Tổng hợp bài tập phương trình vi phân cấp 2 | Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM

Tổng hợp bài tập phương trình vi phân cấp 2 | Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM Tài liệu gồm 9 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

46 23 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích

Trường: Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

9 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Sang
1) y" + 3y' - 4y =e^ -4x + xe^ -x
2) y" - 3y' + 2y = xcosx
3) y" - 4y' + 8y = e^ 2x + sin 2x
4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x
Giải:
1) y" + 3y' - 4y =e
-4x
+ xe
-x
phương trình thuần nhất tương ứng là:
y" + 3y' - 4y =0
ð phương trình đặc trưng:
ð k
2
+3k-4=0 (I)
ð phương trình có 2 nghiệm phân biệt là k
1
=1 và k
2
=-4. Do đó nghiệm tổng quát
của phương trình là:
ð y=C
1
e
x
+C
2
e
-4x
trong đó C là hằng số. (@)
ð bây giờ ta tìm nghiệm riêng nữa là xong:
(nghiệm tổng quát cần tìm=nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất+nghiệm riêng)
Vế phải là e
-4x
+ xe
-x
ta không đưa được về dạng tổng quát nên mình xét 2 phương
trình con:
(*) y" + 3y' - 4y =e
-4x
.
Vế phải có dạng e
ax
P
n
(x), a=-4 là nghiệm của (I)
Nên có nghiệm riêng dạng: y=xe
-4x
a
0
=>y'=a
o
e
-4x
-4a
o
xe
-4x
=(1-4x) a
o
e
-4x
=>y''=-4 a
o
e
-4x
-4(1-4x) a
o
e
-4x
=-4(2-4x) a
o
e
-4x
Thay lên ta được:
-4(2-4x) a
o
e
-4x
+3(1-4x) a
o
e
-4x
-4xe
-4x
a
0
= e
-4x
.
<=>-5a
o
e
-4x
= e
-4x
=>a
o
=-
=>y=- xe
-4x
(1)
(**)y" + 3y' - 4y =xe
-x
Vế phải có dạng e
ax
P
n
(x):a=-1 không phải là nghiệm của phương trình (I) nên nó có
nghiệm riêng dạng:
y=e
-x
(a
1
x+a
o
)
=>y'=a
1
e
-x
- e
-x
(a
1
x+a
o
)=e
-x
(-a
1
x-a
o
+a
1
)
=>y''=- e
-x
(-a
1
x-a
o
+a
1
)-a
1
e
-x
= e
-x
(a
1
x+a
o
-2a
1
)
Thay lên ta được:
e
-x
(a
1
x+a
o
-2a
1
)+3e
-x
(-a
1
x-a
o
+a
1
)-4e
-x
(a
1
x+a
o
)=xe
-x
<=>(-6a
1
) xe
-x
+(a
1
-6a
o
) e
-x
=xe
-x
Để cho nó đồng nhất:(có nghĩa là giống nhau) thì:
Từ (1),(2) suy ra có có nghiệm riêng:
(@@)
Từ (@),(@@) suy ra nghiệm tổng quát là:
y=C
1
e
x
+C
2
e
-4x
2) y" - 3y' + 2y = xcosx
ta có phương trình thuần nhất tương ứng:
y" - 3y' + 2y =0
=>phương trình đặc trưng:
k
2
-3k+2=0
phương trình có 2 nghiệm phân biệt k=1 và k=2. Do đó nghiệm tổng quát của
phương trình là:
y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình:
y" - 3y' + 2y = xcosx
vế là xcosx có dạng f(x)=e
ax
[P
n
(x)cosbx+Q
m
(x)sinbx]
trong đó a=0, b=1, max{n,m}=1
a+ib=0+i=i không là nghiệm của phương trình:
nên nó có nghiệm riêng dạng:
y=e
ax
[(a
1
x+a
0
)cosbx+(b
1
x+b
o
)sinbx]
=(a
1
x+a
0
)cosx+(b
1
x+b
o
)sinx (do a=0,b=1)
=>y'=a
1
cosx-(a
1
x+a
0
)sinx+b
1
sinx+(b
1
x+b
o
)cosx
=( b
1
x+b
o
+ a
1
)cosx+(-a
1
x-a
0
+b
1
)sinx
=>y''=-( a
1
+
b
1
x+b
o
)sinx+b
1
cosx-a
1
sinx+(b
1
-a
1
x-a
0
)cosx
=-(
b
1
x+b
o
+2a
1
)sinx+(-a
1
x-a
0
+2b
1
)cosx
Thay vào: y" - 3y' + 2y = xcosx
<=>-(
b
1
x+b
o
+2a
1
)sinx+(-a
1
x-a
0
+2b
1
)cosx
-3[( b
1
x+b
o
+ a
1
)cosx+(-a
1
x-a
0
+b
1
)sinx]
+2[(a
1
x+a
0
)cosx+(b
1
x+b
o
)sinx]= xcosx
<=>[( a
1
-3b
1
)x+a
0
+2b
1
-3b
o
-3a
1
]cosx+[(b
1
+3a
1
)x-2a
1
+3a
o
-3b
1
+b
o
]sinx=xcosx
Để cho nó đồng nhất (tức là 2 vế giống nhau) thì:
Giải (1) và (3) bấm máy=>a
1
= , b
1
=
Thay vào (2) và (3) ta được:
=>a
o
= , b
o
=
Vậy ta có nghiệm riêng:
y=(a
1
x+a
0
)cosx+(b
1
x+b
o
)sinx
= cosx+ sinx
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+ cosx+ sinx (C là hằng số)
3) y" - 4y' + 8y = e
2x
+ sin 2x
Ta có phương trình thuần nhất:
y" - 4y' + 8y = 0
=>phương trình đặc trưng
k
2
-4k+8=0
phương trình vô nghiệm thực, có 2 nghiệm phức: k
1
=2+2i và k
2
=2-2i:
=>p=q=2
=> phương trình có nghiệm tổng quát dạng:
y=e
px
(C
1
cosqx+C
2
sinqx)
=e
2x
(C
1
cos2x+C
2
sìn2x)
Bây giờ ta chỉ cần đi tìm nghiệm riêng của phương trình:
Lúc này do không đưa được về dạng tổng quát nên ta xét 2 phương trình con:
(*)y" - 4y' + 8y = e
2x
Vế phải f(x)=e
2x
có dạng e
ax
P
n
(x) với a=2 và n=0
a=2 không phải là nghiệm của phương trình đặt trưng nên nó có nghiệm riêng
dạng:
y=e
ax
a
o
=a
o
e
2x
.
=>y'=2a
o
e
2x
.
=>y''=4a
o
e
2x
Thay vào: y" - 4y' + 8y = e
2x
.
<=>4a
o
e
2x
-4.2a
o
e
2x
+8a
o
e
2x
= e
2x
<=>4a
o
e
2x
= e
2x
Để nó đồng nhất(giống nhau) thì: 4a
o
=1=>a
o
=
Vậy ta có: y= e
2x
.
(**)y" - 4y' + 8y = sin 2x
Vế phải f(x)=sìn2x có dạng y=e
ax
[P
n
(x)cosx+Q
m
(x)sinx] với a=0, b=2, max{n,m}=0
=>y=a
0
cos2x+b
0
sin2x
=>y'=-2a
o
sin2x+2b
o
cos2x
=>y''=-4a
o
cos2x-4b
o
sin2x
Thay vào: y" - 4y' + 8y=sin2x
<=>-4a
o
cosx-4b
o
sinx-4(-2a
o
sinx+2b
o
cosx)+8 (a
0
cosx+b
0
sinx)=sin2x
<=>(4a
0
-8b
o
)cos2x+(8a
o
+4 b
0
)sin2x=sin2x
Để cho nó đồng nhất (giống nhau) thì:
=>a
o
= , b
o
=
Vậy ta có nghiệm riêng: y= cos2x+ sin2x
Từ (*),(**) ta có nghiệm riêng của phương trình:
y= e
2x
+ cos2x+ sin2x
kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là:
y=e
2x
(C
1
cos2x+C
2
sìn2x)+ e
2x
+ cos2x+ sin2x
4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x
Ta có phương trình thuần nhất: y" - 3y' + 2y = 0
ð Phương trình đặc trưng:
ð k
2
-3k+2=0
phương trình có 2 nghiệm phân biệt k
1
=1 và k
2
=2, nó có nghiệm tổng quát:
y=C
1
+C
2
=C
1
e
x
+C
2
e
2x
Bây giờ chỉ cần tìm nghiệm riêng nữa là hết:
(*)xét phương trình con:
y" - 3y' + 2y = 5sin2x
vế phải f(x)= 5sin2x có dạng:
e
ax
[P
n
(x)cosbx+Q
m
(x)sinbx], với a=0, b=2, max{n,m}=0.
a+ib không là nghiệm của phương trình thuần nhất, nên nó có nghiệm riêng dạng:
y=e
ax
[a
o
cosbx+b
o
sinbx]
= a
o
cos2x +b
o
sin2x (b=2, a=0)
=>y'=-2a
o
sin2x+2b
o
cos2x
=>y''=-4a
o
cos2x-4b
o
sin2x
Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y = 5sin2x
=>-4a
o
cos2x-4b
o
sin2x-3[-2a
o
sin2x+2b
o
cos2x]+2[ a
o
cos2x +b
o
sin2x] = 5sin2x
<=>(-2a
o
-6b
o
)cos2x+(6a
o
-2b
o
)sin2x=5sin2x
Để cho nó đồng nhất(giống nhau)thì:
=>a
o
=3/4; b
o
=-1/4
Vậy ta có nghiệm riêng:
y= cos2x + sin2x
(**)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y=3x
Vế phải f(x)=3x có dạng e
ax
P
n
(x), với a=0 và n=1
a=0 không phải nghiệm của phương trình thuần nhất nên nó có nghiệm riêng
dạng:
y=e
ax
(a
1
x+a
o
)=a
1
x+a
o
, do a=0
=>y'=a
1
=>y''=0
Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y=3x
<=>0-3a
1
+2(a
1
x+a
o
)=3x
<=>2a
1
x-3a
1
+2a
o
=3x
Để nó đồng nhất thì:
2a
1
=3=>a
1
=3/2
=>2a
o
=3a
1
<=>2a
0
=3.3/2=>a
0
=9/4
Vậy ta có nghiệm riêng: y= a
1
x+a
o
= x+
Từ (*), (**) ta có nghiệm riêng của phương trình là:
y= cos2x + sin2x+ x+
kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là:
y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+ cos2x + sin2x+ x+
| 1/9
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

1) y" + 3y' - 4y =e^ -4x + xe^ -x 2) y" - 3y' + 2y = xcosx
3) y" - 4y' + 8y = e^ 2x + sin 2x
4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x Giải:
1) y" + 3y' - 4y =e-4x + xe-x
phương trình thuần nhất tương ứng là: y" + 3y' - 4y =0
ð phương trình đặc trưng: ð k2+3k-4=0 (I)
ð phương trình có 2 nghiệm phân biệt là k1=1 và k2=-4. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:
ð y=C1ex+C2e-4x trong đó C là hằng số. (@)
ð bây giờ ta tìm nghiệm riêng nữa là xong:
(nghiệm tổng quát cần tìm=nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất+nghiệm riêng)
Vế phải là e-4x + xe-x ta không đưa được về dạng tổng quát nên mình xét 2 phương trình con: (*) y" + 3y' - 4y =e-4x.
Vế phải có dạng eaxPn(x), a=-4 là nghiệm của (I)
Nên có nghiệm riêng dạng: y=xe-4xa0
=>y'=aoe-4x-4aoxe-4x=(1-4x) aoe-4x
=>y''=-4 aoe-4x-4(1-4x) aoe-4x=-4(2-4x) aoe-4x Thay lên ta được:
-4(2-4x) aoe-4x+3(1-4x) aoe-4x-4xe-4xa0= e-4x. <=>-5aoe-4x= e-4x =>ao=- =>y=- xe-4x (1) (**)y" + 3y' - 4y =xe-x
Vế phải có dạng eaxPn(x):a=-1 không phải là nghiệm của phương trình (I) nên nó có nghiệm riêng dạng: y=e-x(a1x+ao)
=>y'=a1e-x- e-x(a1x+ao)=e-x(-a1x-ao+a1)
=>y''=- e-x(-a1x-ao+a1)-a1e-x= e-x(a1x+ao-2a1) Thay lên ta được:
e-x(a1x+ao-2a1)+3e-x(-a1x-ao+a1)-4e-x(a1x+ao)=xe-x
<=>(-6a1) xe-x+(a1-6ao) e-x =xe-x
Để cho nó đồng nhất:(có nghĩa là giống nhau) thì:
Từ (1),(2) suy ra có có nghiệm riêng: (@@)
Từ (@),(@@) suy ra nghiệm tổng quát là: y=C1ex+C2e-4x
2) y" - 3y' + 2y = xcosx
ta có phương trình thuần nhất tương ứng: y" - 3y' + 2y =0
=>phương trình đặc trưng: k2-3k+2=0
phương trình có 2 nghiệm phân biệt k=1 và k=2. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là: y=C1ex+C2e2x
bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình: y" - 3y' + 2y = xcosx
vế là xcosx có dạng f(x)=eax[Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx]
trong đó a=0, b=1, max{n,m}=1
a+ib=0+i=i không là nghiệm của phương trình:
nên nó có nghiệm riêng dạng:
y=eax[(a1x+a0)cosbx+(b1x+bo)sinbx]
=(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx (do a=0,b=1)
=>y'=a1cosx-(a1x+a0)sinx+b1sinx+(b1x+bo)cosx
=( b1x+bo+ a1)cosx+(-a1x-a0+b1)sinx
=>y''=-( a1+ b1x+bo)sinx+b1cosx-a1sinx+(b1-a1x-a0)cosx
=-( b1x+bo+2a1)sinx+(-a1x-a0+2b1)cosx
Thay vào: y" - 3y' + 2y = xcosx
<=>-( b1x+bo+2a1)sinx+(-a1x-a0+2b1)cosx
-3[( b1x+bo+ a1)cosx+(-a1x-a0+b1)sinx]
+2[(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx]= xcosx
<=>[( a1-3b1)x+a0+2b1-3bo-3a1]cosx+[(b1+3a1)x-2a1+3ao-3b1+bo]sinx=xcosx
Để cho nó đồng nhất (tức là 2 vế giống nhau) thì:
Giải (1) và (3) bấm máy=>a1= , b1=
Thay vào (2) và (3) ta được: =>ao= , bo= Vậy ta có nghiệm riêng: y=(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx = cosx+ sinx
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y=C1ex+C2e2x+ cosx+ sinx (C là hằng số)
3) y" - 4y' + 8y = e 2x + sin 2x
Ta có phương trình thuần nhất: y" - 4y' + 8y = 0
=>phương trình đặc trưng k2-4k+8=0
phương trình vô nghiệm thực, có 2 nghiệm phức: k1=2+2i và k2=2-2i: =>p=q=2
=> phương trình có nghiệm tổng quát dạng: y=epx(C1cosqx+C2sinqx) =e2x(C1cos2x+C2sìn2x)
Bây giờ ta chỉ cần đi tìm nghiệm riêng của phương trình:
Lúc này do không đưa được về dạng tổng quát nên ta xét 2 phương trình con:
(*)y" - 4y' + 8y = e 2x
Vế phải f(x)=e2x có dạng eaxPn(x) với a=2 và n=0
a=2 không phải là nghiệm của phương trình đặt trưng nên nó có nghiệm riêng dạng: y=eaxao=aoe2x. =>y'=2aoe2x. =>y''=4aoe2x
Thay vào: y" - 4y' + 8y = e 2x.
<=>4aoe2x-4.2aoe2x+8aoe2x= e2x <=>4aoe2x= e2x
Để nó đồng nhất(giống nhau) thì: 4ao=1=>ao= Vậy ta có: y= e2x.
(**)y" - 4y' + 8y = sin 2x
Vế phải f(x)=sìn2x có dạng y=eax[Pn(x)cosx+Qm(x)sinx] với a=0, b=2, max{n,m}=0 =>y=a0cos2x+b0sin2x =>y'=-2aosin2x+2bocos2x =>y''=-4aocos2x-4bosin2x
Thay vào: y" - 4y' + 8y=sin2x
<=>-4aocosx-4bosinx-4(-2aosinx+2bocosx)+8 (a0cosx+b0sinx)=sin2x
<=>(4a0-8bo)cos2x+(8ao+4 b0)sin2x=sin2x
Để cho nó đồng nhất (giống nhau) thì: =>ao= , bo=
Vậy ta có nghiệm riêng: y= cos2x+ sin2x
Từ (*),(**) ta có nghiệm riêng của phương trình: y= e2x+ cos2x+ sin2x
kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là: y=e2x(C1cos2x+C2sìn2x)+ e2x+ cos2x+ sin2x
4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x
Ta có phương trình thuần nhất: y" - 3y' + 2y = 0
ð Phương trình đặc trưng: ð k2-3k+2=0
phương trình có 2 nghiệm phân biệt k1=1 và k2=2, nó có nghiệm tổng quát: y=C1 +C2 =C1ex+C2e2x
Bây giờ chỉ cần tìm nghiệm riêng nữa là hết: (*)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y = 5sin2x
vế phải f(x)= 5sin2x có dạng:
eax[Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx], với a=0, b=2, max{n,m}=0.
a+ib không là nghiệm của phương trình thuần nhất, nên nó có nghiệm riêng dạng: y=eax[aocosbx+bosinbx] = aocos2x +bosin2x (b=2, a=0) =>y'=-2aosin2x+2bocos2x =>y''=-4aocos2x-4bosin2x
Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y = 5sin2x
=>-4aocos2x-4bosin2x-3[-2aosin2x+2bocos2x]+2[ aocos2x +bosin2x] = 5sin2x
<=>(-2ao-6bo)cos2x+(6ao-2bo)sin2x=5sin2x
Để cho nó đồng nhất(giống nhau)thì: =>ao=3/4; bo=-1/4 Vậy ta có nghiệm riêng: y= cos2x + sin2x
(**)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y=3x
Vế phải f(x)=3x có dạng eaxPn(x), với a=0 và n=1
a=0 không phải nghiệm của phương trình thuần nhất nên nó có nghiệm riêng dạng: y=eax(a1x+ao)=a1x+ao, do a=0 =>y'=a1 =>y''=0
Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y=3x <=>0-3a1+2(a1x+ao)=3x <=>2a1x-3a1+2ao=3x
Để nó đồng nhất thì: 2a1=3=>a1=3/2
=>2ao=3a1<=>2a0=3.3/2=>a0=9/4
Vậy ta có nghiệm riêng: y= a1x+ao= x+
Từ (*), (**) ta có nghiệm riêng của phương trình là: y= cos2x + sin2x+ x+
kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là: y=C1ex+C2e2x+ cos2x + sin2x+ x+