Tài liệu ôn tập xstk

Bộ đề Ôn tập
Mai Thanh Văn, mtvan@hce.edu.vn
ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Đề 1
Câu 1 (3 điểm) :
Một hộp kín chứa 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu đen. Một hộp khác có 5 quả cầu đỏ và 5 quả cầu đen.
a) Từ một hộp lấy ra 1 quả cầu. Tìm xác suất để 2 quả cầu có cùng màu.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó lấy ra 1 quả cầu thì được quả cầu đen. Tính xác suất quả cầu
đó lấy từ hộp thứ nhất.
c) Lấy 1 quả cầu từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó từ hộp thứ hai lấy ra đồng thời 2 quả cầu.
Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai có màu khác nhau.
Câu 2 (2 điểm) :
Xác suất hỏng của một chi tiết máy là 0,005. Kiểm tra 5000 chi tiết máy cùng loại.
a) Tìm xác suất để có đúng 3 chi tiết máy bị hỏng.
b) Tìm số chi tiết máy bị hỏng có khả năng xảy ra nhiều nhất và xác suất tương ứng.
Câu 3 (1 điểm) :
Kiểm tra ngẫu nhiên 400 máy tính của một trường học, thấy có 20 máy bị nhiễm virus.
Với độ tin cậy 90%, ước lượng số máy tính bị nhiễm virus trong trường đó, nếu biết tổng số máy trong
trường là 3000.
Câu 4 (4 điểm) :
Cho XA, XB là tiền lãi hàng tháng (triệu đồng) của hộ kinh doanh mặt hàng A, B. XA, XB là các biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn. Giả thiết rằng mỗi hộ chỉ được phép kinh doanh một mặt hàng. Điều tra ngẫu
nhiên 100 hộ kinh doanh mặt hàng A và 100 hộ kinh doanh mặt hàng B ta có các số liệu sau:

1. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tiền lãi trung bình của các hộ kinh doanh mặt hàng A.
   b) Cơ quan thuế nhận định rằng tiền lãi trung bình hàng tháng của các hộ kinh doanh mặt hàng A là
   15 triệu đồng, cứ theo mức này cơ quan sẽ đánh thuế. Với mức ý nghĩa 5%, hãy đánh giá về nhận định
   của cơ quan thuế.
   c) Ước lượng tỷ lệ tối thiểu hộ kinh doanh mặt hàng A có tiền lãi từ 14 triệu đồng trở lên. Độ tin cậy
   95%.
   d) Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng tiền lãi trung bình khi kinh doanh mặt hàng B cao hơn khi
   kinh doanh mặt hàng A hay không ?
   
2. Đáp án Bộ đề Ôn tập
   ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ ÔN TẬP 1
   LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
   Câu 1 (3 điểm) :
   a) Gọi Aଵ là biến cố “Lấy được quả cầu đỏ từ hộp thứ nhất.”, Aଶ là biến cố “Lấy được quả cầu đen từ hộp
   thứ nhất.”, Bଵ là biến cố “Lấy được quả cầu đỏ từ hộp thứ hai.”, Bଶ là biến cố “Lấy được quả cầu đen từ
   hộp thứ hai.”, P(Aଵ) = ସ
   ଵ଴
   = 0,4, P(Aଶ) = ଺
   ଵ଴
   = 0,6, P(Bଵ) = ହ
   ଵ଴
   = 0,5, P(Bଶ) = ହ
   ଵ଴
   = 0,5.
   Gọi A là biến cố “Lấy được hai quả cùng màu.”, A = AଵBଵ + AଶBଶ.
   Xác suất để hai quả cầu có cùng màu :
   P(A) = P(AଵBଵ + AଶBଶ) = P(AଵBଵ) + P(AଶBଶ) = P(Aଵ)P(Bଵ) + P(Aଶ)P(Bଶ)
   = 0,4.0,5 + 0,6.0,5 = 0,5.
   b) Gọi H୧ là biến cố “Lấy được hộp thứ i.”, i = 1,2 തതതത, P(Hଵ) = P(Hଶ) = 0,5.
   Gọi B là biến cố “Lấy được quả cầu đen.”, P(B/Hଵ) = ଺
   ଵ଴
   = 0,6, P(B/Hଶ) = ହ
   ଵ଴
   = 0,5.

1. c) Gọi Kଵ là biến cố “Quả cầu bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là quả cầu đỏ.”, Kଶ là biến cố “Quả cầu
   bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là quả cầu đen.”, P(Kଵ) = 0,4, P(Kଶ) = 0,6.
   Gọi C là biến cố “Hai quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu khác nhau.”,

଺
ଵଵ
, P(C/Kଶ) = Xác suất hai quả cầu có màu khác nhau là
P(C) = P(Kଵ)P(C/Kଵ) + P(Kଶ)P(C/Kଶ) = 0,4.
6
11 + 0,6.
6
11 =
6
11 = 0,5455.
Câu 2 (2 điểm) :
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 5000 ≥ 20, p = 0,005 ≤ 0,1.
Gọi X là số chi tiết máy bị hỏng, X ~ P(λ), λ = np = 25.
a) Xác suất có đúng 3 chi tiết hỏng : P(X = 3) = λయ
ଷ!
. eିλ = ଶହయ
ଷ!
. eିଶହ = 0,000000036.
b) Ta có λ - 1 ≤ m଴ ≤ λ ⇔ 24 ≤ m଴ ≤ 25 ⇒ m଴ = 24 hoặc m଴ = 25.
Số chi tiết máy bị hỏng có khả năng nhất là 24 hoặc 25.
Đáp án Bộ đề Ôn tập
Xác suất tương ứng : P(X = 24) = P(X = 25) = λమర
ଶସ!
. eିλ = ଶହమర
ଶସ!
. eିଶହ = 0,0795.
Câu 3 (1 điểm) :
Gọi p, M lần lượt là tỷ lệ và số máy tính bị nhiễm virus. Khi đó, p = ୑
ଷ଴଴଴
.
Khoảng tin cậy của p là
൭f - ඥf(√1 - f n ) . u஑ଶ; f + ඥf(√1 - f n ) . u஑ଶ൱
Với mẫu cụ thể, ta có n = 400, f = ଶ଴
ସ଴଴
= 0,05.
Độ tin cậy 1 - α = 0,9 ⇒ α = 0,1 ⇒ ஑
ଶ
= 0,05 ⇒ u଴,଴ହ = 1,65.
Do đó, khoảng tin cậy của p là
൭0,05 - ඥ0,05.0,95 √400 . 1,65; 0,05 + ඥ0,05.0,95 √400 . 1,65൱ = (0,03202; 0,06798)
hay
0,03202 ≤ p ≤ 0,06798 ⇔ 0,03202 ≤
M
3000 ≤ 0,06798 ⇔ 0,03202.3000 ≤ M ≤ 0,06798.3000
⇔ 96,06 ≤ M ≤ 203,94 ⇒ 97 ≤ M ≤ 203.
Vậy số máy bị nhiễm virus trong trường đó là từ 97 đến 203 máy.
Câu 4 (4 điểm) :
a) Gọi μ là tiền lãi trung bình của các hộ kinh doanh mặt hàng A.
Khoảng tin cậy của μ là
൬X ഥ - √sn . t஑ (ଶ୬ିଵ); Xഥ + √sn . t஑ (ଶ୬ିଵ)൰
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, xത = 15,72, s = 2,45.
Độ tin cậy 1 - α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ ஑
ଶ
= 0,025 ⇒ t଴ (ଽଽ ,଴ଶହ ) = u଴,଴ଶହ = 1,96.
Do đó, khoảng tin cậy của μ là
൬15,72 - √2,45 100 . 1,96; 15,72 + √2,45 100 . 1,96൰ = (15,24; 16,20).
b) Cặp giả thuyết thống kê :
H଴: μ = 15
Hଵ: μ ≠ 15
Đáp án Bộ đề Ôn tập
Tiêu chuẩn kiểm định
T =
(X ഥ - μ଴)
S . √n ~ T(n - 1)
(μ଴ = 15)
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, xത = 15,72, s = 2,45.
Giá trị quan sát :
T
୯ୱ =
(15,72 - 15)
2,45 . √100 = 2,939.
Mức ý nghĩa α = 0,05 ⇒ ஑
ଶ
= 0,025 ⇒ t଴ (ଽଽ ,଴ଶହ ) = u଴,଴ଶହ = 1,96.
Miền bác bỏ W
஑ = {T||T| > t଴ (ଽଽ ,଴ଶହ ) } = {T||T| > 1,96}.
Ta thấy T୯ୱ ∈ W஑ : bác bỏ H଴, thừa nhận Hଵ.
Vậy tiền lãi trung bình khác 15 triệu đồng, nhận định của cơ quan thuế là không đúng.
c) Gọi p là tỷ lệ hộ kinh doanh mặt hàng A có tiền lãi từ 14 triệu đồng trở lên.
Khoảng tin cậy ước lượng giá trị tối thiểu của p là
൭f - ඥf(√1 - f n ) . u஑; 1൱
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, f = ଼଺
ଵ଴଴
= 0,86.
Độ tin cậy 1 - α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ u଴,଴ହ = 1,65.
Do đó, khoảng tin cậy của p là
ቆ0,86 - √0,86.0,14 √100 . 1,65; 1ቇ = (0,8027; 1)
Vậy tỷ lệ tối thiểu hộ kinh doanh mặt hàng A có tiền lãi từ 14 triệu đồng trở lên là 80,27%.
d) Gọi μ୆ là tiền lãi trung bình của các hộ kinh doanh mặt hàng B.
Cặp giả thuyết thống kê :
H଴: μ = μ୆
Hଵ: μ < μ୆
Tiêu chuẩn kiểm định
Đáp án Bộ đề Ôn tập
T =
(X ഥ - Xഥ୆)
ඨSnଶ + nS୆ଶ ୆ ~ N(0; 1)
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, xത = 15,72, s = 2,45 ; n୆ = 100, xത୆ = 18, s୆ = 2,763.
Giá trị quan sát :
T
୯ୱ =
(15,72 - 18)
ට2,45 100ଶ + 2,763 100 ଶ = -6,174.
Mức ý nghĩa α = 0,05 ⇒ t଴ (ଽଽ ,଴ହ) = u଴,଴ହ = 1,65.
Miền bác bỏ W
஑ = {T|T < -1,65}.
Ta thấy T୯ୱ ∈ W஑ : bác bỏ H଴, thừa nhận Hଵ.
Vậy có thể cho rằng tiền lãi trung bình khi kinh doanh mặt hàng B cao hơn khi kinh doanh mặt hàng A.
----------------------------------------------♥----------------------------------------------ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Đề 2
Câu 1 (2 điểm) : Có 2 lô sản phẩm. Lô thứ nhất có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm, lô 2 có 7 chính phẩm và
3 phế phẩm. Người ta lấy ra ở lô thứ nhất 1 sản phẩm và lấy ra ở lô thứ hai 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số chính phẩm còn lại trong hai lô hàng là bằng nhau.
b) Tính trung bình số chính phẩm được lấy ra.
Câu 2 (2 điểm) : Trong một bệnh viện, tỷ lệ bệnh nhân các tỉnh như sau : tỉnh A : 25%, tỉnh B : 35%, tỉnh
C : 40%. Biết rằng tỷ lệ bệnh nhân là kỹ sư của các tỉnh là : tỉnh A : 2%, tỉnh B : 3%, tỉnh C : 3,5%. Chọn
ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.
a) Tính xác suất để bệnh nhân đó là kỹ sư.
b) Biết bệnh nhân đó là kỹ sư. Tính xác suất để bệnh nhân đó thuộc tỉnh C.
Câu 3 (2 điểm) : Công ty A sẽ lãi 300.000 đồng nếu bán được một điện thoại X và không bảo hành song
sẽ lỗ 1,5 triệu đồng nếu phải bảo hành. Biết tuổi thọ của điện thoại X có quy luật N(5 ; 22) và thời gian bảo
hành là 3 năm.
a) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành.
b) Nếu muốn tiền lãi trung bình đối với một sản phẩm là 30.000 đồng thì phải quy định thời gian bảo
hành là bao nhiêu năm ?
Câu 4 (4 điểm) : Để ước lượng năng suất trung bình của giống lúa A ở một vùng, người ta gặt ngẫu nhiên
100 thửa của vùng đó và thu được bảng số liệu sau :

Biết năng suất giống lúa có phân phối chuẩn.
a) Ước lượng năng suất bình quân của giống lúa này với độ tin cậy 95%.
b) Ước lượng tỷ lệ các thửa ruộng có năng suất trên 46 tạ/ha với độ tin cậy 95%.
c) Nhận định ý kiến cho rằng tỷ lệ này chiếm trên 50% với α = 0,05.
d) Nghiên cứu về giống lúa B, người ta gặt ngẫu nhiên 120 thửa và thu được năng suất lúa bình
quân 50,5 tạ/ha, độ lệch chuẩn 8,2 tạ/ha. Với α = 0,05 có thể cho rằng năng suất bình quân của hai
giống lúa là như nhau không ?
----------------------------------------------♦----------------------------------------------Đáp án Bộ đề Ôn tập
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ ÔN TẬP 2
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Câu 1 (2 điểm) :
a) Gọi Aଵ là biến cố “Lấy được chính phẩm từ lô thứ nhất.”, Aଶ là biến cố “Lấy được phế phẩm từ lô thứ
nhất.”, Bଵ là biến cố “Lấy được hai chính phẩm từ lô thứ hai.”, Bଶ là biến cố “Lấy được một chính phẩm
và một phế phẩm từ lô thứ hai.”, Bଷ là biến cố “Lấy được hai phế phẩm từ lô thứ hai.”P(Aଵ) = ଺
ଵ଴
=
0,6, P(Aଶ) = ସ
ଵ଴
= 0,4, P(Bଵ) = େళ మ
େ
భబ
మ , P(Bଶ) = େళ భ.େయ భ
େ
భబ
మ , P(Bଷ) = େయ మ
େ
భబ
మ
Xác suất để số chính phẩm còn lại trong hai lô hàng là bằng nhau :
P(AଵBଵ + AଶBଶ) = 0,6.
C଻ଶ
C
ଵ଴
ଶ + 0,4.
C଻ଵ. Cଷଵ
C
ଵ଴
ଶ =
7
15
b) Gọi X là số chính phẩm được lấy ra, X = 0,1,2,3.
P(X = 0) = P(AଶBଷ) = 0,4.
Cଷଶ
C
ଵ଴
ଶ =
2
75 , P(X = 1) = P(AଵBଷ + AଶBଶ) = 0,6.
Cଷଶ
C
ଵ଴
ଶ + 0,4.
C଻ଵ. Cଷଵ
C
ଵ଴
ଶ =
17
75
P(X = 2) = P(AଵBଶ + AଶBଵ) = 0,6.
C଻ଵ. Cଷଵ
C
ଵ଴
ଶ + 0,4.
C଻ଶ
C
ଵ଴
ଶ =
7
15 , P(X = 3) = P(AଵBଵ) = 0,6.
C଻ଶ
C
ଵ଴
ଶ =
7
25
Bảng phân phối xác suất

Số chính phẩm trung bình được lấy ra :
E(X) = 0.
2
75 + 1.
17
75 + 2.
7
15 + 3.
7
25 = 2.
Câu 2 (2 điểm) :
a) Gọi Hଵ, Hଶ, Hଷ là biến cố “Bệnh nhân ở tỉnh A, B, C.”,
P(Hଵ) = 0,25, P(Hଶ) = 0,35, P(Hଷ) = 0,4.
Gọi A là biến cố “Bệnh nhân đó là kỹ sư.”, P(A/Hଵ) = 0,02, P(A/Hଶ) = 0,03, P(A/Hଷ) = 0,035.
Xác suất bệnh nhân đó là kỹ sư
P(A) = P(Hଵ)P(A/Hଵ) + P(Hଶ)P(A/Hଶ) + P(Hଷ)P(A/Hଷ)
= 0,25.0,02 + 0,35.0,03 + 0,4.0,035 = 0,0295.
b) Xác suất bệnh nhân đó thuộc tỉnh C là
Đáp án Bộ đề Ôn tập
P(Hଷ/A) =
P(Hଷ)P(A/Hଷ)
P(A) =
0,4.0,035
0,0295 =
28
59 = 0,4746.
Câu 3 (2 điểm) :
a) Gọi X là tuổi thọ của điện thoại, X ~ N(5 ; 2ଶ).
Tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành :
P(0 ≤ X ≤ 3) = Φ଴ ൬3 - 5 2 ൰ - Φ଴ ൬0 - 5 2 ൰ = -Φ଴(1) + Φ଴(2,5) = -0,34134 + 0,49379 = 0,15245.
b) Gọi p là tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành và t଴ là thời gian bảo hành, p = P(X ≤ t଴)
Gọi Y (nghìn đồng) là tiền lãi thu được khi bán một sản phẩm.
Bảng phân phối xác suất của Y :

Tiền lãi trung bình khi bán một sản phẩm :
30 = E(Y) = -1500. p + 300. (1 - p) ⇔ p = 0,15
Do đó
P(X ≤ t଴) = 0,15 ⇔ Φ଴ ൬t଴ 2- 5൰ - Φ଴ ൬0 - 5 2 ൰ = 0,15 ⇔ Φ଴ ൬t଴ 2- 5൰ + 0,49379 = 0,15
⇔ Φ଴ ቀ୲బଶିହቁ = -0,34379 ⇔ Φ଴ ቀ୲బଶିହቁ = Φ଴(-1,01)⇔ ୲బଶିହ = -1,01 ⇔ t଴ = 2,98 năm.
Câu 4 (4 điểm) :
a) Gọi μ là năng suất bình quân của giống lúa A.
Khoảng tin cậy của μ là
൬X ഥ - √sn . t஑ (ଶ୬ିଵ); Xഥ + √sn . t஑ (ଶ୬ିଵ)൰
Với mẫu cụ thể, ta có.

n = 100, xത = 46,06, s = 2,49
Độ tin cậy 1 - α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ ஑
ଶ
= 0,025 ⇒ t଴ (ଽଽ ,଴ଶହ ) = u଴,଴ଶହ = 1,96.
Do đó, khoảng tin cậy của μ là
൬46,06 - √2,49 100 . 1,96; 46,06 + √2,49 100 . 1,96൰ = (45,57; 46,55).
Đáp án Bộ đề Ôn tập
b) Gọi p là tỷ lệ các thửa ruộng có năng suất trên 46 tạ/ha .
Khoảng tin cậy của p là
൭f - ඥf(√1 - f n ) . u஑ଶ; f + ඥf(√1 - f n ) . u஑ଶ൱
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, f = ହହ
ଵ଴଴
= 0,55.
Độ tin cậy 1 - α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ ஑
ଶ
= 0,025 ⇒ u଴,଴ଶହ = 1,96.
Do đó, khoảng tin cậy của p là
൭0,55 - ඥ0,55.0,45 √100 . 1,96; 0,55 + ඥ0,55.0,45 √100 . 1,96൱ = (0,4525; 0,6475)
c) Cặp giả thuyết thống kê :
H଴: p = 0,5
Hଵ: p > 0,5
Tiêu chuẩn kiểm định
U =
(f - p଴)
ඥp଴(1 - p଴) . √n ~ N(0,1)
(p଴ = 0,5)
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, f = ହହ
ଵ଴଴
= 0,55.
Giá trị quan sát :
U
୯ୱ =
(0,55 - 0,5)
ඥ0,5(1 - 0,5) . √100 = 1.
Mức ý nghĩa α = 0,05 ⇒ u଴,଴ହ = 1,65.
Miền bác bỏ W
஑ = {U|U > 1,65}.
Ta thấy U୯ୱ∉ W஑ : chưa có cơ sở bác bỏ H଴ (thừa nhận H଴ trên thực tế).
Vậy ý kiến cho rằng tỷ lệ đó chiếm trên 50% là sai.
d) Gọi μ୆ là năng suất bình quân của giống lúa B.
Cặp giả thuyết thống kê :
H଴: μ = μ୆
Hଵ: μ ≠ μ୆
Tiêu chuẩn kiểm định
Đáp án Bộ đề Ôn tập
T =
(X ഥ - Xഥ୆)
ඨSnଶ + nS୆ଶ ୆ ~ N(0; 1)
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, xത = 46,06, s = 2,49 ; n୆ = 120, xത୆ = 50,5, s୆ = 8,2.
Giá trị quan sát :
T
୯ୱ =
(46,06 - 50,5)
ට2,49 100ଶ + 8,2 120ଶ = -5,628.
Mức ý nghĩa α = 0,05 ⇒ α/2 = 0,025 ⇒ u଴,଴ଶହ = 1,96.
Miền bác bỏ W
஑ = {T||T| > 1,96}.
Ta thấy T୯ୱ ∈ W஑ : bác bỏ H଴, thừa nhận Hଵ.
Vậy năng suất bình quân của giống lúa là khác nhau.
----------------------------------------------♦----------------------------------------------Bộ đề Ôn tập
Mai Thanh Văn, mtvan@hce.edu.vn
ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Đề 3
Câu 1 (2 điểm) : Trong một cửa hàng có 40% sản phẩm loại A, 25% sản phẩm loại B và 35% sản phẩm
loại C. Tỷ lệ sản phẩm đạt chất lượng của các loại tương ứng là 92%, 95% và 90%. Một người đến cửa
hàng mua một sản phẩm.
a) Tính xác suất người này mua được sản phẩm đạt chất lượng.
b) Biết người này mua được sản phẩm đạt chất lượng. Tính xác suất để mua được sản phẩm loại A,
loại B.
Câu 2 (3 điểm) : 1. Một hộp có 9 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Gọi X
là số sản phẩm tốt được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X.
a) Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất :
f(x) = ൜ 0 nếu x k(x - 2)(3 - x) nếu x ∈ ∉ [2; 3] [2; 3]
Tìm hệ số k và tính E(X).
b) Một máy tự động sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất để máy sản xuất ra phế phẩm là 0,1. Tiến
hành sản xuất 400 sản phẩm. Tính xác suất để có từ 52 phế phẩm đến 58 phế phẩm.
Câu 3 (5 điểm) : Để tìm hiểu tình hình tiêu thụ sản phẩm trong tuần sau một đợt quảng cáo, Công ty A thu
thập ngẫu nhiên doanh thu bản hàng của 100 đại lý và thu được bảng số liệu sau :

a) Ước lượng doanh thu trung bình tối đa của các đại lý với độ tin cậy 95%.
b) Ước lượng tỷ lệ đại lý có doanh thu bán hàng trên 38 triệu đồng với độ tin cậy 98%.
c) Với độ tin cậy 96% và muốn độ chính xác của doanh thu trung bình không vượt quá 0,2 triệu
đồng thì cần điều tra thêm bao nhiêu đại lý nữa ?
d) Nếu doanh thu bán hàng trước đây là 36,5 triệu đồng, với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng
quảng cáo làm tăng doanh thu hay không ?
e) Tại công ty B, điều tra 150 đại lý thấy có 60 đại lý có doanh thu từ 38 triệu đồng trở lên. Với
mức ý nghĩa 0,02 có thể cho rằng tỷ lệ đại lý có doanh thu từ 38 triệu đồng trở lên của công ty B cao
hơn công ty A hay không?
Biết doanh thu bán hàng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Cho biết Φ଴(1,645) = 0,45, Φ଴(1,96) = 0,475, Φ଴(2,33) = 0,49, Φ଴(2,58) = 0,495
Φ଴(1) = 0,3413, Φ଴(1,04) = 0,35.
----------------------------------------------♣----------------------------------------------Đáp án Bộ đề Ôn tập
ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Đề 3
Câu 1 : a) Gọi Hଵ, Hଶ, Hଷ là biến cố “Sản phẩm loại A, B, C.”,
P(Hଵ) = 0,4, P(Hଶ) = 0,25, P(Hଷ) = 0,35.
Gọi A là biến cố “Sản phẩm đạt chất lượng.”, P(A/Hଵ) = 0,92, P(A/Hଶ) = 0,95, P(A/Hଷ) = 0,9.
Xác suất người này mua được sản phẩm đạt chất lượng là
P(A) = P(Hଵ)P(A/Hଵ) + P(Hଶ)P(A/Hଶ) + P(Hଷ)P(A/Hଷ)
= 0,4.0,92 + 0,25.0,95 + 0,35.0,9 = 0,9205.
b) Xác suất sản phẩm loại A là

Xác suất sản phẩm loại B là
P(Hଶ/A) =
P(Hଶ)P(A/Hଶ)
P(A) =
0,25.0,95
0,9205 =
475
1841 = 0,258.
Câu 2 (3 điểm) : a) Gọi X là số sản phẩm tốt được lấy ra, X = 0,1,2,3.

P(X = 2) =
Cଽଶ. Cଷଵ
C
ଵଶ
ଷ =
27
55 , P(X = 3) =
Cଽଷ
C
ଵଶ
ଷ =
21
55
Bảng phân phối xác suất

b) Ta có
න f(x)dx
ାஶ
ିஶ
= 1 ⇔ න 0dx
ଶ
ିஶ
+ න k(x - 2)(3 - x)dx
ଷ
ଶ
+ න 0dx
ାஶ
ଷ
= 1 ⇔ k න(x - 2)(3 - x)dx
ଷ
ଶ
= 1
⇔ k.
1 6
= 1 ⇔ k = 6.
và
Đáp án Bộ đề Ôn tập
E(X) = න xf(x)dx
ାஶ
ିஶ
= න x. 0dx
ଶ
ିஶ
+ න x. 6(x - 2)(3 - x)dx
ଷ
ଶ
+ න x. 0dx
ାஶ
ଷ
=
5 2
.
c) Ta có
n = 400 > 5, p = 0,1 ⇒ ቮඨ0,1 0,9 - ඨ0,9 0,1ቮ . √400 1 = 0,133 < 0,3
Gọi X là số phế phẩm, X~N(μ, σଶ), μ = np = 40, σଶ = npq = 36 ⇒ σ = 6.
P(52 ≤ X ≤ 58) = Φ଴ ൬58 - 40 6 ൰ - Φ଴ ൬52 - 40 6 ൰ = Φ଴(3) - Φ଴(2) =
= 0,49865 - 0,47725 = 0,0214.
Câu 3 (5 điểm) : a) Gọi μ là doanh thu trung bình của các đại lý.
Khoảng tin cậy ước lượng giá trị tối đa của μ là
൬-∞; Xഥ + √sn . t஑ (୬ିଵ)൰
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, xത = 37,09, s = 1,36.
Độ tin cậy 1 - α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ t଴ (ଽଽ ,଴ହ) = u଴,଴ହ = 1,65.
Do đó, khoảng tin cậy của μ là
൬-∞; 37,09 + √1,36 100 . 1,65൰ = (-∞; 37,31).
Vậy doanh thu trung bình tối đa của các đại lý là 37,31 triệu đồng.
b) Gọi p là tỷ lệ đại lý có doanh thu bán hàng trên 38 triệu đồng.
Khoảng tin cậy của p là

√n √n . u஑/ଶ൱
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, f = ଵହ
ଵ଴଴
= 0,15.
Độ tin cậy 1 - α = 0,98 ⇒ α = 0,02 ⇒ α/2 = 0,01 ⇒ u଴,଴ଵ = 2,33.
Do đó, khoảng tin cậy của p là
൭0,15 - ඥ0,15√(1 - 0,15 100 ) . 2,33; 0,15 + ඥ0,15√(1 - 0,15 100 ) . 2,33൱ = (0,0668; 0,2332)
c) Gọi n∗ là số đại lý cần điều tra.
Đáp án Bộ đề Ôn tập
Ta có
n∗ ≥
4Sଶ
I
ଶ଴
. ൫t஑ ୬ିଵ /ଶ ൯ଶ
Với mẫu cụ thể ta có s = 1,36, ε଴ = 0,2 ⇒ I଴ = 0,4 .
Độ tin cậy 1 - α = 0,96 ⇒ α = 0,04 ⇒ α/2 = 0,02 ⇒ t଴ (ଽଽ ,଴ଶ) = u଴,଴ଶ = 2,05.
Do đó,
n∗ ≥
4. 1,36ଶ
0,4ଶ . (2,05)ଶ = 194,32 ⇒ n∗ ≥ 195 ⇒ n∗ - n ≥ 195 - 100 = 95.
Vậy cần điều tra thêm ít nhất 95 đại lý nữa.
d) Cặp giả thuyết thống kê :
H଴: μ = 36,5 (μ଴ = 15)
Hଵ: μ > 36,5
Tiêu chuẩn kiểm định
T =
(X ഥ - μ଴)
S . √n ~ T(n - 1)
Với mẫu cụ thể, ta có n = 100, xത = 37,09, s = 1,36.
Giá trị quan sát :
T
୯ୱ =
(37,09 - 36,5)
1,36 . √100 = 4,338.
Mức ý nghĩa α = 0,05 ⇒ t଴ (ଽଽ ,଴ହ) = u଴,଴ହ = 1,65.
Miền bác bỏ W
஑ = {T|T > 1,65}.
Ta thấy T୯ୱ ∈ W஑ : bác bỏ H଴, thừa nhận Hଵ.
Vậy có thể cho rằng quảng cáo làm tăng doanh thu.
e) Gọi pଵ, pଶ là tỷ lệ đại lý có doanh thu từ 38 triệu đồng trở lên của công ty A, B.
Cặp giả thuyết thống kê :
H଴: pଵ = pଶ
Hଵ: pଵ < pଶ
Tiêu chuẩn kiểm định
Đáp án Bộ đề Ôn tập
U =
fଵ
- fଶ
ඨf(1 - f ̅ nଵ )̅ + f(1 - f ̅ nଶ )̅ ~ N(0; 1)
Với mẫu cụ thể, ta có nଵ = 100, fଵ = ଷ଻
ଵ଴଴
= 0,37 ; nଶ = 150, fଶ = ଺଴
ଵହ଴
= 0,4 ; f̅ = ଷ଻ା଺
ଵ଴଴ାଵ
= 0,388.
Giá trị quan sát :
U
୯ୱ =
0,37 - 0,4
ට0,388.0,612 100 + 0,388.0,612 150 = -0,477.
Mức ý nghĩa α = 0,02 ⇒ u଴,଴ଶ = 2,05. Miền bác bỏ W஑ = {T|T < -2,05}.
Ta thấy U୯ୱ ∉ W஑ : chưa có cơ sở bác bỏ H଴ (thừa nhận H଴).
Vậy tỷ lệ đại lý có doanh thu từ 38 triệu đồng trở lên của công ty B không cao hơn công ty A.
----------------------------------------------♥----------------------------------------------ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Đề 4
Câu 1. (2 điểm) :
a) Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Khả năng bắn trúng của từng người lần lượt là 0,7 và 0,85.
Tìm xác suất có người bắn trúng mục tiêu.
b) Ở một vùng, trong 100 người thì có 25 người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người viêm họng trong số
người hút thuốc lá là 70%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số người không hút thuốc lá là 10%. Khám
ngẫu nhiên 1 người thì thấy người đó bị viêm họng. Tính xác suất để người đó hút thuốc lá.
Câu 2. (1 điểm) : Cho hàm số :
f(x) = ቐ 0 nếu x 32 3 . x. (4 - x) nếu x ∈ [0,4] ∉ [0,4]
Hàm số f(x) có phải hàm mật độ xác suất không ? Tại sao ?
Câu 3. (2 điểm) : Chiều cao của sinh viên ở một trường Đại học là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với
kỳ vọng là 158 cm và độ lệch chuẩn là 5 cm.
a) Tính tỷ lệ sinh viên có chiều cao trên 153 cm.
b) Chọn 5 sinh viên. Tính xác suất có không quá 2 sinh viên có chiều cao từ 162 cm đến 168 cm.
Câu 4. (1 điểm) : Tỷ lệ phế phẩm do một máy tự động sản xuất là 6%. Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm
thấy có 36 phế phẩm. Có ý kiến cho rằng tỷ lệ phế phẩm do máy đó sản xuất có chiều hướng tăng lên.
Hãy kết luận về ý kiến nêu trên với mức ý nghĩa 2%.
Câu 5. (4 điểm) : Đo chiều cao của 100 sinh viên của trường Đại học A, thu được bảng số liệu sau:
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều cao trung bình tối đa của sinh viên trường Đại học A.
b) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ sinh viên có chiều cao trên 166 cm.
c) Có ý kiến cho rằng chiều cao trung bình của sinh viên trường A là 165 cm. Ý kiến đó có tin được
không, kết luận với mức ý nghĩa 2%.
d) Đo chiều cao của 100 sinh viên của trường Đại học B thấy chiều cao trung bình là 164,5 cm và độ
lệch chuẩn là 6,55 cm. Với mức ý nghĩa 1%, có thể kết luận chiều cao trung bình của các sinh viên trường
B cao hơn trường A được không ?
Giả thiết chiều cao của sinh viên là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
----------------------------------------------♠----------------------------------------------

Đáp số Bộ đề Ôn tập
Mai Thanh Văn, mtvan@hce.edu.vn
ĐÁP SỐ BỘ ĐỀ ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Đề 4
Câu 1 (2 điểm) :
a. 0,955.
b. 0,7.
Câu 2 (1 điểm) :
Chứng minh
න f(x)dx
ାஶ
ିஶ
= 1
Và kiểm tra f(x) ≥ 0 ∀x
Câu 3 (2 điểm) :
a. 0,84314.
b. 0,9501.
Câu 4 (1 điểm) :
U
୯ୱ = 2,53 ∈ W஑ : bác bỏ H଴, thừa nhận Hଵ ⇒ ý kiến đúng.
Câu 5 (4 điểm) :
a. Chiều cao trung bình tối đa của sinh viên là 163,67 cm.
b. Khoảng tin cậy của p là (0,2565; 0,4435).
c. T
୯ୱ = -3,77 ∈ W஑ : bác bỏ H଴, thừa nhận Hଵ ⇒ ý kiến không tin được.
d. T
୯ୱ = -2,053 ∉ W஑ : chưa có cơ sở bác bỏ H଴ ⇒ không thể kết luận chiều cao trung bình của các sinh
viên trường B cao hơn trường A.
----------------------------------------------♣----------------------------------------------ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Đề 5
Câu 1. (2 điểm) : Một ca thợ gồm 3 công nhân sản xuất cùng một loại sản phẩm với số sản phẩm làm ra
có tỷ lệ 2:3:4 và với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 2,5%, 2% và 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm do ca
thợ đó sản xuất.
a) Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm.
b) Biết sản phẩm chọn ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do công nhân thứ 2 sản xuất.
Câu 2. (2 điểm) : Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trọng lượng
trung bình 5 kg và độ lệch chuẩn 0,1 kg.
a) Tính tỷ lệ những sản phẩm có trọng lượng từ 4,9 kg đến 5,2 kg.
b) Tính xác suất khi lấy ngẫu nhiên 15 sản phẩm thì có ít nhất 14 sản phẩm có trọng lượng trên 4,8
kg.
Câu 3. (2 điểm) : Một doanh nghiệp dự định đưa sản phẩm mới vào một thị trường. Nghiên cứu thị trường
đối với 300 khách hàng tiềm năng thấy có 75 người sẵn sàng mua sản phẩm đó.
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ tối đa khách hàng sẵn sàng mua sản phẩm đó.
b) Có ý kiến cho rằng tỷ lệ khách hàng sẵn sàng mua sản phẩm là trên 30%. Hãy đánh giá ý kiến này
với mức ý nghĩa 5%.
Câu 4. (4 điểm) : Điều tra doanh thu hàng tháng của 100 hộ kinh doanh ở vùng A, thu được bảng số liệu
sau:

1. a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ hộ có doanh thu dưới 70 triệu đồng.
   b) Nhận định ý kiến cho rằng tỷ lệ trên là 31% với mức ý nghĩa 4%.
   c) Hãy ước lượng doanh thu trung bình của các hộ kinh doanh với độ tin cậy 96%.
   d) Trước đây, doanh thu trung bình là 75 triệu đồng, với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng doanh thu
   trung bình giảm xuống hay không?
   Giả thiết doanh thu hàng tháng của các hộ kinh doanh là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
   ----------------------------------------------♥----------------------------------------------vvvvĐáp số Bộ đề Ôn tập
   ĐÁP SỐ BỘ ĐỀ ÔN TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
   Đề 5
   Câu 1. (2 điểm)
   a) 0,0256.
   b) ଶଽସ
   ଼଼଻
   = 0,3352.
   Câu 2. (2 điểm) :
   a) 0,81859.
   b) 0,9553.
   Câu 3. (2 điểm) :
   a) tỷ lệ tối đa khách hàng sẵn sàng mua sản phẩm là 29,125%.
   b) U୯ୱ = -1,8898
   ý kiến sai.
   Câu 4. (4 điểm) :
   a) tỷ lệ hộ có doanh thu dưới 70 triệu đồng nằm trong khoảng (21,02% ; 38,98%).
   b) U୯ୱ = -0,216
   ý kiến đúng.
   c) (70,57; 73,63) (triệu đồng).
   d) T୯ୱ = -3,887.
   doanh thu trung bình của hộ kinh doanh đã giảm xuống.
   ----------------------------------------------♥----------------------------------------------