Tổng hợp các bài trắc nghiệm tích phân xác định | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Tổng hợp các bài trắc nghiệm tích phân xác định | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

43 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

163 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Cho
f
là hàm số liên tụ ạc trên đo n
[ ; ].a b
Giả s ử
F
là mộ ủt nguyên hàm c a
f
trên
[ ; ].a b
Hiệu số
( ) ( )F b F a−
đượ ọ ừc g i là tích phân t a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn
[ ; ]a b
của hàm số
( ),f x
kí hiệu là
( ) .
b
a
f x dx
∫
Ta dùng kí hiệu
để chỉ hi ệu số
( ) ( )F b F a−
. V ậy
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
.
Nhận xét: Tích phân của hàm số
f
t n ừ a đế b có thể kí hi u bệ ởi
( )
b
a
f x dx
∫
hay
( ) .
b
a
f t dt
∫
Tích phân
đó chỉ phụ ộ ậ ụ ộ ế ố thu c vào và các cf n a b, mà không ph thu c vào cách ghi bi n s .
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nế ốu hàm s
f
liên tục và không âm trên đoạn
[ ; ]a b
thì tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
là diệ ủn tích S c a hình thang cong giới hạn bởi đồ ố thị hàm s
( )y f x=
, trục Ox và hai đường
thẳng
, .x a x b= =
V y ậ
( ) .
b
a
S f x dx=
∫
2.Tính chất của tích phân
1.
( ) 0
a
a
f x dx =
∫
2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
3.
( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx+ =
∫ ∫ ∫
(
a b c< <
)4.
. ( ) . ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx k= ∈
∫ ∫
5.
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
.
B. P BÀI TẬ
ÁP D T VÀ B NG NGUYÊN HÀMỤNG Đ NH NGHĨA, TÍNH CHỊ Ấ Ả
Câu 1: Cho , hàm số liên tục trên và số thực tùy ý. Trong các khẳng
định sau, kh nh nào sai?ẳng đị
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?
( )
y f x=
( )
y g x=
[ ]
;a b
k
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
xf x x x f x x=
∫ ∫
( )
d 0
a
a
kf x x =
∫
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x+ = +
∫ ∫ ∫
https://toanmath.com/
A. . B. .
C. D. . .
Câu 3: Cho hai hàm số liên tục trên . Khẳng định nào sau đây là khẳng và ,
định sai?
A. . B. .
C. . D.
.
Câu 4: Cho , hai số thực tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên tập . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng?
A. . . B.
C. D. . .
Câu 5: Cho n là hàm số liên tụ ạc trên đo và . Tìm mệ ềnh đ đúng trong các
mệnh đề sau.
A. . . B.
C. D. . .
Câu 6: Cho hàm s c trên khoố liên tụ ảng . M và ệnh đề nào sau đây sai?
A. . . B.
C. . D. .
Câu 7: Cho hàm s t nguyên hàm cố và , liên tục trên là mộ ủa trên .
Chọn kh nh sai trong các kh nh sau.ẳng đị ẳng đị
A. . . B.
C. D. . .
( ) ( ) ( ) ( )
d dd
b b b
a a a
f x fg x x x g x xx+ = +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b b c
a c a
f x xx x xf f x= +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
d d
b a
a b
xf x f x x=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
xf f t tx =
∫ ∫
( )
f x
( )
g x
K
,a b K∈
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x+ = +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
kf x x k f x x=
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x=
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x− = −
∫ ∫ ∫
a
b
( )
F x
( )
f x
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x f b f a= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x F b F a= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x F a F b= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x F b F a= +
∫
( )
f x
[ ]
;a b
[ ]
;c a b∈
( ) ( ) ( )
d d d
c b a
a c b
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b c c
a a c
f x x f x x f x x− =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b a b
a c c
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( )
y f x=
K
, ,a b c K∈
( ) ( ) ( )
d d d
b b c
a c a
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( ) ( )
d dt
b b
a a
f x x f t=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( )
d 0
a
a
f x x =
∫
( )
f t
K
,a b K∈
( )
F t
( )
f t
K
( ) ( ) ( )
d
b
a
F a F b f t t− =
∫
( ) ( )
d
b
b
a
a
f t t F t=
∫
( ) ( )
d d
b
b
a
a
f t t f t t
=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
f x x f t t=
∫ ∫
https://toanmath.com/
Câu 8: Cho hàm s n . Mố liên tục trên đoạ ệnh đề nào dưới đây sai?
A. .
B. .
C. , .
D. , .
Câu 9: Giả ử ố s là hàm s liên tụ ả ốc trên kho ng và là ba s b ất kỳ trên khoảng . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. . . B.
C. D. . .
Câu 10: Cho hàm s n . M ố liên tục trên đoạ ệnh đề nào dưới đây sai?
A. . B. ,
.
C. . D. .
Câu 11: Cho t nguyên hàm c u s blà mộ ủa hàm số . Khi đó hiệ ố ằng
A. C. D. . B. . . .
Câu 12: Cho hàm s ố liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. n tích hình thang . n .là diệ B. là dộ dài đoạ
( )
y f x=
[ ]
;a b
( ) ( )
d d
b b
a a
f x x f t t=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( )
d
b
a
k x k a b= −
∫
k∀ ∈
( ) ( ) ( )
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x= +
∫ ∫ ∫
( )
;c a b∀ ∈
f
K
, , a b c
K
( )
1
a
a
f x dx =
∫
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
, ;
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx c a b+ = ∈
∫ ∫ ∫
( ) ( )
b b
a a
f x dx f t dt=
∫ ∫
( )
y f x=
[ ]
;a b
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x= +
∫ ∫ ∫
c∀ ∈
( ) ( )
d d
b b
a a
f x x f t t=
∫ ∫
( )
d 0
a
a
f x x =
∫
( )
F x
( )
f x
( ) ( )
0 1F F−
( )
1
0
df x x
∫
( )
1
0
dF x x−
∫
( )
1
0
dF x x−
∫
( )
1
0
df x x−
∫
( )
y f x=
[ ]
;a b
( )
y f x
′
=
( )
d
b
a
f x x
′
∫
ABMN
( )
d
b
a
f x x
′
∫
BP
https://toanmath.com/
C. D. n .là dộ dài đoạ n cong . là dộ dài đoạ
Câu 13: Cho hai tích phân và . Giá trị c ủa tích phân
là:
A. . . B. C. D. . Không thể xác
định.
Câu 14: Cho tích phân . Tích phân có giá tr và ị
là:
A. . . B. C. D. . Không thể xác
định.
Câu 15: Tích phân c phân tích thành:đượ
A. . . B.
C. D. . .
Câu 16: Cho . Tính tích phân .
A. . . B. C. D. . .
Câu 17: Cho hàm có đạ ụo hàm liên t c trên đồng thời , ính . T
b ngằ
A. . . B. C. D. .
Câu 18: Cho và . Khi đó b ngằ
A. . . B. C. D. . .
Câu 19: 47T 47TCho hàm số n và , có đạo hàm liên tụ ạc trên đo . Tính
.
A. C. D. . B. . . .
Câu 20: Cho hàm s . Tính tích phân . ố liên tục trên và
A. C. D. . B. . . .
( )
d
b
a
f x x
′
∫
MN
( )
d
b
a
f x x
′
∫
AB
( )
a
a
f x dx m
−
=
∫
( )
a
a
g x dx n
−
=
∫
( ) ( )
a
a
f x g x dx
−
−
∫
m n−
n m−
m n+
( )
1
b
a
I f x dx m= =
∫
( )
2
a
c
I f x dx n= =
∫
( )
b
c
I f x dx=
∫
m n+
m n−
m n− −
( )
b
a
f x dx
∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx+ −
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx− −
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx+
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx− +
∫ ∫
( )
1
2
d 3f x x
−
=
∫
( )
1
2
2 1 dI f x x
−
= −
∫
9−
3−
3
5
( )
f x
[ ]
2;3
( )
2 2f =
( )
3 5f =
( )
3
2
df xx
′
∫
3−
7
10
3
( )
d 7
b
a
f x x
′
=
∫
( )
5f b =
( )
f a
12
0
2
2−
( )
f x
[ ]
;a b
( )
2f a = −
( )
4f b = −
( )
d
b
a
T f x x
′
=
∫
6T = −
2T =
6T =
2T = −
( )
f x
[ ]
0;1
( ) ( )
1 0 2f f− =
( )
1
0
df x x
′
∫
1I = −
1I =
2I =
0I =
https://toanmath.com/
Câu 21: Cho hàm số
( )y f x=
tho ả mãn điều kiện
(1) 12f =
,
( )f x
′
liên tục trên
và
4
1
( )d 17f x x
′
=
∫
. Khi đó
(4)f
bằng
A.
5
. B.
29
. C.
19
. D.
9
.
Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm liên tụ ạc trên đo n và thỏa mãn ; .
Giá trị c bủa ằng
A. . . B. C. D. . .
Câu 23: Cho hàm s , vố ới , là các số h ữu tỉ thỏ ề ệa đi u ki n
. Tính .
A. . . B. C. D. . .
Câu 24: Tính tích phân .
A. . . B. C. D. . .
Câu 25: Tính phân .tích
A. . . B. C. C. . .
Câu 26: Tính .
A. . . B. C. D. . .
Câu 27:
Tính tích phân
A. C. D. . B. . .
.
Câu 28: Cho hàm s . Tính tích phân .ố
A. . . B. C. D. . .
Câu 29: Cho hàm s . Tính tích phân .ố
A. . . B. C. D. . .
( )
f x
[ ]
1;3−
( )
1 4f − =
( )
3 7f =
( )
3
1
5 dI f x x
−
′
=
∫
20I =
3I =
10I =
15I =
( )
2
2
a b
f x
x x
= + +
a
b
( )
1
1
2
d 2 3ln 2f x x = −
∫
T a b= +
1T = −
2T =
2T = −
0T =
3
0
d
2
x
I
x
=
+
∫
4581
5000
I =
5
log
2
I =
5
ln
2
I =
21
100
I = −
2018
2
1
dx
I
x
=
∫
2018.ln 2 1I = −
2018
2I =
2018.ln 2I =
2018I =
1
0
1
3 d
2 1
I x x
x
= +
+
∫
2 ln 3+
4 ln3+
2 ln3+
1 ln 3+
( )
1
2018
0
1 dI x x x= +
∫
1 1
2018 2019
I = +
1 1
2020 2021
I = +
1 1
2019 2020
I = +
1 1
2017 2018
I = +
( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
0
df x x
∫
7
2
1
5
2
3
2
( )
2
khi 0 1
1
2 1 khi 1 3
x
y f x
x
x x
≤ ≤
= =
+
− ≤ ≤
( )
3
0
df x x
∫
6 ln 4+
4 ln 4+
6 ln 2+
2 2ln 2+
https://toanmath.com/
Câu 30: Cho hàm s . Tính .ố
A. . . B. C. D. . .
Câu 31: Cho hàm s . H bao nhiêu số và ỏi có tất cả ố
nguyên ?để
A. . B. . C. D. . .
Câu 32: Biết . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . . B. C. D. . .
Câu 33: Đặ ố ựt là tham s ( th c). Tìm .để
A. . . B. C. D. . .
Câu 34: Cho , . bKhi đó ằng:
A. C. D. . B. . . .
Câu 35: Giá trị nào c ?ủa để
A. ho c . ho c ặ B. ặ C. D. hoặc . ho . ặc
Câu 36: Có bao nhiêu giá tr ị thực của để có
A. C. D. . B. . . Vô số.
Câu 37: Xác đị ịnh s tích phân ố thực dương để có giá tr lớn nhất.
A. C. D. . B. . .
Câu 38: Cho bi u th blà số thực thỏa mãn và . Giá trị ể ức ằng.
A. C. D. . B. . . .
Câu 39: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. I = I = 1. B. 2. I = 3. I = 4.
Câu 40: Tích phân có giá trị là:
A. I I = 1. B. = 2. C. D. I = 3. I = 4.
( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
0
f x dx
∫
7
2
1
5
2
3
2
( )
2
2
6 khi 0
khi 0
x x
y f x
a a x x
≤
= =
− ≥
( )
4
1
d
I f x x
−
=
∫
a
22 0I + ≥
2
3
4
5
( )
2 1 d 1
b
a
x x− =
∫
1b a− =
2 2
1a b a b− = − −
2 2
1b a b a− = − +
1a b− =
( )
2
1
2 1 dI mx x= +
∫
m
m
4I =
1m = −
2m = −
1m =
2m =
3
0
( )df x x a=
∫
3
2
( )d
f x x b
=
∫
2
0
( )df x x
∫
a b− −
b a−
a b+
a b−
b
( )
1
2 6 d 0
b
x x− =
∫
0b =
3b =
0b =
1b =
5b =
0b =
1b =
5b =
AD
( )
0
2 5 d 4
a
x x a+ = −
∫
1
0
2
m
( )
2
0
d
m
x x x−
∫
1m =
2m =
3m =
4m =
a
2a <
( )
2
2 1 d 4
a
x x+ =
∫
3
1 a+
0
2
1
3
2
1
2 .
I x dx=
∫
( )
1
3
1
3 2I x x dx
−
= + +
∫
https://toanmath.com/
Câu 41: Cho gá tr c a tích phân , cị ủ . Giá trị ủa là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 42: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 43: Tích phân có giá trị là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 44: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 45: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 46: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 47: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 48: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 49: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
( )
1
4 3
1
1
2I x x dx a
−
= + =
∫
( )
1
2
2
2
3I x x dx b
−
−
= + =
∫
a
b
4
65
P = −
12
65
P =
12
65
P = −
4
65
P =
( )
0
3
1
2I x ax dx
−
= + +
∫
7
4 2
a
I = −
9
4 2
a
I = −
7
4 2
a
I = +
9
4 2
a
I = +
( )
1
2
0
I ax bx dx= +
∫
2 3
a b
I = +
3 3
a b
I = +
2 2
a b
I = +
3 2
a b
I = +
2
2
1
2
a
I x dx
x
= +
∫
2
1 1
2
I a
a
= − − +
2
3 1
2
I a
a
= − − +
2
5 1
2
I a
a
= − − +
2
7 1
2
I a
a
= − − +
2
2
1
I x xdx
−
= −
∫
3
2
I =
1
6
I =
3
2
I = −
1
6
I = −
1
3 2
1
1I x x x dx
−
= + − −
∫
4
3
I =
1
2
I =
4
3
I = −
1
2
I = −
3
1
2
3 2
1
x x
I dx
x
−
−
− +
=
−
∫
7
6
I = −
17
6
I =
7
6
I =
17
6
I = −
2
2
2
2
1
x x
I dx
x
−
− −
=
−
∫
3 2ln3I = −
2ln 3I = −
3 2 ln3I = +
3 3ln 2I = −
1
3
2
1
2I ax dx
x
−
−
= +
∫
15
ln 2
16
a
I = − +
15
ln 2
16
a
I = −
15
ln 2
16
a
I = +
15
ln 2
16
a
I = − −
https://toanmath.com/
Câu 50: Biết tích phân . Giá trị của là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 51: Cho tích phân . Khẳng định nào dưới đây không đúng?
A. . . B.
C. . D. Chỉ có A và C đúng.
Câu 52: Số nghi m nguyên âm c v ệ ủa phương trình: ới là:
A. C. D. 0. B. 1. 2. 3.
Câu 53: Số nghi , h ệm dương của phương trình: , với a và b là các số ữu tỉ
là:
A. 0. 1. B. C. D. 2. 3.
Câu 54: Tìm t t cấ ả các giá trị thực c a tham s có ủ ố để \
A. C. D. B.
Câu 55: Cho p là một nguyên hàm của hàm số trên tậ và thỏa mãn
. Tính t ng .ổ
A. C. D. . B. . . .
Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương thỏa mãn
?
A. . . B. C. D. . .
Câu 57: Cho hàm s ố . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây
1
1
0
2I xdx a= =
∫
( )
2
2
2
2
a
I x x dx= +
∫
2
17
3
I =
2
19
3
I =
2
16
3
I =
2
13
3
I =
( )
2
1
b
a
I x dx= +
∫
( )
2 2
1
b b b
a a a
I x dx x dx dx= + = +
∫ ∫ ∫
( )
3
b
a
I x x= +
3 3
1 1
3 3
I b b a a= + − −
3
2 0x ax− + =
3
1
1
e
a dx
x
=
∫
3
2 0x ax+ + =
1
0
2
a xdx=
∫
k
( )
0
1
1 1
2 1 d 4lim .
k
x
x
x x
x
→
+ −
− =
∫
1
.
2
k
k
=
=
1
.
2
k
k
=
= −
1
.
2
k
k
= −
= −
1
.
2
k
k
= −
=
( )
F x
( )
1 1f x x x= + − −
( )
1 3F =
( ) ( ) ( )
0 2 3F F F+ + −
8
12
14
10
n
( )
2
2 2 3 1
0
1 2 3 4 ... d 2
n
n x x x nx x
−
− + + + + + = −
∫
1
2
0
3
( )
y f x=
( )
y f x
′
=
https://toanmath.com/
Biết r i hằ ệ ẳng di n tích hình ph ng giớ ạn bởi trục và đồ thị hàm số trên đoạn
l ng . Cho và ần lượt bằ và . Giá trị bi u th bể ức ằng
A. C. D. B. . . .
Câu 58: Cho u ki n c .và . Tìm điề ệ ủa để
A. C. D. . B. . . .
Câu 59: Biết rằ ống hàm s thỏa mãn , và
, , ). Tính giá tr c a bi u th(với ị ủ ể ức .
A. . . B. C. D. . .
TÍCH PHÂN H U TỮ Ỉ
Câu 60: Biế ố ựt với , là các s th c. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . . B. C. D. . .
Câu 61: Tích phân c. Giá trị ủa a là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 62: Cho . Giá trị a + b là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 63:
Biế ọ ủ ột . G i , giá trị c a thu c khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. D. . .
Câu 64: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . .
.
Ox
( )
y f x
′=
[ ]
2;1−
[ ]
1;4
9
12
( )
1 3f =
( ) ( )
2 4f f− +
21
9
3
2
( )
2
2
0
2 dI x x m x= − −
∫
( )
1
2
0
2 dJ x mx x= −
∫
m
I J≤
3m ≥
2m ≥
1m ≥
0m ≥
( )
2
f x ax bx c= + +
( )
1
0
7
d
2
f x x = −
∫
( )
2
0
d 2f x x = −
∫
( )
3
0
13
d
2
f x x =
∫
a
b
c ∈
P a b c= + +
3
4
P = −
4
3
P = −
4
3
P =
3
4
P =
1
1
3
5
d ln
2 2
x
x a b
x
−
= +
+
∫
a
b
8
81
ab =
7
24
a b+ =
9
8
ab =
3
10
a b+ =
1
0
2
ln 2
1
ax
I dx
x
= =
+
∫
ln 2
1 ln 2
a =
−
ln 2
2 2ln 2
a =
−
ln 2
1 ln 2
a =
+
ln 2
2 2ln 2
a =
+
( )
1
2
0
1
ln 2 ln3
3 2
I dx a b b
x x
= = − +
+ −
∫
1
4
1
2
1
6
1
3
( )
2
2
0
d ln ,
1
x
x a b a b
x
= + ∈
+
∫
2S a b= +
S
( )
8;10
( )
6;8
( )
4;6
( )
2;4
2
2
1
1
x
I x dx
x
= +
+
∫
10
ln 2 ln3
3
I = + −
10
ln 2 ln 3
3
I = − +
10
ln 2 ln3
3
I = − −
10
ln 2 ln 3
3
I = + +
https://toanmath.com/
Câu 65: Nhậ ển xét: Không th dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ kicó thể dùng để ểm
tra mà Tích phân có giá tr ị là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 66: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 67: Tích phân ,v ới có giá trị là:
A. . . B.
C. . D. .
Câu 68: Tích phân nh nh t khi s có giá trị ỏ ấ ố thực dương a có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 69: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 70: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 71: Tích phân có giá trị là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 72: Giá trị c a tích phân . Bi u th ủ ể ức có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 73: Giá trị c a tích phân . Bi u th ủ ể ức có giá trị là:
A. . B. .
2
2
1
1
2I x dx
x
= +
∫
5
2
I =
7
2
I =
9
2
I =
11
2
I =
1
0
2
1
ax
I ax dx
x
= −
+
∫
ln 2I a= −
2ln 2I = −
2ln 2I =
ln 2I a=
1
a
a x
I dx
x a
= +
∫
0a ≠
2
1
ln
2
a
I a a
a
+
= +
2
1
ln
2
a
I a a
a
+
= +
2
1
ln
2
a
I a a
a
−
= +
2
1
ln
2
a
I a a
a
−
= +
3
2 2
2
2a x x
I dx
ax
+
=
∫
2 5
2
5
1
5
5
2
2
1
b
I ax dx
x
= +
∫
7
ln 2
3
I a b= −
3 ln 2I a b= −
7
ln 2
3
I a b= +
3 ln 2I a b= +
1
3
1
2
b
I ax dx
x
−
= +
+
∫
ln3I b= −
ln3
2
a
I b= −
ln3
2
a
I b= +
ln3I b=
2
2
1
e
e
x
I dx
x
+
=
∫
2
1 1
1I
e e
= − +
2
1 1
1I
e e
= − −
2
1 1
1I
e e
= + +
2
1 1
1I
e e
= + −
1
0
1
x
I dx a
x
= =
+
∫
2 1P a= −
1 ln 2P = −
2 2ln 2P = −
1 2ln 2P = −
2 ln 2P = −
2
2
1
e
e
x x
I dx a
x
+ +
= =
∫
1P a= −
2 4
1 1
2 2
P e e e= + +
2 4
1 1
2 2
P e e e= − + +
https://toanmath.com/
C. D. . .
Câu 74: Biết , với . Tính giá tr .ị
A. . . B. C. D. . .
Câu 75: Tính tích phân: .
A. . . B. C. D. . .
Câu 76: Tính tích phân .
A. . . B. C. D. . .
Câu 77: Biết i vớ nguyên. Tính là các số
A. C. D. . . B. .
Câu 78: Biết rằng . M ệnh đề nào sau đây đúng?
A. . . B. C. D. . .
Câu 79: Giả ử s . Tính .
A. C. D. . B. . . .
Câu 80: Cho giá trị c , của tích phân . Giá trị ủa biểu
thức là:
A. . B. .
C. D. . .
Câu 81: Giá trị c a tích phân g n nh ủ ầ ất v i gái trớ ị nào sau đây?
A. . . B. C. D. . .
Câu 82: Tích phân c. Giá trị ủa a là:
A. C. D. . B. . . .
2 4
1 1
2 2
P e e e= − − +
2 4
1 1
2 2
P e e e= + −
0
2
1
3 5 1 2
d ln
2 3
x x
I x a b
x
−
+ −
= = +
−
∫
,a b∈
2a b+
30
40
50
60
2
1
1
d
x
I x
x
+
=
∫
1 ln 2I = −
2ln 2I =
1 ln2I = +
7
4
I =
1
2
0
d
9
x
I
x
=
−
∫
1 1
ln
6 2
I =
1 1
ln
6 2
I = −
1
ln 2
6
I =
6
ln 2I =
4
2
3
d
ln 2 ln3 ln 5,
x
I a b c
x x
= = + +
+
∫
, ,a b c
.S a b c= + +
6S =
2S =
2S = −
0.S =
( )
5
2
1
3
d ln5 ln 2 ,
3
x a b a b Z
x x
= + ∈
+
∫
2 0a b+ =
2 0a b− =
0a b− =
0a b+ =
2
2
0
1
d ln5 ln 3; ,
4 3
x
x a b a b
x x
−
= + ∈
+ +
∫
P ab=
8P =
6P = −
4P = −
5P = −
2, 3a b= = −
2
2
1
1
2
1
x x
I dx a
x
+
= =
+
∫
2
2
1
e
e
I dx b
x
= =
∫
P a b= −
7
ln 2 ln3
2
P = + −
3
ln 2 ln3
2
P = + −
5
ln 2 ln3
2
P = + −
1
ln 2 ln3
2
P = + −
0
3 2
2
1
3 2
2
x x
I dx
x x
−
− +
=
+ −
∫
ln 2
2
−
ln 2 1−
3
ln 4
2
−
ln3
3
−
2
2
1
1 3 4 3 2
ln ln
3 2 5 3 5 3
ax
I dx
x x
+
= = +
+ +
∫
1
5
a =
2
5
a =
3
5
a =
4
5
a =
https://toanmath.com/
Câu 83: Tích phân c. Giá trị ủa a là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 84: Biết , c. Tính giá trị ủa biểu thức
.
A. . . B. C. D. . .
Câu 85: Biết , trong đó là hai số nguyên dương và là phân số tối
gi .ản. Tính ta được kết quả
A. C. D. B.
Câu 86: Biết i vớ , , . Tính .
A. . . B. C. D. . .
Câu 87: Giả ử s . Khi đó giá trị là:
A. C. D. 30. 40. B. 50. 60.
Câu 88: Biết rằng . M ệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 89: Nếu cthì giá trị ủa là
A. . . B. C. D. . .
Câu 90: Cho i , , h, vớ là các số ữu tỉ. Tính
.
A. . . B. C. D. . .
Câu 91: Biết rằng với , , . H i giỏ á thutrị ộc kho ng nàả o sau
đây?
A. . . B. C. D. . .
Câu 92: Biết i vớ nguyên. Tính là các số
A. C. D. . B. . . .
2
3
1
1 1 7
ln
3 3 2
a
x
I dx
x x
+
= =
+
∫
1a =
2a =
3a =
4a =
( )( )
1
d .ln 1 .ln 2
1 2
x
x a x b x C
x x
+
= − + − +
− −
∫
,a b ∈
a b+
1a b+ =
5a b+ =
1a b+ = −
5a b+ = −
1
2
0
3 1 5
d 3ln
6 9 6
x a
x
x x b
−
= −
+ +
∫
,a b
a
b
ab
5.ab = −
27.ab =
6.ab =
12.ab =
3
2
2
2
3 2
d ln7 ln 3
1
x x
x a b c
x x
− +
= + +
− +
∫
a
b
c ∈
2 3
2 3T a b c= + +
4T =
6T =
3T =
5T =
0
2
1
3 5 1 2
.ln
2 3
x x
I dx a b
x
−
+ −
= = +
−
∫
2a b+
5
2
1
3
d ln5 ln 2
3
x a b
x x
= +
+
∫
( )
,a b ∈
2 0a b+ =
2 0a b− =
0a b− =
0a b+ =
3
2
2
2
d ln5 ln 3 3ln 2
2 3 1
x
x a b
x x
+
= + +
− +
∫
( )
,a b ∈
2P a b= −
1P =
7P =
15
2
P = −
15
2
P =
3
2
1
3
d ln 2 ln3 ln5
3 2
x
x m n p
x x
+
= + +
+ +
∫
m
n
p
2 2
S m n p= + +
6S =
4S =
3S =
5S =
2
2
0
d ln
1
x
x a b
x
= +
+
∫
a
b ∈
0b >
2a b+
( )
8;10
( )
6;8
( )
4;6
( )
2;4
4
2
3
d
ln 2 ln3 ln 5
x
I a b c
x x
= = + +
+
∫
, ,a b c
S a b c= + +
6S =
2S =
2S = −
0S =
https://toanmath.com/
Câu 93: Biết i thì , vớ , ng là các số nguyên thu c khoộ ả và là
nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. . . B. C. D. . .
Câu 94: Biết với , nguyên. Tính . là các số
A. C. D. . B. . . .
47TCâu 95: 47T 47TBiết , c . Giá trị ủa biểu thức
b ngằ
47TA. B. C. D. . . . .
Câu 96: Tìm giá trị c .ủa để
A. . . B. C. D. . .
Câu 97: Cho v , ới là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. . . B. C. D. . .
Câu 98: Biết . Tính .
A. . . B. C. D. . .
Câu 99: Cho v , , ới là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. . . B. C. D. . .
Câu 100: Biết . Tính .
A. . . B. C. D. . .
Câu 101: Cho v , nguyên. M ới là các số ệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. D. . .
Câu 102: Biết tìm các giá trị của để
.
2
2
1
d 1 1
4 4 1
x
x x a b
= +
− +
∫
a
b
( )
7;3−
a
b
2
2 1 0x x− − =
2
4 12 0x x+ − =
2
5 6 0x x− + =
2
9 0x − =
5
2
3
1
d ln
1 2
x x b
x a
x
+ +
= +
+
∫
a
b
2S a b= −
2S = −
5S =
2S =
10S =
( )( )
3
0
d
ln 2 ln5 ln 7
2 4
x
a b c
x x
= + +
+ +
∫
( )
, ,a b c ∈
2 3a b c+ −
5
4
2
3
a
( )( )
4
3
1
d ln
1 2
x a
x x
=
− −
∫
12
4
3
1
3
3
4
1
0
1 1
ln 2 ln3
1 2
dx a b
x x
− = +
+ +
∫
a
b
2a b+ =
2 0a b− =
2a b+ = −
2 0a b+ =
3
2
2
5 12
d ln2 ln5 ln 6
5 6
x
x a b c
x x
+
= + +
+ +
∫
3 2S a b c= + +
3
14−
2−
11−
2
2
1
1
d ln 2 ln3 ln5
5 6
x a b c
x x
= + +
+ +
∫
a
b
c
4a b c+ + =
3a b c+ + = −
2a b c+ + =
6a b c+ + =
( ) ( ) ( )
2
3 2
1
d ln 1 2 3
6 11 6
m n p
x
x x x x C
x x x
+
= − − − +
− + −
∫
( )
4 m n p+ +
5
0
2
4
3
2
2
8
d ln 2 ln5
2
x
x a b
x x
+
= +
+ −
∫
a
b
3a b+ =
2 11a b− =
5a b− =
2 11a b+ =
1
3 2
0
2 3 1 3
d ln
2 2
x x
x b
x a
+ +
= +
+
∫
( )
, 0a b >
k
( )
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
+
∫
https://toanmath.com/
A. C. D. . B. . . .
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Câu 103: Tính tích phân .
A. . . B. C. D. . .
Câu 104: Biết r . Giá trằng ị của là:
A. – 1 – 2. B. . C. D. – 3. – 4.
Câu 105: Tích phân bằng
A. . . B. C. D. . .
Câu 106: Cho , . Tính .
A. C. D. . B. . . .
Câu 107: Biết tích phân với , là các số thự ổc. Tính t ng
.
A. . . B. C. D. . .
Câu 108: Tích phân có giá trị là:
A. . . B.
C. . D. .
Câu 109: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 110: Biết r i ằng . Vớ , , . là số nguyên dương. Tính
A. C. D. . B. . . .
0k <
0k ≠
0k >
k ∈
2
0
4 1 dI x x= +
∫
13
13
3
4
4
3
( )
1
1
0
1 2
6
a
I x x dx b= + + = +
∫
3
4
a b−
2
0
1
2 2
I dx
x
=
+
∫
1
1
2
I = −
2 2I =
1
2
2
I = −
2 2I = −
1
0
d 8 2
3 3
2 1
x
a b a
x x
= − +
+ + +
∫
( )
*
,a b ∈
2a b+
2 7a b+ =
2 8a b+ =
2 1a b+ = −
2 5a b+ =
1
0
3
d
9
3 1 2 1
x a b
x
x x
+
=
+ + +
∫
a
b
T a b= +
10T = −
4T = −
15T =
8T =
0
1
a
I x x dx= +
∫
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= + +
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= − +
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= + −
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= − −
1
1
1 1
x
I dx
x
−
=
+ −
∫
4 2
2
3
I = +
4 2
2
3
I = −
4 2
1
3
I = −
4 2
1
3
I = +
4
2
3
2 4
d
2
x x a b
I x
c
x x
− + −
= =
+ −
∫
a
b
c
a b c+ +
39
27
33
41
https://toanmath.com/
Câu 111: Biết i vớ là các số nguyên dương. Tính
.
A. . B. . C. D. . .
Câu 112: Biết i vớ , , là các số nguyên dương. Tính
.
A. . . B. C. D. . .
TÍCH NG GIÁCPHÂN HÀM LƯỢ
Câu 113: Tính phân . 19Ttích19T
A. C. D. . B. . . .
Câu 114: Tính tích phân .
A. . . B. C. D. . .
Câu 115: Tích phân bằng?
A. C. D. . B. . . .
Câu 116: Biết i , vớ , h . Tính .là các số ữu tỉ
A. . B. C. D. . .
Câu 117: Số các số nguyên thỏa mãn là
A. C. D. . B. . . .
Câu 118: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . Cả A, B, C đều
sai.
Câu 119: Có bao nhiêu s c kho ng sao cho ?ố thực thuộ ả
A. C. D. . B. . . .
( )
2
1
d
2 2
x
a b c
x x x x
= + −
+ + +
∫
, ,a b c
P a b c= + +
2P =
8P =
46P =
22P =
( )
2
1
d
1 1
x
I a b c
x x x x
= = − −
+ + +
∫
a
b
c
P a b c= + +
24P =
12P =
18P =
46P =
0
sin3 dx x
π
∫
1
3
−
1
3
2
3
−
2
3
2
0
sin d
4
I x x
π
π
= −
∫
4
I
π
=
1I = −
0I =
1I =
3
2
4
d
sin
x
I
x
π
π
=
∫
cot cot
3 4
π π
−
cot cot
3 4
π π
+
cot cot
3 4
π π
− +
cot cot
3 4
π π
− −
2
3
cos 3xdx a b
π
π
= +
∫
a
b
2 6T a b= +
3T =
1T = −
4T = −
2T =
cot cot
3 4
π π
= − +
0
cos2x d 0
m
x =
∫
643
1284
1285
642
2
0
sinI xdx
π
=
∫
1I =
0I =
1I = −
b
( )
;3
π π
4cos2 d 1
b
x x
π
=
∫
8
2
4
6
https://toanmath.com/
Câu 120: Tích phân có giá trị là:
A. . . B. C. D. . .
Câu 121: Tích phân có giá trị là:
A. C. D. . B. . . .
Câu 122: Kết quả của tích phân được viết ở dạng , . Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. . . B. C. D. . .
Câu 123: Cho tích phân v . Tính ới
A. C. D. . B. . . .
Câu 124: Cho tích phân , . Tính
A.
3−
B.
1
. C.
2−
. D.
1
3
.
Câu 125: Biết
( )
6
2
0
3
3 4sin d
6
a c
x x
b
π
π
+ = −
∫
, trong đó
a
,
b
nguyên dương và
a
b
tối giản. Tính
a b c+ +
.
A.
8
. B.
16
. C.
12
. D.
14
.
Câu 126: Cho giá trị của tích phân
( )
3
1
2
sin 2 cosI x x dx a
π
π
−
= + =
∫
,
( )
3
2
3
cos2 sinI x x dx b
π
π
−
= + =
∫
. Giá trị
của a + b là:
A.
3
3
4
P = +
. B.
3 3
4 2
P = +
. C.
3
3
4
P = −
. D.
3 3
4 2
P = −
.
Câu 127: Cho giá tr a tích phân ị củ
( )
2
3
1
3
sin3 cos 3I x x dx a
π
π
−
= + =
∫
,
2
2
2
1 1 1
1
e
e
I dx b
x x x
= + − =
+
∫
. Giá
trịa.b g n nhầ ất v i giá trớ ị nào sau đây?
A.
8
. B.
16
. C.
10
. D.
1
.
( )
2
2
sin cosI x x dx
π
π
−
= −
∫
1I =
2I =
2I = −
1I = −
( )
6
2
sin 2 cos3I x x dx
π
π
−
= −
∫
2
3
I =
3
4
I =
3
4
I = −
2
3
I = −
( )
2
0
2 1 sin dx x x
π
− −
∫
a
b ∈
2 8a b+ =
5a b+ =
2 3 2a b− =
2a b− =
2
0
cos2
d
1 sin
x
x a b
x
π
π
= +
+
∫
,a
b ∈
3 2
1P a b= + +
9P =
29P =
11P =
25P = −
( )
2
0
1
4 1 cos dx x x c
a b
π
π
π
− + = − +
∫
( )
, ,a b c ∈
a b c− +
https://toanmath.com/
Câu 128: Tích phân
( )
2
2
sin cosI ax ax dx
π
π
−
= +
∫
, với
0a ≠
có giá trị là:
A.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − − +
.
B.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − + +
.
C.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − + − +
.
D.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − − + +
.
Câu 129: Biết
π
3 2
2
0
cos sin π
d
1 cos
x x x x b
I x
x a c
+ −
= = −
+
∫
. Trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương, phân số
b
c
t i gi n. Tính ố ả
2 2 2
T a b c= + +
.
A.
16T =
. B.
59T =
. C.
69T =
. D.
50T =
.
Câu 130: Cho hàm số
( )
sin 2 cos2f x a x b x= −
thỏa mãn
' 2
2
f
π
= −
và
3
b
a
adx =
∫
. Tính tổng
a b+
b ng:ằ
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
8.
Câu 131: Cho tích phân
0
3
cos2 cos 4 d 3x x x a b
π
−
= +
∫
, trong đó
a
,
b
là các hằ ống s hữu t . Tính ỉ
2
e log
a
b+
.
A.
2−
. B.
3−
. C.
1
8
. D.
0
.
Câu 132: Cho
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
1 sin 2
y
x
=
+
với
\ ,
4
x k k
π
π
−
∀ ∈ + ∈
, biết
( )
0 1F =
;
( ) 0F
π
=
. Tính
11
12 12
P F F
π π
= − −
.
A.
2 3P = −
. B.
0P =
. C. Không tồn tại
P
. D.
1P =
.
Câu 133: Cho
M
,
N
là các số thực, xét hàm số
( )
.sin π .cos πf x M x N x= +
thỏa mãn
( )
1 3f =
và
( )
1
2
0
1
d
π
f x x = −
∫
. Giá trị của
1
4
f
′
bằng
A.
5π 2
2
. B.
5π 2
2
−
. C.
π 2
2
−
. D.
π 2
2
.
https://toanmath.com/
Câu 134: Tích phân
( )
2
2
0
cos 1 cosI x xdx
π
= −
∫
có giá trị là:
A.
1
4 3
I
π
= −
. B.
2
4 3
I
π
= − −
. C.
1
4 3
I
π
= +
. D.
2
4 3
I
π
= − +
.
Câu 135: Biết tích phân
2
1
3
sinI xdx a
π
π
= =
∫
. Giá trị của
1
2
2
3
1
ln 2 ln5
a
x
I dx b c
x x
+
= = −
+
∫
. Thương số gi ữa b
và c là:
A. – 2 – 4. B. . C. D. 2. 4.
Câu 136: Cho
( )
( )
3
2
6
0
0
sin3 cos cos3 sin sin 2I x x dx a x bx c x
π
π
= + = + +
∫
. Giá trị của
3 2 4a b c+ +
là:
A. – 1. B. 1. C. D. – 2. 2.
Câu 137: Cho
tan d
n
n
I x x
=
∫
với
n ∈
. Khi đó
( )
0 1 2 3 8 9 10
2 ...I I I I I I I+ + + + + + +
bằng
A.
( )
9
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. B.
( )
1
9
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
. C.
( )
10
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. D.
( )
1
10
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
.
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 138: Tích phân
1
0
e d
x
x
−
∫
bằng
A.
e 1−
. B.
1
1
e
−
. C.
e 1
e
−
. D.
1
e
.
Câu 139: Tích phân
2018
0
2 d
=
∫
x
I x
b ng ằ
A.
2018
2 1−
. B.
2018
2 1
ln 2
−
. C.
2018
2
ln 2
. D.
2018
2
.
Câu 140: Biết
4
1
1
( )d
2
f x x
−
=
∫
và.
0
1
1
( )d
2
f x x
−
−
=
∫
. Tính tích phân
4
2
0
4e 2 ( ) d
x
I f x x
= +
∫
.
A.
8
2eI =
. B.
8
4e 2I = −
. C.
8
4eI =
. D.
8
2e 4I = −
.
Câu 141: Cho
( )
2
2
0
e d
x
t
F x t=
∫
. Tính
( )
2
F
′
.
A.
( )
4
2 4e
F
′
=
. B.
( )
16
2 8e
F
′
=
. C.
( )
16
2 4e
F
′
=
. D.
( )
4
2 e
F
′
=
.
Câu 142: Cho hàm s ố
( )
2
1
d
ln
x
x
g x t
t
=
∫
với
0x >
. Đạo hàm của
( )
g x
là
A.
( )
1
ln
x
g x
x
−
′
=
. B.
( )
1
ln
x
g x
x
−
′
=
. C.
( )
1
ln
g x
x
′
=
. D.
( )
lng x x
′
=
.
https://toanmath.com/
Câu 143:
( )
3
2
3
2
d 6f x x
π
π
−
⇔ =
∫
.Gọi
S
là tập hợp tất cả các số nguyên dương
k
thỏa mãn
2
1
2018.e 2018
e d
k
kx
x
k
−
<
∫
. S ph n t c p h p ố ầ ử ủa tậ ợ
S
bằng.
A.
7
. B.
8
. . C. Vô số D.
6
.
Câu 144: Cho
1
0
e
d
1 e
nx
n
x
I x
−
−
=
+
∫
với
n ∈
.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 3 4 1
1. 2 3 ...
n n n
u I I I I I I n I I n
+
= + + + + + + + + −
.
Biết
lim
n
u L=
. M ệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
1;0L ∈ −
. B.
( )
2; 1L ∈ − −
. C.
( )
0;1L ∈
. D.
( )
1;2L ∈
.
https://toanmath.com/
C NG D N GI. HƯỚ Ẫ ẢI
ÁP D NG T VÀ NG NGUYÊN HÀMỤ ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤ BẢ
Câu 1. Cho , hàm số liên tục trên và số thực tùy ý. Trong các khẳng
định sau, kh nh nào sai?ẳng đị
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai?
A. . . B.
C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Câu 3. Cho hai hàm số liên tục trên . Khẳng định nào sau đây là khẳng và ,
định sai?
A. . B. .
C. . D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 4. Cho , hai số thực tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên tập . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng?
A. . . B.
C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
( )
y f x=
( )
y g x=
[ ]
;a b
k
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
xf x x x f x x=
∫ ∫
( )
d 0
a
a
kf x x =
∫
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x+ = +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
d dd
b b b
a a a
f x fg x x x g x xx+ = +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b b c
a c a
f x xx x xf f x= +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
d d
b a
a b
xf x f x x=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
xf f t tx =
∫ ∫
( )
f x
( )
g x
K
,a b K∈
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x+ = +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
kf x x k f x x=
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x=
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x− = −
∫ ∫ ∫
a
b
( )
F x
( )
f x
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x f b f a= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x F b F a= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x F a F b= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x F b F a= +
∫
https://toanmath.com/
Theo định nghĩa, ta có .
Câu 5. Cho n là hàm số liên tụ ạc trên đo và . Tìm mệ ềnh đ đúng trong các
mệnh đề sau.
A. . . B.
C. . . D.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
.
Câu 6. Cho hàm s c trên kho ng . M ố liên tụ ả và ệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. .
C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Mệnh đề đúng là: .
Câu 7. Cho hàm s t nguyên hàm cố và , liên tục trên là mộ ủa trên .
Chọn kh nh sai trong các kh nh sau.ẳng đị ẳng đị
A. . B. .
C. D. . .
Bài giải
Chọn A
Theo định nghĩa ta có: . Suy ra phương án A sai.
Câu 8. Cho hàm s n . M ố liên tục trên đoạ ệnh đề nào dưới đây sai?
A. .
B. .
C. , .
D. , .
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x F b F a= −
∫
( )
f x
[ ]
;a b
[ ]
;c a b∈
( ) ( ) ( )
d d d
c b a
a c b
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b c c
a a c
f x x f x x f x x− =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b a b
a c c
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d d
b a
a c
f x x f x x F b F a F a F c+ = − + −
∫ ∫
( ) ( )
F b F c= −
( )
d
b
c
f x x=
∫
( )
y f x=
K
, ,a b c K∈
( ) ( ) ( )
d d d
b b c
a c a
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( ) ( )
d dt
b b
a a
f x x f t=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( )
d 0
a
a
f x x =
∫
( ) ( ) ( )
d d d
b c c
a b a
f x x f x x f x x+ =
∫ ∫ ∫
( )
f t
K
,a b K∈
( )
F t
( )
f t
K
( ) ( ) ( )
d
b
a
F a F b f t t− =
∫
( ) ( )
d
b
b
a
a
f t t F t=
∫
( ) ( )
d d
b
b
a
a
f t t f t t
=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b b
a a
f x x f t t=
∫ ∫
( ) ( )
d
b
b
a
a
f t t F t=
∫
( ) ( )
F b F a= −
( )
y f x=
[ ]
;a b
( ) ( )
d d
b b
a a
f x x f t t=
∫ ∫
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( )
d
b
a
k x k a b= −
∫
k∀ ∈
( ) ( ) ( )
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x= +
∫ ∫ ∫
( )
;c a b∀ ∈
https://toanmath.com/
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có: .
Câu 9. Giả ử ố ụ s là hàm s liên t c trên khoảng và là ba số ấ b t kỳ trên khoảng . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. . B. .
C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có: .
Câu 10. Cho hàm s n . M ố liên tục trên đoạ ệnh đề nào dưới đây sai?
A. . B. ,
.
C. . D. .
Câu 11. Cho t nguyên hàm c u s blà mộ ủa hàm số . Khi đó hiệ ố ằng
A. . . B. C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có: .
Câu 12. Cho hàm s ố liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. n tích hình thang . n .là diệ B. là dộ dài đoạ
C. D. n .là dộ dài đoạ n cong . là dộ dài đoạ
Hướ ẫ ảng d n gi i
d
b
b
a
a
k x kx=
∫
kb ka= −
( )
k b a= −
f
K
, , a b c
K
( )
1
a
a
f x dx =
∫
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
, ;
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx c a b+ = ∈
∫ ∫ ∫
( ) ( )
b b
a a
f x dx f t dt=
∫ ∫
( ) ( ) ( )
0
a
a
f x dx F a F a= − =
∫
( )
y f x=
[ ]
;a b
( ) ( )
d d
b a
a b
f x x f x x= −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x= +
∫ ∫ ∫
c∀ ∈
( ) ( )
d d
b b
a a
f x x f t t=
∫ ∫
( )
d 0
a
a
f x x =
∫
( )
F x
( )
f x
( ) ( )
0 1F F−
( )
1
0
df x x
∫
( )
1
0
dF x x−
∫
( )
1
0
dF x x−
∫
( )
1
0
df x x−
∫
( ) ( )
1
0
1
d
0
f x x F x− = −
∫
( ) ( )
1 0F F= − −
( ) ( )
0 1F F= −
( )
y f x=
[ ]
;a b
( )
y f x
′
=
( )
d
b
a
f x x
′
∫
ABMN
( )
d
b
a
f x x
′
∫
BP
( )
d
b
a
f x x
′
∫
MN
( )
d
b
a
f x x
′
∫
AB
https://toanmath.com/
Chọn B
.
Câu 13. Cho hai tích phân c và . Giá trị ủa tích phân
là:
A. . B. . C. . D. Không thể xác
định.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho hai tích phân và . Giá trị c ủa tích phân
là:
Ta có ngay k t qu . ế ả:
Chọn A
Câu 14. Cho tích phân . Tích phân có giá tr và ị
là:
A. . B. . C. . D. Không thể xác
định.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho tích phân . Tích phân có giá tr và ị
là:
Quy t . ắc “nối đuôi” cho ta:
Chọn A
Câu 15. Tích phân c phân tích thành:đượ
A. . B. .
C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân c phân tích thành: đượ
Ta có: .
Chọn A
Câu 16. Cho . Tính tích phân .
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
( )
d
b
a
f x x
′
∫
( )
b
a
f x=
( ) ( )
f b f a= −
BM PM= −
BP=
( )
a
a
f x dx m
−
=
∫
( )
a
a
g x dx n
−
=
∫
( ) ( )
a
a
f x g x dx
−
−
∫
m n−
n m−
m n+
( )
a
a
f x dx m
−
=
∫
( )
a
a
g x dx n
−
=
∫
( ) ( )
a
a
f x g x dx
−
−
∫
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
a a a
f x g x dx f x dx g x dx m n
− − −
− = − = −
∫ ∫ ∫
( )
1
b
a
I f x dx m= =
∫
( )
2
a
c
I f x dx n= =
∫
( )
b
c
I f x dx=
∫
m n+
m n−
m n− −
( )
1
b
a
I f x dx m= =
∫
( )
2
a
c
I f x dx n= =
∫
( )
b
c
I f x dx=
∫
( ) ( ) ( )
b b a
c a c
I f x dx f x dx f x dx m n= = + = +
∫ ∫ ∫
( )
b
a
f x dx
∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx+ −
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx− −
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx+
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x f x dx− +
∫ ∫
( )
b
a
f x dx
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b c b a
a c a c c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx= + = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
1
2
d 3f x x
−
=
∫
( )
1
2
2 1 dI f x x
−
= −
∫
9−
3−
3
5
https://toanmath.com/
Chọn C
Ta có .
Câu 17. Cho hàm có đạ ụo hàm liên t c trên đồng thời , ính . T
b ngằ
A. . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có .
Câu 18. Cho và . Khi đó b ngằ
A. C. . B. . . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
.
Câu 19. 47T 47TCho hàm số n và , có đạo hàm liên tụ ạc trên đo . Tính
.
A. . . B. C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có: .
Câu 20. Cho hàm s . Tính tích phân . ố liên tục trên và
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có: .
Câu 21. Cho hàm s u kiố thoả mãn điề ện , liên tục trên và
. Khi đó bằng
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có .
19TCâu 22. Cho hàm số có đạo hàm liên tụ ạc trên đo n và thỏa mãn ; .
Giá trị c bủa ằng
( )
1
2
2 1 dI f x x
−
= −
∫
( )
1 1
2 2
2 d df x x x
− −
= −
∫ ∫
1
2
6 3x
−
= − =
( )
f x
[ ]
2;3
( )
2 2f =
( )
3 5f =
( )
3
2
df xx
′
∫
3−
7
10
3
( ) ( )
3
2
3
2
df xx f x
′
=
∫
( ) ( )
3 2f f= −
3=
( )
d 7
b
a
f x x
′
=
∫
( )
5f b =
( )
f a
12
0
2
2−
( )
d 7
b
a
f x x
′
=
∫
( ) ( )
7f b f a⇔ − =
( ) ( )
7 2f a f b⇔ = − = −
( )
f x
[ ]
;a b
( )
2f a = −
( )
4f b = −
( )
d
b
a
T f x x
′
=
∫
6T = −
2T =
6T =
2T = −
( )
d
b
a
T f x x
′
=
∫
( )
b
a
f x=
( ) ( )
2f b f a= − = −
( )
f x
[ ]
0;1
( ) ( )
1 0 2f f− =
( )
1
0
df x x
′
∫
1I = −
1I =
2I =
0I =
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1
d 1 0 2
0
f x x f x f f
′
= = − =
∫
( )
y f x=
( )
1 12f =
( )
f x
′
( )
4
1
d 17f x x
′
=
∫
( )
4f
5
29
19
9
( )
4
1
d 17f x x
′
=
∫
( )
4
1
17f x
⇔ =
( ) ( )
4 1 17f f⇔ − =
( )
4 29f⇔ =
( )
f x
[ ]
1;3−
( )
1 4f − =
( )
3 7f =
( )
3
1
5 dI f x x
−
′
=
∫
https://toanmath.com/
19TA. . B. . . C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
19T.
Câu 23. Cho hàm s , vố ới , là các số h ữu tỉ thỏ ề ệa đi u ki n
. Tính .
A. D. . B. . C. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có .
Theo gi thi . T , . ả ết, ta có ừ đó suy ra
Vậy .
Câu 24. Tính tích phân .
A. D. . B. . C. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có: .
Câu 25. Tính phân .tích
A. . . . B. C. C. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có: .
Câu 26. Tính .
19T 19TA. . . . . B. C. D.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
19TTa có
.
Câu 27.
Tính tích phân
20I =
3I =
10I =
15I =
( )
3
1
5 dI f x x
−
′
=
∫
( )
3
1
5 f x
−
=
( ) ( )
5 3 5 1f f= − −
5.7 5.4= −
15=
( )
2
2
a b
f x
x x
= + +
a
b
( )
1
1
2
d 2 3ln 2f x x = −
∫
T a b= +
1T = −
2T =
2T = −
0T =
( )
1
1
2
df x x =
∫
1
2
1
2
2 d
a b
x
x x
+ +
∫
1
1
2
ln 2
a
b x x
x
= − + +
1 ln 2a b= + +
2 3ln 2 1 ln2a b− = + +
1a =
3b = −
2T a b= + = −
3
0
d
2
x
I
x
=
+
∫
4581
5000
I =
5
log
2
I =
5
ln
2
I =
21
100
I = −
3
0
d
2
x
I
x
=
+
∫
3
0
5
ln 2 ln
2
x= + =
2018
2
1
dx
I
x
=
∫
2018.ln 2 1I = −
2018
2I =
2018.ln 2I =
2018I =
2018
2
1
lnI x=
( )
2018
ln 2 ln1= −
2018.ln 2=
1
0
1
3 d
2 1
I x x
x
= +
+
∫
2 ln 3+
4 ln3+
2 ln3+
1 ln 3+
1
0
1
3 d
2 1
I x x
x
= +
+
∫
1 1
0 0
1
d 3 d
2 1
x x x
x
= +
+
∫ ∫
1 1
0 0
1 2
ln 2 1 3.
2 3
x x x= + +
1
ln3 2
2
= +
ln 3 2= +
( )
1
2018
0
1 dI x x x= +
∫
https://toanmath.com/
A.
. B. . C. . D.
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có: .
Câu 28. Cho hàm s . Tính tích phân .ố
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
.
Câu 29. Cho hàm s . Tính tích phân .ố
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có:
.
Câu 30. Cho hàm s . Tính .ố
UA.U . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có, .
Câu 31. Cho hàm s . H bao nhiêu số và ỏi có tất cả ố
nguyên ?để
A. . B. . UC.U . . D.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
1 1
2018 2019
I = +
1 1
2020 2021
I = +
1 1
2019 2020
I = +
1 1
2017 2018
I = +
( )
1
2018
0
1 dI x x x= +
∫
( )
1
2018 2019
0
dx x x= +
∫
1
2019 2020
0
1 1
2019 2020 2019 2020
x x
= + = +
( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
0
df x x
∫
7
2
1
5
2
3
2
( )
2
0
df x x
∫
( ) ( )
1 2
0 1
d df x x f x x= +
∫ ∫
( )
( )
1 2
2
0 1
3 d 4 dx x x x= + −
∫ ∫
2
2
3 2
1
1
3
4
3 2
x x
x
= + − =
7
2
=
( )
2
khi 0 1
1
2 1 khi 1 3
x
y f x
x
x x
≤ ≤
= =
+
− ≤ ≤
( )
3
0
df x x
∫
6 ln 4+
4 ln 4+
6 ln 2+
2 2ln 2+
( ) ( ) ( )
3 1 3
0 0 1
d d df x x f x x f x x= +
∫ ∫ ∫
( )
1 3
0 1
2
d 2 1 d
1
x x x
x
= + −
+
∫ ∫
( )
3
1
2
0
1
2ln 1x x x= + + −
ln 4 6= +
( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
0
f x dx
∫
7
2
1
5
2
3
2
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2
2 3
0 1 0 1
1 2
5 7
3 4 4 1
0 12 2 2
x
f x dx f x dx x dx x dx x x
+ = + − = + − = + =
∫ ∫ ∫ ∫
( )
2
2
6 khi 0
khi 0
x x
y f x
a a x x
≤
= =
− ≥
( )
4
1
d
I f x x
−
=
∫
a
22 0I + ≥
2
3
4
5
( ) ( )
( )
4
0 4 0 4
2 2
0
2 2 3 2
1
1 0 1 0
0
d d 6 d d 2 2 4 8 .
2
a x
I f x x f x x x x a a x x x ax a a
−
− −
= + = + − = + − = + −
∫ ∫ ∫ ∫
https://toanmath.com/
.
Vậy có nguyên c giá trị ủa thỏa mãn.
Câu 32. Biết . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có: .
Mà .
Câu 33. Đặ ố ựt là tham s ( th c). Tìm .để
A. D. . B. . C. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có .
.
Câu 34. Cho , . bKhi đó ằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Do
Câu 35. Giá trị nào c ?ủa để
A. C. ho c .ặ B. ho c ặ hoặc . D. ho . ặc
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có .
Theo bài ra, có .
Câu 36. Có bao nhiêu giá tr ị thực của để có
A. . B. . C. . D. . Vô số
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
22 0I + ≥
2
2 4 8 22 0a a⇔ + − + ≥
2
2 6 0a a⇔ − − ≤
3
2
2
a⇔ − ≤ ≤
{ }
1;0;1;2
a
a
∈
→ ∈ −
4
a
( )
2 1 d 1
b
a
x x− =
∫
1b a− =
2 2
1a b a b− = − −
2 2
1b a b a− = − +
1a b− =
( )
( )
2
2 1 d
b
b
a
a
x x x x− = −
∫
( )
2 2
b b a a= − − −
( )
2 1 d 1
b
a
x x− =
∫
2 2
1b b a a⇔ − − + =
2 2
1b a b a⇔ − = − +
( )
2
1
2 1 dI mx x= +
∫
m
m
4I =
1m = −
2m = −
1m =
2m =
( )
2
1
2 1 dI mx x= +
∫
( )
2
2
1
mx x= +
( ) ( )
4 2 1m m= + − +
3 1m= +
4I =
3 1 4m⇔ + =
1m⇔ =
3
0
( )df x x a=
∫
3
2
( )d
f x x b
=
∫
2
0
( )df x x
∫
a b− −
b a−
a b+
a b−
3 2 3
0 0 2
( )d ( )d ( )df x x f x x f x x= +
∫ ∫ ∫
2 3 3
0 0 2
( )d ( )d ( )df x x f x x f x x⇔ = −
∫ ∫ ∫
2
0
( )df x x a b⇔ = −
∫
b
( )
1
2 6 d 0
b
x x− =
∫
0b =
3b =
0b =
1b =
5b =
0b =
1b =
5b =
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
1
1
2 6 d 6 6 1 6 6 5
b
b
x x x x b b b b− = − = − − − = − +
∫
2
1
6 5 0
5
b
b b
b
=
− + = ⇔
=
AD
( )
0
2 5 d 4
a
x x a+ = −
∫
1
0
2
( )
0
2 5 d 4
a
x x a+ = −
∫
( )
2
0
5 4
a
x x a⇔ + = −
( )
H
1y x= −
https://toanmath.com/
Câu 37. Xác đị ịnh s tích phân ố thực dương để có giá tr lớn nhất.
A. . B. . C. . D.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
.
Đặ ặt ho c
Lập bảng biến thiên
Vậy đạt GTLN tại .
Câu 38. Cho bi u th blà số thực thỏa mãn và . Giá trị ể ức ằng.
A. . . B. C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có: . Theo đề: .
Vậy .
Câu 39. Tích phân có giá trị là:
A. I = 1. B. I =2. C. I = 3. D. 4. I =
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn C
Cách 2: Kiểm tra bằ ễ ế ảng máy tính, d dàng thu được k t qu như cách 1.
Câu 40. Tích phân có giá trị là:
A. I I I I = 1. B. = 2. C. = 3. D. = 4.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
m
( )
2
0
d
m
x x x−
∫
1m =
2m =
3m =
4m =
( )
2
0
d
m
P x x x= −
∫
2 3
0
2 3
m
x x
= −
2 3
2 3
m m
= −
( )
2 3
2 3
m m
f m = −
( )
2
f m m m
′
⇒ = −
( )
0f m
′
⇒ =
0m⇔ =
1m =
( )
f m
1m =
a
2a <
( )
2
2 1 d 4
a
x x+ =
∫
3
1 a+
0
2
1
3
( )
2
2 1 d
a
x x+
∫
( )
2
2 2
6
a
x x a a= + = − −
2
2
1
6 4
a
a
a a
<
⇒ =
− − =
3
1 2a+ =
2
1
2 .
I x dx=
∫
2
1
2 .
I x dx=
∫
2
2 2
2
1 1
1
2 . 2. . 2. 3
2
x
I x dx x dx
= = = =
∫ ∫
( )
1
3
1
3 2I x x dx
−
= + +
∫
( )
1
3
1
3 2I x x dx
−
= + +
∫
( )
1
1
3 4 2
1 1
1 3
3 2 2 4
4 2
I x x dx x x x
− −
= + + = + + =
∫
https://toanmath.com/
Chọn D
Cách 2: Dùng máy tính c ầm tay.
Câu 41. Cho gá tr c a tích phân , c ị ủ . Giá trị ủa là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho gá tr c a tích phân , ị ủ . Giá trị c ủa là:
Ta có:
.
.
.
Chọn C
Câu 42. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
.
Chọn A
Câu 43. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn D
Câu 44. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
( )
1
4 3
1
1
2I x x dx a
−
= + =
∫
( )
1
2
2
2
3I x x dx b
−
−
= + =
∫
a
b
4
65
P = −
12
65
P =
12
65
P = −
4
65
P =
( )
1
4 3
1
1
2I x x dx a
−
= + =
∫
( )
1
2
2
2
3I x x dx b
−
−
= + =
∫
a
b
( )
1
1
4 3 5 4
1
1
1
1 1 2 2
2
5 2 5 5
I x x dx x x a
− −
= + = + = ⇒ =
∫
( )
1
1
2 3 2
2
2
2
1 3 13 13
3
3 2 6 6
I x x dx x x b
−
−
− −
= + = + = − ⇒ = −
∫
12
65
a
P
b
⇒ = = −
( )
0
3
1
2I x ax dx
−
= + +
∫
7
4 2
a
I = −
9
4 2
a
I = −
7
4 2
a
I = +
9
4 2
a
I = +
( )
0
3
1
2I x ax dx
−
= + +
∫
( )
0
0
3 4 2
1 1
1 7
2 2
4 2 4 2
a a
I x ax dx x x x
− −
= + + = + + = −
∫
( )
1
2
0
I ax bx dx= +
∫
2 3
a b
I = +
3 3
a b
I = +
2 2
a b
I = +
3 2
a b
I = +
( )
1
2
0
I ax bx dx= +
∫
( )
1
1
2 3 2
0 0
3 2 3 2
a b a b
I ax bx dx x x
= + = + = +
∫
2
2
1
2
a
I x dx
x
= +
∫
2
1 1
2
I a
a
= − − +
2
3 1
2
I a
a
= − − +
2
5 1
2
I a
a
= − − +
2
7 1
2
I a
a
= − − +
https://toanmath.com/
Tích phân , v ới có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn D
Câu 45. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Từ bảng xét d ấu ta được:
.
Chọn A
Câu 46. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Từ bảng xét d ấu ta được:
.
Chọn A
Câu 47. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
2
2
1
2
a
I x dx
x
= +
∫
0a ≠
2 2
2
2 2
1 1 1 7
2
2
a
a
I x dx x a
x x a
= + = − + = − −
∫
2
2
1
I x x dx
−
= −
∫
3
2
I =
1
6
I =
3
2
I = −
1
6
I = −
2
2
1
I x x dx
−
= −
∫
( )
2
0 0 2
f x
x x x x− = ⇔ = ∨ =
( ) ( )
0 2
2 0 2
2 2 2 3 2 3 2
1 1 0 1 0
1 1 1 1 3
3 2 3 2 2
I x x dx x x dx x x dx x x x x
− − −
= − = − + − + = − + − + =
∫ ∫ ∫
1
3 2
1
1I x x x dx
−
= + − −
∫
4
3
I =
1
2
I =
4
3
I = −
1
2
I = −
1
3 2
1
1I x x x dx
−
= + − −
∫
( )
( )( )
2
3 2
1 0 1 1 0 1 1
f x
x x x x x x x+ − − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −

( )
1
1 1
3 2 3 2 4 3 2
1 1 1
1 1 1 4
1 1
4 3 2 3
I x x x dx x x x dx x x x x
− − −
= + − − = − + − − = − + − − =
∫ ∫
3
1
2
3 2
1
x x
I dx
x
−
−
− +
=
−
∫
7
6
I = −
17
6
I =
7
6
I =
17
6
I = −
3
1
2
3 2
1
x x
I dx
x
−
−
− +
=
−
∫
https://toanmath.com/
.
Từ bảng xét d ấu ta được:
.
Chọn C
Câu 48. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Từ bảng xét d ấu ta được:
.
.
.
.
Chọn A
Câu 49. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 50. Biết tích phân . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
( )
( ) ( )
2
3
3 2 0 1 2 0 1 2
f x
x x x x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
( )
1
1 1
3
2 3 2
2 2 2
3 2 1 1 7
2 2
1 3 2 6
x x
I dx x x dx x x x
x
−
− −
− − −
− +
= = + − = + − =
−
∫ ∫
2
2
2
2
1
x x
I dx
x
−
− −
=
−
∫
3 2ln3I = −
2ln 3I = −
3 2 ln3I = +
3 3ln 2I = −
0
2
2
2
1
x x
I dx
x
−
− −
=
−
∫
( ) ( )
2
2
0 1 2 1
1
x x
f x f x x x x
x
− −
= ⇒ = ⇔ = − ∨ = ∧ ≠
−
0 1 0
2 2 2
2 2 1
2 2 2
1 1 1
x x x x x x
I dx dx dx
x x x
−
− − −
− − − − − −
= = − +
− − −
∫ ∫ ∫
1
1 1
2 2
1
2 2
2
2 2 5
2ln 1 2 ln2 2 ln3
1 1 2 2
x x x
I dx x dx x
x x
−
− −
− −
−
− −
= − = − − − = − − − = + −
− −
∫ ∫
0
0
2 2
2
1
1
2 1
... 2ln 1 2ln 2
1 2 2
x x x
I dx x
x
−
−
− −
= = = − − = −
−
∫
1 2
3 2ln 3I I I⇒ = + = −
1
3
2
1
2I ax dx
x
−
−
= +
∫
15
ln 2
16
a
I = − +
15
ln 2
16
a
I = −
15
ln 2
16
a
I = +
15
ln 2
16
a
I = − −
1
3
2
1
2I ax dx
x
−
−
= +
∫
1
1
3 4
2
2
1 15
2 ln ln 2
2 16
a a
I ax dx x x
x
−
−
− −
= + = + = − −
∫
1
1
0
2I xdx a= =
∫
( )
2
2
2
2
a
I x x dx= +
∫
2
17
3
I =
2
19
3
I =
2
16
3
I =
2
13
3
I =
https://toanmath.com/
Biết tích phân . Giá trị c ủa là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 51. Cho tích phân . Khẳng định nào dưới đây không đúng?
A. . B. .
C. D. . Chỉ có A và C đúng.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho tích phân . Khẳng định nào dưới đây không đúng?
Ta có:
.
Phát bi ểu (A): đúng.
Phát bi ểu (B): sai.
Phát bi ểu (C): đúng.
Phát bi ểu (D): đúng.
Chọn B
Câu 52. Số nghi m nguyên âm c v ệ ủa phương trình: ới là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Số nghi m nguyên âm c vệ ủa phương trình: ới là:
Ta có: .
Chọn B
Câu 53. Số nghi , h ệm dương của phương trình: , với a và b là các số ữu tỉ
là:
A. 0. B. 1. C. D. 2. 3.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Số nghi , vệm dương của phương trình: ới là:
Ta có: .
Chọn B
1
1
0
2I xdx a= =
∫
( )
2
2
2
2
a
I x x dx= +
∫
( ) ( ) ( )
2
1 2 2
1
2 2 2 3 2
1 2
0
0 1
1
1 16
2 1 2 2
3 3
a
I xdx x I x x dx x x dx x x
= = = ⇒ = + = + = + =
∫ ∫ ∫
( )
2
1
b
a
I x dx= +
∫
( )
2 2
1
b b b
a a a
I x dx x dx dx= + = +
∫ ∫ ∫
( )
3
b
a
I x x= +
3 3
1 1
3 3
I b b a a= + − −
( )
2
1
b
a
I x dx= +
∫
( )
2 3 3 3
1 1 1
1
3 3 3
b
b
a a
I x dx x x b b a a
= + = + = + − −
∫
3
2 0x ax− + =
3
1
1
e
a dx
x
=
∫
3
2 0x ax− + =
3
1
1
e
a dx
x
=
∫
( )
( ) ( )
3
3
2
3
1
1
1
ln 3 3 2 0 1 2 0 1 2
e
e
a dx x x x x x x x
x
= = = ⇒ − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
∫
3
2 0x ax+ + =
1
0
2
a xdx=
∫
3
2 0x ax+ − =
1
0
2
a xdx=
∫
( )
( )
( )
1
1
2 3 2
0
0
2 1 2 0 1 2 0 1a xdx x x x x x x x= = = ⇒ + − = ⇔ − + + = ⇔ =
∫
https://toanmath.com/
Câu 54. Tìm t t cấ ả các giá trị thực c a tham s có ủ ố để \
A. C. B. D.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có:
Mà
Khi đó:
Câu 55. Cho p là một nguyên hàm của hàm số trên tậ và thỏa mãn
. Tính t ng .ổ
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Bảng kh d u giá tr tuyử ấ ị ệt đối:
Ta có: mà nên .
nên . mà
mà nên
.
nên . mà
Vậy .
Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương thỏa mãn
?
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
k
( )
0
1
1 1
2 1 d 4lim .
k
x
x
x x
x
→
+ −
− =
∫
1
.
2
k
k
=
=
1
.
2
k
k
=
= −
1
.
2
k
k
= −
= −
1
.
2
k
k
= −
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
1
2 1 2 1
1 1
2 1 d 2 1 d 2 1
2 4 4 4
k
k k
x k
x x x x
− −
− = − − = = −
∫ ∫
( )( )
( )
0 0 0
1 1 1 1
1 1 1
4lim 4lim 4lim 2
1 1
1 1
x x x
x x
x
x
x
x x
→ → →
+ − + +
+ −
= = =
+ +
+ +
( )
0
1
1 1
2 1 d 4lim
k
x
x
x x
x
→
+ −
− = ⇔
∫
( )
( )
2
2
2
2 1 1
2 2 1 9 .
14
kk
k
k
=
− −
= ⇔ − = ⇔
= −
( )
F x
( )
1 1f x x x= + − −
( )
1 3F =
( ) ( ) ( )
0 2 3F F F+ + −
8
12
14
10
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
d 2 1 2 3
f x x F F F
= − = −
∫
( )
2 2
1 1
d 2d 2f x x x= =
∫ ∫
( )
2 5F =
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
d 1 0 3 0f x x F F F= − = −
∫
( )
1 1
2 1
0
0 0
d 2 d 1f x x x x x= = =
∫ ∫
( )
0 2F =
( ) ( ) ( ) ( )
0
1
d 0 1 2 1f x x F F F
−
= − − = − −
∫
( )
0 0
2 0
1
1 1
d 2 d 1f x x x x x
−
− −
= = = −
∫ ∫
( )
1 3F − =
( ) ( ) ( ) ( )
1
3
d 1 3 3 3f x x F F F
−
−
= − − − = − −
∫
( )
1 1
3 3
d 2d 4f x x x
− −
− −
= − = −
∫ ∫
( )
3 7F − =
( ) ( ) ( )
0 2 3 2 5 7 14F F F+ + − = + + =
n
( )
2
2 2 3 1
0
1 2 3 4 ... d 2
n
n x x x nx x
−
− + + + + + = −
∫
1
2
0
3
0 |
0 |
x
−∞
1−
1
+∞
1 x+
−
+
+
1 x−
+
+
−
( )
f x
2−
2x
2
https://toanmath.com/
Ta có:
.
Thử với các giá tr a mãn.ị u không thđề ỏ
Với , ta chứng minh . Dễ thấy thì đúng.
Giả ử s vđúng với ới , . . Khi đó
Khi đó: .
Do đó đúng vớ i . Theo nguyên lý quy nạp thì đúng.
Vậy không tồn tại số nguyên .
Câu 57. Cho hàm s ố . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Biết r i hằ ệ ẳng di n tích hình ph ng giớ ạn bởi trục và đồ thị hàm số trên đoạn
l ng . Cho và ần lượt bằ và . Giá trị bi u th bể ức ằng
A. B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Theo gi thi . ả ết ta có và
Dự ồa vào đ thị ta có:
.
Tương tự . ta có
Như vậy
.
Câu 58. Cho u ki n c .và . Tìm điề ệ ủa để
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có .
( )
2
2 2 3 1
0
1 2 3 4 ... d 2
n
n x x x nx x
−
− + + + + + = −
∫
( )
2
2 2 3 4
0
... 2
n
x n x x x x x⇔ − + + + + + = −
2 2 3 4
2 2 2 2 2 ... 2 2
n
n⇔ − + + + + + = −
2 1 2
1 2 2 ... 2 1
n
n
−
⇔ + + + + = +
2 2
2 1 1 2 2 0
n n
n n⇔ − = + ⇔ − − =
{ }
1;2;3;4n ∈
n ∈
5n ≥
2
2 2
n
n> +
( )
1
5n =
( )
1
( )
1
n k=
k ∈
5k ≥
2
2 2
k
k> +
( )
1 2 2 2
2 2 2 2 2
k
k k k
+
> + = + + +
( )
2
2
2 1 2 1 2k k k> + + + = + +
( )
1
1n k= +
( )
1
n
( )
y f x=
( )
y f x
′=
Ox
( )
y f x
′=
[ ]
2;1−
[ ]
1;4
9
12
( )
1 3f =
( ) ( )
2 4f f− +
21
9
3
2
( )
1
2
d 9
f x x
−
′
=
∫
( )
4
1
d 12f x x
′
=
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
2
2 2
d d 1 2f x x f x x f x f f
−
− −
′ ′= − = − = − − + −
∫ ∫
( ) ( )
1 2 9f f⇒ − + − =
( ) ( )
4 1 12f f− + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 4 1 3f f f f− + − − − + = −
( ) ( ) ( )
2 4 2 1 3f f f⇔ − + − = −
( ) ( )
2 4 6 3f f⇔ − + − = −
( ) ( )
2 4 3f f⇔ − + =
( )
2
2
0
2 dI x x m x= − −
∫
( )
1
2
0
2 dJ x mx x= −
∫
m
I J≤
3m ≥
2m ≥
1m ≥
0m ≥
( )
2
2
0
2 dI x x m x= − −
∫
2
3 2
0
2
3 2
x x
mx
= − −
10
2
3
m= −
https://toanmath.com/
.
Do đó
Câu 59. Biết rằ ống hàm s thỏa mãn , và
, , ). Tính giá tr c a bi u th(với ị ủ ể ức .
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có .
Do đó: . Vậy
TÍCH PHÂN H U TỮ Ỉ
Câu 60. Biế ố ựt với , là các s th c. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có:
. V y . ậ
Câu 61. Tích phân c. Giá trị ủa a là:
A. . B. . C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân . Giá trị c ủa a là:
Ta có:
( )
1
2
0
2 dJ x mx x= −
∫
1
3
2
0
3
x
mx
= −
1
3
m= −
I J≤
10 1
2
3 3
m m⇔ − ≤ −
3m⇔ ≥
( )
2
f x ax bx c= + +
( )
1
0
7
d
2
f x x = −
∫
( )
2
0
d 2f x x = −
∫
( )
3
0
13
d
2
f x x =
∫
a
b
c ∈
P a b c= + +
3
4
P = −
4
3
P = −
4
3
P =
3
4
P =
( )
3 2 3 2
0 0
d
3 2 3 2
d
d
a b a b
f x x x x cx d d cd
= + + = + +
∫
( )
( )
( )
1
0
2
0
3
0
7
d
2
d 2
13
d
2
f x x
f x x
f x x
= −
= −
=
∫
∫
∫
7
3 2 2
8
2 2 2
3
9 13
9 3
2 2
a b
c
a b c
a b c
+ + = −
⇔ + + = −
+ + =
1
3
16
3
a
b
c
=
⇔ =
= −
4
3
P a b c= + + = −
1
1
3
5
d ln
2 2
x
x a b
x
−
= +
+
∫
a
b
8
81
ab =
7
24
a b+ =
9
8
ab =
3
10
a b+ =
1
1
3
5
d
2 2
x
x
x
−
+
∫
1
1
3
1 6
1 d
2 1
x
x
= −
+
∫
( )
1
1
3
1
6ln 1
2
x x= − +
1 1 4
1 6ln 2 6ln
2 3 3
= − − +
1 8
ln
3 27
= +
1 8 8
.
3 27 81
ab = =
1
0
2
ln 2
1
ax
I dx
x
= =
+
∫
ln 2
1 ln 2
a =
−
ln 2
2 2ln 2
a =
−
ln 2
1 ln 2
a =
+
ln 2
2 2ln 2
a =
+
1
0
2
ln 2
1
ax
I dx
x
= =
+
∫
https://toanmath.com/
.
Mà .
Chọn B
Câu 62. Cho . Giá trị a + b là:
A. . B. . C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho . Giá trị a + b là:
Ta có:
.
Chọn B
Câu 63.
Biế ọ ột . G i , giá trị của thu c khoảng nào sau đây
?
A.
.
B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có
.
Vậy .
Câu 64. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D.
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn A
( )
( )
1 1
1
0
0 0
2 1
2 1 2 ln 1 2 1 ln 2
1 1
ax
I dx a dx a x x a
x x
= = − = − + = −
+ +
∫ ∫
( )
ln 2
ln 2 2 1 ln 2 ln 2
2 2ln 2
I a a= ⇔ − = ⇔ =
−
( )
1
2
0
1
ln 2 ln3
3 2
I dx a b b
x x
= = − +
+ −
∫
1
4
1
2
1
6
1
3
( )
1
2
0
1
ln 2 ln3
3 2
I dx a b b
x x
= = − +
+ −
∫
( )
1 1
1
2
0
0 0
1 1
1 1 1 1 1
4 4
ln 1 ln 3 ln 3
3 2 1 3 4 4 4 2
I dx x x a b a b
x x x x
= = + = + − − = ⇒ = = ⇒ + =
+ − + −
∫ ∫
( )
2
2
0
d ln ,
1
x
x a b a b
x
= + ∈
+
∫
2S a b= +
S
( )
8;10
( )
6;8
( )
4;6
( )
2;4
( )
2
2 2
2 2
0 0
0
0
1
d 1 d ln 1 ln3 ln 3
31 1 2
a
x x
x x x x x a b S
bx x
=
= − + = − + + = = + ⇒ ⇒ =
=
+ +
∫ ∫
( )
2;4S ∈
2
2
1
1
x
I x dx
x
= +
+
∫
10
ln 2 ln3
3
I = + −
10
ln 2 ln 3
3
I = − +
10
ln 2 ln3
3
I = − −
10
ln 2 ln 3
3
I = + +
2
2
1
1
x
I x dx
x
= +
+
∫
2
2 2
3
2 2
1 1
1
1
1 ln 1
1 1 3
8 1 10
2 ln 3 1 ln 2 ln 2 ln 3
3 3 3
x x
I x dx x dx x x
x x
= + = + − = + − +
+ +
= + − − + − = + −
∫ ∫
https://toanmath.com/
Câu 65. Nhậ ển xét: Không th dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm
tra mà Tích phân có giá tr ị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn B
Cách 2: DÙng máy tính cầm tay.
Câu 66. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
.
Chọn A
Câu 67. Tích phân ,v ới có giá trị là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân , v ới có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 68. Tích phân nh nh t khi s có giá trị ỏ ấ ố thực dương a có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân nh nh t khi s có giá trị ỏ ấ ố thực dương a có giá trị là:
Ta có:
2
2
1
1
2I x dx
x
= +
∫
5
2
I =
7
2
I =
9
2
I =
11
2
I =
2
2
1
1
2I x dx
x
= +
∫
2
2
2
2
1 1
1 1 7
2
2
I x dx x
x x
= + = − + =
∫
1
0
2
1
ax
I ax dx
x
= −
+
∫
ln 2I a= −
2ln 2I = −
2ln 2I =
ln 2I a=
1
0
2
1
ax
I ax dx
x
= −
+
∫
( )
( )
( )
1 1 1
1
1
2
0
0
0 0 0
2 2 ln 1 1 ln 2 ln 2
1 1
ax x
I ax dx a dx a xdx a x x a x a a a
x x
= − = − = − + − = − − = −
+ +
∫ ∫ ∫
1
a
a x
I dx
x a
= +
∫
0a ≠
2
1
ln
2
a
I a a
a
+
= +
2
1
ln
2
a
I a a
a
+
= +
2
1
ln
2
a
I a a
a
−
= +
2
1
ln
2
a
I a a
a
−
= +
1
a
a x
I dx
x a
= +
∫
0a ≠
2 2
1
1
1 1
ln ln ln
2 2 2 2
a
a
a x x a a
I dx a x a a a a
x a a a a
−
= + = + = + − = +
∫
3
2 2
2
2a x x
I dx
ax
+
=
∫
2 5
2
5
1
5
5
3
2 2
2
2a x x
I dx
ax
+
=
∫
https://toanmath.com/
Vì a là số . thực dương nên
Chọn A
Câu 69. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 70. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn D
Câu 71. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
.
Chọn D
Câu 72. Giá trị c a tích phân . Bi u th ủ ể ức có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
3
3 32 2
2
2 2 2
2 2 2 5 2
2 2
a x x a a
I dx ax dx x x
ax a a a
+
= = + = + = +
∫ ∫
5 2 5 2
2 . 2 5
2 2
a a
I
a a
= + ≥ =
2
2
1
b
I ax dx
x
= +
∫
7
ln 2
3
I a b= −
3 ln 2I a b= −
7
ln 2
3
I a b= +
3 ln 2I a b= +
2
2
1
b
I ax dx
x
= +
∫
2
2
2 3
1 1
7
ln ln 2
3 3
b a a
I ax dx x b x b
x
= + = + = +
∫
1
3
1
2
b
I ax dx
x
−
= +
+
∫
ln3I b= −
ln3
2
a
I b= −
ln3
2
a
I b= +
ln3I b=
1
3
1
2
b
I ax dx
x
−
= +
+
∫
1
1
3 4
1 1
ln 2 ln3
2 4
b a
I ax dx x b x b
x
− −
= + = + + =
+
∫
2
2
1
e
e
x
I dx
x
+
=
∫
2
1 1
1I
e e
= − +
2
1 1
1I
e e
= − −
2
1 1
1I
e e
= + +
2
1 1
1I
e e
= + −
2
2
1
e
e
x
I dx
x
+
=
∫
2
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
ln 1
e
e e
e e e
x
I dx dx x
x x x x e e
+
= = + = − = + −
∫ ∫
1
0
1
x
I dx a
x
= =
+
∫
2 1P a= −
1 ln 2P = −
2 2ln 2P = −
1 2ln 2P = −
2 ln 2P = −
https://toanmath.com/
Giá trị c a tích phân . Bi u th ủ ể ức có giá trị là:
Tacó:
.
Chọn C
Câu 73. Giá trị c a tích phân . Bi u th ủ ể ức có giá trị là:
A. . B. .
C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Giá trị c a tích phân . Bi u th ủ ể ức có giá trị là:
Ta có:
.
.
Chọn B
Câu 74. Biết , với . Tính giá tr .ị
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có:
V yậ
Câu 75. Tính tích phân: .
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có .
Câu 76. Tính tích phân .
1
0
1
x
I dx a
x
= =
+
∫
2 1P a= −
( )
1 1
1
0
0 0
1
1 ln 1 1 ln 2 1 ln 2 2 1 1 2ln 2
1 1
x
I dx dx x x a P a
x x
= = − = − + = − ⇒ = − ⇒ = − = −
+ +
∫ ∫
2
2
1
e
e
x x
I dx a
x
+ +
= =
∫
1P a= −
2 4
1 1
2 2
P e e e= + +
2 4
1 1
2 2
P e e e= − + +
2 4
1 1
2 2
P e e e= − − +
2 4
1 1
2 2
P e e e= + −
2
2
1
e
e
x x
I dx a
x
+ +
= =
∫
1P a= −
2
2 2
2 2 2 4
1 1
1 ln 1
2 2 2
e
e e
e e
e
x x x e e
I dx x dx x x e
x x
+ +
= = + + = + + = − + +
∫ ∫
2 4 2 4 2 4
1 1
2 2 2 2 2 2
e e e e e e
a e a e P e⇒ = − + + ⇔ − = − + + ⇔ = − + +
0
2
1
3 5 1 2
d ln
2 3
x x
I x a b
x
−
+ −
= = +
−
∫
,a b∈
2a b+
30
40
50
60
0
0 0
2 2
1 1
1
3 5 1 21 3 2 19
d 3 11 d 11 21ln 2 21.ln .
2 2 2 3 2
x x x
I x x x x x
x x
− −
−
+ −
= = + + = + + − = +
− −
∫ ∫
2 40.a b+ =
2
1
1
d
x
I x
x
+
=
∫
1 ln 2I = −
2ln 2I =
1 ln2I = +
7
4
I =
2
1
1
d
x
I x
x
+
=
∫
2
1
1
1 dx
x
= +
∫
( )
2
1
lnx x= +
1 ln2= +
1
2
0
d
9
x
I
x
=
−
∫
https://toanmath.com/
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có: .
Câu 77. Biết i vớ nguyên. Tính là các số
A. . B. . C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
. Ta có:
Khi đó:
Suy ra: Vậy
Câu 78. Biết rằ ệ đềng . M nh nào sau đây đúng?
A. C. . B. . . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
. và
Ta có:
.
Câu 79. Giả ử s . Tính .
A. . UB.U . . . C. D.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
R
BN M
Suy ra:. Do đó: .
Câu 80. Cho giá trị c , của tích phân . Giá trị ủa biểu
thức là:
A. . B. .
C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
1 1
ln
6 2
I =
1 1
ln
6 2
I = −
1
ln 2
6
I =
6
ln 2I =
1
2
0
d
9
x
I
x
=
−
∫
1
0
1 1 1
d
6 3 3
I x
x x
= = −
− +
∫
1
0
1 3
ln
6 3
x
x
−
=
+
1 1 1 1
ln ln1 ln
6 2 6 2
= − =
4
2
3
d
ln 2 ln3 ln 5,
x
I a b c
x x
= = + +
+
∫
, ,a b c
.S a b c= + +
6S =
2S =
2S = −
0.S =
4
2
3
dx
I
x x
=
+
∫
2
1 1 1 1
.
( 1) 1x x x x x x
= = −
+ + +
( )
4 4
4
3
2
3 3
d 1 1
d ln ln( 1) | (ln 4 ln 5) (ln3 ln 4) 4ln 2 ln3 ln5.
1
x
I x x x
x x x x
= = − = − + = − − − = − −
+ +
∫ ∫
4, 1, 1.a b c= = − = −
2.S =
( )
5
2
1
3
d ln5 ln 2 ,
3
x a b a b Z
x x
= + ∈
+
∫
2 0a b+ =
2 0a b− =
0a b− =
0a b+ =
( )
5 5
5
2
1
1 1
3 1 1
d d ln ln 3 ln5 ln 2
3 3
x x x x
x x x x
= − = − + = −
+ +
∫ ∫
1a⇒ =
1b = −
0a b+ =
2
2
0
1
d ln5 ln 3; ,
4 3
x
x a b a b
x x
−
= + ∈
+ +
∫
P ab=
8P =
6P = −
4P = −
5P = −
( )( )
( )
2 2 2
2
0 0 0
2
1 1 1 2
d d d ln 1 2ln 3 2ln 5 3ln3
04 3 1 3 1 3
x x
x x x x x
x x x x x x
− − −
= = + = − + + + = −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
6P ab= = −
2, 3a b= = −
2
2
1
1
2
1
x x
I dx a
x
+
= =
+
∫
2
2
1
e
e
I dx b
x
= =
∫
P a b= −
7
ln 2 ln3
2
P = + −
3
ln 2 ln3
2
P = + −
5
ln 2 ln3
2
P = + −
1
ln 2 ln3
2
P = + −
https://toanmath.com/
Cho giá trị c , ủa tích phân . Giá trị c ủa bi u thể ức
có giá trị là:
Ta có:
.
.
.
Chọn B
Câu 81. Giá tr t v i gái trị c a tích phân g n nhủ ầ ấ ớ ị nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Giá trị c a tích phân g n nh ủ ầ ất v i gái trớ ị nào sau đây?
Ta có:
Chọn A
Câu 82. Tích phân c. Giá trị ủa a là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân . Giá trị c ủa a là:
Ta có:
.
Xét .
Xét .
2
2
1
1
2
1
x x
I dx a
x
+
= =
+
∫
2
2
1
e
e
I dx b
x
= =
∫
P a b= −
2
2 2
2 2
1
1 1
1
2 1 5 5
1 ln 1 ln 2 ln3 ln 2 ln 3
1 1 2 2 2
x x x
I dx x dx x x a
x x
+
= = + − = + − + = + − ⇒ = + −
+ +
∫ ∫
( )
2
2
2
1
ln 1 1
e
e
e
e
I dx x b
x
= = = ⇒ =
∫
3
ln 2 ln3
2
P a b= − = + −
0
3 2
2
1
3 2
2
x x
I dx
x x
−
− +
=
+ −
∫
ln 2
2
−
ln 2 1−
3
ln 4
2
−
ln3
3
−
0
3 2
2
1
3 2
2
x x
I dx
x x
−
− +
=
+ −
∫
( )
( )
( )( )
0
3 2
2
1
0
2
0 0 0
2 2
1 1 1
1
3 2
2
1 2 2
2 2 6 9
4 4 6ln 2 6ln2
1 2 2 2 2 2
x x
I dx
x x
x x x
x x x
dx dx x dx x x
x x x x
−
− − −
−
− +
=
+ −
− − −
− −
= = = − + = − + + = −
− + + +
∫
∫ ∫ ∫
2
2
1
1 3 4 3 2
ln ln
3 2 5 3 5 3
ax
I dx
x x
+
= = +
+ +
∫
1
5
a =
2
5
a =
3
5
a =
4
5
a =
2
2
1
1 3 4 3 2
ln ln
3 2 5 3 5 3
ax
I dx
x x
+
= = +
+ +
∫
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1
3 2 3 2 3 2
ax x
I dx a dx dx
x x x x x x
+
= = +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( )
( )
2 2
2
1
2
1
1 1
2 1
2ln 2 ln 1
3 2 2 1
4 2
2ln 4 3ln 3 ln 2 2 ln ln
3 3
x
I a dx a dx a x x
x x x x
a a a
= = − = + − +
+ + + +
= − + = +
∫ ∫
( )
2
2
2
2
1
1
1 4 2
ln 1 ln 2 ln ln
3 2 3 3
I dx x x
x x
= = + − + = − −
+ +
∫
https://toanmath.com/
Theo đề . bài:
Chọn D
Câu 83. Tích phân c. Giá trị ủa a là:
A. . B. . C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân c. Giá trị ủa a là:
Ta có:
, v . ới
Theo đề . bài:
Chọn B
Câu 84. Biết , c. Tính giá trị ủa biểu thức
.
A. . B. . UC.U . . D.
Hướ ẫ ảng d n gi i:
Chọn C
.
.
.
Nên: .
.
Vậy , . Vậy .
Câu 85. Biết , trong đó là hai số nguyên dương và là phân số tối
giản. Tính ta được kết quả.
A. C. B. UD.U
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
Đổ ậi c n:
Khi đó:
( ) ( )
1 2
4 2
2 1 ln 1 ln
3 3
I I I a a⇒ = + = − + −
3 4 3 2 4
ln ln
5 3 5 3 5
I a= + ⇒ =
2
3
1
1 1 7
ln
3 3 2
a
x
I dx
x x
+
= =
+
∫
1a =
2a =
3a =
4a =
2
3
1
1 1 7
ln
3 3 2
a
x
I dx
x x
+
= =
+
∫
( )
3
3
3
2 3
3
3
4
1 4
1 1 1 1 1 3
ln ln
3 3 3 3 4
a a a
a a
x a a
I dx dt t
x x t
+
+
+ +
= ⇒ = =
+
∫ ∫
3
3t x x= +
( )
( )
3
3 2
1 3 1 7
ln ln 3 14 0 2 2 7 0 2
3 4 3 2
a a
a a a a a a
+
= ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ =
( )( )
1
d .ln 1 .ln 2
1 2
x
x a x b x C
x x
+
= − + − +
− −
∫
,a b ∈
a b+
1a b+ =
5a b+ =
1a b+ = −
5a b+ = −
( )( )
1
1 2 1 2
x A B
x x x x
− −
= +
− − − −
( ) ( )
1 2 1x A x B x⇔ − − = − + −
1 2
2 1 3
A B A
A B B
+ = − =
⇔ ⇔
− − = − = −
( )( )
1 2 3
d d
1 2 1 2
x
x x
x x x x
+
= −
− − − −
∫ ∫
2ln 1 3ln 2x x C= − − − +
2a =
3b = −
1a b+ = −
1
2
0
3 1 5
d 3ln
6 9 6
x a
x
x x b
−
= −
+ +
∫
,a b
a
b
ab
5.ab = −
27.ab =
6.ab =
12.ab =
( )
1 1
22
0 0
3 1 3 1
d d
6 9
3
x x
x x
x x
x
− −
=
+ +
+
∫ ∫
3 ; 3t x dt dx x t= + ⇒ = = −
0 3; 1 4x t x t= ⇒ = = ⇒ =
https://toanmath.com/
.
Câu 86. Biết i vớ , , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
, suy ra .
Vậy .
Câu 87. Giả ử s . Khi đó giá trị là:
A. 30. 40. B. C. D. 50. 60.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
Câu 88. Biết rằng . M ệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i:
Chọn D
.
Vậy .
Câu 89. Nếu cthì giá trị ủa là
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
( )
( )
1 4 4
2 2 2
0 3 3
4
3 3 1
3 1 3 10 10
d dt dt 3ln
3
3
t
x
K x t
t t t t
x
− −
−
= = = − = +
+
∫ ∫ ∫
5 4 5
3ln 4 3ln 3 3ln 4, 3 . 12
6 3 6
a b a b= − − = − ⇒ = = ⇒ =
3
2
2
2
3 2
d ln 7 ln 3
1
x x
x a b c
x x
− +
= + +
− +
∫
a
b
c ∈
2 3
2 3T a b c= + +
4T =
6T =
3T =
5T =
( )
3 3
2
3
2
2 2
2
2 2
3 2 2 1
d 1 d ln 1 ln7 ln 3 1
1 1
x x x
x x x x x
x x x x
− + −
= − = − − + = − + +
− + − +
∫ ∫
1
1
1
a
b
c
= −
=
=
2 3
2 3 4T a b c= + + =
0
2
1
3 5 1 2
.ln
2 3
x x
I dx a b
x
−
+ −
= = +
−
∫
2a b+
0
2 2
0
1
1
0
3 5 1 21 3 2 19
d 3 11 d 11 21ln 2 21ln
12 2 2 3 2
x x x
I x x x x x
x x
−
−
+ −
= = + + = + + − = +
−
− −
∫ ∫
5
2
1
3
d ln5 ln 2
3
x a b
x x
= +
+
∫
( )
,a b ∈
2 0a b+ =
2 0a b− =
0a b− =
0a b+ =
5 5
2
1 1
3 1 1
d d
3 3
x x
x x x x
= −
+ +
∫ ∫
( )
5
1
ln | | ln | 3| ln 5 ln 2x x= − + = −
1, 1a b= = −
3
2
2
2
d ln5 ln3 3ln 2
2 3 1
x
x a b
x x
+
= + +
− +
∫
( )
,a b ∈
2P a b= −
1P =
7P =
15
2
P = −
15
2
P =
https://toanmath.com/
.
Do đó , , .
Câu 90. Cho , v i , , hớ là các số ữu tỉ. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
.
Câu 91. Biết rằng với , , á . H i giỏ trị thuộc kho ng nàả o sau
đây?
A. . . B. C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có: ,
.
Câu 92. Biết i vớ nguyên. Tính là các số
A. . . B. C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
3
2
2
2
d
2 3 1
x
x
x x
+
− +
∫
3 3
2 2
2 2
1 4 3 11 1
d d
4 2 3 1 4 2 3 1
x
x x
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
( )
( )( )
3 3
2
2
2 2
1 1 11 1
d 2 3 1 d
4 2 3 1 4 1 2 1
x x x
x x x x
= − + +
− + − −
∫ ∫
3
3
2
2
2
1 11 1 2
ln 2 3 1 d
4 4 1 2 1
x x x
x x
= − + + −
− −
∫
3
3
2
2
2
1 11 1
ln 2 3 1 ln
4 4 2 1
x
x x
x
−
= − + +
−
( )
1 11 2 1
ln10 ln3 ln ln
4 4 5 3
= − + −
1 10 11 6
ln ln
4 3 4 5
= +
( ) ( )
1 11
ln5 ln 2 ln3 ln2 ln3 ln 5
4 4
= + − + + −
5 5
ln5 ln 3 3ln 2
2 2
= − + +
5
2
a = −
5
2
b =
15
2
P = −
3
2
1
3
d ln2 ln 3 ln 5
3 2
x
x m n p
x x
+
= + +
+ +
∫
m
n
p
2 2
S m n p= + +
6S =
4S =
3S =
5S =
3
2
1
3
d
3 2
x
x
x x
+
+ +
∫
( )( )
3
1
3
d
1 2
x
x
x x
+
=
+ +
∫
( )
( )( )
3
1
2 4 1
d
1 2
x x
x
x x
+ − +
=
+ +
∫
( )( ) ( )( )
3
1
2 4 1
d
2 1 2 1
x x
x
x x x x
+ +
= −
+ + + +
∫
3 3
1 1
2 1
d d
1 2
x x
x x
= −
+ +
∫ ∫
( ) ( )
3 3
1 1
2ln 1 ln 2x x= + − +
( )
2ln 4 2ln 2 ln5 ln3= − − −
4
2ln ln 5 ln 3
2
= − +
2ln 2 ln3 ln 5= + −
2
1
1
m
n
p
=
⇔ =
= −
( )
2
2
2 1 1 6S⇔ = + + − =
2
2
0
d ln
1
x
x a b
x
= +
+
∫
a
b ∈
0b >
2a b+
( )
8;10
( )
6;8
( )
4;6
( )
2;4
2
2 2
2 2
0 0
0
1
d 1 d ln 1 ln 3
1 1 2
x x
x x x x x
x x
= − + = − + + =
+ +
∫ ∫
0a⇒ =
3b =
2 3a b⇒ + =
4
2
3
d
ln 2 ln3 ln 5
x
I a b c
x x
= = + +
+
∫
, ,a b c
S a b c= + +
6S =
2S =
2S = −
0S =
https://toanmath.com/
Cách 1:
.
Suy ra .
Cách 2:
Ta có:
Suy ra .
Câu 93. Biết i thì , vớ , ng là các số nguyên thu c khoộ ả và là
nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có .
Suy ra ho , là nghiặc và ệm của phương trình .
Câu 94. Biết với , nguyên. Tính . là các số
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có .
Vậy , . Suy ra .
47T 47T 47TCâu 95. Biết , . Giá trị c ủa biểu thức
b ngằ
47TA. . . . . B. C. D.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
47T .
47TKhi đó: .
Câu 96. Tìm giá trị c .ủa để
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i:
Chọn B
( )
4
4 4
2
3
3 3
1 1 4 3
d d ln ln ln 4ln 2 ln 3 ln 5
1 1 5 4
x
I x x
x x x x x
= = = = − = − −
+ + +
∫ ∫
4, 1a b c= = = −
2S⇒ =
( )
4 4 4 4
2
3 3 3 3
1 1 1 1
d d d d ln 4 ln3 ln5 ln 4 4 ln2 ln3 ln5
1 1
I x x x x
x x x x x x
= = = − = − − + = − −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
4, 1a b c= = = −
2S⇒ =
2
2
1
d 1 1
4 4 1
x
x x a b
= +
− +
∫
a
b
( )
7;3−
a
b
2
2 1 0x x− − =
2
4 12 0x x+ − =
2
5 6 0x x− + =
2
9 0x − =
( )
2 2
22
1 1
d d
4 4 1
2 1
x x
x x
x
=
− +
−
∫ ∫
( ) ( )
2
2
1
1
2 1 d 2 1
2
x x
−
= − −
∫
2
1
1 1
2 2 1x
= − ⋅
−
1 1
6 2
= − +
1 1
6 2
= +
−
6
2
a
b
= −
=
2
6
a
b
=
= −
a
b
2
4 12 0x x+ − =
5
2
3
1
d ln
1 2
x x b
x a
x
+ +
= +
+
∫
a
b
2S a b= −
2S = −
5S =
2S =
10S =
5
5 5
2
2
3 3 3
1 1 1 25 9 3
d d ln 1 ln 6 ln 4 8 ln
1 1 2 2 2 2
x x
x x x x x
x x
+ +
= + = + + = + − − = +
+ +
∫ ∫
8a =
3b =
2 8 2.3 2S a b= − = − =
( )( )
3
0
d
ln 2 ln5 ln 7
2 4
x
a b c
x x
= + +
+ +
∫
( )
, ,a b c ∈
2 3a b c+ −
5
4
2
3
( )( )
3
0
d
2 4
x
x x+ +
∫
3
0
1 1 1
d
2 2 4
x
x x
= −
+ +
∫
( )
3
0
1
ln 2 ln 4
2
x x= + − +
1 1 1
ln5 ln 7 ln 2
2 2 2
= − +
2 3a b c+ −
1 1 1
2. 3. 3
2 2 2
= + + =
a
( )( )
4
3
1
d ln
1 2
x a
x x
=
− −
∫
12
4
3
1
3
3
4
https://toanmath.com/
Câu 97. Cho v , ới là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. . . B. C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có: và
Do đó , .
Vậy .
Câu 98. Biết . Tính .
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có:
.
.
Nên
. V y . ậ
Câu 99. Cho v , , ới là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có:
.
Vậy .
Câu 100. Biết . Tính .
A. C. . B. . . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
( )( )
4 4
3 3
1 1 1
d d
1 2 2 1
x x
x x x x
= −
− − − −
∫ ∫
4
3
2 2 1 2 2 4
ln ln ln ln . ln ln
1 3 2 3 1 3
x
a
x
−
= = − = = =
−
4
3
a⇒ =
1
0
1 1
ln 2 ln3
1 2
dx a b
x x
− = +
+ +
∫
a
b
2a b+ =
2 0a b− =
2a b+ = −
2 0a b+ =
1
0
1
ln 1 ln 2
01
dx
x
x
= + =
+
∫
1
0
1
ln 2 ln3 ln 2
02
dx
x
x
= + = −
+
∫
( )
1
0
1 1
ln 2 ln 3 ln 2 2 ln2 ln3
1 2
dx
x x
− = − − = −
+ +
∫
2a⇒ =
1b = −
2 0a b+ =
3
2
2
5 12
d ln 2 ln 5 ln 6
5 6
x
x a b c
x x
+
= + +
+ +
∫
3 2S a b c= + +
3
14−
2−
11−
2
5 12
5 6
x
x x
+
+ +
( )( )
5 12
2 3
x
x x
+
=
+ +
2 3
A B
x x
= +
+ +
( )
2
3 2
5 6
A B x A B
x x
+ + +
=
+ +
5 2
3 2 12 3
A B A
A B B
+ = =
⇔
+ = =
3
2
2
5 12
d
5 6
x
x
x x
+
+ +
∫
3 3
2 2
2 3
d d
2 3
x x
x x
= +
+ +
∫ ∫
3 3
2 2
2ln 2 3ln 3
x x= + + +
3ln 6 ln5 2ln 4= − −
4ln 2 ln5 3ln 6= − − +
3 2 11S a b c= + + = −
2
2
1
1
d ln 2 ln3 ln 5
5 6
x a b c
x x
= + +
+ +
∫
a
b
c
4a b c+ + =
3a b c+ + = −
2a b c+ + =
6a b c+ + =
( )
2 2
2
2
1
1 1
1 1 1
d d ln 2 ln 3
5 6 2 3
x x x x
x x x x
−
= + = + − +
+ + + +
∫ ∫
( ) ( )
ln4 ln5 ln 3 ln 4 2ln 4 ln 3 ln5 4ln 2 ln 3 ln5= − − − = − − = − −
( ) ( )
4 1 1 2a b c+ + = + − + − =
( ) ( ) ( )
2
3 2
1
d ln 1 2 3
6 11 6
m n p
x
x x x x C
x x x
+
= − − − +
− + −
∫
( )
4 m n p+ +
5
0
2
4
https://toanmath.com/
Ta có:
.
Suy ra
.
Vậy .
Câu 101. Cho v , nguyên. M ới là các số ệnh đề nào sau đây đúng?
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có .
Suy ra .
Câu 102. Biết tìm các giá trị c ủa để
.
A. . . B. C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có:
Mà
Mặt khác ta có .
Vậy để . thì
( )( )( )
2 2
3 2
1 1
6 11 6 1 2 3 1 2 3
x x A B C
x x x x x x x x x
+ +
= = + +
− + − − − − − − −
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
2
2 3 1 3 1 2
1
1 2 3 1 2 3
A x x B x x C x x
x
x x x x x x
− − + − − + − −
+
⇔ =
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
1 2 3 1 3 1 2x A x x B x x C x x⇔ + = − − + − − + − −
1 1
5 4 3 0 5
6 3 2 1 5
A B C A
A B C B
A B C C
+ + = =
⇒ − − − = ⇔ = −
+ + = =
2
3 2
1 1 1 1
d d 5 d 5 d
6 11 6 1 2 3
x
x x x x
x x x x x x
+
= − +
− + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
( )( ) ( )
5 5
ln 1 2 3x x x C
−
= − − − +
( )
4 4m n p+ + =
3
2
2
8
d ln 2 ln5
2
x
x a b
x x
+
= +
+ −
∫
a
b
3a b+ =
2 11a b− =
5a b− =
2 11a b+ =
3 3
2
2 2
8 3 2
d d
2 1 2
x
x x
x x x x
+
= −
+ − − +
∫ ∫
3 3
2 2
3ln 1 2ln 2x x= − − +
7ln2 2 ln5= −
7
2
a
b
=
= −
2 11a b⇒ − =
1
3 2
0
2 3 1 3
d ln
2 2
x x
x b
x a
+ +
= +
+
∫
( )
, 0a b >
k
( )
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
+
∫
0k <
0k ≠
0k >
k ∈
1 1
3 2
2
0 0
2 3 3
d d
2 2
x x
x x x
x x
+ +
= +
+ +
∫ ∫
1
3
0
1 1 3
3ln 2 3ln
3 3 2
x x= + + = +
3
3
a
b
=
⇒
=
9
8 8
d d 1
ab
x x⇒ = =
∫ ∫
( )
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
+
∫
( )
2
1 2017
1 lim
2018
x
k x
x
→+∞
+ +
⇒ <
+
( )
2
2
1 2017
lim 1
2018
x
k x
k
x
→+∞
+ +
= +
+
( )
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
+
∫
2
1 1k< +
2
0k⇒ >
0k⇒ ≠
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Câu 103. Tính tích phân .
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có .
Câu 104. Biết r . Giá trằng ị c ủa là:
A. – 1. UBU. – 2. C. – 3. D. . – 4
Hướ ẫ ảng d n gi i
Biết r . Giá trằng ị c ủa là:
Ta có:
.
Chọn B
Câu 105. Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có: .
Câu 106. Cho , . Tính .
A. . . B. C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
.
Do đó , , .
Câu 107. Biết tích phân với , là các số thực. Tính tổng
.
A. . . B. C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
2
0
4 1 dI x x= +
∫
13
13
3
4
4
3
2
0
4 1 dI x x= +
∫
( )
2
1
2
0
4 1 dx x= +
∫
( )
2
3
2
0
1 2
. 4 1
4 3
x= +
13
3
=
( )
1
1
0
1 2
6
a
I x x dx b= + + = +
∫
3
4
a b−
( )
1
1
0
1 2
6
a
I x x dx b= + + = +
∫
3
4
a b−
( )
( )
1
1
2
3
1
0
0
2 1 4 2 4 3
1 1 1, 2
2 3 6 3 3 4
x
I x x dx x a b a b
= + + = + + = − + ⇒ = − = ⇒ − = −
∫
2
0
1
2 2
I dx
x
=
+
∫
1
1
2
I = −
2 2I =
1
2
2
I = −
2 2I = −
2
2
0
0
1
2 2 2
2 2
I dx x
x
= = + = −
+
∫
1
0
d 8 2
3 3
2 1
x
a b a
x x
= − +
+ + +
∫
( )
*
,a b ∈
2a b+
2 7a b+ =
2 8a b+ =
2 1a b+ = −
2 5a b+ =
1
0
d
2 1
x
x x+ + +
∫
( )
1
0
2 1 dx x x= + − +
∫
( ) ( )
( )
1
3 3
0
2
2 1
3
x x= + − +
8 2
2 3 2
3 3
= − +
2a =
3b =
2 8a b+ =
1
0
3
d
9
3 1 2 1
x a b
x
x x
+
=
+ + +
∫
a
b
T a b= +
10T = −
4T = −
15T =
8T =
https://toanmath.com/
Ta có
.
Câu 108. Tích phân có giá trị là:
A. . B. .
C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn B
Câu 109. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn A
Câu 110. Biết r i ằng . Vớ , , . là số nguyên dương. Tính
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
Suy ra , , . V y . ậ
( )
( )
1 1 1
0 0 0
3 1 2 1
d d 3 1 2 1 d
3 1 2 1
x x x
x
x x x x x
xx x
+ − +
= = + − +
+ + +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 1 3 3
2 2 2 2
0 0
2 1
3 1 2 1 d 3 1 2 1
9 3
x x x x x
= + − + = + − +
∫
16 2 1 17 17 9 3
3 3
9 9 3 9 9
−
= − − − = − =
0
1
a
I x x dx= +
∫
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= + +
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= − +
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= + −
( ) ( )
5 3
2 1 2 1
4
5 3 15
a a
I
+ +
= − −
0
1
a
I x x dx= +
∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 1
2 2
0 0 0 0 0
5 3
5 3
2 2
0 0
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 4
= 1 1 = 1 1
5 3 5 3 15
a a a a a
a a
I x x dx x x dx x dx x dx x dx
x x x x
= + = + + − + = + − +
+ − + + − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1
1
1 1
x
I dx
x
−
=
+ −
∫
4 2
2
3
I = +
4 2
2
3
I = −
4 2
1
3
I = −
4 2
1
3
I = +
1
1
1 1
x
I dx
x
−
=
+ −
∫
( )
( )
1
1 1
3
2
1 1 1
2 4 2
1 1 1 1 1 2
3 3
1 1 1 1
x x
x I dx x dx x x
x x
− − −
= + + ⇒ = = + + = + + = +
+ − + −
∫ ∫
4
2
3
2 4
d
2
x x a b
I x
c
x x
− + −
= =
+ −
∫
a
b
c
a b c+ +
39
27
33
41
( ) ( )
4
4 4
2 2
3
3 3
3
2 2 25 8 2 25 4 8
d 2 d 2
2 3 6 6
2
x x x
x x x x x
x x
− + − −
= − − = − − = =
+ −
∫ ∫
25a =
8b =
6c =
39a b c+ + =
https://toanmath.com/
Câu 111. Biết i vớ là các số nguyên dương. Tính
.
A. C. D. . B. . . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
.
Vậy ; ; nên .
Câu 112. Biết i vớ , , là các số nguyên dương. Tính
.
A. C. . B. . . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có: , nên:
.
Mà nên . Suy ra: .
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 113. Tính 19Ttích19T phân .
A. C. . B. . . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có .
Câu 114. Tính tích phân .
( )
2
1
d
2 2
x
a b c
x x x x
= + −
+ + +
∫
, ,a b c
P a b c= + +
2P =
8P =
46P =
22P =
( )
2
1
d
2 2
x
x x x x+ + +
∫
( )
2
1
d
2 2
x
x x x x
=
+ + +
∫
( )
2
1
2
d
2 2
x x
x
x x
+ −
=
+
∫
2
1
1 1
d
2 2 2
x
x x
= −
+
∫
( )
2
1
2x x= − +
2 3 3= + −
2a =
3b =
3c =
8P a b c= + + =
( )
2
1
d
1 1
x
I a b c
x x x x
= = − −
+ + +
∫
a
b
c
P a b c= + +
24P =
12P =
18P =
46P =
1 0x x+ − ≠
[ ]
1;2x∀ ∈
( )
2
1
d
1 1
x
I
x x x x
=
+ + +
∫
( )
( )
2
1
d
1 1
x
x x x x
=
+ + +
∫
( )
( )
( )( )
2
1
1 d
1 1 1
x x x
x x x x x x
+ −
=
+ + + + −
∫
( )
( )
2
1
1 d
1
x x x
x x
+ −
=
+
∫
2
1
1 1
d
1
x
x x
= −
+
∫
( )
2
1
2 2 1
x x
= − +
4 2 2 3 2= − −
32 12 2
= − −
I a b c= − −
32
12
2
a
b
c
=
=
=
32 12 2 46P a b c= + + = + + =
0
sin3 dx x
π
∫
1
3
−
1
3
2
3
−
2
3
0
0
1
sin3 d cos3
3
x x x
π
π
= −
∫
( )
1 2
1 1
3 3
= − − − =
2
0
sin d
4
I x x
π
π
= −
∫
https://toanmath.com/
A. D. . B. . C. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
.
Câu 115. Tích phân bằng?
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có .
Câu 116. Biết i , vớ , h . Tính .là các số ữu tỉ
A. C. D. . B. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có: . V y . ậ
Câu 117. Số các số nguyên thỏa mãn là
A. . B. . C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i.
Chọn B
Ta có
.
Vì .
Vì s nguyên c . có tất cả ố ủa
Câu 118. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. Cả A, B, C đều
sai.
Hướ ẫ ảng d n gi i
4
I
π
=
1I = −
0I =
1I =
2
0
sin d
4
I x x
π
π
= −
∫
2
0
cos
4
x
π
π
= −
cos cos 0
4 4
π π
= − − =
3
2
4
d
sin
x
I
x
π
π
=
∫
cot cot
3 4
π π
−
cot cot
3 4
π π
+
cot cot
3 4
π π
− +
cot cot
3 4
π π
− −
3
2
4
d
sin
x
I
x
π
π
=
∫
3
4
cot x
π
π
= −
2
3
cos 3xdx a b
π
π
= +
∫
a
b
2 6T a b= +
3T =
1T = −
4T = −
2T =
2
3
cos xdx
π
π
∫
2
3
sin x
π
π
=
3
1
2
= −
2 6 2 3 1a b+ = − = −
cot cot
3 4
π π
= − +
0
cos2x d 0
m
x =
∫
643
1284
1285
642
0
1 1
cos2x 0 sin 2 0 sin 2 0 sin 2 0 2 ,
02 2 2
m
m
k
dx x m m m k m k
π
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
∫
( )
4043
0;2017 0 2017 0 1284,06
2
k
m k
π
π
∈ ⇒ < < ⇔ < < ≈
k ∈ ⇒
1284
m
2
0
sinI xdx
π
=
∫
1I =
0I =
1I = −
https://toanmath.com/
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính c ầm tay.
Câu 119. Có bao nhiêu s c kho ng sao cho ?ố thực thuộ ả
A. . . . B. C. D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có: .
Do đó, có 4 số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 120. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Cách 1 : .
Chọn C
Cách 2: Dùng máy tính c ầm tay.
Câu 121. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn C
2
0
sinI xdx
π
=
∫
( )
2
2
0
0
sin cos 1I xdx x
π
π
= = − =
∫
b
( )
;3
π π
4cos2 d 1
b
x x
π
=
∫
8
2
4
6
4cos2 d 1
b
x x
π
=
∫
2sin 2 1
b
x
π
⇔ =
1
sin 2
2
b⇔ =
12
5
12
b k
b k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
b
( )
2
2
sin cosI x x dx
π
π
−
= −
∫
1I =
2I =
2I = −
1I = −
( )
2
2
sin cosI x x dx
π
π
−
= −
∫
( )
0;2017m ∈
( ) ( )
2
2
2
2
sin cos cos sin 2I x x dx x x
π
π
π
π
−
−
= − = − − = −
∫
( )
6
2
sin 2 cos3I x x dx
π
π
−
= −
∫
2
3
I =
3
4
I =
3
4
I = −
2
3
I = −
( )
6
2
sin 2 cos3I x x dx
π
π
−
= −
∫
( )
6
6
2
2
1 1 3
sin 2 cos3 cos 2 sin3
2 3 4
I x x dx x x
π
π
π
π
−
−
= − = − − = −
∫
https://toanmath.com/
Cách 2: Dùng máy tính c ầm tay.
Câu 122. Kết quả của tích phân được viết ở dạng , . Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. . . B. C. D. . .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
.
Vậy , . Suy ra . Vậy B sai.
Câu 123. Cho tích phân v . Tính ới
A. . . B. C. . D. .
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
.
.
Vậy .
.
Câu 124. Cho tích phân , . Tính
A.
3−
B.
1
. C.
2−
. D.
1
3
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
( )
( )
2
2
2
0
0
1
4 1 cos d 2 sin 1
2 2
x x x x x x
π
π
π
π
− + = − + = − +
∫
.
Suy ra
2a =
,
2b =
,
1c =
nên
1a b c− + =
.
Câu 125. Biết
( )
6
2
0
3
3 4sin d
6
a c
x x
b
π
π
+ = −
∫
, trong đó
a
,
b
nguyên dương và
a
b
tối giản. Tính
a b c+ +
.
A.
8
. B.
16
. C.
12
. . D
14
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
( )
2
0
2 1 sin dx x x
π
− −
∫
a
b ∈
2 8a b+ =
5a b+ =
2 3 2a b− =
2a b− =
( )
( )
22
2
2
0
0
1
2 1 sin d cos 1 1
4 2 4 2
x x x x x x
π
π
π π π
π
− − = − + = − − = − −
∫
4a =
2b =
6a b+ =
2
0
cos2
d
1 sin
x
x a b
x
π
π
= +
+
∫
,a
b ∈
3 2
1P a b= + +
9P =
29P =
11P =
25P = −
2
0
cos2
d
1 sin
x
x
x
π
+
∫
22
0
1 2sin
d
1 sin
x
x
x
π
−
=
+
∫
2
0
1
2sin 2 d
1 sin
x x
x
π
= − + −
+
∫
2
0
1
2sin 2 d
1 cos
2
x x
x
π
π
= − + −
+ −
∫
( )
2
2
0
2
0
1
2cos 2 d
2cos
2 4
x x x
x
π
π
π
= + −
−
∫
1
2 .2 tan
2
2 2 4
0
x
π
π
π
= − + − −
3
π
= − +
3, 1a b= − =
3 2
1 25P a b= + + = −
( )
2
0
1
4 1 cos dx x x c
a b
π
π
π
− + = − +
∫
( )
, ,a b c ∈
a b c− +
https://toanmath.com/
Chọn D
Ta có:
( )
( )
6 6
2
0 0
3 4sin d 3 2 1 cos 2 dx x x x
π π
+ = + −
∫ ∫
( )
6
0
5 2 cos2 dx x
π
= −
∫
5 3 3
6 6
π
= −
.
Suy ra
5a =
,
6b =
,
3c =
.
Vậy
14a b c+ + =
.
Câu 126. Cho giá trị của tích phân
( )
3
1
2
sin 2 cosI x x dx a
π
π
−
= + =
∫
,
( )
3
2
3
cos2 sinI x x dx b
π
π
−
= + =
∫
. Giá trị
của a + b là:
A.
3
3
4
P = +
. B.
3 3
4 2
P = +
. C.
3
3
4
P = −
. D.
3 3
4 2
P = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho giá trị của tích phân
( )
3
1
2
sin 2 cosI x x dx a
π
π
−
= + =
∫
,
( )
3
2
3
cos2 sinI x x dx b
π
π
−
= + =
∫
. Giá trị
của a + b là:
Cách 1:
Ta có:
( )
3
3
1
2
2
1 3 3 3 3
sin 2 cos cos 2 sin
2 4 2 4 2
I x x dx x x a
π
π
π
π
−
−
= + = − + = + ⇒ = +
∫
.
( )
3
3
2
3
3
1 3 3
cos2 sin sin 2 cos
2 2 2
I x x dx x x b
π
π
π
π
−
−
= + = − = ⇒ =
∫
.
3
3
4
P a b⇒ = + = +
.
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính c r t quen thu c sinh có th nh ầm tay vì các giá trị ấ ộc họ ể ận ra.
Câu 127. Cho giá tr a tích phân ị củ
( )
2
3
1
3
sin3 cos 3I x x dx a
π
π
−
= + =
∫
,
2
2
2
1 1 1
1
e
e
I dx b
x x x
= + − =
+
∫
. Giá
trịa.b g n nhầ ất v i giá trớ ị nào sau đây?
A.
8
. B.
16
. C.
10
. . D
1
.
Ta có:
( )
2
2
3
3
1
3
3
1 1 2 2
sin3 cos 3 cos3 sin 3
3 3 3 3
I x x dx x x a
π
π
π
π
−
−
= + = − + = − ⇒ = −
∫
.
https://toanmath.com/
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
ln ln 1 ln 2 ln 2 1 ln 1
1 2
1 1
ln 2 ln 2 1 ln 1
2
e
e
e e
I dx x x e e
x x x x e e
b e e
e e
= + − = − − + = − + − + + +
+
⇒ = − + + − + + +
∫
. 0,2198a b⇒ ≈ −
.
Chọn D
Câu 128. Tích phân
( )
2
2
sin cosI ax ax dx
π
π
−
= +
∫
, với
0a ≠
có giá trị là:
A.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − − +
.
B.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − + +
.
C.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − + − +
.
D.
2
sin sin
2 4 2 4
I a a
a
π π π π
= − − + +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
2
2
sin cosI ax ax dx
π
π
−
= +
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )
22
2
2
2
2
1 1 2
sin cos cos sin sin
4
2
sin sin
2 4 2 4
I ax ax dx ax ax ax
a a a
a a
a
ππ
π
π
π
π
π
π π π π
−
−
−
= + = − + = −
= − + +
∫
.
Chọn B
Câu 129. Biết
π
3 22
0
cos sin π
d
1 cos
x x x x b
I x
x a c
+ −
= = −
+
∫
. Trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương, phân số
b
c
t i gi n. Tính ố ả
2 2 2
T a b c= + +
.
A.
16T =
. B.
59T =
. C.
69T =
. D.
50T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
32
0
cos sin
d
1 cos
x x x x
I x
x
π
+ −
=
+
∫
32
0
sin
d
1 cos
x
x x
x
π
= −
+
∫
( )
2 2
0 0
d 1 cos sin dx x x x x
π π
= − −
∫ ∫
2
2
2
0
1
cos cos
8 2
x x
π
π
= + −
2
1
8 2
π
= −
.
Như vậy
8a =
,
1b =
,
2c =
. V y ậ
2 2 2
69T a b c= + + =
.
https://toanmath.com/
Câu 130. Cho hàm số
( )
sin 2 cos2f x a x b x= −
thỏa mãn
' 2
2
f
π
= −
và
3
b
a
adx =
∫
. Tính tổng
a b+
b ng:ằ
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
8.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
( )
' 2 cos2 2 sin 2f x a x b x= +
' 2 2 2 1
2
f a a
π
= − ⇔ − = − ⇔ =
1
d d 3 1 3 4
b b
a
a x x b b= = ⇔ − = ⇔ =
∫ ∫
Vậy
1 4 5.a b
+ = + =
Câu 131. Cho tích phân
0
3
cos2 cos 4 d 3x x x a b
π
−
= +
∫
, trong đó
a
,
b
là các hằ ống s hữu t . Tính ỉ
2
e log
a
b+
.
A.
2−
. B.
3−
. C.
1
8
. D.
0
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có:
0
3
cos2 cos4 dx x x
π
−
∫
=
( )
0
3
1
cos6 cos 2 d
2
x x x
π
−
+
∫
0
3
1 1 1
sin 6 sin 2
2 6 2
x x
π
−
= +
=
1
3
8
.
Do đó ta có
0a =
,
1
8
b = −
. V y ậ
2
e log
a
b+
=
0
2
1
e log
8
+
=
2−
.
Câu 132. Cho
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
1 sin 2
y
x
=
+
với
\ ,
4
x k k
π
π
−
∀ ∈ + ∈
, biết
( )
0 1F =
;
( ) 0F
π
=
. Tính
11
12 12
P F F
π π
= − −
.
A.
2 3P = −
. B.
0P =
. C. Không tồn tại
P
. D.
1P =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
11 11
0 0
12 12 12 12
P F F F F F F F F
π π π π
π π
−
= − = − − − + − + −
0
11
12 12
1 1
d d 1
1 sin 2 1 sin 2
x x
x x
π
π π
−
= − + +
+ +
∫ ∫
.
Ta có
( )
2
2
1 1 1
1 sin 2
sin cos
2cos
4
x
x x
x
π
= =
+
+
−
nên
https://toanmath.com/
( )
0
0
12
12
1 1 1
d tan 1 3
1 sin 2 2 4 2
x x
x
π
π
π
−
−
= − = − +
+
∫
;
( )
11
11
12
12
1 1 1
d tan 1 3
1 sin 2 2 4 2
x x
x
π
π
π
π
π
= − = − +
+
∫
.
Vậy
1P =
.
Câu 133. Cho
M
,
N
là các số thực, xét hàm số
( )
.sin π .cos πf x M x N x= +
thỏa mãn
( )
1 3f =
và
( )
1
2
0
1
d
π
f x x = −
∫
. Giá trị của
1
4
f
′
bằng
A.
5π 2
2
. B.
5π 2
2
−
. C.
π 2
2
−
. D.
π 2
2
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
( )
1 3f =
.sin π .cos π 3M N⇔ + =
3N⇔ = −
.
Mặt khác
( )
1
2
0
1
d
π
f x x = −
∫
( )
1
2
0
1
.sin π 3.cos π d
π
M x x x⇔ − = −
∫
1
2
0
3 1
cos π sin π
π π π
M
x x
⇔ − − = −
3 1
π π π
M
⇔ − + = −
2M⇔ =
.
Vậy
( )
2sin π 3cos πf x x x= −
nên
( )
2π cos π 3πsin πf x x x
′
= +
1 5π 2
4 2
f
′⇒ =
.
Câu 134. Tích phân
( )
2
2
0
cos 1 cosI x xdx
π
= −
∫
có giá trị là:
A.
1
4 3
I
π
= −
. B.
2
4 3
I
π
= − −
. C.
1
4 3
I
π
= +
. D.
2
4 3
I
π
= − +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
2
2
0
cos 1 cosI x xdx
π
= −
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
( )
( )
1
32 2 2
2
2 2 2
0 0 0 0
0
1 1 2
cos 1 cos cos 1 sin cos sin 2
3 2 2 3 4
t
I x xdx x x dx xdx t x x
π π π
π
π
= − = − − = − − + = −
∫ ∫ ∫
, với
sint x=
.
Chọn D
Câu 135. Biết tích phân
2
1
3
sinI xdx a
π
π
= =
∫
. Giá trị của
1
2
2
3
1
ln 2 ln5
a
x
I dx b c
x x
+
= = −
+
∫
. Thương số gi ữa b
và c là:
A. – 2 – 4. B. . C. 2. D. 4.
Hướ ẫ ảng d n gi i
https://toanmath.com/
Biết tích phân
2
1
3
sinI xdx a
π
π
= =
∫
. Giá trị của
1
2
2
3
1
ln 2 ln5
a
x
I dx b c
x x
+
= = −
+
∫
. Thương số giữa b
và c là:
Ta có:
( )
2
2
1
3
3
1
sin cos
2
I xdx x
π
π
π
π
= = =
∫
.
( )
1 1
2 2
2
5
2
3 3
81
2
1 1 1 4 1 4 1
ln ln 2 ln 5 , 4
3 3 3 3 3
a
x x b
I dx dx t b c
x x x x c
+ +
⇒ = = = = − ⇒ = = − ⇒ = −
+ +
∫ ∫
.
Chọn B
Câu 136. Cho
( )
( )
3
2
6
0
0
sin3 cos cos3 sin sin 2I x x dx a x bx c x
π
π
= + = + +
∫
. Giá trị của
3 2 4a b c+ +
là:
A. – 1 – 2. B. 1. C. . D. 2.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho
( )
( )
3
2
6
0
0
sin3 cos cos3 sin sin 2I x x dx a x bx c x
π
π
= + = + +
∫
. Giá trị của
3 2 4a b c+ +
là:
Ta có:
( )
3 3
3
2
1
0 0
0
1 cos2 1 1 1
sin3 cos sin 3 cos3 sin 2
2 3 2 4
1 1 1
, , 3 2 4 1
3 2 4
x
I x x dx x dx x x x
a b c a c c
π
π
π
+
= + = + = − + +
⇒ = − = = ⇒ + + =
∫ ∫
Chọn B
Câu 137. Cho
tan d
n
n
I x x
=
∫
với
n ∈
. Khi đó
( )
0 1 2 3 8 9 10
2 ...I I I I I I I+ + + + + + +
bằng
A.
( )
9
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. B.
( )
1
9
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
. C.
( )
10
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. D.
( )
1
10
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
2 2
tan .tan d
n
n
I x x x
−
= =
∫
2
2
1
tan . 1 d
cos
n
x x
x
−
− =
∫
( )
2
2
tan . tan d
n
n
x x x I
−
−
′
−
∫
1
2
tan
1
n
n
x
I C
n
−
−
= − +
−
1
2
tan
1
n
n n
x
I I C
n
−
−
⇒ + = +
−
.
( )
0 1 2 3 8 9 10
2 ...I I I I I I I+ + + + + + +
=
( ) ( ) ( ) ( )
10 8 9 7 3 1 2 0
...I I I I I I I I+ + + + + + + +
9 8 2
tan tan tan
.... tan
9 8 2
x x x
x C= + + + + +
9
1
tan
r
r
x
C
r
=
= +
∑
.
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 138. Tích phân
1
0
e d
x
x
−
∫
bằng
https://toanmath.com/
A.
e 1−
. B.
1
1
e
−
. C.
e 1
e
−
. D.
1
e
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có:
1
0
1
1 e 1
e d e 1
0
e e
x x
x
− −
−
= − = − − =
∫
.
Câu 139. Tích phân
2018
0
2 d
=
∫
x
I x
b ng ằ
A.
2018
2 1−
. B.
2018
2 1
ln 2
−
. C.
2018
2
ln 2
. D.
2018
2
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
2018
2018
2018
0
0
2 2 1
2 d
ln 2 ln 2
−
= = =
∫
x
x
I x
.
Câu 140. Biết
4
1
1
( )d
2
f x x
−
=
∫
và.
0
1
1
( )d
2
f x x
−
−
=
∫
. Tính tích phân
4
2
0
4e 2 ( ) d
x
I f x x
= +
∫
.
A.
8
2eI =
. B.
8
4e 2I = −
. C.
8
4eI =
. D.
8
2e 4I = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
( ) ( )
4 1 4
2
2
0 0 1
4
e
4e 2 ( ) d 4. 2 d 2 d
0
2
x
x
I f x x f x x f x x
−
−
= + = + +
∫ ∫ ∫
.
( )
8 8
1 1
2 e 1 2. 2. 2.e
2 2
I⇔ = − + + =
.
Câu 141. Cho
( )
2
2
0
e d
x
t
F x t=
∫
. Tính
( )
2
F
′
.
A.
( )
4
2 4e
F
′
=
. B.
( )
16
2 8e
F
′
=
. C.
( )
16
2 4e
F
′
=
. D.
( )
4
2 e
F
′
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Gọi
( )
G x
là nguyên hàm c ủa hàm số
2
e
t
.
( )
( )
( )
2
0F x G x G⇒ = −
( )
( )
2
2 .F x x G x
′ ′
⇒ =
4
2 .e
x
x=
.
( )
16
2 4.e
F
′
⇒ =
Câu 142. Cho hàm s ố
( )
2
1
d
ln
x
x
g x t
t
=
∫
với
0x >
. Đạo hàm của
( )
g x
là
A.
( )
1
ln
x
g x
x
−
′
=
. B.
( )
1
ln
x
g x
x
−
′
=
. C.
( )
1
ln
g x
x
′
=
. D.
( )
lng x x
′
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Giả ử s
( )
F t
là m t nguyên hà ộ m của hàm số
1
lnt
.
Khi đó
( )
1
ln
F t
t
′
=
hay
( )
1
ln
F x
x
′
=
.
https://toanmath.com/
Ta có
( )
2
1
d
ln
x
x
g x t
t
=
∫
( )
( )
2
F x F x= −
.
Suy ra
( )
( )
( )
( )
2
g x F x F x
′
′
= −
( )
( )
2
F x F x
′ ′= −
2
1 1
.2
ln ln
x
x x
= −
1
ln
x
x
−
=
.
Chú ý: ta có công thức
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
. .
v x
u x
f t dt v x f v x u x f u x
′
′ ′
= −
∫
Câu 143.
( )
3
2
3
2
d 6f x x
π
π
−
⇔ =
∫
.Gọi
S
là tập hợp tất cả các số nguyên dương
k
thỏa mãn
2
1
2018.e 2018
e d
k
kx
x
k
−
<
∫
. S ph n t c p h p ố ầ ử ủa tậ ợ
S
bằng.
A.
7
. B.
8
. C. Vô số. D.
6
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có:
2
2
1
1
1
e d e
kx kx
x
k
=
∫
2
e e
k k
k
−
=
.
2
1
2018.e 2018
e d
k
kx
x
k
−
<
∫
2
e e 2018.e 2018
k k k
k k
− −
⇔ <
( ) ( )
e e 1 2018 e 1
k k k
⇔ − < −
(do
k
nguyên dương).
( )( )
e 1 e 2018 0
k k
⇔ − − <
1 e 2018
k
⇔ < <
0 ln 2018 7.6k⇔ < < ≈
.
Do
k
nguyên dương nên ta chọn được
k S∈
(với
{ }
1;2;3;4;5;6;7S =
).
Suy ra s ph n t cố ầ ử ủa
S
là
7
.
Câu 144. Cho
1
0
e
d
1 e
nx
n
x
I x
−
−
=
+
∫
với
n ∈
.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 3 4 1
1. 2 3 ...
n n n
u I I I I I I n I I n
+
= + + + + + + + + −
.
Biết
lim
n
u L=
. M ệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
1;0L ∈ −
. B.
( )
2; 1L ∈ − −
. C.
( )
0;1L ∈
. D.
( )
1;2L ∈
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Với
n ∈
,
( )
1
1
1
0
e
d
1 e
n x
n
x
I x
− +
+
−
=
+
∫
1
0
e .e
d
1 e
nx x
x
x
− −
−
=
+
∫
1 1
0 0
e
e d d
1 e
nx
nx
x
x x
−
−
−
= −
+
∫ ∫
1
0
e d
nx
n
x I
−
= −
∫
1
1
0
e d
nx
n n
I x I
−
+
⇒ = −
∫
( )
1
1
1 e
n
n n
I I
n
−
+
⇒ + = −
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 e 1 e 1 e ... 1 e
n
n
u n
− − − −
= − + − + − + + − −
1 2 3
e e e ... e
n
n
u
− − − −
⇒ = − − − − −
https://toanmath.com/
Ta thấy
n
u
ng là tổ
n
s hố ạng đầu củ ộ ấa m t c p số nhân lùi vô h n vạ ới
1
1
eu
−
= −
và
1
e
q =
, nên
1
e
lim
1
1
e
n
u
−
−
=
−
1
e 1
L
−
⇒ =
−
( )
1;0L⇒ ∈ −
.
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾ ỐN S
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ D ẠNG 1
Cho hàm số
( )
y f x=
liên tụ ạc trên đo n
[ ; ].a b
Giả ử s hàm số
( )u u x=
có đạ ụo hàm liên t c
trên đoạn
[ ; ]a b
và
( ) .u x
α β
≤ ≤
s viGiả ử có thể ết
( ) ( ( )) '( ), [ ; ],f x g u x u x x a b= ∈
với
g
liên tục
trên đoạn
[ ; ].
α β
Khi đó, ta có
( )
( )
( ) ( ) .
u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu
Có th t ể đặ
Ví dụ
1
Có
( )f x
( )t f x=
3
3
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
. Đặt
1t x= +
2
Có
( )
n
ax b+
t ax b= +
1
2016
0
( 1)I x x dx= +
∫
. Đặt
1t x= −
3
Có
( )f x
a
( )t f x=
tan 3
4
2
0
cos
x
e
I dx
x
π
+
=
∫
. Đặt
tan 3t x= +
4
Có
ln
dx
và x
x
lnt x=
u thhoặc biể ức
chứa
ln x
1
ln
(ln 1)
e
xdx
I
x x
=
+
∫
. Đặt
ln 1t x= +
5
Có
x
e dx
x
t e=
u thhoặc biể ức
chứa
x
e
ln2
2
0
3 1
x x
I e e dx= +
∫
. Đặt
3 1
x
t e= +
6 Có
sin xdx
cost x=
3
2
0
sin cosI x xdx
π
=
∫
. Đặt
sint x=
7 Có
cos xdx
sint xdx=
3
0
sin
2cos 1
x
I dx
x
π
=
+
∫
Đặt
2cos 1t x= +
8
Có
2
cos
dx
x
tant x=
2
4 4
4 2
0 0
1 1
(1 tan )
cos cos
I dx x dx
x x
π π
= = +
∫ ∫
Đặt
tant x=
9
Có
2
sin
dx
x
cott x=
cot cot
4
2
6
1 cos2
2sin
x x
e e
I dx dx
x
x
π
π
= =
−
∫ ∫
. Đặt
cott x=
BÀI TẬP
Câu 1: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
[ ]
,a b
. Giả ử s hàm số
( )
u u x=
có đạ ụo hàm liên t c trên
[ ]
,a b
và
( )
[ ]
,u x
α β
∈
[ ]
,x a b∀ ∈
, hơn nữa
( )
f u
n liên tục trên đoạ
[ ]
,
α β
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x a=
A.
( ) ( ) ( )
d d
b b
a a
f u x u x x f u u
′
=
∫ ∫
. B.
( ) ( )
( )
( )
( )
d d
u b
b
u a a
f u x u x x f u u
′
=
∫ ∫
.
C.
( ) ( ) ( )
( )
( )
d d
u b
b
a u a
f u x u x x f u u
′
=
∫ ∫
. D.
( ) ( ) ( )
d d
b b
a a
f u x u x x f x u
′
=
∫ ∫
.
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ
Câu 2: Tính tích phân
( )
3
1000
1
1 .I x x dx= −
∫
https://toanmath.com/
A.
1002
2003.2
.
1003002
I =
B.
1001
1502.2
.
501501
I =
C.
1002
3005.2
.
1003002
I =
D.
1001
2003.2
.
501501
I =
Câu 3: Giá trị c a tích phân ủ
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dx x x x− −
∫
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
100
. D. một giá trị khác.
Câu 4: Tích phân
2
2
0
d
3
x
x
x +
∫
bằng
A.
1 7
log
2 3
. B.
7
ln
3
. C.
1 7
ln
2 3
. D.
1 3
ln
2 7
.
Câu 5: Cho tích phân
2
5 3
1
5
ln
8
dx
I a b
x x
= = +
+
∫
. Khi đó
2a b+
bằng
A.
5
2
B.
5
4
C.
5
8
D.
5
16
Câu 6: Tích phân
( )
1
5
3
2
0 1
x dx
I
x
=
+
∫
đượ ế ảc k t qu
ln 2I a b= −
. Giá trị a+b là:
A.
3
16
B.
13
16
C.
14
17
D.
4
17
Câu 7: Tích phân
0
2
1
2
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
có giá trị là:
A.
ln3I =
. B.
ln 2I = −
. C.
ln3I = −
. D.
ln 2I =
.
Câu 8: Cho
1
2
3
0
1
ln
1 3
x
dx a
x
=
+
∫
,a là các số hữu t cỉ. Giá trị ủa a là:
A. 2. B. C. D. 3. 4. 5.
Câu 9: Tích phân
0
2
1
2
ax
I dx
ax
−
=
+
∫
,với
2a ≠ −
có giá trị là:
A.
ln 2 ln 2
2
a
I
+ +
=
. B.
ln 2 ln 2
2
a
I
− +
=
.
C.
ln 2 ln 2
2
a
I
− − +
=
. D.
ln 2 ln 2
2
a
I
− + +
=
.
Câu 10: Giả ử s
5
2
3
d
ln5 ln 3 ln 2.( , , )= + + ∈
−
∫
x
a b c a b c
x x
5
2
3
ln5 ln3 ln 2.
dx
a b c
x x
= + +
−
∫
Tí á nh gi trị
biểu thức
2
2 3 .S a b c= − + +
A.
3.S =
B.
6.S =
C.
0.S =
D.
2.S = −
Câu 11: Biết
1
2
2
0
2 3 3
d ln
2 1
x x
x a b
x x
+ +
= −
+ +
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2 2
P a b= +
.
A.
13
. B.
5
. C.
4
. D.
10
.
https://toanmath.com/
Câu 12: Tính
( )
2
2
2
d
b
a
a x
I x
a x
−
=
+
∫
(với
a
,
b
là các số thực dương cho trước).
A.
2 2
2b
I
a b
=
+
. B.
2
b
I
a b
=
+
. C.
( )( )
( )
( )
2
1 1
1
a b
I
a b a
− −
=
+ +
. D.
2
b
I
a b
=
+
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên
và các tích phân
( )
4
0
tan d 4f x x
π
=
∫
và
( )
2
1
2
0
d 2
1
x f x
x
x
=
+
∫
.
Tính tích phân
( )
1
0
d
I f x x=
∫
.
A.
6I =
. B.
2I =
. C.
3I =
. D.
1I =
.
Câu 14: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạ ụo hàm liên t c trên
và có đồ thị hình bên. Tính tích phân
( )
2
1
2 1 dI f x x
′= −
∫
.
A.
2I = −
. B.
1I = −
. C.
1I =
. D.
2I =
.
HÀM VÔ TỈ
Câu 15: Cho tích phân
1
3
0
1 dx x−
∫
, với cách đặt
3
1t x= −
thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào
sau đây?
A.
1
0
3 dt t
∫
. B.
1
3
0
dt t
∫
. C.
1
2
0
3 dt t
∫
. D.
1
3
0
3 dt t
∫
.
Câu 16: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với
2
3 2
1
1I x x dx= −
∫
A.
2
1
1
1
2
t t dt−
∫
. B.
4
1
1t t dt−
∫
C.
( )
3
2 2
0
1t t dt+
∫
. D.
( )
3
2 2
1
1x x dx+
∫
.
Câu 17: Nếu
3 2
0 1
( )
1 1
x
dx f t dt
x
=
+ +
∫ ∫
, với
1t x= +
thì
( )f t
là hàm số nào trong các hàm số dưới
đây ?
A.
2
( ) 2 2f t t t= +
B.
2
( )f t t t= −
C.
2
( )f t t t= +
D.
2
( ) 2 2f t t t= −
4
2
2
-1
-1
2
3
3
O
1
https://toanmath.com/
Câu 18: Kết quả của
4
0
1
d
2 1
x
x +
∫
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Câu 19: Tích phân
1
0
d
3 1
x
x +
∫
bằng
A.
4
3
. B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 20: Cho
3
0
d ln 2 ln3
3
4 2 1
x a
x b c
x
= + +
+ +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của
a b c+ +
b ngằ
A.
1
. B.
2
. C.
7
. D.
9
.
Câu 21: Biết
4
0
1
d ln 2
2 1 5
I x a b
x
= = +
+ −
∫
với
,a b
nguyên. Tính là số
S a b= +
.
A.
3.S =
B.
3.S = −
C.
S 5.=
D.
S 7.=
Câu 22: Tính phân tích
5
1
d
3 1
x
x x +
∫
được kết quả
ln3 ln5I a b= +
. Giá trị
2 2
3a ab b+ +
là
A.
4
. B.
5
. C.
1
. D.
0
.
Câu 23: Cho tích phân
4
0
d 2
ln
3
3 2 1
x
I a b
x
= = +
+ +
∫
với
,a b ∈
. M ệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3a b− =
. B.
5a b− =
. C.
5a b+ =
. D.
3a b+ =
.
Câu 24: Biết
( )
3
2
1
2
1d
3
x x x a b+ = −
∫
, với
,a b
là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A.
2a b=
. B.
a b<
. C.
a b=
. D.
3a b=
.
Câu 25: Cho
( )
2
5
d 1 5
ln , 5
4 3
4
a
x
I a
x x
= = >
+
∫
. Khi đó giá trị củ ốa s thực
a
là
A.
2 3.
B.
2 5.
C.
3 2.
D.
2 2.
Câu 26: Cho
1
2
0
2
1
x
I dx a b
x
= = +
+
∫
. Giá trịa.b là:
A. – 1 – 2. B. . C. 1. D. 2.
Câu 27: Với
, ,a b c R∈
. Đặt
2
2
1
4
ln
x b
I dx a
x c
−
= = −
∫
. Giá trị của tính abc là :
A.
3
B.
2 3−
C.
2 3
D.
3−
Câu 28: Cho
3
2
1
1
ln
x c d
dx a b
x
e
+ +
= − +
∫
v i c ớ nguyên dương và
a
,
b
,
c
,
d
,
e
là các số
nguyên t cố. Giá trị ủ ứa biểu th c
+ + + +a b c d e
bằng.
https://toanmath.com/
A.
14
. B.
17
. C.
10
. D.
24
.
Câu 29: Giá trị của
7
3
3 2
0
d
1
x x
I
x
=
+
∫
được viết dưới dạ ống phân s t n ối giả
a
b
(
a
,
b
là các số nguyên
dương). Khi đó giá trị của
7a b−
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
1.−
Câu 30: Giả ử s
64
3
1
d 2
ln
3
x
I a b
x x
= = +
+
∫
với
,a b
nguyên. Tính giá tr là số ị
a b−
.
A.
17−
. B.
5
. C.
5−
. D.
17
.
Câu 31: Giả ử s
2
2
4
1
1 1
d
x b
x a a b
x c b c
+
= −
+
∫
với
, ,a b c ∈
;
1 , , 9a b c≤ ≤
. Tính giá trị của biểu
thức
2
b a
a c
C
−
+
.
A.
165
. B.
715
. C.
5456
. D.
35
.
Câu 32: Tập h p nghiợ ệm của bất phương trình
2
0
d 0
1
x
t
t
t
>
+
∫
( n ẩ
x
) là:
A.
( )
;−∞ +∞
. B.
( )
;0−∞
. C.
( ) { }
; \ 0−∞ +∞
. D.
( )
0;+∞
.
Câu 33: Cho biết
7
3
3 2
0
d
1
=
+
∫
x m
x
n
x
với
m
n
t phân s t i gi n. Tính là mộ ố ố ả
7m n−
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
91
.
Câu 34: Biết
2
2
1
d 2 35
3 9 1
x
x a b c
x x
= + +
+ −
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ, tính
2 7P a b c= + + −
.
A.
1
9
−
. B.
86
27
. C.
2−
. D.
67
27
.
Câu 35: Biết
( )
2
1
d
1 1
x
a b c
x x x x
= − −
+ + +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Tính
P a b c= + +
.
A.
44P =
. B.
42P =
. C.
46P =
. D.
48P =
.
Câu 36: Giả ử s
a
,
b
,
c
là các số nguyên thỏa mãn
4
2
0
2 4 1
d
2 1
x x
x
x
+ +
+
∫
( )
3
4 2
1
1
d
2
au bu c u= + +
∫
, trong
đó
2 1u x= +
. Tính giá tr ị
S a b c= + +
.
A.
3S =
. B.
0S =
. C.
1S =
. D.
2S =
.
Câu 37: Tích phân
1
2 3
2
0
1
a x ax
I dx
ax
+
=
+
∫
, với
0a ≥
có giá trị là:
A.
( )
2
4
a a
I
−
=
. B.
( )
2
2
a a
I
−
=
. C.
( )
2
4
a a
I
+
=
. D.
( )
2
2
a a
I
+
=
.
https://toanmath.com/
Câu 38: Tích phân
3
2
0
1
9
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
3 2 3
ln
3
I
+
= −
. B.
3 2 3
ln
3
I
− +
= −
. C.
3 2 3
ln
3
I
+
=
. D.
3 2 3
ln
3
I
− +
=
.
Câu 39: Tích phân
1
2
0
3 12
a
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
1 5
ln
2
3
a
I
−
=
. B.
1 5
ln
2
3
a
I
+
= −
.
C.
1 5
ln
2
3
a
I
−
= −
. D.
1 5
ln
2
3
a
I
+
=
.
Câu 40: Tích phân
2
2
1
2
2 3 1
4
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫
. Giá trị nguyên c ủa a là:
A.
5a =
. B.
6a =
. C.
7a =
. D.
8a =
.
Câu 41: Cho
2
2
1
1 2
ln
1
1
a
dx
b
x
+
=
+
+
∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị
a
b
là:
A.
2
5
. B.
5
2
. C.
2
3
. D.
3
2
.
Câu 42: Tích phân
3
7
5
3 3
0
3
8
x
I dx
x
=
−
∫
có gái trị là:
A.
87
5
I =
. B.
67
5
I =
. C.
77
5
I =
. D.
57
5
I =
.
Câu 43: Biết
( )
4
0
2 1d 5
ln 2 ln , ,
3
2 3 2 1 3
x x
a b c a b c
x x
+
= + + ∈
+ + +
∫
. Tính
2T a b c= + +
.
A.
4T =
. B.
2T =
. C.
1T =
. D.
3T =
.
Câu 44: Biết
( )
3
2
1
d 1
3 2 ln 3 2 3
2
1 1
x
a b c
x x
= + + + −
+ + +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu t . Tính ỷ
P a b c= + +
.
A.
1
2
P =
. B.
1P = −
.
C.
1
2
P = −
. D.
5
2
P =
.
Câu 45: Biết rằng
1
2
0
d 2
2ln
1
4 3
x a
b
x x
+
=
+
+ +
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Giá trị của
a b+
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
9
. D.
7
.
https://toanmath.com/
Câu 46: Biết
2
3
3 3
2 8 11
1
1 1 1
2 d
a
x x c
x x x b
− + − =
∫
, với
, ,a b c
nguyên dương,
a
b
tối gi n và ả
<c a
. Tính
= + +S a b c
A.
51=S
. B.
67=S
. C.
39=S
. D.
75=S
.
Câu 47: Cho s ố thực dương
0k >
thỏa
( )
2
2
0
ln 2 5
dx
x k
= +
+
∫
. M ệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
2
k >
. B.
1
0
2
k< ≤
. C.
1
1
2
k< ≤
. D.
3
1
2
k< ≤
.
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
( )
1 1
0 0
sin 1 d sin dx x x x− =
∫ ∫
. B.
( )
1 1
0 0
cos 1 d cos dx x x x− = −
∫ ∫
.
C.
2
0 0
cos d cos d
2
x
x x x
π
π
=
∫ ∫
. D.
2
0 0
sin d sin d
2
x
x x x
π
π
=
∫ ∫
.
Câu 49: Tính tích phân
π
3
3
0
sin
d
cos
x
I x
x
=
∫
.
A.
5
2
I =
. B.
3
2
I =
. C.
π 9
3 20
I = +
. D.
9
4
I =
.
Câu 50: Cho
3
2
0
sin tan ln
8
b
I x xdx a
π
= = −
∫
. Ch n m ọ ệnh đề đúng:
A.
4a b+ =
B.
2a b− =
C.
6ab =
D.
4
b
a =
Câu 51: Biết rằng
0
1
4
1
1 cos2
I dx a
x
π
−
= =
+
∫
và
0
33
1
3
2 2
4
I x dx b
−
= + = −
∫
, ha và b là các số ữu tỉ.
Thương số giữa a b và có giá trị là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
3
4
. D.
2
3
.
Câu 52: Cho
a
0
cos2x 1
I dx ln3
1 2sin 2x 4
π
= =
+
∫
. Tìm giá trị của a là:
A. B. C. D. 3 2 4 6
Câu 53: Biết
( )
4
2
1
0
1 tanI x dx a
π
= + =
∫
và
( )
1
1
1
2 3
3
2
0
0
I x x dx bx cx
= + = +
∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá
trị c ủa a + b + c là:
A. 1. B. C. D. 2. 3. 0.
https://toanmath.com/
Câu 54: Tích phân
3
0
sin 2
cos cos3
x
I dx
x x
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
− −
= +
+ +
. B.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
− +
= −
+ −
.
C.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
− −
= −
+ +
. D.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
+ −
= −
− +
.
Câu 55: Tích phân
2
2
4
2 cos
sin
x x
I dx
x x
π
π
+
=
+
∫
có giá trị là:
A.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= − − +
. B.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= + − +
.
C.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= − + +
. D.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= + + +
.
Câu 56: Cho
( )
4
0
sin 2 ln tan 1 dx x x
π
+
∫
ln 2a b c
π
= + +
với
a
,
b
,
c
là các số hữu t . Tính ỉ
1 1
T c
a b
= + −
.
A.
2T =
. B.
4T =
. C.
6T =
. D.
4T = −
.
Câu 57: Xét tích phân
2
0
sin 2
d
1 cos
x
I x
x
π
=
+
∫
. Nếu đặt
1 cost x= +
, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1
3
2
d .
4 4
t t
I t
t
−
=
∫
B.
1
3
2
d .
4 4t t
I t
t
− +
=
∫
C.
( )
2
2
1
4 1 .dI t t= −
∫
D.
( )
2
2
1
4 1 d .I t t= − −
∫
Câu 58: Cho
( )
6
0
1
sin .cos d
64
n
x x x n= ∈
∫
π
. Tìm giá trị
n
.
A.
3n =
. B.
4n =
. C.
5n =
. D.
6n =
.
Câu 59: Cho tích phân
2
3
sin
d ln 5 ln 2
cos 2
x
x a b
x
π
π
= +
+
∫
với
, .a b ∈
M ệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 0.a b+ =
B.
2 0.a b− =
C.
2 0.a b− =
D.
2 0.a b+ =
Câu 60: Tích phân
( )
2
3
cos sin
cos 1 cos
x
x x
I dx
e x x
π
π
−
=
+
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
+
=
−
. B.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
−
=
−
.
C.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
+
=
+
. D.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
−
=
+
.
Câu 61: Tích phân
36
3
sin
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫
có giá trị là:
A.
19 17 3
2
I
+
=
. B.
4
19 17 3
2
I
+
=
.
C.
19 17 3
2
I
− +
= . D.
4
19 17 3
2
I
−
=
.
Câu 62: Tích phân
( )
3
2
3
sin
cos 3 sin
x
I dx
x x
π
π
−
=
+
∫
có gái trị là:
A.
3 3 2 3
ln
16 8
3 2
I
+
= +
− +
. B.
3 3 2 3
ln
8 8
3 2
I
+
= +
− +
.
C.
3 3 2 3
ln
8 8
3 2
I
+
= − +
− +
. D.
3 3 2 3
ln
16 8
3 2
I
+
= − +
− +
.
Câu 63: Tích phân
4
2 2
0
1
9cos sin
I dx
x x
π
=
−
∫
có giá trị là:
A.
1
ln 2
3
I =
. B.
1
ln 2
2
I =
. C.
1
ln 2
6
I =
. D.
ln 2I =
.
Câu 64: Tích phân
( )
2
0
sin cos 1 3
1 3
sin cos
a
x x
I dx
x x
+ +
= =
−
−
∫
. Giá trị của alà:
A.
2
a
π
= −
. B.
4
a
π
= −
. C.
3
a
π
=
. D.
6
a
π
=
.
Câu 65: Tích phân
2
3
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
( )
ln 3 1
12
I
π
= + +
. B.
3 1
ln
12 4
I
π
+
= +
.
C.
3 1
ln
2
12 2
I
π
+
= −
.
D.
3 1
ln
12 2
I
π
+
= +
.
https://toanmath.com/
Câu 66: Cho biết
4
0
cos
ln 2
sin cos
x
dx a b
x x
π
π
= +
+
∫
với
a
và
b
là các số h uữ tỉ. Khi đó
a
b
b ng:ằ
A.
1
4
. B.
3
8
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Câu 67: Biết
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
a
x x
x
x x b
π
π
=
+
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2P a b= +
.
A.
8P =
. B.
10P =
. C.
6P =
. D.
12P =
.
Câu 68: Cho tích phân
2
0
sin
1 2 cos
xdx
I
x
π
α α
=
− +
∫
(với
1
α
>
) thì giá trị của
I
bằng:
A. 2. B.
2
α
. C.
2
α
. D.
2
α
.
Câu 69: Có bao nhiêu giá tr c ị ủa tham số
m
trong kho ng ả
( )
0;6π
thỏa mãn
0
sin 1
d
5 4cos 2
m
x
x
x
=
+
∫
?
A.
6
. B.
12
. C.
8
. D.
4
.
Câu 70: Cho
2
2
0
cos 4
d ln ,
sin 5sin 6
x
x a b
x x c
π
= +
− +
∫
tính t ng ổ
S a b c= + +
.
A.
1S =
. B.
4S =
. C.
3S =
. D.
0S =
.
Câu 71: Cho tích phân
( )
2
2
2
0
2 cos cos 1 sin
d ln
cos
x x x x x
c
I x a b
x x
π
π
π
+ + + −
= = + −
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số
hữu t . Tính giá tr cỉ ị ủa biểu thức
3
.P ac b= +
A.
3P =
. B.
5
4
P =
. C.
3
2
P =
. D.
2P =
.
Câu 72: Cho
( )
2
2
0
sin 4
d ln
cos 5cos 6
x
x a b
c
x x
π
= +
− +
∫
, với
a
,
b
là các số h , ữu tỉ
0c >
. Tính tổng
S a b c= + +
.
A.
3S =
. B.
0S =
. C.
1S =
. D.
4S =
.
Câu 73: Cho
( ) ( )
2
0
4cos2 3sin 2 ln cos 2sin d ln2
a
x x x x x c
b
π
+ + = −
∫
, trong đó
a
,
b
,
*
c ∈
,
a
b
là phân
số t i gi n. Tính ố ả
T a b c= + +
.
A.
9T =
. B.
11T = −
. C.
5T =
. D.
7T =
.
Câu 74: Biết
3 23
6 3
3
sin 3
d 3
1
x
x c d
a b
x x
π
π
π π
π
−
= + + +
+ +
∫
với
, , ,a b c d
là cá ính c số nguyên. T
a b c d+ + +
.
https://toanmath.com/
A.
28a b c d+ + + =
. B.
16a b c d+ + + =
. C.
14a b c d+ + + =
. D.
22a b c d+ + + =
.
Câu 75: Biết
26
2
6
cos 3
d
1
x x
x a
b c
x x
π
π
π π
−
= + +
+ +
∫
với
a
,
b
,
c
,
d
là cá nguyên. Tính c số
M a b c= − +
.
A.
35M =
. B.
41M =
. C.
37M = −
. D.
35M = −
.
Câu 76: Cho
( )
1
2
0
d 2018f x x =
∫
. Tính
( )
12
0
cos2 . sin 2 dx f x x
π
∫
.
A.
1009
2
I =
. B.
1009I =
. C.
4036I =
. D.
2018I =
.
Câu 77: Cho
f
là hàm số liên tục thỏa
( )
1
0
d 7f x x =
∫
. Tính
( )
2
0
cos . sin dI x f x x
π
=
∫
.
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Câu 78: Cho hàm s ố
( )
f x
liên tục trên
và
( )
1
1
d 12f x x
−
=
∫
,
( )
2
3
3
2cos sin df x x x
π
π
∫
bằng
A.
12−
. B.
12
. C.
6
. D.
6−
.
Câu 79: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
thỏa mãn
( )
9
1
4
f x
dx
x
=
∫
và
( )
/2
0
sin cos 2.f x xdx
π
=
∫
Tích phân
( )
3
0
I f x dx
=
∫
b ngằ
A.
2I =
. B.
6I =
. C.
4I =
. D.
10I =
.
HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 80: Cho
2
1
1
0
d
x
I xe x
−
=
∫
. r ng Biết ằ
2
ae b
I
−
=
. Khi đó,
a b+
b ngằ
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Câu 81:
Nguyên c
hàm
ủa
( )
2
sin
sin 2 .e
x
f x x=
là
A.
2
2 sin 1
sin .e
x
x C
−
+
. B.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
+
+
+
. C.
2
sin
e
x
C+
. D.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
−
+
−
.
Câu 82: Biết r ngằ
( )
1
1 3 2
0
3 d , , .
5 3
x
a b
e x e e c a b c
+
= + + ∈
∫
Tính
.
2 3
b c
T a= + +
A.
6T =
. B.
9T =
. C.
10T =
. D.
5T =
.
Câu 83: Tích phân
ln12
ln5
4
x
I e dx= +
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
2 ln3 ln 5I = − +
. B.
2 2ln3 2ln5I = − +
.
C.
2 2ln3 ln5I = − +
. D.
2 ln3 2ln5I = − −
.
Câu 84: Tìm t t cấ ả ố các giá trị dương của tham s
m
sao cho
2 2
1 500 1
0
e d 2 .e
m
x m
x x
+ +
=
∫
.
A.
250 500
2 2 2m = −
. B.
1000
2 1m = +
. C.
250 500
2 2 2m = +
. D.
1000
2 1m = −
.
Câu 85: Cho
3
1 2
0
d
e .e .e
1
x
x
a b c
x
+
= + +
+
∫
. Với
a
,
b
,
c
nguyên. Tính là các số
S a b c= + +
.
A.
1S =
. B.
2S =
. C.
0S =
. D.
4S =
.
Câu 86: Cho tích phân
2
2
sin 3
0
sin cos d
x
I e x x x
π
=
∫
. N i bi n s ếu đổ ế ố
2
sint x=
thì:
A.
1 1
0 0
1
d d
2
t t
I e t te t
= +
∫ ∫
. B.
1 1
0 0
1
d d
2
t t
I e t te t
= −
∫ ∫
.
C.
1 1
0 0
2 d d
t t
I e t te t
= +
∫ ∫
. D.
1 1
0 0
2 d d
t t
I e t te t
= −
∫ ∫
.
Câu 87: Tính
1
d
lim
1
n
x
x
n
x
e
+
→+∞
+
∫
.
A.
1−
. B.
1
. C.
e
. D.
0
.
Câu 88: Tính tích phân
2
2016
2
d .
1
x
x
I x
e
−
=
+
∫
A.
0I =
. B.
2018
2
2017
I =
. C.
2017
2
2017
I =
. D.
2018
2
2018
I =
.
Câu 89: Cho biết
( )
1
2
2
0
d .
2
x
x e a
x e c
b
x
= +
+
∫
với
a
,
c
là các số nguyên,
b
là số nguyên dương và
a
b
là
phân s t i gi n. Tính ố ố ả
a b c− +
.
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
3−
.
Câu 90: Biết tích phân
ln6
0
e
d ln 2 ln3
1 e 3
x
x
x a b c= + +
+ +
∫
, với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
T a b c= + +
.
A.
1T = −
. B.
0T =
. C.
2T =
. D.
1T =
.
Câu 91: Giá trị
( )
( )
3
3
3
9
4
cos
2 3
1
6
sin e d
x
I x x x
π
π
=
∫
g n b ng s ầ ằ ố nào nhất trong các số sau đây:
A.
0,046
. B.
0,036
. C.
0,037
. D.
0,038
.
Câu 92: Cho
( )
( )
2
1
0
e
d .e ln e
e
x
x
x x
x a b c
x
−
+
= + +
+
∫
với
a
,
b
,
c ∈
. Tính
2P a b c= + −
.
https://toanmath.com/
A.
1P =
. B.
1P = −
. C.
0P =
. D.
2P = −
.
Câu 93: Biết
( )
2
1
0
5 6 e
e
d e ln
2 e 3
−
+ +
+
= − −
+ +
∫
x
x
x x
a c
x a b
x
với
a
,
b
,
c
là cá à c số nguyên v
e
là ccơ số ủa
logarit tự nhiên. Tính
2= + +S a b c
.
A.
10=S
. B.
0=S
. C.
5=S
. D.
9=S
.
Câu 94:
1
3 3
0
2 e .2 1 1 e
d ln
e.2 eln e
x x
x
x x
x p
m n
π
π π
+ +
= + +
+ +
∫
với
m
,
n
,
p
là các số nguyên dương. Tính
tổng
S m n p= + +
.
A.
6S =
. B.
5S =
. C.
7S =
. D.
8S =
.
Câu 95: Cho tam thức b c hai ậ
( ) ( )
2
, , , , 0f x ax bx c a b c a= + + ∈ ≠
có hai nghi c phân biệm thự ệt
1 2
,x x
. Tính tích phân
( )
2
2
1
2 d
x
ax bx c
x
I ax b e x
+ +
= +
∫
.
A.
1 2
I x x= −
. B.
1 2
4
x x
I
−
=
. C.
0I =
. D.
1 2
2
x x
I
−
=
.
Câu 96: Với cách đổi biến
1 3lnu x= +
thì tích phân
1
ln
d
1 3ln
e
x
x
x x+
∫
thànhtrở
A.
( )
2
2
1
2
1 d
3
u u−
∫
. B.
( )
2
2
1
2
1 d
9
u u−
∫
. C.
( )
2
2
1
2 1 du u−
∫
. D.
2
2
1
2 1
d
9
u
u
u
−
∫
.
Câu 97: Biết
( )
e
1
1 ln 2
e 1
d .e ln
1 ln e
x x
x a b
x x
+ +
+
= +
+
∫
trong đó
a
,
b
s là các số nguyên. Khi đó tỉ ố
a
b
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Câu 98: Tính tích phân
e
1
1 3ln
d
x
I x
x
+
=
∫
bằng cách đặt
1 3lnt x= +
, m ệnh đề nào dưới đây sai?
A.
2
3
1
2
9
I t=
. B.
2
1
2
d
3
I t t=
∫
. C.
2
2
1
2
d
3
I t t
=
∫
. D.
14
9
I =
.
Câu 99: Biết
( )
2
2
1
3 1
ln
d ln
3 ln
x
b
x a
x x x c
+
= +
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4c ≤
. Tổng
a b c+ +
bằng
A.
6
. B.
9
. C.
7
. D.
8
.
Câu 100: Biết
( )
( )
e
1
ln 3
d ln , ,
ln 2 2
x
I x a b a b Q
x x
= = + ∈
+
∫
. M ệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1a b− =
. B.
2 1a b+ =
. C.
2 2
4a b+ =
. D.
2 0a b+ =
.
Câu 101: Tích phân
( )
2
1
ln 2 ln 1 1
e
x x
I dx
x
+ +
=
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
4 2 3
3
I
+
=
. B.
4 2 1
3
I
+
=
. C.
4 2 5
3
I
+
=
. D.
4 2 3
3
I
−
=
.
Câu 102: Tích phân
( )
2
1
ln ln
e
I x x x dx= +
∫
có giá trị là:
A.
2I e= −
. B.
I e= −
. C.
I e=
. D.
2I e=
.
Câu 103: Biết
( )
3 2
1
2 3
0
1
ln 3 ln
2
3
1 27 27 3 3
9
x x x x
I dx ae e e
x
+ +
= = + + + −
∫
, ha là các số ữu tỉ.
Giá trị c ủa a là:
A. 9. B. C. D. – 6. – 9. 6.
Câu 104: Tích phân
2
1
2ln ln 1
e
x x
I dx
x
+
=
∫
có gái trị là:
A.
4 2 2
3
I
−
=
. B.
4 2 2
3
I
+
=
. C.
2 2 2
3
I
−
=
. D.
2 2 2
3
I
+
=
.
Câu 105: Tính
( )
2
2
1 ln
d
e
e
x
I x
x
−
=
∫
được kết quả là
A.
13
3
. B.
1
3
. C.
5
3
. D.
4
3
.
Câu 106: Cho tích phân
1
1 3ln
d
e
x
I x
x
+
=
∫
, đặt
1 3lnt x= +
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1
2
d
3
e
I t t=
∫
. B.
2
1
2
d
3
I t t=
∫
. C.
2
2
1
2
d
3
I t t
=
∫
. D.
1
2
d
3
e
I t t=
∫
.
Câu 107: Biết
1
3 ln
d
3
e
x a b c
x
x
+ −
=
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4c <
. Tính giá
trị
S a b c= + +
.
A.
13S =
. B.
28S =
. C.
25S =
. D.
16S =
.
Câu 108: Cho
( )
e
2
1
ln
d
ln 2
x
I x
x x
=
+
∫
có kết quả d ng ạ
lnI a b= +
với
0a >
,
b ∈
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
2 1ab = −
. B.
2 1ab =
. C.
3 1
ln
2 3
b
a
− + = −
. D.
3 1
ln
2 3
b
a
− + =
.
Câu 109: Biết
( )
2
2
1
1
d ln ln
ln
x
x a b
x x x
+
= +
+
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2 2
P a b ab= + +
.
A.
10
. B.
8
. C.
12
. D.
6
.
Câu 110: Cho tích phân
( )
2
2
4 2
1 ln 1
ln 2
ln 2
e
e
x x
ae be
I dx c d
x x
+ +
+
= = + +
∫
. Ch n phát bi u ọ ể đúng nhất:
https://toanmath.com/
A.
a b c d= = =
B.
2
1
a b c
d
= = =
C. D. A và B đúng A và B sai
Câu 111: Tính tích phân
( )
( )
2018
0
4
ln 1 2
d
1 2 log e
x
x
I x
−
+
=
+
∫
.
A.
. B.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2I = + −
.
C.
( )
2 2018
ln 1 2 ln 4I = + −
. D.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2
I
−
= + −
.
Câu 112: Cho hàm số
( )
y f x=
liên t c trên ụ
và thỏa mãn
( )
1
ln
d .
e
f x
x e
x
=
∫
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
1
0
d 1.f x x =
∫
B.
( )
1
0
d .f x x e=
∫
C.
( )
0
d 1.
e
f x x =
∫
D.
( )
0
d .
e
f x x e=
∫
Câu 113: Biết
( )
4
e
e
1
ln d 4f x x
x
=
∫
. Tính tích phân
( )
4
1
dI f x x=
∫
.
A.
8I =
. B.
16I =
. C.
2I =
. D.
4I =
.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ D ẠNG 2
Cho hàm s ố
f
n liên tục và có đạo hàm trên đoạ
[ ; ].a b
s Giả ử hàm số
(t)x
ϕ
=
o hàm và có đạ
liên tụ ạc trên đo n
(*)
[ ; ]
α β
sao cho
( ) , ( )a b
ϕ α ϕ β
= =
và
( )a t b
ϕ
≤ ≤
với mọi
[ ; ].t
α β
∈
Khi đó:
( ) ( ( )) '( ) .
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấ ạu tích phân có d ng
1.
2 2
a x−
: đặt
| |sin ; ;
2 2
x a t t
π π
= ∈ −
2.
2 2
x a−
: đặt
| |
; ; \{0}
sin 2 2
a
x t
t
π π
= ∈ −
3.
2 2
x a+
:
| | tan ; ;
2 2
x a t t
π π
= ∈ −
4.
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
: đặt
.cos2x a t=
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵ ụn. Ví d , để tính
tích phân
3
2
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì ph i bi n d ng 2 còn v i tích phân ả ổi đ ế ạ ớ
3
3
0
2
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì nên đổi
biến dạng 1.
Câu 114: Khi tính
2
2
0
4 d ,I x x= −
∫
b ngằ phép đặt
2sin ,x t=
thì được
A.
( )
2
0
2 1 cos2 dt t
π
+
∫
. B.
( )
2
0
2 1 cos2 dt t
π
−
∫
. C.
2
2
0
4cos dt t
∫
. D.
2
2
0
2cos dt t
∫
.
https://toanmath.com/
Câu 115: Biết rằng
1
2
1
2
4 d
3
x x a
π
−
− = +
∫
. Khi đó
a
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Câu 116: Cho tích phân
1
2
2
0
1
1
I dx a
x
π
= =
−
∫
,a và b là các số hữu t c ỉ. Giá trị ủa a là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
6
.
Câu 117: Giá trị của
3
2
0
9 d
a
x x
b
π
− =
∫
trong đó
, a b ∈
và
a
b
là phân s i gi n. Tính giá trố tố ả ị của
biểu thức
T ab=
.
A.
35T =
. B.
24T =
. C.
12T =
. D.
36T =
.
Câu 118: Đổ ếi bi n
2sinx t=
thì tích phân
1
2
0
d
4
x
x−
∫
thànhtrở
A.
6
0
dt t
π
∫
. B.
3
0
dt t
π
∫
. C.
6
0
dt
t
π
∫
. D.
6
0
dt
π
∫
.
Câu 119: Biết rằng
2
4
1
d
6
6 5
a b
x
x x
π
+
=
− + −
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương và
4 5a b< + <
. T ng ổ
a b+
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
4
. D.
6
.
Câu 120: Tích phân
( )( )
3
5
2
1 3I x x dx= − −
∫
có giá trị là:
A.
3
6 4
I
π
= −
. B.
3
3 8
I
π
= −
. C.
3
6 8
I
π
= −
. D.
3
3 8
I
π
= −
.
Câu 121: Tích phân
1
2
0
3 4
3 2
x
I dx
x x
+
=
+ −
∫
có giá trị là:
A.
7
4 3 8
6
I
π
= − +
. B.
7
4 3 8
6
I
π
= − −
.
C.
7
4 3 8
6
I
π
= + −
. D.
7
4 3 8
6
I
π
= + +
.
Câu 122: Tích phân
1
2
2
1
4 3
5 4
x
I dx
x x
−
−
=
+ −
∫
có giá trị là:
A.
5
3
I
π
=
. B.
5
6
I
π
=
. C.
5
3
I
π
= −
. D.
5
6
I
π
= −
.
https://toanmath.com/
Câu 123: Cho
1
2
2
0
1 2 1I x x dc a b
π
= − − = +
∫
với
,a b R∈
. Giá trị
a b+
g n nhầ ất với
A.
1
10
B. 1 C.
1
5
D.
2
Câu 124: Tích phân
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
2
I
π
=
. B.
3
I
π
=
. C.
4
I
π
=
. D.
6
I
π
=
.
Câu 125: Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên
thỏa mãn
( )
4
tan cos=f x x
,
∀ ∈x
. Tính
( )
1
0
d
=
∫
I f x x
.
A.
2
8
π
+
. B.
1
. C.
2
4
π
+
. D.
4
π
.
Câu 126: Cho hàm số
f
liên tụ ạc trên đo n
[ ]
6;5−
, có đồ thị gồ ạm hai đo n th ng và nẳ ửa đường tròn như
hình v . Tính giá tr ẽ ị
( )
5
6
2 dI f x x
−
= +
∫
.
A.
2 35I
π
= +
. B.
2 34I
π
= +
. C.
2 33I
π
= +
. D.
2 32I
π
= +
.
Câu 127: Khi đổi biến
3 tanx t=
, tích phân
1
2
0
d
3
x
I
x
=
+
∫
thành tích phân nào?trở
A.
3
0
3dI t
π
=
∫
. B.
6
0
3
d
3
I t
π
=
∫
C.
6
0
3 dI t t
π
=
∫
. D.
6
0
1
d
I t
t
π
=
∫
.
O
x
y
5
4−
6−
1−
3
https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪ ẢN GI I
19TCâu 1. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
[ ]
,a b
. Giả ử s hàm số
( )
u u x=
có đạ ụo hàm liên t c trên
[ ]
,a b
và
( )
[ ]
,u x
α β
∈
[ ]
,x a b∀ ∈
, hơn nữa
( )
f u
n liên tục trên đoạ
[ ]
,
α β
.
19TMệnh đề nào sau đây là đúng? 19T
x a=
A.
( ) ( ) ( )
d d
b b
a a
f u x u x x f u u
′
=
∫ ∫
. B.
( ) ( )
( )
( )
( )
d d
u b
b
u a a
f u x u x x f u u
′
=
∫ ∫
.
C.
( ) ( ) ( )
( )
( )
d d
u b
b
a u a
f u x u x x f u u
′
=
∫ ∫
. D.
( ) ( ) ( )
d d
b b
a a
f u x u x x f x u
′
=
∫ ∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
( ) ( )
d du x t u x x t
′
= ⇒ =
.
Đổ ậi c n
Khi
x a=
thì
( )
t u x=
; khi
x b=
thì
( )
t u b=
.
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
( )
d d
u b
b
a u a
f u x u x x f t t
′
=
∫ ∫
( )
( )
( )
d
u b
u a
f u u
=
∫
.
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ
Câu 2. Tính tích phân
( )
3
1000
1
1 .I x x dx= −
∫
A.
1002
2003.2
.
1003002
I =
B.
1001
1502.2
.
501501
I =
C.
1002
3005.2
.
1003002
I =
D.
1001
2003.2
.
501501
I =
Hướ ẫ ảng d n gi i
Đặt
1 ,x t− =
khi
1 0; 3 2.x t x t= ⇒ = = ⇒ =
Do đó
( ) ( )
( )
2 2
2
1002 1001
1000 1001 1000
0
0 0
1 1
1002 1001
t t
I t t d t t t dt
= + + = + = +
∫ ∫
1002 1001 1001
1001
2 2 2 1 1502.2
2 .
1002 1001 1002 1001 501501
= + = + =
Chọn B
Câu 3. Giá trị c a tích phân ủ
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dx x x x− −
∫
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
100
. D. một giá trị khác.
19THướ ẫ ảng d n gi i
19TChọn A
19T 19TTính
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dI x x x x= − −
∫
.
Đặt
100t x= −
d dx t⇒ = −
.
Đổ ậi c n: Khi
0x =
thì
100t =
; khi
100x =
thì
0t =
.
Do
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 ... 100 100 99 ... 1x x x t t t t− − = − − − −
( ) ( )( )
1 ... 99 100t t t t= − − − −
nên
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dI x x x x= − −
∫
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dt t t t I= − − − = −
∫
2 0I⇔ =
0I⇔ =
.
https://toanmath.com/
Câu 4. Tích phân
2
2
0
d
3
x
x
x +
∫
bằng
A.
1 7
log
2 3
. B.
7
ln
3
. C.
1 7
ln
2 3
. D.
1 3
ln
2 7
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có:
2
2
0
d
3
x
x
x +
∫
( )
2
2
2
0
1 1
d 3
2 3
x
x
= +
+
∫
2
2
0
1
ln 3
2
x= +
1 7
ln
2 3
=
.
Câu 5. Cho tích phân
2
5 3
1
5
ln
8
dx
I a b
x x
= = +
+
∫
. Khi đó
2a b+
bằng
A.
5
2
B.
5
4
C.
5
8
D.
5
16
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
2 2 2
5 3
3 2 4 2
1 1 1
. 1 . 1
dx dx x
I dx
x x
x x x x
= = =
+
+ +
∫ ∫ ∫
Đặt
2
1t x= +
, suy ra
1
2
2
dt xdx dt xdx= ⇔ =
.
Đổ ậi c n
1 2, 2 5x t x t= ⇒ = = ⇒ =
.
Suy ra
( )
5
2
2
1 1
.
2
1 .
I dt
t t
=
−
∫
.
Ta cầ ến tách ti p
( )
2
1
1 .t t−
v d ng ề ạ
( )
2
1
mt n k
t
t
+
+
−
để có thể l Dấy nguyên hàm được. ễ dàng tìm
được
, ,m n k
b ng nh sằng phương pháp đồ ất hệ ố. Ta tìm được
1, 2, 1m n k= − = =
.
Suy ra
( )
5 5 5
5
2
2
2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 3
ln . ln 1 ln . 1 ln 4 ln
2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 8 8
1
t
I dt x t
t t
t
−
= + = − − − = − − − = +
−
−
∫
Suy ra
1 3 5
, 2
2 8 4
a b a b= = ⇒ + =
.
Ta chọn phương án B.
Câu 6. Tích phân
( )
1
5
3
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
đượ ế ảc k t qu
ln 2I a b= −
. Giá trị a+b là:
A.
3
16
B.
13
16
C.
14
17
D.
4
17
Hướng dẫn giải
Chọn A
đặt
( )
2
1t x= +
2
2 3
1
1 1 2 1 1 5
ln 2
2 2 16
I dt
t t t
⇒ = − + = −
∫
.
Câu 7. Tích phân
0
2
1
2
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
có giá trị là:
A.
ln3I =
. B.
ln 2I = −
. C.
ln3I = −
. D.
ln 2I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
https://toanmath.com/
Ta nhậ ấn th y:
( )
2
1 ' 2x x+ =
.
Ta đặt:
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =
.
Đổ ậi c n:
1 2
0 1
x t
x t
= − ⇒ =
= ⇒ =
.
( )
1
1
2
2
1
ln ln 2I dt t
t
⇒ = = = −
∫
.
Chọn B
Câu 8. Cho
1
2
3
0
1
ln
1 3
x
dx a
x
=
+
∫
,a là các số hữu t cỉ. Giá trị ủa a là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho
1
2
3
0
1
ln
1 3
x
dx a
x
=
+
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
( )
1 22
2
3
1
0 1
1 1 1
... ln ln 2 2
1 3 3 3
x
dx dt t a
x t
= = = = ⇒ =
+
∫ ∫
.
Chọn A
Câu 9. Tích phân
0
2
1
2
ax
I dx
ax
−
=
+
∫
,với
2a ≠ −
có giá trị là:
A.
ln 2 ln 2
2
a
I
+ +
=
. . B
ln 2 ln 2
2
a
I
− +
=
.
C.
ln 2 ln 2
2
a
I
− − +
=
. D.
ln 2 ln 2
2
a
I
− + +
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
0
2
1
2
ax
I dx
ax
−
=
+
∫
, với
2a ≠ −
có giá trị là:
Ta nhậ ấn th y:
( )
2
2 ' 2ax ax+ =
. Ta dùng đổi biến số.
Đăt
2
2 2t ax dt axdx= + ⇒ =
.
Đổ ậi c n
0 2
1 2
x t
x t a
= ⇒ =
= − ⇒ = +
.
( ) ( )
2
2
2
2
1 1 1
ln ln 2 ln 2
2 2 2
a
a
I dt t a
t
+
+
= = = − +
∫
.
Chọn B
Câu 10. Giả ử s
5
2
3
d
ln5 ln 3 ln 2.( , , )= + + ∈
−
∫
x
a b c a b c
x x
5
2
3
ln5 ln3 ln 2.
dx
a b c
x x
= + +
−
∫
Tí á nh gi trị
biểu thức
2
2 3 .S a b c= − + +
A.
3.S =
B.
6.S =
C.
0.S =
D.
2.S = −
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
( )
5
5 5 5 5
2
3 3 3 3
3
1 4 2
ln ln ln ln 4 ln5 ln 2 ln3 ln2 ln3 ln5
1 1 5 3
dx dx dx dx x
x x x x x x x
−
= = − = = − = − − + = + −
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
suy ra
1; 1; 1a b c= − = =
Vậy
2 1 3 6.S = + + =
https://toanmath.com/
Câu 11. Biết
1
2
2
0
2 3 3
d ln
2 1
x x
x a b
x x
+ +
= −
+ +
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2 2
P a b= +
.
A.
13
. B.
5
. C.
4
. D.
10
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
1
2
2
0
2 3 3
d
2 1
x x
I x
x x
+ +
=
+ +
∫
Đặt
d d
1
1
t x
t x
x t
=
= + ⇒
= −
suy ra
0 1
1 2
x t
x t
= ↔ =
= ↔ =
Khi đó
( ) ( )
2
2
2
1
2 1 3 1 3
dt
t t
I
t
− + − +
= =
∫
2
2
2
1
2 2
dt
t t
t
− +
=
∫
2
2
1
1 2
2 dt
t t
− + =
∫
2
1
2
2 lnt t
t
− −
3 ln 2= −
.
Suy ra
2 2
3 2 13P = + =
.
Câu 12. Tính
( )
2
2
2
d
b
a
a x
I x
a x
−
=
+
∫
(với
a
,
b
là các số thực dương cho trước).
A.
2 2
2b
I
a b
=
+
. B.
2
b
I
a b
=
+
. C.
( )( )
( )
( )
2
1 1
1
a b
I
a b a
− −
=
+ +
. D.
2
b
I
a b
=
+
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
( )
2
2
2
d
b
a
a x
I x
a x
−
=
+
∫
2
2
1
d
b
a
a
x
x
a
x
x
−
=
+
∫
.
Đặt
a
t x
x
= +
2
d 1 d
a
t x
x
⇒ = − +
. Đổi cận:
1x a t a= ⇒ = +
;
a
x b t b
b
= ⇒ = +
Khi đó:
2
1
1
d
a
b
b
a
I t
t
+
+
−
=
∫
1
1
a
b
b
a
t
+
+
=
2
1
1
a b
b
a
t
+
+
=
2
1
1
b
a b a
= −
+ +
( )( )
( )
( )
2
1
1
a b b
a b a
− −
=
+ +
1k⇔ =
.
Câu 13. Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên
và các tích phân
( )
4
0
tan d 4f x x
π
=
∫
và
( )
2
1
2
0
d 2
1
x f x
x
x
=
+
∫
.
Tính tích phân
( )
1
0
d
I f x x=
∫
.
A.
6I =
. B.
2I =
. C.
3I =
. D.
1I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i:
Chọn A
Đặt
( )
2
2
d
tan d 1 tan d d
1
t
t x t x x x
t
= ⇒ = + ⇒ =
+
Đổ ậi c n
0 0x t= ⇒ =
và
1
4
x t
π
= ⇒ =
Đó đó:
( )
4
0
tan d d 4f x x x
π
=
∫
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
d d
4 4
1 1
f t t f x x
t x
⇒ = ⇒ =
+ +
∫ ∫
https://toanmath.com/
Nên
( ) ( )
( )
21 1 1
2 2
0 0 0
d d
4 2 d 6
1 1
f x x x f x x
f x x
x x
+ = + ⇔ =
+ +
∫ ∫ ∫
Câu 14. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạ ụo hàm liên t c trên
và có đồ thị hình bên. Tính tích phân
( )
2
1
2 1 dI f x x
′
= −
∫
.
A.
2I = −
. B.
1I = −
. C.
1I =
. D.
2I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Dự ồa vào đ thị hàm số ta có đồ thị hàm số
( )
y f x=
đi qua các điểm
( )
1; 1− −
,
( )
0;3
,
( )
2; 1−
,
( )
3;3
nên hàm s ố
( )
3 2
3 3y f x x x= = − +
.
Ta có:
( )
2
1
2 1 dI f x x
′
= −
∫
( ) ( )
2
1
1
2 1 d 2 1
2
f x x
′
= − −
∫
( )
2
1
1
2 1
2
f x= −
( ) ( )
1
3 1
2
f f= −
1=
4
2
2
-1
-1
2
3
3
O
1
https://toanmath.com/
HÀM VÔ TỈ
Câu 15. Cho tích phân
1
3
0
1 dx x−
∫
, với cách đặt
3
1t x= −
thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào
sau đây?
A.
1
0
3 dt t
∫
. B.
1
3
0
dt t
∫
. C.
1
2
0
3 dt t
∫
. D.
1
3
0
3 dt t
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
3 23
1 1 d 3 dt x x t x t t= − ⇒ = − ⇒ = −
, đổi cận:
0 1x t= ⇒ =
,
1 0x t= ⇒ =
.
Khi đó ta có
1 1
3
3
0 0
1 d 3 dx x t t− =
∫ ∫
.
Câu 16. Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với
2
3 2
1
1I x x dx= −
∫
A.
2
1
1
1
2
t t dt−
∫
. B.
4
1
1t t dt−
∫
C.
( )
3
2 2
0
1t t dt+
∫
. D.
( )
3
2 2
1
1x x dx+
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i.
Đặt
2 2 2
1 1t x t x tdt xdx= − ⇒ = − ⇒ =
1 0x t= ⇒ =
,
2 3x t= ⇒ =
( )
2 3
3 2 2 2
1 0
1 1I x x dx t t dt= − = +
∫ ∫
Chọn C
Câu 17. Nếu
3 2
0 1
( )
1 1
x
dx f t dt
x
=
+ +
∫ ∫
, với
1t x= +
thì
( )f t
là hàm số nào trong các hàm số dưới
đây ?
A.
2
( ) 2 2f t t t= +
B.
2
( )f t t t= −
C.
2
( )f t t t= +
D.
2
( ) 2 2f t t t= −
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
1t x= +
, suy ra
2
1t x= +
,
2tdt dx=
Ta có
3 2 2 2
2
2
0 1 1 1
1
.2 ( 1).2 (2 2 )
1
1 1
x t
dx tdt t tdt t t dt
t
x
−
= = − = −
+
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
Câu 18. Kết quả của
4
0
1
d
2 1
x
x +
∫
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2
2 1 2 1t x t x= + ⇒ = +
2 d 2d d dt t x t t x⇒ = ⇒ =
.
Đổ ậi c n:
0 1x t= ⇒ =
,
4 3x t= ⇒ =
.
Khi đó, ta có
4 3 3
3
1
0 1 1
1 d
d d 2
2 1
t t
x t t
t
x
= = = =
+
∫ ∫ ∫
.
Câu 19. Tích phân
1
0
d
3 1
x
x +
∫
bằng
A.
4
3
. B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
https://toanmath.com/
19TChọn D
Đặt
3 1t x= +
2
3 1t x⇒ = +
2 d 3dt t x⇒ =
2
d d
3
t
t x⇒ =
Đổ ậi c n:
0 1x t= ⇒ =
;
1 2x t= ⇒ =
Khi đó
1 2
0 1
d 2 1
. d
3
3 1
x
t t
t
x
=
+
∫ ∫
2
1
2
d
3
t=
∫
2
1
2
3
t=
2
3
=
.
Cách khác: S c ử ụ ứ d ng công th
d 2x
ax b C
a
ax b
= + +
+
∫
thì
1
1
0
0
d 2
3 1
3
3 1
x
x
x
= +
+
∫
2
3
=
.
Câu 20. Cho
3
0
d ln 2 ln3
3
4 2 1
x a
x b c
x
= + +
+ +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của
a b c+ +
b ngằ
A.
1
. B.
2
. C.
7
. D.
9
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
1t x= +
2
1t x⇒ = +
2
1x t⇒ = −
d 2 dx t t⇒ =
.
Đổ ậi c n:
0 2x t= ⇒ =
;
3 4x t= ⇒ =
.
Khi đó:
2
2 2 22 3 3
2 2
1 1 1
1
1 6 7
.2 d d 2 3 d 3 6ln 2 12ln 2 6ln3
4 2 2 2 3 3
t t t t
t t t t t t t t t
t t t
− −
= = − + − = − + − + = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Suy ra
7
12
6
a
b
c
=
= −
=
1a b c⇒ + + =
.
Câu 21. Biết
4
0
1
d ln 2
2 1 5
I x a b
x
= = +
+ −
∫
với
,a b
nguyên. Tính là số
S a b= +
.
A.
3.S =
B.
3.S = −
C.
S 5.=
D.
S 7.=
Hướ ẫ ảng d n gi i:
Chọn B
2
2 1 2 1 2 d 2d
0 1
4 3
t x t x t t x
x t
x t
= + ⇒ = + ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
( )
4 3 3
3
1
0 1 1
1 5
d d 1 d 5ln 5 2 5ln 2.
5 5
2 1 5
t
I x t t t t
t t
x
= = = + = + − = −
− −
+ −
∫ ∫ ∫
Suy ra:
2; 5 3.a b S a b= = − ⇒ = + = −
Câu 22. Tính phân tích
5
1
d
3 1
x
x x +
∫
được kết quả
ln3 ln5I a b= +
. Giá trị
2 2
3a ab b+ +
là
A.
4
. B.
5
. C.
1
. D.
0
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
2
2
1 2 d
3 1 3 1 d
3 3
t t t
t x t x x x
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
.
Đổ ậi c n:
1 2; 5 4.x t x t= ⇒ = = ⇒ =
Khi đó
https://toanmath.com/
4
2
2
2
d
1
I t
t
=
−
∫
4
2
1 1
d
1 1
t
t t
= −
− +
∫
4
2
1
ln
1
t
t
−
=
+
2ln 3 ln 5= −
. Suy ra
2
1
a
b
=
= −
.
Do đó
2 2
3 5a ab b+ + =
.
Câu 23. Cho tích phân
4
0
d 2
ln
3
3 2 1
x
I a b
x
= = +
+ +
∫
với
,a b ∈
. M ệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3a b− =
. B.
5a b− =
. C.
5a b+ =
. D.
3a b+ =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2 1t x= +
2
2 1t x⇒ = +
d dx t t⇒ =
.
Đổ ậi c n:
0 1x t= ⇒ =
;
4 3x t= ⇒ =
Khi đó
4
0
d
3 2 1
x
I
x
=
+ +
∫
3
1
d
3
t t
t
=
+
∫
3
1
3
1 d
3
t
t
= −
+
∫
( )
3
1
2
3ln 3 2 3ln
3
t t= − + = +
Do đó
5a b+ =
.
Câu 24. Biết
( )
3
2
1
2
1d
3
x x x a b+ = −
∫
, với
,a b
là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A.
2a b=
. B.
a b<
. C.
a b=
. D.
3a b=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
2 2 2
1 1 d dt x t x t t x x= + ⇒ = + ⇒ =
. Đổi cận
1 2; 3 2x t x t= ⇒ = = ⇒ =
.
Khi đó
( )
2
3 2
3
2 2
1
2
2
2
1d d 4 2
3 3
t
x x x t t+ = = = −
∫ ∫
. V y ậ
2 .a b=
Câu 25. Cho
( )
2
5
d 1 5
ln , 5
4 3
4
a
x
I a
x x
= = >
+
∫
. Khi đó giá trị củ ốa s thực
a
là
A.
2 3.
B.
2 5.
C.
3 2.
D.
2 2.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
2 2 2
4 4 d d .t x t x t t x x= + ⇒ = + ⇒ =
Đổ ậi c n:
5 3, x t= ⇒ =
2
4x a t a= ⇒ = +
.
2 2
4 4
2
2 2
3 3
5
d d d
4 ( 2)(t 2)
4
a a a
x x t t
I
t t
x x
+ +
= = =
− − +
+
∫ ∫ ∫
2
2
4
4
2
2
3
3
1 1 1 1 2 1 4 2
d ln ln 5
4 2 2 4 2 4
4 2
a
a
t a
t
t t t
a
+
+
− + −
= − = = ⋅
− + +
+ +
∫
.
Ta có,
( )
2 2
2 2
1 5 1 4 2 1 5 4 2 1
ln ln 5 ln , 5
4 3 4 4 3 3
4 2 4 2
a a
I a
a a
+ − + −
== ⇔ ⋅ = > ⇔ =
+ + + +
( )
2 2
3 4 2 4 2 2 3a a a⇔ + − = + + ⇔ =
.
Câu 26. Cho
1
2
0
2
1
x
I dx a b
x
= = +
+
∫
. Giá trịa.b là:
A. – 1 – 2. B. . C. D. 1. 2.
Hướ ẫ ảng d n gi i
https://toanmath.com/
Cho
1
2
0
2
1
x
I dx a b
x
= = +
+
∫
. Giá trịa.b là:
Ta có:
Đặt
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =
. Đổi cận
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
.
2
1
1 1
2 1 1, 1 . 1
2
I dt a b a b
t
⇒ = = − ⇒ = = − ⇒ = −
∫
.
Chọn A
Câu 27. Với
, ,a b c R∈
. Đặt
2
2
1
4
ln
x b
I dx a
x c
−
= = −
∫
. Giá trị của tính abc là :
A.
3
B.
2 3−
C.
2 3
D.
3−
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạ ấ ầ ảng b m máy tính nên chúng ta c n ph i nhớ
phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn.
Dưới đây là một cách
Đặt
2 2 2
4 4t x t x tdt xdx= − ⇒ = − ⇒ = −
0
0 0 0
2
2 2 2
3 3 3
3
( ) 4 2 2 3
1 ln 3 ln
4 4 4 2
2 3
t tdt t t
I dt dt t
t t t t
− − −
= = = + = + = − −
− − − +
+
∫ ∫ ∫
Suy ra
3(2 3)(2 3) 3abc = − − + = −
Câu 28. Cho
3
2
1
1
ln
x c d
dx a b
x
e
+ +
= − +
∫
v i c ớ nguyên dương và
a
,
b
,
c
,
d
,
e
là các số
nguyên t cố. Giá trị ủ ứa biểu th c
+ + + +a b c d e
bằng.
A.
14
. B.
17
. C.
10
. D.
24
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
3
2
2
1
1
d
x
x x
x
+
=
∫
.
Đặt
2
1t x= +
2 2
1t x⇒ = +
2 2d dt t x x⇒ =
d dt t x x⇒ =
.
Đổ ậi c n:
3 2
1 2x t
x t
⇒ =
= ⇒
=
=
.
2
2
2
2
1
d
t
I t
t
=
−
∫
2
2
1 1 1
1
2 1 1
dt
t t
= + −
− +
∫
2 2
2 2
1 1 1
2 1 1
d dt t
t t
= + −
− +
∫ ∫
2
2
2
2
1 1
ln
2 1
t
t
t
−
= +
+
( )
1 1 1
2 2 ln ln 3 2 2
2 3 2
= − + − −
3 8
2 2 ln
3
+
= − +
1 2
2 2 ln
3
+
= − +
.
Vậy
10a b c d e+ + + + =
.
Câu 29. Giá trị của
7
3
3 2
0
d
1
x x
I
x
=
+
∫
được viết dưới dạ ống phân s t n ối giả
a
b
(
a
,
b
là các số nguyên
dương). Khi đó giá trị của
7a b−
bằng
3
2
1
1x
I dx
x
+
=
∫
https://toanmath.com/
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
1.−
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Cách 1: Tính
7
3
3 2
0
d
1
x x
I
x
=
+
∫
Đặt
3 2 2
3
1 d d
2
u x u u x x= + ⇒ =
. Đổi cận:
0 1x u= ⇒ =
;
7 2x u= ⇒ =
.
Vậy
( )
( )
3 2
2 2
4
1 1
1
3 3 141
d d
2 2 20
u u
I u u u u
u
−
= = − =
∫ ∫
.
Suy ra:
141a =
,
20b =
.
Vậy
7 1.a b− =
Cách 2: Dùng MTCT
7
3
3 2
0
d 141
7.01
20
1
x x
I
x
= = =
+
∫
.
Suy ra:
141a =
,
20b =
.
Vậy
7 1.a b− =
Câu 30. Giả ử s
64
3
1
d 2
ln
3
x
I a b
x x
= = +
+
∫
với
,a b
nguyên. Tính giá tr là số ị
a b−
.
A.
17−
. B.
5
. C.
5−
. D.
17
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
6
x t=
6
x t⇒ =
5
d 6 dx t t⇒ =
.
Với
1 1x t= ⇒ =
,
64 2x t= ⇒ =
.
Khi đó
( )
2 2
5
2 3 2 2
1
3 2
1 1
6 1 2
d 6 1 d 2 3 6 6ln 1 6ln 11
1 3
t
I t t t t t t t t
t t t
= = − + − = − + − + = +
+ +
∫ ∫
.
6a⇒ =
,
11b =
.Vậy
5a b− = −
.
Câu 31. Giả ử s
2
2
4
1
1 1
d
x b
x a a b
x c b c
+
= −
+
∫
với
, ,a b c ∈
;
1 , , 9a b c≤ ≤
. Tính giá trị của biểu
thức
2
b a
a c
C
−
+
.
A.
165
. B.
715
. C.
5456
. D.
35
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
2 2
2
2
4 3
1 1
1
1
1
d d
x
x
I x x
x x
+
+
= =
∫ ∫
Đặt
2
2 3 3
1 2 1
1 2 d d d dt t t x t t x
x x x
= + ⇒ = − ⇒ − =
Ta được
5
2
2
2 3
5
2
2
1
d
3
I t t t= − =
∫
1 5
2 2 5
3 5 3
= −
+
.
Vậy
2a =
,
5b =
,
3c =
, suy ra
3
2 7
35
b a
a c
C C
−
+
= =
.
Câu 32. Tập h p nghiợ ệm của bất phương trình
2
0
d 0
1
x
t
t
t
>
+
∫
( n ẩ
x
) là:
A.
( )
;−∞ +∞
. B.
( )
;0−∞
. C.
( ) { }
; \ 0−∞ +∞
. D.
( )
0;+∞
.
https://toanmath.com/
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
( )
2 2 2
2 2
0
0 0
1 1
d 0 d 1 0 1 0 1 1 0
2
1 1
x x
x
t
t t t x
t t
> ⇔ + > ⇔ + > ⇔ + − >
+ +
∫ ∫
2 2
1 1 0 0x x x⇔ + > ⇔ > ⇔ ≠
Câu 33. Cho biết
7
3
3 2
0
d
1
=
+
∫
x m
x
n
x
với
m
n
t phân s t i gi n. Tính là mộ ố ố ả
7m n−
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
91
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
2
3 2 3 2 2
3 d
1 1 3 d 2 d d
2
t t
t x t x t t x x x x= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
.
Đổ ậi c n: khi
0 1x t= ⇒ =
; khi
7 2x t= ⇒ =
( )
2
7 2 23 3 2 5 2
4
3 2
0 1 1
1
1 3 3 3 141
d . d . d .
2 2 2 5 2 20
1
x t t t t
x t t t t
t
x
−
= = − = − =
+
∫ ∫ ∫
.
7 141 7.20 1m n⇒ − = − =
.
Câu 34. Biết
2
2
1
d 2 35
3 9 1
x
x a b c
x x
= + +
+ −
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ, tính
2 7P a b c= + + −
.
A.
1
9
−
. B.
86
27
. C.
2−
. D.
67
27
.
19THướ ẫ ảng d n gi i
19TChọn A
19T 19TCách 1: Ta có
2
2
1
d
3 9 1
x
x
x x+ −
∫
( )
2
2
1
3 9 1 dx x x x= + −
∫
( )
2
2 2
1
3 9 1 dx x x x= − −
∫
2 2
2 2
1 1
3 d 9 1dx x x x x= − −
∫ ∫
2
2
3 2
1
1
9 1dx x x x= + −
∫
2
2
1
7 9 1dx x x= − −
∫
.
Tính
2
2
1
9 1dx x x−
∫
.
Đặt
2
9 1x t− =
2 2
9 1x t⇒ − =
d
d
9
t t
x x⇒ =
.
Khi
1x =
thì
2 2t =
; khi
2x =
thì
35t =
.
Khi đó
2
2
1
9 1dx x x−
∫
35
35
3
2 2
2 2
d
9 27
t t t
t= =
∫
35 16
35 2
27 27
= −
.
Vậy
2
2
1
35 16
d 7 35 2
27 27
3 9 1
x
x
x x
= − +
+ −
∫
7a⇒ =
,
16
27
b =
,
35
27
c = −
.
19T 19TVậy
2 7P a b c= + + −
32 35 1
7 7
27 27 9
= + − − = −
.
Cách 2:
( ) ( )
2 2
1
2 2 2
2
1 1
1
9 1d 9 1 d 9 1
18
x x x x x− = − −
∫ ∫
( )
2
3
2
2
1
1
9 1
27
x= −
35 35 16 2
27 27
= −
https://toanmath.com/
2
2
1
35 16
d 7 35 2
27 27
3 9 1
x
x
x x
⇒ = − +
+ −
∫
7a⇒ =
,
16
27
b =
,
35
27
c = −
.
19T 19TVậy
2 7P a b c= + + −
32 35 1
7 7
27 27 9
= + − − = −
.
Câu 35. Biết
( )
2
1
d
1 1
x
a b c
x x x x
= − −
+ + +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Tính
P a b c= + +
.
A.
44P =
.19T B. 19T
42P =
.19T C. 19T
46P =
.19T D. 19T
48P =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
19T 19TĐặt
( )
( )
( )
2 2
1 1
d d
1 1
1 1
x x
I
x x x x
x x x x
= =
+ + +
+ + +
∫ ∫
.
Đặt
( )
1
1 d d
2 1
x x
t x x t x
x x
+ +
= + + ⇒ =
+
( )
d d
2
1
x t
t
x x
⇔ =
+
.
Khi
1x =
thì
2 1t = +
, khi
2x =
thì
3 2t = +
.
( )
( )
3 2
2 3 2
2
2 1
1
2 1
d d 1
2 2
1 1
x t
I
t t
x x x x
+
+
+
+
= = = −
+ + +
∫ ∫
1 1
2
3 2 2 1
= − −
+ +
4 2 2 3 2= − −
32 12 4= − −
32a⇒ =
,
12b =
,
4c =
Vậy
48P a b c= + + =
Câu 36. Giả ử s
a
,
b
,
c
là các số nguyên thỏa mãn
4
2
0
2 4 1
d
2 1
x x
x
x
+ +
+
∫
( )
3
4 2
1
1
d
2
au bu c u= + +
∫
, trong
đó
2 1u x= +
. Tính giá tr ị
S a b c= + +
.
A.
3S =
. B.
0S =
. C.
1S =
. D.
2S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
2 1u x= +
2
2 1u x⇒ = +
2
d d
1
2
u u x
u
x
=
⇒
−
=
Khi đó
4
2
0
2 4 1
d
2 1
x x
x
x
+ +
+
∫
2
2 2
3
1
1 1
2 4 1
2 2
.d
u u
u u
u
− −
+ +
=
∫
( )
3
4 2
1
1
2 1 .d
2
u u u= + −
∫
Vậy
S a b c= + +
1 2 1 2= + − =
.
Câu 37. Tích phân
1
2 3
2
0
1
a x ax
I dx
ax
+
=
+
∫
, với
0a ≥
có giá trị là:
A.
( )
2
4
a a
I
−
=
. B.
( )
2
2
a a
I
−
=
. C.
( )
2
4
a a
I
+
=
. D.
( )
2
2
a a
I
+
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
1
2 3
2
0
1
a x ax
I dx
ax
+
=
+
∫
, với
0a ≥
có giá trị là:
https://toanmath.com/
Ta biến đổi:
( )
( )
2
1 1 1
2 3
2
2 2
0 0 0
1
1
1 1
ax ax
a x ax
I dx dx ax ax dx
ax ax
+
+
= = = +
+ +
∫ ∫ ∫
.
Ta nhậ ấn th y:
( )
2
1 ' 2ax ax+ =
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
2
1 2t ax dt axdx= + ⇒ =
.
Đổ ậi c n
0 1
1 1
x t
x t a
= ⇒ =
= ⇒ = +
.
( )
1
1
2
1
1
1 1 1
2
2 4 4
a
a
I tdt t a a
+
+
= = = +
∫
.
Chọn C
Câu 38. Tích phân
3
2
0
1
9
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
3 2 3
ln
3
I
+
= −
. B.
3 2 3
ln
3
I
− +
= −
. C.
3 2 3
ln
3
I
+
=
. D.
3 2 3
ln
3
I
− +
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
3
2
0
1
9
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
Đặt
2
2
2 2 2 2
9
9 1
9 9 9 9
x x x udx du dx
u x x du dx dx
u
x x x x
+ +
= + + ⇒ = + = = ⇒ =
+ + + +
.
Đổ ậi c n
0 3
3 3 3 2
x u
x u
= ⇒ =
= ⇒ = +
.
( )
( )
3 3 2
3 3 2
3
3
ln ln 1 2
du
I u
u
+
+
⇒ = = = +
∫
.
Chọn C
Câu 39. Tích phân
1
2
0
3 12
a
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
1 5
ln
2
3
a
I
−
=
. B.
1 5
ln
2
3
a
I
+
= −
.
C.
1 5
ln
2
3
a
I
−
= −
. . D
1 5
ln
2
3
a
I
+
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
1
2
0
3 12
a
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
Ta có:
1 1
2 2
0 0
1
3
3 12 4
a a
I dx dx
x x
= =
+ +
∫ ∫
.
Đặt
2
2
2 2
4
4
4 4
x x du dx
u x x du dx
u
x x
+ +
= + + ⇒ = ⇒ =
+ +
.
( )
1 5
1 5
22
1 1 5
ln ln
2
3 3 3
a a a
I du u
u
+
+
+
= = =
∫
.
https://toanmath.com/
Chọn D
Câu 40. Tích phân
2
2
1
2
2 3 1
4
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫
. Giá trị nguyên c ủa a là:
A.
5a =
. B.
6a =
. C.
7a =
. D.
8a =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
2
2
1
2
2 3 1
4
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
( )
( )
2
4 ' 2 4 2 2ax x ax ax− = − = −
.
2
2
1
1 2 4
2
4
ax
I dx
ax x
−
⇒ =
−
∫
.
Đặt
( )
2
4 2 4t ax x dt ax dx= − ⇒ = −
.
Đổ ậi c n
2 4 8
1 4
x t a
x t a
= ⇒ = −
= ⇒ = −
.
( )
4 8
4 8
4
4
1 1
4 8 4
2
a
a
a
a
I dt t a a
t
−
−
−
−
= = = − − −
∫
Theo đề bài:
2 3 1 4 8 4 2 3 1 ..... 5I a a a= − ⇔ − − − = − ⇔ ⇔ =
.
Câu 41. Cho
2
2
1
1 2
ln
1
1
a
dx
b
x
+
=
+
+
∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị
a
b
là:
A.
2
5
. B.
5
2
. C.
2
3
. D.
3
2
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho
2
2
1
1
ln
1
a
dx
b
x
=
+
∫
. Giá trị
a
b
là:
Ta đặt:
2
2
1
1
dt dx
t x x
t
x
= + + ⇒ =
+
.
Đổ ậi c n
1 1 2
2 2 5
x t
x t
= ⇒ = +
= ⇒ = +
.
( )
2 5
2 5
1 2
1 2
2 5
ln ln
1 2
dt
t
t
+
+
+
+
+
=
+
∫
.
Chọn B
Câu 42. Tích phân
3
7
5
3 3
0
3
8
x
I dx
x
=
−
∫
có gái trị là:
A.
87
5
I =
. B.
67
5
I =
. C.
77
5
I =
. D.
57
5
I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
3
7
5
3 3
0
3
8
x
I dx
x
=
−
∫
có gái trị là:
Cách 1: Ta nhậ ấn th y:
( )
3 2
8 ' 3x x− = −
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
3 2
8 3t x dt x dx= − ⇒ = −
.
https://toanmath.com/
Đổ ậi c n
3
0 8
7 1
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
.
Ta có:
( )
3 3 3
27 7 7
5 2 3
3 3 33 3 3
0 0 0
3 8
3 3 .
8 8 8
x t
x x x
I dx dx dx
x x x
− −
−
= = − = −
− − −
∫ ∫ ∫
1
1 1 2 1 5 2
3 3 3 3
3
8 8
8
8 3 87
8. 12
5 5
t
I dt t t dt t t
t
−
−
⇒ = = − = − =
∫ ∫
.
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính c m tay, tuy nhiên ch máy gi i gian. ầ ờ ải cũng khá mất thờ
Câu 43. Biết
( )
4
0
2 1d 5
ln 2 ln , ,
3
2 3 2 1 3
x x
a b c a b c
x x
+
= + + ∈
+ + +
∫
. Tính
2T a b c= + +
.
A.
4T =
. B.
2T =
. C.
1T =
. D.
3T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
( )( )
( ) ( )
( )( )
4 4 4
0 0 0
2 2 1 1 2 1 2 d
2 1d 2 1d
2 3 2 1 3
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
x x x
x x x x
I
x x
x x x x
+ + − + +
+ +
= = =
+ + +
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
4 4
0 0
2d d
2 1 2 2 1 1
x x
x x
= −
+ + + +
∫ ∫
.
Đặt
2 1 d du x u u x= + ⇒ =
. Với
0 1x u= ⇒ =
, với
4 3x u= ⇒ =
.
Suy ra
.3 .3 .3 .3
1 1 1 1
2 d d 4 1
2 d 1 d
2 1 2 1
u u u u
I u u
u u u u
= − = − − −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
3
5
4ln 2 ln 1 2 4 ln ln 2
1
3
u u u= − + + + = − +
2a⇒ =
,
1b =
,
1c =
2.1 1 4 1T⇒ = + − =
.
Câu 44. Biết
( )
3
2
1
d 1
3 2 ln 3 2 3
2
1 1
x
a b c
x x
= + + + −
+ + +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu t . Tính ỷ
P a b c= + +
.
A.
1
2
P =
. B.
1P = −
.
C.
1
2
P = −
. D.
5
2
P =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
( )
2
3 3
2
1 1
1 1 d
d
2
1 1
x x x
x
x
x x
+ − +
=
+ + +
∫ ∫
3
3
2
2
1
1
1 1 1 d
ln
2 2 2
x x x
x x
x
+
= + −
∫
.
1 3 1
ln 3
2 2
I
−
= + −
Xét
3
2
2
1
1 d
2
x x x
I
x
+
=
∫
Đặt
2
1 d dt x t t x x= + ⇒ =
( )
2
2
2
2
d
2 1
t t
I
t
=
−
∫
2
2
1 1 1 1
d
2 2 1 1
t t
t t
= + −
− +
∫
2
2
1 1 1
ln
2 2 1
t
t
t
−
= +
+
https://toanmath.com/
1 1 1 1 2 1
2 2 ln ln
2 2 3 2
2 1
−
= − + −
+
( )
2
1 1 1
2 2 ln 3 ln 2 1
2 2 2
= − − − −
( )
1
2 2 ln 3 ln 2 1
2
= − − − −
Vậy
2
2
1
d
1 1
x
x x+ + +
∫
( )
1 3 1 1
ln 3 2 2 ln 3 ln 2 1
2 2 2
−
= + − − − − −
( )
1 1 3 1
3 2 ln 3 2 3
2 2 2 2
= + − + −
Vậy
1
2
P a b c= + + = −
.
Câu 45. 19T 19T20TBiết rằng
1
2
0
d 2
2ln
1
4 3
x a
b
x x
+
=
+
+ +
∫
19T20T với 19T
a
19T 19T,
b
19T là các số nguyên dương. Giá trị của 19T
a b+
19T
bằng
19T 19TA.
3
. 19TB.19T
5
. 19TC.19T
9
. 19TD.19T
7
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
19TChọn B
19T 19TTa có
( )( )
1 1
2
0 0
d d
1 3
4 3
x x
x x
x x
=
+ +
+ +
∫ ∫
19T 19TĐặt
3 1t x x= + + +
1 1 1
d d
2
3 1
t x
x x
⇒ = +
+ +
( )( )
1 1 3
d
2
1 3
x x
t
x x
+ + +
⇔ =
+ +
( )( )
1
d d
2
1 3
t
t x
x x
⇔ =
+ +
( )( )
2d d
1 3
t x
t
x x
⇔ =
+ +
19T.
Khi
0x =
thì
1 3t = +
; khi
1x =
thì
2 2t = +
.
1 2 2
2
0
1 3
d d
2
4 3
x t
t
x x
+
+
=
+ +
∫ ∫
2 2
1 3
2ln
t
+
+
=
2 2
2ln
1 3
+
=
+
2
3
a
b
=
⇒
=
5a b⇒ + =
.
Câu 46. Biết
2
3
3 3
2 8 11
1
1 1 1
2 d
a
x x c
x x x b
− + − =
∫
, với
, ,a b c
nguyên dương,
a
b
tối gi n và ả
<c a
. Tính
= + +S a b c
A.
51=S
. B.
67=S
. C.
39=S
. D.
75=S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
3 3
2 8 11
1
1 1 1
2 dx x
x x x
− + −
∫
2
3
2 3
1
1 2
1 dx x
x x
= − +
∫
.
Đặt
3
3
2 2
1 1
t x t x
x x
= − ⇒ = −
2
3
2
3 d 1 dt t x
x
⇒ = +
.
Khi đó:
2
3 3
2 8 11
1
1 1 1
2 dx x
x x x
− + −
∫
3
7
4
3
0
3 dt t=
∫
3
7
4
4
3
0
3 21
14
4 32
t= =
.
Vậy
67=S
.
https://toanmath.com/
Câu 47. Cho s ố thực dương
0k >
thỏa
( )
2
2
0
ln 2 5
dx
x k
= +
+
∫
. M ệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
2
k >
. B.
1
0
2
k< ≤
. C.
1
1
2
k< ≤
. D.
3
1
2
k< ≤
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
( )
2
lnt x x k= + +
2
2
1
x
x k
dt dx
x x k
+
+
⇒ =
+ +
2
1
dt dx
x k
⇔ =
+
Ta có
2 2
2
0 0
dx
dt
x k
=
+
∫ ∫
2
0
t=
( )
( )
2
2
0
ln ln 2 5x x k⇔ + + = +
( ) ( )
ln 2 4 ln ln 2 5k k⇔ + + − = +
( )
2 4
ln ln 2 5
k
k
+ +
⇔ = +
2 4
2 5
k
k
+ +
⇔ = +
( )
2 4 2 5k k⇔ + + = +
( )
2
4 4 4 4 2 5k k k⇔ + + + + = +
( )
4 2 5 2k k⇔ + = + −
( ) ( )
2
2
2
2 5
4 2 5 4 4 2 5
k
k k k
>
+
⇔
+ = + + − +
( ) ( )
2
2
2
2 5
2 5 9 4 5 0
k
k k
>
+
⇔
+ − + =
2
2 5
0
1
k
k
k
>
+
⇔
=
=
https://toanmath.com/
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
( )
1 1
0 0
sin 1 d sin dx x x x− =
∫ ∫
. B.
( )
1 1
0 0
cos 1 d cos dx x x x− = −
∫ ∫
.
C.
2
0 0
cos d cos d
2
x
x x x
π
π
=
∫ ∫
. D.
2
0 0
sin d sin d
2
x
x x x
π
π
=
∫ ∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Xét tích phân
( )
1
0
sin 1 dx x−
∫
Đặt
1 d dx t x t− = ⇒ = −
. Khi
0 1x t= ⇒ =
; Khi
1 0x t= ⇒ =
.
Do đó
( )
1
0
sin 1 dx x−
∫
( )
0
1
sin dt t= −
∫
1
0
sin dt t=
∫
1
0
sin d
x x=
∫
.
Câu 49. Tính47T tích phân 47T
π
3
3
0
sin
d
cos
x
I x
x
=
∫
47T.
A.
5
2
I =
. B.
3
2
I =
. C.
π 9
3 20
I = +
. D.
9
4
I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
cost x=
d sin dt x x⇒ = −
.
Đổ ậi c n:
0x =
1t⇒ =
;
π 1
3 2
x t= ⇒ =
.
Khi đó:
1
2
3
1
1
dI t
t
−
=
∫
1
3
1
2
1
dt
t
=
∫
1
2
1
2
1
2t
−
=
1 3
2
2 2
= − + =
.
Câu 50. Cho
3
2
0
sin tan ln
8
b
I x xdx a
π
= = −
∫
. Ch n m ọ ệnh đề đúng:
A.
4a b+ =
B.
2a b− =
C.
6ab =
D.
4
b
a =
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
cos sinu x du xdx= ⇒ − =
Đổ ậi c n
1
3
2
10
x
u
u
x
π
=
=
⇒
=
=
( )
( )
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1 3
ln ln2
2 8
u du
u
I u du u
u u
− −
= = − = − = −
∫ ∫
https://toanmath.com/
Câu 51. Biết rằng
0
1
4
1
1 cos2
I dx a
x
π
−
= =
+
∫
và
0
33
1
3
2 2
4
I x dx b
−
= + = −
∫
, ha và b là các số ữu tỉ.
Thương số giữa a b và có giá trị là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
3
4
. D.
2
3
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Biết rằng
0
1
4
1
1 cos2
I dx a
x
π
−
= =
+
∫
và
0
33
1
3
2 2
4
I x dx b
−
= + = −
∫
. Thương số giữa a và b có giá
trị là:
Ta có:
0 0 0
1
2
1
4 4
1 1 1 1 1
...
1 cos2 2 cos 2 2
I dx dx tdt
x x
π π
−
− −
= = = = =
+
∫ ∫ ∫
, với
tant x=
.
( )
00
4
3
3
3
1
1
3 3 3
2 2 2
4 2 4
I x dx x
−
−
= + = + = −
∫
.
1 3 1
,
2 2 3
a
a b
b
⇒ = = ⇒ =
.
Chọn B
Câu 52. Cho
a
0
cos2x 1
I dx ln3
1 2sin 2x 4
π
= =
+
∫
. Tìm giá trị của a là:
A. 3 B. 2 C. . 4 D 6
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
1 2 2t sin x= +
đưa đến I =
∫
+
a
t
dt
π
2
sin21
1
4
1
=
4
1
lnt|
a/2sin21
1
π
+
=
4
1
ln3
suy ra
1 2 2 / 3sin a+ =
suy ra a = 4.
Câu 53. Biết
( )
4
2
1
0
1 tanI x dx a
π
= + =
∫
và
( )
1
1
1
2 3
3
2
0
0
I x x dx bx cx
= + = +
∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá
trị c ủa a + b + c là:
A. C. D. 1. B. 2. 3. 0.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Biết
( )
4
2
1
0
1 tanI x dx a
π
= + =
∫
và
( )
1
1
1
2 3
3
2
0
0
I x x dx bx cx
= + = +
∫
. Giá trị của a + b + c là:
Ta có:
( )
1
4 4
2
1
2
0 0 0
1
1 tan ... 1
cos
I x dx dx tdt
x
π π
= + = = = =
∫ ∫ ∫
, với
tant x=
.
( )
1
1
1
2 3
3
2
0
0
1 2
3 3
I x x dx x x
= + = +
∫
.
1 2
1, , 2
3 3
a b c a b c⇒ = = = ⇒ + + =
.
https://toanmath.com/
Chọn B
Câu 54. Tích phân
3
0
sin 2
cos cos3
x
I dx
x x
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
− −
= +
+ +
. B.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
− +
= −
+ −
.
C.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
− −
= −
+ +
. D.
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
I
+ −
= −
− +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
3
0
sin 2
cos cos3
x
I dx
x x
π
=
+
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
1
23 3 3
2
0 0 0
1
sin 2 sin sin 1 2 1
... ln
cos cos3 cos 2 2cos 1
2 2 2 1
1 2 2 2 1
ln ln
2 2 2 2 2 1
x x x t
I dxI dx dx
x x x x
t
π π π
−
= = = = =
+ −
+
− −
= −
+ +
∫ ∫ ∫
,
với
cost x=
.
Chọn C
Câu 55. Tích phân
2
2
4
2 cos
sin
x x
I dx
x x
π
π
+
=
+
∫
có giá trị là:
A.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= − − +
. B.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= + − +
.
C.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= − + +
. D.
2 2
2
ln 1 ln
4 16 2
I
π π
= + + +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
2
2
4
2 cos
sin
x x
I dx
x x
π
π
+
=
+
∫
có giá trị là:
Ta có:
2
2
1
2 2
2 4
2
2
4
16 2
2 cos 1 2
... ln 1 ln
sin 4 16 2
x x
I dx dt
x x t
π π
π
π
π π
+
+
+
= = = = + − +
+
∫ ∫
, với
2
sint x x= +
.
Chọn B
Câu 56. Cho
( )
4
0
sin 2 ln tan 1 dx x x
π
+
∫
ln 2a b c
π
= + +
với
a
,
b
,
c
là các số hữu t . Tính ỉ
1 1
T c
a b
= + −
.
A.
2T =
. B.
4T =
. C.
6T =
. D.
4T = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
https://toanmath.com/
Ta có
( )
4
0
sin 2 ln tan 1 dx x x
π
+
∫
( ) ( )
4
0
1
ln tan 1 d cos 2
2
x x
π
= − +
∫
( ) ( )
4
4
0
0
1 1
cos2 ln tan 1 cos 2 d ln tan 1
2 2
x x x x
π
π
= − + + +
∫
4
2
0
1 1 1
cos2 . . d
2 tan 1 cos
x x
x x
π
=
+
∫
2 2
4
2
0
1 cos sin 1
. d
sin cos
2 cos
cos
x x
x
x x
x
x
π
−
=
+
∫
4
0
1 sin
1 d
2 cos
x
x
x
π
= −
∫
( )
4
4
0
0
1 1 1
d cos
2 2 cos
x x
x
π
π
= +
∫
4
0
1
ln cos
8 2
x
π
π
= +
1 1
ln 2
8 4
= π−
8 4 0 4T⇒ = − + =
.
Câu 57. Xét tích phân
2
0
sin 2
d
1 cos
x
I x
x
π
=
+
∫
. Nếu đặt
1 cost x= +
, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1
3
2
d .
4 4
t t
I t
t
−
=
∫
B.
1
3
2
d .
4 4t t
I t
t
− +
=
∫
C.
( )
2
2
1
4 1 .dI t t= −
∫
D.
( )
2
2
1
4 1 d .I t t= − −
∫
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
sin sin
1 cos d d d 2d
2 1 cos 1 cos
x x
t x t x x t
x x
−
= + ⇒ = ⇒ = −
+ +
2 2
1 cos cos 1t x x t⇒ = + ⇒ = −
Đổ ậi c n
0 2; 1.
2
x t x t= ⇒ = = ⇒ =
π
2 2
0 0
sin 2 d 2 cos sin d
1 cos 1 cos
x x x x x
I
x x
π π
⇒ = =
+ +
∫ ∫
1 1 2
2 2 2
1
2 2
2( 1)( 2)d 4 ( 1)d 4 ( 1)d .t t t t t t= − − = − − = −
∫ ∫ ∫
Câu 58. Cho
( )
6
0
1
sin .cos d
64
n
x x x n= ∈
∫
π
. Tìm giá trị
n
.
A.
3n =
. B.
4n =
. C.
5n =
. D.
6n =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
[Phương pháp tự luận]
Đặt
sin d cos dt x t x x= ⇒ =
. Với
0 0x t= ⇒ =
;
1
6 2
x t
π
= ⇒ =
.
Vậy
6
0
1
sin . osxd
64
n
x c x
π
=
∫
1
1
1
12
2
0
0
1 1 1
dt | .
1 1 2 64
n
n
n
t
t
n n
+
+
⇔ = = =
+ +
∫
1 1
2 32
n
n +
⇔ =
( )
1
https://toanmath.com/
Phương trình
( )
1
là phương trình hoành độ giao điểm của
1
2
n
y
=
là một hàm số giảm trên
và
1 1
0
32 32
n
y y
+
′
= = >
là một hàm số tăng trên
.
Vậy phương trình
( )
1
có tối đa 1 nghiệm.
Với
3n =
thay vào phương trình
( )
1
ta được:
3
1 3 1
2 32
+
=
( đúng).
Vậy
3n =
là nghi m duy nhệ ất của phương trình
( )
1
.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay
3n =
vào bấm máy tính:
6
3
0
1
sin .cos d
64
x x x
π
=
∫
. Ta chọn đáp ánA.
Câu 59. Cho tích phân
2
3
sin
d ln 5 ln 2
cos 2
x
x a b
x
π
π
= +
+
∫
với
, .a b ∈
M ệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 0.a b+ =
B.
2 0.a b− =
C.
2 0.a b− =
D.
2 0.a b+ =
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
cos 2t x= +
d sin dt x x⇒ = −
Đổ ậi c n
5
3 2
x t
π
= ⇒ =
,
2
2
x t
π
= ⇒ =
2
3
sin
d
cos 2
x
x
x
π
π
+
∫
2
5
2
1
dt
t
= −
∫
5
2
2
1
dt
t
=
∫
5
2
2
lnt=
5
ln ln 2
2
= −
ln5 2ln 2= −
Vậy ta được
1; 2a b= = −
.
Câu 60. Tích phân
( )
2
3
cos sin
cos 1 cos
x
x x
I dx
e x x
π
π
−
=
+
∫
có giá trị là:
A.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
+
=
−
. B.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
−
=
−
.
C.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
+
=
+
. D.
3 3
2
3
2
ln
2
e e
I
e
π π
π
−
=
+
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
2
3
3
cos sin
cos 1 cos
x
x x
I dx
e x x
π
π
−
=
+
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
Ta biến đổi:
( )
( )
2
3
. cos sin
cos 1 cos
x
x x
e x x
I dx
e x e x
π
π
−
=
+
∫
.
Đặt
( )
cos cos sin
x x
t e x dt e x x dx= ⇒ = −
.
Đổ ậi c n
3
2
3
1
3 2
2 1
3 2
x t e
x t e
π
π
π
π
= ⇒ =
= ⇒ = −
.
( )
2
2
3
3
3
3
1
3 3
21
2
3 3
2
2 2
1
3 3 3
1
2
2
2
1
ln ln ln ln
1 1
2 2 2
e
e
e
e
e e
t e e
I dt
t t t
e e e
π
π
π
π
π π
π π
π π π
−
−
+
= = = − =
+ +
− + −
∫
.
Chọn A
Câu 61. Tích phân
36
3
sin
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫
có giá trị là:
A.
19 17 3
2
I
+
=
. B.
4
19 17 3
2
I
+
=
.
C.
19 17 3
2
I
− +
= . D.
4
19 17 3
2
I
−
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
36
3
sin
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫
có giá trị là:
Ta nhậ ấn th y:
( )
cos ' sinx x= −
. T dùng đổi biến số.
Đặt
cos sint x dt xdx= ⇒ = −
.
Đổ ậi c n
1
3 2
3
6 2
x t
x t
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
.
( )
2
3
2 2
3 3
3
3 3
2
3 1 5 1
22 2
4
2 2 2 2
1 1
1
2 2
2
1 cos sin
sin
cos cos
1 2 19 17 3
2
5
2
x x
x
I dx dx
x x
t
I dt t t dx t t
t
π π
π π
−
−
= =
− −
⇒ = = − = − =
∫ ∫
∫ ∫
Chọn D
Câu 62. Tích phân
( )
3
2
3
sin
cos 3 sin
x
I dx
x x
π
π
−
=
+
∫
có gái trị là:
https://toanmath.com/
A.
3 3 2 3
ln
16 8
3 2
I
+
= +
− +
. B.
3 3 2 3
ln
8 8
3 2
I
+
= +
− +
.
C.
3 3 2 3
ln
8 8
3 2
I
+
= − +
− +
. D.
3 3 2 3
ln
16 8
3 2
I
+
= − +
− +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
3
2
3
sin
cos 3 sin
x
I dx
x x
π
π
−
=
+
∫
có gái trị là:
Ta có:
( )
3 3 3
2 2 2
3 3 3
sin sin sin
1 3cos 3 sin
4 sin
4 cos sin
6
2 2
x x x
I dx dxI dx
x x
x
x x
π π π
π π π
π
− − −
= = =
+
+
+
∫ ∫ ∫
.
Đặt
6 6
u x x u dx du
π π
= + ⇒ = − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
3 6
3 2
x u
x u
π π
π π
= − ⇒ = −
= ⇒ =
2 2 2
2 2 2
6 6 6
2 2
2 2
6 6
sin
sin .cos sin cos
1 3.sin cos
6
6 6
4sin 4sin 8 sin
1 3 sin cos
8 1 cos sin
u
u u
u u
I du du du
u u u
u u
du du
u u
π π π
π π π
π π
π π
π
π π
− − −
− −
−
−
−
= = =
= −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Xét
2
1
2
6
3sin
1 cos
u
I du
u
π
π
−
=
−
∫
.
Đặt
[ ]
cos , 0; sint u u dt udu
π
= ∈ ⇒ = −
.
Đổ ậi c n
3
6 2
0
2
u t
u t
π
π
= − ⇒ =
= ⇒ =
.
0
0 0
1
2
3
3 3
2
2 2
3 3 1 1 3 1 3 3 2
n ln
1 2 1 1 2 1 2
3 2
dt t
I dt l
t t t t
+ +
⇒ = = + = = −
− − + −
− +
∫ ∫
.
Xét
2
2
2
6
cos
sin
u
I du
u
π
π
−
=
∫
.
https://toanmath.com/
Đặt
sin , ; cos
2 2
t u u dt udu
π π
= ∈ − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
1
6 2
1
2
u t
u t
π
π
= − ⇒ = −
= ⇒ =
.
1
1
2
2
1
1
2
2
1 1
3I du
t t
−
−
= = − = −
∫
.
( )
1 2
1 3 3 2 3
ln
8 16 8
3 2
I I I
+
⇒ = − = − +
− +
.
Chọn D
Câu 63. Tích phân
4
2 2
0
1
9cos sin
I dx
x x
π
=
−
∫
có giá trị là:
A.
1
ln 2
3
I =
. B.
1
ln 2
2
I =
. C.
1
ln 2
6
I =
. D.
ln 2I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
4
2 2
0
1
9cos sin
I dx
x x
π
=
−
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
( )
4 4
2 2
2 2
0 0
1 1
9cos sin
cos 9 tan
I dx dx
x x
x x
π π
= =
−
−
∫ ∫
.
Nhậ ấn th y:
( )
2
1
tan '
cos
x
x
=
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
= ⇒ =
.
Đổ ậi c n
0 0
1
4
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
.
1
1 1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 3 1
ln ln 2
9 6 3 3 6 3 6
t
I dt dt
t t t t
+
= = + = =
− − + −
∫ ∫
.
Chọn C
Câu 64. Tích phân
( )
2
0
sin cos 1 3
1 3sin cos
a
x x
I dx
x x
+ +
= =
−
−
∫
. Giá trị của alà:
A.
2
a
π
= −
. B.
4
a
π
= −
. C.
3
a
π
=
. D.
6
a
π
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
2
0
sin cos 1 3
1 3sin cos
a
x x
I dx
x x
+ +
= =
−
−
∫
. Giá trị của alà:
Ta có:
( )
sin cos
2
0
1
sin cos 1 1
1, sin cos
cos sin
sin cos
a a
a
x x
I dx t x x
t a a
x x
−
−
+
= = − = − = −
−
−
∫
.
https://toanmath.com/
Theo đề bài, ta có:
1 1 3
1
cos sin 3
1 3
casio
a
a a
π
+
− = → =
−
−
.
Chọn C
Câu 65. Tích phân
2
3
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
( )
ln 3 1
12
I
π
= + +
. B.
3 1
ln
12 4
I
π
+
= +
.
C.
3 1
ln
2
12 2
I
π
+
= −
.
D.
3 1
ln
12 2
I
π
+
= +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
2
3
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
có giá trị là:
Xét
2
1
3
cos
sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
Ta có:
2
2 1
2 3
3
1
3 1
1 3
2 2
1 3
ln
2
, sin cos
2 12 2
1
I I I dx
I I
I t x x
I I I dt
t
π
π
π
+
= + =
+
−
⇒ = = − = +
= − =
∫
∫
.
Chọn C
Câu 66. Cho biết
4
0
cos
ln 2
sin cos
x
dx a b
x x
π
π
= +
+
∫
với
a
và
b
là các số h uữ tỉ. Khi đó
a
b
b ng:ằ
A.
1
4
. B.
3
8
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Xét
4
1
0
cos
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
;
4
2
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
4
1 2
0
4
I I dx
π
π
⇒ + = =
∫
;
4
4 4
1 2
0 0
0
cos sinx (sin cos ) 1
ln(sin cos ) ln 2
sin cos sin cos 2
x d x x
I I dx x x
x x x x
π
π π
− +
− = = = + =
+ +
∫ ∫
1
I⇒ =
1
ln 2
8 4
π
+
1 1
;
8 4
a b⇒ = = ⇒
1
2
a
b
=
.
https://toanmath.com/
Cách giải khác:Đặt
4
x t
π
= −
Câu 67. Biết
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
a
x x
x
x x b
π
π
=
+
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2P a b= +
.
A.
8P =
. B.
10P =
. . C.
6P =
. D.
12P =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Xét tích phân
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
x x
I x
x x
π
=
+
∫
.
Đặt
d dx t x t
π
= − ⇒ = −
.
Khi
0x =
thì
t
π
=
.
Khi
x
π
=
thì
0t =
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
20180
2018 2018
sin
d
sin cos
t t
I t
t t
π
π π
π π
− −
= −
− + −
∫
( )
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
x x
x
x x
π
π
−
=
+
∫
2018 2018
2018 2018 2018 2018
0 0
sin sin
d d
sin cos sin cos
x x x
x x
x x x x
π π
π
= −
+ +
∫ ∫
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
x
x I
x x
π
π
= −
+
∫
.
Suy ra
2018
2018 2018
0
sin
d
2 sin cos
x
I x
x x
π
π
=
+
∫
.
Xét tích phân
2018
2018 2018
2
sin
d
sin cos
x
J x
x x
π
π
=
+
∫
.
Đặt
d d
2
x u x u
π
= − ⇒ = −
.
Khi
2
x
π
=
thì
0u =
.
Khi
x
π
=
thì
2
t
π
= −
.
Nên
2018
2
2018 2018
0
sin
2
d
sin cos
2 2
u
J u
u u
π
π
π π
−
−
= −
− + −
∫
0
2018
2018 2018
2
cos
d
sin cos
x
x
x x
π
−
=
+
∫
.
Vì hàm số
( )
2018
2018 2018
cos
sin cos
x
f x
x x
=
+
n nên: là hàm số chẵ
0
2018 2018
2
2018 2018 2018 2018
0
2
cos cos
d d
sin cos sin cos
x x
x x
x x x x
π
π
−
=
+ +
∫ ∫
Từ đó ta có:
2018
2018 2018
0
sin
d
2 sin cos
x
I x
x x
π
π
=
+
∫
2018 20182
2018 2018 2018 2018
0
2
sin sin
d d
2 sin cos sin cos
x x
x x
x x x x
π
π
π
π
= +
+ +
∫ ∫
https://toanmath.com/
2018 20182 2
2018 2018 2018 2018
0 0
sin cos
d d
2 sin cos sin cos
x x
x x
x x x x
π π
π
= +
+ +
∫ ∫
2018 2018 22 2
2018 2018
0 0
sin cos
d d
2 sin cos 2 4
x x
x x
x x
π π
π π π
+
= = =
+
∫ ∫
.
Như vậy
2a =
,
4b =
. Do đó
2 2.2 4 8P a b= + = + =
.
Câu 68. Cho tích phân
2
0
sin
1 2 cos
xdx
I
x
π
α α
=
− +
∫
(với
1
α
>
) thì giá trị của
I
bằng:
A. 2. B.
2
α
. C.
2
α
. D.
2
α
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
2 2 2
1 2 cos 1 2 cos d sin d
t
t x t x t x x
α α α α
α
= − + ⇒ = − + ⇒ =
Vậy
1
1
1
1
1 d 1 2
.
t t
I t
t
α
α
α
α
α α α
+
+
−
−
= = =
∫
Câu 69. Có bao nhiêu giá tr c ị ủa tham số
m
trong kho ng ả
( )
0;6π
thỏa mãn
0
sin 1
d
5 4cos 2
m
x
x
x
=
+
∫
?
A.
6
. B.
12
. C.
8
. D.
4
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
( )
0 0
1 sin 1
d d cos
2 5 4cos 5 4cos
m m
x
x x
x x
= = −
+ +
∫ ∫
( )
00
1 1 1
d 5 4cos ln 5 4cos
4 5 4 cos 4
m
m
x x
x
= − + = − +
+
∫
.
Mà
( )
0
1 1 1 5 4cos
5 4cos 5 4 0 ln 5 4cos ln
2 4 4 9
m
m
x x
+
+ ≥ − > ⇒ = − + = −
2
2
5 4cos 5 4cos 9e 5
ln 2 e cos
9 9 4
m m
m
−
−
+ + −
⇒ = − ⇔ = ⇔ =
2
9e 5
arccos 2
4
m k
−
−
⇔ = ± + π
( )
k ∈
.
Theo đề bài
( )
( )
( )
2
2
0
9e 5
arccos 2 0;6 1
4
2
0;6
1
9e 5
arccos 2 0;6 2
4
3
k
k k
k
m
k
k k
k
−
−
=
−
+ π∈ π ⇒ =
=
∈ π ⇒
=
−
− + π∈ π ⇒ =
=
.
Với mỗi giá trị
k
ng h trong hai trườ ợp trên ta được một giá trị
m
thỏa mãn.
Vậy có
6
cgiá trị ủa
m
thỏa mãn bài toán.
https://toanmath.com/
Câu 70. Cho
2
2
0
cos 4
d ln ,
sin 5sin 6
x
x a b
x x c
π
= +
− +
∫
tính t ng ổ
S a b c= + +
.
A.
1S =
. B.
4S =
. C.
3S =
. D.
0S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
sin d cos dt x t x x= ⇒ =
.
0 0x t= ⇒ =
,
1
2
x t
π
= ⇒ =
.
2
2
0
cos
d
sin 5sin 6
x
x
x x
π
− +
∫
1
2
0
1
dt
5 6t t
=
− +
∫
1
0
1 1
dt
3 2t t
= −
− −
∫
1
0
3
ln
2
t
t
−
=
−
3
ln 2 ln
2
= −
4
ln
3
=
1, b 0, 3a c⇒ = = =
4S a b c⇒ = + + =
.
Câu 71. Cho tích phân
( )
2
2
2
0
2 cos cos 1 sin
d ln
cos
x x x x x
c
I x a b
x x
π
π
π
+ + + −
= = + −
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số
hữu t . Tính giá tr cỉ ị ủa biểu thức
3
.P ac b= +
A.
3P =
. B.
5
4
P =
. C.
3
2
P =
. D.
2P =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có
( )
2
2
0
2 cos cos 1 sin
d
cos
x x x x x
I x
x x
π
+ + + −
=
+
∫
( )
2
2
0
cos 1 sin
d
cos
x x x
x
x x
π
+ + −
=
+
∫
2
0
1 sin
cos d
cos
x
x x x
x x
π
−
= + +
+
∫
2
2
0
sin ln cos
2
x
x x x
π
= + + +
2
1 ln
8 2
π π
+ +=
2
2
1 ln
8
π
π
+= −
1
8
a⇒ =
,
1b =
,
2c =
.
3
P ac b= +
1
.8 1
8
= +
2=
.
47TCâu 72. Cho 47T
( )
2
2
0
sin 4
d ln
cos 5cos 6
x
x a b
c
x x
π
= +
− +
∫
47T 47T, với
a
47T 47T,
b
47T 47T là các số h , ữu tỉ
0c >
47T 47T. Tính tổng
S a b c= + +
47T.
A.
3S =
. B.
0S =
. C.
1S =
. D.
4S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
cost x=
d sin dt x x⇒ = −
.
Đổ ậi c n:
0x =
1t⇒ =
;
2
x
π
=
0t⇒ =
Ta có:
( )
2
2
0
sin
d
cos 5cos 6
x
x
x x
π
− +
∫
0
2
1
1
d
5 6
t
t t
= −
− +
∫
1
0
1 1
d
3 2
t
t t
= −
− −
∫
1
0
3
ln
2
t
t
−
=
−
3
ln 2 ln
2
= −
4
ln
3
=
4
lna b
c
= +
.
https://toanmath.com/
Do đó:
1
3
0
a
c
b
=
=
=
.
Vậy
S a b c= + +
4=
.
Câu 73. Cho
( ) ( )
2
0
4cos2 3sin 2 ln cos 2sin d ln2
a
x x x x x c
b
π
+ + = −
∫
, trong đó
a
,
b
,
*
c ∈
,
a
b
là phân
số t i gi n. Tính ố ả
T a b c= + +
.
A.
9T =
. B.
11T = −
. C.
5T =
. D.
7T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
( ) ( )
2
0
4cos2 3sin 2 ln cos 2sin dI x x x x x
π
= + +
∫
( )( ) ( )
2
0
2 cos 2sin 2cos sin ln cos 2sin dx x x x x x x
π
= + − +
∫
.
Đặt
cos 2sint x x= +
( )
d sin 2cos dt x x x⇒ = − +
.
Với
0x =
thì
1t =
.
Với
2
x
π
=
thì
2t =
.
Suy ra
2
1
2 ln d
I t t t=
∫
( )
2
2
1
ln dt t=
∫
( )
2
2
2
1
1
.ln d
t t t t= −
∫
2
2
1
4ln 2
2
t
= −
3
4ln 2
2
= −
.
Vậy
3
2
4
a
b
c
=
=
=
9T a b c⇒ = + + =
.
Câu 74. Biết
3 23
6 3
3
sin 3
d 3
1
x
x c d
a b
x x
π
π
π π
π
−
= + + +
+ +
∫
với
, , ,a b c d
là cá ính c số nguyên. T
a b c d+ + +
.
A.
28a b c d+ + + =
. B.
16a b c d+ + + =
. C.
14a b c d+ + + =
. D.
22a b c d+ + + =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
ChọnA.
( )
( )
6 3
3 3 3
6 3
6 6
6 3
3 3 3
1 sin
sin
d d 1 sin d
1
1
x x x
x
I x x x x x x
x x
x x
π π π
π π π
− − −
+ −
= = = + −
+ −
+ +
∫ ∫ ∫
.
Đặt
t x dt dx= − ⇒ = −
. Đổi cận
3 3
3 3
x t
x t
π π
π π
= − ⇒ =
= ⇒ = −
.
https://toanmath.com/
( )
( )( )
( ) ( )
3 3 3
6 3 6 3 6 3
3 3 3
1 sin 1 sin 1 sinI t t t dt t t tdt x x xdx
π π π
π π π
−
− −
= + + − − = − + + = − + +
∫ ∫ ∫
Suy ra
( )
3 3
3 3
3 3
2 2 sin sinI x x dx I x xdx
π π
π π
− −
= − ⇔ = −
∫ ∫
.
3
x
(+)
sin x+
2
3x
(–)
cos x−
6x
(+)
sin x−
6 (–)
cos x+
0
sin x+
( )
3 2
3 2
3
3
3
cos 3 sin 6 cos 6sin 2 6 3
27 3
I x x x x x x x
π
π
π π
π
−
= − − + = − − +
Suy ra:
27, 3, 2, 6a b c d= = − = − =
. V y ậ
28a b c d+ + + =
.
Câu 75. Biết
26
2
6
cos 3
d
1
x x
x a
b c
x x
π
π
π π
−
= + +
+ +
∫
với
a
,
b
,
c
,
d
là cá nguyên. Tính c số
M a b c= − +
.
A.
35M =
. B.
41M =
. C.
37M = −
. D.
35M = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
6
2
6
cos
d
1
x x
x
x x
π
π
−
+ +
∫
0
6
2 2
0
6
cos cos
d d
1 1
x x x x
x x
x x x x
π
π
−
= +
+ + + +
∫ ∫
I J= +
Xét
0
2
6
cos
d
1
x x
I x
x x
π
−
=
+ +
∫
. Đặt
t x= −
( )
m
C
; Đổi cận:
0 0x t= ⇒ =
;
6 6
x t
π π
= − ⇒ =
.
Suy ra
0
2
6
cos
d
1
x x
I x
x x
π
−
=
+ +
∫
( )
( )
( )
0
2
6
cos
d
1
t t
t
t t
π
− −
= −
+ − −
∫
6
2
0
cos
d
1
t t
t
t t
π
−
=
+ −
∫
6
2
0
cos
d
1
x x
x
x x
π
−
=
+ −
∫
.
Khi đó
6
2
6
cos
d
1
x x
x
x x
π
π
−
+ +
∫
6 6
2 2
0 0
cos cos
d d
1 1
x x x x
x x
x x x x
π π
−
= +
+ − + +
∫ ∫
6
2 2
0
1 1
cos d
1 1
x x x
x x x x
π
= −
+ + + −
∫
6
2
0
2 cos dx x x
π
= −
∫
.
6
2
6
cos
d
1
x x
x
x x
π
π
−
+ +
∫
( )
2
6
0
2 sin 4 cos 4sinx x x x x
π
= − − +
2
3
2
36 3
π π
= + +
− −
.
Khi đó
2a =
;
36b = −
;
3c = −
.
Vậy
35M a b c= − + =
.
Câu 76. Cho
( )
1
2
0
d 2018f x x =
∫
. Tính
( )
12
0
cos2 . sin 2 dx f x x
π
∫
.
https://toanmath.com/
A.
1009
2
I =
. B.
1009I =
. C.
4036I =
. D.
2018I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Xét
( )
12
0
cos2 . sin 2 dI x f x x
π
=
∫
.
Đặt
sin 2 d 2cos 2 du x u x x= ⇒ =
.
Đổ ậi c n:
0 0x u= ⇒ =
và
1
12 2
x u
π
= ⇒ =
.
Khi đó
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1 1 1
d d .2018 1009
2 2 2
I f u u f x x= = = =
∫ ∫
.
Câu 77. Cho
f
là hàm số liên tục thỏa
( )
1
0
d 7f x x =
∫
. Tính
( )
2
0
cos . sin dI x f x x
π
=
∫
.
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
sin d cos dt x t x x= ⇒ =
. Đổi cận
0 0x t= ⇒ =
,
1
2
x t
π
= ⇒ =
.
Ta có
( ) ( ) ( )
1 1
2
0 0 0
cos . sin d d d 7I x f x x f t t f x x
π
= = = =
∫ ∫ ∫
.
Câu 78. Cho hàm s ố
( )
f x
liên tục trên
và
( )
1
1
d 12f x x
−
=
∫
,
( )
2
3
3
2cos sin df x x x
π
π
∫
bằng
A.
12−
. B.
12
. C.
6
. D.
6−
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2cos d 2sin dt x t x x= ⇒ = −
.
Đổ ậi c n
( )
2
3
3
2cos sin df x x x
π
π
∫
( )
1
1
1
d
2
f t t
−
= −
∫
( )
1
1
1
d
2
f t t
−
=
∫
( )
1
1
1
d 6
2
f x x
−
= =
∫
.
Câu 79. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
thỏa mãn
( )
9
1
4
f x
dx
x
=
∫
và
( )
/2
0
sin cos 2.f x xdx
π
=
∫
Tích phân
( )
3
0
I f x dx=
∫
b ngằ
A.
2I =
. B.
6I =
. C.
4I =
. D.
10I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
https://toanmath.com/
Đặt
( )
( ) ( )
9 3 3
1 1 1
1
2 4 2.
2
f x
t x dt dx dx f t dt f t dt
x x
= ⇒ = ⇒ = = → =
∫ ∫ ∫
Đặt
( ) ( )
/2 1
0 0
sin cos sin cos 2.t x dt dx f x xdx f t dt
π
= ⇒ = ⇒ = =
∫ ∫
( ) ( ) ( )
3 1 3
0 0 1
2 2 4.I f x dx f x dx f x dx= = + = + =
∫ ∫ ∫
https://toanmath.com/
HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 80. Cho
2
1
1
0
d
x
I xe x
−
=
∫
. r ng Biết ằ
2
ae b
I
−
=
. Khi đó,
a b+
b ngằ
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
( )
2 2 2
1 1
1 1 2 1
0 0
1
1 1 1
d d 1
0
2 2 2
x x x
e
I xe x e x e
− − −
−
= = − − = − =
∫ ∫
Vì
2
ae b
I
−
=
⇒
1; 1a b= =
. V y ậ
2a b+ =
.
Câu 81.
Nguyên c
hàm
ủa
( )
2
sin
sin 2 .e
x
f x x=
là
A.
2
2 sin 1
sin .e
x
x C
−
+
. B.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
+
+
+
. C.
2
sin
e
x
C+
. D.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
−
+
−
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
2
sin
sin 2 .e
x
x dx
∫
( )
2
sin 2
e d sin
x
x=
∫
2
sin
e
x
C= +
Câu 82. Biết r ngằ
( )
1
1 3 2
0
3 d , , .
5 3
x
a b
e x e e c a b c
+
= + + ∈
∫
Tính
.
2 3
b c
T a= + +
A.
6T =
. B.
9T =
. C.
10T =
. D.
5T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2
1 3 1 3 2 d 3dt x t x t t x= + ⇒ = + ⇒ =
Đổ ậi c n:
0 1x t= ⇒ =
,
1 2x t= ⇒ =
( )
( )
( )
1 2 22 2 2
1 3 2 2 2
1 1 10 1 1
3 2 d 2 d 2 2 2 2 .
x t t t t t
e dx te t te e t te e e e e e e
+
⇒ = = − = − = − − + =
∫ ∫ ∫
10
10
0
a
T
b c
=
⇒ ⇒ =
= =
nên câu C đúng.
Câu 83. Tích phân
ln12
ln5
4
x
I e dx= +
∫
có giá trị là:
A.
2 ln3 ln 5I = − +
. . B
2 2ln3 2 ln5I = − +
.
C.
2 2ln3 ln5I = − +
. D.
2 ln3 2ln5I = − −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
ln12
ln5
4
x
I e dx= +
∫
có giá trị là:
Đặt:
2
2
2
4 4 2
4
x x x
tdt
t e t e tdt e dx dx
t
= + ⇔ = + ⇒ = ⇒ =
−
.
Đổ ậi c n
ln5 3
ln12 4
x x
x x
= ⇒ =
= ⇒ =
.
4
4
2
2
3
3
2 2
2 2 ln 2 2ln3 2 ln5
4 2
t t
I dt t
t t
+
= = − = − +
− −
∫
.
Chọn B
Câu 84. Tìm t t cấ ả ố các giá trị dương của tham s
m
sao cho
2 2
1 500 1
0
e d 2 .e
m
x m
x x
+ +
=
∫
.
https://toanmath.com/
A.
250 500
2 2 2m = −
. B.
1000
2 1m = +
. C.
250 500
2 2 2m = +
. D.
1000
2 1m = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
2
1
0
e d
m
x
x x
+
∫
2
1
1
e d
m
t
t t
+
=
∫
( )
2
1
1
e e
m
t t
t
+
= −
( )
2
2 1
1 1 e
m
m
+
= + −
Theo bài ra
2
1
0
e d
m
x
x x
+
∫
2
500 1
2 .e
m +
=
⇔
2
500 1
2 .e
m +
( )
2
2 1
1 1 e
m
m
+
= + −
500 2
2 1 1m⇔ = + −
( )
2
2 500
1 2 1m⇔ + = +
2 1000 501
2 2m⇔ = +
( )
500 500
2 2 2= +
250 500
2 2 2m⇒ = +
.
Câu 85. Cho
3
1 2
0
d
e .e .e
1
x
x
a b c
x
+
= + +
+
∫
. Với
a
,
b
,
c
nguyên. Tính là các số
S a b c= + +
.
A.
1S =
. B.
2S =
. C.
0S =
. D.
4S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Xét
3
1
0
d
e
1
x
x
I
x
+
=
+
∫
; đặt
1
1 d d
2 1
u x u x
x
= + ⇒ =
+
.
Đổ ậi c n:
0 1x u= ⇒ =
;
3 2x u= ⇒ =
2
1
e 2d
u
I u⇒ = =
∫
2
2e
1
u
=
2
2e 2e−
2a⇒ =
,
2b = −
,
0c =
,
0S a b c= + + =
.
Câu 86. Cho tích phân
2
2
sin 3
0
sin cos d
x
I e x x x
π
=
∫
. N i bi n s ếu đổ ế ố
2
sint x=
thì:
A.
1 1
0 0
1
d d
2
t t
I e t te t
= +
∫ ∫
. B.
1 1
0 0
1
d d
2
t t
I e t te t
= −
∫ ∫
.
C.
1 1
0 0
2 d d
t t
I e t te t
= +
∫ ∫
. D.
1 1
0 0
2 d d
t t
I e t te t
= −
∫ ∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
( )
2 2
2 2
sin 3 sin 2
0 0
sin cos d . 1 sin sin .cos d
x x
I e x x x e x x x x
π π
= = −
∫ ∫
.
Đặt
2
1
sin d 2sin cos d sin cos d d
2
t x t x x x x x x t= ⇒ = ⇒ =
.
Đổ ậi c n
x
0
2
π
t
0
1
Vậy
( )
1 1 1
0 0 0
1 1
1 d d d
2 2
t t t
I e t t e t te t
= − = −
∫ ∫ ∫
.
Câu 87. Tính
1
d
lim
1
n
x
x
n
x
e
+
→+∞
+
∫
.
A.
1−
. B.
1
. C.
e
. D.
0
.
https://toanmath.com/
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Tính
( )
1 1
d d
1
1
n n x
x
x x
n n
x e x
I
e
e e
+ +
= =
+
+
∫ ∫
.
Đặt
d d
x x
t e t e x= ⇒ =
.
Đổ ậi c n:
n
x n t e= ⇒ =
,
1
1
n
x n t e
+
= + ⇒ =
.
Khi đó
( )
( )
( )
1 1
1
1
1
d 1 1
d ln ln 1 1 ln
1
1 1
n n
n
n
n n
e e
n
e
e
e e
n
t
e
I t t t
t t t t
e
e
+ +
+
+
= = − = − + = +
+ +
+
∫ ∫
.
Suy ra
1
1
1
d
lim lim lim 1 ln 1 1 0
1
1
n
n
x
x x x
n
n
x
e
I
e
e
e
+
→+∞ →+∞ →+∞
+
= = + = − =
+
+
∫
.
Câu 88. Tính tích phân
2
2016
2
d .
1
x
x
I x
e
−
=
+
∫
A.
0I =
. B.
2018
2
2017
I =
. C.
2017
2
2017
I =
. D.
2018
2
2018
I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i.
Chọn C
Đặt
d dx t x t= − ⇒ = −
. n: VĐổi cậ ới
2 2; 2 2x t x t= ⇒ = − = − ⇒ =
Khi đó:
2 22016 2016
2 2
d
d
1 1
x
t x
t x e x
I t
e e
−
−
−
−
= =
+ +
∫ ∫
, suy ra
2
2
2017 2018
2016
2
2
2
2 d
2017 2017
x
I x x
−
−
= = =
∫
2017
2
2017
I⇒ =
.
Câu 89. Cho biết
( )
1
2
2
0
d .
2
x
x e a
x e c
b
x
= +
+
∫
với
a
,
c
là các số nguyên,
b
là số nguyên dương và
a
b
là
phân s t i gi n. Tính ố ố ả
a b c− +
.
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
3−
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
2 d dt x t x= + ⇒ =
, đổi cận
0 2x t= ⇒ =
,
1 3x t= ⇒ =
.
Ta có
( )
1
2
2
0
e
d
2
x
x
I x
x
=
+
∫
( )
2
2
3
2
2
2 e
d
t
t
t
t
−
−
=
∫
3
2
2
2
4 4
1 e d
t
t
t t
−
= − +
∫
3 3
2 2
2
2 2
4 4
e d e d
t t
t t
t t
− −
= + − +
∫ ∫
+ Tính
3
2
1
2
e d
t
I t
−
=
∫
3
2
2
e e 1
t−
= = −
.
+ Tính
3
2
2
2
2
4 4
e d
t
I t
t t
−
= − +
∫
.
Đặt
2
4 4
d du u t
t t
= ⇒ = −
,
2 2
d e d e
t t
v t v
− −
= ⇒ =
Ta có
3
2
2
4
e d
t
t
t
−
∫
3
2
2
4
.e
t
t
−
=
3
2
2
2
4
e d
t
t
t
−
+
∫
3
2
2
2
2
4 4
e d
t
I t
t t
−
⇒ = − +
∫
4
e 2
3
= − +
.
Suy ra
1
e 1
3
I
−
= +
1a⇒ = −
,
3b =
,
1c =
. V y ậ
3a b c− + =
.
https://toanmath.com/
Câu 90. Biết tích phân
ln6
0
e
d ln 2 ln3
1 e 3
x
x
x a b c= + +
+ +
∫
, với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
T a b c= + +
.
A.
1T = −
. B.
0T =
. C.
2T =
. D.
1T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
2
e 3 e 3 2 d e d
x x x
t t t t x= + ⇒ = + ⇒ =
.
Đổ ậi c n
ln 6 3
0 2
x t
x t
= =
⇒
= =
.
Suy ra
ln6 3
0 2
e 2 d
d
1
1 e 3
x
x
t t
x
t
=
+
+ +
∫ ∫
( )
3
3
2
2
2
2 d 2 2ln 1
1
t t t
t
= − = − +
+
∫
( ) ( )
6 2ln 4 4 2 ln3= − − −
2
2 4 ln2 2ln3 4
2
a
b
c
=
= − + ⇒ = −
=
.
Vậy
0T =
.
Câu 91. Giá trị
( )
( )
3
3
3
9
4
cos
2 3
1
6
sin e d
x
I x x x
π
π
=
∫
g n b ng s ầ ằ ố nào nhất trong các số sau đây:
A.
0,046
. B.
0,036
. C.
0,037
. D.
0,038
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
( )
3
cosu x
π
=
( )
2 3
d 3 sin du x x x
π π
⇒ = −
( )
2 3
1
sin d d
3
x x x u
π
π
⇒ = −
.
Khi
3
1
6
x =
thì
3
2
u =
.
Khi
3
9
4
x =
thì
2
2
u =
.
Ta có
2
2
3
2
1
e d
3
u
I u
π
= −
∫
3
2
2
2
1
e d
3
u
u
π
=
∫
3
2
2
2
1
e
3
u
π
=
3 2
2 2
1
e e 0,037
3
π
= − ≈
.
Câu 92. Cho
( )
( )
2
1
0
e
d .e ln e
e
x
x
x x
x a b c
x
−
+
= + +
+
∫
với
a
,
b
,
c ∈
. Tính
2P a b c= + −
.
A.
1P =
. B.
1P = −
. C.
0P =
. D.
2P = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có:
( )
2
1
0
e
d
e
x
x
x x
I x
x
−
+
=
+
∫
( )
1
0
1 e e
d
e 1
x x
x
x x
x
x
+
=
+
∫
.
Đặt
e 1
x
t x= +
⇒
( )
d 1 e d
x
t x x= +
.
Đổ ậi c n:
0 1x t= ⇒ =
;
1 e 1x t= ⇒ = +
.
Khi đó:
e 1
1
1
d
t
I t
t
+
−
=
∫
e 1
1
1
1 dt
t
+
= −
∫
( )
e 1
ln
1
t t
+
= −
( )
e ln e 1= − +
.
https://toanmath.com/
Suy ra:
1a =
,
1b = −
,
1c =
.
Vậy:
2 2P a b c= + − = −
.
Câu 93. Biết
( )
2
1
0
5 6 e
e
d e ln
2 e 3
−
+ +
+
= − −
+ +
∫
x
x
x x
a c
x a b
x
với
a
,
b
,
c
là cá à c số nguyên v
e
là ccơ số ủa
logarit tự nhiên. Tính
2= + +S a b c
.
A.
10=S
. B.
0=S
. C.
5=S
. D.
9=S
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có :
( )
( )( )
( )
2
2
1 1
0 0
5 6 e
2 3 e
d d
2 e 2 e 1
x
x
x x
x x
x x
I x x
x x
−
+ +
+ +
= =
+ + + +
∫ ∫
.
Đặt
( )
2 e= +
x
t x
( )
d 3 e d⇒ = +
x
t x x
. Đổi cận :
0 2= ⇒ =x t
,
1 3e= ⇒ =x t
.
( )
3e 3e
3e
2
2 2
d 1 3e 1
1 d ln 1 3e 2 ln
1 1 3
+
= = − = − + = − −
+ +
∫ ∫
t t
I t t t
t t
.
Vậy
3=a
,
2=b
,
1=c
9⇒ =S
.
Câu 94.
1
3 3
0
2 e .2 1 1 e
d ln
e.2 eln e
x x
x
x x
x p
m n
π
π π
+ +
= + +
+ +
∫
với
m
,
n
,
p
là các số nguyên dương. Tính
tổng
S m n p= + +
.
A.
6S =
. B.
5S =
. C.
7S =
. D.
8S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
1 1 1
3 3
3
0 0 0
2 e .2 2 1 2 1
d d d
e.2 e.2 4 e.2 4
x x x x
x x x
x x
x x x x J
π
π π π
+ +
= + = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
.
Tính
1
0
2
d
e.2
x
x
J x
π
=
+
∫
. Đặt
1
e.2 e.2 ln 2d d 2 d d
e.ln 2
x x x
t x t x t
π
+ = ⇒ = ⇔ =
.
Đổ ậi c n: Khi
0x =
thì
et
π
= +
; khi
1x =
thì
2et
π
= +
.
1 2e
2e
e
0 e
2 1 1 1 1 e
d d ln ln 1
e.2 eln 2 e ln 2 eln 2 e
x
x
J x t t
t
π
π
π
π
π π
+
+
+
+
= = = = +
+ +
∫ ∫
.
Khi đó
1
3 3
0
2 e .2 1 1 e
d ln 1
e.2 4 eln 2 e
x x
x
x x
x
π
π π
+ +
= + +
+ +
∫
4m⇒ =
,
2n =
,
1p =
. V y ậ
7S =
.
Câu 95. Cho tam thức b c hai ậ
( ) ( )
2
, , , , 0f x ax bx c a b c a= + + ∈ ≠
có hai nghi c phân biệm thự ệt
1 2
,x x
. Tính tích phân
( )
2
2
1
2 d
x
ax bx c
x
I ax b e x
+ +
= +
∫
.
A.
1 2
I x x= −
. B.
1 2
4
x x
I
−
=
. C.
0I =
. D.
1 2
2
x x
I
−
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2
t ax bx c= + +
( )
2 ddt ax b x⇒ = +
Khi
2
1 1 1
2
2 2 2
0
0
x x t ax bx c
x x t ax bx c
= ⇒ = + + =
= ⇒ = + + =
. Do đó
( )
2
2
1
0
0
2 d dt 0
x
ax bx c t
x
I ax b e x e
+ +
= + = =
∫ ∫
.
Câu 96. Với cách đổi biến
1 3lnu x= +
thì tích phân
1
ln
d
1 3ln
e
x
x
x x+
∫
thànhtrở
https://toanmath.com/
A.
( )
2
2
1
2
1 d
3
u u−
∫
. B.
( )
2
2
1
2
1 d
9
u u−
∫
. C.
( )
2
2
1
2 1 du u−
∫
. D.
2
2
1
2 1
d
9
u
u
u
−
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
1 3lnu x= +
2
1 3lnu x⇒ = +
2
1
ln
3
u
x
−
⇒ =
d 2
d
3
x u
u
x
⇒ =
.
Khi đó
1
ln
d
1 3ln
e
x
x
x x+
∫
2
2
1
1
2
3
d
3
u
u
u
u
−
=
∫
( )
2
2
1
2
1 d
9
u u= −
∫
.
Câu 97. Biết
( )
e
1
1 ln 2
e 1
d .e ln
1 ln e
x x
x a b
x x
+ +
+
= +
+
∫
trong đó
a
,
b
s là các số nguyên. Khi đó tỉ ố
a
b
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
e e e e
1 1 1 1
1 ln 2 d 1 ln
1 ln 1 ln
d d d
1 ln 1 ln 1 ln
x x x x
x x x
x x x
x x x x x x
+ + +
+ + +
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
e e
1 1
e 1
ln 1 ln e 1 ln 1 e e ln
e
x x x
+
= + + = − + + = +
.
Suy ra
1a b= =
. V y ậ
1
a
b
=
.
Câu 98. Tính tích phân
e
1
1 3ln
d
x
I x
x
+
=
∫
bằng cách đặt
1 3lnt x= +
, m ệnh đề nào dưới đây sai?
A.
2
3
1
2
9
I t=
. B.
2
1
2
d
3
I t t=
∫
. C.
2
2
1
2
d
3
I t t=
∫
. D.
14
9
I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
e
1
1 3ln
d
x
I x
x
+
=
∫
, đặt
1 3lnt x= +
2
1 3lnt x⇒ = +
3
2 dt d⇒ =t x
x
2 d
dt
3
⇒ =
t x
x
.
Đổ ậi c n:
1=x
1⇒ =t
;
ex =
2⇒ =t
.
2
2
1
2
dt
3
=
∫
t
I
2
3
1
2
9
= t
14
9
=
.
Câu 99. Biết
( )
2
2
1
3 1
ln
d ln
3 ln
x
b
x a
x x x c
+
= +
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4c ≤
. Tổng
a b c+ +
bằng
A.
6
. B.
9
. C.
7
. D.
8
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Ta có
( )
2 2
2
1 1
1
3
3 1
d d
3 ln 3 ln
x
x
x x
x x x x x
+
+
=
+ +
∫ ∫
. Đặt
3 lnt x x= +
,
1
d 3 dt x
x
= +
Đổ ậi c n
1 3x t= ⇒ =
,
2 6 ln 2x t= ⇒ = +
.
https://toanmath.com/
2 6 ln2
1 3
1
3
d
d
3 ln
t
x
x
x x t
+
+
=
+
∫ ∫
6 ln 2
3
lnt
+
=
( )
ln 6 ln 2 ln3= + −
ln 2
ln 2
3
= +
2a⇒ =
,
2b =
,
3c =
. V y t ng ậ ổ
7a b c+ + =
.
Câu 100. Biết
( )
( )
e
1
ln 3
d ln , ,
ln 2 2
x
I x a b a b Q
x x
= = + ∈
+
∫
. M ệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1a b− =
. B.
2 1a b+ =
. C.
2 2
4a b+ =
. D.
2 0a b+ =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
ln 2t x= +
, suy ra
1
dt dx
x
=
.
Đổ ậi c n:
1 2x t= ⇒ =
e 3x t= ⇒ =
Khi đó,
3
2
2
dt
t
I
t
−
=
∫
( )
3
2
2lnt t= −
2
1 2ln
3
= +
3
1 2ln
2
= −
.
Vậy
2; 1a b= − =
, nên
2 0.a b+ =
Câu 101. Tích phân
( )
2
1
ln 2 ln 1 1
e
x x
I dx
x
+ +
=
∫
có giá trị là:
A.
4 2 3
3
I
+
=
. B.
4 2 1
3
I
+
=
. C.
4 2 5
3
I
+
=
. D.
4 2 3
3
I
−
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
2
1
ln 2 ln 1 1
e
x x
I dx
x
+ +
=
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )
2
2
1 1 1
ln 2 ln 1 1
2ln ln 1 ln
e e e
x x
x x x
I dx dx dx
x x x
+ +
+
= = +
∫ ∫ ∫
.
Xét
2
1
1
2ln ln 1
e
x x
I dx
x
+
=
∫
.
Đặt
2
2ln
ln 1
x
t x dt dx
x
= + ⇒ =
.
Đổ ậi c n
1 1
2
x t
x e t
= ⇒ =
= ⇒ =
.
2
2
3
1
1
1
2 4 2 2
3 3
I tdt t
−
⇒ = = =
∫
.
Xét
2
1
ln
e
x
I dx
x
∫
.
Đặt
1
lnt x dt dx
x
= ⇒ =
.
Đổ ậi c n
1 0
1
x t
x e t
= ⇒ =
= ⇒ =
.
1
2
0
1I dt⇒ = =
∫
.
1 2
4 2 1
3
I I I
+
⇒ = + =
.
Chọn B
https://toanmath.com/
Câu 102. Tích phân
( )
2
1
ln ln
e
I x x x dx= +
∫
có giá trị là:
A.
2I e= −
. B.
I e= −
. C.
I e=
. D.
2I e=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
2
1
ln ln
e
I x x x dx= +
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
( )
( )
2
1 1
ln ln ln ln 1
e e
I x x x dx x x x dx= + = +
∫ ∫
.
Đặt
( )
ln ln 1t x x dt x dx= ⇒ = +
.
Đổ ậi c n
1 0x t
x e t e
= ⇒ =
= ⇒ =
.
0
e
I dt e⇒ = =
∫
.
Chọn C
Câu 103. Biết
( )
3 2
1
2 3
0
1
ln 3 ln
2
3
1 27 27 3 3
9
x x x x
I dx ae e e
x
+ +
= = + + + −
∫
, ha là các số ữu tỉ.
Giá trị c ủa a là:
A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Biết
( )
3 2
2 3
1
1
ln 3 ln
2
3
1 27 27 3 3
9
e
x x x x
I dx ae e e
x
+ +
= = + + + −
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
( )
3 2
3 2
1 1
1
ln 3 ln
ln 3 3ln
13
3
e e
x x x x
x x x x
I dx dx
x x
+ +
+ +
= =
∫ ∫
Đặt
3 2
3
ln 3 ln 1t x x dt x
x
= + ⇒ = +
Đổ ậi c n
1 3
1 3
x t
x e t e
= ⇒ =
= ⇒ = +
.
( )
( )
( )
( )
1 3
1 3
3
3 2 3
3
3
2 2 2
1 3 3 3 1 9 27 27 3 3 9
3 3 9
e
e
I tdt t e e e e a
+
+
⇒ = = = + − = + + + − ⇒ =
∫
.
Chọn A
Câu 104. Tích phân
2
1
2ln ln 1
e
x x
I dx
x
+
=
∫
có gái trị là:
A.
4 2 2
3
I
−
=
. B.
4 2 2
3
I
+
=
. C.
2 2 2
3
I
−
=
. D.
2 2 2
3
I
+
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
2
1
2ln ln 1
e
x x
I dx
x
+
=
∫
có gái trị là:
Ta nhậ ấn th y:
( )
2
2ln
ln 1 '
x
x
x
+ =
. Ta dùng đổi biến số.
https://toanmath.com/
Đặt
2
2ln
ln 1
x
t x dt dx
x
= + ⇒ =
.
Đổ ậi c n
1 1
2
x t
x e t
= ⇒ =
= ⇒ =
.
2
2
3
2
1
1
2 4 2 2
3 3
I tdx t
−
= = =
∫
.
Chọn A
Câu 105. Tính
( )
2
2
1 ln
d
e
e
x
I x
x
−
=
∫
được kết quả là
A.
13
3
. B.
1
3
. C.
5
3
. D.
4
3
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
1
ln d dt x t x
x
= ⇔ =
. V ới
1x e t= ⇒ =
;
2
2x e t= ⇒ =
( )
2
2
1 ln
d
e
e
x
I x
x
−
=
∫
( ) ( )
2
2
2 3
1
1
1 1 1
1 d 1 0
3 3 3
t t t= − = − − = − =
∫
Câu 106. Cho tích phân
1
1 3ln
d
e
x
I x
x
+
=
∫
, đặt
1 3lnt x= +
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1
2
d
3
e
I t t
=
∫
. B.
2
1
2
d
3
I t t=
∫
. UC.U
2
2
1
2
d
3
I t t
=
∫
. D.
1
2
d
3
e
I t t
=
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2 1
1 3ln d
3
t x t t dx
x
= + ⇒ =
. Đổi cận
2; 1 1x e t x t= ⇒ = = ⇒ =
Do đó
2
2
1
2
d
3
I t t
=
∫
.
Câu 107. Biết
1
3 ln
d
3
e
x a b c
x
x
+ −
=
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4c <
. Tính giá
trị
S a b c= + +
.
A.
13S =
. B.
28S =
. C.
25S =
. D.
16S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
3 lnt x= +
d
2 d
x
t t
x
⇒ =
.
Đổi: Với
1 3x t= ⇒ =
;
2x e t= ⇒ =
.
1
3 ln
d
e
x
I x
x
+
⇒ =
∫
2
2
3
2 dt t=
∫
2
3
3
2
3
t=
16 6 3
3
−
=
.
16a⇒ =
,
6b =
,
3c =
S a b c⇒ = + +
25=
.
Câu 108. Cho
( )
e
2
1
ln
d
ln 2
x
I x
x x
=
+
∫
có kết quả d ng ạ
lnI a b= +
với
0a >
,
b ∈
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
https://toanmath.com/
A.
2 1ab = −
. B.
2 1ab =
. C.
3 1
ln
2 3
b
a
− + = −
. D.
3 1
ln
2 3
b
a
− + =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
ln 2x t+ =
ln 2x t⇔ = −
1
d dx t
x
⇒ =
.
Đổ ậi c n: khi
1x =
thì
2t =
; khi
ex =
thì
3t =
.
Khi đó
3
2
2
2
d
t
I t
t
−
=
∫
3
2
2
1 2
dt
t t
= −
∫
3
2
2
ln t
t
= +
3 1
ln
2 3
= −
3
2
1
3
a
b
=
⇒
= −
.
Vậy
2 1ab = −
.
Câu 109. Biết
( )
2
2
1
1
d ln ln
ln
x
x a b
x x x
+
= +
+
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2 2
P a b ab= + +
.
A.
10
. B.
8
. C.
12
. D.
6
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
2
2
1
1
d
ln
x
x
x x x
+
+
∫
( )
2
1
1
d
ln
x
x
x x x
+
=
+
∫
.
Đặt
lnt x x= +
1
d 1 dt x
x
⇒ = +
1
d
x
x
x
+
=
.
Khi
1 1x t= ⇒ =
;
2 2 ln2x t= ⇒ = +
.
Khi đó
2 ln 2
1
dt
I
t
+
=
∫
2 ln 2
1
ln
t
+
=
( )
ln ln 2 2= +
. Suy ra
2
2
a
b
=
=
.
Vậy
8P =
.
Câu 110. Cho tích phân
( )
2
2
4 2
1 ln 1
ln 2
ln 2
e
e
x x
ae be
I dx c d
x x
+ +
+
= = + +
∫
. Ch n phát bi u ọ ể đúng nhất:
A.
a b c d= = =
B.
2
1
a b c
d
= = =
C. A và B đúng D. A và B sai
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
2 2
2 2 2
2
2
1 ln 1
ln 1 ln
ln ln
1 1 1 1
ln ln
e e
e e
e e e
e e e
x x
x x x
I dx dx
x x x x
x dx x dx dx
x x x x x x
+ +
+ +
= =
= + + = + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Xét
2
2
2 4 2
1
ln 1
2 2
e
e
e
e
x e e
M x dx x
x
−
= + = + = +
∫
Xét
2
1
ln
e
e
N dx
x x
=
∫
, đặt
lnt x=
, suy ra
1
dt dx
x
=
.
Đố ậi c n
1x e t= ⇒ =
và
2
2x e t= ⇒ =
c ta đượ
( )
2 2
1
1
ln ln 2 ln1 ln 2
dt
N t
t
= = = − =
∫
.
https://toanmath.com/
Vậy
4 2
1 ln 2
2
e e
I
−
= + +
.
Do đó
1a b c d= − = = =
. Ta chọn phương án B.
Câu 111. Tính tích phân
( )
( )
2018
0
4
ln 1 2
d
1 2 log e
x
x
I x
−
+
=
+
∫
.
A.
( )
2018
ln 1 2 ln 2I = + −
. B.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2I = + −
.
C.
( )
2 2018
ln 1 2 ln 4I = + −
. D.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2I
−
= + −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
( )
( )
2018
0
4
ln 1 2
d
1 2 log e
x
x
I x
−
+
=
+
∫
( )
2018
0
2 ln 2
2 ln 1 2 d
1 2
x
x
x
x= +
+
∫
( ) ( )
2018
0
2 ln 1 2 d ln 1 2
x x
= + +
∫
Do đó
( )
2018
2
0
ln 1 2
x
I = +
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2= + −
.
Câu 112. Cho hàm số
( )
y f x=
liên t c trên ụ
và thỏa mãn
( )
1
ln
d .
e
f x
x e
x
=
∫
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
1
0
d 1.f x x =
∫
B.
( )
1
0
d .f x x e=
∫
C.
( )
0
d 1.
e
f x x =
∫
D.
( )
0
d .
e
f x x e=
∫
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
1
ln dt d .t x x
x
= ⇒ =
C n:ậ
1 0; 1x t x e t= ⇒ = = ⇒ =
( )
( ) ( )
1 1
1 0 0
ln
d d dx
e
f x
x f t t e f x e
x
= = ⇔ =
∫ ∫ ∫
.
Câu 113. Biết
( )
4
e
e
1
ln d 4f x x
x
=
∫
. Tính tích phân
( )
4
1
dI f x x=
∫
.
A.
8I =
. B.
16I =
. C.
2I =
. D.
4I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
lnt x=
1
d dt x
x
⇒ =
.
( )
4
e
e
1
ln df x x
x
∫
( )
4
1
d
f t t=
∫
( )
4
1
df x x=
∫
.
Suy ra
( )
4
1
d 4I f x x= =
∫
.
x
e
4
e
t
1
4
https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ D ẠNG 2
Cho hàm s ố
f
n liên tục và có đạo hàm trên đoạ
[ ; ].a b
s Giả ử hàm số
(t)x
ϕ
=
o hàm và có đạ
liên tụ ạc trên đo n
(*)
[ ; ]
α β
sao cho
( ) , ( )a b
ϕ α ϕ β
= =
và
( )a t b
ϕ
≤ ≤
với mọi
[ ; ].t
α β
∈
Khi đó:
( ) ( ( )) '( ) .
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấ ạu tích phân có d ng
1.
2 2
a x−
: đặt
| |sin ; ;
2 2
x a t t
π π
= ∈ −
2.
2 2
x a−
: đặt
| |
; ; \{0}
sin 2 2
a
x t
t
π π
= ∈ −
3.
2 2
x a+
:
| | tan ; ;
2 2
x a t t
π π
= ∈ −
4.
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
: đặt
.cos2x a t=
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấ ệ ớu hi u 1, 2, 3 đi v i x mũ chẵ ụ ển. Ví d , đ tính
tích phân
3
2
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì ph i bi n d ng 2 còn v i tích phân ả ổi đ ế ạ ớ
3
3
0
2
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì nên đổi
biến dạng 1.
Câu 114. Khi tính
2
2
0
4 d ,I x x= −
∫
b ngằ phép đặt
2sin ,x t=
thì được
A.
( )
2
0
2 1 cos2 dt t
π
+
∫
. B.
( )
2
0
2 1 cos2 dt t
π
−
∫
. C.
2
2
0
4cos dt t
∫
. D.
2
2
0
2cos dt t
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
2sin d 2cos dx t x t t= ⇒ =
Đổ ậi c n
0 0
2
2
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
2 2
2 2
0 0
4 4sin .2cos d 4cos d .I t t t t t
π π
= − =
∫ ∫
Câu 115. Biết rằng
1
2
1
2
4 d
3
x x a
π
−
− = +
∫
. Khi đó
a
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2sin d 2cos dx t x t t= ⇒ =
.
Khi đó :
1
6
2
1
6
4 d 4cos cos dtx x t t
π
π
−
−
− =
∫ ∫
6
2
6
4cos dtt
π
π
−
=
∫
( )
6
6
2 2cos 2 dtt
π
π
−
= +
∫
( )
6
6
2
2 sin 2 3
3
t t
π
π
π
−
= + = +
.
https://toanmath.com/
Câu 116. Cho tích phân
1
2
2
0
1
1
I dx a
x
π
= =
−
∫
,a và b là các số hữu t c ỉ. Giá trị ủa a là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
6
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho tích phân
1
2
2
0
1
1
I dx a
x
π
= =
−
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
Đặt
sin , ; cos
2 2
x t t dx tdt
π π
= ∈ − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
0 0
1
2 6
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
.
6
0
1
6 6
I dt a
π
π
= = ⇒ =
∫
.
Chọn D
Câu 117. Giá trị của
3
2
0
9 d
a
x x
b
π
− =
∫
trong đó
, a b ∈
và
a
b
là phân s i gi n. Tính giá trố tố ả ị của
biểu thức
T ab=
.
A.
35T =
. B.
24T =
. C.
12T =
. D.
36T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
3sin d 3cos dx t x t t= ⇔ =
. Đổi cận:
0 0; 3
2
x t x t
π
= → = = → =
.
( )
2 2 2
2
2
0 0 0
1 cos2 9
9 3sin .3cos d = 9cos d 9. d
2 4
t
I t t t t t t
π π π
π
+
⇒ = − = =
∫ ∫ ∫
. V y ậ
9.4 36T = =
.
Câu 118. Đổ ếi bi n
2sinx t=
thì tích phân
1
2
0
d
4
x
x−
∫
thànhtrở
A.
6
0
dt t
π
∫
. B.
3
0
dt t
π
∫
. C.
6
0
dt
t
π
∫
. D.
6
0
dt
π
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
2sinx t=
, khi đó
d 2cos dx t t=
. Đổi cận
0 0
1
6
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
1
2
0
d
4
x
I
x
=
−
∫
6
2
0
2cos
d
4 4sin
t
t
t
π
=
−
∫
6
2
0
2cos
d
4cos
t
t
t
π
=
∫
6
0
2cos
d
2cos
t
t
t
π
=
∫
6
0
dt
π
=
∫
.
https://toanmath.com/
Câu 119. Biết rằng
2
4
1
d
6
6 5
a b
x
x x
π
+
=
− + −
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương và
4 5a b< + <
. T ng ổ
a b+
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
4
. D.
6
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có
( )
2 2
4 4
1 1
d d
6 5
4 3
a b a b
x x
x x
x
+ +
=
− + −
− −
∫ ∫
.
Đặt
3 2sinx t− =
,
;
2 2
t
π π
∈ −
,
d 2cos dx t t=
.
Đổ ậi c n
4x =
6
t
π
⇒ =
,
x a b= +
3
arcsin
2
a b
t m
+ −
⇒ = =
.
2
6 6
2cos
d d
4 4sin
m m
t
t t
t
π π
=
−
∫ ∫
6
6
m
t m
π
π
= = −
.
Theo đề ta có
m
6 6
π π
− =
3
arcsin
2 3
a b
π
+ −
⇔ =
3 3
2 2
a b+ −
⇒ =
3 3a b⇔ + = +
.
Do đó
3a =
,
3b =
,
6a b+ =
.
Câu 120. Tích phân
( )( )
3
5
2
1 3I x x dx= − −
∫
có giá trị là:
A.
3
6 4
I
π
= −
. B.
3
3 8
I
π
= −
. C.
3
6 8
I
π
= −
. D.
3
3 8
I
π
= −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )( )
3
5
2
1 3I x x dx= − −
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )( ) ( )
3 3 3
2
2
5 5 5
2 2 2
1 3 3 2 1 2I x x dx x xdx x dx= − − = − − + = − −
∫ ∫ ∫
.
Đặt
2 sin , ; cos
2 2
x t t dx tdt
π π
− = ∈ − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
5
2 6
3
2
x t
x t
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
.
2 2 2
2
2 2
6
6 6 6
1 cos2 1 1 3
1 sin .cos cos sin 2
2 2 2 6 8
t
I t tdt tdt dt x t
π π π
π
π
π π π
π
+
⇒ = − = = = + = −
∫ ∫ ∫
.
Chọn C
Câu 121. Tích phân
1
2
0
3 4
3 2
x
I dx
x x
+
=
+ −
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
7
4 3 8
6
I
π
= − +
. B.
7
4 3 8
6
I
π
= − −
.
C.
7
4 3 8
6
I
π
= + −
. D.
7
4 3 8
6
I
π
= + +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
1
2
0
3 4
3 2
x
I dx
x x
+
=
+ −
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )
2
3 3 ' 3 2x x x+ − = −
và
( )
3 4 9 2 3 2x x+ = − −
( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
7 2 2 2 2 2 2
3 4 7
3 2 3 2 3 2 3 2
x x
x
I dx dx dx dx
x x x x x x x x
− − −
+
⇒ = = = −
+ − + − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
.
Xét
( )
1 1
1
2 2
0 0
7 7
3 2
4 1
I dx dx
x x
x
= =
+ −
− −
∫ ∫
.
Đặt
1 2sin , ; 2 cos
2 2
x t t dx tdt
π π
− = ∈ − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
0
6
1 0
x t
x t
π
= ⇒ = −
= ⇒ =
.
0
1
2
6
14cos 7
6
4 4sin
t
I dt
t
π
π
−
⇒ = =
−
∫
.
Xét
( )
1
2
2
0
2 2 2
3 2
x
I dx
x x
−
=
+ −
∫
.
Đặt
( )
2
3 2 2 2t x x dt x dx= + − ⇒ = −
.
Đổ ậi c n
0 3
1 4
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
.
( )
4
4
1
2
2
3
3
2
4 4 2 3I dt t
t
⇒ = = = −
∫
.
1 2
7
4 3 8
6
I I I
π
= − = + −
.
Chọn C
Câu 122. Tích phân
1
2
2
1
4 3
5 4
x
I dx
x x
−
−
=
+ −
∫
có giá trị là:
A.
5
3
I
π
=
. B.
5
6
I
π
=
. C.
5
3
I
π
= −
. D.
5
6
I
π
= −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
7
2
2
1
2
4 3
5 4
x
I dx
x x
−
=
+ −
∫
có giá trị là:
Cách 1:
Ta có:
( )
2
5 4 ' 4 2x x x+ − = −
và
( )
4 3 5 2 4 2x x− = − −
.
https://toanmath.com/
( )
7 7 7
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 4 2
4 3 5
5 4 5 4 5 4
x
x
I dx dx dx
x x x x x x
−
−
= = −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫
.
Xét
( )
7 7
2 2
1
2 2
1 1
2 2
5 5
5 4
9 2
I dx dx
x x
x
= =
+ −
− −
∫ ∫
.
Đặt
2 3sin , ; 3cos
2 2
x t t dx tdt
π π
− = ∈ − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
7
2 6
1
2 6
x t
x t
π
π
= ⇒ =
= ⇒ = −
.
6
1
2
6
5.3cos 5
3
9 9sin
t
I dt
t
π
π
π
−
⇒ = =
−
∫
.
Xét
( )
7
2
2
2
1
2
2 4 2
5 4
x
I dx
x x
−
=
+ −
∫
.
Đặt
2
5 4 4 2t x x dt x= + − ⇒ = −
.
Đổ ậi c n
2
1 27
2 4
0
7 27
2 4
x t
I
x t
= ⇒ =
⇒ =
= ⇒ =
.
5
3
I
π
⇒ =
.
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính c ầm tay.
Câu 123. Cho
1
2
2
0
1 2 1I x x dc a b
π
= − − = +
∫
với
,a b R∈
. Giá trị
a b+
g n nhầ ất với
A.
1
10
B. 1 C.
1
5
D.
2
Hướng dẫn giải
Đáp án: C
Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổ ủi c a các thí sinh.
Đố ửi với câu này, chúng ta s d ụng phương pháp đưa về lượng giác .
Đặt
sin , ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
. I được viết lại là
( )
6 6 6
2
0 0 0
1 2sin cos .cos cos sin .cos (cos sin )cosI t t tdt t t tdt t t tdt
π π π
= − = − = −
∫ ∫ ∫
6 6 6 6
2
0 0 0 0
1 1
sin cos cos sin 2 (2 ) (cos 2 1) (2 )
4 4
t tdt tdt td t t d t
π π π π
−
⇔ − + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
https://toanmath.com/
6 6
0 0
cos2 sin 2 2 3 1
4 4 12 8
t t t
I
π π
π
+ −
⇔ = + = +
Suy ra
3 1
0,175
12 8
π
−
+ ≈
.
Nhận xét: Hai bài toán trên chính là ng có th tránh tình tr ng scách hướ ể ra đề để ạ ử d ng ụ
máy tính Casio. Thí sinh hi u b s không gể ản chất và cách làm th c sự ự ẽ ặp khó khăn nhiều khi
giải quyết các bài toán này.
Câu 124. Tích phân
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
2
I
π
= . B.
3
I
π
=
. C.
4
I
π
=
. D.
6
I
π
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
Ta có:
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
2
1
tan , ;
2 2 cos
x t t dx dt
t
π π
= ∈ − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
0 0
1
4
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
.
4
4
0
0
4
I dt t
π
π
π
⇒ = = =
∫
.
Chọn C
Câu 125. Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên
thỏa mãn
( )
4
tan cos=f x x
,
∀ ∈x
. Tính
( )
1
0
d
=
∫
I f x x
.
A.
2
8
π
+
. B.
1
. C.
2
4
π
+
. D.
4
π
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
tan=t x
. Ta có
2 2
2
1
1 tan 1
cos
= + = +x t
x
( )
( )
( )
4
2 2
2 2
1 1
cos
1 1
⇒ = ⇒ =
+ +
x f t
t t
( )
( )
1 1
2
2
0 0
1
d d
1
= =
+
∫ ∫
I f x x x
x
.
Đặt
tan ,
2 2
x u x
π π
−
= < <
( )
2
d 1 tan dx u u⇒ = +
; đổi cận:
0 0x u= ⇒ =
;
1
4
x u
π
= ⇒ =
.
( )
24 4 4
4
2
2 2
2
2
0 0 0
0
2
1 tan 1 1 1 1 2
du . d cos d sin 2
cos 2 4 8
1
1 tan
cos
u
I u u u u u
u
u
u
π
π
π
π π
+ +
= = = = + =
+
∫ ∫ ∫
https://toanmath.com/
Câu 126. Cho hàm số
f
liên tụ ạc trên đo n
[ ]
6;5−
, có đồ thị gồ ạm hai đo n th ng và nẳ ửa đường tròn như
hình v . Tính giá tr ẽ ị
( )
5
6
2 dI f x x
−
= +
∫
.
A.
2 35I
π
= +
. B.
2 34I
π
= +
. C.
2 33I
π
= +
. D.
2 32I
π
= +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có
( )
2
1
2 khi 6 2
2
1 4 khi 2 2
2 1
khi 2 5
3 3
x x
f x x x
x x
+ − ≤ ≤ −
= + − − ≤ ≤
− ≤ ≤
.
( ) ( )
5 5 5
6 6 6
2 d d 2 dI f x x f x x x
− − −
= + = +
∫ ∫ ∫
( )
2 2 5
2
6 2 2
1 2 1
2 d 1 4 d d 22
2 3 3
x x x x x x
−
− −
= + + + − + − +
∫ ∫ ∫
2 5
2 2
6 2
1 1
2 22 28
4 3 3
x
x x J x J
−
−
= + + + − + = +
.
Tính
( )
2
2
2
1 4 dJ x x
−
= + −
∫
Đặt
2sinx t=
d 2cos dx t t⇒ =
.
Đổ ậi c n: Khi
2x =
thì
2
t
π
= −
; khi
2x =
thì
2
t
π
=
.
( )
( )
2
2 2
2 2
2
2 2
1 4 d 4 4 cos d 4 2 1 cos 2 d 4 2J x x t t t t
π π
π π
π
−
− −
= + − = + = + + = +
∫ ∫ ∫
. V y ậ
32 2I
π
= +
.
Câu 127. Khi đổi biến
3 tanx t=
, tích phân
1
2
0
d
3
x
I
x
=
+
∫
thành tích phân nào?trở
A.
3
0
3dI t
π
=
∫
. B.
6
0
3
d
3
I t
π
=
∫
C.
6
0
3 dI t t
π
=
∫
.
D.
6
0
1
d
I t
t
π
=
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
3 tanx t=
⇒
( )
2
d 3 1 tan dx t t= +
.
Khi
0x =
thì
0t =
; Khi
1x =
thì
6
t
π
=
.
O
x
y
5
4−
6−
1−
3
https://toanmath.com/
Ta có
1
2
0
d
3
x
I
x
=
+
∫
=
( )
( )
2
6
2
0
3 1 tan
d
3 1 tan
t
t
t
π
+
+
∫
=
6
0
3
d
3
t
π
∫
.
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
BÀI TẬP
DẠNG 1:
Câu 1. Tích phân
2
3
sin , 0I x axdx a
π
π
= ≠
∫
có giá trị là:
A.
6 3 3
6
I
a
π
+ −
=
. B.
3 3 3
6
I
a
π
+ −
=
. C.
6 3 3
6
I
a
π
+ +
=
. D.
3 3 3
6
I
a
π
+ +
=
.
Câu 2. Biết
( )
4
0
1
1 cos 2 dx x x
a b
π
π
+ = +
∫
(
, a b
nguyên khác là các số
0
). Tính giá tr ị
ab
.
A.
32ab =
. B.
2ab =
. C.
4ab =
. D.
12ab =
.
Câu 3. Tính tích phân
π
2
0
cos2 d
I x x x=
∫
bằng cách đặt
2
d cos2 d
u x
v x x
=
=
. M ệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x x x= −
∫
. B.
π
2 π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x x x
= −
∫
.
C.
π
2 π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x x x
= +
∫
. D.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x x x= +
∫
.
Câu 4. Biết
2 2
6 6
cos2 3 sin 2I x xdx a b xdx
π π
π π
π
= = +
∫ ∫
, h u t ca và b là các số ữ ỉ. Giá trị ủa
a
b
là:
A.
1
12
. B.
1
24
. C.
1
12
−
. D.
1
24
−
.
Câu 5. Biết rằng
1
0
1
cos2 d ( sin 2 cos2 )
4
x x x a b c= + +
∫
với
, ,a b c ∈
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
2 1a b c+ + = −
. B.
2 0a b c+ + =
. C.
0a b c− + =
. D.
1a b c+ + =
.
Câu 6. Tính nguyên hàm
( 2)cos3x
( 2)sin3 sin 3
x
I x xdx b x C
a
−
= − = − + +
∫
. Tính
27M a b= +
.
Chọn đáp án đúng:
A. C. D. 6 B. 14 34 22
Câu 7. Biết
m
là số thực th a mãn ỏ
( )
2
2
0
cos 2 2 1
2
x x m dx
π
π
π
+ = + −
∫
. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng?
A.
0m ≤
. B.
0 3m< ≤
. C.
3 6m< ≤
. D.
6m >
.
Câu 8. Tính tích phân
( )
3
0
sinx x x dx a b
π
π π
+ = +
∫
. Tính tích ab:
( ).
b
x
a
P x e dx
∫
( ).cos
b
a
P x xdx
∫
( ).sin
b
a
P x xdx
∫
( ). n
b
a
P x l xdx
∫
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
x
e dx
cos xdx
sin xdx
P(x)
https://toanmath.com/
A. 3 B.
1
3
C. 6 D.
2
3
Câu 9. Tích phân
( )
2
0
3 2 cos dx x x
π
+
∫
bằng
A.
2
3
4
π π
−
. B.
2
3
4
π π
+
. C.
2
1
4
π π
+
. D.
2
1
4
π π
−
.
Câu 10. Cho số hữu tỷ dương
m
thỏa mãn
2
0
2
.cos d
2
m
x mx x
π
π
−
=
∫
. Hỏi số
m
thuộc khoảng nào trong
các khoảng dưới đây?
A.
7
;2
4
. B.
1
0;
4
. C.
6
1;
5
. D.
5 8
;
6 7
.
Câu 11. Cho s hàm ố
( )
2
2 khi 0
.s n ki 0hi
x x x
f x
x x x ≤
+ ≥
=
. Tích tích phân
( )
1
dI f x x
π
−
=
∫
A.
7
6
I
π
= +
. B.
2
3
I
π
= +
. C.
1
3
3
I
π
= − +
. D.
2
2
5
I
π
= +
.
Câu 12. Tính
( )
0
1 cos dx x x
π
+
∫
. K t qu ế ả là
A.
2
2
2
π
−
. B.
2
3
3
π
+
. C.
2
3
3
π
−
. D.
2
2
2
π
+
.
Câu 13. Tính tích phân
3
2
0
cos
x
dx a b
x
π
π
= +
∫
. Ph n nguyên c ng ầ ủa tổ
a b+
là ?
A. 0 -1 B. C. D. 1 -2
Câu 14. Cho
24
2
0
tan ln
32
x
I x xdx b
a
π π
= = − −
∫
ng khi đó tổ
a b+
bằng
A. 4 8 B. C. D. 10 6
Câu 15. Tích phân
4
0
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
tan 2ln cos
4 8 8
I
π π π
= −
. B.
tan 2ln cos
4 8 8
I
π π π
= +
.
C.
tan 2ln cos
4 4 8
I
π π π
= −
. D.
tan 2ln cos
4 4 8
I
π π π
= +
.
Câu 16. Tích phân
4
0
d ln 2
1 cos2
x
x a b
x
π
π
= +
+
∫
, với
a
,
b
c. Tính là các số thự
16 8a b−
A.
4.
B.
5.
C.
2.
D.
3.
Câu 17. Tích phân
4
0
2 sin
2 2cos
x x
I dx
x
π
−
=
−
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
1 2 3
4ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + +
. B.
1 2 3
2ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + −
.
C.
1 2 3
4ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + −
. D.
1 2 3
2ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + +
.
Câu 18. Tích phân
( )
3 2
2
6
2 cos cos
cos
x x x x x
I dx
x
π
π
+ +
=
∫
có giá trị là:
A.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= + + −
. B.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= − + −
.
C.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= + − −
. D.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= + + +
.
Câu 19. Cho
0
2
x
π
< <
và
0
tan d
a
x x x m=
∫
Tính
2
0
d
cos
a
x
I x
x
=
∫
theo
a
và
.m
A.
tan 2I a a m= −
. B.
2
tanI a a m= − +
. C.
2
tan 2I a a m= −
. D.
2
tanI a a m= −
.
Câu 20. Tính
( )
2
2
0
sin cos dx x x x
π
+
∫
. K t qu ế ả là
A.
2
2 3
π
+
. B.
2
2 3
π
−
. C.
2
3 3
π
−
. D.
2
2 3
π
−
.
Câu 21. Cho tích phân
2
2
0
.sinI x xdx a b
π
π
= = +
∫
. Tính
A a b= −
Chọn đáp án đúng:
A. C. D. 7 B. 10 6 2
Câu 22. Với mỗi số nguyên dương
n
ta kí hi u ệ
( )
1
2 2
0
1 d
n
n
I x x x= −
∫
. Tính
1
lim
n
n
n
I
I
+
→+∞
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
5
.
DẠNG 2:
Câu 23. Cho
( )
0
d 1
a
x
xe x a= ∈
∫
. Tìm
a
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
e
.
Câu 24. Cho
1
2 2
0
d
x
I xe x ae b= = +
∫
(
,a b
h u t ng là các số ữ ỷ). Khi đó tổ
a b+
là
A.
0
. B.
1
4
. C.
1
. D.
1
2
.
Câu 25. Biết rằng tích phân
( )
1
0
2 1 .
x
x e dx a b e+ = +
∫
, tích
ab
bằng:
A.
1
. B.
1−
. C.
15−
. D.
20
.
Câu 26. Biết
( )
1
0
2 3 d
x
I x e x= +
∫
ae b= +
, với
,a b
là các số h . Mữu tỉ ệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?
A.
2a b− =
. B.
3 3
28a b+ =
. C.
3ab =
. D.
2 1a b+ =
.
Câu 27. Tìm a sao cho
2
0
.e x 4
a
x
I x d= =
∫
, chọn đáp án đúng
https://toanmath.com/
A. C. D. 1 B. 0 4 2
Câu 28. Cho tích phân
( )
( )
1
0
1 3
x
I x e dx= + −
∫
. K t qu tích phân này dế ả ạng
I e a= −
. Đáp án nào sau
đây đúng?
A.
9
2
a =
B.
9
4
a =
C.
9
5
a =
D.
8
3
a =
Câu 29. Tính tích phân
( )
( )
1
2 2
0
1 1
4 4
x
I a x b e dx e= − + = +
∫
. Tính
( )
15
12
A ab a b= +
Chọn đáp án đúng:
A. C. D. 27 B. 30 16 45
Câu 30. Tìm m để
( )
1
0
1
x
mx e dx e+ =
∫
?
A. C. 0 B. -1
1
2
D. 1
Câu 31. Cho
( )
2
0
2 1 e d
m
x
I x x= −
∫
. T p h p tậ ợ ất cả các giá trị c ủa tham số
m
để
I m<
là khoảng
( )
;a b
. Tính
3P a b= −
.
A.
3P = −
. B.
2P = −
. C.
4P = −
. D.
1P = −
.
Câu 32. Biết rằng tích phân
( )
4
4
0
1
2 1
x
x e
dx ae b
x
+
= +
+
∫
. Tính
2 2
T a b= −
A.
1T =
. B.
2T =
. C.
3
2
T =
. D.
5
2
T =
.
Câu 33. Cho tích phân
12
1
1
12
1
1 .e .d .e
c
x
x d
a
I x x
x b
+
= + − =
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
,
d
là cá c số nguyên dương
và các phân s ố
a
b
,
c
d
là cá t i gi n. Tính c phân số ố ả
bc ad−
.
A.
24
. B.
1
6
. C.
12
. D.
1
.
DẠNG 3.
Câu 34. Cho
e
1
ln d
I x x x=
∫
2
.ea b
c
+
=
với
a
,
b
,
c ∈
. Tính
T a b c= + +
.
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
6
.
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân
( )
1
0
ln 2 1 dx x+
∫
được biể ễu di n dạng
.ln3a b+
, khi đó giá trị
của tích
3
ab
bằng
A.
3.
B.
3
2
.
C.
1.
D.
.
3
2
−
Câu 36. Cho
( )
1
0
ln 1 d lnx x a b+ = +
∫
,
( )
,a b ∈
. Tính
( )
3
b
a +
.
A.
25
. B.
1
7
. C.
16
. D.
1
9
.
Câu 37. Biết tích phân
( )
2
1
4 1 ln d ln 2x x x a b− = +
∫
với
a
,
b Z∈
. T ng ổ
2a b+
b ng ằ
https://toanmath.com/
A.
5.
B.
8.
C.
( )
1; 2;1A −
D.
13.
Câu 38. Biết
( )
3
2
1
3 ln ln ln
d
4
1
x a b c
x
x
+ + −
=
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Giá trị của biể ứu th c
P a b c= + +
bằng?
A.
46
. B.
35
. C.
11
. D.
48
.
Câu 39. Giả ử s
( ) ( )
2
1
2 1 ln d ln 2 , ;x x x a b a b− = + ∈
∫
. Khi đó
a b+
?
A.
5
2
.
B.
2.
C.
1.
D.
3
2
.
Câu 40. Tính tích phân
( )
2
2
1
1 ln dI x x x= −
∫
.
A.
2ln 2 6
9
I
+
=
. B.
6ln 2 2
9
I
+
=
. C.
2ln 2 6
9
I
−
=
. D.
6ln 2 2
9
I
−
=
.
Câu 41. Tích phân
1
ln
a
I x xdx=
∫
có giá trị là:
A.
2 2
ln 1
2 4
a a a
I
−
= +
. B.
2 2
ln 1
2 4
a a a
I
−
= −
.
C.
2
2
ln
1
2 4
a a
a
I
−
= +
. D.
2
2
ln
1
2 4
a a
a
I
−
= −
.
Câu 42. Kết quả tích phân
( )
( )
2
0
2 ln 1 3ln3x x dx b+ + = +
∫
. Giá trị
3 b+
là:
A.
3
B.
4
C.
5
D.
7
Câu 43. Tính tích phân
2
1
(4 3).ln 7lnI x xdx a b= + = +
∫
. Tính
( )
sin
4
a b
π
+
:
A. 1 -1 B. C. D. 0
1
2
Câu 44. Cho tích phân
= − + +
∫
1
2
0
3 2 ln(2 1)I x x x dx
. Xác định a biết
= −lnI b a c
với a,b,c là
các số ữ h u tỉ
A. a a=3 B. =-3 C.
=
2
3
a
D.
= −
2
3
a
.
Câu 45. Cho
3
2
1
3 ln
(ln3 1) ln
( 1)
x
I dx a b
x
+
= = + +
+
∫
v R. Tính giá tr bi u thới a,b∈ ị ể ức
4 2T a b= +
A. 4 7 B. C. D. 5 6
Câu 46. Cho tích phân . Tính
Chọn đáp án đúng:
A. C. D. 3 B. 2 1 1
Câu 47. Biết
1
ln
d
e
x
x a e b
x
= +
∫
với
,a b ∈
. Tính
.P a b=
.
A.
4P =
. B.
8P = −
. C.
4P = −
. D.
8P =
.
Câu 48. Biết
( )
2
0
2 ln 1 d .lnx x x a b+ =
∫
, với
*
,a b ∈
,
b
. Tính là số nguyên tố
6 7a b+
.
A.
33
. B.
25
. C.
42
. D.
39
.
( )
3
2
3
6
ln sin
3
ln
cos
4
x
I dx a b
x
π
π
π
= = −
∫
3 6
log logA a b= +
−
−
https://toanmath.com/
Câu 49. Cho
( )
1
2
0
1 ln2 ln3
ln 2 d
2 4
a bc c
x x x
x
− +
+ + =
+
∫
với
a
,
b
,
c
∈
. Tính
T a b c= + +
.
A.
13T =
. B.
15T =
. C.
17T =
. D.
11T =
.
Câu 50. Biết
( )
3
3
2
ln 3 2 d ln 5 ln 2x x x a b c− + = + +
∫
, với
, ,a b c ∈
. Tính
.S a b c= +
A.
60S =
. B.
23S = −
. C.
12S =
. D.
2S = −
.
Câu 51. Cho bi t tích phân ế
( ) ( )
1
0
7
2 ln 1 d ln 2I x x x a
b
−
= + + = +
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
a b=
. B.
a b<
. C.
a b>
. D.
3a b= +
.
Câu 52. Cho
( )
2
2
1
ln 1
d ln 2
1
x x a
I x
b c
x
+
= = −
+
∫
với
a
,
b
,
m
là các số nguyên dương và là phân số tố ải gi n.
Tính giá tr c u thị ủa biể ức
a b
S
c
+
=
.
A.
2
3
S =
. B.
5
6
S = . C.
1
2
S =
. D.
1
3
S =
.
Câu 53. Cho
1a b> > −
. Tích phân
( )
ln 1 d
b
a
I x x= +
∫
b ng bi u thằ ể ức nào sau đây?
A.
( ) ( )
1 ln 1
b
a
I x x a b= + + − +
. B.
( ) ( )
1 ln 1
b
a
I x x b a= + + − +
.
C.
( )
1
1
b
a
I
x
=
+
. D.
( )
ln 1 d
1
b
b
a
a
x
I x x x
x
= + +
+
∫
.
Câu 54. Biết
2
e
2
2
e
1 1 e e+
d
ln ln 2
a b c
x
x x
+
− =
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. cGiá trị ủa
2 2 2
a b c+ +
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
9
.
Câu 55. Biết
( )
3
2
0
ln 16 d ln 5 ln2
2
c
x x x a b+ = + +
∫
trong đó
, ,a b c
là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức
T a b c= + +
.
A.
2T =
. B.
16T = −
. C.
2T = −
. D.
16T =
.
Câu 56. Tính tích phân
2
2018
2
1
1
2019log d
ln 2
I x x x
= +
∫
.
A.
2017
2I =
. B.
2019
2I =
. C.
2018
2I =
. D.
2020
2I =
.
Câu 57. Biết
( )
3
2
1
3 ln
d
1
x
I x
x
+
=
+
∫
( )
1 ln 3 ln 2a b= + −
,
( )
,a b∈
. Khi đó
2 2
a b+
bằng
A.
2 2
7
16
a b+ =
. B.
2 2
16
9
a b+ =
. C.
2 2
25
16
a b+ =
. D.
2 2
3
4
a b+ =
.
Câu 58. Biết
2
2
1
ln
d ln 2
x b
x a
x c
= +
∫
(với
a
là số h , ữu tỉ
b
,
c
là các số nguyên dương và
b
c
là phân số
tối gi n). Tính giá tr cả ị ủa
2 3S a b c= + +
.
A.
4S =
. B.
6S = −
. C.
6S =
. D.
5S =
.
https://toanmath.com/
Câu 59. Biết rằng
( )
2
1
ln 1 d ln3 ln 2x x a b c+ = + +
∫
với
a
,
b
,
c
nguyên. Tính là các số
S a b c= + +
A.
0S =
. B.
1S =
. C.
2S =
. D.
2S = −
.
Câu 60. Tính tích phân
( ) ( )
5
4
1 ln 3 dI x x x= + −
∫
?
A.
10ln 2
. B.
19
10ln 2
4
+
. C.
19
10ln 2
4
−
. D.
19
10ln 2
4
−
.
Câu 61. Biết rằng
3
2
ln d ln 3 ln 2x x x m n p= + +
∫
, trong đó
m
,
n
,
p
∈
. Khi đó số
m
là
A.
9
2
. B.
18
. C.
9
. D.
27
4
.
Câu 62. Biết
( )
4
2
0
ln 9 d ln 5 ln 3x x x a b c+ = + +
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của biểu
thức
T a b c= + +
là
A.
10T =
. B.
9T =
. C.
8T =
. D.
11T =
.
Câu 63. Tích phân
( )
1
2
0
ln 1I x x dx= + −
∫
có giá trị là:
A.
( )
2 1 ln 2 1I = − + −
. B.
( )
2 1 ln 2 1I = − − −
.
C.
( )
2 1 ln 2 1I = − + + −
. D.
( )
2 1 ln 2 1I = − + − −
.
Câu 64. Cho tích phân
2
1
1
ln
e
I x xdx ae b
x
= + = +
∫
, h u t ca và b là các số ữ ỉ. Giá trị ủa
2 3a b−
là:
A.
13
2
. B.
13
4
. C.
13
4
−
. D.
13
2
−
Câu 65. Tính tích phân
, ta được kết quả
A.
1
ln 2.
4 2
π
− +
B.
3
ln 2.
4 2
π
−
C.
3
ln 2.
4 2
π
− +
D.
3
ln 2.
4 2
π
− −
Câu 66.
Giả ử s
2
2
1
4ln 1
d ln 2 ln 2
x
x a b
x
+
= +
∫
, v ới
,a b
là các số h uữ tỷ. Khi đó tổng
4a b+
b ng.ằ
A.
3
. B.
5
C.
7
. D.
9
.
Câu 67. Tính tích phân
( )
1000
2
2
1
ln
.
1
x
I dx
x
=
+
∫
A.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
1 2 1 2
I = − +
+ +
B.
1001
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
1 2 1 2
I = − +
+ +
C.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
1 2 1 2
I = −
+ +
D.
1000
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
1 2 1 2
I = −
+ +
https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1:
Câu 1. Tích phân
2
3
sin , 0I x axdx a
π
π
= ≠
∫
có giá trị là:
A.
6 3 3
6
I
a
π
+ −
=
. B.
3 3 3
6
I
a
π
+ −
=
. C.
6 3 3
6
I
a
π
+ +
=
. D.
3 3 3
6
I
a
π
+ +
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
2
3
sin , 0I x axdx a
π
π
= ≠
∫
có giá trị là:
Đặt
1
sin
cos
du dx
u x
dv axdx
v x
a
=
=
⇒
=
= −
.
2
2 2 2
3 3 3
3
1 1 1 1 6 3 3
cos cos cos sin
6
I x x xdx x x x
a a a a a
π
π π π
π π π
π
π
− − + −
⇒ = + = + =
∫
.
Chọn A
Câu 2. Biết
( )
4
0
1
1 cos 2 dx x x
a b
π
π
+ = +
∫
(
, a b
nguyên khác là các số
0
). Tính giá tr ị
ab
.
A.
32ab =
. B.
2ab =
. C.
4ab =
. D.
12ab =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
( ) ( )
4
4
0
0
sin 2 cos 2 1 1
1 cos2 d 1
2 4 4 8
x x
x x x x
a b
π
π
π π
+ = + + = + = +
∫
.
4; 8 32a b ab⇒ = = ⇒ =
.
Câu 3. Tính tích phân
π
2
0
cos2 dI x x x=
∫
bằng cách đặt
2
d cos2 d
u x
v x x
=
=
. M ệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x x x= −
∫
. B.
π
2 π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x x x
= −
∫
.
C.
π
2 π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x x x
= +
∫
. D.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x x x
= +
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có:
2
d cos2 d
u x
v x x
=
=
d 2 d
1
sin 2
2
u x x
v x
=
⇒
=
.
Khi đó:
π
2
0
cos2 dI x x x=
∫
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
x x x x x= −
∫
.
Câu 4. Biết
2 2
6 6
cos2 3 sin 2I x xdx a b xdx
π π
π π
π
= = +
∫ ∫
, h u t ca và b là các số ữ ỉ. Giá trị ủa
a
b
là:
https://toanmath.com/
A.
1
12
. B.
1
24
. C.
1
12
−
. D.
1
24
−
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Biết
2 2
6 6
cos2 3 sin 2I x xdx a b xdx
π π
π π
π
= = +
∫ ∫
. Giá trị của
a
b
là:
Ta có:
2 2 2
2
6
6 6 6
1
1 1 3 1 1
24
cos2 sin 2 sin 2 sin 2
1
2 2 24 2 12
2
a
a
I x xdx x x xdx xdx
b
b
π π π
π
π
π π π
π
= −
= = − = − − ⇒ ⇒ =
= −
∫ ∫ ∫
.
Chọn A
Câu 5. Biết rằng
1
0
1
cos2 d ( sin 2 cos2 )
4
x x x a b c= + +
∫
với
, ,a b c ∈
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
2 1a b c+ + = −
. B.
2 0a b c+ + =
. C.
0a b c− + =
. D.
1a b c+ + =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
d d
sin 2
d cos 2 d
2
u x
u x
x
v x x
v
=
=
⇒
=
=
.
Khi đó
( )
1 1
1
0
0 0
sin 2 1 1
cos2 d | sin 2 d 2sin 2 cos2 1
2 2 4
x x
x x x x x= − = + −
∫ ∫
.
Vậy
0a b c− + =
.
Câu 6. Tính nguyên hàm
( 2)cos3x
( 2)sin3 sin 3
x
I x xdx b x C
a
−
= − = − + +
∫
. Tính
27M a b= +
.
Chọn đáp án đúng:
A. 6 B. 14 C. 34 D. 22
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
2
sin3
u x
dv xdx
= −
=
.ta được:
cos3
3
du dx
x
v
=
= −
Do đó:
( ) ( )
2 cos3 2 cos3
1 1 1
cos3 sin 3 3; 6
3 3 3 9 9
x x x x
I xdx x c a b m
− −
= − + = − + + ⇒ = = ⇒ =
∫
Câu 7. Biết
m
là số thực th a mãn ỏ
( )
2
2
0
cos 2 2 1
2
x x m dx
π
π
π
+ = + −
∫
. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng?
A.
0m ≤
. B.
0 3m< ≤
. C.
3 6m< ≤
. D.
6m >
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
( )
2 2 2
0 0 0
cos 2 .cos 2x x m dx x xdx mxdx
π π π
+ = +
∫ ∫ ∫
I J= +
https://toanmath.com/
+)
2
0
.cosI x xdx
π
=
∫
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
Khi đó
2
2
0
0
.sin sinI x x xdx
π
π
= −
∫
2 2
0 0
.sin cosx x x
π π
= +
1
2
π
= −
.
+)
2
0
2J mxdx
π
=
∫
2
2
0
mx
π
=
2
4
m
π
=
.
Suy ra
( )
2
2
0
cos 2 1
4 2
x x m dx m
π
π π
+ = + −
∫
Theo gi thiả ết ta có
2
2
1 2 1
4 2 2
m
π π π
π
+ − = + −
8m⇒ =
.
Câu 8. Tính tích phân
( )
3
0
sinx x x dx a b
π
π π
+ = +
∫
. Tính tích ab:
A. 3 B.
1
3
C. 6 D.
2
3
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
( ) ( )
3
2 2
0 0 0 0 0
sin cos cos cos
0 03
x
I x dx x xdx x dx xd x x x xdx
π π π π π
π π
= + = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3
3
sin
0
3 3
x
π
π
π π π
1
= + + = +
Câu 9. Tích phân
( )
2
0
3 2 cos dx x x
π
+
∫
bằng
A.
2
3
4
π π
−
. B.
2
3
4
π π
+
. C.
2
1
4
π π
+
. D.
2
1
4
π π
−
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
( )
2
0
3 2 cos dI x x x
π
= +
∫
. Ta có:
฀
( )( )
0
1
3 2 1 cos 2 d
2
I x x x
π
= + +
∫
( ) ( ) ( )
1 2
0 0
1 1
3 2 d 3 2 cos 2 d
2 2
x x x x x I I
π π
= + + + = +
∫ ∫
.
฀
( )
1
0
3 2 dI x x
π
= + =
∫
2 2
0
3 3
2 2
2 2
x x
π
π π
+ = +
.
฀
( )
2
0
3 2 cos 2 dI x x x
π
= +
∫
. Dùng tích phân t ng ph n ừ ầ
Đặt
d 3d
3 2
1
d cos2 d
sin 2
2
u x
u x
v x x
v x
=
= +
⇒
=
=
.
https://toanmath.com/
Khi đó
( )
2
0
0
1 3
3 2 sin 2 sin 2 d
2 2
I x x x x
π
π
= + −
∫
( )
0
3
0 cos2 0
4
x
π
= + =
.
฀Vậy
2 2
1 3 3
2
2 2 4
I
π π π π
= + = +
.
Câu 10. 44TCho số hữu tỷ dương
m
thỏa mãn
2
0
2
.cos d
2
m
x mx x
π
π
−
=
∫
. Hỏi số
m
thuộc khoảng nào trong
các khoảng dưới đây?
44T 44TA.
7
;2
4
44T. B.
1
0;
4
. C.
6
1;
5
. D.
5 8
;
6 7
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
d d
1
d cos d
sin
u x
u x
v mx x
v mx
m
=
=
⇒
=
=
.
Suy ra
2 2
2
0
0 0
1
.cos d sin sin d
m m
m
x
x mx x mx mx x
m m
π π
π
= −
∫ ∫
2
2 2 2
0
1 2 1
.cos .
2 2
m
mx
m m m
π
π π
−
= + =
44T.
Theo gi thiả ết ta có
2
2 1 2
. 1
2 2
m
m
π π
− −
= ⇔ = ±
.
Vì
m
h u t là 44Tsố ữ ỷ dương nên
5 8
1 ;
6 7
m
= ∈
.
Câu 11. Cho s hàm ố
( )
2
2 khi 0
.s n ki 0hi
x x x
f x
x x x ≤
+ ≥
=
. Tích tích phân
( )
1
dI f x x
π
−
=
∫
A.
7
6
I
π
= +
. B.
2
3
I
π
= +
. C.
1
3
3
I
π
= − +
. D.
2
2
5
I
π
= +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( )
0 0
lim lim 0 0
x x
f x f x f
+ −
→ →
= = =
nên hàm s ố liên t i ục tạ
0x =
. Do đó hàm số liên tục
trên đoạn
[ ]
;1
π
−
.
Ta có:
( )
1
dI f x x
π
−
=
∫
( ) ( )
( )
0 1 0 1
2
1 2
0 0
d d .s d 2in dxf x x f x x x x x x x I I
π π
− −
= + = + + = +
∫ ∫ ∫ ∫
.
•
0
1
in.s dI xx x
π
−
=
∫
Đặt
in dd sv x
u x
x
=
=
d d
cos
u x
v x
=
⇒
= −
( )
0
0
1
dscos coI xx x x
π
π
−
−
= − +
∫
( )
0
0
incos sx x x
π
π
π
−
−
= − + =
.
•
( )
1
2
2
0
2 dI x x x= +
∫
1
3 2
0
2
3 2
x x
= +
7
6
=
.
https://toanmath.com/
Vậy
1 2
7
6
I I I
π
= + = +
.
Câu 12. Tính
( )
0
1 cos dx x x
π
+
∫
. K t qu ế ả là
A.
2
2
2
π
−
. B.
2
3
3
π
+
. C.
2
3
3
π
−
. D.
2
2
2
π
+
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
d d
d (1 cos )d sin
u x u x
v x v v x x
= =
⇒
= + = +
Khi đó:
( ) ( )
0
0
sin sin dI x x x x x x
π
π
= + − +
∫
2
2
0
cos
2
x
x
π
π
= − −
2 2
2
1 1 2
2 2
π π
π
= − + + = −
Câu 13. Tính tích phân
3
2
0
cos
x
dx a b
x
π
π
= +
∫
. Ph n nguyên c ng ầ ủa tổ
a b+
là ?
A. 0 B. -1 C. D. 1 -2
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đố ửi với bài toán này, chúng ta s d ng phụng phương pháp nguyên hàm từ ần.
Đặt
2
sin
tan
cos cos
u x du dx
dx x
dv v x
x x
= =
⇒
= = =
Áp dụ ứ ừ ầng công th c tích phân t ng ph n ta có:
( )
3
0
sin
tan
3
cos
0
xdx
I x x
x
π
π
= −
∫
( )
( )
3
0
cos
tan
3
cos
0
d x
x x
x
π
π
= +
∫
( ) ( )
tan ln cos ln 2
3 3
3
0 0
I x x x
π π
π
⇔ = + = −
Suy ra
1
; ln 2
3
a b= = −
.
Tổng
1
ln 2 0,1157969114
3
a b+ = − ≈ −
Lưu ý khái niệ ất không vượ ậy đáp án m phần nguyên củ ốa x là s nguyên lớn nh t quá x, v
đúng là đáp án B.
Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi kh c l c vả năng biến đổi củ ắa thí sính và nh ại kiến thứ ề khái
niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kế phân tích nhưng lúng túng trong t quả
việc l a chự ọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên.
Câu 14. Cho
24
2
0
tan ln
32
x
I x xdx b
a
π π
= = − −
∫
ng khi đó tổ
a b+
bằng
A. 4 8 B. C. 10 D. 6
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
https://toanmath.com/
.
Đặt
Vậy
Câu 15. Tích phân
4
0
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
tan 2ln cos
4 8 8
I
π π π
= −
. B.
tan 2ln cos
4 8 8
I
π π π
= +
.
C.
tan 2ln cos
4 4 8
I
π π π
= −
. D.
tan 2ln cos
4 4 8
I
π π π
= +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
4
0
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
4 4
2
0 0
1
1 cos 2
cos
2
x x
I dx I dx
x
x
π π
= =
+
∫ ∫
.
Đặt
2
cos 2tan
2 2
u x du dx
x x
dv dx v
= =
⇒
= =
.
4 4
4
0 00
cos
8
1
sin
1 1
2
2 tan 2 tan tan 2
2 2 2 2 2 8
cos
2
1
tan 4 tan 2ln cos
2 8 4 8 8
x
x x
I x dx dx
x
dt
t
π π
π
π
π π
π π π π π
⇒ = − = −
= + = +
∫ ∫
∫
.
Chọn B
Câu 16. Tích phân
4
0
d ln 2
1 cos2
x
x a b
x
π
π
= +
+
∫
, với
a
,
b
c. Tính là các số thự
16 8a b−
4 4 4
2 2
0 0 0
24
4
0
0
1 1
1 .
cos cos
2 32
I x dx x dx xdx
x x
xdx
π π π
π
π
π π
= − = −
= =
∫ ∫ ∫
∫
4
1
2
0
1
.
cos
I x dx
x
π
=
∫
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=
=
⇒
==
4
4
4
1 0
0
0
tan tan ln cos ln 2
4 4
I x x xdx x
π
π
π
π π
= − = + = −
∫
2
ln 2
4 32
I
π π
= − −
https://toanmath.com/
A.
4.
B.
5.
C.
2.
D.
3.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
d d
d
1
d
tan
1 cos2
2
u x
u x
x
v
v x
x
=
=
⇒
=
=
+
. Ta có
4
0
1 1 1 1 1 1 1 1
tan tan d ln cos ln ln 2 ,
4 4
2 2 8 2 8 2 8 4 8 4
2
0 0
I x x x x x a b
π
π π
π π π
= − = + = + = − ⇒ = = −
∫
Do đó,
16 8 4a b− =
.
Câu 17. Tích phân
4
0
2 sin
2 2cos
x x
I dx
x
π
−
=
−
∫
có giá trị là:
A.
1 2 3
4ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + +
. B.
1 2 3
2ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + −
.
C.
1 2 3
4ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + −
. D.
1 2 3
2ln 2 ln 2
2 3
I
π
π
= − + + +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
2
3
2 sin
2 2cos
x x
I dx
x
π
π
−
=
−
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
4 2 2
3 3 3
2 sin 1 sin
2 2 cos 1 cos 2 1 cos
x x x x
I dx dx dx
x x x
π π π
π π π
−
= = −
− − −
∫ ∫ ∫
.
Xét
2 2
1
2
3 3
1
1 cos 2
sin
2
x x
I dx dx
x
x
π π
π π
= =
−
∫ ∫
.
Đặt
2
1
2cot
sin
2
2
u x
du dx
xdv dx
v
x
=
=
⇒
=
= −
.
2
2
1
3
3
1 1 2 3
2 .cot 2 cot 4 ln 2
2 2 2 2 3
x x
I x dx
π
π
π
π
π
π
⇒ = − + = − + +
∫
.
Xét
2
2
3
1 sin
2 1 cos
x
I dx
x
π
π
=
−
∫
.
Đặt
1 cos sint x dt xdx= − ⇒ =
.
Đổ ậi c n
1
3 2
1
2
x t
x t
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
.
https://toanmath.com/
( )
1
1
2
1
1
2
2
1 1 1 1
ln ln 2
2 2 2
I dt t
t
⇒ = = =
∫
.
1 2
1 2 3
4ln 2 ln 2
2 3
I I I
π
π
= − = − + + −
.
Chọn C
Câu 18. Tích phân
( )
3 2
2
6
2 cos cos
cos
x x x x x
I dx
x
π
π
+ +
=
∫
có giá trị là:
A.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= + + −
. B.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= − + −
.
C.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= + − −
. D.
4 2
5 2 3
324 9 4 2
I
π π π
= + + +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
3 2
2
6
2 cos cos
cos
x x x x x
I dx
x
π
π
+ +
=
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )
( )
3 2
2 2 2 2
2
3 4 2
6
6 6 6 6
2 cos cos
1
2 cos cos
cos 4
x x x x x
I dx x x dx x xdx x x x xdx
x
π π π π
π
π
π π π π
+ +
= = + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
.
Xét
2
1
6
cosI x xdx
π
π
=
∫
.
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
.
( )
2
2
1
6
6
3
sin sin
4 2
I x x xdx
π
π
π
π
π
⇒ = − = −
∫
.
4 2
2
4 2
1
6
1 5 2 3
4 324 9 4 2
I x x I
π
π
π π π
⇒ = + + = + + −
.
Chọn A
Câu 19. Cho
0
2
x
π
< <
và
0
tan d
a
x x x m=
∫
Tính
2
0
d
cos
a
x
I x
x
=
∫
theo
a
và
.m
A.
tan 2I a a m= −
. B.
2
tanI a a m= − +
. C.
2
tan 2I a a m= −
. D.
2
tanI a a m= −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
2
2
d 2 d
1
tan
d d
os
u x
u x x
v x
v x
c x
=
=
⇒
=
=
https://toanmath.com/
2
2 2
0
0 0
d tan 2 tan d tan 2 .
cos
a a
a
x
I x x x x x x a a m
x
= = − = −
∫ ∫
Câu 20. Tính
( )
2
2
0
sin cos dx x x x
π
+
∫
. K t qu ế ả là
A.
2
2 3
π
+
. B.
2
2 3
π
−
. C.
2
3 3
π
−
. D.
2
2 3
π
−
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có:
2
2
0
( sin ) cos dI x x x x
π
= +
∫
2
2
0
( cos sin cos )dx x x x x
π
= +
∫
1
2 2
2
2
0 0
cos d sin cos dx x x x x x I I
π π
= + = +
∫ ∫
Tính
1
I
: Đặt
d cos d
u x
v x x
=
⇒
=
d d
sin
u x
v x
=
=
.
Nên
2
1
0
cos dI x x x
π
=
∫
( )
2
2 2
0 0
0
sin | sin d cos | 1
2 2
x x x x x
π
π π
π π
= − = + = −
∫
Tính
2
I
: Đặt
sin .u x=
Ta có
d cos d .u x x=
n: Đổi cậ
0 0; 1.
2
x u x u
π
= ⇒ = = ⇒ =
1
2
2 2 3
2
0 0
1
1 1
sin cos d .
0
3 3
I x x x u du u
π
⇒ = = = =
∫ ∫
Vậy
1 2
2
2 3
I I I
π
= + = −
.
Câu 21. Cho tích phân
2
2
0
.sinI x xdx a b
π
π
= = +
∫
. Tính
A a b= −
Chọn đáp án đúng:
A. C. D. 7 B. 10 6 2
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
* Đặt
2
2 ; sinu t du tdt dv tdt= ⇒ = =
chọn
cosv t= −
Vậy
2
0
2 cos 2 cos
0
I t t t tdt
π
π
= − +
∫
Đặt
cosu t du dt dv tdt= ⇒ = =
n chọ
sinv t=
1
0 0
sin sint sin cost 2
0 0
I t tdt t tdt
π π
π π
= = − = = −
∫ ∫
* Do đó:
2 2
2 cos 4 2 8 2; 8 10
0
I t t a b A
π
π
= − − = − ⇒ = = − ⇒ =
https://toanmath.com/
Câu 22. Với mỗi số nguyên dương
n
ta kí hi u ệ
( )
1
2 2
0
1 d
n
n
I x x x= −
∫
. Tính
1
lim
n
n
n
I
I
+
→+∞
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
5
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Cách T n: 1. ự luậ
Xét
( )
1
2 2
0
1 d
n
n
I x x x= −
∫
. Đặt
( )
2
d 1 d
n
u x
v x x x
=
= −
( )
( )
1
2
d d
1
2 1
n
u x
x
v
n
+
=
⇒
− −
=
+
.
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
1 1
1 1
2 2
0 0
0
1
1 1
1 d 1 d
1 2 1 2 1
n
n n
n
x x
I x x x x
n n n
+
+ +
− −
= + − = −
+ + +
∫ ∫
( )
( )( )
1
1
2 2
1
0
1
1 1 d
2 2
n
n
I x x x
n
+
+
⇒ = − −
+
∫
( )
( ) ( )
1 1
1 1
2 2 2
1
0 0
1
1 d 1 d
2 2
n n
n
I x x x x x
n
+ +
+
⇒ = − − −
+
∫ ∫
( )
( )
1 1
1
2 1
2 2
n n n
I n I I
n
+ +
⇒ = + −
+
1 1
2 1
lim 1
2 5
n n
n
n n
I In
I n I
+ +
→+∞
+
⇒ = ⇒ =
+
.
Cách c nghi 2. Trắ ệm:
Ta thấy
( )
2
0 1 1x≤ − ≤
với mọi
[ ]
0;1x ∈
, nên
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2
1
0 0 0
1 d 1 1 d 1 d
n n n
nn
I x x x x x x x x x x I
+
+
= − =≤− = − −
∫ ∫ ∫
,
suy ra
1
1
n
n
I
I
+
≤
, nên
1
lim 1
n
n
I
I
+
≤
. D ựa vào các đáp án, ta chọnA.
https://toanmath.com/
DẠNG 2:
Câu 23. Cho
( )
0
d 1
a
x
xe x a= ∈
∫
. Tìm
a
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
e
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
( ) ( )
0
0
d 1 1 1 1 1 1
a
a
x x a
xe x x e a e a= ⇔ − = − + = ⇔ =
∫
.
Câu 24. Cho
(
,a b
h u t ng là các số ữ ỷ). Khi đó tổ
a b+
là
A.
0
. B.
1
4
. C.
1
. D.
1
2
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
2
d d
x
u x
v e x
=
=
ta có
2
d d
1
2
x
u x
v e
=
=
.
Vậy
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
d d .
0 0
2 2 2 4 2 4 4 4 4
x x x x
I xe x xe e x e e e e e= = − = − = − + = +
∫ ∫
Suy ra
1
1
4
.
1
2
4
a
a b
b
=
⇒ + =
=
Câu 25. Biết rằng tích phân
( )
1
0
2 1 .
x
x e dx a b e+ = +
∫
, tích
ab
bằng:
A.
1
. B.
1−
. C.
15−
. D.
20
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
2 1 d 2d
d d
x x
u x u x
v e x v e
= + =
⇒
= =
.
Vậy
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
0 0
0 0
2 1 2 1 2 d 2 1 1
x x x x
x e dx x e e x x e e+ = + − = − = +
∫ ∫
.
Suy ra
1; 1 1a b ab= = ⇒ =
.
Câu 26. Biết
( )
1
0
2 3 d
x
I x e x= +
∫
ae b= +
, với
,a b
là các số h . Mữu tỉ ệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?
A.
2a b− =
. B.
3 3
28a b+ =
. C.
3ab =
. D.
2 1a b+ =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
( )
1
0
2 3 d
x
I x e x= +
∫
( )
( )
1
0
2 3 d
x
x e= +
∫
( )
1
1
0
0
2 3 2 d
x x
x e e x= + −
∫
5 3 2 2e e= − − +
3 1e= −
.
Vậy
3, 1a b= = −
nên
2 1a b+ =
.
Câu 27. Tìm a sao cho
2
0
.e x 4
a
x
I x d= =
∫
, chọn đáp án đúng
https://toanmath.com/
A. C. 1 B. 0 4 D. 2
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có:
2
0
.
a
x
I x e dx
=
∫
. Đặt
2 2
2.
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
⇒
= =
( )
2 2 2 2 2
0
0 0
2 . 2 2 4. 2 2 4
a a
ax x a x a
I x e e dx ae e a e⇒ = − = − = − +
∫
Theo đề ra ta có:
( )
2
4 2 2 4 4 2
a
I a e a= ⇔ − + = ⇔ =
Câu 28. Cho tích phân
( )
( )
1
0
1 3
x
I x e dx= + −
∫
. K t qu tích phân này dế ả ạng
I e a= −
. Đáp án nào sau
đây đúng?
A.
9
2
a =
B.
9
4
a =
C.
9
5
a =
D.
8
3
a =
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
0
0
1
1
2
0
0
1
3 3 3
1 3 3
3 9
1 3
2 2
x x x
x x
x x
du dxu x
dv e dx v e dx e x
I x e x e x dx
x e x e x e
== +
⇒
= − = − = −
⇒ = + − − −
= + − − − = −
∫
∫
Câu 29. Tính tích phân
( )
( )
1
2 2
0
1 1
4 4
x
I a x b e dx e= − + = +
∫
. Tính
( )
15
12
A ab a b= +
Chọn đáp án đúng:
A. C. 27 B. 30 16 D. 45
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
Câu 30. Tìm m để
( )
1
0
1
x
mx e dx e+ =
∫
?
A. 0 -1 B. C.
1
2
D. 1
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 1 2 2
0
1
2
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 4 2 4 4 4
1 1 1
1
2 2 4 4
45
1 1 1 2
1
2 4 4
x
x
x
du dx
u a x
dv b e dx
v bx e
b
I a x bx e ab b a a e e
b
ab b a
a
A
b
a
= −
= −
⇒
= +
= +
= − + = − − + − + − + = +
− − + − =
=
⇒ ⇒ =
=
− + =
https://toanmath.com/
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1
0 0
0 0 0 0
1 1
0 0
1 1 (e ) 1 1 1
1 1 1 1
x x x x x x
x x
mx e dx mx dx mx e m e d mx mx e m e dx
mx e me m e me m e m
+ = + = + − + = + −
= + − = + − − + = + −
∫ ∫ ∫ ∫
Câu 31. Cho
( )
2
0
2 1 e d
m
x
I x x= −
∫
. T p h p tậ ợ ất cả các giá trị c ủa tham số
m
để
I m<
là khoảng
( )
;a b
. Tính
3P a b= −
.
A.
3P = −
. B.
2P = −
. C.
4P = −
. D.
1P = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
( )
2
0
2 1 e d
m
x
I x x= −
∫
Đặt
2
2
d 2d
2 1
e
d e d
2
x
x
u x
u x
v x
v
=
= −
⇒
=
=
.
( )
( )
2
2 2
0 0
2 1 e
2 1 e d e d
02
xm m
x x
mx
I x x x
−
= − = −
∫ ∫
( )
2
2 2
2 1 e
1 1
e e e 1
0
2 2 2
m
x m m
m
m
m
−
= + − = − +
( )
( )
2 2 2
e e 1 1 e 1 0 0 1
m m m
I m m m m m< ⇔ − + < ⇔ − − < ⇔ < <
.
Suy ra
0, 1 3 3a b a b= = ⇒ − = −
.
Câu 32. Biết rằng tích phân
( )
4
4
0
1
2 1
x
x e
dx ae b
x
+
= +
+
∫
. Tính
2 2
T a b= −
A.
1T =
. . B
2T =
. C.
3
2
T = . D.
5
2
T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
4 4
0 0
1 1 2 2
2
2 1 2 1
x x
x x
I e dx e dx
x x
+ +
= =
+ +
∫ ∫
4 4
0 0
1
2 1.
2
2 1
x
x
e
x e dx dx
x
= + +
+
∫ ∫
.
Xét
4
1
0
2 1
x
e
I dx
x
=
+
∫
.
Đặt
2 1
x
u e
dx
dv
x
=
=
+
( )
1
2
2 1
1
. 2 1
1
2
2 1
2
x
du e dx
x
dx
v x
x
=
+
⇒
= = = +
+
∫
Do đó
4
4
1
0
0
. 2 1 . 2 1
x x
I e x e x dx= + − +
∫
.
Suy ra
4
3 1
2
e
I
−
=
. Khi đó
3 1
,
2 2
a b
−
= =
9 1
2
4 4
T⇒ = − =
.
Câu 33. Cho tích phân
12
1
1
12
1
1 .e .d .e
c
x
x d
a
I x x
x b
+
= + − =
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
,
d
là cá c số nguyên dương
và các phân s ố
a
b
,
c
d
là cá t i gi n. Tính c phân số ố ả
bc ad−
.
https://toanmath.com/
A.
24
. B.
1
6
. C.
12
. D.
1
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
- Ta có:
12
1
1
12
1
1 .e .d
x
x
I x x
x
+
= + −
∫
J K= +
- Tính
12
1
1
12
e .d
x
x
J x
+
=
∫
.
Đặt
1
e
d d
x
x
u
v x
+
=
=
1
2
1
d 1 e .d
x
x
u x
x
v x
+
= −
⇒
=
12
12
1 1
1
1
12
12
1
.e .e .d
x x
x x
J x x x
x
+ +
⇒ = − −
∫
145 145
12 12
1
12.e .e
12
K= − −
145
12
143
.e
12
K= −
I J K⇒ = +
145
12
143
.e
12
=
.
- thiTheo giả ết:
.e
c
d
a
I
b
=
với
a
,
b
,
c
,
d
là cá à c số nguyên dương v
a
b
,
c
d
là cá c phân số
tối gi n nên ả
143
12
a
b
=
và
145
12
c
d
=
143a⇒ =
,
12b =
,
145c =
,
12d =
.
Vậy
24bc ad− =
.
DẠNG 3.
Câu 34. Cho
e
1
ln d
I x x x=
∫
2
.ea b
c
+
=
với
a
,
b
,
c ∈
. Tính
T a b c= + +
.
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
6
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Ta có:
ln
d d
u x
v x x
=
=
nên
2
1
d d
2
u x
x
x
v
=
=
.
e
1
ln dI x x x=
∫
e
e
2
11
1
ln d
2 2
x
x x x= −
∫
2
e 1
4
+
=
.
1
1
4
a
b
c
=
⇒ =
=
.
Vậy
T a b c= + +
6=
.
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân
( )
1
0
ln 2 1 dx x+
∫
được biể ễu di n dạng
.ln3a b+
, khi đó giá trị
của tích
3
ab
bằng
A.
3.
B.
3
2
.
C.
1.
D.
.
3
2
−
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D.
12 121 1
1 1
12 12
1
e .d e .d
x x
x x
x x x
x
+ +
= + −
∫ ∫
https://toanmath.com/
Đặt
( )
2
ln 2 1
d d
2 1
d d
u x
u x
x
v x
v x
= +
=
⇒
+
=
=
.
Ta có
( ) ( )
1 1 1
1
0
0 0 0
2 1
ln 2 1 d ln 2 1 d ln3 1 d
2 1 2 1
x
I x x x x x x
x x
= + = + − = − −
+ +
∫ ∫ ∫
1
0
1 3
ln3 ln 2 1 ln3 1
2 2
x x
= − − + = −
.
Khi đó
3
; 1
2
a b= = −
. V y ậ
3
3
2
ab = −
.
Câu 36. Cho
( )
1
0
ln 1 d lnx x a b+ = +
∫
,
( )
,a b∈
. Tính
( )
3
b
a +
.
A.
25
. B.
1
7
. C.
16
. D.
1
9
.
Hướ ẫ ảng d n gi i:
Chọn
C
.
Đặt
( )
1
ln 1
d d
1
d d
1
u x
u x
x
v x
v x
= +
=
⇒
+
=
= +
.
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
1
0
0
0 0
1
ln 1 d 1 ln 1 1 . d 2ln 2 2ln 2 1 1 ln 4
1
I x x x x x x x
x
= + = + + − + = − = − = − +
+
∫ ∫
.
1, 4a b⇒ = − =
( )
3 16
b
a⇒ + =
.
Câu 37. Biết tích phân
( )
2
1
4 1 ln d ln 2x x x a b− = +
∫
với
a
,
b Z∈
. T ng ổ
2a b+
b ng ằ
A.
5.
B.
8.
C.
( )
1; 2;1A −
D.
13.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
( )
1
ln d d
d 4 1 d .
u x u x
x
v x x
= ⇒ =
= −
.
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
2
2
1
1
1 1
4 1 ln d 2 1 ln 2 1 d 6ln 2 6ln 2 2x x x x x x x x x x− = − − − = − − = −
∫ ∫
.
Vậy
2 10a b+ =
.
Câu 38. Biết
( )
3
2
1
3 ln ln ln
d
4
1
x a b c
x
x
+ + −
=
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Giá trị của biể ứu th c
P a b c= + +
bằng?
A.
46
. B.
35
. C.
11
. D.
48
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ta có
( )
( ) ( )
3 3 33
2
11 1 1
3 ln 1 3 ln 1
d 3 ln d d 3 ln
1 1 1
1
x x
x x x
x x x
x
+ +
= − + = − + +
+ + +
+
∫ ∫ ∫
3 3
3
11 1
3 ln 3 3 1 1 3 ln3 1 1 3 ln3
. d d ln
4 2 1 4 1 4 1
x
x x
x x x x x
+ − −
= − + + = + − = +
+ + +
∫ ∫
https://toanmath.com/
3 ln 3 3 1 3 ln3 3 ln3
ln ln ln 3 ln 4 ln 2 ln 3 ln 2
4 4 2 4 4
− − −
= + − = + − + = + −
3
3 3ln 3 4ln 2 3 ln 27 ln16
27 46
4 4
16
a
b P
c
=
+ − + −
= = ⇒ = ⇒ =
=
.
Câu 39. Giả ử s
( ) ( )
2
1
2 1 ln d ln 2 , ;x x x a b a b− = + ∈
∫
. Khi đó
a b+
?
A.
5
2
.
B.
2.
C.
1.
D.
3
2
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
( )
2
1
ln
d d
d 2 1 d
u x
u x
x
v x x
v x x
=
=
⇒
= −
= −
.
Ta có
( )
( )
( )
2 2
2
2
1
1 1
2 1 ln d ln 1 dx x x x x x x x− = − − −
∫ ∫
2
2
1
1
2ln 2 2ln 2
2 2
x
x
= − − = −
.
Khi đó
1
2
2;a b= = −
. V y ậ
3
2
a b+ =
.
Câu 40. Tính tích phân
( )
2
2
1
1 ln dI x x x= −
∫
.
A.
2ln 2 6
9
I
+
=
. B.
6ln 2 2
9
I
+
=
. C.
2ln 2 6
9
I
−
=
. D.
6ln 2 2
9
I
−
=
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Cách 1:
( )
2
2
1
1 ln dI x x x= −
∫
Đặt
( )
2
3
d
d
ln
d 1 d
3
x
u
u x
x
v x x
x
v x
=
=
⇒
= −
= −
Do đó
2 2 2
23 2 3 3
1
1 1 1
6ln 2 2
ln 1 d ln .
3 3 3 9 9
x x x x
I x x x x x x
+
= − − − = − + − =
∫
Cách 2:
( )
( )
2
2 2 23 3 3
2
1 1 1
1
2
2
2 3
1
1
1 ln d ln d ln d ln
3 3 3
2 2 2 6ln 2
ln 2 1 d .
3 3 3 9 9
x x x
x x x x x x x x x
x x
x x
− = − = − − −
+
= − − = − − =
∫ ∫ ∫
∫
Câu 41. Tích phân
1
ln
a
I x xdx=
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
2 2
ln 1
2 4
a a a
I
−
= +
. B.
2 2
ln 1
2 4
a a a
I
−
= −
.
C.
2
2
ln
1
2 4
a a
a
I
−
= +
. D.
2
2
ln
1
2 4
a a
a
I
−
= −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
1
ln
a
I x xdx=
∫
có giá trị là:
Đặt
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v
=
=
⇒
=
=
.
2
2 2 2 2
1
1 1 1
ln
1
.ln .ln
2 2 2 4 2 4
a a a
a
a a
x x x x a
I x dx x
−
⇒ = − = − = +
∫
.
Chọn C
Câu 42. Kết quả tích phân
( )
( )
2
0
2 ln 1 3ln3x x dx b+ + = +
∫
. Giá trị
3 b+
là:
A.
3
B.
4
C.
5
D.
7
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
( )
( )
2
0
2 ln 1I x x dx A B= + + = +
∫
Tính
2
2
2
00
2 4A xdx x= = =
∫
Tính
( )
( )
2
0
ln 1B x dx= +
∫
Xem:
( )
ln 1u x
dv dx
= +
=
ta ch c ọn đượ
1
1
dx
du
x
v x
=
+
= +
Dùng công th c tích phân t ng ph n ứ ừ ầ
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2
0
0
0 0
1
ln 1 1 .ln 1 3ln 3 3ln 3 2
1
x
B x dx x x dx x
x
+
= + = + + − = − = −
+
∫ ∫
Vậy:
( )
( )
2
0
2 ln 1 3ln3 2I x x dx= + + = +
∫
Câu 43. Tính tích phân
2
1
(4 3).ln 7lnI x xdx a b= + = +
∫
. Tính
( )
sin
4
a b
π
+
:
A. 1 B. -1 C. D. 0
1
2
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
( )
2
ln
4 3
2 3
u x
du dx
x
dv x dx
v x x
1
=
=
⇒
= +
= +
. Khi đó
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
2 2 2
2
2 3
2 3 ln 2.2 3.2 ln 2 2. 3. ln 2 3
x x
I x x x dx x dx
x
1 1
+
= + − = + − 1 + 1 1− +
1
∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
4ln 2 0 3 4ln 2 0 2 3.2 3. 4ln 2 0 4 4ln 2 6
x x
=1 − − + = 1 − − + − 1 + 1 =1 − 1 − =1 −
1
https://toanmath.com/
Câu 44. Cho tích phân
= − + +
∫
1
2
0
3 2 ln(2 1)I x x x dx
. Xác định a biết
= −lnI b a c
với a,b,c là
các số ữ h u tỉ
A. a=3 B. a=-3 C.
=
2
3
a
D.
= −
2
3
a
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
= − + + = − + + = +
∫ ∫ ∫
1 1 1
2 2
1 2
0 0 0
3 2 ln(2 1) 3 2 ln(2 1)I x x x dx x x dx x dx I I
Giải
2
I
b ng ph nằng phương pháp từ ầ
= +
=
ln(2 1)u x
dv dx
= − ⇒ =
3
ln3 1 3
2
I a
Câu 45. Cho
3
2
1
3 ln
(ln3 1) ln
( 1)
x
I dx a b
x
+
= = + +
+
∫
v R. Tính giá tr bi u thới a,b∈ ị ể ức
4 2T a b= +
A. 4 B. 7 C. 5 D. 6
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiề ệ ảu trong vi c gi i quyết bài toán, đây
là bài toán sử ứ ộ ậ d n ụng phương pháp tích phân thành phầ ở m c đ v n dung.
Đặt
2
3 ln
1
1
( 1)
1 1
dx
u x
u
x
dx
v
x
v
x
x x
= +
=
⇔
=
−
= + =+
+ +
Áp dụ ứ ầng công th c tính tích phân thành ph n
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
c thì ta đượ
3 3
3
3
1
1 1
1
(3 ln ) (3 ln )
ln( 1)
1 1 1
x x dx x x
I x
x x x
+ +
= − = − +
+ + +
∫
( )
( )
3 3 ln 3
3
ln 4 ln 2
4 2
I
+
= − − −
3 3 1
(ln3 1) ln 2 (ln3 1) ln
4 4 2
= + − = + +
Vậy
3 1
; 4 2 3 1 4
4 2
a b T a b= = ⇒ = + = + =
Nhận xét: Điểm mấ ố ểu ch t đ xử lí nhanh bài toán nằm ở ệ ặ vi c đ t
1
1
1 1
x
v
x x
−
= + =
+ +
. Một số
thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến
3
(ln3 1) ln 2
4
I = + −
không để ý dấu nên suy ra luôn
3
; 2
4
a b= =
dẫn đến kết quả sai.
Câu 46. Cho tích phân . Tính
( )
3
2
3
6
ln sin
3
ln
cos
4
x
I dx a b
x
π
π
π
= = −
∫
3 6
log logA a b= +
https://toanmath.com/
Chọn đáp án đúng:
A. D. 3 B. . 2 C 1 1
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
n chọ
Vậy
Câu 47. Biết
1
ln
d
e
x
x a e b
x
= +
∫
với
,a b ∈
. Tính
.P a b=
.
A.
4P =
. B.
8P = −
. C.
4P = −
. D.
8P =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
dln
d
d
d
d 2
xu x
u
x
x
v
v x
x
=
=
→
=
=
Suy ra
1 1 1
1 1
ln d
d 2 ln 2 2 ln 4 2 4
e e
e e e
x x
x x x x x x e
x x
= − = − = − +
∫ ∫
2
4
a
b
= −
⇒
=
.
Vậy
8P ab= = −
.
Câu 48. Biết
( )
2
0
2 ln 1 d .lnx x x a b+ =
∫
, với
*
,a b ∈
,
b
. Tính là số nguyên tố
6 7a b+
.
A.
33
. B.
25
. C.
42
. D.
39
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Xét
( )
2
0
2 ln 1 dI x x x= +
∫
6=
. Đặt
( )
ln 1
d 2 d
u x
v x x
= +
=
2
1
d d
1
1
u x
x
v x
=
⇔
+
= −
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
2
0
0
1
1 ln 1 d
1
x
I x x x
x
−
= − + −
+
∫
( )
2
0
3ln 3 1 dx x= − −
∫
2
2
0
3ln 3 3ln3
2
x
x
= − − =
.
Vậy
3a =
,
3b =
6 7 39a b⇒ + =
.
Câu 49. Cho
( )
1
2
0
1 ln2 ln3
ln 2 d
2 4
a bc c
x x x
x
− +
+ + =
+
∫
với
a
,
b
,
c
∈
. Tính
T a b c= + +
.
A.
13T =
. B.
15T =
. C.
17T =
. D.
11T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
( )
ln 2
d d
u x
v x x
= +
=
2
1
d
2
4
2
u
x
x
v
=
+
⇒
−
=
.
( )
1
0
1
ln 2 d
2
x x x
x
+ +
+
∫
( )
1
1 1
2
0 0
0
4 2
ln 2 d d
2 2 2
x x x
x x x
x
− −
= + − +
+
∫ ∫
−
−
( )
cos
ln sin
sin
x
u x du dx
x
= ⇒ =
2
cos
dx
dv
x
=
tanv x=
( )
( )
3 3
3
2
6
6 6
ln sin
tan .ln sin
cos
x
I dx x x x dx
x
π π
π
π
π π
= = −
∫ ∫
https://toanmath.com/
( )
( )
1
2
1
0
0
3 1
ln3 2ln 2 2 2ln 2
2 2 2
x
x x x
−
= + − − + − +
( )
3 3
ln3 2ln 2 1 2 ln 3 ln 2
2 4
−
= + + + − −
14ln3 16 ln2 7
4
− + +
=
. Suy ra:
4
2
7
a
b
c
=
=
=
.
Vậy
13T a b c= + + =
.
Câu 50. Biết
( )
3
3
2
ln 3 2 d ln 5 ln 2x x x a b c− + = + +
∫
, với
, ,a b c ∈
. Tính
.S a b c= +
A.
60S =
. B.
23S = −
. C.
12S =
. D.
2S = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Ta có
( ) ( ) ( )
3 3
3
3 3 3
2
2 2
ln 3 2 d .ln 3 2 d ln 3 2x x x x x x x x x− + = − + − − +
∫ ∫
( )
( ) ( )
2
3
2
2
3 3
3ln 20 4ln 2 d
1 2
x x
x
x x
−
= − −
− +
∫
( )
( )( )
( )( )
( )( )
3 3
2 2
3 1 3 1 2 6
3ln 20 4ln2 d 3ln5 2 ln2 d
1 2 1 2
x x x x
x x
x x x x
+ − + +
= − − = + −
− + − +
∫ ∫
( )
3
3 3
3
2 2 2
2
1 1
3ln 5 2ln 2 3 2 d 3ln 5 2ln2 3 2 ln 1 2ln 2
1 2
x x x x
x x
= + − − − = + − − − + +
− +
∫
5ln5 4 ln2 3= − −
.
Suy ra
5; 4; 3a b c= = − = −
. Do đó
23S ab c= + = −
.
Câu 51. Cho bi t tích phân ế
( ) ( )
1
0
7
2 ln 1 d ln 2I x x x a
b
−
= + + = +
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
a b=
. B.
a b<
. C.
a b>
. D.
3a b= +
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
( )
( )
2
1
d d
ln 1
1
d 2 d
2
2
u x
u x
x
xv x x
v x
=
= +
+
⇒
= +
= +
.
( )
1
1
2 2
0
0
1 4
2 ln 1 d
2 2 1
x x x
I x x x
x
+
= + + −
+
∫
1
0
5 1 3
ln 2 3 d
2 2 1
x x
x
= − + −
+
∫
( )
1
2
0
5 1
ln 2 3 3ln 1
2 2 2
x
x x
= − + − +
7
4ln 2
4
−
= +
.
Suy ra
4a =
,
4b =
.
Vậy
a b=
.
Câu 52. 17TCho
( )
2
2
1
ln 1
d ln 2
1
x x a
I x
b c
x
+
= = −
+
∫
với
a
,
b
,
m
là các số nguyên dương và là phân số tố ải gi n.
Tính giá tr c u thị ủa biể ức
a b
S
c
+
=
.
https://toanmath.com/
17T 17TA.
2
3
S =
. 17TB. 17T
5
6
S =
. 17TC. 17T
1
2
S =
. 17TD. 17T
1
3
S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
17TChọn B
17TTính
( )
2
2
1
ln
d
1
x x
I x
x
+
=
+
∫
.
17TĐặt
( )
2
ln
1
d d
1
x x u
x v
x
+ =
=
+
1
d d
1
1
x
x u
x
v
x
+
=
⇒
− =
+
.
17TKhi đó
( )
( )
2
2 2
2
1
1 1
ln 1 1 1
d ln . d
1 1
1
x x x
I x x x x
x x x
x
+ +
= = − + +
+ +
+
∫ ∫
( )
2
1
1 1 1
2 ln 2 d
3 2
x
x
= − + + +
∫
( )
2
1
1 1 2 1
2 ln 2 ln ln 2
3 2 3 6
x= − + + + = −
17TVậy
2; 3; 6a b c= = =
5
6
a b
S
c
+
⇒ = =
.
Câu 53. Cho
1a b> > −
. Tích phân
( )
ln 1 d
b
a
I x x= +
∫
b ng bi u thằ ể ức nào sau đây?
A.
( ) ( )
1 ln 1
b
a
I x x a b= + + − +
. B.
( ) ( )
1 ln 1
b
a
I x x b a= + + − +
.
C.
( )
1
1
b
a
I
x
=
+
. D.
( )
ln 1 d
1
b
b
a
a
x
I x x x
x
= + +
+
∫
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
( )
1
ln 1
d d
1
d d
1
u x
u x
x
v x
v x
= +
=
⇒
+
=
= +
Do đó
( )
ln 1 d
b
a
I x x= +
∫
( ) ( ) ( ) ( )
1 ln 1 d 1 ln 1
b
b b
b
a
a a
a
x x x x x x= + + − = + + −
∫
( ) ( )
1 ln 1
b
a
x x b a= + + − +
Câu 54. Biết
2
e
2
2
e
1 1 e e+
d
ln ln 2
a b c
x
x x
+
− =
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. cGiá trị ủa
2 2 2
a b c+ +
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
9
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Xét tích phân:
2
e
e
1
d
ln
x
x
∫
.
Đặt
1
ln
u
x
= ⇒
;
2
1
d d
ln
u x
x x
= −
.
d dv x=
n chọ
v x=
.
Khi đó
2
2 2
e
e e
2
ee e
1 1
d d
ln ln ln
x
x x
x x x
= +
∫ ∫
2
e
2
2
e
1 1 e 2e
d
ln ln 2
x
x x
− +
⇔ − =
∫
.
https://toanmath.com/
Do đó
1
2
0
a
b
c
= −
=
=
.
Vậy
2 2 2
5a b c+ + =
Câu 55. Biết
( )
3
2
0
ln 16 d ln 5 ln2
2
c
x x x a b+ = + +
∫
trong đó
, ,a b c
là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức
T a b c= + +
.
A.
2T =
. B.
16T = −
. C.
2T = −
. D.
16T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
Đặt
( )
2
ln 16
d d
u x
v x x
= +
=
2
2
2
d d
16
16
2
x
u x
x
x
v
=
+
⇒
+
=
.
Ta có:
( )
3
2
0
ln 16 dx x x+
∫
( )
3
2
3
2
0
0
16
ln 16 d
2
x
x x x
+
= + −
∫
( )
2 2
3 3
2
0 0
16
ln 16
2 2
x x
x
+
= + −
25 9 9
ln 25 8ln16 25ln5 32ln2
2 2 2
= − − = − −
. Do đó
25, 32, 9a b c= = − = −
16T⇒ = −
.
Câu 56. Tính tích phân
2
2018
2
1
1
2019log d
ln 2
I x x x
= +
∫
.
A.
2017
2I =
. B.
2019
2I =
. C.
2018
2I =
. D.
2020
2I =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn B
2
2018
2
1
1
2019log d
ln 2
I x x x
= +
∫
2 2
2018 2018
2
1 1
1
2019 log d d
ln 2
x x x x x= +
∫ ∫
1 2
1
2019
ln 2
I I= +
.
Trong đó
2
2
2019
2018
2
1
1
d
2019
x
I x x= =
∫
2019
2 1
2019
−
=
.
và
2
2018
1 2
1
log d
I x x x=
∫
. Đặt
2
2018
log
d d
u x
v x x
=
=
2019
1
d d
.ln 2
2019
u x
x
x
v
=
⇒
=
.
Khi đó
2
2019
1 2 2
1
1
.log
2019 2019.ln 2
x
I x I
= −
2019 2019
2 1 2 1
.
2019 2019.ln 2 2019
−
= −
2019 2019
2
2 2 1
2019 2019 .ln 2
−
= −
.
Vậy
2019
2I =
.
Câu 57. Biết
( )
3
2
1
3 ln
d
1
x
I x
x
+
=
+
∫
( )
1 ln 3 ln 2a b= + −
,
( )
,a b∈
. Khi đó
2 2
a b+
bằng
A.
2 2
7
16
a b+ =
. B.
2 2
16
9
a b+ =
. C.
2 2
25
16
a b+ =
. D.
2 2
3
4
a b+ =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
https://toanmath.com/
Đặt:
( )
2
1
3 ln
d d
d
1
1
1
u x
u x
x
dx
v
v
x
x
= +
=
⇔
=
= −
+
+
Khi đó:
( )
3
3
1
1
3 ln 1
d
1 1
x
I x
x x x
+
= − +
+ +
∫
3
1
3 ln3 3 1 1
d
4 2 1
x
x x
+
= − + + −
+
∫
( )
3
1
3 ln 3
ln ln 1
4
x x
−
= + − +
3 ln 3
ln3 ln4 ln 2
4
−
= + − +
( )
3
1 ln 3 ln 2
4
= + −
2 2
3
25
4
16
1
a
a b
b
=
⇒ ⇒ + =
=
.
Câu 58. Biết
2
2
1
ln
d ln 2
x b
x a
x c
= +
∫
(với
a
là số h , ữu tỉ
b
,
c
là các số nguyên dương và
b
c
là phân số
tối gi n). Tính giá tr cả ị ủa
2 3S a b c= + +
.
A.
4S =
. B.
6S = −
. C.
6S =
. D.
5S =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
2
ln
1
d d
u x
v x
x
=
=
1
d d
1
u x
x
v
x
=
⇒
= −
.
Khi đó, ta có:
2
2 2
2 2
1
1 1
ln ln 1
d d
x x
x x
x x x
= = − +
∫ ∫
2
1
1 1
ln 2
2 x
= − −
1 1
ln 2
2 2
= − +
.
Từ giả thiết suy ra
1
2
a = −
,
1b =
,
2c =
.
Vậy giá tr cị ủa
4S =
.
Câu 59. Biết rằng
( )
2
1
ln 1 d ln3 ln 2x x a b c+ = + +
∫
với
a
,
b
,
c
nguyên. Tính là các số
S a b c= + +
A.
0S =
. B.
1S =
. C.
2S =
. D.
2S = −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
( )
ln 1
d d
u x
v x
= +
=
1
d d
1
u x
x
v x
=
⇒
+
=
Khi đó, ta có:
( ) ( )
2 2
1 1
2
ln 1 d ln 1 d
1
1
x
x x x x x
x
+ = + −
+
∫ ∫
2
1
1
2ln3 ln 2 1 d
1
x
x
= − − −
+
∫
( )
2
2ln3 ln 2 ln 1
1
x x= − − − +
( )
2ln3 ln 2 2 ln3 1 ln 2= − − − − +
3ln3 2ln 2 1= − −
.
Suy ra
S a b c= + +
3 2 1 0= − − =
.
Câu 60. Tính tích phân
( ) ( )
5
4
1 ln 3 dI x x x= + −
∫
?
https://toanmath.com/
A.
10ln 2
. B.
19
10ln 2
4
+
. C.
19
10ln 2
4
−
. D.
19
10ln 2
4
−
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn D
Đặt
( )
2
1
d d
ln 3
3
1
d 1
2
u x
u x
x
v x
v x x
=
= −
−
⇒
= +
= +
.
( )
2
5
2
4
1
5
1
2
ln 3 d
42 3
x x
I x x x x
x
+
= + − −
−
∫
5 5
2
4 4
35 1 9 9 3 3
ln 2
2 2 3 3
x x
dx dx
x x
− + − +
= − −
− −
∫ ∫
( )
35 1 9
ln 2 3 9 ln 2 1 3ln 2
2 2 2
= − + + − +
19
10ln 2
4
= −
.
Câu 61. Biết rằng
3
2
ln d ln 3 ln 2x x x m n p= + +
∫
, trong đó
m
,
n
,
p
∈
. Khi đó số
m
là
A.
9
2
. B.
18
. C.
9
. D.
27
4
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn A
Đặt
2
d d
ln
d d
2
u x
u x
x
v x x
v
=
=
⇔
=
=
3
2
ln dx x x⇒ =
∫
3
3
2 2
2
2
ln d
2 2
x x
x x
−
∫
3
3
2
9
ln3 2ln 2
2 6
x
= − −
9 19
ln3 2ln 2
2 6
= − −
9
2
2
19
6
m
n
p
=
⇒ = −
= −
Vậy
9
2
m =
.
Câu 62. Biết
( )
4
2
0
ln 9 d ln 5 ln 3x x x a b c+ = + +
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của biểu
thức
T a b c= + +
là
A.
10T =
. B.
9T =
. C.
8T =
. D.
11T =
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Đặt
( ) ( )
22
2
2
d d
9ln 9
d d
9
2
x
u x
xu x
v x x
x
v
=
+
= +
⇔
=
+
=
Suy ra
( ) ( )
4
4 4
2 2
2 2
2
0 0
0
9 9 2
ln 9 d ln 9 . d
2 2 9
x x x
x x x x x
x
+ +
+ = + −
+
∫ ∫
25ln 5 9 ln3 8= − −
.
Do đó
25a =
,
9b = −
,
8c = −
nên
8T =
.
https://toanmath.com/
Câu 63. Tích phân
( )
1
2
0
ln 1I x x dx= + −
∫
có giá trị là:
A.
( )
2 1 ln 2 1I = − + −
. B.
( )
2 1 ln 2 1I = − − −
.
C.
( )
2 1 ln 2 1I = − + + −
. D.
( )
2 1 ln 2 1I = − + − −
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
Tích phân
( )
1
2
0
ln 1I x x dx= + −
∫
có giá trị là:
Đặt
( )
2
2
1
ln 1
1
du dx
u x x
x
dv dx
v x
−
=
= + −
⇒
+
=
=
.
( )
( )
1
1
2
2
0
0
.ln 1
1
x
I x x x dx
x
⇒ = + − +
+
∫
.
Xét
1
1
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
.
Đặt
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =
.
Đổ ậi c n
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
.
( )
2
2
1
1
1
1 1
2 1
2
I dt t
t
⇒ = = = −
∫
.
( )
( )
( )
1
2
1
0
.ln 1 2 1 ln 2 1I I x x x⇒ = + + − = − + −
.
Chọn A
Câu 64. Cho tích phân
2
1
1
ln
e
I x xdx ae b
x
= + = +
∫
, h u t ca và b là các số ữ ỉ. Giá trị ủa
2 3a b−
là:
A.
13
2
. B.
13
4
. C.
13
4
−
. D.
13
2
−
Hướ ẫ ảng d n gi i
Cho tích phân
2
1
1
ln
e
I x xdx ae b
x
= + = +
∫
. Giá trị của
2 3a b−
là:
Ta có:
1
2 2
1 1 1 1 0
1
1 1 5
ln ln ln ln
2 2 4 4
e
e e e e
x x e
I x xdx x xdx xdx x dx dt
x x
= + = + = − + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
, với
lnt x=
.
1 5 13
, 2 3
4 4 4
a b a b⇒ = = ⇒ − = −
.
Chọn C
Câu 65. Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
d
cos
x x
x
x
π
+
∫
, ta được kết quả
A.
1
ln 2.
4 2
π
− +
B.
3
ln 2.
4 2
π
−
C.
3
ln 2.
4 2
π
− +
D.
3
ln 2.
4 2
π
− −
Hướ ẫ ảng d n gi i
Chọn C
Trắc nghiệm bấ ừm máy tính tích phân tr cho từng đáp án ta được đáp án C.
https://toanmath.com/
Tự luận:
( )
/4 /4 /4
2 2 2 2
0 0 0
ln cos .(1 tan )
ln(sin cos ) ln(cos ) ln(1 tan )
d d d
cos cos cos cos
x x
x x x x
x x x
x x x x
π π π
+
+ +
= = +
∫ ∫ ∫
/4 /4
2 2
0 0
ln(cos ) ln(1 tan )
d d
cos cos
x x
x x I J
x x
π π
+
= + = +
∫ ∫
.
Đặt
2
sin
ln cos d d
cos
1
d d , tan
cos
x
u x u x
x
v x v x
x
= ⇒ = −
= =
.
( )
/4 /4
2
4
4 4
2
0 0
0
0 0
ln(cos ) 1
d tan .ln(cos ) tan d tan .lncos tan ln 2 1
cos 2 4
x
I x x x x x x x x x
x
π π
π
π π
π
= = + = + − + = − − +
∫ ∫
/4
2
0
ln(1 tan )
d .
cos
x
J x
x
π
+
=
∫
Đặt
2
1
1 tan d d .
cos
t x t x
x
= + ⇒ =
Đổ ậi c n:
0 1, 2
4
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
2
1
ln d
J t t=
∫
. Đặt
1
lnt d d
d d ,
u u t
t
v t v t
= ⇒ =
= =
( )
2
2
1
1
ln d ln 2ln 2 1J t t t t t⇒ = = − = −
∫
Vậy
/4
2
0
ln(sin cos ) 3
d ln 2.
cos 4 2
x x
x
x
π
π
+
= − +
∫
Câu 66.
Giả ử s
2
2
1
4ln 1
d ln 2 ln 2
x
x a b
x
+
= +
∫
, v ới
,a b
là các số h uữ tỷ. Khi đó tổng
4a b+
b ng.ằ
A.
3
. B.
5
C.
7
. D.
9
.
Hướ ẫ ảng d n gi i
( )
2 2 2 2
2
2
2 2
1
1
1 1 1 1
4ln 1 4 ln 1 1
d + d 4 ln d ln d 2 ln ln 2ln 2 ln 2
x x
x x x x x x x
x x x x
+
= = + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
.
Chọn D
Câu 67. Tính tích phân
( )
1000
2
2
1
ln
.
1
x
I dx
x
=
+
∫
A.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
1 2 1 2
I = − +
+ +
B.
1001
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
1 2 1 2
I = − +
+ +
C.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
1 2 1 2
I = −
+ +
D.
1000
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
1 2 1 2
I = −
+ +
Hướ ẫ ảng d n gi i
Ta có
( )
( )
1000 1000 1000
1000
2 2 2
2
2
1 1 1
1
ln 1 ln 1
ln ln
1 1 1
1
x x
I dx xd d x
x x x
x
= = − = − +
+ + +
+
∫ ∫ ∫
1000 1000
2 2
1000
1000 1000
1 1
ln 2 1 1 1000 ln 2 1 1
.
1 2 1 1 2 1
dx dx
x x x x
= − + = − + −
+ + + +
∫ ∫
( )
1000 1000
1001
2 2
1000 1000 1000 1000
1 1
1000ln 2 1000ln 2 1000ln 2 2
ln ln 1 ln ln .
1 2 1 2 1 1 2 1 2
x
x x
x
= − + − + = − + = − +
+ + + + +
Chọn B
| 1/163
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đ ạ o n [ ; a b]. Giả s
ử F là một nguyên hàm của f trên [ ; a b]. Hiệu số
F (b) − F (a) được ọ
g i là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ;
a b] của hàm số f (x), b
kí hiệu là f (x)dx. ∫ a Ta dùng kí hiệu F( ) b x = F( ) b − F( ) a để chỉ hiệu s ố
F (b) − F (a). Vậy a b
f (x )dx = F (x ) b = F (b) − F (a) ∫ . a a b b
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f (x)dx ∫
hay f (t )dt. ∫ Tích phân a a
đó chỉ phụ thuộc vào f v à các ậ c n a b , mà không phụ t ộ
hu c vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm ố
s f liên tục và không âm trên đoạn [ ; a b] thì tích phân b f (x )dx ∫
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm ố
s y = f (x) , trục Ox và hai đường a b
thẳng x = a, x = . b Vậy S = f (x)dx. ∫ a
2.Tính chất của tích phân a b a
1. f (x)dx = 0 ∫
2. f (x)dx = − f (x)dx ∫ ∫ a a b b c c b b
3. f (x)dx + f ( ) x dx = f (x)dx ∫ ∫ ∫
( a < b < c )4. k. f (x)dx = k. f (x)dx (k ∈ ) ∫ ∫  a b a a a b b b
5. [f (x )± g (x )]dx = f (x )dx ± g (x )dx ∫ ∫ ∫ . a a a B. BÀI TẬP
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1: Cho hàm số y = f (x ) , y = g (x ) liên tục trên [ ;
a b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, kh nh nào sai? ẳng đị b a A. f
∫ ( )x dx = − f
∫ ( )x dx . a b b b B. xf
∫ (x)dx = x f
∫ (x)dx . a a a C. kf
∫ (x)dx = 0 . a b b b D. f
∫  (x)+ g (x)dx = f
∫ (x)dx+ g ∫ (x)dx . a a a
Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai? https://toanmath.com/ b b b b b c A. f
∫  (x)+ g (x) dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx . B. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx + f
∫ (x)dx . a a a a c a b a b b C. f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . D. f
∫ ( x)dx = f ∫ (t)dt . a b a a
Câu 3: Cho hai hàm số f ( x) và g (x) liên tục trên
K , a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A. f
∫  (x)+ g (x) dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx . B. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx . a a a a a b b b C. f
∫ ( )x g( )x dx = f ∫ ( )x d .x g
∫ ( )x dx . D. a a a b b bf
∫  (x)− g (x)dx = f
∫ (x)dx− g ∫ (x)dx . a a a
Câu 4: Cho hai số thực a , b tùy ý, F (x) là một nguyên hàm của hàm số f ( )
x trên tập  . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng? b b A. f
∫ (x)dx = f (b)− f (a) . B. f
∫ (x)dx = F(b) − F (a) . a a b b C. f
∫ ( )x dx = F( )a − F( )b . D. f
∫ (x)dx = F(b) + F (a) . a a
Câu 5: Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ;
a b] và c ∈[ ;
a b] . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c b a b c b A. f
∫ ( )x dx + f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . B. f
∫ (x)dx + f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx . a c b a a c b c c b a b C. f
∫ ( )x dx − f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . D. f
∫ (x)dx + f
∫ (x)dx = f ∫ (x)dx . a a c a c c
Câu 6: Cho hàm số y = f (x ) liên t c
ụ trên khoảng K và a,b,c ∈ K . M
ệnh đề nào sau đây sai? b b c b b A. f
∫ ( )x dx + f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . B. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a c a a a b a a C. f
∫ ( )x dx = − f
∫ ( )x dx . D. f ∫ (x)dx = 0 . a b a
Câu 7: Cho hàm số f ( t) liên tục trên K và a,b∈ K , F (t ) là m t
ộ nguyên hàm của f (t) trên K .
Chọn khẳng định sai trong các kh nh sau. ẳng đị b b A. b
F (a ) − F (b) = f
∫ (t)dt . B. f
∫ (t)dt = F(t) . a a a b b   b b C. f
∫ (t)dt = f
∫ (t)dt  . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a   a a a https://toanmath.com/ Câu 8: Cho hàm s
ố y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] . Mệnh đề nào dưới đây sai? b b A. f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )t dt . a a b a B. f
∫ ( )x dx = − f
∫ ( )x dx . a b b
C. kdx = k ∫
(a −b) , k ∀ ∈  . a b c b D. f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx + f
∫ ( )x dx , c ∀ ∈ ( ; a b ) . a a c
Câu 9: Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba ố s bất k
ỳ trên khoảng K . Khẳng
định nào sau đây sai? a b a A. f
∫ (x)dx =1 . B. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx . a a b c b b b b C. f ∫ ( )x dx + f ∫ ( )x dx = f ∫ ( )x dx, c ( ∈ a; ) b . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a c a a a Câu 10: Cho hàm s
ố y = f (x ) liên tục trên đoạn [a;b] . M
ệnh đề nào dưới đây sai? b a b c b A. f
∫ ( )x dx= − f
∫ ( )x dx . B. f
∫ (x) dx= f
∫ (x) dx+ f ∫ (x) dx , a b a a c c ∀ ∈ . b b a C. f
∫ ( )x dx= f
∫ (t) dt . D. f ∫ (x) dx= 0 . a a a
Câu 11: Cho F (x) là m t
ộ nguyên hàm của hàm số f ( ) x u s . Khi đó hiệ
ố F (0)− F (1) bằ ng 1 1 1 1 A. f ( ) x dx ∫ . B. −F
∫ (x)dx . C. −F
∫ (x)dx . D. − f ∫ (x)dx . 0 0 0 0 Câu 12: Cho hàm s
ố y = f (x) liên tục trên [ ;
a b] , có đồ thị y = f ′(x ) như hình vẽ sau :
Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b A. f ′
∫ (x)dx là diện tích hình thang ABMN . B. f ′
∫ (x )dx là d ộdài đoạn BP . a a https://toanmath.com/ b b C. f ′
∫ (x)dx là dộ dài đoạn MN . D. f ′
∫ (x)dx là d ộdài đoạn cong AB . a a a a a
Câu 13: Cho hai tích phân f
∫ (x)dx= m và g
∫ (x)dx = n. Giá trị của tích phân f
∫  (x) −g (x) dx  − a − a − a là:
A. m − n .
B. n − m .
C. m + n . D. Không thể xác định. b a b
Câu 14: Cho tích phân I = = = = I = f ∫ (x) 2 I f ∫ (x) 1 f
∫ (x)dx m và dx n . Tích phân dx có giá trị a c c là:
A. m + n .
B. m − n .
C. −m − n . D. Không thể xác định. b
Câu 15: Tích phân f
∫ (x)dx được phân tích thành: a b a b a A. f ∫ (x) + − f
∫ (x)dx . B. f
∫ (x) − − f
∫ (x)dx . c c c c b a b a C. f ∫ ( )x + f
∫ ( )xdx . D. − f ∫ (x)+ f ∫ (x)dx . c c c c 1 1 Câu 16: Cho f
∫ (x)dx =3. Tính tích phân I = 2 f ∫  (x) 1 − d  x .  − 2 2 − A. 9 − . B. 3 − . C. 3 . D. 5 . 3
Câu 17: Cho hàm f ( )
x có đạo hàm liên tục trên [2; ]
3 đồng thời f (2) = 2 , f ( ) 3 = 5 . Tính f ′ ∫ (x )dx 2 bằng A. 3 − . B. 7 . C. 10 D. 3 .
Câu 18: Cho b f ′( x) dx = 7 và f b = . Khi đó f (a) bằ ng ∫ ( ) 5 a A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. 2 − .
Câu 19: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đ ạ
o n [a;b] và f ( ) a = 2 − , f ( ) b = 4 − . Tính 47T 47T b T = f ′
∫ ( x) dx. a A. T = 6 − .
B. T = 2 .
C. T = 6 . D. T = 2 − . 1
Câu 20: Cho hàm số f ( )
x liên tục trên [0; ]
1 và f (1)− f (0) = 2 . Tính tích phân f ′ ∫ (x)dx . 0
A. I = −1 .
B. I = 1 .
C. I = 2 . D. I = 0 . https://toanmath.com/ 4 Câu 21: Cho hàm số ′
y = f (x) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f (x) liên tục trên  và
f ′ (x)dx = 17 ∫1
. Khi đó f (4) bằng A. 5. B. 29 . C. 19 . D. 9 .
Câu 22: Cho hàm số f ( )
x có đạo hàm liên tục trên đ ạ o n [ 1
− ;3] và thỏa mãn f ( − ) 1 = 4; f ( ) 3 = 7 . 3
Giá trị của I = 5 f ′ (x )dx bằng ∫−1 A. I = 20 . B. I = 3 . C. I = 10 . D. I = 15 . 1 Câu 23: a b Cho hàm số f ( ) x =
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện f
∫ (x)dx = 2−3ln 2 2 x x 1 2
. Tính T = a + b . A. T = 1 − .
B. T = 2 . C. T = 2 − . D. T = 0 . 3 d
Câu 24: Tính tích phân x I = . ∫ x +2 0 4581 A. I = 5 . B. I = 5 log . C. I = 21 ln . D. I = − . 5000 2 2 100 2018 2 dx
Câu 25: Tính tích phân I = ∫ . 1 x
A. I = 2018.ln 2 −1 . B. 2018 I = 2 .
C. I = 2018.ln 2 . C. I = 2018 . 1  1 
Câu 26: Tính I = 3 + x d x ∫  .  2x +1  0 A. 2 + ln 3 . B. 4 + ln 3 . C. 2 + ln 3 . D. 1+ ln 3 . 1 Tính tích phân 2018 I = x ∫ (1+ x)dx Câu 27: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I = + . B. I = + . C. I = + . D. I = + 2018 2019 2020 2021 2019 2020 2017 2018 . 2 3x khi 0 ≤ x ≤ 1 2 Câu 28: Cho hàm s
ố y = f (x ) =  . Tính tích phân f
∫ ( )x dx .
4− x khi 1≤ x ≤ 2  0 7 3 A. . B. 1 5 . C. . D. . 2 2 2  2  khi 0 ≤ x ≤1 3 Câu 29: Cho hàm s
ố y = f (x ) = x +1 . Tính tích phân f
∫ ( )x dx .
2x −1 khi 1 ≤ x ≤  3 0 A. 6 + ln 4 . B. 4 + ln 4 . C. 6 + ln 2 . D. 2 + 2 ln 2 . https://toanmath.com/ 2 3x khi 0 ≤ x ≤1 2
Câu 30: Cho hàm số y = f (x ) =  . Tính f
∫ (x)dx .
4− x khi 1≤ x ≤  2 0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . 2 2 2 2
6x khi x ≤ 0 4
Câu 31: Cho hàm số y = f (x ) = 
và I = f (x)dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số ∫ 2 a  − a x  khi x ≥ 0 −1
nguyên a để I + 22 ≥ 0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . b
Câu 32: Biết ∫ (2 x 1
− )dx =1. Khẳng định nào sau đây là đúng? a
A. b − a =1 . B. 2 2
a − b = a − b −1 . C. 2 2
b − a = b − a +1 . D. a − b = 1. 2
Câu 33: Đặt I = (2mx + ∫ )
1 dx (m l à tham số thực). Tìm m để I = 4 . 1 A. m = 1 − . B. m = 2 − .
C. m = 1 . D. m = 2 . 3 3 2
Câu 34: Cho f (x)dx = a ∫
, f (x)dx = b . Khi đó f (x)dx ∫ bằng: ∫ 0 2 0
A. −a − b .
B. b − a .
C. a + b .
D. a − b . b
Câu 35: Giá trị nào của b để ∫ (2x −6)dx = 0 ? 1
A. b = 0 hoặc b = 3 .
B. b = 0 hoặc b = 1
C. b = 5 hoặc b = 0 . D. b = 1 hoặc b = 5 . a
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có ∫ (2x +5)dx = a −4 0 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. Vô số. m
Câu 37: Xác định s
ố thực dương m để tích phân ∫ ( 2
x − x )dx có giá trị lớn nhất. 0
A. m = 1 .
B. m = 2 .
C. m = 3 . D. m = 4 2 Câu 38: Cho 3 a là s
ố thực thỏa mãn a < 2 và ∫ (2x +1)dx = 4 . Giá trị biểu thức 1+ a bằ ng. a A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . 2
Câu 39: Tích phân I = 2 .
x dx có giá trị là : ∫1
A. I = 1. B. I =2.
C. I = 3. D. I = 4. 1
Câu 40: Tích phân I = ∫ ( 3x +3x +2)dx có giá trị là : −1
A. I = 1.
B. I = 2.
C. I = 3. D. I = 4. https://toanmath.com/ 1 −1 Câu 41: a Cho gá trị c a
ủ tích phân I = ∫( 4 3 x + 2 = I = ∫( 2 x +3 = 2 x) 1 x )dx a , dx b . Giá trị của là: −1 −2 b 4 12 12 4 A. P = − . B. P = . C. P = − . D. P = . 65 65 65 65 0
Câu 42: Tích phân I = ∫ ( 3
x +ax +2)dx có giá trị là: −1 7 9 7 9 A. a a a a I = − .
B. I = − .
C. I = + . D. I = + . 4 2 4 2 4 2 4 2 1
Câu 43: Tích phân I = ∫( 2
ax + bx)dx có giá trị là : 0 A. a b a b a b a b I = + .
B. I = + .
C. I = + . D. I = + . 2 3 3 3 2 2 3 2 a  1 
Câu 44: Tích phân I = + 2x dx ∫ 
 có giá trị là : 2  x  2 1 1 3 1 5 1 7 1 A. 2 I = − − + a . B. 2 I = − − + a . C. 2 I = − − + a . D. 2 I = − − + a . 2 a 2 a 2 a 2 a 2 Câu 45: Tích phân 2 I =
x − x dx có giá trị là : ∫−1 3 1 3 1 A. I = . B. I = .
C. I = − . D. I = − . 2 6 2 6 1 Câu 46: Tích phân 3 2 I =
x + x − x 1
− dx có giá trị là : ∫−1 4 1 4 1 A. I = . B. I = .
C. I = − . D. I = − . 3 2 3 2 3
−1 x − 3x + 2
Câu 47: Tích phân I =
dx có giá trị là : ∫ x 1 − −2 7 A. I = − 17 . B. I = 7 . C. I = 17 . D. I = − . 6 6 6 6 2 2 x − x − 2
Câu 48: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : x − − 1 2
A. I = 3 − 2 ln 3 .
B. I = −2 ln 3 .
C. I = 3 + 2 ln 3 .
D. I = 3− 3ln 2 . −1 1 Câu 49: Tích phân 3 I = 2ax + dx ∫   có giá trị là :   −2 x 15 15 15 15 A. a a a a I = − + ln 2 . B. I = −ln 2 . C. I = +ln 2 . D. I = − − ln 2 . 16 16 16 16 https://toanmath.com/ 1 2
Câu 50: Biết tích phân I = = 2 I = x + 2 1
2xdx a . Giá trị của 2 x dx là: ∫ ∫( ) 0 a 17 19 16 13 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 2 3 2 3 2 3 b
Câu 51: Cho tích phân I = ( 2x + ∫
)1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b A. I = ∫( 2 x + ) 2
1 dx = x dx + dx . B. 3 b I = x + x . ∫ ∫ ( )a a a a 1 1 C. 3 3 I = b + b −
a − a .
D. Chỉ có A và C đúng. 3 3 3e 1
Câu 52: Số nghiệm nguyên âm của phương trình: 3
x − ax + 2 = 0 với a = dx là : ∫ x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1
Câu 53: Số nghiệm dương của phương trình: 3
x + ax + 2 = 0 , với a = 2xdx , a và b là các s ố hữu tỉ ∫0 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. k x + 1− 1
Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực c a ủ tham số k để c
ó ∫ (2x−1)dx = 4lim . \ x→0 x 1 k = 1 k = 1 k = 1 − k = 1 − A. . B. . C. . D. .     k  = 2 k  = −2 k  = −2 k  = 2
Câu 55: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1+ x − 1− x trên tập  và thỏa mãn F (1) = 3. Tính t ng ổ
F (0 )+ F (2 )+ F (−3 . ) A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . 2
Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương − n thỏa mãn ( 2 2 3 n 1
1− n + 2 x + 3x + 4x +... + nx )dx = 2 − ∫0 ? A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 .
Câu 57: Cho hàm số y = f (x ) . Hàm s
ố y = f ′(x ) có đ ồ thị như hình vẽ dưới đây https://toanmath.com/
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đ
ồ thị hàm số y = f ′(x ) trên đoạn [ 2 − ;1] và [1; ]
4 lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f ( )
1 = 3 . Giá trị biểu thức f ( − ) 2 + f ( ) 4 bằng A. 21 B. 9 . C. 3 . D. 2 . 2 1
Câu 58: Cho I = ∫( 2
2x − x − m )dx và J = ∫( 2x − 2mx)dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J . 0 0
A. m ≥ 3 .
B. m ≥ 2 .
C. m ≥1 . D. m ≥ 0 . 1 7 2
Câu 59: Biết rằng hàm số ( ) 2
f x = ax + bx + c thỏa mãn f
∫ ( )xdx = − , f ∫ (x)dx = 2 − và 2 0 0 3 f ( x) 13 dx = ∫
(với a , b , c ∈  ). Tính giá trị c a
ủ biểu thức P = a + b + c . 2 0 3 4 4 3
A. P = − .
B. P = − . C. P = . D. P = . 4 3 3 4
TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x −5 Câu 60: Biết
dx =a +ln b với , là các ố
s thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? ∫ a b 2 x + 2 1 3 8 7 9 3 A. ab = .
B. a + b = . C. ab = .
D. a + b = . 81 24 8 10 1 2 Câu 61: Tích phân ax I =
dx = ln 2 . Giá trị của a là: ∫ x +1 0 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = . 1− ln 2 2 − 2 ln 2 1+ ln 2 2 + 2 ln 2 1 1 Câu 62: Cho I =
dx = a −b ln 2 +b ln 3 ∫ 2 ( ) . Giá trị a + b là : 3+ 2 − 0 x x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 2 2 x Câu 63: Biết
dx = a + ln b ∫
(a,b ∈) . Gọi S = 2a + b , giá trị của S t ộ
hu c khoảng nào sau đây? x +1 0 A. (8;10) . B. (6;8) . C. (4;6) . D. (2;4) . 2   Câu 64: Tích phân 2 x I = x + dx ∫  có giá trị là :  x +1 1  10 10 10 A. I =
+ln 2 −ln 3 . B. I =
−ln 2 +ln 3 . C. I = −ln 2 −ln 3 . D. 3 3 3 10 I = +ln 2 +ln 3 . 3 https://toanmath.com/
Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1  tra mà Tích phân I = + 2x dx ∫  2  c ó giá trị là: x  1 5 7 9 11 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 1  ax
Câu 66: Tích phân I = − ∫ 2ax dx  có giá trị là :  x + 1  0
A. I = −a ln 2 . B. I = 2 − ln 2 .
C. I = 2ln 2 .
D. I = a ln 2 . a   Câu 67: Tích phân a x I = + dx ∫  
,với a ≠ 0 có giá trị là :   1 x a 2 + 2 + A. a 1 a 1
I = a ln a +
. B. I = a ln a + . 2a 2a 2 − 2 − C. a 1 a 1
I = a ln a +
. D. I = a ln a + . 2a 2a 3 2 2 a x + 2 Câu 68: Tích phân x I =
dx có giá trị nh nh ỏ ất khi s ố thực dương
a có giá trị là : ∫ ax 2 2 1 A. 2 5 . B. . C. . D. 5 . 5 5 2   Câu 69: Tích phân 2 b I = ax + dx ∫  có giá trị là: x  1 7
A. I = a − bln 2 .
B. I = 3a − 7 b ln 2 .
C. I = a + bln 2 .
D. I = 3a + bln 2 . 3 3 1   Câu 70: Tích phân 3 b I = ax + dx ∫   có giá trị là :  x +  − 2 1 A. a a I = b − ln 3 .
B. I = − b ln 3 .
C. I = + b ln 3 .
D. I = b ln 3 . 2 2 2 e x 1 +
Câu 71: Tích phân I =
dx có giá trị là : ∫ 2 x e 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I 1 = − + . B. I 1 = − − . C. I =1 + + . D. I =1 + − . 2 e e 2 e e 2 e e 2 e e 1 x Câu 72: Giá trị c a ủ tích phân I = dx = a ∫
. Biểu thức P = 2a −1 có giá trị là: x + 1 0
A. P = 1− ln 2 .
B. P = 2 − 2 ln 2 .
C. P = 1− 2ln 2 .
D. P = 2 − ln 2 . 2 e 2 1+ +  Câu 73: Giá trị c a ủ tích phân x x I = dx = a ∫  
. Biểu thức P = a −1 có giá trị là: x e   1 1 1 1 A. 2 4 P = e + e + e . B. 2 4 P = e
− + e + e . 2 2 2 2 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 C. 2 4 P = e
− − e + e . D. 2 4 P = e + e − e . 2 2 2 2 0 2 3x + 5x −1 2
Câu 74: Biết I =
dx = a ln +b , với a b∈  .Tính giá trị a + 2b . ∫ , x − 2 3 −1 A. 30 . B. 40 . C. 50 . D. 60 . 2 x +1
Câu 75: Tính tích phân: I = dx . ∫ x 1 7
A. I = 1− ln 2 .
B. I = 2ln 2 .
C. I = 1+ ln 2 . D. I = . 4 1 dx
Câu 76: Tính tích phân I = ∫ . 2 x − 9 0 1 1 1 1 1
A. I = ln .
B. I = − ln .
C. I = ln 2 . D. 6 I = ln 2 . 6 2 6 2 6 4 dx
Câu 77: Biết I =
= aln 2 +bln 3 +cln 5, ∫
với a,b,c là các s nguyên. T ố
ính S = a + b + . c 2 x + x 3
A. S = 6 .
B. S = 2 . C. S = 2 − .
D. S = 0. 5 3 Câu 78: Biết rằng
dx = a ln 5 + b ln 2 a,b∈ Z ∫ 2 ( ) . M
ệnh đề nào sau đây đúng? x + 3 1 x
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D. a + b = 0 . 2 x 1 − Câu 79: Giả sử
dx = aln 5 +bln 3; , a b ∈ . Tính = . ∫  P ab 2 x +4 x +3 0
A. P = 8 .
B. P = −6 . C. P = 4 − . D. P = −5 . 2 2 2 e x + 2 1
Câu 80: Cho giá trị của tích phân x
a = 2, b = −3 I = = = = 1 dx a , I2 dx
b . Giá trị của biểu ∫ ∫ x + 1 x 1 e
thức P = a − b là: 7 3
A. P = + ln 2 −ln 3 . B. P = +ln 2 −ln 3 . 2 2 5 1
C. P = + ln 2 −ln 3 . D. P = + ln 2 −ln 3 . 2 2 0 3 2 x − 3x + 2
Câu 81: Giá trị của tích phân I =
dx gần nhất với gái trị nào sau đây? ∫ 2x +x − − 2 1 ln 2 3 ln 3 A. − . B. ln 2 −1 . C. − ln 4 . D. − . 2 2 3 2 + Câu 82: Tích phân ax 1 3 4 3 2 I = dx = ln
+ ln . Giá trị của a là:
∫ 2x +3x + 2 5 3 5 3 1 1 2 3 4 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = . 5 5 5 5 https://toanmath.com/ a 2 x + 1 1 7
Câu 83: Tích phân I = dx = ln
. Giá trị của a là : ∫ 3x +3x 3 2 1
A. a = 1 .
B. a = 2 .
C. a = 3 . D. a = 4 . x +1 Câu 84: Biết dx = . a ln x −1 + .
b ln x − 2 + C ∫
, a,b ∈  . Tính giá trị của biểu thức + ( a b x −1)(2 − x) .
A. a + b = 1 .
B. a + b = 5 .
C. a + b = −1 .
D. a + b = −5 . 1 3x − 1 a 5 Câu 85: a Biết
dx = 3ln − , trong đó a b là hai số nguyên dương và là phân số tối ∫ , 2 x + 6x + 9 b 6 0 b
giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab = 5 − .
B. ab = 27.
C. ab = 6. D. ab = 12. 3 2 x −3x +2 Câu 86: Biết
dx = aln 7 +bln 3 + c với , ,
. Tính T = a + b + c . ∫ a b c ∈  2 3 2 3 2 x − x+ 1 2
A. T = 4 .
B. T = 6 .
C. T = 3 . D. T = 5 . 0 2 3x + 5x− 1 2
Câu 87: Giả sử I =
dx = a.ln + b . Khi đó giá trị a + b là: ∫ 2 x − − 2 3 1 A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. 5 3 Câu 88: Biết rằng
dx = a ln 5+ bln 2 a, b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? ∫ ( ) 2 x + 3 x 1
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D. a + b = 0 . 3 x + 2 Câu 89: Nếu
dx = a ln 5+ b ln 3+ 3ln 2 a,b ∈  thì giá trị của P = 2a − b là ∫ ( ) 2 2 x −3 x +1 2 15 15
A. P = 1 .
B. P = 7 . C. P = − . D. P = . 2 2 3 x+ 3 Câu 90: Cho
dx = m ln 2+ n ln 3+ p ln 5, với , , là các s ố hữu tỉ. Tính ∫ m n p 2 x + 3x + 2 1 2 2
S = m + n + p .
A. S = 6 .
B. S = 4 .
C. S = 3 . D. S = 5 . 2 2 Câu 91: Biết rằng x
dx = a + lnb với , , b > . H i
ỏ giá trị 2a + b thuộc khoảng nào sau ∫ a b ∈  0 x+ 1 0 đây? A. (8;10) . B. (6;8) . C. (4;6) . D. ( 2; ) 4 . 4 d Câu 92: Biết x I =
= aln 2 +bln 3 +c ln 5 với a b c là các s nguyên. T ố
ính S = a + b + c ∫ , , 2 + 3 x x
A. S = 6 .
B. S = 2 . C. S = 2 − . D. S = 0 . https://toanmath.com/ 2 dx 1 1 Câu 93: Biết
= + , với , là các số nguyên thu c ộ khoảng 7
− ;3 thì a và b là ∫ a b ( ) 2 4 x −4 x +1 1 a b
nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2
2x − x −1 = 0 . B. 2
x + 4x −12 = 0 . C. 2
x − 5x + 6 = 0 . D. 2 x − 9 = 0 . 5 2 x + x +1 b Câu 94: Biết dx = a + ln ∫
với a , b là các s nguyên. T ố
ính S = a − 2b . x + 1 2 3 A. S = 2 − .
B. S = 5 .
C. S = 2 . D. S =10 . 3 d Câu 95: Biết x
= a ln 2+ b ln 5+ c ln 7 , a, ,
b c ∈  . Giá trị của biểu thức 2a + 3b − c ∫ ( ) 47T 47T 47T x + 2 x + 4 0 ( )( ) bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 47T 4 1
Câu 96: Tìm giá trị của a để
dx = ln a . ∫ x−1 x− 2 3 ( )( ) 4 1 3 A. 12 . B. . C. . D. . 3 3 4 1  1 1  Câu 97: Cho −
dx = aln 2 + bln 3 ∫  
với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây  x 1 + x +2  0 đúng ?
A. a + b = 2 .
B. a − 2b = 0 .
C. a + b = −2 .
D. a + 2b = 0 . 3 5x + 12 Câu 98: Biết
dx = a ln 2+ b ln 5+ c ln 6 . Tính S = a + b + c . ∫ 3 2 2 x +5 x +6 2 A. 3 . B. 1 − 4 . C. 2 − . D. 1 − 1 . 2 1 Câu 99: Cho
dx = aln 2 +bln 3 +cln 5 với , , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới ∫ a b c 2 x +5 x +6 1 đây đúng?
A. a + b + c = 4 .
B. a + b + c = 3 − .
C. a + b + c = 2 .
D. a + b + c = 6 . 2 x + 1 Câu 100: Biết dx = ln ∫
(x −1)m (x −2)n (x −3)p +C . Tính 4 (m+ n+ p) . 3 2
x − 6 x +11 x− 6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . 3 x + 8 Câu 101: Cho
dx = aln 2 + bln 5 với , là các s nguyên. M ố
ệnh đề nào sau đây đúng? ∫ a b 2 x + x −2 2
A. a + b = 3 .
B. a − 2b =11 .
C. a − b = 5 .
D. a + 2b = 11 . 1 3 2 x + 2x + 3 1 3 Câu 102: Biết dx = + b ln a,b > 0 tìm các giá trị của k để ∫ ( ) x + 2 a 2 0 ab ( 2k +1)x+2017 dx < lim ∫ . x→+∞ x + 2018 8 https://toanmath.com/
A. k < 0 .
B. k ≠ 0 .
C. k > 0 . D. k ∈  .
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2
Câu 103: Tính tích phân I =
4x +1 dx . ∫0 13 A. 13 . B. . C. 4 4 . D. . 3 3 1 3
Câu 104: Biết rằng = + +1 a I x x dx = + b 2 − 1 ∫ ( ) . Giá trị của a b là: 6 4 0 A. – 1. B. – 2. C. – 3. D. – 4. 2 1
Câu 105: Tích phânI = dx ∫ bằ ng 2 x +2 0 1 1 A. I =1 − .
B. I = 2 2 . C. I = 2− .
D. I = 2 − 2 . 2 2 1 dx 8 2 Câu 106: Cho = a b − a + , * a,b ∈ 
. Tính a + 2b . ∫ ( ) x + 2 + x + 1 3 3 0
A. a + 2b = 7 .
B. a + 2b = 8 .
C. a + 2b = 1 − .
D. a + 2b = 5 . 1 x a + b 3
Câu 107: Biết tích phân dx = với , là các s ố thực. Tính tổng ∫ a b T = a + b 3x +1 + 2x +1 9 0 .
A. T = −10 . B. T = 4 − .
C. T = 15 . D. T = 8 . a
Câu 108: Tích phân I = x x +1dx có giá trị là : ∫0 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 (a + ) 1 2 (a 1 + ) 4 A. I = + + . B. I = − + . 5 3 15 5 3 15 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 (a +1) 2 (a 1 + ) 4 C. I = + − . D. I = − − . 5 3 15 5 3 15 1 Câu 109: Tích phân x I =
dx có giá trị là : ∫ x +1−1 1 − 4 2 4 2 4 2 4 2 A. I = + 2 . B. I = − 2 . C. I = −1 . D. I = +1 . 3 3 3 3 4 2 x − x + 2 a − 4 b
Câu 110: Biết rằng I = dx = ∫
. Với a , b , c là s
ố nguyên dương. Tính a + b + c . 3 x + x − 2 c A. 39 . B. 27 . C. 33 . D. 41 . https://toanmath.com/ 2 d Câu 111: Biết x
= a + b − c với a b c là các số nguyên dương. Tính ∫ , ,
1 x x + 2 + ( x + 2) x
P = a + b + c . A. P = 2 .
B. P = 8 .
C. P = 46 . D. P = 22 . 2 dx
Câu 112: Biết I =
= a − b −c với , , là các số nguyên dương. Tính ∫ a b c 1 ( x +1) x + x x +1
P = a + b + c .
A. P = 24 .
B. P = 12 .
C. P = 18 . D. P = 46 .
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC π Câu 113: Tính tích sin 3 d x x ∫ 19T phân 19T . 0 1 1 2 2 A. − . B. . C. − . D. . 3 3 3 3 π 2  π 
Câu 114: Tính tích phân I = sin
− x dx ∫   .  4 0  π A. I = .
B. I = −1 .
C. I = 0 . D. I = 1. 4 π 3 d Câu 115: Tích phân x I = bằng? ∫ 2 π sin x 4 π π π π π π π π A. cot − cot . B. cot + cot . C. − cot + cot . D. − cot − cot . 3 4 3 4 3 4 3 4 π 2
Câu 116: Biết cos xdx = a + b 3 , với , là các s h
ố ữu tỉ. Tính T = a + b . ∫ a b 2 6 π 3
A. T = 3 . B. T = 1 − C. T = 4 − . D. T = 2 . π π m
Câu 117: Số = −cot + cot các số nguyên thỏa mãn cos 2 x dx = 0 ∫ là 3 4 0 A. 643 . B. 1284 . C. 1285 . D. 642 . π 2
Câu 118: Tích phân I = sin xdx có giá trị là : ∫0
A. I = 1 .
B. I = 0 .
C. I = −1 . D. Cả A, B, C đều sai. b
Câu 119: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π;3π ) sao cho 4cos 2 d x x = 1 ∫ ? π A. 8 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . https://toanmath.com/ π 2
Câu 120: Tích phân I = ∫ (sin x −cos x)dx có giá trị là : π − 2
A. I = 1 .
B. I = 2 .
C. I = −2 . D. I = −1. π 6
Câu 121: Tích phân I = ∫ (sin 2x −cos3x) dx có giá trị là : π − 2 2 3 3 2 A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 4 4 3 π 2
Câu 122: Kết quả của tích phân (2x −1− sin x)dx được viết ở dạng , . Khẳng định nào sau ∫ a b ∈  0 đây là sai?
A. a + 2b = 8 .
B. a + b = 5 .
C. 2a − 3b = 2 .
D. a − b = 2 . π 2 cos 2 Câu 123: x Cho tích phân
dx =a +bπ với a b ∈ . Tính 3 2
P = 1+ a + b ∫ , 1+ sin x 0
A. P = 9 .
B. P = 29 .
C. P = 11 . D. P = 2 − 5 . π 2 π 1
Câu 124: Cho tích phân ( 4x 1 cos ) x dx π   − + = − + c , (a, ,
b c ∈ ) . Tính a − b + c ∫   0  a b A. −3 B. 1. C. 2 − . D. 1 . 3 π 6 Câu 125: π Biết ( 2 + x) a c 3 3 4sin dx = − ∫
, trong đó a ,b nguyên dương và a tối giản. Tính a + b + c b 6 b 0 . A. 8 . B. 16 . C. 12 . D. 14 . π π 3 3
Câu 126: Cho giá trị của tích phân I =
sin 2x +cos x dx = a , I =
cos 2x + sin x dx = b . Giá trị 2 ∫ ( ) 1 ∫ ( ) π π − − 2 3
của a + b là: 3 3 3 3 3 3
A. P = + 3 . B. P = + .
C. P = − 3 . D. P = − . 4 4 2 4 4 2 2π 3 2e  1 1 1
Câu 127: Cho giá trị của tích phân  I =
sin 3x +cos 3x dx = a , = + − = . Giá 1 ∫ ( ) 2 I dx b ∫ 2  π  x x x + 1 − e 3
trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 . C. 10 . D. 1 . https://toanmath.com/ π 2
Câu 128: Tích phân I = ∫ (sin ax +cosax) dx , với a ≠ 0 có giá trị là: π − 2   π π   π π  A. 2 I = sin a − − sin a +      . a   2 4   2 4    π π   π π  B. 2 I = sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4    π π   π π  C. 2 I = sin a − + sin a − +      . a   2 4   2 4    π π   π π  D. 2  I = −sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4  π 2 3 2
x + x cos x − sin x π Câu 129: Biết = d b I x = − ∫
. Trong đó a , b , c là các s ố nguyên dương, phân số 1+ cos x a c 0 b t i ố giản. Tính 2 2 2
T = a + b + c . c
A. T = 16 .
B. T = 59 .
C. T = 69 . D. T = 50 . b
Câu 130: Cho hàm số  π  f ( )
x = a sin 2x − b cos 2x thỏa mãn f ' = 2 −  và adx = 3 ∫
. Tính tổng a + b 2    a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. 0
Câu 131: Cho tích phân cos 2x cos 4 d
x x = a + b 3 ∫
, trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính π − 3 ea + log . 2 b A. 2 − . B. 3 − . C. 1 . D. 0 . 8  π −  Câu 132: 1
Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = với ∀x∈ \ 
+ kπ , k ∈ , biết 1+ sin 2x  4   π   11π 
F (0) = 1 ; F (π ) = 0 . Tính P = F − − F  . 12   12     
A. P = 2 − 3 .
B. P = 0 .
C. Không tồn tại P . D. P = 1 .
Câu 133: Cho M , N là các số thực, xét hàm số f ( x) = M .sin πx + N.cos πx thỏa mãn f ( ) 1 = 3 và 1 2  1  f ( x) 1 dx = − ∫
. Giá trị của f ′  bằng π  4  0 5π 2 5π 2 π 2 π 2 A. . B. − . C. − . D. . 2 2 2 2 https://toanmath.com/ π 2
Câu 134: Tích phân I = (cos x − ∫ ) 2
1 cos xdx có giá trị là: 0 π 1 π 2 π 1 π 2 A. I = − .
B. I = − − . C. I = + . D. I = − + . 4 3 4 3 4 3 4 3 π 2 1 2 x +1
Câu 135: Biết tích phân I = sin xdx = a I =
dx = b ln 2 − c ln 5 ữa 1 ∫ . Giá trị của 2 ∫ . Thương số gi b 3 + π x x a 3 và c là: A. – 2. B. – 4. C. 2. D. 4. π 3 π
Câu 136: Cho I = ∫( 2
sin 3x +cos x) dx = (a cos3x +bxsin+csin 2x) 6 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. D. 2.
Câu 137: Cho I = tann x x
I + I + 2 I + I + ... + I
+ I + I bằng n d ∫
với n ∈  . Khi đó 0 1 ( 2 3 8 ) 9 10 9 ( tan r+ r r+ x) r ( tan x) 1 9 10 (tan x) (tan x) 1 10 A. ∑ + C . B. ∑ + C . C. ∑ + C . D. ∑ + C + + r= r 1 r= r 1 r= 1 r 1 r= 1 r 1 .
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARI T 1
Câu 138: Tích phân e− d x x ∫ bằng 0 − A. e −1. B. 1 −1. C. e 1 . D. 1 . e e e 2018 Câu 139: Tích phân = 2 d ∫ x I x bằng 0 2018 2 −1 2018 2 A. 2018 2 −1 . B. . C. . D. 2018 2 . ln 2 ln 2 4 1 0 1 − 4
Câu 140: Biết f (x)dx = ∫
và. f (x)dx = ∫ . Tính tích phân 2 = 4e x I +2 f ( ) x  dx ∫ . 2 2   − 1 − 1 0 A. 8 I = 2e . B. 8 I = 4e − 2. C. 8 I = 4e . D. 8 I = 2e − 4. 2 x Câu 141: 2 Cho ( ) = et F x dt ∫ . Tính F (′ ) 2 . 0 A. F ′( ) 4 2 = 4e . B. F ′( ) 16 2 = 8e . C. F ′( ) 16 2 = 4e . D. F (′ ) 4 2 = e . 2 x 1 Câu 142: Cho hàm s ố g ( x) = dt ∫
với x > 0 . Đạo hàm của g (x ) là ln t x − − A. x g′( x) x 1 = .
B. g′(x) 1 = .
C. g′(x) 1 = .
D. g′( x) = ln x . ln x ln x ln x https://toanmath.com/ 3π 2 Câu 143: ⇔ f
∫ (x)dx = 6.Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3π − 2 2 2018.ek − kx 2018 e dx < ∫
. Số phần tử của tập hợp S bằng. k 1 A. 7 . B. 8 . C. Vô s . ố D. 6 . 1 e−nx
Câu 144: Cho I = x n d ∫ với n ∈  . 1 +e−x 0 Đặt u = I + I + I + I
+ I + I + + n I + I − n . n 1 (. 2 3 ... 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( n n 1+)
Biết lim u = L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? n
A. L ∈ (−1;0).
B. L ∈ (−2;−1) .
C. L ∈ (0;1) . D. L ∈(1;2) . https://toanmath.com/
C . HƯỚNG DẪN GIẢI
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1. Cho hàm s
ố y = f (x ) , y = g (x ) liên tục trên [ ;
a b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, kh nh nào sai? ẳng đị b a A. f
∫ ( )x dx = − f
∫ ( )x dx . a b b b B. xf
∫ (x)dx = x f
∫ (x)dx . a a a C. kf
∫ ( )x dx = 0 . a b b b D.f
∫  (x)+ g (x) dx = f
∫ (x)dx + g ∫ (x)dx . a a a
Hướng dẫn giải Chọn B
Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai? b b b b b c A.f
∫  (x)+ g (x) dx = f
∫ (x)dx + g
∫ (x)dx . B. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx + f
∫ (x)dx . a a a a c a b a b b C. f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . D. f
∫ ( x)dx = f ∫ (t)dt . a b a a
Hướng dẫn giải Chọn C
Câu 3. Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) li
ên tục trên K , a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A. f
∫  (x)+ g (x) dx = f
∫ (x)dx + g
∫ (x)dx . B. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx . a a a a a b b b C. f
∫ ( )x g( )x dx = f ∫ ( )x d .x g
∫ ( )x dx . D. a a a b b bf
∫  (x)− g (x)dx = f
∫ (x)dx − g ∫ (x)dx . a a a Hướng dẫn giải Chọn C
Câu 4. Cho hai số thực a , b tùy ý, F (x) là một nguyên hàm của hàm số f ( )
x trên tập  . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng? b b A. f
∫ (x)dx = f (b) − f (a) . B . f
∫ (x)dx = F (b) − F (a) . a a b b C. f
∫ ( )x dx = F( )a − F( )b . D. f
∫ (x)dx = F (b) + F (a) . a a
Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ b
Theo định nghĩa, ta có f
∫ (x)dx = F (b) − F (a) . a
Câu 5. Cho f ( )
x là hàm số liên tục trên đ ạ o n [ ; a b] và c [ ∈ ; a ] b . Tìm mệnh ề đ đúng trong các mệnh đề sau. c b a b c b A. f
∫ ( )x dx + f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . B. f
∫ (x) dx + f
∫ (x) dx = f
∫ (x) dx . a c b a a c b c c b a b C. f
∫ ( )x dx − f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . D . f
∫ (x) dx + f
∫ (x) dx = f ∫ (x) dx . a a c a c c
Hướng dẫn giải Chọn D b a b f
∫ (x) dx + f
∫ ( x) dx = F (b) − F(a) + F(a) − F (c) = F (b)− F (c ) = f
∫ (x)dx . a c c
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên t c
ụ trên khoảng K và a,b,c ∈ K . M
ệnh đề nào sau đây sai? b b c b b A. f
∫ ( )x dx + f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx . B. f
∫ (x) dx = f ∫ (t) dt . a c a a a b a a C. f
∫ ( )x dx = − f
∫ ( )x dx . D. f ∫ (x)dx = 0 . a b a
Hướng dẫn giải Chọn A b c c Mệnh đề đúng là: f
∫ (x) dx + f
∫ (x) dx = f ∫ (x) dx . a b a
Câu 7. Cho hàm số f ( t) liên tục trên K và a,b ∈ K , F (t ) là m t
ộ nguyên hàm của f (t) trên K .
Chọn khẳng định sai trong các kh nh sau. ẳng đị b b A. b
F (a) − F (b) = f
∫ (t)dt . B. f
∫ (t) dt = F(t) . a a a b b   b b C. f
∫ (t)dt = f
∫ (t)dt  . D. f
∫ (x) dx = f ∫ (t) dt . a   a a a Bài giải Chọn A b b
Theo định nghĩa ta có: f
∫ (t)dt = F(t) = F(b) − F(a) . Suy ra phương án A sai. a a
Câu 8. Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [ ; a b] . M
ệnh đề nào dưới đây sai? b b A. f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )t dt . a a b a B. f
∫ ( )x dx = − f
∫ ( )x dx . a b b C. d
k x = k ( a − ∫ ) b , k ∀ ∈  . a b c b D. f
∫ ( )x dx = f
∫ ( )x dx + f
∫ ( )x dx , c ∀ ∈ ( ; a b ) . a a c https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải Chọn C b Ta có: d b k x = kx = −
= k (b − a) . ∫ kb ka a a
Câu 9. Giả sử f là hàm ố
s liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số ấ
b t kỳ trên khoảng K . Khẳng
định nào sau đây sai? a b a A. f
∫ (x)dx =1 . B. f
∫ ( )x dx = − f ∫ ( )x dx . a a b c b b b b C. f ∫ ( )x dx + f ∫ ( )x dx = f ∫ ( )x dx, c ( ∈ a; ) b . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a c a a a
Hướng dẫn giải Chọn A a Ta có: f
∫ ( )x dx = F( )a − F( )a = 0 . a Câu 10. Cho hàm s
ố y = f (x ) liên tục trên đoạn [a;b] . M
ệnh đề nào dưới đây sai? b a b c b A. f
∫ ( )x dx= − f
∫ ( )x dx . B. f
∫ ( )x dx= f
∫ ( )x dx+ f ∫ ( )x dx , a b a a c c ∀ ∈  . b b a C. f
∫ ( )x dx= f
∫ (t) dt . D. f
∫ ( )x dx= 0 . a a a
Câu 11. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Khi đó hiệu s
ố F (0) − F ( ) 1 bằ ng 1 1 1 1 A. f
∫ ( )x dx . B. −F
∫ (x)dx . C. −F
∫ ( )x dx . D. − f ∫ (x)dx . 0 0 0 0
Hướng dẫn giải
Chọn D 1 1 Ta có: − f
∫ (x)dx = −F (x) = − F
 (1)− F (0) = F 0 − F 1 . 0  ( ) ( ) 0 Câu 12. Cho hàm s
ố y = f (x ) liên tục trên [ ;
a b] , có đồ thị y = f ′(x ) như hình vẽ sau :
Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b A. f ′
∫ ( )x dx là diện tích hình thang ABMN . B . f ′
∫ ( )x dx là d ộdài đoạn BP . a a b b C. f ′
∫ ( )x dx là dộ dài đoạn MN . D. f ′
∫ ( )x dx là d ộdài đoạn cong AB . a a
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/
Chọn B b f ′
∫ (x)dx = f (x)b = f (b) − f (a) = BM − PM = BP . a a a a a
Câu 13. Cho hai tích phân f
∫ (x)dx =m và g
∫ (x)dx = n . Giá trị của tích phân  f
∫  (x) −g (x) dx  − a − a − a là:
A. m − n .
B. n − m .
C. m + n . D. Không thể xác định.
Hướng dẫn giải a a a Cho hai tích phân f
∫ (x)dx =m và g
∫ (x)dx = n . Giá trị của tích phân  f
∫  (x) −g (x) dx  − a − a − a là: a a a
Ta có ngay kết quả:  f
∫  (x) −g (x) dx = f
∫ (x)dx − g ∫ (x)dx m = −n . − a − a − a Chọn A b a b
Câu 14. Cho tích phân I = = = = I = f ∫ (x) 2 I f ∫ (x) 1 f
∫ (x)dx m và dx n . Tích phân dx có giá trị a c c là:
A. m + n .
B. m − n .
C. −m − n . D. Không thể xác định.
Hướng dẫn giải b a b Cho tích phân I = = = = I = f ∫ (x) 2 I f ∫ (x) 1 f
∫ (x)dx m và dx n . Tích phân dx có giá trị a c c là: b b a
Quy tắc “nối đuôi” cho ta: I = f ∫ ( )xdx = f ∫ ( )xdx + f
∫ ( )xdx = m+ n . c a c Chọn A b
Câu 15. Tích phân f
∫ ( )xdx được phân tích thành: a b a b a A. f ∫ (x) + − f
∫ (x)dx . B. f ∫ (x)− − f
∫ (x)dx . c c c c b a b a C. f ∫ ( )x + f
∫ ( )xdx . D. − f ∫ (x)+ f ∫ (x)dx . c c c c
Hướng dẫn giải b Tích phân f
∫ ( )xdx được phân tích thành: a b b c b a Ta có: f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx + f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx − f ∫ (x)dx . a c a c c Chọn A 1 1 Câu 16. Cho f
∫ ( x) dx = 3 . Tính tích phân I = 2 f ∫  (x) 1 − dx .  − 2 2 − A. 9 − . B. 3 − . C .3 . D. 5 .
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn C 1 1 1 Ta có I = 2  f
∫  (x) −1dx = 2 f
∫ ( x)dx− dx = 6− x = 3 .  ∫ 1 2 − 2 − −2 −2 3
Câu 17. Cho hàm f ( )
x có đạo hàm liên tục trên [2; ]
3 đồng thời f (2) = 2 , f ( ) 3 = 5 . Tính f ′ ∫ (x )dx 2 bằng A. 3 − . B. 7 . C. 10 D. 3 .
Hướng dẫn giải Chọn D 3 Ta có f ′
∫ (x)dx = f (x) 3 = f ( ) 3 − f ( 2) = 3 . 2 2
Câu 18. Cho b f ′
∫ (x) dx = 7 và f ( )b = 5. Khi đó f (a) bằ ng a A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. 2 − .
Hướng dẫn giải Chọn D b f ′
∫ (x)dx =7 ⇔ f ( )b − f ( )a = 7 ⇔ f (a) = f ( )b −7 = 2 − . a
Câu 19. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và f ( ) a = 2 − , f ( ) b = 4 − . Tính 47T 47T b T = f ′
∫ ( x) dx. a A. T = 6 − .
B. T = 2 .
C. T = 6 . D. T = 2 − .
Hướng dẫn giải Chọn D b
Ta có: T = f ′
∫ ( x) dx = f (x) b = f (b)− f (a) = −2 . a a 1 Câu 20. Cho hàm s ố f ( )
x liên tục trên [0; ]
1 và f (1)− f (0) = 2 . Tính tích phân f ′
∫ (x)dx . 0
A. I = −1 .
B. I = 1 .
C. I = 2 . D. I = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có: f ′
∫ ( )xdx= f ( x) = f ( )1− f (0) = 2 . 0 0
Câu 21. Cho hàm số y = f (x ) thoả mãn điều kiện f ( )
1 = 12 , f ′( x) liên tục trên  và 4 f ′
∫ (x)dx =17. Khi đó f ( )4 bằng 1 A. 5 . B. 29 . C. 19 . D. 9 .
Hướng dẫn giải
Chọn B 4 Ta có f ′
∫ (x)dx= 17 ⇔ f( ) 4 x
= 17 ⇔ f (4) − f ( )
1 = 17 ⇔ f (4) = 29 . 1 1
Câu 22. Cho hàm số f ( )
x có đạo hàm liên tục trên đ ạ o n [ 1
− ;3] và thỏa mãn f ( − ) 1 = ; 4 f ( ) 3 = 7 . 19T 3
Giá trị của I = 5 f ′ (x )dx bằng ∫1− https://toanmath.com/
A. I = 20 .
B. I = 3 .
C .I = 10 . D. I = 15 . 19T
Hướng dẫn giải Chọn D 3
I = 5 f ′( x) dx = 5 f x
= 5 f (3)−5 f ( 1 − ) = 5.7 − 5.4 = 15 . ∫ ( ) 3 19T −1 1 − 1 Câu 23. a b Cho hàm số f ( ) x =
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện f
∫ (x)dx = 2−3ln 2 2 x x 1 2
. Tính T = a + b . A. T = 1 − .
B. T = 2 . C. T = 2 − . D. T = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1   Ta có  a ba f ∫ ( )x dx =
+ + 2 dx = − + b ln x + 2x
= a +1+ b ln 2 . ∫ 2    1 1 x x   x 1  2 2 2
Theo giả thiết, ta có 2 − 3ln 2 = a +1+ b ln 2 . T
ừ đó suy ra a = 1 , b = 3 − .
Vậy T = a + b = 2 − . 3 d
Câu 24. Tính tích phân x I = . ∫ x +2 0 4581 5 5 21 A. I = .
B. I = log .
C. I = ln . D. I = − . 5000 2 2 100
Hướng dẫn giải
Chọn C 3 dx 3 5 Ta có: I = = ln x + 2 = ln . ∫ x +2 2 0 0 2018 2 dx
Câu 25. Tính tích phân I = . ∫ x 1
A. I = 2018.ln 2 −1 . B. 2018 I = 2 .
C . I = 2018.ln 2 . C. I = 2018 .
Hướng dẫn giải Chọn C 2018 Ta có: 2 2018 I = ln x
= ln (2 ) − ln1 = 2018.ln 2 . 1 1  1 
Câu 26. Tính I = 3 + x d x ∫  .  2x +1  0 A. 2 + ln 3 . B. 4 + ln 3 . C. 2 + ln 3 . D .1+ ln 3 . 19T 19T
Hướng dẫn giải Chọn A 1  1 1 1 1 Ta có  I = 3 + x d x ∫  = dx + 3 x dx ∫ ∫ 19T  2x +1  2x +1 0 0 0 1 1 1 2 = ln 2 1 x +1 + 3. x x = ln 3+ 2 = ln 3 + 2 . 2 3 2 0 0 1 Tính tích phân 2018 I = x ∫ (1+ x)dx Câu 27. 0 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I = + . B. I = + . C. I = + . D. I = + 2018 2019 2020 2021 2019 2020 2017 2018 .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 2019 2020  x x  1 1 Ta có: 2018 I = x ∫
(1+ x)dx = ∫( 2018 2019 x + x )dx = + = +   .  2019 2020  2019 2020 0 0 0 2 3x khi 0 ≤ x ≤ 1 2 Câu 28. Cho hàm s
ố y = f (x ) =  . Tính tích phân f
∫ ( )x dx .
4− x khi 1≤ x ≤  2 0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . 2 2 2
Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3xx  7 f
∫ ( )x dx = f
∫ (x)dx + f
∫ (x)dx = ∫( 2
3x ) dx + ∫(4 − x)dx = + 4x − =   = . 3 2 0 0 1 0 1 2 1  1  2  khi 0 ≤ x ≤1 3 Câu 29. Cho hàm s
ố y = f (x )= x + 1 . Tính tích phân f
∫ ( )x dx .
2x −1 khi 1 ≤ x ≤ 3 0 A. 6 + ln 4 . B. 4 + ln 4 . C. 6 + ln 2 . D. 2 + 2 ln 2 .
Hướng dẫn giải Chọn A 3 1 3 1 3 2 Ta có: f
∫ ( )x dx = f
∫ ( x) dx + f ∫ ( x) dx = dx + ∫
∫(2x − )1dx x +1 0 0 1 0 1
= 2ln x +1 + x − x = ln 4 + 6 0 ( )3 1 2 . 1 2 3x khi 0 ≤ x ≤1 2 Câu 30. Cho hàm s
ố y = f (x ) =  . Tính f
∫ (x)dx .
4 − x khi 1 ≤ x ≤  2 0 7 3 A. . B. 1 5 . C. . D. . U U 2 2 2
Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 1 2 2 1  x  2 5 7 Ta có, f ∫ ( )x dx + f ∫ ( ) 2 x dx = 3x dx + ∫ ∫( 4− ) 3 x dx = x + 4x − = 1+ =   . 0  2  1 2 2 0 1 0 1 2
6x khi x ≤ 0 4
Câu 31. Cho hàm số y = f (x ) = 
và I = f (x)dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số ∫ 2 a  − a x  khi x ≥ 0 −1
nguyên a để I + 22 ≥ 0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D .5 . U U
Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 4 0 4 0 4 2 2 = ∫ ( )  a x I
f x dx + f
∫ ( x)dx = 6x dx + ∫ ∫ (a −a x) 0 2 2 3 2 dx = 2x + ax − = 2 +4a −   8a . 1 −  2 −1 0 −1 0  0 https://toanmath.com/ 3 I + 22 ≥ 0 2 ⇔ 2 + 4 2
a − 8a + 22 ≥ 0 ⇔ 2a − a − 6 ≤ 0 ⇔ − ≤ a ≤ 2 a∈  →  a { ∈ 1 − ;0;1; } 2 . 2
Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn. b
Câu 32. Biết ∫ (2x − )
1 dx =1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? a
A. b − a =1 . B. 2 2
a − b = a − b −1 . C . 2 2
b − a = b − a +1 . D. a − b = 1 .
Hướng dẫn giải Chọn C b b
Ta có: ∫ ( x − ) x = ( 2 2 1 d x − x) 2 = − − ( 2 b b a − a) . a a b
Mà ∫( 2x − )1 dx =1 2 2 ⇔ 2 2
b − b − a + a = 1 ⇔ b − a = b − a +1 . a 2
Câu 33. Đặt I = (2mx + ∫ )
1 dx (m l à tham số thực). Tìm m để I = 4 . 1 A. m = 1 − . B. m = 2 − .
C. m = 1 . D. m = 2 .
Hướng dẫn giải Chọn C 2
Ta có I = (2mx + ∫ )
1 dx = (mx + x )2 2 = ( 4m + ) 2 −( m + ) 1 = 3m +1 . 1 1
I = 4 ⇔ 3m +1 = 4 ⇔ m = 1. 3 3 2
Câu 34. Cho f (x)dx = a , f (x)dx = b . Khi đó f (x)dx bằng: ∫ ∫ ∫ 0 2 0
A. −a − b .
B. b − a .
C. a + b .
D. a − b .
Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 3 2 3 3 2
Do f (x)dx = f (x)dx + f ( ) x dx ⇔ f (x)dx =
f (x)dx −
f (x)dx ⇔
f (x)dx = a − b ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 2 0 0 2 0 b
Câu 35. Giá trị nào của b để ∫( 2x − ) 6 dx = 0 ? 1
A. b = 0 hoặc b = 3 .
B. b = 0 hoặc b = 1
C. b = 5 hoặc b = 0 . D. b = 1 hoặc b = 5 .
Hướng dẫn giải Chọn D b b Ta có ∫( 2x − ) 6 dx = ( 2 x − 6x) = ( 2 b − 6 ) b ( − 1− ) 2
6 = b − 6b + 5 . 1 1 b =1 Theo bài ra, có 2
b − 6b + 5 = 0 ⇔ .  b = 5 a
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có ∫( 2x + )
5 dx = a − 4 0 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. Vô s . ố
Hướng dẫn giải Chọn A a a
Ta có ∫ (2x +5)dx = a −4 ⇔ ( 2
x + 5x) = a − 4 (H ) y = x −1 0 0 https://toanmath.com/ m
Câu 37. Xác định số thực dương m để tích phân ∫ ( 2
x − x )dx có giá t ị r lớn nhất. 0
A. m = 1 .
B. m = 2 .
C. m = 3 . D. m = 4
Hướng dẫn giải Chọn A m 2 3 m  2 3 x x m m P = ∫ ( 2
x − x )dx = − = − .   2 3  2 3 0  0 2 3 Đặt ( ) m m f m = − ⇒ ′( ) 2 f
m = m −m ⇒ f ′( m) = 0 ⇔ m = 0 ặ ho c m = 1 2 3 Lập bảng biến thiên
Vậy f (m) đạt GTLN tại m = 1 . 2 Câu 38. Cho 3 a là s
ố thực thỏa mãn a < 2 và ∫ (2x + )
1 dx = 4 . Giá trị biểu thức 1+ a bằ ng. a A. 0 . B .2 . C. 1 . D. 3 .
Hướng dẫn giải Chọn B 2  a <  2 Ta có: (2x + ∫ )
1 dx = (x + x) 2 2 2
= 6− a − a . Theo đề:  ⇒ a=1 . a 2
6− a − a = 4 a Vậy 3 1+ a = 2 . 2
Câu 39. Tích phân I = 2 .
x dx có giá trị là : ∫1
A. I = 1. B. I =2.
C. I = 3. D. I = 4.
Hướng dẫn giải 2 Tích phân I = 2 .
x dx có giá trị là : ∫1 2 2 2 2   Cách 1: = 2 . = 2. . = ∫ ∫ 2. x I x dx x dx  = 3 .  2 1 1 1 Chọn C
Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1. 1
Câu 40. Tích phân I = ∫ ( 3x +3x +2)dx có giá trị là: 1 −
A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 4.
Hướng dẫn giải 1 Tích phân I = ∫ ( 3
x + 3x + 2)dx có giá trị là : −1 1 1  1 3  Cách 1: I = ∫ ( 3 x +3x +2) 4 2 dx =
x + x +2 x =   4 . −  4 2 1  −1 https://toanmath.com/ Chọn D
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 −1 Câu 41. a
Cho gá trị của tích phân 2 I = ∫( 4 3 x + 2 = I = x +3 = 2 ∫( x) 1 x )dx a , dx b . Giá trị của là: −1 −2 b 4 12 12 4 A. P = − . B. P = . C. P = − . D. P = . 65 65 65 65
Hướng dẫn giải 1 −1 Cho gá trị c a ủ tích phân a I = ∫( 4 3 x + 2 = I = ∫( 2 x +3 = 2 x) 1 x )dx a , dx b . Giá trị của là : −1 −2 b Ta có: 1 1  1 1  2 2 I = x + 2 = + = ⇒ = 1 ∫ ( 4 3 x ) 5 4 dx x x a   .  5 2  5 5 1 − 1 − −1 − 1  1 3  13 13 I = x +3 = + = − ⇒ = − 2 ∫ ( 2 x) 3 2 dx x x b   .  3 2  6 6 −2 − 2 a 12 ⇒ P = = − . b 65 Chọn C 0
Câu 42. Tích phân I = ∫ ( 3
x +ax +2)dx có giá trị là : −1 7 9 7 9 A. a a a a I = − .
B. I = − .
C. I = + . D. I = + . 4 2 4 2 4 2 4 2
Hướng dẫn giải 0 Tích phân I = ∫ ( 3
x +ax +2)dx có giá trị là : −1 0 0 = ∫ ( 3 + + )  1 4 a 2  7 a I x ax 2 dx = x + x + 2x = −   . −  4 2  − 4 2 1 1 Chọn A 1
Câu 43. Tích phân I = ∫( 2
ax + bx)dx có giá trị là: 0 A. a b a b a b a b I = + .
B. I = + .
C. I = + . D. I = + . 2 3 3 3 2 2 3 2
Hướng dẫn giải 1 Tích phân I = ∫( 2
ax + bx)dx có giá trị là : 0 Ta có: 1 1 = ∫( 2 + )  a 3 b 2  a b I ax bx dx = x + x = + .  3 2    3 2 0 0 Chọn D a  1 
Câu 44. Tích phân I = +2 x dx ∫ 
 có giá trị là: 2   2 x 1 1 3 1 5 1 7 1 A. 2 I = − − + a . B. 2 I = − − + a . C. 2 I = − − + a . D. 2 I = − − + a . 2 a 2 a 2 a 2 a
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ a  1  Tích phân I =
+ 2x dx, với a ≠ 0 có giá trị là : ∫  2    2 x Ta có:  1   1 a a  1 7 2 2 I =
+ 2x dx = − + x = a − − . ∫ 2     x   xa 2 2 2 Chọn D 2 Câu 45. Tích phân 2 I =
x − x dx có giá trị là: ∫1− 3 1 3 1 A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 2 6 2 6
Hướng dẫn giải 2 Tích phân 2 I =
x − x dx có giá trị là : ∫1− Ta có: 2
x − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 .  f( ) x
Từ bảng xét dấu ta được : 0 2 2 0 2 2     I = x − x dx = ∫
∫( 2x −x)dx +∫( 2x − + x) 1 3 1 2 1 3 1 2 3 dx = x − x + − x + x =     .  3 2   3 2  2 −1 −1 0 −1 0 Chọn A 1 Câu 46. Tích phân 3 2 I =
x + x − x −1dx có giá trị là : ∫1− 4 1 4 1 A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 2 3 2
Hướng dẫn giải 1 Tích phân 3 2 I =
x + x − x −1dx có giá trị là : ∫1− Ta có:
x + x − x − = ⇔    (x − )(x + )2 3 2 1 0 1
1 = 0 ⇔ x =1 ∨ x = 1 − f (x )
Từ bảng xét dấu ta được : 1 1 1 3 2   I =
x + x − x− dx = − ∫ ∫ ( 3 2
x + x − x− ) 1 4 1 3 1 2 4 1 1 dx = − x + x − x − x = .     − − 4 3 2 − 3 1 1 1 Chọn A 3 1 − x − 3x + 2
Câu 47. Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ x − − 1 2 7 17 7 17
A. I = − . B. I = . C. I = . D. I = − . 6 6 6 6
Hướng dẫn giải 3 1 − x − 3x + 2 Tích phân I = dx có giá trị là : ∫ x − − 1 2 Ta có: https://toanmath.com/ x − x + = ⇔  (x − )2 3 3 2 0
1 (x +2 ) = 0 ⇔ x =1 ∨ x = 2 − . f ( ) x
Từ bảng xét dấu ta được : 1 1 3 1 − − − x − 3 x+ 2   I = dx = ∫ ∫ ( 1 1 7 2 x + x − 2) 3 2 dx = x + x − 2x = .   x − 1  3 2  6 2 − 2 − 2 − Chọn C 2 2 x − x − 2
Câu 48. Tích phân I =
dx có giá trị là : ∫ x 1− −2
A. I = 3 − 2 ln 3 .
B. I = −2ln 3 .
C. I = 3 + 2 ln 3 .
D. I = 3− 3ln 2 .
Hướng dẫn giải 0 2 x − x − 2 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: x 1 − −2 Ta có: 2 − − f (x ) x x 2 =
⇒ f (x )= 0 ⇔ x = −1∨ x = 2 ∧ x ≠ 1 x − 1
Từ bảng xét dấu ta được : 0 2 −1 2 0 2 x − x − 2
x − x − 2 x − x − 2 I = dx = − dx + dx ∫ ∫   . ∫ x − − − − 1 x −  1 x  − 1 2 2 1 −1 − 1 2 − 1 2
x − x − 2   2   x  5 I = − dx = − − x − dx = − − 2ln x −1 = + 2 ln 2 − ∫   ∫    2 ln 3 . 1 x −    −  − 1 x − 1  2  2 2 2 −2 0 0 2 2
x − x − 2  x  1 I = dx =... = −2ln x 1 − = − ∫     2ln 2 . 2 x − −  1   2  2 1 −1
⇒ I = I + I = 3 − 2 ln 3 . 1 2 Chọn A −1 1 Câu 49. Tích phân 3  I = 2ax +
dx có giá trị là: ∫    x  −2 15 15 15 15 A. a a a a I = − + ln 2 . B. I = −ln 2 . C. I = +ln 2 . D. I = − − ln 2 . 16 16 16 16
Hướng dẫn giải −1 1  Tích phân 3 I =
2ax + dx có giá trị là : ∫     −2 x Ta có: − 1 1 −  3 1   a 4  15a I = 2ax + dx = x +ln x = − −ln 2 . ∫      x   2  16 2 − −2 Chọn C 1 2
Câu 50. Biết tích phân I = 2 = 2 I = x + 2 1 xdx a . Giá trị của 2 x dx là : ∫ ∫ ( ) 0 a 17 19 16 13 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 2 3 2 3 2 3
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 1 2 Biết tích phân I = = 2 I = x + 2 1
2xdx a . Giá trị của 2 x dx là : ∫ ∫( ) 0 a Ta có: 2 1 2 2  1  16
I = 2xdx = x =1 ⇒ I = x + 2x dx = x + 2x dx = x + x = 1 ∫ ( )1 2 2 ∫( 2 ) ∫( 2 ) 3 2   . 0  3  3 0 a 1 1 Chọn C b
Câu 51. Cho tích phân I = ( 2x + ∫
)1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b b A. I = ∫( 2 x + ) 2
1 dx = x dx + dx ∫ ∫ . B. I = ( 3 x + x) . a a a a 1 1 C. 3 3
I = b + b − a − a .
D. Chỉ có A và C đúng. 3 3
Hướng dẫn giải b Cho tích phân I = ( 2 x + ∫
)1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a Ta có: b b   I = ∫( 1 1 1 2 x 1 + ) 3 3 3 dx = x + x
= b +b − a −a   . 3  3 3 a a Phát biểu (A): đúng. Phát biểu (B): sai . Phát biểu (C): đúng. Phát biểu (D): đúng. Chọn B 3e 1
Câu 52. Số nghiệm nguyên âm của phương trình: 3
x − ax + 2 = 0 với a = dx là : ∫ x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải 3e 1
Số nghiệm nguyên âm của phương trình: 3
x − ax + 2 = 0 với a = dx là: ∫1 x 3e 3 1 e Ta có:a = dx = ∫ (ln x ) 3
= 3⇒ x − 3x + 2 = 0 ⇔ ( x − )2
1 ( x + 2) = 0 ⇔ x = 1∨ x = −2 . 1 1 x Chọn B 1
Câu 53. Số nghiệm dương của phương trình: 3
x + ax + 2 = 0 , với a = 2xdx , a và b là các s ố hữu tỉ ∫0 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải 1
Số nghiệm dương của phương trình: 3
x + ax − 2 = 0 , với a = 2xdx là: ∫0 1 1
Ta có: a = 2xdx = ∫ ( 2x ) 3
= 1⇒ x + x − 2 = 0 ⇔ ( x − ) 1 ( 2
x + x + 2) = 0 ⇔ x = 1 . 0 0 Chọn B https://toanmath.com/ k x + 1 − 1
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực c a ủ tham số k để c ó ∫ (2x − ) 1 dx = 4lim . \ x →0 x 1 k = 1 k =1 k = 1 − k  = 1 − A. . B. . C. . D. .     k  = 2 k  = −2 k  = −2 k  =2
Hướng dẫn giải Chọn D 2 k 2 k 1 k 2x −1 2k −1 1 Ta có: ∫ (2x − )
1 dx = ∫ (2x − ) 1 d (2x − ) ( ) ( ) 1 = = − 2 4 4 4 1 1 1 x + −
( x +1−1)( x +1+1 1 1 ) 1 Mà 4lim = 4 lim = 4lim = 2 x→0 x→0 x x( x+1+ ) x→0 1 x +1 +1 k 2 x +1 −1 (2k − ) 1 −1 k = Khi đó: ∫ (2 2 2 x − ) 1 dx = 4lim ⇔ = 2 ⇔ (2 k 1 − ) =9 ⇔ .  x→0 x 4 k  = 1 − 1
Câu 55. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1+ x − 1− x trên tập  và thỏa mãn F (1) = 3 . Tính t ng ổ
F (0 )+ F (2 )+ F (−3) . A. 8 . B. 12 . C .14 . D. 10 .
Hướng dẫn giải Chọn C Bảng kh d
ử ấu giá trị tuyệt đối: −∞ 1 − 1 x +∞ 1+ x − 0 + | + 1− x + | + 0 − 2 f ( x) 2 2 2 − 2x 2 Ta có: f
∫ (x)dx =F (2) −F (1) =F (2) −3 m à f
∫ (x )dx = 2dx = 2 nên F 2 = 5 . ∫ ( ) 1 1 1 1 1 1  f
∫ (x)dx = F ( )1− F (0) = 3− F (0) mà f ∫ ( ) 2 1 x dx = 2 d x x = x = 1 nên F 0 = 2 . ∫ ( ) 0 0 0 0 0 0 0 
f (x )dx = F (0 ) − F ( 1 − ) = 2 − F ( 1 − ∫ ) mà f ∫ (x) 2 0
dx = 2xdx = x = − − 1 nên 1 ∫ − 1 − 1 − 1 F ( − ) 1 = 3. −1 −1 −1
f (x )dx = F ( 1 − ) −F ( 3 − ) = 3 − F ( 3 − ∫ ) mà f ∫ (x)dx = 2 − dx = 4 − nên F − = . ∫ ( ) 3 7 − 3 − 3 − 3
Vậy F (0) + F (2) + F (−3) = 2 + 5 + 7 = 14 . 2
Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương 2 2 3 n 1 −
n thỏa mãn ∫ (1− n + 2x + 3x + 4x + ...+ nx ) dx = −2 0 ? A. 1 . B. 2 . C .0 . D. 3 .
Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ 2 Ta có: ( 2 2 3 n 1 1 n 2 x 3x 4x ... nx − − + + + + + )dx = 2 − ∫0 ⇔ ( − + + + + ... n x n x x x x + x ) 2 2 2 3 4 = 2 − 0 2 2 3 4
⇔ 2 − 2 + 2 + 2 + 2 +... + 2 n n = 2 − 2 n 1 − 2
⇔ 1+ 2+ 2 + ...+ 2 = n +1 n 2 n 2 ⇔ 2 1 − = n 1
+ ⇔ 2 − n −2 =0 .
Thử với các giá trị n { ∈ 1;2;3; } 4 đều không th a ỏ mãn.
Với n ∈  , n ≥ 5 ta chứng minh n 2
2 > n + 2 (1) . Dễ thấy n = 5 thì (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k với k ∈ , k ≥ 5 . Khi đó k 2 2 > k + 2 . Khi đó: k 1+ > ( 2 k + ) 2 2 2 2
2 = k + k + 2 + 2 > k + k + + = (k + )2 2 2 1 2 1 + 2 . Do đó (1) đúng vớ
i n = k +1 . Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng.
Vậy không tồn tại số nguyên n .
Câu 57. Cho hàm số y = f (x) . Hàm s
ố y = f ′(x ) có đ ồ thị như hình vẽ dưới đây
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đ
ồ thị hàm số y = f ′(x ) trên đoạn [−2; ] 1 và [1; ]
4 lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f ( )
1 = 3 . Giá trị biểu thức f ( − ) 2 + f ( ) 4 bằng A. 21 B. 9 . C. 3 . D. 2 .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 4
Theo giả thiết ta có f ′
∫ (x) dx =9 và f
∫ (′ x) dx =12 . − 2 1 1 1 1
Dựa vào đồ thị ta có: f ′( ) x dx = − f ′( )
x dx = − f ( ) x = − f ( − ) 1 + f ( − ∫ ∫ ) 2 2 − − 2 − 2
⇒ − f (1)+ f ( 2 − )= 9 .
Tương tự ta có − f ( ) 4 + f ( ) 1 = 12 . Như vậy  − f  ( ) 1 + f ( 2 − ) − − f   (4) + f ( ) 1  = 3 − ⇔ f 2
− + f 4 − 2 f 1 = −3  ( ) ( ) ( )
⇔ f (−2)+ f (4) − 6 = −3 ⇔ f ( 2 − )+ f (4) = 3 . 2 1
Câu 58. Cho I = ∫( 2
2x − x − m)dx và J = ∫( 2x − 2m )x dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J . 0 0
A. m ≥ 3 .
B. m ≥ 2 .
C. m ≥1 . D. m ≥ 0 .
Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 3 2  2  10 Ta có x x I = ∫( 2
2x − x − m )dx = − −  mx  = − 2m .  3 2 3 0  0 https://toanmath.com/ 1 1 3  x  1 J = ∫( 2
x − 2mx) dx 2 = − 
mx  = − m .  3 3 0  0 Do đó I ≤ 10 1 J ⇔
− 2m ≤ − m ⇔ m ≥ 3 3 3 1 7 2
Câu 59. Biết rằng hàm số ( ) 2
f x = ax + bx + c thỏa mãn f ( ) x d x = − ∫ ,
f (x )dx = 2 − ∫ và 2 0 0 3 f ∫ (x) 13 dx =
(với a , b , c ∈  ). Tính giá trị c a
ủ biểu thức P = a + b + c . 2 0 3 4 4 3
A. P = − .
B. P = − . C. P = . D. P = . 4 3 3 4
Hướng dẫn giải Chọn B d d   Ta có f ∫ (x) a 3 b 2 a 3 b 2 dx = x + x + cx
= d + d + cd   .  3 2  3 2 0 0 1  f ∫ (x) 7 dx = −  a b 7 2 + + = −   c  0 3 2 2   a = 1 2   8  4 Do đó:  f
∫ (x) dx = −2 ⇔ a
+ 2b + 2c = −2 ⇔ b= 3
. Vậy P = a + b + c = −  3 3 0    16 3  9 13 c = − 
9a + b + 3c = f ∫ (x) 13 dx =   3  2  2 2  0
TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x −5 Câu 60. Biết
dx =a +ln b với , là các ố
s thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? ∫ a b 2 x + 2 1 3 8 A. ab = 7 .
B. a + b = 9 . C. ab = 3 .
D. a + b = . 81 24 8 10
Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 x − 5 1  6 1 1  1 4 Ta có:   dx = 1− dx = x − 6ln x +1 = 1− 6ln 2 − +  6ln  ∫ ∫ ( ) +    + 2 1 2  3 3 1 2 x 2 2 1 x 1  3 3 3 1 8 1 8 8 = + ln . Vậy ab = . = . 3 27 3 27 81 1 2ax
Câu 61. Tích phân I = dx = ln 2 ∫
. Giá trị của a là : x +1 0 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = . 1− ln 2 2 − 2 ln 2 1+ ln 2 2 + 2 ln 2
Hướng dẫn giải 1 2ax Tích phân I =
dx = ln 2 . Giá trị của a là: ∫ x +1 0 Ta có: https://toanmath.com/ 1 1 2ax  1  I = dx = 2a 1 − dx = 2a ∫ ∫  (x −ln x 1 + )1 =2a(1 −ln 2) . 0 x +1  x +1  0 0 Mà I = ⇔ a( − ) ln 2 ln 2 2 1 ln 2 =ln 2 ⇔ a = . 2 −2ln 2 Chọn B 1 1 Câu 62. Cho I =
dx = a −b ln 2 +b ln 3 ∫ 2 ( ) . Giá trị a + b là : 3+ 2x − x 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3
Hướng dẫn giải 1 1 Cho I = dx = ∫
(a −b) ln 2 +b ln3 . Giá trị a + b là: 2 3+ 2x − x 0 Ta có:  1 1  1 1 1   1 I = dx = + = ∫ ∫ 
( x + − x − ) 1 1 1 1 4 4 ln 1 ln 3
= ln 3 ⇒ a = b = ⇒a +b = 2 0 3+ 2x − x x + 1 3− x 4 4 4 2 0 0     . Chọn B 2 2 x = + Câu 63. Biết
dx = a + ln b ∫
(a,b ∈) . Gọi S 2a b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây x +1 0 ? A. (8;10) . B. (6;8) . C. (4;6) . D. ( 2; ) 4 .
Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2 2 2 2 2 x  1   x   a = dx = x −1+ dx = − x + ln ∫ ∫    (x + ) 0 1
= ln 3 = a + ln b ⇒   ⇒ S = 3. x+ 1  x+ 1   2 b   = 3 0 0 0 Vậy S ∈ (2;4 ). 2 Câu 64. Tích phân  2 x I = x + dx ∫  có giá trị là: x +1  1 10 10 10 A. I =
+ln 2 −ln 3 . B. I =
−ln 2 +ln 3 . C. I = − ln 2 − ln 3 . D. 3 3 3 10 I = +ln 2 +ln 3 . 3
Hướng dẫn giải 2  x  Tích phân 2 I = x + dx ∫  có giá trị là :  x +1 1  2 2 2 3  x   1    2 2 x I = x + dx = x + ∫  ∫ 1− dx = + x −  ln x +  1   x+ 1  x+ 1  3 Ta có: 1 1  1 8  1  10 = + 2 − ln 3 − +1− ln 2 = + ln 2 − ln 3 3  3    3 Chọn A https://toanmath.com/
Câu 65. Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1 tra mà Tích phân  I = + 2x dx c ó giá trị là: ∫  2   x  1 5 7 9 11 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải 2  1  Tích phân I =
+ 2x dx có giá trị là : ∫  2    1 x 2 2  1   1  7 Cách 1: 2 I =
+ 2x dx = − + x = . ∫ 2     x   x  2 1 1 Chọn B
Cách 2: DÙng máy tính cầm tay. 1  ax
Câu 66. Tích phân I = −2ax dx ∫  có giá trị là: x + 1  0
A. I = −a ln 2 . B. I = 2 − ln 2 .
C. I = 2ln 2.
D. I = a ln . 2
Hướng dẫn giải 1  ax  Tích phân I = −2ax dx ∫  có giá trị là :  x + 1  0 1 1 1  axx I = − 2ax dx = a
dx − 2a xdx = a ∫ ∫ ∫
(x −ln x +1) 1 −a ( 2
x )1 = a(1− ln ) 2 −a = a −   ln 2 0 0  x + 1  x + 1 0 0 0 . Chọn A a   Câu 67. Tích phân a x I = + dx ∫  
,với a ≠ 0 có giá trị là: x a  1 2 + 2 + A. a 1 a 1
I = a ln a +
. B. I = a ln a + . 2a 2a 2 − 2 − C. a 1 a 1
I = a ln a +
. D. I = a ln a + . 2a 2a
Hướng dẫn giải a a x  Tích phân I = + dx ∫  
, với a ≠ 0 có giá trị là :  x a  1 Ta có: a a 2 2  a x   x a 1 a −1 I = +
dx = a ln x + = a ln a + − = a ln a + . ∫     x a   2a  2 2a 2 1 a 1 Chọn C 3 2 2 a x + 2 Câu 68. Tích phân x I =
dx có giá trị nh nh ỏ ất khi s ố thực dương
a có giá trị là: ∫2 ax 2 1 A. 2 5 . B. . C. . D. 5 . 5 5
Hướng dẫn giải 3 2 2 a x + 2x Tích phân I =
dx có giá trị nh nh ỏ ất khi s ố th
ực dương a có giá trị là : ∫ ax 2 Ta có: https://toanmath.com/ 3 3 2 2 3 a x + 2 x  2   a 2 2  5a 2 I = dx = ax + dx = x + x = + ∫ ∫    axa   2 a  2 2 2 2 a 5a 2 5a 2
Vì a là số thực dương nên I = + ≥ 2 . = 2 5 . 2 a 2 a Chọn A 2 Câu 69. Tích phân  2 b I = ax +
dx có giá trị là : ∫   x  1 7
A. I = a − bln 2 .
B. I = 3a − 7 b ln 2 .
C. I = a + bln 2 .
D. I = 3a + bln 2 . 3 3
Hướng dẫn giải 2   Tích phân 2 b I = ax + dx có giá trị là : ∫    1 x Ta có: 2 2  2 b   a 3  7 = + = + ln a I ax dx x b x = +b ln 2. ∫     x   3  3 1 1 Chọn C 1 Câu 70. Tích phân  3 b I = ax + dx ∫   có giá trị là: x + 2  1 − A. a a I = b − ln 3 .
B. I = − b ln 3 .
C. I = + b ln 3 .
D. I = b ln 3 . 2 2
Hướng dẫn giải 1   Tích phân 3 b I = ax + dx có giá trị là : ∫    x +  − 2 1 Ta có: 1 1  3 b   a 4  I = ax + dx =
x +bln x 2 + = bln 3 . ∫      x + 2   4  −1 −1 Chọn D 2 e x 1 +
Câu 71. Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ 2 x e 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I 1 = − + . B. I 1 = − − . C. I =1 + + . D. I =1 + − . 2 e e 2 e e 2 e e 2 e e
Hướng dẫn giải 2 e x 1 + Tích phân I = dx có giá trị là : ∫ 2 x e 2 2 2 x + 1  1 1   1 e e e  1 1 I = dx = + dx = ln x − 1 = + − . ∫ 2 ∫  2    2 xx x   x e e e e e Chọn D 1 Câu 72. Giá trị c a ủ tích phân x I =
dx = a . Biểu thức P = a − có giá trị là : ∫ 2 1 x +1 0
A. P = 1− ln 2 .
B. P = 2 − 2 ln 2 .
C. P = 1− 2ln 2 .
D. P = 2 − ln 2 .
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 1 x Giá trị c a ủ tích phân I =
dx = a . Biểu thức P = a − có giá trị là: ∫ 2 1 x +1 0 Tacó: 1 1 x  1  I = dx = 1 − dx = ∫ ∫ (x −ln x 1
+ )1 =1 −ln 2 ⇒ a =1 −ln 2 ⇒ P = 2a 1 − =1 −   2 ln 2 0 x +1  x +1 0 0  . Chọn C 2 e 2  1+ + 
Câu 73. Giá trị của tích phân x x I = dx = a ∫  
. Biểu thức P = a −1 có giá trị là : x e   1 1 1 1 A. 2 4 P = e + e + e . B. 2 4 P = −e + e + e . 2 2 2 2 1 1 1 1 C. 2 4 P = −e − e + e . D. 2 4 P = e + e − e . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải 2 e 2  1+ +  Giá trị c a ủ tích phân x x I =
dx = a . Biểu thức P = a −1 có giá trị là: ∫   x e   Ta có: 2 2 2 2 2 e e e 2 4 1 + x + x   1    = = 1 + + = ln x + + =1 e e I dx x dx x x −e + + ∫   ∫    . x    x   2  2 2 e e e 2 4 2 4 2 4 ⇒ =1 e e − + + ⇔ 1 e e e e a e a − = e − + + ⇔ P = −e + + . 2 2 2 2 2 2 Chọn B 0 2 3x + 5x −1 2
Câu 74. Biết I =
dx = a ln +b , với a b∈  .Tính giá trị a + 2b . ∫ , x − 2 3 −1 A. 30. B. 40 . C. 50. D. 60 .
Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 0 0 2 0 2 3x + 5x −1  21   3x  2 19 I = dx = 3x +11 + dx =
+11x + 21ln x − 2 = 21.ln + . ∫ ∫     x − 2  x −  − − 2  2  3 2 1 1 1 −
Vậy a + 2b = 40. 2 x +1
Câu 75. Tính tích phân: I = dx . ∫1 x 7
A. I = 1− ln 2 .
B. I = 2ln 2.
C . I = 1+ ln 2 . D. I = . 4
Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 x +1  1  Ta có I = dx = 1+ ∫
 dx = (x + ln x ) 2 = 1+ ln . ∫ 2 xx  1 1 1 1 d
Câu 76. Tính tích phân x I = . ∫ 2x −9 0 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 1
A. I = ln .
B. I = − ln .
C. I = ln 2 . D. 6 I = ln 2 . 6 2 6 2 6
Hướng dẫn giải Chọn A 1 d 1 1 x 1  1 1 1 x − 3 1  1  1 1 Ta có:  I = = I = − ∫   dx = ln = ln − ln1 =   ln . ∫ 2x −9
6  x − 3 x + 3  6 x + 3 6  2  6 2 0 0 0 4 d Câu 77. Biết x I =
= aln 2 +bln 3 +cln 5, với a b c là các s nguyê ố
n. Tính S = a + b + . c ∫ , , 2 + 3 x x
A. S = 6 .
B. S = 2 . C. S = 2 − .
D. S = 0.
Hướng dẫn giải Chọn B 4 dx 1 1 1 1 I = . Ta có: = = − . ∫ 2x +x 2 x + x x(x +1) x x +1 3 Khi đó: 4 4 dx 1 1  I = = − dx = ∫ ∫
( ln x −ln(x +1 ) 4
) | = (ln 4 −ln 5) −(ln 3 − ln 4) = 4ln 2 −ln 3 −   ln 5. 2 3 x + xx x +1  3 3
Suy ra: a = 4,b = −1,c = −1. Vậy S = 2. 5 3 Câu 78. Biết rằng
dx = aln 5 + b ln 2 , a b ∈ Z ∫ 2 ( ) . Mệ đề
nh nào sau đây đúng? x + 3 1 x
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D .a + b = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn D 5 5 3  1 1  dx = −
dx = ln x − ln x + 3 = ln 5− ∫ ∫   ln 2 ⇒ a = 1 b = 1 − 2 ( )5 và . 1 x +3 xx x +3  1 1
Ta có: a +b = 0 . 2 x 1 − Câu 79. Giả sử
dx = aln 5 +bln 3; , a b ∈ ∫
 . Tính P = ab . 2 x +4 x +3 0
A. P = 8 .
B. P = −6 . C .P = 4 − .
D .P = −5 . U U
Hướng dẫn giải Chọn B BN M R 2 2 2 x 1 − x 1 −  1 − 2  2 dx = dx = +
dx = −ln x +1 + 2ln x +3 = 2ln 5 − ∫ ∫ ∫   3ln 3 2 ( ) x +4 x +3 x 1 + x 3 +  x 1 + x +3  0 0 0 ( )( ) 0
Suy ra:. Do đó: P = ab = −6 . 2 2 2 e x + 2 1
Câu 80. Cho giá trị của tích phân x
a = 2, b = −3 I = = = = 1 dx a , I2 dx
b . Giá trị của biểu ∫ ∫ x + 1 1 x e
thức P = a − b là: 7 3
A. P = + ln 2 −ln 3 . B. P = +ln 2 −ln 3 . 2 2 5 1
C. P = + ln 2 −ln 3 . D. P = + ln 2 −ln 3 . 2 2
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 2 2 2 e x + 2 1
Cho giá trị của tích phân x I = = = = = − 1 dx a , I2 dx
b . Giá trị của biểu thức ∫ ∫ P a b x + 1 1 x e có giá trị là: Ta có: 2 2 2 2 2 x + 2 x  1   x  5 5 I = dx = x + ∫ ∫ 1− dx = + x −  ln x +1
= + ln 2 − ln 3 ⇒ a = + ln 2 −   ln 3 1 x +1  x +1  2  2 2 1 1 1 . 2 2 e e 1 I = dx = ln x =1 ⇒b =1 2 ∫ ( ) . x e e 3
P = a − b = + ln 2 − ln 3 . 2 Chọn B 0 3 2 x − 3x + 2
Câu 81. Giá trị của tích phân I =
dx gần nhất với gái trị nào sau đây? ∫ 2x +x − − 2 1 ln 2 3 ln 3 A. − . B. ln 2 −1. C. − ln 4. D. − . 2 2 3
Hướng dẫn giải 0 3 2 x − 3x + 2 Giá trị c a ủ tích phân I =
dx gần nhất với gái trị nào sau đây? ∫ 2x +x −2 −1 Ta có: 0 3 2 x − 3x + 2 I = dx ∫ 2x +x −2 1 −
( x − )1 (x −2x −2) 0 2 0 0 2 0 2 x − 2x − 2  6   x  9 = = = − + = − + + = − ∫ ∫ ∫    − + +  + −
( x )( x ) dx dx x 4 dx 4 x 6 ln x 2 6 ln 2 1 2 x 2 x 2   2  2 1 1 − 1 − 1 − Chọn A 2 ax +1 3 4 3 2
Câu 82. Tích phân I = dx = ln
+ ln . Giá trị của a là :
∫ 2x + 3x + 2 5 3 5 3 1 1 2 3 4 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = . 5 5 5 5
Hướng dẫn giải 2 ax +1 3 4 3 2 Tích phân I = dx = ln
+ ln . Giá trị của a là:
∫ 2x + 3x + 2 5 3 5 3 1 Ta có: 2 2 2 ax +1 x 1 I = dx = a dx + dx . ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 x + 3 x + 2 x + 3 x + 2 x + 3 x + 2 1 1 1 2 2 x  2 1  I = a dx = a − dx = a ∫ ∫ 
(2ln x + 2 −ln x +1)2 1 2 1 x + 3x + 2  x + 2 x +1 Xét  1 1 . = a( − + ) 4 2
2ln 4 3ln 3 ln 2 = 2aln + aln 3 3 2 1 2 4 2 Xét I =
dx = ln x+ 1 − ln x+ 2 = − ln − ln 2 ∫ 2 ( ) . 1 x + 3 x + 2 3 3 1 https://toanmath.com/ 4 2
⇒ I = I + I = 2a −1 ln + a −1 ln 1 2 ( ) ( ) 3 3 3 4 3 2 4
Theo đề bài: I = ln + ln ⇒ a = . 5 3 5 3 5 Chọn D a 2 x + 1 1 7
Câu 83. Tích phân I = dx = ln
. Giá trị của a là : ∫ 3x +3x 3 2 1
A. a = 1 .
B. a = 2 .
C. a = 3 . D. a = 4 .
Hướng dẫn giải a 2 x + 1 1 7 Tích phân I = dx = ln . Giá trị của a là: ∫ 3x +3x 3 2 1 Ta có: 3 a 2 a 3 1 1 + a1 1 ∫ ∫ ( + + + = ⇒ = t ) 3 3 a 3a x 1 a 3a I dx dt ln = ln 3
t = x + 3x 3 , với . 4 x + 3x 3 t 3 3 4 1 4 3 1 a + 3a 1 7 Theo đề bài: 3 ln
= ln ⇔ a + 3a − 14 = 0 ⇔ (a − ) 2 ( 2
a + 2a + 7) = 0⇔ a = 2 . 3 4 3 2 Chọn B x +1 Câu 84. Biết dx = . a ln x −1 + .
b ln x − 2 + C ∫
, a,b ∈  . Tính giá trị của biểu thức + ( a b x −1)(2 − x) .
A. a + b = 1 .
B. a + b = 5 .
C. a + b = −1 .
D .a + b = −5 . U U
Hướng dẫn giải: Chọn C −x −1 A B = + .
( x−1)( x−2) x−1 x− 2
⇔ −x −1 = A (x − 2)+ B (x −1) .  A + B = −1  A = 2 ⇔  ⇔  . 2 − A −B = 1 − B = 3 −   x +1  2 3 Nên: d  x = − dx . ∫ ( ∫  x − ) 1 (2 − x)
x −1 x − 2 
= 2ln x −1 − 3ln x − 2 + C .
Vậy a = 2 ,b = 3
− . Vậy a + b = −1 . 1 3x − 1 a 5 Câu 85. a Biết dx = 3ln − , trong đ ∫
ó a,b là hai số nguyên dương và là phân số tối 2 x + 6 x + 9 b 6 0 b
giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab = 5 − .
B. ab = 27.
C. ab = 6. D. ab = 12. U U
Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 3x − 1 3x − 1 dx = dx ∫ ∫ 2 x +6 x +9 x +3 0 0 ( )2
Đặt t = x + 3 ⇒ dt = ; dx x = t − 3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 4 Khi đó: https://toanmath.com/ 1 4 3x − 1 3(t − 3) 4 −1  3 10  10 4 K = dx = dt = − dt = 3ln t + ∫ ( ∫ ∫    x + )2 2 2 3 tt t   t  3 0 3 3 5 4 5
= 3ln 4 − 3ln 3 − = 3ln − ⇒ a = 4,b = 3 ⇒ . a b = 12 . 6 3 6 3 2 x 3 − x 2 + Câu 86. Biết
dx = aln 7 +bln 3 + c với , ,
. Tính T = a + b + c . ∫ a b c ∈  2 3 2 3 2 x − x+ 1 2
A. T = 4.
B. T = 6 .
C. T = 3. D. T = 5 .
Hướng dẫn giải Chọn A a = −1 3 2 3 x −3 x +2  2 x 1 −   dx = 1−
dx = x −ln x − x +1 = −ln 7 +ln 3 + ∫ ∫   1 b  =1 2 2 ( ) 3 2 , suy ra . x − x + 1  x − x + 1 2  2 2 c = 1  Vậy 2 3
T = a + 2b + 3c = 4 . 0 2 3x + 5x −1 2
Câu 87. Giả sử I = dx =a.ln
+b . Khi đó giá trị a + b là : ∫ 2 x− − 2 3 1 A. 30. B 40. . C. 50. D. 60.
Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 0 2 2 0 3x + 5x −1  21   3x  0 2 19 I = dx = 3x +11 + dx =
+11x + 21ln x −2 = 21ln + ∫ ∫     −1 x − 2  x − 2  2  −1 3 2 1 − 5 3 Câu 88. Biết rằng
dx = aln 5 + bln 2 a, b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? ∫ ( ) 2 x + 3 1 x
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D. a + b = 0 .
Hướng dẫn giải: Chọn D 5 5 3  1 1 d  x = − dx ∫ ∫ 2   x + 3xx x + 3  1 1
= (ln | x | − ln | x + 3|) 5 = ln 5− ln 2 . 1 Vậy a =1,b = 1 − . 3 x + 2 Câu 89. Nếu
dx = a ln 5 + b ln 3+ 3ln 2 a,b ∈  thì giá trị của P = 2a − b là ∫ ( ) 2 2 x −3 x +1 2 15
A. P = 1.
B. P = 7.
C . P = − 15 . D. P = . 2 2
Hướng dẫn giải Chọn C Ta có https://toanmath.com/ 3 3 3 x + 2 1 4 x − 3 11 1 dx ∫ = dx + dx 2 ∫ ∫ 2 2 2 x − 3x +1 4 2x −3x 1 + 4 2x −3x 1 + 2 2 2 3 1 1 = ∫ ( x − x + ) 3 2 11 1 d 2 3 1 + dx 2 ∫ 4 2x − 3x + 1 4 x − 1 2x − 1 2 2 ( )( ) 3 3 1 2 11  1 2 
= ln 2x − 3x +1 + − ∫ dx 4
4  x −1 2x −1 2 2  3 3 1 − 2 11 x 1 1 11  2 1 
= ln 2x − 3x +1 + ln = (ln10− ln 3)+ ln − ln   4 4 2x − 1 4 4  5 3  2 2 1 10 11 6 1 11 5 5 = ln + ln = (ln 5+ ln 2− ln 3)+
(ln2+ ln3− ln5) = − ln5+ ln3+ 3ln 2 . 4 3 4 5 4 4 2 2 5 5 15 Do đó a = − , b = , P = − . 2 2 2 3 x+ 3 Câu 90. Cho d x = l m n 2 + l n n 3 + l p n 5 , với , , là các s ố hữu tỉ. Tính ∫ m n p 2 x + 3x + 2 1 2 2
S = m + n + p .
A. S = 6 .
B. S = 4 .
C. S = 3 . D. S = 5 .
Hướng dẫn giải Chọn A 3 3 3 x + 3 x + 3
2x + 4 − (x + ) 1 Ta có dx = dx = dx ∫ ∫ ∫ 2 x + 3 x + 2 x + 1 x + 2 x+ 1 x+ 2 1 ( )( ) 1 ( )( ) 1 3  2x + 4 x +1  = ∫ −  dx x + 2 x + 1 x + 2 x + 1 1  ( )( ) ( )( ) 3 3 2 1 = d 3 3 x − dx ∫ ∫
= 2ln (x +1) − ln (x + 2 ) = 2ln 4 − 2ln 2 −(ln 5 − ln ) 3 x +1 x + 2 1 1 1 1 m = 2  4  = 2ln − ln 5+   
ln 3 = 2 ln 2 + ln 3 − ln 5 ⇔ n  = 1 ⇔ S = + + (− )2 2 2 1 1 = 6 .  2   p= −1  2 2 x Câu 91. Biết rằng
dx = a + lnb ∫
với a , b ∈  , b > 0 . H i
ỏ giá trị 2a + b thuộc khoảng nào sau x+ 1 0 đây? A. (8;10) . B. (6;8) . C. (4;6) . D. ( 2; ) 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D 2 2 2 2 2 x  1    Ta có: d = −1+ d x x x x = − x + ln x +1 = ∫ ∫    ln 3
⇒ a = 0 , b = 3 x + 1  x + 1  2 0 0  0 ⇒ 2a + b = 3. 4 d Câu 92. Biết x I =
= aln 2 +bln 3 +c ln 5 với a b c là các s nguyên. T ố
ính S = a + b + c ∫ , , 2 + 3 x x
A. S = 6 .
B .S = 2 . C. S = 2 − . D. S = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ Cách 1: 4 4 4 1 1 x 4 3 I = dx = dx = ln
= ln − ln = 4ln 2 − ln 3− ln 5 . ∫ ∫ 2 x + x x x + 1 x +1 5 4 3 3 ( ) 3
Suy ra a = 4,b = c = 1 − ⇒ S = 2 . Cách 2: Ta có: 4 4 4 4 1 1 1 1 I = dx = dx = dx −
dx = ln 4 − ln 3− ln 5 + ln 4 = 4 ln 2 − ln 3− ln 5 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 x + x x x +1 x x +1 3 3 ( ) 3 3
Suy ra a = 4,b = c = 1 − ⇒ S = 2 . 2 dx 1 1 Câu 93. Biết
= + , với , là các số nguyên thu c ộ khoảng 7
− ;3 thì a và b là ∫ a b ( ) 2 4 x −4 x +1 a b 1
nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2
2x − x −1 = 0 . B. 2
x + 4x −12 = 0. C. 2
x − 5x + 6 = 0 . D. 2 x − 9 = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 d 2 2 x dx 1 1 1 1 1 1 1 Ta có = − 2 =
2x − 1 d 2x −1 = − ⋅ = − + = + . ∫ ∫ ∫( ) ( ) 2 4x − 4x + 1 2 2 2x −1 6 2 −6 2 1 1 ( 2 x − ) 2 1 1 1 a = −6 a = 2 Suy ra  hoặc  và 2
a , b là nghiệm của phương trình x + 4x −12 = 0. b =  2 b = 6 −  5 2 x + x +1 Câu 94. Biết d = + ln b x a với , là các s nguy ố
ên. Tính S = a − b . ∫ a b 2 x + 1 2 3 A. S = 2 − .
B. S = 5.
C . S = 2 . D. S =10 .
Hướng dẫn giải Chọn C 5 5 2 5 x + x +1  1   1  25 9 3 Ta có 2 dx = x + dx = x + ln x + 1 = + ln 6 − − ln 4 = 8+ ln . ∫ ∫     x +1  x +1   2  2 2 2 3 3 3 Vậy a = ,
8 b = 3 . Suy ra S = a − 2b = 8 − 2.3 = 2 . 3 d Câu 95. Biết x
= a ln 2+ b ln 5+ c ln 7 , a, ,
b c ∈  . Giá trị của biểu thức 2a + 3b − c ∫ ( ) 47T 47T 47T x + 2 x + 4 0 ( )( ) bằng A. 5. B. 4 . C . 2 . D . 3. 47T
Hướng dẫn giải Chọn D 3 d 3 x 1  1 1 1 d  = − x ∫  
= (ln x + 2 − ln x + 1 1 1 4 )3 = ln 5− ln 7+ ln 2. ∫ 47T x + 2 x + 4
2 x + 2 x + 4  0 2 2 2 2 0 ( )( ) 0 1 1 1
Khi đó: 2a + 3b − c = 2. + 3. + = 3 . 47T 2 2 2 4 1
Câu 96. Tìm giá trị của a để
dx = ln a . ∫ x−1 x− 2 3 ( )( ) 4 1 3 A. 12. B. . C. . D. . 3 3 4
Hướng dẫn giải: Chọn B https://toanmath.com/ 4 4 1  1 1 4 x − 2 2 1  2 2  4 d  x = − ∫ ∫ dx = ln = ln − ln = ln . = ln = ln a   x −1 x − 2  x − 2 x −1  x −1 3 2  3 1  3 3 ( )( ) 3 3 4 ⇒ a = 3 1  1 1  Câu 97. Cho −
dx = aln 2 + bln 3 ∫  
với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
x +1 x + 2  0 đúng ?
A. a + b = 2 .
B. a − 2b = 0 .
C. a + b = −2 .
D. a + 2b = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 dx 1 dx 1 Ta có: =ln x 1 + =ln 2 v à
= ln x + 2 = ln 3 − ln 2 ∫ ∫ x+ 1 0 x+ 2 0 0 0 1  1 1  Do đó − dx = ln 2 − ∫  
(ln 3 −ln 2) = 2ln 2 −ln 3 ⇒ a = 2 , b = 1 − .
x +1 x + 2  0
Vậy a + 2b = 0 . 3 5x +12 Câu 98. Biết
dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 . Tính S = a + b + c . ∫ 3 2 2 x + 5x + 6 2 A. 3 . B. 1 − 4 . C. 2 − . D. 1 − 1 .
Hướng dẫn giải Chọn D 5x +12 5x +12
( A+ B) x + 3A+ 2B Ta có: = A B = + = . 2 ( x + ) 2 ( x + ) 2 x +5 x +6 3 x + 2 x +3 x + 5x + 6  A+ B = 5  A = 2 ⇔   . 3A + 2B =12 B  = 3 3 5 3 3 x +12 2 3 Nên dx ∫ = dx +
dx = 2ln x + 2 + 3ln x + 3 2 ∫ ∫ 3 3 x + 5 x+ 6 x+ 2 x+ 3 2 2 2 2 2
= 3ln 6 − ln 5 − 2ln 4 = −4ln 2 − ln 5 + 3ln 6 . Vậy S = 3a + 2b + c = −11. 2 1 Câu 99. Cho
dx = a ln 2 +b ln 3 +c ln 5 với , , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới ∫ a b c 2 x + 5x + 6 1 đây đúng?
A. a + b + c = 4 .
B. a + b + c = 3 − .
C. a + b + c = 2 .
D. a + b + c = 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn C 2 2 1  1 1 −  2 Ta có: dx = +
dx = ln x + 2 −ln x + ∫ ∫  3 2 ( ) 1 x + 5 x + 6  x+ 2 x + 3  1 1
= (ln 4 −ln 5)− (ln 3− ln 4) = 2ln 4 − ln 3 − ln 5 = 4ln 2 − ln 3 − ln 5.
Vậy a + b + c = 4 + (− ) 1 + (− ) 1 = 2 . 2 x +1 Câu 100. Biết d x =ln ∫ ( x 1 − )m ( x 2 − )n ( x 3
− ) p +C . Tính 4 (m + n + p ) . 3 2
x − 6 x + 11x− 6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ 2 2 x +1 x +1 A B C Ta có: = = + + 3 2
x − 6 x + 11x− 6 ( x− )
1 ( x− 2)( x− 3) x − 1 x − 2 x− 3 2 x + 1
A (x −2 )(x −3 ) + B (x 1
− )(x −3 ) +C (x 1 − )(x −2 ) ⇔ =
( x−1)( x−2)( x−3) ( x− )
1 ( x − 2)( x − ) 3 2
⇔ x +1 = A( x − 2)( x − ) 3 + B( x − ) 1 ( x − ) 3 + C ( x − ) 1 ( x − 2)
A + B + C = 1 A = 1   ⇒ −
 5A− 4B − 3C = 0 ⇔ B  = −5 . 6  
A + 3B + 2C = 1 C =   5 2 x +1 1 1 1 Suy ra dx = dx −5 dx +5 dx ∫ 3 2 ∫ ∫ ∫
x − 6 x +11 x− 6 x−1 x− 2 x − 3 ( − =
x − )( x − ) 5 ( x − )5 ln 1 2 3 + C .
Vậy 4 (m + n + p ) = 4 . 3 x + 8 Câu 101. Cho
dx = aln 2 + bln 5 với , là các s nguyên. M ố
ệnh đề nào sau đây đúng? ∫ a b 2 x + x −2 2
A. a + b = 3 .
B. a − 2b =1 . 1
C. a − b = 5.
D. a + 2b = 11.
Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 x +8  3 2 Ta có d  x = − ∫ ∫ 3 3 
 dx = 3ln x −1 − 2 ln x + 2 = 7 ln 2 − 2 ln 5 . 2 x + x −2  x 1 − x +2  2 2 2 2 a = 7 Suy ra 
⇒ a − 2b = 11. b = 2 −  1 3 2 x + 2x + 3 1 3 Câu 102. Biết dx = + b ln ∫
(a,b > 0) tìm các giá trị của k để x + 2 a 2 0 ab ( 2k +1)x+ 2017 dx < lim . ∫ x→+∞ x + 2018 8
A. k < 0.
B . k ≠ 0.
C. k > 0. D. k ∈  .
Hướng dẫn giải Chọn B 1 3 2 1 1 x + 2 x + 3  3 1 1 3 Ta có: 2 d  x = x + dx 3
= x +3ln x + 2 = +3ln ∫ ∫   x + 2  x + 2  3 3 2 0 0 0 a  = 3 ab 9 ⇒  ⇒ dx = dx = 1 ∫ ∫ b =  3 8 8 ab ( 2k +1)x+ 2017 ( 2k + )1x +2017 Mà dx < lim ⇒1 < lim ∫ x→+∞ x + 2018 x→+∞ x + 2018 8 ( 2k + )1x+ 2017 Mặt khác ta có 2 lim = k + 1 . x →+∞ x + 2018 ab ( 2k +1)x+ 2017 Vậy để dx < lim thì < k + 2
⇒ k > 0 ⇒ k ≠ 0. ∫ 2 1 1 →+∞ x x + 2018 8 https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2
Câu 103. Tính tích phân I =
4x +1 dx . ∫0 13 4 A. 13 . B. . C. 4 . D. . 3 3
Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 1 3 1 2 13 Ta có I = 4x +1 dx 2 =
4x +1 dx = . ( 4x + )2 1 = . ∫ ∫( ) 4 3 3 0 0 0 1 a 3
Câu 104. Biết rằng I =
x + x +1 dx = + b 2 a − b 1 ∫ ( ) . Giá trị của là: 6 4 0 A. – 1.
B. – 2.
C. – 3. D. . – 4 U U
Hướng dẫn giải 1 a 3 Biết rằng I =
x + x +1 dx = + b 2 − 1 ∫ ( ) . Giá trị của a b là : 6 4 0 Ta có: 1 1  x 2  1 4 2 4 3 I = x + x 1 + dx = + x ∫  1 + = − + ⇒ a =  1
− , b = ⇒ a − b = 2 − 1 ( ) 2 ( )3 . 2 3 6 3 3 4 0   0 Chọn B 2 1
Câu 105. Tích phânI = dx ∫ bằ ng 2 x +2 0 1 1 A. I =1 − .
B. I = 2 2 . C. I = 2− .
D. I = 2 − 2 . 2 2
Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 1 Ta có: I = dx = x +2 =2 − 2 . ∫ 0 2 x + 2 0 1 dx 8 2 Câu 106. Cho = a b − a + , * a,b ∈ 
. Tính a + 2b . ∫ ( ) x + 2 + x + 1 3 3 0
A. a + 2b = 7 .
B .a + 2b = 8 .
C. a + 2b = 1 − .
D. a + 2b = 5 .
Hướng dẫn giải Chọn B 1 d 1 x 2 Ta có ∫
= ∫ ( x + 2 − x +1)dx = ( (x+ 2) − (x+ )1 3 )1 3 3 x + 2 + x + 1 0 0 0 8 2 = 2 3 − 2 + . 3 3
Do đó a = 2 , b = 3 , a + 2b = 8 . 1 x a + b 3
Câu 107. Biết tích phân dx = với , là các s ố thực. Tính tổng ∫ a b T = a + b 3x + 1+ 2x + 1 9 0 .
A. T = −10 . B. T = 4 − .
C. T = 15 . D. T = 8 .
Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ 1
1 x( 3x+ 1− 2x+ x ) 1 1 Ta có dx = dx = ∫ ∫
∫( 3x +1 − 2x +1)dx + + + 0 3x 1 2x 1 0 x 0 1 1  ∫ (    =
x+ )1 − ( x+ )1 2 x = ( x+ )3 1 3 1 2 1 d 3 1 − (2 x+ 1)3 2 2 2 2    9 3      0 0  16   2 1  17 17 −9 3 = − 3 − − = − 3 = .  9   9 3     9 9 a
Câu 108. Tích phân I = x x + 1dx có giá trị là : ∫0 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 ( a + ) 1 2 ( a + ) 1 4 A. I = + + . B. I = − + . 5 3 15 5 3 15 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 ( a + ) 1 2 ( a + ) 1 4 C. I = + − . D. I = − − . 5 3 15 5 3 15
Hướng dẫn giải a
Tích phân I = x x + 1dx có giá trị là : ∫0 Ta có: a a a a 3 a 1
I = x x +1dx = ∫
∫(x +1) x +1dx − x +1dx = ∫
∫(x +1)2dx − ∫(x + )2 1 dx 0 0 0 0 0 5 a 3  2 a    = ( x 1 + ) 2 − ( x+1) 2 = ( x 1 + )5 2 − ( x 1 + )3 4 2 2 +  5   3      5 3 15 0 0 Chọn B 1 Câu 109. Tích phân x I =
dx có giá trị là : ∫ x +1−1 −1 4 2 4 2 4 2 4 2 A. I = + 2. B. I = − 2. C. I = −1. D. I = +1. 3 3 3 3
Hướng dẫn giải 1 x Tích phân I = dx có giá trị là : ∫ x +1−1 −1 Ta có: 1 1 1 x x   = x +1 +1⇒ I = dx = ∫ ∫ ( x+1+1) 2 dx = (x +1)3 4 2 2 + x = + 2 .   x + 1 − 1 x + 1 − 1 3  3 − 1 − 1 − 1 Chọn A 4 2 x − x + 2 a − 4 b
Câu 110. Biết rằng I = dx = . Với , , là s ố nguyên dương. Tính + + . ∫ a b c a b c x + x − 2 c 3 A. 39. B. 27 . C. 33. D. 41.
Hướng dẫn giải Chọn A 4 4 2 4 2 − +  3 x x 2 x 2  25 −8 2 25 −4 8 Ta có dx = ∫
∫(x − x −2 )dx = − ( x −2 ) = =   x+ x− 2  2 3  6 6 3 3 3
Suy ra a = 25, b = 8 , c = 6 . Vậy a + b + c = 39. https://toanmath.com/ 2 d Câu 111. Biết x
= a + b − c với a b c là các số nguyên dương. Tính ∫ , ,
1 x x + 2 + ( x + 2) x
P = a + b + c .
A. P = 2 .
B. P = 8 .
C. P = 46 . D. P = 22 .
Hướng dẫn giải Chọn B Ta có + − 2 ( x 2 x ) 2 dx ∫ 2 dx = ∫ = dx ∫
1 x x + 2 + (x + 2) x 1
x x + 2 ( x + 2 + x ) 1 2 x x + 2 2  1 1  = −
dx = ( x − x + 2)2 = 2 + 3 − 3 . ∫   1  2 x 2 x + 2  1
Vậy a = 2 ;b = 3 ;c = 3 nên P = a + b + c = 8 . 2 dx
Câu 112. Biết I =
= a − b −c ∫
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x +1 x + x x +1 1 ( )
P = a + b + c .
A. P = 24 .
B. P = 12 .
C. P = 18 . D. P = 46 .
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có: x +1 − x ≠ 0 , x ∀ ∈[1;2] nên: 2 dx 2 dx I = = ∫ ∫ x 1 + x + x x 1 + + + + 1
x ( x 1) ( x 1 x ) 1 ( ) 2
( x +1− x )dx
2 ( x + 1− x ) dx = = ∫ ∫ + + + + − 1 x ( x + ) 1 x( x
)1 ( x 1 x)( x 1 x) 1 2  1 1  = −
dx = ( 2 x − 2 x+ ) 2
1 = 4 2 − 2 3 − 2 = 32− 12− 2 . ∫   x x +1 1 1  a = 32 
Mà I = a − b − c nên b
 =12 . Suy ra: P = a + b + c = 32 +12 + 2 = 46 . c = 2 
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC π
Câu 113. Tính tích phân sin 3 d x x ∫ . 19T 19T 0 1 1 2 2 A. − . B. . C. − . D. . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải Chọn D π 1 π 1 2 Ta có sin 3 d
x x = − cos 3 x = − −1− 1 = . ∫ ( ) 0 3 3 3 0 π 2  π 
Câu 114. Tính tích phân I = sin
− x dx ∫   .  4 0  https://toanmath.com/ π A. I = . B. I = − . 1
C. I = 0 . D. I = . 1 4
Hướng dẫn giải Chọn C π π 2  π  2  π   π   π  I = sin − x dx = cos − x   = cos − − cos =     0 . ∫  4     4   4   4  0 0 π 3 d Câu 115. Tích phân x I = bằng? ∫ 2 sin x π 4 π π π π π π π π
A. cot − cot . B. cot + cot .
C. − cot + cot . D. − cot − cot . 3 4 3 4 3 4 3 4
Hướng dẫn giải Chọn C π π 3 d 3 Ta có x I = = − cot x . ∫ 2 π sin x π 4 4 π 2
Câu 116. Biết cos xdx = a + b 3 , với , là các s h
ố ữu tỉ. Tính T = a + b . ∫ a b 2 6 π 3
A. T = 3. B. T = 1 − C. T = 4 − . D. T = 2.
Hướng dẫn giải Chọn B π 2 π 3
Ta có: cos xdx = sin x = 1−
. Vậy 2a + 6b = 2 − 3 = 1 − . ∫ 2 π 2 π 3 3 π π m
Câu 117. Số = −cot + cot các số nguyên thỏa mãn cos 2 x dx = 0 là ∫ 3 4 0 A. 643. B. 1284. C. 1285. D. 642 .
Hướng dẫn giải. Chọn B Ta có m 1 m 1 π cos 2 x =0 ⇔ sin 2
=0 ⇔ sin 2 =0 ⇔ sin 2 =0 ⇔ 2 k dx x m m
m = kπ ⇔ m = , k ∈ ∫  2 0 2 2 0 . kπ Vì m ∈ ( ) 4043 0; 2017 ⇒ 0 <
< 2017 ⇔ 0 < k < ≈1284,06 . 2 π
Vì k ∈ ⇒ có tất cả 1284s nguyên c ố ủa m . π 2
Câu 118. Tích phân I = sin xdx có giá trị là: ∫0 A. I = . 1
B. I = 0 . C. I = − . 1 D. Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ π 2
Tích phân I = sin xdx có giá trị là: ∫0 π 2 π
Cách 1:I = sin xdx = (−cos x ) 2 =1 . ∫ 0 0 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. b
Câu 119. Có bao nhiêu s ố thực b thu c
ộ khoảng (π;3π ) sao cho 4cos 2 d x x = 1 ∫ ? π A. 8 . B. 2 . C .4 . D. 6 .
Hướng dẫn giải Chọn C  π b = + kπ b 1 
Ta có: 4cos 2xdx = 1 b ⇔ x = ⇔ = 12 ⇔ π sin 2b  . ∫ 2sin 2 1 2 5π π b = + kπ  12
Do đó, có 4 số thực b t hỏa mãn yêu cầu bài toán. π 2
Câu 120. Tích phân I = ∫ (sin x −cos x)dx có giá trị là : π − 2
A. I = 1 .
B. I = 2 .
C. I = −2 . D. I = −1.
Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = ∫ (sin x −cos x)dx có giá trị là : π − 2 π 2 π
Cách 1m ∈ (0; 2017 ) :I = (sin x −cos x) dx =( −cos x −sin x) 2 = − ∫ π 2 . − π 2 − 2 Chọn C
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. π 6
Câu 121. Tích phân I = ∫ (sin 2x −cos3x)dx có giá trị là : π − 2 2 3 3 2 A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 4 4 3
Hướng dẫn giải π 6
Tích phân I = ∫ (sin 2x −cos3x) dx có giá trị là : π − 2 π π 6 6  1 1  3
Cách 1: I = ∫ (sin 2x−cos3x) dx= − cos2x− sin3x = −   .  2 3 π π  4 − − 2 2 Chọn C https://toanmath.com/
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. π 2
Câu 122. Kết quả của tích phân ( 2x −1− sin x) dx được viết ở dạng , . Khẳng định nào sau ∫ a b ∈  0 đây là sai?
A. a + 2b = 8 .
B . a + b = 5 .
C. 2a − 3b = 2.
D. a − b = 2.
Hướng dẫn giải Chọn B π 2 π ( π π π 2 x 1 sin ) x d x ∫ ( 2x x cos x) 2 1 2 1 π   − − = − + = − − = − −   1 . 0 4 2  4 2 0 
Vậy a = 4 , b = . S
2 uy ra a + b = 6 . Vậy B sai. π 2 Câu 123. cos 2 Cho tích phân
x dx =a +bπ với a b∈ . Tính 3 2
P = 1+ a + b ∫ , 1+ sin x 0
A. P = 9.
B. P = 29.
C. P = 11. D. P = 2 − 5.
Hướng dẫn giải
Chọn D π π π 2 cos 2x 2 2 1 −2sin 2  1  d x x ∫ = d x ∫ = −2sin x+ 2− dx ∫ 1+ sin   x 1 +sin x  1+ sin x 0 0 0  π   π 2  1  π 2 = − 1 2sin x+ 2−  dx ∫
.= (2cosx + 2x ) 2 − dx ∫   π  0  π  0 1 cos  + − x x   2 0 2cos −    2     2 4  π 1  π 2 π .2 tan x  = − + − −   2 = −3+ π . 2  2 4  0
Vậy a = −3,b = 1. 3 2
P = 1+ a + b = 25 − . π 2 π 1
Câu 124. Cho tích phân (4x 1 cos x)dx π   − + = − + c ∫   , (a, ,
b c ∈  ) . Tính a − b + c a b 0  A. 1 −3 B. 1. C. −2 . D. . 3
Hướng dẫn giải Chọn B π 2 π π 1
Ta có ∫(4x 1 cos x)dx ( 2 2x x sin x) 2 π   − + = − + = − +   1. 0  2 2 0
Suy ra a = 2 , b = 2 , c =1 nên a − b + c = 1. π 6 π Câu 125. Biết ( 2 + x) a c 3 3 4sin dx = − ∫
, trong đó a ,b nguyên dương và a tối giản. Tính a + b + c b 6 b 0 . A. 8. B. 16 . C. 12 . D. 14 .
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn D Ta có: π π π 6 6 ∫ (3+ 4sin x) 6 2 dx = 3
 + 2 (1− cos 2x )dx ∫   = ( 5− 2 cos 2 ) x dx ∫ 0 0 0 5π 3 3 = − . 6 6
Suy ra a = 5 , b = 6 , c = 3.
Vậy a + b + c = 14. π π 3 3
Câu 126. Cho giá trị của tích phân I =
sin 2x +cos x dx = a , I =
cos 2x + sin x dx = b . Giá trị 2 ∫ ( ) 1 ∫ ( ) π π − − 2 3
của a + b là: 3 3 3 3 3 3
A. P = + 3 . B. P = + .
C. P = − 3 . D. P = − . 4 4 2 4 4 2
Hướng dẫn giải π π 3 3
Cho giá trị của tích phân I = sin 2x +cos = , I = cos 2x + sin = . Giá trị 2 ∫ ( x) 1 ∫ ( x )dx a dx b π π − − 2 3 của a + b là: Cách 1: Ta có: π π 3   I = ∫ ( x + x) 3 1 3 3 3 3 sin 2 cos dx = −  cos 2 x +sin = + ⇒ = + . 1 x a  2  π  4 2 4 2 π − − 2 2 π π 3   I = ∫ ( x + x) 3 1 3 3 cos 2 sin dx = sin 2x −cos x = ⇒ b = . 2 2    π π 2 2 − − 3 3 3
⇒ P = a + b = + 3 . 4 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc h c ọ sinh có thể nhận ra . 2π 3 2e  1 1 1 
Câu 127. Cho giá trị c a ủ tích phân I =
sin 3x +cos 3x dx = a , = + − = . Giá 1 ∫ ( ) 2 I dx b ∫ 2   + π x x x 1 − e 3
trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 . C. 10 . D. 1 . Ta có: 2π 2π 3   I = ∫ ( x + x) 3 1 1 2 2 sin 3 cos 3 dx = −  cos 3x + sin 3 = − ⇒ = − . 1 x a  3 3  π  3 3 π − − 3 3 https://toanmath.com/ 2 2  1 1 1   1 e e  1 1 I = + − dx = ln x − −ln x +1 = ln 2 −
+ −ln 2e +1 + ln e + ∫     1 2 ( ) ( ) 2  x x x 1 +   x  2e e e e 1 1 ⇒ b = −
+ + ln 2 −ln (2e +1)+ ln (e +1) 2e e ⇒ . a b ≈ −0, 2198 . Chọn D π 2
Câu 128. Tích phân I = ∫ (sin ax +cosax) dx , với a ≠ 0 có giá trị là: π − 2 2   π π   π π  A. I = sin a − − sin a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  B. I = sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  C. I = sin a − + sin a − +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π   D. I = −sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4 
Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = ∫ (sin ax +cosax) dx có giá trị là : π − 2 Ta có: π π π 2 2     π   I = ( ax + ax ) 2 1 1 2 sin cos dx = − ∫  cosax + sin ax =   sin ax −    a a     π a π  4 −  π   − 2 − 2 2 . 2   π π   π π  = sin a − + sin a +      a   2 4   2 4  Chọn B π 2 3 2 Câu 129. + − Biết x
x cos x sin x π b I = dx = − ∫
. Trong đó a , b , c là các s ố nguyên dương, phân số 1+ cos 0 x a c b t i ố giản. Tính 2 2 2
T = a + b + c . c
A. T = 16 .
B. T = 59 .
C. T = 69 . D. T = 50 .
Hướng dẫn giải Chọn C π π 2 3
x + x cos x − sin 2 3  sin  Ta có x x I = dx ∫ = x − ∫   dx 1 +cos 1+  cos 0 x 0 x  π π π 2 2 2 2 π  1 2 π 1 =  d 2 x x − ∫ ∫(1− cos x)sin d x x =
+ cos x − cos x = − . 8  2    8 2 0 0 0
Như vậy a = 8, b = 1 , c = 2. Vậy 2 2 2
T = a + b + c = 69 . https://toanmath.com/  π b
Câu 130. Cho hàm số  f ( )
x = a sin 2x − b cos 2x thỏa mãn f ' = 2 −   và adx = 3 ∫
. Tính tổng a + b  2  a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8.
Hướng dẫn giải Chọn C
f ' (x ) = 2a cos 2x + 2b sin 2x π  f ' = 2 − ⇔ 2 − a = 2 − ⇔ a =1  2    b b
adx = dx = 3 ⇔ b −1 = 3 ⇔ b = 4 ∫ ∫ a 1 Vậy a b + 1 = 4 + =5. 0
Câu 131. Cho tích phân cos 2xcos 4 d
x x = a + b 3 ∫
, trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính π − 3
e a +log 2 b . A. 2 − . B. −3 . C. 1 . D. 0 . 8
Hướng dẫn giải Chọn A 0 0 0 1 1  1 1  Ta có: cos 2x cos 4 d x x ∫ =
π ( cos 6x + cos 2x) = 1 π dx ∫ = sin 6x+  sin 2x 3 . − 2 − 2 6 2 π 8 3 3  −3 Do đó ta có 1 a = 0 , 1 b = −
. Vậy e a + log b = 0 e + log = 2 − . 8 2 2 8  π − Câu 132. 1 Cho 
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = với ∀x∈ \ 
+ kπ , k ∈ , biết 1+ sin 2x  4   π   11π 
F (0 ) =1; F(π ) = 0 . Tính P = F − − F  . 12  12     
A. P = 2 − 3 .
B. P = 0.
C. Không tồn tại P . D. P = 1.
Hướng dẫn giải Chọn D  −π   11π    π    11π  Ta có P = F − F = − F      (0 ) − F − + F    (π ) − F + F   (0) − F (π )  12   12    12    12  0 1 π 1 = − dx+ dx+1 ∫ ∫ . + + π 1 sin 2 x 11 π 1 sin 2 x − 12 12 1 1 1 Ta có = = nê n 1+ sin 2x (sin x + cos x)2  π 2  2cos x −  4    https://toanmath.com/ 0 0 1 1  π  1 dx = tan x− = ∫   (−1+ 3) ; 1+ sin 2 π x 2  4 π  2 − − 12 12 1 1 π π  π  1 dx = tan x− = ∫ (−1+   3) . 1+ sin 2x 2  4  11π 2 11π 12 12 Vậy P = 1.
Câu 133. Cho M , N là các số thực, xét hàm số f ( )
x = M .sin πx + N .cos πx thỏa mãn f ( ) 1 = 3 và 1 2  1  f ( x) 1 dx = − ∫
. Giá trị của f ′ bằng π  4    0 5π 2 5π 2 π 2 π 2 A. . B. − . C. − . D. . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có f (1) = 3 ⇔ M.sin π + N.cos π = 3 ⇔ N = −3. 1 1 2 1 2 1 Mặt khác f ( ) x dx = − ∫
⇔ ( M.sin πx −3.cos πx) dx = − ∫ π π 0 0 1 2  M 3  1 ⇔ − 3 M 1
cos πx− sin πx = −  ⇔ − + = − ⇔ M = 2 . π π    π π π π 0  1 5π 2
Vậy f ( x) = 2sin πx − 3cos πx nên f (′ x) =2π cos πx +3πsin πx ⇒ f ′ =  . 4   2 π 2
Câu 134. Tích phân I = (cos x − ∫ ) 2
1 cos xdx có giá trị là: 0 π 1 π 2 π 1 π 2 A. I = − .
B. I = − − . C. I = + . D. I = − + . 4 3 4 3 4 3 4 3
Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = (cos x − ∫ ) 2
1 cos xdx có giá trị là : 0 Ta biến đổi: π π π 1 π 2 2 2 3     π I = ∫( x − ) xdx = x ∫ ( − x ) 2 2 2 2 t 1 1 2 cos 1 cos cos 1 sin
dx − cos xdx = t − − x + sin 2x = − ∫      3  2  2  3 4 0 0 0 0 0
, với t = sin x . Chọn D π 2 1 2 +
Câu 135. Biết tích phân x 1
I = sin xdx = a I =
dx = bln 2 − cln 5 ữa 1 ∫ . Giá trị của 2 ∫ . Thương số gi b 3 π x + x a 3 và c là: A. – 2. B. – 4 . C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ π 2 1 2 x +1
Biết tích phân I = sin = I =
dx = b ln 2 −c ln 5 1 xdx a ∫ . Giá trị của 2 ∫ . Thương số giữa b 3 + π x x a 3 và c là: Ta có: π 2 π I = sin xdx = ∫ (cos x) 1 2 = . 1 π π 2 3 3 1 2 1 2 x + 1 x + 1 1 4 1 4 1 b ⇒ I = dx = dx = ln t
= ln 2 − ln 5 ⇒ b = ,c = − ⇒ = −4 2 ∫ ∫ . 3 3 ( )25 x + x x + x 3 3 3 3 3 c a 1 8 2 Chọn B π 3 π
Câu 136. Cho I = ∫( 2
sin 3x +cos x) dx =(a cos3x +bxsin+csin 2x) 6 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 0 A. – 1. B. 1. C. – 2 . D. 2.
Hướng dẫn giải π 3 π Cho I = ∫( 2
sin 3x +cos x) dx =(a cos3x +bxsin+csin 2x) 6 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là : 0 0 Ta có: π π π 3  +    I = ∫ ( x + x ) 3 3 2 1 cos 2x 1 1 1 sin 3 cos dx = sin 3x +
dx = − cos 3x + x + sin 2 1 x ∫  2   3 2 4      0 0 0 1 1 1
⇒ a = − ,b = ,c = ⇒ 3a + 2c + 4c = 1 3 2 4 Chọn B
Câu 137. Cho I = tann d x x ∫
với n ∈  . Khi đó I + I + 2 I + I + ... + + + 0 1 ( 2 3 I8 ) I I bằng n 9 10 9 ( tan r+ r r+ x)r ( tan x) 1 9 10 (tan x) (tan x) 1 10 A. + C ∑ . B. + C ∑ . C. + C ∑ . D. + C ∑ + + r= r 1 r= r 1 r= 1 r 1 r= 1 r 1 .
Hướng dẫn giải Chọn A −  1  n−2 2 n −2 ′ I = tan . x tan d x x = ∫ n 2 tan x. − ∫  1 dx = tan x. ∫
(tan x) dx − I n 2  cos xn−2 n−1 tan x = − I + C n− 2 n−1 n 1 tan − x ⇒ I + I = + C . n n 2 − n −1
I + I + 2 I + I + ... + + +
= (I + I + I + I + ...+ + + + 10 8 ) ( 9 7 )
(I3 I1 ) (I2 I0 ) 0 1 ( 2 3 I8 ) I9 1 I 0 9 8 2 tan x tan x tan 9 = + + tan r .... x + + tan x x + C = + C ∑ . 9 8 2 = r r 1
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARI T 1
Câu 138. Tích phân e− d x x ∫ bằng 0 https://toanmath.com/ − A. 1 e 1 1 e −1. B. −1. C. . D. . e e e
Hướng dẫn giải Chọn C 1 − − 1   − x x 1 e 1 Ta có: e dx = −e = − − ∫  1 = . 0   e  e 0 2018 Câu 139. Tích phân = 2 d ∫ x I x bằng 0 2018 2 −1 2018 2 A. 2018 2 −1. B. . C. . D. 2018 2 . ln 2 ln 2
Hướng dẫn giải Chọn D 2018 2018 x 2018 x 2 2 −1 I = 2 dx = = ∫ . ln 2 ln 2 0 0 4 1 0 1 − 4 Câu 140. Biết 2
f (x )dx = ∫
và. f (x)dx = ∫
. Tính tích phân = 4e x I +2 f ( ) x  dx ∫  . − 2 − 2 1 1 0 A. 8 I = 2e . B. 8 I = 4e − 2. C. 8 I = 4e . D. 8 I = 2e − 4 .
Hướng dẫn giải Chọn A 4 2 x −1 4 x e 4 Ta có 2 I = 4e +2 f ( ) x  dx = 4.
+2 f ( x)dx +2 f (x)dx ∫  ∫ ∫ . 2 0 0 0 1 − ⇔ I = 2( 8 e − ) 1 1 8 1 + 2. + 2. = 2.e . 2 2 2 x Câu 141. 2 Cho ( ) = et F x dt ∫ . Tính F (′ ) 2 . 0 A. F ′( ) 4 2 = 4e . B. F ′( ) 16 2 = 8e . C. F (′ ) 16 2 = 4e . D. F ′( ) 4 2 = e .
Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi G (x) là nguyên hàm của hàm s ố 2 et .
⇒ F ( x) = G ( 2 x ) − G (0 ) ⇒ F′(x) = 4 x G′( 2 2 . x ) = 2 .ex x . ⇒ F′ ( ) 16 2 = 4.e 2 x 1
Câu 142. Cho hàm số g ( x) = dt ∫
với x > 0 . Đạo hàm của g (x ) là ln t x A. − − x g′( x) x 1 = .
B. g′(x) 1 = .
C. g′(x) 1 = .
D. g′(x) = ln x . ln x ln x ln x
Hướng dẫn giải Chọn A
Giả sử F (t ) là m t ộ nguyên hàm của hàm s ố 1 . ln t
Khi đó F ′(t ) 1 = hay F ′(x) 1 = . lnt ln x https://toanmath.com/ 2 x 1 Ta có g ( x) = dt ∫ = ( 2
F x )− F (x ) . ln t x ′ Suy ra ′( ) = ( ( 2 1 1 x − g x
F x ) − F (x )) = ′( 2
F x )− F (′ x) = .2 − 1 = . 2 x ln x ln x ln x ( ′ v x)  
Chú ý: ta có công thức  f
∫ (t )dt  =v′ (x ).f v (x ) −u′ (x ).f u (x )        (u )x  3π 2 Câu 143. ⇔ f
∫ (x)dx = 6.Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3π − 2 2 2018.ek − kx 2018 e dx< ∫ . S ph ố
ần tử của tập hợp S bằng. k 1 A. 7 . B. 8 . C. Vô số. D. 6 .
Hướng dẫn giải Chọn A 2 2   2 e k − ek kx 1 Ta có: e d = ∫  ekx x  = .  kk 1 1 2 2018.ek − 2 e k − ek 2018.ek − 2018 kx 2018 e dx < ∫ ⇔ < 1 k k k
ek (ek 1) 2018 (ek ⇔ − < −1) (do k nguyên dương). (ek )1(ek ⇔ − − 201 ) 8 < 0 1 ek ⇔ <
< 2018 ⇔ 0 < k < ln 2018 ≈ 7.6 .
Do k nguyên dương nên ta chọn được k ∈ S (với S = {1;2;3;4;5;6;7}). Suy ra s ph ố ần t c ử ủa S là 7 . 1 e−nx
Câu 144. Cho I = x n d ∫ với n ∈  . 1+ e−x 0
Đặt u = 1.(I + I + 2 I + I + 3 I + I + ...+ n I + I − n . n 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( n n+1)
Biết lim u = L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? n A. L ∈ ( 1 − ;0). B. L ∈ ( 2 − ; 1 − ).
C. L ∈ (0;1) .
D. L ∈ (1;2) .
Hướng dẫn giải Chọn A 1 −( n 1 + ) e x 1 e−nx.e−x 1 1 − 1 −nx e nx
Với n ∈  , I = dx ∫ = dx ∫ = e dx − dx ∫ ∫
= e n−xdx − I ∫ n+1 1+ e−x 1+ e− x 1+ e−x n 0 0 0 0 0 1 ⇒ 1 I = − ⇒ I + I = 1 −e−n + e−nxdx I ∫ n +1 n ( ) n 1 n n 0 Do đó u = ( 1 − − )+( 2 − − )+( 3 1 e 1 e
1− e− ) + ...+ (1− e−n − n n ) −1 −2 −3
⇒ u = −e − e − e − ...− e− n n https://toanmath.com/ Ta thấy u là t ng ổ n s h
ố ạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với −1 u = −e và 1 q = , nên n 1 e −1 −e −1 lim u = ⇒ L = ⇒ L ∈( 1 − ;0) . n 1 1− e −1 e https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
y = f ( x ) Cho hàm số
liên tục trên đoạn [a;b].Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục
trên đoạn [a;b] và α ≤ u(x) ≤ β . Giả sử có thể viết f (x) = g(u(x))u'(x),x ∈[a;b], với g liên tục
trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có b u (b ) I =
f (x )dx = g (u )du. ∫ ∫ a u (a )
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ 3 3 1 Có x dx f (x) t = f (x) I = ∫
. Đặt t = x +1 0 x + 1 2 Có ( + )n ax b
t = ax + b 1 2016 I = x(x + 1) dx ∫
. Đặt t = x −1 0 π tanx +3 3 e Có f (x) a
t = f (x) = 4 I dx ∫
. Đặt t = tan x + 3 2 0 cos x
hoặc biểu thức e ln xdx 4 Có dx t = x và ln x ln I = ∫
. Đặt t = ln x +1 x chứa ln x 1 ( x ln x +1) x = ứ ln 2 2 x 5
hoặc biểu th c x x Có t e x I = e 3e +1dx t = e + e dx ∫ . Đặt 3 1 chứa 0 x e π 6 Có sin xdx t = cos x 3 2 I = sin x cos xdx ∫
. Đặt t = sin x 0 3 7 Có π sin cos x xdx t = sin xdx I = dx ∫
Đặt t = 2cos x +1 0 2cos x +1 π 1 π 2 1 = 4 = 4 + 8 Có dx I dx (1 tan x ) dx ∫ ∫ t = tan x 4 2 2 0 0 cos cos x cos x x
Đặt t = tan x π cotx cotx e e 9 Có dx t = cot x 4 I = dx = dx ∫ ∫
. Đặt t = cot x 2 sin π 2 x 1− cos 2x 2sin 6 x BÀI TẬP
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [a,b]. Giả sử hàm số u = u (x) có đạo hàm liên tục trên
[a,b] và u(x) ∈[α, β] x
∀ ∈[a,b] , hơn nữa f (u) liên tục trên đoạn [α, β ].
Mệnh đề nào sau đây là đúng? x = a b b u(b) b A. f u
∫  (x) u′
 ( x) dx = f
∫ (u) du . B. f u
∫  (x) u′
 ( x) dx = f (u)du ∫ . a a u(a) a b u(b) b b C. f u
∫  (x) u′  ( x) dx = f (u) du ∫ . D. f u
∫  (x)u′
 ( x) dx = f ∫ (x) du . a u (a ) a a
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3
Câu 2: Tính tích phân I = x ( x − )1000 1 d . x ∫ 1 https://toanmath.com/ 1002 2003.2 1001 1502.2 1002 3005.2 1001 2003.2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 1003002 501501 1003002 501501 100
Câu 3: Giá trị của tích phân x
∫ (x −1)...(x −100)dx bằng 0 A. 0 . B. 1. C. 100.
D. một giá trị khác. 2 Câu 4: Tích phân x dx ∫ bằng 2 x 3 + 0 A. 1 7 log . B. 7 ln . C. 1 7 ln . D. 1 3 ln . 2 3 3 2 3 2 7 Câu 5: 2 dx 5 Cho tích phân I = = a ln + ∫
. Khi đó a + 2b bằng 5 3 b 1 x + x 8 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 2 4 8 16 1 5 Câu 6: Tích phân x dx I = ∫ được ế
k t quả I = a ln 2 − b . Giá trị a+b là: ( +x )3 2 0 1 A. 3 B. 13 C. 14 D. 4 16 16 17 17 0 Câu 7: Tích phân 2x I = dx ∫ có giá trị là: 2 x 1 + −1
A. I = ln 3 .
B. I = − ln 2 .
C. I = − ln 3 . D. I = ln 2 . 1 2 x 1 Câu 8: Cho dx = lna ∫
,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 x +1 3 0 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 0 Câu 9: Tích phân ax I = dx ∫ ,với a ≠ 2
− có giá trị là: 2 ax + 2 −1 ln 2 + ln a + 2 ln 2 − ln a + 2 A. I = . B. I = . 2 2 − ln 2− ln a + 2 − ln 2+ ln a + 2 C. I = . D. I = . 2 2 5 d 5 Câu 10: x dx Giả sử
= a ln5 + bln 3+ cln 2.(a,b,c ∈ ) ∫ 
= a ln 5 +b ln 3 +c ln 2. nh gi trị 2 ∫ Tí á x − x 2 x − x 3 3 biểu thức 2 S = 2
− a + b + 3c .
A. S = 3.
B. S = 6.
C. S = 0. D. S = −2. 1 2 2 x +3 x +3 Câu 11: Biết
dx = a − ln b ∫
với a , b là các s ố nguyên dương. Tính 2 2 = + . 2 P a b x + 2x +1 0 A. 13 . B. 5. C. 4 . D. 10 . https://toanmath.com/ b 2 − Câu 12: Tính a x I = dx ∫
(với a , b là các s
ố thực dương cho trước). + a (a x )2 2 2 (a −1)(b −1) A. b b b I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 a +b 2 a + b ( 2
a +b )(a + ) 1 2 a + b π 4 1 2 Câu 13: x f ( )
Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và các tích phân x f
∫ (tan x)dx = 4 và dx = 2 ∫ . 2 x + 1 0 0 1
Tính tích phân I = f ( ) x dx ∫ . 0
A. I = 6 .
B. I = 2 .
C. I = 3 . D. I = 1.
Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và có đ
ồ thị hình bên. Tính tích phân 2
I = f ′(2x − ∫ ) 1 dx . 1 4 3 2 -1 2 O 1 3 -1 2 A. I = 2 − . B. I = 1 − .
C. I = 1. D. I = 2 . HÀM VÔ TỈ 1
Câu 15: Cho tích phân 3 1− xdx ∫ , với cách đặt 3
t = 1− x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 1 A. 3 d 3 2 3 t t ∫ . B. t dt ∫ . C. 3 t dt ∫ . D. 3 t dt ∫ . 0 0 0 0 2
Câu 16: Trong cá
c tích phân sau, tích phân nà
o có cùng giá trị với 3 2 I = x x −1dx ∫ 1 4 3 3 A. 1 2 2 2 2 2 t t −1dt ∫ .
B. t t −1dt ∫
C. ∫ (t +1)t dt . D. ( x + ∫ )1 x dx . 1 2 1 0 1 3 2 Câu 17: Nếu x
dx = f (t )dt ∫ ∫
, với t = 1+ x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới 1+ 1+ 0 x 1 đây ? A. 2
f (t) = 2t + 2t B. 2
f (t) = t − t C. 2
f (t) = t + t D. 2
f (t) = 2t − 2t https://toanmath.com/ 4
Câu 18: Kết quả của 1 dx ∫ bằng 2x + 1 0 A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . 1 d Câu 19: Tích phân x ∫ bằng 3 x 1 + 0 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 3 Câu 20: Cho x a
dx = + bln 2 + cln 3 ∫
với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 4 +2 x 1 + 3 0 bằng A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9 . 4 1
Câu 21: Biết I =
dx = a +b ln 2 ∫
với a,b là s nguyên. T ố
ính S = a + b . + − 0 2x 1 5
A. S = 3.
B. S = −3. C. S = 5. D. S = 7. 5 d
Câu 22: Tính tích phân x ∫
được kết quả I = a ln 3 + b ln 5. Giá trị 2 2
a + ab + 3b là 1 x 3 x +1 A. 4 . B. 5. C. 1. D. 0 . 4 dx 2
Câu 23: Cho tích phân I = = a +b ln ∫
với a,b ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3+ 2x + 1 3 0
A. a − b = 3.
B. a − b = 5.
C. a + b = 5 .
D. a + b = 3. 3 2 Câu 24: Biết 2 x x + 1dx = ∫
(a− b ) , với a,b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 1
A. a = 2b .
B. a < b .
C. a = b .
D. a = 3b . a Câu 25: dx 1 5 Cho I = = ln , ∫
(a > 5) . Khi đó giá trị của ốs thực a là 2 x x + 4 4 3 5 A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. D. 2 2. 1 Câu 26: Cho x I =
dx = a 2 +b ∫
. Giá trịa.b là: 2 0 x +1 A. – 1. B. – 2. C. 1. D. 2. 2 2 − Câu 27: 4 x b Với a, ,
b c ∈ R . Đặt I = dx = a − ln ∫
. Giá trị của tính abc là : x c 1 A. 3 B. 2 − 3 C. 2 3 D. − 3 3 2 Câu 28: + + Cho x 1 c d
dx = a − b + ln ∫
với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số 1 x e
nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng. https://toanmath.com/ A. 14. B. 17 . C. 10 . D. 24 . 7 3 Câu 29: x d Giá trị của x a I = ∫
được viết dưới dạng phân số tối giản (a , b là các số nguyên 3 2 b 0 1 +x
dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. −1. 64 dx 2
Câu 30: Giả sử I = = aln +b ∫ với −
a, b là s nguyên. T ố
ính giá trị a b . 3 x + x 3 1 A. −17. B. 5. C. −5 . D. 17 . 2 2 + Câu 31: 1 x 1  b Giả sử d  x = a a − b ∫ với a, ,
b c ∈  ; 1 ≤ a, ,
b c ≤ 9 . Tính giá trị của biểu 4   x c b + c  1 thức b a C − . 2a c + A. 165. B. 715. C. 5456 . D. 35 . x
Câu 32: Tập hợp nghiệm của bất phương trình t dt > 0 ∫ (ẩn x ) là: 2 0 t 1 + A. (− ; ∞ +∞ ) . B. (− ; ∞ 0). C. ( − ; ∞ + ) ∞ \{ } 0 . D. (0;+∞) . 7 3 m Câu 33: Cho biết d = ∫ x m x với là m t ộ phân s t ố i
ố giản. Tính m − 7n . 3 2 n 0 1+ x n A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 91 . 2 Câu 34: Biết x
dx = a +b 2 +c 35 ∫
với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P = a + 2b + c − 7 2 1 3 x + 9 x 1 − . 1 86 67 A. − . B. . C. −2 . D. . 9 27 27 2 Câu 35: d Biết x
= a − b − c ∫
với a , b , c là các s ố nguyên dương. Tính x x+ 1 + x+ 1 1 ( ) x
P = a + b + c .
A. P = 44 .
B. P = 42 .
C. P = 46 . D. P = 48 . 4 2 2 3 x + 4x + 1 1 Câu 36: Giả sử 4 2
a , b , c là các số nguyên thỏa mãn dx ∫
= ∫ (au +bu + c)du , trong 2x +1 2 0 1
đó u = 2x +1 . Tính giá trị S = a + b + c . A. S = 3 .
B. S = 0 .
C. S =1 . D. S = 2 . 1 2 3 + Câu 37: Tích phân a x ax I = dx ∫
, với a ≥ 0 có giá trị là: 2 0 ax +1 a( a − ) 2 a( a − 2) a (a + 2) a( a + 2) A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4 2 4 2 https://toanmath.com/ 3 Câu 38: Tích phân 1 I = dx ∫ có giá trị là: 2 0 x +9 3 + 2 3 3 − + 2 3 3 +2 3 3 − + 2 3 A. I = −ln . B. I = −ln . C. I = ln . D. I = ln . 3 3 3 3 1 Câu 39: Tích phân a I = dx ∫ có giá trị là: 2 0 3x 1 + 2 a 1 − 5 a 1+ 5 A. I = ln . B. I = − ln . 3 2 3 2 a 1− 5 a 1 + 5 C. I = − ln . D. I = ln . 3 2 3 2 2 ax − 2
Câu 40: Tích phân I = dx =2 3 1 − ∫ . Giá trị nguyên của a là: 2 1 ax − 4x
A. a = 5.
B. a = 6 .
C. a = 7. D. a = 8. 2 1 2 + Câu 41: Cho a dx = ln ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị a là: 2 x + 1 1+ b 1 b 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2 3 7 5 Câu 42: 3 Tích phân x I = dx ∫ có gái trị là: 3 3 0 8 −x 87 67 77 57 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 5 5 5 5 4 2 x 1 + dx 5 Câu 43: Biết
= a + bln 2 + cln ( , a , b c ∈ ) ∫
 . Tính T = 2a + b + c . 2 x +3 2 x +1 +3 3 0
A. T = 4.
B. T = 2.
C. T = 1. D. T = 3 . 3 dx 1 Câu 44: Biết
= a 3 + b 2 + c + ln 3 2 − 3 ∫
với a , b , c là các số hữu t . ỷ Tính 2 ( ) 1 + x + 1 + x 2 1
P = a + b + c . 1 1 5 A. P = . B. P = −1 P = − . D. P = . 2 . C. 2 2 1 dx  2 + a  = 2ln   ∫ 2   + + + Câu 45: Biết rằng x 4x 3 1 0 b
 với a , b là các s
ố nguyên dương. Giá trị của a + b bằng A. 3. B. 5. C. 9. D. 7 . https://toanmath.com/ 2   Câu 46: 1 1 1 Biết 3 3 3  − + 2 −  d a x x = c ∫  , với a, ,
b c nguyên dương, a tối giản và c < a . Tính 2 8 11 x x x b b 1  
S = a + b + c
A. S = 51.
B. S = 67 .
C. S = 39 . D. S = 75 . 2
Câu 47: Cho số thực dương dx k > 0 thỏa = ln 2 + 5 ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 ( ) 0 x + k 3 1 1 3
A. k > .
B. 0 < k ≤ .
C. < k ≤ 1 .
D. 1 < k ≤ . 2 2 2 2 HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 1 A. sin
∫ (1− x)dx = sin d x x ∫ . B. cos
∫ (1− x)dx = − cos d x x ∫ . 0 0 0 0 π π π 2 π 2 C. x x cos dx = cos d x x ∫ ∫ .
D. sin dx = sin xdx ∫ ∫ . 2 2 0 0 0 0 π 3 sin
Câu 49: Tính tích phân x I = d ∫ . 3 x cos 0 x A. 5 I = . B. 3 I = . C. π 9 I = + . D. 9 I = . 2 2 3 20 4 π 3 Câu 50: b Cho 2
I = sin x tan xdx = ln a − ∫ . Ch n m ọ ệnh đề đúng: 8 0
A. a + b = 4
B. a − b = 2
C. ab = 6 D. b a = 4 0 1 0 3
Câu 51: Biết rằng I = dx = a 3 3 I =
x + 2dx = b 2 −
a và b là các số ữu tỉ. 1 ∫ và ∫ , h + π 1 cos 2 x − 4 − 1 4
Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 π a cos 2x 1 Câu 52: Cho I = dx = ln 3 ∫
. Tìm giá trị của a là: 1 +2sin 2x 4 0 A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 π 1 4 1 1  
Câu 53: Biết I = ∫ ( 2 1+ tan = và = + = +
, a và b là các số hữu tỉ. Giá 2 I ∫( 2x x ) 3 3 1 x) dx a dx bx cx   0 0   0 trị của a +
b + c là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. https://toanmath.com/ π 3 Câu 54: Tích phân sin 2x I = dx ∫ có giá trị là: cos x +cos 3x 0  − −   − +  A. 1 2 2 2 1 I = ln +ln  . B. 1 2 2 2 1 I = ln −ln  . 2 2  2 2 2 1  + +     2 2 2 + 2 2 − 1   1  2 − 2 2 −1  1  2 + 2 2 −1  C. I = ln −ln  . D. I = ln −ln  . 2 2  2 2 2 1  + +     2 2 2 − 2 2 +  1  π 2 2x + cos Câu 55: x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +sin x π 4 2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  A. I = ln −  1 −  ln +  . B. I = ln  1 + −  ln  +  . 4  16 2         4  16 2   2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  C. I = ln −  1 +  ln +  . D. I = ln  1 + +  ln  +  . 4  16 2         4  16 2   π 4 Câu 56: 1 1 Cho sin 2 = + + x ln ( tan x + ) 1 dx ∫ aπ
b ln 2 c với a, b , c là các số hữu tỉ. Tính T = + − c a b 0 . A. T = 2.
B. T = 4.
C. T = 6. D. T = −4. π 2
Câu 57: Xét tích phân sin 2 x I = dx ∫
. Nếu đặt t = 1+ cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1+ cos 0 x 1 3 1 3 2 A. 4t −4t −4t + 4t I = dt. ∫ B. I = d .t ∫
C. I = 4 ( 2t − ∫ )1 dt. D. t t 2 2 1 2 I = 4 − ( 2t − ∫ ) 1 dt. 1 π 6 Câu 58: Cho n 1 sin .
x cos xdx = (n∈ ) ∫
 . Tìm giá trị n . 64 0
A. n = 3.
B. n = 4 .
C. n = 5. D. n = 6 . π 2 sin x
Câu 59: Cho tích phân
dx = a ln 5 +bln 2 ∫ với a, b∈ .
 Mệnh đề nào dưới đây đúng? + π cosx 2 3
A. 2a + b = 0.
B. a − 2b = 0.
C. 2a − b = 0.
D. a + 2b = 0. π 2 cos x −sin Câu 60: x Tích phân I = ∫ có giá trị là: π ( dx x e cos x + ) 1 cosx 3 https://toanmath.com/ π π   π π   3 3 e e +  2  3 3 e e −  2 A.     I =ln . B. I =ln . 2π 2π 3 e −2 3 e −2 π π   π π   3 3 e e +  2  3 3 e e −  2 C.     I =ln . D. I =ln . 2π 2π 3 e + 2 3 e +2 π 6 3 sin Câu 61: x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 3 19 17 + 3 4 19 17 + 3 − 19+ 17 3 4 19 −17 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 π 3 sin Câu 62: x Tích phân I = ∫ có gái trị là: π − ( dx cos x+ 3 sin )2 x 3 3  3 + 2  3 3  3 + 2  3 A. I = ln  + . B. I = ln   + . 16     3 2 − + 8  8 − 3+  2 8  3  3 + 2  3 3  3 + 2  3 C. I = − ln   + . D. I = − ln   + . 8     3 2  − + 8  16 − 3 +  2 8  π 4 1
Câu 63: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 2 9cos x −sin x 0 1 1 1
A. I = ln 2 .
B. I = ln 2 .
C. I = ln 2 . D. I = ln 2 . 3 2 6 a sin x + cos x 1+ 3
Câu 64: Tích phân I = = ∫ . Giá trị của ( dx alà: sin x −cos x)2 1 − 3 0 π π π π
A. a = − .
B. a = − . C. a = . D. a = . 2 4 3 6 π 2 sin Câu 65: x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π sin x + cos x 3 π π 3+ 1 A. I = +ln ( 3 1 + ) . B. I = +ln . 12 12 4  3+ 1 ln   π 2 π 3+ 1 C.   I = − D. I = +ln . 12 2 . 12 2 https://toanmath.com/ π 4
Câu 66: Cho biết cos x
dx = aπ + bln 2 ∫
với a và b là cá c s ố hữ
u tỉ .Kh i đó a bằng: sin x + cos x b 0 A. 1 . B. 3 . C. 1 . D. 3 . 4 8 2 4 π 2018 x sin a π Câu 67: x Biết d x = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P = 2a + b . 2018 2018 sin x +cos x b 0
A. P = 8.
B. P = 10.
C. P = 6 . D. P = 12. π Câu 68: sin xdx Cho tích phân I = ∫
(với α > 1) thì giá trị của I bằng: 2 0 1 −2α cos x +α α 2 A. 2. B. . C. 2α . D. . 2 α m sin x 1
Câu 69: Có bao nhiêu giá trị của tham s
ố m trong khoảng (0;6π) thỏa mãn dx = ∫ ? 5 + 4cos x 2 0 A. 6 . B. 12 . C. 8. D. 4 . π 2 cos x 4 Câu 70: Cho
dx = a ln +b, ∫ tính t ng ổ
S = a + b + c . 2
sin x −5sin x +6 c 0
A. S = 1.
B. S = 4.
C. S = 3. D. S = 0 . π 2
2 x + (2x + cos x )cos x +1−sin x
Câu 71: Cho tích phân 2 = d = π + l − n c I x a b ∫
với a , b , c là các số x + cos π 0 x
hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức 3 P = ac + . b 5 3
A. P = 3. B. P = . C. P = . D. P = 2 . 4 2 π 2 sin x 4 Câu 72: Cho
dx = aln + b ∫
, với a , b là các số hữu tỉ, c > 0 . Tính tổng ( cos )2 0 x − 5cos x+ 6 c
S = a + b + c .
A. S = 3.
B. S = 0 .
C. S = 1. D. S = 4. π 2
Câu 73: Cho (4cos 2 +3sin 2 )ln (cos +2sin )d = ln 2 a x x x x x c − ∫
, trong đó a , b , *
c ∈  , a là phân b 0 b
số tối giản. Tính T = a + b + c . A. T = 9 . B. T = 1 − 1 .
C. T = 5. D. T = 7 . π 3 3 2 sin x π 3π Câu 74: Biết dx = + +cπ + d 3 ∫ với a, ,
b c, d là các số nguyên. Tính 6 3 π 1+ + a b x x − 3
a + b + c + d . https://toanmath.com/
A. a + b + c + d = 28 .
B. a + b + c + d = 16 . C. a + b + c + d = 14. D.
a + b + c + d = 22 . π 6 2 x cos x π 3π Câu 75: Biết dx = a + + ∫
với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M = a − b + c . 2 π 1+ + b c x x − 6
A. M = 35 .
B. M = 41.
C. M = −37 . D. M = −35 . 1 π 2 12
f (x )dx = 2018 ∫ cos 2 .
x f (sin 2x) dx ∫ Câu 76: Cho 0 . Tính 0 . 1009 A. I = .
B. I = 1009 .
C. I = 4036 .
D. I = 2018 . 2 π 1 2
Câu 77: Cho f là hàm s
ố liên tục thỏa f
∫ ( )x dx = 7. Tính I = cos .xf (sin x)dx ∫ . 0 0 A. 1. B. 9. C. 3 . D. 7 . 2π 1 3
Câu 78: Cho hàm số f ( )
x liên tục trên  và
f (x )dx =12 ∫ , f ∫ ( 2cos )x sin d x x bằng −1 π 3 A. 1 − 2. B. 12 . C. 6 . D. −6 . 9 f ( x) π /2
Câu 79: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  thỏa mãn dx = 4 ∫ và f
∫ (sin x)cos xdx= 2. 1 x 0 3
Tích phân I = f ( x) dx ∫ bằng 0
A. I = 2 .
B. I = 6 .
C. I = 4 . D. I = 10 . HÀM MŨ – LÔGARI T 1 − Câu 80: Cho 2 1 x ae b I xe − = dx ∫ . Biết r
ằng I =
. Khi đó, a + b bằ ng 2 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . f ( ) 2 sin = Câu 81: x sin 2 .xe x Nguyên hà c m ủa là 2 sin x+1 e 2 sin x−1 e A. 2 2 sin 1 sin .e x− x + C. B. + C. C. 2 sin
e x + C . D. + C . 2 sin x + 1 2 sin x −1 1
Câu 82: Biết rằ ng 1+3 a b x 2 3 b c e
dx = e + e+ c ( , a , b c∈ ). ∫  Tín
h T = a + + . 5 3 2 3 0
A. T = 6.
B. T = 9.
C. T = 10 .
D. T = 5 . ln12 Câu 83: Tích phân x I = e + 4dx ∫ có giá trị là: ln 5 https://toanmath.com/
A. I = 2 − ln 3 + ln 5.
B. I = 2 − 2ln 3+ 2ln 5.
C. I = 2 − 2ln 3+ ln 5. D. I = 2 − ln 3 − 2ln 5. m
Câu 84: Tìm tất cả các giá trị dương của tham ố s m sao cho 2 2 x +1 500 m +1 xe dx = 2 .e ∫ . 0 A. 250 500 m = 2 2 − 2 . B. 1000 m = 2 +1. C. 250 500 m = 2 2 + 2 . D. 1000 m = 2 −1 . 3 + x x d Câu 85: Cho 1 2 e = . a e + . b e +c ∫
. Với a , b , c là các s ng ố
uyên. Tính S = a + b + c . + 0 x 1
A. S = 1.
B. S = 2.
C. S = 0 . D. S = 4. π 2 2
Câu 86: Cho tích phân sin x 3 I = e sin xcos d x x ∫ . Nếu đổi biến s ố 2
t = sin x thì: 0 1 1 1   1 1 1   A. t = d t I
e t + te dt ∫ ∫ . B. t = d t I
e t − te dt ∫ ∫ . 2      2 0 0   0 0  1 1   1 1   C. =2  dt + d t I e t te t ∫ ∫  .
D. = 2  dt − d t I e t te t ∫ ∫  .  0 0   0 0  n 1 + dx lim ∫ x x→+∞ + Câu 87: Tính 1 e n . A. −1. B. 1. C. e . D. 0 . 2 2016 x
Câu 88: Tính tích phân I = dx. ∫ x e +1 −2 2018 2017 2018
A. I = 0. B. 2 2 2 I = . C. I = . D. I = . 2017 2017 2018 1 2 x Câu 89: x e a Cho biết dx = . + ∫ với là ( e c
a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và a x + 2)2 b b 0 phân s t ố i
ố giản. Tính a − b + c . A. 3. B. 0 . C. 2 . D. −3 . ln 6 ex
Câu 90: Biết tích phân
dx = a + bln 2 + cln 3 ∫
, với a , b , c là các s ố nguyên. Tính x 0 1 + e 3 +
T = a + b + c .
A. T = −1.
B. T = 0.
C. T = 2. D. T = 1. 9 3 4 3 Câu 91: π Giá trị I = x sin ∫ (π x ) cos 2 3 ( x ) e dx gần bằng s ố nào nhất trong các s ố sau đây: 1 3 6 A. 0,046 . B. 0,036 . C. 0,037 . D. 0,038 . 1 ( 2 x + x)ex Câu 92: Cho dx = . a e + bln + c ∫
với a , b , c ∈  . Tính P = a + 2b − c . − x (e ) x + e 0 https://toanmath.com/
A. P = 1 . B. P = 1 − .
C. P = 0 . D. P = 2 − . ( 2 1
x +5 x +6 )e x Câu 93: a + Biết e d = e − l − n ∫ c x a b
với a , b , c là các số nguyên và e là cơ s ố của x + 2 + e− x 3 0
logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c . A. S = 10 .
B. S = 0 .
C. S = 5 . D. S = 9 . 1 3 x 3
πx + 2 + ex .2x 1 1  e  Câu 94: dx = + ln p + ∫
với m , n , p là các s ố nguyên dương. Tính π e.2x   + m e ln n  e + π  0
tổng S = m + n + p . A. S = 6 .
B. S = 5.
C. S = 7 .
D. S = 8.
Câu 95: Cho tam thức bậc hai f ( ) 2
x = ax + bx + c, ( a,b, c ∈ ,  a ≠ ) 0 có hai nghiệm th c ự phân biệt x x , 2 I = 2 ax +bx+c ax + b e d . 1 2 x . Tính tích phân ∫ ( ) 2 x 1 x − − A. x x x x I = − . B. 1 2 = .
C. I = 0 . D. 1 2 = . 1 x 2 x I I 4 2 e ln
Câu 96: Với cách đổi biến x
u = 1+ 3ln x thì tích phân dx ∫ trở thành + 1 x 1 3ln x 2 2 2 2 2 2 2 2 u −1 A. ( 2u − ∫ )1du. B. ( 2 2 u − ∫ )1du .
C. 2∫ (u −1)du . D. du ∫ . 3 9 9 u 1 1 1 1 e ( x +1)ln x +2 e +1  Câu 97: Biết
dx = a.e +b ln ∫
trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ s ố a là 1   + x ln x  e  1 b A. 1 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 e 1 +3ln Câu 98: x Tính tích phân I = dx ∫
bằng cách đặt t = 1+ 3ln x , m
ệnh đề nào dưới đây sai? x 1 2 2 2 2 2 2 A. 3 I = t . B. I = d t t ∫ . C. 2 I = t dt I = . 9 ∫ . D. 14 1 3 3 9 1 1 2 (3x 1 + )  ln b Câu 99: Biết dx =ln a + ∫
với a , b , c là các số nguyên dương và c ≤ 4 . Tổng 2  
3 x + xln xc  1
a + b + c bằng A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . e ln x 3
Câu 100: Biết I = dx = aln + , b ∫
( ,ab ∈Q) . Mệnh đề nào sau đây đúng? x ln x + 2 2 1 ( )
A. a − b = 1.
B. 2a + b = 1 . C. 2 2
a + b = 4 .
D. a + 2b = 0 . e ln x ( 2 2 ln x + 1+ )1
Câu 101: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 1 x https://toanmath.com/ 4 2 + 3 4 2 +1 4 2 + 5 4 2 −3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3 e
Câu 102: Tích phân I = x ∫ ( 2
ln x + ln x) dx có giá trị là: 1 A. I = 2 − e .
B. I = −e .
C. I = e .
D. I = 2e . 3  2 1 ln  x + 3x ln + 1 x x  3    2
Câu 103: Biết I = dx = ∫ ( 2 3
1 +ae +27e +27e 3
− 3 ) , a là các s ố hữu tỉ. x 9 0 Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. e 2 + Câu 104: 2ln x ln x 1 Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: x 1 4 2 − 2 4 2 + 2 2 2 − 2 2 2 + 2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3 2 e ( − x )2 1 ln
Câu 105: Tính I = dx ∫
được kết quả là x e A. 13 . B. 1 . C. 5 . D. 4 . 3 3 3 3 e 1+ 3ln
Câu 106: Cho tích phân x I = dx ∫
, đặt t = 1+ 3ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 x 2 e 2 2 2 2 2 e A. 2 I = t dt ∫ . B. I = tdt ∫ . C. 2 I = t dt ∫ . D. I = tdt ∫ . 3 3 3 3 1 1 1 1 e 3+ ln − Câu 107: Biết x d a b c x = ∫
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c < 4 . Tính giá x 3 1
trị S = a + b + c . A. S = 13.
B. S = 28 .
C. S = 25. D. S = 16. e ln Câu 108: x Cho I = d ∫
có kết quả dạng I = ln a + b với a > 0 , b ∈  . Khẳng định nào sau ( x x ln x +2)2 1 đây đúng? 3 1 3 1
A. 2ab = −1.
B. 2ab = 1 . C. b − + ln
= − . D. −b + ln = . 2a 3 2a 3 2 x+ 1 Câu 109: Biết
dx = ln ln a+ b ∫ với
là các số nguyên dương. Tính 2 2 = + + . 2 ( ) a , b P a b ab x + xln x 1 A. 10 . B. 8. C. 12 . D. 6 . 2 2 + + e ( x ) 4 2 1 ln x 1 +
Câu 110: Cho tích phân ae be I = dx = +c + dln 2 ∫ . Ch n phát ọ
biểu đúng nhất: e x ln x 2 https://toanmath.com/
A. a = b = c = d B. 2 1
a = b = c =
C. A và B đúng D. A và B sai d 2018 ln(1+ 2x )
Câu 111: Tính tích phân I = dx ∫ . 1 +2−x log e 0 ( ) 4 A. I = ( 2018 ln 1+ 2 ) −ln2. B. 2 I = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2. C. 2 − I = ( 2018 ln 1+ 2 )−ln4 . D. 2 I = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2 . e f (ln ) x
Câu 112: Cho hàm số y = f (x ) liên t c ụ trên  và thỏa mãn dx = . e ∫
Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1 1 1 e e A. f
∫ (x)dx =1. B. f
∫ (x)dx = .e C. f
∫ (x)dx =1. D. f
∫ (x)dx = .e 0 0 0 0 4 e 1 4
Câu 113: Biết f
∫ (ln x ) dx =4 . Tính tích phân I = f (x)dx ∫ . e x 1
A. I = 8 .
B. I = 16 .
C. I = 2 . D. I = 4 .
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm s
ố f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả s ử hàm s ố x = ϕ(t) o hàm có đạ và liên tục trên đoạn (*)
[α; β] sao cho ϕ(α) = a,ϕ(β) =b và a ≤ϕ(t) ≤ b với mọi t ∈[α ;β ]. Khi đó: b β f ( ) x dx=
f (ϕ (t))ϕ '(t) . dt ∫ ∫ a α
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  π π 1. 2 2 
a − x : đặt x |
= a | sin t; t ∈ − ;  2 2    | a |  π π 2. 2 2 
x − a : đặt x = ; t ∈ − ; \ {0} sin   t  2 2   π π 3. 2 2 
x + a : x |
= a| tan ;t t∈ −  ;   2 2 + −
4. a x hoặc a x : đặt x = a.cos2t a− x a + x
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 2 3 tích phân x dx 3 x dx I = ∫ thì phải đ i
ổ biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫ thì nên đổi 2 0 2 0 x +1 x + 1 biến dạng 1. 2
Câu 114: Khi tính 2 I = 4 − x dx, ∫ bằ
ng phép đặt x = 2sin t, th ìđược 0 π π 2 2 2 2 A. 2
∫ (1+ cos2t)dt . B. 2
∫ (1− cos2t)dt . C. 2 4cos tdt ∫ . D. 2 2cos tdt ∫ . 0 0 0 0 https://toanmath.com/ 1 π
Câu 115: Biết rằng 2 2 4 − x dx = + a ∫
. Khi đó a bằng: 3 −1 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 1 2 1
Câu 116: Cho tích phân I = dx = aπ ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 2 0 1− x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 6 3
Câu 117: Giá trị của 2 a a 9− x dx = π ∫
trong đó a, b ∈ và là phân số t i
ố giản. Tính giá trị của b b 0
biểu thức T = ab . A. T = 35 .
B. T = 24 .
C. T =12. D. T = 36 . 1 d
Câu 118: Đổi biến x
x = 2sin t thì tích phân ∫ trở thành 2 0 4 − x π π π π 6 3 6 d 6 A. t tdt ∫ . B. tdt ∫ . C. ∫ . D. dt ∫ . t 0 0 0 0 a+ b 1 π
Câu 119: Biết rằng dx = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 < a + b < 5 2 −x + 6x − 5 6 4 . T ng ổ
a + b bằng A. 5. B. 7 . C. 4 . D. 6 . 3
Câu 120: Tích phân I = ∫ ( x − )1(3− x)dx có giá trị là: 5 2 π 3 π 3 π 3 π 3 A. I = − . B. I = − . C. I = − . D. I = − . 6 4 3 8 6 8 3 8 1 3+ 4 Câu 121: Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: 2 0 3 +2x − x 7π 7π A. I = −4 3 +8. B. I = − 4 3 − 8 . 6 6 7π 7π C. I = +4 3 −8. D. I = + 4 3 + 8. 6 6 1 2 4x − 3
Câu 122: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 −1 5 +4x −x 5π 5π 5π 5π A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 6 3 6 https://toanmath.com/ 1 2 Câu 123: Cho 2 I =
1 −2x 1 − x dc = aπ +b ∫
với a,b ∈ R . Giá trị a + b gần nhất với 0 1 1 A. B. 1 C. D. 2 10 5 1 1
Câu 124: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 0 π π π π A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 4 6 1 Câu 125: Cho hàm s
ố f ( x) liên tục trên  thỏa mãn f ( x) 4 tan
= cos x , ∀x ∈  . Tính I = f ( ) x d ∫ x 0 . π +2 2 + π π A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4
Câu 126: Cho hàm số f liên tục trên đ ạ
o n [−6;5], có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5
hình vẽ. Tính giá trị I =  f
∫  (x) +2dx  . −6 y 3 6 − −4 O x − 5 1
A. I = 2π + 35.
B. I = 2π + 34.
C. I = 2π + 33 .
D. I = 2π + 32 . 1 d
Câu 127: Khi đổi biến x
x = 3 tan t , tích phân I = ∫
trở thành tích phân nào? 2 x +3 0 π π π π 3 6 3 6 6 1 A. I = 3dt ∫ . B. I = dt ∫ C. I = 3 d t t ∫ . D. I = dt ∫ . 3 t 0 0 0 0 https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪN G Ả I I
y = f ( x) [a,b ]
u = u ( x) Câu 1. Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số
có đạo hàm liên tục trên 19T [a,b]
u (x )∈[α, β ] x ∀ ∈[a,b] f (u ) [α,β ] và , hơn nữa liên tục trên đoạn . Mệnh đề nà
o sau đây là đúng? x = a 19T 19T b b u(b) b A. f u
∫  (x) u′
 ( x) dx = f
∫ (u)du . B. f u
∫  (x)u′
 (x )dx = f
∫ (u )du . a a u(a) a (u )b b b b
C. f u ( x) u′ ( x) dx = f (u) du ∫   ∫ . D. f u
∫  (x)u′
 (x ) dx = f ∫ (x)du . a u( a) a a
Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt u (x ) = t ⇒ u′(x)dx = dt . Đổi cận
Khi x = a thì t = u( )
x ; khi x = b thì t = u (b ). b (u )b u(b) Do đó f u
∫  (x) u′  ( x) dx = f (t) dt ∫ = f ∫ (u)du . a u( a) u(a)
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3
Câu 2. Tính tích phân I = x ( x − )1000 1 d . x ∫ 1 1002 2003.2 1001 1502.2 1002 3005.2 1001 2003.2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 1003002 501501 1003002 501501
Hướng dẫn giải
Đặt x −1 = t, khi x =1⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = 2. 2 2 1002 1001 2  t t  Do
đó I = ∫(t + ) 1000 1 t d (t + ) 1 = ∫( 1001 1000 t +t )dt = +   1002 1001 0 0  0 1002 1001 1001 2 2  2 1  1502.2 1001 = + = 2 + = . 1002 1001  1002 1001   501501 Chọn B 100
Câu 3. Giá trị của tích phân x
∫ (x −1)...(x −100)dx bằng 0 A. 0 . B. 1. C. 100.
D. một giá trị khác.
Hướng dẫn giải 19T Chọn A 19T 100 Tính I = x
∫ ( x− )1...( x−100)dx . 19T 19T 0
Đặt t =100 − x ⇒ dx = −dt .
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 100 ; khi x = 100 thì t = 0 . Do x( x − )
1 ...( x −100) = (100 − t)(99 − t)...(1− t)( t
− ) = −t (t − )
1 ...(t − 99)(t −100) nên 100 100 I = x
∫ ( x− )1...( x−100)dx = − t
∫ (t −1)...(t −100)dt = −I ⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0 . 0 0 https://toanmath.com/ 2 Câu 4. Tích phân x dx ∫ bằng 2 x +3 0 A. 1 7 log . B. 7 ln . C. 1 7 ln . D. 1 3 ln . 2 3 3 2 3 2 7
Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 1 1 2 1 Ta có: x d ∫ = d ∫ ( 2 1 7 x + 3 2 = ln x + 3 = ln . 2 ) 2 x x 3 + 2 x + 3 2 2 3 0 0 0 Câu 5. 2 Cho tích phân dx 5 I = = a ln + b ∫
. Khi đó a + 2b bằng 5 3 1 x + x 8 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 2 4 8 16 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 dx dx x I = = = dx ∫ 5 3 ∫ ∫ 3 x + x x ( 2 x + ) 4 x ( 2 1 1 1 . 1 . x + ) 1 Đặt 2
t = x +1, suy ra 1 dt = 2xdx ⇔ dt = xdx . 2
Đổi cận x = 1⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = 5. 5 1 1 Suy ra I = . dt ∫ . 2 ( t 1 − )2 2 .t 1 mt + n k Ta cần tách tiếp về dạng
+ để có thể lấy nguyên hàm được .Dễ dàng tìm (t − )2 1 .t (t − )2 1 t được , m ,
n k bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được m = −1, n = 2, k = 1. Suy ra 5 5 5 1   5 1 2 − t 1 1 1 1 1 5 1  1  1 1 5 3 I =  + dt  = ln x − . − ln t 1 − = ln − . ∫  1 − −  ln 4 = ln + 2 t  (t−1)2 2  2 2 t −1 2 2 2 2  4  2 2 8 8 2 2 2  1 3 5
Suy ra a = ,b = ⇒ a + 2b = . 2 8 4 Ta chọn phương án B. 1 5 Câu 6. Tích phân x dx I = ∫ được ế
k t quả I = a ln 2 − . Giá trị a+b là: ( b + x )3 2 0 1 A. 3 B. 13 C. 14 D. 4 16 16 17 17 Hướng dẫn giải Chọn A 2 1 1 2 1  1 5 đặt t = ( 2 1+ x ) ⇒ I = − + dt = ∫  ln 2 −  . 2 3 2  t t t  2 16 1 0 2 Câu 7. Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 1 −
A. I = ln 3 .
B. I = − ln 2 .
C. I = − ln 3 . D. I = ln 2 .
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Ta nhận thấy: ( 2 x +1)' = 2x . Ta đặt: 2
t = x + 1⇒ dt = 2xdx . 1
x = −1⇒ t = 2 1 1 Đổi cận:  .⇒ I = dt = ∫ (ln t ) = − ln2. x = 0 ⇒ t =  1 t 2 2 Chọn B 1 2 x 1 Câu 8. Cho dx = lna ∫
,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 x +1 3 0 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Hướng dẫn giải 1 2 x 1 Cho dx = ln ∫ . Giá trị của a là: 3 a x +1 3 0 Ta có: 1 2 2 x 1 1 dx = = dt = ∫ ∫ ( t ) 2 1 ... ln = ln 2 ⇒ a = 2 . 3 1 x +1 3t 3 3 0 1 Chọn A 0 Câu 9. Tích phân ax I = dx ∫ ,với a ≠ 2
− có giá trị là: 2 ax + 2 −1 ln 2 + ln a + 2 ln 2 − ln a + 2 A. I = . B. I = . 2 2 − ln 2− ln a + 2 − ln 2+ ln a + 2 C. I = . D . I = . 2 2
Hướng dẫn giải 0 ax Tích phân I = dx ∫
, với a ≠ −2 có giá trị là : 2 ax + 2 −1 Ta nhận thấy: ( 2
ax + 2)' = 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đăt 2
t = ax + 2 ⇒ dt = 2axdx .
x = 0 ⇒ t = 2 Đổi cận  .
x = − 1⇒ t = a +  2 2 1 1 I = dt = ∫ ( t )2 1 ln
= (ln 2− ln a + 2 ) . a 2 2t 2 + 2 a+2 Chọn B 5 5 Câu 10. d Giả sử x = dx
a ln 5 + b ln 3 + c ln 2.(a,b,c ∈ ) ∫ 
= a ln 5 +b ln 3+c ln 2. nh gi trị 2 ∫ Tí á x − 2 − 3 x 3 x x biểu thức 2 S = 2
− a + b + 3c .
A. S = 3.
B. S = 6.
C. S = 0. D. S = −2.
Hướng dẫn giải Chọn B 5 5 5 5 5 dx dx dx dx x − 1 4 2 = = − = ln
= ln − ln = ln 4− ln 5− ln 2+ ln 3 = ln 2+ ln 3− ln 5 ∫ 2 ∫ ∫ ∫ x − x x x −1 x −1 x x 5 3 3 3 ( ) 3 3 3 suy ra a = 1
− ;b = 1;c = 1 Vậy S = 2 +1+ 3 = 6. https://toanmath.com/ 1 2 2 x +3 x +3 Câu 11. Biết
dx = a − ln b ∫
với a , b là các s ố nguyên dương. Tính 2 2
P = a + b . 2 x + 2x +1 0 A. 13 . B. 5. C. 4 . D. 10 .
Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 2x +3x +3 Ta có I = dx ∫ 2 x + 2 x +1 0 dt = dx
x = 0 ↔ t =1
Đặt t = x +1⇒  suy ra  x = t −1 x  = 1↔ t = 2 2( 2 t − )2 2 1 + 3(t− ) 1 + 3 2 2 2 2 t −t +2  1 2   2  Khi đó I = dt = ∫ dt = 2− +
dt = 2t −ln t − 2 ∫ ∫ 2    t 2  t t   t  1 t 1 1 1 = 3− ln 2. Suy ra 2 2 P = 3 + 2 = 13 . b 2 − Câu 12. Tính a x I = dx ∫
(với a , b là các s
ố thực dương cho trước). + a (a x )2 2 2 (a −1)(b −1) A. b b b I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 a +b 2 a + b ( 2
a +b )(a + ) 1 2 a + b
Hướng dẫn giải Chọn C a − b 2 b 1 a − x 2 x I = dx ∫ = dx ∫ . 2  
a (a +x ) 2 2 a a + x    x  Đặt aat = + x ⇒ dt = − + 
1 dx. Đổi cận: x = a ⇒ t =1+ a ; a
x = b ⇒ t = +b x 2  xb a 2 b + a a+ b b −1 1 b + b 1 b b 1
(a − b)(b − ) 1 Khi đó: I = ∫ dt = = = − = 2 t t t 2 a +b 1+ a ( 2
a+ b ) ( a+ ) 1 1 a + 1+ a 1+ a ⇔ k = 1 . π 4 1 2 x f ( )
Câu 13. Cho hàm số f (x ) liên tục trên  và các tích phân x f
∫ (tan x)dx = 4 và dx = 2 ∫ . 2 x + 1 0 0 1
Tính tích phân I = f ( ) x dx ∫ . 0
A. I = 6 .
B. I = 2 .
C. I = 3 . D. I = 1.
Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt = x ⇒ t = ( 2 + x ) dt t tan d 1 tan dx ⇒ = dx 2 1 + t π
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 và x = ⇒t 1 = 4 π 4 1 f (t ) 1 dt f (x )dx
Đó đó: f (tan x)dxdx = 4 ∫ ⇒ = 4 ⇒ = 4 ∫ 2 ∫ 2 1+ t 1+ x 0 0 0 https://toanmath.com/ 1 f (x ) 1 2 dx x f ( x ) 1 Nên dx + = 4 +2 ⇔ f ∫ ∫ ∫ (x)dx =6 2 2 1+ x 1+ x 0 0 0
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I = f ′ (2x 1 − ∫ )dx . 1 4 3 2 -1 2 O 1 3 -1 2 A. I = 2 − . B. I = 1 − .
C. I = 1. D. I = 2 .
Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào ồ
đ thị hàm số ta có đồ thị hàm số y = f ( x) đi qua các điểm ( −1;− ) 1 , (0;3) , ( 2;− ) 1 , (3;3) nên hàm s
ố y = f ( x) 3 2 = x − 3x + 3. 2 2 1 1 1
Ta có: I = f ′ (2x 1 − ∫ )dx = f ′( 2x − ) 1 d( 2x − ) 1 ∫ = f ( 2x − ) 2 1 =  f ( ) 3 − f ( ) 1  = 2 1 2 2   1 1 1 https://toanmath.com/ HÀM VÔ TỈ 1
Câu 15. Cho tích phân 3 1− xdx ∫ , với cách đặt 3
t = 1− x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 1 A. 3 d 3 2 3 t t ∫ . B. t dt ∫ . C. 3 t dt ∫ . D. 3 t dt ∫ . 0 0 0 0
Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 3 3 2
t = 1− x ⇒ x = 1− t ⇒ dx = −3t dt , đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 , x =1⇒ t = 0. 1 1 Khi đó ta có 3 3
1− xdx = 3 t dt ∫ ∫ . 0 0 2
Câu 16. Trong cá
c tích phân sau, tích phân nà
o có cùng giá trị với 3 2 I = x x −1dx ∫ 1 4 3 3 A. 1 2 2 2 2 2 t t −1dt ∫ .
B. t t −1dt ∫ C. (t + ∫
)1t dt . D. ( x + ∫ )1 x dx . 1 2 1 0 1
Hướng dẫn giải. Đặt 2 2 2 t =
x −1 ⇒ t = x −1 ⇒ tdt = xdx
x = 1 ⇒ t = 0, x = 2 ⇒ t = 3 2 3 3 2 I = x x −1dx = ∫
∫ ( 2t +1) 2tdt 1 0 Chọn C 3 2 Câu 17. Nếu x
dx = f (t )dt ∫ ∫
, với t = 1+ x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới + + 0 1 1 x 1 đây ? A. 2
f (t) = 2t + 2t B. 2
f (t) = t − t C. 2
f (t) = t + t D. 2
f (t) = 2t − 2t
Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = 1+ x , suy ra 2t = 1+ x, 2tdt = dx 3 2 2 2 2 x t − 1 Ta có 2 dx =
.2tdt = (t − 1).2tdt = (2t − 2t)dt ∫ ∫ ∫ ∫ 1+ 1+ x 1+ t 0 1 1 1 4 1
Câu 18. Kết quả của dx ∫ bằng 2x + 1 0 A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2
t = 2x +1 ⇒ t = 2x +1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇒ d t t = dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 4 ⇒ t = 3 . 4 3 3 1 td Khi đó, ta có t 3 dx = = dt = t = 2 ∫ ∫ ∫ . 1 + 0 2x 1 1 t 1 1 d Câu 19. Tích phân x ∫ bằng 0 3x +1 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/
Chọn D 19T t Đặt t = 3x +1 2
⇒ t = 3x +1 ⇒ 2tdt = 2
3dx ⇒ d t =d x 3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1⇒ t = 2 1 2 d 2 2 x 2 1 2 2 2 Khi đó = . d t t ∫ ∫ = dt ∫ = t = . 3x +1 3 t 3 3 3 0 1 1 1 d 1 1 x 2 dx 2 Cách khác: Sử ụ d ng công thức =
ax + b + C ∫ thì = 3x +1 ∫ 2 = . ax + b a 3x +1 3 3 0 0 3 Câu 20. Cho x d a x = + bln 2 + cln 3 ∫
với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 4 +2 x 1 + 3 0 bằng A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9 .
Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt t = x +1 2 ⇒ t = x +1 2
⇒ x = t −1 ⇒ dx = 2tdt .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 4 . Khi đó: 2 2 2 2 3 2 3 t −1 t − t     2 6 t 2 7 .2tdt = dt = t − 2t + 3 − dt =
−t + 3t − 6 ln t + 2 = −12 ln 2 + 6 ln 3 ∫ ∫ ∫ 4 +2     t t + 2  t + 2   3  3 1 1 1 1 a = 7 Suy ra b
 = −12 ⇒ a + b + c = 1. c = 6  4 1
Câu 21. Biết I =
dx = a +b ln 2 ∫
với a,b là s nguyên. T ố
ính S = a + b . + − 0 2x 1 5
A. S = 3. B. S = 3 − . C. S = 5. D. S = 7.
Hướng dẫn giải: Chọn B 2
t = 2x +1 ⇒ t = 2x +1 ⇒ 2 d t t = 2dx
x = 0 ⇒ t =1 x  = 4 ⇒ t = 3 4 3 3 1 t  5  I = dx = dt = 1+ dt = ∫ ∫  ∫ 
(t +5ln t −5 )3 = 2 −5ln 2. 1 2x +1 − 5 t −5  t −5 0 1 1 
Suy ra: a = 2;b = −5 ⇒ S = a + b = −3. 5 d
Câu 22. Tính tích phân x ∫
được kết quả I = a ln 3 + b ln 5. Giá trị 2 2
a + ab + 3b là 1 x 3 x +1 A. 4 . B. 5 . C. 1. D. 0 .
Hướng dẫn giải Chọn B 2 − Đặt 2 t 1 2td = 3 +1 ⇒ = 3 +1⇒ = ⇒ d t t x t x x x = . 3 3
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 4. Khi đó https://toanmath.com/ 4 2 4  1 1  4 t −1 a = 2 I = dt ∫ = − ∫  dt = ln = 2ln 3− ln 5 . Suy ra  . 2 t 1 −
t −1 t +1 t + 1 b = 1 − 2 2 2  Do đó 2 2
a + ab + 3b = 5 . 4 dx 2
Câu 23. Cho tích phân I = = a + bln ∫
với a,b ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3+ 2x + 1 3 0
A. a − b = 3.
B. a − b = 5 .
C. a + b = 5.
D. a + b = 3 .
Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = 2x +1 2
⇒ t = 2x +1 ⇒ dx = tdt .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3 4 d 3 d 3  3  2 Khi đó x t t I = ∫ = ∫ = 1 − dt ∫
 = (t −3ln t + 3 ) 3 = 2 + 3ln 3 + 2x +1 3 + tt + 3  1 3 0 1 1
Do đó a + b = 5 . 3 2 Câu 24. Biết 2 x x + 1dx = ∫
(a− b ) , với a,b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 1
A. a = 2b .
B. a < b .
C. a = b .
D. a = 3b .
Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 2 2 t =
x + 1 ⇒ t = x +1 ⇒ tdt = xdx . Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 2 . 2 3 2 3 t 2 Khi đó 2 2 x x + 1dx = t dt = = ∫ ∫
(4− 2). Vậy a = 2 .b 3 3 1 2 2 a dx 1 5 Câu 25. Cho I = = ln , a > 5 ∫
. Khi đó giá trị của ố s thực a là 2 ( ) x x + 4 3 5 4 A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. D. 2 2.
Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 2 2 t =
x + 4 ⇒ t = x + 4 ⇒ d t t = d x .
x Đổi cận: x = 5 ⇒ t = 3, 2
x = a ⇒ t = a + 4 . 2 2 a a + 4 a + 4 d x x dt dt I = = = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 x x 4 t − 4 (t − 2)(t+ + 2) 5 3 3 2 2 a 4 a 4 + +  2 1  1 1  1 t 2 1 a 4 2  − + − = − dt = ln = ln 5⋅  ∫   .  − +  +  2 4 t 2 t 2 4 t 2 4  3 3 a + 4 + 2    2  2 1 5 1 a + 4 − 2 1 5 a + 4 − 2 1
Ta có, I == ln ⇔ ln 5 ⋅  = ln , a > 5 ⇔ =  2 ( )  2 4 3 4 a + 4 + 2 4 3 a + 4 + 2 3   ⇔ ( 2 a + − ) 2 3
4 2 = a + 4 + 2 ⇔ a = 2 3 . 1 Câu 26. Cho x I =
dx = a 2 +b ∫
. Giá trịa.b là: 2 0 x + 1 A. – 1. B. – 2 . C. 1. D. 2.
Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 1 x Cho I =
dx = a 2 +b ∫ . Giá trịa.b là: 2 0 x + 1 Ta có:
x = 0 ⇒ t = 1 Đặt 2
t = x + 1⇒ dt = 2xdx . Đổi cận  . x = 1⇒ t =  2 2 1 1 ⇒ I = dt =
2 − 1⇒ a = 1,b = −1⇒ . a b = −1 ∫ . 2 1 t Chọn A 2 2 Câu 27. 4 Với − x b a, ,
b c ∈ R . Đặt I = dx = a − ln ∫
. Giá trị của tính abc là : 1 x c A. 3 B. 2 − 3 C. 2 3 D. − 3 Hướng dẫn giải Chọn D
Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên chúng ta cần phải nhớ
phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn. Dưới đây là một cách Đặt 2 2 2 t =
4 − x ⇒ t = 4 − x ⇒ tdt = −xdx 0 0 0 2 0 t(− tdt) t  4   t − 2  2− 3 I = = dt = 1+ dt = t + ln = − 3 − ∫ ∫ ∫   ln 2 2 2 4   − t t −4  t −4  t  +2  2 + 3 3 3 3 3
Suy ra abc = − 3(2 − 3)(2 + 3) = − 3 3 2 x +1 + Câu 28. Cho = − + ln c d dx a b ∫
với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số x 1 e
nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng. A. 14. B. 17 . C. 10 . D. 24 .
Hướng dẫn giải
Chọn C 3 2 3 2 x + 1 x + 1 I = dx d = x x ∫ ∫ . 2 x 1 1 x Đặt 2 t = x +1 2 2
⇒ t = x +1 ⇒ 2 d = 2 d t t x x ⇒ d = d t t x x.
x = 1⇒ t = 2 Đổi cận:  .
x = 3 ⇒ t = 2 2 2 2 2 2 t  1  1 1   1  1 1  I = dt ∫ = 1+ − dt = d + − d t t 2 ∫     ∫ ∫   t 1 − 
2  t −1 t +1  2 t 1 − t +1  2 2 2 2 2 2 1 t −1 3 + 8 = 1 1 1 t + ln
= 2− 2 + ln − ln (3− 2 2 ) = 2− 2 + ln 2 2 t + 1 2 3 2 3 2 1 + 2 = 2− 2 + ln . 3
Vậy a + b + c + d + e = 10 . 7 3 x d Câu 29. x Giá trị của a I = ∫
được viết dưới dạng phân số tối giản ( a , b là các số nguyên 3 2 b 0 1 + x
dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng https://toanmath.com/ A. 2 . B. 1. C. 0 . D. −1.
Hướng dẫn giải Chọn B 7 3 x d Cách 1: x Tính I = ∫ 3 2 0 1 + x 3 Đặt 3 2 2 u = 1 + x ⇒ u du = d
x x . Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 ; x = 7 ⇒ u = 2 . 2 ( 3u − ) 2 2 2 1 3 u 3 141 Vậy I = du =
( 4u −u)du = ∫ ∫ . 2 u 2 20 1 1
Suy ra: a = 141 , b = 20 .
Vậy a − 7b = 1. 7 3 x dx 141
Cách 2: Dùng MTCT I = = 7.01 = ∫ . 3 2 1+ x 20 0
Suy ra: a = 141 , b = 20 .
Vậy a − 7b = 1. 64 dx 2
Câu 30. Giả sử I = = aln +b ∫ với −
a, b là s nguyên. T ố
ính giá trị a b . 3 x + x 3 1 A. 1 − 7. B. 5. C. −5 . D. 17 .
Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 6 x = t 6 ⇒ x = t 5
⇒ dx = 6t dt .
Với x =1 ⇒ t = 1, x = 64 ⇒ t = 2. 2 5 2 Khi đó 6t  1  2 2 I = dt = 6 t − t + 1 −
dt = 2t − 3t + 6t − 6 ln t +1 = 6ln +11 ∫ . 3 2 ∫  ( 3 2 ) 21 t +tt + 1 3 1 1
⇒ a = 6 , b =11.Vậy a − b = −5 . 2 2 + Câu 31. 1 x 1 Giả sử d  bx = a a − b ∫
với a,b,c ∈  ; 1 ≤ a, ,
b c ≤ 9 . Tính giá trị của biểu 4   x c b + c  1
thức b−a . 2 C a c+ A. 165. B. 715. C. 5456 . D. 35 .
Hướng dẫn giải Chọn D 1 2 + 2 2 1 2 1+ x = d x I x = dx ∫ ∫ 4 3 x x 1 1 1 2 1 Đặt 2t = 1+ ⇒ 2 d t t = − dx ⇒ − d t t = dx 2 3 3 x x x 5 2 2 1   Ta được 2 3 I = − t dt = t ∫ 1 5 = 2 2 −  5  . 5 3 3  5+ 3  2 2
Vậy a = 2, b = 5 , c = 3, suy ra b−a 3 C = C = . + 35 2a c 7 x Câu 32. t
Tập hợp nghiệm của bất phương trình dt > 0 ∫ (ẩn x ) là: 2 0 t 1 + A. (− ; ∞ +∞ ) . B. (− ; ∞ 0). C. ( − ; ∞ + ) ∞ \{ } 0 . D. (0;+∞) . https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải Chọn C x t 1 x 1 x Ta có dt > 0 ⇔ d ∫ ∫ ( 2t +1) 2 2
> 0 ⇔ t +1 > 0 ⇔ x +1 −1 > 0 2 2 t 1 + 2 0 0 0 t 1 + 2 2
⇔ x +1 > 1 ⇔ x > 0 ⇔ x ≠ 0 7 3 m Câu 33. Cho biết d = ∫ x m x với là m t ộ phân s t ố i
ố giản. Tính m − 7n . 3 2 n 0 1+ n x A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 91.
Hướng dẫn giải Chọn B 2 3t d Đặt 3 2 3 2 2 = 1 + ⇒ =1 + ⇒ 3 d = 2 d ⇒ d t t x t x t t x x x x = . 2
Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 1; khi x = 7 ⇒ t = 2 2 7 3 2 3 2 2 x t 1 − 3t 3   x = t = ∫ ∫ ∫(t −t ) 5 2 4 3 t t 141 d . d . dt = . −  = . 3 2 1+ x t 2 2 2  5 2  20 0 1 1 1
⇒ m − 7n = 141− 7.20 = 1 . 2 x Câu 34. Biết
dx = a + b 2 + c 35 ∫
với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P = a + 2b + c − 7 2 1 3 x + 9x 1 − . 1 86 67 A. − . B. . C. −2 . D. . 9 27 27
Hướng dẫn giải 19T
Chọn A 19T 2 2 2 Cách 1: Ta có x dx ∫ = 2 2 x ∫ ( 2
3x + 9x −1)dx = ∫ (3x − x 9x −1)dx 19T 19T 2 1 3 x + 9 x 1 − 1 1 2 2 2 2 2 2 2 = 3 3 2 2
x dx − x 9x −1dx ∫ ∫
= x + x 9x −1dx ∫
= 7 − x 9x −1dx ∫ . 1 1 1 1 1 2 Tính 2
x 9x −1dx ∫ . 1 t t Đặt 2 9x −1 = t 2 2 ⇒ 9x −1 = d
t ⇒ xdx = . 9
Khi x =1 thì t = 2 2 ; khi x = 2 thì t = 35 . 2 35 35 3 d Khi đó 2 t t t
x 9x −1dx ∫ = t = ∫ 35 16 = 35 − 2 . 9 27 27 27 1 2 2 2 2 2 x 35 16 16 35 Vậy dx = 7 − 35 + 2 ∫ ⇒ a = 7 , b = , c = − . 2 + − 27 27 27 27 1 3 x 9 x 1
Vậy P = a + 2b + c − 32 35 1 7 = 7+ − − 7 = − . 19T 19T 27 27 9 2 2 1 1 2 3 35 35 16 2 Cách 1 2: 2
x 9x − 1dx = ( 2 9x − )1 d( 2 2 9x − ∫ ∫ )1 = ( 2 9x − )2 1 = − 18 27 27 27 1 1 1 https://toanmath.com/ 2 x 35 16 ⇒ d 16 35 x = 7 − 35 + 2 ∫ ⇒ a = 7, b = , c = − . 2 x + x − 27 27 27 27 1 3 9 1
Vậy P = a + 2b + c − 32 35 1 7= 7+ − − 7 = − . 19T 19T 27 27 9 2 d Câu 35. x Biết
= a − b − c ∫
với a , b , c là các s ố nguyên dương. Tính x x+ 1 + x+ 1 1 ( ) x
P = a + b + c .
A. P = 44 .
B. P = 42 .
C. P = 46 . D. P = 48 . 19T 19T 19T 19T 19T 19T
Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 dx d Đặt x I = = ∫ ∫ . 19T 19T x x +1 + x +1 + + + 1 (
) x 1 x(x 1) ( x x 1) x + 1 + x dx dt
Đặt t = x + x + 1⇒ dt = dx ⇔ = 2 . 2 x (x +1) x ( x + ) 1 t
Khi x =1 thì t = 2 +1 , khi x = 2 thì t = 3 + 2 . 2 3+ 2 3+ 2 dx dt 1   I = = 2 = 2 − ∫ ∫ 1 1 = −2 −   x x + x + x + t t  + + 1 ( ) 1 ( 1) 2 2+1 3 2 2 1 2  +1
= 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 4 ⇒ a = 32 , b = 12 , c = 4
Vậy P = a + b + c = 48 4 2 2 3 x + 4x + 1 1
Câu 36. Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn d 4 2 x ∫
= ∫ (au +bu + c)du , trong + 2 0 2x 1 1
đó u = 2x +1 . Tính giá trị S = a + b + c . A. S = 3 .
B. S = 0 .
C. S = 1 . D. S = 2 .
Hướng dẫn giải Chọn D  d u u = dxu = 2x +1 2 ⇒ u = 2x +1 2 ⇒  u −1 x =  2 2 2 2  u −1   u −1  2 + 4 +1 4 2 2 3     3 x + 4x + 1 2 2 1 Khi đó d     4 2 x ∫ = . u du ∫ = (u + 2u − ∫ )1.du 2x +1 u 2 0 1 1
Vậy S = a + b + c = 1+ 2 −1 = 2. 1 2 3 + Câu 37. Tích phân a x ax I = dx ∫
, với a ≥ 0 có giá trị là: 2 0 ax +1 a( a − ) 2 a( a − 2) a (a + 2) a( a + 2) A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4 2 4 2
Hướng dẫn giải 1 2 3 a x + ax Tích phân I = dx ∫
, với a ≥ 0 có giá trị là : 2 0 ax +1 https://toanmath.com/ 1 2 3 1 a x ax ax( 2 ax + + ) 1 1 Ta biến đổi: I = dx = dx = ∫ ∫ ∫( 2 ax ax 1 + dx . 2 2 ) 0 ax 1 + 0 ax 1 + 0 Ta nhận thấy: ( 2
ax +1)' = 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đặt 2
t = ax +1 ⇒ dt = 2axdx .
x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận  .
x = 1⇒ t = a +  1 a+1 a+1 1  1  1 2 I = tdt = t = a ∫   (a +2) . 2  4  4 1 1 Chọn C 3 1
Câu 38. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 0 x +9 3 + 2 3 3 − + 2 3 3 +2 3 3 − + 2 3 A. I = −ln . B. I = −ln . C. I = ln . D. I = ln . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải 3 1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : 2 0 x +9 2  xx + x + 9 Đặt 2 udx du dx u = x + x 9 + ⇒ du = 1  +  dx = dx = ⇒ = . 2 2 2 2  + 9  + 9 + 9 u x x x x + 9 x =  0 ⇒ u = 3 Đổi cận  . x  = 3 ⇒ u = 3+ 3 2 3 3 + 2 du + ⇒ I = = ∫
(ln u )3 3 2 = ln 1+ 2 . 3 ( ) u 3 Chọn C 1 Câu 39. Tích phân a I = dx ∫ có giá trị là: 2 0 3x 12 + a 1 − 5 a 1+ 5 A. I = ln . B. I = − ln . 3 2 3 2 − + C. a 1 5 a 1 5 I = − ln . D. I = ln . 3 2 3 2
Hướng dẫn giải 1 a Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : 2 0 3x 1 + 2 Ta có: 1 1 a a 1 I = dx = dx ∫ ∫ . 2 2 0 3x + 12 3 0 x + 4 2 x + x + 4 Đặt 2 du dx
u = x + x + 4 ⇒ du = dx ⇒ = . 2 2 + 4 u x x + 4 1 5 1+ + 5 a 1 a + I = du = ∫ ( u) a 1 5 ln = ln . 3 u 3 3 2 2 2 https://toanmath.com/ Chọn D 2 ax − 2
Câu 40. Tích phân I = dx = 2 3 1 − ∫ . Giá trị nguyên của a là: 2 1 ax − 4x
A. a = 5 .
B. a = 6.
C. a = 7 . D. a = 8.
Hướng dẫn giải 2 ax − 2 Tích phân I = dx = 2 3 1 − ∫ . Giá trị của a là: 2 1 ax − 4x Ta có: ( 2
ax − 4x )' = 2ax − 4 = 2 (ax − 2 ) . 2 1 2ax − 4 ⇒ I = dx ∫ . 2 2 1 ax − 4x Đặt 2
t = ax − 4x ⇒ dt = (2ax − 4 )dx .
x = 2 ⇒ t = 4a −8 Đổi cận  .
x = 1⇒ t = a −  4 4a− 8 1 1 − I = dt = ∫
( t) 4a 8 = 4a 8 − − a −4 2 a−4 t a− 4
Theo đề bài: I = 2 3 −1 ⇔ 4a −8 − a − 4 = 2 3 −1 ⇔ ..... ⇔ a = 5. 2 1 2 + Câu 41. Cho a dx = ln ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị a là: 2 x +1 1+ b 1 b 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2
Hướng dẫn giải 2 1 Cho = ln a dx ∫ . Giá trị a là : 2 1 x + 1 b b dt dx Ta đặt: 2
t = x + x +1 ⇒ = . 2 t x +1
x = 1⇒ t = 1+ 2 Đổi cận  . x =  2 ⇒ t = 2+ 5 2+ 5 dt ∫ ( + + = t )2 5 2 5 ln ln . 1+ 2 t 1 + 2 1+ 2 Chọn B 37 5 3 Câu 42. x Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: 3 3 0 8− x A. 87 I = . B. 67 I = . C. 77 I = . D. 57 I = . 5 5 5 5
Hướng dẫn giải 37 5 3 Tích phân x I = dx ∫ có gái trị là : 3 3 0 8− x Cách 1: Ta nhận thấy: ( 3 − x ) 2 8
' = −3x . Ta dùng đổi biến số. Đặt 3 2
t = 8 − x ⇒ dt = −3x dx . https://toanmath.com/ x =  0 ⇒ t = 8 Đổi cận  . 3 x =  7 ⇒ t = 1 3 3 3 7 5 7 2 3 7 2 3x −3x .x − 3x ( 8− t) Ta có: I = dx = − dx = − dx ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 3 3 0 8− x 0 8− x 0 8− x 1 1 1 2 1 5 2 t −8  −  3  87 3 3 3 3 ⇒ I = dt = t ∫ ∫ − 8.t dt  = t  − 12t  = . 3 t 5 5 8 8     8 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, tuy nhiên chờ máy giải cũng khá mất thời gian. 4 + Câu 43. 2 x 1dx 5 Biết
= a + bln 2 + cln ( , a , b c∈ ) ∫
 . Tính T = 2a + b + c . 2 x +3 2 x +1 +3 3 0
A. T = 4.
B. T = 2.
C. T = 1. D. T = 3 .
Hướng dẫn giải Chọn C 4 4 4 2 + +
( 2x +1 + )1−( 2x +1+2)d 2 1d 2 1d x x x x x I = = = ∫ ∫ ∫ + + + 0 2x 3 2x 1 3 0 ( 2x + 1 + ) 1 ( 2x +1+ 2) 0
( 2x +1+ )1( 2x +1+2) 4 4 2dx dx = − ∫ ∫ . 0 ( 2x +1 + 2) 0 ( 2x +1 + ) 1
Đặt u = 2x +1 ⇒ d
u u = dx . Với x = 0 ⇒ u = 1 , với x = 4 ⇒ u = 3 . .3 .3 .3 .3 2udu udu  4   1  Suy ra I = − = 2 − du − 1− du ∫ ∫ ∫  ∫  u +2 u 1 +  u +2   u 1 +  1 1 1 1 = (u − u + + u + ) 3 5 4ln 2 ln 1 = 2− 4ln + ln 2 1 3
⇒ a = 2 , b = 1 , c =1 ⇒ T = 2.1+1− 4 = 1. 3 dx 1 Câu 44. Biết
= a 3 + b 2 + c + ln 3 2 − 3 ∫
với a , b , c là các số hữu t . ỷ Tính 2 ( ) + + + 2 1 1 x 1 x
P = a + b + c . 1 1 5
A. P = . B. P = 1 − P = − . D. P = . 2 . C. 2 2
Hướng dẫn giải Chọn C + − + 3 x ( 2 3 3 1 x 1 x )d d x 3 2  1 1  x 1 + x d Ta có = ∫ ∫ = ln x x + x −   ∫ . 2 + + + 2x 2  2 2  2x 1 1 x 1 x 1 1 1 1 3 −1 = ln 3+ − I 2 2 3 2 x 1+ x d Xét x I = ∫ 2 2 1 x Đặt 2
t = 1+ x ⇒ tdt = d x x 2 2 2 t dt 2 1  1 1 1    1  1 t −1 I = ∫ = t + − ∫  dt = t + ln 2( 2   t 1 − 2 
2 t −1 t +1 2  2 t +1 2 )  2  2 https://toanmath.com/ 1  1 1 1 2 −1 = 2 − 2 + ln − ln  2 2 3 2 2 1 +    1
= 2− 2 − ln 3 − ln( 2 − )  ( )2 1 1 1 2 2 ln 3 ln 2 1  = − − − − 1 2 2 2    2   2 d 1 3 −1 1 Vậy x ∫ ln 3 2 2 ln 3 ln  ( 2 )1 = + − − − − − 2 2 2 2  1 1 + x + 1+ x 1 1 3 1 = 3 + 2 − + ln (3 2 −3) 2 2 2 2 1
Vậy P = a + b + c = − . 2 1 dx  2 +  = 2ln a ∫   2   Câu 45. Biết rằng + + + 0 x 4x 3 1 b
 với a , b là các s
ố nguyên dương. Giá trị của a + b 19T 19T 20T 19T20 19T 19T 19T 19T 19T 19T bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . 19T 19T 19T 19T 19T 19T 19T 19T
Hướng dẫn giải Chọn B 19T 1 1 Ta có dx dx = ∫ ∫ 19T 19T 2 x + 4x + 3 x +1 x + 3 0 0 ( )( )
Đặt t = x + 3 + x +1 19T 19T 1  1 1    + + + ⇒ d 1 x 1 x 3 t = + dx ⇔ dt =   2   x + 3 x + 1 2  (x ) 1 (x 3)  + +   1   t 2dt d ⇔ x d t =   d x ⇔ = . 2 (x + ) 1 (x + 3)    t (x +1)(x + 19T 3)
Khi x = 0 thì t = 1+ 3 ; khi x =1 thì t = 2 + 2 . 1 2+ 2 dx d + 2 + 2 a = 2 = 2 t ∫ ∫ 2 2 = 2ln t = 2ln ⇒ 
⇒ a + b = 5 . 2 t 1+ 3 1+ 3 b = 3 0 x + 4x + 3 1+ 3 2   Câu 46. 1 1 1 Biết a a 3 3 3 ∫  x− +2 −  dx = c  , với a, ,
b c nguyên dương, tối giản và c < a . Tính 2 8 11  b 1 x x x b  
S = a + b + c
A. S = 51.
B. S = 67 .
C. S = 39 . D. S = 75 . Hướng dẫn giải Chọn C 2  1 1 1  2 1  2  Ta có 3  − + 3 x 2 −  dx ∫ = 3 − +  x 1 dx ∫ . 2 8 11  2  3    1 x x x   x x 1  2 Đặt 1 3 1 =  3 t x − ⇒ t = x − 2 ⇒ 3t dt = 1+ dx . 2 2   x x 3  x  7 3 7 2  1 1 1  4 3 4 3 21 Khi đó: 3 3  x − + 2 − dx ∫ 3 4 3  = 3t dt ∫ = t = 14 . 2 8 11 x x x  4 32 1   0 0 Vậy S = 67. https://toanmath.com/ 2
Câu 47. Cho số thực dương dx k > 0 thỏa = ln 2 + 5 ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 ( ) 0 x + k 3 1 1 3 A. k > .
B. 0 < k ≤ .
C. < k ≤ 1 .
D. 1 < k ≤ . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải Chọn C 1 x + 2 1 Đặt x + k t = ( 2
ln x + x + k ) ⇒ dt = dx ⇔ dt = dx 2 x + x + k 2 x + k 2 2 dx 2 Ta có = dt ∫ ∫ 2 = t ⇔ ln ( 2
x + x + k ) = ln (2 + 5 ) 2 0 0 x + k 0 0 2+ 4+ k
⇔ ln (2 + 4 + k )−ln k = ln(2 + 5 ) ⇔ ln = ln (2 + 5 ) k 2 + 4 + k ⇔ = 2 + 5 k
⇔ 2 + 4 + k =( 2 + 5) k ⇔ + + k + + k = ( + )2 4 4 4 4 2
5 k ⇔ 4 + k = (2 + 5)k − 2  2  2 k >  >  k 2 + 5  ⇔  2 + 5 ⇔   2 4+  k = 2 
(2+ 5)2 2k + 4− 4(2+ 5)k (2+ 5 ) k − (9+4 5 ) =  k 0   2 k >   2 + 5 ⇔  k = 0   k  = 1 https://toanmath.com/ HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 1 A. sin
∫ (1− x)dx = sin d x x ∫ . B. cos
∫ (1− x)dx = − cos d x x ∫ . 0 0 0 0 π π 2 C. x cos dx = cos d x x ∫ ∫ . D . 2 0 0 π π 2 x
sin dx = sin xdx ∫ ∫ . 2 0 0
Hướng dẫn giải Chọn A 1 Xét tích phân sin ∫ (1− x)dx 0
Đặt 1− x = t ⇒ dx = −dt . Khi x = 0 ⇒ t = 1; Khi x =1⇒ t = 0. 1 0 1 1 Do đó sin
∫ (1− x) dx = sint(−dt) ∫ = sin tdt ∫ = sin d x x ∫ . 0 1 0 0 π 3 sin
Câu 49. Tính tích phân x I = dx ∫ . 47T 47T 3 cos 47T 0 x A. 5 I = . B. 3 I = . C. π 9 I = + . D. 9 I = . 2 2 3 20 4
Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx. π 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = . 3 2 1 2 −1 1 1 1 −1 1 3 Khi đó: I = dt ∫ = dt ∫ = = − + 2 = . 3 t 3 t 2 1 2t 2 2 1 1 2 2 π 3 Câu 50. b Cho 2
I = sin x tan xdx = ln a − ∫ . Ch n m ọ ệnh đề đúng: 8 0
A. a + b = 4
B. a − b = 2
C. ab = 6 D. b a = 4 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt u = cos x ⇒ d
− u = sin xdx  π  1 x = u = Đổi cận  3  ⇒ 2   x =  0 u =  1 1 2 ( 2 1− u )(− du) 1 1 2  1   u  3 I = =
−u du = ln u − =ln 2 − ∫ ∫    uu  2 1 8 1 1  2 2 https://toanmath.com/ 0 1 0 3 Câu 51. Biết rằng = = 3 3 I =
x +2dx = b 2 − ố ữu tỉ. 1 I dx a ∫ và ∫
, a và b là các s h 1+ cos 2 x 4 π − −1 4
Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3
Hướng dẫn giải 0 1 0 3 Biết rằng I = dx = a 3 3 I =
x + 2dx = b 2 − 1 ∫ và ∫
. Thương số giữa a và b có giá + π 1 cos 2 x − 4 − 1 4 trị là : Ta có: 0 0 0 1 1 1 1 1 I = dx = dx = ... = = = . 1 tdt ∫ ∫ ∫ , với t tan x 2 1 +cos 2 x 2 cos x π π 2 − 2 1 − − 4 4 0 0 3 3   3 3 3 I = x + 2dx = ∫ (x +2)4 3 = 2 −   .   − 4 − 2 4 1 1 1 3 a 1
⇒ a = , b = ⇒ = . 2 2 b 3 Chọn B π a Câu 52. Cho cos 2x 1 I = dx = ln 3 ∫
. Tìm giá trị của a là: 1+ 2sin 2x 4 0 A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn C + 2π 1 2 sin a 1 dt Đặt 1 1
t = 1+ 2sin2x đưa đến I = ∫
= lnt|1+2sin2π / a = ln3 4 1 t 4 4 1
suy ra 1+ 2sin2 / a = 3 suy ra a = 4. π 1 4 1 1  
Câu 53. Biết I = ∫ ( 2 1+ tan = và = + = +
, a và b là các số hữu tỉ. Giá 2 I ∫( 2x x) 3 3 1 x) dx a dx bx cx   0 0   0 trị của
a + b + c là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Hướng dẫn giải π 1 4 1 1   Biết I = ∫ ( 2 1+ tan = và = + = ∫  +
. Giá trị của a + b + c là: 2 I ( 2x x) 3 3 1 x) dx a dx bx cx  0 0   0 Ta có: π π 4 4 1 I = ∫ ( 2 1 1+ tan x dx =
dx = ... = tdt = 1 t = x . 1 ) ∫ ∫ , với tan 2 cos 0 0 x 0 1 1  
I = ∫ (x + x ) 1 2 1 3 2 3 =  + . 2 dx x x  3 3 0  0 1 2
⇒ a =1, b = , c = ⇒ a + b + c = 2 . 3 3 https://toanmath.com/ Chọn B π 3 sin 2 Câu 54. Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: cos x + cos 3x 0 1  2 − 2 2 −1  1  2 − 2 2 + 1 A. I =  ln + ln  . B. I =  ln −ln  . 2 2  2 2 2 1  + +     2 2 2 + 2 2 −  1  1  2 − 2 2 −1  1  2 + 2 2 − 1 C. I =  ln −ln  . D. I =  ln −ln  . 2 2  2 2 2 1  + +     2 2 2 − 2 2 +1  
Hướng dẫn giải π 3 sin 2x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : cos x + cos 3x 0 π π π 1 3 3 3 2 sin 2 x sin x sin x 1  2t 1 −  I = dxI = dx = dx =... = ∫ ∫ ∫ ln 2  cos x cos 3x cos 2 x 2 cos x 1   + − + Ta biến đổi: 0 0 0 2 2  2t 1 1 , 1  2 − 2 2 − 1 =  ln − ln  2 2  2 2 2 1 + +  
với t = cos x . Chọn C π 2 2x + cos Câu 55. x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x + sin x π 4 2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  A. I =ln  1 −  l − n  +  . B. I = ln +  1 −  ln  +  . 4  16 2         4  16 2   2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  C. I =ln  1 − +  ln  +  . D. I = ln +  1 +  ln +  . 4  16 2         4  16 2  
Hướng dẫn giải π 2 2x + cos Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là : 2 + π x sin x 4 2 π π +1 2 4 2 2 2x + cos x 1  π   π 2  Ta có:I = dx = ... = dt = ln + ∫ ∫  1 −  ln  +  , với 2
t = x + sin x . 2 x sin x t 4  16 2  + 2 π π 2     + 4 16 2 Chọn B π 4 Câu 56. 1 1 Cho sin 2 = + + x ln ( tan x + ) 1 dx ∫ aπ
b ln 2 c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T = + − c a b 0 . A. T = 2.
B. T = 4.
C. T = 6 . D. T = −4 .
Hướng dẫn giải
Chọn B https://toanmath.com/ π π 4 4 1
Ta có sin 2x ln( tan x+ ∫ )1 dx = − ln (tan x + ∫ ) 1 d (cos 2x) 2 0 0 π π 4 1 = − x ( x + ) 4 1 cos 2 ln tan 1 + cos 2xd l  n ∫ (tan x+ ) 1  2 2   0 0 π π 4 1 1 1 4 2 2
1 cos x − sin x 1 = cos 2 . x . dx ∫ = . dx ∫ 2 2 tan 2 x + 1 cos x 2
sin x + cos x cos x 0 0 cos x π π π 4 1  sin 4 1 1 1 1 x  = − d 4 x ∫ = x + d ∫ (cosx ) 2  cos   x 2 2 cos 0  0 x 0 π π 1 4 1 1 = + ln cos x
= π − ln 2 ⇒ T = 8 − 4 + 0 = 4 . 8 2 8 4 0 π 2
Câu 57. Xét tích phân sin 2 x I = dx ∫
. Nếu đặt t = 1+ cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1+ cos 0 x 1 3 1 3 2 A. 4t −4t −4t + 4t I = dt. ∫ B. I = d .t ∫
C. I = 4 ( 2t − ∫ )1 d .t D. t t 2 2 1 2 I = −4 ( 2t − ∫ ) 1 dt. 1
Hướng dẫn giải Chọn C − sin x sin Đặt x
t = 1 +cos x ⇒ dt = dx ⇒ dx = 2d − t 2 1+ cos x 1+ cos x 2 2
⇒ t = 1+ cos x ⇒ cos x = t −1 Đổi cận π
x = 0 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 1. 2 π π 1 1 2 2 2 sin 2x dx
2 cosx sin xdx 2 2 2 ⇒ I = = ∫ ∫
= 2(t −1)(−2)dt = −4 (t −1)dt = 4 (t −1)dt. ∫ ∫ ∫ 1 +cos x 1 +cos 0 0 x 2 2 1 π 6 Câu 58. Cho n 1 sin .
x cos xdx = (n∈ ) ∫
 . Tìm giá trị n . 64 0
A. n = 3.
B. n = 4 .
C. n = 5. D. n = 6 .
Hướng dẫn giải Chọn A
[Phương pháp tự luận] π
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Với x = 0 ⇒ t = 0 ; 1 x = ⇒ t = . 6 2 π 1 n 6 2 1 1 n n 1 + +  1  n + 1 Vậy  t    n 1 1 1 n 1 sin . x cosxdx = ∫ 2 ⇔ t dt = | = . = ∫     ⇔ =   ( )1 64 0 n +  1 n +  1  2  64  2  32 0 0 https://toanmath.com/  1 n
Phương trình ( )1 là phương trình hoành độ giao điểm của y = 
là một hàm số giảm trên 2    n +1  1   và y = y′= > 0 là một hàm s ố tăng trên  . 32  32    Vậy phương trình ( ) 1 có tối đa 1 nghiệm. 3  1  3 +1
Với n = 3 thay vào phương trình ( ) 1 ta được: =  ( đúng). 2    32
Vậy n = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) 1 .
[Phương pháp trắc nghiệm] π 6 Thay 1
n = 3 vào bấm máy tính: 3
sin x.cos xdx = ∫
. Ta chọn đáp ánA. 64 0 π 2 sin x
Câu 59. Cho tích phân
dx = a ln 5 +bln 2 ∫ với a, b∈ .
 Mệnh đề nào dưới đây đúng? + π cos x 2 3
A. 2a + b = 0.
B. a − 2b = 0.
C. 2a − b = 0.
D. a + 2b = 0.
Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt t = cos x + 2 ⇒ dt = −sin xdx π 5 π Đổi cận x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 3 2 2 π 5 2 sin x 2 1 2 1 5 dx ∫ = − dt ∫ = dt ∫ = 5 2
ln t = ln − ln 2 = ln 5 − 2ln 2 cos x+ 2 2 π 5 t 2 2 t 3 2
Vậy ta được a = 1;b = −2 . π 2 − Câu 60. cos x sin Tích phân x I = ∫ có giá trị là: π ( dx x e cos x + ) 1 cosx 3 π π   π π   3 3 e e +  2  3 3 e e −  2  A.     I =ln . B. I = ln . 2π 2π 3 e −2 3 e − 2 π π   π π   3 3 e e +  2  3 3 e e −  2  C.     I =ln . D . I = ln . 2π 2π 3 e + 2 3 e + 2
Hướng dẫn giải 2π 3 cos x −sin Tích phân x I = ∫ có giá trị là : π ( dx x
e cos x +1)cos x 3 https://toanmath.com/ π 2 x
e .(cos x −sin x )
Ta biến đổi: I = ∫ . π ( dx x e cos x + ) 1 x e cosx 3 Đặt x = cos x t e
x ⇒ dt = e (cos x − sin x) dx .  π 1 π3 x = ⇒ t = e  3 2 Đổi cận  . 2  2π 1 π3 x = ⇒ t = − e  3 2 π π   2π 2 1 π 3 1 2 π π 3 3 − e 3 −  + e e e 2 2 2 3 3 1  te e   I = = = − = ∫   . π π π +  + π t (t )dt ln ln ln ln π 2 2 1 t 1  1 3 1 e 3 3 3 e − e + e − e 2 2 2 3 2 2 Chọn A π 6 3 sin Câu 61. x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 3 19 17 + 3 4 19 17 + 3 19 − 17 + 3 4 19 −17 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải π 6 3 sin Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là : π cos x 3
Ta nhận thấy: (cos x )' = −sin x . T dùng đổi biến số.
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx .  π 1 x = ⇒ t =  3 2 Đổi cận  . π 3 x = ⇒ t =  6 2 π π 2 2 ( 2 3 1− cos ) x sin sin x x I = dx = dx ∫ ∫ π cos x π cos x 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 1 5 1 4 t −1  −   2  19 −17 3 2 2 2 2 ⇒ I = dt = t − t dx = t − 2t = ∫ ∫     t 5 1 1     2 1 2 2 2 Chọn D π 3 Câu 62. sin Tích phân x I = ∫ có gái trị là: π + − ( dx cos x 3 sin )2 x 3 https://toanmath.com/  +   +  A. 3 3 2 3 I = ln  + . B. 3 3 2 3 I = ln   + . 16  3 2 − + 8     8 − 3+ 2 8   3  3 + 2  3 3  3 + 2  3 C. I = − ln   + . D. I = − ln   + . 8  3 2  − + 8     16 − 3 + 2 8  
Hướng dẫn giải π 3 sin Tích phân x I = ∫ có gái trị là : π − ( dx cos x+ 3 sin )2 x 3 Ta có: π π π 3 3 3 sin x sin x sin x I = = = ∫ ∫ ∫ . π ( dx dxI dx
cosx + 3 sin x )2 2 2 π  1 3  π   π  − − 4 cos x + sin x − 4 sin + 3 3  3 x    2 2  6      π π Đặt u = x + ⇒ x = u − ⇒ dx = du . 6 6  π π x = − ⇒ u = −  Đổi cận 3 6  π π x = ⇒ u =  3 2 π  π sin  π π π π − 2 u   2 sin u. cos − sin cosu 2  6  1 3.sin u − cos 6 6 u I = du = du = du ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 π 4sin u π 4sin u 8 π sin u − − − 6 6 6 π π   2 2 1 3 sin u cos u  = du − du  ∫ ∫ 2 2 8  − π 1 cos u π sin u   − −  6 6  π 2 3 sin Xét u = 1 I du ∫ . 2 1− cos u π − 6
Đặt t = cos u, u ∈[0;π ] ⇒ dt = −sin udu .  π 3 u = − ⇒ t =  Đổi cận 6 2  .  π u = ⇒ t = 0  2 0 0 0 3dt 3  1 1  3  t + 1  3  3 + 2  ⇒ I = = + dt = l n = − ln . 1 ∫ ∫       2 1 t 2 1 t 1 t  2  t 1   − − + −  3 2 −  3 + 2 3 3  2 2 2 π 2 cos Xét u I = du 2 ∫ . 2 π sin u − 6 https://toanmath.com/  π π  Đặt t = sin , u u ∈ − ; ⇒ dt = cos udu  . 2 2     π 1 u = − ⇒ t = −  Đổi cận 6 2  . π u = ⇒ t = 1  2 1 1 1  1 1 3  3 + 2  3 I = du = − = 3 − ⇒ I = I − I = − ln  + . 2 ∫ . ( 1 2) 2   tt    1 8 16 − 3 +  2 8 1 −  − 2 2 Chọn D π 4 1
Câu 63. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 2 9cos x −sin 0 x 1 1 1
A. I = ln 2 .
B. I = ln 2 .
C. I = ln 2 . D. I = ln 2 . 3 2 6
Hướng dẫn giải π 4 1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : 2 2 9cos x −sin x 0 π π 4 4 Ta biến đổi: 1 1 I = dx = dx ∫ 2 2 ∫ . 2 9cos x − sin x cos x( 2 9 − tan 0 0 x) 1
Nhận thấy: (tan x)' =
. Ta dùng đổi biến số. 2 cos x 1
Đặt t = tan x ⇒ dt = dx . 2 cos x
x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận  π . x = ⇒ t = 1  4 1 1 1 1 1  1 1   1 3 +t  1 I = dt = + dt = ln = ∫ ∫    ln 2 . 2 9− t
6  3−t 3+ t   6 3−t  6 0 0 0 Chọn C a sin x + cos x 1+ 3
Câu 64. Tích phân I = dx = ∫ . Giá trị của ( alà: sin x c − os x)2 − 0 1 3 π π π π
A. a = − .
B. a = − . C. a = . D. a = . 2 4 3 6
Hướng dẫn giải a sin x + cos x 1+ 3 Tích phân I = dx = ∫ . Giá trị của alà: (sin x c − os x)2 − 0 1 3 Ta có: sin a−cos sin + cos  1 a a x x  1 I = dx = − =
−1, t = sin x − ∫   cos . ( x sin x −cos x)2  t  cos a− sin a 0 −1 https://toanmath.com/ 1 1+ 3 π Theo đề bài, ta có: −1 casio =  a  → = . cos a− sin a 1− 3 3 Chọn C π 2 sin Câu 65. x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: sin x + cos x π 3 π π 3 +1 A. I = +ln ( 3 1 + ) . B. I = + ln . 12 12 4  3+ 1 ln   π 2 π 3 +1 C.   I = − D. I = + ln . 12 2 . 12 2
Hướng dẫn giải π 2 sin Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là : π sin x + cos x 3 π 2 cos x Xét = 1 I dx ∫ sin x+ cos x π 3 π  2
I = I + I = dx  2 1 ∫ 1+ 3 π ln  − π Ta có: I 2 I 3 3 2  ⇒ I = = −
, t = sin x + cos x . 1 2 12 2  1 = − =  3 I 1 I I dt ∫ t  1 3 +  2 2 Chọn C π 4 cos
Câu 66. Cho biết x
dx = aπ + bln 2 ∫
với a và b là cá c s ố hữ
u tỉ .Kh i đó a bằng: sin x+ cos x b 0 A. 1 . B. 3 . C. 1 . D. 3 . 4 8 2 4
Hướng dẫn giải Chọn C π π 4 4 Xét cos x = sin x = 1 I dx ∫ ; I dx ∫ sin 2 x + cos sin x +cos 0 x 0 x π 4 π ⇒ I + = = 1 I2 dx ∫ ; 4 0 π π π 4 4 4 cos x − sinx
d (sin x + cos x) 1 I − I = dx =
= ln(sin x + cos x) = ln 2 1 2 ∫ ∫ sin x + cos x sin x + cos x 2 0 0 0 ⇒ = π 1 + ln 2 1 1 ⇒ a a = ; = ⇒ 1 = . 1 I b 8 4 8 4 b 2 https://toanmath.com/ π
Cách giải khác:Đặt x = − t 4 π 2018 x sin a π Câu 67. x Biết d x = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P = 2a + b . 2018 2018 sin x + cos x b 0
A. P = 8.
B. P = 10.
C .. P = 6. D. P = 12.
Hướng dẫn giải Chọn A π 2018 x sin x Xét tích phân I = d x ∫ . 2018 2018 sin x + cos x 0
Đặt x =π −t ⇒ d x = −d t .
Khi x = 0 thì t = π .
Khi x =π thì t = 0 . 0 (π − t) 2018 sin (π − t) π (π − x) 2018 sin x Ta có I = − d t ∫ = d x 2018 ∫ sin (π 2018 2018 t − ) 2018 +cos (π t − sin x + cos π ) 0 x π 2018 π 2018 sin x x sin = π d x x − d x ∫ ∫ 2018 2018 2018 2018 sin x + cos x sin x + cos x 0 0 π 2018 sin x = π d x − I ∫ . 2018 2018 sin x + cos x 0 π 2018 π sin Suy ra x I = d x ∫ . 2018 2018 2 sin x + cos x 0 π 2018 sin Xét tích phân x J = d x ∫ . 2018 2018 + π sin x cos x 2 π Đặt x =
−u ⇒ d x = −du . 2 π
Khi x = thì u = 0. 2 π
Khi x =π thì t = − . 2 π  π 2018  − sin − 2  u   2 0 2018 cos x Nên  J = − du ∫ = dx ∫ . 2018 2018 2018  π  2018  π  sin x + cos x 0 sin − u + cos − u  π − 2   2      2 2018 cos Vì hàm số ( ) x f x = là hàm s ố chẵn nên: 2018 2018 sin x + cos x π 0 2018 2 2018 cos x cos x dx = d x ∫ 2018 2018 ∫ 2018 2018 sin x + cos x sin x + cos x π 0 − 2 Từ đó ta có: π   π 2018 π sin x 2 2018 π 2018 π  sin x sin xI = d x ∫ = d x + d x 2018 2018 ∫ ∫ 2 sin   x + cos x 2018 2018 2018 2018 2 sin x + cos x sin x + cos x 0  0 π   2  https://toanmath.com/ π π   2 2018 2 2018 π  sin x cos x  = d x + d x  ∫ ∫ 2018 2018 2018 2018 2 sin  x + cos x sin x + cos x  0 0    π π 2 2018 2018 2 2 π sin x + cos x π π = d x = d x = ∫ ∫ . 2018 2018 2 sin x + cos x 2 4 0 0
Như vậy a = 2, b = 4 . Do đó P = 2a + b = 2.2 + 4 = 8 . π Câu 68. sin Cho tích phân xdx I = ∫
(với α > 1) thì giá trị của I bằng: 2 0 1− 2α cos x +α α 2 A. 2. B. . C. 2α . D. . 2 α
Hướng dẫn giải Chọn D t Đặt 2 2 2
t = 1− 2α cos x +α ⇒ t = 1− 2α cos x +α ⇒
dt = sin xdx α α+1 1 d t t 1 α+ 2 Vậy 1 I = = .t = ∫ α 1 α α − α α−1 t m sin x 1
Câu 69. Có bao nhiêu giá trị của tham s
ố m trong khoảng (0;6π) thỏa mãn dx = ∫ ? 5+ 4cos x 2 0 A. 6 . B. 12 . C. 8 . D. 4 .
Hướng dẫn giải Chọn A 1 m sin m x 1 Ta có = dx = − d (cos x) ∫ ∫ 2 5 + 4 cos x 5+ 4cos x 0 0 1 m 1 m = − ( + x ) 1 d 5 4 cos = − ln 5+ 4cos x ∫ . 4 5 + 4 cos x 4 0 0 1 1 m 1 5+ 4cos
Mà 5 + 4 cos ≥ 5 − 4 > 0 ⇒ = − ln (5 + 4cos ) = − ln m x x 2 4 4 9 0 2 5 + 4cos − m 5 + 4cos m − − 9e 5 2 ⇒ ln = −2 ⇔ = e ⇔ cos m = 9 9 4 −2 9e −5 ⇔ m = ± arccos
+ k 2π (k ∈). 4  k = 0 2  9e− − 5 arccos 
+ k2π∈ (0;6π)⇒ k =1  4   k  = 2 
Theo đề bài m ∈ (0;6π) ⇒  .  k  =1 −2  9e −5 −arccos 
+ k2π∈(0;6π) ⇒ k = 2  4   k =   3
Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa mãn .
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. https://toanmath.com/ π 2 cos x 4 Câu 70. Cho
dx = a ln +b, ∫ tính t ng ổ
S = a + b + c . 2
sin x −5sin x +6 c 0
A. S = 1.
B. S = 4.
C. S = 3. D. S = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn B π
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . x = 0 ⇒ t = 0 , x = ⇒ t = 1. 2 π 2 1 cos 1 1 x ∫ 1  1 1  t − 3 3 4 dx = ∫ dt = − dt ∫ = ln = ln 2− ln = ln 2 sin   x −5sin x +6 2 t − 5t + 6
t − 3 t − 2  t− 2 2 3 0 0 0 0
⇒ a = 1, b = 0,c = 3 ⇒ S = a + b + c = 4 . π 2 2
x + (2x + cos x)cos x +1 − sin x
Câu 71. Cho tích phân 2 = d = π + l − n c I x a b ∫
với a , b , c là các số x + cos x π 0
hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức 3 P = ac + . b 5 3
A. P = 3. B. P = . C. P = . D. P = 2 . 4 2
Hướng dẫn giải Chọn D π π 2 2 x + (2 x+ cos )
x cos x+1 − sin x (x + cosx)2 2 +1− sin x Ta có I = d x ∫ = dx ∫ x c + os x x+ cos x 0 0 π π 2  1− sin x  2 2   2 π π 2 π 2 = x x + cos x + dx ∫   = + sin x + ln x +  cos x  = + 1+ ln = +1− ln  x + cos x   2 8 2 8 π 0  0 1
⇒ a = , b = 1 , c = 2 . 3 P = ac + 1 b = .8 +1 = 2 . 8 8 π 2 Câu 72. Cho sin x 4 d c > 0 x = a ln + b ∫
, với a , b là các số hữu tỉ, . Tính tổng 47T 47T ( 47T 47T 47T 47T 47T 47T 47T 47T cos )2 x − x+ c 0 5cos 6
S = a + b + c . 47T
A. S = 3.
B. S = 0 .
C. S = 1. D. S = 4.
Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx . π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0 2 Ta có: π 1 2 sin 0 1 x 1  1 1  t − 3 3 dx ∫ = − dt ∫ = − ∫  dt = ln = ln 2− ln ( cos )2 2 t − 5t + 6
t − 3 t − 2 t − 2 2 0 x − 5cos x + 6 1 0 0 4 4
= ln = a ln + b . 3 c https://toanmath.com/ a = 1  Do đó: c = 3. b  = 0
Vậy S = a + b + c = 4 . π 2
Câu 73. Cho (4cos 2 +3sin 2 )ln (cos +2sin )d = ln 2 a x x x x x c − ∫
, trong đó a , b , *
c ∈  , a là phân b 0 b số t i
ố giản. Tính T = a + b + c .
A. T = 9.
B. T = −11 .
C. T = 5 . D. T = 7 .
Hướng dẫn giải Chọn A π 2
I = ∫(4cos 2x +3sin 2x)ln (cos x +2sin x)dx 0 π 2 = 2
∫ (cos x+ 2sin x)(2cos x−sin x)ln(cos x+ 2sin x)dx . 0
Đặt t = cos x + 2sin x ⇒ dt =( −sin x + 2 cos ) x dx .
Với x = 0 thì t = 1. π
Với x = thì t = 2. 2 2 2 2 2 3 Suy ra t I = 2t ln d t t ∫ = ln td ∫
( 2t) = (t .lnt) 2 2 2 − tdt ∫ = 4ln2− = 4ln 2 − . 1 2 2 1 1 1 1 a = 3 
Vậy b = 2 ⇒ T = a + b + c = 9 . c=  4 π 3 3 2 sin x π 3π Câu 74. Biết dx = + + cπ + d 3 ∫ với a, ,
b c, d là các số nguyên. Tính 6 3 π 1+ + a b x x − 3
a + b + c + d .
A. a + b + c + d = 28 .
B. a + b + c + d = 16 . C. a + b + c + d = 14. D.
a + b + c + d = 22 .
Hướng dẫn giải ChọnA. π π π sin + − x ( 6 3 3 3 1 x x )sin x 3 I = dx = dx = ∫ ∫ ∫ ( 6 3
1 + x − x sin d x x . 6 6 6 3 ) + − π 1+ + 1 x x x x π π − − − 3 3 3  π π x = − ⇒ t = 
Đặt t = −x ⇒ dt = −dx . Đổi cận 3 3  . π π
x = ⇒ t = −  3 3 https://toanmath.com/ π π π −3
I = ∫ ( 1+t +t ) 3 3 6 3 sin ( t − )( dt − ) = − ∫ ( 6 3
1+t +t )sintdt = − ∫ ( 6 3
1+ x + x )sin xdx π π π − − 3 3 3 π π 3 3 Suy ra 2I = ∫ ( 3 2 − x sin x ) 3 dx ⇔ I = − x sin xdx ∫ . π π − − 3 3 3 x (+)+ sin x 2
3x (–) − cos x
6x (+)−sin x 6 (–) + cos x 0 + sin x π π π
I = ( x cos x −3x sin x − 6x cos x + 6sin x) 3 2 3 3 2 3 = − − π + π 2 6 3 − 27 3 3
Suy ra: a = 27, b = −3, c = 2
− , d = 6 . Vậy a + b + c + d = 28 . π 6 2 π π Câu 75. xcos x 3 Biết d = − + x = a + + ∫
với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M a b c . 2 π 1 + x + x b c − 6
A. M = 35 .
B. M = 41 . C. M = 3 − 7. D. M = 3 − 5.
Hướng dẫn giải Chọn A π π 6 0 xcos 6 x cos x x cos Ta có x d x x ∫ = dx + dx ∫ ∫ = I + J 2 2 2 π 1+ x + x π 1+ x + x 1+ x + x − 0 − 6 6 0 xcos π π Xét x I = dx ∫
. Đặt t = −x (C ; Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = − ⇒ t = . m ) 2 π 1 + x + x 6 6 − 6 π π 0 0 6 6 xcos − tcos (−t) t − cos − x cos Suy ra x t x I = dx ∫ = (−dt) ∫ = dt ∫ = dx ∫ . 2 2 2 2 π 1 + x + x π 1+ ( t − ) − 1+ t − t 1+ x − x − t 0 0 6 6 π π π 6 x cos 6 6 − x cos x x cos x Khi đó x dx ∫ = dx + dx ∫ ∫ 2 2 2 π 1+ x + x 1+ x − x 1+ x + x − 0 0 6 π π 6  1 1  6 = x cosx ∫  −  dx 2
= −2x cos x dx ∫ . 2 2 0  1+ x + x 1+ x − x  0 π 6 π x cos x 2 π π 3 dx ∫ = ( 2 2
− x sin x − 4x cos x + 4sin x) 6 = 2 + + . 2 0 3 − 6 3 π 1+ x + x − − 6
Khi đó a = 2; b = 3 − 6 ; c = −3.
Vậy M = a − b + c = 35 . 1 π 2 12
f (x )dx = 2018 ∫ cos 2 .
x f (sin 2x) dx ∫ Câu 76. Cho 0 . Tính 0 . https://toanmath.com/ 1009 A. I = .
B. I = 1009 .
C. I = 4036 .
D. I = 2018 . 2
Hướng dẫn giải Chọn B π 12
Xét I = cos 2x. f (sin 2x)dx ∫ . 0
Đặt u = sin 2x ⇒ du = 2 cos 2 d x x . π 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 và x = ⇒ u = . 12 2 1 1 2 2 1 1 1 Khi đó I =
f ( u)du =
f ( x)dx = .2018 =1009 ∫ ∫ . 2 2 2 0 0 π 1 2
Câu 77. Cho f là hàm s
ố liên tục thỏa f
∫ ( )x dx = 7. Tính I = cos .xf (sin x)dx ∫ . 0 0 A. 1. B. 9. C. 3 . D. 7 .
Hướng dẫn giải
Chọn D π
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos d
x x . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1. 2 π 2 1 1 Ta có I = cos . x f ∫
(sin x)dx = f
∫ (t)dt = f ∫ (x)dx = 7. 0 0 0 2π 1 3 Câu 78. Cho hàm s
ố f ( x) liên tục trên  và f (x )dx =12 ∫ , f ∫ ( 2cos )x sin d x x bằng −1 π 3 A. −12. B. 12 . C. 6 . D. −6 .
Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt t = 2cos x ⇒ dt = −2sin d x x . Đổi cận 2π 3 −1  1  1 1 1 1 f ∫ (2cos x)sin d x x = f (t) − ∫  dt = f ∫ (t)dt =
f (x )dx = 6 ∫ . 2 2 π  2  1 1 − 1 − 3 9 f ( x) π /2
Câu 79. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  thỏa mãn dx = 4 ∫ và f
∫ (sin x)cos xdx= 2. 1 x 0 3
Tích phân I = f
∫ ( x) dx bằng 0
A. I = 2 .
B. I = 6 .
C. I = 4 . D. I = 10 .
Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ 9 1 f ( x ) 3 3
Đặt t = x ⇒ dt = dx ⇒ dx = 2 f ∫
∫ (t)dt = 4 → f ∫ (t)dt = 2. 2 x 1 x 1 1 π /2 1
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos dx ⇒ f
∫ (sin x)cos xdx = f ∫ (t )dt =2. 0 0 3 1 3 I = f ∫ ( )x dx = f ∫ ( )x dx + f
∫ ( )x dx = 2+ 2 = 4. 0 0 1 https://toanmath.com/ HÀM MŨ – LÔGARI T 1 − Câu 80. Cho 2 1 x ae b I xe − = dx ∫ . Biết r
ằng I =
. Khi đó, a + b bằ ng 2 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 − − 1 − 1 1 e − 1 Ta có 2 2 1 x 1 I = xe d x x = − e d ( 2 1 − x ) 2 1 x = − e = ∫ ∫ 2 2 0 2 0 0 Vì ae −b I =
⇒ a = 1;b = 1. V
ậy a + b = 2 . 2 f ( x) 2 sin = Câu 81. sin 2 . x e x Nguyên hà c m ủa là 2 sin x+1 e 2 sin x−1 e A. 2 2 sin 1 sin .e x x − + C. B. + C. C. 2 sin
e x + C . D. + C . 2 sin x + 1 2 sin x −1
Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có 2 sin sin 2 .e x 2 sin x dx ∫ sin x = ∫ ( 2 e
d sin x) = e x + C 1
Câu 82. Biết rằng 1+3 a b x 2 3 b c e
dx = e + e + c ( , a , b c∈ ). ∫  Tín
h T = a + + . 5 3 2 3 0
A. T = 6.
B. T = 9.
C. T = 10 .
D. T = 5 .
Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2
t = 1+ 3x ⇒ t = 1+ 3x ⇒ 2tdt = 3dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1⇒ t = 2 1 2 ⇒ 3 + x 2 t = d 2 t t = − d = 2 t t e dx te t te e t te −e
= 2 2e − e − e + e = 2e . ∫ ∫ ∫ 0 1 ( 2 21 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 ) 2 1 1 1 a  =10 ⇒ 
⇒ T =10 nê n câ u C đúng. b = c = 0  ln12 Câu 83. Tích phân x I = e + 4dx ∫ có giá trị là: ln 5
A. I = 2 − ln 3 + ln 5.
B. I = 2 − 2ln 3 + 2 ln 5 .
C. I = 2 − 2ln 3 + ln 5 .
D . I = 2 − ln 3 − 2ln 5.
Hướng dẫn giải ln12 Tích phân x I = e + 4dx ∫ có giá trị là : ln 5 tdt x x x 2 Đặt: 2
t = e + 4 ⇔ t = e + 4 ⇒ 2tdt = e dx ⇒ dx = . 2 t − 4
x = ln 5⇒ x = 3 Đổi cận . x = ln12 ⇒ x =  4 4 4 2 2tt + 2  I =
dt = 2 t − 2 ln = 2 − 2 ln 3 + 2 ln 5 ∫ . 2   t − 4  t − 2 3  3 Chọn B m
Câu 84. Tìm tất cả các giá trị dương của tham ố s m sao cho 2 2 x +1 500 m +1 x e dx = 2 .e ∫ . 0 https://toanmath.com/ A. 250 500 m = 2 2 − 2 . B. 1000 m = 2 +1. C. 250 500 m = 2 2 + 2 . D. 1000 m = 2 −1 .
Hướng dẫn giải Chọn C 2 m 1 + + Ta có m 2 m x 1 x e + dx ∫ = et t dt ∫ = ( et − et t ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 1 e m m + = + − 0 1 1 Theo bài ra m 2 x 1 x e + dx ∫ 2 500 1 2 .e m + = ⇔ 2 500 1 2 .e m + ( ) 2 2 1 1 1 e m m + = + − 500 2 ⇔ 2 = m +1 −1 0 ⇔ m + = ( + )2 2 500 1 2 1 2 1000 501 ⇔ m = 2 + 2 500 = ( 500 2 2 + 2) 250 500 ⇒ m = 2 2 + 2 . 3 + x x d Câu 85. Cho 1 2 e = . a e + . b e +c ∫
. Với a , b , c là các s ng ố
uyên. Tính S = a + b + c . + 0 x 1
A. S = 1.
B. S = 2.
C. S = 0 . D. S = 4.
Hướng dẫn giải Chọn C 3 + x 1 x d Xét 1 I = e ∫
; đặt u = x + 1⇒ du = dx . x 1 + 2 x +1 0
Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 3 ⇒ u = 2 2 2 ⇒ = eu I 2du = ∫ 2eu = 2
2e − 2e ⇒ a = 2 , b = 2
− , c = 0 , S = a + b + c = 0 . 1 1 π 2
Câu 86. Cho tích phân 2 sin x 3 I = e sin xcos d x x ∫ . Nếu đổi biến s ố 2
t = sin x thì: 0 1 1 1   1 1 1   A. t = d t I
e t + te dt . B. t = d t I
e t − te dt . 2 ∫ ∫  ∫ ∫   2 0 0   0 0  1 1   C. =2  dt + d t I e t te t ∫ ∫  . D .  0 0  1 1   = 2 d t −  d t I e t te t ∫ ∫  .  0 0 
Hướng dẫn giải Chọn B π π 2 2 2 2 Ta có sin x 3 sin = sin cos d x I e x x x = e ∫ ∫ ( 2
. 1 −sin x) sin x.cosxdx. 0 0 Đặt 2 1
t = sin x ⇒ dt = 2sin xcos d
x x ⇒ sin xcos d x x = dt . 2 Đổi cận π x 0 2 t 0 1 1 1 1 1   t 1 Vậy = ∫ (1 − )d t =  d t I e t t
e t − te dt ∫ ∫  . 2 2 0  0 0  n 1 + dx lim ∫ x x→+∞ Câu 87. Tính 1+ e n . A. −1. B. 1. C. e . D. 0 . https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải Chọn D n 1 + n 1 d + x x e dx Tính I = = ∫ ∫ . 1 x x + e e (1 x + e n n ) Đặt x = ⇒ d x t e
t = e dx . Đổi cận: n
x = n ⇒ t = e , 1 1 n x n t e + = + ⇒ = . 1 n 1 + n 1 e e + + n + 1 1 Khi đó dt  1 1 n  = = − d = ∫ ∫  
(ln −ln( + )1) e =1+ln e I t t t . e t t +  t t +  n ( 1) n 1 n 1 e e e + n e  1  + n 1 + 1 d  n x  Suy ra lim = lim = lim 1 ∫  +ln e I  =1 1 − =0 . →+∞ 1 x x x→+∞ x + e →+∞ 1 ne+  ne  2 2016 x
Câu 88. Tính tích phân I = dx. ∫ x e 1 + 2 − 2018 2017 2018 A. 2 2 2 I = 0. B. I = . C. I = . D. I = . 2017 2017 2018
Hướng dẫn giải. Chọn C Đặt x = t
− ⇒ dx = −dt . Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 2
− ; x = −2 ⇒ t = 2 − 2 2 2016 2 2016 2 2017 2018 t − x e d x x x 2 2017 Khi đó: 2016 I = dt = ∫ 2I = x dx = = ∫ 2 − ∫ , suy ra ⇒ I = . t e 1 + 1 x +e 2017 2017 2017 2 −2 −2 −2 1 2 x Câu 89. Cho biết x e d a x = .e +c ∫ với
là số nguyên dương và a là (
a , c là các số nguyên, b x + )2 2 b b 0 phân s t
ố ối giản. Tính a − b + c . A. 3. B. 0 . C. 2 . D. −3 .
Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = x + 2 ⇒ dt = dx , đổi cận x = 0 ⇒ t = 2 , x = 1⇒ t = 3 . 1 2ex 3 − x (t −2)2 t 2 e 3  4 4  3 3   t− 4 4 Ta có − − I = d ∫ = d t 2 = 1 − + e dt 2 t 2 = e dt + − + e dt ( x t ∫ 2 ∫ ∫ ∫ 2   2  x + 2)2  t t   t t  0 2 t 2 2 2 3 + Tính t − 2 I = e dt et− = = e− 1 . 1 ∫ 3 2 2 2 3  4 4  + Tính t −2 I = − + e dt . 2 ∫ 2   t t 2  4 4
Đặt u = ⇒ du = − dt , t −2 t −2
dv = e dt ⇒ v = e 2 t t 3 4 3 4 3 4 3  4 4  Ta có t −2 e dt ∫ −2 = .et t− 2 + e dt ∫ t− 2 ⇒ I = − + ∫ 4  e dt = − e + 2 . 2 2 2 t t tt t  3 2 2 2 2 1 − Suy ra I = e 1
+ ⇒ a = −1, b = 3 , c =1. Vậy a − b + c = 3 . 3 https://toanmath.com/ ln 6 ex
Câu 90. Biết tích phân
dx = a + bln 2 + cln 3 ∫
, với a , b , c là các s ố nguyên. Tính x 0 1 + e 3 +
T = a + b + c .
A. T = −1.
B. T = 0.
C. T = 2. D. T = 1.
Hướng dẫn giải Chọn B Đặt x 2
= e + 3 ⇒ = ex + 3 ⇒ 2 d = ex t t t t dx . x = ln 6 t = 3 Đổi cận  ⇒  . x = 0 t =   2 ln 6 x 3 e 2 d 3 3  2  Suy ra d t t x = ∫ ∫ = 2− dt = ∫ (2t− 2ln t+  
1 ) = (6 − 2ln 4) − (4 − 2ln3) 1 + ex 3 + 1+ t 2  1+  0 2 2 ta = 2 
= 2− 4 ln 2+ 2ln 3⇒ b = −4 . c = 2  Vậy T = 0. 9 3 4 3 Câu 91. π Giá trị I = x sin ∫ (π x ) cos 2 3 ( x ) e dx gần bằng s ố nào nhất trong các s ố sau đây: 1 3 6 A. 0,046 . B. 0,036 . C. 0,037 . D. 0,038 .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 Đặt u = ( 3 cos π x ) 2 ⇒ u = − π x ( 3 d 3 sin π x ) d x 2 ⇒ x sin ( 3
π x )d x = − d u. 3π 1 3 Khi x = thì u = . 3 6 2 Khi 9 x = thì 2 u = . 3 4 2 2 3 3 2 1 2 1 3 2 2 1   Ta có 1 = − eu I d u ∫ = eu d u ∫ = e u 2 2 = e − e  ≈ 0,037 . 3π 3π 2 3π 3π   3 2   2 2 2 ( 2 1 x + x)ex Câu 92. Cho dx = . a e + bln + ∫
với a , b , c ∈  . Tính P = a + 2b − c . − (e c) x + e x 0
A. P = 1. B. P = 1 − .
C. P = 0. D. P = 2 − .
Hướng dẫn giải Chọn D ( 2 1 x + ) x ex 1 (x + ) 1 exxex Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ . x e − x + e x x +1 0 0 Đặt = ex t x +1 ⇒ d = (1 + )ex t x dx .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1⇒ t = e +1 . e+1 e 1 + t − 1  1 + Khi đó: I = dt ∫ = 1− dt ∫   = (t − t ) e 1 ln = e − ln(e + ) 1 . tt 1 1 1  https://toanmath.com/
Suy ra: a = 1, b = 1 − , c =1.
Vậy: P = a + 2b − c = −2 . 1 ( 2
x +5 x +6 )e x e a + Câu 93. Biết d = e − l − n ∫ c x a b
với a , b , c là các số nguyên và e là cơ s ố của x + 2 + e− x 3 0
logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c . A. S = 10 .
B. S = 0 .
C. S = 5 . D. S = 9 .
Hướng dẫn giải Chọn D 1 ( 2
x + 5x + 6) x 1 e ( x+ 2)( x+ ) 2 3 e x Ta có : I = dx = dx ∫ ∫ . x +2 +e − x x +2 e x 1 + 0 0 ( ) Đặt =( + ) 2 ex t x ⇒ d = ( + ) 3 ex t x
dx . Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2 , x = 1 ⇒ t = 3e . 3e 3e tdt  1  I = = − t = ∫ ∫  (t − t + ) 3e 3e+ 1 1 d ln 1 =3e −2 −ln . 2 t +1  t +1  3 2 2
Vậy a = 3, b = 2 , c = 1 ⇒ S = 9 . 1 3 x 3 x π + + Câu 94. x 2 ex .2 1 1  e d  x = + ln p + ∫ với
là các số nguyên dương. Tính π
m , n , p e.2x   + m e ln n  e + π  0
tổng S = m + n + p . A. S = 6 .
B. S = 5.
C. S = 7 .
D. S = 8.
Hướng dẫn giải
Chọn C 1 3 x 3 x 1 x 1 πx + 2 + ex .2  2  1 2x 1 Ta có 3 dx = ∫ ∫  x + dx = + dx = + J π ∫ . + e.2x π +e.2x 4 π +   e.2x 4 0 0 0 1 2x x x x 1 Tính J = dx ∫
. Đặt π + e.2 = t ⇒ e.2 ln 2dx = dt ⇔ 2 dx = dt . π + e.2x e.ln 2 0
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = π + e ; khi x =1 thì t = π + 2e. 1 x π +2e 2 1 1 1 π +2e 1  e  J = dx = dt = ln t = ln 1+ ∫ ∫ . x   π+e π +e.2 e ln 2 t  +  + e ln 2 e ln 2 e π 0 π e 1 3 x 3
π x + 2 + ex .2x 1 1  e  Khi đó dx = + ln 1+ ∫
⇒ m = 4 , n = 2, p =1. Vậy S = 7 . π e.2x 4 e ln 2  e π  + +  0
Câu 95. Cho tam thức bậc hai f ( x) 2
= ax + bx + c, ( a,b,c ∈ ,
a ≠ 0) có hai nghiệm th c ự phân biệt x x , 2 + + I = 2 ax bx c ax + b e d . 1 2 x . Tính tích phân ∫ ( ) 2 x 1 x − − A. x x x x I = − . B. 1 2 = .
C. I = 0 . D. 1 2 = . 1 x 2 x I I 4 2
Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2
t = ax + bx + c ⇒ dt = (2ax + b) dx 2
x = x ⇒ t = ax + bx + c = 0 x 0 Khi 1 1 1 2 
. Do đó I = ∫ ( 2ax+ b) 2ax+bx+c e d t x = e dt = 0 ∫ . 2
x = x ⇒ t = ax + bx + c = 0  x 0 1 2 2 2 e ln
Câu 96. Với cách đổi biến x
u = 1+ 3ln x thì tích phân dx ∫ trở thành + 1 x 1 3ln x https://toanmath.com/ 2 2 2 2 2 2 2 2 u −1 A. ( 2u − ∫ )1du . B. ( 2u − ∫ )1du. C. 2 ( 2 u − ∫ )1du. D. du ∫ . 3 9 9 u 1 1 1 1
Hướng dẫn giải Chọn B 2 u 1 − x u u = 1+ 3ln x 2
⇒ u =1+ 3ln x ⇒ ln x = d 2 ⇒ = du . 3 x 3 2 u − 1 e ln 2 x 2 2 Khi đó d 2u x ∫ 3 = d 2 u ∫ = (u − ∫ )1du . + u 3 9 1 x 1 3ln x 1 1 e ( x +1)ln x +2 e +1  Câu 97. Biết
dx = a.e+ b ln ∫ 
 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ s ố a là 1+ x ln x  e  b 1 A. 1 . B. 1. C. 3. D. 2 . 2
Hướng dẫn giải Chọn B e ( x +1) e e e ln x + 2
1+ x ln x + 1+ ln x d (1 + xln x) Ta có: dx = dx = dx+ ∫ ∫ ∫ ∫ 1+ x ln x 1+ x ln x 1+ x ln x 1 1 1 1 e + = x + ( + x x ) e e 1 ln 1 ln = e− 1+ ln 1+ e = e+ ln . 1 1 ( ) e Suy ra a
a = b = 1. Vậy = 1 . b e 1 +3ln Câu 98. x Tính tích phân I = dx ∫
bằng cách đặt t = 1+ 3ln x , m
ệnh đề nào dưới đây sai? x 1 2 2 2 2 2 A. 3 2 I = t . B. I = d t t ∫ . C. 2 I = t dt I = . 9 ∫ . D. 14 1 3 3 9 1 1
Hướng dẫn giải
Chọn B e 1+ 3ln x 2t dx I = dx ∫
, đặt t = 1+ 3ln x 2 ⇒ t = 1+ 3
3ln x ⇒ 2tdt = dx ⇒ dt = . x x 3 x 1
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2 . 2 2 2 2 2 = 14 dt ∫ t 3 I = t = . 3 9 1 9 1 2 (3x 1 + )  ln Câu 99.  Biết d = ln b x a + ∫
với a , b , c là các số nguyên dương và c ≤ 4. Tổng 2 3   x + xln xc  1
a + b + c bằng A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 2 ( + x + ) 2 3 3 1  1  Ta có d x x = dx ∫ t = x + x , dt = 3 +  d  x 2 ∫ . Đặt 3 ln
3x + xln x 3x +ln xx  1 1
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 3 , x = 2 ⇒ t = 6 + ln 2. https://toanmath.com/ 1 2 3 + 6 l + n 2 dt x  ln 2  d + x = ∫ = ln t
= ln (6 + ln 2)− ln 3 = ln 2+   3 ∫ 6 ln 2 x +ln x t 3  3  1 3
⇒ a = 2, b = 2 , c = 3 . Vậy t ng ổ
a + b + c = 7 . e ln x 3
Câu 100. Biết I = dx = aln + , b ∫
( ,a b ∈Q) . Mệnh đề nào sau đây đúng? x ln x + 2 2 1 ( )
A. a − b = 1.
B. 2a + b = 1 . C. 2 2
a + b = 4 .
D. a + 2b = 0 .
Hướng dẫn giải Chọn D 1
Đặt t = ln x + 2 , suy ra dt = dx . x
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2 x = e ⇒ t = 3 3 t −2 2 3 Khi đó, I = dt ∫
= (t − 2ln t )3 = 1+ 2ln = 1− 2ln . 2 3 2 2 t Vậy a = 2
− ;b = 1, nên a + 2b = 0. e ln x( 2 2 ln x+ 1+ )1
Câu 101. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 1 x 4 2 + 3 4 2 +1 4 2 + 5 4 2 − 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải e ln x( 2 2 ln x+ 1+ )1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : x 1 Ta có: e ln x ( 2 2 ln x+ 1+ 1) e 2 2 ln x ln x+ 1 e ln x I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ . 1 x 1 x 1 x e 2 2ln x ln x +1 Xét = 1 I dx ∫ . x 1 Đặt 2 2ln = ln 1 x t x + ⇒ dt = dx . x  2 x = 1⇒ t = 1 2  2  4 2 − 2 Đổi cận  . 3 ⇒ I = = = . 1 tdt t ∫  
x = e ⇒ t =  2  3  3 1 1 e ln Xét x I2 dx ∫ . 1 x 1
Đặt t = ln x ⇒ dt = dx . x
x = 1⇒ t = 0 1 Đổi cận  . ⇒ I = = 2 dt 1 ∫ .
x = e ⇒ t = 1  0 4 2 +1
⇒ I = I + I = . 1 2 3 Chọn B https://toanmath.com/ e
Câu 102. Tích phân I = x ∫ ( 2
ln x + ln x) dx có giá trị là: 1
A. I = −2e .
B. I = −e .
C. I = e .
D. I = 2e .
Hướng dẫn giải e
Tích phân I = x ∫ ( 2
ln x + ln x) dx có giá trị là : 1 e e Ta biến đổi: I = ( 2 x ln x + ln )
x dx = x ln x( ln x + ∫ ∫ )1 dx. 1 1
Đặt t = x ln x ⇒ dt = (ln x + ) 1 dx .
x = 1⇒ t = 0 e Đổi cận 
. ⇒ I = dt = e ∫ .
x = e ⇒ t = e  0 Chọn C 3  2 1  + + 1
ln x 3x  ln x x Câu 103.  3  2 Biết I = dx = ∫ ( 2 3
1 +ae +27e +27e 3
− 3 ) , a là các s ốhữu tỉ. x 9 0 Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C .– 9. D .6.
Hướng dẫn giải 3  2 1 ln 
x +3x ln x + x e  3    2 Biết I = dx = ∫ ( 2 3
1 + ae +27e +27e −3 3 ) . Giá trị của a là: x 9 1 Ta có: 3  2 1  x + x x + x e ln 3 ln e 3   ln x + 3  3 x  ( 2 3ln 1 x + x ) I = dx = dx ∫ ∫ x 3 1 1 x 3 Đặt 3 2
t = ln x +3x ⇒ dt = ln x 1 + x
x = 1⇒ t = 3 Đổi cận  .
x = e ⇒ t = 1+ 3e  1 3 + e 2 + ⇒ I = tdt = ∫ ( e 3 t )1 3 2 2 = 1+ 3e − 3 3 =
1+ 9e+ 27e + 27e − 3 3 ⇒ a = 9 3 3 3 ( ( )3 ) ( 2 3 ) 9 3 . Chọn A e 2 + Câu 104. 2ln x ln x 1 Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: x 1 4 2 − 2 4 2 + 2 2 2 − 2 2 2 + 2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải e 2 2ln x ln x +1 Tích phân I = dx ∫ có gái trị là : 1 x 2ln Ta nhận thấy: ( 2 ln +1)' x x =
. Ta dùng đổi biến số. x https://toanmath.com/ Đặt 2 2ln = ln 1 x t x + ⇒ dt = dx . x
x = 1⇒ t = 1 Đổi cận  .
x = e ⇒ t =  2 2 2 3  2  4 2 − 2 2 I = tdx = t = ∫  . 3  3 1   1 Chọn A 2 e ( − x )2 1 ln
Câu 105. Tính I = dx ∫
được kết quả là x e A. 13 . B. 1 . C. 5 . D. 4 . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 1
t = ln x ⇔ dt = dx . V
ới x = e ⇒ t = 1; 2
x = e ⇒ t = 2 x 2 e ( − x )2 1 ln 2 2 2 1 3 1 1 I = dx ∫
= (1− t) dt = − (1− t) = − 0= ∫ x 1 3 3 3 e 1 e 1+ 3ln
Câu 106. Cho tích phân x I = dx ∫
, đặt t = 1+ 3ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 2 e 2 2 2 2 2 e A. 2 I = t dt ∫ . B. I = tdt ∫ . C. 2 I = t dt ∫ . D. I = tdt ∫ . 3 3 U U 3 3 1 1 1 1
Hướng dẫn giải Chọn C 2 1
Đặt t = 1+ 3ln x ⇒ tdt = dx . Đổi cận x = e ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t =1 3 x 2 2 Do đó 2 I = t dt ∫ 3 1 . e + − Câu 107. 3 ln Biết xd a b c x = ∫
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c < 4. Tính giá x 3 1
trị S = a + b + c .
A. S = 13.
B. S = 28 .
C. S = 25 . D. S = 16 .
Hướng dẫn giải Chọn C d
Đặt t = 3+ ln x ⇒ 2 d x t t = . x
Đổi: Với x = 1⇒ t = 3 ; x = e ⇒ t = 2 . e 3 +ln x 2 − ⇒ 2 16 6 3 I = dx ∫ 2 = 2 t dt ∫ 2 3 = t = . x 3 3 3 1 3
⇒ a = 16, b = 6 , c = 3 ⇒ S = a + b + c = 25 . e ln Câu 108. x Cho I = d ∫
có kết quả dạng I = ln a + b với a > 0 , b ∈  . Khẳng định nào sau ( x x ln x +2)2 1 đây đúng? https://toanmath.com/
A. 2ab = −1.
B. 2ab = 1 . C. 3 1 b − + ln = − . D. 3 1 −b + ln = . 2a 3 2a 3
Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt ln x + 2 = t ⇔ ln x = t − 1 2 ⇒ dx = dt . x
Đổi cận: khi x =1 thì t = 2; khi x = e thì t = 3 .  3 3 3 3 a = t − 2 1 2   2  3 1  Khi đó 2 I = dt ∫ = − dt ∫ = ln t + = ln − ⇒  . 2     t 2 t tt  2 3 1 2 2  2 b  = −  3 Vậy 2ab = −1 . 2 x+ 1 Câu 109. Biết dx = ln (ln a+ ) b ∫
với a , b là các s ố nguyên dương. Tính 2 2
P = a + b + ab . 2 x + xln x 1 A. 10 . B. 8. C. 12 . D. 6 .
Hướng dẫn giải Chọn B 2 x +1 2 x +1 Ta có dx ∫ = dx 2 ∫ . x + xln x
x( x + ln x) 1 1  1 x +1 Đặt 
t = x + ln x ⇒ dt = 1+   dx = dx .  x x
Khi x = 1⇒ t = 1 ; x = 2 ⇒ t = 2 + ln 2. 2+ ln 2 dt + a = 2 Khi đó I = ∫ 2 ln 2 = ln t = ln (ln 2 + 2). Suy ra  . t 1 b =  2 1 Vậy P = 8. 2 2 + + e ( x ) 4 2 1 ln x 1 + Câu 110. ae be Cho tích phân I = dx = +c + dln 2 ∫ . Ch n phát ọ
biểu đúng nhất: e x ln x 2
A. a = b = c = d B. 2 1 a = b = c =
C. A và B đúng D. A và B sai d Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 + + e (x ) 2 2 1 ln x 1 e
x ln x +1 + ln x I = dx = dx ∫ ∫ e x ln e x x ln x 2 2 2 e  1 1 e   1 e  1 = x+ + dx = x+ dx+ dx ∫   ∫   ∫ e x xln e e x   x xln x 2 e 2 2 4 2 e  1    − Xét x = + = ∫    + ln e e M x dx x  = + 1 ex   2  2 e 2 Xét e 1 N = dx ∫
, đặt t = ln x , suy ra 1 dt = dx . e x ln x x
Đối cận x = e ⇒ t = 1 và 2
x = e ⇒ t = 2 ta được 2 dt N = = ∫
(ln t )2 = ln 2 −ln1= ln 2 . 1 1 t https://toanmath.com/ 4 2 − Vậy e e I = +1+ ln 2. 2
Do đó a = −b = c = d = 1 . Ta chọn phương án B. 2018 ln(1+ 2x )
Câu 111. Tính tích phân I = dx ∫ . 1 +2−x log e 0 ( ) 4 A. I = ( 2018 ln 1+ 2 ) −ln2 . B. 2 I = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2. C. 2 I = ( 2018 ln 1+ 2 )−ln4 . D. 2 − I = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2 .
Hướng dẫn giải Chọn B 2018 ln (1+ 2x ) 2018 2x 2018 x ln 2 Ta có I = dx ∫ = 2 ln ∫ (1+ 2 ) dx = 2 ln
∫ (1+ 2x) d ln(1+ 2x  ) 1+ 2−x log e 1+ 2x   0 ( ) 4 0 0 Do đó ln (1 2x I = + ) 2018 2 2 = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2 . 0 e f (ln ) x
Câu 112. Cho hàm số y = f (x ) liên t c ụ trên  và thỏa mãn dx = . e ∫
Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x 1 1 e e A. f
∫ (x)dx =1. B. f
∫ (x)dx = .e C. f
∫ (x)dx =1. D. f
∫ (x)dx = .e 0 0 0 0
Hướng dẫn giải Chọn B 1
Đặt t = ln x ⇒ dt = d .
x Cận:x = 1⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1 x e f ( ln ) 1 1
x dx = f (t) dt =e ⇔ f (x) dx =e ∫ ∫ ∫ . x 1 0 0 4 e 1 4
Câu 113. Biết f
∫ (ln x ) dx =4 . Tính tích phân I = f
∫ (x)dx . x e 1
A. I = 8 .
B. I = 16 .
C. I = 2 . D. I = 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D 1
Đặt t = ln x ⇒ dt = dx. x x e 4 e t 1 4 4 e 4 4 f ∫ ( x)1 ln dx = f
∫ (t)dt = f (x)dx ∫ . e x 1 1 4 Suy ra I = f ( ) x dx = 4 ∫ . 1 https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm s
ố f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả s ử hàm s ố x = ϕ(t) o hàm có đạ và liên tục trên đoạn (*)
[α;β ] sao cho ϕ (α ) = a,ϕ(β ) = b và a ϕ
≤ (t) ≤b với mọi t∈[α ;β ]. Khi đó: b β f (x)dx =
f (ϕ (t))ϕ '(t )dt. ∫ ∫ a α
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  π π 1. 2 2 
a − x : đặt x |
= a | sin t; t ∈ − ;  2 2     π π 2. | a | 2 2 
x − a : đặt x = ; t ∈ − ; \ {0} sin   t  2 2   π π 3. 2 2 
x + a : x |
= a| tan ;t t∈ − ;  2 2    + −
4. a x hoặc a x : đặt x = a.cos2t a − x a + x
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi ớ
v i x mũ chẵn. Ví dụ, ể đ tính 3 2 3 tích phân x dx 3 x dx I = ∫ thì phải đ i
ổ biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫ thì nên đổi 2 0 2 0 x +1 x +1 biến dạng 1. 2
Câu 114. Khi tính 2 I = 4 − x dx, ∫ bằ
ng phép đặt x = 2sin t, th ìđược 0 π π 2 2 2 2 A. 2
∫ (1+ cos2t)dt . B. 2
∫ (1− cos2t)dt. C. 2 4cos d t t ∫ . D. 2 2cos d t t ∫ . 0 0 0 0
Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos d t t Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 π x = 2 ⇒ t = 2 π π 2 2 Khi đó 2 2 I =
4 −4sin t.2costdt = 4cos d t t. ∫ ∫ 0 0 1 2π
Câu 115. Biết rằng 2 4 − x dx = + a ∫
. Khi đó a bằng: 3 −1 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2costdt . π π π 1 6 6 6 Khi đó : 2
4 − x dx = 4 cost cost dt ∫ ∫ 2 = 4cos d t t ∫ = ∫ ( 2+ 2cos2t) dt −1 π π π − − − 6 6 6 π = ( π 2t+ sin 2t) 2 6 = + π 3 . − 3 6 https://toanmath.com/ 1 2 1
Câu 116. Cho tích phân I = dx = aπ ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 2 0 1− x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 6
Hướng dẫn giải 1 2 1 Cho tích phân I = dx = aπ ∫ . Giá trị của a là: 2 0 1− x Ta có:  π π 
Đặt x = sint ,t ∈ − ; ⇒ dx = costdt  . 2 2  
x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận  1 π . x = ⇒ t =  2 6 π 6 π 1 I = dt = ⇒ a = ∫ . 6 6 0 Chọn D 3
Câu 117. Giá trị của 2 a a 9 − x dx = π ∫
trong đó a, b ∈ và là phân số t i
ố giản. Tính giá trị của b b 0
biểu thức T = ab . A. T = 35 .
B. T = 24 .
C. T = 12 . D. T = 36 .
Hướng dẫn giải Chọn D π
Đặt x = 3sin t ⇔ dx = 3costdt . Đổi cận: x = 0 → t = 0; x = 3 → t = . 2 π π π 2 2 2 + ⇒ I = − ∫ ( t )2 2 1 cos 2t 9 9 3sin .3cos d t t = 9 cos d t t = 9. dt = π ∫ ∫ . Vậy T = 9.4 = 36 . 2 4 0 0 0 1 d
Câu 118. Đổi biến x
x = 2sin t thì tích phân ∫ trở thành 2 0 4 − x π π π π 6 3 6 d 6 A. t tdt ∫ . B. tdt ∫ . C. ∫ . D. dt ∫ . t 0 0 0 0
Hướng dẫn giải Chọn D
x = 0 ⇒ t = 0
Đặt x = 2sin t , khi đó dx = 2cos d t t . Đổi cận  π  x = 1⇒ t =  6 π π π π 1 dx 6 2cos t 6 2cos t 6 2cos t 6 I = ∫ = d t ∫ = d t ∫ = d t ∫ = dt ∫ . 2 2 2 2cos t 0 4 −x 0 4− 4sin t 0 4cos t 0 0 https://toanmath.com/ a+ b 1 π
Câu 119. Biết rằng dx = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 < a + b < 5 2 −x + 6x − 5 6 4 . T ng ổ
a + b bằng A. 5. B. 7 . C. 4 . D. 6 .
Hướng dẫn giải Chọn D a+ b 1 a+ b 1 Ta có dx = dx ∫ ∫ . 2 −x + 6x − 5 4 −(x − )2 4 4 3  π π Đặt 
x − 3 = 2sin t , t ∈ −  ;
, dx = 2costdt . 2 2    π a + b − 3
Đổi cận x = 4 ⇒t = , x = a + b ⇒ t = arcsin = m . 6 2 m 2cos m t π d m t = dt ∫
∫ = t π = m − . 2 π 4 −4sin t π 6 6 6 6 π π a + b −3 π a + b − 3 3 Theo đề ta có m− = ⇔ arcsin = ⇒ =
⇔ a + b = 3 + 3. 6 6 2 3 2 2
Do đó a = 3, b = 3 , a + b = 6. 3
Câu 120. Tích phân I = ∫ ( x − )1(3− x)dx có giá trị là: 5 2 π 3 π 3 π 3 π 3 A. I = − . B. I = − . C. I = − . D. I = − . 6 4 3 8 6 8 3 8
Hướng dẫn giải 3
Tích phân I = ∫ ( x − )1(3− x)dx có giá trị là : 5 2 Ta có: 3 3 3
I = ∫ (x −1)(3− x)dx =
−3 − x + 2xdx = 1− ∫ ∫ (x − 2)2 2 dx . 5 5 5 2 2 2  π π 
Đặt x − 2 = sin ,t t ∈ − ; ⇒ dx = cos tdt  . 2 2     5 π x = ⇒ t =  Đổi cận 2 6  . π x = 3 ⇒ t =  2 π π π π 2 2 2 2 1+ cos 2t 1  1  π 3 2 2 ⇒ I =
1− sin t.cos tdt = cos tdt = dt = x+ ∫ ∫ ∫  sin 2t = − . 2 2 2    π 6 8 π π π 6 6 6 6 Chọn C 1 3+ 4 Câu 121. Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: 2 0 3 +2x − x https://toanmath.com/ π π A. 7 7 I = −4 3 +8 . B. I = −4 3 −8 . 6 6 7π 7π C. I = +4 3 −8 . D . I = +4 3 +8 . 6 6
Hướng dẫn giải 1 3+ 4x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : 2 0 3 + 2x − x Ta có: ( 2
3+ 3x − x )' = 3− 2x và 3+ 4x = 9 − 2 (3− 2x ) 1 1 3+ 4x 7 − 2( 2 − 2 ) 1 1 x 7 2( 2 − 2 ) x ⇒ I = dx = dx = dx − dx ∫ ∫ ∫ ∫ . 2 2 2 2 0 3 +2 x − x 0 3 +2 x − x 0 3 +2 x − x 0 3 +2 x − x 1 1 7 7 Xét = = 1 I dx dx ∫ ∫ . 2 3 + 2 x − x 4 −( x − )2 0 0 1  π π 
Đặt x −1 = 2sin ,t t ∈ − ;
⇒ dx = 2 cos tdt  . 2 2    π
x = 0 ⇒ t = − Đổi cận  6 . x = 1⇒ t =  0 0 14cos t 7π ⇒ I = = 1 dt ∫ . 2 π 4 −4sin t 6 − 6 1 2 (2 − 2x) Xét I = 2 dx ∫ . 2 0 3 +2 x − x Đặt 2
t = 3 + 2x − x ⇒ dt = (2 − 2x )dx .
x = 0 ⇒ t = 3 Đổi cận . x = 1⇒ t = 4  4 4 1 2   2 ⇒ I = dt = 4 ∫ t  = 4 2 − 3 . 2 ( ) 3 t   3 7π
I = I − I = +4 3 −8. 1 2 6 Chọn C 1 2 4x − 3
Câu 122. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 1 − 5 + 4x − x 5π 5π 5π 5π A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 6 3 6
Hướng dẫn giải 7 2 4x − 3 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : 2 1 5 + 4x − x 2 Cách 1: Ta có:( 2
5 + 4x − x )' = 4 − 2x và 4x −3 = 5 − 2(4 − 2x). https://toanmath.com/ 7 7 7 2 2 2 4x − 3 5 2 (4 −2x) I = dx = dx − dx ∫ ∫ ∫ . 2 2 2 1 5+ 4x − x 1 5+ 4x − x 1 5+ 4x − x 2 2 2 7 7 2 2 5 5 Xét I = dx = dx 1 ∫ ∫ . 2 5 +4 x − x 9 −( x −2)2 1 1 2 2  π π 
Đặt x −2 =3sin t,t ∈ − ; ⇒dx =3cos tdt  . 2 2     7 π x = ⇒ t =  Đổi cận 2 6  . 1 π
x = ⇒ t = −  2 6 π 6 5.3cost 5π ⇒ I = dt = 1 ∫ . 2 π 9− 9sin t 3 − 6 7 2 2 (4 −2 x) Xét I = 2 dx ∫ . 2 1 5 + 4 x − x 2 Đặt 2
t = 5 + 4x − x ⇒ dt = 4 − 2x .  1 27 x = ⇒ t =  Đổi cận 2 4  ⇒ I = 0 . 2 7 27 x = ⇒ t =  2 4 5π ⇒ I = . 3 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 2 Câu 123. Cho 2 I =
1 −2x 1 − x dc = aπ +b ∫
với a,b ∈ R . Giá trị a + b gần nhất với 0 1 1 A. B. 1 C. D. 2 10 5 Hướng dẫn giải Đáp án: C
Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh.
Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác.  π π Đặt 
x = sint ,t ∈ − ;  . I được viết lại là 2 2   π π π 6 6 6 I =
1 −2sin t cos t.costdt =
(cost −sint )2.costdt = (cost −sin t)costdt ∫ ∫ ∫ 0 0 0 π π π π 6 6 6 6 2 1 − 1
⇔ − sin tcos tdt+ cos tdt = sin 2t ( d 2 ) t +
(cos 2t+1)d(2 )t ∫ ∫ ∫ ∫ 4 4 0 0 0 0 https://toanmath.com/ π π
cos 2t 6 sin 2t + 2t 6 π 3 −1 ⇔ I = + = + 4 4 12 8 0 0 π − Suy ra 3 1 + ≈ 0,175 . 12 8
Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình tr ng ạ sử d ng ụ
máy tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi
giải quyết các bài toán này. 1 1
Câu 124. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 0 π π π π A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 4 6
Hướng dẫn giải 1 1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : 2 x +1 0 Ta có: 1 1 I = dx ∫
. Ta dùng đổi biến số. 2 x 1 + 0  π π  1
Đặt x = tan t,t ∈ − ; ⇒ dx = dt   . 2  2 2  cos t
x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận π . x = 1⇒ t =  4 π 4 π π ⇒ = = 4 I dt t = ∫ . 0 4 0 Chọn C 1
Câu 125. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  thỏa mãn f ( x) 4 tan
= cos x , ∀x ∈  . Tính I = f ( ) x d ∫ x 0 . π +2 2 + π π A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4
Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1
Đặt t = tan x . Ta có 2 2
=1+ tan x =1+ t 4 ⇒ cos x = ⇒ f t = 2 ( ) 2 cos x (1+t ) (1+t )2 2 2 1 1
I = ∫ f ( x) 1 dx = d ∫ . ( x 1 +x )2 2 0 0  −π π  π
Đặt x = tan u , < x < 2 
 ⇒ dx = (1+ tan u) du ; đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 ; x = 1 ⇒ u = .  2 2  4 π π π π 4 2 4 4 4 1+ tan u 1 1   + 2 1 1 2 π I = = = = + = ∫ ( u u u u u ∫ ∫   1+ tan u ) du . d cos d sin 2 2 2 2 2  1  cos u  2 4  8 0 0 0 0  2   cos u https://toanmath.com/
Câu 126. Cho hàm số f liên tục trên đ ạ o n [ 6
− ;5] , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5
hình vẽ. Tính giá trị I =  f
∫  (x)+2dx  . 6 − y 3 6 − −4 O x 5 −1
A. I = 2π + 35 .
B. I = 2π + 34.
C. I = 2π + 33.
D. I = 2π +32 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
1 x + 2 khi −6 ≤ x ≤ 2 − 2  f (x ) 2 = 1
 + 4− x khi − 2 ≤ x ≤ 2 2 1
x − khi 2 ≤ x ≤ 5 3 3 Ta có  . 5 5 5 I =  f
∫  (x) +2dx = f
∫ (x)dx +2 dx ∫ 6 − 6 − 6 − −2 2  1    = x + x + ∫   ∫ ( + − x ) 5 2 2 1 2 d 1 4 dx + x − dx + 22 ∫       − 2 − 3 3 6 2 2 − 2 5  1   1  2 2 x = x + 2x + J + x − + 22 = J +     28 .  4   3 3 −  6 2 2 Tính J = ∫ ( 2
1 + 4 − x )dx 2 −
Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2cos d t t . π π
Đổi cận: Khi x = 2 thì t = − ; khi x = 2 thì t = . 2 2 π π 2
J = ∫ (1+ 4 − x ) 2 2 2 2
dx = 4 + 4 cos tdt = 4 + 2 ∫
∫ (1+cos2t )dt = 4 +2π . Vậy I = 32+ 2π . 2 − π π − − 2 2 1 d
Câu 127. Khi đổi biến x
x = 3 tan t , tích phân I = ∫
trở thành tích phân nào? 2 x +3 0 π π π π 3 6 3 6 6 1 A. I = 3dt ∫ . B. I = dt ∫ C. I = 3 d t t ∫ . D. I = dt ∫ . 3 t 0 0 0 0
Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt x = 3 tan t ⇒ x = ( 2 d
3 1+ tan t )dt . π
Khi x = 0 thì t = 0 ; Khi x =1 thì t = . 6 https://toanmath.com/ π π 1 d 2 x 6 3 (1+ tan t) 6 3 Ta có I = ∫ = dt dt ∫ . 2 ∫ = x +3 ( 2 3 1+ tan 3 0 t ) 0 0 https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b P(x). x e dx ∫
P (x ).cosxdx ∫
P (x ).sinxdx ∫
P (x ).l nxdx ∫ a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) BÀI TẬP DẠNG 1: π 2
Câu 1. Tích phân I = x sin axd , x a ≠ 0 ∫ có giá trị là: π 3 π + 6− 3 3 π +3 −3 3 π + 6+ 3 3 π + 3+ 3 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 6a 6a 6a 6a π 4 Câu 2. Biết ( π + x) 1 1 cos 2xdx = + ∫
(a, b là các s nguy ố
ên khác 0 ). Tính giá trị ab . a b 0
A. ab = 32 .
B. ab = 2 .
C. ab = 4 . D. ab = 12 . π 2  = Câu 3. u x Tính tích phân 2
I = x cos 2xdx ∫ bằng cách đặt 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv =  cos 2xdx 0 π 1 π 1 A. 2 π I = x sin 2x − xsin 2 d 2 π I = x sin 2x − 2 xsin 2 d 0 x x ∫ . B. x x ∫ . 2 0 2 0 0 π 1 π 1 C. 2 π I = x sin 2x + 2 x sin 2 d 2 π I = x sin 2x + xsin 2 d 0 x x ∫ . D. x x ∫ . 2 0 2 0 0 π π 2 2
Câu 4. Biết I = x cos 2xdx = aπ 3 +b sin 2xdx ∫ ∫
, a và b là các s h
ố ữu tỉ. Giá trị của a là: π π b 6 6 1 1 1 1 A. . B. . C. − . D. − . 12 24 12 24 1 1 Câu 5.
Biết rằng x cos 2xdx = (a sin 2 + b cos 2 + c) ∫
với a,b,c ∈ . Mệnh đề nà
o sau đây là đúng? 4 0
A. 2a + b + c = 1 − .
B. a + 2b + c = 0 .
C. a − b + c = 0.
D. a + b + c = 1. (x −2) cos3x
Câu 6. Tính nguyên hàm I = (x − 2)sin 3xdx = −
+ bsin 3x + C ∫
. Tính M = a + 27b . a
Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 π 2 π
Câu 7. Biết m là số thực th a ỏ mãn x ∫ (cosx +2m ) 2 dx = 2π +
−1 . Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 2 0
A. m ≤ 0.
B. 0 < m ≤ 3 .
C. 3 < m ≤ 6 . D. m > 6. π
Câu 8. Tính tích phân x ∫ (x+ sin x) 3
dx = aπ + bπ . Tính tích ab: 0 https://toanmath.com/ 1 2 A. 3 B. C. 6 D. 3 3 π
Câu 9. Tích phân ( 3x+ ∫ ) 2
2 cos x dx bằng 0 3 3 1 1 A. 2 π − π . B. 2 π + π . C. 2 π + π . D. 2 π −π . 4 4 4 4 π 2m π − 2
Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn . x cos m d x x = ∫
. Hỏi số m thuộc khoảng nào trong 2 0
các khoảng dưới đây?  1   6  5 8   7   0;  1;   ;  A.  6 7  ;2 . B.  4 . C.  5  . D.  . 4    1 I = f ∫ ( x) d 2 2 x x + x khi x ≥ 0 Câu 11. Cho hà s
m ố f ( x) =  . Tích tích phân −π x  .sin x khi x ≤ 0 7 2 1 2
A. I = +π .
B. I = +π .
C. I = − +3π . D. I = + 2π . 6 3 3 5 π Câu 12. Tính x
∫ (1+ cos x)dx. Kết quả là 0 2 π 2 π 2 π 2 π A. − 2 . B. + 3. C. −3 . D. + 2 . 2 3 3 2 π 3
Câu 13. Tính tích phân x
dx = aπ + b ∫ . Phần nguyên của t ng ổ
a + b là ? 2 cos x 0 A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 x 4 2 π π Câu 14. Cho 2
I = x tan xdx = −ln b − ∫
khi đó tổng a + b bằng a 32 0 A. 4 B. 8 C. 10 D. 6 π 4 Câu 15. Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: 1+ cos 0 x π π  π π π  π A.   I = tan −2ln c  os  . B. I = tan +2ln c  os  . 4 8  8  4 8  8  π π  π  π π  π  C. I = tan −2ln c  os . D. I = tan +2ln c  os . 4 4 8     4 4  8  π 4 Câu 16. Tích phân x
dx = aπ + b ln 2 ∫
, với a , b là các s ố th c
ự . Tính 16a − 8b 1 c + os 2 x 0 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. π 4 2x −sin Câu 17. Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: 2 −2cos 0 x https://toanmath.com/ 1  2π 3  1  2π 3  A. I =  π − + +4ln 2 +ln 2 . B. I =  π − + + 2ln 2 − ln 2  . 2  3      2 3   1  2π 3  1  2π 3  C. I =  π − + +4ln 2 −ln 2 . D. I =  π − + + 2ln 2 + ln 2 . 2  3      2 3   π ( 3x+2x) 2 2
cos x+ xcos x
Câu 18. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cosx 6 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 A. I = + + − . B. I = − + − . 324 9 4 2 324 9 4 2 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 C. I = + − − . D. I = + + + . 324 9 4 2 324 9 4 2 π a a 2 Câu 19. x Cho 0 <  x <
và x tan xdx m = ∫ Tính I = ∫ 
 dx theo a và . m 2  cos 0 x  0
A. I = a tan a − 2m . B. 2
I = −a tan a + m . C. 2
I = a tan a − 2m . D. 2
I = a tan a − m . π 2 Câu 20. Tính ∫( 2 x +sin x )cos d
x x . Kết quả là 0 π 2 π 2 π 2 π 2 A. + . B. − . C. − . D. − . 2 3 2 3 3 3 2 3 2 π
Câu 21. Cho tích phân 2 I =
x.sin xdx = aπ +b ∫
. Tính A = a − b 0
Chọn đáp án đúng: A. 7 B. 10 C. 6 D. 2 1 Câu 22. I
Với mỗi số nguyên dương n + n ta kí hiệu 2 I = x − x x ∫ . Tính 1 lim n . n ( 2 1 ) d n →+∞ I 0 n A. 1. B. 2 . C. 3. D. 5 . DẠNG 2: a Câu 23. Cho d x xe x = 1(a ∈ ) ∫  . Tìm a ? 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. e . 1 Câu 24. Cho 2x 2
I = xe dx = ae + b ∫
( a,b là các s h
ố ữu tỷ). Khi đó tổng a + b là 0 1 1 A. 0 . B. . C. 1. D. . 4 2 1
Câu 25. Biết rằng tích phân ∫ (2 + )1 x x e dx = a + .
b e , tích ab bằng: 0 A. 1. B. 1 − . C. −15 . D. 20 . 1 Câu 26. Biết = (2 + ∫ ) 3 x I x
e dx = ae + b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng?
A. a − b = 2. B. 3 3
a + b = 28 .
C. ab = 3.
D. a + 2b = 1 . a x
Câu 27. Tìm a sao cho 2 I = . x e x d = 4 ∫
, chọn đáp án đúng 0 https://toanmath.com/ A. 1 B. 0 C. 4 D. 2 1
Câu 28. Cho tích phân = ∫( + )1( x I x
e − 3) dx . Kết quả tích phân này dạng I = e − a. Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 9 9 8 A. a = B. a = C. a = D. a = 2 4 5 3 1 15 x 1 1
Câu 29. Tính tích phân I = ∫(a − x)( 2 b + e ) 2 dx = + e . Tính A =
ab (a + b ) 4 4 12 0
Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16 D. 45 1 ∫( + )1 x mx e dx = e Câu 30. Tìm m để 0 ? A. 0 B. -1 C. 1 D. 1 2 m Câu 31. Cho = ( 2 − ∫ ) 2 1 e x I x
dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham s
ố m để I < m là khoảng (a;b) 0
. Tính P = a − 3b . A. P = 3 − .
B. P = −2 .
C. P = −4 . D. P = −1. 4 ( x +1) x Câu 32. e Biết rằng tích phân 4
dx = ae + b ∫ . Tính 2 2
T = a − b 2x +1 0 3 5
A. T = 1.
B. T = 2. C. T = . D. T = . 2 2 12 1 1 c x +  
Câu 33. Cho tích phân a I = 1+ x − .e x .dx = ∫  
.ed , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương 1  x b 12
và các phân số a , c là các phân s t ố i
ố giản. Tính bc − ad . b d 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1 . 6 DẠNG 3. e 2 . a e + Câu 34. Cho b
I = x ln xdx ∫ =
với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c. c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . 1
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ln
∫ (2x +1)dx được biểu diễn dạng a.ln3+b, khi đó giá trị 0 của tích 3 ab bằng 3 3 A. 3. B. . C. 1. D. − . 2 2 1 ( b a, b ∈ ) (a +3) Câu 36. Cho ln
∫ (x + )1dx = a + lnb , . Tính . 0 1 1 A. 25 . B. . C. 16 . D. . 7 9 2
Câu 37. Biết tích phân ∫( 4x − )1 ln d
x x = a ln 2 + b với a , b ∈ Z . T ng ổ
2a + b bằng 1 https://toanmath.com/ A. 5. B. 8. C. A(1; − 2; ) 1 D. 13. 3 3+ ln x a + lnb − ln Câu 38. Biết d c x = ∫ với
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức (
a , b , c x +1)2 4 1
P = a + b + c bằng? A. 46 . B. 35. C. 11. D. 48 . 2
Câu 39. Giả sử (2x − ) 1 ln d x x = a ln 2 + , b ( ; a b ∈ ) ∫
 . Khi đó a + b ? 1 5 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 2 2 Câu 40. 2
Tính tích phân I = (x − ∫
)1lnxdx . 1 A. 2ln 2 + 6 + − − I = . B. 6ln 2 2 I = . C. 2ln 2 6 I = . D. 6ln 2 2 I = . 9 9 9 9 a
Câu 41. Tích phân I = xln xdx ∫ có giá trị là: 1 2 2 a ln a 1− 2 2 a ln a 1− A. a a I = + . B. I = − . 2 4 2 4 2 2 a ln a 1− 2 2 a ln a 1− C. a a I = + . D. I = − . 2 4 2 4 Câu 42. 2
Kết quả tích phân ∫ (2x +ln (x +1))dx = 3ln3+b . Giá trị 3+b là: 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2 ( a+ ) Câu 43. b π
Tính tích phân I = (4x + 3).ln xdx = 7 ln a + b ∫ . Tính sin : 4 1 1 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 1
Câu 44. Cho tích phân I =  2
3x −2x +ln(2x +1)  ∫ I b ln a c
dx . Xác định a biết = − với a,b,c là 0 các số ữ h u tỉ 2 2 A. a=3 B. a=-3 C. a = D. a = − . 3 3 3 3+ ln Câu 45. Cho x I =
dx = a(ln 3 +1) + ln b ∫
với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T = 4a + 2b 2 (x+ 1) 1 A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 π ln(sinx)  3 
Câu 46. Cho tích phân 3 I = = ∫   − π π dx a ln b
. Tính A = log a + log b 2  3 cos x 4  3 6 6  
Chọn đáp án đúng: A. −3 B. 2 C. −1 D. 1 e ln Câu 47. Biết
x dx = a e + b ∫
với a,b ∈ . Tính P = . a b . 1 x
A. P = 4 . B. P = 8 − .
C. P = −4. D. P = 8. 2
Câu 48. Biết 2x ln ∫ ( x + ) 1 dx = . a ln b, với *
a, b ∈  , b là s ố nguyên t . T ố
ính 6a + 7b . 0 A. 33. B. 25 . C. 42 . D. 39. https://toanmath.com/ 1 2  1 
a ln 2 − bcln 3 + Câu 49. c
Cho x ln (x + 2) + dx = ∫ = + +  
với a ,b , c ∈  . Tính T a b c. x + 2 4 0
A. T = 13 .
B. T = 15.
C. T = 17 . D. T =11. 3 Câu 50. Biết ln
∫ ( 3x−3x + 2 )dx = aln5+bln2+ c, với a, b,c∈ . Tính S = .ab+ c 2
A. S = 60 . B. S = 2 − 3 .
C. S = 12 . D. S = −2 . 1 7 −
Câu 51. Cho biết tích phân I = (x +2)ln (x 1 + )dx =a ln 2 + ∫
trong đó a , b là các số nguyên b 0
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. a = b .
B. a < b .
C. a > b .
D. a = b + 3 . 2 x +ln x a 1 I = dx = ln 2 − ∫ x +1 b c 1 ( )2 Câu 52. Cho
với a , b , m là các s
ố nguyên dương và là phân số tối giản. a + b S =
Tính giá trị của biểu thức c . 2 5 1 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 6 2 3 b
Câu 53. Cho a > b > 1
− . Tích phân I = ln( x + ∫
)1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a A. b I = ( x + ) 1 ln( x + )
1 b − a + b .
B. I = ( x +1)ln (x +1) −b + a . a a b 1 b C. b x I = ( .
D. I = x ln( x + ) 1 + dx ∫ . x 1 + ) a x +1 a a 2 e 2  1 1  ae + be+ Câu 54. c Biết − ∫ dx = 
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 2
 ln x ln x  2 e 2 2 2
a + b + c bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 9 . 3 Câu 55. Biết
ln ( 2 + 16)d = ln 5+ ln 2 c x x x a b + ∫ trong đó a, ,
b c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 0
biểu thức T = a + b + c . A. T = 2 . B. T = 1 − 6 .
C. T = −2 . D. T = 16 . 2  1 
Câu 56. Tính tích phân 2018 I = 2019log x + x d ∫ 2 x. ln 2    1 A. 2017 I = 2 . B. 2019 I = 2 . C. 2018 I = 2 . D. 2020 I = 2 . 3 3+ ln Câu 57. Biết x I = dx ∫
= a (1+ ln 3)− bln 2 , (a,b∈ ). Khi đó 2 2
a + b bằng (x +1)2 1 A. 2 2 7 a + b = . B. 2 2 16 a + b = . C. 2 2 25 a + b = . D. 2 2 3 a + b = . 16 9 16 4 2 ln Câu 58. Biết x d = ln 2 b x a + ∫
(với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và b là phân số 2 1 x c c
tối giản). Tính giá trị của S = 2a + 3b + c . A. S = 4 .
B. S = −6 .
C. S = 6 .
D. S = 5. https://toanmath.com/ 2
Câu 59. Biết rằng ln
∫ (x+1)dx = aln3+bln2+c với a , b , c là các s nguyên. T ố
ính S = a + b + c 1
A. S = 0 .
B. S = 1.
C. S = 2. D. S = −2. 5
Câu 60. Tính tích phân I = ∫(x +1)ln (x −3)dx ? 4 19 19 19 A. 10ln 2 . B. 10ln 2 + . C. − 10 ln 2 . D. 10ln 2 − . 4 4 4 3
Câu 61. Biết rằng x ln x dx = m ln 3 + n ln 2 + p ∫
, trong đó m , n , p ∈  . Khi đó số m là 2 9 27 A. . B. 18 . C. 9. D. . 2 4 4
Câu 62. Biết x l ∫ ( 2 n x + )
9 dx = a ln 5 + b ln 3 + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0
thức T = a + b + c là
A. T = 10 .
B. T = 9 .
C. T = 8. D. T = 11. 1
Câu 63. Tích phân I = ln( 2 1+ x − ∫
)xdx có giá trị là: 0
A. I = 2 −1+ ln ( 2 −1) .
B. I = 2 −1− ln ( 2 −1) .
C. I = − 2 +1+ ln ( 2 −1).
D. I = − 2 +1− ln( 2 − ) 1 . e  1 
Câu 64. Cho tích phân 2 I = x + ∫
ln xdx = ae +b , a và b là các s h
ố ữu tỉ. Giá trị của 2a − 3b là: x  1 13 13 13 13 A. . B. . C. − . D. − 2 4 4 2 π /4 +
Câu 65. Tính tích phân
ln(sin x cos x) dx ∫
, ta được kết quả 2 cos 0 x π 1 π 3 π 3 π 3 A. − + ln 2. B. − ln 2. C. − + ln 2. D. − − ln 2. 4 2 4 2 4 2 4 2 2 4ln x 1 + 2
Câu 66. Giả sử
dx = aln 2 +bln 2 ∫ , v
ới a,b là cá c s ố hữ
u tỷ .Kh i đó tổ
ng 4a + b bằng. x 1 A. 3. B. 5 C. 7 . D. 9 . 1000 2 ln x
Câu 67. Tính tích phân I = d . x ∫ ( x + )2 1 1 1000 ln 2 2 1001 1000ln 2 2 A. I = − +1000ln . B. I = − + ln . 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 ln 2 2 1000 1000ln 2 2 C. I = −1000ln . D. I = − ln . 1000 1000 1 +2 1 +2 1000 1000 1+ 2 1+ 2 https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: π 2
Câu 1. Tích phân I = x sin axd , x a ≠ 0 ∫ có giá trị là: π 3 π + 6− 3 3 π +3 −3 3 π + 6+ 3 3 π +3 +3 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 6a 6a 6a 6a
Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = x sin axd , x a ≠ 0 ∫ có giá trị là : π 3 du = dxu = x  Đặt  ⇒  1 . dv = sin axdx v = −  cos x  a π π π π 2 2 2 2  −1  1  −1   1  π + 6 − 3 3 ⇒ I = x cos x + cosxdx = x cos x + sin x =   ∫     .  a π  aa π   a π π  6a 3 3 3 3 Chọn A π 4 Câu 2. Biết ( π + x) 1 1 cos 2xdx = + ∫
(a, b là các s nguy ố
ên khác 0). Tính giá trị ab . a b 0
A. ab = 32 .
B. ab = 2 .
C. ab = 4 . D. ab = 12 .
Hướng dẫn giải Chọn A π π 4 ∫(   π π + x ) x x = ( + x ) 4 sin 2x cos 2x 1 1 1 cos 2 d 1 + = + = +  . 2 4    4 8 a b 0 0
⇒ a = 4;b = 8 ⇒ ab = 32. π 2  = Câu 3. u x Tính tích phân 2
I = x cos 2xdx ∫ bằng cách đặt 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv =  cos 2xdx 0 π 1 π 1 A. 2 π I = x sin 2x − xsin 2 d 2 π I = x sin 2x − 2 xsin 2 d 0 x x ∫ . B. x x ∫ . 2 0 2 0 0 π 1 π 1 C. 2 π I = x sin 2x + 2 x sin 2 d 2 π I = x sin 2x + xsin 2 d 0 x x ∫ . D. x x ∫ . 2 0 2 0 0
Hướng dẫn giải Chọn A 2   = = du 2xdx Ta có: u x   ⇒  1 . dv =  cos 2xdx v =  sin 2x  2 π π 1 Khi đó: 2
I = x cos 2xdx ∫ 2 π
= x sin 2x − x sin 2 d 0 x x ∫ . 2 0 0 π π 2 2 Câu 4. Biết a
I = x cos 2xdx = aπ 3 +b sin 2xdx ∫ ∫
, a và b là các s h
ố ữu tỉ. Giá trị của là: π π b 6 6 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 A. . B. . C. − . D. − . 12 24 12 24
Hướng dẫn giải π π 2 2
Biết I = x cos 2xdx = aπ 3 +b sin 2xdx ∫ ∫
. Giá trị của a là : π π b 6 6 Ta có: π π π  1 π = − 2 2 2 a 2  1  1 π 3 1  24 a 1
I = x cos 2xdx = x sin 2x − sin 2xdx = − − sin 2xdx ⇒ ∫   ∫ ∫  ⇒ =  2  π π 2 π 24 2 1 b π 12  = − 6 b 6 6 6  2 . Chọn A 1 1 Câu 5.
Biết rằng x cos 2xdx = (a sin 2 + b cos 2 + c) ∫
với a,b,c ∈ . Mệnh đề nà
o sau đây là đúng? 4 0
A. 2a + b + c = 1 − .
B. a + 2b + c = 0 .
C. a − b + c = 0.
D. a + b + c = 1.
Hướng dẫn giải Chọn C du = dxu = x  Đặt  ⇒  sin 2 . d = cos 2 d x v x x v =  2 1 1 x sin 2x 1 1 Khi đó 1
x cos 2xdx = | − sin 2xdx = 2sin 2+ cos 2− 1 ∫ 0 ( ) ∫ . 2 2 4 0 0
Vậy a − b + c = 0. (x −2) cos3x
Câu 6. Tính nguyên hàm I = (x − 2)sin 3xdx = −
+ bsin 3x + C ∫
. Tính M = a + 27b . a
Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22
Hướng dẫn giải Chọn A du = dxu = x − 2  Đặt  .ta được:  cos 3x dv = sin 3xdxv = −  3 Do đó:
( x − 2) cos3x 1 ( x − ) 2 cos3x 1 1 I = − + cos3xdx = −
+ sin 3x + c ⇒ a = 3;b = ⇒ m = 6 ∫ 3 3 3 9 9 π 2 π
Câu 7. Biết m là số thực th a ỏ mãn x ∫ (cosx +2m ) 2 dx = 2π +
−1 . Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 2 0
A. m ≤ 0.
B. 0 < m ≤ 3.
C. 3 < m ≤ 6 . D. m > 6.
Hướng dẫn giải
Chọn D π π π 2 2 2 x
∫ (cos x +2m)dx = .xcos xdx + 2mxdx ∫ ∫ = I + J 0 0 0 https://toanmath.com/ π 2 +) I = . x cos xdx ∫ 0 u = xdu = dx Đặt  ⇒  dv = cos xdx v =   sin x π π 2 π π π Khi đó 2 I = . x sin x − sin xdx ∫ 2 2 = . x sin x + cos x = −1 . 0 2 0 0 0 π 2 π 2 π +) J = 2mxdx ∫ 2 2 = mx = m. 4 0 0 π 2 2 π π
Suy ra x (cos x +2m)dx = m + 1 − ∫ 4 2 0 2 π π π Theo giả thiết ta có 2 m +
−1= 2π + −1 ⇒ m = 8. 4 2 2 π
Câu 8. Tính tích phân x ∫ (x+ sin x) 3
dx = aπ + bπ . Tính tích ab: 0 1 2 A. 3 B. C. 6 D. 3 3
Hướng dẫn giải Chọn B π π π π 3 π π π 2 2 = + sin = − ∫ ∫ ∫ ∫ (cos ) x I x dx x xdx x dx xd x =
−( x cos x) + cos xdx ∫ 3 0 0 0 0 0 0 0 3 π π 1 3 =
+ π + sin x = π + π 3 0 3 π
Câu 9. Tích phân ( 3x+ ∫ ) 2
2 cos xdx bằng 0 3 3 1 1 A. 2 π − π . B. 2 π + π . C. 2 π + π . D. 2 π −π . 4 4 4 4
Hướng dẫn giải Chọn B π
Đặt I = ∫(3x +2) 2
cos x dx . Ta có: 0 1 π 1 π π   1
฀I = ∫(3x +2)(1 +cos2x)dx =
(3x+ 2)dx + (3x + 2)cos2x dx = (I + ∫ ∫  . 1 I 2 ) 2 2 2 0 0 0  π π 3  3 ฀I = 3x + 2 d = 2 2 x + 2x = π + 2π . 1 ∫ ( ) x 2    2 0 0 π
฀I = 3x +2 cos 2x d . Dùng tích phân từng phần 2 ∫( ) x 0 du = 3d  = 3 + 2 x u x  Đặt  ⇒  1 .
dv = cos 2x dx v = sin 2x  2 https://toanmath.com/ 1 π 3 π 3 π Khi đó I =
3x + 2 sin 2x − sin 2x d = 0 + cos 2 x = 0 2 ( ) x ∫ ( ) . 2 2 4 0 0 0 1  3  3 ฀Vậy 2 2 I = π +2π = π +π . 2  2    4 π 2m π − 2 . x cos m d x x = ∫ Câu 10. 2
Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn 0
. Hỏi số m thuộc khoảng nào trong 4T
các khoảng dưới đây?  1  6  5 8 0;      1;   ;   A.  7   4   5   6 7   ;2 . B. . C. . D. . 4T 4T 4    4T
Hướng dẫn giải Chọn D d  u = dxu = x  Đặt  ⇒  1 .
dv = cosmxdx v =  sinmx  m π π π π 2m 2 2 1 m m x π 1 m  π −2  1 Suy ra . x cos m d x x = sin mx − sin m d x x ∫ ∫ 2 = + .cos mx =   . . 4T m m 2 2 2 2m m  2  m 0 0 0 0  π − 2  1 π −2 Theo giả thiết ta có . = ⇔ m = 1 ±   . 2  2  m 2  5 8  m =1 ∈  ;  Vì  6 7 m là số ữ ỷ dương nên . 4T h u t 2  + ≥ 1 f ( x) 2x x khi x 0 =  I = f ∫ (x)dx Câu 11. Cho hà s m ố x  .s n i x
khi x ≤ 0 . Tích tích phân π − 7 2 1 2
A. I = +π .
B. I = +π .
C. I = − +3π . D. I = +2π . 6 3 3 5
Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: lim f ( ) x = lim f ( )
x = f ( 0) = 0 nên hàm s
ố liên tục tại x = 0 . Do đó hàm số liên tục + − x→0 x→0 trên đoạn [−π; ] 1 . 1 0 1 0 1 Ta có: I = f ( x) dx ∫ =
f (x )dx +
f (x )dx = x.sin d x x + ( 2
2x + x )dx = I + ∫ ∫ ∫ ∫ . 1 I 2 −π −π 0 −π 0 0 • I = . x sin d 1 x x ∫ − π u = x d  u = dx Đặt  ⇒  dv =  sin d x x v = −  cos x 0
I = (−xcos x ) 0 + c s o d = −x cos x + s = π . 1 x x ∫ ( ) 0 0 in x π − π − − π π − 1 1 3 2  2  • x x 7 I = ∫( 2 2x + x d = + = . 2 ) x  3 2  6 0  0 https://toanmath.com/ 7 Vậy I = I + = + . 1 I π 2 6 π Câu 12. Tính x
∫ (1+ cos x)dx. Kết quả là 0 2 π 2 π 2 π 2 π A. − 2 . B. + 3. C. −3 . D. + 2 . 2 3 3 2
Hướng dẫn giải Chọn A u = x du = dx Đặt  ⇒ d 
v = (1+ cos x )dv
v = x + sin x   π 2 π   2 2  π  π Khi đó: π x
I = x (x +sin x ) −∫ (x +sin x)dx 2 = π −  −cos 2 x  = π − + 1+ 1 = −   2 0  2  2  2 0  0 π 3
Câu 13. Tính tích phân x = π + ∫ . Phần nguyên của t ng ổ
a + b là ? 2 dx a b cos 0 x A. 0 B. -1 C. 1 D. -2
Hướng dẫn giải Chọn B
Đối với bài toán này, chúng ta sử d ng ph
ụng phương pháp nguyên hàm từ ần.  u = xdu = dx   Đặt  dx ⇒  sin = = tan x dv v x =  2 cos   x  cosx π π 3 sin
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: = ( tan ) xdx I x x 3 − ∫ cos x 0 0 π π π π 3 π = ( d x x tan x ) (cos ) 3 + ∫
⇔ I = ( x tan x) 3 + ln (cos x) 3 = − ln 2 cos x 3 0 0 0 0 Suy ra 1 a = ;b = − ln 2 . 3 1 Tổng a + b = − ln 2≈ −0,1157969114 3
Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là ố s nguyên lớ ất không vượ n nh t quá x, vậy đáp án đúng là đáp án B.
Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nh c
ắ lại kiến thức về khái
niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong
việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên. x 4 2 π π Câu 14. Cho 2
I = x tan xdx = −ln b − ∫
khi đó tổng a + b bằng a 32 0 A. 4 B. 8 C. 10 D. 6
Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ π π π 4 4 4  1  1 I = x ∫  1 − dx =  . x dx − xdx ∫ ∫ 2 2  cos x  cos x 0 0 0 π 4 π 2 π π 4 xdx = = ∫ 0 2 32 0 π 4 1 I = x. dx . 1 ∫ 2 cos x 0 u = x  du = dx Đặt  dx ⇒  dv = v   = tan x 2  cos x π π 4 π π π 4 4
I = x tan x − tan xdx = + ln cosx = − ln 2 1 0 ∫ 4 0 4 0 2 π π Vậy I = −ln 2 − 4 32 π 4 Câu 15. Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: 1 +cos 0 x π π  π  π π  π  A. I = tan −2ln c  os . B. I = tan + 2ln cos . 4 8 8     4 8  8  π π  π  π π  π  C. I = tan −2 ln cos . D. I = tan + 2ln cos . 4 4  8      4 4  8 
Hướng dẫn giải π 4 x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : 1 +cos x 0 π π 4 4 x 1 x Ta biến đổi: I = dx = I dx ∫ ∫ . 1+ cos x 2 2 x 0 0 cos 2 u = xdu = dx   Đặt  ⇒  . 2 x x dv = cos dx v = 2 tan  2    2 π π π    x  4 4 sin 4 1  x x  1  π π 2 
⇒ I = 2xtan −  2 tan dx = ∫  tan − 2 dx ∫  2 2 2    2 2 8 x 0 0  0 cos       2  . cosπ8 π π 1 π π  π  = tan + 4 dt = tan + 2ln c ∫  os 2 8  t 4 8  8  1 Chọn B π 4 Câu 16. Tích phân x
dx = aπ + b ln 2 ∫
, với a , b là các s ố th c
ự . Tính 16a − 8b 1 +cos 2x 0 https://toanmath.com/ A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải Chọn A u = x du = dx   Đặt  dx ⇒  1 . Ta có dv = v = tan x  1 cos 2  + x  2 π π 1 1 π π 1 π 1 1 π 1 1 1 4 I = x tan x 4 − tan d x x = + ln cos x 4 = + ln =
− ln 2 ⇒ a = , b = − ∫ 0 2 2 8 2 8 2 2 8 4 8 4 0 0
Do đó, 16a − 8b = 4 . π 4 2x −sin Câu 17. Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là: 2 −2cos x 0 1  2π 3  1  2π 3  A. I =  π − + +4ln 2 +ln 2  . B. I =  π − + +2ln 2 −ln 2 . 2  3      2 3   1  2π 3  1  2π 3  C. I =  π − + +4ln 2 −ln 2  . D. I =  π − + +2ln 2 +ln 2  . 2  3      2 3  
Hướng dẫn giải π 2 2x −sin Tích phân x I = dx ∫ có giá trị là : π 2 − 2 cos x 3 π π π 4 2 2 2x − sin x x 1 sin Ta biến đổi: x I = dx = dx − dx ∫ ∫ ∫ . 2 − 2 cos x 1− cos x 2 1− cos x π π π 3 3 3 π π 2 2 x 1 x Xét = = 1 I dx dx ∫ ∫ . − π 1 cos x 2 π 2 sin x 3 3 2 u = xdu = dx   Đặt 1 dv = dx ⇒  . x v = −2 cot x  2 sin  2  2 π π   2 2 1  x x  1  2π 3  ⇒ I =  2 − . x cot +  2 cot dx = − ∫  π + + 4 ln 2 . 1  2  2  π  π 2 2 3    3   3  π 2 1 sin Xét x I = 2 dx ∫ . 2 π 1 −cos x 3
Đặt t =1− cos x ⇒ dt = sin xdx .  π 1 x = ⇒ t =  Đổi cận 3 2  . π x = ⇒ t = 1  2 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 1 1 ⇒ I = dt = ln t = ln 2 2 ∫ ( ) . 2 1 t 2 2 1 2 2 1 2π 3 
I = I − I =  π − + + 4ln 2 − ln 2 . 1 2  2 3    Chọn C π ( 3x+2x) 2 2
cos x+ xcos x
Câu 18. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cosx 6 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 A. I = + + − . B. I = − + − . 324 9 4 2 324 9 4 2 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 C. I = + − − . D. I = + + + . 324 9 4 2 324 9 4 2
Hướng dẫn giải π ( 3x+2x) 2 2
cos x+ xcos x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là : cosx π 6 Ta có: π ( π π π π 3 x + 2x ) 2 2 2
cos x + x cos x   I = dx = ∫ ∫(x +2x) 2 2 2 3 1 4 2
dx + x cos xdx = x + x + x ∫   cos xdx ∫ . cos x  4  π π π π π 6 6 6 6 6 π 2 Xét I = x cos 1 xdx ∫ . π 6 u = xdu = dx Đặt  ⇒  . dv = cos xdx v =   sin x π π 2 π
⇒ I = ( xsin x) 3 2 − sin = − 1 xdx π ∫ . π 4 2 6 6 π 4 2 2  1 4 2  5π 2π π 3 ⇒ I = x + x + I = + + −   . 1  4 π  324 9 4 2 6 Chọn A π a a 2 Câu 19. x Cho 0 <  x <
và x tan xdx m = ∫ Tính I =
dx theo a và . m 2 ∫ cos  0 x  0
A. I = a tan a − 2m . B. 2
I = −a tan a + m . C. 2
I = a tan a − 2m . D. 2
I = a tan a − m .
Hướng dẫn giải Chọn C 2 u = x  du = 2 d x x Đặt  1 ⇒  dv = dx v = tan x  2   o c s x https://toanmath.com/ a 2 a   2 a x 2 I =
dx = x tan x − 2x tan d x x a = tan a −2 . m ∫  ∫ 0  cos  0 x 0 π 2 Câu 20. Tính ∫( 2 x +sin x )cos d
x x . Kết quả là 0 π 2 π 2 π 2 π 2 A. + . B. − . C. − . D. − . 2 3 2 3 3 3 2 3
Hướng dẫn giải Chọn D π 2 Ta có: 2
I = (x +sin x) cos d x x ∫0 π 2 2
= (x cos x +sin x cos x)dx ∫0 π π 2 2 2 = x cos d
x x + sin x cos xdx = I + I ∫ ∫ 1 2 0 0 u = x du = dx Tính I : Đặt  ⇒ . 1 
dv = cosxdx v  = sin x π 2
Nên I = x cos xd 1 x ∫0 π π 2 π ( π π = x sinx ) 2 2 | − sin xdx = + cosx | = − 1 0 0 ∫ 2 2 0 π Tính = Ta có du = cos d x . Đổ
x = 0 ⇒ u = 0; x = ⇒ u = 1. 2 I : Đặt u sin . x x i cận: 2 π 2 1 1 1 1 π 2 2 2 3
⇒ I = sin xcos d x x = u du = u = . = + = − . 2 ∫ ∫ Vậy I I I 3 0 3 1 2 2 3 0 0 2 π
Câu 21. Cho tích phân 2 I =
x.sin xdx = aπ +b ∫
. Tính A = a − b 0
Chọn đáp án đúng: A. 7 B. 10 C. 6 D. 2
Hướng dẫn giải Chọn B * Đặt 2
u = t ⇒ du = 2tdt;
dv = sin tdt chọn v = − cost  π π  Vậy 2 I = 2 t
− cost + 2 t costdt ∫  0 0  
Đặt u = t ⇒ du = dt
dv = costdt ch n ọ v = sin t π π π π I =
t sin tdt = t sint − sin tdt = cost = 2 − 1 ∫ ∫ 0 0 0 0  π  * Do đó: 2 2 I = 2 t
− cost − 4 = 2π − 8⇒ a = 2;b = −8⇒ A = 10 0   https://toanmath.com/ 1 n Câu 22. I
Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 2 I = x − x x . Tính +1 lim n . n ∫ ( 2 1 ) d n →+∞ 0 In A. 1. B. 2 . C. 3. D. 5 .
Hướng dẫn giải Chọn A Cách T 1. ự luận: d  u = dx 1 u = x   Xét 2 n+1 I = x − x x . Đặt  ⇒  −( 2 1 − x ) . n ∫ ( 2 1 )n d v = x  ( 2 d 1− x )n d 0 xv  = 2(n 1 +  ) + −x (1− x ) 1 n 1 2 1 1 + + I = + − x x = − x x ∫ ∫ n ( ) 1 n 1 1 1 d (1 )n 1 2 2 n + (n + ) d 1 2 1 2 n + 1 0 ( ) 0 0 1 1 + ⇒ I = − − + ∫( n x x x n 1 )(1 ) 1 2 2 1 (n + ) d 2 2 0 1 1  + +  ⇒ I =  − x x− x − x x ∫ ∫  n+ ( n n 1 ) 1 1 d (1 ) 1 2 2 2 d 1 2( n+ 2) 0 0  1 + ⇒ I + 2n 1 I I =
2 n+ 1 I − I n 1 n+1 ⇒ = ⇒ lim = 1. n+1  ( ) 2( +  n+ 2) n n 1 I 2n + 5 n →+∞ I n n Cách 2. Trắc nghiệm: Ta thấy ≤ ( 2 0
1− x ) ≤1 với mọi x∈ [0;1], nên 1 1 1 + I = x − x x = x − x − x x ≤ x − x x = I ∫ ∫ ∫ , n+ (1 )n 1 2 2 2 d ( 2 1 )n ( 2 1 ) 2 d ( 2 1 n d 1 ) n 0 0 0 suy ra I I n+1 ≤ 1 , nên n+1 lim
≤1. Dựa vào các đáp án, ta chọnA. I I n n https://toanmath.com/ DẠNG 2: a Câu 23. Cho d x xe x = 1(a ∈ ∫ ) . Tìm a ? 0 A. 0 . B. 1. C. 2. D. e .
Hướng dẫn giải Chọn B a d = 1 ⇔ ∫ ( − ) 1 a x x = ( − ) 1 a xe x x e a
e + 1 = 1 ⇔ a = 1 . 0 0 1 Câu 24. Cho 2x 2
I = xe dx = ae + b ∫
(a,b là các s h
ố ữu tỷ). Khi đó tổng a + b là 0 1 1 A. 0 . B. . C. 1. D. . 4 2
Hướng dẫn giải Chọn D  du = dx u = x  Đặt  ta có  1 . 2 d x v =  e dx 2 x v = e  2 1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 1 x 1 1 1 1 1 Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2
I = xe dx = xe − e dx = e − e
= e − e + = e + . ∫ ∫ 2 0 2 2 4 0 2 4 4 4 4 0 0  1 a =  4 1 Suy ra  ⇒ a+ b= . 1 2 b=  4 1
Câu 25. Biết rằng tích phân ∫ (2 + )1 x x e dx = a + .
b e , tích ab bằng: 0 A. 1 . B. −1. C. −15 . D. 20 .
Hướng dẫn giải Chọn A u = 2x+ 1 du = 2dx Đặt  ⇒  . d x v = e d x x v = e  1 1 Vậy (2 + ) 1 x =(2 + ) 1
1 x −2 xd =(2 − ) 1 1 x x e dx x e e x x e = e 1 + ∫ ∫ . 0 0 0 0
Suy ra a = 1;b = 1⇒ ab = 1 . 1 Câu 26. Biết = ( 2 + ∫ )3 x I x
e dx = ae + b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng?
A. a − b = 2 . B. 3 3
a + b = 28 .
C. ab = 3 .
D. a + 2b = 1.
Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 = ∫ ( 1 2 + 3) x I x
e dx = ∫ (2 +3)d ( x x
e ) = (2 + 3) x − 2 d x x e e x ∫
= 5e − 3 − 2e + 2 = 3e −1. 0 0 0 0
Vậy a = 3,b = −1 nên a + 2b = 1. a x
Câu 27. Tìm a sao cho 2 I = . x e x d = 4 ∫
, chọn đáp án đúng 0 https://toanmath.com/ A. 1 B. 0 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải Chọn D a  =  = x u x du dx   Ta có: 2
I = x.e dx ∫ . Đặt x  ⇒ x  0 2 2 dv = e dx v  =   2.e a a x a x a x a 2 2 2 2 ⇒ I =2 .xe
−2 e dx =2 ae −4.e = 2 ∫ (a −2 ) 2 e +4 0 0 0 a
Theo đề ra ta có: I = ⇔ (a − ) 2 4 2
2 e + 4 = 4 ⇔ a = 2 1
Câu 28. Cho tích phân = ( + ) 1 ( x I x e − ∫
)3dx . Kết quả tích phân này dạng I = e−a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 9 9 8 A. a = B. a = C. a = D. a = 2 4 5 3
Hướng dẫn giải Chọn A u = x +1 du = dx    ⇒  dv =  ( xe − )3dx v =  
∫( xe − )3dx = ( xe − 3x)  ⇒ I = ( x+ ) 1 ( xe − 3 ) 1 x
− ∫ (1 xe − 3 )x dx 0 0 1 (   = x+ )( x e − x)1 x 3 2 9 1 3 − e − x = e−   0  2  2 0 1 15
Câu 29. Tính tích phân = ∫( − )( 2x I a x b + e ) 1 1 2 dx = + e . Tính A =
ab( a + b) 4 4 12 0
Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16 D. 45
Hướng dẫn giải Chọn D Đặt du = − dx
u = a − x    ⇒  dv =  ( 2x b + e ) 1 2x dx v = bx + e  2      
I = (a − x) 1 2 b x 1 1 1 1 bx + e
= ab −b − a + − +    (a 1 − ) 1 2 1 1 2 + = +   0 e e   2   2 2 4   2 4  4 4  1 b 1 1 ab − b − a + − =  a = 1 2 2 4 4  ⇒  ⇒ A = 45 1  ( =  a − ) 1 1 b 2 1 + =  2 4 4 1 ∫( + )1 x mx e dx = e Câu 30. Tìm m để 0 ? 1 A. 0 B. -1 C. D. 1 2
Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Ta có 1 1 1 1
∫ (mx+1) xedx = ∫(mx+1)d (xex) = (mx +1) 1x x e − m e d ∫
(mx +1) = (mx +1) 1 x x e − m e dx ∫ 0 0 0 0 0 0 = (mx +1) 1 1 x x e  − m
e  = (m +1)e −1− me + m = e + m −1  0  0 m Câu 31. Cho = ( 2 − ∫ ) 2 1 e x I x
dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham s
ố m để I < m là khoảng (a;b) 0
. Tính P = a − 3b . A. P = 3 − .
B. P = −2 .
C. P = −4 . D. P = −1.
Hướng dẫn giải Chọn A m = (2 − ∫ ) 2 1 e x I x dx 0 d  u = 2d  = 2 −1 x u x  Đặt 2x  ⇒  . 2x e dv = e dx v =  2 m x m − ( 2m− ) 2 1 e m 1 1 m I = ∫( x m 2 x 1 − ) x ( 2 ) 2 1 e 2 2 e dx = − e d x x ∫ 2x m 2 = + − e = e m − e m + 1 2 0 2 2 2 0 0 0 2m 2m < ⇔ − + < ⇔ ( − )( 2 e e 1 1 e m I m m m m − )
1 < 0 ⇔ 0 < m < 1.
Suy ra a = 0,b = 1⇒ a − 3b = 3 − . 4 ( x +1) x Câu 32. e Biết rằng tích phân 4
dx = ae + b ∫ . Tính 2 2
T = a − b + 0 2x 1 3 5
A. T = 1.
B. T = 2. C. T = . D. T = . 2 2
Hướng dẫn giải Chọn B 4 4 x + 1 x + 4 4 1 x   x 1 2 2 Ta có x e I = e dx = e dx ∫ ∫ =  2x + 1. x e dx + dx ∫ ∫  . 2x +1 2 2x +1 2 + 0 0  0 0 2x 1  4 x e Xét = 1 I dx ∫ . 2 x +1 0 xdu = e dx xu = e   1  Đặt  dx ⇒  dx 1 ( x + )2 2 1 dv =  v = = . = 2 x +1  ∫  2 2 x +1 2 1 x +1   2 4 4 Do đó x = . 2 + 1 x I e x − e . 2x + 1 1 dx ∫ . 0 0 4 3e −1 3 −1 9 1 Suy ra I =
. Khi đó a = ,b = ⇒ T = − = 2 . 2 2 2 4 4 12 1 1 c x +  
Câu 33. Cho tích phân I = 1+ x − .e a x .dx = .ed ∫  
, trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương   1 x b 12
và các phân số a , c là các phân s t ố i
ố giản. Tính bc − ad . b d https://toanmath.com/ 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1. 6
Hướng dẫn giải Chọn A 12 1 1 12 1 12 1 x+   x + 1 x+   - Ta có: = 1 + − ∫   .e x I x .dx = e x .d + − ∫ ∫   e x x x
.dx = J + K 1  x  1 1  x  12 12 12 12 1 x+ - Tính = e x J .dx ∫ . 1 12 1 1   1 x +  x  +  d = 1− e x u .dx Đặt = e x u    2 ⇒   x  dv =  dxv  = x 12 1 12 1  145 145 145 x +   1 x + 1 143 ⇒ = .e  x − −   .e x J x x .dx ∫  12 12 = 12.e − .e − K 12 = .e − K   12 12 1 1  x  12 12 145 ⇒ 143 I = J + K 12 = .e . 12 c - Theo giả thiết: a a I =
.ed với a , b , c , d là các số nguyên dương à
v , c là các phân số b b d a 143 c 145 tối giản nên = và =
⇒ a = 143, b = 12 , c = 145 , d = 12 . b 12 d 12
Vậy bc − ad = 24 . DẠNG 3. e 2 . a e + Câu 34. Cho b
I = x ln xdx ∫ =
với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c. c 1 A. 5. B. 3 . C. 4 . D. 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn D  1 du = d  x u = ln x  Ta có:  nên x  .
dv = xdx 2 xv =  2 a = 1 e e 2 e x 1 2 e + 1 
I = x ln xdx ∫ = ln x − d x x ∫ = . ⇒ b = 1 . 2 2 4 1 1 1 c =  4
Vậy T = a + b + c = 6. 1
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ln
∫ (2x +1)dx được biểu diễn dạng a.ln3+b, khi đó giá trị 0 của tích 3 ab bằng 3 3 A. 3. B. . C. 1. D. − . 2 2
Hướng dẫn giải Chọn D. https://toanmath.com/  u  = ( x+ ) 2 ln 2 1 d  u = dx Đặt  ⇒  2x +1 . dv = dxv = x  1 1 1 2x  1 Ta có  I = ln
∫ (2x + )1dx = xln(2x+ ) 1 1 − dx = ln 3 − 1− dx ∫ ∫  0 2x +1  2x +1 0 0 0 1  1  3
= ln 3− x − ln 2x + 1 = ln 3− 1  . 2    2 0 3
Khi đó a = ;b = −1 . Vậy 3 3 ab = − . 2 2 1 ( b a, b ∈ ) (a +3) Câu 36. Cho ln
∫ (x + )1dx = a +lnb , . Tính . 0 1 1 A. 25 . B. . C. 16 . D. . 7 9
Hướng dẫn giải: Chọn C .  u = ( x+ ) 1 ln 1 du = dx Đặt  ⇒  x + 1 . dv = dx  v = x + 1  1 1 I = ln
∫ ( x + )1dx =( x + )1 ln( x + )1 1 − ∫( x + ) 1 1 1 .
dx = 2ln 2 − x = 2 ln 2 1 − = 1 − +ln 4. 0 0 x +1 0 0 ⇒ b a = 1
− ,b = 4 ⇒ ( a + ) 3 =16. 2
Câu 37. Biết tích phân ∫( 4x − )1 ln d
x x = a ln 2 + b với a , b ∈ Z . T ng ổ
2a + b bằng 1 A. 5. B. 8. C. A(1; − 2; ) 1 D. 13.
Hướng dẫn giải Chọn C  1
u = ln x ⇒ d u = d x Đặt  x . dv = ( 4x −  )1 dx. 2 2 2
Ta có ∫( 4x − )1 ln d
x x = x( 2x − ) 2
1 ln x − ∫(2x − )1 dx = 6ln 2 − ( 2x − x = 6ln 2− 2 . 1 )1 1 1
Vậy 2a + b = 10. 3 3+ ln x a + lnb − ln Câu 38. Biết d c x = ∫
với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức ( x+1)2 4 1
P = a + b + c bằng? A. 46 . B. 35 . C. 11. D. 48 .
Hướng dẫn giải Chọn A 3 3 3 3 3+ ln x  1  3+ ln x 1 Ta có
dx = − 3 + ln x d = − + d 3+ ln x ∫ 2 ( ) ∫   ( ) ∫ x +1  x + 1 x + 1 x + 1 1 ( ) 1 1 1 3 3 3 3+ ln 3 3 1 1 3− ln 3  1 1  3− ln 3 = − + + . d = + − d = + ln x x x ∫ ∫ 4 2   x + 1 x 4  x x + 1 4 x +1 1 1 1 https://toanmath.com/ 3 −ln 3 3 1 3 −ln 3 3 −ln 3 = + ln − ln = + ln 3− ln 4 + ln 2 = + ln 3 − ln 2 4 4 2 4 4 a = 3
3 +3ln 3 −4 ln 2 3 + ln 27 −ln16  = =
⇒ b = 27 ⇒ P = 46 . 4 4 c = 16  2
Câu 39. Giả sử (2x − )
1 ln xdx = a ln 2 + b,(a;b ∈ ∫
) . Khi đó a + b ? 1 5 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 2
Hướng dẫn giải Chọn D  1 u =  ln x d  u = dx Đặt  ⇒  x . dv = ( 2x −  )1 dx  2
v = x − x  2 2 2 Ta có (2x − ) 1 ln xdx = ∫
( 2x − x)ln x − (x− )1dx ∫ 1 1 1 2 2  x  1 = 2ln 2 − − x =  2ln 2 −  .  2  2 1 1 3
Khi đó a = 2;b = − . Vậy a + b = . 2 2 2 Câu 40. 2
Tính tích phân I = (x − ∫
)1lnxdx . 1 A. 2ln 2 + 6 + − − I = . B. 6ln 2 2 I = . C. 2ln 2 6 I = . D. 6ln 2 2 I = . 9 9 9 9
Hướng dẫn giải Chọn B 2
Cách 1: I = ∫ ( 2x −1)ln xdx 1  d d x  = ln u = u x  Đặt   x  ⇒  dv =  ( 2x −  ) 3 1 dx xv = − x  3 2 2 2 3 2 2 3 3  x   x   x   x  6 ln 2+ 2 Do đó I =
− xln x −∫ 1 − dx =
− xln x + − x = .  3   3   3   9  9 1 1 1 1 Cách 2: 2 2 ∫ ( − ) 2 3 3 2 3       2 1 ln d = ln d x x − = − ∫     ln x x x x x x x x − −x ∫  d (ln x )  3   3   3 1 1 1  1 2 2 2 3 2  x  2  x  2+ 6 ln 2
= ln 2− ∫ − 1 dx = −  − x = . 3  3  3  9  9 1 1 a
Câu 41. Tích phân I = xln xdx ∫ có giá trị là: 1 https://toanmath.com/ 2 2 a ln a 1− 2 2 a ln a 1− A. a a I = + . B. I = − . 2 4 2 4 2 2 2 a ln a 1− 2 a ln a 1− C. a a I = + . D. I = − . 2 4 2 4
Hướng dẫn giải a
Tích phân I = xln xdx ∫ có giá trị là : 1  1 =  = ln du dx u x  Đặt x  ⇒ . 2 dv = xdxxv =  2 2 a 2 a 2 a a 2 2  xxx   x a ln a 1−a ⇒ I = .ln x − dx =  ∫  .ln x − = +  . 2 2 2   4  2 4   1     1 1 1 Chọn C Câu 42. 2
Kết quả tích phân ∫ (2x +ln(x + )1)dx = 3ln3+b. Giá trị 3+b là: 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
Hướng dẫn giải Chọn C 2
I = ∫ (2x + ln (x + )
1 )dx = A + B 0 2 2 Tính 2 A = 2xdx = x = 4 ∫ 0 0 2 Tính B = (ln(x + ∫ ) 1 )dx 0  dx u  = ln (x + ) 1 du = Xem:  ta chọn được  x +1 dv = dx  v  = x +1
Dùng công thức tích phân t ng ph ừ ần 2 = ∫ ( x+ B ln ( x + )
1 )dx = (x +1).ln ( x +1)2 2 1 2 −
dx = 3ln 3 − x = 3ln 3 − 2 ∫ 0 0 0 0 x+ 1 2
Vậy: I = ∫ (2x + ln (x +1))dx = 3ln3+ 2 0 2 ( a + ) Câu 43. b π
Tính tích phân I = (4x + 3).ln xdx = 7 ln a + b ∫ . Tính sin : 4 1 1 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
Hướng dẫn giải Chọn B  1 u = ln x du   = dx Đặt ⇒  . Khi đó =  ( xdv 4 x +  3) dx 2 v  = 2 x + 3 x 2 2 2 =( 2 2 x + 3 2 x I 2x +3 ) x ln x − dx =( 2 2.2 + ) 3.2 ln 2 ( 2
− 2.1 +3. )1 ln1− ( 2x + ) 3 dx 1 ∫ ∫ x 1 1 = 14ln 2− 0− ( 2 2
x + 3x) = 14ln 2− 0− ( 2
 2 + 3.2)− ( 21 + 3.1) =14ln2− (10− 4) =14ln2− 6  1 https://toanmath.com/ 1
Câu 44. Cho tích phân I =  2
3x −2x + ln(2x +1)  ∫ 
dx . Xác định a biết I = b ln a − c với a,b,c là 0 các số ữ h u tỉ 2 2 A. a=3 B. a=-3 C. a = D. a = − . 3 3
Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 I =  2
3x −2x + ln(2x +1)dx =  2
3x −2x dx + ln(2x +1) dx = I + ∫   ∫   ∫   I 1 2 0 0 0 u = ln(2x +1)
Giải I2 bằng phương pháp từng phần dv = dx 3
I = ln3 −1 ⇒ a = 3 2 3 3+ ln Câu 45. Cho x I =
dx = a(ln 3 +1) + ln b ∫
với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T = 4a + 2b 2 (x+ 1) 1 A. 4 B. 7 C. 5 D. 6
Hướng dẫn giải Chọn A
Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc g ả i i quyết bài toán, đây
là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ ậ v n dung. Đặt  = 3 +ln  dx u x u =    xdx ⇔  v = 1 −  2 x (  x +  1) v = 1 + =  x + 1 x + 1 b b
Áp dụng công thức tính tích phân thành phần b
udv = uv − vdu ∫ ∫ thì ta được a a a 3 3 3 (3+ ln x)x dx (3+ ln x)x 3 I = − = − ln(x +1) ∫ 1 x + 1 x + 1 x + 1 1 1 1  3 (3 +ln 3 ) 3  I =  −  −(ln 4 l − n 2 ) 4 2   3 3  1 (ln 3 1) ln 2 (ln 3 1) ln  = + − = + + 4 4  2   3 1
Vậy a = ;b = ⇒ T = 4a + 2b = 3+ 1= 4 4 2 −1 x
Nhận xét: Điểm mấu c ố h t ể
đ xử lí nhanh bài toán nằm ở v ệ i c ặ đ t v = 1 + =
. Một số x + 1 x + 1 3
thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến I =
(ln 3 +1) − ln 2 không để ý dấu nên suy ra luôn 4 3 a =
;b = 2 dẫn đến kết quả sai. 4 π ln( sin x)  3 
Câu 46. Cho tích phân 3 I = = ∫   − π π dx a ln b
. Tính A = log a + log b 2  3 cos x  4  3 6 6  https://toanmath.com/
Chọn đáp án đúng: A. − 3 B. 2 C. − 1 D. 1
Hướng dẫn giải Chọn C Đặt = ( ) cos ln sin x u x ⇒ du = dx sin x dx dv = ch n ọ v = tan x 2 cos x π π 3 ln(sin ) π 3 x Vậy I = dx = tan .
x ln x sin x  − dx ∫ 2 ( ) 3   ∫ π cos π x 6 π 6 6 e
Câu 47. Biết ln xdx = a e +b ∫
với a,b ∈  . Tính P = . a b . 1 x
A. P = 4 .
B. P = −8. C. P = 4 − . D. P = 8 .
Hướng dẫn giải Chọn Bu = ln x  d d x u = Đặt    dx → x dv =    x dv = 2 x e ea = −2 Suy ra ln e d e e x x
dx = 2 x ln x − 2
= 2 x ln x − 4 x = 2 − e + 4 ∫ ∫ ⇒  . 1 1 1 b = 4 1 x 1 x Vậy P = ab = 8 − . 2
Câu 48. Biết 2x ln ∫ ( x + ) 1 dx = . a ln b, với *
a, b ∈  , b là s ố nguyên t . T ố
ính 6a + 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 .
Hướng dẫn giải Chọn D  1 2 u = ln ( x+ ) 1 du = dx Xét I = 2x ln ∫
(x +1)dx = 6. Đặt  ⇔  x + 1 .
 dv = 2xdx 0 2 v = x −  1 2 2 2 2 2 2 x − 1   Ta có x I = ( 2 x − ) 1 ln( x + ) 1 − dx ∫ = 3ln 3 − ( x − ∫ )1 dx = 3ln3− − x =   3ln 3 . 0 x + 1  2 0 0  0
Vậy a = 3, b = 3 ⇒ 6a + 7b = 39 . 1 2  1 
a ln 2 − bcln 3 + Câu 49. c
Cho x ln (x + 2) + dx = ∫ = + +  
với a ,b , c ∈  . Tính T a b c. x + 2 4 0
A. T = 13 .
B. T = 15.
C. T = 17 . D. T =11.
Hướng dẫn giải Chọn A  1 d =  u u  = ln ( x+ 2 )  x + 2 Đặt  ⇒  .  2
dv = xdx x − 4 v =  2 1 1   2 1 1 x − 4 x − 2 x x (x + ) 1 ln 2 + dx ∫   = ln ( x + 2) − dx + dx ∫ ∫  x + 2  2 2 x + 2 0 0 0 0 https://toanmath.com/ 1 2 −3 1  − = 3 3 ln 3+ 2ln 2 x −
− 2x + (x− 2ln( x+   2))1 =
ln 3+ 2 ln 2 + +1− 2(ln 3− ln 2) 0 2 2  2  2 4 0 a = 4 −14 ln 3+16 ln 2 + 7  = . Suy ra: b  = 2. 4 c = 7 
Vậy T = a + b + c = 13. 3 Câu 50. Biết ln
∫ ( 3x −3x + 2)dx = aln5+bln2+c, với a, b,c∈ . Tính S = .ab+ c 2
A. S = 60 .
B. S = −23 .
C. S = 12. D. S = −2 .
Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 3 Ta có ln
∫ ( 3x −3x + 2)dx = .xln ( 3x −3x + 2) − d x ln ∫ ( 3x −3x+ 2) 2 2 2 ( 2 3 x 3 x −3) = 3ln 20− 4ln 2− d ∫ ( x− ) x 2 + 2 1 ( x 2) 3 3x (x 1 + ) 3 3( x 1 − )( x + 2) +6 = 3ln 20− 4 ln 2− dx = 3ln 5+ 2 ln 2− dx ∫ ∫ x −1 x + 2 x −1 x + 2 2 ( )( ) 2 ( )( ) 3 = 3ln 5+ 2ln 2− (3 ) 3  1 1  3 3 x − 2 −
dx = 3ln 5+ 2ln 2− 3− 2ln x− 1 + 2ln x+ 2 ∫ 2   2 2
x − 1 x + 2 2  = 5ln 5 − 4 ln 2 − 3.
Suy ra a = 5;b = 4 − ; c = 3
− . Do đó S = ab + c = 2 − 3 . 1 7 −
Câu 51. Cho biết tích phân I = (x +2)ln (x 1 + )dx = a ln 2 + ∫
trong đó a, b là các số nguyên b 0
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. a = b .
B. a < b .
C. a > b .
D. a = b + 3.
Hướng dẫn giải Chọn A  1  =  ( + ) du = d ln 1 x u x  x + 1 Đặt  ⇒  . dv =  ( x +  ) 2 2 dx xv = + 2x  2 1 2 1 2  1 x  5 1  3 =   +   ( + )  1 x + 4 2 ln 1 x I x x  − dx ∫ = ln 2− x+ 3− dx ∫    2   2 x+ 1  2 2  x +1  0 0 0 1 2 5 1   − = 7 ln 2 x − +3 x −3ln  (x+1) = 4ln 2+ . 2 2 2    4 0
Suy ra a = 4 , b = 4 . Vậy a = b . 2 x+ ln x a 1 I = dx = ln 2 − ∫ x+1 1 ( )2 Câu 52. b c Cho
với a , b , m là các s
ố nguyên dương và là phân số tối giản. 17T a + b S =
Tính giá trị của biểu thức c . https://toanmath.com/ 2 5 1 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 17T 17T 3 17T 17T 6 17T 17T 2 17T 17T 3
Hướng dẫn giải Chọn B 17T 2 x+ ln x I = dx ∫ + 1 ( x 1)2 Tính . 17T 1+ x
x + ln x = u dx = du    x ⇒  1  dx = d 1 ( − = v x+  ) v 2 1 Đặt  x +1 . 17T 2 2 2 x+ ln x 1 1+ x 1 2 I = dx = − x +ln x + . dx ∫ 1 1 1 2 ( ) ∫ = − (2+ ln 2)+ + dx ∫ x +1 x +1 x x +1 1 ( ) Khi đó 1 1 3 2 x 1 17T 1 = − ( + ) 1 2 2 1
2 ln 2 + + ln x = ln 2− 1 3 2 3 6 a +b 5 ⇒ S = =
Vậy a = 2;b = 3;c = 6 c 6 . 17T b
Câu 53. Cho a > b > 1
− . Tích phân I = ln( x + ∫
)1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a A. b I = ( x + ) 1 ln( x + )
1 b − a + b .
B. I = ( x +1)ln ( x +1) −b + a . a a b b C. 1 b x I = ( .
D. I = x ln( x + ) 1 + dx ∫ . x 1 + ) a x +1 a a
Hướng dẫn giải Chọn B  u  = ( x+ ) 1 ln 1 du = dx Đặt  ⇒  x + 1 dv = dxv = x +  1 b b Do đó b b b I = ln( x + ∫ )1 dx = ( x + ) 1 ln( x + ) 1 − dx = ∫ ( x + ) 1 ln( x + ) 1 − x a a a a a
= (x +1)ln (x +1)b − b + a a 2 e 2  1 1  ae + be+ Câu 54. c Biết − dx = ∫ 
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 2 ln   x ln x  2 e 2 2 2
a + b + c bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 9 .
Hướng dẫn giải Chọn A 2 e 1 Xét tích phân: dx ∫ . ln x e 1 1 Đặt u = ⇒ ; du = −
dx . dv = dx ch n ọ v = x . ln x 2 x ln x 2 2 2 e e e 1 2 e x 1 2  1 1  −e + 2e Khi đó dx = + dx ∫ ∫ ⇔ − dx = 2 ∫ . ln   x ln x ln 2  ln x lnx  2 e e e x e https://toanmath.com/ a = −1  Do đó b  = 2 . c = 0  Vậy 2 2 2
a + b + c = 5 3 Câu 55. Biết
ln ( 2 + 16)d = ln 5+ ln 2 c x x x a b + ∫ trong đó a, ,
b c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 0
biểu thức T = a + b + c. A. T = 2.
B. T = −16 .
C. T = −2 . D. T = 16 .
Hướng dẫn giải Chọn B  2x  du = dxu = ( 2 ln x +1 ) 6  2  x 16 + Đặt  ⇒  .  2 dv = d x x x + 16 v =  2 3 2 3 3 x + 16 2 3 2 3 x + 16 x Ta có: x ln ∫ ( 2x +16)dx = ln ( 2
x + 16) − x dx ∫ = ln ( 2 x + 16) − 2 2 2 0 0 0 0 0 25 9 9 =
ln 25− 8ln16− = 25ln 5− 32 ln 2− . Do đó a = 25,b = −32,c = −9 ⇒ T = −16 . 2 2 2 2  1 
Câu 56. Tính tích phân 2018
I = ∫ 2019log x + x  d . 2 x  ln 2  1 A. 2017 I = 2 . B. 2019 I = 2 . C. 2018 I = 2 . D. 2020 I = 2 .
Hướng dẫn giải Chọn B 2  1  2 2 1 1 2018 I = 2019log x + x d ∫ 2018 2018 = 2019 x log xdx + x d = 2019 + . 2 x x ∫ ∫ I I ln 2    2 ln 2 1 2 ln 2 1 1 1 2 2 2019 x 2019 2 −1 Trong đó 2018 I = x d = = . 2 x ∫ 2019 2019 1 1  1 = 2 du d  x u = log x  . x ln 2 và 2018 I = x log d ⇒ . 1 ∫ . Đặt 2 2 x x   2018 = 2019 1 dv x dx xv =  2019 2 2019  x  1 2019 2019 2 1 2 − 1 2019 2019 2 2 −1 Khi đó I =  .log − = − . = − . 1 2 x  2 I  2019  2019.ln 2 2019 2019.ln 2 2019 2 2019 2019 .ln 2 1 Vậy 2019 I = 2 . 3 3+ ln Câu 57. x Biết I = d ∫
= a(1+ ln 3) − bln 2 , (a,b∈) . Khi đó 2 2 + bằng ( x a b x +1)2 1 A. 2 2 7 a + b = . B. 2 2 16 a + b = . C. 2 2 25 a + b = . D. 2 2 3 a + b = . 16 9 16 4
Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/  1 u = 3 +ln x du = dx    Đặt: x dx ⇔  d  v =  (  x+  )2 1 1 v = −  x+ 1 3 3 3+ ln 3 x 1 3+ ln 3 3  1 1  Khi đó: I = − + dx ∫ = − + + − ∫  dx x + 1 x x + 1 4 2  x x +1 1 1 ( )  1 3− ln 3 =
+ (ln x −ln x +1 ) 3 1 4  3 3− ln 3 3 a = = + 25
ln 3− ln 4 + ln 2 = (1+ ln 3)− ln 2 2 2 ⇒  4 ⇒ a + b = . 4 4 16 b =  1 2 ln Câu 58. Biết x d = ln 2 b b x a + ∫
(với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số 2 x c c 1
tối giản). Tính giá trị của S = 2a + 3b + c .
A. S = 4 .
B. S = −6 .
C. S = 6 .
D. S = 5.
Hướng dẫn giải Chọn A  1 u = ln x du = dx   Đặt x  1 ⇒  . dv = dx  1 2   x v = −  x Khi đó, ta có: 2 2 2 ln 2 x ln x 1 1 1 1 1 = dx = − + dx ∫ = − ln 2− = − ln 2+ . 2 ∫ 2 x x x 2 2 2 1 1 1 x 1 1
Từ giả thiết suy ra a = − , b = 1, c = 2 . 2
Vậy giá trị của S = 4 . 2
Câu 59. Biết rằng ln
∫ (x+1)dx = aln3+bln2+c với a , b , c là các s nguyên. T ố
ính S = a + b + c 1
A. S = 0 .
B. S = 1.
C. S = 2 . D. S = −2 .
Hướng dẫn giải Chọn A  1 u  = ln ( x+ ) 1 d  u = dx Đặt  ⇒  x +1 dv = dx v  = x  2 2 2 Khi đó, ta có: ln ∫ ( 1 + )d = ln ( 1 + ) x x x x x − d x 1 ∫ x +1 1 1 2  1 2ln 3 ln 2 1  = − − − dx ∫   = − − (x − x + ) 2 2ln 3 ln 2 ln 1  x + 1  1 1
= 2ln 3 − ln 2 −( 2− ln 3−1+ ln 2) = 3ln 3 − 2ln 2 −1.
Suy ra S = a + b + c = 3− 2 −1 = 0 . 5
Câu 60. Tính tích phân I = ∫(x +1)ln (x −3)dx ? 4 https://toanmath.com/ 19 19 19 A. 10ln 2 . B. 10 ln 2 + . C. − 10ln 2 . D. 10 ln 2 − . 4 4 4
Hướng dẫn giải Chọn D  1  = ( − ) du = d ln 3 x u x  − Đặt x 3  ⇒  . dv = x +1 1 2
v = x + x  2 1 2 5  1  5 x + x 5 2 5 2 I = x + x 35 1 x −9 +9 x −3 + 3   (x − ) 2 ln 3 − dx ∫ = ln 2 − −  2  4 dx dx ∫ ∫ x − 3 4 2 2 x − 3 x − 3 4 4 35 1  9 ln 2 3 9 ln 2 = − + + − 19   (1+ 3ln 2) = 10 ln 2− . 2 2 2  4 3
Câu 61. Biết rằng x ln x dx = m ln 3 + n ln 2 + p ∫
, trong đó m , n , p ∈  . Khi đó số m là 2 9 27 A. . B. 18 . C. 9. D. . 2 4
Hướng dẫn giải Chọn A d  u = dxu = ln x  Đặt  ⇔ 2  d = d x v x x v  =  2  9 m =  3 3 3 2 2 3 2 3 9 9 19  ⇒ x x x
x ln x dx = ∫ ln x − dx ∫ = ln 3− 2 ln 2− = ln 3− 2 ln 2 − ⇒ n  = −2 2 2 2 6 2 6 2 2 2 2  19 p = −  6 9 Vậy m = . 2 4
Câu 62. Biết x l ∫ ( 2 n x + )
9 dx = a ln 5 + b ln 3 + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0
thức T = a + b + c là A. T = 10 .
B. T = 9 .
C. T = 8. D. T = 11.
Hướng dẫn giải Chọn C  2x u = x  u = ln ( d d 2 x + 9)  ( 2x + )9 Đặt  ⇔  2
dv = xdxx + 9 v =  2 4 4 2 4 2 x + 9 x + 9 2x Suy ra x ln ∫ ( 2x +9)dx = ln ( 2 x +9 ) − . dx ∫ = 25ln 5 −9ln 3 −8 . 2 2 2 x + 9 0 0 0
Do đó a = 25 , b = −9 , c = 8 − nên T = 8. https://toanmath.com/ 1
Câu 63. Tích phân I = ln( 2 1+ x − ∫
)xdx có giá trị là: 0
A. I = 2 −1+ ln ( 2 −1) .
B. I = 2 −1− ln ( 2 −1).
C. I = − 2 +1+ ln ( 2 −1).
D. I = − 2 +1− ln( 2 − ) 1 .
Hướng dẫn giải 1 Tích phân I = ln( 2 1+ x − ∫
)xdx có giá trị là : 0  − u = ln ( 1 2 1+ x − x) du = dx  Đặt 2  ⇒  1 + x . dv = dx   v = x ⇒ = ( x I x.ln( 2 x + 1 − x) 1 1 + dx ∫ . 2 0 0 x + 1 1 Xét x = 1 I dx ∫ . 2 0 x 1 + Đặt 2
t = x +1 ⇒ dt = 2xdx .
x = 0 ⇒ t =1 Đổi cận  . x = 1⇒ t =  2 2 1 1 ⇒ I = dt = ∫ ( t)2 = 2 −1. 1 2 1 1 t
⇒ I = I + ( .xln( x +1− x) 1 2 = 2 −1+ ln 2 −1 . 1 ( ) 0 Chọn A e  1 
Câu 64. Cho tích phân 2 I = x + ∫
ln xdx = ae + b, a và b là các s h
ố ữu tỉ. Giá trị của 2a − 3b là: x  1 13 13 13 13 A. . B. . C. − . D. − 2 4 4 2
Hướng dẫn giải e  1  Cho tích phân 2 I = x + ∫
ln xdx = ae + b. Giá trị của 2a − 3b là :  x  1 Ta có: e e e e 2 e 1 2  1  1  xx e 5 I = x +
ln xdx = xln xdx + ln xdx = ln x − dx + dt = + ∫  ∫ ∫   ∫ ∫
, với t = ln x .  x x  2  2 4 4 1 1 1 1 0 1 1 5 13
⇒ a = , b = ⇒ 2 a −3b = − . 4 4 4 Chọn C
π /4 ln(sin x + cos x)
Câu 65. Tính tích phân d ∫
, ta được kết quả 2 x cos 0 x π 1 π 3 π 3 π 3 A. − + ln 2. B. − ln 2. C. − + ln 2. D. − − ln 2. 4 2 4 2 4 2 4 2
Hướng dẫn giải Chọn C
Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho từng đáp án ta được đáp án C. https://toanmath.com/ π /4 π /4 ln(sin x+ cos ) x ln (cos .x(1+ tan ) x )
π /4 ln(cos )x ln(1+ tan )
Tự luận: x d  x = dx = + ∫ ∫ ∫  dx 2 2 2 2 cos x cos x  cos x cos 0 0 0 x  π /4 π /4 ln(cos x) ln(1 +tan x) = dx+
dx = I + J ∫ 2 ∫ . 2 cos x cos 0 0 x  sin x
u = ln cos x ⇒ d u = − d x  Đặt cos x  . 1 dv =
dx , v = tan x 2  cos x π /4 π /4 ln(cos x) π π π 1 π 2 4 4 I =
dx = tan x.ln(cos x) +
tan xdx = tan x.ln cos x + ∫ ∫ ( x
− + tan x) 4 = − ln 2 − +1 2 0 0 0 cos x 2 4 0 0 π /4 ln(1+ tan x) 1 J = dx. ∫
Đặt t = 1+ tan x ⇒ dt = dx. 2 cos 2 cos x 0 x π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒t = 2 4 2  1
u = lnt ⇒ d u = d t 2 2
J = ln t dt ∫ . Đặt  t
⇒ J = ln t dt = ∫
(t ln t −t ) = 2ln 2 −1 1 1
dv = dt , v = t 1
π /4 ln(sin x +cosx) π 3 Vậy dx = − + ln 2. ∫ 2 cos x 4 2 0 2 4ln x 1 + 2
Câu 66. Giả sử
dx = aln 2 +bln 2 ∫ , v
ới a,b là cá c s ố hữ
u tỷ .Kh i đó tổ
ng 4a + b bằng. x 1 A. 3. B. 5 C. 7 . D. 9 .
Hướng dẫn giải 2 2 2 2 4ln x 1 + 4ln x 1  dx = + dx = 4 ln xd ∫ ∫   ( lnx) 1 2 2 2 2 +
dx = 2ln x + ln x = 2ln 2 + ln 2 ∫ ∫ . 1 1 xx x x 1 1 1 1 Chọn D 1000 2 ln x
Câu 67. Tính tích phân I = d . x ∫ ( x + )2 1 1 1000 ln 2 2 1001 1000ln 2 2 A. I = − +1000ln . B. I = − + ln . 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 ln 2 2 1000 1000ln 2 2 C. I = −1000ln . D. I = − ln . 1000 1000 1 +2 1 +2 1000 1000 1+ 2 1+ 2
Hướng dẫn giải 1000 1000 1000 1000 2 2 2 2 ln x 1 ln x 1
Ta có I = dx = − ln xd = − + d ln x ∫ 2 ( ) ∫ ∫ x + 1 x+ 1 x+ 1 x+ 1 1 ( ) 1 1 1 1000 1000 1000 2 2 ln 2 1 1 1000 ln 2  1 1  = − + . dx = − + − dx 1000 ∫ 1000 ∫ 1 2   + x + 1 x 1+ 2  x x+ 1  1 1 1000 1000 2 2 1000ln 2 1000 ln 2 x 1000ln 2 2 = −
+ ln x − ln x+ 1 = − + ln = − + ln . 1000 ( ) 1001 1000 1000 1000 1+ 2 1+ 2 x +1 1+ 2 1+ 2 1 1 Chọn B https://toanmath.com/