Số thực là gì? Số thực là những số nào? Ví dụ về số thực
Trong toán học, chúng ta vẫn thường nghe tới cụm từ số thực, vậy số thực là gì? Số thực là
những số nào? Ví dụ về số thực? Hãy cùng tìm hiểu vấn đề này qua bài viết dưới đây.
Mục lục bài viết  1. Số thực là gì?
 2. Các tính chất cơ bản của số thực
 3. Thuộc tính của số thực
 4. Số thực bao gồm những số nào?
 5. Các dạng bài tập thường gặp về số thực và hướng dẫn cách giải
1. Số thực là gì?
Trong thế kỷ 17, Rene Descartes - một nhà toán học người Pháp - đưa ra khái niệm số thực đầu
tiên để phân biệt giữa các giá trị nghiệm thực và giá trị nghiệm ảo của đa thức. Tuy nhiên, đến
năm 1871, Georg Cantor - một nhà toán học khác - đã công bố khái niệm số thực chính xác nhất
và cho đến ngày nay, chúng ta vẫn sử dụng khái niệm số thực này.
Số thực, tiếng Anh là Real numbers là tập hợp bao gồm số dương (1,2,3), số 0, số âm (-1,-2,-3),
số hữu tỉ (5/2, -23/45), số vô tỉ (số pi, số √ 2). Số thực là loại số được định nghĩa dựa trên tính chất
của chính nó, và tập hợp các số thực được tạo thành từ sự kết hợp giữa tập hợp các số vô tỉ và tập
hợp các số hữu tỉ. Các số thực có thể là đại số hoặc siêu việt, và tập hợp số thực được đối chiếu
với tập hợp số phức. Mặc dù không có định nghĩa chính thức, số thực thường được mô tả theo
nhiều cách khác nhau và bao gồm cả số dương, số 0 và số âm.
Trong toán học thì số thực là một giá trị của một đại lượng liên tục, được biểu thị bằng một khoảng
cách dọc theo một đường thẳng. Tính từ thực này được giới thiệu vào thế kỷ 17 bởi một nhà toán
học người Pháp tên là Rene Descartes, ông là người phân biệt giữa nghiệm thực và ảo của đa thức.
Các số thực sẽ bao gồm tất cả các số hữu tỉ, bao gồm các số nguyên và số thập phân. Ví dụ như số
nguyên -5, phân số 4/3 và tất cả cả các số vô tỉ như: √2(1.41421356…, căn bậc 2 của số 2, số đại
số vô tỉ). Nằm trong các số vô tỉ là số siêu việt, chẳng hạn như π(3.14159256…). Ngoài việc đo
khoảng cách thì số thực còn được sử dụng để đo các đại lượng khác như thời gian, năng lượng,
khối lượng, vận tốc và rất nhiều đại lượng khác.
Về tính chất thì tập hợp số thực là tập hợp vô hạn và không đếm được. Nghĩa là khi tập hợp các số
tự nhiên và tập hợp của tất cả các số thực thì đều là tập hợp vô hạn. Không thể có hàm đơn ánh từ
số thực tới các số tự nhiên, lực lượng của tập hợp tất cả các số thực thường lớn hơn rất nhiều so
với tập hợp của tất cả các số tự nhiên.
Tập hợp các số thực sẽ được ký hiệu là R.
2. Các tính chất cơ bản của số thực
Mọi số thực khác 0 đều có thể là số dương hoặc số âm. Khi tính tổng hoặc tích của hai số thực
không âm, kết quả sẽ là một số thực không âm và chúng sẽ tạo thành một vành số dương. Điều
này cho phép xác định một thứ tự tuyến tính của các số thực dọc theo một trục số.
Tập hợp các số thực không thể đơn ánh tới tập hợp các số tự nhiên. Do đó, tập hợp các số thực là
một tập hợp vô hạn các phần tử, có nhiều phần tử hơn so với bất kỳ tập hợp đếm được nào khác.
Số thực được sử dụng để thực hiện các phép đo đại lượng liên tục và có thể được biểu diễn dưới
dạng biểu thức thập phân. Hầu hết chúng có một chuỗi các chữ số vô hạn ở bên phải của dấu thập
phân và thường được biểu diễn dưới dạng ví dụ như 324.832122147…, với dấu chấm lửng thể
hiện rằng còn rất nhiều chữ số khác sẽ xuất hiện.
3. Thuộc tính của số thực
Số thực là một loại số có hai thuộc tính cơ bản quan trọng đó là: thuộc tính cận trên thấp nhất và
thuộc tính trường có thứ tự.
- Thuộc tính cận trên thấp nhất cho biết rằng nếu tập hợp của một số thực không trống có giới hạn
trên thì tập hợp này sẽ có cận trên, tức là những số thực nhỏ nhất. Ví dụ, tập hợp {1, 2, 3} có giới
hạn trên là 3, vì vậy nó có cận trên là 3.
- Thuộc tính trường có thứ tự cho biết rằng các số thực có thể được sắp xếp hoàn toàn trên một
trục số hoành theo một cách tương thích với phép cộng và phép nhân. Điều này có nghĩa là, nếu x
và y là hai số thực bất kỳ, thì ta luôn có thể biết được x < y, x = y, hay x > y. Tức là, các số thực
tạo thành một trường có thứ tự, mà trong đó phép cộng, trừ, nhân và chia đều được thực hiện theo
cách tương thích với thứ tự này.
4. Số thực bao gồm những số nào?
Tập hợp số thực sẽ bao gồm các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Do vây,
số thực là tập hợp số lớn nhất.
Bất kì số thực khác đều có thể là số âm hoặc là số dương, trừ số 0 nằm ở trung tâm trục số. Tập
hợp số thực bản chất đều là các tập hợp số vô hạn. Tuy nhiên, do quy mô của tập hợp số thực quá
lớn nên số lượng các số thực là không thể đếm được.
Tóm lại, tập hợp số thực R sẽ bao gồm:
– Tâp hợp các số tự nhiên (kí hiệu là N): N = {0, 1, 2, 3,…}
– Tập hợp các số nguyên (kí hiệu là Z): Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
– Tập hợp các số hữu tỉ (kí hiệu là Q): Q = {x = a/b; với điều kiện là số a,b ϵ Z, và b ≠0}
– Tập hợp các số vô tỉ (kí hiệu là I): I ={số thập phân vô hạn không có tuần hoàn, ví dụ số pi, các
số căn như √2, √3,…}
5. Các dạng bài tập thường gặp về số thực và hướng dẫn cách giải
Dạng 1: Các câu hỏi về bài tập hợp số Hướng dẫn giải:
Lưu ý các ký hiệu về tập hợp số:
+ N: Tập hợp các số tự nhiên
+ Z: Tập hợp các số nguyên
+ Q: Tập hợp các số hữu tỉ
+ I: là tập hợp các số vô tỉ
+ R: là tập hợp các số thực.
Ta có quan hệ giữa các tập hợp số như sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R.
Dạng 2: là tìm số chưa biết trong một đẳng thức Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng từ tính chất của các phép toán
+ Sử dụng quan hệ giữa các số hạng trong một tổng và một hiệu. Quan hệ giữa các thừa số trong
một tích, quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương của phép chia.
+ Sử dụng đến quy tắc chuyển vế, phá ngoặc.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức nào đó Hướng dẫn giải:
+ Thực hiện phối hợp các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Tuy nhiên, bạn cần chú ý
đến thứ tự thực hiện.
+ Rút gọn các phân số khi cần thiết
+ Chú ý để vận dụng các tính chất của phép toán sao cho thích hợp.
Dạng 4: So sánh các số thực: Hướng dẫn giải:
Để giải dạng bài tập này cần phải nắm chắc kiến thức dưới đây:
– Với hai số thực x và y bất kì, ta sẽ có như sau: x = y hoặc x < y hoặc x > y.
– Với các số thực lớn hơn số 0 thì được gọi là số thực dương và ngược lại, các số thực nhỏ hơn số
0 thì được gọi là số thực âm.
– Số 0 không phải là số thực dương cũng không là số thực âm.
– Khi so sánh các số thực dương cũng là tương tự như khi so sánh các số hữu tỉ.
– Với hai số a và b là hai số thực dương, điều kiện nếu a > b thì √a > √b.
Ví dụ: Cho các số thực sau: -11; 3, -1,5; 6; 6,5 . Hãy sắp xếp các số thực này theo thứ tự từ lớn đến nhỏ. Hướng dẫn giải:
Sắp xếp các số thực trên theo thứ tự từ lớn đến nhỏ là:
6,5 > 6 > 3 > -1,5 > -10.
Trên đây là toàn bộ nội dung bài viết của chúng tôi đến vấn đề: Số thực là gì? Số thực là những số
nào? Ví dụ về số thực. Hy vọng rằng những chia sẻ trên đây của chúng tôi sẽ giúp ích được quý
bạn đọc trong quá trình tìm hiểu số thực là gì nói riêng và trong quá học tập của mình nói chung.