33 trang 1 lượt tải

Toan lop 12 - hinh hoc khong gian

2

tai lieu ve hinh hoc ko gian

Môn: Toán rời rạc (TOCB1107) 24 tài liệu

Trường: Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân 8.8 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Phương Thảo Nguyễn

1 ngày trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/33
Nguyễn Thị Đan Quế
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc
Oxyz trong không gian z
k
i
O
j
y
x
O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
Các trục tọa độ:
Ox : trục hoành.
Oy : trục tung.
Oz : trục cao.
Các mặt phẳng toạ độ:
(Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
vuông góc với nhau.
,,
i j k
là các véctơ đơn vị lần lượt
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.
i
= (1;0;0),
j
= (0;1;0),
= (0;0;1).
1i j k
và
2 2 2
1i j k
.
ij

,
jk

,
ki

.
.0ij

,
.0jk

,
.0ki

.
,i j k


,
,j k i


,
,k i j


CÁC TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
M
Ox
M(x;0;0)
M
Oy
M(0;y;0)
M
Oz
M(0;0;z)
M
(Oxy)
M(x;y;0)
M
(Oyz)
M(0;y;z)
M
(Oxz)
M(x;0;z)
Tọa độ của điểm:
. . . ( ; ; )
O M xi y j z k M x y z
Tọa độ của vectở:
1 2 3 1 2 3
. . . ( ; ; )
a a i a j a k a a a a
CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.
Cho
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;

a x y z b x y z
và số k tuỳ ý, ta có:
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.
1 2 1 2 1 2
;;

a b x x y y z z
2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.
1 2 1 2 1 2
;;

a b x x y y z z
3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.
1 1 1 1 1 1
. . ; ; ; ;
k a k x y z kx ky kz
4. Độ dài vectơ. Bằng
2 2 2
hoaønh tung cao
2 2 2
1 1 1
a x y z
.
5. Vectơ không có tọa độ là:
0 0;0;0
.
6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tƣơng ứng bằng nhau.
12
12
12

xx
a b y y
zz
7. Tích vô hƣớng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.
1 2 1 2 1 2
. . . .

ab x x y y z z
.0
a b a b
8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hƣớng chia tích độ dài.
.
os a,
.



ab
cb
ab
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
.
x x y y z z
x y z x y z

CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( x
A
; y
A
; z
A
) , B( x
B
, y
B
, z
B
). Khi đó:
1) Tọa độ vectơ
AB
là:
;;
B A B A B A
AB x x y y z z
.
2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài
AB
:
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
2
yy
y
2
zz
z
2
;;
I I I
I x y z
4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho
ABC với A(x
A
; y
A
; z
A
),B( x
B
, y
B
, z
B
), C( x
C
, y
C
, z
C
).
Khi đó toạ độ trọng tâm G của
ABC là:
3
;;
3
3




A B C
G
A B C
G G G G
A B C
G
xxx
x
yyy
y G x y z
zzz
z
5) Tích có hƣớng và tính chất của tích có hƣớng:
Cho
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;

a x y z b x y z
. Khi đó:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;






y z z x x y
ab
y z z x x y
Hai vectơ
a
,
b
cùng phương
,0



ab
.
Hai vectơ
a
,
b
không cùng phương
,0



ab
Ba vectơ
, ,c
ab
đồng phẳng
, .c 0



ab
.
Ba vectơ
, ,c
ab
không đồng phẳng
, .c 0



ab
.
6) Chứng minh hai vectơ cùng phƣơng.
Cách 1:
a
và
cùng phương
.

a k b
.
Cách 2:
a
và
cùng phương
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
với
2 2 3
x ,y ,z 0
a
và
cùng phương
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
với
1 1 1
x ,y ,z 0
Cách 3:
a
và
cùng phương
a,b 0



.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
Cần nhớ
Phƣơng pháp
C
B
A
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
hai vectơ
,
AB AC
cùng phương
,0



AB AC
.
Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là
ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.
Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực
hiện các bước sau:
Bƣớc 1: Tính
...;...;...
...;...;...
AB
AC
.
Bƣớc 2: Tính
, 0;0;0 0



AB AC
.
Bƣớc 3: Kết luận hai vectơ
,
AB AC
cùng phương,
nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Cần nhớ
Phƣơng pháp
C
B
A
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng
hai vectơ
,
AB AC
không cùng
phương
,0



AB AC
Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng
ta thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1: Tính
...;...;...
...;...;...
AB
AC
.
Bƣớc 2: Tính
, ..;..;.. 0



AB AC
.
Bƣớc 3: Vậy hai vectơ
,
AB AC
không cùng
phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh
của một tam giác.
Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Cần nhớ
Phƣơng pháp
D
C
B
A
Bốn điểm A, B, C, D không đồng
phẳng
,,
AB AC AD
đồng phẳng
, . 0


AB AC AD
.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng
phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1: Tính
...;...;...
...;...;...
..;..;...
AB
AC
AD
.
Bƣớc 2: Tính
, ..;..;...
, . .... 0





AB AC
AB AC AD
.
Bƣớc 3: Vậy ba vectơ
,,
AB AC AD
không đồng
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Chú ý:
A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng
minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Cần nhớ
Phƣơng pháp
D
C
B
A
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
,,
AB AC AD
đồng phẳng
, . 0


AB AC AD
.
Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng
phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta
thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1: Tính
...;...;...
...;...;...
..;..;...
AB
AC
AD
.
Bƣớc 2: Tính
, ...;...;...
, . 0




AB AC
AB AC AD
.
Bƣớc 3: Vậy ba vectơ
,,
AB AC AD
đồng phẳng,
nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ
Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các trục tọa độ.
Phƣơng pháp
Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Ox là: M(x
0
;0;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Oy là: M(0;y
0
;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Oz là: M(0;0;z
0
)
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các phẳng tọa độ.
Phƣơng pháp
Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oxy) là: M(x
0
;y
0
;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oyz) là: M(0;y
0
;z
0
)
Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oxz) là: M(x
0
;0;z
0
)
Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.
Cần nhớ
Phƣơng pháp
Thể tích của khối tứ diện ABCD
A


1
V = AB, AC .AD
6
D
B
C
Bƣớc 1: Tính
...;...;...
...;...;...
..;..;...
AB
AC
AD
.
Bƣớc 2: Tính
, ...;...;...
, . ....




AB AC
AB AC AD
Bƣớc 3:


1
V = AB, AC .AD
6
Chú ý: Thể tích không âm.
Vấn đề 5: Diện tích tam giác.
Diện tích tam giác ABC


ABC
1
S = AB , AC
2
A
B C
Chú ý: Diện tích không âm.
Bƣớc 1: Tính
...;...;...
...;...;...
AB
AC
.
Bƣớc 2: Tính
, ..;..;..


AB AC
.
Bƣớc 3: Tính
2 2 2
AB,AC h t c


.
Bƣớc 4: ADCT


ABC
1
S = AB , AC
2
MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1
Dạng 2
MC (S):
2 2 2
2
x a y b z c R
Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0
Có tâm I(a;b;c) với
he ä soá x
a
-2
he ä soá y
b
-2
he ä soá z
c
-2
Bán kính:
2 2 2
R a b c d
Vấn đề 2: Lập phƣơng trình mặt cầu.
Dạng 1: Lập phƣơng trình mặt cầu dạng
2 2 2
2
x a y b z c R
Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực).
Phƣơng pháp:
Pt mặt cầu (S):
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đƣờng kính bằng n (với n là số thực).
Phƣơng pháp:
Pt mặt cầu (S):
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=
n
2
.
Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.
Phƣơng pháp:
Pt mặt cầu (S):
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
Bán kính R=
IA IA
.
Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài
đoạn thẳng IA bằng với bán kính R.
Loại 4: Mặt cầu có đƣờng kính AB.
Phƣơng pháp:
Pt mặt cầu (S):
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Gọi I trung điểm AB
I ..;...;...
Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
Bán kính R=
IA IA
.
Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý:
Đƣờng kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.
Ta có thể tính R theo 2 cách sau: R=
IB IB
hoặc R=
AB
AB
22
.
Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phƣơng pháp:
Pt mặt cầu (S):
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c).
Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:


0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
R d I,(P)
A B C
Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Dạng 2: Lập phƣơng trình mặt cầu dạng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0
.
Loại 1: Lập phƣơng trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.
Phƣớng pháp.
Pt mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0
(*)
Vì A, B, C, D thuộc (S):
theá toïa ñoä ñieåm A vaøo pt (*).
theá toïa ñoä ñieåm B vaøo pt (*).
theá toïa ñoä ñieåm C vaøo pt (*)
theá toïa ñoä ñieåm D vaøo pt (*)
Giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp thế, ta tìm đƣợc a, b, c, d.
Sau đó thế a, ,b , c, d vào pt (*).
Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích
khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phƣớng pháp.
Pt mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0
(*)
Vì A, B, C thuộc (S):
theá toïa ñoä ñieåm A vaøo pt (*).
theá toïa ñoä ñieåm B vaøo pt (*).
theá toïa ñoä ñieåm C vaøo pt (*)
Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ tư.
Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d.
VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M x ;y ;z
và có
vectơ pháp tuyến
n A;B;C
.
Phƣơng pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M x ;y ;z
.
Mặt phẳng (P) có VTPT
n A;B;C
.
Ptmp (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M x ;y ;z
và song
song hoặc chứa giá của hai vectơ
a , b

.
Phƣơng pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M x ;y ;z
.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là
a= ..... , b ....

Mặt phẳng (P) có VTPT
n a,b


.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
Phƣơng pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua M.
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và
song song với mp(Q).
Phƣơng pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M x ;y ;z
.
Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có
VTPT
PQ
nn
.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp
tuyến.
M
n
P)
a
b
,n a b


P)
Q)
M
Q
n
M
d
a
d
P)
Mặt phẳng (P) có VTPT:
P d 1 2 3
n a a ;a ;a
.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,
C.
Phƣơng pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua A.
Mặt phẳng (P) có VTPT:
n AB,AC


.
Pt(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm
A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
là:
Q
AB .....n ....
.
Nên mp(P) có VTPT:
Q
n AB,n


.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
Dạng 6:
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phƣơng pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm
Md
.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d d'
a .....a ....
.
Mp(P) có VTPT:
d d'
n a ,a


.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
Chọn điểm M thuộc đt d.
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d
AM .....a ....
.
Nên mp(P) có VTPT:
d
n AM,a


.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực
của đoạn thẳng AB.
Phương pháp:
Gọi I là trung điểm AB
I .....
Mặt phẳng (P) qua điểm I.
Mặt phẳng (P) có VTPT
n AB
.
Ptmp (P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
,n AB AC


A
B
C
P)
A
I
B
B
Q
n
P)
Q
)
A
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm M.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
QR
n .....,n ....
.
Nên mp(P) có VTPT:
QR
n n ,n


.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp:
Xác định tâm I của mc(S).
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
n IA
.
Ptmp(P):
0 0 0
A x x B y y C z z 0
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
n m;n;p
và tiếp xúc mặt cầu (S).
Phương pháp:
Trƣớc tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT
n m;n;p
mx ny pz 0 D
.
Do mp(P) tiếp xúc mc(S)
d I; P R
Chú ý:
AB
AB
AB


.
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)
( ,( ))d I P R
Điều kiện tiếp xúc:
Đƣờng thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)
( , )d I d R
Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là
0 0 0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D
d M P
A B C

VẤN ĐỀ 6: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp:
Đường thẳng d đi qua điểm A.
Đường thẳng d có VTCP:
a AB
.
Pt tham số:
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP:
d d'
aa
.
r = d(I,(P))
I
P)
Pt tham số:
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Hai đƣờng thẳng song song cùng vectơ chỉ phƣơng.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp:
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP:
dP
an
.
Pt tham số:
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
.
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d:
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phƣơng pháp:
Gọi H là giao điểm của d và (P).
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct



Xét pt:
0 0 0
A +B +C +D=0 x at y bt z ct
(*).Giải pt (*) tìm t
x, y, z
H.
VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P).
Phƣơng pháp:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M
và vuông góc với mp(P).
Tìm giao điểm H của d và (P).
Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua
M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phƣơng pháp:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với mp(P).
Tìm giao điểm H của d và (P).
Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của
đoạn thẳng MM”.
M
H
)P
d
M
H
)P
d
M
/
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm
VTCP.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2




M
M
H
HM
M
M
M
H H M
M
HM
M
M
M
H
xx
x
x x x
yy
y y y y
z z z
zz
z
M’=..
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng
MM’
VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đƣờng thẳng d.
Phƣơng pháp:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng d.
Tìm giao điểm H của d và (P).
Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường
thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đƣờng thẳng d.
Phƣơng pháp:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
Tìm giao điểm H của d và (P).
Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM’.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2




M
M
H
HM
M
M
M
H H M
M
HM
M
M
M
H
xx
x
x x x
yy
y y y y
z z z
zz
z
M’=..
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG.
Phƣơng pháp:
Bƣớc 1:
Xác định điểm M thuộc d và VTCP
a
của d.
Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP
a'

của d’.
Bƣớc 2:
Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính
a,a' ......


Nếu
a,a' 0


thì
a,a'
cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
M
H
P)
(d)
M
M
/
H
P)
(d)
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
Nếu
a,a' 0


thì
a,a'
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0


thì d và d’ cắt nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0


thì d và d’ chéo nhau.
VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MP.
Phƣơng pháp: Để xét vị trí tƣờng đối của đt d:
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Ta làm nhƣ sau:
Xét pt:
0 0 0
A +B +C +D=0 x at y bt z ct
(*).Giải pt tìm t.
o Pt(*) có một nghiệm t
d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm
d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t
d nằm trong (P).
Chú ý:
0t 1 voâ nghieäm.
0t =-2 voâ nghieäm.
0t 0 voâ soá nghieäm
VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại
A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
AB AC AB AC AB.AC 0
Phƣơng pháp:
Tính
AB ...,AC .....
Tính
AB.AC H.H T.T C.C 0
Suy
AB AC
Suy ra
AB AC
.
Kết luận tam giác ABC vuông tại A
Chú ý:
Nếu tam giác ABC vuông tại B
BC BA BC BA.BC 0
Nếu tam giác ABC vuông tại C
C CB CA CB CA.CB 0
2/ Chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’
VUÔNG GÓC với nhau.
Cần nhớ:
d d' d d'
d d' a a a .a 0
Phƣơng pháp:
Đường thẳng d có VTCP:
a
=...
Đường thẳng d’ có VTCP:
a'

=...
Tính
a.a H.H T.T C.C 0

Suy ra:
aa

.
Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.
3/ Tìm tham số để đƣờng thẳng d VUÔNG GÓC đƣờng thẳng d’.
Phƣơng pháp:
Do
d d' d d'
d d' a a a .a 0 ..... ......
ta giải pt tìm đƣợc tham số.
4/ Chứng minh đƣờng thẳng d SONG SONG với đƣờng
thẳng d’.
Cần nhớ:
Hai đường thẳng song song không có điểm
chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng
không thuộc đường thẳng kia.
Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ
phương cùng phương với nhau.
Phƣơng pháp chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:
Cách 1:
Bƣớc 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương
a,a'
cùng phương:
Ta chứng minh
a,a' 0


.
Bƣớc 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
Cách 2:
Bƣớc 1: Lập tỉ số: Tức là
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'

cùng phương
3
12
1 2 3
a
aa
a' a' a'
.
Bƣớc 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
5/ Tìm tham số m để đƣờng thẳng d SONG SONG đƣờng thẳng d’.
Phƣơng pháp:
Bƣớc 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'

.
Bƣớc 2: Vì d //d’ nên
a,a'
cùng phương
3
12
1 2 3
a
aa
a' a' a'
, lập pt hoặc hệ pt để tìm m.
6/ Tìm giao điểm của hai đƣờng thẳng:
d:
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
và d’:
0
0
0
' ' '
' ' '
' ' '



x x a t
y y b t
z z c t
Cách tìm:
Bƣớc 1:
Gọi I là giao điểm của d và d’.
Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:
00
00
00
' ' ' (1)
' ' ' (2)
' ' ' (3)
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
(*)
Bƣớc 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
Giải hệ pt
00
00
' ' ' (1)
''
' ' ' (2) ' '


x at x a t
at a t m
y bt y b t bt b t n
. Tìm t và t’.
Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ
(*) vô nghiệm.
Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I.
7/ Chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’ CẮT nhau.
Cách 1:
Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a
của d.
Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'

của d’.
Chứng minh:
a,a' 0
a,a' .MM' 0



.
Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.
8/ Chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’ CHÉO nhau.
Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a
của d.
Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'

của d’.
Chứng minh:
a,a' .MM' 0


.
VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
Cách tính:
Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm nhƣ sau:
Chọn điểm M thuộc (P).
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d P , Q d M, Q
A B C


.
VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG.
Chọn điểm M thuộc d.
d d,d' d M,d'
.
VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƢỜNG THẲNG
Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình tham số:
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
.
Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là:
0 0 0
M x at;y bt;z ct
.
VẤN ĐỀ 18: GÓC.
1/ Góc giữa hai đƣờng thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phƣơng.
a.a'
cos = cos a,a'
a . a'

Chú ý:
00
0 90
.
2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
n.n'
cos = cos n,n'
n . n'

Chú ý:
00
0 90
.
3/ Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến.
a.n
sin = cos a,n
a . n




Chú ý:
00
0 90
.
VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).
Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P):
d d I, P
.
o TH1:
d r (P) (S)= .
(hay (P) và (S) không có điểm chung).
o TH2:
d r (P) tieáp xuùc côùi maët caàu (S).
o TH3:
d r (P) caét (S) theo thieát dieän laø moät ñöôøng troøn (C).
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012
Vấn đề 1: Phƣơng trình mặt phẳng.
Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
- Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I
và vuông góc mp(P).
- Gọi r’ là bán kính của (C).
Khi đó:
2 2 2 2 2
r R d r R d
.
Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) nên tam
giác IMH vuông tại H.
Với: R=IM, d=IH=
d I, P
và r=MH.
r
I
r
I
HH
MMM
d
r’
r
1. Kiến thức cần nhớ:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ
n0
đgl vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá
của
n
vuông góc với (P), viết tắt là
n (P)
.
- Nếu hai vectơ
a, b

không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P)
có một vectơ pháp tuyến là:
P
n a,b


.
- Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2
A B C 0
- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
có vectơ pháp tuyến
P
n A;B;C
có dạng:
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Cần nhớ:
2. Các dạng toán.
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và
vuông góc với đƣờng thẳng d.
0 0 0
HD
Pd
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n a

Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:
x 1 2t
y 3t
z2


Bài giải
HD
Pd
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
Pd
n a 2; 3;0
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0
Cần nhớ:
- Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a
làm vectơ pháp tuyến.
Bài 2: Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đƣờng thẳng
d:
x 1 y 2 z
1 2 2


Bài giải
HD
Pd
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
Pd
n a 1;2; 2
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 2 2 y 2 2 z 1 0
x 2 2y 4 2z 2 0
x 2y 2z 8 0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a
làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n AC

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AC 2;0;2
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0



x 0 0 y 2 2 z 0 0
x + 2z = 0
x+z=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ
AC
làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n BC

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n BC 0; 2;2
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0


x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0
y+2z+4=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ
BC
làm vectơ pháp tuyến.
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2)
VTPT n AB

- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB
I 2;2;2
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB 2;2;2
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0


x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0
y+2z+4=0
Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại
trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Kiến thức cần nhớ:
- Trục Ox có VTCP là
i 1;0;0
.
- Trục Oy có VTCP là
j 0;1;0
.
- Trục Oz có VTCP là
- Mp (Oxy) có VTPT:
n i,j k 0;0;1


.
- Mp (Oyz) có VTPT:
n j,k i 1;0;0


k 0;0;1
.
- Mp (Oxz) có VTPT:


n k,i j 0;1;0
.
Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).
1. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i 1;0;0


- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n i 1;0;0
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j 0;1;0


- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n j 0;1;0
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ
j
làm vectơ pháp tuyến.
3. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n k 0;0;1


- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n k 0;0;1
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z =0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ
k
làm vectơ pháp tuyến.
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C
0 0 0
HD
P
Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )
VTPT n AB,AC


Bài 1: Viết phƣơng trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,AC



- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,AC


Với
AB 1;1;0
AC 1;0;1


P
n AB,AC 1;1;1


-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 1 y 0 1 z 0 0
x 1 y z 0
x y z 1 0
Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phƣơng trình mp(OMN).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON


- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n OM,ON


Với
OM 1;1;1
ON 1; 1;1

P
n OM,ON 2;0; 2


-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 0 0 y 0 2 z 0 0
x 2z 0
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và
song song với mp(Q)
0 0 0
HD
PQ
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n n

Bài 1: Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với
mp(Q): 2x+2y+z=0.
Bài giải
HD
PQ
Ñieåm ñi qua A(1;2;3)
VTPT n n

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
PQ
n n 2;2;1
.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 3 0
Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm
M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
Bài giải
HD
P ABC
Ñieåm ñi qua M
VTPT n n AB,AC




- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,AC


Với
AB 1;1;0
AC 1;0;1


P
n AB,AC 1;1;1


-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 1 y 2 1 z 3 0
x 1 y 2 z 3 0
x y z 6 0
Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là
ABC
n AB,AC


.
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i,j k 0;0;1



- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n i,j k 0;0;1


.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z-3=0
Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).
Bài giải



HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n k,i j 0;1;0
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n i,k j 0;1;0


.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j,k i 1;0;0



- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n j,k i 1;0;0


.
-
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0
Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông
góc với mp(Q)
HD
PQ
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n



Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0

Tài liệu khác của Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân

Preview text:

Nguyễn Thị Đan Quế
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z  k   i O j y x    
O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
i, j ,k là các véctơ đơn vị lần lượt
Các trục tọa độ:
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.     Ox : trục hoành.
i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1).  Oy : trục tung.               i j k 1 và 2 2 2 i j k 1. Oz : trục cao.      
Các mặt phẳng toạ độ:
i j , j k , k i .       
(Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
 .i j  0, .jk  0 , k.i  0. vuông góc với nhau.         
 i, j  k  
,  j, k   i  
, k,i  j  
CÁC TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
 M Ox  M(x;0;0)
 M (Oxy)  M(x;y;0)
 M Oy  M(0;y;0)
 M (Oyz)  M(0;y;z)
 M Oz  M(0;0;z)
 M (Oxz)  M(x;0;z)    
Tọa độ của điểm: O M  . x i  . y j  . z kM ( ; x ; y z)      
a a i a j a k a
Tọa độ của vectở: . . .
(a ;a ;a ) 1 2 3 1 2 3
CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.  
Cho a   x ; y ; z ,b x ; y ; z và số k tuỳ ý, ta có: 1 1 1   2 2 2
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.   
a b  x x ; y y ; z z 1 2 1 2 1 2 
2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.  
a b  x x ; y y ; z z 1 2 1 2 1 2 
3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.
k.a k.x ; y ; z kx ;ky ;kz 1 1 1   1 1 1 4. Độ 2 2 2
dài vectơ. Bằng hoaønh  tung  cao   2 2 2 a
x y z . 1 1 1
5. Vectơ không có tọa độ là:   0  0;0;0.
6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tƣơng ứng bằng nhau.x x 1 2    
a b   y y 1 2  z   z 1 2
7. Tích vô hƣớng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.        .
a b x .x y .y z .z
a b a b  1 2 1 2 1 2 . 0
8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hƣớng chia tích độ dài.     a b
x .x y .y z .z  o c s a,b . 1 2 1 2 1 2     a . b 2 2 2 2 2 2
x y z . x y z 1 1 1 2 2 2
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB). Khi đó: 
1) Tọa độ vectơ AB là: 
AB   x x ; y y ; z z B A B A B A  . 
2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài AB :  AB ABx x y y z z . B A 2
B A2  B A2       
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.  x  x A B x   I 2   y  y A B
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: y  I  2
I x ; y ; z I I I    z  z A B z   I  2
4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho  ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC).  x x x xA B C G 3  
y y yy A B C G x y z G  ; ; G G G
Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là: 3   z z z zA B CG 3
5) Tích có hƣớng và tính chất của tích có hƣớng:  
Cho a   x ; y ; z ,b x ; y ; z . Khi đó: 1 1 1   2 2 2    y z z x x y   1 1 1 1 1 1
a,b   ; ;     y z z x x y 2 2 2 2 2 2        Hai vectơ  a b
a , b cùng phương ,  0   .       Hai vectơ  a b
a , b không cùng phương ,  0          Ba vectơ a, ,
b c đồng phẳng  a,b.c  0   .        Ba vectơ a, ,
b c không đồng phẳng  a,b.c  0   .
6) Chứng minh hai vectơ cùng phƣơng.      Cách 1:
a và b cùng phương  a k.b .   x y z  1 1 1   
a và b cùng phương với x ,y ,z  0 2 2 3   Cách 2: x y z 2 2 2   x y z  2 2 2   
a và b cùng phương với x ,y ,z  0 1 1 1  x y z 1 1 1          Cách 3:
a và b cùng phương a,b  0   .
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: Cần nhớ Phƣơng pháp
Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực A B C
hiện các bước sau: 
AB  ...;...;..  .
Bƣớc 1: Tính  .
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
AC  ...;...;..    .    
hai vectơ AB , AC cùng phương AB AC      Bƣớc 2: Tính , 0;0;0 0   .
 AB , AC  0   .  
Bƣớc 3: Kết luận hai vectơ AB , AC cùng phương,
Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là
nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: Cần nhớ Phƣơng pháp
Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng A
ta thực hiện các bước sau: 
AB  ...;...;..  .
Bƣớc 1: Tính  .
AC  ...;...;..  .   
Bƣớc 2: Tính  AB , AC  ..;..;.  .  0 . B   C  
Bƣớc 3: Vậy hai vectơ AB , AC không cùng
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng  
phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
hai vectơ AB , AC không cùng   
Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh
phương   AB , AC  0  
của một tam giác.
Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng. Cần nhớ Phƣơng pháp A
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng
phẳng ta thực hiện các bước sau:  AB  ...;...;  ...  AC  ...;...;  ... C B Bƣớc 1: Tính .  AD  ..;..;...  
AB , AC  ..;..;...   D
Bƣớc 2: Tính     . AB AC AD   , . .... 0  
Bốn điểm A, B, C, D không đồng
   Bƣớ phẳng
c 3: Vậy ba vectơ AB , AC , AD không đồng
   
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
AB , AC , AD đồng phẳng
  
 AB , AC .AD  0   . Chú ý:
A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng
minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Cần nhớ Phƣơng pháp
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta A B
thực hiện các bước sau:  D AB  ...;...;  C ...  Bƣớ AC  ...;...;  c 1: Tính ... .
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng 
   AD  ..;..;...
AB , AC , AD đồng phẳng  
  
AB , AC  ...;...;...
 AB , AC .AD  0     .
Bƣớc 2: Tính    .
Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồAB ACng , .AD  0  
phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
  
Bƣớc 3: Vậy ba vectơ AB , AC , AD đồng phẳng,
nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ
Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x ) trên các trụ điể ) trên các phẳ 0;y0;z0 c tọa độ. m M(x0;y0;z0 ng tọa độ. Phƣơng pháp Phƣơng pháp
 Hình chiếu vuông góc của điểm
 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x ) trên trụ ) trên 0;y0;z0
c Ox là: M(x0;0;0) M(x0;y0;z0
(Oxy) là: M(x0;y0;0)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x ) trên trụ ) trên 0;y0;z0
c Oy là: M(0;y0;0) M(x0;y0;z0
(Oyz) là: M(0;y0;z0)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x ) trên trụ ) trên 0;y0;z0
c Oz là: M(0;0;z0) M(x0;y0;z0
(Oxz) là: M(x0;0;z0)
Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện. Cần nhớ Phƣơng pháp  AB  ...;...;  ...
Thể tích của khối tứ diện ABCD  A Bƣớ AC  ...;...;  c 1: Tính ... .
   1  V = AB, ACAD  ..;..;...   .AD 6  
AB , AC  ...;...;...   D
Bƣớc 2: Tính    
AB , AC  .AD  .... B  
   1
V = AB, AC.AD C Bƣớc 3:   6
Chú ý: Thể tích không âm.
Vấn đề 5: Diện tích tam giác. 
Diện tích tam giác ABC
AB  ...;...;..  .
1    S = AB , ACBƣớc 1: Tính .
AC  ...;...;..  ABC   2 .   AB AC  A Bƣớc 2: Tính , ..;..;..   .   Bƣớc 3: Tính 2 2 2
AB ,AC  h  t  c .  
1   S = AB , AC B C Bƣớc 4: ADCT ABC   2
Chú ý: Diện tích không âm. MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu. Dạng 1 Dạng 2 Mặt cầu (S): 2 2 2
x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0  he äsoá x a   -2  2 2 2
MC (S):             2 x a y b z c R  he äsoá y
Có tâm I(a;b;c) với b 
Có tâm I(a;b;c) và bán kính R -2   he äsoá z c   -2 Bán kính:  2  2  2 R a b c  d
Vấn đề 2: Lập phƣơng trình mặt cầu. 2 2 2 2
Dạng 1: Lập phƣơng trình mặt cầu dạng x  a  y  b  z  c  R
Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực). Phƣơng pháp:  2 2 2 2
Pt mặt cầu (S): x  a  y  b  z  c  R (*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đƣờng kính bằng n (với n là số thực). Phƣơng pháp:  2 2 2
Pt mặt cầu (S):             2 x a y b z c R (*). n
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R= 2 .
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A. Phƣơng pháp:  2 2 2
Pt mặt cầu (S):             2 x a y b z c R (*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)   Bán kính R= IA  IA .
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài
đoạn thẳng IA bằng với bán kính R.
Loại 4: Mặt cầu có đƣờng kính AB. Phƣơng pháp:  2 2 2
Pt mặt cầu (S):             2 x a y b z c R (*).
 Gọi I trung điểm AB I..;...;...
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)   Bán kính R= IA  IA .
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Chú ý:
Đƣờng kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.   AB AB
Ta có thể tính R theo 2 cách sau: R= IB  IB hoặc R=  2 2 .
Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phƣơng pháp:  2 2 2
Pt mặt cầu (S):             2 x a y b z c R (*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c). Ax By Cz D  0 0 0
Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: R dI,(P)      2 A  2 B  2 C
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Dạng 2: Lập phƣơng trình mặt cầu dạng: 2 2 2
x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 .
Loại 1: Lập phƣơng trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Phƣớng pháp.
Pt mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 (*)
Vì A, B, C, D thuộc (S):
theá toïa ñoä ñieåm A vaøo pt (*). 
theá toïa ñoä ñieåm B vaøo pt (*).  
theá toïa ñoä ñieåm C vaøo pt (*) 
theá toïa ñoä ñieåm D vaøo pt (*)
Giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp thế, ta tìm đƣợc a, b, c, d.
Sau đó thế a, ,b , c, d vào pt (*).
Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích
khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phƣớng pháp.
 Pt mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 (*)  Vì A, B, C thuộc (S):
theá toïa ñoä ñieåm A vaøo pt (*). 
 theá toïa ñoä ñieåm B vaøo pt (*).
theá toïa ñoä ñieåm C vaøo pt (*) 
 Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ tư.
Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d.
VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm Mx ;y ;z 0 0 0  và có  
vectơ pháp tuyến n  A;B;C . n Phƣơng pháp:  M
Mặt phẳng (P) qua điểm Mx ;y ;z 0 0 0  . P)  
 Mặt phẳng (P) có VTPT n  A;B;C .
 Ptmp (P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0  .
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm Mx ;y ;z 0 0 0  và song   
song hoặc chứa giá của hai vectơ a , b . a    Phƣơng pháp:
n  a,bb  
 Mặt phẳng (P) qua điểm Mx ;y ;z 0 0 0  .
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là  
a=..... , b  ....   
 Mặt phẳng (P) có VTPT n  a,b   .
 Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0  .
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và
song song với mp(Q). M  Phƣơng pháp: P)  n Q
Mặt phẳng (P) qua điểm Mx ;y ;z 0 0 0  .
 Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có   VTPT n  n P Q . Q)
 Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0  .
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và d
vuông góc với đường thẳng d.  a Phƣơng pháp: d
 Mặt phẳng (P) đi qua M. M   P)  
 Mặt phẳng (P) có VTPT: n  a  a ;a ;a P d  1 2 3.
 Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.   
n   AB, ACPhƣơng pháp:  
 Mặt phẳng (P) đi qua A.    B
 Mặt phẳng (P) có VTPT: n  AB,AC   . A C
 Pt(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm
A, B và vuông góc với mp(Q). Phương pháp:  P)   n
Mặt phẳng (P) qua điểm A. Q B
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)    là: AB  .....n  .... Q .    A
 Nên mp(P) có VTPT: n  AB,n  Q   . Q  )
Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0  Dạng 6:
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phƣơng pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm Md .  
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: a  .....a  .... d d' .   
 Mp(P) có VTPT: n  a ,a  d d'   .
 Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d. Phương pháp:
 Chọn điểm M thuộc đt d.
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.  
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: AM  .....a  .... d .   
 Nên mp(P) có VTPT: n  AM,a  d   .
 Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực
của đoạn thẳng AB.  A Phương pháp:
 Gọi I là trung điểm AB I  .....  I P)
 Mặt phẳng (P) qua điểm I.    
Mặt phẳng (P) có VTPT n  AB. B
 Ptmp (P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0  .
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R). Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm M.  
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: n  .....,n  .... Q R .   
 Nên mp(P) có VTPT: n  n ,n  Q R   .
 Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A. Phương pháp:
 Xác định tâm I của mc(S).
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.  
 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n  IA .
 Ptmp(P): Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n  m;n;p và tiếp xúc mặt cầu (S). Phương pháp:
Trƣớc tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
 Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.   I
Vì mp(P) có VTPT n  m;n;p  mx  ny  pz  D  0 .
 Do mp(P) tiếp xúc mc(S)  dI;P  R r = d(I,(P)) P) A  B
Chú ý: A  B   . A  B
Điều kiện tiếp xúc:
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)
Đƣờng thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)     d(I, ( ) P ) R d(I, d) R
Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x ) đế 0;y0;z0
n mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là
Ax By Cz D 0 0 0 
d (M , (P)) 2 2 2 A B C
VẤN ĐỀ 6: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B. Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm A.  
 Đường thẳng d có VTCP: a  AB.
x x at 0   y y  Pt tham số: bt 0 . z z   ct 0
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm M.  
 Đường thẳng d có VTCP: a  a d d' .
x x at 0   y y  Pt tham số: bt 0 . z z   ct 0
Chú ý: Hai đƣờng thẳng song song cùng vectơ chỉ phƣơng.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm M.  
 Đường thẳng d có VTCP: a  n
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt d P . 
phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm
x x at 0  VTCP.  y y  Pt tham số: bt 0 . z z   ct 0
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
x x at 0  Tìm giao điể y y  m của đường thẳng d: bt 0 và mp(P): Ax+By+Cz+D=0. z z   ct 0 Phƣơng pháp:
 Gọi H là giao điểm của d và (P).
x x at 0 
y y bt  0
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt: z z ct  0 Ax+By+Cz+D=0
 Xét pt: Ax at +B y bt +C z ct +D=0 (*).Giải pt (*) tìm tx, y, z 0   0   0  H.
VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P). d Phƣơng pháp:  
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M M và vuông góc với mp(P).
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P). H P)
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P). Phƣơng pháp:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và d vuông góc với mp(P).  Tìm giao điể  m H của d và (P).  M
Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM”.  H P)  M/  xx / x   M M H 2 
x  2x x /  yyH M M /  y M My y y H   2  / 2 H M   M M’=.. z  2z z /  zzH M / Mz M M H 2 
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’
VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đƣờng thẳng d. (d) Phƣơng pháp:
 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng d.  H  
Tìm giao điểm H của d và (P).
 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d. P) M
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường
thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đƣờng thẳng d. Phƣơng pháp:
 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.  (d) xx / x   M M H 2 
x  2x x /  yyH M M  H  /   y M My y yH   2  / 2 H M   M M’=.. P) M z  2z z M /  zzH M / M / z M M H 2 
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG. Phƣơng pháp: Bƣớc 1:
 Xác định điểm M thuộc d và VTCP a của d. 
 Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a' của d’. Bƣớc 2:  
 Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính a,a'  ......         Nếu a,a'  0  
thì a,a' cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.       Nếu a,a'  0  
thì a,a' không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.   
o Nếu a,a'.MM'  0  
thì d và d’ cắt nhau.   
o Nếu a,a'.MM'  0  
thì d và d’ chéo nhau.
VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MP.
x x at 0  Phƣơng pháp: Đểy y
xét vị trí tƣờng đối của đt d: bt 0 và mp(P): Ax+By+Cz+D=0. z z   ct 0 Ta làm nhƣ sau:
 Xét pt: Ax at +B y bt +C z ct +D=0 (*).Giải pt tìm t. 0   0   0 
o Pt(*) có một nghiệm t  d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm  d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t  d nằm trong (P).
Chú ý: 0t 1 voâ nghieäm.  
0t =-2 voâ nghieäm. 0t 0 voâ soá nghieäm
VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A    
 AB  AC  AB  AC  AB.AC  0 Phƣơng pháp:  
 Tính AB  ...,AC  .....  
 Tính AB.AC  H.H  T.T  C.C  0    Suy AB  AC  Suy ra AB  AC.
 Kết luận tam giác ABC vuông tại A Chú ý:    
Nếu tam giác ABC vuông tại B    BC  BA  BC  BA.BC  0    
Nếu tam giác ABC vuông tại C  C  CB  CA  CB  CA.CB  0
2/ Chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’
VUÔNG GÓC với nhau.    
Cần nhớ: d  d '  a  a  a .a  0 d d' d d' Phƣơng pháp:
 Đường thẳng d có VTCP: a =... 
 Đường thẳng d’ có VTCP: a'=...  
 Tính a.a  H.H  T.T  C.C  0    Suy ra: a  a.
 Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.
3/ Tìm tham số để đƣờng thẳng d VUÔNG GÓC đƣờng thẳng d’.
Phƣơng pháp:    
Do d  d '  a  a  a .a  0  .....  ...... d d' d d'
ta giải pt tìm đƣợc tham số.
4/ Chứng minh đƣờng thẳng d SONG SONG với đƣờng thẳng d’. Cần nhớ:
 Hai đường thẳng song song không có điểm
chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng
không thuộc đường thẳng kia.
 Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ
phương cùng phương với nhau.
Phƣơng pháp chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’ SONG SONG với nhau: Cách 1:  
Bƣớc 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương a,a' cùng phương:   
 Ta chứng minh a,a'  0   .
Bƣớc 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận. Cách 2: a a ;a ;a 1 2 3  a a a Bƣớ 1 2
c 1: Lập tỉ số: Tức là  cùng phương 3    . a'  a' ;a' ;a' a' a' a' 1 2 3  1 2 3
Bƣớc 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
5/ Tìm tham số m để đƣờng thẳng d SONG SONG đƣờng thẳng d’. Phƣơng pháp: a a ;a ;a 1 2 3 
Bƣớc 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương  . a'  a' ;a' ;a' 1 2 3    a a a Bƣớ 1 2
c 2: Vì d //d’ nên a,a' cùng phương 3    a' a'
a' , lập pt hoặc hệ pt để tìm m. 1 2 3
6/ Tìm giao điểm của hai đƣờng thẳng:
x x at
x x '  a 't ' 0  0  y y  y y d: bt ' b 't ' 0 và d’: 0   z z   ct
z z '  c 't ' 0  0 Cách tìm: Bƣớc 1:
 Gọi I là giao điểm của d và d’.
x at x '  a 't ' (1) 0 0  
Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt: y bt y '  b 't ' (2) (*) 0 0
z ct z'  c't ' (3)  0 0
Bƣớc 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
x at x a t
at a t   ' ' ' (1) ' ' m Giải hệ pt 0 0    . Tìm t và t’.
y bt y '  b 't ' (2) 
bt b't '  n 0 0
 Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ (*) vô nghiệm.
 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I.
7/ Chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’ CẮT nhau. Cách 1:
 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a của d. 
 Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a' của d’.     a,a'  0  
 Chứng minh:     . a,a'.MM'  0  
Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.
8/ Chứng minh hai đƣờng thẳng d và d’ CHÉO nhau.
 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a của d. 
 Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a' của d’.   
 Chứng minh: a,a'.MM'  0   .
VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. Cách tính:
Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm nhƣ sau:
 Chọn điểm M thuộc (P). Ax  By  Cz  D
 d P,Q  dM,Q 0 0 0  . 2 2 2 A  B  C
VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG.
Chọn điểm M thuộc d.
 dd,d'  dM,d'.
VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƢỜNG THẲNG
x x at 0  Cho đƣờy y
ng thẳng d có phƣơng trình tham số: bt 0 . z z   ct 0
 Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
 Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: Mx  at;y  bt;z  ct 0 0 0 . VẤN ĐỀ 18: GÓC.
1/ Góc giữa hai đƣờng thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phƣơng.        a.a'
cos = cos a,a'    Chú ý: 0 0 0    90 . a . a'
2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.        n.n'
cos = cos n,n'    Chú ý: 0 0 0    90 . n . n'
3/ Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến.        a.n
sin = cos a,n    Chú ý: 0 0 0    90 . a . n
VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).
Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d  dI,P.
o TH1: d  r  (P) (S)= .
(hay (P) và (S) không có điểm chung).
o TH2: d  r  (P) tieáp xuùc côùi maët caàu (S).
o TH3: d  r  (P) caét (S) theo thieát dieän laø moät ñöôøng troøn (C).
Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C). -
Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I
và vuông góc mp(P). r I -
Gọi r’ là bán kính của (C). 2 2 2 2 2
Khi đó: r  R  d  r  R  d . r d
Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) nên tam r’ H
giác IMH vuông tại H. M
Với: R=IM, d=IH=dI,P và r=MH.
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012
Vấn đề 1: Phƣơng trình mặt phẳng.
1. Kiến thức cần nhớ:  -
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n  0 đgl vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá   
của n vuông góc với (P), viết tắt là n (P).   -
Nếu hai vectơ a, b không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P)   
có một vectơ pháp tuyến là: n  a,b P   . 2 2 2 A  B  C  0 -
Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với  M(x ;y ;z ) n  A;B;C -
Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 có vectơ pháp tuyến P  
có dạng: Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0  . Cần nhớ: 2. Các dạng toán.
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x ;y ;z ) và 0 0 0 Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
vuông góc với đƣờng thẳng d. HD 0 0 0    VTPT n  a  P d
Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT. x  1 2t 
Bài 1: Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d: y  3  t z  2  Ñieåm ñi qua A(2;2-1) HD
Bài giải     VTPT n  a  P d
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  a  2; 3  ;0 P d  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0 
 2x  2  3y  2  0z   1  0
 2x  4  3y  6  0  2x  3y  2  0 Cần nhớ: 
- Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến.
Bài 2: Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đƣờng thẳng x 1 y  2 z d:   1 2 2  Ñieåm ñi qua A(2;2-1) HD
Bài giải     VTPT n  a  P d
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  a  1;2; 2  P d  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0   
 x  2  2y  2  2z   1  0
 x  2  2y  4  2z  2  0
 x  2y  2z  8  0 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC. Ñieåm ñi qua B(0;2;0) HD
Bài giải     VTPT n  AC  P
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  AC  2  ;0;2 P  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0 
 x  0  0y  2  2z  0  0  x + 2z = 0  x+z=0 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B. Ñieåm ñi qua B(0;2;0) HD
Bài giải     VTPT n  BC  P
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  BC  0; 2  ;2 P  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0 
 x  0  2y  2  2z  0  0  y+4+2z=0  y+2z+4=0 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến.
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2) HD
Bài giải     VTPT n  AB  P
- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB  I2;2;2
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  AB  2;2;2 P  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0 
 x  0  2y  2  2z  0  0  y+4+2z=0  y+2z+4=0
Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại
trung điểm I của đoạn thẳng AB. Kiến thức cần nhớ:     
- Trục Ox có VTCP là i  1;0;0 .
- Mp (Oxy) có VTPT: n  i, j  k  0;0;  1 .       
- Trục Oy có VTCP là j  0;1;0.
- Mp (Oyz) có VTPT: n   j, k  i  1;0;0   - Trục Oz có VTCP là      k  0;0;  1 .
- Mp (Oxz) có VTPT: n  k,i  j  0;1;0   .
Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).
1. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox. Ñieåm ñi qua M(1;2;3)  Bài giả HD i     VTPT n  i  1;0;0  P  
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  i  1;0;0 P  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0     x  
1  0y  2  0z 3  0  x-1=0 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy. Ñieåm ñi qua M(1;2;3)  Bài giả HD i     VTPT n  j  0;1;0  P  
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  j  0;1;0 P  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0   x  
1 1y  2  0z 3  0  y-2=0 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến.
3. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz. Ñieåm ñi qua M(1;2;3)  Bài giả HD i     VTPT n  k  0;0;1  P  
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  k  0;0;1 P  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0   x  
1  0y  2 1z 3  0  z  =0 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến.
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z ) 0 0 0 HD      VTPT n  AB,AC  P   
Bài 1: Viết phƣơng trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Ñieåm ñi qua A HD 
Bài giải      VTPT n  AB,AC  P   
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).   
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  AB,AC P    AB   1  ;1;0 Với  AC   1  ;0  ;1   
 n  AB,AC  1;1;1 P     -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0     x  
1 1y  0 1z  0  0  x 1 y  z  0  x  y  z 1  0
Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phƣơng trình mp(OMN).    HD
Bài giải  Ñieåm ñi qua O, VTPT n  OM,ON P  
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).   
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  OM,ON P    OM  1;1  ;1 Với  ON  1; 1   ;1   
 n  OM,ON  2;0; 2  P     -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0 
 x  0  0y  0  2z  0  0  x  2z  0
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x ;y ;z ) và 0 0 0 Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )  0 0 0 song song với mp(Q) HD    VTPT n  n  P Q
Bài 1: Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0. Ñieåm ñi qua A(1;2;3) HD 
Bài giải     VTPT n  n  P Q
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).  
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  n  2;2;1 P Q  . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0   x  
1  2y  2 1z  3  0
 x  2  2y  4  z  3  0
 x  2y  z  3  0
Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm
M(1;2;3) và song song với mp(ABC) Ñieåm ñi qua M HD 
Bài giải       VTPT n  n  AB,AC  P ABC   
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).   
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  AB,AC P    AB   1  ;1;0    Với 
 n  AB,AC  1;1;1 P   AC   1  ;0  ;1   -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0     x  
1 1y  2 1z  3  0
 x 1 y  2  z  3  0  x  y  z  6  0   
Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là n  AB,AC ABC   .
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy). Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD 
Bài giải       VTPT n  i, j  k  0;0;1  P     
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).    
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  i, j  k  0;0;1 P     . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0   x  
1  0y  2 1z 3  0  z-3=0
Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz). Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD 
Bài giải       VTPT n  k,i  j   0;1;0 P     
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).    
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n  i, k  j  0;1;0 P     . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0   x  
1 1y  2  0z 3  0  y-2=0
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz). Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD 
Bài giải       VTPT n  j,k  i  1;0;0  P     
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).    
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n   j, k  i  1;0;0 P     . -
Pt mp(P) : Ax  x  B y  y  C z z  0 0   0   0     x  
1  0y  2  0z 3  0  x-1=0
Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông Ñieåm ñi qua A góc với mp(Q) HD  
  VTPT n  AB,n   P Q   
Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0

Tài liệu liên quan: