Tài liệu Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm
TÀI LIỆU KHÓA HỌC ĐỘC QUYỀN KHÓA BON 10 SEASON 2026
STEP 1 | KIẾN THỨC NỀN TẢNG TOÁN 10
THEME 19. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Xem bài giảng & thi online trên ngochuyenlb.edu.vn tại lớp:
STEP 1 | NỀN TẢNG (BON 10 2026) A Kiến thức cần nắm 1. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ u và v khác 0. Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ AB  u và v AC  .
v Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ u và u
v hay đơn giản là góc giữa hai vectơ u,v, kí hiệu là u,v. C A B REMARK 1
 Quy ước rằng góc giữa hai vectơ u và 0 có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0 đến 180 . 
 Nếu u,v  90 thì ta nói rằng u và v vuông góc với nhau, kí hiệu là u  v hoặc v  .u REMARK 2
 Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0 . 
 Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180 .  a b c d
a,b0
c,d180
 Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ 0 thì ta quy ước số đo góc giữa
hai vectơ đó là tùy ý (từ 0 đến 180 ). [Ví dụ]
Cho tam giác ABC vuông tại A và ˆB  30 .
 Tính AB,AC, CA,CB, AB,BC . Lời giải Ta có:
AB,AC BAC ̂  90 ,  C
CA,CB ACB ̂  60 ,  30°
AB,BCBD,BC DBC ̂  150 .  A B D
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 1
STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu .
u v , được xác định bởi công thức sau: .
u v  u . v .cosu,v . REMARK
 u  v  . u v  0.  2 .
u u còn được viết là u và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ u. 2 2
Ta có: u  u . u .cos0  u . [Ví dụ]
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau: A . B AD, A . B AC, A . B B . D Lời giải Vì  .
AB AD  90 nên . AB AD  0. A B
Hình vuông có cạnh bằng a nên có đường chéo bằng a 2. Mặt khác, A .
B AC  45,A .
B BD  135, do đó: 2 2 A . B AC  A . B AC.cos 45  . a a 2.  a ; 2 D C  2  2 A . B BD  A . B B . D cos135  . a a 2.    a .  2   
3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ u   ;
x y và v  x ; y được tính theo công thức: .
u v  xx  yy . REMARK 1
 Hai vectơ u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi xx  yy  0.  2
Bình phương vô hướng của u   ; x y là 2 2
u  x  y .     . u v xx yy
Nếu u  0 và v  0 thì cosu,v   . 2 2 2 2 u . v
x  y . x  y
[Ví dụ 1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: a) u  2; 3
 và v  5;3 .
b) Hai vectơ đơn vị i và j tương ứng của các trục Ox, Oy. Lời giải a) Ta có: . u v  2.5   3  .3 10 9 1.
b) Vì i  1;0 và j  0;1 nên .ij  1.0  0.1  0.
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 2
STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm
Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ u,v,w bất kì và mọi số thực k, ta có: • . u v  .
v u (tính chất giao hoán). • .
u v  w  . u v  .
u w (tính chất phân phối đối với phép cộng). •
ku.vk .uv .ukv. REMARK 2
Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được:  .
u v  w  . u v  .
u w (tính chất phân phối đối với phép trừ).  2 2 2 2 2 2
uv u 2 .uvv ; uv u 2 .uvv .
 u  v u  v 2 2 .  u  v .
[Ví dụ 2] Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng: ab2 2 2  a  2 . a b  b . Lời giải 2 2 2 2 2
Ta có: a  b  a  b.a  b  .aa  .ab  . b a  . b b  a  . a b  .
b a  b  a  2 . a b  b .
Vậy a  b2 2 2  a  2 . a b  b .
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 3
STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm
B Hệ thống ví dụ minh họa
Phần 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án
BON 1 Cho tam giác đều ABC, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB,CA  120.
B. AB,CA  60.
C. AB,CA  6  0 .
D. AB,CA  1  20 .
BON 2 Cho hình vuông ABC .
D Góc giữa hai vectơ DC và CA có số đo bằng A. 45 . B. 30 . C. 135 . D. 90 .
BON 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho A0;3, B4;0 , C 2  ; 5   . Tính A . B BC . A. 16 . B. 9 . C. 10  . D. 9  .
BON 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  i  3j và v  2j  2 .i Tính .uv . A. . u v  4  . B. . u v  4 . C. . u v  2 . D. . u v  2  .
BON 5 Cho tam giác ABC có ˆA  90, ˆB  60 và AB  .a Khi đó AC.CB bằng A. 2 2  a . B. 2 2a . C. 2 3a . D. 2 3  a .
BON 6 Trong mặt phẳng Oxy, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
A. u  2;3 và v   3  ;2. B. a   3
 ;2 và b   6;  4 .
C. m  1;4 và n   1  ; 4   . D. c   2
 ;3 và d   3  ;2 .
BON 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A 1
 ;0,B4;0,C0;m, m  0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác AB .
C Xác định m để tam giác GAB vuông tại . G
A. m   6 . B. m  3  6 . C. m  3 6 .
D. m   6 .
BON 8 Trong mặt phẳng Oxy, tam giác ABC có A1;2, B0;4 , C3;  1 . Góc BAC
̂ của tam giác ABC
gần với giá trị nào dưới đây? A. 90 . B. 36 5  2 . C. 143 7   . D. 53 7   . BON 9 1
Cho hai vectơ a , b khác vectơ 0 thỏa mãn . a b 
a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a , b là 2 A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 .
BON 10 Cho hai vectơ a và b . Biết a  2, b  3 và a,b  30 . Tính a  b . A. 11 . B. 13 . C. 12 . D. 14 .
BON 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ a  1; 2
  . Với giá trị nào của y thì vectơ b  3; y tạo với vectơ a một góc 45 .  y  1  y  1 A. y  9  . B.  . C.  . D. y  1  . y   9 y  9  
BON 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A1;0, B 1  ;  1 , C5; 
1 . Tọa độ trực tâm H của
tam giác ABC là A. H 1  ; 9 . B. H  8  ; 27. C. H  2  ;5.
D. H 3;14 .
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 4
STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm
Phần 2 Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai
BON 13 Cho hình bình hành ABCD có AB  2a, AD  3a, BAD ̂  60 .  B C
Điểm K thuộc AD thỏa mãn AK  2  DK . O a) A . B AD  B . A BC . b) 2 A . B AD  3a . A D K
c) BK.BC  A . B AD . d) 2
BK.AC  a .
BON 14 Cho hình thoi ABCD tâm B có cạnh bằng 2 và góc B bằng 60 . Khi đó:
a) AB,AC  60 .
b) AB,DA  45 . c) . DA DC  2. d) . OB BA  3  .
BON 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ a   2
 ;3 , b  4; 
1 , c  ka  mb và d  na  b.
a) a.b  5.  b) a b 5 221 cos ,  . 221
c) Với 2k  3m  0 thì c  a  b .
d) Có 2 giá trị nguyên n để cosd,e  45 với e  i  j.
Phần 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
BON 16 Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC 7cm và BC 14c .
m Tính cosin của góc giữa hai vectơ AC và . CB
BON 17 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3; AC  4. Trên đoạn thẳng BC lấy điểm M sao cho MB  2M .
C Tính tích vô hướng AM.BC (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
BON 18 Hai người cùng kéo một xe goòng như hình.
Mỗi người cầm vào một sợi dây cùng buộc vào xe goòng, và F 1
lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một F góc 30 .
 Người thứ nhất kéo một lực là 30 3 N, người A 30° F 2 B
thứ hai kéo một lực là 90 N. Hỏi công sinh ra khi kéo vật
đi một khoảng dài 100 m là bao nhiêu J ?
BON 19 Cho tam giác ABC cân tại A; M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của M trên AC; E là trung
điểm của MH. Tính A . E BH.
BON 20 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Khi đó 2 2 A .
B AC  AM  kBC . Tìm k.
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 5
STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm C Bài tập rèn luyện
Phần 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án
BON 1 Cho hai vectơ a và b khác 0. Xác định góc giữa hai vectơ a và b khi a.b  a . b . A. 180 .  B. 0 .  C. 90 .  D. 45 . 
BON 2 Cho hình vuông ABCD cạnh .a Khi đó, . AB AC bằng 2 1 A. 2 a . B. 2 a 2 . C. 2 a . D. 2 a . 2 2
BON 3 Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 4. Khi đó, tính A . B AC ta được A. 8. B. 8.  C. 6.  D. 6.
BON 4 Điều kiện của a và b sao cho ab2 0 là
A. a và b đối nhau.
B. a và b ngược hướng.
C. a và b bằng nhau.
D. a và b cùng hướng.
BON 5 Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? 2 2 2 A. .
a b  a . b .
B. a  a .
C. a  a .
D. a   a .
BON 6 Cho hình thoi ABCD có góc BAD ̂  150 .
 Tính góc của hai vectơ DA và AC . A. 60 .  B. 90 .  C. 120 .  D. 105 . 
BON 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho a  0 , b  2; 3
 . Tích vô hướng của hai vectơ .ab là A. 0. B. 1.  C. 0. D. 1.
BON 8 Trong mặt phẳng Oxy, cho a   3
 ;4 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. a   3; 4   . B. a  5 . C. 0.a  0 . D. 2 a  10 .
BON 9 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  4;5 và v  3;a. Tính a để .uv  0. 12 12 5 5 A. a  . B. a   . C. a  . D. a   . 5 5 12 12
BON 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u  1;3 và v  1  ;  1 , khi đó u v 1 cos ,  , mệnh đề nào sau a đây đúng?
A. a4;6 .
B. a1;3 .
C. a3;5 .
D. a6;8 .
BON 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A1;3, B3;2 . Điểm C thuộc trục Ox sao cho
tam giác ABC vuông tại A có tọa độ là  1   1   1   1  A. 0;    . B. 1;    . C.   ;0 . D. 3;    .  2   2   2   2 
BON 12 Cho hai vectơ a,b thỏa mãn a  4; b  3; a b  4. Gọi  là góc giữa hai vectơ a,b. Chọn phát biểu đúng. 1 3 A.   60 .  B.   30 .  C. cos  . D. cos  . 3 8
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 6
STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm
Phần 2 Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai
BON 13 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 2 và góc ˆB  60 . Khi đó:
a) AB,AC  60 .
b) AB,DA  30 . c) . DA DC  3. d) O . B BA  3  .
BON 14 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  a, BC  2 .a Khi đó: a) ACB ̂  60 .  b) 2 . BA BC  a . c) 2
BC.CA  3a . d) 2 A .
B BC  BC.CA  C . A AB  4  a .
BON 15 Cho tam giác ABC đều có cạnh a, có trọng tâm G. Khi đó: 2 a a) A . B AC  . 2 2 a b) . AG AC  . 4 c) AGB ̂  120 .  2 a d) A . G GC  . 6
BON 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ a  2;5, b 3; 7
 , c  1;  1 . Khi đó: a) . a b  29.
b) a,b  15 .
c) a,c  23,1986 . 1
d) Để d  4x  
1 i  x  4 j tạo với vectơ c một góc 45 thì x   . 4
Phần 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
BON 17 Tính công sinh bởi một lực F có độ lớn 30 N kéo một vật dịch chuyển theo một vectơ d có độ dài 40  
m và cho biết F;d  60 .
BON 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3
 ;0, B3;0 và C2;6. Gọi H ;ab là
tọa độ trực tâm tam giác đã cho. Tính a  6 . b
BON 19 Tìm bán kính đường tròn đi qua ba điểm A0;4, B3;4,C3;0 .
BON 20 Cho hai vectơ a , b sao cho a  2, b  2 và hai vectơ x  a  b , y  2a b vuông góc với nhau.
Tính góc theo đơn vị độ giữa hai vectơ a và . b
BON 21 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  8, AD  5. Tích . AB BD .
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 7
STEP 1 NỀN TẢNG TOÁN 10 | BON 10 SEASON 2026 Aim 7 - 8 điểm
BON 22 Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆB  30 , AC  2. Gọi M là trung điểm của . BC Tính giá trị
của biểu thức P  AM.BM. ----Hết----
Biên soạn: Hệ thống đào tạo Toán Ngọc Huyền LB
Độc quyền & duy nhất tại
Vì quyền lợi chính đáng của chính các em, không chia sẻ tài liệu này cho người khác! ngochuyenlb.edu.vn | 8