Tài liệu học tập môn Toán 11 học kì 1 năm 2025 – 2026 chuẩn cấu trúc mới
Tài liệu gồm 849 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Hữu Chung Kiên, bao gồm tóm tắt lý thuyết và các dạng toán thường gặp môn Toán 11 học kì 1 theo chuẩn cấu trúc mới.
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11 83 tài liệu
Môn: Toán 11 3.5 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
SỞ GD − ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT LÊ TRỌNG TẤN SĨ TOÁN GIẢ ẠC I T H Í T CH F MATHEMA MA MA TIC THEMA MA THEMA MA AL TIC THEMA TIC THEMA AL TIC F AL F ANALYSIS F F F giaoducthienan.vn N F F G N U Y IÊ Ễ K N HỮU CHUNG
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHUẨN CẤU TRÚC MỚI TOÁN11
HỌC KÌ 1 − NĂM HỌC 2025 − 2026
• Tóm tắt chi tiết lí thuyết theo bài
• Phân chia dạng toán theo bài
• Bài tập từng bài chuẩn cấu trúc mới của BGD n
• Đề ôn tập từng chương − C 2 Me = um + · (um S n +1 − um) m J Q P b M · N a I p ≥b D + 2 A a G O ¡a2 + b2¢ · ¡c2 + B C R d2¢ ≥ (a · c + b · d)2
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI ĐỊA Mục lục MỚI Phần I
MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH Chương 1.
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11 FORM KIÊN Bài 1. GÓC LƯỢNG GIÁC 11 ẨN A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B
Bài tập tự luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 CHU C
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 D
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2026 E
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 −
Bài 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CHUNG GÓC LƯỢNG GIÁC 38 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2025 B
Bài tập tự luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 C
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 HỌC D
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 E
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 NĂM
Bài 3. CÔNG THỨC LƯỢNG HỮU GIÁC 61 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 HKI − B
Bài tập tự luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 C
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11 D
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 ÁN E
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 TO
Bài 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ 87 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 TẬP B NGUYỄN
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
| Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác..........................................88 HỌC
| Dạng 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác y = f (x) .......................... 89
| Dạng 3. Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó ............... 90 LIỆU
| Dạng 4. Đồ thị của hàm số lượng giác .......................................................... 92 TÀI
ThS:|Dạng5.Tìmgiátrịlớnnhấtvàvàgiátrịnhỏnhấtcủahàmsốlượnggiác....92 Trang 2 Mục lục C
Bài tập tự luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 KIÊN
Bài 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KIÊN 128 G
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
| Dạng 1. Phương trình sin x = m...............................................................128 CHUN
| Dạng 2. Phương trình cos x = m .............................................................. 129
| Dạng 3. Phương trình tan x = m và cot x = m......................................129 HỮU C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CHUNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 GUYỄN N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Bài 6. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 159 ThS A
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 − B
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 C
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 TẤN D
Bài tập trắc nghiệm trả lời HỮU
ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
G Chương2. DÃYSỐ.CẤPSỐCỘNG.CẤPSỐNHÂN 201 Bài 1. DÃY SỐ 201 TRỌN A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 LÊ B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
| Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số ................................................................. 202 THPT
| Dạng 2. Xét tính tăng, giảm của một dãy số ............................................... 203 G
| Dạng 3. Xét tính bị chặn của một dãy số .................................................... 204 | NGUYỄN
Dạng 4. Tính tổng của dãy số cách đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
| Dạng 5. Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp....................208 TRƯỜN
| Dạng 6. Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính208
| Dạng 7. Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết.................................209
| Dạng 8. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số..........................209 ThS: C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKI CHUẨN KIẾN THỨC THPT 2018 Trang 3 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226 MỚI F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 Bài 2. CẤP SỐ CỘNG 238 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 FORM B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KIÊN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 ẨN
| Dạng 1. Xét dãy số (un) có là một cấp số cộng không? ............................. 238
| Dạng 2. Xác định các đại lượng của cấp số cộng ......................................... 239 CHU
| Dạng 3. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng...............................240
| Dạng 4. Giải phương trình (tìm x trong cấp số cộng)..................................241 2026 C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 − D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . CHUNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254 2025
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Bài 3. CẤP SỐ NHÂN 273 HỌC A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 | Dạng 1. Xét dãy số (u
có là một cấp số nhân không? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 NĂM n) HỮU
| Dạng 2. Xác định các đại lượng của cấp số nhân.........................................274 HKI
| Dạng 3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân ..................................... 275 − C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 11 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295 ÁN F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306 TO
Bài 4. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II 310 TẬP A
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
NGUYỄN ......................................................................310 B
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339 HỌC C
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344 Chương 3.
GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC 347 LIỆU
Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 347 TÀI ThS: A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 4 Mục lục B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
| Dạng 1. Chứng minh dãy số có giới hạn ...................................................... 348
| Dạng 2. Tìm giới hạn của dãy số có chứa căn ............................................. 350
| Dạng 3. Nhân với một lượng liên hợp .......................................................... 350 KIÊN
| Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số có chứa lũy thừa ....................
| Dạng 5. Dãy số (un) trong đó un là một tổng hoặc một tích của KIÊN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 G n số hạng (hoặc
n thừa số) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
| Dạng 6. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn....................................................353 CHUN
| Dạng 7. Giới hạn vô cực..............................................................................353
| Dạng 8. Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn ............................. 353 HỮU C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CHUNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 GUYỄN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 N
Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 388 ThS A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 − B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
| Dạng 1. Hàm số có giới hạn hữu hạn .......................................................... 389 TẤN
| Dạng 2. Hàm số có giới hạn HỮU
tại vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .389 G
| Dạng 3. Giới hạn một bên ........................................................................... 391 0 | Dạng 4. Dạng vô định
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 0 TRỌN ∞ | Dạng 5. Dạng vô định
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 ∞ LÊ
| Dạng 6. Dạng vô định ∞ − ∞, 0 · ∞ ...................................................... 395 Å 0 ã
| Dạng 7. Giới hạn của hàm số lượng giác Dạng vô định
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 THPT 0 G
| Dạng 8. Giới hạn liên quan đến hàm ẩn.......................................................398 C Bài NGUYỄN
tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .409 TRƯỜN E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .427 F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434 Bài 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 439 ThS: A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKI CHUẨN KIẾN THỨC THPT 2018 Trang 5 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
| Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) tại một điểm x0 ............. 440 MỚI
| Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm phân nhánh tại x = x0........................441
| Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm phân nhánh tại x = x0........................441
| Dạng 4. Tìm tham số để hàm phân nhánh liên tục tại x0............................442 FORM
| Dạng 5. Hàm số liên tục trên một khoảng.............................KIÊN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
| Dạng 6. Chứng minh phương trình có nghiệm..............................................445 ẨN C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453 CHU E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .468 F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477 2026 −
Bài 4. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III 481 A
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . .CHUNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 2025
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 Phần II
HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG HỌC Chương 4.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 523 NĂM Bài 1. ĐIỂM, ĐƯỜNG HỮU
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN523 HKI A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 − B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 11
| Dạng 1. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng................................................530
| Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng...............................534 ÁN
| Dạng 3. Chứng minh thẳng hàng, đồng quy.................................................539 TO C
Bài tập tự luận tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .547 TẬP | NGUYỄN
Dạng 4. Câu hỏi lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
| Dạng 5. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ......................................... 550 HỌC
| Dạng 6. Tìm giao điểm ............................................................................... 552
| Dạng 7. Chứng minh ba điểm thẳng hàng ................................................... 554 LIỆU E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555 TÀI ThS: F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .556
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 6 Mục lục
Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 561 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
| Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy, giao tuyến của 2 KIÊN
mặt chứa 2 đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KIÊN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
| Dạng 2. Giao điểm sử dụng giao tuyến song song G
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .569 CHUN E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .578 F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583 HỮU
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 586 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song CHUNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 GUYỄN song với mặt phẳng N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
| Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.................................................589 ThS C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 − D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .596 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .606 TẤN F
Bài tập trắc nghiệm trả lời HỮU
ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613 G
Bài 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 615 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 TRỌN B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 LÊ
| Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song............................................617
| Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa các yếu tố song song ....... 618 THPT
| Dạng 3. Định lý Thales trong không gian .................................................... 619 G C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 D Bài NGUYỄN
tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .626 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .634 TRƯỜN F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .641
Bài 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG 643 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 ThS: B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKI CHUẨN KIẾN THỨC THPT 2018 Trang 7
| Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian...........................644
| Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song...........................645 MỚI C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .648 E
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653 FORM F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .KIÊN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 ẨN
Bài 6. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV 658 A
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 CHU B
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 2026 Phần III
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT − Chương 5.
CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TR
Bài 1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ MỐT CỦA CHUNG
UNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM 709 2025 MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM 709 A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 HỌC B
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 C
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .745 D
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765 NĂM HỮU E
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .776 HKI
Bài 2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM 781 − A
Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 11 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
| Dạng 1. Trung vị của mẫu số liệu ghép lớp..................................................782 ÁN
| Dạng 2. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm..........................................783 TO C
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 TẬP D
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .796 E NGUYỄN
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .812 F
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .822 HỌC
Bài 3. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG V 827 LIỆU A
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .827 TÀI ThS:
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn KIÊN KIÊN G CHUN HỮU CHUNG GUYỄN N ThS − TẤN HỮU G TRỌN LÊ THPT G NGUYỄN TRƯỜN ThS: MỚI FORM KIÊN ẨN I CHU PHẦN 2026 − CHUNG 2025 MỘT SỐ YẾUHỌC NĂM HỮU HKI TỐ GIẢI TÍCH−11 ÁN TO TẬP NGUYỄN HỌC LIỆU TÀI ThS: KIÊN KIÊN G CHUN HỮU CHUNG GUYỄN N ThS − TẤN HỮU G TRỌN LÊ THPT G NGUYỄN TRƯỜN ThS:
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKI CHUẨN KIẾN THỨC THPT 2018 Trang 11
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH Chương 1 MỚI 11 LƯỢNG HÀM SỐGIÁC
LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC FORM KIÊN ẨN THẦY KIÊN TOÁN:
DẠY THẬT - HỌC THẬT - GIÁ TRỊ THẬT K11 – CHƯƠNG 1
§1. GÓC LƯỢNG GIÁC CHU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2026 A1 Các định nghĩa −
Định nghĩa 1 Cho hai tia Oa, Ob.
○ Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó theo một c
dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc CHUNG
hiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và 2025
lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob. Ký hiệu (Oa, Ob).
○ Khi tia Om quay một góc α, ta nói số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) bằng α. Ký hiệu HỌC (Oa, Ob) = α. m + m − b b NĂM HỮU HKI O a O a − o
○ Với tia đầu Oa, tia cuối Ob cho trước, có vô số (Oa, Ob). 11
○ sđ (Oa, Ob) = α◦ + k360◦ (k ∈ Z) hoặc (Oa, Ob) = α◦ + k360◦, với α◦ là số đo của một góc
lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. ÁN
Định nghĩa 2 Hệ thức Chasles (Sa-lơ) Với ba tia Oa, Ob và Oc bất kì, ta có TO
(Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) + k360◦, (k ∈ Z). TẬP A2 Đơn vị NGUYỄN radian
Trên đường tròn bán kính R tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng B HỌC
bằng R được gọi là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là αR 1rad). R 180◦ = π rad. 1 rad LIỆU A πa Å 180α ã◦ O R
Công thức chuyển đổi a◦ = rad α rad = 180 π TÀI ThS:
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 12 1. GÓC LƯỢNG GIÁC o
a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo. Ví π π dụ, rad được viết là , 2 rad được viết là 2. 2 2
b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Oa, Ob) là
(Oa, Ob) = α + k2π (k ∈ Z), KIÊN
Trong đó α là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa
Lưu ý: không được viết α + k360◦ hay a◦ + k2π (vì không cùng đơn vị đo). KIÊN và tia cuối Ob. G A3
Đường tròn lượng giác
CHUN Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Trên y
đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều 1
HỮU kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng +
với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lượng giác. A(1; 0) x −1 O 1 CHUNG − GUYỄN −1 N
Cho số đo góc α bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy y
ThS nhất một điểm M sao cho số đo góc lượng giác (OA, OM) bằng α (Hình bên).
Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo α trên đường M − tròn lượng giác. α A x O TẤN HỮU G
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN TRỌN Bài 1. LÊ 3
a) Đổi 33◦450 sang rađian; b) Đổi (rad) sang độ. 4
THPT Bài 2. Hoàn thành các bảng sau G Độ 15◦ ? 0◦ 900◦ ? ? Độ 30◦ ? 60◦ ? 120◦ ? 180◦ a) 3π 7π 11π b) π π 3π Rad ? ? ? − − Rad ? ? ? ? 8 Độ 18◦ ? 72◦ NGUYỄN 12 8 4 2 4 TRƯỜN ? c) 2π 5π Radian ? ? 9 6 Bài 3. π 5π a) Đổi từ độ ThS:
sang rađian các số đo sau: 45◦; 150◦.
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: ; . 3 4
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKI CHUẨN KIẾN THỨC THPT 2018 Trang 13
Bài 4. Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo −270◦ và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo 135◦.
Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).
Bài 5. Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có MỚI 13π số đo bằng và −150◦. 4
Bài 6. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau: FORM 2π 11π a) ; b) − ; c) 150◦; d) −225◦. 3 4 KIÊN ẨN
Bài 7. Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM ) = 135◦.
Bài 8. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau CHU 2π 11π a) ; b) − ; c) 150◦; d) −225◦. 3 4 π
Bài 9. Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON ) = − . 2026 3 − Bài 10.
Cho góc hình học uOv có số đo 60◦. Xác định số đo của góc CHUNG lượng giác (Ou, v Ov) và (Ov, Ou). 2025 + 60◦ u O HỌC Bài 11.
Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó m trong hình bên. NĂM HỮU + HKI y − 11 O x ÁN TO Bài 12.
Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác m TẬP đó trong hình bên. NGUYỄN − t HỌC LIỆU O z TÀI ThS:
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 14 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
Bài 13. Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 60◦. Cho góc lượng giác
(O0u0, O0v0) có tia đầu O0u0 ≡ Ou, tia cuối O0v0 ≡ Ov. Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác (O0u0, O0v0).
Bài 14. Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau
a) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 510◦; KIÊN 7π
b) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo − . 6 KIÊN G 4π
Bài 15. Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo − . Cho góc lượng giác 3
(O0u0, O0v0) có tia đầu O0u0 ≡ Ou, tia cuối O0v0 ≡ Ov. Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác CHUN (O0u0, O0v0). 3π 5π
Bài 16. Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là
, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là . Tìm số 4 4
đo của góc lượng giác (Ov, Ow). HỮU 11π 3π
Bài 17. Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là −
, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là . Tìm 4 4
số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).
Bài 18. Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông O
quay của kim đồng hồ, biết sđ(Ox, OA) = 30◦ + k360◦, k ∈ Z. CHUNG
ABC vẽ theo chiều ngược với chiều GUYỄN Tính sđ(Ox, AB). N Bài 19.
Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M với AM = 1 như hình vẽ bên. y
ThS Tính số đo cung lượng giác AM. B − A0 A TẤN HỮU x’ O x G M B0 y’
TRỌN Bài 20. Cho góc ’
BAC = 70◦ nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 5cm. Tính giá trị gần đúng nhất của độ dài cung ˜ BC không chứa điểm A?
LÊ Bài 21. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A, cung lượng giác có số đo 55◦ có điểm đầu A xác
định bao nhiêu điểm cuối M ?
THPT Bài 22. Trên đường tròn với điểm gốc là A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có
số đo 60◦. Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy, tính số đo cung AN ? G π 19π −35π
Bài 23. Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo (I) : , (II) : , (III) : , −26π (IV ) :
. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau? 9
Bài 24. Trên đường tròn NGUYỄN 9 9 9
lượng giác gốc A, tìm cung lượng giác có các điểm biểu diễn tạo thành tam TRƯỜN giác đều?
Bài 25. Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục (`) đi qua O. Xác định số đo của các góc giữa
tia OA với trục (`), biết trục (`) đi qua đỉnh A của hình vuông.
Bài 26. Cho bốn điểm L, M , N , P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BA0, A0B0, B0A. Cung α 3π có mút đầu ThS:
trùng với A và số đo α = −
+ kπ hay α = −135◦ + k180◦. Tìm mút cuối của cung α? 4
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKI CHUẨN KIẾN THỨC THPT 2018 Trang 15
Bài 27. Trên đường tròn lượng giác, điểm M thỏa mãn (Ox, OM ) = 500◦ thì nằm ở góc phần tư thứ mấy? Vì sao? 5π π 25π 19π
Bài 28. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): α = − , β = , γ = , δ = . Các MỚI 6 3 3 6
cung nào có điểm cuối trùng nhau? Vì sao? π Bài 29. Cho a =
+ k2π. Tìm k để 10π < a < 11π. 2 FORM
Bài 30. Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A, các KIÊN đỉnh lấy theo thứ
tự đó và các điểm B, C có tung độ dương. Khi đó số đo góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OC bằng bao nhiêu? ẨN Bài 31.
Cung α có mút đầu là A và mút cuối trùng với một trong bốn điểm L, M , y CHU
N , P . Tính số đo của α. B M L A 2026 x A0 O −
Bài 32. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm thuộCHUNG N P B0 2025
c đường tròn lượng giác. Hai góc lượng
giác (Ox, OM ) và (Ox, ON ) lệch nhau 180◦. Có nhận xét gì về tung độ và hoành độ của hai điểm M và N ? π kπ HỌC
Bài 33. Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thỏa mãn sđ ˜ AB = + , k ∈ Z? 3 3
Bài 34. Trên đường tròn lượng giác, điểm M thỏa mãn (Ox, OM ) = 500◦ thì nằm ở góc phần tư nào?
Bài 35. Trên đường tròn lượng giác, hãy nhận xét về mối liên hệ giữa số đo cung lượng giác có điểm NĂM
đầu là A và điểm cuối là M ? HỮU
Bài 36. Gọi M là điểm cuối khi biểu diễn cung lượng giác α trên đường tròn lượng giác. Hãy nhận xét HKI
dấu của sin α biết M nằm phía trên trục hoành? − Bài 37. y 11
Cho hình biểu diễn cung lượng giác AM trên đường tròn lượng giác y y M
như hình bên. Khi đó, tính số đo cung AM ? M ÁN M TO π A 4 O x M TẬP NGUYỄN M M HỌC y π k2π
Bài 38. Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thỏa mãn sđAM = + , k ∈ Z. 7 3
Bài 39. Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục (i) đi qua O. Xác định số đo góc giữa tia OA LIỆU
với trục (i) biết trục (i) đi qua trung điểm I của cạnh AB.
Bài 40. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho M là điểm nằm trên đường tròn lượng giác. Điểm M có hoành TÀI độ và tung đ ThS:
ộ đều âm. Số đo của góc (Ox, OM ) có thể là bao nhiêu?
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 16 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
Bài 41. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng. Tính độ dài quãng đường xe gắn
máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gán máy bằng 6,5 cm, (lấy π = 3,1416).
Bài 42. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 6 giây. Hỏi trong 1 giây, bánh xe quay được bao nhiêu độ?
Bài 43. Một bánh xe có 72 răng. Tính số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng? Bài 44.
KIÊN Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt có bán kính là a, độ dài b
cung tròn là b và có chu vi là 80 cm (như hình vẽ). Khi diện tích cánh KIÊN G
diều đạt giá trị lớn nhất, tính tổng a + b? CHUN a
Bài 45. Một đường tròn có bán kính bằng 10 cm. Tính độ dài của cung tròn có số đo 30◦. (Làm tròn
HỮU kết quả đến hàng phần trăm)
Bài 46. Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn đó có số đo sau: π a) ; b) 1,5; c) 35◦; d) 315◦. 12
Bài 47. Một bánh xe có đường kính bằng 60 cm. Nếu xe chạy v CHUNG GUYỄN
ới vận tốc 50 km/h thì trong 5 giây
N bánh xe quay được bao nhiêu vòng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Bài 48. Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10 m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất
ThS bao lâu để đu quay quay được góc 270◦?
− Bài 49. Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10,25 cm, kim phút dài 13,25 cm. Trong 30 phút kim
giờ vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Bài 50. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây. TẤN HỮU
G a) Tính góc (theo độ và theo radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây;
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của xe đạp là 680 mm. TRỌN Bài 51.
LÊ Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một ánh sáng
mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình
bên. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O0M 0 của OM khi 1
THPT thanh quay được 3 vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm? 10 α
G Kết quả làm tròn đến hàng phần mười. A O NGUYỄN M TRƯỜN M 0 O0 bóng
Bài 52. Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển
động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.
Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 giờ. a) Hãy tính ThS:
quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 giờ; 3 giờ; 5 giờ.
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKI CHUẨN KIẾN THỨC THPT 2018 Trang 17
b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị)? MỚI Bài 53.
Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh
trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không y
đổi là 11 rad/s (hình bên). Ban đầu van nằm ở vị trí FORM
A. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van
đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? KIÊNx
Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm A ẨN O α
tròn đến hàng phần mười. V ? Mặt đất CHU Hình 13
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BỐN PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN 2026 A1
Đổi đơn vị đo góc −
Câu 1. Nếu một cung tròn có số đo là a◦ thì số đo rađian của 180π aπ π . C. . D. . a 180 CHUNG nó là A. 180πa. B. 2025 180a
Câu 2. Cho góc có số đo 405◦, khi đổi góc này sang đơn vị rađian ta được 8π 9π 9 9π A. . B. . C. . D. . HỌC 9 4 4 8
Câu 3. Đổi số đo của góc 10 rad sang đơn vị độ, phút, giây, ta được π A. 572◦5702800. B. 1800◦. C. . D. 527◦5702800. 18 NĂM −7π HỮU
Câu 4. Góc có số đo
thì góc đó có số đo là 4 HKI A. −315◦. B. −630◦. C. −1◦450. D. −135◦. −
Câu 5. Số đo theo đơn vị rađian của góc 405◦ là 11 9π 7π 5π 4π A. . B. . C. . D. . 4 4 4 7 ÁN
Câu 6. Góc 70◦ có số đo bằng rađian là 18π 7π 9π 7π TO A. . B. . C. . D. . 7 18 7 9 TẬP A2
Xác định góc lượng giác Câu 7. π Trên đường tròn lượng NGUYỄN
giác, điểm biểu diễn của cung − là y HỌC 4 A. M . B. N . C. P . D. Q. N M LIỆU x O TÀI ThS: P Q
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 18 1. GÓC LƯỢNG GIÁC Câu 8.
Điểm M như hình bên là điểm biểu diễn cho góc lượng giác nào? Biết y ÷ AOM = 30◦. A. 390◦. B. 270◦. C. 740◦. D. −390◦. M A x O KIÊN KIÊN G Câu 9.
Điểm M như hình bên là điểm biểu diễn cho góc lượng giác nào? Biết y CHUN π M ÷ AOM = . 3 5π 5π 8π 7π A. − . B. . C. . D. . 3 3 3 3 HỮU A x O Câu 10.
Công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (OA, OM ) theo CHUNG GUYỄN N độ trong y hình bên là M A. 60◦ + k2π, k ∈ ThS Z.
B. 60◦ + k180◦, k ∈ Z.
C. 60◦ + k360◦, k ∈ Z.
D. −60◦ + k360◦, k ∈ Z. 60◦ − A x O TẤN HỮU G Câu 11.
Trên đường tròn lượng giác, trong các số đo được cho bên dưới, số y
đo nào là số đo của góc lượng giác (OA, OB0)? B(0; 1) π π TRỌN A. − . B. − . 4 2 + LÊ π π C. . D. . A0(−1; 0) 4 2 A(1; 0) O x THPT B0(0; −1) G Câu 12.
Trên đường tròn lượng giác, y B(0; 1) 5π NGUYỄN
trong các số đo được cho bên dưới, số
đo nào là số đo của góc lượng giác (OA, OB0)? 3π TRƯỜN A. . B. . 2 2 + 3π π C. − . D. . A0(−1; 0) A(1; 0) 2 2 O x ThS: B0(0; −1)
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn