60 trang 10 lượt tải

Tổng hợp lý thuyết toán THPT - Giải tích 12

Tổng hợp lý thuyết toán THPT - Giải tích 12. Tài liệu được tổng hơp và sưu tầm. Mời các bạn tham khảo

Chủ đề: Tài liệu chung 293 tài liệu

Môn: Toán 12 4.7 K tài liệu

Tác giả:

Nguyễn Điệp

2 tháng trước

Tải xuống Báo cáo

Danh sách Quiz

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 88

MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH 12

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số

Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

, với

là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Hàm số

 

y f x

đồng biến (tăng) trên

nếu

   

1 2 1 2 1 2

,,x x K x x f x f x    

Hàm số

 

y f x

nghịch biến (giảm) trên

nếu

   

1 2 1 2 1 2

,,x x K x x f x f x    

Hàm số đồng biến

Hàm số nghịch biến

Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên khoảng

Nếu

 

0,f x x K



  

thì hàm số đồng biến trên khoảng

Nếu

 

0,f x x K



  

thì hàm số nghịch biến trên khoảng

Chú ý:

Nếu

là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số

 

y f x

liên tục trên

đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn

;ab



và có đạo

hàm

   

0, ;f x x a b



  

thì hàm số đồng biến trên đoạn

;ab



Chú ý:

Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên khoảng

 Nếu

 

0,f x x K



  

và

 

0fx





chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên

 Nếu

 

0,f x x K



  

và

 

0fx





chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên

 Nếu

 

0,f x x K



  

thì hàm số không đổi trên

Nhận xét:

Nếu hàm số đồng biến trên

thì

 

0,f x x K



  

Nếu hàm số nghịch biến trên

thì

 

0,f x x K



  

Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định

của hàm số.

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 89

Bước 2. Tính đạo hàm

 

y f x





của hàm số. Tìm các điểm

xD

mà tại đó đạo hàm

 



bằng

0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3. Xét dấu

 



và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Một số quy tắc xét dấu biểu thức

 



 Nếu

 



là đa thức thì khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với

là hệ số cao nhất.

 Qua nghiệm đơn (bội lẻ) đổi dấu, qua nghiệm kép (bội chẵn) không đổi dấu.

CASIO: CALC

XX

với

là một số tùy ý trong khoảng

 

;ab

để xác định dấu của

 



trong khoảng đó (với

 



liên tục và vô nghiệm trên khoảng

 

;ab

Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số

 

y f x

xác định trên tập hợp

và

xD

 Nếu tồn tại một khoảng

 

;ab

chứa điểm

và

 

;a b D

sao cho

   

f x f x

với mọi

   

;\x a b x

thì

được gọi là một điểm cực đại,

 

được gọi là giá trị cực đại của hàm số

 

y f x

, kí hiệu là

CÐ

 Nếu tồn tại một khoảng

 

;ab

chứa điểm

và

 

;a b D

sao cho

   

f x f x

với mọi

   

;\x a b x

thì

được gọi là một điểm cực tiểu,

 

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

 

y f x

, kí hiệu là

Chú ý:

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá

trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.

 Nếu

là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số

 

y f x

thì ta cũng nói

hàm số

 

y f x

đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại

 Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên

 Nếu

là điểm cực trị của hàm số

 

y f x

thì điểm

 

;M x f x

là một điểm cực trị của đồ

thị hàm số

 

y f x

Tìm cực trị của hàm số

Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên khoảng

 

;ab

chứa điểm

và có đạo hàm trên các khoảng

 

;ax

và

 

;xb

. Khi đó:

 Nếu

 

0fx





với mọi

 

;x a x

và

 

0fx





với mọi

 

;x x b

thì hàm số

 

y f x

đạt cực

đại tại điểm

 Nếu

 

0fx





với mọi

 

;x a x

và

 

0fx





với mọi

 

;x x b

thì hàm số

 

y f x

đạt cực

tiểu tại điểm

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 90

Chú ý:

 Nếu

 

0fx





và

 



không đổi dấu khi

qua điểm

thì hàm số không có cực trị tại

 Nếu

 



không đổi dấu trên khoảng

thì

 

không có cực trị trên khoảng đó.

Định lí

Giả sử hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

 

;ab

chứa

. Khi đó:

 Nếu

 



















thì

là điểm cực tiểu của hàm số.

 Nếu

 



















thì

là điểm cực đại của hàm số.

Chú ý: Chiều đảo của định lý này không chắc đúng. Nhưng đối với hàm số bậc ba, chiều đảo của

định lý luôn đúng.

Các bước tìm cực trị của hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định

của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm

 



của hàm số. Tìm các điểm

thuộc

mà tại đó đạo hàm

 



bằng

hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.

Dạng toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định

Điểm cực đại

của đồ thị

Điểm cực tiểu

của đồ thị

Giá trị cực đại

(cực đại) của

hàm số

Giá trị cực

tiểu (cực tiểu)

của hàm số

Điểm cực tiểu

của hàm số

Điểm cực đại

của hàm số

CĐ

(

CĐ;

CĐ)

; y

)

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 91

Đối với các hàm số sơ cấp

 

y f x

, nói chung ta có:

 Hàm số đồng biến (tăng) trên

0,D y x D



   

 Hàm số nghịch biến (giảm) trên

0,D y x D



   

Hàm số bậc ba

 

0y ax bx cx d a    

Hàm số đồng biến (tăng) trên

0,yx



   

b ac























Hàm số nghịch biến (giảm) trên

0,yx



   

b ac























Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

ax b

cx d







(

0, 0c ad bc  

Tập xác định









. Đạo hàm

 

ad bc

cx d









Hàm số đồng biến (tăng) trên từng khoảng của

0, 0D y x D ad bc



      

Hàm số nghịch biến (giảm) trên từng khoảng của

0, 0D y x D ad bc



      

Hàm số phân thức bậc hai trên bậc một

ax bx c

mx n







(

0, 0am

Tập xác định









. Đạo hàm

 

. 2 .am x an x bn mc

mx n

  







Đặt

 

. 2 .g x am x an x bn mc   

Hàm số đồng biến (tăng) trên từng khoảng của

0,y x D



   



.0am

và phương trình

. 2 . 0am x an x bn mc   

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 

am













Hàm số nghịch biến (giảm) trên từng khoảng của

0,y x D



   



.0am

và phương trình

. 2 . 0am x an x bn mc   

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 

am













Chú ý:

 Công thức trên áp dụng cho hàm số có điều kiện là

0, 0am

. Trong trường hợp

và

chưa chắc khác 0 thì ta phải xét

0, 0am

trước.

 Nếu đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu (tức là



không là nghiệm của tử) thì trong

các công thức trên,

 



có thể không có dấu bằng

""

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 92

Dạng toán: Tìm tham số m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập K

Phương pháp tổng quát:

Đối với các hàm số sơ cấp

 

y f x

, nói chung ta có:

 Hàm số đồng biến (tăng) trên

0,K y x K



   

 Hàm số nghịch biến (giảm) trên

0,K y x K



   

Phương pháp hàm số (phương pháp cô lập tham số

): dựa vào việc tìm GTLN, GTNN của

một hàm số

 

trên

để tìm điều kiện cho

: Chỉ áp dụng cho các bài cô lập được tham số

trong điều kiện

0,y x K



  

hoặc

0,y x K



  

Bước 1: Tính đạo hàm

 

y f x





Bước 2: Cô lập (tách)

(hay biểu thức chứa

) ra khỏi biến

và chuyển

về một vế. Đặt vế

còn lại là

 

Bước 3: Lập bảng biến thiên của

 

Bước 4: Kết luận: Theo quy tắc “Lớn hơn hoặc bằng số lớn – Nhỏ hơn hoặc bằng số nhỏ”.

Tìm

để hàm số bậc ba

 

0y ax bx cx d a    

đồng biến hoặc nghịch biến trên tập K

Xét hàm số bậc ba

 

0y ax bx cx d a    

. Ta có

 

32y f x ax bx c



   

Trường hợp 1: Cô lập được tham số

: Sử dụng phương pháp này.

Trường hợp 2: Không cô lập được tham số

TH1:

0

: Khi đó



cùng dấu với a. Tức là:

Nếu

0a 

thì

 

0,f x x



  

. Hàm số đồng biến trên , suy ra hàm số đồng biến trên K.

Nếu

0a 

thì

 

0,f x x



  

. Hàm số nghịch biến trên , suy ra hàm số nghịch biến trên K.

TH2:

0

: Khi đó

 

y f x





có 2 nghiệm

,xx

và đổi dấu khi qua 2 nghiệm.





 



cùng dấu với a

trái dấu với a

cùng dấu với a

Dựa vào đề bài, so sánh

,xx

với số

a

để tìm ra

Kiến thức cần nhớ:

Cho phương trình bậc hai

0ax bx c  

có 2 nghiệm phân biệt

,xx

và số

a

. Khi đó:



   

x a x a

xax



  



  













   

x a x a

xax



  



  













   

11 2 2

.0x a x x xaa 

Tìm

để hàm số phân thức

 

0, 0

ax b

y c ad bc

cx d



   



đồng biến, nghịch biến trên tập K

Hàm số đồng biến trên

ad bc

y x K

  





    









;

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 93

Hàm số nghịch biến trên

ad bc

y x K

  





    









Tìm

để hàm số phân thức

ax bx c

mx n







(

0, 0am

) đồng biến, nghịch biến trên tập K

Ta có đạo hàm

 

. 2 .am x an x bn mc

mx n

  







. Đặt

 

. 2 .g x am x an x bn mc   

Hàm số đồng biến trên

0,y x K



   













. 2 . 0,am x an x bn mc x K



     













;

Hàm số nghịch biến trên

0,y x K



   













. 2 . 0,am x an x bn mc x K



     













Trường hợp 1: Cô lập được tham số

: Sử dụng phương pháp này.

Trường hợp 2: Không cô lập được tham số

TH1: Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định (khi đó nó sẽ đồng biến

(hoặc nghịch biến) trên tập

TH2: Hàm số có 2 điểm cực trị

,xx

. Lập bảng biến thiên, so sánh

,xx

với số

a

để tìm

Dạng toán: Tìm m để hàm số bậc ba đơn điệu trên khoảng (đoạn) có độ dài đúng bằng số k

Tìm tập xác định

. Tính đạo hàm



. Tính



và xét 2 trường hợp

0

và

0

Chú ý:

x x k



 

1 2 1 2

4.x x x x k  

, sử dụng định lý Vi-ét đưa về phương trình theo

Dạng toán: Cực trị của hàm số bậc ba có tham số

Cực trị của hàm số bậc ba

   

:0C y ax bx cx d a    

Đạo hàm:

32y ax bx c



  

. Ta có

 

4 12 3b ac b ac



     

Hàm số bậc ba hoặc có 2 cực trị hoặc không có cực trị.

Hàm số có cực trị

Hàm số không có cực trị





có 2 nghiệm phân biệt





có nghiệp kép hoặc vô nghiệm

a







a







b ac















b ac















Hàm số có 2 cực trị (1 cực đại và 1 cực tiểu)

Hàm số luôn đồng biến (nếu

0a 

) (hoặc

luôn nghịch biến (nếu

0a 

)) trên

a







a







a







a







a







a







Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 94

Chú ý: Nếu hệ số

có chứa tham số

chưa chắc khác 0 thì ta cần xét thêm trường hợp

 0a

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của

   

:0C y ax bx cx d a    

Khi hàm số có 2 điểm cực trị, chia

cho



ta được dư là

ax b

. Khi đó

  : y ax b

là đường

thẳng đi qua 2 điểm cực trị của

 

Hoặc nhớ công thức sau:

3 3 9

b bc

y c x d



    





Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm

Đối với hàm bậc ba

 

0y ax bx cx d a    

, ta có:



 





















là điểm cực tiểu của hàm số. 

 





















là điểm cực đại của hàm số.

Dạng toán (đọc thêm): Cực trị của hàm số trùng phương có tham số

Cực trị hàm số trùng phương

     

:0C f x ax bx c a   

Ta có đạo hàm:

42y ax bx





. Khi đó

4 2 0

y ax bx







   









Hàm số trùng phương có 1 điểm cực trị hoặc có 3 điểm cực trị.

Hàm số có 1 điểm cực trị





có 1 nghiệm

  

vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0

    

Hàm số có 3 điểm cực trị





có 3 nghiệm phân biệt

    

Hàm số có 1 điểm cực trị

0ab

Hàm số có 3 điểm cực trị

0ab

Hàm số có đúng 1

điểm cực trị và điểm

cực trị đó là điểm cực

tiểu











Hàm số có đúng 1

điểm cực trị và điểm

cực trị đó là điểm cực

đại











Hàm số có 2 điểm cực

tiểu và 1 điểm cực đại











Hàm số có 1 điểm cực

tiểu và 2 điểm cực đại











Một số điều kiện liên quan các điểm cực trị của đồ thị

     

:0C f x ax bx c a   

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 95

Giả sử đồ thị hàm số

y ax bx c  

có

điểm cực trị

 

0; , ; , ;

2 4 2 4

A c B C

a a a a

   



    

   

   

tạo thành tam giác

ABC

với

b b b

AB AC BC

    

thỏa mãn dữ kiện:

Dữ kiện

Công thức thỏa

0ab 

1. Tam giác

ABC

vuông cân tại

80ab

2. Tam giác

ABC

đều

24 0ab

3. Tam giác

ABC

có góc

BAC





8 .tan 0





4. Tam giác

ABC

có diện tích

0ABC





 

32 0a S b

5. Tam giác

ABC

có diện tích

maxSS



6. Tam giác

ABC

có bán kính đường tròn nội tiếp

0ABC





4 1 1













7. Tam giác

ABC

có độ dài cạnh

BC m

20am b

8. Tam giác

ABC

có độ dài

AB AC n

2 2 4

16 8 0a n b ab  

9. Tam giác

ABC

với 2 điểm cực trị

,B C Ox

40b ac

10. Tam giác

ABC

có

góc nhọn

 

80b a b

11. Tam giác

ABC

có trọng tâm

60b ac

12. Tam giác

ABC

có trực tâm

8 4 0b a ac  

13. Tam giác

ABC

có bán kính đường tròn ngoại tiếp

ABC









14. Tam giác

ABC

cùng điểm

tạo hình thoi

20b ac

15. Tam giác

ABC

có

là tâm đường tròn nội tiếp

8 4 0b a abc  

16. Tam giác

ABC

có

là tâm đường tròn ngoại tiếp

8 8 0b a abc  

17. Tam giác

ABC

có cạnh

BC kAB kAC

 

3 2 2

. 8 4 0b k a k  

18. Trục hoành chia tam giác

ABC

thành 2 phần có diện tích bằng

nhau

42b ac

19. Ba điểm cực trị

,,A B C

cách đều trục hoành

80b ac

Dạng toán: Cực trị của hàm số phân thức bậc 2 trên bậc 1 có tham số

Cực trị của hàm số phân thức

ax bx c

mx n







(điều kiện

0, 0am

)

Tập xác định:









. Đạo hàm

 

. 2 .am x an x bn mc

mx n

  







Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 96

Đặt

 

. 2 .g x am x an x bn mc   

Hàm số này hoặc không có cực trị hoặc có 2 cực trị (1 cực đại, 1 cực tiểu).

 Hàm số không có cực trị

 

0gx

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 

am















Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ( khi

0am 

) hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng

xác định (khi

0am 

 Hàm số có 2 cực trị

 

0gx

có 2 nghiệm phân biệt khác



 









  



















 

0gx

có 2 nghiệm phân biệt

 

am













Hàm số không có cực trị

Hàm số có cực trị

(2 cực trị: 1 cực đại, 1 cực tiểu)

 

am











 

am











 

am











 

am











 

0gx

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 

0gx

có 2 nghiệm phân biệt

Chú ý: Nếu hệ số

và

chưa chắc khác 0 thì ta cần xét thêm các trường hợp

0a 

và

0m 

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số phân thức bậc 2 trên bậc 1

Cho hàm số

ax bx c

mx n







. Khi hàm số có 2 cực trị thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

cực trị của đồ thị hàm số đó là

ax b





(đạo hàm tử, đạo hàm mẫu).

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 97

Cho hàm số

 

y f x

xác định trên tập

Số

được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số

 

y f x

trên

, nếu

 

f x M

với mọi

xD

và tồn tại

xD

sao cho

 

f x M

. Kí hiệu:

 

max

M f x

Số

được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số

 

y f x

trên

, nếu

 

f x m

với mọi

xD

và tồn tại

xD

sao cho

 

f x m

. Kí hiệu:

 

min

m f x

Định lí

Mọi hàm số liên tục trên đoạn

;ab



đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Hơn nữa:

a) Nếu hàm số

 

đồng biến trên đoạn

;ab



thì

   

;

max

f x f b







và

   

;

min

f x f a







b) Nếu hàm số

 

nghịch biến trên đoạn

;ab



thì

   

;

max

f x f a







và

   

;

min

f x f b







Dạng toán: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Phương pháp chung là lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Chú ý: Nếu tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn

;ab



thì ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tính đạo hàm

 

y f x





Bước 2. Tìm các điểm

; ; ...;

x x x

trên khoảng

 

;ab

mà tại đó

 

0fx





hoặc không tồn tại.

Bước 3. Tính

         

; ; ; ...; ;

f a f x f x f x f b

Bước 4. Tìm số lớn nhất

và số nhỏ nhất

trong các giá trị tìm được ở Bước 3. Khi đó:

   

;

max , min

M f x m f x







Dạng toán: Vận dụng tìm GTLN, GTNN của hàm số giải quyết một số bài toán thực tiễn

Dựa vào giả thiết bài toán, đặt biến

phù hợp, lập hàm số biểu diễn giá trị cần tìm GTLN, GTNN

để giải quyết.

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 98

Đường tiệm cận

Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng

xa

được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

 

y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

 

lim





 

 

lim





 

 

lim





 

 

lim





 

 

lim





 

 

lim





 

 

lim





 

 

lim





 

Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng

ym

được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm

số

 

y f x

nếu

 

lim

f x m





hoặc

 

lim

f x m





 

lim

f x m





 

lim

f x m





Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng

,0y ax b a  

, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm

số

 

y f x

nếu

   

lim 0

f x ax b





  



hoặc

   

lim 0

f x ax b





  



Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 99

   

lim 0

f x ax b





  



   

lim 0

f x ax b





  



Nhận xét:

a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số

,ab

trong phương trình của đường tiệm cận

xiên

y ax b

theo công thức như sau:

 

lim





 

lim

b f x ax









hoặc

 

lim





 

lim

b f x ax









b) Khi

0a 

thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng

yb

Dạng toán: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Tìm tiệm cận ngang

Ta tính đủ hai giới hạn sau:



 

lim

f x m y m



  

là tiệm cận ngang. 

 

lim

f x n y n



  

là tiệm cận ngang.

CASIO: Nhập

 

và CALC với

99999X 

99999X 

, kết quả ra hằng số.

Chú ý:

Cho đồ thị hàm phân thức

 



trong đó

   

,f x g x

là các hàm đa thức.

 Bậc tử < bậc mẫu:

 

có tiệm cận ngang

0y 

 Bậc tử = bậc mẫu:

 

có tiệm cận ngang



với

,ab

lần lượt là hệ số của số hạng có bậc cao

nhất ở tử và ở mẫu.

 Bậc tử > bậc mẫu:

 

không có tiệm cận ngang.

Tìm tiệm cận đứng

Ta tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định (thường là nghiệm của mẫu

xa

). Sau đó tính

hai giới hạn sau:

 

lim





và

 

lim







 

lim





 

xa

là tiệm cận đứng. 

 

lim





 

xa

là tiệm cận đứng.

Chú ý:

 Chỉ cần 1 trong 4 điều kiện trên thỏa mãn là đủ.

 Riêng với hàm phân thức thì

xa

thường là nghiệm của mẫu nhưng không nghiệm của tử.

CASIO: Nhập

 

và CALC với

0,00001Xa

và

0,00001Xa

với

thường là nghiệm

của mẫu, kết quả ra số dương lớn

 



hoặc số âm lớn

 



Tìm tiệm cận xiên

Ta tính cả 2 cặp giới hạn sau:

 

lim





 

lim

b f x ax









và

 

lim





 

lim

b f x ax









Chú ý:

,ab

và

0a 

Khi đó (các) đường thẳng

y ax b

là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 100

CASIO: Nhập

 

và CALC với

99999X 

để tìm

, nhập

 

.f X a X

và CALC với

99999X 

để tìm

. Lặp lại bước trên với

99999X 

Chú ý:

Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc của đa thức tử lớn hơn bậc của đa thức

mẫu 1 bậc. Khi đó để tìm tiệm cận xiên ta chỉ cần chia tử cho mẫu được đa thức thương

ax b

Suy ra đường thẳng

y ax b

là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Sơ đồ khảo sát hàm số

Bước 1. Tìm tập xác định

của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

 Tìm đạo hàm



. Xét dấu



, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

 Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

(nếu có).

 Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

 Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm),…

 Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

 Vẽ đồ thị hàm số.

Chú ý: Chỉ ra tâm đối xứng và trục đối xứng của đồ thị hàm số (nếu có).

Hàm số bậc ba

   

:0    C y ax bx cx d a

0a 

0a 

Phương trình





có 2 nghiệm phân

biệt

0 3 0

b ac



    

0 3 0

b ac



    

Phương trình





có nghiệm kép

0 3 0

b ac



    

0 3 0

b ac



    

Phương trình





vô nghiệm

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 101

0 3 0

b ac



    

0 3 0

b ac



    

Bảng biến thiên

0a 

0a 





có 2 nghiệm phân biệt





có 2 nghiệm phân biệt





có nghiệm kép





có nghiệm kép





vô nghiệm





vô nghiệm

Chú ý:

Ta có

32y ax bx c



  

và

62y ax b





. Khi đó

6 2 0

y ax b x



     

Đồ thị của hàm số bậc ba luôn nhận điểm

 

;I x y

làm tâm đối xứng, trong đó



là

nghiệm của phương trình





và

 

y y x

. Điểm

 

;I x y

được gọi là điểm uốn của đồ thị

này, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị (nếu có).

Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba

   

:0    C y ax bx cx d a

 Nhận biết dấu hệ số

- Nét cuối đồ thị hướng lên:

0a 

- Nét cuối đồ thị hướng xuống:

0a 

 Nhận biết dấu hệ số

- Hai điểm cực trị nằm về 2 phía so với

0ac 

- Hai điểm cực trị nằm về 1 phía so với

0ac 

- Một điểm cực trị thuộc trục

0c 

- Không có cực trị:

0c 

hoặc

0ac 

 Nhận biết dấu hệ số

: Xét giao điểm

của

 

và trục

- Nằm phía trên

0d 

 Nhận biết dấu hệ số

- Điểm uốn bên phải

0ab 

- Điểm uốn bên trái

0ab 

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 102

- Nằm phía dưới

0d 

- Trùng với gốc tọa độ

0d 

- Điểm uốn thuộc trục

0b 

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

 

0, 0



   



ax b

y c ad bc

cx d

0ad bc

0ad bc

 Tiệm cận đứng



và tiệm cận ngang



 Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận

;









làm tâm đối xứng.

 Nhận 2 đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm trục đối

xứng.

 Hàm số không có cực trị.

Nhận dạng đồ thị hàm số

 

0, 0



   



ax b

y c ad bc

cx d

 Nhận biết tính đơn điệu:

- Hai nhánh đi lên:

0ad bc

- Hai nhánh đi xuống:

0ad bc

 Giao điểm với trục hoành









- Nằm bên trái

0ab 

- Nằm bên phải

0ab 

- Thuộc trục

0b 

 Tiệm cận đứng



- Nằm bên trái

0cd 

- Nằm bên phải

0cd 

- Trùng với

0d 

 Giao điểm với trục tung







Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 103

 Tiệm cận ngang



- Nằm phía trên

0ac 

- Nằm phía dưới

0ac 

- Trùng với

0a 

- Nằm phía trên

0bd 

- Nằm phía dưới

0bd 

- Thuộc trục

0b 

Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất







ax bx c

mx n

(

0, 0am

, đa thức tử không chia

hết cho đa thức mẫu, tức là



không là nghiệm của tử)

Dấu của



là dấu của

 

. 2 .g x am x an x bn mc   

0am 

0am 

Phương trình





có 2 nghiệm phân

biệt

 



 



Phương trình





có nghiệm kép hoặc

vô nghiệm

 



 



Bảng biến thiên

0am 

0am 

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 104

Hàm số có 2 cực trị

Hàm số không có cực trị

Chú ý: Đồ thị hàm số

ax bx c

mx n







(

0, 0am

, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu):

a) Có tiệm cận đứng là đường thẳng



, tiệm cận xiên là đường thẳng

a an bm





b) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng là tiệm cận xiên làm tâm đối xứng, tâm đối xứng này cũng

là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị (nếu có).

c) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối

xứng.

(ĐỌC THÊM) Hàm số trùng phương

   

:0   C y ax bx c a

0a 

0a 

Phương trình





có 3 nghiệm

phân biệt

 

0 0, 0ab a b  

 

0 0, 0ab a b  

Phương trình





có 1 nghiệm

 

0 0, 0ab a b  

 

0 0, 0ab a b  

 Đồ thị hàm số trùng phương nhận

làm trục đối xứng.

Nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương

   

:0   C y ax bx c a

 Nhận biết dấu hệ số

- Nét cuối đồ thị hướng lên:

0a 

- Nét cuối đồ thị hướng xuống:

0a 

 Nhận biết dấu hệ số

- Hàm số có 1 điểm cực trị:

0ab 

- Hàm số có 3 điểm cực trị:

0ab 

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 105

 Nhận biết dấu hệ số

: Xét giao điểm của

 

và trục

- Nằm phía trên

0c 

- Nằm phía dưới

0c 

- Trùng với gốc tọa độ

0c 

Phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị

 

. Khi đó ta có một số phép biến đổi đồ thị thường gặp như

   

:C y f x

   

:C y f x

Lấy đối xứng

 

qua trục

   

:C y f x

Lấy đối xứng

 

qua trục

   

:C y f x

- Giữ

 

nằm trên

- Lấy đối xứng

 

nằm dưới

qua trục

và bỏ phần

 

nằm dưới

đó.

 

:C y f x

- Giữ

 

bên phải

và bỏ

phần

 

bên trái

- Lấy đối xứng

 

bên phải

qua trục

     

:0C y f x c c  

Tịnh tiến

 

theo phương

lên trên

đơn vị.

     

:0C y f x c c  

Tịnh tiến

 

theo phương

xuống dưới

đơn vị.

     

:0C y f x c c  

Tịnh tiến

 

theo phương

qua trái

đơn vị.

     

:0C y f x c c  

Tịnh tiến

 

theo phương

qua phải

đơn vị.

Sự tương giao của hai đồ thị

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 106

Xét 2 đồ thị

   

:C y f x

và

   

:C y g x





Phương trình hoành độ giao điểm của

 

và

 



là:

     

*f x g x

Khi đó, số điểm chung giữa 2 đồ thị

 

và

 



đúng bằng số nghiệm của phương trình

 

Tiếp tuyến đi qua một điểm

Ngoài cách đã học ở lớp 11, để lập phương trình tiếp tuyến

của

 

biết

đi qua

 

;

A x y

ta thực hiện:

Bước 1. Phương trình đường thẳng

đi qua

 

;

A x y

và có hệ số góc

có dạng:

   

d y k x x y  

Bước 2.

là tiếp tuyến của

 

khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

   

 

f x k x x y

f x k



  













Bước 3. Giải hệ này tìm

suy ra

thay vào

 



ta được tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý:

 Để vẽ đồ thị

 

y f x

① Vẽ đồ thị

 

y f x

② Vẽ đồ thị

 

y f x

 Để vẽ đồ thị

 

y f x c

① Vẽ đồ thị

 

y f x

② Tịnh tiến đồ thị lên trên hoặc xuống dưới

đơn vị.

 Để vẽ đồ thị

 

y f x c

① Tịnh tiến đồ thị qua phải hoặc qua trái

đơn vị ② Vẽ như cách vẽ đồ thị

 

y f x

 Để vẽ đồ thị

 

y f x c

① Tịnh tiến đồ thị qua phải hoặc qua trái

đơn vị ② Vẽ như cách vẽ đồ thị

 

y f x

 Để vẽ đồ thị

 

y f x c

① Vẽ đồ thị

 

y f x

② Tịnh tiến đồ thị qua phải hoặc qua trái

đơn vị.

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

Nguyên hàm

Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số

 

xác định trên

(

là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

 

được gọi

là nguyên hàm của hàm số

 

trên

nếu

   

F x f x





với mọi

xK

Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

. Khi đó:

• Với mỗi hằng số

, hàm số

 

F x C

là một nguyên hàm của

 

trên

;

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307

Trang 107

• Nếu

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

thì tồn tại hằng số

sao cho

   

G x F x C

với mọi

thuộc

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số

 

trên

đều có dạng

 

F x C

, với

là một hằng

số. Ta gọi

 

F x C

C 

là họ tất cả các nguyên hàm của

 

trên

, kí hiệu

 

f x dx



và viết

   

f x dx F x C



Chú ý: Biểu thức

 

f x dx

gọi là vi phân của nguyên hàm

 

của

 

, kí hiệu là

 

dF x

Vậy

     

dF x F x dx f x dx





Chú ý: Mọi hàm số

 

liên tục trên

đều có nguyên hàm trên

Tính chất

•

   

f x dx f x C







và

 

f x dx f x







•

   

. , k f x dx k f x dx k



là hằng số khác 0

•

       

f x g x dx f x dx g x dx



  



  

Bảng các nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm

Nguyên hàm mở rộng (đọc thêm)

0.dx C



Nếu

   

f x dx F x C



thì

   

f ax b dx F ax b C

   



dx x C



..k dx k x C



dx x C





dx ax b C

ax b

  





x dx x x C



 

ax b dx ax b ax b C

    



x dx C









với

1n 

 

ax b

ax b dx C



  





dx C

  



 

1 1 1

.dx C

a ax b

ax b









lndx x C





lndx ax b C

ax b a

  





M dx C





ax b

M dx C







e dx e C



ax b ax b

e dx e C







sin cosxdx x C  



   

sin cosax b dx ax b C

    



cos sinxdx x C



   

cos sinax b dx ax b C

   



Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

Preview text:

Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH 12
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Tính đơn điệu của hàm số
Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y  f x xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
Hàm số y  f x     
đồng biến (tăng) trên K nếu x , x K, x x f x f x . 1 2 1 2  1  2
Hàm số y  f x     
nghịch biến (giảm) trên K nếu x , x K, x x f x f x . 1 2 1 2  1  2 Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến
Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên khoảng K .
Nếu f x  0, x
 K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
Nếu f x  0, x
 K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . Chú ý:
Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số y  f x liên tục trên
đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f x   liên tục trên đoạn ; a b   và có đạo
hàm f x  0, x
  ;ab thì hàm số đồng biến trên đoạn  ;ab   . Chú ý:
Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên khoảng K .
 Nếu f x  0, x
 K và f x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.
 Nếu f x  0, x
 K và f x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.
 Nếu f x  0, x
 K thì hàm số không đổi trên K . Nhận xét:
Nếu hàm số đồng biến trên K thì f x  0, x  K .
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f x  0, x  K .
Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Trang 88
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
Bước 2. Tính đạo hàm y  f x của hàm số. Tìm các điểm x  D mà tại đó đạo hàm f x bằng
0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
Bước 3. Xét dấu f x và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Một số quy tắc xét dấu biểu thức f   x
 Nếu f x là đa thức thì khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với a là hệ số cao nhất.
 Qua nghiệm đơn (bội lẻ) đổi dấu, qua nghiệm kép (bội chẵn) không đổi dấu.
CASIO: CALC X  X với X là một số tùy ý trong khoảng a; b để xác định dấu của f x 0 0
trong khoảng đó (với f x liên tục và vô nghiệm trên khoảng a; b).
Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y  f x xác định trên tập hợp D và x  D . 0
 Nếu tồn tại một khoảng a;b chứa điểm x và  ;
a b  D sao cho f x  f x với mọi 0  0 x  ; a b 
\ x thì x được gọi là một điểm cực đại, f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số 0  0  0
y  f x , kí hiệu là y . CÐ
 Nếu tồn tại một khoảng a;b chứa điểm x và  ;
a b  D sao cho f x  f x với mọi 0  0 x  ; a b 
\ x thì x được gọi là một điểm cực tiểu, f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số 0  0  0
y  f x , kí hiệu là y . CT Chú ý:
 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá
trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.
 Nếu x là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y  f x thì ta cũng nói 0
hàm số y  f x đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x . 0
 Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D .
 Nếu x là điểm cực trị của hàm số y  f x thì điểm M x ; f x
là một điểm cực trị của đồ 0  0 0
thị hàm số y  f x .
Tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số y  f x liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x và có đạo hàm trên các khoảng 0
a;x và x ;b . Khi đó: 0  0 
 Nếu f x  0 với mọi x ;
a x và f x  0 với mọi xx ;b thì hàm số y  f x đạt cực 0  0 
đại tại điểm x . 0
 Nếu f x  0 với mọi x ;
a x và f x  0 với mọi xx ;b thì hàm số y  f x đạt cực 0  0 
tiểu tại điểm x . 0 Trang 89
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307 Chú ý:
 Nếu f x  0 và f x không đổi dấu khi x qua điểm x thì hàm số không có cực trị tại x . 0  0 0
 Nếu f x không đổi dấu trên khoảng K thì f x không có cực trị trên khoảng đó. Điểm cực đại y của đồ thị Điểm cực tiểu Giá trị cực đại của đồ thị (cực đại) của hàm số (xCĐ; yCĐ) yCĐ y CT (x ; y ) CT CT O x x x Giá trị cực CĐ CT tiểu (cực tiểu) của hàm số Điểm cực đại Điểm cực tiểu của hàm số của hàm số Định lí
Giả sử hàm số y  f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng a; b chứa x . Khi đó: 0
 f x   0 0   Nếu 
thì x là điểm cực tiểu của hàm số. f  0  x   0 0 
 f x   0 0   Nếu 
thì x là điểm cực đại của hàm số. f  0  x   0 0 
Chú ý: Chiều đảo của định lý này không chắc đúng. Nhưng đối với hàm số bậc ba, chiều đảo của định lý luôn đúng.
Các bước tìm cực trị của hàm số:
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm f x của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f x
bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4. Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.
Dạng toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định Trang 90
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
Đối với các hàm số sơ cấp y  f  x , nói chung ta có:
 Hàm số đồng biến (tăng) trên D  y  0, x  D.
 Hàm số nghịch biến (giảm) trên D  y  0, x  D. Hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d a  0 :  a    0   y a 0
Hàm số đồng biến (tăng) trên
 y  0, x       . 2        0  b 3ac 0 y  a    0   y a 0
Hàm số nghịch biến (giảm) trên
 y  0, x       . 2        0  b 3ac 0 y
ax  b
Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất y 
( c  0, ad  bc  0 ):
cx  d  d  ad  bc
Tập xác định D 
\  . Đạo hàm y  .  c  cxd2
Hàm số đồng biến (tăng) trên từng khoảng của D  y  0, x
 D  ad bc  0.
Hàm số nghịch biến (giảm) trên từng khoảng của D  y  0, x
 D  ad bc  0 . 2
ax  bx  c
Hàm số phân thức bậc hai trên bậc một y  a  m  ): mx  ( 0, 0 n  n  2 a . m x  2a .
n x  bn  mc
Tập xác định D 
\  . Đạo hàm y  .  m mxn2 Đặt g x 2  a . m x  2a .
n x  bn  mc .
Hàm số đồng biến (tăng) trên từng khoảng của D
 y  0, x  D  .
a m  0 và phương trình 2 a . m x  2a .
n x  bn  mc  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm  . a m   0   .     0 g x
Hàm số nghịch biến (giảm) trên từng khoảng của D
 y  0, x  D  .
a m  0 và phương trình 2 a . m x  2a .
n x  bn  mc  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm  . a m   0   .     0 g x Chú ý:
 Công thức trên áp dụng cho hàm số có điều kiện là a  0, m  0 . Trong trường hợp a và m
chưa chắc khác 0 thì ta phải xét a  0, m  0 trước.  n
Nếu đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu (tức là 
không là nghiệm của tử) thì trong m các công thức trên, 
có thể không có dấu bằng "  " . gx Trang 91
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
Dạng toán: Tìm tham số m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập K
Phương pháp tổng quát:
Đối với các hàm số sơ cấp y  f x , nói chung ta có:
 Hàm số đồng biến (tăng) trên K  y  0, x  K .
 Hàm số nghịch biến (giảm) trên K  y  0, x  K .
Phương pháp hàm số (phương pháp cô lập tham số m ): dựa vào việc tìm GTLN, GTNN của
một hàm số g x trên K để tìm điều kiện cho m : Chỉ áp dụng cho các bài cô lập được tham số
m trong điều kiện y  0, x
 K hoặc y  0, x  K .
Bước 1: Tính đạo hàm y  f x .
Bước 2: Cô lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế. Đặt vế
còn lại là g x .
Bước 3: Lập bảng biến thiên của g x .
Bước 4: Kết luận: Theo quy tắc “Lớn hơn hoặc bằng số lớn – Nhỏ hơn hoặc bằng số nhỏ”.
Tìm m để hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d a  0 đồng biến hoặc nghịch biến trên tập K Xét hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d a  0 . Ta có y  f x 2
 3ax  2bx  c .
Trường hợp 1: Cô lập được tham số m : Sử dụng phương pháp này.
Trường hợp 2: Không cô lập được tham số m :
TH1:   0 : Khi đó y cùng dấu với a. Tức là:
Nếu a  0 thì f x  0, x
  . Hàm số đồng biến trên , suy ra hàm số đồng biến trên K.
Nếu a  0 thì f x  0, x
  . Hàm số nghịch biến trên , suy ra hàm số nghịch biến trên K.
TH2:   0 : Khi đó y  f x có 2 nghiệm x , x và đổi dấu khi qua 2 nghiệm. 1 2 x  x x  1 2 f x
cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
Dựa vào đề bài, so sánh x , x với số a  để tìm ra m . 1 2
Kiến thức cần nhớ: Cho phương trình bậc hai 2
ax  bx  c  0 có 2 nghiệm phân biệt x , x và số a  . Khi đó: 1 2
x a . x a  0
x a . x a  0 1   2  1   2 
 x  x  a  
 x  x  a   2 1
x  x  2a 1 2
x  x  2a 1 2 1 2
 x  a  x  x  a . x  a  0 1 2  1   2 
ax  b
Tìm m để hàm số phân thức y 
c  0, adbc  0 đồng biến, nghịch biến trên tập K
cx  d
ad  bc  0 
Hàm số đồng biến trên K  y  0, x
  K   d ;    K  c Trang 92
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
ad  bc  0 
Hàm số nghịch biến trên K  y  0, x
  K   d .    K  c 2
ax  bx  c
Tìm m để hàm số phân thức y  a 
m  ) đồng biến, nghịch biến trên tập K mx  ( 0, 0 n 2 a . m x  2a .
n x  bn  mc
Ta có đạo hàm y      
. Đặt g x 2 a . m x 2a . n x bn mc . mx  n2 y  0, x   K 2         a . m x 2a . n x bn mc 0, x K 
Hàm số đồng biến trên K   n   ;   n  K     K m  m y  0, x   K 2         a . m x 2a . n x bn mc 0, x K 
Hàm số nghịch biến trên K   n   .   n  K     K m  m
Trường hợp 1: Cô lập được tham số m : Sử dụng phương pháp này.
Trường hợp 2: Không cô lập được tham số m :
TH1: Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định (khi đó nó sẽ đồng biến
(hoặc nghịch biến) trên tập K ).
TH2: Hàm số có 2 điểm cực trị x , x . Lập bảng biến thiên, so sánh x , x với số a  để tìm . m 1 2 1 2
Dạng toán: Tìm m để hàm số bậc ba đơn điệu trên khoảng (đoạn) có độ dài đúng bằng số k
Tìm tập xác định D . Tính đạo hàm y . Tính  và xét 2 trường hợp   0 và   0 .
Chú ý: x  x  k  x  x
 4x .x  k , sử dụng định lý Vi-ét đưa về phương trình theo m. 1 2 2 2 1 2 1 2
Dạng toán: Cực trị của hàm số bậc ba có tham số
Cực trị của hàm số bậc ba C 3 2
: y  ax  bx  cx  d a  0 Đạo hàm: 2
y  3ax  2bx  c . Ta có 2
  b  ac  2 4 12
  b  3ac .
Hàm số bậc ba hoặc có 2 cực trị hoặc không có cực trị.
Hàm số có cực trị
Hàm số không có cực trị
y  0 có 2 nghiệm phân biệt
y  0 có nghiệp kép hoặc vô nghiệm a  0 a  0     0    0 a  0 a  0   2
b  3ac  0 2
b  3ac  0
Hàm số luôn đồng biến (nếu a  0 ) (hoặc
Hàm số có 2 cực trị (1 cực đại và 1 cực tiểu)
luôn nghịch biến (nếu a  0 )) trên a  0 a  0 a  0 a  0 a  0 a  0         0    0    0    0    0    0 Trang 93
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
Chú ý: Nếu hệ số a có chứa tham số m chưa chắc khác 0 thì ta cần xét thêm trường hợp a  0 .
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của C 3 2
: y  ax  bx  cx  d a  0
Khi hàm số có 2 điểm cực trị, chia y cho y ta được dư là ax  b . Khi đó  : y  ax  b là đường
thẳng đi qua 2 điểm cực trị của C  . 2 2  b  bc
Hoặc nhớ công thức sau:  : y  c   x  d  . 3  3a  9a
Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm Đối với hàm bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d a  0 , ta có: yx   0 yx   0 0  0   
 x là điểm cực tiểu của hàm số.  
 x là điểm cực đại của hàm số. y 0 0  x   0 y  x   0 0  0 
Dạng toán (đọc thêm): Cực trị của hàm số trùng phương có tham số
Cực trị hàm số trùng phương C f  x 4 2 :
 ax  bx  c a  0 x  0  Ta có đạo hàm: 3
y  4ax  2bx . Khi đó 3
y  4ax  2bx  0  . 2 b x    2a
Hàm số trùng phương có 1 điểm cực trị hoặc có 3 điểm cực trị.
Hàm số có 1 điểm cực trị  y  0 có 1 nghiệm b 2  x  
vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0 2a b    0  ab  0 . 2a
Hàm số có 3 điểm cực trị  y  0 có 3 nghiệm phân biệt b    0  ab  0. 2a
Hàm số có 1 điểm cực trị  ab  0
Hàm số có 3 điểm cực trị  ab  0
Hàm số có đúng 1 Hàm số có đúng 1 Hàm số có 2 điểm cực Hàm số có 1 điểm cực
điểm cực trị và điểm điểm cực trị và điểm tiểu và 1 điểm cực đại tiểu và 2 điểm cực đại
cực trị đó là điểm cực cực trị đó là điểm cực      a 0 a   0  tiểu đại b   0 b   0      a 0 a   0  b   0 b   0
Một số điều kiện liên quan các điểm cực trị của đồ thị C f  x 4 2 :
 ax  bx  c a  0 Trang 94
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307  b    b  
Giả sử đồ thị hàm số 4 2
y  ax  bx  c có 3 điểm cực trị A 0; c , B   ;   , C   ;    2a 4a   2a 4a      4 b b b
tạo thành tam giác ABC với AB  AC   , BC  2  thỏa mãn dữ kiện: 2 16a 2a 2a Dữ kiện
Công thức thỏa ab  0
1. Tam giác ABC vuông cân tại A 3 8a  b  0
2. Tam giác ABC đều 3 24a  b  0  3 2
3. Tam giác ABC có góc BAC   8a  b .tan  0 2
4. Tam giác ABC có diện tích S  S    32a S b 0 0 2 3 5 ABC 0 5
5. Tam giác ABC có diện tích max S  S b   0 S 0 3 32a 2 b r  0
6. Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r  r  3 b  ABC  0 4 a 1 1   8a   
7. Tam giác ABC có độ dài cạnh BC  m 2 am  2b  0 0 0
8. Tam giác ABC có độ dài AB  AC  n 2 2 4
16a n  b  8ab  0 0 0
9. Tam giác ABC với 2 điểm cực trị B, C Ox 2 b  4ac  0
10. Tam giác ABC có 3 góc nhọn b 3
8a  b   0
11. Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b  6ac  0
12. Tam giác ABC có trực tâm O 3
b  8a  4ac  0 3 b  8a
13. Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R  R R  A  BC 8 a b
14. Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi 2 b  2ac  0
15. Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b  8a  4abc  0
16. Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b  8a  8abc  0
17. Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC 3 2 b k  a  2 . 8 k  4  0
18. Trục hoành chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng 2 b  4 2 ac nhau
19. Ba điểm cực trị A, ,
B C cách đều trục hoành 2 b  8ac  0
Dạng toán: Cực trị của hàm số phân thức bậc 2 trên bậc 1 có tham số 2
ax  bx  c
Cực trị của hàm số phân thức y  a  m  ) mx  (điều kiện 0, 0 n  n  2 a . m x  2a .
n x  bn  mc
Tập xác định: D 
\  . Đạo hàm y  .  m mxn2 Trang 95
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307 Đặt g x 2  a . m x  2a .
n x  bn  mc .
Hàm số này hoặc không có cực trị hoặc có 2 cực trị (1 cực đại, 1 cực tiểu).
 Hàm số không có cực trị am   0
 gx  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm       0 g x
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ( khi am  0 ) hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng
xác định (khi am  0 ).
 Hàm số có 2 cực trị   am  0  n 
g x  0 có 2 nghiệm phân biệt khác     gx 0 m    n  g     0   m  am   0
 gx  0 có 2 nghiệm phân biệt   .     0 g x
Hàm số có cực trị
Hàm số không có cực trị
(2 cực trị: 1 cực đại, 1 cực tiểu) am   0 am   0 am   0 am   0         0   0   0   0 g x  g  x  g  x  g  x
g x  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
g x  0 có 2 nghiệm phân biệt
Chú ý: Nếu hệ số a và m chưa chắc khác 0 thì ta cần xét thêm các trường hợp a  0 và m  0 .
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số phân thức bậc 2 trên bậc 1 2
ax  bx  c Cho hàm số y  mx 
. Khi hàm số có 2 cực trị thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm n 2ax  b
cực trị của đồ thị hàm số đó là  : y 
(đạo hàm tử, đạo hàm mẫu). m 2
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Trang 96
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
Cho hàm số y  f x xác định trên tập D.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f x trên D , nếu f x  M với mọi
x  D và tồn tại x  D sao cho f x  M . Kí hiệu: M  max f x . 0  0 D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f x trên D , nếu f x  m với mọi
x  D và tồn tại x  D sao cho f x  m . Kí hiệu: m  min f x . 0  0 D Định lí
Mọi hàm số liên tục trên đoạn  ; a b 
 đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Hơn nữa:
a) Nếu hàm số f x đồng biến trên đoạn  ; a b 
 thì max f x  f b và min f x  f a . a;b   a;b  
b) Nếu hàm số f x nghịch biến trên đoạn  ; a b 
 thì max f x  f a và min f x  f b . a;b   a;b  
Dạng toán: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Phương pháp chung là lập bảng biến thiên của hàm số đó.
Chú ý: Nếu tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn  ; a b 
 thì ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm y  f x .
Bước 2. Tìm các điểm x ; x ; ...; x trên khoảng a; b mà tại đó f x  0 hoặc không tồn tại. 1 2 n
Bước 3. Tính f a; f x ; f x ; ...; f x ; f b . 1   2  n  
Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các giá trị tìm được ở Bước 3. Khi đó:
M  max f x , m  min f x . a;b a;b    
Dạng toán: Vận dụng tìm GTLN, GTNN của hàm số giải quyết một số bài toán thực tiễn
Dựa vào giả thiết bài toán, đặt biến x phù hợp, lập hàm số biểu diễn giá trị cần tìm GTLN, GTNN để giải quyết. Trang 97
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307 3 Đường tiệm cận
Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x  a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y  f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
lim f x   , lim f x   , lim f x   , lim f x   .         xa xa xa xa
lim f x  
lim f x  
lim f x  
lim f x           xa xa xa xa
Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng y  m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm
số y  f x nếu lim f x  m hoặc lim f x  m . x x
lim f x  m
lim f x  m x x
Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng y  ax  b, a  0 , được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm
số y  f x nếu lim  f
 x  ax  b  0  hoặc lim  f
 x  ax  b  0  . x x Trang 98
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307 lim  f
 x  ax  b  0  lim  f
 x  ax  b  0  x x Nhận xét:
a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận
xiên y  ax  b theo công thức như sau: f x f x a  lim
, b  lim  f
 x  ax hoặc a  lim
, b  lim  f
 x  ax . x x x x x x
b) Khi a  0 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y  b .
Dạng toán: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
Tìm tiệm cận ngang
Ta tính đủ hai giới hạn sau:
 lim f x  m  y  m là tiệm cận ngang.
 lim f x  n  y  n là tiệm cận ngang. x x
CASIO: Nhập f X và CALC với X  99999 , X  99999 , kết quả ra hằng số. Chú ý: f x
Cho đồ thị hàm phân thức C   : y 
trong đó f x , gx là các hàm đa thức. g x
 Bậc tử < bậc mẫu: C có tiệm cận ngang y  0.  a
Bậc tử = bậc mẫu: C  có tiệm cận ngang y  với a, b lần lượt là hệ số của số hạng có bậc cao b
nhất ở tử và ở mẫu.
 Bậc tử > bậc mẫu: C không có tiệm cận ngang.
Tìm tiệm cận đứng
Ta tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định (thường là nghiệm của mẫu x  a ). Sau đó tính
hai giới hạn sau: lim f x và lim f x .     xa xa
 lim f x    x  a là tiệm cận đứng.
 lim f x    x  a là tiệm cận đứng.     xa xa Chú ý:
 Chỉ cần 1 trong 4 điều kiện trên thỏa mãn là đủ.
 Riêng với hàm phân thức thì x  a thường là nghiệm của mẫu nhưng không nghiệm của tử.
CASIO: Nhập f X và CALC với X  a  0,00001 và X  a 0,00001 với a thường là nghiệm
của mẫu, kết quả ra số dương lớn  hoặc số âm lớn  .
Tìm tiệm cận xiên
Ta tính cả 2 cặp giới hạn sau: f x f x a  lim
, b  lim  f
 x  ax và a  lim
, b  lim  f
 x  ax . x x x x x x
Chú ý: a, b và a  0 .
Khi đó (các) đường thẳng y  ax  b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Trang 99
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307 f X  CASIO: Nhập
và CALC với X  99999 để tìm a , nhập f X  .
a X và CALC với X  99999 X
để tìm b . Lặp lại bước trên với X  99999 . Chú ý:
Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc của đa thức tử lớn hơn bậc của đa thức
mẫu 1 bậc. Khi đó để tìm tiệm cận xiên ta chỉ cần chia tử cho mẫu được đa thức thương ax  b .
Suy ra đường thẳng y  ax  b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 4
Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản
Sơ đồ khảo sát hàm số
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
 Tìm đạo hàm y . Xét dấu y , xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
 Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
 Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
 Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm),…
 Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
 Vẽ đồ thị hàm số.
Chú ý: Chỉ ra tâm đối xứng và trục đối xứng của đồ thị hàm số (nếu có).
Hàm số bậc ba C 3 2
: y  ax  bx  cx  d a  0 a  0 a  0
Phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt 2      2  0 b 3ac 0      y  0 b 3ac 0 y
Phương trình y  0 có nghiệm kép 2      2       0 b 3ac 0  0 b 3ac 0 y y
Phương trình y  0 vô nghiệm Trang 100
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307 2            0 b 3ac 0 2  0 b 3ac 0 y y Bảng biến thiên a  0 a  0
y  0 có 2 nghiệm phân biệt
y  0 có 2 nghiệm phân biệt
y  0 có nghiệm kép
y  0 có nghiệm kép
y  0 vô nghiệm
y  0 vô nghiệm Chú ý: b Ta có 2
y  3ax  2bx  c và y  6ax  2b . Khi đó y  6ax  2b  0  x   . 3a b
Đồ thị của hàm số bậc ba luôn nhận điểm I x ; y làm tâm đối xứng, trong đó x   là 0 0  0 3a
nghiệm của phương trình y  0 và y  y x . Điểm I x ; y được gọi là điểm uốn của đồ thị 0 0  0  0
này, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị (nếu có).
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba C 3 2
: y  ax  bx  cx  d a  0
 Nhận biết dấu hệ số a :
 Nhận biết dấu hệ số c :
- Nét cuối đồ thị hướng lên: a  0 .
- Hai điểm cực trị nằm về 2 phía so với Oy : ac  0 .
- Nét cuối đồ thị hướng xuống: a  0 .
- Hai điểm cực trị nằm về 1 phía so với Oy : ac  0 .
- Một điểm cực trị thuộc trục Oy : c  0 .
- Không có cực trị: c  0 hoặc ac  0 .
 Nhận biết dấu hệ số d : Xét giao điểm  Nhận biết dấu hệ số b :
của C  và trục Oy :
- Điểm uốn bên phải Oy : ab  0 .
- Nằm phía trên Ox : d  0 .
- Điểm uốn bên trái Oy : ab  0 . Trang 101
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
- Nằm phía dưới Ox : d  0 .
- Điểm uốn thuộc trục Oy : b  0 .
- Trùng với gốc tọa độ O : d  0 .
ax  b
Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất y 
c  0, adbc  0
cx  d ad  bc  0 ad  bc  0  d a
Tiệm cận đứng x   và tiệm cận ngang y  . c c    d a
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận I  
;  làm tâm đối xứng.  c c 
 Nhận 2 đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm trục đối xứng.
 Hàm số không có cực trị.
ax  b
Nhận dạng đồ thị hàm số y 
c  0, adbc  0
cx  d
 Nhận biết tính đơn điệu:    b
Giao điểm với trục hoành Ox : A   ; 0  :
- Hai nhánh đi lên: ad  bc  0 .  a 
- Hai nhánh đi xuống: ad  bc  0 .
- Nằm bên trái Oy : ab  0 . d
- Nằm bên phải Oy : ab  0 .
 Tiệm cận đứng x   : c
- Thuộc trục Oy : b  0 .
- Nằm bên trái Oy : cd  0 .  b 
- Nằm bên phải Oy : cd  0 .
 Giao điểm với trục tung Oy : B0;  :  d 
- Trùng với Oy : d  0 . Trang 102
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307  a
- Nằm phía trên Ox : bd  0 .
Tiệm cận ngang y  : c
- Nằm phía dưới Ox : bd  0 .
- Nằm phía trên Ox : ac  0 .
- Thuộc trục Ox : b  0 .
- Nằm phía dưới Ox : ac  0 .
- Trùng với Ox : a  0 . 2
ax  bx  c
Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất y 
( a  0, m  0 , đa thức tử không chia
mx  n
hết cho đa thức mẫu, tức là  n không là nghiệm của tử) m
Dấu của y là dấu của g x 2  a . m x  2a .
n x  bn  mc . am  0 am  0
Phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt     0   g x   0 g x
Phương trình y  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm     0   g x   0 g x Bảng biến thiên am  0 am  0 Trang 103
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307 Hàm số có 2 cực trị Hàm số có 2 cực trị
Hàm số không có cực trị
Hàm số không có cực trị 2
ax  bx  c
Chú ý: Đồ thị hàm số y  a 
m  , đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu): mx  ( 0, 0 n n a an  bm
a) Có tiệm cận đứng là đường thẳng x  
, tiệm cận xiên là đường thẳng y  x  . m 2 m m
b) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng là tiệm cận xiên làm tâm đối xứng, tâm đối xứng này cũng
là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị (nếu có).
c) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối xứng.
(ĐỌC THÊM) Hàm số trùng phương C 4 2
: y  ax  bx  c a  0 a  0 a  0
Phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt
ab  0 a  0, b  0
ab  0 a  0, b  0
Phương trình y  0 có 1 nghiệm
ab  0 a  0, b  0
ab  0 a  0, b  0
 Đồ thị hàm số trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng.
Nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương C 4 2
: y  ax  bx  c a  0
 Nhận biết dấu hệ số a :
 Nhận biết dấu hệ số b :
- Nét cuối đồ thị hướng lên: a  0 .
- Hàm số có 1 điểm cực trị: ab  0 .
- Nét cuối đồ thị hướng xuống: a  0 .
- Hàm số có 3 điểm cực trị: ab  0 . Trang 104
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
 Nhận biết dấu hệ số c : Xét giao điểm của C và trục Oy :
- Nằm phía trên Ox : c  0 .
- Nằm phía dưới Ox : c  0 .
- Trùng với gốc tọa độ O : c  0 . 5
Phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y  f x có đồ thị C  . Khi đó ta có một số phép biến đổi đồ thị thường gặp như sau: 
C : y  f x
C : y  f x
C : y   f x 2    1   
Lấy đối xứng C  qua trục
Lấy đối xứng C  qua trục Oy . Ox .
C : y  f x
C : y  f x 4    3   
- Giữ C  nằm trên Ox .
- Giữ C  bên phải Oy và bỏ
C : y  f x c c  0 5     
- Lấy đối xứng C  nằm dưới
phần C  bên trái Oy .
Ox qua trục Ox và bỏ phần
- Lấy đối xứng C  bên phải
Tịnh tiến C  theo phương
C nằm dưới Ox đó.
Oy qua trục Oy .
Oy lên trên c đơn vị. 
C : y  f x  c c  0
C : y  f xc c  0
C : y  f xc c  0 8      7      6     
Tịnh tiến C  theo phương
Tịnh tiến C  theo phương
Tịnh tiến C  theo phương
Oy xuống dưới c đơn vị.
Ox qua trái c đơn vị.
Ox qua phải c đơn vị.
Sự tương giao của hai đồ thị Trang 105
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
Xét 2 đồ thị C : y  f x và C : y  gx.
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và C là: f x  gx * .
Khi đó, số điểm chung giữa 2 đồ thị C  và C đúng bằng số nghiệm của phương trình * .
Tiếp tuyến đi qua một điểm
Ngoài cách đã học ở lớp 11, để lập phương trình tiếp tuyến d của C  biết d đi qua Ax ; y , A A  ta thực hiện:
Bước 1. Phương trình đường thẳng d đi qua Ax ; y và có hệ số góc k có dạng: A A 
d : y  k x  x   y * . A A 
 f x  kx  x   y A 
Bước 2. d là tiếp tuyến của C  khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: A  . f   x   k
Bước 3. Giải hệ này tìm x , 
suy ra k thay vào   ta được tiếp tuyến cần tìm. Chú ý:
 Để vẽ đồ thị y  f  x  :
① Vẽ đồ thị y  f  x 
② Vẽ đồ thị y  f x .
 Để vẽ đồ thị y  f x  c :
① Vẽ đồ thị y  f x
② Tịnh tiến đồ thị lên trên hoặc xuống dưới c đơn vị.
 Để vẽ đồ thị y  f x  c :
① Tịnh tiến đồ thị qua phải hoặc qua trái c đơn vị
② Vẽ như cách vẽ đồ thị y  f x .
 Để vẽ đồ thị y  f  x  c :
① Tịnh tiến đồ thị qua phải hoặc qua trái c đơn vị
② Vẽ như cách vẽ đồ thị y  f  x  .
 Để vẽ đồ thị y  f  x  c  :
① Vẽ đồ thị y  f  x 
② Tịnh tiến đồ thị qua phải hoặc qua trái c đơn vị. NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN 1 Nguyên hàm
Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi
là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu Fx  f x với mọi x  K .
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K . Khi đó:
• Với mỗi hằng số C , hàm số F x  C là một nguyên hàm của f x trên K ; Trang 106
Tổng hợp lý thuyết Toán THPT
Thầy Phạm Tuấn Sinh / Zalo: 0825.888.307
• Nếu G x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì tồn tại hằng số C sao cho
Gx  F x C với mọi x thuộc K .
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng
số. Ta gọi F x C , C  là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K , kí hiệu f xdx  và viết f
 xdx  FxC .
Chú ý: Biểu thức f xdx gọi là vi phân của nguyên hàm F x của f x , kí hiệu là dF x .
Vậy dF x  Fxdx  f xdx .
Chú ý: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Tính chất  • f 
 xdx  f xC và  f
 xdx  f x • . k f
 xdx  k f
 xdx, k là hằng số khác 0 •  f
 x gxdx  f 
 xdx g  xdx
Bảng các nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm
Nguyên hàm mở rộng (đọc thêm) 1 0.dx  C  Nếu f
 xdx  FxC
dx  x  C  1 2 thì f
 axbdx  FaxbC   a . k dx . k x C  1 1 1 3
dx  x  C  dx 
ax  b  C  2 x 2 ax  b a 2 2 4 x dx  x x  C  ax  b dx  
axb axb C 3 3a n1 n ax  b 5 n x x dx  C  với n  1
axbn   1 1 .dx  . C n  1 a n  1  1 1 1 1 1   6 dx    C  dx . C  2  x x   2 a ax b ax b 1 1 1 7
dx  ln x  C 
dx  ln ax  b  C  x ax  b a x  axb 1 ax b M 8 x M M dx  C  M dx  . C  ln M a ln M axb 1 9 x x
e dx  e  C  axb e dx  e C  a 1 10
sin x dx   cos x  C  sin
 axbdx   cosaxbC a 1 11
cos xdx  sin x  C  cos
 axbdx  sinaxbC a Trang 107

Tổng hợp lý thuyết toán THPT - Giải tích 12

Tài liệu liên quan:

Sử Dụng Dãy Số Để Giải Phương Trình Hàm - Nghiên Cứu Chuyên Đề

Dạng toán 12 - Mặt phẳng đối xứng trong khối đa diện

Bài giảng về toán học lớp 12 - Chương 1 Đại số và giải tích

[QUÀ TẶNG] Sổ tay công thức Giải Tích 1 - Toán cao cấp

Đường Đẳng Giác & Đường Đối Trung trong Hình Học - Nguyễn Tăng Vũ