Tài liệu tự học hàm số liên tục – Nguyễn Trọng

Tài liệu gồm có 27 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán liên quan đến chuyên đề hàm số liên tục trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

79 40 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

27 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
1
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
– Giả sử hàm số
( )
fx
xác định trên khoảng
( )
;ab
và
( )
0
;x a b
. Hàm số
( )
y f x=
gọi là liên
tục tại điểm
0
x
nếu
( ) ( )
0
0
lim
xx
f x f x
→
=
.
– Hàm số không liên tục tại điểm
0
x
gọi là gián đoạn tại
0
x
.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn
– Giả sử hàm số
( )
fx
liên tục trên khoảng
. Ta nói rằng hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
khoảng
( )
;ab
nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
– Hàm số
( )
y f x=
gọi là liên tục trên đoạn
;ab
nếu nó liên tục trên khoảng
và
( ) ( ) ( ) ( )
lim , lim
x a x b
f x f a f x f b
+−
→→
==
.
Nhận xét:
– Nếu hai hàm
( )
fx
và
( )
gx
liên tục tại điểm
0
x
thì các hàm số
( ) ( )
f x g x
,
( ) ( )
.f x g x
,
( )
.c f x
(với
c
là hằng số) đều liên tục tại điểm
0
x
.
– Hàm số đa thức liên tục trên . Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng
xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
– Định lý về giá trị trung gian: Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn
;ab
. Nếu
( ) ( )
f a f b
thì với
mỗi số thực
M
nằm giữa
( ) ( )
,f a f b
tồn tại ít nhất một điểm
( )
;c a b
thoả mãn
( )
f c M=
.
– Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số
f
liên tục trên đoạn
;ab
và
M
là một số thực nằm giữa
( ) ( )
,f a f b
thì đường thẳng
yM=
cắt đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại ít nhất một điểm có hoành độ
( )
;c a b
.
– Hệ quả: Nếu hàm số
f
liên tục trên đoạn
;ab
và
( ) ( )
.0f a f b
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
;c a b
sao cho
( )
0fc=
. Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:
+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
;ab
và
( ) ( )
.0f a f b
thì phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
( )
;ab
”.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
2
+ Vận dụng trong tương giao đồ thị: “Nếu hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
;ab
và
( ) ( )
.0f a f b
thì đồ thị của hàm số
( )
y f x=
cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ
( )
;c a b
”.
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
_DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm
0
xx=
khi
( ) ( )
0
0
lim
xx
f x f x
→
=
hoặc
( ) ( ) ( )
00
0
lim lim
x x x x
f x f x f x
−+
→→
==
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số
2
32
2
()
2
4 7 2
xx
khi x
fx
x
x khi x
−+
=
−
−=
tại điểm
0
2x =
.
ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có
0
( ) (2) 4.2 7 1f x f= = − =
2
2 2 2
3 2 ( 2)( 1)
lim ( ) lim lim 1
22
x x x
x x x x
fx
xx
→ → →
− + − −
= = =
−−
Suy ra
2
(2) lim ( )
x
f f x
→
=
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
2.x =
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số
32
1
1
()
1
1
3
x
khi x
x
fx
khi x
+−
−
=
=
tại điểm
0
1x =
.
ĐS: Không liên tục
Lời giải
Ta có
0
1
( ) (1) .
3
f x f==
1 1 1 1
3 2 1 1 1
lim ( ) lim lim lim
14
( 1)( 3 2) 3 2
x x x x
xx
fx
x
x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
−
− + + + +
Suy ra
1
(1) lim ( )
x
f f x
→
nên hàm số
()fx
không liên tục tại điểm
0
1x =
(hay gián đoạn tại
điểm
0
1x =
).
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
3
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số
2
3 3 2
()
1 2 3
2
2
x x khi x
fx
x
khi x
x
− +
=
−−
−
tại điểm
0
2x =
ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có
2
0
( ) (2) 2 3.2 3 1f x f= = − + =
2
22
2 2 2 2
lim ( ) lim( 3 3) 1
1 2 3 1 2 3 2
lim ( ) lim lim lim 1
2
(2 )(1 2 3) 1 2 3
xx
x x x x
f x x x
xx
fx
x
x x x
−−
+ + + +
→→
→ → → →
= − + =
− − − +
= = = =
−
− + − + −
Suy ra
22
(2) lim ( ) lim ( )
xx
f f x f x
−+
→→
==
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
2x =
.
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số
2
9
3
()
12
2 12 3
x
khi x
fx
x
x khi x
−
=
+−
+
tại điểm
0
3x =
.
ĐS: Không liên tục
Lời giải
Ta có
0
( ) (3) 18f x f==
33
lim ( ) lim(2 12) 18
xx
f x x
−−
→→
= + =
2
3 3 3
9 ( 3)( 3)( 1 2)
lim ( ) lim lim
3
12
x x x
x x x x
fx
x
x
+ + +
→ → →
− − + + +
==
−
+−
3
lim( 3)( 1 2) 24
x
xx
+
→
= + + + =
Suy ra
33
(3) lim ( ) lim ( )
xx
f f x f x
−+
→→
=
nên hàm số
()fx
không liên tục tại điểm
0
3x =
.
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số
32
2
13
1
1
3
( ) 1
4
3 6 3 6
1
3 14 11
xx
khi x
x
f x khi x
x x x
khi x
xx
+ − +
−
==
− − +
−+
tại điểm
0
1x =
.
ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có
0
3
( ) (1)
4
f x f==
3 2 2 2
2
1 1 1 1
3 6 3 6 ( 1)(3 3 6) 3 3 6 3
lim ( ) lim lim lim
3 14 11 ( 1)(3 11) 3 11 4
x x x x
x x x x x x x x
fx
x x x x x
− − − −
→ → → →
− − + − − − − −
= = = =
− + − − −
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
4
2
1 1 1 1
1 3 ( 1) ( 3) 2 3
lim ( ) lim lim lim
14
( 1)( 1 3) 1 3
x x x x
x x x x x
fx
x
x x x x x
+ + + +
→ → → →
+ − + − − + +
= = = =
−
− + + + + + +
Suy ra
11
(1) lim ( ) lim ( )
xx
f f x f x
−+
→→
==
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
1.x =
Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số
42
2cos5 .cos3 cos8 1
0
()
20
x x x
khi x
fx
xx
khi x
−−
=
+
=
tại điểm
0
0x =
.
ĐS: Không liên tục
Lời giải
Ta có
0
( ) (0) 2f x f==
4 2 4 2
0 0 0
2cos5 .cos3 cos8 1 cos8 cos2 cos8 1
lim ( ) lim lim
x x x
x x x x x x
fx
x x x x
→ → →
− − + − −
==
++
2
2
4 2 2 2 2
0 0 0
cos2 1 2sin 2
lim lim lim . 2
( 1) 1
x x x
x x sinx
x x x x x x
→ → →

− − −

= = = = −


+ + +



Suy ra
0
(0) lim ( )
x
f f x
→
nên hàm số
()fx
không liên tục tại điểm
0
0x =
(hay gián đoạn tại
điểm
0
0x =
).
Ví dụ 7. Tìm
a
để hàm số
32
3
2 5 6
2
4
()
1
( ) 2
8
x x x
khi x
xx
fx
a x khi x
+ − −
−
=
+=
liên tục tại điểm
0
2.x =
ĐS:
13a =
Lời giải
Ta có
1
(2) ( 2)
8
fa=+
3 2 2 2
3
2 2 2 2
2 5 6 ( 2)( 4 3) 4 3 15
lim ( ) lim lim lim
4 ( 2)( 2) ( 2) 8
x x x x
x x x x x x x x
fx
x x x x x x x
→ → → →
+ − − − + + + +
= = = =
− − + +
Hàm số liên tục tại điểm
0
2
1 15
2 (2) lim ( ) (a 2) 13.
88
x
x f f x a
→
= = + = =
Ví dụ 8. Tìm
m
để hàm số
2
2( 4)
2
()
2
2 10 2
x
khi x
fx
xx
m m x khi x
−
=
+−
+ + −
liên tục tại điểm
0
2x =
.
ĐS:
2m =
Lời giải
Ta có
(2) 2 20f m m= + + −
2
2
2 2 2
3( 4) 3( 2)( 2)( 2 )
lim lim lim
2
2
x x x
x x x x x
xx
xx
+ + +
→ → →
− − + + +
==
+−
+−
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
5
22
3( 2)( 2)( 2 ) 3( 2)( 2 )
lim lim 16
( 1)( 2) ( 1)
xx
x x x x x x x
x x x
++
→→
− + + + + + +
= = = −
− + − − +
22
lim lim( 2 10 ) 2 20
xx
m m x m m
−−
→→
= + + − = + + −
Hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
22
2 lim ( ) lim ( ) (2) 2 20 16
xx
x f x f x f m m
+−
→→
= = = + + − = −
2
4
4
2 4 2
27
9 14 0
m
m
m m m
mm
mm
+ = − =

= =
− + =
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
1.
2
31
2
()
2
2 2 2
x
khi x
fx
x
x khi x
−−
=
−
−=
tại điểm
0
2x =
. Đs: Liên tục
2.
23
2
2 7 5
2
()
32
12
x x x
khi x
fx
xx
khi x
− + −
=
−+
=
tại điểm
0
2x =
. Đs: Liên tục
3.
2
2
32
1
()
1
21
xx
khi x
fx
x
x x khi x
++
−
=
−−
+ = −
tại điểm
0
1x =−
. Đs: Liên tục
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
1.
2
3 2 1
1
()
1
2 2 1
xx
khi x
fx
x
x khi x
−−
=
−
+
tại điểm
0
1x =
. Đs: Liên tục
2.
2
2
23
1
2
()
17
1
3
xx
khi x
xx
y f x
x
khi x
+−
+−
==
++
tại điểm
0
1x =
. Đs: Không liên tục
3.
3
34
4
()
53
4 46 4
xx
khi x
fx
x
x khi x
−−
=
+−
− +
tại điểm
0
4x =
. Đs: Liên tục
Bài 3. Tìm các giá trị thực của tham số
m
để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra:
1.
32
2
5 7 3
1
()
1
2 1 1
x x x
khi x
fx
x
m khi x
− + −
=
−
+=
tại điểm
0
1x =
. Đs:
1
2
m =−
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
6
2.
( )
11
0
4
5 0
2
xx
khi x
x
fx
x
m khi x
x
+ − −
=
−
− + =
+
liên tục tại điểm
0
0x =
. Đs:
1
5
m =
3.
( )
3
62
2
2
2 2
x
khi x
fx
x
x m khi x
+−
=
−
−=
liên tục tại điểm
0
2x =
. Đs:
47
12
m =
4.
( )
3
22
12 4 2
1
1
8 2 1
x
khi x
fx
x
m x mx khi x
−−
=
−
+ + =
liên tục tại điểm
0
1x =
. Đs:
1m =−
Bài 4. Tìm các giá trị thực của tham số
m
để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra:
1.
3
2
8
2
()
26
10 2
x
khi x
fx
xx
mx khi x
−
=
−−
+
tại điểm
0
2x =
. Đs:
29
7
m =−
2.
( )
2
2 1 1
1
23
1
x
khi x
fx
xx
x m khi x
−−
=
+−
+
liên tục tại điểm
0
1x =
. Đs:
3
4
m =−
3.
m
để
( )
2
2 7 6
2
2
1
2
2
xx
khi x
x
fx
x
m khi x
x
−+
−
=
−
+
+
liên tục tại điểm
0
2x =
. Đs:
3
4
m =−
4.
( )
2
2
2
3 3 1 5 4
1
21
1
3 1
3
x x x
khi x
xx
fx
m x m khi x
− + − +
−+
=
+ −
liên tục tại điểm
0
1x =
. Đs:
1m =
hoặc
2m =
5.
( )
2
7 3 4
3
21
3
2 3
2
x
khi x
x
fx
m mx khi x
−−
−
−−
=
− − −
liên tục tại điểm
0
3x =−
. Đs:
0m =
hoặc
6m =
6.
( )
( )
2
3
3
5 16
1 3
3
x
khi x
x
fx
m
x m khi x
−
−+
=
+ +
liên tục tại điểm
0
3x =
. Đs:
5m =−
hoặc
1m =
7.
( )
( )
2
34
2
2
2 10 2
x
khi x
fx
xx
m m x khi x
−
=
+−
+ + −
liên tục tại điểm
0
2x =
. Đs:
2m =
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
7
LỜI GIẢI
Bài 1. 1. Xét tính liên tục của hàm số
2
31
2
()
2
2 2 2
x
khi x
fx
x
x khi x
−−
=
−
−=
tại điểm
0
2x =
.
Ta có
0
( ) (2) 2f x f==
22
22
2 2 2 2
3 1 4 2
lim ( ) lim lim lim 2
2
( 2)( 3 1) 3 1
x x x x
x x x
fx
x
x x x
→ → → →
− − − +
= = = =
−
− − + − +
Suy ra
2
(2) lim ( )
x
f f x
→
=
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
2.x =
2. Xét tinh liên tục của hàm số
23
2
2 7 5
2
()
32
12
x x x
khi x
fx
xx
khi x
− + −
=
−+
=
tại điểm
0
2x =
.
Ta có
0
( ) (2) 1f x f==
2 3 2 2
2
2 2 2 2
2 7 5 ( 2)( 3 1) 3 1
lim ( ) lim lim lim 1
3 2 ( 2)( 1) 1
x x x x
x x x x x x x x
fx
x x x x x
→ → → →
− + − − − + − − + −
= = = =
− + − − −
Suy ra
2
(2) lim ( )
x
f f x
→
=
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
2x =
.
3. Xét tinh liên tục của hàm số
2
2
32
1
()
1
21
xx
khi x
fx
x
x x khi x
++
−
=
−−
+ = −
tại điểm
0
1x =−
.
Ta có
0
( ) ( 1) 1f x f= − = −
2
1 1 1 1
3 2 ( 1)( 2) 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 ( 1) 1
x x x x
x x x x x
fx
xx
→− →− →− →−
+ + + + +
= = = = −
− − − + −
Suy ra
1
( 1) lim ( )
x
f f x
→−
−=
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
1x =−
.
Bài 2. 1. Xét tính liên tục của hàm số
3
34
4
()
53
4 46 4
xx
khi x
fx
x
x khi x
−−
=
+−
− +
tại điểm
0
4x =
.
Ta có
0
( ) (4) 30f x f==
44
2
4 4 4 4
lim ( ) lim( 4 46) 30
3 4 ( 4)( 1)( 5 3)
lim ( ) lim lim lim( 1)( 5 3) 30
4
53
xx
x x x x
f x x
x x x x x
f x x x
x
x
−−
+ + + +
→→
→ → → →
= − + =
− − − + + +
= = = + + + =
−
+−
Suy ra
44
(4) lim ( ) lim ( )
xx
f f x f x
−+
→→
==
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
4x =
.
2. Xét tính liên tục của hàm số
2
3 2 1
1
()
1
2 2 1
xx
khi x
fx
x
x khi x
−−
=
−
+
tại điểm
0
1x =
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
8
Ta có
0
( ) (1) 4f x f==
11
lim ( ) lim(2 2) 4
xx
f x x
++
→→
= + =
2
1 1 1 1
3 2 1 ( 1)(3 1)
lim ( ) lim lim lim(3 1) 4
11
x x x x
x x x x
f x x
xx
− − − −
→ → → →
− − − +
= = = + =
−−
Suy ra
11
(1) lim ( ) lim ( )
xx
f f x f x
+−
→→
==
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
1x =
.
3. Xét tính liên tục của hàm số
2
2
23
1
2
()
17
1
3
xx
khi x
xx
y f x
x
khi x
+−
+−
==
++
tại điểm
0
1x =
.
Ta có
0
27
( ) (1)
3
f x f
+
==
11
2
2
1 1 1 1
1 7 2 7
lim ( ) lim
33
2 3 ( 1)( 3) 3 4
lim ( ) lim lim lim
2 ( 1)( 2) 2 3
xx
x x x x
x
fx
x x x x x
fx
x x x x x
−−
+ + + +
→→
→ → → →
+ + +
==
+ − − + +
= = = =
+ − − + +
Suy ra
11
(1) lim ( ) lim ( )
xx
f f x f x
−+
→→
=
nên hàm số
()fx
không liên tục tại điểm
0
1x =
.
4. Xét tính liên tục của hàm số
3
34
4
()
53
4 46 4
xx
khi x
fx
x
x khi x
−−
=
+−
− +
tại điểm
0
4x =
.
Ta có
0
( ) (4) 30f x f==
44
2
4 4 4 4
lim ( ) lim( 4 46) 30
3 4 ( 4)( 1)( 5 3)
lim ( ) lim lim lim( 1)( 5 3) 30
4
53
xx
x x x x
f x x
x x x x x
f x x x
x
x
−−
+ + + +
→→
→ → → →
= − + =
− − − + + +
= = = + + + =
−
+−
Suy ra
44
(4) lim ( ) lim ( )
xx
f f x f x
−+
→→
==
nên hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
4x =
.
Bài 3. 1. Tìm
m
để hàm số
32
2
5 7 3
1
()
1
2 1 1
x x x
khi x
fx
x
m khi x
− + −
=
−
+=
tại điểm
0
1x =
.
Ta có
0
( ) (1) 2 1f x f m= = +
3 2 2
2
1 1 1 1
5 7 3 ( 1) (x 3) ( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim 0
1 ( 1)(x 1) 1
x x x x
x x x x x x
fx
x x x
→ → → →
− + − − − − +
= = = =
− − + +
Hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
1
1
1 lim ( ) (1) 2 1 0
2
x
x f x f m m
→
= = + = = −
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
9
2. Tìm
m
để hàm số
( )
11
khi 0
4
5 khi 0
2
xx
x
x
fx
x
mx
x
+ − −
=
−
− + =
+
liên tục tại điểm
0
0x =
.
Ta có:
( )
0 5 2fm= − +
( )
( )
0 0 0 0
1 1 2 2
lim lim lim lim 1
11
11
x x x x
x x x
fx
x
xx
x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
+ + −
+ + −
Hàm số liên tục tại điểm
0
0x =
khi và chỉ khi
( ) ( )
0
1
lim 0 5 2 1
5
x
f x f m m
→
= − + = =
Vậy
1
5
m =
.
3. Tìm
m
để hàm số
( )
3
62
khi 2
2
2 khi 2
x
x
fx
x
x m x
+−
=
−
−=
liên tục tại điểm
0
2x =
.
Ta có
( )
24fm=−
( )
( ) ( )
( )
( )
3
2
2 2 2 2
2
3
3
3
3
6 2 2 1 1
lim lim lim lim
2 12
6 2 6 4
2 6 2 6 4
x x x x
xx
fx
x
xx
x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
−
+ + + +
− + + + +
Hàm số liên tục tại điểm
0
2x =
khi và chỉ khi
( ) ( )
2
1 47
lim 2 4
12 12
x
f x f m m
→
= − = =
Vậy
47
12
m =
.
4. Tìm
m
để
( )
3
22
12 4 2
khi 1
1
8 2 khi 1
x
x
fx
x
m x mx x
−−
=
−
+ + =
liên tục tại điểm
0
1x =
.
Ta có
( )
2
1 8 2f m m= + +
( )
( )
( ) ( )
( )
3
1 1 1
2
3
3
12 1
12 4 2
lim lim lim
1
1 12 4 2 12 4 4
x x x
x
x
fx
x
x x x
→ → →
−
−−
==
−
− − + − +
( )
2
1
3
3
12
lim 1
12 4 2 12 4 4
x
xx
→
==
− + − +
Hàm số liên tục tại điểm
0
1x =
khi và chỉ khi
( ) ( )
2
1
lim 1 8 2 1
x
f x f m m
→
= + + =
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
10
( )
2
2
2
1
1
2
1 2 0
1
1
2
8 1 2
3 4 7 0
7
3
m
m
m
m
m
mm
mm
m
−


= −
=−
+ = −

− + + =
=
Vậy
1m =−
.
Bài 4. 1. Tìm
m
để hàm số
3
2
8
2
()
26
10 2
x
khi x
fx
xx
mx khi x
−
=
−−
+
tại điểm
0
2x =
.
Ta có
0
( ) (2) 2 10f x f m= = +
22
3 2 2
2
2 2 2 2
lim ( ) lim(m 10) 2 10
8 ( 2)(x 2 4) 2 4 12
lim ( ) lim lim lim
2 6 ( 2)(2x 3) 2 3 7
xx
x x x x
f x x m
x x x x x
fx
x x x x
−−
+ + + +
→→
→ → → →
= + = +
− − + + + +
= = = =
− − − + +
Hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
22
12 29
2 lim ( ) lim ( ) (2) 2 10
77
xx
x f x f x f m m
+−
→→
= = = + = = −
2. Tìm
m
để
( )
2
2 1 1
khi 1
23
khi 1
x
x
fx
xx
x m x
−−
=
+−
+
liên tục tại điểm
0
1x =
.
Ta có
( )
11fm=+
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
2
1 1 1 1
21
2 1 1 2 1
lim lim lim lim
2 3 4
1 3 2 1 1 3 2 1 1
x x x x
x
x
fx
xx
x x x x x
+ + + +
→ → → →
−
−−
= = = =
+−
− + − + + − +
( ) ( )
11
lim lim 1
xx
f x x m m
−−
→→
= + = +
Hàm số liên tục tại điểm
0
1x =
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
11
13
lim lim 1 1
44
xx
f x f x f m m
+−
→→
= = + = = −
Vậy
3
4
m =−
.
3. Tìm
m
để
( )
2
2 7 6
khi 2
2
1
khi 2
2
xx
x
x
fx
x
mx
x
−+
−
=
−
+
+
liên tục tại điểm
0
2x =
.
Ta có
( )
1
2
4
fm=−
( )
22
11
lim lim
24
xx
x
f x m m
x
++
→→
−

= + = −

+

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
11
( )
( )( )
( )( )
( )
2
2 2 2 2
2
2 7 6
2 2 3
2 2 3
lim lim lim lim
2 2 2
lim 2 3 1
x x x x
x
xx
xx
xx
fx
x x x
x
− − − −
−
→ → → →
→
−+
−−
− − −
= = =
− − −
= − + = −
Hàm số liên tục tại điểm
0
3x =−
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
22
13
lim lim 2 1
44
xx
f x f x f m m
+−
→→
= = − = − = −
Vậy
3
4
m =−
.
4. Tìm
m
để
( )
2
2
2
3 3 1 5 4
1
21
1
3 1
3
x x x
khi x
xx
fx
m x m khi x
− + − +
−+
=
+ −
liên tục tại điểm
0
1x =
.
Ta có
( )
2
1
13
3
f m m= + −
( )
22
11
11
lim lim 3 3
33
xx
f x m x m m m
++
→→

= + − = + −


( )
( )
(
)
( )
2
2
2
2
1 1 1
1 3 5 4
3 3 1 5 4
lim lim lim
21
1
x x x
xx
x x x
fx
xx
x
− − −
→ → →
− − +
− + − +
==
−+
−
( )
(
)
( )
2
2
2
11
1 3 5 4
3 5 4
lim lim
1
1
xx
xx
x
x
x
−−
→→
− − +
−+
==
−
−
( )( )
( )
(
)
( )
2
2
11
5 1 1 5 1
5
lim lim
3
3 5 4
1 3 5 4
xx
x x x
x
xx
−−
→→
− − + − +
= = = −
++
− + +
Hàm số liên tục tại điểm
0
1x =
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
22
11
1
15
lim lim 1 3 3 2 0
2
33
xx
m
f x f x f m m m m
m
+−
→→
=
= = + − = − − + =
=
Vậy
1m =
hoặc
2m =
.
5. Tìm
m
để
( )
2
7 3 4
3
21
3
2 3
2
x
khi x
x
fx
m mx khi x
−−
−
−−
=
− − −
liên tục tại điểm
0
3x =−
.
Ta có
( )
2
3
36
2
f m m− = + −
( )
22
33
33
lim lim 2 6
22
xx
f x m mx m m
−−
→− →−

= − − = + −


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
12
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3
3 3 2 1 3 2 1
7 3 4 3
lim lim lim lim
2
2 1 7 3 4
3 7 3 4
x x x x
x x x
x
fx
xx
xx
+ + + +
→− →− →− →−
− + + − − + −
−−
= = = = −
− − − +
+ − +
Hàm số liên tục tại điểm
0
3x =−
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
22
33
0
33
lim lim 3 6 6 0
6
22
xx
m
f x f x f m m m m
m
+−
→− →−
=
= = − + − = − + =
=−
Vậy
0m =
hoặc
6m =−
.
6. Tìm
m
để
( )
( )
2
3
3
5 16
1 3
3
x
khi x
x
fx
m
x m khi x
−
−+
=
+ +
liên tục tại điểm
0
3x =
.
Ta có
( ) ( )
34
3
m
fm=+
.
( ) ( ) ( )
33
lim lim 1 4
33
xx
mm
f x x m m
−−
→→
= + + = +
.
( )
( )
(
)
( )( )
2
2
2
3 3 3 3
3 5 16
3 5 16 5
lim lim lim lim
3 3 3 3
5 16
x x x x
xx
xx
fx
x x x
x
+ + + +
→ → → →
− + +
− + +
= = = =
− + +
−+
.
Hàm số liên tục tại điểm
0
3x =
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
33
lim lim 3
xx
f x f x f
+−
→→
==
( )
2
1
5
4 4 5 0
5
33
m
m
m m m
m
=
+ = + − =
=−
Vậy
5m =−
hoặc
1m =
.
7. Tìm
m
để
( )
( )
2
34
2
2
2 10 2
x
khi x
fx
xx
m m x khi x
−
=
+−
+ + −
liên tục tại điểm
0
2x =
.
Ta có
( )
2 2 20f m m= + + −
.
( )
( )
22
lim lim 2 10 2 20
xx
f x m m x m m
−−
→→
= + + − = + + −
.
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
2
2 2 2
3 2 2 2
34
lim lim lim
21
2
x x x
x x x x
x
fx
xx
xx
+ + +
→ → →
− + + +
−
==
− − +
+−
( )
( )
( )
2
3 2 2
lim 16
1
x
x x x
x
+
→
+ + +
= = −
−+
.
Hàm số liên tục tại điểm
0
2x =
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
( )
2
22
40
lim lim 2 2 4
24
xx
m
f x f x f m m
mm
−+
→→
−
= = + = −
+ = −
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
13
2
4
4
2
2
9 14 0
7
m
m
m
m
mm
m
=
=

− + =
=
.
Vậy
2m =
.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
( )
3
2
27
3
2 5 3
4
3
5
x
khi x
xx
fx
x
khi x
+
−
+−
=
+
=−
tại điểm
0
3x =−
. ĐS: K liên tục.
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
28
2
1 4 3
5 2 2
x
khi x
fx
x
x khi x
−+
−
=
−−
− −
tại điểm
0
2x =−
. ĐS: Liên tục.
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
9
3
12
2 12 3
x
khi x
fx
x
x khi x
−
=
+−
+
tại điểm
0
3x =
. ĐS: Không liên tục.
Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
4
2
7 10
8
2
3
x
khi x
xx
fx
x
hi x
−
−−
=
−=
tại điểm
0
2x =
. ĐS: Liên tục.
Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số
( )
( )
2
5 3 5
5
5
2 1 3
x khi x
fx
x
khi x
x
− +
=
−
−−
tại điểm
0
5x =
. ĐS: Liên tục.
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
2
12
3
3
5
3
1
xx
khi x
x
fx
x
khi x
x
+−
−
=
+
=
−
tại điểm
0
3x =
. ĐS: Liên tục.
Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số
( )
4 5 5
5
5
2
5
25
x
khi x
x
fx
x
khi x
+−
−
=
tại điểm
0
5x =
. ĐS: Liên tục.
Bài 8. Xét tính liên tục của hàm số
( )
32
3 1 5
1
23
2 1 1
xx
khi x
fx
x x x
x khi x
+ − −
=
− + −
− +
tại điểm
0
1x =
. ĐS: Liên tục.
Bài 9. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
2 4 2
56
2
22
42
x x khi x
xx
f x khi x
x
khi x
− −
−+
=
+−
−=
tại điểm
0
2x =
. ĐS: Liên tục.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
14
Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
32
1
83
1 6 1
xx
khi x
fx
x
x x khi x
−+
=
+−
− −
tại điểm
0
1x =
. ĐS: Liên tục.
Bài 11. Tìm
m
để hàm số
( )
( )
3
3
22
23
1
1
14
1
2
xx
khi x
x
fx
mx
khi x
x
+−
−
=
−+
+
liên tục tại điểm
0
1x =
. ĐS:
2m =
.
Bài 12. Tìm
m
để hàm số
( )
42
32
6 27
3
33
33
xx
khi x
fx
x x x
mx khi x
−−
−
=
+ + +
+ = −
liên tục tại điểm
0
3x =−
. ĐS:
10
3
m =
.
Bài 13. Tìm
m
để hàm số
( )
3
2
27
3
2 4 6
83
x
khi x
fx
xx
mx khi x
−
=
−−
+
liên tục tại điểm
0
3x =
. ĐS:
37
24
m =−
.
Bài 14. Tìm
m
để hàm số
( )
2
2
22
22
x
khi x
fx
x
x m khi x
−
=
+−
+=
liên tục tại điểm
0
2x =
. ĐS:
2m =
.
Bài 15. Tìm
m
để hàm số
( )
( )
2
2
2
2
25
5
45
55
x
khi x
xx
fx
x m khi x
−
−−
=
− +
liên tục tại điểm
0
5x =
. ĐS:
15
3
m =
.
_DẠNG 2. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ
Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm
0
xx=
khi
( ) ( )
0
0
lim
xx
f x f x
→
=
hoặc
( ) ( ) ( )
00
0
lim lim
x x x x
f x f x f x
−+
→→
==
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số
( )
3
3
23
1
1
7
1
3
xx
khi x
x
fx
khi x
++
−
+
=
=−
trên .
ĐS: Liên tục trên .
Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là
D =
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
15
+ Xét
1x −
thì
( )
3
3
23
1
xx
fx
x
++
=
+
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng
( )
;1− −
và
( )
1;− +
mà nó xác định.
+ Xét tính liên tục của hàm số
( )
fx
tại
1x =−
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
2
32
32
2
1 1 1 1
1 2 2 3
2 3 2 2 3 7
lim lim lim lim
1 1 3
11
x x x x
x x x
x x x x
fx
x x x
x x x
→− →− →− →−
+ − +
+ + − +
= = = =
+ − +
+ − +
.
( )
7
1
3
f −=
.
Suy ra
( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→−
=−
nên hàm số đã cho liên tục tại
0
1x =−
.
+ Vậy hàm số đã cho liên tục trên .
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
43
1
1
51
xx
khi x
fx
x
x khi x
−+
=
−
− −
trên .
ĐS: Liên tục trên .
Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là
D =
.
+ Với mọi
( )
0
1;x +
,
( ) ( )
00
2
0
43
lim lim
1
x x x x
xx
f x f x
x
→→
−+
==
−
.
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên
khoảng
( )
1;+
.
+ Với mọi
( )
0
;1x −
, ta có
( )
( )
( )
00
00
lim lim 5 5
x x x x
f x x x f x
→→
= − − = − − =
.
Suy ra hàm số đã
cho liên tục trên khoảng
( )
;1−
.
+ Xét tính liên tục của hàm số tại
1x =
( )
1 5 1 2f = − − =
.
-
( )
( )
11
lim lim 5 2
xx
f x x
−−
→→
= − − − = −
.
-
( )
( )( )
( )
1 1 1
13
lim lim lim 3 2
1
x x x
xx
f x x
x
+ + +
→ → →
−−
= = − = −
−
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
11
lim lim 1
xx
f x f x f
−+
→→
==
nên hàm số đã cho liên tục tại
1x =
.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên .
Ví dụ 3. Tìm
a
để hàm số
( )
( )
2
2
6
2
2 3 2
2 3 2
xx
khi x
xx
fx
x a khi x
+−
+ − −
=
− +
liên tục trên . ĐS:
11a =−
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
16
Lời giải
Với
( )
;2x −
ta có:
-
( )
2
00
0
00
6
2 3 2
xx
fx
xx
+−
=
+ − −
.
-
( ) ( ) ( )
00
22
0
lim lim 2 3 2 3
x x x x
f x x a x a
→→

= − + = − +

.
Suy ra
( ) ( )
0
0
lim
xx
f x f x
→
=
nên hàm số liên tục trên khoảng
( )
;2−
.
Với
( )
2;x +
ta có
-
( ) ( )
2
00
23f x x a= − +
.
-
( ) ( ) ( )
00
22
0
lim lim 2 3 2 3
x x x x
f x x a x a
→→

= − + = − +

.
Suy ra
( ) ( )
0
0
lim
xx
f x f x
→
=
nên hàm số liên tục trên khoảng
( )
2;+
.
Lại có:
-
( )
21fa=+
.
-
( )
2
22
6
lim lim 10
2 3 2
xx
xx
fx
xx
++
→→
+−
= = −
+ − −
.
-
( ) ( )
2
22
lim lim 2 3 1
xx
f x x a a
−−
→→

= − + = +

.
Khi đó hàm số liên tục trên thì sẽ liên tục tại
2x =
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
22
lim lim 2 10 1
xx
f x f x f a
+−
→→
= = − = +
.
Suy ra
11a =−
là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
( )
32
2 6 3
3
3
19 3
x x x
khi x
fx
x
khi x
+ + +
−
=
+
=−
trên .
Lời giải
Tập xác định của hàm số là
D =
.
- Xét
3x −
thì
( )
32
2 6 3
3
x x x
fx
x
+ + +
=
+
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng
( )
;3− −
và
( )
3;− +
mà nó xác định.
- Xét tính liên tục của hàm số
( )
fx
tại
3x =−
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
17
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
32
2
3 3 3 3
3 2 1
2 6 3
lim lim lim lim 2 1 19
33
x x x x
xx
x x x
f x x
xx
→ − → − → − → −
++
+ + +
= = = + =
−+
.
Suy ra
( )
( ) ( )
3
lim 3
x
f x f
→−
=−
nên hàm số đã cho liên tục tại
3x =−
.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên .
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
3
56
2
2 16
22
xx
khi x
fx
x
x khi x
−+
=
−
−
trên .
Lời giải
Tập xác định
D =
.
- Với mọi
( ) ( ) ( )
00
2
00
3
56
;2 , lim lim
2 16
x x x x
xx
x f x f x
x
→→
−+
− = =
−
.
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng
( )
;2−
.
- Với mọi
( ) ( ) ( ) ( )
00
0 0 0
2; ,lim lim 2 2
x x x x
x f x x x f x
→→
+ = − = − =
.
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng
( )
2;+
.
- Xét tính liên tục của hàm số tại
2x =
( )
20f =
.
( )
( )( )
( )
( ) ( )
2
3
22
2 2 2 2
23
5 6 3 1
lim lim lim lim
2 16 24
2 2 2 4 2 2 4
x x x x
xx
x x x
fx
x
x x x x x
− − − −
→ → → →
−−
− + −
= = = = −
−
− + + + +
( ) ( )
22
lim lim 2 0
xx
f x x
++
→→
= − =
.
Suy ra hàm số không liên tục tại
2x =
.
Bài 3. Tìm
a
để
( )
2
32
3
23
1
1
1
xx
khi x
fx
x x x
a khi x
−−
−
=
+ + +
=−
liên tục trên .
Lời giải
Ta có với
1x
thif
( )
2
32
23
1
xx
fx
x x x
−−
=
+ + +
là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng
khoảng mà nó xác định. Lại có
-
( )
3
1fa−=
.
-
( )
( )( )
( )
( )
2
3 2 2
2
1 1 1 1
1 2 3
2 3 2 3 5
lim lim lim lim
1 1 2
11
x x x x
xx
x x x
fx
x x x x
xx
→− →− →− →−
+−
− − −
= = = = −
+ + + + +
++
.
Khi đó hàm số liên tục trên thì sẽ liên tục tại
1x =−
khi và chỉ khi
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
18
( ) ( )
3
1
5
lim 1
2
x
f x f a
→−
= − == −
.
Suy ra
3
5
2
a =−
là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
( )
3
1
1
1
12
1
2
x
khi x
x
fx
x
khi x
x
−
−
=
−+
+
liên tục trên .
Bài 2. Tìm
m
để
( )
2
5
0
11
20
xx
khi x
fx
x
m khi x
+
=
−−
+
liên tục trên .
Bài 3. Tìm
m
để
( )
2
32
1
1
1
cos 1
x
khi x
fx
x x x
m khi x
−
−
=
+ + +
=−
liên tục trên .
Bài 4. Tìm
m
để
( )
3
2 2 1
1
1
3 2 1
xx
khi x
fx
x
m khi x
− + −
=
−
−=
liên tục trên .
Bài 5. Tìm
m
để
( )
2
11
0
2 3 1 0
x
khi x
fx
x
x m khi x
+−
=
+ +
liên tục trên .
_DẠNG 3. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Phương pháp giải:
- Để chứng minh phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một nghiệm trên
D
, ta chứng minh hàm số
liên tục trên
D
và có hai số
,a b D
sao cho
( ) ( )
.0f a f b
.
- Để chứng minh phương trình
( )
0fx=
có
k
nghiệm trên
D
, ta chứng minh hàm số
( )
fx
liên tục
trên
D
và tồn tại
k
khoảng rời nhau
( )
1
;
ii
aa
+
với
1;2;...;ik=
nằm trong
D
sao cho
( ) ( )
1
.0
ii
f a f a
+
.
Chú ý: Hàm số đã thức liên tục trên . Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên
từng khoảng xác định của chúng.
Khi hàm số đã liên tục trên rồi, sẽ lieent ục trên mỗi khoảng
( )
1
;
ii
aa
+
mà ta cần tìm.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình
32
4 8 1 0xx− + =
có nghiệm trong khoảng
( )
1;2−
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
19
Lời giải
- Đặt
( )
32
4 8 1f x x x= − +
và
( )
fx
là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra liên tục trên
1;2−
.
- Ta có
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
00
1 11
1 . 2 11 0 1;2 : 0
21
f
f f x f x
f
− = −
− = − − =
=
,
Nghĩa là phương trnhf
( )
32
4 8 1 0f x x x= − + =
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
( )
1;2−
.
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình
3
31xx−+
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Lời giải
Đặt
( )
3
31f x x x= − +
và
là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra hàm số liên tục trên
các đoạn
2;0 ; 0;1 ; 1;2−
.
- Ta có
( )
( )
( ) ( )
11
2 . 0 1 0
01
f
ff
f
− = −
− = −
=
phương trình
( )
3
3 1 0f x x x= − + =
có ít nhất
một nghiệm thuộc khoảng
( )
2;0−
. (1)
- Ta có
( )
( )
( ) ( )
01
0 . 1 1 0
11
f
ff
f
=
= −
=−
phương trình
( )
3
3 1 0f x x x= − + =
có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng
( )
0;1
. (2)
- Ta có
( )
( )
( ) ( )
11
1 . 2 3 0
23
f
ff
f
=−
= −
=
phương trình
( )
3
3 1 0f x x x= − + =
có ít nhất
một nghiệm thuộc khoảng
( )
1;2
. (3)
Từ
( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3
suy ra phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng
( )
2;0−
,
( )
0;1
,
( )
1;2
. Mà
( )
fx
là đa thức bậc ba nên phương trình
( )
0fx=
có tối đa ba nghiệm. Suy
ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt.
Chú ý: Với sự hỗ trợ của chức năng mode
7
trong casio, ta dễ dàng tìm được các khoảng
( )
2;0−
,
( )
0;1
,
( )
1;2
như trên. Công việc còn lại là trình bày sao cho đúng ngôn ngữ.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình
3
10xx+ + =
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn
1−
.
Lời giải
Đặt
( )
3
1f x x x= + +
, vì
( )
fx
là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra hàm số liên tục trên
đoạn
1;0−
.
Ta có
( )
( )
( ) ( )
11
1 . 0 1 0
01
f
ff
f
− = −
− = −
=
phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng
( )
1;0−
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
20
Suy ra phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn
1−
.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình
32
5 2 0xx+ − =
có ít nhất hai nghiệm.
Lời giải
Đặt
( )
32
52f x x x= + −
,
( )
fx
là hàm đa thức trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn
1;0−
;
0;1
- Ta có
( )
( )
( ) ( )
12
1 . 0 4 0
02
f
ff
f
−=
− = −
=−
phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng
( )
1;0−
. (1)
- Tương tự
( )
( )
( ) ( )
02
1 . 0 8 0
14
f
ff
f
=−
− = −
=
phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng
( )
0;1
. (2)
Từ
( )
1
và
( )
2
ta suy ra phương trình
( )
0fx=
có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình
43
4 2 3 0x x x+ − − =
có ít nhất hai nghiệm.
Lời giải
Đặt
( )
43
4 2 3f x x x x= + − −
,
( )
fx
là hàm đa thức trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn
1;0−
,
0;1
.
- Ta có
( )
( )
( ) ( )
14
1 . 0 12 0
03
f
ff
f
−=
− = −
=−
phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng
( )
1;0−
. (1)
- Tương tự
( )
( )
( ) ( )
03
1 . 0 6 0
12
f
ff
f
=−
− = −
=
phương trình
( )
0fx=
có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng
( )
0;1
. (2)
Từ
( )
1
và
( )
2
ta suy ra phương trình
( )
0fx=
có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng phương trình
( )
25
1 3 1 0m x x− − − =
luôn có nghiệm với mọi
m
.
Lời giải
Đặt
( )
( )
25
1 3 1f x m x x= − − −
và
là hàm đa thức liên tục trên
( )
fx
liên tục trên
đoạn
1;0−
.
Ta có
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
00
11
1 . 0 0 1;0 : 0
01
fm
f f x f x
f
− = +
− − =
=−
.
Do đó phương trình
( )
0fx=
luôn có nghiệm với mọi
m
(đpcm).
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
21
Chú ý: Đối với bài toán chứa tham số
m
, ta chọn khoảng
( )
;ab
sao cho tại vị trí
a
và
b
triệt
tiêu đi
m
hoặc là biểu thức luôn dương hoặc luôn âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán.
Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức
2
0
0,
0
a
ax bx c x
+ +

.
2
0
0,
0
a
ax bx c x
+ +

.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng phương trình
42
2 1 0x mx mx+ − − =
có nghiệm với mọi
m
.
Lời giải
Đặt
( )
42
21f x x mx mx= + − −
và
( )
fx
là hàm đa thức liên tục trên
( )
fx
liên tục trên
đoạn
0;2
.
Ta có
( )
( )
( ) ( )
01
1 . 2 15
2 15
f
ff
f
=−
− = −
=
phương trình
( )
0fx=
luôn có nghiệm với mọi
m
.
Ví dụ 8. Chứng minh rằng phương trình
( )( )
2 3 2 5 0m x x m− − + − =
có nghiệm với mọi
m
.
Lời giải
Đặt
( ) ( )( )
2 3 2 5f x m x x x= − − −
và
( )
fx
là hàm đa thức liên tục trên
( )
fx
liên tục
trên đoạn
2;3
.
Ta có
( )
( )
( ) ( )
21
2 . 3 1
31
f
ff
f
=−
= −
=
phương trình
( )
0fx=
luôn có nghiệm với mọi
m
.
Ví dụ 9. Chứng minh phương trình
( )( ) ( )( ) ( )( )
0x a x b x b x c x c x a− − + − − + − − =
có ít nhất một
nghiệm với mọi số thực
a
,
b
,
c
.
Lời giải
Đặt
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
f x x a x b x b x c x c x a= − − + − − + − −
. Vì
là hàm đa thức nên sẽ liên
tục trên . Không mất tính tổng quát, có thể giả sử
abc
.
- Nếu
ab=
hoặc
bc=
thì
( ) ( )( )
f b b a b c= − −
, suy ra phương trình có nghiệm
.xb=
- Nếu
abc
thì
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
0
f a a b a c
f b b a b c
= − −
= − −
( ) ( )
.0f a f b
. Do đó phương trình có ít
nhất một nghiệm trong khoảng
( )
;ab
.
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm (đpcm).
Ví dụ 10. Cho ba số
a
,
b
,
c
thỏa mãn hệ thức
2 3 6 0a b c+ + =
. Chứng minh rằng phương trình
2
0ax bx c+ + =
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
( )
0;1
.
Lời giải
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
22
Đặt
( )
2
f x ax bx c= + +
và
( )
fx
là hàm đa thức nên liên tục trên .
- Ta có
( )
0fc=
và có
( )
2 3 6 0
2 4 2 2
2 3 6
3 9 3 3 3 3
a b c
cc
f a b c a b c
+ + =

= + + = + + − = −


.
- Nếu
0c =
thì
2
0
3
f

=


, suy ra phương trình có nghiệm
( )
2
0;1
3
x =
.
- Nếu
0c
thì ta có
( )
2
2
0 . 0
33
c
ff

= −


( )
0fx=
có nghiệm
( )
2
0; 0;1
3
xa

=


.
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
( )
0;1
.
Ví dụ 11. Cho hàm số
( )
32
31f x x x= − −
. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm
( )
0
3;4x
. Không
tính
( )
5
36f
và
( )
5
1 36f +
, chứng minh rằng
5
0
1 36x +
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
32
32
3 3 3.3 1 1
3 . 4 15 0
4 4 3.4 1 15
f
ff
f
= − − = −
= −
= − − =
.
Suy ra phương trình có nghiệm
( )
0
3;4x
.
Ta có
( ) ( ) ( )
3
32
3 1 1 3 1 3f x x x x x= − − = − − − −
.
Vì
0
x
là nghiệm của phương trình
( )
0fx=
nên ta có
( )
0
0fx =
( ) ( )
3
00
1 3 1 3 0xx − − − − =
.
Đặt
0
1x
=−
và
( ) ( )
0
3;4 2;3x
. Khi đó, ta có
33
3 3 0 3 3 2. 9 6
− − = = + =
65
5
36 36 36
.
Dấu “
=
” xảy ra khi và chỉ khi
( )
3 3 1 2;3

= =
.
Do đó, dấu “
=
” không xảy ra, tức là ta luôn có
5 5 5
00
36 1 36 1 36.xx
− +
Suy ra điều phải chứng minh.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Chứng minh phương trình
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1 0m x m x x m+ − − + + =
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 2. Chứng minh phương trình
( )
52
1 9 16 0m x mx x m− + − − =
có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài 3. Chứng minh phương trình
( )
22
3 2 4 0
n
m m x x− + − − =
có ít nhất một nghiệm âm với mọi
m
.
Bài 4. Chứng minh phương trình
( ) ( )
3
4 1 1 0m x m x m+ − + + =
có nghiệm với mọi
m
.
Bài 5. Chứng minh phương trình
( )( )
( )
2002
3 2001
1 1 2 2 3 0m x x x− − + + + =
có nghiệm với mọi
m
.
Bài 6. Chứng minh phương trình
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1 0m x m x x m+ − − + + =
có ba nghiệm phân biệt.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
23
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình
( )
( )
33
1 4 3 1 0m x x x x x− − + − + =
có ít nhất ba nghiệm.
Bài 8. Cho
và
thỏa mãn
0


. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm
2 10 2 2
10
sin sin
sin xx

+ − −
−=
+
.
Bài 9. Chứng minh rằng nếu
0
a b c
k n m
+ + =
,
( )
0k n m
và
2
km n
thì phương trình
2
0ax bx c+ + =
có nghiệm thuộc khoảng
( )
0;1
.
LỜI GIẢI
Bài 1. Đặt
( )
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1f x m x m x x m= + − − + +
,
( )
fx
liên tục với mọi
x
.
Có:
( )
( )
( ) ( ) ( )
32
2 2 2 2
3 1 . 3 2 . 3 4. 3 1 44 14 0f m m m m− = + − − − − − + + = − −
;
( )
( )
2 3 2 2 2 2
0 1 .0 2 .0 4.0 1 1 0f m m m m= + − − + + = +
;
( )
( )
2 3 2 2 2
1 1 .1 2 .1 4.1 1 2 0f m m m= + − − + + = −
;
( )
( )
2 3 2 2 2 2
2 1 .2 2 .2 4.2 1 1 0f m m m m= + − − + + = +
.
Ta thấy
( ) ( )
3 . 0 0ff−
;
( ) ( )
0 . 1 0ff
;
( ) ( )
1 . 2 0ff
nên phương trình
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1 0m x m x x m+ − − + + =
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
3;0−
, ít nhất 1 nghiệm
trong khoảng
( )
0;1
, ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
1;2
.
Vậy phương trình
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1 0m x m x x m+ − − + + =
có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2. Đặt
( ) ( )
52
1 9 16f x m x mx x m= − + − −
,
( )
fx
liên tục trên .
Trường hợp 1:
0m =
, ta có phương trình
5
16 0xx−=
có nghiệm
0; 2x
.
Vậy với
0m =
thì phương trình
( )
52
1 9 16 0m x mx x m− + − − =
có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2:
0m
, ta có:
( ) ( )( ) ( ) ( )
52
2 1 2 9 2 16. 2 67f m m m m− = − − + − − − − =
;
( ) ( )
52
0 1 .0 9 .0 16.0f m m m m= − + − − = −
;
( ) ( )
52
2 1 .2 9 .2 16.2 3f m m m m= − + − − = −
.
Ta thấy
( ) ( )
2
2 . 0 67 0f f m− = −
,
( ) ( )
2
0 . 2 3 0f f m= −
với mọi
0m
.
Suy ra phương trình
( )
52
1 9 16 0m x mx x m− + − − =
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
2;0−
,
ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
0;2
.
Vậy phương trình
( )
52
1 9 16 0m x mx x m− + − − =
có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài 3. Đặt
( )
( )
22
3 2 4
n
f x m m x x= − + − −
,
( )
fx
liên tục trên .
Xét
( )
( )
( ) ( )
( )
2
22
2 3 2 2. 2 4 3 .4 0
n
n
f m m m m− = − + − − − − = − +
.
Xét
( )
( )
22
0 3 .0 2.0 4 4 0
n
f m m= − + − − = −
.
Ta thấy
( ) ( )
2 . 0 0ff−
với mọi
0m
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
24
Suy ra phương trình
( )
22
3 2 4 0
n
m m x x− + − − =
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
2;0−
.
Vậy phương trình
( )
22
3 2 4 0
n
m m x x− + − − =
có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 4. Trường hợp 1:
0m =
, ta có phương trình
3
0xx−=
luôn có nghiệm
0x =
;
1x =
.
Trường hợp 2:
0m
.
Đặt
( ) ( ) ( )
3
4 1 1f x m x m x m= + − + +
,
( )
fx
liên tục với mọi
x
.
Có:
( ) ( )( ) ( )( )
3
1 4 1 1 1 1 2f m m m m− = + − − + − + = −
;
( ) ( ) ( )
3
0 4 1 .0 1 .0f m m m m= + − + + =
.
Ta thấy
( ) ( )
2
1 . 0 2 0f f m− = −
nên phương trình
( ) ( )
3
4 1 1 0m x m x m+ − + + =
có ít nhất 1
nghiệm trong khoảng
( )
1;0−
.
Vậy phương trình
( ) ( )
3
4 1 1 0m x m x m+ − + + =
có nghiệm với mọi
m
.
Bài 5. Đặt
( )
( )( )
( )
2002
3 2001
1 1 2 2 3f x m x x x= − − + + +
,
liên tục với mọi
x
.
Xét
( )
( )
( ) ( ) ( )
2002
2001
3
2 1 2 1 2 2 2. 2 3 1fm

− = − − − − + + − + = −



.
Xét
( )
( )( )
( )
2002
3 2001
1 1 1 1 1 2 2.1 3 5fm= − − + + + =
.
Ta thấy
( ) ( )
2 . 1 1.5 5 0ff− = − = −
với mọi
m
.
Suy ra phương trình
( )( )
( )
2002
3 2001
1 1 2 2 3 0m x x x− − + + + =
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
2;1−
.
Vậy phương trình
( )( )
( )
2002
3 2001
1 1 2 2 3 0m x x x− − + + + =
có nghiệm với mọi
m
.
Bài 6. Đặt
( )
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1f x m x m x x m= + − − + +
,
( )
fx
liên tục với mọi
x
.
Có:
( )
( )
( ) ( ) ( )
32
2 2 2 2
3 1 . 3 2 . 3 4. 3 1 44 14 0f m m m m− = + − − − − − + + = − −
;
( )
( )
2 3 2 2 2 2
0 1 .0 2 .0 4.0 1 1 0f m m m m= + − − + + = +
;
( )
( )
2 3 2 2 2
1 1 .1 2 .1 4.1 1 2 0f m m m= + − − + + = −
;
( )
( )
2 3 2 2 2 2
2 1 .2 2 .2 4.2 1 1 0f m m m m= + − − + + = +
.
Ta thấy
( ) ( )
3 . 0 0ff−
,
( ) ( )
0 . 1 0ff
,
( ) ( )
1 . 2 0ff
. Suy ra phương trình
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1 0m x m x x m+ − − + + =
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
3;0−
, ít nhất 1 nghiệm
trong khoảng
( )
0;1
, ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
1;2
.
Vậy phương trình
( )
2 3 2 2 2
1 2 4 1 0m x m x x m+ − − + + =
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 7. Đặt
( ) ( )
( )
33
1 4 3 1f x m x x x x x= − − + − +
,
( )
fx
liên tục với mọi
x
.
Có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33
2 2 1 2 4. 2 2 3. 2 1 1fm

− = − − − − − + − − − + = −

;
( ) ( )
( )
33
0 0 1 0 4.0 0 3.0 1 1fm= − − + − + =
;
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
25
( ) ( )
( )
33
1 1 1 1 4.1 1 3.1 1 1fm= − − + − + = −
;
( ) ( )
( )
33
2 2 1 2 4.2 2 3.2 1 1fm= − − + − + =
.
Ta thấy
( ) ( )
2 . 0 0ff−
,
( ) ( )
0 . 1 0ff
,
( ) ( )
1 . 2 0ff
nên phương trình
( )
( )
33
1 4 3 1 0m x x x x x− − + − + =
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
2;0−
, ít nhất 1 nghiệm
trong khoảng
( )
0;1
, ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( )
1;2
.
Vậy phương trình
( )
( )
33
1 4 3 1 0m x x x x x− − + − + =
có ít nhất ba nghiệm.
Bài 8. Đặt
( )
2 10 2 2
10
sin sin
sinf x x x

+ − −
= − −
+
, hàm số
liên tục trên .
Ta có
( )
lim
x
fx
→−
= +
nên tồn tại
0m
sao cho
( )
0fm
.
Mà
( )
lim
x
fx
→+
= −
nên tồn tại
0M
sao cho
( )
0fM
.
Do đó, hàm số
liên tục trên
;mM
và
( ) ( )
.0f m f M
nên phương trình
( )
0fx=
có
nghiệm.
Bài 9. Xét phương trình
2
0ax bx c+ + =
( )
1
.
Đặt
( )
2
f x ax bx c= + +
thì
liên tục trên .
Ta có
( )
0fc=
;
2
2
..
n n n
f a b c
k k k

= + +


.
Suy ra
( )
2 2 2
2
0 . 1 1
n n a b c n n
f f c c c
k k k n m km km

= + + + − = −


(do
0
a b c
k n m
+ + =
).
Vì
2
0c
;
2
0n km
2
1
n
km

, do đó
( )
2
2
0 . 1 0
nn
f f c
k km


= −




.
- Với
0c =
phương trình đã cho trở thành
2
0ax bx+=
. Suy ra
0x =
hoặc
0ax b+=
( )
2
.
+ Nếu
0a =
thì từ
0ca==
và điều kiện
0
a b c
k n m
+ + =
suy ra
0b =
. Khi đó phương trình
( )
2
có nghiệm là
x
, suy ra phương trình
( )
1
có nghiệm
( )
0;1x
.
+ Nếu
0a
thì
0b
(vì nếu
0b =
,
0c =
thì từ điều kiện
0
a b c
k n m
+ + =
suy ra
0a =
), suy ra
phương trình
( )
2
có nghiệm
b
x
a
=−
. Khi đó từ điều kiện
0
a b c
k n m
+ + =
;
0k n m
và
0c =
suy ra
( )
0;1
bn
x
ak
= − =
. Do đó phương trình
( )
1
có nghiệm
( )
0;1x
.
- Với
2
10
n
km
−=
0
nn
f
kk

=


là nghiệm thuộc
( )
0;1
.
- Với
0c
và
( )
2
1 0 0 . 0
nn
ff
km k

−


thì
( )
fx
có ít nhất 1 nghiệm thuộc
0;
n
k



. Mà
( )
0; 0;1
n
k



(vì
01
n
k

) nên phương trình
( )
1
có nghiệm
( )
0;1x
.
Vậy phương trình
( )
1
luôn có nghiệm
( )
0;1x
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
26
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình
4 3 2
2 15 25 0x x x x− − − − =
có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất
một nghiệm dương.
ĐS:
( )
1;0−
;
( )
3;4
.
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình
32
4 2 0xx+ − =
có ba nghiệm trong khoảng
( )
4;1−
.
ĐS:
7
4;
2

−−


;
1
1;
2

−−


;
1
;1
2



.
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình
53
5 4 1 0x x x− + − =
có đúng năm nghiệm.
ĐS:
3
2;
2

−−


;
3
;1
2

−−


;
1
1;
2

−


;
1
;1
2



;
( )
1;3
.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Page
27
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
– Giả sử hàm số f ( x) xác định trên khoảng (a;b) và x  ;
a b . Hàm số y = f ( x) gọi là liên 0 ( )
tục tại điểm x nếu lim f ( x) = f ( x . 0 ) 0 x→x0
– Hàm số không liên tục tại điểm x gọi là gián đoạn tại x . 0 0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn
– Giả sử hàm số f ( x) liên tục trên khoảng (a;b) . Ta nói rằng hàm số y = f ( x) liên tục trên
khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
– Hàm số y = f ( x) gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
lim f ( x) = f (a), lim f ( x) = f (b) . + − x→a x b → Nhận xét:
– Nếu hai hàm f ( x) và g ( x) liên tục tại điểm x thì các hàm số f ( x)  g ( x) , f ( x).g ( x) , 0 .
c f ( x) (với c là hằng số) đều liên tục tại điểm x . 0
– Hàm số đa thức liên tục trên
. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
– Định lý về giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a;b. Nếu f (a)  f (b) thì với
mỗi số thực M nằm giữa f (a), f (b) tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) thoả mãn f (c) = M .
– Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;bvà M là một số thực nằm giữa f (a), f (b)
thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại ít nhất một điểm có hoành độ c (a;b) .
– Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b và f (a). f (b)  0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c  (a;b) sao cho f (c) = 0 . Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:
+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a;b và
f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) ”. 1 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
+ Vận dụng trong tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a;b và
f (a). f (b)  0 thì đồ thị của hàm số y = f ( x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a;b) ”.
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
_DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm x = x khi f ( x = lim f x hoặc f ( x = lim f x = lim f x 0 ) ( ) ( ) 0 ) ( ) 0 x→x − + → → 0 x 0 x x 0 x VÍ DỤ 2  x − 3x + 2  khi x  2
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  x − 2 tại điểm x = 2 .  0 4x − 7 khi x = 2
ĐS: Liên tục Lời giải
Ta có f (x ) = f (2) = 4.2 − 7 = 1 0 2 x − 3x + 2
(x − 2)(x −1) lim f (x) = lim = lim =1 x→2 x→2 x→2 x − 2 x − 2
Suy ra f (2) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2. 0 x→2  x + 3 − 2  khi x  1  −
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số x 1 f (x) =  tại điểm x = 1. 0 1  khi x = 1 3
ĐS: Không liên tục Lời giải 1
Ta có f (x ) = f (1) = . 0 3 x + 3 − 2 x −1 1 1 lim f (x) = lim = lim = lim = x 1 → x 1 → x 1 → x 1 x −1
(x −1)( x + 3 + 2) → x + 3 + 2 4
Suy ra f (1)  lim f (x) nên hàm số f (x) không liên tục tại điểm x = 1 (hay gián đoạn tại 0 x 1 → điểm x = 1 ). 0 2 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2
x −3x + 3 khi x  2 
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 1  − 2x −3 tại điểm x = 2 0  khi x  2  2 − x ĐS: Liên tục Lời giải Ta có 2
f (x ) = f (2) = 2 − 3.2 + 3 = 1 0 2
lim f (x) = lim (x − 3x + 3) = 1 − − x→2 x→2 1− 2x − 3 1− 2x + 3 2 lim f (x) = lim = lim = lim =1 + + + + x→2 x→2 − x→2 x→2 2 x
(2 − x)(1+ 2x − 3) 1+ 2x − 3
Suy ra f (2) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2 . − + 0 x→2 x→2 2  x −9  khi x  3
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  x +1 − 2 tại điểm x = 3 . 0 2x+12 khi x  3
ĐS: Không liên tục Lời giải
Ta có f (x ) = f (3) = 18 0 2 x − 9
(x − 3)(x + 3)( x +1 + 2)
lim f (x) = lim (2x +12) = 18 lim f (x) = lim = lim − − + + + x→3 x→3 x→3 x→3 x→3 x +1 − 2 x − 3
= lim(x +3)( x +1 + 2) = 24 + x 3 →
Suy ra f (3) = lim f (x)  lim f (x) nên hàm số f (x) không liên tục tại điểm x = 3 . − + 0 x→3 x→3
x +1− x + 3  khi x  1 x −1  3
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 
khi x = 1 tại điểm x = 1. 4  0 3 2
3x − 6x −3x + 6 khi x 1  2
 3x −14x +11 ĐS: Liên tục Lời giải 3
Ta có f (x ) = f (1) = 0 4 3 2 2 2
3x − 6x − 3x + 6
(x −1)(3x − 3x − 6) 3x − 3x − 6 3 lim f (x) = lim = lim = lim = − − 2 − − x 1 → x 1 → − + x 1 → − − x 1 3x 14x 11 (x 1)(3x 11) → 3x −11 4 3 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x +1− x + 3
(x −1) − (x + 3) x + 2 3 lim f (x) = lim = lim = lim = + + + + x 1 → x 1 → − x 1 → x 1 x 1
(x −1)(x +1+ x + 3) → x +1+ x + 3 4
Suy ra f (1) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1. − + 0 x 1 → x 1 → 2cos5 .
x cos 3x − cos 8x −1  khi x  0
Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số 4 2 f (x) =  x + x tại điểm x = 0 .  0 2 khi x = 0
ĐS: Không liên tục Lời giải
Ta có f (x ) = f (0) = 2 0 2cos 5 .
x cos 3x − cos8x −1
cos8x + cos 2x − cos8x −1 lim f (x) = lim = lim 4 2 4 2 x 0 → x 0 → x 0 x + x → x + x 2 2 cos 2x −1 2 − sin x  sinx  2 −  = lim = lim = lim  .    = 2 − 4 2 2 2 2 x→0 x→0 x→0 x + x x (x +1)
 x x +1  
Suy ra f (0)  lim f (x) nên hàm số f (x) không liên tục tại điểm x = 0 (hay gián đoạn tại 0 x→0 điểm x = 0 ). 0 3 2
x + 2x − 5x − 6 khi x  2  3  x − 4x
Ví dụ 7. Tìm a để hàm số f (x) = 
liên tục tại điểm x = 2. 0 1  (a + x) khi x = 2 8 ĐS: a =13 Lời giải 1
Ta có f (2) = (a + 2) 8 3 2 2 2
x + 2x − 5x − 6
(x − 2)(x + 4x + 3) x + 4x + 3 15 lim f (x) = lim = lim = lim = 3 x→2 x→2 x→2 x→2 x − 4x
x(x − 2)(x + 2) x(x + 2) 8 1 15
Hàm số liên tục tại điểm x = 2  f (2) = lim f (x)  (a+ 2) =  a =13. 0 x 2 → 8 8 2  2(x − 4) khi x  2 
Ví dụ 8. Tìm m để hàm số f (x) =  x + 2 − x
liên tục tại điểm x = 2 .  0
m + 2 + m −10x khi x  2 ĐS: m = 2 Lời giải
Ta có f (2) = m + 2 + m − 20 2 − − + + + 4 3(x 4) 3(x 2)(x 2)( x 2 x) lim = lim = lim + + + 2 x→2 x→2 x→2 x + 2 − x x + 2 − x Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3(x − 2)(x + 2)( x + 2 + x)
3(x + 2)( x + 2 + x) = lim = lim = 1 − 6 + + x→2 − + − x→2 (x 1)(x 2) −(x +1)
lim = lim( m + 2 + m −10 )
x = m + 2 + m − 20 − − x 2 → x 2 →
Hàm số f (x) liên tục tại điểm
x = 2  lim f ( ) x = lim f ( )
x = f (2)  m + 2 + m − 20 = 1 − 6 0 + − x 2 → x 2 → m  4 m  4
m + 2 = 4 − m      m = 2 2
m − 9m +14 = 0
m = 2  m = 7
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1.
Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra: 2  x −3 −1  khi x  2 1. f (x) =  x − 2 tại điểm x = 2 . Đs: Liên tục  0 2x − 2 khi x = 2 2 3
2 − 7x + 5x − xkhi x  2 2. 2 f (x) =  x − 3x + 2
tại điểm x = 2 . Đs: Liên tục  0 1  khi x = 2 2  x + 3x + 2  khi x  1 −
3. f (x) =  −x −1 tại điểm x = 1 − . Đs: Liên tục 0  2 x + 2x khi x = 1 − Bài 2.
Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra: 2
3x − 2x −1  khi x  1 1. f (x) =  x −1 tại điểm x = 1. Đs: Liên tục  0 2x + 2 khi x  1 2
x + 2x −3 khi x 1  2  x + x − 2
2. y = f (x) =  tại điểm x = 1.
Đs: Không liên tục 0  x +1 + 7 khi x  1  3 3
x − 3x − 4  khi x  4
3. f (x) =  x + 5 − 3 tại điểm x = 4 . Đs: Liên tục 0  4 − x + 46 khi x  4 Bài 3.
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra: 3 2
x − 5x + 7x − 3  khi x  1 1. 2 f (x) =  x −1 tại điểm x = 1. Đs: 1 m = − 0 5  2 2m +1 khi x = 1 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 1+ x − 1− xkhi x  0  2. ( ) x f x = 
liên tục tại điểm x = 0 . Đs: 1 m = 0 4 − x  5 5 − m + khi x = 0  x + 2 3  6 + x − 2  khi x  2
3. f ( x) =  x − 2
liên tục tại điểm x = 2 . Đs: 47 m = 0  12
2x − m khi x = 2 3  12x − 4 − 2  khi x  1
4. f ( x) =  x −1
liên tục tại điểm x = 1. Đs: m = 1 −  0 2 2
m x + 8 + 2mx khi x =1 Bài 4.
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra: 3  x −8  khi x  2 29 1. 2
f (x) = 2x − x − 6 tại điểm x = 2 . Đs: m = −  0 7 mx +10 khi x  2  2x −1 −1  khi x  1 3 2. f ( x) 2
=  x + 2x −3
liên tục tại điểm x = 1. Đs: m = − 0  4
x + m khi x 1 2
 2x − 7x + 6  khi x  2  3 3. m để − f ( x) x 2 = 
liên tục tại điểm x = 2 . Đs: m = − 0  1− x 4 m + khi x  2  x + 2 2
3x −3+ x −1 5x + 4  khi x  1 2  4. − + f ( x) x 2x 1 = 
liên tục tại điểm x = 1.
Đs: m = 1 hoặc m = 2 0  1 2 m +
x − 3m khi x  1  3  7 −3x − 4  khi x  3 −  − − 5. ( ) 2 1 x f x = 
liên tục tại điểm x = 3 − .
Đs: m = 0 hoặc m = 6 0  3 2 m − 2mx − khi x  3 −  2  3 − x khi x  3  2 5 − x +16
6. f ( x) = 
liên tục tại điểm x = 3 . Đs: m = 5 − hoặc m =1  0
m (x + m + )1 khi x  3  3  ( 2 3 x − 4)  khi x  2
7. f ( x) =  x + 2 − x
liên tục tại điểm x = 2 . Đs: m = 2 0 
m + 2 + m −10x khi x  2 6 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI 2  x −3 −1  khi x  2 Bài 1.
1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  x − 2 tại điểm x = 2 . 0  2x − 2 khi x = 2
Ta có f (x ) = f (2) = 2 0 2 2 x − 3 −1 x − 4 x + 2 lim f (x) = lim = lim = lim = 2 x→2 x→2 x→2 2 x→2 2 x − 2
(x − 2)( x − 3 +1) x − 3 +1
Suy ra f (2) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2. 0 x→2 2 3
2 − 7x + 5x − xkhi x  2
2. Xét tinh liên tục của hàm số 2 f (x) =  x − 3x + 2 tại điểm x = 2 .  0 1  khi x = 2
Ta có f (x ) = f (2) = 1 0 2 3 2 2
2 − 7x + 5x − x
(x − 2)(−x + 3x −1) −x + 3x −1 lim f (x) = lim = lim = lim =1 2 x→2 x→2 x→2 x→2 x − 3x + 2
(x − 2)(x −1) x −1
Suy ra f (2) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2 . 0 x→2 2  x + 3x + 2  khi x  1 −
3. Xét tinh liên tục của hàm số f (x) =  −x −1 tại điểm x = 1 − . 0  2 x + 2x khi x = 1 −
Ta có f (x ) = f ( 1 − ) = 1 − 0 2 x + 3x + 2 (x +1)(x + 2) x + 2 lim f (x) = lim = lim = lim = 1 − x→ 1 − x→ 1 − x→ 1 − x→ 1 −x −1 −(x +1) − 1 − Suy ra f ( 1
− ) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1 − . 0 x 1 →− 3
x − 3x − 4  khi x  4 Bài 2.
1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  x + 5 − 3 tại điểm x = 4 . 0  4 − x + 46 khi x  4
Ta có f (x ) = f (4) = 30 0
lim f (x) = lim ( 4 − x + 46) = 30 − − x→4 x→4 2 x − 3x − 4
(x − 4)(x +1)( x + 5 + 3) lim f (x) = lim = lim
= lim(x +1)( x + 5 + 3) = 30 + + + + x→4 x→4 x→4 + − − x→4 x 5 3 x 4
Suy ra f (4) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 4 . − + 0 x→4 x→4 2
3x − 2x −1  khi x  1
2. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  x −1 tại điểm x = 1. 0 7 2x + 2 khi x  1 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Ta có f (x ) = f (1) = 4 0 2 3x − 2x −1 (x −1)(3x +1)
lim f (x) = lim(2x + 2) = 4 lim f (x) = lim = lim = lim(3x +1) = 4 + + − − − − x 1 → x 1 → x 1 → x 1 → − x 1 → − x 1 x 1 x 1 →
Suy ra f (1) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1. + − 0 x 1 → x 1 → 2
x + 2x − 3 khi x 1  2  x + x − 2
3. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) =  tại điểm x = 1. 0  x +1 + 7 khi x  1  3 2 + 7
Ta có f (x ) = f (1) = 0 3 x +1 + 7 2 + 7 lim f (x) = lim = − − x 1 → x 1 → 3 3 2 x + 2x − 3 (x −1)(x + 3) x + 3 4 lim f (x) = lim = lim = lim = + + 2 + + x 1 → x 1 → + − x 1 → − + x 1 x x 2 (x 1)(x 2) → x + 2 3
Suy ra f (1) = lim f (x)  lim f (x) nên hàm số f (x) x = 1. − +
không liên tục tại điểm 0 x 1 → x 1 → 3
x − 3x − 4  khi x  4
4. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  x + 5 − 3 tại điểm x = 4 . 0  4 − x + 46 khi x  4
Ta có f (x ) = f (4) = 30 0
lim f (x) = lim ( 4 − x + 46) = 30 − − x→4 x→4 2 x − 3x − 4
(x − 4)(x +1)( x + 5 + 3) lim f (x) = lim = lim
= lim(x +1)( x + 5 + 3) = 30 + + + + x→4 x→4 x→4 + − − x→4 x 5 3 x 4
Suy ra f (4) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 4 . − + 0 x→4 x→4 3 2
x − 5x + 7x − 3  khi x  1 Bài 3.
1. Tìm m để hàm số 2 f (x) =  x −1
tại điểm x = 1.  0 2m +1 khi x = 1
Ta có f (x ) = f (1) = 2m +1 0 3 2 2
x − 5x + 7x − 3 (x −1) (x− 3) (x −1)(x + 3) lim f (x) = lim = lim = lim = 0 2 x 1 → x 1 → x 1 → x 1 x −1 (x −1)(x+1) → x +1 1
Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1  lim f (x) = f (1)  2m +1 = 0  m = − . 0 x 1 → 2 8 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 1+ x − 1− x  khi x  0 
2. Tìm m để hàm số ( ) x f x = 
liên tục tại điểm x = 0 . 0 4 − x  5 − m + khi x = 0  x + 2 Ta có: f (0) = 5 − m + 2 + − − f ( x) 1 x 1 x 2x 2 lim = lim = lim = lim =1 x→0 x→0 x→0 x
x ( 1+ x + 1− x ) x→0 1+ x + 1− x 1
Hàm số liên tục tại điểm x = 0 khi và chỉ khi lim f ( x) = f (0)  5
− m + 2 =1 m = 0 x 0 → 5 1 Vậy m = . 5 3  6 + x − 2  khi x  2
3. Tìm m để hàm số f ( x) =  x − 2
liên tục tại điểm x = 2 . 0
2x−m khi x = 2
Ta có f (2) = 4 − m + − − f ( x) 3 6 x 2 x 2 1 1 lim = lim = lim = lim = x→2 x→2 x→2 x − 2 ( x→
x − 2)( 3 (6+ x)2 3 + 2 6 + x + 4) 2 3 ( + x)2 3 12 6 + 2 6 + x + 4 1 47
Hàm số liên tục tại điểm x = 2 khi và chỉ khi lim f ( x) = f (2)  4 − m =  m = 0 x→2 12 12 47 Vậy m = . 12 3  12x − 4 − 2  khi x  1
4. Tìm m để f ( x) =  x −1
liên tục tại điểm x = 1.  0 2 2
m x + 8 + 2mx khi x =1 Ta có f ( ) 2 1 = m + 8 + 2m x − − x − lim f ( x) 3 12 4 2 12( ) 1 = lim = lim x 1 → x 1 → x 1 x −1 → (x − ) 1 ( 3 (12x −4)2 3 + 2 12x − 4 + 4) 12 = lim =1 x 1 → 3 (12x − 4)2 3 + 2 12x − 4 + 4
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi lim f ( x) = f ( ) 2
1  m + 8 + 2m = 1 0 x 1 → 9 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  1 m    1 2 1  − 2m  0  m      
 m = −  m = − m + 8 =  (1−2m) 2 1 1 2 2 2    3
− m + 4m + 7 = 0 7 m =  3 Vậy m = 1 − . 3  x −8  khi x  2 Bài 4.
1. Tìm m để hàm số 2
f (x) = 2x − x − 6 tại điểm x = 2 .  0 mx +10 khi x  2
Ta có f (x ) = f (2) = 2m +10 0
lim f (x) = lim (m x +10) = 2m +10 − − x→2 x→2 3 2 2 x − 8
(x − 2)(x + 2x + 4) x + 2x + 4 12 lim f (x) = lim = lim = lim = + + 2 + + x→2 x→2 − − x→2 − + x→2 2x x 6 (x 2)(2 x 3) 2x + 3 7
Hàm số f (x) liên tục tại điểm 12 29
x = 2  lim f (x) = lim f (x) = f (2)  2m +10 =  m = − 0 + − x→2 x→2 7 7  2x −1 −1  khi x  1
2. Tìm m để f ( x) 2
=  x + 2x −3
liên tục tại điểm x = 1. 0
x+m khi x 1 Ta có f ( ) 1 = 1+ m − − − f ( x) 2x 1 1 2 ( x ) 1 2 1 lim = lim = lim = lim = + + 2 + + x 1 → x 1 → + − x 1 x 2x 3 → (x − )
1 ( x + 3)( 2x −1 + ) x 1 1 →
(x +3)( 2x−1+ )1 4
lim f ( x) = lim ( x + m) =1+ m − − x 1 → x 1 →
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi 0 f ( x) =
f ( x) = f ( ) 1 3 lim lim 1  1+ m =  m = − + − x 1 → x 1 → 4 4 3 Vậy m = − . 4 2
 2x − 7x + 6  khi x  2  −
3. Tìm m để f ( x) x 2 = 
liên tục tại điểm x = 2 . 0  1− x m + khi x  2  x + 2 Ta có f ( ) 1 2 = m − 4  1− x  1 10
lim f ( x) = lim m + = m −   + + x→2 x→2  x + 2  4 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x − x + x − x − − x − x − lim f ( x) 2 7 6 ( 2)(2 3) ( 2)(2 3) = lim = lim = lim − − − − x→2 x→2 − x→2 − x→2 x 2 x 2 x − 2 = lim ( 2 − x + 3) = 1 − − x→2
Hàm số liên tục tại điểm x = 3 − khi và chỉ khi 0 f ( x) =
f ( x) = f ( ) 1 3 lim lim 2  m − = 1 −  m = − + − x→2 x→2 4 4 3 Vậy m = − . 4 2
3x −3+ x −1 5x + 4  khi x  1 2 
4. Tìm m để − + f ( x) x 2x 1 = 
liên tục tại điểm x = 1. 0  1 2 m +
x − 3m khi x  1  3 1 Ta có f ( ) 2 1 = m + −3m 3   lim f ( x) 1 1 2 2
= lim m + x − 3m = m + − 3m   + + x 1 → x 1 →  3  3 − + − + (x − )1 − + x x x ( 2 2 3 5x 4 3 3 1 5 4 ) lim f ( x) = lim = lim − − 2 − x 1 → x 1 → − + x 1 x 2x 1 → (x − )2 1 (x − ) 1 ( 2 3 − 5x + 4 ) 2 3 − 5x + 4 = lim = − − x→ (x − ) lim 2 1 x 1 1 → x −1 5 − (x − ) 1 ( x + ) 1 5 − (x + ) 1 5 = lim = lim = − − − x 1 → (x − ) 1 ( 2 3 + 5x + 4 ) → 2 x 1 + + 3 3 5x 4
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi 0 m =
lim f ( x) = lim f ( x) = f ( ) 1 5 1 2 2 1  m +
− 3m = −  m − 3m + 2 = 0   + − x 1 → x 1 → 3 3 m = 2
Vậy m = 1 hoặc m = 2 .  7 −3x − 4  khi x  3 −  − −
5. Tìm m để ( ) 2 1 x f x = 
liên tục tại điểm x = 3 − . 0  3 2 m − 2mx − khi x  3 −  2 3 Ta có f ( 3 − ) 2 = m + 6m − 2  3  3 lim f ( x) 2 2
= lim m − 2mx − = m + 6m −   − − x→ 3 − x→ 3 −  2  2 11 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 − − −
(x +3)(2+ 1− x) 3 − (2+ 1− 7 3 4 x x ) f ( x) 3 lim = lim = lim = lim = − + + + + x→ 3 − x→ 3 − x→ 3 2 − 1− x −
(x +3)( 7−3x +4) x→ 3− 7−3x +4 2
Hàm số liên tục tại điểm x = 3 − khi và chỉ khi 0 m =
lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 3 − ) 3 3 0 2 2
m + 6m − = −  m + 6m = 0   + − x→ 3 − x→ 3 − 2 2 m = 6 −
Vậy m = 0 hoặc m = 6 − .  3 − x khi x  3  2 5 − x +16
6. Tìm m để f ( x) = 
liên tục tại điểm x = 3 .  0
m (x + m + )1 khi x  3  3 m Ta có f (3) = (4+ m). 3 m m lim f ( x) = lim (x +m+ ) 1 = (4+ m) . − − x 3 → x 3 → 3 3 (3− x) + + − x ( 2 5 x 16 3 ) + + f ( x) 2 5 x 16 5 lim = lim = lim = lim = . + + → → 2 + + x 3 x 3 x→3 − x + (3− x)(3+ x) x→3 3 + x 3 5 16
Hàm số liên tục tại điểm x = 3 khi và chỉ khi 0 m 5 m =1
lim f ( x) = lim f ( x) = f (3)  (4+ m) 2
=  m + 4m − 5 = 0   + − x 3 → x 3 → 3 3 m = 5 − Vậy m = 5 − hoặc m =1.  ( 2 3 x − 4)  khi x  2
7. Tìm m để f ( x) =  x + 2 − x
liên tục tại điểm x = 2 . 0 
m + 2 + m −10x khi x  2
Ta có f (2) = m + 2 + m − 20 .
lim f ( x) = lim + + − = + + − . − − ( m 2 m 10x) m 2 m 20 x→2 x→2 3( 2 x − 4)
3( x − 2)( x + 2)( x + 2 + x) lim f ( x) = lim = lim + + + x→2 x→2 x→2 x + 2 − x
−(x − 2)(x + ) 1
3( x + 2)( x + 2 + x) = lim = 1 − 6 . + x→2 −(x + ) 1
Hàm số liên tục tại điểm x = 2 khi và chỉ khi 0  −   f ( x) =
f ( x) = f ( ) 4 m 0 lim lim
2  m + 2 = 4 − m   12 − + x→ x→ m + 2 =  (4−m)2 2 2 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC m  4 m  4   
 m = 2  m = 2. 2
m − 9m +14 = 0  m = 7 Vậy m = 2 .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 3  x + 27 khi x  3 −  2 2x + 5x −3 Bài 1.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  tại điểm x = 3
− . ĐS: K liên tục. 0 4 + xkhi x = 3 −  5 2  2 − x + 8  khi x  2 − Bài 2.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  1− 4x − 3 tại điểm x = 2
− . ĐS: Liên tục. 0 5  x − 2 khi x  2 − 2  x − 9  khi x  3 Bài 3.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x +1 − 2
tại điểm x = 3 . ĐS: Không liên tục. 0
2x+12 khi x  3 2  x − 4 khi x  2
x − 7x −10 Bài 4.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = 
tại điểm x = 2 . ĐS: Liên tục.  0 8x − hi x = 2  3 (  x − )2 5 + 3 khi x  5  Bài 5.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x − 5
tại điểm x = 5 . ĐS: Liên tục.  0 khi x  5  2x −1 − 3 2  x + x −12 khi x  3  x −3 Bài 6.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = 
tại điểm x = 3 . ĐS: Liên tục. 2  0 x + 5 khi x = 3  x −1  4x + 5 −5  khi x  5  − Bài 7.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) x 5 = 
tại điểm x = 5 . ĐS: Liên tục. 0 2xkhi x  5 25
 3x +1 − 5− xkhi x  1 Bài 8.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 3 2 =  2
− x + 3x − x
tại điểm x = 1. ĐS: Liên tục. 0  2 − x +1 khi x  1
x 2 − x − 4 khi x  2   x − 5x + 6 Bài 9.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 2 = 
khi x  2 tại điểm x = 2 . ĐS: Liên tục. 0 x + 2 − 2  13  4 − khi x = 2  Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2  x − 3x + 2 khi x  1 
Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x + 8 − 3
tại điểm x = 1. ĐS: Liên tục.  0
x 1− x − 6 khi x  1 3 2x + x − 3 khi x  1  3  x −1
Bài 11. Tìm m để hàm số f ( x) = 
liên tục tại điểm x = 1. ĐS: m = 2  . 0 ( 2 m − ) 2 1 x + 4 khi x  1  x + 2 4 2
x − 6x − 27  khi x  3 −
Bài 12. Tìm m để hàm số f ( x) 3 2
=  x + 3x + x + 3
liên tục tại điểm x = 3 − . ĐS: 10 m = .  0 3 mx + 3 khi x = −3 3  x − 27  khi x  3
Bài 13. Tìm m để hàm số f ( x) 2
= 2x − 4x − 6
liên tục tại điểm x = 3 . ĐS: 37 m = − .  0 24 mx + 8 khi x  3  x − 2  khi x  2
Bài 14. Tìm m để hàm số f ( x) =  x + 2 − 2
liên tục tại điểm x = 2 . ĐS: m = 2 . 0 x+2m khi x = 2 2  x − 25 khi x  5 
Bài 15. Tìm m để hàm số f ( x) 2
=  x − 4x −5
liên tục tại điểm x = 5 . ĐS: 15 m = . 0 (  3 x − 5  )2 2 + m khi x  5
_DẠNG 2. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm x = x khi f ( x = lim f x hoặc f ( x = lim f x = lim f x 0 ) ( ) ( ) 0 ) ( ) 0 x→x − + → → 0 x 0 x x 0 x VÍ DỤ 3
2x + x + 3 khi x  1 −  3  x +1
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  trên . 7  khi x = 1 − 3 ĐS: Liên tục trên . Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là D = . 14 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2x + x + 3 + Xét x  1 − thì f (x) 3 =
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng 3 x +1 (−;− ) 1 và ( 1;
− +  ) mà nó xác định.
+ Xét tính liên tục của hàm số f ( x) tại x = 1 − x + x + (x + ) 1 ( 2 3 2x − 2x + 3 2 3 ) 2 2x − 2x + 3 7
Ta có lim f ( x) = lim = lim = lim = . 3 x→− x→− x +1 x→− (x + ) 1 ( 2 1 1 1 x − x + ) 2 x→ 1 1 − x − x +1 3 f (− ) 7 1 = . 3
Suy ra lim f ( x) = f (− )
1 nên hàm số đã cho liên tục tại x = 1 − . 0 x 1 →−
+ Vậy hàm số đã cho liên tục trên . 2  x − 4x + 3  khi x  1
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x −1 trên .  − 5 − x khi x  1 ĐS: Liên tục trên . Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là D = . 2 x − 4x + 3
+ Với mọi x  1; +  , lim f ( x) = lim
= f (x Suy ra hàm số đã cho liên tục trên 0 ) 0 ( ) x→ → − 0 x x 0 x x 1 . khoảng (1; + ) .
+ Với mọi x  −;1 , ta có lim f ( x) = lim − − = − − = Suy ra hàm số đã → → ( 5 x ) 5 x f x 0 ( 0) 0 ( ) x 0 x x 0 x .
cho liên tục trên khoảng (− ) ;1 .
+ Xét tính liên tục của hàm số tại x =1 f ( ) 1 = − 5 −1 = 2 .
- lim f ( x) = lim (− 5 − − x = − . − − ) 2 x 1 → x 1 → x −1 x − 3 - lim f ( x) ( )( ) = lim = lim (x −3) = 2 − . + + + x 1 → x 1 → − x 1 x 1 →
Suy ra lim f ( x) = lim f ( x) = f ( )
1 nên hàm số đã cho liên tục tại x =1 . − + x 1 → x 1 →
Vậy hàm số đã cho liên tục trên . 2  x + x − 6 khi x  2 
Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f ( x) =  x + 2 − 3x − 2 liên tục trên . ĐS: a = 11 − . 15 (  2x −3  )2 + a khi x  2 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải Với x  (−;2) ta có: x + x − 6 - f ( x ) 2 0 0 = . 0
x + 2 − 3x − 2 0 0 2 2
- lim f ( x) = lim (2x − 3) + a = (2x − 3 + a 0 )   . x→ → 0 x x 0 x
Suy ra lim f ( x) = f ( x nên hàm số liên tục trên khoảng (−; 2) . 0 ) x→x0 Với x  (2;+ ) ta có
- f ( x ) = (2x − 3)2 + a . 0 0 2 2
- lim f ( x) = lim (2x − 3) + a = (2x − 3 + a 0 )   . x→ → 0 x x 0 x
Suy ra lim f ( x) = f ( x nên hàm số liên tục trên khoảng (2; + ) . 0 ) x→x0 Lại có:
- f (2) = 1+ a . x + x − 6 - lim f ( x) 2 = lim = 1 − 0 . + + x→2 x→2
x + 2 − 3x − 2
- lim f ( x) = lim (
 2x −3)2 + a =1+ a − −   . x→2 x→2
Khi đó hàm số liên tục trên
thì sẽ liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi
lim f ( x) = lim f ( x) = f (2)  1 − 0 =1+ a . + − x→2 x→2 Suy ra a = 11
− là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP ÁP DỤNG 3 2
2x + 6x + x + 3  khi x  3 − Bài 1.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x + 3 trên . 1  9 khi x = 3 − Lời giải
Tập xác định của hàm số là D = .
x + x + x + - Xét x  3 − thì f (x) 3 2 2 6 3 =
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng x + 3 (−;−3) và ( 3;
− + ) mà nó xác định.
- Xét tính liên tục của hàm số f ( x) tại x = 3 − 16 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC + + + (x +3)( 2 3 2 2x x x x + ) f ( x) 1 2 6 3 lim = lim = lim = lim ( 2 2x + ) 1 = 19 x→( 3 − ) x→( 3 − ) x→ − (−3) x→ + . (−3) x 3 x 3
Suy ra lim f ( x) = f ( 3
− ) nên hàm số đã cho liên tục tại x = 3 − . x ( → 3 − )
Vậy hàm số đã cho liên tục trên . 2  x − 5x + 6  khi x  2 Bài 2.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 3 =  2x −16 trên . 2− x khi x  2 Lời giải Tập xác định D = . 2 x − 5x + 6
- Với mọi x  − ;  2 , lim f x = lim = f x . 0 ( ) ( ) 3 ( 0) x→ → − 0 x x 0 x 2x 16
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng (−; 2) .
- Với mọi x  2; +  , lim f x = lim 2 − x = 2 − x = f x . 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 0) x→x x→x 0 0
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng (2; + ) .
- Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 f (2) = 0 . 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3 x − 3 1 lim f ( x) ( )( ) = lim = lim = lim = − − − 3 − − x→ x→ 2x −16 x→ 2( x − 2)( 2
x + 2x + 4) x→ 2( 2 2 2 2 2 x + 2x + 4) 24
lim f ( x) = lim (2 − x) = 0 . + + x→2 x→2
Suy ra hàm số không liên tục tại x = 2 . 2
 2x − x −3  khi x  1 − Bài 3.
Tìm a để f ( x) 3 2
= x + x + x +1 liên tục trên .  3 a khi x = 1 − Lời giải 2x − x − 3
Ta có với x  1 thif f ( x) 2 =
là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng 3 2
x + x + x +1
khoảng mà nó xác định. Lại có - f (− ) 3 1 = a . 2 2x − x − 3 x +1 2x − 3 2x − 3 5 - lim f ( x) ( )( ) = lim = lim = lim = − . 3 2 2 2 x→ 1 − x→ 1 − x→ 1 − x→ 1 − + + + + + + + x x x 1 (x ) 1 ( x )1 x 1 2 17
Khi đó hàm số liên tục trên
thì sẽ liên tục tại x = 1 − khi và chỉ khi Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
lim f ( x) = f (− ) 5 3 1  a == − . x 1 →− 2 5 Suy ra 3 a = − là giá trị cần tìm. 2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 3  x −1  khi x  1  x −1 Bài 1.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  liên tục trên .
 1− x + 2 khi x 1  x + 2 2  x + 5xkhi x  0 Bài 2.
Tìm m để f ( x) =  x −1 −1 liên tục trên . m+2 khi x  0 2  x −1  khi x  1 − Bài 3.
Tìm m để f ( x) 3 2
=  x + x + x +1 liên tục trên . cosm khi x = 1 − 3
x − 2 + 2x −1  khi x  1 Bài 4.
Tìm m để f ( x) =  x −1 liên tục trên . 3  m − 2 khi x = 1  x +1 −1  khi x  0 Bài 5.
Tìm m để f ( x) =  x liên tục trên .  2
2x + 3m +1 khi x  0
_DẠNG 3. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Phương pháp giải:
- Để chứng minh phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D , ta chứng minh hàm số
f ( x) liên tục trên D và có hai số a ,b D sao cho f (a). f (b)  0 .
- Để chứng minh phương trình f ( x) = 0 có k nghiệm trên D , ta chứng minh hàm số f ( x) liên tục
trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a ; a
với i =1; 2;...; k nằm trong D sao cho i i 1 + )
f (a ). f (a  0 . i i 1 + )
Chú ý: Hàm số đã thức liên tục trên
. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên
từng khoảng xác định của chúng.
Khi hàm số đã liên tục trên
rồi, sẽ lieent ục trên mỗi khoảng (a ; a mà ta cần tìm. i i 1 + )  VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình 3 2
4x − 8x +1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( 1; − 2) . 18 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải - Đặt f ( x) 3 2
= 4x − 8x +1 và f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra liên tục trên −1;2.  f  (− ) 1 = 1 − 1 - Ta có   f (− ) 1 . f (2) = 1 − 1 0  x   1 − ;2 : f x = 0 , 0 ( ) ( 0)  f  (2) =1
Nghĩa là phương trnhf f ( x) 3 2
= 4x − 8x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 1; − 2) .
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình 3
x − 3x +1 có đúng ba nghiệm phân biệt. Lời giải Đặt f ( x) 3
= x − 3x +1 và f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra hàm số liên tục trên các đoạn  2 − ;0;0  ;1 ;1; 2 .  f  (− ) 1 = 1 − - Ta có   f ( 2
− ). f (0) = −   phương trình f (x) 3
= x − 3x +1 = 0 có ít nhất  f  ( ) 1 0 0 = 1
một nghiệm thuộc khoảng ( 2 − ;0) . (1)  f  (0) =1 - Ta có 
f (0). f ( ) = −   phương trình f (x) 3
= x − 3x +1 = 0 có ít nhất một  f  ( ) 1 1 0 1 = 1 −
nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . (2)  f  ( ) 1 = 1 − - Ta có   f ( )
1 . f (2) = −   phương trình f ( x) 3
= x − 3x +1 = 0 có ít nhất  f  ( ) 3 0 2 = 3
một nghiệm thuộc khoảng (1; 2) . (3) Từ ( )
1 , (2),(3) suy ra phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng (−2;0) , (0; )
1 , (1; 2) . Mà f ( x) là đa thức bậc ba nên phương trình f ( x) = 0 có tối đa ba nghiệm. Suy
ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt.
Chú ý: Với sự hỗ trợ của chức năng mode 7 trong casio, ta dễ dàng tìm được các khoảng (−2;0), (0; )
1 , (1; 2) như trên. Công việc còn lại là trình bày sao cho đúng ngôn ngữ.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình 3
x + x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 − . Lời giải Đặt f ( x) 3
= x + x +1, vì f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn  1; − 0.  f  (− ) 1 = 1 − Ta có   f (− ) 1 . f (0) = 1
−  0  phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm  f  (0) =1 19 thuộc khoảng ( 1; − 0) . Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Suy ra phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 − .
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình 3 2
x + 5x − 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm. Lời giải Đặt f ( x) 3 2
= x + 5x − 2 , f ( x) là hàm đa thức trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn  1; − 0 ; 0;  1  f  (− ) 1 = 2 - Ta có   f (− )
1 . f (0) = −   phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm  f  ( ) 4 0 0 = 2 − thuộc khoảng ( 1; − 0) . (1)  f  (0) = 2 − - Tương tự   f (− )
1 . f (0) = −   phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một  f  ( ) 8 0 1 = 4
nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . (2) Từ ( )
1 và ( 2) ta suy ra phương trình f ( x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 4 3
4x + 2x − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm. Lời giải Đặt f ( x) 4 3
= 4x + 2x − x − 3 , f ( x) là hàm đa thức trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn  1; − 0, 0;  1 .  f  (− ) 1 = 4 - Ta có   f (− ) 1 . f (0) = −
  phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm  f  ( ) 12 0 0 = 3 − thuộc khoảng ( 1; − 0) . (1)  f  (0) = 3 − - Tương tự   f (− )
1 . f (0) = −   phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một  f  ( ) 6 0 1 = 2
nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . (2) Từ ( )
1 và ( 2) ta suy ra phương trình f ( x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng phương trình ( 2 − m ) 5 1
x − 3x −1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m . Lời giải
Đặt f ( x) = ( 2 − m ) 5 1
x − 3x −1 và f ( x) là hàm đa thức liên tục trên
f ( x) liên tục trên đoạn  1; − 0.  f (− ) 2 1 = m +1 Ta có   f (− )
1 . f (0)  0  x   1 − ;0 : f x = 0 . 0 ( ) ( 0)  f  (0) = 1 − 20
Do đó phương trình f ( x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m (đpcm). Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Chú ý: Đối với bài toán chứa tham số m , ta chọn khoảng (a;b) sao cho tại vị trí a và b triệt
tiêu đi m hoặc là biểu thức luôn dương hoặc luôn âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán.
Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức a  0 2
ax + bx + c  0, x     .   0 a  0 2
ax + bx + c  0, x     .   0
Ví dụ 7. Chứng minh rằng phương trình 4 2
x + mx − 2mx −1 = 0 có nghiệm với mọi m . Lời giải Đặt f ( x) 4 2
= x + mx − 2mx −1 và f ( x) là hàm đa thức liên tục trên  f ( x) liên tục trên đoạn 0;2 .  f  (0) = 1 − Ta có   f (− ) 1 . f (2) = −
 phương trình f (x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m .  f  ( ) 15 2 = 15
Ví dụ 8. Chứng minh rằng phương trình m ( x − 2)( x − 3) + 2m − 5 = 0 có nghiệm với mọi m . Lời giải
Đặt f ( x) = m( x − 2)( x − 3) 2x − 5 và f ( x) là hàm đa thức liên tục trên  f ( x) liên tục trên đoạn 2;3.  f  (2) = 1 − Ta có 
f (2). f (3) = −  phương trình f (x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m .  f  ( ) 1 3 = 1
Ví dụ 9. Chứng minh phương trình ( x − a)( x − b) + ( x − b)( x − c) + ( x − c)( x − a) = 0 có ít nhất một
nghiệm với mọi số thực a , b , c . Lời giải
Đặt f ( x) = ( x − a)( x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a). Vì f ( x) là hàm đa thức nên sẽ liên tục trên
. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử a b c .
- Nếu a = b hoặc b = c thì f (b) = (b − a)(b − c) , suy ra phương trình có nghiệm x = . b f
 (a) = (a − b)(a − c)  0
- Nếu a b c thì 
f (a). f (b)  0. Do đó phương trình có ít  f
 (b) = (b − a)(b − c)  0
nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) .
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm (đpcm).
Ví dụ 10. Cho ba số a , b , c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . Lời giải 21 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Đặt ( ) 2
f x = ax + bx + c và f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên .
2a + 3b + 6c = 0 
- Ta có f (0) = c và có   2  4 2 2 = + + = .  ( c c f a b c
2a + 3b + 6c) − = −     3  9 3 3 3 3  2  2
- Nếu c = 0 thì f = 0  
, suy ra phương trình có nghiệm x = (0; ) 1 .  3  3   c
- Nếu c  0 thì ta có f ( ) 2 2 0 . f = −  0    3  3   2 
f ( x) = 0 có nghiệm x = a  0;    (0 ) ;1 .  3 
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 .
Ví dụ 11. Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 3x −1. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x  3;4 . Không 0 ( )
tính f ( 5 36) và f ( 5 1+ 36 ) , chứng minh rằng 5 x  1+ 36 . 0 Lời giải Ta có: f (3) 3 2 = 3 −3.3 −1 = 1
−  f (3).f (4)=−  . f (4) 15 0 3 2 = 4 −3.4 −1 =15
Suy ra phương trình có nghiệm x  3; 4 . 0 ( ) 3 Ta có f ( x) 3 2
= x − 3x −1 = (x − ) 1 − 3( x − ) 1 − 3 .
Vì x là nghiệm của phương trình f ( x) = 0 nên ta có f ( x = 0 0 ) 0  (x − )3
1 − 3 x −1 − 3 = 0 . 0 ( 0 )
Đặt  = x −1 và x  3;4    2;3 . Khi đó, ta có 0 ( ) ( ) 0 3 3
 −3 −3 = 0   = 3 + 3  2. 9 = 6  6 5 5
   36    36    36 .
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 3 = 3   = 1 (2;3) .
Do đó, dấu “ = ” không xảy ra, tức là ta luôn có 5 5 5
  36  x −1  36  x 1+ 36. 0 0
Suy ra điều phải chứng minh.
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1.
Chứng minh phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 2.
Chứng minh phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt. Bài 3.
Chứng minh phương trình ( 2 − + ) 2 3 n m m x
− 2x − 4 = 0 có ít nhất một nghiệm âm với mọi m . Bài 4.
Chứng minh phương trình ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 5.
Chứng minh phương trình (m − )( x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3 = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 6.
Chứng minh phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. 22 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 7.
Chứng minh rằng phương trình m ( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1 = 0 có ít nhất ba nghiệm. Bài 8.
Cho  và  thỏa mãn 0     . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm 2 10 2 2
 sin  +  sin  − −  10 sin x − x =  . +  a b c Bài 9. Chứng minh rằng nếu + +
= 0 , (k n m  0) và 2
km n thì phương trình k n m 2
ax + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . LỜI GIẢI Bài 1.
Đặt f ( x) = ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1, f ( x) liên tục với mọi x  . Có:
f (− ) = (m + ) (− )3 − m (− )2 2 2 − (− ) 2 2 3 1 . 3 2 . 3 4. 3 + m +1 = 4 − 4m −14  0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 0
1 .0 − 2m .0 − 4.0 + m +1 = m +1  0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 1
1 .1 − 2m .1 − 4.1+ m +1 = 2 −  0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 2
1 .2 − 2m .2 − 4.2 + m +1 = m +1  0 . Ta thấy f ( 3 − ). f (0)  0 ; f (0). f ( ) 1  0 ; f ( ) 1 . f (2)  0 nên phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−3;0) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; )
1 , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) . Vậy phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt. Bài 2.
Đặt f ( x) = ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m , f ( x) liên tục trên .
Trường hợp 1: m = 0, ta có phương trình 5
x −16x = 0 có nghiệm x 0;   2 .
Vậy với m = 0 thì phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2: m  0 , ta có:
f (− ) = ( − m)(− )5 + m (− )2 2 1 2 9 2 −16.( 2
− ) − m = 67m ;
f ( ) = ( − m) 5 2 0 1 .0 + 9 .
m 0 −16.0 − m = −m ;
f ( ) = ( − m) 5 2 2 1 .2 + 9 .
m 2 −16.2 − m = 3 − m .
Ta thấy f (− ) f ( ) 2 2 . 0 = 67
− m  0, f ( ) f ( ) 2 0 . 2 = 3
− m  0 với mọi m  0 .
Suy ra phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2;0) ,
ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; 2) .
Vậy phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt. Bài 3. Đặt ( ) = ( 2 − + ) 2 3 n f x m m x
− 2x − 4 , f ( x) liên tục trên . 2n Xét
(− ) = ( 2 − + )(− ) − (− )− = ( 2 2 3 2 2. 2 4 − + 3).4n f m m m m  0 . Xét ( ) = ( 2 − + ) 2 0 3 .0 n f m m − 2.0 − 4 = 4 −  0 . 23 Ta thấy f ( 2
− ). f (0)  0 với mọi m  0 . Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Suy ra phương trình ( 2 − + ) 2 3 n m m x
− 2x − 4 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2;0) .
Vậy phương trình ( 2 − + ) 2 3 n m m x
− 2x − 4 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Bài 4.
Trường hợp 1: m = 0, ta có phương trình 3
x − x = 0 luôn có nghiệm x = 0 ; x = 1  .
Trường hợp 2: m  0 .
Đặt f ( x) = ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m , f ( x) liên tục với mọi x  . Có:
f (− ) = ( m + )(− )3 1 4 1 1 − (m + ) 1 (− ) 1 + m = 2 − m ;
f ( ) = ( m + ) 3 0 4 1 .0 − (m + ) 1 .0 + m = m .
Ta thấy f (− ) f ( ) 2 1 . 0 = 2
− m  0 nên phương trình ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( 1; − 0) .
Vậy phương trình ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 5.
Đặt f ( x) = (m − )(x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3, f (x) liên tục với mọi x . 2001 2002 Xét f (− ) = ( 3 2 m − ) 1 (  2 − ) −1 (  2 −    )+ 2 + 2.  ( 2 − ) +3 = 1 − .
Xét f ( ) = (m − )( − )( + )2002 3 2001 1 1 1 1 1 2 + 2.1+ 3 = 5 . Ta thấy f ( 2 − ). f ( ) 1 = 1 − .5 = 5
−  0 với mọi m .
Suy ra phương trình (m − )( x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2; ) 1 .
Vậy phương trình (m − )( x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3 = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 6.
Đặt f ( x) = ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1, f ( x) liên tục với mọi x  . Có:
f (− ) = (m + ) (− )3 − m (− )2 2 2 − (− ) 2 2 3 1 . 3 2 . 3 4. 3 + m +1 = 4 − 4m −14  0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 0
1 .0 − 2m .0 − 4.0 + m +1 = m +1  0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 1
1 .1 − 2m .1 − 4.1+ m +1 = 2 −  0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 2
1 .2 − 2m .2 − 4.2 + m +1 = m +1  0 . Ta thấy f ( 3
− ). f (0)  0 , f (0). f ( ) 1  0 , f ( )
1 . f (2)  0 . Suy ra phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−3;0) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; )
1 , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) . Vậy phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 7.
Đặt f ( x) = m( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1, f ( x) liên tục với mọi x . Có:
f (− ) = m(− − ) (
 − )3 − (− ) +(− )3 2 2 1 2 4. 2 2 −3.( 2 − )+1= 1 −   ; 3 3 = − − + − + = 24 f (0) m (0 ) 1 (0 4.0) 0 3.0 1 1; Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
f ( ) = m( − )( 3 − ) 3 1 1 1 1 4.1 +1 − 3.1+1 = 1 − ;
f ( ) = m ( − )( 3 − ) 3 2 2 1 2 4.2 + 2 − 3.2 +1 = 1. Ta thấy f ( 2 − ). f (0)  0 , f (0). f ( ) 1  0 , f ( ) 1 . f (2)  0 nên phương trình m ( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2;0) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; )
1 , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) .
Vậy phương trình m ( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1 = 0 có ít nhất ba nghiệm.
 sin  +  sin  − −  Bài 8. Đặt f (x) 2 10 2 2 10
= sin x − x − 
, hàm số f ( x) liên tục trên . + 
Ta có lim f ( x) = + nên tồn tại m  0 sao cho f (m)  0 . x→−
Mà lim f ( x) = − nên tồn tại M  0 sao cho f (M )  0 . x→+
Do đó, hàm số f ( x) liên tục trên m; M  và f (m). f (M )  0 nên phương trình f ( x) = 0 có nghiệm. Bài 9. Xét phương trình 2
ax + bx + c = 0 ( ) 1 . Đặt ( ) 2
f x = ax + bx + c thì f ( x) liên tục trên . 2  n n n
Ta có f (0) = c ; f = . a + . b + c   . 2  k k kn
n a b c   n   n a b c Suy ra f ( ) 2 2 2 2 0 . f = c    + + + c   1−  = c 1−  (do + + = 0 ).  k k   k n m   km   km k n m 2 nn   n  Vì 2 c  0 ; 2
n km  0  1, do đó f ( ) 2 2 0 . f = c   1−   0 . kmk   km
- Với c = 0 phương trình đã cho trở thành 2
ax + bx = 0 . Suy ra x = 0 hoặc ax + b = 0 ( 2) . a b c
+ Nếu a = 0 thì từ c = a = 0 và điều kiện + +
= 0 suy ra b = 0. Khi đó phương trình (2) k n m có nghiệm là x
  , suy ra phương trình ( )
1 có nghiệm x  (0; ) 1 . a b c
+ Nếu a  0 thì b  0 (vì nếu b = 0 , c = 0 thì từ điều kiện + +
= 0 suy ra a = 0 ), suy ra k n m phương trình ( b a b c
2) có nghiệm x = − . Khi đó từ điều kiện + +
= 0 ; k n m  0 và a k n m b n
c = 0 suy ra x = − = (0; )
1 . Do đó phương trình ( )
1 có nghiệm x  (0; ) 1 . a k 2 nn n - Với 1− = 0  f = 0    là nghiệm thuộc (0; ) 1 . kmk k 2 nn   n
- Với c  0 và 1−
 0  f (0). f  0  
thì f ( x) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;   . Mà kmk   k   n n 0;    (0 ) ;1 (vì 0  1) nên phương trình ( )
1 có nghiệm x  (0; ) 1 .  k k 25 Vậy phương trình ( )
1 luôn có nghiệm x  (0; ) 1 . Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1.
Chứng minh rằng phương trình 4 3 2
x − x − 2x −15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất một nghiệm dương. ĐS: ( 1; − 0) ; (3;4) . Bài 2.
Chứng minh rằng phương trình 3 2
x + 4x − 2 = 0 có ba nghiệm trong khoảng (−4; ) 1 .       ĐS: 7 1 1 4; − −   ; 1; − −   ; ;1   .  2   2   2  Bài 3.
Chứng minh rằng phương trình 5 3
x − 5x + 4x −1 = 0 có đúng năm nghiệm.         ĐS: 3 3 1 1 2; − −   ; − ; 1 −   ; 1; −   ; ;1   ; (1;3) .  2   2   2   2  26 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 27 Page
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !