40 trang 8 lượt tải

Tổng hợp công thức toán THPT

16

Tổng hợp công thức toán THPT. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 296 tài liệu

Môn: Toán 2.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Tuấn Anh Nguyễn Hoàng

1 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/40
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
1
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC
“LIVE VIP 9+ TOÁN ”
ĐĂNG KÝ HỌC EM INBOX THẦY TƯ
VẤN NHÉ!
I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hệ thức Cơ bản:
2 2
sin cos 1
sin
tan
cos
cos
cot
sin
tan .cot 1
2
2
1
1 tan
cos
2
2
1
1 cot
sin
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
k
k
k
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
2.
Cung Liên k
ế
t:
Đối:
;
Bù:
;
Phụ:
;
2
Khác pi:
;
Khác
: ;
2 2
Pi
sin( ) sin
sin( ) sin
sin cos
2
sin( ) sin
sin cos
2
cos( ) cos
cos( ) cos
cos sin
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan( ) tan
tan cot
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot( ) cot
cot tan
2
cot( ) cot
cot tan
2
Cos đối Sin bù
Phụ chéo
Khác Pi: tang,
cotang
Khác pi/2: sin bạn cos,
cos thù sin
3. Công thức Cộng:
sin( ) sin .cos cos .sin
sin( ) sin .cos cos .sin
a b a b a b
a b a b a b
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
4. Công thức Nhân đôi, Nhân ba:
sin 2 2sin .cos
2 2
2 2
cos 2 cos sin
2cos 1 1 2sin
2
2 tan
tan 2
1 tan
3
sin 3 3sin 4sin
3
cos 3 4 cos 3cos
3
2
3 tan tan
tan 3
1 3 tan
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT TOÁN LỚP 10,11,12
( Chuẩn cấu trúc SGK form mới)
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
2
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
5. Công thức Hạ bậc:
2
1 cos 2
sin
2
2
1 cos 2
cos
2
2
1 cos 2
tan
1 cos 2
6. Biến đổi Tổng thành Tích:
cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a b
a b
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
7.
Công th
ứ
c bi
ế
n đ
ổ
i
tích thành t
ổ
ng
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
II.
PHƯƠNG TR
ÌNH L
Ư
Ợ
NG GIÁC
2
sin sin ( )
2
u v k
u v k
u v k
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k
Nếu
sin 1;1u m
và
3 2 1
1; ; ; ; 0
2 2 2
m
thì:
arcsin 2
sin
arcsin 2
u m k
u m
u m k
( )k
Nếu
cos 1;1u m
và
3 2 1
1; ; ; ;0
2 2 2
m
thì:
cos arccos 2u m u m k
( )k
Nếu
sin 1;1u m
thì:
sin u m u
Nếu
cos 1;1u m
thì:
cosu m u
Đặc biệt:
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
u u k
u u k
u u k
k
Đặc biệt:
cos 1 2
cos 1 2
cos 0
2
u u k
u u k
u u k
k
tan tanu v u v k
k
cot cotu v u v k
k
Nếu
3
tan 3; 1; ;0
3
u m
thì:
tan arctanu m u m k
k
Nếu
3
cot 3; 1; ;0
3
u m
thì:
cot cotu m u arc m k
k
Lưu ý: Điều kiện để hàm
tan u
có nghĩa là
,
2
u k k
. Tuy vậy, phương trình
tan u m
luôn có nghiệm, vì vậy không cần đặt
điều kiện.
Lưu ý: Điều kiện để hàm
cot u
có nghĩa là
,u k k
. Tuy vậy, phương trình
cot u m
luôn có
nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện cho nó.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
3
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
Kỹ thuật 1: Làm mất dấu TRỪ
sin sin( )
cos cos( )
tan tan( )
cot cot( )
Ví dụ:
sin sin 0 sin sin sin sin( )
4 4 4
2
4
( ).
8
2 ()
4
x x x x x x
x x k
x k k
x x k
Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
Ví dụ:
2
6 3
( ).
2
2
k
x
k
x k
Phương trình
sin cosa x b x c
(với
2 2 2
a b c
)
Phương trình
2 2
sin sin cos cosa x b x x c x d
sin cosa x b x c
2 2 2 2 2 2
2 2
sin cos
sin .cos cos .sin
a b c
x x
a b a b a b
c
x x
a b
2 2
2
sin2 cos sin2 sin
2
2 2
2
x x k
x x x x
x x k
(với
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b
)
sin( ) sin .........x
với
2 2
sin
c
a b
Trường hợp 1: Xét
2
cos 0 sin 1x x
. Ta có hệ
sau:
2
2
2
sin 1
sin 1
.............(1)
sin
x
x
a d
a x d
Trường hợp 2: Xét
cos 0x
, chia hai vế phương
trình cho
2
cos x
, ta có:
2 2
tan tan (1 tan ) .........a x b x c d x (2)
Hợp nghiệm của (1), (2) ta có tập nghiệm của
phương trình đã cho.
Lưu ý: Phương trình
sin cosa x b x c
chỉ có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2
a b c
.
[
III.
T
Ổ
H
Ợ
P
–
XÁC SU
Ấ
T
QUY T
Ắ
C C
Ộ
NG
QUY T
Ắ
C NHÂN
Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường
hợp, ta sẽ cộng các kết quả lại.
Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc,
ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy.
HOÁN V
Ị
T
Ổ
H
Ợ
P
CH
Ỉ
NH H
Ợ
P
Sắp xếp (đổi chỗ) của
n
phần tử khác nhau, ta có
Chọn
k
phần tử từ
n
phần tử
(không sắp xếp thứ tự), ta có số
cách chọn là
k
n
C .
Chọn
k
phần tử từ
n
phần tử (có
sắp xếp thứ tự), ta được số cách
chọn là
k
n
A .
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
4
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
số cách xếp là
!
n
P n
với
n
.
! 1.2..... 1n n n
.
Quy ước sốc:
0! 1.
!
! !
k
n
n
C
n k k
với
*
,
.
0
k n
k n
!
!
k
n
n
A
n k
với
*
,
.
0
k n
k n
Một số tính chất:
k n k
n n
C C
1 1
1
k k k
n n n
C C C
!
k k
n n
A k C
XÁC
SUẤT
Công thức:
( )
( )
( )
n X
P X
n
Trong đó:
( ) :n X
số phần tử của tập biến cố
;X ( ) :n
số phần tử không gian mẫu;
( )P X
là
xác su
ấ
t đ
ể
bi
ế
n c
ố
X
x
ả
y ra v
ớ
i
X
.
Tính chất:
0 ( ) 1P X
.
( ) 0; ( ) 1P P
.
( ) 1 ( )P X P X
với
X
là biến cố đối của
X
.
Nếu A, B là hai biến cố xung khắc với nhau
thì
P A B P A P B
.
Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì
. .P A B P A P B
.
IV. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN
Khai triển dạng
liệt kê:
(với
*
n
)
0 1 1 2 2 2 1 1
.........
n
n n n n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
.
Đặc biệt:
0 1 2 2 1 1
1 .........
n
n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
(*).
Hệ quả 1:
0 1 2 1
......... 2
n n n
n n n n n
C C C C C
(tức là thay
1x
vào (*)).
Hệ quả 2: Với
n
chẵn, chỉ cần thay
1x
vào (*), ta có:
0 1 2 1 0 2 4 1 3 1
......... 0 ...... ......
n n n n
n n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C C C
Khai triển tổng
quát:
(với
*
n
)
Khai triển:
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b
. Số hạng tổng quát:
1
k n k k
k n
T C a b
Phân biệt hệ số và số hạng:
( 1) .
k k n k k
n
HEÄSOÁ
SOÁHAÏNG
C a b x

. Số hạng không chứa
x
ứng với
0.
V. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa:
Dãy số
n
u
được gọi là cấp số cộng khi và
chỉ khi
1n n
u u d
với
*
n
, d là hằng số.
Cấp số cộng như trên có số hạng đầu
1
,
u
công sai
.d
2. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d
với
*
.n
3. Tính chất các số hạng:
1 1
2
k k k
u u u
với
*
k
và k
2.
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )
... .
2
n
n n
u u n
S u u u
1. Định nghĩa:
Dãy số
n
u
được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi
1
.
n n
u u q
với
*
n
, q là hằng số.
Cấp số nhân như trên có số hạng đầu
1
,u
công bội
q
.
2. Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
với
*
.n
3. Tính chất các số hạng:
2
1 1
.
k k k
u u u
với
k
và k
2.
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
(1 )
...
1
n
n n
u q
S u u u
q
với
1.q
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
5
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
VI. GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ
1. Giới hạn dãy số
1.1. Dãy số có giới hạn 0:
▪
1
lim 0
n
▪
1
lim 0
n
▪
3
1
lim 0
n
▪
1
lim 0
n
▪ lim 0
n
q với
1q
.
1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:
Cho lim
n
u a
. Ta có:
▪
lim
n
u a
và
3 3
lim u a
▪
lim
n
u a
với
0.a
Cho lim
n
u a
, lim
n
v b
. Ta có:
▪
lim
n n
u v a b
▪
lim . .
n n
u v ab
▪
lim
n
n
u
a
v b
với
0b
▪
lim . .
n
k u k a
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
2
1
1 1 1
...
1
u
S u u q u q
q
.
1.4. Dãy số có giới hạn vô cùng:
Quy tắc 1: Cho lim , lim .
n n
u v   Tính
lim
n n
u v
.
lim
n
u lim
n
v
lim
n n
u v




Quy tắc 2: Cho lim , lim 0.
n n
u v a  Tính
lim
n n
u v
.
lim
n
u
Dấu của a
lim
n n
u v

+

–
+
–
Quy tắc 3: Cho lim 0, lim 0.
n n
u a v Tính
lim
n
n
u
v
.
Dấu của a (tử)
Dấu của
n
v (mẫu)
lim
n
n
u
v
+ +
+
–
– +
–
–
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
6
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
2. Giới hạn hàm số:
2.1. Giới hạn tại vô cực:
Cho k dương, ta có:
▪
1
lim 0
k
x
x

▪
lim
k
x
x

▪
,
lim
,
k
x
k chaün
x
k leû



2.2. Giới hạn hữu hạn:
Cho
0 0
lim , lim
x x x x
f x a g x b
. Ta có:
▪
0
lim
x x
f x a
▪
0
3
3
lim
x x
f x a
▪
0
lim
x x
f x a
với
0a
▪
0
lim
x x
f x g x a b
▪
0
lim . .
x x
f x g x a b
▪
0
lim . .
x x
k f x k a
với k là hằng số
▪
0
lim
x x
f x
a
g x b
với b khác 0
2.3. Quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Quy tắc 1: Cho
0 0
lim , lim 0
x x x x
f x g x a
 . Tính
0
lim .
x x
f x g x
.
0
lim
x x
f x
Dấu của a
0
lim
x x
f x g x
.

+

–
+
–
Quy tắc 2: Cho
0 0
lim 0, lim 0
x x x x
f x a g x
. Tính
0
lim
x x
f x
g x
.
Dấu của a
Dấu của
g x
0
lim
x x
f x
g x
.
+
+
+ –
– +
– –
2.4. Bổ trợ các công thức để khử dạng vô định:
2
1 2
ax bx c a x x x x
với
1 2
,x x là nghiệm của tam thức bậc hai.
1 2
1 2 1
1 1 ... 1
...
n n n
n n n n n
x x x x
a b a b a a b b
2
a b
a b
a b
2
a b
a b
a b
3
3
2
2
3 3
a b
a b
a a b b
3
3
2
2
3 3
a b
a b
a a b b
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
7
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
3. Điều kiện giới
hạn và điều kiện
liên tục:
3.1. Điều kiện tồn tại giới hạn:
Giới hạn bên
phải
Giới hạn bên trái
Điều kiện để hàm số
có giới hạn tại
0
x .
Ký hiệu
0
lim
x x
f x
0
lim
x x
f x
0 0
lim lim
x x x x
f x f x
Khi đó:
0
0
0
lim lim
lim
x x
x x
x x
f x f x
f x
Nghĩa là
0
0
x x
x x

0
0
x x
x x

3.2. Điều kiện liên tục của hàm số:
Hàm số
f x
liên tục tại
0
0 0
0 0 0
lim lim lim
x x
x x x x
x f x f x f x f x f x
Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác đều liên tục trên tập xác
định của chúng.
Hàm số
f x
liên tục trên khoảng
;a b
nếu nó liên tục với mọi
0
; .
x x a b
Hàm số
f x
liên tục trên
( ) lieân tuïc treân ( ; )
;
lim ( ) ( ); lim ( ) ( )
x a x b
f x a b
a b
f x f a f x f b
.
3.3. Điều kiện có nghiệm của phương trình:
Nếu hàm số
f x
liên tục trên
;a b
và
. 0f a f b
thì phương trình
0f x
có
ít nhất một nghiệm trên
;a b
.
VII.
ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x
.
2. Bảng đạo hàm cơ bản và mở rộng:
0k
(với
k
là hằng số)
1
( )x x
1
( ) .
MR
u u u
1
2
x
x
2
MR
u
u
u

2
1 1
x x
2
1
MR
u
u u

x x
e e
.
MR u u
e e u

ln
x x
a a a
.ln .
MR u u
a a a u

1
ln x
x
ln
MR
u
u
u

1
log
ln
a
x
x a
log
ln
MR
a
u
u
u a

sin cosx x
sin cos
MR
u u u

cos sinx x
cos sin
MR
u u u

2
2
1
tan 1 tan
cos
x x
x
2
2
tan 1 tan
cos
MR
u
u u u
u

2
2
1
cot 1 cot
sin
x x
x
2
2
cot 1 cot
sin
MR
u
u u u
u

ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
8
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
3. Quy tắc tìm đạo hàm:
▪
u v u v
▪
( . ) .k u k u
▪
( . )u v u v uv
▪
2
u u v uv
v v
▪ .
x u x
f f u
với
x
u
x
f laøñaïo haøm cuûa f theo bieán x
f l aøñaïo haøm cuûa f theo bieán u
u laøñaïo haøm cuûa u theo bieán x
.
4. Đạo hàm cấp cao và vi phân:
Đạo hàm cấp cao Vi phân
;f x f x f x f x
4 1
;...;
n n
f x f x f x f x
.
.
.
df x f x dx
dy y dx
du u dx
VIII.
KH
Ả
O SÁT HÀM S
Ố
VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
HÀM BẬC BA
3 2
y ax bx cx d
( 0)a
HÀM NHẤT BIẾN
( 0, 0)
ax b
y ad bc c
cx d
Bước 1: Tìm tập xác định
D
.
Bước 2: Tính
( )y f x
;
cho
0y
1 2
, ...
Tìm nghi eäm
x x
Tìm
thêm các giá trị
x
mà
y
không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến
thiên. (Nên chọn giá trị x
đại diện cho từng khoảng
thay vào
y
để tìm dấu của
y
trên khoảng đó).
Bước 4: Dựa vào bảng biến
thiên để kết luận về sự
đồng biến, nghịch biến của
hàm số.
Đạo hàm
2
3 2y ax bx c
.
Hàm số đồng biến trên tập xác
định
0,y x
0
0
a
.
Hàm số nghịch biến trên tập
xác định
0,y x
0
0
a
.
Đạo hàm
2
( )
ad bc
y
cx d
.
Hàm số đồng biến trên từng
khoảng xác định
0.ad bc
Hàm số nghịch biến trên từng
khoảng xác định
0.ad bc
Lưu ý: Nếu
a
chứa tham số m thì
ta xét
0a
, tìm m. Thay m tìm được
để kiểm tra dấu
y
, xem y có đơn
điệu trên
không?
Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến
(nghịch biến) trên
( ; )
thì ta xét
điều kiện:
( ; )
d
c
.
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
3 2
y ax bx cx d
( 0)a
CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN
4 2
y ax bx c
( 0)a
Hàm số có điểm cực trị là
0 0
( ; )x y
0
0 0
( ) 0
( )
y x
y x y
.
(giả thiết là hàm số liên tục tại
0
x ).
Đạo hàm
2
3 2y ax bx c
.
Hàm số có hai cực trị (tức là có
CĐ-CT)
0
(*)
0
y
a
.
Hàm số có hai điểm cực trị trái
dấu
1 2
0 0x x ac .
Hàm số có hai điểm cực trị cùng
dấu
0, 0
0
y
a
ac
.
Đạo hàm
3
4 2y ax bx
.
Điều kiện cực trị
Ba cực trị
0ab
Một cực trị
2 2
0
0
ab
a b
Có cực trị
2 2
0a b
Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
thì hàm
số
( )f x
đạt cực đại tại
0
.x x
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
9
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
thì hàm
số
( )f x
đạt cực tiểu tại
0
.x x
Phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị:
( ). ( )
( ) .
18
f x f x
y f x
a
Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị đã rõ
ràng ta nên gọi đường thẳng
y ax b
rồi thay tọa độ hai điểm
đó vào
Giải hệ tìm a, b.
Cho
, ,A B C
là ba điểm cực trị, ta
có:
3
3
8
cos
8
b a
BAC
b a
5
3
32
ABC
b
S
a
.
TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN
Tìm Max-Min của
( )f x
trên đoạn
;a b
TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG
Tìm Max-Min của
( )f x
trên khoảng
( ; )a b
Bước 1: Tính
( )y f x
.
Tìm các nghiệm ( ; )
i
x a b khi cho
( ) 0
f x
.
Tìm
( ; )
j
x a b
mà
y
không xác định.
Bước 2: Tính các giá trị
( ), ( )f a f b
và
( ),
i
f x
( )
j
f x
(nếu có).
Bước 3: So sánh tất cả giá trị trong bước 2
để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bước 1: Tính
( )y f x
.
Tìm các nghiệm ( ; )
i
x a b khi cho
( ) 0f x
. Tìm
( ; )
j
x a b
mà
y
không xác định.
Bước 2: Cần tính
lim , lim
x a x b
y y
. (Nếu thay
( ; )a b
bằng
( ; ) 
thì ta tính thêm
lim
x
y

).
Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất trên khoảng.
ĐẶC BIỆT
Nếu hàm
( )f x
đồng biến trên
[ ; ]a b
thì
[ ; ]
[ ; ]
max ( ) ( )
min ( ) ( )
x a b
x a b
f x f b
f x f a
Nếu hàm
( )f x
nghịch biến trên
[ ; ]a b
thì
[ ; ]
[ ; ]
max ( ) ( )
min ( ) ( )
x a b
x a b
f x f a
f x f b
TIỆM CẬN ĐỨNG TIỆM CẬN NGANG
Định nghĩa:
0
x x
y


(x hữu hạn, y vô
hạn), ta có tiệm cận đứng
0
x x . Lưu ý:
điều kiện
0
x x
có thể được thay bằng
0
x x
(giới hạn bên trái) hoặc
0
x x
(giới hạn bên phải).
Cách tìm TCĐ: Nếu
0
x x là một nghiệm
của mẫu số mà không phải là nghiệm của
tử số thì
0
x x chính là một TCĐ của đồ
thị.
(với tập xác định có dạng
0 1
\ ; ;...D K x x
).
Định nghĩa:
0
x
y y


(x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm
cận ngang
0
y y .
Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO
Bước 1: Nhập hàm số vào máy.
Bước 2:
10 ^10
NEXT NEXT
CALC X 
10 ^10
NEXT NEXT
CALC X
Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức là
0
y ) thì ta
kết luận TCN:
0
y y .
Đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
với
( 0, 0)c ad bc
có một TCĐ:
d
x
c
, một TCN:
.
a
y
c
Nên nhớ, mỗi đồ thị chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
10
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
Xét hai đồ thị
1
( ) : ( )C y f x và
2
( ) : ( )C y g x .
Phương pháp chung t
ìm giao
đi
ể
m hai đ
ồ
th
ị
Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao
điểm của
1 2
( ) & ( )C C :
( ) ( )f x g x
. (*)
Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm
1 2
, ,...x x (nếu có), suy ra
1 2
, ...y y
Điều kiện để
1
( )C và
2
( )C có n
điểm chung là phương trình (*)
có n nghiệm khác nhau.
Điều kiện để
1
( )C tiếp xúc
2
( )C là phương trình (*) có nghiệm kép
hoặc hệ sau có nghiệm :
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
.
Tìm tham số để
( ) :
:
ax b
C y
cx d
d y x
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao
điểm :
ax b
x
cx d
, đưa phương trình
về dạng
2
( ) 0
d
g x Ax Bx C x
c
.
Bước 2 : Giải hệ
0
0 ?
0
Tìm
g
A
m
d
g
c

Tìm tham số để
3 2
( ) :
:
C y ax bx cx d
d y x
cắt nhau tại ba điểm phân biệt
(Ta chỉ áp dụng cho trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm đẹp)
Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao
điểm :
3 2
ax bx cx d x
, đưa
phương trình về dạng
2
0
( )
( ) 0
g x
x x Ax Bx C
.
(có vận dụng kỹ năng chia Hoocner)
Bước 2 : Giải hệ điều kiện :
0
0
0 ?
( ) 0
Tìm
g
A
m
g x

Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp
0
x x , ta nhập vào máy chức
năng giải phương trình bậc ba với
100m
.
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1
Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị
( ) : ( )C y f x
tại điểm
0 0
( ; ) ( )M x y C
DẠNG 2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( ) : ( )C y f x
biết tiếp tuyến có hệ số
góc k.
DẠNG 3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( ) : ( )C y f x
biết tiếp tuyến đi qua
( ; )
A A
A x y
.
Bước 1: Tính đạo hàm
y
, từ
đó có hệ số góc
0
( ).
k y x
Bước 2 : Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị dạng
0 0
( )y k x x y
.
Bước 1: Gọi
0 0
( ; )M x y
là tiếp điểm
và tính đạo hàm
y
.
Bước 2: Cho
0
( )y x k
, tìm được
tiếp điểm
0 0
( ; ).x y
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến :
0 0
( )y k x x y
.
Bước 1: Tiếp tuyến có dạng :
0 0 0
( )( )y y x x x y
(*) với
0 0
( ).y f x
Bước 2: Thay tọa độ điểm
A
vào
(*)
để tìm được
0
.x
Bước 3: Thay
0
x
vào (*) để viết
phương trình tiếp tuyến.
Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng
y ax b
thì nó có hệ số góc
,k a
nếu tiếp tuyến vuông góc
đường thẳng
y ax b
thì nó có hệ số góc
1
k
a
( 0)a
; nếu tiếp tuyến tạo với
Ox
góc
thì nó có hệ số góc
tank
.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
11
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ
Tâm đối xứng (hay điểm uốn) của đồ thị bậc ba
3 2
y ax bx cx d
( 0)a
Bước 1: Tính
2
3 2
6 2
y ax bx c
y ax b
.
Bước 2: Cho
0 0
0
3
Tìm nghieäm
b
y x y
a

. Ta có tâm
đối xứng (tức điểm uốn):
0 0
( ; ).I x y
Cần nhớ: Tâm đối xứng của đồ thị bậc ba
cũng là trung điểm của hai điểm cực trị (nếu
có).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm nhất biến
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
Tìm tiệm cận đứng
d
x
c
và tiệm cận
ngang
a
y
c
, suy ra được tâm đối xứng của
đồ thị là:
;
d a
I
c c
(là giao điểm 2 tiệm cận
tìm
đư
ợ
c).
NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Hàm số bậc ba
3 2
0y ax bx cx d a
2
3 2
A B C
y a x b x c

Hệ số Dấu hiệu đồ thị Kết luận
a
Nhánh phải đồ thị đi lên
0a
Nhánh phải đồ thị đi xuống
0a
d
Giao điểm với Oy nằm trên điểm O
0d
Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O
0d
Giao điểm với Oy trùng với điểm O
0d
b, c
Đồ thị không có điểm cực trị nào
2
2
3 0
y
B AC b ac
Đồ thị có hai điểm cực trị
2
2
3 0
y
B AC b ac
Tâm đối xứng nằm bên phải Oy
2
0 0 0
3
B b
ab
A a
Tâm đối xứng nằm bên trái Oy
2
0 0 0.
3
B b
ab
A a
Hai điểm cực trị nằm cùng phía Ox
1 2
0 0 0 0
3
C c
x x ac
A a
Hai điểm cực trị nằm khác phía Ox
1 2
0 0 0 0
3
C c
x x ac
A a
Chú ý: Đôi khi, ta thấy đồ thị đi qua điểm
0 0
;x y
cho trước, ta thay tọa độ này vào hàm số để có 1
phương tr
ình.
Đi
ề
u này đúng cho
m
ọ
i hàm s
ố
.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
12
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
2. Hàm số nhất biến
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
2
ad bc
y
cx d

H
ệ
s
ố
D
ấ
u hi
ệ
u đ
ồ
th
ị
K
ế
t lu
ậ
n
c và d
Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy
0 0
d
cd
c
Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy
0 0
d
cd
c
a và c
Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox
0 0
a
ac
c
Tiệm cận ngang nằm phía dưới Ox
0 0
a
ac
c
a và b
Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên phải gốc O
0 0
b
ab
a
Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên trái gốc O
0 0
b
ab
a
b Đồ thị đi qua gốc O(0;0)
0b
b và d
Giao điểm của đồ thị với Oy nằm trên gốc O
0 0
b
bd
d
Giao điểm của đồ thị với Oy nằm dưới gốc O
0 0
b
bd
d
a, b, c, d
Mỗi nhánh đồ thị đi lên (từ trái sang phải)
0ad bc
Mỗi nhánh đồ thị đi xuống (từ trái sang phải)
0ad bc
PHÉP SUY Đ
Ồ
TH
Ị
T
Ừ
Đ
Ồ
TH
Ị
CÓ S
Ẵ
N
1. Phép tịnh tiến và đối xứng đồ thị
Cho hàm
( )y f x
có đồ thị (C)
Đồ thị cần tìm Cách biến đổi Minh họa
1
( ) : ( )C y f x a
Tịnh tiến đồ thị
( )C
theo
phương
Oy
lên phía trên
a
đơn vị.
2
( ) : ( )C y f x a
Tịnh tiến đồ thị
( )C
theo
phương
Oy
xuống phía dưới
a
đơn vị.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
13
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
3
( ) : ( )C y f x a
Tịnh tiến đồ thị
( )C
theo
phương
Ox
qua trái
a
đơn vị.
4
( ) : ( )C y f x a
Tịnh tiến đồ thị
( )C
theo
phương
Ox
qua phải
a
đơn vị.
5
( ) : ( )C y f x
Lấy đối xứng
( )C
qua
Ox
.
6
( ) : ( )C y f x
Lấy đối xứng
( )C
qua
Oy
.
2. Đồ thị hàm chứa giá trị tuyệt đối
a) Từ đồ thị
( ) : ( )C y f x
ta suy ra đồ thị
1
( ) : ( )C y f x
.
Ta có
( ) neáu ( ) 0
( ) .
( ) neáu ( ) 0
f x f x
y f x
f x f x
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị
( )C
nằm phía trên
Ox
, ta được
( )C
.
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị
( )C
phía dưới
Ox
qua
Ox
, ta được
( )C
.
Kết luận: Đồ thị
1
( ) : ( )C y f x
là hợp của
( )C
với
( ).C
Xem ví dụ minh họa sau:
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
14
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
b) Từ đồ thị hàm số
( ) : ( )C y f x
ta suy ra đồ thị
2
( ) : .C y f x
Ta có
( ) 0
( ) .
( ) neu 0
f x neu x
y f x
f x x
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị
( )C
nằm bên phải trục
Oy
, ta được
( ).C
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị
( )C
qua trục
Oy
, ta được
( )C
.
(Đây là tính chất đối xứng của đồ thị hàm số chẵn)
Kết luận: Đồ thị
2
( ) :C y f x
là hợp của
( )C
với
( ).C
Xem ví dụ minh họa sau:
CÔNG THỨC BỔ TRỢ CHO QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN HÀM SỐ
Bổ trợ về tam thức bậc hai
Cho phương trình
2
0 (*)ax bx c
(*) có hai nghiệm phân biệt
0
0
a
(*)
có hai nghiệm trái dấu
. 0a c
.
Định lí Vi-ét :
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
AÙp duïng
2 2 2 3 3 3 2 2
1 2 1 2 1 2
2 ; 3 ; ( ) 4 ;x x S P x x S SP x x S P
2 2
1 2 1 2
( ) 4x x x x S P
. Trong trắc nghiệm, ta nên dùng công thức :
1 2
x x
a
.
(*)
có hai nghiệm dương phân biệt
0, 0
.
0, 0
a
S P
(*)
có hai nghiệm âm phân biệt
0, 0
0, 0
a
S P
.
Bổ trợ hình học giải tích phẳng
Nếu
ABC
có
1 2
1 2
( ; )
( ; )
AB b b
AC c c
thì
1 2 2 1
1
2
ABC
S b c b c
ABC
tại
. 0A AB AC
1 1 2 2
0b c b c .
2 2
( ) ( ) .
B A B A
AB x x y y
Khoảng cách từ điểm ( ; )
M M
M x y đến
: 0ax by c
là
2 2
;
M M
ax by c
d M
a b
.
Đặc biệt:
; , ;
M M
d M Ox y d M Oy x
.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
15
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
IX. LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT
1. Công thức lũy thừa
Cho các số dương
,a b
và
,m n
. Ta có:
0
1a
. ...........
n
n thöøa soá
a a a a
với
*
n
1
n
n
a
a
( ) ( )
m n mn n m
a a a
.
m n m n
a a a
m
m n
n
a
a
a
( )
n n n
a b ab
n
n
n
a a
b b
1
2
*
1
3
3
( , )
n
m n
m
a a
a a m n
a a
2. Công thức logarit:
Cho các số
, 0, 1a b a
và
,m n
. Ta có:
log
a
b a b
10
lg log logb b b
ln log
e
b b
log 1 0
a
log 1
a
a
log
n
a
a n
1
log log
m
a
a
b b
m
log log
n
a a
b n b
log log
m
n
a
a
n
b b
m
log ( ) log log
a a a
bc b c
log log log
a a a
b
b c
c
log
log log
a
b b
b
c a
a b
a c
log .log log
a b a
b c c
,
1
b
log
log
log
a
b
a
c
c
b
,
1b
1
log
log
a
b
b
a
,
1b
BÀI TOÁN NGÂN HÀNG
1. Công
thức
tính lãi
đơn
Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi chỉ được tính dựa vào tiền gốc ban đầu
(tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp), đây gọi là
hình thức lãi đơn. Ta có:
(1 )T A nr
với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số
tiền nhận sau kỳ hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta
lấy T – A.
2. Công
thức lãi
kép
Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh sẽ được cộng vào
tiền gốc cũ để tạo ra tiền gốc mới và cứ tính tiếp như thế, đây gọi là hình thức lãi kép.
Ta có: (1 )
n
T A r với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ
hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A.
3. Mỗi tháng gởi
đúng số tiền
giống nhau theo
hình thức lãi kép
Nếu đầu mỗi tháng khách hàng luôn gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép
%r
/tháng thì số tiền họ nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là:
1 1 1
n
A
T r r
r
.
4. Gởi tiền vào ngân
hàng rồi rút ra hàng
tháng số tiền cố
định
Nếu khách hàng gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất
%r
/tháng. Vào ngày
ngân hàng tính lãi mỗi tháng thì rút ra X đồng. Số tiền thu được sau n tháng là:
1 1
1
n
n
r
T A r X
r
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
16
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
5. Vay vốn và trả
góp (tương tự bài
toán 4)
Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một
tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng,
mỗi lần hoàn nợ đúng số tiền X đồng. Số tiền khách hàng còn nợ sau n tháng là:
1 1
1
n
n
r
T A r X
r
3. Hàm số lũy thừa, mũ và logarit:
HÀM LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Dạng:
y x
y u
với
u
là đa
thức đại số.
Tập xác định:
Nếu
.
ÑK
u
Nếu
0.
0
ÑK
u

Nếu
0.
ÑK
u
Đạo hàm:
1
1
.
y x y x
y u y u u
Dạng:
x
u
y a
y a
với
0
.
1
a
a
Tập xác định:
.D
Đạo hàm:
ln
ln .
x x
u u
y a y a a
y a y a a u

.
Đặc biệt:
( )
( ) .
x x
u u
e e
e e u
với
2,71828...e
Sự biến thiên:
x
y a
.
Nếu
1a
thì hàm đồng biến trên
. Nếu
0 1a
thì hàm nghịch
biến trên
.
Dạng:
log
log
a
a
y x
y u
với
0
.
1
a
a
Đặc biệt: ln ;a e y x
10 log lga y x x  .
Điều kiện xác định:
0u
.
Đạo hàm:
1
log
ln
log
ln
a
a
y x y
x a
u
y u y
u a


.
Đặc biệt:
1
(ln )
(ln )
x
x
u
u
u
.
Sự biến thiên: log
a
y x . Nếu
1
a
: hàm đồng biến trên
(0; )
. Nếu
0 1a
: hàm nghịch biến trên
(0; ).
4.
Đồ thị hàm số mũ và logarit:
ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT
Ta thấy: 0 1; 0 1
x x
a a b b  .
Ta thấy: 1; 1.
x x
c c d d 
So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ
trái sang phải, trúng
x
a
trước nên
a b
.
Ta thấy:
log 0 1; log 0 1
a b
x a x b
.
Ta thấy:
log 1; log 1.
c d
x c x d 
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
17
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ
trái sang phải, trúng
x
c
trước nên
.c d
Vậy
0 1 .b a d c
So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ
phải sang trái, trúng log
b
x trước:
.b a
So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ
phải sang trái, trúng log
d
x trước:
.d c
Vậy
0 1a b c d
.
5. Phương trình mũ và logarit:
Phương trình mũ Phương trình Logarit
1. Dạng cơ bản:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
1. Dạng cơ bản:
log ( ) log g( ) ( ) ( ) 0
a a
f x x f x g x
2. Dạng logarit hóa:
( )
( ) ( )
( ) log
( , 0, 1)
( ) ( ).log
f x
a
f x g x
a
a b f x b
a b a
a b f x g x b
2. Dạng mũ hóa:
log ( ) ( )
b
a
f x b f x a
(không cần điều kiện)
3. Dạng đặt ẩn phụ:
Đặt
( )
0
f x
t a
Đưa phương trình đã cho về bậc
n
theo
t
giải tìm t .
Với t có được, thay vào
( )f x
t a
để tìm
x
.
a) Phương trình
2 ( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p
• Đặt
( )
0
f x
t a
.
• PT:
2
0mt nt p
.
b) Phương trình
( ) ( ) ( )
. . . 0
g x g x g x
m a n b p c
• Nhận dạng:
2 ( ) ( ) 2 ( )
( . ) . 0
f x f x f x
ma n a b p b
• Chia hai vế PT cho
2 ( )
0
f x
b
, ta được
2 ( ) ( )
0
f x f x
a a
m n p
b b
. (Xem a))
Chú ý: Ta có thể chia PT cho bất kỳ hàm mũ nào
trong ba hàm
( ) ( ) ( )
; ;
g x g x g x
a b c
, kết quả không thay
đổi.
c) Phương trình
( ) ( )
.( ) ( )
f x f x
m a b n a b p
• Nhận dạng:
2
( )( ) 1a b a b a b
• Đặt
( ) ( )
1
( ) , 0 ( )
f x f x
t a b t a b
t
• PT:
2
0
n
mt p mt pt n
t
3. Dạng đặt ẩn phụ:
Đặt log ( )
a
t f x
Đưa pt đã cho về bậc
n
theo
t
giải tìm t .
Có t , thay vào log ( )
a
t f x để tìm
x
.
a) Phương trình
2
log ( ) log ( ) 0
a a
m f x n f x p
• Đặt log ( )
a
t f x
• PT:
2
0mt nt p
b) Phương trình
( )
.log ( ) .log 0
a f x
m f x n a p
• ĐK:
( ) 0, ( ) 1f x f x
• Đặt
( )
1
log ( ) log
a f x
t f x a
t
• PT:
2
0 0
n
mt p mt pt n
t
c) Phương trình đơn giản chứa
log ( )
log ( )
a
b
f x
g x
• Đặt
log ( ) ( )
t
a
t f x f x a
• Thay trở lại phương trình, ta có một phương trình
mới đơn giản hơn (chứa ít logarit hơn).
6. Bất phương trình mũ và logarit:
Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit
Dạng cơ bản:
1
( ) ( )
0 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
f x g x
a
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
Dạng cơ bản:
1
0 1
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )
a
a a
a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
Lưu ý: Cách nhận dạng bất phương trình mũ-logarit cũng giống với cách nhận dạng phương trình
mũ-logarit. Học sinh tham khảo kỹ mục 5 để có phương pháp giải bất phương trình một cách hiệu
quả.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
18
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
X. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
1.
Công thức nguyên hàm:
( ) ( ) ( ) ( )
f x dx F x C F x f x
. ( ) ( )
k f x dx k f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( )f x dx f x C
1)
kdx kx C
2 2dx x C
( 3) 3dx x C
2)
1
1
x
x dx C
1
1 ( )
( ) .
1
MR
ax b
ax b dx C
a
4
3
4
x
x dx C
3
1
2
3
2
2
3 / 2 3
x
xdx x dx C x C
11 11
10
1 (1 2 ) (1 2 )
(1 2 ) .
2 11 22
x x
x dx C C
3)
1 1 1
ln ln
MR
dx x C dx ax b C
x ax b a
1 1
ln 1 3
1 3 3
dx x C
x
4)
2 2
1 1 1 1 1
.
( )
MR
dx C dx C
x x ax b a ax b
2
1 1 1 1
.
(2 3) 2 2 3 4 6
dx C C
x x x
3
2
2
1 1 1
10 ln 10
3
x
x dx x x C
x x x
5 5
4
1 1
ln
5
x x
dx x dx x C
x x
5)
1
MRx x ax b ax b
e dx e C e dx e C
a

1
1
x x x
e dx e C e C
6)
ln
x
x
a
a dx C
a
1
.
ln
bx c
MR bx c
a
a dx C
b a
5
5
ln 5
x
x
dx C
2
9
3 9
ln 9
x
x x
dx dx C
2 5 2 5
2 5
1 3 3
3 .
2 ln 3 2 ln 3
x x
x
dx C C
1 2 1 2 1
1
2 2 2
2
x x x x x x
e e dx e e dx e e C
1
1 1 6
2 .3 2 .3 . 6
3 3 3ln 6
x
x x x x x
dx dx dx C
7)
sin cosxdx x C
1
sin( ) cos( )
MR
ax b dx ax b C
a

4;
2
1
sin 4 cos 4
2 4 2
a b
x dx x C
8)
cos sinxdx x C
1
cos( ) sin( )
MR
ax b dx ax b C
a

1;
3
1
cos sin sin
3 1 3 3
a b
x dx x C x C
3sin 2 cos 3cos 2sin
x x dx x x C
2
1 1 1
sin 1 cos 2 sin 2
2 2 2
xdx x dx x x C
9)
2
2
1
1 tan tan
cos
dx x dx x C
x
2
1 1
tan
cos
MR
dx ax b C
ax b a

2
1
1 tan tan
MR
ax b dx ax b C
a
2
2 2
1 2 cos 1
2 tan 2
cos cos
x
dx dx x x C
x x
2
1 1
tan3
cos 3 3
dx x C
x
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
19
Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
2
2;
1
1 tan 2 tan 2
2
a b
x dx x C
10)
2
2
1
1 cot cot
sin
dx x dx x C
x
2
1 1
cot
sin
MR
dx ax b C
ax b a

2
1
1 cot cot
MR
ax b dx ax b C
a
2 2
2 2
sin 1 1
cot
sin sin 2
x x x
dx x dx x C
x x
2
1 1
cot8
sin 8 8
dx x C
x
2
1
1 cot 3 cot 3
3
x dx x C
2 2
2 2 2 2 2 2
1 sin cos 1 1
tan cot
sin cos sin cos cos sin
x x
dx dx dx x x C
x x x x x x
2. Tích phân
a)
Định nghĩa:
b
a
b
a
f x dx F x F b F a
với
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
;a b
.
b) Tính chất:
0
a
a
f x dx
b a
a b
f x dx f x dx
b b
a a
kf x dx k f x dx
(k là hằng số)
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
Nếu
0, ;f x x a b
thì
0.
b
a
f x dx
Nếu
, ;f x g x x a b
thì
.
b b
a a
f x dx g x dx
Đặc biệt:
Nếu hàm
y f x
là hàm số lẻ trên
;a a
thì
0.
a
a
f x dx
Nếu hàm
y f x
là hàm số chẵn trên
;a a
thì
0
2
a a
a
f x dx f x dx
.
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
20
Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
2. Ứng dụng tích phân để tính diện tích – thể tích:
Hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )y f x
, trục
Ox
,
,
x a x b
thì có diện tích:
( )
b
a
S f x dx
Hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )y f x
,
( )
y g x
,
,
x a x b
thì có diện tích:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
Khi xoay hình phẳng
( )
,
y f x
x a x b
quanh
Ox
, ta
được khối trụ tròn có thể tích
2
( )
b
a
V f x dx
Khi xoay hình phẳng
( )
( )
,
y f x
y g x
x a x b
quanh
Ox
,
được khối trụ tròn có thể tích
2 2
( ) ( )
b
a
V f x g x dx
.
Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng
,x a x b
. Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện
tích
( )S x
(là hàm liên tục trên [a;b]). Thể tích khối này trên
;a b
là:
( )
b
a
V S x dx
.
3. Công thức chuyển động:
Xét hàm quảng đường
( ),S t
hàm vận tốc
( )v t
và hàm gia tốc
( )a t
. Ba hàm này sẽ biến thiên theo
t
.
( ) ( ) ( ) ( )S t v t dt v t S t
( ) ( ) ( ) ( )v t a t dt a t v t

Tài liệu khác của Toán

Preview text:


ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC “LIVE VIP 9+ TOÁN ”
ĐĂNG KÝ HỌC EM INBOX THẦY TƯ VẤN NHÉ!
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT TOÁN LỚP 10,11,12
( Chuẩn cấu trúc SGK form mới)
I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức Cơ bản: sin cos  2 2 sin   cos   1  tan   cot    tan.cot  1 cos sin  k    k   1 1    2 1 tan   1 cot    s
 in(  k2 )  sin    k   2  2  tan( ) tan cos  2 sin 
cos(  k2)  cos   cot(  k )  cot  2. Cung Liên kết:  Pi  Đối:  ;   Bù:  ;   Phụ:  ;   Khác pi: ;    Khác : ;   2 2 2       sin(   )   sin sin(  )  sin  sin   cos  
sin(   )   sin sin   cos    2   2        cos(   )  cos
cos( )   cos cos   sin  
cos( )   cos cos    sin    2   2        tan(   )   tan
tan( )   tan tan   cot   tan(   )  tan  tan    cot    2   2       cot(   )   cot
cot(   )   cot cot   tan   cot(   )  cot cot    tan    2   2  Khác Pi: tang, Khác pi/2: sin bạn cos, Cos đối Sin bù Phụ chéo cotang cos thù sin 3. Công thức Cộng:  sin(a  b)  sin . a cosb  cos . a sin b  cos(a  ) b  cos . a cosb  sin . a sin b  sin(a  ) b  sin . a cosb  cos . a sin b  cos(a  b)  cos . a cosb  sin . a sin b tan a  tan b tan a  tan b tan(a  b)  tan(a  b)  1 tan . a tan b 1 tan . a tan b
4. Công thức Nhân đôi, Nhân ba: 2 2
cos 2  cos   sin  2 tan sin 2  2sin.cos tan 2  2 2
 2cos  1  1 2sin  2 1 tan  3    3 3 tan tan
sin 3  3sin  4sin  3
cos 3  4 cos   3cos tan 3  2 1 3 tan 
1 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN! 5. Công thức Hạ bậc: 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 2 sin    2 cos    2 tan   2 2 1 cos 2
6. Biến đổi Tổng thành Tích: a  b a  b a  b a  b cos a  cos b  2cos .cos cos a  cos b   2sin .sin 2 2 2 2 a  b a  b a  b a  b sin a  sin b  2sin .cos sin a  sin b  2cos .sin 2 2 2 2 sin(a  b) sin(a  b) tan a  tan b  tan a  tan b  cos . a cos b cos . a cos b           
sin  cos  2.sin    2.cos       
sin  cos  2 sin      2 cos    4   4   4   4 
7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 1 1 cos .
a cos b  cos(a  b)  cos(a  b)
sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b)
sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 2 2 2
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC u  v  k2 u  v  k2  sin u  sin v  (k   )  cosu  cos v  k    u    v  k2 u  v  k2 Nếu sin u  m 1  ;  1 và  3 2 1   3 2 1  m  1  ; ; ;  ;0 thì: Nếu cosu  m 1  ;  1 và m   1  ; ;  ; ;0 thì:  2 2 2    2 2 2   u  arcsin m  k2
cosu  m  u   arccos m  k2 (k  ) sin u  m   (k  )
u    arcsin m  k2 Nếu sin u  m 1  ; 
1 thì: sin u  m  u  Nếu cosu  m 1  ; 
1 thì: cosu  m  u   sin u  1  u   k2 2 cos u  1  u  k2  Đặc biệt: sin u  1
  u    k2 k 
Đặc biệt: cosu  1  u    k2 k  2  sin u  0  u  k cos u  0  u   k 2
 tan u  tan v  u  v  k k 
 cot u  cot v  u  v  k k   3   3 
Nếu tan u  m  3; 1  ; ;0 thì:
Nếu cot u  m  3; 1  ; ;0 thì:  3    3  
tan u  m  u  arctan m  k k 
cot u  m  u  arc cot m  k k 
Lưu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa là  u 
 k , k  . Tuy vậy, phương trình
Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa là 2
u  k , k   . Tuy vậy, phương trình cot u  m luôn có
tan u  m luôn có nghiệm, vì vậy không cần đặt
nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện cho nó. điều kiện.
2 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
Kỹ thuật 1: Làm mất dấu TRỪ Ví dụ:  sin  sin(   )       sinx
   sinx  0  sinx      s  inx  sinx       sin(x)   
  cos  cos( ) 4 4 4     tan  tan(   ) x x  k2  4    cot  cot(   )  
 x   k (k  ).   8 x
     x  k2 ()  4
Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO     sin  cos     2  Ví dụ:     cos  sin      k2  2  x    6 3   (k  ).     tan  cot       2  x   k2  2     cot  tan     2 
Phương trình a sin x  bcos x  c (với 2 2 2 a  b  c ) Phương trình 2 2
a sin x  b sin x cos x  c cos x  d asin x  bcos x  c a b c  sin x  cos x  2 2 2 2 2 2 a  b a  b a  b  Trường hợp 1: Xét 2
cos x  0  sin x  1. Ta có hệ c  sin . x cos  cos . x sin  2 2 s  in x 1 s  in x 1 2 2 a  b sau:     .............(1) 2 asin x  d a  d   2x  xk2     2
 Trường hợp 2: Xét cos x  0 , chia hai vế phương sin2x cosx sin2x sin x     2     trình cho 2 cos x , ta có: 2x   x k2     2  2 2
a tan x  b tan x  c  d (1 tan x)  .........(2) a b
 Hợp nghiệm của (1), (2) ta có tập nghiệm của (với cos  , sin  ) 2 2 2 2 a  b a  b phương trình đã cho. c
 sin(x  )  sin   ......... với sin   2 2 a  b
 Lưu ý: Phương trình asin x  bcos x  c chỉ có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 a  b  c . [
III. TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN
Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường
Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc,
hợp, ta sẽ cộng các kết quả lại.
ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy. HOÁN VỊ TỔ HỢP CHỈNH HỢP
 Chọn k phần tử từ n phần tử
 Chọn k phần tử từ n phần tử (có
 Sắp xếp (đổi chỗ) của n
(không sắp xếp thứ tự), ta có số
sắp xếp thứ tự), ta được số cách
phần tử khác nhau, ta có cách chọn là k C . chọn là k A . n n
3 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
số cách xếp là P  n! với n * k ,n k ! n n k !  C  với  A  với  . n n n   . n  k!k! n  k! 0  k  n  n!1.2.....n   1 n . * k ,n  .
 Quy ước sốc: 0! 1. 0  k  n Một số tính chất: k n k C C   k k 1  k 1 C  C  C  k A  k ! k C n n n n n 1  n n n(X )  Tính chất:  Công thức: P(X )  n() 0  P( X )  1 . XÁC
Trong đó: n(X ) : số phần tử của tập biến cố P()  0; P()  1 . SUẤT
X ; n() :số phần tử không gian mẫu; P( X ) là   xác suất để biến cố
P(X ) 1 P(X ) với X là biến cố đối của X . X xảy ra với X   .
 Nếu A, B là hai biến cố xung khắc với nhau  Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì
thì P A B  P A  PB . P . A B  P  A .PB .
IV. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  a  bn 0 n 1 n 1  2 n2 2 n 1  n 1
 C a  C a b  C a b  .........  n n  C ab  C b . n n n n n Khai triển dạng
 Đặc biệt:   xn 0 1 2 2 n 1  n 1 1
 C  C x  C x  .........  n n  C x  C x (*). liệt kê: n n n n n  Hệ quả 1: 0 1 2 n 1 C  C  C  .........  n
 C  C  2n (tức là thay x  1 vào (*)). n n n n n (với * n   )
 Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x  1 vào (*), ta có: 0 1 2 n 1  n 0 2 4 n 1 3 n 1 C C C ......... C C 0 C C C ...... C C C ......C               n n n n n n n n n n n n n
 Khai triển: a  bn k nk k
 C a b . Số hạng tổng quát: k nk k T  C a b Khai triển tổng n k 1  n k 0 quát:
 Phân biệt hệ số và số hạng: k C (1)k nk k a
b . x . Số hạng không chứa x ứng với n  (với * n   ) H EÄSOÁ  SOÁH AÏNG   0.
V. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: 1. Định nghĩa:
 Dãy số u được gọi là cấp số cộng khi và
 Dãy số u được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi n  n  chỉ khi u  u  d với *
n   , d là hằng số. u  u .q với *
n   , q là hằng số. n 1  n n 1  n
 Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u ,
 Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u , công bội q . 1 1 công sai d. 2. Số hạng tổng quát: 2. Số hạng tổng quát:  1 u u . n q   với * n   . n 1
 u  u  (n 1)d với * n   . n 1
3. Tính chất các số hạng:
3. Tính chất các số hạng:  2 u .u
 u với k   và k  2.  u  u  2u với * k   và k  2. k 1  k 1  k k 1  k 1  k
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
4. Tổng n số hạng đầu tiên: u (1 n  q ) (u  u )n  1 S  u  u  ... u  với q  1.  1 S  u  u ... n  u  . n 1 2 n 1 q n 1 2 n 2
4 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
VI. GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ
1.1. Dãy số có giới hạn 0: 1 1 1 1 ▪ lim  0 ▪ lim  0 ▪ lim  0 ▪ lim  0 n n 3 n n ▪ lim n q  0 với q 1.
1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim u  a . Ta có: n ▪ lim u  a và 3 3 lim u  a
▪ lim u  a với a  0. n n
Cho lim u  a , lim v  b . Ta có: n n ▪ limu  v  a  b ▪ limu .v  a b n n  . n n  u a ▪ lim n  với b  0 ▪ limk.u  k a n  . v b n u
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 2 1
S  u  u q  u q  ...  . 1 1 1 1 q
1.4. Dãy số có giới hạn vô cùng:
Quy tắc 1: Cho limu  , lim v   .  Tính limu v . n n  n n lim u lim v limu v n n  1. Giới hạn dãy số n n            
Quy tắc 2: Cho lim u  , lim v  a  0. Tính limu v . n n  n n lim u n Dấu của a limu v n n   +   –   +   –  u
Quy tắc 3: Cho lim u  a  0, lim v  0. Tính lim n . n n vn u Dấu của a (tử) Dấu của v (mẫu) lim n n vn + +  + –  – +  – – 
5 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
2.1. Giới hạn tại vô cực: Cho k dương, ta có: 1  ,  k chaün ▪ lim  0 ▪ lim k x   ▪ lim k x    k x x x x  ,   k leû 
2.2. Giới hạn hữu hạn:
Cho lim f  x  a, lim g  x  b . Ta có: x  0 x x 0 x ▪ lim f x  a ▪ f  x 3 3 lim
 a ▪ lim f x  a với a  0 x 0 x x  0 x x 0 x ▪ lim  f
  x  g  x  a  b  ▪ lim  f
  x.g  x  . a b  x  0 x x 0 x f  x ▪ lim k. f a  x  k.a 
với k là hằng số ▪ lim  với b khác 0 x 0 x x 0 x g  x b
2.3. Quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Quy tắc 1: Cho lim f  x  , lim g  x  a  0 . Tính lim  f  x.g x   . x   0 x x 0 x x 0 x lim f  x Dấu của a
lim  f  x g  x   . x 0 x x 0 x  +   –  2. Giới hạn hàm số:  +   –  f  x
Quy tắc 2: Cho lim f  x  a  0, lim g x  0 . Tính lim . x  x 0 x g  x 0 x x 0 x f  x Dấu của a Dấu của g  x lim . x 0 x g  x + +  + –  – +  – – 
2.4. Bổ trợ các công thức để khử dạng vô định: 2
ax  bx  c  ax  x x  x với n x 1   x   1  n 1 n2 x  x ...  1   2  1
x , x là nghiệm của tam thức bậc hai. 1 2 n n
a  b  a b n 1 n2 n 1 a  a b ... b   2 a  b 2 a  b a  b  a  b  a  b a  b 3 a  b 3 a  b 3 a  b  3 a  b  2 a  a b   b2 2 3 3 2 3 a  a b   3 b
6 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
3.1. Điều kiện tồn tại giới hạn:
Điều kiện để hàm số Giới hạn bên Giới hạn bên trái phải có giới hạn tại x . 0 Ký hiệu lim f  x lim f  x
lim f  x  lim f  x x       0 x x 0 x x  0 x x 0 x Khi đó: x   x x   x
lim f  x  lim f x Nghĩa là 0 0 x     0 x x 0 x x  x x  x  0  0  lim f x x   0 x
3.2. Điều kiện liên tục của hàm số: 3. Điều kiện giới
 Hàm số f  x liên tục tại hạn và điều kiện liên tục:
x  f x  lim f x  lim f x  f x  lim f x 0  0        0    xx xx xx 0 0 0
 Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác đều liên tục trên tập xác định của chúng.
 Hàm số f  x liên tục trên khoảng  ;
a b nếu nó liên tục với mọi x  x  ; a b . 0   f ( ) x lieân t uïc t r eân ( ; a ) b
 Hàm số f  x liên tục trên  ; a b        . lim f (x)  f ( ) a ; lim f (x)  f ( ) b x a x b   
3.3. Điều kiện có nghiệm của phương trình:
Nếu hàm số f  x liên tục trên  ;
a b và f a. f b  0 thì phương trình f  x  0 có
ít nhất một nghiệm trên  ; a b. VII. ĐẠO HÀM f x  f x
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: f  x  lim . 0     0 x 0 x x  x0
2. Bảng đạo hàm cơ bản và mở rộng:  1    1   x  1           k  0  1 (x )   x 2 x 2  x  x (với k là hằng số) MR   1 (u )  u   . u  u  MR  u     u MR 1    2 u   2  u  u         x  x e  e   x  x a  a ln a    1 ln x   x a  1 log x x ln a MR  u  u    e  e . u MR  u  u a  a .ln . a u u u MR lnu   MR log u    a  u u ln a
 sin x  cos x MR
sin u  u cosu
 cos x  sin x MR
cosu   u sinu 1 1  tan x 2   1 tan x  cot x     2 1 cot x 2  2 cos x sin x u u MR tan u   u  2 1 tan u MR
cot u     u  2 1 cot u 2  2  cos u sin u
7 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
3. Quy tắc tìm đạo hàm:
▪ u  v  u  v ▪ (k.u)  k.u ▪ (u.v)  u v   uv
f  laøñaïo haøm cuûa f theo bieán x  u  u v   uv x  ▪   
▪ f   f .u với f
  laøñaïo haøm cuûa f theo bieán u . 2  v  v x u x u
u laøñaïo haøm cuûa u theo bieán x  x 
4. Đạo hàm cấp cao và vi phân: Đạo hàm cấp cao Vi phân df  x  f  x
f  x   f  x 
 ; f x   f  x       .dx     dy  y .dx
4                 1  ;...; n n f x f x f x   f x   du  u .dx
VIII. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÀM BẬC BA HÀM NHẤT BIẾN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU ax  b 3 2
y  ax  bx  cx  d (a  0) y  (ad  bc  0, c  0) cx  d
 Bước 1: Tìm tập xác định  Đạo hàm 2 y  3ax  2bx  c . D .
 Hàm số đồng biến trên tập xác định    y  0, x   ad bc  Đạo hàm y  . 2   a  0 (cx d)
 Bước 2: Tính y  f (  x) ;   .
 Hàm số đồng biến trên từng cho y  0   0
khoảng xác định  ad  bc  0. T ìm nghi eäm x , x ...Tìm
 Hàm số nghịch biến trên tập 1 2
xác định   y  0, x   
 Hàm số nghịch biến trên từng
thêm các giá trị x mà y     khoảng xác định ad bc 0. a  0 không xác định.   .
 Bước 3: Lập bảng biến   0
thiên. (Nên chọn giá trị x
đại diện cho từng khoảng
thay vào y để tìm dấu của
 Lưu ý: Nếu a chứa tham số m thì  Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến y trên khoảng đó).
ta xét a  0 , tìm m. Thay m tìm được (nghịch biến) trên (;  ) thì ta xét
 Bước 4: Dựa vào bảng biến để kiểm tra dấu y , xem y có đơn d
điều kiện:  (;  ) .
thiên để kết luận về sự điệu trên  không? c
đồng biến, nghịch biến của hàm số. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ 3 2
y  ax  bx  cx  d (a  0) 4 2
y  ax  bx  c (a  0)
 Hàm số có điểm cực trị là  Đạo hàm 2 y  3ax  2bx  c .  Đạo hàm 3 y  4ax  2bx . y (x )  0
 Điều kiện cực trị (x ; y ) 0   .
 Hàm số có hai cực trị (tức là có 0 0 y(x )  y  Ba cực trị ab  0 0 0 a  0
(giả thiết là hàm số liên tục tại CĐ-CT)   (*) .   ab  0  0  y Một cực trị  x ). 2 2 a  b  0 0
 Hàm số có hai điểm cực trị trái  f (x )  0
dấu  x x  0  ac  0 . Có cực trị 2 2 a  b  0 1 2  Nếu 0  thì hàm f (  x )  0
 Hàm số có hai điểm cực trị cùng  0 a  0,    0
số f (x) đạt cực đại tại dấu y   . x  x . ac  0 0
8 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!  f (x )  0
 Phương trình đường thẳng đi qua  Cho ,
A B, C là ba điểm cực trị, ta  Nếu 0  thì hàm hai điểm cực trị: f  (  x )  0  b  8a 0 f (  x). f (x) có: cos  3 BAC  3
số f (x) đạt cực tiểu tại y  f (x)  . b  8a 18a x  x . 5 0
Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị đã rõ b S  .
ràng ta nên gọi đường thẳng A  BC 3 32a
y  ax  b rồi thay tọa độ hai điểm đó vào   Giải hệ tìm a, b. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG
Tìm Max-Min của f (x) trên đoạn  ; a b
Tìm Max-Min của f (x) trên khoảng (a;b)
 Bước 1: Tính y  f (  x) .
 Bước 1: Tính y  f (x) .
Tìm các nghiệm x  (a;b) khi cho f (x)  0 . Tìm các nghiệm x ( ; a b) khi cho f (  x)  0 . Tìm i i
Tìm x  (a;b) mà y không xác định.
x  (a;b) mà y không xác định. j j
 Bước 2: Tính các giá trị f (a), f (b) và
 Bước 2: Cần tính lim y, lim y . (Nếu thay (a;b) bằng x a x b   f (x ), f (x ) (nếu có).
  thì ta tính thêm ). i j ( ; ) lim y x
 Bước 3: So sánh tất cả giá trị trong bước 2
 Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất,
để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. nhỏ nhất trên khoảng.
 Nếu hàm f (x) đồng biến trên [a;b] thì
 Nếu hàm f (x) nghịch biến trên [a;b] thì max f (x)  f (b)    max f (x) f (a) x [  a;b]    x [a;b]  min f (x)  f (a)  min f (x)  f (b)   x [  a;b] x [a;b] ĐẶC BIỆT TIỆM CẬN ĐỨNG TIỆM CẬN NGANG x   x x     Định nghĩa: 0  (x hữu hạn, y vô  Định nghĩa: 
(x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm y    y   y  0
hạn), ta có tiệm cận đứng x  x . Lưu ý: cận ngang y  y . 0 0 điều kiện x 
 x có thể được thay bằng
 Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO 0 x x  
(giới hạn bên trái) hoặc
Bước 1: Nhập hàm số vào máy. 0 Bước 2: NEXT   10 ^10 NEXT CALC X   x x   (giới hạn bên phải). 0 NEXT   10 ^10 NEXT CALC X  
 Cách tìm TCĐ: Nếu x  x là một nghiệm 0
Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức là y ) thì ta
của mẫu số mà không phải là nghiệm của 0
tử số thì x  x chính là một TCĐ của đồ kết luận TCN: y  y . 0 0 thị.
(với tập xác định có dạng D  K \x ; x ;... ). 0 1  ax  b d a
 Đồ thị hàm số y 
với (c  0, ad  bc  0) có một TCĐ: x   , một TCN: y  . cx  d c c
 Nên nhớ, mỗi đồ thị chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang.
9 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
Xét hai đồ thị(C ) : y  f ( x) và (C ) : y  g( x) . 1 2
Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị
 Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao
 Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm
điểm của (C ) & (C ) : f (x)  g(x) . (*)
x , x ,... (nếu có), suy ra y , y ... 1 2 1 2 1 2
 Điều kiện để (C ) và (C ) có n
 Điều kiện để (C ) tiếp xúc (C ) là phương trình (*) có nghiệm kép 1 2 1 2
điểm chung là phương trình (*)  f (x)  g(x) có n nghiệm khác nhau.
hoặc hệ sau có nghiệm :  .  f (x)  g (x)  ax  b (C) : y  Tìm tham số để 
cx  d cắt nhau tại hai điểm phân biệt d : y  x  
 Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao  ax  b  điểm :
  x   , đưa phương trình A  0  cx  d 
 Bước 2 : Giải hệ   0 Tìm  m? g về dạng  d 2 
g(x)  Ax  Bx  C  0 x     .   c   d  g   0     c  3 2
(C) : y  ax  bx  cx  d Tìm tham số để 
cắt nhau tại ba điểm phân biệt d : y   x  
(Ta chỉ áp dụng cho trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm đẹp)
 Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao A  0 điểm : 3 2
ax  bx  cx  d   x   , đưa 
 Bước 2 : Giải hệ điều kiện :   0 Tìm  m? phương trình về dạng g    g(x )  0  0 2
(x  x ) Ax  Bx  C   0 . 0      
 Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x  x , ta nhập vào máy chức g ( x)  0
(có vận dụng kỹ năng chia Hoocner)
năng giải phương trình bậc ba với m 100 .
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG 1 DẠNG 2 DẠNG 3
Viết phương trình tiếp tuyến của Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
đồ thị (C) : y  f (x) tại điểm
(C) : y  f (x) biết tiếp tuyến có hệ số
(C) : y  f (x) biết tiếp tuyến đi qua M (x ; y )  (C) góc k. ( A x ; y ) . 0 0 A A
 Bước 1: Tính đạo hàm y , từ
 Bước 1: Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm
 Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : 0 0
đó có hệ số góc k  y (  x ). y  y (
 x )(x  x )  y (*) với 0 và tính đạo hàm y . 0 0 0
 Bước 2 : Viết phương trình  Bước 2: Cho y (  x )  k , tìm được y  f (x ). 0 0 0
tiếp tuyến của đồ thị dạng tiếp điểm (x ; y ).
 Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) y  k(x  x )  y . 0 0 0 0
 Bước 3: Phương trình tiếp tuyến : để tìm được x . 0 y  k(x  x )  y .
 Bước 3: Thay x vào (*) để viết 0 0 0
phương trình tiếp tuyến.
 Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y  ax  b thì nó có hệ số góc k  a, nếu tiếp tuyến vuông góc 1
đường thẳng y  ax  b thì nó có hệ số góc k  
(a  0) ; nếu tiếp tuyến tạo với Ox góc  thì nó có hệ số góc a k   tan .
10 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ
Tâm đối xứng (hay điểm uốn) của đồ thị bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d (a  0) 2 y  3ax  2bx  c  Bước 1: Tính  . y  6ax  2b  Bước 2: Cho b y  0 Tìm nghieäm x    y . Ta có tâm 0 0 3a
đối xứng (tức điểm uốn): I (x ; y ). 0 0
 Cần nhớ: Tâm đối xứng của đồ thị bậc ba
cũng là trung điểm của hai điểm cực trị (nếu có). ax  b
Tâm đối xứng của đồ thị hàm nhất biến y  (c  0, ad  bc  0) cx  d d
 Tìm tiệm cận đứng x   và tiệm cận c a
ngang y  , suy ra được tâm đối xứng của c  d a đồ thị là:  I  ; 
 (là giao điểm 2 tiệm cận  c c  tìm được).
NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d a  0   y   2 3a x   2b x  c A B C Hệ số Dấu hiệu đồ thị Kết luận
Nhánh phải đồ thị đi lên a  0 a
Nhánh phải đồ thị đi xuống a  0
Giao điểm với Oy nằm trên điểm O d  0 d
Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O d  0
Giao điểm với Oy trùng với điểm O d  0
Đồ thị không có điểm cực trị nào         B 2 2 AC b 3ac 0 y
Đồ thị có hai điểm cực trị         B 2 2 AC b 3ac 0 y B 2b
Tâm đối xứng nằm bên phải Oy   0    0  ab  0 A 3a b, c B 2b
Tâm đối xứng nằm bên trái Oy   0    0  ab  0. A 3a C c
Hai điểm cực trị nằm cùng phía Ox x x  0   0   0  ac  0 1 2 A 3a C c
Hai điểm cực trị nằm khác phía Ox x x  0   0   0  ac  0 1 2 A 3a
 Chú ý: Đôi khi, ta thấy đồ thị đi qua điểm  x ; y cho trước, ta thay tọa độ này vào hàm số để có 1 0 0 
phương trình. Điều này đúng cho mọi hàm số.
11 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN! ax  b 2. Hàm số nhất biến y 
c  0, ad  bc  0 cx  d ad  bc   y   cx  d 2 Hệ số Dấu hiệu đồ thị Kết luận d
Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy   0  cd  0 c c và d d
Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy   0  cd  0 c a
Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox  0  ac  0 c a và c a
Tiệm cận ngang nằm phía dưới Ox  0  ac  0 c b
Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên phải gốc O   0  ab  0 a và b a b
Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên trái gốc O   0  ab  0 a b
Đồ thị đi qua gốc O(0;0) b  0 b
Giao điểm của đồ thị với Oy nằm trên gốc O  0  bd  0 b và d d b
Giao điểm của đồ thị với Oy nằm dưới gốc O  0  bd  0 d
Mỗi nhánh đồ thị đi lên (từ trái sang phải) ad  bc  0 a, b, c, d
Mỗi nhánh đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) ad  bc  0
PHÉP SUY ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ CÓ SẴN
1. Phép tịnh tiến và đối xứng đồ thị
Cho hàm y  f (x) có đồ thị (C) Đồ thị cần tìm Cách biến đổi Minh họa
Tịnh tiến đồ thị (C) theo (C ) : y  f (x)  a 1
phương Oy lên phía trên a đơn vị.
Tịnh tiến đồ thị (C) theo (C ) : y  f (x)  a 2
phương Oy xuống phía dưới a đơn vị.
12 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
Tịnh tiến đồ thị (C) theo (C ) : y  f (x  a) 3
phương Ox qua trái a đơn vị. C theo (C ) : y  f (x  a) Tịnh tiến đồ thị ( ) 4
phương Ox qua phải a đơn vị. (C ) : y   f (x)
Lấy đối xứng (C ) qua Ox . 5 (C ) : y  f (x)
Lấy đối xứng (C ) qua Oy . 6
2. Đồ thị hàm chứa giá trị tuyệt đối
a) Từ đồ thị (C ) : y  f ( x) ta suy ra đồ thị (C ) : y  f ( x) . 1 f ( ) x neáu f ( ) x  0 Ta có y f ( ) x    .  f ( ) x neáu f ( ) x   0 
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox , ta được (C) .
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) phía dưới Ox qua Ox , ta được (C) .
Kết luận: Đồ thị (C ) : y  f (x) là hợp của (C) với (C). Xem ví dụ minh họa sau: 1
13 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
b) Từ đồ thị hàm số (C) : y  f (x) ta suy ra đồ thị (C ) : y  f x . 2   f (x) neu x 0 Ta có y f ( x )    .  f (  x) neu x 0 
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , ta được (C ).
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C) qua trục Oy , ta được (C ) .
(Đây là tính chất đối xứng của đồ thị hàm số chẵn)
Kết luận: Đồ thị (C ) : y  f x là hợp của (C) với (C). Xem ví dụ minh họa sau: 2  
CÔNG THỨC BỔ TRỢ CHO QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN HÀM SỐ
Bổ trợ về tam thức bậc hai Cho phương trình 2 ax  bx  c  0 (*) a  0
 (*) có hai nghiệm phân biệt  
 (*) có hai nghiệm trái dấu  . a c  0 .   0  b  S  x  x   1 2   Định lí Vi-ét : a  AÙ p duïng  2 2 2 3 3 3 2 2
x  x  S  2P; x  x  S  3SP; (x  x )  S  4P; c 1 2 1 2 1 2 P  x x  1 2  a 2 2 
x  x  (x  x )  S  4P . Trong trắc nghiệm, ta nên dùng công thức : x  x  . 1 2 1 2 1 2 a
 (*) có hai nghiệm dương phân biệt
 (*) có hai nghiệm âm phân biệt a  0,   0 a  0,   0   .   . S  0, P  0 S  0, P  0
Bổ trợ hình học giải tích phẳng 
 Khoảng cách từ điểm M (x ; y ) đến  M M AB  (b ;b ) 1  Nếu A  BC có 1 2  thì S  b c  b c ax  by  c A  BC 1 2 2 1 M M AC  (c ;c )    2
 : ax  by  c  0 là d M ;  . 1 2   2 2 a  b  A  BC  tại A  A .
B AC  0  b c  b c  0 . 1 1 2 2
 Đặc biệt: d M;Ox  y , d M;Oy  x . M  M  2 2
AB  (x  x )  (y  y ) . B A B A
14 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
IX. LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT 1. Công thức lũy thừa
Cho các số dương a, b và m, n   . Ta có: n a  . a . a ..........a với * n   n 1  0 a  1
   a  n thöø a soá n a m a  ( m )n mn   ( n)m a a a  m. n m n a a a    mn  a n a 1 n n a  a  n 2  a  a  n n  ( )n a b ab    m n * m a  a ( , m n   ) n   b  b  1 3 3  a  a 2. Công thức logarit: Cho các số , a b  0, a 1 và , m n. Ta có:  log b   a   b  lgb  logb  log b  ln b  log b a 10 e  log 1 0  log a 1  log n a  n a a a 1 n  log b  b  log n b  n log b  log n b  b m log m loga a m a a a a m  b  loga b a  b
 log (bc)  log b  log c
 log    log b  log c  a a a a a a   c  log c log b b a a  c log c 1  log .
b log c  log c , b   1  a  log c , b   1  log b  , b   1 a b a log b b a log a a b BÀI TOÁN NGÂN HÀNG
Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi chỉ được tính dựa vào tiền gốc ban đầu 1. Công
(tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp), đây gọi là thức
hình thức lãi đơn. Ta có: T  (
A 1 nr) với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tính lãi đơn
tiền nhận sau kỳ hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A.
Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh sẽ được cộng vào 2. Công
tiền gốc cũ để tạo ra tiền gốc mới và cứ tính tiếp như thế, đây gọi là hình thức lãi kép. thức lãi kép Ta có:  (1 )n T A r
với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ
hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A. 3. Mỗi tháng gởi
Nếu đầu mỗi tháng khách hàng luôn gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% đúng số tiền A giống nhau theo
/tháng thì số tiền họ nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là: T 
1rn 11 r   . hình thức lãi kép r
4. Gởi tiền vào ngân Nếu khách hàng gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng. Vào ngày
hàng rồi rút ra hàng ngân hàng tính lãi mỗi tháng thì rút ra X đồng. Số tiền thu được sau n tháng là: tháng số tiền cố 1 n n  r 1 định T  A1 r    X r
15 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một 5. Vay vốn và trả
tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, góp (tương tự bài
mỗi lần hoàn nợ đúng số tiền X đồng. Số tiền khách hàng còn nợ sau n tháng là: toán 4) n   T  A  rn 1 r 1 1  X r
3. Hàm số lũy thừa, mũ và logarit: HÀM LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT y  x x  a  0 y  log x a  0  Dạng: với u là đa y a  Dạng: với  .  Dạng: a với  . y  u u y  a a  1 y  log u a 1 a
 Đặc biệt: a  e   y  ln x ; thức đại số.
 Tập xác định: D  .  a  10   y  log x  lg x .  Đạo hàm:  Tập xác định:
 Điều kiện xác định: u  0 . x x y  a   y  a ln a  Đạo hàm: . Nếu ÑK     u  .  1 u u y  a   y  a ln a. u y  log x   y  a x ln a .      ( x e ) x   e u Nếu ÑK  u  0. Đặc biệt: với y  log u   y     a 0  ( u e ) u   e . u u ln a 1 e  2,71828... (ln x)  Nếu ÑK    u  0. Đặc biệt: x .  Sự biến thiên: x y  a . u (ln u )   Đạo hàm: u
Nếu a  1 thì hàm đồng biến trên  Sự biến thiên: y  log x . Nếu a  1 a   1 y  x   y   x 
: hàm đồng biến trên (0; ) . Nếu
 . Nếu 0  a 1 thì hàm nghịch   1 y  u   y  u  . u
0  a  1 : hàm nghịch biến trên biến trên  . (0; ).
4. Đồ thị hàm số mũ và logarit: ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT
 Ta thấy: x  0   1; x a a b  0  b  1.
 Ta thấy: log x  0  a  1; log x  0  b  1. a b
 Ta thấy: x   1; x c c d  d  1.
 Ta thấy: log x  c  1; log x  d  1. c d
 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng x a trước nên a  b .
16 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ
 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng x c trước nên c  d.
phải sang trái, trúng log x trước: b  . a b
 Vậy 0  b  a 1  d  . c
 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ
phải sang trái, trúng log x trước: d  . c d
 Vậy 0  a  b  1  c  d .
5. Phương trình mũ và logarit: Phương trình mũ Phương trình Logarit 1. Dạng cơ bản: 1. Dạng cơ bản: f (x) g ( x) a  a  f (x)  g(x)
log f (x)  log g(x)  f (x)  g(x)  0 a a 2. Dạng logarit hóa: f ( x )  2. Dạng mũ hóa:    a  b  f (x)  log b log f (x) b f (x) b a a a  (a, b  0, a  1) f ( x ) g ( x )  (không cần điều kiện) a  b  f (x)  g (x).log b  a 3. Dạng đặt ẩn phụ:  Đặt f ( x) t  a  0
 Đưa phương trình đã cho về bậc n theo t   3. Dạng đặt ẩn phụ: giải tìm t .  Đặt t  log f (x) a
 Với t có được, thay vào f ( x) t  a để tìm x .
 Đưa pt đã cho về bậc n theo t   giải tìm t . a) Phương trình 2 f ( x) f ( x) . m a  . n a  p  0
 Có t , thay vào t  log f (x) để tìm x . a • Đặt f ( x) t  a  0 . a) Phương trình 2 m log
f (x)  n log f (x)  p  0 a a • PT: 2 mt  nt  p  0 . • Đặt t  log f (x) a b) Phương trình g ( x) g (x) g ( x) . m a  . n b  . p c  0 • PT: 2 mt  nt  p  0 • Nhận dạng: 2 f ( x) f ( x) 2 f ( x) ma  n( . a b)  . p b  0 b) Phương trình . m log f (x)  . n log a  p  0 a f ( x)
• Chia hai vế PT cho 2 f (x) b  0 , ta được
• ĐK: f (x)  0, f (x)  1 2 f ( x ) f ( x )  a   a  m  n  p  0     . (Xem a)) 1  b   b 
• Đặt t  log f (x)   log a a f (x) t
Chú ý: Ta có thể chia PT cho bất kỳ hàm mũ nào n
trong ba hàm  g(x) g(x) g(x) a ;b ;c
, kết quả không thay • PT: 2
mt   p  0  mt  pt  n  0 t đổi. log f (x) a c) Phương trình f ( x) f ( x) . m (a  b)  n(a  b)  p
c) Phương trình đơn giản chứa log g(x) b • Nhận dạng: 2
(a  b)(a  b)  a  b  1
• Đặt t  log f (x)  f (x) t  a a f x 1 • Đặt ( ) f (x) t  (a  b) , t  0   (a  b)
• Thay trở lại phương trình, ta có một phương trình t
mới đơn giản hơn (chứa ít logarit hơn). n • PT: 2
mt   p  mt  pt  n  0 t
6. Bất phương trình mũ và logarit: Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit  Dạng cơ bản: a 1   f ( x) g ( x)  a  a  f (x)  g(x) a 1    Dạng cơ bản: 
 log f (x)  log g(x) f (x)  g(x)  0 a a  0a 1   f ( x) g ( x)   a  a  f (x)  g(x)  0a 1  
 log f (x)  log g(x)  0  f (x)  g(x)  a a
Lưu ý: Cách nhận dạng bất phương trình mũ-logarit cũng giống với cách nhận dạng phương trình
mũ-logarit. Học sinh tham khảo kỹ mục 5 để có phương pháp giải bất phương trình một cách hiệu quả.
17 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
X. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1. Công thức nguyên hàm:
f (x)dx  F (x)  C  F (  x)  f (x)   k. f (x)dx  k f (x)dx  
   f (x)  g(x)dx  f (x)dx  g(x)dx    f (x)dx  f (x)  C  1) kdx  kx  C   2dx  2x  C   (3)dx  3x  C   3 1  4  x x 1 2) x dx   C   3 x dx   C  2 x 2 3  2       1 4  xdx x dx C x C   3 / 2 3  1   ax  b MR 1 ( )  11 11 (ax  b) dx  .  C    10 1 (1 2x) (1 2x) a  1  (1 2x) dx  .  C   C  2 11 22 1 1 1 MR 1 1 3) dx  ln x  C  dx  ln ax  b  C    dx  ln 1 3x  C  x ax  b a 1 3x 3  1 1   MR 1 1 1 1 1 1 1 4) dx    C  dx  .  C    dx  .  C    C  2 2 x x (ax  b) a ax  b 2 (2x  3) 2 2x  3 4x  6 3  1 1  x 1 5 5 x 1  1  x  2 x   10 dx   ln x  10x  C    4 dx  x  dx   ln x  C   2     x x  3 x x  x  5 x 1 x x MR axb 1 5) axb e dx  e  C  e dx  e  C    x x e dx  e  C  e   C  a 1  x a x x 9x x 5x 6) x a dx   C   5 dx   C   2 3 dx  9 dx   C   ln a ln 5 ln 9    1 bxc a 2 x 5 2 x 5 MR bx c  a dx  .  C  x 1 3 3 2 5     b ln a  3 dx . C C  2 ln 3 2 ln 3 x x x x x 1 x x x x 1 1 x 6    1 2   2 1 2  2x 1      2 x e e dx e e dx e e C  1 2 .3 dx  2 .3 . dx  6 dx   C    2 3 3 3ln 6 7) sin xdx   cos x  C     1     sin 4x  dx   cos 4x   C       2  4  2 MR 1  
sin(ax  b)dx   cos(ax  ) b  C   a  a4; b  2 8) cos xdx  sin x  C     1        cos  x dx  sin  x  C  sin  x  C         3  1  3   3    MR 1  cos(ax  ) b dx  sin(ax  ) b  C   a a1; b 3 1 1  1 
  3sin x  2cos xdx  3cos x  2sin x  C  2 sin xdx  
 1cos2xdx  x sin2x C   2 2  2  1 9) dx     2 1 tan x dx  tan x  C 2  cos x 2 1 2cos x  1   dx 
 2 dx  tan x  2x  C   2  2  MR 1 1  dx  tan ax  b  C  cos x  cos x  2 cos ax  b   a 1 1  dx  tan 3x  C  2 MR 1 2  cos 3x 3 1  tan 
axbdx  tanaxbC   a
18 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!   1  2 1   tan 
  2xdx  tan  2xC    2   a  2; b    1 2 2 x sin x 1  1  x 10) dx     2
1 cot x dx  cot x  C  dx  x  dx   cot x  C 2    sin x 2  2  sin x  sin x  2 MR 1 1  dx   cot ax  b  C  1 1 2 sin ax  b   a  dx   cot 8x  C  2 sin 8x 8 1 MR 1 2  1  cot 
ax bdx cotax bC 2  
  1 cot 3xdx   cot3x C a 3 2 2 1 sin x  cos x  1 1   dx  dx   dx  tan x  cot x  C    2 2 2 2  2 2  sin x cos x sin x cos x  cos x sin x  2. Tích phân b b a) Định nghĩa: f
 xdx  F x  F b F a với Fx là một nguyên hàm của f x trên  ;ab. a a b) Tính chất: a b a f  xdx  0 f  xdx   f  xdx a a b b b b b kf  x b dx  k f
 xdx (k là hằng số)  f
  x gx dx  f   xdx  g  xdx a a a a a c b b b f  x b dx  f  x c dx  f  xdx f  xdx  f  tdt  f  udu a a b a a a Nếu f  x  0, x   ; a b thì b f  xdx  0. a
Nếu f  x  g  x, x   ; a b thì b f  x b dx  g  xd .x a a  Đặc biệt:  a
Nếu hàm y  f  x là hàm số lẻ trên  ; a a thì f  xdx  0. a  a a
Nếu hàm y  f  x là hàm số chẵn trên  ; a a thì f  xdx  2 f  xdx . a 0
19 Thầy Hồ Thức Thuận - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.99/
ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN!
2. Ứng dụng tích phân để tính diện tích – thể tích:
 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( )
x , trục  Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( ) x , Ox , x  ,
a x  b thì có diện tích: y  g( ) x , x  ,
a x  b thì có diện tích: b b S  f (x) dx  S  f (x)  g( ) x dx  a a  y  f (x) y  f (x)   Khi xoay hình phẳng  quanh Ox , ta
 Khi xoay hình phẳng  y  g(x) quanh Ox , x  a, x  b x  a, x  b
được khối trụ tròn có thể tích 
được khối trụ tròn có thể tích b 2 V   f ( ) x dx  b a 2 2 V   f ( ) x  g ( ) x dx  . a
 Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng x  ,
a x  b. Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện b tích S( )
x (là hàm liên tục trên [a;b]). Thể tích khối này trên  ; a b là: V  S(x)dx  . a
3. Công thức chuyển động:
Xét hàm quảng đường S(t), hàm vận tốc ( v t) và hàm gia tốc (
a t). Ba hàm này sẽ biến thiên theo t.  S (t)  v(t)dt  v(t)  S (  t)   v(t)  a(t)dt  a(t)  v (  t)  
20 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công!

Tài liệu liên quan: