Tóm tắt Công thức Toán cao cấp A1, 2 | Đại học Tài Chính - Marketing

Tóm tắt Công thức Toán cao cấp A1, 2 | Đại học Tài Chính - Marketing. Tài liệu gồm 6 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

Hμm mét biÕn
1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm
(u
α
)’ =
α
.u’.u
α
-1
(
α
: H»ng sè, U: Hµm
sè)
(a
U
)’ = u’.ln a.a
U
(a: H»ng sè, U: Hµm
sè)
(e
U
)’ = u’.e
U
(Sin u)’ = u’.cos u
Cos u)’ = - u’.sin u
(Tg u)’=
uCos
u
2
'
;
(Cotg u)’=
uSin
u
2
'
(Log
a
u)’ =
au
u
ln.
'
(arcsin u)’ =
2
1
'
u
u
;
(arccos u)’ =
2
1
'
u
u
(arctg u)’ =
2
1
'
u
u
+
;
(arccotg u)’ =
2
1
'
u
u
+
(u ± v)’=u’ ± v’
(u.v)’= u’v+v’u
(
v
u
)’ =
2
''
v
uvvu
2. Vi ph©n du = u’.dx
3. Giíi h¹n
- V« cïng bÐ t¬ng ®¬ng :
0)( =
xLim
ax
α
=> α(x) ®îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a
1
)(
)(
=
x
x
Lim
ax
β
α
--> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t¬ng ®¬ng khi x->a
hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a
§Þnh lý : NÕu α(x) ∼α
1
(x) vµ β (x) ∼β
1
(x)khi x->a th×
)(
)(
)(
)(
1
1
x
x
Lim
x
x
Lim
axax
β
α
β
α
=
Sin x x khi x->0
ArcSin x x khi x->0
Tg x x khi x->0
ArcTg x x khi x->0
e
x
-1 x khi x->0
ln(1+x) x khi x->0
- C«ng thøc Lopital khö d¹ng
0
0
;
:
1
)('
)('
)(
)(
xg
xf
Lim
xg
xf
Lim
axax
=
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè
Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x
0
nÕu : + f(x
0
) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n
+
)()(
0
0
xfxfLim
xx
=
(NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x
0
th× x
0
®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n)
Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh
5. TÝch ph©n
a. C«ng thøc nguyªn hµm
Cxdxx +
+
=
+
1
.
)1(
1
αα
α
(
α
>0)
Ca
a
dxa
xx
+=
.
ln
1
Cedxe
xx
+=
Cxdxx +=
cos.sin
=dx
x
.
sin
1
2
-cotg x + C
Cxdxx +=
sin.cos
=dx
x
.
cos
1
2
tg u + C
C
a
x
dx
xa
+=
arcsin.
1
22
+
dx
xa
.
1
22
=
a
1
.arctg
a
x
+C
Cxdx
x
+=
ln.
1
b. TÝch ph©n tõng phÇn:
= vduvudvu ..
Hμm nhiÒu biÕn
7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn
x
yxfyxxf
Lim
x
yxf
yxf
x
x
Δ
Δ
+
=
=
Δ
),(),(),(
),(
0000
0
00
00
'
y
yxfyyxf
Lim
y
yxf
yxf
y
y
Δ
Δ
+
=
=
Δ
),(),(),(
),(
0000
0
00
00
'
Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1:
dyyxfdxyxfyxdf
yx
),(),(),(
''
+=
Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2:
222222
),(),(2),(),( dyyxfdxdyyxfdxyxfyxfd
yyxyxx
++=
C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng: f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + f
x
’(x,y). Δx + f
y
’(x,y). Δy
§¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) :
+
=
+
=
y
v
v
F
y
u
u
F
y
F
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
§¹o hµm cña hµm Èn :
*NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): =>
),(
),(
)('
'
'
yxF
yxF
xy
y
x
=
*NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): =>
),,(
),,(
)('
'
'
zyxF
zyxF
xz
x
x
=
;
),,(
),,(
)('
'
'
zyxF
zyxF
yz
y
x
=
. Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn
8
Bíc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(x
i
,y
i
) lµ nghiÖm cña hÖ PT:
=
=
0),(
0),(
'
'
yxf
yxf
y
x
Bíc2: KiÓm tra ®iÓm M(x
i
,y
i
) cã lµ cùc trÞ
A=f
xx
”(x
i
,y
i
); B=f
xy
”(x
i
,y
i
); C=f
yy
”(x
i
,y
i
);
B
2
-AC < 0
A<0: M(x
i
,y
i
)--- Cùc ®¹i
A>0: M(x
i
,y
i
)--- Cùc tiÓu
B
2
-AC > 0 M(x
i
,y
i
)--- kh«ng lµ cùc trÞ
B
2
-AC = 0 M(x
i
,y
i
)--- Cha kÕt luËn ®îc
Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0
Gii hÖ PT:
=
==
0),,(
'
'
'
'
'
'
zyxg
g
f
g
f
g
f
z
z
y
y
x
x
=> NghiÖm M(x,y,z)
9
. TÝch ph©n kÐp
a. Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c:
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a x b vµ c y d th×:
∫∫
=
d
c
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf ),(),(
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a x b vµ y
1
(x) y y
2
(x) th×:
∫∫
=
)(
)(
2
1
),(),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf
2
b. §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v)
∫∫∫∫
=
DD
dudvvuyvuxfJdxdyyxf )],(),,([.||),(
trong ®ã: J=
''
''
),(
),(
vu
vu
yy
xx
vuD
yxD
=
c. Trong hÖ täa ®é cùc: I= (x= r.cosϕ; y= r.sinϕ)
∫∫∫∫
=
'
.).sin,cos(),(
DD
drdrrrfdxdyyxf
ϕϕϕ
D
x
y
ϕ2
ϕ1
r=g2(
ϕ)
r=g1(
ϕ)
D
x
y
ϕ2
ϕ1
r=g(
ϕ)
x
y
0
0
0
D
r=g(
ϕ)
3
D
L
10
. TÝch ph©n ®êng lo¹i 1
- NÕu: y=y(x), a x b th×:
2
(, ) (, ())1 '().
b
a
AB
f
x y ds f x y x y x dx=+
∫∫
∫∫
=
2
1
)(2
)(1
.).sin,cos(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
g
g
drrrrfdI
∫∫
=
π
ϕ
ϕϕϕ
2
0
)(
0
.).sin,cos(
g
drrrrfdI
∫∫
=
2
1
)(
0
.).sin,cos(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
g
drrrrfdI
- NÕu: x=x(t), y=y(x), t
1
t t
2
th×:
2
1
22
(, ) ((), ()). '() '().
t
t
AB
xyds f xt yt x t y t dt=+
∫∫
. TÝch ph©n ®êng lo¹i 2
11
- NÕu
A
B
®îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th×
(,) (,) [(,()) (,()).'()]
b
a
AB
Pxydx Qxydy Pxyx Qxyx y x dx+= +
∫∫
- NÕu
A
B
cho bëi: x=x(t), y=y(t), t=t
A
(t¹i A), t=t
B
(t¹i B) th× : B
( , ) ( , ) [ ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )]
B
A
t
t
AB
Pxydx Qxydy Pxt yt x t Qxt yt y t dt+= +
∫∫
- C«ng thøc Green :
(, ) (, ) ( )
LD
PQ
P x y dx Q x y dy dxdy
xy
+=
∂∂
∫∫
(L- lµ miÒn biªn cña D và
lµ mét ®êng khÐp kÝn)
qu¶: NÕu
QP
x
y
∂∂
=
∂∂
trong D th×:
(, ) (, ) 0
L
Pxydx Qxydy
+
=
§Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t¬ng ®¬ng:
Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò
sau lµ t¬ng ®¬ng:
(1)
QP
x
y
∂∂
=
∂∂
(2) u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy
(3) Mäi ®êng cong kÝn L D th×:
(, ) (, ) 0
L
Pxydx Qxydy
+
+
=
(L
+
- ®Þnh híng d¬ng, do c«ng thøc Green)
(4) TÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo ®êng cong nèi 2 ®iÓm A,B
(, ) (, )
AB
Pxydx Qxydy+
Ph¬ng tr×nh vi ph©n
. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1: F(x,y,y’) = 0 hoÆc y’= f(x,y)
12
(1) Ph¬ng tr×nh ph©n ly:
()
'
()
f
x
y
gy
=
()
()
dy f x
dx g y
=
() () 0f x dx g y dy+=
- TÝch ph©n 2 vÕ: () ()
f
xdx f ydy C+
∫∫
= F(x)+ G(x) = C
(2) Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp: '
y
yf
x
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
- §Æt u(x) =
y
x
y = u(x).x y’= u(x)+ u’(x).x Thay vµo PT ta cã:
u+u’.x= f(u) x.u’ = f(u) – u hay
.()
du
x
fu u
dx
=
* NÕu f(u) – u = 0: x.u’= 0 u’= 0 u= C y = C.x - lµ 1 hä nghiÖm
* NÕu f(u) – u 0:
()
dx du
x
fu u
=
(®©y lµ mét PT ph©n ly). TÝch ph©n hai vÕ :
()
dx du
x
fu u
=
∫∫
ln | | ( ) ln | |
x
uC
φ
=
+
()
.
y
x
x
Ce
φ
=
(
Φ
(u) lµ mét nguyªn hµm cña
1
()
f
uu
)
(3) Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh: y’+p(x).y=q(x)
Ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: y’+p(x).y=0
C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t:
() ()
.( ( ). )
P x dx P x dx
ye C Qxe dx
∫∫
=+
(4) Ph¬ng tr×nh Becnuly: '(). ().ypxyqxy
α
+= (
α
0,
α
1)
(Ph¬ng ph¸p gi¶i: ®a vÒ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh)
α>0: y= 0 lµ 1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
Víi y 0 chia c¶ 2 vÕ cho y
α
vµ ®Æt z(x) = y
1-
α
z’(x) = (1-α).y’.y
α
thay vµo PT
z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Lµ mét ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh
(5) Ph¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong ®ã:
PQ
yx
∂∂
=
∂∂
)
NghiÖm tæng qu¸t:
00
0
(, ) (, ) (, )
y
x
xy
uxy Pxy dx Qxydy C
=
+=
∫∫
Hay :
00
0
(, ) (, ) ( , )
y
x
xy
uxy Pxydx Qx ydy C
=
+=
∫∫
( trong ®ã (x
0
,y
0
) bÊt kú
D). §Ó ®¬n gi¶n chän x
0
= 0, y
0
= 0, nÕu (0,0) D
* Trong trêng hîp
PQ
yx
∂∂
∂∂
®a vÒ ph¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn b»ng c¸ch
nh©n hai vÕ víi μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0.
- NÕu
()
PQ
yx
x
Q
ϕ
∂∂
∂∂
=
th×
().
(, ) ()
x
dx
xy x e
ϕ
μμ
==
- NÕu
()
PQ
yx
y
P
ϕ
∂∂
∂∂
=
th×
().
(, ) ()
ydy
xy y e
ϕ
μμ
==
13
. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoÆc y’= f(x,y,y’)
(1) Ph¬ng tr×nh khuyÕt (ph¬ng ph¸p gi¶i: H¹ cÊp => ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1):
4
KhuyÕt y vµ y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tÝch ph©n 2 lÇn
NghiÖm tæng qu¸t:
12
(().)
y
f x dx dx C x C
=
++
KhuyÕt y: f(x,y’,y’’) = 0. §Æt z(x) = y’ y’’ = z’(x).
Ph¬ng tr×nh trë thµnh: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(x)
KhuyÕt x: f(y,y’,y’’) = 0. §Æt z(y) = y’ =>
'()
'' . . ' .
dy dz y dz dy dz dz
yy
dx dx dy dx dy dy
== = = =
z
Ph¬ng tr×nh trë thµnh:
(,,. ) 0
dz
fyzz
dy
=
=> PTVP cÊp 1 víi z(y)
(2) Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã hÖ sè h»ng :
a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè)
PT thuÇn nhÊt: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2)
5
NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ:
*yyy=+
trong ®ã : y* - lµ nghiÖm riªng cña (1)
y
- lµ nghiÖm TQ cña (2)
Bíc 1 : T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTTN(2)
Ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2)
NghiÖm TQ:
= C
1
.y
1
(x)+ C
2
.y
2
(x) (C
1
, C
2
: H.sè)
y
PT ®Æc trng : a.k
2
+ b.k+ c = 0 (3)
Δ=b
2
- 4ac
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
PT (3) cã 2 n
o
: k
1
, k
2
+
1
1
()
kx
y
xe=
+
2
2
()
kx
y
xe=
y
= C
1
.e
k1.x
+ C
2
.e
k2.x
PT (3) cã n
o
kÐp: k
1
= k
2
=k
+
1
()
kx
yx e
=
+
2
() .
kx
y
xxe=
y
= C
1
.e
k.x
+ C
2
.x.e
k.x
PT (3) cã 2 n
o
phøc: k
1,2
= α ± β.i
+
1
() .cos
x
y
xe x
α
β
=
+
1
() .sin
x
yx e x
α
β
=
y
= e
α
.x
(C
1
.cosβx+ C
2
.sinβx)
Bíc 2 : T×m nghiÖm riªng cña PTKTN(1)
Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè)
T×m nghiÖm riªng : y*
Ph¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè
Lagrange
NghiÖm riªng cña (1) cã d¹ng:
y*= C
1
(x).y
1
(x)+ C
2
(x).y
2
(x)
( y
1
(x), y
2
(x) lµ 2 nghiÖm riªng ®éc lËp
cña PT thuÇn nhÊt (2) ë trªn)
Trong ®ã C
1
(x), C
2
(x) lµ c¸c hµm tho¶
m·n hÖ:
''
11 2 2
'' ' '
11 2 2
(). () (). () 0
(). () (). () ()
Cxyx Cxy x
Cxyx Cxy x fx
+=
+=
C¨n cø d¹ng ®Æc biÖt cña vÕ tr¸i
D¹ng 1: f(x)=P
n
(x).e
α
x
(P
n
(x) lµ ®a thøc bËc n)
XÐt: α
D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng
Ko lµ n
o
cña
PT§T(3)
y* = Q
n
(x). e
α
x
(Q
n
(x) cïng bËc víi P
n
(x))
L lµ n
o
®¬n
cña PT§T(3)
y* = x.Q
n
(x). e
α
x
L lµ n
o
kÐp
cña PT§T(3)
y* = x
2
. Q
n
(x). e
α
x
D¹ng 2 : f(x)=e
α
x
.(P
n
(x).cos
β
x+Q
m
(x).sin
β
x)
XÐt: α±β.i
D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng
Ko lµ n
o
cña
PT§T(3)
y*= e
α
x
.(K
t
(x).cos
β
x+Q
t
(x).sin
β
x)
(t=max(m,n))
Lµ n
o
cña
PT§T(3)
y*=x.e
α
x
.(K
t
(x).cos
β
x+Q
t
(x).sin
β
x)
(t=max(m,n))
Chó ý: NÕu a.y’’+b.y’+c.y= f(x)+g(x) th× nghiÖm riªng: y*=y
1
*+ y
2
* trong ®ã y
1
*, y
2
* lÇn lît
lµ 2 nghiÖm riªng cña 2 PT: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) vµ a.y’’+b.y’+c.y= g(x).
Chuçi
. Chuçi sè
14
Chuçi héi tô : Chuçi sè : - Héi tô nÕu tæng riªng thø n : dÇn tíi mét giíi h¹n
h÷u h¹n khi n
→∞
.
1
n
n
u
+∞
=
1
n
n
k
S
=
=
k
u
Chuçi ph©n kú : nÕu nã kh«ng héi tô.
Chuçi héi tô nÕu |q|<1; phÇn kú nÕu |q|
1
0
n
n
q
+∞
=
chuçi
1
1
n
n
α
+∞
=
héi tô nÕu
α
>1; phÇn kú nÕu
α
1
a. §K ®Ó mét chuçi héi tô :
- NÕu chuçi héi tô th×
1
n
n
u
=
0
n
n
Lim u
→+
=
(
0
n
n
Lim u
→+
=
=>kh«ng kh¼ng ®Þnh ®îc chuçi
héi tô)
1
n
n
u
=
- NÕu th× chuçi ph©n kú
0
n
n
Lim u
→+
1
n
n
u
=
C¸c quy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè
6
- Quy t¾c D’lembert: chuçi d¬ng
1
n
n
u
=
,
1n
n
n
U
Lim k
U
+
→+
k<1: héi tô, k>1: ph©n kú
=
- Quy t¾c Cauchy: chuçi d¬ng ,
1
n
n
u
=
n
n
n
Lim U k
→+
=
k<1: héi tô, k>1: ph©n kú
. Chuçi hµm
15
*T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm U
n
(x):
b1: T×m giíi h¹n:
)(
)(
)(
1
xU
xU
Limxl
n
n
n
+
+∞
=
hoÆc
n
n
n
xULimxl )()(
+∞
=
b2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: l(x) < 1 ®Ó t×m kho¶ng héi tô cña chuçi hµm
b3: T¹i x = x
0
mµ l(x)=1 ta thay x = x
0
®Ó xÐt trùc tiÕp
b4: KÕt luËn miÒn héi tô cña hµm
| 1/6

Preview text:

Hμm mét biÕn
1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm • α α
(u )’ = α .u’.u -1 (α: H»ng sè, U: Hµm u' (arcsin u)’ = ; sè) 2 1− u
(aU)’ = u’.ln a.aU (a: H»ng sè, U: Hµm • − u' (arccos u)’ = sè) 2 1− u(eU)’ = u’.eU u' • (arctg u)’ = ;
(Sin u)’ = u’.cos u 2 1+ u
Cos u)’ = - u’.sin u • − u' (arccotg u)’ = 2 + • u' 1 u (Tg u)’= ; Cos2u
(u ± v)’=u’ ± v’ • − u' • (Cotg u)’= (u.v)’= u’v+v’u Sin2uu
u'v v'u ( )’ = u' 2 (Log u)’ = v v a u.ln a
2. Vi ph©n du = u’.dx 3. Giíi h¹n
- V« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng :
Limα (x) = 0 => α(x) ®−îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a xa α(x) Lim
= 1 --> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng khi x->a
xa β (x) Ký
hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a α(x) α (x)
§Þnh lý : NÕu α(x) ∼α (x) vµ β (x) ∼β (x)khi x->a th× 1 Lim = Lim 1 1
xa β (x)
xa β (x) 1 Sin x ∼ x khi x->0 ArcTg x ∼ x khi x->0 ArcSin x ∼ x khi x->0 ex-1 ∼ x khi x->0 Tg x ∼ x khi x->0 ln(1+x) ∼ x khi x->0 0 ∞ f (x) f '(x)
- C«ng thøc Lopital khö d¹ng ; : Lim = Lim 0 ∞
xa g(x)
xa g'(x)
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè
Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x nÕu : + f(x ) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n 0 0
+ Lim f (x) = f (x ) 0 x→ 0 x
(NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x th× x ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n) 0 0
Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh 5. TÝch ph©n
a. C«ng thøc nguyªn hµm • α 1 • x dx = xα+ + C ∫ 1 . cos x dx . = − x + C ∫ sin (α>0) + ) 1 • 1 dx . • 1 ∫ = tg u + C axdx = ax + C ∫ . cos2 x ln a 1 x • • . = + exdx ex = + C dx C ∫ arcsin a2 − x2 a • sin x dx . = x + C ∫ cos • 1 1 xdx . = .arctg +C a2 + x2 a a • 1 ∫ dx .
= -cotg x + C sin2 x • 1 dx . = x + C ∫ ln x 1
b. TÝch ph©n tõng phÇn: u dv . = u v . − ∫vdu Hμm nhiÒu biÕn
7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn • ' f ∂ (x , y ) f (x + x
Δ , y ) − f (x , y )
f (x , y ) = 0 0 = Lim 0 0 0 0 x 0 0 x x ∂ Δ →0 x Δ • ' f ∂ (x , y )
f (x , y + Δy) − f (x , y )
f (x , y ) = 0 0 = Lim 0 0 0 0 y 0 0 y y ∂ Δ →0 Δy
• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1: df (x, y) = f '(x, y)dx + f '(x, y)dy x y
• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2: 2 2 2 2 2 2
d f (x, y) = f (x, y)dx + 2 f (x, y)dxdy + f (x, y)dy xx xy yy
• C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng: f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + f ’(x,y). Δx + f ’(x,y). Δy x y
• §¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) : ⎧∂F
F u F ∂ = + v ⎪⎪ ∂xu xv x ⎨ ⎪∂F
F u F ∂ = + v
⎪⎩ ∂y u y v y
• §¹o hµm cña hµm Èn : ' F (x, y)
*NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): => y'(x) x = − ' F (x, y) y '
F (x, y, z) '
F (x, y, z)
*NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): => z'(x) x = − ; z'( y) x = − '
F (x, y, z) '
F (x, y, z) x y
8. Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn ⎪⎧ '
f (x, y) = 0
B−íc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(x ,y ) lµ nghiÖm cña hÖ PT: ⎨ x i i ⎪ '
f (x, y) = 0 y
B−íc2: KiÓm tra ®iÓm M(x ,y ) cã lµ cùc trÞ i i
A=f ”(x ,y ); B=f ”(x ,y ); C=f ”(x ,y ); xx i i xy i i yy i i
A<0: M(x ,y )--- Cùc ®¹i B2-AC < 0 i i
A>0: M(x ,y )--- Cùc tiÓu i i B2-AC > 0
M(x ,y )--- kh«ng lµ cùc trÞ i i B2-AC = 0
M(x ,y )--- Ch−a kÕt luËn ®−îc i i
Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0 ⎧ ' ' ' f f x y f ⎪ = = z Gi¶i hÖ PT: ⎨ ' ' ' g g
g => NghiÖm M(x,y,z) x y z
g(x, y, z) = 0 9. TÝch ph©n kÐp
a. Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c:
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ c ≤ y ≤d th×: b d
f (x, y)dxdy
dx f (x, y)dy ∫∫ =∫ ∫ D a c
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ y (x) ≤ y ≤y 1 2(x) th×: b y ( x) 2
f (x, y)dxdy dx
f (x, y)dy ∫∫ =∫ ∫ D a y ( x) 1 2
b. §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v)
f (x, y)dxdy
| J | . f [x u ( , v), y u ( , v dudv )] ∫∫ =∫∫ D D ' ' D(x, y) x x trong ®ã: J= u v = ' ' D(u, v) y y u v
c. Trong hÖ täa ®é cùc: I=
f (x, y)dxdy
f (r cosϕ, r sin ϕ).r.drdϕ (x= r.cosϕ; y= r.sinϕ) ∫∫ =∫∫ D D' y y y D r=g2(ϕ) r=g(ϕ) ϕ2 ϕ2 r=g(ϕ) r=g1(ϕ) ϕ1 0 x 0 x ϕ1 0 D x D ϕ 2 g 2(ϕ ) ϕ 2 g (ϕ ) 2π g (ϕ ) I = ∫ ϕ d
f (rcosϕ,rsinϕ).r.dr I = ϕ d
f (r cosϕ, r sinϕ).r.dr
I = ∫ dϕ ∫ f (r cosϕ,r sinϕ).r.dr ∫ ∫ ϕ g ϕ ϕ 10. TÝch p 1 h ( 1 ©n ® ) −êng lo¹i 1 1 0 0 0 b
- NÕu: y=y(x), a ≤ x ≤b th×: 2
f (x, y)ds = f (x, y(x)) 1+ y ' (x).dx ∫ ∫ AB a t2
- NÕu: x=x(t), y=y(x), t ≤ t ≤t 2 2
f (x, y)ds = f (x(t), y(t)). x ' (t) + y ' (t).dt ∫ ∫ 1 2 th×: AB 1 t
11. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 - NÕu
AB ®−îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th× b
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = [P(x, y(x)) Q
+ (x, y(x)).y '(x)]dx ∫ ∫ AB a - NÕu
AB cho bëi: x=x(t), y=y(t), t=t (t¹i A), t=t (t¹i B) th× B : A B tB
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = [P(x(t), y(t)).x '(t) Q
+ (x(t), y(t)).y '(t)]dt ∫ ∫ AB tA PQ
- C«ng thøc Green : P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ( − )dxdy ∫ ∫∫ xyL D
(L- lµ miÒn biªn cña D và lµ mét ®−êng khÐp kÝn) QP ∂ HÖ qu¶: NÕu =
trong D th×: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 D ∫ xyL
• §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng: L
Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: QP ∂ (1) = xy ∂ (2)
∃ u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy (3) Mäi
®−êng cong kÝn L ⊂ D th×: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ∫ L+
(L+ - ®Þnh h−íng d−¬ng, do c«ng thøc Green) (4) TÝch ph©n
P(x, y)dx + Q(x, y)dy kh«ng phô thuéc vµo ®−êng cong nèi 2 ®iÓm A,B ∫AB 3
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n
12. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1: F(x,y,y’) = 0 hoÆc y’= f(x,y) f (x) dyf x
(1) Ph−¬ng tr×nh ph©n ly: y ' = ⇔ ( ) =
f (x)dx + g( y)dy = 0 g( y) dx g( y)
- TÝch ph©n 2 vÕ: f (x)dx + f ( y)dy C ∫ ∫ = ⇔ F(x)+ G(x) = C ⎛ y
(2) Ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp: y ' = f ⎜ ⎟ x y - §Æt u(x) =
⇒ y = u(x).x ⇒ y’= u(x)+ u’(x).x Thay vµo PT ta cã: x du u+u’.x= f(u)
⇔ x.u’ = f(u) – u hay .x
= f (u) − u dx
* NÕu f(u) – u = 0: x.u’= 0 ⇒ u’= 0 ⇒ u= C ⇒ y = C.x - lµ 1 hä nghiÖm dx du * NÕu f(u) – u ≠ 0: =
(®©y lµ mét PT ph©n ly). TÝch ph©n hai vÕ : x
f (u) − u dx du y φ = ∫ ∫
⇒ ln | x |= φ(u) + ln | C | ⇒ ( ) = . x x C e x
f (u) − u 1
(u) lµ mét nguyªn hµm cña )
f (u) − u
(3) Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh: y’+p(x).y=q(x)
Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: y’+p(x).y=0 P( x)dx P( x)dx
C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t: y e∫ .(C Q(x).e∫ = + dx) ∫
(4) Ph−¬ng tr×nh Becnuly: y ' p(x).y q(x).yα + =
(α ≠ 0, α ≠ 1)
(Ph−¬ng ph¸p gi¶i: ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh)
• α>0: y= 0 lµ 1 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh • α α
Víi y ≠ 0 chia c¶ 2 vÕ cho y vµ ®Æt z(x) = y1-α ⇒ z’(x) = (1-α).y’.y thay vµo PT
z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh PQ
(5) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong ®ã: = ) yxx y
NghiÖm tæng qu¸t: u(x, y) = P(x, y )dx + Q(x, y)dy = C ∫ 0 ∫ 0 x 0 y x y
Hay : u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x , y)dy = C ∫ ∫ 0 0 x 0 y
( trong ®ã (x ,y ) bÊt kú D). §Ó ®¬n gi¶n chän x = 0, y = 0, nÕu (0,0) ∈ D 0 0 0 0 PQ
* Trong tr−êng hîp
®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn b»ng c¸ch yx
nh©n hai vÕ víi μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0. PQ ∂ − yx ∂ ϕ ( ). - NÕu = ϕ(x) th× μ( , ) μ − ( ) x dx x y x e ∫ = = Q PQ ∂ − yx ∂ ϕ ( ). ∫ - NÕu
= ϕ(y) th× μ( , ) = μ( ) y dy x y y = e P
13. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoÆc y’= f(x,y,y’)
(1) Ph−¬ng tr×nh khuyÕt (ph−¬ng ph¸p gi¶i: H¹ cÊp => ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1):
• KhuyÕt y vµ y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tÝch ph©n 2 lÇn 4
NghiÖm tæng qu¸t: y = ( f (x).dx)dx + C x + C ∫ ∫ 1 2
• KhuyÕt y: f(x,y’,y’’) = 0. §Æt z(x) = y’ ⇒ y’’ = z’(x).
Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(x) • dy ' dz( y) dz dy dz dz
KhuyÕt x: f(y,y’,y’’) = 0. §Æt z(y) = y’ => y '' = = = . = .y ' = z. dx dx dy dx dy dy dz
Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f ( y, z, z.
) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(y) dy
(2) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã hÖ sè h»ng :
a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè)
PT thuÇn nhÊt: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2)
NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: y = y + y * trong ®ã : y* - lµ nghiÖm riªng cña (1)
y - lµ nghiÖm TQ cña (2)
B−íc 1 : T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTTN(2)
Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2)
NghiÖm TQ: y
= C .y (x)+ C .y (x) (C , C 1 1 2 2 1 2 : H.sè)
PT ®Æc tr−ng : a.k2 + b.k+ c = 0 (3) Δ=b2- 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 PT (3) cã 2 no: k , k PT (3) cã no kÐp: k = k =k
PT (3) cã 2 no phøc: k = α ± β.i 1 2 1 2 1,2 + α 1 ( ) k x y x = e + ( ) kx y x = e + ( ) x
y x = e .cos β x 1 1 1 + α 2 ( ) k x y x = e + ( ) = . kx y x x e + ( ) x
y x = e .sin β x 2 2 1
y = C .ek1.x+ C .ek2.x y = C .ek.x+ C .x.ek.x α.x 1 2 1 2
y = e (C .cosβx+ C .sinβx) 1 2
B−íc 2 : T×m nghiÖm riªng cña PTKTN(1)
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè) T×m nghiÖm riªng : y*
Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè
C¨n cø d¹ng ®Æc biÖt cña vÕ tr¸i Lagrange α
D¹ng 1: f(x)=P (x).e x (P (x) lµ ®a thøc bËc n) n n
NghiÖm riªng cña (1) cã d¹ng: XÐt: α
D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng y*= C (x).y (x)+ C (x).y (x) 1 1 2 2 αx
( y (x), y (x) lµ 2 nghiÖm riªng ®éc lËp
Ko lµ no cña y* = Q (x). e n 1 2 PT§T(3)
cña PT thuÇn nhÊt (2) ë trªn)
(Q (x) cïng bËc víi P (x)) n n
Trong ®ã C (x), C (x) lµ c¸c hµm tho¶ L lµ no ®¬n αx 1 2 y* = x.Q (x). e n m·n hÖ: cña PT§T(3) ' ' C
⎧⎪ (x).y (x) + C (x).y (x) = 0 α 1 1 2 2 x ⎨ L lµ no kÐp y* = x2. Q (x). e n ' ' ' ' C
⎪ (x).y (x) + C (x).y (x) = f (x) ⎩ cña PT§T(3) 1 1 2 2 α
D¹ng 2 : f(x)=e x.(P (x).cosβx+Q (x).sinβx) n m XÐt: α±β.i
D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng α
Ko lµ no cña y*= e x.(K (x).cosβx+Q (x).sinβx) t t PT§T(3) (t=max(m,n)) α Lµ no cña
y*=x.e x.(K (x).cosβx+Q (x).sinβx) t t PT§T(3) (t=max(m,n)) 5
Chó ý: NÕu a.y’’+b.y’+c.y= f(x)+g(x) th× nghiÖm riªng: y*=y *+ y * trong ®ã y *, y * lÇn l−ît 1 2 1 2
lµ 2 nghiÖm riªng cña 2 PT: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) vµ a.y’’+b.y’+c.y= g(x). Chuçi 14. Chuçi sè +∞ n
Chuçi héi tô : Chuçi sè : u S = ∑u
n - Héi tô nÕu tæng riªng thø n : n
k dÇn tíi mét giíi h¹n n 1 = k 1 =
h÷u h¹n khi n→∞.
Chuçi ph©n kú : nÕu nã kh«ng héi tô. +∞ • Chuçi n
q héi tô nÕu |q|<1; phÇn kú nÕu |q| 1 n=0 +∞ • 1 chuçi
héi tô nÕu α >1; phÇn kú nÕu α 1 n 1 = nα
a. §K ®Ó mét chuçi héi tô : - NÕu chuçi u
Lim u = 0 ( Lim u = 0 =>kh«ng kh¼ng ®Þnh ®−îc chuçi n héi tô th× n n n→+∞ n→+∞ n 1 = ∞ ∑u héi tô) n n 1 = ∞
- NÕu Lim u ≠ 0 th× chuçi un ph©n kú n n→+∞ n 1 =
C¸c quy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè U
- Quy t¾c D’lembert: chuçi d−¬ng ∑u , n 1 Lim
+ = k k<1: héi tô, k>1: ph©n kú n n→+∞ n 1 = Un
- Quy t¾c Cauchy: chuçi d−¬ng ∑u , n
Lim U = k k<1: héi tô, k>1: ph©n kú n n n→+∞ n 1 = 15. Chuçi hµm
*T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm U (x): n U (x)
b1: T×m giíi h¹n: l(x) n 1 = Lim + hoÆc n
l(x) = Lim U (x) n
n→+∞ U (x) n→+∞ n
b2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: l(x) < 1 ®Ó t×m kho¶ng héi tô cña chuçi hµm
b3: T¹i x = x mµ l(x)=1 ta thay x = x ®Ó xÐt trùc tiÕp 0 0
b4: KÕt luËn miÒn héi tô cña hµm 6