Trang 1
S PHONG PHÚ CA
TAM GIÁC ĐỒNG DNG
I/M ĐẦU:
* Người ta thường i:’’ như hình ‘’thật không sai ;bi phn ln học sinh đều ngán ngm môn
hc y do s phong p phc tp ca ‘’tam giác đng dạng’’ .Nhưng nếuc em nm chc được lí
thuyết và vn dng tt thì trí tu phát trin rt nhanh.
*Trong chương trình hình học phẳng THCS, đặc biệt chương 3 hình học 8, phương pháp“Tam gc
đồng dng” là một công c quan trng nhm gii quyết các bài toán hình hc . Làm cơ sở để hc sinh
vn dng gia các bài toán v nh hc phng c lp trên .
*Phương pp Tam giác đng dng là phương pháp ng dng tính cht đng dng ca tam giác, t l
các đon thng, trên cơ s đó m ra hướng gii các dng toán hình hc.
*Trên thc tế, vic áp dụng phương pháp “Tam giác đng dng” trong giải toán có các thun li
khó khăn chứng như sau:
* Thun li:
+ Phương pháp Tam giác đng dngcông c chính giúp ta tính toán nhanh chóng các
dạng toán đặc trưng về tính t l, chng minh h thc, các bài tp ng dụng các định sau
Thales....
+ Vi mt s dng toán quen thuc như chng minh đon thng bng nhau, góc bng nhau, chng minh
song song, chng minh thng hàng, phương pháp Tam gc đng dng có thể cho ta nhng cách gii
quyết gn gàng, ngn hơn các phương pháp truyn thng khác nhau s dng tính cht tam giác, tính cht t
giác đc bit...Hc sinh s vn dng linh hot, nhun nhuyn khi gii toán .
+ Phương pháp Tam giác đồng dng giúp n luyện tt kh năng tư duy logic của hc sinh, rèn
luyn tính sáng to, phát trin trí tu cho hc sinh mt cách hiu qu. T đó học sinh đam mê hc tn .
* Khó khăn:
+ Phương pháp “ Tam giác đồng dng” còn lạ lm vi học sinh. Các em chưa quen vi vic s
dng một phương pháp mới để gii toán thay cho các cách chng minh truyn thống, đc bit
vi các hc sinh lp 8 mi.
+ Vic s dng các t s cnh rt phc tp d dẫn đến nhm ln trong tính toán, biến đổi vòng
quanh lun quẩn, không rút ra ngay đưc các t s cn thiết, không k năng chọn cp tam giác
cn thiết phc v cho hướng gii bài toán.
*T nhng nhận định trên, sáng kiến kinh nghim này gii quyết giúp cho giáo viên dy lp 8
và các em hc sinh mt s vấn đề c th:
Trang 2
- H thng li các kiến thc thưng áp dụng trong phương pháp.
- H thng các dng toán hình hc thưng áp dng phương pháp Tam giác đng dng”.
- Đnh hưng gii quyết các dng toán này bng Phương pháp Tam giác đng dng
- H thng mt s bài tp luyn tp.
*Trong sáng kiến kinh nghim y tôi đã rất nhiu c gng nhm làm thêm mt s phương
pháp hình hc đc trưng, tuy nhiên do hn chế v kiến thc v thc tế ging dy chc chn sáng kiến kinh
nghim còn nhiu thiếu sót. Kính mong các thy giáo, cô giáo có nhiu năm kinh nghim trong ging dy,
các bạn đng nghip tham gia góp ý b sung làm cho sáng kiến kinh nghim tr n hoàn chnh hơn. Tôi
xin chân thành cm ơn tt c các quý v .
II/ KT QU :
Đ có kết qu tt khi hc v tam giác đồng dng thì các em cn nm vng khái nim v tam giác
đồng dng . T đó mi phân tích, biến đổi thành tho trong mi trưng hp.
* LÝ THUYT : Hc sinh cn nm chc và hiu k nhng kiến thc v tam giác đng dng sau
để vn dng cho tt trong mi trưng hp c th .
1. Đinh lý Talet trong tam giác.
Nếu một đường thng song song vi mt cnh ca tam giác ct hai cnh còn lại thì định
ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng t l.
MN // BC
AM AN
AB AC
=
AM AN
MB NC
=
2. Khái niệm tam giác đồng dng.
Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dng vi tam giác ABC nếu:
+
'AA=
;
' ; 'B B C C==
' ' ' ' ' 'A B B C A C
AB BC AC
==
3. Các trưng hp đng dng ca tam giác:
a) Trưng hp th nht (ccc):
Nếu 3 cnh ca tam giác này t l vi 3 cnh ca tam giác kia thì 2 tam giác đó đng dng.
N
M
C
A
Trang 3
b) Trường hp th 2(cgc):
Nếu 2 cnh ca tam giác này t l vi 2 cnh ca tam giác kia 2 góc to bi to các cp
cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dng.
c) Trưng hp th 3(gg):
Nếu 2 góc ca tam giác này lần t bng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng
dng.
d) Các trường hợp đng dng ca tam giác vuông.
+ Tam giác vuông này có mt góc nhn bng góc nhn ca tam giác vuông kia thì hai tam giác
đó đồng dng.
+ Tam giác vuông này có hai cnh góc vuông t l vi hai cnh góc vuông ca tam giác vuông
kia thì hai tam giác đó đồng dng.
+ Nếu cnh huyn mt cnh góc vuông ca tam giác vuông y t l vi cnh huyn
cnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đng dng.
* ÁP DNG:Để d s dng kiến thc khi tính toán, so sánh, chng minh .Tôi tm chia thành các
dạng toán cơ bản sau:
&.DẠNG1:Tính độ dài đoạn thng, góc, t s, din tích, chu vi:
_ Loại1: Tính độ dài đoạn thng:
_Ví d:1) Cho ABC vuông A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đưng trung trc ca BC ct BC ,
BA, CA lần lượt M, E, D. Tính đ dài các đoạn BC, BE, CD.
2) Hình thoi BEDF ni tiếp ABC (E AB; D AC; F AC)
a) Tính cnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tng quát vi AB = a, BC = c.
b) Chng minh rng BD <
ca
ac
+
2
vi AB = c; BC = a.
c) Tính đ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cnh hình thoi bng d.
3)a) Tam giác ABC có
B
= 2
C
; AB = 4cm; BC = 5cm.
Tính đ dài AC?
b) Tính độ dài các cnh ca ABC
B
= 2
C
biết rng s đo các cnh 3 s t nhiên
liên tiếp.
GiI :3)
a) Trên tia đối ca tia BA ly BD = BC
5cm
4cm
D
C
B
A
Trang 4
ACD và ABC có
A
chung;
C
=
D
=
ACD P ABC (g.g)
AB
AC
=
AC
AD
AC
2
= AB. AD
= 4 . 9 = 36
AC = 6(cm)
b) Gi s đo của cnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c.
Theo câu (a) ta có.
AC
2
= AB. AD = AB(AB+BC) b
2
= c(c+a) = c
2
+ ac (1)
Ta có b > c (đi din vi góc lớn hơn) nên chỉ có 2 kh năng là:
b = c + 1 hoc b= c + 2
* Nếu b = c + 1 thì t (1) (c + 1)
2
= c
2
+ ac 2c + 1 = ac
c(a-2) = 1 (loi) vì c= 1 ; a = 3; b = 2 không là các cnh ca 1 tam giác
* Nếu b = c + 2 thì t (1) (c + 2)
2
= c
2
+ ac 4c + 4 = ac
c(a 4) = 4
Xét c = 1, 2, 4 ch có c = 4; a = 5; 5 = 6 tha mãn bài toán.
Vy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm.
_Loi2:Tính góc:
_Ví d:1) Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đi ca HB lấy điểm C
sao cho AC =
3
5
AH. Tính
BAC
.
2) Cho hình thoi ABCD cnh a, A = 60
0
. Một đường thng bt k đi qua C cắt tia
đối của các tia BA, DA tương ứng M, N. Gi K là giao đim ca BN và DM. Tính BKD?
3) ABC có AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bng 54cm; DEF có DE = 3cm;
DF = 4,5cm; EF = 6cm
a) Chng minh AEF P ABC
b) Biết A = 105
0
; D = 45
0
. Tính các góc còn li ca mi
Trang 5
Gii:1)
Ta có
AH
AC
BH
AB
===
3
5
12
20
AH
BH
AC
AB
=
Xét ABH và CAH có :
AHB
=
CHA
= 90
0
AH
BH
AC
AB
=
(chng minh trên)
ABH P CAH (CH cnh gv)
CAH
=
ABH
Li có
BAH
+
ABH
= 90
0
nên
BAH
+
CAH
= 90
0
Do đó :
BAC
= 90
0
Gii:2)
Do BC // AN (vì N AD) nên ta có :
NC
MC
AB
MB
=
(1)
Do CD // AM (vì M AB) nên ta có :
DN
AD
NC
MC
=
(2)
T (1) và (2)
DN
AD
AB
MB
=
ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và
A
= 60
0
nên là đều
AB = BD = DA
T
DN
AD
AB
MB
=
(cm trên)
DN
BD
BD
MB
=
Mt khác :
MBD
=
DBN
= 120
0
Xét 2MBD và BDN có :
DN
BD
BD
MB
=
;
MBD
=
DBN
MBD P BDN (c.g.c)
1
M
=
1
B
12cm
20cm
H
C
B
A
60
K
N
M
D
C
B
A
Trang 6
MBD và KBD có
1
M
=
1
B
;
BDM
chung
BKD
=
MBD
= 120
0
Vy
BKD
= 120
0
_ Loi3 :Tính t s đon thng, t s chu vi, t s din tích:
_Ví d: 1) Cho ABC, D là điểm trên cnh AC sao cho
BDC ABC=
. Biết AD = 7cm;
DC = 9cm. Tính t s
BA
BD
2) Cho hình vuông ABCD, gi E và F theo th t trung điểm ca AB, BC, CE ct DF
M. Tính t s
ABCD
CMB
S
S
?
3) Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm ca AD.
a) BM ct AC P, P’ điểm đối xng ca P qua M. Chng minh rằng PA = P’D. Tính tỷ s
PC
PA
AC
AP
b) Chng minh AB ct Q, chng minh rng PQ // BC. Tính t s
BC
PQ
MB
PM
c) Chng minh rng din tích 4 tam giác BAM, BMD, CAM, CMD bng nhau. Tính t s
din tích MAP và ABC.
Gii:1) CAB và CDB có C chung ;
ABC
=
BDC
(gt)
CAB P CDB (g.g)
CB
CA
CD
CB
=
do đó ta có :
CB
2
= CA.CD
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm)
Do đó CB
2
= 9.16 = 144 CB = 12(cm)
Mt khác li có :
4
3
=
BA
DB
Gii:2) Xét DCF và CBE có DC = BC (gt);
C
=
B
= 90
0
; BE = CF
DCF = CBE (c.g.c)
D
1
=
C
2
C
1
+
C
2
= 1v
C
1
+
D
1
= 1v CMD vuông M
CMD P FCD (vì
D
1
=
C
2
;
C
=
M
)
FC
CM
FD
DC
=
9cm
7cm
D
C
B
A
M
F
E
D
C
B
A
Trang 7
FCD
CMD
S
S
=
2
2
FD
CD
S
CMD
=
2
2
FD
CD
. S
FCD
Mà S
FCD
=
2
1
CF.CD =
2
1
.
2
1
BC.CD =
4
1
CD
2
Vy S
CMD
=
2
2
FD
CD
.
4
1
CD
2
=
4
1
.
2
4
FD
CD
(*)
Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có:
DF
2
= CD
2
+ CF
2
= CD
2
+ (
2
1
BC)
2
= CD
2
+
4
1
CD
2
=
4
5
CD
2
Thay DF
2
=
4
5
CD
2
ta có : S
CMD
=
5
1
CD
2
=
5
1
S
ABCD
ABCD
CMB
S
S
=
5
1
_Loi 4: Tính chu vi các hình:
_Ví d:1) Cho ABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cnh AC sao cho DE // BC.
Xác đnh v trí của đim D sao cho chu vi ADE =
5
2
chu vi ABC.
Tính chu vi của 2 tam giác đó, biết tng 2 chu vi = 63cm
2) A’B’C’ P ABC theo t s đồng dng K =
5
2
.Tính chu vi ca mi tam giác, biết hiu
chu vi của 2 tam giác đó là 51dm.
3) Tính chu vi ABC vuông A biết rằng đường cao ng vi cnh huyn chia tam giác
thành 2 tam giác có chu vi bng 18cm và 24cm.
Gii:1) Do DE // BC nên ADE PABC theo t s đồng dng. K =
AB
AD
=
5
2
. Ta có .
2
5
Chuvi ADE
Chuvi ABC
=
25
ADEChuviABCChuvi
=
=
63
5 2 7
Chuvi ABC Chuvi ADE +
=
+
= 9
Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm)
Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm)
_Loi 5:Tính din tích các hình:
E
D
C
B
A
Trang 8
_Ví d :1)Cho hình vuông ABCD độ dài = 2cm. Gi E, F theo th t trung điểm ca AD,
DC. Gi I, H theo th t là giao đim ca AF vi BE, BD. Tính din tích t giác EIHD
2) Cho t giác ABCD din ch 36cm
2
, trong đó din ch ABC 11cm
2
. Qua B k đưng
thng // vi AC ct AD M, ct CD N. Tính din tích MND.
3) Cho ABC các B C nhọn, BC = a, đưng cao AH = h. Xét hình ch nht MNPQ
ni tiếp tam giác có M AB; N AC; PQ BC.
a) Tính din tích hình ch nht nếu nó là hình vuông.
b) Tính chu vi hình ch nht a = h
c) Hình ch nht MNPQ có v trí nào thì din tích ca nó có giá tr ln nht
4) Cho ABC và hình bình hành AEDF có E AB; D BC, F AC.
Tính din tích hình bình hành biết rng : S
EBD
= 3cm
2
; S
FDC
= 12cm
2
;
Gii:4) Xét EBD và FDC có
B
=
D
1
ng v do DF // AB) (1)
E
1
= D
2
( so le trong do AB // DF)
D
2
= E
1
( so le trong do DE // AC)
T (1) và (2) EBD P FDC (g.g)
Mà S
EBD
: S
FDC
= 3 : 12 = 1 : 4 = (
2
1
)
2
Do đó :
==
FC
ED
FD
EB
2
1
FD = 2EB và ED =
2
1
FC
AE = DF = 2BE ( vì AE = DF)
AF = ED =
2
1
EC ( vì AF = ED)
Vy S
ADE
= 2S
BED
= 2.3 = 6(cm
2
)
S
ADF
=
2
1
S
FDC
=
2
1
. 12 = 6(cm
2
)
S
AEDF
= S
ADE
+ S
ADF
= 6 + 6 = 12(cm
2
)
&.DNG 2: Chng minh h thc, đng thc nh tam giác đồng dng:
A. Các ví d và định hướng gii:
1. Ví d 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gi O là giao đim ca 2đưng chéo AC và BD
a) Chng minh rng: OA. OD = OB. OC.
E
1
=
F
1
(2)
F
D
E
C
B
A
Trang 9
b) Đưng thng qua O vuông góc vi AB và CD theo th t ti H và K.
CMR:
OH
OK
=
CD
AB
* Tìm hiu bài toán : Cho gì?
Chng minh gì?
* Xác định dng toán:
? Đ chng minh h thc trên ta cn chứng minh điều gì?
TL:
OC
OA
=
OD
OB
? Đ có đon thng trên ta vn dng kiến thc nào.
TL: Chứng minh tam giác đồng dng
a) OA. OD = OB.OC
Sơ đồ :
+
A
1
=
C
1
(SLT l AB // CD)
+
AOB
=
COD
( Đi đnh)
OAB P OCD (g.g)
OC
OA
=
OD
OB
OA.OD = OB.OC
b)
OK
OH
=
CD
AB
T s
OK
OH
bng t s nào?
TL :
OK
OH
=
OC
OA
K
H
O
D
C
B
A
Trang 10
? Vậy để chng minh
OK
OH
=
CD
AB
ta cn chứng minh điều gì.
TL:
CD
AB
=
OC
OA
Sơ đồ :
+
H
=
K
= 90
0
+
A
1
=
C
1
.(SLT; AB // CD) Câu a
OAH P OCK(gg) OAB P OCD
OK
OH
=
OC
OA
CD
AB
=
OC
OA
OK
OH
=
CD
AB
2. Ví d 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đnh góc vuông C và D nm trên cùng mt
na mt phng b AB. Gọi P giao điểm ca các cạnh AC BD. Đưng thng qua P vuông góc
vi AB ti I.CMR : AB
2
= AC. AP + BP.PD
Định hướng:
- Cho HS nhận xét đon thng AB (AB = AI + IB)
AB
2
= ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB)
- Vic chứng minh bài toán trên đưa về vic chng minh các h thc
AB.AI = AC.AP
AB.IB = BP. PD
- HS xác đnh kiến thc vn dụng để chng minh h thc ( P)
Sơ đồ : +
D
=
I
= 90
0
+
C
=
I
= 90
0
+
PBI
chung +
PAI
chung
I
P
D
C
B
A
Trang 11
ADB P PIB ACB P AIP (gg)
AB
PB
=
DB
IB
AB
AP
=
AC
AI
AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP
AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP
AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP
AB
2
= BP . PD + AC . AP
3. Ví d 3: Trên cơ s ví d 2 đưa ra bài toán sau:
Cho nhọn ABC, các đường cao BD và CE ct nhau ti H.
CMR: BC
2
= BH . BD + CH.CE
Định hướng: Trên cơ sở bài tp 2
Hc sinh đưa ra hưng gii quyết bài tp này.
V hình ph (k KH BC; K BC).
S dng P chứng minh tương tự ví d 2
4. Ví d 4: Cho ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đưng thng vuông góc vi CI ti
I ct AC và BC lần lượt M và N. Chng minh rng.
a) AM . BI = AI. IM
b) BN . IA = BI . NI
c)
AM
BN
=
2
AI
BI



* Định hướng:
H
D
E
C
B
A
1
1
2
1
N
M
I
C
B
A
Trang 12
a) ? Đ chng minh h thc AM. BI = AI.IM ta cn chứng minh điều gì ?
AM IM
AI BI

=


b) Để chứng minh đẳng thc trên ta cn chứng minh điều gì ?
( AMI P AIB)
Sơ đồ:
1
A
=
2
A
(gt)
1
I
=
1
B
* CM:
1
I
=
1
B
v MIC:
IMC
= 90
0
-
2
C
AMI P AIB (gg) ABC:
A
+
B
+
C
= 180
0
(t/c tng...)
2
A
+
2
B
+
2
C
= 90
0
AM
AI
=
IM
BI
Do đó:
IMC
=
2
A
+
2
B
(1)
Mt khác:
IMC
=
1
A
+
1
I
(t/c góc ngoài )
AM. BI = AI . IM hay
IMC
=
2
A
+
1
I
(2)
T (1) và (2)
2
B
=
1
I
hay
1
B
=
1
I
AMI P AIB (
1
A
=
2
A
;
1
I
=
1
B
)
AM
AI
=
IM
BI
AM . BI = AI. IM
b) Tương tự ý a.
Chng minh BNI P BIA (gg)
BN
BI
=
NI
IA
BN . IA = BI. IN
Trang 13
c) (Câu a) (Câu b)
- HS nhn xét
2
AI
IA



=
2
2
AI
BI
AMI P AIB BNI P BIA
Tính AI
2
; BI
2
2
2
AI
BI
AM
AI
=
IM
BI
BI
AB
=
BN
BI
(Tính AI
2
; BI
2
nh P) AI
2
= AM . AB BI
2
= BN . AB
2
2
AI
BI
=
AM
BN
2
AI
BI



=
AM
BN
B.Bài tập đề ngh:
1) Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gi O giao điểm của 2 đưng chéo. Qua O k đưng
thng song song với 2 đáy cắt BC I ct AD J.CMR : a)
1
OI
=
1
AB
+
1
CD
b)
2
IJ
=
1
AB
+
1
CD
2) Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối ca tia DA lấy điểm I sao cho
ACI
=
BDA
. CMR: a) AD . DI = BD . DC
b) AD
2
= AB . AC - BD . DC
&.DNG3: Chng minh quan h song song:
+ Ví d 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M trung điểm của CD, E giao điểm ca
MA và BD; F là giao điểm ca MB và AC. Chng minh rng EF / / AB
Định hưng gii:
F
E
M
D
C
B
A
Trang 14
- S dụng trường hợp đồng dng ca tam giác
- Định nghĩa hai tam giác đồng dng
- Du hiu nhn biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo)
Sơ đồ phân tích:
AB // CD (gt) AB // CD (gt)
AB // DM AB // MC
MED P AEB GT MFC P BFA
ME
EA
=
MD
AB
; MD = MC
MF
FB
=
MC
AB
ME
EA
=
MF
FB
EF // AB (Định lý Ta lét đảo)
+ Ví d 2: Cho ABC có các góc nhn, k BE, CF là hai đường cao. K EM, FN là hai đưng
cao ca AEF. Chng minh MN // BC
Sơ đồ phân tích
AMF P AFC (g.g); AFN P ABE
AM
AF
=
AE
AC
AF
AB
=
AN
AE
AM
AF
.
AF
AB
=
AE
AC
.
AE
AC
N
M
E
F
C
B
A
Trang 15
AM
AB
=
AN
AC
MN // BC (đnh lý Ta lét đo)
+ d 3: Cho ABC, các điểm D, E, F theo th t chia trong các cnh AB, BC, CA theo t
s 1 : 3, các điểm I, K theo th t chia trong các đoạn thng ED, FE theo t s 1 : 3. Chng minh
rng IK // BC. Gọi M là trung điểm ca AF
Gii: Gọi N là giao đim ca DM và EF
Xét ADM và ABC có :
AD
AB
=
AM
AC
=
1
3
Góc A chung
ADM P ABC (c.gc)
ADM
=
ABC
mà 2 góc này v trí đng v nên DM // BC
MN // EC mà MF = FC nên EF = FN
Ta có :
EK
EN
=
EK
EF
.
EF
EN
=
2
3
.
1
2
=
1
3
(1)
EI
ED
=
1
3
(gt) (2)
T (1) và (2)
EK
EN
=
EI
ED
Suy ra IK // DN (định lý Ta lét đo)
Vy IK // BC.
*Bài tập đề ngh: Cho t giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC ct BD.
Đưng thẳng đi qua B và song song với AD ct AC G. Chng minh rng EG // DC
&.DNG4: Chứng minh tam giác đồng dng:
+ Ví d 1: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm .Trên AB lấy điểm D sao cho
AD = 3,2cm, trên AC ,ly đim E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED ct CB F.
a) CMR : ABC P AED
b) FBD P FEC
c) Tính ED ; FB?
Bài toán cho gì?
N
M
K
I
F
E
D
C
B
A
4,8cm
6,4cm
3,6cm
F
E
D
C
B
A
Trang 16
Dng toán gì?
Để chng minh 2 đng dng có nhng phương pháp nào?
Bài này s dụng trường hợp đồng dng th my?
Sơ đồ chng minh:
a) GT
A
chung
AB
AE
=
AC
AD
= 2
ABC P AED (c.g.c)
ABC P AED (câu a)
b)
C
=
1
D
;
1
D
=
2
D
C
=
2
D
F
chung
FBD P FEC (g.g)
c) T câu a, b hưng dn hc sinh thay vào t s đồng dạng để tính ED và FB.
+ Ví d 2: Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm ca BC. Lấy các điểm D và E trên
AB; AC sao cho
DME
=
B
. a) CMR : BDM P CME
b) MDE P DBM
c) BD . CE không đổi
? Đ chng minh BDM P CME ta cn chng minh điu .
? T gt nghĩ đến 2 có th P theo trường hp nào (g.g)
1
1
2
1
E
D
M
C
B
A
Trang 17
? Gt đã cho yếu t nào v góc. (
B
=
C
)
? Cn chng minh thêm yếu t nào (
1
D
=
2
M
)
a) ng dẫn sơ đồ
gt góc ngoài DBM
B
=
1
M
;
DMC
=
1
M
+
2
M
;
DMC
=
1
D
+
1
B
ABC cân
B
=
C
;
1
D
=
2
M
BDM P CME (gg)
Câu a gt
b)
DM
ME
=
BD
BM
; CM = BM
DM
ME
=
BD
BM
1
B
=
1
M
(gt) ;
DM ME
BD BM
=
DME P DBM (c.g.c)
c) T câu a : BDM P CME (gg)
BD BM
CM CE
=
BD . CE = Cm . BM
Mà CM = BM =
2
BC
= a
E
F
Q
P
N
M
D
C
B
A
Trang 18
BD . CE =
2
4
a
(không đi)
Lưu ý: Gn tích BD . CB bằng độ dài không đổi
Bài đã cho BC = 2a không đổi
Nên phi hưng cho hc sinh tính tích BD. CE theo a
+ Ví d 3: Cho ABC có các trung điểm ca BC, CA, AB
theo th t là D, E, F. Trên cnh BC lấy điểm M và N sao cho
BM = MN = NC. Gọi P là giao điểm ca AM và BE; Q là giao
điểm ca CF và AN.
CMR: a) F, P, D thng hàng; D, Q, E thng hàng.
b) ABC P DQP
* Hướng dn
a) Giáo viên hướng dn hc sinh chứng minh 3 điểm thng hàng nhiều phương pháp. Bài
này chọn phương pháp nào?
- Lưu ý cho học sinh bài cho các trung đim nghĩ tới đưng trung bình .
T đó nghĩ đến chn phương pháp: CM cho 2 đường thng PD và FP cùng // AC
PD là đường trung bình BEC PD // AC
FP là đường trng bình ABE FP // AC
Tương tự cho 3 điểm D, Q, E
b) PD =
1
2
. EC =
1
2
.
2
AC
=
4
AC
AC
PD
= 4
4
4
AC

=


AB
QD
= 4
4QD
QD

=


AC AB
DP QD
=
;
BAC EDP=
F, P, D thng hàng
BAC DEC=
(Đơn vị EF // AB)
DEC EDP=
(so le trong PD // AC)
Trang 19
ABC P DQP (c.g.c)
* Bài tập đề ngh: 1) Cho ABC, AD phân giác
A
; AB < AC. Trên tia đi ca DA ly
điểm I sao cho
ACI BDA=
. Chng minh rng.
a) ADB P ACI; ADB P CDI
b) AD
2
= AB. AC - BD . DC
2) Cho ABC; H, G, O lần lượt trc tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đưng trung trc ca . Gi
E, D theo th t là trung điểm ca AB và AC.
Chng minh :
a) OED P HCB
b) GOD P GBH
c) Ba điểm O, G, H thng hàng và GH = 2OG
3) Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm BC. Qua M k đường
vuông góc vi BC ct AC, AB lần lượt D, E.
a) CMR : ABC P MDC
b) Tính các cnh MDC
c) Tính đ dài BE, EC
4) Cho ABC; O là trung điểm cnh BC. Góc
xoy
= 60
0
; cnh ox ct AB M; oy ct AC N.
a) Chng minh: OBM P NCO
b) Chng minh : OBM P NOM
c) Chng minh : MO và NO là phân giác ca
BMN
CNM
d) Chng minh : BM. CN = OB
2
&.DNG5:Chứng minh đoạn thng bng nhau, góc bng nhau:
_Ví d 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD ct nhau tại O. Đường
thng a qua O và song song với đáy của hình thang ct các cnh bên AD, BC theo th t ti E và
F.
Chng minh rng : OE = OF
Định hướng
H:Bài cho đưng thng EF // AB (và CD)
TL: Các tam giác đồng dng các đoạn
Sơ đồ gii
OE = OF
F
E
O
D
C
B
A
Trang 20
thng t l
H: EO đoạn nào trên hình v s thưng
lập được t s?
TL:
EO
DC
.
H: Vậy OF trên đon nào? (gi ý)
TL:
OF
DC
OE
DC
=
OF
DC
OE
DC
=
AO
AC
;
OF
DC
=
BO
BD
;
AO
AC
=
BO
BD
AEC BOF AOB
P P P
ADC BDC COD
EF // DC AB // CD
gt
H: Vậy để chứng minh đoạn thng bng nhau (OE = OF) ta s đưa về chứng minh điều gì?
TL :
EO
DC
=
OF
DC
(1)
H: OE; DC cnh ca nhng tam giác nào? (AEO; ADC, các tam giác này đã đng dng
chưa? Vì dao?
H: Đt câu hỏi tương tự cho OF , DC.
H: lp t s bng
EO
DC
=
OF
DC
TL:
EO
DC
=
AO
AC
;
OF
DC
=
BO
BD
H: Vậy để chng minh (1) ta cn chng minh điều gì?
TL:
AO
AC
=
BO
BD
H: Đây là t s có đưc t cặp tam giác đng dng nào?
TL: AOB; COD
H: Hãy chứng minh điều đó.

Preview text:

SỰ PHONG PHÚ CỦA
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I/MỞ ĐẦU:
* Người ta thường nói:’’Bí như hình ‘’thật không sai ;bởi vì phần lớn học sinh đều ngán ngẫm môn
học này do sự phong phú và phức tạp của ‘’tam giác đồng dạng’’ .Nhưng nếu các em nắm chắc được lí
thuyết và vận dụng tốt thì trí tuệ phát triển rất nhanh.
*Trong chương trình hình học phẳng THCS, đặc biệt là chương 3 hình học 8, phương pháp“Tam giác
đồng dạng
” là một công cụ quan trọng nhằm giải quyết các bài toán hình học . Làm cơ sở để học sinh
vận dụng giaỉ các bài toán về hình học phẳng ở các lớp trên .
*Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” là phương pháp ứng dụng tính chất đồng dạng của tam giác, tỷ lệ
các đoạn thẳng, trên cơ sở đó tìm ra hướng giải các dạng toán hình học.
*Trên thực tế, việc áp dụng phương pháp “Tam giác đồng dạng” trong giải toán có các thuận lợi và khó khăn chứng như sau:
* Thuận lợi:
+ Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” là công cụ chính giúp ta tính toán nhanh chóng các
dạng toán đặc trưng về tính tỷ lệ, chứng minh hệ thức, các bài tập ứng dụng các định lý sau Thales....
+ Với một số dạng toán quen thuộc như chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, chứng minh
song song, chứng minh thẳng hàng, phương pháp “ Tam giác đồng dạng” có thể cho ta những cách giải
quyết gọn gàng, ngắn hơn các phương pháp truyền thống khác nhau sử dụng tính chất tam giác, tính chất tứ
giác đặc biệt...Học sinh sẽ vận dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn khi giải toán .
+ Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” giúp rèn luyện tốt khả năng tư duy logic của học sinh, rèn
luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệu quả. Từ đó học sinh đam mê học toán . * Khó khăn:
+ Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” còn lạ lẫm với học sinh. Các em chưa quen với việc sử
dụng một phương pháp mới để giải toán thay cho các cách chứng minh truyền thống, đặc biệt là
với các học sinh lớp 8 mới.
+ Việc sử dụng các tỷ số cạnh rất phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính toán, biến đổi vòng
quanh luẩn quẩn, không rút ra ngay được các tỷ số cần thiết, không có kỹ năng chọn cặp tam giác
cần thiết phục vụ cho hướng giải bài toán.
*Từ những nhận định trên, sáng kiến kinh nghiệm này giải quyết giúp cho giáo viên dạy lớp 8
và các em học sinh một số vấn đề cụ thể là : Trang 1
- Hệ thống lại các kiến thức thường áp dụng trong phương pháp.
- Hệ thống các dạng toán hình học thường áp dụng phương pháp “ Tam giác đồng dạng”.
- Định hướng giải quyết các dạng toán này bằng Phương pháp “ Tam giác đồng dạng
- Hệ thống một số bài tập luyện tập.
*Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã có rất nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm một số phương
pháp hình học đặc trưng, tuy nhiên do hạn chế về kiến thức về thực tế giảng dạy chắc chắn sáng kiến kinh
nghiệm còn nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy giáo, cô giáo có nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy,
các bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho sáng kiến kinh nghiệm trở nên hoàn chỉnh hơn. Tôi
xin chân thành cảm ơn tất cả các quý vị .
II/ KẾT QUẢ :
Để có kết quả tốt khi học về tam giác đồng dạng thì các em cần nắm vững khái niệm về tam giác
đồng dạng . Từ đó mới phân tích, biến đổi thành thạo trong mọi trường hợp.
* LÝ THUYẾT : Học sinh cần nắm chắc và hiểu kỹ những kiến thức về tam giác đồng dạng sau
để vận dụng cho tốt trong mọi trường hợp cụ thể .
1. Đinh lý Talet trong tam giác.
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định A
ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. MN // BC AM AN M N = AB AC C B AM AN = MB NC
2. Khái niệm tam giác đồng dạng.
Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
+ A' = A ; B ' = ; B C ' = C A' B ' B 'C ' A'C ' = = AB BC AC
3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác:
a) Trường hợp thứ nhất (ccc):
Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. Trang 2
b) Trường hợp thứ 2(cgc):
Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp
cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.
c) Trường hợp thứ 3(gg):
Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
d) Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.
+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
+ Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền và
cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
* ÁP DỤNG:Để dễ sử dụng kiến thức khi tính toán, so sánh, chứng minh .Tôi tạm chia thành các dạng toán cơ bản sau:
&.DẠNG1:Tính độ dài đoạn thẳng, góc, tỷ số, diện tích, chu vi:
_ Loại1: Tính độ dài đoạn thẳng:
_Ví dụ:1) Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực của BC cắt BC ,
BA, CA lần lượt ở M, E, D. Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD.
2) Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E  AB; D  AC; F  AC)
a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quát với AB = a, BC = c.
b) Chứng minh rằng BD < 2ac với AB = c; BC = a. a + c
c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cạnh hình thoi bằng d.
3)a) Tam giác ABC có B = 2 C ; AB = 4cm; BC = 5cm. Tính độ dài AC?
b) Tính độ dài các cạnh của ABC có B = 2 C biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. GiảI :3) A 4cm
a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC B 5cm C Trang 3 D
ACD và ABC có A chung; C = D =   ACD P ABC (g.g)
AC = AD  AC2 = AB. AD AB AC = 4 . 9 = 36  AC = 6(cm)
b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Theo câu (a) ta có.
AC2 = AB. AD = AB(AB+BC)  b2 = c(c+a) = c2 + ac (1)
Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là: b = c + 1 hoặc b= c + 2
* Nếu b = c + 1 thì từ (1)  (c + 1)2 = c2 + ac  2c + 1 = ac
 c(a-2) = 1 (loại) vì c= 1 ; a = 3; b = 2 không là các cạnh của 1 tam giác
* Nếu b = c + 2 thì từ (1)  (c + 2)2 = c2 + ac  4c + 4 = ac  c(a – 4) = 4
Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa mãn bài toán.
Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. _Loại2:Tính góc:
_Ví dụ:1) Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB lấy điểm C
sao cho AC = 5 AH. Tính BAC . 3
2) Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia
đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính BKD?
3) ABC có AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bằng 54cm; DEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm
a) Chứng minh AEF P ABC
b) Biết A = 1050; D = 450. Tính các góc còn lại của mỗi  Trang 4 Giải:1) Ta có AB 20 5 AC = = = A BH 12 3 AH 20cm  AB BH = AC AH C 12cm B H Xét ABH và  CAH có :
AHB = CHA = 900 AB BH = (chứng minh trên) AC AH
 ABH P CAH (CH cạnh gv)  CAH = ABH
Lại có BAH + ABH = 900 nên BAH + CAH = 900 Do đó : BAC = 900 Giải:2)
Do BC // AN (vì N  AD) nên ta có : MB MC = (1) AB NC M
Do CD // AM (vì M  AB) nên ta có : MC AD = (2) B NC DN K A 60 C Từ (1) và (2)  MB AD = AB DN D
ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và A = 600 nên là  đều N  AB = BD = DA Từ MB AD = (cm trên)  MB BD = AB DN BD DN
Mặt khác : MBD = DBN = 1200
Xét 2MBD và BDN có : MB BD = ; MBD = DBN BD DN  MBD P BDN (c.g.c)  M = B 1 1 Trang 5
MBD và KBD có M = B ; BDM chung  BKD = MBD = 1200 1 1 Vậy BKD = 1200
_ Loại3 :Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, tỉ số diện tích:
_Ví dụ: 1) Cho ABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho BDC = ABC . Biết AD = 7cm;
DC = 9cm. Tính tỷ số BD BA
2) Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CE cắt DF S
ở M. Tính tỷ số CMB ? SABCD
3) Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD.
a) BM cắt AC ở P, P’ là điểm đối xứng của P qua M. Chứng minh rằng PA = P’D. Tính tỷ số PA AP PC AC
b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh rằng PQ // BC. Tính tỷ số PQ PM BC MB
c) Chứng minh rằng diện tích 4 tam giác BAM, BMD, CAM, CMD bằng nhau. Tính tỷ số
diện tích MAP và ABC.
Giải:1) CAB và CDB có C chung ; ABC = BDC (gt)  CAB CB CA P CDB (g.g)  = do đó ta có : A CD CB 7cm D CB2 = CA.CD 9cm
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) B C
Do đó CB2 = 9.16 = 144  CB = 12(cm)
Mặt khác lại có : DB 3 = BA 4
Giải:2) Xét DCF và CBE có DC = BC (gt); C = B = 900; BE = CF
 DCF = CBE (c.g.c)  D 1 = C 2
C 1 + C 2 = 1v  C 1 + D 1 = 1v  CMD vuông ở M CMD DC CM
P FCD (vì D 1 = C 2 ; C = M )  = A E B FD FC F M Trang 6 D C S 2 CD 2 CD CMD =  SCMD = . SFCD S 2 FD 2 FD FCD Mà S 1 1 1 1 FCD = CF.CD = . BC.CD = CD2 2 2 2 4 2 CD 4 CD Vậy S 1 1 CMD = . CD2 = . (*) 2 FD 4 4 2 FD
Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có:
DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( 1 BC)2 = CD2 + 1 CD2 = 5 CD2 2 4 4 S Thay DF2 = 5 CD2 ta có : S 1 1 CMB 1 CMD = CD2 = SABCD  = 4 5 5 SABCD 5
_Loại 4: Tính chu vi các hình:
_Ví dụ:1) Cho ABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh AC sao cho DE // BC.
Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi ADE = 2 chu vi ABC. 5
Tính chu vi của 2 tam giác đó, biết tổng 2 chu vi = 63cm 2) A’B’C’ 2
P ABC theo tỷ số đồng dạng K = .Tính chu vi của mỗi tam giác, biết hiệu 5
chu vi của 2 tam giác đó là 51dm.
3) Tính chu vi ABC vuông ở A biết rằng đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác
thành 2 tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm.
Giải:1) Do DE // BC nên ADE AD 2
PABC theo tỷ số đồng dạng. K = = . Ta có . AB 5 A Chuvi ADE 2    +  =  Chuvi ABC Chuvi ADE =
= Chuvi ABC Chuvi ADE 63 = = 9 Chuvi ABC 5 5 2 5 + 2 7 D E
Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) C B Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm)
_Loại 5:Tính diện tích các hình: Trang 7
_Ví dụ :1)Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD,
DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính diện tích tứ giác EIHD
2) Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, trong đó diện tích ABC là 11cm2. Qua B kẻ đường
thẳng // với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N. Tính diện tích MND.
3) Cho ABC có các B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét hình chữ nhật MNPQ
nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; PQ  BC.
a) Tính diện tích hình chữ nhật nếu nó là hình vuông.
b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h
c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất
4) Cho ABC và hình bình hành AEDF có E  AB; D  BC, F  AC.
Tính diện tích hình bình hành biết rằng : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2;
Giải:4) Xét EBD và FDC có B = D 1 (đồng vị do DF // AB) (1)
E1 = D2 ( so le trong do AB // DF)
E 1 = F 1 (2)
D2 = E1 ( so le trong do DE // AC)
Từ (1) và (2)  EBD P FDC (g.g) A Mà S 1
EBD : SFDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ( )2 E 2 F
Do đó : EB = ED = 1  FD = 2EB và ED = 1 FC FD FC 2 2 B C D
 AE = DF = 2BE ( vì AE = DF) AF = ED = 1 EC ( vì AF = ED) 2
Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) S 1 1 ADF = SFDC = . 12 = 6(cm2) 2 2
 SAEDF = SADE + SADF = 6 + 6 = 12(cm2)
&.DẠNG 2: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng:
A. Các ví dụ và định hướng giải:
1. Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đường chéo AC và BD
a) Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC. Trang 8
b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. CMR: OH = AB OK CD H A B * Tìm hiểu bài toán : Cho gì? O Chứng minh gì? D * Xác định dạng toán: K C
? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì? TL: OA = OB OC OD
? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào.
TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA. OD = OB.OC Sơ đồ :
+ A 1 = C 1 (SLT l AB // CD)
+ AOB = COD ( Đối đỉnh)  OAB P OCD (g.g)  OA = OB OC OD  OA.OD = OB.OC b) OH = AB OK CD
Tỷ số OH bằng tỷ số nào? OK TL : OH = OA OK OC Trang 9
? Vậy để chứng minh OH = AB ta cần chứng minh điều gì. OK CD TL: AB = OA CD OC Sơ đồ : + H = K = 900
+ A 1 = C 1.(SLT; AB // CD) Câu a   OAH P OCK(gg) OAB P OCD   OH = OA AB = OA OK OC CD OC OH = AB OK CD
2. Ví dụ 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đường thẳng qua P vuông góc
với AB tại I.CMR : AB2 = AC. AP + BP.PD C D P Định hướng: I B A
- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)  AB2 = ?
(AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB)
- Việc chứng minh bài toán trên đưa về việc chứng minh các hệ thức AB.AI = AC.AP AB.IB = BP. PD
- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P)
Sơ đồ : + D = I = 900 + C = I = 900 + PBI chung + PAI chung   Trang 10 ADB P PIB ACB P AIP (gg)   AB = DB AB = AC PB IB AP AI   AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP
AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP 
AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP  AB2 = BP . PD + AC . AP
3. Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đưa ra bài toán sau: A
Cho  nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. D E CMR: BC2 = BH . BD + CH.CE H
Định hướng: Trên cơ sở bài tập 2 C B
Học sinh đưa ra hướng giải quyết bài tập này.
 Vẽ hình phụ (kẻ KH ⊥ BC; K  BC).
Sử dụng P chứng minh tương tự ví dụ 2
4. Ví dụ 4: Cho  ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI tại
I cắt AC và BC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng. A a) AM . BI = AI. IM 1 2 M b) BN . IA = BI . NI 1 I 2 1
c) AM =  AI    B C BNBI  N * Định hướng: Trang 11
a) ? Để chứng minh hệ thức AM. BI = AI.IM ta cần chứng minh điều gì ?  AM IM  =    AI BI
b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh điều gì ? ( AMI P AIB) Sơ đồ: 1 A = A2 (gt) I1 = B1 * CM: I1 = B1 v MIC: C IMC = 900 - 2 AMI P AIB (gg)
ABC: A + B +C = 1800(t/c tổng...) 
A + B + C = 900 2 2 2 AM = IM Do đó: A B IMC = + (1) AI BI 2 2 
Mặt khác: IMC = A + I (t/c góc ngoài ) 1 1 AM. BI = AI . IM hay A IMC = + I (2) 2 1
Từ (1) và (2)  B = I hay B = I 2 1 1 1
AMI P AIB ( A = A ; I = B ) 1 2 1 1
AM = IM  AM . BI = AI. IM AI BI b) Tương tự ý a.
Chứng minh BNI P BIA (gg)
BN = NI  BN . IA = BI. IN BI IA Trang 12 c) (Câu a) (Câu b)   2 2
- HS nhận xét  AI AI   = AMI P AIB BNI P BIA  IA  2 BI   2
Tính AI2 ; BI2  AI AM = IM BI = BN 2 BI AI BI AB BI   (Tính AI2 ; BI2 nhờ P) AI2 = AM . AB BI2 = BN . AB 2 AI = AM 2 BI BN  2  AI    = AM BI BN
B.Bài tập đề nghị:
1) Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Qua O kẻ đường
thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J.CMR : a) 1 = 1 + 1 OI AB CD b) 2 = 1 + 1 IJ AB CD
2) Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho
ACI = BDA . CMR: a) AD . DI = BD . DC b) AD2 = AB . AC - BD . DC
&.DẠNG3: Chứng minh quan hệ song song:
+ Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của
MA và BD; F là giao điểm của MB và AC. Chứng minh rằng EF / / AB A B
Định hướng giải: F E D C M Trang 13
- Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác
- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt)   AB // DM AB // MC   MED P  AEB GT MFC P BFA   
ME = MD ; MD = MC MF = MC EA AB FB ABME = MF EA FB
EF // AB (Định lý Ta lét đảo)
+ Ví dụ 2: Cho  ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường
cao của AEF. Chứng minh MN // BC A Sơ đồ phân tích N M E
AMF P AFC (g.g); AFN P ABE F   C B AM = AE AF = AN AF AC AB AE
AM . AF = AE . AE AF AB AC AC Trang 14 AM = AN AB AC
MN // BC (định lý Ta – lét đảo)
+ Ví dụ 3: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ
số 1 : 3, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 3. Chứng minh
rằng IK // BC. Gọi M là trung điểm của AF A
Giải: Gọi N là giao điểm của DM và EF D M
Xét  ADM và  ABC có : N F
AD = AM = 1 Góc A chung I K AB AC 3 B C E ADM P ABC (c.gc)
ADM = ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC
 MN // EC mà MF = FC nên EF = FN
Ta có : EK = EK . EF = 2 . 1 = 1 (1) EN EF EN 3 2 3 mà EI = 1 (gt) (2) ED 3
Từ (1) và (2)  EK = EI Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo) EN ED Vậy IK // BC.
*Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD.
Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng minh rằng EG // DC
&.DẠNG4: Chứng minh tam giác đồng dạng:
+ Ví dụ 1: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm .Trên AB lấy điểm D sao cho
AD = 3,2cm, trên AC ,lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F. a) CMR :  ABC P AED b) FBD P FEC A c) Tính ED ; FB? Bài toán cho gì? E 6,4cm 4,8cm Trang 15 D 3,6cm F C B Dạng toán gì?
Để chứng minh 2  đồng dạng có những phương pháp nào?
Bài này sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT  A chung AB = AC = 2 AE AD  ABC P AED (c.g.c) ABC P  AED (câu a) b) 
C = D ; D = D 1 1 2  C = D 2 F chung  FBD P FEC (g.g)
c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB.
+ Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên
AB; AC sao cho DME = B . a) CMR : BDM P CME A b) MDE P DBM D c) BD . CE không đổi 1
? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều gì. E
? Từ gt → nghĩ đến 2 có thể 1
P theo trường hợp nào (g.g) 1 2 B M C Trang 16
? Gt đã cho yếu tố nào về góc. ( B = C )
? Cần chứng minh thêm yếu tố nào ( D = M ) 1 2 a) Hướng dẫn sơ đồ gt góc ngoài DBM  
B = M ; DMC = M + M ; DMC = D + B 1 1 2 1 1 ABC cân   B = C ; D = M 1 2  BDM P CME (gg) Câu a gt   b)
DM = BD ; CM = BM ME BMDM = BD ME BM
B = M (gt) ; DM ME = 1 1 BD BM  A DME P DBM (c.g.c)
c) Từ câu a : BDM P CME (gg) F E  BD BM =  BD . CE = Cm . BM Q P CM CE C Mà CM = BM = BC = a B M D N 2 Trang 17 2
 BD . CE = a (không đổi) 4
Lưu ý: Gắn tích BD . CB bằng độ dài không đổi
Bài đã cho BC = 2a không đổi
Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD. CE theo a
+ Ví dụ 3: Cho ABC có các trung điểm của BC, CA, AB
theo thứ tự là D, E, F. Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao cho
BM = MN = NC. Gọi P là giao điểm của AM và BE; Q là giao điểm của CF và AN.
CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng. b) ABC P DQP * Hướng dẫn
a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp. Bài
này chọn phương pháp nào?
- Lưu ý cho học sinh bài cho các trung điểm → nghĩ tới đường trung bình .
→ Từ đó nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC
PD là đường trung bình BEC → PD // AC F, P, D thẳng hàng
FP là đường trng bình ABE → FP // AC
Tương tự cho 3 điểm D, Q, E
b) PD = 1 . EC = 1 . AC = AC 2 2 2 4
AC = 4  4AC  =   PD  4 
BAC = DEC (Đơn vị EF // AB) AB  4QD  = 4 =   = QD DEC
EDP (so le trong PD // AC)  QD    AC AB = ; BAC = EDP DP QD Trang 18 ABC P DQP (c.g.c)
* Bài tập đề nghị: 1) Cho ABC, AD là phân giác A ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy
điểm I sao cho ACI = BDA . Chứng minh rằng.
a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB. AC - BD . DC
2) Cho ABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của . Gọi
E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Chứng minh : a)  OED P  HCB b)  GOD P  GBH
c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG
3) Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm BC. Qua M kẻ đường
vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt ở D, E. a) CMR : ABC P MDC b) Tính các cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC
4) Cho ABC; O là trung điểm cạnh BC. Góc xoy = 600; cạnh ox cắt AB ở M; oy cắt AC ở N.
a) Chứng minh: OBM P NCO
b) Chứng minh : OBM P NOM
c) Chứng minh : MO và NO là phân giác của BMN CNM
d) Chứng minh : BM. CN = OB2
&.DẠNG5:Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau:
_Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường
thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng : OE = OF A B E F O D C Định hướng Sơ đồ giải
H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD) OE = OF
TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn Trang 19 thẳng tỷ lệ 
H: EO và đoạn nào trên hình vẽ sẽ thường OE = OF lập được tỷ số? DC DC TL: EO .  DC OE
H: Vậy OF trên đoạn nào? (gợi ý)
= AO ; OF = BO ; AO = BO DC AC DC BD AC BD TL: OF    DC AEC BOF AOB P P P ADC BDC COD   EF // DC AB // CD  gt
H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đưa về chứng minh điều gì?
TL : EO = OF (1) DC DC
H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (AEO; ADC, các tam giác này đã đồng dạng chưa? Vì dao?
H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC.
H: lập tỷ số bằng EO = OF DC DC
TL: EO = AO ; OF = BO DC AC DC BD
H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: AO = BO AC BD
H: Đây là tỷ số có được từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL:  AOB;  COD
H: Hãy chứng minh điều đó. Trang 20