Top 74 bài toán xác suất chọn lọc – Nguyễn Hữu Biển

Top 74 bài toán xác suất chọn lọc – Nguyễn Hữu Biển. Tài liệu gồm 183 trang với phần lý thuyết, phân dạng, hướng dẫn phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết chuyên đề tổ hợp và xác suất. Nội dung tài liệu được chia thành các phần:

198 99 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 8: Các quy tắc tính xác suất (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

26 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
1
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Bài 1: Mt i ngũ giáo viên gm 8 thy giáo dy toán, 5 cô giáo dy vt lý và 3 cô giáo
dy hóa hc. S giáo dc cn chn ra 4 ngưi  chm bài thi THPT quc gia, tính xác
sut trong 4 ngưi ưc chn phi có cô giáo và có  ba b môn
Hướng dẫn
+ Ta có : chn ra 4 thy cô t 16 thy cô có
4
16
C 1820
=
(cách chn)
+  chn ưc 4 giáo viên phi có cô giáo và  ba b môn, vy có các trưng hp sau:
* Trường hợp 1: chon 2 thy toán, 1 cô lý, 1 cô hóa có
2 1 1
8 5 3
C C C
(cách chn)
* Trường hợp 2: chon 1 thy toán, 2 cô lý, 1 cô hóa có
1 2 1
8 5 3
C C C
(cách chn)
* Trường hợp 3: chon 1 thy toán, 1 cô lý, 2 cô hóa có
1 1 2
8 5 3
C C C
(cách chn)
Vy xác sut  chn ưc 4 ngưi phi có cô giáo và có  ba b môn là
2 1 1 1 2 1 1 1 2
8 5 3 8 5 3 8 5 3
4
16
C C C C C C C C C
3
P
C 7
+ +
= =
Bài 2: Mt hp ng 10 viên bi , 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Ly ngu nhiên 4
viên bi. Tính xác sut  các viên bi ly ưc  c 3 màu.
Hướng dẫn
* Tng s viên bi trong hp là 24. Gi
Ω
là không gian mu.
* Ly ngu nhiên 4 viên trong hp ta có
4
24
C
cách ly hay n(
Ω
) =
4
24
C
.
Gi A là bin c ly ưc các viên bi có  c 3 màu. Ta có các trưng hp sau:
+) 2 bi , 1 bi vàng và 1 bi xanh: có
2 1 1
10 8 6
2160
C C C =
cách
+) 1 bi , 2 bi vàng và 1 bi xanh: có
1 2 1
10 8 6
1680
C C C =
cách
+) 1 bi , 1 bi vàng và 2 bi xanh: có
1 1 2
10 8 6
1200
C C C =
cách
Do ó, n(A) = 5040
Vy, xác sut bin c A là
( ) 5040
( ) 47,4%
( ) 10626
n A
P A
n
= = ≈
Ω
Bài 3:
Có 30 tm th ánh s t 1 n 30. Rút ngu nhiên 3 th. Tính xác sut tng
các s ưc ghi trên 3 th chia ht cho 3.
Hướng dẫn
+  3 th rút ưc có tng chia ht cho 3 thì 3 th ó phi có dng:
3k;3k 1;3k 2
+ +
+ Ta thy
{
}
1 3k 30, k Z k 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10
≤ ≤ ∈ ⇒ ∈
, vy loi th 3k có 10 th
+ Tương t
{
}
1 3k 1 30,k Z k 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
≤ + ≤ ∈ ⇒ ∈
, vy loi th
3k 1
+
có 10 th
+
{
}
1 3k 2 30,k Z k 0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9
≤ + ≤ ∈ ⇒ ∈
, vy loi th
3k 2
+
có 10 th
Như vy:  tng các s ưc ghi trên 3 th chia ht cho 3 thì ta có 4 TH sau:
TH1: rút 3 th 3k có
3
10
C
cách
TH2: rút 3 th
3k 1
+
có
3
10
C
cách
TH3: rút 3 th
3k 2
+
có
3
10
C
cách
TH4: rút 1 th 3k, 1 th
3k 1
+
, 1 th
3k 2
+
có
10.10.10
cách
áp s:
3 3 3
10 10 10
3
30
C C C 10.10.10
p
C
+ + +
=
2
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Bài 4: Mt hp cha
4
qu cu màu ,
5
qu
c
u màu xanh và
7
qu
c
u màu vàng.
L
y ng
u nhiên cùng lúc ra
4
qu
c
u t
h
p
ó. Tính xác su
t sao cho
4
qu
c
u
ư
c
l
y ra có
úng m
t qu
c
u màu

và không quá hai qu
c
u màu vàng
Hướng dẫn
- S
cách l
y ra 4 qu
c
u b
t k
ỳ
t
16 qu
c
u là
4
16
C 1820
=
cách.
- G
i A là bi
n c
“4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả
màu vàng”
. Ta xét ba kh
n
ă
ng sau:
- S
cách l
y 1 qu

, 3 qu
xanh là:
1 3
4 5
C .C
- S
cách l
y 1 qu

, 2 qu
xanh, 1 qu
vàng là:
1 2 1
4 5 7
C .C .C
- S
cách l
y 1 qu

, 1 qu
xanh, 2 qu
vàng là:
1 1 2
4 5 7
C .C .C
Xác su
t c
a bi
n c
A là
1 3 1 2 1 1 1 2
4 5 4 5 7 4 5 7
4
16
C .C C .C .C C .C .C
37
p
C 91
+ +
= =
.
Bài 5:
Cho A là t
p các s
t
nhiên có 6 ch
s
. Tính xác su
t

l
y
ư
c s
l
chia h
t
cho 9 trong t
p A.
Hướng dẫn
+ G
i s
654321
aaaaaa
là s
có 6 ch
s
có
⇒
9.10
5
s
có 6 ch
s
+ Do
(
)
99
654321654321
⋮
⋮
aaaaaaaaaaaa +++++⇔
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
⇒
là các s
100008;100017;100028;…;999999
⇒
Nh
ư
v
y ta th
y các s
l
có 6 ch
s
chia h
t cho 9 l
p thành 1 c
p s
c
ng v
i:
( )
=
=⇔−=⇔−=⇒=
=
18
50000118999999)1(999999
100017
1
d
nndnuu
u
nn
⇒
có 50.0000 s
có 6 ch
s
chia h
t cho 9
V
y xác xu
t c
n tìm là
16
1
10
.
9
50000
5
=
Bài 6:
M
t tr
ư
ng THPT có 7 th
y d
y toán, 6 th
y d
y Lý và 4 th
y d
y Hóa. S
giáo
d
c c
n ch
n t
tr
ư
ng THPT
ó ra 5 th
y

ch
m thi THPT qu
c gia 2015. Tính xác
xu
t

ch
n
ư
c 5 th
y trong
ó có

b
môn.
Hướng dẫn
+ S
cách ch
n 5 th
y b
t kì trong 17 th
y là
5
17
C
+S
cách ch
n 5 trong th
y d
y Toán và Lý là
5
13
C
+ S
cách ch
n 5 trong 11 th
y d
y Toán và Hóa là
5
11
C
+ S
cách ch
n 5 trong 10 th
y d
y Toán và Hóa là
5
10
C
+ S
cách ch
n 5 th
y ch
d
y Toán là
5
7
C
+ S
cách ch
n 5 th
y ch
d
y Lý là
5
6
C
⇒
s
cách ch
n 5 th
y không có

3 b
môn:
5
7
5
6
5
10
5
11
5
13
CCCCC
−−++
V
y s
cách ch
n có

c
3 b
môn là:
4214)(
5
7
5
6
5
10
5
11
5
13
5
17
=−−++−
CCCCCC
3
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
⇒
xác su
t c
n tìm
442
3014214
5
17
=
C
Bài 7:
M
t tr
ư
ng THPT có 15 h
c sinh là
oàn viên
ư
u tú, trong
ó kh
i 12 có 3 nam và
3 n
, kh
i 11 có 2 nam và 3 n
, kh
i 10 có 2 nam và 2 n
.
oàn tr
ư
ng ch
n ra 1 nhóm
g
m 4 h
c sinh là
oàn viên
ư
u tú

tham gia lao

ng ngh
ĩ
a trang li
t s
ĩ
. Tính xác su
t

nhóm
ư
c ch
n có c
nam và n
,

ng th
i m
i kh
i có 1 h
c sinh nam.
Hướng dẫn
+ S
ph
n t
c
a không gian m
u:
4
15
C 1365
Ω = =
+ G
i A là bi
n c
“nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh
nam”
⇒
s
ph
n t
c
a bi
n c
A là:
1 1 1 1
A 3 2 2 8
C .C .C .C 96
Ω = =
96 32
P(A)
1365 455
⇒
= =
Bài 8:
M
t h
p

ng 6 bút xanh, 6 bút
en, 5 bút tím và 3 bút

ư
c
ánh s
t
1

n
20. L
y ng
u nhiên 4 cái bút. Tính xác su
t

l
y
ư
c ít nh
t 2 bút cùng màu.
Hướng dẫn
+ L
y 4 cái bút t
20 cái bút ta có:
4845
4
20
=C
cách.
+ L
y 4 cái bút mà ít nh
t 2 bút cùng màu:
(làm theo phương pháp “phân bù” ).
- S
l
y 4 bút mà 4 màu khác nhau:
1
3
1
5
1
6
1
6
... CCCC
cách
- S
cách l
y th
a mãn yêu c
u là:
4305...
1
3
1
5
1
6
1
6
4
20
=− CCCCC
cách
Xác su
t c
n tìm là
4305 287
P
4845 323
= =
Bài 9:
M
t l
p h
c có 27 h
c sinh n
và 21 h
c sinh nam. Cô giáo ch
n ra 5 h
c sinh

l
p m
t t
p ca chào m
ng 20 - 11. Tính xác su
t

trong t
p ca
ó có ít nh
t m
t h
c
sinh n
.
Hướng dẫn
- Ch
n ng
u nhiên 5 h
c sinh trong s
48 h
c sinh có:
=
5
48
1712304
C
- G
i A là bi
n c
" ch
n 5 h
c sinh trong
ó có ít nh
t m
t h
c sinh n
" thì
A
là bi
n c
" ch
n 5 h
c sinh mà trong
ó không có h
c sinh n
".
- Ta có s
k
t qu
thu
n l
i cho
A
là:
=
5
21
20349
C
( )
⇒ = =
5
21
5
48
20349
1712304
C
P A
C
( )
⇒
= − =
20349 1691955
1
1712304 1712304
P A
Bài 10:
i v
ă
n ngh
c
a nhà tr
ư
ng g
m 4 h
c sinh l
p 12
A
, 3 h
c sinh l
p 12
B
và 2
h
c sinh l
p 12
C
. Ch
n ng
u nhiên 5 h
c sinh t

i v
ă
n ngh

bi
u di
n trong l
b
gi
ng n
ă
m h
c. Tính xác su
t sao cho l
p nào c
ũ
ng có h
c sinh
ư
c ch
n và có ít nh
t 2
h
c sinh l
p 12
A
.
Hướng dẫn
- G
i không gian m
u c
a phép ch
n ng
u nhiên là
Ω
4
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là:
5
9
126
C
=
- G
i A là bi
n c
“Ch
n 5 h
c sinh t

i v
ă
n ngh
sao cho có h
c sinh
c
ba l
p và
có ít nh
t 2 h
c sinh l
p 12A”.
- Ch
có 3 kh
n
ă
ng x
y ra thu
n l
i cho bi
n c
A là :
+ 2 h
c sinh l
p 12A, 1 h
c sinh l
p 12B, 2 h
c sinh l
p 12C
+ 2 h
c sinh l
p 12A, 1 h
c sinh l
p 12B, 2 h
c sinh l
p 12C
+ 3 h
c sinh l
p 12A, 1 h
c sinh l
p 12B, 1 h
c sinh l
p 12C
S
k
t qu
thu
n l
i cho bi
n c
A là:
2 1 2 2 2 1 3 1 1
4 3 2 4 3 2 4 3 2
. . . . . . 78
C C C C C C C C C
+ + =
.
Xác su
t c
n tìm là
78 13
126 21
P
= =
.
Bài 11:
G
i A là t
p h
p t
t c
các s
t
nhiên g
m 4 ch
s
phân bi
t
ư
c ch
n t
các
ch
s
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Ch
n ng
u nhiên m
t s
t
t
p A, tính xác su
t

s
ch
n
ư
c là
s
chia h
t cho 5.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a A là
3
6
6.A 720
=
- S
cách ch
n m
t s
có hàng
ơ
n v
là s
0 có
3
6
1.A 120
=
cách
- S
cách ch
n m
t s
có hàng
ơ
n v
là s
5 có
2
5
1.5.A 100
=
cách
- Suy ra s
cách ch
n m
t s
chia h
t cho 5 là
120 100 220
+ =
cách
V
y xác su
t c
n tìm b
ng
220 11
720 36
=
.
Bài 12:
Trong c
m thi

xét công nh
n t
t nghi
p THPT thí sinh ph
i thi 4 môn trong
ó
có 3 môn b
t bu
c là Toán, V
ă
n, Ngo
i ng
và m
t môn do thí sinh t
ch
n trong s
các
môn: V
t lí, Hóa h
c, Sinh h
c, L
ch s
và

a lí. Tr
ư
ng A có 30 h
c sinh
ă
ng kí d
thi, trong
ó có 10 h
c sinh ch
n môn L
ch s
. L
y ng
u nhiên 5 h
c sinh b
t k
ỳ
c
a
tr
ư
ng A, tính xác su
t

trong 5 h
c sinh
ó có nhi
u nh
t 2 h
c sinh ch
n môn L
ch
s
.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là:
5
30
( ) 142506
n C
Ω = =
- G
i A là bi
n c
: “5 h
c sinh
ư
c ch
n có nhi
u nh
t 2 h
c sinh ch
n môn l
ch s
”
- S
ph
n t
c
a bi
n c
A là:
5 4 1 3 2
20 20 10 20 10
( ) 115254
n A C C C C C
= + + =
V
y xác su
t c
n tìm là:
115254
( ) 0,81
142506
P A
= ≈
.
Bài 13:
M
t h
p ch
a 4 viên bi tr
ng, 5 viên bi

và 6 viên bi xanh. L
y ng
u nhiên t
h
p ra 4 viên bi. Tính xác xu
t

4 viên bi
ư
c chon có

3 màu và s
bi

nhi
u
nh
t.
Hướng dẫn
- Ta có:
( )
4
15
n 1365
C
Ω = =
- G
i A là bi
n c
“4 viên bi
ư
c ch
n có

3 màu và s
bi

nhi
u nh
t’
5
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Khi
ó
( )
1 2 1
4 5 6
n A 240
C C C
= =
. V
y
( )
(
( )
16
91
n A
p A
n
= =
Ω
Bài 14:
G
i X là t
p h
p các s
t
nhiên g
m 6 ch
s
ôi m
t khác nhau
ư
c t
o
thành t
các ch
s
1 2 3 4 5 6 7 8 9
, , , , , , , ,
. Ch
n ng
u nhiên m
t s
t
t
p h
p X. Tính xác
su
t

s
ư
c ch
n ch
ch
a 3 ch
s
l
.
Hướng dẫn
- G
i
Ω
là không gian m
u c
a phép th
: “Ch
n ng
u nhiên m
t s
t
t
p X”.
Khi
ó:
6
9
60480
Ω = =
A
- G
i A là bi
n c
: “S
ư
c ch
n ch
ch
a 3 ch
s
l
”. Khi
ó:
+ Ch
n 3 ch
s
l
ôi m
t khác nhau t
các ch
s
1 3 5 7 9
, , , ,
có
3
5
C
cách.
+ Ch
n 3 ch
s
ch
n

i m
t khác nhau t
các ch
s
2 4 6 8
, , ,
có
3
4
C
cách.
+ S
p x
p các ch
s
trên

ư
c s
th
a mãn bi
n c
A có
6
!
cách.
Do
ó
3 3
5 4
6 28800
Ω = =
A
C .C . !
V
y xác su
t c
n tìm là:
28800 10
60480 21
Ω
= = =
Ω
A
P(A)
Bài 15:
Trong c
m thi

xét công nh
n t
t nghi
p THPT thí sinh ph
i thi 4 môn trong
ó
có 3 môn b
t bu
c là Toán, V
ă
n, Ngo
i ng
và 1 môn do thí sinh t
ch
n trong s
các
môn: V
t lí, Hóa h
c, Sinh h
c, L
ch s
và

a lí. Tr
ư
ng X có 40 h
c sinh
ă
ng kí d
thi, trong
ó 10 h
c sinh ch
n môn V
t lí và 20 h
c sinh ch
n môn Hóa h
c. L
y ng
u
nhiên 3 h
c sinh b
t k
ỳ
c
a tr
ư
ng X. Tính xác su
t

trong 3 h
c sinh
ó luôn có h
c
sinh ch
n môn V
t lí và h
c sinh ch
n môn Hóa h
c.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là
3
40
n C
Ω
=
- G
i A là bi
n c
“3 h
c sinh
ư
c ch
n luôn có h
c sinh ch
n môn V
t lý và h
c sinh
ch
n môn Hóa h
c”
- S
ph
n t
c
a bi
n c
A là
1 2 2 1 1 1 1
10 20 10 20 20 10 10
. . . .
A
n C C C C C C C
= + +
V
y xác su
t

x
y ra bi
n c
A là
120
247
A
A
n
P
n
Ω
= =
Bài 16:

i d
tuy
n h
c sinh gi
i gi
i toán trên máy tính c
m tay môn toán c
a m
t
tr
ư
ng ph
thông có 4 h
c sinh nam kh
i 12, 2 h
c sinh n
kh
i 12 và 2 h
c sinh nam
kh
i 11.

thành l
p

i tuy
n d
thi h
c sinh gi
i gi
i toán trên máy tính c
m tay môn
toán c
p t
nh nhà tr
ư
ng c
n ch
n 5 em t
8 em h
c sinh trên. Tính xác su
t

trong 5
em
ư
c ch
n có c
h
c sinh nam và h
c sinh n
, có c
h
c sinh kh
i 11 và h
c sinh kh
i
12.
Hướng dẫn
- S
cách ch
n 5 em h
c sinh t
8 h
c sinh trên là
5
8
C
= 56 cách
-

ch
n 5 em th
a mãn bài ra, ta xét các tr
ư
ng h
p sau
+) 1 nam kh
i 11, 1 n
kh
i 12 và 3 nam kh
i 12 có:
1 1 3
2 2 4
C C C
cách
+) 1 nam kh
i 11, 2 n
kh
i 12 và 2 nam kh
i 12 có:
1 2 2
2 2 4
C C C
cách
+) 2 nam kh
i 11, 1 n
kh
i 12 và 2 nam kh
i 12 có:
2 1 2
2 2 4
C C C
cách
6
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
+) 2 nam kh
i 11, 2 n
kh
i 12 và 1 nam kh
i 12 có:
2 2 1
2 2 4
C C C
cách
S
cách ch
n 5 em th
a mãn bài ra là:
1 1 3
2 2 4
C C C
+
1 2 2
2 2 4
C C C
+
2 1 2
2 2 4
C C C
+
2 2 1
2 2 4
C C C
= 44 cách
V
y xác su
t c
n tính là:
44 11
56 14
=
Bài 17:
Trong b
môn Toán, th
y giáo có 40 câu h
i khác nhau g
m 5 câu h
i khó, 15
câu h
i trung bình, 20 câu h
i d
. M
t ngân hàng

thi m
i

thi có 7 câu h
i
ơ
c
ch
n t
40 câu h
i
ó. Tính xác su
t

ch
n
ư
c

thi t
ngân hàng

nói trên nh
t
thi
t ph
i có

3 lo
i câu h
i (khó, trung bình, d
) và s
câu h
i d
không ít h
ơ
n 4.
Hướng dẫn
- Không gian m
u c
a vi
c t
o

thi là :
18643560
7
40
==Ω C
- G
i A là bi
n c
ch
n

c

thi có

3 lo
i câu h
i(khó, trung bình, d
) và s
câu
h
i d
không ít h
ơ
n 4.
4433175.....
1
15
1
5
5
20
2
15
1
5
4
20
1
15
2
5
4
20
=++=Ω CCCCCCCCC
A
Xác su
t c
n tìm là
3848
915
)( =
Ω
Ω
=
A
AP
Bài 18:
Trong

t thi h
c sinh gi
i c
a t
nh, tr
ư
ng THPT X môn Toán có 5 em

t gi
i
trong
ó có 4 nam và 1 n
, môn V
ă
n có 5 em

t gi
i trong
ó có 1 nam và 4 n
, môn
Hóa h
c có 5 em

t gi
i trong
ó có 2 nam và 3 n
, môn V
t lí có 5 em

t gi
i trong
ó có 3 nam và 2 n
. H
i có bao nhiêu cách ch
n m
i môn m
t em h
c sinh

i d

i
h
i thi
ua ? Tính xác su
t

có c
h
c sinh nam và n

i d

i h
i?
Hướng dẫn
- Có t
t c
5.5.5.5=625 cách
n(
Ω
) 625
⇒
=
- G
i A là bi
n c
“có c
HS nam và n
i d

i h
i”
A
⇒
là bi
n c
“C
b
n HS nam ho
c c
4 HS n
i d
H”
n(A) 4.1.2.3 1.4.3.2 48
⇒
= + =
( )
n(A) 48
P A
n(
Ω) 625
⇒ = =
V
y
( )
48 577
P(A) 1 P A 1
625 625
= − = − =
Bài 19:
Tr
ư
ng trung h
c ph
thông X s
1 có t
Toán g
m 15 giáo viên trong
ó có 8
giáo viên nam, 7 giáo viên n
; T
Lý g
m 12 giáo viên trong
ó có 5 giáo viên nam, 7
giáo viên n
. Ch
n ng
u nhiên m
i t
2 giáo viên
i d
t
p hu
n chuyên

d
y h
c tích
h
p. Tính xác su
t sao cho trong các giáo viên
ư
c ch
n có 2 nam và 2 n
.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a c
a không gian m
u:
2
12
2
15
)( CCn =Ω
- G
i A là bi
n c
: “Các giáo viên
ư
c ch
n có 2 nam và 2 n
”
⇒
n(A)=
1
5
1
7
1
7
1
8
2
7
2
5
2
7
2
8
CCCCCCCC ++
⇒
P(A) =
=
Ω)(
)(
n
An
495
197
Bài 20:
G
i M là t
p h
p các s
có 4 ch
s
ôi m
t khác nhau l
p t
các ch
s
1, 2, 3,
4, 5, 6, 7. L
y ra t
t
p M m
t s
b
t k
ỳ
. Tính xác su
t

l
y
ư
c s
có t
ng các ch
s
là s
l
?
Hướng dẫn
7
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- G
i A là bi
n c
" S
ch
n
ư
c là s
có 4 ch
s
ôi m
t khác nhau và t
ng các ch
s
là m
t s
l
".
- S
các s
có 4 ch
s
ôi m
t khác nhau l
p t
7 ch
s
ã cho là
4
7
840
A =
(s
)
840
⇒ Ω =
- G
i s
4 ch
s
ôi m
t khác nhau và t
ng các ch
s
là m
t s
l
có d
ng
abcd
.
- Do t
ng
a b c d
+ + +
là s
l
nên s
ch
s
l
là l
nên có các tr
ư
ng h
p sau:
+ Tr
ư
ng h
p 1 : có 1 ch
s
l
, 3 ch
s
ch
n : có
1 3
4 3
. 4
C C
=
b
s
+ Tr
ư
ng h
p 2 : có 3 ch
s
l
, 1 ch
s
ch
n : có
3 1
4 3
. 12
C C
=
b
s
- T
m
i b
s
trên ta l
p
ư
c
4
24
P
=
s
- T
t c
có 16.24= 384 s
, suy ra:
384
A
Ω =
.
V
y
384 48
( )
840 105
A
P A
Ω
= = =
Ω
.
Bài 21:

i d
tuy
n h
c sinh gi
i gi
i toán trên máy tính c
m tay môn toán c
a m
t
tr
ư
ng ph
thông có 4 h
c sinh nam kh
i 12, 2 h
c sinh n
kh
i 12 và 2 h
c sinh nam
kh
i 11.

thành l
p

i tuy
n d
thi h
c sinh gi
i gi
i toán trên máy tính c
m tay môn
toán c
p t
nh nhà tr
ư
ng c
n ch
n 5 em t
8 em h
c sinh trên. Tính xác su
t

trong 5
em
ư
c ch
n có c
h
c sinh nam và h
c sinh n
, có c
h
c sinh kh
i 11 và h
c sinh kh
i
12.
Hướng dẫn
- S
cách ch
n 5 em h
c sinh t
8 h
c sinh trên là
5
8
C
= 56 cách
-

ch
n 5 em th
a mãn bài ra, ta xét các tr
ư
ng h
p sau
+) 1 nam kh
i 11, 1 n
kh
i 12 và 3 nam kh
i 12 có:
1 1 3
2 2 4
C C C
cách
+) 1 nam kh
i 11, 2 n
kh
i 12 và 2 nam kh
i 12 có:
1 2 2
2 2 4
C C C
cách
+) 2 nam kh
i 11, 1 n
kh
i 12 và 2 nam kh
i 12 có:
2 1 2
2 2 4
C C C
cách
+) 2 nam kh
i 11, 2 n
kh
i 12 và 1 nam kh
i 12 có:
2 2 1
2 2 4
C C C
cách
- S
cách ch
n 5 em th
a mãn bài ra là:
1 1 3
2 2 4
C C C
+
1 2 2
2 2 4
C C C
+
2 1 2
2 2 4
C C C
+
2 2 1
2 2 4
C C C
= 44 cách
V
y xác su
t c
n tính là:
44 11
56 14
=
Bài 22:
M
t h
p

ng 9 viên bi trong
ó có 4 viên bi màu

, 5 viên bi màu xanh. L
y
ng
u nhiên 3 viên bi. Tính xác su
t

trong 3 viên bi l
y
ư
c có ít nh
t 2 viên bi màu
xanh.
Hướng dẫn
- G
i
Ω
là không gian m
u c
a phép l
y ng
u nhiên 3 viên bi t
9 viên bi
(
3
9
n C 84
⇒ Ω = =
- G
i A là bi
n c
l
y
ư
c ít nh
t 2 viên bi xanh, ta có các tr
ư
ng h
p sau:
+ Tr
ư
ng h
p 1. Trong 3 viên bi l
y
ư
c có 2 viên bi xanh, 1 viên bi

, có
2 1
5 4
C .C 40
=
cách.
8
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
+ Tr
ư
ng h
p 2. Ba viên bi l
y ra toàn màu xanh, có
3
5
C 10
=
cách
Suy ra
(
2 1 3
5 4 5
n A C .C C 50
= + =
. V
y
( )
(
( )
n A
50 25
P A
n 84 42
= = =
Ω
Bài 23:
G
i A là t
p h
p t
t c
các s
t
nhiên g
m 4 ch
s
phân bi
t
ư
c ch
n t
các
ch
s
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Ch
n ng
u nhiên m
t s
t
t
p A, tính xác su
t

s
ch
n
ư
c là
s
chia h
t cho 5.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a A là
3
6
6.A 720
=
- S
cách ch
n m
t s
có hàng
ơ
n v
là s
0 có
3
6
1.A 120
=
cách
- S
cách ch
n m
t s
có hàng
ơ
n v
là s
5 có
2
5
1.5.A 100
=
cách
- Suy ra s
cách ch
n m
t s
chia h
t cho 5 là
120 100 220
+ =
cách
V
y xác su
t c
n tìm b
ng
220 11
720 36
=
.
Bài 24:
Có 30 t
m th
ánh s
t
1

n 30. Ch
n ng
u nhiên ra 10 t
m th
. Tìm xác su
t

có 5 t
m th
mang s
l
, 5 t
m th
mang s
ch
n, trong
ó ch
có
úng 1 t
m th
mang
s
chia h
t cho 10.
Hướng dẫn
- G
i
Ω
là t
p h
p các cách ch
n ra 10 t
m th
t
30 t
m th
ã cho
⇒
10
30
C
Ω =
- Trong 30 t
m th
có 15 t
m th
mang s
l
, 15 t
m th
mang s
ch
n trong
ó có 3 t
m
th
mang s
chia h
t cho 10.
- G
i
A
Ω
là t
p h
p các cách ch
n ra có 5 t
m th
mang s
l
, 5 t
m th
mang s
ch
n,
trong
ó ch
có
úng 1 t
m th
mang s
chia h
t cho 10
5 4 1
15 12 3
. .
⇒ Ω =
A
C C C
V
y
( )
5 4 1
15 12 3
10
30
. .
99
.
667
C C C
P A
C
= =
Bài 25:
M
t cái h
p

ng 6 viên bi

và 4 viên bi xanh.L
y l
n l
ư
t 2 viên bi t
cái h
p
ó.Tính xác xu
t

viên bi
ư
c l
y l
n th
2 là bi xanh.
Hướng dẫn
* S
cách l
y l
n l
ư
t 2 viên bi t
h
p là 10.9 = 90 (cách)
* N
u l
n 1 l
y
ư
c bi

và l
n 2 l
y
ư
c bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách)
* N
u l
n 1 l
y
ư
c bi xanh và l
n 2 c
ũ
ng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách)
Suy ra xác su
t c
n tìm là
(
4
90 10
24 12
p
+
= =
Bài 26:
M
t h
p

ng 10 viên bi

, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. L
y ng
u nhiên 4
viên bi. Tính xác su
t

các viên bi l
y
ư
c

c
3 màu.
Hướng dẫn
T
ng s
viên bi trong h
p là 24. G
i
Ω
là không gian m
u.
9
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
L
y ng
u nhiên 4 viên trong h
p ta có
4
24
C
cách l
y hay n(
Ω
) =
4
24
C
.
G
i A là bi
n c
l
y
ư
c các viên bi có

c
3 màu. Ta có các tr
ư
ng h
p sau:
+) 2 bi

, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có
2 1 1
10 8 6
2160
C C C =
cách
+) 1 bi

, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có
1 2 1
10 8 6
1680
C C C =
cách
+) 1 bi

, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có
1 1 2
10 8 6
1200
C C C =
cách
Do
ó, n(A) = 5040
V
y, xác su
t bi
n c
A là
( ) 5040
( ) 47,4%
( ) 10626
n A
P A
n
= = ≈
Ω
Bài 27:
T
các ch
s
c
a t
p
{
}
0;1;2;3;4;5
T
=
, ng
ư
i ta ghi ng
u nhiên hai s
t
nhiên
có ba ch
s
khác nhau lên hai t
m th
. Tính xác su
t

hai s
ghi trên hai t
m th
ó có
ít nh
t m
t s
chia h
t cho 5.
Hướng dẫn
+ Có
2
5
5. 100
A = s
t
nhiên có 3 ch
s
khác nhau
+ Có
2 1
5 4
4. 36
A A
+ =
s
t
nhiên có 3 ch
s
khác nhau và chia h
t cho 5.
+ Có
64
s
t
nhiên có 3 ch
s
khác nhau và không chia h
t cho 5.
+
( )
1 1
100 99
. 9900
n C CΩ = =
+ G
i A là bi
n c
: “Trong hai s
ư
c ghi trên 2 t
m th
có ít nh
t 1 s
chia h
t cho 5”
Ta có:
( )
1 1 1 1
36 64 36 35
. . 3564
n A C C C C= + =
V
y :
( )
(
)
( )
3564 9
0,36
9900 25
n A
P A
n
= = = =
Ω
Bài 28:
Có 20 t
m th
ư
c
ánh s
t
1

n 20. Ch
n ng
u nhiên ra 5 t
m th
. Tính xác
su
t

trong 5 t
m th
ư
c ch
n ra có 3 t
m th
mang s
l
, 2 t
m th
mang s
ch
n
trong
ó ch
có
úng m
t t
m th
mang s
chia h
t cho 4.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là:
(
5
20
15504
n CΩ = =
.
- Trong 20 t
m th
, có 10 t
m th
mang s
l
, có 5 t
m th
mang s
ch
n và chia h
t cho
4, 5 t
m th
mang s
ch
n và không chia h
t cho 4.
10
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- G
i A là bi
n c
c
n tính xác su
t. Ta có:
(
3 1 1
10 5 5
. . 3000
n A C C C= =
.
V
y, xác su
t c
n tính là:
( )
(
( )
3000 125
15504 646
n A
P A
n
= = =
Ω
.
Bài 29:
G
i M là t
p h
p các s
t
nhiên g
m 9 ch
s
khác nhau. Ch
n ng
u nhiên m
t
s
t
M, tính xác su
t

s
ư
c ch
n có
úng 4 ch
s
l
và ch
s
0

ng gi
a hai ch
s
l
(các ch
ữ
s
ố
li
ề
n tr
ướ
c và li
ề
n sau c
ủ
a ch
ữ
s
ố
0 là các ch
ữ
s
ố
l
ẻ
).
Hướng dẫn
Xét các s
có 9 ch
s
khác nhau:
- Có 9 cách ch
n ch
s
v
trí

u tiên.
- Có
8
9
A
cách ch
n 8 ch
s
ti
p theo
Do
ó s
các s
có 9 ch
s
khác nhau là: 9.
8
9
A
= 3265920
Xét các s
th
a mãn

bài:
- Có
4
5
C
cách ch
n 4 ch
s
l
.
-

u tiên ta x
p v
trí cho ch
s
0, do ch
s
0 không th

ng

u và cu
i nên có 7
cách x
p.
- Ti
p theo ta có
2
4
A
cách ch
n và x
p hai ch
s
l

ng hai bên ch
s
0.
- Cu
i cùng ta có 6! cách x
p 6 ch
s
còn l
i vào 6 v
trí còn l
i.
G
i A là bi
n c
ã cho, khi
ó
== !6..7.)(
2
4
4
5
ACAn
302400.
V
y xác su
t c
n tìm là
54
5
3265920
302400
)( ==AP
.
Bài 30:
M
t t
có 5 h
c sinh nam và 6 h
c sinh n
. Giáo viên ch
n ng
u nhiên 3 h
c sinh

làm tr
c nh
t. Tính xác su
t

3 h
c sinh
ư
c ch
n có c
nam và n
.
Hướng dẫn
- Ta có
(
3
11
165
n CΩ = =
- S
cách ch
n 3 h
c sinh có c
nam và n
là
2 1 1 2
5 6 5 6
. . 135
C C C C+ =
- Do
ó xác su
t

3 h
c sinh
ư
c ch
n có c
nam và n
là
135 9
165 11
=
Bài 31:
Hai ng
ư
i cùng b
n vào m
t m
c tiêu. Xác su
t b
n trúng c
a t
ng ng
ư
i là 0,8
và 0,9. Tìm xác su
t c
a các bi
n c
sao cho ch
có m
t ng
ư
i b
n trúng m
c tiêu.
11
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Hướng dẫn
- G
i A là bi
n c
c
a ng
ư
i b
n trúng m
c tiêu v
i xác su
t là 0.8
- B là bi
n c
c
a ng
ư
i b
n trúng m
c tiêu v
i xác su
t là 0.9
- G
i C là bi
n c
c
n tính xác su
t thì C =
. .
+
A B A B
V
y xác su
t c
n tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26
Bài 32:
M
t

i ng
ũ
cán b
khoa h
c g
m 8 nhà toán h
c nam, 5 nhà v
t lý n
và 3 nhà
hóa h
c n
. Ch
n ra t
ó 4 ng
ư
i, tính xác su
t trong 4 ng
ư
i
ư
c ch
n ph
i có n
và
có

ba b
môn
Hướng dẫn
Ta có :
4
16
1820
CΩ = =
G
i A: “2nam toán, 1 lý n
ữ
, 1 hóa n
ữ
”
B: “1 nam toán, 2 lý n
ữ
, 1 hóa n
ữ
”
C: “1 nam toán, 1 lý n
ữ
, 2 hóa n
ữ
“
Thì H =
A B C
∪ ∪
: “Có n
ữ
và
đủ
ba b
ộ
môn”
2 1 1 1 2 1 1 1 2
8 5 3 8 5 3 8 5 3
3
( )
7
C C C C C C C C C
P H
+ +
= =
Ω
Bài 33:
M
t t
có 5 h
c sinh nam và 6 h
c sinh n
. Giáo viên ch
n ng
u nhiên 3 h
c
sinh

làm tr
c nh
t. Tính xác su
t

3 h
c sinh
ư
c ch
n có c
nam và n
.
Hướng dẫn
(
3
11
165
n CΩ = =
- S
cách ch
n 3 h
c sinh có c
nam và n
là
2 1 1 2
5 6 5 6
. . 135
C C C C+ =
- Do
ó xác su
t

3 h
c sinh
ư
c ch
n có c
nam và n
là
135 9
165 11
=
Bài 34:
Trong cu
c thi “ Rung chuông vàng”,

i Th

c có 20 b
n l
t vào vòng chung
k
t, trong
ó có 5 b
n n
và 15 b
n nam.

s
p x
p v
trí ch
ơ
i, ban t
ch
c chia các b
n
thành 4 nhóm A, B, C, D, m
i nhóm có 5 b
n. Vi
c chia nhóm
ư
c th
c hi
n b
ng cách
b
c th
ă
m ng
u nhiên. Tính xác su
t

5 b
n n
thu
c cùng m
t nhóm
Hướng dẫn
- Có
5 5 5 5
20 15 10 5
( )
n C C C C
Ω =
cách chia 20 b
n vào 4 nhóm, m
i nhóm 5 b
n.
- G
i A là bi
n c
“ 5 b
n n
vào cùng m
t nhóm”
12
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- Xét 5 b
n n
thu
c nhóm A có
5 5 5
15 10 5
C C C
cách chia các b
n nam vào các nhóm còn l
i.
- Do vai trò các nhóm nh
ư
nhau nên có
5 5 5
15 10 5
4
A
C C C
Ω =
Khi
ó
5
20
4
(A)P
C
=
Bài 35:
M
t ng
ư
i có 10
ôi giày khác nhau và trong lúc
i du l
ch v
i vã l
y ng
u nhiên
4 chi
c. Tính xác su
t

trong 4 chi
c
già
y l
y ra có ít nh
t m
t
ôi.
Hướng dẫn
- S
 cá
ch l
y 4 chi
c
già
y
tù
y
ý
: C
4
20
= 4845
- S
 cá
ch c
h
n 4 chi
c
già
y t
4
ôi (m
ỗ
i chi
ế
c l
ấ
y t
ừ
m
ộ
t
đ
ôi)
là
:
(s
cách ch
n 4
ôi t
10
ôi)×( s
cách ch
n 4 chi
c) = C
4
10
2
4
Xác su
t c
n tìm là :
4
4 4
20 10
4
20
C - C .2
672
=
969
C
Bài 36:
Gi
i bóng chuy
n VTV Cup g
m 12

i bóng tham d
, trong
ó có 9

i n
ư
c
ngoài và 3

i c
a Vi
t Nam. Ban t
ch
c cho b
c th
ă
m ng
u nhiên

chia thành 3 b
ng
A, B, C m
i b
ng 4

i. Tính xác su
t

3

i bóng c
a Vi
t Nam
ba b
ng khác nhau.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
không gian m
u là
4
4 4 4
12 8
( ) . . 34.650
n C C CΩ = =
- G
i A là bi
n c
“3
độ
i bong c
ủ
a Vi
ệ
t nam
ở
ba b
ả
ng khác nhau”
- S
các k
t qu
thu
n l
i c
a A là
3 3 3
9 6 3
( ) 3 .2 .1. 1080
n A C C C= =
Xác xu
t c
a bi
n c
A là
( ) 1080 54
( ) 0,31
( 34650 173
n A
P A
n
= = =
Ω
≃
Bài 37:
Có 5 h
p bánh, m
i h
p

ng 8 cái bánh g
m 5 cái bánh m
n và 3 bánh ng
t.
L
y ng
u nhiên t
m
i h
p ra hai bánh. Tính xác su
t bi
n c
trong n
ă
m l
n l
y ra
ó có
b
n l
n l
y
ư
c 2 bánh m
n và m
t l
n l
y
ư
c 2 bánh ng
t.
Hướng dẫn
- G
i
Ω
là không gian m
u c
a phép th
.
- G
i A là bi
n c
“Trong n
ă
m l
ầ
n l
ấ
y ra có b
ố
n l
ầ
n l
ấ
y
đượ
c 2 bánh m
ặ
n và m
ộ
t l
ầ
n l
ấ
y
đượ
c 2 bánh ng
ọ
t”.
2 5 2 4 2
8 5 3
n( ) (C ) , n(A) 5.(C ) .C
⇒ Ω = =
2 4 2
5 3
2 5
8
5.(C ) .C
9375
P(A) 0,0087
(C ) 1075648
⇒ = = ≈
13
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Bài 38:
Có 30 t
m th
ư
c
ánh s
t
1

n 30. Ch
n ng
u nhiên ra 10 t
m th
. Tính
xác su
t

có 5 t
m th
mang s
l
, 5 t
m th
mang s
ch
n trong
ó ch
có duy nh
t 1
t
m mang s
chia h
t cho 10.
Hướng dẫn
- G
i A là bi
n c
l
y
ư
c 5 t
m th
mang s
l
, 5 t
m th
mang s
ch
n trong
ó ch
có
1 t
m th
mang s
chia h
t cho 10.
- Ch
n 10 t
m th
trong 30 t
m th
có : C
10
30
cách ch
n
- Ta ph
i ch
n :
+ 5 t
m th
mang s
l
trong 15 t
m mang s
l
có C
15
5
cách ch
n.
+ 1 t
m th
chia h
t cho 10 trong 3 t
m th
mang s
chia h
t cho 10, có : C
1
3
cc
+ 4 t
m th
mang s
ch
n nh
ư
ng không chia h
t cho 10 trong 12 t
m nh
ư
v
y, có : C
4
12
V
y xác su
t c
n tìm là : P(A) =
5 4 1
15 12 3
10
30
. .
99
667
=
C C C
C
Bài 39:
Trong k
ỳ
thi h
c sinh gi
i qu
c gia, l
p 12A Có 2 h
c sinh

t gi
i môn Toán

u là h
c sinh nam và 4 h
c sinh

t gi
i môn V
t lí trong
ó có 2 h
c sinh nam và 2
h
c sinh n
. Ch
n ng
u nhiên 4 h
c sinh trong các h
c sinh

t gi
i
ó
i d
l
t
ng k
t
n
ă
m h
c c
a t
nh. Tính xác su
t

4 h
c sinh
ư
c ch
n có 2 nam và 2 n
,

ng th
i còn
có c
h
c sinh

t gi
i môn Toán và h
c sinh

t gi
i môn V
t lí.
Hướng dẫn
- Không gian m
u
là t
p h
p g
m t
t c
các cách ch
n ra 3 h
c sinh trong các h
c sinh

t gi
i c
a k
ỳ
thi h
c sinh gi
i qu
c gia, do
ó ta có
3
6
( ) C 20
n
Ω = =
- Kí hi
u A là bi
n c
‘‘4 h
ọ
c sinh
đượ
c ch
ọ
n có 2 nam và 2 n
ữ
,
đồ
ng th
ờ
i còn có c
ả
h
ọ
c
sinh
đạ
t gi
ả
i môn Toán và h
ọ
c sinh
đạ
t gi
ả
i môn V
ậ
t lí’’
- Vì ch
có
úng 2 h
c sinh n

t gi
i

u thu
c môn V
t lí, do
ó ph
i ch
n ti
p ra 2
h
c sinh nam l
i ph
i có m
t
hai môn khác nhau thì ch
có th
là 2 h
c sinh nam

t
gi
i môn Toán ho
c 1 h
c sinh nam

t gi
i môn Toán và 1 h
c sinh nam

t gi
i môn
V
t lí. V
y ta có
1 1
2 2
(A) 1
(A) 1 . 5 (A)
( ) 4
n
n C C P
n
= + =
⇒
= =
Ω
Bài 40:
M
t h
p

ng 5 viên bi

gi
ng nhau và 6 viên bi xanh c
ũ
ng gi
ng nhau. L
y
ng
u nhiên t
h
p
ó ra 4 viên bi. Tính xác su
t

4 viên bi
ư
c l
y ra có

hai màu và
s
viên bi màu

l
n h
ơ
n s
viên bi màu xanh.
Hướng dẫn
14
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là:
4
11
330
C =
.
- Trong s
4 viên bi
ư
c ch
n ph
i có 3 viên bi

và 1 viên bi xanh.
- S
cách ch
n 4 viên bi
ó là:
3 1
5 6
. 60
C C
=
.
V
y xác su
t c
n tìm là :
60 2
330 11
P
= =
Bài 41:
M
t nhóm g
m 6 h
c sinh có tên khác nhau, trong
ó có hai h
c sinh tên là An
và Bình. X
p ng
u nhiên nhóm h
c sinh
ó thành m
t hàng d
c. Tính xác su
t sao cho
hai h
c sinh An và Bình

ng c
nh nhau.
Hướng dẫn
- M
i cách x
p ng
u nhiên 6 h
c sinh thành 1 hàng d
c là m
t hoán v
c
a 6 ph
n t
( ) 6! 720
n
⇒ Ω = =
(ph
n t
)
- G
i A là bi
n c
: "An và Bình
đứ
ng c
ạ
nh nhau".
( ) 5!.2! 240
n A
⇒ = =
(ph
n t
)
( ) 240 1
( )
( ) 720 3
n A
P A
n
⇒
= = =
Ω
(ph
n t
)
Bài 42:
Cho t
p
{
}
A 0;1;2;4;5;7;8
=
.G
i X là t
p h
p các s
t
nhiên có 4 ch
s
phân
bi
t l
y t
A. Tính s
ph
n t
c
a X. L
y ng
u nhiên m
t s
t
t
p X, tính xác su
t

s
l
y
ư
c là s
ch
n.
Hướng dẫn
+) Xét các s
t
nhiên có 4 ch
s
phân bi
t l
y t
A, gi
s
các s
ó có d
ng:
, 0.
abcd a
≠
+ Ch
n
0
a
≠
, có 6 cách ch
n, ch
n các ch
s
, ,
b c d a
≠
và x
p th
t
có:
3
6
120
A
=
cách.
⇒
có t
t c
: 6.120 = 720 s
t
nhiên nh
ư
v
y.
V
y s
ph
n t
c
a X là: 720. S
ph
n t
c
a không gian m
u là:
( ) 720
n
Ω =
.
+) G
i B là bi
n c
: “S
ố
t
ự
nhiên
đượ
c ch
ọ
n là s
ố
ch
ẵ
n”.
+) Xét các s
t
nhiên ch
n có 4 ch
s
phân bi
t l
y t
A, gi
s
các s
ó có d
ng:
{
}
1 2 3 4 1 4
, 0, 0; 2; 4;8
a a a a a a
≠ ∈
.
+) TH1:
4
0
a
=
, có 1 cách ch
n; ch
n các ch
s
1 2 3
, , 0
a a a
≠
và x
p th
t
có
3
6
120
A
=
cách ch
n
⇒
TH1 có: 1.120 = 120 s
t
nhiên nh
ư
v
y.
15
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
+) TH2:
{
}
4
2; 4; 6
a ∈ , có 3 cách ch
n; ch
n
{
}
1 4
\ 0;
a A a
∈
, có 5 cách ch
n; ch
n các
ch
s
{
}
2 3 1 4
, \ ;
a a A a a
∈ và x
p th
t
có
2
5
20
A
=
cách ch
n
⇒
TH2 có: 3.5.20 = 300 s
t
nhiên nh
ư
v
y.
⇒
có t
t c
: 120 + 300 = 420 s
t
nhiên nh
ư
v
y
⇒
S
ph
n t
thu
n l
i cho bi
n c
B
là: n(B) = 420.
+) V
y:
( ) 420 7
( )
( ) 720 12
n B
P B
n
= = =
Ω
.
Bài 43:
Có 13 t
m th
phân bi
t trong
ó có 1 t
m th
ghi ch

, 1 t
m th
ghi ch

I, 1 t
m th
ghi ch
H
C và 10 t
m th
ánh s
l
n l
ư
t t
0

n 9. L
y ng
u nhiên ra
7 th
. Tính xác su
t

rút
ư
c 7 th
:

;

I ; H
C ; 2 ; 0 ; 1 ; 5
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là
7
13
1716
C =
- Có 1 cách ch
n 7 th

;

I ; H
C ; 2 ; 0 ; 1; 5 . V
y xác su
t c
n tìm
1
1716
P =
Bài 44:
M
t h
p ch
a
4
qu
c
u màu

,
5
qu
c
u màu xanh và
7
qu
c
u màu vàng.
L
y ng
u nhiên cùng lúc ra
4
qu
c
u t
h
p
ó. Tính xác su
t sao cho
4
qu
c
u
ư
c
l
y ra có
úng m
t qu
c
u màu

và không quá hai qu
c
u màu vàng
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là
4
16
1820
CΩ = =
.
- G
i
B
là bi
n c
“ 4 qu
l
y
ư
c có
úng m
t qu
c
u màu

và không quá hai qu
màu vàng”. Ta xét ba kh
n
ă
ng sau:
- S
cách l
y 1 qu

, 3 qu
xanh là:
1 3
4 5
C C
- S
cách l
y 1 qu

, 2 qu
xanh, 1 qu
vàng là:
1 2 1
4 5 7
C C C
- S
cách l
y 1 qu

, 1 qu
xanh, 2 qu
vàng là:
1 1 2
4 5 7
C C C
Khi
ó
1 3 1 1 2 1 2 1
4 5 4 7 5 4 7 5
740
B
C C C C C C C CΩ = + + =
.
Xác su
t c
a bi
n c
B
là
( )
740 37
1820 91
B
P B
Ω
= = =
Ω
.
16
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Bài 45:
Bi
t trong s
10 vé x
s
còn l
i trên bàn vé có 2 vé trúng th
ư
ng. Khi
ó m
t
ng
ư
i khách rút ng
u nhiên 5 vé .Hãy tính xác su
t sao cho trong 5 vé
ư
c rút ra có ít
nh
t m
t vé trúng th
ư
ng
Hướng dẫn
+ S
ph
n t
c
a không gian m
u:
Ω
=
5
10
C
=252
+ Bi
n c
A: “Trong n
ă
m vé rút ra có ít nh
ấ
t m
ộ
t vé trúng th
ưở
ng”
⇒
bi
n c
A
: “Trong n
ă
m vé rút ra không có vé nào trúng th
ưở
ng”
⇒
S
k
t qu
thu
n l
i cho bi
n c
A
là
5
8
C
= 56
⇒
Xác su
t c
a bi
n c
A
là P(
A
) =
56
252
⇒
Xác su
t c
a bi
n c
A là P(A) =
56 7
1
252 9
− =
Bài 46:
Trong m
t lô hàng có 12 s
n ph
m khác nhau, trong
ó có 2 ph
ph
m. L
y ng
u
nhiên 6 s
n ph
m t
lô hàng
ó. Hãy tính xác su
t

trong 6 s
n ph
m l
y ra có không
quá 1 ph
ph
m
Hướng dẫn
- M
i k
t qu
l
y ra 6 s
n ph
m t
12 s
n ph
m
ng v
i t
h
p ch
p 6 c
a 12, do
ó s
k
t qu
có th
x
y ra là:
(
)
6
12
924
n C
Ω = =
- G
i A là bi
n c
: “L
ấ
y ra 6 s
ả
n ph
ẩ
m có 2 ph
ế
ph
ẩ
m”
- Khi
ó
A
là bi
n c
: “L
ấ
y ra 6 s
ả
n ph
ẩ
m mà trong
đ
ó có không quá 1 ph
ế
ph
ẩ
m”
Ta tìm
ư
c
(
)
2 4
2 10
210
n A C C
= =
⇒
…
Bài 47:
Có 30 t
m th
ánh s
t
1

n 30. Ch
n ng
u nhiên ra 10 t
m th
. Tính xác su
t

có 5 t
m th
mang s
l
, 5 t
m th
mang s
ch
n trong
ó ch
có 1 t
m mang s
chia
h
t cho 10.
Hướng dẫn
- G
i A là bi
n c
l
y
ư
c 5 t
m th
mang s
l
, 5 t
m th
mang s
ch
n trong
ó ch
có
1 t
m th
mang s
chia h
t cho 10.
- Ch
n 10 t
m th
trong 30 t
m th
có:
10
30
C
cách ch
n
Ta ph
i ch
n :
+ 5 t
m th
mang s
l
trong 15 t
m mang s
l
+ 1 t
m th
mang s
chia h
t cho 10 trong 3 t
m th
mang s
chia h
t cho 10
17
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
+ 4 t
m th
mang s
ch
n nh
ư
ng không chia h
t cho 10 trong 12 t
m nh
ư
v
y.
Theo quy t
c nhân, s
cách ch
n thu
n l
i

x
y ra bi
n c
A là:
1
3
4
12
5
15
CCC
Xác su
t c
n tìm là
667
99
)(
10
30
1
3
4
12
5
15
==
C
CCC
AP
Bài 48:
Ch
n ng
u nhiên 3 s
t
t
p
{
}
1, 2,...,11 .
S =
Tính xác su
t

t
ng ba s
ư
c ch
n
là 12
Hướng dẫn
- S
tr
ư
ng h
p có th
là
3
11
165.
C
=
- Các b
(a, b, c) mà
12
a b c
+ + =
và
a b c
< <
là :
(1, 2,9), (1,3,8),(1, 4,7), (1, 5,6), (2,3,7),
(2, 4, 6), (3, 4,5)
. V
y
7
.
165
P
=
Bài 49:
G
i M là t
p h
p các s
t
nhiên g
m 9 ch
s
khác nhau. Ch
n ng
u nhiên m
t
s
t
M, tính xác su
t

s
ư
c ch
n có
úng 4 ch
s
l
và ch
s
0

ng gi
a hai ch
s
l
(các ch
s
li
n tr
ư
c và li
n sau c
a ch
s
0 là các ch
s
l
).
Hướng dẫn
Xét các s
có 9 ch
s
khác nhau:
- Có 9 cách ch
n ch
s
v
trí

u tiên.
- Có
8
9
A
cách ch
n 8 ch
s
ti
p theo
Do
ó s
các s
có 9 ch
s
khác nhau là: 9.
8
9
A
= 3265920
Xét các s
th
a mãn

bài:
- Có
4
5
C
cách ch
n 4 ch
s
l
.
-

u tiên ta x
p v
trí cho ch
s
0, do ch
s
0 không th

ng

u và cu
i nên có 7
cách x
p.
- Ti
p theo ta có
2
4
A
cách ch
n và x
p hai ch
s
l

ng hai bên ch
s
0.
- Cu
i cùng ta có 6! cách x
p 6 ch
s
còn l
i vào 6 v
trí còn l
i.
G
i A là bi
n c
ã cho, khi
ó
== !6..7.)(
2
4
4
5
ACAn
302400.
V
y xác su
t c
n tìm là
54
5
3265920
302400
)( ==
AP
.
Bài 50:
M
t h
p

ng 11 viên bi
ư
c
ánh s
t
1

n 11. L
y ng
u nhiên 4 viên bi r
i
c
ng các s
trên viên bi l
i v
i nhau. Tính xác su
t

k
t qu
thu
ư
c là m
t s
l
.
18
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Hướng dẫn
- G
i
Ω
là t
p h
p các cách l
y ra 4 viên bi t
11 viên bi ban

u, ta có
(
4
11
n C 330
Ω = =
- S
các viên bi
ánh s
l
là 6, s
các viên bi
ánh s
ch
n là 5.
- G
i A là bi
n c
l
y ra 4 viên bi có t
ng là m
t s
l
TH1. Trong 4 viên l
y ra có 1 viên bi l
, 3 viên bi ch
n.
Suy ra TH1 có
1 3
6 5
C C 6.10 60
= =
cách
TH2. Trong 4 viên l
y ra có 3 viên bi l
, 1 viên bi ch
n
Suy ra TH2 có
3 1
6 5
C C 20.5 100
= =
cách
V
y
(
1 3 3 1
6 5 6 5
n A C C C C 160
= + =
. Suy ra
( )
(
( )
n A
160 16
P A
n 330 33
= == =
Ω
Bài 51:
Tr
ư
ng THPT X có 15 h
c sinh là
oàn viên
ư
u tú, trong
ó kh
i 12 có 3 nam và
3 n
, kh
i 11 có 2 nam và 3 n
, kh
i 10 có 2 nam và 2 n
.
oàn tr
ư
ng ch
n ra 1 nhóm
g
m 4 h
c sinh là
oàn viên
ư
u tú

tham gia lao

ng Ngh
ĩ
a trang li
t s
ĩ
. Tính xác su
t

nhóm
ư
c ch
n có c
nam và n
,

ng th
i m
i kh
i có 1 h
c sinh nam.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a không gian m
u:
4
15
1365
CΩ = =
- G
i bi
n c
A: “nhóm
đượ
c ch
ọ
n có c
ả
nam và n
ữ
,
đồ
ng th
ờ
i m
ỗ
i kh
ố
i có 1 h
ọ
c sinh
nam”
- S
ph
n t
c
a bi
n c
A:
1 1 1 1
3 2 2 8
. . . 96
A
C C C C
Ω = =
. V
y:
96 32
( )
1365 455
P A
= =
Bài 52:
Xét các s
t
nhiên có 5 ch
s
khác nhau. Tìm xác su
t

s
t
nhiên có 5 ch
s
khác nhau l
y ra t
các s
trên th
o mãn: Ch
s

ng sau l
n h
ơ
n ch
s

ng tr
ư
c
Hướng dẫn
- Các s
t
nhiên có 5 ch
s
khác nhau:
1 2 3 4 5
a a a a a
trong
ó
i j
a a
≠
v
i i
≠
j
a
1
0
≠ ⇒
Có 9 cách ch
n a
1
+ M
i cách ch
n a
1
có 9 cách ch
n a
2
+ M
i cách ch
n a
1
, a
2
có 8 cách ch
n a
3
+ M
i cách ch
n a
1
, a
2
, a
3
có 7 cách ch
n a
4
+ M
i cách ch
n a
1
, a
2
, a
3
, a
4
có 6 cách ch
n a
5
9.9.8.7.6
⇒ Ω = =
27216
19
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- Xét bi
n c
A: “S
ố
có n
ă
m ch
ữ
s
ố
l
ấ
y ra tho
ả
mãn ch
ữ
s
ố
đứ
ng sau l
ớ
n h
ơ
n ch
ữ
s
ố
đứ
ng tr
ướ
c”. Vì ch
s
0 không th

ng tr
ư
c b
t k
ỳ
s
nào nên xét t
p h
p:
X =
{
}
1;2;3;4;5;6;7;8;9
. M
i b
g
m 5 ch
s
khác nhau l
y ra t
X có m
t cách s
p
x
p theo th
t
t
ă
ng d
n
5
9
A
C
⇒ Ω =
126 1
( )
27216 216
P A⇒ = =
Bài 53:
M
t h
p ch
a 6 bi màu vàng, 5 bi màu

và 4 bi màu xanh có kích th
ư
c và
tr
ng l
ư
ng nh
ư
nhau, l
y ng
u nhiên 8 bi trong h
p. Tính xác xu
t sao cho trong 8 bi l
y
ra có s
bi màu vàng b
ng v
i s
bi màu

.
Hướng dẫn
G
i A là bi
n c
: “trong 8 bi l
ấ
y ra có s
ố
bi màu vàng b
ằ
ng v
ớ
i s
ố
bi màu
đỏ
”
Tr
ư
ng h
p 1: Ch
n
ư
c 2 bi vàng, 2 bi

và 4 bi xanh.
Tr
ư
ng h
p 2: Ch
n
ư
c 3 bi vàng, 3 bi

và 2 bi xanh.
Tr
ư
ng h
p 3: Ch
n
ư
c 4 bi vàng, 4 bi

.
(
)
2 2 4 3 3 2 4 4
6 5 4 6 5 4 6 5
1425
n A C C C C C C C C⇒ = + + =
- G
i không gian m
u Ω là s
tr
ư
ng h
p có th
x
y ra khi l
y ng
u nhiên 8 bi trong h
p
ch
a 15 bi:
(
)
8
15
6435
n C
⇒
Ω = =
V
y xác su
t sao cho trong 8 bi l
y ra có s
bi màu vàng b
ng v
i s
bi màu

là:
( )
(
)
( )
1425 95
6435 429
n A
P A
n
= = =
Ω
Bài 54:
Có 2 h
p bi, h
p th
nh
t có 4 bi

và 3 bi tr
ng, h
p th
hai có 2 bi

và 4 bi
tr
ng . Ch
n ng
u nhiên m
i h
p 1 viên, tính xác su
t

2 bi
ư
c ch
n cùng màu
Hướng dẫn
- G
i w là không gian m
u: t
p h
p các cách ch
n ng
u nhiên m
i h
p 1 viên bi
( ) 7.6 42
⇒ = =
n w
G
i A là bi
n c
2 bi
ư
c ch
n cùng màu
( ) 4.2 3.4 20
⇒ = + =
n A
V
y xác su
t c
a bi
n c
A là P(A)=
( ) 20 10
( ) 42 21
= =
n A
n w
Bài 55:
Trong m
t h
p kín có 50 th
gi
ng nhau
ư
c
ánh s
t
1

n 50. L
y ng
u
nhiên 3 th
, tính xác su
t l
y
ư
c
úng hai th
mang s
chia h
t cho 8.
Hướng dẫn
G
i
Ω
là không gian m
u.
20
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- Ch
n 3 th
b
t kì trong 50 th
có
3
50
C
cách ch
n
⇒
s
ph
n t
trong không gian m
u là:
(
3
50
19600
n CΩ = =
- G
i A là bi
n c
“ Trong 3 th
l
y
ư
c có
úng hai th
mang s
chia h
t cho 8”
- T
1

n 50 có 6 s
chia h
t cho 8
Do
ó s
cách ch
n 3 th
và có
úng 2 th
chia h
t cho 8 là :
2 1
6 44
. 660
C C
=
⇒
s
k
t qu
thu
n l
i cho bi
n c
A là
(
660
n A =
V
y xác su
t

ch
n ng
u nhiên 3 th
có
úng hai th
mang s
chia h
t cho 8 là:
( )
660 33
19600 980
P A
= =
Bài 56:
Trong c
m thi

xét công nh
n t
t nghi
p THPT thí sinh ph
i thi 4 môn trong
ó
có 3 môn b
t bu
c là Toán, V
ă
n, Ngo
i ng
và 1 môn do thí sinh t
ch
n trong s
các
môn: V
t lí, Hóa h
c, Sinh h
c, L
ch s
và

a lí. Tr
ư
ng X có 40 h
c sinh
ă
ng kí d
thi, trong
ó 10 h
c sinh ch
n môn V
t lí và 20 h
c sinh ch
n môn Hóa h
c. L
y ng
u
nhiên 3 h
c sinh b
t k
ỳ
c
a tr
ư
ng X. Tính xác su
t

trong 3 h
c sinh
ó luôn có h
c
sinh ch
n môn V
t lí và h
c sinh ch
n môn Hóa h
c.
Hướng dẫn
- S
ph
n t
c
a không gian m
u là
3
40
n C
Ω
=
- G
i A là bi
n c
“3 h
ọ
c sinh
đượ
c ch
ọ
n luôn có h
ọ
c sinh ch
ọ
n môn V
ậ
t lý và h
ọ
c sinh
ch
ọ
n môn Hóa h
ọ
c”
- S
ph
n t
c
a bi
n c
A là
1 2 2 1 1 1 1
10 20 10 20 20 10 10
. . . .
A
n C C C C C C C
= + +
V
y xác su
t

x
y ra bi
n c
A là
120
247
A
A
n
P
n
Ω
= =
Bài 57:
M
t h
p ch
a 6 bi màu vàng, 5 bi màu

và 4 bi màu xanh có kích th
ư
c và
tr
ng l
ư
ng nh
ư
nhau, l
y ng
u nhiên 8 bi trong h
p. Tính xác xu
t sao cho trong 8 bi l
y
ra có s
bi màu vàng b
ng v
i s
bi màu

.
Hướng dẫn
- G
i A là bi
n c
: “trong 8 bi l
y ra có s
bi màu vàng b
ng v
i s
bi màu

”
Tr
ư
ng h
p 1: Ch
n
ư
c 2 bi vàng, 2 bi

và 4 bi xanh.
Tr
ư
ng h
p 2: Ch
n
ư
c 3 bi vàng, 3 bi

và 2 bi xanh.
Tr
ư
ng h
p 3: Ch
n
ư
c 4 bi vàng, 4 bi

.
(
)
2 2 4 3 3 2 4 4
6 5 4 6 5 4 6 5
1425
n A C C C C C C C C⇒ = + + =
21
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- G
i không gian m
u Ω là s
tr
ư
ng h
p có th
x
y ra khi l
y ng
u nhiên 8 bi trong h
p
ch
a 15 bi:
(
)
8
15
6435
n C
⇒
Ω = =
V
y xác su
t sao cho trong 8 bi l
y ra có s
bi màu vàng b
ng v
i s
bi màu

là:
( )
(
)
( )
1425 95
6435 429
n A
P A
n
= = =
Ω
Bài 58:
M
t l
p h
c có 15 h
c sinh nam và 10 h
c sinh n
. Giáo viên g
i ng
u nhiên 4
h
c sinh lên b
ng làm bài t
p. Tính xác su
t

4 h
c sinh
ư
c g
i có c
nam và n
.
Hướng dẫn
- Không gian m
u
Ω
là t
p h
p t
t c
các b
g
m 4 h
c sinh
ư
c ch
n t
25 h
c sinh
nên ta có:
(
4
25
12650
n CΩ = =
- G
i A là bi
n c
“4 h
ọ
c sinh
đượ
c ch
ọ
n có c
ả
nam và n
ữ
”
Có các tr
ư
ng h
p:
+ Ch
n 1 n
và 3 nam: có
1 3
10 15
4550
C C =
+ Ch
n 2 n
và 2 nam: có
2 2
10 15
4725
C C =
+ Ch
n 3 n
và 1 nam: có
3 1
10 15
1800
C C =
Suy ra s
cách ch
n 4 h
c sinh có c
nam và n
là:
4550 4725 1800 11075
+ + =
V
y:
( )
(
( )
11075 443
0,875
12650 506
A
n
P A
n
Ω
= = =
Ω
≃
Bài 59:
Trong m
t thùng có ch
a 7
èn màu xanh khác nhau và 8
èn

khác nhau. L
y
ng
u nhiên 3
èn m
c vào 3 chuôi m
c n
i ti
p nhau. Tính xác su
t A: “m
c
ư
c
úng 2
èn xanh
Hướng dẫn
- Ta có:
(
3
15
n C
Ω =
,
( ) ( )
2 1
7 8
24
.
65
n A C C P A
=
⇒
=
Bài 60:
M
t

i ng
ũ
cán b
khoa h
c g
m 8 nhà toán h
c nam, 5 nhà v
t lý n
và 3 nhà
hóa h
c n
. Ng
ư
i ta ch
n ra t
ó 4 ng
ư
i

i công tác , tính xác su
t sao cho trong 4
ng
ư
i
ư
c ch
n ph
i có n
và có

ba b
môn.
Hướng dẫn
- Ch
n ng
u nhiên 4 nhà khoa h
c trong 16 nhà khoa h
c có
4
16
C
cách
+ Ch
n 2 nhà toán h
c nam, 1 nhà v
t lý n
, 1 nhà hóa h
c n
có
2 1 1
8 5 3
. .
C C C
cách
+ Ch
n 1 nhà toán h
c nam, 2 nhà v
t lý n
, 1 nhà hóa h
c n
có
1 2 1
8 5 3
. .
C C C
cách
22
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
+ Ch
n 1 nhà toán h
c nam, 1 nhà v
t lý n
, 2 nhà hóa h
c n
có
1 1 2
8 5 3
. .
C C C
cách
V
y xác su
t c
n tìm là :
2 1 1 1 2 1 1 1 2
8 5 3 8 5 3 8 5 3
4
16
. . . . . .
3
7
C C C C C C C C C
P
C
+ +
= =
Bài 61:
Gieo m
t con súc s
c cân

i và

ng ch
t. Gi
s
súc s
c xu
t hi
n m
t b ch
m.
Tính xác su
t

ph
ươ
ng trình
2
2 0
x bx
+ + =
có hai nghi
m phân bi
t.
Hướng dẫn
- Có 6 kh
n
ă
ng x
y ra khi tung súc s
c nên s
ph
n t
không gian m
u:
( ) 6
Ω =
n
- G
i A là bi
n c
: ph
ươ
ng trình
2
2 0
x bx
+ + =
(*) có hai nghi
m phân bi
t
- (*) có 2 nghi
m phân bi
t
{
}
2
0 8 0 3;4;5;6 ( ) 4
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈ ⇒ =
b b n A
.
Xác su
t c
n tìm
( ) 2
( )
( ) 3
= =
Ω
n A
P A
n
Bài 62:
Cho m
t h
p

ng 12 viên bi, trong
ó có 7 viên bi màu

, 5 viên bi màu xanh.
L
y ng
u nhiên m
i l
n 3 viên bi. Tính xác su
t

l
y
ư
c c
3 viên bi

u màu

.
Hướng dẫn
- G
i
Ω
là t
p h
p t
t c
các cách l
y ra 3 viên bi trong s
12 viên bi.
Ta có:
3
12
220.
CΩ = =
- G
i A là bi
n s
“l
y
ư
c 3 viên bi màu

”. S
các cách l
y ra 3 viên bi màu

trong
7 viên bi màu

là
3
7
35.
A
CΩ = =
- V
y xác su
t P(A)

l
y ra
ư
c 3 viên bi màu

là :
35 7
( ) .
220 44
A
P A
Ω
= = =
Ω
Bài 63:
Cho
a giác

u 30 c
nh. G
i S là t
p h
p các t
giác t
o thành có 4

nh l
y t
các

nh c
a
a giác

u. Ch
n ng
u nhiên m
t ph
n t
c
a S. Tính xác su
t

ư
c m
t
hình ch
nh
t
Hướng dẫn
- S
t
giác t
o thành v
i 4

nh l
y t
các

nh c
a
a giác

u là
4
30
C
.
- Suy ra
4
30
( ) ( )
n S n C
= Ω =
- G
i A là bi
n c
ư
c t
giác là m
t hình ch
nh
t.
- S
ư
ng chéo
a giác qua tâm c
a
a giác

u: 15
- S
hình ch
nh
t t
o thành :
2
15
C
2
15
( )
n A C
⇒
=
( ) 1
( )
( ) 261
n A
p A
n
⇒
= =
Ω
23
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Bài 64 :
T
các ch
s
1;2;3;4;5 có th
l
p
ư
c bao nhiêu s
t
nhiên có n
ă
m ch
s
,
trong
ó ch
s
3 có m
t
úng ba l
n, các ch
s
còn l
i có m
t không quá m
t l
n.
Trong các s
t
nhiên nói trên, ch
n ng
u nhiên m
t s
, tìm xác su
t

s
ư
c ch
n
chia h
t cho 3.
Hướng dẫn
- G
i
1 2 3 4 5
a a a a a
là s
t
nhiên c
n tìm,
1 2 3 4 5
, , , ,
a a a a a
thu
c
{
}
1;2;3; 4;5
- S
p ch
s
3 vào ba v
trí, có
3
5
10
C
=
(cách)
- Còn l
i hai v
trí, 4 ch
s
. Ch
n hai ch
s
x
p vào hai v
trí
ó, có
2
4
12
C
=
(cách)
- V
y không gian m
u có
10.12 120
=
ph
n t
- G
i A là bi
n c
: “s
ố
đượ
c ch
ọ
n chia h
ế
t cho 3”, có hai ph
ươ
ng án:
+ Hai ch
s
còn l
i là 1 và 5, có
3
5
.2! 20
C
=
s
+ Hai ch
s
còn l
i là 2 và 4, có
3
5
.2! 20
C
=
s
V
y bi
n c
A có 40 ph
n t
. Xác su
t c
a bi
n c
A là:
40 1
120 3
P
= =
Bài 65:
M
t t
có 5 h
c sinh nam và 6 h
c sinh n
. Giáo viên ch
n ng
u nhiên 3 h
c sinh

làm tr
c nh
t . Tính xác su
t

3 h
c sinh
ư
c ch
n có c
nam và n
.
Hướng dẫn
+
(
3
11
165
n CΩ = =
+ S
cách ch
n 3 h
c sinh có c
nam và n
là
2 1 1 2
5 6 5 6
. . 135
C C C C+ =
Do
ó xác su
t

3 h
c sinh
ư
c ch
n có c
nam và n
là
135 9
165 11
=
Bài 66:
M
t ng
ư
i ch
n ng
u nhiên hai chi
c giày t
b
n
ôi giày c
khác nhau. Tính
xác su
t

hai chi
c ch
n
ư
c t
o thành m
t
ôi
Hướng dẫn
- S
ph
n t
không gian m
u là s
cách ch
n 2 chi
c giày t
8 chi
c tùy ý là
2
8
( ) 28
n C
Ω = =
- Kí hi
u A là bi
n c
ch
n
ư
c hai chi
c giày cùng m
t
ôi. S
cách ch
n m
t
ôi trong
4
ôi giày 4 cách. Do
ó n(A) = 4. Vì v
y P(A)
1
7
=
24
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
Bài 67:
T
i 1
i
m thi c
a kì thi Trung h
c ph
thông qu
c gia có 10 phòng thi g
m 6
phòng m
i phòng có 24 thí sinh và 4 phòng m
i phòng có 25 thí sinh. Sau 1 bu
i thi, 1
phóng viên truy
n hình ch
n ng
u nhiên 10 thí sinh trong s
các thí sinh
ã d
thi bu
i
ó

ph
ng v
n. Gi
s
kh
n
ă
ng
ư
c ch
n

ph
ng v
n c
a các thí sinh là nh
ư
nhau.
Tính xác su
t

trong 10 thí sinh
ư
c ch
n ph
ng v
n không có 2 thí sinh nào cùng
thu
c 1 phòng thi
Hướng dẫn
( )
10
244
Ω
Ω = C
- Toång soá thí sinh cuûa ñieåm thi: 6.2
4+4.25=244 (thí sinh)
- Khoâng gian maãu laø taäp hôïp goàm t
aát caû caùc caùch choïn 10 thí
sinh töø 244 thí sinh cuûa ñieåm thi
- Ta coù: n
( )
( )
( )
6 4
6 4
4
10
244
24 .25
24 .25
4,37.10
−
⇒ =
= ≈
Ω
X
n X
n C
- Kí hieäu X laø bieán coá "Trong 10 thí
sinh ñöôïc choïn phoûng
vaán khoâng coù 2 thí sinh naøo cuøng thuoäc moät phoøng thi" n
- Xaùc suaát caàn tìm laø: P =
Bài 68:
Có 300 h
c sinh
ă
ng ký. Có 50 h
c sinh

t yêu c
u vào l
p 6A. B
c th
ă
m ng
u
nhiên 30 h
c sinh t
300 h
c sinh nói trên. Tìm xác su
t

có
úng 90% s
h
c sinh

t
yêu c
u.
Hướng dẫn
- G
i
A
là bi
n c
: “Ch
n
ư
c 90% h
c sinh

t yêu c
u”.
- Ch
n ng
u nhiên 30 h
c sinh t
300 h
c sinh có
30
300
C
cách ch
n.
- Ch
n
ư
c 90% h
c sinh

t yêu c
u, t
c là ch
n
ư
c 27 em. Ch
n 27 h
c sinh t
50
h
c sinh có
27
50
C
cách.
- Ch
n n
t 3 em t
250 em còn l
i có
3
250
C
cách.
- S
cách ch
n h
c sinh

t yêu c
u là:
27
50
C
.
3
250
C
.
Xác su
t c
a bi
n c
A
là
( )
P A
=
27 3
21
50 250
30
300
.
1,6.10
C C
C
−
≈
.
Bài 69:
M
t t
có 7 h
c sinh (trong
ó có 3 h
c sinh n
và 4 h
c sinh nam). X
p ng
u
nhiên 7 h
c sinh
ó thành m
t hàng ngang. Tìm xác su
t

3 h
c sinh n

ng c
nh
nhau.
Hướng dẫn
G
i
A
là bi
n c
“3 h
ọ
c sinh n
ữ
c
ạ
nh nhau”
25
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
+ S
bi
n c

ng kh
n
ă
ng: X
p 7 h
c sinh ng
u nhiên, có s
hoán v
là 7!
+ S
cách x
p có 3 h
c sinh n
c
nh nhau:
Coi 3 h
c sinh n
là 1 ph
n t
, k
t h
p v
i 4 h
c sinh nam suy ra có 5 ph
n t
, có 5! cách
s
p x
p. V
i m
i cách s
p x
p
ó l
i có 3! cách hoán v
3 h
c sinh n
. V
y có 5!.3! cách
s
p x
p.
+ Xác su
t c
a bi
n c
A
là:
( )
5!.3!
7!
p A
= =
1
7
.
( ( ) 0.14)
p A
≈
.
Bài 70:
G
i S là t
p h
p các s
t
nhiên g
m 3 ch
s
phân bi
t
ư
c ch
n t
các ch
s
0,1,2,3,4,5,6
. Ch
n ng
u nhiên m
t s
t
S. Tính xác su
t

s
ư
c ch
n có ch
s
hàng
ơ
n v
g
p
ôi ch
s
hàng tr
ă
m.
Hướng dẫn
- G
i s
c
n tìm c
a t
p S có d
ng
{
}
(
0, , , , 0,1,2,3,4,5,6
abc a a b c a b c
≠ ≠ ≠ ∈
- S
cách ch
n ch
s
a có 6 cách (vì
0
a
≠
)
- S
cách ch
n ch
s
b có 6 cách (vì
b a
≠
)
- S
cách ch
n ch
s
c có 5 cách (vì
,
c a c b
≠ ≠
)
- V
y S có
6.6.5 180
=
(s
). S
ph
n t
c
a không gian m
u là
180
Ω =
.
- G
i A là bi
n c
“s
ư
c ch
n có ch
s
hàng
ơ
n v
g
p
ôi ch
s
hàng tr
ă
m”. Khi
ó ta có 3 b
s
th
a mãn bi
n c
A là:
1 2, 2 4, 3 6
b b b
và trong m
i b
thì b có 5 cách
ch
n nên có
3.5 15
=
(s
). Các k
t qu
có l
i cho bi
n c
A là
15
A
Ω =
.
V
y
( )
15 1
.
180 12
A
P A
Ω
= = =
Ω
Bài 71:
Có 30 t
m th
ánh s
t
1

n 30. Rút ng
u nhiên 3 th
. Tính xác su
t

t
ng
các s
ư
c ghi trên 3 th
chia h
t cho 3.
Hướng dẫn
+

3 th
rút
ư
c có t
ng chia h
t cho 3 thì 3 th
ó ph
i có d
ng:
3k;3k 1;3k 2
+ +
+ Ta th
y
{
}
1 3k 30, k Z k 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10
≤ ≤ ∈ ⇒ ∈
, v
y lo
i th
3k có 10 th
+ T
ươ
ng t
{
}
1 3k 1 30,k Z k 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
≤ + ≤ ∈ ⇒ ∈
, v
y lo
i th
3k 1
+
có 10 th
+
{
}
1 3k 2 30, k Z k 0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9
≤ + ≤ ∈ ⇒ ∈
, v
y lo
i th
3k 2
+
có 10 th
Nh
ư
v
y:

t
ng các s
ư
c ghi trên 3 th
chia h
t cho 3 thì ta có 4 TH sau:
- TH1: rút 3 th
3k có
3
10
C
cách
26
Giáo viên biên so
ạn:
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN
XÁC
SU
ẤT
- TH2: rút 3 th
3k 1
+
có
3
10
C
cách
- TH3: rút 3 th
3k 2
+
có
3
10
C
cách
- TH4: rút 1 th
3k, 1 th
3k 1
+
, 1 th
3k 2
+
có
10.10.10
cách
Đáp số:
3 3 3
10 10 10
3
30
C C C 10.10.10
p
C
+ + +
=
Bài 72:
M
t h
p

ng 52 bóng
èn trong
ó có 4 bóng
èn b
h
ng. L
y ng
u nhiên cùng
m
t lúc 3 bóng
èn. Tính xác su
t

3 bóng
èn
ư
c l
y ra có ít nh
t 1 bóng
èn b
h
ng.
Hướng dẫn
+ S
cách l
y ra cùng m
t lúc 3 bóng
èn t
52 bóng
èn là
3
52
C 22100
=
(cách)
+ G
i A là bi
n c
“Trong 3 bóng
èn
ư
c l
y ra có ít nh
t 1 bóng b
h
ng”
A
⇒
là bi
n c
“Trong 3 bóng l
y ra không có bóng nào h
ng”
⇒
s
cách l
y ra 3 bóng mà không có bóng nào h
ng là
3
52 4
C 17296
−
=
(cách)
17296 1201
p(A) 1 P(A) 1
22100 5525
⇒
= − = − =
Bài 73:
M
t

i v
ă
n ngh
có 15 ng
ư
i g
m 10 nam và 5 n
. Tính xác su
t

ch
n ra
nhóm

ng ca g
m 8 ng
ư
i trong
ó ph
i có ít nh
t là 3 n
.
Hướng dẫn:
S
ph
n t
c
a không gian m
u là
8
15
6435
=C
- S
ph
n t
c
a bi
n c
“trong 8 ng
ư
i có ít nh
t 3 n
” là :
3 5 4 4 5 3
5 10 5 10 5 10
. . . 3690
+ + =C C C C C C
V
y xác su
t là
3690
6453
=p
Bài 74:
M
t l
p h
c có 25 h
c sinh nam và 15 h
c sinh n
. Ch
n ng
u nhiên m
t nhóm 3
h
c sinh. Tính xác su
t

nhóm h
c sinh
ư
c ch
n có ít nh
t 1 h
c sinh n
.
Hướng dẫn
- S
h
c sinh trong l
p h
c là 25+ 15=40
- M
i cách ch
n 3 h
c sinh trong 40 h
c sinh là m
t t
h
p ch
p 3 c
a 40 nên không gian
m
u
Ω
g
m các t
h
p ch
p 3 c
a 40
3
40
( )
n C
⇒
Ω =
- G
i A là bi
n c
“ch
ọ
n
đượ
c nhóm 3 h
ọ
c sinh có ít nh
ấ
t 1 h
ọ
c sinh n
ữ
”
A
⇒
là bi
n c
“ch
ọ
n
đượ
c nhóm 3 h
ọ
c sinh nam”
- S
cách ch
n 3 h
c sinh nam trong 25 h
c sinh nam là s
t
h
p ch
p 3 c
a
25
3
25
(A)
n C
⇒ =
⇒
3
25
3
40
( ) 115 379
(A) ( ) 1 (A)
( ) 494 494
C
n A
p p A p
n C
= = =
⇒
= − =
Ω
(CHÚC CÁC EM HỌC VÀ THI TỐT)
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Bài 1: Một đội ngũ giáo viên gồm 8 thầy giáo dạy toán, 5 cô giáo dạy vật lý và 3 cô giáo
dạy hóa học. Sở giáo dục cần chọn ra 4 người để chấm bài thi THPT quốc gia, tính xác
suất trong 4 người được chọn phải có cô giáo và có đủ ba bộ môn Hướng dẫn
+ Ta có : chọn ra 4 thầy cô từ 16 thầy cô có 4 C = 1820 (cách chọn) 16
+ Để chọn được 4 giáo viên phải có cô giáo và đủ ba bộ môn, vậy có các trường hợp sau:
* Trường hợp 1: chon 2 thầy toán, 1 cô lý, 1 cô hóa có 2 1 1 C C C (cách chọn) 8 5 3
* Trường hợp 2: chon 1 thầy toán, 2 cô lý, 1 cô hóa có 1 2 1 C C C (cách chọn) 8 5 3
* Trường hợp 3: chon 1 thầy toán, 1 cô lý, 2 cô hóa có 1 1 2 C C C (cách chọn) 8 5 3
Vậy xác suất để chọn được 4 người phải có cô giáo và có đủ ba bộ môn là 2 1 1 1 2 1 1 1 2 C C C + C C C + C C C 3 8 5 3 8 5 3 8 5 3 P = = 4 C 7 16
Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4
viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu. Hướng dẫn
* Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu.
* Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 4
C cách lấy hay n( Ω ) = 4 C . 24 24
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 1 C C C = 2160 cách 10 8 6
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 1 C C C = 1680 cách 10 8 6
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 2 C C C = 1200 cách 10 8 6 Do đó, n(A) = 5040 n( ) A 5040
Vậy, xác suất biến cố A là P( ) A = = ≈ 47, 4% n(Ω) 10626
Bài 3: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng
các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3. Hướng dẫn
+ Để 3 thẻ rút được có tổng chia hết cho 3 thì 3 thẻ đó phải có dạng: 3k;3k +1;3k + 2
+ Ta thấy 1 ≤ 3k ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{1; 2;3; 4;5;6;7;8;9; }
10 , vậy loại thẻ 3k có 10 thẻ
+ Tương tự 1 ≤ 3k +1 ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{0;1; 2;3; 4;5;6;7;8; }
9 , vậy loại thẻ 3k +1 có 10 thẻ
+ 1 ≤ 3k + 2 ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{0;1; 2;3; 4;5;6;7;8; }
9 , vậy loại thẻ 3k + 2 có 10 thẻ
Như vậy: để tổng các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3 thì ta có 4 TH sau: TH1: rút 3 thẻ 3k có 3 C cách 10 TH2: rút 3 thẻ 3k +1 có 3 C cách 10 TH3: rút 3 thẻ 3k + 2 có 3 C cách 10
TH4: rút 1 thẻ 3k, 1 thẻ 3k +1, 1 thẻ 3k + 2 có 10.10.10 cách 3 3 3 C + C + C +10.10.10 Đáp số: 10 10 10 p = 3 C30
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Bài 4: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được
lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng Hướng dẫn
- Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kỳ từ 16 quả cầu là 4 C = 1820 cách. 16
- Gọi A là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả
màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 1 3 C .C 4 5
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 1 2 1 C .C .C 4 5 7
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: 1 1 2 C .C .C 4 5 7 1 3 1 2 1 1 1 2 C .C + C .C .C + C .C .C 37
Xác suất của biến cố A là 4 5 4 5 7 4 5 7 p = = . 4 C 91 16
Bài 5: Cho A là tập các số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để lấy được số lẻ chia hết cho 9 trong tập A. Hướng dẫn
+ Gọi số a a a a a a là số có 6 chữ số ⇒ có 9.10 5 số có 6 chữ số 1 2 3 4 5 6 + Do ⋮
a a a a a a 9 ⇔ (a + a + a + a + a + a )⋮9 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
⇒ a a a a a a là các số 100008;100017;100028;…;999999 1 2 3 4 5 6
⇒ Như vậy ta thấy các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng với: u = 100017  1
u = 999999 ⇒ u = (n − ) 1 d ⇔ 999999 = 1 ( 8 n − ) 1 ⇔ n = 50000 n n  d = 18
⇒ có 50.0000 số có 6 chữ số chia hết cho 9 50000 1
Vậy xác xuất cần tìm là = 9.105 16
Bài 6: Một trường THPT có 7 thầy dạy toán, 6 thầy dạy Lý và 4 thầy dạy Hóa. Sở giáo
dục cần chọn từ trường THPT đó ra 5 thầy để chấm thi THPT quốc gia 2015. Tính xác
xuất để chọn được 5 thầy trong đó có đủ bộ môn. Hướng dẫn
+ Số cách chọn 5 thầy bất kì trong 17 thầy là 5 C 17
+Số cách chọn 5 trong thầy dạy Toán và Lý là 5 C 13
+ Số cách chọn 5 trong 11 thầy dạy Toán và Hóa là 5 C 11
+ Số cách chọn 5 trong 10 thầy dạy Toán và Hóa là 5 C 10
+ Số cách chọn 5 thầy chỉ dạy Toán là 5 C 7
+ Số cách chọn 5 thầy chỉ dạy Lý là 5 C 6
⇒ số cách chọn 5 thầy không có đủ 3 bộ môn: 5 5 5 5 5 C + C + C −C −C 13 11 10 6 7
Vậy số cách chọn có đủ cả 3 bộ môn là: 5 C − ( 5 5 5 5 5 C + C + C
− C − C ) = 4214 17 13 11 10 6 7
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT ⇒ 4214 301 xác suất cần tìm = 5 C 442 17
Bài 7: Một trường THPT có 15 học sinh là đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và
3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra 1 nhóm
gồm 4 học sinh là đoàn viên ưu tú để tham gia lao động nghĩa trang liệt sĩ. Tính xác suất
để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam. Hướng dẫn
+ Số phần tử của không gian mẫu: 4 Ω = C = 1365 15
+ Gọi A là biến cố “nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh
nam” ⇒ số phần tử của biến cố A là: 1 1 1 1 Ω = C .C .C .C = 96 A 3 2 2 8 96 32 ⇒ P(A) = = 1365 455
Bài 8: Một hộp đựng 6 bút xanh, 6 bút đen, 5 bút tím và 3 bút đỏ được đánh số từ 1 đến
20. Lấy ngẫu nhiên 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. Hướng dẫn
+ Lấy 4 cái bút từ 20 cái bút ta có: 4 C = 4845 cách. 20
+ Lấy 4 cái bút mà ít nhất 2 bút cùng màu: (làm theo phương pháp “phân bù” ).
- Số lấy 4 bút mà 4 màu khác nhau: 1 1 1 1
C .C .C .C cách 6 6 5 3
- Số cách lấy thỏa mãn yêu cầu là: 4 1 C − C . 1 C . 1 C . 1 C = 4305 cách 20 6 6 5 3 4305 287 Xác suất cần tìm là P = = 4845 323
Bài 9: Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam. Cô giáo chọn ra 5 học sinh để
lập một tốp ca chào mừng 20 - 11. Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học sinh nữ. Hướng dẫn
- Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 48 học sinh có: 5 C = 1712304 48
- Gọi A là biến cố " chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ" thì A là biến cố
" chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh nữ ".
- Ta có số kết quả thuận lợi cho A là: 5 C 5 20349 20349 1691955 C = 20349 ⇒ 21 P A ⇒ P A 1 21 ( ) = = ( ) = − = 5 C 1712304 1712304 1712304 48
Bài 10: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2
học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế
giảng năm học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A. Hướng dẫn
- Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là Ω
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Số phần tử của không gian mẫu là: 5 C = 126 9
- Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba lớp và
có ít nhất 2 học sinh lớp 12A”.
- Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là :
+ 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C
+ 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C
+ 3 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 2 1 2 2 2 1 3 1 1
C .C .C + C .C .C + C .C .C = 78 . 4 3 2 4 3 2 4 3 2 78 13
Xác suất cần tìm là P = = . 126 21
Bài 11: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các
chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5. Hướng dẫn
- Số phần tử của A là 3 6.A = 720 6
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 3 1.A = 120 cách 6
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 2 1.5.A = 100 cách 5
- Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120 +100 = 220 cách 220 11
Vậy xác suất cần tìm bằng = . 720 36
Bài 12: Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các
môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường A có 30 học sinh đăng kí dự
thi, trong đó có 10 học sinh chọn môn Lịch sử. Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh bất kỳ của
trường A, tính xác suất để trong 5 học sinh đó có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn Lịch sử. Hướng dẫn
- Số phần tử của không gian mẫu là: 5 n(Ω) = C = 142506 30
- Gọi A là biến cố : “5 học sinh được chọn có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn lịch sử”
- Số phần tử của biến cố A là: 5 4 1 3 2 n( )
A = C + C C + C C = 115254 20 20 10 20 10 115254
Vậy xác suất cần tìm là: P( ) A = ≈ 0,81. 142506
Bài 13: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ
hộp ra 4 viên bi. Tính xác xuất để 4 viên bi được chon có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất. Hướng dẫn - Ta có: n (Ω) 4 = = 1365 C 15
- Gọi A là biến cố “4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất’
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 4
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT n ( A) 16 Khi đó n (A) 1 2 1 = = 240 C C C . Vậy p ( A) = = 4 5 6 n (Ω) 91
Bài 14: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo
thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác
suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ. Hướng dẫn
- Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X”. Khi đó: 6 Ω = A = 60480 9
- Gọi A là biến cố: “Số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ”. Khi đó:
+ Chọn 3 chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 có 3 C cách. 5
+ Chọn 3 chữ số chẵn đội một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có 3 C cách. 4
+ Sắp xếp các chữ số trên để được số thỏa mãn biến cố A có 6! cách. Do đó 3 3 Ω = C .C .6! = 28800 A 5 4 ΩA 28800 10
Vậy xác suất cần tìm là: P(A) = = = Ω 60480 21
Bài 15: Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các
môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự
thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu
nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X. Tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học
sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học. Hướng dẫn
- Số phần tử của không gian mẫu là 3 n = C Ω 40
- Gọi A là biến cố “3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh chọn môn Hóa học”
- Số phần tử của biến cố A là 1 2 2 1 1 1 1
n = C .C + C .C + C .C .C A 10 20 10 20 20 10 10 n 120
Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là A P = = A n 247 Ω
Bài 16: Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một
trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam
khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn
toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong 5
em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và học sinh khối 12. Hướng dẫn
- Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là 5 C = 56 cách 8
- Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau
+) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: 1 1 3 C C C cách 2 2 4
+) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 1 2 2 C C C cách 2 2 4
+) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 2 1 2 C C C cách 2 2 4
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 5
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
+) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: 2 2 1 C C C cách 2 2 4
Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là: 1 1 3 C C C + 1 2 2 C C C + 2 1 2 C C C + 2 2 1 C C C = 44 cách 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 44 11
Vậy xác suất cần tính là: = 56 14
Bài 17: Trong bộ môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15
câu hỏi trung bình, 20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi có 7 câu hỏi đựơc
chọn từ 40 câu hỏi đó. Tính xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng đề nói trên nhất
thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4. Hướng dẫn
- Không gian mẫu của việc tạo đề thi là : 7 Ω = C = 18643560 40
- Gọi A là biến cố chọn đựợc đề thi có đủ 3 loại câu hỏi(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4. 4 Ω = C . 2 C . 1 4 C + C . 1 C . 2 5 C + C . 1 1 C C = 4433175 A 20 5 15 20 5 15 20 5 15 Ω 915
Xác suất cần tìm là P( ) = A A = Ω 3848
Bài 18: Trong đợt thi học sinh giỏi của tỉnh, trường THPT X môn Toán có 5 em đạt giải
trong đó có 4 nam và 1 nữ , môn Văn có 5 em đạt giải trong đó có 1 nam và 4 nữ, môn
Hóa học có 5 em đạt giải trong đó có 2 nam và 3 nữ , môn Vật lí có 5 em đạt giải trong
đó có 3 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mỗi môn một em học sinh để đi dự đại
hội thi đua ? Tính xác suất để có cả học sinh nam và nữ để đi dự đại hội? Hướng dẫn
- Có tất cả 5.5.5.5=625 cách ⇒ n(Ω) = 625
- Gọi A là biến cố “có cả HS nam và nữ đi dự đại hội”
⇒ A là biến cố “Cả bốn HS nam hoặc cả 4 HS nữ đi dự ĐH”
⇒ n(A) = 4.1.2.3 +1.4.3.2 = 48 ⇒ ( ) n(A) 48 P A = = n(Ω) 625 Vậy = − ( ) 48 577 P(A) 1 P A = 1− = 625 625
Bài 19: Trường trung học phổ thông X số 1 có tổ Toán gồm 15 giáo viên trong đó có 8
giáo viên nam, 7 giáo viên nữ; Tổ Lý gồm 12 giáo viên trong đó có 5 giáo viên nam, 7
giáo viên nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 2 giáo viên đi dự tập huấn chuyên đề dạy học tích
hợp. Tính xác suất sao cho trong các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ. Hướng dẫn
- Số phần tử của của không gian mẫu: 2 2 n(Ω) = C C 15 12
- Gọi A là biến cố: “Các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ” n( ) A 197 ⇒ n(A)= 2 2 2 2 1 1 1 1
C C + C C + C C C C ⇒ P(A) = = 8 7 5 7 8 7 7 5 n(Ω) 495
Bài 20: Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7. Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số là số lẻ ? Hướng dẫn
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 6
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Gọi A là biến cố " Số chọn được là số có 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ".
- Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là 4 A = 840 (số) 7 ⇒ Ω = 840
- Gọi số 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ có dạng abcd .
- Do tổng a + b + c + d là số lẻ nên số chữ số lẻ là lẻ nên có các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1 : có 1 chữ số lẻ , 3 chữ số chẵn : có 1 3
C .C = 4 bộ số 4 3
+ Trường hợp 2 : có 3 chữ số lẻ , 1 chữ số chẵn : có 3 1
C .C = 12 bộ số 4 3
- Từ mỗi bộ số trên ta lập được P = 24 số 4
- Tất cả có 16.24= 384 số , suy ra: Ω = 384 . A ΩA 384 48 Vậy P( ) A = = = . Ω 840 105
Bài 21: Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một
trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam
khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn
toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong 5
em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và học sinh khối 12. Hướng dẫn
- Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là 5 C = 56 cách 8
- Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau
+) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: 1 1 3 C C C cách 2 2 4
+) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 1 2 2 C C C cách 2 2 4
+) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 2 1 2 C C C cách 2 2 4
+) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: 2 2 1 C C C cách 2 2 4
- Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là: 1 1 3 C C C + 1 2 2 C C C + 2 1 2 C C C + 2 2 1 C C C = 44 cách 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 44 11
Vậy xác suất cần tính là: = 56 14
Bài 22: Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có ít nhất 2 viên bi màu xanh. Hướng dẫn
- Gọi Ω là không gian mẫu của phép lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 9 viên bi ⇒ n (Ω) 3 = C = 84 9
- Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 2 viên bi xanh, ta có các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1. Trong 3 viên bi lấy được có 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, có 2 1 C .C = 40 5 4 cách.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 7
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
+ Trường hợp 2. Ba viên bi lấy ra toàn màu xanh, có 3 C = 10 cách 5 n (A) 50 25 Suy ra n (A) 2 1 3
= C .C + C = 50 . Vậy P (A) = = = 5 4 5 n (Ω) 84 42
Bài 23: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các
chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5. Hướng dẫn
- Số phần tử của A là 3 6.A = 720 6
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 3 1.A = 120 cách 6
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 2 1.5.A = 100 cách 5
- Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120 +100 = 220 cách 220 11
Vậy xác suất cần tìm bằng = . 720 36
Bài 24: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất
để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Hướng dẫn
- Gọi Ω là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho ⇒ 10 Ω = C 30
- Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có 3 tấm
thẻ mang số chia hết cho 10.
- Gọi Ω là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, A
trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 5 4 1
⇒ Ω = C .C .C A 15 12 3 5 4 1 C .C .C 99 Vậy P ( A) 15 12 3 = = . 10 C 667 30
Bài 25: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp
đó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. Hướng dẫn
* Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách)
* Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách)
* Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách) (24 +12) 4
Suy ra xác suất cần tìm là p = = 90 10
Bài 26: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4
viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu. Hướng dẫn
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 8
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 4
C cách lấy hay n( Ω ) = 4 C . 24 24
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 1 C C C = 2160 cách 10 8 6
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 1 C C C = 1680 cách 10 8 6
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 2 C C C = 1200 cách 10 8 6 Do đó, n(A) = 5040 n( ) A 5040
Vậy, xác suất biến cố A là P( ) A = = ≈ 47, 4% n(Ω) 10626
Bài 27: Từ các chữ số của tập T = {0;1;2;3;4; }
5 , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên
có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có
ít nhất một số chia hết cho 5. Hướng dẫn + Có 2 5. 5
A = 100 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau + Có 2 1 + = 5 A 4. 4 A
36 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
+ Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. + n (Ω) 1 1 = = 1 C 00. 9 C 9 9900
+ Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5” Ta có: n ( A) 1 1 1 1 = + = 3 C 6. 6 C 4 3 C 6. 3 C 5 3564 n ( A) 3564 9 Vậy : P ( A) = = = = 0,36 n (Ω) 9900 25
Bài 28: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác
suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn
trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4. Hướng dẫn
- Số phần tử của không gian mẫu là: n (Ω) 5 = C = 15504 . 20
- Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho
4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 9
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có: n ( A) 3 1 1
= C .C .C = 3000 . 10 5 5 n ( A) 3000 125
Vậy, xác suất cần tính là: P ( A) = = = . n (Ω) 15504 646
Bài 29: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ
số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ). Hướng dẫn
Xét các số có 9 chữ số khác nhau:
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên. - Có 8
A cách chọn 8 chữ số tiếp theo 9
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. 8 A = 3265920 9
Xét các số thỏa mãn đề bài: - Có 4
C cách chọn 4 chữ số lẻ. 5
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách xếp. - Tiếp theo ta có 2
A cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0. 4
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( ) A = 4 C .7. 2 A . ! 6 = 302400. 5 4 302400 5
Vậy xác suất cần tìm là P( ) A = = . 3265920 54
Bài 30: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh
để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Hướng dẫn - Ta có n (Ω) 3 = C = 165 11
- Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2
C .C + C .C = 135 5 6 5 6 135 9
- Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là = 165 11
Bài 31: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8
và 0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 10
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT Hướng dẫn
- Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8
- B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9
- Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C = . AB + . AB
Vậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26
Bài 32: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà
hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn Hướng dẫn Ta có : 4 Ω = C = 1820 16
Gọi A: “2nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ”
B: “1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ”
C: “1 nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ “
Thì H = A ∪ B ∪ C : “Có nữ và đủ ba bộ môn” 2 1 1 1 2 1 1 1 2
C C C + C C C + C C C 3 8 5 3 8 5 3 8 5 3 P(H ) = = Ω 7
Bài 33: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học
sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Hướng dẫn n (Ω) 3 = C = 165 11
- Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2
C .C + C .C = 135 5 6 5 6 135 9
- Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là = 165 11
Bài 34: Trong cuộc thi “ Rung chuông vàng”, đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vòng chung
kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn
thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách
bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm Hướng dẫn - Có 5 5 5 5
n(Ω) = C C C C cách chia 20 bạn vào 4 nhóm, mỗi nhóm 5 bạn. 20 15 10 5
- Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ vào cùng một nhóm”
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 11
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có 5 5 5
C C C cách chia các bạn nam vào các nhóm còn lại. 15 10 5
- Do vai trò các nhóm như nhau nên có 5 5 5 Ω = 4C C C A 15 10 5 4 Khi đó P(A) = 5 C20
Bài 35: Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên
4 chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi. Hướng dẫn 4
- Số cách lấy 4 chiếc giày tùy ý : C = 4845 20
- Số cách chọn 4 chiếc giày từ 4 đôi (mỗi chiếc lấy từ một đôi) là : 4
(số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi)×( số cách chọn 4 chiếc) = C 24 10 4 4 4 C - C .2 672
Xác suất cần tìm là : 20 10 = 4 C 969 20
Bài 36: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước
ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng
A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau. Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu là 4 4 4 n( )
Ω = C .C .C = 34.650 12 8 4
- Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khác nhau”
- Số các kết quả thuận lợi của A là 3 3 3 n( )
A = 3C .2C .1.C = 1080 9 6 3 n( ) A 1080 54
Xác xuất của biến cố A là P( ) A = = = ≃ 0,31 n(Ω 34650 173
Bài 37: Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh ngọt.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh. Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có
bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt. Hướng dẫn
- Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử.
- Gọi A là biến cố “Trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy
được 2 bánh ngọt”. 2 4 2 5.(C ) .C 9375 2 5 2 4 2
⇒ n(Ω) = (C ) , n(A) = 5.(C ) .C 5 3 ⇒ P(A) = = ≈ 0, 0087 8 5 3 2 5 (C ) 1075648 8
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 12
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Bài 38: Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính
xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1
tấm mang số chia hết cho 10. Hướng dẫn
- Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có
1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
- Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C1030 cách chọn - Ta phải chọn :
+ 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C 5 15 cách chọn.
+ 1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C13 cc
+ 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có : C412 5 4 1 C .C .C 99
Vậy xác suất cần tìm là : P(A) = 15 12 3 = 10 C 667 30
Bài 39: Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có 2 học sinh đạt giải môn Toán
đều là học sinh nam và 4 học sinh đạt giải môn Vật lí trong đó có 2 học sinh nam và 2
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong các học sinh đạt giải đó đi dự lễ tổng kết
năm học của tỉnh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn
có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí. Hướng dẫn
- Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả các cách chọn ra 3 học sinh trong các học sinh
đạt giải của kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, do đó ta có 3 n(Ω) = C = 20 6
- Kí hiệu A là biến cố ‘‘4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học
sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí’’
- Vì chỉ có đúng 2 học sinh nữ đạt giải đều thuộc môn Vật lí, do đó phải chọn tiếp ra 2
học sinh nam lại phải có mặt ở hai môn khác nhau thì chỉ có thể là 2 học sinh nam đạt
giải môn Toán hoặc 1 học sinh nam đạt giải môn Toán và 1 học sinh nam đạt giải môn n(A) 1 Vật lí. Vậy ta có 1 1
n(A) = 1+ C .C = 5 ⇒ P(A) = = 2 2 n(Ω) 4
Bài 40: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ giống nhau và 6 viên bi xanh cũng giống nhau. Lấy
ngẫu nhiên từ hộp đó ra 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi được lấy ra có đủ hai màu và
số viên bi màu đỏ lớn hơn số viên bi màu xanh. Hướng dẫn
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 13
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Số phần tử của không gian mẫu là: 4 C = 330 . 11
- Trong số 4 viên bi được chọn phải có 3 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh.
- Số cách chọn 4 viên bi đó là: 3 1 C .C = 60 . 5 6 60 2
Vậy xác suất cần tìm là : P = = 330 11
Bài 41: Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An
và Bình. Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho
hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau. Hướng dẫn
- Mỗi cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành 1 hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử
⇒ n(Ω) = 6! = 720 (phần tử)
- Gọi A là biến cố: "An và Bình đứng cạnh nhau". ⇒ n( )
A = 5!.2! = 240 (phần tử) n( ) A 240 1 ⇒ P( ) A = = = (phần tử) n(Ω) 720 3
Bài 42: Cho tập A = {0;1;2;4;5;7; }
8 .Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân
biệt lấy từ A. Tính số phần tử của X. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập X, tính xác suất để số
lấy được là số chẵn. Hướng dẫn
+) Xét các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt lấy từ A, giả sử các số đó có dạng: abcd , a ≠ 0.
+ Chọn a ≠ 0 , có 6 cách chọn, chọn các chữ số b, c, d ≠ a và xếp thứ tự có: 3 A = 120 cách. 6
⇒ có tất cả: 6.120 = 720 số tự nhiên như vậy.
Vậy số phần tử của X là: 720. Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 720 .
+) Gọi B là biến cố: “Số tự nhiên được chọn là số chẵn”.
+) Xét các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số phân biệt lấy từ A, giả sử các số đó có dạng:
a a a a , a ≠ 0, a ∈ 0; 2; 4; 8 . 1 2 3 4 1 4 { }
+) TH1: a = 0 , có 1 cách chọn; chọn các chữ số a , a , a ≠ 0 và xếp thứ tự có 3 A = 120 4 1 2 3 6
cách chọn ⇒ TH1 có: 1.120 = 120 số tự nhiên như vậy.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 14
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
+) TH2: a ∈ 2; 4; 6 , có 3 cách chọn; chọn a ∈ A \ 0; a , có 5 cách chọn; chọn các 1 { 4 } 4 { }
chữ số a , a ∈ A \ a ;a và xếp thứ tự có 2
A = 20 cách chọn ⇒ TH2 có: 3.5.20 = 300 số 2 3 { 1 4} 5 tự nhiên như vậy.
⇒ có tất cả: 120 + 300 = 420 số tự nhiên như vậy ⇒ Số phần tử thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = 420. n(B) 420 7 +) Vậy: P(B) = = = . n(Ω) 720 12
Bài 43: Có 13 tấm thẻ phân biệt trong đó có 1 tấm thẻ ghi chữ ĐỖ, 1 tấm thẻ ghi chữ
ĐẠI, 1 tấm thẻ ghi chữ HỌC và 10 tấm thẻ đánh số lần lượt từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên ra
7 thẻ. Tính xác suất để rút được 7 thẻ : ĐỖ ; ĐẠI ; HỌC ; 2 ; 0 ; 1 ; 5 Hướng dẫn
- Số phần tử của không gian mẫu là 7 C = 1716 13 1
- Có 1 cách chọn 7 thẻ ĐỖ ; ĐẠI ; HỌC ; 2 ; 0 ; 1; 5 . Vậy xác suất cần tìm P = 1716
Bài 44: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được
lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng Hướng dẫn
- Số phần tử của không gian mẫu là 4 Ω = C = 1820 . 16
- Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả
màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 1 3 C C 4 5
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 1 2 1 C C C 4 5 7
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: 1 1 2 C C C 4 5 7 Khi đó 1 3 1 1 2 1 2 1 Ω
= C C + C C C + C C C = 740 . B 4 5 4 7 5 4 7 5 ΩB 740 37
Xác suất của biến cố B là P ( B) = = = . Ω 1820 91
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 15
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Bài 45: Biết trong số 10 vé xổ số còn lại trên bàn vé có 2 vé trúng thưởng. Khi đó một
người khách rút ngẫu nhiên 5 vé .Hãy tính xác suất sao cho trong 5 vé được rút ra có ít
nhất một vé trúng thưởng Hướng dẫn
+ Số phần tử của không gian mẫu: Ω = 5 C =252 10
+ Biến cố A: “Trong năm vé rút ra có ít nhất một vé trúng thưởng”
⇒ biến cố A : “Trong năm vé rút ra không có vé nào trúng thưởng”
⇒ Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 5 C = 56 8 ⇒ 56
Xác suất của biến cố A là P( A ) = 252 ⇒ 56 7
Xác suất của biến cố A là P(A) = 1− = 252 9
Bài 46: Trong một lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu
nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm Hướng dẫn
- Mỗi kết quả lấy ra 6 sản phẩm từ 12 sản phẩm ứng với tổ hợp chập 6 của 12, do đó số
kết quả có thể xảy ra là: n(Ω) 6 = C = 924 12
- Gọi A là biến cố: “Lấy ra 6 sản phẩm có 2 phế phẩm”
- Khi đó A là biến cố: “Lấy ra 6 sản phẩm mà trong đó có không quá 1 phế phẩm”
Ta tìm được n( A) 2 4 = C C = 210 ⇒ … 2 10
Bài 47: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất
để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia hết cho 10. Hướng dẫn
- Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có
1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
- Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có: 10 C cách chọn 30 Ta phải chọn :
+ 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ
+ 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 16
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
+ 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn thuận lợi để xảy ra biến cố A là: 5 4 1 C C C 15 12 3 5 4 1 C C C 99
Xác suất cần tìm là P( ) 15 12 3 A = = 10 C 667 30
Bài 48: Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S = {1,2,...,1 }
1 . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12 Hướng dẫn
- Số trường hợp có thể là 3 C = 165. 11
- Các bộ (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là : 7
(1, 2, 9), (1, 3,8), (1, 4, 7), (1, 5, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (3, 4, 5) . Vậy P = . 165
Bài 49: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ
số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ). Hướng dẫn
Xét các số có 9 chữ số khác nhau:
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên. - Có 8
A cách chọn 8 chữ số tiếp theo 9
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. 8 A = 3265920 9
Xét các số thỏa mãn đề bài: - Có 4
C cách chọn 4 chữ số lẻ. 5
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách xếp. - Tiếp theo ta có 2
A cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0. 4
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( ) A = 4 C .7. 2 A . ! 6 = 302400. 5 4 302400 5
Vậy xác suất cần tìm là P( ) A = = . 3265920 54
Bài 50: Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi
cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 17
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT Hướng dẫn
- Gọi Ω là tập hợp các cách lấy ra 4 viên bi từ 11 viên bi ban đầu, ta có n (Ω) 4 = C = 330 11
- Số các viên bi đánh số lẻ là 6, số các viên bi đánh số chẵn là 5.
- Gọi A là biến cố lấy ra 4 viên bi có tổng là một số lẻ
TH1. Trong 4 viên lấy ra có 1 viên bi lẻ, 3 viên bi chẵn. Suy ra TH1 có 1 3 C C = 6.10 = 60 cách 6 5
TH2. Trong 4 viên lấy ra có 3 viên bi lẻ, 1 viên bi chẵn Suy ra TH2 có 3 1 C C = 20.5 = 100 cách 6 5 n (A) 160 16 Vậy n (A) 1 3 3 1
= C C + C C = 160 . Suy ra P (A) = == = 6 5 6 5 n (Ω) 330 33
Bài 51: Trường THPT X có 15 học sinh là Đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và
3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra 1 nhóm
gồm 4 học sinh là Đoàn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt sĩ. Tính xác suất
để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam. Hướng dẫn
- Số phần tử của không gian mẫu: 4 Ω = C = 1365 15
- Gọi biến cố A: “nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam” 96 32
- Số phần tử của biến cố A: 1 1 1 1 Ω
= C .C .C .C = 96 . Vậy: P( ) A = = A 3 2 2 8 1365 455
Bài 52: Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm xác suất để số tự nhiên có 5 chữ
số khác nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước Hướng dẫn
- Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau: a a a a a a ≠ a 1 2 3 4 5 trong đó i j với i ≠ j a ⇒ 1 ≠ 0 Có 9 cách chọn a1
+ Mỗi cách chọn a1 có 9 cách chọn a2
+ Mỗi cách chọn a1, a2 có 8 cách chọn a3
+ Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có 7 cách chọn a4
+ Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có 6 cách chọn a5 ⇒ Ω = 9.9.8.7.6 = 27216
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 18
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Xét biến cố A: “Số có năm chữ số lấy ra thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số
đứng trước”. Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp: X ={1; 2;3; 4;5;6; 7;8; }
9 . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp 5 126 1
xếp theo thứ tự tăng dần ⇒ Ω = C ⇒ A 9 P( A) = = 27216 216
Bài 53: Một hộp chứa 6 bi màu vàng, 5 bi màu đỏ và 4 bi màu xanh có kích thước và
trọng lượng như nhau, lấy ngẫu nhiên 8 bi trong hộp. Tính xác xuất sao cho trong 8 bi lấy
ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ. Hướng dẫn
Gọi A là biến cố: “trong 8 bi lấy ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ”
Trường hợp 1: Chọn được 2 bi vàng, 2 bi đỏ và 4 bi xanh.
Trường hợp 2: Chọn được 3 bi vàng, 3 bi đỏ và 2 bi xanh.
Trường hợp 3: Chọn được 4 bi vàng, 4 bi đỏ. ⇒ n ( A) 2 2 4 3 3 2 4 4
= C C C + C C C + C C = 1425 6 5 4 6 5 4 6 5
- Gọi không gian mẫu Ω là số trường hợp có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 8 bi trong hộp
chứa 15 bi: ⇒ n (Ω) 8 = C = 6435 15
Vậy xác suất sao cho trong 8 bi lấy ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ là: n ( A) 1425 95 P ( A) = = = n (Ω) 6435 429
Bài 54: Có 2 hộp bi, hộp thứ nhất có 4 bi đỏ và 3 bi trắng, hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 4 bi
trắng . Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên, tính xác suất để 2 bi được chọn cùng màu Hướng dẫn
- Gọi w là không gian mẫu: tập hợp các cách chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi ⇒ n( ) w = 7.6 = 42
Gọi A là biến cố 2 bi được chọn cùng màu ⇒ n( ) A = 4.2 + 3.4 = 20 n( ) A 20 10
Vậy xác suất của biến cố A là P(A)= = = n( ) w 42 21
Bài 55: Trong một hộp kín có 50 thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 50. Lấy ngẫu
nhiên 3 thẻ, tính xác suất lấy được đúng hai thẻ mang số chia hết cho 8. Hướng dẫn
Gọi Ω là không gian mẫu.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 19
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Chọn 3 thẻ bất kì trong 50 thẻ có 3 C50 cách chọn
⇒ số phần tử trong không gian mẫu là: n(Ω) 3 = C = 19600 50
- Gọi A là biến cố “ Trong 3 thẻ lấy được có đúng hai thẻ mang số chia hết cho 8”
- Từ 1 đến 50 có 6 số chia hết cho 8
Do đó số cách chọn 3 thẻ và có đúng 2 thẻ chia hết cho 8 là : 2 1 C .C = 660 6 44
⇒ số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n( A) = 660
Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên 3 thẻ có đúng hai thẻ mang số chia hết cho 8 là: 660 33
P ( A) = 19600 = 980
Bài 56: Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các
môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự
thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu
nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X. Tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học
sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học. Hướng dẫn
- Số phần tử của không gian mẫu là 3 n = C Ω 40
- Gọi A là biến cố “3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh
chọn môn Hóa học”
- Số phần tử của biến cố A là 1 2 2 1 1 1 1
n = C .C + C .C + C .C .C A 10 20 10 20 20 10 10 n 120
Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là A P = = A n 247 Ω
Bài 57: Một hộp chứa 6 bi màu vàng, 5 bi màu đỏ và 4 bi màu xanh có kích thước và
trọng lượng như nhau, lấy ngẫu nhiên 8 bi trong hộp. Tính xác xuất sao cho trong 8 bi lấy
ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ. Hướng dẫn
- Gọi A là biến cố: “trong 8 bi lấy ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ”
Trường hợp 1: Chọn được 2 bi vàng, 2 bi đỏ và 4 bi xanh.
Trường hợp 2: Chọn được 3 bi vàng, 3 bi đỏ và 2 bi xanh.
Trường hợp 3: Chọn được 4 bi vàng, 4 bi đỏ. ⇒ n ( A) 2 2 4 3 3 2 4 4
= C C C + C C C + C C = 1425 6 5 4 6 5 4 6 5
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 20
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- Gọi không gian mẫu Ω là số trường hợp có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 8 bi trong hộp
chứa 15 bi: ⇒ n (Ω) 8 = C = 6435 15
Vậy xác suất sao cho trong 8 bi lấy ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ n ( A) 1425 95 là: P ( A) = = = n (Ω) 6435 429
Bài 58: Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4
học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Hướng dẫn
- Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các bộ gồm 4 học sinh được chọn từ 25 học sinh nên ta có: n (Ω) 4 = C = 12650 25
- Gọi A là biến cố “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ” Có các trường hợp:
+ Chọn 1 nữ và 3 nam: có 1 3 C C = 4550 10 15
+ Chọn 2 nữ và 2 nam: có 2 2 C C = 4725 10 15
+ Chọn 3 nữ và 1 nam: có 3 1 C C = 1800 10 15
Suy ra số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là: 4550 + 4725 +1800 = 11075 n (ΩA ) 11075 443 Vậy: P ( A) = = = ≃ 0,875 n (Ω) 12650 506
Bài 59: Trong một thùng có chứa 7 đèn màu xanh khác nhau và 8 đèn đỏ khác nhau. Lấy
ngẫu nhiên 3 đèn mắc vào 3 chuôi mắc nối tiếp nhau. Tính xác suất A: “mắc được đúng 2 đèn xanh Hướng dẫn 24 - Ta có: n (Ω) 3
= C , n ( A) 2 1
= C .C ⇒ P A = 7 8 ( ) 15 65
Bài 60: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà
hóa học nữ. Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác , tính xác suất sao cho trong 4
người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. Hướng dẫn
- Chọn ngẫu nhiên 4 nhà khoa học trong 16 nhà khoa học có 4 C cách 16
+ Chọn 2 nhà toán học nam, 1 nhà vật lý nữ, 1 nhà hóa học nữ có 2 1 1
C .C .C cách 8 5 3
+ Chọn 1 nhà toán học nam, 2 nhà vật lý nữ, 1 nhà hóa học nữ có 1 2 1
C .C .C cách 8 5 3
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 21
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
+ Chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà vật lý nữ, 2 nhà hóa học nữ có 1 1 2
C .C .C cách 8 5 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2
C .C .C + C .C .C + C .C .C 3
Vậy xác suất cần tìm là : 8 5 3 8 5 3 8 5 3 P = = 4 C 7 16
Bài 61: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm.
Tính xác suất để phương trình 2
x + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hướng dẫn
- Có 6 khả năng xảy ra khi tung súc sắc nên số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6
- Gọi A là biến cố: phương trình 2
x + bx + 2 = 0 (*) có hai nghiệm phân biệt
- (*) có 2 nghiệm phân biệt 2
⇔ ∆ > 0 ⇔ b − 8 > 0 ⇔ b ∈{3; 4;5; } 6 ⇒ n( ) A = 4 . n( ) A 2
Xác suất cần tìm P( ) A = = n(Ω) 3
Bài 62: Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh.
Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được cả 3 viên bi đều màu đỏ. Hướng dẫn
- Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách lấy ra 3 viên bi trong số 12 viên bi. Ta có: 3 Ω = C = 220. 12
- Gọi A là biến số “lấy được 3 viên bi màu đỏ”. Số các cách lấy ra 3 viên bi màu đỏ trong 7 viên bi màu đỏ là 3 Ω = C = 35. A 7 ΩA 35 7
- Vậy xác suất P(A) để lấy ra được 3 viên bi màu đỏ là : P( ) A = = = . Ω 220 44
Bài 63: Cho đa giác đều 30 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ
các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Tính xác suất để được một hình chữ nhật Hướng dẫn
- Số tứ giác tạo thành với 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều là 4 C . 30 - Suy ra 4
n(S ) = n(Ω) = C 30
- Gọi A là biến cố được tứ giác là một hình chữ nhật.
- Số đường chéo đa giác qua tâm của đa giác đều: 15 n( ) A 1
- Số hình chữ nhật tạo thành : 2 C 2 ⇒ n( )
A = C ⇒ p( ) A = = 15 15 n(Ω) 261
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 22
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Bài 64 : Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số,
trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3. Hướng dẫn
- Gọi a a a a a là số tự nhiên cần tìm, a , a , a , a , a thuộc {1; 2;3; 4; } 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
- Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có 3 C = 10 (cách) 5
- Còn lại hai vị trí, 4 chữ số. Chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí đó, có 2 C = 12 (cách) 4
- Vậy không gian mẫu có 10.12 = 120 phần tử
- Gọi A là biến cố: “số được chọn chia hết cho 3”, có hai phương án:
+ Hai chữ số còn lại là 1 và 5, có 3 C .2! = 20 số 5
+ Hai chữ số còn lại là 2 và 4, có 3 C .2! = 20 số 5 40 1
Vậy biến cố A có 40 phần tử. Xác suất của biến cố A là: P = = 120 3
Bài 65: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh
để làm trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Hướng dẫn + n (Ω) 3 = C = 165 11
+ Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2
C .C + C .C = 135 5 6 5 6 135 9
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là = 165 11
Bài 66: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính
xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi Hướng dẫn
- Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn 2 chiếc giày từ 8 chiếc tùy ý là 2 n(Ω) = C = 28 8
- Kí hiệu A là biến cố chọn được hai chiếc giày cùng một đôi. Số cách chọn một đôi trong 1
4 đôi giày 4 cách. Do đó n(A) = 4. Vì vậy P(A) = 7
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 23
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Bài 67: Tại 1 điểm thi của kì thi Trung học phổ thông quốc gia có 10 phòng thi gồm 6
phòng mỗi phòng có 24 thí sinh và 4 phòng mỗi phòng có 25 thí sinh. Sau 1 buổi thi, 1
phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh trong số các thí sinh đã dự thi buổi
đó để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn để phỏng vấn của các thí sinh là như nhau.
Tính xác suất để trong 10 thí sinh được chọn phỏng vấn không có 2 thí sinh nào cùng thuộc 1 phòng thi Hướng dẫn
- Toång soá thí sinh cuûa ñieåm thi: 6.24+4.25=244 (thí sinh)
- Khoâng gian maãu Ω laø taäp hôïp goàm taát caû caùc caùch choïn 10 thí
sinh töø 244 thí sinh cuûa ñieåm thi - Ta coù: n(Ω) 10 = C244
- Kí hieäu X laø bieán coá "Trong 10 thí sinh ñöôïc choïn phoûng
vaán khoâng coù 2 thí sinh naøo cuøng thuoäc moät phoøng thi" ⇒ n( X ) 6 4 = 24 .25 n ( X ) 6 4 24 .25 4
- Xaùc suaát caàn tìm laø: P = = ≈ 4, 37.10− n (Ω) 10 C244
Bài 68: Có 300 học sinh đăng ký. Có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A. Bốc thăm ngẫu
nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói trên. Tìm xác suất để có đúng 90% số học sinh đạt yêu cầu. Hướng dẫn
- Gọi A là biến cố: “Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu”.
- Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có 30 C cách chọn. 300
- Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu, tức là chọn được 27 em. Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có 27 C cách. 50
- Chọn nốt 3 em từ 250 em còn lại có 3 C cách. 250
- Số cách chọn học sinh đạt yêu cầu là: 27 C . 3 C . 50 250 27 3 C .C
Xác suất của biến cố A là P( ) A = 50 250 2 − 1 ≈ 1, 6.10 . 30 C300
Bài 69: Một tổ có 7 học sinh (trong đó có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam). Xếp ngẫu
nhiên 7 học sinh đó thành một hàng ngang. Tìm xác suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau. Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 24
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
+ Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7!
+ Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau:
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5! cách
sắp xếp. Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy có 5!.3! cách sắp xếp. 5!.3! 1
+ Xác suất của biến cố A là: p ( A) = = . ( p( ) A ≈ 0.14) . 7! 7
Bài 70: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
0,1,2,3, 4,5,6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số
hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm. Hướng dẫn
- Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc (a ≠ 0, a ≠ b ≠ , c , a , b c ∈{0,1,2,3,4,5, } 6 )
- Số cách chọn chữ số a có 6 cách (vì a ≠ 0 )
- Số cách chọn chữ số b có 6 cách (vì b ≠ a )
- Số cách chọn chữ số c có 5 cách (vì c ≠ , a c ≠ b )
- Vậy S có 6.6.5 = 180 (số). Số phần tử của không gian mẩu là Ω = 180 .
- Gọi A là biến cố “số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm”. Khi
đó ta có 3 bộ số thỏa mãn biến cố A là: 1b2, 2b4, 3b6 và trong mỗi bộ thì b có 5 cách
chọn nên có 3.5 = 15 (số). Các kết quả có lợi cho biến cố A là Ω = . A 15 ΩA 15 1 Vậy P( A) = = = . Ω 180 12
Bài 71: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng
các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3. Hướng dẫn
+ Để 3 thẻ rút được có tổng chia hết cho 3 thì 3 thẻ đó phải có dạng: 3k;3k +1;3k + 2
+ Ta thấy 1 ≤ 3k ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;1 }
0 , vậy loại thẻ 3k có 10 thẻ
+ Tương tự 1 ≤ 3k +1 ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{0;1; 2;3; 4;5;6;7;8; }
9 , vậy loại thẻ 3k +1 có 10 thẻ
+ 1 ≤ 3k + 2 ≤ 30, k ∈ Z ⇒ k ∈{0;1; 2;3; 4;5;6;7;8; }
9 , vậy loại thẻ 3k + 2 có 10 thẻ
Như vậy: để tổng các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3 thì ta có 4 TH sau: - TH1: rút 3 thẻ 3k có 3 C cách 10
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 25
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
- TH2: rút 3 thẻ 3k +1 có 3 C cách 10
- TH3: rút 3 thẻ 3k + 2 có 3 C cách 10
- TH4: rút 1 thẻ 3k, 1 thẻ 3k +1, 1 thẻ 3k + 2 có 10.10.10 cách 3 3 3 C + C + C +10.10.10 Đáp số: 10 10 10 p = 3 C30
Bài 72: Một hộp đựng 52 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên cùng
một lúc 3 bóng đèn. Tính xác suất để 3 bóng đèn được lấy ra có ít nhất 1 bóng đèn bị hỏng. Hướng dẫn
+ Số cách lấy ra cùng một lúc 3 bóng đèn từ 52 bóng đèn là 3 C = 22100 (cách) 52
+ Gọi A là biến cố “Trong 3 bóng đèn được lấy ra có ít nhất 1 bóng bị hỏng”
⇒ A là biến cố “Trong 3 bóng lấy ra không có bóng nào hỏng”
⇒ số cách lấy ra 3 bóng mà không có bóng nào hỏng là 3 C = 17296 (cách) 52−4 17296 1201 ⇒ p(A) = 1− P(A) = 1− = 22100 5525
Bài 73: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Tính xác suất để chọn ra
nhóm đồng ca gồm 8 người trong đó phải có ít nhất là 3 nữ.
Hướng dẫn: Số phần tử của không gian mẫu là 8 C = 6435 15
- Số phần tử của biến cố “trong 8 người có ít nhất 3 nữ” là : 3 5 4 4 5 3
C .C + C .C + C .C = 3690 5 10 5 10 5 10 3690
Vậy xác suất là p = 6453
Bài 74: Một lớp học có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhóm 3
học sinh. Tính xác suất để nhóm học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ. Hướng dẫn
- Số học sinh trong lớp học là 25+ 15=40
- Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40 nên không gian
mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 3 của 40 3 ⇒ n(Ω) = C 40
- Gọi A là biến cố “chọn được nhóm 3 học sinh có ít nhất 1 học sinh nữ” ⇒ A là biến cố
“chọn được nhóm 3 học sinh nam”
- Số cách chọn 3 học sinh nam trong 25 học sinh nam là số tổ hợp chập 3 của 3 n( ) A C 115 379 25 3
⇒ n(A) = C ⇒ 25 p(A) = = = ⇒ p( ) A = 1− p(A) = 25 3 n(Ω) C 494 494 40
(CHÚC CÁC EM HỌC VÀ THI TỐT)
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 26