Trắc nghiệm nâng cao giới hạn – Đặng Việt Đông

Tài liệu trắc nghiệm nâng cao giới hạn được biên soạn bởi thầy Đặng Việt Đông gồm 51 trang tuyển chọn các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm chủ đề giới hạn có đáp án và lời giải chi tiết trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4

74 37 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

51 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
––
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
GIỚI HẠN
A - LÝ THUYẾT CHUNG
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số
n
u
có giới hạn là 0 khi
n
dần đến dương vô cực và viết
lim 0
n
n
u

viết tắt là
lim 0
n
u
hoặc
n
u
, nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt
đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số
n
u
có giới hạn là số thực
a
khi
n
dần đến dương vô cực và
viết
lim
n
n
u a

, viết tắt là
lim
n
u a
hoặc
n
u a
, nếu
lim 0
n
n
u a

2. Một vài giới hạn đặc biệt
a)
1
lim 0
n
;
1
lim 0
k
n
với
k
nguyên dương
b)
lim 0
n
q
nếu
1
q
c) Nếu
n
u c
(
c
là hằng số) thì
lim lim
n
u c c
II. Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lý 1:
a) Nếu
lim
n
u a
,
lim
n
v b
thì
lim
n n
u v a b
lim
n n
u v a b
lim .
n n
u v a b
lim
n
n
u
a
v b
(nếu
0
b
)
b) Nếu
n
u
với mọi
n
và
lim
n
u a
thì
a
và lim
n
u a
III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn
1 2 3
, , ,....... ,.......
n
u u u u
có công bội
q
với
1
q
gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng
S
của cấp số nhân đó là:
2
1
1 1 1
...
1
u
S u u q u q
q
.
IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa:
Ta nói dãy số
n
u
có giới hạn

nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết
lim
n
u

hoặc
lim( )
n
u
hoặc
n
u
Ta nói dãy số
n
u
có giới hạn

nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó ta viết
lim
n
u

hoặc
lim
n
u

hoặc
n
u
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim
k
n
với
k
nguyên dương
b) lim
n
q

nếu
1
q
3. Định lý 2:
a) Nếu
lim
n
u a
và
lim
n
v

thì
lim 0
n
n
u
v
b) Nếu
lim 0
n
u a
,
lim 0
n
v
và
0
n
v
với mọi
n
thì
lim
n
n
u
v

c) Nếu
lim
n
u

và
lim 0
n
v a
thì
lim
n n
u v

V. Một số lưu ý:
Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù
hợp với yêu cầu của bài toán
Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có
thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Định lý:
a) Giả sử
0
lim
x x
f x L
và
0
lim
x x
g x M
. Khi đó:
0
lim
x x
f x g x L M
0
lim
x x
f x g x L M
0
lim . .
x x
f x g x L M
0
lim
x x
f x
L
g x M
(nếu
M
)
b) Nếu
0
f x
với mọi
0
\
x J x
, trong đó
J
là một khoảng nào đó chứa
0
x
thì
0
L
và
0
lim
x x
f x L
2. Một vài giới hạn đặc biệt
lim
k
x
x

với
k
nguyên dương
lim
k
x
x

nếu
k
là số lẻ
lim
k
x
x

nếu
k
là số chẵn
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn
hữu hạn
Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có
giới hạn vô cực.
Nếu
0
lim 0
x x
f x L
và
0
lim
x x
g x

thì
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
0
lim .
x x
f x g x
bằng
(dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới hạn khác
dấu.
0
lim 0
x x
f x
g x
0
lim
x x
g x
f x

(dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu.
Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp :
0
x x
,
0
x x
,
x
và
x

HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa: Giả sử hàm số
f x
xác định trên khoảng
K
và
0
x K
. Hàm số
y f x
gọi là
liên tục tại
0
x x
nếu
0
0
lim
x x
f x f x
Hàm số không liên tục tại
0
x x
gọi là gián đoạn tại
0
x
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Hàm số
y f x
liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số
y f x
gọi là liên tục trên đoạn
;
a b
nếu nó liên tục trên khoảng
,
a b
và
lim
x a
f x f a
;
lim
x b
f x f b
3. Một số định lý cơ bản
Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập
. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và
các hàm số lượng giác
sin
y x
,
cos
y x
,
tan
y x
,
cot
y x
là những hàm số liên tục trên tập xác
định của chúng
Định lý 2. Giả sử
y f x
và
y g x
là hai hàm số liên tục tại điểm
0
x
. Khi đó:
a) Các hàm số
y f x g x
,
y f x g x
và
.
y f x g x
liên tục tại điểm
0
x
b) Hàm số
f x
y
g x
liên tục tại
0
x
nếu
0
0
g x
Định lý 3. Nếu hàm số
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
và
. 0
f a f b
thì tồn tại ít nhất một điểm
;
c a b
sao cho
0
f c
B - BÀI TẬP
Câu 1. Tìm
lim
n
u
biết
2
1
1
n
n
k
u
n k
A.

B.

C. 3 D. 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 2. Tìm
lim
n
u
biết
dau can
2 2... 2
n
n
u
A.

B.

C. 2 D. 1
Câu 3. Tìm giá trị đúng của
1 1 1 1
2 1 ... .......
2 4 8 2
n
S
.
A.
2 1
. B.
2
. C.
2 2
. D.
1
2
.
Câu 4. Tính giới hạn
1 1 1
lim ....
1.2 2.3 1
n n
A.
0
B.
1
. C.
3
2
. D. Không có giới
Câu 5. Tính
1 1 1
lim ....
1.3 3.5 2 1
n n
A.
1
. B.
0
. C.
2
3
. D.
2
.
Câu 6. Tính giới hạn:
1 1 1
lim ....
1.3 2.4 2
n n
A.
3
4
. B.
1
.
C.
0
. D.
2
3
.
Câu 7. Tính giới hạn
1 1 1
lim ...
1.4 2.5 ( 3)
n n
.
A.
11
18
. B.
2
. C.
1
. D.
3
2
.
Câu 8. Tính giới hạn:
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
.
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
3
2
.
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số
1 2
1 1 1
(1 )(1 )...(1 )
n
n
u
T T T
trong đó
( 1)
2
n
n n
T
.:
A.

B.

C.
1
3
D.
1
Câu 10. Tính giới hạn của dãy số
3 3 3
3 3 3
2 1 3 1 1
. ....
2 1 3 1 1
n
n
u
n
.:
A.

B.

C.
2
3
D.
1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 11. Tính giới hạn của dãy số
1
2 1
2
n
n
k
k
k
u
.:
A.

B.

C. 3 D.
1
Câu 12. Tính giới hạn của dãy số
2
1
n
n
k
n
u
n k
.:
A.

B.

C. 3 D.
1
Câu 13. Tính giới hạn của dãy số
2
2 ...
n
n
u q q nq
với
1
q
.:
A.

B.

C.
2
1
q
q
D.
1
q
q
Câu 14. Biết
3 3 3 3
3
1 2 3 ...
lim ,
1
n a
a b
n b
. Giá trị của
2 2
2
a b
là:
A.
33
B.
73
C.
51
D.
99
Câu 15. Tính giới hạn của dãy số
1 1 1
...
2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1
n
u
n n n n
:
A.

B.

C. 0 D.
1
Câu 16. Tính giới hạn của dãy số
3 3 3
3
( 1) 1 2 ...
3 2
n
n n
u
n n
:
A.

B.

C.
1
9
D.
1
Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa
1; 1
a b . Tìm giới hạn
2
2
1 ...
lim
1 ...
n
n
a a a
I
b b b
.
A.

B.
C.
1
1
b
a
D.
1
Câu 18. Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi:
0
1
2
2011
1
n n
n
u
u u
u
. Tìm
3
lim
u
n
.
A.

B.

C. 3 D.
1
Câu 19. Cho dãy số
n
u
được xác định bởi
1
1
3
.
2 1 2
n n
u
n u nu n
Tính
lim .
n
u
A.
lim 1
n
u
. B.
lim 4
n
u
. C.
lim 3
n
u
. D.
lim 0
n
u
.
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (u
n
) xác định bởi:
1
1
1
2
1
, 1
2
n
n
u
u n
u
. Tìm kết quả đúng của
lim
n
u
.
A.
0
. B.
1
. C.
1
. D.
1
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 21. Cho dãy số
n
u
thỏa mãn
1
1
2
2 1
, .
1 2 1
n
n
n
u
u
n
u
u
Tính
2018
u
.
A.
2018
7 5 2
u B.
2018
2
u
C.
2018
7 5 2
u D.
2018
7 2
u
Câu 22. Cho dãy số
( )
n
x
xác định bởi
2
1 1
1
, , 1
2
n n n
x x x x n
Đặt
1 2
1 1 1
1 1 1
n
n
S
x x x
. Tính
lim
n
S
.
A.

B.

C. 2 D.
1
Câu 23. Cho dãy
( )
k
x
được xác định như sau:
1 2
...
2! 3! ( 1)!
k
k
x
k
Tìm
lim
n
u
với
1 2 2011
...
n n n
n
n
u x x x
.
A.

B.

C.
1
1
2012!
D.
1
1
2012!
Câu 24. Cho dãy
( )
k
x
được xác định như sau:
1 2
...
2! 3! ( 1)!
k
k
x
k
.
Tìm
lim
n
u
với
1 2 2011
...
n n n
n
n
u x x x
.
A.

. B.

. C.
1
1
2012!
. D.
1
1
2012!
Câu 25. Cho hàm số
*
1 2 3f n a n b n c n n
với
, ,
a b c
là hằng số thỏa mãn
0.
a b c
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
lim 1
x
f n

B.
lim 1
x
f n

C.
lim 0
x
f n

D.
lim 2
x
f n

Câu 26. Cho
, ,( , ) 1; 1, 2,...
a b a b n ab ab
. Kí hiệu
n
r
là số cặp số ( , )u v
sao cho
n au bv
. Tìm
1
lim
n
n
r
n ab
.
A.

. B.

. C.
1
ab
. D.
1
ab
.
Câu 27. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Gọi là tổng số hạng
đàu tiên của dãy số . Tìm .
A. . C. . B. . D. .
Câu 28. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .
( )
n
u
1 1
3,2 1
n n
u u u
1
n
n
S
( )
n
u
lim
n
S
lim
n
S

lim 1
n
S
lim
n
S

lim 1
n
S
( )
n
u
1
1 2 2
1, 2,
2
n n
n
u u
u u u
1
n
lim
n
u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. . B. . C. . D. .
Câu 29. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .
A. . C. . B. . D. .
Câu 30. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Khi đó bằng.
A. . B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 31. Cho dãy số được xác định bởi với mọi , trong đó
và là các số thực cho trước, . Tìm giới hạn của .
A. . C. . B. . D. .
Câu 32. Cho dãy số với , trong đó là tham số. Để có giới hạn bằng 2 thì
giá trị của tham số a
là?
A. -4. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương và để: .
A. . B. . C. . D. .
Câu 34. Tìm các số thực và sao cho .
A. . B. . C. . D. .
Câu 35. Cho dãy số . Biết với mọi . Tìm .
A. 1. B. . C. 0. D. .
Câu 36. bằng:
A. 0. B. . C. . D. .
3
2
5
3
4
3
( )
n
u
2
1 1
1
,
4 2
n
n n
u
u u u
1
n
lim
n
u
1
lim
4
n
u
1
lim
2
n
u
lim 0
n
u
lim
n
u
( )
n
u
1 1
1, 2 1
n n
u u u n
1
n
1
lim
n
n
u
u
( )
n
u
1
1 2 2
, ,
2
n n
n
u u
u a u b u
1
n
a
b
a b
( )
n
u
lim
n
u a
2
lim
3
n
a b
u
lim
n
u b
2
lim
3
n
a b
u
( )
n
u
2
2
4 2
5
n
n n
u
an
( )
n
u
a
b
2 2
lim( 5 3) 2
n an n bn
2
a b
2
a b
4
a b
4
a b
b
3 3
lim( 1 a ) 0
n n b
1
0
a
b
1
0
a
b
1
1
a
b
0
1
a
b
( )
n
u
2
1
3 9
2
n
k
k
n n
u
1
n
1
1
n
k
k
n
u
nu
1
2
2
2
1
1 3 3 ... 3
lim
5
k
n
k
k
17
100
17
200
1
8
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Câu 37. Tìm giới hạn
0 1
0 0
0 1
...
lim , ( , 0)
...
n
n n
m
x
m m
a x a x a
A a b
b x b x b

.
A.

. B.

. C.
4
3
. D. Đáp án khác.
Câu 38.
2
2
3 5sin2 cos
lim
2
x
x x x
x

bằng:
A.

. B.
0
. C.
3
. D.

.
Câu 39. Cho và là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa và để giới hạn:
là hữu hạn:
A. B. C. D.
Câu 40. Cho là một số thực khác 0. Kết quả đúng của bằng:
A. B. C. D.
Câu 41. Cho là tham số thực. Tìm để
A. B. C. D.
Câu 42. Cho và là các số thực khác Nếu thì bằng:
A. B. C. D.
Câu 43. Giới hạn
3
1 5 1
lim
4 3
x
x x
x x
bằng
a
b
(phân số tối giản). Giá trị của
a b
là
A.
1
. B.
1
9
. C.
1
. D.
9
8
Câu 44. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên
dương. Tổng bằng:
A. B. C. D.
Câu 45. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên
dương. Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Câu 46. Cho là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa để
.
a
b
a
b
2 2
2
lim
6 8 5 6
x
a b
x x x x
4 0.
a b
3 0.
a b
2 0.
a b
0.
a b
a
4 4
lim
x a
x a
x a
3
3
a
3
2
a
3
a
3
4
a
2
2
1
1
lim ,
1
x
x mx m
C m
x
m
2.
C
2
m
2
m
1
m
1
m
a
b
0.
2
2
lim 6
2
x
x ax b
x
a b
2
4
6
3
2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x m
x x n
m
n
m
2
m n
68
69
70
71
3
2
3
6 9 27 54
lim ,
3 3 18
x
x x m
n
x x x
m
n
m
3
m n
55
56
57
58
, ,
a b c
0
, ,
a b c
2
9 2
lim 5
1
x
ax b x
cx

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. . B. . C. . D. .
Câu 47. Cho và là các tham số thực. Biết rằng và thỏa
mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 48. Cho là một số thực dương. Tính giới hạn .
A. bằng . B. là . C. là . D. không tồn tại.
Câu 49. Cho là một số nguyên dương. Tính giới hạn .
A. . B. . C. . D.
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho giới hạn là hữu hạn.
A. . B. . C. . D. .
Câu 51. Tìm giới hạn
0
1 1
lim ( *, 0)
n
x
ax
B n a
x
:
A.

B.

C.
a
n
D. 1
n
a
Câu 52. Tìm giới hạn
0
1 1
lim
1 1
n
m
x
ax
A
bx
với
ab
:
A.

B.

C.
am
bn
D. 1
am
bn
Câu 53. Tìm giới hạn
0
1 1
lim
m n
x
ax bx
N
x
:
A.

B.

C.
a b
m n
D.
a b
m n
Câu 54. Tìm giới hạn
0
1 1
lim
1 1
m n
x
ax bx
N
x
:
A.

B.

C.
2
an bm
mn
D. 0
Câu 55. Tìm giới hạn
0
1 1 1
lim
m n
x
ax bx
G
x
:
3
5
a b
c
3
5
a b
c
3
5
a b
c
3
5
a b
c
a
b
2
4 3 1
lim 0,
1
x
x x
ax b a
cx

b
9.
a b
9.
a b
9.
a b
9.
a b
a
2
1 1 1
lim
x a
x a
x a
2
1
a
n
1
1
lim
1 1
n
x
n
x x
2
n
1
2
n
1
2
n
2
2
n
k
2
1
1
lim( )
1 1
x
k
x x
2
k
2
k
k
2
k
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.

B.

C.
a b
m n
D.
a b
m n
Câu 56. Tìm giới hạn
0
(2 1)(3 1)(4 1) 1
lim
n
x
x x x
F
x
:
A.

B.

C.
9
n
D. 0
Câu 57. Tìm giới hạn
3 4
0
1 1 1 1
lim
x
x x x
B
x
với
0

.:
A.

B.

C.
4 3 2
B
D.
4 3 2
B
Câu 58. Tìm giới hạn
2
0
1 1
lim
n m
x
mx nx
V
x
:
A.

B.

C.
2
mn n m
D.
2
mn n m
Câu 59. Tìm giới hạn
3
1
1
1 1 ... 1
lim
1
n
n
x
x x x
K
x
:
A.

B.

C.
1
!
n
D. 0
Câu 60. Tìm giới hạn
2 2
0
1 1
lim
n n
x
x x x x
L
x
:
A.

B.

C.
2
D. 0
Câu 61. Tìm giới hạn
3
0
1 1
lim
1 2 1 3
n m
x
mx nx
V
x x
:
A.

B.

C.
2
an bm
mn
D.
mn n m
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho hàm số có giới
hạn hữu hạn khi
A. B. C. D.
Câu 63. Giới hạn nếu.
A. . B. . C. . D. .
Câu 64. Cho và là các số thực khác . Biết , thì tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
m
2
9 3 1
f x mx x x
.
x

3
m
3
m
0
m
0
m
2
lim( 3 5+ax)=+
x
x x

1
a
1
a
1
a
1
a
a
b
0
2
lim( 2) 3
x
ax x bx

a b
2
6
5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 65. Cho và là các số thực khác . Biết số lớn hơn trong hai số
và là số nào trong các số dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 66. Biết trong đó là phân số tối giản, và là
các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 67. Cho và là các số nguyên dương. Biết , hỏi và
thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 68. Tìm giới hạn
1 2
lim [ ( )( )...( ) ]
n
n
x
C x a x a x a x
:
A.

B.

C.
1 2
...
n
a a a
n
D.
1 2
...
2
n
a a a
n
Câu 69. Cho và là các số thực khác Giới hạn bằng:
A. B. C. D.
Câu 70. Cho là các số thực khác Tìm hệ thức liên hệ giữa để:
A. B. C. D.
Câu 71. Cho và là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn bằng:
A. B. C. D.
Câu 72. Tìm giới hạn
1
sin( )
lim.
sin( )
m
n
x
x
A
x
:
A.

B.

C.
n
m
D. 0
Câu 73. Tìm giới hạn
2
0
cos cos
lim
sin
m m
x
ax bx
H
x
:
A.

B.

C.
2 2
b a
n m
D. 0
a
b
0
2
lim (ax+b- 6 2) 5
x
x x

b
3
2
1
32 3 2
lim ( 9 2 27 4 5)
x
m
x x x x
n

m
n
m
m
n
135
136
138
140
a
b
32 3 2
7
lim ( 9 + ax 27 5)
27
x
x x bx

a
b
2 33
a b
2 34
a b
2 35
a b
2 36
a b
a
b
0.
0
1 1
lim
sin
x
ax
bx
2
a
b
2
a
b
2
a
b
2
a
b
, ,c
a b
0,3 2 0.
b c
, ,
a b c
3
0
tan 1
lim .
2
1 1
x
ax
bx cx
1
3 2 10
a
b c
1
3 2 6
a
b c
1
3 2 2
a
b c
1
3 2 12
a
b c
m
n
1
sin 1
lim
m n
x
x
x x
m n
n m
1
m n
1
n m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 74. Tìm giới hạn
2
0
1 cos
lim
n
x
ax
M
x
:
A.

B.

C.
2
a
n
D. 0
Câu 75. Cho
( )
f x
là đa thức thỏa mãn
3
( ) 15
lim 12
3
x
f x
x
. Tính
3
2
3
5 ( ) 11 4
lim
6
x
f x
T
x x
.
A.
3
20
T . B.
3
40
T . C.
1
4
T
D.
1
20
T .
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 76. Cho hàm số
1
0
,
1
0
2
ax
e
khix
x
f x
khix
với
0.
a
Tìm giá trị của
a
để hàm số
f x
liên tục
tại
0
0.
x
A.
1
a
. B.
1
2
a
. C.
1
a
. D.
1
2
a
Câu 77. Tìm
a
để các hàm số
2
4 1 1
khi 0
( )
(2 1)
3 khi 0
x
x
f x
ax a x
x
liên tục tại
x
A.
1
2
B.
1
4
C.
1
6
D. 1
Câu 78. Cho hàm số
2
3
, 1
2
, 0 1
1
sin , 0
x x
x
f x x
x
x x x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
f x
liên tục trên
. B.
f x
liên tục trên
\ 0
.
C.
f x
liên tục trên
\ 1
. D.
f x
liên tục trên
\ 0;1
.
Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
1 1
khi 0
1
khi 0
1
x x
x
x
f x
x
m x
x
liên tục tại
0.
x
A.
1
m
. B.
2
m
. C.
1
m
. D.
0
m
Câu 80. Tìm
m
để các hàm số
3
2 2 1
khi 1
( )
1
3 2 khi 1
x x
x
f x
x
m x
liên tục trên
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
m
B.
4
3
m C.
2
m
D.
0
m
Câu 81. Tìm
m
để các hàm số
2
2 4 3 khi 2
( )
1
khi 2
2 3 2
x x
f x
x
x
x mx m
liên tục trên
A.
1
m
B.
1
6
m C.
5
m
D.
0
m
Câu 82. Cho hàm số liên tục tại Tính
A. B. C. D.
Câu 83. Chon hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm
số liên tục tại .
A. . B. . C. . D. .
Câu 84. Cho hàm số
2
2
( 2) 2
khi 1
( )
3 2
8 khi 1
ax a x
x
f x
x
a x
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của
a
để hàm
số liên tục tại
1
x
?
A.
1.
B.
0.
C.
3.
D.
2.
Câu 85. Cho hàm số
3
12 9
.
2 12
9
1 2
x
f x
ax b
x
x
Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục
tại
0
9.
x
Tính giá trị của
.
P a b
A.
1
2
P
B.
5
P
C.
17
P
D.
1
2
P
Câu 86. Cho phương trình trong đó là các tham số thực. Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình vô nghiệm với mọi .
B. Phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi .
C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm với mọi .
2
2
2
2
4
3 2
2 6 2
x x
neáu x
x
f x x b neáu x
a b neáu x
2.
x
?
I a b
9
30
I
93
16
I
19
32
I
173
16
I
2
3
khi 3
.
3
khi 3
x
x
f x
x
m x
m
3
x
m
m
1
m
1
m
3 2
0 1
x ax bx c
, ,
a b c
1
, ,
a b c
1
, ,
a b c
1
, ,
a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. Phương trình có ít nhất ba nghiệm với mọi .
Câu 87. Phương trình
5 4 3 2
1
5 4 1 0
2
x x x x x
có bao nhiêu nghiệm.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình sau có nghiệm
A. . B. .C. . D. .
1
, ,
a b c
m
2017
2 2018
2 5 2 1 2 2 3 0.
m m x x x
1
\ ;2
2
m
1
; 2;
2
m
 
1
;2
2
m
m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C - HƯỚNG DẪN GIẢI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Câu 1. Tìm
lim
n
u
biết
2
1
1
n
n
k
u
n k
A.

B.

C. 3 D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
2 2 2
1 1 1
, 1,2,...,
1
k n
n n n k n
Suy ra
2 2
1
n
n n
u
n n n
Mà
2 2
lim lim 1
1
n n
n n n
nên suy ra
lim 1
n
u
.
Câu 2. Tìm
lim
n
u
biết
dau can
2 2... 2
n
n
u
A.

B.

C. 2 D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2
1
1 1 1
1
...
2
2
2 2
2 2
n
n
n
u
,nên
1
1
2
lim lim2 2
n
n
u
.
Câu 3. Tìm giá trị đúng của
1 1 1 1
2 1 ... .......
2 4 8 2
n
S
.
A.
2 1
. B.
2
. C.
2 2
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
1 1 1 1 1
2 1 ... ....... 2. 2 2
1
2 4 8 2
1
2
n
S
.
Câu 4. Tính giới hạn
1 1 1
lim ....
1.2 2.3 1
n n
A.
0
B.
1
. C.
3
2
. D. Không có giới
hạn.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đặt :
1 1 1
....
1.2 2.3 1
A
n n
1 1 1 1 1
1 ...
2 2 3 1
n n
1
1
1 1
n
n n
1 1 1 1
lim .... lim lim 1
1
1.2 2.3 1 1
1
n
n n n
n
Câu 5. Tính
1 1 1
lim ....
1.3 3.5 2 1
n n
A.
1
. B.
0
. C.
2
3
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt
1 1 1
....
1.3 3.5 2 1
A
n n
2 2 2
2 ....
1.3 3.5 2 1
1 1 1 1 1 1 1
2 1 ...
3 3 5 5 7 2 1
1 2
2 1
2 1 2 1
2 1
A
n n
A
n n
n
A
n n
n
A
n
Nên
1 1 1 1 1
lim .... lim lim .
1
1.3 3.5 2 1 2 1 2
2
n
n n n
n
Câu 6. Tính giới hạn:
1 1 1
lim ....
1.3 2.4 2
n n
A.
3
4
. B.
1
.
C.
0
. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có :
1 1 1 1 2 2 2
lim .... lim ....
1.3 2.4 2 2 1.3 2.4 2
n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1
lim 1 ...
2 3 2 4 3 5 2
n n
1 1 1 3
lim 1 .
2 2 2 4
n
Câu 7. Tính giới hạn
1 1 1
lim ...
1.4 2.5 ( 3)
n n
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
11
18
. B.
2
. C.
1
. D.
3
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
lim ... lim 1 ...
1.4 2.5 ( 3) 3 4 2 5 3 6 3
n n n n
1 1 1 1 1 1
lim 1
3 2 3 1 2 3
n n n
2
11 3 12 11 11
lim
18 1 2 3 18
n n
n n n
.
Cách 2: Bấm máy tính như sau:
1 2
lim [ ( )( )...( ) ]
n
n
x
C x a x a x a x
và so đáp án (có
thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Câu 8. Tính giới hạn:
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
.
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
3
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
lim 1 1 ... 1 lim 1 1 1 1 ... 1 1
2 3 2 2 3 3
n n n
1 1 1
( )( ... )
n n n n n
y x y x y y x x
1 1 1
...
n n
n n n
y x
y x
y y x x
Cách 2: Bấm máy tính như sau:
1 2 1
lim ( ) lim
...
n n
n n n
x x
y x
y x
y y x x
 
và so đáp án (có
thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số
1 2
1 1 1
(1 )(1 )...(1 )
n
n
u
T T T
trong đó
( 1)
2
n
n n
T
.:
A.

B.

C.
1
3
D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
1 2 ( 1)( 2)
1 1
( 1) ( 1)
k
k k
T k k k k
Suy ra
1 2 1
. lim
3 3
n n
n
u u
n
.
Câu 10. Tính giới hạn của dãy số
3 3 3
3 3 3
2 1 3 1 1
. ....
2 1 3 1 1
n
n
u
n
.:
A.

B.

C.
2
3
D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
3 2
3 2
1 ( 1)( 1)
1 ( 1)[( 1) ( 1) 1]
k k k k
k k k k
Suy ra
2
2 1 2
. lim
3 ( 1) 3
n n
n n
u u
n n
Câu 11. Tính giới hạn của dãy số
1
2 1
2
n
n
k
k
k
u
.:
A.

B.

C. 3 D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2 1 1
1 1 1 1 1 2 1
...
2 2 2 2 2 2
n n
n n
n
u u
1
1 3 2 1
lim 3
2 2 2
n n
n
n
u u
.
Câu 12. Tính giới hạn của dãy số
2
1
n
n
k
n
u
n k
.:
A.

B.

C. 3 D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
2 2 2 2
1
1
1 1 1
n n
n n n
n u n u
n n n n n
2
1 0 lim 1
1
n n
n
u u
n
.
Câu 13. Tính giới hạn của dãy số
2
2 ...
n
n
u q q nq
với
1
q
.:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.

B.

C.
2
1
q
q
D.
1
q
q
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2 3 1
...
n n
n n
u qu q q q q nq
1
1
(1 )
1
n
n
n
q
q u q nq
q
. Suy ra
lim
1
n
q
u
q
.
Câu 14. Biết
3 3 3 3
3
1 2 3 ...
lim ,
1
n a
a b
n b
. Giá trị của
2 2
2
a b
là:
A.
33
B.
73
C.
51
D.
99
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 15. Tính giới hạn của dãy số
1 1 1
...
2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1
n
u
n n n n
:
A.

B.

C. 0 D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
1 1 1
( 1) 1 1
k k k k k k
Suy ra
1
1 lim 1
1
n n
u u
n
Câu 16. Tính giới hạn của dãy số
3 3 3
3
( 1) 1 2 ...
3 2
n
n n
u
n n
:
A.

B.

C.
1
9
D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2
3 3 3
( 1)
1 2 ...
3
n n
n
Suy ra
2
3
( 1) 1
lim
3(3 2) 9
n n
n n
u u
n n
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa
1; 1
a b . Tìm giới hạn
2
2
1 ...
lim
1 ...
n
n
a a a
I
b b b
.
A.

B.
C.
1
1
b
a
D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
2
1, , ,...,
n
a a a
là một cấp số nhân công bội
a
1
2
1
1 ...
1
n
n
a
a a a
a
Tương tự
1
2
1
1 ...
1
n
n
b
b b b
b
Suy ra lim
1
1
1
1
1
lim
1
1
1
n
n
a
b
a
I
b
a
b
( Vì
1, 1
a b
1 1
lim lim 0
n n
a b ).
Câu 18. Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi:
0
1
2
2011
1
n n
n
u
u u
u
. Tìm
3
lim
u
n
.
A.

B.

C. 3 D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta thấy
0,
n
u n
Ta có:
3 3
1
3 6
3 1
3
n n
n n
u u
u u
(1)
Suy ra:
3 3 3 3
1 0
3 3
n n n
u u u u n
(2)
Từ (1) và (2), suy ra:
3 3 3
1
2
3 2
3
0
0
1 1 1 1
3 3
3 3 9
3
n n n
u u u
u n n n
u n
Do đó:
3 3
0
1 1
1 1 1 1
3
3 9
n n
n
k k
u u n
k k
(3)
Lại có:
2
1
1 1 1 1 1
1 ... 2 2
1.2 2.3 ( 1)
n
k
k n n n
.
2
1 1
1 1
2
n n
k k
n n
k k
Nên:
3 3 3
0 0
2 2
3 3
9 3
n
n
u n u u n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hay
3 3 3
0 0
2 2
3 3
9
3
n
u u u
n n n n
n
.
Vậy
3
lim 3
n
u
n
.
Câu 19. Cho dãy số
n
u
được xác định bởi
1
1
3
.
2 1 2
n n
u
n u nu n
Tính
lim .
n
u
A.
lim 1
n
u
. B.
lim 4
n
u
. C.
lim 3
n
u
. D.
lim 0
n
u
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (u
n
) xác định bởi:
1
1
1
2
1
, 1
2
n
n
u
u n
u
. Tìm kết quả đúng của
lim
n
u
.
A.
0
. B.
1
. C.
1
. D.
1
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
; ; ; ; .;...
2 3 4 5 6
u u u u u
Dự đoán
n
n
u
n
với
*
n
Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó
1
lim lim lim 1
1
1
1
n
n
u
n
n
.
Câu 21. Cho dãy số
n
u
thỏa mãn
1
1
2
2 1
, .
1 2 1
n
n
n
u
u
n
u
u
Tính
2018
u
.
A.
2018
7 5 2
u B.
2018
2
u
C.
2018
7 5 2
u D.
2018
7 2
u
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 22. Cho dãy số
( )
n
x
xác định bởi
2
1 1
1
, , 1
2
n n n
x x x x n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đặt
1 2
1 1 1
1 1 1
n
n
S
x x x
. Tính
lim
n
S
.
A.

B.

C. 2 D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Từ công thức truy hồi ta có:
1
, 1,2,...
n n
x x n
Nên dãy
( )
n
x
là dãy số tăng.
Giả sử dãy
( )
n
x
là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại
lim
n
x x
Với
x
là nghiệm của phương trình:
2
1
0
x x x x x
vô lí
Do đó dãy
( )
n
x
không bị chặn, hay
lim
n
x

.
Mặt khác:
1
1 1 1 1
( 1) 1
n n n n n
x x x x x
Suy ra:
1
1 1 1
1
n n n
x x x
Dẫn tới:
1 1 1 1
1 1 1 1
2 lim 2 lim 2
n n
n n n
S S
x x x x
Câu 23. Cho dãy
( )
k
x
được xác định như sau:
1 2
...
2! 3! ( 1)!
k
k
x
k
Tìm
lim
n
u
với
1 2 2011
...
n n n
n
n
u x x x
.
A.

B.

C.
1
1
2012!
D.
1
1
2012!
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
1 1
( 1)! ! ( 1)!
k
k k k
nên
1
1
( 1)!
k
x
k
Suy ra
1 1
1 1
0
( 2)! ( 1)!
k k k k
x x x x
k k
Mà:
2011 1 2 2011 2011
... 2011
n n n
n
n
x x x x x
Mặt khác:
2011 2011 2011
1
lim lim 2011 1
2012!
n
x x x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
1
lim 1
2012!
n
u .
Câu 24. Cho dãy
( )
k
x
được xác định như sau:
1 2
...
2! 3! ( 1)!
k
k
x
k
.
Tìm
lim
n
u
với
1 2 2011
...
n n n
n
n
u x x x
.
A.

. B.

. C.
1
1
2012!
. D.
1
1
2012!
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
1 1
( 1)! ! ( 1)!
k
k k k
nên
1
1
( 1)!
k
x
k
.
Suy ra
1 1
1 1
0
( 2)! ( 1)!
k k k k
x x x x
k k
.
Mà:
2011 1 2 2011 2011
... 2011
n n n
n
n
x x x x x
.
Mặt khác:
2011 2011 2011
1
lim lim 2011 1
2012!
n
x x x .
Vậy
1
lim 1
2012!
n
u .
Câu 25. Cho hàm số
*
1 2 3f n a n b n c n n
với
, ,
a b c
là hằng số thỏa mãn
0.
a b c
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
lim 1
x
f n

B.
lim 1
x
f n

C.
lim 0
x
f n

D.
lim 2
x
f n

Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 26. Cho
, ,( , ) 1; 1, 2,...
a b a b n ab ab
. Kí hiệu
n
r
là số cặp số ( , )u v
sao cho
n au bv
. Tìm
1
lim
n
n
r
n ab
.
A.

. B.

. C.
1
ab
. D.
1
ab
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét phương trình
1
0;
n
n
(1).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
0 0
( , )
u v
là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử
( , )
u v
là một nghiệm nguyên
dương khác
0 0
( , )
u v
của (1).
Ta có
0 0
,
au bv n au bv n
suy ra
0 0
( ) ( ) 0
a u u b v v
do đó tồn tại
k
nguyên
dương sao cho
0 0
,
u u kb v v ka
. Do v là số nguyên dương nên
0
0
1
1
v
v ka k
a
. (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số
k
nguyên
dương cộng với 1. Do đó
0 0
1 1
1 1
n
v un
r
a ab b a
.
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:
0 0
1 1
1.
n
u u
n n
r
ab b a ab b a
Từ đó suy ra:
0 0
1 1 1 1 1
.
n
u r u
ab nb na n ab nb na n
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay
1
lim
n
n
r
n ab
.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
9
cos5
lim
2
10
x
x
x
và so đáp án.
Câu 27. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Gọi là tổng số hạng
đàu tiên của dãy số . Tìm .
A. . C. . B. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có . Đặt .
Khi đó: . Vậy là một cấp số nhân có công
bội . Gọi là tổng số hạng đầu tiên của .
Ta có: . Suy ra:
.
Vậy .
Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình: .
( )
n
u
1 1
3,2 1
n n
u u u
1
n
n
S
( )
n
u
lim
n
S
lim
n
S

lim 1
n
S
lim
n
S

lim 1
n
S
1
2 1
n n
u u
1
1 1
2 2
n n
u u
1
n n
v u
1 1
1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
n n n n n
v u u u v
n
v
1
2
q
n
T
n
n
v
1
1
.
1
n
n
q
T v
q
1
1
1
2
.
1
1
2
n
v
1
1
2 . 1
2
n
v
n n
S T n
1
1
2 . 1
2
n
v n
limS
n

1 1
: :
2 2
A A X Y X X Y
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm =
liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao.
Câu 28. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Sử dụng MTCT.
Qui trình bấm máy Kết quả thu được
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr1=2=======
========================================
========================================
========================================
Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được
.
Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng .
Bổ sung: Cho dãy số được xác định bởi , , với ,
trong đó là các số thực cho trước, . Người ta chứng minh được rằng
.
Câu 29. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .
A. . C. . B. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn . Khi đó ta có: .
Tuy nhiên đến đây ta không còn căn cứ để kết luận hay .
0
3
( )
n
u
1
1 2 2
1, 2,
2
n n
n
u u
u u u
1
n
lim
n
u
3
2
5
3
4
3
1, 6
5
1,66666667
3
5
3
n
u
1
u a
2
u b
1
2
2
n n
n
u u
u
1
n
,
a b
a b
2
lim
3
n
a b
u
( )
n
u
2
1 1
1
,
4 2
n
n n
u
u u u
1
n
lim
n
u
1
lim
4
n
u
1
lim
2
n
u
lim 0
n
u
lim
n
u
L
2
2
L
L L
2
2
L L
0
1
2
L
L
0
L
1
2
L
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là . Vậy
chọn Chọn B.
Câu 30. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Khi đó bằng.
A. . B. 0. C. 1. D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Ta có
; ; ;.
Dự đoán . Khi đó . Vậy .
Suy ra .
Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình.
Qui trình bấm máy Kết quả thu được
QnQrQ)+2Qz+1QyaQnRQ)$QyQ)QrQnQyQzQrQz+1r1=1=
===================
Bấm r, máy hỏi X? nhập , máy hỏi A? nhập bấm = liên tiếp, theo dõi giá trị của , ta thấy
giá trị đó dần về .
Nhận xét: Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi chưa đủ lớn thì
chênh lệch giữa và là khá xa nên giá trị của khá xa so với .
Câu 31. Cho dãy số được xác định bởi với mọi , trong đó
và là các số thực cho trước, . Tìm giới hạn của .
A. . C. . B. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đây là một bài toán chứa tham số.
9
2
1,706192802.10
X
Y X
( )
n
u
1 1
1, 2 1
n n
u u u n
1
n
1
lim
n
n
u
u
2
1
1
u
2
2
1 2.1 1 2
u
2 2
3
2 2.2 1 9 3
u
2
n
u n
2
1
2 1 1
n n
u u n n
2
1
n
u n n
2
1
2
1
lim lim 1
n
n
n
u
u n
1
Y
X
1
n
2
1
n
2
n
2
2
1
n
n
1
( )
n
u
1
1 2 2
, ,
2
n n
n
u u
u a u b u
1
n
a
b
a b
( )
n
u
lim
n
u a
2
lim
3
n
a b
u
lim
n
u b
2
lim
3
n
a b
u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì là bài toán trắc nghiệm nên có một cách là cho và các giá trị cụ thể, rồi sử dụng
MTCT để tìm giới hạn, từ đó tìm được đáp án đúng.
Chẳng hạn cho . Khi đó , và đôi một
khác nhau.
Nhập vào màn hình:
Qui trình bấm máy Kết quả thu được
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr2=3======
======================================
======================================
=====================================
Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn , ta được .
Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng .
Bổ sung: Cho dãy số được xác định bởi , , , trong
đó là các số thực cho trước, .
a) Chứng minh dãy là dãy giảm, còn dãy là dãy tăng.
b) Chứng minh rằng .
c) Chứng minh rằng .
d) Chứng minh rằng có giới hạn và giới hạn đó là .
Câu 32. Cho dãy số với , trong đó là tham số. Để có giới hạn bằng 2 thì
giá trị của tham số là?
A. -4. B. 2. C. 4. D. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dễ thấy với thì .
Thật vậy:
Nếu thì .
Nếu thì .
Do đó để thì .
b
2, 3
a b
2 8
3 3
a b
2
7
3
a b
2 2
, , ,
3 3
a b a b
a b
2, 6
8
2, 6
3
8
3
n
u
1
u a
2
u b
1
2
1
2
n n
n
u u
u n
,
a b
a b
2
n
u
2 1
n
u
2 1
2 1
1
2
n n
n
x x
x x n
2 1 2 1
2 2 1
n n
x x x x n
n
u
2
3
a b
( )
n
u
2
2
4 2
5
n
n n
u
an
( )
n
u
2
a
2
2
4 2
lim lim 2
2 5
n
n n
u
n
a
2
4 2
lim lim
5
n
n n
u

0
a
2
2
4 2 4
lim lim
5
n
n n
u
an a
lim 2
n
u
4
2 2
a
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương và để: .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp.
Ta có:
.
Suy ra . Do đó để
.
Câu 34. Tìm các số thực và sao cho .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có . Để hữu hạn thì
( xem lại phần ví dụ ).
phần Ví dụ). Ta có . Vậy .
Câu 35. Cho dãy số . Biết với mọi . Tìm .
A. 1. B. . C. 0. D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
Suy ra
a
b
2 2
lim( 5 3) 2
n an n bn
2
a b
2
a b
4
a b
4
a b
2 2
2 2
2
5 3
5 3
a b n
n an n bn
n an n bn
2 2
2
5 3
1 1
a b
n
a b
n n n n
2 2
lim 5 3
2
a b
n an n bn
2 2
lim 5 3 2
n an n bn
2
a b
a b
b
3 3
lim( 1 a ) 0
n n b
1
0
a
b
1
0
a
b
1
1
a
b
0
1
a
b
33
lim 1 0
n an b
33
lim 1
b n an
33
lim 1
n an
a
3 3
lim 1 0
n n
0
b
( )
n
u
2
1
3 9
2
n
k
k
n n
u
1
n
1
1
n
k
k
n
u
nu
1
2
2
2
1
1
1 1
3 1 9 1
3 9
3 6 3 1 3.
2 2
n n
n k k
k k
n n
n n
u u u n n
3 3.
n
u n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
Câu 36. bằng:
A. 0. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
Do đó nên rất khó để sử dụng MTCT đối với bài toán này. Ta có:
2
1
1 3 9 3 1
lim lim .
2 3 3 2.3 2
n
k
k
n
n n
u
nu n n
2
2
1
1 3 3 ... 3
lim
5
k
n
k
k
17
100
17
200
1
8
1
1
2
1
2 2
1 1
3
1 3 3 ... 3
lim lim .
5 5
k
i
k
n n
i
k k
k k
1
1
1
1
2 2
1 1 1 1
3 1
3
3 1 3 3 1 1 3 1 17
5 5
. .
3 1
5 2.5 50 5 50 5 50 50 200
1 1
5 5
k
i
k k
k
n n n n
i
k k
k k k k
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Câu 37. Tìm giới hạn
0 1
0 0
0 1
...
lim , ( , 0)
...
n
n n
m
x
m m
a x a x a
A a b
b x b x b

.
A.

. B.

. C.
4
3
. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
11
0
1
11
0
1
( ... )
lim
( ... )
n
n n
n n
x
m
m m
m m
a a
a
x a
x x x
A
b b
b
x b
x x x

Nếu
11
0
1
11
0
0
1
...
lim
...
n n
n n
x
m m
m m
a aa
a
a
x x x
m n A
b b
b
b
b
x x x

.
Nếu
11
0
1
11
0
1
...
lim 0
( ... )
n n
n n
x
m n
m m
m m
a aa
a
x x x
m n A
b b
b
x b
x x x

( Vì tử
0
a
, mẫu
).
Nếu
m n
, ta có:
11
0
1
0 0
11
0 0
0
1
( ... )
khi . 0
lim
khi 0
...
n m
n n
n n
x
m m
m m
a aa
x a
a b
x x x
A
b b
b
a b
b
x x x



.
Câu 38.
2
2
3 5sin2 cos
lim
2
x
x x x
x

bằng:
A.

. B.
0
. C.
3
. D.

.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
2 2 2 2
3 5sin2 cos 6 10sin 2 cos2 6 10sin2 cos2
lim lim lim lim
2 2 4 2 4 2 4
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
   
2
10sin2 cos2
lim
2 4
x
x x
x

.
Vì
2 2 2 2
10sin 2 cos2 10 1 sin 2 cos 2 101
x x x x nên:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2
10sin2 cos2 101
0
2 4 2 4
x x
x x
.
Mà
2
101
lim 0
2 4
x
x

nên
2
10sin 2 cos2
lim 0
2 4
x
x x
x

.
Câu 39. Cho và là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa và để giới hạn:
là hữu hạn:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có
Ta có
Do đó nếu thì giới hạn cần tìm là vô cực theo quy tắc 2.
Từ đó chọn được đáp án đúng là C.
(Thật vậy, nếu thì
Và do đó
Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của và , thay vào hàm
số rồi tính giới hạn.
Từ đó chọn được đáp án là C.
Câu 40. Cho là một số thực khác 0. Kết quả đúng của bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1: Ta có
.
a
b
a
b
2 2
2
lim
6 8 5 6
x
a b
x x x x
4 0.
a b
3 0.
a b
2 0.
a b
0.
a b
2 2
6 8 5 6 2 4 2 3
a b a b
x x x x x x x x
3 4
.
2 3 4 2 3 4
a x b x g x
x x x x x x
2 2 2 2
lim 2 0; lim 3 1; lim 4 2; lim 2 .
x x x x
x x x g x b a
2
lim 0 2 0
x
g x b a
2
lim 2 0
x
g x b a
2 2
2
6 8 5 6 2 3 4 3 4
a b bx b b
x x x x x x x x x
2 2
2 2
lim lim .
6 8 5 6 3 4 2
x x
a b b b
x x x x x x
a
b
a
4 4
lim
x a
x a
x a
3
3
a
3
2
a
3
a
3
4
a
33223
32234
4)(lim
))((
limlim aaaxxax
a
x
axaaxxax
a
x
ax
axaxax
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Cách 2: Cho một giá trị cụ thể rồi tính giới hạn bằng máy tính cầm tay. Chẳng han với
ta có . Do đó chọn Chọn D.
Câu 41. Cho là tham số thực. Tìm để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:
Vậy .
Cách 2: Thay lần lượt các giá trị của vào, rồi tìm cho đến khi gặp kết quả thì
dừng lại.
Câu 42. Cho và là các số thực khác Nếu thì bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Đặt . Rõ ràng là nếu thì không thể hữu hạn. Do đó
điều kiện đầu tiên là .
Khi đó và .
Vậy
Câu 43. Giới hạn
3
1 5 1
lim
4 3
x
x x
x x
bằng
a
b
(phân số tối giản). Giá trị của
a b
là
A.
1
. B.
1
9
. C.
1
. D.
9
8
Hướng dẫn giải
Chọn A.
a
2
a
4 4
3
2
lim 32 4.2
2
x a
x
x
2
2
1
1
lim ,
1
x
x mx m
C m
x
m
2.
C
2
m
2
m
1
m
1
m
2
2
1
1
lim
)1)(1(
)1)(1(
lim
1
1
lim
11
2
2
1
m
x
mx
xx
mxx
x
mmxx
C
xxx
22
mC
m
C 2
C
a
b
0.
2
2
lim 6
2
x
x ax b
x
a b
2
4
6
baxxxg
2
)(
( )
g
2 0
2
)(
lim
2
x
xg
x
( )
g a b
2 0 2 4
)
2
)(2()(
b
xxxg
2
2)
2
(lim
2
)(
lim
22
bb
x
x
xg
xx
.6286
2
26
2
)(
lim
2
baab
b
x
xg
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 44. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên
dương. Tổng bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
Ta có ;
Do đó
Vậy và .
Câu 45. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên
dương. Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
Sử dụng MTCT ta tính được:
;
nên . Vậy .
Giải tự luận: Đặt thì và
3
2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x m
x x n
m
n
m
2
m n
68
69
70
71
3
2
8x 11 x+7
3x 2
x
3
2 2
8x 11 3 7 3
3x 2 3x 2
x
x x
2
3
3
2 2
( 2)( 1)( 7 3)
( 2)( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)
x x
x x x
x x
2
3
3
8 1
( 1)( 7 3)
( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)
x x
x
2
2
3
3
8 8
lim
27
( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)
x
x
2
1 1
lim
6
( 1)( 7 3)
x
x x
3
2
2
8x 11 x+7 8 1 7
lim
3x 2 27 6 54
x
x
7; 54
m n
2 68
m n
3
2
3
6 9 27 54
lim ,
3 3 18
x
x x m
n
x x x
m
n
m
3
m n
55
56
57
58
3
2
6x 9 27x-54
( 3)( 3x-18)
x x
3
2
6x 9 27x-54
( 3) ( 6)
x x
3
2
3
6x 9 27x-54 1
lim
( 3) 6
x
x
3
1 1
lim
6 9
x
x
3
2
3
6x 9 27x-54 1
lim
( 3)( 3x-18) 54
x
x x
3 57
m n
3
t x
3
lim 0
x
t
3
2
6x 9 27x-54
( 3)x
3
2
6 9 27t+27
t
t
3
2 2
6 9 ( 3) ( 3) 27 27
t t t t
t t
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 46. Cho là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa để
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Ta có
Do đó
Câu 47. Cho và là các tham số thực. Biết rằng và thỏa
mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Do đó
Câu 48. Cho là một số thực dương. Tính giới hạn .
A. bằng . B. là . C. là . D. không tồn tại.
Đáp án D
Cách 1: Ta có
Do đó
, ,
a b c
0
, ,
a b c
2
9 2
lim 5
1
x
ax b x
cx

3
5
a b
c
3
5
a b
c
3
5
a b
c
3
5
a b
c
lim lim lim .
x x x
ax bx a b
ax b x a b
x x
cx cx c
c
x
  
2
2 2
2 2
9 9
9 2 3
1
1 1
lim .
x
ax b x a b
cx c

2
9 2 3
5 5
1
a
b
2
4 3 1
lim 0,
1
x
x x
ax b a
cx

b
9.
a b
9.
a b
9.
a b
9.
a b
lim lim .
x x
x x
ax b x ax b
x x
 
2
4 3 1 11
4 5
2 2
lim ; .
x
x x
ax b a b a b
x

2
4 3 1
0 4 5 9
2
a
2
1 1 1
lim
x a
x a
x a
2
1
a
. .
a x
x a ax
ax x a
x a x a
2 2
1 1 1 1 1
lim lim ;
x a x a
x a ax x a
x a

2
1 1 1 1
lim lim ;
x a x a
x a ax x a
x a

2
1 1 1 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy nên không tồn tại.
Cách 2: Cho a một giá trị cụ thể, chẳng hạn thay vào hàm số rồi sử dụng MTCT để
tính giới hạn.
Câu 49. Cho là một số nguyên dương. Tính giới hạn .
A. . B. . C. . D.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn với một giá trị cụ thể của rooif so sánh với đáp án.
Chẳng hạn ta có
Cách 2:
Do đó
Lưu ý:
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho giới hạn là hữu hạn.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Ta có Mà nên để
là hữu hạn thì điều kiện cần là
Thật vậy, khi Nên
Lưu ý: hữu hạn
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
2 2
1 1 1 1 1 1
lim
x a
x a
x a
2
1 1 1
,
a
1
n
1
1
lim
1 1
n
x
n
x x
2
n
1
2
n
1
2
n
2
2
n
n
lim .
x
x
x
3
1
3 1
1
1
1
...
...
n
n
n n n
n x x x
n x x x
x
x x x
2 1
2 1
1
1 1 1 1
1
1 1 1
.... ...
...
n
n
x x x x x x
x x x
2 2 2
2 1
1 1 1 1
1
lim .
n
x
n n
x
x
1
1 1
1 2
1
lim .
n
x
n n
x
x
1
1 1
1 2
1
k
2
1
1
lim( )
1 1
x
k
x x
2
k
2
k
k
2
k
.
k x k
x
x x
2 2
1 1
1
1 1
lim ; lim
x x
x k k x
2
1 1
1 2 1 0
lim
x
k
x
x
2
1
1
1
1
.
k k
2 0 2
, .
x
k
x x
x x
2 2
1 2 1 1
2
1 1
1 1
lim lim .
x x
k
x x
x
2
1 1
1 1 1
1 1 2
1
lim
n
x
k
x
x
1
1
1
1
.
k n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 51. Tìm giới hạn
0
1 1
lim ( *, 0)
n
x
ax
B n a
x
:
A.

B.

C.
a
n
D. 1
n
a
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Nhân liên hợp
Ta có:
1 2
1 2
0
( 1 1)( (1 ) (1 ) ... 1 1)
lim
( (1 ) (1 ) ... 1 1)
n n
n n
n n
n n
x n
n n
ax ax ax ax
B
x ax ax ax
1 2
0
lim
(1 ) (1 ) ... 1 1
n n
x n
n n
a a
B
n
ax ax ax
.
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt
1
1
n
n
t
t ax x
a
và
0 1
x t
1
1 1
1 1
lim lim
1 ( 1)( ... 1)
n n n
t t
t t a
B a a
t t t t t n
.
Câu 52. Tìm giới hạn
0
1 1
lim
1 1
n
m
x
ax
A
bx
với
ab
:
A.

B.

C.
am
bn
D. 1
am
bn
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Áp dụng bài toán trên ta có:
0 0
1 1
lim .lim .
1 1
n
m
x x
ax x a m am
A
x n b bn
bx
.
Câu 53. Tìm giới hạn
0
1 1
lim
m n
x
ax bx
N
x
:
A.

B.

C.
a b
m n
D.
a b
m n
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
0 0
1 1 1 1
lim lim
m n
x x
ax bx a b
N
x x m n
Câu 54. Tìm giới hạn
0
1 1
lim
1 1
m n
x
ax bx
N
x
:
A.

B.

C.
2
an bm
mn
D. 0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
0
1 1 1 1
lim .
1 1
m n
x
ax bx x
N
x x
x
2( )
.2
a b an bm
m n mn
.
Câu 55. Tìm giới hạn
0
1 1 1
lim
m n
x
ax bx
G
x
:
A.

B.

C.
a b
m n
D.
a b
m n
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
0 0
1 1 1
1 1
lim lim
m n
m
x x
ax bx
ax b a
G
x x n m
Câu 56. Tìm giới hạn
0
(2 1)(3 1)(4 1) 1
lim
n
x
x x x
F
x
:
A.
B.
C.
9
n
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt
(2 1)(3 1)(4 1) 1
n
y x x x y
khi
0
x
Và:
0 0
1 (2 1)(3 1)(4 1) 1
lim lim 9
n
x x
y x x x
x x
Do đó:
1 2
0
1 9
lim
... 1
n
n n
x
y
F
n
x y y y
Câu 57. Tìm giới hạn
3 4
0
1 1 1 1
lim
x
x x x
B
x
với
0

.:
A.

B.

C.
4 3 2
B
D.
4 3 2
B
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
3 4
1 1 1 1
x x x
3 34
1 1 ( 1 1) 1 (( 1 1) ( 1 1)
x x x x x x
34
3
0 0
1 1 1 1
lim( 1 1 ) lim 1
x x
x x
B x x x
x x
0
1 1
lim
x
x
x
Câu 58. Tìm giới hạn
2
0
1 1
lim
n m
x
mx nx
V
x
:
A.

B.

C.
2
mn n m
D.
2
mn n m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2 2
0 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
lim lim
m n
x x
nx mnx mx mnx
V
x x
( )
2
mn n m
.
Câu 59. Tìm giới hạn
3
1
1
1 1 ... 1
lim
1
n
n
x
x x x
K
x
:
A.

B.

C.
1
!
n
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
3 2 1
1 3
1 1
lim
!
(1 )( 1)...( ... 1)
n n
x
K
n
x x x x
.
Câu 60. Tìm giới hạn
2 2
0
1 1
lim
n n
x
x x x x
L
x
:
A.

B.

C.
2
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2 2
0
2
1 1 1 1
lim 2
1
n n
n
x
x x x x
L n
x x x
.
Câu 61. Tìm giới hạn
3
0
1 1
lim
1 2 1 3
n m
x
mx nx
V
x x
:
A.

B.

C.
2
an bm
mn
D.
mn n m
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
2
2 2
3
0
1 1
(1 ) 1
lim
1 2 1 3
n
m
x
mx
nx x
V
x x
x x
( )
.2 ( )
2
mn n m
mn n m
.
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho hàm số có giới
hạn hữu hạn khi
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án A
m
2
9 3 1
f x mx x x
.
x

3
m
3
m
0
m
0
m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Cách 1: Sử dụng MTCT tính toán khi ta được kết quả
. Vậy ta chỉ xét các đáp án A và D.
Lại sử dụng MTCT tính toán khi ta được kết quả .
Vậy loại Chọn D. Do đó đáp án đúng là A.
Cách 2: .
+ Nếu thì .
+ Nếu thì .
Ta thấy nếu thì và do đó
. Ngược lại nếu thì .
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 63. Giới hạn nếu.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn khi , ta được
Từ đó suy ra đáp án đúng là D
Cách 2:
Vì nên để thì
Câu 64. Cho và là các số thực khác . Biết , thì tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có
3
m
2
1
)1393(lim
2

xxx
x
1
m 

)139(lim
2
xxx
x
)139(lim)(lim
2

xxmxxf
xx
0
m 

)139(lim)(lim
2
xxmxxf
xx
0
m
lim lim
x x
mx x x x m
x
x
 
2
2
3 1
9 3 1 9
3
m
lim
x
m
x
x

2
3 1
9 0

)139(lim
2
xxmx
x
3
m
2
1
)1393(lim
2

xxx
x
2
lim( 3 5+ax)=+
x
x x

1
a
1
a
1
a
1
a
va`
a a
1 0
lim ; lim .
x x
x x x x x
 

2 2
3
3 5 3 5
2
lim lim .
x x
x x ax x a
x
x
 
2
2
3 5
3 5 1
lim
x


lim
x
x x ax


2
3 5
.
a a
1 0 1
a
b
0
2
lim ( 2) 3
x
ax x bx

a b
6
7
5
lim lim .
x x
b
ax x bx x a
x
x
 
2
2
2
2 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó nếu thì Vậy Khi đó
Vậy: Do đó
Câu 65. Cho và là các số thực khác . Biết số lớn hơn trong hai số
và là số nào trong các số dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Do đó nếu thì Vậy Khi đó ta có
Vậy: DO đó số lớn hơn trong hai số và là số 2.
Câu 66. Biết trong đó là phân số tối giản, và là
các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của và .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại ta được kết quả
Áp dụng kĩ thuật tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn ta có
Vậy
Từ đó chọn đáp án đúng là A.
Cách 2:
a
1
lim .
x
ax x bx

2
2
.
a
1
lim lim .
x x
bx b
x x bx
x x bx
 
2
2
2
2
2
2
.
b
b
3 6
2
.
a b
5
a
b
2
lim (ax+b- 6 2) 5
x
x x

b
4
3
1
lim lim .
x x
ax b x x x a b
x
x
 
2
2
6 2
6 2 1
a
1
lim .
x
ax b x x

2
6 2
.
a
1
lim lim .
x x
x
x b x x b b b
x x x
 
2
2
6 2 6
6 2 3
2
6 2
.
b b
3 5 2
a
b
32 3 2
lim ( 9 2 27 4 5)
x
m
x x x x
n

m
n
m
m
n
135
136
138
140
x
10
10
, .
5
0 185
27
.
m
n
5
27
x x x x x x x x x x
3 3
2 3 2 2 3 2
9 2 27 4 5 9 2 3 27 4 5 3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Suy ra
Câu 67. Cho và là các số nguyên dương. Biết , hỏi và
thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Làm tương tự như câu 49, ta có:
Do đó Suy ra là số chẵn. Vậy là số chẵn. Từ đó loại đáp án A và C.
Giải hệ được
Giải hệ được (loại).
Câu 68. Tìm giới hạn
1 2
lim [ ( )( )...( ) ]
n
n
x
C x a x a x a x
:
A.

B.

C.
1 2
...
n
a a a
n
D.
1 2
...
2
n
a a a
n
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt
1 2
( )( )...( )
n
n
y x a x a x a
1 1 1
( )( ... )
n n n n n
y x y x y y x x
1 1 1
...
n n
n n n
y x
y x
y y x x
1 2 1
lim ( ) lim
...
n n
n n n
x x
y x
y x
y y x x
 
1
1 1 1
1
lim
...
n n
n
n n n
x
n
y x
x
C
y y x x
x

.
Mà
32
1 2
1 2 1
lim lim( ... ... )
n n
n
n
n n
x x
b b
by x
a a a
x x x x
 
1 2
...
n
a a a
.
1
1
lim 1 0,..., 1
k n k
n
x
y x
k n
x

1 2 1
1
...
lim
n n n
n
x
y y x x
n
x

.
.
x x
x x x
x x x x x x
2
2 2
3
3 2 3 2 2
3
2 4 5
9 2 3
27 4 5 3 27 4 5 9
lim .
x
x x x x

3
2 3 2
2 4 5
9 2 27 4 5
6 9 9 9 27
a
b
32 3 2
7
lim ( 9 + ax 27 5)
27
x
x x bx

a
b
2 33
a b
2 34
a b
2 35
a b
2 36
a b
lim .
x
a b b a
x ax x bx

3
2 3 2
2 9
9 27 5
6 27 54
.
b a
2 9 14
a
a b
2
a b
b a
2 34
2 9 14
; .
a b
2 16
a b
b a
2 36
2 9 14
a
11
5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
1 2
...
a a a
C
n
.
Câu 69. Cho và là các số thực khác Giới hạn bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: .
Mà nên
Cách 2: Cho và các giá trị cụ thể, thay vào rồi tính giới han. Chẳng hạn với ,
sử dụng MTCT ta tính được . Từ đó chọn đáp án đúng là B.
Câu 70. Cho là các số thực khác Tìm hệ thức liên hệ giữa để:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1:
Lại có
Vậy .
Do đó hệ thức liên hệ giữa là
Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, chọn các giá trị cụ thể của thỏa mãn hệ thức
rồi thay vào để tính giới hạn. Nếu giới hạn tìm được bằng thì đó là đáp án đúng.
a
b
0.
0
1 1
lim
sin
x
ax
bx
2
a
b
2
a
b
2
a
b
2
a
b
lim lim( . . )
sin sin
x x
ax ax bx
bx x bx b
0 0
1 1 1 1 1
lim ;
sin
x
ax a
bx
0
1 1
2
1
sin
lim
0
bx
bx
x
;
2
sin
1
lim
0
b
a
bx
bax
x
a
b 1
ba
0
1 1 1
lim
sin 2
x
x
x
, ,c
a b
0,3 2 0.
b c
, ,
a b c
3
0
tan 1
lim .
2
1 1
x
ax
bx cx
1
3 2 10
a
b c
1
3 2 6
a
b c
1
3 2 2
a
b c
1
3 2 12
a
b c
3 3
tan tan
. .
1 x 1 x 1 1
ax ax x
a
ax
b c bx cx
0 0
tan sina 1
lim lim( . ) 1
cosax
x x
ax x
ax ax
3
0
1 x 1 x
lim
x
b c
x
3
0
1 x 1 1 x 1
lim( )
x
b c
x x
3 2
2 3 6
b c b c
3
0
tan 6a
lim
3 2
1 x 1 x
x
ax
b c
b c
, ,
a b c
6a 1 1
3 2 2 3 2 12
a
b c b c
, ,
a b c
1
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chẳng hạn, với đáp án A, chọn , sử dụng MTCT tính được
.
Vậy A không phải là đáp án đúng.
Tương tự vậy B và C cũng không phải là đáp án đúng.
Câu 71. Cho và là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Ta có
Mà ; nên
Cách 2: Cho m và n các giá trị cụ thể, thay vào rồi sử dụng MTCT tính giới hạn. Chẳng hạn
với ta tính được .
Vậy đáp án đúng là C
Câu 72. Tìm giới hạn
1
sin( )
lim.
sin( )
m
n
x
x
A
x
:
A.  B.  C.
n
m
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1 1 1 1
sin (1 ) sin (1 ) (1 ) 1
lim lim .lim .lim
sin (1 ) (1 ) sin (1 ) 1
m m n n
n m n m
x x x x
x x x x
A
x x x x
1 2
1 2
1 1
1 (1 )( ... 1)
lim lim .
1 (1 )( ... 1)
n n n
m m m
x x
x x x x n
x x x x m
1; 4; 1
a b c
3
0
tan 3
lim
5
1 4 1
x
x
x x
m
n
1
sin 1
lim
m n
x
x
x x
m n
n m
1
m n
1
n m
n( 1) sin(x-1) 1
1
m n m n
si x x
x x x x x
1
lim
1
m n
x
x x
m n
x
1
n( 1)
lim 1
1
x
si x
x
1
n( 1) 1
lim
m n
x
si x
x x m n
3; 1
m n
3
1
n( 1) 1 1
lim
2
x
si x
x x m n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 73. Tìm giới hạn
2
0
cos cos
lim
sin
m m
x
ax bx
H
x
:
A.

B.

C.
2 2
b a
n m
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2 2
2
0
2
cos 1 1 cos
lim
sin
2 2
m n
x
ax bx
b a
x x
H
x
n m
x
Câu 74. Tìm giới hạn
2
0
1 cos
lim
n
x
ax
M
x
:
A.

B.

C.
2
a
n
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2 1
1 cos
1 cos
1 cos ( cos ) ... ( cos )
n
n
n n n
ax
ax
ax ax ax
2
2 1
0 0
1 cos x 1
lim lim
1 cos ( cos ) ... ( cos )
n
n n n
x x
a
M
x
ax ax ax
1
.
2 2
a a
n n
.
Câu 75. Cho
( )
f x
là đa thức thỏa mãn
3
( ) 15
lim 12
3
x
f x
x
. Tính
3
2
3
5 ( ) 11 4
lim
6
x
f x
T
x x
.
A.
3
20
T . B.
3
40
T . C.
1
4
T
D.
1
20
T .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 76. Cho hàm số
1
0
,
1
0
2
ax
e
khix
x
f x
khix
với
0.
a
Tìm giá trị của
a
để hàm số
f x
liên tục
tại
0
0.
x
A.
1
a
. B.
1
2
a
. C.
1
a
. D.
1
2
a
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 77. Tìm
a
để các hàm số
2
4 1 1
khi 0
( )
(2 1)
3 khi 0
x
x
f x
ax a x
x
liên tục tại
x
A.
1
2
B.
1
4
C.
1
6
D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có :
0 0
4 1 1
lim ( ) lim
2 1
x x
x
f x
x ax a
0
4 2
lim
2 1
2 1 4 1 1
x
a
ax a x
Hàm số liên tục tại
2 1
0 3
2 1 6
x a
a
.
Câu 78. Cho hàm số
2
3
, 1
2
, 0 1
1
sin , 0
x x
x
f x x
x
x x x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
f x
liên tục trên
. B.
f x
liên tục trên
\ 0
.
C.
f x
liên tục trên
\ 1
. D.
f x
liên tục trên
\ 0;1
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
TXĐ:
D
.
Với
1
x
ta có hàm số
2
f x x
liên tục trên khoảng
1;
.
1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Với
0 1
x
ta có hàm số
3
2
1
x
f x
x
liên tục trên khoảng
0;1
.
2
Với
0
x
ta có
sin
f x x x
liên tục trên khoảng
;0
 .
3
Với
1
x
ta có
1 1
f
;
2
1 1
lim lim 1
x x
f x x
;
3
1 1
2
lim lim 1
1
x x
x
f x
x
Suy ra
1
lim 1 1
x
f x f
.
Vậy hàm số liên tục tại
1
x
.
Với.
x
.
ta có
0 0
f
;
3
0 0
2
lim lim 0
1
x x
x
f x
x
;
0 0
lim lim .sin
x x
f x x x
2
0 0
sin
lim . lim 0
x x
x
x
x
suy ra
0
lim 0 0
x
f x f
.
Vậy hàm số liên tục tại
x
.
4
Từ
1
,
2
,
3
và
4
suy ra hàm số liên tục trên
.
Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
1 1
khi 0
1
khi 0
1
x x
x
x
f x
x
m x
x
liên tục tại
0.
x
A.
1
m
. B.
2
m
. C.
1
m
. D.
0
m
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 80. Tìm
m
để các hàm số
3
2 2 1
khi 1
( )
1
3 2 khi 1
x x
x
f x
x
m x
liên tục trên
A.
1
m
B.
4
3
m C.
2
m
D.
0
m
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với
1
x
ta có
3
2 2 1
( )
1
x x
f x
x
nên hàm số liên tục trên khoảng
\ 1
Do đó hàm số liên tục trên
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại
1
x
Ta có:
(1) 3 2
f m
3
1 1
2 2 1
lim ( ) lim
1
x x
x x
f x
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3
1
2 2
3
3
2
lim 1
( 1) 2 ( 2)
x
x x
x x x x x
2
2 2
1 3
3
2
lim 1 2
2 ( 2)
x
x x
x x x x
Nên hàm số liên tục tại
4
1 3 2 2
3
x m m
Vậy
4
3
m là những giá trị cần tìm.
Câu 81. Tìm
m
để các hàm số
2
2 4 3 khi 2
( )
1
khi 2
2 3 2
x x
f x
x
x
x mx m
liên tục trên
A.
1
m
B.
1
6
m C.
5
m
D.
0
m
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với
x
ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục trên khoảng
;2
 và liên tục tại
x
.
Hàm số liên tục trên
;2
 khi và chỉ khi tam thức
2
( ) 2 3 2 0, 2
g x x mx m x
TH 1:
2
' 3 2 0
3 17 3 17
2 2
(2) 6 0
m m
m
g m
TH 2:
2
2
2
1
3 2 0
' 3 2 0
2
' 2
' ( 2)
m m
m m
m
x m
m
3 17
3 17
6
2
2
6
m
m
m
Nên
3 17
6
2
m
(*) thì
( ) 0, 2
g x x
2 2
lim ( ) lim 2 4 3 3
x x
f x x
2
2 2
1 3
lim ( ) lim
2 3 2 6
x x
x
f x
x mx m m
Hàm số liên tục tại
3
2 3 5
6
x m
m
(thỏa (*))
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 82. Cho hàm số liên tục tại Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Câu 83. Chon hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm
số liên tục tại .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có .
Tương tự ta có .(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)
Vậy nên không tồn tại. Vậy với mọi , hàm số đã cho
không liên tục tại .
Do đó đáp án đúng là A.
Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi để hiểu rõ hơn.
Câu 84. Cho hàm số
2
2
( 2) 2
khi 1
( )
3 2
8 khi 1
ax a x
x
f x
x
a x
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm
số liên tục tại
1x
?
2
2
2
2
4
3 2
2 6 2
x x
neáu x
x
f x x b neáu x
a b neáu x
2.
x
?
I a b
9
30
I
93
16
I
19
32
I
173
16
I
2
3
khi 3
.
3
khi 3
x
x
f x
x
m x
m
3
x
m
m
1
m
1
m
2
3 3 3 3 3
3
3 3
lim lim lim lim lim 1 1
3 3 3
x x x x x
x
x x
f x
x x x
3
lim 1
x
f x
3 3
lim lim
x x
f x f x
3
lim
x
f x
m
3
x
3
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1.
B.
0.
C.
3.
D.
2.
Hướng dẫn giải.
Chọn D
Ta có
2
1 1 1
1 2
( 2) 2
lim lim lim 2 3 2 8 1 .
3 2 3 2
x x x
x ax a
ax a x
ax a x a
x x
Hàm số liên tục tại
2
1
0
1 lim 1 8 1 8 .
8
x
a
x f x f a a
a
Câu 85. Cho hàm số
3
12 9
.
2 12
9
1 2
x
f x
ax b
x
x
Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục
tại
0
9.
x
Tính giá trị của
.
P a b
A.
1
2
P
B.
5
P
C.
17
P
D.
1
2
P
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 86. Cho phương trình trong đó là các tham số thực. Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình vô nghiệm với mọi .
B. Phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi .
C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm với mọi .
D. Phương trình có ít nhất ba nghiệm với mọi .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dễ thấy thì phương trình trở thành Vậy A, C, D sai. Do
đó B đúng.
Giải thích thêm: Xét bài toán “Chứng minh rằng phương trình
luôn có ít nhất một nghiệm với mọi ”. Ta có lời giải cụ thể như sau:
Đặt Ta có:
+ với mọi nên tồn tại một giá trị sao cho
.
3 2
0 1
x ax bx c
, ,
a b c
1
, ,
a b c
1
, ,
a b c
1
, ,
a b c
1
, ,
a b c
0
a b c
1
3
0 0.
x x
3 2
0 1
x ax bx c
, ,
a b c
3 2
.
f x x ax bx c
3 2
lim
x
x ax bx c

, ,
a b c
1
x x
1
0
f x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
+ với mọi nên tồn tại một giá trị sao cho
.
Vậy mà liên tục trên nên suy ra có ít nhất một nghiệm
trên khoảng . Từ đó suy ra ĐPCM.
Câu 87. Phương trình
5 4 3 2
1
5 4 1 0
2
x x x x x
có bao nhiêu nghiệm.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải.
Chọn D
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình sau có nghiệm
A. . B. .C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
+ Nếu thì phương trình đã cho trở thành
+ Nếu phương trình đã cho là một đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết
quả đã biết, phương trình có ít nhất một nghiệm.
Vậy với mọi phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
3 2
lim
x
x ax bx c

, ,
a b c
2
x x
2
0
f x
1 2
. 0
f x f x
f x
0
f x
1 2
;
x x
m
2017
2 2018
2 5 2 1 2 2 3 0.
m m x x x
1
\ ;2
2
m
1
; 2;
2
m

1
;2
2
m
m
2
2 5 2 0
m m
3
2 3 0 .
2
x x
2
2 5 2 0,
m m
,
m
| 1/51
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao ––
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao GIỚI HẠN A - LÝ THUYẾT CHUNG
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số u
có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết n
lim u  0 viết tắt là limu  0 hoặc u  0 , nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt n n n n
đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số u
có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và n
viết lim u a , viết tắt là limu a hoặc u a , nếu lim u a nn 0 n n n n
2. Một vài giới hạn đặc biệt 1 1 a) lim  0 ; lim
 0 với k nguyên dương n k n b) lim n
q  0 nếu q  1
c) Nếu u c ( c là hằng số) thì limu  lim c c n n
II. Định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 1:
a) Nếu limu a , lim v b thì n n
lim u v a b n n  
lim u v a b n n   lim u v   . a b n n u a  lim n  (nếu b  0 ) v b n
b) Nếu u  0 với mọi n và limu a thì a  0 và lim u a n n n
III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u ,u ,u ,.......u ,....... có công bội q với q  1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng 1 2 3 n u
S của cấp số nhân đó là: 2 1
S u u q u q  ...  . 1 1 1 1 q
IV. Giới hạn vô cực 1. Định nghĩa:  Ta nói dãy số u
có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ n
một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim u   hoặc n
lim(u )   hoặc u   n n  Ta nói dãy số u
có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ n
một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Khi đó ta viết lim u
  hoặc lim u   hoặc u   n n n
2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim k
n   với k nguyên dương b) lim n
q   nếu q  1 3. Định lý 2: u
a) Nếu limu a và lim v   thì lim n  0 n n vn u
b) Nếu lim u a  0 , lim v  0 và v  0 với mọi n thì lim n   n n n vn
c) Nếu lim u   và lim v a  0 thì lim u v   n n n n V. Một số lưu ý:
Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù
hợp với yêu cầu của bài toán
Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có
thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định lý:
a) Giả sử lim f x  L và lim g x  M . Khi đó: xx xx 0 0 
lim  f x  g x  L M   xx0 
lim  f x  g x  L M   xx0 
lim  f x.g x  . L M   xx0 f xL  lim  (nếu M  0 )
xx0 g xM
b) Nếu f x  0 với mọi x J \ x , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x thì L  0 và 0  0 lim
f x  L xx0
2. Một vài giới hạn đặc biệt  lim k
x   với k nguyên dương x  lim k
x   nếu k là số lẻ x  lim k
x   nếu k là số chẵn x
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn hữu hạn
Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có giới hạn vô cực.
Nếu lim f x  L  0 và lim g x   thì xx xx 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
lim  f x.g x 
 bằng  (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới hạn khác xx0 dấu. f x lim  0
xx0 g xg x lim
  (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu.
xx0 f x
Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp : x x  , x x 
, x   và x   0 0 HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa: Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng K và x K . Hàm số y f x gọi là 0
liên tục tại x x nếu lim f x  f x0  0 xx0
Hàm số không liên tục tại x x gọi là gián đoạn tại x 0 0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Hàm số y f x liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số
y f x gọi là liên tục trên đoạn  ;
a b nếu nó liên tục trên khoảng a,b và lim f x  f ax a  ;
lim f x  f bx b 
3. Một số định lý cơ bản
Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập  . Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và
các hàm số lượng giác y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x là những hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2. Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục tại điểm x . Khi đó: 0
a) Các hàm số y f x  g x , y f x  g x và y f x.g x liên tục tại điểm x0 f x b) Hàm số y
liên tục tại x nếu g x  0 0  g x 0
Định lý 3. Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a. f b  0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c  a;b sao cho f c  0 B - BÀI TẬP n 1
Câu 1. Tìm lim u biết u nn 2 k 1  n k A.  B.  C. 3 D. 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao lim u Câu 2. Tìm n biết u  2 2... 2 n  n dau can A.  B.  C. 2 D. 1  1 1 1 1 
Câu 3. Tìm giá trị đúng của S  2 1    ...   .......   .  2 4 8 2n  1 A. 2  1 . B. 2 . C. 2 2 . D. . 2  1 1 1 
Câu 4. Tính giới hạn lim   ....    1.2 2.3 nn   1   3 A. 0 B. 1. C. . D. Không có giới 2  1 1 1  Câu 5. Tính lim   ....    1.3 3.5 n 2n   1   2 A. 1. B. 0 . C. . D. 2 . 3  1 1 1 
Câu 6. Tính giới hạn: lim   ....   1.3 2.4 nn  2   3 2 A. . B. 1. C. 0 . D. . 4 3  1 1 1 
Câu 7. Tính giới hạn lim   ...    . 1.4 2.5 ( n n  3)   11 3 A. . B. 2 . C. 1. D. . 18 2  1  1   1 
Câu 8. Tính giới hạn: lim 1 1 ... 1  . 2   2   2   2  3   n  1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 1 1 1 n(n  1)
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số u  (1 )(1 )...(1 ) trong đó T .: n T T T n 2 1 2 n 1 A.  B.  C. D. 1 3 3 3 3 2 1 3 1 n 1
Câu 10. Tính giới hạn của dãy số u  . .... .: n 3 3 3 2 1 3 1 n 1 2 A.  B.  C. D. 1 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao n 2k 1
Câu 11. Tính giới hạn của dãy số u n.:  2k k 1 A.  B.  C. 3 D. 1 n n
Câu 12. Tính giới hạn của dãy số u n.: 2  n k k 1 A.  B.  C. 3 D. 1
Câu 13. Tính giới hạn của dãy số 2
u q  2q  ... n
nq với q  1 .: n q q A.  B.  C. D.   q2 1   q2 1 3 3 3 3
1  2  3  ...  n a lim  a,b   3   Câu 14. Biết n 1 b . Giá trị của 2 2 2a b là: A. 33 B. 73 C. 51 D. 99 1 1 1
Câu 15. Tính giới hạn của dãy số u    ...  : n 2 1  2 3 2  2 3
(n 1) n n n  1 A.  B.  C. 0 D. 1 3 3 3
(n 1) 1  2  ...  n
Câu 16. Tính giới hạn của dãy số u  : n 3 3n n  2 1 A.  B.  C. D. 1 9 2
1 a a  ...  n a
Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1. Tìm giới hạn I  lim . 2
1 b b  ...  n b 1 b A.  B.  C. D. 1 1 a u   2011 0  3 u
Câu 18. Cho dãy số (u ) được xác định bởi:  1 . Tìm lim n . n uu n 1  n n 2  un A.  B.  C. 3 D. 1 u   3  1
Câu 19. Cho dãy số u
được xác định bởi  . Tính limu . n  2 n   n   1 u
nu n  2 n 1  nA. lim u  1 . B. limu  4 . C. limu  3. D. limu  0 . n n n n  1 u  1   2
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi: 
. Tìm kết quả đúng của lim u . 1 n u   , n  1 n 1   2  un 1 A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao u  2 1 
Câu 21. Cho dãy số u thỏa mãn u  2 1  , 
n   Tính u . n . n u  2018 n 1   1  2   1 un A. u  7  5 2 B. u  2 C. u  7  5 2 D. u  7  2 2018 2018 2018 2018 1
Câu 22. Cho dãy số (x ) xác định bởi 2 x  , x
x x , n   1 n 1 1 2 nn n 1 1 1 Đặt S     . Tính lim S . n n x 1 x 1 x 1 1 2 n A.  B.  C. 2 D. 1 1 2 k
Câu 23. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x    ...  k k 2! 3! (k 1)! Tìm lim u với n n
u x x  ... n nx . n n 1 2 2011 1 1 A.  B.  C. 1 D. 1 2012! 2012! 1 2 k
Câu 24. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x    ...  . k k 2! 3! (k 1)! Tìm lim u với n n
u x x  ... n nx . n n 1 2 2011 1 1 A.  . B.  . C. 1 . D. 1 2012! 2012!
Câu 25. Cho hàm số f n  a n   b n   c n   * 1 2 3 n    với , a ,
b c là hằng số thỏa mãn
a b c  0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. lim f n  1 
B. lim f n  1
C. lim f n  0
D. lim f n  2 x x x x
Câu 26. Cho a, b   , (a, b)  1; n ab 1, ab  2,.. 
. . Kí hiệu r là số cặp số (u, v)     sao cho n r 1
n au bv . Tìm lim n  . n n ab 1 A.  . B.  . C. .
D. ab 1. ab
Câu 27. Cho dãy số (u ) xác định bởi u  3, 2u
u 1 với mọi n  1. Gọi S là tổng n số hạng n 1 n 1  n n
đàu tiên của dãy số (u ) . Tìm lim S . n n
A. lim S   . C. lim S  1.
B. lim S   .
D. lim S  1 . n n n n uu
Câu 28. Cho dãy số (u ) xác định bởi n 1
u  1, u  2, n u  
với mọi n  1. Tìm lim u . n 1 2 n2 2 n
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 3 5 4 A.  . B. . C. . D. . 2 3 3 1 u
Câu 29. Cho dãy số (u ) xác định bởi 2 u  , n uu
với mọi n  1. Tìm lim u . n 1 n 1 4  n 2 n 1 1 A. lim u  . C. lim u  . B. lim u  0 .
D. lim u   . n 4 n 2 n n u
Câu 30. Cho dãy số (u ) xác định bởi u  1, u
u  2n 1với mọi n  1. Khi đó 1 lim n bằng. n 1 n 1  n un A.  . B. 0. C. 1. D. 2. uu
Câu 31. Cho dãy số (u ) được xác định bởi n 1
u a, u b, n u  
với mọi n  1, trong đó a n 1 2 n2 2
và b là các số thực cho trước, a b . Tìm giới hạn của (u ) . n a  2b 2a b
A. lim u a . C. lim u  .
B. lim u b . D. lim u  . n n 3 n n 3 2 4n n  2
Câu 32. Cho dãy số (u ) với u
, trong đó a là tham số. Để (u ) có giới hạn bằng 2 thì n n 2 an  5 n
giá trị của tham số a là? A. -4. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: 2 2
lim( n an  5  n bn  3)  2 .
A. a b  2 .
B. a b  2 .
C. a b  4 .
D. a b  4 .
Câu 34. Tìm các số thực a và b sao cho 3 3
lim( 1 n  a n b)  0 . a  1  a  1 a  1  a  0 A. . B. . C. . D. .     b  0  b  0  b  1  b  1  n 2 3n  9n 1 n
Câu 35. Cho dãy số (u ) . Biết u
với mọi n  . Tìm u .  1  n k k nu k 1  2 n k 1  1 A. 1. B. . C. 0. D.  . 2 n 2
1 3  3  ...  3k Câu 36. lim bằng:  k 2 k 1  5 17 17 1 A. 0. B. . C. . D. . 100 200 8
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao GIỚI HẠN HÀM SỐ n a x ...  a x a
Câu 37. Tìm giới hạn 0 n 1 A  lim 
n , (a ,b  0) . m 0 0
x b x  ...  b x b 0 m 1  m 4 A.  . B.  . C. . D. Đáp án khác. 3 2
3x  5sin 2x  cos x Câu 38. lim bằng: 2 x x  2 A.  . B. 0 . C. 3 . D.  .
Câu 39. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn:  a b  lim  là hữu hạn:    2 2
x2  x  6x  8
x  5x  6 
A. a  4b  0.
B. a  3b  0.
C. a  2b  0.
D. a b  0. 4 4 x a
Câu 40. Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim bằng: xa x a A. 3 3a B. 3 2a C. 3 a D. 3 4a 2
x mx m 1
Câu 41. Cho C  lim
, m là tham số thực. Tìm m để C  2. 2 x 1  x 1 A. m  2 B. m  2  C. m  1 D. m  1 2
x ax b
Câu 42. Cho a và b là các số thực khác 0.Nếu lim
 6 thì a b bằng: x2 x  2 A. 2 B. 4  C. 6  D. 8
x  1 5x  1 a
Câu 43. Giới hạn lim bằng
(phân số tối giản). Giá trị của a b là x3 x  4x  3 b 1 9 A. 1. B. . C. 1  . D. 9 8
3 8x 11  x  7 m m Câu 44. Biết lim  trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên 2 x2 x  3x  2 n n
dương. Tổng 2m n bằng: A. 68 B. 69 C. 70 D. 71 3
6x  9  27x  54 m m Câu 45. Biết lim  , trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên x  x  3 2 3
x  3x 18 n n
dương. Khi đó 3m n bằng: A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 2
ax b 9x  2
Câu 46. Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c để lim  5 x cx 1 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao a  3b a  3b a  3b a  3b A.  5 . B.  5  . C.  5 . D.  5  . c c c c 2
 4x  3x 1 
Câu 47. Cho a và b là các tham số thực. Biết rằng lim  
ax b  0, a và b thỏa  x cx 1  
mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?
A. a b  9.
B. a b  9  .
C. a b  9.
D. a b  9  .  1 1  1
Câu 48. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim  .  
xa x
a  x a2 1 A. bằng  . B. là  . C. là  . D. không tồn tại. 2 an 1 
Câu 49. Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim  .   1  1 n xx 1 x n n 1 n 1 n  2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 1 k
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim(  ) là hữu hạn. 2 x 1  x 1 x 1 A. k  2 .
B. k  2 . C. k  2 . D. k  2 . n 1 ax 1
Câu 51. Tìm giới hạn B  lim (n  *  , a  0) : x0 x a n A.  B.  C. D. 1 n a n 1 ax 1
Câu 52. Tìm giới hạn A  lim với ab  0 : 0 m x 1 bx 1 am am A.  B.  C. D. 1 bn bn m 1 n
ax  1 bx
Câu 53. Tìm giới hạn N  lim : x0 x a b a b A.  B.  C.D.m n m n m 1 n
ax  1 bx
Câu 54. Tìm giới hạn N  lim : x0 1 x 1 2an bmA.  B.  C. D. 0 mn m 1 n
ax 1 bx 1
Câu 55. Tìm giới hạn G  lim : x0 x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao a b a b A.  B.  C.D.m n m n
n (2x 1)(3x  1)(4x 1) 1
Câu 56. Tìm giới hạn F  lim : x0 x 9 A.  B.  C. D. 0 n 3 4
1  x 1  x 1  x 1
Câu 57. Tìm giới hạn B  lim
với   0 .: x0 x A.  B.  C. B    D. B    4 3 2 4 3 2  n m
1 mx  1 nx
Câu 58. Tìm giới hạn V  lim : 2 x0 x
mnn m
mnn mA.  B.  C. D. 2 2 1 x 3 1 x ...1 nx
Câu 59. Tìm giới hạn K  lim :   n x 1 x 1 1 1 A.  B.  C. D. 0 n!  n n 2
1 x x    2 1 x x
Câu 60. Tìm giới hạn L  lim : x0 x A.  B.  C. 2n D. 0  n m
1 mx  1 nx
Câu 61. Tìm giới hạn V  lim : 3 x0
1 2x  1 3x 2an bmA.  B.  C.
D. mn n mmn
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f x 2
mx  9x  3x 1 có giới
hạn hữu hạn khi x   .  A. m  3 B. m  3 C. m  0 D. m  0 Câu 63. Giới hạn 2
lim ( x  3x  5+ax) = + nếu. x A. a  1 . B. a  1 . C. a  1 . D. a  1 . 2
lim (ax x bx  2)  3 a b 0 a b
Câu 64. Cho và là các số thực khác . Biết x , thì tổng bằng A. 2 . B. 6  . C. 7 . D. 5  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Câu 65. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết 2
lim (ax+b- x  6x  2)  5 số lớn hơn trong hai số x a b
và là số nào trong các số dưới đây? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . m m Câu 66. Biết 2 3 3 2
lim ( 9x  2x  27x  4x  5)   trong đó
là phân số tối giản, m và n là x n n
các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n . A. 135 . B. 136 . C. 138 . D. 140 . 7
Câu 67. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết 2 3 3 2
lim ( 9x + ax  27x bx  5)  , hỏi a và x 27
b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. a  2b  33 .
B. a  2b  34 .
C. a  2b  35 .
D. a  2b  36 .
Câu 68. Tìm giới hạn C  lim [ n (x a )(x a )...(x a )  x] : 1 2 n x
a a  ...  a
a a  ...  a A.  B.  C. 1 2 n D. 1 2 n n 2n 1 ax 1
Câu 69. Cho a và b là các số thực khác 0.Giới hạn lim bằng: x0 sin bx a a 2a 2a A. B. C. D.  2b 2b b b
Câu 70. Cho a, b, c là các số thực khác 0, 3b  2c  0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để: tan ax 1 lim  . 3 x0
1 bx  1 cx 2 a 1 a 1 a 1 a 1 A. B. C. D.  3b  2c 10 3b  2c 6 3b  2c 2 3b  2c 12 sin  x   1
Câu 71. Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn lim bằng: 1 m n xx x 1 1
A. m n
B. n m C. D. m n n m sin( m  x )
Câu 72. Tìm giới hạn A  lim. : 1  sin( n x  x ) n A.  B.  C. D. 0 m m cos m ax  cos bx
Câu 73. Tìm giới hạn H  lim : 2 x0 sin x b a A.  B.  C. D. 0 2n 2m
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 1 n  cos ax
Câu 74. Tìm giới hạn M  lim : 2 x0 x a A.  B.  C. D. 0 2n f (x) 15
3 5 f (x) 11  4
Câu 75. Cho f (x) là đa thức thỏa mãn lim
 12 . Tính T  lim . 2 x3 x  3 x 3  x x  6 3 3 1 1 A. T  . B. T  . C. T D. T  . 20 40 4 20 HÀM SỐ LIÊN TỤC ax
e 1 khix  0   Câu 76. Cho hàm số   x f x  
, với a  0. Tìm giá trị của a để hàm số f x liên tục 1  khix  0   2 tại x  0. 0 1 1 A. a  1 . B. a  . C. a  1 . D. a   2 2  4x 1 1  khi x  0
Câu 77. Tìm a để các hàm số 2
f (x)  ax  (2a 1)x
liên tục tại x  0 3 khi x  0  1 1 1 A. B. C. D. 1 2 4 6 2 x , x  1  3  2x
Câu 78. Cho hàm số f x  
, 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 x
x sin x , x  0 
A. f x liên tục trên  .
B. f x liên tục trên  \   0 .
C. f x liên tục trên  \  1 .
D. f x liên tục trên  \ 0;  1 .
 1 x  1 x khi x  0  
Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số   x f x  
liên tục tại x  0. 1 xm  khi x  0   1 x A. m  1. B. m  2  . C. m  1. D. m  0 3
x  2  2x 1  khi x  1
Câu 80. Tìm m để các hàm số f (x)   x 1 liên tục trên  3  m  2 khi x  1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 4 A. m  1 B. m C. m  2 D. m  0 3  2x  4  3 khi x  2 
Câu 81. Tìm m để các hàm số f (x)   x 1 liên tục trên  khi x  2  2
x  2mx  3m  2 1 A. m  1 B. m   C. m  5 D. m  0 6 x x  2  neáu x  2 2 x   4 
Câu 82. Cho hàm số f x  2 x  3b
neáu x  2 liên tục tại x  2. Tính I a b ?
  2ab6 neáu x 2    9 93 19 173 A. I B. I   C. I D. I   30 16 32 16  x  2 3 
Câu 83. Chon hàm số f x khi x  3  
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm x  3  m khi x  3 
số liên tục tại x  3. A. m  . B. m   . C. m  1. D. m  1  . 2
ax  (a  2)x  2 khi x 1 
Câu 84. Cho hàm số f (x)   x  3  2
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm  2 8  a khi x  1 
số liên tục tại x  1 ? A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. 12   x  9 
Câu 85. Cho hàm số f x     . ax 2b 12
Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục   x  9 3  x 1  2
tại x  9. Tính giá trị của P a  . b 0 1 1 A. P B. P  5 C. P  17 D. P   2 2
Câu 86. Cho phương trình 3 2
x ax bx c  0  
1 trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình  
1 vô nghiệm với mọi a, b, c .
B. Phương trình  
1 có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c .
C. Phương trình  
1 có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
D. Phương trình  
1 có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c . 1
Câu 87. Phương trình 5 4 3 2 x
x  5x x  4x 1  0 có bao nhiêu nghiệm. 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm
m m  x  2017 2  2018 2 5 2 1 x
 2  2x  3  0.  1   1  1 
A. m   \  ; 2 . B. m  ;   2;  
 .C. m ;2 . D. m   .  2   2   2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
C - HƯỚNG DẪN GIẢI GIỚI HẠN DÃY SỐ n 1
Câu 1. Tìm lim u biết u nn 2 k 1  n k A.  B.  C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 1 1 n n Ta có:  
, k  1, 2,..., n Suy ra  u n 2 2 2 n n n k n  1 2 2 n n n 1 n n Mà lim  lim
 1 nên suy ra lim u  1 . n 2 2 n n n 1
Câu 2. Tìm lim u biết u  2 2... 2 n n  n dau can A.  B.  C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn C. n n 1 1 1  1   1   ... 1  1  Ta có: 2 2 2 2n  2 u 2 2    ,nên  2 lim u lim 2    2 . n n  1 1 1 1  S  2 1    ...   .......  
Câu 3. Tìm giá trị đúng của  2 4 8 2n  . 1 A. 2  1 . B. 2 . C. 2 2 . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C.  1 1 1 1  1 Ta có: S  2 1    ...   .......  2.  2 2   .  2 4 8 2n 1  1  2  1 1 1 
Câu 4. Tính giới hạn lim   ....    1.2 2.3 nn   1   3 A. 0 B. 1. C. . D. Không có giới 2 hạn. Hướng dẫn giải Chọn B.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Đặt : A    ....   1    ...    1   1.2 2.3 n n   1 2 2 3 n n 1 n  1 n 1  1 1 1  n 1  lim    ....    lim  lim  1 1.2 2.3 n n   1 n 1 1   1 n  1 1 1  Câu 5. Tính lim   ....    1.3 3.5 n 2n   1   2 A. 1. B. 0 . C. . D. 2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 Đặt A    ....  1.3 3.5 n 2n   1 2 2 2  2A    ....  1.3 3.5 n 2n   1 1 1 1 1 1 1 1  2A  1      ...   3 3 5 5 7 n 2n 1 1 2n  2A  1  2n 1 2n 1 n
A  2n 1  1 1 1  n 1 1 Nên lim    ....    lim  lim  . 1.3 3.5 n 2n   1 2n 1 1 2   2  n  1 1 1 
Câu 6. Tính giới hạn: lim   ....   1.3 2.4 nn  2   3 2 A. . B. 1. C. 0 . D. . 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A.  1 1 1  1  2 2 2  Ta có : lim   ....   lim   ....      1.3 2.4 nn  2 2 1.3 2.4 nn  2     1  1 1 1 1 1 1 1  1  1 1  3  lim 1     ...      lim 1   .   2  3 2 4 3 5 n n  2  2  2 n  2  4  1 1 1 
Câu 7. Tính giới hạn lim   ...    . 1.4 2.5 ( n n  3)  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 11 3 A. . B. 2 . C. 1. D. . 18 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1:  1 1 1  1  1 1 1 1 1 1 1  lim   ...   lim 1      ...        1.4 2.5 n(n  3) 3     4 2 5 3 6 n n  3  1  1 1 1 1 1   lim 1        3   2 3 n 1 n  2 n  3  2 11  3n 12n 11  11   lim    . 18 n  
1 n  2n  3 18  
Cách 2: Bấm máy tính như sau: C  lim [ n (x a )(x a )...(x a )  x] và so đáp án (có 1 2 n x
thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).  1  1   1 
Câu 8. Tính giới hạn: lim 1 1 ... 1  . 2   2   2   2  3   n  1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1:  1  1   1   1  1  1   1   1   1  lim 1 1 ... 1  lim 1 1 1 1 ... 1 1  2   2   2             2  3   n   2  2  3  3   n  n  n n n n n 1  n 1  n 1 y x y x ( y x)( y y x ... x        
)  y x n 1 n 1  n 1 yy
x  ...  x n n y x
Cách 2: Bấm máy tính như sau:  lim ( y x)  lim và so đáp án (có n 1  n2 n 1 x x yy
x  ...  x   
thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn). 1 1 1 n(n  1)
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số u  (1 )(1 )...(1
) trong đó T .: n T T T n 2 1 2 n 1 A.  B.  C. D. 1 3 Hướng dẫn giải Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 1 2
(k 1)(k  2) Ta có: 1  1  T k(k  1) k(k  1) k 1 n  2 1 Suy ra u  .  lim u  . n 3 n n 3 3 3 3 2 1 3 1 n 1
Câu 10. Tính giới hạn của dãy số u  . .... .: n 3 3 3 2 1 3 1 n 1 2 A.  B.  C. D. 1 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 3 2 k 1
(k 1)(k k 1) Ta có  3 2 k 1
(k 1)[(k 1)  (k 1)  1] 2 2 n n  1 2 Suy ra  u  .  lim u n 3 (n 1) n n 3 n 2k 1
Câu 11. Tính giới hạn của dãy số u n.:  2k k 1 A.  B.  C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1  1 1 1  2n 1 Ta có: u u     ...   n n  2 n 1   n 1 2 2  2 2 2  2  1 3 2n 1  u    lim u  3 . n n 1 2 2 2  n n n
Câu 12. Tính giới hạn của dãy số u n.: 2  n k k 1 A.  B.  C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn D. n nn 1  Ta có: nu n   u 1  2 n 2 2 n 2 n n n 1 n 1 n 1 nu 1 
 0  lim u  1 . n 2 n 1 n
Câu 13. Tính giới hạn của dãy số 2
u q  2q  ... n
nq với q  1 .: n
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao q q A.  B.  C. D.   q2 1   q2 1 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: 2 3 1 u qu q q q ... n n q nq         n n 1 nq q n 1
 (1 q)u q
nq  . Suy ra lim u  . n 1 q n 1 q2 3 3 3 3
1  2  3  ...  n a Câu 14. Biết lim 
a,b   . Giá trị của 2 2 2a b là: 3   n 1 b A. 33 B. 73 C. 51 D. 99 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 1 1
Câu 15. Tính giới hạn của dãy số u    ...  : n 2 1  2 3 2  2 3
(n 1) n n n  1 A.  B.  C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 1 1 Ta có:  
(k  1) k k k  1 k k  1 1 Suy ra u  1  lim u  1 n n n 1 3 3 3
(n 1) 1  2  ...  n
Câu 16. Tính giới hạn của dãy số u  : n 3 3n n  2 1 A.  B.  C. D. 1 9 Hướng dẫn giải Chọn C. 2
n(n 1)  Ta có: 3 3 3
1  2  ...  n   3    2 n(n 1) 1 Suy ra u   lim u  . n 3
3(3n n  2) n 9
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 2
1 a a  ...  n a
Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1. Tìm giới hạn I  lim . 2
1 b b  ...  n b 1 b A.  B.  C. D. 1 1 a Hướng dẫn giải Chọn C. n 1 a n 1   Ta có 2 1, , ,..., n a a
a là một cấp số nhân công bội a 2
1 a a  ...  a  1a n 1 b n 1   Tương tự 2
1 b b  ...  b  1b n 1 1   a 1 b Suy ra lim 1 lim   a In 1 1   b 1 a 1 b
( Vì a  1, b  1 n 1  n 1 lim a lim    b  0 ). u   2011 0  3 u
Câu 18. Cho dãy số (u ) được xác định bởi:  1 . Tìm lim n . n uu n 1  n n 2  un A.  B.  C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta thấy u  0, nn 3 1 Ta có: 3 3 uu  3   (1) n 1  n 3 6 u u n n Suy ra: 3 3 3 3 u u
 3  u u  3n (2) n n 1  n 0 1 1 1 1 Từ (1) và (2), suy ra: 3 3 3 uu  3    u  3   n 1  n 3 u  3nn u  3n2 2 3 3n 9n 0 0 1 n 1 1 n 1 Do đó: 3 3
u u  3n   n 0   (3) 2 3  kk k 9 1 k 1 n 1 1 1 1 1 n 1 n 1 Lại có:  1   ...   2   2  .  n  2n   2 2  k n n nkk k 1.2 2.3 ( 1) 1 k 1 k 1 2 2n Nên: 3 3 3
u  3n u u  3n   0 n 0 9 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 3 3 3 u u u 2 2 Hay 0 n 0 3    3    . n n n 9n 3 n 3 u Vậy lim n  3 . n u   3  1
Câu 19. Cho dãy số u
được xác định bởi  . Tính limu . n  2 n   n   1 u
nu n  2 n 1  nA. lim u  1 . B. limu  4 . C. limu  3. D. limu  0 . n n n n Hướng dẫn giải Chọn A.  1 u  1   2
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi: 
. Tìm kết quả đúng của lim u . 1 n u   , n  1 n 1   2  un 1 A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 2 3 4 5 Ta có: u  ; u  ; u  ; u  ; u  .;... 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 n Dự đoán u  với * n   n n 1
Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp. n 1 Từ đó lim u  lim  lim  1. n n  1 1 1 nu  2 1 
Câu 21. Cho dãy số u thỏa mãn u  2 1  , 
n   Tính u . n . n u  2018 n 1   1  2   1 un A. u  7  5 2 B. u  2 C. u  7  5 2 D. u  7  2 2018 2018 2018 2018 Hướng dẫn giải Chọn A. 1
Câu 22. Cho dãy số (x ) xác định bởi 2 x  , x
x x , n   1 n 1 1 2 nn n
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 1 1 1 Đặt S     . Tính lim S . n n x 1 x 1 x 1 1 2 n A.  B.  C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn C.
Từ công thức truy hồi ta có: xx , n   1, 2,... n 1  n
Nên dãy (x ) là dãy số tăng. n
Giả sử dãy (x ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim x x n n
Với x là nghiệm của phương trình: 2
x x x x  0  x vô lí 1
Do đó dãy (x ) không bị chặn, hay lim x   . n n 1 1 1 1 Mặt khác:    x x (x 1) x x 1 n 1  n n n n 1 1 1 Suy ra:   x 1 x x n n n 1  1 1 1 1 Dẫn tới: S    2   lim S  2  lim  2 n n x x x x 1 n 1  n 1  n 1  1 2 k
Câu 23. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x    ...  k k 2! 3! (k 1)! Tìm lim u với n n
u x x  ... n nx . n n 1 2 2011 1 1 A.  B.  C. 1 D. 1 2012! 2012! Hướng dẫn giải Chọn C. k 1 1 1 Ta có:   nên x  1 (k 1)! k ! (k 1)! k (k 1)! 1 1 Suy ra x x  
 0  x x k k 1  k k 1 (k  2)! (k 1)!  Mà: n n n x
x x  ... n nx  2011x 2011 1 2 2011 2011 1 Mặt khác: lim  lim n x 2011xx  1 2011 2011 2011 2012!
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 1 Vậy lim u  1 . n 2012! 1 2 k
Câu 24. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x    ...  . k k 2! 3! (k 1)! Tìm lim u với n n
u x x  ... n nx . n n 1 2 2011 1 1 A.  . B.  . C. 1 . D. 1 2012! 2012! Hướng dẫn giải Chọn C k 1 1 1 Ta có:   nên x  1 . (k 1)! k ! (k 1)! k (k 1)! 1 1 Suy ra x x  
 0  x x . k k 1  k k 1 (k  2)! (k 1)!  Mà: n n n x
x x  ... n nx  2011x . 2011 1 2 2011 2011 1 Mặt khác: lim  lim n x 2011xx  1 . 2011 2011 2011 2012! 1 Vậy lim u  1 . n 2012!
Câu 25. Cho hàm số f n  a n   b n   c n   * 1 2 3 n    với , a ,
b c là hằng số thỏa mãn
a b c  0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. lim f n  1 
B. lim f n  1
C. lim f n  0
D. lim f n  2 x x x x Hướng dẫn giải Chọn C
Câu 26. Cho a, b   , (a, b)  1; n ab 1, ab  2,.. 
. . Kí hiệu r là số cặp số (u, v)     sao cho n r 1
n au bv . Tìm lim n  . n n ab 1 A.  . B.  . C. .
D. ab 1. ab Hướng dẫn giải Chọn C n 1 Xét phương trình 0;  (1). n   
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Gọi (u , v ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u,v) là một nghiệm nguyên 0 0
dương khác (u , v ) của (1). 0 0
Ta có au bv  ,
n au bv n suy ra a(u u )  b(v v )  0 do đó tồn tại k nguyên 0 0 0 0 v 1
dương sao cho u u k ,
b v v ka . Do v là số nguyên dương nên 0
v ka  1  k  0 0 0 a . (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên  v 1  n u 1 
dương cộng với 1. Do đó 0 0 r  1    1. na   ab b a      n u 1 n u 1
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 0 0    r    1. n ab b a ab b a 1 u 1 r 1 u 1 1 Từ đó suy ra: 0 n 0        . ab nb na n ab nb na n r 1
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n  . n n ab
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + cos 5x lim và so đáp án. 9 2x x  1  0
Câu 27. Cho dãy số (u ) xác định bởi u  3, 2u
u 1 với mọi n  1. Gọi S là tổng n số hạng n 1 n 1  n n
đàu tiên của dãy số (u ) . Tìm lim S . n n
A. lim S   . C. lim S  1.
B. lim S   .
D. lim S  1 . n n n n Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 Cách 1: Ta có 2uu 1  uu
. Đặt v u 1. n 1  n n 1  2 n 2 n n 1 1 1 1 Khi đó: vu 1  u  1  u 1  vvn n 1  n 1  nn  . Vậy
là một cấp số nhân có công 2 2 2 2 n 1 bội q
. Gọi T là tổng n số hạng đầu tiên của vn  . 2 n n  1  1 1 nq   n n  2   1     1   
Ta có: T v .  v .  2v .1
 . Suy ra: S T n  2v .1   n n 1 1 q 1 1 1     n n 1     1  2     2    2 . Vậy l imS   . n 1 1
Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình: A A X : Y X  : X Y . 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Bấm r, máy hỏi A? nhập 0 , máy hỏi X? nhập 3, máy hỏi Y? Nhập 0 , bấm =
liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao. uu
Câu 28. Cho dãy số (u ) xác định bởi n 1
u  1, u  2, n u  
với mọi n  1. Tìm lim u . n 1 2 n2 2 n 3 5 4 A.  . B. . C. . D. . 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Sử dụng MTCT. Qui trình bấm máy
Kết quả thu được
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr1=2=======
========================================
========================================
========================================
Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn 1, 6 ta được 5 1, 66666667  . 3 5
Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng . 3 u u
Bổ sung: Cho dãy số u
u a u b n n 1 u   n   1
n  được xác định bởi , , với , 1 2 n2 2
trong đó a, b là các số thực cho trước, a b . Người ta chứng minh được rằng a  2b lim u  . n 3 1 u
Câu 29. Cho dãy số (u ) xác định bởi 2 u  , n uu
với mọi n  1. Tìm lim u . n 1 n 1 4  n 2 n 1 1 A. lim u  . C. lim u  . B. lim u  0 .
D. lim u   . n 4 n 2 n n Hướng dẫn giải Chọn B. L  0 L
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L . Khi đó ta có: 2 L L  2  2L L   1 . 2 L   2 1
Tuy nhiên đến đây ta không còn căn cứ để kết luận L  0 hay L  . 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là 0 . Vậy chọn Chọn B. X
Y X   2 9 1, 706192802.10 u
Câu 30. Cho dãy số (u ) xác định bởi u  1, u
u  2n 1với mọi n  1. Khi đó 1 lim n bằng. n 1 n 1  n un A.  . B. 0. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Ta có 2 u  1 ; 2
u  1 2.1 1  2 ; 2 2
u  2  2.2  1  9  3 ;. 1 2 3 Dự đoán 2
u n . Khi đó u
u  2n 1  n 1 2 u n n   1 n 1  n  2 . Vậy . n n un  2 1 Suy ra n 1 lim   lim  1. 2 u n n
Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình. Qui trình bấm máy
Kết quả thu được
QnQrQ)+2Qz+1QyaQnRQ)$QyQ)QrQnQyQzQrQz+1r1=1= =================== Y
Bấm r, máy hỏi X? nhập 1 , máy hỏi A? nhập bấm = liên tiếp, theo dõi giá trị của , ta thấy X giá trị đó dần về 1.
Nhận xét: Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi n chưa đủ lớn thì n  2 1
chênh lệch giữa n  2 1 và 2
n là khá xa nên giá trị của khá xa so với 1. 2 n uu
Câu 31. Cho dãy số (u ) được xác định bởi n 1
u a, u b, n u  
với mọi n  1, trong đó a n 1 2 n 2 2
và b là các số thực cho trước, a b . Tìm giới hạn của (u ) . n a  2b 2a b
A. lim u a . C. lim u  .
B. lim u b . D. lim u  . n n 3 n n 3 Hướng dẫn giải Chọn C.
Đây là một bài toán chứa tham số.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Vì là bài toán trắc nghiệm nên có một cách là cho a và b các giá trị cụ thể, rồi sử dụng
MTCT để tìm giới hạn, từ đó tìm được đáp án đúng. a  2b 8 2a b
a  2b 2a b
Chẳng hạn cho a  2, b  3 . Khi đó  ,  7 và a, b, , đôi một 3 3 3 3 3 khác nhau. Nhập vào màn hình: Qui trình bấm máy
Kết quả thu được
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr2=3======
======================================
======================================
===================================== 8
Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,6 , ta được 2,6  . 3 8
Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng . 3 uu
Bổ sung: Cho dãy số u
u a u b n 1  n u  n  1
n  được xác định bởi , , , trong 1 2 n2 2
đó a, b là các số thực cho trước, a b .
a) Chứng minh dãy uu2n 1
2n  là dãy giảm, còn dãy là dãy tăng. x x b) Chứng minh rằng 2 1 xxn   1 . n2 n 1  2n
c) Chứng minh rằng 2xx  2x x n   1. n2 n 1  2 1 a  2b
d) Chứng minh rằng un  có giới hạn và giới hạn đó là . 3 2 4n n  2
Câu 32. Cho dãy số (u ) với u
, trong đó a là tham số. Để (u ) có giới hạn bằng 2 thì n n 2 an  5 n
giá trị của tham số a là? A. -4. B. 2. C. 4. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 4n n  2
Dễ thấy với a  2 thì lim u  lim  2 . n 2 2n  5 Thật vậy: 2 4n n  2
Nếu a  0 thì lim u  lim   . n 5 2 4n n  2 4
Nếu a  0 thì lim u  lim  . n 2 an  5 a 4
Do đó để lim u  2 thì  2  a  2 . n a
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: 2 2
lim( n an  5  n bn  3)  2 .
A. a b  2 .
B. a b  2 .
C. a b  4 .
D. a b  4 . Hướng dẫn giải Chọn D.
Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta có: 2 a b a b n  2 2 2   n
n an  5  n bn  3   . 2 2
n an  5  n bn  3 a 5 b 3 1   1  2 2 n n n n a b Suy ra 2 2 lim
n an  5  n bn  3  . Do đó để   2  2 2 lim
n an  5  n bn  3   2 a b
 2  a b  4 . 2
Câu 34. Tìm các số thực a và b sao cho 3 3
lim( 1 n  a n b)  0 . a  1  a  1 a  1  a  0 A. . B. . C. . D. .     b  0  b  0  b  1   b  1  Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 3 3 lim
1 n an b  0 3 3  b  lim
1 n an . Để 3 3 lim
1 n an hữu hạn thì      
a  0 ( xem lại phần ví dụ ). phần Ví dụ). Ta có 3 3 lim
1 n n  0 . Vậy b  0.   n 2 3n  9n 1 n
Câu 35. Cho dãy số (u ) . Biết u
với mọi n  . Tìm u .  1  n k k nu k 1  2 n k 1  1 A. 1. B. . C. 0. D.  . 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: n 1  n 3n  2 1  9 n   2 1 3n  9n uu u  
 3n  6  3 n 1  3. n 1   k k   k 1  k 1  2 2
Suy ra u  3n  3. n
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao n 2 1 3n  9n 3 1 Vậy lim u  lim   .  k nun n n k 1 2 3 3 2.3 2 n 2
1 3  3  ...  3k Câu 36. lim bằng:  k 2 k 1  5 17 17 1 A. 0. B. . C. . D. . 100 200 8 Hướng dẫn giải Chọn C. k 1  i 1 3   n 2
1 3  3  ...  3k n Ta có: i 1 lim  lim  .   k 2 k 2 k 1  5 k 1  5
Do đó nên rất khó để sử dụng MTCT đối với bài toán này. Ta có: k 1  i 1  3 1 3  n n k 1 k k 3  1 3 n  3  1 n  1  3 1 17 i 1  5 5     .   .     k 2 k 2     k  5 k  2.5 50 k  5  50 k  5  50 3 50 1 1 1 1 1 200 1 1 5 5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao GIỚI HẠN HÀM SỐ n a x ...  a x a
Câu 37. Tìm giới hạn 0 n 1 A  lim 
n , (a ,b  0) . m 0 0
x b x  ...  b x b 0 m 1  m 4 A.  . B.  . C. . D. Đáp án khác. 3 Hướng dẫn giải Chọn D a a a n 1 n 1 x (a   ...  n   ) 0 n 1  n Ta có:  lim x x x A x b b b m 1 m 1 x (b   ...  m   ) 0 m 1  m x x x a a a 1 n 1 a   ...  n   0 n 1  n a  Nếu x x x 0
m n A  lim  . x b b b 1 m 1  m b0 b   ...   0 m 1  m x x x a a a 1 n 1 a   ...  n   0 n 1  n  Nếu    lim x x x m n A  0 x  b b b m n 1 m 1 x (b   ...  m   ) 0 m 1  m x x x
( Vì tử  a , mẫu  0 ). 0  a a a n m 1 n 1 x (a   ...  n   ) 0 n 1  n
 khi a .b  0
 Nếu m n , ta có: 0 0  lim x x x A   . x b b b 1 m 1  m  khi a b  0  0 0 b   ...   0 m 1  m x x x 2
3x  5sin 2x  cos x Câu 38. lim bằng: 2 x x  2 A.  . B. 0 . C. 3 . D.  . Hướng dẫn giải Chọn B 2
3x  5sin 2x  cos x
6x 10sin 2x  cos 2x 6x
10sin 2x  cos 2x lim  lim  lim  lim 2 2 2 2 x x  2 x 2x  4
x 2x  4 x 2x  4 10 
sin 2x  cos 2x  lim . 2 x 2x  4 Vì  x x   2 2   2 2 10 sin 2 cos 2 10 1
sin 2x  cos 2x  101 nên:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 1
 0sin 2x  cos 2x 101 0   . 2 2 2x  4 2x  4 101
10sin 2x  cos 2x Mà lim  0 nên lim  0 . 2
x 2x  4 2 x 2x  4
Câu 39. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn:  a b  lim  là hữu hạn:    2 2
x2  x  6x  8
x  5x  6 
A. a  4b  0.
B. a  3b  0.
C. a  2b  0.
D. a b  0. Hướng dẫn giải a b a b Cách 1: Ta có    2 2 x  6x  8 x  5x  6
x  2 x  4  x  2 x  3
a x  3  b x  4 g x   .
x  2 x  3 x  4  x  2 x  3 x  4
Ta có lim  x  2  0; lim  x  3  1; lim  x  4  2
 ; lim g x  2b  . a x 2 x 2 x 2 x 2    
Do đó nếu lim g x  0  2b a  0 thì giới hạn cần tìm là vô cực theo quy tắc 2. x 2 
Từ đó chọn được đáp án đúng là C.
(Thật vậy, nếu lim g x  2b a  0 thì x 2  a b bx  2b b    2 2 x  6x  8 x  5x  6
x  2 x  3 x  4  x  3 x  4  a bb b Và do đó lim   lim  .    2 2 x 2 x 2
x  6x  8 x  5x  6    
x  3 x  4 2
Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của a và b , thay vào hàm
số rồi tính giới hạn.
Từ đó chọn được đáp án là C. 4 4 x a
Câu 40. Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim bằng: xa x a A. 3 3a B. 3 2a C. 3 a D. 3 4a Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1: Ta có 4 3 2 2 3 x a
(x a)(x x a xa a ) 3 2 2 3 3 lim  lim
 lim (x xa x a a )  4a . xa x a xa x a xa
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Cách 2: Cho a một giá trị cụ thể rồi tính giới hạn bằng máy tính cầm tay. Chẳng han với 4 4 x  2 a  2 3 ta có lim
 32  4.2 . Do đó chọn Chọn D. xa x  2 2
x mx m 1
Câu 41. Cho C  lim
, m là tham số thực. Tìm m để C  2. 2 x 1  x 1 A. m  2 B. m  2  C. m  1 D. m  1 Hướng dẫn giải Chọn B. 2
x mx m 1 (x  ) 1 (x m  ) 1 x m 1 2  m
Cách 1: C  lim  lim  lim  2 x 1  x 1 x 1  (x  ) 1 (x  ) 1 x 1  x  1 2
Vậy C  2  m  2  .
Cách 2: Thay lần lượt các giá trị của m vào, rồi tìm C cho đến khi gặp kết quả C  2 thì dừng lại. 2
x ax b
Câu 42. Cho a và b là các số thực khác 0.Nếu lim
 6 thì a b bằng: x2 x  2 A. 2 B. 4  C. 6  D. 8 Hướng dẫn giải Đáp án C g( x)
Đặt g(x x 2 )
ax b . Rõ ràng là nếu ( g ) 2  0 thì lim
không thể hữu hạn. Do đó x2 x  2
điều kiện đầu tiên là ( g )
2  0  2a b  4 . b g( x) b b
Khi đó g(x)  (x  2)(x  ) và lim
 lim(x  )  2  . 2 x2 x  2 x2 2 2 g( x) b Vậy lim  6 2 
 6  b  8  a  2  a b  6. x2 x  2 2
x  1 5x  1 a
Câu 43. Giới hạn lim bằng
(phân số tối giản). Giá trị của a b là x3 x  4x  3 b 1 9 A. 1. B. . C. 1  . D. 9 8 Hướng dẫn giải Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
3 8x 11  x  7 m m Câu 44. Biết lim  trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên 2 x2 x  3x  2 n n
dương. Tổng 2m n bằng: A. 68 B. 69 C. 70 D. 71 Hướng dẫn giải Chọn A. 3 8x 11  x+7 3 8x 11  3 x  7  3 Ta có   2 x  3x  2 2 2 x  3x  2 x  3x  2 x  2 x  2   2 3 3
(x  2)(x 1)( (8x 11)  3 8 11  9)
(x  2)(x 1)( x  7  3) 8 1   2 3 3
(x 1)( (8x 11)  3 8 11  9)
(x 1)( x  7  3) 8 8 1 1 Ta có lim  ; lim  x2 2 3 3 27
(x 1)( (8x 11)  3 8 11  9)
x2 (x 1)( x  7  3) 6 3 8x 11  x+7 8 1 7 Do đó lim    2 x2 x  3x  2 27 6 54
Vậy m  7; n  54 và 2m n  68 . 3
6x  9  27x  54 m m Câu 45. Biết lim  , trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên x  x  3 2 3
x  3x 18 n n
dương. Khi đó 3m n bằng: A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 Hướng dẫn giải Chọn C. 3 6x  9  27x-54 3 6x  9  27x-54 Ta có  2
(x  3)(x  3x-18) 2
(x  3) (x  6)
Sử dụng MTCT ta tính được: 3 6x  9  27x-54 1 1 1 lim  ; lim  2 x 3  (x  3) 6 x3 x  6 9 3 6x  9  27x-54 1 nên lim 
. Vậy 3m n  57 . 2 x 3 
(x  3)(x  3x-18) 54
Giải tự luận: Đặt t x  3 thì limt  0 và x 3  3 6x  9  27x-54 3 6t  9  27t+27 3
6t  9  (t  3)
(t  3)  27t  27    2 (x  3) 2 t 2 2 t t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 2
ax b 9x  2
Câu 46. Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c để lim  5 x cx 1 . a  3b a  3b a  3b a  3b A.  5 . B.  5  . C.  5. D.  5  . c c c c Hướng dẫn giải Đáp án C 2 2 ax bx 9  a b 9  2
ax b 9x  2 2 2 x x a b 3 Ta có lim  lim  lim  . x cx  1 x cx  1 x 1 c c x ax 2  b 9x  2 a b 3 Do đó lim  5   . 5 x cx 1 c 2
 4x  3x 1 
Câu 47. Cho a và b là các tham số thực. Biết rằng lim  
ax b  0, a và b thỏa  x cx 1  
mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?
A. a b  9.
B. a b  9  .
C. a b  9.
D. a b  9  . Hướng dẫn giải Đáp án A  2 4x 3x    1  11  lim 
 ax b  lim 4x  5 
 ax b .  x  x  2 x  x   2     2 4x 3x    1 Do đó lim 
 ax b  0  a  4; b  5  a b  9. x x   2     1 1  1
Câu 48. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim  .  
xa x
a  x a2 1 A. bằng  . B. là  . C. là  . D. không tồn tại. 2 a Đáp án D  1 1  1 a x 1 1 Cách 1: Ta có   .  .   2 2  x
a  x aaxx a
ax x a  1 1  1 1 Do đó lim   lim  ;   2 x a  x a     x a
xa ax x a  1 1  1 1 lim   lim  ;   2 x a  x a     x a
xa ax x a
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao  1 1  1  1 1  1  1 1  1 Vậy lim   lim  nên lim  không tồn tại.     2 2   2 x a  x a    x a    x a x a   x a
xa x
a  x a
Cách 2: Cho a một giá trị cụ thể, chẳng hạn a  ,
1 thay vào hàm số rồi sử dụng MTCT để tính giới hạn.  n 1 
Câu 49. Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim  .   1  1 n xx 1 x n n 1 n 1 n  2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Đáp án B
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn với một giá trị cụ thể của n rooif so sánh với đáp án.  3 1 
Chẳng hạn n  3 ta có lim   . 1   x 3 1 1 1    x x  2 1 n  1
1xx ... nx  2 1 n
 1x1x ... n  1  x  Cách 2:    n 1 1 n n x   x 1  x 1  x 2 2 2
1 1 x  1 x x ....1 x x ... nx   2 1
1 x x  ... nx   n 1  n 1 Do đó lim     . n x1 1 1   x x  2  n 1  n 1 Lưu ý: lim   .  1 nx 1 1   x x  2 1 k
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim(  ) là hữu hạn. 2 x 1  x 1 x 1 A. k  2 .
B. k  2 . C. k  2 . D. k  2 . Hướng dẫn giải Đáp án A 1 k x  1 k 2 Ta có  
. Mà lim x 1 k  2  k; lim x 1  0 nên để   x 1 x2 2  1 x 1 x1 x1  1 k  lim 
là hữu hạn thì điều kiện cần là 2  k  0  k  . 2   x 2
1 x 1 x 1 1 2 x 1 1  1 k  1 1
Thật vậy, khi k  2,    . Nên lim   lim  . x  2 2 1 1 1 x   x x    1 x 2 1 x 1 1 x  1 x x   1 2  1 k  Lưu ý: lim  hữu hạn   k  . n 1 1 nx  x x 1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao n 1 ax 1
Câu 51. Tìm giới hạn B  lim (n  *  , a  0) : x0 x a n A.  B.  C. D. 1 n a Hướng dẫn giải Chọn C.
Cách 1: Nhân liên hợp Ta có: n n 1  n2
( 1 ax 1)( n (1 ax) n  (1 ax)  ... n  1 ax 1) B  lim x0 n 1  n2
x( n (1 ax) n  (1 ax)  ... n  1 ax 1) a a B  lim  . x0 n 1  n2 n (1 ) n  (1 )  ... n  1 1 n ax ax ax
Cách 2: Đặt ẩn phụ n t 1 Đặt n
t  1 ax x
và x  0  t  1 a t 1 t 1 aB a lim  a lim  . n n 1 1  1 t 1  (t 1)(  n t t t
t  ...  t 1) n n 1 ax 1
Câu 52. Tìm giới hạn A  lim với ab  0 : 0 m x 1 bx 1 am am A.  B.  C. D. 1 bn bn Hướng dẫn giải Chọn C.
Áp dụng bài toán trên ta có: n 1 ax 1 x a m am A  lim .lim  .  . 0  0 m x x x 1 bx 1 n b bn m 1 n
ax  1 bx
Câu 53. Tìm giới hạn N  lim : x0 x a b a b A.  B.  C.D.m n m n Hướng dẫn giải Chọn C. m 1 ax 1 n 1 bx 1 a b Ta có: N  lim  lim   x0 x0 x x m n m 1 n
ax  1 bx
Câu 54. Tìm giới hạn N  lim : x0 1 x 1 2an bmA.  B.  C. D. 0 mn
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn C. m
 1 ax 1 n 1 bx 1 xa b  2(an bm) Ta có: N  lim   .   .2    . x 0   x x  1 x 1    m n mn m 1 n
ax 1 bx 1
Câu 55. Tìm giới hạn G  lim : x0 x a b a b A.  B.  C. D.m n m n Hướng dẫn giải Chọn D.
m 1 ax n 1 bx   1 m 1 ax 1 b a Ta có: G  lim  lim   x0 x0 x x n m
n (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1
Câu 56. Tìm giới hạn F  lim : x 0  x 9 A.  B.  C. D. 0 n Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt n y
(2x 1)(3x  1)(4x  1)  y  1 khi x  0 n y 1
(2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Và: lim  lim  9 x0 x0 x x n y 1 9 Do đó: F  lim  xx n 1  n 2 0 yy  ...  y   1 n 3 4
1   x 1  x 1  x 1
Câu 57. Tìm giới hạn B  lim
với   0 .: x0 x A.  B.  C. B    D. B    4 3 2 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: 3 4
1  x 1  x 1  x 1  3 4 3
 1  x 1  x ( 1  x 1)  1  x (( 1  x 1)  ( 1  x 1) 4 3 1  x 1 1  x 1 1  x 1 3
B  lim( 1  x 1  x )  lim 1  x  lim x0 x0 x x x0 xn m
1 mx  1 nx
Câu 58. Tìm giới hạn V  lim : 2 x 0  x
mnn m
mnn mA.  B.  C. D. 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn C.
(1 nx)m  (1 mnx)
(1 mx)n  (1 mnx) ( mn n  ) m Ta có: V  lim  lim  . 2 2 x 0  x 0 xx 2 1 x 3 1 x ...1 nx
Câu 59. Tìm giới hạn K  lim :   nx 1 x 1 1 1 A.  B.  C. D. 0 n! Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 Ta có: K  lim  . x 1  3 2 3 n n 1 n!
(1 x)( x x 1)...( x   ... 1)  n n 2
1 x x  2 1 x x
Câu 60. Tìm giới hạn L  lim : x0 x A.  B.  C. 2n D. 0 Hướng dẫn giải Chọn C.   n n 2   
1 x x 1  2 1 x x   1 L lim       2n . 0 x n x 2 1 x x  n m
1 mx  1 nx
Câu 61. Tìm giới hạn V  lim : 3 x0
1 2x  1 3x 2an bmA.  B.  C.
D. mn n mmn Hướng dẫn giải Chọn D.   n 1 mxm 2 1 (1 nx) 1     x mn(n  ) m Ta có: V  lim    
.2  mn(n m) . 2 2 3 x0 x x
 1 2x  1 3x 2  
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f x 2
mx  9x  3x 1 có giới
hạn hữu hạn khi x   .  A. m  3 B. m  3 C. m  0 D. m  0 Hướng dẫn giải Đáp án A
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Cách 1: Sử dụng MTCT tính toán khi m  3
 ta được kết quả 2 1 lim ( 3
x  9x  3x  1)  
. Vậy ta chỉ xét các đáp án A và D. x 2
Lại sử dụng MTCT tính toán khi m  1
 ta được kết quả lim (x  9 2 x  3x  ) 1   . x
Vậy loại Chọn D. Do đó đáp án đúng là A.
Cách 2: lim f (x)  lim (mx  9 2 x  3x  ) 1 . x x
+ Nếu m  0 thì lim f (x)  lim (mx  9 2 x  3x  ) 1   . x x  3 1   2 
+ Nếu m  0 thì lim  mx  9x  3x 1  
lim x m  9    . x x  x x2       3 1  Ta thấy nếu m  3
 thì lim  m  9     0 và do đó x  x x2    2 1 lim (mx  9 2 x  3x  )
1   . Ngược lại nếu m  3  thì lim ( 3
x  9x  3x  1)   . x x 2
Vậy đáp án đúng là A. Câu 63. Giới hạn 2
lim ( x  3x  5+ax) = + nếu. x A. a  1 . B. a  1 . C. a  1 . D. a  1 . Hướng dẫn giải Đáp án D
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn khi a  1 va` a  0 , ta được  2  3 lim x 2
 3x  5  x  ; lim
x  3x  5   .   
Từ đó suy ra đáp án đúng là D x   2 x  3 5   2 
Cách 2: lim  x  3x  5  ax  
lim x a  1    . x x  x x2       2 
Vì lim   nên để lim
x  3x  5  ax    
thì a 1  0  a  . 1 x x   2
lim (ax x bx  2)  3 a b 0 a b
Câu 64. Cho và là các số thực khác . Biết x , thì tổng bằng A. 2 . B. 6  . C. 7 . D. 5  . Hướng dẫn giải Đáp án D  2 b 2   
Ta có lim  ax x bx  2  
lim x a  1    . x x  x x2     
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao  2 
Do đó nếu a  1 thì lim
ax x bx  2  .    Vậy a  . 1 Khi đó x    2  bx  2 b lim
x x bx  2  lim     . x   x 2 2
x x bx  2 b Vậy:   3  b   .
6 Do đó a b   . 5 2
Câu 65. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết 2
lim (ax+b- x  6x  2)  5 số lớn hơn trong hai số x
a và b là số nào trong các số dưới đây? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Hướng dẫn giải Đáp án C  6 2   2 
lim  ax b x  6x  2  
lim x a  1     . b x x  x x2       2 
Do đó nếu a  1 thì lim
ax b x  6x  2  .    Vậy a  . 1 Khi đó ta có x    2  6x  2 6 lim
x b x  6x  2  lim  b   b b    . 3 x   x 2 2
x x  6x  2
Vậy: b  3  5  b  .
2 DO đó số lớn hơn trong hai số a và b là số 2. m m Câu 66. Biết 2 3 3 2
lim ( 9x  2x  27x  4x  5)   trong đó
là phân số tối giản, m và n là x n n
các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n . A. 135 . B. 136 . C. 138 . D. 140 . Hướng dẫn giải Đáp án A 10
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  10 ta được kết quả 5
Áp dụng kĩ thuật tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn ta có 0,185  . 27 m 5 Vậy  . n 27
Từ đó chọn đáp án đúng là A. 2 3 3 2  2   3 3 2 
Cách 2: 9x  2x  27x  4x  5 
9x  2x  3x
27x  4x  5     3x     
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 2 2x 4x  5   . 9x2 2  2x  3x 3  3 2 3 3 2 2
27x  4x  5  3x 27x  4x 5 9x  2 3 3 2  2 4 5 Suy ra lim
9x  2x  27x  4x  5       . x   6 9  9  9 27 7
Câu 67. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết 2 3 3 2
lim ( 9x + ax  27x bx  5)  , hỏi a và x 27
b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. a  2b  33 .
B. a  2b  34 .
C. a  2b  35 .
D. a  2b  36 . Hướng dẫn giải Đáp án B  2 3 3 2  a b 2b  9a
Làm tương tự như câu 49, ta có: lim
9x ax  27x bx  5      . x   6 27 54 Do đó b 2  9a  1 .
4 Suy ra a là số chẵn. Vậy a b
2 là số chẵn. Từ đó loại đáp án A và C. a b 2  34 Giải hệ  được a  ; 2 b  1 . 6 b 2  a 9   14 a b 2  36 11 Giải hệ  được a  (loại). b 2  a 9   14 5
Câu 68. Tìm giới hạn C  lim [ n (x a )(x a )...(x a )  x] : 1 2 n x
a a  ...  a
a a  ...  a A.  B.  C. 1 2 n D. 1 2 n n 2n Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt n
y  (x a )(x a )...(x a ) 1 2 n n n n n n 1  n 1  n 1 y x y x ( y x)( y y x ... x        
)  y x n 1 n 1  n 1 yy
x  ...  x n n y x
 lim ( y x)  lim n 1  n2 n 1 x x yy
x  ...  x    n n y x n 1    lim x C . n 1  n 1  n 1  x yy x  ...  x n 1 x n n y x b b b Mà 2 3 lim
 lim (a a  ...  a    ... n  ) n 1  1 2 n 2 n 1 x x x x x x   
a a  ...  a . 1 2 n k n 1  k y x n 1  n2 n 1 yy
x  ...  x  lim  1 k
  0,..., n 1  lim  n . n 1 x x   n 1 x x  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
a a  ...  a Vậy 1 2 n C  . n 1 ax 1
Câu 69. Cho a và b là các số thực khác 0.Giới hạn lim bằng: x0 sin bx a a 2a 2a A. B. C. D.  2b 2b b b Hướng dẫn giải Chọn B. 1  ax 1 1  ax 1 bx 1 Cách 1: lim  lim( . . ) . x0 sin bx x0 x sin bx b
1 ax 1 a bx 1  ax ba Mà lim  ; lim  1 nên lim  ; x0 sin bx 2 x0 sin bx x0 sin bx 2b
Cách 2: Cho a và b các giá trị cụ thể, thay vào rồi tính giới han. Chẳng hạn với a b  1, 1 x 1 1
sử dụng MTCT ta tính được lim 
. Từ đó chọn đáp án đúng là B. x0 sin x 2
Câu 70. Cho a, b, c là các số thực khác 0, 3b  2c  0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để: tan ax 1 lim  . 3 x0
1 bx  1 cx 2 a 1 a 1 a 1 a 1 A. B. C. D.  3b  2c 10 3b  2c 6 3b  2c 2 3b  2c 12 Hướng dẫn giải Chọn D. tan ax tan ax x Cách 1:  . a . 3 3 1 x b  1 x c ax
1 bx  1 cx tan ax sin ax 1 Lại có lim  lim( . )  1 x0 x0 ax ax cosax 3 1 x b  1 x c 3 1 x b 1 1 x c 1 b c 3b  2c lim  lim(  )    x0 x x0 x x 2 3 6 tan ax 6a Vậy lim  . 3 x 0  1 x b  1 x c 3b  2c 6a 1 a 1
Do đó hệ thức liên hệ giữa , a , b c là    3b  2c 2 3b  2c 12
Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, chọn các giá trị cụ thể của , a ,
b c thỏa mãn hệ thức 1
rồi thay vào để tính giới hạn. Nếu giới hạn tìm được bằng
thì đó là đáp án đúng. 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao
Chẳng hạn, với đáp án A, chọn a 1;b  4;c  1, sử dụng MTCT tính được tan x 3 lim  . 3 x 0 
1 4x  1 x 5
Vậy A không phải là đáp án đúng.
Tương tự vậy B và C cũng không phải là đáp án đúng. sin  x   1
Câu 71. Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn lim bằng: 1 m n xx x 1 1
A. m n
B. n m C. D. m n n m Hướng dẫn giải Chọn C. si n(x 1) s in(x-1) x 1 Cách 1: Ta có   m n x x x 1 m n x x m n x x si n(x 1) si n(x 1) 1 Mà lim
m n ; lim  1 nên lim  x 1  x 1 x 1  x 1 1 m n xx x m n
Cách 2: Cho m và n các giá trị cụ thể, thay vào rồi sử dụng MTCT tính giới hạn. Chẳng hạn si n(x 1) 1 1
với m  3; n  1 ta tính được lim   . 3 x 1  x x 2 m n Vậy đáp án đúng là C sin( m  x )
Câu 72. Tìm giới hạn A  lim. : 1  sin( n x  x ) n A.  B.  C. D. 0 m Hướng dẫn giải Chọn C. sin (1 mx ) sin (1 mx ) (1 nx ) 1 nx A  lim  lim .lim .lim 1 n  1 m  1 n  1
sin (1 x ) (1 x )
sin (1 x )  1 m x x x xx n n 1  n2 1 x (1 x)(xx  ... 1) n  lim  lim  . m m 1  m2 x 1  x 1 1 x  (1 x)(xx  ...  1) m
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao m cos m ax  cos bx
Câu 73. Tìm giới hạn H  lim : 2 x0 sin x b a A.  B.  C. D. 0 2n 2m Hướng dẫn giải Chọn C.
m cos ax 1 1 n  cos bx  2 2 b a Ta có:  lim x x H   2 x0 sin x 2n 2m 2 x 1 n  cos ax
Câu 74. Tìm giới hạn M  lim : 2 x0 x a A.  B.  C. D. 0 2n Hướng dẫn giải Chọn C. 1 cos ax Ta có: 1 n  cos ax n n 2 n n 1
1 cos ax  ( cos ax )  ...  ( cos ax )  1 cos ax 1 a 1 aM  lim lim  .  . 2 n n 2 n 1 x 0 x 0 x
1 cos ax  ( cos ax )  ...  ( cos ax )n   2 n 2n f (x) 15
3 5 f (x) 11  4
Câu 75. Cho f (x) là đa thức thỏa mãn lim
 12 . Tính T  lim . 2 x3 x  3 x 3  x x  6 3 3 1 1 A. T  . B. T  . C. T D. T  . 20 40 4 20 Hướng dẫn giải Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao HÀM SỐ LIÊN TỤC ax
e 1 khix  0   Câu 76. Cho hàm số   x f x  
, với a  0. Tìm giá trị của a để hàm số f x liên tục 1  khix  0   2 tại x  0. 0 1 1 A. a  1 . B. a  . C. a  1 . D. a   2 2 Hướng dẫn giải Chọn B.  4x 1 1  khi x  0
Câu 77. Tìm a để các hàm số 2
f (x)  ax  (2a 1)x
liên tục tại x  0 3 khi x  0  1 1 1 A. B. C. D. 1 2 4 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4x 1 1
Ta có : lim f (x)  lim x0
x0 x ax  2a   1 4 2  lim 
x0 ax  2a   1  4x 1   1 2a 1 2 1
Hàm số liên tục tại x  0   3  a   . 2a 1 6 2 x , x  1  3  2x
Câu 78. Cho hàm số f x  
, 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 x
x sin x , x  0 
A. f x liên tục trên  .
B. f x liên tục trên  \   0 .
C. f x liên tục trên  \  1 .
D. f x liên tục trên  \ 0;  1 . Hướng dẫn giải Chọn A TXĐ: D   .
Với x  1 ta có hàm số   2
f x x liên tục trên khoảng 1;  .   1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao 3 2x
Với 0  x  1 ta có hàm số f x 
liên tục trên khoảng 0;  1 . 2 1 x
Với x  0 ta có f x  x sin x liên tục trên khoảng  ;  0 . 3 3 2x
Với x  1 ta có f  
1  1; lim f x 2
 lim x  1; lim f x  lim  1 x 1 x 1   x 1 x 1   1 x
Suy ra lim f x 1  f   1 . x 1 
Vậy hàm số liên tục tại x  1 . 3 2x
Với. x  0 . ta có f 0  0 ;
lim f x  lim  0 ;
lim f x  lim  . x sin xx 0 x 0   1 x x 0 x 0   sin x 2  lim x . lim
 0 suy ra lim f x  0  f 0 . x 0 x 0   x x 0 
Vậy hàm số liên tục tại x  0 . 4 Từ  
1 , 2 , 3 và 4 suy ra hàm số liên tục trên  .
 1 x  1 x khi x  0  
Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số   x f x  
liên tục tại x  0. 1 xm  khi x  0   1 x A. m  1. B. m  2  . C. m  1. D. m  0 Hướng dẫn giải Chọn B. 3
x  2  2x 1  khi x  1
Câu 80. Tìm m để các hàm số f (x)   x 1 liên tục trên  3  m  2 khi x  1  4 A. m  1 B. m C. m  2 D. m  0 3 Hướng dẫn giải: Chọn B.
3 x  2  2x 1
Với x  1 ta có f (x) 
nên hàm số liên tục trên khoảng  \   1 x 1
Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  1
Ta có: f (1)  3m  2
3 x  2  2x 1
lim f (x)  lim x 1  x 1  x 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao   3 x x  2 lim 1     x 1    (x 1)   2 3 2 3
x x x  2  (x  2)    2  x x 2     lim 1     2 x 1  2 3 2 3 
x x x  2  (x  2)    4
Nên hàm số liên tục tại x  1  3m  2  2  m  3 4 Vậy m
là những giá trị cần tìm. 3  2x  4  3 khi x  2 
Câu 81. Tìm m để các hàm số f (x)   x 1 liên tục trên  khi x  2  2
x  2mx  3m  2 1 A. m  1 B. m   C. m  5 D. m  0 6 Hướng dẫn giải: Chọn C.
Với x  2 ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục trên khoảng  ;
 2 và liên tục tại x  2 .
 Hàm số liên tục trên  ;
 2 khi và chỉ khi tam thức 2
g(x)  x  2mx  3m  2  0, x  2 2
 '  m  3m  2  0 3  17 3  17 TH 1:    m
g(2)  m  6  0 2 2  2
m  3m  2  0 2
 '  m  3m  2  0   TH 2:   m  2
x m   '  2  1  2  '  (m  2)   3  17 m  3  17     m  6 2 2 m  6  3  17 Nên
m  6 (*) thì g(x)  0, x  2 2
 lim f ( x)  lim x       2 4 3 3 x 2 x 2 x  1 3
lim f (x)  lim    2 x2 x2
x  2mx  3m  2 6  m 3
Hàm số liên tục tại x  2 
 3  m  5 (thỏa (*)) 6  m
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao x x  2  neáu x  2 2 x   4 
Câu 82. Cho hàm số f x  2 x  3b
neáu x  2 liên tục tại x  2. Tính I a b ?
  2ab6 neáu x 2    9 93 19 173 A. I B. I   C. I D. I   30 16 32 16 Hướng dẫn giải Chọn C.  x  2 3 
Câu 83. Chon hàm số f x khi x  3  
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm x  3  m khi x  3 
số liên tục tại x  3. A. m  . B. m   . C. m  1. D. m  1. Hướng dẫn giải Chọn A.
Hàm số đã cho xác định trên  .  x  32 x  3  x  3
Ta có lim f x  lim  lim  lim  lim   1  1  . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x  3 x  3 x  3      
Tương tự ta có lim f x  1.(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) x 3 
Vậy lim f x  lim f x nên lim f x không tồn tại. Vậy với mọi m , hàm số đã cho x 3 x 3   x 3 
không liên tục tại x  3 . Do đó đáp án đúng là A.
Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi x  3 để hiểu rõ hơn. 2
ax  (a  2)x  2 khi x 1 
Câu 84. Cho hàm số f (x)   x  3  2
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm  2 8  a khi x  1 
số liên tục tại x  1 ?
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải. Chọn D Ta có 2
ax  (a  2)x  2  x  
1 ax a  2 lim lim
lim ax a 2  x 3 2        8a   1 . x 1  x 1  x 1 x 3 2 x 3 2        a  0
Hàm số liên tục tại x  1  lim f x  f   1  8a   2 1  8  a  .  x 1  a  8  12   x  9 
Câu 85. Cho hàm số f x     . ax 2b 12
Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục   x  9 3  x 1  2
tại x  9. Tính giá trị của P a  . b 0 1 1 A. P B. P  5 C. P  17 D. P   2 2 Hướng dẫn giải Chọn D.
Câu 86. Cho phương trình 3 2
x ax bx c  0  
1 trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình  
1 vô nghiệm với mọi a, b, c .
B. Phương trình  
1 có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c .
C. Phương trình  
1 có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c .
D. Phương trình  
1 có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c . Hướng dẫn giải Chọn B.
Dễ thấy a b c  0 thì phương trình   1 trở thành 3
x  0  x  0. Vậy A, C, D sai. Do đó B đúng.
Giải thích thêm: Xét bài toán “Chứng minh rằng phương trình 3 2
x ax bx c  0   1
luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c ”. Ta có lời giải cụ thể như sau:
Đặt f x 3 2
x ax bx  . c Ta có: +  3 2
lim x ax bx c    với mọi a, b, c nên tồn tại một giá trị x x sao cho 1 x  f x  0 1  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới Hạn Nâng Cao +  3 2
lim x ax bx c    với mọi a, b, c nên tồn tại một giá trị x x sao cho 2 x  f x  0 2  .
Vậy f x . f x  0 f x  f x  0 1   2  mà liên tục trên nên suy ra
có ít nhất một nghiệm
trên khoảng  x ; x 1
2  . Từ đó suy ra ĐPCM. 1
Câu 87. Phương trình 5 4 3 2 x
x  5x x  4x 1  0 có bao nhiêu nghiệm. 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải. Chọn D
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm
m m  x  2017 2  2018 2 5 2 1 x
 2  2x  3  0.  1   1  1 
A. m   \  ; 2 . B. m   ;   2;  
 .C. m  ;2 . D. m   .  2   2   2  Hướng dẫn giải Chọn D. 3 + Nếu 2
2m  5m  2  0 thì phương trình đã cho trở thành 2x  3  0  x   . 2 + Nếu 2
2m  5m  2  0, phương trình đã cho là một đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết
quả đã biết, phương trình có ít nhất một nghiệm.
Vậy với mọi m  , phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay