Phương pháp giải bài 3 So sánh phân số Toán 6 Chân trời sáng tạo

§ 3: SO SÁNH PHÂN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Quy tắc 1: Với hai phân số có cùng một mẫu dương. Phân số nào có tử số nhỏ hơn thì phân
số đó nhỏ hơn, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
2. Quy tắc 2: Để so sánh hai phân số khác mẫu số, ta viết hai phân số đó ở dạng hai phân số có
cùng một mẫu dương rồi so sánh hai phân số mới nhận được.
3. Khi so sánh phân số ta có thể áp dụng tính chất bắc cầu. Nghĩa là: a c c e a e Nếu  và  thì  . b d d g b g
4. Nhờ so sánh hai phân số, ta có thể sắp xếp các phân số và cả số nguyên theo thứ tự tăng dần hay giảm dần.
5. Nhận xét: a) Phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm. Phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương.
b) Theo tính chất bắc cầu, phân số âm nhỏ hơn phân số dương.
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN.
DẠNG 1: So sánh hai phân số cùng mẫu Phương pháp giải
Để so sánh hai phân số cùng mẫu, ta làm như sau:
Bước 1: Đưa hai phân số đã cho về dạng phân số có cùng mẫu dương (nếu cần).
Bước 2: So sánh các tử của hai phân số mới và kết luận.
Bài 1.So sánh các cặp phân số sau: 17 19 −7 5 78 77 a) và b) và c) và 217 217 18 18 − 39 − 39 − 17 19
Hướng dẫn: a) Ta có 17  19   . 217 217 5 5 − 7 − 5 − 7 − 5 b) Ta có: = . Mà 7 −  5 −     . 1 − 8 18 18 18 18 1 − 8 78 7 − 8 77 7 − 7 7 − 8 7 − 7 c) Ta có: = ; = . Mà 7 − 8  7 − 7   . 3 − 9 39 3 − 9 39 39 39
Bài 2. Điển số thích hợp vào chỗ trống. 5 8 a)    11 11 11 11 1 − 5 1 − 1 b)     . 1991 1991 1991 1991 1991 23 26 c)    7 − 7 − 7 − 7 − . 5 6 7 8 Hướng dẫn: a)    11 11 11 11 15 − 14 − 13 − 12 − 11 − b)     . 1991 1991 1991 1991 1991 Trang 1 23 24 25 26 c)    7 − 7 − 7 − 7 − . Bài 3. 3 5 − 15 2 − 3
a) So sánh các phân số sau với 0: ; ; ; 14 13 1 − 3 1 − 4 11 1 − 8 2 − 9 2 − 011
b) So sánh các phân số sau với 1: ; ; ; 15 2 − 3 1 − 3 2010 1 − 1 19 2 − 3 2 − 012
c) So sánh các phân số sau với – 1: ; ; ; . 15 7 − 2 − 7 1994 − − Hướng dẫn: 3 5 15 23 23 a)  0;  0;  0; =  0 . 14 13 1 − 3 1 − 4 14 11 b) 1(Vì 1115 ) 15 1 − 8 18 = 1(Vì 18  23) 2 − 3 23 2 − 9 29 = 1 (Vì 29 13) 1 − 3 13 2011 −  0 1 2010 −11 c)  −1 15 19  −1 −7 −23  1 − −27 −
DẠNG 2: So sánh hai phân số không cùng mẫu 2012  −1 1994 Phương pháp giải
Để so sánh các phân số không cùng mẫu, ta có các cách như sau:
Cách 1: Quy đồng mẫu.
Cách 2: So sánh phần bù (hoặc phần hơn) với 1.
Cách 3: Dùng số trung gian.
Bài 4. So sánh các cặp phân số sau: 4 − 17 33 − 42 − a) và . b) và . 7 21 − 44 − 56 − 19 24 − 3x x c) và . d) và . 38 − 96 9 3 4 − 1 − 2 17 1 − 7 1 − 2 1 − 7
Hướng dẫn: a) Ta có: = ; =   . 7 21 2 − 1 21 21 21 3 − 3 33 3 4 − 2 42 3 3 − 3 4 − 2 b) Ta có: = = ; = =  = . 4 − 4 44 4 5 − 6 56 4 44 5 − 6 Trang 2 19 1 − 9 1 − 2 − 4 1 − − − 1 1 c) Ta có: = = ; = 1 1   (Vì 2  4   ). 3 − 8 38 2 96 4 2 4 2 4 3x x d) Ta có: = . 9 3 Bài 5.
a) Thời gian nào dài hơn: 2 giờ hay 3 giờ? 3 4
b) Đoạn thẳng nào ngắn hơn: 7 3 mét hay mét? 10 4 Hướng dẫn: 2 8 3 9 9 8 a) Ta có: h = h ; h = h  h 
h (9  8) . Vậy 2 giờ dài hơn 3 giờ. 3 12 4 12 12 12 3 4 7 14 3 15 b) Ta có: m = m ; m = 15 14 m  m 
m . Vậy đoạn thẳng 7 mét ngắn hơn 3 mét. 10 20 4 20 20 20 10 4
Bài 6. Không cần quy đồng mẫu (hoặc tử), hãy so sánh: 5 − 2 2019 2020 a) và . b) và . 9 3 2018 2021 13 19 91 119 c) và . d) và . 53 75 77 103 − − − Hướng dẫn: 5 2 a) Ta có:  0 và  5 2 5 2 0   0    . 9 3 9 3 9 3 2019 2020 b) Ta có: 1;  2020 2019 2020 2019 1  1   . 2018 2021 2021 2018 2021 2018 13 13 1 19 19 1 13 1 19 13 19 c) Ta có:  = ;  = . Suy ra     . 53 52 4 75 76 4 53 4 75 53 75 91 91 7 119 119 7 119 7 91 119 91 d) Ta có:  = ;  = . Suy ra     . 77 78 6 103 102 6 103 6 77 103 77
Bài 7. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự 7 3 7 − 4 − 9 a) giảm dần ; ; ; ; 11 11 5 5 11 − − b) tăng dần 3 1 156 1 ; ; ; 4 12 149 11 Hướng dẫn:
a)So sánh các phân số dương 7 3 9 3 7 9 ; ; có   11 11 11 11 11 11 − − − − So sánh các phân số âm 7 4 7 4 ; có  5 5 5 5 − −
Phân số âm nhỏ hơn phân số dương nên ta có 7 4 3 7 9     5 5 11 11 11 9 7 3 4 − 7 −
Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là ; ; ; ; 11 11 11 5 5
b)So sánh các phân số dương 1 1 1 1 ; có  12 11 12 11 − − − − − So sánh các phân số âm 3 156 3 1 156 7 ; có = 1 − + ; = 1 − + 4 149 4 4 149 149 1 7 − 3 − 1 − 56 Vì  nên  4 149 4 149 Trang 3 − −
Phân số âm nhỏ hơn phân số dương nên ta có 156 3 1 1    149 4 12 11 1 − 56 3 − 1 1
Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là ; ; ; 149 4 12 11
Bài 8. So sánh các phân số sau: 375.833 + 822 a) và 1. 377.833 − 844 2 133 − 665 45.(13.14 − 26.28) b) và 2 132 − 528 11.(26.28 − 52.56) 2019.2020 −1 2020.2021−1 c) và 2019.2020 2020.2021 8  6 1   1  d)   và   Hướng dẫn:  31 128  375.833 + 822 375.833 + 833 −11 833.(375 + ) 1 −11 833.376 −11 a) Ta có: = = − − − ( − ) = = 1 377.833 844 377.833 833 11 833. 377 1 −11 833.376 − . 11 2 133 − 665 133.133 −133.5 133.(133 − 5) 133 b) Ta có: = = = . 2 132 − 528 132.132 −132.4 132.(132 − 4) 132 45.(13.14 − 26.28) 45.(13.14 −13.14.4) 45.( 3 − ) 135 = = = 11.(26.28 − 52.56) 11.(13.14.4 −13.14.4.4) 11.( 12 − ) 132 133 135 2 133 − 665 45.(13.14 − 26.28) Do đó  hay  132 132 2 132 − 528 11.(26.28 − . 52.56) 2019.2020 −1 1 2020.2021−1 1 c) Ta có: =1− ; =1− 2019.2020 2019.2020 2020.2021 2020.2021 Mà 2019.2020  2020.2021 1 1   2019.2020 2020.2021 1 1  1−  1− 2019.2020 2020.2021 2019.2020 −1 2020.2021−1 Vậy  . 2019.2020 2020.2021 8 8 8 6 6 1 1  1   1   1  1  1   1  1 d) Ta có:    = =       ; = =     5 40 31 32  31  32   2  2 7 42 128   2  2 8 1 1 1 1  1  Ta thấy: 40 42 2  2        42 40 42 40 2 2 2 2  31 6 8  1   1  Vậy      . 128   31 27 10 +1 28 10 +1
Bài 9. So sánh các phân số sau: M = N = 28 10 + và 1 29 10 + . 1 + 10( 27 27 10 + ) 28 28 1 10 1 10 +10 10 +1 + 9 9
Hướng dẫn: Ta có: M = 10M = = = = 1+ 28 28 28 28 28 10 +1 10 +1 10 +1 10 +1 10 + . 1 Trang 4 + 10( 28 28 10 + ) 29 29 1 10 1 10 +10 10 +1+ 9 9 N = 10N = = = = 1+ . 29 29 29 29 29 10 +1 10 +1 10 +1 10 +1 10 +1 Mà 28 29 28 29 10  10 10 +1  10 +1 9 9 9 9   1+ 1+ 29 28 29 28 10 +1 10 +1 10 +1 10 +1 27 28 10 +1 10 +1   28 29 10 +1 10 +1 . Vậy M  N .  M  N
DẠNG 3 : Tìm x, y, phân số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải
- Biến đổi các phân số về dạng cùng mẫu hoặc cùng tử
-Vận dụng quy tắc so sánh phân số tìm x, y
Bài 10. Cho A = 5; 7;1  3 , B = 6; 8;1  1 . Tìm x  ,
A y  B sao cho: x a) có giá trị nhỏ nhất. y x b) có giá trị lớn nhất. y x
Hướng dẫn: a) Ta có: có giá trị nhỏ nhất nên x có giá trị nhỏ nhất và y có giá trị lớn nhất y x 5
Suy ra: x = 5; y = 11. Vậy = . y 11 x b) Ta có:
có giá trị lớn nhất nên x có giá trị lớn nhất và y có giá trị nhỏ nhất y x 13
Suy ra: x = 13; y = 6 . Vậy = . y 6 3 x 1
Bài 11. Tìm các số nguyên x biết:   . 28 56 4 3 6 1 14 3 x 1 6 x 14
Hướng dẫn: Ta có: = ; = . Nên      mà x  . 28 56 4 56 28 56 4 56 56 56
Suy ra x 6;7;8;....;1  3 .
Bài 12. Tìm các số x , biết * x  thỏa mãn: 5 x 6 x 12 x a)   b)   . x 7 x 13 x 11 5 x 6 5 x x 6
Hướng dẫn: a) Ta có   suy ra 2
  35  x (1); 2
  x  42 (2) x 7 x x 7 7 x Từ (1) và (2) suy ra 2
35  x  42 mà x 
* nên x = 6 thỏa mãn. x 12 x b) Ta có   suy ra 13 x 11 x 12 2   x 156 (1) 13 x 12 x 2   x 132 (2) x 11 Từ (1) và (2) suy ra 2
132  x  156 mà x 
* nên x = 12 thỏa mãn. Trang 5
DẠNG 4: Chứng minh Phương pháp giải
- Biến đổi vế trái, vế phải về dạng đơn giản hoặc cùng mẫu, cùng tử
- Vận dụng quy tắc so sánh để chứng minh
Bài 13. Chứng minh rằng: 1 1 1 A = + + ...+ 1. 1.2 2.3 49.50 Hướng dẫn: 1 1 1 Ta có: A = + + ...+ 1.2 2.3 49.50 1 1 1 1 1 1 A = − + − + ...+ − 1 2 2 3 49 50 1 A = 1− 1. 50 Vậy A 1. +
Bài 14. Cho a, b  , a  b và * c 
. Chứng tỏ rằng: a a c  . b b + c a a (b + c) ab + ac a + c b (a + c) ab + bc
Hướng dẫn: Ta có: = = = = b b (b + c) b (b + ; c) b + c b (b + c) b (b + c)
Mà a  b nên
ac  bc  ab + ac  ab + bc ab + ac ab + bc a a + c     . b(b + c) b (b + c) b b + c
DẠNG 5: Bài toán có lời văn Phương pháp giải
- Đọc hiểu nội dung bài toán
- Vận dụng các quy tắc so sánh phân số - Kết luận 3 13 7 Bài 15. Lớp 6A có
số học sinh thích bóng đá,
số học sinh thích cầu lông, số học sinh thích 5 15 12
bóng chuyền. Hỏi môn nào được nhiều bạn của lớp thích nhất? (Giả sử mỗi bạn chỉ thích một môn thể thao). 3 36 13 52 7 35
Hướng dẫn: Ta có: = ; = ; = 5 60 15 60 12 60 35 36 52 3 7 13 Mà 35  36  52       . 60 60 60 5 12 15
Vậy môn thể thao được nhiều bạn của lớp thích nhất là môn Cầu lông.
Bài 16. Bạn Quân là một người rất thích đi xa đạp vào cuối tuần. Ngày thứ Bảy, bạn đi được 49 km
trong 4 giờ. Ngày Chủ nhât, bạn đi được 37 km trong 3 giờ. Hỏi ngày nào bạn Quân đạp xe nhanh hơn. 49
Hướng dẫn: Vận tốc bạn Quân đi trong ngày thứ bảy là: (km/h). 4 37
Vận tốc bạn Quân đi trong ngày chủ nhật là: (km/h). 3 49 147 37 148 147 148 49 37 Ta có: = ; = mà 147  148   hay  . 4 12 3 12 12 12 4 3
Vậy ngày chủ nhật bạn Quân đạp xe nhanh hơn. Trang 6
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI CÓ ĐÁP SỐ.
Bài 1. So sánh các phân số sau: 13 14 a) và 27 25 13 29 b) và 10 26 HD: 2013 2014 c) và 2014 2015 14 − 31 d ) và 72 −55 13 14 13 29 2013 2014 1 − 4 31 a)  b)  c)  d )  27 25 10 26 2014 2015 72 55 −
Bài 2. Không cần quy đồng mẫu (hoặc tử), hãy so sánh: 5 − 6 2018 2019 a) và . b) và . 8 −7 2019 2020 195 37 − 1717 1111 c) và . d) và . 23 − 97 5151 3030 5 − 2 5 − 2 HD: a)  0    . 9 3 9 3 2020 2019 2020 2019 b) 1   . 2021 2018 2021 2018 1 − 95 3 − 7 1 − 95 3 − 7 c)  1 −    . 23 97 23 97 1717 1111 d)  . 5151 3030 9
Bài 3. a) Khối lượng nào lớn hơn: 7 kilogam hay kilogam? 8 10
b) Vận tốc nào nhỏ hơn: 5 7 km/h hay km/h? 6 9
HD: a) Khối lượng 9 kilogam lớn hơn 7 kilogam. 10 8
b) Vận tốc 5 km/h nhỏ hơn 7 m/h. 6 9
Bài 4. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự 8 14 10 44 5 a) giảm dần ; ; ; ; 18 21 25 77 10 b) tăng dần 35 85 35 79 29 ; ; ; ; 71 13 73 13 13 1 3
Bài 5. Tìm các phân số lớn hơn nhưng nhỏ hơn và có mẫu là 15 . 3 5 6 7 8
HD: Các phân số thỏa mãn bài toán là: ; ; . 15 15 15 x 7 x 7
Bài 6. Tìm năm phân số có dạng mà   . y 11 y 9 Trang 7 x 21 21 21 21 21
HD: Năm phân số cần tìm là  ; ; ; ; . y 32 31 30 29 28 n + n
Bài 7. So sánh các phân số sau: 2 và với * n  . n +11 n +13 + + + Hướng dẫn: n 2 n 2 n n 2 n Ta có:     . n +11 n +13 n +13 n +11 n +13
Bài 8. So sánh các phân số sau : 12 13 a) và 49 47 461 128 b) và 456 123 2003.2004 −1 2004.2005 −1 c) và 2003.2004 2004.2005 n +1 n d) n + và 2 n + (nN*) 3 12 13 HD: a) > 49 47 461 128 b) < 456 123 2003.2004 −1 2004.2005 −1 c) < 2003.2004 2004.2005 n +1 n d) n + > 2 n + (nN*) 3 n n + 2 e) n+ và 1 n + (nN*) 3 n 3n +1 g) 2n+ và 1 6n + (nN*) 3 11 10 −1 10 10 +1 h) 12 10 − và 1 11 10 + 1 58 7 + 2 57 7 + 20 i) 57 7 + và 2 56 7 + 20 n n + 2 e) n+ < 1 n + (nN*) 3 n 3n +1 g) 2n+ < 1 6n + (nN*) 3 11 10 −1 10 10 +1 h) 12 10 − > 1 11 10 + 1 58 7 + 2 57 7 + 20 1 i) giờ, An đi 57 7 + < 2 56 7 +
Bài 9. Bình và An đi xe đạp tới trường cùng tốc độ. Bình đi mất 20 6
mất 2 giờ. Hỏi nhà bạn nào cách xa trường hơn. 15 2 1 HD: Ta có
 . Vậy nhà bạn Bình cách xa trường hơn. 15 6
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trang 8 3 5 − 7 − 6 1 − 2
Câu 1. Trong các phân số sau: ; ; ; ;
, có mấy phân số dương? 4 6 3 13 1 − 7 A.1 B.2 C.3 D.4 4 − 5 5 1 − 5
Câu 2. Trong các phân số sau : ; ; ; ; 2
− , có bao nhiêu phân số âm? 9 12 3 − 4 − A.1 B.2 C.3 D.4
Câu 3. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 − A.  0 4 5 B.  0 8 4 − C.  0 9 13 − D.  0 10 −
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 3 A.  2 2 3 −1 B.  4 4 6 4 C.  7 7 3 − 1 D.  4 4 −
Câu 5. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: 1 5 3 ; ; 2 2 2 1 − 5 3 A.   2 2 2 1 − 5 3 B.   2 2 2 1 − 3 5 C.   2 2 2 3 5 1 − D.   2 2 2 7 a 9
Câu 6. Tìm a  biết   5 5 5 A. a = 7 B. a = 8 C. a = 9 D. a = 10 Trang 9 3 7 3 9
Câu 7.Tìm phân số lớn nhất trong các phân số: ; ; ; 5 4 2 5 3 7 3 9 A. B. C. D. 5 4 2 5
Câu 8. Khẳng định nào sau đây là sai ? 4 − 5 A.  11 22 − 4 − 4 400 B. = 55 5 − 00 1 − 5 330 C. = 23 5 − 06 56 − 7 12 D.  145 5 1 − 1 x 3 −
Câu 9.Tìm các giá trị nguyên x sao cho   12 12 4 A. x =10 B. x =-10 C. x= -5 D. x = -9. 7 − 4 −
Câu 10.Tìm a,b biết  a  b  5 5 6 − 4 − 6 − A. a = ;b = B. a = ;b = 1 − 5 5 5 4 − 5 − 6 − 3 − C. a = ;b = D. a = ;b = 5 5 5 5 3
Câu 11. làm bài toán xong trong 15 phút, cùng bài toán đó, Ngọc làm xong trong h , Tùng làm xong 4 1 trong
h và Nam xong trong 17 phút. Hỏi bạn nào làm xong nhanh nhất? 2 A. Lan B. Ngọc C. Tùng D. Nam
Câu 12. Số phân số lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 1 và có tử là 5 là : 6 4 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10.
---------------------------- HẾT ……………………. Trang 10