Tổng hợp bài tập ôn tập giữa kỳ môn Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

A. HÀM SỐ
1) Dạng 1: Bài tập tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm 1 2 y 
x  4x  3  . ln  x 4 Giải: 2
x  4x  3  0
x  3x   1  0 Ta có:    0   x  4  1 4   x  5 x  3 
  x  1 4  x 5  hoặc x  5 . 4    x  5
Vậy TXĐ: D  4;   \  5 . 2   Ví d x x 1
ụ 2: Tìm tập giá trị của hàm y  . 2 x  x 1 Giải: TXĐ: D  ℝ.
Note: Luôn xác định TXĐ trước khi tìm TGT. 2   Ta có: x x 1 y  mà 2
x  x 1  0, x  ℝ 2 x  x 1 Nên: 2 2
yx  yx  y  x  x    y   2 1
1 x   y  
1 x  y 1 0 (*).
Bài toán tương ứng là tìm y để phương trình (*) có nghiệm. Khi đó:
 Nếu y  1, x  0 .
 Nếu y  1 , ta có:
   y  2   y  2 1 4 1
   y  2   y  2 1 2 2  3y   1 3 y  0 1   y  3 3 Vậy TGT: 1  S  ;3  . 3   
2) Dạng 2: Hàm số chẵn, lẻ. Tóm tắt lý thuyết:
x TXD, x TXD 1. Hàm số 
f  x được gọi là chẵn nếu  f
 x   f x 
 Đồ thị đối xứng qua trục tung.
x TXD, x TXD 2. Hàm số 
f  x được gọi là lẻ nếu  f
  x   f  x 
 Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ 0.
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm y   2
ln x  1 x . Giải:
TXĐ: D  ℝ., x
 ℝ xℝ  TXĐ đối xứng.
Ta có: f x  x  x 2 ln 1      2  x   1 ln 1 x  ln   (liên hợp) 2
 1  x  x     2
ln x  1 x    f  x.
Vậy y là hàm lẻ.
Note: TXĐ không đối xứng  hàm không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: bất kì hàm số f  x nào xác định trong một khoảng đối xứng  ; a a cũng
đều biểu diễn được duy nhất d ớ
ư i dạng tổng một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Giải:
Giả sử: f  x  h x  g x (1)
Với hx, g x lần lượt là hàm số chẵn, lẻ xác định trên  ; a a . Khi đó: f    x   h  
x  g   x   h
x  g  x (2)   h
x  g  x  f   x
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:    h
x  g x  f    x  h  1 x   f  
x  f    x     
 Hệ phương trình cho ta nghiệm duy nhất 2 
(chứng minh tính duy nhất ) g x 1   f
  x  f  x   2    f x  1   f
 x   f x  1    f 
 x  f x  2 2  . (chẵn) (lẻ)
3) Dạng 3: Hàm tuần hoàn.
Định nghĩa: Một hàm số f  x được gọi là tuần hoàn nếu  T   R  0 sao cho
f  x  f  x T  x  TXD .
Ví dụ: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số sau (nếu có) f x  Acos x   Bsin x  . Giải:
 Trường hợp 1: A  B  0
 f x  0 , là hàm hằng nên tuần hoàn nhưng không có chu kì cơ sở.  Trường hợp 2: 2 2 A  B  0
+ Trường hợp 2.1: Nếu  0  f x  A là hàm hằng nhưng không có chu kì cơ sở.
+ Trường hợp 2.2: Nếu   0 . Giả sử T là số dương nhỏ nhất thỏa mãn
f  x  f  x T  , x  ℝ.  Asin x   Bcos x
  Asin x T  Bcos x T   A sin  
x T  sinx  Bcos  
x T  cosx  0 
 2x  T  T 
 2x  T    2 cos sin  2 sin sin T A B  0 2 2 2 2 
2x T 
2x T    cos  sin sin T A B  0   2 2 2      sin T 0 T 
 n n   Z 2 2 2n  T  n Z   2   khi n 1 m T in  2 
 f x tuần hoàn với chu kì cơ sở T  .  4) Dạng 4 : Hàm hợp.
Cho hai hàm số f , g . Hàm hợp của f và g , kí hiệu fog là hàm số được định nghĩa:
 fog x  f g x   . Ví dụ: Tìm  1  1
f  x biết: 2 f x   x    . 2  x  x Giải:
TXĐ: D  R \  0 . Đặt: 1 2 2 1 t  x   t  x   2 (cauchy) 2 x x 2 2 1 2 1
t 2  x   2 x  2 2 2 x x 2
 t  4  t  2  f t  2
t 2 với t  2 Vậy f x 2
 x 2 với x  2 .
5) Dạng 5: Hàm ngược. Ví dụ cấp 3: x
y  e , y  ln x là 2 hàm ngược, đối xứng nhau qua đường thẳng y  x .
Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm số sau: 1  x x y e e   . 2 Giải: Ta có:   1  x x f x e e      0,xℝ 2
 f x đơn điệu tăng trên 1   f   x trên ℝ Mặt khác: 1   x x   x 2  2 x y e e ye  e 1  2
 x2 2 x e ye 1  0  x 2 e  y 
y  1  0 thoa man   x 2 e
  y  y 1  0  loai  x   2
ln y  y   1 .
Đổi vai trò x, y ta được hàm ngược: y   2
ln x  x   1 .
Chú ý: Chúng ta sẽ làm quen 4 hàm lượng giác ngược arcsin , x arccos ,
x arccot x, arctan x.
B. GIỚI HẠN 1. Dãy số Ví d 1 ụ 1: I  lim
n n  2 n 1  n  1 2 1 1 2 n 1  n  lim n    . n  lim 2 2 2
n n  1 n  n 1  1 2 3 n     Ví d 1 2 3 ... ụ 2:  lim n I . n n n n 2 3 n 1 2 n 1 2 3 ...n n  n  ... n  Ta có: 1 n    n n n n n n n1 n n  n n  1 n n     n   . 1 n n n n n 1 n 1 Mà n lim
1  I 1 (Đ/l kẹp).
n n  1 2. Hàm số
 Vô cùng bé (VCB): x  0 khi x  . 0 x
 Vô cùng lớn (VCL):  x   khi x  . 0 x  0  7 dạng vô định:  0 0
, ,   , 0., 1 ,  , 0 .  0  khử dạng vô định. 2    Ví d x 4 2x 3 ụ 1:  lim x I x  2 x  4  x 3x 3  lim  . x 2 x 2 3 sin 1 x  sin1
Ví dụ 2: I  lim . x 5  0
1 2xln cos x 1 Khi x 0 , ta có: 1  1   2x ln  cos x 1~  . 2x ln cos  x 5 2 2  
  xln 1cos x1 2 ~ x  cos x1 2x x 1 3 ~    x . 5 5 5  2  5   3 x 3 3 3 1 x  1 1 x 1 1 x  1 1  3 2 3
sin 1 x  sin1  2 cos sin ~ 2cos1 ~ 2cos1  cos1x . 2 2 2 2 2 1 3 cos1x 5 2  I  lim  cos1 . x 0 1 3 2 x 5
Ở đây vận dụng các VCB tương đương khi x  0
 ~ sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~ x x x x x x e 1
 ~ ln 1 x .  
 1 x  1 ~ x , đặc biệt m1  x  1  ~ x . m 2 x  1 cos x ~ . 2
3. Hàm số liên tục
Cho hàm số f  x xác định trong một lân cận nào đó của 0
x . Nó được gọi là: (+) liên tục phải tại lim  . 0 x : f x  f x  0  x x  0
( ) liên tục trái tại lim  . 0 x :
f x  f x  0  x x  0 (=) liên tục tại lim  . 0 x : f  x f  0 x  x  0 x 2 a
 x bx 1, neu x  0
Ví dụ: Tìm a để hàm số liên tục tại x  0 : f x   .
a cosx  b sin x, neu x  0 Ta có: f   2 0  . a 0  . b 0 1 1
(+) lim f x 2
 lim ax  bx 1 1   x 0  x 0 
( ) lim f x  lima cosx b sinx  a   x 0  x 0  Để hàm số liên ụ t c tại x  0  f   0  lim f  
x  lim f   x   x 0  x 0   a 1.
C. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Dạng 1: Đạo hàm theo định nghĩa.  f x  f x f x  lim 0     0 x 0 x x  x0 Đặt: x   x      0 x x 0 x x   f x  x   f x f x  lim . 0   0   0  x 0  x 
f 1 7x   f 1 2x 
Ví dụ 1: Cho hàm số f  x khả vi tại 1, biết rằng lim
 2. Tính f  1. x0 x Giải:
f 1 7 x  f 1 2 x Ta có: 2  lim x 0 x
 f 1 7x  f   1
f 1 2x  f   1  lim 7 2   x 0  7x 2x  
7 f 12 f 1 5f 1  f   2 1  . 5 1  
Ví dụ 2: Cho hàm số  f   x e , x  0 x   . Tính f  .   0 0 , x  0  Giải: 1  f x  f 0 x Ta có:      e f 0     lim lim   x 0  x 0 x 0  x L  1 t 1 t   lim  lim  0. t t t  t x e  e
Dạng 2: Đạo hàm theo công thức.
Ví dụ: Cho   sin  x f x  x , 0  x 
. Xác định f  x . 2
Ta có: f x sinx sinx .l  n x  x  e    sin . x ln x  f x  e .sin . x ln x  x  x sin sin  x cos . x ln x   . x   
Dạng 3: Đạo hàm cấp cao.
+ u  vn  un vn + Công thức Leibniz:   uvn  k
k  n k   C u v . n . .
Đạo hàm cấp cao cơ bản:
1.   n   .  
1   2...     1 n x n x n 2.      2 1        1     2 .. .     1 1  n x n x   n  1  n n! 3.      1 . 1 x  1   x n 1 n  1  n! 4.   1  x  1  xn 1 5.    x n n sin  sin x   2    6.     x n n cos  cos x     2 
7.  n   ln n x x a a a  n n n 1 !
8. ln 1 x      1   1 1 xn
Ví dụ: Tính n y x với 3 y  sin x . 3 1 Ta có: 3
sin x  sinx  sin 3x 4 4    y x  3
  x  n 1 sin
 sin3x n n  4 4 3  n  1  n  sin x 
 3n sin 3x  . 4  2  4  2     
D. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1: Định lý Rolle
Nếu hàm số f  x:
i) Liên tục trong khoảng đóng  ; a b 
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở  ; a b
iii) Thỏa mãn f a  f b
  có ít nhất một điểm c  ;
a b  sao cho f  c  0 .
Ví dụ: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a b c  0 . CMR: 2
3ax  4bx  5c  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1; . Giải: Xét hàm số   5 4 3
f x  cx  bx  ax thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle trong 0;1. Do đó: x    0; 
1 \ f x  5 4 3
5cx 4bx 3ax  0 0 0 0 0 0 2  1   1   3x   4b    5c  0 x  0 x   0  1 Vậy phương trình 2
3ax  4bx  5c  0 có nghiệm 1;  . 0 x
Dạng 2. Định lý Lagrange
Nếu hàm số f  x:
i) Liên tục trong khoảng đóng  ; a b 
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở  ; a b f b  f a
thì tồn tại ít nhất một điểm c ;
a b sao cho f       c  . b a Ví dụ: Cho   0  a b a b a  b . CMR:
 arccot b arccot a  . 2 2 1 a 1b Giải:
Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f x  arccot x trong  ; a b  ta có:
arccot b arccot  fc 1   với c  ; a b  , do đó: 2 b a 1 c 1
arccotb  arccota 1 1        ĐPCM . 2 2 2 1 a b  a 1 c 1b
E. KHAI TRIỂN MACLAURINT
1. Một số khai triển Maclaurint quan trọng    1
  1 ...   n 1 1) 1  x    2     1  x   x ... n  x 0  n x  2! ! n 2) 1 2 1   ...   1
 n n 0  n x x x x  1 x 3) 1 2 1   ... n  0  n x x x x  1 x 2 n 4) x 1 x   ... x e x  0  n x  2! ! n 3 5 2n1 5) x x  n x x x  2n 1 sin ... 1 0 x         3! 5! 2n 1! 2 4 2n 6) x x       n x x   2 cos 1 ... 1 0 n x  2! 4! 2n! 2 3 n 7)    x x       n 1 ln 1 ... 1  x x x  0 n x  2 3 n
2. Ứng dụng x Ví d 
ụ 1: Tìm khai triển Maclaurint của f x  2 2  e . x x n 2 Ta có: 2 e 2 e 2 e  e . k e   x  0  n x . k  k 0  2 .k! 2 x cos x 1 Ví dụ 2: 2 I  lim . 4 x 0 x
Giải: Khai triển Maclaurint của cos x tới bậc 4. 2 4 cos 1 x x x    2 4! 2 4 2   4 1 x x    1 x   x 2 4  2   1 1  4! I  lim  lim   . 4 4 x0 x x 0  x 4! 24
Ví dụ 3: Xác định 10 y 0 với y   2 sin x  . 3 5 Ta có: x x x  x     5 sin 0 x  3! 5! 6 10 2 2 x x  x  x     10 sin 0 x  3! 5! 10      sin x   10 10 x 10! 2 0    6.7.8.9.10  30240  . 5!  5!  0
F. TIỆM CẬN
Dạng 1: y f   x
Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đường cong 1 2 y  x sin . x
Giải: TXĐ: D  \ 0 . 1 Ta có: 2 2 1
0 x sin  x  0 khi x  0 2  limx sin  0 x x  0 x
 Đường cong không có TCĐ 1 sin Ta lại có: 2 1 lim sin  lim x x x   . x  x x  1 x
 Đường cong không có TCN
Gọi y  ax ba   0 là TCX khi đó 1 sin y  lim  lim x a  1 x x 1 x x   b   y x 1 lim  lim x xsin  1   x x  x  1 sin t t t   lim  0 . 2 t 0 x t
 Đường cong có TCX là y  x . x  t Dạng 2:  . y   t  2arctan  t  Ta có: y t 2arctan t a  lim  lim  1  0 x t x  t Khi đó:
b  lim y  ax  lim t 2arctan t 1
       là TCX phải. 1     y x t t
b lim y  ax  lim 2arctan
   y  x   là TCX trái. 2    t t  t  G. TÍCH PHÂN
Dạng 1: Khai triển Ví d dx  1 1  1 ụ: I   
dx    arctan x C 1   . 2   x  2 1 x  2 2  x 1 x  x
I   2x x 3x  3 5 4 2 2 3 2 2
dx  2 x dx  3    2 x dx x x C   . 5
Dạng 2: Biến đổi biểu thức vi phân dx       3 2 tan 1 tan tan x I x d x   tan  . 1 x C 4   cos x 3 1 I  x  x dx   x d     x  1 1 3 1 3 1 3   1 3x 3 2 2 2 2  . 2 C 6 9
Dạng 3: Đổi biến x I  dx  2 x   Đặt: 2 
x  2 sin t,t  0;  . 2  
Ta có: dx  4sint costdt 2 x 2sin t   t 2  x 2 tan 2 1 sin t 2
 I  4 sin tdt  2t  sin 2t  C  Mà 2 x
x  2sin t  t  arcsin 2 x 2  I  2arcsin
 2x  x  C . 2
Dạng 4: Từng phần 2 2
I  x sin xdx  x d   cosx 2
 x cos x  2 . x cos xdx  2
 x cos x  2 xd  sin x 2
 x cos x  2 xsin x  sin xdx    2
 x cos x  2xsin x  2cos x  C
Dạng 5: Hệ số bất định 2 x  2x  6 I    dx
x  1x  2x  4  2   Phân tích: x 2 x 6 A B C     x  
1  x  2 x   4 x  1 x  2 x  4  A 3
Đồng nhất thức ta giải được B  7 C   5 x  3 1 x  5 4  3 dx 7 dx 5 dx I   
 3ln x 1  7ln x  2  5ln x  4  C  ln C . 7 x  1 x  2 x  4  x2