TOP 200 bài tập rút gọn biểu thức và bài toán liên quan trong đề thi vào 10 môn Toán

Tài liệu gồm 185 trang, được tổng hợp bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển tập 200 bài tập rút gọn biểu thức và bài toán liên quan trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, có đáp án và lời giải chi tiết.

98 49 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Môn: Môn Toán

Thông tin:

185 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
TUYỂN TẬP CÂU HỎI
RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
LUYỆN THI VÀO 10
Câu 1. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát vòng 1- Ái Mộ -Long Biên-2019-2020)
Cho biểu thức
3
2
=+
−
x
A
x x x
và
2
2
=
−
B
x
với
0x
,
4x
;
9
4
x
.
a) Tính giá trị biểu thức
B
khi
25=x
.
b) Biết
. Chứng minh rằng:
23
=
−
x
P
x
.
c) Tìm giá trị nguyên của
x
để
P
nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn
a) Khi
25=x
, giá trị của biểu thức
B
là:
22
3
25 2
=
−
.
b) Ta có:
23
:
22

=+


−−

x
P
x x x x
( )
23
:
2
2


=+

−
−

x
xx
xx
( )
( )
( )
32
2
:
2
22

−

=+

−
−−

x
x
x
x x x x
( )
2 4 6
:
2
2

−

=

−
−

x
x
xx
( )
( )
2
2
.
2
2 2 3
−
=
−
−
xx
x
x
23
=
−
x
x
.
c) Ta có
1
3
23
2
==
−
−
x
P
x
x
(Vì
00 xx
).
P
nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi
1
3
2
x
−
nguyên
3
2
x
−
Ư
( )
1
1; 1=−
.
Khi đó
1P =
hoặc
1P =−
.
Với
3
1 2 1P
x
= − =
39xx = =
(thỏa mãn).
Với
3
1 2 1P
x
= − − = −
11xx = =
(thỏa mãn).
Vậy
1; 9x
thì
P
nhận giá trị nguyên.
Cách khác:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Để P nguyên thì
( ) ( )
2 3 2 2 3x x x x− −
Mà
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3x x x x x x− − − − − − −
Suy ra
( )
23x −
Ư
( )
3 1; 3− =
. Giải rồi thử lại điều kiện và kết luận.
Câu 2. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Hà Nội – Amsterdam 07/6/2020
Cho biểu thức:
2 3 1
.
1
14
x x x x x x
M
x
x x x x x x x

+ + − −

= + −



−
− + − +


với
0, 1xx
.
a) Rút gọn
M
.
b) Tính giá trị của
M
khi
7 4 3x =+
.
c) Tìm
x
thỏa mãn
( )
3 . 1x x M− − =
.
Hướng dẫn
a) Rút gọn
M
.
Điều kiện xác định:
0, 1xx
2 3 1
.
1
14

+ + − −

= + −



−
− + − +


x x x x x x
M
x
x x x x x x x
( ) ( )( )
( )( )
( )
11
23
.
1
1 1 1 4

−+
+ + −

= + −

+
− − + − +

xx
x x x x x
M
x
x x x x x x x
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
1 . 1 2 3 1 1
.
1 1 4
+ + + − − + − − +
=
− + − +
x x x x x x x x x x x
M
x x x x x x
( )
2 2 3 1
.
4
+ + + − − − +
=
−+
x x x x x x x x x x x
M
x
x x x
( )
4
4
−+
=
−+
x x x x
M
x x x
( )
( )
4
4
−+
=
−+
x x x
M
x x x
1
=M
x
. Vậy: ………..
b) Tính giá trị của
M
khi
7 4 3x =+
.
Thay
( )
2
7 4 3 2 3x = + = +
(thỏa mãn
0, 1xx
) vào
M
ta được:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
2
11
23
23
23
M = = = −
+
+
c) Tìm
x
thỏa mãn
( )
3 . 1x x M− − =
.
Với
0, 1xx
( ) ( )
1
3 . 1 3 . 1 3 2 3 0x x M x x x x x x x
x
− − = − − = − − = − − =
( )( )
1 3 0 1x x x + − = +
(loại) hoặc
3 0 9xx− = =
(thỏa mãn
0, 1xx
)
Vậy
9x =
thỏa mãn yêu cầu của bài.
Câu 3. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2-Amsterdam-2019-2020)
Cho biểu thức:
7−
=
x
A
x
và
1 2 2
4
22
−+
= + +
−
+−
x x x
B
x
xx
với
0x
,
4x
1) Tính giá trị của
A
khi
9=x
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
.=P AB
có giá trị nguyên.
Hướng dẫn
1) Với
9=x
(thỏa mãn điều kiện)
Thay
9=x
vào
A
, ta có:
9 7 2
3
9
−
==A
Vậy khi
9=x
thì
2
3
=A
2)
1 2 2
4
22
−+
= + +
−
+−
x x x
B
x
xx
với
0x
,
4x
1 2 2
4
22
−+
= − +
−
+−
x x x
B
x
xx
( )
( )( )
2 2 2 2
22
x x x x x
xx
− − + + − +
=
+−
( )( )
2 2 2 2
22
x x x x x
xx
− − − + − +
=
+−
( )( )
2
22
xx
xx
−
=
+−
( )
( )( )
2
22
xx
xx
−
=
+−
2
x
x
=
+
Vậy
2
=
+
x
B
x
với
0x
,
4x
3)
.=P AB
( )
0, 4xx
7
.
2
−
=
+
xx
P
xx
7
2
x
x
−
=
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
+ Xét
7
0 0 7 0 7
2
−
= = − = =
+
x
P x x
x
(thỏa mãn
)dk
+ Xét
0P
.
TH1:
; 7;x x x
là số vô tỉ
P
(loại)
TH2:
;xx
Ta có:
4 3 4 3 3
2
2 2 2 2
− − −
= = − = − −
+ + + +
xx
Px
x x x x
Để
33
22
22
− − +
++
P x x
xx
Ư(3)
2 1;3 + x
do
22+x
2 3 1 1 + = = =x x x
(thỏa mãn)
Vậy với
1;7x
thì
P
có giá trị nguyên
Câu 4. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (ARCHIMEDES ACADEMY - 15/05/2020)
Cho biểu thức
1 1 8 3 1
:
11
1 1 1
x x x x x
A
xx
x x x
+ − − −
= − − −
−−
− + −
( với
0, 1xx
).
a) Rút gọn biểu thức
A
b) Tính giá trị của
x
để
4
5
A =
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A
.
Hướng dẫn
a)
1 1 8 3 1
:
11
1 1 1
x x x x x
A
xx
x x x
+ − − −
= − − −
−−
− + −
( với
0, 1xx
)
( ) ( )
22
11
8 3 1
:
1 1 1 1 1
xx
x x x x
A
x x x x x

+−

− − +

= − − −



− − − − −



2 1 2 1 8 3 1
:
11
x x x x x x x x
A
xx
+ + − + − − − − − −
=
−−
41
.
14
xx
A
xx
−−
=
− − −
4
4
x
A
x
=
+
b) Ta có
4
5
A =
( )
0, 1xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
44
45
x
x
=
+
( )
( )
( )
44
20
5 4 5 4
x
x
xx
+
=
++
54xx = +
5 4 0xx − + =
( )( )
4 1 0xx − − =
40
10
x
x
−=
−=
( )
16 tm
1 (ktm)
x
x
=
=
.
Vậy
4
5
A =
khi
16x =
.
c)
+) Với
0( )x tmdkxd=
4. 0
0
04
A = =
+
.
+) Với
0, 1xx
0x
40x
Ta có
4
4
x
A
x
=
+
1 4 1
4
4
xx
A
xx
+
= = +
( có thể chia cả tử và mẫu cho
x
mà không cần phải nghịch
đảo
A
)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương
4
x
và
1
x
( )
0x
ta có:
11
2.
44
xx
xx
+
11
2
4A

1
1
A

1A
Dấu “ =” xảy ra
1
4
x
x
=
4x=
(thỏa mãn).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
1A =
khi
4x =
.
Câu 5. (Thầy Nguyễn Chí Thành) KHẢO SÁT LỚP 9 – BA ĐÌNH NĂM HỌC 2019-2020
Cho hai biểu thức:
1
3
x
A
x
+
=
−
và
1
.
1
1 2 1
x x x
B
x
xx

−
=+


−
−+

với
0; 9; 1.x x x
1) Tính giá trị của
A
khi
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm các số nguyên tố
x
để
.1AB
Hướng dẫn
1) * Với
25x =
(thỏa mãn điều kiện)
* Ta có:
25 1 5 1 6
3
5 3 2
25 3
A
++
= = = =
−
−
* Vậy
3A =
tại
25x =
2 )
0; 9; 1.x x x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 6
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( ) ( )( )
( )
1
1
.
21
1 1 1 1
xx
xx
B
x
x x x x

−
+

=+

+
+ − + −

( )( )
( )( )( )
11
1 1 2 1
x x x x
x x x
+ + −
=
+ − +
( )
( )( )
21
1
1 2 1
xx
x
x
xx
+
==
+
++
3)
( )
1
, . 1
3 1 3
x
xx
AB
x x x
+
= =
− + −
10
3
x
x
−
−
3
0
33
xx
xx
−
−
−−
3
0
3x

−
30x −
9x
Mà
0x
09x
Mà
x
là số nguyên tố nên
2;3;5;7x
Câu 6. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG – BẮC NINH – 2020-2021
a) Thực hiện phép tính
27 48 108 12+ − −
b) Rút gọn biểu thức
1
1
11
x x x x
A
x x x

+−

= − +



+−


với
0x
,
1x
.
Hướng dẫn
a)
27 48 108 12 3 3 4 3 6 3 2 3 3+ − − = + − − = −
b)
1
1
11

+−

= − +


+−


x x x x
A
x x x
( ) ( )
( )
11
11
. . 2 2
11
x x x x
xx
x x x
x x x x

+−
++

= + = + = +

+−

Vậy
22Ax=+
với
0x
,
1x
Câu 7. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát – Bắc Từ Liêm-2019-2020)
Cho hai biểu thức
1
1
P
x
=
+
và
2 3 2
5 6 2 3
x x x
Q
x x x x
+ + +
= + +
− + − −
Với
0; 4; 9x x x
.
1) Tính giá trị biểu thức P khi
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức Q.
3) Biết
P
A
Q
=
. Tìm số nguyên
x
để
AA
.
Hướng dẫn
1) Thay
25x =
(tmđk) vào P, ta có:
1 1 1
5 1 6
25 1
P = = =
+
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 7
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2)
2 3 2
5 6 2 3
x x x
Q
x x x x
+ + +
= + +
− + − −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
3 3 2 2
2
2 3 2 3 2 3
x x x x
x
x x x x x x
+ − + −
+
= + −
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 9 4
2 3 2 3 2 3
x x x
x x x x x x
+ − −
= + −
− − − − − −
( )( ) ( )( )
2 9 4 3 1
2
2 3 2 3
x x x x
x
x x x x
+ + − − + −
= = =
−
− − − −
3)
1 1 2
:
1 2 1
Px
A
Q
x x x
−
= = =
+ − +
Ta có:
2
0 0 2; 1
1
x
A A A x x
x
−
− +
+
cùng dấu
20x −
vì (
10x +
).
4x
Kết hợp điều kiện ta có:
04x
mà
x
nên
{0;1;2;3}x
Câu 8. (Thầy Nguyễn Chí Thành) KHẢO SÁT PHÚC DIỄN – 2019 – 2020
Cho hai biểu thức:
5
21
x
A
x
+
=
−
và
1 1 3 1
1
11
x x x
B
x
xx
+ − +
= + −
−
−+
với
0x
;
1x
;
1
4
x
.
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
16x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm
x
để biểu thức
.M A B=
đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
1)
16x =
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay
16x =
vào biểu thức
A
, ta được:
16 5 4 5 9
2.4 1 7
2 16 1
A
++
= = =
−
−
Vậy khi
16x =
thì giá trị của biểu thức là
9
7
A =
.
2) Với
0x
;
1x
;
1
4
x
. Ta có:
1 1 3 1
1
11
x x x
B
x
xx
+ − +
= + −
−
−+
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
22
11
31
1 1 1 1 1 1
xx
x
B
x x x x x x
+−
+
= + −
− + − + − +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 8
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
2 1 2 1 3 1
11
x x x x x
B
xx
+ + + − + − −
=
−+
( )( ) ( )( )
2 3 1 2 2 1
1 1 1 1
x x x x x
B
x x x x
− + − − +
==
− + − +
( ) ( )
( )( )
2 1 1
11
x x x
B
xx
− − −
=
−+
( )( )
( )( )
1 2 1
21
1
11
xx
x
x
xx
−−
−
==
+
−+
Vậy với
0x
;
1x
;
1
4
x
thì
21
1
x
B
x
−
=
+
.
3) Với
0x
;
1x
;
1
4
x
. Ta có:
5 2 1
.
2 1 1
xx
M A B
xx
+−
= =
−+
54
1
11
x
xx
+
= = +
++
.
Với
0x
0 1 1xx +
11
44
x +

4
4
1x

+
4
1 5 5
1
M
x
+
+
.
Dấu
""=
xảy ra
00xx = =
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy khi
0x =
thì biểu thức
M
đạt giá trị lớn nhất bằng 5.
Câu 9. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lương – Bồ Đề - Long Biên-30/6/2020)
Cho hai biểu thức
2
1
x
A
xx
+
=
−
và
11
11
x
B
x x x
+
=−
+ + −
với
0x
và
1x
.
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
C A B=+
.
c) So sánh giá trị của biểu thức
C
với 1.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
Ta có
4x =
(thỏa mãn điều kiện
0x
và
1x
)
Thay
4x =
vào biểu thức
A
, ta được:
4 2 6
7
4 4 1
A
+
==
−
.
Vậy
6
7
A =
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
C A B=+
.
Ta có
2 1 1
1 1 1
xx
C A B
x x x x x
++
= + = + −
− + + −
với
0x
và
1x
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
11
21
1 1 1 1 1 1
xx
x x x
C
x x x x x x x x x
+−
+ + +
= + −
− + + − + + − + +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
2 1 1
11
x x x x
x x x
+ + − − − −
=
− + +
( )( )
11
xx
x x x
−
=
− + +
( )
( )( )
1
11
xx
x x x
−
=
− + +
1
x
xx
=
++
Vậy
1
x
C A B
xx
= + =
++
với
0x
và
1x
.
c) So sánh giá trị của biểu thức
C
với 1.
Xét
( )
1
1
11
1 1 1
x
x x x x
C
x x x x x x
−+
− − −
− = − = =
+ + + + + +
Vì
0x
nên
1 0; 1 0x x x+ + +
do đó
( )
1
10
1
x
C
xx
−+
− =
++
1C
.
Vậy
1C
.
Câu 10. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2-Cầu Giấy-2019-2020)
Cho biểu thức
( )( )
6
1
12
=−
+
+−
x
A
x
xx
và
2
2
=
−
B
x
với
0; 4xx
.
1) Tính
giá trị của biểu thức
B
khi
16=x
2) Biết
=+P A B
. Chứng minh
2
1
+
=
+
x
P
x
3) Với
x
để
3
2
P
Hướng dẫn
1) Giá trị
16=x
(thỏa mãn điều kiện)
0; 4xx
,thay vào biểu thức
B
ta được:
2 2 2
1
4 2 2
16 2
= = = =
−
−
B
Vậy khi
16=x
thì
1=B
2) Với
0; 4xx
ta có
( )( )
62
12
12
= + = − +
+−
+−
x
P A B
xx
xx
( )( )
62
12
12
x
xx
xx
= − +
+−
+−
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
2 2 1
6
1 2 1 2 1 2
x x x
x x x x x x
−+
= − + −
+ − + − + −
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 6 2 1
2 6 2 2
1 2 1 2
x x x
x x x
x x x x
− − + +
− − + +
==
+ − + −
( )( )
( )( )
( )( )
22
42
1
1 2 1 2
xx
xx
x
x x x x
+−
−+
= = =
+
+ − + −
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 10
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy
2
1
+
=
+
x
P
x
( đpcm)
3) Để
( ) ( )
3 2 3
2 2 3 1
22
1
+
= + +
+
x
P x x
x
2 4 3 3 1 1x x x x + +
Kết hợp với điều kiện ta được
01x
thì
3
P>
2
Câu 11. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát lần 2 – Cầu Giấy – 2019-2020)
Cho biểu thức
3
1
x
A
x
−
=
+
và
7 2 3
6 3 2
x x x x
B
x x x x
− − + −
= + +
+ − + −
với
0; 4xx
a) Tính giá trị
A
khi
16x =
.
b) Chứng minh rằng
1
3
x
B
x
+
=
+
.
c) Cho biểu thức
.M A B=
. Tìm giá trị nguyên của
x
để
M
nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn
a) Thay
16x =
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
A
ta được:
16 3 13 13
4 1 5
16 1
A
−
= = =
+
+
.
b) Với
0; 4xx
, ta lần lượt có
7 2 3
6 3 2
x x x x
B
x x x x
− − + −
= + +
+ − + −
( )( )
7 2 3
32
32
x x x x
xx
xx
− − + −
= + −
+−
+−
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 3 3
7
3 2 3 2 2 3
x x x x
xx
x x x x x x
+ − − +
−−
= + −
+ − + − − +
( )( ) ( )( ) ( )( )
7 4 9
3 2 3 2 2 3
x x x x
x x x x x x
− − − −
= + −
+ − + − − +
( ) ( )
( )( )
7 4 9
32
x x x x
xx
− − + − − −
=
+−
( )( )
7 4 9
32
x x x x
xx
− − + − − +
=
+−
( )( )
2
32
xx
xx
−−
=
+−
( )( )
( )( )
12
1
3
32
xx
x
x
xx
+−
+
==
+
+−
(Điều phải chứng minh).
c) Ta có
3 1 3 9 6
..
1 3 3 3
x x x x
M A B
x x x x
− + − − +
= = = =
+ + + +
( )( )
3 3 6
6
3
33
xx
x
xx
− + +
= = − +
++
+ Xét
3x =
0M =
. Vậy
3x =
thỏa mãn.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 11
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
+ Xét
3x
,
x
nhưng
x
M
.
+ Xét
x
và
x
( )
6
3
3
Mx
x
+
+
Ư(6).
Mà Ư(6)
1; 2; 3; 6=
và
33x +
với
0; 4xx
nên
( )
3 3;6x +
.
+) Nếu
3 3 0 0x x x+ = = =
(Thỏa mãn).
+) Nếu
3 6 3 9x x x+ = = =
(Thỏa mãn).
Vậy khi
0; 3; 9x
thì
M
nhận giá trị nguyên.
Câu 12. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa vào 10 – Cầu Giấy – 2019-2020)
Cho biểu thức
1
3
x
A
x
−
=
+
và
3 3 3 5
3 1 2 3
x x x
B
x x x x
++
= − +
+ − + −
với
0; 1xx
a) Tính giá trị A khi x = 16.
b) Chứng minh rằng:
44
1
x
B
x
+
=
−
c) Cho biểu thức
.M B A=
. Tìm giá trị của m để có x thỏa mãn
Mm=
.
Hướng dẫn
a) Với
16x =
(thỏa mãn điều kiện). Thay
16x =
vào
A
ta được
1 16 1 4 1 3
4 3 7
3 16 3
x
A
x
− − −
= = = =
+
++
Vậy với
16x =
thì giá trị của biểu thức
3
7
A =
b)
3 3 3 5
3 1 2 3
x x x
B
x x x x
++
= − +
+ − + −
( )( )
3 3 3 5
31
31
x x x
xx
xx
++
= + +
+−
+−
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
1 3 3 3
35
3 1 3 1 3 1
x x x x
x
x x x x x x
− + +
+
= + +
+ − + − + −
( )( )
3 9 3 9 3 5
31
x x x x x x
xx
− + + + + + +
=
+−
( )( )
4 16 12
31
xx
xx
++
=
+−
( )( )
( )( )
( )
4 1 3 4 1
44
11
31
x x x
x
xx
xx
+ + +
+
= = =
−−
+−
Vậy điều phải chứng minh
44
1
x
B
x
+
=
−
.
c)
4 4 1 4 4
..
1 3 3
x x x
M B A
x x x
+ − +
= = =
− + +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 12
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Để
44
3
x
M m m
x
+
= =
+
( )
4 4 3x m x + = +
4 4 3x m x m + = +
4 3 4x m x m − = −
(4 ) 3 4x m m − = −
(*)
Xét
4 0. 8mx= =
(*) vô nghiệm.
Với
4m 
34
4
m
x
m
−
=
−
Để có giá trị của x thì
34
0
4
34
1
4
m
m
m
m
−
−
−
−
4
4
3
2
m
m

.
Vậy với
4
4
3
m
và
2m
để có x thỏa mãn
Mm=
.
Câu 13. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát tháng 4/2020-Dịch Vọng Hậu- Cầu Giấy)
Cho
1 1 1
:
1 2 1
x
P
x x x x x
+

=−

− − − +

và với
0; 1xx
a) Rút gọn
P
.
b) Chứng minh
1
2
P
.
c) Tìm
x
để
3
.
1
x
NP
x
=
−
nguyên.
Hướng dẫn
a) Với mọi
x
thỏa mãn ĐKXĐ ta có:
1 1 1
:
1 2 1
x
P
x x x x x
+

=−

− − − +

( )
( )
2
1 1 1
:
1
1
1
x
x
xx
x

+

=+

−
−
−

( )
( )
2
1
11
..
1
1
x
xx
xx
xx
−
+−
==
+
−
b) Với moi
x
thỏa mãn ĐKXĐ ta có
1
2
P
1
0
2
P −
11
0
2
x
x
−
−
22
0
2
xx
x
−−

2
0
2
x
x
−

2 0 4xx −
(thỏa mãn) . Kếtt hợp điều kiện xác định suy ra
4x
Vậy
4x
.
c)
( )( )
3 1 3 3
..
1
1
11
x x x
NP
x
xx
xx
−
= = =
−
+
−+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 13
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Ta có :
3
0
1
N
x
=
+
với mọi
x
thỏa mãn điều kiện xác định
Và
3
0 1 1 3 0 3
1
x x N
x
+
+
Mà
1;2;3NN
.
Các em giải từng trường hợp
1; 2; 3N N N= = =
sẽ tìm được
x 0;1;4
Kết luận : …….
Câu 14. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát tháng 5/2020-Dịch Vọng Hậu- Cầu Giấy)
Cho hai biểu thức
2 2 4
4
22
x x x
A
x
xx
+−
= − +
−
−+
và
( )
42
2
x
B
x
+
=
−
với
0x
,
4x
.
1) Tính giá trị của biểu thức
B
khi
9x =
.
2) Rút gọn biểu thức
:P A B=
.
3) So sánh
P
và
P
.
Hướng dẫn
1) Với
9x =
thỏa mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức
B
ta có:
( )
( )
4 9 2
4 3 2
20
20.
3 2 1
92
B
+
+
= = = =
−
−
2) Với
0x
,
4x
:P A B=
( )
42
2 2 4
:
4
2 2 2
x
x x x
x
x x x
+

+−
= − +


−
− + −

( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
22
2 2 4 2
4
:
2
2 2 2 2 2 2
x x x
x
x
x x x x x x

+ − +

= − +

−
− + + − + −


( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
42
4 4 4
:
2
2 2 2 2
4
2
4
2
x
x x x
x
x x x x
x
xx
x

+
−+

=
+
++
−+

−
− + − + −

( )( )
( )
42
4 4 4
:
2
2
4
2
4
x
xx xx
x
x
x
x
+
+ − +
=
+
−+
+
−
−
( )( )
( )
42
:
2
22
48
x
xx
x
xx
+
=
−
+
−
+
( )
( )( ) ( )
2
.
22
42
24
x
xx
xx
x
−
=
−
+
++
.
2
x
x
=
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 14
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3) Ta có
22
11
2 2 2
x x x
P
x x x
− − −
− = − = =
+ + +
Với
0x
,
4x
thì
0 2 2 0xx +
mà
20−
.
Suy ra
2
1 0 1
2
PP
x
−
− =
+
mà
0P
với mọi
0x
,
4x
( )
22
1 0 0P P P P P P P P − −
Vậy với
0x
,
4x
thì
PP
.
Câu 15. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10- Dương Nội – 2019-2020)
1) Tính giá trị biểu thức
1
1
x
A
x
+
=
−
với
4x =
2) Cho biểu thức
( )
2 1 1
. 0, 4
2 2 1
xx
P x x
x x x x
−−

= −

− − +

a) Chứng minh
1x
P
x
−
=
b) Tìm giá trị của x để
2 2 5Px=+
Hướng dẫn
1) Với
4x =
thì
4 1 3
3
1
41
A
+
= = =
−
2a) Với
0, 4xx
ta có:
( )
2 1 1 2 1
..
2 2 1 1
2
x x x x x
P
x x x x x
xx
− − − − −

= − =

− − + +
−

( )( )
( )
12
11
.
1
2
xx
xx
xx
xx
+−
−−
==
+
−
b)
( )
21
2 2 5 2 5
x
P x x
x
−
= + = +
2x + 3 2 0x + =
(1)
Đặt
( )
0, 2x t t t=
. Khi đó phương trình (1) trở thành:
2
2 3 2 0tt+ + =
(2)
2
3 4.2.2 7 < 0 = − = −
Phương trình (2) vô nghiệm.
Không có giá trị của
x
thỏa mãn.
Câu 16. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát Đại Áng – Thanh Trì tháng 5 – 2020)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 15
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức
x2
A
x3
−
=
+
và
3 x 6 x x - 9
B:
x - 4
x 2 x 3

+
=+


−−

với
x 0, x 4, x 9
.
a) Tính giá trị biểu thức A khi
81
x
16
=
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M A.B=
.
Hướng dẫn
a) Với
81
x
16
=
(Thỏa mãn ĐKXĐ) ta có
81
9
2
2
1
16
4
A
9
21
81
3
3
4
16
−
−
= = =
+
+
.
Vậy khi
81
x
16
=
thì
1
21
A =
.
b) Với
x 0, x 4, x 9
ta có:
3 x 6 x x 9
:
x4
x 2 x 3
B

+−
=+


−
−−

( )( )
( )
( )( )
( )( )
x x 2 x 3 x 3
3 x 6
:
x3
x 2 x 2 x 2 x 2

+ + −
+

=+

−
− + − +

( )( )
( )
x 5 x 6
: x 3
x 2 x 2
++
=+
+−
( )( )
( )( )( )
x 2 x 3
x 2 x 2 x 3
++
=
+ − +
1
x2
=
−
Vậy
1
B
x2
=
−
với
x 0, x 4, x 9
.
c) Ta có
M A.B=
hay
x 2 1 1
M.
x 3 x 2 x 3
−
==
+ − +
.
Vì
x0
nên
11
x 0 x 3 3
3
x3
+
+
.
Dấu
""=
xảy ra
x 0 x 0 = =
(t/m).
Vậy GTLN của biểu thức
1
M x 0
3
= =
.
Câu 17. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề khảo sát vào 10 – Đan Phượng-2019-2020)
Cho biểu thức
2
2
x
A
x
−
=
+
và
2 3 12
4
22
x
B
x
xx
+
= − −
−
−+
với
0; 4xx
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
25.x =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 16
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2) Chứng minh
1
2
x
B
x
−
=
−
;
3) Với
.P A B=
. Tìm giá trị của x đề
.PP
Hướng dẫn
1) Khi
25( )x tmdk=
:
25 2 3
7
25 2
A
−
==
+
.
2)
2 3 12
4
22
x
B
x
xx
+
= − −
−
−+
( ) ( )
2
2 3 2
12
4 4 4
xx
x x x
+−
= − −
− − −
( )( )
( )( )
( )( )
21
4 4 3 6 12 2 1
4
2
2 2 2 2
xx
x x x x x x
x
x
x x x x
+−
+ + − + − + − −
= = = =
−
−
+ − + −
2 1
2
.
1
2
.
2
xx
P A B
x
x
xx
−
+
=
− −
==
−+
1
00
2
x
P P P
x
−
+
Vì
20x +
với
0; 4xx
10x −
11xx
Vậy với
1x
,
4x
thì
.PP
Câu 18. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề khảo sát chất lượng Lần 6-Đền Lừ-2019-2020)
Cho biểu thức
13
1
11
x x x
A
x
xx
−+
= + −
−
−+
và
1
x
B
x
=
−
với
0, 1xx
1) Tính giá trị biểu thức
B
với
4=x
2) Rút gọn biểu thức
:=P A B
với
0, 1xx
3) Tìm các giá trị của
x
để
1−P
Hướng dẫn
1) Tính giá trị biểu thức
B
với
4=x
Với
4=x
thỏa mãn
0, 1xx
. Khi đó
11
1
21
1 4 1
x
B
x
= = = =
−
−−
2) Rút gọn biểu thức
:=P A B
với
0, 1xx
13
1
11
x x x
A
x
xx
−+
= + −
−
−+
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
. 1 1 . 1
3
1
1 . 1 1 . 1
x x x x
x
x
x x x x
+ − −
+
= + −
−
− + + −
( )
2
1
3
1 1 1
x
x x x
x x x
−
++
= + −
− − −
2 1 3
1
x x x x x
x
+ + − + − −
=
−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 17
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
x2
1
x
x
−−
=
−
( )
( 2)( 1)
( 1) 1
xx
xx
−+
=
+−
( )
( 2)
1
x
x
−
=
−
Vậy:
( )
( 2)
::
1
1
xx
AB
x
x
−
=
−
−
( 2)x
x
−
=
3.Tìm các giá trị của
x
để
1−P
1−P
10 + P
( 2)
10
−
+
x
x
( 2)
0
−+

xx
x
Do
0x
( điều kiện câu b)
( )
( 2). 1 0 + − xx
10 − x
( Do
( )
20+x
)
1x
1x
Vậy với
01x
thì
1 −P
Câu 19. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề HK2-Đống Đa-2019-2020)
Cho biểu thức
2
7
−
=
+
x
A
x
và
2 3 1
22
−
= − +
−−
xx
B
x x x x
với
0; 4xx
1) Tính giá trị của
A
khi
9=x
.
2) Chứng minh:
2−
=
x
B
x
.
3) Cho biểu thức
=
A
P
B
. Tìm tất cả giá trị nguyên của
x
để
1
2
P
.
Hướng dẫn
1) Thay
9=x
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
A
, ta được
2 9 2 3 2 1
3 7 10
7 9 7
− − −
= = = =
+
++
x
A
x
Vậy
1
10
=A
khi
9=x
.
2)
2 3 1
22
−
= − +
−−
xx
B
x x x x
( ) ( ) ( )
2 3 2
. 2 . 2 . 2
x x x
x x x x x x
−−
= − +
− − −
( ) ( )
( )
( )
2
2
2 3 2 4 4 2
. 2 . 2 . 2
x
x x x x x x
x
x x x x x x
−
− − + + − + −
= = = =
− − −
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 18
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3)
22
:
77
−−
= = =
++
A x x x
P
B
x x x
Ta có
0, 0
7
=
+
x
Px
x
nên
P
luôn xác định.
Để
( )
1 1 1 1 3 7
00
2 4 4 4
77
47
−
−
++
+
x x x
PP
xx
x
Ta có:
( )
0 0 7 7 4 7 28 0 + + x x x x
7 49
3 7 0
39
− x x x
Kết hợp điều kiện, suy ra:
49
0
9
x
và
4x
.
1;2;3;5x
là các giá trị nguyên của
x
.
Vậy
1;2;3;5x
là các giá trị nguyên cần tìm để
1
2
P
.
Câu 20. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề Khảo sát-Đống Đa-20/6/2020)
Cho hai biểu thức:
1x
A
x
+
=
và
1 4 6
33
xx
B
x x x
−−
=−
−−
với
0; 9xx
.
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
36x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Cho
B
P
A
=
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để có giá trị
x
thỏa mãn
1Pm+=
.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
36x =
Thay
36x =
(thỏa mãn điều kiện
0; 9xx
) vào biểu thức
A
ta được:
36 1 6 1 7
66
36
A
++
= = =
Vậy với
36x =
thì
7
6
A =
b) Rút gọn biểu thức
B
Với
0; 9xx
1 4 6
33
xx
B
x x x
−−
=−
−−
( )
1 4 6
3
3
xx
x
xx
−−
=−
−
−
( ) ( )
( )
1 4 6
3
x x x
xx
− − −
=
−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 19
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
46
3
x x x
xx
− − +
=
−
( )( )
( )
23
3
xx
xx
−−
=
−
2x
x
−
=
Vậy với
0; 9xx
thì
2x
B
x
−
=
.
c) Cho
B
P
A
=
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để có giá trị
x
thỏa mãn
1Pm+=
Với
0; 9xx
Ta có:
B
P
A
=
21
:
xx
P
xx
−+
=
2
.
1
xx
P
xx
−
=
+
2
1
x
P
x
−
=
+
Theo bài:
2
1
1
x
m
x
−
+ =
+
2
1
1
x
m
x
−
− =
+
12
1
xx
m
x
+ − +
=
+
3
0
1
m
x
=
+
(Vì
00xx
)
Vì
00xx
11x +
3
3
1x

+
3m
Vì
33
9 3 1 4
4
1
x x x
x
+
+
3
4
m
Từ đó suy ra:
03m
,
3
4
m
thỏa mãn yêu cầu của bài.
Câu 21. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 –EDUFLY - 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
( )
23
3
++
=
−
xx
A
x
và
21 2 2 10
:
99
3
−+

=−

−−
−

xx
B
xx
x
với
0; 9xx
.
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
1
9
=x
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm các giá trị của
x
biết
2
2 3 2AB x=−
.
Hướng dẫn
1) Với
1
9
=x
(thỏa mãn điều kiện xác định).
Thay
1
9
=x
vào biểu thức
( )
23
3
++
=
−
xx
A
x
ta được:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 20
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
11
11
23
2 3 9
99
2 1 3 27
93
8 27 35
1
3 27 24 24
1
39
3
3
9



++
+ +



++
+

= = = = −
−−

−
−


=A
Vậy khi
1
9
=x
thì
35
24
=−A
.
2) Với
0x
;
9x
, ta có
21 2 2 10
:
99
3
−+

=−

−−
−

xx
B
xx
x
( )( )
( )
( )( )
23
21 9
2 10
3 3 3 3
x
xx
x
x x x x

+
−−

= +

+
− + − +

21 2 6 9 2 15
9
2 10 2 10
x x x x x
x
xx
− + + − + −
= =
−
++
( ) ( )
3 5 15
3 5 15
2 10 2 10
x x x
x x x
xx
− + −
− + −
==
++
( ) ( )
( )
( )( )
( )
3 5 3 3 5
3
2
2 5 2 5
x x x x x
x
xx
− + − − +
−
= = =
++
.
Vậy với
0x
;
9x
thì
3
2
x
B
−
=
.
3) Với
0x
;
9x
, ta có
( )
22
23
3
2 3 2 2 3 2
2
3
++
−
= − = −
−
xx
x
AB x x
x
( )
2
2 3 3 2x x x + + = −
2
2 2 2 0x x x + + =
( )
2 1 0x x x x + + =
20x=
(do
10x x x+ +
với mọi
0x
)
00xx = =
(thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy với
0x =
thì
2
2 3 2=−AB x
.
Câu 22. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi khảo sát vào lớp 10- Gia Lâm – 25/6/2020)
Cho hai biểu thức
3
2
x
P
x
+
=
−
;
1 5 2
4
2
xx
Q
x
x
−−
=−
−
+
với
0x
,
4x
.
1) Tính giá trị của biểu thức
P
khi
16x =
.
2) Rút gọn biểu thức
Q
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 21
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3) Tìm giá trị của
x
để biểu thức
P
Q
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
1) Thay
16( )x TMĐK=
vào biểu thức
P
ta có:
16 3 19 19
4 2 2
16 2
P
+
= = =
−
−
Vậy với
16x =
thì
19
2
P =
2) Rút gọn biểu thức
Q
.
1 5 2
4
2
xx
Q
x
x
−−
=−
−
+
1 5 2
4
2
xx
x
x
−−
=+
−
+
( )( )
( )( )
1 2 5 2
22
x x x
xx
− − + −
=
+−
( )( )
3 2 5 2
22
x x x
xx
− + + −
=
+−
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
+−
2
x
x
=
−
3) Tìm giá trị của
x
để biểu thức
P
Q
đạt giá trị nhỏ nhất:
Ta có:
3 3 2 3 3
:.
2 2 2
P x x x x x
x
Q
x x x x x x
+ + − +
= = = = +
− − −
Vì
3
0, 4 0, 0x x x
x
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số
3
,x
x
ta có:
33
2 . 2 3
P
xx
Q
xx
= + =
Dấu “=” xảy ra khi
3
3( )x x TM
x
= =
Vậy
2 3 3
P
Min x
Q
= =
Câu 23. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử Giảng Võ – 28/5/2020)
Cho hai biểu thức:
3
4
x
A
x
=
+
và
6 20
25
5
xx
B
x
x
+
=+
−
−
với
0; 25xx
.
1. Tính giá trị của
A
khi
64x =
.
2. Chứng minh
4
5
x
B
x
+
=
+
.
3. Tìm
x
để
4
.AB
x
=
.
Hướng dẫn
1.Tính
A
khi
64x =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 22
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3 3 64 3.8 24
2
8 4 12
4 64 4
x
A
x
= = = = =
+
++
.
2. Ta xét biểu thức
B
với
0x
;
25x
6 20 6 20
25 25
55
x x x x
B
xx
xx
++
= + = −
−−
−−
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
5
6 20 6 20
5
5 5 5 5 5 5
xx
x x x
x
x x x x x x
+
++
= − = −
−
− + − + − +
( )( ) ( )( )
5 6 20 20
5 5 5 5
x x x x x
x x x x
+ − − − −
==
− + − +
( )( )
( )( )
54
4
5
55
xx
x
x
xx
−+
+
==
+
−+
3. Tìm
x
để
4
.AB
x
=
Với
0; 25xx
.
( )
( )
( )
( ) ( )
34
4 3 4
..
4 5 5
xx
x
AB
xx
x x x
+
= = =
+ + +
3 4 20xx = +
3 4 20 0xx − − =
( )( )
2 3 10 0xx + − =
2( )
10 100
()
39
loai
thoa man
x
xx
=−
= =
.
Vậy với
100
9
x =
thì
4
.AB
x
=
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 23
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 24. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10- Giảng Võ – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
3
1
+
=
+
x
A
x
và
( )( )
2
13
B
12
1
= + +
−
−+
+
xx
xx
xx
với
0; 1xx
1)Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9=x
.
2)Rút gọn biểu thức
B
.
3)Tìm
x
để
4
5
B
.
Hướng dẫn
1) Thay
9=x
(TMĐK) vào biểu thức, ta có:
9 3 3
2
91
+
==
+
A
Vậy khi
9=x
giá trị của
3
2
=A
2) Với
0; 1xx
ta có
( )( )
2
13
12
1
= + −
−
−
+
+
x
x
x
x
x
B
x
( ) ( )
2 1. 1
3
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)
+−
= + −
− + − + − +
x x x
x
x x x x x x
2 1 3
( 1)( 2 )
1
) ( 1)( 2
+ + − −
==
− + −
−
+
x x x x x
x x x x
1
2
+
=
+
x
x
3) Với
0; 1xx
ta có
4
5
B
14
5
2
+

+
x
x
( )
5 5 4 8
0
52
+ − −

+
xx
x
( )
3
0
52
−

+
x
x
30 − x
( vì
( )
5 2 0+x
)
0 9, 1 xx
Vậy để
4
5
B
thì
0 9, 1 xx
Câu 25. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10- Giảng Võ – 2019-2020)
Cho các biểu thức
3 21 2
;
9
3
x
AB
x
x
−
==
−
−
, với
0x
và
9x
.
a) Tính giá trị của biểu thức B khi
16x =
. b) Rút gọn biểu thức
M A B=+
.
c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn
a) Với
16x =
(thỏa mãn ĐKXĐ) thì
22
2
43
16 3
B = = =
−
−
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 24
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
b)
3 21 2( 3)
( 3)( 3)
xx
M
xx
− + +
=
−+
5 15
( 3)( 3)
x
xx
−
=
−+
5
3x
=
+
c) Ta có
5
3
M
x
=
+
nên
52
01
33
M =
.
Mà M là số nguyên nên M = 1.
Do đó
5
1 3 5 2 4
3
x x x
x
= + = = =
+
(Thỏa mãn ĐKXĐ)
Câu 26. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lượng – Hà Đông – 2019-2020)
Cho các biểu thức:
1
3
x
A
x
−
=
−
và
3 5 4
1
11
x
B
x
xx
+
= − +
−
+−
(với
0, 1, 9x x x
).
a) Tính giá trị của
A
khi
36x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Đặt
.P A B=
. Tìm
x
để
P
có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của
A
khi
36x =
.
Thay
36x =
(thảo mãn điều kiện) vào biểu thức
A
, ta được:
36 1 6 1 5
.
6 3 2
36 3
A
−−
= = =
−
−
b) Rút gọn biểu thức
B
.
Ta có:
3 5 4
1
11
x
B
x
xx
+
= − +
−
+−
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 . 1 5. 1
4
1 . 1 1 . 1 1 . 1
x x x
x x x x x x
+ − +
= + +
+ − − + − +
( ) ( )
2 3 5 5 4
1 . 1
x x x
xx
+ − + + +
=
+−
( ) ( )
76
1 . 1
xx
xx
++
=
+−
( ) ( )
66
1 . 1
x x x
xx
+ + +
=
+−
( ) ( )
( ) ( )
1 . 6
6
1
1 . 1
xx
x
x
xx
++
+
==
−
+−
. Vậy
6
1
x
B
x
+
=
−
.
c) Đặt
.P AB=
. Tìm
x
để
P
có giá trị lớn nhất.
Ta có:
1 6 6
..
3 1 3
x x x
P A B
x x x
− + +
= = =
− − −
6 3 9 9
1
3 3 3
xx
P
x x x
+ − +
= = = +
− − −
+) TH1: Với
0 9 3 0 1x x P −
.
+) TH2: Với
9x
mà
x
10x
3 10 3 0x − −
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 25
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Do đó
9 9 9
1
3 10 3 10 3
P
x
+
− − −
Dấu “=” xảy ra
10x=
(thỏa mãn)
Vậy
10x =
thì
P
có giá trị lớn nhất.
Câu 27. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – Hà Đông – 2019-2020)
Cho các biểu thức:
1 3 1
1
++
= + −
++
xx
M
x x x x
và
8
3
N
x
=
+
với
0x
.
a) Tính giá trị của
N
khi
25x =
.
b) Rút gọn biểu thức
M
.
c) Tìm
x
sao cho
MN
.
Hướng dẫn
a)
25=x
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay
25=x
vào biểu thức
8
3
=
+
N
x
ta được:
8 8 8
1
5 3 8
25 3
N = = = =
+
+
.
Vậy khi
25=x
thì
1=N
.
b) Với
0x
. Ta có:
( ) ( ) ( )
1 3 1 1 3 1
1
1 1 1
+ + + + +
= + − = + −
++
+ + +
x x x x x x
M
x x x x
x x x x x x
( ) ( )
1 3 1 3
11
+ + + − − +
==
++
x x x x x x
M
x x x x
( )
( )
3
3
1
1
+
+
==
+
+
xx
x
M
x
xx
Vậy với
0x
thì
3
1
M
x
x
=
+
+
c) Với
0x
, ta có:
38
13
+
++

x
xx
MN
( ) ( )
2
3 8 1 + +xx
(do
3x +
và
1x +
dương)
6 9 8 8 2 1 0 + + + − + x x x x x
( )
2
1 0 1 0xx − − =
(do
( )
2
10x −
với mọi
0x
)
11xx = =
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy với
1x =
thì
MN
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 26
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 28. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lượng lần 1 – Hà Huy Tập – 2019-2020)
Cho biểu thức
1x
A
x
+
=
;
5 2 3
1
11
x
B
x
xx
+
= + +
−
−+
( )
0; 1xx
.
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm
x
để
( )
. 1 1AB x x− −
.
Hướng dẫn
a) Với
4x =
(thỏa mãn điều kiện) . Thay vào
A
, ta có
4 1 3
2
4
A
+
==
.
Vậy với
4x =
thì
3
2
A =
.
b)
5 2 3
1
11
x
B
x
xx
+
= + +
−
−+
( )( )
5 2 3
11
11
x
xx
xx
+
= − +
−+
+−
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
2 1 3 1
5
1 1 1 1 1 1
xx
x
x x x x x x
+−
+
= − +
+ − + − + −
( ) ( )
( )( )
5 2 1 3 1
11
x x x
xx
+ − + + −
=
+−
( )( )
11
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
1
11
xx
xx
+
=
+−
1
x
x
=
−
Vậy
1
x
B
x
=
−
.
c)
( )
. . 1 1AB x x− −
( )
1
. . 1 1
1
xx
xx
xx
+
− −
−
11xx + −
20xx − −
( )( )
2 1 0xx − +
20x −
(vì
1 0, 0xx+
)
24xx
Kết hợp điều kiện:
0 4; 1xx
Vậy với
0 4; 1xx
thỏa mãn điều kiện đề bài .
Câu 29. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS-THPT Hà Thành – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
1
2
x
A
x
+
=
+
và
-11 2 -1
-
- -2 1 -2
x x x
B
x x x x
=+
+
với
0; 4.xx
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9x =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 27
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2) Chứng minh rằng
6
1
x
B
x
+
=
+
3) Tìm
x
để
.AB
có giá trị nguyên
Hướng dẫn
1) Thay
9x =
(TMĐK) vào A ta được:
9 1 4
5
92
A
+
==
+
Vậy
4
5
A =
khi
9x =
2)
11 2 1
2 1 2
x x x
B
x x x x
−−
= − +
− − + −
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 1 1
11
1 2 1 2 1 2
x x x x
x
x x x x x x
− − +
−
= − +
+ − + − + −
( )( )
11 2 2 2 1
12
x x x x x x
xx
− − + + + − −
=
+−
( )( )
4 12
12
xx
xx
+−
=
+−
( )( )
( )( )
26
12
xx
xx
−+
=
+−
( )
( )
6
1
x
x
+
=
+
3)
1 6 6 4
. . 1
2 1 2 2
x x x
AB
x x x x
+ + +
= = = +
+ + + +
Có
0x
với mọi
x
TMĐK
0x
22x +
11
2
2x

+
4
2
2x

+
( )
4
1 3 . 3 1
2
AB
x
+
+
Có
20x +
với mọi
x
TMĐK
4
0
2x

+
4
11
2x
+
+
( )
. 1 2AB
Từ
( ) ( )
1 , 2 1 . 3AB
Mà
. . 2;3A B Z A B =
Với
.2AB=
6
2
2
x
x
+
=
+
6 2 4xx + = +
2x − = −
4x=
(loại)
Với
.3AB=
6
3
2
x
x
+
=
+
6 3 6xx + = +
20x − =
0x=
(TM)
Vậy
0x =
thì
.AB
có giá trị nguyên
Câu 30. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 - THCS Hai Bà Trưng – 2019-2020)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 28
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức:
4
5
x
A
x
=
−
và
2 1 5 2
1 2 2
xx
B
x x x x
−−
= + +
− + + −
với
0, 1, 25x x x
1) Tính giá trị của biểu thức
A
tại
9x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm số tự nhiên
x
lớn nhất sao cho
4
A
B
Hướng dẫn
1) Với
0, 25xx
ta có
4
5
x
A
x
=
−
Ta thấy
9x =
thỏa mãn điều kiện xác định
Thay
9x =
vào biểu thức
A
ta được:
4 9 4 3 12
6
3 5 2
95
A
= = = −
−
=
−
−
.
2) Ta có
2 1 5 2
1 2 2
xx
B
x x x x
−−
= + +
− + + −
với
0, 1, 25x x x
.
( )( )
( )( ) ( )( )
2 2 1
52
1 2 1 2
B
x x x
x
x x x x
− + −
−
+=
− + − +
+
( )( )
15
1
4 2
2
x xx
xx
− + −
−
−
=
+
+
( )( )
( )
( )( )
1
2
1 2 1 2
xx
xx
x
x x x
x
x
−
==
+
=
+
− + −
−
.
3)
( )
2
2
5
4
5
4 x
A x x
B
x x x
+
+
= =
−−
.
Ta có
2
4 1 0 5 0 5 25
55
7Ax
x x x
B
xx
+
−
−−
.
Kết hợp điều kiện xác định suy ra
0 25, 1xx
Vì
x
là số tự nhiên lớn nhất nên
24x =
.
Câu 31. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THPT Hoàng Mai – 2020-2021)
Cho biểu thức:
1 2 1
:
1
1 1 1
x x x
P
x
x x x x x x x x x
+
= − +
+
− − + − + +
(với
0; 1xx
)
a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) Tìm
x
để
2Px=−
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 29
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c)Tìm
m
để có
x
thỏa mãn
( )
1x P m x+ = −
.
Hướng dẫn
a) Với
0x
;
1x
ta có:
1 2 1
:
1
1 1 1
x x x
P
x
x x x x x x x x x
+
= − +
+
− − + − + + +
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1 2 1
:
1
1 1 1 1 1
xx
x
x
x x x x x x x

+


= − +



+
− + − + + + +


( )
( )
( )
( )
( )
1
1 2 1
:
1
1
1 1 1 1
xx
x
x
x
x x x x
+
= − +
+
−
+ − + +
( )
( )
1 2 1
:
1
11
x x x
x
xx
+ − +
=
+
+−
( )
( )
( )
2
1
1
.
1
11
x
x
x
xx
−
+
=
+
+−
1
1
x
x
−
=
+
Vậy
1
1
x
P
x
−
=
+
với
0x
;
1x
b) Với
0x
;
1x
ta có:
2Px=−
1
2
1
x
x
x
−
= −
+
( )( )
1 2 1x x x − = − +
12x x x − = − −
2 1 0xx − − =
( )
2
12x − =
12
12
x
x
−=
− = −
12
12
x
x
=+
=−
3 2 2x = +
(thỏa mãn điều kiện).
b) Với
0; 1xx
ta có:
( )
1+ = −x P m x
( )
1
1
1
−
+ = −
+
x
x m x
x
1 − = −x m x
1 + = +x x m
Có
00xx
1 0 1mm + −
Có
1 1 1 1 1x m m + +
Vậy với
1; 1mm −
thì có
x
thỏa mãn
( )
1x P m x+ = −
Câu 32. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Hoàng Mai – 2020-2021)
1) Cho biểu thức
5x
A
x
+
=
với
0x
. Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 30
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2) Cho biểu thức
1 3 1 1
.
1
1
x x x
B
x
xx

+ + −
=−


−
−

, với
0x
và
1x
.
a) Chứng minh
1
1
x
B
x
−
=
+
.
3) Tìm
x
để
( )
1 2 2 3B x x x+ − −
.
Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
Ta có
4x =
(tmđk), thay
4x =
vào biểu thức
A
ta được
5 4 5 7
2
4
x
A
x
++
= = =
Vậy
7
2
A =
khi
4x =
.
2)
a)
1 3 1 1
.
1
1
x x x
B
x
xx

+ + −
=−


−
−

( )
( )( )
2
1
3 1 1
.
1
11
x
xx
x
x
xx

+
+−

=−

−
−+


( ) ( )
( )( )
2
1 3 1
1
.
11
xx
x
x
xx

+ − +
−

=

−+


( )( )
1
.
11
x x x
x
xx

−−

=

−+

( )
( )( )
1
1
.
11
xx
x
x
xx

−
−

=

−+

( )
1
.
1
xx
x
x

−

=

+

1
1
x
x
−
=
+
Xét
( )
1 2 2 3B x x x+ − −
Biến đổi được
( )( )
2 1 2 0xx+ −
Vì
0 2 1 0xx +
( )
20x −
4x
.
Kết hợp với điều kiện được
04x
và
1x
.
Vậy:
04x
và
1x
thì
( )
1 2 2 3B x x x+ − −
Câu 33. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề kiểm tra HK2 – Phòng GD Quận Hoàng Mai – 2020-2021)
Cho hai biểu thức
1
2
x
A
x
−
=
+
và
24
4
2
xx
B
x
x
−
=−
−
+
với
0; 4.xx
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9.x =
b) Chứng minh
2
2
x
B
x
−
=
+
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 31
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Đặt
:.P A B=
Tìm các giá trị của
x
để
2 2 1Px=+
.
Hướng dẫn
a) Thay
9x =
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
A
ta được
9 1 3 1 2
3 2 5
92
A
−−
= = =
+
+
b)
24
4
2
xx
B
x
x
−
=−
−
+
( )( )
( 2) 2 4
22
x x x
xx
− − +
=
−+
( )( )
44
22
xx
xx
−+
=
−+
( )
( )( )
2
2
22
x
xx
−
=
−+
2
2
x
x
−
=
+
c)
1 2 1 2 1
: : .
2 2 2 2 2
x x x x x
P A B
x x x x x
− − − + −
= = = =
+ + + − −
2 2 1Px=+
1
2. 2 1
2
x
x
x
−
= +
−
( ) ( )( )
2 1 2 1 2x x x − = + −
2 2 2 3 2x x x − = − −
2 5 0xx − =
( )
2 5 0xx − =
( )
( )
0
0
25
5
4
2
thoûa maõn
thoûa maõn
x
x
x
x
=
=

=
=
. Vậy: …
Câu 34. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Ba Vì – 2019-2020)
Cho biểu thức
2 3 3
9
33
x x x
A
x
xx
+
= + −
−
+−
và
22
1
3
x
B
x
−
=−
−
với
0x
và
9x
a) Tính giá trị của
B
với
16x =
.
b) Rút gọn biểu thức
:S A B=
.
c) Tìm giá trị của
m
để phương trình
.x S m=
có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của
B
với
16x =
Với
16x =
thỏa mãn điều kiện nên ta có:
2 16 2
1
16 3
B
−
=−
−
2.4 2
1
43
−
=−
−
82
1
1
−
=−
5=
Vậy giá trị của
B
là
5
tại
16x =
.
b) Rút gọn biểu thức
:S A B=
.
2 3 3 2 2
: : 1
9
3 3 3
x x x x
S A B
x
x x x
+−
= = + − −
−
+ − −
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 32
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( ) ( )
( )
( )
2 3 3 3 3 2 2 3
:
9
3
x x x x x x x
x
x
− + + − + − − −
=
−
−
2 6 3 3 3 2 2 3
:
9
3
x x x x x x x
x
x
− + + − − − − +
=
−
−
3 3 1
:
9
3
xx
x
x
− − +
=
−
−
( )
( )( )
31
3
.
1
33
x
x
x
xx
−+
−
=
+
−+
( )
3
3x
−
=
+
c) Tìm giá trị của
m
để phương trình
.x S m=
có nghiệm duy nhất.
Ta có
.x S m=
( )
3
.
3
xm
x
−
=
+
( )
1
( )
33x m x − = +
33x m x m − = +
( )
33m x m + =
Với
3m −
thì
3
3
m
x
m
=
+
Vì
0, 9xx
nên
30
3
30
0
0
3
30
33
3
30
3
3 3 9
m
m
m
m
m
m
mm
m
m
mm

+

+

−


+
+
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 33
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 35. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề KS vào 10 - THCS Khương Mai - 2019-2020)
Cho hai biểu thức :
3
3
x
A
x
+
=
−
và
7 3 2 1
5 6 2 3
x x x
B
x x x x
− + +
= + +
− + − −
, với
0x
,
4x
,
9x
.
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
8
35
x =
−
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm GTNN của
B
A
.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
8
35
x =
−
.
( )
( )
8 3 5
8
2 3 5 6 2 5
95
35
x
+
= = = + = +
−
−
(TMĐK:
0x
,
4x
,
9x
).
( )
2
6 2 5 5 1 5 1 5 1x = + = + = + = +
.
Thay
51x =+
vào biểu thức
A
ta có:
( )( )
( )( )
5
5 42
3 3 4 13
5
5 1 5 65
13 6
54
3 3 2
2
5
5 2
51
5
x
A
x
++
+
+ + +
= = = = = = +
−
+
+
− − −
−
+
.
Vậy giá trị của biểu thức
13 6 5A =+
khi
8
35
x =
−
.
b) Rút gọn biểu thức
B
với
0x
,
4x
,
9x
7 3 2 1
5 6 2 3
x x x
B
x x x x
− + +
= + +
− + − −
( )( )
7 3 2 1
23
23
x x x
xx
xx
− + +
= − +
−−
−−
( )( ) ( )( )
( )( )
7 3 3 2 1 2
23
x x x x x
xx
− − + − + + −
=
−−
( )
( )( )
7 2 3 2
23
9x x x
x
x
x
− − + − −
−
−
=
−
( )( )
2
23
xx
xx
−
=
−−
( )
( )( )
2
23
xx
xx
−
=
−−
3
x
x
=
−
.
Vậy
3
x
B
x
=
−
với
0x
,
4x
,
9x
.
c) Tìm GTNN của
B
A
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 34
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
33
: . 1
3 3 3 3
3
3 3
33
3
B
x
x x x x
xx
xx
A
x x x x
+−
= = −
−−
−
+
==
− +
+
+ +
=
.
Với
0x
,
4x
,
9x
thì:
3 3 3
0 3 3 1 1 1 0
3 3 3
xx
x x x
+ − − −
+ + +
0
B
A

.
Dấu “=” xảy ra khi
0x =
.
Vậy
min 0
B
A
=
khi
0x =
.
Câu 36. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi HK2 - THCS Khương Thượng - 2019-2020)
Cho
1
1
1
x
P
x
x
=+
−
−
và
1
1
Q
x
=
−
với
0x
;
1x
.
a) Tính giá trị của biểu thức
Q
khi
16x =
.
b) Rút gọn
:M P Q=
.
c) Tìm
x
để
3
2
M
.
Hướng dẫn
a) Thay
16x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
Q
ta được:
1 1 1
4 1 3
16 1
Q = = =
−
−
.
Vậy với
16x =
thì
1
3
Q =
.
b)
:M P Q=
11
:
1
11
x
M
x
xx

=+


−
−−

( )( )
11
:
11
11
x
xx
xx


=+

−−
−+

( )( )
2 1 1
.
1
11
xx
xx

+−

=

−+

21
1
x
x
+
=
+
.
c) Khi
3
2
M
thì
3
0
2
M −
2 1 3
0
2
1
x
x
+
−
+
( )
1
0
21
x
x
−

+
Vì
( )
2 1 0x +
với mọi
0x
nên
( )
1
0
21
x
x
−
+
10x −
1x
1x
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 35
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy kết hợp với điều kiện đề bài
01x
thì
3
2
M
.
Câu 37. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Phòng GD Ứng Hòa - 2019-2020)
Cho hai biểu thức
4
5
A
x
x
=
−
và
2 1 5 2
1 2 2
xx
xx
B
xx
−−
++
− + + −
=
(với
0x
,
251,xx
).
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm số tự nhiên
x
lớn nhất sao cho
4
A
B
.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9x =
.
Với
0x
,
25x
, ta có
4
5
A
x
x
=
−
Thay
9x =
( thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức
A
ta được:
4.3
3
2
6
25
1
A =
−−
=−=
.
Vậy
9x =
thì
6A =−
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
Với
0x
,
1x
ta có
2 1 5 2
1 2 2
xx
xx
B
xx
−−
++
− + + −
=
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
22
1 5 2
1 2 1 2 1 2
xx
x
x x x
B
x
x x x
−+
−−
++
− + − + − +
=
( )( )
1 5 2
1
4
2
xx
xx
x
B
− + −
−
+
=
+
−
-
( )( )
( )
( )( )
1
2
1 2 1 2
xx
xx
x
x x x
x
B
x
−
==
+
− + − +
−
=
.
c) Tìm số tự nhiên
x
lớn nhất sao cho
4
A
B
.
Với
0x
,
1x
,
25x
, ta có:
( )
2
42
55
4 x
A x x
B
x x x
+
+
= =
−−
.
( )
42
2
4 4 1
55
x
Ax
B
xx
+
+
−−
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 36
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
7
0 5 0 5 25
25
x x x
xx
−
+−
.
Kết hợp điều kiện suy ra
0 25, 1xx
Vậy số tự nhiên
x
lớn nhất sao cho
4
A
B
là
24x =
.
Câu 38. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Kim Giang – 2019-2020)
Cho biểu thức:
2
=
+
x
A
x
và
1 1 1
:
1 2 1
−

=−

+ + + +

x
B
x x x x x
, (với
0x
;
1x
)
a) Tính giá trị của
A
khi
16
25
=x
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm các giá trị nguyên của tham số
m
sao cho tồn tại
x
thỏa mãn:
15−=AB m
.
Hướng dẫn
a)
16
25
=x
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay
16
25
=x
vào biểu thức
2
=
+
x
A
x
ta được:
16
4
4 14 4 5 2
25
5
:
4
5 5 5 14 7
16
2
2
5
25
= = = = =
+
+
A
.
Vậy khi
16
25
=x
thì
2
7
=A
.
b) Với
0x
;
1x
. Ta có:
1 1 1
:
1 2 1
−

=−

+ + + +

x
B
x x x x x
( ) ( )
( )
2
11
:
11
1

−

=−

++
+

xx
B
x x x x
x
( )
( )
2
1
11
1
1
+
−+
= = −
−
+
x
xx
B
xx
xx
Vậy với
0x
;
1x
thì
1+
=−
x
B
x
c) Với
0x
;
1x
Ta có:
1
1 5 1 5
2

+
= − = − −


+

xx
m AB
xx
5 5 5
16
22
+
= + = −
++
x
xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 37
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vì
11
0 2 2
2
2
+
+
xx
x
5 5 5 7
6
22
22
− − = −
++
m
xx
( )
1
Mặt khác:
5
00
2
+
x
x
5
66
2
= −
+
m
x
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
7
6
2
m
, mà
4 =mm
hoặc
5=m
Thử lại:
Với
5
42
2
m
x
= =
+
5 1 1
2
2 2 4
x x x+ = = =
(thỏa mãn)
Với
5
51
2
m
x
= =
+
2 5 3 9x x x+ = = =
(thỏa mãn)
Vậy với
4;5m
tồn tại
x
thỏa mãn:
15−=AB m
.
Câu 39. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS CLC Lê Lợi – 2019-2020)
1. Cho biểu thức:
9
3
x
A
x
−
=
+
. Tính giá trị của biểu thức
A
khi
25x =
.
2. Rút gọn biểu thức:
24
:
2 2 2
xx
B
x x x

+
=+


+ − −

với
0x
;
4x
.
3. Với các biểu thức
,AB
nói trên tìm giá trị của
x
để
.AB
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
1. ĐKXĐ của
A
là
0x
.
Thay
25x =
(TMĐK) vào biểu thức
A
ta được:
25 9
2
25 3
A
−
==
+
Vậy giá trị của biểu thức
A
khi
25x =
là
2
2.
24
:
2 2 2
xx
B
x x x

+
=+


+ − −

( )( )
2 2 4 2
.
4
22
x x x x
x
xx
− + + +
=
+
+−
( )( )
42
.
4
22
xx
x
xx
+−
=
+
+−
1
2x
=
+
.
Vậy
1
2
B
x
=
+
với
0x
;
4x
.
3. Ta có:
93
..
32
xx
AB
xx
−−
=
++
( )( )
33
1
.
32
xx
xx
+−
=
++
35
1
22
x
xx
−
= = −
++
2 2 0xx+
1 1 5 5
22
22xx
−−
++
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 38
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3
.
2
AB−
Dấu "=" xảy ra khi
0x =
.
KL: Giá trị nhỏ nhất của
.AB
là
2
3
−
tại
0x =
.
Câu 40. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
13
x
A
x
=
+
và
3 2 1
9
33
x
B
x
xx
+
= + −
−
+−
(
0x
,
9x
)
1) Tính giá trị biểu thức
A
tại
49x =
2) Rút gọn biểu thức
B
3) Cho
tìm
x
để
3P
.
Lời giải
1) Thay
49x =
(TMĐK) vào
A
ta có:
49 7
22
1 3 49
A ==
+
Vậy
7
22
A =
tại
49x =
2) Với
0x
,
9x
ta có:
3 2 1
9
33
x
B
x
xx
+
= + −
−
+−
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
23
33
3 3 3 3 3 3
x
xx
x x x x x x
−
++
= + +
+ − + − + −
( )( )
3 2 6 3
33
x x x
xx
+ + − + +
=
+−
( )( )
3
33
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
3
33
xx
xx
+
=
+−
3
x
x
=
−
3) Ta có:
:P B A=
:
3 1 3
xx
xx
=
−+
1 3 1 3
.
33
x x x
x x x
++
==
−−
13
33
3
x
P
x
+
−
13
30
3
x
x
+
−
−
1 3 3 9
0
3
xx
x
+ − +

−
10
0
3x

−
30x −
3x
9x
Kết hợp điều kiện cho :
09x
thì
3P
Câu 41. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 39
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức:
1
1
x
A
x
−
=
+
và
6 2 1
:
4
22
xx
B
x
xx

−+
=+


−
+−

( với
0x
,
4x
)
1) Tính giá trị của biểu thức
A
với
16x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
( )
10B x x x m+ + − − =
có nghiệm
x
.
Hướng dẫn
1) Thay
16x =
(thỏa mãn), ta có:
1 16 1 4 3
1 4 5
1 16
A
− − −
= = =
+
+
2)
( )
( )( )
6 2 2
1
:
2
22
xx
x
B
x
xx

− + −
+

=

−
+−

( )( )
22
.
1
22
xx
x
xx
+−
=
+
+−
1
1x
=
+
3) Để
( )
10B x x x m+ + − − =
có nghiệm
10x x m − − + =
(1) có nghiệm
Đặt
xt=
( )
2
1 1 0t t m − − + =
(2) có nghiệm
0t
và
2t
Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là
( )
3
1 4 1 0
4
mm− −
Trong đó
1, 1S P m= = −
Nếu
1 0 1mm−
thì phương trình (2) tồn tại nghiệm không âm.
Nếu
1 0 1mm−
thì phương trình (2) có nghiệm cùng dấu. Để có nghiệm không âm thì
10
( luôn
đúng).
Vậy với mọi m thì phương trình (2) luôn có nghiệm không âm.
Điều kiện để phương trình (2) có hai nghiệm là
2 4 2 1 0 3t m m − − +
.
Vậy
3
,3
4
mm
thì phương trình (1) có nghiệm.
Câu 42. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020)
Cho biểu thức
2x
A
x
+
=
;
11
4
22
x
B
x
xx
= + +
−
−+
(
0; 4xx
)
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
3 2 2x=−
.
b) Rút gọn biểu thức
B
và tính
A
P
B
=
.
c) Tìm
x
thỏa mãn:
10 29 25xP x x − − −
.
Hướng dẫn
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 40
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a)
3 2 2x=−
( )
2
2 2 2 1= − +
( )
2
21=−
(thỏa mãn điều kiện)
( )
2
21x = −
21=−
21=−
Thay
21x =−
vào biểu thức
A
ta được:
2 1 2
21
A
−+
=
−
21
21
+
=
−
( )
2
21=+
3 2 2=+
.
b) Với
0; 4xx
ta có:
+
11
4
22
x
B
x
xx
= + +
−
−+
( ) ( )
( )( )
22
22
x x x
xx
+ + + −
=
+−
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
+−
2
x
x
=
−
+
2
:
2
A x x
P
B
xx
+
==
−
22
.
xx
xx
+−
=
4x
x
−
=
.
c) Ta có
10 29 25xP x x − − −
4
. 10 29 25
x
x x x
x
−
− − −
điều kiện:
25x
4 10 29 25x x x − − − −
4 10 29 25 0x x x − − + + −
( )
10 25 25 0x x x − + + −
( )
2
5 25 0xx − + −
(1)
Ta có
( )
2
50
25 0
x
x
−
−
x
( )
2
5 25 0xx − + −
x
(2)(thỏa mãn điều kiện
25x
)
Từ (1), (2)
( )
2
5 5 0xx − + − =
khi
( )
2
50
25 0
x
x
−=
−=
25x=
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
25x=
là giá trị cần tìm.
Câu 43. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 4 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
2
1
x
A
x
−
=
−
;
23
11
x
B
x x x
+
=+
+ − −
; với
0; 1; 4x x x
1) Tính giá trị của biểu thức
A
tại
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Biết
36 .M AB=
. Tìm số tự nhiên
x
để
M
là số chính phương.
Hướng dẫn
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 41
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1) Thay
( )
25x TMDK=
vào biểu thức
A
ta được
25 2 5 2 3 1
25 1 24 24 8
A
−−
= = = =
−
. Vậy
25x =
thì
1
8
A =
.
2) Ta có:
( )( )
2 3 2 3
1 2 1
12
xx
B
x x x x
xx
++
= + = +
+ − − +
+−
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
22
3 4 3
1 2 1 2 1 2
xx
x
x x x x x x
+−
−+
= + =
+ − + − + −
( )( )
( )( )
( )( )
11
11
2
1 2 1 2
xx
xx
x
x x x x
−+
−−
===
−
+ − + −
3)
2 1 36
36 . 36. .
1
21
xx
M A B
x
xx
−−
= = =
−
−+
x
là số tự nhiên thì
x
là số tự nhiên hoặc số vô tỷ. Để
M
là số chính phương thì
x
là số tự nhiên khi
đó
( )
1x +
là ước chính phương của
36
. Khi đó
1 1;4;9;36x +
( )
1x +
1
4
9
36
x
0
3
8
35
x
0
9
64
1225
TM
TM
TM
TM
Vậy
0;9;64;1225x
thì
M
là số chính phương.
Câu 44. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Long Biên – 2019-2020)
Cho các biểu thức:
5
3
x
A
x
+
=
−
và
4 2 13
9
33
x x x
B
x
xx
−−
= + −
−
+−
(với
0x
;
9x
).
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
b) Đặt
B
P
A
=
. Chứng minh
5
3
x
P
x
−
=
+
.
c) Tính giá trị của
x
nguyên nhỏ nhất để
P
có giá trị nguyên.
Hướng dẫn
a) Thay
4x =
(thỏa mãn) vào biểu thức
A
ta có:
57
7
1
3
x
A
x
+
= = = −
−
−
Vậy với
4x =
thì
7A =−
.
b)
4 2 13
9
33
x x x
B
x
xx
−−
= + −
−
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 42
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
( )( )
( )
4 3 3
2 13
33
33
x x x
xx
xx
xx
−+
−−
= + −
+−
−+
( )( )
4 12 2 13 3
33
x x x x x
xx
− + − − − −
=
−+
( )( )
25
33
x
xx
−
=
−+
( )( )
( )( )
55
33
xx
xx
−+
=
−+
B
P
A
=
nên
5
3
x
P
x
−
=
+
.
c)Tính giá trị nguyên của
B
P
A
=
.
Ta có:
58
1
33
x
P
xx
−
= = −
++
.
Để
P
đạt giá trị nguyên thì
8
3x
−
.
Khi đó
( )
83x −
tức
( )
8
3 1; 2; 4; 8xU− =
Ta có bảng sau :
3x −
1
-1
2
-2
4
-4
8
-8
x
4
2
5
1
7
-1
11
-5
x
16
4
25
1
49
Không
thỏa mãn
121
Không
thỏa mãn
Mà
x
nguyên nhỏ nhất nên kết hợp với điều kiện xác định thì
1x =
thỏa mãn điều kiện đề bài.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 43
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 45. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 lần 3 – THCS Lương Thế Vinh – 2020-2021)
Cho các biểu thức
3−
=
x
A
x
và
2 2 1 1
4
22
−−
= + +
−
+−
x x x
B
x
xx
với
0x
,
4x
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4 2 3 3= + −x
2) Rút gọn biểu thức
B
3) Tìm
m
để có
x
thỏa mãn:
. =A B m
Hướng dẫn
1)
( )
2
4 2 3 3 3 2. 3.1 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1= + − = + + − = + − = + − = + − =x
Giá trị
1=x
thỏa mãn điều kiện
0x
,
4x
. Thay
1=x
vào biểu thức
A
ta được:
1 3 1 3 2
2
11
1
− − −
= = = = −A
Vậy
2=−A
khi
4 2 3 3= + −x
2) Với
0x
,
4x
ta có:
2 2 1 1
4
22
−−
= + +
−
+−
x x x
B
x
xx
2 2 1 1
( 2)( 2) 2 2
−−
= + −
− + + −
x x x
x x x x
2 2 2 ( 1)( 2)
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
− − − +
= + −
− + − + − +
x x x x x
x x x x x x
2 2 2 ( 2 2)
( 2)( 2)
− + − − + − −
=
−+
x x x x x x
xx
2 2 2 2 2
( 2)( 2)
− + − − − + +
=
−+
x x x x x x
xx
2
( 2)( 2)
−
=
−+
xx
xx
( 2)
( 2)( 2)
−
=
−+
xx
xx
2
=
+
x
x
Vậy
2
=
+
x
B
x
Với
0x
,
4x
3) Tìm
m
để có
x
thỏa mãn:
. =A B m
Cách 1:
Với
0, 4xx
ta có:
3 3 5
. . 1
2 2 2
x x x
A B m m m m
x x x x
−−
= = = = −
+ + +
Mà:
5
11
2
3
1
53
2
1
1
2
2
4
51
1
4
2
−
+
−
− −

+

−
− −
+
x
m
x
m
x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 44
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy
3
1
2
− m
,
1
4
−m
thì có
x
để
. =A B m
Cách 2:
3
..
2
−
= =
+
xx
A B m m
xx
3
2
−
=
+
x
m
x
(1 ) 2 3 − = +m x m
Xét
1=m
, thay vào phương trình trên ta được: 0=3 ( vô lý)
Xét
1m
23
1
m
x
m
+
=
−
với điều kiện
0x
,
4x
0
2
x
x
23
0
1
23
2
1
+
−
+
−
m
m
m
m
3
1
2
1
4
−
−
m
m
Câu 46. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – THCS Lương Thế Vinh – 2020-2021)
Cho biểu thức
15 2 5
9
33
x x x
A
x
x x x
++
= − +
−
−+
và
83
14
x
B
−
=
với
0; 9xx
.
a) Rút gọn biểu thức
A
.
b) Tìm
x
sao cho
2AB=
.
c) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của
x
để
A
nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn
a) Rút gọn
A
.
15 2 5
9
33
x x x
A
x
x x x
++
= − +
−
−+
(
0; 9xx
)
( )( ) ( )
15 2 5
3
3 3 3
x x x
A
x
x x x x
++
= − +
+
− + −
( ) ( ) ( )( )
( )( )
15 3 3 2 5
33
x x x x x x x
A
x x x
+ − + + − +
=
−+
( )( )
( )( )
15 3 3 2 5
33
x x x x x x x x
A
x x x
+ − − + − +
=
−+
( )( )
15 3 2 5 6 15
33
x x x x x x x x x x
A
x x x
+ − − + + − −
=
−+
( )( )
3
33
x x x
A
x x x
−
=
−+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 45
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
( )( )
3
33
xx
A
x x x
−
=
−+
3
x
A
x
=
+
b)
2AB=
83
2
14
3
xx
x
−
=
+
16 6
14
3
xx
x
−
=
+
16 6
0
14
3
xx
x
−
− =
+
( )
( )( )
( )
3 16 6
14
0
14 3 14 3
xx
x
xx
+−
− =
++
( )( )
14 3 16 6 0x x x − + − =
( )
14 16 6 48 18 0x x x x − − + − =
14 16 6 48 18 0x x x x − + − + =
28 16 18 0xx − − + =
16 28 18 0xx − − + =
8 14 9 0xx + − =
8 18 4 9 0x x x + − − =
( ) ( )
2 4 9 4 9 0x x x + − + =
( )( )
2 1 4 9 0xx − + =
2 1 0x − =
(Vì
4 9 0)x +
21x=
1
2
x=
1
4
x=
(thỏa mãn)
c) Ta có với
0
3
0; 9x x A
x
x
=
+
Lại có :
3
1 1 0 1
3
A
x
A −
+
=
Vậy không tồn tại giá trị của
x
để
A
nhận giá trị là số nguyên.
Câu 47. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Lý Nam Đế - 2019-2020)
Với
0, 4xx
và
9x
, cho hai biểu thức
11
4
22
x
A
x
xx
= + +
−
−+
và
2
3
x
B
x
−
=
−
.
1) Tính giá trị của
B
khi
36x =
.
2) Chứng minh
2
x
A
x
=
−
.
3) Tìm số tự nhiên
x
để
( )
1P B A= −
đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
1) Thay
36x =
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
B
ta được
36 2 6 2 4
6 3 3
36 3
B
−−
= = =
−
−
.
2) Điều kiện:
0x
,
4x
,
9x
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 46
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
1 1 2 2
4
22
22
x x x x
A
x
xx
xx
+ + + −
= + + =
−
−+
−+
( )( )
2
2
22
x x x
x
xx
+
==
−
−+
.
3) Ta có
( )
2
. 1 . 1
32
xx
P B A
xx

−
= − = −

−−

2 2 2 2 2
..
3 2 3 2 3
x x x x
x x x x x

− − + −
= = =

− − − − −

Với
09x
và
4x
thì
3 0 0xP−
.
Với
9x
thì
30x −
0P
.
Có
9x
mà
x
10x
10 3 10 3xx − −
22
6 2 10
3 10 3
P
x
+
−−
.
Dấu
""=
xảy ra
10x =
(thỏa mãn).
Vậy với
x
thì giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
.1P B A=−
là
6 2 10+
khi
10.x =
Câu 48. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 5- THCS Lý Nam Đế - 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
6+
=
x
A
x
và
4 6 2
4
22
−
= + −
−
+−
xx
B
x
xx
với
0x
;
4x
1. Tính giá trị của biểu thức
A
khi
36=x
2. Rút gọn biểu thức
B
3. Với
x
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.=P A B
Hướng dẫn
1. Thay
36=x
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
A
, ta có:
36 6 6 6 12
2
66
36
++
= = = =A
Vậy
2=A
khi
36=x
.
2.
4 6 2
4
22
−
= + −
−
+−
xx
B
x
xx
với
0x
;
4x
( )( )
4 6 2
22
22
xx
xx
xx
−
= + +
+−
−+
( ) ( )
( )( )
4 6 2 2 2
22
x x x x
xx
− + − + +
=
−+
( )( )
4 6 2 4 2
22
x x x x
xx
− + − + +
=
−+
( )( )
2
22
xx
xx
−
=
−+
( )
( )( )
2
22
xx
xx
−
=
−+
2
x
x
=
+
( )
0; 4xx
3.
.=P A B
( )
x
6
.
2
+
=
+
xx
P
xx
6 2 4 4
1
2 2 2
xx
x x x
+ + +
= = = +
+ + +
( )
ax
4
max 2 min min min.
2
m
P x x x
x
+
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 47
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Kết hợp với
0x
,
4x
,
x
, ta suy ra
1x =
.
Với
7
1
3
xP= =
.
Vậy
7
3
MaxP =
khi
1x =
.
Câu 49. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Marie Curie – 2019-2020)
Cho các biểu thức:
1
x
A
x
=
+
và
1 2 10 5
2 3 5 6
x x x
B
x x x x
− + −
= + −
− − − +
, với
0; 4; 9x x x
a) Tính giá trị của
A
khi
25x =
.
b) Rút gọn B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
:P A B=
.
a) Thay
25x =
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
A
ta có:
5
6
1
x
A
x
==
+
.
Vậy với
25x =
thì
5
6
A =
.
b) Ta có:
1 2 10 5
2 3 5 6
x x x
B
x x x x
− + −
= + −
− − − +
( )( )
1 2 10 5
23
23
x x x
xx
xx
− + −
= − −
−−
−−
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
1 . 3 2 2 10 5
23
x x x x x
xx
− − − + − − −
=
−−
( )( )
4 3 4 10 5
23
x x x x
xx
− + − + − +
=
−−
( )( )
3
23
x
xx
−
=
−−
1
2x
=
−
.
c) Tính giá trị nhỏ nhất của
:P A B=
.
Ta có:
12
:
1 2 1
x x x
P
x x x
−
==
+ − +
33
3 1 4
11
P x x
xx
= − + = + + −
++
.
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có:
( )
33
1 2 1 . 2 3
11
xx
xx
+ + + =
++
Từ đó ta có:
3
1 4 2 3 4
1
x
x
+ + − −
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 48
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
1
1
x
x
+=
+
( )
2
13x + =
( )
2
3 1 4 2 3x = − = −
(thỏa mãn điều
kiện xác định).
Vậy
P
đạt giá trị nhỏ nhất là
2 3 4−
khi
4 2 3x =−
.
Câu 50. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi HK2 – THCS Mỹ Đình 1 – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
9
3
x
A
x
−
=
−
và
3 2 5 3
9
33
xx
B
x
xx
−−
= + +
−
−+
với
0; 9xx
.
1) Khi
81x =
hãy tính giá trị của biểu thức
A
2) Rút gọn biểu thức
B
3) Với
9x
tìm giá trị nhỏ nhất B của biểu thức
.P A B=
Hướng dẫn
1) Giá trị
81x =
thỏa mãn điều kiện
0; 9xx
,thay vào biểu thức
A
ta được:
81 9 72 72
12
9 3 6
81 3
A
−
= = = =
−
−
Vậy khi
81x =
thì
12A =
2) Với
0; 9xx
ta có
3 2 5 3
9
33
xx
B
x
xx
−−
= + +
−
−+
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
3 3 2 3
53
3 3 3 3 3 3
xx
xx
x x x x x x
+−
−−
= + +
− + − + − +
( ) ( )
( )( ) ( )( )
3 3 2 3 5 3
3 9 2 6 5 3
3 3 3 3
x x x x
x x x x
x x x x
+ + − + − −
+ + − + − −
==
− + − +
( )( )
9
33
xx
x
xx
==
−
−+
Vậy
9
x
P
x
==
−
Với
0; 9xx
3) Ta có:
( )( )
3 3 9
9 9 9
..
9
3 3 3 3
xx
x x x x
P A B
x
x x x x
− + +
− − +
= = = = =
−
− − − −
99
3 3 6
33
xx
xx
= + + = − + +
−−
vì
9
9 3 3 0 0
3
vµ x x x
x
−
−
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với 2 số không âm ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 49
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
99
3 2 3 . 6
33
9
3 6 12
3
12
hay
xx
xx
x
x
P
− + − =
−−
− + +
−
. Dấu "=" xảy ra khi
( )
2
3 3 6 36
9
3 3 9
0
3
3 3 0
=
x x x
xx
x
x
xx

− = = =
− − =

=
−
− = − =


Đối chiếu với điện ta thấy
36x =
thỏa mãn điều kiện
Vậy Min
12 P x=36=
Câu 51. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Nam Từ Liêm – 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
2
xx
A
x
−
=
−
và
23
12
x
B
x x x
+
=+
+ − −
với
0; 4xx
1) Tính giá trị của
A
khi
16x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm tất cả các số tự nhiên
x
để
AB
Hướng dẫn
1) Thay x = 16 (TMĐK) vào biểu thức A ta được:
16 16 12
6
2
16 2
A
−
= = =
−
Vậy khi x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 6.
2)
( )( ) ( )( )
2 3 2 3 4 3 1
1 2 1 2
1 2 1 2
x x x x
B
x x x x x
x x x x
+ + − + −
= + = + = =
+ − − + −
+ − + −
3) Để A < B thì
( )
2
1
11
11
00
4
2 2 2 2
20
x
xx
x x x x x x
x
x x x x
x
−

− − − − +

− − − −
−
Kết hợp với điều kiện
0; 4xx
và x là số tự nhiên ta được
0;2;3x
.
Vậy với
0;2;3x
thì A < B.
Câu 52. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL tháng 5 – THCS Nam Từ Liêm – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
2
1
x
A
x
−
=
−
và
5 2 4
1
11
x
B
x
xx
−
= − +
−
+−
với
0; 1xx
a) Tính giá trị của biểu thức
A
tại
25x =
b) Rút gọn biểu thức
B
c) Đặt
A
P
B
=
. Tìm các giá trị
x
nguyên để
1
2
P
Hướng dẫn
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 50
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Với
25x =
(thỏa mãn điều kiện) thay vào
A
ta có:
5 2 3
5 1 4
A
−
==
−
b) Với
0; 1xx
ta có:
5 2 4
1
11
x
B
x
xx
−
= − +
−
+−
( )( )
5 2 2 4 4
11
x x x
xx
− − + + +
=
−+
( )( )
21
11
xx
xx
++
=
−+
1
1
x
x
+
=
−
c) Với
0x
;
1x
ta có:
2 1 2 1 2
:.
1 1 1 1 1
A x x x x x
P
B
x x x x x
− + − − −
= = = =
− − − + +
Để
P
tồn tại thì
2
0 0 2 0
1
x
Px
x
−
−
+
(vì
10xx+
thỏa mãn điều kiện)
4x
Với
4x
ta có:
1 1 1
0
2 4 4
P P P −
21
0
4
1
x
x
−
−
+
( )
4 8 1
0
41
xx
x
− − −

+
( )
39
0
41
x
x
−

+
3 9 0x −
(vì
10xx+
thỏa mãn điều kiện)
3x
9x
Kết hợp với điều kiện ta có
49x
vì
4;5;6;7;8xx
Vậy
4;5;6;7;8x
.
Câu 53. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2020-2021)
Cho hai biểu thức:
2
2
A
x
=
−
và
3 4 2 3
22
x x x
B
x x x x
− + −
= − +
−−
với
0; 4xx
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4
9
x =
b) Chứng minh rằng
3
2
x
B
x
+
=
−
c) Đặt
. Chứng minh rằng không có giá trị nào của
x
để
P
có giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn
a) Với
4
9
x =
thỏa mãn điều kiện ta có:
23
2
4
2
9
A = = −
−
b) Ta có:
3 4 2 3
22
x x x
B
x x x x
− + −
= − +
−−
( )
3 4 2 3
2
2
x x x
xx
xx
− + −
= − −
−
−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 51
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( ) ( )
( )
3 4 2 2 3
2
x x x x x
xx
− − + − − −
=
−
( ) ( )
( )
( )
3
3 4 4 3 3 3
2
2 2 2
xx
x x x x x x x
x
x x x x x x
+
− − + − + + +
= = = =
−
− − −
Vậy
3
2
x
B
x
+
=
−
c) Ta có:
2 3 2
::
2 2 3
x
P A B
x x x
+
= = =
− − +
Vì
0x
nên
2
0
3
P
Không tồn tại giá trị
P
nguyên với mọi
x
.
Câu 54. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi Thử vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2019-2020)
Cho các biểu thức
1
1
x
A
x
−
=
+
và
1 2 4
1
11
x x x
B
x
xx
++
= − −
−
+−
, với
0; 1xx
a) Tính giá trị của A khi
25x =
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Cho
.P A B=
. Tìm
x
là số nguyên lớn nhất để
1P −
.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của
A
khi
25x =
Thay
25x =
(thỏa mãn điều kiện) vào
A
ta có
25 1 2
3
25 1
A
−
==
+
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
1 2 4
1
11
++
= − −
−
+−
x x x
B
x
xx
( ) ( )
( )( )
2
1 1 2 4
11
x x x x
xx
− − + − −
=
+−
( )( )
2 1 2 4
11
x x x x x
xx
− − − − − −
=
+−
( )( )
55
11
x
xx
−−
=
+−
( )
( )( )
51
11
x
xx
−+
=
+−
5
1x
−
=
−
c) Cho
.P AB=
. Tìm
x
là số nguyên lớn nhất để
1P −
.
Ta có
1 5 5
..
1 1 1
x
P A B
x x x
− − −
= = =
+ − +
Xét
54
1 1 0 4 0
11
x
Px
xx
−−
− − −
++
(vì
10+ xx
thỏa mãn điều kiện)
4 16xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 52
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Kết hợp điều kiện có
0 16, 1xx
Mà
,x
x
lớn nhất nên
15x =
.
Câu 55. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
2
2
x
A
x
−
=
+
và
2 3 12
4
22
x
B
x
xx
+
= − −
−
−+
với
0; 4xx
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
25x =
.
2) Chứng minh
1
2
x
B
x
−
=
−
.
3) Với
.P A B=
. Tìm giá trị của
x
để
PP
.
Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
25x =
.
Ta có:
25x =
thỏa mãn điệu kiện.
Thay
25x =
vào biểu thức A ta có:
25 2 3
7
25 2
A
−
==
+
Vậy khi
25x =
thì
3
7
A =
2) Chứng minh
1
2
x
B
x
−
=
−
.
2 3 12
4
22
x
B
x
xx
+
= − −
−
−+
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
2
2 3 2
12
2 2 2 2 2 2
xx
B
x x x x x x
+−
= − −
− + − + − +
( )( )
( )( )
( )( )
12
21
2
2 2 2 2
xx
x x x
B
x
x x x x
−+
+ − −
===
−
− + − +
( điều phải chứng minh)
3) Với
.P A B=
. Tìm giá trị của
x
để
PP
.
2 1 1
..
2 2 2
x x x
P A B
x x x
− − −
= = =
+ − +
Để
1
0 0 1 0
2
x
P P P x
x
−
−
+
( vì
20x +
)
1x
. Kết hợp điều kiện suy ra
01x
Câu 56. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngọc Hồi – 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
7x
A
x
+
=
và
2 1 2 3
9
33
x x x x
B
x
xx
− − −
= + −
−
+−
(
0x
;
9x
)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 53
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
16x =
2) Rút gọn biểu thức
B
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
PA
B
=+
Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
16x =
Khi
16x =
( thỏa mãn điều kiện)
16 7 23
4
16
A
+
= =
2) Rút gọn biểu thức
B
2 1 2 3
9
33
x x x x
B
x
xx
− − −
= + −
−
+−
; ĐK:
0x
;
9x
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
3
3 2 1
3 3 3 3
3
23
3x x x x x x
x x x x
xx
+
− − +
−−
= + −
− + − + −
( )( )
6 3 33
33
2 2xxx x x
xx
xx+ − − − + +
+
−
=
−
+
( )( )
3
33
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
3
33
xx
xx
+
=
+−
( )
3
x
x
=
−
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
PA
B
=+
Điều kiện:
0x
1
PA
B
=+
( )
3
7
x
x
xx
−
+
=+
4xx
x
++
=
4
1 x
x
= + +
Vì
0x
;
4
0
x
nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
44
2 . 2.2 4xx
xx
+ = =
4
15x
x
+ +
5P
Vậy
5MinP =
khi
4
4xx
x
= =
(thoả mãn điều kiện)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 54
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 57. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngọc Lâm – 2019-2020)
Cho
59
1
x
A
x
+
=
−
và
2
22
xx
B
x x x
+
=−
+ − +
Với
0, 1xx
1) Tính giá trị của
A
khi
81x =
.
2) Rút gọn biểu thức
,AB
.
3) Với
0, 1xx
. Tìm các giá trị của
m
để
A
m
B
=
có nghiệm x.
Hướng dẫn
1) Thay
81x =
(TMĐK vào
A
ta có:
5 81 9 5.9 9 27
81 1 81 40
A
++
= = =
−
Vậy
27
40
A =
tại
81x =
.
2)
2
2 2 2
xx
B
x x x x
+
=−
+ − − +
2
( 2) ( 2) 2
xx
B
x x x x
+
=−
+ − + +
2 .( 1)
( 2).( 1) ( 2).( 1)
x x x
B
x x x x
+−
=−
+ − + −
2
( 2).( 1)
x x x
B
xx
+−+
=
+−
2
( 2).( 1)
x
B
xx
+
=
+−
1
( 0, 1)
1
B x x
x
=
−
3) Với
0, 1xx
ta có;
A
m
B
=
5 9 1
:
1
1
x
m
x
x
+
=
−
−
59
1
x
m
x
+
=
+
5 5 4
1
x
m
x
++
=
+
4
5
1
m
x
+ =
+
+)
( )
44
0 1 1 4 5 9 9 1
11
x x m
xx
+ +
++
+)
( )
4
0 5 5 5 2
1
xm
x
+
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 55
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
+)
( )
44
1 5 5 7 7 3
1 1 1
xm
x
+ + =
++
Từ
( ) ( ) ( )
1 ; 2 ; 3
59
7
m
m

Vậy
59
7
m
m

thì
A
m
B
=
có nghiệm x.
Câu 58. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – THCS Ngọc Lâm – 2019-2020)
Cho các biểu thức :
29
9
3
x x x
A
x
x
+
=−
−
−
và
5
25
xx
B
x
+
=
−
với
0; 9; 25x x x
1) Tính giá trị của biểu thức B khi
4x =
.
2) Rút gọn biểu thức A và B.
3) Tìm các giá trị của
x
để
0
A
P
B
=
Hướng dẫn
1) Thay
4x =
(thỏa mãn điều kiện xác định) vào
B
, ta có:
4 5 4 4 5.2 14 2
4 25 21 21 3
B
+ + −
= = = =
− − −
.
2) Rút gọn các biểu thức
A
và
B
.
29
9
3
x x x
A
x
x
+
=−
−
−
( )
( )( ) ( )( )
23
9
3 3 3 3
xx
xx
x x x x
+
+
=−
− + − +
( ) ( )
2 6 9
3 . 3
x x x x
xx
+ − −
=
−+
( ) ( )
3
3 . 3
xx
xx
−
=
−+
( )
( ) ( )
.3
3 . 3
xx
xx
−
=
−+
( )
0; 9; 25
3
x
x x x
x
=
+
( )
( )( )
5
5
25
55
xx
xx
B
x
xx
+
+
==
−
+−
( )
0; 9; 25
5
x
x x x
x
=
−
3) Tìm các giá trị của
x
để
0
A
P
B
=
.
5
:
3 5 3
A x x x
P
B
x x x
−
= = =
+ − +
0P 
tử và mẫu phải khác dấu , mà
0 0 3 3 0x x x +
5 0 5 25x x x −
.
Kết hợp điều kiện xác định:
0; 9; 25 0 25; 9x x x x x
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 56
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 59. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Ngô Gia Tự - 2020-2021)
Cho hai biểu thức
2 4 2 2 1
;
1 1 1 2
+ + + +
= + − =
− + + − −
x x x x
AB
x x x x x x
với
0x
,
1x
,
4x
1) Tính giá trị của
B
khi
9=x
2) Rút gọn biểu thức
A
.
3) Với
+
x
. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.=K A B
Hướng dẫn
1) Tính giá trị của
B
khi
9=x
Giá trị
9=x
thỏa mãn điều kiện
0x
,
1x
,
4x
. Thay
9=x
vào biểu thức
B
ta được
9 9 1 9 3 1 13
13
3 2 1
92
+ + + +
= = = =
−
−
B
Vậy
9=x
thì
13=B
2) Rút gọn biểu thức
A
Với
0x
,
1x
,
4x
ta có
+ + + +
= + − = + −
− + + − − + + + + −
2 4 2 2 2 4 2 2
1 1 1 ( 1)( 1) 1 1
x x x x
A
x x x x x x x x x x x
+ + − + +
= + −
− + + − + + − + +
2 4 ( 2)( 1) 2( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x x
x x x x x x x x x
+ + − + − − − −
=
− + +
2 4 2 2 2 2 2
( 1)( 1)
x x x x x x
x x x
−−
===
− + + − + + + +
( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
x x x x x
x x x x x x x x
Vậy
1
=
++
x
A
xx
với
0x
,
1x
,
4x
3) Với
0x
,
1x
,
4x
ta có :
1 2 2 2
. . 1
1 2 2 2 2
+ + − +
= = = = = +
+ + − − − −
x x x x x
K A B
x x x x x x
Trường hợp 1: Với
04x
Kết hợp với điều kiện
+
x
và
0x
,
1x
,
4x
ta có :
+
x
và
0x
,
1x
,
4x
Nên ta có
2; 3x
+ Với
2=x
Ta có:
2
1 2 0 (1)
22
= = − −
−
K
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 57
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
+ Vói
3=x
Ta có:
3
3 2 3 0 (2)
32
= = − −
−
K
Trường hợp 2: Với
4x
Kết hợp với điều kiện
+
x
và
0x
,
1x
,
4x
ta có:
5x
5x
− −2 5 2x

−−
11
2 5 2x
+ + = +
−−
22
1 1 5 2 5
2 5 2x
+5 2 5 (3)K
Từ
(1), (2), (3)
ta có giá trị lớn nhất của
K
là
5 2 5+
Dấu bằng xảy ra khi
5=x
( thỏa mãn điều kiện
0x
,
1x
,
4x
)
Câu 60. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngô Sĩ Liên – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
11
4
22
x
A
x
xx
= + +
−
−+
và
2
3
x
B
x
−
=
−
với
0, 4; 9.x x x
1. Tính giá trị của biểu thức
B
khi
1
.
9
x =
2. Chứng minh
.
2
x
A
x
=
−
3. Với
,x
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
. 1 .K B A=−
Hướng dẫn
1. Thay
1
9
x =
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
B
ta có:
1
2
9
1
3
9
B
−
=
−
1
2
3
1
3
3
−
=
−
5
8
=
Vậy
5
8
B=
khi
1
9
x =
.
2. Với mọi
x
thỏa mãn điều kiện ta có:
11
4
22
x
A
x
xx
= + +
−
−+
( )( )
22
22
22
x x x
xx
xx
+−
= + +
−+
−+
( )( )
22
22
x x x
xx
+ + + −
=
−+
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
−+
( )
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
−+
2
x
x
=
−
Vậy
2
x
A
x
=
−
với mọi
x
thỏa mãn điều kiện.
3. Với mọi
x
thỏa mãn điều kiện ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 58
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
. 1 .K B A=−
2
. 1 .
32
xx
K
xx

−
=−


−−

22
..
32
x x x
K
xx
− − +
=
−−
2
.
3
K
x
=
−
+) Nếu
9x
ta có
30x −
2
0
3x

−
hay
0K
+) Nếu
0 9; 4xx
3 0 0.xK −
Do đó
K
nhỏ nhất khi
0K
. Khi đó
3x −
là số âm lớn nhất có thể, mà
xZ
nên
8x =
( )
2
2 2 2 3 .
2 2 3
K = = − +
−
Vậy với
0,x x Z
thì min
( )
2 2 2 3K = − +
khi
8.x =
Câu 61. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngôi Sao – 2019-2020)
Cho biểu thức
1 1 4x x x x
P
x x x x x
−+
= + −
−+
và
1
1
x
Q
x
−
=
+
a) Tính giá trị của
Q
khi
25x =
.
b) Rút gọn biểu thức
P
.
c) Tìm giá tri của
x
để
.8PQ x
d ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.M PQ x=−
Hướng dẫn
a ) Đkxđ:
0,x
Thay
25x =
(tmđk) vào biểu thức
Q
ta được
25 1 5 1 2
5 1 3
25 1
Q
−−
= = =
+
+
Vậy khi
25x =
thì
2
3
Q =
b) Với
0; 1xx
ta có:
( )( )
( )
( )( )
( )
1 1 1 1
4
11
x x x x x x
P
x
x x x x
− + + + − +
= + −
−+
1 1 4x x x x
P
x x x
+ + − +
= + −
1 1 4 2 2x x x x x
xx
+ + + − + − −
==
Vậy
22x
P
x
−
=
với
0; 1xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 59
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c ) có
2 2 1
. 8 . . 8
1
xx
P Q x x
xx
−−
+
( )( )
2. 1 1
1
. . 8
1
xx
x
x
xx
+−
−

+
( )
2
2 1 8 2 1 4 0x x x − − + −
2 3 0 3 3 0x x x x x − − − + −
( )( )
3 1 0xx − +
30x −
vì
10x +
( Với mọi x thỏa mãn đk)
39xx
Kết hợp với đk
0 9& 1xx
Vậy
0 9& 1xx
thì
.8PQ x
d )
2 2 1
..
1
xx
M PQ x x
xx
−−
= − = −
+
Với
0; 1xx
( )( )
( )
2
2. 1 1
1
.
1
21
2 4 2 4 2
xx
x
Mx
xx
x
x x x x x
Mx
x x x
+−
−
=−
+
−
− + − − +
= − = =
2
4Mx
x
= + −
Vì
2
0 ; 0xx
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô Sy với 2 số dương, ta có :
22
2 2 4 2 2 4 2 2 4x x M
xx
+ + − − −
Dấu “=” xảy ra khi
2 2 4 2( )M x tm= − =
Vậy
min 2 2 4 2Mx= − =
Câu 62. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Tuyển sinh vào 10 – THCS Nguyễn Công Trứ - 2020-2021)
Cho biểu thức
3
3
−
=
+
x
A
x
và
3 2 9
26
xx
B
x x x
−−
=−
− + −
(khi
0x
;
4x
)
a) Tính giá trị của
A
khi
2
4.xx=
b) Chứng minh
.
3
x
B
x
=
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 60
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Tính
.
B
P
A
=
Tìm
x
để
.PP
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của
A
khi
2
4.xx=
Xét biểu thức
( )
3
0
3
x
Ax
x
−
=
+
Theo đề bài:
2
4xx=
2
40 − =xx
( 4) 0 − =xx
0
40
=
−=
x
x
0
4
=
=
x
x
Với
0x =
(thỏa mãn điều kiện xác định), thay vào
A
ta được:
0 3 3
1
3
03
A
−−
= = = −
+
Với
4x =
(thỏa mãn điều kiện xác định), thay vào
A
ta được:
4 3 2 3 1
2 3 5
43
A
− − −
= = =
+
+
b) Chứng minh
.
3
x
B
x
=
+
Với
0x
,
4x
, xét biểu thức
3 2 9
26
xx
B
x x x
−−
=−
− + −
3 2 9
26
−−
=−
− + −
xx
x x x
3 2 9
2 3 2 6
−−
=−
− + − −
xx
x x x x
3 2 9
2 ( 3) 2( 3)
−−
=−
− + − +
xx
x x x x
3 2 9
2 ( 3)( 2)
−−
=−
− + −
xx
x x x
( 3)( 3) 2 9
( 2)( 3) ( 3)( 2)
− + −
=−
− + + −
x x x
x x x x
9 2 9
( 2)( 3) ( 3)( 2)
−−
=−
− + + −
xx
x x x x
9 2 9
( 2)( 3)
− − +
=
−+
xx
xx
2
( 2)( 3)
−
=
−+
xx
xx
( 2)
( 2)( 3)
−
=
−+
xx
xx
3
=
+
x
x
Vậy
.
3
x
B
x
=
+
c) Tính
.
B
P
A
=
Tìm
x
để
.PP
Ta có
.( 3)
3
3 ( 3)( 3) 3
3
x
B x x x
x
P
A
x x x x
x
+
+
= = = =
− + − −
+
Theo bài ra
0P P P
0
3
x
x

−
Mà
0x
,
4x
ta luôn có
0x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 61
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
0
0
3
30
x
x
x
x
−
−
0
3
x
x
0
9
x
x
Kết hợp với điều kiện xác định ta được
09
4
x
x

.
Câu 63. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Nguyễn Du – 2020-2021)
Cho biểu thức
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
M
x x x x x

+−
= + −


− + + −

với
0; 1xx
.
a) Rút gọn biểu thức
M
.
b) Tìm
x
để
2
7
M =
.
Hướng dẫn
a)
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
M
x x x x x

+−
= + −


− + + −

với
0; 1xx
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
1
2 1 2
.
1
1 1 1 1 1 1
xx
x x x
M
x
x x x x x x x x x

−
+ + +

= + −

−
− + + − + + − + +

( )( )
2 1 2
.
1
11
x x x x x
M
x
x x x
+ + − − − −
=
−
− + +
( )( )
2 1 2
.
1
11
xx
M
x
x x x
−+
=
−
− + +
( )
( )( )
2
1
2
.
1
11
x
M
x
x x x
−
=
−
− + +
2
1
M
xx
=
++
.
b) Để
2
7
M =
22
7
1xx
=
++
17 + + =xx
60 + − =xx
( ) ( )
3 . 2 0 + − =xx
3 ( )
2
ktm
=−
=
x
x
4 ( ) tm=x
Vậy
4x =
thì
2
7
M =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 62
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 64. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Nguyễn Trãi – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
2
3
x
A
x
=
+
,
15 2 3
:
25
55
xx
B
x
xx

−+
=+


−
+−

.
a) Khi
33
9 5 2. 5 2x = − +
tính giá trị của
A
.
b) Rút gọn
B
.
c) Đặt
P A B=+
. Tìm
x
để giá trị của biểu thức
P
là một số nguyên.
Hướng dẫn
a) Với
0x
ta có
2
3
x
A
x
=
+
Ta có:
33
9 5 2. 5 2x = − +
(
)
( )( )
3
3 3 3
33
9 5 2. 5 2 9 . 5 2 5 2 9x = − + = − + =
9x=
.
Ta thấy
9x =
thỏa mãn điều kiện xác định
Thay
9x =
vào
A
ta được:
2 2 9 2.3
1
33
3 3 9
x
A
x
= = = =
+
++
.
Vậy
9x =
thì
1A=
.
b) Với
0, 25xx
ta có
15 2 3
:
25
55
xx
B
x
xx

−+
=+


−
+−

( )
( )( )
15 2 5
3
:
5
55
xx
x
B
x
xx
− + −
+
=
−
−+
( )( )
55
3
55
xx
B
x
xx
+−
=
+
−+
1
3
B
x
=
+
Vậy với
0, 25xx
thì
1
3
B
x
=
+
.
c)
21
33
x
P A B
xx
= + = +
++
( )
2 3 5
2 1 5
2
3 3 3
x
x
P
x x x
+−
+
= = = −
+ + +
Đặt
5
3
Q
x
=
+
2PQ = −
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 63
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Do
2
nên
P
khi
Q
Ta có
0Q
( vì
50
và
30x+
)
Mà
55
33
3
3
x
x
+
+
5
0
3
Q
. Mà
Q
1Q=
5
1
3 x
=
+
35x + =
2x=
4x=
( thỏa mãn điều kiện).
Vậy
4x =
thì
2 2 1 1PQ= − = − =
là một số nguyên.
Câu 65. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Nguyễn Tri Phương – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
1
4
−
=
x
A
x
và
1
1
11
+
= + −
−
−+
x x x
B
x
xx
với
0x
;
1x
.
1. Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9=x
.
2. Chứng minh
21
1
+
=
−
x
B
x
.
3. Cho
.=P AB
. Tìm các giá trị của
x
thỏa mãn
.4 4 4 1 − + +P x x x
.
Hướng dẫn
1. Thay
9=x
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta có
A
9 1 8 2
12 3
49
−
= = =
.
Vậy
9=x
thì
2
3
=A
.
2. Với
0x
,
1x
ta có:
1
1
11
+
= + −
−
−+
x x x
B
x
xx
( ) ( )
( )( )
2
11
11
+ + − −
=
++
x x x x
xx
( )( )
21
11
+ + + − −
=
−+
x x x x x
xx
21
1
+
=
−
x
x
.
3. Điều kiện xác định:
1x
.
.4 4 4 1 − + +P x x x
21
.4 4 4 1
4
+
− + +
x
x x x
x
2 1 4 4 1 + − + +x x x
44 −xx
2
44 −xx
( )
2
20 − x
.
Vì
( )
2
20−x
với mọi
x
thuộc điều kiện xác định nên để
( )
2
20−x
thì
2=x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
2=x
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 64
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 66. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( KSCL – THCS Nguyễn Tri Phương – 2019-2020)
Cho biểu thức
2
2
x
A
x
−
=
+
và
2 1 3 2 2
22
x x x
B
x x x x
− + +
= − −
−−
( )
0; 4xx
1. Tính giá trị của biểu thức A khi
16x =
2. Rút gọn biểu thức B
3. Tìm x để biểu thức
:P B A=
đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn
1. Khi
16x =
(Thỏa mãn điều kiện) thì
16 2 1
16 2 9
A
−
==
+
2. Ta có:
( )( ) ( )
( )
(2 1) 2 3 2 2
2
x x x x x
B
xx
− − − + − +
=
−
( )
2
2
4 4 2
( 2) ( 2)
x
x x x
x x x x x
−
− + −
===
−−
3. Ta có:
2 2 2
: 2 . 2 2
x
P B A x x
x x x
+
= = = + =
(Theo bất đẳng thức Cô si)
Dấu “=” xảy ra khi x =
2
(Thỏa mãn ĐK)
Vậy Min P =
22
tại x = 2
Câu 67. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi Thử vào 10 – THCS Nguyễn Trường Tộ - 2020-2021)
Cho các biểu thức
1x
A
x
+
=
và
11
:
1
2
1
1
x
B
x
x x x x


= − +



−
− − +


với
0x
,
1x
.
1) Tính giá trị của A khi
16x =
. -
2) Chứng minh :
1x
B
x
−
=
.
3) Tìm
x
nguyên để
:P A B=
đạt giá trị lớn nhất .
Hướng dẫn
1)
16x =
(TMĐK)
4x=
Thay
4x =
vào biểu thức
A
ta có:
5
4
A =
Vậy
16x =
thì
5
4
A =
2)
11
:
1
2
1
1
x
B
x
x x x x


= − +



−
− − +


\
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 65
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( ) ( )( )
11
:
1 1 1
xx
B
x x x x
−+
=
− + −
1x
B
x
−
=
3)
1 1 1
::
1
xx
P A B
x x x
+−
= = =
−
Để P đạt giá trị lớn nhất thì
10x −
và
1x −
nhỏ nhất .
Mà
x
và
0, 1xx
nên
2x =
⇒
1
21
21
P = = +
−
Vậy giá trị lớn nhất của
P
là
21+
khi
2x =
.
Câu 68. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Nguyễn Trường Tộ - 2019-2020)
Cho hai biểu thức
4
4
x
A
x
+
=
+
và
22
16
44
x
B
x
xx
= − −
−
−+
, 0, 16 xx
a) Tính giá trị của
A
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
c) Tìm các số thực
x
để biểu thức
.C AB=
có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
a) Ta có:
4x =
(thỏa mãn điều kiện)
Thay
4x =
vào
A
ta được:
4 4 6 3
4 4 8 4
A
+
= = =
+
Vậy
3
4
=A
khi
4x =
( thiếu KL)
b)
22
16
44
x
B
x
xx
= − −
−
−+
( ) ( )
( )( )
2 4 2 4
44
x x x
xx
− + − −
=
−+
( )( )
2 8 2 8
44
x x x
xx
− − − +
=
−+
( )( )
4
44
xx
xx
−
=
−+
( )
( )( )
4
44
xx
xx
−
=
−+
4
x
x
=
+
c) Ta có với
0; 16xx
thì
4
..
44
4
x x x
C A B
xx
x
+
= = =
++
+
*Ta có
0x =
thì
0C =
,
(1)
*Ta có
0x
thì
1 4 4x
x
C
xx
+
= = +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 66
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Áp dụng bất đẳng thức cosi có:
14
2 . 4x
C
x
=
1
4
C
Ta có
1
4
C =
khi
4
4xx
x
= =
(thỏa mãn),
(2)
Từ
(1)
và
(2)
suy ra
C
đạt giá trị lớn nhất bằng
1
4
là khi
4x =
Câu 69. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – Sở GD Ninh Bình – 2019-2020)
Cho biểu thức
2 3 14
4
2
−
+=
−
−
S
xx
x
xx
với
, 40 xx
.
a) Rút gọn
2
2−
x
xx
.
b) Rút gọn biểu thức
S
c) Tìm tất cả giá trị của
x
để biểu thức của
S
nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a)
( )
2 2 2
22
2
==
−−
−
xx
x x x
xx
.
b)
( ) ( )
4
2 . 2
2 3 14 2 3 14
22
−−
+ = +
−
−
−
−
=
+
S
x
xx
x x x
x
x
x
.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 . 2 2
52
2 4 3 14 5 1
2.
05
. 2 2
−
+ + − −
=
+
− + − + −
==
+
=
x
x x x x x x
x
x x x
c)
5
2+
=S
x
Có
22+x
55
2
2
+x
5
2
S
Lại có
20+x
5
0
2
+x
0S
Vậy
5
0
2
S
mà
S
có giá trị nguyên
1;2S
Với
1=S
5
1
2
=
+x
25+=x
9=x
(thỏa mãn)
Với
2=S
5
2
2
=
+x
5
2
2
+=x
1
4
=x
(thỏa mãn)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 67
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy
1
;9
4
x



thì biểu thức của
S
nhận giá trị nguyên.
Câu 70. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Phan Chu Trinh – 2019-2020)
Cho các biểu thức
3
4
x
A
x
+
=
−
và
3 5 12
16
4
xx
B
x
x
++
=+
−
+
(với
0, 16xx
).
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm
m
để phương trình
1
A
m
B
=+
có nghiệm.
Hướng dẫn
a) Với
9x =
(TMĐK) , thay vào biểu thức
A
ta được:
9 3 6
6
1
94
A
+
= = = −
−
−
.
* Vậy
6A=−
tại
9x =
b) Với
0, 16xx
, ta có:
3 5 12
16
4
xx
B
x
x
++
=+
−
+
( )( )
3 5 12
4
44
xx
x
xx
++
=+
+
+−
( )( )
( )( ) ( )( )
34
5 12
4 4 4 4
xx
x
x x x x
+−
+
=+
+ − + −
( )( )
12 5 12
44
x x x
xx
− − + +
=
+−
( )( )
4
44
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
4
44
xx
xx
+
=
+−
4
x
x
=
−
Vậy với
0, 16xx
thì
4
x
B
x
=
−
.
c) Với
0, 16xx
, ta có
3 3 4 3
:.
4 4 4
A x x x x x
B
x x x x x
+ + − +
= = =
− − −
* Để
( )
3
1 3 1 3
x
m x m x m x
x
+
= + + = + =
(1)
* TH1:
0m =
, PT (1) có dạng
0 3( )loai=
* TH2:
0m
, PT (1) có dạng
3
x
m
=
Để phương trình
1
A
m
B
=+
có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm
0, 16xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 68
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
0
0
3
0
3
4
4
4
m
x
m
m
x


.
Vậy với
3
0
4
m
thì phương trình
1
A
m
B
=+
có nghiệm.
Câu 71. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – THCS Phan Chu Trinh – 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
3
2
x
A
x
+
=
+
và
12
3 1 4 3
xx
B
x x x x
−
= + −
− − − +
với
0; 1; 9x x x
1) Tính giá trị của A khi
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để
:2AB=−
Hướng dẫn
1) Tính giá trị của A khi
25x =
. Ta có:
3
2
x
A
x
+
=
+
(đkxđ:
0x
)
Thay
25x =
(tmđkxđ) vào A
25 3 8
7
25 2
A
+
= =
+
2) Rút gọn biểu thức B.
Ta có:
12
3 1 4 3
xx
B
x x x x
−
= + −
− − − +
(đkxđ:
0; 1; 9x x x
)
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
1 3 2
2 1 3 2
3 1 3 1
x x x
x x x x
BB
x x x x
− − − −
− + − + −
= =
− − − −
( )( )
11
3
31
x
BB
x
xx
−
= =
−
−−
3) Tìm x để
:2AB=−
Ta có:
:2AB=−
(đkxđ:
0; 1; 9x x x
)
( )
31
: 2 9 2 2
23
x
xx
xx
+
= − − = − +
+−
( )
2
2 5 0 1 6x x x + − = + =
1 6 6 1
7 2 6 ( )
1 6 6 1 ( )
xx
x tmdk
x x kotmdk

+ = = −
= −

+ = − = − −


Vậy
7 2 6x =−
để
:2AB=−
Câu 72. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Phan Huy Chú – 2019-2020)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 69
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức:
1
3
x
A
x
+
=
−
và
2 2 1 5
:
4
36
x
B
x
x x x

−
=−


−
− − −

với
0, 9, 4x x x
.
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
1
9
x =
b) Rút gọn biểu thức
B
c) Tìm
x
thỏa mãn
2
3
B
A
.
Hướng dẫn
a) Với
1
9
x =
thỏa mãn điều kiện xác định thì
1
1
1
1
1
9
3
1
2
1
3
3
3
9
A
+
+
−
= = =
−
−
Vậy với
1
9
x =
thì
1
2
A
−
=
a) Rút gọn biểu thức
B
Với
0, 9, 4x x x
2 2 1 5
:
4
36
x
B
x
x x x

−
=−


−
− − −

( )( )
( )
2 2 1 5 2 2 1
:4
4
3 3 2 6 3
32
xx
x
x
x x x x x
xx


−−

= − = − −



−
− − + − −
−+


( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
2 2 2 1 5 2
2 4 2 1
4 2 2
3
3 2 3 2
x x x
xx
x x x
x
x x x x
+ − + −
+ − +
= − = − + =
−
− + − +
Vậy
( )
52
3
x
B
x
−
=
−
với
0, 9, 4x x x
.
c) Với
0, 9, 4x x x
thì
1
0
3
x
A
x
+
=
−
2
3
B
A
hay
( )
52
12
:
3
33
x
x
xx
−
+
−−
( )
52
32
0
3
31
x
x
xx
−
−
−
−+
( )
52
2
0
3
1
x
x
−
−
+
( ) ( )
( ) ( )
15 2 2 1
13 32
00
3 1 3 1
xx
x
xx
− − +
−
++
13 32 0x −
(vì
( )
3 1 3 0x +
)
32 1024
13 169
xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 70
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Kết hợp điều kiện
0, 9, 4x x x
ta được
1024
0 , 9, 4
169
x x x
Câu 73. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – THCS Phú La – 2020-2021)
Cho biểu thức
2
1
x
A
x
+
=
+
và
( )( )
( )
2
: 0; 9
33
32
x x x
B x x
xx
xx


= +

−−
−+

a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
36x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Với
x
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P AB=
.
Hướng dẫn
a)
2
1
x
A
x
+
=
+
( )
0; 9xx
Thay
36x =
(thỏa mãn điều kiện) vào
A
ta có:
36 2 6 2 8
6 1 7
36 1
A
++
= = =
+
+
.
Vậy giá trị của biểu thức
A
khi
36x =
là
8
7
.
b)
( )( )
( )
2
: 0; 9
33
32
x x x
B x x
xx
xx


= +

−−
−+

( )
( )( )
22
3
32

++
−

=

−+

x x x
x
B
x
xx
( )
( )( )
4
3
32
+
−
=
−+
xx
x
B
x
xx
4
2
x
B
x
+
=
+
.
c)Ta có:
2 4 4
1 2 1
+ + +
= = =
+ + +
x x x
P A B
x x x
1 3 3
1
11
x
P
xx
++
= = +
++
Ta có:
0x
với mọi
0x
và
9x
;
x
11x +
3
3
1x
+
3
1 1 3
1x
+ +
+
4P
Dấu
""=
xảy ra
0x =
(thỏa mãn điều điện)
Vậy GTLN của
P
là
4
khi
0x =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 71
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 74. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 2 – THCS Phương Liệt – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
3
1
x
A
x
+
=
−
và
2 1 3 1
1 3 4 3
x x x
B
x x x x
+ + −
= − +
− − − +
, với
0x
,
1x
,
9x
.
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B
P
A
=
.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
+ Ta có:
4x =
(thỏa mãn điều kiện
1x
) thay vào biểu thức
A
ta được:
4 3 2 3 5
4 1 3 3
A
++
= = =
−
.
Vậy giá trị của biểu thức
A
tại
4x =
là
5
3
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
2 1 3 1
1 3 4 3
x x x
B
x x x x
+ + −
= − +
− − − +
( ) ( )
2 1 3 1
13
1 . 3
x x x
B
xx
xx
+ + −
= − +
−−
−−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 . 3 1 . 1 3 1
1 . 3
x x x x x
B
xx
+ − − + − + −
=
−−
( )
( ) ( )
2 3 6 1 3 1
1 . 3
x x x x x
B
xx
+ − − − − + −
=
−−
( ) ( )
2 3 6 1 3 1
1 . 3
x x x x x
B
xx
+ − − − + + −
=
−−
( ) ( )
( )
( ) ( )
23
2 6 2
1
1 . 3 1 . 3
x
x
B
x
x x x x
−
−
===
−
− − − −
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B
P
A
=
.
+ Với
0x
,
1x
,
9x
, ta có:
B
P
A
=
23
:
1
1
x
P
x
x
+
=
−
−
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2. 1 . 1 2. 1
2 1 4
.2
1 3 3
1 3 3
x x x
x
x x x
x x x
− + +
−
= = = = −
− + +
− + +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 72
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
min
4
3
P
x
+
lớn nhất
3x+
nhỏ nhất
0x=
min
2
3
P=
khi
0x =
.
Vậy
min
2
3
P =
khi
0x =
.
Câu 75. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Phương Liệt – 2019-2020)
Cho biểu thức
2
3
x
A
x
+
=
+
;
57
1
1
xx
B
x
x
+−
=+
−
+
với
0, 1xx
1) Tính giá trị của
A
khi
16x =
2) Chứng minh rằng
1
3
Ax
B
x
−
=
+
3) Tìm giá trị của
m
để phương trình
1
A
m
B
=+
có nghiệm
Hướng dẫn
1) Thay
16x =
thoả mãn điều kiện
0, 1xx
vào
A
ta được
4 2 6
4 3 7
A
+
==
+
2) Với
0, 1xx
57
1
1
xx
B
x
x
+−
=+
−
+
( )( )
57
1
11
xx
x
xx
+−
=+
+
+−
( )( ) ( )
( )( )
5 1 7
11
x x x
xx
+ − + −
=
+−
( )( )
4 5 7
11
x x x
xx
+ − + −
=
+−
( )( )
32
11
xx
xx
++
=
+−
( )( )
( )( )
12
11
xx
xx
++
=
+−
2
1
x
x
+
=
−
Khi đó
2 2 1
:
3 1 3
A x x x
B
x x x
+ + −
==
+ − +
.
3)
1
A
m
B
=+
có nghiệm
1
1
3
x
m
x
−
= +
+
có nghiệm
( )
( )
1 1 3x m x − = + +
có nghiệm
1 3 3x m x m x − = + + +
có nghiệm
3 4 0m x m + + =
có nghiệm
34m x m = − −
( )
1
có nghiệm
Nếu
0m =
thì phương trình
( )
1
trở thành
04=−
(vô lý)
loại
0m =
.
Nếu
0m
thì
34m
x
m
−−
=
Để phương trình
( )
1
có nghiệm thì
3 4 3 4
00
mm
mm
− − +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 73
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3 4 0
0
3 4 0
0
m
m
m
m
+
+
4
3
0
4
3
0
m
m
m
m
−
−
4
0
3
m −
Vì
1x
nên
1x
3 4 4 4 1m m m m − − − −
Vậy để
1
A
m
B
=+
có nghiệm thì
4
0
3
m−
và
1m −
.
Cách 2:
1
1
3
x
m
x
−
=+
+
có nghiệm
1
1
3
x
m
x
−
= −
+
có nghiệm
4
3
m
x
−
=
+
có nghiệm
Vì
11
0 3 3
3
3
xx
x
+
+
4 4 4
33
3
m
x
−−
−
+
Mặt khác:
4
3 0 0 0
3
xm
x
−
+
+
Vì
1x
nên
1x
3 4 4 4 1m m m m − − − −
Vậy để
1
A
m
B
=+
có nghiệm thì
4
0
3
m−
và
1m −
.
Cách 3: Ta có:
1
1
3
x
m
x
−
=+
+
Xét hiệu:
14
1 1 1 0 0
33
x
mm
xx
−−
+ − = − =
++
( )
1 1 1 4 4 4
1 0 0
3 3 3 3
3
33
xx
m m m
x
x
−
+ + = + = + −
+
+
Vì
1x
nên
1x
3 4 4 4 1m m m m − − − −
Vậy để
1
A
m
B
=+
có nghiệm thì
4
0
3
m−
và
1m −
.
Câu 76. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 2 – Trường School – 2019-2020)
Cho các biểu thức
2 4 2
1 2 2
+
= − +
− + + −
xx
A
x x x x
và
2
1
1
=−
−
B
x
và với
0,x
1x
.
1) Tính giá trị của biểu thức
B
khi
16x=
.
2) Rút gọn
:P A B=
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 74
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3) Tìm giá trị của
x
để
2
4
3
P−
đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Hướng dẫn
1. Với
16x=
(thỏa mãn điều kiện)
2 2 5
11
33
1 16
B = − = + =
−
.
2. Ta có
2 4 2
1 2 2
xx
A
x x x x
+
= − +
− + + −
và
2
1
1
B
x
=−
−
và với
0,x
1x
.
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
2( 1) 4 2
2 1 2 1 2 1
xx
xx
A
x x x x x x
+
−+
=−+
+ − + − + −
( )( )
2 2 2 4 2
21
x x x x
A
xx
+ − + + +
=
+−
( )( )
( )
( )( )
2
2
4 4 2
1
2 1 2 1
x
x x x
A
x
x x x x
+
+ + +
===
−
+ − + −
2 2 2 1 2 1 2
: : 1 : .
1 1 1 1 1 1 1
x x x x x x
P A B
x x x x x x x
+ + − − + − +

= = − = = =

− − − − − + +

3.
P
xác định
,AB
xác định và
0B
01
01
1
01
1
x
x
x
x
x

−−
−
−
.
Đặt
3 3 2 8 8 3 6 5 2
4 4 .
22
1 2( 1) 2( 1)
x x x x
QP
x x x
+ + − − +
= − = − = =
+ + +
5 2 5 3 5 5
(1)
2 2 2
2( 1) 2 2
x
QQ
xx
+
= = −
++
5 2 3
1 1 1 (2)
2( 1) 2 2
xx
QQ
xx
+
= = +
++
Từ (1) và (2) suy ra
5
1 1;2
2
QQ
, mà
Q
là số nguyên lớn nhất nên
2Q =
52
2 5 2 4 4
2( 1)
x
xx
x
+
= + = +
+
2 4( )x x TM = =
Vậy
4x =
thì
2
4
3
P−
đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Câu 77. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – Trường Pschool – 2020-2021)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 75
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức:
( )
( )
1
21
xx
A
x
+
=
−
và
1 2 1
1
x
B
x
x x x x
= + −
−
+−
(với
0x
,
1x
).
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.P AB=
với
1x
.
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
Điều kiện xác định:
0x
,
1x
4x =
(thỏa mãn điều kiện)
Thay
4x =
vào
A
ta có:
( )
( )
4. 4 1
2.5
5
2.1
2. 4 1
A
+
= = =
−
Vậy
5A =
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
.B
1 2 1
1
x
B
x
x x x x
= + −
−
+−
( ) ( )( ) ( )
1 2 1
1 1 1 1
x
x x x x x x
= + −
+ − + −
( ) ( )
( )( )
1 2 . 1
11
x x x x
x x x
− + − +
=
−+
( )( )
22
11
x
x x x
−
=
−+
( )
( )
21
1
x
xx
−
=
−
2
x
=
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.P AB=
với
1x
.
( )
( )
( )
1
2 1 2 2
. . 1 1 2
1 1 1
21
xx
x
P A B x x
x x x x
x
+
+
= = = = + + = − + +
− − −
−
Vì
1x
nên
10
2
0
1
x
x
−
−
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
( )
22
1 2 1 .
11
xx
xx
− + −
−−
2
1 2 2 2 2
1
x
x
− + + +
−
2 2 2P +
Dấu “=” xảy ra
2
1
1
x
x
− =
−
( )
2
12x − =
12
12
x
x
−=
− = −
21
1 2 0(loaïi)
x
x
=+
= −
3 2 2x = +
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
2 2 2MinP =+
3 2 2x = +
.
Câu 78. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – Phòng GD Quốc Oai – 2020-2021)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 76
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức:
1
3
x
A
x
+
=
+
;
2 2 2 4
1
11
x x x
B
x
xx
++
= − +
−
+−
với
0x
;
1x
.
a) Tính giá trị của
A
khi
4x =
.
b) Rút gọn
B
.
c) Tìm
x
để
1
.
2
AB
.
Hướng dẫn
a) Thay
4x =
(thỏa mãn điều kiện) vào
4 1 3
5
43
A
+
==
+
.
b)
( ) ( )( )
( )( )
2 1 2 1 2 4
2 2 2 4
1
11
11
x x x x x
x x x
B
x
xx
xx
− − + + + +
++
= − + =
−
+−
+−
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
1 2 2
2 2 3 2 2 4 3 2
1 1 1 1 1 1 1
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
− − −
− − − − + + − +
= = = =
+ − + − + − +
c)
1
.
2
AB
⇔
( )
( )
2
1
0
2
3
x
x
−
−
+
⇔
( )
2 4 3
0
23
xx
x
− − −
+
⇔
( )
7
0
23
x
x
−
+
⇔
49x
Kết hợp điều kiện
0 49x
,
1x
Câu 79. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Quỳnh Mai – 2020-2021)
Cho biểu thức
8
2
x
A
x
+
=
+
và
( )( )
2 1 2 5 5
13
13
x x x x
B
xx
xx
− − +
= + −
+−
+−
với
0x
,
9x
.
1) Tính giá trị của
A
khi
4x =
.
2) Rút gọn
B
.
3) Tìm các giá trị của
x
để
.4AB
.
Hướng dẫn
1) Thay
4x =
thoả mãn điều kiện
0x
,
9x
vào
A
ta được
4 8 12
3
4
42
A
+
= = =
+
.
2) Với
0x
,
9x
ta có
( )( )
2 1 2 5 5
13
13
x x x x
B
xx
xx
− − +
= + −
+−
+−
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 3 1 1 2 5 5
13
x x x x x x
xx
− + − + − − +
=
+−
( )( )
2 6 1 2 5 5
13
x x x x x
xx
− + − − + −
=
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 77
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
6
13
xx
xx
−−
=
+−
( )( )
326
13
x x x
xx
− + −
=
+−
( )( )
( )( )
32
13
xx
xx
−+
=
+−
2
1
x
x
+
=
+
.
3) Với
0x
,
9x
ta có
.4AB
. 4 0AB −
8
40
1
x
x
+
−
+
( )
8 4 1
0
1
xx
x
+ − +

+
4 4 0xx − +
2
( 2) 0x −
.
Vì
( )
2
20x −
với mọi
x
thỏa mãn điều kiện nên
( ) ( )
22
2 0 2 0 2 0x x x− − = − =
2x=
4x=
(thỏa mãn điều kiện).
Câu 80. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Sóc Sơn – 2020-2021)
Cho hai biểu thức:
1
2
x
A
x
+
=
+
và
4 10 12
( 0; 4)
4
22
xx
B x x
x
xx
−
= + +
−
−+
.
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
16x =
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm các giá trị nguyên của
x
để
1
2
B
A
.
Hướng dẫn
a) Khi
16x =
( thỏa mãn điều kiện)
16 1 5
6
16 2
A
+
= =
+
b) Ta có:
4 10 12
4
22
xx
B
x
xx
−
= + +
−
−+
( ) ( )
( )( )
2 4 2 10 12
22
x x x x
xx
+ + − − +
=
−+
( )( )
2 4 8 10 12
22
x x x x
xx
+ + − − +
=
−+
( )( )
44
22
xx
xx
−+
=
+−
2
2
x
x
−
=
+
c) Ta có
2 1 2
:
2 2 1
B x x x
A
x x x
− + −
==
+ + +
Điều kiện để
B
A
có nghĩa là:
20x −
(vì
4x
).
4x
Ta có
1
2
B
A
1
4
B
A

21
0
4
1
x
x
−
−
+
( )
4 8 1
0
41
xx
x
− − −

+
( )
39
0
41
x
x
−

+
3 9 9xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 78
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Mà
4,xx
nên
5,6,7,8 .x
Vậy
5,6,7,8x
là giá trị cần tìm.
Câu 81. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Thị Xã Sơn Tây – 2019-2020)
Cho các biểu thức:
3
21
x
A
x
+
=
+
và
3 3 36 7 2
.
9 12
33
x x x
B
x
xx

+ − −
= − +


−
−+

với
0; 9xx
.
1. Tính giá trị của biểu thức
A
tại
16x =
2. Rút gọn biểu thức
B
3. Tìm
x
để biểu thức
.P AB=
nhận giá trị là số nguyên dương.
Hướng dẫn
1. Thay
16x =
(thỏa mãn đkxđ) vào
A
ta được
16 3 7
9
2 16 1
A
+
==
+
Vậy giá trị của biểu thức
A
tại
16x =
là
7
9
.
2. Với
0; 9xx
3 3 36 7 2
.
9 12
33
x x x
B
x
xx

+ − −
= − +


−
−+

( ) ( )
22
33
36 7 2
.
9 9 9 12
xx
x
x x x

+−
−

= − −

− − −


12 7 2
.
12
3
x
x
−
=
+
72
3
x
x
−
=
+
3. Với
0; 9xx
.P A B=
3
21
x
x
+
=
+
7 2 7 2
.
3 2 1
xx
xx
−−
=
++
14 4 11
27
2 1 2 1
x
P
xx
−
= = −
++
Với
7
0 0 7 2 4 2
2
x x P P − −
Để
P
nhận giá trị là số nguyên dương
1;2;3P
TH1:
( )
7 2 3 9
11
5 25
21
x
P x x tm
x
−
= = = =
+
TH2:
( )
7 2 4 16
22
39
21
x
P x x tm
x
−
= = = =
+
TH3:
( )
72
3 3 5 25
21
x
P x x tm
x
−
= = = =
+
Vậy
9 16
; ;25
25 9
x



Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 79
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 82. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Thanh Xuân – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
2
2
xx
A
x
−
=
+
và
22
.
4
22
x x x
B
x
xx

+
=+


+
+−

với
0; 4xx
.
1)Tính giá trị của biểu thức
A
khi
9x =
2)Chứng minh
2
x
B
x
=
−
3)Tìm tất cả giá trị của
x
để
. 2 3A B x−
Lời giải
a)Giá trị
9x =
thỏa mãn điều kiện
0, 4 3x x x =
thay vào biểu thức
A
ta được:
2 9 2.3 3
3 2 5
2
−−
= = =
+
+
xx
A
x
Vậy khi
9x =
thì
3
5
=A
b) Với
0; 4xx
ta có:
( ) ( )
( )( )
( )
2 2 2 2
22
..
44
22
22
x x x x x
x x x
B
xx
xx
xx

− + + +

+

= + =



++
+−
−+


( )( )
( )
( )( )
( )
22
2 2 4 4
..
44
2
2 2 2 2
x x x x
x x x x x
xx
x
x x x x
++
− + + +
= = =
++
−
− + − +
Vậy
2
=
−
x
B
x
( đpcm)
c) Với
0; 4xx
để
. 2 3−A B x
( )
2
2
. 2 3 . 2 3
2 2 2 2
xx
x x x x
xx
x x x x
−
−
− −
+ − + −
( )( )
2 3 2 3 2 2 6
2
x
x x x x x x x
x
− − + + −
+
( )( ) ( )
6 0 3 2 0 2 0 3 0 4 do x x x x x x x + − + − − +
Kết hợp với điều kiện ta được
04x
thì
. 2 3−A B x
Câu 83. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KTCL – Trường THCS Thanh Xuân – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
32
1
x
A
x
−
=
−
và
15 11 2 3
2 3 3
xx
B
x x x
−+
=−
+ − +
với
0x
,
1x
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
16x =
.
b) Đặt
P A B=+
. Rút gọn biểu thức
P
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 80
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Tìm
m
để có
x
thỏa mãn
( 3)P x m+=
.
Lời giải
a)
16x =
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay
16x =
vào biểu thức
32
1
x
A
x
−
=
−
ta được:
3 16 2 3.4 2 12 2 10
1 4 3 3
1 16
A
− − −
= = = = −
−−
−
.
Vậy khi
16x =
thì
10
3
A =−
.
b) Với
0x
;
1x
. Ta có:
3 2 15 11 2 3
1 2 3 3
PB
x x x
x x x x
A
− − +
+−
+
= + =
− − +
( )( )
3 2 15 11 2 3
13
13
x x x
xx
xx
P
− + − +
+−
+
=
−+
−
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
3 2 3 2 3 1
15 11
1 3 1 3 1 3
x
P
x x x
x
x x x x x x
− + + + −
−
+
− − + −
= −
++
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 7 6 15 11 2 3
1 3 1 3 1 3
x x x x x
x
P
x x x x x
− − + − + −
+−
− − −
=
+ + +
( )( )
3 7 6 15 11 2 3
13x
P
x x x x x
x
− − + + − +
−
=
−−
+
( )( )
( ) ( )
( )( )
5 5 2 2
5 7 2
1 3 1 3
P
x x x
xx
x x x x
− + + −
− + −
=
−
=
+ − +
( ) ( )
( )( )
5 1 2 1
13
P
x x x
xx
−−
−
=
−+
+
( )( )
( )( )
1 5 2
52
3
13
xx
x
x
xx
− − +
−+
==
+
−+
Vậy với
0x
;
1x
thì
52
3
P
x
x
−
=
+
+
c) Với
0x
;
1x
, ta có:
( ) ( )
2
3
5
3 5 2
3
x
xx
x
m P x
−+
+ = −
+
=+ +=
•
Với
0 5 0 5 2 2 2x x x m − − +
( )
1
•
Mặt khác:
1 1 5 5 5 2 3 3x x x x m − − − + − −
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
2m
;
3m −
Vậy với
2m
;
3m −
thìcó
x
thỏa mãn
( 3)P x m+=
.
Câu 84. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – THCS Thanh Xuân – 2020-2021)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 81
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho các biểu thức:
23
2
x
A
x
+
=
+
và
2 8 2 1
2 2 1
xx
B
x x x x
−+
= − +
+ − + −
,với
0, 1xx
.
a) Tính giá trị của
A
khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của
x
để biểu thức
7
2
2
BA−
.
Lời giải
a) Tính giá trị của
A
khi
4x =
.
Thay
4x =
(TMĐK) vào biểu thức
A
, ta được:
2 4 3 4 3 7
.
2 2 4
42
A
++
= = =
+
+
b) Rút gọn biểu thức
B
.
Ta có:
2 8 2 1
2 2 1
xx
B
x x x x
−+
= − +
+ − + −
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2. 1 1 . 2
28
2 . 1 2 . 1 2 . 1
x x x
x
x x x x x x
− + +
−
= − +
+ − + − + −
( ) ( )
2 8 2 2 3 2
2 . 1
x x x x
xx
− − + + + +
=
+−
( ) ( ) ( ) ( )
3 4 3 3 4 4
2 . 1 2 . 1
x x x x x
x x x x
+ − − + −
==
+ − + −
( ) ( )
( ) ( )
1 . 3 4
34
2
2 . 1
xx
x
x
xx
−+
+
==
+
+−
. Vậy
34
2
x
B
x
+
=
+
.
c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của
x
để biểu thức
7
2
2
BA−
.
Ta có:
( )
2. 3 4
2 3 4 5
2
2 2 2
x
xx
BA
x x x
+
++
− = − =
+ + +
Để
7
2
2
BA−
4 5 7
2
2
x
x
+

+
.
Vì
2 0 ; 2 0x +
( ) ( )
2. 4 5 7. 2xx + +
8 10 7 14xx + +
4x
16x
. Kết hợp ĐK
0, 1 0 16x x x
Mà
x
là số nguyên lớn nhất
15x=
.
Vậy
15x =
là giá trị cần tìm.
Câu 85. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề KSCL – THCS Thăng Long – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
( )( )
13
12
21
xx
A
xx
xx
= + +
−+
+−
và
3
1
x
B
x
+
=
+
với
0; 1xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 82
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1) Tính giá trị của biểu thức
B
khi
4x =
2) Rút gọn biểu thức
A
.
3) Cho
.S AB=
Chứng minh rằng
3
2
S
Lời giải
1) Thay
4x =
(tmđk) vào biểu thức B ta được:
4 3 2 3 5
2 1 3
41
B
++
= = =
+
+
Vậy
5
3
B =
khi
4x =
.
2) với
0; 1xx
( )( )
13
12
21
xx
A
xx
xx
= + +
−+
+−
( 2) 1 3 2 1 3
(1 )( 2) (1 )( 2)
x x x x x x x x
x x x x
− + + − + − − + − +
==
− + − +
1 (1 )(1 ) 1
(1 )( 2) (1 )( 2) 2
x x x x
x x x x x
− − + +
===
− + − + +
3) với
0; 1xx
3 1 3
.
1 2 2
x x x
S
x x x
+ + +
==
+ + +
Xét hiệu
3
2
S −
3 3 2 6 3 6
2
2 2( 2) 2( 2)
x x x x
x x x
+ + − − −
= − = =
+ + +
Với
0 0 0x x x −
Với
0 0 2 0 2( 2) 0x x x x + +
Suy ra
33
00
22
2( 2)
x
SS
x
−
−
+
(đpcm).
Câu 86. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Thường tín – 2019-2020)
Cho biểu thức
21
11
++
=+
− + +
xx
P
x x x x
và
1
1
=
−
Q
x
với
0; 1xx
.
1) Tính giá trị của biểu thức
Q
khi
49=x
.
2) Rút gọn biểu thức
=−A P Q
.
3) So sánh
A
với
1
3
.
Lời giải
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 83
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1) Thay
49=x
vào
1
1
=
−
Q
x
ta có:
1 1 1
7 1 6
49 1
= = =
−
−
Q
Vậy
1
6
=Q
khi
49=x
.
2) Ta có
2 1 1
1 1 1
++
= − = + −
− + + −
xx
A P Q
x x x x x
2 1 1
1 1 1
++
= + −
− + + −
xx
x x x x x
3 3 3
2 ( 1)( 1) 1
1 1 1
+ + − + +
= + −
− − −
x x x x x
x x x
33
2 1 1
11
x x x x x x
xx
+ + − − − − −
==
−−
( 1)
( 1)( 1) 1
x x x
x x x x x
−
==
− + + + +
.
3) Với
0; 1xx
ta có
2
1 1 3 1 ( 1)
33
1 3( 1) 3( 1)
− − − − −
− = − = =
+ + + + + +
x x x x x
A
x x x x x x
Vì
0x
nên
1 3 3
1 ( ) 0
2 4 4
+ + = + + x x x
mà
1 1 0 − xx
2
( 1) 1 1
00
33
3( 1)
x
AA
xx
−−
−
++
.
Vậy
1
3
A
.
Câu 87. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Trạch Mỹ Lộc – 2019-2020)
Cho các biểu thức:
1
3
+
=
−
x
A
xx
và
2
33
−
=−
−−
xx
B
x x x
với
0; 9xx
.
a) Tính giá trị của
A
khi
25=x
.
b) Chứng minh rằng
1
:
2
+
==
−+
x
P A B
xx
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của
P
.
Lời giải
a) Tính giá trị của
A
khi
25=x
.
Thay
25=x
(thỏa mãn điều kiện
0; 9xx
) vào biểu thức
A
ta được:
25 1 5 1 3
25 15 5
25 3 25
++
= = =
−
−
A
.
Vậy với
25=x
thì
3
5
=A
.
b) Chứng minh rằng
1
:
2
+
==
−+
x
P A B
xx
.
Với
0; 9xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 84
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2
33
−
=−
−−
xx
B
x x x
( )
2
3
3
xx
x
xx
−
=−
−
−
( )
2
3
xx
xx
−+
=
−
( )
12
::
3
3
+ − +
==
−
−
x x x
P A B
xx
xx
1
2
x
xx
+
=
−+
Vậy với
0; 9xx
thì
1
2
+
=
−+
x
P
xx
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của
P
.
Với
0; 9xx
Ta có:
1
2
+
=
−+
x
P
xx
1 1 1
44
2
2 1 3
11
1
= = =
−+
− + + + −
++
+
P
xx
xx
xx
x
Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương:
1+x
và
4
1+x
ta có:
( )
44
1 2 1
11
+ + +
++
xx
xx
4
1 3 1
1
+ + −
+
x
x
1
1
4
13
1

+ + −
+
x
x
1P
.
Dấu “=” xảy ra khi
( )
2
4
1 1 4 1 2
1
+ = + = + =
+
x x x
x
Mà
10+x
Suy ra
1 2 1+ = =xx
(thỏa mãn)
Vậy GTLN của
1=P
khi
1=x
.
Câu 88. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Bài 1. (Thi thử vào 10 – THPT Trần Nhân Tông – 2019-2020)
Cho biểu thức
3 1 2 3
:
1 1 1
x x x
P
x x x x x
− − +
=+
− − + +
với
0x
và
1x
a) Tính giá trị của biểu thức
2
23
A
x
=
+
khi
9x =
.
b) Rút gọn biểu thức
P
.
c) Tìm các giá trị của
x
để
3P
là số nguyên.
Lời giải
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 85
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Thay
9x =
vào
2
23
A
x
=
+
ta được
2 2 2
2.3 3 9
923
A = = =
+
+
b)
3 1 2 3
:
1 1 1
x x x
P
x x x x x
− − +
=+
− − + +
( )( ) ( )( )
3 1 1
.
23
1 1 1 1
x x x x x x
x
x x x x x x


− − + + + +

=+



+
− + + − + +


( )( )
2 2 1
.
23
11
x x x
x
x x x


− + +

=



+
− + +


( )
( )
1
1
21
.
23
x
x
x

−


=


+
−


2
23x
=
+
c)
3P
6
23x
=
+
Ta có: Với
0x
thì
6
0
23x
+
hay
30P
( )
1
Vì
2 0 0xx
2 3 3x +
11
3
23x

+
hay
6
2
23x
+
nên
32P
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
0 3 2P
Vì
3P
nên
3 1;2P
TH1:
31P =
hay
6
1
23x
=
+
6 2 3x = +
3
2
x=
9
4
x=
(tmđk)
TH2:
32P =
hay
6
2
23x
=
+
6 4 6x = +
0x=
0x=
(tmđk)
Vậy
9
0;
4
x



thì
3P
có giá trị nguyên
Câu 89. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL vòng 3 – THCS Trần Phú – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
( )( )
13
2
xx
A
x
+−
=
−
và
36
4
2
xx
B
x
x
+
=−
−
−
với
0; 4; 9x x x
.
1) Tính giá trị của
A
khi
16x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
M
A
=
.
3) Tìm tất cả các giá trị của
x
để biểu thức 3M nhận giá trị nguyên.
Lời giải
1) Tính giá trị của
A
khi
16x =
.
Có
16x =
(thỏa mãn điều kiện của
x
)
4x =
thay vào biểu thức
A
ta được:
( )( )
4 1 4 3
5.3 15
4 2 2 2
A
+−
= = =
−
Vậy khi
16x =
giá trị của
A
là
15
2
A =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 86
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2) Rút gọn biểu thức
B
M
A
=
.
Với
0; 4; 9x x x
, ta có:
36
4
2
xx
B
x
x
+
=−
−
−
( ) ( )
2 3 6
4
x x x
x
+ − +
=
−
2 3 6
4
xxx
x
+ − −
=
−
6
4
xx
x
−−
=
−
( )( )
( )( )
23
22
xx
xx
+−
=
+−
3
2
x
x
−
=
−
.
B
M
A
=
( )( )
13
3
:
22
xx
x
xx
+−
−
=
−−
( )( )
32
.
2
13
xx
x
xx
−−
=
−
+−
1
1x
=
+
3) Xét
3
3.
1
M
x
=
+
.
Vói điều kiện
0; 4; 9.x x x
Ta có:
+
+
3
0 1 1 3
1
xx
x
Mặt khác
3. 0M
. Do đó
0 3. 3M
Để
3M
nhận giá trị nguyên
3 1;2;3M
31
1;2;3 4; ;0
4
1
x
x


+

Vì
1
0; 4; 9 ;0
4
x x x x



.
KL: Vậy
1
;0
4
x



thì
3M
nhận giá trị nguyên.
Câu 90. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Trưng Nhị - 2019-2020)
Cho biểu thức:
1
x
A
x
=
+
và
11
4
22
x
B
x
xx
= − +
−
−+
với
0; 4xx
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
1
4
x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Cho
. Tính giá trị nhỏ nhất của
P
khi
,8xx
.
Lời giải
1) Thay
1
4
x =
(thỏa mãn) vào biểu thức
A
:
1 1 1 3 1
: 1 :
4 4 2 2 3
A

= + = =



Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 87
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy khi
1
4
x =
thì
1
3
A =
.
2)
11
4
22
x
B
x
xx
= − +
−
−+
( )( ) ( )( ) ( )( )
22
2 2 2 2 2 2
x x x
x x x x x x
+−
= + +
+ − + − + −
( )( )
22
22
x x x
xx
+ + + −
=
+−
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
2
22
xx
xx
+
=
+−
2
x
x
=
−
3) Có
23
:1
1 2 1 1
x x x
x x x x
−
= = = −
+ − + +
Vì
,8xx
9x
3x
14x +
33
4
1x

+
31
1
3
1x
−
+
Vậy giá trị nhỏ nhất của
P
là
1
3
khi
9x =
.
Câu 91. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Trưng Nhị - 2019-2020)
Cho
1
1
x
A
x
−
=
+
và
15 2 1
:
25
55
xx
B
x
xx

−+
=+


−
+−

với
0; 25xx
a) Tính giá trị của
A
khi
3x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm giá trị của
a
để phương trình
A B a−=
có nghiệm.
Lời giải
a) Thay
3x =
(TMĐK) vào
A
ta được:
( )
( )( )
2
13
1 3 4 2 3 4 2 3
23
1 3 2
13
1 3 1 3
A
−
− − −
= = = = = − +
−−
+
−+
Vậy với
3x =
thì
23A = − +
b)
15 2 1
:
25
55
xx
B
x
xx

−+
=+


−
+−

với
0; 25xx
( )( )
( )
( )( )
25
15 5
.
1
5 5 5 5
x
xx
x
x x x x

−
−−

=+

+
− + + −

( )( )
15 2 10 5
.
1
55
x x x
x
xx

− + − −

=

+
−+

( )( )
55
.
1
55
xx
x
xx
+−
=
+
+−
1
1x
=
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 88
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy với
0; 25xx
thì
1
1
B
x
=
+
c) Ta có:
11
1 1 1
−−
− = − =
+ + +
xx
AB
x x x
Để
A B a−=
có nghiệm thì
1
x
a
x
−
=
+
có nghiệm
Suy ra
0x a x a− − − =
có nghiệm
( )
1
0
1 0 1
1
10
10
0 0 1 0
5
11
0
5
6
5
10
5
6
1
5 1 0
a
a
aa
a
a
a
aa
xa
aa
a
a
a
a
x
a
a
aa
−

− − −
−
−
+
= −
−
− − +
−
+

−−
− − −
Để
A B a−=
có nghiệm thì
5
1 0;
6
aa
−
−
.
Câu 92. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Trưng Vương – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
2
2
x
A
x
−
=
+
và
1 3 2 5
4
22
x x x
B
x
xx
−−
= − −
−
+−
với
0x
;
4x
.
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.M A B=
khi
xN
,
101x
.
Lời giải
1) Với
25x =
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay
25x =
vào biểu thức
A
ta có:
25 2 3
7
25 2
A
−
==
+
Vậy
3
7
A=
khi
25x =
.
2) Với
0x
;
4x
ta có:
1 3 2 5
4
22
x x x
B
x
xx
−−
= − −
−
+−
( )( )
1 3 2 5
22
22
x x x
xx
xx
−−
= + −
+−
+−
( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
1 2 3 2
25
2 2 2 2 2 2
x x x x
x
x x x x x x
− − +
−
= + −
+ − + − + −
( )( )
3 2 3 6 2 5
22
x x x x x
xx
− + + + − +
=
+−
( )( )
48
22
xx
xx
+
=
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 89
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
( )( )
42
22
xx
xx
+
=
+−
4
2
x
x
=
−
Vậy
4
2
x
B
x
=
−
với
0x
;
4x
3) Với
0x
;
4x
ta có:
24
..
22
xx
M A B
xx
−
==
+−
4
2
x
x
=
+
8
4
2x
=−
+
Có
xN
;
0 101x
nên
0 100x
2 12x +
8 2 8 2
44
33
22xx
− −
++
10
3
M
Vậy
M
có giá trị lớn nhất là
10
3
khi
100x =
.
Câu 93. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Trưng Vương – 2019-2020)
Cho biểu thức
93
4
x
A
x
−
=
−
và
14
1 2 2
x x x
B
x x x x
−+
= + −
+ − − −
với
0x
,
4x
.
1. Tính giá trị của
A
khi
16x =
.
2. Rút gọn biểu thức
B
.
3. Tìm
x
để biểu thức
:P A B=
nhận giá trị là một số nguyên âm.
Lời giải
1. với
0x
,
4x
.Thay
16x
(thỏa mãn điều kiện) thỏa mãn điều kiện vào
A
ta được :
9 3 16 9 3.4 3 1
16 4 16 4 12 4
A
−−
= = = − = −
−−
2. Ta xét biểu thức
B
với
0; 4xx
14
1 2 2
x x x
B
x x x x
−+
= + −
+ − − −
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 1 1
4
1 2 1 2 1 2
x x x x
x
B
x x x x x x
− − +
+
= + −
+ − + − + −
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
31
2 1 4 3 3
1 2 1 2 1 2
x
x x x x x
B
x x x x x x
−+
− + − − − − −
= = =
+ − + − + −
3
2
B
x
−
=
−
3. Ta có:
( )
( )( )
33
9 3 3 2
: : .
43
2
22
x
xx
P A B
x
x
xx
−
− − −
= = =
−−
−
−+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 90
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
35
1
22
x
P
xx
−
= = −
++
Do
55
00
2
2
x
x
+
Để
P
nguyên thì
5
2x +
nguyên
5
1
9
25
2
1
5
2 4 5
2
4
2
x
x
x
x
x
x
=
=
+=
+
=
+=
=
+
Thử lại :
90xP= =
(loại)
1
1
4
xP= = −
(thỏa mãn
P
nguyên âm)
Câu 94. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Ứng Hòa – 2019-2020)
Cho hai biểu thức
4
5
x
A
x
=
−
và
2 1 5 2
1 2 2
xx
B
x x x x
−−
= + +
− + + −
(với
0 1 25x ,x ,x
).
1) Tính giá trị của biểu thức
A
tại
9x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm số tự nhiên
x
lớn nhất sao cho
4
A
B
.
Lời giải
1) Thay
9x =
(Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức
A
ta có:
4 9 4 3
6
35
95
.
A = = = −
−
−
Vậy
6A =−
khi
9x =
.
2) Với
0 1 25x ,x ,x
2 1 5 2
1 2 2
xx
B
x x x x
−−
= + +
− + + −
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
22
1 5 2
1 2 1 2 1 2
xx
xx
x x x x x x
−+
−−
= + +
− + − + − +
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
1
4 1 5 2
2
1 2 1 2 1 2
xx
x x x x x x
x
x x x x x x
−
− + − + − −
= = = =
+
− + − + − +
3) Với
0 1 25x ,x ,x
Điều kiện:
0 0 0 0 0 1 25
2
x
B x x x ,x ,x
x
+
.
( )
42
4 4 2
4 4 4 4
5 2 5 5
x
A x x x x
:
B
x x x x x
+
+
− + − −
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 91
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2
10
5
x
x
+
−
−
25
0
5
xx
x
+ − +

−
7
0
5x

−
Ta có
70
nên
5 0 5 25x x x−
Mà
x
là số tự nhiên lớn nhất,
0 1 25x ,x ,x
do đó
24x =
(TMĐK)
Vậy
24x =
là số tự nhiên lớn nhất để
4
A
B
.
Câu 95. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Vạn Điểm – 2019-2020)
Cho các biểu thức
3 1 2
:
25
55

++
=+


−
+−

x x x
P
x
xx
với
0; 25xx
1) Rút gọn biểu thức :
P
2) Tìm
x
để
( )
2 12+=xP
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
Lời giải
1) Với
0; 25xx
ta có
( )( ) ( )( )
3 1 2 3 5 2
::
25
5 5 5
5 5 5 5


+ + + − +

= + = +



−
+ − −
+ − + −


x x x x x x x
P
x
x x x
x x x x
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
15
3 5 2 4 5 2 5 1
: : .
5 5 2 2
5 5 5 5 5 5
−+
+ + − + + − + − −
= = = =
− − + +
+ − + − + −
xx
x x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
Vậy
1
2
−
=
+
x
P
x
2) Với
0; 25xx
Để
( ) ( )
1
2 12 2 . 12 1 12 13 169( )
2
−
+ = + = − = = =
+
x
x P x x x x tmdk
x
Vậy với
169=x
thì
( )
2 12+=xP
3)
1 2 3 3
1
2 2 2
− + −
= = = −
+ + +
xx
P
x x x
vì
2 2 x+ x
TXĐ
3 3 3 3 3 3
1 1
2 2 2
2 2 2
− − − −
+ + +x x x
hay
1
2
−
P
dấu "=" xảy ra khi
0=x
(TMĐK). Vậy Min
1
0
2
−
= =Px
Câu 96. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Văn Quán – 2019-2020)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 92
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức:
21
1
x
A
x
−
=
+
và
95
1
1
x
B
x
x
+
=+
−
−
với
0; 1xx
.
1) Tính giá trị của
A
khi
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức
:P A B=
.
3) Tìm
m
để có
2
giá trị
x
thỏa mãn:
2mA x=−
.
Lời giải
1)
25x =
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay
25x =
vào biểu thức
21
1
x
A
x
−
=
+
ta được:
2 25 1 2.5 1 10 1 9 3
5 1 6 6 2
25 1
A
− − −
= = = = =
+
+
.
Vậy khi
25x =
thì
3
2
A =
.
2) Với
0x
;
1x
. Ta có:
2 1 9 5
::
1
11
xx
P A B
x
xx
−+

= = +

−
+−

( )( )
2 1 9 5
:
11
11
xx
xx
xx

−+

=−

+−
−+

( )( )
( )
( )( )
51
2 1 9
:
1
1 1 1 1
x
xx
P
x
x x x x

+
−+

=−

+
− + − +

( )( )
2 1 9 5 5
:
1
11
x x x
x
xx
− + − −
=
+
−+
( )( )
2 1 5 4
:
1
11
x x x
P
x
xx
− − +
=
+
−+
( )( )
2 1 4 4
:
1
11
x x x x
x
xx
− − − +
=
+
−+
( ) ( )
( )( )
44
21
:
1
11
x x x
x
P
x
xx
− − −
−
=
+
−+
( ) ( )
( )( )
44
21
:
1
11
x x x
x
x
xx
− − −
−
=
+
−+
( )( )
( )( )
41
21
:
1
11
xx
x
P
x
xx
−−
−
=
+
−+
2 1 4
:
11
xx
xx
−−
=
++
2 1 1 2 1
1 4 4
x x x
P
x x x
− + −
= =
+ − −
.
Vậy với
0x
;
1x
thì
21
4
x
P
x
−
=
−
.
3) Với
0x
, ta có:
1
2
1
2
2 x
m x
x
A x m
−
= −
+
= −
( ) ( )( )
2 1 2 1m x x x − = − +
2 2 2m x m x x x − = + − −
( )
2 1 2 0x m x m − + + − =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 93
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Đặt
tx=
(
0t
)
( )
2
2 1 2 0t m t m − + + − =
( )
1
Yêu cầu bài toán
Phương trình
( )
1
có hai nghiệm phân biệt không âm
1
t
;
2
t
( ) ( )
2
2 1 4.1 2mm = − + − −


22
4 4 1 4 8 4 9 0m m m m= + + − + = +
với mọi
m
.
Phương trình
( )
1
luôn có hai nghiệm phân biệt
1
t
;
2
t
với mọi
m
.
Theo định lí Vi-et, ta có:
12
12
21
2
t t m
t t m
+ = +
=−
.
Phương trình
( )
1
có hai nghiệm phân biệt không âm
1
t
;
2
t
12
12
0
0
tt
tt
+
2 1 0 2 1
2 0 2
mm
mm
+ −



−

1
2
2
2
m
m
m
−
.
Vậy với
2m
thì có
2
giá trị
x
thỏa mãn:
2mA x=−
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 94
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 97. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Trường thực nghiệm KHGD – 2020-2021)
Cho biểu thức
1
4
xx
A
x
++
=
−
và
1 5 8
22
xx
B
x x x
−−
=−
−−
với
0; 4; 16x x x
1) Tính giá trị của
A
khi
25x=
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Cho
.S A B=
. So sánh
S
với
2
.
Lời giải
1) Tính giá trị của
A
khi
25x=
.
Thay x = 25 ( TMĐK) vào A ta được
25 25 1
31
25 4
A
++
==
−
2) Rút gọn biểu thức
B
.
Với
0; 4; 16x x x
42
1 5 8 5 8 6 8 4
22
. 2 . 2 . 2
xx
x x x x x x x x
B
x x x x
x x x x x x
3) Cho
.S A B=
. So sánh
S
với
2
Với
0; 4; 16x x x
1 4 1 1
.1
4
x x x x x
S A B x
x x x x
+ + − + +
= = = = + +
−
0x
nên áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
1 1 1
2 . 2 1 2 2x x x S
x x x
+ = + +
Cách 2: Xét hiệu
2
13
24
1
20
x
xx
S
xx

−+

−+

− = =
với
0; 4; 16x x x
Suy ra
2S
Câu 98. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Ôn thi vào 10 – 2019-2020)
Cho hai biểu thức:
3 16 2 4 6 1
;
3 2 2
x x x x x
AB
x x x x
− + − + +
= = −
− − −
với
0, 4, 9x x x
.
a)
Tính giá trị của A khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho P = A.B. Tìm GTNN của P.
Lời giải
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 95
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Tính giá trị của A khi x = 36
Ta có:
3 16
3
xx
A
x
−+
=
−
(đkxđ:
0, 4, 9x x x
)
Thay x = 36 (tmđkxđ) vào biểu thứcA, ta có:
36 3 36 16 34
3
36 3
A
−+
==
−
b) Rút gọn biểu thức B
Ta có:
2 4 6 1
22
x x x
B
x x x
− + +
=−
−−
(đkxđ:
0, 4, 9x x x
)
( ) ( )
( )( )
( )
23
2 4 6 5 6 3
2 2 2
xx
x x x x x x x
B B B B
x
x x x x x x
−−
− + − − − + −
= = = =
− − −
c) Cho P = A. B. Tìm GTNN của P
Ta có:
.P A B=
(đkxđ:
0, 4, 9x x x
)
3 16 3 3 16 16
3
3
x x x x x
P P P x
x x x x
− + − − +
= = = − +
−
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương
x
và
16
x
, ta có:
16 16 16
2 3 2 16 3 5x x x P
x x x
+ + − −
Dấu “=” xảy ra
16
16xx
x
= =
(tmđkxđ)
Vậy GTNN của P bằng 5 khi x = 16
Câu 99. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Bài 1 (Đề ôn thi vào 10 – 2020-2021)
Cho hai biểu thức:
2 6 2
;
1
22
x x x
AB
x
x x x
++
= = −
−
+ − +
với
0, 1xx
.
a)
Tính giá trị của A khi
7 2 6x =−
b) Rút gọn biểu thức
:P A B=
c) Tìm x để
( )
1 . 2 4 10x P x x x+ = − + − +
Lời giải
a) Tính giá trị của A khi
7 2 6x =−
Ta có:
( )
2
7 2 6 6 1 6 1xx= − = − = −
(TMĐK) Thay vào biểu thức A ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 96
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( ) ( )( )
( )( )
2 6 1 6 6 2 3 6
2 6 4 6 2 5 6 12
3
7 2 6 1 6 2 6 3 6
3 6 3 6
A
− + + +
+ + +
= = = = =
− − − −
+−
Vậy khi
7 2 6x =−
thì
5 6 12
3
A
+
=
b) Rút gọn biểu thức
:P A B=
Ta có
2 6 2
::
1
22
x x x
P A B
x
x x x

++
= = −


−
+ − +

( )
( )( ) ( )( )
( )( )
2 1 2 1
2 6 2 6 2 6
:.
1
21
2 1 1 1
x x x x x
x x x
x
xx
x x x x
+ − − + −
+ + +
= = =
−
++
+ − − +
Vậy
26
1
x
P
x
+
=
+
với
0, 1xx
.
c) Tìm x để
( )
1 . 2 4 10x P x x x+ = − + − +
Ta có:
( )
1 . 2 4 10x P x x x+ = − + − +
( )
( )
2
26
1 . 2 4 10
1
2 6 2 4 10 2 4 2 4 0
4 4 4 0 2 4 0
x
x x x x
x
x x x x x x x x
x x x x x
+
+ = − + − +
+
+ = − + − + − + − − + =
− + + − = − + − =
Vì
( )
2
20x −
với
0, 1xx
40x −
với mọi
4x
Nên dấu”=” xảy ra
20
4
40
x
x
x
−=
=
−=
(TMĐK)
Vậy
4x =
thì
( )
1 . 2 4 10x P x x x+ = − + − +
Câu 100. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Tạ Quang Bửu – 2020-2021)
Cho hai biểu thức và với
a) Tính giá trị biểu thức khi
b) Rút gọn biểu thức .
c) Tìm giá trị nguyên của để đạt giá trị nguyên.
Lời giải
47
2
x
A
x
−
=
−
3 4 1 2
:
4
22
x
B
x
xx

+
=−


−
++

0, 4.xx
A
9.x =
B
x
A
B
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 97
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Thay thỏa mãn điều kiện vào biểu thức :
b)
c)
Có thì là số nguyên hoặc số vô tỉ.
Trường hợp 1: là số vô tỉ, khi đó có giá trị là số vô tỉ (loại)
Trường hợp 2: là số nguyên.
có giá trị nguyên
Mà
(thỏa mãn)
Vậy thì đạt giá trị nguyên.
Câu 101. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Tam Hiệp – 2019-2020)
Cho biểu thức: với
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức khi .
c) Tìm giá trị của để biểu thức chỉ nhận một giá trị nguyên ( khi biểu thức có nghĩa).
Lời giải
a) (với )
9x =
A
4 9 7 4.3 7
5
32
92
A
−−
= = =
−
−
3 4 1 2
:
4
22
x
B
x
xx

+
=−


−
++

3 4 2 2
:
42
x x x
B
x
+ − + +
=
−
2 6 2 3
.
42
2
x x x
B
x
x
+ + +
==
−
−
4 7 3 4 7 2 4 7 19
: . 4
2 2 2 3 3 3
A x x x x x
B
x x x x x x
− + − − − −
= = = = +
− − − + + +
x
x
x
A
B
x
19
4
3
A
B
x
−
=+
+
( )
3 19 1; 19x + = Ö
33x +
3 19x +=
16x =
256x =
256x =
A
B
2 2 1 1x x x x x
P
x x x x x
+ − +
= + −
−+
0; 1xx
P
P
9x =
x
7
P
P
2 2 1 1x x x x x
P
x x x x x
+ − +
= + −
−+
0; 1xx
2 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1) ( 1)
x x x x x x x
P
x x x x x
+ − + + + − +
= + −
−+
2 2 1 1x x x x x
P
x x x
+ + + − +
= + −
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 98
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
.
b) Thay vào ta được
c) Với thì: với và là số chính phương.
Ta có: nên
Suy ra chỉ nhận giá trị nguyên đó là giá trị 1,
Tức là:
(nhận).
Câu 102. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Tam Khương – 2020-2021)
Cho các biểu thức: và với ; .
1) Tính giá trị của biểu thức A khi .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm các giá trị của để .
Lời giải
1) Khi (thoả mãn điều kiện)
Ta có .
2) Ta có:
.
2 2 1 1x x x x x
P
x
+ + + + + − +
=
2 2 2xx
P
x
++
=
9x =
2.9 2 9 2 18 6 2 26
33
9
P
+ + + +
= = =
0; 1xx
77
2( 1)
x
P
xx
=
++
1x
x
13x x x+ +
7 7 7
6
2( 1)
x
P
xx
=
++
7
P
7
1 7 2 2 2
2( 1)
x
x x x
xx
= = + +
++
4
2 5 2 0
1
4
x
xx
x
=
− + =
=
3
2
+
=
−
x
A
x
11
4
22
= + −
−
−+
x
B
x
xx
0x
4x
16=x
x
( )
( )
2 2 7 2 7− + = − − +B x x x x
16=x
16 3 4 3 7
4 2 2
16 2
A
++
= = =
−
−
11
4
22
x
B
x
xx
= + −
−
−+
( )( )
22
22
x x x
B
xx
+ + − +
=
−+
( )( )
2
2
22
x x x
B
x
xx
+
==
−
−+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 99
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3)
(vô nghiệm).
Câu 103. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Tân Định – 2019-2020)
Cho hai biểu thức và với
1) Tính giá trị của biểu thức khi
2) Chứng minh
3) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của sao cho
Lời giải
1) Thay vào ta có
Vậy khi
2)
3) đk
Để thì hay Vì với thì
( )
( )
2 2 7 2 7B x x x x− + = − − +
( )
( )
2 2 7 2 7
2
x
x x x x
x
− + = − − +
−
( )
3 7 2 9 0x x x − − − + =
( )
2 6 2 7 2 18 0x x x − − − + =
( )
6 9 2 2 2. 7 7 4 0x x x x − + + − − − + + =
( ) ( )
22
3 2 7 4 0xx − + − − + =
4−
=
x
A
x
2 10 1 2
22
+ − − +
= + −
−−
x x x x
B
x x x x
0; 4xx
A
4=x
3+
=
x
B
x
x
AA
BB
4=x
4−
=
x
A
x
4 4 2 4
1
2
4
−−
= = = −A
1=−A
4=x
2 10 1 2
22
+ − − +
= + −
−−
x x x x
B
x x x x
2 10 1 2
( 2) 2
+ − − +
= + −
−−
x x x x
x x x x
2 10 ( 1) ( 2)( 2)
( 2) 2
+ − − + −
= + −
−−
x x x x x x
x x x x
2 10 4
( 2)
+ − + − − +
=
−
x x x x x
xx
6
( 2)
+−
=
−
xx
xx
6 ( 2)( 3) 3
( 2) ( 2)
+ − − + +
= = =
−−
x x x x x
x x x x x
4
4
33
−
−
==
++
x
Ax
x
B
xx
x
0x
AA
BB
0
A
B
4
0
3
−
+
x
x
0x
30+x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 100
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Nên
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của thì
Câu 104. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2020-2021)
1.Tính giá trị của biểu thức:
2. a) Chứng minh rằng biểu thức bằng
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B?
Lời giải
1) Ta có :
2a) Ta có:
Vậy
b) Ta có:
Dấu “ = “ xảy ra khi
Vậy giá trị lớn nhất khi
Câu 105. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2019-2020)
4 0 4 16− x x x
15=x
AA
BB
1
12 48 27
4
A = − +
( )
( )
24
21
0; 4
4
22
x
xx
B x x
x
xx
+
++
= + −
−
−+
3
2x +
1
12 48 27
4
2 3 3 3 3
43
A = − +
= − +
=
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
24
21
0; 4
4
22
2 1 2 2 4
22
4 4 2 2 8
22
36
22
3
2
x
xx
B x x
x
xx
x x x x
xx
x x x x x
xx
x
xx
x
+
++
= + −
−
−+
+ + + − − +
=
−+
+ + + − − − −
=
−+
−
=
−+
=
+
( )
3
2
B dpcm
x
=
+
2 2, x 0, 4xx+
3 3 3
22
2
B
x
+
( )
00x x TM= =
3
2
B =
0x =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 101
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Cho biếu thức với . Tính giá trị của khi .
b) Cho biểu thức với . Rút gọn biểu thức .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
a) Cho biếu thức với . Tính giá trị của khi .
Khi thỏa mãn điều kiện , thay vào ta được: .
Vậy với thì .
b) Cho biểu thức với . Rút gọn biểu thức .
Với , ta có:
.
Vậy với thì .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Với , ta có:
(do áp dụng bất đẳng thức Cauchy).
Dấu “ ” xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá trị nhỏ nhất của là xảy ra khi .
7x
A
x
+
=
0x
A
16x =
2 1 2 3
9
33
x x x x
B
x
xx
− − −
= + −
−
+−
0, 9xx
B
1
SA
B
=+
7x
A
x
+
=
0x
A
16x =
16x =
0x
16x =
7x
A
x
+
=
16 7 23
4
16
A
+
==
16x =
23
4
A =
2 1 2 3
9
33
x x x x
B
x
xx
− − −
= + −
−
+−
0, 9xx
B
0, 9xx
2 1 2 3
9
33
x x x x
B
x
xx
− − −
= + −
−
+−
( ) ( )( ) ( )
( )( )
. 3 2 1 3 2 3
33
x x x x x x
xx
− + − + − − −
=
+−
( )( )
3 2 6 3 2 3
33
x x x x x x x
xx
− + + − − − + +
=
+−
( )( )
3
33
xx
xx
+
=
+−
( )
( )( )
3
33
xx
xx
+
=
+−
3
x
x
=
−
0, 9xx
3
x
B
x
=
−
1
SA
B
=+
0, 9xx
1 1 7 3 7 4
3
x x x x x
SA
B
x x x x x
x
+ − + + +
= + = + = + =
−
44
1 1 2 . 5xx
xx
= + + + =
=
4
x
x
=
4x=
S
5
4x =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 102
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 106. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2019-2020)
Cho các biểu thức và với
a) Tính giá trị của biểu thức khi .
b) Chứng minh
c) Tìm giá trị của để .
Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức khi .
Thay (thoả mãn điều kiện) vào ta được:
.
Vậy với thì .
b) Chứng minh
với
Vậy với .
c) Tìm giá trị của để .
Ta có: .
Để thì
1
x
A
x
=
+
5 2 4
1
11
xx
B
x
xx
−
= − +
−
−+
0, 1xx
A
9x =
1
1
x
B
x
−
=
+
x
3
4
B
A
A
9x =
9x =
A
9 3 3
3 1 4
91
A = = =
+
+
9x =
3
4
A =
1
1
x
B
x
−
=
+
5 2 4
1
11
xx
B
x
xx
−
= − +
−
−+
0, 1xx
( ) ( )
( )( )
1 5 1 2 4
11
x x x x
B
xx
+ − − + −
=
−+
( )( )
5 5 2 4
11
x x x x
B
xx
+ − + + −
=
−+
( )( )
21
11
xx
B
xx
−+
=
−+
( )
( )( )
2
1
1
1
11
x
x
B
x
xx
−
−
= =
+
−+
1
1
x
B
x
−
=
+
0, 1xx
x
3
4
B
A
1 1 1 1
:.
1 1 1
B x x x x x
A
x x x x x
− − + −
= = =
+ + +
3
4
B
A
13
4
x
x
−
( )
0, 1xx
13
0
4
x
x
−
−
4 4 3
0
4
xx
x
−−

4
0
4
x
x
−

Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 103
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vì nên nên khi
kết hợp với điều kiện suy ra , .
Vậy với , thì .
Câu 107. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – Phòng GD Quận Thạch Hà – 2020-2021)
1) Thực hiện phép tính .
2) Cho biểu thức (với ).
a) Rút gọn .
b) Tìm giá trị của
để .
Lời giải
1) Ta có .
2) a) Với ta có
b) (do )
Vậy
Mà nên
Vậy để .
Câu 108. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
Cho biểu thức: với và
a) Rút gọn
b) Tìm để
Lời giải
a) Rút gọn
Với và
00xx
40x
4
0
4
x
x
−
40x −
4x
16x
0, 1xx
0 16x
1x
0 16x
1x
3
4
B
A
3 20 80 4 5−+
1 1 2
1
22
Q
x x x
= + −
+−
0, 4xx
Q
x
1
2
Q
20 80 4 5 6 5 4 5 4 5 6 53 − + = − + =
0, 4xx
1 1 2
1
22
Q
x x x
= + −
+−
( )( )
22
22
xx
x
xx


−

=



+−


2
.
2x
=
+
1 2 1 4 2 2
0 0 2 0
22
2 2 2
Q
xx
x
x x x
− − −
−
+
++
20x +
04x
0, 4xx
04x
04x
1
2
Q
2 1 1
1 1 1
++
= − −
− + + +
x x x x
Bx
x x x x x
0x
1x
B
x
5=B
B
0x
1x
2 1 1
1 1 1
++
= − −
− + + +
x x x x
Bx
x x x x x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 104
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy với và thì
b) Tìm để
(Thỏa mãn và )
Vậy thì .
Câu 109. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (TS 10 – Phòng GD Tỉnh Thái Nguyên – 2020-2021)
Cho biểu thức: với và
a) Rút gọn
b) Tìm để
Lời giải
a) Rút gọn
Với và
Vậy với và thì
b) Tìm để
(Thỏa mãn và )
Vậy thì .
Câu 110. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – THCS Thái Thịnh – 2019-2020)
( )
( )
( )( )
( )( )
2 1 1 1 1
.
1
11

+ − − + − +

=−

+
− + +

x x x x x x
Bx
x
x x x
( )( )
( )
2
1
.1
11
++
=−
− + +
xx
Bx
x x x
1=−Bx
0x
1x
1=−Bx
x
5=B
5 1 5 6 36= − = = =B x x x
0x
1x
36x =
5B =
2 1 1
1 1 1
++
= − −
− + + +
x x x x
Bx
x x x x x
0x
1x
B
x
5=B
B
0x
1x
2 1 1
1 1 1
++
= − −
− + + +
x x x x
Bx
x x x x x
( )
( )
( )( )
( )( )
2 1 1 1 1
.
1
11

+ − − + − +

=−

+
− + +

x x x x x x
Bx
x
x x x
( )( )
( )
2
1
.1
11
++
=−
− + +
xx
Bx
x x x
1=−Bx
0x
1x
1=−Bx
x
5=B
5 1 5 6 36= − = = =B x x x
0x
1x
36x =
5B =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 105
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho biểu thức và với điều kiện
1) Tính giá trị của biểu thức khi
2) Rút gọn biểu thức
3) Gọi . So sánh và
Lời giải
1) Tính giá trị biểu thức khi
Thay (thỏa mãn ĐK: ) vào biểu thức ta được:
Vậy với , giá trị của biểu thức
2) Rút gọn biểu thức
Với , ta có:
Vậy với thì
3) Gọi . So sánh và
Với , ta có:
,
do đó (với )
Câu 111. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi tuyển sinh vào 10 – THCS Thái Thịnh – 2020-2021)
Cho hai biểu thức và với , .
a)Tính giá trị của biểu thức khi .
b)Rút gọn biểu thức .
c)Tìm
để biểu thức có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức khi .
23
2
xx
A
x
−+
=
−
2 8 2
4
2
xx
B
x
x
−+
=−
−
−
0; 4x x
A
9x =
B
.P AB=
P
P
A
9x =
9x =
0; 4x x
A
9 2 9 3 9 6 3
6
32
92
A
− + − +
= = =
−
−
9x =
6A =
B
0; 4x x
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2
2 8 2 2
2 8 2 2 8 2
4
22
2 2 2 2
2
4 4 2
2
2 2 2 2
x x x
x x x x
B
x
xx
x x x x
x
x x x
x
x x x x
− + − +
− + − +
= − = − =
−
−−
− + − +
−
− + −
===
+
− + − +
0; 4x x
2
2
x
B
x
−
=
+
.P AB=
P
P
0; 4x x
( )
2
22
2 3 2 2 1 2
. . 0
2 2 2 2
x
x x x x x
P A B
x x x x
−+
− + − − + +
= = = =
− + + +
PP=
0; 4x x
7x
A
x
−
=
3 2 3 6
4
22
x x x
B
x
xx
−+
= + +
−
+−
0x
4x
A
9x =
B
x
.P AB=
A
9x =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 106
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Thay ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức
ta được: .
Vậy thì .
b) Rút gọn biểu thức .
Với , ta có:
Vậy .
c) Tìm
để biểu thức có giá trị nguyên.
Ta có:
.
+ Xét . Suy ra thỏa mãn.
+ Xét , nhưng là số vô tỷ là số vô tỷ.
Mà
là số nguyên khác 0 là số vô tỷ.
+ Xét và và .
Do đó khi Ư .
Mà
(thỏa mãn)
Vậy ; là giá trị cần tìm.
Câu 112. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Thành Công – 2020-2021)
1) Cho
32x =−
, hãy tính giá trị của biểu thức
3
2
x
A
x
+
=
+
với .
9x =
A
9 7 2
3
9
A
−
==
9x =
2
3
A =
B
0x
4x
3 2 3 6
4
22
x x x
B
x
xx
−+
= + +
−
+−
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
3 2 2
2 3 6
2 2 2 2 2 2
x x x
xx
x x x x x x
−+
−+
= − +
+ − + − + −
( )( ) ( )( )
3 6 2 2 3 6 2
2 2 2 2
x x x x x x x
x x x x
− − − + − + −
==
+ − + −
( )
( )( )
2
22
xx
xx
−
=
+−
2
x
B
x
=
+
x
.P AB=
.P AB=
77
22
x x x
P
x x x
−−
= =
++
43
2
x
x
−−
=
+
3
2
2
Px
x
= − −
+
70xP= =
7x =
7x
x
x
x
2x+
7x−
P
x
x
2x +
2x −
P
3
2x
+
2x +
( )
3
22x +
23x + =
1x=
1x=
7x =
1x =
0x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 107
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2) Rút gọn biểu thức với ; .
3) Tìm các giá trị của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Lời giải
1) Cho , hãy tính giá trị của biểu thức với
Thay (thỏa mãn điều kiện ) vào biểu thức, ta được:
Vậy với thì giá trị của biểu thức .
2) Rút gọn biểu thức với ;
Với ; ta có:
Vậy với ; thì .
3) Tìm các giá trị của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
( )
11 1 8
2
1 2 3
x
x
B
x x x
−+
=−
− + −
0x
1x
x
.P AB=
32x =−
3
2
x
A
x
+
=
+
0x
( )
2
3 2 2 1x = − = −
0x
( )
( )
2
2
2 1 3
2 1 3
2 1 2
2 1 2
A
−+
−+
==
−+
−+
2 2 1 2 1
1 1 2
1
2 1 2 1
A
+−
= = + = + =
++
32x =−
2A=
( )
11 1 8
2
1 2 3
x
x
B
x x x
−+
=−
− + −
0x
1x
0x
1x
( )
11 1 8
2
1 2 3
x
x
B
x x x
−+
=−
− + −
( )( )
2 11 3
1
13
xx
B
x
xx
−
=−
−
−+
( ) ( )
( )( )
2 3 11 3
13
x x x
B
xx
+ − −
=
−+
( )( )
2 6 11 3
13
x x x
B
xx
+ − +
=
−+
( )( )
2 5 3
13
xx
B
xx
−+
=
−+
( )( )
( )( )
1 2 3
23
3
13
xx
x
B
x
xx
−−
−
==
+
−+
0x
1x
23
3
x
B
x
−
=
+
x
.P AB=
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 108
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Với ;
Vì
Hay (1)
Có:
Hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra: mà nên
+) (thỏa mãn ; )
+) (thỏa mãn ; )
+) (thỏa mãn ; )
Vậy với thì nhận giá trị nguyên.
Câu 113. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Thành Công – 2020-2021)
1) Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức với .
2) Rút gọn biểu thức với .
3) Tìm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
1) Giá trị thỏa mãn điều kiện ,
thay vào biểu thức ta được:
.
Vậy khi thì .
0x
1x
.P AB=
3 2 3 2 3
.
2 3 2
x x x
P
x x x
+ − −
==
+ + +
2 4 7 7
2
22
x
P
xx
+−
= = −
++
1 1 7 7 7 7 3
0 0 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x x x
x x x
+ − − − − = −
+ + +
3
2
P −
77
0 0 2 0 0 2 2
22
x x x
xx
+ −
++
2P
3
2
2
P−
PZ
1;0;1P =−
2 3 1
1 1 2 3 2 3 1
9
2
x
P x x x x
x
−
= − = − − = − − = =
+
0x
1x
2 3 9
0 0 2 3 0 2 3
4
2
x
P x x x
x
−
= = − = = =
+
0x
1x
23
1 1 2 3 2 5 25
2
x
P x x x x
x
−
= = − = + = =
+
0x
1x
14
; ; 25
99
x



.P AB=
25=x
4
1
−
=
+
x
Q
x
0x
5 3 6
4
22
−
= − +
−
−+
x x x
P
x
xx
0; 4xx
x
.=M PQ
25=x
05 =xx
Q
4 25 4 21 7
5 1 6 2
1
x
Q
x
−−
= = = =
+
+
25=x
7
2
Q =
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 109
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2) Với ta có: .
.
Vậy .
3) Ta có: .
vì .
. Dấu "=" xảy ra khi
(thoả mãn điều kiện).
Vậy .
Câu 114. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 1 – Phòng GD Thanh Oai – 2019-2020)
Cho hai biểu thức: và với .
1) Tính giá trị của khi .
2) Rút gọn biểu thức .
3) Đặt . So sánh và .
Lời giải
1) (thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay vào biểu thức ta được:
Vậy khi thì .
2) Với ; . Ta có:
0; 4xx
5 3 6
4
22
−
= − +
−
−+
x x x
P
x
xx
5 3 6
4
22
x x x
P
x
xx
−
= − −
−
−+
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
5 . 2 3 2
6
2 2 2 2 2 2
5 . 2 3 2 6
22
x x x x
x
x x x x x x
x x x x x
xx
+ − −
= − −
− + − + − +
+ − − − −
=
−+
( )( ) ( )( )
5 10 3 6 2 6 5 6
2 2 2 2
x x x x x x x
x x x x
+ − + + − − +
==
− + − +
( )( )
56
22
+
=
−+
x
P
xx
( )( )
5 6 4 5 6 5 5 1 1
. . 5
1 1 1 1
22
+ − + + +
= = = = = +
+ + + +
−+
x x x x
M P Q
x x x x
xx
1
0 0 1 1 1
1
+
+
x x x
x
1
56
1
+
+x
hay 6M
0=x
max 6 0M khi x==
2 15 1
:
25
55

−+
=−


−
+−

xx
A
x
xx
1
1
−
=
+
x
B
x
0; 25xx
B
16=x
A
=−P A B
P
2
P
16=x
16=x
1
1
−
=
+
x
B
x
1 16 1 4 3
4 1 5
16 1
− − −
= = =
+
+
B
16=x
3
5
−
=A
0x
25x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 110
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy với ; thì
3) Với ; . Ta có:
Do
Vậy với thì .
Câu 115. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – Phòng GD Thanh Oai – 2019-2020)
Cho biểu thức: , với .
1) Tính giá trị của biểu thức B khi .
2) Chứng minh rằng .
3) Tìm sao cho .
Lời giải
1) Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta có .
Vậy khi thì .
2) Với ta có:
2 15 1
:
25
55

−+
=−


−
+−

xx
A
x
xx
( )
( )( ) ( )( )
25
15 1
:
5
5 5 5 5

−
− + +

=−

−
+ − + −

x
xx
A
x
x x x x
( )( )
2 10 15 5
1
55
− + − −
=
+
+−
x x x
A
x
xx
( )( )
5 5 1
11
55
+−
= =
++
+−
xx
A
xx
xx
0x
25x
1
1
=
+
A
x
0x
25x
1 1 1 1
1 1 1 1
− − +
= − = − = =
+ + + +
x x x
P A B
x x x x
2
0 1 0 0 1
1
+
+
x
x x x P P
x
=−P A B
2
PP
2 3 3
3 3 9
x x x
A
x x x
−
= − −
+ − −
1
3
x
B
x
+
=
−
0, 9xx
49x =
3
3
A
P
B
x
−
==
+
x
( )
3 2 2 2P x x x+ + − + =
49x =
49 1 8
2
4
49 3
B
+
= = =
−
49=x
2B =
0, 9xx
2 3 3 1
:
9
3 3 3
A x x x x
P
Bx
x x x

++
= = − −

−
+ − −

( ) ( )
( )( )
2 3 3 3 3
3
.
1
33
x x x x x
x
x
xx
− + + − −
−
=
+
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 111
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
.
Vậy .
3) Điều kiện: .
Đặt
Với (thỏa mãn điều kiện của ) (thỏa mãn điều kiện của ).
Với (không thỏa mãn điều kiện của , loại)
Vậy thì .
Câu 116. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Bài 1. (KSCL tháng 5 – THCS Thanh Quan – 2019-2020)
Cho hai biểu thức và với , ,
.
1) Tính giá trị của biểu thức khi .
2) Chứng minh .
3) Với . Tìm giá trị của để .
Lời giải
1) Thay
(tmđk ) vào biểu thức , ta có:
Vậy khi
.
2)Với , ta có
( )( )
2 6 3 3 3 3
.
1
33
x x x x x x
x
xx
− + + − − −
=
+
+−
( )
( )( )
31
3
.
1
33
x
x
x
xx
−+
−
=
+
+−
( )
3
3x
−
=
+
3
3
A
P
B
x
−
==
+
2,x 9x 
( )
3 2 2 2P x x x+ + − + =
( )
3
3 2 2 2
3
x x x
x
−
+ + − + =
+
3 2 2 2 2x − + − + =
2 2 2 3 0xx − + − − =
( )
20t x t= −
2
2 3 0tt + − =
( )( )
1 3 0tt − + =
10
30
t
t
−=
+=
1
3
t
t
=
=−
1t =
t
21x −=
2 1x −=
3 x =
x
3t =−
t
3x =
( )
3 2 2 2P x x x+ + − + =
1
x
A
x
=
−
1
2
4
2 x
xx
B
xx
++
− −
=−
0x
1x
4x
A
9x =
2x
B
x
+
=
A
P
B
=
x
0PP−=
9x =
A
93
2
91
A ==
−
3
2
A =
9x =
0x
9x
1
2
4
2 x
xx
B
xx
++
− −
=−
( ) ( )
( )
14
2
x x x
xx
+ − +
=
−
( )
1
4
xx
x x x+ − −
=
−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 112
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( ĐPCM )
3)
Tử và mẫu cùng dấu
với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định
Kết hợp điều kiện xác định:
, ,
Vậy :
khi và
.
Câu 117. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Yên Mỹ - 2020-2021)
Cho các biểu thức: và với .
1. Tính giá trị của khi
2. Rút gọn biểu thức .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
1. Tính giá trị của biểu thức khi
Thay (TMĐK) vào biểu thức ta có :
2. Rút gọn biểu thức .
.
( )( )
( )
22
2
xx
xx
−+
=
−
2x
x
+
=
2
:
1
A x x
P
B
xx
+
= = =
−
2
1
x
x
+
=
−
0PP−=
PP=
0P
2
0
1
x
x
+

−
20x +
10x −
1x
0x
1x
4x
0PP−=
1x
4x
2 1 2 3
9
33
x x x x
A
x
xx
− − −
= + −
−
+−
7x
B
x
+
=
0; 9xx
B
25x =
A
1
SB
A
=+
7x
B
x
+
=
25x =
25x =
B
25 7 32
5
25
B
+
==
A
2 1 2 3
9
33
x x x x
A
x
xx
− − −
= + −
−
+−
3 2 6 3 2 3
( 3)( 3)
x x x x x x x
A
xx
− + + − − − + +
=
+−
3
( 3)( 3)
xx
A
xx
+
=
+−
( 3)
( 3)( 3)
xx
A
xx
+
=
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 113
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm và , ta có :
Câu 118. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 1 – Phòng GD huyện Thanh Trì – 2019-2020)
Cho hai biểu thức: và với ; .
1. Tính giá trị của khi .
2. Chứng minh rằng: .
3. Tìm để: .
Lời giải
1. Ta có thỏa mãn .
Thay vào biểu thức ta được: .
2. Với thì biểu thức được xác định.
Biển đổi: =
.
Vậy với .
3. Ta có
3
x
A
x
=
−
1
SB
A
=+
1 3 7 4 4
1
x x x x
S B x
A
x x x x
− + + +
= + = + = = + +
x
4
x
44
1 2 . 1 5
Co si
S x x
xx
−
= + + + =
min
4
54S x x
x
= = =
1 9 1
9
33
x
A
x
xx
+
= + −
−
+−
3
3
x
B
x
+
=
−
0x
9x
B
16x =
1
3
A
x
=
−
x
2
7
A
B
=
16x =
0; 9xx
16x =
B
16 3
16 3
B
+
=
−
43
7
43
+
==
−
0; 9xx
A
1 9 1
9
33
x
A
x
xx
+
= + −
−
+−
( )
( )( )
3 9 3
33
x x x
xx
− + + − +
+−
( )( )
3
33
x
xx
+
=
+−
1
3x
=
−
1
3
A
x
=
−
0; 9xx
2
7
A
B
=
1 3 2
:
7
33
x
xx
+
=
−−
12
7
3x
=
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 114
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
(tmđk).
Câu 119. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL học kì 2 – THCS Thanh Xuân Nam – 2019-2020)
Cho các biểu thức: và với ;
1)Tính giá trị của khi
2)Rút gọn biểu thức
3)So sánh với
Lời giải
1)Khi thỏa mãn ĐKXĐ nên thay vào ta có
2) với ;
3) So sánh với
Ta có = với ;
Nên
Câu 120. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Thi thử vào 10 – THCS Thanh Xuân Nam – 2020-2021)
Cho các biểu thức: và với
a) Tính giá trị của biểu thức khi .
b) Rút gọn biểu thức .
c) Tính giá trị nhỏ nhất của .
2 6 7x + =
21x=
1
2
x=
1
4
x=
21
11
++
=+
− + +
xx
A
x x x x
1
1
=
−
B
x
0x
1x
B
49=x
=−S A B
S
1
3
49=x
B
1 1 1
7 1 6
49 1
B = = =
−
−
2 1 1
1 1 1
++
= − = + −
− + + −
xx
S A B
x x x x x
0x
1x
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
2 1 1
11
11
2 1 1 1
11
2 1 1
1 1 1 1
1
1
11
++
= + −
+ + −
− + +
+ + − + − + +
=
− + +
+ + − − − − −
==
− + + − + +
−
==
++
− + +
xx
S
x x x
x x x
x x x x x
S
x x x
x x x x x x
S
x x x x x x
xx
x
S
xx
x x x
S
1
3
1
3
−S
( ) ( )
( )
( )
2
1
1 3 1 2 1
0
3
1
3 1 3 1 3 1
−
− − − − + −
− = = = −
++
+ + + + + +
x
x x x x x x
xx
x x x x x x
0x
1x
1
3
S
1
1
x
A
xx
=+
+
1
1
B
x
=
+
0x
B
25x =
:P A B=
P
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 115
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Lời giải
a) Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta có:
Vậy giá trị của biểu thức là khi .
b)
c) Với ta có :
Áp dụng bdt cô – si cho hai số dương và ta có:
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện)
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 3 khi .
Câu 121. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2 – Phòng GD Quận Thanh Xuân – 2019-2020)
Cho hai biểu thức: và
a) Tính giá trị của biểu thức khi .
b) Rút gọn biểu thức .
c) Tìm tất cả giá trị của để .
Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức khi .
Khi
b) Rút gọn biểu thức .
25x =
B
1 1 1
5 1 6
25 1
B = = =
+
+
B
1
6
25x =
11
::
11
x
P A B
x x x

= = +


++

( )
11
.
1
1
x x x
xx
+ + +
=
+
1xx
x
++
=
0x
11
1
xx
Px
xx
++
= = + +
x
1
x
1
1 2 1Px
x
= + + +
3P
1
1xx
x
= =
P
1x =
1+
=
x
A
x
11
( 0; 4)
4
22
= + +
−
−+
x
B x x
x
xx
A
16=x
B
x
1
.
2
−
=
x
AB
A
16=x
( )
16 /=x t m
16 1 5
4
16
+
= =A
B
11
4
22
= + +
−
−+
x
B
x
xx
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
22
2 2 2 2 2 2
+−
= + +
+ − + − + −
xx
x
B
x x x x x x
( )( )
22
22
+ + + −
=
+−
x x x
B
xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 116
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
.
c) Tìm tất cả giá trị của để .
Ta có
Vậy là giá trị cần tìm.
( )( )
2
22
+
=
+−
xx
B
xx
2
=
−
x
B
x
x
1
.
2
−
=
x
AB
1
.
2
−
=
x
AB
11
.
2
2
+−
=
−
x x x
xx
11
2
2
+−
=
−
xx
x
( )
5
0
22
−+
=
−
xx
x
( )
50 − =xx
0
50
=
−=
x
x
( )
0
25( )
=
=
x ktm
x tm
25=x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 117
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 122. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Kim Chung 2014 – 2015)
Cho biểu thức
3 9 2
9
33
x x x
P
x
xx
+
= + +
−
+−
với
0,x
9x
và
3
1
Q
x
=
−
với
0,x
1x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức Q khi
4 2 3x =+
c) Tìm giá trị nguyên của x để
:QP
nhận giá trị nguyên dương.
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )( )
3 9 2
33
33
x x x
P
xx
xx
+
= − +
+−
−+
( ) ( )
( )( )
3 3 9 2 3
33
x x x x x
P
xx
− − − + +
=
−+
( )( )
3 3 9 2 6
33
x x x x x
P
xx
− − − + +
=
−+
( )
( )( )
33
3
3
33
x
P
x
xx
−
==
+
−+
. Vậy
3
3
P
x
=
+
với
0,x
9x
.
b) Ta có:
4 2 3x =+
( thỏa mãn điều kiện)
( )
2
3 1 3 1xx= + = +
. Thay vào Q ta được:
3
3
3 1 1
Q ==
+−
. Vậy
4 2 3x =+
thì
3Q =
c) Ta có:
3 3 3 4
: : 1
1 3 1 1
x
QP
x x x x
+
= = = +
− + − −
Để
:QP
là số nguyên thì
1x −
Ư
( )
4
. Ta có bảng:
1x −
4−
2−
1−
1
2
4
x
Loại
Loại
0
4
9 (loại)
25
Q
P
3−
5
2
Dựa vào bảng giá trị trên, để
:QP
là số nguyên dương thì
4;25x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 118
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 123. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2017 – 2018)
a) Tính giá trị các biểu thức sau:
7
147 2 18
32
A = − −
−
và
9 4 5 5B = − −
b) Rút gọn biểu thức:
1
1
x x x
C
xx
−−
=−
−
(Với
0 ; 1xx
)
c) Tìm x để:
30BC+
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )
( )( )
22
7 3 2
7
147 2 18 7 .3 2. 3 .2
32
3 2 3 2
7 3 7 2 7 3 6 2 2
A
+
= − − = − −
−
−+
= + − − =
Và
( )
2
9 4 5 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 2B = − − = − − = − − = − − = −
b) Ta có:
( ) ( )( )
1 1 1
1
1 1 2
11
x x x x
x x x
C x x x
x x x x
− − +
−−
= − = + = − + + =
−−
, với
0 ; 1xx
.
c) Ta có:
3 0 6 2 0 3 9B C x x x+ − +
.
Kết hợp điều kiện suy ra
09
1
x
x

Câu 124. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2018-2019)
Cho hai biểu thức
9 4 5 5A = − −
và
1
,( 0, 1)
1
x x x
B x x
xx
−−
= +
−
a) Rút gọn biểu thức A và B.
b) Tìm giá trị của x để tổng ba lần biểu thức A với biểu thức B có giá trị bằng 0?
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )
2
9 4 5 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 2A = − − = − − = − − = − − = −
( ) ( )( )
1 1 1
1
1 1 2
11
x x x x
x x x
B x x x
x x x x
− − +
−−
= − = + = − + + =
−−
, với
0, 1xx
b) Ta có:
3 0 6 2 0 3 9A B x x x+ = − + = = =
(thỏa mãn điều kiện)
Câu 125. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 119
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho biểu thức
31x
A
xx
+
=
+
và
1 1 8
91
3 1 3 1
xx
B
x
xx
−
= − +
−
−+
với
1
0;
9
xx
a) Tính giá trị của biểu thức A tại
4x =
b) Rút gọn biểu thức
.P AB=
c) Tìm x nguyên sao cho biểu thức
1
P
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn
a) Với
4x =
(thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức A ta được:
3 4 1 3.2 1 7
4 2 6
44
A
++
= = =
+
+
. Vậy
7
6
A =
khi
4x =
.
b) Ta có:
( )( )
1 1 8
3 1 3 1
3 1 3 1
xx
B
xx
xx
−
= − +
−+
−+
( )( ) ( )
( )( )
1 3 1 3 1 8
3 1 3 1
x x x x
B
xx
− + − − +
=
−+
( )( )
3 3 1 3 1 8
3 1 3 1
x x x x x
B
xx
+ − − − + +
=
−+
( )( )
( )
( )( )
31
33
3 1 3 1 3 1 3 1
xx
xx
B
x x x x
+
+
==
− + − +
Suy ra
( )
( )
( )( )
31
3 1 3
..
31
1 3 1 3 1
xx
x
P A B
x
x x x x
+
+
= = =
−
+ − +
c) Ta có:
1 3 1 1
33
x
x
P
−
= = −
Để
1
P
đạt GTNN thì
x
nhỏ nhất, mà
0; 1x x x =
Vậy
12
min 1
3
x
P
= =
Câu 126. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2017 – 2018)
Cho biểu thức
1
A
x
x
=
−
và
3 1 3
.
31
xx
Bx
x x x



++
=−
+−
(Với
0; 1xx
)
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
9x =
.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
.M A B=
với
1x
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 120
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Hướng dẫn
a) Với
9x =
( thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được:
33
3 1 2
9
91
A = = =
−
−
. Vậy
9x =
thì
3
2
A =
.
b) Ta có:
3 1 3
.
31
xx
Bx
x x x



++
=−
+−
( )
( )
3 3 1
3
.
1
3
xx
B
xx
x
x
xx
+ − −
+
=
−
+
3 3 1 1
.
1
x x x
B
x
xx
+ − −
=
−
( )( )
11
11
.
1
x
x
B
xx
x
x x x
− + +
++
==
−
c) Ta có:
( )
1 1 3 3
. . 2 1 3
1 1 11
xx
M A B x x
xx
x x x
x x x
+ + + +
= = = = + + = − + +
− − −−
.
Vì
1 1 0xx −
. Áp dụng BĐT Cosi cho hai số
( )
3
1;
1
x
x
−
−
ta có:
( ) ( )
33
1 2 1 . 2 3
11
xx
xx
− + − =
−−
Suy ra
2 3 3M +
. Dấu bằng xảy ra khi :
( ) ( )
2
3
1 1 3 3 1 4 2 3
1
x x x
x
− = − = = + = +
−
Vậy
min 3 2 3M =+
khi
4 2 3x =+
.
Câu 127. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019)
Cho biểu thức
3
2
x
A
x
+
=
−
và
2 2 4
4
22
x x x
B
x
xx
+−
= − −
−
−+
với
0; 4xx
.
1) Tính giá trị của biểu thức A tại
6 2 5x =+
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức
B
P
A
=
nhận giá trị nguyên
Hướng dẫn
1) Ta có:
( )
2
16 2 5 5x =+=+
( thỏa mãn điều kiện)
Suy ra
15x =+
. Thay vào biểu thức A ta được:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 121
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1 5 4 9 5 5
4
51
1
53
52
A
+ + +
==
−
+
+
=
−
. Vậy
6 2 5x =+
thì
9 5 5
4
A
+
=
.
2) Ta có:
( )( )
22
2 2 4
22
xx
x x x
B
xx
−+
+−
= − +
−+
( ) ( )
( )( )
22
2 2 4
22
x x x
B
xx
+ − − +
=
−+
( )( )
4 4 4 4 4
22
x x x x x
B
xx
+ + − + − +
=
−+
( )
( )( )
42
4
2
22
xx
x
B
x
xx
+
==
−
−+
c) Ta có:
44
:
23
3
2
xx
xx
Bx
P
A
x
==
−+
+
=
−
.
Vì
00xP
.
Mà
4 12
44
33
x
xx
P = = −
++
với mọi
0; 4xx
.
Suy ra
, mà
0;1;2;3PP
.
Với
4
0 0 0
3
x
Px
x
= = =
+
( thỏa mãn)
Với
4
1 1 1
3
x
Px
x
= = =
+
( thỏa mãn)
Với
4
2 2 9
3
x
Px
x
= = =
+
( thỏa mãn)
Với
4
3 3 81
3
x
Px
x
= = =
+
( thỏa mãn)
Vậy
0;1;9;81x
thì
P
nhận giá trị nguyên.
Câu 128. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Chương Mĩ 2017-2018)
Cho các biểu thức:
2 3 3
9
33
A
x x x
x
xx
=
+
+−
−
+−
và
1
3
B
x
x
=
+
−
(Với
0, 9xx
)
a). Tính giá trị của biểu thức B tại
25x =
b). Rút gọn biểu thức
: P A B=
c). Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Hướng dẫn
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 122
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Với
25x =
(thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức B ta được:
51
3
53
25 1
25 3
B
+
= = =
−
+
−
. Vậy
25x =
thì
3B =
.
b) Ta có:
( )( )
33
2 3 3
33
A
x x x
xx
xx
=
−+
+
+−
+−
( ) ( )
( )( )
2 3 3 3 3
33
x
A
x x x x
xx
− + + − −
=
+−
( )( )
2 6 3 3 3
33
x x x
A
xx
xx
− + + − −
=
−+
( )
( )( )
31
33
A
x
xx
−+
=
−+
Suy ra
( )
( )( )
31
3
:
3
:
33
1
3
PB
x
A
x
x
x
xx
−+
−
==
+
+
=
−
+
−
Vì
33
0, 9 3 3 1 1
33
x x x
xx
−
+ −
++
. Dấu bằng xảy ra khi
0x =
.
Vậy
min 1 0Px= − =
.
Câu 129. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Thanh Trì 2017 – 2018)
Cho biểu thức
1
2
A
x
x
=
−
+
và
2 2 1 1
11
B
x x x
x x x x
=
+ − +
−
− + +
với
0, 1xx
1. Tính giá trị của A khi
16x =
.
2. Rút gọn biểu thức B.
3. Chứng minh rằng
1
3
B
A
Hướng dẫn
1. Với
16x =
( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
16 4 2
2
41
1
2
16
A
+
= = =
−
−
+
. Vậy
16x =
thì
2A =
.
2. Ta có:
( )( )
11
2 2 1 1
1
B
x
x x x
xx
xx
=
− + +
+ − +
−
++
( )( )
( )( )
2 2 1 1 1
11
x
B
x
x x x
xx
+ − − − +
=
− + +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 123
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
2 2 1 1
11
xx
B
x
x
xx
+ − − +
=
− + +
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 1 1 1
x
B
x x x x
xx
x
xx
+
+
==
− + + − + +
3. Ta có:
( )
( )
( )
2
:
11
11
2 x
xx
xx
xx
Bx
A
x
x
+
==
− + +
− + +
+
Cách 1:
11
0
33
11
1
3
xx
x x x x
B
A
−
+ + + +
( )
( )
( )
2
1
21
00
3 1 3 1
x
xx
x x x x
−+
− − −
+ + + +
( luôn đúng với mọi
0, 1xx
) điều phải chứng minh.
Cách 2:
+ Xét
1
00
3
B
x
A
= =
.
Xét
, 1xx
, suy ra
1
1
1x
x
B
A
=
++
( chia cả tử và mẫu cho
x
)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
1 1 1
2
1
3
1
x
x
x
x
+
++
.
Dấu bằng xảy ra khi
1
1xx
x
= =
( không thỏa mãn)
Suy ra
11
1
3
1x
x
++
hay
1
3
B
A
Câu 130. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phan Chu Trinh 2017 – 2018)
1) Cho biểu thức
4
1
x
A
x
−
=
−
(với
0, 1xx
). Tìm giá trị của x để
4A =
2) Rút gọn biểu thức
1 2 3
:
2 1 1
xx
B
x x x

−+
=−


− + +

(với
0, 4xx
).
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
18
.AB
Hướng dẫn
1) Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 124
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
0
4
4 4 4 4 4 4 0
16
1
x
x
A x x x x
x
x
=
−
= = − = − − =
=
−
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
0; 16xx==
thì
4A =
.
2) Ta có:
1 2 3
:
2 1 1
xx
B
x x x

−+
=−


− + +

( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 2 2
1
.
3
21
x x x x
x
B
xx
− + − − +
+
=
−+
( )( )
1 4 1
.
3
21
x x x
B
xx
− − + +
=
−+
1
2
B
x
=
−
, với
0, 4xx
3) Ta có:
( )( )
22
4 1 1 2
. . .
1 2 1 2 1
xx
xx
AB
x x x x x
−+
−+
= = =
− − − − −
Suy ra
( )
18 1
18 54
18
.
22
x
AB
xx
−
= = −
++
Vì
54 54
0 2 2 18 18 9
2
2
xx
x
+ − − = −
+
Dấu bằng xảy ra khi
0x =
.
Vậy
18
min 9 0x
AB
= − =
Câu 131. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 –THCS Hoàng Hoa Thám 2018 – 2019)
Cho các biểu thức
2
3
A
x
x
=
−
+
và
1 5 2
4
2
B
xx
x
x
=
−−
−
−
+
(với
0; 4xx
)
1. Tính giá trị của biểu thức A khi
16x =
.
2. Rút gọn biểu thức
.P AB=
.
3. Tìm x để
( )
6 18 . 9x P x+ +
Hướng dẫn
1. Với
16x =
( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được:
4 2 2
19 19
16 2
16 3
A
−
= = =
−
+
. Vậy
16x =
thì
2
19
A =
.
2. Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 125
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
22
1 5 2
2
B
xx
x
xx
=
−+
−−
+
+
( )( )
( )( )
1 2 5 2
22
B
x x x
xx
− − + −
=
−+
( )( )
2 2 5 2
22
x
B
x x x
xx
− − + + −
=
−+
( )( )
( )
( )( )
2
2
2
2 2 2 2
x
B
xx
xx
x
x x x x
+
+
===
−
− + − +
Suy ra
.
3
2
.
2
3
P
x
x
AB
xx
x
x
==
−
=
+
−
+
3. Ta có:
( ) ( )
6 18 . 9 6 18 9.
3
x P x x
x
x
x
+
+
+ + +
( )
.
3
6 3 9 6 9 0xx
x
xx
x
+ + +
+
−
( )
2
30x −
mà
( )
2
30x −
với mọi
0; 4xx
Nên
3 0 9xx− = =
( thỏa mãn điều kiện) . Vậy
9x =
Câu 132. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nam Từ Liêm 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức:
2
A
x
x
=
−
và
1 7 9
9
3
B
xx
x
x
=
−−
−
−
−
với
0; 9xx
.
1. Tính giá trị của biểu thức A khi
36x =
.
2. Rút gọn biểu thức B
3. Cho biểu thức
P
A
B
=
. Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn
Pm=
.
Hướng dẫn
1. Với
36x =
( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được:
6 2 2
63
36 2
36
A
−
= = =
−
. Vậy
36x =
thì
2
3
A =
.
2. Ta có:
( )( )
33
1 7 9
3
B
xx
x
xx
=
−+
−−
−
−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 126
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
( )( )
1 3 7 9
33
B
x x x
xx
− + − +
=
−+
( )( )
3 3 7 9
33
x
B
x x x
xx
+ − − − +
=
−+
( )( )
56
33
x
B
x
xx
−+
=
−+
( )( )
( )( )
23
2
3
33
B
xx
x
x
xx
−−
−
==
+
−+
3. Ta có:
23
:
3
2 x
P
x
A x x
B
xx
−+
= = =
+
−
Để
( )
3
3 1 3P
x
m x m x x m
x
m
+
= + −= ==
(*)
Xét
1 .0 3 (*)mx= =
vô nghiệm.
Xét
3
1
1
mx
m
=
−
.
Để phương trình (*) có nghiệm thì
3
0
1
1
0; 9
32
3
1
m
m
xx
m
m
−

−
Vậy
1
2
m
m
thì phương trình
Pm=
có nghiệm
Câu 133. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Bắc Từ Liêm 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức
1
1
A
xx
x
=
++
−
và
2 1 1
1 1 1
B
xx
x x x x x
=
++
+−
− + + −
với
0; 1xx
.
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
9x =
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị m để
.A B m=
có nghiệm.
Hướng dẫn
a) Với
9x =
( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
9 3 1 13
3 1 2
9 9 1
91
A
++
= = =
−
++
−
. Vậy
9x =
thì
13
2
A =
.
b) Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 127
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
11
2 1 1
11
B
x
xx
x x x
xx
=
− + +
++
+−
+ + −
( )( )
( )( )
2 1 1 1
11
xx
B
x
x x x
xx
+ + + − − − −
=
− + +
( )( )
2 1 1
11
x x x
B
x
x
xx
+ + − − − −
=
− + +
( )
( )( )
1
1
11
B
x
x
xx
x
x
xx
−
==
++
− + +
c) Ta có:
..
11
1
1
mA
x
B mm
x x x x
x x x+
= = =
+−
++
−
( ) ( )
. 1 1m m m mx x x = − − =
+ Với
1m =
thay vào (1) suy ra
.0 1x =
phương trình vô nghiệm.
+ Với
1
1
m
mx
m
=
−
.
Vì
0; 1xx
nên để phương trình (1) có nghiệm thì:
0
1
1
0
1
1
m
m
m
m
m
m
−
−
. Vậy
0
1
m
m
thì
.A B m=
có nghiệm
Câu 134. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phú Đô 2017 - 2018
Cho 2 biểu thức:
21
1 1 1
A
xx
x x x x x
=
+
++
− + + −
và
1
2
B
x
=
−
với
0, 1xx
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính
P
A
B
=
c) Với
1x
tìm giá trị nhỏ nhất của
1
A
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )( )
1
11
21
1
A
x
xx
x x x
xx
=
−
− + +
+
+−
++
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 128
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
( )( )
2 1 1
11
xx
A
x
x x x
xx
+ + − − − −
=
− + +
( )( )
21
11
x x x
A
x x x
xx+ + − − − −
=
− + +
( )
( )( )
2
1
1
1
11
x
x
A
xx
x x x
−
−
==
++
− + +
, với
0, 1xx
b) Ta có:
12
:
11
1
2
x
P
x x x x
Ax
B
−
= = =
+ + + +
−
c) Ta có:
( )
1 3 3
2 1 3
1 1 1
1 xx
xx
x x x
A
++
= = + + = − + +
− − −
Vì
1 1 0xx −
, áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương
3
1,
1
x
x
−
−
ta được:
( )
33
1 2 1 . 2 3
11
xx
xx
− + − =
−−
Suy ra
( )
3
1 3 2 3 3
1
1
x
x
A
= − + + +
−
Dấu bằng xảy ra khi
( ) ( )
2
3
1 1 3 3 1 4 2 3
1
x x x
x
− = − = = + = +
−
Vậy
1
min 2 3 3
A
=+
khi
4 2 3x =+
.
Câu 135. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Dịch Vọng Hậu – 2018 – 2019)
a) Cho các biểu thức
2
2
x
A
x
−
=
+
. Tính giá trị của A khi
3 2 2x =−
b) Rút gọn biểu thức
1 1 2
.
2
22
x
B
xx



−
=+
+−
(với
0; 4xx
)
c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức
3
2
P A B=−
là số nguyên.
Hướng dẫn
a) Với
3 2 2x =−
( thỏa mãn điều kiện)
Suy ra
( ) ( )
22
1 1 2 122xx − = − = −=
, thay vào biểu thức A ta được:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 129
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2 1 2 3
5 4 2
2 1 2 1
2
2
A
−−
= = −
−+
−
=
+
. Vậy
3 2 2x =−
thì
5 4 2A =−
.
b) Ta có:
1 1 2
.
2
22
x
B
xx



−
=+
+−
( ) ( )
1 2 2
.
2
2 . 2
x x x
B
xx
− + + −
=
−+
( )( )
22
.
2
2
22
x x x
B
x
xx
−
==
+
−+
c) Ta có:
( ) ( )
3 3 6 2 6
.
2
2
2 2 2 2
32
2
2
x x x x
x
xx
x
P A B
x
− − −
− = =
+
++
−
= − =
+
Để
( )
( )
6
6 2 2
22
x
xx
x
P
−
− +
+
( ) ( ) ( )
2 12 2 4 2 4 16 2 4 16 2 4x x x x x − + + − + +
Mà
2 4 4 2 4 4;8;16 0;4; 60 3x x x x+ + 
.
Kết hợp điều kiện suy ra
0;36x
.
Thử lại:
3
00
2
x P x= = − =
không thỏa mãn.
36 0 36x P x= = =
thỏa mãn.
Vậy
36x =
thì P nhận giá trị nguyên.
Câu 136. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thái Thịnh 2017 – 2018)
Cho
3
3
A
x
x
=
+
+
và
3 2 1 3
.
9
31
B
x x x
x
xx

=



+ − −
−
−
++
với
0; 9xx
.
1) Tính giá trị của A khi
16x =
.
2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho
A
P
B
=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn
1) Với
16x =
( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được:
19
7
16 3
16 3
A ==
+
+
. Vậy
16x =
thì
19
7
A =
.
2) Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 130
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
33
3 2 1 3
.
31
B
x x x
xx
xx


=

−+

+ − −
−
++
( )( )
3
.
33
3 2 3
1
x
B
x x x
x
xx
+
=
−+
+ − − −
+
( )( )
1
.
33
23
1
B
x x x
x
xx
+
=
−+
+−
+
( )
( )( )
2
1
1
.
3
33
3
1
B
x
xx
xx
xx
+
+
==
+
−+
−
+
, với
0; 9xx
3) Ta có:
1 3 4 4
: 1 1 2
3 1 1 1
3
3
x
xx
x x x
A x x
P
B
xx
++
= = = − + = + + −
+ + + +
+
=
+
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
( )
44
1 2 1 . 4
11
xx
xx
+ + + =
++
Suy ra
4
1 2 2
1
x
x
P = + + −
+
.
Dấu bằng xảy ra khi
4
1 1 2 1
1
x x x
x
+ = + = =
+
( thỏa mãn) .
Vậy
min 2P =
khi
1x =
.
Câu 137. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2016 – 2017)
Cho hai biểu thức
72
21
x
A
x
+
=
+
và
3 3 36
9
33
xx
B
x
xx
+−
= + −
−
−+
( )
0, 9xx
a) Tính giá trị biểu thức A khi
36.x =
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để hiệu
AB−
có giá trị là số tự nhiên.
Hướng dẫn
a) Với
36x =
( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
7 36 2 7.6 2 44
2.6 1 13
2 36 1
A
++
= = =
+
+
. Vậy
36x =
thì
44
13
A =
.
b) Ta có:
( )( )
3 3 36
33
33
xx
B
xx
xx
+−
= + −
−+
−+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 131
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( ) ( )
( )( )
22
3 3 36
33
xx
B
xx
+ + − −
=
−+
( )( )
6 9 6 9 36
33
x x x x
B
xx
+ + + − + −
=
+−
( )( )
( )( )
2 3 3
2
33
xx
B
xx
−+
==
−+
c) Ta có:
( )
7 2 3 3 3
2
2
2 1 2 1
2 2 1
xx
AB
xx
x
+
− = − = = −
++
+
Vì
( )
3
0
21
0
3 3 3
22
2 2 1
x
AB
x
x
AB
x
− =
+

− = −
+
mà
0;1A B A B− −
.
Với
3
0 0 0
21
x
A B x
x
− = = =
+
( thỏa mãn)
Với
3
1 1 1
21
x
A B x
x
− = = =
+
( thỏa mãn) .
Vậy
0;1x
thì
AB−
có giá trị là số tự nhiên
Câu 138. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2017-2018)
Cho các biểu thức
2
A
x
x
=
+
và
11
4
22
B
x
x
xx
= ++
−
−+
với
0, 4xx
.
a) Tính giá trị của A tại
6 2 5x =−
;
b) Rút gọn biểu thức B và tính
A
P
B
=
;
c) Tìm x thỏa mãn
10 29 25xP x x − − −
Hướng dẫn
a) Với
( )
2
16 2 5 5x =−=−
( thỏa mãn điều kiện)
( )
2
1 1 15 5 5x − = − = −=
thay vào biểu thức A ta được:
1 1 3 5
2
11
5 2 5
55
A
− + +
= = =
−−
+
. Vậy
6 2 5x =−
thì
35
2
A
+
=
.
b) Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 132
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
22
11
22
B
x
xx
xx
=
−+
++
−+
( )( )
22
22
B
x x x
xx
+ + −
=
−+
+
( )
( )( )
2
2
22
B
xx
x
x
xx
+
==
−
−+
Suy ra
4
:
2
2 x
x
A x x
P
B
xx
−
==
−
+
=
c) Ta có:
10 29 25xP x x − − −
4
. 10 29 25
x
x
x x x
−
− − −
4 10 29 25x xx − − − −
10 25 25 0x x x − + + −
( )
2
5 25 0xx − + −
Vì
( )
2
50
25 0
x
x
−
−
với mọi
0, 4xx
, nên
( )
( )
2
2
50
5 25 0 25
25 0
x
x x x
x
−=
− + − =
−=
( thỏa
mãn) . Vậy
25x =
.
Câu 139. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Vĩnh Tuy 2015-2016)
Cho biểu thức
1 1 3 1
1
11
x x x
A
x
xx
+ − +
= + −
−
−+
với
0, 1xx
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của x để
1A
c) Tìm các giá trị của m để phương trình
Am=
có nghiệm
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )( )
1 1 3 1
11
11
x x x
A
xx
xx
+ − +
= + −
−+
−+
( ) ( )
( )( )
22
1 1 3 1
11
x x x
A
xx
+ + − − −
=
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 133
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
2 1 2 1 3 1
11
x x x x x
A
xx
+ + + − + − −
=
−+
( )( )
2 3 1
11
xx
A
xx
−+
=
−+
( )( )
( )( )
1 2 1
21
1
11
xx
x
A
x
xx
−−
−
==
+
−+
b) Ta có:
2 1 2
1 1 0 0 2
11
xx
Ax
xx
−−
−
++
( vì
0 1 0xx +
).
Suy ra
4x
. Kết hợp điều kiện suy ra
04
1
x
x

.
c) Ta có:
( )
21
2 1 2 1
1
x
A m m x m x m x m m
x
−
= = − = + − = +
+
(*)
+ Xét
2m =
thay vào (*)
.0 3 (*)x =
vô nghiệm.
+ Xét
1
2
2
m
mx
m
+
=
−
.
Vì
0, 1xx
nên để phương trình có nghiệm thì
1
12
0
2
1
1
1
2
2
m
m
m
m
m
m
+
−

−

+

−
Vậy
12
1
2
m
m
−
thì phương trình
Am=
có nghiệm.
Câu 140. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Nhị 2017 – 2018)
Cho
11
11
A
xx
= −
−+
và
1
2
B
x
x=
+
−
với
0; 1xx
a) Tính giá trị của biểu thức B khi
4x =
.
b) Rút gọn biểu thức
. P A B=
c) Tìm m để phương trình
( 1)x P m x+ = −
có nghiệm x.
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )( )
1 1 2
1
11
11
11
A
x
xx
xx
xx
+ − +
= = =
−
−+
−
−+
Với
4x =
( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 134
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
22
431
A ==
−
. Vậy
4x =
thì
2
3
A =
.
b) Ta có:
( )
2
1
2
1 2 1
22
x
x
B
xx
x
−
= = =
+ − +
−
Suy ra
( )( )
( )
2
1
21
.
2
1
11
. P A B
x
x
x
xx
−
−
=
+
−
==
+
, với
0; 1xx
c) Ta có:
1
1
1
( 1) ( 1).
x
x x m
x
x P m x x m x
−
+ − =
+
+ = − + = −
Vì
0; 1xx
nên
11
11
xx
xx
+ − −
+ −
Do đó, để
1x x m+ − =
có nghiệm thì
1
1
m
m
−
.
Câu 141. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Minh Khai 2017 – 2018)
a. Rút gọn biểu thức
2 1 2
:
33
P
x
x x x x

=


−
−
++
(với
0; 4xx
)
b) Tính giá trị biểu thức
1
2
Q
x
x
=
+
−
tại
9x =
.
c) Tìm số hữu tỉ x để
P
M
Q
=
nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn
a) Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
3
33
.
3
2 2 3
:
22
33
P
xx
x x x x x
xx
x x x x x x
+
− − −
= = =
+
−−
−−
++
, với
0; 4xx
.
b) Với
9x =
( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức Q ta được:
9 3 1
4
32
1
92
Q
+
= = =
−
+
−
. Vậy
9x =
thì
4Q =
.
c) Ta có:
:
1
3 1 3
22
P
M
Q
x x x
x x x
= = =
+
− + −
−−
4
11
11
3
M
x
x
x
= = −
++
−
với mọi
0x
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 135
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Mặt khác
4
3 3 0
11
3 x
M
x
x
x
+ = + =
++
−
với mọi
0x
nên
3M −
Suy ra
31M−
.
mà
2; 1;0MM − −
.
Với
11
22
39
1
3
M x x
x
x
= − = − = =
+
−
(tmđk).
Với
1 1 1 1
1
3
M x x
x
x
= − = − = =
+
−
(tmđk).
Với
0 0 3 9
1
3
M x x
x
x
= = = =
+
−
(tmđk).
Vậy
1
;1;9
9
x



thì
P
M
Q
=
nhận giá trị nguyên.
Chú ý:
Các em có thể chỉ ra
31M−
bằng cách sau:
( )
. 3 1 3
1
3
M M M M M
x
x x x
x
= + = − − = +
+
−
(*)
Xét
1M =
phương trình (*) vô nghiệm.
Xét
3
1
1
M
Mx
M
+
=
−
.
Vì
0
0; 4
3
31
1
1
3
2
3
1
xx
M
M
M
M
M
M
+
−

−

+
−

−
Câu 142. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Ngô Sĩ Liên 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức:
59
1
A
x
x
=
+
−
và
2
22
B
xx
x x x
=
+
−
+ − +
với
0; 1xx
1. Tính giá trị của biểu thức A khi
1
9
x =
2. Chứng minh rằng:
59
1
Ax
B
x
+
=
+
3. Với điều kiện
0, 1xx
, tìm tất cả các giá trị m để phương trình
m
A
B
=
có nghiệm x
Hướng dẫn
1. Thay
1
9
x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 136
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1
5
9
9
3
12
18
99
59
1
A
+
= = = −
−
+
−
. Vậy
1
9
x =
thì
12A =−
.
2. Ta có:
( )( )
12
2
2
B
xx
x
xx
=
−+
+
−
+
( )
( )( )
21
12
x
B
xx
xx
+ − −
=
−+
( )( )
21
1
12
xx
B
x
x
xx
+−+
==
−
−+
Suy ra
( )( )
11
::
11
11
5 9 5 9 5 9
1
1xx
xx
A x x x
Bx
x
==
−−
−+
+ + +
=
−
+
( điều phải chứng minh)
3. Ta có:
( )
( ) ( )
5 9 1
59
5 9 1
1
m m x m m
Ax
x m x
B
x
= = − = −
+
+ = +
+
Xét
5m =
thay vào
( )
* .0 4x = −
phương trình vô nghiệm.
Xét
9
5
5
m
mx
m
−
=
−
.
Để phương trình
m
A
B
=
có nghiệm thì
0, 1xx
.
Suy ra
9
0
59
5
97
1
5
m
m
m
mm
m
−

−

−
−
. Vậy: ……………
Câu 143. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Quan – Hoàn Kiếm 2017 –
2018)
Cho hai biểu thức:
72
21
M
a
a
=
−
+
và
3 3 36
9
33
P
aa
a
aa
=
+−
−−
−
−+
, với
0; 9aa
.
a) Tính giá trị của M với
4a =
.
b) Rút gọn biểu thức P và tìm các giá trị của a để
MP=
.
c) Tìm các giá trị của a để M nhận giá trị là số nguyên dương.
Hướng dẫn
a) Thay
4a =
( thỏa mãn điều kiện ) vào biểu thức A, ta được:
7.2 2 12
2.2 1 5
7 4 2
2 4 1
M
−
= = =
+
−
+
. Vậy
4a =
thì
12
5
M =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 137
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
b) Ta có:
( )( )
33
3 3 36
33
P
aa
aa
aa
=
−+
+−
−−
−+
( ) ( )
( )( )
22
3 3 36
33
P
aa
aa
+ − − −
=
−+
( )( )
6 9 6 9 36
33
aa
P
aa
aa
+ + − + − −
=
−+
( )
( )( )
12 3
12
3
33
P
a
a
aa
−
==
+
−+
, với
0; 9aa
.
Để
( )( ) ( )
12
3 12 2 1
3
72
72
21
M aP a
a
a
aa
= + =
+
+=
−
−
+
7 21 2 6 24 12 0a a a a + − − − − =
( )( )
7 5 18 0 2 7 9 0a a a a − − = − + =
Vì
0; 9aa
Nên
( )( )
2 7 9 0 2 0 4a a a a− + = − = =
( thỏa mãn điều kiện) .
Vậy
4a =
thì
MP=
.
c) Ta có:
Ta có:
( )
7 11 7
22
2 2 1
72
21
M
a
a
a
= = −
+
−
+
với mọi
0; 9aa
.
Mặt khác
11
2 2 0
21
72
21
a
M
a
a
a
+ = + =
+
−
+
với mọi
0; 9aa
.
Nên
7
22
2
MM − −
.
mà M nhận giá trị là số nguyên dương nên
1;2;3M
.
+ Với
39
11
5 25
72
21
Ma
a
a
a
= = = =
−
+
( thỏa mãn điều kiện)
+ Với
4 16
22
39
72
21
Ma
a
a
a
= = = =
−
+
( thỏa mãn điều kiện)
+ Với
3 3 5 25
72
21
Ma
a
a
a
= = = =
−
+
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
9 16
; ;25
25 9
a



thì M nhận giá trị là số nguyên dương.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 138
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Chú ý: Để chỉ ra
7
2
2
M−
các em có thể làm như sau:
( )
7 2 2
72
7 2 2
21
M a M a M M
a
aM
a
= + − = +
−
−=
+
.
Vì M nguyên dương nên
2
7 2 0
72
M
Ma
M
+
− =
−
(*)
Vì
0; 9aa
nên phương trình (*) có nghiệm khi :
2
7
0
2
72
2
19
2
3
7
72
M
M
M
M
M
M
+
−

−

+

−
Câu 144. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Vương 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức
( )
2
1
1
A
x
x
=
+
−
và
11
1
B
x x x
= +
−−
với
0; 1xx
.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
P
A
=
.
3) Tìm
x
thỏa mãn
2
481 –18 – 9x x P x= +
.
Hướng dẫn
1) Với
25x =
( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
( )
2
2
5 1 6 3
16 8
51
25 1
( 25 1)
A
+
= = = =
−
+
−
. Vậy
25x =
thì
3
8
A =
.
2) Ta có:
( ) ( )
1
11
11
1
B
x
x
x x x x
+
==
−−
+
−
Suy ra
( )
( )
( )
( )
2
2
1 1 1
:.
11
1
1
1
1
Bx
P
A
x
x
x x x
x
x x x x
x
+ + −
= = = =
−−
−
+
+
−
3) Ta có:
22
481 –18 – 81 –184 –
1
99xx
x
xx
x
P xx==
−
+ +
( )
2
2
11
81 –18 1 1 9 5 9 1 6 9x x x x x
xx

+ = − − + − = − +


(*)
Ta có:
( )
2
9 1 0x −
với mọi
0; 1xx
.
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
1 1 1
9 2 .9 6 6 9 0x x x
x x x

+ = − +


Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 139
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Dấu bằng xảy ra khi
11
9
9
xx
x
= =
.
Suy ra
( )
( )
2
2
9 1 0
11
9 1 6 9
1
9
6 9 0
x
x x x
x
x
x
−=

− = − + =


− + =



( thỏa mãn điều kiện) .
Vậy
1
9
x =
thì
2
481 –18 – 9x x P x= +
Câu 145. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hoàng Mai 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức:
4
2
A
xx
x
=
++
−
và
3 4 2 1
22
B
x x x
x x x x
=
− + −
−+
−−
với
0; 4xx
.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
9x =
.
2) Chứng minh
1
2
B
x
x
=
+
−
3) Tìm giá trị của x để biểu thức
A
B
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
1) Với
9x =
( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được:
934
16
32
9 9 4
92
A
++
= = =
−
++
−
. Vậy
9x =
thì
16A =
.
2) Ta có:
( )
2
3 4 2 1
2
B
x x x
xx
xx
=−
−
− + −
−
−
( )( ) ( )
( )
3 4 2 2 1
2
x x x x x
xx
− − − + − −
=
−
( ) ( )
( )
( )
1
3 4 4 1
2
2 2 2
x x x x
xx
x x x
x
x x x x x x
+
− − + − + + +
= = = =
−
− − −
( điều phải chứng minh)
3) Ta có:
44
: 1 1
1 1 1
4 1 4
22
A
xx
B
xx
x x x x x
x x x

= = = + = + + −

+ + +

+ + + + +
−−
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
( )
44
1 2 1 . 4
11
xx
xx
+ + + =
++
Suy ra
4
1 1 4 1 3
1
A
x
B
x

= + + − − =

+

Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 140
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Dấu bằng xảy ra khi
4
1 1 2 1
1
x x x
x
+ = + = =
+
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
min 4
A
B
=
khi
1x =
.
Câu 146. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hoàng Mai 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức
23
1
A
x
xx
=
+
++
và
1 2 1
11
B
x
x x x
=
+
−
−−
với
0; 1xx
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
4x =
2) Chứng minh
1
B
x
xx
=
++
3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức
4B
P
A
=
có giá trị là số nguyên dương.
Hướng dẫn
1) Thay
4x =
( thỏa mãn điều kiện) , vào biểu thức A ta được:
2.2 3
1
4 2 1
2 4 3
4 4 1
A
+
= = =
++
+
++
. Vậy
4x =
thì
1A =
.
2) Ta có:
( )( )
11
1 2 1
1
B
x
x
x
xx
=
− + +
+
−
−
( )( ) ( )( )
1 2 1
1 1 1 1
xx
xx
x x x
x x x x
+ + − − −
==
− + + − + +
( )
( )( )
1
1
11
x
x
xx
x
x
xx
−
==
++
− + +
, với
0; 1xx
( điều phải chứng minh)
3) Ta có:
4
4. :
1 2 3
4 2 3
1
x
xx
B x x
P
A
x x x
==
+ + +
+
=
++
Vì
0
3
0;
4
2
1x
x
x
x
+
Xét
46
2 2 0
2 3 2 3
x
P
xx
−
− = − =
++
với mọi
0; 1xx
.
Suy ra
.
Mà P có giá trị là số nguyên dương nên
1P =
.
Với
4 3 9
11
24
23
x
xx
x
P = = =
+
=
( thỏa mãn điều kiện) .
Cách khác:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 141
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Suy ra
( )
( )
4
. 2 3 4 2 3 4 4 2 3
23
x
P x x P x P x x P P
x
P = + = + = − =
+
(*)
Xét
2P =
thay vào
( )
* .0 6x =
phương trình vô nghiệm.
Xét
3
2
42
P
Px
P
=
−
, phương trình (*) có nghiệm
0; 1xx
khi:
3
02
0
42
4
3
1
5
42
P
P
P
P
P
P


−


−
.
Câu 147. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Gia Thụy 2014 – 2015)
Cho biểu thức
1 1 2
:
1
11
x
A
x
x x x x


= − +



−
− − +


a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của x để
0A
Hướng dẫn
a) Điều kiện:
0; 1xx
. Ta có:
( ) ( )( )
1 1 2
:
11
1 1 1
x
A
xx
x x x x
= − +
−+
− − +
( ) ( )( )
1 1 2
:
1 1 1
xx
A
x x x x
− − +
=
− − +
( )( )
( ) ( )( ) ( )
11
11
.
1 1 1 1
xx
xx
A
x x x x x x
−+
++
==
− − + −
b) Ta có:
( )
1
00
1
x
A
xx
+
−
.
Vì
0; 1 0x x x
nên
( )
1
0 1 0 1
1
x
xx
xx
+
−
−
.
Kết hợp điều kiện suy ra
01x
. Vậy
01x
thì
0A
Câu 148. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Long Biên 2015 – 2016)
1) Tính giá trị của biểu thức
2
x
P
x
=
−
với
225x =
2) Cho biểu thức
11
:
4
22
xx
B
x
x x x

+
=+


−
−−

với
0;x
4x
a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để
1Bx=−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 142
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Hướng dẫn
1) Điều kiện:
0, 4xx
.
Thay
225x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:
225 15
13
225 2
P ==
−
. Vậy
225x =
thì
15
13
A =
.
2a) Rút gọn B:
( )( ) ( )
11
:
2
2 2 2
xx
B
x
x x x x

+

=+

−
− + −

( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
2 2 1 2
22
..
1 1 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
− + −
++
===
+ + +
− + − +
, với
0;x
4x
.
2b) Ta có:
( )( )
2
1 1 2 2 1
2
x
B x x x x x
x
= − = − = + −
+
( )( )
2 2 2 0 2 0 2 1 0x x x x x x x x − + − − = − − = − + =
Vì
0 1 0xx +
nên
( )( )
2 1 0 2 0 4x x x x− + = − = =
( loại)
Vậy không tồn tại giá trị của x để
1Bx=−
Câu 149. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Ngọc Lâm 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức
22
1
21
A
xx
x
xx
=
+−
−
−
++
và
1
B
x
x
+
=
với
0; 1xx
a) Tính giá trị của biểu thức B với
16x =
.
b) Rút gọn biểu thức
.P AB=
.
c) Tìm x để
11PP+ +
.
Hướng dẫn
a) Thay
16x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được:
16 1 4 1 5
44
16
B
++
= = =
. Vậy
16x =
thì
5
4
A =
.
b) Ta có:
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
22
2 1 2 1
11
1 1 1
22
A
x x x x
xx
xx
x x x
+ − − − +
==
−+
+ + −
+−
−
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2
1 1 1 1
xxx x x
x x x x
+ − − + +
==
+ − + −
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 143
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Suy ra
( ) ( )
( )( )
2
2 1 2 2
.
1
1
1
.
1
1
PB
x
A
xx
x
xx
xx
+
= = =
−
+
=
−
+−
Vậy
2
1
P
x
=
−
, với
0; 1xx
.
c) Để
1 1 1 0
21
1 0 0
11
x
x
P
x
PP
+
+ + + +
−−
Vì
0 1 0xx +
nên
1
0 1 0 1
1
x
xx
x
+
−
−
.
Kết hợp điều kiện suy ra
01x
.
Câu 150. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Tây Hồ 2017)
Cho hai biểu thức
2
5
A
x
x
=
+
−
và
31
25
5
B
xx
x
x
=
+
+
−
+
(Với
0, 25xx
)
a) Tính giá trị của A khi
25
16
x =
b) Rút gọn biểu thức:
B
M
A
=
c) Tìm các giá trị của x để
( )
2 3 1M x x+ +
Hướng dẫn
a) Thay
25
16
x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:
25
5 13
2
13
16
44
5 15
15
25
5
44
16
2
5
A
+
= = = = −
−−
+
−
. Vậy với
25
16
x =
thì
13
15
A =−
.
b) Ta có:
( )( )
55
31
5
B
xx
x
xx
=
−+
+
+
+
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
15
3 5 4 5 1
5
5 5 5 5 5 5
xx
xx
x x x x
x
x x x x x x
−+
+ + − + − −
====
−
− + − + − +
Suy ra
11
:
52
2
5
B x x x
M
A
x x x
−−
==
−+
+
=
−
.
Vậy
1
2
x
M
x
−
=
+
, với
0, 25xx
.
c) Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 144
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( ) ( )
1
.
2
2 3 1 2 3 1
x
M x x x x
x
−
+
+ + + +
2
17
3 2 0 2 0
24
x x xx

− + − + +


(*)
Vì
2
0
4
0
17
2
2
x xx

− + +



. Suy ra bất phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị của x để
( )
2 3 1M x x+ +
Câu 151. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Achimedes Academy 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức
7
A
x
x
=
+
và
2 1 2 3
9
33
B
x x x x
x
xx
=
− − −
+−
−
+−
, (với
0; 9xx
)
1. Tính giá trị của biểu thức A khi
16x =
.
2. Rút gọn biểu thức B.
3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
PA
B
=+
.
Hướng dẫn
1. Thay
16x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:
23
4
16
16 7
A ==
+
. Vậy
16x =
thì
23
4
A =
.
2. Ta có:
( )( )
33
2 1 2 3
33
B
x x x x
xx
xx
=
−+
− − −
+−
+−
( ) ( )( )
( )( )
3 2 1 3 2 3
33
xx x x x x
xx
− + − + − + +
=
−+
( )( )
3 2 6 3 2 3
33
x x xx x x x
xx
− + + − − − + +
=
−+
( )( )
( )
( )( )
3
3
3
3 3 3 3
x
xx
xx
x
x x x x
+
+
===
−
− + − +
3. Ta có:
1 3 4 4
1
7 xx
P A x
B
xx
xx
xx
− + +
= + = + = = + +
+
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương
x
,
4
x
ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 145
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
44
2 . 4xx
xx
+ =
suy ra
4
15Px
x
= + +
.
Dấu bằng xảy ra khi
4
4xx
x
= =
( thỏa mãn điều kiện) .
Vậy
min 5P =
khi
4x =
.
Câu 152. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 THCS Achimedes Academy 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức
2
2
A
x
x
=
+
−
và
32
4
2
B
xx
x
x
=
+
−
−
−
(với
0; 4 xx
)
1. Tính giá trị của biểu thức A khi
25x =
.
2. Rút gọn biểu thức B.
3. So sánh
.AB
và 1 với điều kiện
.AB
có nghĩa.
Hướng dẫn
1. Thay
25x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:
25 5 2 7
5 2 3
2
25 2
A
+
= = =
−
+
−
. Vậy
25x =
thì
7
3
A =
.
2. Ta có:
( )( )
( )
( )( )
2 3 2
2 2 2 2
32
2
B
x x x
xx
x
x x x x
+ − −
==
− + − +
+
−
−
( )( )
( )( )
( )( )
12
2 3 2 1
2
2 2 2 2
x
xx
x x x
x
x x x x
+−
+ − − +
= = =
+
+ − − +
, với
0; 4xx
3. Ta có:
11
..
22
2
2
AB
x x x
x x x
++
==
+−
+
−
.
Biểu thức
.AB
có nghĩa khi
2 0 4xx−
.
Với
1
4 1 2 1 . 1 . 1
2
x
x x x A B A B
x
+
+ −
−
.
Vậy
, với
4x
.
Câu 153. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018)
Cho các biểu thức
2
xx
A
x
−
=
−
và
31
11
x
B
x x x
+
=+
−−
với
0, 1, 4x x x
a) Tính giá trị biểu thức A khi
54x −=
b) Rút gọn biểu thức
.M A B=
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 146
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) So sánh M với
1
3
.
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )
( )
9
54
54
54
1
x tm
x
x
x
xL
=
−=
− =
− = −
=
Với
9x =
thay vào biểu thức A ta được:
9 9 9 3
6
23
29
A
−−
= = = −
−
−
. Vậy
9x =
thì
6A =−
.
b) Ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 1 3 1 2
1
1 1 1 1 1 1
x x x x x
B
x
x x x x x x x x x
+ + − − − −
= − = =
−
− + + − + + − + +
Suy ra
( )( )
( )
( )( )
1
22
..
2 2 1
1 1 1 1
.
xx
x x x x
M
x
x x x x
x x x x x
A
x
B
−
−−
==
−
==
− − + +
− + + − + +
c) Xét
( )
( )
( )
2
1
1 1 3 1
33
1
3 1 3 1
x
x x x x
M
xx
x x x x
−−
− − −
− = − = =
++
+ + + +
Vì
( )
( )
2
1
11
0, 1 0
33
31
x
x x M M
xx
−−
− =
++
. Vậy
1
3
M
Câu 154. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018)
Cho hai biểu thức
2x
A
x
−
=
và
5 1 5 2
4
22
x x x
B
x
xx
−+
= + +
−
−+
với điều kiện
0, 4xx
a) Tính giá trị A biết
2
94xx=
b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị x để biểu thức
.P A B=
có giá trị nguyên.
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )
( )
( )
2
0
9 4 9 4 0
4
9
xL
x x x x
x tm
=
= − =
=
.
Với
4
9
x =
thay vào biểu thức A ta được:
4
24
2
2
9
33
2
22
4
33
9
A
−
−−
= = = = −
. Vậy
4
9
x =
thì
2A =−
.
b) Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 147
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
5 2 1 2 5 2
5 1 5 2
22
2 2 2 2
x x x x x
x x x
B
xx
x x x x
+ + − − − −
−+
= + − =
−+
− + − +
( )( ) ( )( )
5 10 3 2 5 2 7
2 2 2 2
x x x x x x x
x x x x
+ + − + − − +
==
− + − +
, với
0, 4xx
.
c) Ta có:
( )( )
2 7 7 5
.1
22
22
.P
x x x x
xx
AB
x
xx
− + +
= = +
+
==
+
−+
Vì
0, 4xx
nên
5
11
2x
P = +
+
Mặt khác
7 7 5
0
2
7
2
22
P
xx
xx
+−
= − =
+
−
+
với mọi
0, 4xx
.
Suy ra
.
Mà
2;3PP
.
+ Với
7
2 2 3 9
2
x
P x x
x
+
= = = =
+
( thỏa mãn điều kiện)
+ Với
7 1 1
33
44
2
x
P x x
x
+
= = = =
+
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
1
;9
4
x



thì
.P A B=
có giá trị nguyên.
Cách khác chỉ ra
7
1
2
P
( )
( )
2 7 1 7 2P x x x P P + = + − = −
(*)
+ Xét
1P =
thay vào (*) suy ra
.0 5x =
phương trình (*) vô nghiệm
+ Xét
72
1
1
P
Px
P
−
=
−
, để phương trình (*) có nghiệm thì
0, 4xx
Suy ra
7 2 7
01
12
7 2 9
2
14
P
P
P
P
P
P
−



−

−



−
.
Câu 155. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018)
Cho biểu thức
2 3 12
:3
9
3 3 3
xx
Ax
x
x x x

−

= + + − +



−
+ − +


a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A và rút gọn A
b) Tìm x để
2A
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 148
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 x
B
A
−
=
Hướng dẫn
a) Biểu thức có nghĩa khi
90
9
0
0
30
x
x
x
x
x
−


−
.
Ta có:
( )( )
( )( )
3 3 12
23
:
3 3 3
33
x x x
x
A
x x x
xx

− + + −

= + −

+ − +
−+

( ) ( )
( )( )
2 3 3 3
9 12
:
3
33
x x x
xx
x
xx
+ − − +
− + −
=
+
−+
( )( ) ( )( )
2 6 3 9 3 15 3 5
:.
3
33
3 3 3 3
x x x x
xx
x x x x
+ − − − − + −
= = =
+−
− + − +
, với
9
0
x
x
.
b) Ta có:
5 5 2 1
2 2 2 0 0
3 3 3
x
A
x x x
−−
+
− − −
TH1:
1
2 1 0
9
4
30
9
x
x
x
x
x
−


−
TH2:
1
2 1 0
1
4
4
30
9
x
x
x
x
x
−


−
, kết hợp điều kiện suy ra
1
0
4
x
.
Vậy
9x
hoặc
1
0
4
x
thì
2A
.
c) Ta có:
( )
2
51
2 5 5 6
24
2:
55
3
x
x x x
Bx
A
x

−−

− − − +

= = − = =
−
Vì
2
5
0
2
x

−


với mọi
2
51
1
24
0
5 20
x
x

−−


−
.
Dấu bằng xảy ra khi
2
5 25
0
24
xx

− = =


( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
1
min
20
B =−
khi
25
4
x =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 149
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 156. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018)
Cho biểu thức
25
1
x
A
x
−
=
+
và
2 3 9 2
.1
93
33
x x x x
B
x
xx
+−
= + − +
−
+−
với
0, 9xx
1) Tính giá trị của A khi
19 8 3 19 8 3x = + + −
2) Rút gọn B
3) Gọi
..M A B=
So sánh M và
M
Hướng dẫn
1) Ta có:
( ) ( )
22
19 8 3 19 8 3 4 3 4 3x = + + − = + + −
4 3 4 3 4 3 4 3 8= + + − = + + − =
( thỏa mãn điều kiện) .
Thay
8x =
vào biểu thức A ta được:
2 5 8
6 2 2
81
A
−
= = − +
+
. Vậy
8x =
thì
6 2 2A= − +
2) Ta có:
( )( )
2 3 9 2 3
.
3
33
33
x x x x
B
xx
xx

+ − +

= + −

+−
−+

( ) ( )
( )( )
3 2 3 3 9
1
.
3
33
x x x x x
x
xx
− + + − −
+
=
−+
( )( )
3 2 6 3 9 1
.
3
33
x x x x x x
xx
− + + − − +
=
−+
( )
( )( )
33
11
.
3
3
33
x
xx
x
xx
−
++
==
+
−+
, với
0, 9xx
.
3) Ta có:
2 5 1 2 5
..
1 3 3
x x x
M A B
x x x
− + −
= = =
+ + +
.
Biểu thức
M
xác định khi
4
2 5 0
0
25
0, 9
x
x
xx
−

.
Xét
( )
2
2 5 2 5 2 5 1 6
1 1 .
3 3 3 3
x x x x
M M M M
x x x x

− − − − −
− = − = − =


+ + + +

Vì
16
0
3
x
x
−−
+
và
25
0
3
x
x
−
+
với mọi
4
0
25
x
Nên
22
0M M M M M M−
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 150
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 157. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018)
Cho các biểu thức
2 1 4 9
9
33
x x x x
P
x
xx
− + − −
= + +
−
−+
;
5
3
x
Q
x
+
=
−
với
0, 9xx
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm x sao cho
3P =
3) Đặt
:.M P Q=
Tìm giá trị của x để
1
.
2
M
Hướng dẫn
1) Ta có:
( )( )
2 1 4 9
33
33
x x x x
P
xx
xx
− + − −
= + −
−+
−+
( )( ) ( )( )
( )( )
2 3 1 3 4 9
33
x x x x x x
xx
− + + + − − + +
=
−+
( )( )
6 2 3 4 9
33
x x x x x x
xx
+ − + − − − + +
=
−+
( )( )
( )
( )( )
3
3
3
3 3 3 3
xx
x x x
x
x x x x
+
+
===
−
− + − +
. Vậy
3
x
P
x
=
−
với
0, 9xx
2) Ta có:
9 81
3 3 3 9
24
3
x
P x x x x
x
= = = − = =
−
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
81
4
x =
thì
3P =
.
3) Ta có:
5
::
3 3 5
x x x
M P Q
x x x
+−
= = =
− − +
Vì
0, 9xx
0
55
xx
M M M
xx
−
= = − =
++
( vì
50x +
với mọi
0, 9xx
)
Suy ra
25x
. Kết hợp điều kiện suy ra
0 25
9
x
x

. Vậy: ……
Khi đó
( )
1 1 5
0 5 0
22
5
25
xx
Mx
x
x
−
−
+
+
Câu 158. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018)
Cho các biểu thức
3 6 1 3
22
xx
A
x x x x
−−
= − +
−−
và
2
1
x
B
x
−
=
+
với
0; 4xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 151
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Tính giá trị của B khi
( )
4 9 4 5 9 4 5x = + − −
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm các số nguyên x để
2
3
AB
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )
( ) ( )
22
224 9 4 5 9 4 5 4 5 5x

= + −


= + − − −
( )
( )
4 2 2 4 2 2 165 5 5 5= + − − = + − + =
( thỏa mãn điều kiện).
Thay
16x =
vào biểu thức B ta được:
16 4 2 2
4 1 5
2
16 1
B
−
==
+
−
=
+
. Vậy
16x =
thì
2
5
B =
.
b) Ta có:
( )
2
3 6 1 3
2
xx
A
xx
xx
+
−
−−
=+
−
( )( )
( )
3 6 3 2
2
x x x x
xx
− + + − −
=
−
( ) ( )
( )
( )
1
3 6 5 6 1
2
2 2 2
xx
xx
x x x x x
x
x x x x x x
−
− + + − + − −
= = = =
−
− − −
Vậy
1
2
A
x
x
−
=
−
, với
0; 4xx
.
c) Ta có:
11
..
21
2
1
AB
x x x
x x x
−−
==
−+
−
+
.
Biểu thức
AB
xác định khi
;
1
10
4
0 4
x
x
x
xx


−
.
Ta có:
4 1 4 5 13
00
99
1 9 9
2
3
AB
xx
AB
xx
−−
−
++

Vì
1
4
x
x
nên
5 13 169
9 9 0 0 5 13 0
25
99
x
x
xx
x
−
+ −
+
Vậy
169
1
25
4
x
x
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 152
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 159. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tât Thành – Hưng Yên 2014 –
2015)
a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau:
( )
22 7 2 30 7 11A = + −
b) Rút gọn biểu thức sau:
1 6 2
:1
4
2 2 2
x x x x
B
x
x x x
− + +
= − − −
−
− + −
Hướng dẫn
a) Ta có:
( ) ( )
2 11 7 30 7 11 11 7 60 14 11A = + − = + −
( ) ( ) ( )( )
2
11 7 7 11 11 7 7 11 49 11 38= + − = + − = − =
b) Điều kiện:
0; 4xx
.
( )( )
1 6 2 2
:
2 2 2
22
x x x x x
B
x x x
xx

− + + − +

= − −

− + −
−+

( )
( )
( )
( )( )
2 1 2 6
4
:
2
22
x x x x x
x
xx
+ − − − − −
=
−
−+
( )( )
2 2 2 6 4
:
2
22
x x x x x x x x
x
xx
+ − + + − − −
=
−
−+
( )( )
4 8 2 2
.
4
2
22
x x x
x
xx
− − −
==
+
−+
. Vậy
2
2
x
B
x
−
=
+
với
0; 4xx
Câu 160. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 –
2018)
Cho
1 5 4 2
:
2 2 2
x x x
P
x x x x x
−+
= + −
− − −
1) Tìm điều kiện xác định của
P
và rút gọn
P
2) Tìm
m
để có
x
thỏa mãn điều kiện xác định của
P
sao
21P mx x mx= − +
Hướng dẫn
1) Biểu thức xác định khi
0
0
4
20
x
x
x
x

−
.
Ta có:
( )
( )( )
( )
2 2 .
1 5 4
:
2
22
x x x x
x
P
x
x x x x

+ − −
−

=−

−
−−

Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 153
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( ) ( )
( )
( )
( )
4 1 2
5 4 4
: . 1
4
2 2 2
x x x
x x x x
x
x x x x x x
− − −
− + − −
= = = −
−
− − −
2) Ta có:
2 1 1 2 1P mx x mx x mx x mx= − + − = − +
( )
( )
2 2 0 2 1 0mx x mx x x mx − − + = − − =
Vì
0
4
x
x
nên
( )
( )
2 1 0 1 0 1x mx mx mx− − = − = =
Xét
0 0. 1mx= =
phương trình vô nghiệm.
Với
1
0mx
m
=
. Để phương trình có nghiệm thì
1
0
0
0
1
41
4
4
m
x
m
x
m
m



.
Vậy
0
1
4
m
m
thì
21P mx x mx= − +
có nghiệm.
Câu 161. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 –
2018)
Cho
38
4
22
x x x
A
x
xx
= + +
−
+−
và
23
2 ; 0, 4
2
x
B x x
x
+
= −
+
1. Tính B với
81x =
2. Đặt
:P A B=
. Rút gọn P. 3. Tìm GTNN của
P
Hướng dẫn
1. Ta có:
2 3 2 4 2 3 1
2
2 2 2
x x x
B
x x x
+ + − −
= − = =
+ + +
Với
81x =
( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức B ta được:
11
11
81 2
B ==
+
. Vậy
81x =
thì
1
11
B =
.
2) Ta có:
( )( )
38
22
22
x x x
A
xx
xx
= − +
+−
−+
( ) ( )
( )( )
3 2 2 8
22
x x x x x
xx
− − + +
=
−+
( )( ) ( )( )
3 6 2 8 2
2 2 2 2
x x x x x x
x x x x
− − − +
==
− + − +
.
Suy ra
( )( )
2 1 2
:
22
.
22
P
xx
xx
x
B
x
A =
+−
−
==
+
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 154
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Biểu thức
P
xác định khi
2
0
4
2
0, 4
x
x
x
xx

−

Với
( )
2 8 8
4 2 4 2 2 8
2 2 2
x
x P x x
x x x
= = + + = − + +
− − −
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
( ) ( )
88
2 2 2 2 2 . 8
22
xx
xx
− + − =
−−
( )
8
2 2 8 16 16
2
xP
x
− + +
−
Dấu bằng xảy ra khi
( )
8
2 2 2 2 16
2
x x x
x
− = − = =
−
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
min 4P =
khi
16x =
Câu 162. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018)
Cho biểu thức
11
;0 1
1 1 1 1
xx
Px
xx
+−
= +
+ − − −
1) Chứng tỏ rằng
2
21Px
x
= − −
2) Tìm x để
2P =
.
Hướng dẫn
1) Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )( )
1 1 1 1 1 1
11
1 1 1 1
1 1 1 1
x x x x
xx
P
xx
xx
+ − − + − + −
+−
=+=
+ − − −
+ − − −
( )
1 1 1 1 1 1 2 2 1 2
21
11
x x x x x x x x x x
x
x x x
− − + − − + + − − − − − −
= = = − −
−−
( điều phải chứng minh)
2) Ta có:
( )
( )
2
2 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 1 0P x x x x x x x
x
= − − = − − − = − − − =
2
1
1
10
15
10
1
2
x
x
x
xx
x
xx
=
=
−=
−
+ − =
=
=−
Kết hợp điều kiện suy ra
1
15
2
x
x
=
−+
=
Câu 163. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018)
1) Rút gọn biểu thức
( ) ( )
2
3
1 1 2
1
2 1 2 1
x
P
x
xx
+
= + −
−
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 155
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
2) Tính giá trị của biểu thức
3
3 2003A a a= + +
với
33
7 5 2 7 5 2a = + + −
Hướng dẫn
1) Ta có:
( )( )
( )
22
33
1 1 2 2 2
1 2 1 1
2 1 1
x x x x
P
x x x
xx
− + + + +
= − = −
− − −
+−
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
222
1 2 1 2 1 1
11
1 1 1 1 1 1
x x x x x
x x x
x x x x x x x x x
+ + + − − −
= − = = =
− + +
− + + − + + − + +
2) Ta có:
(
)
3
3
3 3 3 3
7 5 2 7 5 2 7 5 2 7 5 2aa= + + − = + + −
(
)
3
3 3 3 3
7 5 2 3 7 5 2. 7 5 2. 7 5 2 7 5 2 7 5 2a = + + + − + + − + −
33
3
14 3 49 50. 3 14a a a a = + − + =
Suy ra
3
3 2003 14 2003 2017A a a= + + = + =
Câu 164. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018)
Với
0x
và
1, 4xx
cho hai biểu thức
2
xx
A
x
−
=
−
và
31
11
x
B
x x x
+
=−
−−
1. Tính giá trị của biểu thức A khi
144x =
.
2. Rút gọn biểu thức
.P AB=
3. Chứng minh rằng:
1
3
P
Hướng dẫn
1. Thay
144x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:
144 144 144 12 132 66
2 12 10 5
2 144
A
−−
= = = = −
−−
−
.
2. Ta có:
( )( )
3 1 3 1
1 1 1
11
xx
B
x x x x
x x x
++
= − = −
− − −
− + +
( )( ) ( )( )
3 1 2
1 1 1 1
x x x x
x x x x x x
+ − − − −
==
− + + − + +
Suy ra
( )( )
( )
( )( )
1
22
..
2 2 1
1 1 1 1
.
xx
x x x x
P
x
x x x x
x x x x x
A
x
B
−
−−
==
−
==
− − + +
− + + − + +
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 156
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3. Xét
( )
( )
( )
2
1
1 1 3 1
33
1
3 1 3 1
x
x x x x
P
xx
x x x x
−−
− − −
− = − = =
++
+ + + +
Ta có:
( )
( )
2
1
0
31
x
xx
−−
++
Với
0x
và
1, 4xx
nên
1
3
P
Câu 165. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018)
Cho biểu thức
2 1 1
;0 1
1 1 1
xx
Px
x x x x x
+−
= − +
− − + +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để
1
3
P −
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )( )
2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1
11
x x x x
x x x x x x x x
x x x
+ − + −
− + = − +
− − + + − + +
− + +
( )
( )( ) ( )( )
2
2 1 1
1 2 1
1 1 1 1
x x x x
x x x
x x x x x x
+ − − − + −
− + − +
==
− + + − + +
( )( )
( )( )
( )( )
12
3 2 2
1
1 1 1 1
xx
x x x
xx
x x x x x x
−−
− + −
===
++
− + + − + +
. Vậy
2
1
x
P
xx
−
=
++
với
01x
.
b)
( )
1 2 1 3 6 1
00
33
1
31
x x x x
P
xx
xx
− − + + +
− +
++
++
( )
( )( )
( )
15
45
00
3 1 3 1
xx
xx
x x x x
−+
+−
+ + + +
Vì
( )
50
01
3 1 0
x
x
xx
+
+ +
nên
1 0 1xx−
. Kết hợp điều kiện suy ra
01x
Câu 166. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Giảng Võ– Hà Nội 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức
2
A
x
xx
=
+
−
và
13
1
11
B
xx
x
xx
=+
+
−
−
−+
với
0; 1 xx
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2
16x =
.
2) Thu gọn biểu thức
:M A B=
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 157
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3) Tìm giá trị của k sao cho phương trình
1
M
k
=
có nghiệm.
Hướng dẫn
1) Ta có:
2
16 4xx= =
. Kết hợp điều kiện suy ra
4x =
.
Với
4x =
ta có:
4 2 4
2
2
44
2
A
x
xx
+
= = = =
−
+
−
. Vậy: …..
2) Ta có:
( )( )
1 3 1 3
1
1 1 1 1
11
B
x x x x
x
x x x x
xx
= + = +
++
−−
−
− + − +
−+
( )
( )( ) ( )( )
1 1 3
24
1 1 1 1
x x x x
x
x x x x
+ − − + +
+
==
− + − +
Suy ra
( )( ) ( )
( )( )
( )
11
2 4 1
:.
2
1 1 2
:
12
22
M
x
xx
xx
x x x
AB
xx
xx
xx
−+
++
==
−+
==
+−
++
−
.
3) Ta có:
( )
( )
1 1 1
1 2 2
2
x
M k x x x k k
kk
x
+
= = + = − =
.
Với
2k =
suy ra
.0 2x =
phương trình vô nghiệm.
Với
2
2
k
kx
k
=
−
. Để phương trình có nghiệm thỏa mãn
0; 1 xx
thì:
0
02
2
1
1
2
k
k
k
kk
k

−

−
. Vậy: ……
Câu 167. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Hà Huy Tập– Hà Nội 2018 – 2019)
Cho hai biểu thức
3
3
A
x
x
=
+
+
và
3 2 1 3
.
9
31
B
x x x
x
xx

=



+ − −
−
−
++
với
0; 9xx
1) Tính giá trị của A khi
16x =
.
2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho
A
P
B
=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn
1) Với
16x =
(thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được:
19
7
16 3
16 3
A ==
+
+
. Vậy với
16x =
thì
19
7
A =
.
2) Ta có:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 158
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
33
3 2 1 3 3 2 1 3
..
9
3 1 3 1
B
xx
x x x x x x
x
x x x x



==



−+


+ − − + − −
−−
−
+ + + +
( )
( )( ) ( )( )
3 2 3
3 2 1 3
..
11
3 3 3 3
x x x
x x x x
xx
x x x x
+ − − −
− + + −
==
++
− + − +
( )
( )( )
2
1
1
3
31
x
x
x
xx
+
+
==
+
++
. Vậy
1
3
x
B
x
+
=
+
với
0; 9xx
.
3) Ta có:
( )
1 3 4 4
: 1 1 2
3 1 1 1
3
3
xx
xx
x x x x
Ax
P
B
x
++
= = = − + = + + −
+ + + +
+
=
+
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
( ) ( )
44
1 2 1 . 4 2
11
x x P
xx
+ + + =
++
.
Dấu bằng xảy ra khi
( ) ( )
( )
2
4
1 1 4 1 2 1
1
x x x x tm
x
+ = + = + = =
+
Vậy
min 2 1Px= =
.
Câu 168. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lê Thánh Tông– Hà Nội 2018 – 2019)
Cho biểu thức:
1 1 2
:
1
11
A
x
x
x x x x


=





−+
−
− − +
(với
0; 1xx
)
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi
3 2 2x =−
Hướng dẫn
1) Ta có:
1 1 2
:
1
11
A
x
x
x x x x


=





−+
−
− − +
( ) ( )( )
1 1 2
:
11
1 1 1
x
xx
x x x x
= + +
−+
− − +
( ) ( )( )
1 1 2 1
:
1 1 1
x x x
x
x x x x
+ − + +
==
− − +
2) Với
( )
2
213 2 2x =−=−
(thỏa mãn điều kiện)
Suy ra
( )
( )
( )
2
2 2 2 1
1 4 2 2
22
21
21
21
3 2 2
A
−
+−
= = = =
−
−
−
−
Vậy
3 2 2x =−
thì
22A=
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 159
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 169. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phúc Xá – Hà Nội 2018 – 2019)
Cho hai biểu thức
11
11
A
x x x
xx
=
− + −
+
−−
và
1
B
x
x
=
−
Với
0; 1xx
1) Tính giá trị của biểu thức B khi
2
23
x =
+
.
2) Rút gọn biểu thức
:P A B=
.
3) Tìm x sao cho
( )
1 . 10xP−=
.
Hướng dẫn
1) Ta có:
( )
( )
2
2
4 2 3 3 1
43
23
2
23
x = = − = −
−
−
=
+
( thỏa mãn điều kiện)
Thay vào biểu thức B ta được:
( )
( )
2
2 2 3
4 2 3 4 2 3 4 2 3
2
3 2 3 2
31
31
1
1
B
−
− − −
= = = = = −
−−
−
−
−
−
Vậy
2
23
x =
+
thì
2B =−
.
2) Ta có:
2
11
1 1 1 1
1 1 1
x
A
x
x x x x x x
x x x x
−
= = =
−−
− + − − + −
+−
− − −
Suy ra
22
::
1 1
xx
P A B
x
x
x
x
−−
= = =
− −
. Vậy
2 x
P
x
−
=
với
0; 1xx
.
3) Ta có:
( ) ( ) ( )( )
2
101 . 10 1 . 10 1 2
x
x
x
x P x x x
−
=− = − = − −
10 2 3 9 3 2 0 9 6 3 2 0x x x x x x x x = − + + − = + − − =
( ) ( ) ( )( )
3 3 2 3 2 0 3 2 3 1 0x x x x x + − + = + − =
Vì
1
0 3 1 0
9
x x x − = =
( thỏa mãn) . Vậy: …..
Câu 170. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phương Liệt – Hà Nội 2015 – 2016) (2
điểm)
Cho
39
9
x
A
x
+
=
−
và
2 3 9
9
33
x x x
B
x
xx
+
= + −
−
+−
( )
0, 9xx
1) Tính giá trị của A khi
4x =
.
2) Chứng tỏ rằng biểu thức B luôn dương với mọi giá trị x thỏa mãn ĐKXĐ
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 160
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B
A
Hướng dẫn
1) Với
4x =
( thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được:
3 4 9 15
3
4 9 5
A
+
= = = −
−−
. Vậy
4x =
thì
3A =−
.
2) Ta có:
( )( )
( ) ( )
( )( )
3 2 3 3 9
2 3 9
33
3 3 3 3
x x x x x
x x x
B
xx
x x x x
− + + − −
+
= + − =
+−
− + − +
( )( )
( )
( )( )
33
3 2 6 3 9 3
3
3 3 3 3
x
x x x x x
x
x x x x
−
− + + − −
= = =
+
− + − +
.
Vì
0, 9xx
3
0
3
B
x
=
+
với mọi
0, 9xx
.
Vậy B luôn dương với mọi
0, 9xx
.
c)
3 3 9 3 6
:1
9
3 3 3
B x x
Ax
x x x
+−
= = = −
−
+ + +
Ta có:
0x
với mọi
0, 9xx
Nên
66
3 3 1 1 1
33
x
xx
+ − −
++
.
Dấu bằng xảy ra khi
0x =
. Vậy
min 1 0
B
x
A

= − =


Câu 171. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Sài Đồng 2018 – 2019) (2 điểm)
Cho biểu thức
1
A
x
x
=
+
;
3 4 1
( 0; 4)
22
B
xx
xx
x x x
=
−+
−
−−
1) Tính giá trị của A khi
9x =
.
2) Rút gọn B.
3) So sánh
B
P
A
=
với
2−
.
Hướng dẫn
1)
4
3
A =
2)
2x
x
−
c) Xét hiệu
3
20
1
Bx
A
x
+ =
+
với mọi
0; 4xx
nên
2
B
A
−
.
Câu 172. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vinschool 2017 – 2018) (2 điểm)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 161
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1) Tính giá trị của biểu thức
3
3
A
x
x
=
+
−
với
4x =
.
2) Cho
4 7 3
:
1 2 2 1
P
xx
x x x

=



+−
−
+ − −
với
0; 1; 9x x x
a) Rút gọn P b) So sánh
P
và
3
P
.
Hướng dẫn
1)
5A =−
2) Rút gọn
25
21
x
P
x
+
=
+
3) Vì
2 5 4
11
2 1 2 1
x
P
xx
+
= = +
++
với mọi
0; 1; 9x x x
nên
3
PP
.
Câu 173. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TP Hà Nội 2016 – 2017) (2 điểm)
Cho hai biểu thức
7
8
A
x
=
+
và
2 24
9
3
xx
B
x
x
−
=+
−
−
với
0; 9xx
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
25x =
2) Chứng minh
8
3
x
B
x
+
=
+
3) Tìm x để biểu thức
.P AB=
có giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn
1) Thay
25x =
( thỏa mãn điều kiện) vào A ta được:
77
13
25 8
A ==
+
. Vậy: ……
2) Ta có:
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
3 2 24
2 24 5 24
3
3 3 3 3 3 3
x x x
x x x x
B
x
x x x x x x
+ + −
− + −
= + = =
−
− + − + − +
( )( )
( )( )
38
8
3
33
xx
x
x
xx
−+
+
==
+
−+
( điều phải chứng minh)
3) Ta có:
7 8 7
..
8 3 3
x
P A B
x x x
+
= = =
+ + +
.
Các em đánh giá chỉ ra
7
0
3
P
mà
1;2PP
.
Giải
1; 2PP==
để tìm
x
. Đáp số:
1
;16
4
x



Câu 174. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Đức Giang 2016 – 2017) (2 điểm):
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 162
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Cho hai biểu thức
21
3
x
A
x
+
=
+
và
2 5 1
:
9
33
xx
B
x
xx

−−
=−


−
+−

( )
0, 1, 9x x x
a) Tính giá trị biểu thức A khi
49x =
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để
AB−
có giá trị là số tự nhiên.
Hướng dẫn
a) Thay
49x =
(thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
2 49 1 15 3
10 2
49 3
A
+
= = =
+
. Vậy: ….
b)
( )( )
2 5 1
:
33
33
xx
B
xx
xx

−−

=−

+−
−+

( )
( )( ) ( )( )
2 3 5
3 1 3 1
..
1 1 3
3 3 3 3
xx
x x x
x x x
x x x x
− − +
− − −
= = =
− − +
− + − +
c) Ta có:
2 1 1 2 6
2
3 3 3 3
xx
AB
x x x x
+
− = − = = −
+ + + +
.
Để
AB−
là số tự nhiên thì
( )
0AB
AB
−
−
Suy ra
( )
63x +
. Từ đó giải được
0x =
Câu 175. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Văn Khê 2015 – 2016) (2 điểm):
Cho biểu thức
1 2 2 5
4
22
a a a
P
a
aa
++
= + +
−
−+
với
0,a
4a
a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với
3 2 2a =−
.
c) Tìm a để
1
3
P
. d) Tìm a để
2P =
.
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )( )
1 2 2 5
22
22
a a a
P
aa
aa
++
= + −
−+
−+
( )( ) ( )
( )( )
1 2 2 2 2 5
22
a a a a a
aa
+ + + − − −
=
−+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 163
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
( )
( )( )
32
3 6 3
2
2 2 2 2
aa
a a a
a
a a a a
−
−
===
+
− + − +
.
b) Ta có:
( )
2
3 2 2 2 1a = − = −
( thỏa mãn điều kiện)
Suy ra
( )
2
2 1 2 1 2 1a = − = − = −
. Thay vào biểu thức P ta được:
( ) ( )
( )
3 2 1 3 2 1
3 3 2 2 9 6 2
2 1 2 2 1
P
−−
= = = − = −
− + +
.
c) Ta có:
( ) ( )
1 3 1 3 1 9 2 8 2
0 0 0
3 3 3
22
3 2 3 2
a a a a a
P
aa
aa
− − −
−
++
++
Vì
( )
11
0 3 2 0 8 2 0
4 16
a a a a a + −
Vậy
1
16
4
a
a
d) Ta có:
( )
3
2 2 3 2 4 4 16
2
a
P a a a a tm
a
= = = + = =
+
. Vậy: …
Câu 176. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TTBDVH Dạy Tốt 2016 – 2017)
Cho biểu thức
3
9
xx
A
x
+
=
−
và
( )( )
9 3 1
13
31
x x x
B
xx
xx
− − +
= + −
−−
+−
với
0,x
1,x
9x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
16x =
b) Chứng minh
1
3
x
B
x
+
=
−
c) Tìm các giá trị của x để
1.
A
B
Hướng dẫn
a) Với
16x =
( thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức A ta được:
3 16 16 28
4
9 16 7
A
+
= = = −
−−
. Vậy: ….
b) Ta có:
( )( )
( )( )
33
31
13
31
xx
xx
B
xx
xx
−+
−+
= − −
−−
+−
3 3 1 1 1
1 1 3 3 3
x x x x x
x x x x x
− − + + +
= − − = − =
− − − − −
( điều phải chứng minh) .
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 164
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Ta có:
( )
( )( )
3
3 1 3
1 : 1 . 1
9
31
33
xx
A x x x x
Bx
xx
xx
+
+ + −
−
−+
−+
1
1 1 0 0
1 1 1
xx
x x x
−
−
+ + +
Vì
1
00
1
xx
x
−
+
. Vậy: ….
Câu 177. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TTBDVH Edufly 2016 – 2017)
1) Rút gọn biểu thức sau
2
7 4 3
31
A = + −
−
2) Cho biểu thức
2 1 2
:1
1 1 1
x x x
P
x x x x x
++
= − −
− − + +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với
1,x
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
.A x P=
Hướng dẫn
1)
( )
( )( )
2 3 1
2
7 4 3 4 2.2 3 3
31
3 1 3 1
A
+
= + − = + − +
−
−+
( )
( )
2
2 3 1
2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3
31
+
= + − = + + − = + + − =
−
2) Ta có:
( )( )
2 1 2 2 1 1 2
: 1 :
1 1 1 1 1
11
x x x x x x x x
P
x x x x x x x x
x x x

+ + + + + − −

= − − = −

− − + + − + +
− + +

( )( )
2 1 1 1 1 1
..
1 1 1
1
11
x x x x x x x
x x x
x
x x x
+ − − − + + −
= = =
− − −
−
− + +
.
3) Ta có:
( )
22
1 1 1
. . 1 1 2
1 1 1
A x P x x x
x x x
= = = + − = − + +
− − −
.
Vì
1x
nên áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương
1x−
và
1
1x −
ta được:
( )
1 1 1
1 2 1 . 2 1 2 4
1 1 1
x x x
x x x
− + − = − + +
− − −
.
Dấu bằng xảy ra khi
( )
2
1
1 1 1 1 1 2
1
x x x x
x
− = − = − = =
−
( vì
1x
).
Vậy: …………..
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 165
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 178. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Oai 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức:
3
1
a
P
a
+
=
+
và
13
1 2 2
aa
Q
a a a a
= + −
− + + −
với
0; 1.aa
a) Tính giá trị của biểu thức P khi
16.a =
b) Rút gọn biểu thức Q.
c) Tìm a để biểu thức
.S PQ=
có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
a) Thay
16a =
( thỏa mãn điều kiện) các em tính được
7
5
P =
.
b) Rút gọn
1
2
a
Q
a
+
=
+
.
c) Tính
31
S1
22
a
aa
+
= = +
++
. Lập luận chỉ ra
3
max
2
S =
khi
0a =
.
Câu 179. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2017 – 2018)
Cho biểu thức
1 1 4x x x x
P
x x x x x
−+
= + −
−+
và
1
1
x
Q
x
−
=
+
với
0; 1xx
.
a) Tính giá trị của Q khi
25x =
b) Rút gọn biểu thức
.A P Q=
c) Tìm các giá trị của x để
8Ax
Hướng dẫn
a) Đáp số:
25x =
thì
2
3
Q =
.
b) Rút gọn
( )
21x
P
x
−
=
, từ đó tính được
( )( ) ( )
2
2 1 1 2 1
1
.
1
x x x
x
A
x x x
− + −
−
==
+
.
c)
( )
( )
2
2
21
12
8 . 8 1 4 9
12
x
x
A x x x x
x
x
−
−
−
− −
.
Vậy
09
1
x
x

Câu 180. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2011 – 2018)
Cho
10 5
25
55
xx
A
x
xx
= − −
−
−+
, với
0, 25.xx
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của A khi
9x =
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 166
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3) Tìm x để
1
3
A
.
Hướng dẫn
1) Ta có:
( )( )
10 5
55
55
xx
A
xx
xx
= − −
−+
−+
( ) ( )
( )( ) ( )( )
5 10 5 5
5 10 5 25
5 5 5 5
x x x x
x x x x
x x x x
+ − − −
+ − − +
==
− + − +
( )( )
( )
( )( )
2
5
10 25 5
5
5 5 5 5
x
x x x
x
x x x x
−
− + −
===
+
− + − +
2) Thay
9x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:
9 5 3 5 1
A
3 5 4
95
−−
= = = −
+
+
. Vậy: …..
3) Ta có:
1 5 1 5 1
0
3 3 3
55
xx
A
xx
−−
−
++
( ) ( )
3 15 5 2 20
00
3 5 3 5
x x x
xx
− − − −
++
Vì
0 5 0xx +
nên
( )
2 20
0 2 20 0 10 100
35
x
x x x
x
−
−
+
Vậy
0 100
25
x
x

.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 167
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 181. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-AMSTERDAM-2019-2020)
Cho hai biểu thức
4
2
A
x
=
+
và
3 2 3 10
4
22
x x x
B
x
xx
++
= + +
−
+−
, với
0, 4.xx
1. Tính giá trị của
A
khi
16x =
2. Chứng minh rằng
2
2
x
B
x
+
=
−
3. Tìm tất cả giá trị của
x
để
.2AB−
Hướng dẫn
1) Với
16x =
(thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được:
4 4 2
63
16 2
A = = =
+
. Vậy
16x =
thì
2
3
A =
.
2) Ta có:
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
3 2 2
2 3 10
2 2 2 2 2 2
x x x
xx
B
x x x x x x
−+
++
= − +
+ − + − + −
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
3 2 2
2 3 10
2 2 2 2 2 2
x x x
xx
B
x x x x x x
−+
++
= − +
+ − + − + −
( )
( )( )
3 6 2 2 3 10
22
x x x x x
B
xx
− − + + + +
=
+−
( )( )
44
22
xx
B
xx
++
=
+−
( )
( )( )
2
2
2
2
22
x
x
B
x
xx
+
+
==
−
+−
(điều phải chứng minh).
3) Ta có:
0
42
. 2 2 0 0
22
20
x
x
AB
xx
x
=
− +
−−
−
0( )
4( )
x TM
x TM
=
Vậy
0
4
x
x
=
Câu 182. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Ba Đình-2019-2020)
Cho hai biểu thức:
5
25
xx
A
x
+
=
−
;
29
9
3
x x x
B
x
x
+
=−
−
−
với
0x
và
9x
và
25x
.
a) Tìm
x
để biểu thức
A
nhận giá trị bằng
0
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 168
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
b) Rút gọn biểu thức
.B
c) Đặt
. So sánh
P
với
1.
Hướng dẫn
a) Với
0x
và
9x
và
25x
Để
0 5 0A x x= + =
( )
50xx + =
( )
0 0 /x x t m = =
do
50x +
b) Với
0x
và
9x
và
25x
ta có:
29
9
3
x x x
B
x
x
+
=−
−
−
( )
( )( ) ( )( )
23
9
3 3 3 3
xx
xx
x x x x
+
+
=−
− + − +
( )( )( ) ( )( )
2 6 9 3
3 3 3 3 3
x x x x x x
x x x x x
+ − − −
==
− + − − +
( )
( )( )
3
33
xx
xx
−
=
−+
3
x
x
=
+
. Vậy
3
x
B
x
=
+
.
c) Với
0x
và
9x
và
25x
. Ta có:
5 5 5
: : : .
25
3 3 5 3 3
x x x x x x x x
P B A
x
x x x x x x
+ − −
= = = = =
−
+ + − + +
Xét hiệu:
5 5 3 8
11
3 3 3
x x x
P
x x x
− − − − −
− = − = =
+ + +
Ta có :
0x
8
3 0 0
3
x
x
−
+
+
1 0 1PP −
.
Vậy
1P
.
Câu 183. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Ba Vì – 2019-2020)
Với
0x
cho hai biểu thức:
2 x
A
x
+
=
và
1 2 1xx
B
x x x
−+
=+
+
a) Tính giá trị của bểu thức
A
khi
64x =
.
b) Rút gọn biểu thức
B
.
c) Tìm
x
để
3
2
A
B
.
Hướng dẫn
a) Thay
64x =
thỏa mãn ĐKXĐ vào biểu thức
A
ta được:
2 64 5
4
64
A
+
==
. Vậy: ….
b) Với
0x
ta có:
( )
1 2 1
1
xx
B
x
xx
−+
=+
+
2
1
x
x
+
=
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 169
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Tính được
1Ax
B
x
+
=
Với
0x
ta có:
3 1 3
4
22
Ax
x
B
x
+
Kết hợp với điều kiện, kết luận:
04x
Câu 184. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Bắc Từ Liêm-2019-2020)
Cho hai biểu thức
( )
6
3
A
xx
=
−
và
22
9
3
x
B
x
x
=−
−
+
với
0, 9xx
.
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
4x =
.
2) Rút gọn biểu thức
:M A B=
.
3) Tìm các giá trị của
x
để
3 5 2xM+=
.
Hướng dẫn
1)Thay
4x =
(tmđk) vào biểu thức
A
ta được:
( )
( )
66
3
2. 1
4 4 3
A = = = −
−
−
Vậy khi
4x =
thì
3A =−
2) Rút gọn biểu thức
:M A B=
.
Ta có:
( )
6 2 2
::
9
3
3
x
M A B
x
x
xx

= = −


−
+
−

( ) ( )( )
6 2 2
:
3
3 3 3
x
x
x x x x


=−

+
− − +

( ) ( )( )
6 2 2 6
:
3 3 3
xx
x x x x
−+
=
− − +
( )
( )( )
33
63
.
6
3
xx
x
x
xx
−+
+
==
−
Vậy
3x
M
x
+
=
với
( 0, 9)xx
3) Tìm các giá trị của
x
để
3 5 2xM+=
.
3
3 5 2 3 5 2.
x
x M x
x
+
+ = + =
3 3 6 0xx + − =
20xx + − =
( )( )
1 2 0xx − + =
1 0 1( )
2 0 2( )
x x TM
x x L
− = =
+ = = −
Vậy khi
1x =
thì
3 5 2xM+=
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 170
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Câu 185. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Cầu Giấy-2019-2020)
Cho biểu thức
11
:
2 2 2
x
A
x x x x

=−

+ − −

với
0, 4xx
a) Chứng minh
4
2
A
x
−
=
+
b) Tìm
x
biết
2
3
A
−
=
.
c) Cho
x
là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A
.
Hướng dẫn
a) Với
0, 4xx
ta có:
11
:
2 2 2
x
A
x x x x

=−

+ − −

( )( ) ( )( )
22
:
2
2 2 2 2
x x x
xx
x x x x

−+

=−

−
+ − + −

( )( )
2 2 2
.
22
x x x x
x
xx
− − − −
=
+−
( )( )
( )
2
4
.
22
xx
x
xx
−
−
=
+−
4
2x
−
=
+
Vậy
4
2
A
x
−
=
+
(đpcm).
b) Tìm
x
biết
2
3
A
−
=
.
Để
( )
2 4 2
2 6 4 16 / .
33
2
A x x x t m
x
− − −
= = + = = =
+
Vậy
16x =
thì
2
3
A
−
=
.
c) Ta có:
4
2
A
x
−
=
+
.
Ta có:
x
nguyên và
0x
,
4x
hay
1, 4,x x x
Với
1x
1x
230x +
44
3
2x

+
44
3
2x
−−

+
4
3
P
−

Dấu
""=
xảy ra
1x=
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
là
4
3
−
khi
1x =
Câu 186. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Đông Anh-2019-2020)
Cho
4
2
x
A
x
+
=
+
và
2
4
2
x
B
x
x
=−
−
−
với
0; 4xx
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
36x =
b) Rút gọn biểu thức
:P B A=
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 171
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Tìm giá trị của x để
0P
Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
36x =
Ta có
36x =
(tmđk) nên
36 4 6 4 5
6 2 4
36 2
A
++
= = =
+
+
b) Rút gọn biểu thức
:P B A=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
4
22
2 . 2
22
2 4 4
2 . 2 2 . 2 2 . 2
xx
B
x
xx
xx
xx
x x x
x x x x x x
= − = −
−
−−
−+
−+
− − − −
===
− + − + − +
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 1
::
4
2
2 . 2 4 2
x x x
P B A
x
x
x x x x
− − + −
= = − = =
−
−
− + + −
c) Tìm giá trị của x để
0P
Với
0; 4xx
để
1
0 0 2 0 2 4
2
P x x x
x
−
−
−
Kết hợp ĐKXĐ ta có:
04x
thì
0P
Câu 187. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Đống Đa-2019-2020)
Cho biểu thức
22xx
A
x
−+
=
và
2 4 1
22
x x x
B
x x x
+ − +
=−
++
với
0x
a) Tính giá trị của
A
khi
9.x =
b) Rút gọn biểu thức
.B
c) Cho
.
A
P
B
=
Tìm giá trị nguyên của
x
để
P
có giá trị âm.
Hướng dẫn
a) Khi
9x =
(thỏa mãn điều kiện) Thay vào
A
ta được:
9 2 9 2 9 2.3 2 5
33
9
A
− + − +
= = =
Vậy khi
9x =
thì
5
.
3
A =
b) Với
0x
ta có:
2 4 1
22
x x x
B
x x x
+ − +
=−
++
( )
( )
( )
1
24
22
xx
xx
x x x x
+
+−
=−
++
( )
24
2
x x x x
xx
+ − − −
=
+
( )
4
2
x
xx
−
=
+
( )( )
( )
22
2
2
xx
x
x
xx
−+
−
==
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 172
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Với
0x
thì
2x
B
x
−
=
c) Với
0x
ta có :
( )
2
11
2 2 2 2 2 2 2
:.
2 2 2
x
A x x x x x x x x
P
B
x x x x x x
−+
− + − − + − +
= = = = =
− − −
Vì
( )
2
0
1 0 0
x
xx
−
nên
0 2 0 2 4P x x x −
Kết hợp điều kiện suy ra
04x
Mà
1;2;3xx
Câu 188. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Gia Lâm-2019-2020)
a) Tính giá trị của biểu thức
3
1
x
A
x
−
=
+
khi
16x =
b) Rút gọn biểu thức sau:
2 1 1
.
2 2 1
xx
B
x x x x
−+

=+

+ + −

(Với
0, 1xx
)
c) Tìm các giá trị của
x
để biểu thức
M = A.B <0
.
Hướng dẫn
a)
( )
3
0
1
−
=
+
x
Ax
x
Thay
16x =
(Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A, ta có:
16 3 1
5
16 1
−
==
+
A
Vậy
1
5
=A
khi
16x =
.
b)
2 1 1
.
2 2 1
xx
B
x x x x
−+

=+

+ + −

(Với
0, 1xx
)
( ) ( ) ( )
2 1 1 2 1
..
2 1 1
2 2 2
x x x x x
x x x
x x x x x x
− + − +
= + = +
+ − −
+ + +
( )
( )( )
( )
12
2 1 1 1
11
22
xx
x x x x x
x x x
x x x x
−+
+ − + + +
= = =
−−
++
c) Tìm các giá trị của
x
để biểu thức
M = A.B <0
.
3 1 3
.
1
x x x
M A B
x x x
− + −
= = =
+
* Có
0x
nên
0M
thì
3 0 3 9x x x−
Kết hợp ĐKXĐ ta có
0 9; 1.xx
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 173
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy
0 9; 1xx
thì
. 0M AB=
.
Câu 189. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hà Đông-2019-2020)
Cho hai biểu thức
1
4
x
A
x
+
=
−
và
2 3 3 6
3 4 7 12
x x x x
B
x x x x
+ + −
= + −
− − − +
với
0; 9; 16x x x
1) Tính giá trị biểu thức A khi
25x =
.
2) Rút gọn
B
.
3) Đặt
( )
2 2 :P x B A=−
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
Hướng dẫn
1) Tính giá trị biểu thức A khi
25x =
.
25 5( )x x tm= =
.Thay
5( )x tm=
vào
A
, ta có:
5 1 6
6
5 4 1
A
+
= = =
−
Vậy
6A =
khi
25x =
2) Rút gọn
B
.
( )( )
2 3 3 6 2 3 3 6
3 4 7 12 3 4
34
x x x x x x x x
B
x x x x x x
xx
+ + − + + −
= + − = − −
− − − + − −
−−
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 3 4 3 3
6
3 4 3 4 3 4
x x x x
xx
x x x x x x
+ − + −
−
= − −
− − − − − −
( )( ) ( )( )
2 5 12 9 6 3 1
4
3 4 3 4
x x x x x x
x
x x x x
− − − + − + −
= = =
−
− − − −
3) Đặt
( )
2 2 :P x B A=−
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
( )
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 4 6
2 2 : . 2
4 4 4 1 1 1
xx
xx
Px
x x x x x x
−−
+−

= − = = = −

− − − + + +

Vì
1 6 6
0, 1 1 1 6 2 4
1 1 1
x x dkxd x
x x x
−
+ − − −
+ + +
Min
4P =−
, dấu bằng xảy ra
0( )x tm=
Câu 190. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hoàng Mai-2019-2020)
Cho biểu thức:
( )
2
1
2
x
A
x
+
=
−
và
1
4
22
xx
B
x
xx
= + +
−
+−
vơi
0; 4xx
a) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
16.x =
b) Rút gọn biểu thức
B
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 174
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
c) Đặt
A
M
B
=
. Tìm
x
để biểu thức
M
thỏa mãn
8 8 0.Mx− +
Hướng dẫn
a) Ta có:
( )
2
1
2
x
A
x
+
=
−
với
0; 4xx
.
Với
16.x =
( TMĐK), thay
16.x =
vào biểu thức
A
,ta có:
( )
( )
2
2
16 1
41
25 25
2 4 2 2
2 16
A
+
+
= = = = −
−−
−
Vậy
16.x =
thì
25
4
A =−
b)
1
4
22
xx
B
x
xx
= + +
−
+−
với
0; 4xx
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
2
2
2 2 2 2 2 2
xx
xx
x x x x x x
+
−
= + −
+ − + − + −
( )( )
( )
( )( )
2
2 2 1 1
22
2 2 2 2
x
x x x x
xx
x x x x
−+
+ − − − −
= = = =
−−
+ − + −
Vậy
1
2
B
x
=
−
với
0; 4xx
c) Có
( )
2
1
1
:
22
x
A
M
B
xx
+
==
−−
với
0; 4xx
( )
( ) ( )
2
2
1
. 2 1
2
x
xx
x
+
= − = +
−
+ )
( )
2
8 8 0 1 8 8 0M x x x− + + − +
với
0; 4xx
2 1 8 8 0x x x + + − +
6 9 0xx − +
( )
2
30x −
Vì
( )
2
30x −
với
x
thỏa mãn điều kiện
0; 4xx
Nên
( )
2
30x −
( )
2
30x − =
3 0 3 9x x x − = = =
( TMĐK)
Vậy
9x =
thì
8 8 0.Mx− +
Câu 191. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hai Bà Trưng-2019-2020)
Cho các biểu thức:
11
;
4
2 2 2
xx
AB
x
x x x
= = − +
−
+ − +
(với
0; 4xx
)
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 175
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
36x =
.
b) Rút gọn
B
.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
.P AB=
có giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn
a) Thay
36x=
(tmđk) vào biểu thức
A
ta có:
36 3
4
36 2
A ==
+
Vậy
3
4
A=
khi
36x=
.
b) Với
0; 4xx
ta có :
11
4
22
x
B
x
xx
= − +
−
−+
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
22
2 2 2 2 2 2
xx
x
x x x x x x
+−
= + +
− + − + − +
( )
( )( ) ( )
2
2 2 2
xx
x
x x x
+
==
− + −
Vậy
2
x
B
x
=
−
với
0; 4xx
c) Với
0; 4xx
ta có :
4
. . 1
44
22
x x x
P A B
xx
xx
= = = = +
−−
+−
x
ĐKXĐ ;
xZ
; P có giá trị nguyên
4
4x
−
có giá trị nguyên
4x−
là Ư
( )
44 1; 2;=
4 1 5
4 1 3
4 2 6
4 2 2
4 4 8
4 4 0
xx
xx
xx
xx
xx
xx
− = =


− = − =


− = =


− = − =


− = =

− = − =

.
Kết hợp điều kiện suy ra
0;2;3;5;6;8x
thì
P
nhận giá trị nguyên
Câu 192. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Nam Từ Liêm-2019-2020)
Cho hai biểu thức:
7
3
x
A
x
+
=
và
( )
2 1 7 3
0; 9
9
33
x x x
B x x
x
xx
++
= + +
−
+−
a) Tính
A
khi
25.x =
b) Chứng minh:
3
3
x
B
x
=
+
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.P AB=
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 176
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Hướng dẫn
a) Với
25x =
(tmđk) thì
25 7 32
15
3 25
A
+
==
b) Ta có:
( ) ( )( )
( )( )
2 3 1 3 7 3
2 1 7 3
9
33
33
x x x x x
x x x
B
x
xx
xx
− + + + − −
++
= + + =
−
+−
−+
( )( )
3 9 3
3
33
x x x
x
xx
−
==
+
−+
(đpcm)
c) Ta có:
7 9 16 16
. 3 6
3 3 3
xx
P A B x
x x x
+ − +
= = = = + + −
+ + +
Do
16
0 3 0; 0
3
xx
x
+
+
nên áp dụng BĐT Cosi cho
3x +
và
16
3x +
ta được:
( )
16 16
3 2 3 . 8
33
xx
xx
+ + + =
++
Suy ra
16
3 6 8 6 2
3
Px
x
= + + − − =
+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
16
3 3 4 1
3
x x x
x
+ = + = =
+
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy
min 2 1Px= =
.
Câu 193. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Long Biên-2019-2020)
Cho biểu thức
24
:
1
11
x x x
Px
x
xx

+−

= − +



−
++


a) Rút gọn
P
.
b) Tính giá trị của
P
với
4 2 3x =−
c) Tìm số nguyên
x
để biểu thức
P
có giá trị nguyên.
Hướng dẫn
a) Điều kiện:
0; 1; 4x x x
. Ta có:
24
:
1
11
x x x
Px
x
xx

+−

= − +



−
++


( )
( )( )
14
2
:
1
11
x x x
x x x
x
xx
− + −
+ − −
=
+
−+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 177
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )( )
( )( )
( )( )
11
2 4 2 1
:.
1 1 2
1 1 2 2
xx
x x x x
x x x
x x x x
−+
− − − −
= = =
+ + +
− + − +
b) Ta có:
( )
2
4 2 3 3 1x = − = −
( thỏa mãn điều kiện)
3 1 3 1x = − = −
Thay vào
P
ta được:
5 3 3
2
P
−
=
c) Ta có:
13
1
22
x
P
xx
−
= = −
++
.
Để
P
nguyên thì
2x +
Ư
( )
3
. Mà
2 2 2 3 1x x x+ + = =
( loại)
Vậy không có giá trị x nguyên thỏa mãn điều kiện xác định để biểu thức P có giá trị nguyên.
Câu 194. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
Cho biểu thức
2 3 3 2 2
:1
9
3 3 3
x x x x
A
x
x x x
+−
= + + −
−
+ − −
a) Rút gọn
A
. b) Tính giá trị biểu thức
A
khi
13 4 3x =−
c) Tìm x để
1
3
A =−
d) Tìm x để
1
2
A
−
.
e) Tìm
x
để
A
. f) Tìm GTNN của
( )
.S A x x=−
Hướng dẫn
a) Điều kiện:
0; 9xx
.
Ta có:
( )( )
2 3 3 2 2 3
:
3 3 3 3
33
x x x x x
A
x x x x
xx


+ − −

= + − −



+ − − −
−+


( ) ( )
( )( )
2 3 3 3 3
2 2 3
:
3
33
x x x x x
xx
x
xx
− + + − −
− − +
=
−
−+
( )( )
( )
( )( )
31
2 6 3 3 3 1 1 3
::
3 3 3
3 3 3 3
x
x x x x x x x
x x x
x x x x
−+
− + + − − + + −
= = =
− − +
− + − +
Vậy
3
3
A
x
−
=
+
, với
0; 9xx
.
b) Ta có:
( ) ( )
22
13 4 3 2 3 2.2 3 1 2 3 1x = − = − + = −
( thỏa mãn điều kiện)
Suy ra
( )
2
2 3 1 2 3 1 2 3 1x = − = − = −
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 178
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Thay vào biểu thức
A
ta được:
3 3 3 3 3
4
2 3 1 3 2 3 2
A
− − −
= = =
− + +
.
Vậy
13 4 3x =−
thì
3 3 3
4
A
−
=
.
c) Ta có :
1 3 1
3 9 6 36
33
3
A x x x
x
−
= − = − + = = =
+
( thỏa mãn)
Vậy
1
3
A =−
khi
36x =
.
d) Ta có:
( )
1 3 1 3 1 3
00
2 2 2
33
23
x
A
xx
x
− − − − −
+
++
+
.
Vì
0 3 0xx +
nên
( )
3
0
23
x
x
−
+
khi
3 0 3 9x x x−
.
Kết hợp với điều kiện suy ra
09x
e) Ta có:
3
3
A
x
−
=
+
. Để
A
thì
( )
33x +
, suy ra
( )
3x +
Ư
( )
3
.
Mà
30x +
với mọi
0x
nên
( )
3 3 0xx+ = =
( thỏa mãn điều kiện)
f) Ta có:
( )
( )
( )
3
3 3 36 36
. 3 12 3 3 21
3 3 3 3
xx
xx
S A x x x x
x x x x
−−
−
= − = = = − + = + + −
+ + + +
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương
( )
33x +
và
36
3x +
ta có:
( ) ( )
36 36
3 3 2 3 3 . 12 3
33
xx
xx
+ + + =
++
Suy ra
( )
36
3 3 21 12 3 21
3
x
x
+ + − −
+
Dấu bằng xảy ra khi
( ) ( ) ( )
22
36
3 3 3 12 12 3 12 3
3
x x x x
x
+ = + = = − = − =
+
Câu 195. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho biểu thức
2 1 3
:2
2 5 3 1 1
xx
B
x x x x
−−
= − +
− + − −
.
a) Rút gọn
B
.
b) Tính giá trị của biểu thức
B
khi
2
0xx−=
c) Tìm x để
BB=−
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 179
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
d) Tìm
x
để
B
nguyên dương.
Hướng dẫn
a) Điều kiện:
9
0; 1;
4
x x x
.
Các em rút gọn được
1
32
B
x
=
−
.
b) Ta có:
( )
( )
( )
2
0
0 1 0
1
x tm
x x x x
xL
=
− = − =
=
.
Với
0x =
thay vào biểu thức
11
3
3 2 0
B ==
−
. Vậy: ……..
c) Ta có:
1 3 9
0 0 3 2 0
24
32
B B B x x x
x
= − −
−
.
Kết hợp điều kiện suy ra
9
4
x
.
d) Để B nhận giá trị nguyên thì
( ) ( )
1 3 2 3 2xx− −
Ư
( )
11=
.
Ta có bảng:
32x−
1−
1
x
2
1
x
4
1
B
1−
(loại)
(loại)
Vậy không tồn tại
x
thỏa mãn yêu cầu.
Câu 196. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Nghĩa Tân 2020 – 2021)
Cho hai biểu thức
2
2
x
A
x
−
=
+
và
2 3 12
4
22
x
B
x
xx
+
= − −
−
−+
với
0; 4xx
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
25x =
.
2) Chứng minh
1
2
x
B
x
−
=
−
.
3) Với
.P AB=
. Tìm giá trị của
x
để
PP
.
Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
25x =
.
Ta có:
25x =
thỏa mãn điệu kiện.
Thay
25x =
vào biểu thức A ta có:
25 2 3
7
25 2
A
−
==
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 180
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy khi
25x =
thì
3
7
A =
2) Chứng minh
1
2
x
B
x
−
=
−
.
2 3 12
4
22
x
B
x
xx
+
= − −
−
−+
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
2
2 3 2
12
2 2 2 2 2 2
xx
B
x x x x x x
+−
= − −
− + − + − +
( )( )
( )( )
( )( )
12
21
()
2
2 2 2 2
xx
x x x
B dpcm
x
x x x x
−+
+ − −
===
−
− + − +
3) Với
.P AB=
. Tìm giá trị của
x
để
PP
.
2 1 1
.
2 2 2
x x x
P
x x x
− − −
==
+ − +
1
0 0 1
2
x
P P P x
x
−
+
. Kết hợp điều kiện suy ra
01x
Câu 197. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Cầu Giấy 2020 – 2021)
Cho biểu thức
1
3
x
A
x
−
=
+
và
3 3 3 5
3 1 2 3
x x x
B
x x x x
++
= − +
+ − + −
với
0; 1xx
a) Tính giá trị A khi
16x =
.
b) Chứng minh rằng:
44
1
x
B
x
+
=
−
c) Cho biểu thức
.M B A=
. Tìm giá trị của m để có x thỏa mãn
Mm=
.
Hướng dẫn
a) Với
16x =
(thỏa mãn điều kiện)
Thay
16x =
vào
A
ta được:
1 16 1 4 1 3
4 3 7
3 16 3
x
A
x
− − −
= = = =
+
++
Vậy với
16x =
thì giá trị của biểu thức
3
7
A =
b)
3 3 3 5
3 1 2 3
x x x
B
x x x x
++
= − +
+ − + −
( )( )
3 3 3 5
31
31
x x x
B
xx
xx
++
= + +
+−
+−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 181
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
1 3 3 3
35
3 1 3 1 3 1
x x x x
x
B
x x x x x x
− + +
+
= + +
+ − + − + −
( )( )
3 9 3 9 3 5
31
x x x x x x
B
xx
− + + + + + +
=
+−
( )( )
4 16 12
31
xx
B
xx
++
=
+−
( )( )
( )( )
( )
4 1 3 4 1
44
11
31
x x x
x
B
xx
xx
+ + +
+
= = =
−−
+−
Vậy điều phải chứng minh
44
1
x
B
x
+
=
−
.
c)
4 4 1 4 4
..
1 3 3
x x x
M B A
x x x
+ − +
= = =
− + +
Để
44
3
x
M m m
x
+
= =
+
( )
4 4 3x m x + = +
4 4 3x m x m + = +
4 3 4x m x m − = −
(4 ) 3 4x m m − = −
(*)
Xét
4 0. 8mx= =
(*) vô nghiệm.
Với
4m 
34
4
m
x
m
−
=
−
Để có giá trị của x thì
34
0
4
34
1
4
m
m
m
m
−
−
−
−
4
4
3
2
m
m

.
Vậy với
4
4
3
m
và
2m
để có x thỏa mãn
Mm=
.
Câu 198. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL-Trưng Vương-Hoàn Kiến-2019-2020)
Cho biểu thức
93
4
x
A
x
−
=
−
và
14
1 2 2
x x x
B
x x x x
−+
= + −
+ − − −
với
0x
,
4x
.
1. Tính giá trị của
A
khi
16x =
.
2. Rút gọn biểu thức
B
.
3. Tìm
x
để biểu thức
:P A B=
nhận giá trị là một số nguyên âm.
Hướng dẫn
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 182
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
1. với
0x
,
4x
.Thay
16x
(thỏa mãn điều kiện) thỏa mãn điều kiện vào
A
ta được :
9 3 16 9 3.4 3 1
16 4 16 4 12 4
A
−−
= = = − = −
−−
2. Ta xét biểu thức
B
với
0; 4xx
14
1 2 2
x x x
B
x x x x
−+
= + −
+ − − −
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 1 1
4
1 2 1 2 1 2
x x x x
x
B
x x x x x x
− − +
+
= + −
+ − + − + −
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
31
2 1 4 3 3
1 2 1 2 1 2
x
x x x x x
B
x x x x x x
−+
− + − − − − −
= = =
+ − + − + −
3
2
B
x
−
=
−
3.
33
9 3 3 2
: : .
43
2
22
x
xx
P A B
x
x
xx
35
1
22
x
P
xx
Do
55
00
2
2
x
x
Để
P
nguyên thì
5
2x
nguyên
5
1
9
25
2
1
5
2 4 5
2
4
2
x
x
x
x
x
x
Thử lại :
90xP
(loại)
1
1
4
xP
(thỏa mãn
P
nguyên âm)
Câu 199. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Thi thử lần 4-Lương Thế Vinh- 2020-2021)
Cho biểu thức
15 2 5
9
33
x x x
A
x
x x x
++
= − +
−
−+
và
83
14
x
B
−
=
với
0; 9xx
.
a) Rút gọn biểu thức
A
.
b) Tìm
x
sao cho
2AB=
.
c) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của
x
để
A
nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn
a) Rút gọn
A
.
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 183
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
15 2 5
9
33
x x x
A
x
x x x
++
= − +
−
−+
(
0; 9xx
)
( )( ) ( )
15 2 5
3
3 3 3
x x x
A
x
x x x x
++
= − +
+
− + −
( ) ( ) ( )( )
( )( )
15 3 3 2 5
33
x x x x x x x
A
x x x
+ − + + − +
=
−+
( )( )
( )( )
15 3 3 2 5
33
x x x x x x x x
A
x x x
+ − − + − +
=
−+
( )( )
15 3 2 5 6 15
33
x x x x x x x x x x
A
x x x
+ − − + + − −
=
−+
( )( )
3
33
x x x
A
x x x
−
=
−+
( )
( )( )
3
33
xx
A
x x x
−
=
−+
3
x
A
x
=
+
b)
2AB=
83
2
14
3
xx
x
−
=
+
16 6
14
3
xx
x
−
=
+
16 6
0
14
3
xx
x
−
− =
+
( )
( )( )
( )
3 16 6
14
0
14 3 14 3
xx
x
xx
+−
− =
++
( )( )
14 3 16 6 0x x x − + − =
( )
14 16 6 48 18 0x x x x − − + − =
14 16 6 48 18 0x x x x − + − + =
28 16 18 0xx − − + =
16 28 18 0xx − − + =
8 14 9 0xx + − =
8 18 4 9 0x x x + − − =
( ) ( )
2 4 9 4 9 0x x x + − + =
( )( )
2 1 4 9 0xx − + =
2 1 0x − =
(Vì
4 9 0)x +
21x=
1
2
x=
1
4
x=
(thỏa mãn)
c) Ta có:
3
1
33
x
A
xx
= = −
++
Vì
A
3
1
3x
−
+
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 184
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Mà
1
3
3x

+
( ) ( )
3 3 1; 3xU + =
Mà
0x
33x +
Vậy không tồn tại giá trị x thỏa mãn đề bài.
Câu 200. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL-Trưng Vương-Lần 2-2019-2020)
Cho hai biểu thức
2
2
x
A
x
−
=
+
và
1 3 2 5
4
22
x x x
B
x
xx
−−
= − −
−
+−
với
0x
;
4x
.
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
25x =
.
2) Rút gọn biểu thức
B
.
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.M A B=
khi
xN
,
101x
Hướng dẫn
1) Với
25x =
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay
25x =
vào biểu thức
A
ta có:
25 2 3
7
25 2
A
−
==
+
Vậy
3
7
A=
khi
25x =
.
2) Với
0x
;
4x
ta có:
1 3 2 5
4
22
x x x
B
x
xx
−−
= − −
−
+−
( )( )
1 3 2 5
22
22
x x x
B
xx
xx
−−
= + −
+−
+−
( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
1 2 3 2
25
2 2 2 2 2 2
x x x x
x
B
x x x x x x
− − +
−
= + −
+ − + − + −
( )( )
3 2 3 6 2 5
22
x x x x x
B
xx
− + + + − +
=
+−
( )( )
48
22
xx
B
xx
+
=
+−
( )
( )( )
42
22
xx
B
xx
+
=
+−
4
2
x
B
x
=
−
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 185
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Vậy
4
2
x
B
x
=
−
với
0x
;
4x
3) Với
0x
;
4x
ta có:
24
..
22
xx
M A B
xx
−
==
+−
4
2
x
M
x
=
+
8
4
2
M
x
=−
+
Có
xN
;
0 101x
nên
0 100x
2 12x +
8 2 8 2
44
33
22xx
− −
++
10
3
M
Vậy
M
có giá trị lớn nhất là
10
3
khi
100x =
| 1/185
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 1
TUYỂN TẬP CÂU HỎI
RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUYỆN THI VÀO 10
Câu 1. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát vòng 1- Ái Mộ -Long Biên-2019-2020) x 3 2 9 Cho biểu thức A = + và B =
với x  0 , x  4 ; x  . x − 2 x x x − 2 4
a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 25 . x
b) Biết P = B : A . Chứng minh rằng: P = . 2 x − 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn 2 2
a) Khi x = 25 , giá trị của biểu thức B là: = . 25 − 2 3 b) Ta có:   2  x 3  2 x 3   P = :  +    = : + x − 2 x − 2  x x
x − 2  x ( x − 2) x   3   x ( x −2  2 ) 2 4 x − 6 :   = + :   = x − 2 
x − 2  x ( x − 2)   x ( x − 2)
x ( x − 2)   x ( x − 2 2 ) = x . = .
x − 2 2(2 x − 3) 2 x − 3 x 1 c) Ta có P = = (Vì x  0  x  0 ). x − 3 2 3 2 − x 1 3
P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi nguyên  2 − Ư( ) 1 = 1; −  1 . 3 2 − x x
Khi đó P = 1 hoặc P = −1. 3 Với P = 1  2 −
=1  x = 3  x = 9 (thỏa mãn). x 3 Với P = 1 −  2 − = 1
−  x =1  x =1 (thỏa mãn). x Vậy x 1; 
9 thì P nhận giá trị nguyên. Cách khác:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 2
Để P nguyên thì x (2 x − )
3  2 x (2 x − ) 3 Mà (2 x − ) 3 (2 x − )
3  (2 x −3) − 2 x (2 x −3)  3 − (2 x −3)
Suy ra (2 x −3)Ư ( 3 − ) =  1  ; 
3 . Giải rồi thử lại điều kiện và kết luận.
Câu 2. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Hà Nội – Amsterdam 07/6/2020 x + x x
x + 2 x − 3   x −1 
Cho biểu thức: M =  + − .   
 với x  0, x 1. x − x x +1 x −1 
  x x − x + 4 x  a) Rút gọn M .
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 .
c) Tìm x thỏa mãn (x − x − ) 3 .M = 1. Hướng dẫn a) Rút gọn M .
Điều kiện xác định: x  0, x  1  x + x x
x + 2 x − 3   x −1  M =  + − .     x − x x +1 x −1 
  x x − x + 4 x    x x x x x ( x − )1( x + + + − )1 2 3 M = 
x ( x − ) + −  1 x +
( x − )1( x + ) . 1
1  x (x − x + 4)
( x + x)( x + )1+ x. x( x − )1− x(x+2 x −3) ( x − )1( x + )1 M =
x ( x − )( x + ) . 1 1
x (x − x + 4)
x x + 2x + x + x x − x − x x − 2x + 3 x 1 M = . x
x (x − x + 4) x x − x + 4 = x M
x ( x − x + 4)
x ( x − x + 4) M =
x ( x − x + 4) 1 M = . Vậy: ……….. x
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 . Thay x = + = ( + )2 7 4 3 2
3 (thỏa mãn x  0, x  1) vào M ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 3 1 1 M = = = − ( + ) 2 3 2 2 + 3 2 3
c) Tìm x thỏa mãn (x − x − ) 3 .M = 1.
Với x  0, x  1
(x− x − ) M = (x− x − ) 1 3 . 1 3 .
=1  x − x −3 = x x − 2 x − 3 = 0 x  ( x + ) 1 ( x − ) 3 = 0 
x +1 (loại) hoặc x − 3 = 0  x = 9 (thỏa mãn x  0, x  1 )
Vậy x = 9 thỏa mãn yêu cầu của bài.
Câu 3. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2-Amsterdam-2019-2020) − 7 1 x 2x − x + 2 Cho biểu thức: = x A và B = + +
với x  0 , x  4 x x + 2 2 − x x − 4
1) Tính giá trị của A khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = .
A B có giá trị nguyên. Hướng dẫn
1) Với x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 9 − 7 2
Thay x = 9 vào A , ta có: A = = 9 3 2
Vậy khi x = 9 thì A = 3 1 x 2x − x + 2 2) B = + +
với x  0 , x  4 x + 2 2 − x x − 4
x − 2 − x ( x + 2) + − + 1 x 2x − x + 2 2x x 2 B = − + = x + 2 x − 2 x − 4 ( x +2)( x −2) x ( x − 2)
x − 2 − x − 2 x + 2x − x + 2 − = x 2 x x ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x +2 x Vậy B =
với x  0 , x  4 x + 2 3) P = .
A B ( x  0, x  4) x − 7 − = x x 7 P . = x x + 2 x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 4 x − 7 + Xét P = 0 
= 0  x − 7 = 0  x = 7 (thỏa mãn dk) x + 2 + Xét P  0 .
TH1: x  ; x  7;
x là số vô tỉ P  (loại) TH2: x  ; x x − 4 − 3 x − 4 3 3 Ta có: P = = − = x − 2 − x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 Để 3 3 P   x − 2 −     x + 2Ư(3) x + 2 x + 2  x + 21;  3 do x + 2  2  x + 2 = 3 
x = 1  x = 1 (thỏa mãn)
Vậy với x 1; 
7 thì P có giá trị nguyên
Câu 4. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (ARCHIMEDES ACADEMY - 15/05/2020) x +1 x −1 8 x   x − x − 3 1 
Cho biểu thức A =  − −  : −    
 ( với x  0, x 1 ). x −1 x +1 x −1 x −1 x −1    
a) Rút gọn biểu thức A 4
b) Tính giá trị của x để A = 5
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . Hướng dẫn x +1 x −1 8 x   x − x − 3 1  a) A =  − −  : −    
 ( với x  0, x 1 ) x −1 x +1 x −1 x −1 x −1       ( 
x + )2 ( x − )2 1 1 8 x   x − x − 3 x +1 A = − − :  −      x −1 x −1 x −1 x −1 x −1      
x + 2 x +1− x + 2 x −1− 8 x
x − x − 3 − x −1 A = : x −1 x −1 4 − x x −1 A = .
x −1 −x − 4 4 x A = x + 4 4 b) Ta có A =
( x  0, x  ) 1 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 5 4 x 4 20 x 4 ( x + 4)  =  =
 5 x = x + 4 x + 4 5 5( x + 4) 5( x + 4)  − = x =16 (tm)  x 4 0
x − 5 x + 4 = 0  ( x − 4)( x − ) 1 = 0     .  x −1= 0 x =1 (ktm) 4 Vậy A = khi x = 16 . 5 c) 4. 0
+) Với x = 0(tmdkxd)  A = = 0 . 0 + 4
+) Với x  0, x  1 
x  0  4 x  0 4 x 1 x + 4 x 1 Ta có A =  = = +
( có thể chia cả tử và mẫu cho x mà không cần phải nghịch x + 4 A 4 x 4 x đảo A ) x 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương và ( x  0) ta có: 4 x x 1 x 1 +  2 . 4 x 4 x 1 1   1 2  1  A 1 A 4 A x 1 Dấu “ =” xảy ra  =
x = 4 (thỏa mãn). 4 x
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 khi x = 4 .
Câu 5. (Thầy Nguyễn Chí Thành) KHẢO SÁT LỚP 9 – BA ĐÌNH NĂM HỌC 2019-2020 x + 1  1
x x − x
Cho hai biểu thức: A = và B =  + .  
với x  0; x  9; x  1. x − 3
x −1 x −1 2 x +1
1) Tính giá trị của A khi x = 25.
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các số nguyên tố x để . A B  1 Hướng dẫn
1) * Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện) 25 + 1 5 + 1 6 * Ta có: A = = = = 3 25 − 3 5 − 3 2
* Vậy A = 3 tại x = 25
2 ) x  0; x  9; x  1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 6   x + ( x − x x )1 1 B = ( +  x + ) 1 ( x − ) 1 ( x + )1( x −  ) . 1  2 x +1 
( x +1+ x)( x − )1 x (2 x + )1 x = x ( = = x + ) 1 ( x − ) 1 (2 x + ) 1
( x + )1(2 x + )1 x +1 ( x + )1 x x 3) , A B = . =  1 x − 3 x + 1 x − 3 x −  − x x 3 3 1  0  −  0 
 0  x − 3  0  x  9 x − 3 x − 3 x − 3 x − 3
Mà x  0  0  x  9
Mà x là số nguyên tố nên x 2;3;5;  7
Câu 6. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG – BẮC NINH – 2020-2021
a) Thực hiện phép tính 27 + 48 − 108 − 12  x + x x − x  1 
b) Rút gọn biểu thức A =  −  1+  
 với x  0 , x 1. x +1 x −1   x Hướng dẫn
a) 27 + 48 − 108 − 12 = 3 3 + 4 3 − 6 3 − 2 3 = − 3  x + x x − x   1  b) A =  −  1+   x + 1 x −1   x
x ( x + )1 x ( x − )1 x +1 = + = ( +   x + x ) x 1 . . = 2 x + 2  x +1 x −1  x x  
Vậy A = 2 x + 2 với x  0 , x  1
Câu 7. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát – Bắc Từ Liêm-2019-2020) 1 x + 2 x + 3 x + 2
Cho hai biểu thức P = và Q = + +
Với x  0; x  4; x  9 . x +1 x − 5 x + 6 x − 2 3 − x
1) Tính giá trị biểu thức P khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức Q. P 3) Biết A =
. Tìm số nguyên x để A A . Q Hướng dẫn 1 1 1
1) Thay x = 25 (tmđk) vào P, ta có: P = = = + + 25 1 5 1 6
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 7 + − + − x +
( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2 2 ) x + 2 x + 3 x + 2 2) Q = + + = + − x − 5 x + 6 x − 2 3 − x
( x −2)( x −3) ( x −2)( x −3) ( x −2)( x −3) x + 2 x − 9 x − 4 = ( + −
x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3)
x + 2 + x − 9 − x + 4 x − 3 1 = ( = =
x − 2)( x − 3)
( x −2)( x −3) x −2 P 1 1 x − 2 3) A = = : = Q x +1 x − 2 x +1 x − 2
Ta có: A A A  0 
 0  x − 2; x +1 cùng dấu x +1
x − 2  0 vì ( x +1  0).  x  4
Kết hợp điều kiện ta có: 0  x  4 mà x  nên x {0;1; 2;3}
Câu 8. (Thầy Nguyễn Chí Thành) KHẢO SÁT PHÚC DIỄN – 2019 – 2020 x + 5 x +1 x −1 3 x +1 1
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
với x  0 ; x  1 ; x  . 2 x −1 x −1 x +1 x −1 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm x để biểu thức M = .
A B đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
1) x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) 16 + 5 4 + 5 9
Thay x = 16 vào biểu thức A , ta được: A = = = 2 16 −1 2.4 −1 7 9
Vậy khi x = 16 thì giá trị của biểu thức là A = . 7 1
2) Với x  0 ; x  1 ; x  . Ta có: 4 x +1 x −1 3 x +1 B = + − x −1 x +1 x −1 ( x + )2 ( x − )2 1 1 3 x +1 B = ( + − x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 ( x − )1( x + )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 8
x + 2 x +1+ x − 2 x +1− 3 x −1 B = ( x − ) 1 ( x + ) 1 2x − 3 x +1
2x − 2 x − x +1 B = ( = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 2 x ( x − ) 1 − ( x − ) 1
( x − )1(2 x − )1 2 x −1 B = ( = = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 x +1 1 2 x −1
Vậy với x  0 ; x  1; x  thì B = . 4 x +1 1 x + 5 2 x −1 x + 5 4
3) Với x  0 ; x  1; x
. Ta có: M = A. B =  = =1+ . 4 2 x −1 x +1 x +1 x +1 x +1 1 4 4 Với x  0  x  0  x +1  1     4 1+  5  M  5 . 4 4 x +1 x +1 Dấu " = " xảy ra 
x = 0  x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy khi x = 0 thì biểu thức M đạt giá trị lớn nhất bằng 5.
Câu 9. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lương – Bồ Đề - Long Biên-30/6/2020) x + 2 x +1 1
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x  0 và x  1. x x −1 x + x +1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức C = A + B .
c) So sánh giá trị của biểu thức C với 1. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
Ta có x = 4 (thỏa mãn điều kiện x  0 và x  1) 4 + 2 6
Thay x = 4 vào biểu thức A , ta được: A = = . 4 4 −1 7 6 Vậy A = khi x = 4 . 7
b) Rút gọn biểu thức C = A + B . x + 2 x +1 1
Ta có C = A + B = + −
với x  0 và x  1 x x −1 x + x +1 x −1 + ( x + )1( x − x )1 2 x + x +1 C = ( + − x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 9 x ( x − )
x + 2 + x −1− x − x −1 − 1 = x x x ( = = = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1 x
Vậy C = A + B =
với x  0 và x  1. x + x +1
c) So sánh giá trị của biểu thức C với 1. x
x − x − x −1 −(x + ) 1 Xét C −1 = −1 = = x + x +1 x + x +1 x + x +1 −(x + ) 1
Vì x  0 nên x +1  0; x + x +1  0 do đó C −1 =  0  C 1. x + x +1 Vậy C  1.
Câu 10. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2-Cầu Giấy-2019-2020) x 6 2 Cho biểu thức A = − và B =
với x  0; x  4 . x +1 ( x + ) 1 ( x − 2) x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x =16 x + 2
2) Biết P = A + B . Chứng minh P = x +1 3
3) Với x để P  2 Hướng dẫn
1) Giá trị x = 16 (thỏa mãn điều kiện) x  0; x  4 ,thay vào biểu thức B ta được: 2 2 2 B = = = =1 16 − 2 4 − 2 2
Vậy khi x = 16 thì B = 1
2) Với x  0; x  4 ta có x 6 2 x 6 2
P = A + B = − + = − + x +1 ( x + ) 1 ( x − 2) x − 2 x +1
( x + )1( x −2) x −2 x ( x − 2) 2( x + ) 1 6 = ( − + − x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2)
x ( x − 2) − 6 + 2( x + ) 1
x − 2 x − 6 + 2 x + 2 = ( = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2) + − x − ( x 2)( x 2 4 ) x +2 = ( = = x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 10 x + 2 Vậy P = ( đpcm) x +1 x + 3) Để 3 2 3 P  =
  2( x + 2)  3( x + ) 1 2 x +1 2
 2 x + 4  3 x + 3  x 1  x 1 3
Kết hợp với điều kiện ta được 0  x  1 thì P> 2
Câu 11. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát lần 2 – Cầu Giấy – 2019-2020) x − 3 x − x − 7 x + 2 x − 3 Cho biểu thức A = và B = + +
với x  0; x  4 x +1 x + x − 6 x + 3 2 − x
a) Tính giá trị A khi x = 16 . x +1
b) Chứng minh rằng B = . x + 3
c) Cho biểu thức M = .
A B . Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn 16 − 3 13 13
a) Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: A = = = . 16 +1 4 +1 5
b) Với x  0; x  4 , ta lần lượt có x − x − 7 x + 2 x − 3 x − x − 7 x + 2 x − 3 B = + + = + − x + x − 6 x + 3 2 − x
( x +3)( x −2) x +3 x −2 + − − + x − x −
( x 2)( x 2) ( x 3)( x 3 7 ) = ( + −
x + 3)( x − 2) ( x + 3)( x − 2) ( x − 2)( x + 3) x − x − 7 x − 4 x − 9 = ( + −
x + 3)( x − 2) ( x + 3)( x − 2) ( x − 2)( x + 3)
x − x − 7 + ( x − 4) − ( x − 9) − − + − − + − − = x x 7 x 4 x 9 x x 2 ( = = x + 3)( x − 2) ( x +3)( x −2) ( x +3)( x −2)
( x + )1( x −2) x +1 = ( =
(Điều phải chứng minh). x + 3)( x − 2) x + 3 c) Ta có ( x −3)( x +3) x − 3 x +1 x − 3 x − 9 + 6 + 6 6 M = . A B = . = = = = x − 3+ x +1 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3
+ Xét x = 3  M = 0
. Vậy x = 3 thỏa mãn.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 11
+ Xét x  3, x  nhưng x   M  . 6
+ Xét x  và x   M  
  ( x +3)Ư(6). x + 3 Mà Ư(6) =  1  ; 2  ; 3  ; 
6 và x + 3  3 với x  0; x  4 nên ( x + 3)3;  6 . +) Nếu x + 3 = 3 
x = 0  x = 0 (Thỏa mãn). +) Nếu x + 3 = 6 
x = 3  x = 9 (Thỏa mãn).
Vậy khi x 0; 3; 
9 thì M nhận giá trị nguyên.
Câu 12. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa vào 10 – Cầu Giấy – 2019-2020) x −1 x 3 x + 3 3 + 5 x Cho biểu thức A = và B = − +
với x  0; x  1 x + 3 x + 3 1− x x + 2 x − 3
a) Tính giá trị A khi x = 16. 4 x + 4
b) Chứng minh rằng: B = x −1
c) Cho biểu thức M = .
B A. Tìm giá trị của m để có x thỏa mãn M = m . Hướng dẫn
a) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện). Thay x = 16 vào A ta được x −1 16 −1 4 −1 3 A = = = = x + 3 16 + 3 4 + 3 7 3
Vậy với x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 7 x 3 x + 3 3 + 5 x x 3 x + 3 3 + 5 x b) B = − + = + + x + 3 1− x x + 2 x − 3 x + 3 x −1
( x +3)( x − )1 x ( x − ) 1 (3 x +3)( x +3) 3 + 5 x = ( + + x + 3)( x − ) 1
( x +3)( x − )1 ( x +3)( x − )1
x − x + 3x + 9 x + 3 x + 9 + 3 + 5 x + + = 4x 16 x 12 ( = x + 3)( x − ) 1
( x +3)( x − )1 4( x + )
1 ( x + 3) 4( x + ) 1 4 x + 4 = ( = = x + 3)( x − ) 1 x −1 x −1 4 x + 4
Vậy điều phải chứng minh B = . x −1 4 x + 4 x −1 4 x + 4 c) M = . B A = . = x −1 x + 3 x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 12 4 x + 4 Để M = m
= m  4 x + 4 = m( x + ) 3 x + 3
 4 x + 4 = m x + 3m  4 x − m x = 3m − 4  x(4 − )
m = 3m − 4 (*)
Xét m = 4  0. x = 8  (*) vô nghiệm. m − Với m  4  3 4 x = 4 − m 3m − 4  0    4   m  4 Để 4 − m
có giá trị của x thì   3 . 3m − 4   1    m 2  4 − m 4 Vậy với
m  4 và m  2 để có x thỏa mãn M = m . 3
Câu 13. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát tháng 4/2020-Dịch Vọng Hậu- Cầu Giấy)  1 1  x +1 Cho P = − :  
và với x  0; x  1
x − x 1− x x − 2 x +1 a) Rút gọn P . 1 b) Chứng minh P  . 2 3 x
c) Tìm x để N = . P x − nguyên. 1 Hướng dẫn
a) Với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ ta có:    1 1  x +1 1 1 x +1   P = − :   = + :
x − x 1− x x − 2 x +1  x ( x − ) 1
x −1 ( x −   )2 1 ( x − + x )2 1 1 x −1 = = x ( x − ) . . 1 x +1 x
b) Với moi x thỏa mãn ĐKXĐ ta có 1 x − x − − x x − P  1  P −  1 1 0  −  2 2 0   2 0   0 2 2 x 2 2 x 2 x
x − 2 0 x 4 (thỏa mãn) . Kếtt hợp điều kiện xác định suy ra x  4 Vậy x  4 . 3 x x −1 3 x 3 c) N = . P = . = x −1 x
( x − )1( x + )1 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 13 3 Ta có : N =
 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định x +1 3 Và x  0  x +1  1
 3  0  N  3 x +1 Mà N   N 1;2;  3 .
Các em giải từng trường hợp N = 1; N = 2; N = 3 sẽ tìm được x 0;1;  4 Kết luận : …….
Câu 14. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát tháng 5/2020-Dịch Vọng Hậu- Cầu Giấy) 4( x + 2) x + 2 x − 2 4x
Cho hai biểu thức A = − + và B =
với x  0 , x  4 . x − 2 x + 2 x − 4 x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9 .
2) Rút gọn biểu thức P = A : B .
3) So sánh P và P . Hướng dẫn
1) Với x = 9 thỏa mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức B ta có: 4 ( 9 + 2) 4(3+ 2) 20 B = = = = 20. 9 − 2 3 − 2 1
2) Với x  0 , x  4
P = A : B  + −  4 + x x x ( x 2 2 2 4 ) =  − +  :   x − 2 x + 2 x − 4 x − 2    (  x + )2 ( x − )2 2 2 4 +  x  ( x 2 4 ) = ( − +  
x − 2)( x + 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) : x − 2     4 + x + 4 x + 4 x − x + x ( x 2 4 4 4 ) =  ( − + 
x − 2)( x + 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) :  x − 2  4 + 4 + 4x + 8 x ( x 2)
x + 4 x + 4 − x + x − + x ( x 2 4 4 4 ) = ( = : x − 2)( x + 2) : x − 2
( x −2)( x +2) x −2 4 x ( x + 2) x − 2 = x ( = .
x − )( x + 2) . 2 4( x + 2) x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 14 x x − x − 2 2 − 3) Ta có P −1 = −1 = = x + 2 x + 2 x + 2
Với x  0 , x  4 thì x  0  x + 2  2  0 mà 2 −  0 . Suy ra 2 − P −1 =
 0  P 1 mà P  0 với mọi x  0 , x  4 x + 2  P(P − ) 2 2
1  0  P − P  0  P P P P
Vậy với x  0 , x  4 thì P P .
Câu 15. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10- Dương Nội – 2019-2020) x +1
1) Tính giá trị biểu thức A = với x = 4 x −1  x − 2 1  x −1
2) Cho biểu thức P = − .  
(x  0, x  4)  x − 2 x x − 2  x +1 x −1 a) Chứng minh P = x
b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x + 5 Hướng dẫn 4 +1 3
1) Với x = 4 thì A = = = 3 4 −1 1
2a) Với x  0, x  4 ta có:  x − 2 1  x −1 x − x − 2 x −1 P = − . =    x − x x −  x + x ( x − 2) . 2 2 1 x +1
( x + )1( x −2) x −1 x −1 = =
x ( x − 2) . x +1 x 2( x − ) 1
b) 2P = 2 x + 5 
= 2 x + 5  2x + 3 x + 2 = 0 (1) x
Đặt x = t (t  0,t  2) . Khi đó phương trình (1) trở thành: 2
2t + 3t + 2 = 0 (2) 2  = 3 − 4.2.2 = 7 − < 0
 Phương trình (2) vô nghiệm.
 Không có giá trị của x thỏa mãn.
Câu 16. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát Đại Áng – Thanh Trì tháng 5 – 2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 15 x − 2  3 x + 6 x  x - 9 Cho hai biểu thức A = và B =  +  :  
với x  0, x  4, x  9 . x + 3 x - 4 x − 2 x − 3   81
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = . 16
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = A.B . Hướng dẫn 81 9 − 2 − 2 81 16 1 a) Với x = (Thỏa mãn ĐKXĐ) ta có 4 A = = = . 16 9 81 21 + + 3 3 4 16 81 1 Vậy khi x = thì A = . 16 21
b) Với x  0, x  4, x  9 ta có:  3 x + 6 x  x − 9 B =  +  :   x − 4 x − 2 x − 3    x + ( x +2)  ( x +3)( x −3 3 x 6 )   (  = + 
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) :  x − 3  ( x +2)( x +3) x + 5 x + 6 = 1 ( + = = x + 2)( x − 2) : ( x 3) ( x +2)( x −2)( x +3) x −2 1 Vậy B =
với x  0, x  4, x  9 . x − 2 x − 2 1 1 c) Ta có M = A.B hay M = . = . x + 3 x − 2 x + 3 1 1
Vì x  0 nên x  0  x + 3  3   . x + 3 3
Dấu " = " xảy ra  x = 0  x = 0 (t/m). 1
Vậy GTLN của biểu thức M =  x = 0 . 3
Câu 17. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề khảo sát vào 10 – Đan Phượng-2019-2020) − + Cho biểu thức x 2 x 2 3 12 A = và B = − −
với x  0; x  4 x + 2 x − 2 x + 2 x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 16 x − 2) Chứng minh 1 B = ; x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x đề P  . P Hướng dẫn 25 − 2 3
1) Khi x = 25(tmdk) : A = = . 25 + 2 7 ( x + )2 2 3( x − 2) x + 2 3 12 12 2) B = − − = − − x − 2 x + 2 x − 4 x − 4 x − 4 x − 4 + + − + − + − ( x +2)( x − x x x x x )1 4 4 3 6 12 2 x −1 = = = = x − 4
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x −2 x − 2 x −1 x −1 P = . A B = . = x + 2 x − 2 x + 2 x −1
P P P  0   0 x + 2
Vì x + 2  0 với x  0; x  4  x −1  0 
x  1  x  1
Vậy với x  1 , x  4 thì P  . P
Câu 18. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề khảo sát chất lượng Lần 6-Đền Lừ-2019-2020) x x −1 x + 3 x Cho biểu thức A = + − và B =
với x  0, x  1  x −1 x +1 x −1 x −1
1) Tính giá trị biểu thức B với x = 4
2) Rút gọn biểu thức P = A : B với x  0, x  1 
3) Tìm các giá trị của x để P  −1 Hướng dẫn
1) Tính giá trị biểu thức B với x = 4 x
Với x = 4 thỏa mãn x  0, x  1  . Khi đó 1 1 B = = = =1 x −1 4 −1 2 −1
2) Rút gọn biểu thức P = A : B với x  0, x  1  x.( x + ) 1
( x − )1.( x − ) x x −1 x + 3 1 x + 3 A = + − = + − x −1 x +1 x −1
( x − )1.( x + )1 ( x + )1.( x − )1 x−1 + ( x − x x )2 1 x + 3 + + − + − − = + − x x
x 2 x 1 x 3 = x −1 x −1 x −1 x − 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 17 x − x − 2 − + − = ( x 2)( x 1) = ( x 2) = x −1
( x +1) ( x − ) 1 ( x − )1 ( x − 2) x ( x − 2) Vậy: A : B = ( = x − ) : 1 x −1 x
3.Tìm các giá trị của x để P  −1 ( x − 2) ( x − 2) + x
P  −1  P +1  0  +1 0   0 x x
Do x  0 ( điều kiện câu b)
 ( x + 2).( x − ) 1  0 
x −1  0 ( Do ( x + 2)  0 )
x 1  x 1
Vậy với 0  x  1 thì  P  1 −
Câu 19. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề HK2-Đống Đa-2019-2020) x − 2 2 − 3 x 1 x Cho biểu thức A = và B = − +
với x  0; x  4 x + 7 x − 2 x x x − 2
1) Tính giá trị của A khi x = 9 . − 2 2) Chứng minh: = x B . x 1 3) Cho biểu thức = A P
. Tìm tất cả giá trị nguyên của x để P  . B 2 Hướng dẫn
1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được x − 2 9 − 2 3 − 2 1 A = = = = x + 7 9 + 7 3 + 7 10 1 Vậy A = khi x = 9 . 10 2 − 3 x 1 x 2) B = − + x − 2 x x x − 2 2 − 3 x x − 2 x = − + x.( x − 2) x.( x − 2) x.( x − 2) − + + − + ( x − − x x x x x )2 2 2 3 2 4 4 x − 2 = = = = x.( x − 2) x.( x − 2) x.( x − 2) x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 18 A x − 2 x − 2 x 3) P = = : = B x + 7 x x + 7 x Ta có P =
 0,x  0 nên P luôn xác định. x + 7 1 1 x 1 x 1 3 x − 7
Để P   P     −  0   x + 7 x + 7 4( x + 7) 0 2 4 4 4 Ta có: x  0  x  0 
x + 7  7  4( x + 7)  28  0 7 49
 3 x − 7  0  x   x  3 9 49
Kết hợp điều kiện, suy ra: 0  x  và x  4 . 9  x 1;2;3; 
5 là các giá trị nguyên của x . 1
Vậy x 1; 2;3; 
5 là các giá trị nguyên cần tìm để P  . 2
Câu 20. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề Khảo sát-Đống Đa-20/6/2020) x +1 x −1 4 x − 6
Cho hai biểu thức: A = và B = −
với x  0; x  9 . x x − 3 x − 3 x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 .
b) Rút gọn biểu thức B . B c) Cho P =
. Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn P + m = 1. A Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện x  0; x  9 ) vào biểu thức A ta được: 36 +1 6 +1 7 A = = = 36 6 6 7
Vậy với x = 36 thì A = 6
b) Rút gọn biểu thức B
Với x  0; x  9 x ( x − ) 1 − (4 x − 6) x −1 4 x − 6 x −1 4 x − 6 B = − = − = x − 3 x − 3 x x − 3 x ( x − 3) x ( x − 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 19
( x −2)( x −3)
x − x − 4 x + 6 − = = x 2 = x ( x − 3) x ( x − 3) x x − 2
Vậy với x  0; x  9 thì B = . x B c) Cho P =
. Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn P + m = 1 A
Với x  0; x  9 B Ta có: P = A x − 2 x +1 − −  x x x 2 P = 2 :  P = .  P = x x x x +1 x +1 x − x − 2 x +1− x + 2
Theo bài: P + m = 2 1  + m =1  1− = m  = m x +1 x +1 x +1 3 
= m  0 (Vì x  0  x  0 ) x +1 Vì x  0  x  0  x +1  3 1   3  m  3 x +1 3 3 3 Vì x  9  x  3  x +1  4    m x +1 4 4 3
Từ đó suy ra: 0  m  3 , m
thỏa mãn yêu cầu của bài. 4
Câu 21. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 –EDUFLY - 2019-2020) 2( x + x ) + 3  x − 21 2  2 x +10
Cho hai biểu thức: A = và B = − :  
với x  0; x  9 . x − 3
x − 9 3− x x − 9
1) Tính giá trị của biểu thức 1 A khi x = . 9
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các giá trị của x biết 2
2AB = 3 − 2x . Hướng dẫn 1 1) Với x =
(thỏa mãn điều kiện xác định). 9 2( x + x ) + 1 3 Thay x = vào biểu thức A = ta được: 9 x − 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 20  1 1    1 1   2 +  + 3 2 + + 3 9     9 9     9 3  2  (1+3)+ 27 8+ 27 35 A = = = = = − 1  1  3 − 27 2 − 4 24 − 3 − 3 9   9  3  1 35 Vậy khi x = thì A = − . 9 24
2) Với x  0 ; x  9 , ta có  x − 21 2  2 x +10 B = − :    x − 9 3 − x x − 9  2 +  x − ( x 3 21 ) x − 9   (  = +  
x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)  2 x +10 
x − 21+ 2 x + 6 x − 9 x + 2 x −15 =  = x − 9 2 x +10 2 x +10 − + − x − x + x −
(x 3 x) (5 x 15 3 5 15 ) = = 2 x +10 2 x +10
x ( x − 3) + 5( x − 3) ( x − 3)( x + 5) x − 3 = = = . 2( x + 5) 2( x + 5) 2 x 3
Vậy với x  0 ; x  9 thì B − = 2 . 2 x + x + 3 x − 3 2 ( )
3) Với x  0 ; x  9 , ta có 2
2 AB = 3 − 2x  2   = 3− 2x x − 3 2  (x + x ) 2 2 + 3 = 3− 2x 2
 2x + 2x + 2 x = 0
 2 x (x x + x + )
1 = 0  2 x = 0 (do x x + x +1  0 với mọi x  0 )
x = 0  x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy với x = 0 thì 2
2AB = 3 − 2x .
Câu 22. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi khảo sát vào lớp 10- Gia Lâm – 25/6/2020) x + 3 x −1 5 x − 2
Cho hai biểu thức P = ; Q = −
với x  0 , x  4 . x − 2 x + 2 4 − x
1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức Q .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 21 P
3) Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Q Hướng dẫn 16 + 3 19 19
1) Thay x = 16 (TMĐK ) vào biểu thức P ta có: P = = = 16 − 2 4 − 2 2 19
Vậy với x = 16 thì P = 2
2) Rút gọn biểu thức Q .
( x − )1( x −2)+ − x −1 5 x − 2 x −1 5 x − 2 5 x 2 Q = − = + = x + 2 4 − x x + 2 x − 4 ( x +2)( x −2) x ( x + 2)
x − 3 x + 2 + 5 x − 2 + = x 2 x x ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x − 2 P
3) Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất: Q P x + 3 x x + 3 x − 2 x + 3 3 Ta có: = : = . = = x + Q x − 2 x − 2 x − 2 x x x 3
Vì x  0, x  4  x  0,  0 x 3 P 3 3
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số x, ta có: = x +  2 x. = 2 3 x Q x x 3 Dấu “=” xảy ra khi x =  x = 3(TM ) x P Vậy Min = 2 3  x = 3 Q
Câu 23. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử Giảng Võ – 28/5/2020) 3 x x 6 x + 20
Cho hai biểu thức: A = và B = +
với x  0; x  25 . x + 4 x − 5 25 − x
1. Tính giá trị của A khi x = 64 . x + 4 2. Chứng minh B = . x + 5 4 3. Tìm x để . A B = . x Hướng dẫn
1.Tính A khi x = 64
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 22 3 x 3 64 3.8 24 A = = = = = 2 . x + 4 64 + 4 8 + 4 12
2. Ta xét biểu thức B với x  0 ; x  25 x 6 x + 20 x 6 x + 20 B = + = − x − 5 25 − x x − 5 x − 25 x + x x + ( x 5 6 20 ) 6 x + 20 = − = − x − 5
(x− 5)( x +5) ( x −5)( x +5) ( x −5)( x +5) ( x −5)( x +4)
x + 5 x − 6 x − 20 x − x − 20 + = x 4 ( = = = x − 5)( x + 5)
( x −5)( x +5) ( x −5)( x +5) x +5 4 3. Tìm x để . A B = x
Với x  0; x  25 . (3 x) ( x +4) 4 3 x 4 . A B = ( =  = x + ) . 4
( x +5) x ( x +5) xx = 2 − (loai)  
3x = 4 x + 20  3x − 4 x − 20 = 0  ( x + 2)(3 x −10) = 0  10 100  . x =  x = (thoa man)  3 9 100 4 Vậy với x = thì . A B = . 9 x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 23
Câu 24. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10- Giảng Võ – 2019-2020) x + 3 x 1 3 x
Cho hai biểu thức A = và B = + +
với x  0; x  1 x + 1 x −1 x + 2 (1− x)( x +2)
1)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
2)Rút gọn biểu thức B . 4
3)Tìm x để B  . 5 Hướng dẫn 9 + 3 3
1) Thay x = 9 (TMĐK) vào biểu thức, ta có: A = = 9 + 1 2 3
Vậy khi x = 9 giá trị của A = 2
2) Với x  0; x  1 ta có x 1 3 B = + − x x −1 x + 2
( x − )1( x +2) x ( x + 2) 1.( x − ) 1 3 = + − x
( x −1)( x + 2)
( x −1)( x + 2)
( x −1)( x + 2) x + 2 x + x −1− 3 x x −1 x + = = 1 =
( x −1)( x + 2) ( x −1)( x + ) 2 x + 2
3) Với x  0; x  1 ta có 4 x +1 4
5 x + 5 − 4 x − 8 x − 3 B      0   0 5 x + 2 5 5( x + 2) 5( x + 2)
x − 3  0 ( vì 5( x + 2)  0 ) 0  x  9, x 1 4 Vậy để B
thì 0  x  9, x  1 5
Câu 25. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10- Giảng Võ – 2019-2020) 3 x − 21 2
Cho các biểu thức A = ; B =
, với x  0 và x  9 . x − 9 x − 3
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức M = A + B .
c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn 2 2
a) Với x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) thì B = = = 2. 16 − 3 4 − 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 24
3 x − 21 + 2( x + 3) 5 x −15 5 b) M = = =
( x − 3)( x + 3)
( x − 3)( x + 3) x + 3 5 5 2 c) Ta có M = nên 0  M  =1 . x + 3 3 3
Mà M là số nguyên nên M = 1. Do đó 5
=1 x + 3 = 5  x = 2  x = 4 (Thỏa mãn ĐKXĐ) x + 3
Câu 26. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lượng – Hà Đông – 2019-2020) x −1 x + 3 5 4
Cho các biểu thức: A = và B = − +
(với x  0, x  1, x  9 ). x − 3 x +1 1− x x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 36 .
b) Rút gọn biểu thức B . c) Đặt P = . A B . Tìm x
để P có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của A khi x = 36 . 36 −1 6 −1 5
Thay x = 36 (thảo mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được: A = = = . 36 − 3 6 − 3 2
b) Rút gọn biểu thức B . x + 3 5 4 Ta có: B = − + x +1 1− x x −1
( x +3).( x − )1 5.( x + ) 1 4 = ( + + x + ) 1 .( x − ) 1
( x − )1.( x + )1 ( x − )1.( x + )1
x + 2 x − 3 + 5 x + 5 + 4 + + + + + = x 7 x 6 x x 6 x 6 ( = = x + ) 1 .( x − ) 1
( x + )1.( x − )1 ( x + )1.( x − )1
( x + )1.( x +6) x +6 + = x 6 ( = . Vậy B = . x + ) 1 .( x − ) 1 x −1 x −1 c) Đặt P = . A B . Tìm x
để P có giá trị lớn nhất. x −1 x + 6 x + 6 Ta có: P = . A B = . = x − 3 x −1 x − 3 x + 6 x − 3 + 9 9 P = = = 1+ x − 3 x − 3 x − 3
+) TH1: Với 0  x  9 
x − 3  0  P  1 .
+) TH2: Với x  9 mà x   x  10 
x − 3  10 − 3  0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 25 9 9 9 Do đó   P 1+ x − 3 10 − 3 10 − 3
Dấu “=” xảy ra  x = 10 (thỏa mãn)
Vậy x = 10 thì P có giá trị lớn nhất.
Câu 27. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – Hà Đông – 2019-2020) x + x +1 3 1 8
Cho các biểu thức: M = + − và N = với x  0 . x + x x +1 x x + 3
a) Tính giá trị của N khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức M .
c) Tìm x sao cho M N . Hướng dẫn
a) x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 8 8 8 8
Thay x = 25 vào biểu thức N = ta được: N = = = =1. x + 3 25 + 3 5 + 3 8
Vậy khi x = 25 thì N = 1.
b) Với x  0 . Ta có: x + x +1 3 1 x + x +1 3 x x +1 M = + − = + − x + x x +1 x x ( x + ) 1 x ( x + ) 1 x ( x + ) 1 x +
x +1+ 3 x − x −1 x + 3 = x M x ( x ) = +1 x ( x + ) 1 x ( x + 3) x + 3 M = x ( x + ) = 1 x +1 + 3
Vậy với x  0 thì M x = x +1 + 3 8
c) Với x  0 , ta có: M N xx +1 x + 3  ( x + )2 3  8( x + )
1 (do x + 3 và x + 1 dương)
x + 6 x + 9  8 x +8  x − 2 x +1 0  ( x − )2
1  0  x −1= 0 (do ( x − )2
1  0 với mọi x  0)
x = 1  x = 1 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy với x = 1 thì M N .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 26
Câu 28. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lượng lần 1 – Hà Huy Tập – 2019-2020) x +1 x + 5 2 3 Cho biểu thức A = ; B = + +
( x  0; x  ) 1 . x x −1 1− x x +1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B . c) Tìm x để . A B ( x − ) 1  x −1. Hướng dẫn 4 +1 3
a) Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện) . Thay vào A , ta có A = = . 4 2 3
Vậy với x = 4 thì A = . 2 x + 5 2 3 b) B = + + x −1 1− x x +1 x + 5 2 3 = ( − + x + ) 1 ( x − ) 1 x −1 x +1 2 + ( x + )1 3( x − x )1 5 = ( − + x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1
x + 5 − 2( x + ) 1 + 3( x − ) 1 + x ( x + ) 1 = x x x ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 x −1 x Vậy B = . x −1 x +1 x c) . A . B ( x − ) 1  x −1  .
.( x −1)  x −1  x +1 x −1  x − x − 2  0 x x −1
 ( x −2)( x + ) 1  0 
x − 2  0 (vì x +1  0, x   0 )
x  2  x  4
Kết hợp điều kiện: 0  x  4; x  1
Vậy với 0  x  4; x  1 thỏa mãn điều kiện đề bài .
Câu 29. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS-THPT Hà Thành – 2019-2020) x +1 x -11 x 2 x -1
Cho hai biểu thức A = và B = - +
với x  0; x  4. x + 2 x - x - 2 x +1 x - 2
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 27 x + 6
2) Chứng minh rằng B = x +1 3) Tìm x để .
A B có giá trị nguyên Hướng dẫn 9 +1 4
1) Thay x = 9 (TMĐK) vào A ta được: A = = 9 + 2 5 4 Vậy A = khi x = 9 5 x −11 x 2 x −1 2) B = − + x − x − 2 x +1 x − 2 x −
( x −2) (2 x − )1( x + x )1 11 = ( − + x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2)
x −11− x + 2 x + 2x + 2 x − x −1 + − = x 4 x 12 ( = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2)
( x −2)( x +6) ( x +6) = ( = x + ) 1 ( x − 2) ( x + )1 x +1 x + 6 x + 6 4 3) . A B = . = =1+ x + 2 x +1 x + 2 x + 2
Có x  0 với mọi x TMĐK  4 4 x  0  x + 2  1 1 2     2 1+  3  . A B  3 ( ) 1 x + 2 2 x + 2 x + 2
Có x + 2  0 với mọi x TMĐK 4   4 0  1+ 1  . A B  1 (2) x + 2 x + 2 Từ ( ) 1 , (2)  1  . A B  3 Mà . A B Z = . A B 2;  3 x + Với . A B = 6 2 
= 2  x + 6 = 2 x + 4  − x = 2 −  x = 4 (loại) x + 2 x + Với . A B = 6 3 
= 3  x + 6 = 3 x + 6  2
− x = 0  x = 0 (TM) x + 2 Vậy x = 0 thì .
A B có giá trị nguyên
Câu 30. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 - THCS Hai Bà Trưng – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 28 4 x x − 2 1 5 − 2 x
Cho hai biểu thức: A = và B = + +
với x  0, x  1, x  25 x − 5 x −1 x + 2 x + x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9 .
2) Rút gọn biểu thức B . A
3) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho  4 B Hướng dẫn 4 x
1) Với x  0, x  25 ta có A = x − 5
Ta thấy x = 9 thỏa mãn điều kiện xác định 4 9 4 3 12
Thay x = 9 vào biểu thức A ta được: A = = = = 6 − . 9 − 5 3 − 5 2 − x − 2 1 5 − 2 x 2) Ta có B = + +
với x  0, x  1, x  25 . x −1 x + 2 x + x − 2
( x −2)( x +2)+ x −1 5 − 2 x B = ( + x − ) 1 ( x + 2)
( x − )1( x +2) x − 4 +
x −1+ 5 − 2 x = ( x − ) 1 ( x + 2) x − x − ( x x )1 x = ( = = . x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2) x + 2 + A 4 4 x x + ( x 2 2 ) 3) =  = . B x − 5 x x − 5 A x + 2 7 Ta có  4  1 
 0  x − 5  0  x  5  x  25 . B x − 5 x − 5
Kết hợp điều kiện xác định suy ra 0  x  25, x  1
Vì x là số tự nhiên lớn nhất nên x = 24 .
Câu 31. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THPT Hoàng Mai – 2020-2021)  1 2 x   x + x 1 
Cho biểu thức: P =  −  : +    
 (với x  0; x 1 ) x −1
x x − x + x −1 x x + x x +1 x +1    
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x để P = x − 2 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 29
c)Tìm m để có x thỏa mãn ( x + )
1 P = m − x . Hướng dẫn
a) Với x  0 ; x  1ta có:  1 2 x   x + x 1  P =  −  : +      x −1
x x − x + x −1
x x + x + x +1 x +1        x ( x +  x )1 1 2 1   =  −  +  x −1 x ( x + ) 1 − ( x + ) : 1   x ( x + ) 1 + ( x +   ) 1 x +1       x ( x +  x )1 1 2 1     = − +
x −1 (x + )1( x − ) : 1   ( x + ) 1 ( x +    )1 x+1 ( x − )2 x +1− 2 x x +1 1 + − = x 1 = x 1 = ( . x + ) 1 ( x − ) : 1 x +1 (x + ) 1 ( x − ) 1 x +1 x +1 x −1 Vậy P =
với x  0 ; x  1 x +1
b) Với x  0 ; x  1ta có: P = x − 2 x −1 
= x − 2  x −1= ( x −2)( x + ) 1 x +1  − =  x
x −1 = x − x − 2  x − 2 x −1 = 0  ( x − )2 1 = 1 2 2    x −1= − 2  x =1+ 2  
x = 3+ 2 2 (thỏa mãn điều kiện).  x =1− 2
b) Với x  0; x  1ta có: ( x − x + )
1 P = m − x  ( x + ) 1 1
= m − x x −1 = m − x x + x = m +1 x +1 Có x  0 
x  0  m +1 0  m  1 −
Có x  1 1+ 1  m +1  m  1 Vậy với m  1
− ;m 1 thì có x thỏa mãn ( x + )
1 P = m − x
Câu 32. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Hoàng Mai – 2020-2021) x + 5
1) Cho biểu thức A =
với x  0 . Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 . x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 30
x +1 3 x +1 x −1
2) Cho biểu thức B =  − .  
, với x  0 và x  1 . x −1 x −1 x   x −1 a) Chứng minh B = . x +1
3) Tìm x để B( x + )
1  2x − 2 x − 3 . Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
Ta có x = 4 (tmđk), thay x = 4 vào biểu thức A ta được x + 5 4 + 5 7 A = = = x 4 2 7 Vậy A = khi x = 4 . 2 2) 2     ( x + ) x +1 3 x +1 x −1 1 3 x +1 x −1 a) B =  − .   = − .   x −1 x −1 x    ( x − ) 1 ( x + ) 1 x −1  x       (  x + )2 1 − (3 x + ) 1  x −1 − − = x x x 1    = .  (  x − )( x + ) . 1 1  x   ( x )1( x )1 − + x     x ( x − ) 1    x −1  x x −1 − =  x 1 = (  x + +  ) .  (  =  x )( x ) . 1 1  − + x  1 xx 1 Xét B( x + )
1  2x − 2 x − 3
Biến đổi được (2 x + )
1 ( x − 2)  0
Vì x  0  2 x +1  0  ( x − 2)  0  x  4.
Kết hợp với điều kiện được 0  x  4 và x  1 .
Vậy: 0  x  4và x 1 thì B( x + )
1  2x − 2 x − 3
Câu 33. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề kiểm tra HK2 – Phòng GD Quận Hoàng Mai – 2020-2021) x −1 x 2 x − 4
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x  0; x  4. x + 2 x + 2 x − 4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. x − 2 b) Chứng minh B = . x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 31
c) Đặt P = A: .
B Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x +1. Hướng dẫn
a) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được 9 −1 3 −1 2 A = = = 9 + 2 3 + 2 5 x 2 x − 4
x ( x − 2) − 2 x + 4 b) B = − = x + 2 x − 4 ( x −2)( x +2) ( x −2)2 x − 4 x + 4 − = x 2 ( = = x − 2)( x + 2)
( x −2)( x +2) x +2 x −1 x − 2 x −1 x + 2 x −1
c) P = A : B = : = . = x + 2 x + 2 x + 2 x − 2 x − 2 x −1
2P = 2 x +1  2.
= 2 x +1  2( x − ) 1 = (2 x + ) 1 ( x − 2) x − 2
 2 x − 2 = 2x −3 x − 2  2x −5 x = 0  x (2 x −5) = 0  x = 0  x = 0(thoûa maõn)    5  25  . Vậy: … x  = x = (thoûa maõn)  2  4
Câu 34. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Ba Vì – 2019-2020) 2 x x 3x + 3 2 x − 2
Cho biểu thức A = + − và B =
−1 với x  0 và x  9 x + 3 x − 3 x − 9 x − 3
a) Tính giá trị của B với x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức S = A: B .
c) Tìm giá trị của m để phương trình x.S = m có nghiệm duy nhất. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của B với x = 16 2 16 − 2 2.4 − 2 8 − 2
Với x = 16 thỏa mãn điều kiện nên ta có: B = −1 = −1 = −1 = 5 16 − 3 4 − 3 1
Vậy giá trị của B là 5 tại x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức S = A : B .  2 x x
3x + 3   2 x − 2 
S = A : B =  + −  : −1     x + 3 x − 3 x − 9 x − 3    
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 32
 2 x ( x −3)+ x ( x +3)−(3x+3)  2 x −2−( x −3)   :  =  x − 9   x − 3     
 2x − 6 x + x + 3 x −3x −3  2 x − 2 − x + 3 =   :      x − 9 x − 3      3 − ( x + ) 3
− x − 3   x +1  1 − − = x 3 3   :      = . = x − 9 x − 3    
( x −3)( x +3) x +1 ( x +3)
c) Tìm giá trị của m để phương trình x.S = m có nghiệm duy nhất. 3 −
Ta có x.S = m  . x ( = m ( ) 1  3
− x = m( x + ) 3 x + 3)  3
− x = m x + 3m  (m + 3) x = 3m 3m Với m  3 − thì x = m + 3  3  m  0  3m   m + 3  0 0  +  m  0 m 3
Vì x  0, x  9 nên     3  m  0   3m     m  3 −  3   + m + 3  0 m 3 3
 m  3m+9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 33
Câu 35. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề KS vào 10 - THCS Khương Mai - 2019-2020) x + 3 x − 7 x + 3 2 x +1
Cho hai biểu thức : A = và B = + +
, với x  0 , x  4 , x  9 . x − 3 x − 5 x + 6 2 − x x − 3 8
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = . 3 − 5
b) Rút gọn biểu thức B . B c) Tìm GTNN của . A Hướng dẫn 8
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = . 3 − 5 8(3+ 5 8 ) x = =
= 2(3+ 5) = 6+ 2 5 (TMĐK: x  0 , x  4, x  9). 3 − 5 9 − 5  x = + = ( + )2 6 2 5 5 1 = 5 +1 = 5 +1 .
Thay x = 5 +1 vào biểu thức A ta có: + + x + 5 +1+ 5 + ( 5 4)( 5 2 3 3 4 ) 13+6 5 A = = = = = = + . x − 3 5 +1− 3 5 − 2 ( 5−2)( 5+2) 13 6 5 5 − 4 8
Vậy giá trị của biểu thức A = 13 + 6 5 khi x = . 3 − 5
b) Rút gọn biểu thức B với x  0 , x  4 , x  9 x − 7 x + 3 2 x +1 B = + + x − 5 x + 6 2 − x x − 3 x − 7 x + 3 2 x +1 = ( − +
x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
x − 7 − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + ) 1 ( x − 2) = (
x − 2)( x − 3) x ( x − 2)
x − 7 − ( x − 9) + 2x − 3 x − 2 = x − 2 x x ( = = = .
x − 2)( x − 3)
( x −2)( x −3) ( x −2)( x −3) x − 3 x Vậy B =
với x  0 , x  4 , x  9 . x − 3 B c) Tìm GTNN của . A
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 34 B x x + 3 x x − 3 x x + 3 − 3 3 = : = . = = =1− . A x − 3 x − 3 x − 3 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3
Với x  0 , x  4 , x  9 thì: 3 3 3 x  0  x + 3  3  1 −  1 − 1−  0 x + 3 x + 3 x + 3 B   0 . A
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 . B Vậy min = 0 khi x = 0 . A
Câu 36. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi HK2 - THCS Khương Thượng - 2019-2020) 1 x 1 Cho P = + và Q =
với x  0 ; x  1. x −1 x −1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 16 .
b) Rút gọn M = P : Q . 3
c) Tìm x để M  . 2 Hướng dẫn 1 1 1
a) Thay x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta được: Q = = = . 16 −1 4 −1 3 1
Vậy với x = 16 thì Q = . 3
b) M = P : Q    1 x  1 1 x 1 M =  +  :     = + : x −1 x −1 x −1  
x −1 ( x − )1( x +  )1 x −1    2 x +1 x −1  2 x +1 = . +  ( 
=  x )1( x ) . 1  − + 1  x 1 3 3 x + x −1 c) Khi M  thì M −  2 1 3 0  −  0   0 2 2 x +1 2 2( x + ) 1 x −1 Vì 2( x + )
1  0 với mọi x  0 nên (  x + ) 0 2 1
x −1 0  x 1  x 1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 35 3
Vậy kết hợp với điều kiện đề bài 0  x  1 thì M  . 2
Câu 37. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Phòng GD Ứng Hòa - 2019-2020) 4 x x − 2 1 5 − 2 x
Cho hai biểu thức A = và B = + +
(với x  0 , x  1, x  25 ). x − 5 x −1 x + 2 x + x − 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức B . A
c) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho  4. B Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . 4 x
Với x  0 , x  25 , ta có A = x − 5 4.3 2 1
Thay x = 9 ( thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức A ta đượ = = − c: A = 6 . 3 − 5 2 −
Vậy x = 9 thì A = 6 − .
b) Rút gọn biểu thức B .
Với x  0 , x  1 ta có x − 2 1 5 − 2 x B = + + x −1 x + 2 x + x − 2 ( x −2)( x +2) x −1 5 − 2 x B = ( + + x − )
1 ( x + 2) ( x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2)
x − 4 + x −1+ 5 − 2 x B = ( - x − ) 1 ( x + 2) x − x − ( x x )1 x B = ( = = . x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2) x + 2 A
c) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho  4. B
Với x  0 , x  1, x  25 , ta có: 4 + A x x + ( x 2 4 2 ) =  = . B x − 5 x x − 5 4 + A ( x 2) x + 2  4   4  1. B x − 5 x − 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 36 7  (   −      . x + )( x − ) 0 x 5 0 x 5 x 25 2 5
Kết hợp điều kiện suy ra 0  x  25, x  1 A
Vậy số tự nhiên x lớn nhất sao cho  4 là x = 24 . B
Câu 38. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Kim Giang – 2019-2020) x  1 1  x −1 Cho biểu thức: A = và B = − :  
, (với x  0 ; x  1 ) x + 2  x + x
x +1 x + 2 x +1 16
a) Tính giá trị của A khi x = . 25
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm các giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại x thỏa mãn: 1− 5AB = m . Hướng dẫn 16 a) x =
(thỏa mãn điều kiện xác định) 25 16 4 16 x 25 4 14 4 5 2 Thay x = vào biểu thức A = ta được: 5 A = = = : =  = . 25 x + 2 4 16 5 5 5 14 7 + + 2 2 5 25 16 2 Vậy khi x = thì A = . 25 7
b) Với x  0 ; x  1. Ta có:  1 1  x −1 B = − :    x + x
x +1 x + 2 x +1   1 x x −1  Bx ( x ) x( x ) = − : 1 1  + + ( x +   )2 1 x ( x + − )2 1 1 x +1 B = x ( x + )  = − 1 x −1 x +1
Vậy với x  0 ; x  1 thì = − x B x
c) Với x  0 ; x  1 xx +1 5 x + 5 5
Ta có: m = 1− 5AB = 1− 5 −    =1+ = 6 − x + 2  x x + 2 x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 37 1 1 5 5 5 7 Vì x  0  x + 2  2    −  −  m = 6 −  ( ) 1 x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 5 5
Mặt khác: x  0   0  m = 6 −  6 (2) x + 2 x + 2 7 Từ ( ) 1 và ( 2) 
m  6, mà m  m = 4 hoặc m = 5 2 Thử lại: 5 5 1 1 Với m = 4 
= 2  x + 2 =  x =  x = (thỏa mãn) x + 2 2 2 4 5 Với m = 5 
=1  x + 2 = 5  x = 3  x = 9 (thỏa mãn) x + 2
Vậy với m 4; 
5 tồn tại x thỏa mãn: 1− 5AB = m .
Câu 39. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS CLC Lê Lợi – 2019-2020) x − 9
1. Cho biểu thức: A = x = .
x + . Tính giá trị của biểu thức A khi 25 3  x 2  x + 4
2. Rút gọn biểu thức: B =  +  :  
với x  0 ; x  4 . x + 2 x − 2 x − 2   3. Với các biểu thức ,
A B nói trên tìm giá trị của x để .
A B đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn
1. ĐKXĐ của A là x  0 . 25 − 9
Thay x = 25 (TMĐK) vào biểu thức A ta được: A = = 2 25 + 3
Vậy giá trị của biểu thức A khi x = 25 là 2  x 2  x + 4
x − 2 x + 2 x + 4 x + 2 2. B =  +  :   = . x + 2 x − 2 x − 2  
( x +2)( x −2) x+4 x + 4 x − 2 = 1 ( = .
x + 2)( x − 2) . x + 4 x + 2 1 Vậy B =
với x  0 ; x  4 . x + 2 ( x +3)( x −3) x − 9 x − 3 1 x − 3 5 3. Ta có: . A B = . = . = =1− x + 3 x + 2 x + 3 x + 2 x + 2 x + 2 − − x + 2  2 x   0  1 1 5 5    x + 2 2 x + 2 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 38 3 . A B  −
Dấu "=" xảy ra khi x = 0 . 2 3
KL: Giá trị nhỏ nhất của . A B là − tại x = 0 . 2
Câu 40. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020) x x + 3 2 1
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
( x  0 , x  9 ) 1+ 3 x x − 9 x + 3 3 − x
1) Tính giá trị biểu thức A tại x = 49
2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho P = B : A tìm x để P  3 . Lời giải 49 7
1) Thay x = 49 (TMĐK) vào A ta có: A = = 1+ 3 49 22 7 Vậy A = tại x = 49 22
2) Với x  0 , x  9 ta có: x + 3 2 1 B = + − x − 9 x + 3 3 − x 2 − x + ( x 3 3 ) x + 3 = ( + +
x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3)
x + 3 + 2 x − 6 + x + 3 + = x 3 x ( = x + 3)( x − 3) ( x +3)( x −3) x ( x + 3) = x ( = x + 3)( x − 3) x − 3 3) Ta có: x x x 1+ 3 x 1+ 3 x
P = B : A = : = . = x − 3 1+ 3 x x − 3 x x − 3 1+ 3 x 1+ 3 x P  3   3  − 3  0 x − 3 x − 3
1+ 3 x − 3 x + 9   10 0 
 0  x − 3  0  x  3  x  9 x − 3 x − 3
Kết hợp điều kiện cho : 0  x  9 thì P  3
Câu 41. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 39 1− x  6 − x 2  x +1
Cho hai biểu thức: A = và B =  +  :  
( với x  0 , x  4 ) 1+ x x − 4 x + 2 x − 2  
1) Tính giá trị của biểu thức A với x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình B (1+ x ) + x − x − m = 0 có nghiệm x . Hướng dẫn 1− 16 1− 4 3 −
1) Thay x = 16 (thỏa mãn), ta có: A = = = 1+ 16 1+ 4 5
6 − x + 2( x −2) x +1 x + 2 x − 2 1 2) B =  = =  (
x + 2)( x − 2) . + +  ( 
x + 2)( x − 2) :  x − 2  x 1 x 1
3) Để B(1+ x)+ x − x −m = 0 có nghiệm
x − x − m +1 = 0 (1) có nghiệm Đặt x = t ( ) 2
1  t − t − m +1 = 0 (2) có nghiệm t  0 và t  2
Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là − ( − m) 3 1 4 1  0  m  4
Trong đó S =1, P =1− m
Nếu 1− m  0  m  1thì phương trình (2) tồn tại nghiệm không âm.
Nếu 1− m  0  m  1 thì phương trình (2) có nghiệm cùng dấu. Để có nghiệm không âm thì 1  0 ( luôn đúng).
Vậy với mọi m thì phương trình (2) luôn có nghiệm không âm.
Điều kiện để phương trình (2) có hai nghiệm là t  2  4 − 2 − m +1 0  m  3 . 3 Vậy m
, m  3 thì phương trình (1) có nghiệm. 4
Câu 42. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020) x + 2 x 1 1 Cho biểu thức A = ; B = + +
( x  0; x  4 ) x x − 4 x − 2 x + 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x =3− 2 2 . A
b) Rút gọn biểu thức B và tính P = . B
c) Tìm x thỏa mãn: xP 10 x − 29 − x − 25 . Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 40 a) x =3− 2 2 = ( )2 2 − 2 2 +1 =( − )2
2 1 (thỏa mãn điều kiện)  x = ( − )2 2 1 = 2 −1 = 2 −1
Thay x = 2 −1 vào biểu thức A ta được: 2 −1+ 2 2 +1 A = = =( + )2 2 1 =3+ 2 2 . 2 −1 2 −1
b) Với x  0; x  4 ta có:
x + ( x + 2)+( x − 2) x 1 1 + B = + + = x − 4 x − 2 x + 2 ( x +2)( x −2) x ( x + 2) x + 2 x = x ( = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) x −2 A x + 2 x x + 2 x − 2 x − + P = = : = 4 . = . B x x − 2 x x x
c) Ta có xP 10 x − 29 − x − 25 x − 4  . x
10 x −29− x −25 điều kiện: x25 x
x − 410 x − 29− x − 25  x − 4−10 x + 29 + x − 25 0
(x−10 x +25)+ x−250 ( x − )2 5 + x − 25 0 (1) ( x − )2 5  0 Ta có  x  ( x − )2 5 + x − 25  0 x
 (2)(thỏa mãn điều kiện x25)  x − 25 0  ( x − )2 5 =0
Từ (1), (2)  ( x − )2 5 + x −5 =0 khi 
x = 25 (thỏa mãn điều kiện)  x − 25 =0 
Vậy x = 25 là giá trị cần tìm.
Câu 43. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 4 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020) x − 2 x + 2 3
Cho hai biểu thức: A = ; B = +
; với x  0; x  1; x  4 x −1 x +1 x − x −1
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B . 3) Biết M = 36 .
A B . Tìm số tự nhiên x để M là số chính phương. Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 41 25 − 2 5 − 2 3 1 1
1) Thay x = 25(TMDK ) vào biểu thức A ta được A = = =
= . Vậy x = 25 thì A = . 25 −1 24 24 8 8 2) Ta có: x + 2 3 x + 2 3 B = + = + x +1 x − x − 2 x +1
( x + )1( x −2) ( x +2)( x −2) 3 x − 4 + 3 = ( + = x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) − ( x − )1( x + x )1 1 x −1 = ( = = x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) x − 2 x − 2 x −1 36 3) M = 36 . A B = 36. . = x −1 x − 2 x +1
x là số tự nhiên thì x là số tự nhiên hoặc số vô tỷ. Để M là số chính phương thì x là số tự nhiên khi đó ( x + )
1 là ước chính phương của 36 . Khi đó x +11; 4;9;3  6 ( x + )1 1 4 9 36 x 0 3 8 35 x 0 9 64 1225 TM TM TM TM
Vậy x 0;9;64;122 
5 thì M là số chính phương.
Câu 44. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Long Biên – 2019-2020) x + 5 4 2x − x −13 x
Cho các biểu thức: A = và B = + −
(với x  0 ; x  9 ). x − 3 x + 3 x − 9 x − 3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 . − b) Đặ B x 5 t P = . Chứng minh P = . A x + 3
c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để P có giá trị nguyên. Hướng dẫn x + 5 7
a) Thay x = 4 (thỏa mãn) vào biểu thức A ta có: A = = = 7 − x − 3 1 −
Vậy với x = 4 thì A = 7 − . 4 2x − x −13 x b) B = + − x + 3 x − 9 x − 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 42 4( x − 3) x + x − x − ( x 3 2 13 ) = + − x + 3 ( x −3)( x +3) x − 3 ( x −5)( x +5)
4 x −12 + 2x − x −13 − x − 3 x − = x 25 ( = = x − 3)( x + 3)
( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3) B x − 5 P = nên P = . A x + 3 B
c)Tính giá trị nguyên của P = . A x − 5 8 Ta có: P = = 1− . x + 3 x + 3 Để 8
P đạt giá trị nguyên thì  . x − 3 Khi đó 8 ( x − )
3 tức x − 3U = 1  ; 2  ; 4  ; 8  8   ( ) Ta có bảng sau : x − 3 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x 4 2 5 1 7 -1 11 -5 x 16 4 25 1 49 Không 121 Không thỏa mãn thỏa mãn
Mà x nguyên nhỏ nhất nên kết hợp với điều kiện xác định thì x =1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 43
Câu 45. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 lần 3 – THCS Lương Thế Vinh – 2020-2021) − 3 2x − 2 x 1 x −1 Cho các biểu thức = x A và B = + +
với x  0 , x  4 x x − 4 x + 2 2 − x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2 3 − 3
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm m để có x thỏa mãn: . A B = m Hướng dẫn 1) x = + − = + + − = ( + )2 4 2 3 3 3 2. 3.1 1 3 3 1
− 3 = 3 +1 − 3 = 3 +1− 3 =1
Giá trị x =1 thỏa mãn điều kiện x  0 , x  4 . Thay x =1 vào biểu thức A ta được: 1 − 3 1− 3 2 − A = = = = 2 − 1 1 1 Vậy A = 2
− khi x = 4 + 2 3 − 3
2) Với x  0 , x  4 ta có: 2x − 2 x 1 x −1 2x − 2 x 1 x −1 B = + + = + − x − 4 x + 2 2 − x
( x − 2)( x + 2) x + 2 x − 2 2x − 2 x x − 2
( x −1)( x + 2) = + −
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
2x − 2 x + x − 2 − (x + 2 x − x − 2) =
( x − 2)( x + 2)
2x − 2 x + x − 2 − x − 2 x + x + 2 x − x x − = 2 x ( 2) x = = =
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2) x + 2 x Vậy B =
Với x  0 , x  4 x + 2
3) Tìm m để có x thỏa mãn: . A B = m Cách 1: x − 3 x x − 3 5
Với x  0, x  4 ta có: . A B = m  . = m m =  m = 1− x x + 2 x + 2 x + 2  5 1− 1  x + 2  3  −  m 1 5 3    2 Mà: 1  −  −   x + 2 2 1  m  −  5 1  4 1  −  −  x + 2 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 44 3 1 Vậy −
m 1, m  − thì có x để . A B = m 2 4 Cách 2: x − 3 x x − 3 . A B = m  . = mm =  (1− ) m x = 2m + 3 x x + 2 x + 2
Xét m = 1, thay vào phương trình trên ta được: 0=3 ( vô lý) 2m + 3 Xét m  1  x = 1− m
với điều kiện x  0 , x  4 2m + 3  3   −  m   0 1 x  0    −  1   m 2    x  2 2m + 3   1 2 m  −  1− m  4
Câu 46. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – THCS Lương Thế Vinh – 2020-2021) x +15 x 2 x + 5 8 x − 3 Cho biểu thức A = − + và B =
với x  0; x  9 . x − 9 x − 3 x x + 3 14
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm x sao cho A = 2B .
c) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn a) Rút gọn A . x +15 x 2 x + 5 A = − +
( x  0; x  9 ) x − 9 x − 3 x x + 3 x +15 x 2 x + 5 A = ( − + x − 3)( x + 3) x ( x − 3) x + 3
x ( x +15) − x( x + 3) + x ( x − 3)(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + (x − 3 x )(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + 2x x + 5x − 6x −15 x A =
x ( x − 3)( x + 3) x x − 3x A =
x ( x − 3)( x + 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 45 x ( x − 3) A =
x ( x − 3)( x + 3) x A = x + 3 x x − x 16 x − 6 x 16 x − 6 b) A = 8 3 2B  = 2  =  − = 0 x + 3 14 x + 3 14 x + 3 14 + − x ( x 3)(16 x 6 14 )  ( −
= 14 x −( x + ) 3 (16 x −6) = 0 x + ) ( x + ) 0 14 3 14 3
14 x −(16x−6 x +48 x −18) = 0 14 x 1
− 6x + 6 x − 48 x +18 = 0  2
− 8 x −16x +18 = 0  1
− 6x − 28 x +18 = 0  8x +14 x −9 = 0
 8x +18 x − 4 x −9 = 0  2 x (4 x +9)−(4 x +9) = 0  (2 x − )
1 (4 x + 9) = 0  2 x −1 = 0 (Vì 4 x +9  0)  2 x = 1 1  x = 1  x = (thỏa mãn) 2 4 x
c) Ta có với x  0; x  9  A =  0 x + 3 3 Lại có : A = 1− 1 0  A 1 x + 3
Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.
Câu 47. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Lý Nam Đế - 2019-2020) x x − 2
Với x  0, x  4 và x  9 , cho hai biểu thức 1 1 A = + + và B = . x − 4 x − 2 x + 2 x − 3
1) Tính giá trị của B khi x = 36 . 2) Chứng minh x A = . x − 2
3) Tìm số tự nhiên x  để P = B  ( A − )
1 đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
1) Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được 36 − 2 6 − 2 4 B = = = . 36 − 3 6 − 3 3
2) Điều kiện: x  0 , x  4, x  9.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 46 x 1 1 x + x + 2 + x − 2 x + 2 x x A = + + = = = . x − 4 x − 2 x + 2
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) x −2 3) Ta có −   −  − +  − = x 2 x x 2 x 2 2 2 B ( A − ) x 2 x P . 1 = . −1 = .  = . = x − 3 x − 2   x − 3 x − 2 x − 3 x − 2 x − 3  
Với 0  x  9 và x  4 thì x − 3  0  P  0 .
Với x  9 thì x − 3  0  P  0 .
Có x  9 mà x   x 10  2 2
x  10  x − 3  10 − 3    P  6 + 2 10 . x − 3 10 − 3
Dấu " = " xảy ra  x = 10 (thỏa mãn). Vậy với x
thì giá trị lớn nhất của biểu thức P = . B ( A − )
1 là 6 + 2 10 khi x = 10.
Câu 48. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 5- THCS Lý Nam Đế - 2019-2020) + 6 4 − 6 x 2 x Cho hai biểu thức: = x A và B = + −
với x  0 ; x  4 x x − 4 x + 2 2 − x
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
2. Rút gọn biểu thức B 3. Với x
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = . A B Hướng dẫn 36 + 6 6 + 6 12
1. Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta có: A = = = = 2 36 6 6
Vậy A = 2 khi x = 36 . 4 − 6 x 2 x 2. B = + −
với x  0 ; x  4 x − 4 x + 2 2 − x
4 − 6 x + 2 ( x − 2) + x ( x + 2) 4 − 6 x 2 x = ( + + = x − 2)( x + 2) x + 2 x − 2 ( x −2)( x +2) x ( x − 2)
4 − 6 x + 2 x − 4 + x + 2 x − = x 2 x x ( = = =
( x  0; x  4) x − 2)( x + 2)
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) x +2 3. P = . A B ( x  ) x + 6 + + + = x x 6 x 2 4 4 P . = = = 1+ x x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 4 P  max  x + 2 min 
x min  x min. ax m ( ) x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 47
Kết hợp với x  0 , x  4 , x  , ta suy ra x =1 . 7
Với x = 1 P = . 3 7 Vậy MaxP = khi x =1 . 3
Câu 49. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Marie Curie – 2019-2020) x x −1 x + 2 10 − 5 x
Cho các biểu thức: A = và B = + −
, với x  0; x  4; x  9 x +1 x − 2 3 − x x − 5 x + 6
a) Tính giá trị của A khi x = 25 . b) Rút gọn B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A : B . x 5
a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta có: A = = . x +1 6 5
Vậy với x = 25 thì A = . 6 b) Ta có: x −1 x + 2 10 − 5 x x −1 x + 2 10 − 5 x B = + − = − − x − 2 3 − x x − 5 x + 6 x − 2 x − 3
( x −2)( x −3)
( x − )1.( x −3)−( x +2)( x −2)−(10−5 x) = (
x − 2)( x − 3)
x − 4 x + 3 − x + 4 −10 + 5 x − = x 3 1 ( = = .
x − 2)( x − 3)
( x −2)( x −3) x −2
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P = A : B .
Ta có: P = A : B x 1 x − 2 x P = : = x +1 x − 2 x +1 3 3 P = x − 3 + = x +1+ − 4. x +1 x +1
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có: 3 x + +  ( x + ) 3 1 2 1 . = 2 3 x +1 x +1 Từ đó ta có: 3 x +1+ − 4  2 3 − 4 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 48 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x +1 =  ( x + )2 1 = 3  x = ( − )2 3 1
= 4 − 2 3 (thỏa mãn điều x +1 kiện xác định).
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2 3 − 4 khi x = 4 − 2 3 .
Câu 50. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi HK2 – THCS Mỹ Đình 1 – 2019-2020) x − 9 3 2 x − 5 x − 3
Cho hai biểu thức A = và B = + +
với x  0; x  9 . x − 3 x − 3 x + 3 x − 9
1) Khi x = 81hãy tính giá trị của biểu thức A
2) Rút gọn biểu thức B
3) Với x  9 tìm giá trị nhỏ nhất B của biểu thức P = . A B Hướng dẫn
1) Giá trị x = 81thỏa mãn điều kiện x  0; x  9 ,thay vào biểu thức A ta được: 81− 9 72 72 A = = = =12 81 − 3 9 − 3 6
Vậy khi x = 81thì A = 12
2) Với x  0; x  9 ta có 3 2 x − 5 x − 3 B = + + x − 3 x + 3 x − 9 3( x + 3) 2 ( x − 3) x − 5 x − 3 = ( + +
x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)
3( x + 3) + 2( x − 3) + x − 5 x − 3 3 x + 9 + 2 x − 6 + x − 5 x − 3 = ( = x − 3)( x + 3) ( x −3)( x +3) x x = ( =
x − 3)( x + 3) x −9 x Vậy P =
= Với x  0; x  9 x − 9 − + + x − x x x − + ( x 3)( x 3) 9 9 9 9 3) Ta có: P = . A B = . = = = x − 3 x − 9 x − 3 x − 3 x − 3 9 9 = x + 3+ = x −3+ + 6 x − 3 x − 3 9 vì x  9  x  3  x − 3  0 vµ  0 . x − 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với 2 số không âm ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 49 9 x − +  ( x − ) 9 3 2 3 . = 6 x − 3 x − 3 9  x − 3+ + 6  12 x − 3 hay P  12 9  x − =  x = x =
. Dấu "=" xảy ra khi x − 3 =  ( x −3)2 3 3 6 36 = 9       x − 3  − = −  = x = 0 x 3 3 x 0
Đối chiếu với điện ta thấy x = 36 thỏa mãn điều kiện Vậy Min P = 12  x=36
Câu 51. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Nam Từ Liêm – 2019-2020) x − x x + 2 3
Cho hai biểu thức: A = và B = +
với x  0; x  4 x − 2 x +1 x − x − 2
1) Tính giá trị của A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm tất cả các số tự nhiên x để A B Hướng dẫn
1) Thay x = 16 (TMĐK) vào biểu thức A ta được: 16 − 16 12 A = = = 6 16 − 2 2
Vậy khi x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 6. x + 2 3 x + 2 3 x − 4 + 3 x −1 2) B = + = + = = x +1 x − x − 2 x +1
( x + )1( x −2) ( x + )1( x −2) x −2 − x − x x −1
x − x − x +1 ( x )2 1  x 1 x  1 3) Để A < B thì    0   0     x − 2 x − 2 x − 2 x − 2  −  x  4 x 2 0
Kết hợp với điều kiện x  0; x  4 và x là số tự nhiên ta được x 0; 2;  3 .
Vậy với x 0; 2;  3 thì A < B.
Câu 52. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL tháng 5 – THCS Nam Từ Liêm – 2019-2020) x − 2 x − 5 2 4
Cho hai biểu thức A = và B = − +
với x  0; x  1 x −1 x −1 x +1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 25
b) Rút gọn biểu thức B A 1 c) Đặt P =
. Tìm các giá trị x nguyên để P B 2 Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 50 5 − 2 3
a) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta có: A = = 5 − 1 4
b) Với x  0; x  1 ta có: x − 5 2 4
x − 5 − 2 x + 2 + 4 x + 4 x + 2 x +1 x +1 B = − + = = = x −1 x +1 x −1
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 x −1
c) Với x  0 ; x  1 ta có: A x − 2 x +1 x − 2 x −1 x − 2 P = = : = . = B x −1 x −1 x −1 x +1 x +1 − Để x 2
P tồn tại thì P  0 
 0  x − 2  0 (vì x +1  0 x
 thỏa mãn điều kiện) x +1  x  4 1 1 1 x −
Với x  4 ta có: P
P   P −  2 1 0  −  0 2 4 4 x +1 4
4 x − 8 − x −1 −  3 x 9 (  
 0  3 x − 9  0 (vì x +1 0 x
 thỏa mãn điều kiện) x + ) 0 4 1 4( x + ) 1
x  3  x  9
Kết hợp với điều kiện ta có  4  x  9 vì x
x 4;5;6;7;  8
Vậy x 4;5;6;7;  8 .
Câu 53. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2020-2021) 2 3x − 4 x + 2 x − 3
Cho hai biểu thức: A = và B = − +
với x  0; x  4 x − 2 x − 2 x x 2 − x 4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 x + 3
b) Chứng minh rằng B = x − 2
c) Đặt P = A: B . Chứng minh rằng không có giá trị nào của x để P có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn 4 2 3 a) Với x =
thỏa mãn điều kiện ta có: A = = − 9 4 2 − 2 9 b) Ta có: 3x − 4 x + 2 x − 3 3x − 4 x + 2 x − 3 B = − + = − − x − 2 x x 2 − x x ( x − 2) x x − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 51
3x − 4 − ( x + 2)( x − 2) − x ( x − 3) = x ( x − 2) x +
x − − x + − x + x x + x ( x 3 3 4 4 3 3 ) x +3 = = = = x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x − 2 x + 3 Vậy B = x − 2 2 x + 3 2
c) Ta có: P = A : B = : = x − 2 x − 2 x + 3 2
Vì x  0 nên 0  P  3
Không tồn tại giá trị P nguyên với mọi x .
Câu 54. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi Thử vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2019-2020) x −1 x x +1 2 x + 4
Cho các biểu thức A = và B = − −
, với x  0; x  1 x +1 x +1 x −1 x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 25
b) Rút gọn biểu thức B . c) Cho P = .
A B . Tìm x là số nguyên lớn nhất để P  −1. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của A khi x = 25 25 −1 2
Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có A = = . 25 +1 3
b) Rút gọn biểu thức B . x ( x − ) 1 − ( x + )2 − − x x +1 2 x + 4 1 2 x 4 B = − − = x +1 x −1 x −1
( x + )1( x − )1 5 − ( x + )
x − x − x − 2 x −1− 2 x − 4 − − 1 − = 5 x 5 5 ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 x −1 c) Cho P = .
A B . Tìm x là số nguyên lớn nhất để P  −1. x −1 5 − 5 − Ta có P = . A B = . = x +1 x −1 x +1 5 − x − 4 Xét P  1 −   1 − 
 0  x − 4  0 (vì x +1 0x thỏa mãn điều kiện) x +1 x +1
x  4  x 16
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 52
Kết hợp điều kiện có 0  x  16, x  1
Mà x  , x lớn nhất nên x = 15.
Câu 55. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2019-2020) x − 2 x + 2 3 12
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x  0; x  4 x + 2 x − 2 x + 2 x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 . x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
Ta có: x = 25 thỏa mãn điệu kiện. 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A = = 25 + 2 7 3
Vậy khi x = 25 thì A = 7 x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 x + 2 3 12 B = − − x − 2 x + 2 x − 4 ( x + )2 2 3( x − 2) 12 B = ( − −
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) − + x + x − ( x )1( x 2 2 ) x −1 B = ( = =
( điều phải chứng minh)
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . x − 2 x −1 x −1 P = . A B = . = x + 2 x − 2 x + 2 − Để x 1
P P P  0 
 0  x −1 0 ( vì x + 2  0) x + 2
x 1. Kết hợp điều kiện suy ra 0  x 1
Câu 56. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngọc Hồi – 2019-2020) x + 7 x 2 x −1 2x − x − 3
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
( x  0 ; x  9 ) x x + 3 x − 3 x − 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 53
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16
2) Rút gọn biểu thức B 1
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = A + B Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 16 + 7 23
Khi x = 16 ( thỏa mãn điều kiện)  A = = 16 4
2) Rút gọn biểu thức B x 2 x −1 2x − x − 3 B = + −
; ĐK: x  0 ; x  9 x + 3 x − 3 x − 9 x ( x − 3)
(2 x − )1( x +3) 2x − x − 3 = ( + −
x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3)
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 + = x 3 x ( = x + 3)( x − 3) ( x +3)( x −3) x ( x + 3) = x ( =
x + 3)( x − 3) ( x − 3) 1
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = A + B
Điều kiện: x  0 + ( −3 7 x x ) 1 x + x + P = A + = + 4 = 4 =1+ x + B x x x x 4 Vì x  0 ;
 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x 4 4 x +  2 x. = 2.2 = 4 x x 4 1+ x +  5  P  5 x 4
Vậy MinP = 5 khi x =
x = 4(thoả mãn điều kiện) x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 54
Câu 57. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngọc Lâm – 2019-2020) 5 x + 9 x + 2 x Cho A = và B = −
Với x  0, x  1 x −1 x + x − 2 x + 2
1) Tính giá trị của A khi x = 81. 2) Rút gọn biểu thức , A B . A
3) Với x  0, x  1. Tìm các giá trị của m để = m có nghiệm x. B Hướng dẫn
1) Thay x = 81(TMĐK vào A ta có: 5 81 + 9 5.9 + 9 27 A = = = 81−1 81 40 27 Vậy A = tại x = 81. 40 x + 2 x 2) B = −
x + 2 x − x − 2 x + 2 x + 2 x B = −
x ( x + 2) − ( x + 2) x + 2 x + 2 x.( x −1) B = −
( x + 2).( x −1)
( x + 2).( x −1) x + 2 − x + x B =
( x + 2).( x −1) 2 + x B =
( x + 2).( x −1) 1 B =
(x  0, x  1) x −1
3) Với x  0, x  1 ta có; A + + = 5 x 9 1 5 x 9 m  : = m  = m B x −1 x −1 x +1 5 x + 5 + 4  = 4 m  5 + = m x +1 x +1 4 4 +) x  0  x +1  1   4  5 +  9  m  9 ( ) 1 x +1 x +1 4 +) x  0  5 +  5  m  5 (2) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 55 4 4 +) x  1  5 +  5 + = 7  m  7 (3) x +1 1 +1   m  Từ ( ) 1 ;(2);(3)  5 9  m  7 5   m  9 A Vậy  thì = m có nghiệm x. m  7 B
Câu 58. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – THCS Ngọc Lâm – 2019-2020) 2 x x + 9 x x + 5 x
Cho các biểu thức : A = − và B = x x x x − 3 x − 9 x − với 0; 9; 25 25
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4 .
2) Rút gọn biểu thức A và B. A
3) Tìm các giá trị của x để P =  0 B Hướng dẫn
1) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào B , ta có: 4 + 5 4 4 + 5.2 14 2 − B = = = = . 4 − 25 2 − 1 2 − 1 3
2) Rút gọn các biểu thức A và B . 2 x ( x + 3) 2 x x + 9 x x + 9 x A = − = − x − 3 x − 9
( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3)
2x + 6 x − x − 9 x − = x 3 x ( =
x − 3).( x + 3)
( x −3).( x +3) x.( x − 3) = x ( =
(x  0;x  9;x  25)
x − 3).( x + 3) x + 3 x + x + x ( x 5 5 ) x B = = =
(x  0;x  9;x  25) x − 25 ( x +5)( x −5) x − 5 A
3) Tìm các giá trị của x để P =  0 . B A x x x − 5 P = = : = B x + 3 x − 5 x + 3
P  0  tử và mẫu phải khác dấu , mà x  0 
x  0  x + 3  3  0
x − 5  0  x  5  x  25.
Kết hợp điều kiện xác định: x  0; x  9; x  25  0  x  25; x  9 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 56
Câu 59. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Ngô Gia Tự - 2020-2021) 2x + 4 x + 2 2 x + x +1
Cho hai biểu thức A = + − ; B =
với x  0 , x  1 , x  4
x x −1 x + x +1 x −1 x − 2
1) Tính giá trị của B khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức A . + 3) Với x
. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K = . A B Hướng dẫn
1) Tính giá trị của B khi x = 9
Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x  0 , x  1 , x  4 . Thay x = 9 vào biểu thức B ta được 9 + 9 +1 9 + 3 +1 13 B = = = = 13 9 − 2 3 − 2 1
Vậy x = 9 thì B = 13
2) Rút gọn biểu thức A
Với x  0 , x  1, x  4 ta có 2x + 4 x + 2 2 2x + 4 x + 2 2 A = + − = + −
x x −1 x + x +1
x −1 ( x −1)(x + x +1) x + x +1 x −1 2x + 4
( x + 2)( x −1) 2(x + x +1) = + −
( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +1)
2x + 4 + x − x + 2 x − 2 − 2x − 2 x − 2 =
( x −1)(x + x +1) x − x x( x −1) x = = =
( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +1) x + x +1 x Vậy A =
với x  0 , x  1, x  4 x + x +1
3) Với x  0 , x  1, x  4 ta có : x x + x +1 x x − 2 + 2 2 K = . A B = . = = = 1+ x + x +1 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2
Trường hợp 1: Với 0  x  4 +
Kết hợp với điều kiện x
và x  0 , x  1, x  4 ta có : +
x  và x  0 , x 1, x  4 Nên ta có x 2;  3 2
+ Với x = 2 Ta có: K = = 1 − − 2  0 (1) 2 − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 57 3
+ Vói x = 3 Ta có: K = = 3 − − 2 3  0 (2) 3 − 2
Trường hợp 2: Với x  4 +
Kết hợp với điều kiện x
và x  0 , x  1, x  4 ta có: x  5 1 1
x  5  x − 2  5 − 2   x − 2 5 − 2 2 2  1+  1+
= 5 + 2 5  K  5+ 2 5 (3) x − 2 5 − 2
Từ (1), (2), (3) ta có giá trị lớn nhất của K là 5 + 2 5
Dấu bằng xảy ra khi x = 5 ( thỏa mãn điều kiện x  0 , x  1, x  4 )
Câu 60. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngô Sĩ Liên – 2019-2020) x 1 1 x − 2
Cho hai biểu thức A = + + và B =
với x  0, x  4; x  9. x − 4 x − 2 x + 2 x − 3 1
1. Tính giá trị của biểu thức B khi x = . 9 x 2. Chứng minh A = . x − 2
3. Với x  , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = . B ( A − ) 1 . Hướng dẫn 1 − 1 2 − 2 1 9 5 1. Thay x =
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta có: B = 3 = = 9 1 1 − 8 3 − 3 9 3 5 1
Vậy B = khi x = . 8 9
2. Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có: x 1 1 x x + 2 x − 2 A = + + = + + x − 4 x − 2 x + 2
( x −2)( x +2) x −2 x +2 x ( x + 2) x + x + 2 + x − 2 + = x 2 x x ( = = = x − 2)( x + 2)
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) x −2 x Vậy A =
với mọi x thỏa mãn điều kiện. x − 2
3. Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 58 K = . B ( A − ) 1 . x − 2  xK = . −1.   x − 3 x − 2   x − 2 x − x + 2 K = . . x − 3 x − 2 2 K = . x − 3 2 +) Nếu x  9  ta có x − 3 0   0 hay K  0 x − 3
+) Nếu 0  x  9; x  4 
x − 3  0  K  0.
Do đó K nhỏ nhất khi K  0 . Khi đó x − 3 là số âm lớn nhất có thể, mà x Z nên x = 8 2  K = = 2 − (2 2 +3). 2 2 − 3
Vậy với x  0, x Z thì min K = 2
− (2 2 +3) khi x = 8.
Câu 61. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngôi Sao – 2019-2020) x x −1 x x +1 4 x −1 Cho biểu thức P = + − và Q = x − x x + x x x +1
a) Tính giá trị của Q khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức P .
c) Tìm giá tri của x để . P Q x  8
d ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = . P Q − x Hướng dẫn a ) Đkxđ: x  0, 25 −1 5 −1 2
Thay x = 25 (tmđk) vào biểu thức Q ta được Q = = = 25 +1 5 +1 3 2
Vậy khi x = 25 thì Q = 3
( x − )1(x+ x + )1 ( x + )1(x− x + )1 4
b) Với x  0; x  1 ta có: P = + − x ( x − ) 1 x ( x + ) 1 x x + x +1 x − x +1 4 x +
x + + x − x + − x − P = + − 1 1 4 2 2 = = x x x x x 2x − 2 Vậy P =
với x  0; x  1 x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 59 2x − 2 x −1 c ) có . P Q x  8  . . x  8 x x +1 2.( x + ) 1 ( x − ) 1 x −1  . . x  8 x x +1  ( x − )2 2 1
 8  x − 2 x +1− 4  0
x − 2 x −3  0  x − 3 x + x − 3  0  ( x − ) 3 ( x + ) 1  0
x − 3  0 vì x +1  0 ( Với mọi x thỏa mãn đk)
x  3  x  9 Kết hợp với đk  0  x  9& x 1
Vậy 0  x  9 & x  1 thì . P Q x  8 2x − 2 x −1 d ) M = . P Q − x = .
− x Với x  0; x 1 x x +1 2.( x + ) 1 ( x − ) 1 x −1 M = . − x x x +1 2( x − )2 1
2x − 4 x + 2 − x x − 4 x + 2 M = − x = = x x x 2 M = x + − 4 x 2 Vì x  0  x;  0 x
Áp dụng bất đẳng thức Cô Sy với 2 số dương, ta có : 2 2 x +  2 2  x +
− 4  2 2 − 4  M  2 2 − 4 x x
Dấu “=” xảy ra khi M = 2 2 − 4  x = 2(t ) m
Vậy min M = 2 2 − 4  x = 2
Câu 62. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Tuyển sinh vào 10 – THCS Nguyễn Công Trứ - 2020-2021) x − 3 x − 3 2 x − 9 Cho biểu thức A = và B = −
(khi x  0 ; x  4 ) x + 3 x − 2 x + x − 6
a) Tính giá trị của A khi 2 x = 4 . x x b) Chứng minh B = . x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 60 B c) Tính P =
. Tìm x để P  . P A Hướng dẫn
a) Tính giá trị của A khi 2 x = 4 . x x − 3 Xét biểu thức A = (x  0) x + 3 x = 0 x = 0 Theo đề bài: 2 x = 4x 2
x − 4x = 0  x(x − 4) = 0     x − 4 = 0 x = 4 0 − 3 3 −
Với x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định), thay vào A ta được: A = = = 1 − 0 + 3 3 4 − 3 2 − 3 1 −
Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện xác định), thay vào A ta được: A = = = 4 + 3 2 + 3 5 x b) Chứng minh B = . x + 3
Với x  0 , x  4 , xét biểu thức x − 3 2 x − 9 x − 3 2 x − 9 x − 3 2 x − 9 B = − = − = − x − 2 x + x − 6 x − 2 x + x − 6 x − 2
x + 3 x − 2 x − 6 x − 3 2 x − 9 x − x − = − 3 2 9 = − x − 2
x ( x + 3) − 2( x + 3) x − 2
( x + 3)( x − 2)
( x − 3)( x + 3) 2 x − 9 x − x − = − 9 2 9 = −
( x − 2)( x + 3)
( x + 3)( x − 2)
( x − 2)( x + 3)
( x + 3)( x − 2)
x − 9 − 2 x + 9 x − x x − = 2 x ( 2) x = = =
( x − 2)( x + 3)
( x − 2)( x + 3)
( x − 2)( x + 3) x + 3 x Vậy B = . x + 3 B c) Tính P =
. Tìm x để P  . P A x B x + 3 x.( x + 3) x Ta có P = = = = A x − 3
( x + 3)( x − 3) x − 3 x + 3 x
Theo bài ra P P P  0   0 x − 3
Mà x  0 , x  4 ta luôn có x  0
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 61 x  x  0 x  0      x 0 0       x − 3  x −3  0  x  3 x  9 0  x  9
Kết hợp với điều kiện xác định ta được  . x  4
Câu 63. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Nguyễn Du – 2020-2021) x + 2 x 1  x −1
Cho biểu thức M =  + −  :  
với x  0; x  1. x x −1 x + x +1 x −1 2  
a) Rút gọn biểu thức M . 2
b) Tìm x để M = . 7 Hướng dẫn x + 2 x 1  x −1 a) M =  + −  :  
với x  0; x  1 x x −1 x + x +1 x −1 2    x + ( x −  x )1 2 x + x +1 2 M = ( + −  x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x +  ) . 1  x −1 
x + 2 + x − x − x − x −1 2 M = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1 x − 2 x +1 2 M = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1 ( x − )2 1 2 M = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1 2 M = . x + x +1 2 2 2 b) Để M =  = 7 x + x +1 7  x = − ktm  3 ( )
x + x +1 = 7  x + x − 6 = 0  ( x + )
3 .( x − 2) = 0    x = 4 (tm)  x = 2 2
Vậy x = 4 thì M = . 7
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 62
Câu 64. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Nguyễn Trãi – 2019-2020) 2 x 15− x 2  x + 3
Cho hai biểu thức A = , B =  +  :   . 3 + x x − 25 x + 5 x − 5   a) Khi 3 3 x = 9 5 − 2.
5 + 2 tính giá trị của A . b) Rút gọn B .
c) Đặt P = A + B . Tìm x để giá trị của biểu thức P là một số nguyên. Hướng dẫn 2 x
a) Với x  0 ta có A = 3 + x Ta có: 3 3 x = 9 5 − 2. 5 + 2  x = ( 3 3 9 5 − 2. 5 + 2 )3 3 3 = 9 .( 5 −2)( 5 + 2) 3 = 9  x = 9 .
Ta thấy x = 9 thỏa mãn điều kiện xác định 2 x 2 9 2.3
Thay x = 9 vào A ta được: A = = = = 1. 3 + x 3 + 9 3 + 3
Vậy x = 9 thì A=1.
b) Với x  0, x  25 ta có 15− x 2  x + 3 B =  +  :   x − 25 x + 5 x − 5  
15 − x + 2( x − 5) x + 3 B = (
x − 5)( x + 5) : x − 5 x + 5 x − 5 B = (  x − 5)( x + 5) x + 3 1 B = x + 3 1
Vậy với x  0, x  25 thì B = . x + 3 2 x 1
c) P = A + B = + 3 + x 3 + x 2 + (3+ x − x ) 5 2 1 5 P = = = 2 − 3 + x 3 + x 3 + x Đặ 5 t Q =
P = 2 − Q 3 + x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 63 Do 2  nên P  khi Q
Ta có Q  0 ( vì 5  0 và 3 + x  0 ) 5 5 Mà 3 + x  3   3 + x 3 5
 0  Q  . Mà Q   Q =1 3 5 
=1  3+ x = 5  x = 2  x = 4 ( thỏa mãn điều kiện). 3 + x
Vậy x = 4 thì P = 2 − Q = 2 −1 = 1 là một số nguyên.
Câu 65. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Nguyễn Tri Phương – 2019-2020) −1 1+ x x x Cho hai biểu thức = x A và B = + −
với x  0 ; x  1 . 4 x x −1 x +1 x −1
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . 2x +1 2. Chứng minh B = . x −1 3. Cho P = .
A B . Tìm các giá trị của x thỏa mãn .
P 4 x  4x − 4 + x +1 . Hướng dẫn
1. Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta có 9 −1 8 2 A = = = . 4 9 12 3 2
Vậy x = 9 thì A = . 3
2. Với x  0 , x  1 ta có: ( x + )2 1 + x ( x − ) 1+ 1 − x = x + x − x B = x −1 x +1 x −1 ( x + )1( x + )1
x + 2 x +1+ x − x − x + = x 2 1 ( = . x − ) 1 ( x + ) 1 x −1
3. Điều kiện xác định: x  1. 2x +1 .
P 4 x  4x − 4 + x +1 
.4 x  4x − 4 + x +1 4 x
 2x +1 4x − 4 + x +1  x  4x − 4 2
x  4x − 4  (x − )2 2  0 . Vì ( x − )2 2
 0 với mọi x thuộc điều kiện xác định nên để (x − )2 2
 0 thì x = 2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy x = 2 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 64
Câu 66. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( KSCL – THCS Nguyễn Tri Phương – 2019-2020) x − 2 2 x −1 x + 3 2 x + 2 Cho biểu thức A = và B = − −
(x  0;x  4) x + 2 x − 2 x x − 2 x
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 2. Rút gọn biểu thức B
3. Tìm x để biểu thức P = B : A đạt giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn 16 − 2 1
1. Khi x = 16 (Thỏa mãn điều kiện) thì A = = 16 + 2 9
x (2 x −1) − ( x − 2)( x + 3) − (2 x + 2) 2. Ta có: B = x ( x − 2) − + ( x − x x )2 2 4 4 x − 2 = = = x ( x − 2) x ( x − 2) x x + 2 2 2
3. Ta có: P = B : A = = x +  2 x.
= 2 2 (Theo bất đẳng thức Cô si) x x x
Dấu “=” xảy ra khi x = 2 (Thỏa mãn ĐK) Vậy Min P = 2 2 tại x = 2
Câu 67. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi Thử vào 10 – THCS Nguyễn Trường Tộ - 2020-2021) x +1  x 1   1 2 
Cho các biểu thức A = và B =  −  : +   
 với x  0 , x 1. x x −1 x − x
  x +1 x −1
1) Tính giá trị của A khi x =16 . - − 2) Chứng minh : x 1 B = . x
3) Tìm x nguyên để P = A : B đạt giá trị lớn nhất . Hướng dẫn 1) x = 16 (TMĐK)  x = 4 5
Thay x = 4 vào biểu thức A ta có: A = 4 Vậy 5 x =16 thì A = 4  x 1   1 2  2) B =  −  : +     x −1 x − x
  x +1 x −1\
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 65 x −1 x +1 B = x ( x − ) : 1
( x + )1( x − )1 x −1 B = x x +1 x −1 1
3) P = A : B = : = x x x −1
Để P đạt giá trị lớn nhất thì x −1  0 và x −1 nhỏ nhất . Mà x
và x  0, x  1 nên x = 2 1 ⇒ P = = 2 +1 2 −1
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 +1 khi x = 2 .
Câu 68. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Nguyễn Trường Tộ - 2019-2020) x + 4 x 2 2
Cho hai biểu thức A = và B = − −
, x  0, x  16 x + 4 x −16 x − 4 x + 4
a) Tính giá trị của A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm các số thực x để biểu thức C = .
A B có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
a) Ta có: x = 4 (thỏa mãn điều kiện) 4 + 4 6 3
Thay x = 4 vào A ta được: A = = = 4 + 4 8 4 3 Vậy A =
khi x = 4 ( thiếu KL) 4
x − 2 ( x + 4) − 2( x − 4) x 2 2
x − 2 x − 8 − 2 x + 8 b) B = − − = = x −16 x − 4 x + 4 ( x −4)( x +4) ( x −4)( x +4) x ( x − 4) x − 4 x = x ( = = x − 4)( x + 4) ( x −4)( x +4) x + 4 x + 4 x x
c) Ta có với x  0; x  16 thì C = . A B = . = x + 4 x + 4 x + 4
*Ta có x = 0 thì C = 0 , (1) 1 x + 4 4 *Ta có x  0 thì = = x + C x x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 66 1 4
Áp dụng bất đẳng thức cosi có:  2 x. = 4 C x 1  C  4 1 4 Ta có C = khi x =
x = 4 (thỏa mãn), (2) 4 x 1
Từ (1) và (2) suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng là khi x = 4 4
Câu 69. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – Sở GD Ninh Bình – 2019-2020) 2 x 3 x −14 Cho biểu thức S = + với x  , 0 x  4 . x − 2 x x − 4 2 x a) Rút gọn . x − 2 x
b) Rút gọn biểu thức S
c) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức của S nhận giá trị nguyên. Lời giải 2 x 2 x 2 a) = = . x − 2 x x ( x − 2) x − 2 2 x 3 x −14 2 3 x −14 b) S = + = + . x − 2 x x − 4 x − 2
( x −2).( x +2) 5 x − x + + x − x − 0 ( 2 2 4 3 14 5 1 ) 5 = ( = = =
x − 2).( x + 2)
( x −2).( x +2) ( x −2).( x +2) x +2 5 c) S = x + 2 Có x + 2  2  5 5   5 S x + 2 2 2
Lại có x + 2  0  5  0  S  0 x + 2 5 Vậy 0  S
mà S có giá trị nguyên  S 1;  2 2 Với S = 1  5
=1  x + 2 = 5  x = 9 (thỏa mãn) x + 2 Với S = 2  5 = 2  5 x + 2 =  1 x = (thỏa mãn) x + 2 2 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 67 1 
Vậy x   ;9 thì biểu thức của S nhận giá trị nguyên. 4 
Câu 70. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Phan Chu Trinh – 2019-2020) + + + Cho các biểu thức x 3 x 3 5 x 12 A = và B = +
(với x  0, x  16 ). x − 4 x + 4 x −16
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức B . A
c) Tìm m để phương trình = m +1 có nghiệm. B Hướng dẫn 9 + 3 6
a) Với x = 9 (TMĐK) , thay vào biểu thức A ta được: A = = = −6 . 9 − 4 1 − * Vậy A = 6 − tại x = 9
b) Với x  0, x  16 , ta có: x + 3 5 x +12 x + 3 5 x +12 B = + = + x + 4 x −16 x + 4 ( x +4)( x −4) ( x +3)( x −4) 5 x +12 − − + + = x x 12 5 x 12 ( + =
x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) ( x +4)( x −4) x ( x + 4) x + 4 x = x ( = =
x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) x − 4 x
Vậy với x  0, x  16 thì B = . x − 4 A x + 3 x x + 3 x − 4 x + 3
c) Với x  0, x  16 , ta có = : = . = B x − 4 x − 4 x − 4 x x + * Để x 3
= m +1  x + 3 = (m + ) 1
x m x = 3 (1) x
* TH1: m = 0 , PT (1) có dạng 0 = 3(loai) 3
* TH2: m  0 , PT (1) có dạng x = m A Để phương trình
= m +1 có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm x  0, x 16 B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 68 m  0  x  0  3     3  0  m  .  x m  4 4  4 3 A Vậy với 0  m  thì phương trình = m +1 có nghiệm. 4 B
Câu 71. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – THCS Phan Chu Trinh – 2019-2020) + − Cho hai biểu thức: x 3 x 1 x 2 A = và B = + −
với x  0; x  1; x  9 x + 2 x − 3 1− x x − 4 x + 3
1) Tính giá trị của A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để A: B = 2 − Hướng dẫn x + 3
1) Tính giá trị của A khi x = 25 . Ta có: A = (đkxđ: x  0 ) x + 2
Thay x = 25 (tmđkxđ) vào A 25 + 3 8  A = = 25 + 2 7
2) Rút gọn biểu thức B. x −1 x 2 Ta có: B = + −
(đkxđ: x  0; x  1; x  9 ) x − 3 1− x x − 4 x + 3 ( x − )2
1 − x ( x − 3) − 2
x − 2 x +1− x + 3 x − 2  B = (  B =
x − 3)( x − ) 1
( x −3)( x − )1 x −1 1  B = (  B =
x − 3)( x − ) 1 x − 3
3) Tìm x để A: B = 2 − Ta có: A: B = 2 −
(đkxđ: x  0; x  1; x  9 ) x + 3 1  : = 2 −  x − 9 = 2 − ( x + 2) x + 2 x − 3  x + x − =  ( x + )2 2 5 0 1 = 6  x +1= 6  x = 6 −1    
x = 7 − 2 6 (tmdk)  x +1= − 6
 x = − 6 −1 (kotmdk)
Vậy x = 7 − 2 6 để A: B = 2 −
Câu 72. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Phan Huy Chú – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 69 +  2 2 x −1  5 Cho hai biểu thức: x 1 A = và B =  −  :  
với x  0, x  9, x  4 . x − 3 x − 3 x − x − 6 x − 4  
a) Tính giá trị của biểu thức 1 A khi x = 9
b) Rút gọn biểu thức B B c) Tìm x thỏa mãn 2  . A 3 Hướng dẫn 1 1 +1 +1 − a) Với 1 9 1 x =
thỏa mãn điều kiện xác định thì 3 A = = = 9 1 1 2 − − 3 3 3 9 − Vậy với 1 1 x = thì A = 9 2
a) Rút gọn biểu thức B
Với x  0, x  9, x  4  2 2 x −1  5 B =  −  :   x − 3 x − x − 6 x − 4      2 2 x −1  5 2 2 x −1 =  −  : =  −   x −   x − 3
x − 3 x + 2 x − 6 x − 4  x − 3   
( x −3)( x +2) ( 4)  
2( x + 2) − 2 x +1 5 x − 2
2 x + 4 − 2 x +1 = (  x − =  x − x + =
x − 3)( x + 2) ( 4)
( x −3)( x +2) ( 2)( 2) ( ) x − 3 5( x − 2) Vậy B =
với x  0, x  9, x  4 . x − 3 x +1
c) Với x  0, x  9, x  4 thì A =  0 x − 3 5( x − 2) 5( x − 2) 5( x − 2) B 2 + −  x 1 2 x 3 2 2 hay :    −  0  −  0 A 3 x − 3 x − 3 3 x − 3 x +1 3 x +1 3
15( x − 2) − 2( x + ) 1 13 x − 32  (    x + ) 0 ( x + ) 0 3 1 3 1
 13 x − 32  0 (vì 3( x + ) 1  3  0 ) 32 1024  x   x  13 169
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 70
Kết hợp điều kiện x  0, x  9, x  4 ta được 1024 0  x
, x  9, x  4 169
Câu 73. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – THCS Phú La – 2020-2021)   x + 2 2 x x x Cho biểu thức A = và B =  +  :
x  0; x  9 x +1 
( x − 3)( x + 2) ( ) x − 3 x − 3 
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Với x  , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = AB . Hướng dẫn x + 2 a) A =
( x  0; x  9) x +1 36 + 2 6 + 2 8
Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có: A = = = . 36 +1 6 +1 7 8
Vậy giá trị của biểu thức A khi x = 36 là . 7   2 x x x b) B =  ( +  x x   x − 3)( x + 2) : ( 0; 9) x − 3 x − 3 
2 x + x ( x + 2) x −3  B (  =   x 3)( x 2)  − +   x x ( x + 4) x − 3 B = (  x − 3)( x + 2) x x + 4 B = . x + 2 x + 2 x + 4 x + 4
c)Ta có: P = A B =  = x + 1 x + 2 x + 1 x +1+ 3 3 P = =1+ x +1 x +1
Ta có: x  0 với mọi x  0 và x  9 ; x   x +11  3  3  3 1+ 1+ 3  P  4 x +1 x +1
Dấu " = " xảy ra  x = 0 (thỏa mãn điều điện)
Vậy GTLN của P là 4 khi x = 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 71
Câu 74. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 2 – THCS Phương Liệt – 2019-2020) x + 3 x + 2 x +1 3 x −1
Cho hai biểu thức A = và B = − +
, với x  0 , x  1 , x  9 . x −1 x −1 x − 3 x − 4 x + 3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B . B
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . A Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
+ Ta có: x = 4 (thỏa mãn điều kiện x  1) thay vào biểu thức A ta được: 4 + 3 2 + 3 5 A = = = . 4 −1 3 3 5
Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 4 là . 3
b) Rút gọn biểu thức B . x + 2 x +1 3 x −1 B = − + x −1 x − 3 x − 4 x + 3 x + 2 x +1 3 x −1 B = − + x −1 x − 3
( x − )1.( x −3)
( x +2).( x −3)−( x + )1.( x − )1+3 x −1 B = ( x − ) 1 .( x − 3)
x + 2 x − 3 x − 6 − ( x − ) 1 + 3 x −1 B = ( x − ) 1 .( x −3)
x + 2 x − 3 x − 6 − x +1+ 3 x −1 B = ( x − ) 1 .( x − 3) 2 − x − ( x 3 2 6 ) 2 B = ( = = . x − )
1 .( x − 3) ( x − ) 1 .( x − 3) x −1 B
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . A B
+ Với x  0 , x  1, x  9 , ta có: P = A 2. − + + 2 −1
( x )1.( x )1 2.( x x ) 2 x + 3 1  4 P = : = . = = = 2 − x −1 x −1 x −1 x + 3
( x − )1( x +3) ( x +3) x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 72 4 P  lớn nhất 
x + 3 nhỏ nhất  x = 0 min x + 3 2
P = khi x = 0 . min 3 2 Vậy P = khi x = 0 . min 3
Câu 75. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Phương Liệt – 2019-2020) x + 2 x + 5 7 − x Cho biểu thức A = ; B = +
với x  0, x  1 x + 3 x +1 x −1
1) Tính giá trị của A khi x = 16 A x −1 2) Chứng minh rằng = B x + 3 A
3) Tìm giá trị của m để phương trình = m +1 có nghiệm B Hướng dẫn 4 + 2 6
1) Thay x = 16 thoả mãn điều kiện x  0, x  1 vào A ta được A = = 4 + 3 7
2) Với x  0, x  1
( x +5)( x − )1+(7− x) x + 5 7 − x x + 5 7 − x B = + = + = x +1 x −1 x +1
( x + )1( x − )1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x +2)
x + 4 x − 5 + 7 − x + + + = x 3 x 2 x 2 ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 x −1 + + − Khi đó A x 2 x 2 x 1 = : = . B x + 3 x −1 x + 3 A x −1 3) = m +1 có nghiệm 
= m +1 có nghiệm  x −1= (m+ )
1 ( x + 3) có nghiệm B x + 3
x −1 = m x + 3m + x + 3 có nghiệm  m x + 3m + 4 = 0 có nghiệm  m x = 3 − m − 4 ( ) 1 có nghiệm
Nếu m = 0 thì phương trình ( ) 1 trở thành 0 = 4
− (vô lý) loại m = 0. 3 − m − 4
Nếu m  0 thì x = m 3 − m − 4 3m + 4 Để phương trình ( ) 1 có nghiệm thì  0   0 m m
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 73  4  m  − 3  m + 4  0   3  m  0     m 0 4     −  m  0 3  m + 4  0   4 3  m  − m  0  3  m  0
Vì x  1 nên x  1  m  3
− m − 4  4m  4 −  m  1 − A 4 Vậy để
= m +1 có nghiệm thì −  m  0 và m  1 − . B 3 x −1 x −1 Cách 2:
= m +1có nghiệm  m = −1 có nghiệm x + 3 x + 3 4 −  m = có nghiệm x + 3 1 1 4 − 4 − 4 Vì x  0  x + 3  3      m  − x + 3 3 x + 3 3 3 4 −
Mặt khác: x + 3  0   0  m  0 x + 3
Vì x  1 nên x  1  m  3
− m − 4  4m  4 −  m  1 − A 4 Vậy để
= m +1có nghiệm thì −  m  0 và m  1 − . B 3 x −1 Cách 3: Ta có: = m +1 x + 3 x −1 4 − Xét hiệu: m +1−1 = −1 =  0  m  0 x + 3 x + 3 1 x −1 1 4 x 4 4 m +1+ = + =
  m +   m  − x + 3 3( x + 3) 0 0 3 3 3 3
Vì x  1 nên x  1  m  3
− m − 4  4m  4 −  m  1 − A 4 Vậy để
= m +1có nghiệm thì −  m  0 và m  1 − . B 3
Câu 76. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 2 – Trường School – 2019-2020) x 2 4 x + 2 2
Cho các biểu thức A = − + và B 1 = −
và với x  0, x  1 . x −1 x +2 x+ x − 2 1− x
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x =16 .
2) Rút gọn P = A : B .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 74 2
3) Tìm giá trị của x để 4 −
P đạt giá trị nguyên lớn nhất. 3 Hướng dẫn 2 2 5 1. Với x 16
= (thỏa mãn điều kiện) B =1− =1+ = . 1− 16 3 3 x 2 4 x + 2 2 2. Ta có A = − + và B 1 = −
và với x  0, x  1 . x − 1 x + 2 x + x − 2 1 − x x ( x + 2) 2( x −1) 4 x + 2 A = ( − + x + 2)( x − ) 1
( x +2)( x − )1 ( x +2)( x − )1
x + 2 x − 2 x + 2 + 4 x + 2 A =
( x +2)( x − )1 + + ( x + x x )2 2 4 4 x + 2 A = ( = = x + 2)( x − ) 1
( x +2)( x − )1 x −1 x + 2  2  x + 2 1 − − x x + 2 x −1 x + 2
P = A : B = : 1 − = : = . =   x −1  1 − x x −1 1 − x x −1 x + 1 x + 1 0   x  1  3. P xác định  ,
A B xác định và B  0  − −  0  x  1 x 1 .  0  x  1 −   1− x + + − − + Đặ 3 3 x 2 8 x 8 3 x 6 5 x 2 t Q = 4 − P = 4 − . = = 2 2 x + 1 2( x + 1) 2( x + 1) 5 x + 2 5 3 5 5 Q = = −   Q  (1) 2( x +1) 2 2 x + 2 2 2 5 x + 2 3 x Q = =1+ 1 Q 1 (2) 2( x +1) 2 x + 2 5
Từ (1) và (2) suy ra 1  Q   Q1; 
2 , mà Q là số nguyên lớn nhất nên Q = 2 2 5 x + 2  =  =  =
2  5 x + 2 = 4 x + 4 x 2 x 4(TM ) 2( x + 1) 2 Vậy x = 4 thì 4 −
P đạt giá trị nguyên lớn nhất. 3
Câu 77. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – Trường Pschool – 2020-2021)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 75 x ( x + ) 1 1 2 x 1
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
(với x  0 , x  1 ). 2( x − ) 1 x + x x −1 x − x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
A B với x  1 . Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
Điều kiện xác định: x  0 , x 1
x = 4 (thỏa mãn điều kiện) 4.(4 + ) 1 2.5
Thay x = 4 vào A ta có: A = = = 2.( 4 − ) 5 1 2.1
Vậy A = 5 khi x = 4 . b) Rút gọn biểu thức . B 1 2 x 1 1 2 x 1 B = + − = + − x + x x −1 x − x x ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 x( x − )1
( x − )1+2 x. x −( x + )1 − 2 ( x − ) = 2x 2 = 1 = 2 = x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x ( x − ) 1 x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
A B với x  1 . x ( x + ) 1 2 x +1 2 2 P = . A B = = = x + + = x − + + 2( x − ) . 1 ( )1 2 1 x x −1 x −1 x −1  x −1 0  Vì x 1 nên  2  0   x −1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2 2 x − +  ( x − ) 2 1 2 1 .  x −1+
+ 2  2 2 + 2  P  2 2 + 2 x −1 x −1 x −1 2 Dấu “=” xảy ra  x −1 = x −1  − =  x = 2 +1  ( x x − )2 1 = 1 2 2    
x = 3+ 2 2 (thỏa mãn điều kiện)  x −1= − 2
 x =1− 2  0(loaïi)
Vậy MinP = 2 2 + 2  x = 3+ 2 2 .
Câu 78. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – Phòng GD Quốc Oai – 2020-2021)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 76 x +1 2 x x + 2 2 x + 4
Cho hai biểu thức: A = ; B = − +
với x  0 ; x  1 . x + 3 x +1 x −1 x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 4 . b) Rút gọn B . 1 c) Tìm x để . A B  . 2 Hướng dẫn 4 +1 3
a) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào A = = . 4 + 3 5 2 x − − + + + + x x + x +
( x )1 ( x 2)( x )1 2 x 4 2 2 2 4 b) B = − + = x +1 x −1 x −1
( x + )1( x − )1 − − − x − x − x − x − + x + x − x +
( x )1( x 2) ( x 2 2 2 3 2 2 4 3 2 ) = ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 ( x + )1 ( x −2) 1 1
2 x − 4 − x − 3 x − 7 c) . A B  ⇔ −  0 ⇔  0 ⇔  0 ⇔ x  49 2 ( x +3) 2 2 ( x + 3) 2 ( x + 3)
Kết hợp điều kiện 0  x  49 , x  1
Câu 79. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Quỳnh Mai – 2020-2021) x + 8 2 x x −1 2x − 5 x + 5 Cho biểu thức A = và B = + −
với x  0 , x  9 . x + 2 x +1 x − 3
( x + )1( x −3)
1) Tính giá trị của A khi x = 4 . 2) Rút gọn B .
3) Tìm các giá trị của x để . A B  4 . Hướng dẫn 4 + 8 12
1) Thay x = 4 thoả mãn điều kiện x  0 , x  9 vào A ta được A = = = 3. 4 + 2 4
2) Với x  0 , x  9 ta có 2 x x −1 2x − 5 x + 5 B = + − x +1 x − 3
( x + )1( x −3)
2 x ( x − 3) + ( x − ) 1 ( x + )
1 − (2x − 5 x + 5) =
2x − 6 x + x −1− 2x + 5 x − 5 ( = x + ) 1 ( x − 3)
( x + )1( x −3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 77 ( x −3)( x +2) x − x − 6 − + − + = x 3 x 2 x 6 x 2 ( = = = . x + ) 1 ( x − 3)
( x + )1( x −3) ( x + )1( x −3) x +1
3) Với x  0 , x  9 ta có
x + 8 − 4( x + ) x + 1 . A B  4  . A B − 4  8 0  − 4  0 
 0  x − 4 x + 4  0 2  ( x − 2)  0 . x +1 x +1 Vì ( x − )2 2
 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện nên
( x − )2  ( x − )2 2 0 2
= 0  x − 2 = 0  x = 2  x = 4 (thỏa mãn điều kiện).
Câu 80. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Sóc Sơn – 2020-2021) x +1 x 4 10 x −12
Cho hai biểu thức: A = và B = + +
(x  0; x  4) . x + 2 x − 2 x + 2 4 − x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16
b) Rút gọn biểu thức B . B 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để  . A 2 Hướng dẫn 16 +1 5
a) Khi x = 16 ( thỏa mãn điều kiện)  A = = 16 + 2 6 b) Ta có:
x ( x + 2) + 4( x − 2) − + x 4 10 x −12 10 x 12 B = + + = x − 2 x + 2 4 − x ( x −2)( x +2)
x + 2 x + 4 x − 8 −10 x +12 − + − = x 4 x 4 x 2 ( = = x − 2)( x + 2)
( x +2)( x −2) x +2 B x − 2 x +1 x − 2 c) Ta có = : = A x + 2 x + 2 x +1 Điề B u kiện để
có nghĩa là: x − 2  0 (vì x  4 ). Ax  4 B 1 B x −
4 x − 8 − x −1 Ta có  1   2 1  −  0   0 A 2 A 4 x +1 4 4 ( x + ) 1 3 x − 9  (
  3 x  9  x  9 x + ) 0 4 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 78
Mà x  4, x
nên x 5, 6, 7,  8 .
Vậy x 5, 6, 7,  8 là giá trị cần tìm.
Câu 81. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Thị Xã Sơn Tây – 2019-2020) x + 3  x +3 x − 3 36  7 x − 2
Cho các biểu thức: A = và B =  − + .  
với x  0; x  9 . 2 x +1 x − 3 x + 3 9 − x 12  
1. Tính giá trị của biểu thức A tại x = 16
2. Rút gọn biểu thức B
3. Tìm x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị là số nguyên dương. Hướng dẫn 16 + 3 7
1. Thay x = 16 (thỏa mãn đkxđ) vào A ta được A = = 2 16 +1 9 7
Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 16 là . 9
2. Với x  0; x  9  x +3 x − 3 36  7 x − 2 B =  − + .   x − 3 x + 3 9 − x 12     ( 
x + )2 ( x − )2 3 3 36  7 x − 2 − − = − − 12 7 x 2 7 x 2 .  = . = x 9 x 9 x 9  − − − 12   x + 3 12 x + 3  
3. Với x  0; x  9 x + 7 x − 2 7 x − 2 14 x − 4 11 P = 3 . A B = . =  2P = = 7 − 2 x +1 x + 3 2 x +1 2 x +1 2 x +1 7 Với x  0 
x  0  7  2P  4 −   P  2 − 2
Để P nhận giá trị là số nguyên dương  P 1;2;  3 7 x − 2 3 9 TH1: P = 1 
=1  x =  x = (tm) 2 x +1 5 25 7 x − 2 4 16 TH2: P = 2 
= 2  x =  x = (tm) 2 x +1 3 9 7 x − 2 TH3: P = 3 
= 3  x = 5  x = 25(tm) 2 x +1  9 16  Vậy x   ; ; 25 25 9 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 79
Câu 82. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Thanh Xuân – 2019-2020) x − 2 xx 2  x + 2 x
Cho hai biểu thức A = và B =  + .  
với x  0; x  4 . x + 2 x + 2 x − 2 x + 4  
1)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 x 2)Chứng minh B = x − 2
3)Tìm tất cả giá trị của x để .
A B  2 x − 3 Lời giải
a)Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x  0, x  4  x = 3 thay vào biểu thức A ta được: x − 2 x 9 − 2.3 3 A = = = x + 2 3 + 2 5 3
Vậy khi x = 9 thì A = 5
b) Với x  0; x  4 ta có:    x − + +  + x x + x
( x 2) 2( x 2) x( x 2 2 2 ) B =  + . =     x + 2 x − 2 x +    
( x −2)( x +2) . 4  x + 4  x + + x − x + x + ( x 2) x x + ( x 2 2 2 4 4 ) x = ( = =
x − 2)( x + 2) . x +
( x −2)( x +2). 4 x + 4 x − 2 x Vậy B = ( đpcm) x − 2
c) Với x  0; x  4 để .
A B  2 x − 3 x − x − x x ( x 2 2 ) x  .  2 x − 3  .  2 x − 3 x + 2 x − 2 x + 2 x − 2 x
 2 x −3  x  (2 x −3)( x + 2)  x  2x + x −6 x + 2
x + x − 6  0  ( x + )
3 ( x − 2)  0  x − 2  0 (do x + 3  0)  x  4
Kết hợp với điều kiện ta được 0  x  4 thì .
A B  2 x − 3
Câu 83. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KTCL – Trường THCS Thanh Xuân – 2019-2020) 3 x − 2 15 x −11 2 x + 3
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x  0 , x  1 1− x x + 2 x − 3 x + 3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
b) Đặt P = A + B . Rút gọn biểu thức P .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 80
c) Tìm m để có x thỏa mãn ( P x + 3) = m . Lời giải
a) x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) 3 x − 2 3 16 − 2 3.4 − 2 12 − 2 10
Thay x = 16 vào biểu thức A = ta được: A = = = = − . 1− x 1− 16 1− 4 3 − 3 10
Vậy khi x = 16 thì A = − . 3
b) Với x  0 ; x  1. Ta có: 3 x − 2 15 x −11 2 x + 3
P = A + B = + − 1− x x + 2 x − 3 x + 3 3 − x + 2 15 x −11 2 x + 3 P = + − x −1
( x − )1( x +3) x +3
( 3− x +2)( x +3) + − x − (2 x 3)( x )1 15 11 P = ( + − x − ) 1 ( x + 3)
( x − )1( x +3) ( x − )1( x +3) 3
− x − 7 x + 6 15 x −11 2x + x − 3 P = ( + − x − )
1 ( x + 3) ( x − )
1 ( x + 3) ( x − ) 1 ( x + 3) 3
− x − 7 x + 6 +15 x −11− 2x − x + 3 P = ( x − ) 1 ( x + 3) − + + − − x + x −
( 5x 5 x) (2 x 2 5 7 2 ) P = ( = x − ) 1 ( x + 3)
( x − )1( x +3) 5 − x ( x − ) 1 + 2 ( x − ) 1
( x − )1( 5− x +2) 5− x +2 P = ( = = x − ) 1 ( x + 3)
( x − )1( x +3) x + 3 5 − x + 2
Vậy với x  0 ; x  1 thì P = x + 3 5 − x + 2
c) Với x  0 ; x  1, ta có: m = P ( x + 3) = ( x +3) = 5 − x + 2 x + 3 • Với x  0  5 − x  0  5 −
x + 2  2  m  2 ( ) 1
• Mặt khác: x  1 x  1 5 − x  5 −  5 − x + 2  3 −  m  3 − (2) Từ ( )
1 và (2)  m  2 ; m  3 −
Vậy với m  2 ; m  3
− thìcó x thỏa mãn ( P x + 3) = m .
Câu 84. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – THCS Thanh Xuân – 2020-2021)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 81 2 x + 3 2x − 8 2 x +1
Cho các biểu thức: A = và B = − +
,với x  0, x  1. x + 2 x + x − 2 x + 2 x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B . 7
c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để biểu thức 2B − A  . 2 Lời giải
a) Tính giá trị của A khi x = 4 . 2 4 + 3 4 + 3 7
Thay x = 4 (TMĐK) vào biểu thức A , ta được: A = = = . 4 + 2 2 + 2 4
b) Rút gọn biểu thức B . 2x − 8 2 x +1 Ta có: B = − + x + x − 2 x + 2 x −1 2. − + + x − ( x )1 ( x )1.( x 2 2 8 ) = ( − + x + 2).( x − ) 1
( x +2).( x − )1 ( x +2).( x − )1
2x − 8 − 2 x + 2 + x + 3 x + 2 + − − + − = 3x x 4 3x 3 x 4 x 4 ( = = x + 2).( x − ) 1
( x +2).( x − )1 ( x +2).( x − )1
( x − )1.(3 x +4) 3 x +4 + = 3 x 4 ( = . Vậy B = . x + 2).( x − ) 1 x + 2 x + 2 7
c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để biểu thức 2B − A  . 2
2.(3 x + 4) 2 x + 3 4 x + 5
Ta có: 2B − A = − = x + 2 x + 2 x + 2 + Để 7 x 2B − A  4 5 7   . 2 x + 2 2
Vì x + 2  0 ; 2  0  2.(4 x +5)  7.( x + 2)
 8 x +10  7 x +14  x  4  x 16 . Kết hợp ĐK x  0, x 1 0  x 16
Mà x là số nguyên lớn nhất  x = 15 .
Vậy x = 15 là giá trị cần tìm.
Câu 85. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề KSCL – THCS Thăng Long – 2019-2020) x 1 3 x x + 3
Cho hai biểu thức A = + + và B =
với x  0; x  1 x −1 x + 2 ( x +2)(1− x) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 82
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4
2) Rút gọn biểu thức A . 3 3) Cho S = .
A B Chứng minh rằng S  2 Lời giải 4 + 3 2 + 3 5
1) Thay x = 4 (tmđk) vào biểu thức B ta được: B = = = 4 +1 2 +1 3 5 Vậy B = khi x = 4 . 3
2) với x  0; x  1 x 1 3 x A = + + x −1 x + 2 ( x +2)(1− x)
− x( x + 2) +1− x + 3 x
−x − 2 x +1− x + 3 x = =
(1− x )( x + 2) (1− x)( x + 2) 1− x (1− x )(1+ x ) x +1 = = =
(1− x )( x + 2)
(1− x )( x + 2) x + 2
3) với x  0; x  1 x + 3 x +1 x + 3 S = . = x +1 x + 2 x + 2 3 x + x + − x − − x Xét hiệu S − 3 3 2 6 3 6 = − = = 2 x + 2 2 2( x + 2) 2( x + 2) Với x  0 
x  0  − x  0
Với x  0  x  0  x + 2  0  2( x + 2)  0 − x 3 3 Suy ra
 0  S −  0  S  (đpcm). 2( x + 2) 2 2
Câu 86. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Thường tín – 2019-2020) x + 2 x +1 1 Cho biểu thức P = + và Q =
với x  0; x  1. x x −1 x + x +1 x −1
1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 49 .
2) Rút gọn biểu thức A = P − Q . 1 3) So sánh A với . 3 Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 83 1 1 1 1
1) Thay x = 49 vào Q = ta có: Q = = = x −1 49 −1 7 −1 6 1 Vậy Q = khi x = 49 . 6 x + 2 x +1 1
2) Ta có A = P − Q = + − x x −1 x + x +1 x −1 x + 2 x +1 1 = + − x + 2 ( x +1)( x −1) x + x +1 = + − x x −1 x + x +1 x −1 3 3 3 x −1 x −1 x −1
x + 2 + x −1− x − x −1 x − x − = = x ( x 1) x = = . 3 3 x −1 x −1
( x −1)(x + x +1) x + x +1 2 1 x 1
3 x − x − x −1 −( x −1)
3) Với x  0; x  1 ta có A − = − = = 3 x + x +1 3 3(x + x +1) 3(x + x +1) 1 3 3
Vì x  0 nên x + x +1 = ( x + ) +
  0mà x  1 x −1  0 2 4 4 2 −( x −1) 1 1 
 0  A−  0  A  . 3(x + x +1) 3 3 1 Vậy A  . 3
Câu 87. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Trạch Mỹ Lộc – 2019-2020) x +1 x x − 2
Cho các biểu thức: A = và B = −
với x  0; x  9 . x − 3 x x − 3 x − 3 x
a) Tính giá trị của A khi x = 25 . x +1
b) Chứng minh rằng P = A : B = . x − x + 2
c) Tìm giá trị lớn nhất của P . Lời giải
a) Tính giá trị của A khi x = 25 . 25 +1 5 +1 3
Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện x  0; x  9 ) vào biểu thức A ta được: A = = = . 25 − 3 25 25 −15 5 3
Vậy với x = 25 thì A = . 5 x +1
b) Chứng minh rằng P = A : B = . x − x + 2
Với x  0; x  9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 84 x x − 2 x x − 2 x − x + 2 B = − = − = x − 3 x − 3 x x − 3 x ( x − 3) x ( x − 3) x +1 x − x + 2 x +1
P = A : B = : = x − 3 x x ( x − 3) x − x + 2 x +1
Vậy với x  0; x  9 thì P = . x − x + 2
c) Tìm giá trị lớn nhất của P .
Với x  0; x  9 x +1 Ta có: P = x − x + 2 1 1 1 P = = = x − x + 4 4 2 x − 2 + x +1+ − 3 x + x +1 x +1 1 4
Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương: x +1 và ta có: x +1 4 x + +  ( x + ) 4 1 2 1 x +1 x +1 4  1 x +1+ − 3 1  1  P 1. x +1 4 x +1+ − 3 x +1
Dấu “=” xảy ra khi x + =  ( x + )2 4 1 1 = 4  x +1= 2  x +1 Mà x +1  0
Suy ra x +1 = 2  x = 1 (thỏa mãn)
Vậy GTLN của P = 1 khi x = 1 .
Câu 88. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Bài 1. (Thi thử vào 10 – THPT Trần Nhân Tông – 2019-2020) x − x −3 1   2 x + 3 
Cho biểu thức P =  +  :    
 với x  0 và x 1 x x −1 x −1 x + x +1     2
a) Tính giá trị của biểu thức A = khi x = 9 . 2 x + 3
b) Rút gọn biểu thức P .
c) Tìm các giá trị của x để 3P là số nguyên. Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 85 2 2 2 2
a) Thay x = 9 vào A = ta được A = = = 2 x + 3 2 9 + 3 2.3 + 3 9    x − x − 3 1   2 x + 3  x − x − 3 x + x +1  x + x +1 b)   P =  +  :      = + .      x x −1 x −1 x + x +1    
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1 2 x +3        2( x − ) 2 x − 2  x + x +1  1  1    = 2 =  (  =      .  x − ) 1 ( x + x + ) . 1 2 x + 3 
  ( x − )   + +   1 2 x 3    2 x 3 6 c) 3P = 2 x + 3 6
Ta có: Với x  0 thì  0 hay 3P  0 ( ) 1 2 x + 3 6 Vì 2 x  0 x
  0  2 x + 3  1 1 3   hay
 2 nên 3P  2 (2) 2 x + 3 3 2 x + 3 Từ ( )
1 và (2)  0  3P  2 Vì 3P  nên 3P 1;  2 6 TH1: 3P =1 hay =1  6 = 2 x + 3 3  x = 9  x = (tmđk) 2 x + 3 2 4 6 TH2: 3P = 2 hay
= 2  6 = 4 x + 6  x = 0  x = 0 (tmđk) 2 x + 3  9 
Vậy x  0;  thì 3P có giá trị nguyên  4
Câu 89. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL vòng 3 – THCS Trần Phú – 2019-2020)
( x + )1( x −3) x 3 x + 6
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x  0; x  4; x  9 . x − 2 x − 2 x − 4
1) Tính giá trị của A khi x = 16 . B
2) Rút gọn biểu thức M = . A
3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 3M nhận giá trị nguyên. Lời giải
1) Tính giá trị của A khi x = 16 .
Có x = 16 (thỏa mãn điều kiện của x )  x = 4 thay vào biểu thức A ta được: (4 + ) 1 (4 − 3) 5.3 15 A = = = 4 − 2 2 2 15
Vậy khi x = 16 giá trị của A là A = . 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 86 B
2) Rút gọn biểu thức M = . A
Với x  0; x  4; x  9 , ta có:
x ( x + 2) − (3 x + 6) x 3 x + 6
x + 2 x − 3 x − 6 B = − = = x − 2 x − 4 x − 4 x − 4 ( x +2)( x −3) x − x − 6 − = = x 3 = . x − 4
( x +2)( x −2) x −2 + − x − ( x )1( x 3 3 ) B x − 3 x − 2 1 M = = : = . = A x − 2 x − 2 x − 2 ( x + ) 1 ( x − 3) x +1 3 3) Xét 3.M = . x +1
Vói điều kiện x 0; x 4; x 9. 3 Ta có:
x  0  x +1  1  3 x +1
Mặt khác 3.M  0 . Do đó 0  3.M  3
Để 3M nhận giá trị nguyên  3M 1;2;  3 3     1 
 1;2;3  x  4; ;0 x +1  4  1 
Vì x  0; x  4; x  9  x   ;0 . 4  1 
KL: Vậy x   ;0 thì 3M  nhận giá trị nguyên. 4 
Câu 90. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Trưng Nhị - 2019-2020) x x 1 1 Cho biểu thức: A = và B = − +
với x  0; x  4 x +1 x − 4 2 − x x + 2 1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = . 4
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Cho P = A : B . Tính giá trị nhỏ nhất của P khi x  , x  8 . Lời giải 1 1  1  1 3 1 1) Thay x =
(thỏa mãn) vào biểu thức A : A = :  +1 = : =   4 4 4 2 2 3  
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 87 1 1 Vậy khi x = thì A = . 4 3 x 1 1 2) B = − + x − 4 2 − x x + 2 x x + 2 x − 2 = ( + +
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) x ( x + 2) x + x + 2 + x − 2 + = x 2 x x ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x −2 x x x − 3) Có P = 2 3 A : B = : = =1− x +1 x − 2 x +1 x +1
Vì x  , x  8  x  9  3 1 x  3  x +1  3 3 4   1−  x +1 4 x +1 3 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi x = 9 . 3
Câu 91. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Trưng Nhị - 2019-2020) 1− x 15− x 2  x +1 Cho A = và B =  +  :  
với x  0; x  25 1+ x x − 25 x + 5 x − 5  
a) Tính giá trị của A khi x = 3 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm giá trị của a để phương trình A − B = a có nghiệm. Lời giải ( − − )2 1 3 1 3 4 − 2 3 4 − 2 3
a) Thay x = 3 (TMĐK) vào A ta được: A = = = = = − + 1+ 3 (1− 3)(1+ 3) 2 3 1− 3 2 −
Vậy với x = 3 thì A = 2 − + 3 15− x 2  x +1 b) B =  +  :  
với x  0; x  25 x − 25 x + 5 x − 5    2 −  − x ( x 5 15 ) x − 5   (  = + 
x − 5)( x + 5) ( x + 5)( x − 5) .  x +1   
15 − x + 2 x −10 x − 5  5 + x x − 5 1 = ( =
x + 5)( x − 5) . + +  ( 
=  x −5)( x +5) . x +1  x 1 x 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 88 1
Vậy với x  0; x  25thì B = x +1 1− x 1 − x
c) Ta có: A − B = − = 1+ x x +1 1+ x − Để x
A − B = a có nghiệm thì = a có nghiệm 1+ x
Suy ra − x − a x − a = 0 có nghiệm a  1 −   − −    − a  0  1 a 0 a 1    a  1 −  1 −  a  0   a +1 0 a a     x =  0    0     1 −  a  0   5 − 1 − − a a +1     a  0 a     5 −   6  x  5  a   a +1 0 a  5    6  1 − − aa − 5  ( 1 − − a)  0 5 −
Để A − B = a có nghiệm thì 1
−  a  0;a  . 6
Câu 92. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Trưng Vương – 2019-2020) x − 2 x −1 3 x 2 − 5 x
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x  0 ; x  4 . x + 2 x + 2 2 − x x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = .
A B khi x N , x  101 . Lời giải
1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A= = 25 + 2 7 3 Vậy A= khi x = 25 . 7
2) Với x  0 ; x  4 ta có: x −1 3 x 2 − 5 x x −1 3 x 2 − 5 x B = − − = + − x + 2 2 − x x − 4 x + 2 x − 2 ( x +2)( x −2)
( x − )1( x −2) 3 x( x +2) 2 − 5 x = ( + −
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
x − 3 x + 2 + 3x + 6 x − 2 + 5 x + = 4x 8 x ( = x + 2)( x − 2) ( x +2)( x −2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 89 4 x ( x + 2) = 4 x ( = x + 2)( x − 2) x − 2 4 x Vậy B =
với x  0 ; x  4 x − 2
3) Với x  0 ; x  4 ta có: x − 2 4 x 4 x 8 M = . A B = . = = 4 − x + 2 x − 2 x + 2 x + 2
Có x N ; 0  x  101nên 0  x  100  x + 2  12 8 2 8 2    10 4 −  4 −  M x + 2 3 x + 2 3 3 10
Vậy M có giá trị lớn nhất là khi x = 100 . 3
Câu 93. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Trưng Vương – 2019-2020) 9 − 3 x x 1 − x x + 4 Cho biểu thức A = B = + −
với x  0 , x  4 . x − và 4 x +1 x − 2 x − x − 2
1. Tính giá trị của A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B . 3. Tìm x
để biểu thức P = A: B nhận giá trị là một số nguyên âm. Lời giải
1. với x  0 , x  4 .Thay x
16 (thỏa mãn điều kiện) thỏa mãn điều kiện vào A ta được : 9 − 3 16 9 − 3.4 3 1 A = = = − = − 16 − 4 16 − 4 12 4
2. Ta xét biểu thức B với x  0; x  4 x 1 − x x + 4 B = + − x +1 x − 2 x − x − 2 x ( x − 2) (1− x)( x + )1 x + 4 B = ( + − x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) 3 − − + − − − − − ( x + x x x x x )1 2 1 4 3 3 B = ( = = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2) ( x + )1( x −2) 3 − B = x − 2 3 − − (3− 9 3 3 x x ) x − 2
3. Ta có: P = A : B = : = x − x − 2
( x −2)( x +2). 4 3 −
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 90 x − 3 5 P = =1− x + 2 x + 2 5 5 Do x  0  0   x + 2 2  5 =1  x = 9 x + 2  x + 2 = 5 Để 5 P nguyên thì nguyên       1 x + 2  5   = 2 x + 4 = 5 x = 2   4  x + 2
Thử lại : x = 9  P = 0 (loại) 1 x =  P = 1
− (thỏa mãn P nguyên âm) 4
Câu 94. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Ứng Hòa – 2019-2020) 4 x x − 2 1 5 − 2 x
Cho hai biểu thức A = và B = + +
(với x  0, x  1, x  25 ). x − 5 x −1 x + 2 x + x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9 .
2) Rút gọn biểu thức B . A
3) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho  4. B Lời giải 4 9 4 3 .
1) Thay x = 9 (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có: A = = = 6 − 9 − 5 3 − 5 Vậy A = 6 − khi x = 9 .
2) Với x  0, x  1, x  25 x − 2 1 5 − 2 x B = + + x −1 x + 2 x + x − 2 ( x −2)( x +2) x −1 5 − 2 x = ( + + x − )
1 ( x + 2) ( x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2) x − + − + − − ( x − x x x x x )1 4 1 5 2 x = ( = = = x − ) 1 ( x + 2)
( x − )1( x +2) ( x − )1( x +2) x +2
3) Với x  0, x  1, x  25 Điều kiện: x B  0 
 0  x  0  x  0  x  0,x  1,x  25. x + 2 4 + A x x x x + ( x 2 4 4 2 )  4  :  4    4   4 B x − 5 x + 2 x − 5 x x − 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 91 x + 2 + − +  − x 2 x 5 7 1  0   0   0 x − 5 x − 5 x − 5
Ta có 7  0 nên x − 5  0 
x  5  x  25
Mà x là số tự nhiên lớn nhất, x  0, x  1, x  25 do đó x = 24 (TMĐK) Vậy A
x = 24 là số tự nhiên lớn nhất để  4. B
Câu 95. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Vạn Điểm – 2019-2020) x +3 x 1  x + 2
Cho các biểu thức P =  +  :  
với x  0; x  25 x − 25 x + 5 x − 5  
1) Rút gọn biểu thức : P
2) Tìm x để ( x + 2) P =12
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Lời giải
1) Với x  0; x  25 ta có    x + 3 x 1  x + 2 x + 3 x x − 5 x + 2 P   :    x − x + x −     (  = + = +
x + 5)( x − 5) ( x + 5)( x − 5) : 25 5 5  x − 5  x + x + x − x + x + x − x + ( x − )1( x +5 3 5 2 4 5 2 ) x −5 x −1 = ( = = =
x + 5)( x − 5) : x −
( x +5)( x −5): x − ( x +5)( x −5). 5 5 x + 2 x + 2 x −1 Vậy P = x + 2
2) Với x  0; x  25 Để
( x + )P = ( x + ) x −1 2 12 2 .
=12  x −1 =12  x =13  x =169(tmdk) x + 2
Vậy với x = 169 thì ( x + 2) P =12 x −1 x + 2 − 3 3 3) P = = =1− x + 2 x + 2 x + 2 vì x + 2  2 x  TXĐ 3 3 3 3 3 3    −  − 1− 1− x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 1 − 1 − hay P
dấu "=" xảy ra khi x = 0 (TMĐK). Vậy Min P =  x = 0 2 2
Câu 96. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Văn Quán – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 92 2 x −1 x + 9 5
Cho hai biểu thức: A = và B = +
với x  0; x  1. x +1 x −1 1− x
1) Tính giá trị của A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức P = A: B .
3) Tìm m để có 2 giá trị x thỏa mãn: mA = x − 2 . Lời giải
1) x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 2 x −1 2 25 −1 2.5 −1 10 −1 9 3
Thay x = 25 vào biểu thức A = ta được: A = = = = = . x +1 25 +1 5 +1 6 6 2 3
Vậy khi x = 25 thì A = . 2
2) Với x  0 ; x  1. Ta có:  
2 x −1  x + 9 5  2 x −1 x + 9 5
P = A : B = : +   = :  − 
x +1  x −1 1− x
x +1  ( x − ) 1 ( x +  )1 x −1  5 − + ( x +  x x )1 2 1 9 2 x −1
x + 9 − 5 x − 5 P = :  −  = :
x +1  ( x − ) 1 ( x + ) 1 ( x − )1( x + x +1 ( x − ) 1 ( x + )  )1 1 2 x −1 x − 5 x + 4
2 x −1 x − 4 x − x + 4 P = : = : x +1 ( x − ) 1 ( x + ) 1 x +1
( x − )1( x + )1 − − − x − − − x − ( x 4) ( x 4 2 1 ) x −
(x 4 x) ( x 4 2 1 ) P = : = : x +1
( x − )1( x + )1 x +1
( x − )1( x + )1
− ( x − 4)( x − x )1 2 1 2 x −1 x − 4 P = : = : x +1
( x − )1( x + )1 x +1 x +1 2 x −1 x +1 2 x −1 P =  = . x +1 x − 4 x − 4 2 x −1
Vậy với x  0 ; x  1 thì P = . x − 4 2 x −1
3) Với x  0 , ta có: mA =
x − 2  m  = x − 2 x +1  m(2 x − )
1 = ( x − 2)( x + ) 1
 2m x − m = x + x − 2 x − 2  x −(2m+ ) 1
x + m − 2 = 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 93
Đặt t = x ( t  0 ) 2
t − (2m + )
1 t + m − 2 = 0 ( )1
Yêu cầu bài toán  Phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt không âm t ; t 1 2  = −  ( m + ) 2 2 1  − 4.  ( 1 m − 2) 2 2
= 4m + 4m +1− 4m +8 = 4m + 9  0 với mọi m .  Phương trình ( )
1 luôn có hai nghiệm phân biệt t ; t với mọi m . 1 2
t + t = 2m +1
Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2  . t t = m − 2  1 2 t  + t  0 Phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt không âm t ; t 1 2   1 2 t t  0  1 2  −  1 2m +1  0 2m  1 −    m      2  m  2 . m − 2  0 m  2 m  2
Vậy với m  2 thì có 2 giá trị x thỏa mãn: mA = x − 2 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 94
Câu 97. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Trường thực nghiệm KHGD – 2020-2021) x + x +1 x −1 5 x −8 Cho biểu thức A= và B = −
với x 0; x  4; x 16 x − 4 x − 2 x − 2 x
1) Tính giá trị của A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B . 3) Cho S = .
A B . So sánh S với 2 . Lời giải
1) Tính giá trị của A khi x = 25 . 25 + 25 +1
Thay x = 25 ( TMĐK) vào A ta được A = = 31 25 − 4
2) Rút gọn biểu thức B .
Với x 0; x  4; x 16 x 4 x 2 x 1 5 x 8 x x 5 x 8 x 6 x 8 x 4 B x 2 x 2 x x. x 2 x. x 2 x. x 2 x 3) Cho S = .
A B . So sánh S với 2
Với x 0; x  4; x 16 x + x +1 x − 4 x + x +1 1 S = . A B = = = x + +1 x − 4 x x x
x  0 nên áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: 1 1 1 x +  2 x. = 2  x + +1  2  S  2 x x x 2  1  3 x − +   x − x + 1  2  4
Cách 2: Xét hiệu S − 2 = =
 0 với x0; x4; x16 x x Suy ra S  2
Câu 98. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Ôn thi vào 10 – 2019-2020) x − 3 x +16 2x − 4 x + 6 x +1
Cho hai biểu thức: A = ; B = −
với x  0, x  4, x  9 . x − 3 x − 2 x x − 2
a) Tính giá trị của A khi x = 36 b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho P = A.B. Tìm GTNN của P. Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 95
a) Tính giá trị của A khi x = 36 x − 3 x +16 Ta có: A =
(đkxđ: x  0, x  4, x  9 ) x − 3
Thay x = 36 (tmđkxđ) vào biểu thứcA, ta có: 36 − 3 36 +16 34 A = = 36 − 3 3 b) Rút gọn biểu thức B 2x − 4 x + 6 x +1 Ta có: B = −
(đkxđ: x  0, x  4, x  9 ) x − 2 x x − 2 − − x −
x + − x − x x − x + ( x 2)( x 3 2 4 6 5 6 ) x − 3  B =  =  =  = x ( B B B x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x
c) Cho P = A. B. Tìm GTNN của P Ta có: P = . A B
(đkxđ: x  0, x  4, x  9 ) x − 3 x +16 x − 3 x − 3 x +16 16  P =   P =  P = x − 3+ x − 3 x x x 16
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương x và , ta có: x 16 16 16  x +  2 x   x +
− 3  2 16 − 3  P  5 x x x 16 Dấu “=” xảy ra  x =  x =16 (tmđkxđ) x
Vậy GTNN của P bằng 5 khi x = 16
Câu 99. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Bài 1 (Đề ôn thi vào 10 – 2020-2021) 2 x + 6 x + 2 x
Cho hai biểu thức: A = ; B = −
với x  0, x  1. x −1 x + x − 2 x + 2
a) Tính giá trị của A khi x = 7 − 2 6
b) Rút gọn biểu thức P = A : B
c) Tìm x để ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10 Lời giải
a) Tính giá trị của A khi x = 7 − 2 6 Ta có: x = − = ( − )2 7 2 6 6 1
x = 6 −1(TMĐK) Thay vào biểu thức A ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 96 2( 6 − ) 1 + 6 + + ( 6 +2)(3+ 6 2 6 4 6 2 ) 5 6 +12 A = = = = = 7 − 2 6 −1 6 − 2 6 3 − 6 (3+ 6)(3− 6) 3 5 6 +12
Vậy khi x = 7 − 2 6 thì A = 3
b) Rút gọn biểu thức P = A : B Ta có 2 x + 6  x + 2 x
P = A : B = :  −    x −1 x + x − 2 x + 2   x + 2 − x + ( x − )1 + ( x +2)( x − x x )1 2 6 2 6 2 x + 6 = : = = x −
( x +2)( x − )1 ( x − )1( x + ). 1 1 x + 2 x +1 2 x + 6 Vậy P =
với x  0, x  1. x +1
c) Tìm x để ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10 Ta có: ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10 ( +  x + ) 2 x 6 1 .
= x − 2 x + x − 4 +10 x +1
 2 x + 6= x − 2 x + x − 4 +10  x − 2 x + x − 4 − 2 x + 4 = 0
x − 4 x + 4 + x − 4 = 0  ( x − 2)2 + x − 4 = 0 Vì ( x − )2 2
 0 với x  0, x 1
x − 4  0 với mọi x  4  x − 2 = 0
Nên dấu”=” xảy ra    x = 4 (TMĐK)  x − 4 = 0
Vậy x = 4 thì ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10
Câu 100. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Tạ Quang Bửu – 2020-2021) 4 x − 7  3 x + 4 1  2
Cho hai biểu thức A = và B =  −  :
với x  0, x  4.   x − 2 x − 4 x + 2 x + 2  
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.
b) Rút gọn biểu thức B . A
c) Tìm giá trị nguyên của x để đạt giá trị nguyên. B Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 97 4 9 − 7 4.3 − 7
a) Thay x = 9 thỏa mãn điều kiện vào biểu thức A : A = = = 5 9 − 2 3 − 2  3 x + 4 1  2 b) B =  −  :   x − 4 x + 2 x + 2   3 x + 4 − x + 2 x + 2 B = : x − 4 2 2 x + 6 x + 2 x + 3 B = . = x − 4 2 x − 2 A 4 x − 7 x + 3 4 x − 7 x − 2 4 x − 7 1 − 9 c) = : = . = = 4 + B x − 2 x − 2 x − 2 x + 3 x + 3 x + 3
Có x  thì x là số nguyên hoặc số vô tỉ. Trườ A
ng hợp 1: x là số vô tỉ, khi đó
có giá trị là số vô tỉ (loại) B
Trường hợp 2: x là số nguyên. A 19 − = 4 + có giá trị nguyên 
x + 3Ö (19) =  1  ; 1   9 B x + 3 Mà x + 3  3
x + 3 =19  x =16  x = 256 (thỏa mãn) Vậy x = A 256 thì đạt giá trị nguyên. B
Câu 101. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Tam Hiệp – 2019-2020) 2x + 2 x x −1 x x +1 Cho biểu thức: P = + −
với x  0; x  1 x x − x x + x
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9 . 7
c) Tìm giá trị của x để biểu thức
chỉ nhận một giá trị nguyên ( khi biểu thức P có nghĩa). P Lời giải 2x + 2 x x −1 x x +1 a) P = + −
(với x  0; x  1) x x − x x + x 2x + 2
( x −1)(x + x +1)
( x +1)(x − x +1) P = + − x x ( x −1) x ( x +1) 2x + 2 x + x +1 x − x +1 P = + − x x x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 98 2x + 2 + x +
x +1+ x − x +1 P = x 2x + 2 x + 2 P = . x + + + + b) Thay x = 2.9 2 9 2 18 6 2 26 9 vào ta được P = = = 9 3 3 x
c) Với x  0; x  7 7 1thì: =
với x  1 và x là số chính phương. P 2(x + x +1) x
Ta có: x + x +1  7 7 7 3 x nên =  P 2(x + x +1) 6 7 Suy ra
chỉ nhận giá trị nguyên đó là giá trị 1, P 7 x Tức là:
=1  7 x = 2x + 2 x + 2 2(x + x +1) x = 4 2x 5 x 2 0   − + =  1 (nhận). x =  4
Câu 102. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Tam Khương – 2020-2021) x + 3 1 1 x
Cho các biểu thức: A = và B = + −
với x  0 ; x  4 . x − 2 x − 2 x + 2 4 − x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm các giá trị của x để B ( x − 2) + 2 x = x − 7(x − 2) + 7 . Lời giải
1) Khi x = 16 (thoả mãn điều kiện) 16 + 3 4 + 3 7 Ta có A = = = . 16 − 2 4 − 2 2 2) Ta có: 1 1 x B = + − x − 2 x + 2 4 − x x + 2 + x − 2 + x B = ( x −2)( x +2) x + 2 x x B = = .
( x −2)( x +2) x −2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 99 x
3) B ( x − 2) + 2 x = x − 7(x − 2) + 7 
( x −2)+2 x = x− 7(x−2) +7 x − 2
x − 3 x − 7(x − 2) + 9 = 0  2x − 6 x − 2 7(x − 2) +18 = 0
x − 6 x + 9 + (x − 2) − 2 x − 2. 7 + 7 + 4 = 0
 ( x − )2 +( x − − )2 3 2 7 + 4 = 0 (vô nghiệm).
Câu 103. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Tân Định – 2019-2020) − 4 x + 2 x −10 x −1 x + 2 Cho hai biểu thức = x A và B = + −
với x  0; x  4 x x − 2 x x − 2 x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 3 2) Chứng minh = x B x A A
3) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x sao cho  B B Lời giải − 4 4 − 4 2 − 4 1) Thay x = 4 vào = x A ta có A = = = 1 − x 4 2
Vậy A = −1 khi x = 4 x + 2 x −10 x −1 x + 2 2) B = + − x − 2 x x − 2 x x + 2 x −10 x −1 x + 2 = + − x ( x − 2) x − 2 x x + 2 x −10 x ( x −1)
( x + 2)( x − 2) = + − x ( x − 2) x − 2 x
x + 2 x −10 + x − x − x + 4 = x ( x − 2) x + x − 6 x + x − x − x + x + = 6 ( 2)( 3) 3 = = = x ( x − 2) x( x − 2) x ( x − 2) x x − 4 A x x − 4 3) = = đk x  0 B x + 3 x + 3 x A A A x − 4 Để  thì  0 hay
 0 Vì với x  0 thì x + 3  0 B B B x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 100
Nên x − 4  0  x  4  x  16 A A
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x = 15thì  B B
Câu 104. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2020-2021) 1
1.Tính giá trị của biểu thức: A = 12 − 48 + 27 4 x + 2 x +1 2( x + 4) 3
2. a) Chứng minh rằng biểu thức B = + −
(x  0;x  4) bằng x − 2 x + 2 x − 4 x + 2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B? Lời giải 1) Ta có : 1 A = 12 − 48 + 27 4 = 2 3 − 3 + 3 3 = 4 3 2a) Ta có: x + 2 x +1 2( x + 4) B = + −
(x  0;x  4) x − 2 x + 2 x − 4
( x +2)2 +( x + )1( x −2)−2(x+4) = ( x −2)( x +2)
x + 4 x + 4 + x − x − 2 − 2x − 8 = ( x −2)( x +2) 3 x − 6
= ( x −2)( x +2) 3 = x +2 3 Vậy B = (dpcm) x + 2
b) Ta có: x + 2  2, x  0, x  4 3 3 3    B  + x 2 2 2
Dấu “ = “ xảy ra khi x = 0  x = 0(TM ) 3
Vậy giá trị lớn nhất B = khi x = 0 2
Câu 105. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 101 x + 7
a) Cho biếu thức A =
với x  0 . Tính giá trị của A khi x = 16 . x x 2 x −1 2x − x − 3
b) Cho biểu thức B = + −
với x  0, x  9 . Rút gọn biểu thức B . x + 3 x − 3 x − 9 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + A . B Lời giải x + 7
a) Cho biếu thức A =
với x  0 . Tính giá trị của A khi x = 16 . x x + +
Khi x = 16 thỏa mãn điều kiện x  0 , thay x = 7 16 vào A = 16 7 23 ta được: A = = . x 16 4 Vậy với x = 23 16 thì A = . 4 x 2 x −1 2x − x − 3
b) Cho biểu thức B = + −
với x  0, x  9 . Rút gọn biểu thức B . x + 3 x − 3 x − 9
Với x  0, x  9 , ta có:
x.( x − 3) + (2 x − )
1 ( x + 3) − (2x − x − 3) x 2 x −1 2x − x − 3 B = + − = x + 3 x − 3 x − 9 ( x +3)( x −3)
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 + = x 3 x = ( x +3)( x −3) ( x +3)( x −3) x ( x + 3) = x = .
( x +3)( x −3) x −3 x
Vậy với x  0, x  9 thì B = . x − 3 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + A . B
Với x  0, x  9 , ta có: 1 1 x + 7 x − 3 x + 7 x + x + 4 4 4 S = + A = + = + = = 1+ x +  1+ 2 x. = 5 B x x x x x x x x − 3
(do áp dụng bất đẳng thức Cauchy). Dấu “ = 4 ” xảy ra khi x =
x = 4 (thỏa mãn điều kiện). x
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 5 xảy ra khi x = 4 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 102
Câu 106. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(HK2 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2019-2020) x x 5 2 x − 4
Cho các biểu thức A = và B = − +
với x  0, x  1 x + 1 x −1 x + 1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . x − 1 b) Chứng minh B = x + 1 B 3
c) Tìm giá trị của x để  . A 4 Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
Thay x = 9 (thoả mãn điều kiện) vào A ta được: 9 3 3 A = = = . 9 + 1 3 + 1 4 Vậy với x = 3 9 thì A = . 4 x − 1 b) Chứng minh B = x + 1 x 5 2 x − 4 B = − +
với x  0, x  1 x −1 x + 1 x −1 x ( x + ) 1 − 5( x − ) 1 + 2 x − 4 + − + + −  x x 5 x 5 2 x 4 B =  B =
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 ( x − )2 x − 2 x + 1 1  x −1 B =  B = =
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 x +1 x − 1 Vậy B =
với x  0, x  . 1 x + 1 B 3
c) Tìm giá trị của x để  . A 4 B x −1 x x −1 x + 1 x −1 Ta có: = : = . = . A x + 1 x + 1 x + 1 x x B 3 x − Để  1 3 thì
 (x  0, x  ) 1 A 4 x 4 x −1 3 − − −  −  4 x 4 3 x x 0   4 0   0 x 4 4 x 4 x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 103 x − Vì x  0 x   0 nên 4 x  4 0 nên
 0 khi x − 4  0  x  4 4 x
x  16 kết hợp với điều kiện x  0, x  1 suy ra 0  x 16 , x  1. B
Vậy với 0  x  16 , x  3 1 thì  . A 4
Câu 107. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – Phòng GD Quận Thạch Hà – 2020-2021)
1) Thực hiện phép tính 3 20 − 80 + 4 5 .  1 1  2 
2) Cho biểu thức Q = + 1−  
 (với x  0, x  4).  x + 2 x − 2  x  a) Rút gọn Q . 1
b) Tìm giá trị của x để Q  . 2 Lời giải
1) Ta có 3 20 − 80 + 4 5 = 6 5 − 4 5 + 4 5 = 6 5 .
2) a) Với x  0, x  4 ta có    1 1  2  2 xx − 2  2 Q = + 1−    =     = .  x + 2 x − 2  x  (   
x + 2)( x − 2) x   +   x 2 1 2 1 4 − x − 2 2 − x b) Q      0 
 0  2 − x  0 (do x +  ) 2 x + 2 2 x + 2 x + 2 0 2 Vậy 0  x  4
Mà x  0, x  4 nên 0  x  4 Vậy 0  x  1 4 để Q  . 2
Câu 108. (Thầy Nguyễn Chí Thành)  2x +1 x 1+ x x
Cho biểu thức: B =  − 
− x  với x  0 và x 1    x x −1 x + x +1 1+   x  a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 5 Lời giải a) Rút gọn B
Với x  0 và x  1  2x +1 x 1+ x xB =  −  − x     x x −1 x + x +1 1+   x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 104 (2x + )
1 − x ( x − )
1 (1+ x )( x − x + ) 1  B = .  −  x
( x − )1(x+ x + )1  1+ x    x + x + B = x −
( x − )(x+ x + ) ( )2 1 . 1 1 1 B = x −1
Vậy với x  0 và x  1 thì B = x −1
b) Tìm x để B = 5
B = 5  x −1 = 5  x = 6  x = 36 (Thỏa mãn x  0 và x  1)
Vậy x = 36 thì B = 5 .
Câu 109. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(TS 10 – Phòng GD Tỉnh Thái Nguyên – 2020-2021)  2x +1 x 1+ x x
Cho biểu thức: B =  − 
− x  với x  0 và x 1    x x −1 x + x +1 1+   x  a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 5 Lời giải a) Rút gọn B
Với x  0 và x  1  2x +1 x 1+ x xB =  −  − x     x x −1 x + x +1 1+   x  (2x + )
1 − x ( x − )
1 (1+ x )( x − x + ) 1  B = .  −  x
( x − )1(x+ x + )1  1+ x    x + x + B = x −
( x − )(x+ x + ) ( )2 1 . 1 1 1 B = x −1
Vậy với x  0 và x  1 thì B = x −1
b) Tìm x để B = 5
B = 5  x −1 = 5  x = 6  x = 36 (Thỏa mãn x  0 và x  1)
Vậy x = 36 thì B = 5 .
Câu 110. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Đề thi thử vào 10 – THCS Thái Thịnh – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 105 x − 2 x + 3 x − 2 x + 8 2 Cho biểu thức A = và B = −
với điều kiện x  0; x  4 x − 2 x − 4 x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B 3) Gọi P = .
A B . So sánh P và P Lời giải
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9
Thay x = 9 (thỏa mãn ĐK: x  0; x  4 ) vào biểu thức A ta được: 9 − 2 9 + 3 9 − 6 + 3 A = = = 6 9 − 2 3 − 2
Vậy với x = 9 , giá trị của biểu thức A = 6
2) Rút gọn biểu thức B
Với x  0; x  4 , ta có:
x − 2 x + 8 − 2 + x − x + x − x + ( x 2 2 8 2 2 8 2 ) B = − = − = x − 4 x − 2
( x −2)( x +2) x −2
( x −2)( x +2) − x − x + ( x 2 4 4 )2 x − 2 = ( = =
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x + 2 x −
Vậy với x  0; x  2 4 thì B = x + 2 3) Gọi P = .
A B . So sánh P và P
Với x  0; x  4 , ta có: − + − − + + ( x − + x x x x x )2 2 2 2 3 2 2 1 2 P = . A B = . = =  0 , x − 2 x + 2 x + 2 x + 2
do đó P = P (với x  0; x  4 )
Câu 111. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Đề thi tuyển sinh vào 10 – THCS Thái Thịnh – 2020-2021) x − 7 x x − x +
Cho hai biểu thức A = 3 2 3 6 và B = + +
với x  0 , x  4 . x x + 2 2 − x x − 4
a)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b)Rút gọn biểu thức B . c)Tìm x  = để biểu thức P .
A B có giá trị nguyên. Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 106 9 − 7 2
Thay x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta đượ = = c: A . 9 3 Vậy x = 2 9 thì A = . 3
b) Rút gọn biểu thức B .
Với x  0 , x  4 ta có: 3 x 2x − 3 x + 6 B = + + x + 2 2 − x x − 4 3( x − 2) x ( x + 2) 2x − 3 x + 6 = − +
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) ( x −2)
3 x − 6 − x − 2 x + 2x − 3 x + 6 x − 2 x x = = = ( x +2)( x −2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x Vậy B = . x + 2 c) Tìm x  = để biểu thức P .
A B có giá trị nguyên. Ta có: P = . A B x − 7 x x − 7 x − 4 − 3 P =  = = x x + 2 x + 2 x + 2 3 P = x − 2 − . x + 2
+ Xét x = 7  P = 0
. Suy ra x = 7 thỏa mãn.
+ Xét x  7 , x  nhưng x  
x là số vô tỷ 
x + 2 là số vô tỷ. Mà x − 7  là số nguyên khác 0 P là số vô tỷ.
+ Xét x  và x
x + 2 và x − 2 . Do đó P  3 khi
  x + 2 Ư (3) . x + 2 Mà x + 2  2
x + 2 = 3  x =1  x =1 (thỏa mãn)
Vậy x = 7 ; x = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 112. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Thành Công – 2020-2021) x + 3
1) Cho x = 3 − 2 , hãy tính giá trị của biểu thức A = với x  0 . x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 107 11( x − + x )1 8 2
2) Rút gọn biểu thức B = −
với x  0 ; x  1. x −1 x + 2 x − 3
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị nguyên. Lời giải x + 1) Cho x = 3 − 3
2 , hãy tính giá trị của biểu thức A = với x  0 x + 2 Thay x = − = ( − )2 3 2
2 1 (thỏa mãn điều kiện x  0 ) vào biểu thức, ta được: ( 2 − )2 1 + 3 2 −1+ 3 A = = ( − )2 2 −1+ 2 2 1 + 2 2 + 2 1 2 −1 A = =1+ =1+ = 2 2 +1 2 +1 1
Vậy với x = 3 − 2 thì giá trị của biểu thức A = 2 . 11( x − + x )1 8 2
2) Rút gọn biểu thức B = −
với x  0 ; x  1 x −1 x + 2 x − 3
Với x  0 ; x  1 ta có: 11( x − + x )1 8 2 B = − x −1 x + 2 x − 3 2 x 11 x − 3 B = − x −1
( x − )1( x +3)
2 x ( x + 3) − (11 x − 3) B =
( x − )1( x +3)
2x + 6 x −11 x + 3 B =
( x − )1( x +3) 2x − 5 x + 3 B =
( x − )1( x +3)
( x − )1(2 x −3) 2 x −3 B = =
( x − )1( x +3) x + 3 x −
Vậy với x  0 ; x  2 3 1 thì B = . x + 3
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị nguyên.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 108
Với x  0 ; x  1 P = . A B x + 3 2 x − 3 2 x − 3 P = . = x + 2 x + 3 x + 2 2 x + 4 − 7 7 P = = 2 − x + 2 x + 2 1 1 7 7 7 7 3 Vì x  0 
x  0  x + 2  2    −  −  2−  2− = − x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 2 3 Hay P  − (1) 2 7 7 Có: x  0 
x  0  x + 2  0   0  2 −  2 x + 2 x + 2 Hay P  2 (2) 3 Từ (1) và (2) suy ra: −
P  2 mà P Z nên P =  1 − ;0  ;1 2 2 x − 3 1 +) P = 1 −  = 1
−  2 x − 3 = − x − 2  3 x =1  x = (thỏa mãn x  0 ; x 1) x + 2 9 2 x − 3 9 +) P = 0 
= 0  2 x − 3 = 0  2 x = 3  x = (thỏa mãn x  0 ; x 1) x + 2 4 2 x − 3 +) P = 1 
= 1  2 x − 3 = x + 2  x = 5  x = 25 (thỏa mãn x  0 ; x 1) x + 2 1 4 
Vậy với x   ; ; 25 thì P = .
A B nhận giá trị nguyên. 9 9 
Câu 113. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Thành Công – 2020-2021) x − 4
1) Cho x = 25 . Hãy tính giá trị của biểu thức Q = với x  0 . x +1 5 x 3 − x 6x
2) Rút gọn biểu thức P = − +
với x  0; x  4 . x − 2 x + 2 4 − x
3) Tìm x để biểu thức M = .
P Q đạt giá trị lớn nhất. Lời giải:
1) Giá trị x = 25 thỏa mãn điều kiện x  0 
x = 5 , thay vào biểu thức Q ta được: x − 4 25 − 4 21 7 Q = = = = . x +1 5 +1 6 2 7
Vậy khi x = 25 thì Q = . 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 109 x − x x
2) Với x  0; x  5 3 6 4 ta có: P = − + . x − 2 x + 2 4 − x 5 x 3 − x 6x P = − − x − 2 x + 2 x − 4 5 x.( x + 2)
(3− x)( x −2) 6x = ( − −
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)
5 x.( x + 2) − (3− x )( x − 2) − 6x =
( x −2)( x +2 )
5x +10 x − 3 x + 6 + x − 2 x − 6x 5 x + 6 = = . ( x −2)( x +2)
( x −2)( x +2) 5 x + 6 Vậy P = . ( x −2)( x +2) 5 x + 6 x − 4 5 x + 6 5 x + 5 +1 1 3) Ta có: M = . P Q = . = = = 5 + .
( x −2)( x +2) x +1 x +1 x +1 x +1 1 1 vì x  0  x  0  x +1  1  1  5+  6 . x +1 x +1
hay M  6 . Dấu "=" xảy ra khi x = 0 (thoả mãn điều kiện).
Vậy max M = 6 khi x = 0 .
Câu 114. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL lần 1 – Phòng GD Thanh Oai – 2019-2020)  2 15 − x x +1 1− x
Cho hai biểu thức: A =  −  : và B =
với x  0; x  25 .   x + 5 25 − x x − 5   x +1
1) Tính giá trị của B khi x =16 .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Đặt P = A − B . So sánh P và 2 P . Lời giải
1) x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) 1− x 1− 16 1− 4 3 −
Thay x = 16 vào biểu thức B = ta được: B = = = x +1 16 +1 4 +1 5 3 −
Vậy khi x = 16 thì A = . 5
2) Với x  0 ; x  25 . Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 110  2 15 − x x +1 A =  −  :   x + 5 25 − x x − 5    2 ( x − 5)  1 − 5 + x x +1   A = − : 
 ( x + 5)( x − 5) ( x + 5)( x − 5)  x − 5 
2 x −10 +15 − x x − 5 A = 
( x +5)( x −5) x +1 x + 5 x − 5 1 A =  =
( x +5)( x −5) x +1 x +1 1
Vậy với x  0 ; x  25 thì A = x +1 1 1− x 1−1+ x x
3) Với x  0 ; x  25 . Ta có: P = A − B = − = = x +1 x +1 x +1 x +1 x Do 2 x  0  x +1  x  0  0 
 1 P P x +1
Vậy với P = A − B thì 2 P P .
Câu 115. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL lần 2 – Phòng GD Thanh Oai – 2019-2020) 2 x x 3x − 3 x +1 Cho biểu thức: A = − − , B =
với x  0, x  9 . x + 3 3 − x x − 9 x − 3
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 49 . A 3 −
2) Chứng minh rằng P = = . B x + 3
3) Tìm x sao cho P( x + )
3 + 2 x − 2 + x = 2 . Lời giải + 1) Thay x = 49 1 8
49 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta có B = = = 2 . 49 − 3 4
Vậy khi x = 49 thì B = 2 .
2) Với x  0, x  9 ta có: A  2 x x 3x + 3  x +1 P = =  − −  : B x + 3 3 − x x − 9 x − 3  
2 x ( x − 3) + x ( x + 3) − 3x − 3 x − 3 = . ( x +3)( x −3) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 111 3 − ( x + )
2x − 6 x + x + 3 x − 3x − 3 x − 3 1 − = x 3 3 − . = . = . ( x +3)( x −3) x +1
( x +3)( x −3) x +1 ( x +3) A 3 − Vậy P = = . B x + 3
3) Điều kiện: x  2, x  9 . 3 − P( x + )
3 + 2 x − 2 + x = 2 
( x +3)+2 x−2 + x = 2 x + 3  3
− + 2 x − 2 + 2 = 2  x − 2 + 2 x − 2 − 3 = 0
Đặt t = x − 2 (t  0) t − = t =1 2
t + 2t −3 = 0  (t − ) 1 (t + 3) = 1 0 0     t + 3 = 0 t = 3 −
Với t = 1 (thỏa mãn điều kiện của t ) 
x − 2 = 1  x − 2 = 1  x = 3 (thỏa mãn điều kiện của x ). Với t = 3
− (không thỏa mãn điều kiện của t , loại)
Vậy x = 3 thì P( x + )
3 + 2 x − 2 + x = 2 .
Câu 116. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
Bài 1. (KSCL tháng 5 – THCS Thanh Quan – 2019-2020) x x +1 x + 4
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x  0 , x  1, x  4 . x −1 x − 2 x − 2 x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . x + 2 2) Chứng minh B = . x A 3) Với P =
. Tìm giá trị của x để P − P = 0 . B Lời giải 9 3
1) Thay x = 9 (tmđk ) vào biểu thức A , ta có: A = = 9 −1 2 3 Vậy A = khi x = 9 . 2
2)Với x  0 , x  9 ta có
( x + )1 x −( x +4) x +1 x + 4 x + x − x − 4 B = − = = x − 2 x − 2 x x ( x − 2) x ( x − ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 112 ( x −2)( x +2) + = x 2 = ( ĐPCM ) x ( x − 2) x A x x + 2 x + 2 3) P = = : = = B x −1 x x −1 x +
P − P = 0  P = P P  2 0   0 x −1
 Tử và mẫu cùng dấu 
x + 2  0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định
x −1  0   x 1
Kết hợp điều kiện xác định: x  0 , x  1, x  4 − = Vậy : P P
0 khi x 1 và x  4.
Câu 117. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Yên Mỹ - 2020-2021) x 2 x −1 2x − x − 3 x + 7
Cho các biểu thức: A = + − và B =
với x  0; x  9 . x + 3 x − 3 x − 9 x
1. Tính giá trị của B khi x = 25
2. Rút gọn biểu thức A . 1
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + B . A Lời giải x + 7
1. Tính giá trị của biểu thức B = khi x = 25 x 25 + 7 32
Thay x = 25 (TMĐK) vào biểu thức B ta có : B = = 25 5
2. Rút gọn biểu thức A . x 2 x −1 2x − x − 3 A = + − x + 3 x − 3 x − 9
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 A = .
( x + 3)( x − 3) x + 3 x A =
( x + 3)( x − 3) x ( x + 3) A =
( x + 3)( x − 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 113 x A = x − 3 1
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + B . A 1 x − 3 x + 7 x + x + 4 4 S = + B = + = = x + +1 A x x x x 4
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm x và , ta có : x 4 Co−si 4 S = x + +1  2 x. +1 = 5 x x 4 S = 5  x =  x = 4 min x
Câu 118. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL lần 1 – Phòng GD huyện Thanh Trì – 2019-2020) 1 x + 9 1 x + 3
Cho hai biểu thức: A = + − và B =
với x  0 ; x  9 . x + 3 x − 9 x − 3 x − 3
1. Tính giá trị của B khi x = 16 . 1
2. Chứng minh rằng: A = . x − 3 A 2 3. Tìm x để: = . B 7 Lời giải
1. Ta có x = 16 thỏa mãn x  0; x  9 . 16 + 3 4 + 3
Thay x = 16 vào biểu thức B ta được: B = = = 7 . 16 − 3 4 − 3
2. Với x  0; x  9 thì biểu thức A được xác định. x − 3 +
x + 9 − ( x + 3) 1 x + 9 1 Biển đổi: A = + − = x + 3 x − 9 x − 3 ( x +3)( x −3) x + 3 = 1 = .
( x +3)( x −3) x −3 1 Vậy A =
với x  0; x  9 . x − 3 A 2 x + 1 2 3. Ta có = 1 3 2  : =  = B 7 x − 3 x − 3 7 x + 3 7
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 114
 2 x + 6 = 7  2 x = 1 1  x = 1
x = (tmđk). 2 4
Câu 119. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL học kì 2 – THCS Thanh Xuân Nam – 2019-2020) x + 2 x +1 1
Cho các biểu thức: A = + và B =
với x  0 ; x  1 x x −1 x + x +1 x −1
1)Tính giá trị của B khi x = 49
2)Rút gọn biểu thức S = A − B 1 3)So sánh S với 3 Lời giải 1 1 1
1)Khi x = 49 thỏa mãn ĐKXĐ nên thay vào B ta có B = = = 49 −1 7 −1 6 x + 2 x +1 1
2) S = A − B = + −
với x  0 ; x  1 x x −1 x + x +1 x −1 x + 2 x +1 1 S = ( x − ) + − 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 x −1
x + 2 + ( x − ) 1 ( x + )
1 − ( x + x + ) 1 S =
( x − )1(x+ x + )1
x + 2 + x −1− x − x −1 x − = x S ( x ) = −1 (x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x ( x − ) 1 = x S ( x − ) = 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 1 3) So sánh S với 3 x x x x x x ( x − − − − − + − )2 1 1 1 3 1 2 1 Ta có S − = − = = = −
 0 với x  0 ; x 1 3 x + x +1 3 3( x + x + ) 1 3(x + x + ) 1 3(x + x + ) 1 1 Nên S  3
Câu 120. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
( Thi thử vào 10 – THCS Thanh Xuân Nam – 2020-2021) 1 x 1
Cho các biểu thức: A = + và B = với x  0 x x +1 x +1
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức P = A : B .
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 115 Lời giải 1 1 1
a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B , ta có: B = = = 25 +1 5 +1 6 1
Vậy giá trị của biểu thức B là khi x = 25 . 6  1 x  1 x +1+ x x +1 x + x +1
b) P = A : B =  +  : = . =   x x +1 x +1   x ( x + ) 1 1 x x + x + c) Với x  1 1 0 ta có : P = = x + +1 x x 1
Áp dụng bdt cô – si cho hai số dương x và ta có: x 1 P = x + +1 2 +1  P  3 x Đẳ 1
ng thức xảy ra khi x =
x =1 (thỏa mãn điều kiện) x
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi x = 1 .
Câu 121. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(HK2 – Phòng GD Quận Thanh Xuân – 2019-2020) +1 x 1 1 Cho hai biểu thức: = x A và B = + +
(x  0; x  4) x x − 4 x − 2 x + 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức B . −1
c) Tìm tất cả giá trị của x để . = x A B . 2 Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 . 16 +1 5
Khi x = 16 (t / m)  A = = 16 4
b) Rút gọn biểu thức B . x 1 1 B = + + x − 4 x − 2 x + 2 x ( x +2) ( x −2) B = + +
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x + x + 2 + x − 2 B = ( x +2)( x −2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 116 x + 2 = x B ( x +2)( x −2) = x B . x − 2 −1
c) Tìm tất cả giá trị của x để . = x A B . 2 −1 x +1 x x −1 x +1 x −1 Ta có . = x A B  . =  = 2 x x − 2 2 x − 2 2 −x + 5  x = x = 0(ktm)  x = 0
0  x (5− x ) = 0     2 ( x − 2) 5− x = 0 x = 25(t ) m
Vậy x = 25 là giá trị cần tìm.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 117
Câu 122. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Kim Chung 2014 – 2015) x 3x + 9 2 x 3 Cho biểu thức P = + +
với x  0, x  9 và Q =
với x  0, x  1 x + 3 9 − x x − 3 x −1 a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 4 + 2 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q : P nhận giá trị nguyên dương. Hướng dẫn a) Ta có: x 3x + 9 2 x P = − + x + 3
( x −3)( x +3) x −3
x ( x − 3) − 3x − 9 + 2 x ( x + 3) P = ( x − 3)( x + 3)
x − 3 x − 3x − 9 + 2x + 6 x P = ( x − 3)( x + 3) 3( x − 3) 3 3 P = ( = . Vậy P =
với x  0, x  9 . x − 3)( x + 3) x + 3 x + 3 b) Ta có:
x = 4 + 2 3 ( thỏa mãn điều kiện) x = ( + )2 3 1
x = 3 +1 . Thay vào Q ta được: 3 Q =
= 3 . Vậy x = 4 + 2 3 thì Q = 3 3 +1−1 c) Ta có: 3 3 x + 3 4 Q : P = : = =1+ x −1 x + 3 x −1 x −1
Để Q : P là số nguyên thì x −1Ư (4) . Ta có bảng: x −1 −4 −2 1 − 1 2 4 x Loại Loại 0 4 9 (loại) 25 Q 3 − 5 2 P
Dựa vào bảng giá trị trên, để Q : P là số nguyên dương thì x 4; 2  5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 118
Câu 123. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2017 – 2018) 7
a) Tính giá trị các biểu thức sau: A =
− 147 − 2 18 và B = 9 − 4 5 − 5 3 − 2 x − x x −1
b) Rút gọn biểu thức: C = −
(Với x  0 ; x  1 ) x 1− x
c) Tìm x để: 3B + C  0 Hướng dẫn a) Ta có: 7 ( 3 + 2 7 ) A = − 147 − 2 18 = − ( − )( + ) 2 2 − 7 .3 − 2. 3 .2 3 2 3 2 3 2
= 7 3 + 7 2 − 7 3 − 6 2 = 2 Và B = − − = ( − )2 9 4 5 5 5 2
− 5 = 5 − 2 − 5 = 5 − 2 − 5 = 2 − b) Ta có: x − −
( x − )1 ( x − )1( x + x x x )1 1 C = − = +
= x −1+ x +1 = 2 x , với x  0 ; x 1. x 1− x x x −1 c) Ta có:
3B + C  0  6
− + 2 x  0  x  3  x  9 . 0  x  9
Kết hợp điều kiện suy ra  x  1
Câu 124. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2018-2019) x − x x −1
Cho hai biểu thức A = 9 − 4 5 − 5 và B = +
,(x  0, x  1) x x −1
a) Rút gọn biểu thức A và B.
b) Tìm giá trị của x để tổng ba lần biểu thức A với biểu thức B có giá trị bằng 0? Hướng dẫn a) Ta có: A = − − = ( − )2 9 4 5 5 5 2
− 5 = 5 − 2 − 5 = 5 − 2 − 5 = 2 − x − −
( x − )1 ( x − )1( x + x x x )1 1 B = − = +
= x −1+ x +1 = 2 x , với x  0, x 1 x 1− x x x −1 b) Ta có: 3A + B = 0  6
− + 2 x = 0  x = 3  x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Câu 125. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 119 3 x +1 x −1 1 8 x 1 Cho biểu thức A = và B = − +
với x  0; x x + x 3 x −1 3 x +1 9x −1 9
a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 4
b) Rút gọn biểu thức P = . A B 1
c) Tìm x nguyên sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất P Hướng dẫn
a) Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức A ta được: 3 4 +1 3.2 +1 7 7 A = =
= . Vậy A = khi x = 4 . 4 + 4 4 + 2 6 6 b) Ta có: x −1 1 8 x B = − + 3 x −1 3 x +1
(3 x − )1(3 x + )1
( x − )1(3 x + )1−(3 x − )1+8 x B = ( 3 x − ) 1 (3 x + ) 1 3x +
x − 3 x −1− 3 x +1+ 8 x B = ( 3 x − ) 1 (3 x + ) 1 3 x + ( x + x x )1 3 3 B = ( = 3 x − ) 1 (3 x + ) 1
(3 x − )1(3 x + )1 3 x + ( x + x )1 3 1 3 Suy ra P = . A B = = x ( x + ) . 1 (3 x − ) 1 (3 x + ) 1 3 x −1 c) Ta có: 1 3 x −1 1 = = x − P 3 3 Để 1
đạt GTNN thì x nhỏ nhất, mà x  0; x   x =1 P 1 2 Vậy min =  x =1 P 3
Câu 126. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2017 – 2018) x  3x +1  x + 3 Cho biểu thức A = B = x − .   x x  ) x − và 1  x + 3 x x − (Với 0; 1 1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = .
A B với x 1 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 120 Hướng dẫn
a) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 9 3 3 3 A = = = x = thì A = . 9 − . Vậy 9 1 3 −1 2 2 b) Ta có:  3x +1  x + 3 B = x − .    x + 3 x x − 1
x (x + 3 x ) −3x −1 x + 3 B = x ( x + 3) . x −1
x x + 3x − 3x −1 1 B = . x x −1
( x − )1(x+ x + )1 1 x + x +1 B = . = x x −1 x c) Ta có: x x + x +1 x + x +1 3 M = A B = = = x + + = ( x − ) 3 . . 2 1 + + 3 x − . 1 x x −1 x −1 x −1 Vì x  1 
x −1  0 . Áp dụng BĐT Cosi cho hai số ( x − ) 3 1 ; ta có: x −1 ( x − ) 3 +  ( x − ) 3 1 2 1 . = 2 3 x −1 x −1
Suy ra M  2 3 + 3 . Dấu bằng xảy ra khi : ( x − )=  x − =  x = ( + )2 3 1 1 3 3 1 = 4 + 2 3 x −1
Vậy min M = 3 + 2 3 khi x = 4 + 2 3 .
Câu 127. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019) x + 3 x + 2 x − 2 4x Cho biểu thức A = B = − − x x  . x − và 2 x − 2 x + với 0; 4 2 4 − x
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 6 + 2 5 2) Rút gọn biểu thức B B
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức P = nhận giá trị nguyên A Hướng dẫn
1) Ta có: x = 6 + 2 5 = ( 5 + )2
1 ( thỏa mãn điều kiện)
Suy ra x = 5 +1. Thay vào biểu thức A ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 121 5 +1+ 3 5 + 4 9 + 5 5 9 + 5 5 A = = = x = + thì A = . 5 +1− . Vậy 6 2 5 2 5 −1 4 4 2) Ta có: x + 2 x − 2 4x B = − + x − 2 x + 2 ( x −2)( x +2)
( x + )2 −( x − )2 2 2 + 4x B = ( x − 2)( x + 2)
x + 4 x + 4 − x + 4 x − 4 + 4x B = ( x − 2)( x + 2) 4 x ( x + 2) 4 x B = ( = x − 2)( x + 2) x − 2 c) Ta có: B 4 x x + 3 4 x P = = : = A x − 2 x − . 2 x + 3
Vì x  0  P  0 . 4 x 12 Mà P = = 4 −
 4 với mọi x  0; x  4 . x + 3 x + 3
Suy ra 0  P  4 , mà P   P 0;1;2;  3 . 4 x Với P = 0 
= 0  x = 0 ( thỏa mãn) x + 3 4 x Với P = 1 
= 1  x =1 ( thỏa mãn) x + 3 4 x Với P = 2 
= 2  x = 9 ( thỏa mãn) x + 3 4 x Với P = 3 
= 3  x = 81 ( thỏa mãn) x + 3
Vậy x 0;1;9;8 
1 thì P nhận giá trị nguyên.
Câu 128. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Chương Mĩ 2017-2018) 2 x x 3x + 3 x +1
Cho các biểu thức: A = + − B = x x  ) x + 3 x − và 3 x − 9 x − (Với 0, 9 3
a). Tính giá trị của biểu thức B tại x = 25
b). Rút gọn biểu thức P = A : B
c). Tìm giá trị nhỏ nhất của P Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 122
a) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức B ta được: 25 +1 5 +1 B = = = 3 x = thì B = 3 . 25 − . Vậy 25 3 5 − 3 b) Ta có: 2 x x 3x + 3 A = + − x + 3 x −
3 ( x −3)( x + 3)
2 x ( x − 3) + x ( x + 3) − 3x − 3 A = ( x + 3)( x −3)
2x − 6 x + x + 3 x − 3x − 3 A = ( x − 3)( x + 3) 3 − ( x + ) 1 A = ( x − 3)( x + 3) 3 − ( x + ) 1 x +1 3 −
Suy ra P = A : B = ( =
x − 3)( x + 3) : x − 3 x + 3 3 3 −
Vì x  0, x  9  x + 3  3  1  1
− . Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . x + 3 x + 3 Vậy min P = 1 −  x = 0.
Câu 129. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Thanh Trì 2017 – 2018) x + 2 2x + 2 x −1 x +1 Cho biểu thức A = và B = − x x x −1 x x −1 x + x + với 0, 1 1
1. Tính giá trị của A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B. B 1 3. Chứng minh rằng  A 3 Hướng dẫn
1. Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 16 + 2 4 + 2 A = =
= 2 . Vậy x =16 thì A = 2 . 16 −1 4 −1 2. Ta có: 2x + 2 x −1 x +1 B = ( − x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x + 1
2x + 2 x −1− ( x − ) 1 ( x + ) 1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 123
2x + 2 x −1− x +1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 + x x + x ( x 2 2 ) B = = ( x − ) 1 (x + x + ) 1 (x − ) 1 (x + x + ) 1 3. Ta có: x B ( x +2) x + 2 x = = A (x − ) 1 ( x + x + ) : 1 x −1 x + x +1 Cách 1: B 1 x 1 x 1     −  0 A 3 x + x +1 3 x + x +1 3 − − − ( x + −x x )2 1 2 1  (  
 ( luôn đúng với mọi x  0, x 1) điều phải chứng minh. x + x + ) 0 (x+ x + ) 0 3 1 3 1 Cách 2: B 1 + Xét x = 0  = 0  . A 3 B 1 Xét x ,  x  1, suy ra =
( chia cả tử và mẫu cho x ) A 1 x +1+ x Áp dụng BĐT Cosi ta có: 1 1 1 x +  2   . 1 x 3 x + +1 x 1
Dấu bằng xảy ra khi x =
x =1 ( không thỏa mãn) x 1 1 B 1 Suy ra  hay  1 3 A 3 x + +1 x
Câu 130. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phan Chu Trinh 2017 – 2018) x − 4
1) Cho biểu thức A =
(với x  0, x  1). Tìm giá trị của x để A = 4 x −1  x −1 x + 2  3
2) Rút gọn biểu thức B =  −  :  
(với x  0, x  4 ). x − 2 x +1 x +1   18
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . A B Hướng dẫn 1) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 124 x − 4 x = A = 4 
= 4  x − 4 = 4 x − 4  x ( x − 4) 0 = 0  
( thỏa mãn điều kiện) x −1 x =16
Vậy x = 0; x = 16 thì A = 4 . 2) Ta có:  x −1 x + 2  3 B =  −  :   x − 2 x +1 x +1  
( x − )1( x + )1−( x −2)( x +2) x +1 B = ( x − 2)( x + ) . 1 3 x −1− x + 4 x +1 B = (
x − 2)( x + ) . 1 3 1 B =
, với x  0, x  4 x − 2 3) Ta có: − + x − ( x 2)( x 2 4 1 ) 1 x + 2 . A B = . = . = x −1 x − 2 x −1 x − 2 x −1 18( x − ) 1 18 54 Suy ra = =18 − . A B x + 2 x + 2 54 54 Vì x  0  x + 2  2  18 − 18− = 9 − x + 2 2
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . 18 Vậy min = 9 −  x = 0 AB
Câu 131. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 –THCS Hoàng Hoa Thám 2018 – 2019) x − 2 x −1 5 x − 2
Cho các biểu thức A = B = − x x  ) x + và 3 x + (với 0; 4 2 4 − x
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức P = . A B .
3. Tìm x để (6x +18).P x + 9 Hướng dẫn
1. Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 16 − 2 4 − 2 2 2 A = = = x = thì A = . 16 + . Vậy 16 3 19 19 19 2. Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 125 x −1 5 x − 2 B = + x + 2 ( x −2)( x +2)
( x − )1( x −2)+5 x −2 B = ( x − 2)( x + 2)
x − 2 x − x + 2 + 5 x − 2 B = ( x − 2)( x + 2) + x x + x ( x 2 2 ) x B = ( = =
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x − 2 x − 2 x x Suy ra P = . A B = . = x + 3 x − 2 x + 3 3. Ta có: ( x
6x +18).P x + 9  (6x +18).  x + 9 x + 3 x  6(x + 3).
x + 9  x − 6 x + 9  0 x + 3  ( x − )2 3  0 mà ( x − )2 3
 0 với mọi x  0; x  4
Nên x − 3 = 0  x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) . Vậy x = 9
Câu 132. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nam Từ Liêm 2017 – 2018) x − 2 x −1 7 x − 9
Cho hai biểu thức: A = và B = − x x  . x x − với 0; 9 3 x − 9
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 . 2. Rút gọn biểu thức B A
3. Cho biểu thức P =
. Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn P = m . B Hướng dẫn
1. Với x = 36 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 36 − 2 6 − 2 2 2 A = =
= . Vậy x = 36 thì A = . 36 6 3 3 2. Ta có: x −1 7 x − 9 B = − x −
3 ( x −3)( x + 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 126
( x − )1( x +3)−7 x +9 B = ( x − 3)( x + 3)
x + 3 x − x − 3 − 7 x + 9 B = ( x − 3)( x + 3) x − 5 x + 6 B = ( x − 3)( x + 3)
( x −2)( x −3) x −2 B = ( = x − 3)( x + 3) x + 3 3. Ta có: A x − 2 x − 2 x + 3 P = = : = B x x + 3 x + Để x 3 P = m
= m x + 3 = m x x (m − ) 1 = 3 (*) x
Xét m = 1 x.0 = 3  (*) vô nghiệm. 3
Xét m  1 x = . m −1  3  0  − m 1 Để m 1
phương trình (*) có nghiệm thì x  0; x  9     3  m  2  3 m −1 m  1 Vậy 
thì phương trình P = m có nghiệm m  2
Câu 133. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Bắc Từ Liêm 2017 – 2018) x + x +1 x + 2 x +1 1
Cho hai biểu thức A = B = + − x x  . x − và 1 x x −1 x + x +1 x − với 0; 1 1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b) Rút gọn biểu thức B. c) Tìm giá trị m để .
A B = m có nghiệm. Hướng dẫn
a) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 9 + 9 +1 9 + 3 +1 13 13 A = = = x = thì A = . 9 − . Vậy 9 1 3 −1 2 2 b) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 127 x + 2 x +1 1 B = ( + − x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 x − 1 x + 2 + ( x + ) 1 ( x − )
1 − x − x −1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1
x + 2 + x −1− x − x −1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 x ( x − ) 1 x B = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 c) Ta có: x + x +1 x x . A B = m  . = m  = m x − 1 x + x +1 x −1  x = . m x − m x (m − ) 1 = m ( ) 1
+ Với m = 1 thay vào (1) suy ra x.0 = 1  phương trình vô nghiệm. m
+ Với m  1  x = . m −1
Vì x  0; x  1 nên để phương trình (1) có nghiệm thì:  m  0  − m  0 m 1 m  0    . Vậy  thì .
A B = m có nghiệm mm  1     m 1 1 m −1
Câu 134. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phú Đô 2017 - 2018 x + 2 x 1 x −1
Cho 2 biểu thức: A = + + B =
với x  0, x  1 x x −1 x + x +1 1− và x 2 a) Rút gọn biểu thức A A b) Tính P = B 1
c) Với x 1 tìm giá trị nhỏ nhất của A Hướng dẫn a) Ta có: x + 2 x 1 A = ( + − x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x + 1 x −1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 128 x + 2 + x ( x − )
1 − x − x −1 A = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + 2 + x −
x − x − x −1 A = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 ( x − )2 1 x −1 A = ( =
, với x  0, x  1 x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 b) Ta có: A x −1 x −1 2 P = = : = B x + x +1 2 x + x +1 c) Ta có: 1 x + x +1 3 = = x + + = ( x − ) 3 2 1 + + 3 A x −1 x −1 x −1 Vì x  1 
x −1  0 , áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương 3 x −1, ta được: x −1 3 x − +  ( x − ) 3 1 2 1 . = 2 3 x −1 x −1 1 Suy ra = ( x − ) 3 1 + + 3  2 3 + 3 A x −1
Dấu bằng xảy ra khi ( x − ) =  x − =  x = ( + )2 3 1 1 3 3 1 = 4 + 2 3 x −1 1 Vậy min
= 2 3 + 3 khi x = 4 + 2 3 . A
Câu 135. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Dịch Vọng Hậu – 2018 – 2019) x − 2
a) Cho các biểu thức A = x = −
x + . Tính giá trị của A khi 3 2 2 2  1 1  x − 2
b) Rút gọn biểu thức B =  + . x x  )  x + 2 x − (với 0; 4 2  2
c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức 3 P =
A − B là số nguyên. 2 Hướng dẫn
a) Với x = 3 − 2 2 ( thỏa mãn điều kiện) 2 2 Suy ra x = ( 2 − ) 1  x = ( 2 − ) 1
= 2 −1 , thay vào biểu thức A ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 129 2 −1− 2 2 − 3 A = = = 5 − 4 2 x = − thì A = 5 − 4 2 . 2 −1+ . Vậy 3 2 2 2 2 +1 b) Ta có:  1 1  x − 2 B = + .    x + 2 x − 2  2 x −1+ x + 2 x − 2 B = (
x − 2).( x + 2) . 2 2 x x − 2 x B = ( =
x − 2)( x + 2) . 2 x + 2 c) Ta có: 3 3 x − 2 x
3 x − 6 − 2 x x − 6 P = A − B = . − = = 2 2 x + 2 x + 2 2( x + 2) 2 ( x + 2) − Để x 6 P     x − x + 2( x + 2) 6 2( 2)
 2 x −12 2 x + 4  (2 x +4−16) (2 x +4) 16 (2 x +4)
Mà x  0  2 x + 4  4  2 x + 4 4;8;1  6  x 0;4;3  6 .
Kết hợp điều kiện suy ra x 0;3  6 . Thử lại: 3
x = 0  P = −
x = 0 không thỏa mãn. 2
x = 36  P = 0  x = 36 thỏa mãn.
Vậy x = 36 thì P nhận giá trị nguyên.
Câu 136. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thái Thịnh 2017 – 2018) x + 3  x +3 x −2 1  x −3 Cho A = B =  − . x x  . x + và 3  x −9 x + 3    x + với 0; 9 1
1) Tính giá trị của A khi x = 16 . 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Cho P =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. B Hướng dẫn
1) Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 16 + 3 19 19 A = = x = thì A = . 16 + . Vậy 16 3 7 7 2) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 130   x + 3 x − 2 1 x − 3 B =  −  + + ( . x − 3)( x + 3) x 3 x 1 
x + 3 x − 2 − x + 3 x − 3 B =
( x − )( x + ) . 3 3 x + 1 x + 2 x +1 x − 3
B = ( x − )( x + ). 3 3 x + 1 ( x + )2 1 x − 3 x +1 B = ( = x x
x − 3)( x + 3) . x + , với 0; 9 1 x + 3 3) Ta có: A x + 3 x +1 x + 3 4 4 P = = : = = x −1+ = x +1+ − 2 B x + 3 x + 3 x +1 x +1 x +1
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 4 x + +  ( x + ) 4 1 2 1 . = 4 x +1 x +1 4 Suy ra P = x +1+ − 2  2 . x +1 4
Dấu bằng xảy ra khi x +1 =
x +1= 2  x =1 ( thỏa mãn) . x +1
Vậy min P = 2 khi x =1 .
Câu 137. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2016 – 2017) 7 x + 2 x + 3 x − 3 36
Cho hai biểu thức A = và B = + −
( x  0, x  9) 2 x +1 x − 3 x + 3 x − 9
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 36.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để hiệu A − B có giá trị là số tự nhiên. Hướng dẫn
a) Với x = 36 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 7 36 + 2 7.6 + 2 44 44 A = = =
. Vậy x = 36 thì A = . 2 36 +1 2.6 +1 13 13 b) Ta có: x + 3 x − 3 36 B = + − x − 3 x + 3 ( x −3)( x +3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 131
( x + )2 +( x − )2 3 3 − 36 B = ( x − 3)( x + 3)
x + 6 x + 9 + x − 6 x + 9 − 36 B = ( x + 3)( x − 3)
2( x − 3)( x + 3) B = ( = x − )( x + ) 2 3 3 c) Ta có: 7 x + 2 3 x 3 3 A − B = − 2 = = − 2 x +1 2 x +1 2 2(2 x + ) 1  3 xA − B =  0  2 x +1 Vì x  0   mà A − B
A − B 0  ;1 . 3 3 3 A − B = −   2 2(2 x +  )1 2 3 x
Với A − B = 0 
= 0  x = 0 ( thỏa mãn) 2 x +1 3 x
Với A − B = 1 
=1  x = 1 ( thỏa mãn) . 2 x +1 Vậy x 0 
;1 thì A − B có giá trị là số tự nhiên
Câu 138. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2017-2018) x + 2 x 1 1
Cho các biểu thức A = và B = + + x x  . x x − 4 x − 2 x + với 0, 4 2
a) Tính giá trị của A tại x = 6 − 2 5 ; A
b) Rút gọn biểu thức B và tính P = ; B
c) Tìm x thỏa mãn xP 10 x − 29 − x − 25 Hướng dẫn
a) Với x = 6 − 2 5 = ( 5 − )2
1 ( thỏa mãn điều kiện)  x = ( 5 − )2 1 = 5 −1 = 5 −1
thay vào biểu thức A ta được: 5 −1+ 2 5 +1 3 + 5 3 + 5 A = = =
. Vậy x = 6 − 2 5 thì A = . 5 −1 5 −1 2 2 b) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 132 x 1 1 B = ( + + x − 2)( x + 2) x − 2 x + 2
x + x + 2 + x − 2 B = ( x − 2)( x + 2) x ( x + 2) x B = ( = x − 2)( x + 2) x − 2 A x + 2 x x − 4 Suy ra P = = : = B x x − 2 x c) Ta có:
xP 10 x − 29 − x − 25 x − 4  . x
10 x −29− x −25 x
x − 4 10 x − 29− x − 25
x −10 x + 25 + x − 25  0  ( x − )2 5 + x − 25  0 (  x − )2 5  0  x − = Vì 
với mọi x  0, x  4 , nên ( x − ) ( )2 2 5 0 5
+ x − 25  0    x = 25 ( thỏa  x − 25  0  x − 25 = 0 mãn) . Vậy x = 25 .
Câu 139. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Vĩnh Tuy 2015-2016) x +1 x −1 3 x +1 Cho biểu thức A = + −
với x  0, x  1 x −1 x +1 x −1 a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của x để A  1
c) Tìm các giá trị của m để phương trình A = m có nghiệm Hướng dẫn a) Ta có: x +1 x −1 3 x +1 A = + − x −1 x +1
( x − )1( x + )1
( x + )2 +( x − )2 1 1 − 3 x −1 A = ( x + ) 1 ( x − ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 133
x + 2 x +1+ x − 2 x +1− 3 x −1 A = ( x − ) 1 ( x + ) 1 2x − 3 x +1 A = ( x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1(2 x − )1 2 x −1 A = ( = x − ) 1 ( x + ) 1 x +1 b) Ta có: 2 x −1 x − 2 A  1  −1 0 
 0  x  2 ( vì x  0  x +1 0 ). x +1 x +1 0  x  4
Suy ra x  4 . Kết hợp điều kiện suy ra  . x  1 c) Ta có: 2 x −1 A = m
= m  2 x −1 = m x + m x (2 − m) = m +1 (*) x +1
+ Xét m = 2 thay vào (*)  x.0 = 3  (*) vô nghiệm. m +1
+ Xét m  2  x = . 2 − mm +1  0  1 −  m  2 2− m
Vì x  0, x  1 nên để phương trình có nghiệm thì    1 m +1 m   1    2 2 − m  1 −  m  2  Vậy  1
thì phương trình A = m có nghiệm. m   2
Câu 140. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Nhị 2017 – 2018) 1 1 x +1 Cho A = − B =
− x với x  0; x 1 x −1 x + và 1 2
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức P = A . B
c) Tìm m để phương trình ( x +1)P = m − x có nghiệm x. Hướng dẫn a) Ta có: 1 1 x +1− x +1 2 A = − = = x −1 x + 1 ( x − ) 1 ( x + ) 1 x −1
Với x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 134 2 2 2 A = = x = thì A = . 4 − . Vậy 4 1 3 3 b) Ta có: x +1 x − 2 +1 ( x − x )2 1 B = − x = = 2 2 2 ( x − )2 1 2 x −1
Suy ra P = A . B = ( =
, với x  0; x  1 x − ) 1 ( x + ) . 1 2 x +1 c) Ta có: x −1
( x +1)P = m − x  ( x +1).
= m − x x + x −1= m x +1
x + x −1 1 −
Vì x  0; x  1 nên 
x + x −11 m  1 −
Do đó, để x + x −1 = m có nghiệm thì  . m  1
Câu 141. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Minh Khai 2017 – 2018)  2 1  x − 2
a. Rút gọn biểu thức P = − :   x x  )  x + 3 x x + (với 0; 4 3 x x +1
b) Tính giá trị biểu thức Q = x = . x − tại 9 2 P
c) Tìm số hữu tỉ x để M = nhận giá trị nguyên. Q Hướng dẫn a) Ta có: 2 x − x − x − 2 x x − ( x +3 3 3 ) x −3 P = = =
, với x  0; x  4 .
x ( x +3) : x ( x + ) x ( x + ) . 3 3 x − 2 x − 2
b) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức Q ta được: 9 +1 3 +1 Q = = = 4
x = thì Q = 4 . 9 − . Vậy 9 2 3 − 2 c) Ta có: P x − 3 x +1 x − 3 M = = : = Q x − 2 x − 2 x +1 x − 3 4 M = = 1−
 1 với mọi x  0 x +1 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 135 x − 3 4 x Mặt khác M + 3 = + 3 =
 0 với mọi x  0 nên M  3 − x +1 x +1 Suy ra 3 −  M 1. mà M   M  2 − ; 1 − ;  0 . x − 3 1 1 Với M = 2 −  = 2
−  x =  x = (tmđk). x +1 3 9 x − 3 Với M = 1 −  = 1
−  x =1  x =1 (tmđk). x +1 x − 3 Với M = 0 
= 0  x = 3  x = 9 (tmđk). x +1 1  P
Vậy x   ;1;9 thì M = nhận giá trị nguyên. 9  Q Chú ý:
Các em có thể chỉ ra 3
−  M 1 bằng cách sau: x − 3 M =
M. x + M = x − 3  x (1− M ) = M + 3 (*) x +1
Xét M = 1 phương trình (*) vô nghiệm. M + 3
Xét M  1 x = . 1− MM + 3  0  3 −  M  1 1− M
Vì x  0; x  4     1 M + 3 M  −   2  3 1− M
Câu 142. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Ngô Sĩ Liên 2017 – 2018) 5 x + 9 x + 2 x
Cho hai biểu thức: A = B = − x x x − và 1 x + x − 2 x + với 0; 1 2 1
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 A 5 x + 9 2. Chứng minh rằng: = B x + 1 A
3. Với điều kiện x  0, x  1 , tìm tất cả các giá trị m để phương trình
= m có nghiệm x B Hướng dẫn 1 1. Thay x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được: 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 136 1 5 5 + 9 + 9 9 3 1 A = = = 12
− . Vậy x = thì A = 12 − . 1 8 −1 − 9 9 9 2. Ta có: x + 2 x B = ( − x − ) 1 ( x + 2) x + 2
x + 2 − x ( x − ) 1 B = ( x − ) 1 ( x + 2) x + 2 − x + x 1 B = ( = x − ) 1 ( x + 2) x −1 A 5 x + 9 1 5 x + 9 1 5 x + 9 Suy ra = : = = B x −1 x −
( x − )1( x + ) : 1 1 x −1 x +
( điều phải chứng minh) 1 3. Ta có: A 5 x + 9 = m
= m  5 x + 9 = m( x + )
1  x (5 − m) = m − 9 ( ) 1 B x + 1
Xét m = 5 thay vào ( ) *  x.0 = 4
−  phương trình vô nghiệm. m − 9 Xét m  5  x = 5− . m A Để phương trình
= m có nghiệm thì x  0, x 1. Bm − 9  0  − 5   m  9 5 m Suy ra    . Vậy: …………… m − 9  m  7  1 5 − m
Câu 143. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Quan – Hoàn Kiếm 2017 – 2018) 7 a − 2 a + 3 a − 3 36
Cho hai biểu thức: M = P = − − a a  . 2 a + và 1 a − 3 a + , với 0; 9 3 a − 9
a) Tính giá trị của M với a = 4 .
b) Rút gọn biểu thức P và tìm các giá trị của a để M = P .
c) Tìm các giá trị của a để M nhận giá trị là số nguyên dương. Hướng dẫn
a) Thay a = 4 ( thỏa mãn điều kiện ) vào biểu thức A, ta được: 7 4 − 2 7.2 − 2 12 12 M = = = a = thì M = . 2 4 + . Vậy 4 1 2.2 +1 5 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 137 b) Ta có: a + 3 a − 3 36 P = − − a − 3 a + 3 ( a −3)( a +3)
( a + )2 −( a − )2 3 3 − 36 P = ( a − 3)( a + 3)
a + 6 a + 9 − a + 6 a − 9 − 36 P = ( a − 3)( a + 3) 12( a − 3) 12 P = ( =
, với a  0; a  9 . a − 3)( a + 3) a + 3 − Để 7 a 2 12 M = P  =
 (7 a − 2)( a +3) =12(2 a + ) 1 2 a + 1 a + 3
 7a + 21 a − 2 a − 6 − 24 a −12 = 0
 7a −5 a −18 = 0  ( a −2)(7 a +9) = 0
Vì a  0; a  9
Nên ( a − 2)(7 a +9) = 0  a − 2 = 0  a = 4 ( thỏa mãn điều kiện) .
Vậy a = 4 thì M = P . c) Ta có: 7 a − 2 7 11 7 Ta có: M = = −  a a  . 2 a + với mọi 0; 9 1 2 2 (2 a + ) 1 2 7 a − 2 11 a Mặt khác M + 2 = + 2 =  0 a a  . 2 a + với mọi 0; 9 1 2 a +1 7 Nên M  2 −  2 −  M  . 2
mà M nhận giá trị là số nguyên dương nên M 1; 2;  3 . 7 a − 2 3 9 + Với M = 1 
= 1  a =  a = 2 a +
( thỏa mãn điều kiện) 1 5 25 7 a − 2 4 16 + Với M = 2 
= 2  a =  a = 2 a +
( thỏa mãn điều kiện) 1 3 9 7 a − 2 + Với M = 3 
= 3  a = 5  a = 25 2 a +
( thỏa mãn điều kiện) 1  9 16  Vậy a   ;
; 25 thì M nhận giá trị là số nguyên dương. 25 9 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 138 7
Chú ý: Để chỉ ra 2
−  M  các em có thể làm như sau: 2 7 a − 2 M =
 7 a − 2 = 2M a + M a (7 − 2M ) = M + 2 2 a + . 1 M + 2
Vì M nguyên dương nên 7 − 2M  0  a = 7− (*) 2MM + 2  7  0 2 −  M    7 − 2M  2
Vì a  0; a  9 nên phương trình (*) có nghiệm khi :    M + 2 19   3 M  7 − 2M  7
Câu 144. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Vương 2017 – 2018) x +1 1 1
Cho hai biểu thức A = ( và B = + x x  . x − )2 1 x − x x − với 0; 1 1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 . B
2) Rút gọn biểu thức P = . A 3) Tìm x  thỏa mãn 2
81x –18x = P – 9 x + 4 . Hướng dẫn
1) Với x = 25 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 25 +1 5 +1 6 3 3 A = = = = x = thì A = . ( 25 − . Vậy 25 1) (5− )2 2 1 16 8 8 2) Ta có: 1 1 1+ x B = + = x ( x − ) 1 x − 1 x ( x − ) 1 − B 1+ + 1+ ( x x x x )2 1 1 x −1 Suy ra P = = = = A x ( x − ) : 1 ( x − ) . 2 x ( x − ) 1 x +1 1 x 3) Ta có: x −1 2 2
81x –18x = P – 9 x + 4  81x –18x = – 9 x + 4 x 1  
 81x –18x +1 =1−
− 9 x + 5  (9x − )2 1 2 1 = 6 − + 9 x   (*) xx  Ta có: ( x − )2 9 1
 0 với mọi x  0; x 1.   Áp dụng BĐT Cosi ta có: 1 1 1 + 9 x  2 .9 x = 6  6 − + 9 x  0   x xx
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 139 1 1 Dấu bằng xảy ra khi = 9 x x = . x 9 (  9x − )2 1 = 0    2 1 1 Suy ra (9x − ) 1 = 6 − + 9 x      =  1 x
( thỏa mãn điều kiện) .  x  6 − + 9 x = 0 9     x  1 Vậy x = thì 2
81x –18x = P – 9 x + 4 9
Câu 145. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hoàng Mai 2017 – 2018) x + x + 4 3x − 4 x + 2 x −1
Cho hai biểu thức: A = B = − + x x  . x − và 2 x − 2 x x 2 − với 0; 4 x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . x +1 2) Chứng minh B = x − 2 A
3) Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. B Hướng dẫn
1) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 9 + 9 + 4 9 + 3 + 4 A = = = 16
x = thì A = 16 . 9 − . Vậy 9 2 3 − 2 2) Ta có: 3x − 4 x + 2 x −1 B = − − x ( x − 2) x x − 2
3x − 4 − ( x − 2)( x + 2) − x ( x − ) 1 = x ( x − 2) +
x − − x + − x + x x + ( x x x )1 3 4 4 x +1 = = = =
( điều phải chứng minh) x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x − 2 3) Ta có: A x + x + 4 x +1 x + x + 4 4  4  = : = = x + = x +1+ −1   B x − 2 x − 2 x +1 x +1  x +1  Áp dụng BĐT Cosi ta có: 4 x + +  ( x + ) 4 1 2 1 . = 4 x +1 x +1 A  4  Suy ra = x +1+ −1 4 −1 = 3   Bx +1 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 140 4
Dấu bằng xảy ra khi x +1 =
x +1= 2  x =1 ( thỏa mãn điều kiện) x +1 A Vậy min = 4 khi x =1. B
Câu 146. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hoàng Mai 2017 – 2018) 2 x + 3 1 2 x +1
Cho hai biểu thức A = B = − x x x + x + và 1 x −1 x x − với 0; 1 1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 x
2) Chứng minh B = x+ x + 1 4B
3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P =
có giá trị là số nguyên dương. A Hướng dẫn
1) Thay x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) , vào biểu thức A ta được: 2 4 + 3 2.2 + 3 A = = = 1
x = thì A = 1 . 4 + 4 + . Vậy 4 1 4 + 2 +1 2) Ta có: 1 2 x +1 B = − x − 1 ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1− 2 x −1 x − x = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x ( x − ) 1 x = ( =
, với x  0; x  1 ( điều phải chứng minh) x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 3) Ta có: 4B x 2 x + 3 4 x P = = 4. : = A x +
x +1 x + x + 1 2 x + 3 4 x
Vì x  0; x  1   0 2 x + 3 4 x 6 − Xét P − 2 = − 2 =
 0 với mọi x  0; x 1. 2 x + 3 2 x + 3 Suy ra 0  P  2 .
Mà P có giá trị là số nguyên dương nên P = 1 . 4 x 3 9 Với P = 1 
=1  x =  x = ( thỏa mãn điều kiện) . 2 x + 3 2 4 Cách khác:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 141 4 x Suy ra P =  .
P (2 x + 3) = 4 x  2P x + 3P = 4 x x (4 − 2P) = 3P (*) 2 x + 3
Xét P = 2 thay vào ( ) * 
x.0 = 6  phương trình vô nghiệm. 3P Xét P  2  x =
, phương trình (*) có nghiệm x  0; x  1 khi: 4 − 2P
 3P  0 0  P  2 4− 2P     4 . 3P P   1    5 4 − 2P
Câu 147. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Gia Thụy 2014 – 2015) x 1   1 2 
Cho biểu thức A =  −  : +     x −1 x − x
  x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A  0 Hướng dẫn
a) Điều kiện: x  0; x  1. Ta có:     x 1 1 2 A =  −   +   x − x ( x − ) : 1 1   x +1 ( x − )1( x +    )1 x −1 x −1+ 2 A = x ( x − ) : 1
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 x +1 x +1 A = = x ( x − ) . 1
( x − )1( x + )1 x( x − )1 x +1 b) Ta có: A  0   . x ( x − ) 0 1 x +1
Vì x  0; x  1 x  0 nên   −    . x ( x − ) 0 x 1 0 x 1 1
Kết hợp điều kiện suy ra 0  x  1. Vậy 0  x  1 thì A  0
Câu 148. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Long Biên 2015 – 2016) x
1) Tính giá trị của biểu thức P = với x = 225 x − 2  1 x x +1
2) Cho biểu thức B =  +  :  
với x  0; x  4 x − 2 x − 4 x − 2 x   a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để B = x −1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 142 Hướng dẫn
1) Điều kiện: x  0, x  4 .
Thay x = 225 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 225 15 15 P = =
. Vậy x = 225 thì A = . 225 − 2 13 13 2a) Rút gọn B:   1 x x +1 B =  +   x − 
( x − )( x + ) : 2 2 2  x  ( x −2) x − + − x + + x ( x 2) 2( x )1 x ( x 2 2 ) 2 x = ( = =
, với x  0; x  4 .
x − 2)( x + 2) . x +
( x −2)( x +2). 1 x +1 x + 2 2b) Ta có: 2 x B = x −1 
= x −1  2 x = ( x + 2)( x − ) 1 x + 2
x − x + 2 x − 2 − 2 x = 0  x − x − 2 = 0  ( x −2)( x + ) 1 = 0 Vì x  0 
x +1  0 nên ( x − 2)( x + ) 1 = 0 
x − 2 = 0  x = 4 ( loại)
Vậy không tồn tại giá trị của x để B = x −1
Câu 149. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Ngọc Lâm 2017 – 2018) x + 2 x − 2 x +1
Cho hai biểu thức A = − B =
với x  0; x  1 x + 2 x + và 1 x −1 x
a) Tính giá trị của biểu thức B với x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức P = . A B .
c) Tìm x để P +1  P +1 . Hướng dẫn
a) Thay x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được: 16 +1 4 +1 5 5 B = =
= . Vậy x =16 thì A = . 16 4 4 4 b) Ta có: + 2 − 2
( x +2)( x − )1−( x −2)( x x x + ) 1 A = ( − = x + )2 ( x − ) 1 ( x + ) 1 1 ( x + )2 1 ( x − ) 1 x +
x − 2 − x + x + 2 2 x = ( = x + )2 1 ( x − ) 1 ( x + )2 1 ( x − ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 143 2 x x +1 2 2 Suy ra P = . A B = ( = = x + ) . 2 − + − − 1 ( x ) x ( x )1 1 ( x )1 x 1 2 Vậy P = x x  . x − , với 0; 1 1 2 x +1
c) Để P +1  P +1  P +1 0  +1 0   0 x −1 x −1 x +1
Vì x  0  x +1  0 nên
 0  x −1 0  x 1 x − . 1
Kết hợp điều kiện suy ra 0  x  1.
Câu 150. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Tây Hồ 2017) x + 2 x + 3 x 1
Cho hai biểu thức A = B = + x x  ) x − và 5 x − 25 x + (Với 0, 25 5 25
a) Tính giá trị của A khi x = 16 B
b) Rút gọn biểu thức: M = A
c) Tìm các giá trị của x để M ( x + 2)  3x +1 Hướng dẫn 25 a) Thay x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 16 25 5 13 + 2 + 2 16 13 4 4 25 13 A = = = = − . Vậy với x = thì A = − . 5 15 25 15 − − 16 15 5 5 − 4 4 16 b) Ta có: x + 3 x 1 B = ( + x − 5)( x + 5) x + 5 − + x + x + x − x + x − ( x )1( x 5 3 5 4 5 ) x −1 = ( = = =
x − 5)( x + 5) ( x −5)( x + 5) ( x −5)( x + 5) x − 5 B x −1 x + 2 x −1 Suy ra M = = : = A x − 5 x − . 5 x + 2 x −1 Vậy M =
, với x  0, x  25 . x + 2 c) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 144 ( x − M x + 2) 1  3x +1
.( x + 2)  3x +1 x + 2 2  1  7
 3x − x + 2  0  x − + 2x +  0   (*)  2  4 2  1  7 Vì x  0  x − + 2x +  0  
. Suy ra bất phương trình (*) vô nghiệm.  2  4
Vậy không tồn tại giá trị của x để M ( x + 2)  3x +1
Câu 151. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Achimedes Academy 2017 – 2018) x + 7 x
2 x −1 2x − x − 3
Cho hai biểu thức A = và B = + − x x  ) x x + 3 x − , (với 0; 9 3 x − 9
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B. 1
3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A + . B Hướng dẫn
1. Thay x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 16 + 7 23 23 A = =
. Vậy x = 16 thì A = . 16 4 4 2. Ta có: x 2 x −1 2x − x − 3 B = + − x + 3 x − 3 ( x −3)( x +3)
x ( x −3) + (2 x − )
1 ( x + 3) − 2x + x + 3 = ( x − 3)( x + 3)
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 = ( x − 3)( x + 3) + x x + x ( x 3 3 ) x = ( = =
x − 3)( x + 3) ( x −3)( x + 3) x − 3 3. Ta có: 1 x + 7 x − 3 x + x + 4 4 P = A + = + = = x + +1 B x x x x 4
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương x , ta có: x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 145 4 4 4 x +  2 x.
= 4 suy ra P = x + +1 5 . x x x 4
Dấu bằng xảy ra khi x =
x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) . x
Vậy min P = 5 khi x = 4 .
Câu 152. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 THCS Achimedes Academy 2017 – 2018) x + 2 x 3 x + 2
Cho hai biểu thức A = B = − x x  ) x − và 2 x − (với 0; 4 2 x − 4
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
2. Rút gọn biểu thức B. 3. So sánh .
A B và 1 với điều kiện . A B có nghĩa. Hướng dẫn
1. Thay x = 25 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 25 + 2 5 + 2 7 7 A = = = x = thì A = . 25 − . Vậy 25 2 5 − 2 3 3 2. Ta có: x 3 x + 2
x ( x + 2) −3 x − 2 B = − = x − 2
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) + − x + x − x − ( x )1( x 2 2 3 2 ) x +1 = ( = =
, với x  0; x  4
x + 2)( x − 2) ( x − 2)( x + 2) x + 2 3. Ta có: x + 2 x +1 x +1 . A B = . = x − . 2 x + 2 x − 2 Biểu thức .
A B có nghĩa khi x − 2  0  x  4 . x +1 Với x  4  x +1  x − 2   1 . A B  1  . A B  1. x − 2 Vậy .
A B  1 , với x  4 .
Câu 153. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018) x − x x + 3 1
Cho các biểu thức A = và B = +
với x  0, x  1, x  4 2 − x x x −1 1− x
a) Tính giá trị biểu thức A khi x − 5 = 4
b) Rút gọn biểu thức M = . A B .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 146 1 c) So sánh M với . 3 Hướng dẫn x − 5 = 4 x = 9(tm)
a) Ta có: x − 5 = 4     x − 5 = 4 − x =1  (L)
Với x = 9 thay vào biểu thức A ta được: 9 − 9 9 − 3 A = = = 6
− . Vậy x = 9 thì A = 6 − . 2 − 9 2 − 3 b) Ta có: x + 3 1
x + 3 − x − x −1 2 − x B = ( − = = x − ) 1 (x + x + ) 1 x −1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1 x − − ( x − x x x )1 2 2 − x x Suy ra M = . A B = . = =
− x ( x − )1(x + x + ) . 2 1 2 − x
( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1 − − − − ( x − x x x x )2 1 1 1 3 1 c) Xét M − = − = = 3 x + x +1 3 3( x + x + ) 1 3( x + x + ) 1 −( x − )2 1 1 1 1
Vì x  0, x  1  M − =
  M  . Vậy M  3( x + x + ) 0 3 1 3 3
Câu 154. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018) x − 2 5 x x −1 5x + 2
Cho hai biểu thức A = và B = + +
với điều kiện x  0, x  4 x x − 2 x + 2 4 − x a) Tính giá trị A biết 2 9x = 4x b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị x để biểu thức P = .
A B có giá trị nguyên. Hướng dẫn x = 0(L)  a) Ta có: 2
9x = 4x x (9x − 4) = 0  4  . x = (tm)  9 4 Với x =
thay vào biểu thức A ta được: 9 4 2 4 − 2 − 2 − 9 3 3 4 A = = = = 2
− . Vậy x = thì A = 2 − . 2 2 4 9 3 3 9 b) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 147 5 x + + − − − − x x − x +
( x 2) ( x )1( x 2) 5x 2 5 1 5 2 B = + − = x − 2 x + 2 ( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2)
5x +10 x + x − 3 x + 2 − 5x − 2 x + 7 x = ( =
, với x  0, x  4 . x − 2)( x + 2) ( x −2)( x +2) c) Ta có: x − 2 x + 7 x x + 7 5 P = . A B = . = = + x ( x −2)( x +2) 1 x + 2 x + 2 5
Vì x  0, x  4 nên P = 1+ 1 x + 2 7 x + 7 7 5 − x Mặt khác P − = − =
 0 với mọi x  0, x  4. 2 x + 2 2 x + 2 7 Suy ra 1  P . 2 Mà P   P 2;  3 . x + 7 + Với P = 2 
= 2  x = 3  x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) x + 2 x + 7 1 1 + Với P = 3 
= 3  x =  x = ( thỏa mãn điều kiện) x + 2 4 4 1 
Vậy x   ;9 thì P = .
A B có giá trị nguyên. 4  7
Cách khác chỉ ra 1  P 2
P( x +2) = x +7  x (P− ) 1 = 7 − 2P (*)
+ Xét P = 1 thay vào (*) suy ra x.0 = 5  phương trình (*) vô nghiệm 7 − 2P + Xét P  1 x =
, để phương trình (*) có nghiệm thì x  0, x  4 P −1 7 − 2P  7  0 1  P     P −1  2 Suy ra    . 7 − 2P 9  2   P   P −1  4
Câu 155. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018) x 2 3   12 − x
Cho biểu thức A =  + +  : x − 3 +     x − 9 x + 3 3 − x    x + 3 
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A và rút gọn A
b) Tìm x để A  2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 148 2 − x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = A Hướng dẫn x −9  0  x  9
a) Biểu thức có nghĩa khi x  0   .  x  0 3  − x  0 Ta có: 
 ( x −3)( x +3)+12− 2 3 x x A =  ( + −  x − 3)( x + 3) : x + 3 x − 3 x + 3 
x + 2( x − 3) − 3( x + 3) x − 9 +12 − x = ( x − 3)( x + 3) : x + 3
x + 2 x − 6 − 3 x − 9 3 1 − 5 x + 3 5 −   = x 9 ( = = , với  . x − 3)( x + 3) : x + 3
( x −3)( x +3). 3 x − 3 x  0 b) Ta có: 5 − 5 2 x −1 A  2   2  + 2  0   0 x − 3 x − 3 x − 3  1 2 x −1 0 x  TH1:    4  x  9  x −3  0 x  9  1 2 x −1 0 x  1 1 TH2:    4  x
, kết hợp điều kiện suy ra 0  x  .  −  4 x 3 0  4 x  9 1
Vậy x  9 hoặc 0  x  thì A  2 . 4 c) Ta có: 2  5  1 x − −   2 − x − − +   B = = ( − x) 5 x 5 x 6 2 4 2 : = = A x − 3 5 5 2  5  1 − − 2  x   5   2  4 1 Vì x −  0  
với mọi x  0   − .  2  5 20 2  5  25 Dấu bằng xảy ra khi x − = 0  x =  
( thỏa mãn điều kiện)  2  4 1 25 Vậy min B = − khi x = . 20 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 149
Câu 156. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) 2 − 5 xx 2 x 3x + 9   x − 2  Cho biểu thức A = và B =  + − . +1   
 với x  0, x  9 x +1 x + 3 x − 3 x − 9 3    
1) Tính giá trị của A khi x = 19 + 8 3 + 19 − 8 3 2) Rút gọn B 3) Gọi M = . A .
B So sánh M và M Hướng dẫn 1) Ta có: x = + + − = ( + )2 + ( − )2 19 8 3 19 8 3 4 3 4 3
= 4 + 3 + 4 − 3 = 4 + 3 + 4 − 3 = 8 ( thỏa mãn điều kiện) .
Thay x = 8 vào biểu thức A ta được: 2 − 5 8 A =
= −6 + 2 2 . Vậy x = 8 thì A = 6 − + 2 2 8 +1 2) Ta có:   x 2 x 3x + 9 x − 2 + 3 B =  + −   x + 3 x − 3 
( x −3)( x +3) . 3 
x ( x − 3) + 2 x ( x + 3) − 3x − 9 x +1 = ( x − 3)( x + 3) . 3
x − 3 x + 2x + 6 x − 3x − 9 x +1 = ( x − 3)( x + 3) . 3 3( x − 3) x +1 x +1 = ( =
, với x  0, x  9 .
x − 3)( x + 3) . 3 x + 3 3) Ta có: 2 − 5 x x +1 2 − 5 x M = . A B = . = . x +1 x + 3 x + 3 2 −5 x  0 4
Biểu thức M xác định khi   0  x  .
x  0, x  9 25
2 − 5 x  2 − 5 x  2 −5 x 1 − − 6 x Xét 2
M − M = M (M − ) 1 =  −1 = .   x + 3 x + 3 x + 3 x + 3   1 − − 6 x 2 − 5 x 4 Vì  0 và
 0 với mọi 0  x x + 3 x + 3 25 Nên 2 2
M − M  0  M M M M .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 150
Câu 157. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) x − 2 x +1 x − 4 x − 9 x + 5
Cho các biểu thức P = + + ; Q =
với x  0, x  9 x − 3 x + 3 9 − x 3 − x 1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm x sao cho P = 3 1
3) Đặt M = P : .
Q Tìm giá trị của x để M  . 2 Hướng dẫn 1) Ta có: x − 2 x +1 x − 4 x − 9 P = + − x − 3 x + 3 ( x −3)( x +3)
( x −2)( x +3)+( x + )1( x −3)−x+4 x +9 = ( x − 3)( x + 3) x +
x − 6 + x − 2 x − 3 − x + 4 x + 9 = ( x − 3)( x + 3) x + x + x ( x 3 3 ) x = x ( = = . Vậy P =
với x  0, x  9
x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) x − 3 x − 3 2) Ta có: x 9 81 P = 3 
= 3  x = 3 x − 9  x =  x =
( thỏa mãn điều kiện) x − 3 2 4 81 Vậy x = thì P = 3 . 4 3) Ta có: x x + 5 − x
M = P : Q = : = x − 3 3 − x x + 5 − x x
Vì x  0, x  9  M =
 0  M = −M =
( vì x + 5  0 với mọi x  0, x  9 ) x + 5 x + 5 0  x  25
Suy ra x  25 . Kết hợp điều kiện suy ra  . Vậy: …… x  9 − Khi đó 1 x 1 x 5 M       x −  x + 5 2 ( x + 5) 0 5 0 2 2
Câu 158. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) 3 x − 6 1 x − 3 x − 2
Cho các biểu thức A = − + B = x x x − 2 x 2 − và x x x + với 0; 4 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 151
a) Tính giá trị của B khi x = 4( 9+ 4 5 − 9−4 5 )
b) Rút gọn biểu thức A. 2
c) Tìm các số nguyên x để AB  3 Hướng dẫn a) Ta có:  
x = 4( 9+ 4 5 − 9−4 5 ) = 4 ( 5 + )2 − ( 5 −  )2 2 2   
= 4( 5 +2 − 5 −2 ) = 4( 5 +2− 5 +2) =16 ( thỏa mãn điều kiện).
Thay x = 16 vào biểu thức B ta được: 16 − 2 4 − 2 2 2 B = = = x = thì B = . 16 + . Vậy 16 1 4 +1 5 5 b) Ta có: 3 x − 6 1 x − 3 A = + + x ( x − 2) x − 2 x
3 x − 6 + x + ( x − 3)( x − 2) = x ( x − 2) − − + + x − + x x − ( x x x x x )1 3 6 5 6 x −1 = = = = x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x − 2 x −1 Vậy A =
, với x  0; x  4 . x − 2 c) Ta có: x −1 x − 2 x −1 . A B = . = x − 2 x + . 1 x +1  x −1 0 x 1 Biểu thức
AB xác định khi    . x  ; 0 x  4 x  4 2 4 x −1 4 5 x −13 Ta có: AB   AB   −  0   0 3 9 x +1 9 9 x + 9 x  1 5 x −13 169 Vì  nên 9 x + 9  0 
 0  5 x −13  0  x  x  4 9 x + 9 25  169 1   x  Vậy  25 . x  4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 152
Câu 159. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tât Thành – Hưng Yên 2014 – 2015)
a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau: A = ( 22 + 7 2) 30 − 7 11  x x −1 x + 6   x + 2 
b) Rút gọn biểu thức sau: B =  − −  : −1     x − 2 x + 2 x − 4 x − 2     Hướng dẫn a) Ta có:
A = 2 ( 11 + 7) 30 − 7 11 = ( 11 + 7) 60 −14 11 = ( + ) ( − )2 11 7 7 11
= ( 11+7)(7 − 11) = 49−11= 38
b) Điều kiện: x  0; x  4 .   x x −1 x + 6 x + 2 − x + 2 B =  − −   x − x + 
( x −2)( x +2) : 2 2  x − 2 
x ( x + 2) − ( x − )
1 ( x − 2) − x − 6 4 = ( x − 2)( x + 2) : x − 2
x x + 2x − x x + 2x +
x − 2 − x − 6 4 = ( x − 2)( x + 2) : x − 2 4x − 8 x − 2 x − 2 − = x 2 ( = . Vậy B =
với x  0; x  4
x − 2)( x + 2) . 4 x + 2 x + 2
Câu 160. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018)  1 5 x − 4   2 + x x  Cho P =  +  : −      x − 2 2 x − x x x − 2    
1) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P
2) Tìm m để có x thỏa mãn điều kiện xác định của P sao P = mx x − 2mx +1 Hướng dẫn x  0  x  0
1) Biểu thức xác định khi    .  x − 2  0 x  4 Ta có:   −
(2+ x)( x −2)− x. 1 5 4 x x P =  −   x − x  ( x − ) : 2 2  x  ( x −2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 153 4 − − − x − x + x − − x
( x )1 x( x 2 5 4 4 ) = ( = = x − x
x − 2) : x ( x − 2) x ( x − 2) . 1 4 − 2) Ta có:
P = mx x − 2mx +1 
x −1 = mx x − 2mx +1
mx x − 2mx − x + 2 = 0  ( x −2)(mx− ) 1 = 0 x  0 Vì 
nên ( x − 2)(mx − )
1 = 0  mx −1 = 0  mx = 1 x  4
Xét m = 0  0.x =1 phương trình vô nghiệm.  1  0 m  0    1 x 0 m
Với m  0  x =
. Để phương trình có nghiệm thì      1 . mx  4 1 m   4    4 mm  0  Vậy 
1 thì P = mx x − 2mx +1 có nghiệm. m   4
Câu 161. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) 3 x x 8 x 2 x + 3 Cho A = + + và B = 2 −
; x  0, x  4 x + 2 2 − x x − 4 x + 2
1. Tính B với x = 81 2. Đặt P = A : B . Rút gọn P. 3. Tìm GTNN của P Hướng dẫn 1. Ta có: 2 x + 3
2 x + 4 − 2 x − 3 1 B = 2 − = = x + 2 x + 2 x + 2
Với x = 81 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức B ta được: 1 1 1 B = =
. Vậy x = 81 thì B = . 81 + 2 11 11 2) Ta có: 3 x x 8 x A = − + x + 2 x − 2 ( x −2)( x +2)
3 x ( x − 2) − x ( x + 2) + 8 x − − − + = 3x 6 x x 2 x 8 x 2x ( = = . x − 2)( x + 2) ( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) 2x 1 2x Suy ra P = . A B = ( = .
x − 2)( x + 2) : x + 2 x − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 154  2x   0
Biểu thức P xác định khi  x − 2  x  4
x  0,x  4 2x 8 8
Với x  4  P = = 2 x + 4 + = 2( x −2)+ +8 x − 2 x − 2 x − 2 8 8
Áp dụng BĐT Cosi ta có: 2( x − 2) +  2 2( x −2). = 8 x − 2 x − 2  ( x − ) 8 2 2 + +8 16  P 16 x − 2
Dấu bằng xảy ra khi ( x − ) 8 2 2 =
x − 2 = 2  x =16 ( thỏa mãn điều kiện) x − 2
Vậy min P = 4 khi x = 16
Câu 162. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) 1+ x 1− x
Cho biểu thức P = + ;0  x  1 1+ 1− x 1− 1− x 2
1) Chứng tỏ rằng P = − 2 1− x
2) Tìm x để P = 2 . x Hướng dẫn 1) Ta có: + −
(1+ x)(1− 1− x)+(1− x)(1+ 1− 1 1 x x x ) P = + = 1+ 1− x 1− 1− x
(1+ 1−x)(1− 1−x)
1− 1− x + x − x 1− x +1+ 1− x − x − x 1− x 2 − 2x 1− x 2 = ( = = − − − −
( điều phải chứng minh) x) 2 1 x 1 1 x x 2) Ta có: 2 P = 2 
− 2 1− x = 2  2(1− x) − 2x 1− x = 0  2 1− x ( 1− x − x) = 0 xx =1  1− x = 0 x =1       −  2 1 5  x = 1− x
x + x −1 = 0 x =  2 x =1 
Kết hợp điều kiện suy ra 1 − + 5  x =  2
Câu 163. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) 2 1 1 x + 2
1) Rút gọn biểu thức P = + −
2(1+ x ) 2(1− x ) 3 1− x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 155
2) Tính giá trị của biểu thức 3
A = a + 3a + 2003 với 3 3
a = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 Hướng dẫn 1) Ta có: 2 2 1 − x +1 + x x + 2 2 x + 2 P = − = −
2(1+ x )(1− x ) 3 1 − x 2(1− x) 3 1 − x 2 2 2 1 x + 2
x + x +1− x − 2 x −1 1 = − = = = 1− x
(1− x)( 2x + x + )1 (1− x)( 2x + x + )1 (1− x)( 2x + x + ) 2 1 x + x +1 2) Ta có: 3 3 a = + + −  a = (3 3 7 5 2 7 5 2 7 + 5 2 + 7 − 5 2 )3 3 3 3 3  a = + + + − (3 3 7 5 2 3 7 5 2 . 7 5 2 .
7 + 5 2 + 7 − 5 2 ) + 7 −5 2 3 3 3
a =14 + 3 49 −50.a a + 3a =14 Suy ra 3
A = a + 3a + 2003 =14 + 2003 = 2017
Câu 164. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) x − x x + 3 1
Với x  0 và x  1, x  4 cho hai biểu thức A = và B = − 2 − x x x −1 x −1
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 144 .
2. Rút gọn biểu thức P = . A B 1
3. Chứng minh rằng: P  3 Hướng dẫn
1. Thay x = 144 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 144 − 144 144 −12 132 66 A = = = = − . 2 − 144 2 −12 10 − 5 2. Ta có: x + 3 1 x + 3 1 B = − = − x x −1 x −1
( x − )1(x+ x + )1 x −1 x + 3 − x − x −1 2 − x = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x − − ( x − x x x )1 2 2 − x x Suy ra P = . A B = . = =
− x ( x − )1(x + x + ) . 2 1 2 − x
( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 156 − − − − ( x − x x x x )2 1 1 1 3 1 3. Xét P − = − = = 3 x + x +1 3 3( x + x + ) 1 3( x + x + ) 1 −( x − )2 1 1 Ta có: (
 Với x  0 và x  1, x  4 nên P x + x + ) 0 3 1 3
Câu 165. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) x + 2 1 x −1 Cho biểu thức P = − + ; 0  x  1 x x −1 x −1 x + x +1 a) Rút gọn biểu thức P 1
b) Tìm các giá trị của x để P  − 3 Hướng dẫn a) Ta có: x + 2 1 x −1 x + 2 1 x −1 − + = − + x x −1 x −1 x + x +1
( x − )1(x+ x + )1 x −1 x+ x +1
x + − x − x − + ( x − )2 2 1 1
1− x + x − 2 x +1 = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 − − x − x + ( x )1( x 2 3 2 ) x − 2 − = x 2 ( = = . Vậy P = với 0  x  1. x − ) 1 (x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1 x + x +1 1 x − 2 1 3 x − 6 + x + x +1 b) P  −  +  0   x + x +1 3( x + x + ) 0 3 3 1 − + x + x − ( x )1( x 5 4 5 )  (    x + x + ) 0 (x+ x + ) 0 3 1 3 1  x + 5  0 
Vì 0  x  1  
nên x −1  0  x  1. Kết hợp điều kiện suy ra 0  x  1 3
 (x + x + ) 1  0
Câu 166. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Giảng Võ– Hà Nội 2017 – 2018) x + 2 1 x x + 3
Cho hai biểu thức A = B = − + x x x − và x x −1 x + với 0; 1 1 x −1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi 2 x = 16 .
2) Thu gọn biểu thức M = A: B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 157
3) Tìm giá trị của k sao cho phương trình 1 M = có nghiệm. k Hướng dẫn 1) Ta có: 2 x = 16  x = 4
 . Kết hợp điều kiện suy ra x = 4 . x + 2 4 + 2 4
Với x = 4 ta có: A = = = = 2 x − . Vậy: ….. x 4 − 4 2 2) Ta có: 1 x x + 3 1 x x + 3 B = − + = − + x −1 x +1 x −1 x −1 x +1 ( x − ) 1 ( x + ) 1
x +1− x ( x − ) 1 + x + 3 2 x + 4 = ( = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 x + 2 + x + 2 ( x − )1( x + x )1 2 4 x +1
Suy ra M = A : B = : = = x − . x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x ( x − ). 1 2( x + 2) 2 x 1 x +1 1 3) Ta có: M =  =  k ( x + ) 1 = 2 x
x (2 − k ) = k . k 2 x k
Với k = 2 suy ra x.0 = 2  phương trình vô nghiệm. k
Với k  2  x =
. Để phương trình có nghiệm thỏa mãn x  0; x  1 thì: 2 − kk  0  − 0  k  2 2 k    . Vậy: …… k  k  1  1 2 − k
Câu 167. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Hà Huy Tập– Hà Nội 2018 – 2019) x + 3  x +3 x −2 1  x −3
Cho hai biểu thức A = B =  − .
với x  0; x  9 x + và 3  x −9 x + 3    x +1
1) Tính giá trị của A khi x = 16 . 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Cho P =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. B Hướng dẫn
1) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 16 + 3 19 19 A = = x = thì A = . 16 + . Vậy với 16 3 7 7 2) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 158    x +3 x − 2 1  x −3 x + 3 x − 2 1 x − 3 B =  − . =  −   x  − x  +  x +  + + ( . 9 3 1 x − 3)( x + 3) x 3 x 1 
x + 3 x − 2 − ( x − 3) x − 3 x + 2 x +1 x − 3 = ( =
x − 3)( x + 3) . x +
( x −3)( x +3). 1 x +1 ( x + )2 1 x +1 + = x 1 ( = . Vậy B =
với x  0; x  9 . x + 3)( x + ) 1 x + 3 x + 3 3) Ta có: A x + 3 x +1 x + 3 4 P = = = = x − + = ( x + ) 4 : 1 1 + − 2 B x + 3 x + 3 x +1 x +1 x +1 Áp dụng BĐT Cosi ta có: ( x + ) 4 +  ( x + ) 4 1 2 1 . = 4  P  2 . x +1 x +1 2 4
Dấu bằng xảy ra khi ( x + ) 1 =  ( x + ) 1
= 4  x +1= 2  x =1(tm) x +1
Vậy min P = 2  x = 1.
Câu 168. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lê Thánh Tông– Hà Nội 2018 – 2019)  1 x   1 2 
Cho biểu thức: A =  −  :    +  x x  )
x − x 1− x   x + (với 0; 1 1 x −1
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 − 2 2 Hướng dẫn 1) Ta có:  1 x   1 2  A =  −  :    + 
x − x 1− x   x + 1 x −1     1 x 1 2 + − + + =  +   +  1 x x 1 2 x 1 = =  : x ( x − ) : 1
x −1  x +1 ( x − )1( x + x ( x − ) 1
( x − )1( x + )    )1 1 x
2) Với x = 3 − 2 2 = ( − )2
2 1 (thỏa mãn điều kiện) 2 2 3− 2 2 ( 2 − + − )1 1 4 2 2 Suy ra A = = = = ( ) 2 2 2 2 −1 ( 2 − − )1 2 1
Vậy x = 3 − 2 2 thì A = 2 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 159
Câu 169. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phúc Xá – Hà Nội 2018 – 2019) x − x +1 x −1 x
Cho hai biểu thức A = + B =
Với x  0; x  1 x −1 1− và x x −1 2
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 2+ . 3
2) Rút gọn biểu thức P = A : B .
3) Tìm x sao cho (1− x).P =10 . Hướng dẫn 2(2− 3 2 ) 1) Ta có: x = = = 4 − 2 3 = ( 3 − )2 1 2 +
( thỏa mãn điều kiện) 3 4 − 3
Thay vào biểu thức B ta được: 2 − − − (2− 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 ) B = = = = = − ( − −1 − − 3 − ) 2 2 3 1 3 2 3 2 1 −1 2 Vậy x = B = − . 2 + thì 2 3 2) Ta có: x − x +1 x −1 x − x +1 x −1 2 − x A = + = − = x −1 1− x x − 1 x −1 x −1 2 − x x 2 − x 2 − x
Suy ra P = A : B = : = P =
với x  0; x  1. x −1 x − . Vậy 1 x x 3) Ta có: ( − x
1− x ).P =10  (1− x ) 2 .
=10  (1− x)(2− x) =10x x
10x = 2 −3 x + x  9x + 3 x − 2 = 0  9x + 6 x −3 x − 2 = 0
 3 x (3 x +2)−(3 x +2) = 0  (3 x +2)(3 x − ) 1 = 0 1
Vì x  0  3 x −1 = 0  x =
( thỏa mãn) . Vậy: ….. 9
Câu 170. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phương Liệt – Hà Nội 2015 – 2016) (2 điểm) 3 x + 9 x 2 x 3x + 9 Cho A = B = + −
( x  0, x  9) x − và 9 x + 3 x − 3 x − 9
1) Tính giá trị của A khi x = 4 .
2) Chứng tỏ rằng biểu thức B luôn dương với mọi giá trị x thỏa mãn ĐKXĐ
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 160 B
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Hướng dẫn
1) Với x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 3 4 + 9 15 A = = = 3
− . Vậy x = 4 thì A = 3 − . 4 − 9 5 − 2) Ta có: x − + + − − x x x +
( x 3) 2 x( x 3) 3x 9 2 3 9 B = + − = x + 3 x − 3 ( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3) 3 − x − x + x + x − x − ( x 3 3 2 6 3 9 ) 3 = ( = = . x − 3)( x + 3)
( x −3)( x +3) x +3
Vì x  0, x  3 9  B =
 0 với mọi x  0, x  9 . x + 3
Vậy B luôn dương với mọi x  0, x  9 . B 3 3 x + 9 x − 3 6 c) = : = =1− A x + 3 x − 9 x + 3 x + 3 Ta có:
x  0 với mọi x  0, x  9 6 6 Nên x + 3  3  11−  1 − . x + 3 x + 3  B
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . Vậy min = 1 −  x = 0    A
Câu 171. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Sài Đồng 2018 – 2019) (2 điểm) x +1 x − 3 x + 4 1 Cho biểu thức A = ; B = −
(x  0; x  4) x x − 2 x x − 2
1) Tính giá trị của A khi x = 9 . 2) Rút gọn B. B 3) So sánh P = với −2 . A Hướng dẫn 4 x − 2 1) A = 2) 3 x B 3 x B c) Xét hiệu + 2 =
 0 với mọi x  0; x  4 nên  2 − . A x +1 A
Câu 172. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vinschool 2017 – 2018) (2 điểm)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 161 x + 3
1) Tính giá trị của biểu thức A = x = . x − với 4 3  x + 4 7  x − 3 2) Cho P =  − :  x x x x +1 2 x − 2    x − với 0; 1; 9 1 a) Rút gọn P b) So sánh P và 3 P . Hướng dẫn 2 x + 5 1) A = 5 − 2) Rút gọn P = 2 x +1 2 x + 5 4 3) Vì P = =1+
 1 với mọi x  0; x 1; x  9 nên 3 P P . 2 x +1 2 x +1
Câu 173. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TP Hà Nội 2016 – 2017) (2 điểm) 7 x 2 x − 24
Cho hai biểu thức A = và B = +
với x  0; x  9 x + 8 x − 3 x − 9
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 x + 8 2) Chứng minh B = x + 3
3) Tìm x để biểu thức P = .
A B có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn
1) Thay x = 25 ( thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: 7 7 A = = . Vậy: …… 25 + 8 13 2) Ta có: x + + − x x − ( x 3) 2 x 24 2 24 x + 5 x − 24 B = + = = x − 3 ( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3)
( x −3)( x +8) x +8 = ( =
( điều phải chứng minh) x − 3)( x + 3) x + 3 7 x + 8 7 3) Ta có: P = . A B = . = . x + 8 x + 3 x + 3 Các em đánh giá chỉ 7 ra 0  P  mà P   P 1;  2 . 3 1 
Giải P = 1; P = 2 để tìm x . Đáp số: x   ;16 4 
Câu 174. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Đức Giang 2016 – 2017) (2 điểm):
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 162 2 x +1  2 x − 5  x −1
Cho hai biểu thức A = và B =  −  :  
( x  0, x  1, x  9) x + 3 x + 3 x − 9 x − 3  
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 49
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A − B có giá trị là số tự nhiên. Hướng dẫn
a) Thay x = 49 (thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 2 49 +1 15 3 A = = = . Vậy: …. 49 + 3 10 2   2 x − 5 x −1 b) B =  −   x + 
( x −3)( x +3) : 3  x − 3 
2( x − 3) − x + 5 x − 3 x −1 x − 3 1 = ( = =
x − 3)( x + 3) . x −
( x −3)( x +3). 1 x −1 x + 3 c) Ta có: 2 x +1 1 2 x 6 A − B = − = = 2 − . x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 A − B  0 
Để A − B là số tự nhiên thì (  A − B  )
Suy ra 6 ( x + 3) . Từ đó giải được x = 0
Câu 175. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Văn Khê 2015 – 2016) (2 điểm): a +1 2 a 2 + 5 a Cho biểu thức P = + +
với a  0, a  4 a − 2 a + 2 4 − a a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 3 − 2 2 . 1 c) Tìm a để P  .
d) Tìm a để P = 2 . 3 Hướng dẫn a) Ta có: a +1 2 a 2 + 5 a P = + − a − 2 a + 2 ( a −2)( a +2)
( a + )1( a +2)+2 a( a −2)−2−5 a = ( a − 2)( a + 2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 163 3 a − a − a ( a 2 3 6 ) 3 a = ( = = .
a − 2)( a + 2) ( a − 2)( a + 2) a + 2 b) Ta có: a = − = ( − )2 3 2 2
2 1 ( thỏa mãn điều kiện) Suy ra a = ( − )2 2 1
= 2 −1 = 2 −1 . Thay vào biểu thức P ta được: 3( 2 − ) 1 3( 2 − ) 1 P = = = 3(3− 2 2) = 9−6 2 . 2 −1+ 2 2 +1 c) Ta có: 1 3 a 1 3 a 1 9 a − a − 2 8 a − 2 P     −  0     a + 2 a + 2 3( a + 2) 0 3( a + 2) 0 3 3 3
Vì a   ( a + ) 1 1 0 3
2  0  8 a − 2  0  a   a  4 16  1 a  Vậy  16 a  4 3 a d) Ta có: P = 2 
= 2  3 a = 2 a + 4  a = 4  a = 16(tm) . Vậy: … a + 2
Câu 176. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TTBDVH Dạy Tốt 2016 – 2017) 3 x + x x − 9 x − 3 x +1 Cho biểu thức A = B = + −
với x  0, x  1, x  9 9 − và x
( x +3)(1− x) x −1 x −3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 x +1 b) Chứng minh B = 3 − x A
c) Tìm các giá trị của x để 1. B Hướng dẫn
a) Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức A ta được: 3 16 +16 28 A = = = 4 − 9 −16 7 − . Vậy: ….
( x −3)( x +3) x −3 x +1 b) Ta có: B = ( − −
x + 3)(1− x ) 1− x x − 3 x − 3 x − 3 x +1 x +1 x +1 = − − = − =
( điều phải chứng minh) . 1− x 1− x x − 3 x − 3 3 − x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 164 c) Ta có: x + + (3+ 3 1 x A x x x ) 3− x 1  : 1   B − x − x (3− x)(3+ x). 1 9 3 x +1 x x 1 −  1  −1  0   0 x +1 x +1 x +1 1 − Vì x  0 
 0  x . Vậy: …. x +1
Câu 177. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TTBDVH Edufly 2016 – 2017) 2
1) Rút gọn biểu thức sau A = + 7 − 4 3 3 −1  2 x + x 1   x + 2 
2) Cho biểu thức P =  −  :1−      x x −1 x −1 x + x +1     a) Rút gọn biểu thức P
b) Với x  1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
A = x .P Hướng dẫn 2( 3 + ) 1 2 1) A = + 7 − 4 3 = − ( − )( + ) + 4−2.2 3+3 3 1 3 1 3 1 2( 3 + ) 1 =
+ (2− 3)2 = 3 +1+ 2− 3 = 3 +1+ 2− 3 = 3 3 − 1 2) Ta có:    2 x + x 1   x + 2  2 x + x 1
x + x +1− x − 2  P =  −  : 1−  =  −          x x − x − x + x +     
( x − )1(x+ x + ) : 1 1 1 1 x −1 x + x +1    
2 x + x − x − x −1 x + x +1 x −1 1 1 = ( = = . x − ) 1 ( x + x + ) . . 1 x −1 x −1 x −1 x −1 1 1 1 3) Ta có: 2 2
A = x .P = x . = x +1− = (x − ) 1 + + 2 . x −1 x −1 x −1 1
Vì x 1 nên áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương x −1 và ta được: x −1 1 x − +  (x − ) 1 1 1 2 1 . = 2  x −1+ + 2  4 . x −1 x −1 x −1 1
Dấu bằng xảy ra khi x −1 =  (x − )2 1
=1 x −1=1 x = 2 ( vì x 1). x −1 Vậy: …………..
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 165
Câu 178. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Oai 2017 – 2018) a + 3 a 1 3 a
Cho hai biểu thức: P = và Q = + −
với a  0; a  1. a +1 a −1 a + 2 a + a − 2
a) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 16.
b) Rút gọn biểu thức Q.
c) Tìm a để biểu thức S = .
P Q có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn 7
a) Thay a = 16 ( thỏa mãn điều kiện) các em tính được P = . 5 a +1 b) Rút gọn Q = . a + 2 a + 3 1 3 c) Tính S = = 1+
. Lập luận chỉ ra max S = khi a = 0 . a + 2 a + 2 2
Câu 179. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2017 – 2018) x x −1 x x +1 4 x −1 Cho biểu thức P = + − và Q =
với x  0; x  1 . x − x x + x x x +1
a) Tính giá trị của Q khi x = 25
b) Rút gọn biểu thức A = . P Q
c) Tìm các giá trị của x để A x  8 Hướng dẫn a) Đáp số 2
: x = 25 thì Q = . 3 2( x − ) 1 ( x + ) 1 2 − ( x − x )2 2( x − ) 1 1 1 b) Rút gọn P =
, từ đó tính được A = . = . x x x +1 x 2( x − )2 1  2  x −1 2 c) A x  8 
. x  8  ( x − ) 1  4    x  9 . x  x −1 2 − 0  x  9 Vậy  x  1
Câu 180. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2011 – 2018) x 10 x 5 Cho A = − −
, với x  0, x  25. x − 5 x − 25 x + 5
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của A khi x = 9 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 166 3) Tìm x để 1 A  . 3 Hướng dẫn 1) Ta có: x 10 x 5 A = − − x − 5
( x −5)( x +5) x +5
x ( x + 5) −10 x − 5( x − 5) x + 5 x −10 x − 5 x + 25 = ( = x − 5)( x + 5) ( x −5)( x +5) − + ( x − x x )2 5 10 25 x − 5 = ( = =
x − 5)( x + 5) ( x − 5)( x + 5) x + 5
2) Thay x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 9 − 5 3 − 5 1 A = = = − . Vậy: ….. 9 + 5 3 + 5 4 3) Ta có: 1 x − 5 1 x − 5 1 A     −  0 3 x + 5 3 x + 5 3 3 x − 15 − x − 5 2 x − 20  (    x + ) 0 ( x + ) 0 3 5 3 5 2 x − 20 Vì x  0  x + 5  0 nên (   −      x + ) 0 2 x 20 0 x 10 x 100 3 5 0  x  100 Vậy  . x  25
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 167
Câu 181. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-AMSTERDAM-2019-2020) 4 3 x 2x + 3 x +10
Cho hai biểu thức A = và B = + +
, với x  0, x  4. x + 2 x + 2 2 − x x − 4
1. Tính giá trị của A khi x = 16 x + 2
2. Chứng minh rằng B = x − 2
3. Tìm tất cả giá trị của x để . A B  2 − Hướng dẫn
1) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 4 4 2 2 A =
= = . Vậy x =16 thì A = . 16 + 2 6 3 3 2) Ta có: 3( x − 2) x ( x + 2) 2x + 3 x +10 B = ( − +
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) 3( x − 2) x ( x + 2) 2x + 3 x +10 B = ( − +
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
3 x − 6 − ( x + 2 x ) + 2x + 3 x +10 B = ( x + 2)( x − 2) x + 4 x + 4 B = ( x + 2)( x − 2) ( x + )2 2 x + 2 B = ( =
(điều phải chứng minh). x + 2)( x − 2) x − 2 3) Ta có: x = 0 4 2 xx = 0(TM ) . A B  2 −  + 2  0   0     x − 2 x − 2  x − 2  0 x  4(TM ) x = 0 Vậy  x  4
Câu 182. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Ba Đình-2019-2020) x + 5 x 2 x x + 9 x Cho hai biểu thức: A = B = −
với x  0 và x  9 và x  25 . x − ; 25 x − 3 x − 9
a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 168 b) Rút gọn biểu thức . B
c) Đặt P = B : A . So sánh P với 1. Hướng dẫn
a) Với x  0 và x  9 và x  25
Để A = 0  x + 5 x = 0  x ( x +5) = 0  x = 0  x = 0(t / m) do x + 5  0
b) Với x  0 và x  9 và x  25 ta có: 2 x ( x + 3) 2 x x + 9 x x + 9 x B = − = − x − 3 x − 9
( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3)
2x + 6 x − x − 9 x x − 3 x = ( =
x − 3)( x + 3)( x − 3) ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3) = x x ( = . Vậy B = . x − 3)( x + 3) x + 3 x + 3
c) Với x  0 và x  9 và x  25 . Ta có: x x + 5 x x x x x − 5 x − 5
P = B : A = : = : = . = x + 3 x − 25 x + 3 x − 5 x + 3 x x + 3 x − 5
x − 5 − x − 3 8 − Xét hiệu: P −1 = −1 = = x + 3 x + 3 x + 3 − Ta có : x  8 0  x + 3  0 
 0  P −1 0  P 1. x + 3 Vậy P  1.
Câu 183. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Ba Vì – 2019-2020) 2 + x x −1 2 x +1
Với x  0 cho hai biểu thức: A = và B = + x x x + x
a) Tính giá trị của bểu thức A khi x = 64 .
b) Rút gọn biểu thức B . A 3 c) Tìm x để  . B 2 Hướng dẫn 2 + 64 5
a) Thay x = 64 thỏa mãn ĐKXĐ vào biểu thức A ta được: A = = . Vậy: …. 64 4 x −1 2 x +1 x + 2
b) Với x  0 ta có: B = + = x x ( x + ) 1 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 169 A x +1 c) Tính được = B x A 3 x +1 3 Với x  0 ta có:     x  4 B 2 x 2
Kết hợp với điều kiện, kết luận: 0  x  4
Câu 184. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Bắc Từ Liêm-2019-2020) 6 2 x 2
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x  0, x  9 . x ( x −3) x − 9 x + 3
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
2) Rút gọn biểu thức M = A: B .
3) Tìm các giá trị của x để 3 x + 5 = 2M . Hướng dẫn 6 6
1)Thay x = 4 (tmđk) vào biểu thức A ta được: A = = = − 4 ( 4 −3) (− ) 3 2. 1
Vậy khi x = 4 thì A = 3 −
2) Rút gọn biểu thức M = A: B . 6  2 x 2  Ta có:
M = A : B =  −   
x ( x − 3) : x − 9 x + 3     6 2 x 2   = − 6 2 x − 2 x + 6 = :
x ( x − 3) : 
x ( x − 3) ( x − 3)( x + 3)
 ( x − 3)( x + 3) x + 3  ( x −3)( x +3 6 ) x +3 = = x ( x − 3) . 6 x x + 3 Vậy M =
với (x  0, x  9) x
3) Tìm các giá trị của x để 3 x + 5 = 2M . x + 3
3 x + 5 = 2M  3 x + 5 = 2. x  − =  =  x x TM
3x + 3 x − 6 = 0  x +
x − 2 = 0  ( x − ) 1 ( x + 2) = 1 0 1( ) 0  
 x + 2 = 0  x = 2 − (L)
Vậy khi x =1 thì 3 x + 5 = 2M
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 170
Câu 185. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Cầu Giấy-2019-2020)  1 1  x Cho biểu thức A = − :  
với x  0, x  4  x + 2
x − 2  x − 2 x 4 − a) Chứng minh A = x + 2 2 −
b) Tìm x biết A = . 3
c) Cho x là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Hướng dẫn
a) Với x  0, x  4 ta có:    1 1  x x − 2 x + 2 x A = − :   =  −  :  x + 2
x − 2  x − 2 x
( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) x − 2 xx − ( x −2 4 )
x − 2 − x − 2 x − 2 x = 4 − ( = . = x + )( x − ) . 2 2 x ( x +2)( x −2) x x + 2 4 − Vậy A = (đpcm). x + 2 2 −
b) Tìm x biết A = . 3 − − − Để 2 4 2 A =  =
x + 2 = 6  x = 4  x =16(t / m). 3 x + 2 3 2 −
Vậy x =16 thì A = . 3 4 − c) Ta có: A = . x + 2
Ta có: x nguyên và x  0 , x  4 hay x  1, x  4, x  4 4 4 − 4 − 4 − Với x  1  x  1  x + 2  3  0      P x + 2 3 x + 2 3 3
Dấu " = " xảy ra  x = 1 4 −
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi x =1 3
Câu 186. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Đông Anh-2019-2020) x + 4 x 2 Cho A = và B = −
với x  0; x  4 x + 2 x − 4 x − 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức P = B : A
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 171
c) Tìm giá trị của x để P  0 Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 + +
Ta có x = 36 (tmđk) nên 36 4 6 4 5 A = = = 36 + 2 6 + 2 4
b) Rút gọn biểu thức P = B : A x 2 x 2 B = − = − x − 4 x − 2
( x −2).( x +2) x −2 x − 2( x + 2) x − 2 x − 4 − x − 4 = ( = =
x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) x 2 − x − 4 x + 2 1 −
P = B : A = − = = x − x −
( x − ) ( x + ): 4 2 2 . 2
( x +4) ( x −2)
c) Tìm giá trị của x để P  0 1 −
Với x  0; x  4 để P  0 
 0  x − 2  0  x  2  x  4 x − 2
Kết hợp ĐKXĐ ta có: 0  x  4 thì P  0
Câu 187. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Đống Đa-2019-2020) x − 2 x + 2 2x + x − 4 x +1 Cho biểu thức A = và B = − với x  0 x x + 2 x x + 2
a) Tính giá trị của A khi x = 9. b) Rút gọn biểu thức . B A c) Cho P =
. Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị âm. B Hướng dẫn 9 − 2 9 + 2 9 − 2.3 + 2 5
a) Khi x = 9 (thỏa mãn điều kiện) Thay vào A ta được: A = = = 9 3 3 5
Vậy khi x = 9 thì A = . 3
b) Với x  0 ta có: x + − ( x + x x ) 2x + x − 4 x +1 1 2 4 B = − = − x + 2 x x + 2 x ( x + 2) x ( x + 2) ( x −2)( x +2) 2x +
x − 4 − x − x − = x 4 = x − 2 = = x ( x + 2) x ( x + 2) x ( x + 2) x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 172 x − 2
Với x  0 thì B = x
c) Với x  0 ta có : − + − − + − + ( x − + A x x x x x x x x )2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 P = = : = . = = B x x x x − 2 x − 2 x − 2 x  0  Vì (
nên P  0  x − 2 0  x  2  x  4 x −  )2 1  0 x   0
Kết hợp điều kiện suy ra 0  x  4 Mà x   x   1;2;  3
Câu 188. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Gia Lâm-2019-2020) x − 3
a) Tính giá trị của biểu thức A = khi x = 16 x +1  x − 2 1  x +1
b) Rút gọn biểu thức sau: B = + .  
(Với x  0, x  1)  x + 2 x x + 2  x −1
c) Tìm các giá trị của x để biểu thức M = A.B < 0 . Hướng dẫn x − 3 a) A = (x  0) x +1 16 − 3 1
Thay x = 16 (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A, ta có: A = = 16 +1 5 1 Vậy A = khi x = 16 . 5  x − 2 1  x +1 b) B = + .  
(Với x  0, x  1)  x + 2 x x + 2  x −1     x − 2 1 x +1 x − 2 x x +1     = + = +  x  ( x +2) . x +  x −  x  
( x +2) x( x +2) . 2 1  x −1  − + x + x − x + ( x )1( x 2 2 1 ) x +1 x +1 =  =  = x ( x + 2) x −1 x ( x + 2) x −1 x
c) Tìm các giá trị của x để biểu thức M = A.B <0 . x − 3 x +1 x − 3 M = . A B =  = x +1 x x
* Có x  0 nên M  0 thì x − 3  0 
x  3  x  9
Kết hợp ĐKXĐ ta có 0  x  9; x  1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 173
Vậy 0  x  9; x  1 thì M = . A B  0 .
Câu 189. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hà Đông-2019-2020) x +1 2 x + 3 x + 3 x − 6 x
Cho hai biểu thức A = và B = + −
với x  0; x  9; x  16 x − 4 x − 3 4 − x x − 7 x +12
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25 . 2) Rút gọn B .
3) Đặt P = 2( x −2)B: A. Tìm giá trị nhỏ nhất của P Hướng dẫn
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25 . 5 +1 6
x = 25  x = 5(t )
m .Thay x = 5(t )
m vào A , ta có: A = = = 6 5 − 4 1
Vậy A = 6 khi x = 25 2) Rút gọn B . 2 x + 3 x + 3 x − 6 x 2 x + 3 x + 3 x − 6 x B = + − = − − x − 3 4 − x x − 7 x +12 x − 3 x − 4
( x −3)( x −4)
(2 x +3)( x −4) ( x +3)( x −3) x − 6 x = ( − −
x − 3)( x − 4)
( x −3)( x −4) ( x −3)( x −4)
2x − 5 x −12 − x + 9 − x + 6 x x − 3 1 = ( = =
x − 3)( x − 4)
( x −3)( x −4) x −4
3) Đặt P = 2( x −2)B: A. Tìm giá trị nhỏ nhất của P − −   + − P = ( x − ) 2 x ( x 2) 2 x ( x 2 1 1 4 ) 6 2 2 : = . = = 2 −   x − 4  x − 4 x − 4 x +1 x +1 x +1 1 6 − 6 Vì x  0, x
 dkxd x +11 1  6 −  2 −  4 − x +1 x +1 x +1 Min P = 4
− , dấu bằng xảy ra  x = 0(t ) m
Câu 190. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hoàng Mai-2019-2020) ( x + )2 1 x 1 x Cho biểu thức: A = và B = + +
vơi x  0; x  4 2 − x x − 4 x + 2 2 − x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.
b) Rút gọn biểu thức B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 174 c) Đặ A t M =
. Tìm x để biểu thức M thỏa mãn M − 8 x + 8  0. B Hướng dẫn ( x + )2 1 a) Ta có: A =
với x  0; x  4 . 2 − x
Với x = 16.( TMĐK), thay x = 16. vào biểu thức A ,ta có: ( + )2 ( + )2 16 1 4 1 25 25 A = = = = − 2 − 16 2 − 4 2 − 2 25
Vậy x = 16.thì A = − 4 x 1 x b) B = + +
với x  0; x  4 x − 4 x + 2 2 − x x + x x − ( x 2 2 ) = ( + −
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) − + x + x − − x − x ( x 2 2 2 ) 1 − 1 = ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) x −2 2− x 1 Vậy B =
với x  0; x  4 2 − x ( x + A )2 1 1 c) Có M = = :
với x  0; x  4 B 2 − x 2 − x ( x + )2 1 =
.(2 − x ) = ( x + )2 1 2 − x + ) M − x +   ( x + )2 8 8 0
1 − 8 x + 8  0 với x  0; x  4
x + 2 x +1− 8 x + 8  0  x − 6 x + 9  0  ( x − )2 3  0 Vì ( x − )2 3
 0 với x thỏa mãn điều kiện x  0; x  4 Nên ( x − )2 3  0  ( x − )2 3
= 0  x − 3 = 0  x = 3  x = 9 ( TMĐK)
Vậy x = 9 thì M − 8 x + 8  0.
Câu 191. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hai Bà Trưng-2019-2020) x x 1 1
Cho các biểu thức: A = ; B = − +
(với x  0; x  4 ) x + 2 x − 4 2 − x x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 175
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 . b) Rút gọn B .
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = .
A B có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn 36 3
a) Thay x = 36 (tmđk) vào biểu thức A ta có: A = = 36 + 2 4 3
Vậy A= khi x =36 . 4
b) Với x  0; x  4 ta có : x 1 1 B = − + x − 4 2 − x x + 2 + − x ( x + 2) x ( x 2) ( x 2) = x ( + + = =
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2) x Vậy B = x x x − với 0; 4 2
c) Với x  0; x  4 ta có : x x x 4 P = . A B = . = =1+ x + 2 x − 2 x − 4 x − 4 4 x
  ĐKXĐ ; xZ ; P có giá trị nguyên  có giá trị nguyên x − 4 x − 4 =1 x = 5   x − 4 = 1 − x = 3   x − 4 = 2 x = 6
x − 4 là Ư (4) =  1  ; 2  ;  4     . x − 4 = 2 − x = 2   x − 4 = 4 x = 8   x − 4 = 4 − x = 0
Kết hợp điều kiện suy ra x 0; 2;3;5;6; 
8 thì P nhận giá trị nguyên
Câu 192. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Nam Từ Liêm-2019-2020) x + 7 2 x x +1 7 x + 3
Cho hai biểu thức: A = và B = + +
(x  0;x  9) 3 x x + 3 x − 3 9 − x
a) Tính A khi x = 25. 3 x b) Chứng minh: B = x + 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . A B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 176 Hướng dẫn +
a) Với x = 25 (tmđk) thì 25 7 32 A = = 3 25 15 b) Ta có: 2 x − + + + − − x x + x +
( x 3) ( x )1( x 3) 7 x 3 2 1 7 3 B = + + = x + 3 x − 3 9 − x ( x −3)( x +3) 3x − 9 x 3 x = ( = (đpcm) x − 3)( x + 3) x + 3 c) Ta có: x + 7 x − 9 +16 16 P = . A B = = = x + 3+ − 6 x + 3 x + 3 x + 3 16 16
Do x  0  x + 3  0;
 0 nên áp dụng BĐT Cosi cho x + 3 và ta được: x + 3 x + 3 16 x + +  ( x + ) 16 3 2 3 . = 8 x + 3 x + 3 16 Suy ra P = x + 3 + − 6  8 − 6 = 2 . x + 3 16
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x + 3 =
x + 3 = 4  x =1 ( thỏa mãn điều kiện) x + 3
Vậy min P = 2  x = 1.
Câu 193. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Long Biên-2019-2020)  +   −  Cho biểu thức x 2 x x 4 P = x − :    +     x +1 x +1 x −1   a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với x = 4 − 2 3
c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên. Hướng dẫn
a) Điều kiện: x  0; x  1; x  4 . Ta có:  x + 2   x x − 4  P = x − :    +     x +1 x +1 x −1   x − + − x + x − x − ( x )1 x 4 2 = : x +1
( x − )1( x + )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 177 − − − ( x − )1( x + x x x )1 2 4 2 x −1 = : = = x +
( x − )1( x + ) . 1 1
x +1 ( x − 2)( x + 2) x + 2 b) Ta có: x = − = ( − )2 4 2 3
3 1 ( thỏa mãn điều kiện)  x = 3 −1 = 3 −1 −
Thay vào P ta được: 5 3 3 P = 2 x −1 3 c) Ta có: P = =1− . x + 2 x + 2
Để P nguyên thì x + 2 Ư (3) . Mà x + 2  2  x + 2 = 3  x =1 ( loại)
Vậy không có giá trị x nguyên thỏa mãn điều kiện xác định để biểu thức P có giá trị nguyên.
Câu 194. (Thầy Nguyễn Chí Thành)  2 x x
3x + 3   2 x − 2 
Cho biểu thức A =  + +  : −1     x + 3 x − 3 9 − x x − 3     a) Rút gọn A .
b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 13 − 4 3 − c) Tìm x để 1 1 A = − d) Tìm x để A  . 3 2
e) Tìm x  để A .
f) Tìm GTNN của S = .
A ( x − x) Hướng dẫn
a) Điều kiện: x  0; x  9 . Ta có:   2 x x 3x + 3  2 x − 2 x − 3  A =  + −   −     x + x −
( x −3)( x +3) : 3 3  x − 3 x − 3    
2 x ( x − 3) + x ( x + 3) − 3x − 3 2 x − 2 − x + 3 = ( x − 3)( x + 3) : x − 3 3 − − + + − − + ( x + x x x x x x )1 2 6 3 3 3 1 x +1 3 − = ( = = x − 3)( x + 3) : x −
( x −3)( x +3): 3 x − 3 x + 3 3 − Vậy A =
, với x  0; x  9 . x + 3 b) Ta có: x = − = ( )2 − + = ( − )2 13 4 3 2 3 2.2 3 1
2 3 1 ( thỏa mãn điều kiện) Suy ra x = ( − )2 2 3 1 = 2 3 −1 = 2 3 −1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 178 3 − 3 − 3 − 3 3
Thay vào biểu thức A ta được: A = = = . 2 3 −1+ 3 2 3 + 2 4 3 − 3 3
Vậy x = 13 − 4 3 thì A = . 4 c) Ta có : 1 3 − 1 A = − 
= −  x + 3 = 9  x = 6  x = 36 ( thỏa mãn) 3 x + 3 3 1
Vậy A = − khi x = 36 . 3 d) Ta có: 1 − 3 − 1 − 3 − 1 x − 3 A     +  0   . x + 3 x + 3 2 ( x + 3) 0 2 2 2 x − 3 Vì x  0  x + 3  0 nên (
 khi x − 3  0  x  3  x  9 . x + ) 0 2 3
Kết hợp với điều kiện suy ra 0  x  9 3 − e) Ta có: A =
. Để A thì 3 ( x + )
3 , suy ra ( x + 3)Ư(3) . x + 3
Mà x + 3  0 với mọi x  0 nên ( x + )
3 = 3  x = 0 ( thỏa mãn điều kiện) 3 − x − x 3x − 3 x 36 36 f) Ta có: S = .
A ( x − x) ( ) = = = 3 x −12 + = 3( x +3)+ − 21 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 36
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương 3( x + ) 3 và ta có: x + 3 ( x + ) 36 +  ( x + ) 36 3 3 2 3 3 . =12 3 x + 3 x + 3 Suy ra ( x + ) 36 3 3 + − 2112 3 − 21 x + 3 2 2 36
Dấu bằng xảy ra khi 3( x + 3) =
 ( x +3) =12  x = 12 −3  x = ( 12 −3) = x + 3  −   − 
Câu 195. (Thầy Nguyễn Chí Thành) 2 x 1 3 x
Cho biểu thức B =  −  : 2 +      . 2x − 5 x + 3 x −1 1− x     a) Rút gọn B .
b) Tính giá trị của biểu thức B khi 2 x − x = 0
c) Tìm x để B = −B .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 179
d) Tìm x  để B nguyên dương. Hướng dẫn a) Điề 9
u kiện: x  0; x  1; x  . 4 1
Các em rút gọn được B = . 3 − 2 xx = 0(tm) b) Ta có: 2
x − x = 0  x ( x − ) 1 = 0   . x =1  (L) 1 1
Với x = 0 thay vào biểu thức B = = . Vậy: …….. 3 − 2 0 3 1 3 9
c) Ta có: B = −B B  0 
 0  3− 2 x  0  x   x  . 3 − 2 x 2 4 9
Kết hợp điều kiện suy ra x  . 4
d) Để B nhận giá trị nguyên thì 1 (3−2 x)  (3−2 x)Ư( ) 1 =   1 . Ta có bảng: 3 − 2 x 1 − 1 x 2 1 x 4 1 B 1 − (loại) (loại)
Vậy không tồn tại x thỏa mãn yêu cầu.
Câu 196. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Nghĩa Tân 2020 – 2021) x − 2 x + 2 3 12
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x  0; x  4 x + 2 x − 2 x + 2 x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 . x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
Ta có: x = 25 thỏa mãn điệu kiện. 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A = = 25 + 2 7
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 180 3
Vậy khi x = 25 thì A = 7 x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 x + 2 3 12 B = − − x − 2 x + 2 x − 4 ( x + )2 2 3( x − 2) 12 B = ( − −
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) − + x + x − ( x )1( x 2 2 ) x −1 B = ( = = dpcm
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( ) x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . x − 2 x −1 x −1 P = . = x + 2 x − 2 x + 2 x −1
P P P  0 
 0  x  1. Kết hợp điều kiện suy ra 0  x 1 x + 2
Câu 197. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Cầu Giấy 2020 – 2021) x −1 x 3 x + 3 3 + 5 x Cho biểu thức A = và B = − +
với x  0; x  1 x + 3 x + 3 1− x x + 2 x − 3
a) Tính giá trị A khi x = 16 . 4 x + 4
b) Chứng minh rằng: B = x −1
c) Cho biểu thức M = .
B A . Tìm giá trị của m để có x thỏa mãn M = m . Hướng dẫn
a) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) x −1 16 −1 4 −1 3
Thay x = 16 vào A ta được: A = = = = x + 3 16 + 3 4 + 3 7 3
Vậy với x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 7 x 3 x + 3 3 + 5 x b) B = − + x + 3 1− x x + 2 x − 3 x 3 x + 3 3 + 5 xB = + + x + 3 x −1
( x +3)( x − )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 181 x ( x − ) 1 (3 x +3)( x +3) 3 + 5 xB = ( + + x + 3)( x − ) 1
( x +3)( x − )1 ( x +3)( x − )1
x − x + 3x + 9 x + 3 x + 9 + 3 + 5 xB = ( x + 3)( x − ) 1 4x +16 x +12  B = ( x + 3)( x − ) 1 4( x + )
1 ( x + 3) 4( x + ) 1 4 x + 4  B = ( = = x + 3)( x − ) 1 x −1 x −1 4 x + 4
Vậy điều phải chứng minh B = . x −1 4 x + 4 x −1 4 x + 4 c) M = . B A = . = x −1 x + 3 x + 3 4 x + 4 Để M = m  = m x + 3
 4 x + 4 = m( x + ) 3
 4 x + 4 = m x + 3m  4 x − m x = 3m − 4  x(4 − )
m = 3m − 4 (*)
Xét m = 4  0. x = 8  (*) vô nghiệm. m − Với m  4  3 4 x = 4 − m 3m − 4  0  4    m  4 Để 4 − m
có giá trị của x thì   3 . 3m − 4   1    m 2  4 − m 4 Vậy với
m  4 và m  2 để có x thỏa mãn M = m . 3
Câu 198. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL-Trưng Vương-Hoàn Kiến-2019-2020) 9 − 3 x x 1 − x x + 4 Cho biểu thức A = B = + −
với x  0 , x  4 . x − và 4 x +1 x − 2 x − x − 2
1. Tính giá trị của A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B . 3. Tìm x
để biểu thức P = A: B nhận giá trị là một số nguyên âm. Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 182
1. với x  0 , x  4 .Thay x
16 (thỏa mãn điều kiện) thỏa mãn điều kiện vào A ta được : 9 − 3 16 9 − 3.4 3 1 A = = = − = − 16 − 4 16 − 4 12 4
2. Ta xét biểu thức B với x  0; x  4 x 1 − x x + 4 B = + − x +1 x − 2 x − x − 2 x ( x − 2) (1− x)( x + )1 x + 4 B = ( + − x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) 3 − − + − − − − − ( x + x x x x x )1 2 1 4 3 3 B = ( = = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2) ( x + )1( x −2) 3 − B = x − 2 3 3 9 3 3 x x x 2 3. P A : B : . x 4 x 2 x 2 x 2 3 x 3 5 P 1 x 2 x 2 5 5 Do x 0 0 x 2 2 5 1 x 9 x 2 x 2 5 Để 5 P nguyên thì nguyên 1 x 2 5 2 x 4 5 x 2 4 x 2 Thử lại : x 9 P 0 (loại) 1 x P
1 (thỏa mãn P nguyên âm) 4
Câu 199. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Thi thử lần 4-Lương Thế Vinh- 2020-2021) x +15 x 2 x + 5 8 x − 3 Cho biểu thức A = − + và B =
với x  0; x  9 . x − 9 x − 3 x x + 3 14
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm x sao cho A = 2B .
c) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn a) Rút gọn A .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 183 x +15 x 2 x + 5 A = − +
( x  0; x  9 ) x − 9 x − 3 x x + 3 x +15 x 2 x + 5 A = ( − + x − 3)( x + 3) x ( x − 3) x + 3
x ( x +15) − x( x + 3) + x ( x − 3)(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + (x − 3 x )(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + 2x x + 5x − 6x −15 x A =
x ( x − 3)( x + 3) x x − 3x A =
x ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3) A =
x ( x − 3)( x + 3) x A = x + 3 x x − x 16 x − 6 x 16 x − 6 b) A = 8 3 2B  = 2  =  − = 0 x + 3 14 x + 3 14 x + 3 14 + − x ( x 3)(16 x 6 14 )  ( −
= 14 x −( x + ) 3 (16 x −6) = 0 x + ) ( x + ) 0 14 3 14 3
14 x −(16x−6 x +48 x −18) = 0 14 x 1
− 6x + 6 x − 48 x +18 = 0  2
− 8 x −16x +18 = 0  1
− 6x − 28 x +18 = 0  8x +14 x − 9 = 0
 8x +18 x − 4 x − 9 = 0  2 x (4 x +9)−(4 x +9) = 0  (2 x − ) 1 (4 x +9) = 0
 2 x −1 = 0 (Vì 4 x + 9  0)  2 x = 1 1  x = 1  x = (thỏa mãn) 2 4 x 3 c) Ta có: A = = 1− x + 3 x + 3 Vì A 3 1− x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 184 Mà 1 3   x + 3
x + 3 U (3) = ( 1  ; 3) Mà x  0  x + 3  3
Vậy không tồn tại giá trị x thỏa mãn đề bài.
Câu 200. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL-Trưng Vương-Lần 2-2019-2020) x − 2 x −1 3 x 2 − 5 x
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x  0 ; x  4 . x + 2 x + 2 2 − x x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = .
A B khi x N , x  101 Hướng dẫn
1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A= = 25 + 2 7 3 Vậy A= khi x = 25 . 7
2) Với x  0 ; x  4 ta có: x −1 3 x 2 − 5 x B = − − x + 2 2 − x x − 4 x −1 3 x 2 − 5 x B = + − x + 2 x − 2 ( x +2)( x −2)
( x − )1( x −2) 3 x( x +2) 2 − 5 x B = ( + −
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
x − 3 x + 2 + 3x + 6 x − 2 + 5 x B = ( x + 2)( x − 2) 4x + 8 x B = ( x + 2)( x − 2) 4 x ( x + 2) B = ( x + 2)( x − 2) 4 x B = x − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 185 4 x Vậy B =
với x  0 ; x  4 x − 2
3) Với x  0 ; x  4 ta có: x − 2 4 x M = . A B = . x + 2 x − 2 4 x M = x + 2 8 M = 4 − x + 2
Có x N ; 0  x  101nên 0  x  100  x + 2  12 8 2 8 2    10 4 −  4 −  M x + 2 3 x + 2 3 3 10
Vậy M có giá trị lớn nhất là khi x = 100 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122