Giáo trình Bài tập toán cao cấp tập 3 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Giáo trình Bài tập toán cao cấp tập 3 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Môn: Toán cao cấp 47 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.6 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
NGUYˆ E ˜ N THUY’ THANH B ` AI T ˆ A . P TO ´ AN CAO C ˆ A ´P Tˆ a.p 3 Ph´ ep t´ınh t´ıch phˆ an. L´ y thuyˆ e´t chuˆ o ˜i. Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an NH ` A XU ˆ A
´T BA’N DA.I HO.C QUˆO´C GIA H`A NˆO.I Mu . c lu . c 10 T´ ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh 4 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an . . . . . . . . . . . . 4 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh . . . . . . . 4 10.1.2 Phu.o.ng ph´ ap dˆ o’i biˆ
e´n . . . . . . . . . . . . . . 12 10.1.3 Phu.o.ng ph´ ap t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ a ` n . . . . . . . 21 10.2 C´ ac l´ o.p h` am kha’ t´ıch trong l´ o.p c´ ac h` am so. cˆ a´p . . . . 30 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` am h˜
u.u ty’ . . . . . . . . . . . . 30 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ
o.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n . . . . . 37 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o. . ng gi´ ac . . . . . . . . . . 48 11 T´ ıch phˆ an x´ ac di.nh Riemann 57 11.1 H` am kha’ t´ıch Riemann v` a t´ıch phˆ an x´ ac d i.nh . . . . . 58 11.1.1 D
- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 11.1.2 D - iˆe
`u kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch . . . . . . . . . . . . 59 11.1.3 C´ ac t´ınh chˆ
a´t co. ba’n cu’a t´ıch phˆ an x´ ac di.nh . . 59 11.2 Phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an x´ ac d i.nh . . . . . . . . . 61 11.3 Mˆ
o.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh . . . . . . . . 78 11.3.1 Diˆ
e.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ . . . . 78 11.3.2 T´ınh dˆ
o. d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay . . 89 11.4 T´ıch phˆ an suy rˆ
o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 11.4.1 T´ıch phˆ an suy rˆ
o.ng cˆa.n vˆo ha.n . . . . . . . . . 98 11.4.2 T´ıch phˆ an suy rˆ
o.ng cu’a h`am khˆong bi. ch˘a.n . . 107 2 MU . C LU . C 12 T´ ıch phˆ an h` am nhiˆ e `u biˆ e´n 117 12.1 T´ıch phˆ an 2-l´
o.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 12.1.1 Tru.` o.ng ho. . p miˆ e `n ch˜ u. nhˆ a.t . . . . . . . . . . . 118 12.1.2 Tru.` o.ng ho. . p miˆ e
`n cong . . . . . . . . . . . . . . 118 12.1.3 Mˆ
o.t v`ai ´u.ng du.ng trong h`ınh ho.c . . . . . . . . 121 12.2 T´ıch phˆ an 3-l´
o.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.2.1 Tru.` o.ng ho. . p miˆ e
`n h`ınh hˆo.p . . . . . . . . . . . 133 12.2.2 Tru.` o.ng ho. . p miˆ e
`n cong . . . . . . . . . . . . . . 134 12.2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.2.4 Nhˆ
a.n x´et chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.3 T´ıch phˆ an d u.`
o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3.1 C´
ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆ an du.`
o.ng . . . . . . . . . . . . . . 146 12.4 T´ıch phˆ an m˘
a.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12.4.1 C´
ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 158 12.4.2 Phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an m˘ a.t . . . . . . . . 160 12.4.3 Cˆ ong th´ u.c Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . 162 12.4.4 Cˆ ong th´
u.c Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o ˜i 177 13.1 Chuˆ o
˜i sˆo´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 13.1.1 C´
ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 178 13.1.2 Chuˆ o
˜i sˆo´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 13.2 Chuˆ o
˜i hˆo.i tu. tuyˆe.t dˆo´i v`a hˆo.i tu. khˆong tuyˆe.t dˆo´i . . . 191 13.2.1 C´
ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 191 13.2.2 Chuˆ o
˜i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz . . . . . . 192 13.3 Chuˆ o ˜i l˜ uy th`
u.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 13.3.1 C´
ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 199 13.3.2 D - iˆe
`u kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 201 13.4 Chuˆ o
˜i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.4.1 C´
ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 211 MU . C LU . C 3 13.4.2 Dˆ a´u hiˆ e . .u du’ vˆ e
` su. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜i Fourier . . . 212 14 Phu.o.ng tr` ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ
a´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ ach biˆ
e´n . . . . . . . . . . . . . . 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d ˘ a’ng cˆ a´p . . . . . . . . . . . . . 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆ
e´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . 237
14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 244
14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an to` an phˆ a ` n . . . . . . . . 247
14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v` a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ
a´p cao . . . . . . . . . . . . . . 259 14.2.1 C´ ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´
ep ha. thˆa´p cˆa´p . . . . 260
14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an tuyˆ e´n t´ınh cˆ a´p 2 v´ o.i hˆ e. sˆ o´ h˘ a
`ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an tuyˆ e´n t´ınh thuˆ a ` n nhˆa´t cˆ a´p n (ptvptn cˆ a´p n) v´ o.i hˆ
e. sˆo´ h˘a`ng . . . . . . 273 14.3 Hˆ
e. phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 1 v´o.i hˆe. sˆo´ h˘a`ng290 15 Kh´ ai niˆ e.m vˆe
` phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an da.o h` am riˆ eng 304 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ a´p 1 tuyˆ e´n t´ınh dˆ o´i v´ o.i c´ ac da.o h` am riˆ
eng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p 2 d o.n gia’n nhˆa´t 310 15.3 C´ ac phu.o.ng tr`ınh vˆ
a.t l´y to´an co. ba’n . . . . . . . . . . 313 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ e
`n s´ong . . . . . . . . . . . . 314 15.3.2 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ e
`n nhiˆe.t . . . . . . . . . . . . 317
15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace
. . . . . . . . . . . . . . 320 T` ai liˆ
e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ ınh t´ ıch phˆ an . . . . . . 4 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh . . . . . 4 10.1.2 Phu.o.ng ph´ ap dˆ o’i biˆ e´n . . . . . . . . . . . . 12 10.1.3 Phu.o.ng ph´ ap t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ a ` n . . . . . 21 10.2 C´ ac l´ o.p h` am kha ’ t´ıch trong l´ o.p c´ ac h` am so. cˆ a
´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` am h˜ u.u ty’ . . . . . . . . . 30 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ
o.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n . . . 37 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o. . ng gi´ ac . . . . . . . 48 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh D - i . .nh ngh˜ ıa 10.1.1. H`
am F (x) du.o.c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆ en khoa’ng n` ao d´ o nˆ e´u F (x) liˆ
en tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 5
ta.i mˆo˜i diˆe’m trong cu’a khoa’ng v`a F 0(x) = f(x). D - i . .nh l´ y 10.1.1. (vˆ e ` su. tˆo
` n ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h`am liˆen tu.c trˆen doa
. n [a, b] dˆ e `u c´ o nguyˆ en h` am trˆ
en khoa’ng (a, b). D
- i.nh l´y 10.1.2. C´ac nguyˆen h`am bˆa´t k`y cu’a c`ung mˆo.t h`am l`a chı’ kh´ ac nhau bo. ’ i mˆ o . t h˘ a `ng sˆ o´ cˆ o . ng. Kh´ ac v´
o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so. cˆa´p khˆong pha’i bao gi` o. c˜ ung l` a h` am so. cˆ a´p. Ch˘
a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x2, 1 cos x sin x
cos(x2), sin(x2), , , ,... l` a nh˜ u.ng h` am khˆ ong so. cˆ a´p. lnx x x D - i . .nh ngh˜ ıa 10.1.2. Tˆ
a.p ho.p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng (a, b) du.o. . c go.i l` a t´ıch phˆ an bˆ
a´t di.nh cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng (a, b) v` a du.o. . c k´ y hiˆ e.u l`a Z f (x)dx. Nˆ e´u F (x) l` a mˆ
o.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng
(a, b) th`ı theo di.nh l´y 10.1.2 Z
f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R trong d´ o C l` a h˘ a `ng sˆo´ t` uy ´ y v` a d˘ a’ng th´ u.c cˆ a
` n hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ u.c gi˜ u.a hai tˆ a . . p ho.p. C´ ac t´ınh chˆ
a´t co. ba’n cu’a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh: Z 1) d f (x)dx
= f (x)dx. Z 0 2) f (x)dx = f (x). Z Z 3) df (x) =
f 0(x)dx = f (x) + C. T`
u. di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ut ra ba’ng c´ac t´ıch phˆan co. ba’n (thu.` o.ng du.o. . c go.i l` a t´ıch phˆ an ba’ng) sau dˆ ay: 6 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆ an bˆ a´t d i.nh Z I. 0.dx = C. Z II.
1dx = x + C. Z xα+1 III. xαdx = + C, α 6= −1 α + 1 Z dx IV.
= ln|x| + C, x 6= 0. x Z Z ax V. axdx =
+ C (0 < a 6= 1);
exdx = ex + C. lna Z VI.
sin xdx = − cos x + C. Z VII.
cos xdx = sin x + C. Z dx π VIII.
= tgx + C, x 6= + nπ, n ∈ Z. cos2 x 2 Z dx IX.
= −cotgx + C, x 6= nπ, n ∈ Z. sin2 x Z dx
arc sin x + C, X. √ = −1 < x < 1. 1 − x2
−arc cos x + C Z dx arctgx + C, XI. = 1 + x2
−arccotgx + C. Z dx √ XII. √ = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± 1 (trong tru.` o.ng ho. . p dˆ a´u tr`
u. th`ı x < −1 ho˘ a.c x > 1). Z dx 1 1 + x XIII. = ln + C, |x| 6= 1. 1 − x2 2 1 − x C´ ac quy t˘ a
´c t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 7 Z Z 1)
kf (x)dx = k
f (x)dx, k 6= 0. Z Z Z 2)
[f (x) ± g(x)]dx =
f (x)dx ± g(x)dx. Z 3) Nˆ e´u
f (x)dx = F (x) + C v`
a u = ϕ(x) kha’ vi liˆ en tu.c th`ı Z
f (u)du = F (u) + C. C ´ AC V´ I DU . V´ ı du . 1. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng bˆ a´t k` y khˆ ong ch´ u.a diˆ e’m x = 0 v` a khˆ ong c´ o nguyˆ en h` am trˆ en
mo.i khoa’ng ch´u.a diˆe’m x = 0. Gia’i. 1) Trˆ en khoa’ng bˆ a´t k` y khˆ ong ch´ u.a diˆ e’m x = 0 h` am y = signx l` a h˘ a
`ng sˆo´. Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), 0 < a < b ta c´o signx = 1 v` a do d´
o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng
F (x) = x + C, C ∈ R. 2) Ta x´ et khoa’ng (a, b) m`
a a < 0 < b. Trˆ
en khoa’ng (a, 0) mo.i nguyˆ en h` am cu’a signx c´
o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b) nguyˆ en h` am c´
o da.ng F (x) = x + C2. V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘a`ng sˆo´ C1 v` a C . 2 ta thu du.o . c h` am [trˆ en (a, b)] khˆ ong c´
o da.o h`am ta.i diˆe’m x = 0. Nˆ e´u ta cho .
.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o.c h` am liˆ
en tu.c y = |x| + C nhu.ng khˆ
ong kha’ vi ta.i diˆe’m x = 0. T`u. d´o, theo di.nh ngh˜ıa 1 h`am signx khˆ ong c´ o nguyˆ en h` am trˆ
en (a, b), a < 0 < b. N V´ ı du . 2. T`ım nguyˆ en h` am cu’a h`
am f (x) = e|x| trˆ en to` an tru.c sˆo´. Gia’i. V´ o.i x > 0 ta c´
o e|x| = ex v` a do d´ o trong miˆ e `n x > 0 mˆo.t trong c´ ac nguyˆ en h` am l`
a ex. Khi x < 0 ta c´
o e|x| = e−x v` a do vˆ a.y trong miˆ e
`n x < 0 mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x + C v´o.i h˘a`ng sˆ o´ C bˆ a´t k` y.
Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o 8 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆ an bˆ a´t d i.nh pha’i tho’a m˜ an diˆ e `u kiˆe.n
lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 t´ u.c l`
a 1 = −1 + C ⇒ C = 2. Nhu. vˆ a.y ex nˆ e´u x > 0, F (x) = 1 nˆ e´u x = 0,
−e−x + 2 nˆe´u x < 0 l` a h` am liˆ
en tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´. Ta ch´u.ng minh r˘a`ng F (x) l`a nguyˆen h` am cu’a h` am e|x| trˆ en to`
an tru.c sˆo´. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > 0 ta c´o
F 0(x) = ex = e|x|, v´
o.i x < 0 th`ı F 0(x) = e−x = e|x|. Ta c` on cˆ a ` n pha’i ch´ u.ng minh r˘ a
`ng F 0(0) = e0 = 1. Ta c´o
F (x) − F (0) ex − 1 F 0 (0) = lim = lim = 1, + x→0+0 x x→0+0 x
F (x) − F (0)
−e−x + 2 − 1 F 0 (0) = lim = lim = 1. − x→0−0 x x→0−0 x Nhu. vˆ
a.y F 0 (0) = F 0 (0) = F 0(0) = 1 = e|x|. T`u. d´o c´o thˆe’ viˆe´t: + − Z ex + C, x < 0
e|x|dx = F (x) + C = −e−x + 2 + C, x < 0. N V´ ı du . 3. T`ım nguyˆ en h` am c´ o dˆ o
` thi. qua diˆe’m (−2, 2) dˆo´i v´o.i h`am 1 f (x) =
, x ∈ (−∞, 0). x 1
Gia’i. V`ı (ln|x|)0 = nˆ en ln|x| l` a mˆ
o.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’a x 1 h` am f (x) = . Do vˆ
a.y, nguyˆen h`am cu’a f l`a h`am F (x) = ln|x| + C, x C ∈ R. H˘ a `ng sˆo´ C du.o. . c x´ ac di.nh t`u. diˆe
`u kiˆe.n F (−2) = 2, t´u.c l`a
ln2 + C = 2 ⇒ C = 2 − ln2. Nhu. vˆ a.y x
F (x) = ln|x| + 2 − ln2 = ln + 2. N 2 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 9 V´ ı du . 4. T´ınh c´ ac t´ıch phˆ an sau dˆ ay: Z Z 2x+1 − 5x−1 2x + 3 1) dx, 2) dx. 10x 3x + 2 Gia’i. 1) Ta c´ o Z Z 2x 5x h 1x 11xi I = 2 − dx = 2 − dx 10x 5 · 10x 5 5 2 Z Z 1 x 1 1x = 2 dx − dx 5 5 2 1x 1x 1 = 2 5 2 + C 1 − 5 1 ln ln 5 2 2 1 = − + + C. 5xln5 5 · 2xln2 2) h i Z 3 2 5 2 x + 2 x + + I = 2 3 6 2 dx = dx 3 2 3 x + x + 3 3 2 5 2 = x + lnx + + C. N 3 9 3 V´ ı du . 5. T´ınh c´ ac t´ıch phˆ an sau dˆ ay: Z Z Z 1 + cos2 x √ 1) tg2xdx, 2) dx, 3) 1 − sin 2xdx. 1 + cos 2x Gia’i. 1) Z Z Z sin2 x 1 − cos2 x tg2xdx = dx = dx cos2 x cos2 x Z Z dx = −
dx = tgx − x + C. cos2 x 10 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆ an bˆ a´t d i.nh 2) Z Z Z 1 + cos2 x 1 + cos2 x 1 Z dx dx = dx = + dx 1 + cos 2x 2 cos2 x 2 cos2 x 1 =
(tgx + x) + C. 2 3) Z Z √ p 1 − sin 2xdx =
sin2 x − 2 sin x cos x + cos2 xdx Z p Z =
(sin x − cos x)2dx =
| sin x − cos x|dx
= (sin x + cos x)sign(cos x − sin x) + C. N B ` AI T ˆ A . P B˘ a
`ng c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i dˆo
` ng nhˆa´t, h˜ay du.a c´ac t´ıch phˆan d˜a cho vˆ e
` t´ıch phˆan ba’ng v`a t´ınh c´ac t´ıch phˆan d´o1 Z dx 1 x − 1 1 1. . (DS. ln − arctgx) x4 − 1 4 x + 1 2 Z 1 + 2x2 1 2. dx. (DS. arctgx − ) x2(1 + x2) x Z √ √ x2 + 1 + 1 − x2 √ 3. √ dx.
(DS. arc sin x + ln|x + 1 + x2|) 1 − x4 Z √ √ x2 + 1 − 1 − x2 √ √ 4. √ dx. (DS. ln|x +
x2 − 1| − ln|x + x2 + 1|) x4 − 1
Z √x4 + x−4 + 2 1 5. dx. (DS. ln|x| − ) x3 4x4 Z 23x − 1 e2x 6. dx. (DS. + ex + 1) ex − 1 2
1Dˆe’ cho go.n, trong c´ac “D´ap sˆo´” cu’a chu.o.ng n`ay ch´ung tˆoi bo’ qua khˆong viˆe´t c´ ac h˘ a `ng sˆ o´ cˆ o.ng C. 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 11 Z 3x 22x − 1 2 h2 i 2 7. √ dx. (DS. + 2− x2 ) 2x ln2 3 Z dx 1 lnx 8. . (DS. √ arctg √ ) x(2 + ln2x) 2 2 Z √ 3 ln2x 3 9. dx. (DS. ln5/3x) x 5
Z ex + e2x 10. dx.
(DS. −ex − 2ln|ex − 1|) 1 − ex Z exdx 11. . (DS. ln(1 + ex)) 1 + ex Z x 1 sin x 12. sin2 dx. (DS. x − ) 2 2 2 Z 13. cotg2xdx.
(DS. −x − cotgx) Z √ π 14.
1 + sin 2xdx, x ∈ 0, .
(DS. − cos x + sin x) 2 Z 15.
ecosx sin xdx. (DS. −ecos x) Z 16. ex cos exdx. (DS. sin ex) Z 1 x 17. dx. (DS. tg ) 1 + cos x 2 Z dx 1 x π 18. . (DS. √ lntg + ) sin x + cos x 2 2 8 Z 1 + cosx 2 19. dx. (DS. − ) (x + sin x)3 2(x + sin x)2 Z sin 2x 1 p 20. p dx. (DS. − 1 − 4 sin2 x) 1 − 4 sin2 x 2 Z sin x √ 21. p dx. (DS. −ln| cos x + 1 + cos2 x|) 2 − sin2 x 12 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆ an bˆ a´t d i.nh Z sinxcos x 1 sin2 x 22. p dx. (DS. arc sin √ ) 3 − sin4 x 2 3 Z arccotg3x 1 23. dx. (DS. − arccotg23x) 1 + 9x2 6 Z √ x + arctg2x 1 1 24. dx. (DS. ln(1 + 4x2) + arctg3/22x) 1 + 4x2 8 3
Z arc sinx − arccos x 1 25. √ dx. (DS.
(arc sin2 x + arc cos2 x)) 1 − x2 2
Z x + arc sin3 2x 1 √ 1 26. √ dx. (DS. − 1 − 4x2 + arc sin4 2x) 1 − 4x2 4 8
Z x + arc cos3/2 x √ 2 27. √ dx. (DS. − 1 − x2 − arc cos5/2 x) 1 − x2 5 Z |x|3 28. x|x|dx. (DS. ) 3 Z 29.
(2x − 3)|x − 2|dx. 2 7
− x3 + x2 − 6x + C, x < 2 (DS. F (x) = 3 2 ) 2 7 x3 −
x2 + 6x + C, x > 2 3 2 Z
1 − x2, |x| 6 1, 30.
f (x)dx, f (x) = 1 − |x|, |x| > 1. x3 x − + C nˆ e´u |x| 6 1 (DS. F (x) = 3 ) x|x| 1 x − + signx + C nˆ e´u|x| > 1 2 6 10.1.2 Phu.o.ng ph´ ap dˆ o’i biˆ e´n D
- i.nh l´y. Gia’ su.’: 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 13 1) H`
am x = ϕ(t) x´ ac di . .nh v` a kha’ vi trˆ en khoa’ng T v´ o.i tˆ a . p ho . p gi´ a tri. l`a khoa’ng X. 2) H`
am y = f (x) x´
ac di.nh v`a c´o nguyˆen h`am F (x) trˆen khoa’ng X. Khi d´ o h`
am F (ϕ(t)) l` a nguyˆ en h` am cu’a h`
am f (ϕ(t))ϕ0(t) trˆ en khoa’ng T . T`
u. di.nh l´y 10.1.1 suy r˘a`ng Z
f (ϕ(t))ϕ0(t)dt = F (ϕ(t)) + C. (10.1) V`ı Z
F (ϕ(t)) + C = (F (x) + C) = f (x)dx x=ϕ(t) x=ϕ(t) cho nˆ en d˘ a’ng th´ u.c (10.1) c´ o thˆ e’ viˆ e´t du.´ o.i da.ng Z Z f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0(t)dt. (10.2) x=ϕ(t) D˘ a’ng th´ u.c (10.2) du.o. . c go.i l` a cˆ ong th´ u.c dˆ o’i biˆ e´n trong t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh. Nˆ e´u h`
am x = ϕ(t) c´ o h` am ngu.o.
. c t = ϕ−1(x) th`ı t` u. (10.2) thu du.o. . c Z Z f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0(t)dt . (10.3)
t=ϕ−1(x) Ta nˆ eu mˆ o.t v`ai v´ı du. vˆe ` ph´ep dˆo’i biˆe´n. √ i) Nˆ e´u biˆ e’u th´ u.c du.´ o.i dˆ a´u t´ıch phˆ an c´ o ch´ u.a c˘ an
a2 − x2, a > 0 π π th`ı su.
’ du.ng ph´ep dˆo’i biˆe´n x = a sin t, t ∈ − , . 2 2 √ ii) Nˆ e´u biˆ e’u th´ u.c du.´ o.i dˆ a´u t´ıch phˆ an c´ o ch´ u.a c˘ an
x2 − a2, a > 0 a π th`ı d` ung ph´ ep dˆ o’i biˆ e´n x = , 0 < t < ho˘
a.c x = acht. cos t 2 √ iii) Nˆ e´u h` am du.´ o.i dˆ a´u t´ıch phˆ an ch´ u.a c˘ an th´ u.c
a2 + x2, a > 0 π π th`ı c´ o thˆ e’ d˘
a.t x = atgt, t ∈ − , ho˘
a.c x = asht. 2 2 iv) Nˆ e´u h` am du.´ o.i dˆ a´u t´ıch phˆ an l`
a f (x) = R(ex, e2x, . . . .enx) th`ı c´ o thˆ e’ d˘
a.t t = ex (o.’ dˆay R l`a h`am h˜u.u ty’). 14 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆ an bˆ a´t d i.nh C ´ AC V´ I DU . Z dx V´ ı du . 1. T´ınh . cos x Gia’i. Ta c´ o Z Z dx cos xdx = (d˘
a.t t = sin x, dt = cos xdx) cos x 1 − sin2 x Z dt 1 1 + t x π = = ln + C = lntg + + C. N 1 − t2 2 1 − t 2 4 Z x3dx V´ ı du . 2. T´ınh I = . x8 − 2 Gia’i. ta c´ o √ 2 x4 Z 1 d(x4) Z d √ 4 2 I = 4 = x8 − 2 h x4 2i −2 1 − √ 2 x4 D˘ a . . t t = √ ta thu du.o.c 2 √ √ 2 2 + x4 I = − ln√ + C. N 8 2 − x4 Z x2dx V´ ı du . 3. T´ınh I = p · (x2 + a2)3 adt Gia’i. D˘
a.t x(t) = atgt ⇒ dx = . Do d´ o cos2 t Z Z Z Z
a3tg2t · cos3 tdt sin2 t dt I = = dt = − cos tdt a3 cos2 t cos t cos t t π = lntg + − sin t + C. 2 4 x V`ı t = arctg nˆ en a 1 x π x I = lntg arctg + − sin arctg + C 2 a 4 a x √ = − √ + ln|x +
x2 + a2| + C. x2 + a2 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 15 Thˆ
a.t vˆa.y, v`ı sin α = cos α · tgα nˆen dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng x x sin arctg = √ · a x2 + a2 Tiˆ e´p theo ta c´ o 1 x π x π x sin arctg + 1 − cos arctg + 1 + sin arctg 2 a 4 a 2 = a 1 x π = x π x cos arctg + sin arctg + − cos arctg 2 a 4 a 2 a √ x + a2 + x2 = a v` a t` u. d´ o suy ra diˆ e `u pha’i ch´ u.ng minh. N Z √ V´ ı du . 4. T´ınh I =
a2 + x2dx. Gia’i. D˘
a.t x = asht. Khi d´o Z q Z I =
a2(1 + sh2t)achtdt = a2 ch2tdt Z ch2t + 1 a2 1 = a2 dt =
sh2t + t + C 2 2 2 a2 =
(sht · cht + t) + C. 2 r √ p x2 x + a2 + x2 V`ı cht = 1 + sh2t = 1 +
. et = sht + cht = nˆ en a2 a √
x + a2 + x2 t = ln v`a do d´o a Z √ x √ a2 √
a2 + x2dx = a2 + x2 + ln|x +
a2 + x2| + C. N 2 2 V´ ı du . 5. T´ınh Z Z x2 + 1 3x + 4 1) I1 = √ dx, 2) I2 = √ dx.
x6 − 7x4 + x2 −x2 + 6x − 8 16 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆ an bˆ a´t d i.nh Gia’i. 1) Ta c´ o Z 1 1 1 + Z d x − Z dt I x2 x √ 1 = r dx = r = 1 1 2 t2 − 5 x2 − 7 + x − − 5 x2 x r √ 1 1 = ln|t +
t2 − 5| + C = lnx − + x2 − 7 + + C. x x2 2) Ta viˆ e´t biˆ e’u th´ u.c du.´ o.i dˆ a´u t´ıch phˆ an du.´ o.i da.ng 3 −2x + 6 1 f (x) = − · √ + 13 · √ 2 −x2 + 6x − 8 −x2 + 6x − 8 v` a thu du.o. . c Z I2 = f (x)dx Z Z 3 d(x − 3) = −
(−x2 + 6x − 8)− 12 d(−x2 + 6x − 8) + 13 p 2 1 − (x − 3)2 √
= −3 −x2 + 6x − 8 + 13 arc sin(x − 3) + C. N V´ ı du . 6. T´ınh Z Z dx sin x cos3 x 1) , 2) I2 = dx. sin x 1 + cos2 x Gia’i 1) C´ ach I. Ta c´ o Z Z Z dx sin x d(cos x) 1 1 − cos x = dx = = ln + C. sin x sin2 x cos2 x − 1 2 1 + cos x C´ ach II. Z Z x Z x dx d d = 2 = 2 sin x x x x x sin cos tg · cos2 2 2 2 2 Z x d tg x = 2 x = lntg + C. tg 2 2 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 17 2) Ta c´ o
Z sinxcos x[(cos2 x + 1) − 1] I2 = dx. 1 + cos2 x Ta d˘
a.t t = 1 + cos2 x. T`u. d´o dt = −2 cos x sin xdx. Do d´o Z 1 t − 1 t I2 = − dt = − + ln|t| + C, 2 t 2 trong d´
o t = 1 + cos2 x. N V´ ı du . 7. T´ınh Z Z exdx ex + 1 1) I1 = √ , 2) I2 = dx. e2x + 5 ex − 1 Gia’i 1) D˘
a.t ex = t. Ta c´o exdx = dt v`a Z dt √ √ I1 = √ = ln|t +
t2 + 5| + C = ln |ex +
e2x + 5| + C. t2 + 5 dt 2) Tu.o.ng tu. . . , d˘
a.t ex = t, exdx = dt, dx = v` a thu du.o.c t Z Z Z t + 1 dt 2dt dt I2 = = −
= 2ln|t − 1| − ln|t| + C t − 1 t t − 1 t
= 2ln|ex − 1| − lnex + c
= ln(ex − 1)2 − x + C. N B ` AI T ˆ A . P T´ınh c´ ac t´ıch phˆ an: Z e2x 4 p 1. √ dx. (DS.
(3ex − 4) 4 (ex + 1)3) 4 ex + 1 21 Chı’ dˆ a
˜n. D˘a.t ex + 1 = t4. 18 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆ an bˆ a´t d i.nh Z √ dx 1 + ex − 1 2. √ . (DS. ln√ ) ex + 1 1 + ex + 1 Z e2x 3. dx.
(DS. ex + ln|ex − 1|) ex − 1 Z √1 + lnx 2 p 4. dx. (DS. (1 + lnx)3) x 3 Z √1 + lnx 5. dx. xlnx √ √
(DS. 2 1 + lnx − ln|lnx| + 2ln| 1 + lnx − 1|) Z dx x 6. .
(DS. −x − 2e− x2 + 2ln(1 + e 2 )) ex/2 + ex Z √ arctg x dx √ 7. √ . (DS. (arctg x)2) x 1 + x Z √ 2 8.
e3x + e2xdx. (DS. (ex + 1)3/2) 3 Z 1 9.
e2x2+2x−1(2x + 1)dx. (DS.
e2x2+2x−1) 2 Z dx √ 10. √ . (DS. 2arctg ex − 1) ex − 1 Z e2xdx 1 √ 11. √ . (DS. ln(e2x + e4x + 1)) e4x + 1 2 Z 2xdx arc sin 2x 12. √ . (DS. ) 1 − 4x ln2 Z dx √ √ 13. √ .
(DS. 2[ x + 1 − ln(1 + x + 1)]) 1 + x + 1 Chı’ dˆ a
˜n. D˘a.t x + 1 = t2. Z r x + 1 √ √ x − 2 14. √ dx. (DS. 2 x − 2 + 2arctg ) x x − 2 2 Z dx 2 √ √ 15. √ . (DS.
ax + b − mln| ax + b + m| )
ax + b + m a 10.1. C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 19 Z dx √ √ 16. √ √ .
(DS. 3 3 x + 3ln| 3 x − 1|) 3 x( 3 x − 1) Z dx 17. . (DS. tg(arc sin x)) (1 − x2)3/2 π π Chı’ dˆ a
˜n. D˘a.t x = sin t, t ∈ − , ) 2 2 Z dx 1 x 18. . (DS. sin arctg )
(x2 + a2)3/2 a2 a π π Chı’ dˆ a
˜n. D˘a.t x = atgt, t ∈ − , . 2 2 Z dx 1 1 19. . (DS. − , t = arc sin ) (x2 − 1)3/2 cos t x 1 π π Chı’ dˆ a ˜n. D˘a.t x = , −
< t < 0, 0 < t < . sin t 2 2 Z √ √ a2 x x a2 − x2 20.
a2 − x2dx. (DS. arc sin + ) 2 a 2 Chı’ dˆ a
˜n. D˘a.t x = a sin t. Z √ x √ a2 √ 21.
a2 + x2dx. (DS. a2 + x2 + ln|x + a2 + x2|) 2 2 Chı’ dˆ a
˜n. D˘a.t x = asht. Z x2 1 √ √ 22. √ dx. (DS.
x a2 + x2 − a2ln(x + a2 + x2) ) a2 + x2 2 Z √ dx x2 + a2 23. √ . (DS. − )
x2 x2 + a2 a2x 1 Chı’ dˆ a ˜n. D˘a.t x = ho˘
a.c x = atgt, ho˘a.c x = asht. t Z x2dx a2 x x √ 24. √ . (DS. arc sin − a2 − x2) a2 − x2 2 a a Chı’ dˆ a
˜n. D˘a.t x = a sin t. Z dx 1 a 25. √ . (DS. − arc sin ) x x2 − a2 a x
Tài liệu liên quan:
-
Định thức và Các Phép Toán với Ma Trận - Toán Cao Cấp 1
12 6 -
Bài giảng 1: Nguyên lý bao hàm - loại trừ môn Toán cao cấp | Đại học Bách Khoa Hà Nội
32 16 -
Bài giảng Sử dụng ánh xạ trong bài toán đếm môn Toán cao cấp | Đại học Bách Khoa Hà Nội
23 12 -
KTCT-GIỮA-KÌ: Câu Hỏi và Đáp Án Học Tập Toàn Diện
66 33 -
Chuyên đề Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - TOÁN
20 10