Tổng hợp kiến thức Đại số THCS

Tổng hợp kiến thức Đại số THCS được biên soạn dưới dạng file PDF cho các bạn học sinh tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

109 55 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Môn: Môn Toán

Thông tin:

31 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Hoa Phượng
TæNG HîP KIÕN THøC
²— ™
M«n : §¹i Sè - THCS
I - C¸c lo¹i ph¬ng tr×nh
1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
- Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a
0≠
)
- Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x =
b
a
−
- Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vµ xÐt c¸c
trêng hîp sau:
NÕu A
0≠
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x =
B
A
−
NÕu A = 0 , B
0≠
ph¬ng tr×nh trë thµnh 0.x = B
=> ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu A = 0, B = 0 => ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm
2. Ph¬ng tr×nh tÝch
- Ph¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0
- C¸ch gi¶i: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0
- Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 <=>
A(x) 0
B(x) 0
=
=
- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=>
A(x) 0
B( x) 0
C( x ) 0
=
=
=
3. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
- Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 bíc:
Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh
Bíc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph¬ng tr×nh råi khö mÉu
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®îc
Bíc 4: (kÕt luËn)
Trong c¸c gi¸ trÞ cña Èn t×m ®îc ë bíc 3, c¸c gi¸ trÞ tháa m·n §KX§
chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x kh«ng thuéc
§KX§ lµ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i)
4. Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
- §Þnh nghÜa:
A nÕu A 0
A
A nÕu A < 0
≥
=
−
- C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh
f ( x ) 0 f ( x ) 0= <=> =
f ( x ) k(k 0) f ( x ) k= > <=> = ±
f ( x ) g(x)
f ( x ) g( x)
f(x) g( x)
=
= <=>
= −
Hay
, ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch
f ( x ) g( x)=
<=>
f ( x ) 0
f ( x ) g(x)
f ( x ) 0
f (x ) g(x)
≥
=
≤
= −
hoÆc <=>
g( x) 0
f ( x ) g(x)
g( x) 0
f (x ) g(x)
≥
=
≥
= −
HoÆc <=>
g( x) 0
f (x) g(x) hoÆc f ( x ) g( x )
≥
= = −
HoÆc <=>
[ ] [ ]
2 2
g( x) 0
f(x) g(x)
≥
=
- Chó ý:
2
2
A A=
;
A A≥ ±
vµ
A B A B A B
− ≤ ± ≤ +
5. Ph¬ng tr×nh v« tØ
2
f (x) A( A 0) f( x) A
= ≥ <=> =
(víi f(x) lµ mét ®a thøc)
[ ]
2
f(x) 0
g( x) 0
f ( x) g(x)
f(x) g( x)
≥
≥
= <=>
=
f(x) 0
f (x) g( x) g( x) 0
f ( x ) g( x)
≥
= <=> ≥
=
*)Lu ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn x¸c ®Þnh
®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn t¬ng
®¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp.
6. Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng
Ph¬ng tr×nh
trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
4 2
ax bx c 0 (a 0)
+ + = ≠
§Æt x
2
= t (
t 0≥
), ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai
Èn t :
2
at bt c 0
+ + =
(*)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m·n
t 0≥
Thay vµo ®Æt x
2
= t vµ t×m x = ?
7. Ph¬ng tr×nh bËc cao
a)
Ph¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Híng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã lµ íc cña
h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng m¸y tÝnh ®Ó t×m
nhanh nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh, khi ®· biÕt mét nghiÖm th× dÔ dµng
ph©n tÝch VT díi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc)
b)
Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0
Híng dÉn: Ph¬ng ph¸p t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh bËc ba trªn
c)
Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:
x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (víi d =
2
c
a
÷
).
Ph ¬ng ph¸p:
Víi x = 0, thay vµo ph¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ nghiÖm hay
kh«ng ?
Víi x
≠
0. Chia c¶ hai vÕ cho x
2
, sau ®ã ta ®Æt t = x +
c
ax
d)
Ph¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)
Ph ¬ng ph¸p: §Æt t = x
2
+ mx +
+
ab cd
2
e)
Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx
2
(víi ab = cd = k)
Ph ¬ng ph¸p:
Chia c¶ hai vÕ cho x
2
. §Æt t = x +
k
x
II- BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
1) §Þnh nghÜa:
Mét bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0) víi a
0
≠
®îc gäi lµ mét bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
2) C¸ch gi¶i: ax + b > 0 <=> ax > - b
NÕu a > 0 th×
b
x
a
> −
NÕu a < 0 th×
b
x
a
< −
3) KiÕn thøc cã liªn quan:
Hai bÊt ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm vµ
dïng kÝ hiÖu <=> ®Ó chØ sù t¬ng ®¬ng ®ã
Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lµ sè hoÆc ®a thøc) tõ vÕ nµy
sang vÕ kia cña bÊt ph¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö ®ã => ta cã thÓ
xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ
Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph¬ng tr×nh víi cïng mét sè
kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d¬ng; ®æi chiÒu BPT nÕu
sè ®ã ©m.
4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b
- Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc
+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=>
3 3
a b
>
vµ a > b <=>
3 3
a b
>
- NÕu
a 0, b 0≥ ≥
th× a > b <=>
a b
>
vµ a > b <=>
2 2
a b
>
- Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A
A, nÕu A 0
A
A, nÕu A < 0.
≥
=
−
Ta cã: A
2
≥ 0, |A| ≥ 0,
2
A A
=
- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã:
a b
ab
2
+
≥
DÊu = x¶y ra <=> a = b“ ”
III C¸c d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biÓu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc–
ba.
1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc h÷u tØ
- Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc
hiÖn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu thøc cã c¸c dÊu
ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän.
- Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña
biÕn ®Ó ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0)
2. D¹ng 2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa
- BiÓu thøc cã d¹ng
A
B
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B
0≠
- BiÓu thøc cã d¹ng
A
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A
0≥
- BiÓu thøc cã d¹ng
A
B
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0
- BiÓu thøc cã d¹ng
B
A
C
+
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
A 0
C 0
≥
>
- BiÓu thøc cã d¹ng
B
A
C
+
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
A 0
C 0
≥
≠
3. D¹ng 3 : Rót gän c¸c biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba
LÝ thuyÕt chung:
a) C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc
1)
2
A A
=
2)
AB A B ( víi A 0 vµ B 0)
= ≥ ≥
3)
A
A
(víi A 0 vµ B > 0)
B
B
= ≥
4)
2
A B A B (víi B 0)
= ≥
5)
2
A B A B (víi A 0 vµ B 0)= ≥ ≥
2
A B A B (víi A < 0 vµ B 0)= − ≥
6)
A 1
AB (víi AB 0 vµ B 0)
B
B
= ≥ ≠
7)
A B
A
(víi B > 0)
B
B
=
8)
(
)
2
2
C A B
C
(víi A 0 vµ A B )
A B A B
= ≥ ≠
± −
m
9)
(
)
C A B
C
(víi A 0 , B 0 vµ A B)
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
*) L u ý :
§Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh sau :
- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã)
- §a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã)
- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)
- Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , theo thø…
tù ®· biÕt ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng
- Céng, trõ c¸c biÓu thøc ®ång d¹ng (c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng)
b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí:
1) (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
+ = + + ≥
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
2) (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
− = − + ≥
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
3) a
2
- b
2
= (a + b).(a - b)
− = + − ≥
a b ( a b).( a b) (a,b 0)
4) (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5) (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6)
+ = + − +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
( ) ( )
+ = + = + = + − + ≥
3 3
3 3
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7)
− = − + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
( ) ( )
− = − = − = − + + ≥
3 3
3 3
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
9)
+ + = + + + + + ≥
2
( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0)
10)
=
2
a a
IV C¸c d¹ng to¸n vÒ hµm sè–
LÝ thuyÕt chung
1) Kh¸i niÖm vÒ hµm sè (kh¸i niÖm chung).
NÕu ®¹i lîng y phô thuéc vµo ®¹i lîng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña
x ta lu«n x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y th× y ®îc gäi lµ hµm sè
cña x vµ x ®îc gäi lµ biÕn sè.
*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x +
3
; ...
*) Chó ý:
Khi ®¹i lîng x thay ®æi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y
®îc gäi lµ hµm h»ng.
*) VÝ dô: C¸c hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ...
2) C¸c c¸ch thêng dïng cho mét hµm sè
a)
Hµm sè cho bëi b¶ng.
b)
Hµm sè cho bëi c«ng thøc.
-
Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn,
m
∈
¡
)
-
Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b
Trong ®ã: x lµ biÕn,
∈ ≠¡a,b , a 0
.
a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc.
Chó ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = ax (
≠
a 0
)
-
Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc y = ax
2
+ bx + c
(trong ®ã x lµ biÕn,
∈ ≠¡a,b,c , a 0
).
Chó ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax
2
+ bx (
≠
a 0
)
NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax
2
(
≠
a 0
)
3) Kh¸i niÖm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x
∈
¡
. Víi x
1
, x
2
bÊt k× thuéc R
a)
NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) còng t¨ng lªn th× hµm
sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm ®ång biÕn.
NÕu
1 2 1 2
x x mµ f(x ) < f(x )
<
th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R
b)
NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) gi¶m ®i th× hµm sè y
= f(x) ®îc gäi lµ hµm nghÞch biÕn.
NÕu
1 2 1 2
x x mµ f(x ) > f(x )
<
th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R
4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
a)
Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (
≠
a 0
).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn
¡
.
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn
¡
.
b)
Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax
2
(
≠
a 0
) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch
biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hµm sè.
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸
trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a)
Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong
®ã x lµ biÕn,
m
∈
¡
) lµ mét ®êng
th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.
§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã
y lµ biÕn,
m
∈
¡
) lµ mét
®êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.
b)
§å thÞ hµm sè y = ax (
≠
a 0
) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ;
a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ
hµm sè y = ax (
≠
a 0
)
c)
§å thÞ hµm sè y = ax + b (
≠
a,b 0
) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp
c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm (
−
b
a
, 0).
*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n
+) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (
≠
a,b 0
)
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b)
Oy
∈
Cho y = 0 => x =
b
a
−
, ta ®îc N(
b
a
−
; 0)
Ox
∈
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (
≠
a,b 0
)
d)
§å thÞ hµm sè y = ax
2
(
≠
a 0
) lµ mét ®êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0).
NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0.
6) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng
*)
Hai ®êng th¼ng y = ax + b (
≠
a 0
) vµ y = a x + b (’ ’
≠
a' 0
)
O
x
y
a < 0
O
x
y
a > 0
+
Trïng nhau nÕu a = a , b = b .’ ’
+
Song song víi nhau nÕu a = a , b’
≠
b .’
+
C¾t nhau nÕu a
≠
a .’
+
Vu«ng gãc nÕu a.a = -1 .’
*)
Hai ®êng th¼ng ax + by = c vµ a x + b y = c (a, b, c, a , b , c ’ ’ ’ ’ ’ ’ ≠ 0)
+
Trïng nhau nÕu
a b c
a' b' c'
= =
+
Song song víi nhau nÕu
a b c
a' b' c'
= ≠
+
C¾t nhau nÕu
a b
a' b'
≠
7) Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b (
≠
a 0
) vµ trôc Ox
Gi¶ sö ®êng th¼ng y = ax + b (
≠
a 0
) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A.
Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b (
≠
a 0
) lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT
(víi T lµ mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = ax + b cã tung ®é d¬ng).
-
-
NÕu a > 0 th× gãc
α
t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh
theo c«ng thøc nh sau:
α=
tg a
(cÇn chøng minh míi ®îc dïng).
NÕu a < 0 th× gãc
α
t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh
theo c«ng thøc nh sau:
α= −β
0
180
víi
β =
tg a
(cÇn chøng minh míi ®îc dïng).
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè
D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè.
D¹ng 3: Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn.
a)
Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (
≠
a 0
).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn
¡
.
A
T
α
x
y
O
(a > 0)
Y
y
=
a
x
+
b
A
T
α
x
y
O
(a < 0)
β
Y
y
=
a
x
+
b
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn
¡
.
b)
Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax
2
(
≠
a 0
) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch
biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸
trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a)
Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong
®ã x lµ biÕn,
m
∈
¡
) lµ mét ®êng
th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.
§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã
y lµ biÕn,
m
∈
¡
) lµ mét
®êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.
b)
§å thÞ hµm sè y = ax (
≠
a 0
) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ;
a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ
hµm sè y = ax (
≠
a 0
)
c)
§å thÞ hµm sè y = ax + b (
≠
a,b 0
) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp
c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm (
−
b
a
, 0).
*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n
+) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (
≠
a,b 0
)
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b)
Oy
∈
Cho y = 0 => x =
b
a
−
, ta ®îc N(
b
a
−
; 0)
Ox
∈
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (
≠
a,b 0
)
d)
§å thÞ hµm sè y = ax
2
(
≠
a 0
) lµ mét ®êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0).
NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0.
D¹ng 5: §iÓm thuéc vµ kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè.
*) §iÓm thuéc ®êng th¼ng.
- §iÓm A(x
A
; y
A
)
∈
(d): y = ax + b (a
≠
0) khi vµ chØ khi y
A
= ax
A
+ b
- §iÓm B(x
B
; y
B
)
∈
(d): y = ax + b (a
≠
0) khi vµ chØ khi y
B
= ax
B
+ b
*) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax
2
(
≠
a 0
)
- §iÓm A(x
0
; y
0
)
∈
(P)
⇔
y
0
= ax
0
2
.
- §iÓm B(x
1
; y
1
)
∉
(P)
⇔
y
1
≠
ax
1
2
.
D¹ng 6: X¸c ®Þnh hµm sè
D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hµm sè
*) Ph ¬ng ph¸p:
§Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng y = ax + b (
≠
a 0
; a,b cã chøa tham sè)
lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh sau:
Bíc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh lµ A(x
0
; y
0
) mµ ®êng th¼ng y = ax + b lu«n ®i qua
víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m
10
O
x
y
a < 0
O
x
y
a > 0
Bíc 2: Thay x = x
0
; y = y
0
vµo hµm sè ®îc y
0
= ax
0
+ b, ta biÕn ®æi vÒ d¹ng
<=>
0 0 0 0
A(x ,y ).m B(x ,y ) 0
+ =
, ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng víi mäi gi¸ trÞ
cña tham sè m hay ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m
Bíc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
(
0 0 0 0
A(x ,y ).m B(x ,y ) 0
+ =
, cã v« sè nghiÖm
=
⇔
=
0 0
0 0
A(x ,y ) 0
B(x ,y ) 0
)
D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ
8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
Giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d
1
): y = a
1
x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
Lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
1 1
2 2
y a x b
y a x b
= +
= +
8.2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®êng th¼ng.
Cho (P) : y = ax
2
(a
≠
0) vµ (d) : y = mx + n.
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax
2
= mx + n.
Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x.
Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®îc vµo hµm sè y = ax
2
hoÆc y = mx + n ta t×m ®-
îc y.
+ Gi¸ trÞ cña x t×m ®îc lµ hoµnh ®é giao ®iÓm.
+ Gi¸ trÞ cña y t×m ®îc lµ tung ®é giao ®iÓm.
8.3: T×m sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng vµ Parabol.
Cho (P) : y = ax
2
(a
≠
0) vµ (d) : y = mx + n.
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax
2
= mx + n. (*)
+ Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (
∆
< 0)
⇔
(d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm
chung.
+ Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (
∆
= 0)
⇔
(d) tiÕp xóc víi (P).
+ Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (
∆
> 0 hoÆc ac < 0)
⇔
(d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
8.4: T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng
th¼ng.
Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x
2
(a’
≠
0)(a’, a, b cã chøa tham sè)
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm a’x
2
= ax + b. (*)
+ (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung
⇔
Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (
∆
< 0)
+ (d) tiÕp xóc víi (P)
⇔
Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (
∆
= 0).
NghiÖm kÐp lµ hoµnh ®é ®iÓm tiÕp xóc
+ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
⇔
Ph¬ng tr×nh (*) cã hai
nghiÖm ph©n biÖt (
∆
> 0 hoÆc ac < 0). Hai nghiÖm ®ã lµ hoµnh ®é
cña hai giao ®iÓm
8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng
th¼ng.
Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x
2
(a’
≠
0)
(a’, a, b cã chøa tham sè)
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i A(x
A
; y
A
).
C¸ch lµm: Thay täa ®é cña A vµo hµm sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham
sè.
11
Dang 9: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
9.1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(x
A
; y
A
) vµ B(x
B
; y
B
) trong ®ã x
A
≠
x
B
vµ y
A
≠
y
B
.
Ph ¬ng ph¸p:
Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A vµ B cã d¹ng
y = ax + b (a
≠
0).
Do A
∈
(d) thay x = x
A
; y = y
A
vµo y = ax + b ta cã y
A
= ax
A
+ b
(1)
Do B
∈
(d) thay x = x
B
; y = y
B
vµo y = ax + b ta cã y
B
= ax
B
+ b
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
= +
= +
A A
B B
y ax b
y ax b
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nµy t×m ®îc a, b vµ suy ra ph¬ng tr×nh
®êng th¼ng (d) cÇn lËp
9.2: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M(x
0
; y
0
) vµ cã hÖ sè gãc lµ k.
Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng
y = kx + b
Bíc 2: §êng th¼ng nµy ®i qua M(x
0
; y
0
) =>
0 0
y kx b
= +
=>
0 0
b y kx
= −
Bíc 3: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y =
0 0
kx y kx
+ −
9.3: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(m; y
A
) vµ B(m; y
B
) trong ®ã y
A
≠
y
B
.
Ph ¬ng ph¸p:
Do A(m; y
A
)
∈
(d): x = m;
Do B(m; y
B
)
∈
(d) : x = m;
VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): x = m
9.4: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(x
A
; n) vµ B(x
B
; n) trong ®ã x
A
≠
x
B
.
Ph ¬ng ph¸p:
Do A(x
A
; n)
∈
(d): y = n;
Do B(x
B
; n)
∈
(d) : y = n;
VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): y = n
9.5: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x
A
; y
A
) vµ tiÕp xóc víi ®êng
cong
2
y ax (a 0)= ≠
Bíc 1: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’
Bíc 2: §êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®êng cong
2
y ax (a 0)
= ≠
khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm
2
ax a'x b'
= +
cã nghiÖm
kÐp. Ta cho
0
∆ =
, t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1)
Bíc 3: §êng th¼ng ®i qua A(x
A
; y
A
) =>
A A
y a'x b'
= +
(2)
Bíc 4: Tõ (1) vµ (2) ta cã mét hÖ ph¬ng tr×nh hai Èn lµ a’ vµ b’. Gi¶i hÖ t×m
®îc a’ vµ b’ => ph¬ng tr×nh cÇn lËp
9.6: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong
2
y ax (a 0)
= ≠
Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lµ y = ax + b
V× ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k nªn a = k => y = kx + b
Bíc 2: §êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®êng cong
2
y ax (a 0)
= ≠
<=>
ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm
2 2
kx b ax ax kx b 0
+ = <=> − − =
cã nghiÖm kÐp
12
Cho
0( ' 0)
∆ = ∆ =
=> b = ?
Bíc 3: Tr¶ lêi
D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng
10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.
Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm.
Bíc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®êng th¼ng võa lËp.
10.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng hµng.
Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n gi¶n nhÊt.
Bíc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng võa lËp.
Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 11: Ba ®êng th¼ng ®ång qui
11.1: Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång qui.
Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
Bíc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®êng th¼ng cßn l¹i.
11.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®êng th¼ng ®ång qui.
Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt.
Bíc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cßn l¹i. Gi¶i
ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 12: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè
12.1: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè bËc nhÊt
Cho hai ®êng th¼ng : (d
1
): y = a
1
x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
+) (d
1
) c¾t (d
2
)
⇔
a
1
≠
a
2
+) (d
1
) // (d
2
)
⇔
a
1
= a
2
+) (d
1
)
≡
(d
2
)
⇔
a
1
= a
2
vµ b
1
= b
2
+) (d
1
)
⊥
(d
2
)
⇔
a
1
.a
2
= -1 (ph¶i chøng minh míi ®îc dïng)
12.2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung.
Cho (d
1
): y = a
1
x + b
1
vµ (d
2
): y = a
2
x + b
2
§Ó (d
1
) c¾t (d
2
) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th×
≠
=
1 2
1 2
a a (1)
b b (2)
Gi¶i (1)
Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ m·n (1).
12.3: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh.
Cho (d
1
): y = a
1
x + b
1
vµ (d
2
): y = a
2
x + b
2
§Ó (d
1
) c¾t (d
2
) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th×
≠
− −
=
1 2
1 2
1 2
a a (1)
b b
(2)
a a
Lu ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè.
D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch
b»ng c
Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam
gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ:
a 0,b 0
≠ ≠
=> ®iÒu kiÖn cña m
Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ
giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh
A(0 ; b) vµ B(
b
;0
a
−
)
Bíc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã
13
S
OAB
=
b
1 1
OA.OB b . c
2 2 a
−
= × =
=> m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë bíc 1)
D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n
C¸ch 1:
Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam
gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ:
a 0,b 0
≠ ≠
=> ®iÒu kiÖn cña m
Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ
giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh
A(0 ; b) vµ B(
b
;0
a
−
)
Bíc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=>
b
b
a
−
=
(*)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta t×m ®îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn ë bíc1)
C¸ch 2: §å thÞ hµm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n khi vµ chØ
khi ®êng th¼ng y = ax + b song song víi ®êng th¼ng
y = x hoÆc song song víi ®êng th¼ng y = - x
D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai
®êng th¼ng ax + by = c vµ a x + b y = c n»m trong c¸c gãc phÇn t’ ’ ’ cña hÖ
trôc täa ®é.
Bíc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®êng th¼ng, chÝnh lµ nghiÖm
cña hÖ ph¬ng tr×nh:
ax by c
a'x b'y c'
+ =
+ =
Bíc 2:
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø I th× ®iÒu kiÖn lµ:
x 0
y 0
>
>
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø II th× ®iÒu kiÖn lµ:
x 0
y 0
<
>
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø III th× ®iÒu kiÖn lµ:
x 0
y 0
<
<
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ:
x 0
y 0
>
<
Bíc 3: T×m m = ?
D¹ng 16:
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0
Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=>
A 0
B 0
=
=
Bíc 2: Gi¶i hÖ nµy t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè
V - C¸c d¹ng to¸n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh
LÝ thuyÕt chung
14
1.
§Þnh nghÜa:
HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lµ:
+ =
+ =
ax by c
(I)
a'x b'y c'
(trong ®ã a, b, c, a , b , c cã thÓ chøa tham sè)’ ’ ’
2.
§Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm
- NghiÖm (x
0
; y
0
) cña hÖ (I) lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ
- NÕu hai ph¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ ph¬ng tr×nh v«
nghiÖm
- Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (t×m tËp nghiÖm) cña nã.
*) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã
v« sè nghiÖm, v« nghiÖm.
ax by c
a' x b' y c'
+ =
+ =
(a, b, c, a , b , c kh¸c 0)’ ’ ’
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu
a b c
a' b' c '
= =
+ HÖ v« nghiÖm nÕu
a b c
a' b' c'
= ≠
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu
a b
a' b'
≠
+ §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lµ
ab a b = 0’ – ’
3.
C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .
ax by c
a' x b' y c'
+ =
+ =
a)
Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
*) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè
Bíc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu
cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh cña
hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.
Bíc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong
®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ
ph¬ng tr×nh mét Èn)
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc, råi suy ra nghiÖm cña hÖ
®· cho
*) Tæng qu¸t:
+ NÕu cã
ax by c
ax b'y c'
+ =
− + =
⇔
+ = +
− + =
(b b')y c c'
ax b'y c'
+ NÕu cã
ax by c
ax b'y c'
+ =
+ =
⇔
(b b')y c c'
ax b'y c'
− = −
+ =
+ NÕu cã
ax by c
k.ax b'y c'
+ =
+ =
⇔
+ =
+ =
k.ax kby kc
k.ax b'y c '
⇔
(kb b')y k.c c'
ax by c
− = −
+ =
b)
Ph¬ng ph¸p thÕ.
*) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ
Bíc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc mét hÖ
ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn
15
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®·
cho
*) Tæng qu¸t:
ax by c
a' x b'y c'
+ =
+ =
⇔
a c
y x
b b
a' x b'y c'
= − +
+ =
⇔
= − +
+ − + =
÷
a c
y x
b b
a c
a' x b' x c '
b b
c)
Ph¬ng ph¸p ®å thÞ
- VÏ hai ®êng th¼ng biÓu diÔn hai tËp nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ
- Dùa vµo ®å thÞ, xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng
+) NÕu hai ®êng th¼ng c¾t nhau th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, dùa vµo
®å thÞ ®o¸n nhËn nghiÖm duy nhÊt ®ã, sau ®ã thö l¹i vµ kÕt luËn
nghiÖm cña hÖ
+) NÕu hai ®êng th¼ng song song th× hÖ v« nghiÖm
+) NÕu hai ®êng th¼ng trïng nhau th× hÖ cã v« sè nghiÖm
Chó ý: Cã thÓ ®Æt Èn phô tríc khi ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ: (¸p dông
cho c¸c hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, díi dÊu c¨n bËc hai.)
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè
D¹ng 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè
Ph ¬ng ph¸p:
Bíc 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hÖ ph¬ng tr×nh
Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè võa thu ®îc.
D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè
- Dïng ph¬ng ph¸p céng hoÆc thÕ ®Ó t×m x theo tham sè m (hoÆc y theo tham sè
m), lµm xuÊt hiÖn ph¬ng tr×nh cã d¹ng :
Ax = B (1) (hoÆc Ay = B)
NÕu A = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = B.
+) Khi B = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 0
⇒
ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
=> hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
+) Khi B
≠
0 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
=> hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu A
≠
0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt
B
A
=> hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
B
x
A
y y(m)
=
=
D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt, v«
nghiÖm, v« sè nghiÖm.
*) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã v« sè
nghiÖm, v« nghiÖm.
16
ax by c
a' x b'y c'
+ =
+ =
(a, b, c, a , b , c kh¸c 0)’ ’ ’
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu
a b c
a' b' c'
= =
+ HÖ v« nghiÖm nÕu
a b c
a' b' c'
= ≠
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu
a b
a' b'
≠
D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh.
Cho hÖ ph¬ng tr×nh :
+ =
′ ′ ′
+ =
ax by c (1)
a x b y c (2)
T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
0
0
x x
y y
=
=
C¸ch 1:
Thay x = x
0
; y = y
0
lÇn lît vµo (1) vµ gi¶i.
Thay x = x
0
; y = y
0
lÇn lît vµo (2) vµ gi¶i.
C¸ch 2:
Thay x = x
0
; y = y
0
vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ
tham sè
6.2: T×m hai gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh.
Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
ax by c
a x b y c
+ =
′ ′ ′
+ =
cã nghiÖm
0
0
x x
y y
=
=
Bíc 1: Thay x = x
0
; y = y
0
vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh ta ®îc
0 0
0 0
ax by c
a x b y c
+ =
′ ′ ′
+ =
Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè.
D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y.
Cho hÖ ph¬ng tr×nh :
ax by c (1)
a x b y c (2)
+ =
′ ′ ′
+ =
(I)
Cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)
Bíc 1: Tríc hÕt cÇn t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ (I) cã nghiÖm duy
nhÊt
Bíc 2: Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ (I) vµ tho¶ m·n (3)
⇒
(x; y) lµ nghiÖm
cña (1), (2), (3). KÕt hîp 2 ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng
tr×nh => Gi¶i hÖ t×m nghiÖm thay vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè
D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x
0
; y
0
)
lµ nh÷ng sè nguyªn
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
Bíc 2: Ph©n tÝch x
0
; y
0
díi d¹ng
0
b
x a víi a, b Z
A(m )
= + ∈
17
0
d
y c víi c, d Z
B(m)
= + ∈
0
0
b
x Z Z A(m) ¦ (b)
A(m)
m ?
d
y Z Z B(m) ¦ (d)
B(m)
∈ <=> ∈ <=> ∈
=> =
∈ <=> ∈ <=> ∈
*) §Æc biÖt nÕu :
0
b
x a víi a, b Z
A(m )
= + ∈
0
d
y c víi c, d Z
A(m)
= + ∈
=>
0 0
x ,y Z A(m) ¦ C( b,d) m ?
∈ <=> ∈ => =
D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x, y lµ
P(x,y) = ax
2
+ bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.
C¸ch 1:
Bíc 1: Tríc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
duy nhÊt
Bíc 2: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y lµ:
P(x,y) = kA
2
(x) + d (d lµ h»ng sè).
k < 0
⇒
kA
2
(x)
≤
0
⇒
kA
2
(x) + d
≤
d
⇒
P(x,y)
≤
d
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
k > 0
⇒
kA
2
(x)
≥
0
⇒
kA
2
(x) + d
≥
d
⇒
P(x,y)
≥
d
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
C¸ch 2:
P(x,y) = ax
2
+ bx + c
⇔
ax
2
+ bx + c – P(x,y) = 0
Bíc 1: TÝnh
∆
hoÆc
'
∆
.
Bíc 2: §Æt ®iÒu kiÖn
∆
≥
0 (
'
∆
≥
0)
⇒
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y).
P(x,y)
≥
e
⇒
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi
∆
=
'
∆
= 0
⇔
b
x
2a
−
=
=
b'
a
−
.
P(x,y)
≤
e
⇒
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi
∆
=
'
∆
= 0
⇔
b
x
2a
−
=
=
b'
a
−
D¹ng 10: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè
1. Ph ¬ng ph¸p :
Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
ax by c
a' x b'y c'
+ =
+ =
trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham sè
m. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m ?
*) C¸ch 1:
Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cña hÖ ta rót m theo x vµ y lµ
m = A(x,y)
Bíc 2: Thay m = A(x,y) vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta
®îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham
sè m
*) C¸ch 2: Sö dông ®èi víi hÖ ph¬ng tr×nh cã tham sè m díi d¹ng bËc nhÊt
18
Bíc 1: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh
ax by c m A(x,y)
a' x b'y c ' m B(x,y)
+ = =
=>
+ = =
Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). §©y lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng
phô thuéc vµo tham sè m
L u ý : Ta cÇn rót gän c¸c hÖ thøc sao cho ng¾n gän, ®¬n gi¶n nhÊt
D¹ng 11: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng
®¬ng
- Hai hÖ ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp
nghiÖm (tøc lµ mäi nghiÖm cña hÖ nµy ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ngîc l¹i)
D¹ng 12: Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh theo ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô vµ
gi¶i mét sè hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng ë d¹ng hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
(hÖ ®Æc biÖt)
VI Ph– ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
PhÇn I: Ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè
I.
§Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph¬ng tr×nh bËc hai) lµ
ph¬ng tr×nh cã d¹ng
2
0 ( 0)ax bx c a
+ + = ≠
Trong ®ã: x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè
II.
Ph©n lo¹i.
1.
Ph¬ng tr×nh khuyÕt c: ax
2
+ bx = 0 (a
≠
0)
Ph¬ng ph¸p gi¶i:
ax
2
+ bx = 0 (a, b
≠
0)
⇔
x(ax + b) = 0
⇔
x 0
b
x
a
=
−
=
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x
1
= 0; x
2
=
−
b
a
2.
Ph¬ng tr×nh khuyÕt b: ax
2
+ c = 0 (a, c
≠
0)
Ph¬ng ph¸p gi¶i:
ax
2
+ c = 0 (a
≠
0)
⇔
2
c
x
a
−
=
+)
+)
NÕu
c
a
−
< 0
⇒
Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
NÕu
c
a
−
> 0
⇒
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
−
=
1
c
x
a
;
−
= −
2
c
x
a
3.
Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ: ax
2
+ bx + c = 0 (a , b, c
≠
0)
*) C«ng thøc nghiÖm:
∆
= b
2
- 4ac
+)
∆
< 0
⇒
Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
19
+)
∆
> 0
⇒
ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x
1
=
− + ∆
b
2a
; x
2
=
− − ∆
b
2a
+)
∆
= 0
⇒
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x
1
= x
2
=
b
2a
−
* ) C«ng thøc nghiÖm thu gän
NÕu b = 2b (b = ’ ’
2
b
)
→
ta cã :
∆
= b’ ’
2
- ac
+ NÕu
∆
> 0 ’
→
ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ :
1 2
' ' ' '
; x
b b
x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
+ NÕu
∆
= 0 ’
→
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
x
1
= x
2
=
'b
a
−
+ NÕu
∆
< 0 ’
→
ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
PhÇn II C¸c d¹ng ph– ¬ng tr×nh chøa tham sè
D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè
Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh
D¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn ph¬ng tr×nh theo tham sè
Tæng qu¸t:
Víi a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = 0.
+ NÕu b
≠
0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x =
−
c
b
+ NÕu b = 0 vµ c
≠
0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
Víi a
≠
0 ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè:
∆
= b
2
– 4ac ( hay
∆
’ = b’
2
– ac)
+ NÕu
∆
< 0 (
∆
’ < 0) th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ NÕu
∆
= 0 (
∆
’ = 0) th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
x
1
= x
2
= -
b
2a
=
'b
a
−
+ NÕu
∆
> 0 (
∆
’ > 0) th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x
1
=
− + ∆ − + ∆
=
b b' '
2a a
; x
2
=
− − ∆ − − ∆
=
b b' '
2a a
D¹ng 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
- XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:
Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp
vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã
nghiÖm
Trêng hîp 2: a 0, ph≠ ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm <=>
( )
0 ' 0
∆ ≥ ∆ ≥
D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã hai nghiÖm ph©n biÖt
20
<=>
0
0( ' 0)
a
≠
∆ > ∆ >
D¹ng 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=>
0
0( ' 0)
a
≠
∆ = ∆ =
D¹ng 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
- XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:
Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp
vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh v«
nghiÖm
Trêng hîp 2: a 0, ph≠ ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn v« nghiÖm
<=>
( )
0 ' 0
∆ < ∆ <
D¹ng 7: Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt
§Ó chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
C¸ch 1: Chøng minh:
0
0
a
ac
≠
<
C¸ch 2: Chøng minh:
≠
∆ >
a 0
0
Chó ý: Cho tam thøc bËc hai
∆
=
2
am bm c
+ +
§Ó chøng minh
0, m
∆ > ∀
ta cÇn chøng minh
2
m
a 0
b 4ac 0
>
∆ = − <
D¹ng 8: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu, tr¸i
dÊu, cã hai nghiÖm d¬ng, cã hai nghiÖm ©m, cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt, cã
hai nghiÖm ©m ph©n biÖt, cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau, cã hai nghiÖm lµ
hai sè nghÞch ®¶o cña nhau
Cho ph¬ng tr×nh
2
0ax bx c
+ + =
; trong ®ã a, b, c chøa tham sè
Theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt, ta cã :
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
= + = −
= =
a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu <=>
0
0
0
a
P
≠
∆ ≥
>
hoÆc
0
0
0
a
ac
≠
∆ ≥
>
b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu <=>
0
0
a
P
≠
<
hoÆc
0
0
a
ac
≠
<
c) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng <=>
0
0
0
0
a
P
S
≠
∆ ≥
>
>
21
d) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m <=>
0
0
0
0
a
P
S
≠
∆ ≥
>
<
e) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt <=>
0
0
0
0
a
P
S
≠
∆ >
>
>
f) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt <=>
0
0
0
0
a
P
S
≠
∆ >
>
<
g) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau
<=>
1 2
0
0
0
a
b
S x x
a
≠
∆ ≥
= + = − =
h) Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau
<=>
1 2
0
0
1
a
c
P x x
a
≠
∆ ≥
= = =
D¹ng 9: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Bíc 2: TÝnh x
1
+ x
1
=
−
b
a
vµ x
1
.x
1
=
c
a
Bíc 3: BiÓu thÞ ®îc c¸c biÓu thøc theo x
1
+ x
1
vµ x
1
.x
1
; sau ®ã thay gi¸ trÞ
cña x
1
+ x
1
vµ x
1
.x
1
vµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
Chó ý:
+ = + −
2 2 2
a b (a b) 2ab
+ = + − +
3 3 3
a b (a b) 3ab(a b)
− = + −
2 2
(a b) (a b) 4ab
+ = + + ≥
2
( a b) (a b) 2 a.b (a,b 0)
+ = + −
4 4 2 2 2 2 2
a b (a b ) 2a b
+ = +
= + − + ≥
3 3
a b a a b b
( a b)(a ab b) (a,b 0)
22
D¹ng 10: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x
1
, x
2
tháa m·n
mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
a)
1 2
x x
α β γ
+ =
b)
1 2
1 1
n
x x
+ =
c)
2 2
1 2
x x k+ =
d)
3 3
1 2
x x t+ =
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x
1
, x
2
. Gi¶i
hÖ §K:
0
0
a
≠
∆ ≥
=> m = ?
Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
= + = −
= =
Bíc 3: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi (lµ mét ®¼ng thøc hoÆc bÊt ®¼ng thøc)
®Ó cã tæng vµ tÝch hai nghiÖm, sau ®ã thay tæng vµ tÝch hai nghiÖm cã ®îc ë
bíc 2 vµo ®iÒu kiÖn võa biÕn ®æi; tõ ®ã gi¶i
ph¬ng tr×nh hoÆc bÊt ph¬ng tr×nh víi biÕn lµ tham sè ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham
sè. TiÕp theo kiÓm tra xem c¸c gi¸ trÞ tham sè t×m ®îc cã tháa m·n hÖ ®iÒu kiÖn
ë bíc 1 hay kh«ng ?
HoÆc cã bµi to¸n ta kÕt hîp ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi víi mét hÖ thøc Vi - Ðt ®Ó
t×m hai nghiÖm x
1
, x
2
(gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi hai Èn lµ x
1
, x
2
); sau ®ã ta thay
x
1
, x
2
vµo hÖ thøc Vi – Ðt cßn l¹i ®Ó t×m tham sè.
D¹ng 11: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = x
1
. T×m nghiÖm
cßn l¹i
Bíc 1: Thay x = x
1
vµo ph¬ng tr×nh, ta cã:
2
1 1
0 ?ax bx c m+ + = => =
Bíc 2: §Ó t×m nghiÖm cßn l¹i x
2
ta thùc hiÖn theo hai c¸ch:
C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña m vµo ph¬ng tr×nh ban ®Çu. Tõ ®ã cã ph¬ng tr×nh
bËc hai vµ gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x
2
C¸ch 2: TÝnh x
2
nhê ®Þnh lÝ Vi - Ðt:
2 1 2 1
hoÆc x = P : xx S x
= −
D¹ng 12: T×m ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt tríc hai nghiÖm sè
Trêng hîp 1: Cho tõng nghiÖm x
1
, x
2
. Ta cã ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ :
( )
2
1 2 1 2 1 2
( ) 0 ( ) 0x x x x x x x x x x
− − = <=> − + + =
Trêng hîp 2: Kh«ng cã x
1
, x
2
riªng
Bíc 1: T×m S =
1 2
x x
+
vµ P =
1 2
x x
Bíc 2: Ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ
2
0x Sx P
− + =
.
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm <=>
2
4S P
≥
D¹ng 13: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt mèi liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh cÇn lËp víi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cho tríc.
Bíc 1: KiÓm tra §K cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Bíc 2: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho
1 2 1 2
b c
x x , x .x
a a
−
+ = =
23
Bíc 3: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cÇn lËp x
3
vµ x
4
th«ng
qua mèi liªn hÖ víi x
1
, x
2
.
Bíc 4: LËp ph¬ng tr×nh.
D¹ng 14: T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham
sè
C¸ch 1:
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x
1
, x
2
.
Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn
0
0
a
≠
∆ ≥
Bíc 2: TÝnh hÖ thøc Vi - Ðt:
−
= + =
= =
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x .x
a
Bíc 3: Khö tham sè trong hÖ thøc Vi – Ðt, t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a S vµ
P. §ã lµ hÖ thøc ®éc lËp víi tham sè gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
C¸ch 2:
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x
1
, x
2
.
Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn
0
0
a
≠
∆ ≥
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x
1
, x
2
.
Bíc 3: T×m hÖ thøc (khö tham sè).
D¹ng 15: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña tam thøc bËc hai
2
y ax bx c (a 0)
= + + ≠
C¸ch 1:
BiÕn ®æi y = kA
2
(x) + m (m lµ h»ng sè).
k < 0
⇒
kA
2
(x)
≤
0
⇒
kA
2
(x) + m
≤
m
⇒
y
≤
m
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
k > 0
⇒
kA
2
(x)
≥
0
⇒
kA
2
(x) + m
≥
m
⇒
y
≥
m
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
C¸ch 2:
y = ax
2
+ bx + c
⇔
ax
2
+ bx + c – y = 0
+ Bíc 1: TÝnh
∆
hoÆc
'
∆
.
+ Bíc 2: §Æt ®iÒu kiÖn
∆
≥
0 (
'
∆
≥
0)
⇒
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn y.
y
≥
m
⇒
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi
∆
=
'
∆
= 0
⇔
b
x
2a
−
=
=
b'
a
−
.
y
≤
m
⇒
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi
∆
=
'
∆
= 0
⇔
b
x
2a
−
=
=
b'
a
−
D¹ng 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm
Bíc 1: KiÓm tra sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
Bíc 2: TÝnh
1 2 1 2
b c
x x , x .x
a a
−
+ = =
24
Bíc 3: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm lµ A(x
1
; x
2
) vÒ d¹ng cã
chøa x
1
+ x
2
vµ x
1
.x
2
Bíc 4: Thay x
1
+ x
2
vµ x
1
.x
2
vµo biÓu thøc A. Khi ®ã A trë thµnh tam thøc
bËc hai Èn lµ tham sè.
Bíc 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña A. Chän gi¸ trÞ tham sè thÝch
hîp.
D¹ng 17: Chøng minh biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo
tham sè
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
1 2
x ,x
Bíc 2: TÝnh hÖ thøc Vi- Ðt:
−
+ =
=
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
Bíc 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc theo x
1
+ x
2
vµ x
1
.x
2
; thÊy kÕt qu¶ lµ mét
h»ng sè => BiÓu thøc liªn hÖ gi÷u hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè
D¹ng 18: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n
bÊt ®¼ng thøc ®· cho.
D¹ng 19: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch cña chóng
NÕu hai sè u vµ v tho¶ m·n
+ =
=
u v S
u.v P
(S
2
≥
4P). Th× u vµ v lµ nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh x
2
- Sx + P = 0 (*)
- NÕu ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
1 2
x , x
. Do x, y cã vai trß nh nhau
nªn cã hai cÆp sè tháa m·n lµ
1
2
u x
v x
=
=
hoÆc
2
1
u x
v x
=
=
- NÕu phư¬ng tr×nh (*) cã nghiÖp kÐp
1 2
x x a
= =
=> u = v = a
- NÕu phư¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm => Kh«ng t×m ®ưîc cÆp gi¸ trÞ (u, v) nµo tháa
m·n yªu cÇu ®Ò bµi
D¹ng 20: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã
nghiÖm chung
Cho hai ph¬ng tr×nh
2 2
ax bx c 0 (a 0) vµ a 'x b'x c' 0 (a ' 0)
+ + = ≠ + + = ≠
Trong ®ã
a,b,c,a ',b',c'
chøa tham sè m
*) C¸ch 1:
Hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi hÖ phư¬ng tr×nh:
2
2
ax bx c 0 (a 0)
a'x b' x c ' 0 (a ' 0)
+ + = ≠
+ + = ≠
cã nghiÖm
Trõ vÕ víi vÕ cña hai phư¬ng tr×nh trong hÖ ta cã phư¬ng tr×nh d¹ng:
A(m).x = B(m)
+) NÕu A(m) = 0, tõ ®¼ng thøc nµy ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã
thay trùc tiÕp vµo hai phư¬ng tr×nh
→
gi¶i hai phư¬ng tr×nh kh«ng chøa
tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai phư¬ng tr×nh cã nghiÖm
chung hay kh«ng ?
25
+) NÕu
A(m) 0
≠
=> x =
B(m)
A(m)
(chøa tham sè). Thay vµo mét trong
hai
phư¬ng tr×nh ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay tõng gi¸ trÞ cña
m vµo hai phư¬ng tr×nh
→
gi¶i hai phư¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ
xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai phư¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay
kh«ng ?
+) NÕu
A(m) 0
≠
=> x =
B(m)
A(m)
(kh«ng chøa tham sè), kÕt luËn ngay
®©y lµ nghiÖm chung cña hai phư¬ng tr×nh. Thay nghiÖm chung ®ã vµo
mét trong hai
phư¬ng tr×nh ta rót ra gi¸ trÞ cña m
KÕt luËn: øng víi gi¸ trÞ m nµo th× hai phư¬ng tr×nh cã nghiÖm chung,
nghiÖm chung lµ g× ?
*) C¸ch 2: ChØ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n
Tõ hai phư¬ng tr×nh
2
ax bx c 0
+ + =
=> m = A(x)
2
a' x b'x c' 0
+ + =
=> m = B(x)
Ta cã: A(x) = B(x). Gi¶i phư¬ng tr×nh nµy ta ®îc nghiÖm chung cña hai
phư¬ng tr×nh, sau ®ã thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai phư¬ng tr×nh ta t×m
®îc gi¸ trÞ cña tham sè m, nÕu cÇn thiÕt thö l¹i ®Ó kiÓm tra
C¸ch 3: ChØ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n
Tõ mét trong hai ph¬ng tr×nh ta rót m theo x vµ thÕ vµo ph¬ng tr×nh kia, ®îc
ph¬ng tr×nh Èn x; tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc nghiÖm chung, sau ®ã t×m m = ?
D¹ng 21: Chøng minh trong hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã Ýt nhÊt mét
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
Cho hai ph¬ng tr×nh
2 2
ax bx c 0 (a 0) vµ a 'x b'x c' 0 (a ' 0)
+ + = ≠ + + = ≠
Trong ®ã
a,b,c,a ',b',c'
chøa tham sè
Chøng minh Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm
Ph ¬ng ph¸p :
C¸ch 1: Gäi
1 2
,
∆ ∆
lÇn lît lµ biÖt thøc cña hai ph¬ng tr×nh. Ta cÇn chøng minh
+)
1 2
0
∆ + ∆ ≥
=>
1
∆
0≥
hoÆc
2
∆
0≥
hoÆc
1 2
,
∆ ∆
0≥
+)
1 2
. 0
∆ ∆ ≤
=>
1
∆
0≥
hoÆc
2
∆
0≥
VËy Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm
C¸ch 2: Chøng minh b»ng ph¶n chøng
Gi¶ sö c¶ hai ph¬ng tr×nh ®Òu v« nghiÖm. Khi ®ã
1 2
0, 0
∆ < ∆ <
Ta lËp luËn dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ => ph¶i cã Ýt nhÊt mét trong hai biÖt thøc kh«ng ©m.
VËy cã Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm
D¹ng 22: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng
®¬ng
- LÝ thuyÕt chung: Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét
tËp nghiÖm
*) D¹ng 22.1: Hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
T×m nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh theo tham sè vµ cho hai nghiÖm b»ng nhau,
tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
*) D¹ng 22.2: Hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
XÐt hai trêng hîp
26
Trêng hîp1: Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung
Tríc hÕt t×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung sau
®ã thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hai ph¬ng tr×nh vµ t×m tËp nghiÖm cña
chóng. NÕu tËp nghiÖm b»ng nhau th× hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng => gi¸
trÞ cña tham sè
Trêng hîp 2: Hai ph¬ng tr×nh cïng v« nghiÖm <=>
1
2
0
0
∆ <
∆ <
=> Gi¸ trÞ cña tham sè
§Æc biÖt: NÕu nhËn thÊy mét trong hai ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
(
1 2
0 hoÆc 0
∆ ≥ ∆ ≥
)
=> Hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng khi hai nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh nµy còng lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kia, do ®ã ta cã
thÓ ¸p dông vi - Ðt cho c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
Cô thÓ ta cã:
1 2 1 2
b b' c c'
x x ;x x m ?
a a' a a'
− − −
+ = = = = => =
D¹ng 23: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
23.1: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Cho ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) cã mét nghiÖm x = x
1
.
C¸ch gi¶i:
Bíc1: Thay x = x
1
vµo ph¬ng tr×nh ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0.
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè.
23.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Cho ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c = 0
(1)
(a
≠
0) cã hai nghiÖm x = x
1
; x = x
2
.
C¸ch 1:
Bíc 1: Thay x = x
1
; x = x
2
vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
+ + =
+ + =
2
1 1
2
2 2
ax bx c 0
ax bx c 0
Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè.
C¸ch 2:
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Bíc 2: Theo Vi - Ðt
−
+ =
=
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
Bíc 3: Thay x = x
1
; x = x
2
vµo hÖ vµ gi¶i ta ®îc gi¸ trÞ cña tham sè.
D¹ng 24: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó tam thøc bËc hai lu«n lu«n d¬ng hoÆc
lu«n lu«n ©m víi mäi x
Cho tam thøc bËc hai f(x) =
2
ax bx c (a 0)
+ + ≠
f(x) =
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
b c b b 4ac b
a(x x ) a x a x
a a 2a 2a
4a 4a
−
∆
+ + = + − = + −
+) NÕu
0
∆ <
=>
( )
2
2
b
x
2a
4a
∆
+ −
> 0. Khi ®ã f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, ta cã
c¸c trêng hîp sau
f(x) > 0,
x
∀
<=>
a 0
0
>
∆ <
27
f(x) < 0,
x
∀
<=>
a 0
0
<
∆ <
f(x) 0, ≥
x
∀
<=>
a 0
0
>
∆ ≤
f(x) 0, ≤
x∀
<=>
a 0
0
<
∆ ≤
+) NÕu
2
b
0 f(x ) a(x )
2a
∆ = => = +
=> f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, trõ trêng hîp x =
b
2a
−
Khi x =
b
2a
−
th× f(x) = 0
VII Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph– ¬ng tr×nh, lËp hÖ ph¬ng tr×nh.
LÝ thuyÕt chung
1. C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
B íc 1: LËp ph¬ng tr×nh.
- Chän Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho Èn sè;
- BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt;
- LËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng.
B íc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh.
B íc 3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, nghiÖm nµo tho¶
m·n ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.
2. C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh
B íc 1: LËp hÖ ph¬ng tr×nh.
- Chän hai Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho chóng;
- BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt theo c¸c Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt;
- LËp hai ph¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng.
B íc 2: Gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh nãi trªn .
B íc 3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh, nghiÖm nµo
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: To¸n chuyÓn ®éng
- Ba ®¹i lîng: S, v, t
- Quan hÖ: S = vt; t =
S
v
; v =
S
t
(dïng c«ng thøc S = v.t tõ ®ã t×m mèi quan hÖ
gi÷a S , v vµ t)
- Chó ý bµi to¸n can« :
V
xu«i dßng
= V
thùc
+ V
níc
; V
ngîc dßng
= V
thùc
– V
níc
28
*) To¸n ®i gÆp nhau cÇn chó ý ®Õn tæng qu·ng ®êng vµ thêi gian b¾t ®Çu khëi
hµnh.
*) To¸n ®uæi kÞp nhau chó ý ®Õn vËn tèc h¬n kÐm vµ qu·ng ®êng ®i ®îc cho ®Õn
khi ®uæi kÞp nhau
D¹ng 2: To¸n vÒ quan hÖ gi÷a c¸c sè
= +
ab 10a b
= + +
abc 100a 10b c
§iÒu kiÖn: 0 < a
≤
9; 0
≤
b, c
≤
9 (a, b, c
∈
Z )
D¹ng 3: To¸n lµm chung, lµm riªng, n¨ng suÊt
*) Bµi to¸n lµm chung, lµm riªng:
+ Qui íc: C¶ c«ng viÖc lµ 1 ®¬n vÞ.
+ T×m trong 1 ®v thêi gian ®èi tîng tham gia bµi to¸n thùc hiÖn ®îc bao nhiªu
phÇn c«ng viÖc.
+ C«ng thøc: PhÇn c«ng viÖc =
1
Thêi gian
+ Sè lîng c«ng viÖc = Thêi gian . N¨ng suÊt.
*) Bµi to¸n n¨ng suÊt:
+ Gåm ba ®¹i lîng: Tæng s¶n phÈm ; n¨ng suÊt; thêi gian
+ Quan hÖ: Tæng s¶n phÈm = N¨ng suÊt . Thêi gian;
=> Thêi gian =
Tæng s¶n phÈm
N¨ng suÊt
; N¨ng suÊt =
Tæng s¶n phÈm
Thêi gian
.
D¹ng 4: To¸n diÖn tÝch
D¹ng 5: To¸n cã quan hÖ h×nh häc
D¹ng 6: To¸n cã néi dung lÝ, hãa
D¹ng 7: To¸n d©n sè, to¸n phÇn tr¨m
VIII C¸c ph– ¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
Ph¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung
a) Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung ®îc dïng khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã nh©n tö
chung. Cô thÓ: AB + AC + AD = A(B + C + D)
b) C¸c bíc tiÕn hµnh:
B íc 1: Ph¸t hiÖn nh©n tö chung vµ ®Æt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc.
B íc 2 : ViÕt c¸c h¹ng tö trong ngoÆc b»ng c¸ch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho
nh©n tö chung.
Ph¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®îc
dïng khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc.
b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng
1) a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
+ + = + ≥
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
2) a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
− + = − ≥
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
29
3) a
2
– b
2
= (a + b).(a – b)
4)
− = + − ≥
a b ( a b).( a b) (a,b 0)
5) a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= (a + b)
3
+ + + = + ≥
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
6) a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= (a - b)
3
− + − = − ≥
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
7)
+ = + − +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
+ = + = + − + ≥
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
a
n
+ b
n
=(a + b)(a
n-1
- a
n-2
b + ... - ab
n-2
+ b
n-1
) víi n lÎ
8)
− = − + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
− = − = − + + ≥
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + ... + ab
n-2
+ b
n-1
).
9) a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)
2
+ + + + + = + + ≥
2
a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0)
2 2 2 2 2
a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d)
+ + + + + + + + + = + + +
10) Lòy thõa bËc n cña mét nhÞ thøc (nhÞ thøc Niu t¬n) – §èi tîng HSG
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a b) 1
(a b) 1a 1b
(a b) 1a 2ab 1b
(a b) 1a 3a b 3ab 1b
(a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b
(a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b
+ =
+ = +
+ = + +
+ = + + +
+ = + + + +
+ = + + + + +
…………………………………………………………
ViÕt tam gi¸c Pa – xcan ®Ó khai triÓn
n
(a b)
+
nh sau:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
………………………………………..
C¸ch viÕt:
+ Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1
+ Mçi sè trªn mét dßng kÓ tõ dßng thø hai ®Òu b»ng sè liÒn trªn
céngvíi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn.
Ph¬ng ph¸p 3: Nhãm c¸c h¹ng tö
Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc dïng cho nh÷ng ®a thøc cÇn ph©n tÝch thµnh
nh©n tö cha cã nh©n tö chung hoÆc cha ¸p dông ngay ®îc h»ng ®¼ng thøc mµ sau
khi nhãm c¸c h¹ng tö ®ã hoÆc biÕn ®æi s¬ bé råi nhãm l¹i th× xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng
thøc hoÆc cã nh©n tö chung, cô thÓ:
B íc 1: Ph¸t hiÖn nh©n tö chung hoÆc h»ng ®¼ng thøc ë tõng nhãm.
B íc 2: Nhãm ®Ó ¸p dông ph¬ng ph¸p h»ng ®¼ng thøc hoÆc ®Æt nh©n tö
chung.
B íc 3: §Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc.
30
Ph¬ng ph¸p 4: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng
mét h¹ng tö
*) LÝ thuyÕt chung: Ph¬ng ph¸p nµy nh»m biÕn ®æi ®a thøc ®Ó t¹o ra nh÷ng h¹ng
tö thÝch hîp ®Ó nhãm hoÆc sö dông h»ng ®¼ng thøc:
*) C¸c tr êng hîp :
a, Trêng hîp ®a thøc d¹ng ax
2
+ bx + c ( a, b, c
∈
Z; a, b, c
≠
0)
TÝnh :
∆
= b
2
- 4ac:
- NÕu
∆
= b
2
- 4ac < 0: §a thøc kh«ng ph©n tÝch ®îc.
- NÕu
∆
= b
2
- 4ac = 0: §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh ph¬ng cña mét nhÞ thøc bËc
nhÊt
- NÕu
∆
= b
2
- 4ac > 0
+)
∆
= b
2
- 4ac = k
2
( k
∈
Q) ®a thøc ph©n tÝch ®îc trong trêng Q.
+)
∆
= b
2
- 4ac
≠
k
2
®a thøc ph©n tÝch ®îc trong trêng sè thùc R.
b, Trêng hîp ®a thøc tõ bËc 3 trë lªn:
- NhÈm nghiÖm cña ®a thøc:
+) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö b»ng 0
⇒
®a thøc cã nghiÖm b»ng 1.
+) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña
c¸c h¹ng tö bËc lÎ
⇒
®a thøc cã nghiÖm b»ng - 1.
- Lu ý ®Þnh lý: " NÕu ®a thøc cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm nguyªn ®ã ph¶i lµ íc
cña h¹ng tö tù do. NÕu ®a thøc cã nghiÖm h÷u tØ d¹ng
p
q
th× p lµ íc cña h¹ng tö
tù do, q lµ íc d¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt".
- Khi biÕt mét nghiÖm cña ®a thøc ta cã thÓ dïng phÐp chia ®a thøc, hoÆc dïng s¬
®å Hooc ne ®Ó h¹ bËc cña ®a thøc.–
Ph¬ng ph¸p 5: Dïng phÐp chia ®a thøc (nhÈm nghiÖm)
- §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) khi vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x)
(q(x) lµ th¬ng cña phÐp chia)
*) §Æc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = 0
Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô (®æi biÕn)
- Dùa vµo ®Æc ®iÓm cña ®a thøc ®· cho ta ®a vµo 1 hoÆc nhiÒu biÕn míi ®Ó
®a thøc trë thµnh ®¬n gi¶n .Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc sö dông ®Ó ®a mét ®a thøc
bËc cao vÒ ®a thøc bËc 2 mµ ta cã thÓ ph©n tÝch ®îc dùa vµo t×m nghiÖm cña ®a
thøc bËc 2 .
- CÇn ph¸t hiÖn sù gièng nhau cña c¸c biÓu thøc trong ®a thøc ®Ó chän vµ
®Æt Èn phô cho thÝch hîp
Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh (®ång nhÊt hÖ sè)
Trªn c¬ së bËc cña ®a thøc ph¶i ph©n tÝch, ta x¸c ®Þnh c¸c d¹ng kÕt qu¶,
ph¸ ngoÆc råi ®ång nhÊt hÖ sè vµ gi¶i.
Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p vËn dông ®Þnh lÝ vÒ nghiÖm cña tam thøc bËc hai
- ¸p dông ®Þnh lý: NÕu ®a thøc P = ax
2
+ bx + c cã nghiÖm x
1
, x
2
th× :
P = a(x - x
1
)(x - x
2
)
31
| 1/31
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TæNG HîP KIÕN THøC —²™ M«n : §¹i Sè - THCS
I - C¸c lo¹i ph¬ng tr×nh
1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
- Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a ≠ 0)
- Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = b − a
- Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vµ xÐt c¸c trêng hîp sau:
NÕu A ≠ 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = B − A
NÕu A = 0 , B ≠ 0 ph¬ng tr×nh trë thµnh 0.x = B
=> ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu A = 0, B = 0 => ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm 2. Ph¬ng tr×nh tÝch
- Ph¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0
- C¸ch gi¶i: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0 A(x) = 0
- Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 <=> B(x)  = 0 A(x) = 0
- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=> B(x) = 0  C(x) = 0 
3. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
- Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 bíc:
Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh
Bíc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph¬ng tr×nh råi khö mÉu
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®îc
Bíc 4: (kÕt luËn)
Trong c¸c gi¸ trÞ cña Èn t×m ®îc ë bíc 3, c¸c gi¸ trÞ tháa m·n §KX§
chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x kh«ng thuéc
§KX§ lµ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i)
4. Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi  A nÕu A ≥ 0
- §Þnh nghÜa: A = −A nÕu A < 0
- C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh
 f ( x) = 0 <=> f ( x) = 0
 f ( x) = k( k > 0) <=> f ( x) = ±k  f (x) = g(x)
 f ( x) = g( x) <=> f(x)  = −g(x) Hay = <=> [ ]2 = [ ]2 f ( x ) g( x) f ( x)
g( x) , ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch   f(x) ≥ 0   g(x) ≥ 0     f ( x)   = g(x) f ( x)   = g(x)
 f ( x) = g( x) <=> hoÆc <=>  f (x) ≤ 0  g(x) ≥ 0    f (x)  = −g(x)  f (x)  = −g(x)  g(x) ≥ 0 HoÆc <=> f(x)  = g(x) hoÆc f (x) = −g(x)  g(x) ≥ 0 
HoÆc <=> [f(x)  ]2 = [g(x)]2 - Chó ý: 2 2
A = A ; A ≥ ± A vµ A − B ≤ A ± B ≤ A + B
5. Ph¬ng tr×nh v« tØ  2
f (x) = A( A ≥ 0) <=> f (x) = A (víi f(x) lµ mét ®a thøc)  f ( x) ≥ 0  g(x) ≥ 0 
f ( x) = g(x) <=> f(x)=  [g(x)]2  f(x) ≥ 0  
f (x) = g(x) <=>  g(x) ≥ 0 f(x) = g(x) 
*)Lu ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn x¸c ®Þnh
®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn t¬ng
®¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp.
6. Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Ph¬ng tr×nh
trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 4 2 ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
§Æt x2 = t ( t ≥ 0 ), ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t : 2 at + bt + c = 0 (*)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m·n t ≥ 0
Thay vµo ®Æt x2 = t vµ t×m x = ?
7. Ph¬ng tr×nh bËc cao
a) Ph¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Híng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã lµ íc cña
h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng m¸y tÝnh ®Ó t×m
nhanh nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh, khi ®· biÕt mét nghiÖm th× dÔ dµng
ph©n tÝch VT díi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc)
b) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Híng dÉn: Ph¬ng ph¸p t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh bËc ba trªn
c) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: 2
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d =  c   ). a ÷   P h ¬ng ph¸p:
Víi x = 0, thay vµo ph¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ nghiÖm hay kh«ng ?
Víi x ≠ 0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau ®ã ta ®Æt t = x + c ax
d) Ph¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) P h ¬ng ph¸p: §Æt t = x ab cd 2 + mx + + 2
e) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) P h ¬ng ph¸p:
Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Æt t = x + k x
II- BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn 1) §Þnh nghÜa:
Mét bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0) víi a ≠ 0
®îc gäi lµ mét bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
2) C¸ch gi¶i: ax + b > 0 <=> ax > - b b
NÕu a > 0 th× x > − ab
NÕu a < 0 th× x < − a
3) KiÕn thøc cã liªn quan:
Hai bÊt ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm vµ
dïng kÝ hiÖu <=> ®Ó chØ sù t¬ng ®¬ng ®ã
Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lµ sè hoÆc ®a thøc) tõ vÕ nµy
sang vÕ kia cña bÊt ph¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö ®ã => ta cã thÓ
xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ
Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph¬ng tr×nh víi cïng mét sè
kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d¬ng; ®æi chiÒu BPT nÕu sè ®ã ©m.
4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b
- Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc
+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> 3 3 a
> b vµ a > b <=> 3 3 a > b
- NÕu a ≥ 0,b ≥ 0 th× a > b <=> a > b vµ a > b <=> 2 2 a > b
- Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A  A, nÕu A ≥ 0 A = −A, nÕu A < 0.
Ta cã: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, 2 A = A
- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã: a + b ≥ ab DÊu =
“ ” x¶y ra <=> a = b 2
III – C¸c d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biÓu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc ba.
1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc h÷u tØ
- Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc
hiÖn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu thøc cã c¸c dÊu
ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän.
- Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña
biÕn ®Ó ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0)
2. D¹ng 2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa
- BiÓu thøc cã d¹ng A
B x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B ≠ 0
- BiÓu thøc cã d¹ng A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A ≥ 0 A
- BiÓu thøc cã d¹ng
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0 B B A ≥ 0
- BiÓu thøc cã d¹ng A +
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi  C C  > 0 A ≥ 0
- BiÓu thøc cã d¹ng B
A + C x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi C  ≠ 0
3. D¹ng 3 : Rót gän c¸c biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba LÝ thuyÕt chung:
a) C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc 1) 2 A = A 2) AB = A B ( víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0) 3) A A = (víi A ≥ 0 vµ B > 0) B B 4) 2 A B = A B (víi B ≥ 0) 5) 2
A B = A B (víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0) 2
A B = − A B (víi A < 0 vµ B ≥ 0) 6) A 1 = AB (víi AB ≥ 0 vµ B ≠ 0) B B 7) A A B = (víi B > 0) B B C( A B m C ) 8) 2 = (víi A ≥ 0 vµ A ≠ B ) 2 A ± B A − B C( A m B C ) 9) =
(víi A ≥ 0 , B ≥ 0 vµ A ≠ B) A − B A ± B *) L u ý :
§Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh sau :
- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã)
- §a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã)
- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)
- Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , … theo thø
tù ®· biÕt ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng
- Céng, trõ c¸c biÓu thøc ®ång d¹ng (c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng)
b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 + 2 ( a b) = a + 2 a.b + b (a,b ≥ 0) 2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 − 2 ( a b) = a − 2 a.b + b (a,b ≥ 0) 3) a2 - b2 = (a + b).(a - b) a − b = ( a + b).( a − b) (a,b ≥ 0)
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) 3 + 3 = + 2 − + 2 a b (a b)(a ab b ) 3 3 + = 3 + 3 a a b b a
b = ( a) + ( b) = ( a + b)(a − ab + b) (a,b ≥ 0) 7) 3 − 3 = − 2 + + 2 a b (a b)(a ab b ) 3 3 − = 3 − 3 a a b b a
b = ( a) − ( b) = ( a − b)(a + ab +b) (a,b ≥ 0)
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) + + 2 ( a b
c) = a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc (a,b,c ≥ 0) 10) 2 a = a
IV – C¸c d¹ng to¸n vÒ hµm sè LÝ thuyÕt chung
1) Kh¸i niÖm vÒ hµm sè (kh¸i niÖm chung).
NÕu ®¹i lîng y phô thuéc vµo ®¹i lîng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña
x ta lu«n x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y th× y ®îc gäi lµ hµm sè
cña x vµ x ®îc gäi lµ biÕn sè.
*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ... *) Chó ý:
Khi ®¹i lîng x thay ®æi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y ®îc gäi lµ hµm h»ng.
*) VÝ dô: C¸c hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ...
2) C¸c c¸ch thêng dïng cho mét hµm sè
a) Hµm sè cho bëi b¶ng.
b) Hµm sè cho bëi c«ng thøc.
- Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m ∈ ¡ )
- Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b
Trong ®ã: x lµ biÕn, a,b ∈ ¡ , a ≠ 0 .
a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc.
Chó ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = ax (a ≠ 0 )
- Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc y = ax2 + bx + c
(trong ®ã x lµ biÕn, a,b,c ∈ ¡ , a ≠ 0 ).
Chó ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 + bx (a ≠ 0 )
NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 (a ≠ 0 )
3) Kh¸i niÖm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x ∈ ¡ . Víi x1, x2 bÊt k× thuéc R
a) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) còng t¨ng lªn th× hµm
sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm ®ång biÕn. NÕu 1 x < x2 mµ f( 1
x ) < f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R
b) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) gi¶m ®i th× hµm sè y
= f(x) ®îc gäi lµ hµm nghÞch biÕn. NÕu 1 x < x2 mµ f( 1
x ) > f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R
4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a ≠ 0 ).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn ¡ .
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn ¡ .
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 (a ≠ 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch
biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hµm sè.
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸
trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Chó ý: D¹ng ®å thÞ: a) Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong §å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã
®ã x lµ biÕn, m ∈ ¡ ) lµ mét ®êng y lµ biÕn, m ∈ ¡ ) lµ mét
th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.
®êng th¼ng lu«n song song víi trôc Oy.
b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a ≠ 0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ;
a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ
hµm sè y = ax (a ≠ 0 )
c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b ≠ 0) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp
c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( −b , 0). a
*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n
+) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (a,b ≠ 0)
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b) ∈ Oy Cho y = 0 => x = b − − a , ta ®îc N( b a ; 0) ∈ Ox
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (a,b ≠ 0)
d) §å thÞ hµm sè y = ax2 (a ≠ 0 ) lµ mét ®êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0).
NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0. y y O x a > 0 a < 0 x O
6) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng
*) Hai ®êng th¼ng y = ax + b (a ≠ 0 ) vµ y = a x + ’ b ( ’ a' ≠ 0 )
+ Trïng nhau nÕu a = a , b = ’ b .’
+ Song song víi nhau nÕu a = a , b ’ ≠ b’.
+ C¾t nhau nÕu a ≠ a’.
+ Vu«ng gãc nÕu a.a = ’ -1 .
*) Hai ®êng th¼ng ax + by = c vµ a x + ’ b y = ’ c ( ’ a, b, c, a , b ’ , c ’ ’≠ 0)
+ Trïng nhau nÕu a b c = = a ' b' c '
+ Song song víi nhau nÕu a b c = ≠ a ' b' c '
+ C¾t nhau nÕu a b ≠ a ' b'
7) Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b (a ≠ 0 ) vµ trôc Ox
Gi¶ sö ®êng th¼ng y = ax + b ( a ≠ 0 ) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A.
Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b ( a ≠ 0) lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT
(víi T lµ mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = ax + b cã tung ®é d¬ng).
- NÕu a > 0 th× gãc α t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh
theo c«ng thøc nh sau: tgα=a (cÇn chøng minh míi ®îc dïng).
NÕu a < 0 th× gãc α t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh
- theo c«ng thøc nh sau: α= 0
180 −β víi tgβ = a (cÇn chøng minh míi ®îc dïng). y y y = a x + b Y T T (a > 0) (a < 0) α βα A x O A Y x O y = ax + b
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè
D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè.
D¹ng 3: Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn.
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a ≠ 0 ).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn ¡ .
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn ¡ .
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 (a ≠ 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch
biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸
trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Chó ý: D¹ng ®å thÞ: a) Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong §å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã
®ã x lµ biÕn, m ∈ ¡ ) lµ mét ®êng y lµ biÕn, m ∈ ¡ ) lµ mét
th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.
®êng th¼ng lu«n song song víi trôc Oy.
b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a ≠ 0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ;
a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ
hµm sè y = ax (a ≠ 0 )
c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b ≠ 0) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp
c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( −b , 0). a
*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n
+) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (a,b ≠ 0)
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b) ∈ Oy Cho y = 0 => x = b − − a , ta ®îc N( b a ; 0) ∈ Ox
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b (a,b ≠ 0)
d) §å thÞ hµm sè y = ax2 (a ≠ 0 ) lµ mét ®êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0).
NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0. y y O x a > 0 a < 0 x O
D¹ng 5: §iÓm thuéc vµ kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè.
*) §iÓm thuéc ®êng th¼ng.
- §iÓm A(xA; yA) ∈(d): y = ax + b (a ≠ 0) khi vµ chØ khi yA = axA + b
- §iÓm B(xB; yB) ∈(d): y = ax + b (a ≠ 0) khi vµ chØ khi yB= axB + b
*) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 (a ≠ 0 ) - §iÓm A(x 2 0; y0) ∈(P) ⇔ y0 = ax0 . - §iÓm B(x 2 1; y1) ∉(P) ⇔ y1 ≠ ax1 .
D¹ng 6: X¸c ®Þnh hµm sè
D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hµm sè * ) Ph ¬ng p h¸p:
§Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng y = ax + b ( a ≠ 0 ; a,b cã chøa tham sè)
lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh sau:
Bíc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh lµ A(x0; y0) mµ ®êng th¼ng y = ax + b lu«n ®i qua
víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m 10
Bíc 2: Thay x = x0; y = y0 vµo hµm sè ®îc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®æi vÒ d¹ng
<=> A(x0 ,y0 ).m + B(x0 ,y0 ) = 0 , ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng víi mäi gi¸ trÞ
cña tham sè m hay ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m
Bíc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. A(x ,y ) 0 0 0 =
( A(x0 ,y0 ).m + B(x0 ,y0 ) = 0 , cã v« sè nghiÖm ⇔  ) B(x ,y ) 0 0 0 = 
D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ
8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
Giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2  y = a x + b
Lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh 1 1 y = a x +b  2 2
8.2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®êng th¼ng.
Cho (P) : y = ax2 (a ≠ 0) vµ (d) : y = mx + n.
 XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n.
 Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x.
 Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®îc vµo hµm sè y = ax2 hoÆc y = mx + n ta t×m ®- îc y.
+ Gi¸ trÞ cña x t×m ®îc lµ hoµnh ®é giao ®iÓm.
+ Gi¸ trÞ cña y t×m ®îc lµ tung ®é giao ®iÓm.
8.3: T×m sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng vµ Parabol.
Cho (P) : y = ax2 (a ≠ 0) vµ (d) : y = mx + n.
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n. (*)
+ Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( ∆ < 0) ⇔ (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung.
+ Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( ∆ = 0) ⇔ (d) tiÕp xóc víi (P).
+ Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ( ∆ > 0 hoÆc ac < 0)
⇔ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
8.4: T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng th¼ng.
Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ ≠ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè)
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm a’x2 = ax + b. (*)
+ (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung
⇔Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (∆ < 0)
+ (d) tiÕp xóc víi (P) ⇔ Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( ∆ = 0).
NghiÖm kÐp lµ hoµnh ®é ®iÓm tiÕp xóc
+ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ⇔Ph¬ng tr×nh (*) cã hai
nghiÖm ph©n biÖt ( ∆ > 0 hoÆc ac < 0). Hai nghiÖm ®ã lµ hoµnh ®é cña hai giao ®iÓm
8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng
th¼ng.Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’≠0)
(a’, a, b cã chøa tham sè)
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i A(xA; yA).
C¸ch lµm: Thay täa ®é cña A vµo hµm sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham sè. 11
Dang 9: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
9.1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(xA; yA) vµ B(xB; yB) trong ®ã xA ≠ xB vµ yA ≠ yB. P h ¬ng p h¸p:
Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A vµ B cã d¹ng y = ax + b (a ≠ 0).
Do A∈(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)
Do B∈(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2) y ax b A = A +
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:  y ax b B = B + 
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nµy t×m ®îc a, b vµ suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) cÇn lËp
9.2: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M(x0 ; y0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k.
 Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng y = kx + b
 Bíc 2: §êng th¼ng nµy ®i qua M(x y = kx + b 0 ; y0) => 0 0 => b = y0 − kx0
 Bíc 3: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = kx + y0 − kx0
9.3: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(m; yA) vµ B(m; yB) trong ®ã yA ≠ yB. P h ¬ng p h¸p: Do A(m; yA) ∈(d): x = m; Do B(m; yB) ∈(d) : x = m;
VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): x = m
9.4: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(xA; n) vµ B(xB; n) trong ®ã xA ≠ xB. P h ¬ng p h¸p: Do A(xA; n) ∈(d): y = n; Do B(xB; n) ∈(d) : y = n;
VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): y = n
9.5: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(xA ; yA) vµ tiÕp xóc víi ®êng cong 2 y = ax (a ≠ 0)
 Bíc 1: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’
 Bíc 2: §êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®êng cong 2 y = ax (a ≠ 0)
khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm 2 ax = a'x + b' cã nghiÖm
kÐp. Ta cho ∆ = 0 , t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1)
 Bíc 3: §êng th¼ng ®i qua A(x y = a'x + b' A ; yA) => A A (2)
 Bíc 4: Tõ (1) vµ (2) ta cã mét hÖ ph¬ng tr×nh hai Èn lµ a’ vµ b’. Gi¶i hÖ t×m
®îc a’ vµ b’ => ph¬ng tr×nh cÇn lËp
9.6: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong 2 y = ax (a ≠ 0)
 Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lµ y = ax + b
V× ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k nªn a = k => y = kx + b
 Bíc 2: §êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®êng cong 2 y = ax (a ≠ 0) <=>
ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm 2 2
kx + b = ax <=> ax − kx − b = 0 cã nghiÖm kÐp 12
Cho ∆ = 0(∆ ' = 0) => b = ?  Bíc 3: Tr¶ lêi
D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng
10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.
 Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm.
 Bíc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®êng th¼ng võa lËp.
10.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng hµng.
 Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n gi¶n nhÊt.
 Bíc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng võa lËp.
Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 11: Ba ®êng th¼ng ®ång qui
11.1: Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång qui.
 Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
 Bíc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®êng th¼ng cßn l¹i.
11.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®êng th¼ng ®ång qui.
 Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt.
 Bíc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cßn l¹i. Gi¶i
ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 12: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè
12.1: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè bËc nhÊt
Cho hai ®êng th¼ng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) c¾t (d2) ⇔ a1 ≠ a2 +) (d1) // (d2) ⇔ a1 = a2
+) (d1) ≡ (d2) ⇔ a1 = a2 vµ b1 = b2
+) (d1) ⊥ (d2) ⇔ a1.a2 = -1 (ph¶i chøng minh míi ®îc dïng)
12.2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2 a a (1) 1 ≠ §Ó (d 2
1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× b b (2) 1 =  2 Gi¶i (1)
Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ m·n (1).
12.3: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2  a a (1) 1 ≠  2
§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× −b b 1 − = 2  (2)  a a 1 2
Lu ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè.
D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng c
 Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam
gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a ≠ 0,b ≠ 0 => ®iÒu kiÖn cña m
 Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ
giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh  A(0 ; b) vµ B( −b ;0 a )
 Bíc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã 13 S 1 1 OA.OB b . − = × = c OAB = b 2 2 a
=> m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë bíc 1)
D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n C¸ch 1:
 Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam
gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a ≠ 0,b ≠ 0 => ®iÒu kiÖn cña m
 Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ
giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh  A(0 ; b) vµ B( −b ;0 a )
 Bíc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=> −b b = a (*)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta t×m ®îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn ë bíc1)
C¸ch 2: §å thÞ hµm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n khi vµ chØ
khi ®êng th¼ng y = ax + b song song víi ®êng th¼ng
y = x hoÆc song song víi ®êng th¼ng y = - x
D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai
®êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ n»m trong c¸c gãc phÇn t cña hÖ trôc täa ®é.
 Bíc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®êng th¼ng, chÝnh lµ nghiÖm  ax + by = c cña hÖ ph¬ng tr×nh: a'x  + b'y = c'  Bíc 2: x > 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø I th× ®iÒu kiÖn lµ: y  > 0 x < 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø II th× ®iÒu kiÖn lµ: y  > 0 x < 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø III th× ®iÒu kiÖn lµ: y  < 0 x > 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ: y  < 0  Bíc 3: T×m m = ? D¹ng 16:
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 A = 0
 Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=>  B  = 0
 Bíc 2: Gi¶i hÖ nµy t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè
V - C¸c d¹ng to¸n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh LÝ thuyÕt chung 14
1. §Þnh nghÜa:
HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lµ: ax + by = c (I)
(trong ®ã a, b, c, a , b ’ , c ’ cã ’ thÓ chøa tham sè) a'x + b'y = c'
2. §Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm
- NghiÖm (x0 ; y0) cña hÖ (I) lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ
- NÕu hai ph¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (t×m tËp nghiÖm) cña nã. *) §
iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph ¬ng
tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã
v« sè nghiÖm, v« nghiÖm. ax + by = c 
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0) a' x  + b'y = c' a b c
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu = = a' b' c ' a b c + HÖ v« nghiÖm nÕu = ≠ a' b' c ' a b
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu ≠ a' b'
+ §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lµ
ab’ – a’b = 0
3. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn . ax + by = c  a' x  + b'y = c'
a) Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
*) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè
Bíc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu
cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh cña
hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.
Bíc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong
®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ ph¬ng tr×nh mét Èn)
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho *) Tæng qu¸t:  ax + by = c (b + b')y = c + c' + NÕu cã  ⇔  −ax + b'y = c' −ax + b'y = c' ax + by = c (  b − b')y = c − c' + NÕu cã ⇔  ax  + b'y = c' ax  + b'y = c' ax + by = c k.ax + kby = kc (  kb − b')y = k.c − c' + NÕu cã  ⇔  ⇔  k.ax  + b'y = c' k.ax + b'y = c' ax  + by = c b) Ph¬ng ph¸p thÕ.
*) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ
Bíc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc mét hÖ
ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn 15
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho *) Tæng qu¸t:  a c  a c y = − x + ax + by = c y = − x +  b b  ⇔  b b ⇔  a' x  + b'y = c'   a c  a' x  + b'y = c' a' x + b' − x + =  ÷ c '   b b 
c) Ph¬ng ph¸p ®å thÞ
- VÏ hai ®êng th¼ng biÓu diÔn hai tËp nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ
- Dùa vµo ®å thÞ, xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng
+) NÕu hai ®êng th¼ng c¾t nhau th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, dùa vµo
®å thÞ ®o¸n nhËn nghiÖm duy nhÊt ®ã, sau ®ã thö l¹i vµ kÕt luËn nghiÖm cña hÖ
+) NÕu hai ®êng th¼ng song song th× hÖ v« nghiÖm
+) NÕu hai ®êng th¼ng trïng nhau th× hÖ cã v« sè nghiÖm
Chó ý: Cã thÓ ®Æt Èn phô tríc khi ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ: (¸p dông
cho c¸c hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, díi dÊu c¨n bËc hai.)
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè
D¹ng 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè P h ¬ng p h¸p:
 Bíc 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hÖ ph¬ng tr×nh
 Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè võa thu ®îc.
D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè
- Dïng ph¬ng ph¸p céng hoÆc thÕ ®Ó t×m x theo tham sè m (hoÆc y theo tham sè
m), lµm xuÊt hiÖn ph¬ng tr×nh cã d¹ng : Ax = B (1) (hoÆc Ay = B)
 NÕu A = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = B.
+) Khi B = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 0
⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
=> hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
+) Khi B ≠ 0 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
=> hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm B
 NÕu A ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt A  B  x =
=> hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt A  y  = y(m)
D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt, v« nghiÖm, v« sè nghiÖm. *) §
iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph ¬ng
tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm. 16 ax + by = c 
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0) a' x  + b'y = c ' a b c
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu = = a' b' c ' a b c + HÖ v« nghiÖm nÕu = ≠ a' b' c ' a b
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu ≠ a' b'
D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh. ax + by = c (1) Cho hÖ ph¬ng tr×nh :   ′ a x + b′y = c′ (2) x = x
T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 0 y = y  0 C¸ch 1:
Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (1) vµ gi¶i.
Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (2) vµ gi¶i. C¸ch 2:
Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè
6.2: T×m hai gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh. ax + by = c x = x Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  cã nghiÖm 0  a x  ′ + b y ′ = c′ y = y  0
 Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh ta ®îc ax + by = c 0 0 a′x +b y′ = c′  0 0
 Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè.
D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y. ax + by = c (1) Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  (I) a  ′x + b y ′ = c′ (2)
Cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)
 Bíc 1: Tríc hÕt cÇn t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt
 Bíc 2: Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ (I) vµ tho¶ m·n (3) ⇒ (x; y) lµ nghiÖm
cña (1), (2), (3). KÕt hîp 2 ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng
tr×nh => Gi¶i hÖ t×m nghiÖm thay vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i
 Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè
D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x0 ; y0) lµ nh÷ng sè nguyªn
 Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
 Bíc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 díi d¹ng b x0 = a + víi a, b ∈ Z A(m) 17 d y0 = c + víi c, d ∈ Z B(m)  b x0 ∈Z <=> ∈ Z <=> A(m) ¦ ∈ (b)  A(m)  => m = ? d y0 ∈Z <=> ∈ Z <=> B(m) ¦ ∈ (d) B(m)  *) §Æc biÖt nÕu : b x0 = a + víi a, b ∈ Z A(m) d y0 = c + víi c, d ∈Z A(m)
=> x0 ,y0 ∈ Z <=> A(m)∈¦ C(b,d) => m = ?
D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x, y lµ
P(x,y) = ax2 + bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt. C¸ch 1:
 Bíc 1: Tríc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
 Bíc 2: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y lµ:
P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè).
 k < 0 ⇒ kA2(x) ≤ 0 ⇒ kA2(x) + d ≤ d ⇒P(x,y) ≤ d
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
 k > 0 ⇒ kA2(x) ≥ 0 ⇒ kA2(x) + d ≥ d ⇒P(x,y) ≥ d
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0. C¸ch 2:
P(x,y) = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – P(x,y) = 0
 Bíc 1: TÝnh ∆ hoÆc ∆' .
 Bíc 2: §Æt ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0 (∆' ≥0)
⇒ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y).
 P(x,y) ≥ e ⇒Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi ∆ − b − ' = ∆' = 0 ⇔ b x = = . 2a a
 P(x,y) ≤ e ⇒Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi ∆ − b − ' = ∆' = 0 ⇔ b x = = 2a a
D¹ng 10: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè 1. P h ¬ng p h¸p : ax + by = c Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 
trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham sè a ' x  + b'y = c '
m. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m ? *) C¸ch 1:
 Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cña hÖ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y)
 Bíc 2: Thay m = A(x,y) vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta
®îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m
*) C¸ch 2: Sö dông ®èi víi hÖ ph¬ng tr×nh cã tham sè m díi d¹ng bËc nhÊt 18 ax + by = c m  = A(x,y)
 Bíc 1: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh  =>  a ' x  + b'y = c' m  = B(x,y)
 Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). §©y lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m L u ý
: Ta cÇn rót gän c¸c hÖ thøc sao cho ng¾n gän, ®¬n gi¶n nhÊt
D¹ng 11: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng
®¬ng - Hai hÖ ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp
nghiÖm (tøc lµ mäi nghiÖm cña hÖ nµy ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ngîc l¹i)
D¹ng 12: Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh theo ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô vµ
gi¶i mét sè hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng ë d¹ng hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn (hÖ ®Æc biÖt)
VI – Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
PhÇn I: Ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè
I. §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph¬ng tr×nh bËc hai) lµ
ph¬ng tr×nh cã d¹ng 2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Trong ®ã: x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè II. Ph©n lo¹i.
1. Ph¬ng tr×nh khuyÕt c: ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) Ph¬ng ph¸p gi¶i:
ax2 + bx = 0 (a, b ≠ 0) x = 0
⇔ x(ax + b) = 0⇔  b −  x =  a −b
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 0; x2 = a
2. Ph¬ng tr×nh khuyÕt b: ax2 + c = 0 (a, c ≠ 0) Ph¬ng ph¸p gi¶i:
ax2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ −c 2 x = a +) −c NÕu
< 0 ⇒ Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. a −c +) NÕu
> 0 ⇒ Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a −c c x ; − x2 = − 1 = a a
3. Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ: ax2 + bx + c = 0 (a , b, c ≠ 0) *) C«ng thøc nghiÖm: ∆ = b2 - 4ac
+) ∆ < 0 ⇒ Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 19
+) ∆ > 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x b b 1 = − + ∆ ; x 2a 2 = − − ∆ 2a b −
+) ∆ = 0 ⇒ Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = 2a
* ) C«ng thøc nghiÖm thu gän b NÕu b = 2b ( ’ b = ’
)→ ta cã : ∆’ = b 2 ’2 - ac
+ NÕu ∆’ > 0 → ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ : b − '+ ∆ ' b − '− ∆ ' x = ; x = 1 2 a a
+ NÕu ∆’ = 0 → ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b − ' x1 = x2 = a
+ NÕu ∆’ < 0 → ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
PhÇn II – C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh chøa tham sè
D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè
Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh
D¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn ph¬ng tr×nh theo tham sè Tæng qu¸t:
 Víi a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = 0.
+ NÕu b ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −c b
+ NÕu b = 0 vµ c ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
 Víi a ≠ 0 ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè:
∆ = b2 – 4ac ( hay ∆ ’ = b’2 – ac)
+ NÕu ∆ < 0 (∆ ’ < 0) th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ NÕu ∆ = 0 (∆ ’ = 0) th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : b b' x − 1 = x2 = - = 2a a
+ NÕu ∆ > 0 (∆ ’ > 0) th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x b b' ' b b' ' 1 = − + ∆ − + ∆ = ; x 2a a 2 = − − ∆ − − ∆ = 2a a
D¹ng 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
- XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:
 Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp
vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  Trêng hîp 2: a 0
≠ , ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm <=> ∆ ≥ 0( ∆' ≥ 0)
D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã hai nghiÖm ph©n biÖt 20  a ≠ 0
<=> ∆ > 0(∆' > 0)
D¹ng 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐpa ≠ 0
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=> ∆ = 0(∆' = 0)
D¹ng 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
- XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:
 Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp
vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  Trêng hîp 2: a 0
≠ , ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn v« nghiÖm
<=> ∆ < 0( ∆ ' < 0)
D¹ng 7: Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt
§Ó chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt:  a ≠ 0  C¸ch 1: Chøng minh:  ac  < 0 a ≠ 0
 C¸ch 2: Chøng minh: ∆ > 0
Chó ý: Cho tam thøc bËc hai ∆ = 2 am + bm + c  a > 0 
§Ó chøng minh ∆ > 0,∀m ta cÇn chøng minh  2 ∆  m = b − 4ac < 0
D¹ng 8: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu, tr¸i
dÊu, cã hai nghiÖm d¬ng, cã hai nghiÖm ©m, cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt, cã
hai nghiÖm ©m ph©n biÖt, cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau, cã hai nghiÖm lµ
hai sè nghÞch ®¶o cña nhau Cho ph¬ng tr×nh 2
ax + bx + c = 0 ; trong ®ã a, b, c chøa tham sè  b S = x + x 1 2 = −  a
Theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt, ta cã :  cP = x x 1 2 =  aa ≠ 0  a ≠ 0  
a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu <=> ∆ ≥ 0 hoÆc  ∆ ≥ 0 P > 0  ac > 0  a ≠ 0  a ≠ 0
b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu <=>  hoÆc P   < 0 ac  < 0 a ≠ 0 ∆ ≥ 0
c) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng <=> P > 0  S  > 0 21 a ≠ 0 ∆ ≥ 0
d) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m <=>  P > 0  S  < 0 a ≠ 0 ∆ > 0
e) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt <=>  P > 0  S  > 0 a ≠ 0 ∆ > 0
f) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt <=>  P > 0  S  < 0
g) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau   a ≠ 0  <=>  ∆ ≥ 0  b
S = x + x 1 2 = − = 0  a
h) Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau   a ≠ 0  <=>  ∆ ≥ 0  cP = x x 1 2 = = 1  a
D¹ng 9: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm
 Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. −b c  Bíc 2: TÝnh x1 + x1 = vµ x a 1.x1 = a
 Bíc 3: BiÓu thÞ ®îc c¸c biÓu thøc theo x1 + x1 vµ x1.x1 ; sau ®ã thay gi¸ trÞ
cña x1 + x1 vµ x1.x1 vµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Chó ý: 2 + 2 = + 2 a b (a b) − 2ab 3 + 3 = + 3 a b (a b) − 3ab(a + b) − 2 = + 2 (a b) (a b) − 4ab + 2 ( a b) = (a + b) + 2 a.b (a,b ≥ 0) 4 + 4 = 2 + 2 2 − 2 2 a b (a b ) 2a b 3 + 3 a b = a a + b b
= ( a + b)(a − ab + b) (a,b ≥ 0) 22
D¹ng 10: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n
mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1 1 a) α x + β x + = n 1 2 = γ b) x x c) 2 2 x + x = k x + x = t 1 2 d) 3 3 1 2 , 1 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2. Gi¶i a ≠ 0 hÖ §K:  => m = ? ∆ ≥ 0  b S = x + x 1 2 = −  a
Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:  cP = x x 1 2 =  a
Bíc 3: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi (lµ mét ®¼ng thøc hoÆc bÊt ®¼ng thøc)
®Ó cã tæng vµ tÝch hai nghiÖm, sau ®ã thay tæng vµ tÝch hai nghiÖm cã ®îc ë
bíc 2 vµo ®iÒu kiÖn võa biÕn ®æi; tõ ®ã gi¶i
ph¬ng tr×nh hoÆc bÊt ph¬ng tr×nh víi biÕn lµ tham sè ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham
sè. TiÕp theo kiÓm tra xem c¸c gi¸ trÞ tham sè t×m ®îc cã tháa m·n hÖ ®iÒu kiÖn ë bíc 1 hay kh«ng ?
HoÆc cã bµi to¸n ta kÕt hîp ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi víi mét hÖ thøc Vi - Ðt ®Ó
t×m hai nghiÖm x1, x2 (gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi hai Èn lµ x1, x2); sau ®ã ta thay
x1, x2 vµo hÖ thøc Vi – Ðt cßn l¹i ®Ó t×m tham sè.
D¹ng 11: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = x1. T×m nghiÖm cßn l¹i
Bíc 1: Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh, ta cã: 2
ax + bx + c = => m 1 1 0 = ?
Bíc 2: §Ó t×m nghiÖm cßn l¹i x2 ta thùc hiÖn theo hai c¸ch:
C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña m vµo ph¬ng tr×nh ban ®Çu. Tõ ®ã cã ph¬ng tr×nh
bËc hai vµ gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x2 C¸ch 2: TÝnh x
x = S − x hoÆc x = P : x 2 nhê ®Þnh lÝ Vi - Ðt: 2 1 2 1
D¹ng 12: T×m ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt tríc hai nghiÖm sè
 Trêng hîp 1: Cho tõng nghiÖm x1, x2 . Ta cã ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ :
( x − x )( x − x ) 2
= <=> x − x + x x + x x 1 2 0 ( 1 2 ) 1 2 = 0
 Trêng hîp 2: Kh«ng cã x1, x2 riªng
 Bíc 1: T×m S = x + x x x 1 2 vµ P = 1 2
 Bíc 2: Ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ 2
x − Sx + P = 0 .
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm <=> 2 S ≥ 4P
D¹ng 13: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt mèi liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh cÇn lËp víi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cho tríc.
 Bíc 1: KiÓm tra §K cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
 Bíc 2: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho b − c x + x = , x .x = 1 2 1 2 a a 23
 Bíc 3: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cÇn lËp x3 vµ x4 th«ng
qua mèi liªn hÖ víi x1 , x2.
 Bíc 4: LËp ph¬ng tr×nh.
D¹ng 14: T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sèC¸ch 1:
 Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2. a ≠ 0
Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0  − = b S x x 1 + 2 =  a
 Bíc 2: TÝnh hÖ thøc Vi - Ðt:  = c P x .x 1 2 =  a
 Bíc 3: Khö tham sè trong hÖ thøc Vi – Ðt, t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a S vµ
P. §ã lµ hÖ thøc ®éc lËp víi tham sè gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.  C¸ch 2:
 Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2. a ≠ 0
Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0
 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x1, x2.
 Bíc 3: T×m hÖ thøc (khö tham sè).
D¹ng 15: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña tam thøc bËc hai 2 y = ax + bx + c (a ≠ 0) C¸ch 1:
BiÕn ®æi y = kA2(x) + m (m lµ h»ng sè).
 k < 0 ⇒ kA2(x) ≤ 0 ⇒ kA2(x) + m ≤ m ⇒y ≤ m
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
 k > 0 ⇒ kA2(x) ≥ 0 ⇒ kA2(x) + m ≥ m ⇒y ≥ m
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi A(x) = 0. C¸ch 2:
y = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – y = 0
+ Bíc 1: TÝnh ∆ hoÆc ∆' .
+ Bíc 2: §Æt ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0 ( ∆' ≥0)
⇒ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn y.
 y ≥ m ⇒Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi ∆ − b − ' = ∆' = 0 ⇔ b x = = . 2a a
 y ≤ m ⇒Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®îc khi − b − ' ∆ = ∆' = 0 ⇔ b x = = 2a a
D¹ng 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm
 Bíc 1: KiÓm tra sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b − c  Bíc 2: TÝnh x + x = , x .x = 1 2 1 2 a a 24
 Bíc 3: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm lµ A(x1; x2) vÒ d¹ng cã chøa x1+ x2 vµ x1.x2
 Bíc 4: Thay x1 + x2 vµ x1.x2 vµo biÓu thøc A. Khi ®ã A trë thµnh tam thøc bËc hai Èn lµ tham sè.
 Bíc 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña A. Chän gi¸ trÞ tham sè thÝch hîp.
D¹ng 17: Chøng minh biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè
 Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 1 x ,x2  −b x x 1 + 2 = 
 Bíc 2: TÝnh hÖ thøc Vi- Ðt: a   c x .x 1 2 =  a
 Bíc 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt qu¶ lµ mét
h»ng sè => BiÓu thøc liªn hÖ gi÷u hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè 
D¹ng 18: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n
bÊt ®¼ng thøc ®· cho.
D¹ng 19: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch cña chóng u + v = S
NÕu hai sè u vµ v tho¶ m·n 
(S2 ≥ 4P). Th× u vµ v lµ nghiÖm cña u.v = P ph¬ng tr×nh x2 - Sx + P = 0 (*)
- NÕu ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1
x ,x2 . Do x, y cã vai trß nh nhau u  = x u  = x
nªn cã hai cÆp sè tháa m·n lµ 1  hoÆc 2  v  = x  2 v  =  1 x
- NÕu phư¬ng tr×nh (*) cã nghiÖp kÐp 1 x = x2 = a => u = v = a
- NÕu phư¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm => Kh«ng t×m ®ưîc cÆp gi¸ trÞ (u, v) nµo tháa m·n yªu cÇu ®Ò bµi
D¹ng 20: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm chung Cho hai ph¬ng tr×nh 2 2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) vµ a 'x + b'x + c' = 0 (a ' ≠ 0)
Trong ®ã a, b,c,a ', b',c' chøa tham sè m *) C¸ch 1:
 Hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi hÖ phư¬ng tr×nh: 2
 ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)  cã nghiÖm 2 a  'x  + b'x + c' = 0 (a ' ≠ 0)
 Trõ vÕ víi vÕ cña hai phư¬ng tr×nh trong hÖ ta cã phư¬ng tr×nh d¹ng: A(m).x = B(m)
+) NÕu A(m) = 0, tõ ®¼ng thøc nµy ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã
thay trùc tiÕp vµo hai phư¬ng tr×nh → gi¶i hai phư¬ng tr×nh kh«ng chøa
tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai phư¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng ? 25 B(m) +) NÕu A(m) ≠ 0 => x =
(chøa tham sè). Thay vµo mét trong A(m) hai
phư¬ng tr×nh ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay tõng gi¸ trÞ cña
m vµo hai phư¬ng tr×nh → gi¶i hai phư¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ
xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai phư¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng ? B(m) +) NÕu A(m) ≠ 0 => x =
(kh«ng chøa tham sè), kÕt luËn ngay A(m)
®©y lµ nghiÖm chung cña hai phư¬ng tr×nh. Thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai
phư¬ng tr×nh ta rót ra gi¸ trÞ cña m
 KÕt luËn: øng víi gi¸ trÞ m nµo th× hai phư¬ng tr×nh cã nghiÖm chung, nghiÖm chung lµ g× ?
*) C¸ch 2: ChØ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n Tõ hai phư¬ng tr×nh 2 ax + bx + c = 0 => m = A(x) 2
a ' x + b'x + c' = 0 => m = B(x)
Ta cã: A(x) = B(x). Gi¶i phư¬ng tr×nh nµy ta ®îc nghiÖm chung cña hai
phư¬ng tr×nh, sau ®ã thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai phư¬ng tr×nh ta t×m
®îc gi¸ trÞ cña tham sè m, nÕu cÇn thiÕt thö l¹i ®Ó kiÓm tra
C¸ch 3: ChØ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n
Tõ mét trong hai ph¬ng tr×nh ta rót m theo x vµ thÕ vµo ph¬ng tr×nh kia, ®îc
ph¬ng tr×nh Èn x; tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc nghiÖm chung, sau ®ã t×m m = ?
D¹ng 21: Chøng minh trong hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Cho hai ph¬ng tr×nh 2 2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) vµ a 'x + b'x + c' = 0 (a ' ≠ 0)
Trong ®ã a, b,c,a ', b',c' chøa tham sè
Chøng minh Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm P h ¬ng p h¸p : C¸ch 1: Gäi 1
∆ ,∆2 lÇn lît lµ biÖt thøc cña hai ph¬ng tr×nh. Ta cÇn chøng minh +) 1 ∆ + ∆2 ≥ 0 => 1
∆ ≥ 0 hoÆc ∆2 ≥ 0 hoÆc 1 ∆ ,∆2 ≥ 0 +) 1 ∆ .∆2 ≤ 0 => 1 ∆ ≥ 0 hoÆc ∆2 ≥ 0
VËy Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm
C¸ch 2: Chøng minh b»ng ph¶n chøng
Gi¶ sö c¶ hai ph¬ng tr×nh ®Òu v« nghiÖm. Khi ®ã 1 ∆ < 0,∆2 < 0
Ta lËp luËn dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ => ph¶i cã Ýt nhÊt mét trong hai biÖt thøc kh«ng ©m.
VËy cã Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm
D¹ng 22: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
- LÝ thuyÕt chung: Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiÖm
*) D¹ng 22.1: Hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
T×m nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh theo tham sè vµ cho hai nghiÖm b»ng nhau,
tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
*) D¹ng 22.2: Hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn XÐt hai trêng hîp 26
 Trêng hîp1: Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung
Tríc hÕt t×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung sau
®ã thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hai ph¬ng tr×nh vµ t×m tËp nghiÖm cña
chóng. NÕu tËp nghiÖm b»ng nhau th× hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng => gi¸ trÞ cña tham sè ∆ < 0
 Trêng hîp 2: Hai ph¬ng tr×nh cïng v« nghiÖm <=> 1  ∆  2 < 0 => Gi¸ trÞ cña tham sè
§Æc biÖt: NÕu nhËn thÊy mét trong hai ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ( 1 ∆ ≥ 0 hoÆc ∆2 ≥ 0 )
=> Hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng khi hai nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh nµy còng lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kia, do ®ã ta cã
thÓ ¸p dông vi - Ðt cho c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè. Cô thÓ ta cã: −b −b' c −c' 1 x + x2 = = ; 1 x x2 = = => m = ? a a' a a'
D¹ng 23: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
23.1: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã mét nghiÖm x = x1. C¸ch gi¶i:  Bíc1: Thay x = x 2
1 vµo ph¬ng tr×nh ax1 + bx1 + c = 0.
 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè.
23.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (1) (a ≠ 0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2. C¸ch 1:
 Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:  2 ax bx c 0 1 + 1 + =   2 ax bx c 0 2 + 2 + = 
 Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè. C¸ch 2:
 Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.  −b x x 1 + 2 =   Bíc 2: Theo Vi - Ðt a   c x .x 1 2 =  a
 Bíc 3: Thay x = x1; x = x2 vµo hÖ vµ gi¶i ta ®îc gi¸ trÞ cña tham sè.
D¹ng 24: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó tam thøc bËc hai lu«n lu«n d¬ng hoÆc
lu«n lu«n ©m víi mäi x
Cho tam thøc bËc hai f(x) = 2 ax + bx + c (a ≠ 0) 2 2 2     f(x) = 2 b c ( b ) b −4ac b a( x x ) a x  a  x ∆ + + = + − = + − a a 2a 2 ( 2a ) 2   4a   4a  +) NÕu ∆ < 0 => ( b x ∆ + −
> 0. Khi ®ã f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, ta cã 2a )2 2 4a c¸c trêng hîp sau a > 0  f(x) > 0, x ∀ <=> ∆ < 0 27 a < 0  f(x) < 0, x ∀ <=> ∆ < 0 a > 0  f(x) 0 ≥ , x ∀ <=> ∆ ≤ 0 a < 0  f(x) 0 ≤ , x ∀ <=> ∆ ≤ 0 +) NÕu b 2 ∆ = 0 => f (x) = a(x + ) 2a
=> f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, trõ trêng hîp x = −b 2a Khi x = −b th× f(x) = 0 2a
VII – Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, lËp hÖ ph¬ng tr×nh. LÝ thuyÕt chung
1. C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh B íc 1: LËp ph¬ng tr×nh.
- Chän Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho Èn sè;
- BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt;
- LËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng. B íc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. B íc
3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, nghiÖm nµo tho¶
m·n ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.
2. C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh B íc 1: LËp hÖ ph¬ng tr×nh.
- Chän hai Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho chóng;
- BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt theo c¸c Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt;
- LËp hai ph¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng. B íc 2:
Gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh nãi trªn . B íc
3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh, nghiÖm nµo
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: To¸n chuyÓn ®éng - Ba ®¹i lîng: S, v, t S S
- Quan hÖ: S = vt; t = ; v = (dïng c«ng thøc S = v.t tõ ®ã t×m mèi quan hÖ v t gi÷a S , v vµ t) - Chó ý bµi to¸n can« :
Vxu«i dßng = Vthùc + Vníc ; Vngîc dßng = Vthùc – Vníc 28
*) To¸n ®i gÆp nhau cÇn chó ý ®Õn tæng qu·ng ®êng vµ thêi gian b¾t ®Çu khëi hµnh.
*) To¸n ®uæi kÞp nhau chó ý ®Õn vËn tèc h¬n kÐm vµ qu·ng ®êng ®i ®îc cho ®Õn khi ®uæi kÞp nhau
D¹ng 2: To¸n vÒ quan hÖ gi÷a c¸c sè ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c
§iÒu kiÖn: 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b, c ≤ 9 (a, b, c ∈ Z )
D¹ng 3: To¸n lµm chung, lµm riªng, n¨ng suÊt
*) Bµi to¸n lµm chung, lµm riªng:
+ Qui íc: C¶ c«ng viÖc lµ 1 ®¬n vÞ.
+ T×m trong 1 ®v thêi gian ®èi tîng tham gia bµi to¸n thùc hiÖn ®îc bao nhiªu phÇn c«ng viÖc. 1
+ C«ng thøc: PhÇn c«ng viÖc = Thêi gian
+ Sè lîng c«ng viÖc = Thêi gian . N¨ng suÊt. *) Bµi to¸n n¨ng suÊt:
+ Gåm ba ®¹i lîng: Tæng s¶n phÈm ; n¨ng suÊt; thêi gian
+ Quan hÖ: Tæng s¶n phÈm = N¨ng suÊt . Thêi gian; Tæng s¶n phÈm Tæng s¶n phÈm => Thêi gian = ; N¨ng suÊt = . N¨ng suÊt Thêi gian
D¹ng 4: To¸n diÖn tÝch
D¹ng 5: To¸n cã quan hÖ h×nh häc
D¹ng 6: To¸n cã néi dung lÝ, hãa
D¹ng 7: To¸n d©n sè, to¸n phÇn tr¨m
VIII – C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
Ph¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung
a) Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung ®îc dïng khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã nh©n tö
chung. Cô thÓ: AB + AC + AD = A(B + C + D)
b) C¸c bíc tiÕn hµnh: B íc 1:
Ph¸t hiÖn nh©n tö chung vµ ®Æt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc. B íc
2 : ViÕt c¸c h¹ng tö trong ngoÆc b»ng c¸ch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho nh©n tö chung.
Ph¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®îc
dïng khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc.
b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 + + = + 2 a 2 a.b b ( a b) (a,b ≥ 0) 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 − + = − 2 a 2 a.b b ( a b) (a,b ≥ 0) 29
3) a2 – b2 = (a + b).(a – b)
4) a − b = ( a + b).( a − b) (a,b ≥ 0)
5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 3 + + + 3 = + 3 a 3a b 3b a b ( a b) (a,b ≥ 0)
6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 3 − + − 3 = − 3 a 3a b 3b a b ( a b) (a,b ≥ 0) 7) 3 + 3 = + 2 − + 2 a b (a b)(a ab b ) + = 3 + 3 a a b b a
b = ( a + b)(a − ab + b) (a,b ≥ 0)
an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1) víi n lÎ 8) 3 − 3 = − 2 + + 2 a b (a b)(a ab b ) − = 3 − 3 a a b b a
b = ( a − b)(a + ab + b) (a,b ≥ 0)
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1).
9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 + + + + + = + + 2 a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b ≥ 0) 2 2 2 2 2
a + b + c + d + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)
10) Lòy thõa bËc n cña mét nhÞ thøc (nhÞ thøc Niu t¬n) – §èi tîng HSG 0 (a + b) = 1 1 (a + b) = 1a + 1b 2 2 2 (a + b) = 1a + 2ab + 1b 3 3 2 2 3 (a + b) = 1a + 3a b + 3ab + 1b 4 4 3 2 2 3 4
(a + b) = 1a + 4a b + 6a b + 4ab + 1b 5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a + b) = 1a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + 1b
…………………………………………………………
ViÕt tam gi¸c Pa – xcan ®Ó khai triÓn n (a + b) nh sau: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
……………………………………….. C¸ch viÕt:
+ Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1
+ Mçi sè trªn mét dßng kÓ tõ dßng thø hai ®Òu b»ng sè liÒn trªn
céngvíi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn.
Ph¬ng ph¸p 3: Nhãm c¸c h¹ng tö
Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc dïng cho nh÷ng ®a thøc cÇn ph©n tÝch thµnh
nh©n tö cha cã nh©n tö chung hoÆc cha ¸p dông ngay ®îc h»ng ®¼ng thøc mµ sau
khi nhãm c¸c h¹ng tö ®ã hoÆc biÕn ®æi s¬ bé råi nhãm l¹i th× xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng
thøc hoÆc cã nh©n tö chung, cô thÓ: B íc 1:
Ph¸t hiÖn nh©n tö chung hoÆc h»ng ®¼ng thøc ë tõng nhãm. B íc
2: Nhãm ®Ó ¸p dông ph¬ng ph¸p h»ng ®¼ng thøc hoÆc ®Æt nh©n tö chung. B íc 3:
§Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc. 30
Ph¬ng ph¸p 4: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö
*) LÝ thuyÕt chung: Ph¬ng ph¸p nµy nh»m biÕn ®æi ®a thøc ®Ó t¹o ra nh÷ng h¹ng
tö thÝch hîp ®Ó nhãm hoÆc sö dông h»ng ®¼ng thøc: *) C ¸c tr êng hîp :
a, Trêng hîp ®a thøc d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0)
TÝnh : ∆ = b2 - 4ac:
- NÕu ∆ = b2 - 4ac < 0: §a thøc kh«ng ph©n tÝch ®îc.
- NÕu ∆ = b2 - 4ac = 0: §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh ph¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt
- NÕu ∆ = b2 - 4ac > 0
+) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) ®a thøc ph©n tÝch ®îc trong trêng Q.
+) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 ®a thøc ph©n tÝch ®îc trong trêng sè thùc R.
b, Trêng hîp ®a thøc tõ bËc 3 trë lªn:
- NhÈm nghiÖm cña ®a thøc:
+) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö b»ng 0 ⇒ ®a thøc cã nghiÖm b»ng 1.
+) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña
c¸c h¹ng tö bËc lÎ ⇒ ®a thøc cã nghiÖm b»ng - 1.
- Lu ý ®Þnh lý: " NÕu ®a thøc cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm nguyªn ®ã ph¶i lµ íc p
cña h¹ng tö tù do. NÕu ®a thøc cã nghiÖm h÷u tØ d¹ng
th× p lµ íc cña h¹ng tö q
tù do, q lµ íc d¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt".
- Khi biÕt mét nghiÖm cña ®a thøc ta cã thÓ dïng phÐp chia ®a thøc, hoÆc dïng s¬
®å Hooc – ne ®Ó h¹ bËc cña ®a thøc.
Ph¬ng ph¸p 5: Dïng phÐp chia ®a thøc (nhÈm nghiÖm)
- §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) khi vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x)
(q(x) lµ th¬ng cña phÐp chia)
*) §Æc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = 0
Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô (®æi biÕn)
- Dùa vµo ®Æc ®iÓm cña ®a thøc ®· cho ta ®a vµo 1 hoÆc nhiÒu biÕn míi ®Ó
®a thøc trë thµnh ®¬n gi¶n .Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc sö dông ®Ó ®a mét ®a thøc
bËc cao vÒ ®a thøc bËc 2 mµ ta cã thÓ ph©n tÝch ®îc dùa vµo t×m nghiÖm cña ®a thøc bËc 2 .
- CÇn ph¸t hiÖn sù gièng nhau cña c¸c biÓu thøc trong ®a thøc ®Ó chän vµ
®Æt Èn phô cho thÝch hîp
Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh (®ång nhÊt hÖ sè)
Trªn c¬ së bËc cña ®a thøc ph¶i ph©n tÝch, ta x¸c ®Þnh c¸c d¹ng kÕt qu¶,
ph¸ ngoÆc råi ®ång nhÊt hÖ sè vµ gi¶i.
Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p vËn dông ®Þnh lÝ vÒ nghiÖm cña tam thøc bËc hai
- ¸p dông ®Þnh lý: NÕu ®a thøc P = ax2 + bx + c cã nghiÖm x1, x2 th× : P = a(x - x1)(x - x2) 31