-
Thông tin
-
Quiz
Tổng hợp bài tập phương trình vi phân cấp 2 | Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM
Tổng hợp bài tập phương trình vi phân cấp 2 | Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM Tài liệu gồm 9 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Giải tích 38 tài liệu
Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh 441 tài liệu
Tổng hợp bài tập phương trình vi phân cấp 2 | Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM
Tổng hợp bài tập phương trình vi phân cấp 2 | Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM Tài liệu gồm 9 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Giải tích 38 tài liệu
Trường: Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh 441 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:








Tài liệu khác của Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh
Preview text:
1) y" + 3y' - 4y =e^ -4x + xe^ -x 2) y" - 3y' + 2y = xcosx
3) y" - 4y' + 8y = e^ 2x + sin 2x
4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x Giải:
1) y" + 3y' - 4y =e-4x + xe-x
phương trình thuần nhất tương ứng là: y" + 3y' - 4y =0
ð phương trình đặc trưng: ð k2+3k-4=0 (I)
ð phương trình có 2 nghiệm phân biệt là k1=1 và k2=-4. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:
ð y=C1ex+C2e-4x trong đó C là hằng số. (@)
ð bây giờ ta tìm nghiệm riêng nữa là xong:
(nghiệm tổng quát cần tìm=nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất+nghiệm riêng)
Vế phải là e-4x + xe-x ta không đưa được về dạng tổng quát nên mình xét 2 phương trình con: (*) y" + 3y' - 4y =e-4x.
Vế phải có dạng eaxPn(x), a=-4 là nghiệm của (I)
Nên có nghiệm riêng dạng: y=xe-4xa0
=>y'=aoe-4x-4aoxe-4x=(1-4x) aoe-4x
=>y''=-4 aoe-4x-4(1-4x) aoe-4x=-4(2-4x) aoe-4x Thay lên ta được:
-4(2-4x) aoe-4x+3(1-4x) aoe-4x-4xe-4xa0= e-4x. <=>-5aoe-4x= e-4x =>ao=- =>y=- xe-4x (1) (**)y" + 3y' - 4y =xe-x
Vế phải có dạng eaxPn(x):a=-1 không phải là nghiệm của phương trình (I) nên nó có nghiệm riêng dạng: y=e-x(a1x+ao)
=>y'=a1e-x- e-x(a1x+ao)=e-x(-a1x-ao+a1)
=>y''=- e-x(-a1x-ao+a1)-a1e-x= e-x(a1x+ao-2a1) Thay lên ta được:
e-x(a1x+ao-2a1)+3e-x(-a1x-ao+a1)-4e-x(a1x+ao)=xe-x
<=>(-6a1) xe-x+(a1-6ao) e-x =xe-x
Để cho nó đồng nhất:(có nghĩa là giống nhau) thì:
Từ (1),(2) suy ra có có nghiệm riêng: (@@)
Từ (@),(@@) suy ra nghiệm tổng quát là: y=C1ex+C2e-4x
2) y" - 3y' + 2y = xcosx
ta có phương trình thuần nhất tương ứng: y" - 3y' + 2y =0
=>phương trình đặc trưng: k2-3k+2=0
phương trình có 2 nghiệm phân biệt k=1 và k=2. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là: y=C1ex+C2e2x
bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình: y" - 3y' + 2y = xcosx
vế là xcosx có dạng f(x)=eax[Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx]
trong đó a=0, b=1, max{n,m}=1
a+ib=0+i=i không là nghiệm của phương trình:
nên nó có nghiệm riêng dạng:
y=eax[(a1x+a0)cosbx+(b1x+bo)sinbx]
=(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx (do a=0,b=1)
=>y'=a1cosx-(a1x+a0)sinx+b1sinx+(b1x+bo)cosx
=( b1x+bo+ a1)cosx+(-a1x-a0+b1)sinx
=>y''=-( a1+ b1x+bo)sinx+b1cosx-a1sinx+(b1-a1x-a0)cosx
=-( b1x+bo+2a1)sinx+(-a1x-a0+2b1)cosx
Thay vào: y" - 3y' + 2y = xcosx
<=>-( b1x+bo+2a1)sinx+(-a1x-a0+2b1)cosx
-3[( b1x+bo+ a1)cosx+(-a1x-a0+b1)sinx]
+2[(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx]= xcosx
<=>[( a1-3b1)x+a0+2b1-3bo-3a1]cosx+[(b1+3a1)x-2a1+3ao-3b1+bo]sinx=xcosx
Để cho nó đồng nhất (tức là 2 vế giống nhau) thì:
Giải (1) và (3) bấm máy=>a1= , b1=
Thay vào (2) và (3) ta được: =>ao= , bo= Vậy ta có nghiệm riêng: y=(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx = cosx+ sinx
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y=C1ex+C2e2x+ cosx+ sinx (C là hằng số)
3) y" - 4y' + 8y = e 2x + sin 2x
Ta có phương trình thuần nhất: y" - 4y' + 8y = 0
=>phương trình đặc trưng k2-4k+8=0
phương trình vô nghiệm thực, có 2 nghiệm phức: k1=2+2i và k2=2-2i: =>p=q=2
=> phương trình có nghiệm tổng quát dạng: y=epx(C1cosqx+C2sinqx) =e2x(C1cos2x+C2sìn2x)
Bây giờ ta chỉ cần đi tìm nghiệm riêng của phương trình:
Lúc này do không đưa được về dạng tổng quát nên ta xét 2 phương trình con:
(*)y" - 4y' + 8y = e 2x
Vế phải f(x)=e2x có dạng eaxPn(x) với a=2 và n=0
a=2 không phải là nghiệm của phương trình đặt trưng nên nó có nghiệm riêng dạng: y=eaxao=aoe2x. =>y'=2aoe2x. =>y''=4aoe2x
Thay vào: y" - 4y' + 8y = e 2x.
<=>4aoe2x-4.2aoe2x+8aoe2x= e2x <=>4aoe2x= e2x
Để nó đồng nhất(giống nhau) thì: 4ao=1=>ao= Vậy ta có: y= e2x.
(**)y" - 4y' + 8y = sin 2x
Vế phải f(x)=sìn2x có dạng y=eax[Pn(x)cosx+Qm(x)sinx] với a=0, b=2, max{n,m}=0 =>y=a0cos2x+b0sin2x =>y'=-2aosin2x+2bocos2x =>y''=-4aocos2x-4bosin2x
Thay vào: y" - 4y' + 8y=sin2x
<=>-4aocosx-4bosinx-4(-2aosinx+2bocosx)+8 (a0cosx+b0sinx)=sin2x
<=>(4a0-8bo)cos2x+(8ao+4 b0)sin2x=sin2x
Để cho nó đồng nhất (giống nhau) thì: =>ao= , bo=
Vậy ta có nghiệm riêng: y= cos2x+ sin2x
Từ (*),(**) ta có nghiệm riêng của phương trình: y= e2x+ cos2x+ sin2x
kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là: y=e2x(C1cos2x+C2sìn2x)+ e2x+ cos2x+ sin2x
4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x
Ta có phương trình thuần nhất: y" - 3y' + 2y = 0
ð Phương trình đặc trưng: ð k2-3k+2=0
phương trình có 2 nghiệm phân biệt k1=1 và k2=2, nó có nghiệm tổng quát: y=C1 +C2 =C1ex+C2e2x
Bây giờ chỉ cần tìm nghiệm riêng nữa là hết: (*)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y = 5sin2x
vế phải f(x)= 5sin2x có dạng:
eax[Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx], với a=0, b=2, max{n,m}=0.
a+ib không là nghiệm của phương trình thuần nhất, nên nó có nghiệm riêng dạng: y=eax[aocosbx+bosinbx] = aocos2x +bosin2x (b=2, a=0) =>y'=-2aosin2x+2bocos2x =>y''=-4aocos2x-4bosin2x
Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y = 5sin2x
=>-4aocos2x-4bosin2x-3[-2aosin2x+2bocos2x]+2[ aocos2x +bosin2x] = 5sin2x
<=>(-2ao-6bo)cos2x+(6ao-2bo)sin2x=5sin2x
Để cho nó đồng nhất(giống nhau)thì: =>ao=3/4; bo=-1/4 Vậy ta có nghiệm riêng: y= cos2x + sin2x
(**)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y=3x
Vế phải f(x)=3x có dạng eaxPn(x), với a=0 và n=1
a=0 không phải nghiệm của phương trình thuần nhất nên nó có nghiệm riêng dạng: y=eax(a1x+ao)=a1x+ao, do a=0 =>y'=a1 =>y''=0
Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y=3x <=>0-3a1+2(a1x+ao)=3x <=>2a1x-3a1+2ao=3x
Để nó đồng nhất thì: 2a1=3=>a1=3/2
=>2ao=3a1<=>2a0=3.3/2=>a0=9/4
Vậy ta có nghiệm riêng: y= a1x+ao= x+
Từ (*), (**) ta có nghiệm riêng của phương trình là: y= cos2x + sin2x+ x+
kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là: y=C1ex+C2e2x+ cos2x + sin2x+ x+