Phương trình lượng giác thường gặp – Lê Văn Đoàn

Tài liệu gồm 44 trang được biên soạn bởi thầy Lê Văn Đoàn hướng dẫn phương pháp giải một số dạng phương trình lượng giác thường gặp và một số bài tập nhằm giúp học sinh tự rèn luyện.

29 15 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 69 -

§ 3. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC THÖÔØNG GAËP

Daïng toaùn 1. Phöông trình baäc hai vaø baäc cao theo moät haøm löôïng giaùc

Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác

(cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

sin sin 0

a X b X c

  

sin

t X



1 1

  

cos cos 0

a X b X c

  

cos

t X



1 1

  

tan tan 0

a X b X c

  

tan

t X



X k



 

cot cot 0

a X b X c

  

cot

t X



X k





Nếu đặt

2 2

sin , cos

t X X



hoặc

sin , cos

t X X



thì điều kiện là

0 1.

 

Nhóm 1. Phương trình bậc hai cơ bản

1. Giải:

2 sin sin 1 0.

x x

  

2. Giải:

4 sin 12 sin 7 0.

x x

  

Đặt

sin

x t



thì

[ 1;1].

 

Phương trình trở thành

2 1 0

t t

  

 

(nhận) hoặc

 

(nhận).



Với

1 sin 1 2 .

t x x k



     



Với

1 1

sin

2 2

t x

    

sin sin



 







  











 

x k







  







 





2 ; 2 ; 2 , .

2 6 6

S k k k k

  

 

 

     

 

 

 



 Nhận xét. Có thể trình bày nhanh như sau:

sin 1

2 sin sin 1 0 ...

sin

x x



 



   



 





..............................................................................

Đáp số:

2 ; 2 , .

6 6

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 70 -

3. Giải:

2 cos 5 cos 2 0.

x x

  

4. Giải:

cos 3 cos 2 0.

x x

  

..............................................................................

Đáp số:

{ /3 2 , }.

S k k

 

   



...............

..............................................................................

Đáp số:

{ 2 , }.

S k k



 



.............................

5. Giải:

2 tan 2 3 tan 3 0.

x x

  

6. Giải:

tan (1 3)tan 3 0.

x x

   

..............................................................................

ĐS:

; , .

6 3

S k x k k

 

 

 

     

 

 

 



...

..............................................................................

Đáp số:

; , .

3 4

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



7. Giải:

3 cot (1 3)cot 1 0.

x x

   

8. Giải:

3 cot (1 3)cot 1 0.

x x

   

..............................................................................

Đáp số:

; , .

4 3

S k x k k

 

 

 

    

 

 

 



..............................................................................

Đáp số:

; , .

4 3

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 71 -

Nhóm 2. Sử dụng công thức

2 2

sin 1 cos

sin cos 1 .

cos 1 sin

 



 



  



 





9. Giải:

6 cos 5 sin 2 0.

x x

  

10. Giải:

2 sin 3cos 3 0.

x x

  

.............................................................................

Đáp số:

2 ; 2 .

6 6

S k k

 

 

 

   

 

 

 

.........

..............................................................................

Đáp số:

2 ; 2 , .

S k k k



 

 

 

   

 

 

 



......

11. Giải:

2 cos 5 sin 4 0.

x x

  

12. Giải

2 sin ( 3 4)cos 2 3 2.

x x

   

.............................................................................

Đáp số:

2 ; 2 , .

6 6

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



..............................................................................

Đáp số:

2 , .

S k k



 

 

   

 

 

 



.................

13. Giải:

4 2

4 sin 12 cos 7.

x x

 

14. Giải:

2 4

3 sin 2 cos 2 0.

x x

  

2 2 2

4(sin ) 12(1 sin ) 7 0

x x

    

Đặt

sin

x t



thì

[0;1]



và phương trình

trở thành

4 12 5 0

t t

   

.............................................................................

Đáp số:

, .

4 2

S k

 

 

 

  

 

 

 



.....................

..............................................................................

Đáp số:

; , .

4 2

S k k

 



 

 

  

 

 

 



.............

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 72 -

Nhóm 3. Sử dụng công thức

2 cos 1 (1)

cos 2

1 2 sin (2)







khi cung góc gấp đôi nhau.

15. Giải:

2 cos2 8 cos 5 0.

x x

  

16. Giải:

cos2 5 sin 2 0.

x x

  

2(2 cos 1) 8 cos 5 0

x x

    

..............................................................................

Đáp số:

2 , .

S k k



 

 

   

 

 

 



..................

1 2 sin 5 sin 2 0

x x

    

..............................................................................

Đáp số:

2 ; 2 , .

6 6

S k k k

 

 

 



 

    

 

 

 



17. Giải:

cos2 9 cos 5 0.

x x

  

18. Giải:

cos 4 9 sin 2 8 0.

x x

  

..............................................................................

Đáp số:

2 , .

S k k



 

 

   

 

 

 



...............

(1 2 sin 2 ) 9 sin 2 8 0

x x

    

..............................................................................

Đáp số:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



.......................

19. Giải:

5 cos 2 sin 7 0.

  

20. Giải:

sin cos2 cos 2 0.

x x x

   

Phương trình

5 cos 2 2 sin 7 0

2 2

x x

   

..............................................................................

Đáp số:

{ 4 , }.

S k k

 

  



......................

..............................................................................

Đáp số:

{ 2 , }.

S k k



 



.............................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 73 -

Nhóm 4. Vừa hạ bậc, vừa nhân đôi khi tồn tại cung góc gấp 4 lần nhau



Hạ bậc:

1 cos2

sin

1 cos2

cos























Nhân đôi:

cos2 2 cos 1

cos 4 2 cos 2 1 ......

cos6 2 cos 3 1

x x

 

21. Giải:

cos 4 12sin 1 0

x x

  

22. Giải:

1 cos 4 2 sin 0.

x x

  

Ta có:

cos 4 12sin 1 0

x x

  

1 cos 2

(2 cos 2 1) 12. 1 0



    

2 cos 2 1 6(1 cos 2 ) 1 0

x x

     

2 cos 2 6cos2 8 0

x x

   

.............................................................................

Đáp số:





, .

S k k



 



...............................

..............................................................................

Đáp số:





/2 ; /6 .

S k k

   

   

........

23. Giải:

cos 4 2 cos 1 0.

x x

  

24. Giải:

8 cos cos 4 1.

x x

 

.............................................................................

Đáp số:

; , .

S k k k



 

 

 

   

 

 

 



.........

..............................................................................

Đáp số:

, .

S k k



 

 

   

 

 

 



...................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 74 -

25. Giải:

6 cos 3 cos12 7.

x x

 

26. Giải:

4 4

5(1 cos ) 2 sin cos .

x x x

   

Phương trình

6 cos 3 cos 4.3 7

x x

  



.........................................................................

..............................................................................

Đáp số:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



.......................

2 2 2 2

5(1 cos ) 2 (sin ) (cos )

x x x

    



........................................................................

..............................................................................

Đáp số:

2 , .

S k k



 

 

   

 

 

 



...............

27. Giải:

cos 2 3 cos 4 cos

x x

  

28. Giải:

cos2 2 cos 2 sin

x x

  

1 cos

(2 cos 1) 3 cos 4.

x x



   

..............................................................................

Đáp số:

2 , .

S k k



 

 

   

 

 

 



...............

..............................................................................

Đáp số:

2 .

S k k



 

 

    

 

 

 



.................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 75 -

Nhóm 5. Sử dụng công thức liên quan đến tan, cot đưa về phương trình bậc hai

2 2

1 1

tan x.cot x 1 tan x & cot x

cot x tan x

1 1

1 tan x & 1 cot x

cos x sin x

   

   

29. Giải:

tan cot 2.

x x

 

30. Giải:

2 tan 3 cot 3 0.

x x

  

ĐK:

sin 0

sin 2 0

cos 0

x x











    











Ta có

tan cot 2 tan 2

tan

x x x

    



........................................................................

.............................................................................

Đáp số:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



......................

..............................................................................

Đáp số:

; arctan .

4 2

S k k



 

 

 

 



 





  



 







  

 

 

 

.....

31. Giải:

5 tan 2 cot 3 0.

x x

  

32. Giải:

3 tan 6 cot 2 3 3 0.

x x

   

.............................................................................

Đáp số:

; arctan .

4 5

S k k



 

 

 

 



 





   



 







  

 

 

 

..............................................................................

Đáp số:

; arctan( 2) .

S k k



 

 

 

   

 

 

 

...

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 76 -

33. Giải phương trình:

3 2 tan .

cos

 

34. Giải phương trình:

tan 7.

cos

 

Điều kiện:

cos 0 , .

x x k k



    



Phương trình

2 2

3(1 tan ) 3 2 tan

x x

   



.........................................................................

..............................................................................

Đáp số:





, .

S k k



 



................................

..............................................................................

Đáp số:





/4 ;arctan 3/4 .

S k k

  

   

35. Giải phương trình:

3 cot 3.

sin

 

36. Giải phương trình:

cot 3.

sin

 

..............................................................................

Đáp số:

; , .

2 6

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



.......

..............................................................................

Đáp số:

; arccot(2) .

S k k



 

 

 

   

 

 

 

...

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 77 -

37. Giải:

9 13 cos 0.

1 tan

  



38. Giải phương trình

2 tan 3

cos

  

Điều kiện:

cos 0.



Áp dụng công thức:

2 2

1 1

1 tan cos

cos 1 tan

x x

   



thì phương trình trở thành:

9 13 cos 4 cos 0

x x

  

.............................................................................

Đáp số:





2 , .

S k k



 



.............................

..............................................................................

Đáp số:





2 , .

S k k



 



.............................

39. Giải:

1 2 5

tan 0.

2 cos 2

   

40. Giải:

3 sin cos

cos

x x

  

.............................................................................

Đáp số:

2 , .

S k k



 

 

   

 

 

 



.................

Hướng dẫn: Chia hai vế cho

cos 0.



Điều kiện:

cos 0 , .

x x k k



    



..............................................................................

Đáp số:

; , .

S k k k



 

 

 

  

 

 

 



..............

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 78 -

Nhóm 6. Phương trình quy về phương trình bậc hai (dạng nâng cao)

41.

2 2

4 cos (6 2) 16 cos (1 3 ) 13.

x x

   

42.

cos(2 150 ) 3sin(15 ) 1 0.

x x

      

Ta có:

2 2

4 cos (6 2) 16 cos (1 3 ) 13

x x

   

4 cos 2.(3 1) 16 cos(3 1) 13

x x

   

    

   

   



.........................................................................

..............................................................................

43. Giải:

cos 4 cos 4.

3 6

x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

44. Giải:

5 cos 2 4sin 9.

3 6

x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

Nhận xét:

6 3 2 6 2 3

     

     

cos 4 cos 4

3 2 3

x x

  

 

   

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

   

 

 

cos 4 sin 4 0

3 3

x x

 

   

 

 

 

     

 

 

 

 

 

   



.........................................................................

..............................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 79 -

45.

cos2 3 sin2 3 sin 4 cos .

x x x x

   

46.

3 sin2 3 sin cos2 cos 2.

x x x x

   

Có

cos2 3 sin2 3 sin 4 cos

x x x x

   

3 sin 2 cos 2 3 sin cos 4

x x x x

    

Đặt

3 sin cos 2 sin

t x x x



 







   











 

Vì

sin [ 1;1] [ 2;2].

x t



 







     











 

Khi đó

2 2

( 3 sin cos )

t x x

 

2 2 2

3 sin cos 3 sin 2

t x x x

   

2 2

3 sin 2 (2 sin 1) 2

t x x

    

2 3 sin 2 cos 2 .

t x x

   

Phương trình trở thành

6 0

t t

  



........................................................................

.............................................................................

..............................................................................

47.

2sin 3sin2 4 4.( 3sin cos ).

x x x x

   

48.

2sin 3sin2 2 3 sin 2cos 2.

x x x x

   

.............................................................................

..............................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 80 -

49.

4 2

2 cos 9 cos 1.

cos

x x

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

50.

1 1

4 sin 4 sin 7.

sin

x x

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

Điều kiện:

cos 0 , .

x x k k



    



Đặt

2 2

cos cos

x t x t

x x

 







    











 

2 2

4 4

cos cos

cos

x x t

    

2 2

cos 4.

cos

x t

   

Khi đó phương

trình trở thành:

2( 4) 9 1 0

t t

   

..............................................................................

ĐS:

{ 2 ; 2 /3 2 , }.

S k k k

   

    



..............................................................................

ĐS:

{ /6 2 ; 7 /6 2 , }.

S k k k

   

    



51.

1 2

cos 2 2cos

cos

x x

    

52.

2 4

9 cos 2 cos 1.

cos

x x

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

..............................................................................

Đáp số:

{ 2 , }.

S k k



 



..............................

..............................................................................

Đáp số:

{ 2 /3 2 , }.

S k k

 

   



...........

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 81 -

53. Giải phương trình

cos cos .



54. Giải:

3 1 3

sin sin .

10 2 2 10 2

x x

 

   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

   

Phương trình

2 1 1

cos2. cos 2

3 2 2

 







  











 

2 1 1 2

cos 2. cos 3.

3 2 2 3

x x

   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

   

.............................................................................

ĐS:

3 ; , .

4 2

S k k

 



 

 

   

 

 

 



.............

3 1 3

sin sin 3

10 2 2 10 2

x x

 



 

   

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

   

 

 

..............................................................................

ĐS:

3 2

2 ; 2 , .

5 5

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



......

55. Giải:

3 4

2 cos 1 3 cos

5 5

x x

  

56. Giải phương trình:

8 2

cos cos

3 3

x x

 

.............................................................................

4 4 3 1 21

; , cos .

3 3 2 4

k k

  



 

 



 

   

 

 

 

..............................................................................

3 3 4 3

; 2 ,cos .

4 2 3 4

S k

  

 

 

 

    

 

 

 

.....

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 82 -

57.

6 2

3 cos 4 8 cos 2 cos 3 0.

x x x

   

58.

3 2 6

4 3 sin sin 3 cos cos .

x x x x

   

..............................................................................

59.

2 cos 1 tan tan cos 2 3.

x x x

 







  











 

60.

tan 2 3 sin 1 tan tan

cos

x x x

 







    











 

Ta có:

sin

1 tan tan 1

2 cos

cos

x x

   

cos cos sin sin cos

2 2 2

cos

cos .cos cos cos

2 2

x x x

x x

x x x

x x



  

..............................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 83 -

Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 01

Giải các phương trình lượng giác sau:

2 cos ( 2 2)cos 2 0.

x x

   

ĐS:

2 ; 2 , .

S k k k



 

 

 

   

 

 

 



3 2

2 sin sin 2 sin 1 0

x x x

    

ĐS:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



6 4 cos 9 sin 0.

x x

  

ĐS:

1 1

arcsin 2 ; arcsin 2 .

4 4

S k k

  

 

 

   

 

 

 

4 2

4 sin 12 cos 7

x x

 

ĐS:

, .

4 2

S k

 

 

 

  

 

 

 



cos2 3 cos 2 0.

x x

  

ĐS:

2 ; 2 , .

S k k k



  

 

 

    

 

 

 



4 cos2 5 sin 1.

x x

 

ĐS:

3 3

2 ;arcsin 2 ; arcsin 2 .

2 8 8

k k k



   

 

 

    

 

 

 

5 tan 2 cot 3 0.

x x

  

ĐS:

; arctan , .

4 5

S k k k



 

 

 

 



 





    



 







  

 

 

 



1 cos 4 2 sin 0.

x x

  

ĐS:

; , .

2 6

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



sin 8 3 sin 4 cos 4 0.

x x x

  

ĐS:

, .

16 4

S k

 

 

 

  

 

 

 



Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 02

Giải các phương trình lượng giác sau:

2 sin 3 sin 1 0.

x x

  

ĐS:

2 ; 2 ; 2 .

2 6 6

S k k k

  

 

 

   

 

 

 

3 cot 2 3 cot 1 0.

x x

  

ĐS:

, ( ).

x k k



   



4 sin 3 2(1 sin )tan .

x x x

  

ĐS:

2 2 , ( ).

6 6

x k x k k

 

       



cos 2 4 cos 0.

x x

  

ĐS:

2 , ( ).

x k k



   



1 2 5

tan 0.

2 cos 2

   

ĐS:

2 , ( ).

x k k



   



3 sin cos

cos

x x

  

ĐS:

, ( ).

x k x k k



     



cos2 3 cos 4 cos

x x

  

ĐS:

2 , ( ).

x k k



   



1 1

sin sin

sin

x x

   

ĐS:

2 , ( ).

x k k



  



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 84 -

Daïng toaùn 2. Phöông trình löôïng giaùc baäc nhaát ñoái vôùi sin vaø cos (pt coå ñieån)

Dạng tổng quát:





sin cos ( ) , , \ {0} .

a x b x c a b    

Điều kiện có nghiệm của phương trình:

2 2 2

a b c

 

(kiểm tra trước khi giải)

Phương pháp giải:



Chia 2 vế

2 2

a b

 

thì

2 2 2 2 2 2

( ) sin cos

a b c

x x

a b a b a b

   

  

( )





Giả sử:





2 2 2 2

cos , sin , 0;2

a b

a b a b

   

 

  

 

 

 

thì:

2 2 2 2

( ) sin cos cos sin sin( ) :

c c

x x x

a b a b

        

 

dạng cơ bản.

Lưu ý. Hai công thức sử dụng nhiều nhất là:

sin cos cos sin sin( )

cos cos sin sin cos( )

a b a b a b





    









   







Các dạng có cách giải tương tự:

2 2

2 2 2 2

cos

.sin .cos , ( 0)

Chia : .

sin

.sin .cos .sin .cos , ( )

a b nx

a mx b mx a b

a b

a b nx

a mx b mx c nx d nx a b c d







   



 











     







Nhóm 1. Dạng cơ bản

sin cos .

a X b X c

 

61. Giải:

sin 3 cos 3.

x x

  

62. Giải:

sin 3 cos 1.

x x

 

Điều kiện có nghiệm:

2 2 2 2 2

1 ( 3) 4 ( 3) :

a b

     

đúng.

Chia

vế cho

2 2

a b

 

thì

phương trình

1 3 3

sin cos

2 2 2

x x   

sin cos cos sin

3 3 2

x x

 

   

sin sin

3 3

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

3 3

x k

 



 









   



 



 



   





Kết luận:

2 ; 2 , .

S k k k



 

 

 

  

 

 

 



......

..............................................................................

Đáp số:

2 ; 2 ,

6 2

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 85 -

63. Giải:

3 sin cos 1.

x x

  

64. Giải:

3 cos sin 2.

x x

 

.............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

S k k k



  

 

 

    

 

 

 



.......

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

12 12

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



......

65. Giải:

3 sin 2 cos2 2.

x x

 

66. Giải:

3 sin 3 cos 3 2.

x x

 

.............................................................................

ĐS:

; , .

24 24

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



.........

..............................................................................

ĐS:

5 2 11 2

; , .

36 3 36 3

k k

S k

   

 

 

   

 

 

 



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 86 -

67. Giải:

3 sin sin 2.

x x



 







  











 

68. Giải:

sin 2 3 sin( 2 ) 1.

x x



 







   











 

Áp dụng công thức

sin cos



 

 







 











 

thì

phương trình đã cho trở thành:

..............................................................................

ĐS:

2 , .

S k k



 

 

   

 

 

 



.........................

Áp dụng công thức

sin cos



 

 







 











 

và

sin( ) sin

  

 

thì phương trình trở thành

..............................................................................

ĐS:

; , .

S k k k



 

 

 

  

 

 

 



......................

69. Giải:

3 sin sin 2.

4 4

x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

70. Giải:

3 sin sin 2.

3 6

x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

Nhận xét:

4 4 2 4 2 4

     

     

3 sin sin 2

4 2 4

x x

  

 

   

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

   

 

 

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

6 3

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



......

..............................................................................

ĐS:

2 , .

S k k



 

 

  

 

 

 



............................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 87 -

71.

3 cos2 sin2 2 sin 2 2 2

x x x



 







   











 

72.

2 3 sin cos 3 sin 2 3

x x x



 







   











 

Chia

vế cho

thì phương trình trở thành

.............................................................................

ĐS:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



...........................

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

3 3

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



.......

73.

sin3 cos 3 cos2 3 cos3 sin

x x x x x

  

74.

cos7 cos5 3 sin2 1 sin7 sin5 .

x x x x x

  

(sin3 cos cos3 sin ) 3 cos2 3

x x x x x

   

sin 2 3 cos2 3

x x

  

.............................................................................

ĐS:

; , .

3 2

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



.............

..............................................................................

ĐS:

; , .

S k k k



 

 

 

   

 

 

 



...................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 88 -

Nhóm 2. Dạng

(

2 2

a sin x b cos x a b sin( x )

, a b 0)

a sin x b cos x a b cos( x )

 

   

 

   



75. Giải:

3 sin cos 2 sin

x x



  

76. Giải:

sin 3 cos 2 sin

x x x



 







   











 

Chia

vế cho

2 2

a b

 

phương trình trở

thành

3 1

sin cos sin

2 2 12

x x



 



.........................................................................

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

12 4

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



...

..............................................................................

ĐS:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



..............................

77. Giải:

sin 3 3 cos 3 2 sin 2 .

x x x

 

78. Giải:

cos 3 sin 2 cos 3 .

x x x

 

..............................................................................

ĐS:

4 2

2 ; , .

3 15 5

S k k

  



 

 

   

 

 

 



.......

Phương trình

2 cos 3 cos 3 sin

x x x

  

..............................................................................

ĐS:

; , .

6 12 2

S k k

  



 

 

   

 

 

 



...........

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 89 -

Nhóm 3. Dạng

a sin(mx) b cos(mx) c sin(nx) d cos(nx)

  

2 2 2 2

a b c d 0

   

79.

cos2 3 sin2 3 sin cos .

x x x x

  

80.

3(cos 2 sin 3 ) sin2 cos 3 .

x x x x

  

1 3 3 1

cos2 sin 2 sin cos

2 2 2 2

x x x x

   

.............................................................................

ĐS:

2 2

2 , .

3 3

x k x k

 



     



...

..............................................................................

ĐS:

6 10 5

x k x

  



       

.....

81.

cos 3 sin 3(cos sin 3 ).

x x x x

  

82.

sin 8 cos6 3(sin 6 cos 8 ).

x x x x

  

cos 3 3 sin 3 3 cos sin

x x x x

   

.............................................................................

ĐS:

, ( ).

12 8 2

x k x k

  

     



..............................................................................

ĐS:

, ( ).

4 12 7

x k x k

  

     



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 90 -

Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 03

Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

sin 3 cos 2.

x x

 

ĐS:

2 , .

x k k



  



2 6

cos 7 3 sin 7 2, ;

5 7

x x x

 

 







     











 

ĐS:

53 5 59

84 12 84

x x x

  

     

2 cos 3 3 sin cos 0.

x x x

  

ĐS:

, .

3 2

x k

 

  



2 sin 17 3 cos 5 sin 5 0.

x x x

  

ĐS:

66 11 9 6

k k

x x

   

      

( 3 1)sin ( 3 1)cos 2 2 sin2 .

x x x

   

ĐS:

5 7 2

12 36 3

x k x

  



     

sin 8 cos6 3(sin 6 cos 8 ).

x x x x

  

ĐS:

4 12 7

x k x

  



     

3 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 2.

x x x



 







   











 

ĐS:

, .

x k k



  



Câu 2. Tìm tham số

để phương trình

cos 2 ( 1)sin2 2

m x m x m

   

có nghiệm.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2 cos sin 1

2 sin cos

x x

 

 

 

Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 04

Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

sin 2 3 sin( 2 ) 1.

x x



 







   











 

ĐS:

2 2 .

6 6

x k x k

 

     

cos 3 sin 2 cos .

x x x



 







  







 

ĐS:

, ( ).

x k k



 



sin cos 2 2 sin cos .

x x x x

 

ĐS:

4 4 3

x k x

  



     

1 3 9 1 3 5 2

cos sin

2 2 2

2 2 2 2

x x

 

   

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

   

ĐS:

2 2 .

3 6

x k x k

 

    

1 cos 2

1 cot2

sin 2



  

ĐS:

, .

3 2

x k

 

  



3 2 cos (sin2 cos2 tan ) 3 cos2 .

x x x x x

  

ĐS:

, .

x k x k k



 

    



3 3

4 sin cos 3 4 cos sin 3 3 3 cos 4 3.

x x x x x

  

ĐS:

24 2 8 2

k k

x x

   

      

Câu 2. Tìm tham số

để phương trình

sin 5 cos 1 (2 sin )

x x m x

   

có nghiệm.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

3 cos 2 sin 1

2 sin

x x

 

 



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 91 -

Daïng toaùn 3. Phöông trình löôïng giaùc ñaúng caáp

Dạng tổng quát:

2 2

.sin .sin cos .cos (1) , , , .

a X b X X c X d a b c d    



Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin (tan

và cotan được xem là bậc 0).

Phương pháp giải:



Bước 1. Kiểm tra

cos 0

sin 1

X k











  











có phải là nghiệm hay không ?



Bước 2. Khi

cos 0

, ( )

sin 1

X k k











   











 . Chia hai vế (1) cho

cos

2 2

2 2 2 2

sin sin cos cos

(1)

cos cos cos cos

X X X X d

a b c

X X X X

   

2 2

tan tan (1 tan )

a X b X c d X

    



Bước 3. Đặt

tan

t X



để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn

t x



 Lưu ý. Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.

Nhóm 1. Đẳng cấp bậc hai

83. Giải

2 2

2 cos 4 sin cos 4 sin 1.

x x x x

  

84.

2 2

2 cos 3 3 sin 2 4 sin 4.

x x x

   

Với

cos 0

, .

sin 1

x k k











   













Phương trình trở thành

4 1 :

 

sai



loại.

Với

x k



 

chia

vế cho

cos 0



Phương trình trở thành:

2 2

2 2 2 2

cos sin cos sin 1

2 4 4

cos cos cos cos

x x x x

  

2 2

2 4 tan 4 tan 1 tan

x x x

    

5 tan 4 tan 1 0

x x

   

tan 1

tan

arctan

x k







 





 

 









 



  















 





; arctan , .

4 5

S k k k



 

 

 

 



 





     



 







  

 

 

 



..............................................................................

Đáp số:

; , .

2 6

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



......

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 92 -

85.

2 2

4 cos 3 sin cos sin 3.

x x x x

  

86.

2 2

2 sin 3 3 sin cos cos 2.

x x x x

  

..............................................................................

ĐS:

; arctan .

4 4

S k k



 

 

 

 



 





   



 







  

 

 

 

.........

..............................................................................

ĐS:

; , .

2 6

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



.............

87. Giải:

2 2

sin 2 cos 3 sin cos .

x x x x

 

88. Giải:

sin 3 sin cos 1.

x x x

  

..............................................................................

ĐS:

; arctan2 , .

S k k k



 

 

 

   

 

 

 



....

..............................................................................

ĐS:

; arctan , .

4 2

S k k k



 

 

 

   

 

 

 



SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 93 -

Nhóm 2. Đẳng cấp bậc ba, bậc bốn

89. Giải phương trình:

cos 2 sin .

x x



90. Giải phương trình:

sin 2cos .

x x



Với

cos 0

sin 1

x k











  











thì phương

trình đã cho trở thành

0 2.1 :



sai.

Với

x k



 

chia

vế của phương trình

cho

cos 0



thì phương trình trở thành:

2 3

cos 1 sin

cos

cos cos

x x

 

2 3

1 tan 2 tan

x x

  



........................................................................

.............................................................................

ĐS:

, .

x k k



  



..................................

..............................................................................

ĐS:

, .

x k k



  



..................................

91. Giải:

3 3

cos sin sin cos .

x x x x

  

92. Giải:

7 cos 4 cos 4 sin 2 .

x x x

 

.............................................................................

ĐS:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



..............................

..............................................................................

ĐS:

; 2 , .

2 3

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



.......

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 94 -

93.

3 2 3

cos 2 sin cos 3 sin 0.

x x x x

  

94.

6 sin 2cos 5 sin 2 cos .

x x x x

 

..............................................................................

ĐS:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



..............................

..............................................................................

ĐS:

, .

S k k



 

 

  

 

 

 



..............................

95.

3 2 3

cos 3 cos sin sin 4 sin .

x x x x x

  

96.

3 3 2

4 sin 3 cos 3 sin sin cos .

x x x x x

  

..............................................................................

ĐS:

; , .

4 6

S k k k

 

 

 

     

 

 

 



......

..............................................................................

ĐS:

; , .

4 6

S k k k

 

 

 

    

 

 

 



.........

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 95 -

97.

3 3 2 2

sin 3cos sin cos 3sin cos .

x x x x x x

  

98.

4 2 2 4

3 cos 4 sin cos sin 0.

x x x x

  

.............................................................................

ĐS:

; , .

4 3

S k k k

 

 

 

     

 

 

 



.....

..............................................................................

ĐS:

; , .

4 3

S k k k

 

 

 

     

 

 

 



.....

99.

2 2

tan sin 2sin 3(cos2 sin cos ).

x x x x x x

  

100.

sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3.

x x x x x

   

Điều kiện:

cos 0 , .

x x k k



    



Chia hai vế cho

cos 0,



ta được:

2 2 2 2

sin sin cos sin sin cos

tan 2 3

cos cos cos cos

x x x x x x

x x x x

 



 

  

 

 



........................................................................

.............................................................................

ĐS:

; , .

4 3

S k k k

 

 

 

     

 

 

 



......

..............................................................................

ĐS:

; , .

4 3

S k k k

 

 

 

     

 

 

 



.....

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 96 -

Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 05

Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

2 2

4 3 sin cos 4 cos 2 sin

x x x x

   

ĐS:

, .

x k x k k



 

    



2 2

25 sin 15 sin 2 9 cos 25.

x x x

  

ĐS:

, arctan .

2 15

x k x k



 

   

2 2

2 sin 3 3 sin cos cos 2.

x x x x

  

ĐS:

2 6

x k x k

 

    

7 cos 4 cos 4 sin 2 .

x x x

 

ĐS:

2 .

2 3

x k x k

 

     

3 2 3

cos 2 sin cos 3 sin 0.

x x x x

  

ĐS:

, .

x k k



  



4 2 2 4

3 cos 4 sin cos sin 0.

x x x x

  

ĐS:

4 3

x k x k

 

      

Câu 2. Tìm tham số

để phương trình

2 2

3 sin sin 2 4 cos 0

x m x x

  

có nghiệm.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2 2

3 sin 4 sin cos 5 cos 2.

y x x x x

   

Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 06

Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

2 2

sin 2 cos 3 sin cos .

x x x x

 

ĐS:

; arctan 2 .

x k x k



 

   

2 2

2 sin sin cos cos 2.

x x x x

  

ĐS:

; arctan( 3) .

x k x k



 

    

sin 3 sin cos 1.

x x x

  

ĐS:

; arctan .

4 2

x k x k



 

   

4 sin 3 2 sin 2 8 sin .

x x x

 

ĐS:

; 2 , .

x k x k k



 

    



3 3 2 2

sin 3 cos sin cos 3 sin cos .

x x x x x x

  

ĐS:

; .

4 3

x k x k

 

     

3 2

cos sin 3 sin cos 0.

x x x x

  

ĐS:

; arctan .

4 2

x k x k



 

 







    











 

4 4 2

4 sin 4 cos 5 sin2 cos2 cos 2 6.

x x x x x

   

ĐS:

1 1

; arctan

8 2 2 5 2

k k

x x

  

    

sin (1 tan ) 3 3 sin (cos sin ).

x x x x x

   

ĐS:

; .

4 3

x k x k

 

     

Câu 2. Tìm

để phương trình

2 2

sin (2 2)sin cos (1 ) cos

x m x x m x m

    

có nghiệm.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

3 sin 2 2 cos 3 .

y x x  

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 97 -

Daïng toaùn 4. Phöông trình löôïng giaùc ñoái xöùng

 Dạng 1.

(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c

     

(dạng tổng/hiệu – tích)



Đặt

sin cos , [ 2; 2]

t x x t t

        

và viết

sin cos

x x

theo

Lưu ý, khi đặt

sin cos

t x x

 

thì điều kiện là:

0 2

 

 Dạng 2.

2 2

(tan cot ) (tan cot ) 0

a x x b x x c

      



Đặt

tan cot , 2t x x t t

      

và biểu diễn

2 2

tan cot

x x



theo

và

lúc này thường sử dụng:

tan cot 1, tan cot

sin 2

x x x x

   

101. Giải:

sin cos 2 sin 2 1 0.

x x x

   

102. Giải:

sin cos sin cos 1.

x x x x

  

Đặt

sin cos

x x t

 

thì

[ 2; 2].

 

2 2

(sin cos )

x x t

  

2 2 2

sin 2 sin cos cos

x x x x t

   

2 2

1 sin 2 sin 2 1 .

x t x t

     

Phương trình trở thành:

2(1 ) 1 0

t t

   

1 (N)

2 3 0 .

1,5 (L)

t t



 



     









Với

1 sin cos 1

t x x

     

2 sin 1 sin

4 4 2

x x

 

   

 

 

 

       

 

 

 

 

 

   



........................................................................

.............................................................................

..............................................................................

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



..........

103. Giải

2(sin cos ) sin cos 1.

x x x x

  

104. Giải:

sin 2 2 2(sin cos ) 5.

x x x

  

.............................................................................

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



..........

..............................................................................

ĐS:

2 , .

x k k



   



...........................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 98 -

105. Giải:

5 sin 2 12 12(sin cos ).

x x x

  

106. Giải:

sin cos 6(sin cos 1).

x x x x

  

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

S k k k



 

 

 

  

 

 

 



..................

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

S k k k



  

 

 

    

 

 

 



.....

107. Giải:

cos sin cos sin 1.

x x x x

  

108. Giải:

cos sin 3 sin 2 1.

x x x

  

Đặt sin cos

x x t

 

thì

[0; 2].



Suy ra

sin cos

x x t

 



.........................................................................

..............................................................................

ĐS:

, .

S k



 

 

 

 

 

 



......................................

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 ; 2 .

S k k k



   

 

 

    

 

 

 

....

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 99 -

109. Giải phương trình:

2 2

tan cot (tan cot ) 2 0.

x x x x

    

Điều kiện:

sin 0

2 sin cos 0 sin2 0 2 ( ).

cos 0

x x x x k x k











        













Đặt

tan cot

x x t

 

thì

t 

Suy ra:

2 2

(tan cot )

x x t

 

2 2 2 2 2 2

tan 2 tan cot cot tan cot 2.

x x x x t x x t

       

Khi đó phương trình trở thành

2 2

2 2 0 0 .

t t t t







       









Với

0 tan cot 0 tan cot tan , ( ).

2 4 2

t x x x x x x k

  

 







           











 



Với

1 tan cot 1 tan 1 tan tan 1 0

tan

t x x x x x

          

1 5 1 5

tan arctan , ( ).

2 2

x x k k

 

  







     













 



Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là

1 5

; arctan , .

4 2 2

S k k

 



 

 

 

 

 



 





   



 





 







 

 

 



110. Giải phương trình:

2 2

3 tan 4 tan 4 cot 3 cot 2 0.

x x x x

    

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, .

S k k



 

 

   

 

 

 



.......................................................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 100

111. Giải phương trình:

2 2

tan cot 2(tan cot ) 6 0.

x x x x

    

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

; ; , .

4 12 12

S k k k k

  

 

 

     

 

 

 



.................................................................

112. Giải phương trình:

2 2

2 tan 3 tan 2 cot 3 cot 2 0.

x x x x

    

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, .

S k k



 

 

   

 

 

 



.......................................................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 101

113. Giải phương trình:

2 tan 5 tan 5 cot 4 0.

sin

x x x

    

Áp dụng công thức

1 cot

sin

  thì phương trình trở thành:

2 2

2(1 cot ) 2 tan 5(tan cot ) 4 0

x x x x

     

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, ( ).

x k k



   



........................................................................................................

114. Giải phương trình:

1 5

cot (tan cot ) 2 0.

cos

x x x

    

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, ( ).

x k k



   



........................................................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 102

115. Giải phương trình:

2 2

1 1

2 tan 2 cot 8 0.

cos sin

x x

    

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

arctan( 2 3) , ( ).

x k x k k



        



....................................................

116. Giải phương trình:

2 3 2 3

tan tan tan cot cot cot 6.

x x x x x x

     

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, ( ).

x k k



  



............................................................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 103

Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 07

Giải các phương trình lượng giác sau:

2(sin cos ) 1 sin cos .

x x x x

  

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



4 sin cos 1 cos sin .

x x x x

  

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



cos sin 6 sin cos 1.

x x x x

  

ĐS:

2 ; 2 ; 2 .

x k k x k



   

     

cos sin cos sin 1.

x x x x

  

ĐS:

, .

x k



 



2 2

tan cot 2 tan 2 cot 6.

x x x x

   

ĐS:

; ; .

4 12 12

x k x k x k

  

     

2 cot 5(tan cot ) 4 0.

cos

x x x

    

ĐS:

, .

x k k



   



3 3

sin cos 2(sin cos ) 1.

x x x x

   

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



3(tan cot ) 2(2 sin2 ).

x x x

  

ĐS:

, ( ).

x k k



  



2 sin cos2 cos 0.

x x x

  

ĐS:

2 , .

x k x k k



 

     



Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 08

Giải các phương trình lượng giác sau:

sin cos sin cos 1 0.

x x x x

   

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



5 sin 2 12 12(sin cos ).

x x x

  

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



sin cos 8 sin cos 1.

x x x x

  

ĐS:

, .

x k



 



2 2

1 1 3

(tan cot ) 1.

cos sin

x x

   

ĐS:

, .

x k k



   



(1 cos )(1 sin ) 2.

x x

  

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



2 2

(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 .

x x x x x

    

ĐS:

; 2 ; 2 .

4 2

x k x k x k

 

  

     

2 2

2cos2 sin cos sin cos 2(sin cos ).

x x x x x x x

   

ĐS:

; 2 ; 2 .

4 2

x k x k x k

 

  

    

3 3

cos sin 1.

x x

 

ĐS:

2 /2 2 .

x k x k

  

    

3 3

cos sin cos 2 .

x x x

 

ĐS:

; 2 ; 2 .

4 2

x k x k x k

 

  

    

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 104

Daïng toaùn 5. Moät soá daïng khaùc

Nhóm 1. Phương trình dạng:

.sin 2 .cos2 .sin .cos 0

m x n x p x q x r

    



Ta luôn viết

sin2 2 sin cos ,

x x x



còn:

2 2

cos sin

cos2 2 cos 1

1 2 sin

x x



 



  



 





(1)

(2)

(3)



Nếu thiếu

sin 2

, ta sẽ biến đổi

cos 2

theo

(1)

và lúc này thường sẽ đưa được về

dạng:

2 2

( )( ) 0.

A B A B A B

    



Nếu theo

(2)

được:

( )

sin .(2 .cos ) (2 .cos .cos ) 0

x m x p n x q x r n

     



và

theo

(3)

được:

( )

cos (2 .sin ) ( 2 .sin .sin ) 0.

x m x q n x p x r n

      



Khi đó ta

sẽ phân tích

( ), ( )

i ii

thành nhân tử dựa vào:

1 2

( )( )

at bt c a t t t t

    

với

1 2

t t

là hai nghiệm của

at bt c

  

để xác định lượng nhân tử chung.

117. Giải:

cos2 3 cos sin 2 0.

x x x

   

118. Giải:

5 cos2 2cos .(3 2 tan ).

x x x

  

2 2

cos sin 3 cos sin 2 0

x x x x

     

2 2

3 9 1 1

cos 2 cos sin 2 sin

2 4 2 4

x x x x

     

2 2

3 1

cos sin

2 2

x x

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

3 1

cos sin

2 2

3 1

cos sin

2 2

x x





  







   





cos sin 1

cos sin 2

x x



  







  







..............................................................................

ĐS:

/2 2 , 2 , .

x k x k k

   

    



.....

..............................................................................

ĐS:

2 , .

x k k



 



........................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 105

119.

3 sin cos 2 cos2 sin2 .

x x x x

   

120.

sin2 cos2 3 sin cos 1.

x x x x

   

Nếu sử dụng

cos 2 2cos 1

x x

 

thì sẽ nhóm

bậc hai theo

cos

và ghép

sin

với

sin2 ,

có:

2cos cos 3 (1 cos )(2cos 3)

3sin sin2 sin (3 2cos )

x x x x





     







  







Không có nhân tử nên sử dụng công thức

cos 2 1 2 sin

x x

 

và có lời giải:

Phương trình đã cho tương đương

3 sin cos 2 (1 2 sin ) sin 2

x x x x

    

(2sin 3 sin 1) cos 2sin cos

x x x x x

    

(sin 1)(2 sin 1) cos (1 2sin )

x x x x

    

(2sin 1)(sin cos 1) 0

x x x

    

.............................................................................

ĐS:

7 3

2 ; 2 ; 2 ; 2 .

6 6 2

k k k k

  

   

 

 

   

 

 

 

..............................................................................

ĐS:

2 ; 2 , .

6 6

S k k k

 

 

 

   

 

 

 



.......

121.

sin2 2cos 2 1 sin 4 cos .

x x x x

   

122.

2 sin2 cos2 7 sin 2 cos 4.

x x x x

   

.............................................................................

ĐS:

2 , .

x k k



  



................................

..............................................................................

ĐS:

2 , 2 , .

6 6

x k x k k

 

    



.....

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 106

123.

sin2 cos2 3 cos 2 sin .

x x x x

   

124.

sin2 3 cos2 3(sin 3) 7cos .

x x x x

   

..............................................................................

ĐS:

2 , 2 , 2 .

3 2

x k x k x k

 

  

     

..............................................................................

ĐS:

2 , .

x k k



   



..........................

125.

5 cos sin 3 2 sin 2 .

x x x



 







   











 

126.

2 sin 2 sin 3 cos 2.

x x x



 







   











 

..............................................................................

ĐS:

2 , .

x k k



   



.............................

..............................................................................

ĐS:

2 , 2 , .

x k x k k



  

     



....

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 107

Nhóm 2: Phương trình có chứa

(..., tan , cot , sin2 ,cos2 , tan2 ,...),

R X X X X X

sao cho cung

của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó đặt

tan

t X



và sẽ biến đổi:



2 2

sin 2 tan 2

sin 2 2 sin cos 2 cos

cos

1 tan 1

X X t

X X X X

X t

      

 



2 2

2 2 2

1 1 tan 1

cos 2 2 cos 1 2 1

1 tan 1 tan 1

X t

X X

X X t

 

       

  



sin 2 2

tan2

cos 2

X t

 



và

cot2



 

Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo

giải ra sẽ tìm được

t x



 Lưu ý. Trong một số trường hợp, ta có thể giải bằng cách đưa về phương trình tích số.

127. Giải

(1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan .

x x x

   

128. Giải phương trình:

sin2 2 tan 3.

x x

 

Điều kiện:

cos 0 , .

x x k k



    



Đặt

tan sin 2

x t x

   



Phương trình đã cho trở thành:

(1 ) 1 1

t t

 







   













 



 













.............................................................................

..............................................................................

ĐS:

, .

x k k



  



..................................

129. Giải phương trình

cos2 tan 1.

x x

 

130. Giải phương trình

1 3 tan 2 sin2

x x

 

.............................................................................

ĐS:

/4 , .

x k x k k

  

    



...........

..............................................................................

ĐS:

/4 , .

x k k

 

   



............................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 108

131. Giải phương trình:

cos tan 1.

 

132. Giải phương trình:

1 cos tan

  

Điều kiện:

cos 0 2 .

x k

 

   

Đặt

tan cos

x t

t x



   



Phương trình trở thành:

..............................................................................

ĐS:

2 2 , .

x k x k k



 

    



..........

..............................................................................

ĐS:

2 , .

x k k



  



................................

133. Giải:

cot tan 4 sin2

sin2

x x x

   

134. Giải

2 tan cot2 2sin 2

sin2

x x x

  

..............................................................................

ĐS:

, .

x k k



   



...............................

..............................................................................

ĐS:

, ( ).

x k k



   



...........................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 109

Nhóm 3: Áp dụng

tan( )tan( ) 1 khi

cot( )cot( ) 1 khi

x a b x a b k







     







     





hay

tan tan

tan( )

1 tan tan

a b



 



135. Giải phương trình:

tan tan sin 3 sin sin 2 .

3 6

x x x x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

Điều kiện:

cos 0

3 2 6

, .

6 2

cos 0

6 2 3

x k x k

x k

x k x k



  

 

  



 



 

 



 







 

 





    



  





 

 



     

 



 

 





 



    



 



 







 





 

 

 







Có:

tan tan tan tan cot tan 1.

3 6 2 6 6 6 6

x x x x x x

      

 

           

     

     

 

     

          

     

     

 

     

     

     

           

 

 

Khi đó phương trình trở thành

sin 3 sin sin 2

x x x

  

(sin 3 sin ) sin 2 0

x x x

   



............................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là

, 2

2 3

x x k

 



   

với





136. Giải phương trình:

4 4

sin cos cot cot .

8 3 6

x x x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, .

12 2

x k

 

  



.............................................................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 110

137. Giải phương trình:

3 3

sin cos cos 2 tan tan .

4 4

x x x x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

2 2 , .

x k x k k



 

    



......................................................................................

138. Giải phương trình:

4 4 4

sin 2 cos 2 cos 4 tan tan .

4 4

x x x x x

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, .

x k



 



......................................................................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 111

Nhóm 4. Đặt số đo cung phức tạp để đưa về phương trình quen thuộc

139. Giải phương trình:

tan tan 1.

x x



 







  











 

Điều kiện:

cos 0

2 2

( ).

cos 0

4 2 4

x k x k

 



  

 

 

 







 



   

 



 

  

 

  

  





  



 





  



    





  

 



 



 

 



Đặt

4 4

t x x t

 

    

và áp dụng công thức

tan tan

tan( )

1 tan . tan

a b



 



thì

phương trình trở thành

3 3

tan 1

tan tan 1 tan 1

4 1 tan

t t t



 









     













 

4 3

tan tan 2 tan 0

t t t

   

3 2

tan .(tan tan 2) 0

t t t

   



............................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là

x k x k



 

  

với





............................

140. Giải phương trình:

8 cos cos 3 .

x x



 







 











 

.................................................................................................................................................................

Đáp số:

, , .

x k x k k



 

   



................................................................................................

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11

TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 112

Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 09

Giải các phương trình lượng giác sau:

sin2 cos2 3 sin cos 2.

x x x x

   

ĐS:

2 ; 2 .

x k x k



  

    

(1 tan )(1 sin2 ) 1 tan .

x x x

   

ĐS:

, .

x k x k k



 

    



4 4

sin 2 cos 2

cos 4 .

tan tan

4 4

x x

 





   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

ĐS:

, .

x k



 



2 sin 2 sin .

x x



 







 











 

ĐS:

, .

x k k



  



sin 3 sin 5

3 5

x x

 

ĐS:

arccos 2 .

x k x k

 

    

2 2

4 cos 3 tan 2 3 tan 4 4 3 cos .

x x x x

   

ĐS:

2 , .

x k k



   



sin 2 2 sin 2 2 tan 1 0.

cos

x x x

    

ĐS:

, .

x k k



   



Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 10

Giải các phương trình lượng giác sau:

sin2 cos2 3 sin cos 1 0.

x x x x

    

ĐS:

2 ; 2 .

6 6

x k x k

 

   

2 tan cot 2 sin 2

sin 2

x x x

   

ĐS:

, .

x k k



   



3 3

sin sin 3 cos cos 3 1

tan tan

6 3

x x x x

x x

 



  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

ĐS:

, .

x k k



   



sin 2 sin .

x x



 







 











 

ĐS:

, .

x k k



  



2 2 cos 3 cos sin 0.

x x x



 







   











 

ĐS:

4 2

x k x k

 

    

2 2

2 sin 3 tan 6 tan 4 2 2 sin .

x x x x

   

ĐS:

2 , .

x k k



  



8 cos 4 cos 2 1 cos 3 1 0.

x x x

   

ĐS:

2 , .

x k k



   



Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/44

| | Tải xuống

Preview text:

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
§ 3. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC THÖÔØNG GAËP
Daïng toaùn 1. Phöông trình baäc hai vaø baäc cao theo moät haøm löôïng giaùc
Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác
(cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn: Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện 2
a sin X  b sin X  c  0 t  sin X 1  t  1 2
a cos X  b cos X  c  0 t  cos X 1  t  1 2 
a tan X  b tan X  c  0 t  tan X X   k 2 2
a cot X  b cotX  c  0 t  cot X X  k Nếu đặt 2 2
t  sin X, cos X hoặc t  sin X , cos X thì điều kiện là 0  t  1.
Nhóm 1. Phương trình bậc hai cơ bản 1. Giải: 2
2 sin x  sin x 1  0. 2. Giải: 2
4 sin x  12 sin x  7  0.
Đặt sin x  t thì t  [1;1].
.............................................................................. Phương trình trở thành 2
2t t 1  0
.............................................................................. 1
..............................................................................
 t  1 (nhận) hoặc t   (nhận). 2
.............................................................................. 
 Với t  1  sin x  1  x   k2 . 
.............................................................................. 2
.............................................................................. 1 1
 Với t    sin x   2 2
..............................................................................  
..............................................................................    x    k2   sin x  sin      6    .
..............................................................................   6   7 x   k2   6
..............................................................................   7 
.............................................................................. S  k2 ;  k2 ;  k2 ,  k          .  2 6 6   
..............................................................................
 Nhận xét. Có thể trình bày nhanh như sau:
.............................................................................. sinx  1    5    2
2 sin x  sin x  1  0   ...
S    k2 ;   k2 ,  k    . 1 Đáp số:    sin x   6 6      2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 69 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 3. Giải: 2
2 cos x  5 cos x  2  0. 4. Giải: 2
cos x  3 cos x  2  0.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
Đáp số: S  { /  3  k2 ,  k  }
 . ............... Đáp số: S  {k2 ,  k  }
 . ............................. 5. Giải: 2
2 tan x  2 3 tan x  3  0. 6. Giải: 2
tan x  (1  3)tan x  3  0.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................            ĐS: S     k ;  x   k ,
 k  .
S    k   k k    ... Đáp số: ; , . .. 6 3     3 4    7. Giải: 2
3 cot x  (1  3)cotx  1  0. 8. Giải: 2
3 cot x  (1  3)cotx  1  0.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................          
Đáp số: S    k ;  x   k ,  k    .
S    k   k k    Đáp số: ; , . .. 4 3     4 3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 70 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020  2 2
sin   1  cos  
Nhóm 2. Sử dụng công thức 2 2
sin   cos   1  .  2 2
cos   1  sin   9. Giải: 2
6 cos x  5 sin x  2  0. 10. Giải: 2
2 sin x  3 cosx  3  0.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................   7        
Đáp số: S     k2 ;   k2. S  k     k  k    ......... Đáp số: 2 ; 2 , . ...... 6 6     3    11. Giải: 2
2 cos x  5 sin x  4  0. 12. Giải 2
2 sin x  ( 3  4) cos x  2 3  2.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................  5        
Đáp số: S    k2 ;   k2 ,  k    . S     k  k    Đáp số: 2 , . ................. 6 6     6    13. Giải: 4 2
4 sin x  12 cos x  7. 14. Giải: 2 4
3 sin x  2 cos x  2  0. PT 2 2 2
 4(sin x)  12(1  sin x)  7  0
.............................................................................. Đặt 2
sin x  t thì t  [0;1] và phương trình .............................................................................. trở thành 2
4t  12t  5  0 
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................  k      k   
Đáp số: S    , k    . S  k    k    
..................... Đáp số: ; , . ............. 4 2     4 2   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 71 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 2 2 cos x  1 (1)
Nhóm 3. Sử dụng công thức cos 2x  2
khi cung góc gấp đôi nhau. 1  2 sin x (2)
15. Giải: 2 cos 2x  8 cos x  5  0.
16. Giải: cos 2x  5 sin x  2  0. PT 2
 2(2 cos x  1)  8 cosx  5  0 PT 2
 1  2 sin x  5 sin x  2  0
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................            
Đáp số: S     k2 ,  k    .
Đáp số: S     k2 ;   k2 ,  k  .  .................. 3       6 6  
17. Giải: cos 2x  9 cos x  5  0.
18. Giải: cos 4x  9 sin 2x  8  0.
.............................................................................. PT 2
 (1  2 sin 2x)  9 sin 2x  8  0
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................  2     
Đáp số: S     k2 ,  k    . S  k k      
............... Đáp số: , . ....................... 3     4    x
19. Giải: 5 cos x  2 sin  7  0. 20. Giải: 2
sin x  cos2x  cosx  2  0. 2 x x
.............................................................................. Phương trình  5 cos 2  2 sin  7  0 2 2
..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
Đáp số: S  {  k4 ,  k  }
 . ...................... Đáp số: S  {k2 ,  k  }
 . .............................
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 72 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Nhóm 4. Vừa hạ bậc, vừa nhân đôi khi tồn tại cung góc gấp 4 lần nhau  1  cos 2x 2 2 sin x 
cos 2x  2 cos x  1   Hạ bậc: 2   Nhân đôi: 2
cos 4x  2 cos 2x  1 ......  1  cos2x 2 cos x   2
cos 6x  2 cos 3x  1  2 21. Giải: 2
cos 4x  12 sin x  1  0 22. Giải: 2
1  cos 4x  2 sin x  0. Ta có: 2
cos 4x  12 sin x  1  0
.............................................................................. 1  cos 2x
.............................................................................. 2
 (2 cos 2x  1)  12.  1  0 2
.............................................................................. 2
 2 cos 2x  1  6(1  cos 2x)  1  0
.............................................................................. 2
 2 cos 2x  6 cos2x  8  0
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
Đáp số: S  k ,
 k  . ............................... Đáp số: S   /  2  k ;
  /6  k. ........ 23. Giải: 2
cos 4x  2 cos x  1  0. 24. Giải: 2
8 cos x  cos 4x  1.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................          
Đáp số: S  k  ;    k ,  k    . S     k k    ......... Đáp số: , . ................... 3     3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 73 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 25. Giải: 2
6 cos 3x  cos12x  7. 26. Giải: 4 4
5(1  cos x)  2  sin x  cos x. Phương trình 2
 6 cos 3x  cos 4.3x  7 PT 2 2 2 2
 5(1  cos x)  2  (sin x)  (cos x)
 .........................................................................  ........................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................      2 
Đáp số: S    k ,  k    .    ....................... S     k2 ,  k    . 2  Đáp số: ...............    3    x x 27. Giải: 2
cos 2x  3 cos x  4 cos  28. Giải: 2
cos 2x  2 cos x  2 sin  2 2 1  cos x
.............................................................................. PT 2
 (2 cos x  1)  3 cosx  4. 2
..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................  2      
Đáp số: S     k2 ,  k    .   
............... Đáp số: S   
 k2 k    . ................. 3     3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 74 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Nhóm 5. Sử dụng công thức liên quan đến tan, cot đưa về phương trình bậc hai 1 1
tan x.cot x  1  tan x 
& cot x  cot x tan x . 1 1 2
 1  tan x & 2
 1  cot x 2 2 cos x sin x
29. Giải: tan x  cotx  2.
30. Giải: 2 tan x  3 cotx  3  0. sinx  0  k
.............................................................................. ĐK: 
 sin 2x  0  x    cos x  0 2 
.............................................................................. 1
..............................................................................
Ta có tan x  cotx  2  tan x   2 tan x
..............................................................................
 ........................................................................ ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................      1    
Đáp số: S    k ,  k    .
S    k ;
 arctan   k    . 
...................... Đáp số: ..... 4    4   2   
31. Giải: 5 tan x  2 cotx  3  0.
32. Giải: 3 tan x  6 cotx  2 3  3  0.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................   2           
Đáp số: S    k ;  arctan     k
Đáp số: S    k ;
 arctan(2)  k. ...    . . 4    5      3  
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 75 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 3 4
33. Giải phương trình: 2
 3  2 tan x. 34. Giải phương trình:  tan x  7. 2 cos x 2 cos x 
..............................................................................
Điều kiện: cos x  0  x   k ,  k  .  2
.............................................................................. Phương trình 2 2
 3(1  tan x)  3  2 tan x ..............................................................................
 ......................................................................... ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
Đáp số: S  k ,
 k  . ................................ Đáp số: S     /4  k ;
 arctan 3/4  k. 3 1
35. Giải phương trình:
 3 cotx  3. 36. Giải phương trình:  cotx  3. 2 2 sin x sin x
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................          
Đáp số: S    k ;   k ,  k    . S     k  k  ....... Đáp số: ; arccot(2) . ... 2 6     4   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 76 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 4 3
37. Giải: 9  13 cos x   0.
38. Giải phương trình 2 2 tan x  3   2 1  tan x cos x
Điều kiện: cos x  0. Áp dụng công thức:
.............................................................................. 1 1 2 2 1  tan x    cos x
.............................................................................. 2 2 cos x 1  tan x
..............................................................................
thì phương trình trở thành: 2
9  13 cosx  4 cos x  0
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
Đáp số: S  k2 ,
 k  . ............................. Đáp số: S  k2 ,
 k  . ............................. 1 2 5 1 39. Giải: 2  tan x    0.
40. Giải: 3 sin x  cos x   2 cos x 2 cos x
............................................................................. Hướng dẫn: Chia hai vế cho cos x  0.
............................................................................. 
Điều kiện: cos x  0  x   k ,  k  . 
............................................................................. 2
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................           
Đáp số: S     k2 ,  k    .
Đáp số: S  k  ;   k ,  k    . ..............  ................. 3       3  
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 77 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Nhóm 6. Phương trình quy về phương trình bậc hai (dạng nâng cao) 41. 2 2
4 cos (6x  2)  16 cos (1  3x)  13.
42. cos(2x  150 )
  3 sin(15  x)1  0. Ta có: 2 2
4 cos (6x  2)  16 cos (1  3x)  13
.............................................................................. 2
.............................................................................. 4 cos 2.(3x 1) 16 cos(3x 1)      13    
..............................................................................
 ......................................................................... ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................           5      43. Giải: 2
cos   x  4 cos  x  4.  5 cos 2
 x    4 sin  x  9.  44. Giải:  3     6   3     6       
.............................................................................. Nhận xét:       6 3 2 6 2 3
..............................................................................              
.............................................................................. PT 2 cos x  4 cos
   x   4   3    2    3   
..............................................................................        2
..............................................................................
 cos   x  4 sin 
  x  4  0   3     3 
..............................................................................
 ......................................................................... ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 78 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
45. cos2x  3 sin 2x  3 sin x  4  cos x. 46.
3 sin2x  3 sinx  cos2x  cosx  2.
Có cos 2x  3 sin 2x  3 sin x  4  cos x
..............................................................................
 3 sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  4 ..............................................................................    
..............................................................................
Đặt t  3 sin x  cos x  2 sin x      6 
..............................................................................     Vì sin x
    [1;1]  t  [ 2  ;2].
..............................................................................   6 
.............................................................................. Khi đó 2 2
t  ( 3 sin x  cos x )
.............................................................................. 2 2 2
 t  3 sin x  cos x  3 sin 2x
.............................................................................. 2 2
 t  3 sin 2x  (2 sin x  1)  2
.............................................................................. 2
 t  2  3 sin 2x  cos 2x.
.............................................................................. Phương trình trở thành 2
t  t  6  0
..............................................................................
 ........................................................................ ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. .............................................................................. 47. 2
2sin x  3 sin2x 4 4.( 3sinx cos ) x . 48. 2
2sin x  3 sin2x 2 3 sinx 2cosx  2.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 79 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020  4   2       1   1      49. 2 2 c  os x    9  cosx  1.  50. 2 4sin x    4sin x    7. 2             cos x  cosx  2  sin x   sin x  
Điều kiện: cos x  0  x   k ,  k  . 
.............................................................................. 2
.............................................................................. 2 2  2    Đặt 2
 cosx  t  
 cosx  t
.............................................................................. cosx cosx 
.............................................................................. 4 4 2 2  
 cos x  cos x  t
.............................................................................. 2 cos x cos x 4
.............................................................................. 2 2  cos x 
 t  4. Khi đó phương 2 cos x
.............................................................................. trình trở thành: 2
2(t  4)  9t  1  0
..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
ĐS: S  {  k2 ;   2 /  3  k2 ,  k  }
 . . ĐS: S  { /  6  k2 ;  7 /  6  k2 ,  k  }  . 1 2  2     4  51. 2 cos x   2  2 cos x     52. 2 9  cosx  2 c  os x    1. 2 cos x cos x      2 cosx    cos x 
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
Đáp số: S  {k2 ,  k  }
 . .............................. Đáp số: S  {  2 /  3  k2 ,  k  }  . ...........
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 80 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 4x 3 x    1   3x 
53. Giải phương trình 2 cos  cos x.   54. Giải: sin     sin  . 3 10 2 2 10 2  2x    1 1 3 x    1  3 x  Phương trình  cos 2.    cos 2x                PT sin sin 3  3  2 2 10 2 2    10 2    2x    1 1 2x 
 cos 2.    cos 3.   
..............................................................................   3  2 2  3 
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................   k    3 2 
ĐS: S  k  3 ;    , k    .         
............. ĐS: S k2 ; k2 , k . ...... 4 2     5 5    3x 4x 8x 2x 55. Giải: 2 2 cos  1  3 cos 
56. Giải phương trình: 2 cos  cos  5 5 3 3
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................    k4 k4 3 1 21  3 k 3 4 3   S  ;  , cos      . S    ;    k2 ,  cos  . .....  .. 3 3 2 4     4 2 3 4      
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 81 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 57. 6 2
3 cos 4x  8 cos x  2 cos x  3  0. 58. 3 2 6
4  3 sin x  sin x  3 cos x  cos x.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................  x    3  x 59. 2 2 cos x 1
  tan x tan   cos 2x  3.   
tanx 2 3  sinx 1  tanx tan   2  60. 2   cos x  2 x sin
.............................................................................. x sin x 2 Ta có: 1  tan x tan  1   2 cosx x
.............................................................................. cos 2
.............................................................................. x x x
cosx cos  sinx sin cos
.............................................................................. 1 2 2 2    x x cosx
.............................................................................. cos . x cos cosx cos 2 2
..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 82 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 01
Giải các phương trình lượng giác sau:  3    1) 2
2 cos x  ( 2  2)cos x  2  0.
ĐS: S  k  2 ;    k2 ,  k    .  4        2) 3 2
2 sin x  sin x  2 sin x  1  0
ĐS: S    k ,  k    .  2     1 1    3) 2
6  4 cos x  9 sin x  0. ĐS: S  a  rcsin  k2 ;
   arcsin  k2.  4 4     k    4) 4 2
4 sin x  12 cos x  7
ĐS: S    , k    .  4 2     2   
5) cos 2x  3 cos x  2  0. ĐS: S     k2 ;
   k2 ,  k    .  3      3 3   
6) 4 cos 2x  5 sin x  1. ĐS:   k2 ;
 arcsin k2 ;
  arcsin k2.  2 8 8      2     
7) 5 tan x  2 cot x  3  0.
ĐS: S    k ;  arctan     k ,  k      . 4    5         8) 2
1  cos 4x  2 sin x  0.
ĐS: S    k ;    k ,  k    .  2 6    5   k    9) 2
sin 8x  3 sin 4x cos 4x   0. ĐS: S    , k    . 2 16 4   
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 02
Giải các phương trình lượng giác sau:   5    1) 2
2 sin x  3 sin x  1  0.
ĐS: S    k2 ;   k2 ;   k2.  2 6 6     2) 2
3 cot x  2 3 cotx  1  0. ĐS: x    k ,  (k  )  . 3  7 3) 2
4 sin x  3  2(1  sin x) tan x. ĐS: x  
 k2  x   k2 ,  (k  )  . 6 6 5 
4) cos 2x  4 cos x   0. ĐS: x    k2 ,  (k  )  . 2 3 1 2 5  5) 2  tan x    0. ĐS: x    k2 ,  (k  )  . 2 cos x 2 3 1  6)
3 sin x  cos x  
ĐS: x  k   x   k ,  (k  )  . cos x 3 x 2 7) 2
cos 2x  3 cos x  4 cos  ĐS: x    k2 ,  (k  )  . 2 3 1 1  8) 2 sin x   sin x   ĐS: x   k2 ,  (k  )  . 2 sin x sin x 2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 83 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Daïng toaùn 2. Phöông trình löôïng giaùc baäc nhaát ñoái vôùi sin vaø cos (pt coå ñieån)
Dạng tổng quát: a sin x  b cos x  c ( )
 , a, b   \ {0  } .
Điều kiện có nghiệm của phương trình: 2 2 2
a  b  c , (kiểm tra trước khi giải) Phương pháp giải:  a b c Chia 2 vế 2 2
a  b  0, thì ( )   sin x  cos x  ( )  2 2 2 2 2 2 a  b a  b a  b  a b Giả sử: cos  , sin 
,  0;2      thì: 2 2 2 2 a  b a  b c c ( )
  sin x cos   cos x sin    sin(x  )   : dạng cơ bản. 2 2 2 2 a  b a  b
sina  cosb  cosa  sinb  sin(a b) 
Lưu ý. Hai công thức sử dụng nhiều nhất là:   
cosa  cosb  sina  sinb  cos(a b)  
Các dạng có cách giải tương tự:   2 2 
 a b cosnx 2 2  . a sinmx  . b cosmx   , (a b  0) PP 2 2 2 2 
 a b sinnx 
 Chia : a b .     2 2 2 2  . a sinmx  . b cosmx  .
c sinnx d.cosn ,
x (a b  c d ) 
Nhóm 1. Dạng cơ bản a sin X  b cos X  . c
61. Giải: sin x  3 cos x   3.
62. Giải: sin x  3 cos x  1. Điều kiện có nghiệm:
.............................................................................. 2 2 2 2 2
a  b  1  ( 3)  4  ( 3) : đúng.
.............................................................................. Chia 2 vế cho 2 2
a  b  2 thì
.............................................................................. 1 3 3
.............................................................................. phương trình  sin x  cos x   2 2 2
..............................................................................   3
 sin x cos  cosx sin  
.............................................................................. 3 3 2
..............................................................................        sin x     sin     
..............................................................................   3     3 
..............................................................................   
x     k2
x  k2
.............................................................................. 3 3       5  4    x   k2 x    k2   
..............................................................................   3  3 3
..............................................................................  5     
Kết luận: S  k  2 ;   k2 ,  k    .     ......   3  S     k   k  k      Đáp số: 2 ; 2 ,   6 2   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 84 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
63. Giải: 3 sin x  cos x  1.
64. Giải: 3 cos x  sin x  2.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................        5    ĐS: S     k2 ;
   k2 ,  k    . S    k2 ;   k2 ,  k    .  ....... ĐS: ...... 3    12 12   
65. Giải: 3 sin 2x  cos 2x  2.
66. Giải: 3 sin 3x  cos 3x  2.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. .............................................................................. 7    
5 k2 11 k2    ĐS: S    k ;   k ,  k    . S    ;  , k    .  ......... ĐS: . 24 24     36 3 36 3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 85 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020        
67. Giải: 3 sin   x  sin x  2.    x    x   68. Giải: sin 2 3 sin( 2 ) 1. 2  2         
Áp dụng công thức sin    cos        
thì Áp dụng công thức sin cos và  2  2 
phương trình đã cho trở thành: sin(  )
  sin thì phương trình trở thành
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................            ĐS: S     k2 ,
 k  .
ĐS: S    k ;  k ,  k    . ......................  ......................... 6       3                  
69. Giải: 3 sin x
    sin  x  2.  x       x    70. Giải: 3 sin sin 2.  4     4   3     6       
.............................................................................. Nhận xét:       4 4 2 4 2 4
..............................................................................               
.............................................................................. PT 3 sin x  sin  x      2   4   2    4  
..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................       
ĐS: S    k2 ;    k2 ,  k    .   
...... ĐS: S    k2 ,  k  
 . ............................ 6 3     3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 86 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020         71.
3 cos2x  sin2x  2 sin 2  x    2 2  x     x  x   72. 2 3 sin cos 3 sin 2 3  6  3
Chia 2 vế cho 2 thì phương trình trở thành
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. .............................................................................. 5     2    ĐS: S    k ,  k    .
S    k2 ;   k2 ,  k    . 
........................... ĐS: ....... 24     3 3   
73. sin 3x cosx  3 cos2x  3  cos 3x sinx
74. cos7x cos5x  3 sin2x  1 sin7x sin5 . x
 (sin3x cosx  cos3x sinx) 3 cos2x  3 ..............................................................................
 sin 2x  3 cos 2x  3
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................          
ĐS: S    k ;   k ,  k    . S     k k k    ............. ĐS: ; , . ................... 3 2     3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 87 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020  2 2
a sin x  b cos x  a  b sin( x
  ) Nhóm 2. Dạng , ( 2 2
a  b  0)  2 2
a sin x  b cos x  a  b cos( x
  )   
75. Giải: 3 sin x  cos x  2 sin   
76. Giải: sin x  3 cos x  2 sin x    12  6  Chia 2 vế cho 2 2
a  b  2 phương trình trở .............................................................................. 3 1 
.............................................................................. thành
sin x  cos x  sin 2 2 12
..............................................................................
 ......................................................................... ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................   3        ĐS: S     k2 ;   k2 ,  k    .
S    k k     ... ĐS: ,
. .............................. 12 4     4   
77. Giải: sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2x.
78. Giải: cos x  3 sin x  2 cos 3x.
.............................................................................. Phương trình  2 cos 3x  cos x  3 sin x
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................  4 k2      k 
ĐS: S    k2 ;   , k    .         ....... ĐS: S k ; , k   . ........... 3 15 5    6 12 2   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 88 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Nhóm 3. Dạng a sin( mx)  b cos( mx)  c sin(nx)  d cos( nx) 2 2 2 2
a  b  c  d  0
79. cos 2x  3 sin 2x  3 sin x  cos x. 80.
3(cos 2x  sin 3x)  sin 2x  cos 3x. 1 3 3 1
..............................................................................  cos 2x  sin 2x  sin x  cosx 2 2 2 2
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. .............................................................................. 2 k2   k2 ĐS: x  
 k2  x  , k  .
 ... ĐS: x    k2  x     ..... 3 3 6 10 5
81. cos 3x  sin x  3(cos x  sin 3x).
82. sin 8x  cos 6x  3(sin 6x  cos 8x).
PT  cos 3x  3 sin 3x  3 cos x  sin x
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................   k   k ĐS: x 
 k  x   , (k  )  . ĐS: x 
 k  x   , (k  )  . 12 8 2 4 12 7
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 89 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 03
Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau: 5
a) sin x  3 cos x  2. ĐS: x   k2 ,  k  .  6 2 6   53 5 59
b) cos 7x  3 sin 7x   2, x   ;   x   x   x    ĐS:  5 7  84 12 84  k
c) 2 cos 3x  3 sin x  cos x  0. ĐS: x   , k  .  3 2  k  k
d) 2 sin 17x  3 cos 5x  sin 5x  0. ĐS: x     x    66 11 9 6 5 7 k2
e) ( 3  1)sin x  ( 3  1)cos x  2 2 sin 2x. ĐS: x 
 k2  x    12 36 3   k f)
sin 8x  cos 6x  3(sin 6x  cos 8x). ĐS: x 
 k  x    4 12 7     5 g)
3 cos 2x  sin 2x  2 sin 2  x    2 2.  x   k ,  k  .   ĐS:  6  24
Câu 2. Tìm tham số m để phương trình m cos 2x  (m  1)sin 2x  m  2 có nghiệm.
2 cos x  sin x  1
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  
2  sin x  cos x
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 04
Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:      7 a) sin 
 2x  3 sin(  2x)  1.  x  
 k2  x   k2 .   ĐS:  2  6 6    
b) cos x  3 sin x  2 cos  x . 
x  k k    3  ĐS: , ( ).   k2
c) sin x  cos x  2 2 sin x cos x. ĐS: x 
 k2  x    4 4 3 1 3 9    1 3 5      2  5 d) cos  x  sin  x    x 
 k2  x   k2 .   ĐS:  2     2  2 2 2 2 2 3 6 1  cos 2x  k e) 1  cot 2x   ĐS: x   , k  .  2 sin 2x 3 2  f) 2
3  2 cos x(sin 2x  cos 2x tan x)  3 cos 2x. ĐS: x  k  x   k ,  k  .  6  k  k g) 3 3
4 sin x cos 3x  4 cos x sin 3x  3 3 cos 4x  3. ĐS: x     x    24 2 8 2
Câu 2. Tìm tham số m để phương trình sin x  5 cos x  1  (
m 2  sin x) có nghiệm.
3 cos x  2 sin x  1
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y   2  sin x
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 90 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Daïng toaùn 3. Phöông trình löôïng giaùc ñaúng caáp Dạng tổng quát: 2 2 a.sin X  .
b sin X cos X  c.cos X  d (1)  , a , b , c d  . 
Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin (tan
và cotan được xem là bậc 0). Phương pháp giải:  c  os X  0  
Bước 1. Kiểm tra X   k   2
có phải là nghiệm hay không ? 2 s  in X  1   c  os X  0   Bước 2. Khi X   k ,  (k  )    2 . Chia hai vế (1) cho 2 cos X : 2 s  in X  1  2 2 sin X sin X cos X cos X d (1)  a  b  c  2 2 2 2 cos X cos X cos X cos X 2 2
 a tan X  b tan X  c  d(1  tan X)
 Bước 3. Đặt t  tan X để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t  x.
 Lưu ý. Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.
Nhóm 1. Đẳng cấp bậc hai 83. Giải 2 2
2 cos x  4 sin x cos x  4 sin x  1. 84. 2 2
2 cos x  3 3 sin 2x  4 sin x  4.  c  osx  0 
.............................................................................. Với x   k ,
 k     . 2 2 s  in x  1 
..............................................................................
Phương trình trở thành 4  1 : sai  loại.
.............................................................................. 
.............................................................................. Với x   k ,  chia 2 vế cho 2 cos x  0 2
.............................................................................. Phương trình trở thành:
.............................................................................. 2 2 cos x sin x cos x sin x 1
.............................................................................. 2  4  4  2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x
.............................................................................. 2 2
 2  4 tan x  4 tan x  1  tan x
.............................................................................. 2
 5 tan x  4 tan x  1  0
..............................................................................   tanx  1 x    k
..............................................................................   4     . 1  
..............................................................................  tan x      x   arctan   5     k    5
..............................................................................       1        S     k ;  arctan      k ,  k   
Đáp số: S    k ;   k ,  k    . ......    .   4  2 6   5     
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 91 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 85. 2 2
4 cos x  3 sin x cosx  sin x  3. 86. 2 2
2 sin x  3 3 sin x cos x  cos x  2.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................   1            
ĐS: S    k ;  arctan     k
ĐS: S    k ;   k ,  k    . .............    . ......... 4    4      2 6   87. Giải: 2 2
sin x  2 cos x  3 sin x cos x. 88. Giải: 2
sin x  3 sin x cos x  1  .
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................      1   
ĐS: S    k ;
 arctan 2  k ,  k    .
S    k ;
 arctan  k ,  k    .  .... ĐS: 4     4 2   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 92 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Nhóm 2. Đẳng cấp bậc ba, bậc bốn
89. Giải phương trình: 3
cos x  2 sin x.
90. Giải phương trình: 3
sin x  2 cos x.  c  osx  0 
.............................................................................. Với x   k   3 thì phương 2 s  in x  1 
.............................................................................. trình đã cho trở thành 3 0  2.1 : sai.
..............................................................................  Với x   k ,
 chia 2 vế của phương trình .............................................................................. 2
.............................................................................. cho 3
cos x  0 thì phương trình trở thành: 3 cos x 1 sin x
..............................................................................   2 2 3 cos x cos x cos x
.............................................................................. 2 3
 1  tan x  2 tan x
..............................................................................
 ........................................................................ ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................   ĐS: x   k ,  k  .
 .................................. ĐS: x   k ,  k  .
 .................................. 4 4 91. Giải: 3 3
cos x  sin x  sin x  cos x. 92. Giải: 3
7 cos x  4 cos x  4 sin 2x.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................         
ĐS: S    k ,  k    .
S    k   k  k   
.............................. ĐS: ; 2 , . ....... 2    2 3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 93 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 93. 3 2 3
cos x  2 sin x cos x  3 sin x  0. 94. 3
6 sin x  2 cos x  5 sin 2x cos x.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................        
ĐS: S    k ,  k    .
S    k k   
.............................. ĐS: ,
. .............................. 4     4    95. 3 2 3
cos x  3 cos x sin x  sin x  4 sin x. 96. 3 3 2
4 sin x  3 cos x  3 sin x  sin x cos x.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................            ĐS: S     k ;    k ,  k    .
S    k   k k    ...... ĐS: ; , . ......... 4 6    4 6   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 94 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 97. 3 3 2 2
sin x  3cos x sinxcos x  3sin x cos . x 98. 4 2 2 4
3 cos x  4 sin x cos x  sin x  0.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................             ĐS: S     k ;    k ,  k    . S     k   k k    ..... ĐS: ; , . ..... 4 3     4 3    99. 2 2
tanx sin x 2sin x  3(cos2x sinx cosx). 100. 2 sin (
x tanx 1)  3sin (
x cosx sinx)  3. 
..............................................................................
Điều kiện: cos x  0  x   k ,  k  .  2
.............................................................................. Chia hai vế cho 2
cos x  0, ta được:
.............................................................................. 2 2  2 2 sin x sin x cos x sin x sinx cosx 
.............................................................................. tanx 2  3   2 2  2 2 cos x cos x cos x cos x   
..............................................................................
 ........................................................................ ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................             ĐS: S     k ;    k ,  k    . S     k   k k     ...... ĐS: ; , . ..... 4 3     4 3   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 95 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 05
Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau: 5  a) 2 2
4 3 sin x cos x  4 cos x  2 sin x   ĐS: x 
 k  x  k ,  k  .  2 4  8 b) 2 2
25 sin x  15 sin 2x  9 cos x  25. ĐS: x   k ,
 x  arctan  k .  2 15   c) 2 2
2 sin x  3 3 sin x cos x  cos x  2. ĐS: x 
 k  x   k .  2 6   d) 3
7 cosx  4 cos x  4 sin 2x. ĐS: x 
 k  x    k2 .  2 3  e) 3 2 3
cos x  2 sin x cos x  3 sin x  0. ĐS: x   k ,  k  .  4   f) 4 2 2 4
3 cos x  4 sin x cos x  sin x  0. ĐS: x  
 k  x    k .  4 3
Câu 2. Tìm tham số m để phương trình 2 2
3 sin x  m sin 2x  4 cos x  0 có nghiệm.
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 2
y  3 sin x  4 sin x cosx  5 cos x  2.
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 06
Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:  a) 2 2
sin x  2 cos x  3 sin x cos x. ĐS: x   k ;
 x  arctan 2  k .  4  b) 2 2
2 sin x  sin x cosx  cos x  2. ĐS: x   k ;
 x  arctan(3)  k .  2  1 c) 2
sin x  3 sin x cos x  1  . ĐS: x   k ;
 x  arctan  k .  4 2  d) 3
4 sin x  3 2 sin 2x  8 sin x.
ĐS: x  k ;
 x    k2 ,  k  .  4   e) 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin x cos x  3 sin x cos x. ĐS: x    k ;
 x    k .  4 3   1   f) 3 2
cos x  sin x  3 sin x cosx  0. ĐS: x   k ;  x  arctan     k .  4  2  k 1 1 k g) 4 4 2
4 sin x  4 cos x  5 sin 2x cos2x  cos 2x  6. ĐS: x   ;x  arctan   8 2 2 5 2   h) 2
sin x(1  tan x)  3  3 sin x(cos x  sin x). ĐS: x    k ;
 x    k .  4 3
Câu 2. Tìm m để phương trình 2 2
sin x  (2m  2) sin x cos x  (1  m) cos x  m có nghiệm.
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 y 
3 sin 2x  2 cos x  3 .
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 96 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Daïng toaùn 4. Phöông trình löôïng giaùc ñoái xöùng
 Dạng 1. a  (sin x  cos x)  b  sin x cos x  c  0 (dạng tổng/hiệu – tích) PP   Đặt 2
t  sin x  cos x, t  [ 2; 2]  t     và viết sin x cos x theo t.
Lưu ý, khi đặt t  sin x  cos x thì điều kiện là: 0  t  2 .  Dạng 2. 2 2
a  (tan x  cot x)  b  (tan x  cotx)  c  0 PP   Đặt 2
t  tan x  cotx, t  2  t    và biểu diễn 2 2
tan x  cot x theo t và 2
lúc này thường sử dụng: tan x cotx  1, tan x  cot x   sin 2x
101. Giải: sin x  cos x  2 sin 2x  1  0.
102. Giải: sin x  cos x  sin x cos x  1.
Đặt sin x  cos x  t thì t  [ 2; 2].
.............................................................................. 2 2
 (sin x  cos x)  t
.............................................................................. 2 2 2
 sin x  2 sin x cos x  cos x  t
.............................................................................. 2 2
 1  sin 2x  t  sin 2x  1  t .
.............................................................................. Phương trình trở thành: 2
t  2(1  t )  1  0 .............................................................................. t  1 (N) 2
.............................................................................. 2t t 3 0        . t  1,5 (L) 
.............................................................................. Với t  1
  sin x  cosx  1 
..............................................................................         2  2 sin x     1   sin x     
..............................................................................   4    4 2
..............................................................................
 ........................................................................ 
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .  ..........
............................................................................. 2
103. Giải 2(sin x  cos x )  sin x cos x  1. 104. Giải: sin 2x  2 2(sin x  cos x)  5.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................  3
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .
 .......... ĐS: x    k2 ,  k  .
 ........................... 2 4
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 97 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
105. Giải: 5 sin 2x  12  12(sin x  cos x).
106. Giải: sin x cos x  6(sin x  cosx  1).
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................          
ĐS: S  k  2 ;   k2 ,  k    .
S    k    k  k   
.................. ĐS: 2 ; 2 , . ..... 2     2   
107. Giải: cos x sin x  cos x  sin x  1.
108. Giải: cos x  sin x  3 sin 2x  1.
Đặt sin x  cos x  t thì t  [0; 2].
..............................................................................
.............................................................................. 2 Suy ra 2
sin x  cos x  t
..............................................................................
 ......................................................................... ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. .............................................................................. k       ĐS: S   , k  . S k   k   k       
...................................... ĐS: 2 ; 2 ; 2 . .... 2     2   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 98 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
109. Giải phương trình: 2 2
tan x  cot x  (tan x  cotx)  2  0. sin x  0  k Điều kiện: 
 2 sin x cos x  0  sin 2x  0  2x  k  x  (k  )  .  cos x  0 2 
Đặt tan x  cot x  t thì t  2. Suy ra: 2 2
(tan x  cotx)  t 2 2 2 2 2 2
 tan x  2 tan x cotx  cot x  t  tan x  cot x  t  2. t  0 
Khi đó phương trình trở thành 2 2
t  2  t  2  0  t  t  0  . t  1       k
Với t  0  tan x  cotx  0  tan x  cotx  tan   x   x   , (k  )  .  2  4 2 1 Với 2
t  1  tan x  cotx  1  tan x 
 1  tan x  tan x  1  0 tan x 1 5 1 5      tan x   x  arctan     k ,  (k  )  . 2  2        k  1 5         
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ; arctan   k ,  k    .  4 2   2       
110. Giải phương trình: 2 2
3 tan x  4 tan x  4 cotx  3 cot x  2  0.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................     
Đáp số: S     k ,  k    . 
....................................................................................................... 4   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 99 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
111. Giải phương trình: 2 2
tan x  cot x  2(tan x  cot x)  6  0.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................   7   
Đáp số: S    k ;    k ;   k ,  k    . 
................................................................. 4 12 12   
112. Giải phương trình: 2 2
2 tan x  3 tan x  2 cot x  3 cotx  2  0.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................     
Đáp số: S     k ,  k    . 
....................................................................................................... 4   
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 100 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 2
113. Giải phương trình: 2
 2 tan x  5 tan x  5 cotx  4  0. 2 sin x 1 Áp dụng công thức 2
 1  cot x thì phương trình trở thành: 2 sin x 2 2
2(1  cot x)  2 tan x  5(tan x  cotx)  4  0
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. 
Đáp số: x    k ,  (k  )
 . ........................................................................................................ 4 1 5
114. Giải phương trình: 2
 cot x  (tan x  cotx)  2  0. 2 cos x 2
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. 
Đáp số: x    k ,  (k  )
 . ........................................................................................................ 4
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 101 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 1 1
115. Giải phương trình:  2 tan x 
 2 cotx  8  0. 2 2 cos x sin x
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. 
Đáp số: x 
 k  x  arctan(2  3)  k ,  (k  )
 . .................................................... 4
116. Giải phương trình: 2 3 2 3
tan x  tan x  tan x  cotx  cot x  cot x  6.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. 
Đáp số: x   k ,  (k  )
 . ............................................................................................................ 4
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 102 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 07
Giải các phương trình lượng giác sau:  1)
2(sin x  cosx)  1  sin x cos x.
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .  2 3
2) 4 sin x cos x  1  cos x  sin x.
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .  2  3)
cos x  sin x  6 sin x cos x  1.
ĐS: x  k2 ;    k2 ;  x     k2 .  2 k
4) cos x sin x  cos x  sin x  1. ĐS: x  , k  .  2   7 5) 2 2
tan x  cot x  2 tan x  2 cotx  6.
ĐS: x  k ;
 x  k ;  x  k .  4 12 12 2  6) 2
 2 cot x  5(tan x  cotx)  4  0. ĐS: x    k ,  k  .  2 cos x 4  7) 3 3
sin x  cos x  2(sin x  cos x)  1.
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .  2 
8) 3(tan x  cotx)  2(2  sin 2x). ĐS: x   k ,  (k  )  . 4  9) 3
2 sin x  cos 2x  cos x  0.
ĐS: x  k2  x    k ,  k  .  4
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 08
Giải các phương trình lượng giác sau: 
1) sin x  cos x  sin x cos x  1  0.
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .  2 
2) 5 sin 2x  12  12(sin x  cos x).
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .  2 k 3)
sin x  cosx  8 sin x cos x  1. ĐS: x  , k  .  2 1 1 3  4) 
 (tan x  cotx)  1. ĐS: x    k ,  k  .  2 2 cos x sin x 2 4 
5) (1  cosx)(1  sin x)  2.
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .  2   6) 2 2
(1  sin x)cos x  (1  cos x)sin x  1  sin 2x. ĐS: x   k ;  x  k2 ;
 x  k2 .  4 2   7) 2 2
2cos2x  sin x cosx  sinx cos x  2(sinx  cosx). ĐS: x  k ;  x k2 ;
 x  k2 .  4 2 8) 3 3
cos x  sin x  1.
ĐS: x  k2  x   /  2  k2 .   3 9) 3 3
cos x  sin x  cos 2x.
ĐS: x  k ;  x k2 ;  x  k2 .  4 2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 103 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Daïng toaùn 5. Moät soá daïng khaùc
Nhóm 1. Phương trình dạng: m. sin 2x  n. cos 2x  .
p sin x  q.cos x  r  0  2 2
 cos x  sin x  (1)  
Ta luôn viết sin 2x  2 sin x cos x, còn: 2 cos2x    2 cos x  1 (2)  2   1  2 sin x (3) 
 Nếu thiếu sin 2x , ta sẽ biến đổi cos 2x theo (1) và lúc này thường sẽ đưa được về dạng: 2 2
A  B  (A  B)(A  B)  0.  Nếu theo (2) được: 2
sin x.(2m.cos x  p)  (2n.cos x  q.cos x  r  n)  0
 và (i) theo (3) được: 2
cos x(2m.sin x  q)  (2n.sin x  .
p sin x  r  n)  0.
 Khi đó ta (ii)
sẽ phân tích (i), (ii) thành nhân tử dựa vào: 2
at  bt  c  a(t  t )(t  t ) với 1 2
t , t là hai nghiệm của 2
at  bt  c  0 để xác định lượng nhân tử chung. 1 2
117. Giải: cos 2x  3 cos x  sin x  2  0.
118. Giải: 5  cos 2x  2 cosx.(3  2 tan x). 2 2
 cos x  sin x  3 cos x  sin x  2  0
.............................................................................. 3 9 1 1 2 2
 cos x 2 cosx   sin x 2 sinx  .............................................................................. 2 4 2 4
.............................................................................. 2 2  3    1  cos x       sin x   
..............................................................................   2    2
..............................................................................  3 1
cosx   sin x  
.............................................................................. 2 2    3 1 cos x   sin x 
..............................................................................   2 2
..............................................................................
cosx  sinx  1    
..............................................................................
cos x  sin x  2 
..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. .............................................................................. ĐS: x  /  2  k2 ,
 x    k2 ,  k  .
 ..... ĐS: x  k2 ,  k  .
 ........................................
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 104 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
119. 3 sin x  cos x  2  cos 2x  sin 2x.
120. sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  1. Nếu sử dụng 2
cos 2x  2 cos x 1 thì sẽ nhóm ..............................................................................
bậc hai theo cos và ghép sin x với sin 2x, có:
..............................................................................  2  2
 cos x  cosx  3  (1 cosx)(2 cosx  3)  
.............................................................................. 3
 sinx  sin2x  sinx(3  2cosx) 
..............................................................................
 Không có nhân tử nên sử dụng công thức .............................................................................. 2
cos 2x  1  2 sin x và có lời giải:
..............................................................................
Phương trình đã cho tương đương 2
3 sin x  cos x  2  (1  2 sin x)  sin 2x
.............................................................................. 2
 (2 sin x  3 sinx  1)  cosx  2sinx cosx
..............................................................................
 (sinx  1)(2 sin x  1)  cosx(1  2 sinx) ..............................................................................
 (2 sin x  1)(sin x  cosx  1)  0
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................   7 3       5    ĐS:    k2 ;   k2 ;  k2 ;   k2.
ĐS: S    k2 ;   k2 ,  k    . .......  6 6 2      6 6  
121. sin 2x  2 cos 2x  1  sin x  4 cos x.
122. 2 sin 2x  cos 2x  7 sin x  2 cos x  4.
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................   5 ĐS: x   k2 ,  k  .
 ................................ ĐS: x   k2 ,  x   k2 ,  k  .  ..... 3 6 6
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 105 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
123. sin 2x  cos 2x  3 cos x  2  sin x.
124. sin2x  3 cos2x  3(sinx  3)  7cosx.
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................   5 ĐS: x    k2 ,
 x  k2 ,  x   k2 .
 ĐS: x    k2 ,  k  .
 .......................... 3 2 6        
125. 5 cos x  sin x  3  2 sin 2  x  .   x    x  x   126. 2 sin 2 sin 3 cos 2.  4   4 
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................   ĐS: x    k2 ,  k  .
 ............................. ĐS: x    k2 ,
 x    k2 ,  k  .  .... 3 2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 106 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Nhóm 2: Phương trình có chứa (
R ..., tan X, cotX, sin 2X, cos 2X, tan 2X,...), sao cho cung
của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó đặt t  tan X và sẽ biến đổi:  sin X 2 tan X 2t 2
sin 2X  2 sin X cos X  2   cos X    2 2 cos X 1  tan X 1  t 2 2 1 1  tan X 1 t  2
cos 2X  2 cos X  1  2  1    2 2 2 1  tan X 1  tan X 1  t 2   sin 2X 2t 1 t tan 2X   và cot2X   2 cos 2X 1  t 2t
Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo t, giải ra sẽ tìm được t  x.
 Lưu ý. Trong một số trường hợp, ta có thể giải bằng cách đưa về phương trình tích số.
127. Giải (1  tan x )(1  sin 2x)  1  tan x. 128. Giải phương trình: sin 2x  2 tan x  3. 
Điều kiện: cos x  0  x   k ,  k  . 
.............................................................................. 2 2t
..............................................................................
Đặt tan x  t  sin 2x   2 1  t
..............................................................................
Phương trình đã cho trở thành:
..............................................................................  2t  t  1
.............................................................................. (1  t) 1       1  t    . 2   1  t  t  0 
..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................  ĐS: x   k ,  k  .
 .................................. 4
129. Giải phương trình cos 2x  tan x  1.
130. Giải phương trình 1  3 tan x  2 sin 2x
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
............................................................................. ..............................................................................
ĐS: x  k  x  /4  k ,  k  .
 ........... ĐS: x    /4  k ,  k  .
 ............................
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 107 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020 x x
131. Giải phương trình: cos x  tan  1.
132. Giải phương trình: 1  cos x  tan  2 2 x Điều kiện: cos
 0  x    k2 . 
.............................................................................. 2
.............................................................................. 2 x 1  t Đặt tan
 t  cosx  
.............................................................................. 2 2 1  t
.............................................................................. Phương trình trở thành:
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................  
ĐS: x  k2  x   k2 ,  k  .
 .......... ĐS: x   k2 ,  k  .
 ................................ 2 2 2 1
133. Giải: cotx  tan x  4 sin 2x 
 134. Giải 2 tanx  cot2x  2 sin 2x  sin 2x sin 2x
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................   ĐS: x    k ,  k  .
 ............................... ĐS: x    k ,  (k  )
 . ........................... 3 3
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 108 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020   t  an(x  )
a tan(b x) 1 khi a b  k  tana tanb
Nhóm 3: Áp dụng 2  tan(a  ) b    hay 1tana tanb c  ot(x  )
a cot(b x) 1 khi a b  k  2        
135. Giải phương trình: tan x   tan x
  sin 3x  sin x  sin 2x.   3     6          cos x     0         3  x      k x    k      k  Điều kiện: 3 2 6      x   , k  .         2    6 2 cos x     0 x         k x    k    6     6 2  3                                  Có: tan x tan x  tan
   x tan x
    cot  x tan x     1.   3     6    2    6       6     6     6  
Khi đó phương trình trở thành sin 3x  sin x  sin 2x  (sin 3x  sin x)  sin 2x  0
 ............................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. k 2
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là x  , x  
 k2 với k  .  2 3 7        
136. Giải phương trình: 4 4
sin x  cos x  cot x
  cot  x. 8  3     6 
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................  k
Đáp số: x   , k  .
 ............................................................................................................. 12 2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 109 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020        
137. Giải phương trình: 3 3
sin x  cos x  cos 2x tan x   tan x   .   4     4 
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. 
Đáp số: x 
 k2  x  k2 ,  k  .
 ...................................................................................... 2        
138. Giải phương trình: 4 4 4
sin 2x  cos 2x  cos 4x tan  x tan  x.   4     4 
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. k
Đáp số: x  , k  .
 ...................................................................................................................... 2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 110 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Nhóm 4. Đặt số đo cung phức tạp để đưa về phương trình quen thuộc    
139. Giải phương trình: 3 tan x
    tan x  1.   4  cosx  0     x  k x        k    Điều kiện:   2 2         (k  )  .  cos x     0     3     4  x       k x    k   4 2  4   tana  tanb
Đặt t  x 
 x  t  và áp dụng công thức tan(a  b)  thì 4 4 1  tana. tanb     tant  1 phương trình trở thành 3 3 tan t  tan t
    1  tan t   1   4  1  tant 4 3
 tan t  tan t  2 tant  0 3 2
 tant.(tan t  tan t  2)  0
 ............................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. 
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là x   k ,
 x  k với k  .
 ............................ 4    
140. Giải phương trình: 3 8 cos x     cos 3x.   3 
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. 
Đáp số: x   k ,
 x  k ,  k  .
 ................................................................................................ 2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 111 -
SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11
TRUNG TÂM THẾ VINH – 45 LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ
Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 09
Giải các phương trình lượng giác sau: 
1) sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  2. ĐS: x    k2 ;
 x    k2 .  2 
2) (1  tan x)(1  sin 2x)  1  tan x.
ĐS: x  k   x   k ,  k  .  4 4 4
sin 2x  cos 2x k 3) 4  cos 4x. x  k    ĐS: , .        2 tan   x tan    x 4     4       4) 3 2 sin x
    2 sin x.  x   k k    ĐS: , .  4  4 sin 3x sin 5x 2 5)  
ĐS: x  k  x   arccos  k2 .  3 5 3  6) 2 2
4 cos x  3 tan x  2 3 tan x  4  4 3 cos x. ĐS: x    k2 ,  k  .  6 1  7) 2
sin 2x  2 sin 2x 
 2 tan x  1  0. ĐS: x    k ,  k  .  2 cos x 4
Ñeà reøn luyeän veà nhaø soá 10
Giải các phương trình lượng giác sau:  5
1) sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  1  0. ĐS: x   k2 ;  x   k2 .  6 6 1 
2) 2 tan x  cot x  2 sin 2x   ĐS: x    k ,  k  .  sin 2x 3 3 3
sin x sin 3x  cos x cos 3x 1  3)    x    k k    ĐS: , .      8 6 tan x   tan x       6     3      3 4) 3 sin x
    2 sin x.  x   k ,  k  .   ĐS:  4  4       5) 3 2 2 cos x
    3 cos x  sin x  0.  x 
 k  x   k  ĐS: .  4  4 2  6) 2 2
2 sin x  3 tan x  6 tan x  4  2 2 sin x. ĐS: x   k2 ,  k  .  4 2 7) 2
8 cos 4x cos 2x  1  cos 3x  1  0. ĐS: x    k2 ,  k  .  3
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 112 -

Phương trình lượng giác thường gặp – Lê Văn Đoàn

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Toán 11 KNTTVCS – Phan Nhật Linh

Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác - Kết Nối Tri Thức