Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị đại số và cách khắc phục môn Toán rời rạc | Trường Đại học sư phạm Hà Nội

lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM
CỰC TRỊ ĐẠI SỐ VÀ CÁCH KHẮC PHỤC ĐẶT VẤN ĐỀ:
Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em
càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ
rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải
tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này.
Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo
tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau: 1.
Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị. 2.
Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức. 3.
Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại. 4.
Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán. 5.
Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu
nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử
dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có. 6.
Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa.
Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng
toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế, chúng
ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các
bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài “Sai
lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục” trong
chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải
quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học
kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Như nhà giáo dục
toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình” .
Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn
rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò lại rất
ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và
tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn
học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà
học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thầy
cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Sau đợt tập huấn
cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ chức, dưới sự chỉ đạo
trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí và qua tạp chí Toán
tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những kinh nghiệm mà trong quá
trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìm cực trị đại số, khi hướng dẫn
học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, còn
học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố
hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong
rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn.
Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân
tích - kinh nghiệm của người làm toán. Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS
dành cho giáo viên và học sinh có rất n ều n ưng nội dung thì trùng nhau. Các sách
của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán
tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài
tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có
thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã c ọn đề tài “Sai lầm thường
gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS
để nghiên cứu và thực hiện. NỘI DUNG CHÍNH
I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần
Phần 1: Lý thuyết
Phần 2: Các bài tập minh họa
Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng.
1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai.
2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng.
3) Các bài tập áp dụng.
II) Nội dung cụ thể.
PHẦN I: LÍ THUYẾT
a) Một số tính chất của bất đẳng thức Cho
a, b, c là các số thực Tính chất 1 a bb a lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục a b a=b Tính chất 2 b a
Tính chất 3 Tính chất bắc cầu a b b c a c.
Tính chất 4 a b a c b c + + a b Tính chất 5 c d a c b+d+
Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau. ac bc a b Tính chất 6 c 0 ac bc Tính chất 7 a b c 0
Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm a b 0 c d 0 ac bd a 1 b1 0 a2 b2 0 a a ...a1 2 n *
Tổng quát: ...
b b ...b1 2 n 0, n N lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục a n bn 0
Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau. Tính
chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức * a b 0 an b ,n n N* * a b an bn (n N , n 2)* M Tính chất 10 a b 0 n a n b, n N ,n* 2
Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số am 1n 0 m an * m n 00 a 1 am an * a b a 1 1 Tính chất 12 ab 0 a b
b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ❖ a 0, a R ❖ a = a nếu a 0 ❖ a =-a nếu a 0 ❖ - a a a lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
❖ a+b a + b . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 .
c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị. +) Bất đẳng thức Côsi
Dạng cơ bản: Cho a, b 0, khi đó ta có bất đẳng thức a+b 2 ab .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Dạng tổng quát: Cho các số không âm a ,a ,a ,...,a1 2 3 n .
Ta có bất đẳng thức a +a +a +...+a1 2 3 n n. a a a ...an 1 2 3 n với n N,n 2.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = a = a = ... = a1 2 3 n .
+) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Dạng cơ bản: Với a,b,c,d là các số thực tuỳ ý ta luôn có ac+bd 2 a +b c +d2 2 2 2 . a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . c d
Dạng tổng quát: Cho hai bộ số a ,a ,a ,...,a1 23n , b ,b ,b ,...,b1 2 3n , khi đó ta có a b +a b +a b +...+a b1 1 2 23 3n n 2 a +a +a +...+a12 22 32 n2 b +b +b +...+b12 2232 n2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 =...= an b1 b2 b3 bn
(Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa). lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A.
Dạng sai lầm thứ nhất:
Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần
tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra
đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức
không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) 1
Bài 1. Cho x, y là a số dương t oả mãn x+
1. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu y x y t ức M = 32. +2007. . y x
Lời giải “có vấn đề”. x y
Từ x, y > 0 áp dụng bất đẳng t ức C s ta có + 2. y x 2 1y 1 x+ 1y 4x.1y xy 4. Từ x, y > 0 và x+ 1 ta có x y x y y
Do vậy M = 32. y +2007. x = 32. y + x +1975. x 32.2 1975.4 7964.
Dấu “=” xảy ra x = y .
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y.
Nhưng với x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? x y lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2
Phân tích sai lầm: Lờ g ả sa ở c ỗ vớ x y > 0 t ì + . y x y
Dấu “=” xảy ra x = y, còn
4, Dấu “=” xảy ra y = 4x. x 1
Mặt k ác có t ể t ấy x = y t ì mâu t uẫn vớ g ả t ết x+ 1. y
N ư vậy nguyên n ân của sa lầm trong lờ g ả trên là trong một bà toán mà sử
dụng n ều bất đẳng t ức để tìm cực trị n ưng các dấu “=” k ng đồng t ờ xảy ra . 2 1 1 y
Lời giải đúng Từ g ả t ết ta có 1 x+ y 4x. y x 4.
p dụng bất đẳng t ức C s c o a số k ng âm ta có x y x y y x y
M = 32. y +2007. x = 32. y +2.x
+2005.x 2. 32. y.2.x 2005.4 8036
Dấu “=” xảy ra x = ; y = 2 .
Vậy g á trị n ỏ n ất của M là 8036 g á trị này đạt được k x = ; y = 2 .
Bài 2. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = 2x+3y b ết 2x +3y2 2 5
Lời giải sai: Gọi B = 2x +3y ,2 2 ta có B 5. =2 Xét A+B = 2x+3y+2x +3y2 2 x +x +3 y +y2 2 2 2 = 2 x+ 12 +3 y+ 12 - 54
54 (1) Ta lại có B 5 nên -B 5 (2) lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 25 1
Cộng (1) với (2) ta được A Min A x = y . 4 2 1 5
Nhưng với x = y
A , vậy sai lầm ở đâu? 2 2
Phân tích sai lầm:
Sa lầm ở c ỗ vớ x = y = - c ỉ xảy ra dấu “=” ở (1) còn dấu “=” ở (2) k ng xảy
ra. T ật vậy vớ x = y = - thì B 5. Do đó -B 5.
Lời giải đúng: p dụng BĐT Bun acốpxk ta có: A =2
2. 2 x+ 3. 3x 2 2 3 2x +3y2 2 5.5 25 A2 25 x 2 = y 3 x = y . Do A2 25nên 5 A 5. 2 3 x = y Min A 5 x = y 1. 2x+3y 5 x = y Max A 5 x = y 1. 2x+3y = 5
Bài 3. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức F x,y = x+ y
2 + x+1 2 + y-x 2.
“Lời giải đẹp”: Ta thấy x+y 2; x+1 ; y-x 2
2 không đồng thời bằng 0 nên lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục F x,y
0 F x,y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = x+1
2 và b= x+y + y-x 2 2 đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Có a = x+1
2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = -1.
Khi đó b = x+y 2 + y-x 2 = 2y +2,2 nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F x,y là 2 khi x = -1. y = 0
Phải chăng lời giải trên là đúng? Phân tích sai lầm:
Lờ g ả mắc sa lầm ở bước lập luận: F x,y đạt g á trị n ỏ n ất k và c ỉ k a=
x+1 2 và b = x+y 2 + y-x 2 đồng t ờ đạt g á trị n ỏ n ất. Lập luận này c ỉ
đúng k các g á trị n ỏ n ất đó đạt được tạ cùng một g á trị của các b ến. Rõ ràng ở
đây a đạt g á trị n ỏ n ất k x = -1, còn b đạt g á trị n ỏ n ất k x + y = x – y = 0 tức là k x = y = 0. Lời giải đúng: 2
B ến đổ F x,y = 3x +2x+1+2y = 3 x+ 2 2 2 2 13 +2y2+ 3 3 x,y
Đẳng t ức xảy ra x = - , y = 0. Vậy g á trị n ỏ n ất của F x,y là
g á trị này đạt được k x = - , y = 0. lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Bài 4. Tìm g á trị lớn n ất của b ểu t ức D = -5x -2xy-2y +14x+10y-12 2 .
Lời giải “băn khoăn”:
Ta có D = -5x -2xy-2y +14x+10y-12 2
= - x +2xy+ y2 2 - 4 x -14x - y -10y2 2 -1 2 = - x+y 2 - 2 x- 72 - y-5 2 +145 4 x+ y = 0 x = -y Suy ra D 145
4 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x- 72 = 0 x = 74 y-5 = 0 y = 5
Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.
Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục chưa?
Phân tích sai lầm: Từ biến đổi đến D=- x+y 2 - 2 x- 72 2 - y-5 + 2 145 4 thì mới chỉ suy ra D
, còn việc kết luận giá trị lớn nhất của D không tồn tại là chưa chính xác,
không có căn cứ xác đáng. Lời giải đúng:
Cách 1: Ta có D = - x +y -6x-6y+2xy+9 - 4x -8x+4 - y -4y+4 2 2 2 2 16 lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
- x+ y-3 2 -4 x-1 2 - y-2 2 16 x+ y-3 = 0 x =1
Suy ra D 16. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x-1= 0y-2 = 0 y = 2
Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.
Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên” cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn.
Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng
P(x,y) = ax +bxy+cy +dx+ey+h (a,b,c2 2 0)
Cách giải: Biến đổi P x y( , ) về một trong hai dạng sau:
Dạng 1: P(x,y) = m.F (x,y)+n.H (x)+g2 2 (1)
Dạng 2: P(x,y) = m.F (x,y)+n.K (y)+g2 2 (2)
Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F(x, y) là
biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.
Nếu m 0, n 0 thì ta có minP(x, y) = g. F(x, y) = 0 F(x, y) = 0
Giá trị này đạt được khi và chỉ khi H(x) = 0 hoặc K(y) = 0 .
❖ Nếu m 0, n 0 thì ta có maxP(x, y) = g. F(x, y) = 0 F(x, y) = 0
Giá trị này đạt được khi và chỉ khi H(x) = 0 hoặc K(y) = 0 .
Để biến đổi được như vậy, ta coi một biến là biến chính rồi tìm cách biến đổi để áp
dụng các hằng đẳng thức a +2ab+b = a+b2 2 2; a -2ab+b = a-b2 2 2
ở đây ta chọn biến y là biến chính. Cụ thể: lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Ta có D = -5x - 2xy- 2 y +14x+10 y-12 2 = -2. y + 2 x-5 y + x-5 2 + x-5 2 -5x +14x2 -1 4 2 2 y+ x-52 2 - 9 x2-1 2 16 16 y+ x-5 = 0 x =1
Suy ra D 16. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x-1= 0 y = 2
Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.
B. Dạng sai lầm thứ hai
Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT f m (hay f m ), hoặc
điều kiện xảy ra dấu bằng không thoả mãn giả thiết.
Bài 1. Cho x, y, z t oả mãn x +y +z2 2 2 27. Tìm g á trị
lớn n ất của b ểu t ức
P = x+ y+z+ xy+ yz+zx.
Lời giải sai Với mọi x, y, z ta có: x-y 2 0; y-z 2 0; z-x 2 0
x +y2 2 2xy; y +z2 2 2yz; z +x2 2 2zx 2 x + y +z2 2 2 2 xy+ yz+zx 27 xy+ yz+zx (1)
+) x-1 2 0; y -1 2 0; z -1 2 0 x +12 2x;y2+1 2y;z2+1 2z lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x +y +z2 2 2 3 2 x+y+z 15 x+y+z (2)
Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 42. Vậy giá trị lớn nhất của P là 42.
Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục
như thế nào? Phân tích sai lầm
Lờ g ả này đã quên một bước v cùng quan trọng của một bà toán cực trị k sử dụng
BĐT đó là xác địn đ ều k ện xảy ra đẳng t ức.
Ta t ấy P = 42 (1) và (2) đồng t ờ trở t àn đẳng t ức x = y = z 3 = 27 x + y + z2 2 2 x = y = z =1
Hệ trên v ng ệm nên bất đẳng t ức P ≤ 42 k ng t ể trở t àn đẳng t ức. 3
Lời giải đúng: Xét ệu x +y +z2 2 2 - x+y+z 2 =2 x +y +z -2 xy+yz+zx2 2 2 = x-y + y-z + z- x 2 2 2 0 (*) . 2 2 2 2 3.27 x+y+z 9 (1) Từ (*) x+y+z 3 x +y +z
(đẳng t ức xảy ra x = y = z = 3).
Từ (*) 2(xy+yz+zx) 2(x +y +z2 22) xy+yz+zx x +y +z2 2 2 27 (2)
Từ (1) và (2) x+y+z+xy+yz+zx 36. Đẳng t ức xảy ra x = y = z = 3.
Vậy P đạt g á trị lớn n ất là 36 g á trị này đạt được x = y = z = 3. lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
Bài 2. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = x+ x. 1 1 1 2 1 1
Lời giải sai: Ta cóA = x+ x = x+ x + 4 - 4 = x + 2 4 4 Vậy minA .
Lời giải rất “hồn nhiên” và “ngắn gọn” nhưng lập luận đã chặt chẽ chưa?
Kết quả có chính xác không? Theo bạn “kẽ hở” ở chỗ nào?
Phân tích sai lầm: Sau k c ứng m n A
,c ưa c ỉ ra trường ợp xảy ra A
,. Xảy ra dấu đẳng t ức x = - , vô lí. Lời giải đúng:
Để tồn tạ x p ả có x 0. Do đó A = x+ x 0 . Min A 0 x 0. x+a x+b
Bài 3. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = vớ x 0, a và b là x
các ằng số dương c o trước. Lời giải sai: Ta có x+a 2 ax (1) và x+b 2 bx (2) x+a x+ b 2 ax.2 bx Do đó A = = 4 ab x x MinA = 4 ab x = a = b.
Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lại không? Phân tích sai lầm: lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
C ỉ xảy ra A = 4 ab k ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng t ức tức là x = a và x = b.
N ư vậy đò ỏ p ả có a = b. Nếu a b t ì k ng có được A = 4 ab . Lời giải đúng:
Ta t ực ện p ép n ân và tác ra các ằng số: ab x+a x+b x +ax+bx+ab2 A = x = x = x+ x + a+b . ab2
Ta có x+ x 2 ab (BĐT C s ) nên A 2 ab +a+b = a + b 2 x = ab Min A= a + b x = ab. x x 0
Bài 4. C o a b c là các số dương ãy tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P = 1+ 5ab 1+ 5bc 1+ 5ca .
Một bạn học sinh đã giải như sau:
Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a a b b c c 1+ 2 (1); 1+ 2 (2); 1+ 2 (3) 5b 5b 5c 5c 5a 5a
Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được a b c 8 5 8 5 lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục P 8 . . =
. Do đó P nhỏ nhất bằng . 5b 5c 5a 25 25
Các bạn có đồng tình với cách giải này không? 8 5
Phân tích sai lầm: Để ý k ng tồn tạ a b c để P =. Đây là sa lầm 25
t ường mắc k dùng bất đẳng t ức để tìm g á trị lớn n ất g á trị n ỏ n ất của một b ểu
t ức. Một nguyên n ân sâu xa ơn n ều là bạn đọc k ng ểu đúng ng ĩa của dấu “≥”
và dấu “≤”. K ng p ả k nào v ết “≥” cũng có t ể xảy ra dấu “=”.
Ví dụ ta v ết 10 ≥ 2 là đúng n ưng k ng t ể có 10 = 2.
Lời giải đúng: B ến đổ P = 1+ 5ab 1+ 5bc 1+ 5ca =1+ 15 ba + bc + ac + 251 ac + ba + bc +1251 (1)
Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng t ức C s ta có a b c a b c a b c a b c
+ + 3.3 . . 3 (2) và + + 3.3 . . 3 (3) b c a b c a c a b c a b 1 1 1 216
Từ (1) (2) (3) ta có P 1 .3 .3
. Dấu đẳng t ức xảy ra k 5 25 125 125
và c ỉ k các dấu đẳng t ức ở (2) và (3) đồng t ờ xảy ra tức là a = b = c. Vậy MinP
a = b = c > 0.
Bài 5. C o a b là a số dương và x y z là các số dương tuỳ ý.
Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức: x2 y2 z2 M = + + . ay+bz az+by az+bx ax+bz ax+by ay+bx
Lời giải của một học sinh: p dụng bất đẳng t ức Bun a có lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục ay+bz 2 a +b2 2 y +z2 2 và az+by 2 a +b2 2 z + y2 2 x2 x2 Vậy ay+bz az+by a +b y +z2 2 2 2 . Tương tự ta có y2 x2 z2 z2 và az+bx ax+bz a +b2 2 z +x2 2 ax+by ay+bx a +b2 2 x +y2 2 . 1 x2 y2 z2
Do đó M a +b2 2 y +z2 2 + z +x2 2 + x + y22 . x2 y2 z2 3
Mặt khác chứng minh được y +z2 2 + z + x2 2 + x + y2 2 2 3 Suy ra M 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 2 a + b 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 a + b 2 2
, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = y = z.
Cách giải trên phải chăng là … đúng! Bạn giải bài toán này như thế nào? Phân tích sai lầm:
Lờ g ả đã sử dụng k á n ều bất đẳng t ức n ưng bạn ọc s n này c ỉ xét dấu lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x2 y2 z2 3
đẳng t ức xảy ra ở bất đẳng t ức + +
y +z2 2 z +x2 2 x + y2 2 2 mà k ng xét dấu
đẳng t ức xảy ra ở các bất đẳng t ức còn lạ . 3 T eo đó đẳng t ức M =
2 a +b2 2 xảy ra k và c ỉ k x = y = z và a = b. N ưng 3 t eo g ả t ết a b là a
số dương tùy ý nên vớ a bthì M 2 a +b 2 2 .
Lời giải đúng: p dụng bất đẳng t ức (m + n)2 ≥ 4mn ay+bz+az+by 2 a+b 2 y+z 2 a+b 2 y +z2 2 Ta có ay+bz az+by = 4 4 2 x2 2x2 Suy ra ay+bz az+by a+b 2 y +z22 . Tương tự ta cũng có y2 2y2 z2 2z2 và az+bx ax+bz a+b 2 x +z22 ax+by ay+bx a+b 2 y +x2 2 . 2 x2 y2 z2 Do đó M 2 y +z2 2 + z +x2 2 + x +y22 . a+b x2 y2 z2 3
Mặt k ác t eo bất đẳng t ức Net-bit thì y +z + + 2 2 z +x2 2 x +y2 2 2 , lOMoAR cPSD| 40551442
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 3 suy ra M .
2 Đẳng t ức xảy ra k và c ỉ k x = y = z. a+b 3 Vậy minM 2 k và c ỉ k x = y = z. a+b
Bài 6: Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P = 2x +5y +4xy-4x-8y+62 2
Lời giải đẹp”
Ta có P = x +4y +1+4xy-2x-4y + x -2x+1 + y -4y+4 2 2 2 2 P = x+2y-1 2 + x-1 2 + y-2 2
Do x+2y-1 2 0, x-1 2 0, y-2 2 0 nên P = x+ 2y-1
2 + x-1 2 + y-2 2 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không?
Phân tích sai lầm: Khẳng định P 0 là đúng nhưng … c ẳng được gì, bởi vì
không có giá trị nào của x, y để dấu “=” xảy ra. Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ
việc người giải đã không thực hiện bước 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
của biểu thức ta phải trả lời câu hỏ “dấu bằng xảy ra khi nào?” Lời giải đúng:
Coi x là biến chính để biến đổi như sau:
P 2x2 5y +4xy-4x-8y2 +6 2 x +2x y-1 + y2 -1 2 -2 y-1 2 +5y -8y 2 4 4
2 +6 P = x+ y-1 2 +3y2-4y+ 4 = x+ y-1 2 +3 y -2y.2 + - + 4 3 9 3 2