1. Chuỗi số 1 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 1. CHUỖI SỐ
1.1. Tính tổng (nếu có) của các chuỗi số sau +∞ 1 +∞ 2n + 1 (a) X (b) X (2n − 1)(2n + 1) n2(n + 1)2 n=1 n=1 +∞ 3n2 + 3n + 1 +∞ n (c) X (d) X n3(n + 1)3 (2n − 1)2(2n + 1)2 n=1 n=1 +∞ 1 +∞ 1 (e) X (f) X n(n + 2) n(n + 1)(n + 2) n=1 n=1 +∞ 2n − 1 +∞ n2 + 2n + 1 (g) X X ln (h) ln 2n + 1 n2 + 2n n=1 n=1 +∞ n +∞ 2n + 1 (i) X (j) X(−1)n−1 (n − 1)2(n + 1)2 n(n + 1) n=2 n=1 +∞ 2n + n2 + n +∞ n (k) X (l) X 2n+1n(n + 1) 2n n=1 n=1 +∞ n!.π +∞ 1 3 (m) X X sin (n) sin cos 720 2n+1 2n+1 n=1 n=1 +∞ 1 +∞ 2 (o) X với X 0 < p < 1 (p) arctan p 2n − p−2n n2 n=0 n=1 2 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
1.2. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số dương sau (sử dụng các định lý so sánh và tiêu chuẩn tích phân) +∞ 1 +∞ 1 (a) X (b) X p √ nln n n=1 n + n + 1 n=1 +∞ 1 +∞ 1 n + 1 (c) X (d) X − ln (ln n)ln n n n n=2 n=2 +∞ 1 +∞ 1 1 (e) X (f) X √ arctan n2 − ln n n 2 n 3 n=1 n=1 +∞ 1 +∞ 1 (g) X X n 1 − cos (h) với p ∈ R n n.(ln n)p n=1 n=2 +∞ 1 +∞ 1 (i) X (j) X n. ln n. ln(ln n) n. ln n.[ln(ln n)]2 n=2 n=2 +∞ 1 √ √ +∞ 1 (k) X √ X ln(1 + n + 1 − n) (l) n n1+1/n n=1 n=1 + √ √ ∞ e1/n +∞ n + 1 − n − 1 (m) X (n) X n2 4 n5 n=1 n=2 +∞ (ln n)2 +∞ n ln n (o) X (p) X n2 (n + 1)3 n=1 n=1 +∞ arctan n +∞ 1 (q) X √ (r) X ln cos n n n n=1 n=1 +∞ 4n − 3n +∞ 3n + 4n (s) X (t) X 4n + 3n 4n + 5n n=1 n=0 +∞ √ +∞ 1 p (u) X X ( n 2 − 1)p với p ∈ R (v) 1 − n sin với p ∈ R n n=1 n=1 +∞ √ (n!)3 +∞ n + (−1)n. n (w) X (x) X nn2 n2 + (−1)n.n + 1 n=1 n=1 1. Chuỗi số 3
1.3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số dương sau +∞ n4 + n2 + 1 +∞ n ln n (a) X (b) X 3n + 2 2n n=0 n=0 +∞ nn +∞ (2n + 1)! (c) X (d) X 3n.n! 5n.(n!)2 n=1 n=1 +∞ +∞ (3n)! (e) X X arctan(e−n + 1) (f) n!.(n + 1)!.(n + 2)! n=1 n=1 +∞ √ √ +∞ 1 n (g) X X ( n + 1 − n)n (h) 1 − n n=1 n=1 +∞ n2 + 1 n +∞ 2n + 13n2 (i) X (j) X n2 + n + 1 2n + 3 n=0 n=1 +∞ (n!)n +∞ (n!)n (k) X (l) X (nn)2 nn2 n=1 n=1 +∞ nn +∞ 1.3.5. . . . (2n − 1) (m) X (n) X 2n2 3n.n! n=1 n=1 +∞ 2n.n!
+∞ 12.32.52 . . . (2n − 1)2 (o) X (p) X 5.8.11 . . . (3n + 2) 3n.(2n)! n=1 n=1 + √ ∞ n3[ 2 + (−1)n]n +∞ 4.7 . . . (3n + 1) (q) X (r) X 3n n! n=1 n=1 +∞ pn + 1n2 +∞ nn+1/n (s) X với X p ∈ R (t) pn (n + 1/n)n n=1 n=1
1.4. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ, hãy xác định chuỗi số hội tụ
tuyệt đối hay hội tụ có điều kiện. +∞ (−2)n +∞ 3 − nn2 (a) X (b) X n.3n 4 + n n=1 n=0 +∞ 1 +∞ n (c) X X (−1)n tan (d) (−1)n n n2 + 1 n=1 n=1 4 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 +∞ (−1)n+1 +∞ (−1)n+1 (e) X (f) X n ln n (arctan n)n n=2 n=1 +∞ ln n +∞ ln n (g) X X (−1)n (h) (−1)n n4 n − ln n n=2 n=2 +∞ +∞ q √ √ n2015 (i) X X (−1)n( n + n − n) (j) (−1)n(n−1)/2. 6n n=1 n=1 +∞ (−1)n +∞ (−1)n (k) X , với X p ∈ R (l) [n + (−1)n]p ln(en + e−n) n=2 n=0 +∞ +∞ ( (−1)n (m) X −1)n (n) X , với p ∈ R.
n(1 + 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n) n1+np n=1 n=1 +∞ +∞ 1.5. a Cho dãy số X X {a n n} sao cho chuỗi số
a2 hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi số hội tụ n n n=1 n=1 tuyệt đối. +∞ +∞ +∞ 1.6. Cho hai chuỗi số X X X a2 và
cùng hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi số n b2n anbn hội tụ n=1 n=1 n=1 tuyệt đối. +∞ +∞ +∞
1.7. Cho hai chuỗi số dương X X X a p n và
bn cùng hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi số a2n + b2n n=1 n=1 n=1 cũng hội tụ. +∞ +∞ +∞ 1.8. Cho chuỗi số X p X X a2
hội tụ. Chứng minh rằng các chuỗi số n + b2 n an và bn hội tụ n=1 n=1 n=1 tuyệt đối. +∞ +∞ +∞ 1.9. Cho hai chuỗi X X X a2 và
cùng hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi số n b2n (an − bn)k, với n=1 n=1 n=1
số tự nhiên k ≥ 2, cũng hội tụ. 2. Chuỗi hàm số 5 2. CHUỖI HÀM SỐ
2.1. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau +∞ 2nxn +∞ (a) X (b) X(−1)nn!(x − 1)n nn n=1 n=0 +∞ (x + 1)n +∞ (x − 2)n (c) X (d) X 3n n4n n=0 n=1 +∞ (−1)n +∞ −1(x + 2)n (x − 3)n (e) X (f) X n5n n2 n=1 n=1 +∞ (4x − 1)n +∞ (−1)n(x − 3)2n (g) X (h) X √ 3n + 4n n − 1 n=1 n=2 +∞ 1 1 +∞ 1 − x3n+2 (i) X X (−1)n 1 − (j) n xn 1 + x n=1 n=1 +∞ (−1)n.3n+1 +∞ (x + 3)n (k) X √ X (x + 1)n (l) √ 4n+2 3 n + 1 4n+2 4 n3 + 1 n=1 n=0 +∞ (−1)n+12n+1(x − 5)n +∞ (−1)n(x − 2)n (m) X (n) X √ (n + 1)pln(n + 1) 3n+1 3 n4 + n2 + 1 n=1 n=1 +∞ n + 1 x n +∞ n + 1 n (o) X (p) X (x − 5)2n 4n 1 − x 3n + 2 n=0 n=1 +∞ n(n 1 x + 1 n +∞ x −1) 2 (q) X (r) X (n + 1) ln(n + 1) 2 n! n=1 n=1 +∞ (−1)n(x + 2)n +∞ n(n + 1) (s) X √ (t) X (x + 1)2n−1 3 n2 − n + 1 2n − 1 n=2 n=1 +∞ (−1)n +∞ −14n x + 1 2n−1 (−1)nx2n+1 (u) X √ (v) X (2n − 1) 5n 3 − x (2n + 1).(2n + 1)! n=1 n=0 6 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
2.2. Khai triển Maclaurin của √ x2 (a) f (x) = cos2 x (b) f (x) = 3 8 + x (c) f (x) = 2009 + x
2.3. Khai triển Taylor của các hàm sau tại c 1 1 (a) f (x) = , c = 5 (b) f (x) = , c = 2 x x2 + 3x + 2 1 (c) f (x) = , c = 3 1 − x2 Từ đó tính f (2010)(c). x + 1 (d) f (x) = , c = 5. Tính f (2012)(5). x2 − 5x + 6 √
(e) f (x) = 4 16 + x2, c = 0. Tính f (2020)(0). 3x − 5 (f) f (x) = , c = 0. Tính f (2015)(0). x2 − 4x + 3
2.4. Chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên B. +∞ xn +∞ 1 (a) X X , B = R (b) , B = R (1 + x2)n en(x2 + 1) n=1 n=1 +∞ 1 2x + 1 n (c) X , B = [−1, 1] 2n−1 x + 2 n=1 +∞
2.5. Cho chuỗi X(xn − xn−1); Tìm miền hội tụ A của chuỗi. Chứng minh chuỗi trên không n=1 hội tụ đều trên A. +∞ 2.6. 1
Cho chuỗi X √ (x2n − x2n−1); Tìm miền hội tụ A của chuỗi. Chứng minh chuỗi trên hội n n=1 tụ đều trên A.
2.7. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau trên B +∞ (−1)n +∞ (−1)nxn (a) X X , B = R (b) √ , B = [0, 1] x2n + n 3 8n3 − 12 n=1 n=1
2.8. Tính các chuỗi hàm sau trên miền (c − r, c + r), với c là tâm và r là bán kính. +∞ (−x)n +∞ 2 (a) X (b) X 1 + xn n(n + 1) 3n n=1 n=1 +∞ x2n+2 (c) X . (2n + 1)(2n + 2) n=1
3. Phương trình vi phân cấp một 7
3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
3.1. Giải các phương trình vi phân có biến phân ly y (a) y′ cos x = . ln y
(b) y′ + sin(x + y) = sin(x − y).
(c) 5ex tan ydx + (1 − ex)(tan2 y + 1)dy = 0. π
(d) (x − 1)e1+x2 tan ydx − e2xdy = 0; y(1) = . 2 π
(e) y′ + cos(x + 2y) = cos(x − 2y); y(0) = . 4 (f) y′ = p2x + y − 3. (g) y′ = 3 p(4x − y + 1)2. x − y − 1 (h) y′ = . x − y − 2 (i) y′ = sin(y − x − 1).
(j) x2(y3 + 5)dx + (y3 + 5)y2dy = 0; y(0) = 1. (k) (1 + e2x)y2dy = exdx; y(0) = 0. √ √
(l) xydx + (1 + y2) 1 + x2dy = 0; y( 8) = 1. 3x + 3y − 1 (m) y′ = − ; y(0) = 2. 2(x + y) ˆ x (n) y = ydx + 1. 0 ˆ x y (o) y = x2 + dx. 1 x ˆ x √ (p) y = 2 ydx. 0
3.2. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp y y (a) xy′ ln = x + y ln . x x 8 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 2xy (b) y′ = . x2 − y2 y y (c) x sin .y′ + x = y sin . x x y (d) y y′ = e x + + 1. x y (e) xy′ = x sin + y. x y (f) xy′ + x tan − y = 0. x (g) x2y′ + y2 + xy + x2 = 0.
(h) xydy − y2dx = (x + y)2e−yx dx.
(i) (x2 + xy)y′ = xpx2 − y2 + xy + y2. y (j) xy′ = y ln ; y(1) = 1. x √
(k) ( xy − x)dy + ydx = 0; y(1) = 1.
(l) (y + px2 + y2)dx − xdy = 0; y(1) = 0.
(m) (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = 0. x + y − 3 (n) y′ = . 1 − x + y
(o) (x + y − 1)2dy = 2(y + 2)2dx.
3.3. Giải các phương trình tuyến tính cấp một 2x (a) y′ − y = 0. 1 + x2 (b) y′ + y = 4x. (c) y′ + 2xy = xe−x2. xy (d) y′ + = arcsin x + x. 1 − x2 y 1 (e) y′ − = x ln x; y(e) = e2. x ln x 2
(f) y′ − 2xy = 3x2 − 2x4.
(g) y′ + y cos x = e− sinx.
3. Phương trình vi phân cấp một 9 (h) y′ + y tan x = sin 2x; y(0) = 1. y (i) y′ − = x2. x (j) y′ cos2 x + y = tan x; y(0) = 0.
Giải các phương trình tuyến tính cấp một khi xem x là hàm theo y (k) y′(x + y2) = y. (l) (2xy + 3)dy − y2dx = 0. (m) 2ydx = (2y2 − x)dy.
(n) ydx − (x + y2 sin y)dy = 0.
(o) (1 + y2)dx = (arctan y − x)dy. √
(p) y′ 1 − x2 + y = (arctan y − x)dy. y (q) y′ = ; y(1) = 1. 2y ln y + y − x
3.4. Giải các phương trình Bernoulli sau y (a) y′ + = x2y4. x (b) 1 y′ + y = e x√ 2 y. (c) y′ + 2xy = 2x3y2. (d) y′ + 2y = exy2. (e) xy′ + y = y2 ln x.
(f) xy′ − y(2y ln x − 1) = 0.
(g) y′ − 2y tan x + y2 sin2 x = 0. (h) x2y2y′ + xy3 = 1.
Giải các phương trình Bernoulli khi xem x là hàm theo y (i) ydx + (x + x2y2)dy = 0. 2x (j) y′ = . x2 cos y + sin 2y
(k) xy′ + y = 2x2y ln y.y′. 10 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 3x2y (l) y′ + = y2(x3 + 1) sin x; y(0) = 1. x3 + 1 π
(m) 3dy + (1 + 3y3)y sin xdx = 0; y = 1. 2
(n) (y2 + 2y + x2)y′ + 2x = 0; y(1) = 0. 1 1 (o) ydx + (x − x3y)dy = 0; y = 1. 2 2
3.5. Giải các phương trình vi phân toàn phần
(a) (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = 0.
(b) (ex + y + sin y)dx + (ey + x + x cos y)dy = 0. x (c) x x
(2x + e y )dx + (1 − )ey dy = 0. y y3 (d) (2xy + x2y + )dx + (x2 + y2)dy = 0. 3
(e) (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0.
(f) (ln y + 2x − 1)y′ = 2y.
(g) Tìm thừa số tích phân có dạng µ = µ(x + y2) của phương trình
(3y2 − x)dx + 2y(y2 − 3x)dy = 0.
(h) (2x3 − xy2)dx + (2y3 − x2y)dy = 0; y(0) = 1.
(i) eydx − (xey − 2y)dy = 0; y(1) = 0. (j) x2dy + xydx = dx; y(1) = 1. π
(k) y cos xdx + sin xdy = cos 2xdx; y = 5. 2 (l) Cho phương trình
(y2 − x2 − 2xy)dy + (y2 − x2 + 2xy)dx = 0.
Chứng minh phương trình này có thừa số tích phân là 1 µ(x, y) = (x2 + y2)2
Giải phương trình vi phân trên.
4. PTVP tuyến tính cấp hai và cấp cao 11
4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI và CẤP CAO
4.1. Phương trình vi phân giảm cấp được
(a) y′′ = 2 sin x cos2 x − sin3 x. (b) (y′′)2 = y′. y′ (c) xy′′ = y′ ln . x
(d) yy′′ − y′2 = 0 thỏa y(0) = 1, y′(0) = 2.
(e) yy′′ − y′2 = y2 ln y. y − xy′ (f) y′′ = . x2 y′′2 − y′y′′ 1 (g) = . y′2 x2
(h) y′2 + yy′′ − yy′ = 0.
(i) (x2 + 1)(y′2 − yy′) = xyy′. (j) xyy′ + xy′2 = 2yy′.
4.2. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
(a) y′′ − 2y′ − y = 0.
(b) 4y′′ − 20y′ + 25y = 0.
(c) y′′ − 4y′ = −12x2 − 6x − 4.
(d) y′′ − 4y′ + 3y = e5x, y(0) = 3, y′(0) = 9.
(e) y′′ − 3y′ + 2y = xex. (f) y′′ + 4y′ + 3y = x.
(g) y′′ − 7y′ + 6y = (x − 2)ex.
(h) y′′ + 2y′ + 5y = 2 cos x.
(i) y′′ − 3y′ = 2 − 6x. 12 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 9 3 π π
(j) y′′ + y = −3 cos 2x + x sin x, y(0) + y′(0) = , y( ) + y′( ) = 0. 4 2 2 2 (k) y′′ + y = x cos x.
(l) y′′ − 2y′ + 2y = ex sin x.
(m) y′′ − 3y′ + 2y = 3x + 5 sin 2x.
(n) y′′ − 4y′ + 4y = sin x cos 2x. (o) y′′ + y = tan x. 1 2 (p) y′′ − y′ = − . x x3 ex (q) y′′ − 2y′ + y = . x
(r) y′′ + 3y′ + 2y = sin ex. 1 (s) y′′ + y′ = . 1 + ex
4.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng
(a) y′′′ − 4y′′ + 3y′ = 2x3 − 30. (b) y(4) + y = 4e3x.
(c) y′′′ + 3y′′ + 3y′ = −3 cos 2x.
(d) y(5) − 4y(4) + 4y′′′ = sin x.
(e) y(4) − 4y′′′ + 5y′′ − 4y′ + 4y = e2x(3x + 5).
(f) y(4) − 2y′′′ + 3y′′ − 4y′ + 2y = ex(2x + 3).