Phương trình vi phân - tài liệu học tập | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Phương trình vi phân - tài liệu học tập | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Preview text:
Bài 5: Phương trình vi phân
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Các kiến thức cần có Các bạ n cần có kiến thứ c về phép tính đạo hàm vi phân (bài 2), sơ l ược về hàm nhiều biến (bài 4) . Mục tiêu Thời lượng
Nắm được khái niệm phương trình
Bài này được trình bày trong 4 tiết lý thuyết vi phân. và 3 tiết bài tập.
Làm được bài tập về phương trình vi phân. Nội dung
Bài này sẽ giới thiệu với các bạ n các khái niệ m cơ bản về phư ng ơ
trình vi phân nói chung và một s
ố vấn đề cơ bản như biểu diễn nghiệm, phương pháp giải một s ố loại phương trình vi phân cấp một, cấp hai bi đặc ệt. Hướng dẫn học
Bạn cần đọc kỹ và áp dụng phương pháp giải của các ví dụ để làm được các dạng bài tập. MAT101_Bài 5_v2.3013101225 95
Bài 5: Phương trình vi phân 5.1.
Các khái niệm cơ bản 5.1.1.
Các khái niệm chung về phương trình vi phân
Trong thực tế, khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi
chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc ở dạng hàm số giữa các
đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối
quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy. Trong
nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân.
5.1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân Định nghĩa:
Phương trình vi phân là phương trình xuất hiện biến số, hàm số cần tìm và các đạo
hàm (vi phân) các cấp của hàm số đó.
Trong giáo trình này, chúng ta xét phương trình vi phân trong đó hàm số cần tìm là
hàm số của một biến số. Loại phương trình này được gọi là phương trình vi phân
thường, mà ta hay gọi tắt là phương trình vi phân. Ví dụ 1:
Sau đây là một số phương trình vi phân thường: a) 2 2
y' x xy y xuất hiện biến số x, hàm số cần tìm y(x) và đạo hàm y'(x) . a) 2
xdy (y x )dx 0 xuất hiện biến số x, hàm số y và vi phân dx,dy 2 d y 2 d y b) a
xy xuất hiện biến số x, hàm số y, vi phân cấp hai . 2 dx 2 dx
5.1.1.2. Cấp của phương trình vi phân Định nghĩa:
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số
cần tìm xuất hiện trong phương trình đó. Ví dụ 2: c) 2 2
y' x xy y là phương trình cấp một do phương trình có chứa đạo hàm cấp một y'. b) 2
xdy (y x )dx 0 là phương trình cấp một do trong phương trình xuất hiện vi
phân cấp một dy của hàm số cần tìm. 2 d y c) a
xy là phương trình cấp hai do vi phân cấp hai có mặt trong phương trình. 2 dx Định nghĩa:
Phương trình vi phân thường cấp là phương trình có dạ n ng: (n ) F(x, y, y',..., y ) 0 (5.1)
trong đó F là hàm số của n + 2 biến số. 96
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân
5.1.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân Định nghĩa:
Nghiệm của phương trình vi phân (5.1) là một hàm số (
x) xác định trong một
khoảng a,b , sao cho khi thay (n ) (n) y ( x), y' '(x),..., y
(x) vào (5.1) ta được đồng nhất thức (n ) F x, (
x),'(x),..., (x) 0 . Giải một phư ng t ơ
rình vi phân là tìm tất cả các nghiệ c m ủa phư ng t ơ rình đó. 5.1.2.
Phương trình vi phân cấp một
Phương trình vi phân cấp một được cho dư i
ớ một trong các dạng sau đây dy
Dạng tổng quát: F x, y, 0 , F(x, y, y') 0. dx dy
Dạng đã giải ra đạo hàm: y ' f (x, y) . dx
Dạng đối xứng: M(x, y)dx N(x, y)dy 0 .
Ta thấy rằng có thể dễ dàng chuyển đổi giữa hai dạng của phương trình vi phân: Dạng
đối xứng và giải ra đạo hàm.
5.1.2.1. Nghiệm và tích phân của phương trình vi phân cấp một
Trong phần trước chúng ta đã biết hàm số (
x) được gọi là nghiệm của phương trình
vi phân cấp một nếu như đồng nhất thức F(x,(x),
(x)) 0 được nghiệm đúng. Tuy
nhiên có những trường hợp ta không giải được ra cụ thể hàm số y ( x), mà nghiệm
của phương trình lại được tìm ra ở dạng: ( x, y) 0 (5.2)
Trong trường hợp này, phương trình (5.2) được gọi là tích phân của phương trình vi phân. Ví dụ 3:
Phương trình y' y có nghiệm là x
y Ce , trong đó C là hằng số. Ta dễ kiểm tra được x y' Ce y .
Phương trình ydy xdx 0 có tích phân là 2 2
x y C , C là hằng số dương bất kỳ.
5.1.2.2. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng. Tích phân tổng quát và tích phân riêng
Ta xét một phương trình đơn giản y' f(x) , đây là phương trình vi phân cấp một cho
ở dạng đã giải ra đạo hàm và vế phải khuyết .
y Trong bài 3, ta biết nghiệm của
phương trình này là y f (x)dx
, biểu thức nghiệm có mặt của hằng số C bất kỳ.
Nghiệm của một phương trình vi phân cấp một cũng đưa về việc lấy tích phân bất
định, do đó nghiệm ấy sẽ có mặt một hằng số C : y ( x,C) . Ta có định nghĩa sau: MAT101_Bai5_v2.0013101225 97
Bài 5: Phương trình vi phân Định nghĩa: Họ hàm số y (
x,C) được gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân
cấp một nếu với một hằng số C, C thuộc khoảng I, thì hàm số ( x,C) tương ứng là
một nghiệm của phương trình. Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán
cho C một giá trị xác định được gọi là một nghiệm riêng của phương trình. Định nghĩa:
Nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân viết dưới dạng hàm ẩn ( x, y,C) 0
được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó. Mỗi tích phân ứng với giá trị xác
định C được gọi là một tích phân riêng của phương trình. Ví dụ 4: 2 x
a) Phương trình y' x có nghiệm tổng quát là y C . 2 2 x 1 1 Nghiệ m y là một nghiệ r m iêng của phư ng t ơ rình v ứng ới C . 2 2 3 2 y x a) Phương trình 2
y dy xdx 0 có tích phân tổng quát là C . 3 2
Với C 1 ta có tích phân riêng 3 2 2y 3x 6 .
5.1.2.3. Bài toán Cauchy Xét phư ng t ơ
rình vi phân cấp một cho ở dạng: dy y' f(x,y) (5.3) dx Bài toán tìm nghiệ r m iêng của phư ng t ơ
rình (5.3) thoả mãn điề ki u ệ : n y(x ) y (5.4) 0 0 được ọi
g là bài toán Cauchy. Điều kiện (5.4) được ọi
g là điều kiện ban đầu. Ta thừ nh a ậ
n định lý sau đây về tính t t ồn ạ v i à duy nhất nghiệ c m ủa bài toán Cauchy. Định lý:
Giả sử hàm số f (x, y) xác định và liên tục trong một lân cậ n U của điểm M (x , y ) 0 0 0 và t t ồn ạ m
i ột hằng số K 0 sao cho:
f(x, y ) f(x, y ) K y y , ( x, y ),(x, y )U . 2 1 2 1 1 2 Khi
đó tồn tại một giá trị 0 đủ nh
ỏ sao cho trong khoảng (x , x ) , t ồn tạ i 0 0 duy nhất nghiệ m y ( x) của phư ng t ơ
rình (5.3) thoả mãn điều kiệ ba n n đầu (5.4). 5.2.
Một số phương trình vi phân cấp một cầu phương được 5.2.1.
Phương trình phân ly biến số
Phương trình phân ly biến số có dạng: f(x)dx g(y)dy.
Lấy tích phân hai vế ta được:
f (x)dx g(y)dy F(x) G(y) C 98
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân trong
đó F(x) là một nguyên hàm của f (x), G(y) là một nguyên hàm của g(y) . Các phư ng t ơ
rình khuyết y' f(x) và y' f(y) là các phư ng t ơ rình phân ly biế s n . ố Ví dụ 5: Giải các phư ng t ơ rình vi phân sau: a) (1 x)dy (1 y)dx. Nhận xét:
y 1 và x 1 là hai nghiệm của phương trình này. Khi y 1,x 1
, ta biến đổi tương đương dy dx
(1 x)dy (1 y)dx . y 1 x 1
Lấy tích phân hai vế ta có:
ln y 1 ln C ln x 1 (x 1)(y 1 ) C . Rõ ràng x 1
, y 1 là tích phân riêng ứng với C 0. Vậy tích phân t ổng quát của phư ng t ơ
rình ban đầu là (x 1)(y 1) C. cos y sin y 2 b) y ' (*) cos x sin x 2 Nhận xét: Nghiệm y của phư ng ơ
trình cos y sin y 2 0 là nghiệ m của phương trình vi phân a đ ng xét.
cos y sin y 2 0 cos y
1 y 2k y 2k . 4 4 4
Vậy y 2k , k là nghiệ c m ủa phương trình (*). 4
Khi: y 2k, ta có: 4 dy dx dy dx (*) . cos y sin y 2 cos x sin x 2 2 y 2 x sin cos 2 8 2 8 y x
Lấy nguyên hàm hai vế ta được cotg tg C . 2 8 2 8 Vậy phư ng ơ trình đã cho có nghiệ m là y 2k , k và tích phân 4 tổng quát: y x cotg tg C . 2 8 2 8 MAT101_Bai5_v2.0013101225 99
Bài 5: Phương trình vi phân CHÚ Ý : dy Phương trình dạng
f (ax by) có thể đưa về phương trình phân ly biến số bằng dx
cách đổi biến. Thật vậy, đặt z ax by z' a by' , ta có phương trình vi phân đối z ' a với x, z :
f (z) z ' bf (z) a b 5.2.2.
Phương trình thuần nhất (phương trình đẳng cấp)
Phương trình thuần nhấ l t à phư ng t ơ rình có dạng: y y' f . (5.5) x
Đặt y ux , trong đó u(x) là hàm s c ố ủa x. Ta có: du
y ' xu ' u f (u) x f (u) u . dx du dx Nếu f(u) u, ta có
, đây là phương trình phân ly biến số. f (u) u x y
Nếu f(u) u thì phương trình (5.5) có dạng y ' , nghiệm tổng quát của nó x là y Cx .
Nếu f(u) u có nghiệm u u thì ta có y u x cũng là nghiệm của (5.5). 0 0 Ví dụ 6: Giả ph i ư ng t ơ rình vi phân y a) xy ' x sin y . x
Đặt y xu y' xu' u . Thay vào phương trình ta được:
x(xu ' u) xsin u xu xu' sin u .
Ta thấy sinu 0 u k ,
k thoả mãn xu ' sin u . Do đó y k x là các nghiệm của phư ng t ơ rình ban đầu. Nếu sin u 0, ta có: du dx u y ln tg ln x ln C tg Cx . sin u x 2 2x
b) (x 2y)dx xdy 0 và y(1) 2 .
Đặt y xu dy xdu udx, thay vào phương trình ta được: 2
(x 2xu)dx x(udx xdu) 0 x(1 u)dx x du . Ta thấy u 1
không thoả mãn điều kiệ n ban đầu, nên đó không là nghiệ m của
phương trình. Ta được phư ng t ơ rình tư ng ơ đương 100
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân dx du
ln x ln C ln u 1 u 1 Cx x u 1 y(1) 2 u(1) 2 , nên C 1.
Vậy nghiệm của phương trình đang xét là: 2 y x x . CHÚ Ý: Phương trình dạng: dy a1x 1 b y c1 f ;(a 1b 2 a 2b1) (5.6) dx a2x 2 b y 2 c
có thể đưa về phương trình thuần nhất bằng cách đổi biến. Thật vậy, do nên 1 a b2 a2 1 b hệ phương trình a x b y c 0 1 1 1 a 2x b2y c2 0 có nghiệm duy nhất ( 0 x , 0
y ) . Sử dụng phép đổi biến x x0 u, y y0 v , ta có dx du,dy dv
a1x b1y 1c a1u 1bva1x0 b1y0 c1 a1u b1v
a x b y c a u b v a x b y c a u b v 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 dv a u b v
Phương trình (5.6) trở thành 1 1 f
. Đây là phương trình vi phân thuần nhất du a 2u b2v
đối với biến số u và hàm số v v(u) 5.2.3.
Phương trình tuyến tính
Phương trình tuyến tính cấp một có dạng: y' p(x)y q(x) trong
đó p(x),q(x) là các hàm s ố liên tục. Phư ng ơ
trình tuyến tính gọi là thuần nhất
nếu q(x) 0 , là không thuần nhấ n t ế u q(x) 0 . Để giải ư
ph ơng trình tuyến tính, ta chia làm ba b : ước
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y' p(x)y 0.
Đây là phương trình ở dạng phân ly biến s , t ố a giải ra p( x )dx y Ce .
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: y' p(x)y q(x) .
Nghiệm này được tìm ở dạng p(x )dx * y C(x)e
. Ở đây, ta coi C là hàm số của x. Thay nghiệ m * y vào phư ng t ơ rình trên ta được: p(x)dx p( x )dx C'(x) p(x)C(x) e p(x)C(x)e q(x) . MAT101_Bai5_v2.0013101225 101
Bài 5: Phương trình vi phân p(x)dx Suy ra: p( x)dx C'(x) q(x)e và C(x) q(x)e dx .
Bước 3: Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính ban đầu là * y y y .
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng
tổng của nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng
với một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Ví dụ 7: Giải phư ng t ơ rình vi phân a) 2 (x 1)y' xy x .
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: dy x 1 2 2 (x 1 )y 'xy 0 dx ln y ln C ln(x 1 ) . 2 y x 1 2 C Suy ra: y . 2 x 1 Dễ thấy một nghiệ m riêng của phư ng ơ trình không thuần nhất * y 1, do đó C nghiệm của phư ng t ơ rình đang xét là: * y y y 1 . 2 x 1 Nếu bài toán yêu cầ u tìm nghiệ m của phư ng ơ
trình thoả mãn y(0) 2 thì ta tìm ra C 3 . Nghiệ c
m ủa phương trình với điều kiệ ba n n đầu như trên là: 3 y 1 . 2 x 1 1 b) x x y ' (2y xe 2e ) . x
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 2y dy 2dx y' ln y 2ln x ln C . x y x Suy ra: 2 y Cx . Tìm nghiệ r m iêng của phư ng t ơ rình không thuầ n n hấ d t ư i ớ dạng * 2 y C(x)x . x (x 2)e Thay vào phư ng t ơ rình ta được C'(x) , suy ra: 3 x x x e 2 x e C(x) e dx K . 2 3 2 x x x Với: K 0 , * x y e . Vậy nghiệ c m ủa phư ng t ơ rình cần tìm là: x 2 y e Cx . 102
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân 5.2.4.
Phương trình Bernoulli Phư ng t ơ rình Bernoulli có dạng: dy p(x)y y q(x) dx
trong đó là số thực khác 0 và 1.
Nếu 0 thì y 0 là một nghiệm của phương trình Bernoulli.
Khi y 0 chia hai vế cho y , ta được: dy 1 y p(x)y q(x) (5.7) dx Đặt 1 z y , ta có: dz dy (1 )y . dx dx Thay vào (5.7) ta thu ph được ư ng t ơ rình: dz (1 ) p(x)z (1 ) q(x) . dx
Đây là phương trình tuyến tính đối với hàm s ố z(x) . Ví dụ 8: y Giải phư ng t ơ rình vi phân: 2 4 y ' x y . x
Đây là phương trình Bernoulli với: 4.
Ta thấy y 0 là một nghiệ c m ủa phư ng t ơ rình này.
Khi y 0, chia cả hai vế của phư ng t ơ rình cho 4 y , đặt 3 z y , ta ph được ư ng t ơ rình 3 2 z ' z 3 x . x 3
Giải phương trình tuyến tính thuần nhất: 3 z ' z 0 z Cx . x 3
Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất 2 z ' z 3 x dưới dạng x * 3 3
z C(x)x . Thay vào phương trình ta được C'(x) C(x) 3 ln x . x Vậy nghiệm riêng: * 3 z 3 x ln x . 1/ 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: y 0 và 3 y x (C 3ln x ) . 5.2.5.
Phương trình vi phân toàn phần
5.2.5.1. Phương trình vi phân toàn phần
Phương trình vi phân toàn phần là phương trình có dạng: M(x, y)dx N(x, y)dy 0 (5.8) MAT101_Bai5_v2.0013101225 103
Bài 5: Phương trình vi phân
trong đó M(x, y);N(x, y) là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp M N
một trong một miền D và , ( x, y) D y x
Khi đó tồn tại hàm số u(x, y) sao cho du M(x, y)dx N(x, y)dy , tức là vế trái của
phương trình (5.8) là một biểu thức vi phân toàn phần. Ta có thể tìm được hàm số u(x, y)
bởi một trong hai công thức sau đây: x y
u(x, y) M(x, y )dy Q(x, y)dy K 0 0 x 0 y x y
u(x, y) M(x, y)dy Q(x , y)dy K 0 x y 0 0 trong K đó là một hằng s . ố Giải phư ng t ơ
rình (5.8) ta cần lấy tích phân hai vế và thu được tích phân t quát ổng : u(x, y) C. Ví dụ 9: Giải phư ng t ơ rình vi phân: a) 2
(x y 1)dx (x y 3)dy 0 . 2
(x y 1) (x y 3) Vì: 1
nên đây là một phương trình vi phân toàn phần. y x
Chọn x y 0 , ta tìm : được 0 0 x y 2 3 2 x y
u(x, y) (x 1)dx (x y 3)dy x xy 3y . 2 3 0 0 Vậy tích phân tổn quát g của phư ng t ơ rình đã cho là: 2 3 x y x xy 3y C. 2 3 b) 2
xycos(xy) sin(xy) dx x cos(xy)dy 0 xycos(xy) sin(xy 2 ) x cos(xy) Vì: 2 2x cos(xy) x ysin(xy) y x
nên đây là phương trình vi phân toàn phần. Ch ọn x 1, y 0 ta có: 0 0 y y 2
u(x, y) x cos(xy)dy x sin(xy) xsin(xy) . 0 0
Vậy tích phân tổng quát của phư ng t ơ
rình đã cho là: xsin(xy) C
5.2.5.2. Phương pháp thừa số tích phân
Trong nhiều trường hợp mặ dù ph c ư ng t ơ rình vi phân: M(x, y)dx N(x, y)dy 0 104
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân
không phả i là một phư ng ơ trình vi phân toàn phầ , n nhưng ta có thể ch ọn hàm s ố (x , y) sao cho khi nhân (x
, y) vào hai vế, ta thu được phư ng ơ trình vi phân toàn phầ : n ( x, y)M(x, y)dx ( x, y)N(x, y)dy 0 (5.9) Hàm s ố (x , y) được ọi
g là thừa số tích phân. Từ điều kiện để vế trái của (5.9) là
vi phân hoàn chỉnh ta có: M N (5.10) y x Nói chung thừ a s ố tích phân (x
, y) không dễ tìm mà ta thường xét trường hợp đơn giản khi thừ s
a ố tích phân chỉ phụ thuộc vào một biế s n ố: ( x) hoặ c (y). Ví dụ 10: Giải phư ng t ơ rình: 2 3 2
(2xy 3y )dx (7 3xy )dy 0 bằng cách tìm thừ s
a ố tích phân (y) .
Từ điều kiện (5.10) ta có: 2 3 2 2
'(y)(2xy 3y ) (y)(4xy 9y ) 3 y ( y) y(2x 3y)2 (
y) y'(y) 0 .
Với điều kiện y(2x 3y) 0 , ta có: C 2 (
y) y'(y) 0 ( y) . 2 y 1 Chọn C 1 ta t được hừ s a t ố ích phân ( y) , phư ng t ơ rình đã cho tư ng ơ đương: 2 y 7 (2x 3y)dx 3x dy 0 . 2 y
Chọn x 0, y 1, ta có: 0 0 x y 7 2 7 u(x, y) (2x 3)dx
3x dy x 3xy 7 . 2 y y 0 1 Vậy tích phân t quát ổng của phư n ơ g trình đã cho là: 7 2 x 3xy 7 C . y 5.3.
Phương trình vi phân cấp hai 5.3.1.
Phương trình vi phân cấp hai
5.3.1.1. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng
Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát: F(x, y, y', y') 0 (5.11) MAT101_Bai5_v2.0013101225 105
Bài 5: Phương trình vi phân trong
đó F là hàm số của 4 biến.
Thông thường việc giải phương trình dạng tổng quát rất phức tạp, nên người ta xét
phương trình vi phân cấp hai ở dạng đã giải ra đạo hàm: y' f (x, y, y') (5.11’)
Việc giải phương trình cấp hai là tìm tất cả các hàm số y ( x) sao cho khi thay vào
(5.11) và (5.11’) ta được các đồng nhất thức: F(x, (x
),'(x),'(x)) 0 hoặc '(x) f (x, ( x),'(x)) . Ví dụ 11:
Giải phương trình y' 6x . Ta có: 2
(y')' 6x y' 6xdx 3x C 1 2 3
y (3x C )dx x C x C . 1 1 2 Ta thấy nghiệ
m của phương trình vi phân cấ p hai nói trên ph
ụ thuộc vào hai hằng s . ố
Từ đây ta có định nghĩa: Định nghĩa:
Ta gọi họ hàm số: y (
x, C ,C ) là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân 1 2
cấp hai nếu khi gán cho mỗi ký hiệu C ,C một giá trị xác định thì ta được một 1 2
nghiệm của phương trình đó. Mỗi nghiệ nh m ận được từ nghiệ m tổng quát khi gán cho
C ,C các giá trị xác định gọi là nghiệ r m iêng của phư ng t ơ rình. 1 2
Trong ví dụ 11, cho C 1,C 1
, ta được một nghiệm riêng của phương trình là: 1 2 3 y x x 1.
5.3.1.2. Tích phân tổng quát và tích phân riêng
Tương tự như trường hợp phư ng ơ
trình vi phân cấp một, không phả ilúc nào ta cũng
có thể giải được tường minh nghiệ m của một phư ng ơ trình dưới dạng hàm s ố y (
x, C ,C ), mà chỉ có thể đưa về một phư ng t ơ rình hàm ẩ . n 1 2
Định nghĩa: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân viết dưới dạng hàm ẩn: (x, y,C ,C ) 0 1 2 được ọi
g là tích phân tổng quát của phương trình đó. Mỗi tích phân ứng với giá trị xác định của C ,C g
được ọi là một tích phân riêng của phương trình . đó 1 2
5.3.1.3. Bài toán Cauchy Xét phư ng t ơ rình vi phân cấ ha p i: y' f (x, y,y') 0
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệ m của phư ng ơ
trình nói trên thoả mãn các điều kiện ban đầu:
y(x ) y , y '(x ) y . 0 0 0 0
Ta thừa nhận định lý sau đây về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp hai. 106
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân Định lý:
Giả sử hàm số f (x, y, y') xác định và liên tục trong một lân cậ n U của điểm M (x , y , y ') và t t ồn ạ c i ác hằ g s n ố K ,K 0 sao cho: 0 0 0 0 1 2
f(x, y , y') f (x, y , y') K y y (
x, y , y'),(x, y , y') U 2 1 1 2 1 1 2
f(x, y, y ') f(x, y, y ') K y ' y ' (
x, y, y '),(x, y,y ')U . 2 1 1 2 1 1 2 Khi
đó tồn tại 0 đủ nh ỏ sao cho t
ồn tạ iduy nhấ tnghiệm y ( x) xác định trong khoảng (x ,
x ) thoả mãn điều kiệ ba n n đầu. 0 0
5.3.1.4. Một số phương trình cấp hai hạ cấp được Sau đây ta xét một s ố trường hợp phư ng ơ
trình vi phân cấp hai có thể đưa được về phương trình cấ m p ột.
Phương trình khuyết: y, y' : y' f(x) .
Ta lấy nguyên hàm hai vế hai lần: y' f (x)dx g(x) C 1
y (g(x) C )dx G(x) C x C . 1 1 2 Ví dụ 12: Giải phương trình 2 y' = x . 3 2 x y' x dx C 1 3 3 4 x x y ( C )dx C x C . 1 1 2 3 12
Phương trình khuyế :t y: y' f(x, y').
Đặt y' z y' z' , ta đưa về giải phương trình vi phân cấp một z' f (x,z) . Ví dụ 13: y ' Giải phương trình y ' . x
Đặt y' z , ta được phương trình: z z ' y ' z C x 1 x
Lấy tích phân hai vế ta được: 1 2 y C x C . 1 2 2
Phương trình khuyết x : y' f (y,y'). Đặt z y' , khi : đó 2 dy d y dz dz dy dz y' z; z . 2 dx dx dx dy dx dy
Phương trình đã cho trở thành zz' f (y,z) , là phương trình cấp một của hàm z z(y) MAT101_Bai5_v2.0013101225 107
Bài 5: Phương trình vi phân Ví dụ 14: Giải phư ng t ơ rình: 2 y' 2yy' 0 . Đặt y' z , suy ra: dz dz y'(x) y'(x) zz'(y) . dx dy
Phương trình đã cho trở thành: 2 z 2yzz' 0 .
Nếu z 0 y' 0, suy ra y C là một nghiệ c m ủa phư ng t ơ rình. Nếu z 0 : 2 z 2yzz' 0 2 yz 2 ' 0 yz C 1 3 C y 2 y 1 y' z dy dx x C . 2 y C 3 C 1 1 5.3.2.
Phương trình tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phư ng t ơ rình dạng:
y' p(x)y' q(x)y f(x) (5.12) trong
đó p(x),q(x),f(x) là các hàm s c ố ho trước.
Nếu f (x) 0 , (5.12) được gọi là phư ng ơ
trình thuần nhấ .t Nếu f(x) 0 , (5.12) được gọi là phư ng t ơ rình không thuần nhấ . t Tương tự phư ng ơ
trình vi phân tuyến tính cấp một, ta nêu ra cấu trúc của nghiệ m của
phương trình không thuần nhất trong mối liên hệ với nghiệ
m của phương trình thuầ n nhất tư ng ơ
ứng. Ta luôn giả sử f(x),p(x),q(x) là các hàm liên tục.
5.3.2.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất y' p(x)y' q(x)y 0 (5.13) Định lý 1:
Nếu y (x), y (x) là hai nghiệm của phương trình (5.13) thì C y (x) C y (x) trong 1 2 1 1 2 2
đó C ,C là hai hằng số, cũng là nghiệm của phương trình đó. 1 2
Thật vậy, do y (x) và y (x) là nghiệm của phương trình (5.13) nên: 1 2
y ' p(x)y ' q(x)y 0 1 1 1
y ' p(x)y ' q(x)y 0 . 2 2 2
Nhân lần lượt hai vế của hai phương trình trên với hai hằng số C ,C tương ứng, 1 2 : ta được
(C y C y ) ' p(x)(C y C y )' q(x)(C y C y ) 0 . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
Vậy y C y C y cũng là nghiệm của phương trình (5.13). 1 1 2 2 108
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân Định nghĩa:
Hai hàm số y (x) và y (x) được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên tập D nếu tồn tại 1 2 các số k , k không t
đồng hời bằ g 0 sao cho: n 1 2 k y (x) k y (x) 0, x a,b . 1 1 2 2
Ngược lại nếu đồng nhất thứ
c trên xảy ra chỉ khi k k 0 thì ta nói y (x), y (x) 1 2 1 2
độc lập tuyến tính trên tập D.
Nhận xét: Hệ hai hàm số y (x) và y (x) ph
ụ thuộc tuyến tính trên tậ p D khi và 1 2 y (x) chỉ khi 2 là hằng s t ố rên D. y (x) 1 Ví dụ 15: Các cặ hà p m s s ố au đây độc lậ t p uyến tính trên . a) ax b x e ,e , a b. b) 1, x . Định nghĩa:
Cho hai hàm số y (x) và y (x) . Định thức: 1 2 y y 1 2 W(y , y ) y y 'y y ' . 1 2 1 2 2 1 y ' y ' 1 2
được gọi là định thức Wronsky của y , y 1 2
Ta thừa nhận một số định lý sau về định thức Wronsky của hai hàm số y , y . 1 2 Định lý 2:
Nếu hai hàm số y (x) và y (x) phụ thuộc tuyến tính trên đoạn a, b thì W(y , y ) 0 . 1 2 1 2 Định lý 3: Giả sử hai nghiệm 1 y , 2
y của phương trình tuyến tính thuần nhất (5.13) có định thức
Wronsky W(y , y )(x ) 0 , với một giá trị x a,b thì W(y , y )(x) 0 với mọi 0 1 2 0 1 2 x a,b . Định lý 4:
Nếu các nghiệm y , y của phương trình (5.13) là độc lập tuyến tính trên đoạn a, b 1 2
thì định thức Wronsky W(y , y ) khác không tại mọi điểm của đoạn ấy. 1 2
Ta có định lý sau đây về cấu trúc nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất (5.13). Định lý 5:
Nếu y (x), y (x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (5.13) thì nghiệm 1 2
tổng quát của phương trình đó là: y C y (x) C y (x) 1 1 2 2 trong đó C ,C là các hằng s b ố ất k . ỳ 1 2 MAT101_Bai5_v2.0013101225 109
Bài 5: Phương trình vi phân Chứng minh:
Theo định lý 1, y C y C y là nghiệm của phư ng t ơ rình (5.13). 1 1 2 2 Ngược lạ ,
i ta cần chứng minh với mọi điều kiện ban đầu y(x ) y , y'(x ) y ' ta 0 0 0 0 luôn tìm được các hằng s
ố C ,C để y C y C y là nghiệ m riêng của (5.13) ứng 1 2 1 1 2 2 với điều kiệ ba n n đầu đã cho. Thậ v
t ậy, ta cần giải hệ phư ng t ơ rình: y C y (x ) C y (x ) 0 1 1 0 2 2 0 y ' C y '(x ) C y '(x ). 0 1 1 0 2 2 0
Hiển nhiên hệ này có nghiệm duy nhất (C ,C ) vì định thứ
c của hệ chính là định thứ c 1 2
Wronsky W(y , y )(x ) 0 ( pc đ m). 1 2 0
5.3.2.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất
y' p(x)y' q(x)y f (x) (5.12)
Tương tự như đối với phư ng t ơ
rình vi phân cấp một tuyến tính không thuần nhấ , t ta có
định lý sau về cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất. Định lý 6:
Nghiệm tổng quát y(x) của phư ng ơ
trình không thuần nhất (5.12) bằng tổ ng của
nghiệm tổng quát y(x) của phương trình thuần nhất (5.13) c g v ộn ới một nghiệ r m iêng * y (x) của phư ng t ơ
rình không thuần nhất (5.12).
5.3.2.3. Phương pháp biến thiên hằng số
Trong trường hợp không dễ dàng nhẩm ra nghiệ r m iêng của phư ng t ơ rình không thuần
nhất (5.12), ta có thể sử dụng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng này.
Giả sử y C y C y là nghiệ m tổn
g quát của phương trình thuần nhấ t(5.13), ta sẽ 1 1 2 2 tìm nghiệ r m iêng của (5.12) dư i ớ dạng: * y C (x)y C (x)y . 1 1 2 2 Thay * y vào phư ng t ơ
rình y' p(x)y' q(x)y f (x) , ta cần tính:
*y' C '(x)y C (x)y 'C '(x)y C (x)y '. 1 1 1 1 2 2 2 2 Ta sẽ ch ọn ả 1 C (x),C2(x) tho mãn:
C '(x)y (x) C '(x)y (x) 0 . 1 1 2 2 Khi
đó y * ' C (x)y 'C (x)y '. Tính *
y ' và thay vào vế trái của (5.12), ta có: 1 1 2 2
f (x) VT C '(x)y '(x) C '(x)y '(x) 1 1 2 2
(do y ' p(x)y ' q(x)y y ' p(x)y ' q(x)y 0 ). 1 1 1 2 2 2 110
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân
Tóm lạ i C (x),C (x) thoả mãn hệ phư ng t ơ rình: 1 2
y (x)C '(x) y (x)C '(x) 0 1 1 2 2 y '(x)C '(x) y '(x)C '(x) f (x) 1 1 2 2
Vì y và y là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất nên định 1 2
thức Wronsky của chúng khác không, do đó từ hệ trên ta có thể giải ra được C (x) và 1 C (x) . 2 Vậy ta giải phư n ơ g trình tuyế t
n ính không thuần nhất theo ba b s ước au đây.
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát y C y C y của phương trình tuyến tính 1 1 2 2 thuần nhất.
Bước 2: Tìm một nghiệm riêng *
y của phương trình không thuần nhất (5.12). Ta có
thể nhẩm nghiệm trong trường hợp đơn giản, hoặc tìm nghiệm bằng phương pháp biến thiên hằng số. Bước 3. Kết luậ ng n hiệ m * y y y . Ví dụ 16: 1 Giải phư ng t ơ rình y ' y (**) cos x
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất y' y 0, suy ra y C cos x C sin x 1 2
(cách giải phương trình hệ số hằng này sẽ được trình bày trong phần sau).
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình (**) dưới dạng *
y C (x) cos x C (x)sin x , 1 2 trong đó ệm ủa ệ 1 C (x),C2(x) là nghi c h
cos xC '(x) sin xC '(x) 0 1 2
1 C '(x) tg x;C '(x) 1. 1 2
sin xC '(x) cos xC '(x) 1 2 cos x Ta tìm được: C
(x) tg xdx ln cos x C 1 1 C (x) x C 2 2 trong đó C ,C là hai hằ g s n b ố ấ k t . ỳ Để có một nghiệ r m iêng, ta có thể ch : ọn 1 2 C C 0 . 1 2 Vậy nghiệ t m quát ổng của phư ng ơ trình đã cho là:
y C cosx C sinx cos xln cos x xsin x . 1 2 MAT101_Bai5_v2.0013101225 111
Bài 5: Phương trình vi phân 5.3.3.
Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng
5.3.3.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Xét phư ng t ơ rình y' py'qy 0 (5.14) trong đó p,q là các hằng s t ố hự . c Định nghĩa:
Phương trình đặc trưng của phương trình (5.14) là: 2 p q 0 (5.15) Tuỳ theo giá trị nghiệ m của phư ng ơ
trình đặc trưng (5.15) mà ta có công thức
nghiệm tổng quát của (5.14). Giả sử phư ng t ơ rình này có hai nghiệ m , . 1 2
Nếu là hai nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát x x 1 2 y C e C e . 1 2 1 2
Nếu thì nghiệm tổng quát 1x y e (C C x) . 1 2 1 2
Nếu hai nghiệm phức i thì x y e (C cos x C sin x ) . 1,2 1 2 Ví dụ 16: Giải các phư ng t ơ rình vi phân a) y' 2y'3y 0.
Phương trình đặc trưng là 2
2 3 0 1
, 3 . Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là x 3x y C e C e 1 2 b) y' 2y 5 0.
Phương trình đặc trưng là 2
2 5 0 1
2i . Do đó nghiệm tổng 1,2
quát của phương trình đã cho là x y e (C sin 2x C cos 2x). 1 2
5.3.3.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng y' py'qy f (x). Ta đã biết phư ng ơ
pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng của phư ng ơ trình không thuần nhất *
y . Tuy nhiên đối với một s ố dạng c
ụ thể của vế phả i f (x) , ta có cách lựa ch d ọn ạng đặc biệ c t ủa nghiệ r m iêng * y .
Phương trình đặc trưng tư ng ơ ứng là 2
p q 0 (5.15). Nếu x f (x) e
P (x) mà trong đó P (x) là một đa thức bậc n , là một hằng số n n o
Mà không là nghiệm của (5.15) thì ta tìm nghiệm ở dạng * x y e Q (x) . n o
Mà là nghiệm đơn của (5.15) thì ta tìm nghiệm ở dạng * x y xe Q (x) . n o
Mà là nghiệm kép của (5.15) thì ta tìm nghiệm ở dạng * 2 x y x e Q (x), n
trong đó Q (x) là một đa thức bậc n. n 112
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân Nếu f x x =e P x cos x +Q x sin x n m trong đó , là các hằng số,
P (x),Q x là các đa thức với bậc tương ứng là n, m, max n,m1 n m o
Mà i khác nghiệm phức a ib của (5.15) thì ta tìm nghiệm ở dạng * x y = e R x cosx +S x sinx 1 1 o
Mà i là nghiệm phức a ib của (5.15) thì ta tìm nghiệm ở dạng * x
y = xe R x cosx +S x sinx 1 1 . Ví dụ 18: Giải các phư ng t ơ rình vi phân: a) 2x y' y (2x 1)e .
Phương trình đặc trưng 2
1 0 có hai nghiệm là 1 , nên nghiệm tổng 1,2
quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: x x y C e C e . 1 2
Ở vế phải 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên ta tìm nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng * x y (Ax B)e .
Thay vào phương trình, ta thu được: 2 5 2x 2x 2x 2x
4Axe (4A 4B)e (Ax B)e (2x 1)e A ; B 3 9 2x 5 2x 5 nên * 2x y e và x x 2x y C e C e e . 3 9 1 2 3 9 b) x y' 2y' 3y xe .
Phương trình đặc trưng 2
2 3 0 có hai nghiệm 1
; 3 , nên nghiệm 1 2
tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: x 3x y C e C e . 1 2 Ở ế
v phải, 1 là nghiệm đơn của phư n ơ g trình đặc tr ng, do ư đó ta tìm nghiệm riêng của phư ng t ơ
rình không thuần nhất ở dạng: * x y xe (Ax B) . Thay vào phư ng t ơ
rình đã cho, ta thu được: 1 1 x
y ' 2y ' 3y xe A , B 8 16 1 1 1 1 nên * x y xe x và x 3x x y C e C e xe x . 8 16 1 2 8 16 Nếu x f(x) e P (x)cos x P (x)sin x
, trong đó P (x), P (x) là các đa thứ c m n m n
bậc m and n, là hằng s . ố MAT101_Bai5_v2.0013101225 113
Bài 5: Phương trình vi phân Nếu i không là nghiệ c m ủa phư ng
ơ trình (5.15), ta tìm nghiệ r m iêng ở dạng: * x y e Q (x)cos x R (x)sin x
, trong đó l max(m,n) . l l Nếu i là một nghiệ c m ủa phư ng t ơ rình (5.15) ta tìm nghiệ r m iêng ở dạng: * x y xe Q (x)cos x R (x)sinx l l trong
đó l max(m,n) và Q (x) là đa thứ b c ậ l c . l Ví dụ 19: Giải phư ng t ơ
rình vi phân y' y x cosx .
Phương trình thuần nhất tư ng ơ
ứng là y' y 0 . Phư ng t ơ rình t đặc r ng ư 2 1 0 có hai nghiệ
m i , nên nghiệ t m quát ổng của phư ng t ơ rình thuần nhất là: y C cos x C sin x . 1 2 Ta tìm nghiệ r m iêng của phư ng t ơ
rình không thuần nhấ t y' y x cosx ở dạng: *
y x (Ax B)cosx (Cx D)sin x. 1 Thay vào phư ng t ơ
rình ta được A D 0, B C , suy ra: 4 x *
y cos x x sin x . 4 Vậy nghiệ t m quát ổng của phư ng ơ trình đã cho là: x y C cos x C sin x cos x x sin x . 1 2 4 114
MAT101_Bài 5_v2.3013101225
Bài 5: Phương trình vi phân
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Trong bài này chúng ta nghiên cứu vấn đề là: Phương trình vi phân.
Nghiệm, nghiệm riêng, tích phân cơ bản, tích phân riêng của phương trình vi phân (cấp một và cấp hai).
Mối quan hệ giữa nghiệm của một phương trình thuần ấ
nh t và nghiệm của phương trình không thuần nhất.
Phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một và cấp hai.
Bài này trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân: Định nghĩa phương trình vi
phân, cấp, nghiệm riêng, và nghiệm tổng quát, đường cong tích phân của phương trình vi phân,
phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
Học viên cần hiểu rõ các khái niệm đó, nhận được các phương trình đã học và giải các phương
trình đó, hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa thực tiễn của bài toán đặt ra. CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Thế nào là nghiệm tổng quát và tích phân tổng quát của một phương trình vi phân cấp n?
2. Hãy nêu cấu trúc của nghiệm của một phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp hai. Nêu
phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất. MAT101_Bai5_v2.0013101225 115
Bài 5: Phương trình vi phân BÀI TẬP
1. Giải các phương trình vi phân cấp một sau a) tg ydx xln xdy 0
b) y'(2x y) 1, y(0) 1 y c) 2 2 2 x y' y xy x 0 d) xy ' y ln , y(1) 1 x x y 1 e) 2 y' 2xy 1 2x f) y' . x y 3 2.
Giải các phương trình vi phân 3 x a) 2 3x (1ln y)dx 2y dy 0 y
b) ydx x(1 xy)dy 0 bằng cách tìm thừa số tích phân dạng (x) .
3. Giải các phương trình vi phân cấp hai khuyết 1 a) x y ' 2 b) xy' y' 0 2 cos x c) 2 2 y' y' 1 d) 2 3 yy' y' y' 0 .
4 Giải các phương trình vi phân sau a) y' 7y' 6y sin x b) x y' 5y ' 4y e c) x y' 2y ' y e (x 1) d) y' 4y 2sin 2x . 116
MAT101_Bài 5_v2.3013101225