97 trang 9 lượt tải

Tóm tắt lý thuyết và bài tập môn Giải tích 3 | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

18

Tóm tắt lý thuyết và bài tập môn Giải tích 3. Tài liệu được sưu tầm gồm 97 trang, giúp các bạn ôn luyện và phục vụ cho việc học tập, đạt kết quả tốt. Mời các bạn đón xem!

Môn: Giải tích 3 10 tài liệu

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 3.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

My Lữ

2 tuần trước
Danh sách Quiz
/97
IDQUIZ Đồng hành cùng
Sinh viên Bách Khoa
BỘ TÀI LIỆU GIẢI
TÍCH 3
Tóm tắt lý thuyết
Bài tập tự luyện
Đề thi giữa kỳ, cuối kỳ
MỤC LỤC
L L
Chương 1: Chuỗi..................................................................... 3
Chương 2: Phương trình vi phân ........................................... 27
Chương 3: Phương ph p to n t ap a ............................... 41
M M
1: ....................................................................................... 50
2: ....................................................................................... 54
C C C M
T ng h p thi u i n ........................................... 58
TỔNG QUAN LÝ THUYẾT
1. Đại cương về chuỗi
Xét dãy số
{
a
n
}
, chuỗi số là tổng S của tất cả các số hạng của dãy, ến ra
+∞
.
n
S
=
a
1
+
a
2
+ ...
+
an = !ak
k=1
• Nếu limn S
n
tồn tại và hữu hạn
→
chuỗi hội tụ
→∞
• Nếu lim
n
→∞S
n
→∞⇒
chuỗi phân kỳ
VD1:1 = 1 + 1 + ... + 1 →∞⇒ phân kỳ
n
= + + ... +
n(n + 1) 1.2 1.3 n(n + 1)
n=1 n
+ 1 = n + 1
Ta có: lim
Tính chất cần nhớ: S q
n
n=0
!
!
,|q| > 1. Hội tụ
khi
|q| < 1 Điều kiện
cần để chuỗi hội tụ: !
n
→
Khi chuỗi HT thì số hạng tổng quát phải có lim
= 0
→
Khi SHTQ có lim
= 0
⇒
chuỗi phân kỳ Tính
chất chuỗi Hội tụ: TC1: Nếu S
a
=
!a
n
,
!b
n
=
S
b
cùng HT
⇒
!(an + bn) HT và !(α.an + β · bn) HT
TC2: HT
+
PK
→
PK
;
PK
+
PK
→
không suy ra được gì
phan ky VD2:
Ta có:
phan ky
Mà tụ
2. Chuỗi số dương a
n
là chuỗi
số dương nếu a
n
>
0
∀n
n=0
Các êu chuẩn hội tụ:
a) Tiêu chuẩn so sánh:
Xét 0 < an ≤ bn
Nếu:
+%b
n
HT →%a
n
HT
+%a
n
PK →%b
n
PK
Tỷ lệ b
a
n
n → k = 0;+∞;−∞ thì %a
n
,%b
n
cùng nh chất
b) Tiêu chuẩn tích phân:
Nếu ⎧
giảm, lim
f = 0
a
n
và dx có cùng TC
n=1
c) Tiêu chuẩn D'Alembert:
d) Tiêu chuẩn Cauchy: lim √
n
a
n
= λ
n
→∞
Nếu:
+λ < 1 : HT
+λ > 1 : PK
+
λ = 1
: không kết luận gì Ghi
chú: n
! →
D’Alembert
[f(x)]
n
→ Cauchy
lim !n P(n) = 1(P(n) là đa thức )
n
→∞
3. Chuỗi số có dấu bất kỳ
Chuỗi đan dấu:
S (−1)
n
· un = −u
1
+ u
2
− u
3
+ ... + (−1)
n
· un n=1
Định lý Leibnitz:
Chuỗi đan dấu có:
⎪⎨⎪⎩ a
n
n> 0 HT
{a } giam ve
VD3: chuỗi HT
Chuỗi có dấu bất kỳ
+ Hội tụ tuyệt đối: hội tụ HT
hoi tu
+ Bán hội tụ:
phan ky
Tiêu chuẩn Cauchy - D’Alembert mở rộng:
→ + λ < 1 : |an|
HT
→ a
n
HT
+ λ < 1 : |an| PK và an PK
+
λ = 1 :
không có kết luận
Tiêu chuẩn Dirichlet:
giam ve
0
Cho !n=1 an · bn nếu:
⎨
⎪ !nk=1=1 an bi chan deu: ∃M >
0,∀k :
'
'''
'
!n=1k an
''
''
'
< M → !an · bn hội tụ ⎩⎪⎪
⎧
4. Chuỗi hàm
Định nghĩa: Là chuỗi có dạng !=1 U
n
(
x
)
n
chou
n
(x
0
)
là chuỗi số hội tụ
Xét x
0
∈ D sao
n=1
→
chuỗi hàm !u
n
(
x
)
HT tại x
0
và tương tự với chuỗi hàm PK tại x
0
.
Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm !=1 u
n
(
x
)
HTĐ về S
(
x
)
trên tập X nếu ∀x ∈ X
,
∀ε
>
n
0,∃n0 = n0(ε) sao cho ∀n > n0.
|Sn(x) − S(x)| < ε
Tiêu chuẩn Weierstrass, Dirichlet.
-Tiêu chuẩn Weierstrass:
⎧
HTTD
- Tiêu chuẩn Dirichlet:
⎩ & vn(x)
⇒
%=1 un(x) −−
x
∈→
X
HTTD
n
5. Chuỗi lũy thừa
!
Là chuỗi có dạng: X
n
∞
n
HT tại x
1) Định lý Abel: Nếu chuỗi lũy thừaa
n
·
x
0
n=1 ⇒
chuỗi hội tụ tuyệt đối trong (−|x
0
|;|x
0
|) Bán kính
hội tụ R:
• Chuỗi hội tụ trong (-R,R) và phân kỳ ngoài
[
−R
;R]
.
•
(
−R
;R)
là khoảng hội tụ → cần xét nh hội tụ biên
x =
±R → miền hội tụ của chuỗi
Tính bán kính hội tụ R: Nếu
2) Tính chất:
Định lý : Cho chuỗi lũy thừa !a
n
·
x
n
,
BKHT
=
R
a) Chuỗi HTĐ trên mọi [a,b] ⊂ (−R,R) → có thể không HTĐ trực ếp trên
(
−R,R
)
b) liên tục trên (−R,R)
c) Khả vi:
d) Khả ch:
VD: Tính !
n
=0 2n + 1
+1
,| < 1
S(x) = 2n + 1
%
S ( x2 n=0
n=0
⇒ S(x) = dx = arctanx + C
S(0) = 0 +
C
⇒ C = 0
Vậy S(x) = arctanx.
3) Khai triển thành chuỗi Taylor:
Định lý: Cho f
: (
x
0
− R
;
x
0
+
R
)
→ R khả vi vô hạn lần
Nếu ∃M > 0 sao cho ∀n,∀x ∈ (x
0
− R,x
0
+ R)'f
(
n
)
x < M(
Các Khai triển chuỗi thường gặp: (Khai triển taylor tại điểm x = 0, khai triển Maclaurin)
+ex = n∞=0 xnn! R = ∞
∞
+1 −1 x = !n=0 x
n
R = 1
+ 1 x = !∞ (−1)n · xn R = 1
R = 1
!
CHUỖI FOURIER
1. Định nghĩa:
a
2
0
!∞=1 a
n
· cosnx + b
n
· sinnx) (1) Chuỗi
lượng giác f(x) = + (
n
Định lý: Nếu ! =1 bn| HT thì (1) HTTĐ và HTĐ
n=1 n
CM: cosnx + b
n
· sinnx| ≤ |a
n
| + |b
n
|
Mà !=1 (|a
n
| + |b
n
|) HT theo TC Weierstrass.
n
Khi (1) HTĐ trên R thì hàm tổng
f(x)
liên tục, tuần hoàn:
f(x + 2π) = f(x)
∀x
Bổ đề:
a) π
⎧
⎪ 0 m = n
b) sinmx ⎧⎪ 0 m = n
c) N
−
Giả sử (1) HTĐ trên
R
và có tổng
f(x)
(1): f(x) =
a0 + !∞ (an cosnx + bn sinnx)dx
2 n=1 • Lấy ch phân 2 vế (1)
trên
[
−π
,π]
:
(
dx
• Nhân 2 vế (1) với cos
mx
, lấy TP 2 vế trên
[
−π
,π]
:
!
Định nghĩa: Cho f
(
x
)
tuần hoàn T
= 2π
và liên tục từng khúc, bị chặn thì chuỗi lượng giác với
các hệ số a
0
,
a
n
,b
n
nh như trên là chuỗi Fourier của f
(
x
)
.
Định lý Dirichlet: Cho f
(
x
)
tuần hoàn T
= 2π
, liên tục từng khúc và bị chặn. Khi đó chuỗi
Fourier của f
(
x
)
HT và có tổng S
(
x
)
thỏa mãn: S .
Khi S
(
x
) =
f
(
x
)
thì ta nói f
(
x
)
được KT thành chuỗi Fourier.
Tính chẵn lẻ của
f(x)
TH1:
f
là hàm chẵn:
TH2: f là hàm lẻ:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Chuỗi số dương
1.1 Tiêu chuẩn so sánh
[ ID: 5210 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5203 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5186 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5177 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số ! .
[ ID: 5168 ] Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ! .
[ ID: 5166 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số ! .
[ ID: 5147 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5146 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5136 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số
!
[ ID: 5087 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5116 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5106 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5086 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5076 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4905 ] . 5049 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! . [ ID: 5046
] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! , [ ID: 5037 ] Xét sự hội tụ, phân kì của
chuỗi số !
[ ID: 5029 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! .
[ ID: 5026 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 5016 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số :
[ ID: 5009 ] Tính tổng của chuỗi số: ! .
[ ID: 5007 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số : !
[ ID: 5006 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số : !
[ ID: 4986 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4983 ] Xét sự hội tụ
của chuỗi số ! .
[ ID: 4976 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số ! .
[ ID: 4956 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4948 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4945 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4936 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4925 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số: !
[ ID: 4711 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
4710 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4709 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4708 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4707 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4706 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4705 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4916 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4915 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4914 ] Tính tổng của chuỗi số ! .
[ ID: 4719 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
1.2 Tiêu chuẩn D'Alembert
[ ID: 5165 ] Phát biểu êu chuẩn hội tụ D’Alembert cho chuỗi số dương. Áp dụng êu chuẩn
này, xét sự hội tụ của chuỗi số ! .
[ ID: 5155 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5145 ] Tính tổng
[ ID: 5066 ] Check the convergence/divergence of the following series. !
[ ID: 5048 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 5027 ]
4965 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4947 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4926 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số: !
[ ID: 4716 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4715 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
1.3 Tiêu chuẩn Cauchy
[ ID: 5195 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau !
[ ID: 5185 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau:
[ ID: 5096 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5068 ] Check the convergence/divergence of the following series. !
[ ID: 5056 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 5036 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số ! [ ID: 5028
] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! ;
[ ID: 4997 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ! .
[ ID: 4977 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4966 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4955 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4935 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
4714 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4713 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4712 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4718 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4717 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
1.4 Tiêu chuẩn tích phân
[ ID: 5127 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: $\sum_{n=2}^{\iny} \frac{1}{n \ln n}

Tài liệu khác của Đại học Bách Khoa Hà Nội

Preview text:

IDQUIZ Đồng hành cùngSinh viên Bách Khoa
BỘ TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 3 Tóm tắt lý thuyết Bài tập tự luyện
Đề thi giữa kỳ, cuối kỳ MỤC LỤC L L
Chương 1: Chuỗi..................................................................... 3
Chương 2: Phương trình vi phân ........................................... 27
Chương 3: Phương ph p to n t ap a ............................... 41 M M
1: ....................................................................................... 50
2: ....................................................................................... 54 C C C M T ng h p thi u i n
........................................... 58
TỔNG QUAN LÝ THUYẾT
1. Đại cương về chuỗi
Xét dãy số {an}, chuỗi số là tổng S của tất cả các số hạng của dãy, tiến ra +∞. n S = a + 1 a2 + ... + an = !ak k=1
• Nếu limn Sn tồn tại và hữu hạn → chuỗi hội tụ →∞
• Nếu limn→∞Sn →∞⇒ chuỗi phân kỳ !
VD1:1 = 1 + 1 + ... + 1 →∞⇒ phân kỳ ! n = + + ... +
n(n + 1) 1.2 1.3 n(n + 1) n=1 n + 1 = n + 1 Ta có: lim
Tính chất cần nhớ: S qn n=0
,|q| > 1. Hội tụ khi |q| < 1 Điều kiện
cần để chuỗi hội tụ: ! n
→ Khi chuỗi HT thì số hạng tổng quát phải có lim = 0
→ Khi SHTQ có lim ̸= 0 ⇒ chuỗi phân kỳ Tính
chất chuỗi Hội tụ: TC1: Nếu Sa = !an,!bn = Sb cùng HT
⇒!(an + bn) HT và !(α.an + β · bn) HT TC2:
HT + PK → PK;PK + PK → không suy ra được gì phan ky VD2: Ta có: phan ky Mà tụ
2. Chuỗi số dương an là chuỗi
số dương nếu an > 0∀n n=0
Các tiêu chuẩn hội tụ:
a) Tiêu chuẩn so sánh: Xét 0 < an ≤ bn Nếu: +%bnHT →%anHT +%anPK →%bnPK
Tỷ lệ bann → k ̸= 0;+∞;−∞ thì %an,%bn cùng tính chất
b) Tiêu chuẩn tích phân: Nếu ⎧ giảm, limf = 0 an và dx có cùng TC n=1
c) Tiêu chuẩn D'Alembert:
d) Tiêu chuẩn Cauchy: lim √n an = λ n→∞ Nếu: +λ < 1 : HT +λ > 1 : PK
+λ = 1 : không kết luận gì Ghi
chú: n! → D’Alembert [f(x)]n → Cauchy
lim !n P(n) = 1(P(n) là đa thức ) n→∞
3. Chuỗi số có dấu bất kỳ Chuỗi đan dấu: S
(−1)n · un = −u1 + u2− u3 + ... + (−1)n · un n=1 Định lý Leibnitz: Chuỗi đan dấu có: ⎧
⎪⎨⎪⎩ ann> 0 HT {a } giam ve VD3: chuỗi HT
Chuỗi có dấu bất kỳ
+ Hội tụ tuyệt đối: hội tụ HT hoi tu + Bán hội tụ: phan ky
Tiêu chuẩn Cauchy - D’Alembert mở rộng:
→ + λ < 1 : |an|HT → anHT
+ λ < 1 : |an| PK và an PK
+ λ = 1 : không có kết luận
Tiêu chuẩn Dirichlet:
giam ve 0 Cho !n=1 an · bn nếu: ⎨⎪ !nk=1=1 an bi chan deu: ∃M > 0,∀k : '''''! ''
n=1k an ''' < M → !an · bn hội tụ ⎩⎪⎪ 4. Chuỗi hàm
Định nghĩa: Là chuỗi có dạng !=1 Un(x) n ! Xét x0 ∈ D sao
choun (x0) là chuỗi số hội tụ n=1
→ chuỗi hàm !un(x) HT tại x0 và tương tự với chuỗi hàm PK tại x0.
Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm !=1 un(x) HTĐ về S(x) trên tập X nếu ∀x ∈ X,∀ε > n
0,∃n0 = n0(ε) sao cho ∀n > n0.
|Sn(x) − S(x)| < ε
Tiêu chuẩn Weierstrass, Dirichlet.
-Tiêu chuẩn Weierstrass: ⎧ HTTD -
Tiêu chuẩn Dirichlet: ⎩ & vn(x)
⇒ %=1 un(x) −−x∈→X HTTD n 5. Chuỗi lũy thừa Là chuỗi có dạng: Xn ∞ n HT tại x %
1) Định lý Abel: Nếu chuỗi lũy thừaan · x 0 n=1 ⇒
chuỗi hội tụ tuyệt đối trong (−|x0|;|x0|) Bán kính hội tụ R: • Chuỗi
hội tụ trong (-R,R) và phân kỳ ngoài [−R;R].
• (−R;R) là khoảng hội tụ → cần xét tính hội tụ biên x = ±R → miền hội tụ của chuỗi
Tính bán kính hội tụ R: Nếu 2) Tính chất:
Định lý : Cho chuỗi lũy thừa !an · xn,BKHT = R
a) Chuỗi HTĐ trên mọi [a,b] ⊂ (−R,R) → có thể không HTĐ trực tiếp trên (−R,R) b)
liên tục trên (−R,R) c) Khả vi: d) Khả tích: VD: Tính !n =0 2n + 1 +1,| < 1 S(x) = 2n + 1 S ( x2 n=0 n=0 ⇒ S(x) = dx = arctanx + C S(0) = 0 + C ⇒ C = 0
Vậy S(x) = arctanx.
3) Khai triển thành chuỗi Taylor:
Định lý: Cho f : (x0 − R;x0 + R) → R khả vi vô hạn lần
Nếu ∃M > 0 sao cho ∀n,∀x ∈ (x0 − R,x0 + R)'f(n)x < M(
Các Khai triển chuỗi thường gặp: (Khai triển taylor tại điểm x = 0, khai triển Maclaurin) ! +ex = n∞=0 xnn! R = ∞ ∞ +1 −1 x = !n=0 xn R = 1
+ 1 x = !∞ (−1)n · xn R = 1 R = 1 CHUỖI FOURIER 1. Định nghĩa:
a20 !∞=1 an · cosnx + bn · sinnx) (1) Chuỗi lượng giác f(x) = + ( n Định lý: Nếu !
=1 bn| HT thì (1) HTTĐ và HTĐ n=1 n CM:
cosnx + bn · sinnx| ≤ |an| + |bn|
Mà !=1 (|an| + |bn|) HT theo TC Weierstrass. n
Khi (1) HTĐ trên R thì hàm tổng f(x) liên tục, tuần hoàn: f(x + 2π) = f(x)∀x Bổ đề: a) ⎧ π ⎪ 0 m ̸= n b) sinmx ⎧⎪ 0 m ̸= n c) N −
Giả sử (1) HTĐ trên R và có tổng f(x) (1): f(x) =
a0 + !∞ (an cosnx + bn sinnx)dx
2 n=1 • Lấy tích phân 2 vế (1) trên [−π,π] : ( dx
• Nhân 2 vế (1) với cosmx, lấy TP 2 vế trên [−π,π] : !
Định nghĩa: Cho f(x) tuần hoàn T = 2π và liên tục từng khúc, bị chặn thì chuỗi lượng giác với
các hệ số a0,an,bn tính như trên là chuỗi Fourier của f(x).
Định lý Dirichlet: Cho f(x) tuần hoàn T = 2π, liên tục từng khúc và bị chặn. Khi đó chuỗi
Fourier của f(x) HT và có tổng S(x) thỏa mãn: S .
Khi S(x) = f(x) thì ta nói f(x) được KT thành chuỗi Fourier.
Tính chẵn lẻ của f(x) TH1: f là hàm chẵn: TH2: f là hàm lẻ:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Chuỗi số dương
1.1 Tiêu chuẩn so sánh
[ ID: 5210 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5203 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5186 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5177 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số ! .
[ ID: 5168 ] Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ! .
[ ID: 5166 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số ! .
[ ID: 5147 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5146 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5136 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5087 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5116 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5106 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5086 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5076 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số ! [ ID: 4905 ]
. 5049 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! . [ ID: 5046
] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số :
! , [ ID: 5037 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 5029 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! .
[ ID: 5026 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 5016 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số :
[ ID: 5009 ] Tính tổng của chuỗi số: ! .
[ ID: 5007 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số : !
[ ID: 5006 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số : !
[ ID: 4986 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4983 ] Xét sự hội tụ̣ của chuỗi số ! .
[ ID: 4976 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số ! .
[ ID: 4956 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4948 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4945 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4936 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4925 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số: !
[ ID: 4711 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
4710 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4709 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4708 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4707 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4706 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4705 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4916 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4915 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4914 ] Tính tổng của chuỗi số ! .
[ ID: 4719 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
1.2 Tiêu chuẩn D'Alembert
[ ID: 5165 ] Phát biểu tiêu chuẩn hội tụ D’Alembert cho chuỗi số dương. Áp dụng tiêu chuẩn
này, xét sự hội tụ của chuỗi số ! .
[ ID: 5155 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5145 ] Tính tổng
[ ID: 5066 ] Check the convergence/divergence of the following series. !
[ ID: 5048 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! [ ID: 5027 ]
4965 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4947 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4926 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số: !
[ ID: 4716 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4715 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
1.3 Tiêu chuẩn Cauchy
[ ID: 5195 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau !
[ ID: 5185 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau:
[ ID: 5096 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: !
[ ID: 5068 ] Check the convergence/divergence of the following series. !
[ ID: 5056 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 5036 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số ! [ ID: 5028
] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : ! ;
[ ID: 4997 ] Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ! .
[ ID: 4977 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4966 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số !
[ ID: 4955 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
[ ID: 4935 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số : !
4714 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4713 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4712 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4718 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
[ ID: 4717 ] Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau: !
1.4 Tiêu chuẩn tích phân
[ ID: 5127 ] Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số sau: $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}

Tài liệu liên quan: