Tài liệu câu hỏi thi môn Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Tài liệu câu hỏi thi môn Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống

56 28 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính( MATH 231A)

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

1 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Linear Algebra
Exercises and Problems
1. Determine a basis of Im(f) and of Ker( ) in each of the following cases.f
(a)
f : R
2
→ R
2
, ( )x
1
, x
2
) 7→ (x
1
+ x
2
, x
1
− 2x
2
(b)
f : R
3
→ R
2
, (x
1
, x , x
2 3
) 7→ (x
1
− x x
2
−
3
, 0)
(c)
f : R
2
→ R
3
, ( )x
1
, x
2
) 7→ (x
1
+ x
2
, 0, x
1
− x
2
(d)
f : R
3
→ R
2
, (x
1
, x , x
2 3
) 7→ (x
1
+ 2 + 3 )x
2
x x x
3
, x
1
−
2
−
3
(e)
f : R
4
→ R
4
, ( )x
1
, x , x , x
2 3 4
) 7→ (x
4
, x , x , x
3 2 1
2. In Exercise 1, which linear mapping is injective, surjective, bijective?
3.
Let
f
:
V → W
be a linear mapping and
W
0
a subspace of
W
. Show that
f
−1
(
W
0
) is a
subspace of .V
4. Solve the following systems of simultaneous linear equations.
(a)
−2x + 3 + 3 9y z = −
3 4x − y + z = 5
(b)
x + 2y − z = 2
x + 4y − 3z = 3
(c)
x x x
1
− x
2
+
3
−
4
= 1
−x x x x
1
+
2
+
3
+
4
= 2
x x x
1
+
2
− x
3
+
4
= 3
(d)
x
1
+ x x
2
+ 2x
3
−
4
= 4
3x x
2
−
3
+ 4x
4
= 2
x
1
+ 2x x x
2
− 3
3
+ 5
4
= 0
5.
Let there be given a linear mapping
f
:
V → W
. Show that if
dim dimV > W
then
f
is not injective.
6.
Let
f
:
V → W
be an injective linear mapping. Suppose that
{~x
1
, . . . , ~x
k
}
are linearly
independent vectors in
V
. Show that
{f
(
~x
1
)
, . . . , f
(
~x
k
)
}
are linearly independent
vectors in .W
7. Show that if
f : R R
4
→
2
is a linear mapping so that
Ker(
f) = {(x
1
, x , x , x
2 3 4
) ∈ R
4
: x
1
= 5 = 7x
2
, x
3
x
4
},
then f is surjective.
8.
Let
f
:
P
1
→ R
be a linear map given by
f
(
P
) =
P
(1). Find the image and kernel of
f. Show a basis for each of them.
1
| 1/1
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Linear Algebra Exercises and Problems
1. Determine a basis of Im(f ) and of Ker(f ) in each of the following cases.
(a) f : R2 → R2, (x1, x2) 7→ (x1 + x2, x1 − 2x2)
(b) f : R3 → R2, (x1, x2, x3) 7→ (x1 − x2 − x3, 0)
(c) f : R2 → R3, (x1, x2) 7→ (x1 + x2, 0, x1 − x2)
(d) f : R3 → R2, (x1, x2, x3) 7→ (x1 + 2x2 + 3x3, x1 − x2 − x3)
(e) f : R4 → R4, (x1, x2, x3, x4) 7→ (x4, x3, x2, x1)
2. In Exercise 1, which linear mapping is injective, surjective, bijective?
3. Let f : V → W be a linear mapping and W 0 a subspace of W . Show that f −1(W 0) is a subspace of V .
4. Solve the following systems of simultaneous linear equations.  −2x + 3y + 3z = −9 (a) 3x − 4y + z = 5  x + 2y − z = 2 (b) x + 4y − 3z = 3  x1 − x2 + x3 − x4 = 1  (c) −x1 + x2 + x3 + x4 = 2  x1 + x2 − x3 + x4 = 3  x1 + x2 + 2x3 − x4 = 4  (d) 3x2 − x3 + 4x4 = 2  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 0
5. Let there be given a linear mapping f : V → W . Show that if dim V > dim W then f is not injective.
6. Let f : V → W be an injective linear mapping. Suppose that {~x1, . . . , ~xk} are linearly
independent vectors in V . Show that {f ( ~x1), . . . , f(~xk)} are linearly independent vectors in W .
7. Show that if f : R4 → R2 is a linear mapping so that
Ker(f ) = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = 5x2, x3 = 7x4}, then f is surjective.
8. Let f : P1 → R be a linear map given by f(P ) = P (1). Find the image and kernel of
f . Show a basis for each of them. 1