Tổng hợp các công thức phổ biến trong Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Tổng hợp các công thức phổ biến trong Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Preview text:
CÔNG THỨC PHỐ BIẾN GT1
I. Hàm lượng giác ngược
𝑦 = arcsin 𝑥 𝑦 = arccos 𝑥 𝑦 = arctan 𝑥 𝑦 = arccot 𝑥 Tập [−1; 1] [−1; 1] [−∞; +∞] [−∞; +∞] xác định Tập 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 [− [0; 𝜋] [− [0; 𝜋] giá trị 2 ; 2] 2 ; 2]
Một số công thức 𝜋
arcsin 𝑥 + arccos 𝑥 = 2 𝜋
arctan 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 2 1 𝜋
arctan 𝑥 + arctan 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥 1 1 (arcsin 𝑥)′ = ; (arctan 𝑥)′ = √1 − 𝑥2 1 + 𝑥2 II. Hàm hyperbolic 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 𝑒2𝑥 − 1 1 sinh 𝑥 = 2 ; cosh 𝑥 = 2
; tanh 𝑥 = 𝑒2𝑥 + 1 ;coth𝑥 = tanh𝑥
Một số công thức
cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1
sinh(𝑎 + 𝑏) = sinh 𝑎. cosh 𝑏 + sinh 𝑏. cosh 𝑎 tanh 𝑎 + tanh 𝑏
tanh(𝑎 + 𝑏) = 1 + tanh𝑎.tanh𝑏
cosh(𝑎 + 𝑏) = cosh 𝑎. cosh 𝑏 + sinh 𝑎. sinh 𝑏 (sinh 𝑥)′ = cosh 𝑥 (cosh 𝑥)′ = sinh 𝑥 1
(tanh 𝑥)′ = cosh2𝑥 = 1 − tanh2𝑥 −1 (coth 𝑥)′ = sinh2𝑥 ớ ạ ố
Một số giới hạn đặc biệt 1 𝑥 lim (1 + = 𝑒 𝑥→∞ 𝑥)
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 1 VCB tương đương Sử dụng khi 𝑥 → 0 sin 𝑥 ~ 𝑥 𝑒𝑥 − 1 ~ 𝑥 arcsin 𝑥 ~ 𝑥 𝑥2 1 − cos 𝑥 ~ 2 arctan 𝑥 ~ 𝑥 ln(1 + 𝑥) ~ 𝑥 tan 𝑥 ~ 𝑥 (1 + 𝑥)𝛼 − 1 ~ 𝑥 sinh 𝑥 ~ 𝑥
𝑎𝑥 − 1 ~ 𝑥𝑙𝑛𝑎 𝑥2
ln (sin 𝑥 + cos 𝑥) ~ 𝑥 cosh 𝑥 − 1 ~ 2
VCL theo bậc cao dần khi 𝑛 → ∞
ln 𝑥 < 𝑛𝛼 < 𝑎𝑛 < 𝑛! < 𝑛𝑛
IV. Điểm gián đoạn của hàm số
Như đã biết 𝑛ế𝑢 lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 𝑙𝑖 𝑥→𝑥
0) → 𝑓(𝑥) ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑥0 0
→ lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 𝑔𝑖 𝑥→𝑥
0) → 𝑥0 𝑙à đ𝑖ể𝑚 á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 0
+ 𝑁ế𝑢 lim 𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 𝑔𝑖 𝑙𝑜 𝑥→𝑥+ −
0) → 𝑥0 𝑙à đ𝑖ể𝑚 á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 ạ𝑖 𝐼 0 𝑥→𝑥0
+ 𝑁ế𝑢 lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 𝑔𝑖 𝑙𝑜 𝑥→𝑥+ −
0) → 𝑥0 𝑙à đ𝑖ể𝑚 á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 ạ𝑖 𝐼 𝑏ỏ đ𝑐 0 𝑥→𝑥0 + 𝑁ế𝑢 𝑘ℎô𝑛
𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑙𝑜ạ𝑖 𝐼 → 𝑙à đ𝑖ể𝑚 𝑔𝑖á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 𝑙𝑜ạ𝑖 𝐼𝐼 V. Đạo hàm và vi phân 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 + 𝑓′(𝑥 0) 0) = lim 𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
+ 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ;𝑑(𝑛)𝑓 = 𝑓(𝑛)(𝑥)𝑑𝑥𝑛
Áp dụng tính gần đúng:
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)∆𝑥 Đạ ấ
(𝑥𝛼)(𝑛) = 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛 + 1)𝑥𝛼−𝑛
[(1 + 𝑥)𝛼](𝑛) = 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛 + 1)(1 + 𝑥)𝛼−𝑛 1 (𝑛) 𝑛!
(𝑥 + 1) = (−1)𝑛.(𝑥 + 1)𝑛+1 1 (𝑛) 𝑛!
(1 − 𝑥) = (1 − 𝑥)𝑛+1 (sin 𝑥 )(𝑛) 𝑛𝜋 = sin (𝑥 + 2 ) 𝑛𝜋
(cos 𝑥)(𝑛) = cos (𝑥 + 2 )
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 2 𝑥 (𝑛) 𝑥 𝑛 (𝑛 − 1)! 1 𝑛!. 𝑏𝑛 ( 1 (2𝑛 − 1)‼. 𝑏𝑛 ( CT Lepnitz: 𝑛
VI. Các định lí cơ bản về hàm khả v i Định lí Fermat:
- Nếu f(x) xác định trên (a;b). Đạt max, min tại c thuộc (a;b) thì: 𝑓′(𝑐) = 0 Định lí Lagrange:
- Nếu f(x) xác định và liên tục trên [a;b], khả vi trong (a;b). Khi đó: 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)
∃𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′(𝑐) = 𝑎 − 𝑏 Định lí Rolle: ếu f(x) xác đị ụ ả và f(a)=f(b). Khi đó:
∃𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′(𝑐) = 0 Định lí Cauchy:
- Nếu f(x), g(x) xác định và liên tục trên [a;b], khả v i trong (a;b). Khi đó 𝑐
∀𝑔′(𝑥) ≠ 0∀𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′( )= 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔′(𝑐) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎) VII. CT Taylor 𝑓′(𝑐) 𝑓′ (𝑐) 𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 1! (𝑥 − 𝑐) + 2! (𝑥 − 𝑐)2 + ⋯+ 𝑛! (𝑥 − 𝑐)𝑛 + 𝑜(𝑥 − 𝑐)𝑛 ể ạ ổ 𝑓′(0) 𝑓′ (𝑛) 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑥 + KT Mac thườ ặ 𝑥2 𝑥𝑛
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + 2! + ⋯+ 𝑛! + 𝑜(𝑥𝑛)
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 3 𝑥3 𝑥5 (−1)𝑛𝑥2𝑛+1
sin 𝑥 = 𝑥 − 3! + 5! + ⋯+ (2𝑛 + 1)! + 𝑜(𝑥2𝑛+1) 𝑥2 𝑥4 (−1)𝑛𝑥2𝑛
cos 𝑥 = 1 − 2! + 4! + ⋯+ (2𝑛)! + 𝑜(𝑥2𝑛) 1
1 − 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛) 1
1 + 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − ⋯ + (−1)𝑛𝑥𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛) 𝑥2 (−1)𝑛𝑥2𝑛+1
ln(1 + 𝑥) = 𝑥 − 2 + ⋯+ (2𝑛 + 1) + 𝑜(𝑥2𝑛+1)
IX. Hàm lồi & hàm lõm
BĐT lồi: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 𝑣à 𝑡 ∈ [0; 1]:
𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏) ≤ 𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)
BĐT lõm: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 𝑣à 𝑡 ∈ [0; 1]:
𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏) ≥ 𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)
NX: f’’(x) >0 trong I => f(x) lồi trên I
f’’(x) <0 trong I => f(x) lõm trên I X. Tích phân bất định 𝑑𝑥 1 𝑥
∫ 𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎arctan𝑎 + 𝐶 𝑑𝑥 𝑥 ∫ = arcsin √𝑎2 − 𝑥2 𝑎 + 𝐶 1 𝑎2 𝑥
∫ √𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 2𝑥√𝑎2 − 𝑥2 + 2 arcsin𝑎 + 𝐶 𝑑𝑥 ∫
= ln |𝑥 + √𝑥2 ± 𝑎| + 𝐶 √𝑥2 ± 𝑎 𝑑𝑥 1 𝑥 − 𝑎
∫ 𝑥2 − 𝑎2 = 2𝑎ln|𝑥 + 𝑎| + 𝐶 XI. Tích phân suy rộng
Tiêu chuẩn 1: Lớn hơn, bé hơn
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾
0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) → {
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇
Tiêu chuẩn 2: Tương đương
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 𝑓(𝑥) ~ 𝑔(𝑥) → {
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 4
Tiêu chuẩn 3: Cho trước 𝑓(𝑥)
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 lim
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) = 0 → {∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 𝑓(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 lim
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) = ∞ → {∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾
Bổ đề có sẵn ∞ 1 𝐼 = ∫
1 𝑥𝛼 𝑑𝑥 → {𝛼 > 1 → 𝐼 𝐻𝑇 𝛼 ≤ 1 → 𝐼 𝑃𝐾 Nâng cao
∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 𝑛ℎư𝑛𝑔 ∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏á𝑛 𝐻𝑇
Tiêu chuẩn Dirichlet 𝐵 𝐵
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏ị 𝑐ℎặ𝑛 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 𝑣ớ𝑖 lim𝑔(𝑥) = 0 𝑥→𝐴 𝐴 𝐴
XII. Ứng dụng của TP xác định
- S giới hạn bởi y=0, y=f(x),x=a,x=b 𝑏
𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎
- S giới hạn bởi y=f(x),y=g(x),x thuộc [a;b] 𝑏
𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎
- S hình quạt cong giới hạn bởi 2 tia φ=α, α=β và cung AB của đường cong r=r(φ) 1 𝛽
𝑆 = 2∫ 𝑟2(𝜑)𝑑𝜑 𝛼
- Cung AB giới hạn bởi y=y(x), a≤x≤b , y’ lên tục trên [a;b] 𝑏
𝑆 = ∫ √1 + 𝑦′2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
- Cung AB giới hạn bởi x=x(t), y=y(t), α≤t≤β 𝛽
𝑆 = ∫ √𝑥′2(𝑡) + 𝑦′2(𝑡)𝑑𝑡 𝛼
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 5
- Cung AB giới hạn bởi r=r(φ), α≤φ≤β 𝛽
𝑆 = ∫ √𝑟2(𝜑) + 𝑟′2(𝜑)𝑑𝑥 𝛼
- V vật thể bất kì giới hạn bởi 1 cung và x=a,x=b (a𝑏
𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑆(𝑥) 𝑙à 𝑡ℎ𝑖ế𝑡 𝑑𝑖ệ𝑛 𝑎
- V vật thể tròn xoay giới hạn bởi y=f(x), a≤x≤b, x=a, x=b khi quay quanh trục Ox 𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
(Với vật thể quay quanh trục Oy thì chỉ cần đổi vai trò của x cho y)
- S của mặt tròn xoay sinh ra bởi cung AB quay quanh Ox 𝑏
𝑆 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + 𝑓′2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 XIII. Tiệm cận TC đứng:
lim 𝑓(𝑥) = ±∞ ; lim𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑎± 𝑥→𝑎
→ 𝑥 = 𝑎 𝑙à 𝑡 ệ
𝑖 𝑚 𝑐ậ𝑛 đứ𝑛
𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥)( 𝑇ℎườ𝑛
𝑔 𝑙à đ′ 𝑏ấ𝑡 𝑡ℎườ𝑛 𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥)) TC ngang:
lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 → 𝑦 = 𝑏 𝑙à 𝑡 ệ
𝑖 𝑚 𝑐ậ𝑛 𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥→±∞ TC xiên: 𝑓(𝑥) 𝑋é𝑡 lim
𝑥→±∞ 𝑥 = 𝑎 ∈ 𝑅 ≠ 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎′ ∈ 𝑅 ≠ 0
lim [𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥)] = 𝑏 ∈ 𝑅 𝑥→±∞
lim [𝑓(𝑥) − 𝑎′𝑥)] = 𝑏′ ∈ 𝑅 𝑥→±∞
→ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦 = 𝑎′𝑥 + 𝑏′ 𝑙à 𝑡 ệ 𝑖 𝑚 𝑐ậ𝑛 𝑥 ê
𝑖 𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥)
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 6