Toán 10 - Hệ thưc lượng trong tam giác nâng cao

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
DẠNG 1. CHỨNG MINH HỆ THỨC
Câu 1. Tam giác ABC có b + 2c = 2a . Chứng minh rằng 2 1 1
a) 2sin A = sin B + sin C . b) = + h h h a b c
Câu 2. Tam giác ABC có 2
bc = a . Chứng minh rằng a) 2 sin A = sin . B sinC . b) 2
h .h = h b c a 3
Câu 3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có 2 2 2
m + m + m =
a + b + c . a b c ( 2 2 2) 4
Câu 4. Gọi là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh 1 2 2 2
GA + GB + GC = ( 2 2 2
a + b + c ) 3
Câu 5. Chứng minh rằng tổng bình phương hai đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương bốn cạnh của nó.
Câu 6. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC, BD . Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2
AB + BC +CD + AD = AC + BD + 4MN
Câu 7. Cho tam giác ABC , chứng minh 2 2 2
b + c − a 2 2 2 a + b + c a) cot A =
. b) cot A + cot B + cot C = 4S 4S
Câu 8. Chứng minh rằng trong một tam giác ABC , ta có
a) a = bcosC + c cos B . b) sin A = sin B cosC + sin C cos B
Câu 9. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có a) 2 2
b − c = a(bcosC −ccos B) . b) ( 2 2
b − c )cos A = a(ccosC −bcos B)
Câu 10. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có có  B C  a) a = r cot + cot 
 . b) h = 2Rsin Bsin C .  2 2  a
Câu 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có có 1 a) 2
S = 2R sin Asin BsinC . b) S =
AB .AC − ( A . B AC )2 2 2 . 2
Câu 12. Tam giác ABC có b + 2c = 2a . Chứng minh rằng
a) 2sin A = sin B + sin C . 2 1 1 b) = + h h h a b c
Câu 13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh , a , b ,
c d . Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó được
tính theo công thức sau S = p( p − a)( p −b)( p −c)( p − d ) , trong đó p là nửa chu vi tứ giác.
Câu 14. Cho tam giác ABC , r là bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A . Chứng minh rằng: a A a) r = p tan a 2 A
b) r = ( p − a) tan 2
Câu 15. Tam giác ABC vuông tại A , đồng dạng với tam giác A B  C
  . Gọi a = B C
 , b = A C
 ,a = A B   và h  a
là đường cao hạ từ A của tam giác A B  C
  . Chứng minh rằng:
a) a  a = bb + c c 1 1 1 b) = + h  h 
b b c c a a
Câu 16. Tam giác ABC vuông tại A . Gọi d là đường phân giác của góc A . Chứng minh rằng: 2bc a) d = b + c 1
b) r = (b + c − a) 2 c m
Câu 17. Tam giác ABC có b =
1. Chứng minh rằng 2cot A = cot B + cot C . b mc
Câu 18. Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh , a ,
b c và diện tích S . Trên ba cạnh về phía ngoài của tam giác đó
dựng các tam giác vuông cân A B  C, B A  C,C A
 B(A ,B ,C lần lượt là đỉnh ). Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 A B   + B C   +C A
  = a +b +c +6S .
Câu 19. Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho DAB = DBC = DCA =  . Chứng minh rằng a) 3
sin  = sin(A −)sin(B −)sin(C −);
b) cot = cot A+ cot B + cot C . 2 2 2 a + b + c
Câu 20. Trong mọi tam giác ABC chứng minh rằng cot A + cot B + cot C = (Với , a ,
b c lần lượt là độ 4S
dài các cạnh BC, AC, AB và S là diện tích tam giác).
Câu 21. Cho hai tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là 2 2 2
b + c = 5a .
DẠNG 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC
Câu 22. Cho tam giác ABC . Chứng minh: a) Góc A nhọn  2 2 2
a  b + c ; b) Góc A tù  2 2 2
a  b + c ; c) Góc A vuông  2 2 2
a = b + c ;
Câu 23. Cho tam giác ABC thoả mãn 3 3 3
a = b + c . Chứng minh tam giác có ba góc nhọn.
Câu 24. Cho tam giác ABC thoả mãn 4 4 4
a = b + c . Chứng minh ABC là tam giác nhọn.
Câu 25. Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = 2sin BcosC . Chứng minh ABC là tam giác cân.
Câu 26. Cho tam giác ABC có cạnh a = 2 3, b = 2, C = 30 . Chứng minh ABC là tam giác cân. Tính diện tích
và chiều cao h của tam giác. a 1+ cos B 2a + c
Câu 27. Xét dạng tam giác ABC thoả mãn = . 2 2 sin B 4a − c
Câu 28. Cho tam giác ABC có chiều cao h = p p − a .Chứng minh ABC là tam giác cân. a ( )
Câu 29. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 2 2 2
5m = m + m . a b c
Câu 30. Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp bằng r và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc , A ,
B C tương ứng bằng r , r , r . Chứng minh rằng nếu r = r − r − r thì góc A là góc vuông. a b c a b c 3 3 3
a + b − c
Câu 31. Cho tam giác ABC thoả mãn 2
= c . Chứng minh góc C = 60 .
a + b − c
Câu 32. Cho tam giác ABC biết a = 7, b = 8, c = 5. Chứng minh tam giác ABC có góc 60
Câu 33. Cho tam giác ABC thoả mãn 4 c − ( 2 2 a + b ) 2 4 2 2 4 2
c + a + a b + c = 0 . Chứng minh tam giác ABC có góc 60 hoặc 120 .
Câu 34. Cho tam giác ABC thoả mãn a + b + c = 2(acos A+bcos B + ccosC) . Chứng minh tam giác ABC đều. 5 3
Câu 35. Cho tam giác ABC có A = 60 ,  a =10, r =
. Chứng minh tam giác ABC đều. 3 3 3 3
a + c − b 3
Câu 36. Xét tam giác ABC thỏa mãn 2 = b và sin . A sin C = .
a + c − b 4 9
Câu 37. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là m + m + m = . R a b c 2
Câu 38. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin C = 2sin Bcos .
A Chứng minh rằng tam giác ABC cân. sin B + sin C
Câu 39. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A =
. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. cos B + cosC
Câu 40. Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) a sin A + bsin B + c sin C = h + h + h . a b c 2 2 cos A + cos B 1 b) = ( 2 2 cot A + cot B . 2 2 ) sin A + sin B 2 Trắc nghiệm VDC
Câu 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có đường kính bằng 7cm . Tính diện tích tam giác 3 + 3 ABC biết sin . A sin . B sinC = . 8 49 49 49 49 A. S =
(3+ 3) . B. S = (3+ 3) . C. S = (3+ 3) . D. S = (3+ 3) . 8 16 4 32
Câu 2. Hai chiếc xe cùng xuất phát ở vị trí A, đi theo hai hướng tạo với nhau một góc 0
60 . Xe thứ nhất chạy với
tốc độ 30km / h , xe thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 1h, khoảng cách giữa 2 xe là: A. 13km .
B. 15 3km . C. 10 13 . D. 15km .
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có AB =1, AD = 2, DAB = 60. Tính độ dài cạnh AC . 7 A. 3 . B. . C. 7 . D. 5 . 3
Câu 6. Hai tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi theo hai hướng và tạo với nhau một góc 0 60 . Tàu thứ nhất
chạy với vận tốc 30km/h , tàu thứ hai chạy với vận tốc 40km/h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách xa nhau bao nhiêu km ? A. 25 10 . B. 30 10 . C. 18 13 . D. 20 13 .
Câu 7. Cho tam giác ABC có a = BC,b = C ,
A c = AB . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và nửa chu vi 2 2 2 IA IB IC
của tam giác ABC . Giá trị của biểu thức + + là:
c( p − a) a( p − b) b( p − c) A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 8. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M thỏa mãn MO = 3R . Một đường kính AB thay đổi trên
đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = MA + MB .
A. min S = 6R .
B. min S = 4R .
C. min S = 2R .
D. min S = R .
Câu 9. Cho tam giác ABC có BC 2 3, AC
2AB và độ dài đường cao AH
2. Tính độ dài cạnh AB . 2 3
A. AB = 2 . B. AB . 3 2 3 2 21 C. AB 2 hoặc AB . D. AB 2 hoặc AB . 3 3 1
Câu 10. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB =10và tan(A + B) = . 3 5 10 10 10 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = 5 10 . 9 3 5
Câu 11. Cho tam giác ABC cân tại A biết A =120 và AB = AC = a . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho 2
BM = BC . Tính độ dài AM . 5 a 3 11a a 7 a 6 A. AM = . B. AM = . C. AM = . D. AM = . 3 5 5 4
Câu 12. Cho tam giác vuông, trong đó có một góc bằng trung bình cộng của hai góc còn lại. Cạnh lớn nhất của tam
giác đó bằng a . Tính diện tích tam giác đó. 2 a 2 2 a 3 2 a 3 2 a 6 A. . B. . C. . D. . 4 8 4 10
Câu 13. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh BC và F là trung điểm cạnh AE .
Tính độ dài đoạn thẳng DF . a 13 a 5 a 3 3a A. DF = . B. DF = . C. DF = . D. DF = . 4 4 2 4
Câu 14. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính R =1. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC đạt giá trị lớn nhất bằng: 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3
Câu 15. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60. Tàu
thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách
nhau bao nhiêu km , bỏ qua vận tốc dòng nước? A. 13. B. 15 13. C. 20 13. D. 15.