Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu
Tài liệu phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số của tác giả Nguyễn Tất Thu gồm 46 trang. Tài liệu gồm 3 nội dung chính:
+ Sử dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xây dựng cách tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt.
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
SӢ GIÁO DӨC & ĈÀO TҤO ĈӖNG NAI
Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong
Giáo viên thӵc hiӋn
NGUYӈN TҨT THU
Năm hӑc: 2008 – 2009 - 1 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
MӨC LӨC
MӨC LӨC.................................................................................................................................... 1
LӠI MӢ ĈҪU.............................................................................................................................. 3
I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG
DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT. ............................................................ 4
II. SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ........... 24
III. ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI
TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP............................................................................................... 30
BÀI TҰP ÁP DӨNG ................................................................................................................. 41
KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ ...................................................................................................... 45
TÀI LIӊU THAM KHҦO ........................................................................................................ 46 - 2 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
LӠI MӢ ĈҪU
Trong chѭѫng trình toán hӑc THPT các bài toán liên quan ÿӃn dãy sӕ là mӝt phҫn
quan trӑng cӫa ÿҥi sӕ và giҧi tích lӟp 11 , hӑc sinh thѭӡng gһp nhiӅu khó khăn khi giҧi
các bài toán liên qua ÿӃn dãy sӕ và ÿһc biӋt là bài toán xác ÿӏnh công thӭc sӕ hҥng tәng
quát cӫa dãy sӕ . Hѫn nӳa ӣ mӝt sӕ lӟp bài toán khi ÿã xác ÿӏnh ÿѭӧc công thӭc tәng
quát cӫa dãy sӕ thì nӝi dung cӫa bài toán gҫn nhѭ ÿѭӧc giҧi quyӃt. Do ÿó xác ÿӏnh công
thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ chiӃm mӝt vӏ trí nhҩt ÿӏnh trong các bài toán dãy sӕ.
Chuyên ÿӅ “M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ”
nhҵm chia sҿ vӟi các bҥn ÿӗng nghiӋp mӝt sӕ kinh nghiӋm giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ
cӫa dãy sӕ mà bҧn thân ÿúc rút ÿѭӧc trong quá trình hӑc tұp và giҧng dҥy.
Nӝi dung cӫa chuyên ÿӅ ÿѭӧc chia làm ba mөc :
I: S͵ dͭng CSC – CSN ÿ͋ xây dng ph˱˯ng pháp tìm CTTQ cͯa m͡t s͙ d̩ng dãy s͙
có d̩ng công thͱc truy h͛i ÿ̿c bi͏t.
II: S͵ dͭng ph˱˯ng pháp th͇ l˱ͫng giác ÿ͋ xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙
III: Ͱng dͭng cͯa bài toán xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ vào gi̫i m͡t s͙ bài toán v͉
dãy s͙ - t͝ hͫp .
Mӝt sӕ kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ này ÿã có ӣ mӝt sӕ sách tham khҧo vӅ dãy sӕ, tuy
nhiên trong chuyên ÿӅ các kӃt quҧ ÿó ÿѭӧc xây dӵng mӝt cách tӵ nhiên hѫn và ÿѭӧc sҳp
xӃp tӯ ÿѫn giҧn ÿӃn phӭc tҥp giúp các em hӑc sinh nҳm bҳt kiӃn thӭc dӉ dàng hѫn và
phát triӇn tѭ duy cho các em hӑc sinh.
Trong quá trình viӃt chuyên ÿӅ, chúng tôi nhұn ÿѭӧc sӵ ÿӝng viên, giúp ÿӥ nhiӋt
thành cӫa BGH và quý thҫy cô tә Toán Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong. Chúng tôi
xin ÿѭӧc bày tӓ lòng biӃt ѫn sâu sҳc.
Vì năng lӵc và thӡi gian có nhiӅu hҥn chӃ nên ӣ chuyên ÿӅ sӁ có nhӳng thiӃu sót. Rҩt
mong quý Thҫy – Cô và các bҥn ÿӗng nghiӋp thông cҧm và góp ý ÿӇ chuyên ÿӅ ÿѭӧc tӕt hѫn. - 3 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
MӜT SӔ PHѬѪNG PHÁP XÁC ĈӎNH
CÔNG THӬC TӘNG QUÁT CӪA DÃY SӔ
I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ
DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT.
Trong mөc này chúng tôi xây dӵng phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy
sӕ có công thӭc truy hӗi dҥng ÿһc biӋt. Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên
các kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC , kӃt hӧp vӟi phѭѫng pháp chӑn thích hӧp. Trѭӟc hӃt
chúng ta nhҳc lҥi mӝt sӕ kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC .
1. Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng và cҩp sӕ nhân
1.1: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng
Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ U U = U + D N ∀ ≥
N có tính chҩt N N −
, D là sӕ thӵc không ÿәi gӑi là cҩp sӕ cӝng .
D : gӑi là công sai cӫa CSC; U U
: gӑi sӕ hҥng ÿҫu, N gӑi là sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ
Ĉ͓nh lí 1: Cho CSC U
U = U + N − D N . Ta có : N (1).
Ĉ͓nh lí 2: Gӑi 3 U
N là tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSC
N có công sai d. Ta có: N
3 = ;U + N − D= N (2).
1. 2: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ nhân
Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ U U
QU ÅÅÅ N
N có tính chҩt N + = ∀ ∈ ` N gӑi là cҩp sӕ nhân công bӝi Q . Ĉ͓ N
nh lí 3: Cho CSN U U U Q − =
N có công bӝi Q . Ta có: N (3).
Ĉ͓nh lí 4: Gӑi 3 U
N là tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSN
N có công bӝi Q . Ta có: N Q 3 = U N (4). Q - 4 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
2. Áp dөng CSC – CSN ÿӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ ÿһc biӋt
Ví dͭ 1.1: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ U ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi:
U = ÅU = U − ÅÅÅÅÅÅÅ N ∀ ≥ N N − . Giҧi: Ta thҩy dãy U D = −
N là mӝt CSC có công sai
. Áp dөng kӃt quҧ (1) ta có:
U = − N − = −N + N .
Ví dͭ 1.2: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ U ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi:
U = ÅU = U ÅÅÅÅÅÅÅ N ∀ ≥ N N − . Giҧi: − Ta thҩy dãy U Q = U = N
N là mӝt CSN có công bӝi . Ta có: N .
Ví dͭ 1.3: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy U ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi: U = − ÅÅU = U − ÅÅÅÅÅÅÅ N ∀ ≥ N N − . Giҧi:
Trong bài toán này chúng ta gһp khó khăn vì dãy U
N không phҧi là CSC hay CSN! Ta thҩy dãy U − ӣ
N không phҧi là CSN vì xuҩt hiӋn hҵng sӕ VT. Ta tìm cách làm mҩt
− ÿi và chuyӇn dãy sӕ vӅ CSN. Ta có: − = −
+ nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau: U − = U − = U − N N − N − (1).
Ĉһt V = U − V = − V = V ÅÅ N ∀ ≥ V Q = N N và . Dãy là CSN công bӝi N N − N N N− N
V = V Q − = − U = V + = − + N ∀ = N . Vұy . N N
Nh̵n xét: Mүu chӕt ӣ cách làm trên là ta phân tích − = − + ÿӇ chuyӇn công thӭc
truy hӗi cӫa dãy vӅ (1), tӯ ÿó ta ÿһt dãy phө ÿӇ chuyӇn vӅ dãy V N là mӝt CSN. Tuy
nhiên viӋc làm trên có vҿ không tӵ nhiên lҳm! Làm thӃ nào ta biӃt phân tích
− = − + ? Ta có thӇ làm nhѭ sau: - 5 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Ta phân tích − = K − K K = . U ° = X
Vӟi cách làm này ta xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy U N ® . U ° = AU + BÅÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − Thұt vұy:
* NӃu A = thì dãy U =
U = U + N − B
N là CSC có công sai D B nên N . AB B
* NӃu A ≠ , ta viӃt B = −
. Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ A − A − B B B B N − sau: U + = AU + U + = U + A N N − , tӯ ÿây ta có ÿѭӧc: A − A − N A − A − N − N − A − Hay U = U A + B N . A − Vұy ta có kӃt quҧ sau:
Dҥng 1: Dãy sӕ U U = X ÅU = AU + BÅ N ∀ ≥ A B ≠ N N N − ( là các hҵng sӕ) có CTTQ là: U
+ N − BÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅA = ° U N = − ® ÅÅÅ N . N − A − U ° A + B ÅÅKHIÅA ≠ ¯ A −
Ví dͭ 1.4: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U ÿѭӧ
U = ÅU = U + N − N c xác ÿӏnh : N N − .
Giҧi: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ ta tìm cách làm mҩt N − ÿӇ chuyӇn vӅ dãy sӕ là mӝt
CSN. Muӕn làm vұy ta viӃt : N − =
− N − + ªN − + º ¬ ¼ (2).
Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ sau:
U + N + = U ª + N − + º N ¬ N ¼ . Ĉһ N − N −
t V = U + N + V = V = V Å N ∀ ≥ V = V = N N , ta có: và N N − N N
Vұy CTTQ cӫa dãy U U = V − N − = − N − ÅÅ N ∀ = N N N .
Chú ý : 1) ĈӇ phân tích ÿѭӧc ÿҷng thӭc (2), ta làm nhѭ sau: - 6 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ A ° − B = A ° = −
N − = AN + B − A ª N − + Bº ¬
¼ . Cho N = N = ta có: ® ⇔ ® . B °− = B ¯ ° = − ¯ U °
2) Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy (U F N N ) ® , trong ÿó U ° = AU
+ F N ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N −
là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N , ta xác ÿӏnh CTTQ nhѭ sau:
Phân tích F N = GN − AGN − (3) vӟi GN cNJng là mӝt ÿa thӭc theo N . Khi ÿó ta N −
có: U − GN = A U ª
− GN − º = = A U ª − G º N ¬ N− ¼ ¬ ¼ N −
Vұy ta có: U = U ª − G ºA + GN N ¬ ¼ .
Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh GN nhѭ thӃ nào ? Ta thҩy :
*NӃu A = thì GN − AGN − là mӝt ÿa thӭc có bұc nhӓ hѫn bұc cӫa GN mӝt bұc và
không phө thuӝc vào hӋ sӕ tӵ do cӫa GN , mà F N là ÿa thӭc bұc K nên ÿӇ có (3) ta
chӑn GN là ÿa thӭc bұc K + , có hӋ sӕ tӵ do bҵng không và khi ÿó ÿӇ xác ÿӏnh GN
thì trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N bҩt kì ta ÿѭӧc hӋ K + phѭѫng trình,
giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc các hӋ sӕ cӫa GN .
* NӃu A ≠ thì GN − AGN − là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi GN nên ta chӑn GN là
ÿa thӭc bұc K và trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N thì ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc GN . Vұy ta có kӃt quҧ sau: U ° = X
Dҥng 2: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi: ® , trong U ° = AU + F N ¯ N N −
ÿó F N là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N ; A là hҵng sӕ. Ta làm nhѭ sau:
Ta phân tích: F N = GN − AGN − vӟi GN là mӝt ÿa thӭc theo N . Khi ÿó, ta ÿһt
V = U − GN N − U = U ª − G ºA + GN N N ta có ÿѭӧc: N ¬ ¼ .
Lѭu ý nӃu A = , ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K + có hӋ sӕ tӵ do bҵng không, còn nӃu
A ≠ ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K . U ° =
Ví dͭ 1.5: Cho dãy sӕ U U N ® . Tìm CTTQ cӫa dãy . U ° = U + N + N ¯ N N −
Giҧi: Ta phân tích N + = GN − GN − = A N ª
− N − º + B N ª − N − º ¬ ¼ ¬ ¼ - 7 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
( trong ÿó GN = AN + BN ). ° A − + B = A ° =
Cho N = N = ta có hӋ: ® ⇔ ®
GN = N + N . A ° + B = B ¯ ° = ¯
U = N + N − N . U ° =
Ví dͭ 1.6: Cho dãy sӕ U U N ® .Tìm CTTQ cӫa dãy . U N ° = U + N ÅÅÅN = ¯ N N −
Giҧi: Ta vүn bҳt chѭӟc cách làm trong các ví dө trên, ta phân tích: N N N − = A − A N N N −
. Cho N = , ta có: A = − = − + N N − N −
Nên ta có: U + = U + = = U + N N − N − N + Vұy U = − N .
Chú ý : Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy U U = AU + N B α N N N − , ta phân tích N N N α Kα AKα − = − vӟi A ≠ α . N N N −
Khi ÿó: U − K B α = A U − KB α − = = A U − BK N ( N − ) ( ) N − N Suy ra U = A
U − BK + BKα N . N N N
Trѭӡng hӧp α = A , ta phân tích α Nα αN α − = − −
U − BN N α = α U − B N − α − =
= α − U − Bα N ( N N − ) N U B N N N α U α − = − + N . Vұy ta có kӃt quҧ sau. U °
Dҥng 3: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N ® , ta làm nhѭ U ° = AU + N B α Å N ∀ ≥ ¯ N N − sau: •Å NӃu A α U B N N N α U α − = = − + N . •Å N N N N − N
NӃu A ≠ α , ta phân tích α Kα AKα − = −
. Khi ÿó: U = A
U − BK + BKα N α Ta tìm ÿѭӧc: K = . α − A - 8 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ U ° = −
Ví dͭ 1.7: Tìm CTTQ cӫa dãy U N ® . U ° = U
+ N − N + ÅÅN = Å ¯ N N − N N N − ° = K − K K ° = − °
Giҧi: Ta có: ® cho N = , ta ÿѭӧc: ® N N N − ° = L − L ¯ L ° = °¯ Hѫn nӳa =
− + nên công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt lҥi nhѭ sau:
U + N + N + = U − − − + + + = = U + + + N ( N N N − ) N N − N + N + Vұy U = − − − N . U ° =
Ví dͭ 1.8: Tìm CTTQ cӫa dãy U N ® . U ° = U
+ N − N ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N N N − ° = −
Giҧi: Ta phân tích: ®
nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy N ° = N − − + ª N − + º ¯ ¬ ¼ N N ª − N º −
nhѭ sau: U − − N − = U −
− N − − = = U − N N ¬ − ¼ N − N + Vұy U = − + + N + N . U ° = P
Dҥng 4: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N ® , trong U ° = AU + N
B α + FN ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − ÿ N
ó F N là ÿa thӭc theo N bұc K , ta phân tích α và F N nhѭ cách phân tích ӣ dҥng 2 và dҥng 3.
Ví dͭ 1.9: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U U =
− U = ÅU = U − U Å N ∀ ≥ N N N − N −
Giҧi: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ trên, ta thay thӃ dãy U
N bҵng mӝt dãy sӕ khác là
mӝt CSN. Ta viӃt lҥi công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau: - 9 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ X ° + X = U − X U = X U − X U X X X X N N − N −
N − , do ÿó ta phҧi chӑn ® hay là X X ° = ¯
nghiӋm phѭѫng trình :X − X + = ⇔ X = X = . Ta chӑn X = X = . Khi ÿó: N − N − U − U = U − U = = U − U = N N − N − N − − U = U + N N N U = − N N −
. Sӱ dөng kӃt quҧ dҥng 3, ta tìm ÿѭӧc: N .
Chú ý : Tѭѫng tӵ vӟi cách làm trên ta xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi: U ° ÅU ® , trong ÿó
A B là các sӕ thӵc cho trѭӟc và A − B ≥ U ° − AU + B U ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − nhѭ sau: Gӑi X X
X − AX + B = ÅÅÅ
là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình : ( phѭѫng trình này
ÿѭӧc gӑi là phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa dãy). N −
Khi ÿó: U − X U = X U − X U = = X
U − X U N N − N − N − .
Sӱ dөng kӃt quҧ cӫa dҥng 3, ta có các trѭӡng hӧp sau: X U − U U − XU •Å N N N N NӃu X ≠ X U = X + X
U = KX + LX thì N . Hay , trong ÿó X − X Y − X N K ° + L = U
KL là nghiӋm cӫa hӋ: ® . X K ° + X L = U ¯ ªU A AU º •Å N NӃu X = X = α U = α − « + U − N U KN L N α − = + thì N » , hay , trong « N ¬ »¼ L ° = αU
ÿó KL là nghiӋm cӫa hӋ: ® . K ° + L = U ¯ Vұy ta có kӃt quҧ sau: U ° ÅU
Dҥng 5: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N : ® , trong U ° − AU + B U = ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − ÿ ó A
B C là các sӕ thӵc khác không; A − B ≥ ta làm nhѭ sau: Gӑi X X
X − AX + B =
là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng: . - 10 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ K ° + L = U •Å N N NӃu X ≠ X
U = KX + LX K L thì N , trong ÿó là nghiӋm cӫa hӋ : ® . X K ° + X L = U ¯ L ° = αU •Å NӃu X = X = α U KN L N α − = + K L thì N
, trong ÿó là nghiӋm cӫa hӋ: ® . K ° + L = U ¯ U ° = U =
Ví dͭ 1.10: Cho dãy sӕ (U ÿѭӧ N ) c xác ÿӏnh bӣi : ® . U ° = U + U ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N+ N N −
Hãy xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N . Giҧi:
Phѭѫng trình X − X − = có hai nghiӋm X = + ÅX = − . K ° + L = U = K N X + L N X U = U = N . Vì nên ta có hӋ: ®
° + K + − L = ¯ ⇔ K = L = ª N N . Vұy U º = + + − N ¬ ¼ . U ° = U =
Ví dͭ 1.11: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy: U N ® . U ° − U + U = Å N ∀ = ¯ N N − N − Giҧi: −
Phѭѫng trình ÿһc trѭng X − X + = có nghiӋm kép X = nên U = KN + L N N L ° = Vì U = U = ® ⇔ K = L = nên ta có hӋ: . K ° + L = ¯ −
Vұy U = N + N N . U ° = − U =
Ví dͭ 1.12: Cho dãy U N ® . Xác ÿӏnh U ° − U + U
= N + N + ÅÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − CTTQ cӫa dãy U N . Giҧi:
Vӟi cách làm tѭѫng tӵ nhѭ Ví dͭ 1.4, ta phân tích: N + N + = - 11 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ KN LN T K
ª N LN Tº K
ª N LN Tº = + + − − + − + + − + − + ¬ ¼ ¬ ¼ (5) K L T K − + = = ° °
Ӣ (5) cho N = N = N = ta có hӋ:
® K − L + T = ⇔ L ® = . ° K L T T ° − − + = = ¯ ¯ Ĉһ
t V = U − N − N − V = − V = − V − V + V = N N và N N − N − α ° + β = − α ° =
V = αN + βN ® ⇔ N . Ta có hӋ: ® ° α + β = − ¯ °β = − ¯ N N N N
V = − U = − + N + N + N N . U ° U
Chú ý : ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ: U N ® , U ° + AU + B U
= F N ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N+ N N −
( trong ÿó F N là ÿa thӭc bұc K theo N và A − B ≥ ) ta làm nhѭ sau:
•Å Ta phân tích F N = GN + AGN − + BGN − (6) rӗi ta ÿһt V = U − GN N N V
° = U − G V = U − G Ta có ÿѭӧc dãy sӕ V N ®
. Ĉây là dãy sӕ mà ta ÿã xét V ° + AV + BV = Å N ∀ ≥ ¯ N N − N −
trong dҥng 5. Do ÿó ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa V U N N .
•Å Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh GN nhѭ thӃ nào ÿӇ có (6) ?
Vì F N là ÿa thӭc bұc K nên ta phҧi chӑn GN sao cho GN + AGN − + BGN − là
mӝt ÿa thӭc bұc K theo N . Khi ÿó ta chӍ cҫn thay K + giá trӏ bҩt kì cӫa N vào (6) ta sӁ
xác ÿӏnh ÿѭӧc GN . M M Giҧ sӱ −
GN = A N + A N
+ + A N + A A ≠ M M − M
) là ÿa thӭc bұc M . Khi ÿó hӋ M M
sӕ cӫa X và X − trong VP là: A + A + B ª
− A + B MA + + A + B A º M và ¬ M M − ¼ . Do ÿó : I
NӃu PT: X + AX + B = (1) có nghiӋm hai nghiӋm phân biӋt khác thì
+ A + B ≠ nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M .
II NӃu PT (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó có mӝt nghiӋm X = + A + B = và
− A + B MA + + A + B A =
− A + B MA ≠ M M − M
nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M − .
III NӃu PT (1) có nghiӋm kép X = A =
− B = nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M − .
Vұy ÿӇ chӑn GN ta cҫn chú ý nhѭ sau: - 12 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, thì GN là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N
NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, trong ÿó mӝt nghiӋm bҵng thì ta chӑn
GN = NHN trong ÿó HN là ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N .
NӃu (1) có nghiӋm kép X = thì ta chӑn
GN = N HN trong ÿó HN là ÿa thӭc
cùng bұc vӟi F N . U ° U
Dҥng 6: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy U N ® , U ° + AU + B U
= FN ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N −
( trong ÿó F N là ÿa thӭc theo N bұc K và B − AC ≥ ) ta làm nhѭ sau: K
Xét GN là mӝt ÿa thӭc bұc K : GN = A N + + A K + A K . •Å
NӃu phѭѫng trình : X + AX + B = Å có hai nghiӋm phân biӋt, ta phân tích
F N = GN + AGN − + BGN − rӗi ÿһt V = U − GN N N .
•Å NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó mӝt nghiӋm X = , ta phân tích
F N = NGN + AN − GN − + BN − GN − rӗi ÿһt V = U − NGN N N .
•Å NӃu (1) có nghiӋm kép X = , ta phân tích
F N = N GN + AN − GN − +
B N − GN −
rӗi ÿһt V = U − N GN N N . U ° = U =
Ví dͭ 1.13: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N ® . U ° − U + U = N + Å N ∀ ≥ ¯ N N − N − Giҧi:
Vì phѭѫng trình X − X + = có hai nghiӋm X = X = nên ta phân tích
N + = NKN + L − N − K
ª N − + Lº + N − K ª N − + Lº ¬ ¼ ¬
¼ , cho N = N = ta °K − L = có hӋ: ® ⇔ K = − L = − . K ° − L = ¯
Ĉһt V = U + NN + V = V = V − V + V = N N và N N − N − α ° + β =
V = αN + βN α β ® ⇔ α = β = − N vӟi ° α + β = ¯ N N + V = − U =
− N − N − ÅÅ N ∀ = N N . - 13 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ U ° = − U =
Ví dͭ 1.14: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ U N ® . U ° − U + U = N ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − N N N − N −
Giҧi: Ta phân tích = A − A + A .
Cho N = ta có: = A − A + A ⇔ A = − Ĉһ N
t V = U + V = V = V − V + V = N N và N N − N − N N
Vì phѭѫng trình X − X + = có hai nghiӋm X = X = nên V = α + β N α ° + β = N Vӟi α β ® ⇔ α = β = V = + . ° α + β = N ¯ N + N + Vұy U = − + ÅÅ N ∀ = N .
Chú ý : Vӟi ý tѭӣng cách giҧi trên, ta tìm CTTQ cӫa dãy sӕ U ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi: U U ° ®
(vӟi A − B ≥ ) nhѭ sau: U ° + AU + B U = N C α ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − N N N − N −
Ta phân tích α = Kα + AKα + B Kα (7).
Cho N = thì (7) trӣ thành: Kα + Aα + B = α α
Tӯ ÿây, ta tìm ÿѭӧc K =
khi α không là nghiӋm cӫa phѭѫng trình : α + Aα + B
X + AX + B = (8). V
° = U − K CV = U − KCα
Khi ÿó, ta ÿһt V = U − K N C α V N N , ta có dãy N ®V ° + AV + BV = ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − V = N P X + Q N X ÅÅX X N là hai nghiӋm cӫa (8)). U = N P X + Q N X + K N C α N .
Vұy nӃu X = α là mӝt nghiӋm cӫa (8), tӭc là: α + Aα + B = thì ta sӁ xӱ lí thӃ nào ?
Nhìn lҥi cách giҧi ӣ dҥng 3, ta phân tích : N N N − N −
α = KNα + AKN − α + BKN − α (9). α A
Cho N = ta có: αKα + A = α ⇔ Kα + A = α ⇔ K = ÅÅα ≠ − . α + A
có nghiӋm K ⇔ α là nghiӋm ÿѫn cӫa phѭѫng trình (8). N N N Khi ÿó: U =
P X + QX + KCNα N . - 14 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ A
Cuӕi cùng ta xét trѭӡng hӧp X = α = − là nghiӋm kép cӫa (8). Vӟi tѭ tѭӣng nhѭ trên, N N N − N −
ta sӁ phân tích: α = KN α + AKN − α + BKN − α (10). α
Cho N = ta có: ⇔ α = Kα + AKα K = = . α + A N N N Khi ÿó: U =
P X + QX + CN α N . Vұy ta có kӃt quҧ sau: U U °
Dҥng 7: Cho dãy sӕ U N xác ÿӏnh bӣi: ® . U ° + AU + B U = N C α Å N ∀ ≥ ¯ N N − N −
ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N ta làm nhѭ sau:
Xét phѭѫng trình : X + AX + B = Å
•Å NӃu phѭѫng trình (11) có hai nghiӋm phân biӋt khác α thì α U = N P X + Q N X + K N C α K = N vӟi . α + Aα + B
•Å NӃu phѭѫng trình (11) có nghiӋm ÿѫn X = α thì α U = N P X + Q N X + KCN N α K = N vӟi . α + A •Å N
NӃu X = α là nghiӋm kép cӫa (11) thì : U = P + QN + CN α N . U ° = −U =
Ví dͭ 1.15: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N ® . U ° − U + U = N Å N ∀ ≥ ¯ N N − N − Giҧi:
Phѭѫng trình X − X + = có hai nghiӋm X = X = , do ÿó U = N P
+ QN + KNN N . - 15 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ α K ° = = = − α + A − ° Vӟi ®P + Q = − ⇔ K =
− P = −Q = .
° P + Q + K = ° ¯ N N N N N + Vұy U = −
+ − N = − N + N ∀ = N . °U U = =
Ví dͭ 1.16: Tìm CTTQ cӫa dãy U N ® . °U U U N − ¯ N N − + N − = Giҧi: N
Phѭѫng trình X − X + = có nghiӋm kép X = nên U = P + QN + N N °P = Dӵa vào U U ® ⇔ P = Q = − ta có hӋ: . P ° + Q = ¯ N −
Vұy U = N − N + Å N ∀ = N .
Vӟi cách xây dӵng tѭѫng tӵ ta cNJng có ÿѭӧc các kӃt quҧ sau: U ° U U
Dҥng 8: Cho dãy (u ) : .ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ n ®U ° + AU + BU + CU = Å N ∀ ≥ ¯ N N − N − N −
cӫa dãy ta xét phѭѫng trình: X + AX + BX + C = (12) .
•Å NӃu (12) có ba nghiӋm phân biӋt X X N N N
X U = αX + βX + γX N . Dӵa vào U U U α β γ ta tìm ÿѭӧc .
•Å NӃu (12) có mӝt nghiӋm ÿѫn, 1 nghiӋm kép:
X = X ≠ X U = α + βN N X + γ N X N
Dӵa vào U U U α β γ ta tìm ÿѭӧc . •Å
NӃu (12) có nghiӋm bӝi 3 X = X = X U = α + βN + γ N N X N .
Dӵa vào U U U α β γ ta tìm ÿѭӧc . U ° = U = U =
Ví dͭ 1.17: Tìm CTTQ cӫa dãy U N ®U ° = U − U + U ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − N − - 16 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Giҧi : Xét phѭѫng trình ÿһc trѭng : X − X + X − =
Phѭѫng trình có 3 nghiӋm thӵc: X = X = ÅX =
Vұy A = α + βN + γ N N
Cho N = ÅN = ÅN = và giҧi hӋ phѭѫng trình tҥo thành, ta ÿѭӧc α = − Åβ = Åγ = 1 3 1 Vұy a (n ) 1 1 .5 − = − + − + n . n 16 4 16 U ° = ÅÅU = U + V
Ví dͭ 1.18: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ N N − N − U V ® Å N ∀ ≥ N N . V ° = ÅÅÅV = U + V ¯ N N − N − Giҧi:
Ta có: U = U + U + V = U + U + U − U N N − N − N − N − N − N − N − U = U − U U = N N − N − và N + N + + − + Tӯ ÿây, ta có: U = V = U − U = N N N + . N
Tѭѫng tӵ ta có kӃt quҧ sau: X ° = PX + QY ÅÅÅX
Dҥng 9: Cho dãy N N − N − X Y N N ®
. ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy Y ° = RY + SX ÅÅÅY ¯ N N − N − X Y N N ta làm nhѭ sau:
Ta biӃn ÿәi ÿѭӧc: X − P + S X
+ PS − QR X = X N N − N −
tӯ ÿây ta xác ÿӏnh ÿѭӧc N ,
thay vào hӋ ÿã cho ta có ÿѭӧc YN .
Chú ý : Ta có thӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ trên theo cách sau: Q − λR X °
− λY = P − S λ X − Y N N N − N − ° S λ − P
Ta ÿѭa vào các tham sӕ phө λ , λ ' ® Q + λ R X °
+ λ Y = P + λ S X + Y N N N − N − °¯ P + λ S - 17 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Q − λR °λ = ° X − ° − Y λ = P − S λ X − λY S λ P Ta chӑn λ , ' λ sao cho N N N − N − ® ® Q + λ R X ° °
+ λ Y = P + λ S X + λ Y = ¯ N N N − N − λ °¯ λ S + P N − X ° − Y λ = P − S λ X − λY N N ®
giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc ( x ), y . n ( n ) N − X °
+ λ Y = P + λ S X + λ Y ¯ N N U = °
Ví dͭ 1.19: Tìm CTTQ cӫa dãy U ® U N N − . U = ÅÅ N ∀ ≥ ° N U ¯ + N − U + Giҧi: Ta có N − = = + . Ĉһt X = , ta có: U U U N U N N − N − N X = ° N − − ® X = U = . X N N ° = X + N − N N − − ¯ U = °
Ví dͭ 1.20: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ U ® − U − N N − . U = ÅÅ N ∀ ≥ ° N U ¯ + N −
Giҧi: Bài toán này không còn ÿѫn giҧi nhѭ bài toán trên vì ӣ trên tӱ sӕ còn hӋ sӕ tӵ do,
do ÿó ta tìm cách làm mҩt hӋ sӕ tӵ do ӣ trên tӱ sӕ. Muӕn vұy ta ÿѭa vào dãy phө bҵng
cách ÿһt U = X + T N N
. Thay vào công thӭc truy hӗi, ta có: − X − T − − − T X − T − T − N − N − X + T = X = N X + T + N X + T + N − N −
Ta chӑn T T + T + = T = − X = N − XN− − X = = + = X = N N N − X + X X X N − N N − N − N − − + U = X − = N N . N − − - 18 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ PU + Q
Dҥng 10: Cho dãy (U U = α Å N U − = ÅÅ N ∀ ≥ N ): N . ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy (x RU + S n) N − ta làm nhѭ sau:
Ĉһt U = X + T N N
, thay vào công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta có: PX + PT + Q
P − RT X
− RT + P − S T + Q N − N − X = − T = N (13). RU + RT + S RX + RT + S N − N −
Ta chӑn T RT + S − P T − Q = . Khi ÿó ta chuyӇn (13) vӅ dҥng: = A + B X X N N − Tӯ ÿây ta tìm ÿѭӧc , suy ra U . X N N U ° =
Ví dͭ 1.21: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy sӕ U V N N ® và V ° = ¯ U ° = U + V N N − N − ® ÅÅ N ∀ ≥ . V ° = U V ¯ N N − N − Giҧi: U ° = U + V U ° + V = U + V N N − N − Ta có: N N N − N − ® ® V ° = U V U ° − V = U − V ¯ N N − N − ¯ N N N − N − N − N − U °
+ V = U + V = + N N ® N − N − U °
− V = U − V = − ¯ N N N − N − ª º U ° = + + − N « » ° ¬ ¼ ® . N − N − ª º V ° = + − − N « » °¯ ¬ ¼ - 19 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ § U · N − ¨ ¸ + U ° = U + V U U + V ¨ V ¸ N N − N − N N − N − © N− ¹
Nhұn xét: Tӯ ® = = V = U V V U V § · °¯ N N − N − N N − N − UN− ¨ ¸ ¨ V ¸ © N− ¹ X = U ° Do vұy nӃu ta ÿһt N X = X N ta ÿѭӧc dãy sӕ ® X + . Ta có bài toán sau: V N N − X N ° = N X ¯ N − X = °
Ví dͭ 1.22: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ X ® X + N . N − X ° = ÅÅ N ∀ ≥ N X ¯ N − Giҧi: U ° = U ° = U + V Xét hai dãy U V N N − N − ® ÅÅ N ∀ ≥ N N ® và . V ° = ¯ V ° = U V ¯ N N − N − U Ta chӭng minh N X = N (14). VN U •Å N = X = = N = (14) ÿúng. V U X + U + V U •Å Giҧ sӱ N − N − N − N − N X = X = = = ÿѭӧ N − N c chӭng V X U V V N − N − N − N − N minh N − N − + + −
Theo kӃt quҧ bài toán trên, ta có: X = N . N − N − + − − Dҥng 11:
Å Tӯ hai ví dө trên ta có ÿѭӧc cách tìm CTTQ cӫa hai dãy sӕ U V ÿѭӧ N N c xác ÿӏnh U ° = U + AV ÅÅU = α bӣi: N N − N − ®
(trong ÿó A là sӕ thӵc dѭѫng) nhѭ sau: V ° = V U ÅÅÅÅÅÅÅV = β ¯ N N − N − - 20 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ U ° = U + AV U ° + AU = U + AU N N − N − Ta có: N N − N − N − ® ® AV ° = AV U Å U ° − AU = U − AU ¯ N N − N − ¯ N N − N − N − N − N − ª º U ° = α + β A + α − β A N « » ° ¬ ¼ ® . N − N − ª º V ° = α + β A − α − β A N « » °¯ A ¬ ¼ X = α °
Å Áp dөng kӃt quҧ trên ta tìm ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy X N ® X + A . N − X ° = N X ¯ N − U ° = U + AV ÅÅU = α Xét hai dãy N N − N − U V N N ®V ° = V U ÅÅÅÅÅÅÅV = ¯ N N − N − N − N − U α + A + α − A Khi ÿó: N X = = A N . N − N − V N α + A + α − A U = °
Ví dͭ 1.23: Cho dãy U U N ® . Tìm ? U N ° = U + U − Å N ∀ ≥ ¯ N N − N − Giҧi:
Ta có: U = U = U = U = XU + YU . Giҧ sӱ: N N − N − ° X + Y = X ° = ® ⇔ ®
. Ta chӭng minh: U = U − U N ∀ ≥ X ° + Y = Y N N − N − ¯ ° = − ¯
Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta có: U − U = U − N N − N − ⇔ U − U U + U + = N − N N N − N − thay N bӣi , ta ÿѭӧc: U − U U + U − = N − N − N − N − . Tӯ U U
T − U T + U − = N −
N là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình : N − N −
Áp dөng ÿӏnh lí Viet, ta có: U + U = U N N − N − . N − N − − + Vұy U = − + + N . ( ) ( ) - 21 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
D̩ng 12: U = ° Å Dãy U ⇔ A = N ® là dãy nguyên . U ° = U + AU − ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N −
Thұt vұy: U = + A − = + T T = A −
∈ ` U = + T + T + − ( )
U ∈ ] ⇔ FT = T + T + − = M ÅÅM ∈ ] .
Mà T + T + < F T < T + T + kӃt hӧp vӟi F T là sӕ chҹn ta suy ra
M = T + T + X vӟi X ∈ { }
. Thӱ trӵc tiӃp ta thҩy T = A = . U = α ° Å Vӟi dãy sӕ U A − B = N ® , vӟi ta xác ÿӏnh U ° = AU + BU + C ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − CTTQ nhѭ sau:
Tӯ dãy truy hӗi U − AU = BU
+ C ⇔ U − AU U + U − C = N N − N − N N N − N −
Thay N bӣi N − , ta có: U − AU U + U
− C = U + U = AU N − N − N − N − N N − N −. U = α °° Å Vӟi dãy U U ® N − α > A > A − B = N U = ÅÅ N ∀ ≥ ,trong ÿó ; ta N ° A ° + CU + B ¯ N − xác ÿӏnh CTTQ nhѭ sau: A B
Ta viӃt lҥi công thӭc truy hӗi dѭӟi dҥng: = + C + . Ĉһt X = U U N U N N U − N − N Ta có U = AU + BX + C ÿ N N − N −
ây là dãy mà ta ÿã xét ӣ trên. U = U = °
Ví dͭ 1.24: Cho dãy U ® U + U N . Tìm ? N − U N ° = ÅÅ N ∀ ≥ N U ¯ N − Giҧi:
Ta có: U = U = U = U = XU + YU + Z U = U = . Ta giҧ sӱ N N − N − .Tӯ - 22 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ X Y Z X + + = = ° ° U =
®X + Y + Z = ⇔ Y ® = − U = U − U ta có hӋ phѭѫng trình: N N − N − ° X Y Z Z ° + + = = ¯ ¯ U ° = U = Ta chӭng minh U N ® . U ° = U − U ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N −
•Å Vӟi N = U = U − U = N = ÿ úng
•Å Giҧ sӱ U = U − U K K − K − . Ta có: U + U − U + U − U U + U + K ( − − ) K K K − K − K − K − U = = = K + U U U K − K − K − U − U U + U U K − K − K − K − K − = = U − U + U K − K − K − UK− = U − U − U − U = U − U K − K − K − K − K K − N − N − + −
Theo nguyên lí quy nҥp ta có ÿpcm U = − + + N . ( ) ( ) - 23 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
II. SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ
NhiӅu dãy sӕ có công thӭc truy hӗi phӭc tҥp trӣ thành ÿѫn giҧn nhӡ phép thӃ lѭӧng giác.
Khi trong bài toán xuҩt hiӋn nhӳng yӃu tӕ gӧi cho ta nhӟ ÿӃn nhӳng công thӭc lѭӧng
giác thì ta có thӇ thӱ vӟi phѭѫng pháp thӃ lѭӧng giác. Ta xét các ví dө sau U ° =
Ví dͭ 2.1: Cho dãy U ® U N . Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy N . U ° = U − ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − Giҧi:
Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy, ta liên tѭӣng ÿӃn công thӭc nhân ÿôi cӫa hàm sӕ côsin π π π Ta có: U = = COS U = COS − = COS π π π U = COS − = COS U = COS .... N − π Ta chӭng minh U = COS N . Thұt vұy − π • π
Å Vӟi N = U = COS = COS (ÿúng) N − N − N − π π • π Å Giҧ sӱ U = COS U = U − = COS − = COS N − N N − N − π Vұy U = COS N ∀ ≥ N . U °
Dҥng 13: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ U N ® ta làm nhѭ U ° = U − ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − sau: •Å − NӃu \ U \≤ U = COSα U = COSN α , ta ÿһt . Khi ÿó ta có: N . •Å NӃu \ U \> U = A + A ≠ U ta ÿһt ( trong ÿó và cùng dҩu vӟi ). A
Khi ÿó U = A + + − = A + U = A + .... A A A - 24 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ N −
Ta chӭng minh ÿѭӧc U = A + ÅÅ N ∀ ≥ N
. Trong ÿó A là nghiӋm (cùng dҩu N − A vӟi U A − U A + = ) cӫa phѭѫng trình :
. Vì phѭѫng trình này có hai nghiӋm có
tích bҵng nên ta có thӇ viӃt CTTQ cӫa dãy nhѭ sau N − N − ª º § · § U ¨U U ¸ ¨U U · « » = − − + + − N ¸ . «© ¹ © ¹ » ¬ ¼ U ° =
Ví dͭ 2.2: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ U N ® . U ° = U − U ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − Giҧi: π π π π π Ta có: U = = COS U = COS − COS = COS U = COS ..... N − π
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: U = COS N . Dҥng 14: U ° = P Å ĈӇ
tìm CTTQ cӫa dãy U N ® , ta làm nhѭ sau U ° = U − U Å N ∀ ≥ ¯ N N − N − •Å NӃu \ P \≤ α
∃ ∈ ªπ º COSα = P ¬ ¼ . −
Khi ÿó bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc : U = COS N α N . § ·
•Å NӃu \ P \> , ta ÿһt U = A ¨ + U
¸ (A cùng dҩu vӟi ) A © ¹ § N − ·
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc U = ¨A + ¸ N ¨ . N − ¸ © A ¹ N − N − ª º § · § · Hay U «¨U U ¸ ¨U U » = − − + + − N ¸ . «© ¹ © ¹ » ¬ ¼
Å Tӯ trѭӡng hӧp thӭ hai cӫa bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ cӫa dãy sӕ - 25 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ U ° = P U U = A − N ® bҵng cách ÿһt . Khi ÿó bҵng quy nҥp U ° = U + U Å N ∀ ≥ ¯ A N N − N − ta chӭng minh ÿѭӧc : N − N − ª º § N − · § · § U ¨A ¸ ¨U U ¸ ¨U U · « » = − = + + + − + N ¸ ¨ . N − ¸ © A «© ¹ © ¹ » ¹ ¬ ¼
Chú ý : Trong mӝt sӕ trѭӡng hӧp ta xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy U N cho bӣi: U ° ® . U ° = U + AU + BU + CÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N − N −
Bҵng cách ÿѭa vào dãy phө ÿӇ chuyӇn dãy ÿã cho vӅ mӝt trong hai dҥng ӣ trên.
Ví dͭ 2.3: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U U = N và U = U − U + U − ÅÅ N ∀ ≥ N N − N − N − . Giҧi:
Ĉһt U = XV + Y N N
. Thay vào công thӭc truy hӗi cӫa dãy, biӃn ÿәi và rút gӑn ta ÿѭӧc
XV + Y = X V
+ X Y − X V
+ XY − XY + X V + N N − N − N −
+Y − Y + Y − . ° X Y − X = Ta chӑn Y ® ⇔ Y = .
° Y − Y + Y − = Y ¯
Khi ÿó: XV = X V + XV ⇔ V = X V + V X = N N − N − N N − N − . Ta chӑn V = V + V V = N N − N − và . N − N − ª º V = + + − N . « » ¬ ¼ N − N − ª º Vұy U = + + − + ÅÅÅ N ∀ = N « » . ¬ ¼ - 26 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ U ° =
Ví dͭ 2.4: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U ® N . U ° = − U ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − § π · Giҧi: Ĉһt − = COSα Åα ∈ ¨ π ¸, khi ÿó : © ¹ U =
− COSα U = − COS α = − COSα . −
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc U = − COSN α N . U ° = °
Ví dͭ 2.5: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ U N ® . ° − − UN− U ° = ÅÅ N ∀ ≥ N ¯
Giҧi: Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy, gӧi ta nhӟ ÿӃn công thӭc lѭӧng giác
SIN α + COS α = ⇔ − SIN α = COS α . π − − SIN π − COS π π Ta có: U = = SIN U = = = SIN π
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: U = SIN N . N −
Ví dͭ 2.6: Cho AB là hai sӕ thӵc dѭѫng không ÿәi thӓa mãn A < B và hai dãy A B N N A + B A ° = B = B A ° ÿѭӧ c xác ÿӏnh: ® A B A + B
. Tìm N và N . ° N − N − A = B = A B ÅÅ N ∀ ≥ N N N N − °¯ Giҧi: A A § π · Ta có: < < nên ta ÿһt = COSα vӟi α ∈ ¨ ¸ B B © ¹ B COSα + B B + COSα α α α Khi ÿó: A = = = B COS B = B B COS = B COS và - 27 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ α α B COS + B COS A + B α α α α A = = = B COS COS B = B COS COS và .
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: α α α α α α A = B COS COS COS B = B COS COS COS N và . N N N U = °°
Ví dͭ 2.7: Cho dãy U ® U + − U N . Tính
(Trích ÿ͉ thi N − U ° = Å N ∀ ≥ N ° ¯ + − UN−
Olympic 30 – 4 – 2003 Kh͙i 11). π U + TAN N − π
Giҧi: Ta có TAN = − U = N π − TAN UN− π π TAN + TAN π π π Mà U = = TAN U = = TAN + π π − TAN TAN ªπ π º
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc U = TAN « + N − N » . ¬ ¼ § π π · § π π · Vұy U = TAN ¨ + ¸ = TAN ¨ + ¸ = − + . © ¹ © ¹ U = A °
Chú ý : ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy U ® U + B N N − . U = Å N ∀ ≥ ° N ¯ − BUN−
Ta ÿһt A = TAN αB = TAN β , khi ÿó ta chӭng minh ÿѭӧc: U = TAN α ª + N − β º N ¬ ¼ U = °°
Ví dͭ 2.8: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ U U N ® N − U = ÅÅ N ∀ ≥ . ° N ° + + U ¯ N − - 28 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Giҧi: Ta có: = + + . Ĉһt X =
khi ÿó ta ÿѭӧc dãy X ÿѭӧc xác U U N U N N N U − N − N ÿӏ nh nhѭ sau: X = ÅV¨ÅX = X + + X N N − N − . π + COS π π π π Vì X = = COT X = COT + + COT = = COT π SIN π π
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: X = COT U = TAN Å N ∀ = N − N N N − - 29 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
III. ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ
BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP
Trong mөc này chúng tôi ÿѭa ra mӝt sӕ ví dө các bài toán vӅ dãy sӕ và tә hӧp mà quá
trình giҧi các bài toán ÿó chúng ta vұn dөng mӝt sӕ kӃt quҧ ӣ trên.
Ví dͭ 3.1: Cho dãy sӕ (a ) : a = 0, a = 1, a = 2a − a + 1 n ∀ ≥1. Chӭng minh n 0 1 n +1 n n 1 − rҵng ! = A A + N N + là sӕ chính phѭѫng. Giҧi:
Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta thay n + 1 bӣi n ta ÿѭӧc: A ° = A − A + N + N N − ® A − A + A − A = N + N N − N − . A ° = A − A + ¯ N N − N −
Xét phѭѫng trình ÿһc trѭng λ − λ + λ − = ⇔ λ =
A = α + βN + γN
A = A = A = α = β = γ = N , do .
A = N + N ! = NN + N + N + = N + N + ÿ N pcm.
Ví dͭ 3.2: Cho dãy sӕ X X = X = X = X + X − ÅÅ N ∀ ≥ N N + N N − . Chӭng minh rҵng x 1997 #
(HSG Qu͙c Gia – 1997 ) 1996 Giҧi:
Vì − = MOD do ÿó ta chӍ cҫn chӭng minh dãy X = X + X + # N + N N − . Ĉһt Y = AX
+ B = AX + X
+ + B = AX + B + AX
+ B + A − B N + N + N N − N N − = Y + Y + A − B N N − .
Ta chӑn a, b sao cho: A − B = , ta chӑn A = B = . Y = X
+ Y = Y = Y = Y + Y N + N + N + N N − N N − + +
Tӯ ÿây ta có ÿѭӧc: Y = Y = N . Vì + ≡ − + = MOD Y ∈ ] Theo ÿӏnh lí Fecma ≡ MOD Y ≡ MOD X + ≡ MOD X ≡ MOD . - 30 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Nh̵n xét: Tӯ bài toán trên ta có kӃt quҧ tәng quát hѫn là: X #P P −
vӟi P là sӕ nguyên tӕ lҿ. U ° = U =
Ví dͭ 3.3: Cho dãy sӕ U N ® .Tìm sӕ nguyên dѭѫng U ° = U + U + Å N ∀ ≥ ¯ N+ N N −
H bé nhҩt sao cho: U U #ÅÅÅ N ` N + − ∀ ∈ H N
(HSG Qu͙c Gia B̫ng A – 1998 ). Giҧi: A ° = A = Ĉһt A = U + A N N , ta có dãy N ®A ° = A + A Å N ∀ ≥ ¯ N+ N N − N N N N A = − + U = + − − N . N Vì A − A = U − U U − U # ⇔ A − A # = N +H N N +H N N +H N N +H N − N N H H Mà A A ª º − = − − + − N +H N ¬ ¼ H − # N °° •Å H H NӃu H chҹn A − A = − # ⇔ ® − # N +H N (17) °H − # °¯ K
Gӑi K là sӕ nguyên dѭѫng nhӓ nhҩt thӓa mãn − # . Vì − # #K K ∈ { }
thӱ trӵc tiӃp ta thҩy chӍ có K = thӓa mãn
H − # H#ÅÅÅ H
Chӭng minh tѭѫng tӵ, ta cNJng có: − # H #ϕ = ÅÅÅ
Tӯ (18) và (19) ta suy ra ⇔ H # ª º = H ≥ ¬ ¼ .
•Å NӃu H lҿ: Vì U U MOD Å N + ≡ H N U ° ≡ U ≡ MOD Nên ta có: H ® U ≡ U − U − ≡ MOD U ° ≡ U ≡ MOD H − H + H ¯ H+ U #MOD H − H H−
Vì H lҿ H − chҹn U = − U H và H − = − U ≡ U ≡ MOD U ≡ H H − mâu thuүn vӟi MOD H . - 31 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Vӟi H = ta dӉ dàng chӭng minh ÿѭӧc U U MOD ÅÅ N N + ≡ ∀ ≥ H N .
Vұy H = là giá trӏ cҫn tìm. X +
Ví dͭ 3.4: Cho dãy X X = N X = N N + X + N Å Tính X
Å Tìm phҫn nguyên cӫa ! = ¦ XI
(Olympic 30 – 4 – 2000 kh͙i 11 ). I = X −
Giҧi: Ta có: X − N = = + A = A = N + . Ĉһt và X + X − X − N X − N N + N N N + − A = A + A = X = + N + N N N . N + − + a) Ta có:X = − b) Ta có: ! = + ¦ < ! < + ¦ < I + − I I = I = Vұy ; = ! = . + COSα X + COS α
Ví dͭ 3.5: Cho dãy X X = Å N X = N N + .
− COSα X + − COSα N N Ĉһt Y = ¦ ÅÅ N ∀ ≥ Y N
. Tìm α ÿӇ dãy sӕ có giӟi hҥn hӳu hҥn và tìm giӟi X + N I = I
hҥn ÿó. ( HSG Qu͙c Gia B̫ng A – 2004 ). Giҧi: SIN α Ta có = + = + − SIN α N N − X + X + X + N + N N N N N Y = ¦ = ¦ + SIN α¦ − = − + ;N − − =SIN α N I I − X + = I I = I N N I = Vì LIM
= nên dãy Y có giӟi hҥn hӳu hҥn ⇔ SINα = ⇔ α = Kπ N N - 32 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Khi ÿó LIM Y = N . X ° = − X ° =
− X − X Y + Y
Ví dͭ 3.6: Cho hai dãy X Y N + N N N N N ∀ ≥ N N ® và ® . Y ° = ¯ Y °
= X + X Y − Y ¯ N + N N N N
Tìm tҩt cҧ các sӕ nguyên tӕ P sao cho X + Y P
P không chia hӃt cho P . (TH&TT – 327 ) Giҧi: N −
Ta có: X + Y = X + Y = = X + Y = N N N − N − (20)
Giҧ sӱ có mӝt sӕ tӵ nhiên K ÿӇ Y = X Y = K K K + . Khi ÿó, ta có: X ° = − X K + K + ® vô lí. Vұy Y X Y X Y ÅÅ N . X N + = − + ≠ ∀ N N N N ° = ¯ K + X
X − Y X + Y − X + Y Suy ra : N + N N N N N N = − = . Y
X − Y X + Y X − Y N + N N N N N N X − A + Ĉһt N + A = A = − N A = N + N + Y A − N + N N − A + + − A + N = = − = N + A − A + A + A + N N + N N N − − − XN A = = N (21) N − + − YN N − N − N − − − + − − − Tӯ (20) và (21) X = Y = X + Y = N . N N N
* NӃu P = X + Y = # P =
không thӓa yêu cҫu bài toán.
* NӃu P = X + Y = − P = không chia hӃt cho thӓa yêu cҫu bài toán.
* NӃu P = ta thҩy cNJng thӓa yêu cҫu bài toán. P − * NӃu P > −
≡ MOD P X + Y ≡ MOD P P P
Vұy P = P = là hai giá trӏ cҫn tìm. - 33 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ U ° = °
Ví dͭ 3.7: Cho dãy U N ® U . Tính tәng cӫa sӕ N − U ° = ÅÅ N ∀ ≥ N ° N ¯ − U + N −
hҥng ÿҫu tiên cӫa dãy U
N (HSG Qu͙c Gia – 2001 ). Giҧi: Ta có: = + N − (22). U U N N −
Ta phân tích N − = K N ª
− N − º + L N ª − N − º ¬ ¼ ¬
¼ . Cho N = N = , ta có hӋ ° K − + L = − ® ⇔ K = L = . K ° + L = ¯ Suy ra ⇔ − N = − N − = = − = − U U U N N −
N − N − N + = = U N U = = − N N − N + N − N + § · ¦ U = ¦ ¨ − ¸ = − = I . I = I = I © − I + ¹ X = X + + X X ° = ° N N − N − °
Ví dͭ 3.8: Cho hai dãy sӕ X Y ® Y N N xác ÿӏnh : ® và Y ° = N − ¯ Y ° = N ° + + Y ¯ N − N
∀ ≥ . Chӭng minh rҵng < X Y < ÅÅ N ∀ ≥ N N
. (Belarus 1999). Giҧi: π COS + π π π π Ta có: X = = COT X = COT + + COT = = COT π SIN - 34 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ π
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: X = COT N . N − π
Theo kӃt quҧ cӫa ví dө 2.8, ta có: Y = TAN N N − π Ĉһt α =
X = COTα ÅY = TANα X Y = TANα COTα N N N N N N N N N N T
Ĉһt T = TANα TAN α COTα = = N N N . − T T − T π π Vì N ≥ < α < < T < TAN = ≤ − T < N <
< < X Y ≤ ÅÅ N ∀ ≥ ÿpcm. N N − T \ X \< °
Ví dͭ 3.9: Cho dãy sӕ X N ® X − + − X . N N X ° = Å N ∀ ≥ N + ¯
Å Cҫn có thêm ÿiӅu kiӋn gì ÿӕi vӟi X ÿӇ
dãy gӗm toàn sӕ dѭѫng ?
Å Dãy sӕ này có tuҫn hoàn không ? Tҥi sao ? (HSG Qu͙c Gia 1990). Giҧi: § π π · Vì \ X \< α ∈ ¨− SIN ¸ α = X nên tӗn tҥi . Khi ÿó: © ¹ π X = − SINα + COSα = SIN − α π π X = − SIN − α + \ COS − α \ . • π π Å NӃu − ≤ α < X = SINα π π • π Å NӃu −
< α < − X = SINα − .
Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: π π
SINα ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅN = K + ° I Å NӃu −
≤ α < thì: X = ® N π SIN °
− α ÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅN = K ¯ - 35 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ π π π SIN ° α −
ÅÅÅÅKHIÅÅÅN = K + ° II Å NӃu − < α < − thì: X = ® Å K ∀ ≥ . N π
°SIN − α ÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅN = K °¯ SINα > π ° ° < α < ° π
Å Dãy gӗm toàn sӕ dѭѫng ⇔ ® § · ⇔ ® ⇔ π < α < . SIN ° ¨ − α ¸ > π π °− ≤ α < ¯ © ¹ °¯ Vұy < X <
là ÿiӅu kiӋn cҫn phҧi tìm.
Å Dӵa vào kӃt quҧ trên ta có: § π · π
•Å NӃu SINα = SIN ¨ − α ¸ ⇔ α = ⇔ X =
. Khi ÿó tӯ (1) ta có ÿѭӧc © ¹
X = X = = X = X N
N là dãy tuҫn hoàn. °− ≤ X < ° •Å NӃu ®
thì dãy sӕ có dҥng X X X X X ° ≠ °¯
•Å NӃu − < X < −
X X X X X thì dãy sӕ có dҥng
Ví dͭ 3.10: Tính tәng 3 = + + + + N − N ≥ N
, vӟi N là sӕ tӵ nhiên . Giҧi: Ta có: 3 = 3 = 3 + N − và N N − .
Mà: N − = N − N − 3 − N = 3
− N − = = 3 − = N N − Vұy 3 = N N .
Ví dͭ 3.11: Tính tәng 3 = + + + + N N ≥ N
vӟi N là sӕ tӵ nhiên .
Giҧi: Ta có 3 = 3 = 3 + N và N N − (23).
Ta phân tích: N = K N ª
− N − º + L N ª
− N − º + T N ª − N − º ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ - 36 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ K − L + T = °
Cho N = N = N = , ta có hӋ: K ® + L + T =
⇔ K = L = T =
° K + L + T = ¯ ª º ª º ⇔ 3 − N «
+ N + N» = 3 − N «
− + N − + N − N N − » ¬ ¼ ¬ ¼ ª º N + N + N NN + N + 3 − N «
+ N + N» = 3 − = 3 = = N . N ¬ ¼
Ví dͭ 3.12: Tính tәng 3
= + + + NN + N + N ∀ ≥ N .
Giҧi: Ta có: 3 = 3 − 3
= NN + N + N ∀ ≥ và N N − . Do NN N ª N N º ª N N º + + = + − + + − − ¬ ¼ ¬ ¼ −
ª N + − N º − ªN + − Nº ¬ ¼ . ¬ ¼ Ĉһ t F N =
N + + N + − N + − N +
3 − FN = 3
− F N − = = 3 − F = N N −
NN + N + N + 3 = FN = N .
Ví dͭ 3.13: Trong mp cho N ÿѭӡng thҷng, trong ÿó không có ba ÿѭӡng nào ÿӗng quy và
ÿôi mӝt không cҳt nhau. Hӓi N ÿѭӡng thҷng trên chia mһt phҷng thành bao nhiêu miӅn ?
Giҧi: Gӑi A A =
N là sӕ miӅn do N ÿѭӡng thҷng trên tҥo thành. Ta có: .
Ta xét ÿѭӡng thҷng thӭ N + (ta gӑi là D ), khi ÿó D cҳt N ÿѭӡng thҷng ÿã cho tҥi N
ÿiӇm và bӏ N ÿѭӡng thҷng chia thành N + phҫn, ÿӗng thӡi mӛi phҫn thuӝc mӝt miӅn cӫa A A
N . Mһt khác vӟi mӛi ÿoҥn nҵm trong miӅn cӫa N sӁ chia miӅn ÿó thành 2 miӅn,
nên sӕ miӅn có thêm là N + . Do vұy, ta có:A A N N + = + + N NN + Tӯ ÿây ta có: A = + N . - 37 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Chú ý :
Vӟi giҧ thiӃt ӣ trong ví dө trên nӃu thay yêu cҫu tính sӕ miên bҵng tính sӕ ÿa giác tҥo N − N −
thành thì ta tìm ÿѭӧc: A = N .
Ví dͭ 3.14: Trong không gian cho N mһt phҷng, trong ÿó ba mһt phҷng nào cNJng cҳt
nhau và không có bӕn mһt phҷng nào cùng ÿi qua qua mӝt ÿiӇm. Hӓi N mһt phҷng trên
chia không gian thành bao nhiêu miӅn ? Giҧi:
Gӑi BN là sӕ miӅn do N mһt phҷng trên tҥo thành
Xét mһt phҷng thӭ N + (ta gӑi là 0 ). Khi ÿó 0 chia N mһt phҷng ban ÿҫu theo N NN +
giao tuyӃn và N giao tuyӃn này sӁ chia 0 thành + miӅn, mӛi miӅn này nҵm N + N + trong mӝt miӅn cӫa B B = B +
N và chia miӅn ÿó làm hai phҫn.Vұy N + N .
N + N − N + Tӯ ÿó, ta có: B = N .
Ví dͭ 3.15: Trong mӝt cuӝc thi ÿҩu thӇ thao có M huy chѭѫng, ÿѭӧc phát trong N ngày
thi ÿҩu. Ngày thӭ nhҩt, ngѭӡi ta phҩt mӝt huy chѭѫng và sӕ huy chѭѫng còn lҥi.
Ngày thӭ hai, ngѭӡi ta phát hai huy chѭѫng và
sӕ huy chѭѫng còn lҥi. Nhӳng ngày
còn lҥi ÿѭӧc tiӃp tөc và tѭѫng tӵ nhѭ vұy. Ngày sau cùng còn lҥi N huy chѭѫng ÿӇ phát
. Hӓi có tҩt cҧ bao nhiêu huy chѭѫng và ÿã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967).
Giҧi: Gӑi A A = M
K là sӕ huy chѭѫng còn lҥi trѭӟc ngày thӭ K , khi ÿó ta có: K − K § · A = A − A = M ¨ ¸ − − K + K + K K © ¹ N − § N − · § · A = N = M ¨ ¸
− − N + M − = N − N ¨ ¸ © ¹ © ¹ N − Vì () = và
> N − nên ta có N − = ⇔ N = M = .
Vұy có huy chѭѫng ÿѭӧc phát và phát trong ngày. - 38 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Ví dͭ 3.16: Có bao nhiêu xâu nhӏ phân ÿӝ dài N trong ÿó không có hai bit 1 ÿӭng cҥnh nhau?
Giҧi: Gӑi CN là sӕ xâu nhӏ phân ÿӝ dài n thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ÿҫu bài. Ta có C = C = ; .
Xét xâu nhӏ phân ÿӝ dài n thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ÿҫu bài có dҥng A A A A A N N − N − . Có hai trѭӡng hӧp •Å A = A A A A N − N . Khi ÿó N− = và N−
có thӇ chӑn là mӝt xâu bҩt kǤ ÿӝ dài
thӓa ÿiӅu kiӋn. Có C C
N − xâu nhѭ vұy, suy ra trѭӡng hӧp này có N − xâu. •Å A = A A A N − N . Khi ÿó N−
có thӇ chӑn là mӝt xâu bҩt kǤ ÿӝ dài thӓa ÿiӅu kiӋn. Có C C
N − xâu nhѭ vұy, suy ra trѭӡng hӧp này có N − xâu.
Vұy tәng cӝng xây dӵng ÿѭӧc C + C Å C = C + C N −
N − xâu, hay N N − N − . N − N − § · § · − − − + C = ¨ ¸ + ¨ ¸ N ¨ . ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹
Ví dͭ 3.17: Cho sӕ nguyên dѭѫng N . Tìm tҩt cҧ các tұp con ! cӫa tұp
8 = {N} sao cho không tӗn tҥi hai phҫn tӱ XY ∈ ! thӓa mãn: X + Y = N +
(Thͭy SͿ 2006). Giҧi:
ĈӇ giҧi bài toán này ta sӁ ÿi ÿӃm sӕ tұp con ! cӫa 8 thӓa mãn luôn tôn tҥi hai phҫn tӱ
XY ∈ ! sao cho X + Y = N + (ta gӑi tұp ! có tính chҩt 4 ). Gӑi A N
N là sӕ tұp con ! cӫa tұp { } có tính chҩt 4
Khi ÿó các tұp con ! ⊂ {NN + N + } xҧy ra hai trѭӡng hӧp.
TH1: Trong tұp ! chӭa hai phҫn tӱ và N + , trong trѭӡng hӧp này sӕ tұp ! có tính
chҩt 4 chình bҵng sӕ tұp con cӫa tұp gӗm N phҫn tӱ {NN + } và sӕ tұp
con cӫa tұp này bҵng N .
TH2: Trong tұp ! không chӭa ÿҫy ÿӫ hai phҫn tӱ và N + . Khi ÿó ! phҧi chӭa
mӝt tұp ! là tұp con cӫa tұp {NN + }
sao cho có hai phҫn tӱ X Y ∈ !
X + Y = N + . Ta thҩy sӕ tұp con ! nhѭ trên chính bҵng sӕ tұp con cӫa tұp
[N] có tính chҩt 4 (Vì ta trӯ các phҫn tӱ cӫa {NN + } ÿi mӝt ÿѫn
vӏ ta ÿѭӧc tұp [ N] và X Y ∈ ! X + Y = N + ) - 39 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Hѫn nӳa vӟi mӛi tұp ! ta có ÿѭӧc ba tұp ! (bҵng cách ta chӑn ! là ! hoһc [] ∪ !
hoһc [N + ] ∪ ! ) N N N Do vұy: A A A N + = + = − N N N N
Vұy sӕ tұp con thӓa mãn yêu cҫu bài toán là: − A = N . - 40 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Bài tұp áp dөng
Bài 1: Tìm CTTQ cӫa các dãy sӕ sau 1) U = U = U − U + U = N + N ≥ N + N N − N
2) U = U = U − U + U = N ≥ N + N N − N
3) U = U = U − U − U = N + N ≥ N + N N −
4) U = U = U = U = U − U + U N ≥ N N − N − N − U ° = ° 5) ® U + − . N ° − U = ÅÅ N ∀ ≥ N ° ¯ − − UN− B ° = B + B
Bài 2: Cho dãy sӕ {B N N − N − ® N ∈ . N ≥ N } xác ÿӏnh bӣi : ( ) B ° = B = ¯ N § · Chӭng minh rҵng B ≤ N ¨ ¸ ∀ ∈ . N © ¹ U ∈ : +∀ ∈ . N °
Bài 3: Cho dãy sӕ {U U ® = U =
N } thoҧ mãn nhѭ sau : U ° = U − U ÅÅ N
∀ ∈ . ÅN ≥ N N ¯ − N − Chӭng minh : K
∀ ∈ .K ≥ . ÅU + U − U U = − K K − K K − ÅU − U # U − # K K − và K X ° = X =
Bài 4: Cho dãy sӕ XN xác ÿӏnh nhѭ sau: ® . X ° − X + X = ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − N −
Xác ÿӏnh sӕ tӵ nhiên N sao cho : X X N + + = N . - 41 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ X ° = X =
Bài 5: Cho dãy X ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi ® . X ° = X − X ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N+ N N − Tìm LIM X { X N
N } (TH&TT T7/253). § · ¨ A ¸ − −
Bài 6: Xét dãy A A = N A = ¨ ¸ Å N ∀ ≥ N và . N + ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹
Chӭng minh rҵng: A + A + + A <
(TH&TT T10/335).
Bài 7: Cho dãy A A = A
= A + A − Å N ∀ ≥ N N + N N . Hãy xác ÿӏnh CTTQ cӫa A A +
N và chӭng minh rҵng sӕ
có thӇ biӇu diӉn thành tәng bình phѭѫng cӫa N
ba sӕ nguyên liên tiӃp vӟi N
∀ ≥ (TH&TT T6/262). Bài 8: Cho dãy sӕ {
P N } ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: P = P N = P + P + + N − P N − N ∀ ≥ . Xác ÿӏnh
P N (TH&TT T7/244). U ° =
Bài 9: Xét dãy U N ® . Chӭng minh rҵng U ° = U
+ N − N + N − ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − P −
vӟi mӛi sӕ nguyên tӕ P thì ¦ UI chia hӃt cho P (TH&TT T6/286). I = X ° = A
Bài 10: Dãy sӕ thӵc X N ® . X ° = X − ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N+ N
Tìm tҩt cҧ các giá trӏ cӫa A ÿӇ X < ÅÅ N ∀ ≥ N
(TH&TT T10/313). X X
Bài 11: Dãy sӕ X X = X = N + N X = N và N + X + X + X X N + N N + N N
∀ ≥ . Hãy tìm CTTQ cӫa XN (TH&TT T8/298). A ° = °
Bài 12: Cho dãy sӕ A ÿѭӧ A N
c xác ÿӏnh nhѭ sau: N ® A . N − A ° = Å N ∀ ≥ N ° NA ¯ + N −
Tính tәng A + A + + A . - 42 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Bài 13: Cho dãy sӕ A ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi :
A = ÅA = Å A = NN + N + N .
Ĉһt 3 = A + A + + A 3 + N N . Chӭng minh rҵng N là sӕ chính phѭѫng .
(HSG Qu͙c Gia – 1991 B̫ng B )
Bài 14: Cho hai dãy sӕ A B ÿѭӧ A = B = N N c xác ÿӏnh nhѭ sau: và A B N N A = ÅB = A B ÅÅÅ N ∀ ≥ N + N + N + N . A + B N N
Chӭng minh rҵng các dãy A B N và
N có cùng mӝt giӟi hҥn chung khi N → +∞ .
Tìm giӟi hҥn chung ÿó. ( HSG Qu͙c Gia – 1993 B̫ng A ngày thͱ 2)
Bai 15: Cho các sӕ nguyên AB . Xét dãy sӕ nguyên A ÿѭӧ N c xác ÿӏnh nhѭ sau A = AA =
B A = B − A + ÅA = A − A + A Å N ∀ ≥ N + N + N + N
A Å Tìm CTTQ cӫa dãy A N .
B Å Tìm các sӕ nguyên AB ÿӇ A N ∀ ≥
N là sӕ chính phѭѫng vӟi .
(HSG Qu͙c Gia – 1998 B̫ng B). A ° = N Bài 16: Cho dãy sӕ A ¦ N ® . Tính ° − A + A = ÅÅ N ∀ ≥ ¯ N N − I A = I
(Trung Qu͙c – 2004 ). A = °
Bài 17: Cho dãy sӕ A N ® A + A − . Chӭng minh N − N − A ° = ÅÅ N ∀ ≥ N ¯ ÅA N ∀ ≥
N là sӕ nguyên dѭѫng vӟi . ÅA A N ∀ ≥ N + − N là sӕ chính phѭѫng
. ( Trung Qu͙c – 2005 ). U ° = U = U − Bài 18: Cho dãy sӕ U N N ® . Chӭng minh rҵng là sӕ U ° = U − U Å N ∀ ≥ ¯ N N − N −
chính phѭѫng ( Ch͕n ÿ͡i tuy͋n Ngh͏ an – 2007 ). B ° = B = Bài 19: Cho dãy sӕ B ¦ B N ® . Tính
I ( Moldova 2007). B ° + B = B ÅÅ N ∀ ≥ I = ¯ N N − N − - 43 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Bài 20: Có N tҩm thҿ ÿѭӧc ÿánh sӕ tӯ ÿӃn N . Có bao nhiêu cách chӑn ra mӝt sӕ thҿ
(ít nhҩt 1 tҩm) sao cho tҩt cҧ các sӕ viӃt trên các tҩm thҿ này ÿӅu lӟn hѫn hoһc bҵng sӕ tҩm thҿ ÿѭӧc chӑn. U = ÅU > Å N ∀ ≥ N °°
Bài 21: Cho dãy U ÿѭӧ N c xác ÿӏnh bӣi: ® + U − . Chӭng minh N − U ° = ÅÅ N ∀ ≥ N ° U ¯ N − π ª N−º
rҵng U + U + + U ≥ + « − N
» (HSG Qu̫ng Bình 2008 – 2009 ). ¬ ¼
Bài 22: Cho dãy ÿa thӭc : 0X = X − X + và 0 X = 000X N N lҫn. Tìm
sӕ nghiӋm cҧu 0X và 0 X N
? (D tuy͋n Olympic).
Bài 23: Xác ÿӏnh hӋ sӕ
X trong khai triӇn chính quy cӫa ÿa thӭc
1 X = X − − − − − K (có K dҩu ngoһc).
Bài 24: Cho dãy X X = X = X = X − X ÅÅ N ∀ ≥ N N + N N − và dãy sӕ
(Y ) Y = Y = Y = Y −Y ÅÅ N ∀ ≥ N N + N N − . Chӭng minh rҵng:
Y = X + ÅÅ N ∀ ≥ N N
(Canada – 1998 ).
Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có ÿӝ dài các cҥnh là các sӕ tӵ nhiên không vѭӧt quá N
(Macedonian – 1997 ).
Bài 26: Cho dãy sӕ U ÿѭӧ U = U = U = U − U N c xác ÿӏnh nhѭ sau: và N+ N N − vӟi N
∀ ≥ . Chӭng minh rҵng vӟi N ∀ ≥ thì A − N
là mӝt sӕ chính phѭѫng (Ch͕n ÿ͡i
tuy͋n Romania 2002). - 44 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ
Trҧi qua thӵc tiӉn giҧng dҥy, nӝi dung liên quan ÿӃn chuyên ÿӅ vӟi sӵ góp ý cӫa ÿӗng
nghiӋp vұn dөng chuyên ÿӅ vào giҧng dҥy ÿã thu ÿѭӧc mӝt sӕ kӃt quҧ sau
1) Hӑc sinh trung bình trӣ lên có thӇ vұn dөng mӝt sӕ kӃt quҧ cѫ bҧn trong chuyên ÿӅ
vào giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ có dҥng truy hӗi ÿһc biӋt.
2) Hӑc sinh giӓi có thӇ vұn dөng các kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ ÿӇ tham khҧo phөc vө
trong nhӳng kì thi hӑc sinh giӓi cҩp TӍnh và cҩp Quӕc Gia.
3) Tҥo ÿѭӧc sӵ hӭng thú cho hӑc sinh khi hӑc vӅ bài toán dãy sӕ.
4) Là tài liӋu tham khҧo cho hӑc sinh và giáo viên.
5) Qua ÿӅ tài giáo viên có thӇ xây dӵng các bài toán vӅ dãy sӕ.
Bên cҥnh nhӳng kӃt quҧ thu ÿѭӧc, chuyên ÿӅ còn mӝt sӕ hҥn chӃ sau:
1) Trong chuyên ÿӅ chѭa xây dӵng ÿѭӧc phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ
dãy sӕ mà các hӋ sӕ trong công thӭc truy hӗi biӃn thiên.
2) Chѭa ÿѭa vào mӝt sӕ phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ dӵa vào mӝt sӕ kiӃn
thӭc liên quan ÿӃn Toán cao cҩp nhѭ phѭѫng pháp hàm sinh...
Hy vӑng các ÿӗng nghiӋp sӁ phát triӇn, mӣ rӝng và khҳc phөc mӝt sӕ hҥn chӃ nói trên. - 45 -
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
TÀI LIӊU THAM KHҦO
[1] Ĉҥi Sӕ và Giҧi Tích lӟp 11 Nâng Cao
[2] Các bài thi Olympic Toán THPT ViӋt Nam, Tӫ sách TH&TT – NXB GD 2007
[3] Mӝt sӕ bài toán chӑn lӑc vӅ dãy sӕ , NguyӉn Văn Mұu, NXBGD – 2003
[4] Các phѭѫng pháp ÿӃm nâng cao, Trҫn Nam DNJng
[5] Tҥp chí Toán Hӑc Và Tuәi Trҿ
[6] Các diӉn ÿàn Toán hӑc nhѭ: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org …
[7] TuyӇn tұp các chuyên ÿӅ thi Olympic 30 – 4 Khӕi 11
[8] Phép quy nҥp trong hình hӑc, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khәng Xuân HiӇn dӏch xuҩt bҧn năm 1987) - 46 -