3 10
Câu 15: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323¼ được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Khẳng b
định nào dưới đây đúng? A. 15 a -b > 2 . B. 14 a -b > 2 . C. 13 a -b > 2 . D. 12
a -b > 2 . Lời giải Chọn D Ta có æ 1 1 1 ö 0,17232323¼= 0,17 + 23ç ÷ ç + + ÷  4 6 8 1 çè 0 10 10 ÷ø 1 17 17 23 1706 853 10000 = + 23. = + = = . 100 1 100 100.99 9900 4950 1-100 ìïa = 853 ï 12 13 ¾¾ í
 2 < T = 4097 < 2 . b ï = 4950 ïî
Dạng 6: Giới hạn dãy số có quy luật công thức, dãy cho bởi hệ thức truy hồi 1. Phương pháp
 Dãy tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới thì tồn tại giới hạn.
 Phương pháp quy nạp thường được sử dụng.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 1 1 1 Ví dụ 1: Cho u    ...  lim u n 1.2 2.3 . Tính nn   1 n Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta luôn có: áp dụng vào u : kk     1 k k 1 n 1 1 1 1  u     ...  n 1.2 2.3 3.4 nn   1
1 1   1 1   1 1   1 1  1
            ...    1
1 2   2 3   3 4   n n 1 n 1  1  Do đó: lim un  lim1   1.  n 1 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho u lim u n     ...   Tính    . 3.5 5.7 7.9 2n 1 2n 1 n Hướng dẫn giải 1 1  1 1  Ta luôn có:     2k   1 2k   . 1 2  2k 1 2k 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 314
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 1 1 un     ...  3.5 5.7 7.9 2n  12n  1
1  1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1 
             ...   2
 3 5  2  5 7  2  7 9  2  2n 1 2n 1    1  1 1     . 2  3 2n 1 1  1 1  1 Do đó lim un  lim     . 2  3 2n 1 6 1 2  3  ...  n Ví dụ 3: lim 2 bằng bao nhiêu? 2n Hướng dẫn giải nn   1 1 2  3  ...  n nn   1 1
Vì 1 2  3  ...  n  lim  lim  . 2 nên: 2 2 2n 4n 4  1  1   1 
Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim 1 1 ...1 . 2 2 2  2  3   n  Hướng dẫn giải  1  1   1  2 2  2 1 3  2 1 n 1 Ta có: 1 1 ...1   . ...  2 2  2 3   2 n  2 2 2 2 3 n
2 1.2 1.3 1.3 1...n  1n 1 n1   . 2 2 2 2 .3 ...n 2n  1  1   1  1 Vậy lim 1 1 ...1   . 2 2 2  2  3   n  2   1 U  2 
Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy:  U 1 . n * Un 1  ; n    2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta chứng minh dãy Un  là bị chặn: 1 Un  2.
Dãy Un  là dãy giảm. U 1 Thật vậy ta xét U  U  n  2U U 1 U 1 k U      1 k k 2 k k k (đúng).
Vậy dãy Un  có giới hạn. Đặt lim U  n a .  U 1 a 1 Ta có: lim  n Un lim a   a 1. 1        2 hay  2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Khai báo: 1  X {biến đếm}; 2  A {giá trị 1 u } A 1
Ghi vào màn hình: X  X  1: A  2
Ấn CALC và lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy lim Un 1.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 315
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  1 U   2
Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy:  . * U  n 1  2  Un ; n   Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn: 2  U  n
2 (bằng phương pháp quy nạp).   1 U 3 (đúng).  Giả sử Uk  2, k   1.
Ta có: Uk 1  2  Uk  2  2  2 k   1 .  * Vậy Uk  2 n    . * Tương tự: Un  2 n
   . Ta chứng minh dãy Un  là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp). + 1 U  2; U2  2  2  1 U  U2. + Giả sử U  U k  k 2 1 k . Ta xét U  U ; k    * k k 1  U  2  U  2 U  2  U  2 U  U  2  k m k k k k 0  1 U  k
2 (luôn đúng vì 2  U  2, k * k )
Vậy dãy Un  tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi a  lim U  n limUn1. 2
Ta có: lim U  2  LimU  a  2  a  a  2  n n a a  2 (nhaän)  2
a  a  2  0  a 1(loaïi)
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Khai báo: 1  X {biến đếm}; 2  A {giá trị 1 u }
Ghi vào màn hình: X  X  1: A  2  A
Ấn CALC và lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy lim Un  2.  1 U  3 
Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy:  1  3  * . U  n 1   U      n ; n  2 U    n  1 3 3 A. 2. B. . . 2 C. 3. D. 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: U  0, n  * n . 1  3  *
Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có: Un 1   U   n    3, n    . 2 U   n 
Vậy Un  là dãy bị chặn dưới.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 316
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1  3   2  2 1 U Vì U  3  U  3  U  n n n 1  U  n    U  n     2 U 2  n U   n   n  1  U  U  * n n  Un , n   . 2
Dãy đã cho là giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt limUn 1  limUn  a.  1  3  Ta có: lim U  lim  n  U  n    2  U n  1  3  2
 a  a    a  3 a  3. 2  a 
3. Bài tập trắc nghệm
1 3  5  ...  2n   1
Câu 1: Tính giới hạn: lim . 2 3n  4 1 2 A. 0. B. . . 3 C. 3 D. 1. Lời giải ĐÁP ÁN B Ta có:   
       2 1 3 5 ... 2n 1 n 1 .
1 3  5  ...  2n   1 n  2 1 Vậy: lim  lim 2 3n  2 4 3n  4 2 1 2 1  2 n  2n 1 n n 1  lim  lim  . 2 3n  4 4 3 3  2 n  1 1 1 
Câu 2: Tính giới hạn: lim    ...     . 1.2 2.3 n n 1    A. 0. B. 1. 3 C. . 2
D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN B   1 1 1  1 1 1 1 1  Ta có: lim    ...  lim 1 ... 1.2 2.3 nn            1   2 2 3 n n 1    1   lim1  1.  n 1  1 1 1 
Câu 3: Tính giới hạn: lim    ...       . 1.3 3.5 n 2n 1 2n 1    1 A. 1. B. 0. C. . 2 D. 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 317
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải ĐÁP ÁN C.   1 1 1 Ta có: lim    ...  1.3 3.5 n2n  1 2n   1    1  1 1 1 1 1  1  1  1
 lim1    ...    lim1   . 2  3 3 5 2n 1 2n 1 2  2n 1 2  1 1 1 
Câu 4: Tính giới hạn: lim    ...     . 1.3 2.4 n n 2    3 2 A. . . 4 B. 1. C. 0. D. 3 Lời giải ĐÁP ÁN A 1 1 1 Ta có:   ...  1.3 2.4 nn  2 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1      ...     2  3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n  2  1  1 1 1   1    2  2 n 1 n  2   1 1 1  3 Vậy lim    ...     n  n  2 . 1.3 2.4  4   1 1 1 
Câu 5: Tính giới hạn: lim    ...     . 1.4 2.5 n n 3    11 3 A. . . 18 B. 2. C. 1. D. 2 Lời giải ĐÁP ÁN A 1 1 1 Ta có:   ...  1.4 2.5 nn  3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
          ...         3 1 4 2 5 3 6 4 7
n  3 n n  2 n 1 n 1 n  2 n n  3  vậy: 1  1 1 1 1 1   1     
3  2 3 n 1 n  2 n  3   1 1 1  11 lim    ...     n  n 3 . 1.4 2.5  18  1 2  3  ...  n
Câu 6: Cho dãy un  với un  . 2
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? n 1 1 A. lim un  0. B. lim un  . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 318
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. lim un 1.
D. lim un không tồn tại. Lời giải ĐÁP ÁN B
 Dãy số 1, 2, 3, …, n là cấp số cộng có số hạng đầu là  1
u 1 số hạng cuối cùng u  n n , công sai d  1. n 1 u  n nn   1 Khi đó n
S 1 2  3  . . n   . 2 2 nn   1  Viết lại: u  n 2 2 n  1  1    2 n 1 n n 1   n     1 lim un  lim   2 lim lim . 2 n  1 2  2  2 n 2   2   n   1 1 U   2
Câu 7: Tìm giới hạn của dãy:  . 2  1 Un * Un 1   ; n     2 2 A. 2. B. 1. C. 2.
D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN B 1 5 57 Ta có: U  ; U  ; U  1 2 3 ;... 2 8 64
Ta chứng minh: U  1 n  * n
(bằng phương pháp quy nạp). Vậy dãy bị chặn trên.
Ta chứng minh Un  là dãy tăng. Thật vậy: 2 1 U Ta có: U  U   n  n U 1 n n 2 2  U  2U  1  0  U 1 n n U  n 2 2
1  0 luôn đúng  * n , vì  n .
Vậy dãy có giới hạn. Đặt a  lim U  n limUn1.  2  2 1 Un 1 a 2 Ta có: lim U  lim   n a 2a 1 a        1  2 2    2 2  2
a  2a 1  0  a  1.  1 U  5 
Câu 8: Tìm giới hạn của dãy: 2  2  U . n * Un 1  ; n   2U  n A. 1. B. 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 319
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 3.
D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN B 1 1 Ta có: U   U  n 2 U 0 U 1 n U
). Vậy  n  là dãy bị chặn dưới. n 2
(theo bất đẳng thức Cô‐si với  n *
Dấu “=” không xảy ra, nên Un  2, n   . U 2  2 U 1 1 2 Lại có: n1  n   . Vì U  2  U  2 2 2 U n n n 2U U 2 n n 1 1 1 1 1 1 *        1 U  U , n   . 2 2 n 1  n U 2 U 2 2 2 n n
Vậy dãy giảm, khi đó Un có giới hạn. Đặt limU  lim U  n a a 0 1 n    . 2  2 U 2  2 a Ta có: lim U  n lim  a   2 2a  2  2 n a 1 2Un 2a  2
a  2  a  2 (vì a  0 ). U   1 2
Câu 9: Tìm giới hạn của dãy:  U  2.U ; n *  n  1 n A. 2. B. 1  2. 1 7 C. . 2
D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN A Ta có: U  2; U  1 2 2 2 ;…  Ta sẽ chứng minh U  n 2 ;  * n
(bằng phương pháp quy nạp). n 1, U  2  U 2, k 1 1 2 . Giả sử    k . Ta có: Uk 1 2Uk 2.2 4 2.      * Vậy U  2, n   n . Lại có: Un  0, n   . U 2U 2 2  n 1 n Lại có:      1 Un Un Un 2 dãy tăng.
Vậy dãy đã cho có giới hạn. Đặt lim U lim U a a 0      n 1 n  2 Ta có: lim Un 1 lim 2Un a 2a a 2a a 2.        
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 320
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x y  f x 0 và hàm số
  xác định trên K hoặc trên K \{x0}. Ta nói hàm số
y  f x có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số xn  bất kì,
xn K \{x0} vaø xn  x0,tacoù f(xn)  L.
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x0 xx0 lim f(x)  L  (x
 n),xn K \{x0},xn  x0  f(xn)  L xx0
2. Định lí về giới hạn hữu hạn:
Ta thừa nhận định lý sau:
a)Giaûi söû lim f(x)  L vaø lim g(x)  M.Khi ñoù: xx xx 0 0
* lim f(x)  g(x)  L  M; x   x0 * lim f(x).g(x)  L.M; x   x0  f(x)  L * lim     neáuM  0. xx0 g(x) M
b)Neáuf(x)  0 vaø lim f(x)  L thì :L  0 vaø lim f(x)  L. xx xx 0 0
Daáu cuûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x  x0
3. Giới hạn một bên * Định nghĩa:
Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng x0;b.
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  f x khi x  x0 nếu với dãy số xn  bất kì,
x0  xn  b vaø xn  x0 ta coù: f(xn)  L. Kí hiệu: lim f(x)  L x x  0
lim f(x)  L  xn ,x0  xn  b,xn  x0  f(xn)  L x x  0
Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng a;x0 . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm
số y  f x khi x  x0 nếu với dãy số xn  bất kì, a  xn  x0 vaø xn  x0 ta coù: f(xn)  L. Kí hiệu: lim f(x)  L. x x  0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 321
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
lim f(x)  L  xn ,a  xn  x0,xn  x0  f(xn)  L. x x  0 * Định lí
lim f(x)  L  lim f(x)  lim f(x)  L. xx0 xx xx 0 0
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC * Định nghĩa
Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng (a;). Ta nói hàm số y  f x có giới hạn là số L
khi khi x   nếu với mọi dãy số xn  bất kì, xn  a vaø xn   ta coù: f(xn)  L..
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khix   .  x
lim f(x)  L  xn ,xn  a,xn    f(xn)  L. x
Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng ( ;
 a). Ta nói hàm số y  f x có giới hạn là số L
khi khi x   nếu với mọi dãy số xn  bất kì, xn  a vaø xn   ta coù: f(xn)  L.
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khix   .  x
lim f(x)  L  xn ,xn  a,xn    f(xn)  L. x
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực
Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa 1,2
hay 3 ở trên. Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y  f x khi x dần đến dương vô vực được định nghĩa như sau:
* Định nghĩa: Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng a;.
Ta nói hàm số y  f x có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (xn) bất kì,
xn  a vaø xn  , ta coù: f(xn)   . 
Kí hiệu: lim f(x)   hay f(x)   khi x   x lim f(x)    (
 xn),xn  a,xn    f(xn)   .  x
Nhận xét: lim f(x)    lim f(x)   .  x x
2. Các giới hạn đặc biệt
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 322
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 c 1. lim c  c lim
 0 vôùi c laø haèng soá x x x 2. lim x   x k  neáu k nguyeân döông 3. lim x   x 0 neáu k nguyeân aâm k  neáu k chaün 4. lim x   x  neáu k leû
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
Nếu lim f(x)  L  0 vaø lim g(x)   hoaëc  thì lim f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong xx xx xx 0 0 0 bảng sau: lim f(x) lim g(x) lim f(x).g(x) xx0 xx0 xx0   L  0     L  0 -  +  f(x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của tích g(x) lim f(x) lim g(x) Dấu của g(x) f(x) xx lim 0 xx0 xx0 g(x) L  Tuỳ ý 0 +  L  0 -  0 +  L<0 - 
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x x 
 0,x  x0,x  ,x  
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 323
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp
Nếu hàm số f x xác định trên K  x0 thì lim f x  f x0 . xx0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính lim  2 x  x  7. x 1  Hướng dẫn giải lim  2
x  x  7 11 7  9. x 1  4 5 3x  2x Ví dụ 2: Tính lim 4 6 x 1  5x  3x  1 Hướng dẫn giải 4 5 3x  2x 3  2 1 lim   . 4 6 x 1
 5x  3x 1 5  3 1 9 Ví dụ 3: Tính 3 lim 4x  2x  3 là: x 1  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 3 lim 4x  2x  3  4   2  3  5. x 1  3 x 1 Ví dụ 4: Tính lim x 1  3 2 x  3  2 Hướng dẫn giải 3 x 1 1  1 lim   0. x1 3 3 2 x  3  2 4  2 4 2 x  4x  3 Ví dụ 5: Tính lim 2 x 2  7x  9x 1 Hướng dẫn giải 4 2 x  4x  3 16 16  3 1 lim   . 2 x 2  7x  9x 1 28 18 1 3
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị của giới hạn lim ( 2 3x +7x +1 ) 1 là: x 2 A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 324
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn A lim( 2 3x + 7x +1 ) 2 1 = 3.2 + 7.2 +11= 37 x2
Câu 2: Giá trị của giới hạn 2 lim x - 4 là: x  3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B lim x - 4 = ( 3)2 2 - 4 =1 x 3 Câu 3: 1 Giá trị của giới hạn 2 lim x sin là: x 0 2 A. 1 sin . B. . +¥ C. . -¥ D. 0. 2 Lời giải Chọn D Ta có 1 1 2 lim x sin = 0.sin = 0 x0 2 2 2 Câu 4: x -3
Giá trị của giới hạn lim là: 3 x 1 - x + 2 A. 1. B. -2. C. 2. D. 3 - . 2 Lời giải Chọn B x -3 (- )2 2 1 -3 lim = = 2 - 3 x- x + 2 (- )3 1 1 + 2 3 Câu 5: x - x
Giá trị của giới hạn lim là: x  (2x - ) 1 ( 4 1 x -3) A. 1. B. -2. C. 0. D. 3 - . 2 Lời giải Chọn C 3 3 x - x 1-1 lim = = 0 x (2x - ) 1 ( 4 x - ) 3 (2.1- ) 1 ( 4 1 1 - ) 3 Câu 6: x -1
Giá trị của giới hạn lim là: 4
x -1 x + x -3 A. 3 - . B. 2 . C. 3 . D. 2 - . 2 3 2 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 325
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn D x -1 1 - 1 - Ta có 2 lim = = - 4 x 1 - x + x -3 1-1-3 3 2 Câu 7: 3x +1 - x
Giá trị của giới hạn lim là: x -1 x -1 A. 3 - . B. 1 . C. 1 - . D. 3 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có 3x +1- x 3+1 +1 3 lim = = - x-1 x -1 -1-1 2 2 Câu 8: 9x - x
Giá trị của giới hạn lim là: x  (2x - ) 1 ( 4 3 x -3) A. 1. B. 5. C. 1 . D. 5. 5 5 Lời giải Chọn C 2 2 9x - x 9.3 -3 1 lim = = x (2x- ) 1 ( 4 x - ) 3 (2.3- ) 1 ( 4 3 3 - ) 3 5 2 Câu 9: x - x +1 Giá trị của giới hạn 3 lim là: 2 x 2 x + 2x A. 1 . B. 1 . C. 1. D. 1. 4 2 3 5 Lời giải Chọn B 2 2 x - x +1 2 - 2 +1 1 3 lim = = 2 2 x2 x + 2x 2 + 2.2 2 3 2 Câu 10: 3x - 4 - 3x -2
Giá trị của giới hạn lim là: x 2 x +1 A. 3 - . B. 2 - . C. 0. D. . +¥ 2 3 Lời giải Chọn C 3 2 3 Ta có: 3x - 4 - 3x - 2 12- 4 - 6- 2 0 lim = = = 0 x2 x +1 3 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 326
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dạng 2. giới hạn một bên 1. Phương pháp
Ta cần nắm các tính chất sau
lim f(x)  L  xn ,x0  xn  b, lim xn  x0  lim f(xn)  L  n n x x   0
lim f(x)  L  xn ,a  xn  x0, lim xn  x0  lim f(xn)  L  n n x x   0
lim f(x)  lim f(x)  L  lim f(x)  L   xx xx xx 0 0 0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng x  3 Ví dụ 1: Tính lim x 3  2x  6 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận x  3 x  3 1 lim  lim  . x 3 2x  6 x 3   2x  3 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x  3 Nhập vào màn hình và ấn 5 CALC 3 10   ta được kết quả 2x  6 3 1 x Ví dụ 2: Tính lim  2 x 1  3x  x Hướng dẫn giải 3 1 x 0 lim   0.  2 x 1  3x  x 4 3 x  2x  3 Ví dụ 3: Tính lim  2 x 2  x  2x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Tử số có giới hạn là 1
 , mẫu số có giới hạn 0 và khi x  2 thì 2 x  2x  0. 3 x  2x  3 Do đó lim   .   2 x 2  x  2x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 327
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2x  x Ví dụ 4: Tính lim x 0  5x  x Hướng dẫn giải x 2 x  1 2 x   1 2x x 1 lim lim lim      1  . x 0 5x  x x 0 x 5 x  1 x 0    5 x   1 1 2 x  4x  3 Ví dụ 5: Tính lim   3 2 x 1 x  x Hướng dẫn giải 2 x  4x  3 x  1x 3 x 1x  3 0 lim  lim  lim   0.     3 2 x  x     2 x x   1   2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1  vôùi x 1
Ví dụ 6: Cho hàm số f x   1 x
. Khi đó lim f x bằng bao nhiêu?  x 1   2x  2 vôùi x  1 Hướng dẫn giải   2 x 1 lim f x  lim
  vì tử số có giới hạn là 2, mẫu số có giới hạn 0 và 1 x  0 với x  1. x 1 x 1   1 x
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: x -15
Kết quả của giới hạn lim là: x 2+  x - 2 A. . -¥ B. . +¥ C. 15 - . D. 1. 2 Lời giải Chọn A ìï lim (x-1 ) 5 = 1 - 3 < 0 ï . Vì ïx2+ x -15 í ¾¾  lim = - . ¥ ï lim (x-2) x2
= 0 & x - 2 > 0, "x > ï 2 + x - 2 ïîx2+ Câu 2: x + 2
Kết quả của giới hạn lim là: x 2+  x - 2 A. . -¥ B. . +¥ C. 15 - .
D. Không xác định. 2 Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 328
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ìï lim x + 2 = 2 > 0 ïïx2+ x + 2 í ¾¾  lim = + . ¥ ï x2
ï lim x - 2 = 0 & x - 2 > 0, "x > 2 + x - 2 ïîx2+ 3x + 6
Câu 3: Kết quả của giới hạn lim là: x ( 2)+  - x + 2 A. . -¥ B. 3. C. . +¥
D. Không xác định. Lời giải Chọn B
Ta có x + 2 = x + 2 với mọi x > -2, do đó : 3x + 6 3 x + 2 3(x + 2) lim = lim = lim = lim 3 = 3 x ( 2)+ x + 2 x ( ) 2 + x + 2 x ( 2)+ x + 2 x ( ) 2 +  -  -  -  - Câu 4: 2 - x
Kết quả của giới hạn lim là: - 2
x 2 2x - 5x + 2 A. . -¥ B. . +¥ C. 1 - . D. 1. 3 3 Lời giải Chọn C Ta có 2 - x 2 - x 1 1 lim = lim = lim = - . - 2 x 2 - + x 2 2x 5x 2
- (2 - x )(1- 2x ) x 2-    1-2x 3 2 Câu 5: x +13x + 30
Kết quả của giới hạn lim là: x 3+ - (x +3)( 2 x + 5) A. -2. B. 2. C. 0. D. 2 . 15 Lời giải Chọn C
Ta có x +3> 0 với mọi x > -3, nên: 2 x +13x + 30 (x + ) 3 (x +10) x + 3 ( . x +10) 3 - + 3( 3 - + 7) lim = lim = lim = = 0 . x 3+ (x + ) 3 ( 2 x + ) x 3 5 + (x + ) 3 ( 2 x + ) x 3+ - - - 2 5 x + 5 (- )2 3 + 5 ìï 2x ï víi x < 1 ï
f (x) = ïí 1- x . ïï 2 ï Câu 6: 3x 1 víi x 1 Cho hàm số ï + ³ î
Khi đó lim f (x) là: x 1+  A. . +¥ B. 2. C. 4. D. . -¥ Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 329
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 lim f (x) 2 2
= lim 3x +1 = 3.1 +1 = 2 x 1+ x 1+   2 ìïx +1 ïï víi x < 1
Câu 7: Cho hàm số f (x) = ïí 1- x
. Khi đó lim f (x) là: ïï x 1- 
ï 2x 2 víi x ³1 ïî - A. . +¥ B. -1. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A ì 2 2 + ïlim + = ï - (x )1 2 f (x) x 1 lim = lim = +¥ vì ïx 1  í . x 1- x 1-   1- x
ïïlim (1- x)= 0 & 1- x > 0 ("x < ) 1 ïîx 1-  2 ìï Câu 8: x - ï 3 víi x ³ 2
Cho hàm số f (x) = í
. Khi đó lim f (x) là:
ïïx-1 víi x < 2 î x2 A. -1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C
ìï lim f (x)= lim - = ï + + ( 2 x ) 3 1 Ta có ïx2 x2 í
 lim f (x) = lim f (x) =1 lim f (x) = 1.
ïïlim f (x)= lim (x- ) x2+ x2- x2 1 = 1 ïîx2- x2- ìï Câu 9: x - + víi x ³
Cho hàm số f (x) 2 3 2 = ïí
. Tìm a để tồn tại lim f (x). ax ïï -1 víi x < 2 î x 2 A. a = 1. B. a = 2. C. a = 3. D. a = 4. Lời giải Chọn B
ìï lim f (x)= lim (ax- ) 1 = 2a -1 ï Ta có x2- x2- ïí .
ïïlim f (x)= lim - + = + + ( x 2 )3 3 ïîx2 x2
Khi đó lim f (x) tồn tại  lim f (x)= lim f (x)  2a 1 - = 3  a = 2. x2 x 2- x 2+   2
ìïx -2x +3 víi x > 3 ï Câu 10: ï
Cho hàm số f (x) = 1 ïí
víi x = 3. Khẳng định nào dưới đây sai? ïï 2 3 ï - 2x víi x < 3 ïî
A. lim f (x)= 6.
B. Không tồn tại lim f (x). x 3+  x3
C. lim f (x)= 6.
D. lim f (x)= 1 - 5. x 3-  x 3-  Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 330
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ìïlim f (x)= lim x - x + = ï + + ( 2 2 ) 3 6 Ta có ïx3 x3 í ¾¾
 lim f (x) ¹ lim f (x)
ïïlim f (x)= lim xx - x = - - - ( 2 3 2 ) 3+ 3 15 - ïîx3 x3 ¾¾
 không tồn tại giới hạn khi x  3.
Vậy chỉ có khẳng định C sai.
Dạng 3. Giới hạn tại vô cực 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 11: Giá trị của giới hạn ( 3 lim x - x + ) 1 là: x -¥ A. 1. B. . -¥ C. 0. D. . +¥ Lời giải Chọn D 3 ìï lim x = -¥ æ ö ïx-¥ ï lim ( 1 1 3 x - x + ) 3 1 = lim x çç -1 ÷ + ÷ = +¥ vì ïí . 2 3 ç ÷ æ 1 1 ö x-¥ x-¥ è x x ø ïï lim çç -1 ÷ + ÷ = -1< 0 2 3 ï ç ÷ x-¥ ï è x x ø î Giải nhanh: 3
x - x +  (- ) 3 1 1 x ¾¾ +¥ khi x  - . ¥
Câu 12: Giá trị của giới hạn ( 3 2
lim x + 2x + 3 x ) là: x -¥ A. 0. B. . +¥ C. 1. D. -¥ . Lời giải Chọn B Ta có æ ö lim ( 3 2 3 2
x + 2x +3 x ) = lim ( 3 2 x - + 2x -3x) 3 = lim x çç 1 ÷ - + - ÷ = + . ¥ 2 ç ÷ x -¥ x -¥ x -¥ è x x ø Giải nhanh: 3 3 2
x + 2x + 3 x x  +¥ khi x  - . ¥
Câu 13: Giá trị của giới hạn ( 2 lim x +1 + x) là: x +¥ A. 0. B. . +¥ C. 2 -1. D. -¥ . Lời giải Chọn B Giải nhanh: 2 2
x  +¥ : x +1 + x x + x = 2x  +¥ .
Đặt x làm nhân tử chung:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 331
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï lim x = +¥ æ ö ïx+¥ ï lim ( ç 1 2
x +1 + x) = lim xç 1+ +1÷÷ ï ç ÷ = +¥ vì í . 2 x+¥ x+¥ çè x ÷ø ï 1 ï lim 1+ +1 = 2 > 0 ï + 2 x 2 ïî x
Câu 14: Giá trị của giới hạn (3 3 2 lim
3x -1 + x + 2) là: x +¥ A. 3 3 +1. B. . +¥ C. 3 3 -1. D. -¥ . Lời giải Chọn B Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 x  +¥ x - + x +  x + x = (3 : 3 1 2 3 3 + ) 1 x  + . ¥
Đặt x làm nhân tử chung: æ ö lim ( ç 1 2 3 3 2 3x -1 + x + 2) ÷ 3 = lim xç 3- + 1+ ÷ ç ÷ = +¥ vì 3 2 x+¥ x+¥ çè x x ÷ø ìï lim x = +¥ ïx+¥ ïïí æ ö . ï ç 1 2 ÷ 3 3 ï lim ç 3- + 1+ ÷ ï ç ÷ = 3 +1> 0 3 2 x+¥ ç ï è x x ÷ø ïî
Câu 15: Giá trị của giới hạn x + + là: +¥ ( 2 lim 4x 7x 2x x ) A. 4. B. . -¥ C. 6. D. +¥ . Lời giải Chọn D Đặt 2
x làm nhân tử chung: 2 ìï lim x = +¥ æ ö ïx+¥ ïï lim x ç ÷ + + = ç + + ÷ ï ç ÷ = +¥ vì í æ ö . +¥ ( 7 2 4x 7x 2x) 2 lim x 4 2 ï ç 7 x x+¥ çè x ÷ø ï lim ç 4 + + 2÷÷ ï ç ÷ = 4 > 0 x+¥ ï çè x ÷ø ïî
Giải nhanh: x  +¥ x( 2
x + x + x) x( 2 x + x) 2 : 4 7 2 4 2 = 4x  + . ¥ 0
Dạng 4. Dạng vô định 0 1. Phương pháp 0 u(x)
 Nhận dạng vô định : lim
khi lim u(x)  lim u(x)  0. 0 xx v(x) xx xx 0 0 0
 Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước u(x) (x  x0)A(x) A(x) A(x) lim  lim  lim vaø tính lim .
xx v(x) xx (x  x )B(x) xx B(x) xx o o 0 o o B(x)
Nếu phương trình f x  0 có nghiệm là x0 thì f x  x  x0 .gx Đặc biệt:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
Trang 332
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2
f(x)  ax  bx  c,maø f(x)  0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,x
Nếu tam thức bậc hai 1 2
thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x)  ax - 1 x x -x2 
Phương trình bậc 3: 3 2
ax  bx  cx  d  0 (a  0)
a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích  1
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner
a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x  1  , ñeå phaân tích  1
thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner
Nếu ux và vx có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó
phân tích chúng thành tích để giản ước. A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B. A  B
löôïng lieân hieäp laø: A  B.
A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B. 3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B     .   3  3 2 3 2 A B
löôïng lieân hieäp laø:  A B A B     .  
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2 x  3x  2 Ví dụ 1: Tính lim x 1  x 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 x  3x  2 x  1x 2 lim  lim  limx  2  1  . x 1  x 1 x 1  x 1 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 X  3X  2 Nhập vào màn hình ấn 10 CALC 1 10   ta được kết quả X 1 2 2x  3x 1
Ví dụ 2: Tính L  lim . 2 x 1  1 x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 2x  3x 1 2x  1x  1 2x   1 1 lim lim lim     . 2 x 1  x 1 1 x  1 x1 x x 1  1 x 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 333
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 2X  3X 1 Nhập vào màn hình ấn 10 CALC 1 10   ta được kết quả 2 1 X 2 x  3x  2 Ví dụ 3: Tính lim 3 x 1  x 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 x  3x  2 x  1x 2 x  2 1 lim lim lim     . 3 x 1  x 1 x 1  x   1  2 x  x   2 x 1 1  x  x 1 3
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 x  3x  2 Nhập vào màn hình ấn 10 CALC 1 10   ta được kết quả 3 x 1 4 4 t  a Ví dụ 4: Tính lim ta t  a Hướng dẫn giải 4 4 t  a lim  lim 3 2 2 3 t  t a  ta  a  3  4a . ta t  a ta 4 y 1
Ví dụ 5: Tính lim 3 y 1  y 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận y 1 y  1 3 2 4 y  y  y   1 3 2 y  y  y 1 4 lim  lim  lim  . 3 y 1  y 1 y 1 
y  1 2y y  2 y 1 1  y  y 1 3
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 4 Y 1 Nhập vào màn hình ấn 10 CALC 1 10   ta được kết quả 3 Y 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 334
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 4  x Ví dụ 6: Tính lim x2 x  7  3 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 4  x lim x2 x  7  3  2 x  4 x  7  3
x  2x  2 x  7  3  lim  lim
x2        x2 x  7  9 x 7 3 x 7 3 lim x 2   x 7 3      24.  x2 
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 4  X Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 1 10 
 ta được kết quả  24. X  7  3
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 24
 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: d  2 4  X  dx Nhập x2
rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 24. d  X7 3 dx x2 1 x 1 Ví dụ 7: Tính lim x0 x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 x 1 1 x 1 1 1 lim  lim  lim  . x0 x
x0 x 1 x   x0 1 1 x 1 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 335
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 x 1 1 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 0 10 
 ta được kết quả  . x 2 1
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: 2 d  1X  1 dx 1 Nhập
x0 rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 0,5  . d  2 X dx x0 2 x  6x  8 Ví dụ 8: Tính lim x4 x  2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2  
x 2x 4 x 2 x 6x 8  lim  lim
 lim x  2 x  2  24  8. x4 x4 x  2 x  4 x4
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 x  6x  8 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 4 10 
 ta được kết quả  8. x  2
Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: d  2X 6X8 dx Nhập
x4 rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 8. d  X 2 dx x4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 336
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 2 x  4  2 Ví dụ 9: Tính lim b x2 2 4  2x  8 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 3 2 x  4  2 E  lim x2 2 4  2x  8
Nhân tử và mẫu hai lượng liên hợp: 2  3   2  3 2  2  x 4  2 x 4 4 4 2x 8                2 3    2   3 2  3 2  2  x 4 2 x 4  2 x 4 44 2x 8                  E lim   x2 2    2  2   3 2  3 2
 4  2x  8  4  2x  8   x  4   2 x  4  4         2x 4 8 2  4 2x 8       lim    x2   2 16  2x  8 2  3 2  3 2
 x  4   2 x  4  4      2x 4 2  4 2x 8      lim    x2    2    2 x  4 2   3 2  3 2
 x  4   2 x  4  4      2 4  2x  8 8 1  lim    . x2 2   24  3  3 2  3 2
2  x  4   2 x  4  4    
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 3 2 x  4  2 1 Nhập vào màn hình ấn 5 CALC 4 10 
 ta được kết quả   . 2 4  2x  8 3
Lời bình: Nếu ta dùng quy tắc Lô-pi-tan d  3 2  x 4 2   dx    Nhập
x2 rồi ấn phím  ta được kết quả    1 0, 3   . d  2 3  4 2x 8    dx    x2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 337
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 4 2 x 12  2 Ví dụ 10: Tính lim 2 x2 x  4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 4 2 x 12  2 E  lim 2 x 2  x  4  4 2  4 2  x 12 2 x 12 2      lim     x2  2x 44 2  x 12 2       2 x 12  4 0  lim
(vẫn còn dạng vô định ) x 2   2x 44 2 0  x 12 2        2  2  x 12 4 x 12 4      lim     x 2   2x 44 2  2  x 12 2 x 12 4          2 x 12 16  lim x 2   2x 44 2  2  x 12 2 x 12 4          1 1  lim  . x 2   4 2  2  32
 x 12  2 x 12  4   
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan d  4 2  x 12 2   dx    1 Nhập x 2
 rồi ấn phím  ta được kết quả 0,03125  . d  2 32 x  4 dx x 2  6 x 1 Ví dụ 11: Tính lim 2 x 1  x 1 Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 338
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Cách 1: Giải bằng tự luận 6 x 1 E  lim 2 x 1  x 1 6 x 6 2 6 1  x x 1     lim    x 1   2x 6 2 6 1  x x 1       x 1 0  lim (Vẫn dạng vô định ) x 1   2x 6 2 6 1 0  x x 1        x  1 x  1  lim x 1  x 1x 6 2 6 1  x x 1      x  1   1 1  lim  . x 1   6 2 6         12 x 1 x x 1 x 1  
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan d 6 X  1 dx Nhập x 1
 rồi ấn phím  ta được kết quả   1 0,08 3  . d  2 12 x  1 dx x 1  Để chuyển   1 0,08 3  ta bấm như sau 0.08Qs3= 12
3. Bài tập trắc nghiệm 3 Câu 1: x -8
Giá trị của giới hạn lim là: 2 x 2 x - 4 A. 0. B. . +¥ C. 3.
D. Không xác định. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 339
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn C 3 2 2 Ta có x -8
(x -2)(x + 2x + 4) x + 2x + 4 12 lim = lim = lim = = 3 2 x 2 x 2 x 2 x - 4 (x -2)(x + 2) x + 2 4 5 Câu 2: x +1
Giá trị của giới hạn lim là: 3 x 1 - x +1 A. 3 - . B. 3. C. 5 - . D. 5. 5 5 3 3 Lời giải Chọn D (x + ) 1 ( 4 3 2 5
x - x + x - x x + + ) 4 3 2 1 1
x - x + x - x +1 5 lim = lim = lim = . 3 x - x +1 x - (x + ) 1 ( 2 1 1 x - x + ) 2 x -1 1 x - x +1 3 3 Câu 3: 2x + 6 3 Biết rằng lim = a 3 + . b Tính 2 2 a +b . 2 x- 3 3- x A. 10. B. 25. C. 5. D. 13. Lời giải Chọn A 2 2 3 3
(x + 3)( 2x - 3x + )3 2( 2 3 x - 3x x + + )3 Ta có lim = lim = lim 2 x - 3 - x - 3 3 x ( 3-x)( 3 +x) x - 3 3 - x é ù 2 (ê- 3)2 - 3.(- 3)+3ú êë úû 18 a ìï = 3 ï 2 2 = = = ¾¾ í  a + b = . 3 -(- 3) 3 3 10 2 3 b ï = 1 ïî 2 Câu 4: x - - x + 6
Giá trị của giới hạn lim là: 2 x -3 x + 3x A. 1. B. 2 . C. 5. D. 3. 3 3 3 5 Lời giải Chọn C 2 x - - x + 6 (x +3)(x -2) x -2 3 - -2 5 lim = lim = lim = = . 2 x 3 - x 3 x + 3x - x (x +3) x -3 x 3 - 3 Câu 5: 3- x
Giá trị của giới hạn lim là: x 3-  3 27 - x A. 1. B. 0. C. 5. D. 3. 3 3 5 Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 340
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta có 3- x > 0 với mọi x < 3, do đó: 3- x 3- x lim = lim x 3- 3 x 3 27 - x -   (3- x)( 2 9 + 3x + x ) 3- x 3-3 = lim = = 0. x 3-  2 2 9 + 3x + x 9 + 3.3 + 3 ( 2 21 x + p )7 21 1-2x -p
Câu 6: Giá trị của giới hạn lim là: x 0 x 21 21 21 21 A. 2p 2p 2p 1-2p - . B. - . C. - . D. . 7 9 5 7 Lời giải Chọn A Ta có ( 2 21 x + p ) 7 21 1-2x -p ( 2 21
x + p )(7 1-2x - ) 1 21 2p lim = lim + lim x = - . x 0 x 0 x 0 x x 7 2 Câu 7: x + x - x
Giá trị của giới hạn lim là: + 2 x 0 x A. 0. B. . -¥ C. 1. D. . +¥ Lời giải Chọn D x x x ( 2 2 x + x)- + - x Ta có 1 lim = lim = lim = +¥ + 2 x 0 x 0+ 2 x x ( 2
x + x + x ) x 0+    2 x + x + x vì 1> 0 ; lim ( 2
x + x + x = và 2
x + x + x > 0 với mọi x > 0. + ) 0 x 0 3 Câu 8: x -1
Giá trị của giới hạn lim là: x 1  3 4x + 4 -2 A. -1. B. 0. C. 1. D. . +¥ Lời giải Chọn C (x -1) x + + x + + x -1 (3 4 4 2 4 4 4 3 ( )2 3 ) Ta có lim = lim x 1  3 x 1 4x + 4 -2  (4x + 4 -8)(3 2 3 x + x + ) 1 (3(4x+4)2 3 + 2 4x + 4 + 4) 12 = lim = = 1. x 1  (3 2 3 x + x + ) 12 4 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 341
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 Câu 9: 2 1+ x - 8 - x
Giá trị của giới hạn lim là: x 0 x A. 5 . B. 13 . C. 11. D. 13 - . 6 12 12 12 Lời giải Chọn B 3 æ 3 ö Ta có 2 1+ x - 8 - x ç2 1+ x -2 2 - 8 - x lim = lim ÷ ç + ÷ ç ÷ x 0 x 0 x çè x x ÷ø æ ö çç 2 1 ÷÷ 1 13 = lim ç ÷ + ç ÷ = 1+ = . x 0 ÷ ç + + 3 ç x 1 1 3
4 + 2 8 - x + (8- x)2 ÷ 12 12 ÷ è ø 3 Câu 10: ax +1 - 1-bx
Biết rằng b > 0, a + b = 5 và lim
= 2 . Khẳng định nào dưới đây sai? x 0 x
A. 1 < a < 3. B. b >1. C. 2 2 a +b >10.
D. a-b < 0. Lời giải Chọn A 3 æ 3 ö Ta có ax +1 - 1-bx
ç ax +1 -1 1- 1-bx lim = lim ÷ ç + ÷ ç ÷ x 0 x 0 x è x x ø æ ax bx ö = lim ç ÷ ç + ÷ ç ÷
x 0 çççè (3 ( + )2 3 + + + ) x(1+ 1 1 1 1 - x x x x )÷÷÷ø æ a b ö a b = lim ç ÷ ç + ÷ = + = 2. ç ÷
x 0 çççè(3 ( + )2 3 + + + ) (1+ 1 1 1 1 - x x x )÷ 3 2 ÷÷ø ìïa +b = ï 5 ìïa +b = Vậy ta được: ï ï 5 ía b  í
a = 3, b = 2 ï + = 2 ï2a +3b = ï ïî 12 ïî3 2 ¥
Dạng 5. Dạng vô định ¥ 1. Phương pháp
 Nhận biết dạng vô định  u(x) lim
khi lim u(x)  , lim v(x)   .  xx v(x) xx xx 0 0 0 u(x) lim
khi lim u(x)  , lim v(x)   .  x v(x) xx xx 0 0
Chia tử và mẫu cho n
x với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử n x rồi giản ước)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 342
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao
nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu).
Cách tính giới hạn dạng này hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 4 3 2 2x  x  2x  3 Ví dụ 1: Tính lim 4 x x  2x Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 2 3 4 3 2 2    2 4 2x  x  2x  3 x x x lim  lim  1.  4 x x x  2x  1 2 3 x
Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 3 2 4 2x  x  2x  3 2x   1.  4 4 x  2x 2  x
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 3 2 2x  x  2x  3 Nhập vào màn hình ấn 15
CALC 10  ta được kết quả 1. 4 x  2x 2
Lời bình: “Bậc tử bằng bậc mẫu” nên kết quả  1.  2  4 5 3x  2x Ví dụ 2: Tính lim 4 x 5x  3x  2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 4 5 3x  2x 3  2x lim  lim 4 x x 5x  3x  2  3 2 5   3 4 x x  3 2  lim 5 
  5  0; lim 3  2x   .  3 4 x x  x x   4 5 3x  2x Do đó: lim   .  4 x 5x  3x  2
Cách 2: Mẹo giải nhanh
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 343
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 4 5 5 3x  2x 2x 2    x   .  4 4 5x  3x  2 5x 5
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 5 3x  2x Nhập vào màn hình ấn 15
CALC 10  ta được kết quả  .  4 5x  3x  2
Lời bình: Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên kết quả là .  4 5 3x  2x Ví dụ 3: Tính lim 4 6 x 5x  3x  2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 3 2 4 5  2 3x  2x x x 0 lim  lim   0. 4 6 x x 5x  3x  2  5 2 3  3  2 6 x x
Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 5 5 3x  2x 2x  2 1    .  0. 4 6 6 5x  3x  2 3x 3 x
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 5 3x  2x Nhập vào màn hình ấn 15
CALC 10  ta được kết quả  0. 4 6 5x  3x  2
Lời bình: “Bậc tử bé hơn bậc mẫu” nên kết quả là 0. 4 5 3x  4x  2 Ví dụ 4: Tính lim 5 4 x 9x  5x  4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 3 2 4 5  4  5 3x  4x  2 x x 2 lim  lim  . 5 4 x x 9x  5x  4  5 4 3 9   5 x x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 344
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Cách 2: Mẹo giải nhanh 4 5 5 3x  4x  2 4x 4 2    . 5 4 5 9x  5x  4 9x 9 3
Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính 4 5 3x  4x  2 Nhập vào màn hình ấn 15
CALC 10  ta được kết quả  0. 5 4 9x  5x  4 2 x  2x  3x
Ví dụ 5: Tính L  lim . x 2 4x 1  x  2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2 2 2 x 1  3x  1  3 x  2x  3x x x 2 lim  lim  lim  . x 2 x x 4x 1 x 2 1  1 2 3     x 4   x  2  4  1 2 2 x x x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 x  2x  3x 2 Nhập vào màn hình ấn 15
CALC 10  ta được kết quả . 2 4x 1  x  2 3 2 4x 1  x  5 Ví dụ 6: Tính lim x 2x  7 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 1 5 2 4    2 2 4x 1  x  5 x x x 2  0 lim  lim   1. x 2x  7 x 7 2  0 2  x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2 4x 1  x  5 Nhập vào màn hình ấn 25
CALC 10  ta được kết quả 2x  7
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 345
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x
Ví dụ 7: Tính lim x  5 3 x x 1 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận 2  5  2 1    lim x 5 x xx 5  x lim lim      1. 3 3 x x x x 1 x 1  1 1 3 x
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x
Nhập vào màn hình x  5 ấn 25
CALC 10  ta được kết quả 3 x 1
x  3112x94 2
Ví dụ 8: Tính lim 100 x 2x  3 Hướng dẫn giải 3 94   3   1    1     2 94 2 x  1    x   2 x 1 1 2x 2    x    x E lim lim    100 x x 2x  3  100  3 x 2    100   x  94 3 6  1  94  1 x 1  x  2     2   x   x lim   x 100  3 x 2    100   x  3 94  1   1 1 2        x x  3 1 . 2      94 2  lim    93 2 . x 3 2 2  100 x
3. Bài tập trắc nghiệm 2 Câu 1: 2x +5x -3
Kết quả của giới hạn lim là: 2
x -¥ x + 6x + 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 346
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. -2. B. . +¥ C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn D 5 3 2 2 + - Ta có 2 2x + 5x -3 lim = lim x x = 2 . 2
x -¥ x + 6x + 3 x +¥ 6 3 1+ + 2 x x 2 2 Giải nhanh : khi 2x + 5x -3 2x x  -¥ thì :  = 2. 2 2 x + 6x +3 x 3 2 Câu 2: 2x +5x -3
Kết quả của giới hạn lim là: 2 x -¥ x + 6x +3 A. -2. B. . +¥ C. . -¥ D. 2 . Lời giải Chọn C 5 3 3 2 2 + - Ta có: 3 2x + 5x -3 lim = lim . x x x = - . ¥ 2 x -¥ x + 6x + 3 x -¥ 6 3 1+ + 2 x x 3 2 3 Giải nhanh : khi 2x + 5x -3 2x x  -¥ thì :  = 2x  - . ¥ 2 2 x + 6x + 3 x 3 2 Câu 3: 2x -7x +11
Kết quả của giới hạn lim là: 6 5
x -¥ 3x + 2x -5 A. -2. B. . +¥ C. 0. D. . -¥ Lời giải Chọn C 2 7 11 3 2 - + Ta có: 3 4 6 2x -7x +11 0 lim = lim x x x = = 0. 6 5
x -¥ 3x + 2x -5 x -¥ 2 5 3 3 + - 6 x x 3 2 3 Giải nhanh : khi 2x -7x +11 2x 2 1 x  -¥ thì :  = .  0. 6 5 6 3 3x + 2x -5 3x 3 x Câu 4: 2x -3
Kết quả của giới hạn lim là: x -¥ 2 x +1 - x A. -2. B. . +¥ C. 3. D. 1 - . Lời giải Chọn D
. Khi x  -¥ thì 2 2 2 x = x - ¾¾
x +1 - x x - x = x - - x = 2 - x = / 0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 347
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 2 - 2x -3 ¾¾
 chia cả tử và mẫu cho x , ta được lim = lim x = -1 . x -¥ 2 x +1 x - x -¥ 1 - 1+ -1 2 x (2-a)x -3 Câu 5: Biết rằng
có giới hạn là +¥ khi x  +¥ (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ 2 x +1 - x nhất của 2
P = a -2a + 4. A. P = 1. B. P = 3. C. P = 4. D. P = 5. min min min min Lời giải Chọn B Khi x  +¥ thì 2 2 2 x = x ¾¾
x +1 - x x - x = x - x = 0 ¾¾
 Nhân lượng liên hợp: (2-a)x -3 æ æ ö ö Ta có lim = lim ( ( 2-a)x - ) 3 x + + x = x çç -a ç ÷ ÷ - ç ÷ + + ÷ ç ç ÷ ÷ x +¥ x +¥ ( 3 1 2 1 ) 2 lim 2 1 1 . 2 2 +1 x +¥ è - x øçè x x x ÷ø 2 ìï lim x = +¥ ïx+¥ ïï (2-a) - Vì x 3 ïí æ ö  lim ï ç 1 = +¥ ÷ x +¥ 2 ï lim ç 1+ +1÷ ï ç ÷ = 4 > 0 x +1 - x 2 x +¥ ï çè x ÷ø ïî æ 3 ö  lim çç2-a ÷
- ÷ = 2-a > 0  a < 2 ç ÷ . x +¥è x ø Giải nhanh : ta có 2x -3 x  +¥ ¾¾  2 x +1 - x = (
( -a)x - )( 2x + +x)( -a)x ( 2 2 3 1 2 .
x + x)= 2(2-a)x  +¥  a < 2 . Khi đó 2
P = a - 2a + 4 = (a - )2
1 + 3 ³ 3, P = 3  a = 1 < 2  P = 3. min 2 Câu 6: 4x - x +1
Kết quả của giới hạn lim là: x -¥ x +1 A. -2. B. -1. C. -2. D. . +¥ Lời giải Chọn C 2 2 Giải nhanh: khi 4x - x +1 4x -2x x  -¥ ¾¾   = = -2. x +1 x x 1 1 - 4 - + 2 2 Cụ thể: 4x - x +1 x x - 4 lim = lim = = -2. x -¥ x +1 x -¥ 1 1 1+ x 2 Câu 7:
4x -2x +1 + 2 - x
Kết quả của giới hạn lim là: x +¥ 2
9x -3x + 2x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 348
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 1 - . B. . +¥ C. . -¥ D. 1 . 5 5 Lời giải Chọn D Giải nhanh : khi 2 2
4x -2x +1 + 2 - x 4x - x 2x - x 1 x  +¥ ¾¾   = = . 2 2
9x -3x + 2x 9x + 2x 3x + 2x 5 2 1 2 4 - + + -1 2 2 Cụ thể :
4x -2x +1 + 2 - x x x x 1 lim = lim = . x +¥ 2 9x -3x + 2 x x +¥ 3 5 9 - + 2 x 2 Câu 8:
4x -2x +1 + 2 - x Biết rằng L = lim
> 0 là hữu hạn (với ,
a b là tham số). Khẳng định x -¥ 2
ax -3x + bx nào dưới đây đúng. A. a ³ 0. B. 3 L = - C. 3 L = D. b > 0. a + b b- a Lời giải Chọn B Ta phải có 2
ax -3x > 0 trên ( ;
a)  a ³ 0. Ta có 2 2 x  -¥ ¾¾
 4x -2x +1 + 2 - x  4x - x = 3 - x = / 0. 2
Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó
4x -2x +1 + 2 - x lim > 0 khi và x -¥ 2
ax -3x + bx chỉ khi 2
ax -3x +bx là đa thức bậc 1. Ta có 2 2
ax -3x + bx ax + bx = (- a + ) b x ¾  ¾ - a + b = / 0. 2
Khi đó 4x -2x +1 +2- x 3 - x 3  =
= L > 0  b- a > 0  b > a. 2
ax -3x +bx
(- a + )bx b- a 3 3 2 Câu 9: x + 2x +1
Kết quả của giới hạn lim là: x -¥ 2 2x +1 A. 2 . B. 0. C. 2 - . D. 1. 2 2 Lời giải Chọn C 3 3 2 3 3 Giải nhanh: x + 2x +1 x x 1 x  -¥ ¾¾   = = - . 2 2 2x +1 2x - 2x 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 349
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 1 3 1+ + 3 3 2 3 Cụ thể: x + 2x +1 x x 1 lim = lim = - . x -¥ 2 2x +1 x -¥ 1 2 - 2 + 2 x
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của a để + + là . +¥ -¥( 2 lim 2x 1 ax x ) A. a > 2. B. a < 2. C. a > 2. D. a < 2. Lời giải Chọn B Giải nhanh: 2 2 x  -¥ ¾¾
 2x +1 + ax  2x + x
= - 2x + ax = (a- 2)x  +¥  a- 2 < 0  a < 2. æ ö Cụ thể: vì ç 1 lim x = -¥ nên lim x + + ax = x ç- + + a÷÷ ç ÷ = +¥ x -¥ ( 2 2 1 ) lim 2 x -¥ 2 x -¥ çè x ÷ø æç 1 ö  lim ç- 2 + + a÷÷ ç
÷ = a- 2 < 0  a < 2. 2 x -¥ çè x ÷ø
Dạng 6. Dạng vô định ¥ -¥ , 0.¥ 1. Phương pháp
 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp
 Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.
 Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định   ;0  . hoặc  0
chuyển về dạng vô định ;  0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính lim  x 1  x 3 x Hướng dẫn giải 4      x 1 x  3 x lim x 1 x 3  lim  lim  0. x x x x 1  x  3   1 3   1  1   x x    Ví dụ 2: Tính  2 lim x x 5 x    x   Hướng dẫn giải 2 2  2  x  5  x 5 5
lim x x  5  x  lim x  lim  . x   x 2 x x  5  x  5 2 1 1 2 x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 350
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ví dụ 3: Tính  2 lim x x 5x     x   Hướng dẫn giải  2 E lim x x 5x      x   Nhân và chia liên hợp 2 x  x  5x  2  2  x x 5x  x x 5x       2 2    x  x  5x E  lim  lim x 2 x x  x  5x  5 x  x 1 x 5x lim   (Vì  lim x  lim x ) x 5 x x x  x 1 x 5  5  5  lim    . x 5 1 1 0 2 1 1 x 1  1  Ví dụ 4: Tính lim  1 x 0  x  x 1  Hướng dẫn giải 1  1  E  lim 
1 (Dạng vô định 0. ) x 0  x  x 1  1 x 1 1  lim  lim  1.  x 0 x x   1 x 0   x 1 1 Ví dụ 6: Tính 2 lim x  5  0. x x Hướng dẫn giải 1 2 5 lim x  5  lim 1  1. x x x x
Ví dụ 7: Tính  2 lim x x 2 x    x   Hướng dẫn giải 2 2  2  x  2  x 2 2
lim x x  2  x  lim x  lim   1. x   x 2 x x  2  x  2 2 1 1 2 x 2 x 1  x  x 1 Ví dụ 8: Tính lim x0 x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 351
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Hướng dẫn giải 2 2 x 1  x  x 1 x 1 x  x 1 lim  lim x0 x x0 2 x 1  x  x 1 x 0  lim   0 x0 2 2 x 1  x  x 1
Ví dụ 9: Tính lim  x  5  x  7 x Hướng dẫn giải      x  5  x  7 12 lim x 5 x 7  lim  lim x x x x  5  x  7  x  5  x  7 12 x 0  lim   0. x 5 7 2 1  1 x x   2 Ví dụ 8: Tính 2
lim  x  5x  x  . x   5 Hướng dẫn giải 2 2  2  x  x  x 5  x
lim  x  5x  x  lim  lim x   x 2 x 2 x  5x  x x  5x  x 5  5  lim   . x 5 2 1 1 x 1 Ví dụ 8: Tính 2 lim x  5  1. x x Hướng dẫn giải 5 5 2 x . 1 x 1 2 2 x  5 x x 5 lim  lim  lim  lim  1  1  . 2 x x x x x x x x
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị của giới hạn ( 3 2
lim 2x - x ) là: x -¥ A. 1. B. . +¥ C. -1. D. -¥ . Lời giải Chọn D Giải nhanh : 3 2 3 x  -¥ ¾¾
2x - x  2x  - . ¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 352
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 ìï lim x = -¥ æ ö ïx-¥ ï Cụ thể: lim ( 1 3 2 2x - x ) 3 = lim x çç2 ÷ - ÷ = -¥ ï ç ÷ vì í . æ 1 ö x -¥ x -¥ è x ø ïï lim çç2 ÷ - ÷ = 2 > 0 ï ç ÷ x -¥ ï è x ø î æ ö Câu 2: 1 1
Giá trị của giới hạn lim ç ÷ ç - ÷ là: - 2 ç ÷ x 2 è x - 2 x -4ø A. . -¥ B. . +¥ C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A æ ö æ + - ö æ + ö Ta có 1 1 x 2 1 x 1 lim ç ÷ ç - ÷ = lim ç ÷ ç ÷ = lim ç ÷ ç ÷ = -¥ - 2 ç ÷ - 2 è - - ø ç ÷ - 2 è - ø ç ÷ x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 4 è x -4ø Vì lim (x + ) 1 = 3 > 0; lim - = và 2
x -4 < 0 với mọi x Î( 2; - 2). - - ( 2 x 4) 0 x 2 x 2 æ a b ö æ b a ö lim ç ÷ ç - ÷ = ç ÷ ç ÷ L lim ç - ÷ ç ÷
Câu 3: Biết rằng a +b = 4 và 3 x 1 
è1- x 1- x ø hữu hạn. Tính giới hạn 3 x 1  è1- x 1- x ø. A. 1. B. 2. C. 1. D. -2. Lời giải Chọn C 2 2 æ ö Ta có a b
a + ax + ax -b
a + ax + ax -b lim ç ÷ ç - ÷ = lim = lim . 3 ç ÷ 3 x  è1- x 1- ø x x  1 x - x  (1- x )( 2 1 1 1 1+ x + x ) æ ö Khi đó a b lim ç ÷ ç - ÷ hữu hạn 2  1+ . a 1+ .
a 1 -b = 0  2a-b = 1 - . 3 ç ÷ x 1  è1- x 1- x ø ìï + = ìï = æ ö Vậy ta có a b 4 a 1 a b ï ï í  í  L = -lim ç ÷ ç - ÷ 3 ï - = - ï ç ÷ x 1 2a b 1 b = 3  è1- x 1- x ø ïî ïî 2 x + x -2 -(x + 2) = -lim = -lim = 1 . x  (1- x )( 2 1 1+ x + x ) 2 x 1  1+ x + x
Câu 4: Giá trị của giới hạn ( 2 lim
1+ 2x - x) là: x +¥ A. 0. B. . +¥ C. 2 -1. D. -¥ . Lời giải Chọn B æ ö Ta có lim ( ç 1 2
1+ 2x - x) = lim x ç + 2 -1÷÷ ç ÷ = +¥ 2 x +¥ x +¥ çè x ÷ø æ ö Vì ç 1 lim x = + ; ¥ lim ç + 2 -1÷÷ ç ÷ = 2 -1> 0. 2 x +¥ x +¥ çè x ÷ø Giải nhanh : 2 2 x  +¥ ¾¾
 1+ 2x - x  2x - x = 2x - x = ( 2 - ) 1 x  + . ¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 353
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 5: Giá trị của giới hạn + - là: +¥( 2 lim x 1 x x ) A. 0. B. . +¥ C. 1 . D. -¥ . 2 Lời giải Chọn A . 2 2 x  +¥ ¾¾
x +1 - x x - x = x - x = 0 ¾¾
 Nhân lượng liên hợp. Giải nhanh: 1 1 1 2 x  +¥ ¾¾  x +1 - x =  =  0. 2 2 x +1 + x x + x 2x 1 Cụ thể: lim x x + - x = = = = x +¥ ( 1 0 2 1 ) lim lim 0. x +¥ 2 x +1 x + x +¥ 1 2 1+ +1 2 x x + x + x = a +b x -¥( 2 lim 5 2 5) 5 . Câu 6: Biết rằng
Tính S = 5a + . b A. S = 1. B. S = -1. C. S = 5. D. S = 5. - Lời giải Chọn A 2 2 x  -¥ ¾¾
 5x + 2x + x 5  5x + x 5 = - 5x + x 5 = 0 ¾¾
 Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 2 x  -¥ ¾¾
 5x + 2x + x 5 2x 2x 2x 1 =  = = - . 2 2
5x + 2x + x 5 5x - x 5 -2 5x 5 Cụ thể: Ta có x lim x + x + x = x -¥ ( 2 2 5 2 5) lim x -¥ 2
5x + 2x + x 5 ìï 1 2 2 1 1 a ï = - lim 5 ï = = = - = - ¾¾ í 5  S = 1 - . x -¥ 2 -2 5 5 5 ï - 5 + + 5 b ïï = 0 î x
Câu 7: Giá trị của giới hạn + - + là: +¥( 2 2 lim x 3x x 4x x ) A. 7 . B. 1 - . C. . +¥ D. . -¥ 2 2 Lời giải Chọn B . Khi 2 2 2 2 x  +¥ ¾¾
x +3x - x + 4x x - x = 0 ¾¾
 Nhân lượng liên hợp:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 354
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Giải nhanh: 2 2 x  +¥ ¾¾
x +3x - x + 4x -x -x -x 1 =  = = - . 2 2 2 2
x + 3x + x + 4x x + x 2x 2 Cụ thể: + - + = +¥( 2 2 lim x 3x x 4x x ) -x -1 1 lim = lim = - . x +¥ 2 2
x + 3x + x + 4 x x +¥ 3 4 2 1+ + 1+ x x
Câu 8: Giá trị của giới hạn (3 3 2 lim
3x -1 + x + 2) là: x -¥ A. 3 3 +1. B. . +¥ C. 3 3 -1. D. -¥ . Lời giải Chọn D æ ö lim (3 ç 1 2 3 2 3x -1 + x + 2) ÷ 3 = lim x ç 3- - 1+ ÷ ç ÷ = -¥ 3 2 x -¥ x -¥ çè x x ÷ø æ ö Vì ç 1 2 ÷ 3 3 lim x = - , ¥ lim ç 3- - 1+ ÷ ç ÷ = 3 -1> 0. 3 2 x -¥ x -¥çè x x ÷ø Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 x  -¥ ¾¾  x - + x +  x + x = (3 3 1 2 3 3 - ) 1 x  - . ¥
Câu 9: Giá trị của giới hạn + - - là: +¥ ( 2 3 3 2 lim x x x x x ) A. 5 . B. . +¥ C. -1. D. -¥ . 6 Lời giải Chọn A Khi 2 3 3 2 2 3 3 x  +¥ ¾¾
x + x - x - x x -- x = x - x = 0 ¾¾
 Nhân lượng liên hợp: + - - = + - + - - +¥ ( 2 3 3 2 x x x x ) +¥( 2 3 3 2 lim lim x x x x x x x x ) æ ö ç 2 ÷ ç x x ÷ ç ÷ 1 1 5 = lim ç + ÷÷ = + = . x +¥ ç 2 ÷ ç 2 3 x +1 + x ç x + x x -1 + è ( 3 ÷ 2 3 6 3 x - )2 3 1 ÷ø Giải nhanh: 2 3 3 2 + - - = ( 2 + - )+( 3 3 2 x x x x x x x
x - x - x ) 2 2 x x x x = +  + 2 2 3 x +1 + x + -1 + ( 3 3 - )2 2 2 3 3 6 6 3 1 x + x
x + x x + x x x x x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 355
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 5 = + = (x  +¥). 2 3 6
Câu 10: Giá trị của giới hạn (3 3 lim
2x -1 - 2x +1) là: x +¥ A. 0. B. . +¥ C. -1. D. -¥ . Lời giải Chọn A 3 3 3 3 x  +¥ ¾¾
 2x -1 - 2x +1  2x - 2x = 0 ¾¾
 nhân lượng liên hợp: - lim ( 2 3 3
2x -1 - 2x +1) = lim = 0. x +¥ x +¥ (2x - )2 3 1 + (2x - ) 1 (2x + ) 1 + (2x + )2 3 3 1 Giải nhanh: 3 3 2x -1 - 2x +1 = 2 - 2 - -2  =  0. 3 (2x - )2 3
1 + 4x -1 - (2x + )2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1
4x + 4x + 4x 3 4x é æ ùö Câu 11: 1
Kết quả của giới hạn lim êx 1 ç ÷ ç - ú÷ là: ê ç ÷ x 0 è x úø ë û A. . +¥ B. -1. C. 0. D. +¥ . Lời giải Chọn B é æ ùö Ta có 1 lim êx 1 ç ÷ ç - ú÷ = lim (x - ) 1 = 0 -1 = -1. ê ç ÷ x 0 è úø x 0 x ë û Câu 12: x
Kết quả của giới hạn lim (x -2) là: + 2 x 2 x - 4 A. 1. B. . +¥ C. 0. D. -¥ . Lời giải Chọn C Ta có ( - x - ) x x 2. x 0. 2 lim 2 = lim = = 0 . + 2 x 2 - x 2 x 4 +   x + 2 2 Câu 13: 2x +1
Kết quả của giới hạn lim x là: 3 2 x +¥ 3x + x + 2 A. 2 . B. 6 . C. . +¥ D. -¥ . 3 3 Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 356
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 2 + 2x +1 x ( x + ) 2 2 1 6 lim = lim = lim x x = . 3 2 3 2 x +¥ 3x + x + 2 x +¥ 3x + x + 2 x +¥ 1 2 3 3 + + 3 x x Giải nhanh: 2x +1 2x 6 1 6 1 6 x  +¥ ¾¾  xx. = .x. = .x. = . 3 2 2 2 3x + x + 2 3x 3 3 x 3 x æ ö Câu 14: 1
Kết quả của giới hạn 2 lim x ççsin px ÷ - ÷ là: 2 ç ÷ x 0 è x ø A. 0 . B. 1 - . C. . p D. . +¥ Lời giải Chọn B æ ö Ta có 1 2 lim x ççsin px ÷ - ÷ = lim ( 2
x sin px -1 = -1. 2 ) ç ÷ x 0 x 0 è x ø Câu 15: x
Kết quả của giới hạn lim + là: + ( 3 x ) 1 x (  - ) 2 1 x -1 A. 3. B. . +¥ C. 0. D. -¥ . Lời giải Chọn C . Với x x Î( 1;
- 0) thì x +1> 0 và > 0 . x -1 Do đó x x lim + = + - + + ( 3 x ) 1 lim (x ) 1 + ( 2 x x 1 2 ) x (- ) 1 x -1 x (- ) 1 (x - ) 1 (x + ) 1 x = lim x +1 - + = + ( 2 x x ) 1 0 x (  - ) 1 x -1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 357
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K x Î K . 0
Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại x nếu lim f (x)= f (x . 0 ) 0 x x0
II – HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2
Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [ ;
a b] nếu nó liên tục trên khoảng ( ; a ) b
lim f (x) = f (a), lim f (x) = f ( ) b . + - x a x b
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một '' đường liền '' trên khoảng đó. y y x a b a x O O b
Hàm số liên tục trên khoảng ( ; a )
b Hàm số không liên tục trên khoảng ( ; a ) b
III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực  .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Định lí 2
Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x . Khi đó: 0
a) Các hàm số y = f (x)+ g(x) , y = f (x)- g(x) và y = f (x).g(x) liên tục tại x ; 0 f (x ) b) Hàm số
liên tục tại x nếu g(x ¹ 0 . 0 ) 0 g(x ) Định lí 3
Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c Î ( ; a b)
sao cho f (c)= 0 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 358
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:
Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) < 0, thì phương trình f (x ) = 0 có ít nhất
một nghiệm nằm trong khoảng ( ; a ) b .
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hàm số f (x) 1 = 3- x + liên tục trên: x + 4 A. [ 4; - 3]. B. [ 4; - 3). C. ( 4; - 3]. D. [ ; -¥ 4 - ]È[3;+ ) ¥ . Lời giải Chọn C ìï - ³ ìï > - Điều kiện: 3 x 0 x 4 ï ï TXD í  í ¾¾¾  D = (-4; ] 3 ¾¾
 hàm số liên tục trên ( 4; - ) 3 . Xét tại ïx + 4 > 0 ïx £ -3 ïî ïî x = 3, ta có æ ö ç ÷ f (x) 1 1 lim = lim ç 3- x + ÷ = = f ç ÷ ( ) 3 ¾¾
 Hàm số liên tục trái tại x = 3. - - x3 x3 ç è x + 4 ÷ø 7
Vậy hàm số liên tục trên (-4; ] 3 . 3 Câu 2:
x + x cos x + sin x
Hàm số f (x) = liên tục trên: 2 sin x +3 æ ö A. [ 1; - ] 1 . B. [1;5]. C. 3 ç- ç ; ÷ +¥÷. ç D. .  è 2 ÷ø Lời giải Chọn D
Vì 2sin x +3 =/ 0 với mọi TXD x Î  ¾¾¾  D =  ¾¾
 Hàm số liên tục trên .  2 Câu 3: x -3x + 2
Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên  với f (x) =
với mọi x =/1. Tính x -1 f ( ) 1 . A. 2. B. 1. C. 0. D. -1. Lời giải Chọn D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 359
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
f (x) liên tục trên  nên suy ra 2 - + f ( ) = f (x) x 3x 2 1 lim = lim = lim(x- ) 2 = 1 - . x 1  x 1  x 1 x -1  Câu 4: x + - - x
Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên [ 3; - ] 3 với f (x) 3 3 = với x ¹ 0 . x Tính f (0). A. 2 3 . B. 3 . C. 1. D. 0. 3 3 Lời giải Chọn B
f (x) liên tục trên [ 3; - ] 3 nên suy ra + - - f ( ) = f (x) x 3 3 x 2 1 0 lim = lim = lim = . x0 x0 x0 x x + 3 + 3- x 3 Câu 5: x
Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên (-4;+ ) ¥ với f (x) = với x ¹ 0 . x + 4 - 2 Tính f (0). A. 0. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn C
f (x) liên tục trên ( 4; - +¥) nên suy ra (0)= lim ( )= lim x f f x = lim( x + 4 + ) 2 = 4. x0 x0 x0 x + 4 - 2
Dạng 2. Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp
Ta cần phải nắm vững định nghĩa:
Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng K và x0 K. Hàm số y  f x gọi là liên tục tại x0 nếu
lim f(x)  f(x0)  lim f(x)  lim f(x)  f(x0). xx0 xx xx o o
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng   
Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x   f 0 x với x
0. Phải bổ sung thêm giá trị   bằng bao nhiêu thì
hàm số liên tục tại x  0? Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 360
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   x  2  2  x x  2  2  x lim f x  lim  lim x0 x0 x
x0  x  2  2  x 2 1  lim  .
x0  x  2  2  x 2
Như vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì phải bổ sung thêm giá trị   1 f 0  . 2    
Ví dụ 2: Cho hàm số   2 a x vôùi x 1 vaø a f x  
. Giá trị của a để f x liên tục tại x 1 là bao 3  vôùi x  1 nhiêu? Hướng dẫn giải TXĐ: D  . Ta có: lim f x  lim 2 a  x   a 1. x 1  x 1 
Để hàm số liên tục tại x  1  lim f x  f  
1  a 1  3  a  4. x 1   2 x 1  vôùi x  3 vaø x  2
Ví dụ 3: Cho hàm số f x  3  . x  x  6
Tìm b để f x liên tục tại x  3.  b  3 vôùi x  3 vaø b TXĐ: D  . Ta có:   2 x 1 3 lim f x  lim  ; f 3  b  3. 3 x3 x3 x  x  6 3 3 2  3
Để hàm số liên tục tại x  3  lim f x  f 3  b  3   b  . x3 3 3 a  2 kh i x  2 
Ví dụ 4: Cho hàm số f x   
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  2. sin khi x   2  x Hướng dẫn giải TXĐ: D  . Ta có   f 2 sin  1    2  
 lim f x lim a 2 a 2      x 2 x 2     
 lim f x  lim sin 1  x 2 x 2   2 
Hàm số liên tục tại x  2 khi a 1  2  a  3.
Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm x0. 3  3x  2  2    neáu x  2 f x   x  2 ; x0  2.  ax  2 neáu x  2 Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 361
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 TXĐ: D  . Ta có:   3 3x  2  2 3x  2 1 lim f x  lim  lim  .   x  2         2 x 2 x 2 x 2 3 3  4 x 2 3x 2  2 3x  2  4  
lim f x  ax  2  2a  2. x 2 
Lại có: f 2  2a  2 . 1 7
Hàm số liên tục tại x0  2 nếu 2a  2   a   . 4 8
Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0.  x  3  2  neáu x  1  x 1   1 f x   neáu x  1 x  0, x 1. 4 ; 0 0  2  x 1  neáu x 1 2 x  6x  7 Hướng dẫn giải x  3  2 x 1 1 Ta có: lim f x  lim  lim  . x 1 x 1 x 1 x 1          4 x 1 x 3 2 2 x 1 x 1 1 1 lim f x  lim  lim  ; f   1  .   2 x 1 x 1 x  6x  7 x 1    x  7 4 4 1
Vậy lim f x  lim f x  f  
1  , nên hàm số liên tục tại x0 1. x 1 x 1   4 2 x 1 1
Dễ thấy lim f x  lim   f 0  2
nên hàm số liên tục tại x 0. x0 x0 x  6x  7 7
Ví dụ 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0.
f x  x  2 ; x0  2, x0 1. Hướng dẫn giải x  2 ne áu x  2  
Ta có: f x  x  2  x  2 ne áu x  2  
 Ta có: lim f x  limx  2  3; f   1  3. x 1  x 1 
Vậy lim f x  f  
1 , nên hàm số liên tục tại tại x 1. x 1  0
 Lại có: lim f x  lim x  2  0; lim f x  0; f  2    0. x 2 x 2 x 2   
Vậy lim f x  lim f x  lim  f  2
   0 nên hàm số liên tục tại x  2.   x 2 0 x 2 x 2   
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 362
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  x  2 vôùi 5   x  4  x   5 
Ví dụ 8: Cho hàm số f x  mx  2 vôù i x  4
. Tìm giá trị của m để f x liên tục tại x  4 .  x  vôùi x  4  3 Hướng dẫn giải x  2 2 x 2 Ta có: lim f x  lim  ; lim  . x 4 x 4 x  5 3 x 4    3 3 Và f 4  4m  2
Để hàm số liên tục tại x  4 thì lim f x  lim f x  f 4 x 4 x 4   2 1
 4m  2   m   . 3 3  2 x  8  3  neáu x 1  2
Ví dụ 9: Cho hàm số f x  x  4x  3 
. Tìm giá trị của a để f x liên tục tại x 1. 1 2 cos x   a  x neáu x  1 6 Hướng dẫn giải TXĐ: D  . 1 1  f   2 2
1  cos  a 1    a 1. 6 6  1  1  lim f x 2 2  lim  cos x
  a  x    a 1. x 1 x 1    6  6  2  2  2
 x  8  3 x  8  3 x 8 3        lim f x  lim  lim   2 x  4x  3      2x 4x3 2 x 1 x 1 x 1  x  8  3   2 x  8  9 x  1x  1  lim    lim 2 x 4x 3 2  x 8 3     x 1x 3 2 x 1 x 1  x 8 3              x 1 1  lim   .      2 x 1  6 x 3  x  8  3  
Để hàm số liên tục tại x  1  lim f x  lim f x  f   1 x 1 x 1   1 2 1
   a 1    a  1  . 6 6
3. Bài tập trắc nghiệm 2 ìïx - x -2 ï Câu 1: ï khi 2 x ¹
Tìm giá trị thực của tham số ï
m để hàm số f (x ) = í x - 2
liên tục tại x = 2. ïïm ï khi 2 x ïî = A. m = 0. B. m =1. C. m = 2. D. m = 3.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 363
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn D
. Tập xác định: D =  , chứa x = 2 . Theo giả thiết thì ta phải có 2 - - m = f ( ) = f (x) x x 2 2 lim = lim = lim(x + ) 1 = 3. x2 x2 x2 x - 2 3 2
ìïx - x +2x -2 ï Câu 2: ï khi 1 x ¹
Tìm giá trị thực của tham số ï
m để hàm số f (x ) = í x -1 liên tục tại ï3 ïï x +m khi x = 1 ïî x = 1. A. m = 0. B. m = 2. C. m = 4. D. m = 6. Lời giải Chọn A
. Hàm số xác định với mọi x Î  . Theo giả thiết ta phải có
x - x + x - (x- ) 1 ( 2 3 2 x + 2 2 2 ) 3+ m = f ( )
1 = lim f (x) = lim = lim = lim( 2
x + 2) = 3  m = 0. x 1  x 1  x 1  x 1 x -1 x 1  - ìï x -1 ï Câu 3: ï khi 1 ¹
Tìm giá trị thực của tham số x
k để hàm số y = f (x) = í x -1
liên tục tại x = 1.
ïïïk +1 khi x =1 ïî A. 1 k = . B. k = 2. C. 1 k = - . D. k = 0. 2 2 Lời giải Chọn C
Hàm số f (x) có TXĐ: D =[0;+ )
¥ . Điều kiện bài toán tương đương với Ta có: - k + = y( ) x 1 1 1 1 1 1 = lim y = lim = lim =  k = - . x 1  x 1  x 1 x -1  x +1 2 2 ìï 3- x ï khi 3 ¹ Câu 4: x ï
Biết rằng hàm số f (x)= í x +1-2
liên tục tại x = 3 (với ï
m là tham số). Khẳng ïm ï khi 3 x ïî =
định nào dưới đây đúng? A. m Î( 3; - ) 0 . B. m £ -3. C. m Î[0; ) 5 . D. m Î[5;+ ) ¥ . Lời giải Chọn B
Hàm số f (x) có tập xác định là ( 1 - ;+ )
¥ . Theo giả thiết ta phải có (3- x) 3 + + - x ( x 1 )2 m = f ( )
3 = lim f (x) = lim = lim = -lim( x +1+ ) 2 = -4. x3 x3 x3 x3 x +1 - 2 x -3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 364
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï 1 2 ï Câu 5: x sin khi 0 x ¹
Tìm giá trị thực của tham số ï
m để hàm số f (x ) = í x
liên tục tại x = 0. ïm ïï khi 0 x = î A. m Î( 2; - - ) 1 . B. m £ -2. C. m Î[ 1; - 7). D. m Î[7;+ ) ¥ . Lời giải Chọn C
Với mọi x =/ 0 ta có 0 £ f (x) 1 2 2 = x sin
£ x  0 khi x  0 ¾¾
 lim f (x) = 0. x x0
Theo giải thiết ta phải có: m = f (0)= lim f (x)= 0. x0 ìïtan x ï Câu 6: sin khi 0 x ¹ Biết rằng lim x =1. Hàm số ï
f (x ) = í x
liên tục trên khoảng nào sau đây? x0 x ï0 ïï kh i x = 0 î æ ö æ ö æ ö A. p ç p p p ç0; . ÷÷ ç ÷ ç ÷ ç B. ç ; -¥ ÷. C. - ç ; ÷. D. ( ; -¥ ) +¥ . è 2 ÷ø çè 4 ÷ø çè 4 4÷ø Lời giải Chọn A Tập xác định: ìïp ü ï ï æp 3p ö
æ p pö æp 3pö ï
D =   í + kp | k Î ý  = ç ç +k ; p + kp÷÷ = Èç- ç ; ÷÷Èç ÷ ç + ÷È ïïî2 ï ç ÷ ï è ø ç ÷ è ø ç ÷ è ø þ k Î 2 2 2 2 2 2 Ta có f (x) tan x sin x 1 1 lim = lim = lim . = 1. = 1= / 0 = f (0) ¾¾
f (x) không liên tục tại x0 x0 x0 x x cos x cos 0 x = 0. ìïsin px ï Câu 7: sin khi 1 x Biết rằng lim
x =1. Tìm giá trị thực của tham số ï ¹
m để hàm số f (x ) = í x -1 x0 x ïm ïï khi 1 x = î
liên tục tại x = 1. A. m = p - .
B. m = p. C. m = 1. - D. m =1. Lời giải Chọn A
Tập xác định D = .
 Điều kiện bài toán tương đương với = ( ) = ( ) sin p 1 lim =lim x m f f x x 1  x 1  x -1
sin(px -p + p) -sin p(x - ) 1 é sin p(x - )ù (ê p) 1 lim lim lim . ú = = = - ( ) * . ê ú x 1  x 1  x 1 x -1 x -1  p(x - ê ) 1 ë úû Đặt sin t
t = p(x - )
1 thì t  0 khi x  1. Do đó (*) trở thành: m = lim( p - ). = - . p t 0 t
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 365
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Câu 8: sin Biết rằng lim
x =1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số x0 x 1 ìï + cos x ï khi x ¹ p ïï
f (x ) = í (x - p)2
liên tục tại x = . p ïïm ï khi x = p ïî A. p p m = . B. m = - . C. 1 m = . D. 1 m = - . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
. Hàm số xác định với mọi x Î  . Điều kiện củz bài toán trở thành: 2 æ ö é æ öù x p p 2 x x 2 2cos 2sin ç ÷ ç - ÷ êsinç ÷ + ç ÷ ç - ÷ú è ø ê ç ÷ è øú
m = f (p) = lim f (x) 1 cos x 2 2 2 1 2 2 = lim = lim = lim = lim ê ú ( ) * xp
xp ( -p)2
xp ( -p)2 xp ( -p)2
2 xp ê æ x x x x pö ú ê ç ÷ ç - ÷ ú ê çè2 2÷ø ú ë û 2 æ ö Đặt x p 1 sin t 1 1 t =
-  0 khi x  1. Khi đó (*) trở thành: 2 m = limç ÷ ç ÷ = .1 = . 2 2 ç ÷ t0 2 è t ø 2 2 3 ìï khi x = 1 ï - ïï 4 Câu 9: x + x
Hàm số f (x)= ïí khi x ¹ 1
- , x ¹ 0 liên tục tại: 2 ï x + x ïï1ïï khi x = 0 ïî
A. mọi điểm trừ x = 0, x =1.
B. mọi điểm x Î . 
C. mọi điểm trừ x = -1.
D. mọi điểm trừ x = 0. Lời giải Chọn B
Hàm số y = f (x) có TXĐ: D =  .
Dễ thấy hàm số y = f (x) liên tục trên mỗi khoảng ( ; -¥ - ) 1 ,( 1 - ;0) và (0; ) +¥ .
(i) Xét tại x = -1 , ta có + x(x + ) 1 ( 2 4 x - x x x + ) 1 lim f (x) = lim = lim = lim ( 2
x - x +1 = 3 = f 1 - . 2 ) ( ) x 1 - x 1 - x 1 x + x - x(x + ) x 1 1 - ¾¾
 hàm số y = f (x) liên tục tại x = -1 .
(ii) Xét tại x = 0 , ta có x(x + ) 1 ( 2 4 x - x x x + + )1 lim f (x) = lim = lim = lim( 2
x - x +1 = 1 = f 0 . 2 ) ( ) x0 x0 x0 x + x x(x + ) x0 1 ¾¾
 hàm số y = f (x) liên tục tại x = 0 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 366
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 0, ìï 5 khi x = -1 ïïïïx(x+ )1
Câu 10: Số điểm gián đoạn của hàm số ï f (x ) = í
khi x ¹ -1, x ¹ 1 là: 2 ï x -1 ïï1ï khi x = 1 ïïî A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B
. Hàm số y = f (x) có TXĐ D =  . x (x + ) 1
Hàm số f (x) =
liên tục trên mỗi khoảng ( ; -¥ - ) 1 , (-1; ) 1 và (1;+¥) . 2 x -1 x(x + ) 1 (i) Xét tại x 1
x = -1 , ta có lim f (x) = lim = lim = = f (- ) 1 ¾¾  Hàm số liên tục 2 x 1 - x-1 x-1 x -1 x -1 2 tại x = -1. ìï x(x + ) 1 ïïlim ( )= lim = lim x f x = +¥ + + 2 + ï (ii) Xét tại x 1  x 1  ï - x 1 x 1  x -1 x = 1 , ta có í ¾¾
 Hàm số y = f (x) gián ï x(x + ï ) ï ( ) 1 lim = lim = lim x f x = -¥ ï - - 2 - ïx 1  x 1  î - x 1 x 1  x -1 đoạn tại x = 1 .
Dạng 3. Hàm số liên tục trên một khoảng 1. Phương pháp
Hàm số y  f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số y  f x được gọi là liên tục trên đoạn a,b 
 nếu nó liên tục trên a,b và
lim f(x)  f(a), lim f(x)  f(b .) x a x b  
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng x 1
Ví dụ 1: Cho hàm số f x 2  . f x 2
Khi đó   liên tục trên các khoảng nào sau đây? x  5x  6 A. 3;2. B. 3;. C.  ;3  . D. 2;3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D   2 x 1 f x      f x 2;3 . 2 không liên tục tại x 2; x
3, suy ra   liên tục trên khoảng   x  5x  6
Ví dụ 2: Hàm số nào dưới đây liên tục trên  ? 3x 1 A. y  .   2 B. y 3 tan x. 1 x 4  x 3  2x C. y  . D. y  . 2 2  1 x 1 sin x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 367
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Ta có định lí: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên từng khoảng xác định.
Do đó: Phương án A sai vì tập xác định là  \ 1;  1 . 
Phương án B sai vì tan x chỉ xác định khi x   k ,  k  .  2 
Phương án D sai vì 1  sin x  0 , nghĩa là hàm số chỉ xác định khi x    k2 ,  k  .  2
Phương án C đúng vì hàm số có tập xác định là D   nên nó liên tục trên .
Ví dụ 3: Hàm số nào dưới đây liên tục trên 0;? sin x  2 3  2x 2 A. y  x 1. B. y  . y  . y  x  x. 2 C. D. x 1 x 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
 Tập xác định của hàm số y  x 1 là 1;   
 suy ra y không liên tục trên 0;. sin x  2
 Tập xác định của hàm số y   \ 1;1 0; . 2 là
  suy ra y không liên tục trên   x 1 3  2x
 Tập xác định của hàm số y 
là 1;. Suy ra y liên tục trên 1;. Mặt khác x 1
1;  0; nên y cũng liên tục trên 0;.  2
Tập xác định của hàm số y  x  x là  ;0    1  ;  
. Suy ra y không liên tục trên 0;.
Ví dụ 4: Hàm số y  tan x.cot x liên tục trên khoảng nào dưới đây?        A.  0; . B.  ;  . C. 0;. D.   ; .  2   2 2  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A x  1 k  
Hàm số y  tan x.cot x xác định khi  ;  1 k ,k2  .  x   k2  2   
Do đó trong bốn khoảng của đề bài thì chỉ có  0; 2  thỏa điều kiện xác định của hàm số   y   
 tanx.cot x.Nghĩa là nó liên tục trên 0; .  2  tanx  vôùi x  0
Ví dụ 5: Cho hàm số f x   x
. Hàm số f x liên tục trên các khoảng nào sau đây? 0 vôùi x  0           A.  0; . B.  ;  . C.   ; .. D.  ;  .  2   4   4 4  Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 368
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ĐÁP ÁN A tan x lim 
 1  f 0  0. Hàm số f x gián đoạn tại x  0 và x   k ,
 suy ra f x liên tục trên x0 x 0 0 2    khoảng  0; .  2   2 2 a x vôùi x  2, a
Ví dụ 6: Cho hàm số f x  
Giá trị của a để f x liên tục trên  là: 2  a . 2 x vô ùi x  2 A. 1 và 2. B. 1 và 1  . C. 1  và 2. D. 1 và 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D lim f x 2
 2a  lim f x  22  a  f  2   x 2 x 2 2 2 a  1
 a  2  a  a  a  2  0   . a  2 
3. Bài tập trắc nghiệm 2 2 ìï £ Câu 1: m x khi 2 x
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số ï
m để hàm số f (x ) = liên tục ( íï 1-m ï )x khi x > 2 î trên  ? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A
. TXĐ: D =  . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( ;2 -¥ ); (2; ) +¥ .
Khi đó f (x) liên tục trên   f (x) liên tục tại x = 2
 lim f (x) = f (2)  lim f (x) = lim f (x) = f (2). ( ) * x 2 + -  x 2 x 2 ìïï f (2) 2 = ï 4m é ï m = -1 ï ê
Ta có ïílim f (x)= lim (é1-m)xù = 2(1-m) ¾¾ ( ) 2
*  4m = 2(1-m)  ê + + 1 . ë û ïx2 x 2 êm = ïï êë ï f ï (x) 2 2 2 2 lim = lim m x = 4m - - ïîx2 x 2 ìï Î Câu 2: x khi x 0;4 Biết rằng hàm số ï f (x ) [ ] = í
tục trên [0;6]. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 ï +m khi x Î ï (4;6] î A. m < 2.
B. 2 £ m < 3.
C. 3 < m < 5. D. m ³ 5. Lời giải Chọn A
Dễ thấy f (x) liên tục trên mỗi khoảng (0;4) và (4;6) . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
[0;6] khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 4, x = 0, x = 6 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 369
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ìïïlim f (x)= f (0) + ïx0 ï
Tức là ta cần có ïïílim f (x)= f (6) . ( ) * - ïx6
ïïïlim f (x)= lim f (x)= f (4) ï - + ïîx4 x 4 ìïlim f ï (x)= lim x = 0 + + ïx0 x 0 · í ; ïï f (0)= 0 = 0 ïî
ìïlim f (x)= lim (1+m)=1+m ï - - ïx6 x 6 · í ; ïï f (6)=1+m ïî ìïlim f ï (x) = lim x = 2 - ïx4 - x 4 ïï li
· í m f (x) = lim (1+ m) = 1+ m ; + + ïx4 x 4 ïïïf (4)=1+m ïïî Khi đó ( )
* trở thành 1+ m = 2  m = 1 < 2. 2 ìïx -3x + 2 ïï khi x ¹ 1
Câu 3: Có bao nhiêu giá trị của tham số ï
a để hàm số f (x ) = í x -1 liên tục trên ïïaï khi x = 1 ïî .  A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn C
Hàm số f (x) liên tục trên ( ) ;1 -¥
và (1;+¥). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên  khi
và chỉ khi nó liê tục tại x =1, tức là ta cần có
lim f (x) = f ( )
1  lim f (x) = lim f (x) = f ( ) 1 . ( ) * x 1 + -  x 1  x 1 
ìïx -2 khi x>1 ì ï
ïlim f (x) = lim (2 - x) = 1 ï ï Ta có - - ï ï   f (x ) x 1 x 1 = a í khi 1 x = ¾¾ í ¾¾ ( ) * không tỏa mãn với ï ï ï
lim f (x) = lim (x -2) = - ï 1 2
ï - x kh i x <1 + + ïîx 1  x 1  ïî mọi a Î .
 Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu. 2 ìï x -1 ïï khi 1 ¹ Câu 4: x Biết rằng ï
f (x ) = í x -1
liên tục trên đoạn [0; ] 1 (với ï
a là tham số). Khẳng định ïa ï khi 1 x ïî =
nào dưới đây về giá trị a là đúng?
A. a là một số nguyên. B. a là một số vô tỉ. C. a > 5. D. a < 0. Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 370
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Hàm số xác định và liên tục trên [ )
0;1 . Khi đó f (x) liên tục trên [0; ] 1 khi và chỉ khi
lim f (x) = f ( ) 1 . ( ) * - x 1  ìï f ( ) 1 = a ï Ta có ïï 2 í - ¾¾  *  a = 4. ï é ù ï f (x ) x 1 lim = lim = lim (x + ê ) 1 + = ú - - - ( x ) ( ) 1 4 ïx 1  x 1  x 1 ïî x 1  ë û - ìï x -1 ï khi 1 < Câu 5: x ï
Xét tính liên tục của hàm số f (x)= í 2- x -1
. Khẳng định nào dưới đây đúng? ï- ïï 2x khi x ³1 ïî
A. f (x) không liên tục trên . 
B. f (x) không liên tục trên (0;2).
C. f (x) gián đoạn tại x = 1.
D. f (x) liên tục trên .  Lời giải Chọn D ìïïïïïf ( )1=-2 ïï
Ta có ïílim f (x)= lim (-2x)= 2 - ¾¾
f (x) liên tục tại x = 1. + + ïx 1  x 1  ïïï - ï é ù ï f (x ) x 1 lim = lim = lim - - + = - ê ú - - - ( 2 x )1 2 ïx 1  x 1  x 1 ïî 2 x 1  ë û - -
Vậy hàm số f (x) liên tục trên .  2 ìï x -5x +6 ïï khi 3 > Câu 6: x
Tìm giá trị nhỏ nhất của ï
a để hàm số f (x ) = í 4x -3 - x
liên tục tại x = 3 . ïï 2 1 ï a x khi x 3 ïî - £ A. 2 - . B. 2 . C. 4 - . D. 4 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
Điều kiện bài toán trở thành: lim f (x)= lim f (x)= f (3). ( ) * + - x 3 x 3 ìï f (3) 2 = 1-3a ïïïï 2 ï (x -2) ï - + ( 4x -3 5 6 + x x x )
Ta có ílim f (x)= lim = lim = -3 + + + ïx3 x 3 x 3 ï 4x -3 - x 1- x
ïïïlim f (x)= lim - = - ï - - ( 2 1 a x) 3 1 3a . ïx3 x 3 î ¾¾ ( ) 2 2 *  a =  ¾¾ a = - . min 3 3 ì 3 ï 3x + 2 -2 ïï khi 2 x > ï
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất của ï x - 2
a để hàm số f (x ) = í
liên tục tại x = 2. ïï 1 2 a ï x + khi 2 x £ ïïî 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 371
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. a = 3. B. a = 0. C. a = 1. D. a = 2. max max max max Lời giải Chọn C
Ta cần có lim f (x)= lim f (x)= f (2). ( ) * + - x 2 x 2 ìïï f (2) 7 2 = 2a - ïï 4 ïïï 3 Ta có ï + - ïí f (x ) 3x 2 2 1 lim = lim = ¾¾ ( ) *  a = 1 ¾¾ a = 1. + + max ïx2 x 2 x - 2 4 ïïï æ ö ïïlim f (x) 1 7 2 2 = lim ç ï ça x ÷ + ÷ = 2a - - - ç ÷ ïx2 x 2 è 4 ø 4 ïî 1 ìï -cos x khi x £ 0
Câu 8: Xét tính liên tục của hàm số ï f (x ) = í
. Khẳng định nào sau đây đúng? ïï x +1 khi x > 0 î
A. f (x) liên tục tại x = 0.
B. f (x) liên tục trên (-¥ ) ;1 .
C. f (x) không liên tục trên . 
D. f (x) gián đoạn tại x = 1. Lời giải Chọn C
Hàm số xác định với mọi x Î  .
Ta có f (x) liên tục trên ( ;0 -¥ ) và (0; ) +¥ . ìïïïf (0)=1 ïï
Mặt khác ïílim f (x)= lim (1-cos x)=1-cos0 = 0 ¾¾
f (x) gián đoạn tại x = 0. - - ïx0 x 0
ïïïïlim f (x)= lim x+1= 0+1=1 + + ïîx0 x 0 ìï px ï £ Câu 9: x
Tìm các khoảng liên tục của hàm số ï f (x ) cos khi 1 = í 2
. Mệnh đề nào sau đây là
ïïïx -1 khi x >1 ïî sai?
A. Hàm số liên tục tại x = -1 .
B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( , -¥ - ) 1 ; (1;+ ) ¥ .
C. Hàm số liên tục tại x = 1 .
D. Hàm số liên tục trên khoảng (-1, ) 1 . Lời giải Chọn A
Ta có f (x) liên tục trên ( ; -¥ - ) 1 , ( 1 - ; ) 1 , (1;+ ) ¥ .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 372
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï æ pö ïï f (- ) 1 = cosç ÷ - ç ÷ = 0 ï ç ÷ · Ta có è 2 ø í ¾¾
f (x) gián đoạn tại x = -1. ïï lim f ï (x)= lim (x - ) 1 = -2 - - ïx (  - ) 1 x (  - ) 1 ïî ìïï p ï f ( ) 1 = cos = 0 ïï 2 ï
· Ta có ïílim f (x) = lim (x - ) 1 = 0 ¾¾
f (x) liên tục tại x = 1. + + ïx 1  x 1  ïïï p ïïlim x f (x ) = lim cos = 0 - - ïx 1  x 1  ïî 2
Câu 10: Hàm số f (x) có đồ thị như hình bên không liên tục tại y
điểm có hoành độ là bao nhiêu? 3 A. x = 0. 1 x B. x = 1. O 1 2 C. x = 2. D. x = 3. Lời giải Chọn B
Dễ thấy tại điểm có hoành độ x = 1 đồ thị của hàm số bị '' đứt ''
nên hàm số không liên tục tại đó.
Cụ thể: lim f (x)= 0 =/ 3 = lim f (x) nên f (x) gián đoạn tại x =1. + - x 1  x 1  2 ìïx ïï khi 1 x < , x ¹ 0 ïï x Câu 11: ï Cho hàm số ï f (x ) = 0 í k hi x = 0
. Hàm số f (x) liên tục tại: ïïïï x khi 1 x ³ ïïïî
A. mọi điểm thuộc  . B. mọi điểm trừ x = 0 .
C. mọi điểm trừ x = 1 . D. mọi điểm trừ x = 0 và x = 1 . Lời giải Chọn A
Hàm số y = f (x) có TXĐ: D =  .
Dễ thấy hàm số y = f (x) liên tục trên mỗi khoảng ( ;0 -¥ ),(0; ) 1 và (1; ) +¥ .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 373
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìïïïf (0)=0 ïïï 2 ï
Ta có ïílim ( )= lim x f x = lim x = 0 ¾¾
f (x) liên tục tại x = 0. - - - ïx0 x 0 x 0 x ïï 2 ïïïlim ( )= lim x f x = lim x = 0 ï + + + ïx0 x 0 x 0 î x ìïï f ( )1=1 ïï 2 ï
Ta có ïílim ( )= lim x f x = lim x = 1 ¾¾
f (x) liên tục tại x = 1. - - - ïx 1  x 1  x 1 x
ïïïïlim f (x)= lim x =1 ï + + ïîx 1  x 1 
Vậy hàm số y = f (x) liên tục trên  . 2 ìïx -1 ïï
khi x < 3, x ¹ 1 ïï x -1 Câu 12: ï Cho hàm số ï f (x ) = í4 khi x = 1
. Hàm số f (x) liên tục tại:
ïïïï x+1 khi x ³3 ïïïî
A. mọi điểm thuộc  . B. mọi điểm trừ x = 1 .
C. mọi điểm trừ x = 3 . D. mọi điểm trừ x = 1 và x = 3 . Lời giải Chọn D
Hàm số y = f (x) có TXĐ: D =  .
Dễ thấy hàm số y = f (x) liên tục trên mỗi khoảng (-¥ ) ;1 ,(1; ) 3 và (3; ) +¥ . ìï f ( ) 1 = 4 ï Ta có ï 2 í ¾¾  f (x) -
gián đoạn tại x = 1. ïï f (x ) x 1 lim = lim = lim (x + ) 1 = 2 ï x 1  x 1  x 1 ïî x -1  ìï f (3)= 2 ï Ta có ï 2 í ¾¾  f (x) -
gián đoạn tại x = 3. ïï f (x ) x 1 lim = lim = lim (x + ) 1 = 4 - - - ïx3 x 3 ïî - x 3 x 1 2
ìï x khi x < 0 ï Câu 13: ï
Số điểm gián đoạn của hàm số ï h(x ) 2
= íx +1 khi 0 £ x £ 2 là:
ï3ïïx -1 khi x >2 ïî A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn A
Hàm số y = h(x) có TXĐ: D =  .
Dễ thấy hàm số y = h(x) liên tục trên mỗi khoảng ( ;0 -¥ ),(0;2) và (2; ) +¥ .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 374
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 h ìï (0)=1 Ta có ïí ¾¾
f (x) không liên tục tại x = 0 .
ï lim h(x) = lim 2x = 0 ï - - ïîx0 x 0 ìïh ï (2)= 5 ïï
Ta có ïïílim h(x)= lim + = ¾¾ 
liên tục tại x = 2 . - - ( 2 x ) 1 5 f (x ) ïx2 x 2
ïïïlim h(x)= lim (3x- )1=5 ï + + ïîx2 x 2 2 ìïx + x khi 1 x < ï Câu 14: ï Tính tổng ï
S gồm tất cả các giá trị m để hàm số f (x ) = 2 í
khi x = 1 liên tục tại x = 1 . ïï 2 m ï x +1 khi x > 1 ïî A. S = -1. B. S = 0. C. S =1. D. S = 2. Lời giải Chọn B
Hàm số xác định với mọi x Î  .
Điều kiện bài toán trở thành lim f (x)= lim f (x)= f ( ) 1 . ( ) * + - x 1  x 1  ìïïïf ( )1=2 ïï
Ta có ïílim f (x)= lim + = + ¾¾   + = + + ( 2 m x ) 2 1 m 1 ( ) 2 * m 1 2 ïx 1  x 1 
ïïïïlim f (x)= lim + = - - ( 2 x x ) 2 ïîx 1  x 1   m = 1 ¾¾ S = 0. ì-
ï x cos x khi x < 0 ïïï 2 Câu 15: ï x Cho hàm số ï f (x ) = í
khi 0 £ x <1. Hàm số f (x) liên tục tại: 1 ï + x ïïï 3 ïx khi x ³1 ïî
A. mọi điểm thuộc x Î . 
B. mọi điểm trừ x = 0.
C. mọi điểm trừ x = 1. D. mọi điểm trừ x = 0; 1 x = . Lời giải Chọn C
Hàm số y = f (x) có TXĐ: D =  .
Dễ thấy f (x) liên tục trên mỗi khoảng ( ;0 -¥ ),(0; ) 1 và (1; ) +¥ . ìïïïïïf (0)=0 ïï
Ta có ïílim f (x)= lim (-x cos x)= 0 ¾¾
f (x) liên tục tại x = 0 . - - ïx0 x 0 ïï 2 ïïïlim ( )= lim x f x = 0 ï + + x 0 x 0 ïî 1+ x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 375
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìïï f ( )1=1 ïïï 2 ï Ta có ïí f (x ) x 1 lim = lim = ¾¾
f (x) không liên tục tại x = 1 . - - ïx 1  x 1  1+ x 2
ïïïï lim f (x) 3 = lim x = 1 ï + + x 1  ïî x 1 
Dạng 4. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp
 Chứng minh phương trình f x  0 có ít nhất một nghiệm
- Tìm hai số a và b sao cho f a.f b  0
- Hàm số f x liên tục trên đoạn a;b  
- Phương trình f x  0 có ít nhất một nghiệm x0 a;b
 Chứng minh phương trình f x  0 có ít nhất k nghiệm
- Tìm k cặp số ai,bi sao cho các khoảng ai;bi  rời nhau
f(ai)f(bi)  0, i 1,...,k
- Phương trình f x  0 có ít nhất một nghiệm xi ai;bi .
 Khi phương trình f x  0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : -
f a, f b không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
- Hoặc f a, f b còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x  
1 x  2  2x 1 0. Hướng dẫn giải
Đặt f x  m x   1 x  2  2x 1.
Tập xác định: D   nên hàm số liên tục trên . Ta có: f  
1  3; f 2  3  f   1 .f 2  0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m. 2 x  4 x 0;2   
Ví dụ 2: Cho hàm số f x  
. Phương trình f x  7 có bao nhiêu nghiệm?
x  42  6 x2;4   Hướng dẫn giải  2
Xét phương trình: x  4  7 trên 0;2    2 2 x  3 (nhaän)
Ta có: x  4  7  x  3   x   3 (loaïi)
 Xét phương trình:   2
x 4  6  7 trên 2;4   x  3 (nhaän) Ta có:   2 2
x 4  6  7  x  8x 15  0   x  5 (loaïi)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 376
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vậy phương trình f x  7 có đúng hai nghiệm.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Cho hàm số f (x) 3 = 4
- x + 4x -1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho liên tục trên . 
B. Phương trình f (x)= 0 không có nghiệm trên khoảng (-¥ ) ;1 .
C. Phương trình f (x)= 0 có nghiệm trên khoảng (-2;0). æ ö
D. Phương trình f (x)= 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 1 çç 3; - . ÷÷ ç è 2÷ø Lời giải Chọn B
(i) Hàm f (x) là hàm đa thức nên liên tục trên  ¾¾  A đúng. ìï f (- ) 1 = 1 - < 0 (ii) Ta có ïí ¾¾
f (x) = 0 có nghiệm -2;1 , mà ï 1 x trên ( ) f (-2) = 23 > ï 0 î ( 2 - ;- ) 1 Ì( 2; - ) 0 Ì(- ; ¥ ) 1 ¾¾
 B sai và C đúng ìï f (0)= -1< 0 ï æ ö (iii) Ta có ïïí æ ç ÷ 1ö 1 ¾¾
f (x) = 0 có nghiệm ç
÷ Kết hợp với (1) suy ra ï 2 x thuộc 1 0; . ç ÷ ï f ç ÷ ç ÷ = > 0 è 2ø ï çè2÷ø 2 ïî 1
f (x) = 0 có các nghiệm x , -3 < x < 1 - < 0 < < ¾¾  D đúng. 1 2 x thỏa: 1 2 x 2
Câu 2: Cho phương trình 4 2
2x -5x + x +1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( 1; - ) 1 .
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (-2;0).
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng ( 2; - ) 1 .
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2). Lời giải Chọn D Hàm số f (x) 4 2
= 2x -5x + x +1 là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên  . Ta có ìï f (0)=1 (i) ïí  f (- ) 1 . f (0)< 0 ¾¾
f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm 1 - ;0 . ï 1 x thuộc ( ) ï f (- ) 1 = 3 - î ìï f (0)=1 (ii) ïí  f ( ) 0 . f ( ) 1 < 0 ¾¾
f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm 0;1 . ï 2 x thuộc ( ) f ( ) 1 = 1 - ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 377
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï f ( ) 1 = 1 - (iii) ïí  f ( ) 1 . f (2)< 0 ¾¾
f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm 1;2 . ï 3 x thuộc ( ) f (2) = ï 15 î
Vậy phương trình f (x)= 0 đã cho có các nghiệm x , x , 1 2 3 x thỏa
-1< x < 0 < x <1< x < 2 1 2 3 Câu 3: Cho hàm số 3
f (x ) = x - 3x -1 . Số nghiệm của phương trình f (x ) = 0 trên  là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D Hàm số f (x) 3
= x -3x -1 là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên  . Do đó
hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( 2; - - ) 1 , ( 1 - ;0), ( 0;2). Ta có ìï f ( 2 - ) = -3 · ïí  f ( 2 - ) f (- ) 1 < 0 ¾¾ ( )
1 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 2; - - ) 1 . ï f (- ) 1 = ï 1 î ìï f (- ) 1 = 1 · ïí  f (- ) 1 f (0)< 0 ¾¾ ( )
1 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1; - 0). ï f (0)= 1 - ïî ìï f (2)=1 · ïí
f (2) f (0)< 0 ¾¾ ( )
1 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2). ïï f (0)= -1 î Như vậy phương trình ( )
1 có ít nhất ba thuộc khoảng (-2;2) . Tuy nhiên phương trình
f (x) = 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f (x ) = 0 có đúng nghiệm trên . 
Cách CASIO. (i) Chọn MODE 7 (chức năng TABLE) và nhập: 3
F ( X ) = X - 3X -1.
(ii) Ấn “=” và tiếp tục nhập: Start « 5
- (có thể chọn số nhỏ hơn).
End « 5 (có thể chọn số lớn hơn).
Step «1 (có thể nhỏ hơn, ví dụ 1 ). 2
(iii) Ấn “=” ta được bảng sau:
Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a b (a < b) sao cho tương ứng bên cột F(X ) nhận
các giá trị trái dấu, khi đó phương trình có nghiệm ( ;
a b) . Có bao nhiêu cặp số a, b như
thế sao cho khác khoảng ( ;
a b) rời nhau thì phương trình f (x) = 0 có bấy nhiêu nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 378
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 4: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [-1;4] sao cho f (- )
1 = 2 , f (4) = 7 . Có thể nói gì về
số nghiệm của phương trình f (x)= 5 trên đoạn [-1;4]: A. Vô nghiệm.
B. Có ít nhất một nghiệm. C. Có đúng một nghiệm.
D. Có đúng hai nghiệm. Lời giải Chọn B
Ta có f (x)= 5  f (x)-5 = 0 . Đặt g(x)= f (x)-5. Khi đó ìïg(- ) 1 = f (- ) 1 -5 = 2 -5 = 3 - ïí  g(- ) 1 g(4)< 0.
ïg(4)= f (4)-5 = 7-5 = ï 2 î
Vậy phương trình g(x)= 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình
f (x ) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) .
Câu 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-10;10) để phương trình 3 2
x -3x +(2m -2) x + m -3 = 0 có ba nghiệm phân biệt x , x , x < -1 < < 1 2 x thỏa mãn 3 1 x2 x3 ? A. 19. B. 18. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn C
Xét hàm số f (x) 3 2
= x -3x +(2m -2)x +m -3 liên tục trên  .
● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x , x , x < -1 < < . Khi đó 1 2 x sao cho 3 1 x2 x3
f (x) = (x - x - - . 1 )(x x2 )(x x3 ) Ta có f (- ) 1 = ( 1 - - x -1- x
-1- x > 0 (do x < -1 < < ). 1 )( 2 )( 3 ) 1 x2 x3 Mà f (- ) 1 = m - -5 nên suy ra m
- -5 > 0  m < -5.
● Thử lại: Với m < -5 , ta có
▪ lim f (x)= -¥ nên tồn tại a < -1 sao cho f (a)< 0 . ( ) 1 x -¥
▪ Do m < -5 nên f (- ) 1 = m - -5 > 0 . (2)
f (0)= m -3 < 0 . ( ) 3
▪ lim f (x)= +¥ nên tồn tại b > 0 sao cho f ( ) b > 0 . (4) x +¥ Từ ( )
1 và (2) , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( ; -¥ - ) 1 ; Từ (2) và (3), suy
ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 1;
- 0) ; Từ (3) và (4) , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; ) +¥ .
Vậy khi m < -5 thỏa mãn mÎ
¾¾¾¾ m Î {-9;-8;-7;-6}. m ( Î -10;10)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 379
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133