Top 85 câu trắc nghiệm giới hạn của dãy số (có đáp án)
Top 85 câu trắc nghiệm giới hạn của dãy số có đáp án và lời giải chi tiết rất hay bao gồm các dạng:tính giới hạn bằng định nghĩa; tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản. Bài tập được viết dưới dạng file PDF gồm 38 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt: lim x = x ; ì+¥ 0 lim k x = +¥; lim k ne·u k cha¸n x = í x®x0 x®+¥ x®-¥ î-¥ ne·u k le˚
lim c = c (c: hằng số) x®x c 0 lim c = c; lim = 0 2. Định lí: x®±¥ k x®±¥ x a) Nếu lim f ( ) x = L và 1 1 ® lim = -¥; lim = +¥ x x0 x 0- ® x x 0+ ® x lim ( g ) x = M x®x 1 1 0 lim = lim = +¥ thì: lim [ - + f ( ) x + ( g )
x ] = L + M x 0 ® x x 0 ® x x®x0 2. Định lí: lim [ f ( ) x - ( g )
x ] = L - M Nếu lim f ( )
x = L ¹ 0 và lim ( g ) x = ±¥ thì: x®x x®x x®x 0 0 0 lim [ f ( ) x . ( g )
x ] = L.M
ì+¥ ne·u L va¯ lim ( g ) x cu¯ngda·u x®x ï x®x 0 0 lim f ( ) x ( g ) x = í f ( ) x®x -¥ ne·u L va¯ lim ( g ) x tra˘i da·u ï x L lim = (nếu M ¹ 0) 0 x®x î 0 x®x ( g ) x M 0 ì0 ne·u lim ( g ) x = ±¥
b) Nếu f(x) ³ 0 và lim f ( ) x = L ï x®x0 x®x f ( ) x ï 0 lim = +¥ ne·u lim ( g ) x = 0 va¯L. ( g ) x > 0 í thì L ³ 0 và lim x®x ( g ) ® f ( ) x = L x x x 0 0 ï x®x -¥ ne·u lim ( g ) x = 0 va¯L. ( g ) x < 0 0 ï x®x c) Nếu lim î f ( ) x = L thì 0 x®x 0 0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: lim f ( ) x = L 0 x®x0 ¥
3. Giới hạn một bên: ,
, ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định. ¥ lim f ( ) x = L Û x®x0 lim f ( ) x = lim f ( ) x = L Û x x - x x + ® ® 0 0 B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f ( )
x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x ) 0 + Nếu f ( )
x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (Giới
hạn trái bằng giới hạn phải). 3 2 x + 2x +1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 5 x 1 ®- 2x +1 A. 2 - 1 . B. - 1 . C. . D. 2 . 2 2 Trang 1 3 4x -1 Câu 2. lim bằng: 2 x 2 ®- 3x + x + 2 A . -¥ 11 . B. - 11 .. C. .. D. + . ¥ 4 4 x +1
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 ® x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim ( 3 x + ) 1 bằng định nghĩa. x®2 A. +¥ B. -¥ C. 9 D. 1 x + 3 - 2
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 ® x -1 A. +¥ B. -¥ C. 2 - 1 D. 4 x + 3
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x®+¥ x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 2 2x - x +1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x®-¥ x + 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 3x + 2
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 ® 2x -1 A. +¥ B. -¥ C. 5 D. 1 2 4x - 3x
Câu 9. Cho hàm số f (x) =
. Chọn kết quả đúng của lim f ( ) x : (2x - ) 1 ( 3 x - 2) x 2 ® 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 x + 4 - 2
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x®0 2x A. +¥ 1 B. C. 2 - D. 1 8 4x - 3
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1+ ® x -1 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 3x -1
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2- ® x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 2 x + x -
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số 2 3 lim bằng định nghĩa. x 1 ® x -1 A. +¥ B. 5 C. 2 - D. 1 x +1
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x® (2 - x)4 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Trang 2 2 3x
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. 2 x®+¥ 2x +1 A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 1 2
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số ( 2 lim x + x - ) 1 bằng định nghĩa. x®-¥ A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 2 x - 4
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2- ® ( 4x + )1(2- x) A. +¥ B. -¥ C. 0 D. 1 2 x + 3x + 2
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1- ®- x +1 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 - 2 x - x +1
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A = lim bằng định nghĩa. x 1 ® x +1 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 2 2 tan x +1
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B = lim bằng định nghĩa. p x® sin x +1 6 + A. +¥ B. -¥ C. 4 3 6 D. 1 9 3 x + 2 - x +1
Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C = lim bằng định nghĩa. x®0 3x +1 A. +¥ B. -¥ C. 3 2 + 1 D. 1 3 7x +1 +1
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D = lim bằng định nghĩa. x 1 ® x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 3 - x +1
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A = lim bằng định nghĩa. 2 x 2 ®- x + x + 4 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 6 2 sin 2x - 3cos x
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B = lim bằng định nghĩa. p x® tan x 6 A. +¥ B. -¥ 3 3 9 C. - D. 1 4 2 2 3
2x - x +1 - 2x + 3
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C = lim bằng định nghĩa. 2 x 1 ® 3x - 2 A. +¥ B. -¥ 3 3 9 C. - D. 3 2 - 5 4 2 3x +1 - 2
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D = lim bằng định nghĩa. x 1 ® 3 3x +1 - 2 Trang 3 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 6 2
ìx -3 khi x ³ 2
Câu 27. Cho hàm số f (x) = í
. Chọn kết quả đúng của lim f (x):
îx -1 khi x < 2 x®2 A. 1 - . B. 0 . C. 1. D. Không tồn tại. 2
ìïx + ax +1 khi x > 2
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x ® 2 f (x) = . í 2
ïî2x - x +1 khi x £ 2 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 2 2 5
ì ax + 3x + 2a +1 khi x ³ 0 ï
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0 f (x) = í . 2 1
ïî + x + x + x + 2 khi x < 0 A. +¥ B. -¥ 2 C. D. 1 2 2 5
ì ax + 3x + 2a +1 khi x ³ 0 ï
Câu 30. Tìm a để hàm số. f (x) = í
có giới hạn tại x ® 0 2 1
ïî + x + x + x + 2 khi x < 0 A. +¥ B. -¥ 2 C. D. 1 2 2
ìïx + ax +1 khi x >1
Câu 31. Tìm a để hàm số. f (x) =
có giới hạn khi x ®1. í 2
ïî2x - x +3a khi x £1 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 6
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 P(x) 1. L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x® 0 x Q(x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai 2 ax + x+
b c có hai nghiệm x , x thì ta luôn có sự phân tích 1 2 2
ax + bx + c = a(x - x )(x - x ) . 1 2 + n n n 1 - n-2 n-2 n 1 a b (a b)(a a b ... - - = - +
+ + ab + b ) P(x) 2. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x® 0 x Q(x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
+ ( a - b)( a + b) = a - b 3 3 3 2 3 3 2
+ ( a ± b)( a ! ab + b ) = a - b + n n n n 1 - n n-2 n n 1 ( a b)( a a b ... - - +
+ + b ) = a -b P(x) 3. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc x® 0 x Q(x) Trang 4
Giả sử: P(x) = m ( ) - n ( ) m ( ) = n u x v x vôùi u x
v(x ) = a . 0 0
Ta phân tích P(x) = (m ( ) - ) +( - n u x a a v(x) ).
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích
như sau: n ( ) - m ( ) = (n ( ) - ( )) - (m u x v x u x m x ( v ) x - ( m )
x ) , trong đó m(x) ® c. 2 x + 2x +1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 x 1 ®- 2x + 2 1 A. -¥ . B. 0 . C. . D. +¥ . 2 3 2 x - 3x + 2
Câu 2. Tìm giới hạn A = lim : 2 x 1 ® x - 4x + 3 A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 1 2 4 2 x - 5x + 4
Câu 3. Tìm giới hạn B = lim : 3 x®2 x -8 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 6 3 4
(1+ 3x) - (1- 4x)
Câu 4. Tìm giới hạn C = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 25 6 x -
Câu 5. Cho hàm số f ( x) 3 =
. Giá trị đúng của lim f (x) là: 2 x - 9 x 3+ ® A. . -¥ . B. 0. . C. . 6. D. + . ¥
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) -1
Câu 6. Tìm giới hạn D = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 6 6 n x -1
Câu 7. Tìm giới hạn A = lim ( , m nÎ • *) : ®0 m x x -1 A. +¥ B. -¥ n C.
D. m - n m n 1+ ax -1
Câu 8. Tìm giới hạn B = lim
(n Î • *, a ¹ 0) : x®0 x A. +¥ B. -¥ a C. D. 1- n n a n 1+ ax -1
Câu 8. Tìm giới hạn A = lim
với ab ¹ 0 :
x®0 m 1+ bx -1 A. +¥ B. -¥ am C. D. 1+ am bn bn 3 4
1+a x 1+ b x 1+ g x -1
Câu 9. Tìm giới hạn B = lim với abg ¹ 0. : x®0 x Trang 5 g b a A. +¥ B. -¥ C. B = - + D. 4 3 2 g b a B = + + 4 3 2 2 2x - 5x + 2
Câu 10. Tìm giới hạn A = lim : 3
x®2 x - 3x - 2 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 3 4 x - 3x + 2
Câu 11. Tìm giới hạn B = lim : 3 x 1 ® x + 2x - 3 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 5 2x + 3 - x
Câu 12. Tìm giới hạn C = lim : 2
x®3 x - 4x + 3 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 3 3 x +1 -1
Câu 13. Tìm giới hạn D = lim : x®0 4 2x +1 -1 A. +¥ B. -¥ 2 C. D. 1 3 3 4x -1 - x + 2
Câu 14. Tìm giới hạn E = lim : x®7 4 2x + 2 - 2 - A. +¥ B. -¥ 8 C. D. 1 27
(2x +1)(3x +1)(4x +1) -1
Câu 15. Tìm giới hạn F = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 9 C. D. 1 2 3 1+ 4x - 1+ 6x
Câu 16. Tìm giới hạn M = lim : 2 x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 3
m 1+ ax - n 1+ bx
Câu 17. Tìm giới hạn N = lim : x®0 x a b a b A. +¥ B. -¥ C. - D. + m n m n m + n ax + bx -
Câu 18. Tìm giới hạn 1 1 1 G = lim : x®0 x a b a b A. +¥ B. -¥ C. - D. + m n m n
(1+ mx)n -(1+ nx)m
Câu 19. Tìm giới hạn V = lim : 2 x®0 x Trang 6 mn(n - m) mn(n + m) A. +¥ B. -¥ C. D. 2 2 (1- x)( 3
1- x )...(1- n x)
Câu 20. Tìm giới hạn K = lim : x (1- x)n 1 1 - ® A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 n! ( n n 2 1+ x + x) -( 2 1+ x - x)
Câu 21. Tìm giới hạn L = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ C. 2n D. 0 2 2x - 5x + 2
Câu 22. Tìm giới hạn A = lim : 3 x®2 x - 8 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 4 2 x - 3x + 2
Câu 23. Tìm giới hạn B = lim : 3 x 1 ® x + 2x - 3 A. +¥ B. -¥ 2 C. - D. 0 5 2x + 3 - 3
Câu 24. Tìm giới hạn C = lim : 2
x®3 x - 4x + 3 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 6 3 x +1 -1
Câu 25. Tìm giới hạn D = lim : x®0 2x +1 -1 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 3
n (2x +1)(3x +1)(4x +1) -1
Câu 26. Tìm giới hạn F = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 9 C. D. 0 n 3 1+ 4x - 1+ 6x
Câu 27. Tìm giới hạn M = lim : x®0 1- cos3x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 9
m 1+ ax - n 1+ bx
Câu 28. Tìm giới hạn N = lim : x®0 1+ x -1 2(an - bm) A. +¥ B. -¥ C. D. 0 mn
(1+ mx)n -(1+ nx)m
Câu 29. Tìm giới hạn V = lim : x®0 3 1+ 2x - 1+ 3x Trang 7 2(an - bm) A. +¥ B. -¥ C.
D. mn(n - m) mn (1- x)( 3
1- x )...(1- n x)
Câu 30. Tìm giới hạn K = lim : x ( n- ® 1- x ) 1 1 2 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 n! 3 4x +1 - 2x +1
Câu 31. Tìm giới hạn A = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3 4x + 5 - 3
Câu 32. Tìm giới hạn B = lim : x 1 ® 3 5x + 3 - 2 2 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 3 5 4 3 2x + 3 + 2 + 3x
Câu 33. Tìm giới hạn C = lim : x 1 ®- x + 2 -1 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 3 3 x - x + 2
Câu 34. Tìm giới hạn D = lim : x®2 3 x - 3x + 2 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 3 3 1+ 2x - 1+ 3x
Câu 35. Tìm giới hạn A = lim : 2 x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 2 3 5 + 4x - 7 + 6x
Câu 36. Tìm giới hạn B = lim : 3 2 x 1 ®-
x + x - x -1 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 - 3 Trang 8
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ¥ ¥ Phương pháp: P(x) ¥ L = lim
trong đó P(x),Q(x) ® ¥, dạng này ta còn gọi là dạng vô định .
x®±¥ Q(x) ¥
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: + 2 lim k x = +¥ ; 2k 1 lim + x = +¥ (-¥). x®+¥ x®+¥ ( x®-¥) ( x®-¥) k + lim
= 0 (n > 0;k ¹ 0). ®+¥ n x x ( x®-¥) k
+ lim f (x) = +¥ (- ) ¥ Û lim = 0 (k ¹ 0). x®x x® 0 0 x f (x) 5 Câu 1. lim bằng: x®¥ 3x + 2 5 A. 0 . B. 1. C. . D. +¥ . 3 4 x + 7
Câu 2. Giá trị đúng của lim là: 4 x®+¥ x +1 A. 1. - B. 1.. C. 7. . D. + . ¥ 2 2x - 3x + 2
Câu 3. Tìm giới hạn C = lim : x®+¥ 2 5x + x +1 - A. +¥ B. -¥ C. 2 3 D. 0 6 2 x - Câu 4. 2 1 lim bằng: 2 x®¥ 3 - x A. 2 - 1 . B. - 1 . C. . D. 2 . 3 3 2 x +1
Câu 5. Cho hàm số f (x) =
. Chọn kết quả đúng của lim f (x): 4 2 2x + x - 3 x®+¥ 1 A. . B. 2 . C. 0 . D. +¥ . 2 2 + Câu 6. 1 3x lim bằng: x®-¥ 2 2x + 3 A. 3 2 - . B. 2 . C. 3 2 . D. 2 - . 2 2 2 2 3 4 6 1+ x + x
Câu 7. Tìm giới hạn D = lim : x®-¥ 3 4 1+ x + x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 3 Trang 9 x -1
Câu 8. Cho hàm số f (x) = (x + 2)
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x): 4 2 x + x +1 x®+¥ 1 A. 0 . B. . C. 1. D. Không tồn 2 tại. 2 x - x + 3 Câu 9. lim bằng: x 1+ ® 2 x -1 1 A. 3 . B. . C. 1. D. +¥ . 2 4 x + 8x
Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 2
x®+¥ x + 2x + x + 2 21 24 A. - 21 . B. . C. - 24 . D. . 5 5 5 5
Câu 12. Tìm giới hạn 2
E = lim ( x - x +1 - x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2
Câu 13. Tìm giới hạn 2
F = lim x( 4x +1 - x) : x®-¥ A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của ( 5 3
lim 4x - 3x + x + ) 1 là: x®-¥ A. -¥ . B. 0 . C. 4 . D. +¥ .
Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 4 3 2
lim x - x + x - x là: x®+¥ A. -¥ . B. 0 . C. 1. D. +¥ .
Câu 16. Tìm giới hạn 2
B = lim x - x + x +1 : x®-¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Câu 17. Tìm giới hạn 2 2
M = lim ( x + 3x +1 - x - x +1) : x®±¥ A. +¥ B. -¥ 4 C. D. Đáp án 3 khác
Câu 18. Tìm giới hạn 3 3 N = lim 8x + 2x - 2x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Câu 19. Tìm giới hạn 4 4 2 H = lim
16x + 3x +1 - 4x + 2 : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Câu 20. Tìm giới hạn 2 2 K = lim
x +1 + x - x - 2x : x®+¥ ( ) Trang 10 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2 2 x + x +
Câu 21. Tìm giới hạn 3 5 1 A = lim : 2
x®+¥ 2x + x +1 A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 0 2 n
a x +...+ a x + a
Câu 22. Tìm giới hạn 0 n 1 B = lim - n (a b ¹ 0) : m 0 0
x®+¥ b x + ... + b x + b 0 m 1 - m A. +¥ B. -¥ 4 C. D. Đáp án 3 khác 3 3 2
3x +1 - 2x + x +1
Câu 23. Tìm giới hạn A = lim : x®-¥ 4 4 4x + 2 3 3 + 2 A. +¥ B. -¥ C. - D. 0 2 2 x x +1 - 2x +1
Câu 24. Tìm giới hạn B = lim : x®+¥ 3 3 2x - 2 +1 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3 3 4 (2x +1) (x + 2)
Câu 25.Tìm giới hạn A = lim : 7 x®+¥ (3- 2x) A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 16 2
4x - 3x + 4 - 2x
Câu 26. Tìm giới hạn B = lim : x®-¥ 2
x + x +1 - x A. +¥ B. -¥ C. 2 D. 0 2 2x + 3x + 2
Câu 27. Tìm giới hạn C = lim : x®+¥ 2 5x - x +1 + A. +¥ B. -¥ 2 3 C. D. 0 4 3 4 6 1+ x + x
Câu 28. Tìm giới hạn D = lim : x®-¥ 3 4 1+ x + x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 - 3
Câu 29. Tìm giới hạn 2 3 3 A = lim
x + x +1 - 2x + x -1 : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Câu 30.Tìm giới hạn 2 C = lim
4x + x +1 - 2x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 2 Trang 11
Câu 31. Tìm giới hạn 3 3 2 2 D = lim
x + x +1 + x + x +1 : x®-¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 6
Câu 32. Tìm giới hạn 2 2 A = lim
x + x +1 - 2 x - x + x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 0 2
Câu 33.Tìm giới hạn 2 2
B = lim x( x + 2x - 2 x + x + x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 4 n
a x + ...+ a x + a
Câu 34. Tìm giới hạn 0 n 1 A = lim -
n , (a b ¹ 0) : m 0 0
x®+¥ b x + ... + b x + b 0 m 1 - m A. +¥ B. -¥ 4 C. D. Đáp án 3 khác 2 3 3
4x + x + 8x + x -1
Câu 35. Tìm giới hạn B = lim : x®+¥ 4 4 x + 3 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 4 3 2 3 3 4x - 2 + x +1
Câu 36. Tìm giới hạn C = lim : x®-¥ 2 x +1 - x A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 0 2 2 x x +1 + 2x +1
Câu 37. Tìm giới hạn D = lim : x®+¥ 3 3
2x + x +1 + x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3 2
Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 lim x cos là: x®0 nx A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. +¥ . Trang 12
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phương pháp:
1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
2. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi ¥ đưa về dạng . ¥
3. Dạng 0.¥:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. æ 1 2
Câu 1. Chọn kết quả đúng của ö lim - : ç ÷ - 2 3 x®0 è x x ø A. -¥ . B. 0 . C. +¥ . D. Không tồn tại. 3 2 x - x Câu 2. lim bằng: x 1+ ® x -1 +1- x A. 1 - . B. 0 . C. 1. D. +¥ . 2 x - x +1 Câu 3. lim bằng: + 2 x 1 ® x -1 A. –¥. B. –1. C. 1. D. +¥. x - 3
Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 ® x - 3 A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. +¥ .
Câu 5. Tìm giới hạn 2 A = lim
x - x +1 - x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2
Câu 6. Tìm giới hạn 2
B = lim 2x + 4x - x +1 : x®-¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 1 1
Câu 7. Cho hàm số f (x) = -
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x): 3 x -1 x -1 x 1+ ® A. -¥ 2 . B. - 2 . C. . D. +¥ . 3 3
Câu 8. Tìm giới hạn C = lim [n (x + a )(x + a )...(x + a ) - x] : 1 2 ®+¥ n x
a + a + ...+ a A. +¥ B. -¥ C. 1 2 n D. n
a + a + ...+ a 1 2 n 2n
Câu 9. Tìm giới hạn 2
A = lim ( x - x +1 - x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2 Trang 13
Câu 10. Tìm giới hạn 2
B = lim x( 4x +1 - x) : x®-¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4
Câu 11. Tìm giới hạn 2 2
C = lim ( x - x +1 - x + x +1) : x®±¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. Đáp án 4 khác
Câu 12. Tìm giới hạn 3 3
D = lim ( 8x + 2x - 2x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4
Câu 13. Tìm giới hạn 4 4 2
E = lim ( 16x + 3x +1 - 4x + 2) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4
Câu 14. Tìm giới hạn 3 3
F = lim (x - 1- x ) : x®-¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 Trang 14
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: • sin x x tan x x lim = lim =1, từ đây suy ra lim = lim = . 1 x®0 x®0 x sin x x®0 x®0 x tan x • sin u(x) tan u(x)
Nếu lim u(x) = 0 Þ lim =1 và lim = . 1 x®x x® x® 0 0 x u(x) 0 x u(x) 1- cos ax
Câu 1. Tìm giới hạn A = lim : 2 x®0 x a A. +¥ B. -¥ C. D. 0 2
1+ sin mx - cos mx
Câu 2. Tìm giới hạn A = lim :
x®0 1+ sin nx - cos nx A. +¥ B. -¥ m C. D. 0 n 1- cos . x cos 2 . x cos3x
Câu 3. Tìm giới hạn B = lim : 2 x®0 x A. +¥ B. -¥ C. 3 D. 0 1- cos 2x
Câu 4.Tìm giới hạn A = lim : x®0 3x 2sin 2 A. +¥ B. -¥ C. 1 D. 0 cos 2x - cos3x
Câu 5. Tìm giới hạn B = lim :
x®0 x(sin 3x - sin 4x) A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 2 tan 2x
Câu 6. Tìm giới hạn C = lim : x®0 3 1- cos 2x A. +¥ B. -¥ C. 6 D. 0 2 x
Câu 7. Tìm giới hạn D = lim : x®0
1+ xsin 3x - cos 2x A. +¥ B. -¥ 7 C. D. 0 2 sin( m p x )
Câu 8.Tìm giới hạn A = lim. : 1 ® sin( n x p x ) A. +¥ B. -¥ n C. D. 0 m p
Câu 9. Tìm giới hạn B = lim( - x) tan x : p x® 2 2 A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 1 2 Trang 15 a 1
Câu 10. Tìm giới hạn C = lim x sin (a > 0) : x®0 x A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2
Câu 11.Tìm giới hạn D = lim (sin x +1 - sin x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 cos3x - cos 4x
Câu 12. Tìm giới hạn A = lim :
x®0 cos 5x - cos 6x A. +¥ B. -¥ 7 C. D. 0 11 3 1- 1+ 2sin 2x
Câu 13. Tìm giới hạn B = lim : x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 4 C. - D. 0 9 2 sin 2x
Câu 14.Tìm giới hạn C = lim : x 0 ® 3 4 cos x - cos x A. +¥ B. -¥ C. 96 - D. 0 4
Câu 15.Tìm giới hạn sin 2 = x D lim : 4 x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 16 C. D. 0 81 p 1- sin( cos x)
Câu 16.Tìm giới hạn 2 E = lim : x®0 sin(tan x) A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 3sin x + 2cos x
Câu 17. Tìm giới hạn F = lim : x®+¥ x +1 + x A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2
m cos ax - m cosbx
Câu 18. Tìm giới hạn H = lim : 2 x®0 sin x b a A. +¥ B. -¥ C. - D. 0 2n 2m - n
Câu 19.Tìm giới hạn 1 cos = ax M lim : 2 x®0 x a A. +¥ B. -¥ C. D. 0 2n cos3x - cos 4x
Câu 20.Tìm giới hạn A = lim :
x®0 cos 5x - cos 6x A. +¥ B. -¥ 7 C. D. 0 11 Trang 16 3 - +
Câu 21.Tìm giới hạn 1 1 2sin 2 = x B lim : x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 4 C. - D. 0 9 2 sin 2x
Câu 22. Tìm giới hạn C = lim : x 0 ® 3 4 cos x - cos x A. +¥ B. -¥ C. 96 - D. 0 4 sin 2x
Câu 23. Tìm giới hạn D = lim : 4 x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 16 C. D. 0 81 p 1- sin( cos x)
Câu 24. Tìm giới hạn 2 E = lim : x®0 sin(tan x) A. +¥ B. -¥ C. 1 D. 0 3sin x + 2cos x
Câu 25.Tìm giới hạn F = lim : x®+¥ x +1 + x A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 m ax - m
Câu 26. Tìm giới hạn cos cos = bx H lim : 2 x®0 sin x b a A. +¥ B. -¥ C. - D. 0 2n 2m 3 1+ 3x - 1+ 2x
Câu 27. Tìm giới hạn M = lim : x®0 1- cos 2x A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 4 2
3x - 5sin 2x + cos x Câu 28. lim bằng: 2 x®+¥ x + 2 A. -¥ . B. 0 . C. 3 . D. +¥ .
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt: lim x = x ; ì+¥ 0 lim k x = +¥; lim k ne·u k cha¸n x = í x®x0 x®+¥ x®-¥ î-¥ ne·u k le˚
lim c = c (c: hằng số) x®x c 0 lim c = c; lim = 0 2. Định lí: x®±¥ k x®±¥ x a) Nếu lim f ( ) x = L và 1 1 ® lim = -¥; lim = +¥ x x0 x 0- ® x x 0+ ® x lim ( g ) x = M x®x0 Trang 17 thì: lim [ f ( ) x + ( g )
x ] = L + M 1 1 x®x lim = lim = +¥ 0 x 0- x x 0+ ® ® x lim [ f ( ) x - ( g )
x ] = L - M 2. Định lí: x®x0 Nếu lim f ( )
x = L ¹ 0 và lim ( g ) x = ±¥ thì: lim [ f ( ) x . ( g )
x ] = L.M x®x x®x x®x 0 0 0
ì+¥ ne·u L va¯ lim ( g ) x cu¯ngda·u f ( ) x L lim = (nếu M ¹ 0) ï x®x0 lim f ( ) x ( g ) x = í x®x ( g ) x M x®x -¥ ne·u L va¯ lim ( g ) x tra˘i da·u 0 0 ï ® b) Nếu f(x) ³ 0 và lim x x î f ( ) x = L 0 x®x0 ì0 ne·u lim ( g ) x = ±¥ ï ® thì L ³ 0 và lim x x f ( ) x = L 0 f ( ) x lim ï = +¥ ne·u lim ( g ) x = 0 va¯L. ( g ) x > 0 x®x0 í x®x ( g ) x x®x c) Nếu lim 0 0 f ( ) x = L thì
ï-¥ ne·u lim (g )x = 0 va¯L. (g )x < 0 x®x ï 0 x®x î 0 lim f ( ) x = L 0 x®x0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
3. Giới hạn một bên: 0 lim f ( ) x = L Û ¥ ,
, ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định. x®x0 ¥ lim f ( ) x = lim f ( ) x = L Û x x - x x + ® ® 0 0 B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f ( )
x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x ) 0 + Nếu f ( )
x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (
Giới hạn trái bằng giới hạn phải). 3 2 x + 2x +1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 5 x 1 ®- 2x +1 A. 2 - 1 . B. - 1 . C. . D. 2 . 2 2 Hướng dẫn giải:
Chọn A. x + 2x +1 (- )3 1 + 2.(- )2 3 2 1 +1 Cách 1: lim = = 2 - 5 x 1 ®- 2x +1 2(- )5 1 +1 3 2 x + 2x +1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x 1 10- = - + và so đáp án. 5 2x +1 3 2 x + 2x +1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp 5 2x +1 9 x ® 1 - +10- án. Trang 18 3 4x -1 Câu 2. lim bằng: 2 x 2 ®- 3x + x + 2 A . -¥ 11 . B. - 11 .. C. . . D. + . ¥ 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 3 4x -1 11 lim = - . 2 x 2 ®- 3x + x + 2 4 x +1
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 ® x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn C. x +1 x +1
Với mọi dãy (x ) : lim x =1 ta có: lim n = 2 - Vậy lim = 2 - . n n x - 2 x 1 ® x - 2 n
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim ( 3 x + ) 1 bằng định nghĩa. x®2 A. +¥ B. -¥ C. 9 D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn C. x + 3 - 2
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 ® x -1 A. +¥ B. -¥ C. 2 - 1 D. 4 Hướng dẫn giải:
Chọn D. x + 3 - 2 1 lim = x 1 ® x -1 4 x + 3
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x®+¥ x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 2 2x - x +1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x®-¥ x + 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn B. 2 2x - x +1 lim = -¥ x®-¥ x + 2 3x + 2
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 ® 2x -1 A. +¥ B. -¥ C. 5 D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn C. Trang 19 3x + 2 3x + 2 3.1+ 2 Với mọi dãy (x x lim = lim n = = 5 n ) : lim = 2 ta có: n x 1 ® 2x -1 2x -1 2.1-1 n 2 4x - 3x
Câu 9. Cho hàm số f (x) =
. Chọn kết quả đúng của lim f ( ) x : (2x - ) 1 ( 3 x - 2) x 2 ® 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 Hướng dẫn giải:
Chọn B. 2 2 4x - 3x 4.2 - 3.2 5 Cách 1: lim = = x® (2x - ) 1 ( 3 x - 2) (2.2- ) 1 ( 3 2 2 - 2) 3 2 4x - 3x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x 2 10- = + và so đáp án. (2x - ) 1 ( 3 x - 2) 2 4x - 3x
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so (2x - )1( 3x -2) 9 x ® 2 +10- đáp án. cos 5x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + 9 x = 10 - và so 2x đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + cos5x lim và so đáp án. 2x 9 x ® 10 - x + 4 - 2
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x®0 2x A. +¥ 1 B. C. 2 - D. 1 8 Hướng dẫn giải: Chọn B. Với mọi dãy (x x n ) : lim = 0 ta có: n x + 4 - 2 x + 4 - 2 x 1 1 lim = lim n = lim n = lim = . x®0 2x 2x 2 x + 4 + 2 8 n 2x x ( n ) n ( + 4 + 2 n ) 4x - 3
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1+ ® x -1 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn A. 4x - 3 4x - 3
Với mọi dãy (x ) : x >1, "n và lim x = 1 ta có: lim = lim n = +¥. n n n x 1+ ® x -1 x -1 n 3x -1
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2- ® x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Trang 20 Hướng dẫn giải:
Chọn B. 3x -1 3x -1
Với mọi dãy (x ) : x < 2, "n và lim x = 2 ta có: lim = lim n = -¥. n n n x 2- ® x - 2 x - 2 n 2 2x + x - 3
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 ® x -1 A. +¥ B. 5 C. 2 - D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn B. 2 2 2x + x - 3 2x + x - 3
Với mọi dãy (x ) : lim x =1 ta có: lim = lim n n = lim(2x + 3 n ) = 5. n n x 1 ® x -1 x -1 n x +1
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x® (2 - x)4 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn A. 2 3x
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. 2 x®+¥ 2x +1 A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 3x 3 Đáp số: lim = 2 x®+¥ 2x +1 2
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số ( 2 lim x + x - ) 1 bằng định nghĩa. x®-¥ A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn A. 2 x - 4
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2- ® ( 4x + )1(2- x) A. +¥ B. -¥ C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 x + 3x + 2
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1- ®- x +1 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 1 - Hướng dẫn giải:
Chọn D. 2 x + 3x + 2 Do x 1- ® - Þ x +1 = (
- x +1). Đáp số: lim = 1 - . x 1- ®- x +1 2 x - x +1
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A = lim bằng định nghĩa. x 1 ® x +1 Trang 21 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 x - x +1 1-1+1 1 Ta có: A = lim = = . x 1 ® x +1 1+1 2 2tan x+1
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B = lim bằng định nghĩa. p x® sin x +1 6 4 3 + 6 A. +¥ B. -¥ C. D. 1 9 Hướng dẫn giải:
Chọn C. p 2 tan +1 2 tan x +1 4 3 + 6 Ta có 6 B = lim = = . p p x® sin x +1 9 6 sin +1 6 3 x + 2 - x +1
Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C = lim bằng định nghĩa. x®0 3x +1 A. +¥ B. -¥ C. 3 2 + 1 D. 1 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 3 x + 2 - x +1 Ta có: 3 C = lim = 2 + . 1 x®0 3x +1 3 7x +1 +1
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D = lim bằng định nghĩa. x 1 ® x - 2 A. +¥ B. -¥ C. 2 - D. 3 - Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3 3 7x +1 +1 8 +1 Ta có: D = lim = = 3 - . x 1 ® x - 2 1- 2 x +1
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A = lim bằng định nghĩa. 2 x 2 ®- x + x + 4 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 6 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 sin 2x - 3cos x
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B = lim bằng định nghĩa. p x® tan x 6 3 3 9 A. +¥ B. -¥ C. - D. 1 4 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 3
2x - x +1 - 2x + 3
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C = lim bằng định nghĩa. 2 x 1 ® 3x - 2 Trang 22 3 3 9 A. +¥ B. -¥ C. - D. 3 2 - 5 4 2 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3x +1 - 2
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D = lim bằng định nghĩa. x 1 ® 3 3x +1 - 2 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 6 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 2
ìx -3 khi x ³ 2
Câu 27. Cho hàm số f (x) = í
. Chọn kết quả đúng của lim f (x):
îx -1 khi x < 2 x®2 A. 1 - . B. 0 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có lim f ( x) = lim x - = + + ( 2 3) 1 x®2 x®2
lim f (x) = lim (x - ) 1 = 1 x 2- x 2- ® ®
Vì lim f (x) = lim f (x) =1 nên lim f (x) = . 1 x 2+ x 2- ® ® x®2 2
ìïx + ax +1 khi x > 2
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x ® 2 f (x) = í . 2
ïî2x - x +1 khi x £ 2 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 2
lim f (x) = lim(x + ax + 2) = 2a + 6. 2
lim f (x) = lim(2x - x +1) = 7. x 2+ x 2+ ® ® x 2- x 2- ® ® 1 1
Hàm số có giới hạn khi x ® 2 Û lim f ( ) x = lim f ( )
x Û 2a + 6 = 7 Û a = . Vậy a = là giá x 2+ x 2- ® ® 2 2 trị cần tìm. 2 5
ì ax + 3x + 2a +1 khi x ³ 0 ï
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0 f (x) = í . 2 1
ïî + x + x + x + 2 khi x < 0 2 A. +¥ B. -¥ C. D. 1 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2
Ta có lim f (x) = 2a +1 =1+ 2 = lim f (x) Þ a = . x 0+ x 0- ® ® 2 2 5
ì ax + 3x + 2a +1 khi x ³ 0 ï
Câu 30. Tìm a để hàm số. f (x) = í
có giới hạn tại x ® 0 2 1
ïî + x + x + x + 2 khi x < 0 Trang 23 2 A. +¥ B. -¥ C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có: lim f (x) = lim ax + x + a + = a + + + ( 2 5 3 2 )1 2 1 x®0 x®0 2
lim f (x) = lim 1+ x + x + x + 2 =1+ 2 x 0- x 0- ® ® ( ) 2
Vậy 2a +1 = 1+ 2 Û a = . 2 2
ìïx + ax +1 khi x >1
Câu 31. Tìm a để hàm số. f (x) = í
có giới hạn khi x ®1. 2
ïî2x - x +3a khi x £1 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 2
lim f (x) = lim(x + ax + 2) = a + 3. x 1+ x 1+ ® ® 2
lim f (x) = lim(2x - x + 3a) = 3a +1. x 1- x 1- ® ®
Hàm số có giới hạn khi x ®1Û lim f ( ) x = lim f ( ) x x 1+ x 1- ® ®
Û a + 3 = 3a +1 Û a =1. Vậy a =1là giá trị cần tìm. Trang 24
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 P(x) 1. L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x® 0 x Q(x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai 2 ax + x+
b c có hai nghiệm x , x thì ta luôn có sự phân tích 1 2 2
ax + bx + c = a(x - x )(x - x ) . 1 2 + n n n 1 - n-2 n-2 n 1 a b (a b)(a a b ... - - = - +
+ + ab + b ) P(x) 2. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x® 0 x Q(x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
+ ( a - b)( a + b) = a - b 3 3 3 2 3 3 2
+ ( a ± b)( a ! ab + b ) = a - b + n n n n 1 - n n-2 n n 1 ( a b)( a a b ... - - +
+ + b ) = a -b P(x) 3. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc x® 0 x Q(x)
Giả sử: P(x) = m ( ) - n ( ) m ( ) = n u x v x vôùi u x
v(x ) = a . 0 0
Ta phân tích P(x) = (m ( ) - ) +( - n u x a a v(x) ).
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích
như sau: n ( ) - m ( ) = (n ( ) - ( )) - (m u x v x u x m x ( v ) x - ( m )
x ) , trong đó m(x) ® c. 2 x + 2x +1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 x 1 ®- 2x + 2 1 A. -¥ . B. 0 . C. . D. +¥ . 2
Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 x + 2x +1 (x + )2 1 x +1 Cách 1: lim = lim = lim = 0 3 x 1 ®- 2x + 2 x®- 2( x + ) 1 ( 2 1 x - x + ) 1 x®- 2( 2 1 x - x + ) 1 2 x + 2x +1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x 1 10- = - + và so đáp án. 3 2x + 2 2 x + 2x +1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp 3 2x + 2 9 x ® 1 - +10- án. 3 2 x - 3x + 2
Câu 2. Tìm giới hạn A = lim : 2 x 1 ® x - 4x + 3 A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. Trang 25 3 2 2 x - 3x + 2
(x -1)(x - 2x - 2) 2 x - 2x - 2 3 Ta có: A = lim = lim = lim = . 2 x 1 ® x 1 x - 4x + 3 ® (x -1)(x -3) x 1 ® x - 3 2 4 2 x - 5x + 4
Câu 3. Tìm giới hạn B = lim : 3 x®2 x -8 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 6 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 4 2 2 2 x - 5x + 4 (x -1)(x - 4) 2
(x -1)(x - 2)(x + 2) Ta có: B = lim = lim = lim 3 3 3 x®2 x®2 x -8 x - 2 2
x®2 (x - 2)(x + 2x + 4) 2 (x -1)(x + 2) = lim = . 1 2 x®2 x + 2x + 4 3 4 + x - -
Câu 4. Tìm giới hạn (1 3 ) (1 4x) C = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 25 6 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3 4
(1+ 3x) - (1- 4x) Ta có: C = lim x®0 x 3 4 + x - - x - (1 3 ) 1 (1 4 ) 1 = lim - lim x®0 x®0 x x 2 2 3 [
x (1+ 3x) + (1+ 3x) +1] 4
- x(2 - 4x)[(1- 4 ) x +1] = lim - lim x®0 x®0 x x 2 2
= lim3[(1+ 3x) + (1+ 3x) +1]+ lim4(2 - 4 ) x [(1- 4 ) x +1] = 25 x 0 ® x 0 ® x - 3
Câu 5. Cho hàm số f ( x) =
. Giá trị đúng của lim f (x) là: 2 x - 9 x 3+ ® A. . -¥ . B. 0. . C. . 6. D. + . ¥
Hướng dẫn giải: Chọn B x - 3 (x -3)2 lim = lim . x 3+ 2 x 3 x - 9 + ® ® (x -3)(x +3) (x -3) = lim = 0. x 3+ ® (x +3)
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) -1
Câu 6. Tìm giới hạn D = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 6 6 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3 2
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) -1
6x +11x + 6x Ta có: D = lim = lim = 6. x®0 x®0 x x Trang 26 n x -1
Câu 7. Tìm giới hạn A = lim ( , m nÎ • *) : ®0 m x x -1 A. +¥ B. -¥ n C.
D. m - n m Hướng dẫn giải:
Chọn C. n 1 - n-2 (x -1)(x + x +...+ x +1) n 1 - n-2 x + x +...+ x +1 n Ta có: A = lim = lim = . m 1 - m-2 x 0 ® (x -1)(x + x +...+ x +1) m 1 - m-2 x®0 x + x +...+ x +1 m n 1+ ax -1
Câu 8. Tìm giới hạn B = lim
(n Î • *, a ¹ 0) : x®0 x A. +¥ B. -¥ a C. D. 1- n n a Hướng dẫn giải: Chọn C.
Cách 1: Nhân liên hợp Ta có: n n n 1 - n n-2
( 1+ ax -1)( (1+ ax) + (1+ ax)
+...+ n 1+ ax +1) B = lim x®0 n n 1 - n n-2 x( (1+ ax) + (1+ ax)
+...+ n 1+ ax +1) = a a B lim = . x®0 n n 1 - n n-2 (1+ ax) + (1+ ax)
+...+ n 1+ ax +1 n
Cách 2: Đặt ẩn phụ n t -1
Đặt t = n 1+ ax Þ x =
và x ® 0 Û t ®1 a t -1 t -1 Þ = a B a lim = a lim = . n n 1 1 1 t -1 (t -1)( - ® ® t + n t t t +...+ t +1) n n 1+ ax -1
Câu 8. Tìm giới hạn A = lim
với ab ¹ 0 :
x®0 m 1+ bx -1 A. +¥ B. -¥ am C. D. 1+ am bn bn Hướng dẫn giải: Chọn C.
Áp dụng bài toán trên ta có: n 1+ ax -1 = x a m am A lim .lim = . = . x®0 x®0 m x 1+ bx -1 n b bn 3 4
1+a x 1+ b x 1+ g x -1
Câu 9. Tìm giới hạn B = lim với abg ¹ 0. : x®0 x g b a A. +¥ B. -¥ C. B = - + D. 4 3 2 g b a B = + + 4 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 3 4
1+a x 1+ b x 1+g x -1= Trang 27 3 4 3
= 1+ax 1+ b x( 1+g x -1) + 1+ax(( 1+ b x -1) + ( 1+ax -1) 4 3 1+ g x -1 1+ b x -1 1+a x -1 3
B = lim( 1+a x 1+ b x) + lim 1+a x + lim x®0 x®0 x x x®0 x 2 2x - 5x + 2
Câu 10. Tìm giới hạn A = lim : 3
x®2 x - 3x - 2 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 3 Hướng dẫn giải:
Chọn C. (x - 2)(2x -1) 1 Ta có: A = lim = 2
x®2 (x - 2)(x + 2x +1) 3 4 x - 3x + 2
Câu 11. Tìm giới hạn B = lim : 3 x 1 ® x + 2x - 3 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 1 5 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 3 2
(x -1)(x + x + x - 2) 1 Ta có: B = lim = 2 x 1 ®
(x -1)(x + x + 3) 5 2x + 3 - x
Câu 12. Tìm giới hạn C = lim : 2
x®3 x - 4x + 3 A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 1 3 Hướng dẫn giải:
Chọn C. ( - x -3)(x +1) 1 - Ta có: C = lim = x 3
® (x - 3)(x -1)( 2x +3 + x) 3 3 x +1 -1
Câu 13. Tìm giới hạn D = lim : x®0 4 2x +1 -1 A. +¥ B. -¥ 2 C. D. 1 3 Hướng dẫn giải:
Chọn C. x ( 3 2 4 4 4
(2x +1) + (2x +1) + 2x +1 + ) 1 2 Ta có: D = lim = x®0 x ( 3 2 3 x + + x + + ) 3 2 ( 1) 1 1 3 4x -1 - x + 2
Câu 14. Tìm giới hạn E = lim : x®7 4 2x + 2 - 2 - A. +¥ B. -¥ 8 C. D. 1 27 Hướng dẫn giải:
Chọn C. Trang 28 3 3 4x -1 - x + 2 4x -1 - 3 x + 2 - 3 Ta có: E = lim = lim - lim = A- B x®7 4 x®7 4 x®7 4 2x + 2 - 2 2x + 2 - 2 2x + 2 - 2 2 x - -
( 2x+2 +2)( (2x+2)2 4 4 + 3 4 4 1 3 ) 64 A = lim = lim = x®7 4 x®7 2x + 2 - 2 (3(4x- )2 3 1 + 3 4x -1 + 9) 27 x + -
( 2x+2 +2)( (2x+2)2 4 4 + 4 2 3 ) 8 B = lim = lim = x®7 4 x®7 2x + 2 - 2 2( x + 2 +3) 3 64 8 8 -
E = A - B = - = 27 3 27
(2x +1)(3x +1)(4x +1) -1
Câu 15. Tìm giới hạn F = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 9 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 3 1+ 4x - 1+ 6x
Câu 16. Tìm giới hạn M = lim : 2 x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 3 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3 4x +1 - (2x +1) 1+ 6x - (2x +1) Ta có: M = lim - lim = 0 2 2 x®0 x®0 x x
m 1+ ax - n 1+ bx
Câu 17. Tìm giới hạn N = lim : x®0 x a b a b A. +¥ B. -¥ C. - D. + m n m n Hướng dẫn giải:
Chọn C. m 1+ ax -1 n 1+ bx -1 a b Ta có: N = lim - lim = - x®0 x®0 x x m n m 1+ n ax 1+ bx -1
Câu 18. Tìm giới hạn G = lim : x®0 x a b a b A. +¥ B. -¥ C. - D. + m n m n Hướng dẫn giải:
Chọn D.
m 1+ ax ( n 1+bx - ) 1
m 1+ ax -1 b a Ta có: G = lim + lim = + x®0 x®0 x x n m
(1+ mx)n -(1+ nx)m
Câu 19. Tìm giới hạn V = lim : 2 x®0 x Trang 29 mn(n - m) mn(n + m) A. +¥ B. -¥ C. D. 2 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C.
(1+ nx)m - (1+ mnx)
(1+ mx)n - (1+ mnx) ( - ) Ta có: V = lim - lim = mn n m . 2 2 x 0 ® x 0 ® x x 2 (1- x)( 3
1- x )...(1- n x)
Câu 20. Tìm giới hạn K = lim : x (1- x)n 1 1 - ® A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 n! Hướng dẫn giải:
Chọn C. 1 1 Ta có: K = lim = . x 1 ® 3 2 3 n n 1
(1+ x)( x + x +1)...( - x +...+1) n! ( n n 2 1+ x + x) -( 2 1+ x - x)
Câu 21. Tìm giới hạn L = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ C. 2n D. 0 Hướng dẫn giải:
Chọn C. é n n ê( 2 ù é ù
1+ x + x) -1ú ê( 2 1+ x + x) +1ú L lim ë û ë û = = 2n. ®0 x ( n x 2 1+ x + x) 2 2x - 5x + 2
Câu 22. Tìm giới hạn A = lim : 3 x®2 x - 8 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 Hướng dẫn giải:
Chọn C. (2x -1)(x - 2) 1 Ta có: A = lim = 2
x®2 (x - 2)(x + 2x + 4) 4 4 2 x - 3x + 2
Câu 23. Tìm giới hạn B = lim : 3 x 1 ® x + 2x - 3 A. +¥ B. -¥ 2 C. - D. 0 5 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 2 (x -1)(x - 2) 2 Ta có: B = lim = - 2 x 1
® (x -1)(x + x + 3) 5 2x + 3 - 3
Câu 24. Tìm giới hạn C = lim : 2
x®3 x - 4x + 3 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 6 Trang 30 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2(x - 3) 1 Ta có: C = lim = x 3
® (x -1)(x -3)( 2x +3 +3) 6 3 x +1 -1
Câu 25. Tìm giới hạn D = lim : x®0 2x +1 -1 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 3 Hướng dẫn giải:
Chọn C. x ( 2x +1 + ) 1 1 Ta có: D = lim = x®0 é 3 2 3 ù 3 2x (x +1) + x +1 +1 ë û
n (2x +1)(3x +1)(4x +1) -1
Câu 26. Tìm giới hạn F = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 9 C. D. 0 n Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt = n y
(2x +1)(3x +1)(4x +1) Þ y ®1 khi x ® 0 n y -1
(2x +1)(3x +1)(4x +1) -1 Và: lim = lim = 9 x 0 ® x 0 ® x x n y -1 9 Do đó: F = lim =
x® x ( n 1- n-2 0 y + y +...+ y + ) 1 n 3 1+ 4x - 1+ 6x
Câu 27. Tìm giới hạn M = lim : x®0 1- cos3x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 9 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 3 2 1+ 4x - 1+ 6x x 2 4 Ta có: M = lim . = 2. = . 2 x®0 x 1- cos3x 9 9
m 1+ ax - n 1+ bx
Câu 28. Tìm giới hạn N = lim : x®0 1+ x -1 2(an - bm) A. +¥ B. -¥ C. D. 0 mn Hướng dẫn giải:
Chọn C.
æ m1+ ax -1 n 1+bx -1ö x æ a b ö 2(an - bm) Ta có: N = limç - ÷. = - .2 = . ç ÷ x®0 ç ÷ x x 1+ x -1 è ø è m n ø mn Trang 31
(1+ mx)n -(1+ nx)m
Câu 29. Tìm giới hạn V = lim : x®0 3 1+ 2x - 1+ 3x 2(an - bm) A. +¥ B. -¥ C.
D. mn(n - m) mn Hướng dẫn giải:
Chọn D. é(1+ mx)n m 2 -1 (1+ nx) -1ù x mn(n - m) Ta có: V = lim ê - ú = .2 = mn(n - ) m . 2 2 x®0 3 ê x x ú 1+ 2x - 1+ 3 ë û x 2 (1- x)( 3
1- x )...(1- n x)
Câu 30. Tìm giới hạn K = lim : x ( n- ® 1- x ) 1 1 2 A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 n! Hướng dẫn giải:
Chọn C. 1 1 Ta có: K = lim = . x 1 ® 3 2 3 n n 1
(1+ x)( x + x +1)...( - x +...+1) n! 3 4x +1 - 2x +1
Câu 31. Tìm giới hạn A = lim : x®0 x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 3 4x +1 -1 2x +1 -1 Ta có: A = lim - lim x®0 x®0 x x 4x +1 -1 4x 4 Mà: lim = lim = lim = 2 x®0 x®0 x
x( 4x +1+ ) x®0 1 4x +1 +1 3 2x +1 -1 2x 2 lim = lim = x 0 ® x 0 ® x é3 2 3 ù 3 x
(2x +1) + 2x +1 +1 ë û 2 4 Vậy A = 2 - = . 3 3 4x + 5 - 3
Câu 32. Tìm giới hạn B = lim : x 1 ® 3 5x + 3 - 2 2 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 3 5 Hướng dẫn giải:
Chọn D. é 3 2 3 4(x 1) (5x 3) 2 5x 3 4ù - + + + + é 3 2 3 4 (5x 3) 2 5x 3 4ù + + + + ë û 2 Ta có: B lim ë û = = lim = . x 1 ®
5(x -1) é 4x + 5 + 3ù x 1 ® 5( 4x + 5 + 3) 5 ë û Trang 32 4 3 2x + 3 + 2 + 3x
Câu 33. Tìm giới hạn C = lim : x 1 ®- x + 2 -1 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 3 3 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 4 3 2x + 3 -1 3x + 2 +1 Ta có: C = lim - lim x 1 ®- x 1 x + 2 -1 ®- x + 2 -1 4 3 2(x +1) +1 -1 3 - (x +1) +1 -1 2 x + x + 1 - 1 1 4 = lim - lim = - = 3 x 1 ®- x 1 (x +1) +1 -1 ®- (x +1) +1 -1 1 1 2 2 x +1 x +1 x - x + 2
Câu 34. Tìm giới hạn D = lim : x®2 3 x - 3x + 2 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 3 Hướng dẫn giải:
Chọn D. ( 2x x 2) 2 é 3 3 2 x . x 3x 2 (3x 2) ù - - + + + + 2 é 3 3 2 x . x 3x 2 (3x 2) ù + + + + Ta có: D lim ë û = lim ë û = = 1. x®2 3
(x - 3x - 2)(x + x + 2) x®2
(x +1)(x + x + 2) 3 1+ 2x - 1+ 3x
Câu 35. Tìm giới hạn A = lim : 2 x®0 x A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 3 - Cách 1: Đặt 1 3 = 3 +1 Þ = t t x x
và x ® 0 Û t ®1 3 3 3 t -1 t + 2 1+ - t - t Nên 3 3 A = lim = 9lim 2 2 2 2 t 1 ® 3 t 1 ® æ t - ö
(t -1) (t + t +1) 1 ç ÷ è 3 ø 3 2 t - 3t + 2 = 3lim t 1 ® 3 æ ö t + 2 2 2 2
(t -1) (t + t +1) ç + t ÷ ç 3 ÷ è ø 2 (t -1) (t + 2) = 3lim t 1 ® 3 æ ö t + 2 2 2 2
(t -1) (t + t +1) ç + t ÷ ç 3 ÷ è ø Trang 33 t + 2 1 = 3lim = . t 1 ® 3 æ ö 2 t + 2 2 2 (t + t +1) ç + t ÷ ç 3 ÷ è ø Cách 2: Ta có: 3 1+ 2x - (1+ x) 1+ 3x - (1+ x) A = lim - lim 2 2 x®0 x®0 x x 1 - 3 - - x = lim - lim x®0 x®0 3 2 3 2 1+ 2x +1+ x
(1+ 3x) + (1+ x) 1+ 3x + (1+ x) 1 Do đó: A = . 2 3 5 + 4x - 7 + 6x
Câu 36. Tìm giới hạn B = lim : 3 2 x 1 ®-
x + x - x -1 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 - 3 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3 5 + 4x - 7 + 6x Ta có: B = lim x®- (x + )2 1 1 (x - ) 1
Đặt t = x +1. Khi đó: 3 3 5 + 4x - 7 + 6x 1+ 4t - 1+ 6t lim = lim x®- (x + )2 2 1 t®0 1 t 3 1+ 4t - (2t +1) 1+ 6t - (2t +1) = lim - lim 2 2 x®0 t®0 t t 4 - 8 - t -12 = lim - lim = 2 . t®0 t®0 3 2 3 2 2 1+ 4t + 2t +1
(1+ 6t) + (2t +1) (1+ 6t) + (2t +1) Do đó: B = 1 - . Trang 34
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ¥ ¥ Phương pháp: P(x) ¥ L = lim
trong đó P(x),Q(x) ® ¥, dạng này ta còn gọi là dạng vô định .
x®±¥ Q(x) ¥
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: + 2 lim k x = +¥ ; 2k 1 lim + x = +¥ (-¥). x®+¥ x®+¥ ( x®-¥) ( x®-¥) k + lim
= 0 (n > 0;k ¹ 0). ®+¥ n x x ( x®-¥) k
+ lim f (x) = +¥ (- ) ¥ Û lim = 0 (k ¹ 0). x®x x® 0 0 x f (x) 5 Câu 1. lim bằng: x®¥ 3x + 2 5 A. 0 . B. 1. C. . D. +¥ . 3
Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 5 Cách 1: lim = lim x = 0 x®¥ 3x + 2 x®¥ 2 3 + x 5
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9
x = 10 và so đáp án (với máy casio 570 VN 3x + 2 Plus) 5
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 3x + 2 9 x ®10 4 x +
Câu 2. Giá trị đúng của 7 lim là: 4 x®+¥ x +1 A. 1. - B. 1.. C. 7. . D. + . ¥
Hướng dẫn giải: Chọn B 7 4 1+ 4 x + 7 lim = lim x =1. 4 x®+¥ x +1 x®+¥ 1 1+ 4 x 2 2x - 3x + 2
Câu 3. Tìm giới hạn C = lim : x®+¥ 2 5x + x +1 2 - 3 A. +¥ B. -¥ C. D. 0 6 Trang 35
Hướng dẫn giải: 2 2 - 3 + 2 x 2 - 3 Ta có: C = lim = x®+¥ 1 6 5 + 1+ 2 x 2 x - Câu 4. 2 1 lim bằng: 2 x®¥ 3 - x A. 2 - 1 . B. - 1 . C. . D. 2 . 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 - 2 2 2x -1 2 Cách 1: lim = lim x = 2 2 x®¥ 3 - x x®¥ 3 -1 2 x 2 2x -1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9
x = 10 và so đáp án. 2 3 - x 2 2x -1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 2 3- x 9 x ®10 2 x +1
Câu 5. Cho hàm số f (x) =
. Chọn kết quả đúng của lim f (x): 4 2 2x + x - 3 x®+¥ 1 2 A. . B. . C. 0 . D. +¥ . 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 2 x +1 + 2 4 Cách 1: lim = lim x x = 0 4 2 x®+¥ 2x + x - 3 x®+¥ 1 3 2 + - 2 4 x x 2 x +1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9
x = 10 và so đáp án. 4 2 2x + x - 3 2 x +1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 4 2 2x + x - 3 9 x ®10 1+ 3x Câu 6. lim bằng: x®-¥ 2 2x + 3 3 2 3 2 2 A. - 2 . B. . C. . D. - . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn A. Trang 36 1 +3 2 1+ 3x 3 2 Cách 1: lim = lim x = - x®-¥ 2 2x + 3 x®+¥ 3 2 - 2 + 2 x 1+ 3x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + 9 x = 10 - và so đáp án. 2 2x + 3 1+ 3x
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 2 2x + 3 9 x ® 10 - 3 4 6 1+ x + x
Câu 7. Tìm giới hạn D = lim : x®-¥ 3 4 1+ x + x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 3
Hướng dẫn giải: 2 1 1 3 x + +1 6 2 Ta có: = lim x x D = 1 x®-¥ 2 1 1 x + +1 4 2 x x x -1
Câu 8. Cho hàm số f (x) = (x + 2)
. Chọn kết quả đúng của lim f (x): 4 2 x + x +1 x®+¥ 1 A. 0 . B. . C. 1. D. Không tồn 2 tại.
Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 2 + - x - x - x + lim ( ) = lim ( + 2) 1 ( ) 1 ( 2) 2 3 4 = lim = lim x x x f x x = 0 . 4 2 4 2 x®+¥ x®+¥
x + x +1 x®+¥ x + x +1 x®+¥ 1 1 1+ + 2 4 x x 2 x - x + 3 Câu 9. lim bằng: x 1+ ® 2 x -1 1 A. 3 . B. . C. 1. D. +¥ . 2
Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 1 3 1 3 x - + x - + - + 2 1 1 1 2 2 2 x - x + 3 lim = lim x x = lim x x = lim x x = 3.. x 1+ x - x 1+ x - x 1 2 1 2 1 + æ 1 x 1+ ® ® ® ® ö æ 1 ö x 2 - 2 - ç ÷ ç ÷ è x ø è x ø 4 x + 8x
Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: 3 2
x®+¥ x + 2x + x + 2 21 24 A. - 21 . B. . C. - 24 . D. . 5 5 5 5
Hướng dẫn giải: Trang 37 Chọn C. 4 x + 8x 4 x + 8x lim thành lim 3 2
x®+¥ x + 2x + x + 2 3 2 x 2
®- x + 2x + x + 2 x + 8x x ( x + 2)( 2 x - 2x + 4) x ( 2 4 x - 2x + 4) 24 lim = lim = lim = - . 3 2
x®- x + 2x + x + 2 x®- (x + 2)( 2x + )1 x®- ( 2 2 2 2 x + ) 1 5
Câu 12. Tìm giới hạn 2
E = lim ( x - x +1 - x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2
Hướng dẫn giải: -x+1 1 Ta có: E = lim = - x®+¥ 2
x - x +1 + x 2
Câu 13. Tìm giới hạn 2
F = lim x( 4x +1 - x) : x®-¥ A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Hướng dẫn giải: æ 1 ö Ta có: 2
F = lim x ç- 4 + -1÷ = -¥ 2 x®-¥ ç ÷ è x ø
Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của ( 5 3
lim 4x - 3x + x + ) 1 là: x®-¥ A. -¥ . B. 0 . C. 4 . D. +¥ .
Hướng dẫn giải: Chọn A. æ ö lim ( 3 1 1 5 3
4x - 3x + x + ) 5 1 = lim x 4 - + + = - . ¥ . ç 2 4 5 ÷ x®-¥ x®-¥ è x x x ø
Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 4 3 2
lim x - x + x - x là: x®+¥ A. -¥ . B. 0 . C. 1. D. +¥ .
Hướng dẫn giải: Chọn D. æ 1 1 1 4 3 2 4 ö
lim x - x + x - x = lim x 1- + - = + . ¥ . ç 2 3 ÷ x®+¥ x®+¥ è x x x ø
Câu 16. Tìm giới hạn 2
B = lim x - x + x +1 : x®-¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Hướng dẫn giải: æ 1 1 ö æ 1 1 ö
Ta có: B = lim ç x - x 1+ + ÷ = lim xç1+ 1+ + ÷ = -¥ 2 2 x®-¥ ç ÷ x®-¥ ç ÷ è x x ø è x x ø
Câu 17. Tìm giới hạn 2 2
M = lim ( x + 3x +1 - x - x +1) : x®±¥ Trang 38 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. Đáp án 3 khác
Hướng dẫn giải: 4x ì2 khi x ® +¥ Ta có: M = lim = í x®±¥ 2 2
x + 3x +1 + x - x +1 î 2 - khi x ® -¥
Câu 18. Tìm giới hạn 3 3 N = lim 8x + 2x - 2x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Hướng dẫn giải: 2x Ta có: N = lim = 0 x®+¥ 3 3 2 3 3 2
(8x + 2x) + 2x 8x + 2x + 4x
Câu 19. Tìm giới hạn 4 4 2 H = lim
16x + 3x +1 - 4x + 2 : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Hướng dẫn giải: 4 2
16x + 3x +1 - (4x + 2) Ta có: H = lim x®+¥ 4 4 2
16x + 3x +1 + 4x + 2 4 2 2
16x + 3x +1- (4x + 2) = lim x®+¥ (4 4 2
16x + 3x +1 + 4x + 2 )( 4 2
16x + 3x +1 + 4x + 2) 2 16 - x + 3x - 3 = lim x®+¥ (4 4 2
16x + 3x +1 + 4x + 2 )( 4 2
16x + 3x +1 + 4x + 2) Suy ra H = 0 .
Câu 20. Tìm giới hạn 2 2 K = lim
x +1 + x - x - 2x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2
Hướng dẫn giải: 2 2 2 2
- x - x +1+ 2 (x +1)(x - x) Ta có: K = lim x®+¥ 2 2
x +1 + x - x + 2x
4(x - x + x - x) - (2x + x - )2 4 3 2 2 1 = lim x®+¥ ( 2 2
x +1 + x - x + 2x)( 2 2 2
2 (x +1)(x - x) + 2x + x - )1
4(x - x + x - x) - (2x + x - )2 4 3 2 2 1 = lim x®+¥ ( 2 2
x +1 + x - x + 2x)( 2 2 2
2 (x +1)(x - x) + 2x + x - )1 3 2 8
- x + 7x - 2x -1 1 = lim = - x®+¥ ( 2 2
x + + x - x + x)( 2 2 2 x +
x - x + x + x - ) 2 1 2 2 ( 1)( ) 2 1 Trang 39 2 3x + 5x +1
Câu 21. Tìm giới hạn A = lim : 2
x®+¥ 2x + x +1 A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 0 2
Hướng dẫn giải: 2 5 1 5 1 x (3 + + ) 3 + + 2 2 3 Ta có: = lim x x = lim x x A = x®+¥ 2 1 1 x®+¥ 1 1 2 x (2 + + ) 2 + + 2 2 x x x x n
a x +...+ a x + a
Câu 22. Tìm giới hạn 0 n 1 B = lim - n (a b ¹ 0) : m 0 0
x®+¥ b x + ... + b x + b 0 m 1 - m A. +¥ B. -¥ 4 C. D. Đáp án 3 khác
Hướng dẫn giải: n a a a 1 n 1 x (a + +... - + + n ) 0 n 1 - n Ta có: = lim x x x B x®+¥ m b b b 1 m 1 x (b + +... - + + m ) 0 m 1 - m x x x a a a 1 n 1 a + + ... - + + n 0 n 1 - n a * Nếu x x x 0
m = n Þ B = lim = . x®+¥ b b b 1 m 1 - m b0 b + +...+ + 0 m 1 - m x x x a a a 1 n 1 a + +... - + + n 0 n 1 - n * Nếu > Þ = lim x x x m n B = 0 x®+¥ m-n b b b 1 m 1 x (b + +... - + + m ) 0 m 1 - m x x x
( Vì tử ® a , mẫu ® 0 ). 0
* Nếu m < n n-m a a a 1 n 1 x (a + + ... - + + n ) 0 n 1 - n
ì+¥ khi a .b > 0 x x x 0 0 Þ B = lim = í . x®+¥ b b b m m -¥ a b < 1 1 - khi 0 b + + + + î 0 0 ... 0 m 1 - m x x x 3 3 2
3x +1 - 2x + x +1
Câu 23. Tìm giới hạn A = lim : x®-¥ 4 4 4x + 2 3 3 + 2 A. +¥ B. -¥ C. - D. 0 2
Hướng dẫn giải: 1 1 1 3 x 3 + + x 2 + + 3 2 3 x x x 3 + 2 Ta có: A = lim = - . x®-¥ 2 2 4 -x 4 + 4 x 2 x x +1 - 2x +1
Câu 24. Tìm giới hạn B = lim : x®+¥ 3 3 2x - 2 +1 Trang 40 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Hướng dẫn giải: 2 1 2 1 1 2 1 x ( 1+ - + ) x( 1+ - + ) 2 2 2 2 = lim x x x = x x x B = +¥ x®+¥ 2 1 2 1 3 3 x( 2 - + ) 2 - + 3 3 x x x x (do tử ® +¥ , mẫu 3 ® 2). 3 4 (2x +1) (x + 2)
Câu 25.Tìm giới hạn A = lim : 7 x®+¥ (3- 2x) A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 16
Hướng dẫn giải: 3 4 æ 1 ö æ 2 ö 2 + 1+ ç ÷ ç ÷ è x ø è x ø 1 A = lim = - 7 x®+¥ æ 3 ö 16 - 2 ç ÷ è x ø 2
4x - 3x + 4 - 2x
Câu 26. Tìm giới hạn B = lim : x®-¥ 2
x + x +1 - x A. +¥ B. -¥ C. 2 D. 0
Hướng dẫn giải: 3 4 - 4 - + - 2 2 = lim x x B = 2 x®-¥ 1 1 - 1+ + - x 2 x x 2 2x + 3x + 2
Câu 27. Tìm giới hạn C = lim : x®+¥ 2 5x - x +1 2 + 3 A. +¥ B. -¥ C. D. 0 4
Hướng dẫn giải: 2 2 + 3 + 2 x 2 + 3 C = lim = x®+¥ 1 4 5 - 1+ 2 x 3 4 6 1+ x + x
Câu 28. Tìm giới hạn D = lim : x®-¥ 3 4 1+ x + x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 1 - 3
Hướng dẫn giải: Trang 41 1 1 3 + +1 6 2 = lim x x D = 1 - x®-¥ 1 1 - 1+ + 4 x x
Câu 29. Tìm giới hạn 2 3 3 A = lim
x + x +1 - 2x + x -1 : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Hướng dẫn giải: æ 1 1 1 1 ö Ta có: 3
A = lim ç x 1+ + - x 2 + - ÷ 2 2 3 x®+¥ ç ÷ è x x x x ø æ 1 1 1 1 ö 3 = lim xç 1+ + - 2 + - ÷ = -¥ 2 2 3 x®+¥ ç ÷ è x x x x ø
Câu 30.Tìm giới hạn 2 C = lim
4x + x +1 - 2x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 2
Hướng dẫn giải: æ 1 ö x 1+ 1 x 1 ç ÷ + 1+ 1 Ta có: x C lim lim è ø = = = lim x = . x®+¥ 2 4x + x +1 + 2 x®+¥ x 1 1 x®+¥ 1 1 2 x 4 + + + 2x 4 + + + 2 2 x x 2 x x
Câu 31. Tìm giới hạn 3 3 2 2 D = lim
x + x +1 + x + x +1 : x®-¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 6 Hướng dẫn giải: Ta có: 3 3 2 2 D = lim
x + x +1 - x + lim
x + x +1 + x = M + N x®-¥ ( ) x®-¥( ) 2 x +1 1 M = lim = x®-¥ 3 3 2 2 3 3 2 2 (x + x +1) + .
x x + x +1 + x 3 1 1+ x +1 1 = lim = lim x N = - x®-¥ 2 x + x +1 x®-¥ - x 1 1 2 - 1+ + -1 2 x x 1 1 1 Do đó: B = - = - . 3 2 6
Câu 32. Tìm giới hạn 2 2 A = lim
x + x +1 - 2 x - x + x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 0 2
Hướng dẫn giải: Trang 42
x + x +1 + x - 4(x - x) 2 2 ( )2 2 2
Ta có: x + x +1 - 2 x - x + x = 2 2
x + x +1 + 2 x - x + x 2 2
2x x + x +1 +1+ 5x - 2x = 2 2
x + x +1 + 2 x - x + x
2x ( 2x + x +1- x) 1+ 5x = + 2 2 2 2
x + x +1 + 2 x - x + x
x + x +1 + 2 x - x + x 2x(x +1) = + ( 2 2
x + x +1 + 2 x - x + x)( 2x + x +1+ x) 1+ 5x + . 2 2
x + x +1 + 2 x - x + x 2 2 + Do đó: = lim x A + x®+¥ æ 1 1 1 öæ 1 1 ö ç 1+ + + 2 1- +1÷ç 1+ + +1÷ 2 2 è x x x øè x x ø 1 +5 1 5 3 + lim x = + = x®+¥ 1 1 1 4 4 2 1+ + + 2 1- +1 2 x x x
Câu 33.Tìm giới hạn 2 2
B = lim x( x + 2x - 2 x + x + x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 4
Hướng dẫn giải: 2 2 2
2x + 2x + 2x x + 2x - 4x - 4x Ta có: 2 2
x + 2x - 2 x + x + x = 2 2
x + 2x + 2 x + x + x 2
x + 2x - x -1 = 2x 2 2
x + 2x + 2 x + x + x 2 - x = . 2 2 2
( x + 2x + 2 x + x + x)( x + 2x + x +1) 2 2 - x Nên B = lim x®+¥ 2 2 2
( x + 2x + 2 x + x + x)( x + 2x + x +1) 2 - 1 = lim = - . x®+¥ 2 1 2 1 4 ( 1+ + 2 1+ +1)( 1+ +1+ ) x x x x n
a x +...+ a x + a
Câu 34. Tìm giới hạn 0 n 1 A = lim -
n , (a b ¹ 0) : m 0 0
x®+¥ b x + ... + b x + b 0 m 1 - m A. +¥ B. -¥ 4 C. D. Đáp án 3 khác Trang 43
Hướng dẫn giải: n a a a 1 n 1 x (a + +... - + + n ) 0 n 1 - n Ta có: = lim x x x A x®+¥ m b b b 1 m 1 x (b + +... - + + m ) 0 m 1 - m x x x a a a 1 n 1 a + + ... - + + n 0 n 1 - n • a Nếu x x x 0
m = n Þ B = lim = . x®+¥ b b b 1 m 1 - m b0 b + +...+ + 0 m 1 - m x x x a a a 1 n 1 a + +... - + + n 0 n 1 - n • Nếu > Þ = lim x x x m n B = 0 x®+¥ m-n b b b 1 m 1 x (b + +... - + + m ) 0 m 1 - m x x x
( Vì tử ® a , mẫu ® 0 ). 0 n-m a a a 1 n 1 x (a + +... - + + n ) 0 n 1 - n
ì+¥ khi a .b > 0
• Nếu m < n , ta có: x x x 0 0 B = lim = í x®+¥ b b b m m -¥ a b < 1 1 - khi 0 b + + + + î 0 0 ... 0 m 1 - m x x x 2 3 3
4x + x + 8x + x -1
Câu 35. Tìm giới hạn B = lim : x®+¥ 4 4 x + 3 A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 4 3
Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 1 1 3 3 x 4 + + . x 8 + - 4 + + 8 + - 2 3 2 3 Ta có: = lim x x x = lim x x x B = 4 x®+¥ 3 x®+¥ 3 4 4 x 1+ 1+ 4 4 x x 2 3 3 4x - 2 + x +1
Câu 36. Tìm giới hạn C = lim : x®-¥ 2 x +1 - x A. +¥ B. -¥ 3 C. D. 0 2
Hướng dẫn giải: 2 1 2 1 3 3 x 4 - + x 1+ - 4 - - 1+ 2 3 2 3 x x x x 3 Ta có: C = lim = lim = x®-¥ 1 x®-¥ æ 1 ö 2 x 1+ - x -ç 1+ +1 2 ÷ 2 x è x ø 2 x x +1 + 2x +1
Câu 37. Tìm giới hạn D = lim : x®+¥ 3 3
2x + x +1 + x A. +¥ B. -¥ 4 C. D. 0 3
Hướng dẫn giải: Trang 44 æ ö 2 1 2 1 x ç 1+ + + ÷ 2 2 x x x Ta có: D lim è ø = = +¥. x®+¥ æ ö 2 2 1 1 1 3 x ç + + + ÷ 3 5 6 è x x x x ø 2
Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 lim x cos là: x®0 nx A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. +¥ .
Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2 Cách 1: 2 2 0 £ cos £1 Û 0 £ x cos £ x nx nx 2 Mà 2 lim x = 0 nên 2 lim x cos = 0 x 0 ® x®0 nx 2
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + 2 x cos + CACL + 9 x 10- = + nx
n = 10 và so đáp án. Trang 45
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phương pháp:
1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
2. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi ¥ đưa về dạng . ¥
3. Dạng 0.¥:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. æ 1 2 ö
Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim - : ç ÷ - 2 3 x®0 è x x ø A. -¥ . B. 0 . C. +¥ . D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải: Chọn C. æ 1 2 ö æ x - 2 ö lim - = lim ç ÷ ç ÷ - 2 3 - 3 x®0 x®0 è x x ø è x ø lim (x - 2) = 2 - < 0 x 0- ® Khi - 3
x ® 0 Þ x < 0 Þ x < 0 æ x - 2 ö Vậy lim = +¥. ç ÷ - 3 x®0 è x ø 3 2 x - x Câu 2. lim bằng: x 1+ ® x -1 +1- x A. 1 - . B. 0 . C. 1. D. +¥ .
Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 3 2 x - x x ( x - ) 1 x x -1 x lim = lim = lim = lim =1.. x 1+ x 1 x -1 +1 + + + ® ® - x x -1 - ( x - )2 x 1 1 ®
x -1(1- x -1) x 1 ® (1- x -1) 2 x - x +1 Câu 3. lim bằng: + 2 x 1 ® x -1 A. –¥. B. –1. C. 1. D. +¥.
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 x - x +1 lim
= +¥vì lim x - x + = >
lim x - = x - > + ( 2 ) 2 1 0; 1 0 + ( 2 )1 1 0và . + 2 x 1 ® x -1 x 1 ® x 1 ® x - 3
Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 ® x - 3 A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. +¥ .
Hướng dẫn giải: Chọn A. Trang 46 x - 3 x - 3 ü lim = lim =1 ï x®3+ x - x®3 3 + x - 3 ï x - 3 x - 3 ý Þ lim ¹ lim x®3+ x - -x + x - x®3 3 3 3 - x - 3 ï lim = lim = 1 - x®3- x®3 x 3 - x 3 ï - - þ
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
Câu 5. Tìm giới hạn 2 A = lim
x - x +1 - x : x®+¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 2
( x - x +1 - x)( x - x +1 + x) Ta có: A = lim x®+¥ 2
x - x +1 + x 2 2
x - x +1- x -x +1 1 = lim = lim = - . x®+¥ 2 x®+¥ 2
x - x +1 + x
x - x +1 + x 2
Câu 6. Tìm giới hạn 2
B = lim 2x + 4x - x +1 : x®-¥ ( ) A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 2
(2x - 4x - x +1)(2x + 4x - x +1) x +1 1 B = lim = lim = . x®-¥ 2
2x - 4x - x +1 x®-¥ 2
2x - 4x - x +1 4 1 1
Câu 7. Cho hàm số f (x) = -
. Chọn kết quả đúng của lim f (x): 3 x -1 x -1 x 1+ ® A. -¥ 2 . B. - 2 . C. . D. +¥ . 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 æ -x - x ö lim f (x) = lim ç ÷ + + 3 x 1 ® x 1 ® è x -1 ø lim -x - x = - + ( 2 ) 2 x 1 ® Khi + 3
x ®1 Þ x > 1Þ x -1 > 0
Vậy lim f (x) = -¥. x 1+ ®
Câu 8. Tìm giới hạn C = lim [n (x + a )(x + a )...(x + a ) - x] : 1 2 ®+¥ n x
a + a + ...+ a A. +¥ B. -¥ C. 1 2 n D. n
a + a + ...+ a 1 2 n 2n Hướng dẫn giải:
Chọn C. Trang 47
Đặt y = n (x - a )(x - a )...(x - a ) 1 2 n n y - n x n n n 1 - n 1 - n 1 y x (y x)(y y x ... - Þ - = - +
+ + x ) Þ y - x = n 1 - n 1 - n 1 y + y x +... - + x n y - n Þ x
lim (y - x) = lim n 1 - n-2 n 1 x x y + y x +... - ®+¥ ®+¥ + x n y - n x n 1 - Þ = lim x C . n 1 - n 1 - n 1 x y + y x +... - ®+¥ + x n 1 - x n y - n x b b b Mà 2 3 lim
= lim (a + a +...+ a + + +...+ n ) n 1 - 1 2 n 2 n 1 - x®+¥ x®+¥ x x x x
= a + a +...+ a . 1 2 n k n 1 - -k y x n 1 - n-2 n 1 y + y x +... - + x lim
=1 "k = 0,...,n -1Þ lim = n. n 1 - x®+¥ x n 1 - x®+¥ x
a + a + ...+ a Vậy 1 2 C = n . n
Câu 9. Tìm giới hạn 2
A = lim ( x - x +1 - x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. -x +1 1 A = lim = - x®+¥ 2
x - x +1 + x 2
Câu 10. Tìm giới hạn 2
B = lim x( 4x +1 - x) : x®-¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn B.
Câu 11. Tìm giới hạn 2 2
C = lim ( x - x +1 - x + x +1) : x®±¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. Đáp án 4 khác Hướng dẫn giải:
Chọn D. - x lim
x - x + - x + x + = = - x®+¥ ( 2 2 2 1 1) lim 1 x®+¥ 2 2
x - x +1 + x + x +1 2 - x 2 2 lim
x - x +1 - x + x +1 = lim = . 1 x®-¥ ( ) x®-¥ 2 2
x - x +1 + x + x +1
Câu 12. Tìm giới hạn 3 3
D = lim ( 8x + 2x - 2x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 Trang 48 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 2 = x D lim = 0 x®+¥ 3 3 2 3 3 2
(8x + 2x) + 2x (8x + 2x) + 4x
Câu 13. Tìm giới hạn 4 4 2
E = lim ( 16x + 3x +1 - 4x + 2) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 4 4 2 E = lim
16x + 3x +1 - 2x + lim 4x + 2 - 2x = 0 x®+¥ ( ) x®+¥( )
Câu 14. Tìm giới hạn 3 3
F = lim (x - 1- x ) : x®-¥ A. +¥ B. -¥ 1 C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 49
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: • sin x x tan x x lim = lim =1, từ đây suy ra lim = lim = . 1 x®0 x®0 x sin x x®0 x®0 x tan x • sin u(x) tan u(x)
Nếu lim u(x) = 0 Þ lim =1 và lim = . 1 x®x x® x® 0 0 x u(x) 0 x u(x) 1- cos ax
Câu 1. Tìm giới hạn A = lim : 2 x®0 x a A. +¥ B. -¥ C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 2 ax æ ax ö 2sin sin a ç ÷ Ta có: 2 2 = a A lim = limç ÷ = . 2 x®0 x®0 x 2 ax 2 ç ÷ è 2 ø
1+ sin mx - cos mx
Câu 2. Tìm giới hạn A = lim :
x®0 1+ sin nx - cos nx A. +¥ B. -¥ m C. D. 0 n Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 mx mx mx 2sin + 2sin cos
1+ sin mx - cos mx Ta có: 2 2 2 =
1+ sin nx - cos nx 2 nx nx nx 2sin + 2sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin + cos m 2 2 2 2 = . . n mx nx nx nx sin sin + cos 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin + cos m 2 2 2 2 = m A lim .lim .lim = . x®0 n mx x®0 nx x®0 nx nx sin sin + cos n 2 2 2 2 1- cos . x cos 2 . x cos3x
Câu 3. Tìm giới hạn B = lim : 2 x®0 x A. +¥ B. -¥ C. 3 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1- cos . x cos 2 .
x cos3x 1- cos + cos cos 2 (1- cos3 ) + cos (1- cos 2 ) = x x x x x x 2 x 2 x 1- cos x 1- cos3x 1- cos 2 = + x cos . x cos 2x + cos x 2 2 2 x x x Trang 50 1- cos x 1- cos3x 1- cos 2 = x B lim + limcos . x cos 2x + limcos x = 3 2 2 2 x®0 x®0 x®0 x x x 1- cos 2x
Câu 4.Tìm giới hạn A = lim : x®0 3x 2sin 2 A. +¥ B. -¥ C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3x 2 sin sin x sin x 3 Ta có: 2 2 A = lim = lim x( ) . lim = 0. x®0 3x x®0 x®0 x 2 3x sin 2 2 cos 2x - cos3x
Câu 5. Tìm giới hạn B = lim :
x®0 x(sin 3x - sin 4x) A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 5x x 5x 2sin sin sin 5 1 5 2 2 2 B = lim = -lim( . ).lim = . x®0 7x x x®0 2 5x x®0 7x 2 2 - x cos sin cos 2 2 2 2 2 tan 2x
Câu 6. Tìm giới hạn C = lim : x®0 3 1- cos 2x A. +¥ B. -¥ C. 6 D. 0 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 2 3 3 2 tan 2x
tan 2x(1+ cos 2x + cos 2x) C = lim = lim x®0 3 x®0 1- cos 2x 1- cos 2x 2 3 3 2
tan 2x(1+ cos 2x + cos 2x) = lim 2 x®0 2sin x tan 2x x 2 2 3 3 2 = 2lim( ) .(
) (1+ cos 2x + cos 2x). x®0 2x sin x Þ C = 6 . 2 x
Câu 7. Tìm giới hạn D = lim : x®0
1+ xsin 3x - cos 2x A. +¥ B. -¥ 7 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 1 Ta có: D = lim x®0
1+ xsin 3x - cos 2x 2 x Trang 51
1+ x sin 3x - cos 2x 1+ xsin 3x -1 1- cos 2x Mà : lim = lim + lim 2 2 2 x®0 x®0 x®0 x x x sin 3x 1 7 = 3lim( . ) + 2 = . x®0 3x 1+ xsin 3x +1 2 7 Vậy: D = . 2 sin( m p x )
Câu 8.Tìm giới hạn A = lim. : 1 ® sin( n x p x ) A. +¥ B. -¥ n C. D. 0 m Hướng dẫn giải:
Chọn C. sinp (1- m x ) sinp (1- m x ) p(1- n x ) 1- n = x A lim = lim .lim .lim 1 ® n 1 ® m 1 ® n 1 sinp (1- x ) p (1- x )
sinp (1- x ) ® 1- m x x x x x n n 1 - n-2 1- x (1- x)(x + x +...+1) n = lim = lim = . m m 1 - m-2 x 1 ® x 1 1 ® - x (1- x)(x + x +...+1) m p
Câu 9. Tìm giới hạn B = lim( - x) tan x : p x® 2 2 A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải:
Chọn D. p - p sin x x Ta có: 2 B = lim( - x) = lim .lim sin x = 1. p p p p x® 2 cos x x® x® 2 2 sin( - x) 2 2 a 1
Câu 10. Tìm giới hạn C = lim x sin (a > 0) : x®0 x A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn D. a 1 Ta có: 0 |
£ x sin |< xa . Mà lim xa = 0 x x®0
Nên theo nguyên lí kẹp Þ A = 0. 39
Câu 11.Tìm giới hạn D = lim (sin x +1 - sin x) : x®+¥ A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Trước hết ta có: sin x < x "x > 0 +1 - +1 + 1 Ta có: sin +1 -sin = x x x x x x 2sin .cos < 2 2 x +1 + x Trang 52 1 Mà lim = 0 nên D = 0 . x®+¥ x +1 + x cos3x - cos 4x
Câu 12. Tìm giới hạn A = lim :
x®0 cos 5x - cos 6x A. +¥ B. -¥ 7 C. D. 0 11 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 7x x sin sin 7 Ta có: 2 2 A = lim = x®0 11x x 11 sin sin 2 2 3 1- 1+ 2sin 2x
Câu 13. Tìm giới hạn B = lim : x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 4 C. - D. 0 9 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 - sin 2x 4 Ta có B = lim = - x®0 x ( 3 3 2 + + x + + x ) 9 sin 3 1 1 2sin 2 (1 2sin 2 ) 2 sin 2x
Câu 14.Tìm giới hạn C = lim : x 0 ® 3 4 cos x - cos x A. +¥ B. -¥ C. 96 - D. 0 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 sin 2x 2 Ta có: = lim x C = 9 - 6 x®0 3 4 cos x -1 1- cos + x 2 2 x x 4 sin 2x
Câu 15.Tìm giới hạn D = lim : 4 x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 16 C. D. 0 81 Hướng dẫn giải:
Chọn C. p 1- sin( cos x)
Câu 16.Tìm giới hạn 2 E = lim : x®0 sin(tan x) A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn D. Trang 53 æ p ö 1- sin cos ç x ÷ è 2 ø tan = lim x E = 0 x®0 sin(tan x) tan x 3sin x + 2cos x
Câu 17. Tìm giới hạn F = lim : x®+¥ x +1 + x A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3sin x + 2cos x 1 Ta có: 0 £ < ® 0 khi x ® +¥ x +1 + x x +1 + x Vậy F = 0 .
m cos ax - m cosbx
Câu 18. Tìm giới hạn H = lim : 2 x®0 sin x b a A. +¥ B. -¥ C. - D. 0 2n 2m Hướng dẫn giải:
Chọn C.
m cos ax -1 1- n cos + bx 2 2 Ta có: = b a lim x x H = - 2 x®0 sin x 2n 2m 2 x 1- n cos ax
Câu 19.Tìm giới hạn M = lim : 2 x®0 x a A. +¥ B. -¥ C. D. 0 2n Hướng dẫn giải:
Chọn C. 1- cos ax
Ta có: 1- n cos ax = n n 2 n n 1
1+ cos ax + ( cos ax) + ...+ ( cos ax) - 1- cos x a 1 Þ a 1 a M = lim lim = . = . 2 x x n n 2 n n 1 0 0 x
1+ cos ax + ( cos ax) +...+ ( cos ax) - ® ® 2 n 2n cos3x - cos 4x
Câu 20.Tìm giới hạn A = lim :
x®0 cos 5x - cos 6x A. +¥ B. -¥ 7 C. D. 0 11 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 7x x sin sin 7 Ta có: 2 2 A = lim = x®0 11x x 11 sin sin 2 2 Trang 54 3 1- 1+ 2sin 2x
Câu 21.Tìm giới hạn B = lim : x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 4 C. - D. 0 9 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 - sin 2x 4 Ta có B = lim = - x®0 x ( 3 3 2 + + x + + x ) 9 sin 3 1 1 2sin 2 (1 2sin 2 ) 2 sin 2x
Câu 22. Tìm giới hạn C = lim : x 0 ® 3 4 cos x - cos x A. +¥ B. -¥ C. 96 - D. 0 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 2 sin 2x 2 Ta có: = lim x C = 9 - 6 x®0 3 4 cos x -1 1- cos + x 2 2 x x 4
Câu 23. Tìm giới hạn sin 2 = x D lim : 4 x®0 sin 3x A. +¥ B. -¥ 16 C. D. 0 81 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 4 4
æ sin 2x ö æ 3x ö 16 16 Ta có: D = lim . . = ç ÷ ç ÷
x®0 è 2x ø è sin 3x ø 81 81 p 1- sin( cos x)
Câu 24. Tìm giới hạn 2 E = lim : x®0 sin(tan x) A. +¥ B. -¥ C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải:
Chọn D. æ p ö 1- sin cos ç x ÷ è 2 ø sin(tan x) Ta có: tan = lim x E Mà lim = ; 1 x®0 sin(tan x) x®0 tan x tan x æ 2 x ö p sin ç ÷ 2 2 2sin ç ÷ æ p ö ép ù 2 1- sin cos x 1- cos (1- cos x) ç ÷ ç ÷ è 2 ê ø ë 2 ú lim lim û lim è ø = = x®0 x®0 x®0 tan x tan x tan x Trang 55 æ 2 x ö p sin ç ÷ 2 2 sin ç ÷ 2 2 ç ÷ x sin p x è ø 2 = lim . . x = 0 x®0 4 2 x x 2 tan p sin ( ) x 2 2 2 Do đó: E = 0 . 3sin x + 2cos x
Câu 25.Tìm giới hạn F = lim : x®+¥ x +1 + x A. +¥ B. -¥ 5 C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
Chọn D. 3sin x + 2cos x 1 Ta có: 0 £ < ® 0 khi x ® +¥ x +1 + x x +1 + x Vậy F = 0 . 3 1+ 3x - 1+ 2x
Câu 26. Tìm giới hạn M = lim : x®0 1- cos 2x A. +¥ B. -¥ 1 C. - D. 0 4 Hướng dẫn giải:
Chọn C. 3 3x +1 - 2x +1 1 - 2 Ta có: 1 x 2 M = lim = = - . x®0 1- cos 2x 2 4 2 x 2
3x - 5sin 2x + cos x Câu 27. lim bằng: 2 x®+¥ x + 2 A. -¥ . B. 0 . C. 3 . D. +¥ .
Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2
3x - 5sin 2x + cos x 3x 5sin 2x cos x lim = lim - lim + lim 2 2 2 2 x®+¥ x + 2 x®+¥ x + 2 x®+¥ x + 2 x®+¥ x + 2 3 3 = x lim = lim x A = 0 1 2 x x + 2 x®+¥ ®+¥ 2 1+ 2 x 5 - 5sin 2x 5 lim = 0 £ A = lim £ lim = 0 Þ A = 0 2 2 2 2 2 x®+¥ x + 2 x®+¥ x + 2 x®+¥ x + 2 2 0 cos x 1 lim = 0 £ A = lim £ lim = 0 Þ A = 0 2 3 2 2 3 x®+¥ x + 2 x®+¥ x + 2 x®+¥ x + 2 2 x - x + Vậy 3 5sin 2 cos x lim = 0. 2 x®+¥ x + 2 Trang 56
Xem tiếp tài liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11 Trang 57