Giáo trình Bài tập toán cao cấp tập 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Giáo trình Bài tập toán cao cấp tập 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Môn: Toán cao cấp 43 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.4 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Bài tập toán cao cấp Tập 2
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. NGUYˆ E ˜ N THUY’ THANH B ` AI T ˆ A . P TO ´ AN CAO C ˆ A ´P Tˆ a.p 2 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an c´ ac h` am NH ` A XU ˆ A
´T BA’N DA.I HO.C QUˆO´C GIA H`A NˆO.I Mu . c lu . c 7 Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 3 7.1 Gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7.1.1 C´ ac b` ai to´ an liˆ en quan t´
o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n . 5 7.1.2 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ
o.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du.a trˆen c´ac di.nh l´y vˆe
` gi´o.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ
o.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du.a trˆen diˆe `u kiˆ
e.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ
o.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du.a trˆen diˆe `u kiˆ e.n cˆa
` n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´y hˆo.i tu.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´
o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2.1 C´ ac kh´ ai niˆ
e.m v`a di.nh l´y co. ba’n vˆe ` gi´o.i ha.n . . 27 7.3 H` am liˆ
en tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4 Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe `u biˆe´n . . . . . . . . 51 8 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am mˆ o . t biˆ e´n 60 8.1 D
- a.o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 D
- a.o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.2 D
- a.o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2 Vi phˆ
an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1 Vi phˆ an cˆ
a´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2 MU . C LU . C 8.2.2 Vi phˆ an cˆ
a´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.3 C´ ac di.nh l´y co. ba’n vˆe
` h`am kha’ vi. Quy t˘a´c l’Hospital. Cˆ ong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.3.1 C´ ac d i.nh l´y co. ba’n vˆe
` h`am kha’ vi . . . . . . . . 84 8.3.2 Khu. ’ c´ ac da.ng vˆo di.nh. Quy t˘ a ´c Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆ ong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am nhiˆ e `u biˆ e´n 109 9.1 D
- a.o h`am riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.1.1 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.1.2 D - a . . o h` am cu’a h`
am ho.p . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.3 H`
am kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.4 D
- a.o h`am theo hu.´o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 112 9.1.5 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . 113 9.2 Vi phˆ an cu’a h` am nhiˆ e
`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.2.1 Vi phˆ an cˆ
a´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2.2 ´
Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa ` n d´ ung . . . . . . . 126 9.2.3 C´ ac t´ınh chˆ a´t cu’a vi phˆ an . . . . . . . . . . . . 127 9.2.4 Vi phˆ an cˆ
a´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2.5 Cˆ ong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2.6 Vi phˆ an cu’a h` am ˆ
a’n . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.3 Cu. . c tri. cu’a h` am nhiˆ e
`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3.1 Cu.
. c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3.2 Cu. . c tri. c´ o diˆ e
`u kiˆe.n . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.3.3 Gi´
a tri. l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am . . . . . . 147 Chu.o.ng 7 Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h` am sˆ o ´ 7.1 Gi´ o.i ha . n cu ’ a d˜ ay sˆ o
´ . . . . . . . . . . . . . . 4 7.1.1 C´ ac b` ai to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i
ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.1.2 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ
o.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du.a trˆen c´ ac di.nh l´y vˆe ` gi´
o.i ha.n . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ
o.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du.a trˆ en diˆ e
`u kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ
o.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du.a trˆen diˆ e `u kiˆe.n cˆa ` n v` a du’ dˆ e’ d˜ ay hˆ o.i tu. (nguyˆen l´ y hˆ
o.i tu. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´
o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n . . . . . . . . . . . . 27 7.2.1 C´ ac kh´ ai niˆ
e.m v`a di.nh l´y co. ba’n vˆe ` gi´ o.i ha.n 27 7.3 H` am liˆ en tu
. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4 Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe ` u biˆ e´n . 51 4 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 7.1 Gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ H` am sˆ o´ x´ ac di . . .nh trˆ en tˆ
a.p ho.p N du.o.c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n. D˜ay sˆo´ thu.` o.ng du.o. . c viˆ e´t du.´ o.i da.ng:
a1, a2, . . . , an, . . . (7.1) ho˘ a . . c {an}, trong d´
o an = f (n), n ∈ N du.o.c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at cu’a d˜ ay, n l` a sˆ o´ hiˆ
e.u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay. Ta cˆ a ` n lu.u ´ y c´ ac kh´ ai niˆ e.m sau dˆay: i) D˜ ay (7.1) du.o. . c go.i l`
a bi. ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an| 6 M ; v`
a go.i l`a khˆong bi. ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an| > M. ii) Sˆ o´ a du.o. . c go.i l` a gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n > N ⇒ |an − a| < ε. (7.2) iii) Sˆ o´ a khˆ ong pha’i l` a gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n > N ⇒ |an − a| > ε. (7.3) iv) D˜ ay c´ o gi´ o.i ha . . . . n du.o.c go.i l` a d˜ ay hˆ
o.i tu., trong tru.`o.ng ho.p ngu.o.c
la.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k`y. v) D˜
ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u lim an = 0 v`a go.i l`a d˜ay n→∞ vˆ o c` ung l´ o.n nˆ
e´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an| > A v` a viˆ e´t lim an = ∞. vi) Diˆ e `u kiˆe.n cˆa
` n dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. l`a d˜ay d´o pha’i bi. ch˘a.n. Ch´ u ´ y: i) Hˆ
e. th´u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε. (7.4) 7.1. Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 5 Hˆ
e. th´u.c (7.4) ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay hˆ o.i tu. dˆe
`u n˘a`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan cˆ a.n cu’a diˆe’m a. Nhu. vˆ
a.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu. dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr`u. ra mˆ
o.t sˆo´ h˜u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆe
`u n˘a`m trong ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k`y b´e bao nhiˆ eu t` uy ´ y cu’a diˆ e’m a. ii) Ta lu.u ´ y r˘ a `ng d˜ay sˆo´ vˆo c` ung l´ o.n khˆ ong hˆ o.i tu. v`a k´y hiˆe.u
lim an = ∞ (−∞) chı’ c´ o ngh˜ıa l` a d˜ ay an l` a vˆ o c` ung l´ o.n v` a k´ y hiˆ e.u d´o ho` an to` an khˆ ong c´ o ngh˜ıa l` a d˜ ay c´ o gi´ o.i ha.n. 7.1.1 C´ ac b` ai to´ an liˆ en quan t´
o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n Dˆ e’ ch´
u.ng minh lim an = a b˘ a `ng c´ach su.
’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆa ` n tiˆe´n h` anh theo c´ ac bu.´ o.c sau dˆ ay: i) Lˆ
a.p biˆe’u th´u.c |an − a| ii) Cho . . n d˜ ay bn (nˆe´u diˆe
`u d´o c´o lo.i) sao cho |an − a| 6 bn ∀ n v`a v´ o.i ε du’ b´ e bˆ a´t k` y bˆ a´t phu.o.ng tr`ınh dˆ o´i v´ o.i n: bn < ε (7.5) c´ o thˆ e’ gia’i mˆ
o.t c´ach dˆe˜ d`ang. Gia’ su.’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε),
f (ε) > 0. Khi d´ o ta c´ o thˆ e’ lˆ a´y n l`
a [f (ε)], trong d´ o [f (ε)] l` a phˆ a ` n nguyˆ
en cu’a f (ε). C ´ AC V´ I DU . V´ ı du . 1. Gia’ su.
’ an = n(−1)n. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng: i) D˜ ay an khˆ ong bi. ch˘a.n. ii) D˜ ay an khˆ ong pha’i l` a vˆ o c` ung l´ o.n. Gia’i. i) Ta ch´ u.ng minh r˘ a
`ng an tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi. ch˘a.n. Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > 0 sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng n v` a l´ o.n ho.n M . Diˆ e
`u d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi. ch˘a.n. 6 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ ii) Ta ch´ u.ng minh r˘ a
`ng an khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. Thˆa.t vˆa.y, ta x´
et khoa’ng (−2, 2). Hiˆ e’n nhiˆ
en mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’ dˆ e
`u thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’ th`ı ta c´o:
n(−1)n = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2). Nhu. vˆ
a.y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay. T`u. d´o,
theo di.nh ngh˜ıa suy ra an khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. N V´ ı du . 2. D`
ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng: (−1)n−1 n 1) lim = 0. 2) lim = 1. n→∞ n n→∞ n + 1 Gia’i. Dˆ e’ ch´ u.ng minh d˜ ay an c´ o gi´ o.i ha.n l`a a, ta cˆa ` n ch´ u.ng minh r˘ a
`ng dˆo´i v´o.i mˆo˜i sˆo´ ε > 0 cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o. . c sˆ o´ N (N phu. thuˆ
o.c ε) sao cho khi n > N th`ı suy ra |an − a| < ε. Thˆong thu.`o.ng ta c´ o thˆ e’ chı’ ra cˆ ong th´ u.c tu.` o.ng minh biˆ e’u diˆ e ˜n N qua ε. 1) Ta c´ o: (−1)n−1 1 |an − 0| = = · n n Gia’ su. ’ ε l` a sˆ o´ du.o.ng cho tru.´ o.c t` uy ´ y. Khi d´ o: 1 1
< ε ⇔ n > · n ε V`ı thˆ e´ ta c´ o thˆ e’ lˆ a´y N l` a sˆ o´ tu. . nhiˆ en n` ao d´ o tho’a m˜ an diˆ e `u kiˆe.n: 1 1 N > ⇒ < ε. ε N (Ch˘
a’ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/ε], trong d´o [1/ε] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’a 1/ε). Khi d´
o ∀ n > N th`ı: 1 1 |an − 0| = 6 < ε. n N 7.1. Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 7 (−1)n Diˆ e `u d´o c´o ngh˜ıa l`a lim = 0. n→∞ n 2) Ta lˆ a´y sˆ o´ ε > 0 bˆ a´t k` y v` a t`ım sˆ o´ tu. . nhiˆ
en N (ε) sao cho ∀ n > N (ε) th`ı: n − 1 < ε. n + 1 Bˆ a´t d˘ a’ng th´ u.c 1 1
|an − 1| < ε ⇔ < ε ⇔ − 1. n + 1 ε 1 Do d´ o ta c´ o thˆ e’ lˆ a´y sˆ o´ N (ε) l` a phˆ a ` n nguyˆen cu’a − 1, t´ u.c l` a: ε
N (ε) = E((1/ε) − 1). Khi d´ o v´
o.i mo.i n > N ta c´o: n 1 1 n − 1 = 6 < ε ⇒ lim = 1. N n + 1 n + 1 N + 1 n→∞ n + 1 V´ ı du . 3. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k` y: 1) an = n, n ∈ N (7.6) 2) an = (−1)n, n ∈ N (7.7) 1 3) an = (−1)n + · (7.8) n Gia’i. 1) Gia’ su. ’ d˜ ay (7.6) hˆ
o.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y ε = 1. Khi d´
o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆo
` n ta.i sˆo´ hiˆe.u N sao cho ∀ n > N th`ı ta c´
o |an − a| < 1 ngh˜ıa l`
a |n − a| < 1 ∀ n > N . T` u. d´
o −1 < n − a < 1
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N . Nhu.ng bˆ a´t d˘ a’ng th´
u.c n < a + 1, ∀ n > N l` a vˆ o l´ y v`ı tˆ a . . p ho.p c´ ac sˆ o´ tu. . nhiˆ en khˆ ong bi. ch˘a.n. 2) C´ ach 1. Gia’ su. ’ d˜ ay an hˆ
o.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y lˆan 1 1 cˆ a.n a − , a + cu’a diˆ e’m a. Ta viˆ e´t d˜ ay d˜ a cho du.´ o.i da.ng: 2 2
{an} = −1, 1, −1, 1, . . . . (7.9) 8 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 1 1 V`ı dˆ
o. d`ai cu’a khoa’ng a − , a + l` a b˘ a `ng 1 nˆen hai diˆe’m −1 2 2 1 1 v` a +1 khˆ ong thˆ e’ dˆ o
` ng th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.n a − , a + cu’a diˆ e’m a, 2 2 v`ı khoa’ng c´ ach gi˜ u.a −1 v` a +1 b˘ a `ng 2. Diˆe `u d´o c´o ngh˜ıa l`a o. ’ ngo` ai 1 1 lˆ an cˆ a.n a − , a + c´ o vˆ o sˆ o´ sˆ
o´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´u 2 2 ´ y o. ’ trˆen) sˆ o´ a khˆ ong thˆ e’ l` a gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay. 1 C´ ach 2. Gia’ su.
’ an → a. Khi d´o ∀ ε > 0 (lˆa´y ε = ) ta c´o 2 1
|an − a| < ∀ n > N. 2 V`ı an = ±1 nˆen 1 1 |1 − a| < ,
| − 1 − a| < 2 2 1 1
⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| 6 |1 − a| + |a + 1| 6 + = 1 2 2 ⇒2 < 1, vˆ o l´ y. 1 3) Lu.u ´ y r˘ a
`ng v´o.i n = 2m ⇒ a2m = 1 + . Sˆ o´ ha.ng kˆe ` v´o.i n´o 2m c´ o sˆ o´ hiˆ
e.u le’ 2m + 1 (hay 2m − 1) v`a 1 1 a2m+1 = −1 + < 0
(hay a2m−1 = −1 + 6 0). 2m + 1 2m − 1 T` u. d´ o suy r˘ a `ng
|an − an−1| > 1. Nˆ e´u sˆ o´ a n` ao d´ o l` a gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay (an) th`ı b˘a´t dˆa ` u t` u. sˆ o´ hiˆ e.u n`ao 1 d´ o (an) tho’a m˜ an bˆ a´t d˘ a’ng th´
u.c |an − a| < . Khi d´ o 2 1 1
|an − an+1| 6 |an − a| + |an+1 − a| < + = 1. 2 2 Nhu.ng hiˆ
e.u gi˜u.a hai sˆo´ ha.ng kˆe ` nhau bˆa´t k` y cu’a d˜ ay d˜ a cho luˆ on luˆ on l´ o.n ho.n 1. Diˆ e `u mˆau thuˆa˜n n`ay ch´ u.ng to’ r˘ a `ng khˆong mˆo . . t sˆ o´ thu.c n` ao c´ o thˆ e’ l` a gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay d˜a cho. N 7.1. Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 9 B ` AI T ˆ A . P H˜ ay su.
’ du.ng di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng 2n − 1
1. lim an = 1 nˆe´u an = n→∞ 2n + 2 3 3n2 + 1 2. lim an = nˆ e´u an = n→∞ 5 5n2 − 1 B˘ a ´t dˆa ` u t` u. sˆ o´ hiˆ e.u N n`ao th`ı:
|an − 3/5| < 0, 01 (DS. N = 5) 3n + 1
3. lim an = 1 nˆe´u an = . n→∞ 3n cos n 4. lim = 0. n→∞ n 2n + 5 · 6n 5. lim = 5. n→∞ 3n + 6n √ 3 n2 sin n2 6. lim = 0. n→∞ n + 1 7. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng sˆo´ a = 0 khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an = n2 − 2 . 2n2 − 9 8. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng
n2 + 2n + 1 + sin n lim = 1. n→∞ n2 + n + 1 9. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng d˜ay: an = (−1)n + 1/n phˆan k`y. 10. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng d˜ay; an = sin n0 phˆan k`y. 11. T`ım gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2 | {z }, . . . n Chı’ dˆ a
˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da.ng 2 2 2 2
an = 0, 22 . . . 2 = + + · · · +
(DS. lim an = 2/9) 10 10 10n 10 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 12. T`ım gi´ o.i ha.n cu’a d˜ ay sˆ o´:
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3 | {z }, . . . n Chı’ dˆ a
˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da.ng 2 3 3 3 an = + + + · · · + (DS. 7/30) 10 102 103 10n 13. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng nˆe´u d˜ay an hˆo.i tu. dˆe´n a, c`on d˜ay bn dˆa ` n dˆe´n ∞ th`ı d˜ ay an/bn dˆ a ` n dˆe´n 0. 14. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng n i) lim = 0. n→∞ 2n n ii) lim = 0 (a > 1). n→∞ an Chı’ dˆ a ˜n. i) Su. ’ du.ng hˆe. th´u.c: n(n − 1) n(n − 1) n2
2n = (1 + 1)n = 1 + n + + · · · + 1 > n + > · 2 2 2 v` a u.´ o.c lu.o. . ng |an − 0|. ii) Tu.o.ng tu. . nhu. i). Su. ’ du.ng hˆe. th´u.c: n(n − 1)
an = [1 + (a − 1)]n > (a − 1). 2 15. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng 1 1
lim an = 2 nˆe´u an = 1 + + · · · + 2 2n Chı’ dˆ a ˜n. ´
Ap du.ng cˆong th´u.c t´ınh tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan dˆe’ t´ınh an rˆo ` i u.´ o.c lu.o. . ng |an − 2|. 16. Biˆ e´t r˘ a
`ng d˜ay an c´o gi´o.i ha.n, c`on d˜ay bn khˆong c´o gi´o.i ha.n. C´o thˆ e’ n´ oi g`ı vˆ e ` gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: i) {an + bn}. ii) {anbn}.
(DS. i) lim{an + bn} khˆ ong tˆ o ` n ta.i. H˜ay ch´u.ng minh. 7.1. Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 11 ii) C´ o thˆ e’ g˘ a . . p ca’ hai tru.`
o.ng ho.p c´o gi´o.i ha.n v`a khˆong c´o gi´o.i ha.n, v´ı du.: n − 1 1 an = , bn = (−1)n; an = , bn = (−1)n. n n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ o . i tu . cu ’ a d˜ ay sˆ o ´ du.a trˆen c´ ac di.nh l´ y vˆ e ` gi´ o.i ha.n Dˆ e’ t´ınh gi´
o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su.’ du.ng c´ac di.nh l´y v`a kh´ ai niˆ e.m sau dˆay: Gia’ su.
’ lim an = a, lim bn = b.
i) lim(an ± bn) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim anbn = lim an · lim bn = a · b. iii) Nˆ e´u b 6= 0 th`ı b˘ a ´t dˆa ` u t` u. mˆ
o.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o d˜ay an/bn x´ac
di.nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n > N ⇒ bn 6= 0) v`a: an lim an a lim = = · bn lim bn b iv) Nˆ
e´u lim an = a, lim bn = a v` a b˘ a ´t dˆa ` u t` u. mˆ o.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o
an 6 zn 6 bn th`ı lim zn = a (Nguyˆen l´ y bi. ch˘a.n hai phi´a). v) T´ıch cu’a d˜ ay vˆ o c` ung b´ e v´ o.i d˜
ay bi. ch˘a.n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e. 1 vi) Nˆ e´u (an) l` a d˜ ay vˆ o c` ung l´ o.n v` a an 6= 0 th`ı d˜ ay l` a d˜ ay vˆ o an 1 c` ung b´ e; ngu.o. . c la.i, nˆ e´u αn l` a d˜ ay vˆ o c` ung b´ e v` a αn 6= 0 th`ı d˜ ay αn l` a vˆ o c` ung l´ o.n. Nhˆ a . n x´ et. Dˆ e’ ´
ap du.ng d´ung d˘a´n c´ac di.nh l´y trˆen ta cˆa ` n lu.u ´ y mˆ o.t sˆ o´ nhˆ a.n x´et sau dˆay: i) Di . .nh l´ y (iii) vˆ e
` gi´o.i ha.n cu’a thu.o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o.c nˆe´u tu. ’ sˆ o´ v` a mˆ a
˜u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n ho˘a.c mˆa˜u sˆo´ c´o gi´o.i ha.n b˘ a `ng 0. Trong nh˜ u.ng tru.` o.ng ho. . p d´ o nˆ en biˆ e´n dˆ o’i so. bˆ o. d˜ay thu.o.ng, ch˘
a’ng ha.n b˘a`ng c´ach chia ho˘a.c nhˆan tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i c`ung mˆo.t biˆ e’u th´ u.c. 12 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ ii) Dˆ o´i v´
o.i di.nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa
` n pha’i thˆa.n tro.ng khi ´ap du.ng. Trong tru.` o.ng ho. . p n` ay ta cˆ a
` n pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´ u.c an ± bn v` a an · bn tru.´ o.c khi t´ınh gi´
o.i ha.n (xem v´ı du. 1, iii). iii) Nˆ
e´u an = a ≡ const ∀ n th`ı lim an = a. n→∞ C ´ AC V´ I DU . V´ ı du
. 1. T`ım lim an nˆ e´u:
1) an = (1 + 7n+2)/(3 − 7n)
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3/(12 + 22 + · · · + n2) Gia’i. Dˆ e’ gia’i c´ ac b` ai to´ an n` ay ta d` ung l´ y thuyˆ e´t cˆ a´p sˆ o´ 1) Nhˆ an tu. ’ sˆ o´ v` a mˆ a ˜u sˆo´ phˆan th´ u.c v´ o.i 7−n ta c´ o: 1 + 7n+2 7−n + 72 an = = 3 − 7n 3 · 7−n − 1 Do d´ o 7−n + 72 lim an = lim
= −49 v`ı lim 7−n = 0, n → ∞. 3 · 7−n − 1 2) Tu. ’ sˆ o´ v` a mˆ a ˜u sˆo´ dˆe
`u l`a cˆa´p sˆo´ cˆo.ng nˆen ta c´o: 2 + 2n
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = · n; 2 1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1). 2 Do d´ o n an = ⇒ lim an = 1. n + 1 3) Nhu. ta biˆ e´t:
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + · · · + n2 = 6 7.1. Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 13 v` a do d´ o: 6n3
lim an = lim n(n + 1)(2n + 1) 6 = lim = 3. N
(1 + 1/n)(2 + 1/n) V´ ı du . 2. T`ım gi´ o.i ha.n 1 1 1 1 + + + · · · + lim 2 4 2n 1 1 1 1 + + + · · · + 3 9 3n Gia’i. Tu. ’ sˆ o´ v` a mˆ a ˜u sˆo´ dˆe
`u l`a cˆa´p sˆo´ nhˆan nˆen 1 1 2(2n − 1) 1 + + · · · + = , 2 2n 2n 1 1 3(3n − 1) 1 + + · · · + = 3 3n 2 · 3n v` a do d´ o: 2(2n − 1) 2 · 3n 2n − 1 2 3n lim an = lim · = 2 lim · lim 2n 3(3n − 1) 2n 3 3n − 1 2 1 2 4
= 2 lim[1 − (1/2)n] · lim = 2 · 1 · · 1 = · N 3 1 − (1/3)n 3 3 V´ ı du . 3. √ 1) an =
n2 + n − n √ √
2) an = 3 n + 2 − 3 n √
3) an = 3 n2 − n3 + n Gia’i. 1) Ta biˆ e´n dˆ o’i a . . n b˘ a
`ng c´ach nhˆan v`a chia cho da.i lu.o.ng liˆen ho.p √ √
( n2 + n − n)( n2 + n + n) n 1 a √ √ n = = = p
n2 + n + n
n2 + n + n 1 + 1/n + 1 Do d´ o 1 1 lim an = p = · lim ( 1 + 1/n + 1) 2 n→∞ 14 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 2) Biˆ e´n dˆ o’i a . n tu.o.ng tu . nhu. 1) ta c´ o: √ 3 √ 3 3 n + 2 − 3 n an = √ √ 2 √ √ 2 3 n + 2
+ 3 n + 2 · 3 n + 3 n 2 an = √ √ 2 √ √ 2 3 n + 2
+ 3 n + 2 · 3 n + 3 n Biˆ e’u th´ u.c mˆ a ˜u sˆo´ b˘a`ng: p p 2 n2/3 3 1 + 2/n + 3 1 + 2/n + 1 → ∞ khi n → ∞ v` a do d´ o lim an = 0. √ 3) Ta c´ o thˆ e’ viˆ e´t n = 3 n3 v` a ´ ap du.ng cˆong th´u.c:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) suy ra √ √ √ 3 2
n2 − n3 + n 3 n2 − n3
− n 3 n2 − n3 + n2 an = √ √ 3 2 n2 − n3
− n 3 n2 − n3 + n2 n2 = √ √ 3 2 n2 − n3
− n 3 n2 − n3 + n2 1
= [1/n − 1]2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1 1 suy ra lim an = · N 3 V´ ı du . 4. T`ım gi´
o.i ha.n cu’a c´ac d˜ay sau n n a √ √ n = , bn = , n2 + n n2 + 1 1 1 1 cn = √ + √ + · · · + √ · n + 1 n2 + 2 n2 + n Gia’i. Dˆ a ` u tiˆen ta ch´
u.ng minh lim an = 1. Thˆ a.t vˆa.y: n 1 lim an = lim p = lim p = 1. n 1 + 1/n 1 + 1/n 7.1. Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 15 Tu.o.ng tu. . lim bn = 1. Dˆ e’ t`ım gi´
o.i ha.n cu’a cn ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´y bi. ch˘a.n hai ph´ıa. Mˆ o.t m˘a.t ta c´o: 1 1 1 n c √ √ √ √ n < + + · · · + = = bn n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 nhu.ng m˘ a.t kh´ac: 1 1 1 c √ √ √ n > + + · · · + = an. n2 + n n2 + n n2 + n Nhu. vˆ
a.y an < cn < bn v`a lim an = lim bn = 1. T`u. d´o suy ra n→∞ n→∞ lim cn = 1. N n→∞ V´ ı du . 5. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng d˜ay (qn) l`a: 1) d˜ay vˆo c` ung l´ o.n nˆ e´u
|q| > 1; 2) d˜ ay vˆ o c` ung b´
e khi |q| < 1. Gia’i. 1) Gia’ su.
’ |q| > 1. Ta lˆ a´y sˆ o´ A > 0 bˆ a´t k` y. T` u. d˘ a’ng th´ u.c
|q|n > A ta thu du.o.
. c n > log A. Nˆ e´u ta lˆ
a´y N = [log A] th`ı ∀ n > N |q| |q| ta c´
o |q|n > A. Do d´ o d˜ ay (qn) l` a d˜ ay vˆ o c` ung l´ o.n. h1ni−1 1 2) Gia’ su.
’ |q| < 1, q 6= 0. Khi d´ o qn = . V`ı > 1 nˆen q q 1 h i−1 n 1 n d˜ ay l` a d˜ ay vˆ o c` ung l´ o.n v` a do d´ o d˜ ay l` a vˆ o c` ung q q b´ e, t´ u.c l` a d˜ ay (qn) l` a d˜ ay vˆ o c` ung b´
e khi |q| < 1. 3) Nˆ
e´u q = 0 th`ı qn = 0, |q|n < ε ∀ n v` a do d´ o (qn) l` a vˆ o c` ung b´ e. N B ` AI T ˆ A . P T`ım gi´ o.i ha.n lim an nˆe´u n→∞ n2 − n 1. a √ n = . (DS. ∞) n − n √
2. an = n2(n − n2 + 1). (DS. −∞) 16 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
1 + 2 + 3 + · · · + n 3. a √ n = . (DS. 1/6) 9n4 + 1 √n cos n 4. an = . (DS. 0) n + 1 5n sin n 5. an = + . (DS. 5) n + 1 n n3 3n2 6. an = − . (DS. 1/3) n2 + 1 3n + 1 n cos n 7. an = − . (DS. 1) n + 11 10n n3 + 1 8. an = (DS. ∞) n2 − 1 cos n3 3n 1 9. an = − . (DS. − ) n 6n + 1 2 (−1)n 10. an = √ . (DS. 0) 5 n + 1 √ √ n2 + 1 + n 11. an = √ √ . (DS. +∞) 3 n3 + n − n √
12. an = 3 1 − n3 + n. (DS. 0) √ n2 + 4n 13. a √ n = . (DS. 1) 3 n3 − 3n2 (n + 3)! 14. an = . (DS. −∞)
2(n + 1)! − (n + 2)! 2 + 4 + · · · + 2n 15. an = − 2. (DS. −1) n + 2 √ 1
16. an = n − 3 n3 − n2. (DS. ) 3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n 1 17. a √ √ n = . (DS. − ) n2 + 1 + 4n2 + 1 3 1 1 1 18. an = + + · · · + . 1 · 2 2 · 3 n(n + 1) 1 1 1 Chı’ dˆ a ˜n. ´ Ap du.ng = − (DS. 1) n(n + 1) n n + 1 7.1. Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 17 1 1 1 (−1)n−1 3 19. an = 1 − + − + · · · + . (DS. ) 3 9 27 3n−1 4 2n+1 + 3n+1 20. an = . (DS. 3) 2n + 3n n + (−1)n 21. an = . (DS. 1) n − (−1)n 1 1 1 1 22. an = √ √ √ + √ √ + · · · + √ √ n 1 + 3 3 + 5 2n − 1 + 2n + 1 Chı’ dˆ a
˜n. Tru.c c˘an th´u.c o.’ mˆa˜u sˆo´ c´ac biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a.c. 1 (DS. √ ) 2 1 1 1 23. an = + + · · · + 1 · 2 · 3 2 · 3 · 4
n(n + 1)(n + 2) Chı’ dˆ a ˜n. Tru.´o.c hˆe´t ta ch´ u.ng minh r˘ a `ng 1 1 h 1 1 i 1 = − (DS. )
n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 4 1 1 1 1 24. an = + + · · · + . (DS. ) a1a2 a2a3 anan+1 a1d trong d´ o {an} l` a cˆ a´p sˆ o´ cˆ
o.ng v´o.i cˆong sai d 6= 0, an 6= 0. 1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2). (DS. ) 2 n + 2 Chı’ dˆ a
˜n. B˘a`ng quy na.p to´an ho.c ch´u.ng to’ r˘a`ng an = . 2n + 2 7.1.3 Ch´ u.ng minh su. . . hˆ o . i tu . cu ’ a d˜ ay sˆ o ´ du.a trˆen diˆ e `u kiˆ
e.n du’ dˆe’ d˜ay hˆ o . i tu . (nguyˆ en l´ y Bolzano-Weierstrass) D˜ ay sˆ o´ a . n du.o . c go.i l` a: i) D˜ ay t˘ ang nˆ
e´u an+1 > an ∀ n ii) D˜ ay gia’m nˆ
e´u an+1 < an ∀ n C´ ac d˜ ay t˘ ang ho˘ a . . c gia’m c`
on du.o.c go.i l`a d˜ay do.n diˆe.u. Ta lu.u ´y r˘ a
`ng d˜ay do.n diˆe.u bao gi`o. c˜ung bi. ch˘a.n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.t ph´ıa. Nˆe´u d˜ay 18 Chu.o.ng 7. Gi´
o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ do.n diˆ
e.u t˘ang th`ı n´o bi. ch˘a.n du.´o.i bo.’i sˆo´ ha.ng dˆa ` u tiˆen cu’a n´o, d˜ay do.n diˆ
e.u gia’m th`ı bi. ch˘a.n trˆen bo.’i sˆo´ ha.ng dˆa
` u. Ta c´o di.nh l´y sau dˆay thu.` o.ng du.o. . c su.
’ du.ng dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay do.n diˆe.u. D
- i.nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay do.n diˆe.u v`a bi. ch˘a.n th`ı hˆo.i tu.. Di . .nh l´ y n` ay kh˘ a’ng di.nh vˆe ` su. tˆo
` n ta.i cu’a gi´o.i ha.n m`a khˆong chı’ ra du.o. . c phu.o.ng ph´ ap t`ım gi´
o.i ha.n d´o. Tuy vˆa.y, trong nhiˆe `u tru.`o.ng ho. . p khi biˆ e´t gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay tˆo
` n ta.i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınh n´ o. Viˆ e . .c t´ınh to´ an thu.`
o.ng du.a trˆen d˘a’ng th´u.c d´ung v´o.i mo.i d˜ay hˆo.i tu.:
lim an+1 = lim an. n→∞ n→∞ Khi t´ınh gi´ o.i ha . . . n du.a trˆ en d˘ a’ng th´ u.c v` u.a nˆ eu tiˆ e.n lo.i ho.n ca’ l`a su.’
du.ng c´ach cho d˜ay b˘a`ng cˆong th´u.c truy hˆo ` i. C ´ AC V´ I DU . V´ ı du . 1. Ch´ u.nh minh r˘ a `ng d˜ay: 1 1 1 an = + + · · · + hˆ o.i tu.. 5 + 1 52 + 1 5n + 1 Gia’i. D˜ ay d˜ a cho do.n diˆ
e.u t˘ang. Thˆa.t vˆa.y v`ı: 1 an+1 = an + nˆ en an+1 > an. 5n+1 + 1 D˜ ay d˜
a cho bi. ch˘a.n trˆen. Thˆa.t vˆa.y: 1 1 1 1 1 1 1 an = + + + · · · + < + + · · · + 5 + 1 52 + 1 53 + 1 5n + 1 5 52 5n 1 1 − 1 1 1 = 5 5n+1 = 1 − < · 1 4 5n 4 1 − 5 Nhu. vˆ
a.y d˜ay an d˜a cho do.n diˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n trˆen nˆen n´o hˆo.i tu.. N
Tài liệu liên quan:
-
Chuyên đề Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - TOÁN
3 2 -
Công thức Hàm Cầu và Cung: Chương 2 – Chủ đề 1 (Cung và Cầu)
22 11 -
Chương I: Tập Số Và Giới Hạn Của Dãy Số môn Toán cao cấp | Đại học Bách Khoa Hà Nội
25 13 -
MA TRẬN BẬC THANG - THẦY QUANG: KHÁI NIỆM & CÔNG THỨC (ĐẠI SỐ)
25 13 -
Hướng Dẫn Bài Tập Đạo Hàm Hàm Ẩn HD 2A02
23 12