BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA I. PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng kiến thức tổng hợp dao động đã trình bày ở phần lí thuyết (phương pháp véctơ quay
Fresnen) và phương pháp số phức đã trình bày trong Chương 0 của cuốn sách.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình  2    
x = 5sin 10 t +
cm và x = 5cos 10 t +
cm. Viết phương trình dao động tổng hợp? 1      3  2  2   2   2 
A. x = 5 3cos 10 t −   cm.
B. x = 5 3cos 10 t +   cm.  3   3       
C. x = 5 3cos 10 t +   cm.
D. x = 5cos 10 t +   cm.  3   3  Lời giải
Trước tiên đổi x , x về dạng cos ta có: 1 2    
x = 5cos 10 t +  1    2   2     6 
x = 5sin 10 t + = 5cos 10t + −       1  3   3 2     
x = 5cos 10 t + 2     2 
Biên độ dao động tổng hợp xác định bởi  2 2 2 2 2 2
A = A + A + 2A A cos = 5 + 5 + 2.5 .cos = 75 A = 5 3 1 2 1 2 3
Pha ban đầu của dao động tổng hợp xác định bởi   5sin + 5sin
A sin + A sin 1 1 2 2 6 2 tan = =
A cos + A cos   1 1 2 2 5cos + 5cos 6 2 1 3   5. + 5.1 5.  =  2 2 3  tan = = = 3   3 3 2   5. + 5.0 5.  = − 2 2  3
Trong tổng hợp dao động bằng phương pháp vecto quay thì góc  phải nằm kẹp giữa góc  và 1  
. Vậy ta chọn nghiệm  = . 2 3 Trang 1   
Phương trình dao động tông hợp là x = 5 3cos 10t +   cm.  3  Đáp án C. STUDY TIP
Sử dụng phương pháp số phức ta có thể bấm máy tính ra ngay kết quả.    Bấm máy: 5 + 5 cho kết quả 5 3 6 2 3   
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương có dạng x = 60cos 20t − 1    6    
cm và x = A cos 20t +
cm. Biết dao động tổng hợp có vận tốc cực đại v = 1,2 3(m/s). 2 2    2  max Tính biên độ A . 2 A. A = 20 cm. B. A = 12 cm. C. A = 6 cm. D. A = −6 cm. 2 2 2 2 Lời giải v 1,2 3 Ta có max v =  A  A = =
= 0,06 3m= 6 3c . m max  20
Công thức biên độ của dao động tổng hợp 2
A = A + A + 2A A cos = 6 + A + 2.6.A .cos = (6 3)2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 A = 6 − (cm) 2 2
 A + 6A − 72 = 0  2 2 A =12(cm)  2 Đáp án B.
Ví dụ 3: Một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương với phương trình   
x = 10cos 10 t +
cm và x = A cos 10 t + 
cm. Phương trình tổng hợp dao động là 2 2 ( 2 ) 1    4    
x = 5 3cos 10 t + 
 cm. Viết phương trình dao động x2.  12   5   7 
A. x = 5cos 10 t − .
B. x = 5cos 10 t − . 2      12  2  12       
C. x = 5 3cos 10 t − .
D. x = 5cos 10 t − . 2      3  2  4  Lời giải Trang 2
Ta có x = x + x  x = x − x . Sử dụng phương pháp số phức, ta được 1 2 2 1   5 6 − 5 2 5 6 + 5 2 5 x = 5 3 −10 = − .i = 5 − 2 12 4 4 4 12  5 
Vậy phương trình dao động: x = 5cos 10 t − . 2    12  Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng trục tọa độ với phương trình       1
x = Acos 2 t +
(cm) và x = A 2 cos 2 t +
(cm). Tính từ thời điểm t = s đến thời 1      3  2  12  1 12 điể 2 m t =
s thì thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2 3
A 3 (cm) là bao nhiêu? 2 1 1 1 1 A. . s B. . s C. . s D. . s 12 4 6 8 Lời giải
Ta xét x = x − x là khoảng cách đại số giữa hai chất điểm trên trục Ox. 1 2    Dùng phương pháp số 5
phức ta được: x = x − x = Acos 2 t + 1 2    6  2
Khoảng cách đại số giữa hai chất điểm là một hàm biến thiên điều hòa chu kì T = = 1  s. A
Khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 3 tức là: 2  A 3 x  A 3 2 d = x    2  A 3 x  −  2 7
Tại t thì x = − A, góc mà véctơ quay quét được từ t đến t là (t − t  = . 2 1 ) 1 1 2 6 3
Dựa vào đường tròn, ta thấy thời gian để  A x là 2 T T T 1 t + t + t = + + = (s) A 3 − →− A (+) A 3(+) A 3 →A → A (−) 12 12 12 4 2 2 2 Trang 3 Đáp án B.
Ví dụ 5: Một chất điểm tham gia đồng thời 3 dao động cùng phương với phương trình tương ứng
là x , x , x . Biết rằng tổng hợp của hai trong ba dao động trên có phương trình tương ứng là 1 2 3     5   7  x = 8cos t +
(cm); x = 8 3cos t −
(cm); x = 8cos t − (cm) . Hỏi khi dao 12   13   23    12   12   12 
động thứ nhất qua vị trí có tọa độ x = 2 3(cm) theo chiều âm thì dao động thứ hai có: 1 A. x = 2
− 3(cm) theo chiều dương. B. x = 2 − 3(cm) theo chiều âm. 2 2
C. x = 2(cm) theo chiều âm.
D. x = 2(cm) theo chiều dương. 2 2 Lời giải    x x x 8cos   = + = t +  (cm) 12 1 2    12      5 
theo bài ra ta có: x = x + x = 8 3 cos t − (cm) 13 1 3     12     x x x 8cos  7  = + = t − (cm) 23 2 3     12 
sử dụng phương pháp số phức, ta tính được 
x + x − x    12 13 23 x = = 4 3cos t −  1    2  12   x + x −  x  5  12 23 13 x = = 4cos t + 2    2  12 
Như vậy dao động x nhanh pha hơn dao động x một góc 2 1
 . Dùng đường tròn lượng giác ta suy ra khi dao động thứ 2
nhất qua vị trí có tọa độ x = 2 3(cm) theo chiều âm thì 1
dao động thứ hai đang qua vị trí có x = 2 − 3(cm) theo 2 chiều âm. Đáp án B. Trang 4   
Ví dụ 6: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x = A cos t − 1 1    6 
và x = A cos t −  . Dao động tổng hợp có phương trình x = 9co (
s t +  ) . Để biên độ A có 2 2 ( ) 2
giá trị cực đại thì A có giá trị 1 A. 15 3cm. B. 7cm. C. 9 3 cm. D. 18 3cm. Lời giải 5 2 2   
Ta có: 81 = A + A + 2A A cos  2 A − 3A A + 2 A − 81 = 0 1 2 1 2    6  1 2 1 2
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn A , ta có phương trình này có nghiệm khi 1
 = (− 3A )2 − 4( 2
A − 81  0  A  324  A  18 2 2 ) 2 2
Suy ra A lớn nhất là 18 cm, khi A = 9 3 . 2 1 Đáp án C. STUDY TIP
Điều kiện để phương trình 2
ax + bx + c = 0(a  ) 0 có nghiệm là 2
 = b − 4ac  0 Chú ý
Ngoài cách giải bên, ta còn có thể sử dụng phương pháp vẽ giản đồ véctơ quay rồi áp dụng định lí hàm số
sin trong tam giác cũng thu được kết quả tương tự.
Ví dụ 7: Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là
x = A cos t + 0,35 (cm) và x = A cos t −1,57 (cm) . Dao động tổng hợp của hai dao động 2 2 ( ) 1 1 ( )
này có phương trình là x = 20co (
s t +  ) . Giá trị cực đại của ( A + A gần giá trị nào nhất sau 1 2 ) đây? A. 25 cm. B. 20 cm. C. 40 cm. D. 35 cm. Lời giải Biên độ tổng hợp: 2 2 2
20 = A + A + 2A A cos 0,35+1,57 . Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc 1 2 1 2 ( ) (x+ y)2 xy  , ta có: 4
20 = A + A + 2A A co ( s 0,35+1,5 ) 7 = ( A + A )2 2 2 2 − 2,68A A 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( +  A + A )2 (A A ) − 2,68.
= 0,329.( A + A )2 1 2
 A + A  34,87cm. 1 2 1 2 ( 1 2) 4 Trang 5
Vậy giá trị cực đại của ( A + A là 34,87 cm. 1 2 ) Đáp án D. STUDY TIP
Bất đẳng thức ( x + y)2  4xy . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y Trang 6