Tổng hợp các công thức phổ biến trong Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

CÔNG THỨC PHỐ BIẾN GT1
I. Hàm lượng giác ngược
𝑦 = arcsin 𝑥 𝑦 = arccos 𝑥 𝑦 = arctan 𝑥 𝑦 = arccot 𝑥 Tập [−1; 1] [−1; 1] [−∞; +∞] [−∞; +∞] xác định Tập 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 [− [0; 𝜋] [− [0; 𝜋] giá trị 2 ; 2] 2 ; 2]
Một số công thức 𝜋
arcsin 𝑥 + arccos 𝑥 = 2 𝜋
arctan 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 2 1 𝜋
arctan 𝑥 + arctan 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥 1 1 (arcsin 𝑥)′ = ; (arctan 𝑥)′ = √1 − 𝑥2 1 + 𝑥2 II. Hàm hyperbolic 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 𝑒2𝑥 − 1 1 sinh 𝑥 = 2 ; cosh 𝑥 = 2
; tanh 𝑥 = 𝑒2𝑥 + 1 ;coth𝑥 = tanh𝑥
Một số công thức
cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1
sinh(𝑎 + 𝑏) = sinh 𝑎. cosh 𝑏 + sinh 𝑏. cosh 𝑎 tanh 𝑎 + tanh 𝑏
tanh(𝑎 + 𝑏) = 1 + tanh𝑎.tanh𝑏
cosh(𝑎 + 𝑏) = cosh 𝑎. cosh 𝑏 + sinh 𝑎. sinh 𝑏 (sinh 𝑥)′ = cosh 𝑥 (cosh 𝑥)′ = sinh 𝑥 1
(tanh 𝑥)′ = cosh2𝑥 = 1 − tanh2𝑥 −1 (coth 𝑥)′ = sinh2𝑥 ớ ạ ố
Một số giới hạn đặc biệt 1 𝑥 lim (1 + = 𝑒 𝑥→∞ 𝑥)
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 1 VCB tương đương Sử dụng khi 𝑥 → 0 sin 𝑥 ~ 𝑥 𝑒𝑥 − 1 ~ 𝑥 arcsin 𝑥 ~ 𝑥 𝑥2 1 − cos 𝑥 ~ 2 arctan 𝑥 ~ 𝑥 ln(1 + 𝑥) ~ 𝑥 tan 𝑥 ~ 𝑥 (1 + 𝑥)𝛼 − 1 ~ 𝑥 sinh 𝑥 ~ 𝑥
𝑎𝑥 − 1 ~ 𝑥𝑙𝑛𝑎 𝑥2
ln (sin 𝑥 + cos 𝑥) ~ 𝑥 cosh 𝑥 − 1 ~ 2
VCL theo bậc cao dần khi 𝑛 → ∞
ln 𝑥 < 𝑛𝛼 < 𝑎𝑛 < 𝑛! < 𝑛𝑛
IV. Điểm gián đoạn của hàm số
Như đã biết 𝑛ế𝑢 lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 𝑙𝑖 𝑥→𝑥
0) → 𝑓(𝑥) ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑥0 0
→ lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 𝑔𝑖 𝑥→𝑥
0) → 𝑥0 𝑙à đ𝑖ể𝑚 á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 0
+ 𝑁ế𝑢 lim 𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 𝑔𝑖 𝑙𝑜 𝑥→𝑥+ −
0) → 𝑥0 𝑙à đ𝑖ể𝑚 á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 ạ𝑖 𝐼 0 𝑥→𝑥0
+ 𝑁ế𝑢 lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 𝑔𝑖 𝑙𝑜 𝑥→𝑥+ −
0) → 𝑥0 𝑙à đ𝑖ể𝑚 á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 ạ𝑖 𝐼 𝑏ỏ đ𝑐 0 𝑥→𝑥0 + 𝑁ế𝑢 𝑘ℎô𝑛
𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑙𝑜ạ𝑖 𝐼 → 𝑙à đ𝑖ể𝑚 𝑔𝑖á𝑛 đ𝑜ạ𝑛 𝑙𝑜ạ𝑖 𝐼𝐼 V. Đạo hàm và vi phân 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 + 𝑓′(𝑥 0) 0) = lim 𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
+ 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ;𝑑(𝑛)𝑓 = 𝑓(𝑛)(𝑥)𝑑𝑥𝑛
Áp dụng tính gần đúng:
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)∆𝑥 Đạ ấ
(𝑥𝛼)(𝑛) = 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛 + 1)𝑥𝛼−𝑛
[(1 + 𝑥)𝛼](𝑛) = 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛 + 1)(1 + 𝑥)𝛼−𝑛 1 (𝑛) 𝑛!
(𝑥 + 1) = (−1)𝑛.(𝑥 + 1)𝑛+1 1 (𝑛) 𝑛!
(1 − 𝑥) = (1 − 𝑥)𝑛+1 (sin 𝑥 )(𝑛) 𝑛𝜋 = sin (𝑥 + 2 ) 𝑛𝜋
(cos 𝑥)(𝑛) = cos (𝑥 + 2 )
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 2 𝑥 (𝑛) 𝑥 𝑛 (𝑛 − 1)! 1 𝑛!. 𝑏𝑛 ( 1 (2𝑛 − 1)‼. 𝑏𝑛 ( CT Lepnitz: 𝑛
VI. Các định lí cơ bản về hàm khả v i Định lí Fermat:
- Nếu f(x) xác định trên (a;b). Đạt max, min tại c thuộc (a;b) thì: 𝑓′(𝑐) = 0 Định lí Lagrange:
- Nếu f(x) xác định và liên tục trên [a;b], khả vi trong (a;b). Khi đó: 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)
∃𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′(𝑐) = 𝑎 − 𝑏 Định lí Rolle: ếu f(x) xác đị ụ ả và f(a)=f(b). Khi đó:
∃𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′(𝑐) = 0 Định lí Cauchy:
- Nếu f(x), g(x) xác định và liên tục trên [a;b], khả v i trong (a;b). Khi đó 𝑐
∀𝑔′(𝑥) ≠ 0∀𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′( )= 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔′(𝑐) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎) VII. CT Taylor 𝑓′(𝑐) 𝑓′ (𝑐) 𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 1! (𝑥 − 𝑐) + 2! (𝑥 − 𝑐)2 + ⋯+ 𝑛! (𝑥 − 𝑐)𝑛 + 𝑜(𝑥 − 𝑐)𝑛 ể ạ ổ 𝑓′(0) 𝑓′ (𝑛) 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑥 + KT Mac thườ ặ 𝑥2 𝑥𝑛
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + 2! + ⋯+ 𝑛! + 𝑜(𝑥𝑛)
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 3 𝑥3 𝑥5 (−1)𝑛𝑥2𝑛+1
sin 𝑥 = 𝑥 − 3! + 5! + ⋯+ (2𝑛 + 1)! + 𝑜(𝑥2𝑛+1) 𝑥2 𝑥4 (−1)𝑛𝑥2𝑛
cos 𝑥 = 1 − 2! + 4! + ⋯+ (2𝑛)! + 𝑜(𝑥2𝑛) 1
1 − 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛) 1
1 + 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − ⋯ + (−1)𝑛𝑥𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛) 𝑥2 (−1)𝑛𝑥2𝑛+1
ln(1 + 𝑥) = 𝑥 − 2 + ⋯+ (2𝑛 + 1) + 𝑜(𝑥2𝑛+1)
IX. Hàm lồi & hàm lõm
BĐT lồi: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 𝑣à 𝑡 ∈ [0; 1]:
𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏) ≤ 𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)
BĐT lõm: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 𝑣à 𝑡 ∈ [0; 1]:
𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏) ≥ 𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)
NX: f’’(x) >0 trong I => f(x) lồi trên I
f’’(x) <0 trong I => f(x) lõm trên I X. Tích phân bất định 𝑑𝑥 1 𝑥
∫ 𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎arctan𝑎 + 𝐶 𝑑𝑥 𝑥 ∫ = arcsin √𝑎2 − 𝑥2 𝑎 + 𝐶 1 𝑎2 𝑥
∫ √𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 2𝑥√𝑎2 − 𝑥2 + 2 arcsin𝑎 + 𝐶 𝑑𝑥 ∫
= ln |𝑥 + √𝑥2 ± 𝑎| + 𝐶 √𝑥2 ± 𝑎 𝑑𝑥 1 𝑥 − 𝑎
∫ 𝑥2 − 𝑎2 = 2𝑎ln|𝑥 + 𝑎| + 𝐶 XI. Tích phân suy rộng
Tiêu chuẩn 1: Lớn hơn, bé hơn
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾
0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) → {
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇
Tiêu chuẩn 2: Tương đương
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 𝑓(𝑥) ~ 𝑔(𝑥) → {
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 4
Tiêu chuẩn 3: Cho trước 𝑓(𝑥)
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 lim
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) = 0 → {∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 𝑓(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 lim
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) = ∞ → {∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝐾
Bổ đề có sẵn ∞ 1 𝐼 = ∫
1 𝑥𝛼 𝑑𝑥 → {𝛼 > 1 → 𝐼 𝐻𝑇 𝛼 ≤ 1 → 𝐼 𝑃𝐾 Nâng cao
∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝐻𝑇 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 𝑛ℎư𝑛𝑔 ∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑃𝐾 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏á𝑛 𝐻𝑇
Tiêu chuẩn Dirichlet 𝐵 𝐵
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏ị 𝑐ℎặ𝑛 → ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐻𝑇 𝑣ớ𝑖 lim𝑔(𝑥) = 0 𝑥→𝐴 𝐴 𝐴
XII. Ứng dụng của TP xác định
- S giới hạn bởi y=0, y=f(x),x=a,x=b 𝑏
𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎
- S giới hạn bởi y=f(x),y=g(x),x thuộc [a;b] 𝑏
𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎
- S hình quạt cong giới hạn bởi 2 tia φ=α, α=β và cung AB của đường cong r=r(φ) 1 𝛽
𝑆 = 2∫ 𝑟2(𝜑)𝑑𝜑 𝛼
- Cung AB giới hạn bởi y=y(x), a≤x≤b , y’ lên tục trên [a;b] 𝑏
𝑆 = ∫ √1 + 𝑦′2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
- Cung AB giới hạn bởi x=x(t), y=y(t), α≤t≤β 𝛽
𝑆 = ∫ √𝑥′2(𝑡) + 𝑦′2(𝑡)𝑑𝑡 𝛼
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 5
- Cung AB giới hạn bởi r=r(φ), α≤φ≤β 𝛽
𝑆 = ∫ √𝑟2(𝜑) + 𝑟′2(𝜑)𝑑𝑥 𝛼
- V vật thể bất kì giới hạn bởi 1 cung và x=a,x=b (a𝑏
𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑆(𝑥) 𝑙à 𝑡ℎ𝑖ế𝑡 𝑑𝑖ệ𝑛 𝑎
- V vật thể tròn xoay giới hạn bởi y=f(x), a≤x≤b, x=a, x=b khi quay quanh trục Ox 𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
(Với vật thể quay quanh trục Oy thì chỉ cần đổi vai trò của x cho y)
- S của mặt tròn xoay sinh ra bởi cung AB quay quanh Ox 𝑏
𝑆 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + 𝑓′2(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 XIII. Tiệm cận TC đứng:
lim 𝑓(𝑥) = ±∞ ; lim𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑎± 𝑥→𝑎
→ 𝑥 = 𝑎 𝑙à 𝑡 ệ
𝑖 𝑚 𝑐ậ𝑛 đứ𝑛
𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥)( 𝑇ℎườ𝑛
𝑔 𝑙à đ′ 𝑏ấ𝑡 𝑡ℎườ𝑛 𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥)) TC ngang:
lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 → 𝑦 = 𝑏 𝑙à 𝑡 ệ
𝑖 𝑚 𝑐ậ𝑛 𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥→±∞ TC xiên: 𝑓(𝑥) 𝑋é𝑡 lim
𝑥→±∞ 𝑥 = 𝑎 ∈ 𝑅 ≠ 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎′ ∈ 𝑅 ≠ 0
lim [𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥)] = 𝑏 ∈ 𝑅 𝑥→±∞
lim [𝑓(𝑥) − 𝑎′𝑥)] = 𝑏′ ∈ 𝑅 𝑥→±∞
→ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦 = 𝑎′𝑥 + 𝑏′ 𝑙à 𝑡 ệ 𝑖 𝑚 𝑐ậ𝑛 𝑥 ê
𝑖 𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥)
“Life is difficult, but Dải tích là dễ” – Trần Bá Hiếu CPA 3.5 6