174 trang 47 lượt tải

Tuyển tập và giải chi tiết các bài toán thực tiễn trong đề thi thử – Trần Văn Tài

Tài liệu gồm 174 trang tuyển tập các bài toán ứng dụng thực tiễn chọn lọc trong các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2017, có lời giải chi tiết. Các bài toán được phân dạng thành các chủ đề

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 289 tài liệu

Môn: Toán 2.3 K tài liệu

Tác giả:

Nguyễn Vân

1 năm trước

Danh sách Quiz

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 1 | THBTN

Chủ đề 1. LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI

Câu 1. NHO QUAN A

Một đường dây điện được nối từ

một nhà máy điện ở A đến một hòn

đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ

C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B

đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt

dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt

km B.

 

' .

f x   



3000 5000. 0 3000 1 5000 0

1 5

16 9

x x

      



  



 





   

 











Hàm số

 

f x liên tục trên đoạn

 

0;4 .

Ổ

NG ÔN:

BÀI TOÁN TH

Ự

C TI

Ễ

2017

dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ

A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

Hướng dẫn giải

Trước tiên, ta xây dựng hàm số f





là hàm số tính tổng chi phí sử dụng.

Đặt BS  x thì ta được: SA  4  x, CS  x

1. Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt

dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f





được xác định như sau:





 3000.



4  x



 5000. x

1 với

x 



0;4



Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f





để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó

xácđịnh được vị trí điểm S.

3000 5000.

x 

f '



x  0  

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

2 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Ta có:

   

0 17000, 16000, 4 20615,52813.

f f f

 

  

 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của





f x

là 16000 và tại



Khi đó chi phí là thấp nhất và

điểm S nằm cách A một đoạn

3 13

4 4 .

4 4

SA x    

Vậy đáp án là B.

Câu 2. THTT SỐ 673

Có hai chiếc cọc cao

và

lần lượt đặt tại hai

vị trí

, .

A B

Biết khoảng cách

giữa hai cọc bằng

Người ta chọn một cái chốt

ở vị trí

trên mặt đất nằm

giữa hai chân cột để giang

dây nối đến hai đỉnh

và

của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào

đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

6 , 18 .

AM m BM m

 

7 , 17 .

AM m BM m

 

4 , 20 .

AM m BM m

 

12 , 12 .

AM m BM m

 

Hướng dẫn giải :

Đặt

     

(0 24) 24

AM x x BM x

. Ta có

   

2 2 2

100

CM CA AM x





    

2 2

24 900

MD MB BD x

.Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là :





        

24 900 100 ( ),(0 24)

CM MD x x f x x

Khảo sát hàm ta được:









 

6 =18

x m BM m

. Chọn A.

Câu 3. ĐỒNG QUAN 1

Một kho hàng được đặt tại

ví trí A trên bến cảng cần

được chuyển tới kho C

trên một đảo, biết rằng

khoảng cách ngắn nhất từ

kho C đến bờ biển AB

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 3 | THBTN

bằng độ dài

CB km



và khoảng cách giữa 2 điểm

A B

là

130

AB km



. Chi phí

để vận chuyển toàn bộ kho hàng bằng đường bộ là 300.000 đồng/km, trong khi đó chi

phí vận chuyển hàng bằng đường thủy là 500.000 đồng/km. Hỏi phải chọn điểm trung

chuyển hàng D (giữa đường bộ và đường thủy) cách kho A một khoảng bằng bao

nhiêu thì tổng chi phí vận chuyển hàng từ kho A đến kho C là ít nhất?

105







12 /

km h

28800



E c





15 /

km h

18800



E c

Đặt

Hướng dẫn giải

BD  x(0 x  130) AD  130x

. Ta có

CD  DB

 DC

 x

 3600

Chi phí vận chuyển hàng là :

f(x)  3000.(130 x) 5000 x

 3600

Khảo sát hàm ta được:

x  45





 AD=85





. Chọn C.

Câu 4. (THPT NGUYỄN VĂN CỪ)

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là

400km

. Vận tốc dòng

nước là

10km / h

. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là

(km/h) thì năng lượng

tiêu hao của cá trong

giờ được cho bởi công thức E





 cv

t , trong đó

là một hằng

số, E được tính bằng

jun

. Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu

hao là ít nhất.

A.12



km / h



B.15



km / h



C.18



km / h



D.20



km / h



Hướng dẫn giải:

Thời gian cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là

400km

là:

400

 



t  c

400v

Suy ra công thức

E v cv

Ta thay thế 4 đáp án của đề vào ta được bảng sau:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

4 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341





18 /

km h

16200



E c





20 /

km h

16000



E c

Chọn đáp án D.

Câu 5. (PTDTNT VÂN CANH)Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là

200

. Vận tốc của dòng nước là

8 /

km h

. nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là





v km h

thì năng lượng tiêu hao của cá trong

giờ được cho bởi công thức:

( )

E v cv t



(trong đó

là một hằng số,

được tính bằng

jun

). Tìm vận tốc bơi của cá

khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

12 /

km h

9 /

km h

10 /

km h

15 /

km h

Hướng dẫn giải:

Thời gian cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là

200

là:

200



Suy ra công thức

 

200

 



E v cv t c

Ta thay thế 4 đáp án của đề vào ta được bảng sau:





12 /

km h

86400



E c





9 /

km h

345600



E c





10 /

km h

100000



E c





15 /

km h

16000



E c

Chọn đáp án D.

Câu 6. (SỞ NAM ĐỊNH) Một ô tô đang chạy với vận tốc

36 /

thì tăng tốc chuyển động nhanh

dần với gia tốc

 

1 /

a t m s

 

. Tính quãng đường mà ô tô đi được sau

giây kể từ khi ô tô

bắt đầu tăng tốc.

. B.

246

. C.

. D.

100

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đổi 36 10

km h m s

 .

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 5 | THBTN

Khi ô tô chuyển động nhanh dần đều với gia tốc

 

a t m s

 



Vận tốc của ô tô khi đó là

   

d 1 d

3 3

t t

v a t x x t C m s

 

     

 

 

 

Khi ô tô bắt đầu tăng tốc thì





0 10





0 10

  







 

v t m s

  

10 d 90

t t m

 

   

 

 



 



 

50 725

 

Tổng thời gian

 

2 2

100 50 725

15 30

x x x

f x

  

  với





0;25

x , tìm giá trị nhỏ nhất





f x

 

2 2

15 100 30 50 725

x x

f x

x x x





 

  





0 5

f x x



  

Tính các giá trị

 

4 29

0 1,56



  ,

 

1 29

25 2,13



  ,

 

2 5

5 1,49

f  

15 /

km h

30 /

km h

Vậy quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc là

Câu 7. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một vùng đất hình chữ nhật

ABCD

có AB  25km ,

BC  20km và M ,

lần lượt là trung điểm của AD,

. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ

A đi đến

bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X thuộc đoạn

rồi lại đi thẳng từ X

đến

Vận tốc của ngựa khi đi trên phần

ABNM

là 15km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên

phần

MNCD

là 30km/h . Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ A đến

là mấy giờ?

2 5

. B.

. C.

4

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi MX  x





với

0  x  25

Quãng đường AX  x

10

 thời gian tương ứng

100x



25 x



10

Quãng đường CX 

thời gian tương ứng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

6 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Vậy hàm số đạt GTNN bằng

2 5

tại

5x 

Câu 8. (SỞ HẢI PHÒNG) Bạn An ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới vận tốc chuyển động của máy

bay là

   

3 5 /v t t m s  . Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

A. 996m. B. 876m. C. 966m. D. 1086m.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Quãng đường cần tìm là

   

2 3

3 5 d 5 966.t x t t   



Câu 9. (SỞ BẮC GIANG) Mương nước

 

P thông với mương nước

 

Q , bờ của mương nước

 

vuông góc với bờ của mương nước

 

Q . Chiều rộng của hai mương bằng nhau và bằng 8m.

Một thanh gỗ AB , thiết diện nhỏ không đáng kể trôi từ mương

 

P sang mương

 

Q . Độ dài

lớn nhất của thanh AB (lấy gần đúng đến chữ số phần trăm) sao cho AB khi trôi không bị

vướng là

A. 22,63m. B. 22,61m . C. 23,26m . D. 23,62m.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Thanh gỗ trôi qua được khi thanh gỗ chạm điểm

thì

OA OB

Vậy

max

AB khi

OA OB

( A nằm trên bờ mương

 

P , B nằm trên bờ mương

 

Q ). Do hai

mương có chiều rộng bằng nhau nên tam giác HAB vuông cân tại H . Khi đó

2 2

16 16 16 2 22,627.   AB

(Q)

(

)









TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 7 | THBTN

Câu 10. (SỞ QUẢNG NINH) Một vận động viên đua xe

đang chạy với vận tốc





10 m/s

thì anh ta

tăng tốc với gia tốc









6 m/s

a t t , trong đó

là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc

tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian





10 s

kể từ lúc bắt đầu tăng

tốc là bao nhiêu?

1100m

. B.

100m

. C.

1010m

. D.

1110m

 

10 10

0 0

dt 3 10 dt 1100

s v t t m

   

 

50 .

25 .

 

30 2 25 .

S t dt m

  



Câu 13. (GIA LỘC) Một chuyển động theo quy luật

3 2

s t t

   , với

(giây) là khoảng thời gian từ

lúc vật bắt đầu chuyển động và

(mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó.

Hỏi trong khoảng thời gian

giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là

bao nhiêu?





54 /

m s

. B.





216 /

m s

. C.





30 /

m s

. D.





400 /

m s

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có v













dt 



6tdt  3t

 C; v





10  3.0

 C 10  C  10  v





 3t

10

Quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10





kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Câu 11. (SỞ VŨNG TÀU) Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v





 30 2t (m/s). Hỏi

trong

trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

225m.

125m.

25m.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Khi vật dừng lại thì có vận tốc bằng

nên thời gian từ lúc bắt đầu giảm tốc và giữ nguyên gia

tốc đến lúc dừng hẳn là: v





 30 2t  0  t 15





Do đó, quãng đường vật di chuyển được ở

cuối là: S 





30 2t



dt  25m.

Câu 12. (SỞ VŨNG TÀU) Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v





 30 2t (m/s). Hỏi

trong

trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

50m.

225m.

125m.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Khi vật dừng lại thì có vận tốc bằng

nên thời gian từ lúc bắt đầu giảm tốc và giữ nguyên gia

tốc đến lúc dừng hẳn là: v





 30 2t  0  t 15





Do đó, quãng đường vật di chuyển được ở

cuối là:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

8 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Hướng dẫn giải

Chọn A.

 

v t s t t



    và









3 18

a t v t t



   

Cho





0 6

v t t



  

Khi đó:





0 0







10 30



và





6 54



Vậy: Vận tốc lớn nhất của vật là





54 /

m s

tại thời điểm



Câu 14. (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó,

ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc









12 24 /s

v t t m   , trong đó

là khoảng thời

gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô

còn di chuyển bao nhiêu mét?

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:





12 24 0 2

v t t t

     

. Quản đường ôtô di chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng

hẳn là :

 

12 24 24

S t dt

   



Câu 15. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang ( chiều

dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian

( )

t s

là









2 7 /

a t t m s

  . Biết

vận tốc đầu bằng





10 /

m s

. Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về

phía bên phải?





. B.





. C.





. D.





Hướng dẫn giải

Chọn D

Vận tốc của chất điểm:









d 7

v t a t t t t C

   



Do vận tốc đầu bằng





10 /

m s

nên





0 10 10

v C

  





7 10

v t t t

   

Quãng đường chất điểm đi được sau

( )

t s

   

3 2

d 10

3 2

t t

s t a t t t

   



Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của

 

 

3 2

10 , 0;6

3 2

t t

s t t t   









7 10, 0 2; 5

s t t t s t t t

 

      

Ta có

       

26 25

0 0; 2 ; 5 ; 6 6

3 6

s s s s

   

Vậy





t s

 thì chất điểm ở xa nhất về phía bên phải.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 9 | THBTN

Câu 16. (THANH CHƯƠNG ) Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển

đến thường nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi

sinh sản người ta phát hiện ra quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là

s t   ,

với

(giờ) là khoảng thời gian tính từ lúc cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường

cá bơi được trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi đó vào một dòng sông có vận tốc

dòng nước chảy là 2 (km/h). Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng

nước đến nơi đẻ trứng.

km. B.

km. C.

km. D.

km.

   

t v t

2 0

A. 569,5 m B. 671,4 m C. 779,8 m D. 741,2 m

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vận tốc con cá khi bơi trong nước yên lặng là v





 s





 

 4 (km/h).

Gọi vận tốc và quãng đường con cá khi bơi ngược dòng lần lượt là V





; S





V  v

nuoc

 

 2 (km/h).













dt  

 2t  C .

Khi

t  0

thì S





 0  C  0.

Khi đến nơi đẻ trứng thì vận tốc bằng

nên V





 

   t 10 (h).

Khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng:

2.10





 

  (km).

Câu 17. HÀ NỘI – AMSTERDAM

Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m,

cùng nằm về một phía bờ sông như

hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B

đến bờ sông lần lượt là 118m và

487m. Một người đi từ A đến bờ

sông để lấy nước mang về B. Đoạn

đường ngắn nhất mà người đó có

thể đi là:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

10 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B.

dễ dàng tính được

369, 492.

BD EF

 

Ta đặt

EM x



khi đó ta được:





2 2 2

492 , 118 , 492 487 .

MF x AM x BM x      

Như vậy ta có hàm số





f x

được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:









2 2 2

118 492 487

f x x x    

với

0;492

 



 

 

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của





f x

để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác

định được vị trí điểm M.

 





2 2 2

492

' .

118

492 487

x x

f x



 



 

 

   

 

   

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

492

' 0 0

118

492 487

492

118

492 487

492 487 492 118

0 492

487 58056 118

0 492

58056 58056

605 369

x x

f x

x x

x x x x

x x

x hay x



   



 



 



 

     



 



    

 



 



 



 









  









 





  



 

58056

605

492





 







TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 11 | THBTN

Hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

0;492

 

 

 

. So sánh các giá trị của

(0)f

58056

605

 

















 

 

492f

ta có giá trị nhỏ nhất là

58056

779,8

605

f m

 



















 

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Vậy đáp án là C.

Câu 18. (PHÚ XUYÊN) Một ngọn hải đăng đặt

 

2 2

25 3 25 14

4 12

x x x

f x



   với

0;7x

 



 

 

 

2 .

 











 

 

' 0 2 0 3 2 25 0

2 25 3

5 100

2 5

2 5.

f x x x

x x

       



  







 



 

   

 

 



 









Hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

0;7

 

 

 

và ta có:

tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5

km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C

cách B một khoảng là 7km Người canh hải

đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên

bờ biển với vận tốc 4 km / h rồi đi bộ đến

C với vận tốc 6 km /h (xem hình vẽ ở dưới

đây). Tính độ dài đoạn BM để người đó

đến kho nhanh nhất.

29.

2 5.

Hướng dẫn giải

Trước tiên, ta xây dựng hàm số





là hàm số tính thời gian người canh hải đăng

phải đi.Đặt BM  x thì ta được: MC  7 x, AM  x

 25 . Theo đề bài,

Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h

rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h , như vậy ta có hàm số





được xác định như sau:

   2x 

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của





để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định

được vị trí điểm M.

f ' x 









TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

12 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

 





 

29 14 5 5 74

0 , 2 5 , 7 .

12 12 4

f f f



  

Vậy giá trị nhỏ nhất của





f x

là

14 5 5



tại

2 5.



Khi đó thời gian đi là ít nhất

và điểm M nằm cách B một đoạn

2 5.

BM x

 

Câu 19. (SỞ HẢI PHÒNG) Một chất điểm chuyển động theo phương trình

3 2

9 10

S t t t

    

trong

đó t tính bằng (s) và S tính bằng (m). Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

t s



t s



t s



t s



Câu 20. (HÀ HUY TẬP) Có một bể bơi hình chữ nhật rộng

, dài

200

. Một vận động viên chạy

phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm

, chạy đến điểm

và bơi từ điểm

đến

điểm

(như hình vẽ). Hỏi nên chọn điểm

cách

gần bằng bao nhiêu mét để đến B nhanh

nhất (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết vận tốc chạy

4,8 /

m s

, vận tốc bơi

2,4 /

m s

171

AM m



. B.

182

AM m



. C.

179

AM m



. D.

181

AM m



Câu 21. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Một vật chuyển động theo quy luật

3 2

  

s t t

với

(giây) là

khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và

( 2) 22

 

y (mét) là quãng đường vật đi

được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển

động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?





216 /

m s

. B.





30 /

m s

. C.





400 / .

m s





54 /

m s

HƯỚNG DẪN GIẢI

Chọn D.

Vận tốc tại thời điểm

là

( ) ( ) 18 .



   

v t s t t t

Do đó vận tốc lớn nhất của vật đạt được khi

( ) 3 18 0 6



     

v t t t

Câu 22. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quảng

đường

(mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian

(phút), hàm số đó là

2 3

6 –

s t t

 . Thời điểm

(giây) mà tại đó vận tốc

(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất

là:

t s



. B.

t s



. C.

t s



. D.

t s



Câu 23. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Một vật chuyển động với vận tốc

10 /

m s

thì tăng tốc với gia tốc

được tính theo thời gian

là





a t t t

 

. Tính quảng đường vật đi được trong khoảng

kể

từ khi bắt đầu tăng tốc.

3400

. B.

4300

. C.

130

. D.

130

200

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 13 | THBTN

Câu 24. (QUẢNG XƯƠNG ) Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi

công thức

( ) 5 1

v t t

 

, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn

vị mét. Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là:

. B.

620

. C.

. D.

260

Chọn D

(5t 1)dt 260 ( )

S m

  



2560 .

S m



150

có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách

(tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì vậy, người

lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc





5 20

v t t

  

(

m s

), trong đó

là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp

phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe

đến hàng rào)?

. B.

. C.

. D.

Chọn A.

Xe đang chạy với vận tốc

20 /

v m s



tương ứng với thời điểm





t s



Xe đừng lại tương ứng với thời điểm





t s

 .

Câu 25. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) 16010t (m / s).

Tìm quãng đường

mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0(s) đến thời

điểm vật dừng lại.

S  1280m.

S  2480m.

S  3840m.

Chọn B.

Ta có, vật dừng lại khi v(t)  0 16010t  0  t  16





Khi đó, quãng đường

mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0(s) đến

thời điểm vật dừng lại là S 





16010t



dt  1280





Câu 26. (HỒNG QUANG) Một chiếc xe bắt đầu khởi hành nhanh dần đều với vận tốc v(t)  3t (m /s)

trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ khi xe bắt đầu chuyển động. Sau khi khởi

hành được 5 giây thì chiếc xe giữ nguyên vận tốc và chuyển động thẳng đều. Tính quãng đường

chiếc xe đi được sau 10 giây.

B. 75 m C. 2812,5 m D. 112,5 m

Câu 27. (NGÔ SĨ LIÊN) Một vật chuyển động theo quy luật s





 6t

 2t

với

(giây) là khoảng thời

gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian

đó. Hỏi trong khoảng

giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc lớn nhất của vật là bao

nhiêu?

5m/s

.A.

6 m/s

. B.

4 m/s

. C.

3m/s

Chọn A.

Vận tốc của vật là: v





 s







 6t

12t  6



t 1



 6  6.

Vận tốc lớn nhất của vật là 6m / s.

Câu 28. (NGÔ SĨ LIÊN) Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc

20 m/s

thì người lái xe phát hiện

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

14 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Quảng đường xe đã đi là

   

5 20 d 20 40

S t t t t m

 

      

 

 



Vậy ô tô cách hàng rào một đoạn





45 40 5

  .

Câu 29. (CHUYÊN KHTN) Tại một thời điểm

trước lúc đỗ xe ở trạm dừng nghỉ, ba xe đang chuyển

động đều với vận tốc lần lượt là

60 / ;50 /

km h km h

và

40 / .

km h

Xe thứ nhất đi thêm 4 phút thì

bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 8; xe thứ hai đi thêm 4

phút, bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 13, xe thứ hai đi thêm

8 phút, bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 12. Đồ thị biểu diễn

vận tốc ba xe theo thời gian như sau: (đơn vị trục tung x

10 / ,

km h

đơn vị trục hoành là phút).

Giả sử tại thời điểm

trên, ba xe đang cách trạm lần lượt là

1 2 3

, , .

d d d

So sánh các khoảng cách này.

1 2 3

d d d

  B.

2 3 1

d d d

 

3 1 2

d d d

  D.

1 3 2

d d d

 

Chọn D.

 

60.4 60 15 360

d t dt   



;

50.4 50 445

d t dt

 

   

 

 



 

40.8 40 10 400

d t dt   



Câu 30. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Một ôtô đang chạy với vận tốc

19 /

m s

thì người lái

hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc









38 19 / ,

v t t m s

   trong đó

là

khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi

dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

4,75 .

4,5 .

4,25 .

5 .

Chọn A.

Ta có thời gian ô tô bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là :

 

38 19 0

t t s

     . Trong

khoảng thời gian này ô tô di chuyển một đoạn đường :

Xe th

ứ

ấ

Xe th

ứ

hai

Xe th

ứ

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 15 | THBTN

 

   

38 19 d 19 19 4,75

s t x t t m m

       



Câu 31. (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở





5 /

v m p

 . B.





7 /

v m p

 .

Đáp án: C.

 

1 3

2 2

10 d 5 162

t t t t   



848





. C.

128





. D.





. Khi



thì

. C.

. D.

vận tốc với gia tốc









2 2

4 /

a t t t m s

  . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong

khoảng thời gian

giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

68,25

. B.

70,25

. C.

69,75

. D.

67,25

Giải

Chọn C.

 

2 3 2

4 d 2

v t t t t t t C

    



. Mà





0 15 15

v C

  

nên

 

3 2

2 15

v t t t

  

độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống.

Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật





10t  t

, trong đó

(phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v





được tính

theo đơn vị mét/phút (

m/p

). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là

C. v  9



m/p



. D. v  3



m/p



Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là t  0, thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là

t .

Quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm t  0 đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là

t là

 t  4,93 t 10,93 t  9

Do v





 0  0  t 10 nên chọn

t  9

Vậy khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là





10.9 9

 9



m/p



Câu 32. (TRUNG GIÃ) Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc

v  30

(

m/s

) thì đột ngột thay

đổi gia tốc a





 4t (m/s

). Tính quãng được đi được của chất điểm kể từ thời điểm thay

đổi gia tốc đến thời điểm vận tốc lớn nhất.





. B.

424



Câu 33. (CÔNG NHIỆP) Một vật chuyển động với gia tốc a





 20



1 2t



(m / s

)

vận tốc của vật là 30(m / s) . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây ( m là mét, s là

giây).

m .

Câu 34. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc v

15m / s thì tăng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

16 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

   

3 2 4 3 3

1 1 2 279

2 15 d 15 69,75

3 12 3 4

S t t t t t t t m

   

       

   

   



Câu 35. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban

đầu

29,4

m s

. Gia tốc trọng trường là

9,8

m s

. Tính quãng đường

viên đạn đi được từ lúc

bắn lên cho đến khi chạm đất.

88,2 .

S m



88,5 .

S m



88 .

S m



89 .

S m



Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quảng đường đi được là

2 2

v v as

  nên

quãng đường đi được từ lúc bắn lên đến khi dừng lại là :

2 2

v v s

 

2 2

0 29,4

44,1

2 2.9.8

v v



  



Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là

44,1.2 88,2

S m

 

Câu 36. (NGÔ GIA TỰ) Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường





s mét

đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian





t giây

, hàm số đó là

2 3

6 –

s t t

 .

Thời điểm





t giây

mà tại đó vận tốc





v m s

của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

t s



. B.

t s



. C.

t s



. D.

t s



Hướng dẫn giải

Chọn B.

 Hàm số vận tốc là





3 12

v s t t t



    , có GTLN là

max



tại



Câu 37. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một ôtô đang chạy đều với vận tốc

m/s thì phía trước xuất

hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm

dần đều với gia tốc



m s

. Biết ôtô chuyển động thêm được

thì dừng hẳn. Hỏi

thuộc khoảng nào dưới đây.





3;4

. B.





4;5

. C.





5;6

. D.





6;7

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi





x t

là hàm biểu diễn quãng đường,





v t

là hàm vận tốc.

Ta có:

     

0 d

    



v t v a t at





   

v t at .

       

0 0

0 d 15 d 15

       

 

t t

x t x v t t at t at t

 

  

x t at t

Ta có:

 

15 0

15 20

  





 



 

  







v t

at t

x t

15 8 45

15 20

2 3 8

       t t t a .

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 17 | THBTN

Câu 38. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một chất điểm chuyển động theo phương trình

3 2

2 18 2 1,S t t t    

trong đó

tính bằng giây

 

s và tính bằng mét . Tại thời điểm bài thì vận tốc chất điểm

đạt giá trị lớn nhất?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

 

6 36 1v t S t t



     và

 

12 36v t t



   , cho

 

0 3v t t



  

Lập BBT suy ra

3t s

thì vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 55 /m s .

Câu 39. (NGUYỄN KHUYẾN) Một chất điểm chuyển động theo quy luật

3 2

6 17s t t t    , với

   

7 / .v t t m s Đi

5 5

( )d 7 d 7 87,5

t t t t  

(m).

(5) (5) 35 385v v C    . Vậy

( ) 70t 385v t    .

Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với

thoả mãn

( ) 0 5,5v t t   (s).

Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn:

5,5 5,5

2 1

5 5

( )d ( 70 385)d 8,75S v t t t t    

 

(m).

Quãng đường cần tính

1 2

96,25S S S   (m).





t s



t s



t s



t s



(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi

được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc v



m / s



của chuyển động đạt giá trị lớn nhất

trong khoảng

giây đầu tiên bằng

D. 29m/s .A. 17m/s . B. 36m/s . C. 26m/s

Chọn D.

Vận tốc của chất điểm là v  s



 3t

12t 17  3



t  2



 29  29 .

Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng

khi

t  2

Câu 40. (SỞ HÀ NỘI) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc

được 5





, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động

chậm dần đều với gia tốc a  70



m / s



. Tính quãng đường





đi được của ô tô từ lúc

bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. S  95,70





. B. S  96,25





. C. S  87,50





. D. S  94,00





Hướng dẫn giải

Chọn B.

Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe lăn bánh đến khi được phanh:

1 1

S 



0 0

Vận tốc v

(t) (m/s) của ô tô từ lúc được phanh đến khi dừng hẳn thoả mãn

(t) 



(70)dt=  70t C ,

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

18 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 41.

(TT DIỆU HIỀN)

Một ô tô đang

chạy

với vận tốc

10 /

m s

thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm

đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

( ) 10 5

v t t

 

m s

với

là khoảng thời gian tính

bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc đạp phanh đến

khi dừng hẳn.

. B.

. C.

. D.

0,2

Hướng dẫn giải

Quảng đường xe đi được sau khi đạp phanh là

 

10 5 10

s t dt

  



Câu 42. (HAI BÀ TRƯNG) Một chất điểm chuyển động trên trục

với vận tốc thay đổi theo thời

gian





3 6

v t t t

 

(m/s). Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm



(s),



(s).

16.

24.

12.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Quãng đường chất điểm đi được là:

 

   

4 4

2 3 2

0 0

d 3 6 d 3 16.

S v t t t t t t t     

 

Câu 43. (TIÊN LÃNG) Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sông được chia làm hai phần.

Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng

480

nghìn đồng trên

giờ. Phần thứ hai tỉ

lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi



(km/giờ) thì phần thứ hai bằng

nghìn

đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1

đường sông là

nhỏ nhất ( kết quả làm tròn đến số nguyên).

(km/giờ). B.

(km/giờ). C.

(km/giờ). D.

(km/giờ).

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

( / )

x km h

là vận tốc của tàu,



Thời gian tàu chạy quãng đường

là:

(giờ)

+) Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là:

1 480

480 .

x x

  ( ngàn đồng)

+) Hàm chi phí cho phần thứ hai là

p kx

 ( ngàn đồng/ giờ)

Mà khi

10 30 0,03

x p k

    

. Nên

0,03

p x

 ( ngàn đồng/ giờ)

Do đó chi phí phần 2 để chạy

là:

3 2

0,03 0,03 .

x x

  ( ngàn đồng)

Vậy tổng chi phí:

2 2

480 240 240

( ) 0,03 0,03 3 1728 36.

f x x x

x x x

      

Dấu ’’=’’ xảy ra khi



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 19 | THBTN

Câu 44. (TIÊN LÃNG) Một vật di chuyển với gia tốc

   





20 1 2 /

a t t m s



   . Khi



thì vận tốc

của vật bằng

30 /

m s

. Tính quãng đường vật đó di chuyển sau

giây (làm tròn kết quả đến

hàng đơn vị).

. B.

. C.

108

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

















/ ,

v t m s s t m

lần lượt là vận tốc và quãng đường của chuyển động, khi đó ta có

















a t v t v t s t

 

  hay

















d , d

v t a t x s t v t t

 

 

   

 





1 2

20 10

20 1 2 d

2 1 1 2

v t t t C C







      

 



1 2.0

Do đó

 

1 2

v t

 



 

20 d 5ln 1 2 20 40

1 2

s t t

 

     

 



 



3 2





400 /

m s

Vì khi t  0 thì vận tốc của vật bằng 30 m/s nên





  C  30  C 



Quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây là

5ln5 48,0471896t  

Câu 45. (GIA LỘC) Một chuyển động theo quy luật s  

t  t , với

(giây) là khoảng thời gian từ

lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó.

Hỏi trong khoảng thời gian

giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là

bao nhiêu?

A. 54



m / s



. B. 216



m / s



. C. 30



m / s



Hướng dẫn giải

Chọn A.





 s



  t  t và a





 v







 3t 18

Cho v







 0  t  6

Khi đó: v





 0, v





 30 và v





 54.

Vậy: Vận tốc lớn nhất của vật là 54



m / s



tại thời điểm

t  6

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

20 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chủ đề 2. LIÊN QUAN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH

Câu 1. (Chuyên Thái Bình) Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng

khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp

càng tốt(tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác

định là

cho trước. Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là

3 2

2 V



3 2

6 V

3 2

3 6V

3 2

3 2 V



Hướng dẫn giải

Chọn D

Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ

Thể tích không đổi

2 2 2

, 2 2 2

V V

V R h h S R Rh R

R R

   



      

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương

2 , ,

V V

R R



Ta có

32 2 2

2 3 2 . . 3 2

V V V V

S R R V

R R R R

  

     (*)

Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật

Thể tích không đổi

 

; 2 2 2 2 . 2 . 2

V V V V V

V abh h S ab a b h ab a b ab

ab ab ab b a

 

           

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho bộ ba số dương ; ;

V V

a b

Ổ

NG ÔN:

BÀI TOÁN TH

Ự

C TI

Ễ

2017

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 21 | THBTN

Ta có

3 2

2.3 . . 6

V V

S ab V

a b

  (**)

Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn

Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là

3 2

S V





(đvdt)

Câu 2. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là

15cm

, đường kính đáy là

6cm

, lượng nước ban đầu trong cốc cao

10cm

. Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng

đường kính là

2cm

. Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu

cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số).

A. 4,81cm . B. 4,25cm . C. 4,26cm .

Chọn C.

3r 

coc nuoc

Thể tích

2 3

4 290

.10.3 5. .1

3 3

 

   .

115

135

3 3

V V V

 

   .



12,637m . B.

114,923m . C.

11,781m . D.

8,307m .

Hướng dẫn giải

Chọn A

0,5

D. 3,52cm .

Hướng dẫn giải





.h 



.15.3

135



V của cốc nước sau khi thả 5 viên bi :



Thể tích của phần còn trống :

290







Gọi h

là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc .



3 . 

115 115

 4,26

3 27

cm h 

Câu 3. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài

bồn là 5m , có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã

rút dầu trong bồn tương ứng với

0,5m

của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của

khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị

)

0,5m

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

22 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Nhận xét 0,5

22 2

R OB

OH CH    suy ra OHB là tam giác nửa đều



60 120HOB AOB     

Suy ra diện tích hình quạt OAB là:

1 1

3 3

S R

 

 

Mặt khác:

3 3

4 4

AOB HOB BOC

S S S

  

   

( BOC đều)

Vậy diện tích hình viên phân cung AB là

1 3

3 4





Suy ra thể tích dầu được rút ra:

Thể tích dầu ban đầu:

Vậy thể tích còn lại:

2 1

12,637V V V m   .

Câu 4. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG) Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng

4 dm

, người ta cắt ra

hình quạt tâm

bán kính

4 dmOA 

(xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón

(khi đó

trùng với

). Chiều cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số

thập phân) là

A. 3,872 dm . B. 3,874 dm . C. 3,871 dm . D. 3,873 dm.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có cung AB có độ dài bằng .4 2



 .

Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đường

sinh

Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó

trùng với

) thì chu vi

đường tròn đáy bằng độ dài cung AB bằng



. Khi đó bán kính đáy là

2 1

C R R



    .

1 3

3 4



 

 

 

 

5. .1 5

 

 

4 dm

A B



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 23 | THBTN

Xét tam giác

OIA

vuông tại

có

4 dm



1 dm

IA R

 

h OI



trong đó

2 2 2 2 2

4 1 15

OI OA IA

    

15 3,873

OI   .

Vậy

3,873



Câu 5. (QUỐC HỌC HUẾ) Người ta dựng một cái lều vải





có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như

hình vẽ bên. Đáy của





là một hình lục giác đều

cạnh

. Chiều cao

SO m



(

vuông góc với

mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của





là các sợi

dây

nằm trên các đường

135 3

(

135 3

(

). D.

135

Chọn D.

1 7

y x x

  

7 1

2 4

BM t

  

(chú ý là ta phải

 

3 3 3 7 1

6. 2

4 2 2 4

S t t

 

   

 

 

với





0;6

t  .

Vậy thể tích của “túp lều” theo đề bài là:

 

6 6

0 0

3 3 7 1 135 3

d 2 d ...

2 2 4 8

V S t t t t

 

     

 

 

 

Cho khối chóp

O ABC

có ba cạnh

đôi một vuông góc với nhau. Biết



Câu 6. (SỞ QUẢNG NAM) Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của





0;6





1;3





3;0

parabol có trục đối xứng song song với

. Giả sử

giao tuyến (nếu có) của





với mặt phẳng





vuông góc với

là một lục giác đều và khi





qua trung điểm của

thì lục giác đều có cạnh 1 m

. Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều





đó.

( m

Hướng dẫn giải

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua

3 điểm có tọa độ lần lượt là A



0;6



, B



1;3



, C



3;0



nên

có phương trình là

Theo hình vẽ ta có cạnh của “thiết diện lục giác” là BM .

Nếu ta đặt

t  OM

thì

lấy giá trị có dấu “” trước dấu căn và cho B chạy từ

đến A ).

Khi đó, diện tích của “thiết diện lục giác” bằng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

24 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn

có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng

hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng và có chiều cao bằng 20

(xem hình minh họa). Biết rằng đổ

4.000

nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy

được vào bên trong phễu), tính bán kính đáy

của phễu (giá trị gần đúng của

làm tròn đến

hàng phần trăm)

A. 9,77

r cm



. B. 7,98

r cm



. C. 5,64

r cm



. D. 5,22

r cm



Hướng dẫn giải

Chọn C.

Cách 1:





 





 

2 2 2 2

2 2

. .

= . .

= .

= . . 2 .2 .

1 7

= . 7 . .

3 3

thung mieng day mieng day

V h S S S S

h R r R r

h R r Rr

h r r r r

h r h r

   

  

 

  

 

 

 

 

 



1 1

. . .

3 3

pheu day

V h S h r



 

Theo giả thuyết

2 2

7 1

4000 . . . . 4000

3 3

2 . . 4000

4000 4000 100

2. . 2.20.

5,64 cm

thung pheu

V V h r h r

h r

 



  

    

 

   

 

Câu 7. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Có một chiếc cốc có dạng như hình vẽ, biết chiều cao của chiếc cốc là

, bán kính đáy cốc là

, bán kính miệng cốc là

. Tính thể tích

của chiếc cốc.

3 cm

8 cm

6 cm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 25 | THBTN

 

72 cm



. B.

 

48 cm



. C.

 

48 cm . D.

 

36 cm



Hướng dẫn giải

Chọn C.

Áp dụng công thức tính thể tích hình nó cụt

     

2 2 2 2 3

. 6 3 18 168

3 3

V R r R r cm

 



      

Câu 8. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng

2r m

chiều cao 6h m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ

như hình vẽ. Gọi

là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính

 

V m



 . B.

 

V m



 . C.

 

V m . D.

 

V m



 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là

 

0 2;0 6x h



   

Ta có:

6 3

6 2

h x







   

Thể tích khối trụ:

 

2 2 2 3

6 3 6 3V x h x x x x



    

   

( ) 12 9V x x x



 

 

( ) 0 0

V x x x



    

Khi đó ta có thể suy ra được với

x  thì V đạt giá trị lớn nhất bằng

 

V m





Câu 9. (CHUYÊN SƠN LA) Từ một nguyên liệu cho trước, một công ti muốn thiết kế bao bì đựng

sữa với thể tích

100ml

. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình hộp chữ nhật

có đáy là hình vuông và hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ?

A. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.

B. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.

2-xx

h h'

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

26 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

C. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy.

D. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi:

là bán kính đáy hình trụ

là chiều cao hình trụ

Khi đó hình trụ có thể tích là:

100

V R l ml



 

Diện tích toàn phần của hình trụ là :

2 2

2 2 2

S Rl R Rl Rl R

    

    

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm :



ta có:

 

3 32 2 2 2

2 3 . .2 3 2 . . 3 2 .100.100 119.27 1

S Rl Rl R Rl Rl R R l R l

         

      

Dấu

" "



xảy ra

2 2

Rl Rl R l R

  

    

Gọi

là độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật

Gọi

là chiều cao hình hộp chữ nhật

Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật là:

2 3

. 100

V a h ml

 

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

2 2

2 4 . 2 2 . 2 .

S a a h a a h a h

    

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm là:

2 .

a h

2 .

a h

Ta có:

 

3 3 32 2 2 2 2

2 2 . 2 . 3 2 .2 . .2 . 3 8 . 3.2. 100 129.27 2

S a a h a h a a h a h a h a h      

Dấu

" "



xảy ra

2 2 2

ah ah a h a

    

Từ









1 , 2



Thiết kế hộp sữa hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kình đáy thì tốn ít nguyên

vật liệu nhất.

Câu 10. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối

cầu có bán kính

là



. B.



. C.

4 2



. D.



Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong

một khối cầu thì khối nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớn

hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai

khối nón đó.

Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn





bán kính

. Gọi

với

x R

 

là khoảng cách giữa tâm khối cầu đến đáy

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 27 | THBTN

khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối

cầu với đáy là hình tròn

 

C sẽ là

h R x 

. Khi đó bán kính

đáy nón là

2 2

r R x  , suy ra thể tích khối nón là

 

       

2 2 2

1 1 1 1

2 2

3 3 3 6

V r h R x R x R x R x R x R x R x R x

   

           

Áp dụng BĐT Cô-si ta có

 

2 2

1 32

6 27 81

R x R x R x



    

 

max

36 3.S  B.

max

18 3.S  C.

max

36.S 

 

343 4 3 2

 

 B.



343 7





 

343 12 2

 

 D.



 



740600

. B.

76040

. C.

7406

. D.

74060

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi cạnh của hình chóp là

230a 

,chiều cao

144h 

Thể tích kim tự tháp :

2 3

2539 00

V ha m

Thể tích khối đá cần vận chuyển

0.7 1777440V m .

Gọi x là số lần vận chuyển. Để đủ đá xây dựng kim tự tháp thì

Câu 14. (Lương Thế Vinh) Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác

nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức

tròn





có tâm A , đường kính bằng 14 (hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay

được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng

Câu 11. (SỞ THANH HÓA) Cho hình hình hộp chữ nhật

ABCD.A



có độ dài đường chéo



 18

. Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật này. Tìm giá trị lớn nhất của

S .

S 18.

Câu 12. (SỞ THANH HÓA) Trong mặt phẳng





cho hình vuông

ABCD

có cạnh bằng

và hình





343



Câu 13. (Lương Thế Vinh) Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập.

Chiều cao của kim tự tháp này là 144m , đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh dài 230m .

Các lối đi và phòng bên trong chiếm

30%

thể tích của kim tự tháp. Biết một lần vận chuyển

gồm

xe, mỗi xe chở

tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 2,5.10

kg / m

. Số lần vận

chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

28 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách

đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài mỗi

đường kính của hai quả bóng đó là:

A. 64. B. 34. C. 32. D. 16.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Chọn hệ trục toạ độ

Oxyz

gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà. Do hai quả cầu

đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, vậy

tâm cầu sẽ có toạ độ là





; ;

I a a a

với



và có bán kính

R a



Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là 9,

10, 11 nên nói cách khác điểm





9;10;13

A thuộc mặt cầu. Từ đó ta có phương trình:

     

2 2 2

9 10 13

a a a a

     

Giải phương trình ta được nghiệm



hoặc



Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là





2 7 25 64

 

.10.6000

1777440 74060

2,5.10

x  

Câu 15. (QUẢNG XƯƠNG 1) Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi là





. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ đó là:







. B.







. C.







. D.





64 .



Hướng dẫn giải.

Chọn B.

Gọi

là bán kính hình trụ, chiều cao

Ta có:





2 6 6 2 , 0 3

r h h r r

      

Khi đó:

 

2 2

6 2

6 2 8

r r r

V r h r r

  

  

 

    

 

 

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là







Câu 16. (QUẢNG XƯƠNG 1) Cho hình chóp

S ABCD

có

ABCD

là hình thoi cạnh

SA SB SC a

  

. Thể tích lớn nhất của khối chóp

S ABCD

là

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 29 | THBTN

Chọn D.

Kẻ





SH ABCD

 tại



là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC



.Mà

ABC



cân tại

và

D D

AC B H B

  

. Gọi

là giao điểm

và

Ta có:





2 2 2 2 2 2 2

OB AB OA a SA SO SO SO OB OD SBD

           vuông tại

1 1 1 1 1

. . . . . . . . .

3 3 2 6 6

ABCD

SH BD SB SD V SH S SH AC BD SB SD AC a AC SD

      

Lại có

2 2 2 2

SD BD SB BD a

   

Mà

2 2 2 2 2

2 2 2 4

AC OA AB OB a a BD

       .









2 2 2 2

. 4 . .

6 6 2 4

a BD BD a

a a

V a a BD BD a

  

      .

Câu 17. (CHUYÊN KHTN) Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm

, bán kính

, hình hộp có thể

tích lớn nhất bằng

. B.

3 3

. C.

3 3

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi

lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Thể tích của khối hộp là

V abc



Ta có

a b c

abc

 

 



 

 

Mà

 

2 2 2 2

( ) 3( ) 3 2

a b c a b c R

      (đường chéo của hình hộp là đường kính mặt cầu)

2 3

a b c R

   

Do đó

2 3 8

3 3

R R

abc

 

 

 

 

Câu 18. (CHUYÊN KHTN) Xét các hình chóp

S ABC

có cạnh

SA SB SC AB BC a

    

Giá trị

lớn nhất của thể tích hình chóp

S ABC

bằng ?

3 3

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

30 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Kẻ





SH ABC

 tại

2 2 2

HA SA SH

H HB SB SH

HC SC SH



 



  





 



Mà

SA SB SC a HA HB HC H

      

là tâm đường

tròn ngoại tiếp

ABC



Tam giác

ABC

cân tại

gọi

P BH AC BP AC

   

và

PA PC 

Kẻ

 

2 2

AB a

HK AB K AB KA KB

     

Ta có

BK BA a

BKH BPA BH

BP BP

    

Đặt

2 4 2 2

2 2 2

0 .

2 4 2

a a a x a

BP x BH SH SB BH a

x x x



         

Cạnh

2 2 2 2

2 2 2 .

AC AP AB BP a x

    

Do đó

2 2

1 1 1 1 4

. . . . . .2

3 3 2 6 2

S ABC ABC

a x a

V SH S SH BP AC x a x



   









2 2 2 2

4 4

1 1

4 .2 . .

12 12 2 8

S ABC

x a a x

V a x a a x a

  

     

Dấu

" "



xảy ra

 

2 2 2 2 2 2

4 4 8 5 0 .

x a a x x a x a x        

Câu 19. (HÀ HUY TẬP) Gọi

và

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu

lần lượt là thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé

nhất của tỉ số

là

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 31 | THBTN

Ta có: Thể tích khối nón là

V r h



 .

Xét mặt cắt qua tâm ,SAB kẻ tia phân giác của góc



SBO

, cắt

tại

Ta có:

2 2

IO OB r r h

IS IO

IS SB r

r h



    



Mặt khác:

IO IS h 

Do đó ta có bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp là

2 2

R IO

r h r

 

 

Thể tích khối cầu là

 

3 3

2 2

4 4

3 3

r h

V R

r h r

 

 

 

 

2 2

1 1

r r h

V rh

 

 

 

 

 

  

Đặt

  (

1t 

)

 

3 2

1 1

4 1

t t

V t

 

  



Đặt

 

f t







, Điều kiện:

1t 

 

2 3

t t

f t

 







 

0 3f t t



   ,

 

3 8f 

BBT

 

8 1f t t   

 

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

32 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 20. (HÀ HUY TẬP) Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài

1km

đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng

; độ dày của lớp bê tông bằng

10cm

Biết rằng cứ một khối bê tông phải dùng

bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để

xây dựng đường ống thoát nước gần đúng với số nào nhất?

3456

bao. B.

3450

bao. C.

4000

bao. D.

3000

bao.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Thể tích khối bê tông cần làm đường ống là:

 

2 2 3

1000 0,6 0,5 110 mV

 

  

Số bao xi măng phải dùng là: 110 .10 3456



 bao.

Câu 21. (HÀ HUY TẬP) Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R , người thợ thợ thủ công

mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính

thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.

4 3



4 3



4 3



3 3



Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử 2x là chiều cao hình trụ

(0 ) x R

(xem hình vẽ)

Bán kính của khối trụ là

2 2

r R x  . Thể tích khối trụ là:

2 2

( )2V R x x



  .

Xét hàm số

2 2

( ) ( )2 , 0V x R x x x R



    , có

2 2

( ) 2 ( 3 ) 0

V x R x x





     .

Bảng biến thiên:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 33 | THBTN

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là

2 3

;

max

4 3



 .

Câu 22. (PHÚ XUYÊN ) Cho hình trụ có diện tích toàn phần 6



. Kích thước của khối trụ bằng bao

nhiêu để thể tích của nó đạt giá trị lớn nhất?

1, 2.r h 

2, 1.r h 

1, 1.r h 

2, 2.r h 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

2 2 6

S rh r h

  



    

với

 

0;3r 

AB  Quay tam



 . B.

 

3 1 3



 . C.

 

1 3





 . D.

 

1 3





 .

Hướng dẫn giải

CHỌN A.

Ta có



105BAC  

. Theo định lý sin trong tam giác



sin sin

BC AB

BAC ACB

 nên

sin105 1 3

30 2

 

 



Ta có

AO BO 





V x







 

V x

4 3



V 



h 



(3r  r

)

Đặt f (r)  3r  r

; f



(r)  3 3r

 0  r  1

Suy ra: max f (r)  2 khi

r  1 h  2

Câu 23. (SỞ HẢI PHÒNG) Cho tam giác

ABC

có AB



C  45, A



CB  30,

giác quanh cạnh

BC,

ta được khối tròn xoay có thể tích bằng





1 3



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

34 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

1 2

V V





2 2

1 1

3 3

R BO R CO

 

 

1 1 1 1 3

. .

3 3 2 2

R BC

 

 



 

 

 

 





1 3







Câu 24. (SỞ HẢI PHÒNG) Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng



tìm bán kính

của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất.



. B.

3 2

r  . C.

2 2

r  . D.



Hướng dẫn giải

CHỌN C

Gọi bán kính và thể tích của hình cầu là

và

Theo giả thiết







 







Diện tích xung quanh của hình nón là

2 2

. . . .

S r SA r SH r

 

  

(1)

Mà

2 2 2 2 2

SH SI IH R IH IH

IH IA HA R r r

     







     







3 9

SH r

  

(2)

Từ (1) và (2)







2 2

. . 3 9

S r r r



   







2 2 4

. 3 9

S r r r



   

Đặt

2 2 2

9 9

t r r t

    

. Với

0 3

 

(3)



   





 

2 2 4

3 2

. 9 3 9 9 9 . 6 18 54 162

S t t t t t t

 

           

Xét hàm số





3 2

6 18 54 162

f t t t t    







18 36 54

f t t t



   







f t







3 1

t t

   

Bảng biến thiên

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 35 | THBTN











f t







f t

8 3

108

Vậy





Max 8 3

f t 

tại





Max 8 3



 tại



Kết hợp (3)



2 2

r 

Chú ý: Để tìm GTLN của





2 2

. 3 9

S r



 

3 3

4 4

3. . .1 3. 4 ( )

3 3

V cm

  

  

1( )

2 . 4



 

 

và thể tích hình trụ





bằng:

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Thể tích của mỗi khối nón là

. .

3 2 6

h R h

V R



 

Tổng thể tích của hai khối nón là

2 2

6 3

R h R h

 

 

 r  r

với

0  r  3

ta có thể dùng Table.

Câu 25. (SỞ HẢI PHÒNG) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao

12cm

, đường kính

đáy

4cm

, lượng nước trong cốc cao

8cm

. Thả vào cốc nước

viên bi có cùng đường kính

2cm

. Hỏi nước dâng cao cách miệng cốc bao nhiêu xăng-ti-mét?

B. 2cm . D. 1cm .C. 3cm.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Thể tích 3 viên bi có cùng đường kính

2cm

là

Sau khi bỏ 3 viên bi vào nước thì thể tích 3 viên bi chiếm chỗ nước có thể tích là

V  4



(cm

) nên nước sẽ dâng và chiếm thể tích là

Do đó mực nước sẽ dâng cao thêm một đoạn là h 

Vậy mực nước cách miệng cốc là 1281 3(cm).

Câu 26. (CHUYÊN LÀO CAI) Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm

theo

OA  OB

. Khi đó tỉ số tổng thể tích của hai hình nón





TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

36 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341



Thể tích của khối trụ là

V R h



 . Vậy



Câu 27. (CHUYÊN LÀO CAI) Một hình chóp tứ giác đều có tổng độ dài của đường cao và bốn cạnh

đáy là

. Hỏi độ dài cạnh bên ngắn nhất là bao nhiêu?

. B.

. C.

11 3

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi độ dài cạnh đáy là

, đường cao là

, cạnh bên là

Ta có

4 33 33 4 (0 )

x h h x x      

Độ dài cạnh bên là

 

2 2

33 4

2 2

x x

y h y x

     

Độ dài cạnh bên nhỏ nhất khi hàm số:

 

( ) 33 4 (0 )

2 4

f x x x    

đạt giá trị nhỏ nhất.

Khảo sát hàm số

( )

f x

ta có: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại



Vậy cạnh bên nhỏ nhất bằng

khi cạnh đáy



Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

cạnh bằng

. Gọi

là giao điểm của

và

. Thể

Câu 28. (CHUYÊN LÀO CAI) Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh

ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc



như hình bên. Biết

rằng chiều cao của đồng hồ là

và tổng thể tích của đồng hồ là

1000



. Hỏi nếu cho

đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm

chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu ?

3 3

Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 37 | THBTN

Chọn B

Gọi

, , ,

h h r r

 

 

 

 

 

lần lượt là chiều cao, bán kính của hình nón phía dưới và phía

trên của đồng hồ. Ta có:

; 30 ;

tan60

3 3 3

h h h h

r h h r





 

     



. Khi đó: thể tích

của đồng hồ:

 

2 2

1 1 1 30

3 3 3

3 3

h h

V r h r h h h

  

 



   

 

    

 

   

 

   

 

3 2 3

1 27000 2700 90

3 3

h h h h



 

   



 

 

 

90 2700 27000 1000

h h

 

   

 

30 200 0 20 10

10 15

h h h h







        



 



Do 2 hình nón đồng dạng nên

V h



 

 

 

 

Câu 29. (CHUYÊN ĐHSP) Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính



và chiều dài

1,4

. D.

0,4

tru





 

;

 

0,4

S  .

 

. 0,4 .3

hh hh

V S h  ;

bo di

0,14

go tru hh

V V V m

   .

Câu 30. (CHUYÊN ĐHSP) Một đống cát hình nón cụt có chiều cao



, bán kính đáy lớn



, bán kính đáy nhỏ



. Thể tích đống cát xấp xỉ

0,11

. B.

0,1

. C.

1,1

. D.



h  3 m thành một cái xà hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài. Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu xấp xỉ

là

B. 0,014 m

. C. 0,14 m

Hướng dẫn giải

Chọn.C.

Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu



thể tích cái xà lớn nhất



diện tích đáy của cái xà lớn nhất.



đáy là hình vuông nội tiếp đường tròn đáy.

Hình vuông này có đường chéo bằng đường kính đường tròn đáy.

V 



h 







TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

38 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Hướng dẫn giải

Chọn C.

0,6

h m



;

R m



;

0,5

R m

 .





B R

 

 





0,25B R

 



  .









0,6

' ' 0,25 .0,25 1.099557429

3 3

V B B BB      

   

Câu 31. (TT DIỆU HIỀN) Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

a SA

vuông

góc với mặt phẳng đáy và góc giữa

với mặt phẳng





SAB

bằng

30 .

Gọi

là điểm di

động trên cạnh

và

là hình chiếu vuông góc của

trên đường thẳng

Khi điểm

di động trên cạnh

thì thể tích của khối chóp

S ABH

đạt giá trị lớn nhất bằng:

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Góc giữa

và





SBC

là



 CSB CSB

Ta có



2 2

tan 3; 2

     

CSB SB a SA SB AB a

Đặt





, 0 ,

     

CM x x a DM a x

Ta có

 





   







BM SH

BM SAH BM AH

BM SA

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 39 | THBTN

Ta có

 

1 1 1 1

. , . . ;

2 2 2 2 2

        

BMC ADM ABM ABCD AMC ADM

S BC CM ax S AD DM a a x S S S S

Ta có

2 2

  



ABM

S AH BM AH

a x

;

2 2

  



BH AB AH

a x

Thể tích của khối chóp

S ABH

là

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2

. . . 2. . .

3 3 2 6 6

   



 

ABH

a ax x

V SA S SA BH AH a a

a x

a x a x

(*)

Xét hàm số

 

 

2 2

, 0;

f x x a

a x

 



Ta có

 

2 2

; 0



 

   



a x

f x f x x a

a x

Trên đoạn





ta có









0, 0;



  

f x x a

Vậy giá trị lớn nhất của

tại



x a

 

mzx

V a

Cách 2: Từ

(*)

4 4

2 2

2 2 1 2

. .

6 6 2 12

x a

V a a

a x a

  



. Dấu



khi :

x a



Cách 3: Dễ thấy

nhìn

dưới góc vuông nên

S ABH

V lớn nhất khi

ABH

lớn nhất khi và chỉ

khi

H O



(tâm của hình vuông )

x a

 

. Từ đó có kết quả.

Câu 32. (TT DIỆU HIỀN) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho tam giác

OAB

vuông ở

thuộc trục hoành, điểm

nằm trong góc phần tư thứ nhất và



2017, , 0 .

OB AOB



 

 

   

 

 

Khi quay tam giác

OAB

quanh trục

ta được một khối

nón tròn xoay. Thể tích của khối nón đó lớn nhất khi:

sin





. B.

cos





. C.

cos





. D.

sin





Hướng dẫn giải

Chọn A

201



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

40 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Khi xoay tam giác

OAB

quanh trục

tạo thành hình nón có đường cao là

2017.cos





và bán kính đáy là

.sin 2017.sin

AB OB

 

 

Thể tích khối nón bằng:

. .

V AB OA





 

2017.sin .2017.cos

  



3 2

2017 .sin .cos

  



Xét hàm số





( ) 1

f t t t

  với





cos ; 0;1

t x t  do





 



 

 

Ta có:





3 1

f t t



  

Ta có bảng biến thiên:









f t











f t

Vậy thể tích khối nón lớn nhất khi

cos



 hay

sin 1 cos

 

   .

Câu 33. (SỞ QUẢNG NINH) Tính diện tích vải cần có để may một

cái mũ có hình dạng và kích thước (cùng đơn vị đo) được cho

bởi hình vẽ bên (không kể riềm, mép)

350



. B.

400



450



. D.

500



Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dựa vào hình vẽ ta cần tính diện tích của hai phần:

Phần I: Diện tích phần giới hạn bởi hai đường tròn có đường

kính là

và

2 2

1 30 10

.15 .5 200

d d

S S S

  

 

     .

Phần II: Diện tích hình nón có đường kính hình tròn đáy là

và đường sinh là

.5.30 150

 

  .

Vậy diện tích vải cần là

1 2

350

S S S



   .

Câu 34. (SỞ VŨNG TÀU) Một người có một dãi duy băng độ dài





180

. Người đó cần bọc dãi duy

băng đó đi quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà người này dùng





để thắt nơ trên

nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dãi duy băng đó có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn

nhất là bao nhiêu?

 

54000

 

64000

 

54000

 

64000

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 41 | THBTN

1,8

1,2

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi ,r h

 

0 40,0 20h r    là bán kính và đường cao của hình trụ.

Ta có

 

8 4 180 20 160 40 2r h cm h r      

 

2 2 3

40 2 64000

40 2

3 27

r r r

V r h r r cm



  

  

 

    

 

 

khi

 

r cm .

Câu 35.

(CHUYÊN TUYÊN QUANG) Người ta muốn xây một

bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng

tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của

khối hộp đó lần lượt là

; 1,2m ; 1,8m

(người ta chỉ xây hai mặt thành bể như hình vẽ

bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài

20cm

chiều rộng

10cm

, chiều cao

5cm

. Hỏi

người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để

xây bể đó và thể tích thực của bể chứa bao nhiêu

lít nước ? (Giả sử lượng xi măng và cát không

đáng kể).

738

viên,

5742

lít. B.

730

viên,

5742

lít.

738

viên,

5740

lít. D.

730

viên,

5740

lít.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Thể tích của bể là

 

18.11.29 5742V l  .

Thể tích của 1 viên gạch là

1dm , thể tích cần xây dựng là

(30 11).18 738dm  , suy ra số

viên ít nhất cần dùng là

738

viên.

Câu 36. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Một chiếc hộp hình trụ được dùng để chứa 1 lít dầu. Kích thước

hình trụ thỏa điều kiện gì để chi phí về kim loại dùng để sản xuất vỏ hộp là tối thiểu.

A. Chiều cao gấp hai lần đường kính đáy. B. Chiều cao gấp ba lần đường kính đáy.

C. Chiều cao gấp hai lần bán kính đáy. D. Chiều cao gấp ba lần bán kính đáy.

Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

42 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chọn C.

Gọi bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp hình trụ lần lượt là

R h

điều kiện

, 0

R h



Chi phí sản xuất hộp phụ thuộc vào diện tích bề mặt của vỏ hộp phải sử dụng. Chi phí nhỏ nhất

khi diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

2 2 2

đtp xq

S S S Rh R

 

   

Theo giả thiết thể tích chiếc hộp hình trụ bằng 1 lít nên ta có:

1R h h



  

2 2

1 2

2 . 2 2

S R R R

R R

  



    

2 2

2 4 2

S R

R R







    , Cho

S R





  







–



min

Vậy

nhỏ nhất khi





2 3

1 1 1

2 2

h h R

R R R

 



       

Câu 37.

(CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Một cái bồn chứa

xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên.

Các kích thước được ghi (cùng đơn vị

). Tính thể tích của

bồn chứa.



. B.



5 2

4 3





. D.

2 5

4 .3



Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi

là thể tích hình trụ có đường cao





36 dm

và bán kính đường tròn đáy 9 (dm).

là thể tích nửa hình cầu có bán kính





9 dm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 43 | THBTN

Ta có

.9 .36 2916V

 

 

 

dm và

.9 486

 

 

 

cm .

Do đó

1 2

2 3888V V V



  

   

3 2 5 3

dm 4 .3 dm



 .

Câu 38. (THANH CHƯƠNG ) Một khối gỗ hình trụ có chiều cao

, người ta xẻ bớt phần vỏ của

khối gỗ đó theo bốn mặt phẳng song song với trục để tạo thành một khối gỗ hình hộp chữ nhật

có thể tích lớn nhất bằng

1m . Tính đường kính của khối gỗ hình trụ đã cho

A.100cm . B.60cm . C.120cm . D.50cm .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có diện tích mặt của khối gỗ hình hộp nằm ở hai đầu là

S  .

2 2 1

d R  

A. 3

 . B. 2

 . C.

 . D.

 .

Hướng dẫn giải

Chọn: A

+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu)

V r



 .

+ Thể tích khối nón (phần ốc quế)

V r h



 .

+ Theo đề:

2 3

3 1 3 4

4 3 4 3

N C

V V r h r

 

 

    

 

 

Câu 40. (THẦY HIẾU LIVE ) Cần phải xây dựng một hố ga,

dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3 (m

) (Hình 10.1) . Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều

Mặt này là hình vuông (vì trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp một hình tròn thì hình vuông

có diện tích lớn nhất), có cạnh là a  S 

Đường kính của khối gỗ hình trụ chính là đường chéo của mặt hình vuông.

Do đó đường kính là  m 100cm

Câu 39. (CHU VĂN AN) Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế

có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan

chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng

75%

thể

tích kem đóng băng ban đầu. Gọi

và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế.

Tính tỉ số

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

44 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có nắp). Chiều

dài của đáy (x) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố

ga. (x,y,h > 0)

(Hình 10.1)

A. 1 B. 1,5 C. 2

2,5

Câu 41. (THẦY HIẾU LIVE ) Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 98cm, chiều rộng 30cm được

uốn lại thành mặt xung quanh của một thùng đựng nước. Biết rằng chỗ mối ghép mất 2cm.

Thùng đựng được bao nhiêu lít nước:

A. 20 lít B. 22 lít C. 25 lít

30 lít

Câu 42. (TUY PHƯỚC) Cho hình tròn có bán kính là

. Cắt bỏ

hình

tròn giữa 2 bán kính

OA OB

, rồi ghép 2 bán

kính đó lại sao cho thành một hình nón

(như hình vẽ).

Thể tích khối nón tương ứng đó là :

81 7



. B.

9 7



81 7



. D.

9 7



Câu 43. (KIM LIÊN) Một lon sữa hình trụ tròn xoay có chiều cao

và đường kính đáy là

Nhà sản xuất muốn tiết kiệm chi phí cho nguyên liệu sản xuất vỏ lon mà không làm thay đổi

thể tích của lon sữa đó nên đã hạ chiều cao của lon sữa hình trụ trong xoay xuống còn

Tính bán kính đáy

của lon sữa mới.

R cm

 B.

45 .

R cm



R cm

 D.

Câu 44. (SỞ HẢI PHÒNG) Một khối lập phương có cạnh 1m. Người ta sơn đỏ tất cả các mặt

của khối lập phương rồi cắt khối lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt

của khối lập phương để được 1000 khối lập phương nhỏ có cạnh 10cm. Hỏi các khối lập

phương thu được sau khi cắt có bao nhiêu khối lập phương có đúng 2 mặt được sơn đỏ?

A. 64 B. 81 C. 100 D. 96

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 45 | THBTN

Câu 45. (NINH GIANG) Một hình hộp chữ nhật kích thước

6 6 h 

chứa

một khối cầu lớn có bán kính bằng

và

khối cầu nhỏ bán kính

bằng

. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với

các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Thể tích của hình hộp là

64 32 7.

108 36 7.

108 108 7.

32 32 7.

Câu 46. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng

lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình

vẽ). Tính thể tích

của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung

quanh trục XY .

 

125 1 2





V . B.

 

125 5 2 2





V .

 

125 5 4 2





V . D.

 

125 2 2





V .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Chọn C.

 Cách 1 :

Khối tròn xoay gồm 3 phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy

bằng

có thể tích

5 125

2 4



 

   

 

 

V .

Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng

5 2

có thể tích

1 5 2 5 2 125 2

3 2 2 12



 

    

 

 

Phần 3: khối nón cụt có thể tích là

   

5 2 1 125 2 2 1

1 5 2 5 5 2 5

3 2 2 2 2 2 24



 

 

 

 

      

 

 

Vậy thể tích khối tròn xoay là

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

46 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341









1 2 3

125 2 2 1 125 5 4 2

125 125 2

4 12 24 24

 

 

      V V V V .

 Cách 2 :

Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông

ABCD

là

125



 

V R h

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông

XEYF

là

2 125 2

3 6

V R h



 

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác

XDC

là

1 125

3 24





 

V R h

Thể tích cần tìm

5 4 2

125







   

T N N

V V V V .

Câu 47. (HẢI HẬU) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước

100 200

cm cm



, người ta làm các

thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng

100

, theo hai cách sau (xem hình minh

họa dưới đây):

* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành

mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu

là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và

là tổng thể tích của hai

thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số



. B.



. C.



. D.



Câu 48. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 47 | THBTN

hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc

với 8 viên bi xung quanh mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của

bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là:

16 r



. B.

9 r



. C.

36 r



. D.

18 r



HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án B.

Cách giải: + Tính bán kính của diện tích đáy hình trụ:

2 3R r r R  

Diện tích đáy:

 

2 2

3 9R r r

  

  .

Câu 49. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta gọt một

khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội

tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của

các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của

khối lập phương bằng a . Hãy tính thể tích của

khối tám mặt đều đó:

. B.

. D.

Đáp án B.

SO  ; BD  cạnh của hình lập phương a . Suy ra các cạnh của hình vuông

ABCD a .

1 1 1 2 2

. .

3 3 2 2 2 12

S ABCD

V Sh a

  

  

  

  

đa diên .

khôi S ABCD

V V  .

Câu 50. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta xếp

viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình

ƯỚNG DẪN GIẢI

Dựng được hình như hình bên.

+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S.ABCD.

+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD.

+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mặt đáy.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

48 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc

với

viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh

của bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là:

. B.

. C.

. D.

Câu 51. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn

đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần

của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng

và diện tích toàn phần

của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu?



Câu 52. (QUẢNG XƯƠNG ) Cho hình chữ nhật

ABCD

và nửa đường tròn đường kính

như

hình vẽ. Gọi

I J

lần lượt là trung điểm của

AB CD

. Biết

4; 6

AB AD

 

. Thể tích

của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục

là:





. B.

104





. C.





. D.





Chọn D

Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành

nửa mặt cầu có



; hình chữ nhật ABCD tạo thành hình trụ

có

2; 6

r h

 



Thể tích nửa khối cầu là

1 4 16

2 3 3

V R



  . Thể tích khối trụ

là

V r h

 

 

1 2

V V V



   

Câu 53. (QUẢNG XƯƠNG ) Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy)

đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của

nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra

ngoài là



. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên

của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các

đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng

đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh

của bình nước

là:

9 10

S dm





. B.

4 10

S dm



 .

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 49 | THBTN

S dm



 . D.

S dm





Chọn B

Xét hình nón :

3h SO r 

, ,r OB l SA  . Xét hình trụ :

2h r NQ  ,

r ON QI 

SQI SBO 

3 3

QI SI r

BO SO

    



Thể tích khối trụ là :

1 1

2 16

2 6

9 9

V r h r h

 



      

2 2

2 10l h r   

4 10

S rl dm

 

  

 

495 cm . B.

 

462 cm . D.

 

412 cm .

 

2 3

. 12V r AB cm

 

  .

MC CF

MB BE

   

   

2 2 3

. . 78

V R MC r MB cm



   .

 

1 2 3

490V V V V cm



    .

Chọn C

Câu 54. (SỞ BẮC NINH) Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình

bên. Biết bán kính đáy bằng R  5cm, bán kính cổ r  2cm , AB  3cm , BC  6cm ,

CD  16cm . Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng

C. 490





Hướng dẫn giải





R .CD  400



. Thể tích khối trụ có đường cao

Thể tích khối trụ có đường cao AB :

Ta có

Thể tích phần giới hạn giữa

Suy ra:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 51 | THBTN

Câu 55. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp

chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như

nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

65,09%

. B.

47,64%

. C.

82,55%

. D.

83,3%

Chọn B.

Gọi đường kính quả bóng bàn là

. Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là

, ,3

d d d

Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là

. .3 3

V d d d d

 

Thể tích của ba quả bóng bàn:

3 3

3 4

3 8 2

d d

V r



 

    .

Thể tích phần không gian còn trống:

3 1 2

V V V

 

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

3 3

2 2

47,64%

3 3

V d

 

 

  

Câu 56. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao.

chiều cao của nó. Gọi

1 2

9 8

V V

 . B.

1 2

3 2

V V

 . C.

1 2

16 9

V V

 . D.

1 2

27 8

V V

 .

Chọn A.

1 1

2 2

h r r h

  

2 4



 

Ta có

2 2

2 4 16

h h

r h

   

  

   

3 3

1 1

4 4 1

3 3 2 6

V r h

  

 

  

 

 

2 3

2 2

V B h r h h

 

  

 

Câu 57. (HỒNG QUANG) Một chiếc cốc hình trụ có chiều cao

, bán kính đáy R. Đặt vào trong cốc 2 quả

bóng hình cầu có bán kính R. Gọi

là phần không gian mà 2 quả bóng chiếm chỗ và

là phần không

gian còn lại trong cốc. Tính tỉ số

B. 2 C. 1 D.

Câu 58. (HỒNG QUANG) Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính

R = 0,5 m và hai mặt phẳng song song cách đều tâm (như hình vẽ). Biết chiều cao của trống là

h = 0,8 m. Tính thể tích của cái trống.

472

( )

 B.

375

( )

Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng

V lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:

Gọi r

là bán kính quả bóng, r

là bán kính chiếc chén,

là chiều cao chiếc chén.

Theo giả thiết ta có và

   

Thể tích của quả bóng là

và thể tích của chén nước là

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

52 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

( )

375

 D.

472000

( )

Câu 59. (ĐỨC THỌ) Một tấm tôn hình tam giác đều

SBC

có độ dài cạnh

bằng

;

là trung điểm

. Người ta dùng compha có tâm là

bán kính

vạch một cung tròn

. Lấy phần hình quạt gò

thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là

, cung

thành

đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính thể tích khối nón trên.

105



. B.



3 3



. D.

141



Câu 60. (NGÔ SĨ LIÊN) Cho tam giác đều và hình vuông cùng có cạnh bằng

được xếp chồng lên nhau sao cho một đỉnh của tam giác đều trùng với tâm

của hình vuông, trục của tam giác đều trùng với trục của hình vuông (như

hình vẽ). Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình đã cho khi quay

quanh trục

là

 



136 24 3

48 7 3

 



 



128 24 3

 



144 24 3

Chọn D

Khi xoay quanh trục AB thì :

 Phần hình vuông phía trên trở thành lăng trụ có bán kính R = 2 , chiều cao h = 4



2 .4 16

 

 

Phần dưới trở thành hình nón cụt với





2 3 2 2 3 1

h HK AK AH

      

;



' 2 1 2

2 3 3 3 3

R AH R

R AK

     

Áp dụng

 

2 2

24 3 8

' ' ...

...

h R RV RR

 

 



   







 

Vậy

1 2

24 3 136

V V V



 



  

 

 

. Đáp án là câu D

Câu 61. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Người ta cắt miếng bìa hình tam giác cạnh bằng

như hình bên và gấp theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính

thể tích của khối tứ diện tạo thành.

250 2

V cm

 B.

250 2 .

V cm



125 2

V cm

 D.

1000 2

V cm



10 cm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 53 | THBTN

Chọn C.

Tứ diện đều tạo thành là tứ diện đều

ABCD

có tất cả các cạnh bằng

Diện tích đáy là

3 25 3

4 4

S cm

  .

Đường cao

2 2 2

2 5 3 5 6

3 2 3

AH AD DH

 

     

 

 

, với

là tâm đáy.

Thể tích

1 25 3 5 6 125 2

3 4 3 12

V     .

Ghi nhớ: Thể tích khối tứ diện đều cạnh

là

V 

Câu 62. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ.

Đường kính của đường tròn đáy là

, chiều dài lăn là

(hình bên). Sau khi lăn trọn

vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là

1725 .



3450 .



1725 .



862,5 .



Chọn B.

Diện tích xung quanh của mặt trụ là

2 2 .5.23 230

S Rl cm

  

   .

Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là:

230 .15 3450

S cm

 

  .

Câu 63. (LÊ HỒNG PHONG) Người ta bỏ

quả bóng bàn cùng kích thước vào một chiếc hộp hình

trụ có đáy bằng hình tròn tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng

lần đường kính của

quả bóng bàn. Gọi

là tổng diện tích của

quả bóng bàn ,

là diện tích xung quanh của

hình trụ. Tỉ số

là :

. B.

. D.

Chọn C.

Gọi bán kính của quả bóng bàn là







Ta có chiều cao h của hình trụ bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn nghĩa là :

5.2 10

h R R

 

Khi đó :

2 2

5.4 . 20

S R R

 

 

Và

2 . 2 .10 20

S R h R R R

  

  

Vậy :



Câu 64. (PHẠM VĂN ĐỒNG) Cho đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh

(như hình vẽ bên). Gọi S là

hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và hình vuông (phần nằm bên ngoài đường tròn và bên

trong hình vuông). Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay

quanh trục



 . B.





23 cm

5 cm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

54 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341



 . D.

V a





Câu 65. (LƯƠNG TÂM) Tính thể tích của khối đa diện ở hình bên

750

625

125

875

Giải

Gọi V là thể tích cần tìm

Ta có : V = 5.10.15 – 5.5.5 = 625 cm

Chọn (B)

10cm

5cm

15cm

Câu 66. (CẨM BÌNH) Một tấm nhôm hình vuông cạnh

cân đối có

khối lượng

7200

. Người ta muốn cắt ra một tấm hình thang

(như hình vẽ). Khối lượng nhỏ nhất của tấm nhôm cắt ra gần với

số nào sau đây nhất ?

3497

. B.

3498

3600

. D.

3499

Câu 67. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Cho tam giác

ABC

đều cạnh

và nội tiếp trong đường tròn tâm

là đường kính của đường tròn tâm

. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô

đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng

bằng

23 3

126



20 3

217



4 3



Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Khi quay tam giác

ABC

quanh trục

được khối nón có thể tích

là:

2 2

1 1 1 3 3

. . . . . .

3 3 3 2 2 24

a a a

N r h HC AH



  

 

   

 

 

Khi quay đường tròn tâm

quanh trục

được khối cầu có thể tích là:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 55 | THBTN

3 3

4 4 4 3 4 3

. . .

3 3 3 3 27

a a

V R AO



  

 

   

 

 

Thể tích khối tròn xoay cần tìm:

23 3

216

V N



 

Câu 68. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng

0,5

, chiều dài

. Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn

đó với kích thước

6 5 6

cm cm cm

 

. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp

460

viên phấn?

. B.

. C.

. D.

Giải

Chọn C.

Có 3 cách xếp phấn theo hình vẽ dưới đây:

 Nếu xếp theo hình

: vì đường kính viên phấn là

2.0,5 1



nên mỗi hộp xếp được tối

đa số viên phấn là:

6.5 30



 Nếu xếp theo hình

: hàng

viên xen kẽ hàng

viên. Gọi số hàng xếp được là

1,n n



 



Ta có

ABC

đều cạnh bằng

CM  .

Ta phải có

3 8

2.0,5 . 5

n n   



xếp tối đa được

hàng



mỗi hộp xếp được tối đa

số viên phấn là:

3.6 2.5 28

 

 Nếu xếp theo hình

:hàng

viên xen kẽ hàng

viên. Gọi số hàng xếp được là

1,m m



 



Ta phải có

3 10

2.0,5 . 6

m m   



xếp tối đa được 6 hàng



nên mỗi hộp xếp được

tối đa số viên phấn là:

3.5 3.4 27

 

Vậy, xếp theo hình

thì xếp được nhiều phấn nhất, nên cần ít hộp nhất.

Ta có

460:30 15,3





cần ít nhất

hộp để xếp hết

460

viên phấn.

Câu 69. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi

là

, diện tích đáy

900



. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước

là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp).

A. Chiều dài

180

, chiều rộng

. B. Chiều dài



, chiều rộng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

56 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

C. Chiều dài

900

, chiều rộng

. D. Chiều dài



, chiều rộng

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

là bán kính đáy. Diện tích đáy là

2 2

900 30

 

   

S r cm r cm

Chu vi đáy

2 60

C r cm

 

 

cũng là chiều dài của miếng

Câu 70. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Cho hình chóp

S ABC

có





SA ABC

 ,

AC b



AB c





BAC





. Gọi



lần lượt là hình chiếu vuông góc của

lên

. Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A BCC B

 

theo



2 2

2 2 cos .

R b c bc



   B.

2 2

2 cos

sin 2

b c bc



 



2 2

2 cos

2sin

b c bc



 

 D.

2 2

2 2 cos

sin

b c bc



 



Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi

M N

lần lượt là trung điểm của

và

Tam giác

ABB



vuông tại



nên

chính là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác

ABB



, suy ra trục tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác

ABB



chính là đường trung trực



của

(xét trong mp





ABC

Tam giác

ACC



vuông tại



nên

chính là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác

ACC



, suy ra trục tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác

ACC



chính là đường trung trực



của

(xét trong mp





ABC

Gọi

  

thì

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

và

cách đếu các điểm

, , ,B ,C

A B C

 

nên

là tâm mặt cầu ngoại tiếp

ABCB C

 

Gọi

là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

ABCB C

 

thì

chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác

ABC

Ta có

. .

ABC

AB AC BC





. .

4. .sin

c b BC





2 2

2 .cos

2sin

b c bc



 

 .

Câu 71. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tam giác

ABC

vuông tại

có

3 , 4

AB a AC a

 

. Khi tam giác

ABC

quay quanh đường thẳng

ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích

của khối tròn

xoay đó.

V a



 . B.



 . C.

V a



 . D.



 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

là hình chiếu vuông góc của

lên

Gọi

1 2

V V

lần lượt là thể tích khối nón do tam

giác

CAH

và

BAH

sinh ra khi quay quanh trục

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 57 | THBTN

Ta có:

12 16 9

; ;

5 5 5

a a a

AH CH BH   .

Suy ra

1 12 16 768

3 5 5 125

a a a



 

 

 

 

1 12 9 432

3 5 5 125

a a a



 

 

 

 

Vậy

1 2

V V V



  

Câu 72. (BẮC YÊN THÀNH) Cho ba hình tam giác

đều cạnh bằng

chồng lên nhau như hình vẽ

(cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung

điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính

13 3



. B.

11 3



. D.

11 3



Chọn B. Nếu ba hình tam giác không chồng lên nhau thì thể tích của khối tròn xoay

là





Thể tích phần bị chồng lên là



  Thể tích cần tính là

1 2

11 3

V V V



  

Hoặc làm như sau:

Đặt

1 2 3 4

; ; ;

V V V V

lần lượt là thể tích: khối nón sinh bởi tam giác

OAB

quay quanh

, khối tròn

xoay sinh bởi hình ;

BCFE GCHK

, khối nón sinh bởi tam giác

DEB

khi quay quanh

. Khi

đó: Thể tích khối cần tìm là:

2 2 3

1 2 3 1 4

1 3 1 3 11 3

3 2 3 2 .

3 4 2 3 16 4 96

a a a a a

V V V V V V



 

               

Câu 73. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng

đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó

theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường

thẳng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

58 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

một khối trụ và đo được thể tích nước trào ra ngoài là

( )



. Biết rằng một mặt của khối

trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón

(như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy

của bình nước.

3( ).

R dm



4( ).

R dm



2( ).

R dm



5( ).

R dm



Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi

, '

h h

lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ.

R r

lần lượt là bán kính của khối nón và khối trụ.

Theo đề ta có:

3 , ' 2 .

h R h R

 

Xét tam giác

SOA

ta có:

' 3 2 1

3 3

r IM SI h h R R

R OA SO h R

 

    

r R

  . Ta lại có:

2 3

trô

2 16

' 2

9 9 9

R R

V r h R

 

     

8 2 .

R R dm

   

Câu 74. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một chiếc xô hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm

có chiều cao

20 ,

đường kính hai đáy lần lượt là

và

. Cô giáo giao cho bạn An

sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy). Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau

dấu phẩy).

1942,97 .

561,25 .

971,48 .

2107,44 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có





1 2



 

S r r l

Với



r ,



   

2 2

2 1

20 10 5 5 17

      l h r r

Vậy





5 10 5 17 75 17 971,48

 

   

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 59 | THBTN

Câu 75. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một cốc nước hình trụ có chiều cao

, đường kính

Mặt đáy phẳng và dày

, thành cốc dày

0,2

. Đổ vào cốc

120

nước sau đó thả vào cốc

5 viên bi có đường kính

. Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu

. (Làm tròn

đến hai chữ số sau dấu phẩy).

3,67

. B.

2,67

. C.

3,28

. D.

2,28

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Thành cốc dày

0,2

nên bán kính đáy trụ bằng

2,8

. Đáy cốc dày

nên chiều cao hình

trụ bằng

. Thể tích khối trụ là

 





. 2,8 .8 197,04



 

V cm

Đổ

120

vào cốc, thể tích còn lại là





197,04 120 77,04 

Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng

3 3

5. . .1 20,94 ( )



 

V cm

Thể tích cốc còn lại





77,04 20,94 56,1 

Ta có

 

56,1 '. . 2,8 ' 2,28



  

h h cm

Cách khác: Dùng tỉ số thể tích





8. 2,8 .

5,72

120 5. .





 

    



Tr coc

nuoc bi

nuoc bi nuoc bi nuoc bi

V h

V V h h

Chiều cao còn lại của trụ là

8 5,72 2,28

 

Vậy mặt nước trong cốc cách mép cốc là

2,28

Câu 76. (LÝ TỰ TRỌNG) Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước

bằng

chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều

cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu?

0,33

. B.

0,11

. C.

0,21

. D.

0,08

Chọn B.

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là

và

Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và

bán kính đường tròn đáy lần lượt là

và

Do đó thể tích lượng nước trong bình là



Phần không chứa nước chiếm

Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước

là hình nón và ta gọi

và

lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình

nón không chứa nước đó.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

60 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

Ta có

' '

R h



và phần thể tích hình nón không chứa nước là

2 2

' 19 ' 19 ' 19

. ' . . .

3 27 3 27 3

h h h h

R R

h h

 

 

     

 

 

Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp ngược ly

là

' 3 19

1 .



 

Câu 77.

(LẠNG GIANG) Một ngôi biệt thự nhỏ có

cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều

cao bằng

4,2

. Trong đó có

cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng

cây cột

còn lại bên thân nhà có đường kính bằng

. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn

cây

cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là

380.000 /

đ m

(kể cả phần thi công) thì người chủ

phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột

cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?

15.845.000.

13.627.000.

16.459.000.

14.647.000.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Diện tích xung quanh

cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng





4. 2 .0,2.4,2



 .

Diện tích xung quanh 6 cây cột trước cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng





6 2 .0,13.4,2



 .

Số tiền để sơn mười cây cột nhà là





1 2

.380.000

S S

 

15.845.000.



Câu 78. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao

200

, độ

dày của thành ống là

, đường kính của ống là

. Lượng bê tông cần phải đổ là

0,195



. B.

0,18



. C.

0,14



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

1 2

V ,V

lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài và bên trong

Do đó lượng bê tông cần phải đổ là:

2 2 3 3

1 2

.40 .200 .25 .200 195000 0,195

V V V cm m

   

     

Câu 79. (NGUYỄN KHUYẾN) Cho đoạn thẳng

có độ dài bằng

, vẽ tia

về phía điểm

sao cho điểm

luôn cách tia

một đoạn bằng

. Gọi

là hình chiếu của

lên tia , khi

tam giác

AHB

quay quanh trục

thì đường gấp khúc

AHB

vẽ thành mặt tròn xoay có diện

tích xung quanh bằng :

(2 2)





(3 3)





(1 3)





3 2



200 cm

40 cm

15 cm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 61 | THBTN

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Khi quay quanh tam giác

AHB

thì đường gấp khúc

AHB

vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích

mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh

và

Ta có

2 2

AH AB BH a

  

. 3. 3

2 2

AH BH a a a

AB a

  

Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh

là

3 3

. 3

2 2

a a

S a



 

Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh

là

3 3

2 2

a a

S a



 

Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là

1 2

(3 3)

S S S





   .

Câu 80. (NGUYỄN KHUYẾN) Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài

cạnh đáy lần lượt là

15cm

và

5cm

. Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình

hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng:

1500 ml

. B.

600 6 ml

. C.

1800 ml

. D.

750 3 ml

Chọn D.

Ta có

AB cm



5 3

AD cm



50 3

ABCD

S 

. 750 3

ABCD

V S h 

Câu 81. (AN LÃO) Người ta cần lợp tôn cho mái nhà như hình vẽ . Biết mái trước , mái sau là các hình

thang cân ,

ABCD ABEF

; hai đầu hồi là hai tam giác cân

ADE

BCF

tại

và

. Hình

chiếu vuông góc của

trên mặt phẳng





CDEF

là

. Biết

AB m



CD FE m

 

1,73

AH m



ED CF m

 

. Tính tổng diện tích

của mái nhà ( diện tích của hai mái

trước, sau và hai đầu hồi )

281

S m

 B.

S m

 C.

141

S m

 D.

261

S m



Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

62 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

Chọn C.

Xét hình thang cân

AKIB

KI AB



 

2 2 2 2

1,73 2 2,64441

AK HK AH     

. . 3.2,64441 7,93323

ADE

S AK ED   

Ta có :





ED AK ED AH ED AKH

   

ED HK

 

Kẻ

HJ ED

€





FE JAH JA FE

   

2 2

16 20

. . 3 1,73 62,33538

2 2

AEFB

AB FE

S JA

 

    







2 141

ADE AEFB

S S S m

   .

Câu 82. (NGÔ QUYỀN) Người ta cần lợp tôn cho một mái nhà như hình vẽ. Biết mái trước, mái sau là

các hình thang cân

ABCD

ABEF

; hai đầu nối là hai tam giác cân

ADF

BCE

tại

và

;

là hình chiếu của

trên





CDFE

;

6 ,

AB m



12 ,

CD EF m

 

1,73

AI m



FD CE m

 

. Tính tổng diện tích

của mái nhà (diện tích của hai mái trước, sau và hai đầu

hồi).

83,12 .

S m

 B.

62,4 .

S m

 C.

72 .

S m

 D.

93,5 .

S m



Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

là diện tích của hai mái trước,

là diện tích của hai đầu hồi.

GH AB



 

2 2 2 2

3 1,73

AG AI GI   

Vậy

2 2

2 2. . 3 1,73 .6 20,78

ADF

S S AG DF



    

Từ đó

2 2 2 2 2

3 1,73 3

AD AG GD

    

Từ đó chiều cao của hình thang:

2 2 2 2

3 1,73

AK AD DK    .

Suy ra:

 

2 2

2 2 . 18 3 1,73 62,34

ABCD

S S AB CD AK     

Vậy:

2 2 2

1 2

24 3 1,73 83,11384

S S S m

     .

Câu 83. (NGÔ QUYỀN) Thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay

hình thang

ABCD

quanh trục



, biết

80,





24,

O D





12,

O C





12,



43200 .





21600 .





20160 .





45000 .





Hướng dẫn giải

Chọn C.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 63 | THBTN

Công thức tính thể tích khối nón cụt

 

2 2

1 2 1 2

V h R R R R



  

Trong đó

là độ dài đường cao,

1 2

;

R R

lần lượt là bán kính hai

đáy.

Gọi

là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang

AOO D



quanh

trục



Gọi

là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang

BOO C



quanh

trục



Khi đó

1 2

V V V

 

Ta có

 

2 2

. . . 26880

V OO O D OA O DOA

 

  

   

và

 

2 2

. . . 6720

V OO O C OB O C OB

 

  

   

Vậy

1 2

26880 6720 20160

V V V

  

     .

A. 3038. B. 3375. D. 1781.

. .

V S h



 

2 1

90%. 100 1,781( ) 1781( )

V V V m l

   

59,98

59,93

58,67

D. 58,80

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Câu 84. (TT DIỆU HIỀN) Một thùng xách nước hình trụ có chiều cao

4dm

, đường kính đáy

2dm

Người ta dùng các thùng này để xách nước đổ vào một cái bể hình lập phương cạnh 1,5m. Giả

sử mỗi lần xách đều đầy nước trong thùng và khi đổ 100 thùng thì được 90% thể tích bể. Hỏi

ban đầu số lít nước có trong bể gần với giá trị nào sau đây?

C. 1257.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Thể tích thùng:

0,1

.0,4  0,004



)

Thể tích bể hình lập phương: V 1,5

 3,375(m

)

Thể tích nước có sẵn trong bể lúc đầu:

Câu 85. (NGUYỄN TRÃI) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của

chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là

4cm

, bán kính miệng cốc là

5cm

. Một con kiến đang

đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở

điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng

nhất với kết quả nào dưới đây?

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

64 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

Đặt

, ,

b a h

lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như

trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của

một khuyên với cung nhỏ





BB b



và cung lớn





AA a



Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài “đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm

số cosin ta được:

2 2

2 . .cos2 (1).

 

   l AB BO OA BO OA



2 2

( ) .

B A AB a b h

 

   



4 ( ) .

1 1

4 2

(AA )

a a l BB OA OB AB AB AB

b b OB OB b

 



 







       



2 2

2 ( ) 2 ( )

( ).

( )

a b a b

a b h

 



 

  

 

2 2

( )

1 ( )

b a b h

AB a a b

OB b

OB b b a b

 



    



2 2

( )

( ) ( ).

b a b h

OA OB BA a b h c

a b

 



     



Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được

58,79609 58,80

l cm

 

Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung





tại điểm nào khác B, tức

là BA” nằm dưới tiếp tuyến của





tại B. Điều này tương đương với

2 cos .





 



 

 

Tuy nhiên,

trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa

mãn yêu cầu đó).

Câu 86. (NGUYỄN TRÃI) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao

, đường kính đáy

, lượng nước trong cốc cao

. Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính

Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập

phân, bỏ qua độ dày của cốc)

2,67

. B.

2,75

. C.

2,25

. D.

2,33

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng

b b

V r







 .

Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 65 | THBTN

Chiều cao của phần nước dâng lên là

thỏa mãn:

r h



 nên

h  .

Vậy nước dâng cao cách mép cốc là

4 8

12 8 2,67

3 3

    cm.

Câu 87. (Lê Hồng Phong) Cho hình thang vuông

ABCD

có độ dài hai đáy

2 , 4

AB a DC a

 

, đường

cao

AD a



. Quay hình thang

ABCD

quanh đường thẳng

thu được khối tròn xoay





Tính thể tích

của khối





8 .

V a



 B.



 C.

16 .

V a



 D.





Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

là thể tích khối trụ khi quay hình chữ nhật

DCFE

quanh trục

Gọi

là thể tích khối nón. Khi quay

BCF



quanh

trục

là thể tích của khối

( )

cần tìm

1 2

V V V

 

   

2 2

1 40

2 .4 2 .2

3 3

a a a a



 

 

Câu 88. (CHUYÊN ĐH HUẾ) Cho tứ diện

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

với

AB 3a



AC 4a



. Hình chiếu

của

trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

. Biết

SA 2a



, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABC

là

118

R a . B.

118

R a . C.

118

R a . D.

. 118

R a .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

. Tính được

AB AC

r a

AB AC BC

 

 

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

66 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

Tính được

AH a



và

MH  .

Tam giác

SAH

vuông tại

suy ra

2 2

SH SA AH a

  

Gọi

là trung điểm của

và



là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

Gọi

là tâm mặt cầu ngoại tiếp

S ABC

. Suy ra

 

Ta có:

2 2 2 2 2 2

OC OS OM MC SK OK

    

2 2

25 5 3 2

( 2)

4 4 4

a a

OM OM a OM a

      

Suy ra

118

R OC a

  .

Câu 89. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Trên cùng một mặt phẳng, cho mô hình gồm một hình vuông

ABCD

có cạnh

và đường tròn có đường kính

. Gọi

M N

lần lượt là trung điểm của

Diện tích toàn phần của khối tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên xung quanh trục

là

V a



 . B.

V a



 . C.

V a



 . D.

V a



 .

Hướng dẫn giải.

Chọn B.

Chọn tọa độ như hình vẽ. Diện tích toàn phần gồm 1 nửa

mặt cầu và mặt xung quanh kết hợp một đáy của hình

trụ.

2 2 2

.4 . . 2 . .2 7

Sxq a a a a a

   

   

Câu 90. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình

vẽ) quanh trục



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 67 | THBTN

13,2

Chọn A.

Ta có

.tan .tan30

EF AF a



   

Khi quay quanh trục

, tam giác

AEF

tạo ra một hình nón có thể tích

1 1 3

. . . .

3 3 3 9

a a

V EF AF a



 

 

  

 

 

Khi quay quanh trục

, hình vuông

ABCD

tạo ra một hình trụ có thể tích

2 2 3

. . . .

V DC BC a a a

  

  

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục

là

3 3

1 2

9 9

V V V a a



 

    

Câu 91. (ĐẠI HỌC VINH) Một xưởng sản xuất muốn tạo ra

1070,8 .

711,6 .





( )

192



 . B.

( )

275



 .

( )

704



 . D.

( )

176



 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đường kính đáy của khối trụ là

2 2

10 6 8

 

Bán kính đáy của khối trụ là



những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa

cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước

đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này

(phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát).

Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá

trị nào trong các giá trị sau

B. 602,2 cm

D. 6021,3 cm

Chọn A.

Ta có thể tích của khối trụ là

Hướng dẫn giải

V 



.13,2.6,6

1806,4.

Đường kính hình cầu là 13,2 2.111,2 cm, suy ra thể tích của hai nửa khối cầu là

.5,6 735,619

Vậy lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ gần nhất với giá trị 1070,8 cm

Câu 92. (CHUYÊN KHTN) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta

được một khối





như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một

hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc

thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy

nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích

của





TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

68 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

Thể tích của khối trụ

là

2 2

1 1

. . .4 .8 128

V R h

  

   .

Thể tích của khối trụ

là

2 2

. . .4 .6 96

V R h

  

   .

Thể tích của H là

1 2

1 1

128 .96 176

2 2

V V V

  

     .

Câu 93. (CHUYÊN KHTN) Cho một mặt cầu bán kính bằng

Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên.

Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?

min 8 3

V  . B.

min 4 3

V  . C.

min 9 3

V  . D.

min 16 3

V  .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi cạnh đáy của hình chóp là

Ta có

SIJ SMH

 

 

2 2

2 2 2

12 2 0

SI IJ

MH SH IH IJ SH HM

SM MH

MH SH SH HM

a SH a SH

SH a

     

   

   

  



2 4

1 3 2 3 1

1 12

3 6 12 6

ABC

S S SH

a a

  



Ta có

2 4

1 12 1

a a

 

8 3

S 

Câu 94. (CHUYÊN KHTN) Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay





, một mặt phẳng chứa

trục của





cắt





theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của





(đơn

vị

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 69 | THBTN

 





. B.

 





. C.

 





V . D.

 





Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Thể tích khối trụ là

1. .5

4 9

 

  

tru

V Bh . Thể tích khối nón là

2 .



 

non

V .

Thể tích phần giao là:

1 .2



 

p giao

V . Vậy

 

16 2 41

3 3

  



  

V .

Câu 95. (CHUYÊN BẮC GIANG) Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là

, độ dài đường sinh

là

R và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng

, lồng vào nhau như hình vẽ.

Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón

πR

. B.

πR

. C.

πR

. D.

πR

Chọn D.

Ta có

2 2 2 2

17 4 2 ,

       

SI SB IB R R R SE R EF .

Thể tích khối nón lớn (có đường cao

) là

2 3

1 4

.4R

3 3

 V

πR πR

Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao

) là

1 1

3 2 6

 

 

 

 

π R πR

Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là

3 1 2 2

  V V V V

πR

Thể tích khối trụ là là

2 3

.2 2 V

πR R πR

Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

70 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI:

0977.413.341

Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là

4 3

  V V V

πR

Câu 96. (TIÊN LÃNG) Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng

4,2 .

Trong đó,

cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng

cây cột còn lại bên

thân nhà có đường kính bằng

. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn

cây cột đó. Nếu

giá của một loại sơn giả đá là

380.000

đ m

(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất

bao nhiêu tiền để sơn cột

cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

16.468.000

. B.

31.688.000

. C.

15.835.000

. D.

15.844.000

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Diện tích xung quanh 1 cây cột trước đại sảnh là





2 .0,2.4,2 1,68 m

 

  .

Diện tích xung quanh 1 cây cột đường kính

26cm

là:





2 .0,13.4,2 1,092 m

 

 

Vậy số tiền cần là





1 2

4. 6. .380.000 15.844.182

T S S  

Câu 97. (TT DIỆU HIỀN) Một quả bóng bàn được đặt tiếp xúc với tất cả các mặt của một cái hộp hình

lập phương. Tỉ số thể tích của phần không gian nằm trong hộp đó nhưng nằm ngoài quả bóng

bàn và thể tích hình hộp là:





. C.





. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng

. Khi đó, quả bóng bàn có bán kính bằng

Thể tích khối lập phương

V a



, thể tích khối cầu

3 3

3 8 6

a a



  .

Tỉ số cần tìm là

1 2

V V





 

Câu 98. (TT DIỆU HIỀN) Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với

kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để

làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa)





700







754,25







750,25







756,25



Hướng dẫn giải

Chọn D.

Diện tích vành nón và đỉnh nón là diện tích hình trong đường kính

 

306,25

 

 

 

 

 

S cm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 71 | THBTN

Diện tích thân nón là diện tích của hình trụ có bán kính đáy bằng

và chiều cao bằng

là:

 

.2 .30 450

 

 

S cm

Vậy tỏng diện tích vải cần để làm nên cái mũ là:





1 2

756,25



  

S S S cm

Câu 99. (TT DIỆU HIỀN) Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình bình hành và có thể tích là

Điểm

là trung điểm của

một mặt phẳng qua

cắt hai cạnh

và

lần lượt tại

và

Gọi

là thể tích của khối chóp

. .

S AMPN

Tìm giá trị nhỏ nhất của

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

là tâm của hình bình hành

ABCD

. G là trọng tâm tam giác

SAC

Ta có

, ,

M G N

thẳng hàng. Do

ABCD

là hình bình hành nên

. . .

S ADC S ABC S ABCD

V V V  .

Theo công thức tỉ số thể tích ta có:

. . .

. .

1 1

2 4

S AMP S AMP S AMP

S ADC S ABCD

S ABCD

V V V

SM SP SM SM

V SD SC SD V SD

    

Tương tự

. . .

. .

1 1

2 4

S ANP S ANP S ANP

S ABC S ABCD

S ABCD

V V V

SN SP SN SN

V SB SC SB V SB

    

Từ đó suy ra

. . .

1 1

4 4

S AMP S ANP S AMNP

S ABCD S ABCD S ABCD

V V V

SM SN SM SN

V V SD SB V SD SB

   

     

   

   

Hay

SM SN

V SD SB

 

 

 

 

Ta chứng minh

SD SB

SM SN

 

Thậy vậy, qua

B D

kẻ các đường song song với

cắt

lần lượt tại

E F

Ta có: ;

SD SF SB SE SD SB SE SF

SM SG SN SG SM SN SG



    

2 3

2. 3

SD SB SO

SM SN SG

    

Đặt ;

SD SB

x y

SM SN

 

. Ta có

x y

 

Mặt khác

 

1 1 1 1 3 3 1

4 4 4 4 3

V SM SN x y

V SD SB x y xy xy

x y

 



 

       

 

 



 

Vậy

nhỏ nhất bằng

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

72 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chủ đề 3. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG – TRẢ GÓP

Câu 1. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Đầu năm 2016, anh Hùng có xe công nông trị giá

100

triệu đồng. Biết mỗi tháng thì xe công nông hao mòn mất

0,4%

giá trị, đồng thời

làm ra được

triệu đồng ( số tiền làm ra mỗi tháng là không đổi ). Hỏi sau một

năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông và tổng số tiền anh Hùng làm

ra ) anh Hùng có là bao nhiêu?

172

triệu. B.

triệu.

167,3042

triệu. D.

104,907

triệu.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Sau một năm số tiền anh Hùng làm ra là

6.12 72



triệu đồng

Sau một năm giá trị xe công nông còn

100(1 0,4%) 95,3042

 

triệu đồng

Vậy sau một năm số tiền anh Hùng có là

167,3042

triệu đồng

Câu 2. (CHUYÊN LAM SƠN) Một tỉnh

đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ

công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn

2015 2021



(

năm) là

10,6%

so với số lượng hiện có năm

2015

theo phương thức

“ra

vào

” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước

người thì được tuyển mới

người). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm

so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn

đến

0,01%

1,13%

. B.

1,72%

. C.

2,02%

. D.

1,85%

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi





x



là số cán bộ công chức tỉnh

năm

2015

Gọi

là tỉ lệ giảm hàng năm.

Số người mất việc năm thứ nhất là:

x r



Số người còn lại sau năm thứ nhất là:





x x r x r

   

Tương tự, số người mất việc sau năm thứ hai là:





x r r

 .

Ổ

NG ÔN:

BÀI TOÁN TH

Ự

C TI

Ễ

2017

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 73 | THBTN

Số người còn lại sau năm thứ hai là:

     

1 1 1

x r x r r x r

      .



Số người mất việc sau năm thứ sáu là:

 

x r r

 

Tổng số người mất việc là:

     

2 5

1 1 ... 1 10,6%

x r x r r x r r x r r x

              

     

2 5

1 1 ... 1 0,106

r r r r r r r        

 

1 1

0,106

1 1

r r

 

 

 

 

 

0,0185

 

Vì tỉ lệ giảm hàng năm bằng với tỉ lệ tuyển dụng mới nên tỉ lệ tuyển dụng mới

hàng năm là

1,85%

Câu 3. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Bác B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu là

triệu đồng

0,55%

. C.

0,4%

. D.

0,5%

Hướng dẫn giải:

Chọn C

 

50.000.000* 1 0,0072*3

T  





2 1

* 1 0,0078*6

T T 

 

3 2

57.694*

.945,55

1T T r  

1 0,004 0,

    

Câu 4. (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Một người muốn có

tỉ tiền tiết kiệm sau

năm gửi

ngân hàng bằng cách mỗi năm gửi vào ngân hàng số tiền bằng nhau với lãi suất

ngân hàng là

một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi số tiền mà

người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền hàng năm là bao nhiêu (với giả thiết lãi

suất không thay đổi), số tiền được làm tròn đến đơn vị nghìn đồng?

252.436.000

. B.

272.631.000

. C.

252.435.000

. D.

272.630.000

theo kỳ hạn

tháng với lãi suất

0,72%

tháng. Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn

lãi và gởi theo kỳ hạn

tháng với lãi suất

0,78%

tháng. Sau khi gởi đúng một kỳ

hạn

tháng do gia đình có việc bác gởi thêm 3 tháng nữa thì phải rút tiền trước

hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là

57.694.945,55

đồng (chưa làm tròn ). Biết rằng

khi rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo

hàng tháng. Trong số 3 tháng bác gởi thêm lãi suất là

0,3%

Số tiền bác B rút ra sau năm đầu:

Số tiền bác B rút ra sau sáu tháng tiếp theo:

Số tiền bác B rút ra sau ba tháng tiếp theo:

57.694.945,55

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

74 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

là số tiền vỗn lẫn lãi sau

tháng,

là số tiền hàng tháng gửi vào ngân

hàng và





r là lãi suất kép. Ta có





. 1

T a r

 

    





     

2 1

1 1 1 1 1

T a T r a a r r a r a r

          

        

2 3

3 2

1 1 1 1

T a T r a r a r a r

        

….

     





2 6

6 6

1 1 ... 1 .

T a r r r a S

      

là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với dãy





1 1,08; 1,08.

u r q   









6 6

1 1,08 1 1,08

1 1 1,08

u q

 

 

 

Theo đề ra

 

2.10

252435900,4

1,08 1 1,08

1 1,08

  



. Quy tròn đến phần nghìn

Câu 5. (SỞ NAM ĐỊNH) Anh Nam vay tiền ngân hàng

tỷ đồng theo phương thức trả

góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất

0,5

/ tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt

đầu từ tháng thứ nhất anh Nam trả

triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh

Nam trả hết nợ?

tháng. B.

tháng. C.

tháng. D.

tháng.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi

là số tiền vay,

là lãi,

là số tiền hàng tháng trả.

Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là:





N a r m

  

Số tiền nợ sau tháng thứ hai là:









   

1 1

1 1 1

N a r m a r m r m

a r m r

      

   

   

     

 

…..

Số tiền nợ sau

tháng là:

 

1 1

N a r m

 

   .

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 75 | THBTN

tháng anh Nam trả hết nợ:

 

1 1

1 0

N a r m

 

   

 





1 0,005 1

1000 1 0,005 30 0

0,0005

36,55

 

   

 

Vậy

tháng thì anh Nam trả hết nợ.

Câu 6. (QUỐC HỌC HUẾ) Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn vay

6 4 3

1 (1 0,04)

A 



 

 

 

635.520.000

. C.

696.960.000

. D.

766.656.000

Hướng dẫn giải

Lương 2 năm đầu tiên của công nhân đó nhận được là

6 6

8.10 .24 192.10

T   (đồng)

Theo công thức tính lãi kép, lương 2 năm tiếp theo công nhân đó nhận được :

 

6 6

24.8.10 . 1 10% 212,2.10

T    (đồng)

Lương 2 năm cuối cùng công nhân đó nhận được :

 

6 6

24.8.10 . 1 10% 232,32.10

T    (đồng)

Tổng số tiền

(đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc:

1 2 3

635,520,000

T T T T    (đồng).

tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi

năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất là

. Tính số

tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng không

thay đổi lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng).

46794000

đồng. B.

44163000

đồng. C.

42465000

đồng. D.

41600000

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc và lãi) sau 4 năm là:

10 (1 0,04) 10

(1 0,04) 10

(1 0,04)

10

(1 0,04)

10 (1 0,04)[1 (1 0,04)  (1 0,04)

 (1 0,04)

]

10 (1 0,04).

1 0,04)

 44163256

Nên

A  44163000

đồng

Câu 7. (SỞ QUẢNG NAM) Một kỹ sư được nhận lương khởi điểm là

8.000.000

đồng/tháng. Cứ sau hai năm lương mỗi tháng của kỹ sư đó được tăng thêm

10%

so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau

năm làm việc.

633.600.000

Chọn B.

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

76 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 8. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Anh Hưng đi làm được lĩnh lương khởi điểm

4.000.000

đồng/tháng. Cứ

năm, lương của anh Hưng lại được tăng thêm

/1 tháng. Hỏi

năm làm việc anh Hưng nhận được tất cả bao nhiêu tiền? (Kết quả làm

tròn đến hàng nghìn đồng).

1.287.968.000

đồng B.

1.931.953.000

đồng.

2.575.937.000

đồng. D.

3.219.921.000

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi

là số tiền lương khởi điểm,

là lương được tăng thêm.

+ Số tiền lương trong ba năm đầu tiên:

+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp:





 

36 . 36 1

a a r a r

  

+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp:

 

36 1

a r



…

+ Số tiền lương trong ba năm cuối:

 

36 1

a r

 .

Vậy sau

năm làm việc anh Hưng nhận được:

       

1 2 3 11

1 1 1 1 ... 1 . .36 2.575.936983 2.575.937.000

r r r r a

 

         

 

 đồng.

Câu 9. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một người vay ngân hàng

200.000.000

đồng

theo hình thức trả góp hàng tháng trong

tháng. Lãi suất ngân hàng cố định

0,8%

/ tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là

tháng sau khi

vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho

và số tiền lãi sinh ra từ số tiền

gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ

là bao nhiêu?

38.400.000

đồng. B.

10.451.777

đồng. C.

76.800.000

đồng. D.

39.200.000

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Để thuận tiện trong trình bày, tất cả các số tiền dưới đây được tính theo đơn vị

triệu đồng.

Số tiền phải trả tháng thứ 1:

200

200.0,8%

 .

Số tiền phải trả tháng thứ 2:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 77 | THBTN

200 200 200 200

200 .0,8% 47. .0,8%

48 48 48 48

 

   

 

 

Số tiền phải trả tháng thứ 3:

200 200 200 200

200 2. .0,8% 46. .0,8%

48 48 48 48

 

   

 

 

Số tiền phải trả tháng thứ 48

200 200 200 200

200 47. .0,8% 1. .0,8%

48 48 48 48

 

   

 

 

Suy ra tổng số tiền lãi phải trả là:

 

200 200 200

1. .0,8% 2. .0,8% ... 47. .0,8% 200.0,8%

48 48 48

48 1 48

200 200

.0,8% 1 2 ... 48 .0,8%. 39,2

48 48 2

   



     

. D.

(1 0,03)

T a 

ln3

3 (1 0,03) 3 4 .ln1,03 ln3 9,29

4ln1,03

N N

        

Câu 11. (SỞ HẢI PHÒNG) Một người vay ngân hàng một tỷ đồng theo phương thức trả

góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó trả

triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là

0,65%

mỗi tháng (biết lãi suất không thay

đổi) thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên?

tháng. B.

tháng. C.

tháng. D.

tháng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

là số tiền vay,

là số tiền gửi hàng tháng

là lãi suất mỗi tháng.

Câu 10. (PHÚ XUYÊN ) Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi

suất

một tháng. Biết rằng cứ sau mỗi quý (

tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn

vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền

bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu

B. 9. C. 10.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi a là số tiền người đó gửi ban đầu

Số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi sau

năm là

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

78 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Đến cuối tháng thứ

thì số tiền còn nợ là:

       

 

1 2

1 1

1 1 1 ... 1 1

n n n n

a r

T A r a r r A r

 

 

 

 

 

          

 

Hết nợ đồng nghĩa

 

1 1

0 1 0

a r

T A r

 

 

 

    

 

1 log

a Ar a a

r n

r r a Ar





    



Áp dụng với



(tỷ),

0,04



(tỷ),

0,0065



ta được

27,37



Vậy cần trả

tháng.

Câu 12. (TT DIỆU HIỀN) Một người gửi ngân hàng

100

triệu theo thể thức lãi kép, lãi

suất

0,5%

một tháng. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn

125

triệu?

tháng. B.

tháng. C.

tháng. D.

tháng.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

tháng, người đó nhận được

100 100.0,5%



(triệu đồng)

100.1,005

 triệu

đồng.

tháng, người đó nhận được:

   

100.1,005 100.1,005.0,005 100.1,005 1 0,005 1

00. 1,005

    triệu đồng

tháng, người đó nhận được:

 

100. 1,005

triệu đồng.

Theo đề:

 

1,005

100. 1,005 125 log 1,25 44,7

n    tháng.

Vậy sau

tháng, người đó có nhiều hơn

125

triệu đồng.

Câu 13. (TT DIỆU HIỀN) Năm 2014, một người đã tiết kiệm được

triệu đồng và dùng

số tiền đó để mua nhà nhưng trên thực tế người đó phải cần

1,55

triệu đồng.

Người đó quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất là

6,9%

/ năm theo

hình thức lãi kép và không rút trước kỳ hạn. Hỏi năm nào người đó mua được căn

nhà đó (giả sử rằng giá bán căn nhà đó không thay đổi).

A. Năm 2019. B. Năm 2020. C. Năm 2021. D. Năm 2022.

Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 79 | THBTN

Chọn C

Số tiền người gửi tiết kiệm sau

năm là

 

1 6,9%

x 

Ta cần tìm

để

 

1 6,9% 1,55

x x

 

 

1 6,9% 1,55

  

6,56...

 

Do đó, người gửi tiết kiệm cần gửi trọn

kỳ hạn, tức là

năm.

Vậy đến năm 2021 người đó sẽ có đủ tiền cần thiết.

Câu 14. (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Ông A vay ngân hàng

220

triệu đồng và trả góp

 

1,0115 1

(triệu đồng).

 

(triệu đồng).

 

55. 1,0115 .0,0115

(triệu đồng). D.



1,0115

(triệu đồng).

 

1 .

1 1

a r r





 

   

12 12

220 1 1,15% .1,15%

220. 1,0115 .0,0115





với

200, 1,15%, 12

a r n

  

trong vòng 1 năm với lãi suất 1,15% mỗi tháng. Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay,

ông sẽ hoàn nợ cho ngân hàng với số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau, hỏi mỗi

tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng, biết lãi suất ngân hàng

không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

220.



1,0115



.0,0115

220.



1,0115



1,0115 1

220.



Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Mỗi tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng



11,15%



1



1,0115



1

Chứng minh công thức tổng quát: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.

Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng

với lãi suất cho số tiền chưa trả là

một tháng (hình thức này gọi là tính lãi

trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời

điểm hiện tại) , số tháng vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay,

người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng,

số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x

đồng. Tìm công thức tính x ?Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong

thời gian vay.

Chứng minh

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

80 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Gọi

là số tiền còn lại sau tháng thứ

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: với

Trả đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là:



   



P ad x ad x

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là:

Trả đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ

là:

   



          



P ad x d x ad xd x ad x d ad x

2 2 2

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

Trả đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ

là:

 



 

             

 



P ad x d d x ad xd xd x ad x d d ad x

2 3 2 3 2 3

1 1

……………………………………….

Số tiền còn lại sau tháng thứ

là:

 

 



     



n n

P ad x P a r x ( a)

d r

1 1

1 5

với

 

d r

Do sau tháng thứ

người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có







     



ad d

P ad x x

0 0

 

1 .

1 1

a r r





 

Câu 15. (QUỐC HỌC QUY NHƠN) Một người gửi ngân hàng

100

triệu đồng theo hình

thức lãi kép, lãi suất

0,5%

một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo

phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng sau đó). Hỏi

sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn

125

triệu đồng?

tháng. B.

tháng. C.

tháng. D.

tháng.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

- Số tiền cả vốn lẫn lãi người gởi có sau

tháng là

100(1 0,005) 100.1,005

n n

S   

(triệu đồng)

1,005

1,005 log

100 100

S S

n    .





   

a ar a r ad

 

d r

















       

ad x ad x r ad x r ad x d





















     

           

     

ad x d ad x d r ad x d r ad x d d

2 2 2 2

1 1 1 1 1

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 81 | THBTN

- Để có số tiền

125



(triệu đồng) thì phải sau thời gian

1,005 1,005

125

log log 44,74

100 100

n    (tháng)

- Vậy: sau ít nhất

tháng người đó có nhiều hơn

125

triệu đồng.

Câu 16. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Ông Nam gởi

100

triệu đồng vào ngân hàng theo thể

thức lãi kép kì hạn

năm với lãi suất là

12%

một năm. Sau

năm ông Nam rút

toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm số nguyên dương

nhỏ nhất để số tiền lãi

nhận được lớn hơn

triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi)

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

là tiền vốn lẫn lãi sau

tháng,

là số tiền ban đầu

Tháng 1











T a r

 

Tháng 2







 

T a r

 

……………….

Tháng

   

: 1

n t n T a r

  

 

   

140

ln ln

100

1 33,815

ln 1 ln 1 1%

T a r t

     

 

(tháng)

Để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu thì

2,818

n  

Vậy



Câu 17. (Nguyễn Hữu Quang) Tỉ lệ lạm phát hàng năm của một quốc gia trong 10 năm

là 5%. Năm 2012, chi phí tiền xăng cho một ô tô là 24,95 USD. Hỏi năm 2017,

chi phí tiền xăng cho ô tô đó là bao nhiêu?

A. 33,44 USD B. 31,84 USD C. 32,44 USD D. 31,19 USD.

Câu 18. (PHAN BỘI CHÂU) Ông Minh gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền tỷ đồng sau

1 năm với lãi suất

0,7



một tháng, theo phương thức lãi đơn. Hỏi sau 1 năm ông

Minh thu được số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức nào?

9 8

10 12.10 .7

 

. B.

12.10 .7



. C.

9 1 12

10 (1 7.10 )



 

. D.

9 1

12.10 (1 7.10 ).



 

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

82 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 19. (PHÙ CÁT) Để đầu tư cho con, một người đã gởi tiết kiệm

500

triệu đồng với lãi

suất

7.5% /

năm theo thể thức lãi kép. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt

thời gian gởi. Số tiền người đó nhận được sau

năm là:

1.837.902.044

. B.

1.637.902.044

. C.

2.837.902.044

. D.

3.837.902.044

Câu 20. (TAM QUAN) Một người đầu tư vào 25 tờ trái phiếu mỗi tờ có mệnh giá là 2

triệu đồng với lãi suất

nam

trong vòng 5 năm. Sau 5 năm người đó có được số

tiền cả gốc lẫn lãi là gần 73,5 triệu đồng. Hỏi lãi suất

của tờ trái phiếu đó là bao

nhiêu phần trăm một năm.

A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.

Câu 21. (TUY PHƯỚC) Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3

tháng,lãi suất

một quý với

hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì

hạn và lãi suất như trước đó. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau

khi gửi?

176,676



triệu đồng. B.

177,676



triệu đồng.

178,676



triệu đồng. D.

179,676



triệu đồng.

Câu 22. (VÂN CANH) Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm

đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao

nhiêu tháng ngưòi đó thu đuợc gấp đôi số tiền ban đầu (lấy giá trị quy tròn) ?

A. 96. B. 97. C. 98. D. 99.

Câu 23. (SỞ HẢI PHÒNG) Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là

20.000.000 (đồng). Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ

số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng loại kỳ hạn 6 tháng với lãi suất kép là 8.5%

một năm. Hỏi sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn

lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng

như lãi trong tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả

lãi suất theo loại không kì hạn 0.01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày).

30803311

31803311

32833110

33083311

Câu 24. (NINH GIANG) Ông B đến siêu thị điện máy để mua một cái laptop với giá 16,5

triệu đồng theo hình thức trả góp với lãi suất

1,5%

/tháng. Để mua trả góp ông B

phải trả trước

20%

số tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 8 tháng kể

từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông B phải trả là

như nhau và tiền lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi, nếu ông

B mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 83 | THBTN

niêm yết là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không đổi trong thời gian ông B hoàn

nợ. (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)

A. 1.628.000 đồng. B. 2.125.000 đồng. C. 907.000 đồng. D. 906.000 đồng.

Câu 25. (HÀ HUY TẬP) Một công nhân thử việc (lương

4.000.000

đ/tháng), người đó

muốn tiết kiệm tiền để mua xe máy bằng cách mỗi tháng người đó trích một

khoản tiền lương nhất định gửi vào ngân hàng. Người đó quyết định sẽ gửi tiết

kiệm trong

tháng theo hình thức lãi kép, với lãi suất

0,7

%/tháng. Giả sử người

đó cần

25.000.000

đ vừa đủ để mua xe máy (với lãi suất không thay đổi trong quá

trình gửi). Hỏi số tiền người đó gửi vào ngân hàng mỗi tháng gần bằng bao

nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng).

1.226.238

. B.

1.168.904

. C.

1.234.822

. D.

1.160.778

Câu 26. (HẢI HẬU) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi

triệu đồng, với

101. (1,01) 1

 



 

(triệu đồng).

101. (1,01) 1

 



 

(triệu đồng).

A. B.

 

101. 1,01 1

 



 

triệu đồng.

C. triệu đồng. D.





100. 1,01 6 1



 

 

triệu đồng.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Dãy

1 2 3

; ; ;...;

U U U U

được gọi là 1 CSN có công bội q nếu:

k k

U U q



 .

Tổng n số hạng đầu tiên:

1 2 1

...

n n

s u u u u



    



+ Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

Cách giải: + Gọi số tiền người đó gửi hàng tháng là



triệu.

+ Đầu tháng 1: người đó có a.

lãi suất kép

1%/

tháng. Gửi được hai năm sáu tháng người đó có công việc nên đã

rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là

B. 100.





(1,01)

1





(triệu đồng).

D. 100.





(1,01)

1





(triệu đồng).

Câu 27. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1

triệu đồng, với lãi suất kép 1% trên tháng. Gửi được hai năm 3 tháng người đó có

công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó được rút là

101. triệu đồng.

100.







1,01



1











1,01



1





Đáp án A.

Phương pháp: Quy bài toán về tính tổng cấp số nhân, rồi áp dụng công thức tính

tổng cấp số nhân:.

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

84 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Cuối tháng 1: người đó có





. 1 0,01 .1,01

a a  .

+ Đầu tháng 2 người đó có :

.1,01

a a



Cuối tháng 2 người đó có:









1,01 .1,01 1,01 1,01

a a a   .

+ Đầu tháng 3 người đó có:





1 1,01 1,01

a   .

Cuối tháng 3 người đó có:









2 2 3

1 1,01 1,01 .1,01 1 1,01 1,01

a a     .

….

+ Đến cuối tháng thứ 27 người đó có:





2 27

1 1,01 1,01 ... 1,01

a     .

Ta cần tính tổng:





2 27

1 1,01 1,01 ... 1,01

a     .

Áp dụng công thức cấp số nhân trên với công bội là 1,01 ta được

 

1 1,01

100. 1,01 1

1 0,01



 



triệu đồng.

Câu 28. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi

triệu đồng, với lãi suất kép

trên tháng. Gửi được ba năm bốn tháng người đó

có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là

100

. (2,02) 1

103

 



 

(triệu đồng). B.

102

. (2,02) 1

103

 



 

(triệu đồng).

100

. (2,02) 1

103

 



 

(triệu đồng). D.

102

. (2,02) 1

103

 



 

(triệu đồng).

Câu 29. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng

một khoản tiền

theo hình thức lãi kép với lãi suất

0,6%

mỗi tháng. Biết sau

tháng người đó có số tiền là

triệu đồng. Hỏi số tiền

gần với số tiền nào nhất

trong các số sau?

535.000

. B.

635.000

. C.

613.000

. D.

643.000

Câu 30. (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Một người gửi tiết kiệm

triệu đồng vào một ngân

hàng với lãi suất

một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì

cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Sau

năm mới rút lãi

thì người đó thu được số tiền lãi là

70,128

triệu đồng. B.

50,7

triệu đồng. C.

20,128

triệu đồng. D.

3,5

triệu

đồng.

Câu 31. (QUẢNG XƯƠNG ) Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A nhưng vì do

không đủ nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 85 | THBTN

vay

3.000.000

đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại

học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất

0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho

ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là:

232518

đồng . B.

309604

đồng. C.

215456

đồng. D.

232289

đồng.

Chọn D

Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là:

       

4 3 2

3000000 3% 3% 3% 12927407,43

 

         

 

Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu là

12.927.407,43

đồng,

số tiền này bắt đầu được tính lãi và được trả góp trong 5 năm.

Ta có công thức:

 

. 12927407,4 0,0025 .0,0025

232289

0,0025

N r r

 

    

   

Câu 32. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Một người gửi tiết kiệm với lãi suất

6,5% /

năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi khoảng bao nhiêu năm người

đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

năm. B.

năm. C.

năm. D.

năm.

Chọn A.

Gọi là

số tiền gởi ban đầu.

Giả sử sau

năm số tiền vốn và lãi là

Ta có

   

2 . 1,065 1,065 2 log 1,065 11.

n n

x x n n      

Câu 33. (TRUNG GIÃ) Ông X gửi tiết kiệm

100

triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi

suất không đổi

0,5%

một tháng. Do nhu cầu cần chi tiêu, cứ mỗi tháng sau đó,

ông rút ra 1 triệu đồng từ số tiền của mình. Hỏi cứ như vậy thì tháng cuối cùng,

ông X rút nốt được bao nhiêu tiền?

4879

đồng. B.

975781

đồng. C.

4903

đồng. D.

970926

đồng.

Câu 34. (CHUYÊN ĐHSP) Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi

kép, lãi suất một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm tổng

tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng trước đó). Sau ít nhất bao

nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu .

tháng. B.

tháng. C.

tháng. D.

tháng .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

86 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

HƯỚNG DẪN GIẢI

Chọn A.

Áp dụng công thức lãi kép gửi 1 lần:

 

N A r

  , Với

100.10

A  và

0,5



Theo đề bài ta tìm n bé nhất sao cho:

 

8 6

10 1 0,5% 125.10

 

 

1 0,5%

  

201

200

log 44,74

n  

Câu 35. (LƯƠNG TÂM) Một người gửi

triệu đồng vào ngận hàng trong thời gian 10

năm với lãi suất

năm. Hỏi người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn

bao nhiêu nếu ngân hàng trả lại suất

tháng ?

A. Nhiều hơn. B. Ít hơn. C. Không thay đổi. D. Không tính

được.

Giải

Gọi a là tiền gửi tiết kiệm ban đầu, r là lãi suất, sau một tháng sẽ là: a(1 + r)

Sau n tháng số tiền cả gốc lãi là: T = a(1 + r)

Số tiền sau 10 năm với lãi suất 5% một năm :

10 000 000(1+5%)

= 16 288 946,27 đ

Số tiền nhận sau 10 năm (120 tháng) với lãi suất

tháng :

10 000 000

120

1 16470094,98

 

 

 

 

Vậy số tiền gửi theo lãi suất

tháng nhiều hơn : 1 811 486,7069 đ. Chọn (A)

Câu 36. (ĐOÀN THƯỢNG) Ông A gửi

200

triệu đồng vào ngân hàng Vietinbank. Lãi suất

hàng năm không thay đổi là

7,5%

/năm và được tính theo kì hạn là một năm. Nếu ông A

hàng năm không rút lãi thì sau 5 năm số tiền ông A nhận được cả vốn và tiền lãi là bao

nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng ngàn)

287126000

đồng B.

267094000

đồng C.

248459000

đồng D.

231125000

đồng

Câu 37. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền là 100

triệu đồng với lãi suất mỗi quý (3 tháng) là

2,1%

. Số tiền lãi được cộng vào vốn sau

mỗi quý. Sau 2 năm người đó vẫn tiếp tục gửi tiết kiệm số tiền thu được từ trên nhưng

với lãi suất

1,1%

mỗi tháng. Số tiền lãi được cộng vào vốn sau mỗi tháng. Hỏi sau 3

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 87 | THBTN

năm kể từ ngày gửi tiết kiệm vào ngân hàng A người đó thu được số tiền gần nhất với

giá trị nào sau đây?

134,65

triệu đồng. B.

130,1

triệu đồng. C.

156,25

triệu đồng. D.

140,2

triệu

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

năm có

quý.

Tổng số tiền người đó thu được sau

năm:

   

8 12

100000000 1,021 1,011 134654169

  

đồng.

Câu 38. (BẮC YÊN THÀNH) Ông A gửi số tiền

100

triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất

8 10

10 .(1 0,07)

 . B.

8 10

10 .0,07

. D.

8 10

10 .(1 0,007)

 .

Chọn A.



với giả thiết

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Số tiền thu được cả gốc lẫn lãi sau n năm là

100(1 0,12)

C  

Số tiền lãi thu được sau n năm là

100(1 0,12) 100

L   

1,12

7 7

100(1 0,12) 100 40 1,12 log 2,97

n n

nL         

Câu 40. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi

điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương

40%

trên năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số

tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. sau thời gian

năm nếu không rút lãi lần

nào thì số tiền mà ông A nhận được tính cả gốc lẫn lãi là

C. 10

.(1 0,7)

Theo công thức lãi kép C  A



1 r

A 100.000.000 10

;r  7%  0,07 và N 10.

Vậy số tiền nhận được … 10

.(1 0,07)

, nên chọn A.

Câu 39. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Ông Nam gửi

100

triệu đồng vào ngân hàng theo

thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất là

12%

một năm. Sau n năm ông

Nam rút toàn bộ tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm n nguyên dương nhỏ nhất để số tiền lãi

nhận được hơn

triệu đồng. (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không thay đổi).

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

88 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm

tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?

A. 726,74 triệu. B. 71674 triệu. C. 858,72 triệu. D. 768,37 triệu.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Mức lương 3 năm đầu: 1 triệu Tổng lương 3 năm đầu: 36. 1

Mức lương 3 năm tiếp theo:

1. 1

 



 

 

Tổng lương 3 năm tiếp theo:

36 1

 



 

 

Mức lương 3 năm tiếp theo:

1. 1

 



 

 

Tổng lương 3 năm tiếp theo:

36 1

 



 

 

Mức lương 3 năm tiếp theo:

1. 1

 



 

 

Tổng lương 3 năm tiếp theo:

36 1

 



 

 

Mức lương 3 năm tiếp theo:

1. 1

 



 

 

Tổng lương 3 năm tiếp theo:

36 1

 



 

 

Mức lương 3 năm tiếp theo:

1. 1

 



 

 

Tổng lương 3 năm tiếp theo:

36 1

 



 

 

Mức lương 2 năm tiếp theo:

1. 1

 



 

 

Tổng lương 2 năm tiếp theo:

24 1

 



 

 

Tổng lương sau tròn 20 năm là

2 5 6

2 2 2 2

36 1 1 1 ... 1 24 1

5 5 5 5

1 1 1

36. 24 1 768,37

1 1

 

       

         

 

       

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

Câu 41. (LÝ TỰ TRỌNG) Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị tiền tệ mất 10% giá trị so

với đầu năm. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho sau

năm, đơn vị tiền tệ sẽ

mất đi ít nhất 90% giá trị của nó?

A. 16 B. 18. C. 20. D. 22.

Chọn D.

Gọi





x x



là giá trị tiền tệ lúc ban đầu. Theo đề bài thì sau 1 năm, giá trị tiền tệ sẽ còn

0,9

Cuối năm 1 còn

0,9

Cuối năm 2 còn

0,9.0,9 0,9

x x



…

Cuối năm

còn

0,9

Ycbt

0,9 0,1 21,58

x x n    . Vì

nguyên dương nên



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 89 | THBTN

Câu 42. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhung vì không đủ nộp

tiền học phí Hùng quyết định vay ngân hàng trong

năm mỗi năm

3.000.000

đồng

để nộp học với lãi suất

/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học Hùng phải trả góp hàng

tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất

0,25% /

tháng trong vòng

năm. Số

tiền T mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) là

232518

đồng. B.

309604

đồng. C.

215456

đồng. D.

232289

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

+ Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau 4 năm học:

Sau 1 năm số tiền Hùng nợ là:





3 1

 

Sau 2 năm số tiền Hùng nợ là:

   

3 1 3 1

r r

  

Tương tự: Sau 4 năm số tiền Hùng nợ là:

       

4 3 2

3 1 3 1 3 1 3 1 12927407,43

r r r r A

        

       

1 1 . 1 1

A r T A r T r T A r T r T

          

tháng tiền còn nợ là:

       

60 59 58

1 1 1 1T T

A r r r T

T r    



 .

















       

 

60 59 58

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 0

1 1

1 0

1 1

1 0

1 1

232.289

T T T

A r r r r T

A r r r r

A r

Ar r

      

 

       

 

 

  

 

  



 

 

  

  



 







+ Tính số tiền T mà Hùng phải trả trong 1 tháng:

Sau 1 tháng số tiền còn nợ là: A Ar T  A



1 r



T .

Sau 2 tháng số tiền còn nợ là:

 

Tương tự sau 60 số

Hùng trả hết nợ khi và chỉ khi

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

90 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 43. (SỞ HÀ NỘI) Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5%

một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu.

Tính số tiền tối thiểu

(triệu đồng,





) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3

năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy trị giá 30 triệu đồng.

A. 140 triệu đồng. B. 154 triệu đồng. C. 145 triệu đồng. D. 150 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Áp dụng công thức lãi kép :

 

1 

P x r

, trong đó

là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau

kì.

là vốn gốc.

là lãi suất mỗi kì.

Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau

kì là :

   

1 1 1

n n

P x x r x x r

 

      

 

(*)

Áp dụng công thức (*) với

3, 6,5%

 

n r

, số tiền lãi là

triệu đồng.

Ta được

 

30 1 6,5% 1 144,27

 

    

 

x x

Số tiền tối thiểu là 145 triệu đồng.

Câu 44. (TT DIỆU HIỀN) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng

200

triệu đồng, với lãi suất

12%

năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: sau một tháng bắt đầu từ

ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một

tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 10

tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi

mà ông A phải trả cho

ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt

thời gian ông A hoàn nợ.

20.(1,01)

(1,01) 1

m 



(triệu đồng). B.

200.(1,12)

m  (triệu đồng).

20.(1,01)

200

(1,01) 1

m  



(triệu đồng). D.

10.(1.12)

200

(1.12) 1

m  



(triệu đồng).

Hướng dẫn giải

Chọn C.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 91 | THBTN

Đặt

200



triệu,

là số tiền phải trả hàng tháng mà ông A trả cho ngân hàng

Lãi suất

12%

trên năm tương ứng

trên tháng, tức là

0,01



Số tiền gốc sau 1 tháng là:





. 1

T T r M T r M

    

Số tiền gốc sau 2 tháng là:

   

1 1 1

T r M r

 

   

 

…..

Số tiền gốc sau 10 tháng là:

       

10 9 8

1 1 1 ... 1 1 0

T r M r r r

 

         

 

Do đó

 

     

9 8

1 1 ... 1 1

T r

r r r





      

 

. 1 .

1 1

T r r





 

 

200. 1 0,01 .0,01

1 0,01 1





 

 

2. 1,01

1,01 1





(triệu đồng)



Tổng số tiền lại phải trả cho ngân hàng là:

 

20. 1,01

10 200

1,01 1

m M  



(triệu

đồng)

Câu 45. (TT DIỆU HIỀN) Thầy Đông gửi

triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất

0,7%

/tháng. Chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên thành

1,15%

/tháng. Tiếp theo, sáu

tháng sau lãi suất chỉ còn

0,9%

/tháng. Thầy Đông tiếp tục gửi thêm một số tháng

nữa rồi rút cả vỗn lẫn lãi được 5787710,707 đồng. Hỏi thầy Đông đã gửi tổng thời

gian bao nhiêu tháng?

tháng. B.

tháng. C.

tháng. D.

tháng.

Hướng dẫn giải

 Gọi

là số tháng mà thầy Đông gởi tiền với lãi suất 0,7%.

Gọi

là số tháng mà thầy Đông gởi tiền với lãi suất 0,9%.

 Theo đề bài, ta có phương trình:

       

5 . .

000000 1 0,7% 1 1,15% 1 0,9% 5787710,707 *

a b

  

   

1 0,7% 1 0,9%

. 1,080790424

a b

  

1,007

1,009

0 log 1,080790424

a b N

 





  









TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

92 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

1,009 1,007

log 1,080790424 log 1,080790424

a b   

9 11

a b

   

 Với

a b

 

, thử ,

a b N



ta thấy (*) không thoả mãn.

Với

a b

 

, thử ,

a b N



ta được

6; 4

a b

 

thoả mãn (*).

Với

a b

 

, thử ,

a b N



ta thấy (*) không thoả mãn.

 Vậy thầy Đông gởi tổng thời gian là 16 tháng.

 Chọn đáp án C.

Câu 46. (AN LÃO) Ngày

tháng

năm

2017

, ông An đem

800

triệu đồng gửi vào một

ngân hàng với lãi suất

0,5%

một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đến ngân

hàng rút

triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày

tháng

năm

2018

, sau

khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất

trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi

 

800. 1,005 72



(triệu đồng). B.

 

1200 400. 1,005

 (triệu đồng).

 

800. 1,005 72



(triệu đồng). D.

 

1200 400. 1,005

 (triệu đồng).

Hướng dẫn giải.

Chọn B.

Từ ngày

tháng

năm

2017

đến ngày

tháng

năm

2018

, ông An gửi

được tròn

tháng.

Gọi

là số tiền ban đầu,

là lãi suất hàng tháng,

là số tháng gửi,

là số tiền

rút ra hàng tháng,

là số tiền còn lại sau

tháng.

Khi gửi được tròn

tháng, sau khi rút số tiền là

, số tiền còn lại là:





1 , 1

P a ar x a r x ad x d r

         

Khi gửi được tròn

tháng, sau khi rút số tiền là

, số tiền còn lại là:

 

2 2

2 1 1

. 1

P P P r x ad x d ad x



        



Khi gửi được tròn

tháng, sau khi rút số tiền là

, số tiền còn lại là:

 

3 2 3

3 2 2

. 1

P P P r x ad x d d ad x



         



Tương tự, khi gửi được tròn

tháng, sau khi rút số tiền là

, số tiền còn lại là:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 93 | THBTN

P ad x



  



Áp dụng với

800



triệu,

0,5%



triệu, số tiền còn lại ciủa ông An

là:

   

 

12 12

1,005 1

800. 1,005 6 800. 1,005 1200. 1,005 1 1200 400.1,

005

0,005



       

(triệu đồng).

Câu 47. (NGÔ QUYỀN) Ngày 01 tháng 6 năm 2016 ông An đem một tỉ đồng gửi vào

 

200. 1.005 800

 (triệu đồng). B.



 

200. 1.005 800

 (triệu đồng). D.



(triệu đồng).



262

triệu. C.

313

triệu. D.

219

triệu.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Công thức tính lãi suất kép là

 

A a r

  .

Trong đó

là số tiền gửi vào ban đầu,

là lãi suất của một kì hạn (có thể là

tháng; quý; năm),

là kì hạn.

ngân hàng với lãi suất 0.5% một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng ông đến ngân

hàng rút 4 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 01 tháng 6 năm 2017, sau

khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất

trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi.

1000.



1.005  48 (triệu đồng).

1000.



1.005

 48 (triệu đồng).

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Số tiền gửi ban đầu là 1000 (triệu đồng)

Số tiền tiết kiệm của ông An sau tháng thứ n là: 1000.



1 0.005



Kể từ ngày gửi cứ tròn mỗi tháng ông đến ngân hàng rút 4 triệu, vậy số tiền của

ông An sau 12 tháng là 1000.



1.005

 48 (triệu đồng).

Câu 48. (HAI BÀ TRƯNG) Một người lần đầu gửi ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn

3 tháng, lãi suất 3% của một quý và lãi từng quý sẽ được nhập vào vốn (hình

thức lãi kép). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và

lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm kể từ khi gửi thêm

tiền lần hai sẽ gần với kết quả nào sau đây?

A. 232 triệu.

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

94 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Sau 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai thì

100

triệu gửi lần đầu được gửi là

tháng, tương ứng với

quý. Khi đó số tiền thu được cả gốc và lãi của

100

triệu

gửi lần đầu là

100 1

100

 

 

 

 

(triệu).

Sau 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai thì

100

triệu gửi lần hai được gửi là

tháng, tương ứng với

quý. Khi đó số tiền thu được cả gốc và lãi của

100

triệu

gửi lần hai là

100 1

100

 

 

 

 

(triệu).

Vậy tổng số tiền người đó nhận được 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai là

6 4

1 2

3 3

100 1 100 1

100 100

A A A

   

      

   

   

232

triệu.

Câu 49. (TT DIỆU HIỀN) Thầy Đông gửi tổng cộng

320

triệu đồng ở hai ngân hàng

và

theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng

với lãi suất

2,1%

một quý trong thời gian

tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng

với lãi

suất

0,73%

một tháng trong thời gian

tháng. Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân

hàng là

27 507 768,13

đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền Thầy Đông gửi lần lượt ở

ngân hàng

và

là bao nhiêu?

140

triệu và

180

triệu. B.

120

triệu và

200

triệu.

200

triệu và

120

triệu. D.

180

triệu và

140

triệu.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi số tiền Thầy Đông gửi ở hai ngân hàng

và

lần lượt là

(triệu)

Theo giả thiết

320.10

x y  (1)

 Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được ở ngân hàng

tháng (5 quý) là

   

5 5

1 0,021 1,021

A x x  



Số lãi sau

tháng là

   

5 5

1,021 1,021 1

r x x x

 

   

 

 Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được ở ngân hàng

tháng là

   

9 9

1 0,0073 1,0073

B y y  

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 95 | THBTN



Số lãi sau

tháng là

   

9 9

1,0073 1,0073 1

r y y y

 

   

 

Theo giả thiết

   

5 9

1,021 1 1,007

27 507 768,13

3 1x y

   

   

   

(2)

Từ (1) và (2)



140

180









Câu 50. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Một người gửi tiền tiết kiệm

200

triệu đồng vào một

ngân hàng với kỳ hạn một năm và lãi suất

8,25%

một năm, theo thể thức lãi kép.

năm tổng số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được là (làm tròn đến hàng

nghìn)

124,750

triệu đồng. B.

253,696

triệu đồng.

250,236

triệu đồng. D.

224,750

triệu đồng.

Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

Số tiền người gửi nhận được sau

năm cả gốc lẫn lãi là

200(1 8,25%) 253,696

S   

triệu đồng.

Câu 51. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Một người gửi

triệu đồng vào ngân hàng theo

thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất

1,65%

một quý. Hỏi sau bao lâu

người đó có được ít nhất

triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử

lãi suất không thay đổi)

năm

quý B.

năm

quý C.

năm

quý D.

năm

Hướng dẫn giải

Chọn A

Số tiền của người ấy sau

kỳ hạn là

1,65

15 1

100

 

 

 

 

Theo đề bài, ta có

1,65

100

1,65 4

15 1 20 log 17,56

100 3



 

    

 

 

Câu 52. (TIÊN LÃNG) Để đầu tư dự án trồng rau sạch theo công nghệ mới, ông An đã

làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng với số tiền

800

triệu đồng với lãi suất

% /x n

ăm

, điều kiện kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính

làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của

mình, ông An đã thanh toán hợp đồng ngân hàng số tiền là

1.058

triệu đồng. Hỏi

lãi suất trong hợp đồng giữa ông An và ngân hàng là bao nhiêu?

13% / n

ăm

. B.

14% / n

ăm

. C.

12% / n

ăm

. D.

15% / n

ăm

Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

96 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chọn D.

Công thức tính tiền vay lãi kép

 

T a x

 

Trong đó

: số tiền vay ban đầu,

: lãi suất

% /x n

ăm

: số năm 

 

Vậy

1 058

800

 

0,15

tức là 15%/ n

ăm

Câu 53. (TT DIỆU HIỀN) Một người có số tiền là

20.000.000

đồng đem gửi tiết kiệm loại

kỳ hạn

tháng vào ngân hàng với lãi suất

8,5% /

năm. Vậy sau thời gian

năm

tháng, người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (số tiền được

làm tròn đến

100

đồng). Biết rằng người đó không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các

định kỳ trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không

kỳ hạn

0,01%

một ngày. (

tháng tính

ngày).

31.802.700

đồng. B.

30.802.700

đồng. C.

32.802.700

đồng. D.

33.802.700

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Lãi suất

8,5% /

năm tương ứng với

8,5

%/ 6

tháng.

Đổi

năm

tháng bằng

11x6

tháng +

tháng. Áp dụng công thức tính lãi suất

 

P P r

 

Số tiền được lĩnh sau

năm

tháng là

8.5

20.000.000 1 31.613.071.66

200

 

  

 

 

đồng.

Do hai tháng còn lại rút trước hạn nên lãi suất là 0,01% một ngày.

Suy ra số tiền được lĩnh là

11 11

0.01

. .60 31.802.700

100

T P P   đồng.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

96 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chủ đề 4. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG

Câu 1. (Lương Thế Vinh) Số lượng của một loài vi khuẩn sau

(giờ) được xấp xỉ bởi đẳng thức





0.195

Q t Q e , trong đó

là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là

5000

con thì sau bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn có

100.000

con?

. B.

. C.

15,36

. D.

3,55

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Từ giả thiết ta suy ra





0.195

5000.

Q t e . Để số lượng vi khuẩn là

100.000

con thì





0.195

5000. 100.000

 

Q t e

 

0.195

2 ln20 15.36

0.195

    

e t h

Câu 2. (QUẢNG XƯƠNG 1) Theo số liệu của Tổng cục thống kê, năm

2016

dân số Việt Nam ước

tính khoảng

94.444.200

người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức

1,07%

. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức

S A e

 (trong đó

là dân số của

năm lấy làm mốc tính,

là dân số sau

năm,

là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân

số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức

120

triệu người

2040

. B.

2037

. C.

2038

. D.

2039

Hướng dẫn giải.

Chọn D

Gọi

là số năm để dân số đạt mức

120

triệu người tính mốc từ năm 2016

Ta có:

.0,0107

120 .000.000 94.444.200

e



ln1,27

22.34

0,0107

 n .

Vậy trong năm thứ

(tức là năm

2016 23 2039

 

) thì dân số đạt mức 120 triệu người

Câu 3. (HÀ HUY TẬP) Biết rằng năm

2001

, dân số Việt Nam là

78685800

người và tỉ lệ tăng dân số

năm đó là

1,7%

. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức

S A e

 (trong đó

là dân số của năm lấy làm mốc tính,

là dân số sau

năm,

là tỉ lệ tăng dân số hàng năm).

Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức

120

triệu người

2020

. B.

2022

. C.

2026

. D.

2025

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

. ln

S A e N

r A

   .

Để dân số nước ta ở mức

120

triệu người thì cần số năm

Ổ

NG ÔN:

BÀI TOÁN TH

Ự

C TI

Ễ

2017

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 97 | THBTN

1 100 120000000

ln .ln 25

1,7 78685800

r A

  

(năm).

Vậy thì đến năm

2026

dân số nước ta ở mức

120

triệu người

Câu 4. (HÀ HUY TẬP) Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức

S Ae

 , trong đó

là số lượng vi khuẩn ban đầu,

là tỉ lệ tăng trưởng







là thời gian tăng trưởng (tính

theo đơn vị là giờ). Biết số vi khuẩn ban đầu là

100

con và sau

giờ có

300

con. Thời gian để

vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào trong các kết quả sau đây.

giờ

phút. B.

giờ

phút. C.

giờ

phút. D.

giờ

phút.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có :

5 5

ln3

300 100. 3 5 ln3

r r

e e r r      

Gọi thời gian cần tìm là

Theo yêu cầu bài toán, ta có :

200 100. 2

rt rt

e e

  

 

5.ln 2

ln2 3,15

ln3

rt t h

    

Vậy



giờ

phút

log log

L o

M A A

  ,

là độ chấn động,

là biên độ tối đa

là biên độ chuẩn. Hỏi theo thang độ Richte, cùng với một biên

. B.

. C.

100

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Với trận động đất 7 độ Richte ta có biểu thức

7 7

0 0

7 log log log 10 .10

A A

M A A A A

A A

        .

Tương tự ta suy ra được

.10

A A



 .

Từ đó ta tính được tỉ lệ

.10

100

.10

 



A A

Câu 6. (TT DIỆU HIỀN) Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng

91,7

triệu người. Nếu tỉ lệ tăng

dân số Việt Nam hàng năm là

1,2%

và tỉ lệ này ổn định

năm liên tiếp thì ngày 1/7/2026

dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người?

Câu 5. (SỞ BẮC GIANG) Thang đo Richte được Charles Francis đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào

năm 1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị Richte. Công

thức tính độ chấn động như sau:

được đo bằng địa chấn kế và

độ chuẩn thì biên độ tối đa của một chận động đất

độ Richte sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối

đa của một trận động đất 5 độ Richte?

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

98 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

104,3

triệu người. B.

105,3

triệu người. C.

103,3

triệu người. D.

106,3

triệu người.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Theo công thức

10.0,012

. 91,7. 103,3

S Ae e   triệu người.

Chú ý: Dân số thế giới được ước tính theo công thức

S Ae

 : Trong đó

: Dân số của năm lấy làm mốc tính.

: Dân số sau

năm.

: Tỉ lệ tăng dân số hằng năm.

Câu 7. (SỞ QUẢNG NINH) Một loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận một lượng nhỏ

Carbon

(một đơn vị của Carbon). Khi cây đó chết đi thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ

ngưng và nó sẽ không nhận Carbon

nữa. Lượng Carbon

của nó sẽ phân hủy chậm chạp

và chuyển hóa thành Nitơ

. Gọi





P t

là số phần trăm Carbon

còn lại trong một bộ phận

của cây sinh trưởng

năm trước đây thì





P t

được cho bởi công thức

   

5750

100. 0,5 %

P t  .

Phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc gỗ, người ta thấy lượng Carbon

còn lại trong

gỗ là

65,21%

. Hãy xác định số tuổi của công trình kiến trúc đó.

3574

(năm). B.

3754

(năm). C.

3475

(năm). D.

3547

(năm).

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

 

5750

0,5 0,5

65,21 65,21

100. 0,5 65,21 log 5750.log

5750 100 100

t    

3547

 

Câu 8. (Chuyên Thái Bình) Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni

239

là

24360

năm(tức

là một lượng

239

24360

năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính

theo công thức

S Ae



, trong đó

là lượng chất phóng xạ ban đầu,

là tỉ lệ phân hủy hàng

năm (



là thời gian phân hủy,

là lượng còn lại sau thời gian phân hủy

. Hỏi 10 gam

239

sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

82230

(năm). B.

82232

(năm). C.

82238

(năm). D.

82235

(năm).

Hướng dẫn giải.

Chọn D

239

có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có:

.24360

ln5 ln10

5 10. 0,000028

24360

e r



    

-Vậy sự phân hủy của

239

được tính theo công thức

ln5 ln10

24360

S A e



 .

-Theo đề:

ln5 ln10

24360

ln10 ln10

1 10. 82235

ln5 ln10

0,000028

24360

e t



 

    



(năm).

Chú ý: Theo đáp án gốc là D (SGK). Tuy nhiên: nếu không làm tròn r thì kết quả

ln5 ln10

24360

ln10

1 10.

ln5 ln10

24360

e t



   



80922



Kết quả gần A nhất.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 99 | THBTN

Câu 9. (QUỐC HỌC QUY NHƠN) Một đám vi trùng tại ngày thứ

có số lượng





N t

, biết rằng

 

7000

N t







và lúc đầu đám vi trùng có

300000

con. Hỏi sau

ngày, đám vi trùng có bao

nhiêu con (làm tròn số đến hàng đơn vị)?

322542

con. B.

332542

con. C.

302542

con. D.

312542

con.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

   

7000

d d 7000.ln 2 .

N t N t t t t C



    



 





0 7000ln2 7000ln2 300000 300000 7000ln2

N C C C       













10 7000ln 10 2 7000ln 10 2 300000 7000ln 2 312542,

3163

N C       







I x I e



 , trong đó

là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và



. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có



2,8

I I e







I I e







10 25,2

10 . 8,79

l e



  .

Câu 11. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được

xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu

mỗi tháng. Sau

tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức









75 20ln 1

M t t

  



(đơn vị

). Hỏi sau khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ được

danh sách đó là dưới

10%

A. Sau khoảng

tháng. B. Sau khoảng

tháng.

C. Sau khoảng

tháng. D. Sau khoảng

tháng.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có





75 20ln 1 10

  

Câu 10. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Khi ánh sáng đi qua một môi trường (chẳng hạn như không khí,

nước, sương mù, …) cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền x , theo công thức

là hệ số hấp thu của môi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu



1,4 và người ta

tính được rằng khi đi từ độ sâu 2 m xuống đến độ sâu

m thì cường độ ánh sáng giảm l.10

lần. Số nguyên nào sau đây gần với

nhất?

Ở độ sâu 2 m:





Ở độ sâu 20 m:





Theo giả thiết I





 l.10







28

 l.10

2,8

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

100 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341





ln 1 3,25 24,79

t t

    

. Khoảng 25 tháng.

Câu 12. (CHU VĂN AN) Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức

 





. 1

Q t Q e



  với

là khoảng thời gian tính bằng giờ và

là dung lượng nạp tối đa

(pin đầy). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện

thoại đạt được

90%

dung lượng pin tối đa (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

1,65



giờ. B.

1,61



giờ. C.

1,63



giờ. D.

1,50



giờ.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Theo bài ta có





  

      

2 2 2

0 0

. 1 0,9. 1 0,9 0,1

t t t

Q e Q e e





   

ln 0,1

1,63

t .

Câu 13. (THẦY HIẾU LIVE ) Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức

 

log log

M A A

, với A là biên độ rung chấn tối đa và

là một biên độ chuẩn (hằng số).

Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Trong cùng năm

đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở

Nam Mỹ là

A. 11 B. 2.075 C. 33.2 D. 8.9

Câu 14. (Lạc Hồng) Một khu rừng có trữ lượng gỗ

5 3

4.10

. Biết tốc độ sinh trưởng của khu rừng đó

là

trên năm. Hỏi sau năm năm khu rừng đó sẽ có bao nhiêu

gỗ. (Lấy chính xác đến sau

hai chữ số thập phân)

5 3

4,47.10

. B.

5 3

4,57.10

. C.

5 3

4,67.10

. D.

5 3

4,87.10

Câu 15. (KIM LIÊN) Dân số thế giới được ước tính theo công thức

r N

S A e

 trong đó:

là dân số

của năm lấy mốc tính, S là dân số sau

năm,

là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm

2001

, dân số Việt Nam có khoảng

78.685.000

người và tỷ lệ tăng dân số hằng năm là

1,7%

một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở

mức khoảng

120

triệu người?

2020.

2026.

2022.

2024.

Câu 16. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính

theo công thức









0 .2 ,



s t s trong đó





là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu,





s t

là số

lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi

sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút.

HƯỚNG DẪN GIẢI

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 101 | THBTN

Chọn C.

Ta có:









3 0 .2

s s

 





0 78125;

  









0 .2



s t s





 

2 128 7.

    

s t

Câu 17. (YÊN LẠC) Một loại virus có số lượng cá thể tăng trưởng mũ với tốc độ

x h

, tức là cứ sau

1 giờ thì số lượng của chúng tăng lên

Người ta thả vào ống nghiệm

cá thể, sau

giờ

số lượng cá thể virus đếm được trong ống nghiệm là

1,2

triệu. Tìm

? (tính chính xác đến

hàng phần trăm)

13,17%



. B.

23,07%



. C.

7,32%



. D.

71,13%



Câu 18. (SỞ BẮC NINH) Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức

S Ae



(trong đó





1.424.300;1.424.400





1.424.200;1.424.300

Ta có:

. .

N r N r

S Ae e

 

15.

. 1.038.229. 1.424.227,71

S Ae e  

3,14

giờ. B.

4,64

giờ. C. 4,14 giờ. D.

3,64

giờ.

Chọn C.

Trong giờ đầu tiên, vòi nước chảy được

60.1 60



lít nước.

Giờ thứ 2 vòi chảy với vận tốc 2 lít/1phút nên vòi chảy được

60 2 120

 

lít nước.

Giờ thứ 3 vòi chảy với vận tốc 4 lít/1phút nên vòi chảy được

60 4 240

 

lít nước.

Giờ thứ 4 vòi chảy với vận tốc 8 lít/1phút nên vòi chảy được

60 8 480

 

lít nước.

Trong 4 giờ đầu tiên,vòi chảy được:

60 120 240 480 900

   

lít nước.

Vậy trong giờ thứ 5 vòi phải chảy lượng nước là

1000 900 100

 

lít nước.

Số phút chảy trong giờ thứ 5 là

100:16 6,25



phút

Đổi

6,25:60 0,1



giờ

A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng

năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số

của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025

dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào?



1.424.000;1.424.100





1.424.100;1.424.200



Hướng dẫn giải

Gọi S

là dân số năm 2015, ta có S

1.153.600,N  5, A 1.038.229



 r 

Gọi S

là dân số đầu năm 2025, ta có

Chọn đáp án C

Câu 19. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Một bể nước có dung tích

1000

lít .Người ta mở vòi cho nước chảy

vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1phút. Trong các

giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu

thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất).

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

102 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Vậy thời gian chảy đầy bể là khoảng

4,1

giờ.

Câu 20. (HỒNG QUANG) Dân số tỉnh Hải Dương năm 2013 là 1,748 triệu người với tỉ lệ tăng dân số

hàng năm là

1,04%



. Hỏi, đến năm nào thì dân số tỉnh Hải Dương đạt 3 triệu người? (Giả sử

tỉ lệ tăng dân số không thay đổi).

A. 2065 B. 2067 C. 2066 D. 2030

Câu 21. (ĐỨC THỌ) E. coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau

phút

thì số lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ có

vi khuẩn E. coli trong đường

ruột. Hỏi sau bao lâu, số lượng vi khuẩn E. coli là

671088640

con?

giờ. B.

giờ. C.

giờ. D.

8 giờ.

Câu 22. (NGÔ SĨ LIÊN) Biết thể tích khí

năm 1998 là





V m

năm tiếp theo, thể tích

tăng

năm tiếp theo nữa, thể tích

tăng

. Thể tích khí

năm

2016

là

   

 

10 8

2016

100 . 100

. .

a n

V V m

 

 B.

 





2016

. 1 .

V V a n m

  

  





 

2016

100 100

. .

a n

V V m

 

 D.

 





2016

. 1 .

V V V a n m

   

Chọn A.

Ta có:

Sau 10 năm thể tích khí

là

 

2008

100

100 10

V V V



 

  

 

 

Do đó, 8 năm tiếp theo thể tích khí

là

 

       

8 8

2016 2008

10 8 10 8

20 16 36

100

1 1

100 10 100

100 100 100 . 100

10 10 10

n n

V V V

a n a n

V V



   

   

   

   

   

 

Câu 23. (CHUYÊN KHTN) Tại Dân số thế giới được ước tính theo công thức

S Ae

 trong đó

là

dân số của năm lấy làm mốc,

là dân số sau

năm,

là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Theo

thống kê dân số thế giới tính đến tháng 01/2017, dân số Việt Nam có 94,970,597 người và có tỉ

lệ tăng dân số là 1,03%. Nếu tỷ lệ tăng dân số không đổi thì đến năm 2020 dân số nước ta có

bao nhiêu triệu người, chọn đáp án gần nhất.

triệu người. B.

100

triệu người. C.

102

triệu người. D.

104

triệu người.

Chọn A.

Áp dụng công thức với

94,970,597



1,03%



ta được



triệu người.

Câu 24. (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó

rất tốt cho cây trồng. Mới đây các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 103 | THBTN

dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư.

Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm

diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và

tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín

mặt hồ?

7 log 25

 . B.

. C.



. D.

7 log 24

 .

Đáp án: A.

Theo đề bài số lượng bèo ban đầu chiếm

0,04

diện tích mặt hồ.

Sau 7 ngày số lượng bèo là

0,04 3



diện tích mặt hồ.

Sau 14 ngày số lượng bèo là

0,04 3



diện tích mặt hồ.

…



ngày số lượng bèo là

0,04 3



diện tích mặt hồ.

Để bèo phủ kín mặt hồ thì

0,04 3 1 3 25 log 25

n n

n      .

Vậy sau

7 log 25

 ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ

Câu 25. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính

(giờ). B.

(giờ). C.

(giờ). D.

(giờ).

ln300

r 

ln243 300ln 243

1500

ln3

  (phút)

( giờ).

Câu 26. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Áp suất không khí

(đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) tại

độ cao

(đo bằng mét) so với mực nước biển được tính theo công thức

P P e

 , trong đó

760

P  mmHg là áp suất không khí ở mức nước biển,

là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao

1000

mét thì áp suất không khí là

672,71

mmHg. Hỏi áp suất ở đỉnh Fanxipan cao mét là bao

nhiêu?

22,24

mmHg. B.

519,58

mmHg. C.

517,94

mmHg. D.

530,23

mmHg.

Chọn D.

theo công thức S(t)  Ae

, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S





là số lượng vi

khuẩn có sau

( phút), r là tỷ lệ tăng trưởng



r  0



( tính theo phút) là thời gian tăng

trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có

500

con và sau

giờ có

1500

con. Hỏi sao

bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt

121500

con?

Chọn C.

Ta có

A  1500

giờ =

300

phút.

giờ, số vi khuẩn là S



300



 500e

300r

1500

Gọi t

( phút) là khoảng thời gian, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt

121500

con. Ta có

121500  500e

 

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

104 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Ở độ cao

1000

mét áp suất không khí là 672,71 mmHg

Nên

1000

672,71 760

e

1000

672,71

760

e 

1 672,71

1000 760

l 

Áp suất ở đỉnh Fanxipan

1 672,71

3143. ln

3143

1000 760

760 760 717,94

P e e  

Câu 27. (PHẠM VĂN ĐỒNG) Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp R.Clausius và

E.Clapeyron đã thấy rằng áp suất p của hơi nước (tính bằng mmHg) gây ra khi nó chiếm

khoảng trống phía trên mặt nước chứa trong một bình kín (hình bên) được tính theo công thức

273

.10

p a



 , trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Biết 2258,624k  

và khi nhiệt độ của nước là 100

C thì áp suất của hơi nước là 760mmHg, tính áp suất của hơi

nước khi nhiệt độ của nước là

40 C

(tính chính xác đến hàng phần chục)?

A. 50,5mmHg . B. 52,5mmHg . C. 55,5mmHg . D. 60,5mmHg .

Câu 28. (PHẠM VĂN ĐỒNG) Số nguyên tố dạng 2 1,

M   trong đó p là một số nguyên tố được

gọi là số nguyên tố Mec-xen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp). Năm 1876, E.Lucas phát

hiện ra

127

M . Hỏi nếu viết

127

M trong hệ thập phân thì

127

M có bao nhiêu chữ số?

A. 38. B. 39. C. 40. D. 41 .

Câu 29. (PHẢ LẠI) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức

S Ae , trong đó A là

số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (

0r 

là thời gian tăng trưởng. Biết rằng

số lượng vi khuẩn ban đầu là

100

con và sau

giờ có

300

con. Hỏi sau bao lâu số lượng vi

khuẩn ban đầu tăng lên gấp

lần?

giờ

phút. B.

giờ

phút. C.

giờ

phút D.

giờ

phút

Câu 30. (LẠNG GIANG ) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức .

S Ae trong đó A

là số lượng vi khuẩn ban đầu,r là tỉ lệ tăng trưởng ( 0)r  ,

là thời gian tăng trưởng. Biết rằng

số lượng vi khuẩn ban đầu là

100

con và sau

giờ có

300

con. Khi đó sau thời gian bao lâu

thì số lượng vi khuẩn tăng gấp

lần so với số lượng ban đầu

log5

t  (giờ). B.

3ln5

ln10

t  (giờ). C.

log3

t  (giờ). D.

5ln3

ln10

t  (giờ).

Câu 31. (LÝ THÁI TỔ) Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của nước ta giảm x phần trăm diện tích

hiện có. Hỏi sau 4 năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu lần diện tích hiện nay?

1 .

100

 B.

1 .

100

 C.

1 .

100

 



 

 

1 .

100

 



 

 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi

S là diện tích rừng hiện tại.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 105 | THBTN

năm, diện tích rừng sẽ là

100

S S

 

 

 

 

Do đó, sau 4 năm diện tích rừng sẽ là

100

 



 

 

lần diện tích rừng hiện tại.

Câu 32. (CHUYÊN ĐHSP) Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan

món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt

thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ nhất xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì

gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ 2, … ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng

dành cho ô liền trước”. Giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô đầu tiên (từ

ô thứ nhất đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu là

A. 18. B. 19. C. 20. D. 21.

Chọn C.

Bài toán dùng tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.

Ta có:

2 1

1 2

2 1

... 1 1.2 1.2 ... 1.2 1. 2 1

2 1

n n

S u u u



           







6 6

2 1 10 log 10 1 19.93.

S n       Vậy n nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài là 20.

Câu 33. (CHUYÊN ĐHSP) Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng

850

. C.

800

. D.

900

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này.

Từ giả thiết ta có:

ln300 ln100 ln3

300 100.

5 5

e r



   

Tức tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là

ln3

r  mỗi giờ.

Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có

ln3

10.

100. 900



con.

dân số Việt Nam hàng năm là 1,2% và tỉ lệ này ổn định trong 10 năm liên tiếp thì ngày

1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người?

A. 106,3 triệu người. B. 104,3 triệu người. C. 105,3 triệu người. D. 103,3 triệu người.

Chọn D.

Ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng A.e

r.t

 91,7.e

1,2.10

103,39.

Câu 34. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S  A.e

trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng,

là thời gian tăng trưởng. Biết

rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là

100

con và sau

giờ có

300

con. Hỏi số con vi khuẩn sau

giờ ?

1000

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

106 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 35. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh sôi

phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín

mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo

tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi.

12 log5



(giờ). B.

(giờ). C.

12 log2



(giờ). D.

12 ln5



(giờ).

Giải

Chọn A.

Ta gọi

là số lá bèo ở giờ thứ

Ta có

0 2 12

0 1 2 12

1 10 , 10, 10 ,....., 10 .

u u u u    

Ta có số lá bèo để phủ kín

mặt hồ là

.10



thời gian mà số lá bèo phủ kín

mặt hồ là

12 log5.



Câu 36. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Số nguyên tố dạng

2 1

 

, trong đó

là một số nguyên tố,

được gọi là số nguyên tố Mec-xen (M.Mersenne, 1588 – 1648, người Pháp). Số

6972593

M được

phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?

6972592

chữ số. B.

2098961

chữ số. C.

6972593

chữ số. D.

2098960

chữ số.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

6973593

M có số chữ số bằng số

26972593

và là









6973593.log2 1 6972593.0,3010 1 2098960

    số.

Câu 37. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm

có công suất

truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm

cách

một khoảng

được tính bởi

công thức

log

(Ben) với

là hằng số. Biết điểm

thuộc đoạn thẳng

và mức

cường độ âm tại

và

lần lượt là



L (Ben) và



L (Ben). Tính mức cường độ âm tại

trung điểm

(làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy).

3,59

(Ben). B.

3,06

(Ben). C.

3,69

(Ben). D.

(Ben).

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:   

A B

L L OA OB

Gọi

là trung điểm

. Ta có:

2 2

log 10

    

k k k

L OA

OA OA

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 107 | THBTN

2 2

log 10

    

k k k

L OB

OB OB

2 2

log 10

    

k k k

L OI

OI OI

Ta có:

 

 

OI OA OB

1 1 1 1 1

2 2

10 10 10 10 10 10

   

     

   

   

I A B I A B

L L L L L L

k k k

1 1 1

2log

10 10

 

 

   

 

 

 

 

 

A B

L L

3,69

 

L .

Câu 38. (LẠNG GIANG) Một lon nước soda



được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại



. Nhiệt độ của soda ở phút thứ

được tính theo định luật Newton bởi công thức

( ) 32 48.(0.9)

T t   . Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là



1,56.

9,3.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

 Gọi

là thời điểm nhiệt độ lon nước





 

32 48. 0,9 80

T t

  

(1)

Gọi

là thời điểm nhiệt độ lon nước





 

32 48. 0,9 50

T t

  

(2)

 (1) 

 

0,9 1







(2) 

 

0,9





1 0,9

log 9,3

t  

Câu 39. (TT DIỆU HIỀN) Trung tâm luyện thi Đại học Diệu Hiền muốn gửi số tiền

vào ngân hàng

và dùng số tiền thu được (cả lãi và tiền gốc) để trao

suất học bổng hằng tháng cho học sinh

nghèo ở TP. Cần Thơ, mỗi suất

triệu đồng. Biết lãi suất ngân hàng là

tháng

, và Trung

tâm Diệu Hiền bắt đầu trao học bổng sau một tháng gửi tiền. Để đủ tiền trao học bổng cho học

sinh trong

tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền

ít nhất là:

108500000

đồng. B.

119100000

đồng. C.

94800000

đồng. D.

120000000

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi

(triệu). Lãi suất là

Số tiền sau tháng thứ nhất và đã phát học bổng là





1 10

M a

 

Số tiền sau tháng thứ hai và đã phát học bổng là

 





     

1 10 1 10 1 10 1 10

M a a M a a

        

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

108 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Số tiền sau tháng thứ ba và đã phát học bổng là

   





       

2 3 2

1 10 1 10 1 10 1 10 1 1 1

M a a a M a a a

 

            

 

……………………………………….

Số tiền sau tháng thứ

và đã phát học bổng là

       

 

10 9 10

1 1

1 10 1 ..... 1 1 1 10.

M a a a M a

 

 

         

 

Theo yêu cầu đề bài

 

10 1 1

1 1

1 10. 0

M a M

a a

 

 

 

    



Thay



. Ta tìm được

94713045 94800000

 

Câu 40. (TT DIỆU HIỀN) Cường độ của một trận động đất được đo bằng độ Richter. Độ Richter được

tính bằng công thức

log log

M A A

  , trong đó

là biên độ rung tối đa đo được bằng địa

chấn kế và là biên độ chuẩn (hằng số). Vào ngày

3 12 2016

 

, một trận động đất cường độ

2,4

độ Richter xảy ra ở khu vực huyện Bắc Trà My, tỉnh Quảng Nam; còn ngày

16 10 2016

 

xảy ra một trận động đất cường độ

3,1

độ Richter ở khu vực huyện Phước Sơn, tỉnh Quảng

Nam. Biết rằng biên độ chuẩn được dùng chung cho cả tỉnh Quảng Nam, hỏi biên độ tối đa của

trận động đất Phước Sơn ngày

16 10



gấp khoảng mấy lần biên độ tối đa của trận động đất

Bắc Trà My ngày

3 12?



lần. B.

lần. C.

lần. D.

lần.

Hướng dẫn giải

Gọi

là biên độ rung tối đa ở Phước Sơn.

Gọi

là biên độ rung tối đa ở Trà My.





1 1 0

log log 3,1 1

M A A   .





2 2 0

log log 2,4 2

M A A   .

Lấy









1 2

 :

0,7

2 2

1 2

1 1

log log 0,7 log 0,7 10

A A

     

Vậy đáp án B.

Câu 41. (NGUYỄN TRÃI) Biết rằng năm

2001

, dân số Việt Nam là

78.685.800

người và tỉ lệ tăng

dân số năm đó là

1,7%

. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức

S A e

 (trong

đó

: là dân số của năm lấy làm mốc tính,

là dân số sau

năm,

là tỉ lệ tăng dân số hàng

năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức

150

triệu người?

2035

. B.

2030

. C.

2038

. D.

2042

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 109 | THBTN

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Theo giả thiết ta có phương trình

0.017

150.000.000 78.685.800. 37.95

e N   (năm)

Tức là đến năm

2038

dân số nước ta ở mức

150

triệu người.

Câu 42. (Lê Hồng Phong) Huyện A có

300

nghìn người. Với mức tăng dân số bình quân 1,2% /năm

thì sau n năm dân số sẽ vượt lên

330

nghìn người. Hỏi n nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A. 8 năm. B. 9 năm. C. 7 năm. D. 10 năm.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Số dân của huyện A sau n năm là

 

300.000 1 0,012

x   .

330.000x  

 

300.000 1 0,012 330.000

 



1,012

log

n  7,99n  .

Câu 43. (ĐẠI HỌC VINH) Các khí thải gây hiệu ứng nhà

A. 9,3 C . B. 7,6 C . C. 6,7 C . D. 8,4 C .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Theo đề bài ta có:

 

. 3%

k.a 10%

k a















. Cần tìm

thỏa mãn . 20%

k a  .

Từ

 

1 k

  và

a  . Khi đó . 20%

k a 

3% 20

. 20%

t t

a a



   

2 log

t   6,7t  .

Câu 44. (CHUYÊN BẮC GIANG) Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức

 

m t m

 



 

 

, trong đó

m là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm 0t  ),

 

m t

kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên.

Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế

thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá

trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng

khi nhiệt độ trái đất tăng thêm

2C

thì tổng giá trị

kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất

tăng thêm

5C

thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu

giảm

10%

Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm

tC

, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f





% thì

f (t)  k.a

(trong đó a,k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì

tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm

20%

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

110 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm

và

là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để

một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Biết chu kì bán rã của chất

phóng xạ

210

là

138

ngày đêm. Hỏi

0,168

gam

210

414

ngày đêm sẽ còn lại bao

nhiêu gam?

0,021

. B.

0,056

. C.

0,045

. D.

0,102

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Với

414



138



0,168

m g

 .

Áp dụng công thức ta được

 

414

138

414 0,168. 0,021

 

 

 

 

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 111 | THBTN

Chủ đề 5. BÀI TOÁN TỐI ƯU CHI PHÍ SẢN XUẤT

Câu 1. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một công ty kinh doanh nghiên cứu thị trường trước khi tung ra sản

phẩm và nhận thấy để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại và thì mất lần lượt là

và . Nếu sản xuất được sản phẩm loại và sản phẩm loại

thì lợi nhuận mà công ty thu được là . Giả sử chi phí để sản xuất hai

loại sản phẩm là . Gọi lần lượt là số phẩm loại

, A B

để lợi nhuận lớn

nhất. Tính

2 2

0 0

.x y

A. . B.

100

. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có



 

20 2 y y y . Tập xác định

 

0;10D  .

   

1 1

3 2 2

2 1

20 2 20 2

3 2





    y y y y y

   

3 2

2 1

20 2 20 2

3 2

y y y y



 

    

 

 

 

3 2

20 2 10

y y y



 

   

 

 

 





 



 



y D

Nhận xét:

 

2 1

3 2

20 2 0y y



  nên dấu của



y là dấu của biểu thức

y 

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất khi

6 8y x  

Vậy

2 2 2 2

0 0

6 8 100x y    .

Câu 2. (CHUYÊN LAM SƠN) Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể

hiện trên hình vẽ 2 (hình chiếu bằng và hình chiếu đứng).

2000 USD

4000 USD

 

, 8000

USD

L x y x y

A B

40000 USD

0 0

x y

8119

3637

17319

Ổ

NG ÔN:

BÀI TOÁN TH

Ự

C TI

Ễ

Chọn B .

Gọi

x, y

lần lượt là số phẩm loại

A, B

Theo đề bài ta có:

x.2000  y.4000  40000  x  2y  20  x  20  2y

L  8000



20 2y

Xét hàm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

112 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ

bề mặt cần số

tiền

150000

đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ

10000

chi tiết máy là bao nhiêu? (làm

tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng).

48238

(nghìn đồng). B.

51238

(nghìn đồng).

51239

(nghìn đồng). D.

37102

(nghìn đồng).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi

1 2

S S

lần lượt là diện tích nửa hình trụ trong và ngoài của chi tiết.

3 4

S S

là diện tích hình

vành khăn và diện tích bề mặt trước của chi tiết. Ta có:

1 1 2 2

.3.10 30 , .5.10 50

S R l S R l

     

      ,

2 2

3 2 1

S R R

  

   ,

2.10.2 40

 

Khi đó, diện tích bề mặt của một chi tiết máy là





96 40

S cm



 

Số tiền nhỏ nhất cần dùng để mạ

10000

chi tiết máy là:

96 40

150000 10000 51238934

10000





   ( đồng).

Câu 3. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một công ty bất động sản có

150

căn hộ cho thuê, biết rằng nếu cho

thuê mỗi căn hộ với giá

triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần

Hình v

ẽ

Hình v

ẽ

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 113 | THBTN

tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100.00 đồng mỗi tháng thì có thêm 5 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi

muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu đồng một tháng?

2.500.000

đồng. B.

2.600.000

đồng

2.450.000

đồng. D.

2.250.000

đồng.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Số tiền thuê căn hộ:

  

150 5 2.000.000 100.000y x x   ,(

x N

1.000.000 5.000.000 0 5y x x



     

Vậy

max

2.500.000 5y x  

Câu 4. (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có hình dạng và kích thước

A. 35279 đồng. B. 38905 đồng.

C. 42116 đồng. D. 31835 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao

80 cmh 

đáy là đường tròn

tâm

, bán kính bằng

30 cm

. Mặt phẳng

 



cách mặt đáy

80 cm

cắt hình nón theo giao tuyến là đường tròn tâm

có bán

kính bằng

20 cm

. Mặt phẳng

 



chia hình nón thành 2 phần. Phần I là phần chứa đỉnh A ,

phần II là phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ)

giống như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính

20 cm

, miệng xô là đường tròn

bán kính

30 cm

, chiều cao xô là

80 cm

. Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao

nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là

20000

đồng/1 m

(số tiền được làm tròn đến đơn vị

đồng)?

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

114 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Ta có

' ' ' 2

' 160 cm

' ' 3

O B AO AO

OC AO AO O O

    



Thể tích hình nón

2 3

. .30 72000 cm

V AO

 

 

Thể tích phần I là

2 3

1 64000

'. .20 cm

3 3

V AO

 

 

Vậy thể tích cái xô là thể tích phần II là

 

3 3

2 1

152000 19

cm m

3 375

V V V

 

   

Vậy số tiền phải trả là

.10.20000 31835

375



  đồng.

Câu 5. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà.

Ông muốn cái thang phải luôn được đặt qua vị trí C, biết rằng điểm C cao 2m so với nền nhà

và điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên).

Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 300.000 đồng/1 mét

dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất

thang? ( Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).

A. 2.350.000 đồng.

B. 3.125.000 đồng.

C. 1.249.000 đồng.

D. 600.000 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt

BC x

Ta có :

BCE CDF 

BC CE x

CD DF CD

   



 

2 2 2

4x CD CD   .

4 2

x x

CD CD

   



Vậy chi phí sản xuất thang là :

 

.3.10

f x x

 

 

 



 

với

1x 

 

2 1

3.10 1

f x

 

 

 



 



 

 



 

 





3.10 1

 

 



 

 



 

 

0 1 2f x x



   

 

2 2

1 4 4 1x x      .

Hay

4 1x  

Khi đó chi phí sản xuất thang là 1.249.000 đồng .

2 m

ề

n nhà

Tư

ờ

ng nhà

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 115 | THBTN

Câu 6. (CHUYÊN SƠN LA) Số sản phẩm của một hãng đầu DVD sản suất được trong 1 ngày là giá

trị của hàm số:

2 1

3 3

( , ) .f m n m n , trong đó là m số lượng nhân viên và n là số lượng lao động

chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất

sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng.

Biết rằng mỗi ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là

USD và cho một lao động

chính là 24USD. Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất này.

720

USD. B.

600

USD. C.

560

USD. D.

1720

USD.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Vì mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất

sản phẩm nên

2 1

2 3

3 3

( , ) 40 . 40 . 40f m n m n m n     . Chi phí phải trả trong 1 ngày của hãng là

 

3 32 3

6 24 6 4 6 4 6.3. 4 18 . 18 40 18.40 720.

2 2 2 2

m m m m

m n m n n n m n

 

            

 

 

Câu 7. (QUẢNG XƯƠNG 1) Một xe buýt của hãng xe A có sức chứa tối đa là

hành khách. Nếu

một chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là

20 3

 



 

 

(nghìn

đồng). Khẳng định đúng là:

 

 

    

 

 

x x x

f x x. x

2 3

20 3 20 9

40 20 1600

(

 x0 50

)

   

 





 

     

 







 

x x

f x f x

3 3

20 9 0

10 1600

120

Vậy: một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng:

3.200.000

(đồng)

3200000

A. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất bằng

3.200.000

(đồng).

B. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất khi có

hành khách.

C. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất bằng

2.700.000

(đồng).

D. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất khi có

hành khách.

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Số tiền của chuyến xe buýt chở x hành khách là

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

116 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 8. (SỞ QUẢNG NINH) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức









0,024 30

G x x x

 

, trong đó

là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (

được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm

nhiều nhất.

mg. B.

0,5

mg. C.

2,8

mg D.

mg.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Bài toán đi tìm





0;30

x để





G x

đạt giá trị lớn nhất.

   

2 3

3 18

0,024 30

125 25

G x x x x x

    

 

9 36

125 25

G x x x



   

 

0;30

G x







 









Ta có:





20 96



;





30 0



;





0 0



Vậy





G x

đạt giá trị lớn nhất

khi

20.



Câu 9. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Mỗi chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Một

chuyến xe buýt chở

hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là

 



 

 





USD

. Khẳng

định nào sau đây đúng

A. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng

160





USD

B. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng

135





USD

C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.

D. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 45 hành khách.

Hướng dẫn giải

Chọn A .

Số tiền thu được là:

3 3

3 9 0 0 60

120

40 10 1600

x x

y x y x x





 



         

 





 



max

160 40

y x

   

Câu 10. (AN LÃO) Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ

với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho

thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập

cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng.

A. 2.225.000 B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 117 | THBTN

Câu 11. (LỤC NGẠN) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức

( ) 0,025 (30 )

G x x x

 

, trong đó

0(miligam)



là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân.

Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng:

. B.

. C.

. D.Đáp án khác.

Câu 12. (CÔNG NHIỆP) Người ta tiến hành mạ vàng chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật có nắp.

Thể tích của hộp là

1000

, chiều cao của hộp là

. Biết rằng đơn giá mạ vàng là

10.000

đ/cm

. Gọi

(triệu đồng ) là tổng số tiền bỏ ra khi mạ vàng cả mặt bên trong và mặt

bên ngoài chiếc hộp. Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. 12 triệu. B. 6 triệu. C. 8 triệu. D. 4 triệu.



M x

với





T x

20.000

đồng. B.

22.000

đồng. C.

15.000

đồng. D.

10.000

đồng.

( ) 2000 100000000 100000000

( ) 2000

 

    

T x x x

M x x

x x x

(đồng).

Lại có

100000000 100000000

( ) 2000 2 . 2000 22000

     M x x x

x x

(đồng)

một chuyến xe buýt chở

hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là

 



 

 

(USD).

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có

hành khách.

B. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng

135

(USD).

C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có

hành khách.

D. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng

160

(USD).

Hướng dẫn giải

Chọn D

Số tiền thu được khi có x khách là

Câu 13. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công

nhân viên, giấy in…) được cho bởi C





 0,0001x

 0,2x 10000, C





được tính theo đơn

vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số









là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho

một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M





thấp

nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có T(x) =C(x).10000  4000x  x

 2000x 100000000(đồng).

Suy ra

Câu 14. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là

hành khách. Nếu

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

118 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

( ) 3

f x x

 

 

 

 

Ta có

1 3

'( ) 3 2. 3 3 3 3 3

40 40 40 40 40 20 40 40

x x x x x x x

f x x

         

          

         

         

120

'( ) 0 3 3 0

40 40

x x

f x





  

     

  





  



(40) 160

(60) 135



Vậy

[0;60]

max ( ) (40) 160

f x f



  .

Câu 15. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở

đến

một hòn đảo ở

như hình vẽ. Khoảng cách từ

đến

là

km. Bờ biển chạy thẳng từ

đến

với khoảng cách là

km. Tổng chi phí lắp đặt cho

km dây điện trên biển là

triệu

đồng, còn trên đất liền là

triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc

trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

106,25

triệu đồng. B.

120

triệu đồng.

164,92

triệu đồng. D.

114,64

triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

là điểm trên đoạn

để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm

Đặt

 

 

4 1 4 17 8 , 0;4

           BM x AM x CM x x x x

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là :

.20 40 8 17

   

y x x x

đơn vị là triệu đồng.

 

2 2

8 17 2 4

20 40. 20.

8 17 8 17

   





  

   

x x x

x x x x

 

12 3

0 8 17 2 4





       y x x x x

Ta có

   

12 3

80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120

 



     

 

 

y y y .

Vậy ta chọn đáp án D.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 119 | THBTN

Câu 16. (LẠNG GIANG) Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi

căn hộ với giá

2000000

đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng

giá cho thuê mỗi căn hộ thêm

50000

đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công

ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể

đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu?

115 250 000

. B.

101 250 000

. C.

100 000 000

. D.

100 250 000

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi

(đồng/tháng)







là giá cho thuê mới.



Số căn hộ bị bỏ trống là

50 000

căn hộ



Số tiền công ty thuê được

   

2 000 000 50

50 000

T x x

 





  









 

Khảo sát hàm số





T x

trên









 

25 000

T x



 







T x







250 000



Bảng biến thiên

250.000







T x







T x

101 250 000

Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là:

101 250 000



Câu 17. (SỞ VĨNH PHÚC) Số sản phẩm của một hãng đầu DVD sản xuất được trong 1 ngày là giá trị của

hàm số:

 

2 1

3 3

, .

f m n m n

 , trong đó

là số lượng nhân viên và

là số lượng lao động chính.

Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất

sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng. Biết

rằng mỗi ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là

USD

và cho một lao động chính

là

USD

. Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất này.

1720

USD

. B.

720

USD

. C.

560

USD

. D.

600

USD

Hướng dẫn giải

Chọn B.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

120 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Ta có giả thiết:

2 1

3 3

. 40

m n



64000

m n  với ,m n





Tổng số tiền phải chi trong một ngày là:

3 2

6 24 3 3 24 3 216 720

m n m m n m n     

Dấu

" "



xảy ra khi và chỉ khi

3 24

m n



m n

 

Do đó,

64000

m n 

64 64000

n 

 

Ta chọn

10 80

n m

  

Vậy chi phí thấp nhất để trả cho 80 nhân viên và 10 lao động chính để sản xuất đạt yêu cầu là

720

USD

Câu 18. (SỞ HÀ NỘI) Một công ti dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có

dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí đề làm mặt xung quanh của thùng đó là 100,000 đ/

, chi phí

để làm mặt đáy là 120 000 đ/

Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất (giả sử

chi phí cho các mối nối không đáng kể).

A. 57582 thùng. B. 58135 thùng. C. 18209 thùng. D. 12525 thùng.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi chiều cao hình trụ là





h h



(m).

Bán kính đáy hình trụ là





x x



(m).

Thể tích khối trụ là :

5 5

1000 1000

V x h h



    (m).

Diện tích mặt xung quanh là :

100

S xh



  .

Diện tích hai đáy là :

S x





Số tiền cần thiết để sản xuất một thùng sơn là :

   

1000

240000 0

f x x x



  

Ta có :

   

1000 1

480000 0

480

f x x f x x





 

     

Bảng biến thiên:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 121 | THBTN

Vậy với số tiền

tỉ đồng thì công ty có thể sản xuất tối đa là :

58135

17201.05

 thùng.

Câu 19. (TT DIỆU HIỀN) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức









0,025 30

G x x x

 

. Trong đó

là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (đơn vị

miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

















2 2

0,025 30 0,025 3 60

G x x x G x x x



     

 

G x







 







. Khi đó









[0;30]

min 20 100

G x G



  .

Câu 20. (TT DIỆU HIỀN) Một hộ kinh doanh có

phòng cho thuê. Nếu cho thuê mỗi phòng với giá

là

triệu đồng/

tháng thì các phòng đều được thuê hết. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng thêm

100.000

đồng/tháng, thì sẽ có

phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh nên tăng mỗi phòng

bao nhiêu để có tổng thu nhập mỗi tháng cao nhất?

500.000

. B.

200.000

. C.

300.000

. D.

250.000

Hướng dẫn giải

Tổng số tiền khi không tăng là:

50.2 100

T   triệu.

Tổng số tiền khi tăng lên

100.000

đồng/tháng là

 

48.2 48.0,1 50 2.1 . 2

 

    

 

 

Tổng số tiền khi tăng lên

200.000

đồng/tháng là

 

46.2 46.0,2 50 2.2 2

 

    

 

 

Tổng số tiền khi tăng lên

300.000

đồng/tháng là

 

44.2 44.0,3 50 2.3 2

 

    

 

 

Tổng số tiền khi tăng lên

00.000

đồng/tháng là

 

46.2 46.0,k 50 2 2

T k

 

    

 

 

Xét hàm số

   

50 2 2

f x x

 

  

 

 

480







–



17201.05



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

122 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi:



Vậy đáp án D.

Câu 21. (AN LÃO) Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán

cho mỗi cốc cà phê. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá

20.000

đồng

một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được

2000

cốc, còn từ mức giá

20.000

đồng mà cứ

tăng giá thêm

1000

đồng thì sẽ bán ít đi

100

cốc. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc

cà phê không thay đổi là

18.000

đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu

để đạt lợi nhuận lớn nhất?

25.000

đồng. B.

22.000

đồng. C.

31.000

đồng. D.

29.000

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Cách 1: Gọi số tiền tăng là

( nghìn đồng)

Lợi nhuận thu được tính theo hàm số sau:













( ) 20 2 0,1 18 2 0,1

f x x x x

    

(2 0,1 )(2 )

x x

  

 

121 121

0,1 1,8 4 0,1 9

10 10

x x x         .

Vậy lợi nhuận cao nhất là

121

1000 12.100.000

  (đồng) khi bán với giá

20000 9 1000 29.000

  

(đồng)

Cách 2: + Gọi

( 20.000)

x x



là giá một cốc cà phê,

(0 2.000)

 

là số cốc cà phê bán trong

một tháng.

+ Vì nếu bán với giá 20.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn

từ mức giá 20.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc nên ta có

20000 21000 20000

2000 1900 2000

 



 

20000

10 40000 10

2000

x y



     



+ Ta lại có lợi nhuận là:





18000 40000 10 18000 22000 10

L xy y y y y y y

      

22000 20

L y



 

;

0 1100( ) 29.000( )

L y tm x tm



    

Cách 3: Thử từng giá trị.

Câu 22. (NGÔ QUYỀN) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá

30.000

đồng

một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình

3000

chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế

hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy

rằng nếu từ mức giá

30.000

đồng mà cứ tăng giá thêm

1000

đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn

100

chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là

18.000

. Hỏi cơ sở sản xuất phải

bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

42.000

đồng. B.

40.000

đồng. C.

43.000

đồng. D.

39.000

đồng.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 123 | THBTN

thể tích bằng

500

B. 90 triệu đồng. C. 75 triệu đồng. D. 86 triệu đồng.

cao bể. Bể có thể tích bằng

3 2

500 500 250

2 .

3 3 3

m x h h

   

Diện tích cần xây là:

 

2 2 2

250 500

2 2 2 6 2 2 .

S xh xh x x x x

x x

      

Xét hàm

     

500 500

2 , 0 4 0 5

S x x x S x x x

x x





        

Lập bảng biến thiên suy ra





min

5 150.

S S 

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng).

Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm

100

chiếc nên tăng x (nghìn đồng)

thì số xe khăn bán ra giảm

100x

chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là:

3000 100x

chiếc.

Lúc đầu bán với giá

(nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá,

mỗi chiếc khăn thu được số lãi là:

12  x

(nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu

được sau khi tăng giá là: f









3000100x



12  x



(nghìn đồng).

Xét hàm số f









3000100x



12  x



trên



0;



Ta có: f





 100x

1800x  36000  100



x  9



 44100  44100 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x  9

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là

9.000

đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là

39.000

đồng.

Câu 23. (NGUYỄN TRÃI) Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có

. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân

công để xây bể là

600.000

đồng/m

. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân

công thấp nhất. Chi phí đó là

A. 85 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: dùng phương pháp hàm số.

Gọi x





là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x





và h





là chiều

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

124 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng

min

150.

S 

Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là:

150.600000 90000000



đồng.

Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy.

2 2 2

500 250 250 250 250

2 2 . .2 5

1 0

S x x x

x x x x x

     .

Câu 24. (NGUYỄN TRÃI) Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi

tháng là

2.000.000

/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên

200.000

/ 1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là

bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

2.600.000

. B.

2.400.000

. C.

2.000.000

. D.

2.200.000

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi





,n n



là số lần tăng giá thêm

200.000

Hàm số chỉ thu nhập của tháng là:













2000000 .200000 32 .2

f n n n

  

400000 2400000 64000000

n n   

là hàm bậc 2 theo

, có hệ số



Vậy





f n

đạt giá trị lớn nhất khi

 

2400000

2 2. 400000



   



Kiểm tra lại, ta thấy





 

   

* 3 67.600.000

3 0

* 0 64.000.000

f f

 



 









Vậy chủ hộ sẽ cho thuê với giá

2.000.000 3 200.000 2.600.000



 

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 125 | THBTN

Chủ đề 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ MIN MAX

Câu 1. (CHUYÊN LAM SƠN) Người ta dự định thiết kế một cống ngầm thoát nước qua đường có

chiều dài

30 m

, thiết diện thẳng của cống có diện tích để thoát nước là

4m (gồm hai phần nửa

hình tròn và hình chữ nhật) như hình minh hoạ, phần đáy cống, thành cống và nắp cống (tô đậm

như hình vẽ) được sử dụng vật liệu bê tông. Tính bán kính R (tính gần đúng với đơn vị m , sai

số không quá

0,01

) của nửa hình tròn để khi thi công tốn ít vật liệu nhất?

1,15m

. B.

1,52m

1,02m

. D.

1,06m

Hướng dẫn giải

Chọn B

ta có

4 2

S Rh



  

1 2

2 2 4

R R

 

 

    

 

 

2 2 2

P R h R R



     







 

' 0

P R



  



Bán kính

 

1,52R m .

Câu 2. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình 1 và

9x cm

. B.

8x cm

6x cm

. D.

7x cm

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

2OM x AC x  

2AM x

Ổ

NG ÔN:

BÀI TOÁN TH

Ự

C TI

Ễ

xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình2 . Biết cạnh hình vuông

bằng

20cm

, OM  x





. Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn

nhất?

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

126 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Suy ra:

OH  ,

MH  , 10 2

SH   .

 

2 2

20 10

2 2 2

x x

SO SH OH x

   

      

   

   

 

2 2

1 1 20

. 20 10 .2 40 4 .

3 3 3

đáy

V SO S x x x x

    

 

20 20 40 4 20

40 4 . . . . .2

3 3 5 3

x x x x x

V x x x x

    

 

    

 

 

Dấu

" "



xảy ra khi

40 4 8

x x x

   

Câu 3. (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Người ta thiết kế một thùng chứa

hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của

vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3

lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí

cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là

và bán

kính đáy là

. Tính tỉ số

sao cho chi phí vật liệu sản xuất

thùng là nhỏ nhất?.



. B.

3 2

 .

 . D.



Hướng dẫn giải

Chọn D.

Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là



và giá cho mỗi đơn vị diện tích

bằng

Theo bài ta có

2 3

1 1

r r r

 

   .

Diện tích xung quanh của hình trụ là

1 2

2 . 2 .S r h r

r r

 



  

Diện tích mặt đáy

S r



 .

Suy ra giá vật liệu để làm hình trụ là

2 2

2 1 1

.1 3.1.2 6 3 12

f r r

r r r

  

      .

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 127 | THBTN

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 3

1 1

r r



   . Suy ra

1 1

r r



  

Câu 4. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một xưởng làm cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích

theo yêu cầu là

2000



lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng

bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?

m và

m. B.

dm và

dm. C.

m và

m. D.

dm và

dm.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi

R h

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng.

Gọi

, S

V lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của thùng.

2000





lít

2000 dm



 =

2 m



 .

2V R h h

 

   

2 2 2 2 2

2 2

2 2 = 2 2 = 2 2 2 . . 2

S R Rh R R R R R

R R R R R R

    

       

   

        

   

   

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì

nhỏ nhất

R R



   

 

Câu 5. (SỞ NAM ĐỊNH) Người ta định xây dựng một trạm biến áp

110

tại ô đất

cạnh đường

3 5

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi

AC x



Ta có:

MC x

 

;

12 9

CN x

  

Khi đó





12 9 36

BC x

   

Khi đó:

 





12 9 36

AC CB f x x x

      

Khảo sát





f x

ngắn nhất khi



Câu 6. (SỞ QUẢNG NAM) Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung

tích



. Tính bán kính đáy

của lọ để ít tốn nguyên liệu sản xuất lọ nhất

quốc lộ

để cấp điện cho hai khu công nghiệp A và B như hình vẽ.

Hai khu công nghiệp A và B cách quốc lộ lần lượt

là AM  3km, BN  6km. Biết rằng quốc lộ

có

độ dài

12km

. Hỏi phải đặt trạm biến áp cách khu

công nghiệp A bao nhiêu

để tổng chiều dài

đường dây cấp điện cho hai khu công nghiệp A và

B là ngắn nhất.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

128 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

A. 2

R cm



. B. 1,6

R cm



. C.

R cm





. D.

R cm



 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

 Ta có

16V R h h

 

    .

 Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất.

Ta có

2 2 2 2

32 16 16 16 16

2 2 2 2 3 2 . . 24

S R Rh R R R

R R R R R

    

     

         .

Dấu “



” xảy ra

 

2 2 cm

R R



    .

Câu 7. (SỞ THANH HÓA) Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

 trên đoạn

 

 

là

M 

trong đó

là các số tự nhiên. Tính

2nmS 

A. .135



S B. .24



S C. .22



S D. .32



Câu 8. (Lương Thế Vinh) Để làm một máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước

0,9 3

m m



người ta

gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới. Biết mặt cắt của máng xối (bị cắt bởi mặt phẳng song song

với hai mặt đáy) là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ có chiều cao bằng

chiều dài của tấm tôn. Hỏi





x m

bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất ?

0,5

x m



. B.

0,65

x m



. C.

0,4

x m



. D.

0,6

x m



Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Gọi

là chiều cao của lăng trụ

Vì chiều cao lăng trụ bằng chiều dài tấm tôn nên thể tích máng xối lớn nhất khi diện tích hình

thang cân (mặt cắt) lớn nhất

Ta có

 

0,3

S x 

0,9

0,3

(a) T

ấ

(b) Máng

ặ

t c

ắ

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 129 | THBTN

0.3m

 

0,3

BC x



 



  

ĐK:

 

0,3

0,3 0; 0,3 0,9



   

Khi đó:

     

2 2

0,3 4. 0,3 0,3

S x x   

Xét hàm số

         

2 2

0,3 4. 0,3 0,3 ; 0,3 0,9f x x x x     

       

 

   

2 2

2 0,3

4. 0,3 0,3 0,3

4. 0,3 0,3

f x x x

 



     

 

      

   

 

   

2 2

2 2 2 2

4. 0,3 0,3 0,3 0,3 0,36 2 0,3

4. 0,3 0,3 4. 0,3 0,3

x x x x x

x x

      

 

   

 

0,3

0 0,3 0,18 0

0,6

f x x x

 





      







0,3

0,6

0,9





f x







 

f x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

 

f x lớn nhất khi 0,6x 

Vậy thể tích máng xối lớn nhất khi 0,6x m .

Câu 9. (SỞ HẢI PHÒNG) Một sợi dây kim loại dài 0,9m được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất

được uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi

chiều rộng. Tìm độ dài cạnh của tam giác đều (tính theo đơn vị cm ) sao cho tổng diện tích của

tam giác và hình chữ nhật là nhỏ nhất.

2 3

. B.

3 2

. C.

1 3

. D.

240

3 8

Hướng dẫn giải

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

130 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chọn B.

Gọi

a b

lần lượt là độ dài cạnh tam giác đều và chiều rộng hình chữ nhật.

Khi đó

   

3 6 90

a b cm b cm



    .





2 2

2 3 120 1800

3 3 30

2 2

4 4 2 4

a a

a a a

S S S b



  



 

      

 

 



Để

nhỏ nhất thì

 





2 3 120 1800

f a a a    nhỏ nhất với





0;30

a .

 





2 2 3 120

f a a



   ,

   

0 0;30

2 3

f a a



   



Ta có





0 1800

f  ,





30 900 3

f  ,

3600 3 5400

2 3

 

 

 



 

Nên

 

0;30

min 3600 3 5400

2 3

f a f



 

  

 



 

Vậy

2 3







thì

nhỏ nhất.

Câu 10. (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật

(không nắp) bằng tôn thể tích

665,5

. Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh

( )

x dm

chiều cao

( )

h dm

. Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm

để

bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất.

10,5( )

. B.

12( )

11( )

. D.

9( )

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có thể tích hình hộp là:

665,5

665,5V x h h

   

Diện tích toàn phần là

2 2

2662 2662

4 ' 2S x xh x S x

x x

       ;

' 0 11

S x

  

Lập bảng biến thiên ta thấy khi



thì S đạt giá trị nhỏ nhất

Vậy để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì bác thợ xây phải cắt một miếng tôn có đáy là hình vuông

cạnh

11( )

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 131 | THBTN

Câu 11. (TAM QUAN) Cho cố định một khối

nón, một khối trụ nội tiếp trong khối

nón theo quy cách: một mặt đáy của

khối trụ nằm trên mặt đáy khối nón, mặt

đáy còn lại của khối trụ nằm trên mặt

nón của khối nón. Xác định tỉ số bán

kính đáy của 2 khối để thể tích khối trụ

là lớn nhất

r R . B.

r  . C.

R r



 . D.

R r



 .

Câu 12. (KIM LIÊN) Khi một kim loại được làm nóng đến

600 C , độ bền kéo của nó giảm đi

50%

615.

610.

620.

605.

ra một hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất có thể có của miếng

tôn hình chữ nhật là:

A. 6

B. 6 2

C. 7 D. 9

Câu 15. (SỞ HẢI PHÒNG) Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có

đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón

đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều cao của khối nón

này bằng bao nhiêu?

Sau khi kim loại vượt qua ngưỡng 600

C , nếu kim loại tăng thêm 5

C thì độ bền kéo của nó

giảm đi

35%

hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo là 280M Pa dưới 600

C và được sử

dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật

liệu này là 38M Pa , thì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ

Celsius?

Câu 13. (SỞ HẢI PHÒNG) Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để

đựng sữa với thể tích

1dm

. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ

nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được

nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?

A. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy

B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy

C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy

D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy

Câu 14. (SỞ HẢI PHÒNG) Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R  3, người ta muốn cắt

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

132 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 16.

(NINH GIANG) Một sợi dây thép có chiều dài là

, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất

được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai được uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của

cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất

9 4 3



. B.

24 3

4 3



. C.

18 3

4 3



. D.

4 3



Câu 17. (HÀ HUY TẬP) Một khúc gỗ có dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình thang cân, đáy nhỏ

bằng

, đáy lớn bằng

, cạnh bên bằng

; có chiều cao bằng

2 3

. Người ta chế tác

khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình trụ (hình vẽ dưới đây). Thể tích

lớn nhất của

khúc gỗ sau khi được chế tác là bao nhiêu?

4 3



 . B.

2 3



 . C.

4 3

V a





. D.

2 3

V a





Câu 18. (HÀ HUY TẬP) Cho hình nón có bán kính

, chiều cao

nội tiếp mặt cầu bán kính



Xác định

x y

sao cho khối nón có thể tích lớn nhất? (Xem hình vẽ bên)

2 2 4

3 3

a a

x y  . B.

x y

 

2 2

3 3

a a

x y  . D.

x y  .

Câu 19. (HẢI HẬU) Có hai cây cột dựng đứng trên mặt đất lần lượt cao

và

, đỉnh của

cây cột cách nhau

. Người ta chọn một vị trí trên mặt đất giữa hai cây cột để

giăng dây nối đến hai đỉnh cột như hình bên dưới sao cho đoạn dây nối ngắn

nhất. Tính độ dài dây ngắn nhất đó.

. B.

. D.

2a 3

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 133 | THBTN

Câu 20. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Một màn ảnh hình chữ nhật cao

1,4

được đặt ở độ cao

1,8

so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao

cho góc nhìn lớn nhất. Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh.

1,8

. B.

1,4

. C.

193

. D.

2,4

Câu 21. (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu

là mảnh tôn hình tam giác đều

ABC

có cạnh bằng





. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ

nhật

MNPQ

từ mảnh tôn nguyên liệu (với

thuộc cạnh

;

và

tương ứng thuộc

cạnh

và

) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng

. Thể tích lớn nhất của chiếc

thùng mà bạn A có thể làm được là:

 

91125



 

91125



 

108000 3



 

13500. 3



HD: Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN

Đặt MN=x (

0 90

 

);

(90 )

MQ BM

MQ x

AI BI

    

Gọi R là bán kính của trụ



 

2 3 2

3 3

( ) (90 ) ( 90 )

2 2 8

V x x x



 

     

Xét

3 2

( ) ( 90 )

f x x x



   với

0 90

 

. Khi đó:

(0;90)

13500. 3

max ( )

f x





 khi x= 60.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

134 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Câu 22. (QUẢNG XƯƠNG ) Khi cắt mặt cầu

 

, S O R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và

hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp

nửa mặt cầu

 

, S O R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường

tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết 1R  , tính bán kính đáy r và

chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu

 

, S O R để khối trụ có thể tích lớn nhất.

3 6

2 2

r h 

. B.

6 3

2 2

r h 

. C.

6 3

3 3

r h 

. D.

3 6

3 3

r h 

Chọn C.

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O

xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới

hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có:

2 2 2

h r R 

 

0 1h R  

2 2

1r h  

Thể tích khối trụ là:

2 2

(1 h )h (h)V r h f

 

   

'(h) (1 3h ) 0 h



     

f'(h)

+ 0



f(h)

2 3



Vậy:





0;1

2 3

MaxV



 (đvtt) khi

r  và

h 

Câu 23. (SỞ BẮC NINH) Một công ty chuyên sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong

dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp, có thể tích là

62,5dm . Để tiết kiệm vật liệu làm

thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho tổng S của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy

là nhỏ nhất, S bằng

106,25dm B.

75dm C.

50 5dm

125dm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 135 | THBTN

Hướng dẫn giải

Gọi

là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ.

Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là

62,5

. Suy ra

2 2 2 2

62.5 250 125 125 125 125

4. . 3 . . 75

S a a a a a

a a a a a a

        

. Dấu bằng xảy ra khi

125 5

 

. Vậy

là nhỏ nhất bằng

Câu 24. (SỞ BẮC NINH) Cho một hình nón





có đáy là hình tròn tâm

đường kính

và đường

cao

SO a



Cho điểm

thay đổi trên đoạn thẳng

Mặt phẳng





vuông góc với

tại

và cắt hình nón theo đường tròn





. Khối nón có đỉnh là

và đáy là hình tròn





có

thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?



. B.



. C.



. D.







2 2 3 2

1 1 1

. . . . . ( )

3 3 3

V IC OI x a x x ax

  

     

 





' . . 3 2

V x x ax



  

;

 

' 0 .

V x







 







Bảng biến thiên:





V x



Hướng dẫn giải

Gọi







là mặt phẳng qua trục của hình nón





cắt hình nón





theo thiết là tam giác SAB,

cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn





theo thiết diện là tam giác SCD, gọi I là giao

điểm của SO và CD.

Ta có: AB  2a  OA  a  SO

Do đó tam giác SOA vuông cân tại S suy ra tam giác SIC vuông cân tại I .

Đặt

SI  AC  x (0  x  a)  OI  a  x

Thể tích khối nón có đỉnh là O

và đáy là hình tròn





là:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

136 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

0 0

Chọn đáp án B

Câu 25. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Bạn A có một đoạn dây dài

20m

. Bạn chia đoạn dây thành hai

phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ

dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất?

9 4 3



180

9 4 3



120

9 4 3



9 4 3



Chọn B.

Bạn A chia sợi dây thành hai phần có độ dài

 

x m và

 

20 x m , 0 20x  (như hình vẽ).

Phần đầu uốn thành tam giác đều có cạnh

 

, diện tích

 

3 3

3 4 36

x x

S m

 

 

 

 

Phần còn lại uốn thành hình vuông có cạnh

 



, diện tích

 

S m



 



 

 

Tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi

 

3 20

36 4

x x

f x



 

 

 

 

nhỏ nhất trên khoảng

 

0;20 .

Ta có:

 

3 20 180

' 0

18 8

4 3 9

x x

f x x



    



Bảng biến thiên:

180

4 3 9







f x





0 +

 

f x

Dựa vào bảng biến thiên ta được

180

4 3 9

x 



Câu 26. (HỒNG QUANG) Trong hội trại kỉ niệm ngày thành lập Đoàn thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh

26/3, ban tổ chức phát cho mỗi lớp 1 đoạn dây dài 18 m không co dãn để khoanh trên một khoảng

đất trống một hình chữ nhật có các cạnh là các đoạn của sợi dây đó. Phần đất để dựng trại chính là

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 137 | THBTN

b dm

a dm

3 dm

hình chữ nhật được tạo thành. Hỏi, diện tích lớn nhất có thể của phần đất dựng trại là bao nhiêu mét

vuông?

18 m B.

20,25 m . C.

81 m D.

9 m

Câu 27. (NGÔ SĨ LIÊN) Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ

5km

, trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí

cách B một

khoảng

7km

. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A

đến M trên bờ biển với vận tốc

4 /km h

rồi đi bộ từ M đến

với vận tốc

6 /km h

. Xác định độ dài đoạn BM để người

đó đi từ A đến C nhanh nhất.

A. 3 2 .km B.

km C. 2 5 km. D.

Chọn C.

Gọi BM x

 

km , 0 7x  . Khi đó:

25AM x  và 7MC x 

Theo đề bài ta có:

 

25 7

4 6

x x

f x

 

 

 

3 2 25

4 25

x x

f x

 







Cho

 

0 2 25 3 2 5

2 5

f x x x x









       

 



 





Khi đó:

 

f 

 

f  và

 

14 5

2 5





Vậy

 

 

0;7

14 5

min 2 5

f x f





  .

Câu 28. (CHUYÊN KHTN) Tại Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính

không có nắp với thể tích

72dm và chiều cao là

3 .dm

Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa,

chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước

, a b (đơn vị dm) như hình vẽ.

Tính , a b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính

cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như

nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.

A. 24, 24.a b  B. 3, 8.a b  C. 3 2, 4 2.a b  D. 4, 6.a b 

Chọn D.

Có:

72 3. 72V ab a

     (1)

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

138 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Bể cá tốn ít nguyên liệu nhất nghĩa là diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Ta có diện tích toàn phần của bể cá là:

216

3.3 2. 3 6 24

S a ab b b

     

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

216 216

6 24 2 .6 24 96

S b b

b b

     

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

 

216

6 6 0b b b

    . Từ (1), ta suy ra:

4a 

Câu 29. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Nhà Văn hóa Thanh niên của thành phố X muốn

trang trí đèn dây led gần cổng để đón xuân Đinh Dậu 2017 nên đã nhờ bạn Na đến giúp.

Ban giám đốc Nhà Văn hóa Thanh niên chỉ cho bạn Na biết chỗ chuẩn bị trang trí đã có

hai trụ đèn cao áp mạ kẽm đặt cố định ở vị trí A và B có độ cao lần lượt là

10m

và

30 ,m khoảng cách giữa hai trụ đèn

24m

và cũng yêu cầu bạn Na chọn

một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân trụ đèn để giăng

đèn dây Led nối đến hai đỉnh

và D của trụ đèn (như hình vẽ). Hỏi

bạn Na phải đặt chốt ở vị trí cách trụ đèn B trên mặt đất là bao nhiêu để

tổng độ dài của hai sợi dây đèn led ngắn nhất.

20 .m

6 .m

18 .m

12 .m

Chọn C.

Gọi E là điểm đối xứng của

qua AB .

Gọi M DE AB  , khi đó bạn Na đặt chốt ở vị trí

M thì tổng độ dài hai sợi dây đèn led ngắn nhất.

Ta có

AE MA

MB MA

BD MB

    ,

mà 24MB MA AB   , suy ra

6MA 

và

18MB 

Câu 30. (LÝ THÁI TỔ) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy

với dung tích

1000cm . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất

bằng

500



cm . B.

10.



cm . C.

500



cm . D.

10.



cm .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

 

cm là chiều cao hình trụ và R

 

cm là bán kính nắp đậy.

Ta có:

1000V R h



  . Suy ra

1000



 .

Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần

của hình trụ nhỏ nhất.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 139 | THBTN



Ta có:

2 2

1000

2 2 2 2 .

S R Rh R R

   



   

2 2 2

1000 1000 1000 1000

2 3. 2 . . 3 2 .1000

R R

R R R R

  

    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1000 500

2 R R



   .

Câu 31. (CHUYÊNPHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật .

ABCD A B C D

   

có tồng diện tích của

tất cả các mặt là

, độ dài đường chéo



bằng

. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao

nhiêu?

. B.

8 2

. C.

16 2

. D.

24 3

Chọn C.

Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là:



Ta có

2 2 22 2

36; 2 2 2 36 ( ) 72 6 2

a b c S ab bc cAC a a b c a b c              





6 2

16 2

3 3 3

a b c a b c

abc abc

 

   

 

    

 

 

. Vậy

16 2

Max

V 

Câu 32. (CHUYÊNPHAN BỘI CHÂU)Một miếng bìa hình tam giác đều

ABC

, cạnh bằng

. Học

sinh Trang cắt một hình chữ nhật

MNPQ

từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong

buổi ngoại khóa (với

M N

thuộc cạnh

;

lần lượt thuộc cạnh

và

) . Diện

tích hình chữ nhật

MNPQ

lớn nhất bằng bao nhiêu?

16 3.

8 3.

32 3.

34 3.

Chọn C.

 Đặt

 

, 0 16

MN x x BM



    

 

tan60 16

QM x

     

Xét hàm số

   

 

3 3

16 16 max 32 3

2 2

S x x x x x S       khi



Câu 33. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Một người nuôi cá thì nghiệm trong hồ. Người đó thấy rằng nếu mỗi

đơn vị diện tích của mặt hồ có

con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

140 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341









480 20

P n n gam

  . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để

sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

12.

14.

10.

18.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Cách 1: Thế đáp án:

Số cá trên mỗi đơn

vị diện tích

12 14 10 18

Số cân nặng:





480 20 ( )

n n gam



2880 2800 2800 2160

Cách 2: Số cân nặng của

con cá là:





2 2

( ) 480 20 20 480 20( 12) 2880 2880

f n n n n n n         

Vậy giá trị lớn nhất của

( )

f n

là

2880

đạt được khi



 Chú ý: hàm

như một hàm số theo biến số thực, chứ không phải biến số nguyên dương

Câu 34. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn

có nắp, có thể tích là







. Tìm bán kính đáy

của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra

tốn ít nhiên liệu nhất.





r m

 . B.





r m

 . C.





r m

 . D.





r m

 .

Giải

Chọn C.

Gọi hình trụ có chiều cao

, độ dài đường sinh

, bán kính đáy

Ta có:

2 2 2

64 64 64

V r h h l

r r r



     

Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Ta có:

2 2

128

2 2 2 2

tp day xq

S S S r rl r



  

      .

Xét hàm số

 

128

2f r r



  với



Ta có

   

128

4 ; 0 32

f r r f r r



 

     .

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 141 | THBTN

Lập bảng biến thiên ta có

 

f r đạt GTNN khi

32r 

Câu 35. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng

 

4AB km . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí

cách B một khoảng

 

7BC km . Người

canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc

 

6 /km h rồi đi

xe đạp từ M đến

với vận tốc

 

10 /km h (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến

để người đó đi từ A đến

là nhanh nhất.

A. 6km . B. 3km. C. 4km . D. 9km .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Quãng đường

2 2

AM AB BM 

 

16 7 x   thời gian đi quãng đường AM là

 

16 7

x 

(giờ). Quãng đường MC x  thời gian đi quãng đường MC là

(giờ)

Tổng thời gian đi từ A đến C là

 

1 1

16 7

6 10

y x x   

(với 0 7x  )

Đạo hàm

 

1 7 1

6 10

16 7





 

 

;

   

0 6 16 7 10 7y x x



       4x 

Giá trị

 

0 65

y 

 

y 

 

y 

Vậy GTNN là

 

y 

, tức là khoảng cách 4x  (km).

Câu 36. (LƯƠNG VĂN CHÁNH) Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng

hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích

cho trước ( hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó).

Hãy xác định chiều cao

và bán kính R của hình trụ theo

để tốn ít vật liệu nhất.

2 2

R h



  . B. 2 2

R h



  . C. 2 2

h R



  . D.

2 2

h R



  .

Hướng dẫn giải

7km

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

142 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chọn D.

Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất.

Ta có:

2 2

S R Rh

 

  .

V R h



 nên



 . Suy ra

2 2 2 2

2 2 . 2 3. 2 . . 3. 2

V V V V V

S R R R R V

R R R R R

    



       .

Đẳng thức xảy ra khi

V V

R R



   . Khi đó



 .

Câu 37. (LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình nón đỉnh

, đáy là hình tròn tâm

, góc ở đỉnh bằng

120



. Trên đường tròn đáy, lấy điểm

cố định và điểm

di động. Có bao nhiêu vị trí điểm

của điểm

để diện tích tam giác

SAM

đạt giá trị lớn nhất?

120



A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh



120 60

ASA ASO



    

Suy ra



.cot

SO OA ASO 

. Gọi H là trung điểm của

và đặt

x OH



Ta có:

2 2 2

SH SO OH x

   

2 2 2 2

2 2 2

AM AH OA OH r x

    

Diện tích tam giác

SAM



bằng

2 2 2 2

1 2

. . .

2 3 3

s SH AM x r x r

    

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 143 | THBTN

A D

B C

max

s r đạt được khi

2 2

2 2 2 2

3 3

r r r

x r x x x       . Tức là OH SO .

Câu 38. (BẮC YÊN THÀNH) Cho một tấm nhôm hình chữ

nhật

ABCD

có

60AD cm

40AB cm

. Ta gập tấm

nhôm theo hai cạnh

và PQ vào phía trong cho

đến khi AB và

trùng nhau như hình vẽ bên để

dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể

tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng

4000 3

 

cm B.

2000 3

 

400 3

 

cm D. 4000 2

 

Chọn A.

Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh bên bằng x , cạnh đáy bằng

60 2x

Đường cao tam giác đó là

60 2

60 900

AH x x



 

   

 

 

, với H là trung điểm

Diện tích đáy là

     

1 1

. 60 900. 30 60 900 900 30 900 30

2 30

ANP

S S AH NP x x x x x        

 

1 900

100 3

30 3

S cm

 

  

 

 

Diện tích đáy lớn nhất là

100 3cm

nên thể tích lớn nhất là

 

40.100 3 4000 3V cm  .

Câu 39. (SỞ HÀ NỘI) Cho mặt cầu

 

S bán kính

Một hình trụ có chiều cao

và bán kính đáy r

thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao

theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ

lớn nhất.

A. 2h R . B.

h R

. C.

h  . D.

h  .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

và



là tâm hai hình tròn đáy của hình trụ, và xét

thiết diện

ABCD

đi qua trục của hình trụ như hình vẽ trên

đây.

Ta có

2 2

; ,

OO h IA R AO r r R



      .

Diện tích xung quanh của hình trụ

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

144 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

2 2 2

2 2

2 4

h R h

S rh h R h

  

 

    , (dùng BĐT

2 2

a b



 ).

Vậy

2 2 2 2

max

2 4 2

S R h R h h R



      .

Câu 40. (TT DIỆU HIỀN) Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không

nắp có thể tích bằng

500

. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá

thuê nhân công để xây hồ là

500.000

đồng/m

. Khi đó, kích thước của hồ nước để chi phí thuê

nhân công thấp nhất là

A. Chiều dài

m, chiều rộng

m và chiều cao

B. Chiều dài

m, chiều rộng

m và chiều cao

C. Chiều dài

m, chiều rộng

m và chiều cao

D. Chiều dài

m, chiều rộng

m và chiều cao

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi

x y

lần lượt là chiều rộng và chiều cao của khối hộp





, 0

x y



Diện tích đáy khối hộp

S x



. Thể tích khối hộp

500 250

3 3

V x y y

    .

Diện tích xung quanh khối hộp





2 2 2 6

S xy x y xy

  

Diện tích cần xây là

2 2 2

500 500 500

2 6 2 3 2 . . 150

S S x xy x x

x x x

       .

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi

x y  

Vậy chiều dài bằng 10, chiều rộng bằng 5, chiều cao bằng

Câu 41. (TT DIỆU HIỀN) Một người nông dân rào một mãnh vườn hình chữ nhật có diện tích là

10.000

. Biết rằng bờ rào ở các cạnh phía bắc và phía nam giá

1500 /

, bờ rào ở các cạnh

phía đông và phía tây giá

6000 /

. Để chi phí thấp nhất thì kích thước Đông - Tây, Bắc - Nam

của mãnh vườn là:

50 , 200

m m

. B.

200 , 50

m m

. C.

40 , 250

m m

100 ,1 00

m m

Hướng dẫn giải

Chọn A.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 145 | THBTN

Đặt chiều dài bờ rào Bắc-Nam là





x m

Đặt chiều dài bờ rào Đông-Tây là





y m

Ta có





10000

S xy m

 

Số tiền xây bờ rào là





1500.2. 6000.2. 3000 4 6000 4 1200000

x y x y xy    

Để chi phí thấp nhất khi









4 4 10000 50 200

x y xy y y m x m

       

Câu 42. (TT DIỆU HIỀN) Một thùng chứa hình trụ kín, có thể tích

5000

. Vật liệu để làm hai đáy có

giá

250000 /

, vật liệu làm phần còn lại có giá

400000 /

. Để chi phí thấp nhất, chiều cao

và bán kính đáy của thùng chứa là:

25 4

,10 .



 

 

 

4 25

10 ,



 

 

 

10 4 ,



 

 

 

. D.

,10 4



 

 

 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

5000

5000V R h h



   

5 2 4 4 2

2.10

2 .4.10 2 .25.10 2 25.10

S Rh R R

  



 

   

 

 

9 9 22

4 2

10 10 25.10

2 25.10 . 2 .3R

R R

 

  

 

   

 

 



Chi phí thấp nhất khi

9 3

4 2

10 4.10 4

25.10 . 10R R

  

   



 

Câu 43. (HAI BÀ TRƯNG) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật

ABCD

có

AD cm



. Ta gấp tấm

nhôm theo hai cạnh

và

vào phía trong đến khi

và

trùng nhau như hình vẽ

dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm

để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

146 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn B.

 Gọi

là trung điểm



đường cao của

ANP



cân tại



 

AI x x

   =

 

24 6



 diện tích đáy

   

. . 12 . 24 6

ANP

S NP AI x x

   

, với

6 12

 

 thể

tích khối lăng trụ là

   

. . 12 . 24 6

ANP

V S MN a x x

   

(đặt

MN a



: hằng số dương)

 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

     

12 . 24 6 , 6 12

y x x x     :

 





 

12 12

24 6

y x

  



   

 



 

 

36 288

24 6

 







0 8 6;12

y x



   

+ Tính giá trị:

 

8 16 3

y  ,





6 0







12 0



 Thể tích khối trụ lớn nhất khi



Câu 44. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Một đơn vị sản xuất hộp đựng thuốc dung tích 2 dm

dạng hình trụ có

đáy là hình tròn. Nhà sản xuất chọn bán kính đáy của hình hộp gần với

số nào để ít tốn vất liệu nhất?

1,37

. B.

. D.

0,68

Hướng dẫn giải.

24cm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 147 | THBTN

Chọn D.

Ta có

2 3

. 2( )

V R h dm



  .

2 2 2

2 3 2 ( ) 6

S R Rh Rh R h

     

     .

6 2

S R h



  

Suy ra:

.2 2 0,68

R R R



   

Câu 45. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái

hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của

hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các

mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là

4 dm

1 dm.

1,5 dm.

2 dm.

0,5 dm.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi





, , 0

x y x y



lần lượt là độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình hộp.

Thể tích khối hộp là

2 2

4V x y x y y

     .

Diện tích cần mạ vàng

2 2 2

16 8 8

4 3 64

S x xy x x

x x x

        đạt giá trị nhỏ nhất khi chỉ

khi

2 1

x x y

    

Câu 46. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích

150

. Đáy bể làm

bằng bê tông giá

100000

đ m

. Phần thân làm bằng tôn giá

90000

đ m

, nắp bằng nhôm giá

120000

đ m

. Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và

bán kính đáy là bao nhiêu?

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

150

150 150V R h h



    

Mà ta có:





2 2

100000 120000 180000

f R R R Rh

  

  

 

2 2

150 27000000

220000 180000 220000f R R R R

R R

  



   

Để chi phí thấp nhất thì hàm số





f R

đạt giá trị nhỏ nhất với mọi



 

2 2

27000000 440000 27000000

440000

f R R

R R







   , cho

 

440

f R R





  

Lập BBT, từ BBT suy ra





min

f R



khi

440







TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

148 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Nên

150 22

R R



 

Câu 47. (CHUYÊN BẮC GIANG) Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có

con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân

nặng





480 20

P n n

  (gam). Tính số con cá phải thả trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để

sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất

A. 14. B. 12. C. 15. D. 13.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có





480 20

P n n

  

trọng lượng cá thu được là





480 20

n n



Xét hàm









480 20 max 2880 12

f n n n f n n

     

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 151 | THBTN

Với

4 2 4 2

1 1 2 3

2 8 8 16 16

x x e e

I x x x

 

 

 

    

 

 



 

2 2

1 1 1 1 1

ln d 2ln 1

4 4 4 16 16

I x x x x x e

 

       

 

 



1 ln 1 1

d ln

16 32 32

I x x

 

     

 

 



Cách 2.

Học sinh có thể trực tiếp bấm máy tính tích phân

ln 1 1

2 1 d

2 4 16 2

x x

S x x



 

    

 

 



để

có kết quả

Câu 4. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho hàm số

2 2

y m x

  

. Tập hợp tất cả các giá trị

của tham số thực

sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường

thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích

bằng

là



. B.







. C.

; 1

 

 

 

 

 

 

. D.

; 1

 

 

 

 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Tập xác định









3 2 2 2

2 4 2 2

y x m x x x m



    ;

0 2

y x m

x m









  



 



Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu

 

Vì

 

nên hàm số đạt cực đại tại



suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là





0;2

Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là

: 2

d y



Phương trình hoành độ giao điểm của





và

là:

2 2

2 2 2 2

m x x m

x m











     









 



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

152 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn)

2 2 2

4 4 4

2 2 2 2 2 2

2 0 0

2 3

2 d 2 2 d 2 2 d

2 2 2

2 64

10 3 15

m m m

x x x

S m x x m x x m x x

m x m



 

     

 

 

 

  

 

 

  

Ta có

S m





   



 



Câu 5. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số

2 2

y x x

 

trục

và đường thẳng



bằng





ln 1

a b b

 

với

là các số nguyên dương.

Khi đó giá trị của

a b c

 

là

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Cách 1 (dùng máy tính):

Phương trình hoành độ giao điểm

2 2

1 0 0

x x x

   

Diện tích hình phẳng cần tìm là

2 2

S x x x

 



vì

 

2 2

1 0, 0;1

x x x    .





2 2

ln 1

a b b

x x x

 

 



Bước 1: Bấm máy tính tích phân

2 2

1d 0,4201583875

S x x x  



( Lưu D)

Bước 2: Cơ sở : Tìm nghiệm nguyên của phương trình









ln 1 ln 1

a b b a b b

D c

c D

   

   (coi





c f x

 ,

a x







và ta thử các giá

trị

... 5; 4;..0,1;2;3;4.....

  

)

Thử với



Thử với



: Mode + 7

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 153 | THBTN

 

2 ln 1 2X

F X

 

 ;

Kết quả: 3;c 8,b 2a   

Cách 2 (giải tự luận):

Phương trình hoành độ giao điểm

2 2

1 0 0x x x   

Diện tích hình phẳng cần tìm là

2 2

1dS x x x 



vì

 

2 2

1 0, 0;1x x x    .

Đặt

 

tan d 1 tan dx t x t t   

Đổi cận 0 0; 1

x t x t



     

Khi đó

 

2 24 4 4

2 2 2

2 2

0 0 0

sin 1 1 sin .cos

tan 1 tan 1 tan d . d d

cos cos cos

cos

t t t

S t t t t t t

t t t

  

    

  

Đặt

sin d cos du t u t t  

Đổi cận

0 0;

4 2

t u t u



     

 

     

2 2 2

3 3 3 2

2 2 2 2

0 0 0

1 1

d d d

1 1 1 1

S u u u

u u u u

 

 

 

   

 

   

 

  

Ta có

 

  

2 2 2

0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

d d d

8 1 1 8 1 1

u u

H u u u

u u u u

 

  

 

   

 

   

 



 

  

   

3 3

1 1 1 3 1 1

8 1 1 1

1 1

u u u

u u

 

    

 

  

 

 

 



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

154 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

   

 

3 3 2

1 1 1 6

1 1

u u

 

 

  

 

 



 



   

 

2 2 2

1 1 1 6

16 1 16 1

u u

 



   

 

 



 



 

2 1 6

2 8

 





Tính

 

K u







 

  

2 2 2

0 0 0

6 3 1 1 3 1 1

d d d

2 1 1 2 1 1

u u

K u u u

u u u u

 

  

 

   

 

   

 



 

  

   

  

 

2 2

3 1 1 2 3 1 1 1

d ln 3 2 3ln 1 2

2 1 1 2 1 1 1

1 1

u u u u u

u u

 

  

         

 

    

 

 



Vậy









3 2 3ln 1 2 7 2 3ln 1 2

2 8 8

   

  

Khi đó





7 2 3ln 1 2

8 6

S K

 

 





 





7 2 3ln 1 2 3 2 ln 1 2

3 2 3ln 1 2

8 6 8

   

    

Câu 6. (SỞ THANH HÓA) Một công ty quảng cáo X muốn

làm một bức tranh trang trí hình

MNEIF

ở chính

giữa của một bức tường hình chữ nhật

ABCD

có

chiều cao

BC m



, chiều dài

CD m



(hình vẽ

bên). Cho biết

MNEF

là hình chữ nhật có

MN m



; cung

EIF

có hình dạng là một phần của cung

parabol có đỉnh

là trung điểm của cạnh

và đi

qua hai điểm

. Kinh phí làm bức tranh là

900.000

đồng/

Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?

20.400.000

đồng. B.

20.600.000

đồng. C.

20.800.000

đồng. D.

21.200.000

đồng.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 155 | THBTN

Câu 7. (QUẢNG XƯƠNG ) Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng

 

10 cm . Cắt

khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy

góc

45 . Thể tích của khối gỗ bé là

 

2000

cm . B.

 

1000

cm . C.

 

2000

cm . D.

 

2000

cm .

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Suy ra

 

1 1

. 100

2 2

  S x MN PN x

Khi đó thể tích khúc gỗ bé là :

 

   

10 10

2 3

10 10

1 2000

d 100 d

2 3

V S x x x x cm

 

   

 

Câu 8. (HÀ HUY TẬP) Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài

50m

và chiều rộng

là

30m

người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền

trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là

. Kinh phí để làm

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình tròn có phương trình:

y  100  x

, x



10,10



Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục

tại điểm có hoành độ x , x



10,10



cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S





(xem hình).

Dễ thấy NP  y và MN  NP tan45

 y  100  x

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

156 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

mỗi

làm đường

500.000

đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn

đến hàng nghìn)

Câu 9. (HÀ HUY TẬP) Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài

100

và chiều rộng là

người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền

trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần

lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là

. Kinh phí cho

mỗi

làm đường

600.000

đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn

đến hàng nghìn).

293904000.

283904000.

293804000.

283604000.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Xét hệ trục tọa độ

Oxy

đặt gốc tọa độ

vào tâm của hình Elip.

Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là

 

2 2

: 1

50 30

x y

 

. Phần đồ thị của





nằm phía trên trục hoành có phương trình

 

30 1

y f x

   .

Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là

 

2 2

: 1

48 28

x y

 

. Phần đồ thị của





nằm phía trên trục hoành có phương trình

 

28 1

y f x

   .

Gọi

là diện tích của





và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành

và đồ thị hàm số





y f x

 . Gọi

là diện tích của





và bằng hai lần diện tích phần hình

phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số





y f x

 .

Gọi

là diện tích con đường. Khi đó

50 48

2 2

2 30 d 21 28 1

50 48

x x

S S S

x x

 

    

 

Tính tích phân

 

2 1 d , ,

I b a





  





100

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 157 | THBTN

Đặt

sin , d cos d

2 2

x a t t x a t t

 

 

     

 

 

Đổi cận ;

2 2

x a t x a t

 

       

Khi đó

 

2 2 2

2 2

2 2 2

sin cos d co2 1 s d 1 co.

2 s2

t a t t t t t

I b ab b

  

  

   

  

sin 2

ab ab





 



 









Do đó

1 2

50.30 48.28 156

S S S

  

     .

Vậy tổng số tiền làm con đường đó là 600000. 600000.

156 294053000







(đồng).

119000000

. B.

152000000

. C.

119320000

. D.

125520000

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi

là diện tích của elip

 

2 2

: 1

x y

a b

 

ta có

S ab





Chứng minh

2 2

1 1

x x

S b ab

a a





 

    

 

 



Xét hệ trục tọa độ

Oxy

sao cho trục hoành và trục tung lần lượt là các trục đối xứng của hình

chữ nhật trong đó trục hoành dọc theo chiều dài của hình chữ nhật.

Gọi





là elip lớn,





là elip nhỏ ta có:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

158 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

 

2 2

: 1

25 15

x y

  

Diện tích của nó là

.25.15 375 .

 

 

 

2 2

: 1

23 13

x y

  

Diện tích của nó là

.23.13 299 .

 

 

Diện tích con đường là

375 299 76 .

  

 

Do đó số tiền đầu tư là

76 *500.000 119320000





Câu 10. (SỞ BẮC GIANG) Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ

dưới đây

Người ta đo được đường kính của miệng ly là

và chiều cao là

. Biết rằng thiết diện

của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích





V cm

của vật thể đã

cho.





. B.





 . D.

V  .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Chọn gốc tọa độ

trùng với đỉnh

của parabol





Vì

parabol





đi qua các điểm









2;6 , 2;6

A B và





0;0

I nên

parabol





có phương trình

y x



Ta có

2 2

3 2

2 3

  

y x x y

. Khi đó thể tích của vật thể đã cho là

 

12 .

V y dy cm

 

 

 

 

 



Câu 11. (TT DIỆU HIỀN) Một đám vi trùng tại ngày thứ

có số lượng là

( )

N t

. Biết rằng

7000

( )

N t







và lúc đầu đám vi trùng có

300000

con. Sau

ngày, đám vi trùng có khoảng

bao nhiêu con?

322542

con. B.

332542

con. C.

312542

con. D.

302542

con.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

   

7000

dt 7000.ln 2

N t t C

   





mà





0 300000 300000 7000ln 2

N C   

Nên









7000.ln 2 300000 7000ln 2

N t t   

Do đó:





10 312542

N  .

Câu 12. (SỞ VŨNG TÀU) Một khối cầu có bán kính bằng 5 dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt

phẳng vùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một khoảng

bằng 4 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 159 | THBTN

500



2296



952



472



Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích

   

2 2 2

V R x dx x dx



 

    

 

Vậy thể tích của chiếc lu là

4 14 472

2 .5 2

3 3 3

V V V



 

     

Câu 13. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật

 

H có một cạnh

nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là

 

1;0A  và

 

;B a a , với

0a 

Biết rằng đồ thị hàm số y x chia hình

 

H thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a .

9a 

. B.

4a 

. C.

a  . D.

3a 

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

ACBD

là hình chữ nhật với

nằm trên trục

 

1;0A  và

 

;B a a

Nhận thấy đồ thị hàm số y x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua

 

;B a a . Do đó nó chia hình chữ nhật

ACBD

ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là

S ,

S .

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

160 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Gọi

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y x

 và trục

, 0,

x x a

 

và

là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính

Tính diện tích

S x x





Đặt

2 d d

t x t x t t x

    

; Khi 0 0;

x t x a t a

      .

Do đó

2 2

2 d

3 3

t a a

S t t

 

  

 

 



Hình chữ nhật

ACBD

có 1;

AC a AD a

   nên

 

1 2

2 1

3 3

ACBD

a a

S S S a a a a a

      

Do đồ thị hàm số

y x

 chia hình





thành hai phần có diện tích bằng nhau nên

1 2

2 1

3 3

a a

S S a a a a a a a

       

(Do



)

Câu 14. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích

thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá





của rào sắt là

700.000

đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến

hàng phần nghìn).

6.520.000

đồng. B.

6.320.000

đồng.

6.417.000

đồng. D.

6.620.000

đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn C

ọ

n h

ệ

ụ

c t

ọ

a đ

ộ

như h

ình v

ẽ

Trong đó





2,5;1,5

A  ,





2,5;1,5

B ,





0;2

C .

Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có

dạng

y ax bx c

  

, với

; ;a b c





Do Parabol đi qua các điểm





2,5;1,5

A  ,





2,5;1,5

B ,





0;2

C nên ta có hệ phương trình

   

2,5 2,5 1,5

2,5 2,5 1,5 0

a b c

a b c b



 

    



     

 

 



 



TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 161 | THBTN

Khi đó phương trình Parabol là

y x

  

Diện tích

của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số

y x

  

, trục hoành và hai đường thẳng

2,5

 

2,5



Ta có

2,5

2 2 55

2 d 2

25 25 3 6

S x x x



 

      

 

 



Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là

 

. 700.000 .700000 6.417.000

S  

(đồng).

tích

dùng để trồng hoa, phần diện tích

dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến

6.060.000

đồng.

y x



nhánh trên là

y x

 

Vậy diện tích phần

2 2

8 d

S x x x



 

  

 

 



Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là

2 2

1 2

2 8 d 15,233...

S S x x x



 

    

 

 



Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:









15,233 150.000 2 2 15,233 100.000 3.274.924



     đồng.

Câu 15. (THANH CHƯƠNG ) Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm

. Một nhóm học sinh lớp

12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường

parabol có cùng đỉnh

và đối xứng nhau qua

. Hai đường parabol này cắt đường tròn tại

bốn điểm A , B ,

, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng

(như hình vẽ). Phần diện

chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là

150.000

đồng /1m

, kinh phí để trồng cỏ

là

100.000

đồng/1m

. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm

tròn đến hàng chục nghìn)

5.790.000

đồng. C.

3.270.000

đồng. D.

3.000.000

đồng.

Hướng dẫn giải

CHỌN C.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Parabol có hàm số dạng y  ax

 bx  c có đỉnh là gốc tọa độ và đi

qua điểm B



2;2



nên có phương trình

Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính OB  2 2

nên có phương trình là x

 y

 8. Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm số

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

162 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Làm tròn đến hàng chục nghìn nên ta có kết quả là

3.270.000

đồng.

Câu 16. (CHU VĂN AN) Cho hàm số

4 2

y x x m

  

có đồ thị





với

là tham số thực. Giả sử





cắt trục

tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :

Gọi

và

là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm

để

1 2 3

S S S

 

 

. B.

 

. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Giả sử

x b



là nghiệm dương lớn nhất của phương trình

4 2

3 0

x x m

  

. Khi đó ta có

4 2

3 0

b b m

  

(1)

Nếu xảy ra

1 2 3

S S S

 

thì

 

5 4

4 2 3 2

3 d 0 0 0 (2) do 0

5 5

b b

x x m x b mb b m b

           



Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được

4 2 2

4 5

2 0 (do 0)

5 2

b b b b

    

Thay trở ngược vào (1) ta được



. (đến đây ta đã chọn được đáp án, không cần giải tiếp)

Chú ý: nếu là giải tự luận phải kiểm lại xem phải phương trình



có 4 nghiệm phân biệt,

đồng thời

x  là nghiệm dương lớn nhất hay không.

Câu 17. (CHU VĂN AN) Cho hai mặt cầu









có cùng bán kính

thỏa mãn tính chất: tâm của





thuộc





và ngược lại. Tính thể tích phần chung

của hai khối cầu tạo bởi

( )

và

( )





TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 163 | THBTN

V R



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gắn hệ trục

Oxy

như hình vẽ

Khối cầu





S O R

chứa một đường tròn lớn là





2 2 2

C x y R

 

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là

 

3 3

2 2 2

2 d 2

3 12

x R

V R x x R x



 

 

    

 

 



Câu 18. (THẦY HIẾU LIVE ) Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là

( )

N t

. Biết rằng

4000

'( )

1 0,5





N t

và lúc đầu đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là

(lấy xấp xỉ hàng đơn vị)

A.264334 con B.257167 con C.258959 con

253584 con

Câu 19. (Lạc Hồng) Dòng điện xoay chiều chạy trong dây dẫn có tần số góc



. Điện lượng chuyển qua

tiết diện thẳng của dây dẫn trong

chu kì dòng điện kể từ lúc dòng điện bằng không là

Cường độ dòng điện cực đại là:



. B.



. C.



. D.



Câu 20. (LÊ QUÝ ĐÔN) Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên

mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có

con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng :

( ) 480 20

P n n

 

. Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ đề sau

một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Ông An có một mảnh vườn hình elip

có độ dài trục lớn bằng

và độ dài trục bé bằng

. Ông

muốn trồng hoa trên một dải đất rộng

và nhận trục bé của

elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa

là

100.000

đồng/

. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng

hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

7.862.000

đồng. B.

7.653.000

đồng. C.

7.128.000

đồng. D.

7.826.000

đồng.

HƯỚNG DẪN GIẢI

2 2 2

( ) :

C x y R

 

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

164 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chọn B.

Giả sử elip có phương trình

2 2

 

x y

a b

, với

a b

 

Từ giả thiết ta có

2 16 8

  

a a

và

2 10 5

  

b b

Vậy phương trình của elip là

 

2 2

64 25



  



  



 





y y E

x y

y y E

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường









1 2

; ; 4; 4

  

E E x x và diện tích

của dải vườn là

4 4

2 2

4 0

5 5

2 64 d 64 d

8 2



   

 

S x x x x

Tính tích phân này bằng phép đổi biến

8sin



x t

, ta được

6 4



 

 

 

 

Khi đó số tiền là

80 .100000 7652891,82 7.653.000

6 4



 

  

 

 

T .

Câu 21. (QUẢNG XƯƠNG ) Một mảnh vườn hình tròn tâm

bán kính

. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng

nhận

làm tâm đối

xứng, biết kinh phí trồng cây là

70000

đồng

. Hỏi cần bao

nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến

hàng đơn vị)

8412322

đồng. B.

8142232

đồng.

4821232

đồng. D.

4821322

đồng.

Chọn D

Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , khi đó phương trình đường tròn tâm O là

2 2

x y 36

 

. Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình

36 (x)

y x f

  

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị

(x)

y f



và hai đường thẳng

3; 3

x x

  

2 36 x dx



  



Đặt

6sin 6cos

x t dx tdt

  

. Đổi cận : 3

x t



    

; 3

x t



  

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 165 | THBTN

6 6

2 36cos 36 (cos2t+1)dt 18(sin 2t 2t) 18 3 12S tdt



 



 



      

 

Do đó số tiền cần dùng là

70000. 4821322S 

đồng

Câu 22. (ĐỨC THỌ) Người ta trồng hoa vào phần đất được tô

màu đen được giới hạn bởi cạnh AB ,

, đường

trung bình

của mảnh đất hình chữ nhật

ABCD

và

một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết

2 ( )AB m



 , 2( )AD m . Tính diện tích phần còn lại.

4 1



. B.

 

4 1



 . C.

4 2



. D.

4 3



Câu 23. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Cho hình phẳng

 

H giới hạn bởi các đường

1y x  và

2 1.k  

k 

4 1.k  

Chọn D.

y  k,0  k  1. Tìm

để diện tích của hình phẳng





gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ

sọc trong hình vẽ bên.

A. k 

Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1 x

, y  k, x  0 bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

y  1 x

, y  x

1, y  k, x  0.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

166 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

 

   

1 1

2 2

1 d

1 d 1 d .

x k x

k x x k x x







  

    



 

   

     

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

3 3

1 1

1 1 1 1 1

3 3

k k k k

k k k k k

     

        

        

 

2 4

1 1

3 3

k k

   





1 2

  

4 1.

  

Câu 24. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Một khối cầu có bán kính là





, người ta cắt bỏ hai phần của khối

cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng





để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

 

100



 













132



Hướng dẫn giải

Chọn D.

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ

Oxy

, xét đường tròn

2 2

( ):( 5) 25

C x y

  

. Ta thấy nếu cho nửa

trên trục

của





quay quanh trục

ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình

phẳng





giới hạn bởi nửa trên trục

của





, trục

, hai đường thẳng

0, 2

x x

 

quay xung quanh trục

ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề

bài.

Ta có

2 2 2

( 5) 25 25 ( 5)

x y y x       

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 167 | THBTN



Nửa trên trục

của

 

C có phương trình

2 2

25 ( 5) 10y x x x    



Thể tích vật thể tròn xoay khi cho

 

H quay quanh

là:

 

2 2

10 d 5

3 3

V x x x x



 

 

    

 

 



Thể tích khối cầu là:

4 500

V .5

3 3



 

Thể tích cần tìm:

 

2 1

500 52

2 2. 132

3 3

V V V dm

 



    

Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích

   

2 2 2

V R x dx x dx



 

    

 

Vậy thể tích của chiếc lu là

4 52

2 .5 2 132

3 3

V V V

  

    

Câu 25. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Parabol

y  chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng

2 2 thành hai phần có diện tích là

S và

S , trong đó

1 2

S S . Tìm tỉ số

3 2

21 2







3 2

9 2







3 2





9 2

3 2







Giải

Chọn B.

Diện tích hình tròn là

8S r

 

  .

Ta có

8 d 2

2 3

S x x





    



Suy ra

2 1

S S S



   

Vậy

3 2

9 2









Câu 26. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người

ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm

cửa cao

và rộng

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

168 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

128

131

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Chọn hệ trục tọa độ

Oxy

như hình vẽ.

Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các

đường

, 8

y x y

 

Phương trình hoành độ giao điểm





 



 



Diện tích vòm cửa là

8 d

1 128

6 3

S x x

x x



 

 

 

 

 

  

 



 



Câu 27. (CHUYÊN HƯNG YÊN)Cho parabol





: 1

P y x

 

và đường thẳng

: 2

d y mx

 

. Biết

rằng tồn tại

để diện tích hình phẳng giới hạn bởi





và

đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện

tích nhỏ nhất đó.



Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của





và

là





2 2

1 2 1 0 *

x mx x mx      

Ta có

4 0, .

m m

     



Nên phương trình





luôn có 2 nghiệm phân biệt

x a



và





x b a b

  Do đó





luôn cắt

tại 2 điểm phân biệt





; 2

A a ma



và





; 2 .

B b mb 

Với mọi

đường thẳng

luôn đi qua điểm





0;2 .

M Mà



Suy ra





2 1, ; .

mx x x a b

    

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi





và

là

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 169 | THBTN

 

   

 

     

2 2

2 1 d 1 d

2 3

1 1 1

1 1

2 3 2 3 3

1 1

2 3 3

1 1

4 1

2 3 3

b b

a a

mx x

S mx x x mx x x x

m m

b a b a a b ab b a b a a b ab

S b a b a a b ab

b a ab b a a b ab

 

         

 

 

   

             

   

   

 

       

 

 

 

       

 

 

 

Vì

a b

là nghiệm của phương trình





nên ta có

a b m

 





 



Khi đó

 

2 2

2 4 16

4 4. .

6 3 9 9

S m

 

    

 

 

Đẳng thức xảy ra khi



Vậy

min



Câu 28. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phòng thí nghiệm người ta thấy

và lúc đầu đám vi khuẩn có

36194

. C.

35194

. D.

34194

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:

2017

d 2017ln 1

x x C

  



. Theo giả thiết





0 30000 30000

N C   .

1 30000

x   .

số

 

1000

, 0

1 0,3

B t t



 



, trong đó





B t

là số lượng vi khuẩn trên mỗi

nước tại ngày thứ

. Số lượng vi khuẩn ban đầu là

500

con trên một

nước. Biết rằng mức độ an toàn cho

người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới

3000

con trên mỗi

nước . Hỏi vào ngày thứ

bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an toàn nữa?

10.

11.

12.

Hướng dẫn giải

Chọn B

tại ngày thứ x có số lượng N





con. Biết rằng N









2017

x 1

30000

con. Hỏi số lượng vi khuẩn sau đúng một tuần gần với số nào sau đây?

38417

x 1

Suy ra N





 2017ln

Vậy số lượng vi khuẩn sau một tuần là N





 2017ln8 30000  34194

Câu 29. (LẠNG GIANG) Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

170 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Ta có

 

1000 1000

' d d

0,3 1 0,3

1 0,3

B t t t C

   



 

Mà

 

10000 11500

0 500 500

3 1 0,3.0 3

B C C      



Do đó:

 

10000 11500

3 1 0,3 3

B t

  



Nước trong hồ vẫn an toàn khi chỉ khi

 

10000 11500

3000 3000 10

3 1 0,3 3

B t t

      



Vậy kể từ ngày thứ 10, nước hồ không còn an toàn.

Câu 30. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một đám vi trùng tại ngày thứ

có số lượng là





N t

Biết rằng

 

4000

1 0,5

N t







và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau

ngày số lượng vi trùng là

bao nhiêu?

258 959

con

. B.

253 584

con

. C.

257 167

con

. D.

264 334

con

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:

   

4000

d d 8000.ln 1 0,5

1 0,5

N t N t t t t C



    



 

Mà số lượng vi trùng ban đầu bằng

250000

con nên

250000



Do đó:





8000.ln 1 0,5 250000

N t t   .

Vậy sau

ngày số lượng vi trùng bằng:





10 8000.ln 6 250000 264334

N    con.

Câu 31. (NGUYỄN KHUYẾN) Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ

sâu

280

h cm

 . Giả sử

( )

h t cm

là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm

giây, bết

rằng tốc độ tăng của chiều cao nước tại giây thứ

là

( ) 3

500

h t t



 

. Hỏi sau bao lâu thì

nước bơm được

độ sâu của hồ bơi?

7545,2

. B.

7234,8

. C.

7200,7

. D.

7560,5

Chọn B.

giây mức nước của bể là:

 

3 3

0 0

1 3 3 3

( ) ( )dt= 3dt= 3 3 3

500 2000 2000

m m

h m h t t m



 



    

 

 

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 171 | THBTN

Yêu cầu bài toán, ta có :

 

3 3

3 3 3 280

2000 4

 

  

 

. Suy ra :

 

3 3

3 140000 3 3 140000 3 3 3 7234,8m m        .

Câu 32. (TT DIỆU HIỀN) Thầy Tâm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến

đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là

1500000 đồng. Vậy số tiền Thầy Tâm phải trả là:

A. 12750000 đồng. B. 3750000 đồng. C. 6750000 đồng. D. 33750000 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Chọn hệ trục như hình vẽ. Phương trình Parabol là

y x  

Diện tích mái vòm là

9 9

4 2

S x x



 

   

 

 



Số tiền cần trả:

.1500000 6750000



Câu 33. (AN LÃO) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip

có phương trình

2 2

25 16

x y

  . V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 550. B. 400. C. 670. D. 335.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

172 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Ta có

2 2

1 25

25 16 5

x y

y x

     

Do elip nhận

làm các trục đối xứng nên thể tích

cần tính bằng 4 lần thể tích hình

sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y x

 



và các đường thẳng



quay xung quanh

4 640

V 4. 25 d 670,2

5 3

x x=



 

   

 

 



Câu 34. (TT DIỆU HIỀN) Một hạt proton di chuyển trong điện trường có gia tốc

 





2 1

a t cm s







với

tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc

theo

, biết rằng khi



thì

v cm s

 .

2 1





. B.

2 1



. C.

2 1



. D.

 

2 1 30



 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Dễ thấy

 

2 1

v t t









2 1

 







cm s

Khi



thì 30

v cm s





 

0 30

2.0 1

v C

  







Do đó

 

2 1

v t

 







cm s

Câu 35. (CHUYÊN ĐH HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho





có phương trình

 

2 2

1, 0

x y

b a

a b

   

và đường tròn

 

2 2

: 7.

C x y

 

Biết diện tích elip





gấp 7 lần diện

tích hình tròn





. Khi đó



. B.

7 7

ab 

. C.

ab 

. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D.

 

2 2

1, , 0

x y b

a b y a x

a b

     

Diện tích





là

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 173 | THBTN

4.5

3.5

2.5

1.5

0.5

1 1 2

g x

( ) = 3 1

f x

( ) = 3 + 1

 



  

 

2 2

0 0

4 4

a a

b a x x b

S a x x

a a

Đặt

 

    

 

 

t t d tdt

 

sin , ; cos

2 2

x a x a .

Đổi cận:

     t t



0 0;

x x a

 

 



   

 

a .cos tdt dt

2 2

0 0

4 2 1 cos2

S ab t ab

Mà ta có

 

. 7 .

S π R π 





. B.



 . D.



 .

1 x .









1 1

2 2

2 2 2

1 1

3 3 1 12 1V x dx x dx

 

 

 

      

 

 

 

x t





  







    





2 2

2 2 2

2 2

12 1 sin .cos 12 cos 6V t tdt tdt

 

  

 

    

 

Câu 37. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một

cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong

trong hình vẽ là các đường Parabol).

19m . B.

21m . C.

18 .m D.

40m .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Theo giả thiết ta có S





 7.S









ab  49



 ab  49.

Câu 36. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích

của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới

hạn bởi đường tròn (C): x

 (y 3)

1 xung quanh trục hoành là

C. V  3



Hướng dẫn giải.

Chọn D.

 (y 3)

1 y  3

1 x

Đặt

x  sin t  dx  cost.dt

. Với

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

174 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Chọn hệ trục

Oxy

như hình vẽ.

Ta có

Gọi





P y ax c

 

là Parabol đi qua hai điểm

 

;0 , 0;2

A B

 

 

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

 

0 . 2

: 2

361

P y x



 

 

 

 

 

    

 

 

 





Gọi





P y ax c

 

là Parabol đi qua hai điểm

 

10;0 , 0;

C D

 

 

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

 

0 . 10

1 5

402

5 5

40 2

2 2

P y x

b b



  



 

    

 

 

 



 

Ta có thể tích của bê tông là:

2 2 3

0 0

1 5 8

5.2 2 40

40 2 361

V x dx x dx m

 

   

      

 

   

   

 

 

Câu 38. (ĐẠI HỌC VINH) Gọi

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn

bởi các đường

y x

 ,



và



quanh trục

. Đường thẳng





0 4

x a a

  

cắt đồ

thị hàm

y x

 tại

(hình vẽ bên). Gọi

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam

giác

OMH

quanh trục

. Biết rằng

V V

 . Khi đó



. B.

2 2

a  . C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

0 0

  

x x

. Khi đó

d 8

V x x

 

 



Ta có





;

M a a

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 175 | THBTN

Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:

 Hình nón

 

N có đỉnh là O, chiều cao

 h OK a , bán kính đáy

 R MK a

;

 Hình nón

 

N thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao

4  h HK a , bán kính đáy

 R MK a

Khi đó

   

2 2

1 1 2

1 1 1 1 4

. .(4 )

3 3 3 3 3

V R h R h a a a a a

    

     

Theo đề bài

2 8 2. 3

 

    V V a a

Câu 39. (ĐẠI HỌC VINH) Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau.

Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp

trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường

 

125

S m B.

 

125

S m C.

 

250

S m D.

 

125

S m

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất

thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .

Từ giả thuyết bài toán, ta có

y x x   .

Góc phần tư thứ nhất

 

25 ; 0;5

y x x x  

Nên

2 3

( )

1 125 125

25 d ( )

4 12 3

S x x x S m    



Câu 40. (CHUYÊN KHTN) Gọi

 

là phần giao của hai

khối

hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ

vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích

của

 



V . B.

 



V .

 



V . D.

 





V .

Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y

 x



25 x



như hình vẽ bên.

Tính diện tích

của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng

với chiều dài 1 mét.

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)

176 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta gọi trục tọa độ

Oxyz

như hình vẽ. Khi đó phần giao

 

là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a ,

thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình

vuông có diện tích

 

2 2

 S x a x

Thể tích khối

 

là

 

2 2

0 0

 

 

a a

S x dx a dx

Câu 41. (TT DIỆU HIỀN) Một người làm một cái cổng cổ xưa có dạng Parabol như hình vẽ. Hãy tính

diện tích của cái cổng?

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình parabol ( )P có đỉnh

 

0;4I và qua điểm

 

0;2 là

4  y x

Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:



  









 







y x

Từ đó ta có

 

2 2

4 d 4 d (

)

 

      

 

S x x x đvdtx

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

Preview text:

TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
TỔNG ÔN: BÀI TOÁN THỰC TIỄN 2017
Chủ đề 1. LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI Câu 1. NHO QUAN A
Một đường dây điện được nối từ
một nhà máy điện ở A đến một hòn
đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ
C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B
đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt
dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt
dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ
A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 15 13 10 19 A. km B. km C. D. 4 4 4 4 Hướng dẫn giải
Trước tiên, ta xây dựng hàm số f  x là hàm số tính tổng chi phí sử dụng.
Đặt BS  x thì ta được: SA  4  x, CS 
x2 1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt
dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f  x
được xác định như sau:
f  x  3000.4  x  5000. x2  1 với x  0;4
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó
xácđịnh được vị trí điểm S. x
f ' x  3000  5000. . 2 x 1 x f ' x 2  0  3  000  5000.  0  3
 000 x 1  5000x  0 x2 1 2
 3 x 1  5x  3 2 1  6x  9 x   3     4  x  . x  0 4  x  0 
Hàm số f  x liên tục trên đoạn 0;4.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 1 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)  3 
Ta có: f 0  17000, f  16000, f   4  20615,52813.  4  3
Vậy giá trị nhỏ nhất của f  x là 16000 và tại x  . Khi đó chi phí là thấp nhất và 4 3 13
điểm S nằm cách A một đoạn SA  4  x  4   . 4 4 Vậy đáp án là B. Câu 2. THTT SỐ 673
Có hai chiếc cọc cao 10 m
và 30 m lần lượt đặt tại hai vị trí ,
A B. Biết khoảng cách
giữa hai cọc bằng 24 m .
Người ta chọn một cái chốt
ở vị trí M trên mặt đất nằm
giữa hai chân cột để giang
dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào
đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? A. AM  6 , m BM  18 . m B. AM  7 , m BM  17 . m C. AM  4 , m BM  20 . m D. AM  12 , m BM  12m.
Hướng dẫn giải : Đặt
AM  x(0  x  24)  BM  24 x . Ta có CM  2 CA  2 AM  2 x  100 2 MD  2 MB  2
BD  24  x   900 .Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là : 2
CM  MD    x   2 24 900
x  100  f (x),(0  x  24)
Khảo sát hàm ta được: x  6 m  BM =18 m. Chọn A. Câu 3. ĐỒNG QUAN 1
Một kho hàng được đặt tại
ví trí A trên bến cảng cần được chuyển tới kho C
trên một đảo, biết rằng
khoảng cách ngắn nhất từ kho C đến bờ biển AB 2 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
bằng độ dài CB  60 km và khoảng cách giữa 2 điểm ,
A B là AB 130km . Chi phí
để vận chuyển toàn bộ kho hàng bằng đường bộ là 300.000 đồng/km, trong khi đó chi
phí vận chuyển hàng bằng đường thủy là 500.000 đồng/km. Hỏi phải chọn điểm trung
chuyển hàng D (giữa đường bộ và đường thủy) cách kho A một khoảng bằng bao
nhiêu thì tổng chi phí vận chuyển hàng từ kho A đến kho C là ít nhất? A. 45 km B. 65 km C. 85 km D. 105 km Hướng dẫn giải Đặt
BD  x(0  x  130)  AD  130 x . Ta có
CD  DB2  DC 2  x 2  3600
Chi phí vận chuyển hàng là : f (x )  3000.(130  x )  5000 x 2  3600
Khảo sát hàm ta được: x  45 km  AD=85km. Chọn C.
Câu 4. (THPT NGUYỄN VĂN CỪ)
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400km . Vận tốc dòng
nước là 10km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng
tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E v  cv3t , trong đó c là một hằng
số, E được tính bằng jun . Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
A.12km / h
B.15km / h
C.18km / h
D. 20km / h Hướng dẫn giải: 400
Thời gian cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400km là: v 10 3 400v
Suy ra công thức E v  3
cv t  c v 10
Ta thay thế 4 đáp án của đề vào ta được bảng sau:
A. 12km / h E  28800c
B. 15km / h E  18800c
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 3 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
C. 18km / h E  16200c
D. 20km / h E  16000c Chọn đáp án D.
Câu 5. (PTDTNT VÂN CANH)Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là
200km . Vận tốc của dòng nước là 8km / h . nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là
v km / h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: 3 (
E v)  cv t (trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun ). Tìm vận tốc bơi của cá
khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất
A. 12 km / h
B. 9 km / h
C. 10 km / h
D.15 km / h Hướng dẫn giải: 200
Thời gian cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 200km là: v 8 3 200v
Suy ra công thức E v 3
 cv t  c v8
Ta thay thế 4 đáp án của đề vào ta được bảng sau:
A. 12km / h E  86400c B. 9km / h E  345600c
C. 10km / h E  100000c
D. 15km / h E  16000c Chọn đáp án D.
Câu 6. (SỞ NAM ĐỊNH) Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh t
dần với gia tốc a t     2 1
m/s  . Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô 3 bắt đầu tăng tốc. A. 90m . B. 246m . C. 58m . D. 100m . Hướng dẫn giải Chọn A.
Đổi 36 km h  10 m s . 4 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) t
Khi ô tô chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a t     2 1 m s  3 2  t  t
 Vận tốc của ô tô khi đó là v  a t  dx  1 dx  t   C    m s  3  3 2 0
Khi ô tô bắt đầu tăng tốc thì v 0  10  0 
 C  10  C  10 . 3 2 t  v  t 
10 m s 3
Vậy quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc là 6 2  t  s  t 
10 dt  90 m   . 3 0  
Câu 7. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB  25km ,
BC  20 km và M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Một người cưỡi ngựa xuất phát từ
A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X thuộc đoạn MN rồi lại đi thẳng từ X
đến C. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABNM là 15km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên
phần MNCD là 30 km/h . Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ? 2 5 41 4  29 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 3 Hướng dẫn giải 25 km A B Chọn A. 15 km/h 20 km
Gọi MX  x km với 0  x  25 X M N x Quãng đường AX  x2 102 2 x 100 30 km/h  thời gian tương ứng h 15 D C 25  x2 102 Quãng đường CX  2
x  50x  725 thời gian tương ứng h 30 2 2 x 100
x  50x  725
Tổng thời gian f  x  
với x 0; 25 , tìm giá trị nhỏ nhất f  x 15 30 x x  25
f  x  
, f  x  0  x  5 2 2 15 x 100
30 x  50x  725 4  29 1 29 2 5
Tính các giá trị f 0 
 1,56 , f  25 
 2,13 , f 5   1, 49 6 3 3
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 5 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 5
Vậy hàm số đạt GTNN bằng tại x  5 3
Câu 8. (SỞ HẢI PHÒNG) Bạn An ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới vận tốc chuyển động của máy
bay là v t  2
 3t  5m/s . Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là A. 996m. B. 876m . C. 966m. D. 1086m . Hướng dẫn giải Chọn C. 10 10
Quãng đường cần tìm là   2
3t  5 dx  3
t  5t   966. 4 4
Câu 9. (SỞ BẮC GIANG) Mương nước  P thông với mương nước Q , bờ của mương nước  P
vuông góc với bờ của mương nước Q . Chiều rộng của hai mương bằng nhau và bằng 8m .
Một thanh gỗ AB , thiết diện nhỏ không đáng kể trôi từ mương  P sang mương Q . Độ dài
lớn nhất của thanh AB (lấy gần đúng đến chữ số phần trăm) sao cho AB khi trôi không bị vướng là (Q) B Q O A (P) P A. 22,63m . B. 22,61m . C. 23, 26m . D. 23, 62m . Hướng dẫn giải Chọn A. J H B 8m Q 8m O I A P
Thanh gỗ trôi qua được khi thanh gỗ chạm điểm O thì OA  OB . Vậy AB
khi OA  OB ( A nằm trên bờ mương  P , B nằm trên bờ mương Q ). Do hai max
mương có chiều rộng bằng nhau nên tam giác HAB vuông cân tại H . Khi đó 2 2
AB  16 16  16 2  22, 627. 6 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 10. (SỞ QUẢNG NINH) Một vận động viên đua xe F đang chạy với vận tốc 10m/s thì anh ta
tăng tốc với gia tốc a t   t  2
6 m/s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc
tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu? A. 1100 m . B. 100 m . C. 1010 m . D. 1110 m . Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có v t    atdt   6tdt  3t2  C; v0 10  3.02  C 10  C 10  vt  3t2 10
Quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 10 10
s  v t dt     2
3t  10dt  1100m . 0 0
Câu 11. (SỞ VŨNG TÀU) Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t   30  2t (m/s). Hỏi
trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét? A. 50 . m B. 225m. C. 125m. D. 25m. Hướng dẫn giải: Chọn D.
Khi vật dừng lại thì có vận tốc bằng 0 nên thời gian từ lúc bắt đầu giảm tốc và giữ nguyên gia
tốc đến lúc dừng hẳn là: v t   30  2t  0  t  15s . 15
Do đó, quãng đường vật di chuyển được ở 5s cuối là: S   30  2tdt  25m. 10
Câu 12. (SỞ VŨNG TÀU) Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t   30  2t (m/s). Hỏi
trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét? A. 50m. B. 225m. C. 125m. D. 25 . m Hướng dẫn giải: Chọn D.
Khi vật dừng lại thì có vận tốc bằng 0 nên thời gian từ lúc bắt đầu giảm tốc và giữ nguyên gia
tốc đến lúc dừng hẳn là: v t   30  2t  0  t  15s . 15
Do đó, quãng đường vật di chuyển được ở 5s cuối là: S  30  2t dt  25 . m  10 1
Câu 13. (GIA LỘC) Một chuyển động theo quy luật 3 2
s   t  9t , với t (giây) là khoảng thời gian từ 2
lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó.
Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu?
A. 54 m / s .
B. 216 m / s .
C. 30 m / s .
D. 400 m / s .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 7 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải Chọn A. 3 v t  2
 s   t 18t và a t   vt   3  t 18 2
Cho vt   0  t  6
Khi đó: v 0  0 , v 10  30 và v 6  54 .
Vậy: Vận tốc lớn nhất của vật là 54 m / s tại thời điểm t  6 .
Câu 14. (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó,
ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t   12t  24 m/ s , trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô
còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 18 m . B. 15 m . C. 20 m . D. 24 m . Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có: v t   12t  24  0  t  2 . Quản đường ôtô di chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng 2
hẳn là : S  12t  24 dt  24  . 0
Câu 15. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang ( chiều
dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a t   t   2 2
7 m / s  . Biết
vận tốc đầu bằng 10m / s . Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. 5 s  . B. 6  s . C. 1s . D. 2 s . Hướng dẫn giải Chọn D
Vận tốc của chất điểm: v t   a t  2
dt  t  7t  C 
Do vận tốc đầu bằng 10m / s nên v 0  10  C  10  v t  2
 t  7t 10 t 3 2 t 7t
Quãng đường chất điểm đi được sau t(s) : s t   a t dt   10t  3 2 0 3 2 t 7t
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của s t   
 10t, t 0;6 3 2 st  2
 t  7t 10, st   0  t  2;t  5 26 25
Ta có s 0  0; s 2  ; s 5  ; s 6  6 3 6
Vậy t  2 s thì chất điểm ở xa nhất về phía bên phải. 8 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 16. (THANH CHƯƠNG ) Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển
đến thường nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi 2 t
sinh sản người ta phát hiện ra quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là s    4t , 10
với t (giờ) là khoảng thời gian tính từ lúc cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường
cá bơi được trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi đó vào một dòng sông có vận tốc
dòng nước chảy là 2 (km/h). Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng
nước đến nơi đẻ trứng. A. 8 km. B. 30 km. C. 20 km. D. 10 km. Hướng dẫn giải Chọn D. t
Vận tốc con cá khi bơi trong nước yên lặng là v t   s' t     4 (km/h). 5
Gọi vận tốc và quãng đường con cá khi bơi ngược dòng lần lượt là V t ; St  . t
V t   v t   v    2 (km/h). nuoc 5 2 t
S t   V tdt    2t  C . 10
Khi t  0 thì S 0  0  C  0 . t
Khi đến nơi đẻ trứng thì vận tốc bằng 0 nên V t     2  0  t  10 (h). 5
Khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng: 2 10 S 10    2.10 10 (km). 10
Câu 17. HÀ NỘI – AMSTERDAM
Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m,
cùng nằm về một phía bờ sông như
hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B
đến bờ sông lần lượt là 118m và
487m. Một người đi từ A đến bờ
sông để lấy nước mang về B. Đoạn
đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 569,5 m B. 671,4 m C. 779,8 m D. 741,2 m Hướng dẫn giải
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 9 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B.
dễ dàng tính được BD  369, EF  492. Ta đặt EM  x, khi đó ta được: MF 
 x AM  x  BM    x 2 2 2 2 492 , 118 , 492  487 .
Như vậy ta có hàm số f x  được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:
f x  x     x 2 2 2 2 118 492  487 với x 0;492   
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x  để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác
định được vị trí điểm M.   x  x 492 x f '   . 2 2 x  118 492x2 2  487   x  x 492 x f '  0    0 2 2 x  118 492x2 2  487 x 492  x   2 2 x  118 492x2 2  487
 x 492 x2 2
 487  492 x 2 2 x  118    x
 492 x2  487   492 x2 2 2  2 2 x  118      0   x  492 487x 
2  58056118x2
 0 x  492   58056 58056 x   hay x   58056   605 369  x  0   x  605 492  10 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 58056  
Hàm số f x  liên tục trên đoạn 0; 492    
 . So sánh các giá trị của f (0), f  ,  605  58056 f 492  
ta có giá trị nhỏ nhất là f    779, 8m  605 
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Vậy đáp án là C.
Câu 18. (PHÚ XUYÊN) Một ngọn hải đăng đặt
tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5
km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C
cách B một khoảng là 7km Người canh hải
đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên
bờ biển với vận tốc 4 km / h rồi đi bộ đến
C với vận tốc 6 km /h (xem hình vẽ ở dưới
đây). Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho nhanh nhất. 74 29 A. . B. . C. 29. D. 2 5. 4 12 Hướng dẫn giải
Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x  là hàm số tính thời gian người canh hải đăng
phải đi.Đặt BM  x thì ta được: MC  7  x, AM  x 2  25 . Theo đề bài,
Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h
rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h , như vậy ta có hàm số f x  được xác định như sau:     f x 2 2 x 25 7 x 3 x 25 2x  14    với x 0;7  4 6 12  
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x  để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M.   f 'x  1  x   3  2  . 2 12  x  25  x f 'x 3 2  0 
 2  0  3x  2 x  25  0 2 x  25 2
 2 x  25  3x  2 5  x  100  x     2  5       x  2 5. x   0 x   0  
Hàm số f x  liên tục trên đoạn 0; 7   và ta có:
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 11 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)  f   29  f   14 5 5  f   74 0 , 2 5 , 7  . 12 12 4 14  5 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của f x  là
tại x  2 5. Khi đó thời gian đi là ít nhất 12
và điểm M nằm cách B một đoạn BM  x  2 5.
Câu 19. (SỞ HẢI PHÒNG) Một chất điểm chuyển động theo phương trình 3 2
S  t  9t  t 10 trong
đó t tính bằng (s) và S tính bằng (m). Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:
A. t  2s
B. t  3s
C. t  6s
D. t  5s
Câu 20. (HÀ HUY TẬP) Có một bể bơi hình chữ nhật rộng 50m , dài 200m . Một vận động viên chạy
phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm A , chạy đến điểm M và bơi từ điểm M đến
điểm B (như hình vẽ). Hỏi nên chọn điểm M cách A gần bằng bao nhiêu mét để đến B nhanh
nhất (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết vận tốc chạy 4,8m/s , vận tốc bơi 2, 4m/s . A M 50m 200m B
A. AM  171m .
B. AM  182m .
C. AM  179m .
D. AM  181m . 1
Câu 21. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
s   t  9t với t (giây) là 2
khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và y(2)  22 (mét) là quãng đường vật đi
được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển
động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 216 m/s .
B. 30 m/s .
C. 400 m/s.
D. 54 m/s . HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. 3
Vận tốc tại thời điểm t là 2
v(t)  s (
 t)   t 18 . t 2
Do đó vận tốc lớn nhất của vật đạt được khi v (  t)  3
 t 18  0  t  6 .
Câu 22. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quảng
đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút), hàm số đó là 2 3
s  6t – t . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
A. t  3s .
B. t  6s .
C. t  2s .
D. t  4s .
Câu 23. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Một vật chuyển động với vận tốc 10m / s thì tăng tốc với gia tốc
được tính theo thời gian t là a t  2
 3t  t . Tính quảng đường vật đi được trong khoảng 10s kể
từ khi bắt đầu tăng tốc. 3400 4300 130 A. km . B. km . C. km . D. 130km . 3 3 3 12 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 24. (QUẢNG XƯƠNG ) Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi
công thức v(t)  5t  1, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn
vị mét. Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là: A. 15m . B. 620m . C. 51m . D. 260m . 10 Chọn D
S  (5 t1) dt  260 (m)  0
Câu 25. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)  160 10t (m / s).
Tìm quãng đường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0 (s) đến thời điểm vật dừng lại. A. S  2560 . m
B. S  1280m.
C. S  2480m.
D. S  3840m. Chọn B.
Ta có, vật dừng lại khi v(t)  0  160 10t  0  t  16 s .
Khi đó, quãng đường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0 (s) đến 16
thời điểm vật dừng lại là S   160 10tdt 1280m. 0
Câu 26. (HỒNG QUANG) Một chiếc xe bắt đầu khởi hành nhanh dần đều với vận tốc v(t)  3t (m / s)
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ khi xe bắt đầu chuyển động. Sau khi khởi
hành được 5 giây thì chiếc xe giữ nguyên vận tốc và chuyển động thẳng đều. Tính quãng đường
chiếc xe đi được sau 10 giây. A. 150 m B. 75 m C. 2812, 5 m D. 112, 5 m
Câu 27. (NGÔ SĨ LIÊN) Một vật chuyển động theo quy luật s t   6t2  2t3 với t (giây) là khoảng thời
gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian
đó. Hỏi trong khoảng 6 giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu?
A. 6 m/s .
B. 4 m/s .
C. 3m/s . D. 5m/s . Chọn A.
Vận tốc của vật là: v t   st   6t2 12t  6 t 12  6  6 .
Vận tốc lớn nhất của vật là 6 m / s.
Câu 28. (NGÔ SĨ LIÊN) Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện
có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì vậy, người
lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t   5  t  20 (
m/s ), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp
phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)? A. 5 m . B. 4 m . C. 6 m . D. 3 m . Chọn A.
Xe đang chạy với vận tốc v  20 m/s tương ứng với thời điểm t  0 s
Xe đừng lại tương ứng với thời điểm t  4 s .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 13 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 4 4  5 
Quảng đường xe đã đi là S   5  t  20 2
dt   t  20t  40    m .  2  0 0
Vậy ô tô cách hàng rào một đoạn 45  40  5m .
Câu 29. (CHUYÊN KHTN) Tại một thời điểm t trước lúc đỗ xe ở trạm dừng nghỉ, ba xe đang chuyển
động đều với vận tốc lần lượt là 60km / ;
h 50km / h và 40km / .
h Xe thứ nhất đi thêm 4 phút thì
bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 8; xe thứ hai đi thêm 4
phút, bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 13, xe thứ hai đi thêm
8 phút, bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 12. Đồ thị biểu diễn
vận tốc ba xe theo thời gian như sau: (đơn vị trục tung x 10km / ,
h đơn vị trục hoành là phút). Xe thứ nhất 6 Xe thứ hai 5 Xe thứ ba 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Giả sử tại thời điểm t trên, ba xe đang cách trạm lần lượt là d , d , d . So sánh các khoảng cách này. 1 2 3
A. d  d  d .
B. d  d  d .
C. d  d  d .
D. d  d  d . 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 Chọn D. 4 9  50  d  60.4 
60 15t dt  360 d  50.4  50  t dt  445 1    ; 2    9  0 0 4 d  40.8  40 10t dt  400 3    0
Câu 30. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m / s thì người lái
hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t   3
 8t 19m / s, trong đó t là
khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi
dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 4, 75 . m B. 4,5 . m C. 4, 25 . m D. 5 . m Chọn A. 1
Ta có thời gian ô tô bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là : 3
 8t 19  0  t  s . Trong 2
khoảng thời gian này ô tô di chuyển một đoạn đường : 14 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1 1 2 19 s   38 
t  19dx    2 19 
t 19t  2 
m  4,75m . 0 4 0
Câu 31. (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở
độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống.
Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật
v t   10t  t2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t  được tính
theo đơn vị mét/phút ( m/p ). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là
A. v  5m/p .
B. v  7 m/p .
C. v  9 m/p .
D. v  3m/p . Đáp án: C.
Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là t  0 , thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là t . 1
Quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm t  0 đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là t là 1 1 t 3  t 2 10t  t  2 1 dt  5t   162 1 3 0
 t  4,93  t  10,93  t  9
Do v t   0  0  t  10 nên chọn t  9 .
Vậy khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là v 9  10.9  92  9m/p
Câu 32. (TRUNG GIÃ) Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v  30 ( m/s ) thì đột ngột thay
đổi gia tốc a t   4  t ( m/s2 ). Tính quãng được đi được của chất điểm kể từ thời điểm thay
đổi gia tốc đến thời điểm vận tốc lớn nhất. 848 424 128 64 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 
Câu 33. (CÔNG NHIỆP) Một vật chuyển động với gia tốc a t   201 2t 2 (m / s2 ) . Khi t  0 thì
vận tốc của vật là 30 (m / s) . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây ( m là mét, s là giây). A. 46 m . B. 48 m . C. 47 m . D. 49 m .
Câu 34. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc v  15m / s thì tăng 0
vận tốc với gia tốc a t  2  t  t  2
4 m / s  . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong
khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 68, 25m . B. 70, 25m . C. 69, 75m . D. 67, 25m . Giải Chọn C. 1 1
v t     2t  4t 3 2 dt 
t  2t  C . Mà v 0  15  C  15 nên v t  3 2  t  2t 15 3 3
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 15 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 3  1   1 2  279 S t  3 2 4 3 3 
t  2t 15 dt  t  t  15t   69, 75 m     . 0    3   12 3  4 0
Câu 35. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban
đầu 29, 4 m / s . Gia tốc trọng trường là 9,8 2
m / s . Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc
bắn lên cho đến khi chạm đất. A. S  88, 2 . m B. S  88,5 . m C. S  88 . m D. S  89 . m Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quảng đường đi được là 2 2
v  v  2as nên 0
quãng đường đi được từ lúc bắn lên đến khi dừng lại là : 2 2
v  v  s . 0 2 2 2 v  v 0  29, 4 0 s    44,1 2a 2.9.8
Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là S  44,1.2  88, 2m .
Câu 36. (NGÔ GIA TỰ) Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường
s mét  đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t  giây , hàm số đó là 2 3
s  6t – t .
Thời điểm t  giây mà tại đó vận tốc v m/s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t  4s .
B. t  2s .
C. t  6s .
D. t  8s . Hướng dẫn giải Chọn B.
 Hàm số vận tốc là v  st  2  3
 t 12t , có GTLN là v  12 tại t  2 max
Câu 37. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất
hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm
dần đều với gia tốc a 2
m / s . Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a
thuộc khoảng nào dưới đây. A. 3;4 . B. 4;5 . C. 5;6 . D. 6;7 . Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi x t  là hàm biểu diễn quãng đường, vt  là hàm vận tốc. t
Ta có: v t   v0  adt   
at  v t   at 15 . 0 t t 1
x t   x0  vt dt  at 15 2
dt   at 15   t 2 0 0 1 x t  2
  at 15t 2 at  v t   15  0  0  15 8 45 Ta có:    1  
t 15t  20  t   a  . x t  2  20
 at 15t  20   2 3 8  2 16 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 38. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một chất điểm chuyển động theo phương trình 3 2 S  2
 t 18t  2t 1,
trong đó t tính bằng giây s  và S tính bằng mét m . Tại thời điểm bài thì vận tốc chất điểm
đạt giá trị lớn nhất?
A. t  5s .
B. t  6s .
C. t  3s .
D. t  1s . Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có: v t  2  S  6
 t  36t 1 và vt   12t  36 , cho vt   0  t  3
Lập BBT suy ra t  3s thì vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 55 m / s .
Câu 39. (NGUYỄN KHUYẾN) Một chất điểm chuyển động theo quy luật 3 2 s  t
  6t 17t , với t
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi
được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc v m / s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất
trong khoảng 8 giây đầu tiên bằng
A. 17 m/s .
B. 36 m/s . C. 26 m/s
D. 29 m/s . Chọn D.
Vận tốc của chất điểm là v  s  3t2  12t 17  3t  22  29  29 .
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng 29 khi t  2 .
Câu 40. (SỞ HÀ NỘI) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t  7t m / s . Đi 1    
được 5s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động
chậm dần đều với gia tốc a  70 m / s2 . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc
bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. S  95, 70 m .
B. S  96, 25m .
C. S  87, 50 m .
D. S  94, 00m . Hướng dẫn giải Chọn B.
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe lăn bánh đến khi được phanh: 5 5 5 2 t S 
(t)dt  7tdt  7  87,5 (m). 1 1  v  2 0 0 0
Vận tốc v (t) (m/s) của ô tô từ lúc được phanh đến khi dừng hẳn thoả mãn 2 v (t) 
v (5)  v (5)  35  C  385 . Vậy v (t)  7  0 t 385 . 2 1 2
 (70)dt=  70t  C , 2
Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn v (t)  0  t  5, 5 (s). 2
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn: 5,5 5,5 S 
v (t)dt  ( 7
 0t  385)dt  8, 75 2 1   (m). 5 5
Quãng đường cần tính S  S  S  96, 25 (m). 1 2
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 17 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 41. (TT DIỆU HIỀN) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm
đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)  10  5t m/s với t là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. A. 10m . B. 20m . C. 2m . D. 0, 2m . Hướng dẫn giải 2
Quảng đường xe đi được sau khi đạp phanh là s  10  5t  dt  10  . 0
Câu 42. (HAI BÀ TRƯNG) Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v t  2
 3t  6t (m/s). Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm t  0 (s), 1 t  4 (s). 2 A. 16. B. 24. C. 8. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A. 4 4 4
Quãng đường chất điểm đi được là: S  v t  dt    2
3t  6t dt   3 2
t  3t   16. 0 0 0
Câu 43. (TIÊN LÃNG) Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sông được chia làm hai phần.
Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ
lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v  10 (km/giờ) thì phần thứ hai bằng 30 nghìn
đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông là
nhỏ nhất ( kết quả làm tròn đến số nguyên).
A. 10 (km/giờ).
B. 25 (km/giờ).
C. 15 (km/giờ).
D. 20 (km/giờ). Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi x(km / h) là vận tốc của tàu, x  0 1
Thời gian tàu chạy quãng đường 1km là: (giờ) x 1 480
+) Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là:  480  . ( ngàn đồng) x x
+) Hàm chi phí cho phần thứ hai là 3
p  kx ( ngàn đồng/ giờ)
Mà khi x  10  p  30  k  0,03 . Nên 3
p  0, 03x ( ngàn đồng/ giờ) 1
Do đó chi phí phần 2 để chạy 1 km là: 3 2
 0,03x  0,03x . ( ngàn đồng) x 480 240 240 Vậy tổng chi phí: 2 2 3 f (x)   0,03x  
 0,03x  3 1728  36. x x x
Dấu ’’=’’ xảy ra khi x  20 18 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2
Câu 44. (TIÊN LÃNG) Một vật di chuyển với gia tốc a t      t   2 20 1 2
m/s  . Khi t  0 thì vận tốc
của vật bằng 30 m/s . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 48 m . B. 68 m . C. 108 m . D. 8 m . Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi v t m/s, s t m lần lượt là vận tốc và quãng đường của chuyển động, khi đó ta có
a t   vt,vt  st  hay vt   at dx, s t   vt dt     20   t 10
v t   201 2t    1 2 1 2 dt   C   C 2 1  1 2t 10
Vì khi t  0 thì vận tốc của vật bằng 30 m/s nên v 0 
 C  30  C  20 . 1  2.0 10
Do đó v t    20 . 1 2t
Quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây là 2  10  s   20 dt   
5ln 1 2t  20t 2  5ln5  40  48,0471896  1 2t  0 0 1 3 2
Câu 45. (GIA LỘC) Một chuyển động theo quy luật s   t  9t , với t (giây) là khoảng thời gian từ 2
lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó.
Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu?
A. 54 m / s .
B. 216 m / s .
C. 30 m / s .
D. 400 m / s . Hướng dẫn giải Chọn A. 3 2
v t   s   t 18t và a t   vt   3t 18 2
Cho vt   0  t  6
Khi đó: v 0  0 , v 10  30 và v 6  54 .
Vậy: Vận tốc lớn nhất của vật là 54 m / s tại thời điểm t  6 .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 19 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
TỔNG ÔN: BÀI TOÁN THỰC TIỄN 2017
Chủ đề 2. LIÊN QUAN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH
Câu 1. (Chuyên Thái Bình) Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng
khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp
càng tốt(tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác
định là V cho trước. Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là A. 3 2 2V . B. 3 2 6 V . C. 3 2 3 6V . D. 3 2 3 2V . Hướng dẫn giải Chọn D h h R a b
Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ V 2V Thể tích không đổi 2 2 2
V   R h  h 
, S  2 R  2 Rh  2 R  2 tp  R R V V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương 2 2 R , , R R V V V V Ta có 2 2 3 2 3 S  2 R    3 2 R . .  3 2V (*) tp R R R R
Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích không đổi V V V  V V 
V  abh  h 
; S  2ab  2a  b h  2ab  2 . a  2 . b  2 ab   tp   ab ab ab  b a  V V
Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho bộ ba số dương a ; b ; a b 20 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) V V Ta có 3 2 3 S  2.3 . ab .  6 V (**) tp a b
Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn
Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là 3 2
S  3 2V (đvdt) tp
Câu 2. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm , đường kính đáy là
6cm , lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm . Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng
đường kính là 2cm . Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu
cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số). A. 4,81cm . B. 4, 25cm . C. 4, 26cm . D. 3,52cm . Hướng dẫn giải Chọn C. r  3 V
  r2.h   .15.32  135 . coc nuoc
Thể tích V của cốc nước sau khi thả 5 viên bi : 1 4 290 2 3 
V   .10.3  5.  .1  . 1 3 3 29  0 115
Thể tích của phần còn trống : V  V V  135   . 2 1 3 3
Gọi h là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc . 1 11  2 5 115  3 .h   h   4, 26cm . 1 1 3 27
Câu 3. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài
bồn là 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã
rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của
khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị m3 ) 0, 5 m 0,5m A. 3 12, 637m . B. 3 114,923m . C. 3 11, 781m . D. 3 8, 307m . Hướng dẫn giải Chọn A
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 21 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) C B A H O R OB
Nhận xét OH  CH  0,5   suy ra O
 HB là tam giác nửa đều 22 2  
 HOB  60  AOB  120 1 1
Suy ra diện tích hình quạt OAB là: 2
S   R   3 3 2 OB 3 3 Mặt khác: S  2S  S   ( B  OC đều) AOB HOB B  OC 4 4 1 3
Vậy diện tích hình viên phân cung AB là   3 4  1 3 
Suy ra thể tích dầu được rút ra: V  5.   1   3 4    Thể tích dầu ban đầu: 2
V  5..1  5 Vậy thể tích còn lại: 3
V  V V  12, 637m . 2 1
Câu 4. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG) Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm , người ta cắt ra
hình quạt tâm O bán kính OA  4 dm (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón
(khi đó OA trùng với OB ). Chiều cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là A. 3,872 dm . B. 3,874 dm . C. 3,871 dm . D. 3,873 dm . Hướng dẫn giải: Chọn D. 
Ta có cung AB có độ dài bằng .4  2 . 2 O
Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh OA .
Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó 4 dm 4 dm OA trùng với h
OB ) thì chu vi C đường tròn đáy bằng độ dài cung AB bằng 2 A  B
2 . Khi đó bán kính đáy là C  2 R  R   1. 2 I 22 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Xét tam giác OIA vuông tại I có OA  4 dm , IA  R  1 dm .
h  OI trong đó 2 2 2 2 2
OI  OA  IA  4 1  15  OI  15  3,873 . Vậy h  3,873 . S
Câu 5. (QUỐC HỌC HUẾ) Người ta dựng một cái lều vải
 H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như
hình vẽ bên. Đáy của  H  là một hình lục giác đều c
cạnh 3 m . Chiều cao SO  6 m ( SO vuông góc với 6 c5 c 1m
mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của  H  là các sợi 1
dây c , c , c , c , c , c nằm trên các đường 1 2 3 4 5 6 c2 c3 c4
parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử O
giao tuyến (nếu có) của  H  với mặt phẳng  P
vuông góc với SO là một lục giác đều và khi  P 3m
qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m
. Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều  H  đó. 135 3 96 3 A. ( 3 m ). B. ( m3 ). 5 5 135 3 135 3 C. ( 3 m ). D. ( m3 ). 4 8 Hướng dẫn giải Chọn D. A0;6
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua
3 điểm có tọa độ lần lượt là A0;6 , B 1;3 , C 3;0 nên 1 7 2
có phương trình là y  x  x  6 2 2 B 1;3
Theo hình vẽ ta có cạnh của “thiết diện lục giác” là BM . 7 1
Nếu ta đặt t  OM thì BM   2t  (chú ý là ta phải 2 4
lấy giá trị có dấu “  ” trước dấu căn và cho B chạy từ C đến A ). C 3;0
Khi đó, diện tích của “thiết diện lục giác” bằng 2 2 BM 3 3 3  7 1 
S t   6.    2t 
 với t 0; 6 . 4 2  2 4    2 6 6 3 3  7 1  135 3
Vậy thể tích của “túp lều” theo đề bài là: V  S t  dt    2t   dt  ...    2  2 4  8 0 0   Cho khối chóp .
O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Biết OA  1 ,
Câu 6. (SỞ QUẢNG NAM) Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 23 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn
có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng
hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng và có chiều cao bằng 20 cm
(xem hình minh họa). Biết rằng đổ 3
4.000 cm nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy
được vào bên trong phễu), tính bán kính đáy r của phễu (giá trị gần đúng của r làm tròn đến hàng phần trăm)
A. r  9, 77 cm .
B. r  7, 98 cm .
C. r  5, 64 cm .
D. r  5, 22 cm . Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: 1 V  . thung h S  S  S . mieng day mieng Sday  3 1  2 2 2 2 = . h  R  r  R . r     3   1 = . h  2 2
 R   r   Rr  3 1 = .
h .2r2 2
  r   .2r.r  3 1 = . h  2 7 r  7 2  . h  .r 3 3 1 1 2 V  . h S  . h  . pheu day r 3 3 Theo giả thuyết 7 2 1 2 V V  4000  . h  .r  .
h  .r  4000 thung pheu 3 3 2  2 .
h  .r  4000 2 4000 4000 100  r    2. . h  2.20.   r  5, 64 cm
Câu 7. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Có một chiếc cốc có dạng như hình vẽ, biết chiều cao của chiếc cốc là
8cm , bán kính đáy cốc là 3cm , bán kính miệng cốc là 6cm . Tính thể tích V của chiếc cốc. 6 cm 8 cm 3 cm 24 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) A.   3 72 cm  . B.   3 48 cm  . C.  3 48 cm  . D.   3 36 cm  . Hướng dẫn giải Chọn C.
Áp dụng công thức tính thể tích hình nó cụt  h  V   8 2 2 R  r  . R r    2 2
6  3 18  168  3 cm  3 3
Câu 8. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r  2m ,
chiều cao h  6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ
như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V . 32 32 32 32 A. V   3 m . B. V   3 m . C. V   3 m  . D. V   2 m  . 9 3 3 9 Hướng dẫn giải Chọn D.
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là r , S
h ' 0  x  2;0  h  6 h h' h 2  x Ta có: 
 h  6  3x 6 2 x 2-x B O A Thể tích khối trụ: 2 2
V   x h   x   x 2 3 6 3
 6 x  3 x 4 2 V (
 x)  12 x  9 x , V (
 x)  0  x  0  x  3 4 32
Khi đó ta có thể suy ra được với x 
thì V đạt giá trị lớn nhất bằng V   2 m  3 9
Câu 9. (CHUYÊN SƠN LA) Từ một nguyên liệu cho trước, một công ti muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 3
100ml . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông và hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ?
A. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
B. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 25 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
C. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy.
D. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy. Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi: R là bán kính đáy hình trụ
l là chiều cao hình trụ
Khi đó hình trụ có thể tích là: 2
V   R l  100ml
Diện tích toàn phần của hình trụ là : 2 2
S  2 Rl  2 R   Rl   Rl  2 R tp
Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm : 2
2 R ,  Rl ,  Rl ta có: 2 3 2 3 2 2 3
S   Rl   Rl  2 R  3  R . l  R .
l 2 R  3 2 . R l. R l  3 2 .100.100  119.27   1 tp Dấu "  " xảy ra 2
  Rl   Rl  2 R  l  2R
Gọi a là độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật
Gọi h là chiều cao hình hộp chữ nhật
Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật là: 2 3
V  a .h  100ml
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: 2 2 S  2a  4 .
a h  2a  2 . a h  2 . a h tp
Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm là: 2 2a , 2 . a h , 2 . a h Ta có: 2 3 2 3 2 2 3 2 S  2a  2 . a h  2 .
a h  3 2a .2 . a . h 2 . a h  3 8a .
h a h  3.2. 100  129.27 2 tp  Dấu "  " xảy ra 2
 2ah  2ah  2a  h  a Từ  
1 ,2  Thiết kế hộp sữa hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kình đáy thì tốn ít nguyên vật liệu nhất.
Câu 10. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối
cầu có bán kính R là 1 4 4 2 32 A. 3  R . B. 3  R . C. 3  R . D. 3  R . 3 3 9 81 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong
một khối cầu thì khối nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớn R
hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai O khối nón đó. R x
Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn C bán kính r . Gọi r
x với 0  x  R là khoảng cách giữa tâm khối cầu đến đáy 26 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối
cầu với đáy là hình tròn C sẽ là h  R  x . Khi đó bán kính đáy nón là 2 2 r 
R  x , suy ra thể tích khối nón là 1 1 1 1 2
V   r h    R  x 2 2
R  x    R  x R  xR  x   R  x R  x2R  2x 3 3 3 6 1
R  x  R  x  R  x3 3 2 2 32 R
Áp dụng BĐT Cô-si ta có V    6 27 81
Câu 11. (SỞ THANH HÓA) Cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có độ dài đường chéo
AC  18 . Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật này. Tìm giá trị lớn nhất của S . A. S  36 3. B. S  18 3. C. S  18. D. S  36. max max max max
Câu 12. (SỞ THANH HÓA) Trong mặt phẳng  P cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 7 và hình
tròn C có tâm A , đường kính bằng 14 (hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay
được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC . B 3434  3 2  3437  2  A. V  . B. V  . 6 6 C A 34312  2  343  2 6  C. V  . D. V  . D 6 6
Câu 13. (Lương Thế Vinh) Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập.
Chiều cao của kim tự tháp này là 144 m , đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh dài 230 m .
Các lối đi và phòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự tháp. Biết một lần vận chuyển
gồm 10 xe, mỗi xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 2, 5.103 kg / m3 . Số lần vận
chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là: A. 740600 . B. 76040 . C. 7406 . D. 74060 . Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi cạnh của hình chóp là a  230 ,chiều cao h  144 1 Thể tích kim tự tháp : 2 3 V  ha  2 539 0 2 0m 3
Thể tích khối đá cần vận chuyển 3
0.7V  1777 440m .
Gọi x là số lần vận chuyển. Để đủ đá xây dựng kim tự tháp thì
Câu 14. (Lương Thế Vinh) Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác
nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 27 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách
đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài mỗi
đường kính của hai quả bóng đó là: A. 64. B. 34. C. 32. D. 16. Hướng dẫn giải Chọn A.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà. Do hai quả cầu
đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, vậy
tâm cầu sẽ có toạ độ là I  ; a ;
a a với a  0 và có bán kính R  a .
Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là 9,
10, 11 nên nói cách khác điểm A9;10;13 thuộc mặt cầu. Từ đó ta có phương trình:
  a2    a2    a2 2 9 10 13  a
Giải phương trình ta được nghiệm a  7 hoặc a  25
Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là 27  25  64 . .
x 10.6000 1777440  x  74060 3 2, 5.10
Câu 15. (QUẢNG XƯƠNG 1) Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi là
12 cm . Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ đó là: A.   3 32 cm  . B.   3 8 cm  . C.   3 16 cm  . D.   3 64 cm . Hướng dẫn giải. Chọn B.
Gọi r là bán kính hình trụ, chiều cao h
Ta có: 2r  h  6  h  6  2r, 0  r  3 3
 r  r  6  2r  Khi đó: 2 2
V   r h   r 6  2r    8  3   
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là   3 8 cm 
Câu 16. (QUẢNG XƯƠNG 1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a ,
SA  SB  SC  a . Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 3 3a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Hướng dẫn giải. 28 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn D.
Kẻ SH   ABCD tại H  H là tâm đường tròn ngoại tiếp A  BC .Mà A
 BC cân tại B và AC  D B  H  D
B . Gọi O là giao điểm AC và BD . Ta có: 2 2 2 2      2 2   2 OB AB OA a SA SO
 SO  SO  OB  OD  S
 BD vuông tại S . 1 1 1 1 1
 SH .BD  SB.SD  V  SH .S  SH . AC.BD  S . B S . D AC  . a AC.SD 3 ABCD 3 2 6 6 S Lại có 2 2 2 2 SD  BD  SB  BD  a . a a a 2 BD Mà 2 2 2 2 2
AC  2OA  2 AB  OB  2 a   4a  BD . A D 4 a H O B a C  2 2 4 1
a  BD    2 2 BD  a a  3 a 2 2 2 2  V  .
a 4a  BD . BD  a  .  . 6 6 2 4
Câu 17. (CHUYÊN KHTN) Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính R , hình hộp có thể tích lớn nhất bằng 8 8 8 A. 3 R . B. 3 R . C. 3 R . D. 3 8R . 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi a , b , c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Thể tích của khối hộp là V  abc 3
 a  b  c  Ta có abc     3 
Mà a  b  c 
a  b  c   R2 2 2 2 2 ( ) 3( ) 3 2
(đường chéo của hình hộp là đường kính mặt cầu)
 a  b  c  2 3R 3 3  2 3R  8R Do đó abc     .  3  3 3  
Câu 18. (CHUYÊN KHTN) Xét các hình chóp S.ABC có cạnh SA  SB  SC  AB  BC  . a Giá trị
lớn nhất của thể tích hình chóp S.ABC bằng ? 3 a 3 a 3 a 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 12 8 4 4
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 29 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 2
HA  SA  SH 
Kẻ SH   ABC  tại 2 2 2
H  HB  SB  SH  2 2 2
HC  SC  SH 
Mà SA  SB  SC  a  HA  HB  HC  H là tâm đường
tròn ngoại tiếp ABC.
Tam giác ABC cân tại B, gọi P  BH  AC  BP  AC AC
và PA  PC  . 2 AB a
Kẻ HK  AB  K  AB  KA  KB   . 2 2 2 BK.BA a Ta có B  KH  B
 PA  BH   . BP 2BP 2 4 2 2 a a
a 4x  a Đặt 2 2 2
BP  x  0  BH   SH  SB  BH  a   . 2 2x 4x 2x Cạnh 2 2 2 2
AC  2AP  2 AB  BP  2 a  x . 2 2 1 1 1
1 a 4x  a Do đó 2 2 V  SH .S  SH . B . P AC  . . .
x 2 a  x S . ABC 3 ABC 3 2 6 2x  2 2
4x  a   4 1 1  2 2 a  x  3 a 2 2 2 2  V 
a 4x  a .2 a  x  . a  . S. ABC 12 12 2 8 5 Dấu "  " xảy ra 2 2
 4x  a  4  2 2 a  x  2 2
 8x  5a  x  a  x  0. 8
Câu 19. (HÀ HUY TẬP) Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu
V , V lần lượt là thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé 1 2 V nhất của tỉ số 1 là V2 5 4 A. . B. . C. 3 . D. 2 . 4 3 Hướng dẫn giải Chọn D. 30 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1
Ta có: Thể tích khối nón là 2 V   r h . 1 3
Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác của góc 
SBO , cắt SO tại I . 2 2 IO OB r r  h Ta có:  
 IS  IO  2 2 IS SB  r r h
Mặt khác: IO  IS  h rh
Do đó ta có bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp là R  IO  2 2
r  h  r 3 3 4 4 r h Thể tích khối cầu là 3 V   R   . 2 3 3
r  h r 3 2 2 3 2  h      
r  r  h 3 2 2 1 1 2  r V  1      2 2 V 4rh h 2 4 2 r 2 3 2 h V 1 t t  1 1     Đặt t  1 ( t  1 )    2 r V 4  2 t 1 4 t 1 2    t  2 1 2 t  2t  3
Đặt f t  
, Điều kiện: t  1, f t  t 1 t  2 1
f t   0  t  3, f 3  8
BBT  f t   8 t   1 V1   2 V2
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 31 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 20. (HÀ HUY TẬP) Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài 1km ,
đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng 1m ; độ dày của lớp bê tông bằng 10cm .
Biết rằng cứ một khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để
xây dựng đường ống thoát nước gần đúng với số nào nhất? A. 3456 bao. B. 3450 bao. C. 4000 bao. D. 3000 bao. Hướng dẫn giải Chọn A.
Thể tích khối bê tông cần làm đường ống là: V    2 2   3 1000 0, 6 0,5  110 m
Số bao xi măng phải dùng là: 110 .10  3456 bao.
Câu 21. (HÀ HUY TẬP) Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R , người thợ thợ thủ công
mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính
thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện. 3 4 3 R 3 4 3 R 3 4 3 R 3 3 3 R A. B. C. D. 3 9 6 12 Hướng dẫn giải Chọn B.
Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0  x  R) (xem hình vẽ) x R O x
Bán kính của khối trụ là 2 2 r 
R  x . Thể tích khối trụ là: 2 2
V   (R  x )2x . R 3 Xét hàm số 2 2
V ( x)   ( R  x )2x, 0  x  R , có 2 2 V (
 x)  2 (R  3x )  0  x  . 3 Bảng biến thiên: 32 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) x R 3 0 R 3
V  x   0  3 4 R 3 V  x 0 9 0 2R 3
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là ; 3 3 4 R 3 V  . max 9
Câu 22. (PHÚ XUYÊN ) Cho hình trụ có diện tích toàn phần 6 . Kích thước của khối trụ bằng bao
nhiêu để thể tích của nó đạt giá trị lớn nhất?
A. r  1, h  2.
B. r  2, h  1.
C. r  1, h  1.
D. r  2, h  2. Hướng dẫn giải Chọn A. 2 3  r 2
S  2 rh  2 r  6  h  với r  0;3 tp r
V   r 2h   (3r  r3 )
Đặt f (r)  3r  r3 ; f (r)  3  3r 2  0  r  1
Suy ra: max f (r)  2 khi r  1  h  2 . 2 Câu 23.  
(SỞ HẢI PHÒNG) Cho tam giác ABC có ABC  45, ACB  30, AB  . Quay tam 2
giác quanh cạnh BC, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng  1 3  3 1 3  1 3  1 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 24 72 3 8 Hướng dẫn giải CHỌN A. Ta có 
BAC  105 . Theo định lý sin trong tam giác B BC AB AB sin105 1 3    nên BC   . sin BAC sin ACB 30 2 O A 1
Ta có AO  BO  . 2 C
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 33 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
V  V  V 2 2
  R BO   R CO 1 2 3 3 2 1 1  1   1 3   1 3 2
  R BC   . .      3 3 2  2      24
Câu 24. (SỞ HẢI PHÒNG) Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng 36 ,
tìm bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất. 3 3 2 A. r  . B. r  . C. r  2 2 . D. r  3. 2 2 Hướng dẫn giải S CHỌN C
Gọi bán kính và thể tích của hình cầu là R và VC 4
Theo giả thiết V  36  3
 R  36  R  3 C N I R M 3 D C
Diện tích xung quanh của hình nón là r A 2 2 H B S
  .r.SA   .r. SH  r (1) xq
SH  SI  IH  R  IH  3  IH  Mà  2 2 2 2 2 IH  IA  HA 
R  r  9  r   2
SH  3  9  r (2) Từ (1) và (2)  S   r    r 2 2 2 . . 3 9  r xq  S   r    r 2 2 2 4 . 3 9  r xq Đặt 2 2 2
t  9  r  r  9  t . Với 0  t  3 (3) 2 2 2 4  S     t     t     t 3 2 . 9 3 9 9 9  . 6
 t 18t  54t 162 xq
Xét hàm số f t  3 2
 6t 18t  54t 162  f t 2  1
 8t  36t  54
 f t  0  t  3   t  1 Bảng biến thiên 34 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) t  3  0 1 3  f t  + - 0 0 f t  8 3 108
Vậy Max f t   8 3 tại t  1  Max S   8 3 tại t  1 xq
Kết hợp (3)  r  2 2 .
Chú ý: Để tìm GTLN của S   r    r 2 2 2 . 3 9
 r4 với 0  r  3 ta có thể dùng Table. xq
Câu 25. (SỞ HẢI PHÒNG) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính
đáy 4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 3 viên bi có cùng đường kính
2cm . Hỏi nước dâng cao cách miệng cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? A. 4cm . B. 2cm . C. 3cm . D. 1cm . Hướng dẫn giải Chọn C. 4 4 3 3
Thể tích 3 viên bi có cùng đường kính 2cm là Vb  3. ..1  3.   4 (cm ) 3 3
Sau khi bỏ 3 viên bi vào nước thì thể tích 3 viên bi chiếm chỗ nước có thể tích là
V  4 (cm3 ) nên nước sẽ dâng và chiếm thể tích là V . b b V 4 b
Do đó mực nước sẽ dâng cao thêm một đoạn là h    1 (cm) t 2 2 . 4
Vậy mực nước cách miệng cốc là 12  8 1  3(cm) .
Câu 26. (CHUYÊN LÀO CAI) Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm
theo OA  OB . Khi đó tỉ số tổng thể tích của hai hình nón V  và thể tích hình trụ V bằng: t  n 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 5 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D 2 1 h  R h A
Thể tích của mỗi khối nón là 2
V  . . R  1 3 2 6 2 2 R  R h  R h O h
Tổng thể tích của hai khối nón là V  2.  n 6 3 B
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 35 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) V 1
Thể tích của khối trụ là 2
V   R h . Vậy n  t V 3 t
Câu 27. (CHUYÊN LÀO CAI) Một hình chóp tứ giác đều có tổng độ dài của đường cao và bốn cạnh
đáy là 33 . Hỏi độ dài cạnh bên ngắn nhất là bao nhiêu? 33 33 A. . B. 33 . C. 11 3 . D. . 17 2 Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi độ dài cạnh đáy là x , đường cao là h , cạnh bên là y 33
Ta có 4x  h  33  h  33  4x(0  x  ) . 4 2 2 x x 2 Độ dài cạnh bên là 2 y   h  y   33  4x 2 2
Độ dài cạnh bên nhỏ nhất khi hàm số: 2 x 33 f (x) 
 33  4x(0  x 
) đạt giá trị nhỏ nhất. 2 4
Khảo sát hàm số f (x) ta có: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x  8
Vậy cạnh bên nhỏ nhất bằng 33 khi cạnh đáy x  8 .
Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Thể
Câu 28. (CHUYÊN LÀO CAI) Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh
ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 như hình bên. Biết
rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 3
1000 cm . Hỏi nếu cho
đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm
chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu ? 1 A. . 3 3 1 B. . 8 1 C. . 64 60 1 D. . 27 Hướng dẫn giải
36 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn B  30  Gọi , h h ,
 r,r h   15 
 lần lượt là chiều cao, bán kính của hình nón phía dưới và phía  2  h h h 30  h
trên của đồng hồ. Ta có: r   ;h  30  ; h r   . Khi đó: thể tích tan 60 3 3 3 của đồng hồ: 2 2 1 1 1   h   30 h   2 
V   r h   r h      h  30  h     3 3 3  3 3        3 2 3 1
 h  27000  2700h  90h  h  1   2   
 90h  2700h  27000 1000 3 3   9 h  20 2
 h  30h  200  0 
 h  20  h  10  h  10  15  3 V  h  1
Do 2 hình nón đồng dạng nên 1     . V  h  8 2
Câu 29. (CHUYÊN ĐHSP) Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính d  40 cm và chiều dài
h  3 m thành một cái xà hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài. Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu xấp xỉ là A. 1, 4 3 m . B. 0,014 m3 . C. 0,14 m3 . D. 0, 4 3 m . Hướng dẫn giải Chọn.C. A D
Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu  thể tích cái xà lớn nhất O B C
 diện tích đáy của cái xà lớn nhất.
 đáy là hình vuông nội tiếp đường tròn đáy. A D
Hình vuông này có đường chéo bằng đường kính đường tròn đáy. O B 2 C  0, 4  1 V
  R2h   .3 ; S  .  hh 0, 42 tru   2  2 1
V  S .h  ; 3 V
 V V  0,14m . hh hh 0, 42 .3 2 go bo di tru hh
Câu 30. (CHUYÊN ĐHSP) Một đống cát hình nón cụt có chiều cao h  60 cm , bán kính đáy lớn
R  1 m , bán kính đáy nhỏ R  50 cm . Thể tích đống cát xấp xỉ 1 2 A. 0,11 3 m . B. 0,1 3 m . C. 1,1 3 m . D. 11 3 m .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 37 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải Chọn C.
h  0, 6 m ; R  1m ; R  0, 5 m . 1 2 2 2
B   R   m , 2
B   R  0, 25  2 m . 2  1   h V 
B  B  BB  0,6 ' ' 
  0,25  .0,25  1.099557429. 3 3
Câu 31. (TT DIỆU HIỀN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng  SAB bằng 0
30 . Gọi M là điểm di
động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM . Khi điểm M
di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S.ABH đạt giá trị lớn nhất bằng: 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 12 Hướng dẫn giải Chọn D S A D H M B C
Góc giữa SC và  SBC  là   0
CSB  CSB  30  BC Ta có 2 2 tan CSB 
 SB  a 3; SA 
SB  AB  a 2 SB
Đặt CM  x,0  x  a  DM  a  x, BM  SH Ta có 
 BM   SAH   BM  AH BM   SA 38 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Ta có 2 1 1 1 1 a S  BC.CM  a , x S  A . D DM  . a a x S S S S ADM   ;     BMC 2 2 2 2 ABM ABCD AMC ADM 2 2 1 a ax Ta có S 
AH.BM  AH  ; 2 2 BH  AB  AH  ABM 2 2 2 a  x 2 2 a  x Thể tích của khối chóp S.ABH là 2 1 1 1 1 a ax 2 x 4 V  S . A S  S . A BH .AH  a 2. .  a . (*) ABH 2 2 2 2 2 2 3 3 2 6 6 a    x a x a x x
Xét hàm số f  x  , x  0; a 2 2   a  x 2 2 a  x
Ta có f   x 
; f  x  0  x  a a  x 2 2 2
Trên đoạn 0; a ta có f  x  0,x 0; a 2
Vậy giá trị lớn nhất của V tại x  a 3  V  a mzx 12 3 2 x 2 1 2a Cách 2: Từ (*) 4 4 V  a .  a . 
. Dấu  khi : x  a . 2 2 6 a  x 6 2a 12
Cách 3: Dễ thấy H nhìn AB dưới góc vuông nên V lớn nhất khi S lớn nhất khi và chỉ S . ABH ABH
khi H  O (tâm của hình vuông )  x  a . Từ đó có kết quả.
Câu 32. (TT DIỆU HIỀN) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A thuộc trục hoành, điểm B nằm trong góc phần tư thứ nhất và    
OB  2017, AOB   , 0    . 
 Khi quay tam giác OAB quanh trục Ox ta được một khối  2 
nón tròn xoay. Thể tích của khối nón đó lớn nhất khi: 6 3 1 2 A. sin   . B. cos  . C. co s  . D. sin   . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A B 201  O A
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 39 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Khi xoay tam giác OAB quanh trục Ox tạo thành hình nón có đường cao là OA  2017.cos
và bán kính đáy là AB  OB.sin   2017.sin  . 1 1 Thể tích khối nón bằng: 2
V   .AB .OA   2017.sin 2 .2017.cos 3 3 1 3 2
  2017 .sin .cos 3   
Xét hàm số f t   2 ( )
1 t t với t  cos ; x t 0  ;1 do   0;   .  2 
Ta có: f  t  2  3t 1 Ta có bảng biến thiên: 3 t  0 1  3 f t   0  f t  3 6
Vậy thể tích khối nón lớn nhất khi cos  hay 2
sin  1 cos   . 3 3
Câu 33. (SỞ QUẢNG NINH) Tính diện tích vải cần có để may một
cái mũ có hình dạng và kích thước (cùng đơn vị đo) được cho
bởi hình vẽ bên (không kể riềm, mép) A. 350 . B. 400 . 30 C. 450 . D. 500 . Hướng dẫn giải Chọn A. 10
Dựa vào hình vẽ ta cần tính diện tích của hai phần: 10
Phần I: Diện tích phần giới hạn bởi hai đường tròn có đường kính là 30 và 10 . 2 2 S  S  S
  .15   .5  200 . 30 1 d 30 d 1  0
Phần II: Diện tích hình nón có đường kính hình tròn đáy là 10 và đường sinh là 30 .
S   .5.30  150 . 2
Vậy diện tích vải cần là S  S  S  350 . 1 2
Câu 34. (SỞ VŨNG TÀU) Một người có một dãi duy băng độ dài 180cm . Người đó cần bọc dãi duy
băng đó đi quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà người này dùng 20 cm để thắt nơ trên
nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dãi duy băng đó có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? 54000 64000 54000 64000 A.  3 cm . B.  3 cm . C.  3 cm . D.  3 cm . 27 27 81 81
40 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải: Chọn B.
Gọi r, h 0  h  40, 0  r  20 là bán kính và đường cao của hình trụ.
Ta có 8r  4h  180  20  160 cm  h  40  2r 3
 r  r  40  2r  64000 40 2 2
V   r h   r 40  2r        3 cm  khi r  cm .  3  27 3
(CHUYÊN TUYÊN QUANG) Người ta muốn xây một 1dm
Câu 35. bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng
tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của 1dm
khối hộp đó lần lượt là 3m ; 1, 2m ; 1,8m
(người ta chỉ xây hai mặt thành bể như hình vẽ
bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm , 1, 8 dm
chiều rộng 10cm , chiều cao 5cm . Hỏi
người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để
xây bể đó và thể tích thực của bể chứa bao nhiêu 1, 2 m
lít nước ? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể). 3 m
A. 738 viên, 5742 lít.
B. 730 viên, 5742 lít.
C. 738 viên, 5740 lít.
D. 730 viên, 5740 lít. Hướng dẫn giải Chọn A.
Thể tích của bể là V  18.11.29  5742l  .
Thể tích của 1 viên gạch là 3
1dm , thể tích cần xây dựng là 3
(30 11).18  738dm , suy ra số
viên ít nhất cần dùng là 738 viên.
Câu 36. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Một chiếc hộp hình trụ được dùng để chứa 1 lít dầu. Kích thước
hình trụ thỏa điều kiện gì để chi phí về kim loại dùng để sản xuất vỏ hộp là tối thiểu.
A. Chiều cao gấp hai lần đường kính đáy.
B. Chiều cao gấp ba lần đường kính đáy.
C. Chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.
D. Chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Hướng dẫn giải
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 41 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn C.
Gọi bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp hình trụ lần lượt là R, h điều kiện R, h  0 .
Chi phí sản xuất hộp phụ thuộc vào diện tích bề mặt của vỏ hộp phải sử dụng. Chi phí nhỏ nhất
khi diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất. 2
S  S  2S  2 Rh  2 R tp xq đ 1
Theo giả thiết thể tích chiếc hộp hình trụ bằng 1 lít nên ta có: 2
 R h  1  h  2  R 1 2 2 2  S  2 . R  2 R   2 R tp 2  R R 3 2 4 R  2 1 S     4 R  , Cho  3 S  0  R  tp 2 2 R R tp 2 R 0 1  3 2 S  – 0  tp 0 Stp Stpmin 1 1 h 1 1
Vậy S nhỏ nhất khi 3 R   h    
 2  h  2R tp 2 2 3  R R  R 1  . 2
Câu 37. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Một cái bồn chứa 36
xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên.
Các kích thước được ghi (cùng đơn vị dm ). Tính thể tích của 18 bồn chứa. 3 4 2 4 A.  . B.  . 3 3 5 3 5 2 C.  4  3 . D. 2 5  4 .3 . Hướng dẫn giải: Chọn D.
Gọi V là thể tích hình trụ có đường cao 36 dm và bán kính đường tròn đáy 9 (dm). 1
V là thể tích nửa hình cầu có bán kính 9 dm . 2 42 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 Ta có 2
V   .9 .36  2916  3 dm  và 3 V 
.9  486  3 cm . 1 2 3
Do đó V  V  2V  3888  3  2 5    3 dm 4 .3 dm  . 1 2
Câu 38. (THANH CHƯƠNG ) Một khối gỗ hình trụ có chiều cao 2m , người ta xẻ bớt phần vỏ của
khối gỗ đó theo bốn mặt phẳng song song với trục để tạo thành một khối gỗ hình hộp chữ nhật
có thể tích lớn nhất bằng 3
1m . Tính đường kính của khối gỗ hình trụ đã cho A.100 cm . B. 60 cm . C.120 cm . D. 50 cm . Hướng dẫn giải Chọn A. 1
Ta có diện tích mặt của khối gỗ hình hộp nằm ở hai đầu là S  . 2
Mặt này là hình vuông (vì trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp một hình tròn thì hình vuông 1
có diện tích lớn nhất), có cạnh là a  S  . 2
Đường kính của khối gỗ hình trụ chính là đường chéo của mặt hình vuông. 1 Do đó đường kính l à d  R 2 
 2  1m  100cm 2
Câu 39. (CHU VĂN AN) Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế
có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan
chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể
tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. h Tính tỉ số . r h h h 4 h 16 A.  3 . B.  2 . C.  . D.  . r r r 3 r 3 Hướng dẫn giải Chọn: A 4
+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) 3 V   r . c 3 1
+ Thể tích khối nón (phần ốc quế) 2 V   r h . N 3 3 1 3  4  h + Theo đề: 2 3 V 
V   r h   r   3 N   4 C 3 4  3  r
Câu 40. (THẦY HIẾU LIVE ) Cần phải xây dựng một hố ga,
dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3 (m3) (Hình 10.1) . Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 43 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có nắp). Chiều
dài của đáy (x) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga. (x,y,h > 0) (Hình 10.1) A. 1 B. 1,5 C. 2 2,5 D.
Câu 41. (THẦY HIẾU LIVE ) Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 98cm, chiều rộng 30cm được
uốn lại thành mặt xung quanh của một thùng đựng nước. Biết rằng chỗ mối ghép mất 2cm.
Thùng đựng được bao nhiêu lít nước: A. 20 lít B. 22 lít C. 25 lít 30 lít D.
Câu 42. (TUY PHƯỚC) Cho hình tròn có bán kính là 6 1 . Cắt bỏ hình 4
tròn giữa 2 bán kính O ,
A OB , rồi ghép 2 bán
kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ).
Thể tích khối nón tương ứng đó là : 81 7 9 7 A. . B. . 8 8 81 7 9 7 C. . D. . 4 2
Câu 43. (KIM LIÊN) Một lon sữa hình trụ tròn xoay có chiều cao 10cm và đường kính đáy là 6cm .
Nhà sản xuất muốn tiết kiệm chi phí cho nguyên liệu sản xuất vỏ lon mà không làm thay đổi
thể tích của lon sữa đó nên đã hạ chiều cao của lon sữa hình trụ trong xoay xuống còn 8cm .
Tính bán kính đáy R của lon sữa mới. 45 65 A. R  c . m B. R  45c . m C. R  c . m D. 2 2
Câu 44. (SỞ HẢI PHÒNG) Một khối lập phương có cạnh 1m. Người ta sơn đỏ tất cả các mặt
của khối lập phương rồi cắt khối lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt
của khối lập phương để được 1000 khối lập phương nhỏ có cạnh 10cm. Hỏi các khối lập
phương thu được sau khi cắt có bao nhiêu khối lập phương có đúng 2 mặt được sơn đỏ? A. 64 B. 81 C. 100 D. 96 44 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 45. (NINH GIANG) Một hình hộp chữ nhật kích thước 6 6 h chứa
một khối cầu lớn có bán kính bằng 3 và 8 khối cầu nhỏ bán kính 3 bằng
. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với 2
các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Thể tích của hình hộp là A. 64  32 7. B. 108  36 7. C. 108 108 7. D. 32  32 7.
Câu 46. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng
lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình
vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung X quanh trục XY . 1251 2 1255  2 2  A. V  . B. V  . 6 12 1255  4 2  1252  2 V  V  Y C. . D. . 24 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C.  Cách 1 :
Khối tròn xoay gồm 3 phần:
Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy 2 5  5  125
bằng có thể tích V     5  . X   2 1  2  4
Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng 5 2 có thể tích 2 2 1  5 2  5 2 125 2 V        2 3  2  2 12   Y
Phần 3: khối nón cụt có thể tích là 5 2   2 2 1     125   2 2  1 1 5 2 5 5 2 5  V             . 3   3 2  2    2  2 2  24    
Vậy thể tích khối tròn xoay là
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 45 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1252 2 1 1255 4 2 125 125 2     
V  V V V     . 1 2 3 4 12 24 24  Cách 2 :
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là 125 2
V   R h  T 4
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là 2 125 2 2 V   R h  2 N 3 6
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là 1 125 2
V   R h  N  3 24 5  4 2
Thể tích cần tìm V  V V V  125 . T 2 N N  24
Câu 47. (HẢI HẬU) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 100cm  200cm , người ta làm các
thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 100cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành
mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V là tổng thể tích của hai 1 2 V
thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số 2 V1 V V V V 1 A. 2  4 . B. 2  1. C. 2  2 . D. 2  . V V V V 2 1 1 1 1
Câu 48. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình 46 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc
với 8 viên bi xung quanh mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của
bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là: A. 2 16 r . B. 2 9 r . C. 2 36 r . D. 2 18 r . HƯỚNG DẪN GIẢI Đáp án B.
Cách giải: + Tính bán kính của diện tích đáy hình trụ: R  r  2r  3R .
Diện tích đáy:  R    r 3 2 2 3  9 r .
Câu 49. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta gọt một
khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội
tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của
các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của
khối lập phương bằng a . Hãy tính thể tích của
khối tám mặt đều đó: 3 a 3 a A. . B. . 4 6 3 a 3 a C. . D. . 12 8 HƯỚNG DẪN GIẢI Đáp án B.
Dựng được hình như hình bên.
+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S.ABCD.
+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD.
+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mặt đáy. a SO 
; BD  cạnh của hình lập phương  a . Suy ra các cạnh của hình vuông 2 2 ABCD  a . 2 3 1 1 1  2   2  a 3 V  Sh  . .    a  . S . ABCD 3 3 2  2   2  12     3 a V  2.V  . khôi đa diên S . ABCD 6
Câu 50. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 47 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc
với 8 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh
của bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là: A. 2 36 pr . B. 2 16 pr . C. 2 18 pr . D. 2 9 pr .
Câu 51. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn
đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần
của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 3
1dm và diện tích toàn phần
của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu? 1 1 1 1 A. d . m B. d . m C. d . m D. d . m 3 2 2 3  
Câu 52. (QUẢNG XƯƠNG ) Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn đường kính AB như
hình vẽ. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Biết AB  4; AD  6 . Thể tích V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là: 56 104 40 88 A. V   . B. V   . C. V   . D. V   . 3 3 3 3 Chọn D M O A N B
Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành
nửa mặt cầu có R  2 ; hình chữ nhật ABCD tạo thành hình trụ
có r  2; h  6 . I P Q 1 4 16
 Thể tích nửa khối cầu là 3 V  .  R  . Thể tích khối trụ là 1 2 3 3 S 2
V   r h  24 2 88
 V  V V  1 2 3 A
Câu 53. (QUẢNG XƯƠNG ) Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) r B
đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của
nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra 16 C ngoài là 3
dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên 9
của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các
đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S của bình nước xq là: 9 10 A. 2 S  dm . B. 2 S
 4 10 dm . xq 2 xq D R 48 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 3 C. 2 S  4 dm . D. 2 S  dm . xq xq 2 Chọn B
Xét hình nón : h  SO  3r , r  OB, l  SA . Xét hình trụ : h  2r  NQ , r  ON  QI 1 1 QI SI 1 r S  QI  S  BO     r   Thể tích khối trụ là : 1 BO SO 3 3 3 2 r 16 2
V   r h  
 r  2  h  6 2 2
 l  h  r  2 10 2  S
  rl  4 10 dm t 1 1 9 9 xq
Câu 54. (SỞ BẮC NINH) Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình
bên. Biết bán kính đáy bằng R  5cm, bán kính cổ r  2cm , AB  3cm , BC  6cm ,
CD  16cm . Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng A.  3 495 cm . B.  3 462 cm .
C. 490 cm3 . D.  3 412 cm . Hướng dẫn giải 2
Thể tích khối trụ có đường cao CD : V   R .CD  400 cm3 . 1   2
Thể tích khối trụ có đường cao AB : V
  r .AB  12  3 cm . 2  M E B r=2 R=5 C F MC CF 5 Ta có    MB  4 MB BE 2 
Thể tích phần giới hạn giữa BC :V   2 2
R .MC  r .MB  78  3 cm . 3  3 Suy ra: V
 V V V  490  3 cm . 1 2 3  Chọn C
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 49 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 55. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp
chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như
nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: A. 65, 09% . B. 47, 64% . C. 82, 55% . D. 83,3% . Chọn B.
Gọi đường kính quả bóng bàn là d . Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d , d , 3d .
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là 3
V  d.d.3d  3d 1 3 3 4 d  d
Thể tích của ba quả bóng bàn: 3
V  3  r  4  . 2 3 8 2
Thể tích phần không gian còn trống: V  V V 3 1 2 3   3 d 3d  3  V
Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: 3 2 2    47, 64% . 3 V 3d 3 1
Câu 56. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. 3
Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 4
chiều cao của nó. Gọi V , V lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó: 1 2
A. 9V  8V .
B. 3V  2V .
C. 16V  9V .
D. 27V  8V . 1 2 1 2 1 2 1 2 Chọn A.
Gọi r là bán kính quả bóng, r là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén. 1 2 r h
Theo giả thiết ta có h  2r  r  2h 1 và OO   . 1 1 2 4 h O r 2 2 1= 2  h   h  3 Ta có 2 2 r    h 2     . r2  2   4  16 O' 3 4 4  h  1 3 3
Thể tích của quả bóng là V   r     h 1 1   3 3  2  6 3 V 8 2 3
và thể tích của chén nước là V  B.h   r h   h 1   . 2 2 16 V 9 2
Câu 57. (HỒNG QUANG) Một chiếc cốc hình trụ có chiều cao 4R , bán kính đáy R. Đặt vào trong cốc 2 quả
bóng hình cầu có bán kính R. Gọi V là phần không gian mà 2 quả bóng chiếm chỗ và V là phần không 1 2 V
gian còn lại trong cốc. Tính tỉ số 1 . V2 3 1 A. B. 2 C. 1 D. 2 2
Câu 58. (HỒNG QUANG) Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính
R = 0,5 m và hai mặt phẳng song song cách đều tâm (như hình vẽ). Biết chiều cao của trống là
h = 0,8 m. Tính thể tích của cái trống. 472 375 A. 3  (m ) B. 3 (m ) 3 59
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 51 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 59 472000 C. 3  (m ) D. 3 (m ) 375 3
Câu 59. (ĐỨC THỌ) Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có độ dài cạnh
bằng 3 ; K là trung điểm BC . Người ta dùng compha có tâm là S , S
bán kính SK vạch một cung tròn MN . Lấy phần hình quạt gò
thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là S , cung MN thành
đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính thể tích khối nón trên. M N  105 3 B C A. . B. . K 64 32 3 3  141 C. . D. . 32 64
Câu 60. (NGÔ SĨ LIÊN) Cho tam giác đều và hình vuông cùng có cạnh bằng 4
được xếp chồng lên nhau sao cho một đỉnh của tam giác đều trùng với tâm
của hình vuông, trục của tam giác đều trùng với trục của hình vuông (như
hình vẽ). Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình đã cho khi quay quanh trục AB là 13  6  2  4 3 48  7 3 A. . B. . 9 3 12  8  2  4 3 14  4  2  4 3 C. . D. . 9 9 Chọn D
Khi xoay quanh trục AB thì : 
Phần hình vuông phía trên trở thành lăng trụ có bán kính R = 2 , chiều cao h = 4  2 1
V   2 .4  16
Phần dưới trở thành hình nón cụt với
h  HK  AK  AH  2 3  2  2  3   1 ; R  2 R ' AH 2 1 R 2 A     R '   R AK 2 3 3 3 3 H R' C 1  24 3  8  h
Áp dụng V   h  2 2
R  R '  RR '  ......    K R 3  9     24 3 136  Vậy V  1 V  2 V  
 . Đáp án là câu D  9   
Câu 61. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Người ta cắt miếng bìa hình tam giác cạnh bằng 10cm
như hình bên và gấp theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính
thể tích của khối tứ diện tạo thành. 250 2 A. 3 V  cm . B. 3 V  250 2cm . 12 10 cm 125 2 1000 2 C. 3 V  cm . D. 3 V  cm . 12 3 52 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn C.
Tứ diện đều tạo thành là tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 5cm . 2 a 3 25 3 Diện tích đáy là 2 S   cm . 4 4 2  2 5 3  5 6 Đường cao 2 2 2 AH 
AD  DH  5     
, với H là tâm đáy.  3 2  3   1 25 3 5 6 125 2 Thể tích V     . 3 4 3 12 3 a 2
Ghi nhớ: Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V  12
Câu 62. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Một cái tục lăn sơn nước có 23 c dạ m ng một hình trụ.
Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều dài lăn là 23cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15
vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là 5 cm A. 2 1725 cm . B. 2 3450 cm . C. 2 1725 cm . D. 2 862,5 cm . Chọn B.
Diện tích xung quanh của mặt trụ là 2 S
 2 Rl  2 .5.23  230 cm . xq
Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là: 2
S  230 .15  3450 cm .
Câu 63. (LÊ HỒNG PHONG) Người ta bỏ 5 quả bóng bàn cùng kích thước vào một chiếc hộp hình
trụ có đáy bằng hình tròn tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 5 lần đường kính của
quả bóng bàn. Gọi S là tổng diện tích của 5 quả bóng bàn , S là diện tích xung quanh của 1 2 S
hình trụ. Tỉ số 1 là : S2 6 3 A. 2 . B. . C. 1. D. . 5 2 Chọn C.
Gọi bán kính của quả bóng bàn là R  R  0
Ta có chiều cao h của hình trụ bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn nghĩa là :
h  5.2R  10R Khi đó : 2 2
S  5.4 .R  20 R 1 Và 2 S  2 . R h  2 .
R 10R  20 R 2 S Vậy : 1  1. S2
Câu 64. (PHẠM VĂN ĐỒNG) Cho đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a (như hình vẽ bên). Gọi S là
hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và hình vuông (phần nằm bên ngoài đường tròn và bên
trong hình vuông). Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục MN . 3  a 3  a A. V  . B. V  6 12
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 53 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 3  a C. V  . D. 3 V   a 3
Câu 65. (LƯƠNG TÂM) Tính thể tích của khối đa diện ở hình bên A. 3 750cm B. 3 625cm C. 3 125cm D. 3 875cm Giải
Gọi V là thể tích cần tìm 10cm
Ta có : V = 5.10.15 – 5.5.5 = 625 cm3 5cm Chọn (B) 15cm 5cm 5cm 5cm 2m K A B
Câu 66. (CẨM BÌNH) Một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 m cân đối có
khối lượng 7200 g . Người ta muốn cắt ra một tấm hình thang E 3m
(như hình vẽ). Khối lượng nhỏ nhất của tấm nhôm cắt ra gần với số nào sau đây nhất ? I A. 3497 g . B. 3498 g . C. 3600 g . D. 3499 g . D C F
Câu 67. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O ,
AD là đường kính của đường tròn tâm O . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô
đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD bằng A O H B C D 3 23 a 3 3  a 3 3 20 a 3 3 4 a 3 A. . B. . C. . D. . 126 24 217 27 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Khi quay tam giác ABC quanh trục AD được khối nón có thể tích 2 3 1 1 1  a  a 3 a  3 là: 2 2
N   .r .h   .HC .AH   . .    3 3 3  2  2 24
Khi quay đường tròn tâm O quanh trục AD được khối cầu có thể tích là: 54 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 3 3 4 4 4  a 3  4 3 a 3 3 V   .R   .AO   .   3 3 3  3  27   3 23 3 a
Thể tích khối tròn xoay cần tìm: V  N  216
Câu 68. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng
0,5cm , chiều dài 6cm . Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn
đó với kích thước 6cm  5cm  6cm . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn? A. 17 . B. 15 . C. 16 . D. 18 . Giải Chọn C.
Có 3 cách xếp phấn theo hình vẽ dưới đây: M A B C H 2 H 1 H 3
 Nếu xếp theo hình H1: vì đường kính viên phấn là 2.0,5  1cm nên mỗi hộp xếp được tối
đa số viên phấn là: 6.5  30 .
 Nếu xếp theo hình H 2 : hàng 6 viên xen kẽ hàng 5 viên. Gọi số hàng xếp được là
n 1, n   .  3
Ta có ΔABC đều cạnh bằng 1  CM  . 2 3 8 Ta phải có 2.0,5  . n  5  n 
 xếp tối đa được 5 hàng  mỗi hộp xếp được tối đa 2 3
số viên phấn là: 3.6  2.5  28 .
 Nếu xếp theo hình H 3 :hàng 5 viên xen kẽ hàng 4 viên. Gọi số hàng xếp được là
m 1, m   .  3 10 Ta phải có 2.0,5  . m  6  m 
 xếp tối đa được 6 hàng  nên mỗi hộp xếp được 2 3
tối đa số viên phấn là: 3.5  3.4  27 .
Vậy, xếp theo hình H1 thì xếp được nhiều phấn nhất, nên cần ít hộp nhất.
Ta có 460 : 30  15,3  cần ít nhất 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn.
Câu 69. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi
là 60cm , diện tích đáy 2
900 cm . Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước
là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp).
A. Chiều dài 180cm , chiều rộng 60cm .
B. Chiều dài 60 cm , chiều rộng 60cm .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 55 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
C. Chiều dài 900cm , chiều rộng 60cm .
D. Chiều dài 30 cm , chiều rộng 60cm . Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi r là bán kính đáy. Diện tích đáy là 2 2
S   r  900 cm  r  30cm .
Chu vi đáy C  2 r  60 cm cũng là chiều dài của miếng
Câu 70. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , AC  b , AB  c , 
BAC   . Gọi B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A BCC B
  theo b , c , . 2 2
b  c  2bc cos A. 2 2
R  2 b  c  2bc cos . B. R  . sin 2 2 2
b  c  2bc cos 2 2
2 b  c  2bc cos C. R  . D. R  . 2 sin  sin Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC .
Tam giác ABB vuông tại B nên M chính là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABB , suy ra trục tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABB chính là đường trung trực
 của AB (xét trong mp  ABC  ).
Tam giác ACC vuông tại C nên N chính là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ACC , suy ra trục tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACC chính là đường trung trực
 của AC (xét trong mp  ABC  ). 1
Gọi I     thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I cách đếu các điểm 1 , A , B C, B ,
 C nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCB C   .
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCB C
  thì R chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A . B AC.BC . c . b BC 2 2
b  c  2b . c cos Ta có R    . 4.S 1 2 sin  ABC 4. . bc sin  2
Câu 71. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3 ,
a AC  4a . Khi tam giác
ABC quay quanh đường thẳng BC ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay đó. 3 96 a 3 48 a A. 3 V   a . B. V  . C. 3 V  3 a . D. V  . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC Gọi V ,V lần lượt là thể tích khối nón do tam 1 2
giác CAH và BAH sinh ra khi quay quanh trục BC. 56 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) A 12a 16a 9a Ta có: AH  ;CH  ; BH  . 5 5 5 2 3 1  12a  16a 768 a Suy ra V    1   3  5  5 125 2 3 1  12a  9a 432 a V    2   3  5  5 125 B C 3 H 48 a
Vậy V  V V  1 2 5
Câu 72. (BẮC YÊN THÀNH) Cho ba hình tam giác
đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ
(cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung
điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính A'
theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường d thẳng d . 3 3 a 13 3 a 11 3 a A. . B. . 96 96 3 3 a 3 11 3 a C. . D. . 8 8
Chọn B. Nếu ba hình tam giác không chồng lên nhau thì thể tích của khối tròn xoay O D E B A H C F G K 3  3a là V  1 8 3  3a 3 11 3 a
Thể tích phần bị chồng lên là V 
 Thể tích cần tính là V  V V  2 96 1 2 96 Hoặc làm như sau:
Đặt V ;V ;V ;V lần lượt là thể tích: khối nón sinh bởi tam giác OAB quay quanh OB , khối tròn 1 2 3 4
xoay sinh bởi hình BCFE;GCHK , khối nón sinh bởi tam giác DEB khi quay quanh BC . Khi
đó: Thể tích khối cần tìm là: 2 2 3 1 a a 3 1 a a 3 11 3 a
V  V V V  3V  2V  3     2      . 1 2 3 1 4 3 4 2 3 16 4 96
Câu 73. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng
đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 57 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 16
một khối trụ và đo được thể tích nước trào ra ngoài là 3
(dm ) . Biết rằng một mặt của khối 9
trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón
(như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy R của bình nước.
A. R  3(dm).
B. R  4 (dm).
C. R  2 (dm).
D. R  5 (dm). Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi ,
h h ' lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ.
R, r lần lượt là bán kính của khối nón và khối trụ.
Theo đề ta có: h  3R, h '  2 . R r IM SI h  h ' 3R  2R 1
Xét tam giác SOA ta có:      R OA SO h 3R 3 1 2 3 R 2 R 16  r  R . Ta lại có: 2 V
  r h '     2R   3 trô 9 9 9 3
 R  8  R  2 d . m
Câu 74. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một chiếc xô hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20c ,
m đường kính hai đáy lần lượt là 10cm và 20cm . Cô giáo giao cho bạn An
sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy). Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 2 1942,97cm . B. 2 561, 25cm . C. 2 971, 48cm . D. 2 2107, 44cm . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có S
  r  r l xq 1 2 
Với r  5 , r  10 1 2 l 
h  r  r 2  20  10  52 2 2  5 17 2 1 Vậy S   xq
5 105 17  75 17  971,48
58 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 75. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm .
Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành cốc dày 0, 2cm . Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc
5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn
đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 3,67 cm . B. 2,67 cm . C. 3, 28cm . D. 2, 28cm . Hướng dẫn giải Chọn D.
Thành cốc dày 0, 2cm nên bán kính đáy trụ bằng 2,8cm . Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình 2
trụ bằng 8cm . Thể tích khối trụ là V       3
. 2,8 .8 197,04 cm  .
Đổ 120ml vào cốc, thể tích còn lại là    3 197,04 120 77, 04 cm  . 4
Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng 3 3
V  5. . .1  20,94 (cm ) . bi 3 Thể tích cốc còn lại    3 77,04 20,94 56,1 cm  . Ta có  h   2 56,1 '. . 2,8
 h '  2, 28 cm .
Cách khác: Dùng tỉ số thể tích V h Tr coc  2 8. 2,8 . 8     h  5,72 V  V h 4 nuocbi h nuoc bi nuocbi 120  5. . nuocbi 3
Chiều cao còn lại của trụ là 8  5,72  2, 28 .
Vậy mặt nước trong cốc cách mép cốc là 2, 28cm .
Câu 76. (LÝ TỰ TRỌNG) Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước 2 bằng
chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều 3
cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu? A. 0, 33 . B. 0,11 . C. 0, 21. D. 0, 08 Chọn B. .
Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là h và R .
Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và 2h 2R
bán kính đường tròn đáy lần lượt là và . 3 3 8V
Do đó thể tích lượng nước trong bình là
 Phần không chứa nước chiếm 27 19 V. 27
Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước
là hình nón và ta gọi h ' và R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình
nón không chứa nước đó.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 59 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) R ' h ' 19 Ta có 
và phần thể tích hình nón không chứa nước là V R h 27 3 3 h ' 19 h  h '  19 h ' 19 2 2  . R '  . . R     .   3 27 3  h  27 h 3
Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp ngược ly 3 h ' 3  19 là1  . h 3 Câu 77.
(LẠNG GIANG) Một ngôi biệt thự nhỏ có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều
cao bằng 4, 2m . Trong đó có 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột
còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây
cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 2
380.000đ /m (kể cả phần thi công) thì người chủ
phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? A. 15.845.000. B. 13.627.000. C. 16.459.000. D. 14.647.000. Hướng dẫn giải Chọn A.
Diện tích xung quanh 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm : S  4. 2 .0, 2.4, 2 . 1  
Diện tích xung quanh 6 cây cột trước cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm :
S  6 2 .0,13.4, 2 . 2  
Số tiền để sơn mười cây cột nhà là S  S .380.000   15.845.000. 1 2 
Câu 78. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm , độ
dày của thành ống là 15cm , đường kính của ống là 80cm . Lượng bê tông cần phải đổ là A. 3 0,195 m . B. 3 0,18 m . C. 3 0,14 m . D. 3  m . Hướng dẫn giải Chọn A. 15 cm
Gọi V ,V lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài và bên trong 40 cm 1 2
Do đó lượng bê tông cần phải đổ là: 200 cm 2 2 3 3
V  V V   .40 .200   .25 .200  195000 cm  0,195 m 1 2
Câu 79. (NGUYỄN KHUYẾN) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a , vẽ tia Ax về phía điểm B
sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia , khi
tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng : 2 (2  2) a 2 (3  3) a 2 (1 3) a 2 3 2 a A. B. C. D. 2 2 2 2
60 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải Chọn B. A H K B
Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích
mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH . Ta có 2 2 AH 
AB  BH  a 3 AH.BH a 3.a a 3 HK    AB 2a 2 2 a 3 3a 
Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là S   .a 3  1 2 2 2 a 3 3a 
Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là S   .a  2 2 2 2 (3  3)a 
Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là S  S  S  . 1 2 2
Câu 80. (NGUYỄN KHUYẾN) Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài
cạnh đáy lần lượt là 15 cm và 5 cm . Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình
hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng: A. 1500 ml . B. 600 6 ml . C. 1800 ml . D. 750 3 ml . Chọn D. A M N
Ta có AB  10 cm , AD  5 3 cm B S  50 3 ABCD S P V  S .h  750 3 ABCD R D Q C
Câu 81. (AN LÃO) Người ta cần lợp tôn cho mái nhà như hình vẽ . Biết mái trước , mái sau là các hình
thang cân ABCD, ABEF ; hai đầu hồi là hai tam giác cân ADE , BCF tại A và B . Hình
chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng CDEF  là H . Biết AB  16m ,CD  FE  20m
, AH  1,73m , ED  CF  6m . Tính tổng diện tích S của mái nhà ( diện tích của hai mái
trước, sau và hai đầu hồi ) A. 2 S  281m B. 2 S  78m C. 2 S  141m D. 2 S  261m Hướng dẫn giải
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 61 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn C. KI  AB
Xét hình thang cân AKIB : KH   2 2 2 2 2 2 1  AK 
HK  AH  1,73  2  2, 64441  S 
.AK.ED  3.2, 64441  7, 93323 ADE 2
Ta có : ED  AK, ED  AH  ED   AKH   ED  HK
Kẻ HJ€ ED  FE   JAH   JA  FE AB  FE 16  20 2 2  S  .JA 
. 3 1, 73  62, 33538 AEFB 2 2
 S   S  S  2 2  141m . ADE AEFB
Câu 82. (NGÔ QUYỀN) Người ta cần lợp tôn cho một mái nhà như hình vẽ. Biết mái trước, mái sau là
các hình thang cân ABCD, ABEF ; hai đầu nối là hai tam giác cân ADF, BCE tại A và B ;
I là hình chiếu của A trên CDFE  ; AB  6 ,
m CD  EF  12 ,
m AI  1, 73m ,
FD  CE  6m . Tính tổng diện tích S của mái nhà (diện tích của hai mái trước, sau và hai đầu hồi). A. 2 S  83,12m . B. 2 S  62, 4m . C. 2 S  72m . D. 2 S  93,5m . Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi S là diện tích của hai mái trước, S là diện tích của hai đầu hồi. 1 2 K GH  AB D C GI   3 2 A B 2 2 2 2 AG 
AI  GI  3 1, 73 G H I 1 Vậy 2 2 S  2S  2. A .
G DF  3 1, 73 .6  20, 78 2 ADF 2 F E Từ đó 2 2 2 2 2 AD 
AG  GD  3 1, 73  3
Từ đó chiều cao của hình thang: 2 2 2 2 AK 
AD  DK  3 1, 73 . 1 Suy ra: S  2S  2 AB  CD AK    ABCD   2 2 . 18 3 1, 73 62,34 1 2 Vậy: 2 2 2
S  S  S  24 3  1, 73  83,11384m . 1 2
Câu 83. (NGÔ QUYỀN) Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay
hình thang ABCD quanh trục OO , biết OO  80, O D   24, O C 
 12, OA  12, OB  6 .
A. V  43200 .
B. V  21600 .
C. V  20160 .
D. V  45000 . Hướng dẫn giải Chọn C.
62 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1
Công thức tính thể tích khối nón cụt V   h  2 2
R  R  R R . 1 2 1 2  3
Trong đó h là độ dài đường cao, R ; R lần lượt là bán kính hai 1 2 đáy.
Gọi V là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang AOO D  quanh 1 trục OO .
Gọi V là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang BOO C  quanh 2 trục OO .
Khi đó V  V V . 1 2 1
Ta có V   .OO . 2 2 O D 
 OA  O .
D OA  26880 1  3 1
và V   .OO . 2 2 O C   OB  O C
 .OB  6720 . 2  3
Vậy V  V V  26880  6720  20160 . 1 2
Câu 84. (TT DIỆU HIỀN) Một thùng xách nước hình trụ có chiều cao 4dm , đường kính đáy 2dm .
Người ta dùng các thùng này để xách nước đổ vào một cái bể hình lập phương cạnh 1,5m . Giả
sử mỗi lần xách đều đầy nước trong thùng và khi đổ 100 thùng thì được 90% thể tích bể. Hỏi
ban đầu số lít nước có trong bể gần với giá trị nào sau đây? A. 3038. B. 3375. C. 1257. D. 1781. Hướng dẫn giải Chọn D.
Thể tích thùng: V  S .h   .0,12.0, 4  0, 004 (m3) 1 đ
Thể tích bể hình lập phương: V  1,53  3, 375(m3)
Thể tích nước có sẵn trong bể lúc đầ 3
u: V  90%.V 100V  1, 781(m )  1781(l) 2 1
Câu 85. (NGUYỄN TRÃI) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của
chiếc cốc là 20 cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang
đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở
điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng
nhất với kết quả nào dưới đây? A. 59, 98cm B. 59, 93cm C. 58,67 cm
D. 58,80 cm . Hướng dẫn giải Chọn D.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 63 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Đặt , b ,
a h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như
trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của
một khuyên với cung nhỏ BB  4 b và cung lớn A  A  4 a .
Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài “đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: 2 2 l  AB  BO  O  A  2B . O O 
A .cos 2 (1). 2 2 B A
   AB  (a  b)  h .  a 4 a l(BB )  OA OB  AB AB A . B        1  1 b 4 b l  OB OB 2 (AA ) b 2 b 
2 (a  b)
2 (a  b) 2 2 AB a a  b
b (a  b)  h     (a).  1   OB  (b) . 2 2 AB
(a  b)  h OB b b a  b 2 2
b (a  b)  h 2 2
OA  OB  BA 
 (a  b)  h (c). a  b
Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được l  58, 79609cm  58,80 . 
Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung BB tại điểm nào khác B, tức    b 
là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B. Điều này tương đương với 1 2  cos .   Tuy nhiên,  a 
trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).
Câu 86. (NGUYỄN TRÃI) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy
4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm .
Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập
phân, bỏ qua độ dày của cốc) A. 2, 67cm . B. 2, 75cm . C. 2, 25cm . D. 2,33cm . Hướng dẫn giải Chọn A. 4 16
Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng 3 V  4.  r 3  cm . b 3 b 3 16
Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là 3 cm . 3 64 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 16 4
Chiều cao của phần nước dâng lên là h thỏa mãn: 2
  r h nên h  cm . d 3 d d 3 4 8
Vậy nước dâng cao cách mép cốc là 12  8    2, 67 cm. 3 3
Câu 87. (Lê Hồng Phong) Cho hình thang vuông ABCD có độ dài hai đáy AB  2 ,
a DC  4a , đường
cao AD  2a . Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB thu được khối tròn xoay  H  .
Tính thể tích V của khối  H  . 3 20 a 3 40 a A. 3 V  8 a . B.V  . C. 3 V  16 a . D.V  . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi V1 là thể tích khối trụ khi quay hình chữ nhật DCFE quanh trục AB
Gọi V là thể tích khối nón. Khi quay B  CF quanh 2 trục AB
V là thể tích của khối (H ) cần tìm 3 2 1 2 40 a
V  V V = 2a .4a   2a .2a  1 2 3 3
Câu 88. (CHUYÊN ĐH HUẾ) Cho tứ diện S.ABC có đáy
ABC là tam giác vuông tại A với AB  3a ,
AC  4a . Hình chiếu H của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Biết
SA  2a , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là 118 118 118 A. R  . a . B. R  . a . C. R  . a . D. R  . a 118 . 4 2 8 Hướng dẫn giải Chọn A. S S K A C A C H H M M H M B B O AB.AC
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tính được r   a .
AB  AC  BC
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 65 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) a 5
Tính được AH  a 2 và MH  . 2
Tam giác SAH vuông tại H suy ra 2 2
SH  SA  AH  a 2.
Gọi M là trung điểm của BC và  là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC . Suy ra O   . Ta có: 2 2 2 2 2 2
OC  OS  OM  MC  SK OK . 2 2 25a 5a 3 2 2 2  OM  
 (OM  a 2)  OM  a 4 4 4 118
Suy ra R  OC  a . 4
Câu 89. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Trên cùng một mặt phẳng, cho mô hình gồm một hình vuông ABCD
có cạnh 2a và đường tròn có đường kính AB . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD .
Diện tích toàn phần của khối tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên xung quanh trục MN là A. 2 V  10 a . B. 2 V  7 a . C. 2 V  9 a . D. 2 V  8 a . Hướng dẫn giải. Chọn B.
Chọn tọa độ như hình vẽ. Diện tích toàn phần gồm 1 nửa
mặt cầu và mặt xung quanh kết hợp một đáy của hình 1 trụ. 2 2 2 Sxq 
.4.a   .a  2. .
a 2a  7 a . 2
Câu 90. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF 3 10 a 3 10 a 3 5 a 3  a A. . B. . C. . D. . 9 7 2 3 Hướng dẫn giải 66 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn A. a 3
Ta có EF  AF.tan   a.tan 30  3
Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích 2 3 1 1  a 3   a 2
V   .EF .AF   .  .a  1 3 3  3  9  
Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích 2 2 3
V   .DC .BC   .a .a   a 2
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là 3  a 10 3 3
V  V V    a   a 1 2 9 9 13, 2cm 1cm
Câu 91. (ĐẠI HỌC VINH) Một xưởng sản xuất muốn tạo ra
những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa
cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước
đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này 13, 2cm
(phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát).
Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá
trị nào trong các giá trị sau A. 3 1070,8 cm . B. 602, 2 cm3. 1cm C. 3 711, 6 cm . D. 6021,3 cm3. Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có thể tích của khối trụ là V   .13, 2.6, 62  1806, 4 . 1
Đường kính hình cầu là 13, 2  2.1  11, 2 cm , suy ra thể tích của hai nửa khối cầu là 4 3 V  .5, 6  735, 619 2 3
Vậy lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ gần nhất với giá trị 1070,8 cm3.
Câu 92. (CHUYÊN KHTN) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta
được một khối  H  như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một
hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc
thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy
nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích
của  H  . A. V  192 . B. V  275 . ( H ) ( H ) C. V  704 . D. V  176 . ( H ) ( H ) Hướng dẫn giải Chọn D.
Đường kính đáy của khối trụ là 2 2 10  6  8
Bán kính đáy của khối trụ là R  4
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 67 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Thể tích của khối trụ H1 là 2 2
V   .R .h   .4 .8  128 . 1 1
Thể tích của khối trụ H 2 là 2 2
V   .R .h   .4 .6  96 . 2 2 1 1
Thể tích của H là V  V  V  128 
.96  176 . 1 2 2 2
Câu 93. (CHUYÊN KHTN) Cho một mặt cầu bán kính bằng 1.
Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên.
Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?
A. minV  8 3 .
B. minV  4 3 .
C. minV  9 3 .
D. minV  16 3 . Hướng dẫn giải S Chọn A.
Gọi cạnh đáy của hình chóp là a Ta có S  IJ ~ S  MH SI IJ  
 MH  SH  IH  2 2 J  IJ SH  HM I SM MH
 MH  SH  2 2 2 2 1  SH  HM A B 2 2 2 H
 a 12 SH  2a SH  0 M 2 2a C  SH   2 a  12 2 a 12 4 1 3 2a 3 1 S  S .SH   ABC 2 3 6 a 12 6 1 12  2 4 a a 1 12 1 Ta có    S  8 3 2 4 a a 48
Câu 94. (CHUYÊN KHTN) Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay  H  , một mặt phẳng chứa
trục của  H  cắt  H  theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của  H  (đơn vị 3 cm ). 68 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 41 A. V  23 . B. V  13 . C. V  . D. V  17 . H  H  H  3 H  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. 1 16 Thể tích khối trụ là 2 V
 Bh  1.5 .4  9 . Thể tích khối nón là 2 V   2 .4  . tru non 3 3 1 2 16 2 41 Thể tích phần giao là: 2 V  1 .2  . Vậy V  9    . p.giao 3 3  H  3 3 3
Câu 95. (CHUYÊN BẮC GIANG) Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh
là R 17 và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ. .
Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón 5 1 4 5 A. 3 πR . B. 3 πR . C. 3 πR . D. 3 πR . 12 3 3 6 Hướng dẫn giải Chọn D. R Ta có 2 2 2 2 SI 
SB  IB  17R  R  4R  SE  2R, EF  . 2 1 4
Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI ) là 2 3 V  πR .4 R  πR . 1 3 3 2 1  R  1
Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE ) là 3 V 
π   .2R  πR 2 3  2  6 7
Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là 3
V  V V V  πR . 3 1 2 2 6
Thể tích khối trụ là là 2 3
V  πR .2R  2πR . 4
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 69 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 5
Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là 3
V  V  V  πR . 4 3 6
Câu 96. (TIÊN LÃNG) Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4, 2 .
m Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn lại bên
thân nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu
giá của một loại sơn giả đá là 2
380.000 đ /m (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất
bao nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)? A. 16.468.000 . B. 31.688.000 . C. 15.835.000 . D. 15.844.000 . Hướng dẫn giải Chọn D.
Diện tích xung quanh 1 cây cột trước đại sảnh là S  2 .0, 2.4,2  1,68  2 m . 1 
Diện tích xung quanh 1 cây cột đường kính 26cm là: S  2 .0,13.4, 2  1,092  2 m 2 
Vậy số tiền cần là T  4.S  6.S .380.000  15.844.182 1 2 
Câu 97. (TT DIỆU HIỀN) Một quả bóng bàn được đặt tiếp xúc với tất cả các mặt của một cái hộp hình
lập phương. Tỉ số thể tích của phần không gian nằm trong hộp đó nhưng nằm ngoài quả bóng
bàn và thể tích hình hộp là: 8   2 6   3 A. . B. . C. . D. . 8 3 6 4 Hướng dẫn giải Chọn C a
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a . Khi đó, quả bóng bàn có bán kính bằng . 2 3 3 4 a  a
Thể tích khối lập phương 3
V  a , thể tích khối cầu V  .  . 1 2 3 8 6 V V  Tỉ số cần tìm là 1 2  1 . V 6 1
Câu 98. (TT DIỆU HIỀN) Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với
kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để
làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa) A.  2 700 cm  . B.  2 754, 25 cm  . C.  2 750,25 cm  . D.  2 756,25 cm  . Hướng dẫn giải Chọn D.
Diện tích vành nón và đỉnh nón là diện tích hình trong đường kính 35cm : 2  35  S 
  306, 25    2 cm 1   2  70 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Diện tích thân nón là diện tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và chiều cao bằng 30cm 15 là: S 
.2 .30  450  2 cm 2  2
Vậy tỏng diện tích vải cần để làm nên cái mũ là: S  S  S  756,25  2 cm 1 2 
Câu 99. (TT DIỆU HIỀN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm
P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và V
N. Gọi V là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? 1 V 1 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . G là trọng tâm tam giác SAC . 1
Ta có M , G, N thẳng hàng. Do ABCD là hình bình hành nên V  V  V . S . ADC S . ABC S. 2 ABCD V SM SP V 1 SM V 1 SM
Theo công thức tỉ số thể tích ta có: S.AMP S . AMP S .  . AMP     V SD SC 1 2 SD V 4 SD S . ADC S . ABCD VS. 2 ABCD Tương tự V SN SP V 1 SN V 1 SN S . ANP S . ANP S .  . ANP     S V SB SC 1 2 SB V 4 SB S . ABC S . ABCD VS. 2 ABCD Từ đó suy ra V V 1  SM SN  V 1  SM SN  S . AMP S. ANP S. AMNP           V V 4  SD SB  V 4  SD SB M S . ABCD S . ABCD S . ABCD  P G V 1  SM SN  D Hay 1     A V 4  SD SB  N SD SB O Ta chứng minh   3 . SM SN B C
Thậy vậy, qua B, D kẻ các đường song song với MN cắt
SO lần lượt tại E, F . SD SF SB SE SD SB SE  SF Ta có:  ;     S SM SG SN SG SM SN SG SD SB 2SO 3     2.  3 M SM SN SG 2 G SD SB N E Đặt  ; x
 y . Ta có x  y  3 D SM SN B O F V 1  SM SN  1  1 1  x  y 3 3 1 Mặt khác 1             V 4  SD SB  4 x y 4xy 4xy    x  y2 3 V 1 Vậy 1 nhỏ nhất bằng . V 3
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 71 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
TỔNG ÔN: BÀI TOÁN THỰC TIỄN 2017
Chủ đề 3. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG – TRẢ GÓP
Câu 1. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Đầu năm 2016, anh Hùng có xe công nông trị giá 100
triệu đồng. Biết mỗi tháng thì xe công nông hao mòn mất 0, 4% giá trị, đồng thời
làm ra được 6 triệu đồng ( số tiền làm ra mỗi tháng là không đổi ). Hỏi sau một
năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông và tổng số tiền anh Hùng làm
ra ) anh Hùng có là bao nhiêu? A. 172 triệu. B. 72 triệu. C. 167, 3042 triệu. D.104, 907 triệu. Hướng dẫn giải Chọn C
Sau một năm số tiền anh Hùng làm ra là 6.12  72 triệu đồng
Sau một năm giá trị xe công nông còn 12
100(10,4%) 95,3042 triệu đồng
Vậy sau một năm số tiền anh Hùng có là 167, 3042 triệu đồng
Câu 2. (CHUYÊN LAM SƠN) Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ
công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn
2015  2021 ( 6 năm) là 10, 6% so với số lượng hiện có năm 2015 theo phương thức
“ra 2 vào 1” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước 2
người thì được tuyển mới 1 người). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm
so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01% ). A. 1,13% . B. 1,72% . C. 2,02% . D. 1,85% . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi x  *
x    là số cán bộ công chức tỉnh A năm 2015 .
Gọi r là tỉ lệ giảm hàng năm.
Số người mất việc năm thứ nhất là: x r .
Số người còn lại sau năm thứ nhất là: x  x  r  x 1 r .
Tương tự, số người mất việc sau năm thứ hai là: x 1 r r . 72 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Số người còn lại sau năm thứ hai là: x   r  x   r r  x   r 2 1 1 1 .
 Số người mất việc sau năm thứ sáu là: x   r 5 1  r .
Tổng số người mất việc là: x  r  x    r r  x   r 2  r   x   r 5 1 1 ... 1
 r  10, 6% x
 r    r  r    r 2 r     r 5 1 1 ... 1 r  0,106 r   r 6 1 1      
 0,106  r  0, 0185 . 1 1 r 
Vì tỉ lệ giảm hàng năm bằng với tỉ lệ tuyển dụng mới nên tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm là 1,85% .
Câu 3. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Bác B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu là 50 triệu đồng
theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0, 72% tháng. Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn
lãi và gởi theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0, 78% tháng. Sau khi gởi đúng một kỳ
hạn 6 tháng do gia đình có việc bác gởi thêm 3 tháng nữa thì phải rút tiền trước
hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 57.694.945,55 đồng (chưa làm tròn ). Biết rằng
khi rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo
hàng tháng. Trong số 3 tháng bác gởi thêm lãi suất là A. 0, 55% . B. 0,3% . C. 0, 4% . D. 0,5% . Hướng dẫn giải: Chọn C
Số tiền bác B rút ra sau năm đầu:T  50.000.000 *1 0,0072*34 1
Số tiền bác B rút ra sau sáu tháng tiếp theo:T  T * 1 0, 0078* 6 2 1  
Số tiền bác B rút ra sau ba tháng tiếp theo:T  T *1 r3  57.694.945,55 3 2 57.694.945, 55  r  3  1  0, 004  0, 4% . T2
Câu 4. (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Một người muốn có 2 tỉ tiền tiết kiệm sau 6 năm gửi
ngân hàng bằng cách mỗi năm gửi vào ngân hàng số tiền bằng nhau với lãi suất
ngân hàng là 8% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi số tiền mà
người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền hàng năm là bao nhiêu (với giả thiết lãi
suất không thay đổi), số tiền được làm tròn đến đơn vị nghìn đồng? A. 252.436.000 . B. 272.631.000 . C. 252.435.000 . D. 272.630.000 .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 73 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi T là số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, a là số tiền hàng tháng gửi vào ngân n
hàng và r % là lãi suất kép. Ta có T  . a 1 r , 1  
T  a  T 1 r   a  a r  
1 1 r   a 1 r   a 1 r 2 2 1
T  a  T 1 r   a 1 r   a 1 r 2  a 1 r 3 3 2 ….
T  a 1 r   1 r2  ...1 r 6  . a S 6  6
S là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với dãy u   r  q  n  1 1, 08; 1, 08. 6 u  6 1 q  1,08 6 11, 08 1  S   6 1 q 11, 08 9 T 2.10 Theo đề ra 6 a  
 252435900, 4 . Quy tròn đến phần nghìn S 1, 08 6 11, 08 6  11, 08
Câu 5. (SỞ NAM ĐỊNH) Anh Nam vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả
góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0 0,5
/ tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt 0
đầu từ tháng thứ nhất anh Nam trả 30 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Nam trả hết nợ? A. 35 tháng. B. 36 tháng. C. 37 tháng. D. 38 tháng. Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi a là số tiền vay, r là lãi, m là số tiền hàng tháng trả.
Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: N  a 1 r  m . 1  
N  a 1  r  m  a 1  r  m r  m 2        
Số tiền nợ sau tháng thứ hai là:
 a 1 r 2  m 1 r  1   …..  n n 1 r  1
Số tiền nợ sau n tháng là: N  a  r  m . n 1  r 74 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)  n n 1 r  1
Sau n tháng anh Nam trả hết nợ: N  a  r  m  . n 1  0 r  n n 1 0, 005 1
 10001 0, 005  30  0 0, 0005  t  36,55
Vậy 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ.
Câu 6. (QUỐC HỌC HUẾ) Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn vay
tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi
năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất là 4% . Tính số
tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng không
thay đổi lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng). A. 46794000 đồng.
B. 44163000 đồng. C. 42465000 đồng. D. 41600000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn B.
Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc và lãi) sau 4 năm là: 6 4 3
A  10 (1 0, 04) 106 (1 0, 04) 106 (1 0, 04)2 106 (1  0, 04) 6
 10 (1 0, 04)[1 (1 0, 04)  (1 0, 04)2  (1 0, 04)3] 4 1 (1 0, 04) 6  10 (1 0, 04).  44163256 1 (1 0,04)
Nên A  44163000 đồng
Câu 7. (SỞ QUẢNG NAM) Một kỹ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000
đồng/tháng. Cứ sau hai năm lương mỗi tháng của kỹ sư đó được tăng thêm 10%
so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc. A. 633.600.000 .
B. 635.520.000 .
C. 696.960.000 .
D. 766.656.000 . Hướng dẫn giải Chọn B.
Lương 2 năm đầu tiên của công nhân đó nhận được là 6 6
T  8.10 .24  192.10 (đồng) 1
Theo công thức tính lãi kép, lương 2 năm tiếp theo công nhân đó nhận được :
T  24.8.10 .110%1 6 6  212, 2.10 (đồng) 2
Lương 2 năm cuối cùng công nhân đó nhận được :
T  24.8.10 .110%2 6 6  232, 32.10 (đồng) 3
Tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc:
T  T  T  T  635, 520, 000 (đồng). 1 2 3
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 75 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 8. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Anh Hưng đi làm được lĩnh lương khởi điểm 4.000.000
đồng/tháng. Cứ 3 năm, lương của anh Hưng lại được tăng thêm 7% /1 tháng. Hỏi
sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được tất cả bao nhiêu tiền? (Kết quả làm
tròn đến hàng nghìn đồng).
A. 1.287.968.000 đồng
B. 1.931.953.000 đồng.
C. 2.575.937.000 đồng.
D. 3.219.921.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi a là số tiền lương khởi điểm, r là lương được tăng thêm.
+ Số tiền lương trong ba năm đầu tiên: 36a
+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp:
a  a r  a   r1 36 . 36 1
+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp: a   r 2 36 1 …
+ Số tiền lương trong ba năm cuối:
a   r 11 36 1 .
Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được:   r 1  r 2  r 3  r 11 1 1 1 1 ... 1           . .
a 36  2.575.936983  2.575.937.000 đồng.  
Câu 9. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng
theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48 tháng. Lãi suất ngân hàng cố định
0,8% / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi
vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền
gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu?
A. 38.400.000 đồng. B. 10.451.777 đồng. C. 76.800.000 đồng. D. 39.200.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn D.
Để thuận tiện trong trình bày, tất cả các số tiền dưới đây được tính theo đơn vị triệu đồng. 200
Số tiền phải trả tháng thứ 1:  200.0,8% . 48
Số tiền phải trả tháng thứ 2: 76 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 200  200  200 200  200  .0,8%   47. .0,8%   . 48  48  48 48
Số tiền phải trả tháng thứ 3: 200  200  200 200  200  2. .0,8%   46. .0,8%   . 48  48  48 48
Số tiền phải trả tháng thứ 48 200  200  200 200  200  47. .0,8%  1. .0,8%   . 48  48  48 48
Suy ra tổng số tiền lãi phải trả là: 200 200 200 1. .0,8%  2. .0,8%  ...  47. .0,8%  200.0,8% 48 48 48 200 200 481 48 
.0,8% 1 2  ...  48  .0,8%.  39, 2 48 48 2
Câu 10. (PHÚ XUYÊN ) Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi
suất 1% một tháng. Biết rằng cứ sau mỗi quý ( 3 tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn
vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền
bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A. 8 . B. 9 . C. 10 . D. 11. Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi a là số tiền người đó gửi ban đầu N 4
Số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi sau N năm là T  ( a 1 0,03) T N ln 3 4  3  (1  0, 03)
 3  4N. ln1, 03  ln 3  N   9,29 a 4 ln1, 03
Câu 11. (SỞ HẢI PHÒNG) Một người vay ngân hàng một tỷ đồng theo phương thức trả
góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó trả 40
triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0, 65% mỗi tháng (biết lãi suất không thay
đổi) thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên? A. 29 tháng. B. 27 tháng. C. 26 tháng. D. 28 tháng. Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi A là số tiền vay, a là số tiền gửi hàng tháng r là lãi suất mỗi tháng.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 77 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Đến cuối tháng thứ n thì số tiền còn nợ là: a  n 1 r  1     T  A n n n n
1 r   a 1 r  1  1 r  2  ... 1  A1 r         r a  n  1 r  1   Hết nợ đồng nghĩa n T 0 A1 r         0 r a  Ar a a   n 1 r  
 n  log1r r r a  Ar
Áp dụng với A  1 (tỷ), a  0, 04 (tỷ), r  0, 0065 ta được n  27,37 . Vậy cần trả 28 tháng.
Câu 12. (TT DIỆU HIỀN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi
suất 0,5% một tháng. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu? A. 46 tháng. B. 45 tháng. C. 44 tháng. D. 47 tháng. Hướng dẫn giải: Chọn B.
Sau 1 tháng, người đó nhận được 100 100.0,5% (triệu đồng) 1  100.1, 005 triệu đồng.
Sau 2 tháng, người đó nhận được:        2
100.1, 005 100.1, 005.0, 005 100.1, 005 1 0, 005 100. 1, 005 triệu đồng Sau n
n tháng, người đó nhận được: 100.1, 005 triệu đồng. Theo đề: n
100.1, 005  125  n  log 1, 25  44, 7 tháng. 1,005
Vậy sau 45 tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng.
Câu 13. (TT DIỆU HIỀN) Năm 2014, một người đã tiết kiệm được x triệu đồng và dùng
số tiền đó để mua nhà nhưng trên thực tế người đó phải cần 1,55x triệu đồng.
Người đó quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% / năm theo
hình thức lãi kép và không rút trước kỳ hạn. Hỏi năm nào người đó mua được căn
nhà đó (giả sử rằng giá bán căn nhà đó không thay đổi). A. Năm 2019. B. Năm 2020. C. Năm 2021. D. Năm 2022. Hướng dẫn giải 78 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn C
Số tiền người gửi tiết kiệm sau n
n năm là x 1 6, 9% Ta cần tìm n n
n để x 1 6,9%  1, 55x  1 6,9%  1,55  n  6, 56...
Do đó, người gửi tiết kiệm cần gửi trọn 7 kỳ hạn, tức là 7 năm.
Vậy đến năm 2021 người đó sẽ có đủ tiền cần thiết.
Câu 14. (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Ông A vay ngân hàng 220 triệu đồng và trả góp
trong vòng 1 năm với lãi suất 1,15% mỗi tháng. Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay,
ông sẽ hoàn nợ cho ngân hàng với số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau, hỏi mỗi
tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng, biết lãi suất ngân hàng
không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. 220.1, 011512 .0, 0115 220.1, 011512 A. (triệu đồng). B. (triệu đồng).  12 1, 0115 1 1, 12 0115 1  12 55. 1, 0115 .0, 0115 220. 12 1, 0115 C. (triệu đồng). D. (triệu đồng). 3 3 Hướng dẫn giải. Chọn A. a  n 1  r  .r
Mỗi tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng x   n 1  r  1   12  12 220 1 1,15% .1,15% 220. 1, 0115 .0, 0115  
với a  200, r  1,15%, n  12 11,15%12 1 1,011512 1
Chứng minh công thức tổng quát: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.
Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng
với lãi suất cho số tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi
trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời
điểm hiện tại) , số tháng vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng,
số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x
đồng. Tìm công thức tính x ?Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong
thời gian vay. Chứng minh
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 79 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Gọi P là số tiền còn lại sau tháng thứ n . n
Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a  ar  a1  r  ad với d  1 r d 
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng th 1
ứ nhất là: P  ad  x  ad  x 1 d  1
Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad  x  ad  xr  ad  x1  r  ad  xd
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 2 là: 2 1 P 1 2
ad xd x ad2 xd x ad2 xd  2 d          
 ad  x d 1
Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:
ad2  x d    ad2  xd   r  ad2  x d    r   ad2 1 1 1 1
 x d  1 d      
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là: 2 3 2 3 2 3 d3 1
P  ad  x 1 1 3
d   d  x  ad  xd  xd  x  ad  xd  d       ad  x   d  1
………………………………………. 1 r 1 n d 1  n n n    
Số tiền còn lại sau tháng thứ n là: P  ad  x
P  a 1 r x (5a) n n     d  1 r
với d  1  r
Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có n n
a 1 r  .r n d 1 ad d 1 n      x 
P  0  ad  x  0  x  n n d  n 1 d  1 1  r 1
Câu 15. (QUỐC HỌC QUY NHƠN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình
thức lãi kép, lãi suất 0,5% một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo
phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng sau đó). Hỏi
sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng? A. 47 tháng. B. 46 tháng. C. 45 tháng. D. 44 tháng. Hướng dẫn giải Chọn C.
- Số tiền cả vốn lẫn lãi người gởi có sau n tháng là 100(1 0, 005)n 100.1, 005n S    S S
(triệu đồng)  1, 005n   n  log . 1,005 100 100 80 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
- Để có số tiền S  125 (triệu đồng) thì phải sau thời gian S 125 n  log  log  44, 74 (tháng) 1,005 1,005 100 100
- Vậy: sau ít nhất 45 tháng người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng.
Câu 16. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Ông Nam gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể
thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất là 12% một năm. Sau n năm ông Nam rút
toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số tiền lãi
nhận được lớn hơn 40 triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi) A. 4 . B. 5. C. 2 . D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi T là tiền vốn lẫn lãi sau t tháng, a là số tiền ban đầu n Tháng 1 t  
1 : T  a 1 r 1  
Tháng 2 t  2 : T  a 1 r2 2 ……………….
Tháng nt  n t :T  a  r n 1  T 140 ln n ln a T  a  r  t    (tháng) n  t 100 1 33,815 ln 1 r  ln 11% t
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu thì n   2, 818 12 Vậy n  3.
Câu 17. (Nguyễn Hữu Quang) Tỉ lệ lạm phát hàng năm của một quốc gia trong 10 năm
là 5%. Năm 2012, chi phí tiền xăng cho một ô tô là 24,95 USD. Hỏi năm 2017,
chi phí tiền xăng cho ô tô đó là bao nhiêu? A. 33,44 USD B. 31,84 USD C. 32,44 USD D. 31,19 USD.
Câu 18. (PHAN BỘI CHÂU) Ông Minh gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền tỷ đồng sau
1 năm với lãi suất 0,7 một tháng, theo phương thức lãi đơn. Hỏi sau 1 năm ông
Minh thu được số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức nào? A. 9 8 10  12.10 .7 . B. 8 12.10 .7 . C. 9 1 12
10 (1  7.10 ) . D. 9 1 12.10 (1  7.10 ).
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 81 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 19. (PHÙ CÁT) Để đầu tư cho con, một người đã gởi tiết kiệm 500 triệu đồng với lãi
suất 7.5% / năm theo thể thức lãi kép. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt
thời gian gởi. Số tiền người đó nhận được sau 18 năm là: A. 1.837.902.044 .
B. 1.637.902.044 . C. 2.837.902.044 . D. 3.837.902.044 .
Câu 20. (TAM QUAN) Một người đầu tư vào 25 tờ trái phiếu mỗi tờ có mệnh giá là 2
triệu đồng với lãi suất r%
trong vòng 5 năm. Sau 5 năm người đó có được số nam
tiền cả gốc lẫn lãi là gần 73,5 triệu đồng. Hỏi lãi suất r của tờ trái phiếu đó là bao
nhiêu phần trăm một năm. A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.
Câu 21. (TUY PHƯỚC) Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3
tháng,lãi suất 5% một quý với
hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì
hạn và lãi suất như trước đó. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi?
A.  176, 676 triệu đồng.
B.  177, 676 triệu đồng.
C.  178, 676 triệu đồng.
D.  179, 676 triệu đồng.
Câu 22. (VÂN CANH) Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm
đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao
nhiêu tháng ngưòi đó thu đuợc gấp đôi số tiền ban đầu (lấy giá trị quy tròn) ? A. 96. B. 97. C. 98. D. 99.
Câu 23. (SỞ HẢI PHÒNG) Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là
20.000.000 (đồng). Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ
số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng loại kỳ hạn 6 tháng với lãi suất kép là 8.5%
một năm. Hỏi sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn
lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng
như lãi trong tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả
lãi suất theo loại không kì hạn 0.01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày). A. 30803311 B. 31803311 C. 32833110 D. 33083311
Câu 24. (NINH GIANG) Ông B đến siêu thị điện máy để mua một cái laptop với giá 16,5
triệu đồng theo hình thức trả góp với lãi suất 1, 5% /tháng. Để mua trả góp ông B
phải trả trước 20% số tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 8 tháng kể
từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông B phải trả là
như nhau và tiền lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi, nếu ông
B mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá 82 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
niêm yết là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không đổi trong thời gian ông B hoàn
nợ. (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)
A. 1.628.000 đồng. B. 2.125.000 đồng. C. 907.000 đồng. D. 906.000 đồng.
Câu 25. (HÀ HUY TẬP) Một công nhân thử việc (lương 4.000.000 đ/tháng), người đó
muốn tiết kiệm tiền để mua xe máy bằng cách mỗi tháng người đó trích một
khoản tiền lương nhất định gửi vào ngân hàng. Người đó quyết định sẽ gửi tiết
kiệm trong 20 tháng theo hình thức lãi kép, với lãi suất 0, 7 %/tháng. Giả sử người
đó cần 25.000.000 đ vừa đủ để mua xe máy (với lãi suất không thay đổi trong quá
trình gửi). Hỏi số tiền người đó gửi vào ngân hàng mỗi tháng gần bằng bao
nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng). A. 1.226.238đ . B. 1.168.904đ . C. 1.234.822đ . D. 1.160.778đ .
Câu 26. (HẢI HẬU) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với
lãi suất kép 1%/ tháng. Gửi được hai năm sáu tháng người đó có công việc nên đã
rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là A. 30 101. (1, 01) 1   (triệu đồng).
B. 100. (1,01)30 1 (triệu đồng). C. 29 101. (1, 01) 1   (triệu đồng).
D. 100. (1,01)29 1 (triệu đồng).
Câu 27. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1
triệu đồng, với lãi suất kép 1% trên tháng. Gửi được hai năm 3 tháng người đó có
công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó được rút là
A. 101.1,0127 1 triệu đồng. B.  26 101. 1, 01 1 triệu đồng.    
C. 100.1,0127 1 triệu đồng. D. 100.   1, 0  1 6 1   triệu đồng.   HƯỚNG DẪN GIẢI Đáp án A.
Phương pháp: Quy bài toán về tính tổng cấp số nhân, rồi áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân:.
Dãy U ;U ;U ;...;U được gọi là 1 CSN có công bội q nếu: U  U q . 1 2 3 n k k 1  1 n  q
Tổng n số hạng đầu tiên: s  u  u  ...  u  u . n 1 2 n 1 1 q
+ Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.
Cách giải: + Gọi số tiền người đó gửi hàng tháng là a  1 triệu.
+ Đầu tháng 1: người đó có a.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 83 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Cuối tháng 1: người đó có . a 1 0, 0  1  . a 1, 01.
+ Đầu tháng 2 người đó có : a  . a 1, 01 .
Cuối tháng 2 người đó có: a  a   a  2 1, 01 .1, 01 1, 011, 01  .
+ Đầu tháng 3 người đó có: a  2 11, 011, 01  .
Cuối tháng 3 người đó có: a  2     a  2 3 1 1, 01 1, 01 .1, 01 11, 01 1, 01  . ….
+ Đến cuối tháng thứ 27 người đó có: a  2 27
11, 011, 01  ... 1, 01  .
Ta cần tính tổng: a  2 27
11, 011, 01  ... 1, 01  .
Áp dụng công thức cấp số nhân trên với công bội là 1,01 ta được 27 11, 01  100. 27 1, 01   1 triệu đồng. 1 0, 01
Câu 28. (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 2
triệu đồng, với lãi suất kép 2% trên tháng. Gửi được ba năm bốn tháng người đó
có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là 100 102 A. 39 .(2, 02) 1 .(2, 02) 1 103   (triệu đồng). B. 40 103   (triệu đồng). 100 102 C. 40 .(2, 02) 1 .(2, 02) 1 103   (triệu đồng). D. 39 103   (triệu đồng).
Câu 29. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng
một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 6% mỗi tháng. Biết sau 15
tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau? A. 535.000. B. 635.000 . C. 613.000 . D. 643.000 .
Câu 30. (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào một ngân
hàng với lãi suất 7% một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì
cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Sau 5 năm mới rút lãi
thì người đó thu được số tiền lãi là
A. 70,128 triệu đồng. B. 50, 7 triệu đồng. C. 20,128 triệu đồng. D. 3,5 triệu đồng.
Câu 31. (QUẢNG XƯƠNG ) Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A nhưng vì do
không đủ nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm
84 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại
học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất
0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho
ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là: A. 232518 đồng . B. 309604 đồng. C. 215456 đồng. D. 232289 đồng. Chọn D
Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là: s  4  3  2 3000000 3% 3%  3%           12927407, 43  
Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu là 12.927.407, 43 đồng,
số tiền này bắt đầu được tính lãi và được trả góp trong 5 năm. Ta có công thức:
N  r n .r
12927407, 4  0, 002560 .0, 0025      232289
 r n   0,002560 
Câu 32. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Một người gửi tiết kiệm với lãi suất
6, 5% / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi khoảng bao nhiêu năm người
đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu? A. 11 năm. B. 9 năm. C. 8 năm. D. 12 năm. Chọn A.
Gọi là x số tiền gởi ban đầu.
Giả sử sau n năm số tiền vốn và lãi là 2x . n n Ta có 2x  .
x 1, 065  1, 065  2  n  log 1, 065  n  11. 2
Câu 33. (TRUNG GIÃ) Ông X gửi tiết kiệm 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi
suất không đổi 0,5% một tháng. Do nhu cầu cần chi tiêu, cứ mỗi tháng sau đó,
ông rút ra 1 triệu đồng từ số tiền của mình. Hỏi cứ như vậy thì tháng cuối cùng,
ông X rút nốt được bao nhiêu tiền? A. 4879 đồng. B. 975781 đồng. C. 4903 đồng. D. 970926 đồng.
Câu 34. (CHUYÊN ĐHSP) Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi
kép, lãi suất một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm tổng
tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng trước đó). Sau ít nhất bao
nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu . A. 45 tháng. B. 47 tháng. C. 44 tháng. D. 46 tháng .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 85 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn A.
Áp dụng công thức lãi kép gửi 1 lần:   n N
A 1 r  , Với 6 A  100.10 và 0 r  0, 5 . 0
Theo đề bài ta tìm n bé nhất sao cho: 8   n 6 10 1 0, 5%  125.10 n 5 5  1 0,5%   n  log  44, 74 4 201 4 200
Câu 35. (LƯƠNG TÂM) Một người gửi 10 triệu đồng vào ngận hàng trong thời gian 10
năm với lãi suất 5% năm. Hỏi người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn 5
bao nhiêu nếu ngân hàng trả lại suất 0 tháng ? 0 12 A. Nhiều hơn. B. Ít hơn.
C. Không thay đổi. D. Không tính được. Giải
Gọi a là tiền gửi tiết kiệm ban đầu, r là lãi suất, sau một tháng sẽ là: a(1 + r)
Sau n tháng số tiền cả gốc lãi là: T = a(1 + r)n
Số tiền sau 10 năm với lãi suất 5% một năm :
10 000 000(1+5%)10 = 16 288 946,27 đ 5
Số tiền nhận sau 10 năm (120 tháng) với lãi suất 0 tháng : 0 12 120  5  10 000 000 0 1  16 470 094,98  đ 0   12  5
Vậy số tiền gửi theo lãi suất 0
tháng nhiều hơn : 1 811 486,7069 đ. Chọn (A) 0 12
Câu 36. (ĐOÀN THƯỢNG) Ông A gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng Vietinbank. Lãi suất
hàng năm không thay đổi là 7,5% /năm và được tính theo kì hạn là một năm. Nếu ông A
hàng năm không rút lãi thì sau 5 năm số tiền ông A nhận được cả vốn và tiền lãi là bao
nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng ngàn) A. 287126000 đồng
B. 267094000 đồng C. 248459000 đồng D. 231125000 đồng
Câu 37. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền là 100
triệu đồng với lãi suất mỗi quý (3 tháng) là 2,1% . Số tiền lãi được cộng vào vốn sau
mỗi quý. Sau 2 năm người đó vẫn tiếp tục gửi tiết kiệm số tiền thu được từ trên nhưng
với lãi suất 1,1% mỗi tháng. Số tiền lãi được cộng vào vốn sau mỗi tháng. Hỏi sau 3 86 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
năm kể từ ngày gửi tiết kiệm vào ngân hàng A người đó thu được số tiền gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 134, 65 triệu đồng. B. 130,1 triệu đồng. C. 156, 25 triệu đồng. D. 140, 2 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 2 năm có 8 quý.
Tổng số tiền người đó thu được sau 8 12
3 năm: 100000000  1, 02  1  1, 01  1  134654169 đồng.
Câu 38. (BẮC YÊN THÀNH) Ông A gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất
7% trên năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số
tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. sau thời gian 10 năm nếu không rút lãi lần
nào thì số tiền mà ông A nhận được tính cả gốc lẫn lãi là A. 8 10 10 .(1 0, 07) . B. 8 10 10 .0, 07 . C. 108.(1 0, 7)10 . D. 8 10 10 .(1 0, 007) . Chọn A. Theo công thức lãi kép
C  A1 r N với giả thiết
A  100.000.000  108; r  7%  0, 07 và N  10 .
Vậy số tiền nhận được … 108.(1 0, 07)10 , nên chọn A.
Câu 39. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Ông Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo
thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất là 12% một năm. Sau n năm ông
Nam rút toàn bộ tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm n nguyên dương nhỏ nhất để số tiền lãi
nhận được hơn 40 triệu đồng. (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không thay đổi). A. 5 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D
Số tiền thu được cả gốc lẫn lãi sau n năm là 100(1 0,12)n C  
Số tiền lãi thu được sau n năm là 100(1 0,12)n L   100 n n 7 7
L  40  100(1 0,12) 100  40  1,12   n  log  2,97. 1,12 5 5
Câu 40. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi
điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương 40% .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 87 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm
tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)? A. 726,74 triệu. B. 71674 triệu. C. 858,72 triệu. D. 768,37 triệu. Hướng dẫn giải Chọn D.
Mức lương 3 năm đầu: 1 triệu
Tổng lương 3 năm đầu: 36. 1  2   2 
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1  
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1    5   5  2 2  2   2 
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1  
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1    5   5  3 3  2   2 
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1  
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1    5   5  4 4  2   2 
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1  
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1    5   5  5 5  2   2 
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1  
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1    5   5  6 6  2   2 
Mức lương 2 năm tiếp theo: 1. 1  
Tổng lương 2 năm tiếp theo: 24 1    5   5 
Tổng lương sau tròn 20 năm là 2 5 6  2 2 2         2  S  36 1   1  1  ...  1         24 1     5   5   5     5   6  2    1 1   1    6   5     2   36.  24 1  768,37 2      5 1 1       5 
Câu 41. (LÝ TỰ TRỌNG) Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị tiền tệ mất 10% giá trị so
với đầu năm. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho sau n năm, đơn vị tiền tệ sẽ
mất đi ít nhất 90% giá trị của nó? A. 16 B. 18. C. 20. D. 22. Chọn D.
Gọi x  x  0 là giá trị tiền tệ lúc ban đầu. Theo đề bài thì sau 1 năm, giá trị tiền tệ sẽ còn 0,9x .
Cuối năm 1 còn 0,9x Cuối năm 2 còn 2
0, 9.0, 9 x  0, 9 x …
Cuối năm n còn 0, 9n x
Ycbt  0, 9n x  0,1x  n  21, 58 . Vì n nguyên dương nên n  22 .
88 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 42. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhung vì không đủ nộp
tiền học phí Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm 3.000.000 đồng
để nộp học với lãi suất 3% /năm. Sau khi tốt nghiệp đại học Hùng phải trả góp hàng
tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0, 25% / tháng trong vòng 5 năm. Số
tiền T mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) là A. 232518 đồng. B. 309604 đồng. C. 215456 đồng. D. 232289 đồng. Hướng dẫn giải Chọn D.
+ Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau 4 năm học:
Sau 1 năm số tiền Hùng nợ là: 3+ 3r  31 r 
Sau 2 năm số tiền Hùng nợ là:   r2 3 1  31 r 
Tương tự: Sau 4 năm số tiền Hùng nợ là:
  r4    r 3    r2 3 1 3 1 3 1
 31 r   12927407, 43  A
+ Tính số tiền T mà Hùng phải trả trong 1 tháng:
Sau 1 tháng số tiền còn nợ là: A  Ar  T  A1 r   T .
Sau 2 tháng số tiền còn nợ là: A  r T   A  r T  r T  A  r2 1 1 . 1
 T 1 r   T Tương tự sau 60 tháng số tiền còn nợ là:
A  r 60  T   r 59  T   r 58 1 1 1
 T 1 r   T .
Hùng trả hết nợ khi và chỉ khi
A1 r 60 T 1 r 59  T 1 r 58  T 1 r   T  0
A1 r 60  T 1 r 59  1 r 58  1 r  1         0   60 1 r60 1
 A1 r   T  0 1 r 1 60 1 r60 1
 A1 r   T  0 r
Ar 1 r 60
 T  1r60 1  T  232.289
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 89 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 43. (SỞ HÀ NỘI) Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5%
một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu.
Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x   ) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3
năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy trị giá 30 triệu đồng.
A. 140 triệu đồng.
B. 154 triệu đồng. C. 145 triệu đồng. D. 150 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn C.
Áp dụng công thức lãi kép : n P  x r , trong đó n 1  
P là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. n x là vốn gốc.
r là lãi suất mỗi kì. Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là : P x x r x x  r         (*) n  n n 1  1  1  
Áp dụng công thức (*) với n  3, r  6,5% , số tiền lãi là 30 triệu đồng. Ta được x   3 30 1 6, 5% 1     x  144, 27  
Số tiền tối thiểu là 145 triệu đồng.
Câu 44. (TT DIỆU HIỀN) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 200 triệu đồng, với lãi suất
12% năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: sau một tháng bắt đầu từ
ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một
tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 10
tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi m mà ông A phải trả cho
ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt
thời gian ông A hoàn nợ. 10 20.(1, 01) 10 200.(1,12) A. m  (triệu đồng). B. m  (triệu đồng). 10 (1, 01) 1 10 10 20.(1,01) 10 10.(1.12) C. m   200 (triệu đồng). D. m   200 (triệu đồng). 10 (1, 01) 1 10 (1.12) 1 Hướng dẫn giải Chọn C.
90 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Đặt T  200 triệu, M là số tiền phải trả hàng tháng mà ông A trả cho ngân hàng
Lãi suất 12% trên năm tương ứng 1% trên tháng, tức là r  0, 01.
Số tiền gốc sau 1 tháng là: T T.r  M  T 1 r   M
Số tiền gốc sau 2 tháng là: T   r2 1
 M 1 r 1   …..
Số tiền gốc sau 10 tháng là: T  r 10 M  r 9  r 8 1 1 1 ... 1 r  1           0  
T 1 r 10
Do đó M  1r9 1r8 ...1r1 10 10
T.1 r 10 .r 200.1 0,  01 .0, 01 2.1,  01    (triệu đồng)  10 10 1 r 10 1 1 0,  01 1 1,  01 1 20.1, 10 01
 Tổng số tiền lại phải trả cho ngân hàng là: m  10M   200 (triệu 1, 10 01 1 đồng)
Câu 45. (TT DIỆU HIỀN) Thầy Đông gửi 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 7%
/tháng. Chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên thành 1,15% /tháng. Tiếp theo, sáu
tháng sau lãi suất chỉ còn 0,9% /tháng. Thầy Đông tiếp tục gửi thêm một số tháng
nữa rồi rút cả vỗn lẫn lãi được 5787710,707 đồng. Hỏi thầy Đông đã gửi tổng thời gian bao nhiêu tháng? A. 18 tháng. B. 17 tháng. C. 16 tháng. D. 15 tháng. Hướng dẫn giải
 Gọi a là số tháng mà thầy Đông gởi tiền với lãi suất 0,7%.
Gọi b là số tháng mà thầy Đông gởi tiền với lãi suất 0,9%.
 Theo đề bài, ta có phương trình: a b
000000 1 0, 7% 11,15%6 5 .
.1 0, 9%  5787710, 707 *   a b
1 0, 7% .1 0,9%  1, 080790424 0  a  log 1, 080790424 1,007   0  b  log 1, 080790424 1,009
a,b N 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 91 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)  log
1, 080790424  a  b  log
1, 080790424  9  a  b  11 1,009 1,007
 Với a  b  9 , thử ,
a b  N ta thấy (*) không thoả mãn.
Với a  b  10 , thử ,
a b  N ta được a  6;b  4 thoả mãn (*).
Với a  b  11, thử ,
a b  N ta thấy (*) không thoả mãn.
 Vậy thầy Đông gởi tổng thời gian là 16 tháng.
 Chọn đáp án C.
Câu 46. (AN LÃO) Ngày 01 tháng 01 năm 2017 , ông An đem 800 triệu đồng gửi vào một
ngân hàng với lãi suất 0,5% một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đến ngân
hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 01 tháng 01 năm 2018 , sau
khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất
trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi A.  11 800. 1, 005
 72 (triệu đồng). B.   12 1200 400. 1, 005 (triệu đồng). C.  12 800. 1, 005
 72 (triệu đồng). D.   11 1200 400. 1, 005
(triệu đồng). Hướng dẫn giải. Chọn B.
Từ ngày 01 tháng 01 năm 2017 đến ngày 01 tháng 01 năm 2018 , ông An gửi được tròn 12 tháng.
Gọi a là số tiền ban đầu, r là lãi suất hàng tháng, n là số tháng gửi, x là số tiền
rút ra hàng tháng, P là số tiền còn lại sau n tháng. n
Khi gửi được tròn 1 tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là:
P  a  ar  x  a r 1  x  ad  x, d  r 1 1  
Khi gửi được tròn 2 tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là: 2 d 1 2
P  P  P .r  x  ad  x d   2
1  ad  x  . 2 1 1 d 1
Khi gửi được tròn 3 tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là: 3 d 1 3
P  P  P .r  x  ad  x  2 d  d   3
1  ad  x  3 2 2 d 1
Tương tự, khi gửi được tròn n tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là:
92 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) n d  n 1
P  ad  x  . n d 1
Áp dụng với a  800 triệu, r  0,5% , n  12 , x  6 triệu, số tiền còn lại ciủa ông An là: 12 1, 005 1
P  800.1, 00512  6 
 800.1, 00512 1200. 12 1, 005   12 1  1200  400.1, 005 12 0,005 (triệu đồng).
Câu 47. (NGÔ QUYỀN) Ngày 01 tháng 6 năm 2016 ông An đem một tỉ đồng gửi vào
ngân hàng với lãi suất 0.5% một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng ông đến ngân
hàng rút 4 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 01 tháng 6 năm 2017, sau
khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất
trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi. A.  12 200. 1.005
 800 (triệu đồng).
B. 1000.1.00512  48 (triệu đồng). 11 C.  11 200. 1.005
 800 (triệu đồng).
D. 1000.1.005  48 (triệu đồng). Hướng dẫn giải Chọn B.
Số tiền gửi ban đầu là 1000 (triệu đồng)
Số tiền tiết kiệm của ông An sau tháng thứ n là: 1000.1 0.005n (triệu đồng).
Kể từ ngày gửi cứ tròn mỗi tháng ông đến ngân hàng rút 4 triệu, vậy số tiền của ông An sau 12 tháng là 12
1000.1.005  48 (triệu đồng).
Câu 48. (HAI BÀ TRƯNG) Một người lần đầu gửi ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn
3 tháng, lãi suất 3% của một quý và lãi từng quý sẽ được nhập vào vốn (hình
thức lãi kép). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và
lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm kể từ khi gửi thêm
tiền lần hai sẽ gần với kết quả nào sau đây? A. 232 triệu. B. 262 triệu. C. 313 triệu. D. 219 triệu. Hướng dẫn giải Chọn A.
Công thức tính lãi suất kép là   n A a 1 r  .
Trong đó a là số tiền gửi vào ban đầu, r là lãi suất của một kì hạn (có thể là
tháng; quý; năm), n là kì hạn.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 93 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Sau 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai thì 100 triệu gửi lần đầu được gửi là 18
tháng, tương ứng với 6 quý. Khi đó số tiền thu được cả gốc và lãi của 100 triệu gửi lần đầu là 6  3  A  100 1 (triệu). 1    100 
Sau 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai thì 100 triệu gửi lần hai được gửi là 12
tháng, tương ứng với 4 quý. Khi đó số tiền thu được cả gốc và lãi của 100 triệu gửi lần hai là 4  3  A  100 1 (triệu). 2    100 
Vậy tổng số tiền người đó nhận được 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai là 6 4  3   3 
A  A  A  100 1 100 1  232 triệu. 1 2      100   100 
Câu 49. (TT DIỆU HIỀN) Thầy Đông gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X
và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất
2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi
suất 0, 73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân
hàng là 27 507 768,13 đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền Thầy Đông gửi lần lượt ở
ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
A. 140 triệu và 180 triệu.
B. 120 triệu và 200 triệu.
C. 200 triệu và 120 triệu.
D. 180 triệu và 140 triệu. Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi số tiền Thầy Đông gửi ở hai ngân hàng X và Y lần lượt là x , y (triệu) Theo giả thiết 6
x  y  320.10 (1)
 Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được ở ngân hàng X sau 15 tháng (5 quý) là A  x   5  x  5 1 0, 021 1, 021 5 5
 Số lãi sau 15 tháng là r  x 1, 02 
1  x  x 1, 02  1 1 A  
 Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được ở ngân hàng Y sau 9 tháng là B  y   9  y  9 1 0, 0073 1, 0073 94 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 9 9
 Số lãi sau 9 tháng là r  y 1,0073  y  y 1, 0073 1 B  
Theo giả thiết x 
5    y  39 1, 021 1 1, 007 1  27 507 768,13 (2)     x  140
Từ (1) và (2)  y 180 
Câu 50. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Một người gửi tiền tiết kiệm 200 triệu đồng vào một
ngân hàng với kỳ hạn một năm và lãi suất 8, 25% một năm, theo thể thức lãi kép.
Sau 3 năm tổng số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được là (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 124,750 triệu đồng.
B. 253,696 triệu đồng.
C. 250, 236 triệu đồng.
D. 224,750 triệu đồng.
Hướng dẫn giải:. Chọn B.
Số tiền người gửi nhận được sau 3
năm cả gốc lẫn lãi là 3
S  200(1 8, 25%)  253, 696 triệu đồng. 3
Câu 51. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo
thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất 1, 65% một quý. Hỏi sau bao lâu
người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử
lãi suất không thay đổi) A. 4 năm 1 quý B. 4 năm 2 quý C. 4 năm 3 quý D. 5 năm Hướng dẫn giải Chọn A n  1, 65 
Số tiền của người ấy sau n kỳ hạn là T  15 1   .  100  n  1, 65  4
Theo đề bài, ta có 15 1  20  n  log  17,56   1,65 1  100   3 100
Câu 52. (TIÊN LÃNG) Để đầu tư dự án trồng rau sạch theo công nghệ mới, ông An đã
làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng với số tiền 800 triệu đồng với lãi suất
x% / năm , điều kiện kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính
làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của
mình, ông An đã thanh toán hợp đồng ngân hàng số tiền là 1.058 triệu đồng. Hỏi
lãi suất trong hợp đồng giữa ông An và ngân hàng là bao nhiêu? A. 13% / năm . B. 14% / năm . C. 12% / năm . D. 15% / năm . Hướng dẫn giải
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 95 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn D.
Công thức tính tiền vay lãi kép T  a  x . n  n 1  T
Trong đó a : số tiền vay ban đầu, x : lãi suất x% / nă ,
m n : số năm  n n x  1 a 1 058 Vậy x 
1 = 0,15 tức là 15% / năm 800
Câu 53. (TT DIỆU HIỀN) Một người có số tiền là 20.000.000 đồng đem gửi tiết kiệm loại
kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8,5% / năm. Vậy sau thời gian 5 năm 8
tháng, người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (số tiền được
làm tròn đến 100 đồng). Biết rằng người đó không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các
định kỳ trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không
kỳ hạn 0,01% một ngày. (1 tháng tính 30 ngày).
A. 31.802.700 đồng. B. 30.802.700 đồng. C. 32.802.700 đồng. D. 33.802.700 đồng. Hướng dẫn giải Chọn A. 8,5
Lãi suất 8,5% / năm tương ứng với % / 6 tháng. 2
Đổi 5 năm 8 tháng bằng 11x6 tháng + 2 tháng. Áp dụng công thức tính lãi suất P  P  r n  n 1  11  8.5 
Số tiền được lĩnh sau 5 năm 6 tháng là P  20.000.000 1  31.613.071.66 11    200  đồng.
Do hai tháng còn lại rút trước hạn nên lãi suất là 0,01% một ngày. 0.01
Suy ra số tiền được lĩnh là T  P  P . .60  31.802.700 đồng. 11 11 100 96 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
TỔNG ÔN: BÀI TOÁN THỰC TIỄN 2017
Chủ đề 4. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG
Câu 1. (Lương Thế Vinh) Số lượng của một loài vi khuẩn sau t (giờ) được xấp xỉ bởi đẳng thức   0.195  . t Q t Q e
, trong đó Q là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là 0 0
5000 con thì sau bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn có 100.000 con? A. 20 . B. 24 . C. 15,36 . D. 3,55 . Hướng dẫn giải Chọn C. Từ giả thiết ta suy ra   0.195  5000. t Q t e
. Để số lượng vi khuẩn là 100.000 con thì t 1   0.195  5000. t Q t e  100.000 0.195  e  2  t 
ln 20  15.36h . 0.195
Câu 2. (QUẢNG XƯƠNG 1) Theo số liệu của Tổng cục thống kê, năm 2016 dân số Việt Nam ước
tính khoảng 94.444.200 người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức
1, 07% . Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức  . Nr S
A e (trong đó A là dân số của
năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân
số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người A. 2040 . B. 2037 . C. 2038 . D. 2039 . Hướng dẫn giải. Chọn D
Gọi n là số năm để dân số đạt mức 120 triệu người tính mốc từ năm 2016 ln1, 27 Ta có: .0,0107
120 .000.000  94.444.200 n e  n   22.34 . 0, 0107
Vậy trong năm thứ 23 (tức là năm 2016  23  2039 ) thì dân số đạt mức 120 triệu người
Câu 3. (HÀ HUY TẬP) Biết rằng năm 2001 , dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số
năm đó là 1, 7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức  . Nr S
A e (trong đó A :
là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm).
Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người A. 2020 . B. 2022 . C. 2026 . D. 2025 . Hướng dẫn giải Chọn C. S Nr 1 Ta có S  . A e  N  ln . r A
Để dân số nước ta ở mức 120 triệu người thì cần số năm 96 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1 S 100 120000000 N  ln  .ln  25 (năm). r A 1, 7 78685800
Vậy thì đến năm 2026 dân số nước ta ở mức 120 triệu người
Câu 4. (HÀ HUY TẬP) Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức  . rt S
A e , trong đó A
là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r  0 , t là thời gian tăng trưởng (tính
theo đơn vị là giờ). Biết số vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Thời gian để
vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào trong các kết quả sau đây. A. 3 giờ 20 phút. B. 3 giờ 9 phút. C. 3 giờ 40 phút. D. 3 giờ 2 phút. Hướng dẫn giải Chọn B. r r ln 3 Ta có : 5 5 300  100.e  e
 3  5r  ln 3  r  5
Gọi thời gian cần tìm là t . 5.ln 2
Theo yêu cầu bài toán, ta có : 200  100. rt rt
e  e  2  rt  ln 2  t   3,15h ln 3
Vậy t  3 giờ 9 phút
Câu 5. (SỞ BẮC GIANG) Thang đo Richte được Charles Francis đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào
năm 1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị Richte. Công
thức tính độ chấn động như sau: M  log A  log A , M là độ chấn động, A là biên độ tối đa L o L
được đo bằng địa chấn kế và A là biên độ chuẩn. Hỏi theo thang độ Richte, cùng với một biên 0
độ chuẩn thì biên độ tối đa của một chận động đất 7 độ Richte sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối
đa của một trận động đất 5 độ Richte? 5 A. 2 . B. 20 . C. 100 . D. 7 10 . Hướng dẫn giải Chọn C.
Với trận động đất 7 độ Richte ta có biểu thức A A 7 7
7  M  log A  log A  log 
 10  A  A .10 . L 0 0 A A 0 0
Tương tự ta suy ra được 5
A  A .10 . 0 7 A A .10
Từ đó ta tính được tỉ lệ 0   100 . 5  A A .10 0
Câu 6. (TT DIỆU HIỀN) Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91, 7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng
dân số Việt Nam hàng năm là 1, 2% và tỉ lệ này ổn định 10 năm liên tiếp thì ngày 1/7/2026
dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người?
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 97 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
A. 104,3 triệu người.
B. 105,3 triệu người. C. 103,3 triệu người. D. 106,3 triệu người. Hướng dẫn giải Chọn C. Theo công thức ni 10.0,012 S  . A e  91, 7.e  103,3 triệu người.
Chú ý: Dân số thế giới được ước tính theo công thức  . ni S A e : Trong đó
A : Dân số của năm lấy làm mốc tính.
S : Dân số sau n năm.
i : Tỉ lệ tăng dân số hằng năm.
Câu 7. (SỞ QUẢNG NINH) Một loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận một lượng nhỏ
Carbon 14 (một đơn vị của Carbon). Khi cây đó chết đi thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ
ngưng và nó sẽ không nhận Carbon 14 nữa. Lượng Carbon 14 của nó sẽ phân hủy chậm chạp
và chuyển hóa thành Nitơ 14 . Gọi P t  là số phần trăm Carbon 14 còn lại trong một bộ phận t
của cây sinh trưởng t năm trước đây thì P t  được cho bởi công thức P t    5750 100. 0, 5 % .
Phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc gỗ, người ta thấy lượng Carbon 14 còn lại trong
gỗ là 65, 21% . Hãy xác định số tuổi của công trình kiến trúc đó. A. 3574 (năm). B. 3754 (năm). C. 3475 (năm). D. 3547 (năm). Hướng dẫn giải Chọn D. t t 65, 21 65, 21
Ta có 100.0,55750  65, 21   log  t  5750.log  t  3547 . 0,5 0,5 5750 100 100
Câu 8. (Chuyên Thái Bình) Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni 239 Pu là 24360 năm(tức là một lượng 239 Pu
sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức rt
S  Ae , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng
năm ( r  0 ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t . Hỏi 10 gam 239 Pu
sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? A. 82230 (năm). B. 82232 (năm). C. 82238 (năm). D. 82235 (năm). Hướng dẫn giải. Chọn D - 239 Pu
có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có:  r ln 5 ln10 .24360 5  10.e  r   0, 000028 . 24360 ln 5ln10t -Vậy sự phân hủy của 239 Pu
được tính theo công thức 24360 S  . A e . ln 5ln10 t  ln10  ln10 -Theo đề: 24360 1  10.e  t    82235 (năm). ln 5  ln10 0, 000028 24360
Chú ý: Theo đáp án gốc là D (SGK). Tuy nhiên: nếu không làm tròn r thì kết quả ln 5ln10 t  ln10 24360 1  10.e  t 
 80922  Kết quả gần A nhất. ln 5  ln10 24360 98 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 9. (QUỐC HỌC QUY NHƠN) Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng N t  , biết rằng 7000
N t  
và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Hỏi sau 10 ngày, đám vi trùng có bao t  2
nhiêu con (làm tròn số đến hàng đơn vị)? A. 322542 con. B. 332542 con. C. 302542 con. D. 312542 con. Hướng dẫn giải Chọn D. 7000
N t   Nt  dt 
dt  7000.ln t  2  C.   t  2
N 0  7000ln 2  C  7000ln 2  C  300000  C  300000  7000ln 2.
N 10  7000ln 10  2  C  7000ln 10  2  300000  7000ln 2  312542,3163.
Câu 10. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Khi ánh sáng đi qua một môi trường (chẳng hạn như không khí,
nước, sương mù, …) cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền x , theo công thức    x I x I e 
, trong đó I là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và  0 0
là hệ số hấp thu của môi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu   1, 4 và người ta
tính được rằng khi đi từ độ sâu 2 m xuống đến độ sâu 20 m thì cường độ ánh sáng giảm l.1010
lần. Số nguyên nào sau đây gần với l nhất? A. 8 . B. 9 . C. 10 . D. 90 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có  2,8
Ở độ sâu 2 m: I 2 I e  0  28
Ở độ sâu 20 m: I 20 I e  0
Theo giả thiết I 20  l.1010.I 2  e28  l.1010.e2,8  1  0 25,2 l  10 .e  8, 79 .
Câu 11. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được
xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu %
mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức
M t   75  20ln t  
1 , t  0 (đơn vị % ). Hỏi sau khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ được
danh sách đó là dưới 10% .
A. Sau khoảng 24 tháng.
B. Sau khoảng 22 tháng.
C. Sau khoảng 23 tháng.
D. Sau khoảng 25 tháng. Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có 7520 ln t   1  10
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 99 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)  ln t  
1  3, 25  t  24,79 . Khoảng 25 tháng.
Câu 12. (CHU VĂN AN) Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức   . 2 1 t Q t Q e  
với t là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q là dung lượng nạp tối đa 0  0
(pin đầy). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện
thoại đạt được 90% dung lượng pin tối đa (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
A. t  1, 65 giờ.
B. t  1, 61 giờ.
C. t  1, 63 giờ.
D. t  1, 50 giờ. Hướng dẫn giải Chọn C Theo bài ta có . 1 t 0,9. 1 t 0,9 t Q e Q e e 0,1 0   2   2        2  0 ln 0  ,1  t    1,63 . 2
Câu 13. (THẦY HIẾU LIVE ) Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức
M  log A  log A , với A là biên độ rung chấn tối đa và A là một biên độ chuẩn (hằng số). 0 0
Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Trong cùng năm
đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là A. 11 B. 2.075 C. 33.2 D. 8.9
Câu 14. (Lạc Hồng) Một khu rừng có trữ lượng gỗ 5 3
4.10 m . Biết tốc độ sinh trưởng của khu rừng đó
là 4% trên năm. Hỏi sau năm năm khu rừng đó sẽ có bao nhiêu 3
m gỗ. (Lấy chính xác đến sau hai chữ số thập phân) A. 5 3 4, 47.10 m . B. 5 3 4,57.10 m . C. 5 3 4, 67.10 m . D. 5 3 4,87.10 m .
Câu 15. (KIM LIÊN) Dân số thế giới được ước tính theo công thức .  . r N S A e
trong đó: A là dân số
của năm lấy mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm
2001 , dân số Việt Nam có khoảng 78.685.000 người và tỷ lệ tăng dân số hằng năm là 1, 7%
một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở
mức khoảng 120 triệu người? A. 2020. B. 2026. C. 2022. D. 2024.
Câu 16. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính
theo công thức    0.2t s t s
, trong đó s 0 là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t  là số
lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi
sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút. HƯỚNG DẪN GIẢI 100 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn C. s 3 s t t  
Ta có: s    s   3 3 0 .2  s 0   78125; t
s t   s 0.2  2   128  t  7. 3 2 s 0
Câu 17. (YÊN LẠC) Một loại virus có số lượng cá thể tăng trưởng mũ với tốc độ x% / h , tức là cứ sau
1 giờ thì số lượng của chúng tăng lên %
x . Người ta thả vào ống nghiệm 20 cá thể, sau 53 giờ
số lượng cá thể virus đếm được trong ống nghiệm là 1, 2 triệu. Tìm x ? (tính chính xác đến hàng phần trăm)
A. x  13,17% .
B. x  23, 07% .
C. x  7, 32% .
D. x  71,13% .
Câu 18. (SỞ BẮC NINH) Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức  . Nr S Ae (trong đó
A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng
năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số
của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025
dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào?
A. 1.424.300;1.424.400.
B. 1.424.000;1.424.100.
C. 1.424.200;1.424.300.
D. 1.424.100;1.424.200. Hướng dẫn giải
Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S1  1.153.600, N  5, A  1.038.229 1 S ln S Ta có: N.r N.r 1 A 1 S  . A e  e   r  A 5 S ln 15. A 15.r 5 Gọi S S
2 là dân số đầu năm 2025, ta có 2  . A e  1.038.229.e  1.424.227, 71 Chọn đáp án C
Câu 19. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Một bể nước có dung tích 1000 lít .Người ta mở vòi cho nước chảy
vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1phút. Trong các
giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu
thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất). A. 3,14 giờ. B. 4, 64 giờ. C. 4,14 giờ. D. 3, 64 giờ. Chọn C.
Trong giờ đầu tiên, vòi nước chảy được 60.1  60 lít nước.
Giờ thứ 2 vòi chảy với vận tốc 2 lít/1phút nên vòi chảy được 60  2  120 lít nước.
Giờ thứ 3 vòi chảy với vận tốc 4 lít/1phút nên vòi chảy được 60 4  240 lít nước.
Giờ thứ 4 vòi chảy với vận tốc 8 lít/1phút nên vòi chảy được 608  480 lít nước.
Trong 4 giờ đầu tiên,vòi chảy được: 60 120  240  480  900 lít nước.
Vậy trong giờ thứ 5 vòi phải chảy lượng nước là 1000  900  100 lít nước.
Số phút chảy trong giờ thứ 5 là100 :16  6, 25 phút
Đổi 6, 25 : 60  0,1 giờ
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 101 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Vậy thời gian chảy đầy bể là khoảng 4,1 giờ.
Câu 20. (HỒNG QUANG) Dân số tỉnh Hải Dương năm 2013 là 1,748 triệu người với tỉ lệ tăng dân số
hàng năm là r  1,04% . Hỏi, đến năm nào thì dân số tỉnh Hải Dương đạt 3 triệu người? (Giả sử
tỉ lệ tăng dân số không thay đổi). A. 2065 B. 2067 C. 2066 D. 2030
Câu 21. (ĐỨC THỌ) E. coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau 20 phút
thì số lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ có 40 vi khuẩn E. coli trong đường
ruột. Hỏi sau bao lâu, số lượng vi khuẩn E. coli là 671088640 con? A. 48 giờ. B. 24 giờ. C. 12 giờ. D. 8 8 giờ.
Câu 22. (NGÔ SĨ LIÊN) Biết thể tích khí CO năm 1998 là  3
V m  . 10 năm tiếp theo, thể tích CO 2 2
tăng a% , 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO tăng n% . Thể tích khí CO năm 2016 là 2 2
100  a10 .100  n8 18 A. V  V .  3 m . B. V
 V .1 a  n  3 m . 2016  2016 36  10
100  a100  n10 18 C. V  V .  3 m . D. V
 V V .1 a  n  3 m . 2016  2016 20  10 Chọn A. Ta có: 10  a  100  a10
Sau 10 năm thể tích khí CO là V  V 1  V 2 2008   20  100  10
Do đó, 8 năm tiếp theo thể tích khí CO là 2 8  n  100  a10 8  n  V  V 1  V 1 2016 2008   20    100  10  100 
100  a10 100  n8
100  a10 .100  n8  V  V 20 16 36 10 10 10
Câu 23. (CHUYÊN KHTN) Tại Dân số thế giới được ước tính theo công thức ni
S  Ae trong đó A là
dân số của năm lấy làm mốc, S là dân số sau n năm, i là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Theo
thống kê dân số thế giới tính đến tháng 01/2017, dân số Việt Nam có 94,970,597 người và có tỉ
lệ tăng dân số là 1,03%. Nếu tỷ lệ tăng dân số không đổi thì đến năm 2020 dân số nước ta có
bao nhiêu triệu người, chọn đáp án gần nhất.
A. 98 triệu người.
B. 100 triệu người.
C. 102 triệu người.
D. 104 triệu người. Chọn A.
Áp dụng công thức với A  94, 970, 597 , n  3 , i  1, 03% ta được S  98 triệu người.
Câu 24. (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó
rất tốt cho cây trồng. Mới đây các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể
102 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư.
Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4%
diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và
tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ? 25 24 A. 7  log 25 . B. 7 3 . C. 7  . D. 7  log 24 . 3 3 3 Đáp án: A.
Theo đề bài số lượng bèo ban đầu chiếm 0, 04 diện tích mặt hồ.
Sau 7 ngày số lượng bèo là 1
0, 04 3 diện tích mặt hồ.
Sau 14 ngày số lượng bèo là 2
0, 04  3 diện tích mặt hồ. …
Sau 7 n ngày số lượng bèo là 0, 04 3n  diện tích mặt hồ.
Để bèo phủ kín mặt hồ thì 0, 04  3n  1  3n  25  n  log 25 . 3
Vậy sau 7  log 25 ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ 3
Câu 25. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính
theo công thức S (t)  Aert , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S t  là số lượng vi
khuẩn có sau t ( phút), r là tỷ lệ tăng trưởng r  0 , t ( tính theo phút) là thời gian tăng
trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sao
bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con? A. 35 (giờ). B. 45 (giờ). C. 25 (giờ). D. 15 (giờ). Chọn C.
Ta có A  1500 , 5 giờ = 300 phút. ln 300
Sau 5 giờ, số vi khuẩn là S 300  500  e300r  1500  r  3
Gọi t ( phút) là khoảng thời gian, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con. Ta có 0
121500  500  ert0 ln 243 300 ln 243  t    1500 (phút) 0 r ln 3 = 25 ( giờ).
Câu 26. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) tại
độ cao x (đo bằng mét) so với mực nước biển được tính theo công thức xl
P  P e , trong đó 0
P  760 mmHg là áp suất không khí ở mức nước biển, l là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 0
1000 mét thì áp suất không khí là 672, 71 mmHg. Hỏi áp suất ở đỉnh Fanxipan cao mét là bao nhiêu? A. 22, 24 mmHg. B. 519,58 mmHg. C. 517,94 mmHg. D. 530, 23 mmHg. Chọn D.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 103 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Ở độ cao 1000 mét áp suất không khí là 672, 71 mmHg Nên 1000 672, 71  760 l e l 672, 71 1000  e  760 1 672, 71  l  ln 1000 760 1 672,71 3143. ln
Áp suất ở đỉnh Fanxipan 3143l 1000 760 P  760e  760e  717,94
Câu 27. (PHẠM VĂN ĐỒNG) Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp R.Clausius và
E.Clapeyron đã thấy rằng áp suất p của hơi nước (tính bằng mmHg) gây ra khi nó chiếm
khoảng trống phía trên mặt nước chứa trong một bình kín (hình bên) được tính theo công thức k t 273 p  . a 10
, trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Biết k  2  258, 624
và khi nhiệt độ của nước là 1000C thì áp suất của hơi nước là 760mmHg, tính áp suất của hơi
nước khi nhiệt độ của nước là 40 C
 (tính chính xác đến hàng phần chục)?
A.  50,5mmHg .
B.  52,5mmHg .
C.  55,5mmHg .
D.  60,5mmHg .
Câu 28. (PHẠM VĂN ĐỒNG) Số nguyên tố dạng M  2 p 1, trong đó p là một số nguyên tố được p
gọi là số nguyên tố Mec-xen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp). Năm 1876, E.Lucas phát hiện ra M . Hỏi nếu viết M
trong hệ thập phân thì M có bao nhiêu chữ số? 127 127 127 A. 38. B. 39. C. 40. D. 41 .
Câu 29. (PHẢ LẠI) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức rt
S  Ae , trong đó A là
số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r  0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng
số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu số lượng vi
khuẩn ban đầu tăng lên gấp 10 lần? A. 6 giờ 29 phút. B. 8 giờ 29 phút. C. 10 giờ 29 phút D. 7 giờ 29 phút
Câu 30. (LẠNG GIANG ) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức  . rt S
A e trong đó A
là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r  0) , t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng
số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Khi đó sau thời gian bao lâu
thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng ban đầu 3 3ln 5 5 5 ln 3 A. t  (giờ). B. t  (giờ). C. t  (giờ). D. t  (giờ). log 5 ln10 log 3 ln10
Câu 31. (LÝ THÁI TỔ) Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của nước ta giảm x phần trăm diện tích
hiện có. Hỏi sau 4 năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu lần diện tích hiện nay? 4 4 4x 4 x  x   x  A. 1 . B. 1 . C. 1 .   D. 1 .   100 100  100   100  Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi S là diện tích rừng hiện tại. 0
104 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) n  x 
Sau n năm, diện tích rừng sẽ là S  S 1 . 0    100  4  x 
Do đó, sau 4 năm diện tích rừng sẽ là 1 
 lần diện tích rừng hiện tại.  100 
Câu 32. (CHUYÊN ĐHSP) Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan
món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt
thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ nhất xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì
gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ 2, … ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng
dành cho ô liền trước”. Giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô đầu tiên (từ
ô thứ nhất đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu là A. 18. B. 19. C. 20. D. 21. Chọn C.
Bài toán dùng tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.   2n n 1 Ta có: 2 1
S  u  u  ...  u  11.2 1.2  ... 1.2  1.  2n 1 n 1 2 n 2 1 n 6
S  2 1  10  n  log  
Vậy n nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài là 20. n  6 10 1 19.93. 2 
Câu 33. (CHUYÊN ĐHSP) Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng
dân số Việt Nam hàng năm là 1,2% và tỉ lệ này ổn định trong 10 năm liên tiếp thì ngày
1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người?
A. 106,3 triệu người.
B. 104,3 triệu người. C. 105,3 triệu người. D. 103,3 triệu người. Chọn D.
Ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng A.er.t  91, 7.e1,2.10  103, 39.
Câu 34. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S  A.ert ,
trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết
rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi số con vi khuẩn sau 10 giờ ? A. 1000 . B. 850 . C. 800 . D. 900 . Hướng dẫn giải Chọn D.
Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này.  r ln 300 ln100 ln 3 Từ giả thiết ta có: 5 300  100.e  r   5 5 ln3
Tức tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là r  mỗi giờ. 5 ln 3 10.
Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có 5 100.e  900 con.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 105 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 35. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh sôi 1
phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín
mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo 5
tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. 12
A. 12  log 5 (giờ). B. (giờ).
C. 12  log 2 (giờ).
D. 12  ln 5 (giờ). 5 Giải Chọn A.
Ta gọi u là số lá bèo ở giờ thứ . i i Ta có 0 2 12
u  1  10 , u  10, u  10 ,....., u  10 . 0 1 2 12 1 1 1
Ta có số lá bèo để phủ kín mặt hồ là 12
.10  thời gian mà số lá bèo phủ kín mặt hồ là 5 5 5 12  log 5.
Câu 36. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Số nguyên tố dạng M  2 p 1, trong đó p là một số nguyên tố, p
được gọi là số nguyên tố Mec-xen (M.Mersenne, 1588 – 1648, người Pháp). Số M được 6972593
phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?
A. 6972592 chữ số.
B. 2098961 chữ số. C. 6972593 chữ số. D. 2098960 chữ số. Hướng dẫn giải Chọn D. M
có số chữ số bằng số 26972593 2 và là 6973593
6973593.log 21  6972593.0,3010 1 2098960 số.
Câu 37. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất
truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi k công thức L  log
(Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức M 2 R
cường độ âm tại A và B lần lượt là L  3 (Ben) và L  5 (Ben). Tính mức cường độ âm tại A B
trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy). A. 3,59 (Ben). B. 3,06 (Ben). C. 3,69 (Ben). D. 4 (Ben). Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có: L  L  OA  OB . A B
Gọi I là trung điểm AB . Ta có: k k k L  log 
 10LA  OA  A 2 2 L OA OA 10 A
106 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) k k k L  log   10 B L  OB  B 2 2 L OB OB 10 B k k k L  log   10 I L  OI  I 2 2 L OI OI 10 I 1 k 1  k k  1 1  1 1  Ta có: OI 
OA  OB   L   L L    L   L L  2 I 2  A B  I 2  A B  10  10 10  10  10 10   1  1 1   L  2log  L  3, 69 . I    L L  2  I A B    10 10 
Câu 38. (LẠNG GIANG) Một lon nước soda 80F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 32F
. Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức ( ) 32 48.(0.9)t T t  
. Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 50F ? A. 1,56. B. 9,3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. t
 Gọi t là thời điểm nhiệt độ lon nước 80F  T t    (1) o  32 48.0,9 o 80 o t
Gọi t là thời điểm nhiệt độ lon nước 50F  T t  32  48. 0, 9 o  50 (2) 1    1
 (1)  0, 9 ot  1  t  0 o t 3 3 (2)  0,9 1   t  log  9, 3 8 1 0,9 8
Câu 39. (TT DIỆU HIỀN) Trung tâm luyện thi Đại học Diệu Hiền muốn gửi số tiền M vào ngân hàng
và dùng số tiền thu được (cả lãi và tiền gốc) để trao 10 suất học bổng hằng tháng cho học sinh
nghèo ở TP. Cần Thơ, mỗi suất 1 triệu đồng. Biết lãi suất ngân hàng là 1% /tháng , và Trung
tâm Diệu Hiền bắt đầu trao học bổng sau một tháng gửi tiền. Để đủ tiền trao học bổng cho học
sinh trong 10 tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền M ít nhất là: A. 108500000 đồng.
B. 119100000 đồng. C. 94800000 đồng. D. 120000000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi M (triệu). Lãi suất là a
Số tiền sau tháng thứ nhất và đã phát học bổng là M 1 a 10
Số tiền sau tháng thứ hai và đã phát học bổng là
M   a    a   M   a2 1 10 1 10 1
10 1 a  10
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 107 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Số tiền sau tháng thứ ba và đã phát học bổng là
M   a2    a  a  M   a3    a2 1 10 1 10 1 10 1 10 1
 1 a  1  
……………………………………….
Số tiền sau tháng thứ 10 và đã phát học bổng là 10 9 10 1 a10 1 M 1 a 10 1 a ..... 1 a 1       
 M 1 a 10.   a Theo yêu cầu đề bài 10 10  1 a 1   10 1 a10 1    
M 1 a 10.  0  M  a a 1 a10
Thay a  1% . Ta tìm được M  94713045  94800000
Câu 40. (TT DIỆU HIỀN) Cường độ của một trận động đất được đo bằng độ Richter. Độ Richter được
tính bằng công thức M  log A  log A , trong đó A là biên độ rung tối đa đo được bằng địa 0
chấn kế và là biên độ chuẩn (hằng số). Vào ngày 3 12  2016 , một trận động đất cường độ
2, 4 độ Richter xảy ra ở khu vực huyện Bắc Trà My, tỉnh Quảng Nam; còn ngày 16 10  2016
xảy ra một trận động đất cường độ 3,1 độ Richter ở khu vực huyện Phước Sơn, tỉnh Quảng
Nam. Biết rằng biên độ chuẩn được dùng chung cho cả tỉnh Quảng Nam, hỏi biên độ tối đa của
trận động đất Phước Sơn ngày 16 10 gấp khoảng mấy lần biên độ tối đa của trận động đất Bắc Trà My ngày 3 12? A. 7 lần. B. 5 lần. C. 4 lần. D. 3 lần. Hướng dẫn giải
Gọi A là biên độ rung tối đa ở Phước Sơn. 1
Gọi A là biên độ rung tối đa ở Trà My. 2
M  log A  log A  3,1 1 . 1 1 0  
M  log A  log A  2, 4 2 . 2 2 0   A A Lấy   1  2 : 2 2 0,7
log A  log A  0, 7  log  0, 7   10 1 2 A A 1 1 Vậy đáp án B.
Câu 41. (NGUYỄN TRÃI) Biết rằng năm 2001 , dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng
dân số năm đó là 1, 7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức  . Nr S A e (trong
đó A : là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng
năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 150 triệu người? A. 2035 . B. 2030 . C. 2038 . D. 2042 .
108 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải Chọn C.
Theo giả thiết ta có phương trình 0.017 150.000.000  78.685.800. N e  N  37.95 (năm)
Tức là đến năm 2038 dân số nước ta ở mức 150 triệu người.
Câu 42. (Lê Hồng Phong) Huyện A có 300 nghìn người. Với mức tăng dân số bình quân 1, 2% /năm
thì sau n năm dân số sẽ vượt lên 330 nghìn người. Hỏi n nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 8 năm. B. 9 năm. C. 7 năm. D. 10 năm. Hướng dẫn giải Chọn A. n
Số dân của huyện A sau n năm là x  300.000 1 0, 012 . n 33
x  330.000  300.000 1 0, 012  330.000  n  log  n  7,99 . 1,012 30
Câu 43. (ĐẠI HỌC VINH) Các khí thải gây hiệu ứng nhà
kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên.
Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế
thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá
trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng
khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2C thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất
tăng thêm 5C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% .
Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm tC , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t  % thì
f (t)  k.at (trong đó a, k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì
tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ? A. 9,3 C  . B. 7, 6 C  . C. 6, 7 C  . D. 8, 4 C  . Hướng dẫn giải Chọn C. 2  k.a  3% Theo đề bài ta có: t   
1 . Cần tìm t thỏa mãn k.a  20% . 5 k .a  10%  3% 10 3% t t  20 Từ   1  k  và t 2 3 a  . Khi đó k.a  20%  .a  20%  a  2 a 3 2 a 3 20  t  2  log  t  6, 7 . 10 3 3 3
Câu 44. (CHUYÊN BẮC GIANG) Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức t  1 T 
mt   m .
, trong đó m là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t  0 ), m t  0   0  2 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 109 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t và T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để
một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Biết chu kì bán rã của chất phóng xạ 210 Po
là 138 ngày đêm. Hỏi 0,168 gam 210 Po
sau 414 ngày đêm sẽ còn lại bao nhiêu gam? A. 0, 021 . B. 0, 056 . C. 0, 045 . D. 0,102 . Hướng dẫn giải. Chọn A.
Với t  414 ,T  138 , m  0,168 g . 0 414 138  1 
Áp dụng công thức ta được m 414  0,168.  0, 021   .  2  110 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
TỔNG ÔN: BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Chủ đề 5. BÀI TOÁN TỐI ƯU CHI PHÍ SẢN XUẤT
Câu 1. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một công ty kinh doanh nghiên cứu thị trường trước khi tung ra sản
phẩm và nhận thấy để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại A và B thì mất lần lượt là
2 000 USD và 4 000 USD . Nếu sản xuất được x sản phẩm loại A và y sản phẩm loại B 1 1
thì lợi nhuận mà công ty thu được là L  x y 3 2 ,
 8 000x y USD . Giả sử chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm ,
A B là 40 000 USD . Gọi x , y lần lượt là số phẩm loại ,
A B để lợi nhuận lớn 0 0 nhất. Tính 2 2 x  y . 0 0 A. 8119 . B. 100 . C. 3637 . D. 17319 . Hướng dẫn giải Chọn B .
Gọi x, y lần lượt là số phẩm loại A, B .
Theo đề bài ta có: x.2000  y.4000  40000  x  2 y  20  x  20  2 y . 1 1
Ta có L  8000 20  2 y3 y 2 . 1 1 Xét hàm y    y  2 3 20 2
y . Tập xác định D  0;10 . 2 1 1 1 2 2 1  1   2 1 
y   20  2 y 3 2 2 y  y
20  2 y3  20  2y 3 2 y  y   20  2y 3 2  3 2  2 1   5    20  2 y  3 2 y  y  10   .  3 
 y  0  D y  0   . y  6   D 2 1   5 Nhận xét:   y 3 2 20 2 y
 0 nên dấu của y là dấu của biểu thức  y  10 . 3
Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất khi y  6  x  8 . Vậy 2 2 2 2
x  y  6  8  100 . 0 0
Câu 2. (CHUYÊN LAM SƠN) Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể
hiện trên hình vẽ 2 (hình chiếu bằng và hình chiếu đứng).
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 111 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 10 6 cm 10 cm Hình vẽ 1 Hình vẽ 2
Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ 2
1m bề mặt cần số
tiền 150000 đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ 10000 chi tiết máy là bao nhiêu? (làm
tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng).
A. 48238 (nghìn đồng).
B. 51238 (nghìn đồng).
C. 51239 (nghìn đồng).
D. 37102 (nghìn đồng). Hướng dẫn giải: Chọn C
Gọi S , S lần lượt là diện tích nửa hình trụ trong và ngoài của chi tiết. S , S là diện tích hình 1 2 3 4
vành khăn và diện tích bề mặt trước của chi tiết. Ta có:
S   R l   .3.10  30 , S   R l   .5.10  50 , 2 2
S   R   R  16 , S  2.10.2  40 . 1 1 2 2 3 2 1 4
Khi đó, diện tích bề mặt của một chi tiết máy là S     2 96 40 cm  Số tiền nhỏ nhất cần dùng để mạ 10000 chi tiết máy là:
96  40 15000010000  51238934( đồng). 10000
Câu 3. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một công ty bất động sản có 150 căn hộ cho thuê, biết rằng nếu cho
thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần
112 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100.00 đồng mỗi tháng thì có thêm 5 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi
muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu đồng một tháng? A. 2.500.000 đồng.
B. 2.600.000 đồng . C. 2.450.000 đồng. D. 2.250.000 đồng. Hướng dẫn giải: Chọn A
Số tiền thuê căn hộ: y  150  5x 2.000.000  100.000x ,( x  N ).
y  1.000.000x  5.000.000  0  x  5 . Vậy y
 2.500.000  x  5 . max
Câu 4. (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có hình dạng và kích thước
giống như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm , miệng xô là đường tròn
bán kính 30 cm , chiều cao xô là 80 cm . Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao
nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20000 đồng/1 m3 (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)? A. 35279 đồng. B. 38905 đồng. C. 42116 đồng. D. 31835 đồng. Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h  80 cm đáy là đường tròn
tâm O , bán kính bằng 30 cm . Mặt phẳng   cách mặt đáy
80 cm cắt hình nón theo giao tuyến là đường tròn tâm O ' có bán
kính bằng 20 cm . Mặt phẳng   chia hình nón thành 2 phần. Phần I là phần chứa đỉnh A ,
phần II là phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ)
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 113 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) O ' B AO ' AO ' 2 Ta có     AO '  160 cm OC AO
AO ' O 'O 3 1 Thể tích hình nón 2 3 V  A .
O  .30  72000 cm 3 1 64000
Thể tích phần I là 2 3 V  AO '. .20   cm 1 3 3 152000 19
Vậy thể tích cái xô là thể tích phần II là 3
V  V V   cm    3 m 2 1  3 375 19
Vậy số tiền phải trả là T  .10.20000  31835 đồng. 375
Câu 5. (VÕ NGUYÊN GIÁP) Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà.
Ông muốn cái thang phải luôn được đặt qua vị trí C, biết rằng điểm C cao 2m so với nền nhà
và điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên).
Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 300.000 đồng/1 mét C
dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất à h 1m
thang? ( Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng). n g n A. 2.350.000 đồng. ờ 2 m ư T B. 3.125.000 đồng. C. 1.249.000 đồng. D. 600.000 đồng. Nền nhà Hướng dẫn giải Chọn C. B
Đặt BC  x . Ta có : B
 CE  CDF . BC CE x 1 1m C     . E 2 CD DF CD CD  4 2  x  2 CD   2 4  CD . 2 4x 2x 2m 2  CD   CD  . 2 2 x 1 x 1
Vậy chi phí sản xuất thang là : A F D  2x  f  x 5   x 
.3.10 với x  1 . 2  x 1  2   2 2x 2 x 1      2   2  f  x 5 x 1  3.10 1   5  3.10 1 . 2    x 1  3 2       x 1    
f  x    x  3 2 0 1
 2   x  3 2 2 3 1  4  x  4  1 . Hay 3 x  4 1 .
Khi đó chi phí sản xuất thang là 1.249.000 đồng . 114 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 6. (CHUYÊN SƠN LA) Số sản phẩm của một hãng đầu DVD sản suất được trong 1 ngày là giá 2 1 trị của hàm số: 3 3
f (m, n)  m .n , trong đó là m số lượng nhân viên và n là số lượng lao động
chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng.
Biết rằng mỗi ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là 6 USD và cho một lao động
chính là 24 USD. Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất này. A. 720 USD. B. 600 USD. C. 560 USD. D. 1720 USD. Hướng dẫn giải Chọn A. Vì mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm nên 2 1 2 3 3 3
f (m, n)  40  m .n  40  m .n  40 . Chi phí phải trả trong 1 ngày của hãng là  m m  m m m 
n  m  n 3 2 3 3 3 6 24 6 4  6   4n  6.3. 
 4n  18 m .n  18 40  18.40  720.    2 2  2 2
Câu 7. (QUẢNG XƯƠNG 1) Một xe buýt của hãng xe A có sức chứa tối đa là 50 hành khách. Nếu 2  x 
một chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là 20 3    (nghìn  40 
đồng). Khẳng định đúng là:
A. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất bằng 3.200.000 (đồng).
B. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất khi có 45 hành khách.
C. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất bằng 2.700.000 (đồng).
D. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất khi có 50 hành khách. Hướng dẫn giải. Chọn A.
Số tiền của chuyến xe buýt chở x hành khách là 2  x   x2 x3 3 
f  x  20x. 3     20 9x    ( 0  x  50 )  40   20 1600   3x 3x2  x 40
f  x  209  
  f  x       0   10 1600 x     120 x 0 40 50 y' 0 + - 3200000 y
Vậy: một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng: 3.200.000 (đồng)
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 115 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 8. (SỞ QUẢNG NINH) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức G  x 2
 0, 024x 30  x , trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp ( x
được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất. A. 20 mg. B. 0,5 mg. C. 2,8 mg D. 15 mg. Hướng dẫn giải Chọn A.
Bài toán đi tìm x 0;30 để G  x đạt giá trị lớn nhất. 3 18 G  x 2
 0, 024x 30  x 3 2   x  x 125 25 9 36  G x 2   x  x 125 25 x  0
G  x  0  x  20 0;30  
Ta có: G 20  96 ; G 30  0 ; G 0  0 .
Vậy G  x đạt giá trị lớn nhất 96 khi x  20.
Câu 9. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Mỗi chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Một 2  x 
chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là 3    USD . Khẳng  40 
định nào sau đây đúng
A. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160 USD .
B. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135 USD .
C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.
D. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 45 hành khách. Hướng dẫn giải Chọn A . 2 2  x  3 3x x  40
Số tiền thu được là: y  x 3   y  9  x   0  0  x  60     40  10 1600 x  120   y  160  x  40 max
Câu 10. (AN LÃO) Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ
với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho
thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập
cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 2.225.000 B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000 116 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 11. (LỤC NGẠN) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức 2
G(x)  0, 025x (30  x) , trong đó x  0(miligam) là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân.
Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng: A. 20mg . B. 30mg . C.15mg . D.Đáp án khác.
Câu 12. (CÔNG NHIỆP) Người ta tiến hành mạ vàng chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật có nắp. Thể tích của hộp là 3
1000 cm , chiều cao của hộp là 10 cm . Biết rằng đơn giá mạ vàng là
10.000 đ/cm2. Gọi x (triệu đồng ) là tổng số tiền bỏ ra khi mạ vàng cả mặt bên trong và mặt
bên ngoài chiếc hộp. Tìm giá trị nhỏ nhất của x . A. 12 triệu. B. 6 triệu. C. 8 triệu. D. 4 triệu.
Câu 13. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công
nhân viên, giấy in…) được cho bởi C  x  0, 0001x2  0, 2x 10000 , C  x được tính theo đơn T  x
vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số M  x  
với T  x x
là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho
một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M  x thấp
nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó. A. 20.000 đồng. B. 22.000 đồng. C. 15.000 đồng. D. 10.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có T (x) = C(x).10000  4000x  x2  2000x 100000000 (đồng). 2 T (x)
x  2000x 100000000 100000000 Suy ra M (x)    x  2000  (đồng). x x x 100000000 100000000
Lại có M (x)  x  2000   2 . x  2000  22000 (đồng) x x
Câu 14. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG) Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu 2  x 
một chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là 3    (USD).  40 
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 45 hành khách.
B. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135 (USD).
C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.
D. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160 (USD). Hướng dẫn giải Chọn D
Số tiền thu được khi có x khách là
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 117 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2  x 
f (x)  x 3     40  2  x  1  x   x   x x   x  3x 
Ta có f '(x)  3   2. 3  x  3  3    3  3               40  40  40   40   40 20   40  40   x  3x   x  120
f '(x)  0  3  3   0        40  40  x  40  f (40)  160 f (60)  135
Vậy max f (x)  f (40)  160 . x [  0;60]
Câu 15. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến
một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A
đến B với khoảng cách là 4 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu
đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc
trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 106, 25 triệu đồng. B. 120 triệu đồng.
C. 164,92 triệu đồng.
D. 114,64 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi M là điểm trên đoạn AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C . 2
Đặt BM  x  AM   x  CM     x 2 4 1 4
 17  8x  x , x 0;4
Khi đó tổng chi phí lắp đặt là : 2 y  .
x 20  40 x  8x 17 đơn vị là triệu đồng. 2 x  4
x  8x 17  2 x  4 y  20  40.  20. . 2 2 x  8x 17 x  8x 17 12  3 2 y  0 
x  8x 17  24  x  x  2  12  3  Ta có y 
  80  20 3  114, 64; y 0  40 17  164,92; y 4  120 .  3    Vậy ta chọn đáp án D. 118 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 16. (LẠNG GIANG) Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi
căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng
giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công
ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể
đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu? A. 115 250 000 . B. 101 250 000 . C. 100 000 000 . D. 100 250 000 . Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi x (đồng/tháng) x  
0 là giá cho thuê mới.  x
Số căn hộ bị bỏ trống là căn hộ 50 000    x
Số tiền công ty thuê được T x  2 000 000  x 5  0       50 000
Khảo sát hàm số T x trên 0;    x
T x  10
 T x  0  x  250 000 . 25 000 Bảng biến thiên x 0 250.000 
T x + 0 - 101 250 000
T x
Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là: T  101 250 000 .
Câu 17. (SỞ VĨNH PHÚC) Số sản phẩm của một hãng đầu DVD sản xuất được trong 1 ngày là giá trị của 2 1
hàm số: f m n 3 3 ,
 m .n , trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính.
Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng. Biết
rằng mỗi ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là 6 USD và cho một lao động chính
là 24 USD . Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất này. A. 1720 USD . B. 720 USD . C. 560 USD . D. 600 USD . Hướng dẫn giải Chọn B.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 119 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 1 Ta có giả thiết: 3 3 m .n  40 2
 m n  64000 với , m n   .
Tổng số tiền phải chi trong một ngày là: 3 2
6m  24n  3m  3m  24n  3 216m n  720
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi 3m  24n  m  8n Do đó, 2 m n  64000 3
 64n  64000  n  10
Ta chọn n  10  m  80 .
Vậy chi phí thấp nhất để trả cho 80 nhân viên và 10 lao động chính để sản xuất đạt yêu cầu là 720 USD
Câu 18. (SỞ HÀ NỘI) Một công ti dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có
dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí đề làm mặt xung quanh của thùng đó là 100,000 đ/ 2 m , chi phí
để làm mặt đáy là 120 000 đ/ 2
m . Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất (giả sử
chi phí cho các mối nối không đáng kể). A. 57582 thùng. B. 58135 thùng. C. 18209 thùng. D. 12525 thùng. Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi chiều cao hình trụ là h h  0 (m).
Bán kính đáy hình trụ là x  x  0 (m). 5 5
Thể tích khối trụ là : 2
V   x h   h  (m). 2 1000 1000 x 1
Diện tích mặt xung quanh là : S  2 xh  . xq 100x Diện tích hai đáy là : 2 S  2 x đ 1000
Số tiền cần thiết để sản xuất một thùng sơn là : f  x 2 
 240000 x  x  0 x 1000 1
Ta có : f  x 
 480000 x  f  x  0  x  . 2   3 x 480 Bảng biến thiên: 120 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) x 1 0  3 480 y – 0  y 2 5  17201.05 9 10
Vậy với số tiền 1 tỉ đồng thì công ty có thể sản xuất tối đa là :  58135 thùng. 17201.05
Câu 19. (TT DIỆU HIỀN) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G  x 2
 0, 025x 30  x . Trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (đơn vị
miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất. A. 15 mg . B. 20 mg . C. 25 mg . D. 30 mg . Hướng dẫn giải Chọn B G  x 2  x 
 x  G x   2 0, 025 30 0, 025 3  x  60x x  0
G x  0  
. Khi đó min G  x  G 20  100 . x  20  x [  0;30]
Câu 20. (TT DIỆU HIỀN) Một hộ kinh doanh có 50 phòng cho thuê. Nếu cho thuê mỗi phòng với giá
là 2 triệu đồng/1 tháng thì các phòng đều được thuê hết. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng thêm
100.000 đồng/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh nên tăng mỗi phòng
bao nhiêu để có tổng thu nhập mỗi tháng cao nhất? A. 500.000đ . B. 200.000đ . C. 300.000đ . D. 250.000đ . Hướng dẫn giải
Tổng số tiền khi không tăng là: T  50.2  100 triệu. 0  1 
Tổng số tiền khi tăng lên 100.000 đồng/tháng là T  48.2  48.0,1  50  2.1 . 2  1      10   2 
Tổng số tiền khi tăng lên 200.000 đồng/tháng là T  46.2  46.0, 2  50  2.2 2  2     10   3 
Tổng số tiền khi tăng lên 300.000 đồng/tháng là T  44.2  44.0, 3  50  2.3 2  3     10   k 
Tổng số tiền khi tăng lên k00.000 đồng/tháng là T  46.2  46.0, k   k  k 50 2  2    10   x 
Xét hàm số f  x  50  2x 2     10 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 121 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 5
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi: x  . 2 Vậy đáp án D.
Câu 21. (AN LÃO) Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán
cho mỗi cốc cà phê. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 20.000 đồng
một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn từ mức giá 20.000 đồng mà cứ
tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc
cà phê không thay đổi là 18.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu
để đạt lợi nhuận lớn nhất? A. 25.000 đồng. B. 22.000 đồng. C. 31.000 đồng. D. 29.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn D.
Cách 1: Gọi số tiền tăng là x ( nghìn đồng)
Lợi nhuận thu được tính theo hàm số sau:
f (x)  20  x2  0,1x 182  0,1x  (2  0,1x)(2  x) 121 121  0
 ,1x 1,8x  4  0  ,1 x  92 2   . 10 10 121
Vậy lợi nhuận cao nhất là 2 1000  12.100.000 (đồng) khi bán với giá 10
20000  9 1000  29.000 (đồng)
Cách 2: + Gọi x(x  20.000) là giá một cốc cà phê, (0  y  2.000) là số cốc cà phê bán trong một tháng.
+ Vì nếu bán với giá 20.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn
từ mức giá 20.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc nên ta có x  20000 21000  20000 x  20000  
 10  x  40000 10 y y  2000 1900  2000 y  2000 +
Ta lại có lợi nhuận là: L  xy  y    y  2 18000 40000 10
y 18000y  22000y 10y
L  22000  20 y ; L  0  y  1100( )
tm  x  29.000(tm)
Cách 3: Thử từng giá trị.
Câu 22. (NGÔ QUYỀN) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng
một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế
hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy
rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn
100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000 . Hỏi cơ sở sản xuất phải
bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất. A. 42.000 đồng. B. 40.000 đồng. C. 43.000 đồng. D. 39.000 đồng. 122 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng).
Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng)
thì số xe khăn bán ra giảm 100 x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 100x chiếc.
Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá,
mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12  x (nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu
được sau khi tăng giá là: f  x  3000 100x12  x (nghìn đồng).
Xét hàm số f  x  3000 100x12  x trên 0;  .
Ta có: f  x  100x2 1800x  36000  100  x  92  44100  44100 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  9 .
Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là
9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là 39.000 đồng.
Câu 23. (NGUYỄN TRÃI) Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có 500 thể tích bằng
m3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân 3
công để xây bể là 600.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân
công thấp nhất. Chi phí đó là
A. 85 triệu đồng. B. 90 triệu đồng. C. 75 triệu đồng. D. 86 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn B.
Cách 1: dùng phương pháp hàm số.
Gọi x m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x m và hm là chiều 500 500 250
cao bể. Bể có thể tích bằng 3 2 m  2x h   h  . 2 3 3 3x 250 500
Diện tích cần xây là: S  2  xh  2xh 2 2 2  2x  6x  2x   2x . 2 3x x 500 500
Xét hàm S  x 2 
 2x , x  0  S x 
 4x  0  x  5 2 x x
Lập bảng biến thiên suy ra S  S 5  150. min  
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 123 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng S  150. min
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.600000  90000000 đồng.
Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy. 500 250 250 250 250 2 2 2 3 S   2x    2x  3 . .2x  5 1 0 . x x x x x
Câu 24. (NGUYỄN TRÃI) Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi
tháng là 2.000.000đ /1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên
200.000đ / 1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là
bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?
A. 2.600.000 đ .
B. 2.400.000 đ .
C. 2.000.000 đ .
D. 2.200.000 đ . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi ,
n n   là số lần tăng giá thêm 200.000đ .
Hàm số chỉ thu nhập của tháng là:
f n  2000000  . n 20000032  . n 2 2  4
 00000n  2400000n  64000000
là hàm bậc 2 theo n , có hệ số a  0 b 2400000
Vậy f n đạt giá trị lớn nhất khi n     3 . 2a 2.400000 Kiểm tra lại, ta thấy
* f 3  67.600.000  f 3  f 0
* f 0  64.000.000 
Vậy chủ hộ sẽ cho thuê với giá 2.000.000  3 200.000  2.600.000đ
124 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
TỔNG ÔN: BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Chủ đề 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ MIN MAX
Câu 1. (CHUYÊN LAM SƠN) Người ta dự định thiết kế một cống ngầm thoát nước qua đường có
chiều dài 30 m , thiết diện thẳng của cống có diện tích để thoát nước là 2
4 m (gồm hai phần nửa
hình tròn và hình chữ nhật) như hình minh hoạ, phần đáy cống, thành cống và nắp cống (tô đậm
như hình vẽ) được sử dụng vật liệu bê tông. Tính bán kính R (tính gần đúng với đơn vị m , sai
số không quá 0, 01 ) của nửa hình tròn để khi thi công tốn ít vật liệu nhất? A. 1,15 m . B. 1, 52 m . C. 1, 02 m . D. 1, 06 m . Hướng dẫn giải Chọn B 2  R
ta có S  4  2Rh  2 2 1   R  2  R  h  4      2R 2 R 4   4  R
P  2R  2h   R  2R   R 2 4  P  2   2 R 2 8
P '  0  R  4  
Bán kính R  1,52 m .
Câu 2. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình 1 và
xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình 2 . Biết cạnh hình vuông
bằng 20cm , OM  x cm . Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất?
A. x  9cm .
B. x  8cm .
C. x  6cm .
D. x  7cm . Hướng dẫn giải S Chọn B
Ta có: OM  x  AC  2x , AM  2x . A M x H O D C
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 125 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) x x x Suy ra: OH  , MH  , SH  10 2  . 2 2 2 2 2  10 x   x  2 2 SO  SH  OH     20     10  x  2 2   2  1 1 20 V  S . O S  20  x x   x x đáy 10  2 2 .2 40 4 . 3 3 3 5 15 20 20
 40  4x  x  x  x  x  20  V  40  4x 2 . . x . x . x   .2   3 3  5  3
Dấu "  " xảy ra khi 40  4x  x  x  8 .
Câu 3. (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Người ta thiết kế một thùng chứa
hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của
vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3
lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí
cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán h
kính đáy là r . Tính tỉ số
sao cho chi phí vật liệu sản xuất r thùng là nhỏ nhất?. h h A.  2 . B.  3 2 . r r h h C.  2 . D.  6. r r Hướng dẫn giải Chọn D.
Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là V  1 và giá cho mỗi đơn vị diện tích bằng 1. 1 h 1 Theo bài ta có h    . 2 3  r r  r 1 2
Diện tích xung quanh của hình trụ là S  2 r.h  2 r.  . 1 2  r r Diện tích mặt đáy 2 S   r . 2 2 1 1
Suy ra giá vật liệu để làm hình trụ là 2 2 3 f  .1 3.1.2 r  
 6 r  3 12 . r r r 126 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1 1 h 1 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 3
 6 r  r  . Suy ra    6 . r 6 3 r  r 1  6
Câu 4. (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một xưởng làm cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích
theo yêu cầu là 2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng
bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất? A. 1m và 2 m. B. 2 dm và 1 dm. C. 2 m và 1m. D. 1 dm và 2 dm. Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng.
Gọi V , S lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của thùng. tp
V  2000 lít 3  2000 dm = 3  2 m . 2 2
V   R h  2  h  2 R 2  2        2 2 2 2 2 3
S  2 R  2 Rh = 2 R  2 R = 2  R   2  R    2  R . .  2 . tp 2     R  R   R R  R R 
Để tiết kiệm vật liệu nhất thì S nhỏ nhất 2   R 
 R  1  h  2 . tp R
Câu 5. (SỞ NAM ĐỊNH) Người ta định xây dựng một trạm biến áp 110 Kv tại ô đất C cạnh đường B
quốc lộ MN để cấp điện cho hai khu công nghiệp A và B như hình vẽ.
Hai khu công nghiệp A và B cách quốc lộ lần lượt
là AM  3km , BN  6km . Biết rằng quốc lộ MN có A
độ dài 12km . Hỏi phải đặt trạm biến áp cách khu
công nghiệp A bao nhiêu km để tổng chiều dài
đường dây cấp điện cho hai khu công nghiệp A và M N B là ngắn nhất. C A. 3 5km . B. 5km . C. 3km . D. 34km . Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi AC  x Ta có: 2 MC  x  9 ; 2
CN  12  x  9
Khi đó BC    x  2 2 12 9  36 .
Khi đó: AC  CB  f  x  x    x  2 2 12 9  36
Khảo sát f  x ngắn nhất khi x  5 .
Câu 6. (SỞ QUẢNG NAM) Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung tích 3
16 cm . Tính bán kính đáy R của lọ để ít tốn nguyên liệu sản xuất lọ nhất
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 127 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 16
A. R  2 cm .
B. R  1, 6 cm .
C. R   cm . D. R  cm .  Hướng dẫn giải Chọn A. 16  Ta có 2
V   R h  16  h  . 2 R
 Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất. 32 16 16 16 16 Ta có 2 2 2 2 3
S  2 R  2 Rh  2 R   2 R    3 2 R . .  24 . tp 2 R R R R R 16 Dấu “  ” xảy ra 2  2 R   R  2 cm . R 2 ln x
Câu 7. (SỞ THANH HÓA) Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y  trên đoạn 3 1  ;e  x   là m M 
, trong đó m, n là các số tự nhiên. Tính 2 3
S  m  2n . n e A. S  13 . 5 B. S  2 . 4 C. S  2 . 2 D. S  3 . 2
Câu 8. (Lương Thế Vinh) Để làm một máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước 0,9m  3m người ta
gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới. Biết mặt cắt của máng xối (bị cắt bởi mặt phẳng song song
với hai mặt đáy) là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ có chiều cao bằng
chiều dài của tấm tôn. Hỏi x m bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất ? x 3 m 0, 3 m x m x 0, 9 m 0, 3 m 3 m 0, 3 m 0, 3 m (a) Tấm (b) Máng (c) Mặt cắt
A. x  0, 5m .
B. x  0, 65m .
C. x  0, 4m .
D. x  0, 6m . Hướng dẫn giải. Chọn D.
Gọi h là chiều cao của lăng trụ
Vì chiều cao lăng trụ bằng chiều dài tấm tôn nên thể tích máng xối lớn nhất khi diện tích hình
thang cân (mặt cắt) lớn nhất h Ta có S   x  0,3 2
128 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) x  0, 3 BC   x  0,3 2 B C 2  x  0,32
 h  0, 3  4 h 0.3m  x  2 2 0,3 ĐK: 0,3 
 0;0,3  x  0,9 4 0.3m A Khi đó: 1 S 
 x  0,3 4.0,32   x  0,32 4 Xét hàm số
f  x   x    2   x  2 0, 3 4. 0, 3
0, 3 ;0,3  x  0, 9 2 2 2   x  0, 3
 f   x  4.0, 3   x  0, 3   x  0,3
4.0,32   x  0,32
4.0,32   x  0, 32   x  0,3 x  0,3
0,36  2x  x  0,3  
4.0,32   x  0,32
4.0, 32   x  0,32 x  0  , 3 f  x 2
 0  x  0,3x  0,18  0  x  0,6  x 0,3 0, 6 0,9 f  x  0  f  x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f  x lớn nhất khi x  0, 6
Vậy thể tích máng xối lớn nhất khi x  0, 6m .
Câu 9. (SỞ HẢI PHÒNG) Một sợi dây kim loại dài 0,9m được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất
được uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi
chiều rộng. Tìm độ dài cạnh của tam giác đều (tính theo đơn vị cm ) sao cho tổng diện tích của
tam giác và hình chữ nhật là nhỏ nhất. 60 60 30 240 A. . B. . C. . D. . 2  3 3  2 1 3 3  8 Hướng dẫn giải
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 129 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn B.
Gọi a,b lần lượt là độ dài cạnh tam giác đều và chiều rộng hình chữ nhật. 30  a
Khi đó 3a  6b  90cm  b  cm . 2 a a   a  2  3 2 2 2 2
a 120a 1800 3 3 30 2
S  S  S   2b   2  .     4 4  2  4
Để S nhỏ nhất thì f a     2 2
3 a 120a 1800 nhỏ nhất với a  0;30 . 60
f a  22  3 a 120 , f a  0  a   0;30 . 2  3  60 
Ta có f 0  1800 , f 30  900 3 , f  3600 3  5400   .  2  3   60 
Nên min f a  f  3600 3  5400   . a   0;30  2  3  0  Vậy a  thì S nhỏ nhất. 2  3
Câu 10. (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật
(không nắp) bằng tôn thể tích 3
665,5 dm . Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh x(dm) ,
chiều cao h(dm) . Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm x để
bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất. h h A. 10,5(d ) m . B. 12(dm) . C. 11(d ) m . D. 9(d ) m . x Hướng dẫn giải x Chọn C. h h 665,5
Ta có thể tích hình hộp là: 2
V  x h  665, 5  h  2 x 2662 2662 Diện tích toàn phần là 2 2
S  x  4xh  x 
 S '  2x 
; S '  0  x  11 2 x x
Lập bảng biến thiên ta thấy khi x  11 thì S đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì bác thợ xây phải cắt một miếng tôn có đáy là hình vuông cạnh 11(d ) m .
130 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 11. (TAM QUAN) Cho cố định một khối
nón, một khối trụ nội tiếp trong khối
nón theo quy cách: một mặt đáy của
khối trụ nằm trên mặt đáy khối nón, mặt
đáy còn lại của khối trụ nằm trên mặt
nón của khối nón. Xác định tỉ số bán
kính đáy của 2 khối để thể tích khối trụ là lớn nhất 2 R 2  A. r  R . B. r  . C. R  r . D. R  r . 3 2 3 2
Câu 12. (KIM LIÊN) Khi một kim loại được làm nóng đến 0
600 C , độ bền kéo của nó giảm đi 50% .
Sau khi kim loại vượt qua ngưỡng 6000C , nếu kim loại tăng thêm 50C thì độ bền kéo của nó
giảm đi 35% hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo là 280M Pa dưới 6000C và được sử
dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật
liệu này là 38M Pa , thì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ Celsius? A. 615. B. 610. C. 620. D. 605.
Câu 13. (SỞ HẢI PHÒNG) Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để
đựng sữa với thể tích 1dm3 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ
nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được
nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?
A. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy
Câu 14. (SỞ HẢI PHÒNG) Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R  3 , người ta muốn cắt
ra một hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất có thể có của miếng tôn hình chữ nhật là: A. 6 3 B. 6 2 C. 7 D. 9 O
Câu 15. (SỞ HẢI PHÒNG) Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có
đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón
đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều cao của khối nón h này bằng bao nhiêu? x
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 131 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) h h 2h h 3 A. B. C. D. 2 3 3 3
Câu 16. (NINH GIANG) Một sợi dây thép có chiều dài là 8m , được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất
được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai được uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của
cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất: 24 24 3 18 3 12 A. m . B. m . C. m . D. m . 9  4 3 4  3 4  3 4  3
Câu 17. (HÀ HUY TẬP) Một khúc gỗ có dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình thang cân, đáy nhỏ 5a
bằng a , đáy lớn bằng 4a , cạnh bên bằng
; có chiều cao bằng 2a 3 . Người ta chế tác 2
khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình trụ (hình vẽ dưới đây). Thể tích V lớn nhất của
khúc gỗ sau khi được chế tác là bao nhiêu? 4a 5a 2 a 2a 3 3 4 a 3 3 2 a 3 A. V  . B. V  . C. 3 V  4 a 3 . D. 3 V  2 a 3 . 3 3 a
Câu 18. (HÀ HUY TẬP) Cho hình nón có bán kính x , chiều cao y nội tiếp mặt cầu bán kính R  . 2 Xác định ,
x y sao cho khối nón có thể tích lớn nhất? (Xem hình vẽ bên) 2a 2 4a a y A. x  , y  .
B. x  y  . 3 3 2 x a 2 2a 2a C. x  , y  .
D. x  y  . 3 3 3 B
Câu 19. (HẢI HẬU) Có hai cây cột dựng đứng trên mặt đất lần lượt cao 1m và 4m , đỉnh của
2 cây cột cách nhau 5m . Người ta chọn một vị trí trên mặt đất giữa hai cây cột để
giăng dây nối đến hai đỉnh cột như hình bên dưới sao cho đoạn dây nối ngắn 5m
nhất. Tính độ dài dây ngắn nhất đó. 4m A. 41 . B. 37 . A C. 39 . D. 29 . 1m
132 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 20. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, 4m được đặt ở độ cao 1,8m
so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao
cho góc nhìn lớn nhất. Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh. 84 A. 1,8m . B. 1, 4m . C. m . D. 2, 4m . 193
Câu 21. (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu
là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ
nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc
cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc
thùng mà bạn A có thể làm được là: A 91125 A.  3 cm  . 4 Q P 91125 B.  3 cm  . 2 108000 3 C.  3 cm  . B M N C  13500. 3 D.  3 cm  . 
HD: Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN MQ BM 3
Đặt MN=x ( 0  x  90 );    MQ  (90  x) AI BI 2 x x 3 3
Gọi R là bán kính của trụ  R  2 3 2  V   ( ) (90  x)  (x  90x ) T 2 2 2 8 3 13500. 3 Xét 3 2 f (x) 
(x  90x ) với 0  x  90 . Khi đó: max f (x)  khi x= 60. 8 x (  0;90)  A Q P B M N C
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 133 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 22. (QUẢNG XƯƠNG ) Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và
hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp
nửa mặt cầu S O, R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường
tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R  1 , tính bán kính đáy r và
chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất. 3 6 6 3 6 3 3 6 A. r  , h  . B. r  , h  . C. r  , h  . D. r  , h  . 2 2 2 2 3 3 3 3 Chọn C.
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O
xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới
hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: 2 2 2
h  r  R 0  h  R   1 2 2
 r  1 h 3 Thể tích khối trụ là: 2 2
V   r h   (1 h ) h  f (h) 2
 f '(h)   (1 3 h )  0  h  3 3 h 0 1 3 f'(h) + 0  2 3 9 f(h) 0 0 2 3 6 3 Vậy: MaxV  (đvtt) khi r  và h  0;  1 9 3 3
Câu 23. (SỞ BẮC NINH) Một công ty chuyên sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong
dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp, có thể tích là 3
62,5dm . Để tiết kiệm vật liệu làm
thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho tổng S của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy
là nhỏ nhất, S bằng A. 2 106, 25dm B. 2 75dm C. 2 50 5dm D. 2 125dm
134 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ. 62, 5
Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là . Suy ra 2 a 62.5 250 125 125 125 125 2 2 2 2 3 S  4. .a  a   a    a  3 .
.a  75 . Dấu bằng xảy ra khi 2 a a a a a a 3
a  125  5 . Vậy S là nhỏ nhất bằng 75 .
Câu 24. (SỞ BẮC NINH) Cho một hình nón N có đáy là hình tròn tâm ,
O đường kính 2a và đường
cao SO  a. Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO. Mặt phẳng P vuông góc với SO
tại H và cắt hình nón theo đường tròn C  . Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C  có
thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 3 2 a  3 4 a  3 7 a  3 8 a  A. . B. . C. . D. . 81 81 81 81 Hướng dẫn giải
Gọi   là mặt phẳng qua trục của hình nón  N  cắt hình nón  N  theo thiết là tam giác SAB,
cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn C theo thiết diện là tam giác SCD, gọi I là giao điểm của SO và CD.
Ta có: AB  2a  OA  a  SO
Do đó tam giác SOA vuông cân tại S suy ra tam giác SIC vuông cân tại I .
Đặt SI  AC  x (0  x  a)  OI  a  x
Thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C là: 1 2 1 2 1 V 
. .IC .OI 
. .x (a  x)    3 2 x  ax  3 3 3  x  0 1
V ' x   . . 2 3
 x  2ax ; V ' x 0    . 2a 3  x   3 Bảng biến thiên: x 2a 0 a 3 V ' x 0 + 0 - V 3 4 a 81
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 135 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 0 0 Chọn đáp án B
Câu 25. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn chia đoạn dây thành hai
phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ
dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất? 40 180 120 60 A. . m B. . m C. . m D. . m 9  4 3 9  4 3 9  4 3 9  4 3 Chọn B.
Bạn A chia sợi dây thành hai phần có độ dài x m và 20  x m , 0  x  20 (như hình vẽ). 2 x 2  x  3 x 3
Phần đầu uốn thành tam giác đều có cạnh
m , diện tích S  .     2 m 1  3  3  4 36 2 20  x  20  x 
Phần còn lại uốn thành hình vuông có cạnh
m , diện tích S     2 m 2  4  4  2 2 x 3  20  x 
Tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi f  x   
 nhỏ nhất trên khoảng 0; 20 . 36  4  x 3 20  x 180
Ta có: f ' x    0  x  . 18 8 4 3  9 Bảng biến thiên: 180 x 0 20 4 3  9 f  x  0 +
f  x 180
Dựa vào bảng biến thiên ta được x  . 4 3  9
Câu 26. (HỒNG QUANG) Trong hội trại kỉ niệm ngày thành lập Đoàn thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh
26/3, ban tổ chức phát cho mỗi lớp 1 đoạn dây dài 18 m không co dãn để khoanh trên một khoảng
đất trống một hình chữ nhật có các cạnh là các đoạn của sợi dây đó. Phần đất để dựng trại chính là 136 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
hình chữ nhật được tạo thành. Hỏi, diện tích lớn nhất có thể của phần đất dựng trại là bao nhiêu mét vuông? A. 2 18 m B. 2 20,25 m . C. 2 81 m D. 2 9 m
Câu 27. (NGÔ SĨ LIÊN) Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ
5km , trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách B một
khoảng 7km . Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A
đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ từ M đến
C với vận tốc 6km/h . Xác định độ dài đoạn BM để người
đó đi từ A đến C nhanh nhất. 7 7 A. 3 2 k . m B. k . m C. 2 5 km. D. k . m 3 2 Chọn C.
Gọi BM  x km , 0  x  7 . Khi đó: 2
AM  25  x và MC  7  x 2 x  25 7  x
Theo đề bài ta có: f  x   4 6 2
3x  2 25  x
f  x  2 4 25  x x  0 x  0 
Cho f  x 2
 0  2 25  x  3x      x  2 5 2 x  20  x  2  5  29 74  Khi đó: f 0  , f 7  và f   14 5 2 5  12 4 12 14  5
Vậy min f  x  f 2 5  . x   0;7 12
Câu 28. (CHUYÊN KHTN) Tại Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính
không có nắp với thể tích 3
72dm và chiều cao là 3d .
m Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa,
chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước 3 dm
a, b (đơn vị dm) như hình vẽ.
Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính
cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như b dm a dm
nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể. A. a  24, b  24.
B. a  3, b  8.
C. a  3 2, b  4 2. D. a  4, b  6. Chọn D. 24
Có: V  72  3.ab  72  a  (1) b
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 137 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Bể cá tốn ít nguyên liệu nhất nghĩa là diện tích toàn phần nhỏ nhất. 216
Ta có diện tích toàn phần của bể cá là: S  3.3a  ab  2. 3 b   6b  24 tp b 216 216
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: S   6b  24  2 .6b  24  96 tp b b 216
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
 6b  b  6 b  0 . Từ (1), ta suy ra: a  4 . b
Câu 29. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Nhà Văn hóa Thanh niên của thành phố X muốn D
trang trí đèn dây led gần cổng để đón xuân Đinh Dậu 2017 nên đã nhờ bạn Na đến giúp.
Ban giám đốc Nhà Văn hóa Thanh niên chỉ cho bạn Na biết chỗ chuẩn bị trang trí đã có
hai trụ đèn cao áp mạ kẽm đặt cố định ở vị trí A và B có độ cao lần lượt là 10m và 30 30 ,
m khoảng cách giữa hai trụ đèn 24m và cũng yêu cầu bạn Na chọn C
một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân trụ đèn để giăng 10
đèn dây Led nối đến hai đỉnh C và D của trụ đèn (như hình vẽ). Hỏi
bạn Na phải đặt chốt ở vị trí cách trụ đèn B trên mặt đất là bao nhiêu để A M B
tổng độ dài của hai sợi dây đèn led ngắn nhất. A. 20 . m B. 6 . m C. 18 . m D. 12 . m D Chọn C.
Gọi E là điểm đối xứng của C qua AB . 30
Gọi M  DE  AB , khi đó bạn Na đặt chốt ở vị trí C
M thì tổng độ dài hai sợi dây đèn led ngắn nhất. 10 AE MA 1 Ta có  
 MB  3MA , A BD MB 3 B M
mà MB  MA  AB  24 , suy ra MA  6 và MB  18 . E
Câu 30. (LÝ THÁI TỔ) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 3
1000 cm . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng 500 5 500 5 A. 3 cm . B. 3 10. cm . C. cm . D. 10. cm .     Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi h cm là chiều cao hình trụ và R cm là bán kính nắp đậy. R O 1000 Ta có: 2
V   R h  1000 . Suy ra h  . 2  R h
Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần S O' tp
của hình trụ nhỏ nhất. 138 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1000 Ta có: 2 2
S  2 R  2 Rh  2 R  2 . R tp 2  R 1000 1000 1000 1000 2 2 3 2 3  2 R    3. 2 R . .  3 2 .1000 R R R R 1000 500
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3 2 R   R  . R 
Câu 31. (CHUYÊNPHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có tồng diện tích của
tất cả các mặt là 36 , độ dài đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 . B. 8 2 . C. 16 2 . D. 24 3 . D Chọn C. O
Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c  0 C R 2 Ta có B O R A 2 2 2 2 2
AC  a  b  c  36; S  2ab  2bc  2ca  36  (a  b  c)  72  a  b  c  6 2 3 3
a  b  c
 a  b  c   6 2  3  abc  abc        16 2 . Vậy V  16 2 3 3  3  Max    
Câu 32. (CHUYÊNPHAN BỘI CHÂU)Một miếng bìa hình tam giác đều ABC , cạnh bằng 16 . Học
sinh Trang cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong
buổi ngoại khóa (với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB ) . Diện
tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 16 3. B. 8 3. C. 32 3. D. 34 3. Chọn C. 16  x
 Đặt MN  x,0  x 16  BM  2 QM 3  tan 60   QM  16  x BM 2 3 3
Xét hàm số S  x 
x 16  x   2
x 16x   max S  32 3 khi x  8 . 2 2
Câu 33. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Một người nuôi cá thì nghiệm trong hồ. Người đó thấy rằng nếu mỗi
đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 139 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
P n  480  20n  gam . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để
sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 12. B. 14. C. 10. D. 18. Hướng dẫn giải: Chọn A.
Cách 1: Thế đáp án: Số cá trên mỗi đơn 12 14 10 18 vị diện tích Số cân nặng:  2880 2800 2800 2160 480  20n ( n ga ) m Cách 2: Số cân nặng của n con cá là: f n    n 2 2 ( ) 480 20 n  2
 0n  480n  2
 0(n 12)  2880  2880
Vậy giá trị lớn nhất của f (n) là 2880 đạt được khi n  12 .
 Chú ý: hàm f như một hàm số theo biến số thực, chứ không phải biến số nguyên dương
Câu 34. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn
có nắp, có thể tích là   3 64
m  . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra
tốn ít nhiên liệu nhất.
A. r  3m . B. 3
r  16 m . C. 3
r  32 m .
D. r  4 m . Giải Chọn C.
Gọi hình trụ có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . 64 64 64 Ta có: 2
V   r h  h    l  2 2 2  r r r
Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất. 128 Ta có: 2 2 S  2S  S
 2 r  2 rl  2 r  . tp day xq r 128
Xét hàm số f r  2  2 r  với r  0 . r 128
Ta có f r   4 r  ; f r  3  0  r  32 . 2 r 140 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Lập bảng biến thiên ta có f r  đạt GTNN khi 3 r  32 .
Câu 35. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng
AB  4 km . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC  7 km . Người
canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6km / h rồi đi
xe đạp từ M đến C với vận tốc 10 km / h (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C
để người đó đi từ A đến C là nhanh nhất. A x B M C 7km A. 6km . B. 3km . C. 4km . D. 9km . Hướng dẫn giải Chọn C. Quãng đường 2 2 AM  AB  BM =    2 16 7 x
 thời gian đi quãng đường AM là    x2 16 7 x
(giờ). Quãng đường MC  x  thời gian đi quãng đường MC là (giờ) 6 10 1 1
Tổng thời gian đi từ A đến C là y 
16  7  x2 
x (với 0  x  7 ) 6 10 1 x  7 1 2 Đạo hàm y  . 
; y  0  6 16  7  x  10 7  x  x  4 6    x2 10 16 7 1 41 17
Giá trị y 0  65 , y 7  , y  4  6 30 15 17
Vậy GTNN là y  4 
, tức là khoảng cách x  4 (km). 15
Câu 36. (LƯƠNG VĂN CHÁNH) Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng
hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước ( hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó).
Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để tốn ít vật liệu nhất. V V V V A. 3 R  2h  2 .
B. R  2h  2 .
C. h  2R  2 . D. 3 h  2R  2 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 141 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn D.
Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất. Ta có: 2
S  2 R  2 Rh . tp V Do 2
V   R h nên h  . Suy ra 2  R V V V V V 2 2 2 3 2 3
S  2 R  2 . R  2 R    3. 2 R . .  3. 2V . tp 2  R R R R R V V V Đẳng thức xảy ra khi 2 3 2 R   R  . Khi đó 3 h  2 . R 2 2
Câu 37. (LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng
120 . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm
của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? 120 A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn A.  
Gọi r là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh ASA  120  ASO  60 .  r
Suy ra SO  O . A cot ASO 
. Gọi H là trung điểm của AM và đặt x  OH . 3 2 r Ta có: 2 2 2 SH  SO  OH   x , 2 2 2 2
AM  2AH  2 OA  OH  2 r  x . 3
Diện tích tam giác SAM bằng 2 1 r 2 2 2 2 2 s  SH .AM 
 x . r  x  r . 2 3 3
142 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 2 2 r r r 2 s  r đạt được khi 2 2 2 2
 x  r  x  x   x 
. Tức là OH  SO . max 3 3 3 3 B M Q C M Q
Câu 38. (BẮC YÊN THÀNH) Cho một tấm nhôm hình chữ
nhật ABCD có AD  60cm , AB  40cm . Ta gập tấm B, C
nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong cho
đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để
dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể
tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng A x N P x D N P 3 3 60cm
A. 4000 3 cm 
B. 2000 3 cm  , A D C. 400 3  3 cm  D. 4000 2  3 cm  Chọn A.
Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh bên bằng x , cạnh đáy bằng 60  2x 2  60  2x 
Đường cao tam giác đó là 2 AH  x   60x  900  
, với H là trung điểm NP  2  Diện tích đáy là 1 1 S  S 
AH .NP  60x  900.  x  x   x  x ANP 30  60
900900 30 900 30  2 30 3 1  900   S   100 3    2 cm  30  3 
Diện tích đáy lớn nhất là 2
100 3cm nên thể tích lớn nhất là V    3 40.100 3 4000 3 cm  .
Câu 39. (SỞ HÀ NỘI) Cho mặt cầu  S  bán kính .
R Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r
thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất. R R 2
A. h  R 2 .
B. h  R . C. h  . D. h  . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi O và O là tâm hai hình tròn đáy của hình trụ, và xét
thiết diện ABCD đi qua trục của hình trụ như hình vẽ trên đây. 2 h Ta có 2 2 OO  ;
h IA  R, AO  r  r  R  . 4 Diện tích xung quanh của hình trụ
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 143 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 2 2
h  4R  h 2 2
S  2 rh   h 4R  h   , (dùng BĐT 2 2 2 a  b ab  ). 2 Vậy 2 2 2 2 S
 2 R  h  4R  h  h  R 2 . max
Câu 40. (TT DIỆU HIỀN) Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không 500 nắp có thể tích bằng
m3. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá 3
thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m2. Khi đó, kích thước của hồ nước để chi phí thuê nhân công thấp nhất là 5
A. Chiều dài 20 m, chiều rộng 10 m và chiều cao m . 6 10
B. Chiều dài 30 m, chiều rộng 15 m và chiều cao m . 27 20
C. Chiều dài 20 m, chiều rộng 15 m và chiều cao m . 3 10
D. Chiều dài 10 m, chiều rộng 5 m và chiều cao m . 3 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi ,
x y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của khối hộp  , x y  0 . 500 250
Diện tích đáy khối hộp 2
S  2 x . Thể tích khối hộp 2 V  2x y   y  . 2 3 3x
Diện tích xung quanh khối hộp S
 2xy  22x y  6xy . xq 500 500 500 Diện tích cần xây là 2 2 2 3
S  S  2x  6xy  2x   3 2x . .  150 . xq x x x 10
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x  5  y  3 10
Vậy chiều dài bằng 10, chiều rộng bằng 5, chiều cao bằng . 3
Câu 41. (TT DIỆU HIỀN) Một người nông dân rào một mãnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 2
10.000 m . Biết rằng bờ rào ở các cạnh phía bắc và phía nam giá 1500 / m , bờ rào ở các cạnh
phía đông và phía tây giá 6000 / m . Để chi phí thấp nhất thì kích thước Đông - Tây, Bắc - Nam của mãnh vườn là: A. 50 , m 200m . B. 200 , m 50m . C. 40 , m 250m D. 100 , m 1 00m Hướng dẫn giải Chọn A. 144 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Đặt chiều dài bờ rào Bắc-Nam là x m
Đặt chiều dài bờ rào Đông-Tây là y m
Ta có S  xy   2 10 000 m 
Số tiền xây bờ rào là 1500.2.x  6000.2.y  3000  x  4 y  6000 4xy  1200000
Để chi phí thấp nhất khi 2
x  4 y  xy  4 y  10000  y  50m  x  200m
Câu 42. (TT DIỆU HIỀN) Một thùng chứa hình trụ kín, có thể tích 3
5000m . Vật liệu để làm hai đáy có giá 2
250 000 / m , vật liệu làm phần còn lại có giá 2
400 000 / m . Để chi phí thấp nhất, chiều cao
h và bán kính đáy của thùng chứa là:  25 4   4 25  A. 3  ,10 . B. 3 10 , .   3 2    3     2    25   25  C. 3 10 4 ,  . D. 3 ,10 4 . 3     2  3  2  Hướng dẫn giải Chọn A. 5000 2
V   R h  5000  h  2  R 9  2.10  5 2 4 4 2 S  2 R .
h 4.10  2 R .25.10  2  25.10 R tp    R   9 9 22  10 10  25.10 4 2 3  2   25.10 .R  2 .3   2  R  R    9 3 10 4.10 4
 Chi phí thấp nhất khi 4 2 3 3
 25.10 .R  R   10  R   25  h  3 2
Câu 43. (HAI BÀ TRƯNG) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD  24cm . Ta gấp tấm
nhôm theo hai cạnh MN và QP vào phía trong đến khi AB và CD trùng nhau như hình vẽ
dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 145 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) M Q B C M Q B,C A D N P x N P x 24cm A,D
A. x  9 .
B. x  8 . C. x  10 .
D. x  6 . Hướng dẫn giải Chọn B. M Q B I N P x x A
 Gọi I là trung điểm NP  IA đường cao của A
 NP cân tại A  AI  x    x2 2 12 = 1
24 x  6  diện tích đáy S  .N .
P AI  12  x. 24  x  6 , với 6  x  12  thể ANP 2
tích khối lăng trụ là V  S .MN  .
a 12  x. 24  x  6 (đặt MN  a : hằng số dương) ANP
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  12  x. 24 x  6 , 6  x  12 :  12 12  x  36  x  288
+ y   24 x  6    =
, y  0  x  8 6;12  24  x  6  24  x  6
+ Tính giá trị: y 8  16 3 , y 6  0 , y 12  0
 Thể tích khối trụ lớn nhất khi x  8 .
Câu 44. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Một đơn vị sản xuất hộp đựng thuốc dung tích 2 dm3 dạng hình trụ có
đáy là hình tròn. Nhà sản xuất chọn bán kính đáy của hình hộp gần với
số nào để ít tốn vất liệu nhất? A. 1, 37dm . B. 1dm . C. 2dm . D. 0, 68dm . Hướng dẫn giải.
146 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn D. Ta có 2 3
V   R .h  2(dm ) . 2 2 2 3 3
S  2 R   Rh   Rh  3 2 ( R h)  6  . tp 3
S  6   2R  h . tp 1 Suy ra: 2 3
 R .2R  2  R   0, 68 . 
Câu 45. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái
hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của
hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các
mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 3 4 dm A. 1 dm. B. 1,5 dm. C. 2 dm. D. 0,5 dm. Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi x, y  ,
x y  0 lần lượt là độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình hộp. 4 Thể tích khối hộp là 2 2
V  x y  4  x y  y  . 2 x 16 8 8 Diện tích cần mạ vàng 2 2 2 3
S  x  4xy  x   x  
 3 64 đạt giá trị nhỏ nhất khi chỉ x x x 8 khi x 
 x  2  y  1 x
Câu 46. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 3
150 m . Đáy bể làm bằng bê tông giá 2
100 000 đ / m . Phần thân làm bằng tôn giá 2
90 000 đ / m , nắp bằng nhôm giá 2
120 000 đ / m . Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và
bán kính đáy là bao nhiêu? 22 9 31 21 A. . B. . C. . D. . 9 22 22 32 B Hướng dẫn giải: O Chọn A. A 150 Ta có: 2
V  150   R h  150  h  2  R
Mà ta có: f  R 2 2
 100000 R 120000 R 180000 Rh B 150 27000000 f  R 2 2
 220000 R 180000 R  220000 R  2 O  R R A
Để chi phí thấp nhất thì hàm số f  R đạt giá trị nhỏ nhất với mọi R  0 3 27000000
440000 R  27000000 30
f  R  440000 R  
, cho f  R  0  R  2 2 R R 3 440 30
Lập BBT, từ BBT suy ra min f  R khi R  R0 3 440
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 147 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) h 150 22 Nên   3 R  R 9
Câu 47. (CHUYÊN BẮC GIANG) Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân
nặng P n  480  20n (gam). Tính số con cá phải thả trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để
sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất A. 14. B. 12. C. 15. D. 13. Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có P n  480  20n  trọng lượng cá thu được là n480  20n
Xét hàm f n 2
 480n  20n  max f n  2880  n  12 R 148 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) e 4 2 4 2 e  1 1   x x  2e  e  3 Với 3 I  x  x dx    1      1  2 8  8 16 16   1 e e  1  1 1 1 1 2 I  
x ln x dx   x    2ln x   2 1   e  2 1  4  4 4 16 16 1 e e  1 ln x  1 1 2 I   dx   ln x   . 3    1  16 x  32 32 1 Cách 2. e 2 x ln x  1 1 
Học sinh có thể trực tiếp bấm máy tính tích phân 2 S  2  1 x   dx   để 2  2 4  16x 2  1 có kết quả 4 x
Câu 4. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho hàm số 2 2 y 
 2m x  2 . Tập hợp tất cả các giá trị 2
của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường
thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích 64 bằng là 15  2     1  A.  . B.   1  . C.  ; 1   . D.  ;1 . 2      2  Hướng dẫn giải Chọn B.
Tập xác định D   x  0  3 2
y  x  m x  x  2 2 2 4 2
x  2m  ; y  0  x  2m  x   2m 
Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu  m  0 1 Vì a 
 0 nên hàm số đạt cực đại tại x  0 suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là A0; 2 2
Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là d : y  2 .
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là: m   x  0 4 2 x  x  0  2 2
 2m x  2  2    x  2 m  2 2 2 x  4m   x  2  m 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 151 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn) 2 m 2 m 2 4 4 m 4 x x  x  2 2 2 2 2 2 S 
 2m x dx  2
 2m x dx  2  2m x dx      2 2 2 2 m 0 0   5  x 2  2 m 64 5 2 3  2  m x  m   10 3   0 15 64 m  1 Ta có S   m  1   15 m  1  
Câu 5. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số 2 2 y  x x  1 ,
a b  ln 1 b 
trục Ox và đường thẳng x  1 bằng
với a , b , c là các số nguyên dương. c
Khi đó giá trị của a  b  c là A. 11. B. 12 . C. 13 . D. 14 . Hướng dẫn giải Chọn C.
Cách 1 (dùng máy tính):
Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 x
x 1  0  x  0 1
Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 2 S  x x 1dx  vì 2 2 x x  1  0, x  0;  1 . 0 1
a b  ln 1 b 2 2   x x 1dx   c 0 1
Bước 1: Bấm máy tính tích phân 2 2 S  x
x  1dx  0, 4201583875  ( Lưu D) 0
Bước 2: Cơ sở : Tìm nghiệm nguyên của phương trình
a b  ln 1 b 
a b  ln 1 b  D   c 
(coi c  f  x , a  x , b   và ta thử các giá c D
trị b  ...  5; 4  ;..0,1; 2;3; 4..... )
Thử với b  1 :
Thử với b  2 : Mode + 7
152 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) X 2  ln 1 2 F  X   ; D
Kết quả: a  3; c  8, b  2
Cách 2 (giải tự luận):
Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 x
x 1  0  x  0 1
Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 2 S  x x 1dx  vì 2 2 x x  1  0, x  0;  1 . 0 Đặt x  t  x   2 tan d 1 tan t dt 
Đổi cận x  0  t  0; x  1  t  4    4 4 2 4 2 sin t 1 1 sin t.cos t Khi đó 2 2
S  tan t 1 tan t   2
1 tan t dt  . dt  dt  2 2 
cos t cos t cos t  2 0 0 0 cos t 3
Đặt u  sin t  du  cos tdt  2
Đổi cận t  0  u  0;t   u  4 2 2 2 2     2 2 1  2 2 1 u u  2 1 1 S  du  du       du    1 u 3 1u 3
 1u 3  1u 2 2 2 2 2   0 0 0     2 2 2 3 3 2 2 2 1 1
 1 u 1 u  1  1 1  Ta có H  du    du   du         1 u 3 2 8 1 u 1 u 8  1 u 1 u  0 0      0 2 2 1  1 1 3 1 1          du    8
 1 u3 1u3 2
1 u  1 u 1 u   0  
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 153 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 2   1 1 1 6      du  8
 1 u3 1 u3 1u 2 2    0   2 2 2  1 1   1 6      d 2 u   161 u2 16 1 u2    8   1 0  u 2 2 0 2 2 2 1 6   du  2 8 1 u 2 2 0 2 2 6 Tính K  du  1u 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3
 1 u 1 u  3  1 1  K  du    du   du         1 u 2 2 2 1 u 1 u 2  1 u 1 u  0 0      0 2 2 2 3  1 1 2  3  1 1 1 u       du    ln  3 2  3ln 1 2  2 2   2   2  1 u 1 u
1 u 1 u  2 1 u 1 u 1 u 0            0
3 2  3ln 1 2  7 2  3ln 1 2 2  Vậy H    2 8 8 7 2  3ln 1 2 1 Khi đó S   K 8 6 7 2  3ln 1 2 3 2  ln 1 2 1  
 3 2  3ln 1 2  8 6 8
Câu 6. (SỞ THANH HÓA) Một công ty quảng cáo X muốn 12 m
làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính A I B F E
giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có
chiều cao BC  6 m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ
bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN  4 m 6 m
; cung EIF có hình dạng là một phần của cung
parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi
qua hai điểm C , D . Kinh phí làm bức tranh là M N D 4 m C 900.000 đồng/ 2 m .
Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ? A. 20.400.000 đồng.
B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng.
154 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Câu 7. (QUẢNG XƯƠNG ) Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng 10 cm . Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy góc o
45 . Thể tích của khối gỗ bé là 2000 1000 2000 2000 A.  3 cm  . B.  3 cm  . C.  3 cm  . D.  3 cm  . 3 3 7 9 Hướng dẫn giải. Chọn A.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình tròn có phương trình:
y  100  x2 , x 10,10
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , x 10,10
cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S  x (xem hình).
Dễ thấy NP  y và MN  NP tan 45o  y  100  x2 . 1 1
Suy ra S  x  MN.PN   2 100  x  2 2 10 10 1 2000
Khi đó thể tích khúc gỗ bé là :V 
S  x dx   2
100  x dx     3 cm  . 2 3 1  0 10
Câu 8. (HÀ HUY TẬP) Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng
là 30m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền
trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí để làm
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 155 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) mỗi 2
m làm đường 500.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
Câu 9. (HÀ HUY TẬP) Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 và chiều rộng là
60m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền
trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần
lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí cho mỗi 2
m làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). 100m 2m 60m A. 293904000. B. 283904000. C. 293804000. D. 283604000. Hướng dẫn giải Chọn A.
Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm của hình Elip. 2 2 x y
Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là  E : 
 1 . Phần đồ thị của 1  2 2 50 30 2 x
 E nằm phía trên trục hoành có phương trình y  30 1  f x . 2 1   1  50 2 2 x y
Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là  E : 
 1. Phần đồ thị của 2  2 2 48 28 2 x
E nằm phía trên trục hoành có phương trình y  28 1  f x . 2 2   2  48
Gọi S là diện tích của  E và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành 1  1
và đồ thị hàm số y  f x . Gọi S là diện tích của  E và bằng hai lần diện tích phần hình 2  1   2
phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số y  f x . 2  
Gọi S là diện tích con đường. Khi đó 50 2 48 2 x x
S  S  S  2 30 1 dx  2 28 1 dx 1 2  2  . 2 50 48 50 48 a 2 x
Tính tích phân I  2 b 1 dx, a,b     . 2   a a 156 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)    
Đặt x  a sin t,   t 
 dx  a cos tdt   .  2 2   
Đổi cận x  a  t  
; x  a  t  . 2 2    2 2 2 Khi đó 2 2 I  2
b 1 sin t .a cos t dt  2ab
cos t dt  b a
1 cos 2tdt          2 2 2  2  sin 2t   ab t  ab    .  2    2
Do đó S  S  S  50.30  48.28  156 . 1 2
Vậy tổng số tiền làm con đường đó là 600000.S  600000.156  294053000 (đồng). 50 m 2m 30m A. 119000000 . B. 152000000 . C. 119320000 . D. 125520000 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2 x y
Gọi S là diện tích của elip  E  : 
 1 ta có S   ab . 2 2 a b a 2 2  x x  Chứng minh S  b  1  1    ab  2 2  a a  a  
Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục hoành và trục tung lần lượt là các trục đối xứng của hình
chữ nhật trong đó trục hoành dọc theo chiều dài của hình chữ nhật.
Gọi  E là elip lớn,  E là elip nhỏ ta có: 2  1 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 157 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 2 x y E : 
 1  Diện tích của nó là S   .25.15  375 . 1  2 2 25 15 1 2 2 x y  E : 
 1  Diện tích của nó là S   .23.13  299 . 2  2 2 23 13 2
Diện tích con đường là 375  299  76 .
Do đó số tiền đầu tư là 76 *500.000  119320000
Câu 10. (SỞ BẮC GIANG) Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây
Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện
của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích  3
V cm  của vật thể đã cho. 4 cm
A. V  12 . B. V  12 . A B O 72 72 C. V   . D. V  . 5 5 6 cm Hướng dẫn giải Chọn A.
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol  P. Vì I
parabol  P đi qua các điểm A2;6, B 2;6 và I 0;0 nên 3
parabol  P có phương trình 2 y  x . 2 3 2 6  2  Ta có 2 2 y  x  x 
y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho là V   y dy  12    3 cm . 2 3  3  0
Câu 11. (TT DIỆU HIỀN) Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N (t) . Biết rằng 7000 N (  t) 
và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng t  2 bao nhiêu con? A. 322542 con. B. 332542 con. C. 312542 con. D. 302542 con. Hướng dẫn giải Chọn C. 7000
Ta có: N t  
dt  7000.ln t  2  C 
mà N 0  300000  C  300000  7000ln 2 t  2
Nên N t   7000.ln t  2  300000  7000ln 2
Do đó: N 10  312542 .
Câu 12. (SỞ VŨNG TÀU) Một khối cầu có bán kính bằng 5 dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt
phẳng vùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một khoảng
bằng 4 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng 158 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 500 2296 952 472 A. 3 dm . B. 3 dm . C. 3 dm . D. 3 dm . 3 15 27 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích R 5  V    14 2 2
R  x dx    2 25  x dx  1  3 d 4 4 14 472
Vậy thể tích của chiếc lu là 3
V  V  2V  .5  2    c 1 3 3 3
Câu 13. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H  có một cạnh
nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A 1  ;0 và B  ; a
a  , với a  0 .
Biết rằng đồ thị hàm số y 
x chia hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a . 1 A. a  9 . B. a  4 . C. a  . D. a  3 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi ACBD là hình chữ nhật với AC nằm trên trục Ox , A 1  ;0 và B  ; a a 
Nhận thấy đồ thị hàm số y 
x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua B  ; a
a  . Do đó nó chia hình chữ nhật ACBD ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là S , S . 1 2
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 159 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 
x và trục Ox , x  0, x  a và S 2 1
là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính S , S . 1 2 a
Tính diện tích S  xdx 2  . 0 Đặt 2 t 
x  t  x  2tdt  dx ; Khi x  0  t  0; x  a  t  a . a a 3  2t  2a a Do đó 2 S  2t dt   . 2    3 3 0   0 Hình chữ nhật ACBD có
AC  a  1; AD  a nên 2a a 1 S  S
 S  a a  1   a a  a 1 ACBD 2   3 3
Do đồ thị hàm số y 
x chia hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau nên 2a a 1 S  S  
a a  a  a a  3 a  a  3 (Do a  0 ) 1 2 3 3
Câu 14. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích
thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá  2
1 m  của rào sắt là
700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 6.520.000 đồng. B. 6.320.000 đồng. C. 6.417.000 đồng. D. 6.620.000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ .
Trong đó A2,5;1,5 , B 2, 5;1,5 , C 0; 2 .
Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng 2
y  ax  bx  c , với a; ; b c   .
Do Parabol đi qua các điểm A2,5;1,5 ,
B 2, 5;1,5 , C 0; 2 nên ta có hệ phương trình  2   2,52  2,5 1,5 a a b c          25   a  2
 ,52  b 2,5  c  1, 5  b  0 .   c  2 c  2    
160 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2
Khi đó phương trình Parabol là 2 y   x  2 . 25 2
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số 2 y   x  2 25
, trục hoành và hai đường thẳng x  2, 5 , x  2, 5 . 2,5 2,5 3  2   2 x  55 Ta có 2 S  
x  2 dx    2x       .  25  25 3 6 2,5   2,5
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là 55 S.700.000 
.700000  6.417.000 (đồng). 6
Câu 15. (THANH CHƯƠNG ) Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O . Một nhóm học sinh lớp
12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường
parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại
bốn điểm A , B , C , D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện
tích S , S dùng để trồng hoa, phần diện tích S , S dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến l 2 3 4
chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ
là 100.000 đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm
tròn đến hàng chục nghìn) A. 6.060.000 đồng. B. 5.790.000 đồng. C. 3.270.000 đồng. D. 3.000.000 đồng. Hướng dẫn giải CHỌN C. y
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Parabol có hàm số dạng y  ax2  bx  c có đỉnh là gốc tọa độ và đi 1 2
qua điểm B 2; 2 nên có phương trình y  x O x 2
Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính OB  2 2
nên có phương trình là x2  y2  8 . Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh trên là 2 y  8  x . 2  1  Vậy diện tích phần 2 2 S  8  x  x dx 1     2  2 2  1 
Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là 2 2 S  S  2 8  x  x dx  15, 233... 1 2     2  2 Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:     2 15, 233 150.000 2 2
15, 233100.000  3.274.924 đồng.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 161 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Làm tròn đến hàng chục nghìn nên ta có kết quả là 3.270.000 đồng.
Câu 16. (CHU VĂN AN) Cho hàm số 4 2
y  x  3x  m có đồ thị C
với m là tham số thực. Giả sử m 
C cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ : m  y Cm  S3 O x S S 1 2
Gọi S , S và S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để 1 2 3
S  S  S . 1 2 3 5 5 5 5 A. m   . B. m   . C. m  . D. m  . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D
Giả sử x  b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình 4 2
x  3x  m  0 . Khi đó ta có 4 2
b  3b  m  0 (1)
Nếu xảy ra S  S  S thì 1 2 3 b 5 4  4 2 b b
x  3x  m 3 2 dx  0 
 b  mb  0 
 b  m  0 (2) do b  0 5 5 0 4 5
Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được 4 2 2
b  2b  0  b  (do b  0) . 5 2 5
Thay trở ngược vào (1) ta được m 
. (đến đây ta đã chọn được đáp án, không cần giải tiếp) 4
Chú ý: nếu là giải tự luận phải kiểm lại xem phải phương trình y  0 có 4 nghiệm phân biệt, 5 đồng thời x 
là nghiệm dương lớn nhất hay không. 2
Câu 17. (CHU VĂN AN) Cho hai mặt cầu  S ,  S có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của 2  1 
S thuộc S và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S ) và 2  1  1 (S ) . 2 162 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 3  R 3 5 R 3 2 R A. 3 V   R . B. V  . C. V  . D. V  . 2 12 5 Hướng dẫn giải Chọn C
Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ y
Khối cầu S O, R chứa một đường tròn lớn là 2 2 2
(C) : x  y  R C  2 2 2
: x  y  R
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là O R R x 2 R R 3 3      2 2   R  x  2 x 5 R V 2
dx  2  R x    . 3 R 12 R   2 2
Câu 18. (THẦY HIẾU LIVE ) Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N (t) . Biết rằng 4000 N '(t) 
và lúc đầu đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là 1  0,5t
(lấy xấp xỉ hàng đơn vị) A.264334 con B.257167 con C.258959 con 253584 con D.
Câu 19. (Lạc Hồng) Dòng điện xoay chiều chạy trong dây dẫn có tần số góc  . Điện lượng chuyển qua 1
tiết diện thẳng của dây dẫn trong
chu kì dòng điện kể từ lúc dòng điện bằng không là Q . 6 1
Cường độ dòng điện cực đại là: 1 A. 6Q  . B. 2Q  . C. Q  . D. Q  . 1 1 1 1 2
Câu 20. (LÊ QUÝ ĐÔN) Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên
mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng :
P(n)  480  20n . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ đề sau
một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất. A. 12 B. 22 C. 24 D. 26
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Ông An có một mảnh vườn hình elip
có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m . Ông
muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của 8m
elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2
1m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng
hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. HƯỚNG DẪN GIẢI
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 163 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Chọn B. 2 2 x y
Giả sử elip có phương trình 
 1, với a  b  0 . 2 2 a b
Từ giả thiết ta có 2a  16  a  8 và 2b  10  b  5  5 2 y   64  y E 2 2  1  x y 8
Vậy phương trình của elip là   1   64 25 5  2 y  64  y  E1  8
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường  E ; E ; x  4; x  4 và diện tích 1   2  4 4 5 5 của dải vườn là 2 2 S  2 64  x dx  64  x d   x 8 2 4 0   3 
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x  8sin t , ta được S  80    6 4    3 
Khi đó số tiền là T  80  
.100000  7652891,82  7.653.000 .  6 4 
Câu 21. (QUẢNG XƯƠNG ) Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m
. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối
xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng 2 / m . Hỏi cần bao 6m
nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến O hàng đơn vị) A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đồng. D. 4821322 đồng. Chọn D
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , khi đó phương trình đường tròn tâm O là 2 2
x  y  36 . Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình 2
y  36  x  f (x)
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị y  f (x)
và hai đường thẳng x  3  ; x  3 3 2  S  2 36  x dx  3   
Đặt x  6 sin t  dx  6 cos tdt . Đổi cận : x  3   t  
; x  3  t  6 6 164 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)    6 6 6 2  S  2 36cos tdt  36
(c os2t+1) dt  18 (sin 2 t 2 t)  18 3 12        6 6  6
Do đó số tiền cần dùng là 70000.S  4821322 đồng
Câu 22. (ĐỨC THỌ) Người ta trồng hoa vào phần đất được tô
màu đen được giới hạn bởi cạnh AB , CD , đường
trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và
một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết AB  2 ( ) m , AD  2 ( )
m . Tính diện tích phần còn lại. A. 4 1 .
B. 4   1 . C. 4  2 . D. 4  3 .
Câu 23. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường 2
y  x 1 và
y  k, 0  k  1. Tìm k để diện tích của hình phẳng  H  gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. k  3 4. B. 3 k  2 1. 1 C. k  . 2 D. 3 k  4 1. Chọn D.
Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1 x2 , y  k, x  0 bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
y  1 x2 , y  x2 1, y  k, x  0.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 165 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1k   2
1 x  k dx  0 1 1k   2
k 1 x dx    2 k  x   1 d . x 1k 1 1
 1 k  1 k  1 k  1 k 3 1 1 
 1 k   1 k  1 k  1 k  1 k 3 3 1 1
 1 k  1 k  1 k  1 k  1 k   3 3 2 4 
1 k  1 k  3 3    k 3 1  2 3  k  4 1.
Câu 24. (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Một khối cầu có bán kính là 5dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối
cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3dm
để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 100 43 A.   3 dm  B.   3 dm  C.   3 41 dm  D.   3 132 dm  3 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn 2 2
(C) : ( x  5)  y  25 . Ta thấy nếu cho nửa
trên trục Ox của C quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình
phẳng  H  giới hạn bởi nửa trên trục Ox của C , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  2
quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có 2 2 2
(x  5)  y  25  y   25  (x  5) 166 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
 Nửa trên trục Ox của C có phương trình 2 2 y 
25  (x  5)  10x  x
 Thể tích vật thể tròn xoay khi cho  H  quay quanh Ox là: 2 2 3    V    x 52 2 10x  x  2
dx   5x   1   3 3 0   0 4 500 Thể tích khối cầu là: 3 V   .5  2 3 3 500 52
Thể tích cần tìm: V  V  2V   2.  132  3 dm 2 1  3 3
Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích R 5  V    52 2 2
R  x dx    2 25  x dx  1  3 d 3 4 52
Vậy thể tích của chiếc lu là 3
V  V  2V  .5  2   132 c 1 3 3 2 x
Câu 25. (CHUYÊN BIÊN HÒA) Parabol y 
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 S
2 2 thành hai phần có diện tích là S và S , trong đó S  S . Tìm tỉ số 1 . 1 2 1 2 S2 3  2 3  2 3  2 9  2 A. . B. . C. . D. . 21  2 9  2 12 3  2 Giải Chọn B. Diện tích hình tròn là 2
S   r  8 . 2 2 x 4 Ta có 2 S  8  x  dx  2  1  2 3 2 4
Suy ra S  S  S  6  2 1 3 S 3  2 Vậy 1  . S 9  2 2
Câu 26. (CHUYÊN HƯNG YÊN) Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người
ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm
cửa cao 8m và rộng 8m .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 167 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 128 131 28 26 A. 2 m . B. 2 m . C. 2 m . D. 2 m . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các 1 đường 2 y  x , y  8 . 2
Phương trình hoành độ giao điểm 1 x  4 2 x  8   2 x  4   Diện tích vòm cửa là 4  1 2  S  8  x dx     2  4   1  4 128 3  8x  x     6  4  3
Câu 27. (CHUYÊN HƯNG YÊN)Cho parabol  P 2
: y  x 1 và đường thẳng d : y  mx  2 . Biết
rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó. 4 2 A. S  0. B. S  . C. S  . D. S  4. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d là 2 2
x  1  mx  2  x  mx 1  0 * Ta có 2
  m  4  0, m   .
 Nên phương trình * luôn có 2 nghiệm phân biệt x  a và
x  b a  b. Do đó  P luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt Aa; ma  2 và B b; mb  2.
Với mọi m, đường thẳng d luôn đi qua điểm M 0; 2. Mà y  1. CT Suy ra 2
mx  2  x 1, x
 a;b.
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d là
168 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) b b 3   S   mx x b mx  2   2 x   1 dx  2
mx  1 x dx   x    2 3 a a a    m 1   m 1 1    b  a
b  a 1 
a  b  ab  b  a
b  a 1 a  b2 2 2  ab 2 3   2 3 3      2  m 1 1 
 S  b  a2
b  a 1 a  b2 2  ab  2 3 3    2  m 1 1   
 b  a2  4ab
b  a 1 a  b2  ab    2 3 3  
a  b  m
Vì a,b là nghiệm của phương trình * nên ta có  . ab  1   2 2  m 2  4 16 Khi đó 2 S   2 m  4   4.  .   6 3 9 9   4
Đẳng thức xảy ra khi m  0. Vậy S  . min 3
Câu 28. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phòng thí nghiệm người ta thấy 2017
tại ngày thứ x có số lượng N  x con. Biết rằng N x 
và lúc đầu đám vi khuẩn có x 1
30000 con. Hỏi số lượng vi khuẩn sau đúng một tuần gần với số nào sau đây? A. 36194 . B. 38417 . C. 35194 . D. 34194 . Hướng dẫn giải Chọn D. 2017 Ta có:
dx  2017 ln x 1  C 
. Theo giả thiết N 0  30000  C  30000 . x 1
Suy ra N  x  2017 ln x 1  30000 .
Vậy số lượng vi khuẩn sau một tuần là N 7  2017 ln 8  30000  34194
Câu 29. (LẠNG GIANG) Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm 1000
số Bt  
,t  0 , trong đó B t  là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ 1 0,3t 2
t . Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho
người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước . Hỏi vào ngày thứ
bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an toàn nữa? A. 9 B. 10. C. 11. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn B
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 169 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 1000 1000
Ta có B 't dt  dt    C   10,3t2 0,31 0, 3t  10000 11500
Mà B 0  500  
 C  500  C  31 0,3.0 3 10000 11500
Do đó: B t     31 0, 3t  3 10000 11500
Nước trong hồ vẫn an toàn khi chỉ khi B t   3000     3000  t  10 31 0,3t  3
Vậy kể từ ngày thứ 10, nước hồ không còn an toàn.
Câu 30. (TRẦN HƯNG ĐẠO) Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t . Biết rằng 4000 Nt  
và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là 1 0,5t bao nhiêu? A. 258 959 con . B. 253 584 con . C. 257 167 con . D. 264 334 con . Hướng dẫn giải Chọn D. 4000
Ta có: N t   Nt  dt  dt 8
 000.ln 1 0,5t  C  10,5t
Mà số lượng vi trùng ban đầu bằng 250000 con nên C  250000 .
Do đó: N t   8000.ln 1 0, 5t  250000 .
Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng bằng: N 10  8000.ln 6  250000  264334 con.
Câu 31. (NGUYỄN KHUYẾN) Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ
sâu h  280 cm . Giả sử (
h t) cm là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, bết 1 1
rằng tốc độ tăng của chiều cao nước tại giây thứ t là 3 h (  t) 
t  3 . Hỏi sau bao lâu thì 500 3 nước bơm được độ sâu của hồ bơi? 4 A. 7545, 2 s . B. 7234,8 s . C. 7200, 7 s . D. 7560,5 s . Chọn B.
Sau m giây mức nước của bể là: m m m 1 3 t  34 3 3 3 h(m)  h (t)dt= t  3dt=     m  34 3 3  3 3     0 0 500 2000 0 2000 170 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 3 3
Yêu cầu bài toán, ta có :    m 34 3 3 3 3     280 . Suy ra : 2000 4 3 m   3    m   3 3 140000 3 3 140000  3 3 3 4 4  3  7234, 8 .
Câu 32. (TT DIỆU HIỀN) Thầy Tâm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến
đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là
1500000 đồng. Vậy số tiền Thầy Tâm phải trả là: A. 12750000 đồng. B. 3750000 đồng. C. 6750000 đồng. D. 33750000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn C 9
Chọn hệ trục như hình vẽ. Phương trình Parabol là 2 y  x  . 4 3  9  9 Diện tích mái vòm là 2 2 S  x  dx  . 3      4  2 2 9
Số tiền cần trả: .1500000  6750000 . 2
Câu 33. (AN LÃO) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip 2 2 x y có phương trình 
 1 . V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? 25 16 A. 550. B. 400. C. 670. D. 335. Hướng dẫn giải Chọn C.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 171 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) 2 2 x y 4 Ta có 2   1  y   25  x . 25 16 5
Do elip nhận Ox , Oy làm các trục đối xứng nên thể tích V cần tính bằng 4 lần thể tích hình 4
sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 y 
25  x , y  0 và các đường thẳng 5
x  0 , x  5 quay xung quanh Ox . 5 2  4  640 2 V  4. 25  x dx=  670, 2   .  5  3 0
Câu 34. (TT DIỆU HIỀN) Một hạt proton di chuyển trong điện trường có gia tốc 20 a t    2 cm s
với t tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc v theo t , biết rằng khi t  0 thì 2  2t   1 v  30 cm s . 2  0 10 10  A.  30 . B. . C.  20 .
D.  t   3 2 1  30 . 2t 1 2t 1 2t 1 Hướng dẫn giải Chọn C. 20 10
Dễ thấy v t   dt  
 C cm s 2t  2 1 2t 1 10
Khi t  0 thì v  30 cm s  v 0 
 C  30  C  20 2.0 1 10
Do đó v t  
 20 cm s . 2t 1
Câu 35. (CHUYÊN ĐH HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  E có phương trình 2 2 x y 
 1,0  b  a và đường tròn C  2 2
: x  y  7. Biết diện tích elip  E gấp 7 lần diện 2 2 a b
tích hình tròn C . Khi đó A. ab  7 .
B. ab  7 7 . C. ab  7 . D. ab  49 . Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 x y b 
 1,a,b  0 2 2  y  a  x . 2 2 a b a
Diện tích  E là 172 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) a 2 b a  2 x d a x b S  4  2 4 a  2 x dx E   a a 0 0    
Đặt x  a sin t, t   ;  dx    a cos tdt .  2 2  
Đổi cận: x  0  t  0; x  a  t  2   2 2 b S  4 a2.cos2tdt  
2ab1 cos2t ab E dt     a 0 0 Mà ta có 2  S   . π R  7π. C
Theo giả thiết ta có S  7.S
  ab  49  ab  49. E C
Câu 36. (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi đường tròn (C) : x2  ( y  3)2  1 xung quanh trục hoành là
A. V  6 . B. 3 V  6 .
C. V  3 2 . D. 2 V  6 . Hướng dẫn giải. 4.5 Chọn D. 4
f(x) = 3 + 1 x2 2 3.5
x2  ( y  3)2  1  y  3  1 x . 3 1 1 2 2  2 2  2 2.5
V    3 
1 x   3 1 x  dx 12 1 x dx   .   1 1 2 g x ( ) = 3 1 x2 1.5  
x  1  t   1  2
Đặt x  sin t  dx  cos t.dt . Với  .  0.5 x  1  1  t     2 1 1 2 0.5   2 2 2 2 2  V  12
1 sin t .cos tdt  12 cos tdt  6   .     2 2
Câu 37. (CHUYÊN QUANG TRUNG) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một
cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong
trong hình vẽ là các đường Parabol). A. 3 19m . B. 3 21m . C. 3 18m . D. 3 40m . Hướng dẫn giải Chọn D.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 173 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. y O x Ta có  19  Gọi  P  2
: y  ax  c là Parabol đi qua hai điểm A ; 0 , B   0;2 1  2  2   19   8 0  . a  2 a   8
Nên ta có hệ phương trình sau:     2    361   P  2 : y   x  2 1 361  b   2 2  b    5  Gọi  P  2
: y  ax  c là Parabol đi qua hai điểm C 10;0, D 0; 2    2   5  1 0  . a 102  a     2   40 1 5
Nên ta có hệ phương trình sau:      P  2 : y   x  2 5 5 40 2  b b      2   2 19  10  1 5   8  
Ta có thể tích của bê tông là: 2 2 3 2 V  5.2  x  dx  
x  2 dx  40m        0 0   40 2   361  
Câu 38. (ĐẠI HỌC VINH) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn
bởi các đường y 
x , y  0 và x  4 quanh trục Ox . Đường thẳng x  a 0  a  4 cắt đồ thị hàm y 
x tại M (hình vẽ bên). Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam 1
giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V  2V . Khi đó 1 5 A. a  2 . B. a  2 2 . C. a  . D. a  3 . 2 y Hướng dẫn giải M Chọn D. a H 4 O K 4 x
Ta có x  0  x  0 . Khi đó V   d x x  8  0 Ta có M  ; a a  174 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10)
Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:
 Hình nón  N có đỉnh là O , chiều cao h  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ; 1  1
 Hình nón  N thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h  HK  4  a , bán kính đáy 2  2 R  MK  a 2 2 1 1 1 1 4 Khi đó 2 2 V 
 R h   R h   a .a   a .(4  a)   a 1 1 2     3 3 3 3 3 4
Theo đề bài V  2V  8  2.  a  a  3 . 1 3
Câu 39. (ĐẠI HỌC VINH) Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau.
Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp
trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường
Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16 y2  x2 25  x2  như hình vẽ bên.
Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. 125 125 250 125 A. S   2 m  B. S   2 m  C. S   2 m  D. S   2 m  6 4 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất
thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy . y 1
Từ giả thuyết bài toán, ta có 2 y   x 5  x . 4 x 1 Góc phần tư thứ nhất 2 y 
x 25  x ; x 0;  5 4 5 1 125 125 Nên 2 3 S 
x 25  x dx   S  (m ) (I )  4 12 3 0
Câu 40. (CHUYÊN KHTN) Gọi  H  là phần giao của hai 1 khối
hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ 4
vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của  H  . 3 2a 3 3a A. V  . B. V  . H  3  H  4 3 a 3  a C. V  . D. V  . H  2 H  4
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 175 | THBTN
TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017
TUYỂN TẬP: TOÁN THỰC TIỄN (8.9.10) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao  H 
là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a ,
thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình
vuông có diện tích S  x 2 2  a  x a a 3 2a
Thể tích khối  H  là S  x dx   2 2 a    x dx  . 3 0 0
Câu 41. (TT DIỆU HIỀN) Một người làm một cái cổng cổ xưa có dạng Parabol như hình vẽ. Hãy tính
diện tích của cái cổng? 28 16 32 A. . B. . C. 16 . D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
Phương trình parabol (P) có đỉnh I 0;4 và qua điểm 0;2 là 2
y   x  4
Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2
 y  x  4   y  0  x  2    x  2  2 2 32 Từ đó ta có 2 S 
 x  4 dx     2
 x  4dx  (đvdt) 3 2 2 176 | THBTN – CA
TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341

Tuyển tập và giải chi tiết các bài toán thực tiễn trong đề thi thử – Trần Văn Tài

Tài liệu liên quan:

Tóm tắt toàn bộ kiến thức môn Toán bậc THPT – Lê Trung Kiên

Các chủ đề ôn tập tốt nghiệp THPT năm 2024 – 2025 môn Toán

Phân tích đề minh họa thi tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Toán

05 đề toán nâng cao hướng đến kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2025

Tuyển tập đề thi thử môn Toán năm học 2017 – 2018 có đáp án (EX 10)