Tài liệu tổng hợp. Tài liệu toán cao cấp- giải tích

Toaùn cao caáp : Giaûi tích 203 Chöông X
ÖÙNG DUÏNG VAØO KINH TEÁ 1. Kyù hieäu : A : Advertising C : Cost, consumption D : Demand E : Elasticity G : Government I : Income, investment, investor K : Capital L : Labor, liquidity M : Money P : Price π : Profit Q : Quantity R : Revenue, rate of interest S : Supply T : Tax U : Utility W : Wage Y : Income
2. Caùc khaùi nieäm cô baûn:
a- Bieân teá (bieân)( marginal): Trong kinh teá, khaùi nieäm bieân teá
duøng ñeå chæ söï thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá naøy ñöôïc gaây ra bôûi söï
thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá khaùc.Cho y = f(x) vaø f laø haøm khaû vi,
ta coù bieân teá cuûa y taïi x laø My(x) = f '(x)
Ví duï: Goïi x laø löôïng saûn phaåm cuûa moät xí nghieäp, y laø toång chi phí
saûn xuaát. Giaû söû y phuï thuoäc vaøo x nhö sau :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 204
y = f ( x) = ax2 + bx + c (a, b, c : haèng soá döông)
Khi ñoù, ta coù chi phí bieân teá cuûa xí nghieäp laø :
MC = f '( x) = 2ax + b
Chuù yù: Khi y = f (x) = ax + b thì My = a. Nhö vaäy, trong tröôøng hôïp
haøm soá laø baäc nhaát, giaù trò bieân teá chính laø ñoä thay ñoåi cuûa haøm soá
khi bieán soá taêng theâm 1 ñôn vò.
Ví duï: Giaû söû toång chi phí cuûa moät nhaø maùy tính theo coâng thöùc
C = WL − rK o
Trong ñoù L chæ soá löôïng lao ñoäng, W chæ tieàn löông cho moãi lao
ñoäng, Ko chæ tieàn voán, r laø laõi suaát cuûa voán.
Ta coù chi phí bieân teá theo lao ñoäng laø : MC = W. Ñaây laø chi phí
taêng theâm khi theâm moät lao ñoäng.
b- Ñoä co daõn (Elasticity): Trong nhieàu öùng duïng kinh teá, toác ñoä
thay ñoåi cuûa moät haøm soá thöôøng phuï thuoäc vaøo ñôn vò tính cuûa bieán
ñoäc laäp x vaø bieán phuï thuoäc y. Ñeå traùnh ñieàu naøy, caùc nhaø kinh teá
söû duïng khaùi nieäm ñoä co daõn. Ñoä co daõn cuûa bieán y theo bieán x
ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : dy / y dy x x ε (x) = = . = y ' x yx ( ). dx / x dx y y
Ví duï: Tìm ñoä co daõn cuûa y theo x, neáu : a) y = ex ; x x ε = y '(x). x = e . y y Khi x = 100 thì y = e100. Khi x = 101 thì y = e101 Ta coù
dy/y = (e101 – e100)/e100 = e – 1 ≈ 1,7=170% Maët khaùc : ε 100 (100) = e100. 100 100 = ≠ dy / y yx e
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 205 b) y = 3x + 5 ; x 3x ε = y '(x). = y 3x + 5 Khi x = 100 thì y = 305. Khi x = 101 thì y = 308 Ta coù
dy/y = (308 – 305)/305 = 3/305 = 300 % 305 Maët khaùc ε = 300 3.100 / (3.100 + 5) = = dy / y 305
Chuù yù: Khi y = f(x) = ax + b thì ñoä co daõn cuûa y theo x chính laø söï
thay ñoåi cuûa y tính theo phaàn traêm khi x taêng theâm 1%.
3. Baøi toaùn cöïc ñaïi, cöïc tieåu hoùa:
a.Haøm loài, haøm loõm: i) Taäp loài: Cho D n
⊂ ℝ . D ñöôïc goïi laø taäp loài neáu ∀ , '∈ ,∀λ ∈ (0, ) 1 ⇒ λ + (1 x x D x − λ) x'∈D
ii) Haøm soá y = f(x) goïi laø loài ngaët treân taäp loài D n ⊂ ℝ neáu
(λ +(1−λ) ') < λ ( )+(1 f x x f x
− λ) f (x'), ∀ , '∈ ,∀ ∈(0, ) 1 x x D λ .
iii) Haøm soá y = f(x) goïi laø loõm ngaët treân taäp loài D n ⊂ ℝ neáu
f (λx + (1− λ ) x ') > λ f ( x) + (1− λ) f ( x '), x ∀ , x '∈ ℝ , λ ∀ ∈(0, ) 1 .
b- Cöïc trò ñòa phöông, cöïc trò toaøn cuïc cuûa haøm soá thöïc theo moät bieán soá thöïc
Xeùt haøm soá : y = f(x), x ∈ D ⊂ ℝ
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi x ∈ D neáu : o ε ∃ > 0 : x
∀ ∈(x −ε, x +ε ) ∩ D : f x ≤ f x o o ( ) ( o )
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi x neáu : o ε ∃ > 0 : x
∀ ∈(x −ε, x +ε ) ∩ D : f x ≥ f x o o ( ) ( o )
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D taïi xo neáu :
∀x ∈ D, f (x) ≤ f (x o )
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 206
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc treân D taïi xo neáu :
∀x ∈ D, f (x) ≥ f (x o ) Chuù yù:
- Moät cöïc trò ñòa phöông khoâng chaéc laø cöïc trò toaøn cuïc.
- Khoâng phaûi haøm soá naøo cuõng coù cöïc trò toaøn cuïc.
- Trong caùc öùng duïng kinh teá, haàu heát caùc haøm soá chæ coù moät
cöïc trò ñòa phöông duy nhaát vaø ñoù cuõng laø cöïc trò toaøn cuïc.
- Treân taäp loài D ⊂ ℝ , ñoái vôùi caùc baøi toaùn kinh teá thöôøng gaëp ta coù:
+ Neáu f”(x) > 0, x
∀ ∈ D thì f loài ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù,
moät ñieåm cöïc tieåu ñòa phöông cuõng laø cöïc tieåu toaøn cuïc treân D.
+ Neáu f”(x) < 0, x
∀ ∈ D thì f loõm ngaët toaøn cuïc treân D. Khi
ñoù, moät ñieåm cöïc ñaïi ñòa phöông cuõng laø cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D.
c- Cöïc trò ñòa phöông, cöïc trò toaøn cuïc cuûa haøm soá thöïc theo hai bieán soá thöïc
Xeùt haøm soá z = f (x, y),
(x, y)∈D ⊂ 2 ℝ 1 2 Ñaët 2 2 B ( x y ε )
({x y) (x x ) (y y ) / ( , ), , /  = − + − < ε  },ε >0 o o o o
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi (x , y ∈ D neáu o o ) ε
∃ > 0 : ∀(x, y)∈ B( x , y ),ε )∩ D : f (x, y) ≤ f (x , y o o o o )
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi (x , y neáu o o ) ε
∃ > 0 : ∀(x, y)∈ B( x , y ),ε )∩ D : f (x, y) ≥ f (x , y o o o o )
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc taïi (x , y ∈ D neáu o o )
∀(x, y)∈ D, f (x, y) ≤ f (x , y o o )
• Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc taïi (x , y ∈ D neáu o o )
∀(x, y)∈ D, f (x, y) ≥ f (x , y o o )
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 207
Caùc chuù yù ôû tröôøng hôïp haøm moät bieán vaãn ñuùng cho tröôøng hôïp hai bieán.
Ñieàu kieän caàn cuûa cöïc trò ñòa phöông (ñieàu kieän caáp 1)
Neáu haøm f ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi (xo, yo) vaø f coù caùc ñaïo
haøm rieâng taïi (xo, yo) thì f '( x 0
0 , y0 ) = f ' ( x0 , y0 = x y )
Ñieàu kieän ñuû cuûa cöïc trò ñòa phöông (ñieàu kieän caáp 2)
Nhaéc laïi: Cho z = f (x,y) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc,
ta coù vi phaân caáp 1 vaø vi phaân caáp 2 cuûa f laàn löôït nhö sau : ' '
dz = f dx + f dy ; 2 " 2 " "
d z = f dx + f dxdy + f dy2 2 x y xx xy yy 2 " " " "    2  2 − Ta coù : f dy f f f " xy xx yy xy
d z = f dx +  + 
 dy2 ( giaû söû f ' ≠ 0 ) xx " "  f xx    f   xx xx  Suy ra: + Neáu " f < 0 vaø " f " f - "
f 2 > 0 thì d 2z < 0 xx xx yy xy + Neáu " f >0 vaø " f " f - "
f 2 > 0 thì d 2z > 0 xx xx yy xy
Baây giôø, ta coù ñieàu kieän ñuû cuûa cöïc trò ñòa phöông nhö sau :
• Neáu df(xo,yo) = 0 vaø d2f(xo,yo) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi (xo,yo).
• Neáu df(xo,yo) = 0 vaø d2f(xo,yo) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi (xo,yo). Ta ñaët: " "  f f  xx xy H = 
 (H goïi laø ma traän Hesse); // H 1 = f , H2 = H " "  xx f  f  yx yy  Ta coù :
i) H < 0, H > 0 thì d2
0 (cöïc ñaïi ñòa phöông) 1 2 f <
ii) H > 0, H > 0 thì d2
0 (cöïc tieåu ñòa phöông) 1 2 f >
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 208
+ Neáu d 2z (x, y) > 0, ∀(x, y)∈ D thì f loài ngaët toaøn cuïc treân D.
Khi ñoù, moät ñieåm cöïc tieåu ñòa phöông cuõng laø cöïc tieåu toaøn cuïc treân D.
+ Neáu d 2z(x, y) < 0, ∀(x, y)∈ D thì f loõm ngaët toaøn cuïc treân D.
Khi ñoù, moät ñieåm cöïc ñaïi ñòa phöông cuõng laø cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D.
d- Ñònh lyù: Cho z = f (x,y) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc treân
taäp môû vaø loài D ⊂ ℝ2 . Giaû söû , taïi (x ta coù 0 , y0 ) ∈ D f '( x 0 .Khi ñoù
0 , y0 ) = f ' ( x0 , y0 = x y ) i) Neáu H 0 0 1 ( x, y ) >
, H2 (x, y) > , (
∀ x, y)∈ D
thì f ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc treân D taïi (x 0 , y0 )
ii ) Neáu H 0 0 1 ( x, y ) <
, H2 (x, y) > , (
∀ x, y)∈ D
thì f ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D taïi (x 0 , y0 )
3. Caùc ví duï veà kinh teá: Ví duï 1:
Giaû söû haøm lôïi nhuaän cuûa moät xí nghieäp ñoái vôùi moät loaïi saûn phaåm coù daïng :
∏ = R − C −T = PQ − cQ − tQ − f
trong ñoù ∏ laø lôïi nhuaän, R laø doanh thu, C laø chi phí goàm ñònh phí f
(ñoäc laäp vôùi saûn löôïng) vaø bieán phí cQ (c : bieán phí ñôn vò treân 1
saûn phaåm, Q : saûn löôïng), t laø thueá treân moät ñôn vò saûn phaåm, T laø toång thueá. Giaû söû: P = a – bQ (a, b > 0) Khi ñoù, ta coù :
∏ = aQ − bQ2 − (c + t)Q − f
Ñeå ñôn giaûn, ta giaû söû : a = 10, b = 1, c = 2, f = 1. ta coù :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 209 ∏ = Q − Q2 10
− (2+ t)Q −1
Baøi toaùn ñaët ra laø xí nghieäp muoán xaùc ñònh möùc saûn löôïng Q ñeå lôïi
nhuaän ñaït cöïc ñaïi. Ñoàng thôøi nhaø nöôùc cuõng muoán xaùc ñònh möùc
thueá t treân moät ñôn vò saûn phaåm ñeå toång thueá T ñaït cöïc ñaïi.
Tröôùc tieân, ta ñöùng treân cöông vò cuûa xí nghieäp, xem t nhö laø tham
soá thì π laø haøm soá thöïc theo moät bieán soá thöïc Q. Ñieàu kieän caáp 1 : 8 − t / ∏ = − Q 2
+ 8 − t = 0 ⇔ Q = 0 < t < 8 Q ( ) 2 Ñieàu kieän caáp 2 : // ∏ = −2 < 0 QQ
Vaäy haøm π loõm ngaët toaøn cuïc neân ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : 8 − t * Q = Q = (0 < t < 8) 2 Vôùi Q = Q*, ta coù : t − t2 8 * T = tQ = 2 Ñieàu kieän caáp 1 : 8 − t 2 ' T = = 0 ⇔ t = 4 t 2 " T = −1< 0 tt
Vaäy haøm T loõm ngaët toaøn cuïc neân ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi :
t = t* = 4 (thoûa ñieàu kieän 0 < t < 8)
Khi ñoù, ta coù : Q = Q* = 2
P = P* = a – bQ* = 10 – 2 = 8 Vaø *
∏ = ∏ = 20 − 4 − 6.2 −1= 3
Ví duï 2: Giaû söû haøm lôïi nhuaän cuûa moät coâng ty ñoái vôùi moät saûn
phaåm laø : ∏ = R − C = PQ − wL − rK
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 210
trong ñoù ∏ laø lôïi nhuaän, R laø doanh thu, C laø chi phí, L laø löôïng lao
ñoäng, w laø tieàn löông cuûa moät lao ñoäng, K laø tieàn voán, r laø laõi suaát
cuûa tieàn voán, P laø ñôn giaù baùn.
Giaû söû Q laø haøm saûn xuaát Cobb-Douglas daïng / 1 3 / Q = L K1 3
Giaû söû w = 1, r = 0,02, P = 3 Khi ñoù, ta coù : / 1 3 / Π = L K1 3 3
− L − 0,02K / −2/ 3 / 1 3 / / 1 3 −2/
∏ = L K − ; ∏ = L K 3 1 − 0,02 L K
Ta coù ñieàu kieän caàn ñeå Π ñaït cöïc trò taïi (L,K) laø: / −2/ 3 / 1 3 / / 1 3 −2/
∏ = L K − = vaø ∏ = L K 3 1 0 − 0,02 = 0 ⇔ L K  K  =1  K = L2 2 K = 2500 L  ⇔  ⇔  L  L = (0,0 )3 2 K 2 = (0, 0 )3 2 L4 50 0 3 L  = (vì L > ) 0 02 2 = ( , )  K Ta coù ma traän Hesse :  2 − 1 5 3 1 3 2 3 2 3  / / − / − / ∏ ∏  − // // L K L K  LL LK 3 3 H =   =   // // ∏ ∏  1 − 2 2 / 3 −2/ 3 / 1 3 −5/ 3  KL KK L K − L K  3 3    Ñieàu kieän caáp 2 : 2 −5/3 / H = − L K1 3 0 1 < 3 4 − 1 1 4 / 3 −4 / 3 −4 / 3 −4 / 3 −4 / 3 −4 / H = L K − L K = L K 3 0 0 0 2 >
do L > , K > 9 9 3
Suy ra Π loõm ngaët toaøn cuïc. Do ñoù, Π ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc taïi :
K = 2500 vaø L = 50
Ví duï 3: Giaû söû moät xí nghieäp saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm vaø baùn
taïi hai thò tröôøng taùch bieät. Giaû söû ñôn giaù baùn taïi thò tröôøng 1 laø P1
cao hôn ñôn giaù baùn taïi thò tröôøng 2 laø P2 : P1 > P2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 211
Giaû söû toång chi phí laø : C = C(Q) + tq2
trong ñoù Q = q1 + q2 laø löôïng haøng baùn ñöôïc ôû caû hai thò tröôøng. q1,
q2 laàn löôït laø löôïng haøng baùn ñöôïc ôû thò tröôøng 1 vaø thò tröôøng 2, t
laø chi phí taêng theâm treân moät ñôn vò saûn phaåm ôû thò tröôøng 2.
Ta coù haøm lôïi nhuaän : ∏ = Pq
1 1 + P2 q2 − C (Q ) − tq2
Ñeå ñôn giaûn, ta giaû söû p = , 7 p = ,
6 C(Q) = q 2 + q q + q 2 3 1 1 2 1 1 2 2 + ,t = Khi ñoù ta coù :
∏ = 7q + 6q − q2 − q q − q2 3 1 2 1 1 2 2 − − q2 = −q2 − q2 7 5 3 1 2 − q q 1 2 + q1 + q2 − Ñieàu kieän caáp 1 : / ∏ = 0  2 7 0 2 7 1 − 1 − 2 + =  1 + 2 = q q q q q  ⇔  ⇔  / ∏ = 0 −q 2 5 0 2 4 10 1 − q2 + =  q1 + q2 = q2 q 3 1 = ⇔  q 1 2 = Ñieàu kieän caáp 2 : // //   ∏ Π  2 1 1 1 1 2 − −  Ma traän Hesse q q q q H =   =   // // ∏ Π  −1 −2  q2q1 q2q2  H 2 2 0 3 0 1 = −
= − < , H2 = H = >
Vaäy Π loõm ngaët toaøn cuïc, do ñoù Π ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : * * q 3 1 1 = q1 = vaø q2 = q2 = Khi ñoù : *
∏ = ∏ = −9 −1− 3 + 21+ 5 − 3 =10
Ví duï 4: Moät coâng ty saûn xuaát ñoäc quyeàn moät loaïi saûn phaåm vaø tieâu
thuï treân 2 thò tröôøng rieâng bieät. Giaû söû caùc haøm caàu treân 2 thò
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 212
tröôøng 1 vaø 2 laàn löôït laø QD1 = 80 - P1 , QD2 = 80 - P2 , haøm toång 3 4
chi phí laø C(Q) = Q2 + 30Q + 10.
Trong ñoù Pi laø ñôn giaù treân thò tröôøng thöù i, i = 1, 2 ; Q laø toång saûn löôïng.
Tìm khoái löôïng saûn phaåm coâng ty cung caáp cho caùc thò tröôøng
ñeå lôïi nhuaän cao nhaát ?
Giaûi: Giaû söû coâng ty cung caáp cho thò tröôøng i laø Qi. Ta coù : Q P P 1 2 1 = 80 - , Q2 = 80 - ; vaø Q1 + Q2 = Q 3 4
⇒ P1 = 240 - 3Q1, P2 = 320 - 4Q2
⇒ R1 = (240 - 3Q1)Q1 , R2 = (320 - 4Q2)Q2.
Vôùi Ri laø doanh thu treân thò tröôøng thöù i, i = 1,2
Ñieàu kieän caàn ñeå π = R1 + R2 - Q2 - 30Q - 10 ñaït cöïc trò laø π ∂ π ∂ = =0 Q ∂ 1 Q ∂ 2 240 − 6 30 2 4Q 105 1 + Q2 = 1 = + 1 + ⇔ Q (Q Q2 )  ⇔  320 − Q 8 30 2 Q  5 145 1 + Q2 = 2 = + (Q1 + Q2) ⇔ (Q1, Q2) = (20, 25). 2 2 2 ∂ π ∂ π ∂ π 8 10 2 2 = − ; 2 = − ; = − Q ∂ 1 Q ∂ 2 Q ∂ 1 Q ∂ 2  −8 − 2  −8 − 2 H =   , H2 =
> 0 , H1 = -8 < 0, ∀(Q 1, Q2 )  −2 −10  −2 −10
⇒ π loõm ngaët toaøn cuïc
⇒ π ñaït cöïc ñaïi toøan cuïc taïi (Q = (20, 25). 1, Q2 )
Vaäy coâng ty cung caáp cho :
- Thò tröôøng thöù 1 laø Q1= 20 ñôn vò haøng vôùi ñôn giaù laø P1 = 240 - 3Q1 = 180
- Thò tröôøng thöù 2 laø Q2 = 25 vôùi ñôn giaù P2 = 320 - 4Q2 = 220
4. Cöïc trò raøng buoäc cuûa haøm soá thöïc theo hai bieán soá thöïc:
Xeùt baøi toaùn tìm cöïc trò haøm f(x, y) vôùi raøng buoäc
g(x, y) = go ( giaû söû g0 > 0)
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 213
Tröôùc tieân, ta laäp haøm Lagrange :
L ( x, y;λ ) = f ( x, y) + λ ( g − g ( x, y o ))
( λ goïi laø nhaân töû Lagrange)
Ta thaáy cöïc trò cuûa haøm f vôùi raøng buoäc g(x, y) = go cuõng chính laø
cöïc trò cuûa haøm Lagrange L.
Ta coù ñieàu kieän caáp 1 töông töï tröôøng hôïp cöïc trò khoâng raøng buoäc
Ñieàu kieän caáp : Neáu L ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi (xo, yo, λ ) o thì ' ' '
L = 0, L = 0 = L = 0 (hay dL (x λ ) λ = 0 o, yo, x y ) taïi o
Ñieàu kieän caáp 2:
Ta ñònh nghóa Hessian bao nhö sau : " " ' L L  xx xy Lxλ   " " " H = L L L  yx yy yλ   " " ' L L L  λ  x λ y λλ " ' L L  Ñaët xx xλ H 1 =   , H 2 = H " '  λ L L x λλ 
Ta coù caùc ñònh lyù sau : •
Neáu dL(xo, yo, λ ) = 0 vaø H1 < 0 taïi (xo, yo, λ ), H 2 > 0 o o
taïi (xo, yo, λ ) thì L ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi (xo, yo, λ ). o o •
Neáu dL(xo, yo, λ ) = 0 vaø H1 < 0 taïi (xo, yo, λ ), H 2 < 0 o o
taïi (xo, yo, λ ) thì L ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi (xo, yo, λ ). o o •
Neáu dL(xo, yo, λ ) = 0 vaø H thì
1 < 0 , H 2 > 0 , ∀ ( x, y, λ ) o
(xo, yo) laø ñieåm cöïc ñaïi toaøn cuïc cuûa f vôùi raøng buoäc g(xo, yo) = go.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 214 •
Neáu dL(xo, yo, λ ) = 0 vaø H thì
1 < 0 , H 2 < 0 , ∀ ( x, y, λ ) o
(xo, yo) laø ñieåm cöïc tieåu toaøn cuïc cuûa f vôùi raøng buoäc g(xo, yo) = go.
Chuù yù: Baøi toaùn tìm cöïc trò haøm f(x, y) vôùi raøng buoäc g(x, y) = go coù
theå giaûi ñôn giaûn baèng caùch töø raøng buoäc, ruùt y theo x (hay x theo y)
vaø theá vaøo f. Töø ñoù, baøi toaùn ñöa veà vieäc tìm cöïc trò cuûa haøm moät
bieán. Tuy nhieân, khoâng phaûi luùc naøo ta cuõng ruùt ñöôïc bieán naøy theo
bieán kia. Hôn nöõa, phöông phaùp Lagrange aùp duïng ñöôïc cho tröôøng
hôïp haøm nhieàu bieán toång quaùt vôùi nhieàu raøng buoäc vaø nhaân töû
Lagrange λ coù yù nghóa ñaëc bieät trong kinh teá.
Ví duï 1: Giaû söû haøm lôïi ích ñoái vôùi hai saûn phaåm laø
∪ ( x, y) = ln x + ln y trong ñoù x laø löôïng haøng thöù nhaát, y laø löôïng
haøng thöù hai. Giaû söû ngöôøi tieâu duøng coù thu nhaäp I phaûi duøng heát
ñeå mua hai saûn phaåm treân, Px vaø Py laàn löôït laø ñôn giaù cuûa hai maët
haøng. Baøi toaùn ñaët ra laø caàn tìm x vaø y ñeå cöïc ñaïi hoùa ∪ vôùi raøng
buoäc Pxx + Pyy = I ( ñieàu kieän I ≥ 2P ; I ≥2P ). x y
Haøm Lagrange cuûa baøi toaùn :
L = ln x + ln y + λ (I − P x − P y x y ) Ñieàu kieän caáp 1 : 1  − λP = 0 x '  0 x L = x    1 '
L = 0 ⇔  − λP = 0 y y y   ' L 0 λ =
I − P x − P y = 0 x y  
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 215  λ = 2  1 1  I λ = = xP yP    1 I x y ⇔  ⇔ x = =   λP 2 2 P x x I =  λ   1 I  y = =  λP 2P y y Hessian bao :  / 1 x2 0 P  − − x   2  1  −1 x − P H = 0 − ; / x H = = −P2 0 1 < , 2 − Py  y  x − 0   Px  P P   − − 0 x y  2 2 P Py x H 2 = H = 0 1 1 x y λ x y 2 + 2 > , ∀ , , ( ≥ , ≥ ) y x
Vaäy ∪ ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc vôùi raøng buoäc g(x,y) = I taïi : I I * x = x = vaø * y = y = 2P 2P x y 2 Khi ñoù : I I I ∪ = ln + ln =ln 2P 2P 4P P x y x y
Ví duï 2: Giaû söû haøm lôïi ích phuï thuoäc vaøo soá tieàn tieâu duøng taïi cuoái
hai thôøi kyø 1 vaø 2 laø C1 vaø C2 nhö sau : ∪ = C1 C2.
Giaû söû laõi suaát taïi cuoái thôøi kyø thöù 1 laø r = 0,5%, toång thu nhaäp taïi
cuoái thôøi kyø thöù 1 laø I. Giaû söû ta coù raøng buoäc C C + 2 1 = I 1+ r
(C2/(1+r) laø hieän giaù cuûa C2 taïi cuoái thôøi kyø thöù 1).
Baøi toaùn ñaët ra laø tìm C1, C2 ñeå cöïc ñaïi hoùa haøm lôïi ích ∪ .
Ta coù haøm Lagrange cuûa baøi toaùn :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 216 ( C
L C , C , λ ) C C λ   =
+  I − C − 2 1 2 1 2 1   , 1 005  Ñieàu kieän caáp 1:   '  0 0 C2 − λ = LC =  C 1 λ =   λ  2 ' L C C C = 0 ⇔  0 1 005 1 − = ⇔ λ = , 1 2 ,   1 005  '  2 L = 0  C I 1 = λ  C I − C − 2 0 1 =  , 1 005  I C  1 = 2   I ⇔ C  1 005 2 = ,  2  I λ = , 1 005  2 Hessian bao :     0 1 −  1   1  H =  1 0 −  ,  1 005   1   −1 − 0   , 1 005  Ñieàu kieän caáp 2 : 0 −1 1 1 H 1 =
= −1< 0, H 2 = H = + > 0 −1 0 , 1 005 , 1 005 ∀(C 1, C2 , λ ) Vaäy I I
∪ ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi * * 1 005 C C C C 1 = 1 = , 2 = 2 = , 2 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 217
Ví duï 3: Giaû söû moät xí nghieäp caàn xaùc ñònh löôïng lao ñoäng L, löôïng
voán K ñeå cöïc tieåu hoùa chi phí C(L,K) = wL + rK. Trong ñoù w = 400
laø tieàn löông cho moãi lao ñoäng, r = 0,01 laø laõi suaát cuûa voán vay .
Giaû söû xí nghieäp phaûi saûn xuaát Qo = 1000 ñôn vò saûn phaåm vaø haøm
saûn phaåm laø :Q = F(L,K) = L1/2K1/2
Haøm Lagrange : F (L,K, λ ) = wL + rK + λ (Qo – L1/2K1/2) Ñieàu kieän caáp 1 : 1   K (800)2 − / 1 2 / 1 2 w − λL K = 0  = 2 '  2 0 L λ FL =     2 1 0 02 1 2 −1 2  L ( , ) ' / / F r L K K = 0 ⇔  − λ = 0 ⇔  = 2   2  K λ ' F = 0 / 1 2 / λ  1 2 0  10 Q L K LK 0 − = = 6     λ = 4  ⇔ L = 5  K = 200.000 Hessian bao:  1 − 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  / / − / − / − / /  λL K − λL K − L K  4 4 2    1 − 1 1 / 1 2 − / 1 2 / 1 2 −3/ 2 / 1 2 − / 1 2  H = − λL K λL K − L K  4 4 2    1 − 1 / 1 2 / 1 2 / 1 2 − /  L K L K 1 2 0  − −  2 2  1 − 1 3 / 2 / 1 2 − / 1 2 / λL K − L K1 2 4 2 1 H = = − L− K 1 1 < 0 1 − 4 / 1 2 / − L K1 2 0 2 1 − 1 1 1 / 1 2 − / 1 2 − / 1 2 − / 1 2 − / 1 2 − / 1 2 − / 1 2 − / H = H = − λL K − λL K − λL K − λL K 1 2 2 < 0 16 16 16 16
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 218 L
∀ , K,λ > 0 . Vaäy, haøm chi phí C ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc khi L = L* = 5, K = K* = 200.000.