Phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương Toán 6

Phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương Toán 6. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 15 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

28 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

15 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6 - SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHP PHN CHNG GII BI TON SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐNH NGHA
Số chính phương là số tự nhiên viết được dưới dạng bình phương đúng của một số nguyên.
Ví dụ:
2
42=
;
2
16 4=
.
2. SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG L
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số
chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình
phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ).
3. CC TÍNH CHT CHUNG CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
a) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng
là 2, 3, 7, 8.
Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là
2; 3; 7 hoặc 8.
b) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn,
không chứa TSNT với số mũ lẻ.
Ví dụ:
2 4 2 2
3600 60 2 .3 .5==
Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì tồn tại
thừa số nguyên tố chứa số mũ lẻ.
c) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng
3n
hoặc
( )
( )
2
3 1 0,1 mod3na+
, không có SCP
nào có dạng
32n+
.
d) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng
4n
hoặc
( )
( )
2
4 1 0,1 mod4na+
, không có
SCP nào có dạng
42n +
hoặc
( )
43nn+
.
e) Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì
đó là số chính phương.
f) Nếu số chính phương chia hết cho
p
thì chia hết cho
2
p
.
g)
✓ Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn (121, 49,
…).
✓ Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.
✓ Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn.
✓ Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.
Trang 2
✓ Nếu SCP có chữ số tận cùng là 0 thì SCP đó có một số chẵn chữ số 0 ở tận cùng như :
100, 10000, …
h) Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a
2
- b
2
= (a+b).(a-b).
i) Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1, ví dụ: 1, 1 +
3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 +7, 1 + 3 + 5 +7 + 9, ….
3. HỆ QU
- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
- Số chính phương chia hết cho
21+n
p
thì chia hết cho
22+n
p
(
p
là số nguyên tố,
n
).
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức không là số chính phương.
I. Phương pháp giải:
- Đề bài chứng minh một biểu thức
A
không là số chính phương.
- Giả sử biểu thức
A
là số chính phương.
- Sử dụng các tính chất để tìm ra điều vô lí hay mâu thuẫn.
- Vậy biểu thức
A
không là số chính phương.
II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng với
n
thì
34+
n
không là số chính phương.
Lời giải:
- Với
0 3 4 5
n
n = + =
không là số chính phương.
- Với
1 3 4 7
n
n = + =
không là số chính phương.
- Với
2n
.
Giả sử là số chính phương.
2
34
n
m + =
( )
,3mm
.
2
43
n
m − =
.
( )( )
2 2 3
n
mm − + =
.
23
23
k
q
m
m
−=
+=
.
( )
,;k q k q n + =
( ) ( )
2 2 3 3
qk
mm + − + = −
.
4 3 3
qk
= −
( )
*
.
Ta thấy
( )
43
3 3 3
qk
−
là điều mâu thuẫn với nhau so với đng thức
( )
*
.
Vậy
34
n
+
không là số chính phương với mọi số tự nhiên
n
.
Trang 3
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì
2
2+n
không là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
2+n
là số chính phương.
Khi đó đặt
22
2nm+=
( )
*
m
.
22
2mn − =
( )
1
.
( ) ( )
.2m n m n + − =
( )
1
.
Như vậy, trong hai số
mn+
và
mn−
phải có ít nhất một số chẵn
( )
2
.
Mặt khác
2m n m n m+ + − =
chẵn.
Suy ra hai số
+mn
và
−mn
cùng tính chẵn lẻ
( )
3
.
Từ
( )
2
và
( )
3
suy ra
+mn
và
−mn
là hai số chẵn.
( )
( )
2
2
mn
mn
+
+
( ) ( )
.4m n m n + −


( )
22
4mn−
mà
24
, so sánh điều này với
( )
1
, ta thấy đây là điều vô l.
Vậy với mọi số nguyên dương
n
thì
2
2+n
không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp lần lượt là
n
,
1n +
,
2n+
,
3n+
và
4n+
( )
*
n
Đặt
( )( )( )
1 2 3S n n n n= + + +
( )
*
n
Ta đi chứng minh
S
không là số chính phương.
Giả sử
2
0Sm=
( )
*
m
( )
1
.
( )( )( )
2
1 2 3n n n n m + + + =
.
( )( )
2 2 2
3 3 2n n n n m + + + =
.
Đặt
2
3n n a+=
( )
*
aN
.
( )
2
2a a m + =
.
22
2a a m + =
.
22
2 1 1a a m + + = +
.
( )
2
2
11am + = +
.
( )( )
1 1 1a m a m + + + − =
Trang 4
11
11
am
am
+ − =
+ + =
0m=
( )
2
.
Ta thấy
( )
2
mâu thuẫn với
( )
1
Vậy
S
không là số chính phương hay tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính
phương.
Bài 4: Chứng minh rằng với tổng của
++abc bca cab
không là số chính phương.
Lời giải:
Đặt
( ) ( )
111 3.37S abc bca cab a b c a b c= + + = + + = + +
( )
*
, , ; , , 9a b c a b c
.
Giả sử
S
là số chính phương .
37S
.
2
37S
.
( )
37abc + +
.
Mà
( )
37abc+ +
.
Đây là điều vô l.
Vậy
S
không là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng với
n
lẻ và
n
+

thì
7 24+
n
không là số chính phương.
Lời giải:
Đặt
2
7 24
n
a+=
( )
*
a
.
Khi
n
lẻ: Đặt
21nk=+
.
( )
2 1 2 1 2 2
7 24 7 24 7 .7 24 7 .7 24 49 .7 24
k
n k k k
a
+
+ = + = + = + = + =
.
Có 49 chia 4 dư 1
49
k
chia 4 dư 1;
7.49
k
chia 4 dư 3
2
a
chia 4 dư 3 (vô l).
Vậy với
n
lẻ và
n
+

thì
7 24+
n
không là số chính phương.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên
abc
là số nguyên tố thì
2
4b ac−
không là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
4b ac−
là số chính phương
2
m
( )
m
.
Xét
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
22
22
4 . 4 100 10 20 4 20 20 20a abc a a b c a b b ac a b m a b m a b m= + + = + − − = + − = + + + −
.
Tồn tại một trong hai thừa số
20a b m++
,
20abm+−
chia hết cho số nguyên tố.
Điều này không xảy ra vì cả hai thừa số trên đều nhỏ hơn
abc
.
Thật vậy, do
mb
(vì
22
40m b ac− = −
).
Trang 5
Nên
20 20 100 10a b m a b m a b c abc+ − + + + + =
.
Vậy nếu số tự nhiên
abc
là số nguyên tố thì
2
4b ac−
không là số chính phương.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2n
thì
21−
n
không là số chính phương.
Lời giải:
Với
2 2 1 3
n
n = − =
không là số chính phương.
Với
2n
:
Giả sử
21−
n
là số chính phương.
Mà
21−
n
là số lẻ nên
( )
2
2 1 2 1− = +
n
k
2
2 1 4 4 1 − = + +
n
kk
.
2
2 4 4 2
n
kk = + +
( )
*
.
Vì
n 2
nên
24
n
( )
1
.
Mà
( )
2
4 4 4 1 4k k k k+ = +
.
Nên
2
4 4 2 4kk
++
( )
2
.
So sánh
( )
1
và
( )
2
với
( )
*
, ta thấy mâu thuẫn với nhau.
Vậy với mọi số tự nhiên
2n
thì
21−
n
không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
1n
thì
432
2 2 2 1= + + + +A n n n n
không là số chính
phương.
Lời giải:
Với
1n
:
Giả sử
A
là số chính phương.
2
=Ak
4 3 2 2
2 2 2 1 + + + + =n n n n k
.
2 2 2 2
( 2 1) ( 2 1) + + + + + =n n n n n k
.
2 2 2 2
( 1) ( 1) + + + =n n n k
2 2 2
( 1)( 1) + + =n n k
.
2
( 1)+n
là số chính phương với mọi
1n
(vô lí).
Vậy với mọi số tự nhiên
1n
thì
432
2 2 2 1= + + + +A n n n n
không là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
3
2= − +B n n
không là số chính phương.
Lời giải:
Với n = 0 thì
3
22B n n= − + =
không là số chính phương.
Giả sử với mọi số tự nhiên
1n
,
B
là số chính phương.
Trang 6
2
=Bk
32
2n n k − + =
( )
*
k
.
22
( 1) 2 − + =n n k
.
2
( 1)( 1) 2 − + + =n n n k
( )
*
Mà
( 1)( 1) 3n n n−+
2
( 1)( 1) 2n n n k − + + =
chia 3 dư 2
Nên
( )
*
mâu thuẫn hay vô l hay không xảy ra.
Vậy với mọi số tự nhiên thì
3
2= − +B n n
không là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
thì
2
2 2 3= + +C n n
không là số chính phương.
Lời giải:
Nếu
0n =
thì
2
2 2 3 3C n n= + + =
không là số chính phương.
Giả sử với mọi số tự nhiên
n1
,
C
là số chính phương.
2
=Ck
22
2 2 3 + + =n n k
.
2
2 ( 1) 3 + + =n n k
(*)
.
Mà
( 1) 2+nn
nên
2 ( 1) 4+nn
.
Nên
( )
*
mâu thuẫn hay vô l hay không xảy ra.
Vậy với mọi số tự nhiên
n
thì
2
2 2 3= + +C n n
không là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
1n
thì
6 4 3 2
22= − + +D n n n n
không là số chính
phương.
Lời giải:
Nếu
0n =
thì
6 4 3 2
2 2 0D n n n n= − + + =
là số chính phương.
Giả sử
D
là số chính phương.
2 6 4 3 2 2
22 = − + + =D k n n n n k
.
( )
2 4 2 2
22n n n n k − + + =
.
( )( ) ( )
2 2 2
1 1 2 1

− + + + =

n n n n n k
.
( )
( )
2 3 2 2
12

+ − + =

n n n n k
.
( )
( ) ( )
2 3 2 2
1 1 1

+ + − − =

n n n n k
.
( )
( )
2
2 2 2
1 2 2 + − + =n n n n k
.
Trang 7
( )
2
22 − +nn
là số chính phương.
Đây là điều không xảy ra hay vô lí.
Vì với
*
n
thì
( ) ( )
22
2
2 2 1 1 1n n n n− + = − + −
và
( )
2 2 2
2 2 2 1n n n n n− + = − −
( )
2
22
1 2 2 − − + n n n n
2
2 2 − +nn
không là số chính phương.
Vậy với mọi số tự nhiên
n1
thì
6 4 3 2
22= − + +D n n n n
không là số chính phương.
Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n 1
thì
2
1= + +E n n
không là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
E
là số chính phương.
Khi đó:
2
=Ek
22
1n n k + + =
( )
*
k
.
Mà
2 2 2
1 ( 1) + + +n n n n
2 2 2
( 1)n k n +
.
1 +n k n
(vô lí).
Vậy với mọi số tự nhiên
n1
thì
2
1= + +E n n
không là số chính phương.
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lẻ
(n 1)
thì
3
1=+Fn
không là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
F
là số chính phương.
Khi đó:
2
=Fk
( )
,1kk
32
1 + =nk
.
32
1 = −nk
3
( 1)( 1) = − +n k k
.
Vì
n
là số tự nhiên lẻ nên
3
n
cũng là số lẻ
1,−k
1+k
là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp và chúng
nguyên tố cùng nhau nên
3
3
1
1
+=
−=
ka
kb
với a, b lẻ và a>b.
3 3 2 2
2 ( )( ) 6 = − = − + + a b a b a ab b
(*).
Vì
2−ab
và
22
3+ + a ab b
nên (*) vô lí.
Vậy với mọi số tự nhiên
n1
thì
2
1= + +E n n
không là số chính phương.
Bài 14: Chứng minh rằng tổng
2+S
với
2 3 20
2 2 2 ... 2= + + + +S
không là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2+S
là số chính phương.
2
2 + =Sk
.
Trang 8
Ta có:
2 3 20
2 2 2 ... 2= + + + +S
.
2 3 20 21
2 2 2 ... 2 2 = + + + +S
.
2 3 20 21 2 3 20
2 (2 2 ... 2 2 ) (2 2 2 ... 2 ) − = + + + + − + + + +SS
.
21
22 = −S
.
21
22 + =S
hay
2 21
2=k
(vô lí).
Vậy tổng
2+S
với
2 3 20
2 2 2 ... 2= + + + +S
không là số chính phương.
Bài 15: Chứng minh rằng tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính
phương.
Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là
1, , 1, 2− + +n n n n
.
Giả sử tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp trên là số chính phương, tức
là
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 2)− + + + + +n n n n
là số chính phương.
Đặt
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 2)= − + + + + +N n n n n
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 4 4 6 4( ) 6= − + + + + + = + + = + +N n n n n n n n n
(*)
.
Do đó, vì
2
4( ) 6++nn
là số chẵn và
N
là số chính phương nên
4N
.
Mà
2
[4( ) 6] 4++nn
.
Nên
(*)
không xảy ra hay vô l.
Vậy tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Bài 16: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp không là số chính
phương.
Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là
2, 1, , 1, 2− − + +n n n n n
.
Giả sử tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp trên là số chính phương, tức
là
2 2 2 2 2
( 2) ( 1) ( 1) ( 2)− + − + + + + +n n n n n
là số chính phương.
Đặt
2 2 2 2 2
( 2) ( 1) ( 1) ( 2)= − + − + + + + +M n n n n n
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2
( 2) ( 1) ( 1) ( 2) 5 10 5( 2)= − + − + + + + + = + = +M n n n n n n n
.
Do đó, vì
M
là số chính phương nên
2
( 2) 5+n
2
2+n
có số tận cùng là 0 hoặc 5
2
n
có số tận
cùng là 3 hoặc 8 (vô lí).
Vậy tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Trang 9
Bài 17: Cho
n
là số nguyên dương và
d
là một ước nguyên dương của
2
2n
. Chứng minh rằng
2
+nd
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
+nd
là một số chính phương.
Đặt
2
2n kd=
,
*
k
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( 2 )+ = + = + = +k n d n k k d n k n k n k k
là số chính phương.
2
2+kk
là số chính phương (*).
Mà
2 2 2
2 ( 1) + +k k k k
nên (*) vô lí.
Vậy với
n
là số nguyên dương và
d
là một ước nguyên dương của
2
2n
thì
2
+nd
không phải là số
chính phương.
Bài 18: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính
phương.
Lời giải:
Gọi
a
,
b
là các số tự nhiên lẻ.
Giả sử tổng bình phương của hai số
a
và
b
là số chính phương, tức
22
+ab
là số chính phương
( )
1
.
Vì
a
và
b
đều lẻ nên đặt
21am=+
,
21=+bn
.
2 2 2 2 2 2
(2 1) (2 1) [4( ) 2] 2a b m n m n m n + = + + + = + + + +
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
( )
22
4ab+
( )
3
Mà
2 2 2 2
4( ) 2 4a b m n m n
+ = + + + +
( )
4
( )
3
và
( )
4
mâu thuẫn với nhau.
Vậy tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương.
Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
thì
2
2002+n
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
2002+n
là số chính phương.
22
2002 + =nk
.
22
2002 − =nk
( )( ) 2002 − + =n k n k
(*)
.
Mà
2002 (2.7.11.13) 2
2002 (2.7.11.13) 4
=
=
nên
( )( ) 2−+n k n k
,−nk
+nk
chia hết cho 2.
Hơn nữa,
( ) ( ) 2+ − − =n k n k k
nên cả hai số
,−nk
+nk
đều chia hết cho 2.
Trang 10
( )( ) 4 − +n k n k
.
Nên
(*)
là điều mâu thuẫn hay không bao gi xảy ra hay vô l.
Vậy với mọi số tự nhiên
n
thì
2
2002+n
không phải là một số chính phương.
Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
thì
( )
4
4
11+ + +nn
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
( )
4
4
11+ + +nn
là số chính phương.
Ta có
( )
4
4 4 3 2
1 1 2 4 6 4 2n n n n n n+ + + = + + + +
( ) ( )
2
4 3 2 2
2 2 3 2 1 2 1 .= + + + + = + +n n n n n n
Do
( )
2
1 1 1+ + = + +n n n n
là số lẻ nên
( )
2
2
1++nn
là số lẻ.
( )
4
4
11 + + +nn
chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí).
Vậy
( )
4
4
11+ + +nn
không là số chính phương.
Bài 21: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
thì
5
2−+nn
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
5
2−+nn
là số chính phương.
Ta có:
5 5 4 2
2 ( ) 2 ( 1) 2 ( 1)( 1)( 1) 2− + = − + = − + = − + + +n n n n n n n n n n
(*)
Vì
2
( 1)( 1)( 1) 2− + + +n n n n
là số chẵn nên
5
2−+nn
là số chẵn. Mà
5
2−+nn
là số chính phương nên
5
( 2) 4−+nn
.
Mặt khác :
2
( 1)( 1)( 1) 2 4− + + +n n n n
.
Nên
(*)
là điều mâu thuẫn hay không bao gi xảy ra hay vô l.
Vậy
5
2−+nn
không là số chính phương.
Bài 22: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
n
thì
4 4 4 4
2012 2013 2014 2015= + + +
n n n n
A
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
A
là số chính phương.
Ta có:
44
2012 (4.503) 4, *.=
nn
n
4 4 2 4
2014 (2.19.53) 4 .(19.53) 4, *.= =
n n n n
n
( )
4 4 4
2013 2013 1 1 2013 1 1= − + = − +
n n n
chia 4 dư 1.
Trang 11
( )
4
44
2015 2015 1 1= − − +
n
nn
chia cho 4 dư 1.
Do đó,
4 4 4 4
2012 2013 2014 2015= + + +
n n n n
A
chia cho 4 dư 2.
Ta có
A
là số chẵn và
A
chính phương nên
A
chia hết cho 2
2
(vô lí).
Vậy
A
không là số chính phương.
Bài 23: Chứng minh rằng
2 3 33
1 2 2 2 2= + + + + +A
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
A
là số chính phương.
Ta có
( ) ( )
2 3 4 5 30 31 32 33
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2= + + + + + + + + + +A
( ) ( )
2 2 3 30 2 3
3 2 . 1 2 2 2 2 . 1 2 2 2= + + + + + + + + +
( )
29 29
3 2.30 2 .30 3 2 2 .3.10.= + + + = + + +
Ta thấy
A
có chữ số tận cùng bằng 3 (vô lí).
Vậy
A
không là số chính phương.
Bài 24: Chứng minh rằng
2004
1An=+
không phải là số chính phương khi n lẻ.
Lời giải:
Giả sử
2004
1n +
là số chính phương với
n
là số lẻ.
Ta có:
2004 2
1na+=
( )
*
a
.
( )
2
2 1002
1an − =
.
( )( )
1002 1002
1a n a n − + =
( ) ( )
1002 1002
11a n a n + + =
điều này vô lí vì
( )
1002
2an+
với
n
là số lẻ.
Vậy
2004
1n +
không là số chính phương với
n
là số lẻ.
Bài 25: Chứng minh rằng nếu
p
là tích của
n
số nguyên tố đầu tiên thì
1p−
và
1p+
không thể là
các số chính phương.
Lời giải:
Vì
p
là tích của
n
số nguyên tố đầu tiên nên
2p
và
4p
( )
1
.
*Giả sử
1p+
là số chính phương.
Đặt
2
1pm+=
( )
m
.
Vì p chẵn nên
1p+
lẻ, suy ra
2
m
lẻ, suy ra
m
lẻ.
Trang 12
Đặt
21mk=+
( )
k
.
Ta có
22
4 4 1m k k= + +
.
2
1 4 4 1p k k + = + +
.
( )
2
4 4 4 1 4p k k k k = + = +
, điều này mâu thuẫn với
( )
1
.
Suy ra
1p+
không là số chính phương.
* Giả sử
1p+
là số chính phương.
2.3.5....p =
là số chia hết cho 3.
Suy ra,
1p−
có dạng
32k +
.
Không có số chính phương nào có dạng
32k +
, điều này mâu thuẫn với
1p+
là số chính phương.
Suy ra
1p−
không là số chính phương.
Vậy nếu
p
là tích của
n
số nguyên tố đầu tiên thì
1p−
và
1p+
không thể là các số chính phương.
Dạng 2: Chứng minh không tồn tại một điều kiện nào đó của biến để một biểu thức A là số chính
phương.
I. Phương pháp giải:
- Đề bài yêu cầu chứng minh không tồn tại một điều kiện nào đó của biến để một biểu
thức A là số chính phương.
- Giả sử biểu thức A là số chính phương.
- Sử dụng các tính chất để tìm ra điều vô lí hay mâu thuẫn.
- Vậy không tồn tại một điều kiện nào đó của biến để một biểu thức A là số chính
phương.
II. Bài toán
Bài 26: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên
n
nào để
2
2006+ n
là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
2006+ n
là số chính phương thì
( )
22
2006+ = n m m N
.
22
2006 − =mn
.
( ) ( )
. 2006 + − =m n m n
( )
1
Như vậy, trong hai số
mn+
và
mn−
phải có ít nhất một số chẵn
( )
2
Mặt khác m + n + m – n = 2m chẵn.
Suy ra hai số
+mn
và
−mn
cùng tính chẵn lẻ
( )
3
Từ
( )
2
và
( )
3
suy ra
+mn
và
−mn
là hai số chẵn.
Trang 13
Suy ra
( ) ( )
. 4+−m n m n
nhưng 2006 không chia hết cho 4, so sánh với
( )
1
, ta thấy đây điều vô lý
hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để
2
2006+ n
là số chính phương.
Bài 27: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên
n
nào để
2
2010+ n
là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
2010+ n
là số chính phương thì
( )
22
2010+ = n m m N
.
22
2010 − =mn
.
( ) ( )
. 2010 + − =m n m n
( )
1
Như vậy, trong hai số
mn+
và
mn−
phải có ít nhất một số chẵn
( )
2
Mặt khác m + n + m – n = 2m.
Suy ra hai số
+mn
và
−mn
cùng tính chẵn lẻ
( )
3
Từ
( )
2
và
( )
3
suy ra
+mn
và
−mn
là hai số chẵn
Suy ra
( ) ( )
. 4+−m n m n
nhưng 2010 không chia hết cho 4, so sánh với
( )
1
, ta thấy đây là điều vô lý
hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để
2
2010+ n
là số chính phương.
Bài 28: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên
n
nào để
2
2014+ n
là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
2014+ n
là số chính phương thì
( )
22
2014+ = n m m N
.
22
2014 − =mn
.
( ) ( )
. 2014 + − =m n m n
( )
1
Như vậy, trong hai số
mn+
và
mn−
phải có ít nhất một số chẵn
( )
2
Mặt khác
2m n m n m+ + − =
.
Suy ra hai số
+mn
và
−mn
cùng tính chẵn lẻ
( )
3
Từ
( )
2
và
( )
3
suy ra
+mn
và
−mn
là hai số chẵn.
Suy ra
( ) ( )
. 4+−m n m n
nhưng 2014 không chia hết cho 4, so sánh với
( )
1
, ta thấy đây là điều vô lý
hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để
2
2014+ n
là số chính phương.
Bài 29: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên
n
nào để
2
2018+ n
là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
2018+ n
là số chính phương thì
( )
22
2018+ = n m m N
.
22
2018 − =mn
.
Trang 14
( ) ( )
. 2018 + − =m n m n
( )
1
Như vậy, trong hai số
mn+
và
mn−
phải có ít nhất một số chẵn
( )
2
Mặt khác
2m n m n m+ + − =
.
Suy ra hai số
+mn
và
−mn
cùng tính chẵn lẻ
( )
3
Từ
( )
2
và
( )
3
suy ra
+mn
và
−mn
là hai số chẵn.
Suy ra
( ) ( )
. 4+−m n m n
nhưng 2018 không chia hết cho 4, so sánh với
( )
1
, ta thấy đây là điều vô lý
hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để
2
2018+ n
là số chính phương.
Bài 30: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên
n
nào với
k
chẵn và
4k
( )
k
để
2
kn+
là số
chính phương.
Lời giải:
Giả sử
2
kn+
là số chính phương thì
( )
22
k n m m N+ =
.
22
m n k − =
.
( ) ( )
.m n m n k + − =
( )
1
.
Như vậy, vì
k
chẵn nên trong hai số
mn+
và
mn−
phải có ít nhất một số chẵn
( )
2
Mặt khác,
2.m n m n m+ + − =
.
Suy ra, hai số
+mn
và
−mn
cùng tính chẵn lẻ
( )
3
Từ
( )
2
và
( )
3
suy ra
+mn
và
−mn
là hai số chẵn.
Suy ra
( ) ( )
. 4+−m n m n
nhưng
k
không chia hết cho 4 , so sánh với
( )
1
, ta thấy đây là điều vô lý
hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên
n
nào với
k
chẵn và
4( )k k N
để
2
2018+ n
là số chính phương.
Bài 31: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên
n
nào để
2
13 2+n
là số chính phương.
Lời giải:
Đặt
22
13 =nm
( )
*
.
Nếu
n
chẵn (lẻ) thì
m
cũng chẵn (lẻ) nên cùng
,mn
tính chất chẵn (lẻ).
+) Nếu
,mn
là các số lẻ thì
2
13 2n +
chia 4 dư 3 (vì
2
13n
chia 4 dư 1) nên không tồn tại
2
m
do
2
m
chia 4 dư 1.
+) Nếu
,mn
chẵn thì
2
13n
chia 4 dư 2 và
2
4m
là vô l.
Vậy không tồn tại số tự nhiên
n
sao cho
2
13 2+n
là số chính phương.
Bài 32: Chứng minh rằng một số chẵn bất k không chia hết cho 4 thì không phân tích thành hiệu của
hai số chính phương.
Lời giải:
Trang 15
Giả sử
42nk=+
( )
kN
(chẵn chia 4 dư 2 do không chia hết cho 4);
2 2 2 2
4 2 ( )( )n a b k a b a b a b= − + = − = − +
cùng tính chẵn lẻ.
( )
( )
( )( ) ( )
2
4 4 2 4
2
ab
a b a b k
ab
−
− + +
+
.
Điều này trái với gia thiết ban đầu.
Vậy một số chẵn bất kì không chia hết cho 4 thì không phân tích thành hiệu của hai số chính phương.
HẾT
| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6 - SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA
Số chính phương là số tự nhiên viết được dưới dạng bình phương đúng của một số nguyên. Ví dụ: 2 4 = 2 ; 2 16 = 4 .
2. SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHẴN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG LẺ
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số
chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình
phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ).
3. CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
a) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8.
Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2; 3; 7 hoặc 8.
b) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn,
không chứa TSNT với số mũ lẻ. 2 4 2 2 Ví dụ: 3600 = 60 = 2 .3 .5
 Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì tồn tại
thừa số nguyên tố chứa số mũ lẻ.
c) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc n + ( 2 3
1 a  0,1(mod 3)) , không có SCP
nào có dạng 3n + 2 ( * n  ).
d) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc n + ( 2 4
1 a  0,1(mod 4)) , không có
SCP nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3(n ).
e) Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì
đó là số chính phương.
f) Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho 2 p . g)
✓ Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn (121, 49, …).
✓ Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.
✓ Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn.
✓ Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ. Trang 1
✓ Nếu SCP có chữ số tận cùng là 0 thì SCP đó có một số chẵn chữ số 0 ở tận cùng như : 100, 10000, …
h) Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a2 - b2 = (a+b).(a-b).
i) Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1, ví dụ: 1, 1 +
3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 +7, 1 + 3 + 5 +7 + 9, …. 3. HỆ QUẢ
- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 2n 1 + 2n+2
- Số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p
( p là số nguyên tố, n  ).
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức không là số chính phương.
I. Phương pháp giải:
- Đề bài chứng minh một biểu thức A không là số chính phương.
- Giả sử biểu thức A là số chính phương.
- Sử dụng các tính chất để tìm ra điều vô lí hay mâu thuẫn.
- Vậy biểu thức A không là số chính phương. II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng với n
  thì 3n + 4 không là số chính phương. Lời giải: - Với 0 3n n = 
+ 4 = 5 không là số chính phương. - Với 1 3n n = 
+ 4 = 7 không là số chính phương. - Với n  2 .
Giả sử là số chính phương. n 2
 3 + 4 = m (m ,m  ) 3 . 2  − 4 = 3n m .  ( − 2)( + 2) = 3n m m .
m − 2 = 3k  
. (k, q  ;k + q = n) m + 2 = 3q
 ( + 2) −( + 2) = 3q −3k m m . 4 3q 3k  = − ( ) * . 4  3  Ta thấy (
là điều mâu thuẫn với nhau so với đẳng thức ( ) * . 3q − 3k  ) 3
Vậy 3n + 4 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n . Trang 2
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 2
n + 2 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử 2
n + 2 là số chính phương. Khi đó đặt 2 2 n + 2 = m ( * m  ). 2 2
m −n = 2 ( ) 1 .
 (m+ n).(m− n) = 2 ( ) 1 .
Như vậy, trong hai số m + n và m − n phải có ít nhất một số chẵn (2) .
Mặt khác m + n + m − n = 2m chẵn.
Suy ra hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (3) .
Từ (2) và (3) suy ra m + n và m − n là hai số chẵn. (  m + n  ) 2  (  m + n  ) 2
 (m+ n).(m− n) 4   ( 2 2
m − n ) 4 mà 2  4 , so sánh điều này với ( )
1 , ta thấy đây là điều vô lý.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì 2
n + 2 không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp lần lượt là n , n +1, n + 2 , n + 3 và n + 4 ( * n  )
Đặt S = n(n + ) 1 (n + 2)(n + ) 3 ( * n  )
Ta đi chứng minh S không là số chính phương. Giả sử 2 S = m  0 ( * m  ) ( )1.
n(n + )(n + )(n + ) 2 1 2 3 = m .  ( 2 n + n)( 2 n + n + ) 2 3 3 2 = m . Đặt 2
n + 3n = a ( * a N ) .  a(a + ) 2 2 = m . 2 2
a + 2a = m . 2 2
a + 2a +1= m +1.  (a + )2 2 1 = m +1.
 (a +1+ m)(a +1− m) =1 Trang 3a +1− m =1   a +1+ m =1  m = 0 (2) .
Ta thấy (2) mâu thuẫn với ( ) 1
Vậy S không là số chính phương hay tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng với tổng của abc + bca + cab không là số chính phương. Lời giải:
Đặt S = abc + bca + cab =11 (
1 a + b + c) = 3.37(a + b + c) ( * a, , b c  ;a, , b c  9) .
Giả sử S là số chính phương .  S 37 . 2  S 37 .
 (a +b + c) 37.
Mà (a + b + c)  37 . Đây là điều vô lý.
Vậy S không là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng với n lẻ và n +
  thì 7n + 24 không là số chính phương. Lời giải: Đặt n 2 7 + 24 = a ( * a  ).
Khi n lẻ: Đặt n = 2k +1. k n 2k 1 + 2k 1  + = + = + = ( 2) k 2 7 24 7 24 7 .7 24 7
.7 + 24 = 49 .7 + 24 = a . Có 49 chia 4 dư 1 49k
chia 4 dư 1; 7.49k chia 4 dư 3 2
a chia 4 dư 3 (vô lý).
Vậy với n lẻ và n +  
thì 7n + 24 không là số chính phương.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì 2
b − 4ac không là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
b − 4ac là số chính phương 2 m (m ) . Xét a abc = a( a + b + c) = (
a + b)2 − (b − ac) = ( a +b)2 2 2 4 . 4 100 10 20 4 20
− m = (20a +b + m)(20a +b −m) .
Tồn tại một trong hai thừa số 20a + b + m , 20a + b − m chia hết cho số nguyên tố.
Điều này không xảy ra vì cả hai thừa số trên đều nhỏ hơn abc .
Thật vậy, do m b (vì 2 2 m −b = 4 − ac  0). Trang 4
Nên 20a + b − m  20a + b + m 100a +10b + c = abc .
Vậy nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì 2
b − 4ac không là số chính phương.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 thì 2n −1 không là số chính phương.
Lời giải: Với 2 2n n = 
−1= 3 không là số chính phương. Với n  2 :
Giả sử 2n −1 là số chính phương.
Mà 2n −1 là số lẻ nên n − = ( k + )2 2 1 2 1 n 2
 2 −1= 4k + 4k +1. n 2
 2 = 4k + 4k + 2 ( ) * .
Vì n  2 nên 2n 4 ( ) 1 . Mà 2
4k + 4k = 4k (k + ) 1 4 . Nên 2
4k + 4k + 2  4 (2) . So sánh ( ) 1 và (2) với ( )
* , ta thấy mâu thuẫn với nhau.
Vậy với mọi số tự nhiên n  2 thì 2n −1 không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 thì 4 3 2
A = n + 2n + 2n + 2n +1 không là số chính phương. Lời giải: Với n  1:
Giả sử A là số chính phương. 2  A = k 4 3 2 2
n + 2n + 2n + 2n +1= k . 2 2 2 2
n (n + 2n +1) + (n + 2n +1) = k . 2 2 2 2
n (n +1) + (n +1) = k 2 2 2
 (n +1)(n +1) = k . 2
 (n +1) là số chính phương với mọi n 1 (vô lí).
Vậy với mọi số tự nhiên n  1 thì 4 3 2
A = n + 2n + 2n + 2n +1 không là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì 3
B = n − n + 2 không là số chính phương. Lời giải: Với n = 0 thì 3
B = n − n + 2 = 2 không là số chính phương.
Giả sử với mọi số tự nhiên n  1, B là số chính phương. Trang 5 2  B = k 3 2
n − n + 2 = k ( * k  ). 2 2
n(n −1) + 2= k . 2  (
n n −1)(n +1) + 2 = k ( ) * Mà (
n n −1)(n +1) 3 2  (
n n −1)(n +1) + 2 = k chia 3 dư 2 Nên ( )
* mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra.
Vậy với mọi số tự nhiên thì 3
B = n − n + 2 không là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2
C = 2n + 2n + 3 không là số chính phương. Lời giải: Nếu n = 0 thì 2
C = 2n + 2n + 3 = 3 không là số chính phương.
Giả sử với mọi số tự nhiên n 1, C là số chính phương. 2  C = k 2 2
 2n + 2n +3 = k . 2
 2n(n +1) + 3= k (*). Mà ( n n +1) 2 nên 2 ( n n +1) 4 . Nên ( )
* mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra.
Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2
C = 2n + 2n + 3 không là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 thì 6 4 3 2
D = n − n + 2n + 2n không là số chính phương. Lời giải: Nếu n = 0 thì 6 4 3 2
D = n − n + 2n + 2n = 0 là số chính phương.
Giả sử D là số chính phương. 2 6 4 3 2 2
D = k n − n + 2n + 2n = k . 2  n ( 4 2
n − n + n + ) 2 2 2 = k . 2 2
n n (n − )(n + ) + (n + ) 2 1 1 2 1  =   k . 2  n (  n + )( 3 2 n − n + ) 2 1 2  =   k . 2  n (n + ) ( 3  n + )−( 2 n − ) 2 1 1 1  =   k . n (n+ )2 2 ( 2n − n+ ) 2 1 2 2 = k . Trang 6  ( 2
n − 2n + 2) là số chính phương.
Đây là điều không xảy ra hay vô lí. 2 2 Vì với * n  thì 2
n − 2n + 2 = (n − ) 1 +1  (n − ) 1 và 2 2
n − n + = n − (n − ) 2 2 2 2 1  n  (n − )2 2 2 1
n − 2n + 2  n 2
n − 2n + 2 không là số chính phương.
Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì 6 4 3 2
D = n − n + 2n + 2n không là số chính phương.
Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì 2
E = n + n +1 không là số chính phương. Lời giải:
Giả sử E là số chính phương. Khi đó: 2 E = k 2 2
n + n +1= k ( * k  ). Mà 2 2 2
n n + n +1  (n +1) 2 2 2
n k  (n +1) .
n k n +1 (vô lí).
Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì 2
E = n + n +1 không là số chính phương.
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lẻ (n  1) thì 3
F = n +1 không là số chính phương. Lời giải:
Giả sử F là số chính phương. Khi đó: 2
F = k (k  , k  ) 1 3 2  n +1= k . 3 2  n = k −1 3
n = (k −1)(k +1) .
Vì n là số tự nhiên lẻ nên 3
n cũng là số lẻ  k −1, k +1 là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp và chúng nguyên tố cùng nhau nên 3 k +1 = a  với a, b lẻ và a>b. 3 k −1 = b 3 3 2 2
 2 = a − b = (a − b)(a + ab + b )  6 (*).
Vì a − b  2 và 2 2
a + ab + b  3 nên (*) vô lí.
Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì 2
E = n + n +1 không là số chính phương.
Bài 14: Chứng minh rằng tổng S + 2 với 2 3 20
S = 2 + 2 + 2 +... + 2 không là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử S + 2 là số chính phương. 2  S + 2 = k . Trang 7 Ta có: 2 3 20
S = 2 + 2 + 2 +... + 2 . 2 3 20 21
 2S = 2 + 2 +...+ 2 + 2 . 2 3 20 21 2 3 20
 2S − S = (2 + 2 +...+ 2 + 2 ) − (2 + 2 + 2 +...+ 2 ) . 21  S = 2 − 2 . 21  S + 2 = 2 hay 2 21  k = 2 (vô lí).
Vậy tổng S + 2 với 2 3 20
S = 2 + 2 + 2 +... + 2 không là số chính phương.
Bài 15: Chứng minh rằng tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là n −1, , n n +1, n + 2 .
Giả sử tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp trên là số chính phương, tức là 2 2 2 2
(n −1) + n + (n +1) + (n + 2) là số chính phương. Đặt 2 2 2 2
N = (n −1) + n + (n +1) + (n + 2) . Ta có: 2 2 2 2 2 2
N = (n −1) + n + (n +1) + (n + 2) = 4n + 4n + 6 = 4(n + ) n + 6 (*) . Do đó, vì 2
4(n + n) + 6 là số chẵn và N là số chính phương nên N 4 . Mà 2
[4(n + n) + 6] 4 .
Nên (*) không xảy ra hay vô lý.
Vậy tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Bài 16: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là n − 2, n −1, , n n +1, n + 2 .
Giả sử tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp trên là số chính phương, tức là 2 2 2 2 2
(n − 2) + (n −1) + n + (n +1) + (n + 2) là số chính phương. Đặt 2 2 2 2 2
M = (n − 2) + (n −1) + n + (n +1) + (n + 2) . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2
M = (n − 2) + (n −1) + n + (n +1) + (n + 2) = 5n +10 = 5(n + 2) .
Do đó, vì M là số chính phương nên 2 (n + 2) 5 2
n + 2 có số tận cùng là 0 hoặc 5 2  n có số tận
cùng là 3 hoặc 8 (vô lí).
Vậy tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Trang 8
Bài 17: Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2
2n . Chứng minh rằng 2 n + d
không phải là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
n + d là một số chính phương. Đặt 2 2n = kd , * k  . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
k (n + d ) = n k + k d = n k + 2n k = n (k + 2k) là số chính phương. 2
k + 2k là số chính phương (*). Mà 2 2 2
k k + 2k  (k +1) nên (*) vô lí.
Vậy với n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2 2n thì 2
n + d không phải là số chính phương.
Bài 18: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương.
Lời giải:
Gọi a , b là các số tự nhiên lẻ.
Giả sử tổng bình phương của hai số a và b là số chính phương, tức 2 2
a + b là số chính phương ( ) 1 .
Vì a và b đều lẻ nên đặt a = 2m +1 , b = 2n +1. 2 2 2 2 2 2
a + b = (2m +1) + (2n +1) = [4(m + n + m + ) n + 2] 2 (2) Từ ( ) 1 và (2)  ( 2 2 a + b ) 4 (3) Mà 2 2 2 2
a + b = 4(m + n + m + n) + 2  4 (4)
(3)và (4) mâu thuẫn với nhau.
Vậy tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương.
Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2
n + 2002 không phải là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
n + 2002 là số chính phương. 2 2
n + 2002 = k . 2 2
n − k = 2002  (n −k)(n + k) = 2002 (*). 2002 = (2.7.11.13) 2 Mà 
nên (n − k)(n + k) 2  n − k, n + k chia hết cho 2. 2002 = (2.7.11.13)  4
Hơn nữa, (n + k) −(n − k) = 2k nên cả hai số n − k, n + k đều chia hết cho 2. Trang 9
 (n − k)(n + k) 4 .
Nên (*) là điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy ra hay vô lý.
Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2
n + 2002 không phải là một số chính phương.
Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (n + )4 4
1 + n +1 không phải là số chính phương.
Lời giải: Giả sử (n + )4 4
1 + n +1 là số chính phương. Ta có (n + )4 4 4 3 2
1 + n +1 = 2n + 4n + 6n + 4n + 2
= (n + n + n + n + ) = (n + n + )2 4 3 2 2 2 2 3 2 1 2 1 . Do 2
n + n +1 = n(n + )
1 +1 là số lẻ nên (n + n + )2 2 1 là số lẻ.  (n + )4 4
1 + n +1 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí). Vậy (n + )4 4
1 + n +1 không là số chính phương.
Bài 21: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 5
n − n + 2 không phải là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 5
n − n + 2 là số chính phương. Ta có: 5 5 4 2
n − n + 2 = (n − n) + 2 = n(n −1) + 2 = n(n −1)(n +1)(n +1) + 2 (*) Vì 2
n(n −1)(n +1)(n +1) + 2 là số chẵn nên 5
n − n + 2 là số chẵn. Mà 5
n − n + 2 là số chính phương nên 5
(n − n + 2) 4 . Mặt khác : 2
n(n −1)(n +1)(n +1) + 2 4 .
Nên (*) là điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy ra hay vô lý. Vậy 5
n − n + 2 không là số chính phương.
Bài 22: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 4n 4n 4n 4
= 2012 + 2013 + 2014 + 2015 n A
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử A là số chính phương. Ta có: 4n 4 2012
= (4.503) n 4,n *. 4n 4n 2n 4 2014
= (2.19.53) = 4 .(19.53) n 4,n *. 4n 4 = n − + = ( 4 2013 2013 1 1 2013 n − ) 1 +1 chia 4 dư 1. Trang 10 n n = n − (− )4 4 4 2015 2015 1 +1 chia cho 4 dư 1. Do đó, 4n 4n 4n 4
= 2012 + 2013 + 2014 + 2015 n A chia cho 4 dư 2.
Ta có A là số chẵn và A chính phương nên A chia hết cho 22 (vô lí).
Vậy A không là số chính phương.
Bài 23: Chứng minh rằng 2 3 33 A = 1+ 2 + 2 + 2 +
+ 2 không phải là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử A là số chính phương. Ta có A = + + ( 2 3 4 5 + + + ) + + ( 30 31 32 33 1 2 2 2 2 2 2 + 2 + 2 + 2 ) 2 = + ( 2 3 + + + ) 30 + + ( 2 3 3 2 . 1 2 2 2 2 . 1+ 2 + 2 + 2 ) 29 = + + + = + ( 29 3 2.30 2 .30 3 2 + + 2 ).3.10.
Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3 (vô lí).
Vậy A không là số chính phương.
Bài 24: Chứng minh rằng 2004 A = n
+1 không phải là số chính phương khi n lẻ.
Lời giải: Giả sử 2004 n
+1 là số chính phương với n là số lẻ. Ta có: 2004 2 n +1= a ( * a  ).  a − (n )2 2 1002 =1.  ( 1002 a − n )( 1002 a + n ) =1  ( 1002 a + n ) ( 1002 1 a + n
) =1 điều này vô lí vì ( 1002 a + n
)  2với n là số lẻ. Vậy 2004 n
+1 không là số chính phương với n là số lẻ.
Bài 25: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p −1 và p +1 không thể là các số chính phương.
Lời giải:
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p  4 ( ) 1 .
*Giả sử p +1 là số chính phương. Đặt 2
p +1 = m (m ) .
Vì p chẵn nên p +1 lẻ, suy ra 2
m lẻ, suy ra m lẻ. Trang 11
Đặt m = 2k +1 (k  ) . Ta có 2 2
m = 4k + 4k +1. 2
p +1= 4k + 4k +1. 2
p = 4k + 4k = 4k (k + )
1 4 , điều này mâu thuẫn với ( ) 1 .
Suy ra p +1 không là số chính phương.
* Giả sử p +1 là số chính phương.
p = 2.3.5.... là số chia hết cho 3.
Suy ra, p −1 có dạng 3k + 2 .
Không có số chính phương nào có dạng 3k + 2 , điều này mâu thuẫn với p +1 là số chính phương.
Suy ra p −1 không là số chính phương.
Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p −1 và p +1 không thể là các số chính phương.
Dạng 2: Chứng minh không tồn tại một điều kiện nào đó của biến để một biểu thức A là số chính phương.
I. Phương pháp giải:
- Đề bài yêu cầu chứng minh không tồn tại một điều kiện nào đó của biến để một biểu
thức A là số chính phương.
- Giả sử biểu thức A là số chính phương.
- Sử dụng các tính chất để tìm ra điều vô lí hay mâu thuẫn.
- Vậy không tồn tại một điều kiện nào đó của biến để một biểu thức A là số chính phương. II. Bài toán
Bài 26: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để 2
2006 + n là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
2006 + n là số chính phương thì 2 2
2006 + n = m (mN ) . 2 2
m − n = 2006 .
 (m+ n).(m−n) = 2006 ( ) 1
Như vậy, trong hai số m + n và m − n phải có ít nhất một số chẵn (2)
Mặt khác m + n + m – n = 2m chẵn.
Suy ra hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (3)
Từ (2) và (3) suy ra m + n và m − n là hai số chẵn. Trang 12
Suy ra ( m + n).(m − n) 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4, so sánh với ( )
1 , ta thấy đây điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để 2
2006 + n là số chính phương.
Bài 27: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để 2
2010 + n là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
2010 + n là số chính phương thì 2 2
2010 + n = m (mN ) . 2 2
m − n = 2010 .
 (m+ n).(m−n) = 2010 ( ) 1
Như vậy, trong hai số m + n và m − n phải có ít nhất một số chẵn (2)
Mặt khác m + n + m – n = 2m.
Suy ra hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (3)
Từ (2) và (3) suy ra m + n và m − n là hai số chẵn
Suy ra ( m + n).(m − n) 4 nhưng 2010 không chia hết cho 4, so sánh với ( )
1 , ta thấy đây là điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để 2
2010 + n là số chính phương.
Bài 28: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để 2
2014 + n là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
2014 + n là số chính phương thì 2 2
2014 + n = m (mN ) . 2 2
m − n = 2014 .
 (m+ n).(m−n) = 2014 ( ) 1
Như vậy, trong hai số m + n và m − n phải có ít nhất một số chẵn (2)
Mặt khác m + n + m − n = 2m .
Suy ra hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (3)
Từ (2) và (3) suy ra m + n và m − n là hai số chẵn.
Suy ra ( m + n).(m − n) 4 nhưng 2014 không chia hết cho 4, so sánh với ( )
1 , ta thấy đây là điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để 2
2014 + n là số chính phương.
Bài 29: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để 2
2018 + n là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
2018 + n là số chính phương thì 2 2
2018 + n = m (mN ) . 2 2
m −n = 2018. Trang 13
 (m+ n).(m− n) = 2018 ( ) 1
Như vậy, trong hai số m + n và m − n phải có ít nhất một số chẵn (2)
Mặt khác m + n + m − n = 2m .
Suy ra hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (3)
Từ (2) và (3) suy ra m + n và m − n là hai số chẵn.
Suy ra ( m + n).(m − n) 4 nhưng 2018 không chia hết cho 4, so sánh với ( )
1 , ta thấy đây là điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để 2
2018 + n là số chính phương.
Bài 30: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào với k chẵn và k  4 (k  ) để 2 k + n là số chính phương.
Lời giải: Giả sử 2
k + n là số chính phương thì 2 2
k + n = m (mN ) . 2 2
m − n = k .
 (m+ n).(m− n) = k ( ) 1 .
Như vậy, vì k chẵn nên trong hai số m + n và m − n phải có ít nhất một số chẵn (2)
Mặt khác, m + n + m − n = 2.m .
Suy ra, hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (3)
Từ (2) và (3) suy ra m + n và m − n là hai số chẵn.
Suy ra ( m + n).(m − n) 4 nhưng k không chia hết cho 4 , so sánh với ( )
1 , ta thấy đây là điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n nào với k chẵn và k  4(k N) để 2
2018 + n là số chính phương.
Bài 31: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để 2
13n + 2 là số chính phương.
Lời giải: Đặt 2 2 13n = m ( ) * .
Nếu n chẵn (lẻ) thì m cũng chẵn (lẻ) nên cùng ,
m n tính chất chẵn (lẻ). +) Nếu ,
m n là các số lẻ thì 2
13n + 2 chia 4 dư 3 (vì 2
13n chia 4 dư 1) nên không tồn tại 2 m do 2 m chia 4 dư 1. +) Nếu , m n chẵn thì 2 13n chia 4 dư 2 và 2
m 4 là vô lý.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho 2
13n + 2 là số chính phương.
Bài 32: Chứng minh rằng một số chẵn bất kỳ không chia hết cho 4 thì không phân tích thành hiệu của hai số chính phương.
Lời giải: Trang 14 Giả sử n = 4k + 2
(k N)(chẵn chia 4 dư 2 do không chia hết cho 4); 2 2 2 2
n = a − b  4k + 2 = a − b = (a − b)(a + b) cùng tính chẵn lẻ. (  a − b  ) 2  
 (a −b)(a + b) 4  (4k + 2) ( .  a + b  ) 4 2
Điều này trái với gia thiết ban đầu.
Vậy một số chẵn bất kì không chia hết cho 4 thì không phân tích thành hiệu của hai số chính phương.  HẾT Trang 15