Thiết diện là gì? Cách xác định thiết diện dễ hiểu, chính xác nhất
1. Thiết diện là gì?    
Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) là một đa giác phẳng khép kín, giới hạn bởi các đoạn
thẳng khép kín, giới hạn bởi các đoạn giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp. Các đỉnh của
thiết diện chính là giao điểm của (P) với các cạnh của hình chóp.
Như vậy, thiết diện là mặt cắt của (P) với hình chóp, hay chính là phần chung của chóp với (P).
2. Cách tìm thiết diện
Tìm thiết diện bản chất là đi tìm giao tuyến của mặt phẳng cắt với tất cả các mặt của hình chóp.
- Bước 1. Tìm điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên (giao tuyến gốc) của (P) với một mặt hình chóp.
- Bước 2. Kéo dài giao tuyến vừa tìm được cho cắt tất cả các cạnh trong mặt đó của hình chóp, ta
sẽ xác định được các điểm chung mới của (P) vói các mặt khác (mặt bên, mặt đáy). Từ đó, xác
định được giao tuyến của (P) với các mặt này.
Chú ý mở rộng mặt phẳng và nối kín mặt phẳng (P) khi có các điểm chung mới.
- Bước 3. Tiếp tục làm như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín thì ta thu được thiết diện
Ta nên trình bày lần lượt giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo một vòng.
- Bước 4. Ta kết luận thiết diện của (P) với hình chóp là đa giác nào (tam giác, tứ giác, ngũ giác...)
Có thể cần phải chứng minh thiết diện là hình gì và tính diện tích thiết diện nếu đề bài yêu cầu.
3. Câu hỏi ôn tập 3.1. Phần trắc nghiệm
Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD. Thiết diện của tứ diện ABCD và mặt phẳng trung trực của cạnh BC là? A. hình thang B. tam giác vuông C. hình bình hành D. tam giác cân
Câu 2. Cho hình chóp S,ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với
(ABCD), SA = AB = a. Gọi (Q) là mặt phẳng qua SA và vuông góc với (SBD). Thiết diện của
hình chóp S.ABCD cắt bởi (Q) là? A. tam giác vuông B. tam giác đều C. tam giác vuông cân D. hình bình hành
Câu 3. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) // AB // CD lần lượt cắt
BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. hình thang B. hình bình hành C. hình chữ nhật
D. tứ giác không phải hình thang
Câu 4. Trong không gian, cho hai tam giác đều ABC và ABC' có cạnh chung AB và nằm
trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB,
BC' và C'A. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. hình bình hành B. hình chữ nhật C. hình vuông D. hình thang
Câu 5. Cho tứ diện đều ABCD, mặt phẳng (a) qua trung điểm của cạnh AB, song song với
AC và BD cắt tứ diện theo thiết diện là? A. hình tam giác đêu B. hình vuông
C. hình tam giác vuông cân D. hình thang cân
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, góc ABC = 60°, SC
= a, SC vuông góc (ABC). Kẻ CD vuông góc SA tại D. Thiết diện qua M thuộc AD và vuông góc với AD là? A. tam giác B. hình bình hành C. hình vuông D. hình thang vuông
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD). Gọi
(a) là mặt phẳng chứa AB vuông góc với (SCD), (a) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? A. hình bình hành B. hình thang vuông C. hình thang không vuông D. hình chữ nhật 3.2. Phần tự luận
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm AB, AD, SC. Tìm thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP). Hướng dẫn giải
- Bước 1. Giao tuyến có sẵn MN. Trong (ABCD) kéo dài MN cắt BC, CD lần lượt tại K, L.
- Bước 2. Lúc này (PMN) trùng với (PKL)
Trong (SBC), nối PK giao với SB tại E
Trong (SCD), nối PL giao với SD tại F
- Bước 3. Lúc này mặt (MNP) đã khép kín và cắt tất cả các mặt của hình chóp lần lượt theo các giao tuyến sau: (MNP) giao (SAB) = ME (MNP) giao (SBC) = EP (MNP) giao (SCD) = PF (MNP) giao (SAD) = FN (MNP) giao (ABCD) = NM
- Bước 4. Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (MNP) là ngũ giác MEPFN.
Bài 2. Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm M thuộc SA sao cho MA = 2MS, N thuộc SC sao cho NS
= 2NC. Điểm P thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với tứ diện. Hướng dẫn giải
- Bước 1. Giao tuyến có sẵn: MN là đoạn giao tuyến của (MNP) với (SAC).
Trong (SAC), kéo dài MN giao với AC tại I.
- Bước 2. (MNP) trùng với (MIP)
Trong (ABC), nối PI giao với BC tại E, PI giao AB tại F.
Khi đó (MNP) trở thành (MNEF)
- Bước 3. Lúc này mặt (MNP) đã khép kín và cắt tất cả các mặt của hình chóp lần lượt theo các giao tuyến sau: (MNP) giao với (SAC) = MN (MNP) giao với (SBC) = NE (MNP) giao với (ABC) = EF (MNP) giao với (SAB) = FM
- Bước 4. Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (MNP) là tứ giác MNEF
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác không có cặp cạnh đối song song. Lấy M thuộc
SA, N thuộc BC, P thuộc CD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp. Hướng dẫn giải
- Bước 1. Giao tuyến có sẵn: NP là đoạn giao tuyến của (MNP) với (ABCD).
Trong (ABCD), kép dài NP giao với AB = E, NP giao với AD = F
- Bước 2. (MNP) trùng với (MEF)
Trong (SAB), nối ME giao với SB = H
TRong (SAD), nối MF giao với SD = K
Khi đó (MNP) trở thành (MHNPK).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi E là một điểm nằm trên cạnh AB. Xác định thiết diện của tứ
diện cắt bởi mặt phẳng (a) với (a) là mặt phẳng qua R và (a) // (BCD) Hướng dẫn giải - Tìm (a) giao với (ABC):
Ta có: (ABC) giao với (BCD) = BC (a) // (BCD)
E thuộc (a) giao với (ABC)
=> (a) giao với (ABC) = EF (1), với EF là đoạn thẳng qua E và song song với BC - Tìm (a) giao với (ABD):
Ta có: (ABD) giao với (BCD) = BD (a) // (BCD)
E thuộc (a) giao với (ABD)
=> (a) giao với (ABD) = EG (2), với EG là đoạn thẳng qua E và song song BD.
Nối đoạn FG ta có: (a) giao với (ACD) = FG (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra thiết diện cần tìm là tam giác EFG.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm
trên cạnh BD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) Hướng dẫn giải
Do I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. => IJ // AB
Vậy (IJK) là mặt phảng chứa một đường thảng song song với một đường thẳng cho trước (AB).
Chọn mặt phẳng (ABC) chứa AB ta có: K thuộc BD BD nằm trong (ABD)
=> K thuộc (ABD), suy ra K là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK) và (ABD)
Ta có: AB là tập con của (ABD) IJ là tập con của (IJK) AB // IJ
K thuộc (ABD) giao với (IJK)
=> (ABD) giao với (IJK) = Kx (Kx // AB // IJ)
Giả sử Kx cắt AD tại H, khi đó: (ABD) giao với (IJK) = KH (CAD) giao với (IJK) = IH (CDB) giao với (IJK) = JK (CAB) giao với (IJK) = IJ
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang IJKH
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC)
b. DM cắt AC tại K, Chứng minh S, K, J thẳng hàng
c. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN) Hướng dẫn giải a. Gọi AC giao BD tại O
Trong mặt phẳng (SBD): BN giao SO tại đâu đó chính là điểm I
Trong mặt phẳng (SDM): DM giao AC tại E
Trong mặt phẳng (SDM): SE giao Mn tại đâu đó chín là điểm J
b. Dễ thấy 3 điểm S, K, J đều thuộc 2 mặt phẳng là (SAC) và (SDM) nên 3 điểm này thuộc giao
tuyến của 2 mặt phẳng trên hay chúng thẳng hàng.
c. Trong mặt phẳng (SAV), kẻ CI giao SA tại P.
Từ đó, thiết diện tạo bởi mặt phẳng (BNC) với hình chóp là tứ giác BCNP.