TOP 200 bài tập rút gọn biểu thức và bài toán liên quan trong đề thi vào 10 môn Toán
Tài liệu gồm 185 trang, được tổng hợp bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển tập 200 bài tập rút gọn biểu thức và bài toán liên quan trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, có đáp án và lời giải chi tiết.
Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán 114 tài liệu
Môn: Môn Toán 1.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 1
TUYỂN TẬP CÂU HỎI
RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUYỆN THI VÀO 10
Câu 1. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát vòng 1- Ái Mộ -Long Biên-2019-2020) x 3 2 9 Cho biểu thức A = + và B =
với x 0 , x 4 ; x . x − 2 x x x − 2 4
a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 25 . x
b) Biết P = B : A . Chứng minh rằng: P = . 2 x − 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn 2 2
a) Khi x = 25 , giá trị của biểu thức B là: = . 25 − 2 3 b) Ta có: 2 x 3 2 x 3 P = : + = : + x − 2 x − 2 x x
x − 2 x ( x − 2) x 3 x ( x −2 2 ) 2 4 x − 6 : = + : = x − 2
x − 2 x ( x − 2) x ( x − 2)
x ( x − 2) x ( x − 2 2 ) = x . = .
x − 2 2(2 x − 3) 2 x − 3 x 1 c) Ta có P = = (Vì x 0 x 0 ). x − 3 2 3 2 − x 1 3
P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi nguyên 2 − Ư( ) 1 = 1; − 1 . 3 2 − x x
Khi đó P = 1 hoặc P = −1. 3 Với P = 1 2 −
=1 x = 3 x = 9 (thỏa mãn). x 3 Với P = 1 − 2 − = 1
− x =1 x =1 (thỏa mãn). x Vậy x 1;
9 thì P nhận giá trị nguyên. Cách khác:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 2
Để P nguyên thì x (2 x − )
3 2 x (2 x − ) 3 Mà (2 x − ) 3 (2 x − )
3 (2 x −3) − 2 x (2 x −3) 3 − (2 x −3)
Suy ra (2 x −3)Ư ( 3 − ) = 1 ;
3 . Giải rồi thử lại điều kiện và kết luận.
Câu 2. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Hà Nội – Amsterdam 07/6/2020 x + x x
x + 2 x − 3 x −1
Cho biểu thức: M = + − .
với x 0, x 1. x − x x +1 x −1
x x − x + 4 x a) Rút gọn M .
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 .
c) Tìm x thỏa mãn (x − x − ) 3 .M = 1. Hướng dẫn a) Rút gọn M .
Điều kiện xác định: x 0, x 1 x + x x
x + 2 x − 3 x −1 M = + − . x − x x +1 x −1
x x − x + 4 x x x x x x ( x − )1( x + + + − )1 2 3 M =
x ( x − ) + − 1 x +
( x − )1( x + ) . 1
1 x (x − x + 4)
( x + x)( x + )1+ x. x( x − )1− x(x+2 x −3) ( x − )1( x + )1 M =
x ( x − )( x + ) . 1 1
x (x − x + 4)
x x + 2x + x + x x − x − x x − 2x + 3 x 1 M = . x
x (x − x + 4) x x − x + 4 = x M
x ( x − x + 4)
x ( x − x + 4) M =
x ( x − x + 4) 1 M = . Vậy: ……….. x
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 . Thay x = + = ( + )2 7 4 3 2
3 (thỏa mãn x 0, x 1) vào M ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 3 1 1 M = = = − ( + ) 2 3 2 2 + 3 2 3
c) Tìm x thỏa mãn (x − x − ) 3 .M = 1.
Với x 0, x 1
(x− x − ) M = (x− x − ) 1 3 . 1 3 .
=1 x − x −3 = x x − 2 x − 3 = 0 x ( x + ) 1 ( x − ) 3 = 0
x +1 (loại) hoặc x − 3 = 0 x = 9 (thỏa mãn x 0, x 1 )
Vậy x = 9 thỏa mãn yêu cầu của bài.
Câu 3. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2-Amsterdam-2019-2020) − 7 1 x 2x − x + 2 Cho biểu thức: = x A và B = + +
với x 0 , x 4 x x + 2 2 − x x − 4
1) Tính giá trị của A khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = .
A B có giá trị nguyên. Hướng dẫn
1) Với x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 9 − 7 2
Thay x = 9 vào A , ta có: A = = 9 3 2
Vậy khi x = 9 thì A = 3 1 x 2x − x + 2 2) B = + +
với x 0 , x 4 x + 2 2 − x x − 4
x − 2 − x ( x + 2) + − + 1 x 2x − x + 2 2x x 2 B = − + = x + 2 x − 2 x − 4 ( x +2)( x −2) x ( x − 2)
x − 2 − x − 2 x + 2x − x + 2 − = x 2 x x ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x +2 x Vậy B =
với x 0 , x 4 x + 2 3) P = .
A B ( x 0, x 4) x − 7 − = x x 7 P . = x x + 2 x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 4 x − 7 + Xét P = 0
= 0 x − 7 = 0 x = 7 (thỏa mãn dk) x + 2 + Xét P 0 .
TH1: x ; x 7;
x là số vô tỉ P (loại) TH2: x ; x x − 4 − 3 x − 4 3 3 Ta có: P = = − = x − 2 − x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 Để 3 3 P x − 2 − x + 2Ư(3) x + 2 x + 2 x + 21; 3 do x + 2 2 x + 2 = 3
x = 1 x = 1 (thỏa mãn)
Vậy với x 1;
7 thì P có giá trị nguyên
Câu 4. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (ARCHIMEDES ACADEMY - 15/05/2020) x +1 x −1 8 x x − x − 3 1
Cho biểu thức A = − − : −
( với x 0, x 1 ). x −1 x +1 x −1 x −1 x −1
a) Rút gọn biểu thức A 4
b) Tính giá trị của x để A = 5
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . Hướng dẫn x +1 x −1 8 x x − x − 3 1 a) A = − − : −
( với x 0, x 1 ) x −1 x +1 x −1 x −1 x −1 (
x + )2 ( x − )2 1 1 8 x x − x − 3 x +1 A = − − : − x −1 x −1 x −1 x −1 x −1
x + 2 x +1− x + 2 x −1− 8 x
x − x − 3 − x −1 A = : x −1 x −1 4 − x x −1 A = .
x −1 −x − 4 4 x A = x + 4 4 b) Ta có A =
( x 0, x ) 1 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 5 4 x 4 20 x 4 ( x + 4) = =
5 x = x + 4 x + 4 5 5( x + 4) 5( x + 4) − = x =16 (tm) x 4 0
x − 5 x + 4 = 0 ( x − 4)( x − ) 1 = 0 . x −1= 0 x =1 (ktm) 4 Vậy A = khi x = 16 . 5 c) 4. 0
+) Với x = 0(tmdkxd) A = = 0 . 0 + 4
+) Với x 0, x 1
x 0 4 x 0 4 x 1 x + 4 x 1 Ta có A = = = +
( có thể chia cả tử và mẫu cho x mà không cần phải nghịch x + 4 A 4 x 4 x đảo A ) x 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương và ( x 0) ta có: 4 x x 1 x 1 + 2 . 4 x 4 x 1 1 1 2 1 A 1 A 4 A x 1 Dấu “ =” xảy ra =
x = 4 (thỏa mãn). 4 x
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 khi x = 4 .
Câu 5. (Thầy Nguyễn Chí Thành) KHẢO SÁT LỚP 9 – BA ĐÌNH NĂM HỌC 2019-2020 x + 1 1
x x − x
Cho hai biểu thức: A = và B = + .
với x 0; x 9; x 1. x − 3
x −1 x −1 2 x +1
1) Tính giá trị của A khi x = 25.
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các số nguyên tố x để . A B 1 Hướng dẫn
1) * Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện) 25 + 1 5 + 1 6 * Ta có: A = = = = 3 25 − 3 5 − 3 2
* Vậy A = 3 tại x = 25
2 ) x 0; x 9; x 1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 6 x + ( x − x x )1 1 B = ( + x + ) 1 ( x − ) 1 ( x + )1( x − ) . 1 2 x +1
( x +1+ x)( x − )1 x (2 x + )1 x = x ( = = x + ) 1 ( x − ) 1 (2 x + ) 1
( x + )1(2 x + )1 x +1 ( x + )1 x x 3) , A B = . = 1 x − 3 x + 1 x − 3 x − − x x 3 3 1 0 − 0
0 x − 3 0 x 9 x − 3 x − 3 x − 3 x − 3
Mà x 0 0 x 9
Mà x là số nguyên tố nên x 2;3;5; 7
Câu 6. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG – BẮC NINH – 2020-2021
a) Thực hiện phép tính 27 + 48 − 108 − 12 x + x x − x 1
b) Rút gọn biểu thức A = − 1+
với x 0 , x 1. x +1 x −1 x Hướng dẫn
a) 27 + 48 − 108 − 12 = 3 3 + 4 3 − 6 3 − 2 3 = − 3 x + x x − x 1 b) A = − 1+ x + 1 x −1 x
x ( x + )1 x ( x − )1 x +1 = + = ( + x + x ) x 1 . . = 2 x + 2 x +1 x −1 x x
Vậy A = 2 x + 2 với x 0 , x 1
Câu 7. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát – Bắc Từ Liêm-2019-2020) 1 x + 2 x + 3 x + 2
Cho hai biểu thức P = và Q = + +
Với x 0; x 4; x 9 . x +1 x − 5 x + 6 x − 2 3 − x
1) Tính giá trị biểu thức P khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức Q. P 3) Biết A =
. Tìm số nguyên x để A A . Q Hướng dẫn 1 1 1
1) Thay x = 25 (tmđk) vào P, ta có: P = = = + + 25 1 5 1 6
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 7 + − + − x +
( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2 2 ) x + 2 x + 3 x + 2 2) Q = + + = + − x − 5 x + 6 x − 2 3 − x
( x −2)( x −3) ( x −2)( x −3) ( x −2)( x −3) x + 2 x − 9 x − 4 = ( + −
x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3)
x + 2 + x − 9 − x + 4 x − 3 1 = ( = =
x − 2)( x − 3)
( x −2)( x −3) x −2 P 1 1 x − 2 3) A = = : = Q x +1 x − 2 x +1 x − 2
Ta có: A A A 0
0 x − 2; x +1 cùng dấu x +1
x − 2 0 vì ( x +1 0). x 4
Kết hợp điều kiện ta có: 0 x 4 mà x nên x {0;1; 2;3}
Câu 8. (Thầy Nguyễn Chí Thành) KHẢO SÁT PHÚC DIỄN – 2019 – 2020 x + 5 x +1 x −1 3 x +1 1
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
với x 0 ; x 1 ; x . 2 x −1 x −1 x +1 x −1 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm x để biểu thức M = .
A B đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
1) x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) 16 + 5 4 + 5 9
Thay x = 16 vào biểu thức A , ta được: A = = = 2 16 −1 2.4 −1 7 9
Vậy khi x = 16 thì giá trị của biểu thức là A = . 7 1
2) Với x 0 ; x 1 ; x . Ta có: 4 x +1 x −1 3 x +1 B = + − x −1 x +1 x −1 ( x + )2 ( x − )2 1 1 3 x +1 B = ( + − x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 ( x − )1( x + )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 8
x + 2 x +1+ x − 2 x +1− 3 x −1 B = ( x − ) 1 ( x + ) 1 2x − 3 x +1
2x − 2 x − x +1 B = ( = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 2 x ( x − ) 1 − ( x − ) 1
( x − )1(2 x − )1 2 x −1 B = ( = = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 x +1 1 2 x −1
Vậy với x 0 ; x 1; x thì B = . 4 x +1 1 x + 5 2 x −1 x + 5 4
3) Với x 0 ; x 1; x
. Ta có: M = A. B = = =1+ . 4 2 x −1 x +1 x +1 x +1 x +1 1 4 4 Với x 0 x 0 x +1 1 4 1+ 5 M 5 . 4 4 x +1 x +1 Dấu " = " xảy ra
x = 0 x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy khi x = 0 thì biểu thức M đạt giá trị lớn nhất bằng 5.
Câu 9. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lương – Bồ Đề - Long Biên-30/6/2020) x + 2 x +1 1
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x 0 và x 1. x x −1 x + x +1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức C = A + B .
c) So sánh giá trị của biểu thức C với 1. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
Ta có x = 4 (thỏa mãn điều kiện x 0 và x 1) 4 + 2 6
Thay x = 4 vào biểu thức A , ta được: A = = . 4 4 −1 7 6 Vậy A = khi x = 4 . 7
b) Rút gọn biểu thức C = A + B . x + 2 x +1 1
Ta có C = A + B = + −
với x 0 và x 1 x x −1 x + x +1 x −1 + ( x + )1( x − x )1 2 x + x +1 C = ( + − x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 9 x ( x − )
x + 2 + x −1− x − x −1 − 1 = x x x ( = = = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1 x
Vậy C = A + B =
với x 0 và x 1. x + x +1
c) So sánh giá trị của biểu thức C với 1. x
x − x − x −1 −(x + ) 1 Xét C −1 = −1 = = x + x +1 x + x +1 x + x +1 −(x + ) 1
Vì x 0 nên x +1 0; x + x +1 0 do đó C −1 = 0 C 1. x + x +1 Vậy C 1.
Câu 10. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK2-Cầu Giấy-2019-2020) x 6 2 Cho biểu thức A = − và B =
với x 0; x 4 . x +1 ( x + ) 1 ( x − 2) x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x =16 x + 2
2) Biết P = A + B . Chứng minh P = x +1 3
3) Với x để P 2 Hướng dẫn
1) Giá trị x = 16 (thỏa mãn điều kiện) x 0; x 4 ,thay vào biểu thức B ta được: 2 2 2 B = = = =1 16 − 2 4 − 2 2
Vậy khi x = 16 thì B = 1
2) Với x 0; x 4 ta có x 6 2 x 6 2
P = A + B = − + = − + x +1 ( x + ) 1 ( x − 2) x − 2 x +1
( x + )1( x −2) x −2 x ( x − 2) 2( x + ) 1 6 = ( − + − x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2)
x ( x − 2) − 6 + 2( x + ) 1
x − 2 x − 6 + 2 x + 2 = ( = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2) + − x − ( x 2)( x 2 4 ) x +2 = ( = = x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 10 x + 2 Vậy P = ( đpcm) x +1 x + 3) Để 3 2 3 P =
2( x + 2) 3( x + ) 1 2 x +1 2
2 x + 4 3 x + 3 x 1 x 1 3
Kết hợp với điều kiện ta được 0 x 1 thì P> 2
Câu 11. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát lần 2 – Cầu Giấy – 2019-2020) x − 3 x − x − 7 x + 2 x − 3 Cho biểu thức A = và B = + +
với x 0; x 4 x +1 x + x − 6 x + 3 2 − x
a) Tính giá trị A khi x = 16 . x +1
b) Chứng minh rằng B = . x + 3
c) Cho biểu thức M = .
A B . Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn 16 − 3 13 13
a) Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: A = = = . 16 +1 4 +1 5
b) Với x 0; x 4 , ta lần lượt có x − x − 7 x + 2 x − 3 x − x − 7 x + 2 x − 3 B = + + = + − x + x − 6 x + 3 2 − x
( x +3)( x −2) x +3 x −2 + − − + x − x −
( x 2)( x 2) ( x 3)( x 3 7 ) = ( + −
x + 3)( x − 2) ( x + 3)( x − 2) ( x − 2)( x + 3) x − x − 7 x − 4 x − 9 = ( + −
x + 3)( x − 2) ( x + 3)( x − 2) ( x − 2)( x + 3)
x − x − 7 + ( x − 4) − ( x − 9) − − + − − + − − = x x 7 x 4 x 9 x x 2 ( = = x + 3)( x − 2) ( x +3)( x −2) ( x +3)( x −2)
( x + )1( x −2) x +1 = ( =
(Điều phải chứng minh). x + 3)( x − 2) x + 3 c) Ta có ( x −3)( x +3) x − 3 x +1 x − 3 x − 9 + 6 + 6 6 M = . A B = . = = = = x − 3+ x +1 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3
+ Xét x = 3 M = 0
. Vậy x = 3 thỏa mãn.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 11
+ Xét x 3, x nhưng x M . 6
+ Xét x và x M
( x +3)Ư(6). x + 3 Mà Ư(6) = 1 ; 2 ; 3 ;
6 và x + 3 3 với x 0; x 4 nên ( x + 3)3; 6 . +) Nếu x + 3 = 3
x = 0 x = 0 (Thỏa mãn). +) Nếu x + 3 = 6
x = 3 x = 9 (Thỏa mãn).
Vậy khi x 0; 3;
9 thì M nhận giá trị nguyên.
Câu 12. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa vào 10 – Cầu Giấy – 2019-2020) x −1 x 3 x + 3 3 + 5 x Cho biểu thức A = và B = − +
với x 0; x 1 x + 3 x + 3 1− x x + 2 x − 3
a) Tính giá trị A khi x = 16. 4 x + 4
b) Chứng minh rằng: B = x −1
c) Cho biểu thức M = .
B A. Tìm giá trị của m để có x thỏa mãn M = m . Hướng dẫn
a) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện). Thay x = 16 vào A ta được x −1 16 −1 4 −1 3 A = = = = x + 3 16 + 3 4 + 3 7 3
Vậy với x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 7 x 3 x + 3 3 + 5 x x 3 x + 3 3 + 5 x b) B = − + = + + x + 3 1− x x + 2 x − 3 x + 3 x −1
( x +3)( x − )1 x ( x − ) 1 (3 x +3)( x +3) 3 + 5 x = ( + + x + 3)( x − ) 1
( x +3)( x − )1 ( x +3)( x − )1
x − x + 3x + 9 x + 3 x + 9 + 3 + 5 x + + = 4x 16 x 12 ( = x + 3)( x − ) 1
( x +3)( x − )1 4( x + )
1 ( x + 3) 4( x + ) 1 4 x + 4 = ( = = x + 3)( x − ) 1 x −1 x −1 4 x + 4
Vậy điều phải chứng minh B = . x −1 4 x + 4 x −1 4 x + 4 c) M = . B A = . = x −1 x + 3 x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 12 4 x + 4 Để M = m
= m 4 x + 4 = m( x + ) 3 x + 3
4 x + 4 = m x + 3m 4 x − m x = 3m − 4 x(4 − )
m = 3m − 4 (*)
Xét m = 4 0. x = 8 (*) vô nghiệm. m − Với m 4 3 4 x = 4 − m 3m − 4 0 4 m 4 Để 4 − m
có giá trị của x thì 3 . 3m − 4 1 m 2 4 − m 4 Vậy với
m 4 và m 2 để có x thỏa mãn M = m . 3
Câu 13. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát tháng 4/2020-Dịch Vọng Hậu- Cầu Giấy) 1 1 x +1 Cho P = − :
và với x 0; x 1
x − x 1− x x − 2 x +1 a) Rút gọn P . 1 b) Chứng minh P . 2 3 x
c) Tìm x để N = . P x − nguyên. 1 Hướng dẫn
a) Với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ ta có: 1 1 x +1 1 1 x +1 P = − : = + :
x − x 1− x x − 2 x +1 x ( x − ) 1
x −1 ( x − )2 1 ( x − + x )2 1 1 x −1 = = x ( x − ) . . 1 x +1 x
b) Với moi x thỏa mãn ĐKXĐ ta có 1 x − x − − x x − P 1 P − 1 1 0 − 2 2 0 2 0 0 2 2 x 2 2 x 2 x
x − 2 0 x 4 (thỏa mãn) . Kếtt hợp điều kiện xác định suy ra x 4 Vậy x 4 . 3 x x −1 3 x 3 c) N = . P = . = x −1 x
( x − )1( x + )1 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 13 3 Ta có : N =
0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định x +1 3 Và x 0 x +1 1
3 0 N 3 x +1 Mà N N 1;2; 3 .
Các em giải từng trường hợp N = 1; N = 2; N = 3 sẽ tìm được x 0;1; 4 Kết luận : …….
Câu 14. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát tháng 5/2020-Dịch Vọng Hậu- Cầu Giấy) 4( x + 2) x + 2 x − 2 4x
Cho hai biểu thức A = − + và B =
với x 0 , x 4 . x − 2 x + 2 x − 4 x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9 .
2) Rút gọn biểu thức P = A : B .
3) So sánh P và P . Hướng dẫn
1) Với x = 9 thỏa mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức B ta có: 4 ( 9 + 2) 4(3+ 2) 20 B = = = = 20. 9 − 2 3 − 2 1
2) Với x 0 , x 4
P = A : B + − 4 + x x x ( x 2 2 2 4 ) = − + : x − 2 x + 2 x − 4 x − 2 ( x + )2 ( x − )2 2 2 4 + x ( x 2 4 ) = ( − +
x − 2)( x + 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) : x − 2 4 + x + 4 x + 4 x − x + x ( x 2 4 4 4 ) = ( − +
x − 2)( x + 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) : x − 2 4 + 4 + 4x + 8 x ( x 2)
x + 4 x + 4 − x + x − + x ( x 2 4 4 4 ) = ( = : x − 2)( x + 2) : x − 2
( x −2)( x +2) x −2 4 x ( x + 2) x − 2 = x ( = .
x − )( x + 2) . 2 4( x + 2) x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 14 x x − x − 2 2 − 3) Ta có P −1 = −1 = = x + 2 x + 2 x + 2
Với x 0 , x 4 thì x 0 x + 2 2 0 mà 2 − 0 . Suy ra 2 − P −1 =
0 P 1 mà P 0 với mọi x 0 , x 4 x + 2 P(P − ) 2 2
1 0 P − P 0 P P P P
Vậy với x 0 , x 4 thì P P .
Câu 15. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10- Dương Nội – 2019-2020) x +1
1) Tính giá trị biểu thức A = với x = 4 x −1 x − 2 1 x −1
2) Cho biểu thức P = − .
(x 0, x 4) x − 2 x x − 2 x +1 x −1 a) Chứng minh P = x
b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x + 5 Hướng dẫn 4 +1 3
1) Với x = 4 thì A = = = 3 4 −1 1
2a) Với x 0, x 4 ta có: x − 2 1 x −1 x − x − 2 x −1 P = − . = x − x x − x + x ( x − 2) . 2 2 1 x +1
( x + )1( x −2) x −1 x −1 = =
x ( x − 2) . x +1 x 2( x − ) 1
b) 2P = 2 x + 5
= 2 x + 5 2x + 3 x + 2 = 0 (1) x
Đặt x = t (t 0,t 2) . Khi đó phương trình (1) trở thành: 2
2t + 3t + 2 = 0 (2) 2 = 3 − 4.2.2 = 7 − < 0
Phương trình (2) vô nghiệm.
Không có giá trị của x thỏa mãn.
Câu 16. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát Đại Áng – Thanh Trì tháng 5 – 2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 15 x − 2 3 x + 6 x x - 9 Cho hai biểu thức A = và B = + :
với x 0, x 4, x 9 . x + 3 x - 4 x − 2 x − 3 81
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = . 16
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = A.B . Hướng dẫn 81 9 − 2 − 2 81 16 1 a) Với x = (Thỏa mãn ĐKXĐ) ta có 4 A = = = . 16 9 81 21 + + 3 3 4 16 81 1 Vậy khi x = thì A = . 16 21
b) Với x 0, x 4, x 9 ta có: 3 x + 6 x x − 9 B = + : x − 4 x − 2 x − 3 x + ( x +2) ( x +3)( x −3 3 x 6 ) ( = +
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) : x − 3 ( x +2)( x +3) x + 5 x + 6 = 1 ( + = = x + 2)( x − 2) : ( x 3) ( x +2)( x −2)( x +3) x −2 1 Vậy B =
với x 0, x 4, x 9 . x − 2 x − 2 1 1 c) Ta có M = A.B hay M = . = . x + 3 x − 2 x + 3 1 1
Vì x 0 nên x 0 x + 3 3 . x + 3 3
Dấu " = " xảy ra x = 0 x = 0 (t/m). 1
Vậy GTLN của biểu thức M = x = 0 . 3
Câu 17. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề khảo sát vào 10 – Đan Phượng-2019-2020) − + Cho biểu thức x 2 x 2 3 12 A = và B = − −
với x 0; x 4 x + 2 x − 2 x + 2 x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 16 x − 2) Chứng minh 1 B = ; x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x đề P . P Hướng dẫn 25 − 2 3
1) Khi x = 25(tmdk) : A = = . 25 + 2 7 ( x + )2 2 3( x − 2) x + 2 3 12 12 2) B = − − = − − x − 2 x + 2 x − 4 x − 4 x − 4 x − 4 + + − + − + − ( x +2)( x − x x x x x )1 4 4 3 6 12 2 x −1 = = = = x − 4
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x −2 x − 2 x −1 x −1 P = . A B = . = x + 2 x − 2 x + 2 x −1
P P P 0 0 x + 2
Vì x + 2 0 với x 0; x 4 x −1 0
x 1 x 1
Vậy với x 1 , x 4 thì P . P
Câu 18. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề khảo sát chất lượng Lần 6-Đền Lừ-2019-2020) x x −1 x + 3 x Cho biểu thức A = + − và B =
với x 0, x 1 x −1 x +1 x −1 x −1
1) Tính giá trị biểu thức B với x = 4
2) Rút gọn biểu thức P = A : B với x 0, x 1
3) Tìm các giá trị của x để P −1 Hướng dẫn
1) Tính giá trị biểu thức B với x = 4 x
Với x = 4 thỏa mãn x 0, x 1 . Khi đó 1 1 B = = = =1 x −1 4 −1 2 −1
2) Rút gọn biểu thức P = A : B với x 0, x 1 x.( x + ) 1
( x − )1.( x − ) x x −1 x + 3 1 x + 3 A = + − = + − x −1 x +1 x −1
( x − )1.( x + )1 ( x + )1.( x − )1 x−1 + ( x − x x )2 1 x + 3 + + − + − − = + − x x
x 2 x 1 x 3 = x −1 x −1 x −1 x − 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 17 x − x − 2 − + − = ( x 2)( x 1) = ( x 2) = x −1
( x +1) ( x − ) 1 ( x − )1 ( x − 2) x ( x − 2) Vậy: A : B = ( = x − ) : 1 x −1 x
3.Tìm các giá trị của x để P −1 ( x − 2) ( x − 2) + x
P −1 P +1 0 +1 0 0 x x
Do x 0 ( điều kiện câu b)
( x + 2).( x − ) 1 0
x −1 0 ( Do ( x + 2) 0 )
x 1 x 1
Vậy với 0 x 1 thì P 1 −
Câu 19. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề HK2-Đống Đa-2019-2020) x − 2 2 − 3 x 1 x Cho biểu thức A = và B = − +
với x 0; x 4 x + 7 x − 2 x x x − 2
1) Tính giá trị của A khi x = 9 . − 2 2) Chứng minh: = x B . x 1 3) Cho biểu thức = A P
. Tìm tất cả giá trị nguyên của x để P . B 2 Hướng dẫn
1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được x − 2 9 − 2 3 − 2 1 A = = = = x + 7 9 + 7 3 + 7 10 1 Vậy A = khi x = 9 . 10 2 − 3 x 1 x 2) B = − + x − 2 x x x − 2 2 − 3 x x − 2 x = − + x.( x − 2) x.( x − 2) x.( x − 2) − + + − + ( x − − x x x x x )2 2 2 3 2 4 4 x − 2 = = = = x.( x − 2) x.( x − 2) x.( x − 2) x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 18 A x − 2 x − 2 x 3) P = = : = B x + 7 x x + 7 x Ta có P =
0,x 0 nên P luôn xác định. x + 7 1 1 x 1 x 1 3 x − 7
Để P P − 0 x + 7 x + 7 4( x + 7) 0 2 4 4 4 Ta có: x 0 x 0
x + 7 7 4( x + 7) 28 0 7 49
3 x − 7 0 x x 3 9 49
Kết hợp điều kiện, suy ra: 0 x và x 4 . 9 x 1;2;3;
5 là các giá trị nguyên của x . 1
Vậy x 1; 2;3;
5 là các giá trị nguyên cần tìm để P . 2
Câu 20. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề Khảo sát-Đống Đa-20/6/2020) x +1 x −1 4 x − 6
Cho hai biểu thức: A = và B = −
với x 0; x 9 . x x − 3 x − 3 x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 .
b) Rút gọn biểu thức B . B c) Cho P =
. Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn P + m = 1. A Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện x 0; x 9 ) vào biểu thức A ta được: 36 +1 6 +1 7 A = = = 36 6 6 7
Vậy với x = 36 thì A = 6
b) Rút gọn biểu thức B
Với x 0; x 9 x ( x − ) 1 − (4 x − 6) x −1 4 x − 6 x −1 4 x − 6 B = − = − = x − 3 x − 3 x x − 3 x ( x − 3) x ( x − 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 19
( x −2)( x −3)
x − x − 4 x + 6 − = = x 2 = x ( x − 3) x ( x − 3) x x − 2
Vậy với x 0; x 9 thì B = . x B c) Cho P =
. Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn P + m = 1 A
Với x 0; x 9 B Ta có: P = A x − 2 x +1 − − x x x 2 P = 2 : P = . P = x x x x +1 x +1 x − x − 2 x +1− x + 2
Theo bài: P + m = 2 1 + m =1 1− = m = m x +1 x +1 x +1 3
= m 0 (Vì x 0 x 0 ) x +1 Vì x 0 x 0 x +1 3 1 3 m 3 x +1 3 3 3 Vì x 9 x 3 x +1 4 m x +1 4 4 3
Từ đó suy ra: 0 m 3 , m
thỏa mãn yêu cầu của bài. 4
Câu 21. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 –EDUFLY - 2019-2020) 2( x + x ) + 3 x − 21 2 2 x +10
Cho hai biểu thức: A = và B = − :
với x 0; x 9 . x − 3
x − 9 3− x x − 9
1) Tính giá trị của biểu thức 1 A khi x = . 9
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các giá trị của x biết 2
2AB = 3 − 2x . Hướng dẫn 1 1) Với x =
(thỏa mãn điều kiện xác định). 9 2( x + x ) + 1 3 Thay x = vào biểu thức A = ta được: 9 x − 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 20 1 1 1 1 2 + + 3 2 + + 3 9 9 9 9 3 2 (1+3)+ 27 8+ 27 35 A = = = = = − 1 1 3 − 27 2 − 4 24 − 3 − 3 9 9 3 1 35 Vậy khi x = thì A = − . 9 24
2) Với x 0 ; x 9 , ta có x − 21 2 2 x +10 B = − : x − 9 3 − x x − 9 2 + x − ( x 3 21 ) x − 9 ( = +
x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) 2 x +10
x − 21+ 2 x + 6 x − 9 x + 2 x −15 = = x − 9 2 x +10 2 x +10 − + − x − x + x −
(x 3 x) (5 x 15 3 5 15 ) = = 2 x +10 2 x +10
x ( x − 3) + 5( x − 3) ( x − 3)( x + 5) x − 3 = = = . 2( x + 5) 2( x + 5) 2 x 3
Vậy với x 0 ; x 9 thì B − = 2 . 2 x + x + 3 x − 3 2 ( )
3) Với x 0 ; x 9 , ta có 2
2 AB = 3 − 2x 2 = 3− 2x x − 3 2 (x + x ) 2 2 + 3 = 3− 2x 2
2x + 2x + 2 x = 0
2 x (x x + x + )
1 = 0 2 x = 0 (do x x + x +1 0 với mọi x 0 )
x = 0 x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy với x = 0 thì 2
2AB = 3 − 2x .
Câu 22. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi khảo sát vào lớp 10- Gia Lâm – 25/6/2020) x + 3 x −1 5 x − 2
Cho hai biểu thức P = ; Q = −
với x 0 , x 4 . x − 2 x + 2 4 − x
1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức Q .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 21 P
3) Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Q Hướng dẫn 16 + 3 19 19
1) Thay x = 16 (TMĐK ) vào biểu thức P ta có: P = = = 16 − 2 4 − 2 2 19
Vậy với x = 16 thì P = 2
2) Rút gọn biểu thức Q .
( x − )1( x −2)+ − x −1 5 x − 2 x −1 5 x − 2 5 x 2 Q = − = + = x + 2 4 − x x + 2 x − 4 ( x +2)( x −2) x ( x + 2)
x − 3 x + 2 + 5 x − 2 + = x 2 x x ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x − 2 P
3) Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất: Q P x + 3 x x + 3 x − 2 x + 3 3 Ta có: = : = . = = x + Q x − 2 x − 2 x − 2 x x x 3
Vì x 0, x 4 x 0, 0 x 3 P 3 3
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số x, ta có: = x + 2 x. = 2 3 x Q x x 3 Dấu “=” xảy ra khi x = x = 3(TM ) x P Vậy Min = 2 3 x = 3 Q
Câu 23. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử Giảng Võ – 28/5/2020) 3 x x 6 x + 20
Cho hai biểu thức: A = và B = +
với x 0; x 25 . x + 4 x − 5 25 − x
1. Tính giá trị của A khi x = 64 . x + 4 2. Chứng minh B = . x + 5 4 3. Tìm x để . A B = . x Hướng dẫn
1.Tính A khi x = 64
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 22 3 x 3 64 3.8 24 A = = = = = 2 . x + 4 64 + 4 8 + 4 12
2. Ta xét biểu thức B với x 0 ; x 25 x 6 x + 20 x 6 x + 20 B = + = − x − 5 25 − x x − 5 x − 25 x + x x + ( x 5 6 20 ) 6 x + 20 = − = − x − 5
(x− 5)( x +5) ( x −5)( x +5) ( x −5)( x +5) ( x −5)( x +4)
x + 5 x − 6 x − 20 x − x − 20 + = x 4 ( = = = x − 5)( x + 5)
( x −5)( x +5) ( x −5)( x +5) x +5 4 3. Tìm x để . A B = x
Với x 0; x 25 . (3 x) ( x +4) 4 3 x 4 . A B = ( = = x + ) . 4
( x +5) x ( x +5) x x = 2 − (loai)
3x = 4 x + 20 3x − 4 x − 20 = 0 ( x + 2)(3 x −10) = 0 10 100 . x = x = (thoa man) 3 9 100 4 Vậy với x = thì . A B = . 9 x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 23
Câu 24. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10- Giảng Võ – 2019-2020) x + 3 x 1 3 x
Cho hai biểu thức A = và B = + +
với x 0; x 1 x + 1 x −1 x + 2 (1− x)( x +2)
1)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
2)Rút gọn biểu thức B . 4
3)Tìm x để B . 5 Hướng dẫn 9 + 3 3
1) Thay x = 9 (TMĐK) vào biểu thức, ta có: A = = 9 + 1 2 3
Vậy khi x = 9 giá trị của A = 2
2) Với x 0; x 1 ta có x 1 3 B = + − x x −1 x + 2
( x − )1( x +2) x ( x + 2) 1.( x − ) 1 3 = + − x
( x −1)( x + 2)
( x −1)( x + 2)
( x −1)( x + 2) x + 2 x + x −1− 3 x x −1 x + = = 1 =
( x −1)( x + 2) ( x −1)( x + ) 2 x + 2
3) Với x 0; x 1 ta có 4 x +1 4
5 x + 5 − 4 x − 8 x − 3 B 0 0 5 x + 2 5 5( x + 2) 5( x + 2)
x − 3 0 ( vì 5( x + 2) 0 ) 0 x 9, x 1 4 Vậy để B
thì 0 x 9, x 1 5
Câu 25. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10- Giảng Võ – 2019-2020) 3 x − 21 2
Cho các biểu thức A = ; B =
, với x 0 và x 9 . x − 9 x − 3
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức M = A + B .
c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn 2 2
a) Với x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) thì B = = = 2. 16 − 3 4 − 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 24
3 x − 21 + 2( x + 3) 5 x −15 5 b) M = = =
( x − 3)( x + 3)
( x − 3)( x + 3) x + 3 5 5 2 c) Ta có M = nên 0 M =1 . x + 3 3 3
Mà M là số nguyên nên M = 1. Do đó 5
=1 x + 3 = 5 x = 2 x = 4 (Thỏa mãn ĐKXĐ) x + 3
Câu 26. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lượng – Hà Đông – 2019-2020) x −1 x + 3 5 4
Cho các biểu thức: A = và B = − +
(với x 0, x 1, x 9 ). x − 3 x +1 1− x x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 36 .
b) Rút gọn biểu thức B . c) Đặt P = . A B . Tìm x
để P có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của A khi x = 36 . 36 −1 6 −1 5
Thay x = 36 (thảo mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được: A = = = . 36 − 3 6 − 3 2
b) Rút gọn biểu thức B . x + 3 5 4 Ta có: B = − + x +1 1− x x −1
( x +3).( x − )1 5.( x + ) 1 4 = ( + + x + ) 1 .( x − ) 1
( x − )1.( x + )1 ( x − )1.( x + )1
x + 2 x − 3 + 5 x + 5 + 4 + + + + + = x 7 x 6 x x 6 x 6 ( = = x + ) 1 .( x − ) 1
( x + )1.( x − )1 ( x + )1.( x − )1
( x + )1.( x +6) x +6 + = x 6 ( = . Vậy B = . x + ) 1 .( x − ) 1 x −1 x −1 c) Đặt P = . A B . Tìm x
để P có giá trị lớn nhất. x −1 x + 6 x + 6 Ta có: P = . A B = . = x − 3 x −1 x − 3 x + 6 x − 3 + 9 9 P = = = 1+ x − 3 x − 3 x − 3
+) TH1: Với 0 x 9
x − 3 0 P 1 .
+) TH2: Với x 9 mà x x 10
x − 3 10 − 3 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 25 9 9 9 Do đó P 1+ x − 3 10 − 3 10 − 3
Dấu “=” xảy ra x = 10 (thỏa mãn)
Vậy x = 10 thì P có giá trị lớn nhất.
Câu 27. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – Hà Đông – 2019-2020) x + x +1 3 1 8
Cho các biểu thức: M = + − và N = với x 0 . x + x x +1 x x + 3
a) Tính giá trị của N khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức M .
c) Tìm x sao cho M N . Hướng dẫn
a) x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 8 8 8 8
Thay x = 25 vào biểu thức N = ta được: N = = = =1. x + 3 25 + 3 5 + 3 8
Vậy khi x = 25 thì N = 1.
b) Với x 0 . Ta có: x + x +1 3 1 x + x +1 3 x x +1 M = + − = + − x + x x +1 x x ( x + ) 1 x ( x + ) 1 x ( x + ) 1 x +
x +1+ 3 x − x −1 x + 3 = x M x ( x ) = +1 x ( x + ) 1 x ( x + 3) x + 3 M = x ( x + ) = 1 x +1 + 3
Vậy với x 0 thì M x = x +1 + 3 8
c) Với x 0 , ta có: M N x x +1 x + 3 ( x + )2 3 8( x + )
1 (do x + 3 và x + 1 dương)
x + 6 x + 9 8 x +8 x − 2 x +1 0 ( x − )2
1 0 x −1= 0 (do ( x − )2
1 0 với mọi x 0)
x = 1 x = 1 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy với x = 1 thì M N .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 26
Câu 28. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Khảo sát chất lượng lần 1 – Hà Huy Tập – 2019-2020) x +1 x + 5 2 3 Cho biểu thức A = ; B = + +
( x 0; x ) 1 . x x −1 1− x x +1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B . c) Tìm x để . A B ( x − ) 1 x −1. Hướng dẫn 4 +1 3
a) Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện) . Thay vào A , ta có A = = . 4 2 3
Vậy với x = 4 thì A = . 2 x + 5 2 3 b) B = + + x −1 1− x x +1 x + 5 2 3 = ( − + x + ) 1 ( x − ) 1 x −1 x +1 2 + ( x + )1 3( x − x )1 5 = ( − + x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1
x + 5 − 2( x + ) 1 + 3( x − ) 1 + x ( x + ) 1 = x x x ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 x −1 x Vậy B = . x −1 x +1 x c) . A . B ( x − ) 1 x −1 .
.( x −1) x −1 x +1 x −1 x − x − 2 0 x x −1
( x −2)( x + ) 1 0
x − 2 0 (vì x +1 0, x 0 )
x 2 x 4
Kết hợp điều kiện: 0 x 4; x 1
Vậy với 0 x 4; x 1 thỏa mãn điều kiện đề bài .
Câu 29. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS-THPT Hà Thành – 2019-2020) x +1 x -11 x 2 x -1
Cho hai biểu thức A = và B = - +
với x 0; x 4. x + 2 x - x - 2 x +1 x - 2
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 27 x + 6
2) Chứng minh rằng B = x +1 3) Tìm x để .
A B có giá trị nguyên Hướng dẫn 9 +1 4
1) Thay x = 9 (TMĐK) vào A ta được: A = = 9 + 2 5 4 Vậy A = khi x = 9 5 x −11 x 2 x −1 2) B = − + x − x − 2 x +1 x − 2 x −
( x −2) (2 x − )1( x + x )1 11 = ( − + x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2)
x −11− x + 2 x + 2x + 2 x − x −1 + − = x 4 x 12 ( = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2)
( x −2)( x +6) ( x +6) = ( = x + ) 1 ( x − 2) ( x + )1 x +1 x + 6 x + 6 4 3) . A B = . = =1+ x + 2 x +1 x + 2 x + 2
Có x 0 với mọi x TMĐK 4 4 x 0 x + 2 1 1 2 2 1+ 3 . A B 3 ( ) 1 x + 2 2 x + 2 x + 2
Có x + 2 0 với mọi x TMĐK 4 4 0 1+ 1 . A B 1 (2) x + 2 x + 2 Từ ( ) 1 , (2) 1 . A B 3 Mà . A B Z = . A B 2; 3 x + Với . A B = 6 2
= 2 x + 6 = 2 x + 4 − x = 2 − x = 4 (loại) x + 2 x + Với . A B = 6 3
= 3 x + 6 = 3 x + 6 2
− x = 0 x = 0 (TM) x + 2 Vậy x = 0 thì .
A B có giá trị nguyên
Câu 30. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 - THCS Hai Bà Trưng – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 28 4 x x − 2 1 5 − 2 x
Cho hai biểu thức: A = và B = + +
với x 0, x 1, x 25 x − 5 x −1 x + 2 x + x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9 .
2) Rút gọn biểu thức B . A
3) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 4 B Hướng dẫn 4 x
1) Với x 0, x 25 ta có A = x − 5
Ta thấy x = 9 thỏa mãn điều kiện xác định 4 9 4 3 12
Thay x = 9 vào biểu thức A ta được: A = = = = 6 − . 9 − 5 3 − 5 2 − x − 2 1 5 − 2 x 2) Ta có B = + +
với x 0, x 1, x 25 . x −1 x + 2 x + x − 2
( x −2)( x +2)+ x −1 5 − 2 x B = ( + x − ) 1 ( x + 2)
( x − )1( x +2) x − 4 +
x −1+ 5 − 2 x = ( x − ) 1 ( x + 2) x − x − ( x x )1 x = ( = = . x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2) x + 2 + A 4 4 x x + ( x 2 2 ) 3) = = . B x − 5 x x − 5 A x + 2 7 Ta có 4 1
0 x − 5 0 x 5 x 25 . B x − 5 x − 5
Kết hợp điều kiện xác định suy ra 0 x 25, x 1
Vì x là số tự nhiên lớn nhất nên x = 24 .
Câu 31. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THPT Hoàng Mai – 2020-2021) 1 2 x x + x 1
Cho biểu thức: P = − : +
(với x 0; x 1 ) x −1
x x − x + x −1 x x + x x +1 x +1
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x để P = x − 2 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 29
c)Tìm m để có x thỏa mãn ( x + )
1 P = m − x . Hướng dẫn
a) Với x 0 ; x 1ta có: 1 2 x x + x 1 P = − : + x −1
x x − x + x −1
x x + x + x +1 x +1 x ( x + x )1 1 2 1 = − + x −1 x ( x + ) 1 − ( x + ) : 1 x ( x + ) 1 + ( x + ) 1 x +1 x ( x + x )1 1 2 1 = − +
x −1 (x + )1( x − ) : 1 ( x + ) 1 ( x + )1 x+1 ( x − )2 x +1− 2 x x +1 1 + − = x 1 = x 1 = ( . x + ) 1 ( x − ) : 1 x +1 (x + ) 1 ( x − ) 1 x +1 x +1 x −1 Vậy P =
với x 0 ; x 1 x +1
b) Với x 0 ; x 1ta có: P = x − 2 x −1
= x − 2 x −1= ( x −2)( x + ) 1 x +1 − = x
x −1 = x − x − 2 x − 2 x −1 = 0 ( x − )2 1 = 1 2 2 x −1= − 2 x =1+ 2
x = 3+ 2 2 (thỏa mãn điều kiện). x =1− 2
b) Với x 0; x 1ta có: ( x − x + )
1 P = m − x ( x + ) 1 1
= m − x x −1 = m − x x + x = m +1 x +1 Có x 0
x 0 m +1 0 m 1 −
Có x 1 1+ 1 m +1 m 1 Vậy với m 1
− ;m 1 thì có x thỏa mãn ( x + )
1 P = m − x
Câu 32. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Hoàng Mai – 2020-2021) x + 5
1) Cho biểu thức A =
với x 0 . Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 . x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 30
x +1 3 x +1 x −1
2) Cho biểu thức B = − .
, với x 0 và x 1 . x −1 x −1 x x −1 a) Chứng minh B = . x +1
3) Tìm x để B( x + )
1 2x − 2 x − 3 . Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
Ta có x = 4 (tmđk), thay x = 4 vào biểu thức A ta được x + 5 4 + 5 7 A = = = x 4 2 7 Vậy A = khi x = 4 . 2 2) 2 ( x + ) x +1 3 x +1 x −1 1 3 x +1 x −1 a) B = − . = − . x −1 x −1 x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x −1 x ( x + )2 1 − (3 x + ) 1 x −1 − − = x x x 1 = . ( x − )( x + ) . 1 1 x ( x )1( x )1 − + x x ( x − ) 1 x −1 x x −1 − = x 1 = ( x + + ) . ( = x )( x ) . 1 1 − + x 1 x x 1 Xét B( x + )
1 2x − 2 x − 3
Biến đổi được (2 x + )
1 ( x − 2) 0
Vì x 0 2 x +1 0 ( x − 2) 0 x 4.
Kết hợp với điều kiện được 0 x 4 và x 1 .
Vậy: 0 x 4và x 1 thì B( x + )
1 2x − 2 x − 3
Câu 33. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề kiểm tra HK2 – Phòng GD Quận Hoàng Mai – 2020-2021) x −1 x 2 x − 4
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x 0; x 4. x + 2 x + 2 x − 4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. x − 2 b) Chứng minh B = . x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 31
c) Đặt P = A: .
B Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x +1. Hướng dẫn
a) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được 9 −1 3 −1 2 A = = = 9 + 2 3 + 2 5 x 2 x − 4
x ( x − 2) − 2 x + 4 b) B = − = x + 2 x − 4 ( x −2)( x +2) ( x −2)2 x − 4 x + 4 − = x 2 ( = = x − 2)( x + 2)
( x −2)( x +2) x +2 x −1 x − 2 x −1 x + 2 x −1
c) P = A : B = : = . = x + 2 x + 2 x + 2 x − 2 x − 2 x −1
2P = 2 x +1 2.
= 2 x +1 2( x − ) 1 = (2 x + ) 1 ( x − 2) x − 2
2 x − 2 = 2x −3 x − 2 2x −5 x = 0 x (2 x −5) = 0 x = 0 x = 0(thoûa maõn) 5 25 . Vậy: … x = x = (thoûa maõn) 2 4
Câu 34. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Ba Vì – 2019-2020) 2 x x 3x + 3 2 x − 2
Cho biểu thức A = + − và B =
−1 với x 0 và x 9 x + 3 x − 3 x − 9 x − 3
a) Tính giá trị của B với x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức S = A: B .
c) Tìm giá trị của m để phương trình x.S = m có nghiệm duy nhất. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của B với x = 16 2 16 − 2 2.4 − 2 8 − 2
Với x = 16 thỏa mãn điều kiện nên ta có: B = −1 = −1 = −1 = 5 16 − 3 4 − 3 1
Vậy giá trị của B là 5 tại x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức S = A : B . 2 x x
3x + 3 2 x − 2
S = A : B = + − : −1 x + 3 x − 3 x − 9 x − 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 32
2 x ( x −3)+ x ( x +3)−(3x+3) 2 x −2−( x −3) : = x − 9 x − 3
2x − 6 x + x + 3 x −3x −3 2 x − 2 − x + 3 = : x − 9 x − 3 3 − ( x + ) 3
− x − 3 x +1 1 − − = x 3 3 : = . = x − 9 x − 3
( x −3)( x +3) x +1 ( x +3)
c) Tìm giá trị của m để phương trình x.S = m có nghiệm duy nhất. 3 −
Ta có x.S = m . x ( = m ( ) 1 3
− x = m( x + ) 3 x + 3) 3
− x = m x + 3m (m + 3) x = 3m 3m Với m 3 − thì x = m + 3 3 m 0 3m m + 3 0 0 + m 0 m 3
Vì x 0, x 9 nên 3 m 0 3m m 3 − 3 + m + 3 0 m 3 3
m 3m+9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 33
Câu 35. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề KS vào 10 - THCS Khương Mai - 2019-2020) x + 3 x − 7 x + 3 2 x +1
Cho hai biểu thức : A = và B = + +
, với x 0 , x 4 , x 9 . x − 3 x − 5 x + 6 2 − x x − 3 8
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = . 3 − 5
b) Rút gọn biểu thức B . B c) Tìm GTNN của . A Hướng dẫn 8
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = . 3 − 5 8(3+ 5 8 ) x = =
= 2(3+ 5) = 6+ 2 5 (TMĐK: x 0 , x 4, x 9). 3 − 5 9 − 5 x = + = ( + )2 6 2 5 5 1 = 5 +1 = 5 +1 .
Thay x = 5 +1 vào biểu thức A ta có: + + x + 5 +1+ 5 + ( 5 4)( 5 2 3 3 4 ) 13+6 5 A = = = = = = + . x − 3 5 +1− 3 5 − 2 ( 5−2)( 5+2) 13 6 5 5 − 4 8
Vậy giá trị của biểu thức A = 13 + 6 5 khi x = . 3 − 5
b) Rút gọn biểu thức B với x 0 , x 4 , x 9 x − 7 x + 3 2 x +1 B = + + x − 5 x + 6 2 − x x − 3 x − 7 x + 3 2 x +1 = ( − +
x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
x − 7 − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + ) 1 ( x − 2) = (
x − 2)( x − 3) x ( x − 2)
x − 7 − ( x − 9) + 2x − 3 x − 2 = x − 2 x x ( = = = .
x − 2)( x − 3)
( x −2)( x −3) ( x −2)( x −3) x − 3 x Vậy B =
với x 0 , x 4 , x 9 . x − 3 B c) Tìm GTNN của . A
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 34 B x x + 3 x x − 3 x x + 3 − 3 3 = : = . = = =1− . A x − 3 x − 3 x − 3 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3
Với x 0 , x 4 , x 9 thì: 3 3 3 x 0 x + 3 3 1 − 1 − 1− 0 x + 3 x + 3 x + 3 B 0 . A
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 . B Vậy min = 0 khi x = 0 . A
Câu 36. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi HK2 - THCS Khương Thượng - 2019-2020) 1 x 1 Cho P = + và Q =
với x 0 ; x 1. x −1 x −1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 16 .
b) Rút gọn M = P : Q . 3
c) Tìm x để M . 2 Hướng dẫn 1 1 1
a) Thay x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta được: Q = = = . 16 −1 4 −1 3 1
Vậy với x = 16 thì Q = . 3
b) M = P : Q 1 x 1 1 x 1 M = + : = + : x −1 x −1 x −1
x −1 ( x − )1( x + )1 x −1 2 x +1 x −1 2 x +1 = . + (
= x )1( x ) . 1 − + 1 x 1 3 3 x + x −1 c) Khi M thì M − 2 1 3 0 − 0 0 2 2 x +1 2 2( x + ) 1 x −1 Vì 2( x + )
1 0 với mọi x 0 nên ( x + ) 0 2 1
x −1 0 x 1 x 1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 35 3
Vậy kết hợp với điều kiện đề bài 0 x 1 thì M . 2
Câu 37. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi tuyển sinh vào 10 - Phòng GD Ứng Hòa - 2019-2020) 4 x x − 2 1 5 − 2 x
Cho hai biểu thức A = và B = + +
(với x 0 , x 1, x 25 ). x − 5 x −1 x + 2 x + x − 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức B . A
c) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 4. B Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . 4 x
Với x 0 , x 25 , ta có A = x − 5 4.3 2 1
Thay x = 9 ( thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức A ta đượ = = − c: A = 6 . 3 − 5 2 −
Vậy x = 9 thì A = 6 − .
b) Rút gọn biểu thức B .
Với x 0 , x 1 ta có x − 2 1 5 − 2 x B = + + x −1 x + 2 x + x − 2 ( x −2)( x +2) x −1 5 − 2 x B = ( + + x − )
1 ( x + 2) ( x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2)
x − 4 + x −1+ 5 − 2 x B = ( - x − ) 1 ( x + 2) x − x − ( x x )1 x B = ( = = . x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2) x + 2 A
c) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 4. B
Với x 0 , x 1, x 25 , ta có: 4 + A x x + ( x 2 4 2 ) = = . B x − 5 x x − 5 4 + A ( x 2) x + 2 4 4 1. B x − 5 x − 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 36 7 ( − . x + )( x − ) 0 x 5 0 x 5 x 25 2 5
Kết hợp điều kiện suy ra 0 x 25, x 1 A
Vậy số tự nhiên x lớn nhất sao cho 4 là x = 24 . B
Câu 38. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Kim Giang – 2019-2020) x 1 1 x −1 Cho biểu thức: A = và B = − :
, (với x 0 ; x 1 ) x + 2 x + x
x +1 x + 2 x +1 16
a) Tính giá trị của A khi x = . 25
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm các giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại x thỏa mãn: 1− 5AB = m . Hướng dẫn 16 a) x =
(thỏa mãn điều kiện xác định) 25 16 4 16 x 25 4 14 4 5 2 Thay x = vào biểu thức A = ta được: 5 A = = = : = = . 25 x + 2 4 16 5 5 5 14 7 + + 2 2 5 25 16 2 Vậy khi x = thì A = . 25 7
b) Với x 0 ; x 1. Ta có: 1 1 x −1 B = − : x + x
x +1 x + 2 x +1 1 x x −1 B x ( x ) x( x ) = − : 1 1 + + ( x + )2 1 x ( x + − )2 1 1 x +1 B = x ( x + ) = − 1 x −1 x +1
Vậy với x 0 ; x 1 thì = − x B x
c) Với x 0 ; x 1 x x +1 5 x + 5 5
Ta có: m = 1− 5AB = 1− 5 − =1+ = 6 − x + 2 x x + 2 x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 37 1 1 5 5 5 7 Vì x 0 x + 2 2 − − m = 6 − ( ) 1 x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 5 5
Mặt khác: x 0 0 m = 6 − 6 (2) x + 2 x + 2 7 Từ ( ) 1 và ( 2)
m 6, mà m m = 4 hoặc m = 5 2 Thử lại: 5 5 1 1 Với m = 4
= 2 x + 2 = x = x = (thỏa mãn) x + 2 2 2 4 5 Với m = 5
=1 x + 2 = 5 x = 3 x = 9 (thỏa mãn) x + 2
Vậy với m 4;
5 tồn tại x thỏa mãn: 1− 5AB = m .
Câu 39. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS CLC Lê Lợi – 2019-2020) x − 9
1. Cho biểu thức: A = x = .
x + . Tính giá trị của biểu thức A khi 25 3 x 2 x + 4
2. Rút gọn biểu thức: B = + :
với x 0 ; x 4 . x + 2 x − 2 x − 2 3. Với các biểu thức ,
A B nói trên tìm giá trị của x để .
A B đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn
1. ĐKXĐ của A là x 0 . 25 − 9
Thay x = 25 (TMĐK) vào biểu thức A ta được: A = = 2 25 + 3
Vậy giá trị của biểu thức A khi x = 25 là 2 x 2 x + 4
x − 2 x + 2 x + 4 x + 2 2. B = + : = . x + 2 x − 2 x − 2
( x +2)( x −2) x+4 x + 4 x − 2 = 1 ( = .
x + 2)( x − 2) . x + 4 x + 2 1 Vậy B =
với x 0 ; x 4 . x + 2 ( x +3)( x −3) x − 9 x − 3 1 x − 3 5 3. Ta có: . A B = . = . = =1− x + 3 x + 2 x + 3 x + 2 x + 2 x + 2 − − x + 2 2 x 0 1 1 5 5 x + 2 2 x + 2 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 38 3 . A B −
Dấu "=" xảy ra khi x = 0 . 2 3
KL: Giá trị nhỏ nhất của . A B là − tại x = 0 . 2
Câu 40. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020) x x + 3 2 1
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
( x 0 , x 9 ) 1+ 3 x x − 9 x + 3 3 − x
1) Tính giá trị biểu thức A tại x = 49
2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho P = B : A tìm x để P 3 . Lời giải 49 7
1) Thay x = 49 (TMĐK) vào A ta có: A = = 1+ 3 49 22 7 Vậy A = tại x = 49 22
2) Với x 0 , x 9 ta có: x + 3 2 1 B = + − x − 9 x + 3 3 − x 2 − x + ( x 3 3 ) x + 3 = ( + +
x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3)
x + 3 + 2 x − 6 + x + 3 + = x 3 x ( = x + 3)( x − 3) ( x +3)( x −3) x ( x + 3) = x ( = x + 3)( x − 3) x − 3 3) Ta có: x x x 1+ 3 x 1+ 3 x
P = B : A = : = . = x − 3 1+ 3 x x − 3 x x − 3 1+ 3 x 1+ 3 x P 3 3 − 3 0 x − 3 x − 3
1+ 3 x − 3 x + 9 10 0
0 x − 3 0 x 3 x 9 x − 3 x − 3
Kết hợp điều kiện cho : 0 x 9 thì P 3
Câu 41. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 39 1− x 6 − x 2 x +1
Cho hai biểu thức: A = và B = + :
( với x 0 , x 4 ) 1+ x x − 4 x + 2 x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức A với x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình B (1+ x ) + x − x − m = 0 có nghiệm x . Hướng dẫn 1− 16 1− 4 3 −
1) Thay x = 16 (thỏa mãn), ta có: A = = = 1+ 16 1+ 4 5
6 − x + 2( x −2) x +1 x + 2 x − 2 1 2) B = = = (
x + 2)( x − 2) . + + (
x + 2)( x − 2) : x − 2 x 1 x 1
3) Để B(1+ x)+ x − x −m = 0 có nghiệm
x − x − m +1 = 0 (1) có nghiệm Đặt x = t ( ) 2
1 t − t − m +1 = 0 (2) có nghiệm t 0 và t 2
Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là − ( − m) 3 1 4 1 0 m 4
Trong đó S =1, P =1− m
Nếu 1− m 0 m 1thì phương trình (2) tồn tại nghiệm không âm.
Nếu 1− m 0 m 1 thì phương trình (2) có nghiệm cùng dấu. Để có nghiệm không âm thì 1 0 ( luôn đúng).
Vậy với mọi m thì phương trình (2) luôn có nghiệm không âm.
Điều kiện để phương trình (2) có hai nghiệm là t 2 4 − 2 − m +1 0 m 3 . 3 Vậy m
, m 3 thì phương trình (1) có nghiệm. 4
Câu 42. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020) x + 2 x 1 1 Cho biểu thức A = ; B = + +
( x 0; x 4 ) x x − 4 x − 2 x + 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x =3− 2 2 . A
b) Rút gọn biểu thức B và tính P = . B
c) Tìm x thỏa mãn: xP 10 x − 29 − x − 25 . Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 40 a) x =3− 2 2 = ( )2 2 − 2 2 +1 =( − )2
2 1 (thỏa mãn điều kiện) x = ( − )2 2 1 = 2 −1 = 2 −1
Thay x = 2 −1 vào biểu thức A ta được: 2 −1+ 2 2 +1 A = = =( + )2 2 1 =3+ 2 2 . 2 −1 2 −1
b) Với x 0; x 4 ta có:
x + ( x + 2)+( x − 2) x 1 1 + B = + + = x − 4 x − 2 x + 2 ( x +2)( x −2) x ( x + 2) x + 2 x = x ( = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) x −2 A x + 2 x x + 2 x − 2 x − + P = = : = 4 . = . B x x − 2 x x x
c) Ta có xP 10 x − 29 − x − 25 x − 4 . x
10 x −29− x −25 điều kiện: x25 x
x − 410 x − 29− x − 25 x − 4−10 x + 29 + x − 25 0
(x−10 x +25)+ x−250 ( x − )2 5 + x − 25 0 (1) ( x − )2 5 0 Ta có x ( x − )2 5 + x − 25 0 x
(2)(thỏa mãn điều kiện x25) x − 25 0 ( x − )2 5 =0
Từ (1), (2) ( x − )2 5 + x −5 =0 khi
x = 25 (thỏa mãn điều kiện) x − 25 =0
Vậy x = 25 là giá trị cần tìm.
Câu 43. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 4 – THCS Lê Ngọc Hân – 2019-2020) x − 2 x + 2 3
Cho hai biểu thức: A = ; B = +
; với x 0; x 1; x 4 x −1 x +1 x − x −1
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B . 3) Biết M = 36 .
A B . Tìm số tự nhiên x để M là số chính phương. Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 41 25 − 2 5 − 2 3 1 1
1) Thay x = 25(TMDK ) vào biểu thức A ta được A = = =
= . Vậy x = 25 thì A = . 25 −1 24 24 8 8 2) Ta có: x + 2 3 x + 2 3 B = + = + x +1 x − x − 2 x +1
( x + )1( x −2) ( x +2)( x −2) 3 x − 4 + 3 = ( + = x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) − ( x − )1( x + x )1 1 x −1 = ( = = x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) x − 2 x − 2 x −1 36 3) M = 36 . A B = 36. . = x −1 x − 2 x +1
x là số tự nhiên thì x là số tự nhiên hoặc số vô tỷ. Để M là số chính phương thì x là số tự nhiên khi đó ( x + )
1 là ước chính phương của 36 . Khi đó x +11; 4;9;3 6 ( x + )1 1 4 9 36 x 0 3 8 35 x 0 9 64 1225 TM TM TM TM
Vậy x 0;9;64;122
5 thì M là số chính phương.
Câu 44. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Long Biên – 2019-2020) x + 5 4 2x − x −13 x
Cho các biểu thức: A = và B = + −
(với x 0 ; x 9 ). x − 3 x + 3 x − 9 x − 3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 . − b) Đặ B x 5 t P = . Chứng minh P = . A x + 3
c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để P có giá trị nguyên. Hướng dẫn x + 5 7
a) Thay x = 4 (thỏa mãn) vào biểu thức A ta có: A = = = 7 − x − 3 1 −
Vậy với x = 4 thì A = 7 − . 4 2x − x −13 x b) B = + − x + 3 x − 9 x − 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 42 4( x − 3) x + x − x − ( x 3 2 13 ) = + − x + 3 ( x −3)( x +3) x − 3 ( x −5)( x +5)
4 x −12 + 2x − x −13 − x − 3 x − = x 25 ( = = x − 3)( x + 3)
( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3) B x − 5 P = nên P = . A x + 3 B
c)Tính giá trị nguyên của P = . A x − 5 8 Ta có: P = = 1− . x + 3 x + 3 Để 8
P đạt giá trị nguyên thì . x − 3 Khi đó 8 ( x − )
3 tức x − 3U = 1 ; 2 ; 4 ; 8 8 ( ) Ta có bảng sau : x − 3 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x 4 2 5 1 7 -1 11 -5 x 16 4 25 1 49 Không 121 Không thỏa mãn thỏa mãn
Mà x nguyên nhỏ nhất nên kết hợp với điều kiện xác định thì x =1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 43
Câu 45. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 lần 3 – THCS Lương Thế Vinh – 2020-2021) − 3 2x − 2 x 1 x −1 Cho các biểu thức = x A và B = + +
với x 0 , x 4 x x − 4 x + 2 2 − x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2 3 − 3
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm m để có x thỏa mãn: . A B = m Hướng dẫn 1) x = + − = + + − = ( + )2 4 2 3 3 3 2. 3.1 1 3 3 1
− 3 = 3 +1 − 3 = 3 +1− 3 =1
Giá trị x =1 thỏa mãn điều kiện x 0 , x 4 . Thay x =1 vào biểu thức A ta được: 1 − 3 1− 3 2 − A = = = = 2 − 1 1 1 Vậy A = 2
− khi x = 4 + 2 3 − 3
2) Với x 0 , x 4 ta có: 2x − 2 x 1 x −1 2x − 2 x 1 x −1 B = + + = + − x − 4 x + 2 2 − x
( x − 2)( x + 2) x + 2 x − 2 2x − 2 x x − 2
( x −1)( x + 2) = + −
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
2x − 2 x + x − 2 − (x + 2 x − x − 2) =
( x − 2)( x + 2)
2x − 2 x + x − 2 − x − 2 x + x + 2 x − x x − = 2 x ( 2) x = = =
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2) x + 2 x Vậy B =
Với x 0 , x 4 x + 2
3) Tìm m để có x thỏa mãn: . A B = m Cách 1: x − 3 x x − 3 5
Với x 0, x 4 ta có: . A B = m . = m m = m = 1− x x + 2 x + 2 x + 2 5 1− 1 x + 2 3 − m 1 5 3 2 Mà: 1 − − x + 2 2 1 m − 5 1 4 1 − − x + 2 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 44 3 1 Vậy −
m 1, m − thì có x để . A B = m 2 4 Cách 2: x − 3 x x − 3 . A B = m . = m m = (1− ) m x = 2m + 3 x x + 2 x + 2
Xét m = 1, thay vào phương trình trên ta được: 0=3 ( vô lý) 2m + 3 Xét m 1 x = 1− m
với điều kiện x 0 , x 4 2m + 3 3 − m 0 1 x 0 − 1 m 2 x 2 2m + 3 1 2 m − 1− m 4
Câu 46. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – THCS Lương Thế Vinh – 2020-2021) x +15 x 2 x + 5 8 x − 3 Cho biểu thức A = − + và B =
với x 0; x 9 . x − 9 x − 3 x x + 3 14
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm x sao cho A = 2B .
c) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn a) Rút gọn A . x +15 x 2 x + 5 A = − +
( x 0; x 9 ) x − 9 x − 3 x x + 3 x +15 x 2 x + 5 A = ( − + x − 3)( x + 3) x ( x − 3) x + 3
x ( x +15) − x( x + 3) + x ( x − 3)(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + (x − 3 x )(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + 2x x + 5x − 6x −15 x A =
x ( x − 3)( x + 3) x x − 3x A =
x ( x − 3)( x + 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 45 x ( x − 3) A =
x ( x − 3)( x + 3) x A = x + 3 x x − x 16 x − 6 x 16 x − 6 b) A = 8 3 2B = 2 = − = 0 x + 3 14 x + 3 14 x + 3 14 + − x ( x 3)(16 x 6 14 ) ( −
= 14 x −( x + ) 3 (16 x −6) = 0 x + ) ( x + ) 0 14 3 14 3
14 x −(16x−6 x +48 x −18) = 0 14 x 1
− 6x + 6 x − 48 x +18 = 0 2
− 8 x −16x +18 = 0 1
− 6x − 28 x +18 = 0 8x +14 x −9 = 0
8x +18 x − 4 x −9 = 0 2 x (4 x +9)−(4 x +9) = 0 (2 x − )
1 (4 x + 9) = 0 2 x −1 = 0 (Vì 4 x +9 0) 2 x = 1 1 x = 1 x = (thỏa mãn) 2 4 x
c) Ta có với x 0; x 9 A = 0 x + 3 3 Lại có : A = 1− 1 0 A 1 x + 3
Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.
Câu 47. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Lý Nam Đế - 2019-2020) x x − 2
Với x 0, x 4 và x 9 , cho hai biểu thức 1 1 A = + + và B = . x − 4 x − 2 x + 2 x − 3
1) Tính giá trị của B khi x = 36 . 2) Chứng minh x A = . x − 2
3) Tìm số tự nhiên x để P = B ( A − )
1 đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
1) Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được 36 − 2 6 − 2 4 B = = = . 36 − 3 6 − 3 3
2) Điều kiện: x 0 , x 4, x 9.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 46 x 1 1 x + x + 2 + x − 2 x + 2 x x A = + + = = = . x − 4 x − 2 x + 2
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) x −2 3) Ta có − − − + − = x 2 x x 2 x 2 2 2 B ( A − ) x 2 x P . 1 = . −1 = . = . = x − 3 x − 2 x − 3 x − 2 x − 3 x − 2 x − 3
Với 0 x 9 và x 4 thì x − 3 0 P 0 .
Với x 9 thì x − 3 0 P 0 .
Có x 9 mà x x 10 2 2
x 10 x − 3 10 − 3 P 6 + 2 10 . x − 3 10 − 3
Dấu " = " xảy ra x = 10 (thỏa mãn). Vậy với x
thì giá trị lớn nhất của biểu thức P = . B ( A − )
1 là 6 + 2 10 khi x = 10.
Câu 48. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 5- THCS Lý Nam Đế - 2019-2020) + 6 4 − 6 x 2 x Cho hai biểu thức: = x A và B = + −
với x 0 ; x 4 x x − 4 x + 2 2 − x
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
2. Rút gọn biểu thức B 3. Với x
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = . A B Hướng dẫn 36 + 6 6 + 6 12
1. Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta có: A = = = = 2 36 6 6
Vậy A = 2 khi x = 36 . 4 − 6 x 2 x 2. B = + −
với x 0 ; x 4 x − 4 x + 2 2 − x
4 − 6 x + 2 ( x − 2) + x ( x + 2) 4 − 6 x 2 x = ( + + = x − 2)( x + 2) x + 2 x − 2 ( x −2)( x +2) x ( x − 2)
4 − 6 x + 2 x − 4 + x + 2 x − = x 2 x x ( = = =
( x 0; x 4) x − 2)( x + 2)
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) x +2 3. P = . A B ( x ) x + 6 + + + = x x 6 x 2 4 4 P . = = = 1+ x x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 4 P max x + 2 min
x min x min. ax m ( ) x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 47
Kết hợp với x 0 , x 4 , x , ta suy ra x =1 . 7
Với x = 1 P = . 3 7 Vậy MaxP = khi x =1 . 3
Câu 49. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Marie Curie – 2019-2020) x x −1 x + 2 10 − 5 x
Cho các biểu thức: A = và B = + −
, với x 0; x 4; x 9 x +1 x − 2 3 − x x − 5 x + 6
a) Tính giá trị của A khi x = 25 . b) Rút gọn B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A : B . x 5
a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta có: A = = . x +1 6 5
Vậy với x = 25 thì A = . 6 b) Ta có: x −1 x + 2 10 − 5 x x −1 x + 2 10 − 5 x B = + − = − − x − 2 3 − x x − 5 x + 6 x − 2 x − 3
( x −2)( x −3)
( x − )1.( x −3)−( x +2)( x −2)−(10−5 x) = (
x − 2)( x − 3)
x − 4 x + 3 − x + 4 −10 + 5 x − = x 3 1 ( = = .
x − 2)( x − 3)
( x −2)( x −3) x −2
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P = A : B .
Ta có: P = A : B x 1 x − 2 x P = : = x +1 x − 2 x +1 3 3 P = x − 3 + = x +1+ − 4. x +1 x +1
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có: 3 x + + ( x + ) 3 1 2 1 . = 2 3 x +1 x +1 Từ đó ta có: 3 x +1+ − 4 2 3 − 4 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 48 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x +1 = ( x + )2 1 = 3 x = ( − )2 3 1
= 4 − 2 3 (thỏa mãn điều x +1 kiện xác định).
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2 3 − 4 khi x = 4 − 2 3 .
Câu 50. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi HK2 – THCS Mỹ Đình 1 – 2019-2020) x − 9 3 2 x − 5 x − 3
Cho hai biểu thức A = và B = + +
với x 0; x 9 . x − 3 x − 3 x + 3 x − 9
1) Khi x = 81hãy tính giá trị của biểu thức A
2) Rút gọn biểu thức B
3) Với x 9 tìm giá trị nhỏ nhất B của biểu thức P = . A B Hướng dẫn
1) Giá trị x = 81thỏa mãn điều kiện x 0; x 9 ,thay vào biểu thức A ta được: 81− 9 72 72 A = = = =12 81 − 3 9 − 3 6
Vậy khi x = 81thì A = 12
2) Với x 0; x 9 ta có 3 2 x − 5 x − 3 B = + + x − 3 x + 3 x − 9 3( x + 3) 2 ( x − 3) x − 5 x − 3 = ( + +
x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)
3( x + 3) + 2( x − 3) + x − 5 x − 3 3 x + 9 + 2 x − 6 + x − 5 x − 3 = ( = x − 3)( x + 3) ( x −3)( x +3) x x = ( =
x − 3)( x + 3) x −9 x Vậy P =
= Với x 0; x 9 x − 9 − + + x − x x x − + ( x 3)( x 3) 9 9 9 9 3) Ta có: P = . A B = . = = = x − 3 x − 9 x − 3 x − 3 x − 3 9 9 = x + 3+ = x −3+ + 6 x − 3 x − 3 9 vì x 9 x 3 x − 3 0 vµ 0 . x − 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với 2 số không âm ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 49 9 x − + ( x − ) 9 3 2 3 . = 6 x − 3 x − 3 9 x − 3+ + 6 12 x − 3 hay P 12 9 x − = x = x =
. Dấu "=" xảy ra khi x − 3 = ( x −3)2 3 3 6 36 = 9 x − 3 − = − = x = 0 x 3 3 x 0
Đối chiếu với điện ta thấy x = 36 thỏa mãn điều kiện Vậy Min P = 12 x=36
Câu 51. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Nam Từ Liêm – 2019-2020) x − x x + 2 3
Cho hai biểu thức: A = và B = +
với x 0; x 4 x − 2 x +1 x − x − 2
1) Tính giá trị của A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm tất cả các số tự nhiên x để A B Hướng dẫn
1) Thay x = 16 (TMĐK) vào biểu thức A ta được: 16 − 16 12 A = = = 6 16 − 2 2
Vậy khi x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 6. x + 2 3 x + 2 3 x − 4 + 3 x −1 2) B = + = + = = x +1 x − x − 2 x +1
( x + )1( x −2) ( x + )1( x −2) x −2 − x − x x −1
x − x − x +1 ( x )2 1 x 1 x 1 3) Để A < B thì 0 0 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 − x 4 x 2 0
Kết hợp với điều kiện x 0; x 4 và x là số tự nhiên ta được x 0; 2; 3 .
Vậy với x 0; 2; 3 thì A < B.
Câu 52. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL tháng 5 – THCS Nam Từ Liêm – 2019-2020) x − 2 x − 5 2 4
Cho hai biểu thức A = và B = − +
với x 0; x 1 x −1 x −1 x +1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 25
b) Rút gọn biểu thức B A 1 c) Đặt P =
. Tìm các giá trị x nguyên để P B 2 Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 50 5 − 2 3
a) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta có: A = = 5 − 1 4
b) Với x 0; x 1 ta có: x − 5 2 4
x − 5 − 2 x + 2 + 4 x + 4 x + 2 x +1 x +1 B = − + = = = x −1 x +1 x −1
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 x −1
c) Với x 0 ; x 1 ta có: A x − 2 x +1 x − 2 x −1 x − 2 P = = : = . = B x −1 x −1 x −1 x +1 x +1 − Để x 2
P tồn tại thì P 0
0 x − 2 0 (vì x +1 0 x
thỏa mãn điều kiện) x +1 x 4 1 1 1 x −
Với x 4 ta có: P
P P − 2 1 0 − 0 2 4 4 x +1 4
4 x − 8 − x −1 − 3 x 9 (
0 3 x − 9 0 (vì x +1 0 x
thỏa mãn điều kiện) x + ) 0 4 1 4( x + ) 1
x 3 x 9
Kết hợp với điều kiện ta có 4 x 9 vì x
x 4;5;6;7; 8
Vậy x 4;5;6;7; 8 .
Câu 53. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2020-2021) 2 3x − 4 x + 2 x − 3
Cho hai biểu thức: A = và B = − +
với x 0; x 4 x − 2 x − 2 x x 2 − x 4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 x + 3
b) Chứng minh rằng B = x − 2
c) Đặt P = A: B . Chứng minh rằng không có giá trị nào của x để P có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn 4 2 3 a) Với x =
thỏa mãn điều kiện ta có: A = = − 9 4 2 − 2 9 b) Ta có: 3x − 4 x + 2 x − 3 3x − 4 x + 2 x − 3 B = − + = − − x − 2 x x 2 − x x ( x − 2) x x − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 51
3x − 4 − ( x + 2)( x − 2) − x ( x − 3) = x ( x − 2) x +
x − − x + − x + x x + x ( x 3 3 4 4 3 3 ) x +3 = = = = x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x − 2 x + 3 Vậy B = x − 2 2 x + 3 2
c) Ta có: P = A : B = : = x − 2 x − 2 x + 3 2
Vì x 0 nên 0 P 3
Không tồn tại giá trị P nguyên với mọi x .
Câu 54. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi Thử vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2019-2020) x −1 x x +1 2 x + 4
Cho các biểu thức A = và B = − −
, với x 0; x 1 x +1 x +1 x −1 x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 25
b) Rút gọn biểu thức B . c) Cho P = .
A B . Tìm x là số nguyên lớn nhất để P −1. Hướng dẫn
a) Tính giá trị của A khi x = 25 25 −1 2
Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có A = = . 25 +1 3
b) Rút gọn biểu thức B . x ( x − ) 1 − ( x + )2 − − x x +1 2 x + 4 1 2 x 4 B = − − = x +1 x −1 x −1
( x + )1( x − )1 5 − ( x + )
x − x − x − 2 x −1− 2 x − 4 − − 1 − = 5 x 5 5 ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 x −1 c) Cho P = .
A B . Tìm x là số nguyên lớn nhất để P −1. x −1 5 − 5 − Ta có P = . A B = . = x +1 x −1 x +1 5 − x − 4 Xét P 1 − 1 −
0 x − 4 0 (vì x +1 0x thỏa mãn điều kiện) x +1 x +1
x 4 x 16
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 52
Kết hợp điều kiện có 0 x 16, x 1
Mà x , x lớn nhất nên x = 15.
Câu 55. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – THCS Nghĩa Tân – 2019-2020) x − 2 x + 2 3 12
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x 0; x 4 x + 2 x − 2 x + 2 x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 . x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
Ta có: x = 25 thỏa mãn điệu kiện. 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A = = 25 + 2 7 3
Vậy khi x = 25 thì A = 7 x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 x + 2 3 12 B = − − x − 2 x + 2 x − 4 ( x + )2 2 3( x − 2) 12 B = ( − −
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) − + x + x − ( x )1( x 2 2 ) x −1 B = ( = =
( điều phải chứng minh)
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . x − 2 x −1 x −1 P = . A B = . = x + 2 x − 2 x + 2 − Để x 1
P P P 0
0 x −1 0 ( vì x + 2 0) x + 2
x 1. Kết hợp điều kiện suy ra 0 x 1
Câu 56. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngọc Hồi – 2019-2020) x + 7 x 2 x −1 2x − x − 3
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
( x 0 ; x 9 ) x x + 3 x − 3 x − 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 53
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16
2) Rút gọn biểu thức B 1
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = A + B Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 16 + 7 23
Khi x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) A = = 16 4
2) Rút gọn biểu thức B x 2 x −1 2x − x − 3 B = + −
; ĐK: x 0 ; x 9 x + 3 x − 3 x − 9 x ( x − 3)
(2 x − )1( x +3) 2x − x − 3 = ( + −
x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3)
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 + = x 3 x ( = x + 3)( x − 3) ( x +3)( x −3) x ( x + 3) = x ( =
x + 3)( x − 3) ( x − 3) 1
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = A + B
Điều kiện: x 0 + ( −3 7 x x ) 1 x + x + P = A + = + 4 = 4 =1+ x + B x x x x 4 Vì x 0 ;
0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x 4 4 x + 2 x. = 2.2 = 4 x x 4 1+ x + 5 P 5 x 4
Vậy MinP = 5 khi x =
x = 4(thoả mãn điều kiện) x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 54
Câu 57. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngọc Lâm – 2019-2020) 5 x + 9 x + 2 x Cho A = và B = −
Với x 0, x 1 x −1 x + x − 2 x + 2
1) Tính giá trị của A khi x = 81. 2) Rút gọn biểu thức , A B . A
3) Với x 0, x 1. Tìm các giá trị của m để = m có nghiệm x. B Hướng dẫn
1) Thay x = 81(TMĐK vào A ta có: 5 81 + 9 5.9 + 9 27 A = = = 81−1 81 40 27 Vậy A = tại x = 81. 40 x + 2 x 2) B = −
x + 2 x − x − 2 x + 2 x + 2 x B = −
x ( x + 2) − ( x + 2) x + 2 x + 2 x.( x −1) B = −
( x + 2).( x −1)
( x + 2).( x −1) x + 2 − x + x B =
( x + 2).( x −1) 2 + x B =
( x + 2).( x −1) 1 B =
(x 0, x 1) x −1
3) Với x 0, x 1 ta có; A + + = 5 x 9 1 5 x 9 m : = m = m B x −1 x −1 x +1 5 x + 5 + 4 = 4 m 5 + = m x +1 x +1 4 4 +) x 0 x +1 1 4 5 + 9 m 9 ( ) 1 x +1 x +1 4 +) x 0 5 + 5 m 5 (2) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 55 4 4 +) x 1 5 + 5 + = 7 m 7 (3) x +1 1 +1 m Từ ( ) 1 ;(2);(3) 5 9 m 7 5 m 9 A Vậy thì = m có nghiệm x. m 7 B
Câu 58. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – THCS Ngọc Lâm – 2019-2020) 2 x x + 9 x x + 5 x
Cho các biểu thức : A = − và B = x x x x − 3 x − 9 x − với 0; 9; 25 25
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4 .
2) Rút gọn biểu thức A và B. A
3) Tìm các giá trị của x để P = 0 B Hướng dẫn
1) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào B , ta có: 4 + 5 4 4 + 5.2 14 2 − B = = = = . 4 − 25 2 − 1 2 − 1 3
2) Rút gọn các biểu thức A và B . 2 x ( x + 3) 2 x x + 9 x x + 9 x A = − = − x − 3 x − 9
( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3)
2x + 6 x − x − 9 x − = x 3 x ( =
x − 3).( x + 3)
( x −3).( x +3) x.( x − 3) = x ( =
(x 0;x 9;x 25)
x − 3).( x + 3) x + 3 x + x + x ( x 5 5 ) x B = = =
(x 0;x 9;x 25) x − 25 ( x +5)( x −5) x − 5 A
3) Tìm các giá trị của x để P = 0 . B A x x x − 5 P = = : = B x + 3 x − 5 x + 3
P 0 tử và mẫu phải khác dấu , mà x 0
x 0 x + 3 3 0
x − 5 0 x 5 x 25.
Kết hợp điều kiện xác định: x 0; x 9; x 25 0 x 25; x 9 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 56
Câu 59. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Ngô Gia Tự - 2020-2021) 2x + 4 x + 2 2 x + x +1
Cho hai biểu thức A = + − ; B =
với x 0 , x 1 , x 4
x x −1 x + x +1 x −1 x − 2
1) Tính giá trị của B khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức A . + 3) Với x
. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K = . A B Hướng dẫn
1) Tính giá trị của B khi x = 9
Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x 0 , x 1 , x 4 . Thay x = 9 vào biểu thức B ta được 9 + 9 +1 9 + 3 +1 13 B = = = = 13 9 − 2 3 − 2 1
Vậy x = 9 thì B = 13
2) Rút gọn biểu thức A
Với x 0 , x 1, x 4 ta có 2x + 4 x + 2 2 2x + 4 x + 2 2 A = + − = + −
x x −1 x + x +1
x −1 ( x −1)(x + x +1) x + x +1 x −1 2x + 4
( x + 2)( x −1) 2(x + x +1) = + −
( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +1)
2x + 4 + x − x + 2 x − 2 − 2x − 2 x − 2 =
( x −1)(x + x +1) x − x x( x −1) x = = =
( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +1) x + x +1 x Vậy A =
với x 0 , x 1, x 4 x + x +1
3) Với x 0 , x 1, x 4 ta có : x x + x +1 x x − 2 + 2 2 K = . A B = . = = = 1+ x + x +1 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2
Trường hợp 1: Với 0 x 4 +
Kết hợp với điều kiện x
và x 0 , x 1, x 4 ta có : +
x và x 0 , x 1, x 4 Nên ta có x 2; 3 2
+ Với x = 2 Ta có: K = = 1 − − 2 0 (1) 2 − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 57 3
+ Vói x = 3 Ta có: K = = 3 − − 2 3 0 (2) 3 − 2
Trường hợp 2: Với x 4 +
Kết hợp với điều kiện x
và x 0 , x 1, x 4 ta có: x 5 1 1
x 5 x − 2 5 − 2 x − 2 5 − 2 2 2 1+ 1+
= 5 + 2 5 K 5+ 2 5 (3) x − 2 5 − 2
Từ (1), (2), (3) ta có giá trị lớn nhất của K là 5 + 2 5
Dấu bằng xảy ra khi x = 5 ( thỏa mãn điều kiện x 0 , x 1, x 4 )
Câu 60. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngô Sĩ Liên – 2019-2020) x 1 1 x − 2
Cho hai biểu thức A = + + và B =
với x 0, x 4; x 9. x − 4 x − 2 x + 2 x − 3 1
1. Tính giá trị của biểu thức B khi x = . 9 x 2. Chứng minh A = . x − 2
3. Với x , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = . B ( A − ) 1 . Hướng dẫn 1 − 1 2 − 2 1 9 5 1. Thay x =
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta có: B = 3 = = 9 1 1 − 8 3 − 3 9 3 5 1
Vậy B = khi x = . 8 9
2. Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có: x 1 1 x x + 2 x − 2 A = + + = + + x − 4 x − 2 x + 2
( x −2)( x +2) x −2 x +2 x ( x + 2) x + x + 2 + x − 2 + = x 2 x x ( = = = x − 2)( x + 2)
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) x −2 x Vậy A =
với mọi x thỏa mãn điều kiện. x − 2
3. Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 58 K = . B ( A − ) 1 . x − 2 x K = . −1. x − 3 x − 2 x − 2 x − x + 2 K = . . x − 3 x − 2 2 K = . x − 3 2 +) Nếu x 9 ta có x − 3 0 0 hay K 0 x − 3
+) Nếu 0 x 9; x 4
x − 3 0 K 0.
Do đó K nhỏ nhất khi K 0 . Khi đó x − 3 là số âm lớn nhất có thể, mà x Z nên x = 8 2 K = = 2 − (2 2 +3). 2 2 − 3
Vậy với x 0, x Z thì min K = 2
− (2 2 +3) khi x = 8.
Câu 61. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Ngôi Sao – 2019-2020) x x −1 x x +1 4 x −1 Cho biểu thức P = + − và Q = x − x x + x x x +1
a) Tính giá trị của Q khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức P .
c) Tìm giá tri của x để . P Q x 8
d ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = . P Q − x Hướng dẫn a ) Đkxđ: x 0, 25 −1 5 −1 2
Thay x = 25 (tmđk) vào biểu thức Q ta được Q = = = 25 +1 5 +1 3 2
Vậy khi x = 25 thì Q = 3
( x − )1(x+ x + )1 ( x + )1(x− x + )1 4
b) Với x 0; x 1 ta có: P = + − x ( x − ) 1 x ( x + ) 1 x x + x +1 x − x +1 4 x +
x + + x − x + − x − P = + − 1 1 4 2 2 = = x x x x x 2x − 2 Vậy P =
với x 0; x 1 x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 59 2x − 2 x −1 c ) có . P Q x 8 . . x 8 x x +1 2.( x + ) 1 ( x − ) 1 x −1 . . x 8 x x +1 ( x − )2 2 1
8 x − 2 x +1− 4 0
x − 2 x −3 0 x − 3 x + x − 3 0 ( x − ) 3 ( x + ) 1 0
x − 3 0 vì x +1 0 ( Với mọi x thỏa mãn đk)
x 3 x 9 Kết hợp với đk 0 x 9& x 1
Vậy 0 x 9 & x 1 thì . P Q x 8 2x − 2 x −1 d ) M = . P Q − x = .
− x Với x 0; x 1 x x +1 2.( x + ) 1 ( x − ) 1 x −1 M = . − x x x +1 2( x − )2 1
2x − 4 x + 2 − x x − 4 x + 2 M = − x = = x x x 2 M = x + − 4 x 2 Vì x 0 x; 0 x
Áp dụng bất đẳng thức Cô Sy với 2 số dương, ta có : 2 2 x + 2 2 x +
− 4 2 2 − 4 M 2 2 − 4 x x
Dấu “=” xảy ra khi M = 2 2 − 4 x = 2(t ) m
Vậy min M = 2 2 − 4 x = 2
Câu 62. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Tuyển sinh vào 10 – THCS Nguyễn Công Trứ - 2020-2021) x − 3 x − 3 2 x − 9 Cho biểu thức A = và B = −
(khi x 0 ; x 4 ) x + 3 x − 2 x + x − 6
a) Tính giá trị của A khi 2 x = 4 . x x b) Chứng minh B = . x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 60 B c) Tính P =
. Tìm x để P . P A Hướng dẫn
a) Tính giá trị của A khi 2 x = 4 . x x − 3 Xét biểu thức A = (x 0) x + 3 x = 0 x = 0 Theo đề bài: 2 x = 4x 2
x − 4x = 0 x(x − 4) = 0 x − 4 = 0 x = 4 0 − 3 3 −
Với x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định), thay vào A ta được: A = = = 1 − 0 + 3 3 4 − 3 2 − 3 1 −
Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện xác định), thay vào A ta được: A = = = 4 + 3 2 + 3 5 x b) Chứng minh B = . x + 3
Với x 0 , x 4 , xét biểu thức x − 3 2 x − 9 x − 3 2 x − 9 x − 3 2 x − 9 B = − = − = − x − 2 x + x − 6 x − 2 x + x − 6 x − 2
x + 3 x − 2 x − 6 x − 3 2 x − 9 x − x − = − 3 2 9 = − x − 2
x ( x + 3) − 2( x + 3) x − 2
( x + 3)( x − 2)
( x − 3)( x + 3) 2 x − 9 x − x − = − 9 2 9 = −
( x − 2)( x + 3)
( x + 3)( x − 2)
( x − 2)( x + 3)
( x + 3)( x − 2)
x − 9 − 2 x + 9 x − x x − = 2 x ( 2) x = = =
( x − 2)( x + 3)
( x − 2)( x + 3)
( x − 2)( x + 3) x + 3 x Vậy B = . x + 3 B c) Tính P =
. Tìm x để P . P A x B x + 3 x.( x + 3) x Ta có P = = = = A x − 3
( x + 3)( x − 3) x − 3 x + 3 x
Theo bài ra P P P 0 0 x − 3
Mà x 0 , x 4 ta luôn có x 0
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 61 x x 0 x 0 x 0 0 x − 3 x −3 0 x 3 x 9 0 x 9
Kết hợp với điều kiện xác định ta được . x 4
Câu 63. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Nguyễn Du – 2020-2021) x + 2 x 1 x −1
Cho biểu thức M = + − :
với x 0; x 1. x x −1 x + x +1 x −1 2
a) Rút gọn biểu thức M . 2
b) Tìm x để M = . 7 Hướng dẫn x + 2 x 1 x −1 a) M = + − :
với x 0; x 1 x x −1 x + x +1 x −1 2 x + ( x − x )1 2 x + x +1 2 M = ( + − x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + ) . 1 x −1
x + 2 + x − x − x − x −1 2 M = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1 x − 2 x +1 2 M = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1 ( x − )2 1 2 M = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1 2 M = . x + x +1 2 2 2 b) Để M = = 7 x + x +1 7 x = − ktm 3 ( )
x + x +1 = 7 x + x − 6 = 0 ( x + )
3 .( x − 2) = 0 x = 4 (tm) x = 2 2
Vậy x = 4 thì M = . 7
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 62
Câu 64. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Nguyễn Trãi – 2019-2020) 2 x 15− x 2 x + 3
Cho hai biểu thức A = , B = + : . 3 + x x − 25 x + 5 x − 5 a) Khi 3 3 x = 9 5 − 2.
5 + 2 tính giá trị của A . b) Rút gọn B .
c) Đặt P = A + B . Tìm x để giá trị của biểu thức P là một số nguyên. Hướng dẫn 2 x
a) Với x 0 ta có A = 3 + x Ta có: 3 3 x = 9 5 − 2. 5 + 2 x = ( 3 3 9 5 − 2. 5 + 2 )3 3 3 = 9 .( 5 −2)( 5 + 2) 3 = 9 x = 9 .
Ta thấy x = 9 thỏa mãn điều kiện xác định 2 x 2 9 2.3
Thay x = 9 vào A ta được: A = = = = 1. 3 + x 3 + 9 3 + 3
Vậy x = 9 thì A=1.
b) Với x 0, x 25 ta có 15− x 2 x + 3 B = + : x − 25 x + 5 x − 5
15 − x + 2( x − 5) x + 3 B = (
x − 5)( x + 5) : x − 5 x + 5 x − 5 B = ( x − 5)( x + 5) x + 3 1 B = x + 3 1
Vậy với x 0, x 25 thì B = . x + 3 2 x 1
c) P = A + B = + 3 + x 3 + x 2 + (3+ x − x ) 5 2 1 5 P = = = 2 − 3 + x 3 + x 3 + x Đặ 5 t Q =
P = 2 − Q 3 + x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 63 Do 2 nên P khi Q
Ta có Q 0 ( vì 5 0 và 3 + x 0 ) 5 5 Mà 3 + x 3 3 + x 3 5
0 Q . Mà Q Q =1 3 5
=1 3+ x = 5 x = 2 x = 4 ( thỏa mãn điều kiện). 3 + x
Vậy x = 4 thì P = 2 − Q = 2 −1 = 1 là một số nguyên.
Câu 65. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Nguyễn Tri Phương – 2019-2020) −1 1+ x x x Cho hai biểu thức = x A và B = + −
với x 0 ; x 1 . 4 x x −1 x +1 x −1
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . 2x +1 2. Chứng minh B = . x −1 3. Cho P = .
A B . Tìm các giá trị của x thỏa mãn .
P 4 x 4x − 4 + x +1 . Hướng dẫn
1. Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta có 9 −1 8 2 A = = = . 4 9 12 3 2
Vậy x = 9 thì A = . 3
2. Với x 0 , x 1 ta có: ( x + )2 1 + x ( x − ) 1+ 1 − x = x + x − x B = x −1 x +1 x −1 ( x + )1( x + )1
x + 2 x +1+ x − x − x + = x 2 1 ( = . x − ) 1 ( x + ) 1 x −1
3. Điều kiện xác định: x 1. 2x +1 .
P 4 x 4x − 4 + x +1
.4 x 4x − 4 + x +1 4 x
2x +1 4x − 4 + x +1 x 4x − 4 2
x 4x − 4 (x − )2 2 0 . Vì ( x − )2 2
0 với mọi x thuộc điều kiện xác định nên để (x − )2 2
0 thì x = 2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy x = 2 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 64
Câu 66. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( KSCL – THCS Nguyễn Tri Phương – 2019-2020) x − 2 2 x −1 x + 3 2 x + 2 Cho biểu thức A = và B = − −
(x 0;x 4) x + 2 x − 2 x x − 2 x
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 2. Rút gọn biểu thức B
3. Tìm x để biểu thức P = B : A đạt giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn 16 − 2 1
1. Khi x = 16 (Thỏa mãn điều kiện) thì A = = 16 + 2 9
x (2 x −1) − ( x − 2)( x + 3) − (2 x + 2) 2. Ta có: B = x ( x − 2) − + ( x − x x )2 2 4 4 x − 2 = = = x ( x − 2) x ( x − 2) x x + 2 2 2
3. Ta có: P = B : A = = x + 2 x.
= 2 2 (Theo bất đẳng thức Cô si) x x x
Dấu “=” xảy ra khi x = 2 (Thỏa mãn ĐK) Vậy Min P = 2 2 tại x = 2
Câu 67. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi Thử vào 10 – THCS Nguyễn Trường Tộ - 2020-2021) x +1 x 1 1 2
Cho các biểu thức A = và B = − : +
với x 0 , x 1. x x −1 x − x
x +1 x −1
1) Tính giá trị của A khi x =16 . - − 2) Chứng minh : x 1 B = . x
3) Tìm x nguyên để P = A : B đạt giá trị lớn nhất . Hướng dẫn 1) x = 16 (TMĐK) x = 4 5
Thay x = 4 vào biểu thức A ta có: A = 4 Vậy 5 x =16 thì A = 4 x 1 1 2 2) B = − : + x −1 x − x
x +1 x −1\
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 65 x −1 x +1 B = x ( x − ) : 1
( x + )1( x − )1 x −1 B = x x +1 x −1 1
3) P = A : B = : = x x x −1
Để P đạt giá trị lớn nhất thì x −1 0 và x −1 nhỏ nhất . Mà x
và x 0, x 1 nên x = 2 1 ⇒ P = = 2 +1 2 −1
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 +1 khi x = 2 .
Câu 68. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Nguyễn Trường Tộ - 2019-2020) x + 4 x 2 2
Cho hai biểu thức A = và B = − −
, x 0, x 16 x + 4 x −16 x − 4 x + 4
a) Tính giá trị của A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm các số thực x để biểu thức C = .
A B có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn
a) Ta có: x = 4 (thỏa mãn điều kiện) 4 + 4 6 3
Thay x = 4 vào A ta được: A = = = 4 + 4 8 4 3 Vậy A =
khi x = 4 ( thiếu KL) 4
x − 2 ( x + 4) − 2( x − 4) x 2 2
x − 2 x − 8 − 2 x + 8 b) B = − − = = x −16 x − 4 x + 4 ( x −4)( x +4) ( x −4)( x +4) x ( x − 4) x − 4 x = x ( = = x − 4)( x + 4) ( x −4)( x +4) x + 4 x + 4 x x
c) Ta có với x 0; x 16 thì C = . A B = . = x + 4 x + 4 x + 4
*Ta có x = 0 thì C = 0 , (1) 1 x + 4 4 *Ta có x 0 thì = = x + C x x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 66 1 4
Áp dụng bất đẳng thức cosi có: 2 x. = 4 C x 1 C 4 1 4 Ta có C = khi x =
x = 4 (thỏa mãn), (2) 4 x 1
Từ (1) và (2) suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng là khi x = 4 4
Câu 69. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – Sở GD Ninh Bình – 2019-2020) 2 x 3 x −14 Cho biểu thức S = + với x , 0 x 4 . x − 2 x x − 4 2 x a) Rút gọn . x − 2 x
b) Rút gọn biểu thức S
c) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức của S nhận giá trị nguyên. Lời giải 2 x 2 x 2 a) = = . x − 2 x x ( x − 2) x − 2 2 x 3 x −14 2 3 x −14 b) S = + = + . x − 2 x x − 4 x − 2
( x −2).( x +2) 5 x − x + + x − x − 0 ( 2 2 4 3 14 5 1 ) 5 = ( = = =
x − 2).( x + 2)
( x −2).( x +2) ( x −2).( x +2) x +2 5 c) S = x + 2 Có x + 2 2 5 5 5 S x + 2 2 2
Lại có x + 2 0 5 0 S 0 x + 2 5 Vậy 0 S
mà S có giá trị nguyên S 1; 2 2 Với S = 1 5
=1 x + 2 = 5 x = 9 (thỏa mãn) x + 2 Với S = 2 5 = 2 5 x + 2 = 1 x = (thỏa mãn) x + 2 2 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 67 1
Vậy x ;9 thì biểu thức của S nhận giá trị nguyên. 4
Câu 70. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Phan Chu Trinh – 2019-2020) + + + Cho các biểu thức x 3 x 3 5 x 12 A = và B = +
(với x 0, x 16 ). x − 4 x + 4 x −16
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức B . A
c) Tìm m để phương trình = m +1 có nghiệm. B Hướng dẫn 9 + 3 6
a) Với x = 9 (TMĐK) , thay vào biểu thức A ta được: A = = = −6 . 9 − 4 1 − * Vậy A = 6 − tại x = 9
b) Với x 0, x 16 , ta có: x + 3 5 x +12 x + 3 5 x +12 B = + = + x + 4 x −16 x + 4 ( x +4)( x −4) ( x +3)( x −4) 5 x +12 − − + + = x x 12 5 x 12 ( + =
x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) ( x +4)( x −4) x ( x + 4) x + 4 x = x ( = =
x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) x − 4 x
Vậy với x 0, x 16 thì B = . x − 4 A x + 3 x x + 3 x − 4 x + 3
c) Với x 0, x 16 , ta có = : = . = B x − 4 x − 4 x − 4 x x + * Để x 3
= m +1 x + 3 = (m + ) 1
x m x = 3 (1) x
* TH1: m = 0 , PT (1) có dạng 0 = 3(loai) 3
* TH2: m 0 , PT (1) có dạng x = m A Để phương trình
= m +1 có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm x 0, x 16 B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 68 m 0 x 0 3 3 0 m . x m 4 4 4 3 A Vậy với 0 m thì phương trình = m +1 có nghiệm. 4 B
Câu 71. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – THCS Phan Chu Trinh – 2019-2020) + − Cho hai biểu thức: x 3 x 1 x 2 A = và B = + −
với x 0; x 1; x 9 x + 2 x − 3 1− x x − 4 x + 3
1) Tính giá trị của A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để A: B = 2 − Hướng dẫn x + 3
1) Tính giá trị của A khi x = 25 . Ta có: A = (đkxđ: x 0 ) x + 2
Thay x = 25 (tmđkxđ) vào A 25 + 3 8 A = = 25 + 2 7
2) Rút gọn biểu thức B. x −1 x 2 Ta có: B = + −
(đkxđ: x 0; x 1; x 9 ) x − 3 1− x x − 4 x + 3 ( x − )2
1 − x ( x − 3) − 2
x − 2 x +1− x + 3 x − 2 B = ( B =
x − 3)( x − ) 1
( x −3)( x − )1 x −1 1 B = ( B =
x − 3)( x − ) 1 x − 3
3) Tìm x để A: B = 2 − Ta có: A: B = 2 −
(đkxđ: x 0; x 1; x 9 ) x + 3 1 : = 2 − x − 9 = 2 − ( x + 2) x + 2 x − 3 x + x − = ( x + )2 2 5 0 1 = 6 x +1= 6 x = 6 −1
x = 7 − 2 6 (tmdk) x +1= − 6
x = − 6 −1 (kotmdk)
Vậy x = 7 − 2 6 để A: B = 2 −
Câu 72. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử vào 10 – THCS Phan Huy Chú – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 69 + 2 2 x −1 5 Cho hai biểu thức: x 1 A = và B = − :
với x 0, x 9, x 4 . x − 3 x − 3 x − x − 6 x − 4
a) Tính giá trị của biểu thức 1 A khi x = 9
b) Rút gọn biểu thức B B c) Tìm x thỏa mãn 2 . A 3 Hướng dẫn 1 1 +1 +1 − a) Với 1 9 1 x =
thỏa mãn điều kiện xác định thì 3 A = = = 9 1 1 2 − − 3 3 3 9 − Vậy với 1 1 x = thì A = 9 2
a) Rút gọn biểu thức B
Với x 0, x 9, x 4 2 2 x −1 5 B = − : x − 3 x − x − 6 x − 4 2 2 x −1 5 2 2 x −1 = − : = − x − x − 3
x − 3 x + 2 x − 6 x − 4 x − 3
( x −3)( x +2) ( 4)
2( x + 2) − 2 x +1 5 x − 2
2 x + 4 − 2 x +1 = ( x − = x − x + =
x − 3)( x + 2) ( 4)
( x −3)( x +2) ( 2)( 2) ( ) x − 3 5( x − 2) Vậy B =
với x 0, x 9, x 4 . x − 3 x +1
c) Với x 0, x 9, x 4 thì A = 0 x − 3 5( x − 2) 5( x − 2) 5( x − 2) B 2 + − x 1 2 x 3 2 2 hay : − 0 − 0 A 3 x − 3 x − 3 3 x − 3 x +1 3 x +1 3
15( x − 2) − 2( x + ) 1 13 x − 32 ( x + ) 0 ( x + ) 0 3 1 3 1
13 x − 32 0 (vì 3( x + ) 1 3 0 ) 32 1024 x x 13 169
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 70
Kết hợp điều kiện x 0, x 9, x 4 ta được 1024 0 x
, x 9, x 4 169
Câu 73. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – THCS Phú La – 2020-2021) x + 2 2 x x x Cho biểu thức A = và B = + :
x 0; x 9 x +1
( x − 3)( x + 2) ( ) x − 3 x − 3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Với x , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = AB . Hướng dẫn x + 2 a) A =
( x 0; x 9) x +1 36 + 2 6 + 2 8
Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có: A = = = . 36 +1 6 +1 7 8
Vậy giá trị của biểu thức A khi x = 36 là . 7 2 x x x b) B = ( + x x x − 3)( x + 2) : ( 0; 9) x − 3 x − 3
2 x + x ( x + 2) x −3 B ( = x 3)( x 2) − + x x ( x + 4) x − 3 B = ( x − 3)( x + 2) x x + 4 B = . x + 2 x + 2 x + 4 x + 4
c)Ta có: P = A B = = x + 1 x + 2 x + 1 x +1+ 3 3 P = =1+ x +1 x +1
Ta có: x 0 với mọi x 0 và x 9 ; x x +11 3 3 3 1+ 1+ 3 P 4 x +1 x +1
Dấu " = " xảy ra x = 0 (thỏa mãn điều điện)
Vậy GTLN của P là 4 khi x = 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 71
Câu 74. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 2 – THCS Phương Liệt – 2019-2020) x + 3 x + 2 x +1 3 x −1
Cho hai biểu thức A = và B = − +
, với x 0 , x 1 , x 9 . x −1 x −1 x − 3 x − 4 x + 3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B . B
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . A Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
+ Ta có: x = 4 (thỏa mãn điều kiện x 1) thay vào biểu thức A ta được: 4 + 3 2 + 3 5 A = = = . 4 −1 3 3 5
Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 4 là . 3
b) Rút gọn biểu thức B . x + 2 x +1 3 x −1 B = − + x −1 x − 3 x − 4 x + 3 x + 2 x +1 3 x −1 B = − + x −1 x − 3
( x − )1.( x −3)
( x +2).( x −3)−( x + )1.( x − )1+3 x −1 B = ( x − ) 1 .( x − 3)
x + 2 x − 3 x − 6 − ( x − ) 1 + 3 x −1 B = ( x − ) 1 .( x −3)
x + 2 x − 3 x − 6 − x +1+ 3 x −1 B = ( x − ) 1 .( x − 3) 2 − x − ( x 3 2 6 ) 2 B = ( = = . x − )
1 .( x − 3) ( x − ) 1 .( x − 3) x −1 B
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . A B
+ Với x 0 , x 1, x 9 , ta có: P = A 2. − + + 2 −1
( x )1.( x )1 2.( x x ) 2 x + 3 1 4 P = : = . = = = 2 − x −1 x −1 x −1 x + 3
( x − )1( x +3) ( x +3) x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 72 4 P lớn nhất
x + 3 nhỏ nhất x = 0 min x + 3 2
P = khi x = 0 . min 3 2 Vậy P = khi x = 0 . min 3
Câu 75. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Phương Liệt – 2019-2020) x + 2 x + 5 7 − x Cho biểu thức A = ; B = +
với x 0, x 1 x + 3 x +1 x −1
1) Tính giá trị của A khi x = 16 A x −1 2) Chứng minh rằng = B x + 3 A
3) Tìm giá trị của m để phương trình = m +1 có nghiệm B Hướng dẫn 4 + 2 6
1) Thay x = 16 thoả mãn điều kiện x 0, x 1 vào A ta được A = = 4 + 3 7
2) Với x 0, x 1
( x +5)( x − )1+(7− x) x + 5 7 − x x + 5 7 − x B = + = + = x +1 x −1 x +1
( x + )1( x − )1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x +2)
x + 4 x − 5 + 7 − x + + + = x 3 x 2 x 2 ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 x −1 + + − Khi đó A x 2 x 2 x 1 = : = . B x + 3 x −1 x + 3 A x −1 3) = m +1 có nghiệm
= m +1 có nghiệm x −1= (m+ )
1 ( x + 3) có nghiệm B x + 3
x −1 = m x + 3m + x + 3 có nghiệm m x + 3m + 4 = 0 có nghiệm m x = 3 − m − 4 ( ) 1 có nghiệm
Nếu m = 0 thì phương trình ( ) 1 trở thành 0 = 4
− (vô lý) loại m = 0. 3 − m − 4
Nếu m 0 thì x = m 3 − m − 4 3m + 4 Để phương trình ( ) 1 có nghiệm thì 0 0 m m
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 73 4 m − 3 m + 4 0 3 m 0 m 0 4 − m 0 3 m + 4 0 4 3 m − m 0 3 m 0
Vì x 1 nên x 1 m 3
− m − 4 4m 4 − m 1 − A 4 Vậy để
= m +1 có nghiệm thì − m 0 và m 1 − . B 3 x −1 x −1 Cách 2:
= m +1có nghiệm m = −1 có nghiệm x + 3 x + 3 4 − m = có nghiệm x + 3 1 1 4 − 4 − 4 Vì x 0 x + 3 3 m − x + 3 3 x + 3 3 3 4 −
Mặt khác: x + 3 0 0 m 0 x + 3
Vì x 1 nên x 1 m 3
− m − 4 4m 4 − m 1 − A 4 Vậy để
= m +1có nghiệm thì − m 0 và m 1 − . B 3 x −1 Cách 3: Ta có: = m +1 x + 3 x −1 4 − Xét hiệu: m +1−1 = −1 = 0 m 0 x + 3 x + 3 1 x −1 1 4 x 4 4 m +1+ = + =
m + m − x + 3 3( x + 3) 0 0 3 3 3 3
Vì x 1 nên x 1 m 3
− m − 4 4m 4 − m 1 − A 4 Vậy để
= m +1có nghiệm thì − m 0 và m 1 − . B 3
Câu 76. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 2 – Trường School – 2019-2020) x 2 4 x + 2 2
Cho các biểu thức A = − + và B 1 = −
và với x 0, x 1 . x −1 x +2 x+ x − 2 1− x
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x =16 .
2) Rút gọn P = A : B .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 74 2
3) Tìm giá trị của x để 4 −
P đạt giá trị nguyên lớn nhất. 3 Hướng dẫn 2 2 5 1. Với x 16
= (thỏa mãn điều kiện) B =1− =1+ = . 1− 16 3 3 x 2 4 x + 2 2 2. Ta có A = − + và B 1 = −
và với x 0, x 1 . x − 1 x + 2 x + x − 2 1 − x x ( x + 2) 2( x −1) 4 x + 2 A = ( − + x + 2)( x − ) 1
( x +2)( x − )1 ( x +2)( x − )1
x + 2 x − 2 x + 2 + 4 x + 2 A =
( x +2)( x − )1 + + ( x + x x )2 2 4 4 x + 2 A = ( = = x + 2)( x − ) 1
( x +2)( x − )1 x −1 x + 2 2 x + 2 1 − − x x + 2 x −1 x + 2
P = A : B = : 1 − = : = . = x −1 1 − x x −1 1 − x x −1 x + 1 x + 1 0 x 1 3. P xác định ,
A B xác định và B 0 − − 0 x 1 x 1 . 0 x 1 − 1− x + + − − + Đặ 3 3 x 2 8 x 8 3 x 6 5 x 2 t Q = 4 − P = 4 − . = = 2 2 x + 1 2( x + 1) 2( x + 1) 5 x + 2 5 3 5 5 Q = = − Q (1) 2( x +1) 2 2 x + 2 2 2 5 x + 2 3 x Q = =1+ 1 Q 1 (2) 2( x +1) 2 x + 2 5
Từ (1) và (2) suy ra 1 Q Q1;
2 , mà Q là số nguyên lớn nhất nên Q = 2 2 5 x + 2 = = =
2 5 x + 2 = 4 x + 4 x 2 x 4(TM ) 2( x + 1) 2 Vậy x = 4 thì 4 −
P đạt giá trị nguyên lớn nhất. 3
Câu 77. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – Trường Pschool – 2020-2021)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 75 x ( x + ) 1 1 2 x 1
Cho hai biểu thức: A = và B = + −
(với x 0 , x 1 ). 2( x − ) 1 x + x x −1 x − x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
A B với x 1 . Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
Điều kiện xác định: x 0 , x 1
x = 4 (thỏa mãn điều kiện) 4.(4 + ) 1 2.5
Thay x = 4 vào A ta có: A = = = 2.( 4 − ) 5 1 2.1
Vậy A = 5 khi x = 4 . b) Rút gọn biểu thức . B 1 2 x 1 1 2 x 1 B = + − = + − x + x x −1 x − x x ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 x( x − )1
( x − )1+2 x. x −( x + )1 − 2 ( x − ) = 2x 2 = 1 = 2 = x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x ( x − ) 1 x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
A B với x 1 . x ( x + ) 1 2 x +1 2 2 P = . A B = = = x + + = x − + + 2( x − ) . 1 ( )1 2 1 x x −1 x −1 x −1 x −1 0 Vì x 1 nên 2 0 x −1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2 2 x − + ( x − ) 2 1 2 1 . x −1+
+ 2 2 2 + 2 P 2 2 + 2 x −1 x −1 x −1 2 Dấu “=” xảy ra x −1 = x −1 − = x = 2 +1 ( x x − )2 1 = 1 2 2
x = 3+ 2 2 (thỏa mãn điều kiện) x −1= − 2
x =1− 2 0(loaïi)
Vậy MinP = 2 2 + 2 x = 3+ 2 2 .
Câu 78. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Thi thử lần 1 – Phòng GD Quốc Oai – 2020-2021)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 76 x +1 2 x x + 2 2 x + 4
Cho hai biểu thức: A = ; B = − +
với x 0 ; x 1 . x + 3 x +1 x −1 x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 4 . b) Rút gọn B . 1 c) Tìm x để . A B . 2 Hướng dẫn 4 +1 3
a) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào A = = . 4 + 3 5 2 x − − + + + + x x + x +
( x )1 ( x 2)( x )1 2 x 4 2 2 2 4 b) B = − + = x +1 x −1 x −1
( x + )1( x − )1 − − − x − x − x − x − + x + x − x +
( x )1( x 2) ( x 2 2 2 3 2 2 4 3 2 ) = ( = = = x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x − )1 ( x + )1( x − )1 ( x + )1 ( x −2) 1 1
2 x − 4 − x − 3 x − 7 c) . A B ⇔ − 0 ⇔ 0 ⇔ 0 ⇔ x 49 2 ( x +3) 2 2 ( x + 3) 2 ( x + 3)
Kết hợp điều kiện 0 x 49 , x 1
Câu 79. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Quỳnh Mai – 2020-2021) x + 8 2 x x −1 2x − 5 x + 5 Cho biểu thức A = và B = + −
với x 0 , x 9 . x + 2 x +1 x − 3
( x + )1( x −3)
1) Tính giá trị của A khi x = 4 . 2) Rút gọn B .
3) Tìm các giá trị của x để . A B 4 . Hướng dẫn 4 + 8 12
1) Thay x = 4 thoả mãn điều kiện x 0 , x 9 vào A ta được A = = = 3. 4 + 2 4
2) Với x 0 , x 9 ta có 2 x x −1 2x − 5 x + 5 B = + − x +1 x − 3
( x + )1( x −3)
2 x ( x − 3) + ( x − ) 1 ( x + )
1 − (2x − 5 x + 5) =
2x − 6 x + x −1− 2x + 5 x − 5 ( = x + ) 1 ( x − 3)
( x + )1( x −3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 77 ( x −3)( x +2) x − x − 6 − + − + = x 3 x 2 x 6 x 2 ( = = = . x + ) 1 ( x − 3)
( x + )1( x −3) ( x + )1( x −3) x +1
3) Với x 0 , x 9 ta có
x + 8 − 4( x + ) x + 1 . A B 4 . A B − 4 8 0 − 4 0
0 x − 4 x + 4 0 2 ( x − 2) 0 . x +1 x +1 Vì ( x − )2 2
0 với mọi x thỏa mãn điều kiện nên
( x − )2 ( x − )2 2 0 2
= 0 x − 2 = 0 x = 2 x = 4 (thỏa mãn điều kiện).
Câu 80. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Sóc Sơn – 2020-2021) x +1 x 4 10 x −12
Cho hai biểu thức: A = và B = + +
(x 0; x 4) . x + 2 x − 2 x + 2 4 − x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16
b) Rút gọn biểu thức B . B 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để . A 2 Hướng dẫn 16 +1 5
a) Khi x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) A = = 16 + 2 6 b) Ta có:
x ( x + 2) + 4( x − 2) − + x 4 10 x −12 10 x 12 B = + + = x − 2 x + 2 4 − x ( x −2)( x +2)
x + 2 x + 4 x − 8 −10 x +12 − + − = x 4 x 4 x 2 ( = = x − 2)( x + 2)
( x +2)( x −2) x +2 B x − 2 x +1 x − 2 c) Ta có = : = A x + 2 x + 2 x +1 Điề B u kiện để
có nghĩa là: x − 2 0 (vì x 4 ). A x 4 B 1 B x −
4 x − 8 − x −1 Ta có 1 2 1 − 0 0 A 2 A 4 x +1 4 4 ( x + ) 1 3 x − 9 (
3 x 9 x 9 x + ) 0 4 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 78
Mà x 4, x
nên x 5, 6, 7, 8 .
Vậy x 5, 6, 7, 8 là giá trị cần tìm.
Câu 81. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Thị Xã Sơn Tây – 2019-2020) x + 3 x +3 x − 3 36 7 x − 2
Cho các biểu thức: A = và B = − + .
với x 0; x 9 . 2 x +1 x − 3 x + 3 9 − x 12
1. Tính giá trị của biểu thức A tại x = 16
2. Rút gọn biểu thức B
3. Tìm x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị là số nguyên dương. Hướng dẫn 16 + 3 7
1. Thay x = 16 (thỏa mãn đkxđ) vào A ta được A = = 2 16 +1 9 7
Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 16 là . 9
2. Với x 0; x 9 x +3 x − 3 36 7 x − 2 B = − + . x − 3 x + 3 9 − x 12 (
x + )2 ( x − )2 3 3 36 7 x − 2 − − = − − 12 7 x 2 7 x 2 . = . = x 9 x 9 x 9 − − − 12 x + 3 12 x + 3
3. Với x 0; x 9 x + 7 x − 2 7 x − 2 14 x − 4 11 P = 3 . A B = . = 2P = = 7 − 2 x +1 x + 3 2 x +1 2 x +1 2 x +1 7 Với x 0
x 0 7 2P 4 − P 2 − 2
Để P nhận giá trị là số nguyên dương P 1;2; 3 7 x − 2 3 9 TH1: P = 1
=1 x = x = (tm) 2 x +1 5 25 7 x − 2 4 16 TH2: P = 2
= 2 x = x = (tm) 2 x +1 3 9 7 x − 2 TH3: P = 3
= 3 x = 5 x = 25(tm) 2 x +1 9 16 Vậy x ; ; 25 25 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 79
Câu 82. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Quận Thanh Xuân – 2019-2020) x − 2 x x 2 x + 2 x
Cho hai biểu thức A = và B = + .
với x 0; x 4 . x + 2 x + 2 x − 2 x + 4
1)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 x 2)Chứng minh B = x − 2
3)Tìm tất cả giá trị của x để .
A B 2 x − 3 Lời giải
a)Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x 0, x 4 x = 3 thay vào biểu thức A ta được: x − 2 x 9 − 2.3 3 A = = = x + 2 3 + 2 5 3
Vậy khi x = 9 thì A = 5
b) Với x 0; x 4 ta có: x − + + + x x + x
( x 2) 2( x 2) x( x 2 2 2 ) B = + . = x + 2 x − 2 x +
( x −2)( x +2) . 4 x + 4 x + + x − x + x + ( x 2) x x + ( x 2 2 2 4 4 ) x = ( = =
x − 2)( x + 2) . x +
( x −2)( x +2). 4 x + 4 x − 2 x Vậy B = ( đpcm) x − 2
c) Với x 0; x 4 để .
A B 2 x − 3 x − x − x x ( x 2 2 ) x . 2 x − 3 . 2 x − 3 x + 2 x − 2 x + 2 x − 2 x
2 x −3 x (2 x −3)( x + 2) x 2x + x −6 x + 2
x + x − 6 0 ( x + )
3 ( x − 2) 0 x − 2 0 (do x + 3 0) x 4
Kết hợp với điều kiện ta được 0 x 4 thì .
A B 2 x − 3
Câu 83. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KTCL – Trường THCS Thanh Xuân – 2019-2020) 3 x − 2 15 x −11 2 x + 3
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x 0 , x 1 1− x x + 2 x − 3 x + 3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
b) Đặt P = A + B . Rút gọn biểu thức P .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 80
c) Tìm m để có x thỏa mãn ( P x + 3) = m . Lời giải
a) x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) 3 x − 2 3 16 − 2 3.4 − 2 12 − 2 10
Thay x = 16 vào biểu thức A = ta được: A = = = = − . 1− x 1− 16 1− 4 3 − 3 10
Vậy khi x = 16 thì A = − . 3
b) Với x 0 ; x 1. Ta có: 3 x − 2 15 x −11 2 x + 3
P = A + B = + − 1− x x + 2 x − 3 x + 3 3 − x + 2 15 x −11 2 x + 3 P = + − x −1
( x − )1( x +3) x +3
( 3− x +2)( x +3) + − x − (2 x 3)( x )1 15 11 P = ( + − x − ) 1 ( x + 3)
( x − )1( x +3) ( x − )1( x +3) 3
− x − 7 x + 6 15 x −11 2x + x − 3 P = ( + − x − )
1 ( x + 3) ( x − )
1 ( x + 3) ( x − ) 1 ( x + 3) 3
− x − 7 x + 6 +15 x −11− 2x − x + 3 P = ( x − ) 1 ( x + 3) − + + − − x + x −
( 5x 5 x) (2 x 2 5 7 2 ) P = ( = x − ) 1 ( x + 3)
( x − )1( x +3) 5 − x ( x − ) 1 + 2 ( x − ) 1
( x − )1( 5− x +2) 5− x +2 P = ( = = x − ) 1 ( x + 3)
( x − )1( x +3) x + 3 5 − x + 2
Vậy với x 0 ; x 1 thì P = x + 3 5 − x + 2
c) Với x 0 ; x 1, ta có: m = P ( x + 3) = ( x +3) = 5 − x + 2 x + 3 • Với x 0 5 − x 0 5 −
x + 2 2 m 2 ( ) 1
• Mặt khác: x 1 x 1 5 − x 5 − 5 − x + 2 3 − m 3 − (2) Từ ( )
1 và (2) m 2 ; m 3 −
Vậy với m 2 ; m 3
− thìcó x thỏa mãn ( P x + 3) = m .
Câu 84. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – THCS Thanh Xuân – 2020-2021)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 81 2 x + 3 2x − 8 2 x +1
Cho các biểu thức: A = và B = − +
,với x 0, x 1. x + 2 x + x − 2 x + 2 x −1
a) Tính giá trị của A khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức B . 7
c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để biểu thức 2B − A . 2 Lời giải
a) Tính giá trị của A khi x = 4 . 2 4 + 3 4 + 3 7
Thay x = 4 (TMĐK) vào biểu thức A , ta được: A = = = . 4 + 2 2 + 2 4
b) Rút gọn biểu thức B . 2x − 8 2 x +1 Ta có: B = − + x + x − 2 x + 2 x −1 2. − + + x − ( x )1 ( x )1.( x 2 2 8 ) = ( − + x + 2).( x − ) 1
( x +2).( x − )1 ( x +2).( x − )1
2x − 8 − 2 x + 2 + x + 3 x + 2 + − − + − = 3x x 4 3x 3 x 4 x 4 ( = = x + 2).( x − ) 1
( x +2).( x − )1 ( x +2).( x − )1
( x − )1.(3 x +4) 3 x +4 + = 3 x 4 ( = . Vậy B = . x + 2).( x − ) 1 x + 2 x + 2 7
c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để biểu thức 2B − A . 2
2.(3 x + 4) 2 x + 3 4 x + 5
Ta có: 2B − A = − = x + 2 x + 2 x + 2 + Để 7 x 2B − A 4 5 7 . 2 x + 2 2
Vì x + 2 0 ; 2 0 2.(4 x +5) 7.( x + 2)
8 x +10 7 x +14 x 4 x 16 . Kết hợp ĐK x 0, x 1 0 x 16
Mà x là số nguyên lớn nhất x = 15 .
Vậy x = 15 là giá trị cần tìm.
Câu 85. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề KSCL – THCS Thăng Long – 2019-2020) x 1 3 x x + 3
Cho hai biểu thức A = + + và B =
với x 0; x 1 x −1 x + 2 ( x +2)(1− x) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 82
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4
2) Rút gọn biểu thức A . 3 3) Cho S = .
A B Chứng minh rằng S 2 Lời giải 4 + 3 2 + 3 5
1) Thay x = 4 (tmđk) vào biểu thức B ta được: B = = = 4 +1 2 +1 3 5 Vậy B = khi x = 4 . 3
2) với x 0; x 1 x 1 3 x A = + + x −1 x + 2 ( x +2)(1− x)
− x( x + 2) +1− x + 3 x
−x − 2 x +1− x + 3 x = =
(1− x )( x + 2) (1− x)( x + 2) 1− x (1− x )(1+ x ) x +1 = = =
(1− x )( x + 2)
(1− x )( x + 2) x + 2
3) với x 0; x 1 x + 3 x +1 x + 3 S = . = x +1 x + 2 x + 2 3 x + x + − x − − x Xét hiệu S − 3 3 2 6 3 6 = − = = 2 x + 2 2 2( x + 2) 2( x + 2) Với x 0
x 0 − x 0
Với x 0 x 0 x + 2 0 2( x + 2) 0 − x 3 3 Suy ra
0 S − 0 S (đpcm). 2( x + 2) 2 2
Câu 86. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Thường tín – 2019-2020) x + 2 x +1 1 Cho biểu thức P = + và Q =
với x 0; x 1. x x −1 x + x +1 x −1
1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 49 .
2) Rút gọn biểu thức A = P − Q . 1 3) So sánh A với . 3 Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 83 1 1 1 1
1) Thay x = 49 vào Q = ta có: Q = = = x −1 49 −1 7 −1 6 1 Vậy Q = khi x = 49 . 6 x + 2 x +1 1
2) Ta có A = P − Q = + − x x −1 x + x +1 x −1 x + 2 x +1 1 = + − x + 2 ( x +1)( x −1) x + x +1 = + − x x −1 x + x +1 x −1 3 3 3 x −1 x −1 x −1
x + 2 + x −1− x − x −1 x − x − = = x ( x 1) x = = . 3 3 x −1 x −1
( x −1)(x + x +1) x + x +1 2 1 x 1
3 x − x − x −1 −( x −1)
3) Với x 0; x 1 ta có A − = − = = 3 x + x +1 3 3(x + x +1) 3(x + x +1) 1 3 3
Vì x 0 nên x + x +1 = ( x + ) +
0mà x 1 x −1 0 2 4 4 2 −( x −1) 1 1
0 A− 0 A . 3(x + x +1) 3 3 1 Vậy A . 3
Câu 87. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Trạch Mỹ Lộc – 2019-2020) x +1 x x − 2
Cho các biểu thức: A = và B = −
với x 0; x 9 . x − 3 x x − 3 x − 3 x
a) Tính giá trị của A khi x = 25 . x +1
b) Chứng minh rằng P = A : B = . x − x + 2
c) Tìm giá trị lớn nhất của P . Lời giải
a) Tính giá trị của A khi x = 25 . 25 +1 5 +1 3
Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện x 0; x 9 ) vào biểu thức A ta được: A = = = . 25 − 3 25 25 −15 5 3
Vậy với x = 25 thì A = . 5 x +1
b) Chứng minh rằng P = A : B = . x − x + 2
Với x 0; x 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 84 x x − 2 x x − 2 x − x + 2 B = − = − = x − 3 x − 3 x x − 3 x ( x − 3) x ( x − 3) x +1 x − x + 2 x +1
P = A : B = : = x − 3 x x ( x − 3) x − x + 2 x +1
Vậy với x 0; x 9 thì P = . x − x + 2
c) Tìm giá trị lớn nhất của P .
Với x 0; x 9 x +1 Ta có: P = x − x + 2 1 1 1 P = = = x − x + 4 4 2 x − 2 + x +1+ − 3 x + x +1 x +1 1 4
Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương: x +1 và ta có: x +1 4 x + + ( x + ) 4 1 2 1 x +1 x +1 4 1 x +1+ − 3 1 1 P 1. x +1 4 x +1+ − 3 x +1
Dấu “=” xảy ra khi x + = ( x + )2 4 1 1 = 4 x +1= 2 x +1 Mà x +1 0
Suy ra x +1 = 2 x = 1 (thỏa mãn)
Vậy GTLN của P = 1 khi x = 1 .
Câu 88. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Bài 1. (Thi thử vào 10 – THPT Trần Nhân Tông – 2019-2020) x − x −3 1 2 x + 3
Cho biểu thức P = + :
với x 0 và x 1 x x −1 x −1 x + x +1 2
a) Tính giá trị của biểu thức A = khi x = 9 . 2 x + 3
b) Rút gọn biểu thức P .
c) Tìm các giá trị của x để 3P là số nguyên. Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 85 2 2 2 2
a) Thay x = 9 vào A = ta được A = = = 2 x + 3 2 9 + 3 2.3 + 3 9 x − x − 3 1 2 x + 3 x − x − 3 x + x +1 x + x +1 b) P = + : = + . x x −1 x −1 x + x +1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1 2 x +3 2( x − ) 2 x − 2 x + x +1 1 1 = 2 = ( = . x − ) 1 ( x + x + ) . 1 2 x + 3
( x − ) + + 1 2 x 3 2 x 3 6 c) 3P = 2 x + 3 6
Ta có: Với x 0 thì 0 hay 3P 0 ( ) 1 2 x + 3 6 Vì 2 x 0 x
0 2 x + 3 1 1 3 hay
2 nên 3P 2 (2) 2 x + 3 3 2 x + 3 Từ ( )
1 và (2) 0 3P 2 Vì 3P nên 3P 1; 2 6 TH1: 3P =1 hay =1 6 = 2 x + 3 3 x = 9 x = (tmđk) 2 x + 3 2 4 6 TH2: 3P = 2 hay
= 2 6 = 4 x + 6 x = 0 x = 0 (tmđk) 2 x + 3 9
Vậy x 0; thì 3P có giá trị nguyên 4
Câu 89. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL vòng 3 – THCS Trần Phú – 2019-2020)
( x + )1( x −3) x 3 x + 6
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x 0; x 4; x 9 . x − 2 x − 2 x − 4
1) Tính giá trị của A khi x = 16 . B
2) Rút gọn biểu thức M = . A
3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 3M nhận giá trị nguyên. Lời giải
1) Tính giá trị của A khi x = 16 .
Có x = 16 (thỏa mãn điều kiện của x ) x = 4 thay vào biểu thức A ta được: (4 + ) 1 (4 − 3) 5.3 15 A = = = 4 − 2 2 2 15
Vậy khi x = 16 giá trị của A là A = . 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 86 B
2) Rút gọn biểu thức M = . A
Với x 0; x 4; x 9 , ta có:
x ( x + 2) − (3 x + 6) x 3 x + 6
x + 2 x − 3 x − 6 B = − = = x − 2 x − 4 x − 4 x − 4 ( x +2)( x −3) x − x − 6 − = = x 3 = . x − 4
( x +2)( x −2) x −2 + − x − ( x )1( x 3 3 ) B x − 3 x − 2 1 M = = : = . = A x − 2 x − 2 x − 2 ( x + ) 1 ( x − 3) x +1 3 3) Xét 3.M = . x +1
Vói điều kiện x 0; x 4; x 9. 3 Ta có:
x 0 x +1 1 3 x +1
Mặt khác 3.M 0 . Do đó 0 3.M 3
Để 3M nhận giá trị nguyên 3M 1;2; 3 3 1
1;2;3 x 4; ;0 x +1 4 1
Vì x 0; x 4; x 9 x ;0 . 4 1
KL: Vậy x ;0 thì 3M nhận giá trị nguyên. 4
Câu 90. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Trưng Nhị - 2019-2020) x x 1 1 Cho biểu thức: A = và B = − +
với x 0; x 4 x +1 x − 4 2 − x x + 2 1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = . 4
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Cho P = A : B . Tính giá trị nhỏ nhất của P khi x , x 8 . Lời giải 1 1 1 1 3 1 1) Thay x =
(thỏa mãn) vào biểu thức A : A = : +1 = : = 4 4 4 2 2 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 87 1 1 Vậy khi x = thì A = . 4 3 x 1 1 2) B = − + x − 4 2 − x x + 2 x x + 2 x − 2 = ( + +
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) x ( x + 2) x + x + 2 + x − 2 + = x 2 x x ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x −2 x x x − 3) Có P = 2 3 A : B = : = =1− x +1 x − 2 x +1 x +1
Vì x , x 8 x 9 3 1 x 3 x +1 3 3 4 1− x +1 4 x +1 3 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi x = 9 . 3
Câu 91. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Trưng Nhị - 2019-2020) 1− x 15− x 2 x +1 Cho A = và B = + :
với x 0; x 25 1+ x x − 25 x + 5 x − 5
a) Tính giá trị của A khi x = 3 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm giá trị của a để phương trình A − B = a có nghiệm. Lời giải ( − − )2 1 3 1 3 4 − 2 3 4 − 2 3
a) Thay x = 3 (TMĐK) vào A ta được: A = = = = = − + 1+ 3 (1− 3)(1+ 3) 2 3 1− 3 2 −
Vậy với x = 3 thì A = 2 − + 3 15− x 2 x +1 b) B = + :
với x 0; x 25 x − 25 x + 5 x − 5 2 − − x ( x 5 15 ) x − 5 ( = +
x − 5)( x + 5) ( x + 5)( x − 5) . x +1
15 − x + 2 x −10 x − 5 5 + x x − 5 1 = ( =
x + 5)( x − 5) . + + (
= x −5)( x +5) . x +1 x 1 x 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 88 1
Vậy với x 0; x 25thì B = x +1 1− x 1 − x
c) Ta có: A − B = − = 1+ x x +1 1+ x − Để x
A − B = a có nghiệm thì = a có nghiệm 1+ x
Suy ra − x − a x − a = 0 có nghiệm a 1 − − − − a 0 1 a 0 a 1 a 1 − 1 − a 0 a +1 0 a a x = 0 0 1 − a 0 5 − 1 − − a a +1 a 0 a 5 − 6 x 5 a a +1 0 a 5 6 1 − − a a − 5 ( 1 − − a) 0 5 −
Để A − B = a có nghiệm thì 1
− a 0;a . 6
Câu 92. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 2 – THCS Trưng Vương – 2019-2020) x − 2 x −1 3 x 2 − 5 x
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x 0 ; x 4 . x + 2 x + 2 2 − x x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = .
A B khi x N , x 101 . Lời giải
1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A= = 25 + 2 7 3 Vậy A= khi x = 25 . 7
2) Với x 0 ; x 4 ta có: x −1 3 x 2 − 5 x x −1 3 x 2 − 5 x B = − − = + − x + 2 2 − x x − 4 x + 2 x − 2 ( x +2)( x −2)
( x − )1( x −2) 3 x( x +2) 2 − 5 x = ( + −
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
x − 3 x + 2 + 3x + 6 x − 2 + 5 x + = 4x 8 x ( = x + 2)( x − 2) ( x +2)( x −2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 89 4 x ( x + 2) = 4 x ( = x + 2)( x − 2) x − 2 4 x Vậy B =
với x 0 ; x 4 x − 2
3) Với x 0 ; x 4 ta có: x − 2 4 x 4 x 8 M = . A B = . = = 4 − x + 2 x − 2 x + 2 x + 2
Có x N ; 0 x 101nên 0 x 100 x + 2 12 8 2 8 2 10 4 − 4 − M x + 2 3 x + 2 3 3 10
Vậy M có giá trị lớn nhất là khi x = 100 . 3
Câu 93. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL lần 3 – THCS Trưng Vương – 2019-2020) 9 − 3 x x 1 − x x + 4 Cho biểu thức A = B = + −
với x 0 , x 4 . x − và 4 x +1 x − 2 x − x − 2
1. Tính giá trị của A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B . 3. Tìm x
để biểu thức P = A: B nhận giá trị là một số nguyên âm. Lời giải
1. với x 0 , x 4 .Thay x
16 (thỏa mãn điều kiện) thỏa mãn điều kiện vào A ta được : 9 − 3 16 9 − 3.4 3 1 A = = = − = − 16 − 4 16 − 4 12 4
2. Ta xét biểu thức B với x 0; x 4 x 1 − x x + 4 B = + − x +1 x − 2 x − x − 2 x ( x − 2) (1− x)( x + )1 x + 4 B = ( + − x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) 3 − − + − − − − − ( x + x x x x x )1 2 1 4 3 3 B = ( = = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2) ( x + )1( x −2) 3 − B = x − 2 3 − − (3− 9 3 3 x x ) x − 2
3. Ta có: P = A : B = : = x − x − 2
( x −2)( x +2). 4 3 −
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 90 x − 3 5 P = =1− x + 2 x + 2 5 5 Do x 0 0 x + 2 2 5 =1 x = 9 x + 2 x + 2 = 5 Để 5 P nguyên thì nguyên 1 x + 2 5 = 2 x + 4 = 5 x = 2 4 x + 2
Thử lại : x = 9 P = 0 (loại) 1 x = P = 1
− (thỏa mãn P nguyên âm) 4
Câu 94. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Phòng GD Huyện Ứng Hòa – 2019-2020) 4 x x − 2 1 5 − 2 x
Cho hai biểu thức A = và B = + +
(với x 0, x 1, x 25 ). x − 5 x −1 x + 2 x + x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9 .
2) Rút gọn biểu thức B . A
3) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 4. B Lời giải 4 9 4 3 .
1) Thay x = 9 (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có: A = = = 6 − 9 − 5 3 − 5 Vậy A = 6 − khi x = 9 .
2) Với x 0, x 1, x 25 x − 2 1 5 − 2 x B = + + x −1 x + 2 x + x − 2 ( x −2)( x +2) x −1 5 − 2 x = ( + + x − )
1 ( x + 2) ( x − )
1 ( x + 2) ( x − ) 1 ( x + 2) x − + − + − − ( x − x x x x x )1 4 1 5 2 x = ( = = = x − ) 1 ( x + 2)
( x − )1( x +2) ( x − )1( x +2) x +2
3) Với x 0, x 1, x 25 Điều kiện: x B 0
0 x 0 x 0 x 0,x 1,x 25. x + 2 4 + A x x x x + ( x 2 4 4 2 ) 4 : 4 4 4 B x − 5 x + 2 x − 5 x x − 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 91 x + 2 + − + − x 2 x 5 7 1 0 0 0 x − 5 x − 5 x − 5
Ta có 7 0 nên x − 5 0
x 5 x 25
Mà x là số tự nhiên lớn nhất, x 0, x 1, x 25 do đó x = 24 (TMĐK) Vậy A
x = 24 là số tự nhiên lớn nhất để 4. B
Câu 95. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Vạn Điểm – 2019-2020) x +3 x 1 x + 2
Cho các biểu thức P = + :
với x 0; x 25 x − 25 x + 5 x − 5
1) Rút gọn biểu thức : P
2) Tìm x để ( x + 2) P =12
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Lời giải
1) Với x 0; x 25 ta có x + 3 x 1 x + 2 x + 3 x x − 5 x + 2 P : x − x + x − ( = + = +
x + 5)( x − 5) ( x + 5)( x − 5) : 25 5 5 x − 5 x + x + x − x + x + x − x + ( x − )1( x +5 3 5 2 4 5 2 ) x −5 x −1 = ( = = =
x + 5)( x − 5) : x −
( x +5)( x −5): x − ( x +5)( x −5). 5 5 x + 2 x + 2 x −1 Vậy P = x + 2
2) Với x 0; x 25 Để
( x + )P = ( x + ) x −1 2 12 2 .
=12 x −1 =12 x =13 x =169(tmdk) x + 2
Vậy với x = 169 thì ( x + 2) P =12 x −1 x + 2 − 3 3 3) P = = =1− x + 2 x + 2 x + 2 vì x + 2 2 x TXĐ 3 3 3 3 3 3 − − 1− 1− x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 1 − 1 − hay P
dấu "=" xảy ra khi x = 0 (TMĐK). Vậy Min P = x = 0 2 2
Câu 96. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – THCS Văn Quán – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 92 2 x −1 x + 9 5
Cho hai biểu thức: A = và B = +
với x 0; x 1. x +1 x −1 1− x
1) Tính giá trị của A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức P = A: B .
3) Tìm m để có 2 giá trị x thỏa mãn: mA = x − 2 . Lời giải
1) x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 2 x −1 2 25 −1 2.5 −1 10 −1 9 3
Thay x = 25 vào biểu thức A = ta được: A = = = = = . x +1 25 +1 5 +1 6 6 2 3
Vậy khi x = 25 thì A = . 2
2) Với x 0 ; x 1. Ta có:
2 x −1 x + 9 5 2 x −1 x + 9 5
P = A : B = : + = : −
x +1 x −1 1− x
x +1 ( x − ) 1 ( x + )1 x −1 5 − + ( x + x x )1 2 1 9 2 x −1
x + 9 − 5 x − 5 P = : − = :
x +1 ( x − ) 1 ( x + ) 1 ( x − )1( x + x +1 ( x − ) 1 ( x + ) )1 1 2 x −1 x − 5 x + 4
2 x −1 x − 4 x − x + 4 P = : = : x +1 ( x − ) 1 ( x + ) 1 x +1
( x − )1( x + )1 − − − x − − − x − ( x 4) ( x 4 2 1 ) x −
(x 4 x) ( x 4 2 1 ) P = : = : x +1
( x − )1( x + )1 x +1
( x − )1( x + )1
− ( x − 4)( x − x )1 2 1 2 x −1 x − 4 P = : = : x +1
( x − )1( x + )1 x +1 x +1 2 x −1 x +1 2 x −1 P = = . x +1 x − 4 x − 4 2 x −1
Vậy với x 0 ; x 1 thì P = . x − 4 2 x −1
3) Với x 0 , ta có: mA =
x − 2 m = x − 2 x +1 m(2 x − )
1 = ( x − 2)( x + ) 1
2m x − m = x + x − 2 x − 2 x −(2m+ ) 1
x + m − 2 = 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 93
Đặt t = x ( t 0 ) 2
t − (2m + )
1 t + m − 2 = 0 ( )1
Yêu cầu bài toán Phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt không âm t ; t 1 2 = − ( m + ) 2 2 1 − 4. ( 1 m − 2) 2 2
= 4m + 4m +1− 4m +8 = 4m + 9 0 với mọi m . Phương trình ( )
1 luôn có hai nghiệm phân biệt t ; t với mọi m . 1 2
t + t = 2m +1
Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 . t t = m − 2 1 2 t + t 0 Phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt không âm t ; t 1 2 1 2 t t 0 1 2 − 1 2m +1 0 2m 1 − m 2 m 2 . m − 2 0 m 2 m 2
Vậy với m 2 thì có 2 giá trị x thỏa mãn: mA = x − 2 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 94
Câu 97. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL – Trường thực nghiệm KHGD – 2020-2021) x + x +1 x −1 5 x −8 Cho biểu thức A= và B = −
với x 0; x 4; x 16 x − 4 x − 2 x − 2 x
1) Tính giá trị của A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B . 3) Cho S = .
A B . So sánh S với 2 . Lời giải
1) Tính giá trị của A khi x = 25 . 25 + 25 +1
Thay x = 25 ( TMĐK) vào A ta được A = = 31 25 − 4
2) Rút gọn biểu thức B .
Với x 0; x 4; x 16 x 4 x 2 x 1 5 x 8 x x 5 x 8 x 6 x 8 x 4 B x 2 x 2 x x. x 2 x. x 2 x. x 2 x 3) Cho S = .
A B . So sánh S với 2
Với x 0; x 4; x 16 x + x +1 x − 4 x + x +1 1 S = . A B = = = x + +1 x − 4 x x x
x 0 nên áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: 1 1 1 x + 2 x. = 2 x + +1 2 S 2 x x x 2 1 3 x − + x − x + 1 2 4
Cách 2: Xét hiệu S − 2 = =
0 với x0; x4; x16 x x Suy ra S 2
Câu 98. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Ôn thi vào 10 – 2019-2020) x − 3 x +16 2x − 4 x + 6 x +1
Cho hai biểu thức: A = ; B = −
với x 0, x 4, x 9 . x − 3 x − 2 x x − 2
a) Tính giá trị của A khi x = 36 b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho P = A.B. Tìm GTNN của P. Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 95
a) Tính giá trị của A khi x = 36 x − 3 x +16 Ta có: A =
(đkxđ: x 0, x 4, x 9 ) x − 3
Thay x = 36 (tmđkxđ) vào biểu thứcA, ta có: 36 − 3 36 +16 34 A = = 36 − 3 3 b) Rút gọn biểu thức B 2x − 4 x + 6 x +1 Ta có: B = −
(đkxđ: x 0, x 4, x 9 ) x − 2 x x − 2 − − x −
x + − x − x x − x + ( x 2)( x 3 2 4 6 5 6 ) x − 3 B = = = = x ( B B B x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x
c) Cho P = A. B. Tìm GTNN của P Ta có: P = . A B
(đkxđ: x 0, x 4, x 9 ) x − 3 x +16 x − 3 x − 3 x +16 16 P = P = P = x − 3+ x − 3 x x x 16
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương x và , ta có: x 16 16 16 x + 2 x x +
− 3 2 16 − 3 P 5 x x x 16 Dấu “=” xảy ra x = x =16 (tmđkxđ) x
Vậy GTNN của P bằng 5 khi x = 16
Câu 99. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Bài 1 (Đề ôn thi vào 10 – 2020-2021) 2 x + 6 x + 2 x
Cho hai biểu thức: A = ; B = −
với x 0, x 1. x −1 x + x − 2 x + 2
a) Tính giá trị của A khi x = 7 − 2 6
b) Rút gọn biểu thức P = A : B
c) Tìm x để ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10 Lời giải
a) Tính giá trị của A khi x = 7 − 2 6 Ta có: x = − = ( − )2 7 2 6 6 1
x = 6 −1(TMĐK) Thay vào biểu thức A ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 96 2( 6 − ) 1 + 6 + + ( 6 +2)(3+ 6 2 6 4 6 2 ) 5 6 +12 A = = = = = 7 − 2 6 −1 6 − 2 6 3 − 6 (3+ 6)(3− 6) 3 5 6 +12
Vậy khi x = 7 − 2 6 thì A = 3
b) Rút gọn biểu thức P = A : B Ta có 2 x + 6 x + 2 x
P = A : B = : − x −1 x + x − 2 x + 2 x + 2 − x + ( x − )1 + ( x +2)( x − x x )1 2 6 2 6 2 x + 6 = : = = x −
( x +2)( x − )1 ( x − )1( x + ). 1 1 x + 2 x +1 2 x + 6 Vậy P =
với x 0, x 1. x +1
c) Tìm x để ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10 Ta có: ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10 ( + x + ) 2 x 6 1 .
= x − 2 x + x − 4 +10 x +1
2 x + 6= x − 2 x + x − 4 +10 x − 2 x + x − 4 − 2 x + 4 = 0
x − 4 x + 4 + x − 4 = 0 ( x − 2)2 + x − 4 = 0 Vì ( x − )2 2
0 với x 0, x 1
x − 4 0 với mọi x 4 x − 2 = 0
Nên dấu”=” xảy ra x = 4 (TMĐK) x − 4 = 0
Vậy x = 4 thì ( x + )
1 .P = x − 2 x + x − 4 +10
Câu 100. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Tạ Quang Bửu – 2020-2021) 4 x − 7 3 x + 4 1 2
Cho hai biểu thức A = và B = − :
với x 0, x 4. x − 2 x − 4 x + 2 x + 2
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.
b) Rút gọn biểu thức B . A
c) Tìm giá trị nguyên của x để đạt giá trị nguyên. B Lời giải
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 97 4 9 − 7 4.3 − 7
a) Thay x = 9 thỏa mãn điều kiện vào biểu thức A : A = = = 5 9 − 2 3 − 2 3 x + 4 1 2 b) B = − : x − 4 x + 2 x + 2 3 x + 4 − x + 2 x + 2 B = : x − 4 2 2 x + 6 x + 2 x + 3 B = . = x − 4 2 x − 2 A 4 x − 7 x + 3 4 x − 7 x − 2 4 x − 7 1 − 9 c) = : = . = = 4 + B x − 2 x − 2 x − 2 x + 3 x + 3 x + 3
Có x thì x là số nguyên hoặc số vô tỉ. Trườ A
ng hợp 1: x là số vô tỉ, khi đó
có giá trị là số vô tỉ (loại) B
Trường hợp 2: x là số nguyên. A 19 − = 4 + có giá trị nguyên
x + 3Ö (19) = 1 ; 1 9 B x + 3 Mà x + 3 3
x + 3 =19 x =16 x = 256 (thỏa mãn) Vậy x = A 256 thì đạt giá trị nguyên. B
Câu 101. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Tam Hiệp – 2019-2020) 2x + 2 x x −1 x x +1 Cho biểu thức: P = + −
với x 0; x 1 x x − x x + x
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9 . 7
c) Tìm giá trị của x để biểu thức
chỉ nhận một giá trị nguyên ( khi biểu thức P có nghĩa). P Lời giải 2x + 2 x x −1 x x +1 a) P = + −
(với x 0; x 1) x x − x x + x 2x + 2
( x −1)(x + x +1)
( x +1)(x − x +1) P = + − x x ( x −1) x ( x +1) 2x + 2 x + x +1 x − x +1 P = + − x x x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 98 2x + 2 + x +
x +1+ x − x +1 P = x 2x + 2 x + 2 P = . x + + + + b) Thay x = 2.9 2 9 2 18 6 2 26 9 vào ta được P = = = 9 3 3 x
c) Với x 0; x 7 7 1thì: =
với x 1 và x là số chính phương. P 2(x + x +1) x
Ta có: x + x +1 7 7 7 3 x nên = P 2(x + x +1) 6 7 Suy ra
chỉ nhận giá trị nguyên đó là giá trị 1, P 7 x Tức là:
=1 7 x = 2x + 2 x + 2 2(x + x +1) x = 4 2x 5 x 2 0 − + = 1 (nhận). x = 4
Câu 102. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Tam Khương – 2020-2021) x + 3 1 1 x
Cho các biểu thức: A = và B = + −
với x 0 ; x 4 . x − 2 x − 2 x + 2 4 − x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm các giá trị của x để B ( x − 2) + 2 x = x − 7(x − 2) + 7 . Lời giải
1) Khi x = 16 (thoả mãn điều kiện) 16 + 3 4 + 3 7 Ta có A = = = . 16 − 2 4 − 2 2 2) Ta có: 1 1 x B = + − x − 2 x + 2 4 − x x + 2 + x − 2 + x B = ( x −2)( x +2) x + 2 x x B = = .
( x −2)( x +2) x −2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 99 x
3) B ( x − 2) + 2 x = x − 7(x − 2) + 7
( x −2)+2 x = x− 7(x−2) +7 x − 2
x − 3 x − 7(x − 2) + 9 = 0 2x − 6 x − 2 7(x − 2) +18 = 0
x − 6 x + 9 + (x − 2) − 2 x − 2. 7 + 7 + 4 = 0
( x − )2 +( x − − )2 3 2 7 + 4 = 0 (vô nghiệm).
Câu 103. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Tân Định – 2019-2020) − 4 x + 2 x −10 x −1 x + 2 Cho hai biểu thức = x A và B = + −
với x 0; x 4 x x − 2 x x − 2 x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 3 2) Chứng minh = x B x A A
3) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x sao cho B B Lời giải − 4 4 − 4 2 − 4 1) Thay x = 4 vào = x A ta có A = = = 1 − x 4 2
Vậy A = −1 khi x = 4 x + 2 x −10 x −1 x + 2 2) B = + − x − 2 x x − 2 x x + 2 x −10 x −1 x + 2 = + − x ( x − 2) x − 2 x x + 2 x −10 x ( x −1)
( x + 2)( x − 2) = + − x ( x − 2) x − 2 x
x + 2 x −10 + x − x − x + 4 = x ( x − 2) x + x − 6 x + x − x − x + x + = 6 ( 2)( 3) 3 = = = x ( x − 2) x( x − 2) x ( x − 2) x x − 4 A x x − 4 3) = = đk x 0 B x + 3 x + 3 x A A A x − 4 Để thì 0 hay
0 Vì với x 0 thì x + 3 0 B B B x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 100
Nên x − 4 0 x 4 x 16 A A
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x = 15thì B B
Câu 104. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2020-2021) 1
1.Tính giá trị của biểu thức: A = 12 − 48 + 27 4 x + 2 x +1 2( x + 4) 3
2. a) Chứng minh rằng biểu thức B = + −
(x 0;x 4) bằng x − 2 x + 2 x − 4 x + 2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B? Lời giải 1) Ta có : 1 A = 12 − 48 + 27 4 = 2 3 − 3 + 3 3 = 4 3 2a) Ta có: x + 2 x +1 2( x + 4) B = + −
(x 0;x 4) x − 2 x + 2 x − 4
( x +2)2 +( x + )1( x −2)−2(x+4) = ( x −2)( x +2)
x + 4 x + 4 + x − x − 2 − 2x − 8 = ( x −2)( x +2) 3 x − 6
= ( x −2)( x +2) 3 = x +2 3 Vậy B = (dpcm) x + 2
b) Ta có: x + 2 2, x 0, x 4 3 3 3 B + x 2 2 2
Dấu “ = “ xảy ra khi x = 0 x = 0(TM ) 3
Vậy giá trị lớn nhất B = khi x = 0 2
Câu 105. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề minh họa thi vào 10 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 101 x + 7
a) Cho biếu thức A =
với x 0 . Tính giá trị của A khi x = 16 . x x 2 x −1 2x − x − 3
b) Cho biểu thức B = + −
với x 0, x 9 . Rút gọn biểu thức B . x + 3 x − 3 x − 9 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + A . B Lời giải x + 7
a) Cho biếu thức A =
với x 0 . Tính giá trị của A khi x = 16 . x x + +
Khi x = 16 thỏa mãn điều kiện x 0 , thay x = 7 16 vào A = 16 7 23 ta được: A = = . x 16 4 Vậy với x = 23 16 thì A = . 4 x 2 x −1 2x − x − 3
b) Cho biểu thức B = + −
với x 0, x 9 . Rút gọn biểu thức B . x + 3 x − 3 x − 9
Với x 0, x 9 , ta có:
x.( x − 3) + (2 x − )
1 ( x + 3) − (2x − x − 3) x 2 x −1 2x − x − 3 B = + − = x + 3 x − 3 x − 9 ( x +3)( x −3)
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 + = x 3 x = ( x +3)( x −3) ( x +3)( x −3) x ( x + 3) = x = .
( x +3)( x −3) x −3 x
Vậy với x 0, x 9 thì B = . x − 3 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + A . B
Với x 0, x 9 , ta có: 1 1 x + 7 x − 3 x + 7 x + x + 4 4 4 S = + A = + = + = = 1+ x + 1+ 2 x. = 5 B x x x x x x x x − 3
(do áp dụng bất đẳng thức Cauchy). Dấu “ = 4 ” xảy ra khi x =
x = 4 (thỏa mãn điều kiện). x
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 5 xảy ra khi x = 4 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 102
Câu 106. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(HK2 – Phòng GD Quận Tây Hồ - 2019-2020) x x 5 2 x − 4
Cho các biểu thức A = và B = − +
với x 0, x 1 x + 1 x −1 x + 1 x −1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . x − 1 b) Chứng minh B = x + 1 B 3
c) Tìm giá trị của x để . A 4 Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
Thay x = 9 (thoả mãn điều kiện) vào A ta được: 9 3 3 A = = = . 9 + 1 3 + 1 4 Vậy với x = 3 9 thì A = . 4 x − 1 b) Chứng minh B = x + 1 x 5 2 x − 4 B = − +
với x 0, x 1 x −1 x + 1 x −1 x ( x + ) 1 − 5( x − ) 1 + 2 x − 4 + − + + − x x 5 x 5 2 x 4 B = B =
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 ( x − )2 x − 2 x + 1 1 x −1 B = B = =
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 x +1 x − 1 Vậy B =
với x 0, x . 1 x + 1 B 3
c) Tìm giá trị của x để . A 4 B x −1 x x −1 x + 1 x −1 Ta có: = : = . = . A x + 1 x + 1 x + 1 x x B 3 x − Để 1 3 thì
(x 0, x ) 1 A 4 x 4 x −1 3 − − − − 4 x 4 3 x x 0 4 0 0 x 4 4 x 4 x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 103 x − Vì x 0 x 0 nên 4 x 4 0 nên
0 khi x − 4 0 x 4 4 x
x 16 kết hợp với điều kiện x 0, x 1 suy ra 0 x 16 , x 1. B
Vậy với 0 x 16 , x 3 1 thì . A 4
Câu 107. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử vào 10 – Phòng GD Quận Thạch Hà – 2020-2021)
1) Thực hiện phép tính 3 20 − 80 + 4 5 . 1 1 2
2) Cho biểu thức Q = + 1−
(với x 0, x 4). x + 2 x − 2 x a) Rút gọn Q . 1
b) Tìm giá trị của x để Q . 2 Lời giải
1) Ta có 3 20 − 80 + 4 5 = 6 5 − 4 5 + 4 5 = 6 5 .
2) a) Với x 0, x 4 ta có 1 1 2 2 x x − 2 2 Q = + 1− = = . x + 2 x − 2 x (
x + 2)( x − 2) x + x 2 1 2 1 4 − x − 2 2 − x b) Q 0
0 2 − x 0 (do x + ) 2 x + 2 2 x + 2 x + 2 0 2 Vậy 0 x 4
Mà x 0, x 4 nên 0 x 4 Vậy 0 x 1 4 để Q . 2
Câu 108. (Thầy Nguyễn Chí Thành) 2x +1 x 1+ x x
Cho biểu thức: B = −
− x với x 0 và x 1 x x −1 x + x +1 1+ x a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 5 Lời giải a) Rút gọn B
Với x 0 và x 1 2x +1 x 1+ x x B = − − x x x −1 x + x +1 1+ x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 104 (2x + )
1 − x ( x − )
1 (1+ x )( x − x + ) 1 B = . − x
( x − )1(x+ x + )1 1+ x x + x + B = x −
( x − )(x+ x + ) ( )2 1 . 1 1 1 B = x −1
Vậy với x 0 và x 1 thì B = x −1
b) Tìm x để B = 5
B = 5 x −1 = 5 x = 6 x = 36 (Thỏa mãn x 0 và x 1)
Vậy x = 36 thì B = 5 .
Câu 109. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(TS 10 – Phòng GD Tỉnh Thái Nguyên – 2020-2021) 2x +1 x 1+ x x
Cho biểu thức: B = −
− x với x 0 và x 1 x x −1 x + x +1 1+ x a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 5 Lời giải a) Rút gọn B
Với x 0 và x 1 2x +1 x 1+ x x B = − − x x x −1 x + x +1 1+ x (2x + )
1 − x ( x − )
1 (1+ x )( x − x + ) 1 B = . − x
( x − )1(x+ x + )1 1+ x x + x + B = x −
( x − )(x+ x + ) ( )2 1 . 1 1 1 B = x −1
Vậy với x 0 và x 1 thì B = x −1
b) Tìm x để B = 5
B = 5 x −1 = 5 x = 6 x = 36 (Thỏa mãn x 0 và x 1)
Vậy x = 36 thì B = 5 .
Câu 110. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Đề thi thử vào 10 – THCS Thái Thịnh – 2019-2020)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 105 x − 2 x + 3 x − 2 x + 8 2 Cho biểu thức A = và B = −
với điều kiện x 0; x 4 x − 2 x − 4 x − 2
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B 3) Gọi P = .
A B . So sánh P và P Lời giải
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9
Thay x = 9 (thỏa mãn ĐK: x 0; x 4 ) vào biểu thức A ta được: 9 − 2 9 + 3 9 − 6 + 3 A = = = 6 9 − 2 3 − 2
Vậy với x = 9 , giá trị của biểu thức A = 6
2) Rút gọn biểu thức B
Với x 0; x 4 , ta có:
x − 2 x + 8 − 2 + x − x + x − x + ( x 2 2 8 2 2 8 2 ) B = − = − = x − 4 x − 2
( x −2)( x +2) x −2
( x −2)( x +2) − x − x + ( x 2 4 4 )2 x − 2 = ( = =
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x + 2 x −
Vậy với x 0; x 2 4 thì B = x + 2 3) Gọi P = .
A B . So sánh P và P
Với x 0; x 4 , ta có: − + − − + + ( x − + x x x x x )2 2 2 2 3 2 2 1 2 P = . A B = . = = 0 , x − 2 x + 2 x + 2 x + 2
do đó P = P (với x 0; x 4 )
Câu 111. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Đề thi tuyển sinh vào 10 – THCS Thái Thịnh – 2020-2021) x − 7 x x − x +
Cho hai biểu thức A = 3 2 3 6 và B = + +
với x 0 , x 4 . x x + 2 2 − x x − 4
a)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b)Rút gọn biểu thức B . c)Tìm x = để biểu thức P .
A B có giá trị nguyên. Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 106 9 − 7 2
Thay x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta đượ = = c: A . 9 3 Vậy x = 2 9 thì A = . 3
b) Rút gọn biểu thức B .
Với x 0 , x 4 ta có: 3 x 2x − 3 x + 6 B = + + x + 2 2 − x x − 4 3( x − 2) x ( x + 2) 2x − 3 x + 6 = − +
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) ( x −2)
3 x − 6 − x − 2 x + 2x − 3 x + 6 x − 2 x x = = = ( x +2)( x −2)
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x Vậy B = . x + 2 c) Tìm x = để biểu thức P .
A B có giá trị nguyên. Ta có: P = . A B x − 7 x x − 7 x − 4 − 3 P = = = x x + 2 x + 2 x + 2 3 P = x − 2 − . x + 2
+ Xét x = 7 P = 0
. Suy ra x = 7 thỏa mãn.
+ Xét x 7 , x nhưng x
x là số vô tỷ
x + 2 là số vô tỷ. Mà x − 7 là số nguyên khác 0 P là số vô tỷ.
+ Xét x và x
x + 2 và x − 2 . Do đó P 3 khi
x + 2 Ư (3) . x + 2 Mà x + 2 2
x + 2 = 3 x =1 x =1 (thỏa mãn)
Vậy x = 7 ; x = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 112. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Thành Công – 2020-2021) x + 3
1) Cho x = 3 − 2 , hãy tính giá trị của biểu thức A = với x 0 . x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 107 11( x − + x )1 8 2
2) Rút gọn biểu thức B = −
với x 0 ; x 1. x −1 x + 2 x − 3
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị nguyên. Lời giải x + 1) Cho x = 3 − 3
2 , hãy tính giá trị của biểu thức A = với x 0 x + 2 Thay x = − = ( − )2 3 2
2 1 (thỏa mãn điều kiện x 0 ) vào biểu thức, ta được: ( 2 − )2 1 + 3 2 −1+ 3 A = = ( − )2 2 −1+ 2 2 1 + 2 2 + 2 1 2 −1 A = =1+ =1+ = 2 2 +1 2 +1 1
Vậy với x = 3 − 2 thì giá trị của biểu thức A = 2 . 11( x − + x )1 8 2
2) Rút gọn biểu thức B = −
với x 0 ; x 1 x −1 x + 2 x − 3
Với x 0 ; x 1 ta có: 11( x − + x )1 8 2 B = − x −1 x + 2 x − 3 2 x 11 x − 3 B = − x −1
( x − )1( x +3)
2 x ( x + 3) − (11 x − 3) B =
( x − )1( x +3)
2x + 6 x −11 x + 3 B =
( x − )1( x +3) 2x − 5 x + 3 B =
( x − )1( x +3)
( x − )1(2 x −3) 2 x −3 B = =
( x − )1( x +3) x + 3 x −
Vậy với x 0 ; x 2 3 1 thì B = . x + 3
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị nguyên.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 108
Với x 0 ; x 1 P = . A B x + 3 2 x − 3 2 x − 3 P = . = x + 2 x + 3 x + 2 2 x + 4 − 7 7 P = = 2 − x + 2 x + 2 1 1 7 7 7 7 3 Vì x 0
x 0 x + 2 2 − − 2− 2− = − x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 2 3 Hay P − (1) 2 7 7 Có: x 0
x 0 x + 2 0 0 2 − 2 x + 2 x + 2 Hay P 2 (2) 3 Từ (1) và (2) suy ra: −
P 2 mà P Z nên P = 1 − ;0 ;1 2 2 x − 3 1 +) P = 1 − = 1
− 2 x − 3 = − x − 2 3 x =1 x = (thỏa mãn x 0 ; x 1) x + 2 9 2 x − 3 9 +) P = 0
= 0 2 x − 3 = 0 2 x = 3 x = (thỏa mãn x 0 ; x 1) x + 2 4 2 x − 3 +) P = 1
= 1 2 x − 3 = x + 2 x = 5 x = 25 (thỏa mãn x 0 ; x 1) x + 2 1 4
Vậy với x ; ; 25 thì P = .
A B nhận giá trị nguyên. 9 9
Câu 113. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL – THCS Thành Công – 2020-2021) x − 4
1) Cho x = 25 . Hãy tính giá trị của biểu thức Q = với x 0 . x +1 5 x 3 − x 6x
2) Rút gọn biểu thức P = − +
với x 0; x 4 . x − 2 x + 2 4 − x
3) Tìm x để biểu thức M = .
P Q đạt giá trị lớn nhất. Lời giải:
1) Giá trị x = 25 thỏa mãn điều kiện x 0
x = 5 , thay vào biểu thức Q ta được: x − 4 25 − 4 21 7 Q = = = = . x +1 5 +1 6 2 7
Vậy khi x = 25 thì Q = . 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 109 x − x x
2) Với x 0; x 5 3 6 4 ta có: P = − + . x − 2 x + 2 4 − x 5 x 3 − x 6x P = − − x − 2 x + 2 x − 4 5 x.( x + 2)
(3− x)( x −2) 6x = ( − −
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)
5 x.( x + 2) − (3− x )( x − 2) − 6x =
( x −2)( x +2 )
5x +10 x − 3 x + 6 + x − 2 x − 6x 5 x + 6 = = . ( x −2)( x +2)
( x −2)( x +2) 5 x + 6 Vậy P = . ( x −2)( x +2) 5 x + 6 x − 4 5 x + 6 5 x + 5 +1 1 3) Ta có: M = . P Q = . = = = 5 + .
( x −2)( x +2) x +1 x +1 x +1 x +1 1 1 vì x 0 x 0 x +1 1 1 5+ 6 . x +1 x +1
hay M 6 . Dấu "=" xảy ra khi x = 0 (thoả mãn điều kiện).
Vậy max M = 6 khi x = 0 .
Câu 114. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL lần 1 – Phòng GD Thanh Oai – 2019-2020) 2 15 − x x +1 1− x
Cho hai biểu thức: A = − : và B =
với x 0; x 25 . x + 5 25 − x x − 5 x +1
1) Tính giá trị của B khi x =16 .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Đặt P = A − B . So sánh P và 2 P . Lời giải
1) x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) 1− x 1− 16 1− 4 3 −
Thay x = 16 vào biểu thức B = ta được: B = = = x +1 16 +1 4 +1 5 3 −
Vậy khi x = 16 thì A = . 5
2) Với x 0 ; x 25 . Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 110 2 15 − x x +1 A = − : x + 5 25 − x x − 5 2 ( x − 5) 1 − 5 + x x +1 A = − :
( x + 5)( x − 5) ( x + 5)( x − 5) x − 5
2 x −10 +15 − x x − 5 A =
( x +5)( x −5) x +1 x + 5 x − 5 1 A = =
( x +5)( x −5) x +1 x +1 1
Vậy với x 0 ; x 25 thì A = x +1 1 1− x 1−1+ x x
3) Với x 0 ; x 25 . Ta có: P = A − B = − = = x +1 x +1 x +1 x +1 x Do 2 x 0 x +1 x 0 0
1 P P x +1
Vậy với P = A − B thì 2 P P .
Câu 115. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL lần 2 – Phòng GD Thanh Oai – 2019-2020) 2 x x 3x − 3 x +1 Cho biểu thức: A = − − , B =
với x 0, x 9 . x + 3 3 − x x − 9 x − 3
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 49 . A 3 −
2) Chứng minh rằng P = = . B x + 3
3) Tìm x sao cho P( x + )
3 + 2 x − 2 + x = 2 . Lời giải + 1) Thay x = 49 1 8
49 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta có B = = = 2 . 49 − 3 4
Vậy khi x = 49 thì B = 2 .
2) Với x 0, x 9 ta có: A 2 x x 3x + 3 x +1 P = = − − : B x + 3 3 − x x − 9 x − 3
2 x ( x − 3) + x ( x + 3) − 3x − 3 x − 3 = . ( x +3)( x −3) x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 111 3 − ( x + )
2x − 6 x + x + 3 x − 3x − 3 x − 3 1 − = x 3 3 − . = . = . ( x +3)( x −3) x +1
( x +3)( x −3) x +1 ( x +3) A 3 − Vậy P = = . B x + 3
3) Điều kiện: x 2, x 9 . 3 − P( x + )
3 + 2 x − 2 + x = 2
( x +3)+2 x−2 + x = 2 x + 3 3
− + 2 x − 2 + 2 = 2 x − 2 + 2 x − 2 − 3 = 0
Đặt t = x − 2 (t 0) t − = t =1 2
t + 2t −3 = 0 (t − ) 1 (t + 3) = 1 0 0 t + 3 = 0 t = 3 −
Với t = 1 (thỏa mãn điều kiện của t )
x − 2 = 1 x − 2 = 1 x = 3 (thỏa mãn điều kiện của x ). Với t = 3
− (không thỏa mãn điều kiện của t , loại)
Vậy x = 3 thì P( x + )
3 + 2 x − 2 + x = 2 .
Câu 116. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
Bài 1. (KSCL tháng 5 – THCS Thanh Quan – 2019-2020) x x +1 x + 4
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x 0 , x 1, x 4 . x −1 x − 2 x − 2 x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . x + 2 2) Chứng minh B = . x A 3) Với P =
. Tìm giá trị của x để P − P = 0 . B Lời giải 9 3
1) Thay x = 9 (tmđk ) vào biểu thức A , ta có: A = = 9 −1 2 3 Vậy A = khi x = 9 . 2
2)Với x 0 , x 9 ta có
( x + )1 x −( x +4) x +1 x + 4 x + x − x − 4 B = − = = x − 2 x − 2 x x ( x − 2) x ( x − ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 112 ( x −2)( x +2) + = x 2 = ( ĐPCM ) x ( x − 2) x A x x + 2 x + 2 3) P = = : = = B x −1 x x −1 x +
P − P = 0 P = P P 2 0 0 x −1
Tử và mẫu cùng dấu
x + 2 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định
x −1 0 x 1
Kết hợp điều kiện xác định: x 0 , x 1, x 4 − = Vậy : P P
0 khi x 1 và x 4.
Câu 117. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(Thi thử vào 10 – THCS Yên Mỹ - 2020-2021) x 2 x −1 2x − x − 3 x + 7
Cho các biểu thức: A = + − và B =
với x 0; x 9 . x + 3 x − 3 x − 9 x
1. Tính giá trị của B khi x = 25
2. Rút gọn biểu thức A . 1
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + B . A Lời giải x + 7
1. Tính giá trị của biểu thức B = khi x = 25 x 25 + 7 32
Thay x = 25 (TMĐK) vào biểu thức B ta có : B = = 25 5
2. Rút gọn biểu thức A . x 2 x −1 2x − x − 3 A = + − x + 3 x − 3 x − 9
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 A = .
( x + 3)( x − 3) x + 3 x A =
( x + 3)( x − 3) x ( x + 3) A =
( x + 3)( x − 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 113 x A = x − 3 1
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + B . A 1 x − 3 x + 7 x + x + 4 4 S = + B = + = = x + +1 A x x x x 4
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm x và , ta có : x 4 Co−si 4 S = x + +1 2 x. +1 = 5 x x 4 S = 5 x = x = 4 min x
Câu 118. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL lần 1 – Phòng GD huyện Thanh Trì – 2019-2020) 1 x + 9 1 x + 3
Cho hai biểu thức: A = + − và B =
với x 0 ; x 9 . x + 3 x − 9 x − 3 x − 3
1. Tính giá trị của B khi x = 16 . 1
2. Chứng minh rằng: A = . x − 3 A 2 3. Tìm x để: = . B 7 Lời giải
1. Ta có x = 16 thỏa mãn x 0; x 9 . 16 + 3 4 + 3
Thay x = 16 vào biểu thức B ta được: B = = = 7 . 16 − 3 4 − 3
2. Với x 0; x 9 thì biểu thức A được xác định. x − 3 +
x + 9 − ( x + 3) 1 x + 9 1 Biển đổi: A = + − = x + 3 x − 9 x − 3 ( x +3)( x −3) x + 3 = 1 = .
( x +3)( x −3) x −3 1 Vậy A =
với x 0; x 9 . x − 3 A 2 x + 1 2 3. Ta có = 1 3 2 : = = B 7 x − 3 x − 3 7 x + 3 7
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 114
2 x + 6 = 7 2 x = 1 1 x = 1
x = (tmđk). 2 4
Câu 119. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(KSCL học kì 2 – THCS Thanh Xuân Nam – 2019-2020) x + 2 x +1 1
Cho các biểu thức: A = + và B =
với x 0 ; x 1 x x −1 x + x +1 x −1
1)Tính giá trị của B khi x = 49
2)Rút gọn biểu thức S = A − B 1 3)So sánh S với 3 Lời giải 1 1 1
1)Khi x = 49 thỏa mãn ĐKXĐ nên thay vào B ta có B = = = 49 −1 7 −1 6 x + 2 x +1 1
2) S = A − B = + −
với x 0 ; x 1 x x −1 x + x +1 x −1 x + 2 x +1 1 S = ( x − ) + − 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 x −1
x + 2 + ( x − ) 1 ( x + )
1 − ( x + x + ) 1 S =
( x − )1(x+ x + )1
x + 2 + x −1− x − x −1 x − = x S ( x ) = −1 (x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x ( x − ) 1 = x S ( x − ) = 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 1 3) So sánh S với 3 x x x x x x ( x − − − − − + − )2 1 1 1 3 1 2 1 Ta có S − = − = = = −
0 với x 0 ; x 1 3 x + x +1 3 3( x + x + ) 1 3(x + x + ) 1 3(x + x + ) 1 1 Nên S 3
Câu 120. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
( Thi thử vào 10 – THCS Thanh Xuân Nam – 2020-2021) 1 x 1
Cho các biểu thức: A = + và B = với x 0 x x +1 x +1
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức P = A : B .
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 115 Lời giải 1 1 1
a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B , ta có: B = = = 25 +1 5 +1 6 1
Vậy giá trị của biểu thức B là khi x = 25 . 6 1 x 1 x +1+ x x +1 x + x +1
b) P = A : B = + : = . = x x +1 x +1 x ( x + ) 1 1 x x + x + c) Với x 1 1 0 ta có : P = = x + +1 x x 1
Áp dụng bdt cô – si cho hai số dương x và ta có: x 1 P = x + +1 2 +1 P 3 x Đẳ 1
ng thức xảy ra khi x =
x =1 (thỏa mãn điều kiện) x
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi x = 1 .
Câu 121. (Thầy Nguyễn Chí Thành)
(HK2 – Phòng GD Quận Thanh Xuân – 2019-2020) +1 x 1 1 Cho hai biểu thức: = x A và B = + +
(x 0; x 4) x x − 4 x − 2 x + 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức B . −1
c) Tìm tất cả giá trị của x để . = x A B . 2 Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 . 16 +1 5
Khi x = 16 (t / m) A = = 16 4
b) Rút gọn biểu thức B . x 1 1 B = + + x − 4 x − 2 x + 2 x ( x +2) ( x −2) B = + +
( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) ( x +2)( x −2) x + x + 2 + x − 2 B = ( x +2)( x −2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 116 x + 2 = x B ( x +2)( x −2) = x B . x − 2 −1
c) Tìm tất cả giá trị của x để . = x A B . 2 −1 x +1 x x −1 x +1 x −1 Ta có . = x A B . = = 2 x x − 2 2 x − 2 2 −x + 5 x = x = 0(ktm) x = 0
0 x (5− x ) = 0 2 ( x − 2) 5− x = 0 x = 25(t ) m
Vậy x = 25 là giá trị cần tìm.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 117
Câu 122. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Kim Chung 2014 – 2015) x 3x + 9 2 x 3 Cho biểu thức P = + +
với x 0, x 9 và Q =
với x 0, x 1 x + 3 9 − x x − 3 x −1 a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 4 + 2 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q : P nhận giá trị nguyên dương. Hướng dẫn a) Ta có: x 3x + 9 2 x P = − + x + 3
( x −3)( x +3) x −3
x ( x − 3) − 3x − 9 + 2 x ( x + 3) P = ( x − 3)( x + 3)
x − 3 x − 3x − 9 + 2x + 6 x P = ( x − 3)( x + 3) 3( x − 3) 3 3 P = ( = . Vậy P =
với x 0, x 9 . x − 3)( x + 3) x + 3 x + 3 b) Ta có:
x = 4 + 2 3 ( thỏa mãn điều kiện) x = ( + )2 3 1
x = 3 +1 . Thay vào Q ta được: 3 Q =
= 3 . Vậy x = 4 + 2 3 thì Q = 3 3 +1−1 c) Ta có: 3 3 x + 3 4 Q : P = : = =1+ x −1 x + 3 x −1 x −1
Để Q : P là số nguyên thì x −1Ư (4) . Ta có bảng: x −1 −4 −2 1 − 1 2 4 x Loại Loại 0 4 9 (loại) 25 Q 3 − 5 2 P
Dựa vào bảng giá trị trên, để Q : P là số nguyên dương thì x 4; 2 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 118
Câu 123. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2017 – 2018) 7
a) Tính giá trị các biểu thức sau: A =
− 147 − 2 18 và B = 9 − 4 5 − 5 3 − 2 x − x x −1
b) Rút gọn biểu thức: C = −
(Với x 0 ; x 1 ) x 1− x
c) Tìm x để: 3B + C 0 Hướng dẫn a) Ta có: 7 ( 3 + 2 7 ) A = − 147 − 2 18 = − ( − )( + ) 2 2 − 7 .3 − 2. 3 .2 3 2 3 2 3 2
= 7 3 + 7 2 − 7 3 − 6 2 = 2 Và B = − − = ( − )2 9 4 5 5 5 2
− 5 = 5 − 2 − 5 = 5 − 2 − 5 = 2 − b) Ta có: x − −
( x − )1 ( x − )1( x + x x x )1 1 C = − = +
= x −1+ x +1 = 2 x , với x 0 ; x 1. x 1− x x x −1 c) Ta có:
3B + C 0 6
− + 2 x 0 x 3 x 9 . 0 x 9
Kết hợp điều kiện suy ra x 1
Câu 124. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2018-2019) x − x x −1
Cho hai biểu thức A = 9 − 4 5 − 5 và B = +
,(x 0, x 1) x x −1
a) Rút gọn biểu thức A và B.
b) Tìm giá trị của x để tổng ba lần biểu thức A với biểu thức B có giá trị bằng 0? Hướng dẫn a) Ta có: A = − − = ( − )2 9 4 5 5 5 2
− 5 = 5 − 2 − 5 = 5 − 2 − 5 = 2 − x − −
( x − )1 ( x − )1( x + x x x )1 1 B = − = +
= x −1+ x +1 = 2 x , với x 0, x 1 x 1− x x x −1 b) Ta có: 3A + B = 0 6
− + 2 x = 0 x = 3 x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Câu 125. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 119 3 x +1 x −1 1 8 x 1 Cho biểu thức A = và B = − +
với x 0; x x + x 3 x −1 3 x +1 9x −1 9
a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 4
b) Rút gọn biểu thức P = . A B 1
c) Tìm x nguyên sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất P Hướng dẫn
a) Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức A ta được: 3 4 +1 3.2 +1 7 7 A = =
= . Vậy A = khi x = 4 . 4 + 4 4 + 2 6 6 b) Ta có: x −1 1 8 x B = − + 3 x −1 3 x +1
(3 x − )1(3 x + )1
( x − )1(3 x + )1−(3 x − )1+8 x B = ( 3 x − ) 1 (3 x + ) 1 3x +
x − 3 x −1− 3 x +1+ 8 x B = ( 3 x − ) 1 (3 x + ) 1 3 x + ( x + x x )1 3 3 B = ( = 3 x − ) 1 (3 x + ) 1
(3 x − )1(3 x + )1 3 x + ( x + x )1 3 1 3 Suy ra P = . A B = = x ( x + ) . 1 (3 x − ) 1 (3 x + ) 1 3 x −1 c) Ta có: 1 3 x −1 1 = = x − P 3 3 Để 1
đạt GTNN thì x nhỏ nhất, mà x 0; x x =1 P 1 2 Vậy min = x =1 P 3
Câu 126. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2017 – 2018) x 3x +1 x + 3 Cho biểu thức A = B = x − . x x ) x − và 1 x + 3 x x − (Với 0; 1 1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = .
A B với x 1 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 120 Hướng dẫn
a) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 9 3 3 3 A = = = x = thì A = . 9 − . Vậy 9 1 3 −1 2 2 b) Ta có: 3x +1 x + 3 B = x − . x + 3 x x − 1
x (x + 3 x ) −3x −1 x + 3 B = x ( x + 3) . x −1
x x + 3x − 3x −1 1 B = . x x −1
( x − )1(x+ x + )1 1 x + x +1 B = . = x x −1 x c) Ta có: x x + x +1 x + x +1 3 M = A B = = = x + + = ( x − ) 3 . . 2 1 + + 3 x − . 1 x x −1 x −1 x −1 Vì x 1
x −1 0 . Áp dụng BĐT Cosi cho hai số ( x − ) 3 1 ; ta có: x −1 ( x − ) 3 + ( x − ) 3 1 2 1 . = 2 3 x −1 x −1
Suy ra M 2 3 + 3 . Dấu bằng xảy ra khi : ( x − )= x − = x = ( + )2 3 1 1 3 3 1 = 4 + 2 3 x −1
Vậy min M = 3 + 2 3 khi x = 4 + 2 3 .
Câu 127. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019) x + 3 x + 2 x − 2 4x Cho biểu thức A = B = − − x x . x − và 2 x − 2 x + với 0; 4 2 4 − x
1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 6 + 2 5 2) Rút gọn biểu thức B B
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức P = nhận giá trị nguyên A Hướng dẫn
1) Ta có: x = 6 + 2 5 = ( 5 + )2
1 ( thỏa mãn điều kiện)
Suy ra x = 5 +1. Thay vào biểu thức A ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 121 5 +1+ 3 5 + 4 9 + 5 5 9 + 5 5 A = = = x = + thì A = . 5 +1− . Vậy 6 2 5 2 5 −1 4 4 2) Ta có: x + 2 x − 2 4x B = − + x − 2 x + 2 ( x −2)( x +2)
( x + )2 −( x − )2 2 2 + 4x B = ( x − 2)( x + 2)
x + 4 x + 4 − x + 4 x − 4 + 4x B = ( x − 2)( x + 2) 4 x ( x + 2) 4 x B = ( = x − 2)( x + 2) x − 2 c) Ta có: B 4 x x + 3 4 x P = = : = A x − 2 x − . 2 x + 3
Vì x 0 P 0 . 4 x 12 Mà P = = 4 −
4 với mọi x 0; x 4 . x + 3 x + 3
Suy ra 0 P 4 , mà P P 0;1;2; 3 . 4 x Với P = 0
= 0 x = 0 ( thỏa mãn) x + 3 4 x Với P = 1
= 1 x =1 ( thỏa mãn) x + 3 4 x Với P = 2
= 2 x = 9 ( thỏa mãn) x + 3 4 x Với P = 3
= 3 x = 81 ( thỏa mãn) x + 3
Vậy x 0;1;9;8
1 thì P nhận giá trị nguyên.
Câu 128. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Chương Mĩ 2017-2018) 2 x x 3x + 3 x +1
Cho các biểu thức: A = + − B = x x ) x + 3 x − và 3 x − 9 x − (Với 0, 9 3
a). Tính giá trị của biểu thức B tại x = 25
b). Rút gọn biểu thức P = A : B
c). Tìm giá trị nhỏ nhất của P Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 122
a) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức B ta được: 25 +1 5 +1 B = = = 3 x = thì B = 3 . 25 − . Vậy 25 3 5 − 3 b) Ta có: 2 x x 3x + 3 A = + − x + 3 x −
3 ( x −3)( x + 3)
2 x ( x − 3) + x ( x + 3) − 3x − 3 A = ( x + 3)( x −3)
2x − 6 x + x + 3 x − 3x − 3 A = ( x − 3)( x + 3) 3 − ( x + ) 1 A = ( x − 3)( x + 3) 3 − ( x + ) 1 x +1 3 −
Suy ra P = A : B = ( =
x − 3)( x + 3) : x − 3 x + 3 3 3 −
Vì x 0, x 9 x + 3 3 1 1
− . Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . x + 3 x + 3 Vậy min P = 1 − x = 0.
Câu 129. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Thanh Trì 2017 – 2018) x + 2 2x + 2 x −1 x +1 Cho biểu thức A = và B = − x x x −1 x x −1 x + x + với 0, 1 1
1. Tính giá trị của A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B. B 1 3. Chứng minh rằng A 3 Hướng dẫn
1. Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 16 + 2 4 + 2 A = =
= 2 . Vậy x =16 thì A = 2 . 16 −1 4 −1 2. Ta có: 2x + 2 x −1 x +1 B = ( − x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x + 1
2x + 2 x −1− ( x − ) 1 ( x + ) 1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 123
2x + 2 x −1− x +1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 + x x + x ( x 2 2 ) B = = ( x − ) 1 (x + x + ) 1 (x − ) 1 (x + x + ) 1 3. Ta có: x B ( x +2) x + 2 x = = A (x − ) 1 ( x + x + ) : 1 x −1 x + x +1 Cách 1: B 1 x 1 x 1 − 0 A 3 x + x +1 3 x + x +1 3 − − − ( x + −x x )2 1 2 1 (
( luôn đúng với mọi x 0, x 1) điều phải chứng minh. x + x + ) 0 (x+ x + ) 0 3 1 3 1 Cách 2: B 1 + Xét x = 0 = 0 . A 3 B 1 Xét x , x 1, suy ra =
( chia cả tử và mẫu cho x ) A 1 x +1+ x Áp dụng BĐT Cosi ta có: 1 1 1 x + 2 . 1 x 3 x + +1 x 1
Dấu bằng xảy ra khi x =
x =1 ( không thỏa mãn) x 1 1 B 1 Suy ra hay 1 3 A 3 x + +1 x
Câu 130. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phan Chu Trinh 2017 – 2018) x − 4
1) Cho biểu thức A =
(với x 0, x 1). Tìm giá trị của x để A = 4 x −1 x −1 x + 2 3
2) Rút gọn biểu thức B = − :
(với x 0, x 4 ). x − 2 x +1 x +1 18
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . A B Hướng dẫn 1) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 124 x − 4 x = A = 4
= 4 x − 4 = 4 x − 4 x ( x − 4) 0 = 0
( thỏa mãn điều kiện) x −1 x =16
Vậy x = 0; x = 16 thì A = 4 . 2) Ta có: x −1 x + 2 3 B = − : x − 2 x +1 x +1
( x − )1( x + )1−( x −2)( x +2) x +1 B = ( x − 2)( x + ) . 1 3 x −1− x + 4 x +1 B = (
x − 2)( x + ) . 1 3 1 B =
, với x 0, x 4 x − 2 3) Ta có: − + x − ( x 2)( x 2 4 1 ) 1 x + 2 . A B = . = . = x −1 x − 2 x −1 x − 2 x −1 18( x − ) 1 18 54 Suy ra = =18 − . A B x + 2 x + 2 54 54 Vì x 0 x + 2 2 18 − 18− = 9 − x + 2 2
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . 18 Vậy min = 9 − x = 0 AB
Câu 131. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 –THCS Hoàng Hoa Thám 2018 – 2019) x − 2 x −1 5 x − 2
Cho các biểu thức A = B = − x x ) x + và 3 x + (với 0; 4 2 4 − x
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức P = . A B .
3. Tìm x để (6x +18).P x + 9 Hướng dẫn
1. Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 16 − 2 4 − 2 2 2 A = = = x = thì A = . 16 + . Vậy 16 3 19 19 19 2. Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 125 x −1 5 x − 2 B = + x + 2 ( x −2)( x +2)
( x − )1( x −2)+5 x −2 B = ( x − 2)( x + 2)
x − 2 x − x + 2 + 5 x − 2 B = ( x − 2)( x + 2) + x x + x ( x 2 2 ) x B = ( = =
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x − 2 x − 2 x x Suy ra P = . A B = . = x + 3 x − 2 x + 3 3. Ta có: ( x
6x +18).P x + 9 (6x +18). x + 9 x + 3 x 6(x + 3).
x + 9 x − 6 x + 9 0 x + 3 ( x − )2 3 0 mà ( x − )2 3
0 với mọi x 0; x 4
Nên x − 3 = 0 x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) . Vậy x = 9
Câu 132. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nam Từ Liêm 2017 – 2018) x − 2 x −1 7 x − 9
Cho hai biểu thức: A = và B = − x x . x x − với 0; 9 3 x − 9
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 . 2. Rút gọn biểu thức B A
3. Cho biểu thức P =
. Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn P = m . B Hướng dẫn
1. Với x = 36 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 36 − 2 6 − 2 2 2 A = =
= . Vậy x = 36 thì A = . 36 6 3 3 2. Ta có: x −1 7 x − 9 B = − x −
3 ( x −3)( x + 3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 126
( x − )1( x +3)−7 x +9 B = ( x − 3)( x + 3)
x + 3 x − x − 3 − 7 x + 9 B = ( x − 3)( x + 3) x − 5 x + 6 B = ( x − 3)( x + 3)
( x −2)( x −3) x −2 B = ( = x − 3)( x + 3) x + 3 3. Ta có: A x − 2 x − 2 x + 3 P = = : = B x x + 3 x + Để x 3 P = m
= m x + 3 = m x x (m − ) 1 = 3 (*) x
Xét m = 1 x.0 = 3 (*) vô nghiệm. 3
Xét m 1 x = . m −1 3 0 − m 1 Để m 1
phương trình (*) có nghiệm thì x 0; x 9 3 m 2 3 m −1 m 1 Vậy
thì phương trình P = m có nghiệm m 2
Câu 133. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Bắc Từ Liêm 2017 – 2018) x + x +1 x + 2 x +1 1
Cho hai biểu thức A = B = + − x x . x − và 1 x x −1 x + x +1 x − với 0; 1 1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b) Rút gọn biểu thức B. c) Tìm giá trị m để .
A B = m có nghiệm. Hướng dẫn
a) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 9 + 9 +1 9 + 3 +1 13 13 A = = = x = thì A = . 9 − . Vậy 9 1 3 −1 2 2 b) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 127 x + 2 x +1 1 B = ( + − x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 x − 1 x + 2 + ( x + ) 1 ( x − )
1 − x − x −1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1
x + 2 + x −1− x − x −1 B = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 x ( x − ) 1 x B = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 c) Ta có: x + x +1 x x . A B = m . = m = m x − 1 x + x +1 x −1 x = . m x − m x (m − ) 1 = m ( ) 1
+ Với m = 1 thay vào (1) suy ra x.0 = 1 phương trình vô nghiệm. m
+ Với m 1 x = . m −1
Vì x 0; x 1 nên để phương trình (1) có nghiệm thì: m 0 − m 0 m 1 m 0 . Vậy thì .
A B = m có nghiệm m m 1 m 1 1 m −1
Câu 134. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phú Đô 2017 - 2018 x + 2 x 1 x −1
Cho 2 biểu thức: A = + + B =
với x 0, x 1 x x −1 x + x +1 1− và x 2 a) Rút gọn biểu thức A A b) Tính P = B 1
c) Với x 1 tìm giá trị nhỏ nhất của A Hướng dẫn a) Ta có: x + 2 x 1 A = ( + − x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x + 1 x −1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 128 x + 2 + x ( x − )
1 − x − x −1 A = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + 2 + x −
x − x − x −1 A = ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 ( x − )2 1 x −1 A = ( =
, với x 0, x 1 x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 b) Ta có: A x −1 x −1 2 P = = : = B x + x +1 2 x + x +1 c) Ta có: 1 x + x +1 3 = = x + + = ( x − ) 3 2 1 + + 3 A x −1 x −1 x −1 Vì x 1
x −1 0 , áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương 3 x −1, ta được: x −1 3 x − + ( x − ) 3 1 2 1 . = 2 3 x −1 x −1 1 Suy ra = ( x − ) 3 1 + + 3 2 3 + 3 A x −1
Dấu bằng xảy ra khi ( x − ) = x − = x = ( + )2 3 1 1 3 3 1 = 4 + 2 3 x −1 1 Vậy min
= 2 3 + 3 khi x = 4 + 2 3 . A
Câu 135. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Dịch Vọng Hậu – 2018 – 2019) x − 2
a) Cho các biểu thức A = x = −
x + . Tính giá trị của A khi 3 2 2 2 1 1 x − 2
b) Rút gọn biểu thức B = + . x x ) x + 2 x − (với 0; 4 2 2
c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức 3 P =
A − B là số nguyên. 2 Hướng dẫn
a) Với x = 3 − 2 2 ( thỏa mãn điều kiện) 2 2 Suy ra x = ( 2 − ) 1 x = ( 2 − ) 1
= 2 −1 , thay vào biểu thức A ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 129 2 −1− 2 2 − 3 A = = = 5 − 4 2 x = − thì A = 5 − 4 2 . 2 −1+ . Vậy 3 2 2 2 2 +1 b) Ta có: 1 1 x − 2 B = + . x + 2 x − 2 2 x −1+ x + 2 x − 2 B = (
x − 2).( x + 2) . 2 2 x x − 2 x B = ( =
x − 2)( x + 2) . 2 x + 2 c) Ta có: 3 3 x − 2 x
3 x − 6 − 2 x x − 6 P = A − B = . − = = 2 2 x + 2 x + 2 2( x + 2) 2 ( x + 2) − Để x 6 P x − x + 2( x + 2) 6 2( 2)
2 x −12 2 x + 4 (2 x +4−16) (2 x +4) 16 (2 x +4)
Mà x 0 2 x + 4 4 2 x + 4 4;8;1 6 x 0;4;3 6 .
Kết hợp điều kiện suy ra x 0;3 6 . Thử lại: 3
x = 0 P = −
x = 0 không thỏa mãn. 2
x = 36 P = 0 x = 36 thỏa mãn.
Vậy x = 36 thì P nhận giá trị nguyên.
Câu 136. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thái Thịnh 2017 – 2018) x + 3 x +3 x −2 1 x −3 Cho A = B = − . x x . x + và 3 x −9 x + 3 x + với 0; 9 1
1) Tính giá trị của A khi x = 16 . 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Cho P =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. B Hướng dẫn
1) Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 16 + 3 19 19 A = = x = thì A = . 16 + . Vậy 16 3 7 7 2) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 130 x + 3 x − 2 1 x − 3 B = − + + ( . x − 3)( x + 3) x 3 x 1
x + 3 x − 2 − x + 3 x − 3 B =
( x − )( x + ) . 3 3 x + 1 x + 2 x +1 x − 3
B = ( x − )( x + ). 3 3 x + 1 ( x + )2 1 x − 3 x +1 B = ( = x x
x − 3)( x + 3) . x + , với 0; 9 1 x + 3 3) Ta có: A x + 3 x +1 x + 3 4 4 P = = : = = x −1+ = x +1+ − 2 B x + 3 x + 3 x +1 x +1 x +1
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 4 x + + ( x + ) 4 1 2 1 . = 4 x +1 x +1 4 Suy ra P = x +1+ − 2 2 . x +1 4
Dấu bằng xảy ra khi x +1 =
x +1= 2 x =1 ( thỏa mãn) . x +1
Vậy min P = 2 khi x =1 .
Câu 137. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2016 – 2017) 7 x + 2 x + 3 x − 3 36
Cho hai biểu thức A = và B = + −
( x 0, x 9) 2 x +1 x − 3 x + 3 x − 9
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 36.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để hiệu A − B có giá trị là số tự nhiên. Hướng dẫn
a) Với x = 36 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 7 36 + 2 7.6 + 2 44 44 A = = =
. Vậy x = 36 thì A = . 2 36 +1 2.6 +1 13 13 b) Ta có: x + 3 x − 3 36 B = + − x − 3 x + 3 ( x −3)( x +3)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 131
( x + )2 +( x − )2 3 3 − 36 B = ( x − 3)( x + 3)
x + 6 x + 9 + x − 6 x + 9 − 36 B = ( x + 3)( x − 3)
2( x − 3)( x + 3) B = ( = x − )( x + ) 2 3 3 c) Ta có: 7 x + 2 3 x 3 3 A − B = − 2 = = − 2 x +1 2 x +1 2 2(2 x + ) 1 3 x A − B = 0 2 x +1 Vì x 0 mà A − B
A − B 0 ;1 . 3 3 3 A − B = − 2 2(2 x + )1 2 3 x
Với A − B = 0
= 0 x = 0 ( thỏa mãn) 2 x +1 3 x
Với A − B = 1
=1 x = 1 ( thỏa mãn) . 2 x +1 Vậy x 0
;1 thì A − B có giá trị là số tự nhiên
Câu 138. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2017-2018) x + 2 x 1 1
Cho các biểu thức A = và B = + + x x . x x − 4 x − 2 x + với 0, 4 2
a) Tính giá trị của A tại x = 6 − 2 5 ; A
b) Rút gọn biểu thức B và tính P = ; B
c) Tìm x thỏa mãn xP 10 x − 29 − x − 25 Hướng dẫn
a) Với x = 6 − 2 5 = ( 5 − )2
1 ( thỏa mãn điều kiện) x = ( 5 − )2 1 = 5 −1 = 5 −1
thay vào biểu thức A ta được: 5 −1+ 2 5 +1 3 + 5 3 + 5 A = = =
. Vậy x = 6 − 2 5 thì A = . 5 −1 5 −1 2 2 b) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 132 x 1 1 B = ( + + x − 2)( x + 2) x − 2 x + 2
x + x + 2 + x − 2 B = ( x − 2)( x + 2) x ( x + 2) x B = ( = x − 2)( x + 2) x − 2 A x + 2 x x − 4 Suy ra P = = : = B x x − 2 x c) Ta có:
xP 10 x − 29 − x − 25 x − 4 . x
10 x −29− x −25 x
x − 4 10 x − 29− x − 25
x −10 x + 25 + x − 25 0 ( x − )2 5 + x − 25 0 ( x − )2 5 0 x − = Vì
với mọi x 0, x 4 , nên ( x − ) ( )2 2 5 0 5
+ x − 25 0 x = 25 ( thỏa x − 25 0 x − 25 = 0 mãn) . Vậy x = 25 .
Câu 139. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Vĩnh Tuy 2015-2016) x +1 x −1 3 x +1 Cho biểu thức A = + −
với x 0, x 1 x −1 x +1 x −1 a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của x để A 1
c) Tìm các giá trị của m để phương trình A = m có nghiệm Hướng dẫn a) Ta có: x +1 x −1 3 x +1 A = + − x −1 x +1
( x − )1( x + )1
( x + )2 +( x − )2 1 1 − 3 x −1 A = ( x + ) 1 ( x − ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 133
x + 2 x +1+ x − 2 x +1− 3 x −1 A = ( x − ) 1 ( x + ) 1 2x − 3 x +1 A = ( x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1(2 x − )1 2 x −1 A = ( = x − ) 1 ( x + ) 1 x +1 b) Ta có: 2 x −1 x − 2 A 1 −1 0
0 x 2 ( vì x 0 x +1 0 ). x +1 x +1 0 x 4
Suy ra x 4 . Kết hợp điều kiện suy ra . x 1 c) Ta có: 2 x −1 A = m
= m 2 x −1 = m x + m x (2 − m) = m +1 (*) x +1
+ Xét m = 2 thay vào (*) x.0 = 3 (*) vô nghiệm. m +1
+ Xét m 2 x = . 2 − m m +1 0 1 − m 2 2− m
Vì x 0, x 1 nên để phương trình có nghiệm thì 1 m +1 m 1 2 2 − m 1 − m 2 Vậy 1
thì phương trình A = m có nghiệm. m 2
Câu 140. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Nhị 2017 – 2018) 1 1 x +1 Cho A = − B =
− x với x 0; x 1 x −1 x + và 1 2
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4 .
b) Rút gọn biểu thức P = A . B
c) Tìm m để phương trình ( x +1)P = m − x có nghiệm x. Hướng dẫn a) Ta có: 1 1 x +1− x +1 2 A = − = = x −1 x + 1 ( x − ) 1 ( x + ) 1 x −1
Với x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 134 2 2 2 A = = x = thì A = . 4 − . Vậy 4 1 3 3 b) Ta có: x +1 x − 2 +1 ( x − x )2 1 B = − x = = 2 2 2 ( x − )2 1 2 x −1
Suy ra P = A . B = ( =
, với x 0; x 1 x − ) 1 ( x + ) . 1 2 x +1 c) Ta có: x −1
( x +1)P = m − x ( x +1).
= m − x x + x −1= m x +1
x + x −1 1 −
Vì x 0; x 1 nên
x + x −11 m 1 −
Do đó, để x + x −1 = m có nghiệm thì . m 1
Câu 141. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Minh Khai 2017 – 2018) 2 1 x − 2
a. Rút gọn biểu thức P = − : x x ) x + 3 x x + (với 0; 4 3 x x +1
b) Tính giá trị biểu thức Q = x = . x − tại 9 2 P
c) Tìm số hữu tỉ x để M = nhận giá trị nguyên. Q Hướng dẫn a) Ta có: 2 x − x − x − 2 x x − ( x +3 3 3 ) x −3 P = = =
, với x 0; x 4 .
x ( x +3) : x ( x + ) x ( x + ) . 3 3 x − 2 x − 2
b) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức Q ta được: 9 +1 3 +1 Q = = = 4
x = thì Q = 4 . 9 − . Vậy 9 2 3 − 2 c) Ta có: P x − 3 x +1 x − 3 M = = : = Q x − 2 x − 2 x +1 x − 3 4 M = = 1−
1 với mọi x 0 x +1 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 135 x − 3 4 x Mặt khác M + 3 = + 3 =
0 với mọi x 0 nên M 3 − x +1 x +1 Suy ra 3 − M 1. mà M M 2 − ; 1 − ; 0 . x − 3 1 1 Với M = 2 − = 2
− x = x = (tmđk). x +1 3 9 x − 3 Với M = 1 − = 1
− x =1 x =1 (tmđk). x +1 x − 3 Với M = 0
= 0 x = 3 x = 9 (tmđk). x +1 1 P
Vậy x ;1;9 thì M = nhận giá trị nguyên. 9 Q Chú ý:
Các em có thể chỉ ra 3
− M 1 bằng cách sau: x − 3 M =
M. x + M = x − 3 x (1− M ) = M + 3 (*) x +1
Xét M = 1 phương trình (*) vô nghiệm. M + 3
Xét M 1 x = . 1− M M + 3 0 3 − M 1 1− M
Vì x 0; x 4 1 M + 3 M − 2 3 1− M
Câu 142. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Ngô Sĩ Liên 2017 – 2018) 5 x + 9 x + 2 x
Cho hai biểu thức: A = B = − x x x − và 1 x + x − 2 x + với 0; 1 2 1
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 A 5 x + 9 2. Chứng minh rằng: = B x + 1 A
3. Với điều kiện x 0, x 1 , tìm tất cả các giá trị m để phương trình
= m có nghiệm x B Hướng dẫn 1 1. Thay x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được: 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 136 1 5 5 + 9 + 9 9 3 1 A = = = 12
− . Vậy x = thì A = 12 − . 1 8 −1 − 9 9 9 2. Ta có: x + 2 x B = ( − x − ) 1 ( x + 2) x + 2
x + 2 − x ( x − ) 1 B = ( x − ) 1 ( x + 2) x + 2 − x + x 1 B = ( = x − ) 1 ( x + 2) x −1 A 5 x + 9 1 5 x + 9 1 5 x + 9 Suy ra = : = = B x −1 x −
( x − )1( x + ) : 1 1 x −1 x +
( điều phải chứng minh) 1 3. Ta có: A 5 x + 9 = m
= m 5 x + 9 = m( x + )
1 x (5 − m) = m − 9 ( ) 1 B x + 1
Xét m = 5 thay vào ( ) * x.0 = 4
− phương trình vô nghiệm. m − 9 Xét m 5 x = 5− . m A Để phương trình
= m có nghiệm thì x 0, x 1. B m − 9 0 − 5 m 9 5 m Suy ra . Vậy: …………… m − 9 m 7 1 5 − m
Câu 143. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Quan – Hoàn Kiếm 2017 – 2018) 7 a − 2 a + 3 a − 3 36
Cho hai biểu thức: M = P = − − a a . 2 a + và 1 a − 3 a + , với 0; 9 3 a − 9
a) Tính giá trị của M với a = 4 .
b) Rút gọn biểu thức P và tìm các giá trị của a để M = P .
c) Tìm các giá trị của a để M nhận giá trị là số nguyên dương. Hướng dẫn
a) Thay a = 4 ( thỏa mãn điều kiện ) vào biểu thức A, ta được: 7 4 − 2 7.2 − 2 12 12 M = = = a = thì M = . 2 4 + . Vậy 4 1 2.2 +1 5 5
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 137 b) Ta có: a + 3 a − 3 36 P = − − a − 3 a + 3 ( a −3)( a +3)
( a + )2 −( a − )2 3 3 − 36 P = ( a − 3)( a + 3)
a + 6 a + 9 − a + 6 a − 9 − 36 P = ( a − 3)( a + 3) 12( a − 3) 12 P = ( =
, với a 0; a 9 . a − 3)( a + 3) a + 3 − Để 7 a 2 12 M = P =
(7 a − 2)( a +3) =12(2 a + ) 1 2 a + 1 a + 3
7a + 21 a − 2 a − 6 − 24 a −12 = 0
7a −5 a −18 = 0 ( a −2)(7 a +9) = 0
Vì a 0; a 9
Nên ( a − 2)(7 a +9) = 0 a − 2 = 0 a = 4 ( thỏa mãn điều kiện) .
Vậy a = 4 thì M = P . c) Ta có: 7 a − 2 7 11 7 Ta có: M = = − a a . 2 a + với mọi 0; 9 1 2 2 (2 a + ) 1 2 7 a − 2 11 a Mặt khác M + 2 = + 2 = 0 a a . 2 a + với mọi 0; 9 1 2 a +1 7 Nên M 2 − 2 − M . 2
mà M nhận giá trị là số nguyên dương nên M 1; 2; 3 . 7 a − 2 3 9 + Với M = 1
= 1 a = a = 2 a +
( thỏa mãn điều kiện) 1 5 25 7 a − 2 4 16 + Với M = 2
= 2 a = a = 2 a +
( thỏa mãn điều kiện) 1 3 9 7 a − 2 + Với M = 3
= 3 a = 5 a = 25 2 a +
( thỏa mãn điều kiện) 1 9 16 Vậy a ;
; 25 thì M nhận giá trị là số nguyên dương. 25 9
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 138 7
Chú ý: Để chỉ ra 2
− M các em có thể làm như sau: 2 7 a − 2 M =
7 a − 2 = 2M a + M a (7 − 2M ) = M + 2 2 a + . 1 M + 2
Vì M nguyên dương nên 7 − 2M 0 a = 7− (*) 2M M + 2 7 0 2 − M 7 − 2M 2
Vì a 0; a 9 nên phương trình (*) có nghiệm khi : M + 2 19 3 M 7 − 2M 7
Câu 144. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Vương 2017 – 2018) x +1 1 1
Cho hai biểu thức A = ( và B = + x x . x − )2 1 x − x x − với 0; 1 1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 . B
2) Rút gọn biểu thức P = . A 3) Tìm x thỏa mãn 2
81x –18x = P – 9 x + 4 . Hướng dẫn
1) Với x = 25 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 25 +1 5 +1 6 3 3 A = = = = x = thì A = . ( 25 − . Vậy 25 1) (5− )2 2 1 16 8 8 2) Ta có: 1 1 1+ x B = + = x ( x − ) 1 x − 1 x ( x − ) 1 − B 1+ + 1+ ( x x x x )2 1 1 x −1 Suy ra P = = = = A x ( x − ) : 1 ( x − ) . 2 x ( x − ) 1 x +1 1 x 3) Ta có: x −1 2 2
81x –18x = P – 9 x + 4 81x –18x = – 9 x + 4 x 1
81x –18x +1 =1−
− 9 x + 5 (9x − )2 1 2 1 = 6 − + 9 x (*) x x Ta có: ( x − )2 9 1
0 với mọi x 0; x 1. Áp dụng BĐT Cosi ta có: 1 1 1 + 9 x 2 .9 x = 6 6 − + 9 x 0 x x x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 139 1 1 Dấu bằng xảy ra khi = 9 x x = . x 9 ( 9x − )2 1 = 0 2 1 1 Suy ra (9x − ) 1 = 6 − + 9 x = 1 x
( thỏa mãn điều kiện) . x 6 − + 9 x = 0 9 x 1 Vậy x = thì 2
81x –18x = P – 9 x + 4 9
Câu 145. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hoàng Mai 2017 – 2018) x + x + 4 3x − 4 x + 2 x −1
Cho hai biểu thức: A = B = − + x x . x − và 2 x − 2 x x 2 − với 0; 4 x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 . x +1 2) Chứng minh B = x − 2 A
3) Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. B Hướng dẫn
1) Với x = 9 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta được: 9 + 9 + 4 9 + 3 + 4 A = = = 16
x = thì A = 16 . 9 − . Vậy 9 2 3 − 2 2) Ta có: 3x − 4 x + 2 x −1 B = − − x ( x − 2) x x − 2
3x − 4 − ( x − 2)( x + 2) − x ( x − ) 1 = x ( x − 2) +
x − − x + − x + x x + ( x x x )1 3 4 4 x +1 = = = =
( điều phải chứng minh) x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x − 2 3) Ta có: A x + x + 4 x +1 x + x + 4 4 4 = : = = x + = x +1+ −1 B x − 2 x − 2 x +1 x +1 x +1 Áp dụng BĐT Cosi ta có: 4 x + + ( x + ) 4 1 2 1 . = 4 x +1 x +1 A 4 Suy ra = x +1+ −1 4 −1 = 3 B x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 140 4
Dấu bằng xảy ra khi x +1 =
x +1= 2 x =1 ( thỏa mãn điều kiện) x +1 A Vậy min = 4 khi x =1. B
Câu 146. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Hoàng Mai 2017 – 2018) 2 x + 3 1 2 x +1
Cho hai biểu thức A = B = − x x x + x + và 1 x −1 x x − với 0; 1 1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 x
2) Chứng minh B = x+ x + 1 4B
3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P =
có giá trị là số nguyên dương. A Hướng dẫn
1) Thay x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) , vào biểu thức A ta được: 2 4 + 3 2.2 + 3 A = = = 1
x = thì A = 1 . 4 + 4 + . Vậy 4 1 4 + 2 +1 2) Ta có: 1 2 x +1 B = − x − 1 ( x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1− 2 x −1 x − x = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x ( x − ) 1 x = ( =
, với x 0; x 1 ( điều phải chứng minh) x − ) 1 ( x + x + ) 1 x + x +1 3) Ta có: 4B x 2 x + 3 4 x P = = 4. : = A x +
x +1 x + x + 1 2 x + 3 4 x
Vì x 0; x 1 0 2 x + 3 4 x 6 − Xét P − 2 = − 2 =
0 với mọi x 0; x 1. 2 x + 3 2 x + 3 Suy ra 0 P 2 .
Mà P có giá trị là số nguyên dương nên P = 1 . 4 x 3 9 Với P = 1
=1 x = x = ( thỏa mãn điều kiện) . 2 x + 3 2 4 Cách khác:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 141 4 x Suy ra P = .
P (2 x + 3) = 4 x 2P x + 3P = 4 x x (4 − 2P) = 3P (*) 2 x + 3
Xét P = 2 thay vào ( ) *
x.0 = 6 phương trình vô nghiệm. 3P Xét P 2 x =
, phương trình (*) có nghiệm x 0; x 1 khi: 4 − 2P
3P 0 0 P 2 4− 2P 4 . 3P P 1 5 4 − 2P
Câu 147. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Gia Thụy 2014 – 2015) x 1 1 2
Cho biểu thức A = − : + x −1 x − x
x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A 0 Hướng dẫn
a) Điều kiện: x 0; x 1. Ta có: x 1 1 2 A = − + x − x ( x − ) : 1 1 x +1 ( x − )1( x + )1 x −1 x −1+ 2 A = x ( x − ) : 1
( x − )1( x + )1
( x − )1( x + )1 x +1 x +1 A = = x ( x − ) . 1
( x − )1( x + )1 x( x − )1 x +1 b) Ta có: A 0 . x ( x − ) 0 1 x +1
Vì x 0; x 1 x 0 nên − . x ( x − ) 0 x 1 0 x 1 1
Kết hợp điều kiện suy ra 0 x 1. Vậy 0 x 1 thì A 0
Câu 148. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Long Biên 2015 – 2016) x
1) Tính giá trị của biểu thức P = với x = 225 x − 2 1 x x +1
2) Cho biểu thức B = + :
với x 0; x 4 x − 2 x − 4 x − 2 x a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để B = x −1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 142 Hướng dẫn
1) Điều kiện: x 0, x 4 .
Thay x = 225 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 225 15 15 P = =
. Vậy x = 225 thì A = . 225 − 2 13 13 2a) Rút gọn B: 1 x x +1 B = + x −
( x − )( x + ) : 2 2 2 x ( x −2) x − + − x + + x ( x 2) 2( x )1 x ( x 2 2 ) 2 x = ( = =
, với x 0; x 4 .
x − 2)( x + 2) . x +
( x −2)( x +2). 1 x +1 x + 2 2b) Ta có: 2 x B = x −1
= x −1 2 x = ( x + 2)( x − ) 1 x + 2
x − x + 2 x − 2 − 2 x = 0 x − x − 2 = 0 ( x −2)( x + ) 1 = 0 Vì x 0
x +1 0 nên ( x − 2)( x + ) 1 = 0
x − 2 = 0 x = 4 ( loại)
Vậy không tồn tại giá trị của x để B = x −1
Câu 149. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Ngọc Lâm 2017 – 2018) x + 2 x − 2 x +1
Cho hai biểu thức A = − B =
với x 0; x 1 x + 2 x + và 1 x −1 x
a) Tính giá trị của biểu thức B với x = 16 .
b) Rút gọn biểu thức P = . A B .
c) Tìm x để P +1 P +1 . Hướng dẫn
a) Thay x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được: 16 +1 4 +1 5 5 B = =
= . Vậy x =16 thì A = . 16 4 4 4 b) Ta có: + 2 − 2
( x +2)( x − )1−( x −2)( x x x + ) 1 A = ( − = x + )2 ( x − ) 1 ( x + ) 1 1 ( x + )2 1 ( x − ) 1 x +
x − 2 − x + x + 2 2 x = ( = x + )2 1 ( x − ) 1 ( x + )2 1 ( x − ) 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 143 2 x x +1 2 2 Suy ra P = . A B = ( = = x + ) . 2 − + − − 1 ( x ) x ( x )1 1 ( x )1 x 1 2 Vậy P = x x . x − , với 0; 1 1 2 x +1
c) Để P +1 P +1 P +1 0 +1 0 0 x −1 x −1 x +1
Vì x 0 x +1 0 nên
0 x −1 0 x 1 x − . 1
Kết hợp điều kiện suy ra 0 x 1.
Câu 150. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Tây Hồ 2017) x + 2 x + 3 x 1
Cho hai biểu thức A = B = + x x ) x − và 5 x − 25 x + (Với 0, 25 5 25
a) Tính giá trị của A khi x = 16 B
b) Rút gọn biểu thức: M = A
c) Tìm các giá trị của x để M ( x + 2) 3x +1 Hướng dẫn 25 a) Thay x =
( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 16 25 5 13 + 2 + 2 16 13 4 4 25 13 A = = = = − . Vậy với x = thì A = − . 5 15 25 15 − − 16 15 5 5 − 4 4 16 b) Ta có: x + 3 x 1 B = ( + x − 5)( x + 5) x + 5 − + x + x + x − x + x − ( x )1( x 5 3 5 4 5 ) x −1 = ( = = =
x − 5)( x + 5) ( x −5)( x + 5) ( x −5)( x + 5) x − 5 B x −1 x + 2 x −1 Suy ra M = = : = A x − 5 x − . 5 x + 2 x −1 Vậy M =
, với x 0, x 25 . x + 2 c) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 144 ( x − M x + 2) 1 3x +1
.( x + 2) 3x +1 x + 2 2 1 7
3x − x + 2 0 x − + 2x + 0 (*) 2 4 2 1 7 Vì x 0 x − + 2x + 0
. Suy ra bất phương trình (*) vô nghiệm. 2 4
Vậy không tồn tại giá trị của x để M ( x + 2) 3x +1
Câu 151. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Achimedes Academy 2017 – 2018) x + 7 x
2 x −1 2x − x − 3
Cho hai biểu thức A = và B = + − x x ) x x + 3 x − , (với 0; 9 3 x − 9
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B. 1
3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A + . B Hướng dẫn
1. Thay x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 16 + 7 23 23 A = =
. Vậy x = 16 thì A = . 16 4 4 2. Ta có: x 2 x −1 2x − x − 3 B = + − x + 3 x − 3 ( x −3)( x +3)
x ( x −3) + (2 x − )
1 ( x + 3) − 2x + x + 3 = ( x − 3)( x + 3)
x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3 = ( x − 3)( x + 3) + x x + x ( x 3 3 ) x = ( = =
x − 3)( x + 3) ( x −3)( x + 3) x − 3 3. Ta có: 1 x + 7 x − 3 x + x + 4 4 P = A + = + = = x + +1 B x x x x 4
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương x , ta có: x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 145 4 4 4 x + 2 x.
= 4 suy ra P = x + +1 5 . x x x 4
Dấu bằng xảy ra khi x =
x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) . x
Vậy min P = 5 khi x = 4 .
Câu 152. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 THCS Achimedes Academy 2017 – 2018) x + 2 x 3 x + 2
Cho hai biểu thức A = B = − x x ) x − và 2 x − (với 0; 4 2 x − 4
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
2. Rút gọn biểu thức B. 3. So sánh .
A B và 1 với điều kiện . A B có nghĩa. Hướng dẫn
1. Thay x = 25 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 25 + 2 5 + 2 7 7 A = = = x = thì A = . 25 − . Vậy 25 2 5 − 2 3 3 2. Ta có: x 3 x + 2
x ( x + 2) −3 x − 2 B = − = x − 2
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) + − x + x − x − ( x )1( x 2 2 3 2 ) x +1 = ( = =
, với x 0; x 4
x + 2)( x − 2) ( x − 2)( x + 2) x + 2 3. Ta có: x + 2 x +1 x +1 . A B = . = x − . 2 x + 2 x − 2 Biểu thức .
A B có nghĩa khi x − 2 0 x 4 . x +1 Với x 4 x +1 x − 2 1 . A B 1 . A B 1. x − 2 Vậy .
A B 1 , với x 4 .
Câu 153. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018) x − x x + 3 1
Cho các biểu thức A = và B = +
với x 0, x 1, x 4 2 − x x x −1 1− x
a) Tính giá trị biểu thức A khi x − 5 = 4
b) Rút gọn biểu thức M = . A B .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 146 1 c) So sánh M với . 3 Hướng dẫn x − 5 = 4 x = 9(tm)
a) Ta có: x − 5 = 4 x − 5 = 4 − x =1 (L)
Với x = 9 thay vào biểu thức A ta được: 9 − 9 9 − 3 A = = = 6
− . Vậy x = 9 thì A = 6 − . 2 − 9 2 − 3 b) Ta có: x + 3 1
x + 3 − x − x −1 2 − x B = ( − = = x − ) 1 (x + x + ) 1 x −1
( x − )1(x+ x + )1 ( x − )1(x+ x + )1 x − − ( x − x x x )1 2 2 − x x Suy ra M = . A B = . = =
− x ( x − )1(x + x + ) . 2 1 2 − x
( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1 − − − − ( x − x x x x )2 1 1 1 3 1 c) Xét M − = − = = 3 x + x +1 3 3( x + x + ) 1 3( x + x + ) 1 −( x − )2 1 1 1 1
Vì x 0, x 1 M − =
M . Vậy M 3( x + x + ) 0 3 1 3 3
Câu 154. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018) x − 2 5 x x −1 5x + 2
Cho hai biểu thức A = và B = + +
với điều kiện x 0, x 4 x x − 2 x + 2 4 − x a) Tính giá trị A biết 2 9x = 4x b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị x để biểu thức P = .
A B có giá trị nguyên. Hướng dẫn x = 0(L) a) Ta có: 2
9x = 4x x (9x − 4) = 0 4 . x = (tm) 9 4 Với x =
thay vào biểu thức A ta được: 9 4 2 4 − 2 − 2 − 9 3 3 4 A = = = = 2
− . Vậy x = thì A = 2 − . 2 2 4 9 3 3 9 b) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 147 5 x + + − − − − x x − x +
( x 2) ( x )1( x 2) 5x 2 5 1 5 2 B = + − = x − 2 x + 2 ( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2)
5x +10 x + x − 3 x + 2 − 5x − 2 x + 7 x = ( =
, với x 0, x 4 . x − 2)( x + 2) ( x −2)( x +2) c) Ta có: x − 2 x + 7 x x + 7 5 P = . A B = . = = + x ( x −2)( x +2) 1 x + 2 x + 2 5
Vì x 0, x 4 nên P = 1+ 1 x + 2 7 x + 7 7 5 − x Mặt khác P − = − =
0 với mọi x 0, x 4. 2 x + 2 2 x + 2 7 Suy ra 1 P . 2 Mà P P 2; 3 . x + 7 + Với P = 2
= 2 x = 3 x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) x + 2 x + 7 1 1 + Với P = 3
= 3 x = x = ( thỏa mãn điều kiện) x + 2 4 4 1
Vậy x ;9 thì P = .
A B có giá trị nguyên. 4 7
Cách khác chỉ ra 1 P 2
P( x +2) = x +7 x (P− ) 1 = 7 − 2P (*)
+ Xét P = 1 thay vào (*) suy ra x.0 = 5 phương trình (*) vô nghiệm 7 − 2P + Xét P 1 x =
, để phương trình (*) có nghiệm thì x 0, x 4 P −1 7 − 2P 7 0 1 P P −1 2 Suy ra . 7 − 2P 9 2 P P −1 4
Câu 155. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018) x 2 3 12 − x
Cho biểu thức A = + + : x − 3 + x − 9 x + 3 3 − x x + 3
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A và rút gọn A
b) Tìm x để A 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 148 2 − x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = A Hướng dẫn x −9 0 x 9
a) Biểu thức có nghĩa khi x 0 . x 0 3 − x 0 Ta có:
( x −3)( x +3)+12− 2 3 x x A = ( + − x − 3)( x + 3) : x + 3 x − 3 x + 3
x + 2( x − 3) − 3( x + 3) x − 9 +12 − x = ( x − 3)( x + 3) : x + 3
x + 2 x − 6 − 3 x − 9 3 1 − 5 x + 3 5 − = x 9 ( = = , với . x − 3)( x + 3) : x + 3
( x −3)( x +3). 3 x − 3 x 0 b) Ta có: 5 − 5 2 x −1 A 2 2 + 2 0 0 x − 3 x − 3 x − 3 1 2 x −1 0 x TH1: 4 x 9 x −3 0 x 9 1 2 x −1 0 x 1 1 TH2: 4 x
, kết hợp điều kiện suy ra 0 x . − 4 x 3 0 4 x 9 1
Vậy x 9 hoặc 0 x thì A 2 . 4 c) Ta có: 2 5 1 x − − 2 − x − − + B = = ( − x) 5 x 5 x 6 2 4 2 : = = A x − 3 5 5 2 5 1 − − 2 x 5 2 4 1 Vì x − 0
với mọi x 0 − . 2 5 20 2 5 25 Dấu bằng xảy ra khi x − = 0 x =
( thỏa mãn điều kiện) 2 4 1 25 Vậy min B = − khi x = . 20 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 149
Câu 156. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) 2 − 5 x x 2 x 3x + 9 x − 2 Cho biểu thức A = và B = + − . +1
với x 0, x 9 x +1 x + 3 x − 3 x − 9 3
1) Tính giá trị của A khi x = 19 + 8 3 + 19 − 8 3 2) Rút gọn B 3) Gọi M = . A .
B So sánh M và M Hướng dẫn 1) Ta có: x = + + − = ( + )2 + ( − )2 19 8 3 19 8 3 4 3 4 3
= 4 + 3 + 4 − 3 = 4 + 3 + 4 − 3 = 8 ( thỏa mãn điều kiện) .
Thay x = 8 vào biểu thức A ta được: 2 − 5 8 A =
= −6 + 2 2 . Vậy x = 8 thì A = 6 − + 2 2 8 +1 2) Ta có: x 2 x 3x + 9 x − 2 + 3 B = + − x + 3 x − 3
( x −3)( x +3) . 3
x ( x − 3) + 2 x ( x + 3) − 3x − 9 x +1 = ( x − 3)( x + 3) . 3
x − 3 x + 2x + 6 x − 3x − 9 x +1 = ( x − 3)( x + 3) . 3 3( x − 3) x +1 x +1 = ( =
, với x 0, x 9 .
x − 3)( x + 3) . 3 x + 3 3) Ta có: 2 − 5 x x +1 2 − 5 x M = . A B = . = . x +1 x + 3 x + 3 2 −5 x 0 4
Biểu thức M xác định khi 0 x .
x 0, x 9 25
2 − 5 x 2 − 5 x 2 −5 x 1 − − 6 x Xét 2
M − M = M (M − ) 1 = −1 = . x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 1 − − 6 x 2 − 5 x 4 Vì 0 và
0 với mọi 0 x x + 3 x + 3 25 Nên 2 2
M − M 0 M M M M .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 150
Câu 157. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) x − 2 x +1 x − 4 x − 9 x + 5
Cho các biểu thức P = + + ; Q =
với x 0, x 9 x − 3 x + 3 9 − x 3 − x 1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm x sao cho P = 3 1
3) Đặt M = P : .
Q Tìm giá trị của x để M . 2 Hướng dẫn 1) Ta có: x − 2 x +1 x − 4 x − 9 P = + − x − 3 x + 3 ( x −3)( x +3)
( x −2)( x +3)+( x + )1( x −3)−x+4 x +9 = ( x − 3)( x + 3) x +
x − 6 + x − 2 x − 3 − x + 4 x + 9 = ( x − 3)( x + 3) x + x + x ( x 3 3 ) x = x ( = = . Vậy P =
với x 0, x 9
x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) x − 3 x − 3 2) Ta có: x 9 81 P = 3
= 3 x = 3 x − 9 x = x =
( thỏa mãn điều kiện) x − 3 2 4 81 Vậy x = thì P = 3 . 4 3) Ta có: x x + 5 − x
M = P : Q = : = x − 3 3 − x x + 5 − x x
Vì x 0, x 9 M =
0 M = −M =
( vì x + 5 0 với mọi x 0, x 9 ) x + 5 x + 5 0 x 25
Suy ra x 25 . Kết hợp điều kiện suy ra . Vậy: …… x 9 − Khi đó 1 x 1 x 5 M x − x + 5 2 ( x + 5) 0 5 0 2 2
Câu 158. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) 3 x − 6 1 x − 3 x − 2
Cho các biểu thức A = − + B = x x x − 2 x 2 − và x x x + với 0; 4 1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 151
a) Tính giá trị của B khi x = 4( 9+ 4 5 − 9−4 5 )
b) Rút gọn biểu thức A. 2
c) Tìm các số nguyên x để AB 3 Hướng dẫn a) Ta có:
x = 4( 9+ 4 5 − 9−4 5 ) = 4 ( 5 + )2 − ( 5 − )2 2 2
= 4( 5 +2 − 5 −2 ) = 4( 5 +2− 5 +2) =16 ( thỏa mãn điều kiện).
Thay x = 16 vào biểu thức B ta được: 16 − 2 4 − 2 2 2 B = = = x = thì B = . 16 + . Vậy 16 1 4 +1 5 5 b) Ta có: 3 x − 6 1 x − 3 A = + + x ( x − 2) x − 2 x
3 x − 6 + x + ( x − 3)( x − 2) = x ( x − 2) − − + + x − + x x − ( x x x x x )1 3 6 5 6 x −1 = = = = x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) x − 2 x −1 Vậy A =
, với x 0; x 4 . x − 2 c) Ta có: x −1 x − 2 x −1 . A B = . = x − 2 x + . 1 x +1 x −1 0 x 1 Biểu thức
AB xác định khi . x ; 0 x 4 x 4 2 4 x −1 4 5 x −13 Ta có: AB AB − 0 0 3 9 x +1 9 9 x + 9 x 1 5 x −13 169 Vì nên 9 x + 9 0
0 5 x −13 0 x x 4 9 x + 9 25 169 1 x Vậy 25 . x 4
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 152
Câu 159. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tât Thành – Hưng Yên 2014 – 2015)
a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau: A = ( 22 + 7 2) 30 − 7 11 x x −1 x + 6 x + 2
b) Rút gọn biểu thức sau: B = − − : −1 x − 2 x + 2 x − 4 x − 2 Hướng dẫn a) Ta có:
A = 2 ( 11 + 7) 30 − 7 11 = ( 11 + 7) 60 −14 11 = ( + ) ( − )2 11 7 7 11
= ( 11+7)(7 − 11) = 49−11= 38
b) Điều kiện: x 0; x 4 . x x −1 x + 6 x + 2 − x + 2 B = − − x − x +
( x −2)( x +2) : 2 2 x − 2
x ( x + 2) − ( x − )
1 ( x − 2) − x − 6 4 = ( x − 2)( x + 2) : x − 2
x x + 2x − x x + 2x +
x − 2 − x − 6 4 = ( x − 2)( x + 2) : x − 2 4x − 8 x − 2 x − 2 − = x 2 ( = . Vậy B =
với x 0; x 4
x − 2)( x + 2) . 4 x + 2 x + 2
Câu 160. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) 1 5 x − 4 2 + x x Cho P = + : − x − 2 2 x − x x x − 2
1) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P
2) Tìm m để có x thỏa mãn điều kiện xác định của P sao P = mx x − 2mx +1 Hướng dẫn x 0 x 0
1) Biểu thức xác định khi . x − 2 0 x 4 Ta có: −
(2+ x)( x −2)− x. 1 5 4 x x P = − x − x ( x − ) : 2 2 x ( x −2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 153 4 − − − x − x + x − − x
( x )1 x( x 2 5 4 4 ) = ( = = x − x
x − 2) : x ( x − 2) x ( x − 2) . 1 4 − 2) Ta có:
P = mx x − 2mx +1
x −1 = mx x − 2mx +1
mx x − 2mx − x + 2 = 0 ( x −2)(mx− ) 1 = 0 x 0 Vì
nên ( x − 2)(mx − )
1 = 0 mx −1 = 0 mx = 1 x 4
Xét m = 0 0.x =1 phương trình vô nghiệm. 1 0 m 0 1 x 0 m
Với m 0 x =
. Để phương trình có nghiệm thì 1 . m x 4 1 m 4 4 m m 0 Vậy
1 thì P = mx x − 2mx +1 có nghiệm. m 4
Câu 161. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) 3 x x 8 x 2 x + 3 Cho A = + + và B = 2 −
; x 0, x 4 x + 2 2 − x x − 4 x + 2
1. Tính B với x = 81 2. Đặt P = A : B . Rút gọn P. 3. Tìm GTNN của P Hướng dẫn 1. Ta có: 2 x + 3
2 x + 4 − 2 x − 3 1 B = 2 − = = x + 2 x + 2 x + 2
Với x = 81 ( thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức B ta được: 1 1 1 B = =
. Vậy x = 81 thì B = . 81 + 2 11 11 2) Ta có: 3 x x 8 x A = − + x + 2 x − 2 ( x −2)( x +2)
3 x ( x − 2) − x ( x + 2) + 8 x − − − + = 3x 6 x x 2 x 8 x 2x ( = = . x − 2)( x + 2) ( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) 2x 1 2x Suy ra P = . A B = ( = .
x − 2)( x + 2) : x + 2 x − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 154 2x 0
Biểu thức P xác định khi x − 2 x 4
x 0,x 4 2x 8 8
Với x 4 P = = 2 x + 4 + = 2( x −2)+ +8 x − 2 x − 2 x − 2 8 8
Áp dụng BĐT Cosi ta có: 2( x − 2) + 2 2( x −2). = 8 x − 2 x − 2 ( x − ) 8 2 2 + +8 16 P 16 x − 2
Dấu bằng xảy ra khi ( x − ) 8 2 2 =
x − 2 = 2 x =16 ( thỏa mãn điều kiện) x − 2
Vậy min P = 4 khi x = 16
Câu 162. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) 1+ x 1− x
Cho biểu thức P = + ;0 x 1 1+ 1− x 1− 1− x 2
1) Chứng tỏ rằng P = − 2 1− x
2) Tìm x để P = 2 . x Hướng dẫn 1) Ta có: + −
(1+ x)(1− 1− x)+(1− x)(1+ 1− 1 1 x x x ) P = + = 1+ 1− x 1− 1− x
(1+ 1−x)(1− 1−x)
1− 1− x + x − x 1− x +1+ 1− x − x − x 1− x 2 − 2x 1− x 2 = ( = = − − − −
( điều phải chứng minh) x) 2 1 x 1 1 x x 2) Ta có: 2 P = 2
− 2 1− x = 2 2(1− x) − 2x 1− x = 0 2 1− x ( 1− x − x) = 0 x x =1 1− x = 0 x =1 − 2 1 5 x = 1− x
x + x −1 = 0 x = 2 x =1
Kết hợp điều kiện suy ra 1 − + 5 x = 2
Câu 163. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) 2 1 1 x + 2
1) Rút gọn biểu thức P = + −
2(1+ x ) 2(1− x ) 3 1− x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 155
2) Tính giá trị của biểu thức 3
A = a + 3a + 2003 với 3 3
a = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 Hướng dẫn 1) Ta có: 2 2 1 − x +1 + x x + 2 2 x + 2 P = − = −
2(1+ x )(1− x ) 3 1 − x 2(1− x) 3 1 − x 2 2 2 1 x + 2
x + x +1− x − 2 x −1 1 = − = = = 1− x
(1− x)( 2x + x + )1 (1− x)( 2x + x + )1 (1− x)( 2x + x + ) 2 1 x + x +1 2) Ta có: 3 3 a = + + − a = (3 3 7 5 2 7 5 2 7 + 5 2 + 7 − 5 2 )3 3 3 3 3 a = + + + − (3 3 7 5 2 3 7 5 2 . 7 5 2 .
7 + 5 2 + 7 − 5 2 ) + 7 −5 2 3 3 3
a =14 + 3 49 −50.a a + 3a =14 Suy ra 3
A = a + 3a + 2003 =14 + 2003 = 2017
Câu 164. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) x − x x + 3 1
Với x 0 và x 1, x 4 cho hai biểu thức A = và B = − 2 − x x x −1 x −1
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 144 .
2. Rút gọn biểu thức P = . A B 1
3. Chứng minh rằng: P 3 Hướng dẫn
1. Thay x = 144 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 144 − 144 144 −12 132 66 A = = = = − . 2 − 144 2 −12 10 − 5 2. Ta có: x + 3 1 x + 3 1 B = − = − x x −1 x −1
( x − )1(x+ x + )1 x −1 x + 3 − x − x −1 2 − x = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x − − ( x − x x x )1 2 2 − x x Suy ra P = . A B = . = =
− x ( x − )1(x + x + ) . 2 1 2 − x
( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 156 − − − − ( x − x x x x )2 1 1 1 3 1 3. Xét P − = − = = 3 x + x +1 3 3( x + x + ) 1 3( x + x + ) 1 −( x − )2 1 1 Ta có: (
Với x 0 và x 1, x 4 nên P x + x + ) 0 3 1 3
Câu 165. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) x + 2 1 x −1 Cho biểu thức P = − + ; 0 x 1 x x −1 x −1 x + x +1 a) Rút gọn biểu thức P 1
b) Tìm các giá trị của x để P − 3 Hướng dẫn a) Ta có: x + 2 1 x −1 x + 2 1 x −1 − + = − + x x −1 x −1 x + x +1
( x − )1(x+ x + )1 x −1 x+ x +1
x + − x − x − + ( x − )2 2 1 1
1− x + x − 2 x +1 = ( = x − ) 1 ( x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 − − x − x + ( x )1( x 2 3 2 ) x − 2 − = x 2 ( = = . Vậy P = với 0 x 1. x − ) 1 (x + x + ) 1
( x − )1(x+ x + )1 x+ x +1 x + x +1 1 x − 2 1 3 x − 6 + x + x +1 b) P − + 0 x + x +1 3( x + x + ) 0 3 3 1 − + x + x − ( x )1( x 5 4 5 ) ( x + x + ) 0 (x+ x + ) 0 3 1 3 1 x + 5 0
Vì 0 x 1
nên x −1 0 x 1. Kết hợp điều kiện suy ra 0 x 1 3
(x + x + ) 1 0
Câu 166. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Giảng Võ– Hà Nội 2017 – 2018) x + 2 1 x x + 3
Cho hai biểu thức A = B = − + x x x − và x x −1 x + với 0; 1 1 x −1
1) Tính giá trị của biểu thức A khi 2 x = 16 .
2) Thu gọn biểu thức M = A: B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 157
3) Tìm giá trị của k sao cho phương trình 1 M = có nghiệm. k Hướng dẫn 1) Ta có: 2 x = 16 x = 4
. Kết hợp điều kiện suy ra x = 4 . x + 2 4 + 2 4
Với x = 4 ta có: A = = = = 2 x − . Vậy: ….. x 4 − 4 2 2) Ta có: 1 x x + 3 1 x x + 3 B = − + = − + x −1 x +1 x −1 x −1 x +1 ( x − ) 1 ( x + ) 1
x +1− x ( x − ) 1 + x + 3 2 x + 4 = ( = x − ) 1 ( x + ) 1
( x − )1( x + )1 x + 2 + x + 2 ( x − )1( x + x )1 2 4 x +1
Suy ra M = A : B = : = = x − . x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x ( x − ). 1 2( x + 2) 2 x 1 x +1 1 3) Ta có: M = = k ( x + ) 1 = 2 x
x (2 − k ) = k . k 2 x k
Với k = 2 suy ra x.0 = 2 phương trình vô nghiệm. k
Với k 2 x =
. Để phương trình có nghiệm thỏa mãn x 0; x 1 thì: 2 − k k 0 − 0 k 2 2 k . Vậy: …… k k 1 1 2 − k
Câu 167. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Hà Huy Tập– Hà Nội 2018 – 2019) x + 3 x +3 x −2 1 x −3
Cho hai biểu thức A = B = − .
với x 0; x 9 x + và 3 x −9 x + 3 x +1
1) Tính giá trị của A khi x = 16 . 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Cho P =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. B Hướng dẫn
1) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 16 + 3 19 19 A = = x = thì A = . 16 + . Vậy với 16 3 7 7 2) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 158 x +3 x − 2 1 x −3 x + 3 x − 2 1 x − 3 B = − . = − x − x + x + + + ( . 9 3 1 x − 3)( x + 3) x 3 x 1
x + 3 x − 2 − ( x − 3) x − 3 x + 2 x +1 x − 3 = ( =
x − 3)( x + 3) . x +
( x −3)( x +3). 1 x +1 ( x + )2 1 x +1 + = x 1 ( = . Vậy B =
với x 0; x 9 . x + 3)( x + ) 1 x + 3 x + 3 3) Ta có: A x + 3 x +1 x + 3 4 P = = = = x − + = ( x + ) 4 : 1 1 + − 2 B x + 3 x + 3 x +1 x +1 x +1 Áp dụng BĐT Cosi ta có: ( x + ) 4 + ( x + ) 4 1 2 1 . = 4 P 2 . x +1 x +1 2 4
Dấu bằng xảy ra khi ( x + ) 1 = ( x + ) 1
= 4 x +1= 2 x =1(tm) x +1
Vậy min P = 2 x = 1.
Câu 168. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Lê Thánh Tông– Hà Nội 2018 – 2019) 1 x 1 2
Cho biểu thức: A = − : + x x )
x − x 1− x x + (với 0; 1 1 x −1
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 − 2 2 Hướng dẫn 1) Ta có: 1 x 1 2 A = − : +
x − x 1− x x + 1 x −1 1 x 1 2 + − + + = + + 1 x x 1 2 x 1 = = : x ( x − ) : 1
x −1 x +1 ( x − )1( x + x ( x − ) 1
( x − )1( x + ) )1 1 x
2) Với x = 3 − 2 2 = ( − )2
2 1 (thỏa mãn điều kiện) 2 2 3− 2 2 ( 2 − + − )1 1 4 2 2 Suy ra A = = = = ( ) 2 2 2 2 −1 ( 2 − − )1 2 1
Vậy x = 3 − 2 2 thì A = 2 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 159
Câu 169. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phúc Xá – Hà Nội 2018 – 2019) x − x +1 x −1 x
Cho hai biểu thức A = + B =
Với x 0; x 1 x −1 1− và x x −1 2
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 2+ . 3
2) Rút gọn biểu thức P = A : B .
3) Tìm x sao cho (1− x).P =10 . Hướng dẫn 2(2− 3 2 ) 1) Ta có: x = = = 4 − 2 3 = ( 3 − )2 1 2 +
( thỏa mãn điều kiện) 3 4 − 3
Thay vào biểu thức B ta được: 2 − − − (2− 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 ) B = = = = = − ( − −1 − − 3 − ) 2 2 3 1 3 2 3 2 1 −1 2 Vậy x = B = − . 2 + thì 2 3 2) Ta có: x − x +1 x −1 x − x +1 x −1 2 − x A = + = − = x −1 1− x x − 1 x −1 x −1 2 − x x 2 − x 2 − x
Suy ra P = A : B = : = P =
với x 0; x 1. x −1 x − . Vậy 1 x x 3) Ta có: ( − x
1− x ).P =10 (1− x ) 2 .
=10 (1− x)(2− x) =10x x
10x = 2 −3 x + x 9x + 3 x − 2 = 0 9x + 6 x −3 x − 2 = 0
3 x (3 x +2)−(3 x +2) = 0 (3 x +2)(3 x − ) 1 = 0 1
Vì x 0 3 x −1 = 0 x =
( thỏa mãn) . Vậy: ….. 9
Câu 170. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Phương Liệt – Hà Nội 2015 – 2016) (2 điểm) 3 x + 9 x 2 x 3x + 9 Cho A = B = + −
( x 0, x 9) x − và 9 x + 3 x − 3 x − 9
1) Tính giá trị của A khi x = 4 .
2) Chứng tỏ rằng biểu thức B luôn dương với mọi giá trị x thỏa mãn ĐKXĐ
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 160 B
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Hướng dẫn
1) Với x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 3 4 + 9 15 A = = = 3
− . Vậy x = 4 thì A = 3 − . 4 − 9 5 − 2) Ta có: x − + + − − x x x +
( x 3) 2 x( x 3) 3x 9 2 3 9 B = + − = x + 3 x − 3 ( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3) 3 − x − x + x + x − x − ( x 3 3 2 6 3 9 ) 3 = ( = = . x − 3)( x + 3)
( x −3)( x +3) x +3
Vì x 0, x 3 9 B =
0 với mọi x 0, x 9 . x + 3
Vậy B luôn dương với mọi x 0, x 9 . B 3 3 x + 9 x − 3 6 c) = : = =1− A x + 3 x − 9 x + 3 x + 3 Ta có:
x 0 với mọi x 0, x 9 6 6 Nên x + 3 3 11− 1 − . x + 3 x + 3 B
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . Vậy min = 1 − x = 0 A
Câu 171. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Sài Đồng 2018 – 2019) (2 điểm) x +1 x − 3 x + 4 1 Cho biểu thức A = ; B = −
(x 0; x 4) x x − 2 x x − 2
1) Tính giá trị của A khi x = 9 . 2) Rút gọn B. B 3) So sánh P = với −2 . A Hướng dẫn 4 x − 2 1) A = 2) 3 x B 3 x B c) Xét hiệu + 2 =
0 với mọi x 0; x 4 nên 2 − . A x +1 A
Câu 172. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – Vinschool 2017 – 2018) (2 điểm)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 161 x + 3
1) Tính giá trị của biểu thức A = x = . x − với 4 3 x + 4 7 x − 3 2) Cho P = − : x x x x +1 2 x − 2 x − với 0; 1; 9 1 a) Rút gọn P b) So sánh P và 3 P . Hướng dẫn 2 x + 5 1) A = 5 − 2) Rút gọn P = 2 x +1 2 x + 5 4 3) Vì P = =1+
1 với mọi x 0; x 1; x 9 nên 3 P P . 2 x +1 2 x +1
Câu 173. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TP Hà Nội 2016 – 2017) (2 điểm) 7 x 2 x − 24
Cho hai biểu thức A = và B = +
với x 0; x 9 x + 8 x − 3 x − 9
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 x + 8 2) Chứng minh B = x + 3
3) Tìm x để biểu thức P = .
A B có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn
1) Thay x = 25 ( thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: 7 7 A = = . Vậy: …… 25 + 8 13 2) Ta có: x + + − x x − ( x 3) 2 x 24 2 24 x + 5 x − 24 B = + = = x − 3 ( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3)
( x −3)( x +8) x +8 = ( =
( điều phải chứng minh) x − 3)( x + 3) x + 3 7 x + 8 7 3) Ta có: P = . A B = . = . x + 8 x + 3 x + 3 Các em đánh giá chỉ 7 ra 0 P mà P P 1; 2 . 3 1
Giải P = 1; P = 2 để tìm x . Đáp số: x ;16 4
Câu 174. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Đức Giang 2016 – 2017) (2 điểm):
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 162 2 x +1 2 x − 5 x −1
Cho hai biểu thức A = và B = − :
( x 0, x 1, x 9) x + 3 x + 3 x − 9 x − 3
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 49
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A − B có giá trị là số tự nhiên. Hướng dẫn
a) Thay x = 49 (thỏa mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A ta được: 2 49 +1 15 3 A = = = . Vậy: …. 49 + 3 10 2 2 x − 5 x −1 b) B = − x +
( x −3)( x +3) : 3 x − 3
2( x − 3) − x + 5 x − 3 x −1 x − 3 1 = ( = =
x − 3)( x + 3) . x −
( x −3)( x +3). 1 x −1 x + 3 c) Ta có: 2 x +1 1 2 x 6 A − B = − = = 2 − . x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 A − B 0
Để A − B là số tự nhiên thì ( A − B )
Suy ra 6 ( x + 3) . Từ đó giải được x = 0
Câu 175. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Văn Khê 2015 – 2016) (2 điểm): a +1 2 a 2 + 5 a Cho biểu thức P = + +
với a 0, a 4 a − 2 a + 2 4 − a a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 3 − 2 2 . 1 c) Tìm a để P .
d) Tìm a để P = 2 . 3 Hướng dẫn a) Ta có: a +1 2 a 2 + 5 a P = + − a − 2 a + 2 ( a −2)( a +2)
( a + )1( a +2)+2 a( a −2)−2−5 a = ( a − 2)( a + 2)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 163 3 a − a − a ( a 2 3 6 ) 3 a = ( = = .
a − 2)( a + 2) ( a − 2)( a + 2) a + 2 b) Ta có: a = − = ( − )2 3 2 2
2 1 ( thỏa mãn điều kiện) Suy ra a = ( − )2 2 1
= 2 −1 = 2 −1 . Thay vào biểu thức P ta được: 3( 2 − ) 1 3( 2 − ) 1 P = = = 3(3− 2 2) = 9−6 2 . 2 −1+ 2 2 +1 c) Ta có: 1 3 a 1 3 a 1 9 a − a − 2 8 a − 2 P − 0 a + 2 a + 2 3( a + 2) 0 3( a + 2) 0 3 3 3
Vì a ( a + ) 1 1 0 3
2 0 8 a − 2 0 a a 4 16 1 a Vậy 16 a 4 3 a d) Ta có: P = 2
= 2 3 a = 2 a + 4 a = 4 a = 16(tm) . Vậy: … a + 2
Câu 176. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TTBDVH Dạy Tốt 2016 – 2017) 3 x + x x − 9 x − 3 x +1 Cho biểu thức A = B = + −
với x 0, x 1, x 9 9 − và x
( x +3)(1− x) x −1 x −3
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 x +1 b) Chứng minh B = 3 − x A
c) Tìm các giá trị của x để 1. B Hướng dẫn
a) Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức A ta được: 3 16 +16 28 A = = = 4 − 9 −16 7 − . Vậy: ….
( x −3)( x +3) x −3 x +1 b) Ta có: B = ( − −
x + 3)(1− x ) 1− x x − 3 x − 3 x − 3 x +1 x +1 x +1 = − − = − =
( điều phải chứng minh) . 1− x 1− x x − 3 x − 3 3 − x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 164 c) Ta có: x + + (3+ 3 1 x A x x x ) 3− x 1 : 1 B − x − x (3− x)(3+ x). 1 9 3 x +1 x x 1 − 1 −1 0 0 x +1 x +1 x +1 1 − Vì x 0
0 x . Vậy: …. x +1
Câu 177. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – TTBDVH Edufly 2016 – 2017) 2
1) Rút gọn biểu thức sau A = + 7 − 4 3 3 −1 2 x + x 1 x + 2
2) Cho biểu thức P = − :1− x x −1 x −1 x + x +1 a) Rút gọn biểu thức P
b) Với x 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
A = x .P Hướng dẫn 2( 3 + ) 1 2 1) A = + 7 − 4 3 = − ( − )( + ) + 4−2.2 3+3 3 1 3 1 3 1 2( 3 + ) 1 =
+ (2− 3)2 = 3 +1+ 2− 3 = 3 +1+ 2− 3 = 3 3 − 1 2) Ta có: 2 x + x 1 x + 2 2 x + x 1
x + x +1− x − 2 P = − : 1− = − x x − x − x + x +
( x − )1(x+ x + ) : 1 1 1 1 x −1 x + x +1
2 x + x − x − x −1 x + x +1 x −1 1 1 = ( = = . x − ) 1 ( x + x + ) . . 1 x −1 x −1 x −1 x −1 1 1 1 3) Ta có: 2 2
A = x .P = x . = x +1− = (x − ) 1 + + 2 . x −1 x −1 x −1 1
Vì x 1 nên áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương x −1 và ta được: x −1 1 x − + (x − ) 1 1 1 2 1 . = 2 x −1+ + 2 4 . x −1 x −1 x −1 1
Dấu bằng xảy ra khi x −1 = (x − )2 1
=1 x −1=1 x = 2 ( vì x 1). x −1 Vậy: …………..
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 165
Câu 178. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Oai 2017 – 2018) a + 3 a 1 3 a
Cho hai biểu thức: P = và Q = + −
với a 0; a 1. a +1 a −1 a + 2 a + a − 2
a) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 16.
b) Rút gọn biểu thức Q.
c) Tìm a để biểu thức S = .
P Q có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn 7
a) Thay a = 16 ( thỏa mãn điều kiện) các em tính được P = . 5 a +1 b) Rút gọn Q = . a + 2 a + 3 1 3 c) Tính S = = 1+
. Lập luận chỉ ra max S = khi a = 0 . a + 2 a + 2 2
Câu 179. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2017 – 2018) x x −1 x x +1 4 x −1 Cho biểu thức P = + − và Q =
với x 0; x 1 . x − x x + x x x +1
a) Tính giá trị của Q khi x = 25
b) Rút gọn biểu thức A = . P Q
c) Tìm các giá trị của x để A x 8 Hướng dẫn a) Đáp số 2
: x = 25 thì Q = . 3 2( x − ) 1 ( x + ) 1 2 − ( x − x )2 2( x − ) 1 1 1 b) Rút gọn P =
, từ đó tính được A = . = . x x x +1 x 2( x − )2 1 2 x −1 2 c) A x 8
. x 8 ( x − ) 1 4 x 9 . x x −1 2 − 0 x 9 Vậy x 1
Câu 180. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2011 – 2018) x 10 x 5 Cho A = − −
, với x 0, x 25. x − 5 x − 25 x + 5
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của A khi x = 9 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 166 3) Tìm x để 1 A . 3 Hướng dẫn 1) Ta có: x 10 x 5 A = − − x − 5
( x −5)( x +5) x +5
x ( x + 5) −10 x − 5( x − 5) x + 5 x −10 x − 5 x + 25 = ( = x − 5)( x + 5) ( x −5)( x +5) − + ( x − x x )2 5 10 25 x − 5 = ( = =
x − 5)( x + 5) ( x − 5)( x + 5) x + 5
2) Thay x = 9 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 9 − 5 3 − 5 1 A = = = − . Vậy: ….. 9 + 5 3 + 5 4 3) Ta có: 1 x − 5 1 x − 5 1 A − 0 3 x + 5 3 x + 5 3 3 x − 15 − x − 5 2 x − 20 ( x + ) 0 ( x + ) 0 3 5 3 5 2 x − 20 Vì x 0 x + 5 0 nên ( − x + ) 0 2 x 20 0 x 10 x 100 3 5 0 x 100 Vậy . x 25
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 167
Câu 181. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-AMSTERDAM-2019-2020) 4 3 x 2x + 3 x +10
Cho hai biểu thức A = và B = + +
, với x 0, x 4. x + 2 x + 2 2 − x x − 4
1. Tính giá trị của A khi x = 16 x + 2
2. Chứng minh rằng B = x − 2
3. Tìm tất cả giá trị của x để . A B 2 − Hướng dẫn
1) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) . Thay vào biểu thức A ta được: 4 4 2 2 A =
= = . Vậy x =16 thì A = . 16 + 2 6 3 3 2) Ta có: 3( x − 2) x ( x + 2) 2x + 3 x +10 B = ( − +
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) 3( x − 2) x ( x + 2) 2x + 3 x +10 B = ( − +
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
3 x − 6 − ( x + 2 x ) + 2x + 3 x +10 B = ( x + 2)( x − 2) x + 4 x + 4 B = ( x + 2)( x − 2) ( x + )2 2 x + 2 B = ( =
(điều phải chứng minh). x + 2)( x − 2) x − 2 3) Ta có: x = 0 4 2 x x = 0(TM ) . A B 2 − + 2 0 0 x − 2 x − 2 x − 2 0 x 4(TM ) x = 0 Vậy x 4
Câu 182. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Ba Đình-2019-2020) x + 5 x 2 x x + 9 x Cho hai biểu thức: A = B = −
với x 0 và x 9 và x 25 . x − ; 25 x − 3 x − 9
a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 168 b) Rút gọn biểu thức . B
c) Đặt P = B : A . So sánh P với 1. Hướng dẫn
a) Với x 0 và x 9 và x 25
Để A = 0 x + 5 x = 0 x ( x +5) = 0 x = 0 x = 0(t / m) do x + 5 0
b) Với x 0 và x 9 và x 25 ta có: 2 x ( x + 3) 2 x x + 9 x x + 9 x B = − = − x − 3 x − 9
( x −3)( x +3) ( x −3)( x +3)
2x + 6 x − x − 9 x x − 3 x = ( =
x − 3)( x + 3)( x − 3) ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3) = x x ( = . Vậy B = . x − 3)( x + 3) x + 3 x + 3
c) Với x 0 và x 9 và x 25 . Ta có: x x + 5 x x x x x − 5 x − 5
P = B : A = : = : = . = x + 3 x − 25 x + 3 x − 5 x + 3 x x + 3 x − 5
x − 5 − x − 3 8 − Xét hiệu: P −1 = −1 = = x + 3 x + 3 x + 3 − Ta có : x 8 0 x + 3 0
0 P −1 0 P 1. x + 3 Vậy P 1.
Câu 183. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Ba Vì – 2019-2020) 2 + x x −1 2 x +1
Với x 0 cho hai biểu thức: A = và B = + x x x + x
a) Tính giá trị của bểu thức A khi x = 64 .
b) Rút gọn biểu thức B . A 3 c) Tìm x để . B 2 Hướng dẫn 2 + 64 5
a) Thay x = 64 thỏa mãn ĐKXĐ vào biểu thức A ta được: A = = . Vậy: …. 64 4 x −1 2 x +1 x + 2
b) Với x 0 ta có: B = + = x x ( x + ) 1 x +1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 169 A x +1 c) Tính được = B x A 3 x +1 3 Với x 0 ta có: x 4 B 2 x 2
Kết hợp với điều kiện, kết luận: 0 x 4
Câu 184. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Bắc Từ Liêm-2019-2020) 6 2 x 2
Cho hai biểu thức A = và B = −
với x 0, x 9 . x ( x −3) x − 9 x + 3
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
2) Rút gọn biểu thức M = A: B .
3) Tìm các giá trị của x để 3 x + 5 = 2M . Hướng dẫn 6 6
1)Thay x = 4 (tmđk) vào biểu thức A ta được: A = = = − 4 ( 4 −3) (− ) 3 2. 1
Vậy khi x = 4 thì A = 3 −
2) Rút gọn biểu thức M = A: B . 6 2 x 2 Ta có:
M = A : B = −
x ( x − 3) : x − 9 x + 3 6 2 x 2 = − 6 2 x − 2 x + 6 = :
x ( x − 3) :
x ( x − 3) ( x − 3)( x + 3)
( x − 3)( x + 3) x + 3 ( x −3)( x +3 6 ) x +3 = = x ( x − 3) . 6 x x + 3 Vậy M =
với (x 0, x 9) x
3) Tìm các giá trị của x để 3 x + 5 = 2M . x + 3
3 x + 5 = 2M 3 x + 5 = 2. x − = = x x TM
3x + 3 x − 6 = 0 x +
x − 2 = 0 ( x − ) 1 ( x + 2) = 1 0 1( ) 0
x + 2 = 0 x = 2 − (L)
Vậy khi x =1 thì 3 x + 5 = 2M
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 170
Câu 185. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Cầu Giấy-2019-2020) 1 1 x Cho biểu thức A = − :
với x 0, x 4 x + 2
x − 2 x − 2 x 4 − a) Chứng minh A = x + 2 2 −
b) Tìm x biết A = . 3
c) Cho x là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Hướng dẫn
a) Với x 0, x 4 ta có: 1 1 x x − 2 x + 2 x A = − : = − : x + 2
x − 2 x − 2 x
( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) x − 2 x x − ( x −2 4 )
x − 2 − x − 2 x − 2 x = 4 − ( = . = x + )( x − ) . 2 2 x ( x +2)( x −2) x x + 2 4 − Vậy A = (đpcm). x + 2 2 −
b) Tìm x biết A = . 3 − − − Để 2 4 2 A = =
x + 2 = 6 x = 4 x =16(t / m). 3 x + 2 3 2 −
Vậy x =16 thì A = . 3 4 − c) Ta có: A = . x + 2
Ta có: x nguyên và x 0 , x 4 hay x 1, x 4, x 4 4 4 − 4 − 4 − Với x 1 x 1 x + 2 3 0 P x + 2 3 x + 2 3 3
Dấu " = " xảy ra x = 1 4 −
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi x =1 3
Câu 186. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Đông Anh-2019-2020) x + 4 x 2 Cho A = và B = −
với x 0; x 4 x + 2 x − 4 x − 2
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức P = B : A
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 171
c) Tìm giá trị của x để P 0 Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 + +
Ta có x = 36 (tmđk) nên 36 4 6 4 5 A = = = 36 + 2 6 + 2 4
b) Rút gọn biểu thức P = B : A x 2 x 2 B = − = − x − 4 x − 2
( x −2).( x +2) x −2 x − 2( x + 2) x − 2 x − 4 − x − 4 = ( = =
x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) x 2 − x − 4 x + 2 1 −
P = B : A = − = = x − x −
( x − ) ( x + ): 4 2 2 . 2
( x +4) ( x −2)
c) Tìm giá trị của x để P 0 1 −
Với x 0; x 4 để P 0
0 x − 2 0 x 2 x 4 x − 2
Kết hợp ĐKXĐ ta có: 0 x 4 thì P 0
Câu 187. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Đống Đa-2019-2020) x − 2 x + 2 2x + x − 4 x +1 Cho biểu thức A = và B = − với x 0 x x + 2 x x + 2
a) Tính giá trị của A khi x = 9. b) Rút gọn biểu thức . B A c) Cho P =
. Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị âm. B Hướng dẫn 9 − 2 9 + 2 9 − 2.3 + 2 5
a) Khi x = 9 (thỏa mãn điều kiện) Thay vào A ta được: A = = = 9 3 3 5
Vậy khi x = 9 thì A = . 3
b) Với x 0 ta có: x + − ( x + x x ) 2x + x − 4 x +1 1 2 4 B = − = − x + 2 x x + 2 x ( x + 2) x ( x + 2) ( x −2)( x +2) 2x +
x − 4 − x − x − = x 4 = x − 2 = = x ( x + 2) x ( x + 2) x ( x + 2) x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 172 x − 2
Với x 0 thì B = x
c) Với x 0 ta có : − + − − + − + ( x − + A x x x x x x x x )2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 P = = : = . = = B x x x x − 2 x − 2 x − 2 x 0 Vì (
nên P 0 x − 2 0 x 2 x 4 x − )2 1 0 x 0
Kết hợp điều kiện suy ra 0 x 4 Mà x x 1;2; 3
Câu 188. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Gia Lâm-2019-2020) x − 3
a) Tính giá trị của biểu thức A = khi x = 16 x +1 x − 2 1 x +1
b) Rút gọn biểu thức sau: B = + .
(Với x 0, x 1) x + 2 x x + 2 x −1
c) Tìm các giá trị của x để biểu thức M = A.B < 0 . Hướng dẫn x − 3 a) A = (x 0) x +1 16 − 3 1
Thay x = 16 (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A, ta có: A = = 16 +1 5 1 Vậy A = khi x = 16 . 5 x − 2 1 x +1 b) B = + .
(Với x 0, x 1) x + 2 x x + 2 x −1 x − 2 1 x +1 x − 2 x x +1 = + = + x ( x +2) . x + x − x
( x +2) x( x +2) . 2 1 x −1 − + x + x − x + ( x )1( x 2 2 1 ) x +1 x +1 = = = x ( x + 2) x −1 x ( x + 2) x −1 x
c) Tìm các giá trị của x để biểu thức M = A.B <0 . x − 3 x +1 x − 3 M = . A B = = x +1 x x
* Có x 0 nên M 0 thì x − 3 0
x 3 x 9
Kết hợp ĐKXĐ ta có 0 x 9; x 1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 173
Vậy 0 x 9; x 1 thì M = . A B 0 .
Câu 189. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hà Đông-2019-2020) x +1 2 x + 3 x + 3 x − 6 x
Cho hai biểu thức A = và B = + −
với x 0; x 9; x 16 x − 4 x − 3 4 − x x − 7 x +12
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25 . 2) Rút gọn B .
3) Đặt P = 2( x −2)B: A. Tìm giá trị nhỏ nhất của P Hướng dẫn
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25 . 5 +1 6
x = 25 x = 5(t )
m .Thay x = 5(t )
m vào A , ta có: A = = = 6 5 − 4 1
Vậy A = 6 khi x = 25 2) Rút gọn B . 2 x + 3 x + 3 x − 6 x 2 x + 3 x + 3 x − 6 x B = + − = − − x − 3 4 − x x − 7 x +12 x − 3 x − 4
( x −3)( x −4)
(2 x +3)( x −4) ( x +3)( x −3) x − 6 x = ( − −
x − 3)( x − 4)
( x −3)( x −4) ( x −3)( x −4)
2x − 5 x −12 − x + 9 − x + 6 x x − 3 1 = ( = =
x − 3)( x − 4)
( x −3)( x −4) x −4
3) Đặt P = 2( x −2)B: A. Tìm giá trị nhỏ nhất của P − − + − P = ( x − ) 2 x ( x 2) 2 x ( x 2 1 1 4 ) 6 2 2 : = . = = 2 − x − 4 x − 4 x − 4 x +1 x +1 x +1 1 6 − 6 Vì x 0, x
dkxd x +11 1 6 − 2 − 4 − x +1 x +1 x +1 Min P = 4
− , dấu bằng xảy ra x = 0(t ) m
Câu 190. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hoàng Mai-2019-2020) ( x + )2 1 x 1 x Cho biểu thức: A = và B = + +
vơi x 0; x 4 2 − x x − 4 x + 2 2 − x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.
b) Rút gọn biểu thức B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 174 c) Đặ A t M =
. Tìm x để biểu thức M thỏa mãn M − 8 x + 8 0. B Hướng dẫn ( x + )2 1 a) Ta có: A =
với x 0; x 4 . 2 − x
Với x = 16.( TMĐK), thay x = 16. vào biểu thức A ,ta có: ( + )2 ( + )2 16 1 4 1 25 25 A = = = = − 2 − 16 2 − 4 2 − 2 25
Vậy x = 16.thì A = − 4 x 1 x b) B = + +
với x 0; x 4 x − 4 x + 2 2 − x x + x x − ( x 2 2 ) = ( + −
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) − + x + x − − x − x ( x 2 2 2 ) 1 − 1 = ( = = = x + 2)( x − 2)
( x +2)( x −2) x −2 2− x 1 Vậy B =
với x 0; x 4 2 − x ( x + A )2 1 1 c) Có M = = :
với x 0; x 4 B 2 − x 2 − x ( x + )2 1 =
.(2 − x ) = ( x + )2 1 2 − x + ) M − x + ( x + )2 8 8 0
1 − 8 x + 8 0 với x 0; x 4
x + 2 x +1− 8 x + 8 0 x − 6 x + 9 0 ( x − )2 3 0 Vì ( x − )2 3
0 với x thỏa mãn điều kiện x 0; x 4 Nên ( x − )2 3 0 ( x − )2 3
= 0 x − 3 = 0 x = 3 x = 9 ( TMĐK)
Vậy x = 9 thì M − 8 x + 8 0.
Câu 191. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Hai Bà Trưng-2019-2020) x x 1 1
Cho các biểu thức: A = ; B = − +
(với x 0; x 4 ) x + 2 x − 4 2 − x x + 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 175
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 . b) Rút gọn B .
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = .
A B có giá trị là số nguyên. Hướng dẫn 36 3
a) Thay x = 36 (tmđk) vào biểu thức A ta có: A = = 36 + 2 4 3
Vậy A= khi x =36 . 4
b) Với x 0; x 4 ta có : x 1 1 B = − + x − 4 2 − x x + 2 + − x ( x + 2) x ( x 2) ( x 2) = x ( + + = =
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2) x Vậy B = x x x − với 0; 4 2
c) Với x 0; x 4 ta có : x x x 4 P = . A B = . = =1+ x + 2 x − 2 x − 4 x − 4 4 x
ĐKXĐ ; xZ ; P có giá trị nguyên có giá trị nguyên x − 4 x − 4 =1 x = 5 x − 4 = 1 − x = 3 x − 4 = 2 x = 6
x − 4 là Ư (4) = 1 ; 2 ; 4 . x − 4 = 2 − x = 2 x − 4 = 4 x = 8 x − 4 = 4 − x = 0
Kết hợp điều kiện suy ra x 0; 2;3;5;6;
8 thì P nhận giá trị nguyên
Câu 192. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Nam Từ Liêm-2019-2020) x + 7 2 x x +1 7 x + 3
Cho hai biểu thức: A = và B = + +
(x 0;x 9) 3 x x + 3 x − 3 9 − x
a) Tính A khi x = 25. 3 x b) Chứng minh: B = x + 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . A B
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 176 Hướng dẫn +
a) Với x = 25 (tmđk) thì 25 7 32 A = = 3 25 15 b) Ta có: 2 x − + + + − − x x + x +
( x 3) ( x )1( x 3) 7 x 3 2 1 7 3 B = + + = x + 3 x − 3 9 − x ( x −3)( x +3) 3x − 9 x 3 x = ( = (đpcm) x − 3)( x + 3) x + 3 c) Ta có: x + 7 x − 9 +16 16 P = . A B = = = x + 3+ − 6 x + 3 x + 3 x + 3 16 16
Do x 0 x + 3 0;
0 nên áp dụng BĐT Cosi cho x + 3 và ta được: x + 3 x + 3 16 x + + ( x + ) 16 3 2 3 . = 8 x + 3 x + 3 16 Suy ra P = x + 3 + − 6 8 − 6 = 2 . x + 3 16
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x + 3 =
x + 3 = 4 x =1 ( thỏa mãn điều kiện) x + 3
Vậy min P = 2 x = 1.
Câu 193. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (HK1-Long Biên-2019-2020) + − Cho biểu thức x 2 x x 4 P = x − : + x +1 x +1 x −1 a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với x = 4 − 2 3
c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên. Hướng dẫn
a) Điều kiện: x 0; x 1; x 4 . Ta có: x + 2 x x − 4 P = x − : + x +1 x +1 x −1 x − + − x + x − x − ( x )1 x 4 2 = : x +1
( x − )1( x + )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 177 − − − ( x − )1( x + x x x )1 2 4 2 x −1 = : = = x +
( x − )1( x + ) . 1 1
x +1 ( x − 2)( x + 2) x + 2 b) Ta có: x = − = ( − )2 4 2 3
3 1 ( thỏa mãn điều kiện) x = 3 −1 = 3 −1 −
Thay vào P ta được: 5 3 3 P = 2 x −1 3 c) Ta có: P = =1− . x + 2 x + 2
Để P nguyên thì x + 2 Ư (3) . Mà x + 2 2 x + 2 = 3 x =1 ( loại)
Vậy không có giá trị x nguyên thỏa mãn điều kiện xác định để biểu thức P có giá trị nguyên.
Câu 194. (Thầy Nguyễn Chí Thành) 2 x x
3x + 3 2 x − 2
Cho biểu thức A = + + : −1 x + 3 x − 3 9 − x x − 3 a) Rút gọn A .
b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 13 − 4 3 − c) Tìm x để 1 1 A = − d) Tìm x để A . 3 2
e) Tìm x để A .
f) Tìm GTNN của S = .
A ( x − x) Hướng dẫn
a) Điều kiện: x 0; x 9 . Ta có: 2 x x 3x + 3 2 x − 2 x − 3 A = + − − x + x −
( x −3)( x +3) : 3 3 x − 3 x − 3
2 x ( x − 3) + x ( x + 3) − 3x − 3 2 x − 2 − x + 3 = ( x − 3)( x + 3) : x − 3 3 − − + + − − + ( x + x x x x x x )1 2 6 3 3 3 1 x +1 3 − = ( = = x − 3)( x + 3) : x −
( x −3)( x +3): 3 x − 3 x + 3 3 − Vậy A =
, với x 0; x 9 . x + 3 b) Ta có: x = − = ( )2 − + = ( − )2 13 4 3 2 3 2.2 3 1
2 3 1 ( thỏa mãn điều kiện) Suy ra x = ( − )2 2 3 1 = 2 3 −1 = 2 3 −1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 178 3 − 3 − 3 − 3 3
Thay vào biểu thức A ta được: A = = = . 2 3 −1+ 3 2 3 + 2 4 3 − 3 3
Vậy x = 13 − 4 3 thì A = . 4 c) Ta có : 1 3 − 1 A = −
= − x + 3 = 9 x = 6 x = 36 ( thỏa mãn) 3 x + 3 3 1
Vậy A = − khi x = 36 . 3 d) Ta có: 1 − 3 − 1 − 3 − 1 x − 3 A + 0 . x + 3 x + 3 2 ( x + 3) 0 2 2 2 x − 3 Vì x 0 x + 3 0 nên (
khi x − 3 0 x 3 x 9 . x + ) 0 2 3
Kết hợp với điều kiện suy ra 0 x 9 3 − e) Ta có: A =
. Để A thì 3 ( x + )
3 , suy ra ( x + 3)Ư(3) . x + 3
Mà x + 3 0 với mọi x 0 nên ( x + )
3 = 3 x = 0 ( thỏa mãn điều kiện) 3 − x − x 3x − 3 x 36 36 f) Ta có: S = .
A ( x − x) ( ) = = = 3 x −12 + = 3( x +3)+ − 21 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 36
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương 3( x + ) 3 và ta có: x + 3 ( x + ) 36 + ( x + ) 36 3 3 2 3 3 . =12 3 x + 3 x + 3 Suy ra ( x + ) 36 3 3 + − 2112 3 − 21 x + 3 2 2 36
Dấu bằng xảy ra khi 3( x + 3) =
( x +3) =12 x = 12 −3 x = ( 12 −3) = x + 3 − −
Câu 195. (Thầy Nguyễn Chí Thành) 2 x 1 3 x
Cho biểu thức B = − : 2 + . 2x − 5 x + 3 x −1 1− x a) Rút gọn B .
b) Tính giá trị của biểu thức B khi 2 x − x = 0
c) Tìm x để B = −B .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 179
d) Tìm x để B nguyên dương. Hướng dẫn a) Điề 9
u kiện: x 0; x 1; x . 4 1
Các em rút gọn được B = . 3 − 2 x x = 0(tm) b) Ta có: 2
x − x = 0 x ( x − ) 1 = 0 . x =1 (L) 1 1
Với x = 0 thay vào biểu thức B = = . Vậy: …….. 3 − 2 0 3 1 3 9
c) Ta có: B = −B B 0
0 3− 2 x 0 x x . 3 − 2 x 2 4 9
Kết hợp điều kiện suy ra x . 4
d) Để B nhận giá trị nguyên thì 1 (3−2 x) (3−2 x)Ư( ) 1 = 1 . Ta có bảng: 3 − 2 x 1 − 1 x 2 1 x 4 1 B 1 − (loại) (loại)
Vậy không tồn tại x thỏa mãn yêu cầu.
Câu 196. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Nghĩa Tân 2020 – 2021) x − 2 x + 2 3 12
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x 0; x 4 x + 2 x − 2 x + 2 x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 . x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . Hướng dẫn
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
Ta có: x = 25 thỏa mãn điệu kiện. 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A = = 25 + 2 7
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 180 3
Vậy khi x = 25 thì A = 7 x −1 2) Chứng minh B = . x − 2 x + 2 3 12 B = − − x − 2 x + 2 x − 4 ( x + )2 2 3( x − 2) 12 B = ( − −
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) − + x + x − ( x )1( x 2 2 ) x −1 B = ( = = dpcm
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( ) x − 2 3) Với P = .
A B . Tìm giá trị của x để P P . x − 2 x −1 x −1 P = . = x + 2 x − 2 x + 2 x −1
P P P 0
0 x 1. Kết hợp điều kiện suy ra 0 x 1 x + 2
Câu 197. (Thầy Nguyễn Chí Thành) ( Đề thi thử 10 – THCS Cầu Giấy 2020 – 2021) x −1 x 3 x + 3 3 + 5 x Cho biểu thức A = và B = − +
với x 0; x 1 x + 3 x + 3 1− x x + 2 x − 3
a) Tính giá trị A khi x = 16 . 4 x + 4
b) Chứng minh rằng: B = x −1
c) Cho biểu thức M = .
B A . Tìm giá trị của m để có x thỏa mãn M = m . Hướng dẫn
a) Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) x −1 16 −1 4 −1 3
Thay x = 16 vào A ta được: A = = = = x + 3 16 + 3 4 + 3 7 3
Vậy với x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 7 x 3 x + 3 3 + 5 x b) B = − + x + 3 1− x x + 2 x − 3 x 3 x + 3 3 + 5 x B = + + x + 3 x −1
( x +3)( x − )1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 181 x ( x − ) 1 (3 x +3)( x +3) 3 + 5 x B = ( + + x + 3)( x − ) 1
( x +3)( x − )1 ( x +3)( x − )1
x − x + 3x + 9 x + 3 x + 9 + 3 + 5 x B = ( x + 3)( x − ) 1 4x +16 x +12 B = ( x + 3)( x − ) 1 4( x + )
1 ( x + 3) 4( x + ) 1 4 x + 4 B = ( = = x + 3)( x − ) 1 x −1 x −1 4 x + 4
Vậy điều phải chứng minh B = . x −1 4 x + 4 x −1 4 x + 4 c) M = . B A = . = x −1 x + 3 x + 3 4 x + 4 Để M = m = m x + 3
4 x + 4 = m( x + ) 3
4 x + 4 = m x + 3m 4 x − m x = 3m − 4 x(4 − )
m = 3m − 4 (*)
Xét m = 4 0. x = 8 (*) vô nghiệm. m − Với m 4 3 4 x = 4 − m 3m − 4 0 4 m 4 Để 4 − m
có giá trị của x thì 3 . 3m − 4 1 m 2 4 − m 4 Vậy với
m 4 và m 2 để có x thỏa mãn M = m . 3
Câu 198. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL-Trưng Vương-Hoàn Kiến-2019-2020) 9 − 3 x x 1 − x x + 4 Cho biểu thức A = B = + −
với x 0 , x 4 . x − và 4 x +1 x − 2 x − x − 2
1. Tính giá trị của A khi x = 16 .
2. Rút gọn biểu thức B . 3. Tìm x
để biểu thức P = A: B nhận giá trị là một số nguyên âm. Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 182
1. với x 0 , x 4 .Thay x
16 (thỏa mãn điều kiện) thỏa mãn điều kiện vào A ta được : 9 − 3 16 9 − 3.4 3 1 A = = = − = − 16 − 4 16 − 4 12 4
2. Ta xét biểu thức B với x 0; x 4 x 1 − x x + 4 B = + − x +1 x − 2 x − x − 2 x ( x − 2) (1− x)( x + )1 x + 4 B = ( + − x + )
1 ( x − 2) ( x + )
1 ( x − 2) ( x + ) 1 ( x − 2) 3 − − + − − − − − ( x + x x x x x )1 2 1 4 3 3 B = ( = = x + ) 1 ( x − 2)
( x + )1( x −2) ( x + )1( x −2) 3 − B = x − 2 3 3 9 3 3 x x x 2 3. P A : B : . x 4 x 2 x 2 x 2 3 x 3 5 P 1 x 2 x 2 5 5 Do x 0 0 x 2 2 5 1 x 9 x 2 x 2 5 Để 5 P nguyên thì nguyên 1 x 2 5 2 x 4 5 x 2 4 x 2 Thử lại : x 9 P 0 (loại) 1 x P
1 (thỏa mãn P nguyên âm) 4
Câu 199. (Thầy Nguyễn Chí Thành) Thi thử lần 4-Lương Thế Vinh- 2020-2021) x +15 x 2 x + 5 8 x − 3 Cho biểu thức A = − + và B =
với x 0; x 9 . x − 9 x − 3 x x + 3 14
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm x sao cho A = 2B .
c) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn a) Rút gọn A .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 183 x +15 x 2 x + 5 A = − +
( x 0; x 9 ) x − 9 x − 3 x x + 3 x +15 x 2 x + 5 A = ( − + x − 3)( x + 3) x ( x − 3) x + 3
x ( x +15) − x( x + 3) + x ( x − 3)(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + (x − 3 x )(2 x + 5) A =
x ( x − 3)( x + 3)
x +15 x − x x − 3x + 2x x + 5x − 6x −15 x A =
x ( x − 3)( x + 3) x x − 3x A =
x ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3) A =
x ( x − 3)( x + 3) x A = x + 3 x x − x 16 x − 6 x 16 x − 6 b) A = 8 3 2B = 2 = − = 0 x + 3 14 x + 3 14 x + 3 14 + − x ( x 3)(16 x 6 14 ) ( −
= 14 x −( x + ) 3 (16 x −6) = 0 x + ) ( x + ) 0 14 3 14 3
14 x −(16x−6 x +48 x −18) = 0 14 x 1
− 6x + 6 x − 48 x +18 = 0 2
− 8 x −16x +18 = 0 1
− 6x − 28 x +18 = 0 8x +14 x − 9 = 0
8x +18 x − 4 x − 9 = 0 2 x (4 x +9)−(4 x +9) = 0 (2 x − ) 1 (4 x +9) = 0
2 x −1 = 0 (Vì 4 x + 9 0) 2 x = 1 1 x = 1 x = (thỏa mãn) 2 4 x 3 c) Ta có: A = = 1− x + 3 x + 3 Vì A 3 1− x + 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 184 Mà 1 3 x + 3
x + 3 U (3) = ( 1 ; 3) Mà x 0 x + 3 3
Vậy không tồn tại giá trị x thỏa mãn đề bài.
Câu 200. (Thầy Nguyễn Chí Thành) (KSCL-Trưng Vương-Lần 2-2019-2020) x − 2 x −1 3 x 2 − 5 x
Cho hai biểu thức A = và B = − −
với x 0 ; x 4 . x + 2 x + 2 2 − x x − 4
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = .
A B khi x N , x 101 Hướng dẫn
1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) 25 − 2 3
Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A= = 25 + 2 7 3 Vậy A= khi x = 25 . 7
2) Với x 0 ; x 4 ta có: x −1 3 x 2 − 5 x B = − − x + 2 2 − x x − 4 x −1 3 x 2 − 5 x B = + − x + 2 x − 2 ( x +2)( x −2)
( x − )1( x −2) 3 x( x +2) 2 − 5 x B = ( + −
x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
x − 3 x + 2 + 3x + 6 x − 2 + 5 x B = ( x + 2)( x − 2) 4x + 8 x B = ( x + 2)( x − 2) 4 x ( x + 2) B = ( x + 2)( x − 2) 4 x B = x − 2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Tuyển tập câu hỏi rút gọn và các bài toán liên quan Trang 185 4 x Vậy B =
với x 0 ; x 4 x − 2
3) Với x 0 ; x 4 ta có: x − 2 4 x M = . A B = . x + 2 x − 2 4 x M = x + 2 8 M = 4 − x + 2
Có x N ; 0 x 101nên 0 x 100 x + 2 12 8 2 8 2 10 4 − 4 − M x + 2 3 x + 2 3 3 10
Vậy M có giá trị lớn nhất là khi x = 100 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122