Trắc nghiệm giới hạn có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

Tài liệu gồm 80 trang tổng hợp các câu hỏi và bài toán trắc nghiệm giới hạn có lời giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018. tài liệu trắc nghiệm giới hạn có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018:

68 34 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

80 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Câu 1:
(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018)
Phát biểu nào sau đây là sai ?
A. lim
n
u c
(
n
u c
là hằng số ). B.
lim 0
n
q
1
q
.
C.
1
lim 0
n
. D.
1
lim 0
k
n
1
k
.
Lời giải
Chọn B
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì
lim 0
n
q
1
q
.
Câu 2:
(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018)
Cho hàm số
y f x
liên tục
trên khoảng
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn
; a b
là ?
A.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
. B.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
.
C.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
. D.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
.
Lời giải
Chọn A
Hàm số
f
xác định trên đoạn
; a b
được gọi là liên tục trên đoạn
; a b
nếu nó liên tục trên
khoảng
; ,a b
đồng thời
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
.
Câu 3:
(THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Tính giới hạn
2 1
lim
3 2
n
n
.
A.
2
3
. B.
3
2
. C.
1
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
2
2 1 2
lim lim
2
3 2 3
3
n
n
n
n
.
Câu 4:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018)
Tính giới hạn
3
1
1
lim .
1
x
x
A
x
A.
. 
A
B.
0.
A
C.
3.
A
D.
. 
A
Lời giải
Chọn C
3
1
1
lim
1
x
x
A
x
2
1
1 1
lim
1
x
x x x
x
2
1
lim 1 3
x
x x
.
Câu 5:
(THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)
Giá trị của
2
1
lim 3 2 1
x
x x
bằng:
A.

. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải.
Chọn B
2 2
1
lim 3 2 1 3.1 2.1 1 2.
x
x x
Câu 6:
(THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
0
?
A.
2
3
n
n
u
. B.
6
5
n
n
u
. C.
3
3
1
n
n n
u
n
. D.
2
4
n
u n n
.
Lời giải:
Chọn A
2
lim lim 0
3
 
n
n
n n
u
(Vì
2 2
1
3 3
).
Câu 7:
(Đề tham khảo BGD năm 2017-2018)
2
lim
3
x
x
x

bằng
A.
2
3
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Chia cả tử và mẫu cho
x
, ta có
2
lim
3
x
x
x

2
1
lim
3
1
x
x
x

1
1
1
.
Câu 1:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018)
Cho
2 2
sin cos
f x x x x
. Khi
đó
'f x
bằng
A.
1 sin 2x
. B.
1 2sin 2x
. C.
1 sin .cosx x
. D.
1 2sin2x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2
sin cos
f x x x x
cos2
x x
' 2sin 2 1f x x
.
Câu 2:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018)
Tìm giới hạn
2 1
lim
1
n
I
n
.
A.
2I
. B.
0
I
. C.
3
I
. D.
1I
.
Lời giải
Chọn A
2 1
lim
1
n
I
n
1
2
lim
1
1
n
n
2
.
Câu 3:
(THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018)
Tính
2
5
12 35
lim
25 5
x
x x
x
.
A.
2
5
. B.

. C.
2
5
. D.

.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
5 5 5
7 5
12 35 7 2
lim lim lim
25 5 5 5 5 5
x x x
x x
x x x
x x
.
Câu 4:
(THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018)
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
0
?
A.
4
e
n
. B.
1
3
n
. C.
5
3
n
. D.
5
3
n
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
lim 0
n
q
nếu
1
q
.
Mặt khác
4
1
e
;
5 5
1
3 3
;
1
1
3
. Vậy
1
lim 0
3
n
.
Câu 5:
(THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018)
Tính
2
3
9
lim
3
x
x
x
bằng:
A.
3
. B.
6
. C.

. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
3
9
lim
3
x
x
x
3
lim 3
x
x
6
.
Câu 6:
(THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018)
Phát biểu nào trong các phát biểu
sau là sai?
A.
lim 0
n
q
| | 1
q
. B.
lim
n
u c
(
n
u c
là hằng số).
C.
1
lim 0
k
n
1
k
. D.
1
lim 0
n
.
Lời giải:
Chọn A
A sai vì
lim 0
n
q
khi
1
q
.
Câu 7:
(THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018)
Phát biểu nào trong các phát biểu
sau là đúng?
A. Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm
0
x
.
B. Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm trái tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm phải tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
D. Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
Lời giải
Chọn D
Đáp án D đúng vì nó là một định lý trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11.
Câu 8:
(THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
y f x
liên tục trên
;a b
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
;a b
là
A.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
. B.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
.
C.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
. D.
lim
x a
f x f a
và
lim
x b
f x f b
.
Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn
;a b
.
Câu 9:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018)
Tính giới hạn
2
2
5 6
lim
2
x
x x
I
x
.
A.
1I
. B.
0
I
. C.
1I
. D.
5
I
.
Lời giải
Chọn A
2
2
5 6
lim
2
x
x x
I
x
2
2 3
lim
2
x
x x
x
2
lim 3 1
x
x
.
Câu 10:
(THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018)
Tìm
2
3 5
lim
4 1
x
x x
x

.
A.
1
4
. B.
1
. C.
0
. D.
1
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
3 5
lim
4 1
x
x x
x

2
3 5
1
1
lim
1
4
4
x
x x
x
.
Câu 11:
(THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018)
Giả sử ta có
lim
x
f x a

và
lim
x
g x b

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
lim . .
x
f x g x a b

. B.
lim
x
f x g x a b

.
C.
lim
x
f x
a
g x b

. D.
lim
x
f x g x a b

.
Lời giải
Chọn C
Vì có thể
0
b
.
Câu 12:
(THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018)
Cho hàm số
f x
xác định trên khoảng
K
chứa
a
. Hàm số
f x
liên tục tại
x a
nếu
A.
f x
có giới hạn hữu hạn khi
. B.
lim lim
x a x a
f x f x

.
C.
lim
x a
f x f a
. D.
lim lim
x a x a
f x f x a
.
Lời giải
Chọn C
Cho hàm số
f x
xác định trên khoảng
K
chứa
a
. Hàm số
f x
liên tục tại
x a
nếu
lim
x a
f x f a
.
Câu 13:
(THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018)
Giá trị của
2
lim
1
n
n
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
lim
1
n
n
2
1
lim
1
1
n
n
0 1
1 0
1
.
Câu 14:
(THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018)
Giới hạn
2
1
lim 7
x
x x
bằng ?
A.
5
. B.
9
. C.
0
. D.
7
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
1
lim 7
x
x x
2
1 1 7 9
.
Câu 15:
(THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018)
Tính giới hạn
2 1
lim
1
x
x
x

.
A.
1
2
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
2 1
lim
1
x
x
x

1
2
lim 2
1
1
x
x
x
.
Câu 1:
(SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018)
1
lim
6 2
x
x
x

bằng
A.
1
2
. B.
1
6
. C.
1
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
 Ta có
1
lim
6 2
x
x
x

1
1
lim
2
6
x
x
x
1
6
.
Câu 2:
(SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018)
1
lim
4 3
x
x
x

bằng
A.
1
3
. B.
1
4
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1
1
1 1
lim lim
3
4 3 4
4
x x
x
x
x
x
 
.
Câu 3:
(THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018)
2
4 1 2
lim
2 3
n n
n
bằng
A.
3
2
. B. 2. C. 1. D.

.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
4 1 2
lim
2 3
n n
n
2 2
1 1 2
4
lim
3
2
n n n
n
2 0
2
1
.
Câu 4:
(THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018)
Tính
2
2 3
lim
2 3 1
n
I
n n
.
A.
I 
. B.
0
I
. C.
I 
. D.
1I
.
Lời giải
Chọn B
2
2 3
lim
2 3 1
n
I
n n
2
2
2
2
2 3
lim
3 1
2
n
n n
n
n n
2
2
2 3
lim
3 1
2
n n
n n
0
.
Câu 5:
(THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018)
Giá trị của
2
1
lim 2 3 1
x
x x
bằng
A.
2
. B.
1
. C.

. D.
0
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
1
lim 2 3 1 0
x
x x
.
Câu 6:
(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018)
Giá trị của
2
2
lim
x
x
x
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
2 2
2 2 2
lim lim 1 1 2
2
x x
x
x x
.
Câu 7: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho số phức
z a bi
,a b
và xét hai số phức
2
2
z z
và
2 .
z z i z z
. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A.
là số thực,
là số thực. B.
là số ảo,
là số thực.
C.
là số thực,
là số ảo. D.
là số ảo,
là số ảo.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2
z z
2 2 2 2
2 2
a b abi a b abi
2 2
2
a b
, do đó
là số thực.
2 .
z z i z z
2 2
2 2a b i bi
2 2
2 2a b b
, do đó
là số thực.
Câu 8:
(THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018)
2
2
1
lim
2 1
n
n
bằng
A.
0
. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
1
lim
2 1
n
n
2
2
1
1
lim
1
2
n
n
1
2
.
Câu 9: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn
3
3
lim
3
x
x
L
x
A.
L 
. B.
0
L
. C.
L 
. D.
1L
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
3
lim
3
x
x
L
x
3 3
0
3 3
.
Câu 10:
(THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018)
4 1
lim
1
x
x
x

bằng
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
4 1
lim
1
x
x
x

1
4
lim
1
1
x
x
x

4
.
Câu 11:
(THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018)
1 2
lim
3 1
n
n
bằng
A.
2
3
. B.
1
3
. C.
1
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
2
1 2 2
lim lim
1
3 1 3
3
n
n
n
n
.
Câu 12:
(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018)
Tính giới hạn
3 2
lim 2 1
x
x x
A.
. B.
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3 2 3
2 3
1 1
lim 2 1 lim 2
x x
x x x
x x
.
Câu 13:
(SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018)
Tính
2 1
lim
1
x
x
L
x

.
A.
2L
. B.
1L
. C.
1
2
L
. D.
2L
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1
2
2 1
lim lim
1
1
1
x x
x
x
x
L
x
x
x

1
2
2 0
lim 2
1
1 0
1
x
x
x

.
Câu 14:
(THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018)
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây
không liên tục trên
?
A.
y x
. B.
1
x
y
x
. C.
siny x
. D.
1
x
y
x
.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định của hàm số
1
x
y
x
là
\ 1
.
Hàm số liên tục trên từng khoảng
;1
và
1;

nên hàm số không liên tục trên
.
Câu 15:
(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018)
Tìm giới hạn
3 2
lim
3
n
I
n
.
A.
2
3
I
. B.
1I
. C.
3
I
. D.
k
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
3
3 2
lim lim 3
3
3
1
n
n
I
n
n
.
Câu 16:
(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018)
Tính tổng
S
của cấp số nhân lùi vô hạn
có số hạng đầu
1
1
u
và công bội
1
2
q
.
A.
2
S
. B.
3
2
S
. C.
1
S
. D.
2
3
S
.
Lời giải
Chọn D
1
1 2
1
1 3
1
2
u
S
q
.
Câu 17: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018)
1
lim
2 5
x
x

bằng
A.
0
. B.

. C.

. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn A
Câu 18:
(THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018)
1
lim
3 2
x
x
x

bằng
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
1
1 1
lim lim
2
3 2 3
3
x x
x
x
x
x
 
.
Câu 19:
3 1
lim
5
x
x
x

bằng
A.
3
. B.
3
. C.
1
5
. D.
5
.
Câu 20:
(THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018)
3 1
lim
5
x
x
x

bằng
A.
3
. B.
3
. C.
1
5
. D.
5
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
3 1
lim
5
x
x
x

1
3
lim 3
5
1
x
x
x
.
Câu 21: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn
2
2
lim
x
cx a
x b

bằng?
A.
a
. B.
b
. C.
c
. D.
a b
c
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2
2
2
0
lim lim
1 0
1
x x
a
c
cx a c
x
c
b
x b
x
 
.
Câu 22: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Hàm số nào dưới đây gián
đoạn tại điểm
0
1
x
.
A.
2
1 2
y x x
. B.
2 1
1
x
y
x
. C.
1
x
y
x
. D.
2
1
1
x
y
x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 1
1
x
y
x
không xác định tại
0
1
x
nên gián đoạn tại
0
1
x
.
Câu 23:
(SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018)
2 1
lim
3
x
x
x

bằng.
A.
2
. B.
2
3
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 1
lim
3
x
x
x

1
2
lim
3
1
x
x
x
2
.
Câu 24:
(THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018)
Giới hạn
2
2
1
lim
2
x
x
x
bằng
A.

. B.
3
16
. C.
0
. D.

.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 2
2 2
1 1
lim lim . 1
2 2
x x
x
x
x x

.
Do
2
2
1
lim
2
x
x

và
2
lim 1 1 0
x
x

.
Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Tính giới hạn
4 2018
lim
2 1
n
n
.
A.
1
2
. B.
4
. C.
2
. D.
2018
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2018
4
4 2018
lim lim 2
1
2 1
2
n
n
n
n
.
Câu 2: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của
5 3
lim 4 3 1
x
x x x

.
A.
0
. B.

. C.
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
5 3
lim 4 3 1
x
x x x

5
2 4 5
3 1 1
lim 4
x
x
x x x

.
Vì
2 4 5
5
3 1 1
lim 4 4 0
lim
x
x
x x x
x



.
Câu 3:
(THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018)
3 2
lim
3
n
n
bằng.
A.
2
3
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
3 2
lim
3
n
n
2
3
lim
3
1
n
n
3
.
Câu 4:
(SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018)
Tính giới hạn
3 2
lim
2 1
x
x
I
x

.
A.
2I
. B.
3
2
I
. C.
2I
. D.
3
2
I
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
3
3 2 3
lim lim
1
2 1 2
2
x x
x
x
I
x
x

.
Câu 5:
(Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018)
2
lim
1
x
x
x

bằng.
A.

. B.
1
. C.

. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
lim
1
x
x
x

2
1
lim 0
1
1
x
x
x
.
Câu 6: Tính
2
lim
3
x
x
x

.
A.
1
. B.
2
3
. C.
2
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
2
lim
3
x
x
x

2
1
lim
3
1
x
x
x
1
.
Câu 7:
2
2
2
2 3 2
lim
4
x
x x
x
bằng
A.
5
4
. B.
5
4
. C.
1
4
. D.
2
.
Câu 8:
2
2
2
2 3 2
lim
4
x
x x
x
bằng
A.
5
4
. B.
5
4
. C.
1
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2
2
2 3 2
lim
4
x
x x
x
2
2 1 2
lim
2 2
x
x x
x x
2
2 1 5
lim
2 4
x
x
x
.
Câu 9:
2 1
lim
1
x
x
x

bằng
A.
1
. B.
1
. C.
2
. D.
2
.
Câu 10:
2 1
lim
1
x
x
x

bằng
A.
1
. B.
1
. C.
2
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
1
2
2 1
lim lim 2
1
1
1
x x
x
x
x
x
 
.
Câu 11: Tính tổng vô hạn sau:
2
1 1 1
1 ... ...
2 2 2
n
S
.
A.
2 1
n
. B.
1
1
1
2
.
1
2
1
2
n
. C.
4
. D.
2
.
Câu 12: Tìm
2 1
lim
2
x
x
x

.
A.
1
. B.
1
2
. C.
2
. D.

.
Câu 13: Tính tổng vô hạn sau:
2
1 1 1
1 ... ...
2 2 2
n
S
.
A.
2 1
n
. B.
1
1
1
2
.
1
2
1
2
n
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
1
u
;
1
2
q
.
Khi đó:
1
1
u
S
q
1
1
1
2
2
.
Câu 14: Tìm
2 1
lim
2
x
x
x

.
A.
1
. B.
1
2
. C.
2
. D.

.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2 1
lim
2
x
x
x

1
2
lim 2
2
1
x
x
x
.
Câu 15:
5 2
lim
2018 1
x
x
x

bằng:
A.
5
2018
. B.
2
. C.
5
. D.

.
Câu 16:
5 2
lim
2018 1
x
x
x

bằng:
A.
5
2018
. B.
2
. C.
5
. D.

.
Hướng dẫn giải
Chọn A
5 2
lim
2018 1
x
x
x

2
5
5
lim
1
2018
2018
x
x
x
.
Câu 17:
2 1
lim
1
n
n
n

bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
2
.
Câu 18:
2 1
lim
1
n
n
n

bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 1
lim
1
n
n
n

1
2
lim 2
1
1
n
n
n

.
Câu 19: Tìm
3 2
lim
1
n
I
n
.
A.
0
I
. B.
2I
. C.
3
I
. D.
2I
.
Câu 20: Tìm
3 2
lim
1
n
I
n
.
A.
0
I
. B.
2I
. C.
3
I
. D.
2I
.
Lời giải
Chọn C
3 2
lim
1
n
I
n
2
3
lim
1
1
n
n
n
n
2
3
lim
1
1
n
n
3
.
Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
1
lim
n

. B.
lim 2 1n

. C.
2
2
lim
3
n
n

. D.
3 3
lim
2 1 2n
.
Câu 22: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
1
lim
n

. B.
lim 2 1n

. C.
2
2
lim
3
n
n

. D.
3 3
lim
2 1 2n
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
1
lim 2 1 lim 2n n
n

.
Câu 23:
2
2
lim
1
x
x
x

bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
2
.
Câu 24:
2
2
lim
1
x
x
x

bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
2
2
lim
1
x
x
x

2
2
1 2
lim
1
1
x
x x
x
0
Câu 25: Tính
2
lim
2 3
x
x
M
x

.
A.
2
3
M
. B.
0
M
. C.
M 
. D.
1
2
M
.
Câu 26: Tính
2
lim
2 3
x
x
M
x

.
A.
2
3
M
. B.
0
M
. C.
M 
. D.
1
2
M
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
lim
2 3
x
x
M
x

2
1
lim
3
2
x
x
x
1
2
.
Câu 27:
3 1
lim
2
n
a
n
A.
1
a
. B.
1
2
a
C.
3
a
. D.
3
2
a
.
Câu 28:
3 1
lim
2
n
a
n
A.
1
a
. B.
1
2
a
C.
3
a
. D.
3
2
a
.
Lời giải
Chọn C
1
3
3 1
lim lim 3
2
1
2
n
n
n
n
3
a
.
Câu 29:
2
2
2 3
lim
1
n
n
bằng
A.
3
2
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Câu 30:
2
2
2 3
lim
1
n
n
bằng
A.
3
2
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2
2
2
3
2
2 3
lim lim 2
1
1
1
n
n
n
n
.
Câu 31: Cho số phức
z a bi
,a b
tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của
z
có mô đun bằng mô đun của
iz
.
B. Mô đun của
z
là một số thực dương.
C.
2
2
z z
.
D. Điểm
;M a b
là điểm biểu diễn của
z
.
Câu 32: Cho số phức
z a bi
,a b
tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của
z
có mô đun bằng mô đun của
iz
.
B. Mô đun của
z
là một số thực dương.
C.
2
2
z z
.
D. Điểm
;M a b
là điểm biểu diễn của
z
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
iz ai b a bi z
. Do đó số phức liên hợp của
z
có mô đun bằng mô đun của
iz
.
2 2
0
z a b
,
z
. Do đó mô đun của
z
là một số thực dương là sai.
2
2
z a bi
2
2 2
a b z
. Do đó
2
2
z z
là sai.
Điểm biểu diễn của
z
là
;M a b
. Do đó điểm
;M a b
là điểm biểu diễn của
z
là sai.
Câu 33:
2
1
lim
1 3
n
n
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
1
3
. D.
1
3
.
Câu 34:
2
1
lim
1 3
n
n
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
1
3
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2
2
1 1
1
lim lim 0
1
1 3
3
n
n n
n
n
.
Câu 35:
3 2
lim 3 2018
x
x x

bằng
A.

. B.
. C.
1
. D.
0
.
Câu 36:
3 2
lim 3 2018
x
x x

bằng
A.

. B.
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
3 2
lim 3 2018
x
x x

3
3
3 2018
lim 1
x
x
x x


Do
3
lim
x
x


và
3
3 2018
lim 1 1 0
x
x x

.
Câu 37: Cho
lim 2 1
x
f x

. Tính
lim
x
f x

.
A.
lim 3
x
f x

. B.
lim 3
x
f x

. C.
lim 1
x
f x

. D.
lim 1
x
f x

.
Câu 38: Cho
lim 2 1
x
f x
. Tính
lim
x
f x

.
A.
lim 3
x
f x

. B.
lim 3
x
f x

. C.
lim 1
x
f x

. D.
lim 1
x
f x

.
Lời giải
Chọn C
Ta có
lim 2 1
x
f x
lim 1 2 1
x
f x

.
Câu 39: Tính giới hạn
2
3
1
2 1
lim
2 2
x
x x
x
.
A.

. B.
0
. C.

. D.
1
2
.
Câu 40: Tính giới hạn
2
3
1
2 1
lim
2 2
x
x x
x
.
A.

. B.
0
. C.

. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
3
1
2 1
lim
2 2
x
x x
x
2
2
1
1
lim
2 1 1
x
x
x x x
2
1
1
lim
2 1
x
x
x x
0
.
Câu 1:
(THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018)
Cho hàm số
1
khi 0
1
khi 0
2
ax
e
x
x
f x
x
. Tìm giá trị
của
a
để hàm số liên tục tại
0
0
x
.
A.
1
a
. B.
1
2
a
. C.
1
a
. D.
1
2
a
.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định:
D
.
0 0 0
1 1
lim lim lim .
ax ax
x x x
e e
f x a a
x ax
.
1
0
2
f
; hàm số liên tục tại
0
0
x
khi và chỉ khi:
0
1
lim 0
2
x
f x f a
.
Câu 2:
(THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
3
khi 1
2
1
khi 1
x
x
f x
x
x
. Khẳng định
nào dưới đây là sai?
A. Hàm số
f x
liên tục tại
1x
.
B. Hàm số
f x
có đạo hàm tại
1x
.
C. Hàm số
f x
liên tục tại
1x
và hàm số
f x
cũng có đạo hàm tại
1x
.
D. Hàm số
f x
không có đạo hàm tại
1x
.
Lời giải
Chọn D
2
1 1
3
lim lim 1
2
x x
x
f x
và
1 1
1
lim lim 1
x x
f x
x
. Do đó, hàm số
f x
liên tục tại
1x
.
2
1 1 1
1
1 1
lim lim lim 1
1 2 1 2
x x x
f x f
x x
x x
và
1 1 1
1
1 1
lim lim lim 1
1 1
x x x
f x f
x
x x x x
. Do đó, hàm số
f x
có đạo hàm tại
1x
.
Câu 3:
(THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
2
khi 1
1
3 khi 1
x x
x
f x
x
m x
.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại
1.
x
A.
2.
m
B.
1.
m
C.
2.
m
D.
3.
m
Lời giải
Chọn B
Tập xác định của hàm số là
.
Hàm số gián đoạn tại
1x
khi
2
1 1
2
lim 1 lim 3
1
x x
x x
f x f m
x
1 1
1 2
lim 3 lim 2 3 3 3 1.
1
x x
x x
m x m m m
x
Câu 4:
(THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018)
Cho
0
2 3 1 1
lim
x
x
I
x
và
2
1
2
lim
1
x
x x
J
x
. Tính
I J
.
A. 6. B. 3. C.
6
. D. 0.
Lời giải
Chọn A
Ta có
0 0 0
2 3 1 1
6 6
lim lim lim 3
3 1 1
3 1 1
x x x
x
x
I
x
x
x x
.
2
1 1 1
1 2
2
lim lim lim 2 3
1 1
x x x
x x
x x
J x
x x
 
.
Khi đó
6
I J
.
Câu 5:
(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018)
Tính giới hạn
1 1 1 1
lim ...
1.2 2.3 3.4 1
n n
.
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 1
n n
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 1 1n n n n
1
1
1n
.
Vậy
1 1 1 1
lim ...
1.2 2.3 3.4 1
n n
1
lim 1 1
1n
.
Câu 6:
(THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
3 1 khi 0
1 2 1
khi 0
x a x
f x
x
x
x
.
Tìm tất cả giá trị của
a
để hàm số đã cho liên tục trên
.
A.
1
a
. B.
3
a
. C.
2
a
. D.
4
a
.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định
D
.
Ta có: Hàm số liên tục trên các khoảng
;0

và
0;

.
0 0
lim lim 3 1 1.
x x
f x x a a
0 0 0
1 2 1 2
lim lim lim 1.
1 2 1
x x x
x
f x
x
x
0 1.
f a
Hàm số liên tục trên
Hàm số liên tục tại điểm
0 1 1 2.
x a a
Câu 7:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)
Chọn kết quả đúng của
2
1 3
lim
2 3
x
x
x

.
A.
3 2
2
. B.
2
2
. C.
3 2
2
. D.
2
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
2 2
1
1
3
3
1 3
lim lim lim
3 3
2 3
2 2
x x x
x
x
x
x
x
x
x x
  
3 3 2
2
2
.
Câu 8:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018)
Chọn kết quả đúng của
2
1 3
lim
2 3
x
x
x

.
A.
3 2
2
. B.
2
2
. C.
3 2
2
. D.
2
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
2 2
1
1
3
3
1 3
lim lim lim
3 3
2 3
2 2
x x x
x
x
x
x
x
x
x x
  
3 3 2
2
2
.
Câu 9:
(THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
2
4
khi 2
2
3 khi 2
x
x
f x
x
m m x
. Tìm
m
để hàm số liên tục tại
0
2
x
.
A.
0
m
hoặc
1
m
. B.
1
m
hoặc
4
m
.
C.
4
m
hoặc
1
m
. D.
0
m
hoặc
4
m
.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định
D
.
Ta có
2
lim
x
f x
2
2
4
lim
2
x
x
x
2
lim 2
x
x
2 2 4
.
Hàm số đã cho liên tục tại
0
2
x
khi và chỉ khi
2
lim 2
x
f x f
2
4 3m m
2
3 4 0
m m
1
4
m
m
.
Câu 10:
(THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Tìm
1
3 2
lim
1
x
x
x
.
A.
1
. B.
2
3
. C.
1
4
. D.
5
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
3 2
lim
1
x
x
x
1
3 2 3 2
lim
1 3 2
x
x x
x x
1
3 4
lim
1 3 2
x
x
x x
1
1
lim
3 2
x
x
1 1
4
1 3 2
.
Câu 11:
(THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
2
2
khi 2
4
3 khi 2
2 6 khi 2
x x
x
x
f x x ax b x
a b x
liên tục tại
2
x
. Tính
I a b
?
A.
19
30
I
. B.
93
16
I
. C.
19
32
I
. D.
173
16
I
.
Lời giải
Chọn C
Để hàm
f x
liên tục tại
2
x
cần có
2 2
lim lim 2
x x
f x f x f
Ta có:
2
2
2 2 2
2 2 1 3
lim lim lim
4 16
2 2 2 2 2
x x x
x x x x x
x
x x x x x x x
.
2 2
2 2
lim 3 lim 3 2 3 4
x x
x ax b x ax b a b
2 2 6
f a b
Suy ra ta được hệ phương trình:
3
179
2 6
19
16
32
3
32
5
2 3 4
16
a b
a
a b
b
a b
.
Câu 12:
(THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018)
Tìm
a
để hàm số
2 1 5
khi 4
4
2
khi 4
4
x x
x
x
f x
a x
x
liên tục trên tập xác định.
A.
3
a
. B.
5
2
a
. C.
2
a
. D.
11
6
a
.
Lời giải
Chọn D
* TXĐ:
D
.
NX: Hàm số
f x
liên tục trên các khoảng
;4

và
4;
Do đó, để hàm số liên tục trên
ta cần tìm
a
để hàm số liên tục tại
4
x
ĐK:
4 4
lim lim 4
x x
f x f x f
4 4 4
2 1 5 2 1 5
1 1
lim lim lim
6
2 1 5
4 2 1 5
x x x
x x x x
f x
x x
x x x
4
lim
x
f x
4
2
lim
4
x
a x
2
a
4
f
Cần có:
1 11
2
6 6
a a
.
Câu 13:
(THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018)
Giá trị giới hạn
2 2
4 1
lim
2 3
x
x x x
x

bằng:
A.
1
2
. B.

. C.

. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
2
2 2
1 1 1 1
1 4 1 4
4 1
lim lim lim
3 3
2 3
2 2
1 1
1 4
1 0 4 0 1
lim
3
2 0 2
2
x x x
x
x x x x
x x x
x x x x
x
x x
x x
x x
x
  

Câu 14:
(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018)
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác
0
?
A.
1
n
. B.
1
n
. C.
1n
n
. D.
sin n
n
.
Lời giải
Chọn C
Có
1 1
lim lim1 lim 1
n
n n
.
Câu 15:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018)
Cho bốn hàm số
1
1 f x x
;
2
f x x
;
3
tan
f x x
;
2
4
1
khi 1
1
2 khi 1
x
x
f x
x
x
. Hỏi trong bốn hàm số trên có bao nhiêu hàm số
liên tục trên
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
+ Hàm số
1
1 f x x
và
3
tan
f x x
không có tập xác định là
nên hàm số không liên
tục trên
.
+ Hàm số
2
f x x
liên tục trên
.
+ Hàm số
2
4
1
khi 1
1
2 khi 1
x
x
f x
x
x
có tập xác định là
và hàm số liên tục trên các khoảng
;1
và
1;
. Ta cần xét tính liên tục của hàm số
4
y f x
tại
1x
.
Ta có
4
1 2
f
và
4
1
lim
x
f x
2
1
1
lim
1
x
x
x
1
lim 1
x
x
2
4
1
f
nên hàm số liên tục tại
1x
. Do đó, hàm số
4
y f x
liên tục trên
. Vậy trong bốn hàm số trên có
2
hàm số liên
tục trên
.
Câu 16:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018)
Cho hàm số
2 khi 0
1 4 1
khi 0
x m x
f x
x
x
x
.
Tìm tất cả các giá trị của
m
để tồn tại giới hạn
0
lim
x
f x
.
A.
2
m
. B.
1
m
. C.
3
m
. D.
1
m
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
0 0
lim lim 2
x x
f x x m m
0 0 0
1 4 1 4
lim lim lim 2
1 4 1
x x x
x
f x
x
x
Tồn tại giới hạn
0
lim
x
f x
khi và chỉ khi
0 0
lim lim 2
x x
f x f x m
.
Câu 17:
(THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
2
2
khi 2
2
4 khi 2
x x
x
f x
x
mx x
liên tục tại
2.
x
A.
1
m
. B. Không tồn tại
m
. C.
3
m
. D.
2
m
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2 2 4
f m
;
2
lim 4 2 4
x
mx m
;
2
2 2
2
lim lim 2
2
x x
x x
x
x
.
Để hàm số liên tục tại
2
x
2 2
lim lim 2
x x
f x f x f
2 4 2 3
m m
.
Câu 18:
(THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)
Cho
2
1 2017 1
lim
2018 2
x
a x
x

;
2
lim 1 2
x
x bx x

. Tính
4
P a b
.
A.
3
P
. B.
1P
. C.
2P
. D.
1P
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
1 2017
lim
2018
x
a x
x

2
1 2017
1
lim
2018
1
x
x a
x x
x
x

2
1 2017
1
lim
2018
1
x
a
x x
x

a
.
Nên
1
2
a
1
2
a
.
Ta có:
2
lim 1
x
x bx x

2 2
2
1 1
lim
1
x
x bx x x bx x
x bx x
2
1
lim
1
1 1
x
bx
b
x
x x

2
1
lim
1
1 1
x
x b
x
b
x
x x
2
1
lim
1
1 1
x
b
x
b
x x

2
b
.
Nên
2
2
b
4
b
.
Vậy
1
4 4 2
2
P
.
Câu 19:
(THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018)
Hàm số
2
1
khi 1
1
khi 1
x
x
f x
x
a x
liên tục
tại điểm
0
1
x
thì
a
bằng?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định:
D
.
2
1 1
1
lim lim
1
x x
x
f x
x
1
lim 1
x
x
2
;
1
f a
.
Để hàm số liện tục tại
0
1
x
thì
1
lim 1
x
f x f
2
a
.
Câu 20:
(THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018)
Giới hạn
2
lim
2 3
n
n
có kết quả là:
A.
2
. B.
0
. C.

. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
3
2
2
1
0
lim lim 0.
3
2 3 2 0
2
n
n
n
n
Câu 21:
(THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018)
Giá trị của
2
2
2
lim
2
x
x
I
x

bằng
A.
2
. B.
1
2 2
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
2
2 2 2
2 2 1 1
lim lim lim
2
2 2 2
2 2
x x x
x x
I
x
x
x x

.
Câu 22:
(THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018)
Cho đường cong
3 2
3 3 1y x x x
có đồ thị
C
. Phương trình tiếp tuyến của
C
tại giao điểm của
C
với trục tung là:
A.
8 1y x
. B.
3 1y x
. C.
3 1y x
. D.
8 1y x
.
Lời giải
Chọn C
Tọa độ giao điểm là
0
0
0
0;1
1
x
M
y
nên phương trình tiếp tuyến là:
0 0 0
: . : 3 1y f x x x y y x
Câu 23:
(THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
3 2
4 3
khi 1
1
5
khi 1
2
x x
x
x
f x
ax x
. Xác định
a
để hàm số liên tục trên
.
A.
5
2
a
. B.
5
2
a
. C.
15
2
a
. D.
15
2
a
.
Lời giải
Chọn D
Với
1x
, ta có
3 2
4 3
1
x x
f x
x
liên tục trên tập xác định.
2
3 2
1 1
3 3 1
4 3
lim lim 5
1 1
x x
x x x
x x
x x
.
5
1
2
f a
.
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại
1x
. Điều này xảy ra khi
1
lim 1
x
f x f
5
5
2
a
15
2
a
.
Câu 24:
(THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018)
Xác định
2
0
lim
x
x
x
.
A.
0
. B.

. C. Không tồn tại. D.

.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 2
0 0 0
1
lim lim lim

x x x
x
x
x x x
.
2 2
0 0 0
1
lim lim lim

x x x
x
x
x x x
.
Vậy không tồn tại
2
0
lim
x
x
x
.
Câu 25:
(THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018)
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
m
sao cho
hàm số
2 khi 0
2 khi 0
x m x
f x
mx x
liên tục trên
.
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
2
m
. D.
0
m
.
Lời giải
Chọn C
Trên khoảng
0;

hàm số
2
f x x m
là hàm số liên tục.
Trên khoảng
;0

hàm số
2
f x mx
là hàm số liên tục.
Ta có
0 0
lim lim 2 0
x x
f x x m m f
và
0 0
lim lim 2 2
x x
f x mx
.
Hàm số
f x
liên tục trên
khi và chỉ khi
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f
2 2
m m
.
Câu 26:
(SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
2 3
khi 1
1
1
khi 1
8
x
x
x
y f x
x
. Tính
1
lim
x
f x
.
A.
1
8
. B.

. C.
0
. D.
1
8
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
1 1 1 1
2 3 4 3 1
lim lim lim lim
1
1 1 2 3 1 2 3
x x x x
x x
f x
x
x x x x x

.
Câu 27:
(THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018)
Hàm số
2
1 khi 1
khi 1
x x
f x
x m x
liên
tục tại điểm
0
1
x
khi
m
nhận giá trị
A.
1
m
. B.
2
m
. C.
m
bất kỳ. D.
1
m
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
1 1
lim lim 1 0
x x
f x x
;
1 0
f
;
1 1
lim lim 1
x x
f x x m m
Hàm số liên tục tại
0
1
x
1 1
lim lim 1
x x
f x f x f
1 0 1
m m
.
Câu 1:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018)
Tính
2 1
lim
1
n
n
được kết quả là
A.
2
. B.
0
. C.
1
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
1
2
2
2 1 2 0
lim lim lim 2
1
1
1 0 1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Câu 2:
(THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
2 1 5
khi 4
4
2 khi 4
x x
x
f x
x
a x
. Tìm tất cả giá trị thực của tham số
a
để hàm số liên
tục tại
0
4
x
.
A.
5
2
a
. B.
2
a
. C.
11
6
a
. D.
3
a
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số liên tục tại
4
x
khi
4
4 lim
x
f f x
.
Ta có
4 2
f a
;
4 4 4 4
2 1 5 2 1 5 1 1
lim lim lim lim
4 6
2 1 5
4 2 1 5
x x x x
x x x x
f x
x
x x
x x x
Suy ra
4
1 11
4 lim 2
6 6
x
f f x a a
.
Câu 3:
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018)
Giới hạn nào dưới đây có kết quả
là
1
2
?
A.
2
lim 1
2
x
x
x x

. B.
2
lim 1
x
x x x

.
C.
2
lim 1
2
x
x
x x

. D.
2
lim 1
x
x x x

.
Lời giải
Chọn D
Xét:
2
2
2 2
lim 1 lim lim lim
1 1
1
1 1
x x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
x x
   
.
2
1 1
lim
2
1
1 1
x
x

.
Câu 4:
(THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018)
Tính
2
3
2 6
lim
3
x
x
a b
x
(
a
,
b
nguyên). Khi đó giá trị của
P a b
bằng
A.
7
. B.
10
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2
3 3 3
2 3
2 6
lim lim lim 2 3 4 3
3 3
x x x
x
x
x
x x
.
Suy ra
4
a
,
3
b
. Vậy
7
P a b
.
Câu 5:
(THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018)
Để hàm số
2
3 2 khi 1
4 khi 1
x x x
y
x a x
liên
tục tại điểm
1
x
thì giá trị của
a
là
A.
4
. B.
1
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Hàm số xác định trên
.
Ta có
1 0
f
.
2
1 1
lim lim 3 2 0
x x
f x x x
và
1 1
lim lim 4 4
x x
f x x a a
.
Hàm số đã cho liên tục tại
1
x
khi và chỉ khi
1 1
lim lim 1
x x
f x f x f
4 0 4
a a
.
Câu 6:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018)
Cho hàm số
3 1 khi 1
khi 1
x x
y
x m x
,
m
là
tham số. Tìm
m
để hàm số liên tục trên
.
A.
5
m
. B.
1
m
. C.
3
m
. D.
3
m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có hàm số liên tục trên các khoảng
; 1
và
1;
.
Xét tính liên tục của hàm số tại
1
x
.
Có
1
1 2 lim
x
y y

và
1
lim 1
x
y m
.
Để hàm số liên tục trên
thì
1 1
1 lim lim 2 1 1
x x
y y y m m

.
Câu 7:
(SGD Bắc Ninh năm 2017-2018)
Tìm
m
để hàm số
2
16
khi 4
4
1 khi 4
x
x
f x
x
mx x
liên tục tại
điểm
4
x
.
A.
8
m
. B.
8
m
. C.
7
4
m
. D.
7
4
m
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
4 4 4
16
lim lim lim 4 8
4
x x x
x
f x x
x
.
Và:
4 4
lim lim 1 4 1 4
x x
f x mx m f
.
Hàm số
f x
liên tục tại điểm
4
x
nếu
4 4
lim lim 4
x x
f x f x f
.
7
4 1 8
4
m m
.
Câu 8:
(SGD Bắc Ninh năm 2017-2018)
Tính giới hạn
2 2017
lim
3 2018
n
I
n
.
A.
2
3
I
. B.
3
2
I
. C.
2017
2018
I
. D.
1I
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2017
lim
3 2018
n
I
n
2017
2
lim
2018
3
n
n
2
3
.
Câu 9:
(SGD Ninh Bình năm 2017-2018)
Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác
với các giới hạn còn lại?
A.
3 1
lim
3 1
n
n
. B.
2 1
lim
2 1
n
n
. C.
4 1
lim
3 1
n
n
. D.
1
lim
1
n
n
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
3
3 1 3
lim lim 1
1
3 1 3
3
n
n
n
n
vì
1
lim 0
n
;
1
2
2 1 2
lim lim 1
1
2 1 2
2
n
n
n
n
vì
1
lim 0
n
1
4
4 1 4
lim lim
1
3 1 3
3
n
n
n
n
vì
1
lim 0
n
;
1
1
1
lim lim 1
1
1
1
n
n
n
n
vì
1
lim 0
n
.
Câu 10:
(THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018)
Giới hạn
2
2 2
lim
2
x
x
x
bằng
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
2
2 2
lim
2
x
x
x
2
2
lim
2 2 2
x
x
x x
2
1 1
lim
4
2 2
x
x
.
Câu 11:
(THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018)
Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để hàm số
2
2
2
2
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
liên tục tại
2
x
.
A.
3
m . B.
1
m
. C.
3
m
. D.
1
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hàm số
f x
liên tục tại
2
lim 2
x
f x f
2
2
2
2
lim
2
x
x x
m
x
2
3
m
3
m
.
Câu 12:
(THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
khi 1
3 2
khi 1
1
x mx x
f x
x
x
x
.Tìm
m
để hàm số đã cho liên tục tại
1
x
.
A.
1
3
. B.
3
4
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Nhận xét:
1 1
f m
.
2
1 1
lim lim 1
x x
f x x mx m
.
1 1 1 1
3 2 3 4 1 1
lim lim lim lim
1 4
1 3 2 3 2
x x x x
x x
f x
x
x x x
.
Để hàm số đã cho liên tục tại
1
x
thì
1 1
lim lim 1
x x
f x f x f
1
1
4
m
3
4
m
.
Câu 13:
(THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018)
Tính
1 2
lim
3 1
n
n
.
A.
5
. B.
7
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn C
1
2
1 2 2
lim lim
1
3 1 3
3
n
n
n
n
.
Câu 14:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018)
Tìm
5 3
5 2
8 2 1
lim
4 2 1
n n
n n
.
A.
2
. B.
8
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
5 3
5 2
8 2 1
lim
4 2 1
n n
n n
5
2 5
5
3 5
2 1
8
lim
2 1
4
n
n n
n
n n
=
2 5
3 5
2 1
8
8
lim 2
2 1
4
4
n n
n n
.
Câu 15:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018)
Tìm
2 3
3 2
7 2 1
lim .
3 2 1
n n
I
n n
A.
7
3
. B.
2
3
. C.
0
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2 3
3
3 2
3
7 1
2
7 2 1 2
lim lim .
2 1
3 2 1 3
3
n n
n n
I
n n
n n
Câu 16:
(THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018)
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong
khoảng
0;1
A.
2
2 3 4 0
x x
. B.
5
7
1 2 0
x x
.
C.
4 2
3 4 5 0
x x
. D.
2017
3 8 4 0
x x
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
2017
3 8 4
f x x x
.
Hàm số liên tục trên đoạn
0;1
và
0 . 1 4. 1
f f
4
0 . 1 0
f f
.
Vậy phương trình
2017
3 8 4 0
x x
có nghiệm trong khoảng
0;1
.
Câu 17:
(THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018)
Cho hàm số
3
8
2
2
2 1 2
x
khi x
f x
x
m khi x
. Tìm
m
để hàm số liên tục tại điểm
0
2
x
.
A.
3
2
m
. B.
13
2
m
. C.
11
2
m
. D.
1
2
m
.
Lời giải
Chọn C
2 2 1
f m
.
2
3
2
2 2 2 2
2 2 4
8
lim lim lim lim 2 4 12
2 2
x x x x
x x x
x
f x x x
x x
.
Hàm số liên tục tại
0
2
x
2
11
2 lim 2 1 12
2
x
f f x m m
.
Câu 18:
(THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018)
Kết quả của giới hạn
2
2
4
lim
2
x
x
x
bằng
A.
0
. B.
4
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2 2 2
2 2
4
lim lim lim 2 4
2 2
x x x
x x
x
x
x x
.
Câu 19:
(THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018)
Cho dãy số
1
1
u
;
1
2
n n
u u
,
, 1
n n
. Kết quả nào đúng ?
A.
5
9
u
. B.
3
4
u
. C.
2
2
u
. D.
6
13
u
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
2
n n
u u
1
2
n n
u u
nên dãy
n
u
là một cấp số cộng với công sai
d 2
.
Nên theo công thức tổng quát của CSC
1
1 d
n
u u n
.
Do đó:
2 1
d
u u
1 2 3
;
3 1
2d
u u
1 2.2
5
;
5 1
4d
u u
1 4.2
9
;
6 1
5d
u u
1 5.2
11
.
Vậy
5
9
u
.
Câu 20:
(THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
2 7 6
khi 2
2
1
khi 2
2
x x
x
x
y f x
x
a x
x
. Biết
a
là giá trị để hàm số
f x
liên tục tại
0
2
x
, tìm
số nghiệm nguyên của bất phương trình
2
7
0
4
x ax
.
A.
1
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Tại
0
2
x
, ta có:
1
2
4
f a
2 2
1 1
lim lim
2 4
x x
x
f x a a
x
.
2
lim
x
f x
2
2
2 7 6
lim
2
x
x x
x
2
2 2 3
lim
2
x
x x
x
2
2 2 3
lim
2
x
x x
x
2
lim 2 3 1
x
x
.
Để hàm số liên tục tại
0
2
x
thì
2 2
2 lim lim
x x
f f x f x
1
1
4
a
3
4
a
.
Với
3
4
a
, xét bất phương trình
2
3 7
0
4 4
x x
7
1
4
x
Mà
x
nên
1;0
x
.
Vậy bất phương trình đã cho có
2
nghiệm nguyên.
Câu 21:
(THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
f x
xác định trên
;a b
.
Tìm mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số
f x
liên tục trên
;a b
và
0
f a f b
thì phương trình
0
f x
không
có nghiệm trong khoảng
;a b
.
B. Nếu
0
f a f b
thì phương trình
0
f x
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
;a b
.
C. Nếu hàm số
f x
liên tục, tăng trên
;a b
và
0
f a f b
thì phương trình
0
f x
không có nghiệm trong khoảng
;a b
.
D. Nếu phương trình
0
f x
có nghiệm trong khoảng
;a b
thì hàm số
f x
phải liên tục
trên
;a b
.
Lời giải
Chọn C
Vì
0
f a f b
nên
f a
và
f b
cùng dương hoặc cùng âm. Mà
f x
liên tục, tăng trên
;a b
nên đồ thị hàm
f x
nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên
;a b
hay phương trình
0
f x
không có nghiệm trong khoảng
;a b
.
Câu 22:
(THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018)
Số nào trong các số sau là bằng
2
3
2 3
lim
3
x
x x
x
?
A.
3
12
. B.
3
12
. C.
7 3
12
. D.
7 3
12
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
3
2 3
lim
3
x
x x
x
2
3
2
12
lim
3 2 3
x
x x
x x x
3
2
3 4
lim
3 2 3
x
x x
x x x
2
3
4
lim
2 3
x
x
x x
2
3 4
3 3 2 3
7
4 3
7 3
12
.
Câu 23:
(THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018)
Giới hạn
2 2 2 2 2
3
1 2 3 4 ...
lim
2 7
n
n n
có giá
trị bằng ?
A.
2
3
. B.
1
6
. C.
0
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có kết quả quen thuộc
2 2 2 2
1 2 3 ...
n
1 2 1
6
n n n
.
Do đó
2 2 2 2 2
3
1 2 3 4 ...
lim
2 7
n
n n
3
1 2 1
lim
6 2 7
n n n
n n
2 3
1 1
1 2
1.2 1
lim
2 7
6 3
6 1
n n
n n
.
(THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018)
Tính
Câu 24: Giới hạn
1
1
lim
2 1
x
x
L
x
.
A.
6
L
. B.
4L
. C.
2L
. D.
2L
.
Lời giải.
Chọn C
1 1 1
1 2 1
1
lim lim lim 2 1 2
1
2 1
x x x
x x
x
L x
x
x
.
Câu 25:
(THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018)
Cho bốn hàm số
3
1
2 3 1 f x x x
,
2
3 1
2
x
f x
x
,
3
cos 3 f x x
và
4 3
log
f x x
. Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập
?
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
* Ta có hai hàm số
2
3 1
2
x
f x
x
và
4 3
log
f x x
có tập xác định không phải là tập
nên
không thỏa yêu cầu.
* Cả hai hàm số
3
1
2 3 1 f x x x
và
3
cos 3 f x x
đều có tập xác định là
đồng thời
liên tục trên
.
Câu 26:
(THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018)
Hàm số
2
1 1
1
x khi x
f x
x m khi x
liên tục
tại điểm
0
1
x
khi
m
nhận giá trị
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
1
m
. D.
1
m
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
1 1
lim lim 1 2
x x
f x x
;
1 1
lim lim 1
x x
f x x m m
. Để hàm số liên tục tại
0
1
x
thì
1 1
lim lim 2 1 1
x x
f x f x m m
.
Câu 27:
(THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018)
Cho các giới hạn:
0
lim 2
x x
f x
;
0
lim 3
x x
g x
, hỏi
0
lim 3 4
x x
f x g x
bằng
A.
5
. B.
2
. C.
6
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
0
lim 3 4
x x
f x g x
0 0
lim 3 lim 4
x x x x
f x g x
0 0
3 lim 4 lim
x x x x
f x g x
6
.
Câu 28:
(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018)
Hàm số
1, 0
( )
cos sin , 0
ax b khi x
f x
a x b x khi x
liên tục
trên
khi và chỉ khi
A.
1a b
. B.
1
a b
. C.
1a b
D.
1a b
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khi
0
x
thì
cos sinf x a x b x
liên tục với
0
x
.
Khi
0
x
thì
1f x ax b
liên tục với mọi
0
x
.
Tại
0
x
ta có
0
f a
.
0
lim
x
f x
0
lim 1
x
ax b
.
0
lim
x
f x
0
lim cos sin
x
a x b x
a
.
Để hàm số liên tục tại
0
x
thì
0
lim
x
f x
0
lim
x
f x
0
f
1a b
1
a b
.
Câu 29:
(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018)
Biết
1
lim ( ) 4
x
f x

. Khi đó
4
1
( )
lim
1
x
f x
x

bằng:
A.

. B.
4
. C.

. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: +
1
lim ( ) 4 0
x
f x

.
+
4
1
lim 1 0
x
x

và với
1
x
thì
4
1 0
x
.
Suy ra
4
1
( )
lim
1
x
f x
x


.
Câu 30:
(THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018)
Cho số thực
a
thỏa mãn
2
2 3 2017 1
lim
2 2018 2
x
a x
x

. Khi đó giá trị của
a
là
A.
2
2
a
. B.
2
2
a
. C.
1
2
a
. D.
1
2
a
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2 3 2017 1
lim
2 2018 2
x
a x
x

2
3 2017
2
1
lim
2018
2
2
x
a
x x
x

2 1
2 2
a
2
2
a
.
Câu 31:
(THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018)
Tìm giới hạn
2
cos
lim
2
x
x
L
x
.
A.
1L
. B.
1L
. C.
0
L
. D.
L
.
Lời giải
Chọn B
Đặt:
2
t x
.
Khi
2
x
thì
0
t
. Vậy
0 0
cos
sin
2
lim lim 1
t t
t
t
L
t t
.
Câu 32:
(THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018)
Giá trị của tham số
a
để hàm số
2 2
khi 2
2
2 khi 2
x
x
y f x
x
a x x
liên tục tại
2
x
.
A.
1
4
. B.
1
. C.
15
4
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 1 1
lim lim lim lim
2 4
2 2
2 2 2
x x x x
x x
f x
x
x
x x
.
Hàm số liên tục tại
2
x
2
lim 2
x
f x f
1
4
4
a
15
4
a
.
Câu 33:
(THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)
Tính giới hạn
2
0
4 1 1
lim
3
x
x
K
x x
.
A.
2
3
K
. B.
2
3
K
. C.
4
3
K
. D.
0
K
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
0
4 1 1
lim
3
x
x
K
x x
0
4
lim
3 4 1 1
x
x
x x x
0
4
lim
3 4 1 1
x
x x
2
3
.
Câu 34:
(THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018)
Tính giới hạn
2
23
lim
2
x
x
x
.
A.

. B.
2
. C.

. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C
Xét
2
23
lim
2
x
x
x
thấy:
2
lim 3 2 1
x
x

,
2
lim 2 0
x
x
và
2 0
x
với mọi
2
x
nên
2
3 2
lim
2
x
x
x

.
Câu 35:
(THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề
nào sai
A.
2
3
lim 1 2
2
x
x x x

. B.
2
lim 1 2
x
x x x


.
C.
1
3 2
lim
1
x
x
x

. D.
1
3 2
lim
1
x
x
x

.
Hướng dẫn giải
Chọn C
+ Với đáp án A ta có:
2 2
2
2
1 4 4
lim 1 2 lim
1 2
x x
x x x x
x x x
x x x
 
2
2
3
3
3 3 3
lim lim
2
1 1 2
1 2
1 1
x x
x
x
x
x x x
x
x x x

A đúng.
+ Với đáp án B ta có:
2 2
2
2
1 4 4
lim 1 2 lim
1 2
x x
x x x x
x x x
x x x
 
2
2
3
3
3 3
lim lim
1 1 2
1 2
1 1
x x
x
x
x
x x x
x
x x x
 
3
lim
0
x

B đúng.
+ Với đáp án C ta có
1
lim 1 0
x
x
,
1 0
x
với mọi
1
x
và
1
lim 3 2 1 0
x
x

.
Vậy
1
3 2
lim
1
x
x
x

C sai.
+ Với đáp án D ta có
1
lim 1 0
x
x

,
1 0
x
với mọi
1
x
và
1
lim 3 2 1 0
x
x

.
Vậy
1
3 2
lim
1
x
x
x

D đúng.
Câu 36:
(THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018)
Cho dãy số
n
u
thỏa mãn
*
2018 2017,
n
u n n n
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Dãy số
n
u
là dãy tăng. B.
lim 0
n
n
u

.
C.
*
1
0 ,
2 2018
n
u n
. D.
1
lim 1
n
n
n
u
u

.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
1
2018 2017
2018 2017
n
u n n
n n
.
Suy ra:
1
2018 2017
1
2019 2018
n
n
u
n n
u
n n
với mọi
*
n
.
Do đó, dãy số
n
u
giảm.
Vậy Chọn A
Chú ý:
+
1
lim lim 0
2018 2017
n
n n
u
n n
 
.
+
1
2018 2017
lim lim 1
2019 2018
n
n n
n
u
n n
u
n n
 
.
+
1 1 1
0
2018 2017 2 2017 2 2018
n
u
n n n
.
Câu 37:
(THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào sai?
A.
0
1
lim
x
x

. B.
0
1
lim
x
x

. C.
5
0
1
lim
x
x

. D.
0
1
lim
x
x

.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
0
1
lim
x
x

do
0
lim 0
x
x
và
0
x
. Vậy đáp án A đúng.
Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A.
Câu 1:
(THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018)
Tính
2
lim 4 2
x
x x x

A.
4
. B.
2
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
2
lim 4 2
x
x x x

2 2
2
4 2
lim
4 2
x
x x x
x x x

2
4 2
lim
4 2
x
x
x x x

2
2
4
lim
4 2
1 1
x
x
x x
2
.
Câu 2:
(THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018)
Tìm
m
để hàm số
2
4 3
khi 1
( )
1
2 khi 1
x x
x
f x
x
mx x
liên tục tại điểm
1
x
.
A.
2
m
. B.
0
m
. C.
4
m
. D.
4
m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1
lim
x
f x
2
1
4 3
lim
1
x
x x
x
1
1 3
lim
1
x
x x
x
1
lim 3
x
x
2
.

1
lim
x
f x
1
lim 2
x
mx
2
m
.

1 2
f m
.
Để hàm số đã cho liên tục tại điểm
1
x
thì
1 1
lim lim 1
x x
f x f x f
2 2
m
0
m
.
Câu 3:
(THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018)
Tìm giới hạn
2 3
lim
1 3
x
x
x

.
A.
2
3
. B.
2
3
. C.
3
2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 3
lim
1 3
x
x
x

3
2
2
lim
1
3
3
x
x
x

.
Câu 4:
(THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018)
Tính
2 2
lim 2 1
I n n n
.
A.
I 
. B.
3
2
I
. C.
1,499
I
. D.
0
I
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 2
lim 2 1
I n n n
2 2
3
lim
2 1
n
n n
Câu 5:
(THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018)
Giới hạn
3 2
lim 3 5 9 2 2017
x
x x x

bằng
A.

. B.
3
. C.
3
. D.

.
Lời giải
Chọn A
3 2
lim 3 5 9 2 2017
x
x x x

3
2 3
1 1 1
lim 3 5 9 2 2017
x
x
x x x


.
Câu 6:
(THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
3 1 khi 0
1 2 1
khi 0
x a x
f x
x
x
x
. Tìm tất cả giá trị của
a
để hàm số đã cho liên tục tại điểm
0
x
.
A.
1
a
. B.
3
a
. C.
2
a
. D.
4
a
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
0
0 lim
x
f f x
0
lim 3 1 1
x
x a a
.
0 0
1 2 1
lim lim
x x
x
f x
x
0
2
lim
1 2 1
x
x
x x
0
2
lim 1
1 2 1
x
x
.
Hàm số liên tục tại
0
x
0 0
0 lim lim
x x
f f x f x
1 1
a
2
a
.
Câu 7:
(THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018)
Tìm
2
2
4 4
lim
2
x
x x
x
.
A. Không tồn tại. B.
1
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
2
2
4 4
lim
2
x
x x
x
2
2
2
lim
2
x
x
x
2
2
lim
2
x
x
x
.
Xét:

2
2
lim
2
x
x
x
2
2
lim
2
x
x
x
1
.

2
2
lim
2
x
x
x
2
2
lim
2
x
x
x
1
.
Ta có:
2 2
2 2
lim lim
2 2
x x
x x
x x
nên không tồn tại
2
2
lim
2
x
x
x
.
Câu 8:
(SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018)
1
3 2
lim
1
x
x
x
bằng
A.
1
4
. B.

. C.
1
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
1 1 1
3 2 3 4 1 1
lim lim lim
1 4
3 2
1 3 2
x x x
x x
x
x
x x
.
Câu 9:
(THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018)
Tìm giới hạn
1
4 3
lim
1
x
x
x
A.

. B.
2
. C.

. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
4 3
lim
1
x
x
x

vì
1
lim 4 3 1
x
x
,
1
lim 1 0
x
x
,
1 0
x
khi
1
x
.
Câu 10:
(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018)
Tính giới hạn
1 1
lim 16 4 16 3
n n n n
T
.
A.
0
T
. B.
1
4
T
. C.
1
8
T
. D.
1
16
T
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1 1
lim 16 4 16 3
n n n
T
1 1
4 3
lim
16 4 16 3
n n
n n n n
4 3
lim
16.16 4 16.16 3
n n
n n n n
3
1
4
lim
1 3
16 16
4 4
n
n n
1
4 4
1
8
.
Câu 11:
(PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018)
Cho
a
,
b
là hai số thực sao cho hàm số
2
khi 1
1
2 1 khi 1
x ax b
x
f x
x
ax x
liên tục trên
. Tính
a b
.
A.
0
. B.
1
. C.
5
. D.
7
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1 2 1f a
.
Để hàm số liên tục trên
thì phải tồn tại
2
1 1
lim lim
1
x x
x ax b
f x
x
và
1
lim 1
x
f x f
.
Để tồn tại
2
1
lim
1
x
x ax b
x
thì
2
1 1 0 1x ax b x a b b a
.
Khi đó
2
1 1 1 1
1 1
lim lim lim lim 1 2
1 1
x x x x
x x a
x ax b
f x x a a
x x
.
Do đó để hàm số liên tục trên
thì
1
lim 1
x
f x f
2 1 2 3
a a a
. Suy ra
4
b
.
Vậy
7
a b
.
Câu 12: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm giới hạn
2
lim 4 1
x
I x x x

.
A.
2I
. B.
4I
. C.
1I
. D.
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Ta có
2
lim 4 1
x
I x x x

2
4 1
lim
4 1
x
x
x x x

2
1
4
lim
4 1
1 1
x
x
x x

4
2
2
.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức
2
4 1
x x x
tại
10
10
x
:
Vậy
2
lim 4 1
x
I x x x

2
.
Câu 13: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm
P
để hàm số
2
4 3
khi 1
1
6 3 khi 1
x x
x
y
x
Px x
liên tục trên
.
A.
5
6
P
. B.
1
2
P
. C.
1
6
P
. D.
1
3
P
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
y f x
liên tục trên
y f x
liên tục tại
1x
1 1
lim lim 1
x x
f x f x f

2
1 1 1
4 3
lim lim lim 3 2
1
x x x
x x
f x x
x

1 1
lim lim 6 3 6 3
x x
f x Px P

1 6 3
f P
Do đó
1 1
lim lim 1
x x
f x f x f
1
6 3 2
6
P P
.
Câu 14: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018)
3 4
lim
5 2
x
x
x
bằng
A.
5
4
. B.
5
4
. C.
4
5
. D.
4
5
.
Lời giải
Chọn C
3 4
lim
5 2
x
x
x
3
4
lim
2
5
x
x
x
x
x
3
4
lim
2
5
x
x
x
4
5
.
Câu 15: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018)
lim 1 3
x
x x

bằng
A.
0
. B.
2
. C.

. D.

.
Lời giải
Chọn A
lim 1 3
x
x x

1 3
lim
1 3
x
x x
x x

4
lim
1 3
x
x x

0
.
Câu 16: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính giới
hạn
2 2
4 1 3
lim
3 2
x
x x x x
x

.
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn A
2 2
4 1 3
lim
3 2
x
x x x x
x

2 2
1 1 1 3
4 1
lim
3 2
x
x x
x x x x
x
2 2
1 1 1 3
4 1
lim
2
3
x
x x x x
x

1
3
.
Câu 17: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số
khi 0
1 khi 0
x m x
f x
mx x
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để
f x
liên tục trên
.
A.
1
m
. B.
0
m
. C.
1
m
. D.
2
m
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
f x
liên tục trên
f x
liên tục tại
0
x
.
0 0
lim lim
x x
f x x m m
;
0 0
lim lim 1 1
x x
f x mx
;
0
f m
.
f x
liên tục tại
0
x
0 0
lim lim 0 1 1
x x
f x f x f m m
.
Câu 18: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Tính
2
1
3 4
lim
1
x
x x
L
x
.
A.
5
L
. B.
0
L
. C.
3
L
. D.
5
L
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
1 1 1
1 4
3 4
lim lim lim 4 5
1 1
x x x
x x
x x
L x
x x
.
Câu 19: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Kết quả của
2
lim
3 1
n
n
bằng
A.
1
3
. B.
1
3
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải.
Chọn A
Ta có
2
2
1
1
2 1
lim lim lim
1
1
3 1 3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Câu 20: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018)
2
lim
1
x
x x x
x

bằng
A.
2
. B.
2
. C.
0
. D.

.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
1 1
1 1 1
lim lim lim 2
1
1 1
1
x x x
x x
x x x
x x
x x
x
  
.
Câu 21: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Nếu hàm số
2
khi 5
17 khi 5 10
10 khi 10
x ax b x
f x x x
ax b x
liên tục trên
thì
a b
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Với
5
x
ta có
2
f x x ax b
, là hàm đa thức nên liên tục trên
; 5
.
Với
5 10
x
ta có
7
f x x
, là hàm đa thức nên liên tục trên
5;10
.
Với
x
ta có
10
f x ax b
, là hàm đa thức nên liên tục trên
10;

.
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại
5
x
và
10
x
.
Ta có:
5 12
f
;
10 17
f
.
5
lim
x
f x
2
5
lim
x
x ax b
5 25
a b
.
5 5
lim lim 17 12
x x
f x x

.
10 10
lim lim 17 27
x x
f x x
.
10 10
lim lim 10 10 10
x x
f x ax b a b
.
Hàm số liên tục tại
5
x
và
x
khi
5 25 12
10 10 27
a b
a b
5 13
10 17
a b
a b
2
3
a
b
1
a b
Câu 22: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn
2
2
2
lim
4
x
x
x
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
1
4
. D.
0
.
Lời giải
Chọn C .
2
2 2 2
2 2 1 1
lim lim lim
4 2 2 2 4
x x x
x x
x x x x
.
Câu 23: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Tìm giá trị của tham số
m
để
hàm số
3 1 2
khi 1
1
khi 1
x
x
f x
x
m x
liên tục tại điểm
0
1
x
.
A.
3
m
. B.
1
m
. C.
3
4
m
. D.
m
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
3 1 2
lim
1
x
x
x
2
1
3 1 2
lim
1 3 1 2
x
x
x x
1
3 3
lim
4
3 1 2
x
x
.
Với
1
f m
ta suy ra hàm số liện tục tại
1
x
khi
m
.
Câu 1: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tính giới
hạn
2
4 1
lim
1
x
x
K
x

.
A.
0
K
. B.
1K
. C.
2K
. D.
4K
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
2 2
1 1
4 4
4 1
lim lim lim 2
1
1 1
1
x x x
x
x
x x
K
x x
x
 
.
Câu 2:
(THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018)
Tìm tham số thực
m
để hàm số
y f x
2
12
khi 4
4
1 khi 4
x x
x
x
mx x
liên tục tại điểm
0
4
x
.
A.
4
m
. B.
3
m
. C.
2
m
. D.
5
m
.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định:
D
.
Ta có:
+
2
4 4
12
lim lim
4
x x
x x
f x
x
4
3 4
lim
4
x
x x
x
4
lim 3
x
x
7
.
+
4 4 1
f m
.
Hàm số
f x
liên tục tại điểm
0
4
x
khi và chỉ khi
4
lim 4
x
f x f

4 1 7
m
2
m
.
Câu 3:
(THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)
2
2
2 5 2
lim
2
x
x x
x
bằng:
A.
1
. B.
2
. C.
3
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
2 2 2
2 2 1
2 5 2
lim lim lim 2 1 3
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
.
Câu 4:
(SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai
A.
2
3
lim 1 2
2
x
x x x

. B.
1
3 2
lim
1
x
x
x

.
C.
2
lim 1 2
x
x x x


. D.
1
3 2
lim
1
x
x
x

.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2
lim 1 2
x
x x x

2
2
2
1 2
lim
1 2
x
x x x
x x x
2
3 3
lim
1 2
x
x
x x x

2
3
3
lim
1 1 2
1 1
x
x
x x x

3
2
đáp án A đúng.
2
2
1 1 2
lim 1 2 lim 1 1
x x
x x x x
x x x
 
.
Do
lim
x
x


và
2
1 1 2
lim 1 1 2 0
x
x x x

nên
2
1 1 2
lim 1 1
x
x
x x x


đáp án C đúng.
Do
1
lim 3 2 1 0
x
x
và
1 0
x
với
1
x
nên
1
3 2
lim
1
x
x
x

đáp án B sai.
Do
1
lim 3 2 1 0
x
x

và
1 0
x
với
1
x
nên
1
3 2
lim
1
x
x
x

đáp án D đúng.
Câu 5:
(THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018)
Giới hạn
sin 1
lim
x
x
x

bằng
A.
. B.
1
. C.

. D.
0
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1 1 sin 1 1 1
x
x x x
sin 1 2
0
x
x x
.
Mà
2
lim 0
x
x

nên
sin 1
lim 0
x
x
x

.
Câu 6:
(THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018)
Tính
2
3
lim
4 1 2
x
x
x

A.
1
4
. B.
1
2
. C.
3
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
3
lim
4 1 2
x
x
x

2
3
lim
1
4 2
x
x
x
x

2
3
1
lim
1 2
4
x
x
x
x

1
2
.
Câu 7: Tính giới hạn
2
2
5 2 3
lim
1
x
x x
x

.
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 8: Tính giới hạn
2
2
5 2 3
lim
1
x
x x
x

.
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2
5 2 3
lim
1
x
x x
x

2
2
2 3
5
lim
1
1
x
x x
x

5
.
Câu 9: Biết
3 2
3
2 4 1
lim
2 2
n n
an
với
a
là tham số. Khi đó
2
a a
bằng
A.
12
. B.
2
. C.
0
. D.
6
.
Câu 10: Biết
3 2
3
2 4 1
lim
2 2
n n
an
với
a
là tham số. Khi đó
2
a a
bằng
A.
12
. B.
2
. C.
0
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
3
3 2
3
3
3
3
1 4
2
2 4 2 1
lim lim
2
2 2
n
n n
n n
an a
n a
n
.
Suy ra
4
a
. Khi đó
2 2
4 4 12
a a
.
Câu 11:
2
2
4
3 4
lim
4
x
x x
x x
bằng.
A.
1
. B.
1
. C.
5
4
. D.
5
4
.
Câu 12:
2
2
4
3 4
lim
4
x
x x
x x
bằng.
A.
1
. B.
1
. C.
5
4
. D.
5
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
2
4
3 4
lim
4
x
x x
x x
4
1
lim
x
x
x
5
4
.
Câu 13: Giá trị của
m
sao cho hàm số
2
1
1
1
3 1
x
x
f x
x
x m x
neáu
neáu
liên tục tại điểm
1x
là
A.
5
. B.
1
. C.
1
. D.
5
.
Câu 14: Giá trị của
m
sao cho hàm số
2
1
1
1
3 1
x
x
f x
x
x m x
neáu
neáu
liên tục tại điểm
1x
là
A.
5
. B.
1
. C.
1
. D.
5
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 3
f m
và
2
1 1
1
lim lim
1
x x
x
f x
x
1
lim 1
x
x
2
.
Hàm số
f x
liên tục tại điểm
1x
1
lim 1
x
f x f
3 2
m
1
m
.
Câu 15: Giá trị của tham số
a
để hàm số
1
1
1
1
1
2
x
khi x
x
f x
ax khi x
liên tục tại điểm
1x
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
1
. D.
1
2
.
Câu 16: Giá trị của tham số
a
để hàm số
1
1
1
1
1
2
x
khi x
x
f x
ax khi x
liên tục tại điểm
1x
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
1
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
1
1
2
f a
1 1
1 1
lim lim
2 2
x x
f x ax a
.
1 1 1
1 1 1
lim lim lim
1 2
1
x x x
x
f x
x
x
.
Hàm số liên tục tại
1x
khi
1 1
1 1
1 lim lim 1
2 2
x x
f f x f x a a
.
Câu 17: Giá trị của tham số
m
sao cho hàm số
4 2
khi 0
5
2 khi 0
4
x
x
x
f x
m x x
liên tục tại
0
x
là
A.
3
. B.
4
3
. C.
1
8
. D.
1
2
.
Câu 18: Cho biết
2
4 7 12 2
lim
17 3
x
x x
a x

. Giá trị của
a
bằng
A.
3
.
B.
3
. C.
6
. D.
6
.
Câu 19: Giá trị của tham số
m
sao cho hàm số
4 2
khi 0
5
2 khi 0
4
x
x
x
f x
m x x
liên tục tại
0
x
là
A.
3
. B.
4
3
. C.
1
8
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
Có
0 0
4 2
lim lim
x x
x
f x
x
0
lim
4 2
x
x
x x
0
1 1
lim
4
4 2
x
x
.
0
lim
x
f x
0
5
lim 2 2
4
x
m x m
và
0 2f m
.
Hàm số liên tục tại
0
x
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f
1 1
2
4 8
m m
.
Câu 20: Cho biết
2
4 7 12 2
lim
17 3
x
x x
a x

. Giá trị của
a
bằng
A.
3
.
B.
3
. C.
6
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
4 7 12
lim
17
x
x x
a x

2
7 12
4
lim
17
x
x
x x
x a
x

2
7 12
4
2
lim
17
x
x x
a
a
x

2
3
3
a
Câu 21: Giá trị của
2
2 1
lim
1 1
x
x
x

bằng
A.
0
. B.
2
. C.

. D.
2
.
Câu 22: Giá trị của
2
2 1
lim
1 1
x
x
x

bằng
A.
0
. B.
2
. C.

. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2 1
lim
1 1
x
x
x

2
2 1
lim
1
1 1
x
x
x
x

2
1
2
lim
1 1
1
x
x
x x

2
.
Câu 23: Cho
3 2
lim
3
x
x
a
x

là một số thực. Khi đó giá trị của
2
a
bằng
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
4
.
Câu 24: Cho
3 2
lim
3
x
x
a
x

là một số thực. Khi đó giá trị của
2
a
bằng
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
3 2
lim
3
x
x
x

2
3
lim
3
1
x
x
x

3
a
. Suy ra
2
3
a
.
Câu 25: Giá trị của
a
để hàm số
2
1 1
khi 2
3 2
2 1
khi 2
6
x
x
x x
f x
a
x
liên tục tại
2
x
.
A.
2
. B.
1
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 26: Giá trị của
a
để hàm số
2
1 1
khi 2
3 2
2 1
khi 2
6
x
x
x x
f x
a
x
liên tục tại
2
x
.
A.
2
. B.
1
2
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2 1
2
6
a
f
.
2
2 2
1 1 2 1
lim lim
3 2 2
2 1 1 1
x x
x x
x x
x x x
.
Hàm số liên tục tại
2
x
2
2 1 1
lim 2 1
6 2
x
a
f x f a
.
Câu 27: Biết rằng hàm số
2
5 6
khi 2
2
khi 2
x x
x
f x
x
mx n x
liên tục trên
và
n
là một số thực tùy ý.
Giá trị của
m
(tính theo
n
) bằng
A.
2
n
. B.
1
2
n
. C.
1
2
n
. D.
1
.
Câu 28: Biết rằng hàm số
2
5 6
khi 2
2
khi 2
x x
x
f x
x
mx n x
liên tục trên
và
n
là một số thực tùy ý.
Giá trị của
m
(tính theo
n
) bằng
A.
2
n
. B.
1
2
n
. C.
1
2
n
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2 2
5 6
lim lim
2
x x
x x
f x
x
2
lim 3
x
x
1
.
2 2
lim lim
x x
f x mx n
2
m n
.
2 2
f m n
.
Để hàm số liên tục tại
2
x
thì
2 2
lim lim 2
x x
f x f x f
2 1m n
1
2
n
m
.
Câu 29: Hàm số nào trong các hàm số sau không liên tục trên khoảng
1;1
?
A.
siny x
. B.
cosy x
.
C.
tany x
. D.
sin khi 0
( )
cos khi 0
x x
f x
x x
.
Câu 30: Hàm số nào trong các hàm số sau không liên tục trên khoảng
1;1
?
A.
siny x
. B.
cosy x
.
C.
tany x
. D.
sin khi 0
( )
cos khi 0
x x
f x
x x
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Các hàm số
siny x
,
cosy x
và
tany x
đều xác định trên khoảng
1;1
nên chúng liên
tục trên khoảng
.
Xét hàm số
sin khi 0
( )
cos khi 0
x x
f x
x x
Do
0 0
0 sin 0 0 lim lim cos 1
x x
f f x x
nên hàm số
f x
gián đoạn tại
0
x
.
Vậy
sin khi 0
( )
cos khi 0
x x
f x
x x
không liên tục trên khoảng
.
Câu 31: Cho
2
lim 5 5
x
x ax x

. Khi đó giá trị
a
là
A.
6
. B.
10
. C.
10
. D.
6
.
Câu 32: Cho
2
lim 5 5
x
x ax x

. Khi đó giá trị
a
là
A.
6
. B.
10
. C.
10
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
2
lim 5
x
x ax x

2
5
lim
5
x
ax
x ax x

2
5
lim
5
1
x
x a
x
a
x x
x x
2
5
lim
2
5
1 1
x
a
a
x
a
x x

. Vậy
10
a
.
Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
2
16
khi 4
4
1 khi 4
x
x
f x
x
mx x
liên tục trên
.
A.
8
m
hoặc
7
4
m
. B.
7
4
m
.
C.
7
4
m
. D.
8
m
hoặc
7
4
m
.
Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
2
16
khi 4
4
1 khi 4
x
x
f x
x
mx x
liên tục trên
.
A.
8
m
hoặc
7
4
m
. B.
7
4
m
.
C.
7
4
m
. D.
8
m
hoặc
7
4
m
.
Lời giải
Chọn B
Trên các khoảng
;4

và
4;
thì hàm số được xác định bởi biểu thức
2
16
4
x
f x
x
.
Do đó, nó liên tục trên các khoảng này.
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại điểm
4
x
. Ta có:
4
lim
x
f x
2
4
16
lim
4
x
x
x
4
lim 4 8
x
x
.
4 4 1
f m
.
4
lim 4
x
f x f
4 1 8
m
7
4
m
.
Vậy giá trị cần tìm của
m
là
7
4
m
.
Câu 35: Cho hàm số
2
1
khi 1
1
khi 1
x
x
f x
x
m x
với
m
là tham số thực. Tìm
m
để hàm số liên tục tại tại
1x
.
A.
2
m
. B.
1.
m
C.
2
m
. D.
1
m
.
Câu 36: Cho hàm số
2
1
khi 1
1
khi 1
x
x
f x
x
m x
với
m
là tham số thực. Tìm
m
để hàm số liên tục tại tại
1x
.
A.
2
m
. B.
1.
m
C.
2
m
. D.
1
m
.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định:
D
, chứa
1x
.
Ta có
1
f m
.
1
lim
x
f x
2
1 1
1
lim lim 1 2
1
x x
x
x
x
.
Để hàm số liên tục tại tại
1x
thì
1
1 lim
x
f f x
2
m
.
Câu 37: Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
2
u
,
1
2
n n
u u
với mọi
*
n
. Tính
lim
n
u
.
A.
2
. B.
4
. C.
2
. D.
1
.
Câu 38: Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
2
u
,
1
2
n n
u u
với mọi
n
. Tính
lim
n
u
.
A.
2
. B.
4
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
2
u
,
2 1
2 2
u u
,
3 2
2 2
u u
,...,
2
n
u
với mọi
n
. Do đó
lim
n
u
2
.
Câu 39: Giá trị
2
2 1 (2 )
lim
3
x
x x
x

bằng
A.
2
. B.
2
. C.
4
. D.
2
3
.
Câu 40: Giá trị
2
2 1 (2 )
lim
3
x
x x
x

bằng
A.
2
. B.
2
. C.
4
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2 1 2
lim
3
x
x x
x

2
1 2
2 1
lim 2
3
1
x
x x
x

.
Câu 41: Cho hàm số
3
1
khi 1
1
2 1 khi 1
x
x
f x
x
m x
. Giá trị của tham số
m
để hàm số liên tục tại điểm
0
1
x
là:
A.
2
m
. B.
1
m
. C.
0
m
. D.
1
2
m
.
Câu 42: Cho hàm số
3
1
khi 1
1
2 1 khi 1
x
x
f x
x
m x
. Giá trị của tham số
m
để hàm số liên tục tại điểm
0
1
x
là:
A.
2
m
. B.
1
m
. C.
0
m
. D.
1
2
m
.
Lời giải
Chọn B

3
2
1 1
1
lim lim 1 3
1
x x
x
x x
x
.

1 2 1
f m
.
Hàm số liên tục tại điểm
0
1
x
3 2 1 1
m m
.
Câu 43: Giá trị của tham số
a
để hàm số
2 2
khi 2
2
2 khi 2
x
x
f x
x
a x x
liên tục tại
2
x
A.
1
4
. B.
1
. C.
15
4
. D.
4
.
Câu 44: Giá trị của tham số
a
để hàm số
2 2
khi 2
2
2 khi 2
x
x
f x
x
a x x
liên tục tại
2
x
A.
1
4
. B.
1
. C.
15
4
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 4
f a
.
2
2 2
lim
2
x
x
x
2
2 4
lim
2 2 2
x
x
x x
2
1 1
lim
4
2 2
x
x
.
Để hàm số liên tục tại
2
x
thì
1
4
4
a
15
4
a
.
Câu 1:
(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018)
Tìm tất cả các giá trị của
m
để
hàm số
1 1
khi 0
1
khi 0
1
x x
x
x
f x
x
m x
x
liên tục tại
0
x
.
A.
1
m
. B.
2
m
. C.
1
m
. D.
0
m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
0 0
1
lim lim 1
1
x x
x
f x m m
x
.
0 0
1 1
lim lim
x x
x x
f x
x
0 0
2 2
lim lim 1
1 1 1 1
x x
x
x x x x x
.
0 1
f m
Để hàm liên tục tại
0
x
thì
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f
1 1 2
m m
.
Câu 2:
(THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
1 cos
khi 0
1 khi 0
x
x
f x
x
x
.
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A.
f x
có đạo hàm tại
0
x
. B.
2 0
f
.
C.
f x
liên tục tại
0
x
. D.
f x
gián đoạn tại
0
x
.
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định trên
Ta có
0 1
f
và
2
2
2
0 0 0
2sin
1 cos 1
2
lim lim lim
2
4.
2
x x x
x
x
f x
x
x
Vì
0
0 lim
x
f f x
nên
f x
gián đoạn tại
0
x
. Do đó
f x
không có đạo hàm tại
0
x
.
0
x
2
1 cos
0
x
f x
x
nên
2 0.
f
VậyA, B,C sai.
Câu 3:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
2 8 2
khi 2
2
0 khi 2
x
x
f x
x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
2
lim 0
x
f x
.
II
f x
liên tục tại
2
x
.
III
f x
gián đoạn tại
2
x
.
A. Chỉ
III
. B. Chỉ
I
. C. Chỉ
I
và
II
. D. Chỉ
I
và
III
.
Lời giải:
Chọn C
Hàm số
f x
xác định trên nửa khoảng
2;

.
Ta có:
2 2
2 8 2
lim lim
2
x x
x
f x
x
2
2 8 4
lim
2 2 8 4
x
x
x x
2
2 2
lim 0
2 8 4
x
x
x
Khẳng định
I
đúng.
Ta có
2
lim 2 0
x
f x f
, theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên
tục tại
2
x
. Khẳng định
II
đúng, khẳng định
III
sai.
Câu 4:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)
Tính giới hạn:
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
.
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn B
Xét dãy số
n
u
, với
2 2 2
1 1 1
1 1 ... 1
2 3
n
u
n
,
2,n n
.
Ta có:
2
2
1 3 2 1
1
2 4 2.2
u
;
3
2 2
1 1 3 8 4 3 1
1 . 1 .
2 3 4 9 6 2.3
u
;
4
2 2 2
1 1 1 3 8 15 5 4 1
1 . 1 1 . .
2 3 4 4 9 16 8 2.4
u
1
2
n
n
u
n
.
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định
1
, 2
2
n
n
u n
n
Khi đó
2 2 2
1 1 1 1 1
lim 1 1 ... 1 lim
2 3 2 2
n
n n
.
Câu 5:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018)
Cho hàm số
2 8 2
khi 2
2
0 khi 2
x
x
f x
x
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I
2
lim 0
x
f x
.
II
f x
liên tục tại
2
x
.
III
f x
gián đoạn tại
2
x
.
A. Chỉ
III
. B. Chỉ
I
. C. Chỉ
I
và
II
. D. Chỉ
I
và
III
.
Lời giải:
Chọn C
Hàm số
f x
xác định trên nửa khoảng
2;

.
Ta có:
2 2
2 8 2
lim lim
2
x x
x
f x
x
2
2 8 4
lim
2 2 8 4
x
x
x x
2
2 2
lim 0
2 8 4
x
x
x
Khẳng định
I
đúng.
Ta có
2 2
lim lim 2 0
x x
f x f x f
, theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì
hàm số liên tục tại
2
x
. Khẳng định
II
đúng, khẳng định
III
sai.
Câu 6:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018)
Tính giới hạn:
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
.
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Xét dãy số
n
u
, với
2 2 2
1 1 1
1 1 ... 1
2 3
n
u
n
,
2,n n
.
Ta có:
2
2
1 3 2 1
1
2 4 2.2
u
;
3
2 2
1 1 3 8 4 3 1
1 . 1 .
2 3 4 9 6 2.3
u
;
4
2 2 2
1 1 1 3 8 15 5 4 1
1 . 1 1 . .
2 3 4 4 9 16 8 2.4
u
1
2
n
n
u
n
.
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định
1
, 2
2
n
n
u n
n
Khi đó
2 2 2
1 1 1 1 1
lim 1 1 ... 1 lim
2 3 2 2
n
n n
.
Cách 2:
2 2
2
2 2
1 2 1 1.3
1
2 2 2.2
u
3
2 2
1.2 3.4
1 1 1.3 2.4
1 . 1 .
2 3 2.2 3.3 2.3 2.3
u
4
2 2 2
1.2.3 3.4.5
1 1 1 13 2.4 3.5
1 . 1 1 . .
2 3 4 2.2 3.3 4.4 2.3.4 2.3.4
u
1.2.3.4.... 1 3.4...... 1
1
2.3.4........ 2.3.4..... 2
n
n n
n
u
n n n
. Vậy
1 1
lim lim
2 2
n
n
u
n
Câu 7:
(THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)
Tính
2
1
2 3
lim ?
1
x
x x
I
x
A.
7
.
8
I
B.
3
.
2
I
C.
3
.
8
I
D.
I
Lời giải
Chọn A
2
2
1 1 1
2 3 2 3
2 3 4 3
lim lim lim
1
1 1 2 3 1 1 2 3
x x x
x x x x
x x x x
I
x
x x x x x x x x
1 1
1 4 3
4 3 7
lim lim
8
1 1 2 3 1 2 3
x x
x x
x
x x x x x x x
Câu 8:
(THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018)
Dãy số
n
u
nào sau đây có giới hạn khác số
1
khi
n
dần đến vô cùng?
A.
2018
2017
2017
2018
n
n
u
n n
. B.
2 2
2018 2016
n
u n n n
.
C.
1
1
2017
1
1 , 1,2,3...
2
n n
u
u u n
. D.
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 1
n
u
n n
.
Lời giải
Chọn A
Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:
+) Đáp án A:
2018
2017
2017
2017
2017 2017
lim lim lim .
2018
2018
n
n
n n
u
n n
n n
2017
2017
1
2017
lim 1 1
2018
1
n
n
n
.
+) Đáp án B:
2 2
2 2
2 2
2018 2016
lim lim 2018 2016 lim
2018 2016
n
n n n
u n n n
n n
2 2
2 2
2 2
lim lim 1
2018 2016
2018 2016
1 1
n
n n
n n
.
+) Đáp án C:
Cách 1: Ta có
1
1
1 1
2
n n
u u
1 1
1
1 1
1 1 ... 1
2 2
n n
n
u u u
1
2016 1
1 4032. 1
2 2
n
n n
n
u u
lim 1
n
u
.
Cách 2:
Bước 1: Ta chứng minh
n
u
giảm và bị chặn dưới bởi
1
.
Thật vậy bằng quy nạp ta có
1
2017 1
u
.
Giả sử
1
1 1
1 1 1 1 1
2 2
n n n
u u u
Vậy
*
1
n
u n
.
Hơn nữa
1
1
1 0
2
n n n
u u u
nên
n
u
là dãy giảm
Suy ra
n
u
có giới hạn
lim
n
u a
Bước 2: Ta có
1
1 1 1 1 1
a lim lim lim 1 lim
2 2 2 2 2
n n n n
u u u u a
1a
.
+) Đáp án D:
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ... 1
1.2 2.3 3.4 1 2 2 3 1 1 1
n
n
u
n n n n n n
lim lim 1
1
n
n
u
n
.
Câu 9:
(THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018)
Xác định giá trị thực
k
để hàm số
2016
2
khi 1
2018 1 2018
khi 1
x x
x
f x
x x
k x
liên tục tại
1x
.
A.
1.
k
B.
2 2019.
k
C.
2017. 2018
.
2
k
D.
20016
2019.
2017
k
Lời giải
Chọn B
Ta có
2016
2016
1 1 1
2 2018 1 2018
2
lim lim lim
2018 1 2018
2018 1 2018
x x x
x x x x
x x
f x
x x
x x
2015 2014
1
1 ... 2 2018 1 2018
lim
2017 1
x
x x x x x x
x
2015 2014
1
... 2 2018 1 2018
lim 2 2019
2017
x
x x x x x
Mà
1
f k
Suy ra hàm số liên tục tại
1x
2 2019
k
.
Câu 10:
(THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018)
Cho
2
2
1
1
lim , .
1 2
x
x ax b
a b
x
Tổng
2 2
S a b
bằng
A.
13.
S
B.
9.
S
C.
4.
S
D.
1.
S
Lời giải
Chọn D
Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại
1x
nên biểu thức tử nhận
1x
làm nghiệm, hay
1 0
a b
.
Áp dụng vào giả thiết, được
2
2
1 1
1 1
1 1 1
lim lim
1 2 1 1 2
x x
x x a
x ax a
x x x
.
1
1 1 2 1
lim 3
1 2 2 2
x
x a a
a
x
. Suy ra
2
b
.
Vậy
2 2
13
a b
.
Câu 11:
(THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số
3 5 khi 2
1 khi 2
x x
f x
ax x
.
Với giá trị nào của
a
thì hàm số
f x
liên tục tại
2
x
?
A.
5
a
. B.
0
a
. C.
5
a
. D.
6
a
.
Lời giải:
Chọn C
Ta có:
2 11
f
,
2 2
lim lim 3 5 11
 
x x
f x x
,
2 2
lim lim 1 2 1

x x
f x ax a
.
Để hàm số liên tục tại
2
x
thì
2 2
2 lim lim

x x
f f x f x
2 1 11 5
a a
.
Vậy hàm số liên tục tại
2
x
khi
5
a
.
Câu 12:
(THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)
Cho
f x
là đa thức thỏa mãn
2
20
lim 10
2
x
f x
x
. Tính
3
2
2
6 5 5
lim
6
x
f x
T
x x
A.
12
25
T
. B.
4
25
T
. C.
4
15
T
. D.
6
25
T
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1(Đặc biệt hóa )
Chọn
10
f x x
, ta có
2 2 2
20 10 2
10 20
lim lim lim 10
2 2 2
x x x
f x x
x
x x x
.
Lúc đó
3 33
2 2
2 2 2
6 5 5
60 5 5 60 5 5
lim lim lim
6 6 2 3
x x x
f x
x x
T
x x x x x x
3
2
2
3 3
60 5 5
lim
2 3 60 5 5 60 5 25
x
x
x x x x
2
2
3 3
60 2
lim
2 3 60 5 5 60 5 25
x
x
x x x x
2
2
3 3
60 4
lim
25
3 60 5 5 60 5 25
x
x x x
Cách 2:
Chọn
10
f x x
, ta có
2 2 2
20 10 2
10 20
lim lim lim 10
2 2 2
x x x
f x x
x
x x x
.
Sử dụng CASIO, nhập hàm cần tính giới hạn
aqs60Q)+5$p5RQ)d+Q)p6
Màn hình hiển thị
Thay giá trị
1,9999999
x
vào
r1.9999999=
Màn hình hiển thị
Thay tiếp giá trị
2,0000001
x
vào
r2.0000001=
Màn hình hiển thị
Cách 3:
Theo giả thiết có
2
lim 20 0
x
f x
hay
2
lim 20
x
f x
*
Khi đó
3
2
2
2 2
2
3 3
6 5 5
6 5 125
lim lim
6
6 6 5 5 6 5 25
x x
f x
f x
T
x x
x x f x f x
2
2
3 3
6 20
lim
2 3 6 5 5 6 5 25
x
f x
T
x x f x f x
10.6 4
5.75 25
T
.
Câu 1:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018)
Cho
2
lim 5 5
x
x ax x

thì
giá trị của
a
là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
A.
2
11 10 0
x x
. B.
2
5 6 0
x x
. C.
2
8 15 0
x x
. D.
2
9 10 0
x x
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
lim 5 5
x
x ax x

2 2
2
5
lim 5
5
x
x ax x
x ax x

2
5
lim 5
5
x
ax
x ax x

2
5
lim 5
5
1 1
x
a
x
a
x x

5
2
a
10
a
.
Vì vậy giá trị của
a
là một nghiệm của phương trình
2
9 10 0
x x
.
Câu 2:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018)
Tìm giới hạn
2
lim 1 2
x
I x x x

.
A.
1 2
I
. B.
46 31
I
. C.
17 11
I
. D.
3 2
I
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
lim 1 2
x
I x x x

2 2
2
2
lim 1
2
x
x x x
I
x x x

2
2
lim 1
2
x
x
I
x x x

2
2
1
lim 1
1 2
1 1
x
x
I
x
x

3
2
I
.
Câu 3:
(THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
3 2
khi 1
1
1
khi 1
4
x
x
x
f x
m m x
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
m
để hàm số
f x
liên tục tại
1x
.
A.
0;1
m
. B.
0; 1
m
. C.
1
m
. D.
0
m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 1 1
3 2 1 1
lim lim lim
1 4
3 2
x x x
x
f x
x
x
;
2
1
1
1 lim
4
x
f f x m m
.
Để hàm số
f x
liên tục tại
1x
thì
2
1 1
4 4
m m
1
0
m
m
.
Câu 4:
(THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018)
Biết
2
3
1
2 7 1 2
lim
2 1
x
x x x a
c
b
x
với
a
,
b
,
c
và
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của
a b c
bằng:
A.
5
. B.
37
. C.
13
. D.
51
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 2
3 3
1 1
2 7 1 2 2 2 7 1
lim lim
2 1 2 1
x x
x x x x x x
x x
2
3
1 1
2 2 2 7 1
lim lim
2 1 2 1
x x
x x x
I J
x x
.
Tính
2 2
1 1
2
2 2 2 4
lim lim
2 1
2 1 2 2
x x
x x x x
I
x
x x x
1 1
2 2
1 2
2 3
lim lim
4 2
2 1 2 2 2 2 2
x x
x x
x
x x x x x
.
và
3
2
1 1
3 3
2 7 1 8 7 1
lim lim
2 1
2 1 4 2 7 1 7 1
x x
x x
J
x
x x x
2
1
3 3
7 7
lim
12 2
2 4 2 7 1 7 1
x
x x
.
Do đó
2
3
1
2 7 1 2
lim
12
2 1
x
x x x
I J
x
Suy ra
1
a
,
12
b
,
0
c
. Vậy
13
a b c
.
Câu 5:
(THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
4 2
khi 0
1
khi 0
4
x
x
x
f x
mx m x
,
m
là
tham số. Tìm giá trị của
m
để hàm số có giới hạn tại
0
x
.
A.
1
m
. B.
0
m
. C.
1
2
m
.
D.
1
2
m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
0 0
1 1
lim lim
4 4
x x
f x mx m m
.
0 0 0 0
4 2 4 4 1 1
lim lim lim lim
4
4 2
4 2
x x x x
x x
f x
x
x
x x
.
Để hàm số có giới hạn tại
0
x
thì
0 0
1 1
lim lim 0
4 4
x x
f x f x m m
.
Câu 6:
(THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
2 6
khi 3
3 27
1
khi 3
9
x
x
x
f x
x
. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc khoảng
3;3
.
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm
3
x
.
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm
3
x
.
D. Hàm số liên tục trên
.
Lời giải.
Chọn C
Ta có
2
3 3
2 6
lim lim
3 27
x x
x
f x
x
, vì
3
lim 2 6 12 0
x
x
và
2
3
lim 3 27 0
x
x
nên hàm số
không có giới hạn tại
3
x
. Ta loại hai phương án A và. D.
Ta tiếp tục tính giới hạn
2
3 3 3 3
2 3
2 6 2 1
lim lim lim lim
3 27 3 3 3 3 3 9
x x x x
x
x
f x
x x x x
.
Vì
3
1
lim 3
9
x
f x f
nên hàm số liên tục tại
3
x
.
Câu 7:
(SGD Ninh Bình năm 2017-2018)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
lim 0
x
x x x

. B.
2
lim 2
x
x x x


.
C.
2
1
lim
2
x
x x x

. D.
2
lim 2
x
x x x


.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
lim
x
x x x


nên phương án A sai.
Ta có:
2
1
lim 2 lim 1 2
x x
x x x x
x
 

nên phương án B sai.
Ta có:
2
2
1 1
lim lim lim
2
1
1 1
x x x
x
x x x
x x x
x
  
nên đáp án C đúng.
Ta có:
2
1
lim 2 lim 1 2
x x
x x x x
x
 

nên đáp án D sai.
Câu 8:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018)
Cho hàm số
3
2 1 8
x x
y f x
x
.
Tính
0
lim
x
f x
.
A.
1
12
. B.
13
12
. C.

. D.
10
11
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
3
2 1 8
x x
x
3
2 1 2 2 8
x x
x
3
2 1 1
2 8
x
x
x x
2
3
3
2 1
1 1
4 2 8 8
x
x x
. Do vậy:
0
lim
x
f x
2
0
3
3
2 1
lim
1 1
4 2 8 8
x
x
x x
2
0 0
3
3
2 1
lim lim
1 1
4 2 8 8
x x
x
x x
1
1
12
13
12
.
Câu 9:
(THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018)
Tính
2 2 3 2
1 2 3 ...
lim
2 7 6 5
n
n n n
A.
1
6
. B.
1
2 6
. C.
1
2
. D.

.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 2 2 2
1 2 1
1 2 3 ...
6
n n n
n
.
Khi đó:
2 2 3 2
1 2 1
1 2 3 ...
lim lim
2 7 6 5 12 7 6 5
n n n
n
n n n n n n
1 1
1 2
lim
7 5
12 1 6
n n
n n
1
6
.
Câu 10:
(THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018)
Giới hạn:
5
3 1 4
lim
3 4
x
x
x
có giá trị bằng:
A.
9
4
. B.
3
. C.
18
. D.
3
8
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
5 5
3 1 16 3 4
3 1 4
lim lim
3 4
9 4 3 1 4
x x
x x
x
x
x x
5
3 3 4
lim
3 1 4
x
x
x
18 9
8 4
.
Câu 11:
(THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018)
Tìm
1 1 1
lim ...
1 1 2 1 2 ...
L
n
A.
5
2
L
. B.
L
. C.
2L
. D.
3
2
L
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1 2 3 ... k
là tổng của cấp số cộng có
1
1
u
,
1
d
nên
1
1 2 3 ...
2
k k
k
1 2
1 2 ... 1
k k k
2 2
1k k
,
*
k
.
2 2 2 2 2 2 2 2
lim ...
1 2 2 3 3 4 1
L
n n
2 2
lim
1 1
n
2
.
Câu 12:
(THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)
Cho hàm số
2
2
( 2) 2
khi 1
( )
3 2
8 khi 1
ax a x
x
f x
x
a x
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của
a
để hàm số liên tục tại
1x
?
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
3;D
.
1
lim
x
f x
2
1
2 2
lim
3 2
x
ax a x
x
.
1
1 2 3 2
lim
1
x
x ax x
x
.
1
lim 2 3 2
x
ax x
4 2
a
.
2
1 8
f a
.
Hàm số đã cho liên tục tại
1x
khi
1
lim 1
x
f x f
2
4 2 8
a a
0
4
a
a
.
Vậy có
2
giá trị của
a
để hàm số đã cho liên tục tại
1x
.
Câu 13:
(THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018)
Cho
f x
là một đa thức thỏa mãn
1
16
lim 24
1
x
f x
x
. Tính
1
16
lim
1 2 4 6
x
f x
I
x f x
A. 24. B.
I 
. C.
2I
. D.
0
I
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì
1
16
lim 24
1
x
f x
x
1 16
f
vì nếu
1 16
f
thì
1
16
lim
1
x
f x
x
.
Ta có
1
16
lim
1 2 4 6
x
f x
I
x f x
1
16
1
lim
12 1
x
f x
x
2
.
Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính
32 3
lim 4 3 8
n n n n
.
A.

. B.
1
. C.

. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
2 3
lim 4 3 8
n n n n
32 3
lim 4 3 2 2 8
n n n n n n
32 3
lim 4 3 2 2 8
n n n n n n n
.
Ta có:
2
lim 4 3 2n n n
2
3
lim
4 3 2
n
n n
2
3 3
lim
4
3
4 2
n
.
Ta có:
3 3
lim 2 8
n n n n
2
2
3
2 3 3
3
lim
4 2 8 8
n
n n n n n n
2
33
2 2
1 1
lim
12
1 1
4 2 8 8
n n
.
Vậy
32 3
3 1
lim 4 3 8
4 12
n n n n
2
3
.
Câu 1: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Biết
2
lim 4 3 1 0
x
x x ax b

.
Tính
ta được
A.
3
. B.
5
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
lim 4 3 1 0
x
x x ax b

2
lim 4 3 1 0
x
x x ax b

2 2 2
2
4 3 1
lim 0
4 3 1
x
x x a x
b
x x ax

2 2
2
4 3 1
lim 0
4 3 1
x
a x x
b
x x ax

2
4 0
0
3
0
2
a
a
b
a
2
3
4
a
b
.
Vậy
4 5
a b
.
Câu 2:
(THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018)
Cho các số thực
a
,
b
,
c
thỏa mãn
2
18
c a
và
2
lim 2
x
ax bx cx

. Tính
5P a b c
.
A.
18
P
. B.
12P
. C.
9
P
. D.
5
P
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
lim 2
x
ax bx cx

2 2
2
lim 2
x
a c x bx
ax bx cx

.
Điều này xảy ra
2
0 , 0
2
a c a c
b
a c
. (Vì nếu
0
c
thì
2
lim
x
ax bx cx


).
Mặt khác, ta cũng có
2
18
c a
.
Do đó,
2
9
2
a c
b a c
9
a
,
12
b
,
3
c
. Vậy
5P a b c
12
.
Câu 3: Giới hạn
3
3
1 5
lim
3
x
x x
x
bằng
A.
0
. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
1
6
.
Câu 4: Cho hàm số
sin khi cos 0
1 cos khi cos 0
x x
f x
x x
. Hỏi hàm số
f
có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn
trên khoảng
0;2018
?
A.
2018
. B.
1009
. C.
542
. D.
321
.
Câu 5: Giới hạn
3
3
1 5
lim
3
x
x x
x
bằng
A.
0
. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
1
6
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
3
1 5
lim
3
x
x x
x
3
3
1 2 5 2
lim
3
x
x x
x
2
3 3
3 3
1 4 5 8
lim lim
3 1 2
3 5 2. 5 4
x x
x x
x x
x x x
2
3 3
3 3
1 1
lim lim
1 2
5 2. 5 4
x x
x
x x
1 1
4 12
1
6
.
Câu 6: Cho hàm số
sin cos 0
1 cos cos 0
x x
f x
x x
neáu
neáu
. Hỏi hàm số
f
có tất cả bao nhiêu điểm gián
đoạn trên khoảng
0;2018
?
A.
2018
. B.
1009
. C.
542
. D.
321
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
f x
trên đoạn
0;2
, khi đó:
3
sin 0; ;2
2 2
3
1 cos ;
2 2
x x
f x
x x
neáu
neáu
Ta có
0
lim 0 0
x
f x f
;
2
lim 0 2
x
f x f
.
Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng
0;
2
;
3
;
2 2
và
3
;2
2
.
Ta xét tại
2
x
:
2 2
lim lim 1 cos 1
x x
f x x
;
2 2
lim lim sin 1
x x
f x x
;
1
2
f
;
 Như vậy
2 2
lim lim
2
x x
f x f x f
nên hàm số
f x
liên tục tại điểm
2
x
.
Ta xét tại
3
2
x
:
3 3
2 2
lim lim sin 1
x x
f x x
;
3 3
2 2
lim lim 1 cos 1
x x
f x x
;
 Vì
3 3
2 2
lim lim
x x
f x f x
nên hàm số
f x
gián đoạn tại điểm
3
2
x
.
Do đó, trên đoạn
0;2
hàm số chỉ gián đoạn tại điểm
3
2
x
.
Do tính chất tuần hoàn của hàm số
cosy x
và
siny x
suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm
3
2 ,
2
x k k
.
Ta có
0;2018
x
3
0 2 2018
2
k
3 1009 3
320,42
4 4
k
.
Vì
k
nên
0,1,2,....,320
k
.
Vậy, hàm số
f
có
321
điểm gián đoạn trên khoảng
0;2018
.
Câu 7: Cho các số phức
z
,
w
thỏa mãn
5
z
,
4 3 1 2w i z i
. Giá trị nhỏ nhất của
w
là :
A.
3 5
. B.
4 5
. C.
5 5
. D.
6 5
.
Câu 8: Cho các số phức
z
,
w
thỏa mãn
5
z
,
4 3 1 2w i z i
. Giá trị nhỏ nhất của
w
là :
A.
3 5
. B.
4 5
. C.
5 5
. D.
6 5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo giả thiết ta có
1 2
4 3 1 2
4 3
w i
w i z i z
i
.
Mặt khác
1 2
5 5 1 2 5 5
4 3
w i
z w i
i
.
Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức
w
là đường tròn tâm
1; 2
I
và bán kính
5 5
.
Do đó
min 4 5
w R OI
.
Câu 9: Cho hàm số
2 3 2018
...
f x x x x x
. Tính
2
2
lim
2
x
f x f
L
x
.
A.
2018
2017.2 1
L
. B.
2017
2019.2 1
L
. C.
2018
2017.2 1
L
. D.
2017
2018.2 1
L
.
Câu 10: Cho hàm số
2 3 2018
...
f x x x x x
. Tính
2
2
lim
2
x
f x f
L
x
.
A.
2018
2017.2 1
L
. B.
2017
2019.2 1
L
. C.
2018
2017.2 1
L
. D.
2017
2018.2 1
L
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2017
1 2 3 ... 2018
f x x x x
2 3 2018
. 2 3 ... 2018
x f x x x x x
2 2 3 3 2017 2017 2018
. 2 3 4 ... 2018 2018
x f x x x x x x x x x x
2 3 2018 2 3 2017 2018
. 1 2 3 4 ... 2018 1 ... 2018
x f x x x x x x x x x x
2018
2018
1
2018
1
x
xf x f x x
x
2018 2018
2
2018 1
1
1
x x
f x
x
x
.
Do đó
2018 2018 2018
2
2
lim 2 2018.2 1 2 2017.2 1
2
x
f x f
L f
x
.
Câu 1:
(THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018)
Đặt
2
2
1 1.
f n n n
Xét dãy số
n
u
sao cho
1 . 3 . 5 ... 2 1
.
2 . 4 . 6 ... 2
n
f f f f n
u
f f f f n
Tính
lim .
n
n u
A.
lim 2.
n
n u
B.
1
lim .
3
n
n u
C.
lim 3.
n
n u
D.
1
lim .
2
n
n u
Lời giải
Chọn D
Xét
2
2
2
2
4 2 1 1
2 1
2
4 2 1 1
n n
f n
g n g n
f n
n n
.
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
4 1 4 4 1 4 1
2 1 1
4 1 4 1
4 1 4 1
2 1 1
4 1 4 4 1 4 1
n n n n
n
n n
g n
n n
n
n n n n
2 2
2 2 2
2 3 1 2 1 1
2 10 26 2
. . .... .
10 26 50
2 1 1 2 1 1 2 1 1
n
n n
u
n n n
2
2
2 1
lim lim .
4 4 2
2
n
n
n u
n n
Câu 2:
(THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018)
Đặt
2
2
1 1
f n n n
,
xét
dãy số
n
u
sao
cho
1 . 3 . 5 ... 2 1
2 . 4 .f 6 ... 2
n
f f f f n
u
f f f n
. Tìm
lim
n
n u
.
A.
1
lim
3
n
n u
. B.
lim 3
n
n u
. C.
1
lim
2
n
n u
. D.
lim 2
n
n u
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2
2 2
1 1 1 1 1
f n n n n n
.
Do đó
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 1 2 1 3 1 4 1 ... 2 1 1 4 1
2 1 3 1 4 1 5 1 ... 4 1 2 1 1
n
n n
u
n n
2
2
2 1 1
n
u
n
2
2
2
2 1 1
n
n u n
n
.
lim
n u n
2
2
2
lim
2 1 1
n
n
2
2
2 1
lim
2
1 1
2
n n
.
Câu 3:
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018)
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho
phương trình
3 2
3 2 2 3 0
x x m x m
có ba nghiệm
1
x
,
2
x
,
3
x
thỏa mãn
1 2 3
1
x x x
.
A.
5
m
. B.
5
m
. C.
5
m
. D.
6
m
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
3 2
3 2 2 3
f x x x m x m
. Ta thấy hàm số liên tục trên
.
Điều kiện cần:
1 0 5 0 5
af m m
.
Điều kiện đủ: với
5
m
ta có
*)
lim


x
f x
nên tồn tại
1
a
sao cho
0
f a
Mặt khác
1 5 0
f m
. Suy ra
. 1 0
f a f
.
Do đó tồn tại
1
; 1
x a
sao cho
1
0
f x
.
*)
0 3 0
f m
,
1 0
f
. Suy ra
0 . 1 0
f f
.
Do đó tồn tại
2
1;0
x
sao cho
2
0
f x
.
*)
lim


x
f x
nên tồn tại
0
b
sao cho
0
f b
Mặt khác
0 0
f
. Suy ra
0 . 0
f f b
.
Do đó tồn tại
3
0;
x b
sao cho
3
0
f x
.
Vậy
5
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4:
(THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018)
Cho
7
0
lim
1. 4 2
x
x a
b
x x
(
a
b
là phân
số tối giản). Tính tổng
L a b
.
A.
43
L
. B.
23
L
. C.
13
L
. D.
53
L
.
Lời giải
Chọn C
7
0
lim
1. 4 2
x
x
x x
7
0
lim
1. 4 4 4 2
x
x
x x x x
7
0
lim
4. 1 1 4 2
x
x
x x x
6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 2
0
4 2 1
lim
4. 1 1 4 2 1 4 2
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
0
4 2 1
4
lim
9
4 4 2 1
x
x x x x x x x
x x x x x x x x
.
Suy ra
4
a
,
9
b
,
13
L a b
.
Trình bày lại:
Chọn A
Đặt
7
0
lim
1. 4 2
x
x a
L
b
x x
thì
7
1 1. 4 2
lim
x x b
L x a
.
Ta có
7 7
0 0 0
1. 4 4 4 2 1. 4 4 4 2
lim lim lim
x x x
b x x x x x x x x
a x x x
Xét
7
1
0
. 4 1 1
lim
x
x x
L
x
.Đặt
7
1t x
.Khi đó :
7
1
0 1
x t
x t
7
7
1
7
6 5 4 3 2
1 1
3 1
3 2
lim lim
1 7
1
t t
t t
t
L
t
t t t t t t
Xét
2
0 0 0
4 2 4 2
4 2 1 1
lim lim lim
4
4 2
4 2
x x x
x x
x
L
x
x
x x
Vậy
2 1 15
7 4 28
b
a
28, 15 43
a b a b
43
a b
.
----------HẾT----------
Câu 1: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
0
u
và
1
4 3
n n
u u n
,
1
n
. Biết
2 2018
2 2018
2019
4
4 4
2
2 2
...
lim
...
n n
n n
n n
n n
u u u u
a b
c
u u u u
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
2019
b
. Tính giá trị
S a b c
.
A.
1
S
. B.
0
S
. C.
2017
S
. D.
2018
S
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 1
3 2
1
4.1 3
4.2 3
...
4. 1 3
n n
u u
u u
u u n
Cộng vế theo vế và rút gọn ta được
1
4. 1 2 ... 1 3 1
n
u u n n
1
4 3 1
2
n n
n
2
2 3n n
, với mọi
1n
.
Suy ra
2
2018
2
2
2
2 2
2
2
2018 2018
2
2 2 2 3
2 2 2 3
...
2 2 2 3
n
n
n
u n n
u n n
u n n
Và
2
2018
2
4
2
2 2
4
2
2018 2018
4
2 4 4 3
2 4 4 3
...
2 4 4 3
n
n
n
u n n
u n n
u n n
Do đó
2 2018
2 2018
4
4 4
2
2 2
...
lim
...
n n
n n
n n
n n
u u u u
u u u u
2018
2
2 2018
2 2 2
2018
2
2 2018
2 2 2
1 3 4 3 4 3
2 2.4 ... 2 4
lim
1 3 2 3 2 3
2 2.2 ... 2 2
n n n n n n
n n n n n n
2 2018
2 2018
2 1 4 4 ... 4
2 1 2 2 ... 2
2019
2019
1 4
1
1 4
1 2
1 2
2019
2019
1 4 1
3 2 1
2019
2 1
3
.
Vì
2019
2 2019
cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên
2
1
3
a
b
c
Vậy
0
S a b c
.
----------HẾT----------
Câu 1: Với
n
là số nguyên dương, đặt
1 1 1
...
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
n
S
n n n n
. Khi đó
lim
n
S
bằng
A.
1
2 1
B.
1
2 1
. C.
1
. D.
1
2 2
.
Câu 2: Với
n
là số nguyên dương, đặt
1 1 1
...
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
n
S
n n n n
. Khi đó
lim
n
S
bằng
A.
1
2 1
B.
1
2 1
. C.
1
. D.
1
2 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
1
1 1
n n n n
1
1 1
n n n n
1 1 1
1 1
n n
n n n n
.
Suy ra
1 1 1
...
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
n
S
n n n n
.
1 1 1 1 1 1 1
.... 1
1
2 2 3 1 1
n n n
.
Suy ra
lim 1
n
S
| 1/80
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào sau đây là sai ?
A. lim u c ( u c là hằng số ). B. lim n
q  0  q   1 . n n 1 1 C. lim  0 . D. lim  0 k   1 . n k n Lời giải
Chọn B
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim n
q  0  q   1 .
Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng  ;
a b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn  ; a b là ?
A. lim f x  f a và lim f x  f b .
B. lim f x  f a và lim f x  f b . x a  x b  x a  x b 
C. lim f x  f a và lim f x  f b .
D. lim f x  f a và lim f x  f b . x a  x b  x a  x b  Lời giải
Chọn A
Hàm số f xác định trên đoạn  ;
a b được gọi là liên tục trên đoạn  ;
a b nếu nó liên tục trên khoảng  ;
a b, đồng thời lim f x  f a và lim f x  f b . x a  x b  2n 1
Câu 3: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn lim . 3n  2 2 3 1 A. . B. . C. . D. 0 . 3 2 2 Lời giải
Chọn A 1 2  2n 1 2 Ta có lim  lim n  . 3n  2 2 3 3  n 3 x 1
Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tính giới hạn A  lim . x 1  x 1 A. A  .  B. A  0. C. A  3. D. A   .  Lời giải Chọn C 3 2 x 1  x  
1  x x   1 A  lim  lim  lim  2 x x   1  3 . x 1  x 1 x 1  x 1 x 1 
Câu 5: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của lim  2
3x  2x   1 bằng: x 1  A.  . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải. Chọn B lim  2
3x  2x   2 1  3.1  2.11  2. x 1 
Câu 6: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n n  2    6  3 n  3n A. u  . B. u  . C. u  . D. 2
u n  4n . n   n   n n  3   5  n 1 Lời giải: Chọn A n  2  2  2 lim u  lim  0 (Vì   1). n   n n  3  3 3 x  2
Câu 7: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) lim bằng
x x  3 2 A.  . B. 1. C. 2 . D. 3 . 3 Lời giải Chọn B 2 1 x  2 1
Chia cả tử và mẫu cho x , ta có lim  lim x   1.
x x  3 x 3 1 1 x
Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho f x 2 2
 sin x  cos x x . Khi
đó f ' x bằng
A.1 sin 2x . B. 1   2sin 2x . C. 1   sin . x cos x .
D. 1 2sin 2x . Lời giải Chọn B
Ta có f x 2 2
 sin x  cos x x   cos 2x x f ' x  2sin 2x 1. 2n 1
Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Tìm giới hạn I  lim . n 1 A. I  2 . B. I  0 . C. I  3 . D. I 1. Lời giải Chọn A 1 2  2n 1 I  lim  lim n  2. n 1 1 1 n 2 x 12x  35
Câu 3: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tính lim . x5 25  5x 2 2 A.  . B.  . C. . D.  . 5 5 Lời giải Chọn C 2 x 12x  35
x  7 x  5 x  7 2 Ta có lim  lim  lim  . x5 x5 25  5x 5   x  5 x5 5  5
Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n n n n  4   1   5   5   A.   . B.   . C.   . D.   .  e   3   3   3  Lời giải Chọn B Ta có lim n
q  0 nếu q  1 . n 4 5 5  1  1  Mặt khác  1;   1 ;  1. Vậy lim  0   . e 3 3 3  3  2 x  9
Câu 5: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tính lim bằng: x3 x  3 A. 3 . B. 6 . C.  . D. 3  . Lời giải Chọn B 2 x  9 Ta có: lim
 lim  x  3  6 . x3 x  3 x3
Câu 6: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai? A. lim n
q  0 | q |   1 .
B. lim u c ( u c là hằng số). n n 1 1 C. lim  0 k   1 . D. lim  0 . k n n Lời giải: Chọn A A sai vì lim n
q  0 khi q  1 .
Câu 7: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
A. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm x . 0 0
B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm trái tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
C. Nếu hàm số y f x có đạo hàm phải tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
D. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0 Lời giải Chọn D
Đáp án D đúng vì nó là một định lý trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11.
Câu 8: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f x liên tục trên
a;b. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên  ; a b là
A. lim f x  f a và lim f x  f b .
B. lim f x  f a và lim f x  f b . x a  x b  x a  x b 
C. lim f x  f a và lim f x  f b .
D. lim f x  f a và lim f x  f b . x a  x b  x a  x b  Lời giải Chọn C
Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn  ; a b . 2 x  5x  6
Câu 9: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Tính giới hạn I  lim . x2 x  2 A. I  1. B. I  0 . C. I  1. D. I  5 . Lời giải Chọn A 2 x  5x  6
x  2 x  3 I  lim  lim
 lim  x  3  1. x2 x  2 x2 x  2 x2 2 x  3x  5
Câu 10: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Tìm lim . x 4x 1 1 1 A.  . B. 1. C. 0 . D. . 4 4 Lời giải Chọn A 3 5 2  1  x  3x  5 2 x x 1 Ta có lim  lim   . x 4x 1 x 1 4 4  x
Câu 11: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Giả sử ta có lim f x  a và x
lim g x  b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x
A. lim  f x.g x  . a b   .
B. lim  f x  g x  a b   . x x f xa C. lim  .
D. lim  f x  g x  a b   .
x g xb x Lời giải Chọn C
Vì có thể b  0 .
Câu 12: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số f x xác định trên khoảng
K chứa a . Hàm số f x liên tục tại x a nếu
A. f x có giới hạn hữu hạn khi x a .
B. lim f x  lim f x   . x ax a  
C. lim f x  f a .
D. lim f x  lim f x  a . xa x ax a   Lời giải Chọn C
Cho hàm số f x xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f x liên tục tại x a nếu
lim f x  f a . xa 2  n
Câu 13: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giá trị của lim bằng n 1 A. 1. B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn C 2 1 2  n 0 1 Ta có: lim  lim n   1  . n 1 1 1 0 1 n
Câu 14: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giới hạn lim  2
x x  7 bằng ? x1 A. 5 . B. 9 . C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn B 2 Ta có lim  2
x x  7    1    1  7  9 . x1 2x 1
Câu 15: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn lim .
x x 1 1 A. . B. 1. C. 2 . D. 1  . 2 Lời giải Chọn C 1 2  2x 1 lim  lim x  2. x x 1 x 1 1 x x 1
Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) lim bằng
x 6x  2 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 2 6 3 Lời giải Chọn B 1 1 x 1 1  Ta có lim  lim x  .
x 6x  2 x 2 6 6  x x 1
Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) lim bằng
x 4x  3 1 1 A. . B. . C. 3 . D. 1. 3 4 Lời giải Chọn B 1 1 x 1 1 Ta có lim  lim x  .
x 4x  3 x 3 4 4  x 2
4n 1  n  2
Câu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) lim bằng 2n  3 3 A. . B. 2. C. 1. D.  . 2 Lời giải Chọn C 1 1 2 2 4   
4n 1  n  2 2 2 n n n 2  0 Ta có: lim  lim   1 . 2n  3 3 2 2  n 2n  3
Câu 4: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Tính I  lim . 2 2n  3n 1
A. I   . B. I  0 .
C. I   . D. I  1. Lời giải Chọn B  2 3 2  n  2 3    2n  3 2  n n  2 I  lim  lim  lim n n  0 . 2 2n  3n 1 3 1 2  3 1  n 2    2   2  2  n n n n
Câu 5: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của lim  2
2x  3x   1 bằng x 1  A. 2 . B. 1. C.  . D. 0 . Lời giải
Chọn D Ta có: lim  2
2x  3x   1  0 . x 1  x  2
Câu 6: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Giá trị của lim bằng x2 x A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B x  2  2  2 lim  lim 1  1  2   . x2 x2 xx  2
Câu 7: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho số phức z a bi a,b   và xét hai số phức     2 2 z z
và   2z.z i z z  . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A.  là số thực,  là số thực.
B.  là số ảo,  là số thực.
C.  là số thực,  là số ảo.
D.  là số ảo,  là số ảo. Lời giải Chọn A Ta có     2 2 z z   2 2
a b abi    2 2 2
a b  2abi   2 2
2 a b  , do đó  là số thực.
  2z.z i z z    2 2
2 a b   i 2bi   2 2
2 a b   2b , do đó  là số thực. 2 1 n
Câu 8: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) lim bằng 2 2n 1 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D.  . 2 3 2 Lời giải Chọn D 1 2 1 1 n 2 1 Ta có lim  lim n   . 2 2n 1 1 2 2  2 n x  3
Câu 9: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn L  lim x3 x  3
A. L   . B. L  0 .
C. L   . D. L  1. Lời giải Chọn B x  3 3  3 Ta có L  lim   0 . x3 x  3 3  3 4x 1
Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) lim bằng
x x 1 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 4  . Lời giải Chọn D 1 4  4x 1 lim  lim x  4  .
x x 1 x 1 1 x 1 2n
Câu 11: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) lim bằng 3n 1 2 1 2 A.  . B. . C. 1. D. . 3 3 3 Lời giải Chọn A 1  2 1 2n 2 Ta có lim  lim n   . 3n 1 1 3 3  n
Câu 12: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn  3 2
lim 2x x   1 x  A.   . B.   . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B  1 1  Ta có lim  3 2 2x x   3 1  lim x 2       . 2 3  x  x   x x  2x 1
Câu 13: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Tính L  lim . x x 1 1 A. L  2  . B. L  1 . C. L   . D. L  2 . 2 Lời giải Chọn D  1  x 2  1   2  2x 1  x 2  0 Ta có  L  lim  lim  lim x   2 . x x 1 x  1  x 1 1 0 x 1   1  x x
Câu 14: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây
không liên tục trên  ? x x
A. y x . B. y  .
C. y  sin x . D. y  . x 1 x 1 Lời giải Chọn B x
Tập xác định của hàm số y  là  \   1 . x 1
Hàm số liên tục trên từng khoảng   ;1 
và 1; nên hàm số không liên tục trên  . 3n  2
Câu 15: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm giới hạn I  lim . n  3 2 A. I   . B. I  1. C. I  3 . D. k   . 3 Lời giải Chọn C 2 3  3n  2 Ta có  lim  lim n I  3. n  3 3 1 n
Câu 16: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn 1
có số hạng đầu u  1 và công bội q   . 1 2 3 2 A. S  2 . B. S  . C. S  1. D. S  . 2 3 Lời giải Chọn D u 1 2 1 S    . 1 q 1 3 1 2 1 
Câu 17: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) lim bằng
x 2x  5 1 A. 0 . B.  . C.  . D.  . 2 Lời giải Chọn A 1  x
Câu 18: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) lim bằng
x 3x  2 1 1 1 1 A. . B. . C.  . D.  . 3 2 3 2 Lời giải
Chọn C 1 1 1 x 1 Ta có lim  lim x   .
x 3x  2 x 2 3 3  x 3x 1 Câu 19: lim bằng
x x  5 1 A. 3 . B. 3  . C.  . D. 5 . 5 3x 1
Câu 20: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) lim bằng
x x  5 1 A. 3 . B. 3  . C.  . D. 5 . 5 Lời giải Chọn A 1 3  3x 1 Ta có lim  lim x  3 .
x x  5 x 5 1 x 2 cx a
Câu 21: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn lim bằng? 2
x x b a b A. a . B. b . C. c . D. . c Lời giải Chọn C a 2 c  2 cx a c  0 Ta có lim  lim x   c . 2 x x x b  b 1 0 1 2 x
Câu 22: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Hàm số nào dưới đây gián
đoạn tại điểm x  1  . 0 2x 1 x x 1
A. y   x   2
1 x  2 . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 2 x 1 Lời giải Chọn B 2x 1 Ta có y
không xác định tại x  1
 nên gián đoạn tại x  1  . x 1 0 0 2x 1
Câu 23: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) lim bằng.
x 3  x 2 A. 2  . B. . C. 1. D. 2 . 3 Lời giải Chọn A 1 2  2x 1 Ta có: lim  lim x  2  .
x 3  x x 3 1 x x 1
Câu 24: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn lim bằng
x  x  22 2 3 A.  . B. . C. 0 . D.  . 16 Lời giải Chọn A x 1 1 Ta có: lim  lim . x 1   . 2 2  
x2  x  2
x2  x  2 1 Do lim
  và lim  x   1  1   0 .
x  x  22 2 x 2  4n  2018
Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Tính giới hạn lim . 2n 1 1 A. . B. 4 . C. 2 . D. 2018 . 2 Lời giải
Chọn C 2018 4  4n  2018 Ta có lim  lim n  2 . 2n 1 1 2  n
Câu 2: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của  5 3 lim 4
x  3x x   1 . x A. 0. B.  . C.  . D. 4  . Lời giải Chọn B  3 1 1  Ta có  5 3 lim 4
x  3x x   1 5  lim x 4         . x 2 4 5 x  x x x    3 1 1  lim 4      4   0   2 4 5  Vì x  x x x   . 5  lim x   x 3n  2
Câu 3: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) lim bằng. n  3 2 A.  . B. 1. C. 3 . D. 2  . 3
Hướng dẫn giải Chọn C 2 3  3n  2 Ta có: lim  lim n  3. n  3 3 1 n 3x  2
Câu 4: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tính giới hạn I  lim .
x 2x 1 3 3 A. I  2  . B. I   . C. I  2 . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn D 2 3  3x  2 3 Ta có  lim  lim x I  .
x 2x 1 x 1 2 2  x x
Câu 5: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) lim bằng. 2
x x 1 A.  . B. 1. C.  . D. 0 .
Hướng dẫn giải Chọn D 1 x Ta có: lim  lim x  0 . 2
x x 1 x 1 1 2 x 2  x
Câu 6: Tính lim .
x 3  x 2 2 A. 1. B. . C.  . D. 1. 3 3 Lời giải Chọn A 2 1 2  x lim  lim x  1  .
x 3  x x 3 1 x 2 2x  3x  2 Câu 7: lim bằng 2 x2 x  4 5 5 1 A. . B.  . C. . D. 2 . 4 4 4 2 2x  3x  2 Câu 8: lim bằng 2 x2 x  4 5 5 1 A. . B.  . C. . D. 2 . 4 4 4 Lời giải
Chọn A 2 2x  3x  2 2x   1  x  2 2x 1 5 Ta có lim  lim  lim  . 2 x2 x  4 x 2 
x  2 x  2 x 2  x  2 4 2x 1 Câu 9: lim bằng x x 1 A. 1. B. 1. C. 2 . D. 2  . 2x 1 Câu 10: lim bằng x x 1 A. 1. B. 1. C. 2 . D. 2  .
Hướng dẫn giải Chọn C 1 2  2x 1 lim  lim x  2 . x x 1 x 1 1 x 1 1 1
Câu 11: Tính tổng vô hạn sau: S  1   ...   ... . 2 2 2 2n 1 1 1 n A. 2n 1. B. 2 . . C. 4 . D. 2 . 2 1 1 2 2x 1
Câu 12: Tìm lim .
x x  2 1 A. 1. B.  . C. 2 . D.  . 2 1 1 1
Câu 13: Tính tổng vô hạn sau: S  1   ...   ... . 2 2 2 2n 1 1 1 n A. 2n 1. B. 2 . . C. 4 . D. 2 . 2 1 1 2 Lời giải Chọn D 1
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với u  1 ; q  . 1 2 u 1 Khi đó: 1 S    2 . 1 q 1 1 2 2x 1
Câu 14: Tìm lim .
x x  2 1 A. 1. B.  . C. 2 . D.  . 2 Lời giải Chọn C 1 2  2x 1 Ta có: lim  lim x  2 .
x x  2 x 2 1 x 5x  2 Câu 15: lim bằng:
x 2018x 1 5 A. . B. 2  . C. 5  . D.  . 2018 5x  2 Câu 16: lim bằng:
x 2018x 1 5 A. . B. 2  . C. 5  . D.  . 2018
Hướng dẫn giải Chọn A 2 5  5x  2 5 lim  lim x  .
x 2018x 1 x 1 2018 2018  x 2n 1 Câu 17: lim bằng
n n 1 A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2  . 2n 1 Câu 18: lim bằng
n n 1 A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2  . Lời giải Chọn B 1 2  2n 1 Ta có: lim  lim n  2.
n n 1 n 1 1 n 3n  2
Câu 19: Tìm I  lim . n  1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  3 . D. I  2 . 3n  2
Câu 20: Tìm I  lim . n  1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  3 . D. I  2 . Lời giải Chọn C  2  n 3  2   3  3n  2  n I  lim  lim  lim n  3 . n  1  1  1 n 1    1   n n
Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2  n 3  3 A. lim   . B. lim  2  n   1   . C. lim   . D. lim  . n 2 3n 2  n 1 2
Câu 22: Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2  n 3  3 A. lim   . B. lim  2  n   1   . C. lim   . D. lim  . n 2 3n 2  n 1 2
Hướng dẫn giải Chọn B  1  Ta có: lim  2  n   1  lim n 2       .  n x  2 Câu 23: lim bằng 2
x x 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 2  . x  2 Câu 24: lim bằng 2
x x 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 2  . Lời giải Chọn A 1 2  x  2 2 lim  lim x x  0 2
x x 1 x 1 1 2 x x  2
Câu 25: Tính M  lim .
x 2x  3 2 1 A. M   . B. M  0 .
C. M   . D. M  . 3 2 x  2
Câu 26: Tính M  lim .
x 2x  3 2 1 A. M   . B. M  0 .
C. M   . D. M  . 3 2 Lời giải Chọn D 2 1 x  2 1 Ta có: M  lim  lim x  .
x 2x  3 x 3 2 2  x 3n 1 Câu 27: lim  a n  2 1 3
A. a  1. B. a  
C. a  3 . D. a   . 2 2 3n 1 Câu 28: lim  a n  2 1 3
A. a  1. B. a  
C. a  3 . D. a   . 2 2 Lời giải Chọn C 1 3  3n 1 lim  lim
n  3  a  3 . n  2 n 1 2 2 2n  3 lim 2 Câu 29: n  1 bằng 3 A. . B. 2 . C. 1. D. 3 . 2 2 2n  3 Câu 30: lim bằng 2 n  1 3 A. . B. 2 . C. 1. D. 3 . 2 Lời giải Chọn B 3 2 2  2 2n  3 Ta có: lim  lim n  2 . 2 n  1 1 1  2 n
Câu 31: Cho số phức z a bi a,b   tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz .
B. Mô đun của z là một số thực dương. 2 C. 2 z z .
D. Điểm M  ;
a b là điểm biểu diễn của z .
Câu 32: Cho số phức z a bi a,b   tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz .
B. Mô đun của z là một số thực dương. 2 C. 2 z z .
D. Điểm M  ;
a b là điểm biểu diễn của z . Lời giải Chọn A Ta có:
iz ai b a bi z . Do đó số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz . 2 2 z
a b  0 , z
 . Do đó mô đun của z là một số thực dương là sai. 2 2    2 2 z a bi 2 2
a b z . Do đó 2
z z là sai.
Điểm biểu diễn của z là M  ; a b
  . Do đó điểm M  ;
a b là điểm biểu diễn của z là sai. 1 n Câu 33: lim bằng 2 1 3n 1 1 A. 1. B. 0 . C.  . D. . 3 3 1 n Câu 34: lim bằng 2 1 3n 1 1 A. 1. B. 0 . C.  . D. . 3 3 Lời giải Chọn B 1 1  2 1 n Ta có lim  lim n n  0 . 2 1 3n 1 3 2 n Câu 35:  3 2
lim x  3x  2018 bằng x A.  . B.  . C. 1. D. 0 . Câu 36:  3 2
lim x  3x  2018 bằng x A.  . B.  . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn A  3 2018  Ta có:  3 2
lim x  3x  2018 3  lim x 1      x 3 x  x x   3 2018  Do 3
lim x   và lim 1   1  0   . x 3 x  x x
lim f x  2  1   lim f x
Câu 37: Cho x . Tính x .
A. lim f x  3 .
B. lim f x  3  .
C. lim f x  1  .
D. lim f x  1. x x x x
lim  f x  2  1   lim f x
Câu 38: Cho x . Tính x .
A. lim f x  3 .
B. lim f x  3  .
C. lim f x  1  .
D. lim f x  1. x x x x Lời giải
Chọn C
Ta có lim  f x  2  1  
 lim f x  1 2  1  . x x 2 x  2x 1
Câu 39: Tính giới hạn lim . 3 x1 2x  2 1 A.  . B. 0 . C.  . D. . 2 2 x  2x 1
Câu 40: Tính giới hạn lim . 3 x1 2x  2 1 A.  . B. 0 . C.  . D. . 2
Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 x  2x 1  x   1 x 1 Ta có lim  lim  lim  0 . 3 x1 2x  2
x 2  x   1  2 1 x x   1 x 2  2 1 x x   1 axe 1 khi x  0   x
Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hàm số f x   . Tìm giá trị 1  khi x  0   2
của a để hàm số liên tục tại x  0 . 0 1 1 A. a  1 . B. a  . C. a  1  . D. a   . 2 2 Lời giải Chọn B
Tập xác định: D   . ax e 1 ax e 1
lim f x  lim  lim .a a . x0 x0 x0 x ax 1 1 f 0 
; hàm số liên tục tại x  0 khi và chỉ khi: lim f x  f 0  a  . 2 0 x0 2 2 3  x khi x  1  
Câu 2: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hàm số f x 2   . Khẳng định 1  khi x  1   x
nào dưới đây là sai?
A. Hàm số f x liên tục tại x  1 .
B. Hàm số f x có đạo hàm tại x  1.
C. Hàm số f x liên tục tại x  1 và hàm số f x cũng có đạo hàm tại x  1.
D. Hàm số f x không có đạo hàm tại x  1 . Lời giải Chọn D 2 3  x 1
lim f x  lim
 1 và lim f x  lim
 1. Do đó, hàm số f x liên tục tại x  1. x 1 x 1   2 x 1 x 1   x
f x  f   2 1 1 x 1 x lim  lim  lim  1  và x 1 x 1 x 1  2  x   x 1 1     2
f x  f   1 1 x 1  lim  lim  lim  1
 . Do đó, hàm số f x có đạo hàm tại x  1. x 1 x 1 x 1
x x   x 1 1     x 2
x x  2  khi x  1
Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f x   x 1 . 3  m khi x 1 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x  1. A. m  2. B. m  1. C. m  2. D. m  3. Lời giải Chọn B
Tập xác định của hàm số là .  2 x x  2
Hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f x  f   1  lim  3m x 1  x 1  x 1  x   1  x  2  lim
 3m  lim x  2  3m  3  3m m  1. x 1  x 1 x 1  2  3x 1   1
Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho I  lim và x0 x 2 x x  2 J  lim
. Tính I J . x 1  x 1 A. 6. B. 3. C. 6 . D. 0. Lời giải Chọn A Ta có 2 3x 1   1 6x 6 I  lim  lim  lim  3 . x0 x0 x
x  3x 1   x0 1 3x 1 1 2 x x  2  x   1  x  2 J  lim  lim
 lim  x  2  3  . x1 x1 x 1 x 1 x 1 
Khi đó I J  6 . Câu 5: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Tính giới hạn  1 1 1 1  lim     ...   . 1.2 2.3 3.4 n n   1   3 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. . 2 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có:    ...       1      1 . 1.2 2.3 3.4 n n   1 1 2 2 3 n 1 n n n 1 n 1  1 1 1 1   1  Vậy lim     ...    lim 1  1   . 1.2 2.3 3.4 n n   1    n 1  3  x a 1 khi x  0 
Câu 6: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f x   1 2x 1 . khi x  0   x
Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên  . A. a  1 . B. a  3. C. a  2 . D. a  4 . Lời giải Chọn C
Tập xác định D   .
Ta có: Hàm số liên tục trên các khoảng  ;
 0 và 0;  .
lim f x  lim 3x a   1  a 1. x 0 x 0   1 2x 1 2
lim f x  lim  lim  1. x 0 x 0 x 0 x     1 2x 1
f 0  a 1.
Hàm số liên tục trên   Hàm số liên tục tại điểm x  0  a 1  1  a  2. 1 3x
Câu 7: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của lim . x 2 2x  3 3 2 2 3 2 2 A.  . B.  . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải
Chọn C  1  1 x  3    3 1 3xx  3 3 2 Ta có: lim  lim  lim x   . x 2 2x  3 x 3 x 3 2 2 x 2  2  2 2 x x 1 3x
Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của lim . x 2 2x  3 3 2 2 3 2 2 A.  . B.  . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải
Chọn C  1  1 x  3    3 1 3xx  3 3 2 Ta có: lim  lim  lim x   . x 2 2x  3 x 3 x 3 2 2 x 2  2  2 2 x x
Câu 9: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số 2  x  4  khi x  2
f x   x  2
. Tìm m để hàm số liên tục tại x  2 . 0 2
m  3m khi x  2 
A. m  0 hoặc m  1.
B. m  1 hoặc m  4 .
C. m  4 hoặc m  1.
D. m  0 hoặc m  4 . Lời giải Chọn B
Tập xác định D   . 2 x  4
Ta có lim f x  lim
 lim  x  2  2  2  4 . x2 x2 x  2 x2
Hàm số đã cho liên tục tại x  2 khi và chỉ khi lim f x  f 2 0 x2 m  1 2
 4  m  3m 2
m  3m  4  0   . m  4   x  3  2
Câu 10: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Tìm lim . x 1  x 1 2 1 5 A. 1. B. . C. . D. . 3 4 4 Lời giải
Chọn C x  3  2
x 3  2 x 3  2 Ta có lim  lim x 1  x 1 x 1   x   1  x  3  2 x  3  4 1 1 1  lim  lim   . x 1   x   1  x  3  2 x 1
  x  3  2 1 3  2 4 Câu 11:
(THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
x x  2 khi x  2  2 x  4   f x 2
 x ax  3b khi x  2 liên tục tại x  2 . Tính I a b ?
2a b  6 khi x  2    19 93 19 173 A. I  . B. I   . C. I  . D. I   . 30 16 32 16 Lời giải Chọn C
Để hàm f x liên tục tại x  2 cần có lim f x  lim f x  f 2 x 2 x 2   2
x x  2  x x  2 x 1 3 Ta có: lim    lim  lim  .  2 x 2   x 2 x  4   
x  2 x  2x x  2 x 2   
x  2x x  2 16 lim           2 x
ax 3b lim  2 x
ax 3b 2a 3b 4 x2 x2
f 2  2a b  6  3
2a b  6   179   16 a  19
Suy ra ta được hệ phương trình:   
32  a b  . 3 32
2a  3b  4  b   5    16 Câu 12:
(THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Tìm a để hàm số
 2x 1  x  5 khi x  4    f xx 4  
liên tục trên tập xác định.
a  2 x khi x  4   4 5 11
A. a  3. B. a  . C. a  2 . D. a   . 2 6 Lời giải
Chọn D * TXĐ: D   .
NX: Hàm số f x liên tục trên các khoảng  ;
 4 và 4;  
Do đó, để hàm số liên tục trên  ta cần tìm a để hàm số liên tục tại x  4
ĐK: lim f x  lim f x  f 4 x 4 x 4  
 2x 1 x 5 2x 1 x 5 1 1
lim f x  lim  lim  x 4 x 4
x  4 2x 1  x  5 x 4   
2x 1  x  5 6 a  2 x
lim f x  lim
a  2  f 4 x 4  x 4  4 1 11 Cần có: a  2   a   . 6 6 2 2
x x  4x 1
Câu 13: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị giới hạn lim bằng: x 2x  3 1 1 A.  . B.  . C.  . D. . 2 2 Lời giải
Chọn D Ta có 1 1 1 1 2 2 x 1  x 4  x 1  x 4  2 2
x x  4x 1 x x x x lim  lim  lim x 2x  3 x  3 x   3  x 2  x 2       x   x  1 1  1  4  2 x x  1 0  4  0 1  lim   x 3 2  0 2 2  x
Câu 14: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? 1 1 n 1 sin n A. . B. . C. . D. . n n n n Lời giải Chọn C n 1 1 Có lim  lim1 lim  1 . n n
Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho bốn hàm số f x x 1 ; f x x ; 2   1   2  x 1  khi x  1 f
x  tan x ; f x
. Hỏi trong bốn hàm số trên có bao nhiêu hàm số 4   3    x 1 2 khi x 1  liên tục trên  ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải
Chọn B + Hàm số f x x 1 và f
x  tan x không có tập xác định là  nên hàm số không liên 3   1   tục trên  . + Hàm số f
x x liên tục trên  . 2   2  x 1  khi x  1 + Hàm số f x
có tập xác định là  và hàm số liên tục trên các khoảng 4    x 1 2 khi x 1   ;  
1 và 1;  . Ta cần xét tính liên tục của hàm số y f x tại x  1. 4   2 x 1
Ta có f 1  2 và lim f x  lim  lim  x  
1  2  f 1 nên hàm số liên tục tại 4   4   4   x 1  x 1  x 1 x 1 
x  1 . Do đó, hàm số y f
x liên tục trên  . Vậy trong bốn hàm số trên có 2 hàm số liên 4   tục trên  .
2x m khi x  0 
Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f x   1 4x 1 . khi x  0   x
Tìm tất cả các giá trị của m để tồn tại giới hạn lim f x . x0 A. m  2 . B. m  1. C. m  3 . D. m  1. Lời giải Chọn A
Ta có lim f x  lim 2x m  m x 0 x 0   1 4x 1 4
lim f x  lim  lim  2 x 0 x 0 x 0    x 1 4x 1
Tồn tại giới hạn lim f x khi và chỉ khi lim f x  lim f x  m  2 . x0 x 0 x 0  
Câu 17: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m 2  x  2x  khi x  2
để hàm số f x   x  2
liên tục tại x  2. mx  4 khi x  2  A. m  1.
B. Không tồn tại m . C. m  3 . D. m  2  . Lời giải Chọn C 2 x  2x
Ta có: f 2  2m  4 ; lim mx  4  2m  4 ; lim  lim x  2 . x 2  x 2 x 2 x  2   
Để hàm số liên tục tại x  2  lim f x  lim f x  f 2  2m  4  2  m  3 . x 2 x 2   2 a x 1  2017 1
Câu 18: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho lim  ; x x  2018 2  2 lim
x bx 1  x  . Tính P  4a b .   2 x A. P  3 . B. P  1  . C. P  2 . D. P  1 . Lời giải Chọn C  1 2017  x 1 2017  a 1   2 2 a 1  a x 1  2017 x x 2 x x Ta có:   lim  lim  lim  a . x x  2018 x  2018  x 2018 x 1   1  xx 1 1 Nên a   a   . 2 2
 2x bx1 x 2x bx1 x Ta có:     lim   2 lim x bx 1 x xx 2
x bx 1  x  1  x b  1   b bx 1  x b  lim  lim  lim x  . x  b 1  x  b 1  x b 1 2 x  1  1 x  1  1 1  1 2  x x 2 2   x x   x x b Nên  2  b  4 . 2  1  Vậy P  4   4  2   .  2  2  x 1  khi x  1
Câu 19: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Hàm số f x   x 1 liên tục a khi x  1 
tại điểm x  1 thì a bằng? 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 1  . Lời giải Chọn C
Tập xác định: D   . 2 x 1
lim f x  lim  lim  x   1  2 ; f   1  a . x 1  x 1  x 1 x 1 
Để hàm số liện tục tại x  1 thì lim f x  f   1  a  2 . 0 x 1  n
Câu 20: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Giới hạn lim có kết quả là: 2 2n  3 A. 2 . B. 0 . C.  . D. 4 . Lời giải Chọn B 1 3 n n 0 lim  lim   0. 2 2n  3 3 2  0 2  2 n x  2
Câu 21: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của I  lim bằng 2
x 2 x  2 1 A. 2 . B. . C. 1. D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn B x  2 x  2 1 1  I  lim  lim  lim  . 2 x 2 x 2 x  2
x  2x  2 x 2 x  2 2 2
Câu 22: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho đường cong 3 2
y x  3x  3x 1
có đồ thị C  . Phương trình tiếp tuyến của C  tại giao điểm của C  với trục tung là:
A. y  8x 1 .
B. y  3x 1 .
C. y  3x 1 . D. y  8  x 1. Lời giải Chọn C x  0
Tọa độ giao điểm là M 0;  0 1  
nên phương trình tiếp tuyến là: y  1  0
 : y f  x . x x y   : y  3x 1 0   0  0   Câu 23: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số 3 2
x  4x  3 khi x  1  f x  x 1  
. Xác định a để hàm số liên tục trên  . 5 ax  khi x  1   2 5 5 15 15 A. a   . B. a  . C. a  . D. a   . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 3 2 x  4x  3
Với x  1, ta có f x 
liên tục trên tập xác định. x 1 x x  2 3 2
x  3x  3 x     1 4 3 lim  lim  5 . x 1  x 1 x 1  x 1 5 f   1  a  . 2
Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục tại x  1 . Điều này xảy ra khi 5 15
lim f x  f   1  a   5   a   . x 1  2 2 x
Câu 24: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Xác định lim . 2 x0 x A. 0 . B.  . C. Không tồn tại. D.  . Lời giải Chọn C x x 1 Ta có lim  lim  lim   .  2  2 x 0 x 0 x 0    x x x xx 1  lim  lim  lim   .  2  2 x 0 x 0 x 0    x x x x Vậy không tồn tại lim . 2 x0 x
Câu 25: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho 
2 x m khi x  0
hàm số f x  
liên tục trên  . mx  2 khi x  0  A. m  2 . B. m  2 . C. m  2  . D. m  0 . Lời giải
Chọn C
Trên khoảng 0;  hàm số f x  2 x m là hàm số liên tục. Trên khoảng  ;
 0 hàm số f x  mx  2 là hàm số liên tục.
Ta có lim f x  lim
x m  m f
và lim f x  lim mx  2  2 .    2  0 x0 x0 x 0 x 0  
Hàm số f x liên tục trên  khi và chỉ khi
lim f x  lim f x  f 0  m  2  m  2 . x 0 x 0  
Câu 26: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
 2  x  3 khi x 1  2 
y f xx 1  
. Tính lim f x . 1   x 1  khi x  1  8 1 1 A. . B.  . C. 0 . D.  . 8 8 Lời giải Chọn B Ta có 2  x  3 4  x  3 1 
lim f x  lim  lim  lim   .   2 x 1 x 1 x 1 x 1   x   1  x  
1 2  x  3 x 1      x   1 2  x  3 2
x 1 khi x  1
Câu 27: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Hàm số f x   liên
x m khi x  1 
tục tại điểm x  1 khi m nhận giá trị 0 A. m  1. B. m  2 .
C. m bất kỳ. D. m  1. Lời giải Chọn D
Ta có lim f x  lim  2 x   ; f  
1  0 ; lim f x  lim  x m  m 1    1 0 x 1  x 1  x 1 x 1  
Hàm số liên tục tại x  1  lim f x  lim f x  f  
1  m 1  0  m  1  . 0 x 1 x 1   2n 1
Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Tính lim được kết quả là 1 n 1 A. 2 . B. 0 . C. . D. 1. 2 Lời giải
Chọn A  1  1 n 2    2  2n 1  n  2  0 Ta có lim  lim  lim n   2 . 1 n  1  1 0 1 n 1 1    n n
Câu 2: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
 2x 1  x  5  khi x  4
f x   x  4
. Tìm tất cả giá trị thực của tham số a để hàm số liên a  2 khi x  4  tục tại x  4 . 0 5 11 A. a  . B. a  2 . C. a   . D. a  3 . 2 6 Lời giải Chọn C
Hàm số liên tục tại x  4 khi f 4  lim f x . x4
Ta có f 4  a  2 ;
2x 1  x  5
2x 1 x  5 1 1
lim f x  lim  lim  lim  x4 x4 x4 x  4
x  4 2x 1  x  5 x4 2x 1  x  5 6 1 11
Suy ra f 4  lim f x  a  2   a   . x4 6 6
Câu 3: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Giới hạn nào dưới đây có kết quả 1 là ? 2 x A.
x   x . B. x   .   2 lim x 1 x xx  2 lim 1  2 x C.
x   x . D. x   .   2 lim x 1 x xx  2 lim 1  2 Lời giải Chọn D x x x Xét: lim x x   x    . x  2 1  lim lim lim x 2 x 1 xx  1 x 1 x 1  x x 1  x 2 2 x x 1 1  lim  . x 1 2 1 1 2 x 2 2x  6
Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tính lim
a b ( a , b x 3 x  3
nguyên). Khi đó giá trị của P a b bằng A. 7 . B. 10 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A 2 x   2 2 x  3 2 6  Ta có lim  lim
 lim 2 x  3  4 3 . x 3 x 3 x 3 x  3 x  3
Suy ra a  4 , b  3 . Vậy P a b  7 . 2
x  3x  2 khi x  1
Câu 5: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Để hàm số y   liên 4x a khi x  1  
tục tại điểm x  1
 thì giá trị của a là A. 4 . B. 1. C. 1. D. 4  . Lời giải Chọn A
Hàm số xác định trên  . Ta có f   1  0 .
lim f x  lim  
 và lim f x  lim 4x a  a  4 .    2 x 3x 2 0   x  1 x     1 x  1 x  1
Hàm số đã cho liên tục tại x  1
 khi và chỉ khi lim f x  lim f x  f   1   x  1 x  1
a  4  0  a  4 . 3  x 1 khi x  1
Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số y   , m là x m khi x  1 
tham số. Tìm m để hàm số liên tục trên  . A. m  5 . B. m  1. C. m  3 . D. m  3  . Lời giải Chọn B
Ta có hàm số liên tục trên các khoảng  ;    1 và 1;   .
Xét tính liên tục của hàm số tại x  1  . Có y   1  2
  lim y và lim y  1 m . x 1  x 1 
Để hàm số liên tục trên  thì y  
1  lim y  lim y  2   1
  m m  1  . x 1 x 1   2  x 16  khi x  4
Câu 7: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Tìm m để hàm số f x   x  4 liên tục tại mx 1 khi x  4  điểm x  4 . 7 7 A. m  8 . B. m  8 . C. m   . D. m  . 4 4 Lời giải Chọn D 2 x 16
Ta có: lim f x  lim
 lim  x  4  8 . x 4 x 4 x 4 x  4    
Và: lim f x  lim mx  
1  4m 1  f 4 . x 4 x 4  
Hàm số f x liên tục tại điểm x  4 nếu lim f x  lim f x  f 4 . x 4 x 4   7
 4m 1  8  m  . 4 2n  2017
Câu 8: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Tính giới hạn I  lim . 3n  2018 2 3 2017 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  1. 3 2 2018 Lời giải Chọn A 2017 2  2n  2017 2 Ta có I  lim  lim n  . 3n  2018 2018 3 3  n
Câu 9: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác
với các giới hạn còn lại? 3n 1 2n 1 4n 1 n 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 3n 1 2n 1 3n 1 n 1 Lời giải Chọn C Ta có 1 1 3  2  3n 1 3 1 2n 1 2 1 lim  lim
n  1 vì lim  0 ; lim  lim
n  1 vì lim  0 3n 1 1 3 n 2n 1 1 2 n 3  2  n n 1 1 4  1 4n 1 4 1 n 1 1 lim  lim
n  vì lim  0 ; lim  lim n 1 vì lim  0 . 3n 1 1 3 n n 1 1 n 3  1 n n x  2  2
Câu 10: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Giới hạn lim x2 x  2 bằng 1 1 A. . B. . C. 0 . D. 1. 2 4 Lời giải Chọn B x  2  2 x  2 1 1 lim  lim  lim  . x2 x  2
x2  x  2 x  2  2 x2 x  2  2 4
Câu 11: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của 2
x x  2  khi x  2
m để hàm số f x   x  2
liên tục tại x  2 . 2 m khi x  2  A. m  3 .
B. m  1.
C. m   3 . D. m  1.
Hướng dẫn giải Chọn C 2 x x  2
Hàm số f x liên tục tại  lim f x  f 2 2  lim  m 2
 3  m m   3 . x2 x2 x  2
Câu 12: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số 2  x mx khi x  1 
f x   x  3  2
.Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại x  1 .  khi x  1  x  1 1 3  A. . B. . C. 0 . D. 2 . 3 4 Lời giải Chọn B Nhận xét: f   1  1  m .
lim f x  lim    .    2 x mx 1 m x 1  x 1  x  3  2 x  3  4 1 1
lim f x  lim  lim  lim  . x 1 x 1 x 1 x  1   x  
1  x  3  2 x 1      x  3  2 4 1
Để hàm số đã cho liên tục tại x  1 thì lim f x  lim f x  f   1  m  1  x 1 x 1   4 3   m  . 4 1 2n
Câu 13: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Tính lim . 3n 1 2 1 A. 5  . B. 7 . C.  . D. . 3 3 Lời giải Chọn C 1  2 1 2n 2 lim  lim n   . 3n 1 1 3 3  n 5 3 8n  2n 1
Câu 14: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim . 5 2 4n  2n 1 A. 2 . B. 8 . C. 1. D. 4 . Lời giải
Chọn A  2 1 5  n 8   2 1 5 3   8   8n  2n 1 2 5  n n  2 5 8 Ta có lim  lim = lim n n   2 . 5 2 4n  2n 1  2 1 2 1 5  4 n 4    4   3 5  3 5  n n n n 2 3 7n  2n 1
Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I  lim . 3 2 3n  2n 1 7 2 A. . B.  . C. 0 . D. 1. 3 3
Hướng dẫn giải Chọn B 7 1 2 3  2  3 7n  2n 1 2 Ta có  lim  lim n n I   . 3 2 3n  2n 1 2 1 3 3   3 n n
Câu 16: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng 0  ;1 A. 2
2x  3x  4  0 .
B.x  5 7 1  x  2  0 . C. 4 2
3x  4x  5  0 . D. 2017 3x  8x  4  0 . Lời giải Chọn D
Xét hàm số f x 2017  3x  8x  4 .
Hàm số liên tục trên đoạn 0 
;1 và f 0. f   1  4.  1  4
  f 0. f   1  0 . Vậy phương trình 2017 3x
 8x  4  0 có nghiệm trong khoảng 0;  1 . 3  x  8  khi x  2
Câu 17: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hàm số f x   x  2 . Tìm m
2m 1 khi x  2 
để hàm số liên tục tại điểm x  2 . 0 3 13 11 1 A. m  . B. m  . C. m  . D. m   . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
f 2  2m 1. x   x  2 2 3 x  2x  4 8 
lim f x  lim  lim  lim  2
x  2x  4  12 . x2 x2 x2 x2 x  2 x  2 11
Hàm số liên tục tại x  2  f 2  lim f x  2m 1  12  m  . 0 x2 2 2 x  4
Câu 18: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Kết quả của giới hạn lim bằng x2 x  2 A. 0 . B. 4 . C. 4  . D. 2 . Lời giải Chọn B 2 x  4
x  2 x  2 Ta có: lim  lim
 lim  x  2  4 . x2 x2 x2 x  2 x  2
Câu 19: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho dãy số u  1; u u  2 , 1 n n 1 
n  , n   1 . Kết quả nào đúng ? A. u  9 . B. u  4 . C. u  2 . D. u  13 . 5 3 2 6 Lời giải Chọn A Ta có u u
 2  u u
 2 nên dãy u là một cấp số cộng với công sai d  2 . n n n 1  n n 1 
Nên theo công thức tổng quát của CSC u u n 1 d . n 1  
Do đó: u u  d  1 2  3 ; u u  2d  1 2.2  5 ; u u  4d  1 4.2  9 ; 2 1 3 1 5 1
u u  5d  1 5.2  11. 6 1 Vậy u  9 . 5 Câu 20: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số 2
 2x  7x  6  khi x  2 
y f xx  2  
. Biết a là giá trị để hàm số f x liên tục tại x  2 , tìm 0  1 x a  khi x  2   2  x 7
số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x ax   0 . 4 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Tại x  2 , ta có: 0 1
f 2  a  4  1 x  1
 lim f x  lim a   a    . x 2 x 2    2  x  4 2 2x  7x  6
x  22x  3
 lim f x  lim  lim x 2  x 2  x  2 x 2  x  2
  x  22x  3  lim
  lim 2x  3  1. x 2  x  2 x 2 
Để hàm số liên tục tại x  2 thì f 2  lim f x  lim f x 0 x 2 x 2   1 3  a   1  a   . 4 4 3 3 7 7 Với a   , xét bất phương trình 2 x x   0    x  1 4 4 4 4
Mà x   nên x  1  ;  0 .
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.
Câu 21: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f x xác định trên  ; a b .
Tìm mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số f x liên tục trên  ;
a b và f af b  0 thì phương trình f x  0 không
có nghiệm trong khoảng  ; a b .
B. Nếu f af b  0 thì phương trình f x  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a;b .
C. Nếu hàm số f x liên tục, tăng trên  ;
a b và f af b  0 thì phương trình f x  0
không có nghiệm trong khoảng a;b .
D. Nếu phương trình f x  0 có nghiệm trong khoảng  ;
a b thì hàm số f x phải liên tục trên  ; a b . Lời giải Chọn C
Vì f af b  0 nên f a và f b cùng dương hoặc cùng âm. Mà f x liên tục, tăng trên
a;b nên đồ thị hàm f x nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên  ;
a b hay phương trình
f x  0 không có nghiệm trong khoảng a;b .
Câu 22: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Số nào trong các số sau là bằng 2 x x  2 3 lim ? x3 x  3 3 3 7 3 7 3 A. . B.  . C. . D.  . 12 12 12 12 Lời giải Chọn C 2 x x  2 3 2 x x 12 Ta có lim  lim x3 x  3
x3  x  3 2x x  2 3
x  3 x  4 x  4 3  4 7 7 3 lim  lim    .
x3  x  3 2x x  2 3 x3 2x x  2 3 2 3  3  2 3 4 3 12 2 2 2 2 2
1  2  3  4  ...  n
Câu 23: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim có giá 3 n  2n  7 trị bằng ? 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 3 6 3 Lời giải Chọn D n n   1 2n   1
Ta có kết quả quen thuộc 2 2 2 2
1  2  3  ...  n  . 6  1   1  1 2  2 2 2 2 2    
1  2  3  4  ...  n n n   1 2n   1  n   n  1.2 1 Do đó lim  lim  lim   . 3 n  2n  7 6  3
n  2n  7  2 7  6 3 6 1   2 3   n n
(THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Tính 1  x
Câu 24: Giới hạn L  lim . x 1  2  x 1 A. L  6 . B. L  4 . C. L  2 . D. L  2 . Lời giải. Chọn C
1 x 2  x x   1 1 L  lim  lim
 lim  2  x   1  2 . x 1  x 1  x 1 2  x 1 x  1 
Câu 25: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho bốn hàm số f x 3
 2x  3x 1, 1 3x 1 f x  , f
x  cos x  3 và f
x  log x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập 4   3   2   x  2 3  ? A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D 3x 1
* Ta có hai hàm số f x  và f
x  log x có tập xác định không phải là tập  nên 4   2   x  2 3 không thỏa yêu cầu.
* Cả hai hàm số f x 3
 2x  3x 1 và f
x  cos x  3 đều có tập xác định là  đồng thời 3   1 liên tục trên  . 2
x 1 khi x  1
Câu 26: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Hàm số f x   liên tục
x m khi x  1 
tại điểm x  1 khi m nhận giá trị 0 A. m  2 . B. m  2 . C. m  1. D. m  1. Lời giải Chọn D
Ta có lim f x  lim  2 x
 ; lim f x  lim  x m  1 m . Để hàm số liên tục tại x  1    1 2 0 x 1  x 1  x 1 x 1  
thì lim f x  lim f x  2  m 1  m  1. x 1 x 1  
Câu 27: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho các giới hạn: lim f x  2 ; x 0 x
lim g x  3 , hỏi lim 3 f x  4g x   bằng x 0 x x 0 x A. 5 . B. 2 . C. 6  . D. 3 . Lời giải
Chọn C
Ta có lim 3 f x  4g x 
  lim 3 f x  lim 4g x  3 lim f x  4 lim g x  6  . xxx xx xx xx 0 x 0 0 0 0
ax b 1, khi x  0
Câu 28: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Hàm số f (x)   liên tục
a cos x b sin x, khi x  0  trên  khi và chỉ khi
A. a b  1.
B. a b  1.
C. a b  1
D. a b  1 Hướng dẫn giải Chọn A
Khi x  0 thì f x  a cos x b sin x liên tục với x  0 .
Khi x  0 thì f x  ax b 1 liên tục với mọi x  0 .
Tại x  0 ta có f 0  a .
lim f x  lim ax b   1  b 1. x 0  x 0 
lim f x  lim a cos x b sin x  a . x 0  x 0 
Để hàm số liên tục tại x  0 thì lim f x  lim f x  f 0  a b 1  a b  1. x 0  x 0  f (x)
Câu 29: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Biết lim f (x)  4 . Khi đó lim bằng: x 1 
x  x  4 1 1 A.  . B. 4 . C.  . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có: + lim f (x)  4  0 . x 1  + lim  x  4 1
 0 và với x  1  thì  x  4 1  0 . x 1  f (x) Suy ra lim   .
x  x  4 1 1
Câu 30: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho số thực a thỏa mãn 2
a 2x  3  2017 1 lim 
. Khi đó giá trị của a là x 2x  2018 2 2  2 1 1 A. a  . B. a  . C. a  . D. a   . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 3 2017 2 a 2  
a 2x  3  2017 1 2 x x 1 a 2 1 2 Ta có: lim   lim     a  . x 2x  2018 2 x 2018 2 2 2 2 2  x cos x
Câu 31: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Tìm giới hạn L  lim .   x 2 x  2  A. L  1. B. L  1 . C. L  0 . D. L  . 2 Lời giải Chọn B
Đặt: t x  . 2    cos t      2   sin t Khi x
thì t  0 . Vậy L  lim  lim  1  . 2 t 0 t0 t t
Câu 32: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giá trị của tham số a để hàm số  x  2  2  khi x  2
y f x   x  2
liên tục tại x  2 . a  2x khi x  2  1 15 A. . B. 1. C.  . D. 4 . 4 4 Lời giải Chọn C x  2  2 x  2 1 1
Ta có: lim f x  lim  lim  lim  . x2 x2 x2 x  2
x  2 x  2  2 x2 x  2  2 4 1 15
Hàm số liên tục tại x  2  lim f x  f 2  a  4   a   . x2 4 4 4x  1  1
Câu 33: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tính giới hạn K  lim . 2 x0 x  3x 2 2 4 A. K   . B. K  . C. K  . D. K  0 . 3 3 3 Lời giải
Chọn A 4x  1  1 4x 4 2 Ta có K  lim  lim  lim   . 2 x0 x  3x
x0 x x   3  4x 1   1
x0  x   3  4x 1   1 3 3  2x
Câu 34: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn lim . x 2  x  2 3 A.  . B. 2 . C.  . D. . 2 Lời giải
Chọn C 3  2x Xét lim
thấy: lim 3  2x  1, lim  x  2  0 và x  2  0 với mọi x  2  nên x 2  x  2 x 2  x 2  3  2x lim   . x 2  x  2
Câu 35: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai 3  A. lim
x x   x   . B.       .   2 lim x x 1 x 2 xx  2 1 2 2 3x  2 3x  2 C. lim   . D. lim   . x 1  x 1 x 1  x 1
Hướng dẫn giải Chọn C 2 2
x x 1 x  4x  4 
+ Với đáp án A ta có: lim
x x   x     x  2 1 2 lim x 2 
x x 1  x  2   3     x 3      3x  3    x   3   lim    lim   A đúng. x 2   
x x 1  x  2 x   1 1 2  2  x  1  1  2   x x x      2 2
x x 1 x  4x  4 
+ Với đáp án B ta có: lim
x x   x     x  2 1 2 lim x 2 
x x 1  x  2   3     x 3      3x  3    x    3   lim    lim  lim      B đúng. x 2   
x x 1  x  2 x   1 1 2  x  0   x  1  1  2   x x x     
+ Với đáp án C ta có lim  x  
1  0 , x 1  0 với mọi x  1
 và lim 3x  2  1   0 . x 1  x 1  3x  2 Vậy lim    C sai. x 1  x 1
+ Với đáp án D ta có lim  x  
1  0 , x 1  0 với mọi x  1
 và lim 3x  2  1  0 . x 1  x 1  3x  2 Vậy lim    D đúng. x 1  x 1 Câu 36:
(THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho dãy số u thỏa mãn n  *
u n  2018  n  2017, n
   . Khẳng định nào sau đây sai? n
A. Dãy số u là dãy tăng.
B. lim u  0 . n n n 1 u C. * 0  u  , n    . D. n 1 lim   1 . n 2 2018 n un Lời giải Chọn A 1
Ta có: u n  2018  n  2017  . n
n  2018  n  2017 u
n  2018  n  2017 Suy ra: n 1    1 với mọi * n   . u n   n n 2019 2018
Do đó, dãy số u giảm. n  Vậy Chọn A Chú ý: 1 + lim u  lim  0 . n n n
n  2018  n  2017 u
n  2018  n  2017 + n 1 lim   lim  1 . n n u  n   n n 2019 2018 1 1 1 + 0  u    . n
n  2018  n  2017 2 n  2017 2 2018
Câu 37: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 1 1 1 A. lim   . B. lim   . C. lim   . D. lim   .  5 x 0  x x 0  x x0 x x 0  x Lời giải Chọn B 1 Ta có: lim
  do lim x  0 và x  0 . Vậy đáp án A đúng. x 0  x x 0  Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A.
Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính      2 lim x 4x 2 x xA. 4  . B. 2 . C. 4 . D. 2 . Lời giải
Chọn B 2 2
x  4x  2  x     lim   2 lim x 4x 2 x x
x 2x 4x2x 2 4   4  x  2  lim  lim x  2  . x 2
x  4x  2  x x 4 2 1  1 2 x x
Câu 2: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm m để hàm số 2
x  4x  3  khi x  1 f (x)   x 1
liên tục tại điểm x  1  . mx  2 khi x  1   A. m  2 . B. m  0 . C. m  4 . D. m  4 . Lời giải Chọn B 2 x  4x  3  x   1  x  3
Ta có: lim f x  lim  lim
 lim  x  3  2 .     x  1 x  1 x 1 x  1 x 1 x     1 
lim f x  lim mx  2  m  2 .   x  1 x  1  f   1  m  2 .
Để hàm số đã cho liên tục tại điểm x  1  thì
lim f x  lim f x  f  
1  2  m  2  m  0 .   x  1 x  1 2x  3
Câu 3: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Tìm giới hạn lim .
x 1 3x 2 2 3 A. . B.  . C.  . D. 2 . 3 3 2 Lời giải Chọn B 3 2  2x  3 2 Ta có: lim  lim x   .
x 1  3x x 1 3  3 x
Câu 4: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tính In 2 2 lim n 2 n 1     .   3
A. I   . B. I  .
C. I  1, 499 . D. I  0 . 2 Lời giải Chọn B 3n Ta có: In 2 2 lim n 2 n 1      lim   2 2
n  2  n 1
Câu 5: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Giới hạn  3 2
lim 3x  5x  9 2x  2017 x bằng A.  . B. 3 . C. 3  . D.  . Lời giải Chọn A   1 1 1 3 2 
lim 3x  5x  9 2x  2017 3  lim x 3  5  9 2  2017     . x 2 3 x  x x x Câu 6: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số 3  x a 1 khi x  0 
f x   1 2x 1
. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại điểm khi x  0   x x  0 . A. a  1 . B. a  3. C. a  2 . D. a  4 . Lời giải Chọn C Ta có:
f 0  lim f x  lim 3x a   1  a 1. x 0  x 0  1 2x 1 2x 2
lim f x  lim  lim  lim  1. x 0 x 0   x x 0 
x  1 2x   1 x 0  1 2x 1
Hàm số liên tục tại x  0  f 0  lim f x  lim f x  a 1  1  a  2 . x 0 x 0   2 x  4x  4
Câu 7: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm lim . x2 x  2 A. Không tồn tại. B. 1. C. 1. D. 1. Lời giải Chọn A 2 x  4x  4  x  22 x  2 lim  lim  lim . x2 x  2 x2 x  2 x2 x  2 Xét: x  2 x  2  lim  lim  1 . x 2  x  2 x 2  x  2 x  2   x  2  lim  lim  1  . x 2  x  2 x 2  x  2 x  2 x  2 x  2 Ta có: lim  lim nên không tồn tại lim . x 2 x 2 x  2    x  2 x2 x  2 x  3  2
Câu 8: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) lim bằng x 1  x 1 1 1 A. . B.  . C. . D. 1. 4 2 Lời giải Chọn A x  3  2 x  3  4 1 1 Ta có: lim  lim  lim  . x 1  x 1 x 1   x  
1  x  3  2 x 1  x  3  2 4 4x  3
Câu 9: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tìm giới hạn lim x 1  x 1 A.  . B. 2 . C.  . D. 2  . Lời giải Chọn A 4x  3 Ta có lim
  vì lim 4x  3  1, lim  x  
1  0 , x 1  0 khi x 1  . x 1  x 1 x 1  x 1 
Câu 10: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn  n 1 n n 1 lim 16 4 16 3n T       . 1 1 1 A. T  0 . B. T  . C. T  . D. T  . 4 8 16 Lời giải Chọn C 4n  3n Ta có Tn 1 n n 1 lim 16 4 16      3   lim n 1  n n 1 16  4  16   3n n  3  1 4n  3n    4  1 1  lim  lim   .
16.16n  4n  16.16n  3n n n  1   3  4  4 8 16   16       4   4 
Câu 11: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho a , b là hai số thực sao cho hàm số 2
x ax b  khi x  1
f x   x 1
liên tục trên  . Tính a b . 2ax 1 khi x  1  A. 0 . B. 1. C. 5  . D. 7 . Lời giải Chọn D Ta có f   1  2a 1. 2
x ax b
Để hàm số liên tục trên  thì phải tồn tại lim f x  lim
và lim f x  f   1 . x 1  x 1  x 1 x 1  2
x ax b Để tồn tại lim thì  2
x ax b x  
1  1 a b  0  b  a 1. x 1  x 1 2
x ax bx  
1  x a   1
Khi đó lim f x  lim  lim
 lim  x a   1  a  2 . x 1  x 1  x 1  x 1 x 1 x 1 
Do đó để hàm số liên tục trên  thì lim f x  f   1 x 1 
 2a 1  a  2  a  3 . Suy ra b  4  .
Vậy a b  7 .
Câu 12: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm giới hạn I     .   2 lim x 4x 1 x xA. I  2  . B. I  4  . C. I  1. D. I  1. Lời giải Chọn A 4x 1
Cách 1: Ta có I      lim   2 lim x 4x 1 x x
x 2x 4x1x 1 4  4  lim x   2  . x 4 1 2   1  1 2 x x
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức 2
x  4x 1  x tại 10 x  10 : Vậy I      2  .   2 lim x 4x 1 x x
Câu 13: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm P để hàm số 2
x  4x  3  khi x  1 y   x 1 liên tục trên  . 6Px  3 khi x  1  5 1 1 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 6 2 6 3 Lời giải Chọn C
Hàm số y f x liên tục trên   y f x liên tục tại x  1
 lim f x  lim f x  f   1 x 1 x 1   2 x  4x  3
 lim f x  lim
 lim  x  3  2  x 1 x 1 x 1 x 1    
 lim f x  lim 6Px  3  6P  3 x 1 x 1    f   1  6P  3 1
Do đó lim f x  lim f x  f   1  6P  3  2   P  . x 1 x 1   6 3  4x
Câu 14: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) lim bằng
x  5x  2 5 5 4 4 A. . B.  . C.  . D. . 4 4 5 5 Lời giải Chọn C  3   3  x  4    4   3  4xx   x  4  lim  lim  lim  .
x  5x  2 x   2  x   2  5 x 5    5     x   x
Câu 15: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) lim  x 1  x  3 bằng x A. 0 . B. 2 . C.  . D.  . Lời giải Chọn A
x 1 x  3 4
lim  x 1  x  3  lim  lim  0 . x x x 1  x  3 x x 1  x  3 Câu 16:
(Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính giới 2 2
4x x 1  x x  3 hạn lim . x 3x  2 1 2 1 2 A.  . B. . C. . D.  . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 1 1 1 3 2 2 x 4    x 1 
4x x 1  x x  3 2 2 x x x x lim  lim x 3x  2 x 3x  2 1 1 1 3  4    1  2 2 x x x x 1  lim   . x 2 3 3  x
Câu 17: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số   x m khi x  0
f x  
. Tìm tất cả các giá trị của m để f x liên tục trên .  mx 1 khi x  0  A. m  1. B. m  0 . C. m  1. D. m  2  . Lời giải Chọn C
Hàm số f x liên tục trên   f x liên tục tại x  0 .
lim f x  lim 
  ; lim f x  lim mx  
1  1; f 0  m .    x mm x0 x0 x 0 x 0  
f x liên tục tại x  0  lim f x  lim f x  f 0  m  1  m  1  . x 0 x 0   2 x  3x  4
Câu 18: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Tính L  lim . x 1  x 1 A. L  5 . B. L  0 . C. L  3 . D. L  5 . Lời giải
Chọn D 2 x  3x  4  x   1  x  4 Ta có: L  lim  lim
 lim  x  4  5 . x 1  x 1  x 1 x 1 x 1  n  2
Câu 19: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Kết quả của lim bằng 3n 1 1 1 A. . B.  . C. 2 . D. 1. 3 3 Lời giải. Chọn A  2  2 n 1   1 n  2  n  1 Ta có lim  lim  lim n  . 3n 1  1  1 3 n 3  3     n n  2
x x x
Câu 20: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) lim bằng x x 1 A. 2  . B. 2 . C. 0 . D.  . Lời giải Chọn B 1 1 2 x x 1 1 1
x x x x x Ta có: lim  lim  lim  2 . x x 1 x x 1 x 1 1 x
Câu 21: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Nếu hàm số 2
x ax b khi x  5 
f x  x 17
khi  5  x  10 liên tục trên thì a b bằng
ax b 10 khi x 10  A. 1. B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A Với x  5  ta có   2
f x x ax b , là hàm đa thức nên liên tục trên  ;  5   .
Với 5  x  10 ta có f x  x  7 , là hàm đa thức nên liên tục trên 5;10 .
Với x  10 ta có f x  ax b 10 , là hàm đa thức nên liên tục trên 10;  .
Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại x  5 và x  10 . Ta có:
f 5  12 ; f 10  17 .
lim f x  lim  2
x ax b  5a b  25 .   x 5  x 5 
lim f x  lim  x  17  12 . x 5 x 5  
lim f x  lim  x 17  27 . x 10 x 10  
lim f x  lim ax b 10  10a b 10 . x 10 x 10  
Hàm số liên tục tại x  5 và x  10 khi 5
a b  25  12  5
a b  13  a  2     
a b  1 
10a b  10  27  10a b  17  b  3   x  2
Câu 22: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn lim bằng 2 x2 x  4 1 A. 2 . B. 4 . C. . D. 0 . 4 Lời giải
Chọn C . x  2 x  2 1 1 lim  lim  lim  . 2 x2 x2 x  4
x  2 x  2 x2 x  2 4
Câu 23: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Tìm giá trị của tham số m để  3x 1  2  khi x  1
hàm số f x   x 1
liên tục tại điểm x  1. 0 m khi x  1  3 1 A. m  3. B. m  1 . C. m  . D. m  . 4 2 Lời giải Chọn C 3x  1  2 2 3x  1  2 3 3 Ta có lim  lim  lim  . x 1  x 1 x 1   x   1  3x 1  2 x 1  3x  1  2 4 3 Với f  
1  m ta suy ra hàm số liện tục tại x 1 khi m  . 4
Câu 1: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tính giới 2 4x 1 hạn K  lim . x x 1 A. K  0 . B. K  1. C. K  2  . D. K  4 . Lời giải Chọn C 1 1 2 x 4   4  2 2 4x 1 x x Ta có: K  lim  lim  lim  2 . x x 1 x x 1 x 1 1 x
Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tìm tham số thực m để hàm số 2
x x 12  khi x  4 
y f x   x  4
liên tục tại điểm x  4  . 0
mx 1 khi x  4  A. m  4 . B. m  3 . C. m  2 . D. m  5 . Lời giải Chọn C
Tập xác định: D   . Ta có: 2 x x 12
x  3 x  4
+ lim f x  lim  lim
 lim  x  3  7  . x4 x4 x  4 x 4  x  4 x 4  + f  4
   4m 1.
Hàm số f x liên tục tại điểm x  4
 khi và chỉ khi lim f x  f  4
   4m 1  7 0 x 4   m  2 . 2 2x  5x  2
Câu 3: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) lim x2 x  2 bằng: 3 A. 1. B. 2 . C. . D. 3 . 2 Lời giải
Chọn D 2 2x  5x  2
x  22x   1 Ta có: lim  lim  lim 2x   1  3 . x2 x2 x2 x  2 x  2
Câu 4: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai 3 3x  2 A. lim
x x   x    . B. lim   . x  2 1 2 2 x 1  x 1 3x  2 C.       . D. lim   .   2 lim x x 1 x 2 xx 1  x 1
Hướng dẫn giải Chọn B Ta có:
x x 1  x  22 2 3x  3      lim  lim   2 lim x x 1 x 2 x
x 2x x1x2 x 2x x1x2 3 3  3  lim x  
 đáp án A đúng. x 1 1 2 2  1  1 2 x x x   lim
x x   x   x       . x  1 1 2 2 1 2 lim 1 1 2 x  x x x     1 1 2   1 1 2 
Do lim x   và lim  1  1
  2  0 nên lim x  1  1     x 2 x  x x x  2     x x x x   đáp án C đúng. 3x  2
Do lim 3x  2  1
  0 và x 1  0 với x  1  nên lim
   đáp án B sai. x 1  x 1  x 1 3x  2
Do lim 3x  2  1  0 và x 1  0 với x  1 nên lim
   đáp án D đúng. x 1  x 1  x 1 sin x 1
Câu 5: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Giới hạn lim bằng x x A.  . B. 1. C.  . D. 0 . Lời giải
Chọn D 1  1 sin x 1 11 sin x 1 2 Ta có:    0   . x x x x x 2 sin x 1 Mà lim  0 nên lim  0 . x x x x x  3
Câu 6: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Tính lim x 2 4x  1  2 1 1 3 A. . B. . C.  . D. 0 . 4 2 2 Lời giải Chọn B 3 1  x  3 x  3 1 Ta có: lim  lim  lim x  . x 2 4x  1  2 x 1 x 1 2 2 x 4   2 4   2 x 2 x x 2 5x  2x  3
Câu 7: Tính giới hạn lim . 2 x x 1 A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . 2 5x  2x  3
Câu 8: Tính giới hạn lim . 2 x x 1 A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A 2 3 2 5   5x  2x  3 2 Ta có: lim  lim x x  5 . 2 x x 1 x 1 1 2 x 3 2 2n n  4 1
Câu 9: Biết lim 
với a là tham số. Khi đó 2
a a bằng 3 an  2 2 A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . 3 2 2n n  4 1
Câu 10: Biết lim 
với a là tham số. Khi đó 2
a a bằng 3 an  2 2 A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . Lời giải Chọn A  1 4 3  3 2 n  2    3 2n n  4  n n 2 1 Ta có lim lim     . 3 an  2  2 3  a 2
n a  3   n
Suy ra a  4 . Khi đó 2 2
a a  4  4  12 . 2 x  3x  4 Câu 11: lim bằng. 2 x4 x  4x 5 5 A. 1. B. 1  . C. . D.  . 4 4 2 x  3x  4 Câu 12: lim bằng. 2 x4 x  4x 5 5 A. 1. B. 1  . C. . D.  . 4 4 Lời giải Chọn C 2 x  3x  4 x 1 5 Ta có: lim  lim  . 2 x4 x  4x x4 x 4 2  x 1  neáu x  1
Câu 13: Giá trị của m sao cho hàm số f x   x 1
liên tục tại điểm x  1 là 3
x m neáu x 1  A. 5  . B. 1. C. 1. D. 5 . 2  x 1  neáu x  1
Câu 14: Giá trị của m sao cho hàm số f x   x 1
liên tục tại điểm x  1 là 3
x m neáu x 1  A. 5  . B. 1. C. 1. D. 5 . Lời giải Chọn B 2 x 1 Ta có f  
1  3  m và lim f x  lim  lim x   1  2 . x 1  x 1  x 1 x 1 
Hàm số f x liên tục tại điểm x  1  lim f x  f  
1  3  m  2  m  1. x 1   x 1  khi x  1 
Câu 15: Giá trị của tham số a để hàm số f xx 1  
liên tục tại điểm x  1 là 1 ax khi x  1   2 1 1 A. . B. 1. C. 1. D.  . 2 2  x 1  khi x  1 
Câu 16: Giá trị của tham số a để hàm số f xx 1  
liên tục tại điểm x  1 là 1 ax khi x  1   2 1 1 A. . B. 1. C. 1. D.  . 2 2
Hướng dẫn giải Chọn C 1 f   1  a  2  1  1
lim f x  lim ax   a    . x 1 x 1    2  2 x 1 1 1
lim f x  lim  lim  . x 1 x 1 x 1 x 1     x 1 2 1 1
Hàm số liên tục tại x  1 khi f  
1  lim f x  lim f x  a    a  1. x 1 x 1   2 2
x  4  2 khi x  0  
Câu 17: Giá trị của tham số m sao cho hàm số   x f x  
liên tục tại x  0 là 5 2m x khi x  0   4 4 1 1 A. 3 . B. . C. . D. . 3 8 2 2 4x  7x 12 2
Câu 18: Cho biết lim 
. Giá trị của a bằng x a x 17 3 A. 3  . B. 3 . C. 6 . D. 6  .
x  4  2 khi x  0  
Câu 19: Giá trị của tham số m sao cho hàm số   x f x  
liên tục tại x  0 là 5 2m x khi x  0   4 4 1 1 A. 3 . B. . C. . D. . 3 8 2 Lời giải Chọn C x  4  2 x 1 1
Có lim f x  lim  lim  lim  . x 0 x 0   x x 0 
x x  4  2 x 0  x  4  2 4  5 
lim f x  lim 2m x  2m  
và f 0  2m . x 0  x 0   4  1 1
Hàm số liên tục tại x  0  lim f x  lim f x  f 0  2m   m  . x 0 x 0   4 8 2 4x  7x 12 2
Câu 20: Cho biết lim 
. Giá trị của a bằng x a x 17 3 A. 3  . B. 3 . C. 6 . D. 6  . Lời giải Chọn B 7 12 7 12 2 x 4   4   4x  7x 12 2 x x 2 x x 2 2 Ta có lim  lim  lim    a  3 x a x 17 x  17  x 17 a 3 x a    a   x x 2x 1
Câu 21: Giá trị của lim bằng x 2 x 1 1 A. 0 . B. 2  . C.  . D. 2 . 2x 1
Câu 22: Giá trị của lim bằng x 2 x 1 1 A. 0 . B. 2  . C.  . D. 2 . Lời giải Chọn B 1 2  2x 1 2x 1 Ta có: lim  lim  lim x  2  . x 2 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1  1  2 x 2 x x 3x  2 Câu 23: Cho lim
a là một số thực. Khi đó giá trị của 2 a bằng x x  3 A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 4 . 3x  2 Câu 24: Cho lim
a là một số thực. Khi đó giá trị của 2 a bằng x x  3 A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C  2  3    3x  2  x  lim  lim  3  a . Suy ra 2 a  3. x x  3 x  3  1    x   x 1 1 khi x  2  2 
Câu 25: Giá trị của a để hàm số f xx  3x  2  
liên tục tại x  2 . 2a 1  khi x  2   6 1 A. 2 . B. . C. 3 . D. 1. 2  x 1 1 khi x  2  2 
Câu 26: Giá trị của a để hàm số f xx  3x  2  
liên tục tại x  2 . 2a 1  khi x  2   6 1 A. 2 . B. . C. 3 . D. 1. 2 Lời giải
Chọn D 2a 1 Ta có: f 2  . 6 x 1 1 x  2 1 lim  lim  . 2 x2 x2 x  3x  2
x  2 x   1  x 1   1 2 2a 1 1
Hàm số liên tục tại x  2  lim f x  f 2    a  1. x2 6 2 2
x  5x  6  khi x  2 
Câu 27: Biết rằng hàm số f x   x  2
liên tục trên  và n là một số thực tùy ý.  mx n khi x  2  
Giá trị của m (tính theo n ) bằng n n 1 n 1 A. . B. . C. . D. 1. 2 2 2 2
x  5x  6  khi x  2 
Câu 28: Biết rằng hàm số f x   x  2
liên tục trên  và n là một số thực tùy ý.  mx n khi x  2  
Giá trị của m (tính theo n ) bằng n n 1 n 1 A. . B. . C. . D.1. 2 2 2 Lời giải Chọn C 2 x  5x  6
Ta có lim f x  lim
 lim  x  3  1  .    x 2   x2 x  2 x   2
lim f x  lim mx n  2  m n .   x2 x 2   f 2  2  m n .
Để hàm số liên tục tại x  2  thì n 1
lim f x  lim f x  f 2  2
m n  1  m  .   x2 x2 2
Câu 29: Hàm số nào trong các hàm số sau không liên tục trên khoảng 1;  1 ?
A. y  sin x .
B. y  cos x . sin x khi x  0
C. y  tan x .
D. f (x)   . cos x khi x  0 
Câu 30: Hàm số nào trong các hàm số sau không liên tục trên khoảng 1;  1 ?
A. y  sin x .
B. y  cos x . sin x khi x  0
C. y  tan x .
D. f (x)   . cos x khi x  0 
Hướng dẫn giải Chọn D
Các hàm số y  sin x , y  cos x và y  tan x đều xác định trên khoảng 1  ;1 nên chúng liên tục trên khoảng  1   ;1 . sin x khi x  0
Xét hàm số f (x)   cos x khi x  0 
Do f 0  sin 0  0  lim f x  lim cos x  1 nên hàm số f x gián đoạn tại x  0 . x 0 x 0   sin x khi x  0
Vậy f (x)  
không liên tục trên khoảng  1   ;1 . cos x khi x  0  Câu 31: Cho  2 lim
x ax  5  x  . Khi đó giá trị a là   5 x A. 6  . B. 10 . C. 10 . D. 6 . Câu 32: Cho  2 lim
x ax  5  x  . Khi đó giá trị a là   5 x A. 6  . B. 10 . C. 10 . D. 6 . Lời giải Chọn C  5  x a    ax  5  x      lim  lim   2 lim x ax 5 x x
x 2x ax5x x a 5 x 1   x 2 x x 5 a a  lim x   . Vậy a  10  . x a 5 2  1  1 2 x x 2  x 16  khi x  4
Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f x   x  4 liên tục trên mx 1 khi x  4   . 7 7
A. m  8 hoặc m   . B. m . 4 4 7 7
C. m   . D. m  8  hoặc m . 4 4 2  x 16  khi x  4
Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f x   x  4 liên tục trên mx 1 khi x  4   . 7 7
A. m  8 hoặc m   . B. m . 4 4 7 7
C. m   .
D. m  8 hoặc m . 4 4 Lời giải Chọn B 2 x 16 Trên các khoảng  ;
 4 và 4;   thì hàm số được xác định bởi biểu thức f x  . x  4
Do đó, nó liên tục trên các khoảng này.
Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục tại điểm x  4 . Ta có: 2 x 16
lim f x  lim
 lim  x  4  8 . x4 x4 x  4 x4
f 4  4m 1 . 7
 lim f x  f 4  4m 1  8  m  . x4 4 7
Vậy giá trị cần tìm của m là m  . 4 2  x  1  khi x  1
Câu 35: Cho hàm số f x   x 1
với m là tham số thực. Tìm m để hàm số liên tục tại tại m khi x  1  x  1. A. m  2 . B. m  1. C. m  2  . D. m  1  . 2  x  1  khi x  1
Câu 36: Cho hàm số f x   x 1
với m là tham số thực. Tìm m để hàm số liên tục tại tại m khi x  1  x  1. A. m  2 . B. m  1. C. m  2  . D. m  1  . Lời giải Chọn A
Tập xác định: D   , chứa x  1. Ta có f   1  m . 2 x 1
lim f x  lim  lim  x   1  2 . x 1  x 1  x 1 x 1 
Để hàm số liên tục tại tại x  1 thì f  
1  lim f x  m  2 . x 1 
Câu 37: Cho dãy số u xác định bởi u  2 , u
 2  u với mọi *
n . Tính lim u . n  1 n 1  n n A. 2 . B. 4 . C. 2 . D. 1.
Câu 38: Cho dãy số u xác định bởi u  2 , u  2  u với mọi *
n . Tính lim u . n  1 n 1  n n A. 2 . B. 4 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn A
Ta có u  2 , u  2  u  2 , u  2  u  2 ,..., u  2 với mọi *
n . Do đó lim u  2 . 1 2 1 3 2 n n 2x   1 (2  x)
Câu 39: Giá trị lim bằng 2 x x  3 2 A. 2  . B. 2 . C. 4 . D. . 3 2x   1 (2  x)
Câu 40: Giá trị lim bằng 2 x x  3 2 A. 2  . B. 2 . C. 4 . D. . 3 Lời giải Chọn A Ta có  1  2  2  1 2x   1 2  x      x  x  lim  lim  2 . 2 x x  3 x 3 1  2 x 3  x 1  khi x  1
Câu 41: Cho hàm số f x   x 1
. Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm x  1 0
2m 1 khi x  1  là: 1 A. m  2 . B. m  1. C. m  0 . D. m   . 2 3  x 1  khi x  1
Câu 42: Cho hàm số f x   x 1
. Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm x  1 0
2m 1 khi x  1  là: 1 A. m  2 . B. m  1. C. m  0 . D. m   . 2 Lời giải Chọn B 3 x 1  lim  lim  2 x x   1  3 . x 1  x 1 x 1   f   1  2m 1.
Hàm số liên tục tại điểm x  1  3  2m 1  m  1 . 0  x  2  2  khi x  2
Câu 43: Giá trị của tham số a để hàm số f x   x  2
liên tục tại x  2 a  2x khi x  2  1 15 A. . B. 1. C.  . D. 4 . 4 4  x  2  2  khi x  2
Câu 44: Giá trị của tham số a để hàm số f x   x  2
liên tục tại x  2 a  2x khi x  2  1 15 A. . B. 1. C.  . D. 4 . 4 4 Lời giải Chọn C
Ta có f 2  a  4 . x  2  2 x  2  4 1 1 lim  lim  lim  . x2 x  2
x2  x  2 x  2  2 x2  x  2  2 4 1 15
Để hàm số liên tục tại x  2 thì a  4   a   . 4 4
Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của m để
 1 x  1 x khi x  0   hàm số   x f x  
liên tục tại x  0 . 1 xm  khi x  0   1 x
A. m  1.
B. m  2 . C. m  1. D. m  0 . Lời giải Chọn B Ta có  1 x
lim f x  lim m   m 1   . x 0 x 0    1 x
 1 x  1 x  2  x 2 
lim f x  lim    lim  lim  1  . x 0 x 0    x      x0
x  1 x  1 x x0  1 x  1 x
f 0  m 1
Để hàm liên tục tại x  0 thì lim f x  lim f x  f 0  m 1  1  m  2  . x 0 x 0   1   cos x  khi x  0
Câu 2: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f x 2   x . 1  khi x  0 
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. f x có đạo hàm tại x  0 .
B. f  2   0 .
C. f x liên tục tại x  0 .
D. f x gián đoạn tại x  0 . Lời giải Chọn D
Hàm số xác định trên x 2 2sin 1 cos x 1
Ta có f 0  1 và f x 2 lim  lim  lim  2 2 x0 x0 x0 xx 2  4.   2 
Vì f 0  lim f x nên f x gián đoạn tại x  0 . Do đó f x không có đạo hàm tại x  0 . x0 1 cos x x
  0 f x 
 0 nên f  2   0.VậyA, B,C sai. 2 x Câu 3: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số  2x  8  2  khi x  2 
f x   x  2
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 0 khi x  2  
I lim f x  0 . x 2  
II f x liên tục tại x  2  .
III f x gián đoạn tại x  2  .
A. Chỉ  III  .
B. Chỉ  I  .
C. Chỉ  I  và  II  .
D. Chỉ  I  và  III  . Lời giải: Chọn C
Hàm số f x xác định trên nửa khoảng  2  ;  . 2x  8  2 2x  8  4 2 x  2
Ta có: lim f x  lim  lim  lim  0    x 2   x   2   x  2  x 2  
x  2  2x  8  4 x 2 2x  8  4
Khẳng định  I  đúng.
Ta có lim f x  f  2
   0 , theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên  x   2   tục tại x  2
 . Khẳng định  II  đúng, khẳng định  III  sai. Câu 4: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn:  1  1   1  lim 1 1 ... 1  . 2   2   2   2  3   n  1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 Lời giải
Chọn B  1  1   1 
Xét dãy số u , với u  1 1 ... 1
, n  2, n   . n n  2   2   2   2  3   n  Ta có: 1 3 2 1 u  1   ; 2 2 2 4 2.2  1   1  3 8 4 3 1 u  1 . 1  .   ; 3  2   2   2   3  4 9 6 2.3  1   1  1  3 8 15 5 4 1 u  1 . 1 1  . .   4  2   2   2   2   3  4  4 9 16 8 2.4  n 1 u  . n 2n n 1
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định u  , n   2 n 2n  1  1   1  n 1 1 Khi đó lim 1 1 ... 1  lim   . 2   2   2   2  3   n  2n 2  Câu 5: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho hàm số  2x  8  2  khi x  2 
f x   x  2
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 0 khi x  2  
I lim f x  0 . x 2  
II f x liên tục tại x  2  .
III f x gián đoạn tại x  2  .
A. Chỉ  III  .
B. Chỉ  I  .
C. Chỉ  I  và  II  .
D. Chỉ  I  và  III  . Lời giải: Chọn C
Hàm số f x xác định trên nửa khoảng  2  ;  . 2x  8  2 2x  8  4 2 x  2
Ta có: lim f x  lim  lim  lim  0    x 2   x   2   x  2  x 2  
x  2  2x  8  4 x 2 2x  8  4
Khẳng định  I  đúng.
Ta có lim f x  lim f x  f  2
   0 , theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì   x 2   x   2  
hàm số liên tục tại x  2
 . Khẳng định  II  đúng, khẳng định  III  sai. Câu 6:
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Tính giới hạn:  1  1   1  lim 1 1 ... 1  . 2   2   2   2  3   n  1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 Lời giải Chọn B Cách 1:  1  1   1 
Xét dãy số u , với u  1 1 ... 1
, n  2, n   . n n  2   2   2   2  3   n  Ta có: 1 3 2 1 u  1   ; 2 2 2 4 2.2  1   1  3 8 4 3 1 u  1 . 1  .   ; 3  2   2   2   3  4 9 6 2.3  1   1  1  3 8 15 5 4 1 u  1 . 1 1  . .   4  2   2   2   2   3  4  4 9 16 8 2.4  n 1 u  . n 2n n 1
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định u  , n   2 n 2n  1  1   1  n 1 1 Khi đó lim 1 1 ... 1  lim   . 2   2   2   2  3   n  2n 2  Cách 2: 2 2 1 2 1 1.3 u  1   2 2 2 2 2 2.2  1   1  1.3 2.4 1.23.4 u  1 . 1  .  3  2   2   2   3  2.2 3.3 2.32.3  1   1  1  13 2.4 3.5 1.2.33.4.5 u  1 . 1 1  . .  4  2   2   2   2   3  4  2.2 3.3 4.4 2.3.42.3.4 
1.2.3.4....n  
1 3.4......n   1  n 1 n 1 1 u   . Vậy lim u  lim  n
2.3.4........n2.3.4.....n 2n n 2n 2 2x x  3
Câu 7: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính I  lim ? 2 x 1  x 1 7 3 3 3 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 8 2 8 4 Lời giải Chọn A x x
2x x 32x x 3 2 3  2 4x x  3 I  lim  lim  lim 2 x 1  x 1 x 1   x   1  x  
1 2x x  3 x 1   x   1  x  
1 2x x  3  x   1 4x  3 4x  3 7  lim  lim  x 1   x   1  x  
1 2x x  3 x 1   x  
1 2x x  3 8
Câu 8: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số u nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n n  dần đến vô cùng? 2017  n2018 A. u  .
B. u n  2 2
n  2018  n  2016 . nn
n 2018  n2017 u   2017 1  1 1 1 1 C.  1 . D. u     ...  . n u
u 1 , n  1, 2,3...  1.2 2.3 3.4 n n   1 n 1   n   2 Lời giải Chọn A
Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án: 2017  n2018 2017
 2017  n  2017  n  
+) Đáp án A: lim u  lim  lim  . n   
n 2018  n2017 n   2018  n    2017  2017     1 2017       lim  1 n       1  .  n 2018  1      n     2 2
n n  2018  n  2016
+) Đáp án B: lim u  lim n n   n   n  2 2 2018 2016    lim 2 2
n  2018  n  2016 2n 2  lim  lim  1. 2 2
n  2018  n  2016 2018 2016 1  1 2 2 n n
+) Đáp án C: 1 1 1 Cách 1: Ta có u 1 
u 1  u 1  u    u n  1 ... 1 n 1   n 1   1  n 1   n  2 2 2 n 2016  1   u  1  u  4032. 1  lim u  1 . n n 1   2  n n  2  Cách 2:
Bước 1: Ta chứng minh u giảm và bị chặn dưới bởi 1. n
Thật vậy bằng quy nạp ta có u  2017  1. 1 1 1
Giả sử u  1  uu 1  11  1 n n 1   n    2 2 Vậy *
u  1n   . n 1 Hơn nữa uu  1 u
 0 nên u là dãy giảm n n 1  nn  2
Suy ra u có giới hạn lim u a n n 1 1 1 1 1
Bước 2: Ta có a  lim u  lim u  lim u 1  lim u   a n n 1   n  2 2 n 2 2 2  a  1.
+) Đáp án D: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Ta có u     ...   1    ...    1  n 1.2 2.3 3.4 n n   1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 n  lim u  lim  1 . n n 1
Câu 9: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Xác định giá trị thực k để hàm số 2016  xx  2  khi x  1
f x   2018x 1  x  2018
liên tục tại x  1 . k khi x  1  2017. 2018 20016 A. k  1.
B. k  2 2019. C. k  . D. k  2019. 2 2017 Lời giải
Chọn B xx   2016 2016 x
x  2 2018x 1  x  2018 2 
Ta có lim f x  lim  lim x 1  x 1  x 1
2018x 1  x  2018 
2018x 1 x  2018  x   1  2015 2014 xx
 ...  x  2 2018x 1  x  2018  lim x 1  2017  x   1  2015 2014 xx
 ...  x  2 2018x 1  x  2018  lim  2 2019 x 1  2017 Mà f   1  k
Suy ra hàm số liên tục tại x  1  k  2 2019 . 2
x ax b 1 
Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho lim  a,b   . 2   x 1  x 1 2 Tổng 2 2
S a b bằng A. S  13. B. S  9. C. S  4. D. S  1. Lời giải Chọn D
Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x  1 nên biểu thức tử nhận x  1 làm nghiệm, hay
1 a b  0 . 2
x ax 1 a 1   x  
1  x 1 a 1
Áp dụng vào giả thiết, được lim   lim   . 2 x 1  x 1 x 1 2   x   1  x   1 2 x 1 a 1 2  a 1  lim       a  3  . Suy ra b  2 . x 1  x 1 2 2 2 Vậy 2 2
a b  13 . 3  x  5 khi x  2 
Câu 11: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f x   . ax 1 khi x  2  
Với giá trị nào của a thì hàm số f x liên tục tại x  2  ? A. a  5  . B. a  0 . C. a  5 . D. a  6 . Lời giải: Chọn C Ta có: f  2
   11, lim f x  lim 3x  5  11 
, lim f x  lim ax   1  2a 1. x 2 x 2   x 2 x 2  
Để hàm số liên tục tại x  2  thì f  2
   lim f x  lim f xx 2 x 2    2a 1  11   a  5 .
Vậy hàm số liên tục tại x  2  khi a  5 .
Câu 12: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho f x là đa thức thỏa mãn
f x  20
3 6 f x  5  5 lim
 10 . Tính T  lim x2 x  2 2 x2 x x  6 12 4 4 6 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 25 25 15 25 Lời giải Chọn B
Cách 1(Đặc biệt hóa )
f x  20 10x  20 10  x  2
Chọn f x  10x , ta có lim  lim  lim  10 . x2 x2 x2 x  2 x  2 x  2 3 6 f x 3 3  5  5 60x  5  5 60x  5  5 Lúc đó T  lim  lim  lim 2 2 x2 x2 x2 x x  6 x x  6
x  2 x  3 3 60x  5  5  lim 2
x2  x  2 x  3 3 3
60x  5  5 60x  5  25 60  x  2  lim 2
x2  x  2 x  3 3 3
60x  5  5 60x  5  25 60 4  lim  2
x2 x  3 3 x   x    25 3 60 5 5 60 5 25 Cách 2:
f x  20 10x  20 10  x  2
Chọn f x  10x , ta có lim  lim  lim  10 . x2 x2 x2 x  2 x  2 x  2
Sử dụng CASIO, nhập hàm cần tính giới hạn aqs60Q)+5$p5RQ)d+Q)p6 Màn hình hiển thị
Thay giá trị x  1,9999999 vào r1.9999999= Màn hình hiển thị
Thay tiếp giá trị x  2, 0000001 vào r2.0000001= Màn hình hiển thị Cách 3:
Theo giả thiết có lim  f x  20  0 hay lim f x  20 * x2 x2
3 6 f x  5  5
6 f x  5 125 Khi đó T  lim  lim 2 2 x2 x2 x x  6  2  
x x  6  3 6 f x  5  5 3 6 f x  5  25  
6  f x  20   T  lim 2 x2   
x  2 x  3  3 6 f x  5  5 3 6 f x  5  25   10.6 4 T   . 5.75 25
Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho  2 lim
x ax  5  x  thì   5 x
giá trị của a là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. 2
x 11x 10  0 . B. 2
x  5x  6  0 . C. 2
x  8x 15  0 . D. 2
x  9x 10  0 . Lời giải Chọn D 2 2
x ax  5  x  Ta có:  2 lim
x ax  5  x   lim  5     5 x x 2 
x ax  5  x   5    a ax  5   a  lim  5 x    lim    5 
 5  a  10 . x 2 
x ax  5  x x  a 5  2   1    1  2   x x
Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình 2
x  9x 10  0 .
Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Tìm giới hạn I      .   2 lim x 1 x x 2 x
A. I  1 2 . B. I  46 31. C. I 17 11. D. I  3 2. Lời giải Chọn D 2 2
x x x  2  Ta có: I       I  lim 1     2 lim x 1 x x 2 xx 2
x x x  2   2    1  x  2   3  I  lim 1 x    I  lim   1  I  . x 2
x x x  2  x  1 2  2 1  1    2   x xCâu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số  x  3  2  khi  x   1  f xx 1  
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số 1  2 m m  khi  x   1   4
f x liên tục tại x  1.
A. m 0;  1 .
B. m 0;   1 . C. m   1 . D. m   0 . Lời giải Chọn B x  3  2 1 1 1
Ta có lim f x  lim  lim  ; f  
1  lim f x 2  m m  . x 1 x 1 x 1 x 1     x  3  2 4 x 1  4 1 1 m  1
Để hàm số f x liên tục tại x  1 thì 2 m m     . 4 4 m  0  2 3
x x  2  7x 1 a 2
Câu 4: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Biết lim 
c với a , x 1  2  x   1 b a
b , c   và
là phân số tối giản. Giá trị của a b c bằng: b A. 5 . B. 37 . C. 13 . D. 51. Lời giải Chọn C 2 3 2 3
x x  2  7x 1
x x  2  2  2  7x 1 Ta có lim  lim x 1  2  x   x 1 1  2  x   1 2 3
x x  2  2 2  7x 1  lim  lim  I J . x 1  2  x   x 1 1  2  x   1 2 2
x x  2  2
x x  2  4 Tính I  lim  lim x 1  2  x   x 1 1  2  x   1  2
x x  2  2  x   1  x  2 x  2 3  lim  lim  . x 1   x   2 x x    x 1 
 2x x   4 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2  7x 1 8  7x 1 và J  lim  lim x 2  x   2 1 x 1 1  2  x    3 1 4  2 7x 1    3 7x 1    7 7  lim  . x   x    x   2 1 3 3  12 2 2 4 2 7 1 7 1    2 3
x x  2  7x 1 2 Do đó lim  I J x 1  2  x   1 12
Suy ra a  1, b  12 , c  0 . Vậy a b c  13 .  x  4  2  khi x  0 
Câu 5: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số   x f x   , m là 1 mx m  khi x  0   4
tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có giới hạn tại x  0 . 1 1  A. m  1. B. m  0 . C. m  . D. m  . 2 2 Lời giải
Chọn B  1  1
Ta có lim f x  lim mx m   m    . x 0 x 0    4  4 x  4  2 x  4  4 1 1
lim f x  lim  lim  lim  . x 0 x 0 x 0 x
x x  4  2 x 0     x  4  2 4 1 1
Để hàm số có giới hạn tại x  0 thì lim f x  lim f x  m    m  0 . x 0 x 0   4 4  2x  6 khi x  3  2 3x  27
Câu 6: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f x   . Mệnh 1  khi x  3    9
đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc khoảng 3;3 .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  3  .
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  3 .
D. Hàm số liên tục trên  . Lời giải.
Chọn C 2x  6
Ta có lim f x  lim
, vì lim 2x  6  12  0 và lim  2
3x  27  0 nên hàm số 2 x3 x3 3x  27 x 3  x3
không có giới hạn tại x  3 . Ta loại hai phương án A và. D.
Ta tiếp tục tính giới hạn 2x  6 2 x  3 2 1 
lim f x  lim  lim  lim  . 2 x3 x 3  x 3 3x  27
 3 x  3  x  3
x3 3 x  3 9 1
Vì lim f x  f  3
    nên hàm số liên tục tại x  3  . x3 9
Câu 7: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.  2 lim
x x x  . B.     .   2 lim x x 2x x    0 x 1 C. lim
x x x  . D.     .   2 lim x x 2x xx  2  2 Lời giải
Chọn C Ta có:  
  nên phương án A sai.   2 lim x x x x   1  Ta có: lim     
    nên phương án B sai.   2 x x 2x lim x 1 2 x x  x         x  1 1 Ta có: lim
x x x       nên đáp án C đúng. x  2  lim lim x 2 x
x x x   1  2  1 1    x   1  Ta có: lim      
    nên đáp án D sai.   2 x x
2x lim  x 1 2 x x  x    3
2 1 x  8  x
Câu 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số y f x  . x
Tính lim f x . x0 1 13 10 A. . B. . C.  . D. . 12 12 11 Lời giải Chọn B 3 3
2 1 x  8  x
2 1 x  22 8 x 2 1 x  1 3 2  8  x Ta có:    x x x x 2 1   . Do vậy: 1 x 1
4  2 8  x  8  x2 3 3 lim f xx0   2 1 2 1 lim      lim  lim x0  3 1 x 1 3
4  2 8  x  8  x2  x0 x0 3 1 x 1 3  
4  2 8  x  8  x2 1 13  1  . 12 12 2 2 3 2
1  2  3  ...  n
Câu 9: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Tính lim
2n n  76n  5 1 1 1 A. . B. . C. . D.  . 6 2 6 2 Lời giải Chọn A n n 1 2n 1 2 2 2 2   
Ta có: 1  2  3  ...  n  . 6  1  1  1 2  2 2 3 2    
1  2  3  ...  n n n   1 2n   1  n  n 1 Khi đó:  lim  lim  lim  .
2n n  76n  5
12n n  76n  5  7   5  6 12 1 6       n   n  3x 1  4
Câu 10: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn: lim có giá trị bằng: x5 3  x  4 9 3 A.  . B. 3  . C. 18 . D.  . 4 8 Lời giải Chọn A x 3x   1 16     3  x  4 3 1 4  3
 3  x  4  18  9 Ta có lim  lim  lim    . x5 x5 3  x  4
9   x  4 x5 8 4 
  3x 1  4 3x 1  4 Câu 11: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Tìm  1 1 1  L  lim   ...     1 1 2
1 2  ...  n  5 3 A. L  .
B. L   .
C. L  2 . D. L  . 2 2 Lời giải Chọn C 1 k k
Ta có 1 2  3  ...  k là tổng của cấp số cộng có u  1, d  1 nên 1 2  3  ...  k  1 2 1 2 2 2     , * k    . 1 2  ...  k k k   1 k k 1  2 2 2 2 2 2 2 2   2 2  L  lim       ...      lim     2 .  1 2 2 3 3 4 n n 1   1 n 1 
Câu 12: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số 2
ax  (a  2)x  2 khi x 1  f (x)   x  3  2
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại  2
8  a khi x  1  x  1 ? A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Tập xác định: D   3  ;   . 2
ax  a  2 x  2
lim f x  lim . x 1  x 1  x  3  2  x  
1 ax  2 x  3  2  lim . x 1  x 1
 lim ax  2 x  3  2  4a  2 . x 1  f   2 1  8  a . a  0
Hàm số đã cho liên tục tại x  1 khi lim f x  f   1  a   2 4 2  8  a   . x 1  a  4 
Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x  1 .
Câu 13: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho f x là một đa thức thỏa mãn f x 16 f x 16 lim
 24 . Tính I  lim x 1  x 1 x 1   x  
1  2 f x  4  6 A. 24.
B. I   . C. I  2 . D. I  0 .
Hướng dẫn giải Chọn C f x 16 f x 16 Vì lim  24  f  
1  16 vì nếu f   1  16 thì lim   . x 1  x 1 x 1  x 1 f x 16 1 f x 16 Ta có I  lim  lim  2 . x 1   x  
1  2 f x  4  6 x 1 12   x   1
Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính n  2 3 3 lim
4n  3  8n n . 2 A.  . B. 1. C.  . D. . 3 Lời giải Chọn D Ta có: n  2 3 3 lim
4n  3  8n n n  2 n n  3 3 lim 4 3 2 2n 8n n          n 2 n nn 3 3 lim 4 3 2 2n 8n n        .   3n 3 3 Ta có: n  2 lim
4n  3  2n  lim  lim  .  2
4n  3  2n  3  4  4   2  2 n   2 n Ta có: n  3 3 lim
2n  8n n   lim  2 3 
4n  2n 8n n    3 3 8n n2 3    1  1  lim   . 2   12 1  1   3 3 4  2 8   8   2  2   nn     3 1 2 Vậy lim n  2 3 3
4n  3  8n n     . 4 12 3
Câu 1: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Biết      .   2 lim 4x
3x 1 ax b 0 x
Tính a  4b ta được A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có      
x x   ax b x  2 lim 4 3 1   0   2 lim 4x
3x 1 ax b 0 x 2 2 2  2 2
4x  3x 1 a x
 4  a x  3x 1   lim 
b   0  lim   b   0 x 2 
4x  3x 1  axx 2  4x 3x 1 ax        2 4  a  0 a  2    a  0   3 .  b   3   4   b  0  2  a
Vậy a  4b  5 .
Câu 2: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn 2
c a  18 và  2 lim
ax bx cx   . Tính P a b  5c .   2 x A. P  18 . B. P  12 . C. P  9 . D. P  5 .
Hướng dẫn giải Chọn B  2 a c  2 x bx Ta có  2 lim
ax bx cx    lim  2 .   2 x x 2
ax bx cx 2
a c  0 a, c  0  Điều này xảy ra  2  b
. (Vì nếu c  0 thì lim
ax bx cx   ). x    2    a c Mặt khác, ta cũng có 2
c a  18 . 2 a c  9  Do đó, 
a  9 , b  12 
, c  3 . Vậy P a b  5c  12 . b  2    a c  3
x 1  x  5
Câu 3: Giới hạn lim bằng x3 x  3 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 2 3 6 s  in x khi cos x  0
Câu 4: Cho hàm số f x  
. Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn 1 cos x khi cos x  0  trên khoảng 0;2018 ? A. 2018 . B. 1009 . C. 542 . D. 321. 3
x 1  x  5
Câu 5: Giới hạn lim bằng x3 x  3 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 2 3 6 Lời giải Chọn D Ta có: 3 3
x 1  x  5
x 1 2 x 5  2 lim  lim x3 x  3 x3 x  3 x 1 4 x  5  8  lim  lim x
x  3 x 1  2 2 3
x3 x  3 3 x5 3  2. x  5  4 1 1 1 1 1  lim  lim    . x 1  2 x x   x 52 3 3 3 3  2. x  5  4 4 12 6 s  in x neáu cos x  0
Câu 6: Cho hàm số f x  
. Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián 1 cos x neáu cos x  0 
đoạn trên khoảng 0; 2018 ? A. 2018 . B. 1009 . C. 542 . D. 321. Lời giải Chọn D
Xét hàm số f x trên đoạn 0; 2 , khi đó:     3  sin x neáu x  0;  ; 2   2   2      
f x     3  1
  cos x neáu x  ;      2 2 
Ta có lim f x  0  f 0 ; lim f x  0  f 2  . x 0  x 2        3   3 
Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng 0;   ; ;   và ; 2   .  2   2 2   2   Ta xét tại x  : 2
lim f x  lim 1 cos x  1 ; lim f x  lim sin x  1;                 xx     xx      2   2   2   2     f  1   ;  2     
Như vậy lim f x  lim f x  f   nên hàm số f x liên tục tại điểm x  .          2  2 xx      2   2  3 Ta xét tại x  : 2 lim
f x  lim sin x  1; lim f x  lim 1 cos x  1 ;      3   3   3   3  xx     xx      2   2   2   2  3 Vì lim
f x  lim f x nên hàm số f x gián đoạn tại điểm x  .    3   3  2 xx      2   2  3
Do đó, trên đoạn 0; 2  hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x  . 2
Do tính chất tuần hoàn của hàm số y  cos x và y  sin x suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm 3 x
k 2 , k   . 2 3 3 1009 3
Ta có x  0;2018  0 
k 2  2018    k    320, 42 . 2 4  4
Vì k   nên k 0,1, 2,....,  320 .
Vậy, hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng 0; 2018 .
Câu 7: Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5 , w  4  3iz 1 2i . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 3 5 . B. 4 5 . C. 5 5 . D. 6 5 .
Câu 8: Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5 , w  4  3iz 1 2i . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 3 5 . B. 4 5 . C. 5 5 . D. 6 5 .
Hướng dẫn giải Chọn B w 1 2i
Theo giả thiết ta có w  4  3iz 1 2i z  . 4  3i w 1 2i Mặt khác z  5 
 5  w 1 2i  5 5 . 4  3i
Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w là đường tròn tâm I 1; 2 và bán kính 5 5 .
Do đó min w R OI  4 5 .
f x  f 2
Câu 9: Cho hàm số f x 2 3 2018
x x x  ...  x . Tính L  lim . x2 x  2 A. 2018 L  2017.2 1. B. 2017 L  2019.2 1. C. 2018 L  2017.2 1 . D. 2017 L  2018.2 1.
f x  f 2
Câu 10: Cho hàm số f x 2 3 2018
x x x  ...  x . Tính L  lim . x2 x  2 A. 2018 L  2017.2 1. B. 2017 L  2019.2 1. C. 2018 L  2017.2 1 . D. 2017 L  2018.2 1. Lời giải Chọn A
Ta có f  x 2 2017
 1 2x  3x  ...  2018x
x f  x 2 3 2018 .
x  2x  3x  ...  2018x
x f  x   x x   2 2
x x    3 3
x x     2017 2017 xx  2018 . 2 3 4 ... 2018  2018x
x f  x   2 3 2018
x x x   x   2 3 2017
x x x   x  2018 . 1 2 3 4 ... 2018 1 ...  2018x 2018 1 x 2018 2018 2018x 1 x
xf  x  f  x 2018   2018x
f  x   . 1 xx   1  x  2 1
f x  f 2 Do đó L  lim  f 2 2018 2018 2018  2018.2 1 2  2017.2 1 . x2 x  2
Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Đặt f n  n n  2 2 1 1. f  
1 . f 3. f 5... f 2n   1
Xét dãy số u sao cho u  . Tính lim n u . n n
f 2. f 4. f 6... f 2nn 1 1 A. lim n u  2. B. lim n u  .
C. lim n u  3. D. lim n u  . n n n n 3 2 Lời giải Chọn D 2 f 2n   1  2
4n  2n   1 1
Xét g n 
g n  . f 2n
4n  2n  2 2 1 1  2 4n  2 1  4n  2 4n   1   2 4n   2 1
4n 1 4n 1 2n  2 1 1 g n    4n  2
1  4n 4n   1  4n   2 2 2 2
4n 1 4n 1 1 2n  2 1 1 2 10 26
2n  32 1 2n  2 1 1 2  u  . . .... .  n 10 26 50 2n  2 1 1 2n  2 1 1 2n  2 1 1 2 2n 1  lim n u  lim  . n 2 4n  4n  2 2
Câu 2: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt f n  n n  2 2
1 1, xét dãy số u sao n f  
1 . f 3. f 5... f 2n   1 cho u  . Tìm lim n u . n
f 2. f 4.f 6... f 2nn 1 1 A. lim n u  .
B. lim n u  3 . C. lim n u  . D. lim n u  2 . n n n n 3 2 Lời giải Chọn C 2 2
Ta có f n  2 n n   2 1 1 n  1 n  1 1         .   1   1 2   1 3   1 4   1 ... 2n  2 2 2 2 2 2 1 1 4n 1     Do đó u n 2   1 3   1 4   1 5  
1 ... 4n 1 2n  2 2 2 2 2 2 1 1     2 2 2nu
n u n  . n  2 2n  2 1 1 2n   1 1 2 2n 2 1
lim n u n  lim  lim  .  2 2n  2 1 1  1  1 2 2     2  n n
Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình 3 2
x  3x  2m  2 x m  3  0 có ba nghiệm x , x , x thỏa mãn 1 2 3
x  1  x x . 1 2 3 A. m  5 . B. m  5  . C. m  5  . D. m  6 . Lời giải Chọn B
Đặt f x 3 2
x  3x  2m  2 x m  3. Ta thấy hàm số liên tục trên  .
Điều kiện cần: af  
1  0  m  5  0  m  5 .
Điều kiện đủ: với m  5  ta có
*) lim f x   nên tồn tại a  1
 sao cho f a  0 x
Mặt khác f  
1  m  5  0 . Suy ra f a. f   1  0 .
Do đó tồn tại x  ; a 1 
sao cho f x  0 . 1  1  
*) f 0  m  3  0 , f  
1  0 . Suy ra f 0. f   1  0 .
Do đó tồn tại x  1
 ; 0 sao cho f x  0 . 2  2  
*) lim f x   nên tồn tại b  0 sao cho f b  0 x
Mặt khác f 0  0 . Suy ra f 0. f b  0 .
Do đó tồn tại x  0;b sao cho f x  0 . 3  3   Vậy m  5
 thỏa mãn yêu cầu bài toán.  xa a
Câu 4: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho lim   ( là phân 7 
x0  x 1. x  4  2  b b
số tối giản). Tính tổng L a b . A. L  43 . B. L  23 . C. L  13. D. L  53 . Lời giải Chọn Cx   x  lim   lim 7   
x0  x 1. x  4  2  7
x0  x 1. x  4  x  4  x  4  2    x lim  
x0  x 4.7 x 1 1 x 4 2         
x x 4 2 6 5 4 3 2 x x x x x x  1          lim    x0  x 4. x 1  1  x 4 2  6 5 4 3 2 x x x x x x  1  2 x 4 2                   
x 4 2 6 5 4 3 2 x x x x x x  1          4 lim     . x0  x 4  x 4 2 6 5 4 3 2 x x x x x x 1            9  
Suy ra a  4 , b  9 , L a b  13 . Trình bày lại: Chọn Axa 7 1 
x 1. x  4  2  b Đặt L  lim   thì  lim    . 7  x0   
x 1. x  4  2  b L x a   Ta có 7 7 b
x 1. x  4  x  4  x  4  2  
x 1. x  4  x  4   x  4  2   lim    lim    lim   x0   x0   x0 a x xx       
 . x 4  7 x 1  1     7 x t 1 Xét L lim    .Đặt 7 t x 1 .Khi đó : 1  x0  x
x  0  t  1    7
t  3 t   7 1 t  3 2 L  lim  lim  1 7 tt 1 t   6 5 4 3 2 1 1
t t t t t t   1 7  x   
x  4 2 x  4  2 4 2  1 1 Xét L  lim    lim  lim  2 x0   x0 x  
x x  4  2 x0 x  4  2 4 b 2 1 15 Vậy   
a  28,b  15  a b  43  a b  43. a 7 4 28
----------HẾT----------
Câu 1: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số u xác định bởi u  0 và u
u  4n  3 , n  1 n 1  nn  1 . Biết 2019 u uu  ...  u 2 2018 n 4n ab 4 n 4 lim n u uu  ...  u c 2 2018 n 2n 2 n 2 n
với a , b , c là các số nguyên dương và b  2019 . Tính giá trị S a b c . A. S  1 . B. S  0 . C. S  2017 . D. S  2018 . Lời giải Chọn B Ta có
u u  4.1 3 2 1
u u  4.2  3 3 2 ... u u  4. n 1  3 n n 1   
Cộng vế theo vế và rút gọn ta được n n   1
u u  4. 1 2  ...  n 1  3 n 1  4  3n   1 2
 2n n  3 , với mọi n  1. n 1     2 Suy ra u  2 nn n 2 2 2 3 2 2 2 2 u  2 2 n  2 n  3 2 2 n   ... 2 2018 2018 u  2 2 n  2 n  3 2018 2 n   Và u  2 nn n 4 2 4 3 4 2 2 2 u  2 4 n  4 n  3 2 4 n   ... 2 2018 2018 u  2 4 n  4 n  3 2018 4 n   u uu  ...  u 2 2018 n 4n Do đó 4 n 4 lim n u uu  ...  u 2 2018 n 2n 2 n 2 n 2018 1 3 4 3         2 2 2018 4 3 2 2.4 ... 2 4   2 2 2 n n n n n n  lim 2018 1 3 2 3         2 2 2018 2 3 2 2.2 ... 2 2   2 2 2 n n n n n n 2019 1 4 2  2 2018 1 4  4  ...  4  1 2019 1 4 1 2019 2 1  1 4    . 2  2 2018 1 2  2  ...  2  2019 1 2 2019 3 2 1 3 1 2 a  2  Vì 2019 2
 2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên b   1 c  3 
Vậy S a b c  0 .
----------HẾT---------- 1 1 1
Câu 1: Với n là số nguyên dương, đặt S    ...  . Khi đó n 1 2  2 1 2 3  3 2
n n 1  n   1 n lim S bằng n 1 1 1 A. B. . C.1. D. . 2 1 2 1 2  2 1 1 1
Câu 2: Với n là số nguyên dương, đặt S    ...  . Khi đó n 1 2  2 1 2 3  3 2
n n 1  n   1 n lim S bằng n 1 1 1 A. B. . C.1. D. . 2 1 2 1 2  2
Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 n 1  n 1 1 Ta có     .
n n 1  n   1 n
n n 1  n 1  n n n 1 n n 1 Suy ra 1 1 1 S    ...  . n 1 2  2 1 2 3  3 2
n n 1  n   1 n 1 1 1 1 1 1 1      ....   1 . 1 2 2 3 n n 1 n 1 Suy ra lim S  1 n
Document Outline

  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 1 Phần 1
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 1 Phần 2
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 1 Phần 3
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 1 Phần 4
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 2 Phần 1
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 2 Phần 2
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 2 Phần 3
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 2 Phần 4
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 3 Phần 1
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 3 Phần 2
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 3 Phần 3
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 3 Phần 4
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 4 Phần 1
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 4 Phần 3
  • Chương 4 - GIỚI HẠN - Mức độ 4 Phần 4