Tổng hợp bài tập toán về tập hợp

Tập hợp

I) Các khái niệm cơ bản

- Nếu A là con của B thì B\A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu C_B(A)

- Tích Đề các: A x B={(a,b)| a thuộc A, b thuộc B}

Ví dụ cho tích Đề các:

A=(1,2) B=(a,b)

• A x B= {(1,a);(1,b);(2,a);(2,b)} với B x A thì ngược lại thay vì 1,a thì chuyển thành a,1

-Lực lượng của tập hợp là số phân tử của 1 tập hợp

Hai tập hợp được gọi là cùng lực lượng nếu ta có thể xây dựng một song ánh

II) Quan hệ

Dạng 1: Quan hệ 2 ngôi và cách mô tả quan hệ

Định nghĩa: Cho 2 tập hợp A và B, quan hệ 2 ngôi của 2 tập hợp này chính là tập hợp con R của tích đề các A x B, ta nói aRb ( tức a có quan hệ với b) khi (a,b) thuộc R, và ab khi (a,b) không thuộc R

Dạng 2. Quan hệ tương đương

Cần 3 điều kiện:

1. Tính phản xạ

Với mọi x thuộc A phải thỏa mãn tính chất xRx

1. Tính đối xứng

Với x,y thuộc A phải thõa mãn tính chất nếu xRy thì yRx

1. Tính bắc cầu

Với x,y,z thuộc A phải thõa mãn tính chất nếu xRy và yRz thì xRz

Bài tập ví dụ

1. Ta lập dạng ma trận

-Xác định tính phản xạ ta nhìn vào đường chéo, do tồn tại số 0 trên đường chéo nên không có tính phản xạ

-Qua đường chéo các phần tử không giống nhau nên tính không có tính đối xứng

- Xét các cặp thì ta thấy nó có tính bắc cầu

b) Ta lập ma trận

-Xét tính phản xạ ta nhìn vào đường chéo, do đường chéo toàn số 1 nên nó có tính phản xạ

-Qua đường chéo các phân tử giống nhau nên nó có tính đối xứng

-Ta xét các cặp thì thấy nó có tính chất bắc cầu

=> Đây là quan hệ tương đương

c) Làm tương tự

a)

-Xét tính phản xạ, với mọi x thuộc Z ta luôn có x+x=2x là một số chẵn ->xRx=> có tính phản xạ

-Xét tính đối xứng, với mọi x,y thuộc Z ta có x+y chẵn thì y+x cũng chẵn-> yRx => có tính đối xứng

-Xét tính bắc cầu, giả sử có thêm một số a thuộc Z sao cho thỏa mãn đồng thời x+y và y+a là chẵn -> x và a phải cùng tính chẵn lẻ=> x+a cũng là một số chẵn=> xRa=> có tính bắc cầu

b)

-Xét tính phản xạ, với mọi x thuộc Z ta luôn có x-x=0-> x ko có qhe với x=> k có tính phản xạ

-Xét tính đối xứng, với mọi x,y thuộc Z ta có x-y là 1 số lẻ thì y-x cũng phải là 1 số lẻ =>yRX=> có tính đối xứng

-Xét tính bắc cầu, với x,y,z thuộc Z ta xét x-y là 1 số lẻ y-z cũng là 1 số lẻ, ta lấy số cụ thể gắn vào x=5,y=4,z=1=>x-z=4 là 1 số chẵn=> không có tính bắc cầu

2 câu còn lại làm tương tự

Dạng 3: Lớp tương đương

Định nghĩa: Là tập hợp y thuộc X sao cho yRx

Tính chất thứ 2 có nghĩa là hợp của tất cả các lớp tương đương sẽ tạo thành 1 phân hoạch của tập X

Bài tập ví dụ:

Chứng minh R là 1 quan hệ tương đương:

-Xét tính phản xạ, với mọi (a,b) thuộc AxA, ta có

a+b=b+a => (a,b)R(a,b)=> có tính phản xạ

-Xét tính đối xứng với (a,b),(c,d) thuộc AxA ta có:c+b=d+a ( đối chiếu với gt là a+d=b+c)-> (c,d)R(a,b)=> R có quan hệ đối xứng

Xét tính bắc cầu, giả sử có thêm cặp (e,f) thuộc AxA ta có

(a,b)R(c,d);(c,d)R(e,f) => a+d=b+c; c+f=d+e

=>a+d+c+f=b+c+d+e=>a+f=b+e=> (a,b)R(e,f)

=> R có tính bắc cầu. Vậy R là một quan hệ tương đương

Tìm lớp tương đương của phần tử (2,11)

Lớp tương đương của phần tử này là tập hợp gồm các cụm (a,b) thuộc AxA sao cho a+11=b+2=>b=a+9

Vậy ta có các bộ (1,10),(2,11),(3,12),(4,13),(5,14),(6,15)

Dạng 3: Quan hệ thứ tự

-Định nghĩa: Một quan hệ gọi là quan hệ thứ tự ⬄ thỏa mãn 3 tính chất: phản xạ, phản xứng, bắc cầu

+) Tính chất phản xạ và bắc cầu thì như cũ còn tính chất phản xứng thì có thể hiểu như sau: Với mọi x,y thuộc A nếu xRy và yRx thì x=y

• Các phần tử đặc biệt:

+) Phần tử bé nhất: ta gọi phần tử này là a, nếu với mọi x thuộc A ta có aRx thì gọi a là phần tử bé nhất

+) Phần tử lớn nhất:ta gọi phần tử này là a, nếu với mọi x thuộc A ta có xRa thì gọi a là phẩn tử lớn nhất

+)Nếu quan hệ đó có cả phần tử bé nhất và phần tử lớn nhất thì có tương ứng một phần tử tối tiểu ứng với bé nhất và phần tử tối đại ứng với phần tử lớn nhất tương ứng

+) Quan hệ thứ tự ≤ trong X được gọi là quan hệ thứ tự tốt nếu với mọi tập con trong X đều tồn tại một giá trị bé nhất