Vở bài tập Toán 9 tập 1 phần Hình học

Tài liệu gồm 103 trang, tuyển tập các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận môn Toán 9 tập 1 phần Hình học. Tài liệu giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

75 38 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 1 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH

VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Mở đầu

Từ hình vẽ bên, ta có

 Cạnh góc vuông:

AB AC

 Cạnh huyền:

 Đường cao:



là hình chiếu của

trên cạnh



là hình chiếu của

trên cạnh

 Định lý Py-ta-go:

222

BC AB AC= +

1. Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

 Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình

chiếu của nó trên cạnh huyền.

BA BH BC= ⋅

hay

'c ca= ⋅

;

CA CH CB= ⋅

hay

'b ba= ⋅

2. Hệ thức liên quan đến đường cao

Trong một tam giác vuông

 Bình phương độ dài đường cao bằng tích hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

AH HB HC= ⋅

hay

''h bc= ⋅

 Tích độ dài đường cao với cạnh huyền bằng tích độ dài hai cạnh góc vuông.

AH BC AB AC

⋅=⋅

hay

ah bc⋅=⋅

 Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh

góc vuông.

222

1 11

AH AB AC

= +

hay

2 22

111

h ab

= +

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố khác dựa vào hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông

và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

 Vận dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh thứ ba (nếu cần).

 Vận dụng các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác.

Ví dụ 1. Tính các độ dài

trong hình bên.

Chương

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 2 Toång hôïp: Thaày Hoùa

a) b) c)

...........................................................................................................................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

. Tính tỉ số hai hình chiếu của hai

cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 3 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 3. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

, cạnh huyền dài

cm. Tính độ

dài các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Dạng 2: Tính độ dài dựa vào hệ thức liên quan đến đường cao



Vận dụng các hệ thức liên quan đến đường cao và định lý Py-ta-go.

Ví dụ 4. Tính độ dài

trong hình bên.

Ví dụ 5. Tính diện tích tam giác

ABC

trong hình bên.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 4 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 6. Tính độ dài

trong hình bên.

Ví dụ 7. Tính tích

HA HB HC⋅⋅

trong hình bên.

Dạng 3: Chứng minh các hệ thức hình học



Vận dụng linh hoạt các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

 Nếu cần thì có thể vẽ thêm đường phụ (thường là đường cao) sao cho hình vẽ xuất hiện

tam giác vuông để vận dụng các hệ thức.

Ví dụ 8. Cho hình thang

()

ABCD AB CD

có

90D

và

AC BD⊥

. Chứng minh rằng

là

trung bình nhân của hai đáy.

Ví dụ 9. Cho tam giác

ABC

cân tại

. Vẽ các đường cao

và

. Từ

vẽ một đường thẳng

song song với

cắt tia

tại

. Chứng minh rằng

AC AE AF= ⋅

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 5 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 10. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Gọi

và

lần lượt là hình chiếu của

trên

và

. Chứng minh rằng

DE BD CE BC= ⋅⋅

Ví dụ 11. Cho tam giác

ABC

cân tại

, hai đường cao

và

. Cho biết

2BE k=

;

2BC m=

;

AD n=

. Chứng minh rằng

2 22

111

k mn

= +

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho tam giác

ABC

vuông tại

()A AB AC<

, đường cao

. Lấy điểm

trên đoạn thẳng

sao cho

HM AH=

. Qua

vẽ một đường thẳng vuông góc với

, cắt

tại

. Chứng

minh rằng

2 22

1 11

AH AD AC

= +

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 6 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Tính

trong hình vẽ sau

a) b)

c) d)

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 7 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 3. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Vẽ

()

HK AB K AB⊥∈

. Chứng minh

rằng

AB AK BH HC⋅=⋅

; b)

AB HB

AC HC

Bài 4. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, cạnh

BC =

cm và tỉ số hai hình chiếu của

trên

cạnh huyền bằng

. Tính diện tích tam giác

ABC

Bài 5. Cho tam giác

ABC

vuông tại

15AB =

cm;

25BC =

cm. Tính độ dài hai hình chiếu của

hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và tính đường cao tương ứng với cạnh huyền.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 8 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 6. Hình thang

()ABCD AB CD

có

5AD =

cm;

12AC =

cm và

13CD =

cm. Biết diện tích hình

thang là

45cm

a) Tính chiều cao của hình thang. b) Chứng minh rằng

AB CD=

Bài 7. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Vẽ

HD AB

⊥

HE AC⊥

(, )D AB E AC∈∈

. Chứng minh rằng

BD AB

CE AC

--- HẾT ---

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 9 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa

 Với

là góc nhọn trong tam giác vuông ta có



sin

caïnh ñoái

caïnh huyeàn

;



cos

caïnh keà

caïnh huyeàn

;



tan

caïnh ñoái

caïnh keà

;



cot

caïnh keà

caïnh ñoái

Cách ghi nhớ

“Tìm sin lấy đối chia huyền,

Cô-sin hai cạnh kề huyền chia nhau,

Còn tang thì phải tính sao?

Đối trên kề dưới chia nhau ra liền,

Cô-tang cũng dễ ăn tiền,

Kề trên đối dưới chia liền bạn ơi!”

2. Một số hệ thức và tính chất cơ bản

 Với hai góc nhọn

αβ

và

αβ

+=°

thì

sin cos ; cos sin ; tan tan ; cot cot

α βα βα βα β

= = = =

Với góc nhọn

( )

0 90

αα

°< < °

, ta có



0 sin 1; 0 cos 1

αα

< << <

 Nếu

tăng thì

sin

và

tan

tăng; còn

cos

và

cot

giảm.



sin

tan

cos

;



tan cot 1

αα

⋅=

;



cos

cot

sin

;



sin cos 1

αα

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 10 Toång hôïp: Thaày Hoùa

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh

 Bước 1: Tính độ dài cạnh thứ ba theo định lý Py-ta-go (nếu cần).

 Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn theo yêu cầu đề bài.

Ví dụ 1. Tam giác

ABC

vuông tại

1, 5AB =

;

3, 5

. Tính tỉ số lượng giác của góc

rồi

suy ra các tỉ số lượng giác của góc

Ví dụ 2. Tính tỉ số lượng giác của góc

trong hình bên.

Ví dụ 3.

ABC

vuông tại

có

2BC AB=

. Tính các tỉ số lượng giác của góc

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 11 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 4. Tam giác

ABC

cân tại

, có

6BC =

, đường cao

4AH =

. Tính các tỉ số lượng giác của

góc

Ví dụ 5. Tính

tan C

trong hình bên.

Ví dụ 6. Tính

sin cosMN+

trong hình bên.

Dạng 2: Dựng góc nhọn

khi biết tỉ số lượng giác của góc nhọn đó bằng



Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc

Ví dụ 7. Dựng góc

, biết

sin 0,25

Lời giải

Ta có

0, 25

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 12 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Dựng góc vuông

xOy

;

Trên cạnh

đặt

1OA =

;

Dựng đường tròn

( ; 4)A

cắt cạnh

tại

Khi đó



vì sin

ABO

αα



= = =





Ví dụ 8. Dựng góc

, biết

cos 0,75

Ví dụ 9. Dựng góc

, biết

tan 1, 5

Ví dụ 10. Dựng góc

, biết

cot 2

Dạng 3: Chứng minh hệ thức lượng giác

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 13 Toång hôïp: Thaày Hoùa

 Sử dụng định nghĩa và một số hệ thức lượng giác cơ bản để chứng minh.

Ví dụ 11. Cho góc nhọn

. Chứng minh rằng

sin tan

αα

; b)

cos cot

αα

Ví dụ 12. Chứng minh các hệ thức

1 tan

cos

; b)

1 cot

sin

Ví dụ 13. Chứng minh rằng

1 cos sin

sin 1 cos

αα

−

; b)

tan 1 1 cot

αα

−−

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 14 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 14. Chứng minh rằng

2 2 22

tan sin tan sin

α α αα

−=⋅

Ví dụ 15. Chứng minh rằng

( )

1 4sin cos

sin cos

αα

−⋅

= +

−

Dạng 4: Biết một giá trị lượng giác của góc nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc đó

 Vận dụng các hệ thức cơ bản đã học.

Ví dụ 16. Cho biết

sin 0, 6

; tính

cos

tan

cot

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 15 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 17. Cho biết

cos

; tính

sin

tan

cot

Ví dụ 18. Cho biết

tan

, tính

cot

sin

cos

Ví dụ 19. Cho biết

cot 2x =

, tính

tan x

sin x

cos x

Dạng 5: Tính giá trị lượng giác với các góc đặc biệt (không dùng máy tính hoặc bảng số)

 Căn cứ vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

30 ;45 ;60

°°°

 Căn cứ vào tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

 Căn cứ vào các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ví dụ 20. Tính giá trị của biểu thức

4cos 45 3 cot 30 16cos 60M

°° °

=+−

;

2sin 30 sin 60

cos 30 cos60

°°

−

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 16 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 21. Tính giá trị của biểu thức

2222

sin 30 sin 40 sin 50 sin 60P

°°°°

=−−+

;

22222

cos 25 cos 35 cos 45 cos 55 cos 65Q

°°°°°

=−+−+

Ví dụ 22. Tính giá trị của biểu thức sau với

0 90

2 22

cos tan 60 cot 45 2 sin 30 cos tanA  

 

   

Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức sau với

0 90

°°

4 4 22

sin cos 2sin cosB

α α αα

=++

;

6 6 22

sin cos 3sin cosC

α α αα

=++

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 17 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 24. Cho biểu thức

sin cos

1 2sin cos

αα

−

a) Chứng minh rằng

sin cos

αα

−

;

b) Tính giá trị của

, biết

tan

Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số



Ví dụ 25. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

sin 70 ,cos30 ,cos 40 ,sin 51

° ° °°

; b)

cos34 ,sin 57 ,cot 32

°°°

Ví dụ 26. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

cot 40 ,sin 40 ,cot 43 , tan 42

°°° °

; b)

tan 52 ,cot 63 , tan 72 ,cot 31 ,sin 27

°°°°°

Ví dụ 27. Cho

25 50

°°

, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 18 Toång hôïp: Thaày Hoùa

(

) ( )

sin ; cos 40 ; tan 10

αα α

°°

Ví dụ 28. So sánh hai số

và

, biết

sin 50

cos65

;

cot 70

tan 35

Dạng 7: Tìm góc nhọn

thỏa đẳng thức cho trước

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng cơ bản

 Dùng MTBT hoặc bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để tìm.

Cách dùng MTBT tìm

khi biết

sin

(tương tự đối với

cos

và

tan

)

Nếu

sin m

thì bấm các phím sau

'''m = °shift sin

Ví dụ 29. Tìm góc nhọn

, biết

4sin 1 1x

−=

; b)

2 3 3tan 3

x−=

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho hình bên. Tính

sin

và

tan B

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 19 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Chứng minh đẳng thức

1 2 cos sin cos

1 2 sin cos sin cos

α αα

αα α α

−⋅ −

+⋅ +

Bài 3. Cho góc nhọn

a) Biết

cos

, hãy tính

sin

và

tan

b) Biết

tan 2

, hãy tính

sin

và

cos

Bài 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy

a) Tính giá trị của biểu thức

2 222 22

sin 20 cos 30 sin 40 sin 50 cos 60 sin 70

° °°° °°

=+ −−+ +

b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

sin 41

;

cos58

;

cot 49

;

cos75

;

sin 25

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 20 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 6. Cho tam giác nhọn

ABC

, độ dài các cạnh

lần lượt bằng

a) Chứng minh rằng

sin sin sin

abc

ABC

= =

b) Chứng minh rằng nếu

2ab c

thì

sin sin 2sinAB C

--- HẾT ---

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 21 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 4-5. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng

 Tích của cạnh huyền với sin của góc đối hoặc cô-sin

của góc kề.

 Tích của cạnh góc vuông kia với tang góc đối hoặc

cô-tang góc kề.

Trong hình bên, ta có

sin cos ;

ba Ba C

cc Ca B

=⋅=⋅

tan cot ;

tan cot .

bc Bc C

cb Cb B

=⋅=⋅

2. Giải tam giác vuông

 Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó khi biết

trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Giải tam giác vuông

 Vận dụng các công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm cạnh.

 Vận dụng công thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tìm cạnh.

 Vận dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc.

Lưu ý:

 Nếu cho trước 1 góc nhọn thì nên tìm góc nhọn còn lại.

 Nếu cho trước hai cạnh thì dùng định lý Py-ta-go tìm cạnh thứ hai.

Ví dụ 1. Giải tam giác

ABC

vuông tại

, biết

3, 5AB =

và

4, 2AC =

Ví dụ 2. Giải tam giác

ABC

vuông tại

, biết

3, 0AB =

và

4,5BC =

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 22 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 3. Giải tam giác

ABC

vuông tại

, biết

50B

và

3, 7AB =

Ví dụ 4. Giải tam giác

ABC

vuông tại

, biết

và

4,5BC =

Ví dụ 5. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Biết

2,5AB =

1, 5BH =

. Tính

và

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 23 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Dạng 2: Giải tam giác nhọn

 Bước 1: Vẽ đường cao để vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

 Bước 2: Tính đường cao rồi tính các độ dài cạnh hay góc trong tam giác đã cho.

Lưu ý: Dùng đường cao làm trung gian để tính các độ dài cạnh hoặc số đo góc.

 Nếu tam giác cho trước một cạnh (hoặc một góc) thì khi vẽ đường cao không thể chia đôi

cạnh đó (hoặc góc đó) vì như vậy sẽ khó khăn cho việc tính toán.

Ví dụ 6. Cho tam giác

ABC

có

65B

45C

và

2,8cm

AB =

. Tính các góc và cạnh còn lại của

tam giác đó (gọi là giải tam giác

ABC

Ví dụ 7. Giải tam giác

ABC

biết

65B

40C

và

4, 2cmBC =

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 24 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 8. Giải tam giác nhọn

ABC

biết

2,1AB =

3,8AC =

và

70B

Dạng 3: Tính diện tích tam giác, tứ giác



Tính các yếu tố cần thiết rồi thay vào công thức tính diện tích và thực hiện phép tính.

Ví dụ 9. Cho tam giác

ABC

như hình vẽ bên. Chứng minh rằng diện tích tam giác

ABC

có diện

tích là

sin

S bc

= ⋅⋅⋅

Nhận xét: Qua ví dụ này ta có thêm một cách tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng nửa

tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn xen giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh đó.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 25 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 10. Tứ giác

ABCD

như hình vẽ phía dưới. Biết

3,8AC =

5, 0BD =

và

. Tính diện tích của tứ giác đó.

Ví dụ 11. Tam giác

ABC

có

60BC

3AB =

6AC =

. Tính độ dài đường phân giác

Ví dụ 12. Hình bình hành

ABCD

có

AC AD⊥

và

3, 5

AD =

50D

. Tính diện tích của hình

bình hành.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 26 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Dạng 4: Ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Vẽ lại hình vẽ theo yêu cầu bài toán (chú ý tạo ra tam giác vuông).

 Xác định các yếu tố cần thiết rồi tính theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

hoặc sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm góc.

Ví dụ 13. Tính khoảng cách giữa hai điểm

và

trên

một bờ hồ nước sâu, biết

58C

13mCB =

44mCH

như hình bên.

Ví dụ 14. Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng

của con sông, biết

47mOC =



74AOC



23BOC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 27 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 15. Khoảng cách giữa hai chân tháp

và

là

như hình vẽ bên dưới. Từ đỉnh

của

tháp

nhìn lên đỉnh

của tháp

ta được góc

. Từ đỉnh

nhìn xuống chân

của tháp

ta được góc

(so với phương nằm ngang

). Hãy tìm chiều cao

nếu

120m

a =

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Giải tam giác

ABC

vuông tại

, biết

2,7AB =

và

4,5AC =

; b)

4,0AC =

và

4,8

BC =

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 28 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Giải tam giác

ABC

vuông tại

, biết

4,5

và

35C

; b)

3,1AB =

và

65B

Bài 3. Cho tam giác

ABC

cân tại

, đường cao

. Biết

50A

2,3BH =

. Tính chu vi của

ABC∆

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 29 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 4. Hình thang

ABCD

có

90AD

= =

. Biết

2,6AB =

4,7CD =

và

35C

. Tính diện tích

hình thang.

Bài 5. Cho tam giác nhọn

ABC

AB AC>

, đường cao

và đường trung tuyến

. Gọi

là

số đo góc



HAM

a) Chứng minh rằng

2HB HC HM−=

;

b) Chứng minh rằng

cot cot

tan

−

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 30 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 6. Giải tam giác nhọn

ABC

biết

60B

3, 0AB =

và

4,5BC =

Bài 7. Hình thang

ABCD

(

AB CD

) có

90D

38C

3, 5AB =

3,1AD

. Tính diện tích

hình thang đó.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 31 Toång hôïp: Thaày Hoùa

D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 8. Các cạnh của một tam giác vuông có độ dài 4cm; 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của

tam giác đó.

Bài 9. Tam giác

ABC

vuông tại

có

AB =

cm,

40C

. Hãy tính các độ dài

; b)

; c) Phân giác

Bài 10. Cho hình bên, biết:

8AB AC= =

cm,

CD =

cm,



BAC

và



42CAD

. Hãy tính

a) Độ dài cạnh

;



ADC

;

c) Khoảng cách từ điểm

đến cạnh

Bài 11. Trong một tam giác

ABC

có

11AB =

cm,



38ABC



30ACB

là chân đường vuông góc kẻ từ

đến

. Hãy tính

Bài 12. Tìm

và

trong các hình sau

Bài 13. Cho tam giác

BCD

đều cạnh

cm và



40DAB

. Hãy tính

; b)

--- HẾT ---

Bài. ÔN TẬP CHƯƠNG I

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 32 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Xem lại phần kiến thức trọng tâm của các bài đã học

 Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác.

 Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

 Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: So sánh các tỉ số lượng giác

Ví dụ 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

cos72

sin 65

sin10

cot 25

sin 40

Ví dụ 2. So sánh

sin 55

;

cos55

;

tan 55

. b)

cot 20

;

sin 20

;

cos20

Ví dụ 3. Cho

0 45

°°

. Chứng minh rằng

sin cos

αα

. b)

tan cot

αα

Ví dụ 4. Cho tam giác

ABC

vuông tại

có

BC>

. Hãy sắp xếp theo thứ tự tăng dần

sin B

cos B

tan B

sin C

cosC

cot C

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức lượng giác

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 33 Toång hôïp: Thaày Hoùa

22 2

sin cot cos 1

αα α

⋅−+

. b)

( ) ( )

tan cot tan cot

αα αα

− −+

442 2

sin cos cos 3sin

ααα α

−−−

Ví dụ 6. Tính giá trị của biểu thức

sin 30 cos60 tan 45 4cos 30

°°° °

+−+

. b)

222

cos 30 cot 60 tan 30 1

°°°

−+−

cot 45 cos 45

2sin 60

°°

−

Ví dụ 7. Tính giá trị của biểu thức

222 2

cos 33 cos 41 cos 49 cos 57

°°°°

+++

222222

sin 35 sin 39 sin 43 sin 47 sin 51 sin 55

°°°°°°

+++++

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 34 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc

Ví dụ 8. Cho tam giác

ABC

cân tại

, đường cao

. Biết

44A

;

9cmAH =

. Tính chu vi

tam giác

ABC

Ví dụ 9. Cho hình thang

ABCD

(

AB CD



36C

;

. Biết

4cmAB =

6cmAD =

. Tính

chu vi hình thang.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 35 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 10. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Vẽ

HM AB

⊥

;

HN AC⊥

. Biết

3cm

AB =

;

4cmAC =

a) Tính độ dài

b) Tính số đo các góc của tam giác

AMN

c) Tính diện tích tứ giác

BMNC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 36 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 11. Cho tam giác

ABC

vuông tại

4cmBC =

. Vẽ đường cao

; vẽ

HI AB⊥

HK AC

⊥

. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác

AIHK

Dạng 4: Chứng minh hệ thức giữa các tỉ số lượng giác

Ví dụ 12. Chứng minh hệ thức

224

cos sin sin

cot .

sin cos cos

ααα

−+

Ví dụ 13. Chứng minh các đẳng thức sau

(1 cos )(1 cos ) sin

α αα

− +=

; b)

sin 1 cos 2

αα

++ =

;

4 4 22

sin cos 2sin cos 1

α α αα

++ =

; d)

sin sin cos sin

α αα α

−=

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 37 Toång hôïp: Thaày Hoùa

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho tam giác

ABC

vuông tại

có

AB  5

cm,

 12

cm và

BC  13

cm. Giá trị

của

sin

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 2: Cho tam giác

ABC

vuông tại

. Khẳng định nào sau đây đúng?

cos



. B.

cos



. C.

cos



. D.

cos



Câu 3: Cho tam giác

ABC

vuông tại

. Hệ thức nào sau đây đúng?

sin



. B.

sin



. C.

tan



. D.

cos



Câu 4: Khẳng định nào sau đây sai?

cos sin



35 40

. B.

sin cos



35 40

sin sin



35 40

. D.

cos cos



35 40

Câu 5: Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Hệ thức nào đây sai?

.AC BC HC



. B.

.AH AB AC

AH AB AC



222

1 11

. D.

.AH HB HC

Câu 6: Cho

ABC

vuông tại

đường cao

.AH

Biết

,;cm cmBH BC

32 5

thì độ đài

bằng

cm. B.

cm. C.

,18

cm. D.

cm.

Câu 7: Cho tam giác

ABC

vuông tại



ACB





, cạnh

AB  5

cm. Độ dài cạnh

là

cm. B.

cm. C.

cm. D.

cm.

Câu 8: Cho tam giác

ABC

vuông tại

Biết

sin ,B 

khi đó

tan A

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 9: Cho

ABC

cân tại



BAC



 120

BC  12

. Tính độ dài đường cao

AH  3

. B.

 23

. C.

AH  43

. D.

AH  6

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 38 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Câu 10: Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

(hình

bên). Đẳng thức nào sau đây là sai?

sin



. B.



tan

BAH



cos



. D.



cot

HAC



Câu 11: Một cái thang dài

đặt dựa vào tường, biết góc

giữa thang và mặt đất là



. Khoảng cách

từ chân thang đến

tường bằng bao nhiêu?

d 

. B.

d  23

d  22

. D.

 2

Câu 12: Cho tam giác

ABC

vuông tại

và

AB a

AC a 53

Kẻ

vuông góc với

, với

nằm trên cạnh

. Tính

theo

AK a

19 57

. B.

AK a

10 57

. D.

AK a

5 57

Câu 13: Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Biết

AH 

HC  4

. Đặt

BH x

(hình bên). Tính



. B.

 1

x 

. D.

x  4

Câu 14: Cho



xOy



 45

. Trên tia

lấy hai điểm

sao cho

AB  2

cm. Tính độ dài hình

chiếu vuông góc của đoạn thẳng

trên

cm. B.

cm. C.

cm. D.

cm.

Câu 15: Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

và đường trung tuyến

(

,H M BC

). Biết chu vi của tam giác là

cm và

AM AH7

cm. Tính diện tích

của tam giác

ABC

S  48

. B.

S  108

. C.

S  148

. D.

S  144

II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. Cho biết

cos

a) Tính

sin

. b) Chứng minh rằng

tan 4sin

αα

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 39 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Xem hình bên và tính góc tạo bởi hai mái nhà

và

, biết rằng mỗi máy nhà dài 2,34m

và cao 0,8m.

Bài 3. Tam giác

ABC

có

20A

AB =

cm. Đường vuông góc kẻ từ

đến

cắt

tại

(hình vẽ bên). Hãy tìm

; b)

Bài 4. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc nhọn của tam giác

ABC

vuông tại

trong hình bên

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 40 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 5. Cho hình thang cân

ABCD

(

AB CD

). Biết

2,1cmAD =

;

6,0cm

CD =

và

48D

a) Tính độ dài

. b) Tính diện tích hình thang

ABCD

Bài 6. Cho tam giác

ABC

vuông tại

6AB

cm,

8AC =

cm.

a) Tính

;

b) Phân giác của

cắt

tại

. Tính

c) Từ

kẻ

và

lần lượt vuông góc với

. Tứ giác

AEDF

là hình gì? Tính chu vi

và diện tích của tứ giác

AEDF

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 41 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 8. Cho tam giác

ABC

vuông tại

. Chứng minh rằng

tan

B AC

AB BC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 42 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 1. SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Khái niệm

 Đường tròn tâm O bán kính R

 

R 

là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng

2. Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn

 Điểm

nằm trong đường tròn

 

;OR

khi

OM R



 Điểm

nằm trên đường tròn

 

;OR

khi

OM R

 Điểm

nằm ngoài đường tròn





;OR

khi

OM R

3. Cách xác định đường tròn

Một đường tròn được xác định khi

 Biết tâm và bán kính đường tròn.

 Biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn.

 Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

 Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Khi đó tam giác

được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.

 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.

 Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

 Nến tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác

vuông.

4. Tâm đối xứng

 Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đường tròn là tầm đối xứng của hình

tròn đó.

5. Trục đối xứng

 Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường

tròn.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua nhiều điểm



Dựa vào định nghĩa đường tròn: Nếu một điểm cách đều các điểm còn lại thì điểm đó

chính là tâm của đường tròn.

Ví dụ 1. Cho hình vuông

ABCD

có cạnh bằng

cm. Chứng minh rằng bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Chương

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 43 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 2. Cho tam giác đều

ABC

có cạnh bằng

cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn

ngoại tiếp

ABC



Dạng 2: Xác định vị trí của điểm và đường tròn

Muốn xác định vị trí của điểm M và đường tròn (O), ta làm như sau

 Bước 1: Xác định khoảng cách từ M đến tâm O của đường tròn.

 Bước 2: Dựa vào kết quả so sánh của OM và bán kính R của đường tròn mà kết luận.

Ví dụ 4. Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

, hãy xác định vị trí tương đối của điểm

(;)

M 11

(; )N 20

(; )P 23

đối với

(;)

O 2

Ví dụ 5. Cho hình vuông

ABCD

là giao điểm của hai đường chéo,

OA  22

cm. Vẽ đường

tròn (

;

cm). Xác định vị trí tương đối của các điểm

với đường tròn

(;O 4

cm).

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 44 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Dạng 3: Dựng đường tròn thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Xem phần kiến thức trọng tâm.

Ví dụ 6. Cho góc

xAy

nhọn và hai điểm

thuộc tia

. Dựng đường tròn tâm

đi qua hai

điểm

sao cho

nằm trên tia

Ví dụ 7. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy xác định lại tâm và bán kính của

hình tròn đó.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho hình chữ nhật

ABCD

có

AB 12

cm,

BC  5

cm. Tìm tâm và bán kính của đường

tròn đi qua

điểm

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 45 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Cho

ABC

vuông tại

AB 

cm,

AC  8

cm. Tìm tâm và bán kính của đường tròn

ngoại tiếp tam giác

ABC

Bài 3. Cho nửa đường tròn

()O

có đường kính

là điểm nằm bên ngoài đường tròn sao cho

cắt nửa đường tròn lần lượt tại

a) Chứng minh

BN MA

AP MB

;

b) Gọi

là giao điểm của

và

. Chứng minh

MK AB

Bài 4. Cho

MNP

cân tại

, nội tiếp đường tròn

()O

. Đường cao

cắt đường tròn tại

a) Chứng minh

là đường kính của

()O

;

b) Tính số đo



NPK

;

c) Biết

MP  24

cm,

NP 

cm. Tính

và bán kính của đường tròn

()O

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 46 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 5. Cho

ABC



cân tại

, có

BC  36

cm, đường cao

AH  12

cm. Tính bán kính của

đường tròn ngoại tiếp

ABC

Bài 6. Cho hình chữ nhật

ABCD

có

AB a

BC b

. Chứng minh rằng bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 47 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 7. Cho tam giác

ABC

, các đường cao

và

. Trên cạnh

lấy điểm

. Kẻ tia

vuông góc với tia

tại

. Chứng minh rằng năm điểm

cùng thuộc một

đường tròn.

Bài 8. Chứng minh rằng bốn trung điểm của bốn cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn.

Bài 9. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

đều, cạnh

cm.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 48 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 10. Trong hệ trục tọa độ

Oxy

cho các điểm

(; )M 12

(; )N 12

và

( ;)P 50

. Tính bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác

MNP

Bài 11. Cho tam giác

MNP

có

MN MP a

và



NMP



 120

. Gọi

là tâm và

là bán kính

của đường tròn ngoại tiếp tam giác

MNP

. Tính tỉ số

với

d NP



Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 49 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 12. Cho đường tròn

(;)

và hai điểm

sao cho

nằm trong và

nằm ngoài

(;)

. Hãy so sánh



OMN

và



ONM

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 13. Cho tam giác

ABC

, đường cao

. Lấy một điểm

trên cạnh

(

MA

MB

Qua

kẻ tia

vuông góc với tia

tại

. So sánh

và

Bài 14. Cho tam giác

MNP

vuông tại

NP a

. Trên cạnh

lấy điểm

(

AM

AN

). Qua trung điểm

của

vẽ tia

vuông góc với

. Tia

cắt đường thẳng

tại

. Xác định vị trí của điểm

để độ dài đoạn

nhỏ nhất.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 50 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 15. Bốn đỉnh của một hình chữ nhật kích thước

5 12

cùng nằm trên một đường tròn có bán

kính bằng bao nhiêu?

Bài 16. Cho hình thoi

ABCD

. Đường trung trực của cạnh

cắt đường thẳng

tại

và cắt

đường thẳng

tại

. Chứng minh rằng

và

lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các

tam giác

BCD

và

ABC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 51 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 2

. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. So sánh độ dài của đường kính và dây

 Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung

 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông

góc với dây ấy.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: So sánh các đoạn thẳng



Sử dụng kiến thức liên hệ giữa đường kính và dây.

Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn

ABC

, các đường cao

và

cắt nhau tại

. Chứng minh

a) ốn điểm

cùng thuộc một đường tròn;

DE BC

;

DE AH<

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm

, đường kính

. Dây

cắt đường kính

tại

. Gọi

theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ

và

đến

. Đường thẳng đi qua

vuông góc

với

tại

cắt

tại

. Chứng minh

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 52 Toång hôïp: Thaày Hoùa

AN NK=

; b)

MH MK=

; c)

CH DK=

Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn tâm

, đường kính

, dây

. Các đường vuông góc với

tại

và

tương ứng cắt

ở

và

. Chứng minh

MH NK=

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho đường tròn tâm

, có bán kính

4OA

cm. Dây

vuông góc với

tại trung điểm

của

. Tính độ dài

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 53 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Cho đường tròn

(;)

và điểm

nằm bên trong đường tròn.

a) Hãy nêu cách dựng dây

nhận

làm trung điểm;

b) Tính độ dài dây

khi

cm,

3OI =

cm.

Bài 3. Cho đường tròn tâm

có bán kính

11OA

cm. Lấy

thuộc

sao cho

7OM =

cm.

Qua

vẽ dây

18CD =

cm. Kẻ

OH CD⊥

(

H CD∈

). Tính

; b)

Bài 4. Cho đường tròn

()O

đường kính

2AB R=

. Vẽ cung tròn tâm

, bán kính

, cung này cắt

đường tròn

()O

ở

và

a) Tứ giác

OCBD

là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc



CDB



CDO



ODA

;

c) Chứng minh

ACD

là tam giác đều.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 54 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 5. Cho đường tròn

()O

, dây cung

. Kẻ

OI MN⊥

(

I MN∈

), lấy hai điểm

đối xứng

với nhau qua

. Chứng minh tứ giác

MHNK

là hình bình hành.

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 6. Cho tứ giác

ABCD

có

ˆˆ

90AC

= =

a) Chứng minh bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn;

b) So sánh độ dài

và

;

c) Nếu

AC BD=

thì tứ giác

ABCD

là hình gì?

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 55 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 7. Cho đường tròn

()

đường kính

, dây

không cắt đường kính

. Gọi

lần

lượt là chân đường vuông góc hạ từ

và

đến

. Chứng minh

MI NP=

Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm

, đường kính

. Trên

lấy điểm

sao cho

MH NK=

. Qua

kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt

tại

và

. Chứng minh

và

vuông góc với

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 56 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Trong một đường tròn:

 Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

 Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

 Trong hai dây của một đường tròn

 Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

 Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau

 Áp dụng liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.

Ví dụ 1. Cho đường tròn

(, ) cmO 10

, dây



cm.

a) Tính khoảng cách từ

đến dây

;

b) Gọi

là điểm thuộc dây

sao cho



cm. Kẻ dây

đi qua

và vuông góc với

Chứng minh

CD AB

Ví dụ 2. Cho đường tròn

()

có các dây

và

bằng nhau, các tia

và

cắt nhau tại

điểm

nằm bên ngoài đường tròn. Gọi

lần lượt là trung điểm của

.Chứng minh

MH MK

; b)

MA MC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 57 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Dạng 2: So sánh độ dài các đoạn thẳng



Dựa vào kiến thức trọng tâm.

Ví dụ 3. Cho đường tròn

()O

và điểm

nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây

vuông góc với

tại

. Vẽ dây

bất kì qua

và không vuông góc với

. Hãy so sánh độ dài dây

và

Ví dụ 4. Cho

và

là hai dây của đường tròn

(;)

sao cho

và

cắt nhau tại điểm

nằm trong đường tròn. Gọi

lần lượt là trung điểm của

. Biết

AB CD



, chứng

minh

IH IK

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 58 Toång hôïp: Thaày Hoùa

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho đường tròn

(; ) cmO 25

. Hai dây

song song với nhau và có độ dài theo thứ tự

bằng

cm,

cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.

Bài 2. Cho đường tròn

(;)OR

và hai điểm

bất kì nằm trên

(;)OR

. Trên cung nhỏ

lấy

các điểm

sao cho

AM BN

và

cắt nhau tại điểm

nằm trong đường tròn.

Chứng minh:

là phân giác của



AOB

; b)

OC AB

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 59 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 3. Cho đường tròn

(; ) cmO 10

, điểm

cách

là

cm.

a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua

;

b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua

Bài 4. Cho đường tròn

()O

, các dây

AB  24

cm,

AC 

cm (



BAC



 90

và điểm

nằm

trong



BAC

). Gọi

là trung điểm của

. Khoảng cách từ

đến

bằng

cm.

a) Chứng minh

ABC

cân tại

; b) Tính bán kính của đường tròn.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 60 Toång hôïp: Thaày Hoùa

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 5. Cho đường tròn

(, ) cmO 10

, dây

AB  16

cm. Vẽ dây

song song với

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

a) Chứng minh ba điểm

thẳng hàng;

b) Biết

nằm giữa

và khoảng cách giữa hai dây

bằng

cm. Tính độ dài dây

Bài 6. Cho đường tròn

()O

, các dây

và

bằng nhau và cắt nhau tại điểm

nằm bên trong

đường tròn. Chứng minh:

là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây cung

và

;

MA MC

và

MB MD

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 61 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 7. Cho hai đường tròn

(;)Or

và

(;)OR

với



. Hai dây

thuộc đường tròn

(;)Or

sao cho

AB CD

. Đường thẳng

cắt

(;)

tại

và

, đường thẳng

cắt

(;)OR

tại

và

. Kẻ

()

OI AB I AB



()OJ CD J CD

. So sánh các độ dài:

và

; b)

và

Bài 8. Cho

MNP

có

ˆˆˆ

MNP

nội tiếp đường tròn

()

. Gọi

theo thứ tự là

khoảng cách từ

đến

. So sánh các độ dài

và

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 62 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 4

. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

 Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng bất kì. Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường

tròn đến đường thẳng đó. Ta có bảng vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Số điểm chung

Hệ thức giữa d và R

Cắt nhau

dR<

Tiếp xúc nhau

dR=

Không giao nhau

dR>

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán

kính đi qua tiếp điểm.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn



So sánh d và R rồi kết luận dựa vào phần kiến thức trọng tâm.

Ví dụ 1. Điền vào các chỗ trống (

…

) trong bảng sau (

là bán kính của đường tròn,

là khoảng

cách từ tâm đến đường thẳng):

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Tiếp xúc nhau

Ví dụ 2. Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm

(3; 4)A

. Hãy xác định vị trí tương đối của đường

tròn

( ;3)A

và các trục tọa độ.

Ví dụ 3. Cho điểm

cách đường thẳng

∆

là

cm. Vẽ đường tròn tâm

, bán kính

cm. Chứng

minh đường thẳng

∆

tiếp xúc với đường tròn

()A

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 63 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài



Nối tâm và tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và định lý Py-ta-go.

Ví dụ 4. Cho đường tròn

(;)OR

và điểm

nằm ngoài

()O

sao cho

2MO R=

. Kẻ tiếp tuyến

với

()

(

là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng

theo

Ví dụ 5. Cho đường tròn tâm

, đường kính

2AB R=

. Từ

kẻ tiếp tuyến

. Trên

lấy điểm

sao cho

AC R=

. Tính độ dài đoạn thẳng

theo

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm

(;)Aab

. Xác định điều kiện của

để đường tròn

( ;5)A

thỏa mãn:

a) Cắt trục

; b) Cắt trục

; c) Tiếp xúc với

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 64 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Cho hình thang vuông

ABCD

(

90AD

= =

). Biết

4AB =

cm,

13BC =

cm và

9CD =

cm.

Vẽ đường tròn tâm

, đường kính

. Chứng minh

tiếp xúc với

()O

Bài 3. Cho đường tròn

( ;15 cm)O

có dây

24AB =

cm. Gọi

là trung điểm của

, tia

cắt

()O

tại

, tiếp tuyến của

()O

tại

cắt

,OA OB

lần lượt tại

,EF

. Tính độ dài

và

Bài 4. Cho điểm

cách đường thẳng

là

cm.

a) Chứng minh

( ;13 cm)O

cắt đường thẳng

tại hai điểm phân biệt;

b) Gọi hai giao điểm của

()O

với

là

,BC

. Tính độ dài đoạn thẳng

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 65 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 5. Cho đường tròn tâm

bán kính

cm. Điểm

nằm ngoài đường tròn và

10OA =

cm. Kẻ

tiếp tuyến

với

()

trong đó

là tiếp điểm. Tính chu vi tam giác

ABO

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm

(2; 4)B

. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn

( ;3)B

và các trục tọa độ.

Bài 7. Cho điểm

cách đường thẳng

là

cm. Vẽ đường tròn tâm

, bán kính

cm. Chứng

minh đường thẳng

cắt đường tròn

()B

tại hai điểm phân biệt.

Bài 8. Cho đường tròn

()O

bán kính

cm và điểm

cách

là

cm. Kẻ tiếp tuyến

với

()O

(

là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 66 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 9. Cho đường tròn tâm

bán kính

cm và điểm

nằm trên đường tròn đó. Từ

vẽ tiếp

tuyến

. Trên

lấy điểm

sao cho

4MP =

cm. Tính độ dài đoạn thẳng

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 67 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Dấu hiệu 1: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán

kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

 Dấu hiệu 2: Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của

đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn



Để chứng minh đường thẳng

là tiếp tuyến của đường tròn

( )

;OR

tại tiếp điểm C, ta có

thể làm theo một trong hai cách

 Cách 1: Chứng minh C nằm trên (O) và

OC a⊥

tại C.

 Cách 2: Kẻ

OH a

⊥

tại H và chứng minh

OH OC R= =

Ví dụ 1. Cho tam giác

ABC

có ba góc nhọn, kẻ đường cao

, vẽ đường tròn

(; )A AH

. Chứng

minh

là tiếp tuyến của đường tròn

()

Ví dụ 2. Cho tam giác

ABC

có

BC =

cm,

4CA =

cm,

3AB =

cm. Vẽ đường tròn

(; )C CA

Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn

()

Ví dụ 3. Cho tam giác

ABC

, các đường phân giác trong

cắt nhau tại

. Gọi

là hình

chiếu của

trên

, vẽ đường tròn tâm

, bán kính

. Chứng minh

tiếp xúc với

()I

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 68 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 4. Cho tam giác

ABC

cân tại

có các đường cao

và

cắt nhau tại

. Chứng minh

a) Đường tròn tâm

đường kính

đi qua

;

là tiếp tuyến của đường tròn

()O

Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài

 Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và sử dụng các

công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài.

Ví dụ 5. Cho đường tròn

(;)OR

đường kính

. Vẽ dây

sao cho



30CAB

. Trên tia đối của

tia

lấy điểm

sao cho

BM R=

. Chứng minh

là tiếp tuyến của

()O

; b)

3MC R=

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 69 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 6. Cho đường tròn tâm

có bán kính

OA R

, dây

vuông góc với

tại trung điểm

của

a) Tứ giác

OCAB

là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại

, cắt đường thẳng

tại

. Tính độ dài

theo

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho hình vuông

ABCD

. Vẽ đường tròn tâm

, bán kính

. Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn

()A

;

là tiếp tuyến của đường tròn

()A

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 70 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Cho tam giác

ABC

cân tại

. Gọi

là trung điểm của

và

là hình chiếu vuông góc

của

trên

. Vẽ đường tròn

(; )M MH

. Chứng minh

tiếp xúc với

()M

Bài 3. Cho tam giác

ABC

vuông tại

. Vẽ đường tròn

(; )B BA

và đường tròn

(; )C CA

, chúng cắt

nhau tại điểm

(

khác

). Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn

()B

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 71 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 4. Cho đường tròn

()

và điểm

nằm ngoài

()O

. Kẻ tiếp tuyến

với

()

(

là tiếp

điểm). Qua

kẻ đường thẳng vuông góc với

, cắt

()O

tại

. Chứng minh

là tiếp tuyến

của đường tròn

()O

Bài 5. Cho đường tròn tâm

()

, đường kính

2AB R

và

là tiếp tuyến tại

của

()O

. Trên

()O

lấy điểm

sao cho

BC R=

, tia

cắt

tại

a) Tính số đo các góc của tam giác

ABC

;

b) Tính độ dài

theo

;

c) Gọi

là trung điểm của

. Chứng minh

là tiếp tuyến của

()O

Bài 6. Cho đường tròn

(,)OR

và điểm

nằm ngoài

()O

. Kẻ các tiếp tuyến

(

là

các tiếp điểm) và đường kính

BOD

của

()O

. Đường thẳng qua

và vuông góc với

cắt

tại

. Chứng minh

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 72 Toång hôïp: Thaày Hoùa

ABO ACO=

; b)

là tia phân giác của



COD

; c)

là tiếp tuyến của

()

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 7. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, vẽ đường tròn

(; )B BA

. Chứng minh

là tiếp tuyến của

đường tròn

()B

Bài 8. Cho hình chữ nhật

ABCD

, vẽ đường tròn tâm

, đường kính

. Chứng minh

là

các tiếp tuyến của đường tròn

()O

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 73 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 9. Cho tam giác

ABC

vông tại

, tia phân giác góc

cắt

tại

. Vẽ đường tròn tâm

bán kính

. Chứng minh

tiếp xúc với đường tròn

()D

Bài 10. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, kẻ đường cao

. Gọi

là trung điểm của

Chứng minh

a) Đường tròn tâm

đường kính

đi qua

;

là tiếp tuyến của đường tròn

()O

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 74 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 11. Cho đường tròn

(,)

có dây

không là đường kính. Qua

kẻ đường thẳng vuông

góc với

, cắt tiếp tuyến tại

của

()

ở điểm

a) Chứng minh

là tiếp tuyến của

()O

;

b) Cho bán kính của

()O

bằng

cm và dây

24AB =

cm. Tính độ dài đoạn thẳng

Bài 12. Cho đường tròn tâm

có bán kính

OA R=

, vẽ dây

sao cho

AB R=

. Gọi

là điểm

đối xứng với

qua

a) Chứng minh

là tiếp tuyến của

()O

;

b) Tính độ dài đoạn thẳng

theo

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 75 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm

thì

 Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

 Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của

góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

 Tia kẻ từ tâm đi qua hai điểm đó là tia phân giác

của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

 Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là

đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp

đường tròn.

 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba

đường phân giác của tam giác.

 Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi

hai bán kính đi qua tiếp điểm.

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

 Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần

kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

 Với mỗi tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

 Tâm của đường tròn bàng tiếp góc A là giao điểm của hai đường

phân giác góc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân

giác trong của góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng

vuông góc

 Vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Ví dụ 1. Cho đường tròn

()O

và điểm

nằm ngoài

()O

. Kẻ các tiếp tuyến

với

()O

(

là các tiếp điểm).

a) Chứng minh

là trung trực của đoạn thẳng

;

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 76 Toång hôïp: Thaày Hoùa

b) Vẽ đường kính

của

()

. Chứng minh

BD OA



Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn

()

đường kính

. Trên nửa mặt phẳng bờ

chứa nửa đường

tròn vẽ các tiếp tuyến

và

. Điểm

thuộc

()O

sao cho tiếp tuyến tại

cắt

lần

lượt tại

a) Chứng minh

CD AC BD= +

; b) Chứng minh

OC AM⊥

;

c) Gọi

là giao điểm của

và

là giao điểm của

và

. Tứ giác

MEOF

là hình

gì? Tại sao?

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng. Tính số đo góc

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 77 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Vận dụng các kiến thức sau

 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

 Tính chất của đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp.

 Hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Ví dụ 3. Cho đường tròn

(,)OR

và điểm

nằm ngoài đường tròn

()O

sao cho

OA R=

. Kẻ các

tiếp tuyến

với

()

(

là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tam giác

ABC

đều;

b) Tính chu vi và diện tích tam giác

ABC

theo

Ví dụ 4. Cho tam giác

ABC

vuông tại

. Đường tròn

(,)Ir

nội tiếp tam giác

ABC

tiếp xúc với

lần lượt tại

a) Tứ giác

AEIF

là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh

BC BF CE= +

;

c) Chứng minh

AB AC BC

+−

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 78 Toång hôïp: Thaày Hoùa

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Hai tiếp tuyến tại

và

của đường tròn

()O

cắt nhau tại điểm

. Qua

kẻ đường

thẳng song song với

cắt

tại

a) Chứng minh

CM CO=

;

b) Kẻ

OD BM

với

thuộc

. Tứ giác

OCMD

là hình gì? Vì sao?

Bài 2. Cho đường tròn

()O

và điểm

nằm ngoài

()O

. Kẻ các tiếp tuyến

với

()O

trong

đó

là các tiếp điểm.

a) Chứng minh

là trung trực của đoạn thẳng

;

cắt

ở

. Biết

OB =

cm,

2OH =

cm. Tính

i) Chu vi và diện tích tam giác

ABC

ii) Diện tích tứ giác

ABOC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 79 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 3. Từ một điểm

nằm ngoài đường tròn

()O

, kẻ các tiếp tuyến

với

()O

(

là

các tiếp điểm). Qua điểm

thuộc cung nhỏ

kẻ tiếp tuyến với

()O

, tiếp tuyến này cắt

lần lượt tại

. Chứng minh chu vi tam giác

AMN

bằng

2AB

Bài 4. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Vẽ đường tròn

(; )A AH

. Từ

và

kẻ

các tiếp tuyến

với

()A

(

là các tiếp điểm khác

). Chứng minh

BC BM CN= +

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 80 Toång hôïp: Thaày Hoùa



180MBC NCB

, từ đó suy ra

BM CN

thẳng hàng.

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 5. Cho nửa đường tròn

()O

đường kính

. Trên nửa mặt phẳng bờ

chứa nửa đường tròn

vẽ tiếp tuyến

. Điểm

nằm trên

()O

sao cho tiếp tuyến tại

cắt

tại

a) Chứng minh

là trung trực của đoạn thẳng

;

b) Chứng minh

BM OC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 81 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 6. Cho đường tròn

()O

, các điểm

thuộc

()O

sao cho



90BOC

. Hai tiếp tuyến tại

và

thuộc

()O

cắt nhau ở

a) Tứ giác

ABOC

là hình gì? Tại sao?

b) Lấy điểm

thuộc cung nhỏ

của

()O

. Tiếp tuyến tại

vủa

()O

cắt

lần lượt tại

. Chứng minh

DE BD CE= +

;

c) Biết bán kính đường tròn

()O

bằng

cm. Tính chu vi của tam giác

ADE

Bài 7. Cho đường tròn

()O

. Từ điểm

nằm ngoài đường tròn

()O

, vẽ hai tiếp tuyến

(

là các tiếp điểm). Biết

3OE

cm,

OM =

cm.

a) Tính độ dài

;

b) Tính chu vi và diện tích tam giác

MEF

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 82 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 8. Đường tròn

()O

nội tiếp tam giác

ABC

tiếp xúc với các cạnh

lần lượt tại

a) Chứng minh

BC BP CN= +

;

b) Chứng minh

AB AC BC

+−

;

c) Biết

3AB =

cm,

4AC

cm,

5BC =

cm. Tính độ dài

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 83 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn

 Hai đường tròn có hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau.

 Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung

đó gọi là tiếp điểm.

 Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.

2. Tính chất đường nối tâm

 Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là

đường nối tâm là đường trung trực của dây cung ấy.

 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Chứng minh song song, vuông góc.



Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-

ta-go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau…

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn

(;)OR

và

( ;)Or

′

tiếp xúc nhau tại

(

nằm giữa

và

′

). Một

đường thẳng đi qua

cắt

(;)OR

tại

và cắt

( ;)

′

tại

. Chứng minh

OB O C

′



Ví dụ 2. Cho hai đường tròn

()O

và

()O

′

cắt nhau tại hai điểm

và

. Kẻ các đường kính

AOC

AO D

′

. Chứng minh:

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 84 Toång hôïp: Thaày Hoùa

AB BC⊥

. b)

thẳng hàng. c)

OO CD

′



Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau

 Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-

ta-go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau…

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (

;10O

cm) và (

;8O

′

cm) cắt nhau tại hai điểm

,AB

. Biết

12AB =

cm, tính đoạn nối tâm

′

Ví dụ 4. Cho hai đường tròn

()O

và

()O

′

cắt nhau tại

và

. Gọi

là trung điểm của

′

. Qua

vẽ đường thẳng vuông góc với

, cắt đường tròn

()O

và

()O

′

tại

và

(

,CD A≠

). Chứng

minh

AC AD=

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 85 Toång hôïp: Thaày Hoùa

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho hai đường tròn (

) và

()O

′

tiếp xúc với nhau tại điểm

sao cho

′

nằm giữa

và

. Gọi

là một điểm bất kì nằm trên

()O

(

MA≠

cắt

()O

′

tại

. Chứng minh rằng

O B OM

′



Bài 2. Cho hai đường tròn (

;OR

) và (

;Ir

) cắt nhau tại

và

, trong đó

thuộc đường tròn

()O

và

Rr>

. Kẻ đường kính

IOK

của đường tròn

()O

a) Chứng minh

là các tiếp tuyến của

()I

b) Đường vuông góc với

tại

cắt

tại

. Chứng minh

JI JK=

c) Đường vuông góc với

tại

cắt

tại

. Chứng minh ba điểm

thẳng hàng.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 86 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 3. Cho hai đường tròn

()

và

()O

′

cắt nhau tại hai điểm

và

. Gọi

là trung điểm của

′

, gọi

là điểm đối xứng với

qua

. Chứng minh:

BC AB⊥

. b)

AOCO

′

là hình bình hành. c)

OO BC

′

là hình thang cân.

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 4. Cho hai đường tròn

()O

và

()O

′

tiếp xúc nhau tại

(

nằm giữa

và

′

). Một đường

thẳng đi qua

cắt

()O

tại

, cắt

()O

′

tại

. Vẽ tiếp tuyến

tại

của

()O

, vẽ tiếp tuyến

tại

của

()O

′

. Chứng minh

Bx Cy

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 87 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 5. Cho hai đường tròn (

;15O

cm) và (

;13O

′

cm) cắt nhau tại hai điểm

,AB

sao cho

và

′

nằm khác phía đối với

. Biết

24AB =

cm. Tính độ dài

′

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 88 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (TT)

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Vị trí tương đối của hai đường tròn

(

)

;OR

và

( )( )

';Or R r>

Số điểm

chung

Hệ thức giữa

'OO

với

và

Số tiếp tuyến

chung

Hai đường tròn cắt nhau.

'R r OO R r

−< < +

Hai đường tròn tiếp xúc nhau

 Tiếp xúc ngoài.

 Tiếp xúc trong.

'OO R r= +

'OO R r= −

Hai đường tròn không giao nhau.

 Ngoài nhau.

 Đựng nhau.

 Đồng tâm.

'OO R r>+

'OO R r<−

' 0OO =

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn



Vận dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường tròn ở phần kiến thức trọng tâm.

Ví dụ 1. Điền vào ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn

(;)OR

và

( ;)Or

′

có

,OO d R r

′

= >

Vị trí tương đối của hai

đường tròn

Số điểm chung

Hệ thức liên hệ giữa

dRr

Số tiếp tuyến chung

Đựng nhau

d Rr= +

Tiếp xúc trong

Ngoài nhau

Cắt nhau

Ví dụ 2. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (…):

a) Tâm của đường tròn có bán kính bằng

cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (

;3O

cm) nằm trên ...

...............................................................................................................................................................

b) Tâm của đường tròn có bán kính bằng

cm tiếp xúc trong với đường tròn (

;8O

cm) nằm trên …

...............................................................................................................................................................

Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau

 Vận dụng tính chất đường nối tâm, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; tính chất tiếp tuyến

chung của hai đường tròn; hệ thực lượng trong tam giác vuông…

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 89 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn

()

và

()

′

tiếp xúc ngoài tại

. Gọi

là tiếp tuyến chung ngoài

của hai đường tròn với

()MO∈

và

()NO

′

∈

a) Tính số đo



MAN

b) Tính độ dài

biết

9OA =

cm;

4OA

′

cm.

Ví dụ 4. Cho đường tròn

(; )O OA

và đường tròn tâm

có đường kính

.OA

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

b) Dây

của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở

. Chứng minh

.AM MD=

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho đường tròn (

;9O

cm) và (

;3O

′

cm) tiếp xúc ngoài tại

Vẽ hai bán kính

và

′

song song với nhau và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ

′

a) Tính số đo của



.BAC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 90 Toång hôïp: Thaày Hoùa

b) Gọi

là giao điểm của

và

′

. Tính độ dài

Bài 2. Cho đường tròn (

;OR

) và điểm

nằm bên ngoài đường tròn

( 3)R OM R<<

. Vẽ đường

tròn

( ;2 )

a) Hai đường tròn

()O

và

()M

có vị trí tướng đối như thế nào với nhau?

b) Gọi

là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính

KOH

của đường tròn

()O

Chứng minh

.NH NM=

Bài 3. Cho

ABC

vuông tại

, đường cao

. Gọi

là hình chiếu của

trên

,AB

là hình

chiếu của

trên

.AC

Gọi (

) là tâm đường tròn kính

, (

′

) là tâm đường tròn đường kính

.HC

Chứng mình:

a) Điểm

thuộc đường tròn

( ),

điểm

thuộc đường tròn

()O

′

;

b) Hai đường tròn

()O

và

()O

′

tiếp xúc ngoài;

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó;

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 91 Toång hôïp: Thaày Hoùa

AH DE=

;

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

()O

và

()O

′

;

f) Diện tích của tứ giác

DEOO

′

bằng nửa diện tích của tam giác

.ABC

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 4. Cho hai đường tròn

()O

và

()O

′

tiếp xúc ngoài tại

. Kẻ các đường kính

AOB

.AO C

′

Gọi

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn,

()DO

∈

và

()EO

′

∈

. Gọi

là giao điểm của

và

.CE

a) Tính số đo của



.DAE

b) Tứ giác

ADME

là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 92 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 5. Cho hai đường tròn đồng tâm

. Dây

của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở

và

. Chứng minh

AC BD=

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 93 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bài. ÔN TẬP CHƯƠNG II

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Xem lại kiến thức trọng tâm từ bài 1 đến bài 8.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1: [TS10 Cần Thơ, 2018-2019]

Cho hai đường tròn

( ;2 cm)

và

( ;3 cm)J

tiếp xúc ngoài

nhau (như hình bên dưới). Độ dài đoạn nối

bằng

cm. B.

cm.

cm. D.

cm.

Câu 2: [TS10 Phú Yên, 2018-2019]

Cho đường tròn tâm

đường kính

cm. Gọi

là trung điểm

của dây

(hình bên). Tính độ dài đoạn

, biết

6AB =

cm.

4OH =

cm. B.

8OH =

cm.

16OH

cm. D.

64OH =

cm.

Câu 3: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Cho đường tròng (

;

cm), hai điểm

thuộc đường tròn và sđ



AB =

. Độ dài

của dây cung

là bao nhiêu?

2d =

cm. B.

4d =

cm. C.

5d =

cm. D.

cm.

Câu 4: [TS10 Phú Thọ, 2018-2019]

Cho đường tròn tâm

, bán kính

5R =

cm và dây cung

6AB =

cm. Tính khoảng cách

từ

tới đường thẳng

d4=

cm. B.

d 34=

cm. C.

d2=

cm. D.

d1=

cm.

Câu 5: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Cho đường tròn

( ,5 cm)O

và dây cung

8AB =

. Tính khoảng cách

từ tâm

đến

dây cung

3d =

. B.

6d =

. C.

4d =

. D.

5d =

Câu 6: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 94 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Cho đường tròn

( ;15cm)O

, dây

24AB =

. Một tiếp tuyến của đường tròn song song

với

cắt các tia

theo thứ tự ở

. Tính độ dài

40EF =

. B.

38EF =

. C.

36EF =

. D.

42EF =

Câu 7: [TS10 Cần Thơ, 2018-2019]

Trong một đường tròn, xét các khẳng định sau:

(I): Đường kính là dây cung lớn nhất.

(II): Dây nhỏ hơn thì gần tâm hơn.

(III): Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

(IV): Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

Số khẳng định đúng là

. B.

. C.

. D.

Câu 8: [TS10 Hưng Yên, 2018-2019]

Có hai đường tròn

( ;4O

cm) và đường tròn

( ;2

cm), biết

6OI

cm. Số tiếp tuyến

chung của hai đường tròn đó là

. B.

. C.

. D.

Câu 9: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Cho hai đường tròn (

;

cm) và (

′

;

cm) có

5OO

′

cm. Hai đường tròn trên cắt nhau

tại

và

. Tính độ dài

3, 2AB =

cm. B.

4,8AB =

cm. C.

2, 4

AB =

cm. D.

3, 6AB =

cm.

Câu 10: [TS10 Hưng Yên, 2018-2019]

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán

kính

, người ta cắt ra một hình chữ nhật (phần tô

đậm như hình vẽ).

Phần hình chữ nhật có diện tích lớn nhật có thể cắt

được là

1, 6m

. B.

0,5m

. C.

. D.

Câu 11: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Cho tam giác

ABC

, biết



60B =

6AB =

cm,

4BC =

cm. Tính độ dài cạnh

27AC =

cm. B.

52AC =

cm. C.

45AC =

cm. D.

23AC =

cm.

Câu 12: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Cho nửa đường tròn tâm

có đường kính

4AB =

. Vẽ các tiếp tuyến

(

và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ

). Gọi

là một điểm bất

kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại

cắt

theo thứ tự ở

. Tính diện

tích của hình thang

ABCD

, biết chu vi của nó bằng

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 95 Toång hôïp: Thaày Hoùa

20S =

. B.

S =

. C.

12S =

. D.

16S =

Câu 13: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Cho tam giác

ABC

có

20AB =

cm,

12BC =

cm,

16CA =

cm. Tính chu vi của đường

tròn nội tiếp tam giác đã cho

cm. B.

cm. C.

cm. D.

cm.

Câu 14: [TS10 Phú Yên, 2018-2019]

Cho đường tròn

( ,6 cm)O

và đường tròn

( ,5 cm)O

′

có đoạn nối tâm

8OO

′

cm. Biết đường tròn

()O

và

()

′

cắt

′

lần lượt tại

(hình bên). Tính độ

dài

MN =

cm. B.

3MN =

cm.

2MN =

cm. D.

cm.

Câu 15: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]

Cho hình vuông

ABCD

cạnh bằng

. Gọi

là trung điểm của cạnh

. Tính độ dài

dây cung chung

của đường tròn đường kính

và đường tròn đường kính

CF a=

. B.

CF =

. C.

. D.

CF =

II. TỰ LUẬN

Bài 1. Cho nửa đường tròn

(;)OR

đường kính

. Trên nửa mặt phẳng bờ

chứa nửa đường

tròn vẽ các tiếp tuyến

. Lấy điểm

thuộc nửa đường tròn (

khác

). Tiếp tuyến

tại

của

()

cắt

lần lượt tại

a) Chứng minh

CD AC BD= +

b) Tính số đo góc



COD

c) Chứng minh

AC BD R

⋅=

d) Vẽ đường tròn tâm

, đường kính

. Chứng minh

là tiếp tuyến của

()I

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 96 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 2. Cho đường tròn

()O

và điểm

nằm ngoài đường tròn

()O

. Từ

kẻ các tiếp tuyến

với

()O

(

là các tiếp điểm).

a) Chứng minh

cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh

là đường trung trực của đoạn thẳng

c) Biết

OA =

cm,

OB =

cm. Tính độ dài đoạn

d) Đường tròn

()O

cắt đoạn

tại

. Chứng minh

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 97 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 3. Cho hai đường tròn

(;)OR

và

(;)OR

′′

tiếp xúc ngoài tại

. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

( ( ), ( ))B OC O

′

∈∈

với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung tại

của

()O

và

()

′

cắt

tại

a) Chứng minh

MA MB MC= =

và



90BAC

b) Tính số đo của



OMO

′

c) Chứng minh

′

tiếp xúc với đường tròn đường kính

d) Biết

R =

cm,

′

cm. Tính độ dài đoạn thẳng

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 98 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 4. Cho đường tròn tâm

, đường kính

2AB R=

. Điểm

nằm trên đường tròn (

khác

). Gọi

là hình chiếu vuông góc của

lên

. Vẽ đường tròn tâm

đường kính

và

đường tròn tâm

đường kính

cắt

()I

tại

(khác

cắt

()

tại

(khác

a) Tứ giác

CMHN

là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh

là tiếp tuyến chung của

()I

và

()K

c) Chứng minh

tiếp xúc với đường tròn đường kính

d) Biết

HA =

. Tính diện tích tứ giác

IMNK

theo

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 99 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm

, đường kính

2AB R=

. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường

tròn, kẻ tiếp tuyến

. Điểm

nằm trên nửa đường tròn sao cho

AC R

a) Tính số đo các góc của tam giác

ABC

b) Tiếp tuyến tại

của

()O

cắt

tại

. Chứng minh

song song với

c) Tia

cắt

tại

. Chứng minh

DE DA=

d) Kẻ

CH AB

⊥

với

thuộc

cắt

tại

. Chứng minh

là trung điểm của

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 100 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 6. Cho đường tròn

(;)OR

đường kính

. Qua

và

vẽ lần lượt hai tiếp tuyến

và

′

với

()O

. Đường thẳng

∆

thay đổi qua

cắt

tại

và cắt

′

tại

. Từ

vẽ một tia vuông góc với

cắt

′

tại

a) Chứng minh

OM OP=

và tam giác

MNP

cân.

b) Gọi

là hình chiếu vuông góc của

lên

. Chứng minh

OI R=

và

là tiếp tuyến của

đường tròn

()

c) Chứng minh

MN AM BN= +

d) Chứng minh

AM BN⋅

không đổi khi đường thẳng

∆

quay quanh

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 101 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 7. Cho nửa đường tròn

()

, đường kính

và điểm

là một điểm nằm trên

()O

(

khác

). Tia phân giác của



ABC

cắt

tại

và cắt

()O

tại

(

khác

). Gọi

là giao điểm

của

và

a) Chứng minh tam giác

ABD

cân.

b) Chứng minh

vuông góc với

c) Gọi

là điểm đối xứng của

qua

. Tứ giác

AEDK

là hình gì? Vì sao?

d) Chứng minh

là tiếp tuyến của

()O

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 102 Toång hôïp: Thaày Hoùa

Bài 8. Cho hai đường tròn

(;)OR

và

(;)OR

′′

tiếp xúc ngoài tại

. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

( ( ), ( ))B OC O

′

∈∈

với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung ngoài tại

của

()O

và

()O

′

cắt

tại

a) Chứng minh

ODO

′



là tam giác vuông.

b) Gọi

là giao điểm của

và

, gọi

là giao điểm của

′

và

. Tứ giác

AEDF

là

hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh

tiếp xúc với đường tròn đường kính

′

d) Chứng minh

2BC R R

′

= ⋅

Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc

ĐT: 0344 083 670 103 Toång hôïp: Thaày Hoùa

--- HẾT ---

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/103

| | Tải xuống

Preview text:

Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc Chương 1
Bài 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH
VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Mở đầu
Từ hình vẽ bên, ta có
 Cạnh góc vuông: AB, AC .
 Cạnh huyền: BC .
 Đường cao: AH .
 HA là hình chiếu của AB trên cạnh BC .
 HC là hình chiếu của AC trên cạnh BC .  Định lý Py-ta-go: 2 2 2
BC = AB + AC
1. Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
 Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình
chiếu của nó trên cạnh huyền. 2
BA = BH ⋅ BC hay 2
c = c'⋅a ; 2
CA = CH ⋅CB hay 2
b = b'⋅a .
2. Hệ thức liên quan đến đường cao
Trong một tam giác vuông
 Bình phương độ dài đường cao bằng tích hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. 2
AH = HB ⋅ HC hay 2
h = b'⋅c' .
 Tích độ dài đường cao với cạnh huyền bằng tích độ dài hai cạnh góc vuông.
AH ⋅ BC = AB ⋅ AC hay a ⋅h = b⋅c .
 Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. 1 1 1 = + hay 1 1 1 = + . 2 2 2 AH AB AC 2 2 2 h a b
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố khác dựa vào hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông
và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
 Vận dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh thứ ba (nếu cần).
 Vận dụng các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác.
Ví dụ 1. Tính các độ dài x , y trong hình bên. ĐT: 0344 083 670 1
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc a) b) c)
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 4 . Tính tỉ số hai hình chiếu của hai 9
cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 2
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 3. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 3 , cạnh huyền dài 10cm. Tính độ 4
dài các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Tính độ dài dựa vào hệ thức liên quan đến đường cao
 Vận dụng các hệ thức liên quan đến đường cao và định lý Py-ta-go.
Ví dụ 4. Tính độ dài x , y trong hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Tính diện tích tam giác ABC trong hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 3
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 6. Tính độ dài AH trong hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7. Tính tích HA⋅ HB ⋅ HC trong hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 3: Chứng minh các hệ thức hình học
 Vận dụng linh hoạt các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
 Nếu cần thì có thể vẽ thêm đường phụ (thường là đường cao) sao cho hình vẽ xuất hiện
tam giác vuông để vận dụng các hệ thức.
Ví dụ 8. Cho hình thang ABCD (AB  CD) có ˆD 90° =
và AC ⊥ BD . Chứng minh rằng AD là
trung bình nhân của hai đáy.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ các đường cao BE và CD . Từ B vẽ một đường thẳng
song song với CD cắt tia AC tại F . Chứng minh rằng 2
AC = AE ⋅ AF .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 4
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của
H trên AB và AC . Chứng minh rằng 3
DE = BD ⋅CE ⋅ BC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC cân tại A , hai đường cao AD và BE . Cho biết BE = 2k ; BC = 2m ;
AD = n . Chứng minh rằng 1 1 1 = + . 2 2 2 k m n
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH . Lấy điểm M trên đoạn thẳng
HC sao cho HM = AH . Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC , cắt AC tại D . Chứng minh rằng 1 1 1 = + . 2 2 2 AH AD AC
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 5
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Tính x , y trong hình vẽ sau a) b) c) d)
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 6
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ HK ⊥ AB (K ∈ AB). Chứng minh rằng 2
a) AB ⋅ AK = BH ⋅ HC ; b) AB HB = . 2 AC HC
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh BC = 5 cm và tỉ số hai hình chiếu của AB , AC trên
cạnh huyền bằng 9 . Tính diện tích tam giác ABC . 16
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB =15cm; BC = 25 cm. Tính độ dài hai hình chiếu của
hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và tính đường cao tương ứng với cạnh huyền. ĐT: 0344 083 670 7
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Hình thang ABCD (AB  CD) có AD = 5cm; AC =12cm và CD =13cm. Biết diện tích hình thang là 2 45cm .
a) Tính chiều cao của hình thang. b) Chứng minh rằng 1 AB = CD . 2
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ HD ⊥ AB , HE ⊥ AC 3
(D∈ AB, E ∈ AC) . Chứng minh rằng BD AB = . 3 CE AC
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT --- ĐT: 0344 083 670 8
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa
 Với α là góc nhọn trong tam giác vuông ta có caïnh ñoái caïnh ñoái  sinα = ;  tanα = ; caïnh huyeàn caïnh keà caïnh keà caïnh keà  cosα = ;  cotα = . caïnh huyeàn caïnh ñoái Cách ghi nhớ
“Tìm sin lấy đối chia huyền,
Cô-sin hai cạnh kề huyền chia nhau,
Còn tang thì phải tính sao?
Đối trên kề dưới chia nhau ra liền,
Cô-tang cũng dễ ăn tiền,
Kề trên đối dưới chia liền bạn ơi!”
2. Một số hệ thức và tính chất cơ bản
 Với hai góc nhọn α, β và α + β = 90° thì
sinα = cos β; cosα = sin β; tanα = tan β; cotα = cot β .
Với góc nhọn α (0° < α < 90°) , ta có
 0 < sinα < 1;0 < cosα < 1.
 Nếu α tăng thì sinα và tanα tăng; còn cosα và cotα giảm. α  sin tanα = ; cosα  tanα ⋅cotα = 1; α  cos cotα = ; sinα  2 2 sin α + cos α =1. ĐT: 0344 083 670 9
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh
 Bước 1: Tính độ dài cạnh thứ ba theo định lý Py-ta-go (nếu cần).
 Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn theo yêu cầu đề bài.
Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A , AB =1,5; BC = 3,5. Tính tỉ số lượng giác của góc C rồi
suy ra các tỉ số lượng giác của góc B .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Tính tỉ số lượng giác của góc B trong hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. ABC vuông tại A có BC = 2AB . Tính các tỉ số lượng giác của góc C .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 10
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 4. Tam giác ABC cân tại A , có BC = 6 , đường cao AH = 4. Tính các tỉ số lượng giác của góc B .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Tính tan C trong hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 6. Tính sin M + cos N trong hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Dựng góc nhọn α khi biết tỉ số lượng giác của góc nhọn đó bằng m . n
 Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc α .
Ví dụ 7. Dựng góc α , biết sinα = 0,25. Lời giải Ta có 1 0,25 = . 4 ĐT: 0344 083 670 11
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Dựng góc vuông xOy ;
Trên cạnh Ox đặt OA =1; Dựng đường tròn ( ;
A 4) cắt cạnh Oy tại B . Khi đó   OA 1 ABO α vì sinα  = = =  . AB 4   
Ví dụ 8. Dựng góc α , biết cosα = 0,75 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 9. Dựng góc α , biết tanα =1,5.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 10. Dựng góc α , biết cotα = 2.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 3: Chứng minh hệ thức lượng giác ĐT: 0344 083 670 12
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
 Sử dụng định nghĩa và một số hệ thức lượng giác cơ bản để chứng minh.
Ví dụ 11. Cho góc nhọn α . Chứng minh rằng a) sinα < tanα ; b) cosα < cotα .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 12. Chứng minh các hệ thức a) 2 1 1+ tan α = ; b) 2 1 1+ cot α = . 2 cos α 2 sin α
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 13. Chứng minh rằng a) 1+ cosα sinα α + + α = ; b) tan 1 1 cot = . sinα 1− cosα tanα −1 1− cotα
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 13
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 14. Chứng minh rằng 2 2 2 2
tan α − sin α = tan α ⋅sin α .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... 2 2
Ví dụ 15. Chứng minh rằng 1− 4sin α ⋅cos α = sinα + cosα . 2 ( )2 (sinα −cosα )
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 4: Biết một giá trị lượng giác của góc nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc đó
 Vận dụng các hệ thức cơ bản đã học.
Ví dụ 16. Cho biết sinα = 0,6; tính cosα , tanα , cotα .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 14
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 17. Cho biết 2
cosα = ; tính sinα , tanα , cotα . 3
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 18. Cho biết 1 tanα =
, tính cotα , sinα , cosα . 3
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 19. Cho biết cot x = 2, tính tan x , sin x , cos x .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 5: Tính giá trị lượng giác với các góc đặc biệt (không dùng máy tính hoặc bảng số)
 Căn cứ vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 30°;45°;60° .
 Căn cứ vào tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
 Căn cứ vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ 20. Tính giá trị của biểu thức a) 2 ° ° 3 M 4cos 45 3 cot 30 16cos 60° = + − ; ° ° b) 2sin 30 − sin 60 N = . 2 cos 30° − cos60°
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 15
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 21. Tính giá trị của biểu thức a) 2 ° 2 ° 2 ° 2
P sin 30 sin 40 sin 50 sin 60° = − − + ; b) 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2
Q cos 25 cos 35 cos 45 cos 55 cos 65° = − + − + .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 22. Tính giá trị của biểu thức sau với 0 0 α 90° < < : 2    2 2
A  cos   tan 60  cot 45  2 sin 30  cos   tan  .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức sau với 0° α 90° < < a) 4 4 2 2
B = sin α + cos α + 2sin α cos α ; b) 6 6 2 2
C = sin α + cos α + 3sin α cos α .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 16
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
........................................................................................................................................................................................................................................................................... 2 2
Ví dụ 24. Cho biểu thức sin α − cos α A == . 1+ 2sinα cosα a) Chứng minh rằng sinα − cosα A = ; sinα + cosα
b) Tính giá trị của A , biết 2 tanα = . 3
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số 
Ví dụ 25. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
a) sin 70°,cos30°,cos 40°,sin 51° ; b) cos34°,sin 57°,cot 32°.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 26. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
a) cot 40°,sin 40°,cot 43°, tan 42°;
b) tan 52°,cot 63°, tan 72°,cot 31°,sin 27° .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 27. Cho 25° α 50° < <
, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần: ĐT: 0344 083 670 17
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
sinα; cos(α 40° ); tan(α 10° + + ).
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ° °
Ví dụ 28. So sánh hai số m và n , biết sin 50 m = ; cot 70 n = . cos65° tan 35°
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 7: Tìm góc nhọn α thỏa đẳng thức cho trước
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng cơ bản
 Dùng MTBT hoặc bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để tìm.
Cách dùng MTBT tìm α khi biết sinα (tương tự đối với cosα và tanα )
Nếu sinα = m thì bấm các phím sau shift sin m = °' ' .
Ví dụ 29. Tìm góc nhọn x , biết a) 4sin x −1 =1;
b) 2 3 − 3tan x = 3 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình bên. Tính sinC và tan B .
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 18
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... 2 Bài 2. − ⋅ α α − α
Chứng minh đẳng thức 1 2 cos sin cos = .
1+ 2⋅sinα cosα sinα + cosα
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho góc nhọn α . a) Biết 1
cosα = , hãy tính sinα và tanα . 3
b) Biết tanα = 2 , hãy tính sinα và cosα .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy
a) Tính giá trị của biểu thức 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2
M sin 20 cos 30 sin 40 sin 50 cos 60 sin 70° = + − − + + .
b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần sin 41° ; cos58° ; cot 49° ; cos75° ; sin 25° .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 19
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC , độ dài các cạnh BC , CA , AB lần lượt bằng a , b , c .
a) Chứng minh rằng a b c = = .
sin A sin B sin C
b) Chứng minh rằng nếu a + b = 2c thì sin A + sin B = 2sin C .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT --- ĐT: 0344 083 670 20
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 4-5. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng
 Tích của cạnh huyền với sin của góc đối hoặc cô-sin của góc kề.
 Tích của cạnh góc vuông kia với tang góc đối hoặc cô-tang góc kề. Trong hình bên, ta có
b = a ⋅sin B = a ⋅cosC;
b = c ⋅ tan B = c ⋅cot C;
c = c⋅sin C = a ⋅cos ; B
c = b⋅ tan C = b⋅cot . B
2. Giải tam giác vuông
 Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó khi biết
trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải tam giác vuông
 Vận dụng các công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm cạnh.
 Vận dụng công thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tìm cạnh.
 Vận dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc. Lưu ý:
 Nếu cho trước 1 góc nhọn thì nên tìm góc nhọn còn lại.
 Nếu cho trước hai cạnh thì dùng định lý Py-ta-go tìm cạnh thứ hai.
Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết AB = 3,5 và AC = 4,2 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết AB = 3,0 và BC = 4,5 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 21
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết ˆB 50° = và AB = 3,7 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết ˆB 57° = và BC = 4,5 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB = 2,5, BH =1,5. Tính ˆB , ˆC và AC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 22
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Giải tam giác nhọn
 Bước 1: Vẽ đường cao để vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
 Bước 2: Tính đường cao rồi tính các độ dài cạnh hay góc trong tam giác đã cho.
Lưu ý: Dùng đường cao làm trung gian để tính các độ dài cạnh hoặc số đo góc.
 Nếu tam giác cho trước một cạnh (hoặc một góc) thì khi vẽ đường cao không thể chia đôi
cạnh đó (hoặc góc đó) vì như vậy sẽ khó khăn cho việc tính toán.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có ˆB 65° = , ˆC 45° =
và AB = 2,8cm . Tính các góc và cạnh còn lại của
tam giác đó (gọi là giải tam giác ABC ).
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7. Giải tam giác ABC biết ˆB 65° = , ˆC 40° = và BC = 4,2cm .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 23
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 8. Giải tam giác nhọn ABC biết AB = 2,1, AC = 3,8 và ˆB 70° = .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 3: Tính diện tích tam giác, tứ giác
 Tính các yếu tố cần thiết rồi thay vào công thức tính diện tích và thực hiện phép tính.
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có diện tích là 1
S = ⋅b⋅c ⋅sinα . 2
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Nhận xét: Qua ví dụ này ta có thêm một cách tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng nửa
tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn xen giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh đó. ĐT: 0344 083 670 24
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 10. Tứ giác ABCD như hình vẽ phía dưới. Biết AC = 3,8 , BD = 5,0 và α 65° =
. Tính diện tích của tứ giác đó.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 11. Tam giác ABC có ˆ ˆ B C 60° + =
, AB = 3, AC = 6 . Tính độ dài đường phân giác AD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 12. Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5 , ˆD 50° =
. Tính diện tích của hình bình hành.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 25
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 4: Ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác vuông
 Vẽ lại hình vẽ theo yêu cầu bài toán (chú ý tạo ra tam giác vuông).
 Xác định các yếu tố cần thiết rồi tính theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác
hoặc sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm góc.
Ví dụ 13. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trên
một bờ hồ nước sâu, biết ˆC 58° = , CB =13m ,
CH = 44m như hình bên.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 14. Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng AB của con sông, biết OC = 47m ,  AOC 74° = ,  BOC 23° = .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 26
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 15. Khoảng cách giữa hai chân tháp AB và MN là a như hình vẽ bên dưới. Từ đỉnh A của
tháp AB nhìn lên đỉnh M của tháp MN ta được góc α . Từ đỉnh A nhìn xuống chân N của tháp
MN ta được góc β (so với phương nằm ngang AH ). Hãy tìm chiều cao MN nếu a =120m , α 30° = , β 20° = .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết
a) AB = 2,7 và AC = 4,5 ;
b) AC = 4,0 và BC = 4,8 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 27
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết
a) BC = 4,5 và ˆC 35° = ;
b) AB = 3,1 và ˆB 65° = .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao BH . Biết ˆA 50° =
, BH = 2,3. Tính chu vi của A ∆ BC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 28
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Hình thang ABCD có ˆA ˆD 90° = =
. Biết AB = 2,6 , CD = 4,7 và ˆC 35° = . Tính diện tích hình thang.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC , AB > AC , đường cao AH và đường trung tuyến AM . Gọi α là số đo góc  HAM .
a) Chứng minh rằng HB − HC = 2HM ; b) Chứng minh rằng cot B cot tan C α − = . 2
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 29
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Giải tam giác nhọn ABC biết ˆB 60° =
, AB = 3,0 và BC = 4,5 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Hình thang ABCD ( AB  CD ) có ˆD 90° = , ˆC 38° =
, AB = 3,5 , AD = 3,1. Tính diện tích hình thang đó.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 30
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 8. Các cạnh của một tam giác vuông có độ dài 4cm; 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó.
Bài 9. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm, ˆC 40° = . Hãy tính các độ dài a) AC ; b) BC ; c) Phân giác BD .
Bài 10. Cho hình bên, biết: AB = AC = 8 cm, CD = 6cm,  BAC 34° = và  CAD 42° = . Hãy tính
a) Độ dài cạnh BC ; b)  ADC ;
c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD .
Bài 11. Trong một tam giác ABC có AB =11cm,  ABC 38° = ,  ACB 30° =
, N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Hãy tính AN , AC .
Bài 12. Tìm x và y trong các hình sau
Bài 13. Cho tam giác BCD đều cạnh 5cm và  DAB 40° = . Hãy tính a) AD ; b) AB . --- HẾT ---
Bài. ÔN TẬP CHƯƠNG I
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM ĐT: 0344 083 670 31
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Xem lại phần kiến thức trọng tâm của các bài đã học
 Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác.
 Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
 Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh các tỉ số lượng giác
Ví dụ 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần cos72° , sin 65° , sin10° , cot 25° , sin 40°.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ 2. So sánh
a) sin 55° ; cos55° ; tan 55° .
b) cot 20° ; sin 20°; cos 20° .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Cho 0° α 45° < < . Chứng minh rằng a) sinα < cosα . b) tanα < cotα .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆ > ˆ
B C . Hãy sắp xếp theo thứ tự tăng dần sin B ,
cos B , tan B , sin C , cosC , cot C .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức lượng giác
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức ĐT: 0344 083 670 32
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc a) 2 2 2
sin α ⋅cot α − cos α +1. b) ( α − α )2 −( α + α )2 tan cot tan cot . c) 4 4 2 2
sin α − cos α − cos α −3sin α .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 6. Tính giá trị của biểu thức a) ° ° ° 2 sin 30 cos60 tan 45 4cos 30° + − + . b) 2 ° 2 ° 2 cos 30 cot 60 tan 30° − + −1. 2 ° 2 ° c) cot 45 − cos 45 . 2 2sin 60°
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7. Tính giá trị của biểu thức a) 2 ° 2 ° 2 ° 2 cos 33 cos 41 cos 49 cos 57° + + + . b) 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2
sin 35 sin 39 sin 43 sin 47 sin 51 sin 55° + + + + + .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 33
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH . Biết ˆA 44° =
; AH = 9cm . Tính chu vi tam giác ABC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 9. Cho hình thang ABCD ( AB  CD ), ˆC 36° = ; ˆD 50° =
. Biết AB = 4cm , AD = 6cm . Tính chu vi hình thang.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 34
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ HM ⊥ AB ; HN ⊥ AC . Biết
AB = 3cm ; AC = 4cm .
a) Tính độ dài MN .
b) Tính số đo các góc của tam giác AMN .
c) Tính diện tích tứ giác BMNC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 35
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = 4cm . Vẽ đường cao AH ; vẽ HI ⊥ AB ,
HK ⊥ AC . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 4: Chứng minh hệ thức giữa các tỉ số lượng giác 2 2 4 Ví dụ 12. α − α + α Chứng minh hệ thức cos sin sin 4 = cot α. 2 2 4 sin α − cos α + cos α
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 13. Chứng minh các đẳng thức sau a) 2
(1− cosα)(1+ cosα) = sin α ; b) 2 2 sin α +1+ cos α = 2; c) 4 4 2 2
sin α + cos α + 2sin α cos α =1; d) 2 3
sinα −sinα cos α = sin α . ĐT: 0344 083 670 36
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  5 cm, AC 12 cm và BC 13 cm. Giá trị của sinC bằng A. 5 . B. 1 . C. 12 . D. 5 . 12 13 13 13
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A . Khẳng định nào sau đây đúng? A. cos AB B  . B. cos AC B  . C. cos AB B  . D. cos AC B  . BC AB AC BC
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hệ thức nào sau đây đúng? A. sin AB B  . B. sin AB B  . C. tan AB B  . D. cos AB B  . BC AC AC AC
Câu 4: Khẳng định nào sau đây sai? A. cos  35 sin   40 . B. sin  35 cos   40 . C. sin  35 sin   40 . D. cos  35 cos   40 .
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Hệ thức nào đây sai?
A. AC 2  BC.HC .
B. AH 2  AB.AC . C. 1 1 1   .
D. AH 2  HB.HC . AH 2 AB2 AC 2 Câu 6: Cho A  BC vuông tại ,
A đường cao AH. Biết BH  ,
3 2cm;BC  5cm thì độ đài AB bằng A. 8 cm. B. 16 cm. C. , 1 8 cm. D. 4 cm.
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A ,  ACB 
 30 , cạnh AB  5 cm. Độ dài cạnh AC là A. 10 cm. B. 5 cm. C. 5 3 cm. D. 5 2 cm. 3 2 Câu 8: Cho tam giác 1
ABC vuông tại C. Biết sin B  , khi đó tanA bằng 3 A. 2 2 . B. 3 . C. 2 2 . D. 1 . 3 2 2 Câu 9: Cho A
 BC cân tại A ,  BAC 
 120 , BC  12 cm . Tính độ dài đường cao AH .
A. AH  3 cm .
B. AH  2 3 cm . C. AH  4 3 cm . D. AH  6 cm . ĐT: 0344 083 670 37
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (hình
bên). Đẳng thức nào sau đây là sai? A. sin AH B  . B.  tan BH BAH  . AB AH C. cos HC C  . D.  cot AH HAC  . AC AC
Câu 11: Một cái thang dài 4 cm đặt dựa vào tường, biết góc
giữa thang và mặt đất là 
60 . Khoảng cách d từ chân thang đến
tường bằng bao nhiêu? A. 3 d  m .
B. d  2 3 m . 2
C. d  2 2 m . D. d  2 m .
Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB  2 a 5 , AC  5 a 3 .
Kẻ AK vuông góc với BC , với K nằm trên cạnh BC . Tính AK theo a . A. 19 57 95 AK  a . B. AK  a . 10 2 C. 10 57 5 57 AK  a . D. AK  a . 19 19
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết
AH  2 , HC  4 . Đặt BH  x (hình bên). Tính x . A. 1 x  . B. x 1. 2 C. 16 x  . D. x  4 . 3 Câu 14: Cho  xOy 
 45 . Trên tia Oy lấy hai điểm A , B sao cho AB  2 cm. Tính độ dài hình
chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên Ox . A. 2 cm. B. 2 cm. C. 1 cm. D. 1 cm. 2 4 2
Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH và đường trung tuyến AM (
H ,M  BC ). Biết chu vi của tam giác là 72 cm và AM AH  7 cm. Tính diện tích
S của tam giác ABC .
A. S  48 cm 2 .
B. S 108 cm 2 .
C. S 148 cm 2 .
D. S 144 cm 2 . II. PHẦN TỰ LUẬN Bài 1. Cho biết 1 cosα = . 4 a) Tính sinα .
b) Chứng minh rằng tanα = 4sinα .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 38
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Xem hình bên và tính góc tạo bởi hai mái nhà AB và AC , biết rằng mỗi máy nhà dài 2,34m và cao 0,8m.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Tam giác ABC có ˆA 20° = , ˆB 30° =
, AB = 6cm. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt
AB tại P (hình vẽ bên). Hãy tìm a) AP , BP ; b) CP .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc nhọn của tam giác ABC vuông tại A trong hình bên
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 39
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho hình thang cân ABCD ( AB  CD ). Biết AD = 2,1cm ; CD = 6,0cm và ˆD 48° = .
a) Tính độ dài AB .
b) Tính diện tích hình thang ABCD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính BC , ˆB , ˆC ;
b) Phân giác của ˆA cắt BC tại D . Tính BD , CD .
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB , AC . Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi
và diện tích của tứ giác AEDF ?
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 40
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 8. Cho tam giác B AC
ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tan = . 2 AB + BC
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 41
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT --- Chương 2
Bài 1. SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Khái niệm
 Đường tròn tâm O bán kính R R  0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.
2. Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn
 Điểm M nằm trong đường tròn O;R khi OM  R .
 Điểm M nằm trên đường tròn O;R khi OM  R .
 Điểm M nằm ngoài đường tròn O;R khi OM  R .
3. Cách xác định đường tròn
Một đường tròn được xác định khi
 Biết tâm và bán kính đường tròn.
 Biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn.
 Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Khi đó tam giác
được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.
 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.
 Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
 Nến tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. 4. Tâm đối xứng
 Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đường tròn là tầm đối xứng của hình tròn đó.
5. Trục đối xứng
 Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua nhiều điểm
 Dựa vào định nghĩa đường tròn: Nếu một điểm cách đều các điểm còn lại thì điểm đó
chính là tâm của đường tròn.
Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A , B , C , D
cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 42
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp A  BC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Xác định vị trí của điểm và đường tròn
Muốn xác định vị trí của điểm M và đường tròn (O), ta làm như sau
 Bước 1: Xác định khoảng cách từ M đến tâm O của đường tròn.
 Bước 2: Dựa vào kết quả so sánh của OM và bán kính R của đường tròn mà kết luận.
Ví dụ 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy xác định vị trí tương đối của điểm M ( ; 1 ) 1 , N ( ; 2 ) 0 , P( ; 2 ) 3 đối với (O;2) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo, OA  2 2 cm. Vẽ đường
tròn (A ; 4 cm). Xác định vị trí tương đối của các điểm A , B , C , D với đường tròn (O;4 cm).
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 43
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 3: Dựng đường tròn thỏa mãn yêu cầu cho trước
 Xem phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 6. Cho góc xAy nhọn và hai điểm B , C thuộc tia Ay . Dựng đường tròn tâm O đi qua hai
điểm B , C sao cho O nằm trên tia Ax .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy xác định lại tâm và bán kính của hình tròn đó.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 12 cm, BC  5 cm. Tìm tâm và bán kính của đường
tròn đi qua 4 điểm A , B , C , D .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 44
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2. Cho A
 BC vuông tại A , AB  6 cm, AC  8 cm. Tìm tâm và bán kính của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB . M là điểm nằm bên ngoài đường tròn sao cho
MA, MB cắt nửa đường tròn lần lượt tại N , P .
a) Chứng minh BN  MA, AP  MB ;
b) Gọi K là giao điểm của BN và AP . Chứng minh MK  AB .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4. Cho MN 
P cân tại N , nội tiếp đường tròn (O) . Đường cao NH cắt đường tròn tại K .
a) Chứng minh NK là đường kính của (O); b) Tính số đo  NPK ;
c) Biết MP  24 cm, NP  20 cm. Tính NH và bán kính của đường tròn (O).
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 45
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 5. Cho A
 BC cân tại A , có BC  36 cm, đường cao AH 12 cm. Tính bán kính của
đường tròn ngoại tiếp A  BC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD có AB a , BC b . Chứng minh rằng bốn điểm A , B , C , D
cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 46
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE . Trên cạnh AC lấy điểm M . Kẻ tia Cx
vuông góc với tia BM tại F . Chứng minh rằng năm điểm B , C , D , E , F cùng thuộc một đường tròn.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 8. Chứng minh rằng bốn trung điểm của bốn cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 9. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều, cạnh 3 cm.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 47
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 10. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho các điểm M ( ; 1 2) , N ( ; 1 ) 2 và P( ; 5 ) 0 . Tính bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 11. Cho tam giác MNP có MN  MP a và  NMP 
 120 . Gọi O là tâm và r là bán kính
của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Tính tỉ số d với d  NP . r
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 48
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 12. Cho đường tròn (O;R) và hai điểm M , N sao cho M nằm trong và N nằm ngoài (O;R) . Hãy so sánh  OMN và  ONM .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 13. Cho tam giác ABC , đường cao BH . Lấy một điểm M trên cạnh AB (M  A , M  B ).
Qua B kẻ tia Bx vuông góc với tia CM tại K . So sánh BC và HK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 14. Cho tam giác MNP vuông tại M , NP  a
2 . Trên cạnh MN lấy điểm A (A  M ,
A  N ). Qua trung điểm I của NP vẽ tia Ix vuông góc với IA. Tia Ix cắt đường thẳng MP tại
B . Xác định vị trí của điểm A để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 49
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 15. Bốn đỉnh của một hình chữ nhật kích thước 512 cùng nằm trên một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 16. Cho hình thoi ABCD . Đường trung trực của cạnh BC cắt đường thẳng AC tại M và cắt
đường thẳng BD tại N . Chứng minh rằng M và N lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các
tam giác BCD và ABC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 50
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc --- HẾT ---
Bài 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
 Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung
 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh các đoạn thẳng
 Sử dụng kiến thức liên hệ giữa đường kính và dây.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Chứng minh
a) ốn điểm B , E , D , C cùng thuộc một đường tròn; b) DE < BC ; c) DE < AH .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H , K
theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Đường thẳng đi qua O vuông góc
với CD tại M cắt AK tại N . Chứng minh ĐT: 0344 083 670 51
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc a) AN = NK ; b) MH = MK ; c) CH = DK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính MN , dây CD . Các đường vuông góc với CD tại
C và D tương ứng cắt MN ở H và K . Chứng minh MH = NK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường tròn tâm O , có bán kính OA = 4 cm. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm
của OA. Tính độ dài BC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 52
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Cho đường tròn ( ;
O R) và điểm I nằm bên trong đường tròn.
a) Hãy nêu cách dựng dây CD nhận I làm trung điểm;
b) Tính độ dài dây CD khi R = 5 cm, OI = 3 cm.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA =11cm. Lấy M thuộc OA sao cho OM = 7 cm.
Qua M vẽ dây CD =18 cm. Kẻ OH ⊥ CD ( H ∈CD ). Tính a) OH , HM ; b) MC , MD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Vẽ cung tròn tâm B , bán kính R , cung này cắt
đường tròn (O) ở C và D .
a) Tứ giác OCBD là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc  CDB ,  CDO ,  ODA ;
c) Chứng minh ACD là tam giác đều.
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 53
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho đường tròn (O) , dây cung MN . Kẻ OI ⊥ MN ( I ∈ MN ), lấy hai điểm H , K đối xứng
với nhau qua I . Chứng minh tứ giác MHNK là hình bình hành.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có ˆ ˆ A C 90° = = .
a) Chứng minh bốn điểm A , B , C , D cùng thuộc một đường tròn;
b) So sánh độ dài AC và BD ;
c) Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 54
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AK , dây MN không cắt đường kính AK . Gọi I , P lần
lượt là chân đường vuông góc hạ từ A và K đến MN . Chứng minh MI = NP .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính MN . Trên MN lấy điểm H , K sao cho
MH = NK . Qua H , K kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt
tại C và D . Chứng minh HC và KD vuông góc với CD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 55
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT ---
Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Trong một đường tròn: B C
 Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
 Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. H
 Trong hai dây của một đường tròn K O
 Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. A
 Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. D
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
 Áp dụng liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O,10 cm) , dây AB 16 cm.
a) Tính khoảng cách từ O đến dây AB ;
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI  2 cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB .
Chứng minh CD  AB .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại
điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD .Chứng minh a) MH  MK ; b) MA  MC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 56
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: So sánh độ dài các đoạn thẳng
 Dựa vào kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây AB vuông góc với
OM tại M . Vẽ dây HK bất kì qua M và không vuông góc với OM . Hãy so sánh độ dài dây AB và HK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Cho AB và CD là hai dây của đường tròn (O;R) sao cho AB và CD cắt nhau tại điểm
I nằm trong đường tròn. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Biết AB CD , chứng
minh IH  IK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 57
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường tròn (O;25 cm) . Hai dây AB , CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự
bằng 40 cm, 48 cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A , B bất kì nằm trên (O;R). Trên cung nhỏ AB lấy
các điểm M , N sao cho AM  BN và AM , BN cắt nhau tại điểm C nằm trong đường tròn. Chứng minh:
a) OC là phân giác của  AOB ; b) OC  AB .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 58
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho đường tròn (O;10 cm) , điểm M cách O là 8 cm.
a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M ;
b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Cho đường tròn (O), các dây AB  24 cm, AC  20 cm (  BAC 
 90 và điểm O nằm trong 
BAC ). Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm. a) Chứng minh A
 BC cân tại C ;
b) Tính bán kính của đường tròn.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 59
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho đường tròn (O,10 cm) , dây AB 16 cm. Vẽ dây CD song song với AB . Gọi H , K
lần lượt là trung điểm của AB , CD .
a) Chứng minh ba điểm O , H , K thẳng hàng;
b) Biết O nằm giữa H , K và khoảng cách giữa hai dây AB , CD bằng 14 cm. Tính độ dài dây CD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Cho đường tròn (O), các dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm M nằm bên trong
đường tròn. Chứng minh:
a) MO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây cung AB và CD ;
b) MA  MC và MB  MD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 60
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Cho hai đường tròn (O;r) và (O;R) với R r . Hai dây AB , CD thuộc đường tròn (O;r)
sao cho AB CD . Đường thẳng AB cắt (O;R) tại M và N , đường thẳng CD cắt (O;R) tại H
và K . Kẻ OI  AB(I AB) , OJ CD(J CD) . So sánh các độ dài: a) OI và OJ ; b) MN và HK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 8. Cho MN  P có ˆ M  ˆ N  ˆ
P nội tiếp đường tròn (O). Gọi OH , OI , OK theo thứ tự là
khoảng cách từ O đến MN , NP , MP . So sánh các độ dài OH , OI và OK .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 61
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc --- HẾT ---
Bài 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
 Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng bất kì. Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường
tròn đến đường thẳng đó. Ta có bảng vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Cắt nhau 2 d < R Tiếp xúc nhau 1 d = R Không giao nhau 0 d > R
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
 So sánh d và R rồi kết luận dựa vào phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Điền vào các chỗ trống (…) trong bảng sau ( R là bán kính của đường tròn, d là khoảng
cách từ tâm đến đường thẳng): R d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5 cm 3 cm 6 cm Tiếp xúc nhau 4 cm 8 cm
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm (
A 3;4) . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn ( ;
A 3) và các trục tọa độ.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Cho điểm A cách đường thẳng ∆ là 3 cm. Vẽ đường tròn tâm A , bán kính 3 cm. Chứng
minh đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( ) A .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 62
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài
 Nối tâm và tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và định lý Py-ta-go.
Ví dụ 4. Cho đường tròn ( ;
O R) và điểm M nằm ngoài (O) sao cho MO = 2R . Kẻ tiếp tuyến MA
với (O) ( A là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng MA theo R .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R . Từ A kẻ tiếp tuyến xy . Trên xy lấy điểm
C sao cho AC = R . Tính độ dài đoạn thẳng BC theo R .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( A ;
a b) . Xác định điều kiện của a,b để đường tròn ( ; A 5) thỏa mãn: a) Cắt trục Oy ; b) Cắt trục Ox ;
c) Tiếp xúc với Ox .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 63
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 2. Cho hình thang vuông ABCD ( ˆA ˆD 90° = =
). Biết AB = 4 cm, BC =13 cm và CD = 9 cm.
Vẽ đường tròn tâm O , đường kính BC . Chứng minh AD tiếp xúc với (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho đường tròn ( ;
O 15 cm) có dây AB = 24 cm. Gọi H là trung điểm của AB , tia OH cắt
(O) tại C , tiếp tuyến của (O) tại C cắt ,
OA OB lần lượt tại E, F . Tính độ dài OH và EF .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Cho điểm O cách đường thẳng xy là 5 cm. a) Chứng minh ( ;
O 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt;
b) Gọi hai giao điểm của (O) với xy là B,C . Tính độ dài đoạn thẳng BC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 64
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn và OA =10 cm. Kẻ
tiếp tuyến AB với (O) trong đó B là tiếp điểm. Tính chu vi tam giác ABO .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm B(2;4) . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn ( ;
B 3) và các trục tọa độ.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Cho điểm B cách đường thẳng a là 5 cm. Vẽ đường tròn tâm B , bán kính 7 cm. Chứng
minh đường thẳng a cắt đường tròn (B) tại hai điểm phân biệt.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 8. Cho đường tròn (O) bán kính 6 cm và điểm A cách O là 10 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với
(O) ( B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng AB .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 65
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 9. Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và điểm M nằm trên đường tròn đó. Từ M vẽ tiếp
tuyến xy . Trên xy lấy điểm P sao cho MP = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng PO .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 66
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT ---
Bài 5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Dấu hiệu 1: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán
kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
 Dấu hiệu 2: Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của
đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
 Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại tiếp điểm C, ta có
thể làm theo một trong hai cách
 Cách 1: Chứng minh C nằm trên (O) và OC ⊥ a tại C.
 Cách 2: Kẻ OH ⊥ a tại H và chứng minh OH =OC = R .
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH , vẽ đường tròn ( ; A AH ) . Chứng
minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) A .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có BC = 5 cm, CA = 4 cm, AB = 3cm. Vẽ đường tròn (C; ) CA .
Chứng minh BA là tiếp tuyến của đường tròn (C).
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , các đường phân giác trong ˆB , ˆC cắt nhau tại I . Gọi H là hình
chiếu của I trên BC , vẽ đường tròn tâm I , bán kính IH . Chứng minh AB , AC tiếp xúc với (I) . ĐT: 0344 083 670 67
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I . Chứng minh
a) Đường tròn tâm O đường kính AI đi qua K ;
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài
 Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và sử dụng các
công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài.
Ví dụ 5. Cho đường tròn ( ;
O R) đường kính AB . Vẽ dây AC sao cho  CAB 30° = . Trên tia đối của
tia BA lấy điểm M sao cho BM = R . Chứng minh
a) MC là tiếp tuyến của (O) ; b) MC = R 3 .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 68
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 6. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R , dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B , cắt đường thẳng OA tại E . Tính độ dài BE theo R .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm A , bán kính AB . Chứng minh
a) CB là tiếp tuyến của đường tròn ( ) A ;
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn ( ) A .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 69
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc
của M trên AB . Vẽ đường tròn (M ;MH ) . Chứng minh AC tiếp xúc với (M ) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đường tròn ( ; B B )
A và đường tròn (C; ) CA , chúng cắt
nhau tại điểm D ( D khác A ). Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (B) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 70
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 4. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O) . Kẻ tiếp tuyến AB với (O) ( B là tiếp
điểm). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt (O) tại C . Chứng minh AC là tiếp tuyến
của đường tròn (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho đường tròn tâm (O) , đường kính AB = 2R và d là tiếp tuyến tại B của (O) . Trên (O)
lấy điểm C sao cho BC = R , tia AC cắt d tại E .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC ;
b) Tính độ dài BE theo R ;
c) Gọi M là trung điểm của BE . Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài (O) . Kẻ các tiếp tuyến AB , AC ( B , C là
các tiếp điểm) và đường kính BOD của (O) . Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt AC tại E . Chứng minh ĐT: 0344 083 670 71
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
a) ABO =ACO ;
b) OE là tia phân giác của  COD ;
c) ED là tiếp tuyến của (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , vẽ đường tròn ( ; B B )
A . Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD , vẽ đường tròn tâm O , đường kính AB . Chứng minh DA , BC là
các tiếp tuyến của đường tròn (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 72
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 9. Cho tam giác ABC vông tại B , tia phân giác góc A cắt BC tại D . Vẽ đường tròn tâm D ,
bán kính DB . Chứng minh AC tiếp xúc với đường tròn (D).
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AD . Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh
a) Đường tròn tâm O đường kính AC đi qua D ;
b) MD là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 73
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 11. Cho đường tròn (O, R) có dây AB không là đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông
góc với AB , cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C .
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O) ;
b) Cho bán kính của (O) bằng 15cm và dây AB = 24 cm. Tính độ dài đoạn thẳng OC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 12. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R , vẽ dây AB sao cho AB = R . Gọi K là điểm
đối xứng với O qua A .
a) Chứng minh KB là tiếp tuyến của (O) ;
b) Tính độ dài đoạn thẳng KB theo R .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 74
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT ---
Bài 6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
 Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
 Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của
góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
 Tia kẻ từ tâm đi qua hai điểm đó là tia phân giác
của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
 Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là
đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba
đường phân giác của tam giác.
 Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính đi qua tiếp điểm.
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
 Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần
kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
 Với mỗi tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
 Tâm của đường tròn bàng tiếp góc A là giao điểm của hai đường
phân giác góc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân
giác trong của góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc
 Vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O) . Kẻ các tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B ,
C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh AO là trung trực của đoạn thẳng BC ; ĐT: 0344 083 670 75
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
b) Vẽ đường kính CD của (O) . Chứng minh BD  OA.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường
tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Điểm M thuộc (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax , By lần
lượt tại C , D .
a) Chứng minh CD = AC + BD ;
b) Chứng minh OC ⊥ AM ;
c) Gọi E là giao điểm của AM và OC , F là giao điểm của BM và OD . Tứ giác MEOF là hình gì? Tại sao?
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng. Tính số đo góc ĐT: 0344 083 670 76
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Vận dụng các kiến thức sau
 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
 Tính chất của đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp.
 Hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 2R . Kẻ các
tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B , C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tam giác ABC đều;
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC theo R .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn (I,r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
BC , CA , AB lần lượt tại D , E , F .
a) Tứ giác AEIF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh BC = BF + CE ; c) Chứng minh AB AC BC r + − = . 2
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 77
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M . Qua O kẻ đường
thẳng song song với AM cắt BM tại C .
a) Chứng minh CM = CO ;
b) Kẻ OD  BM với D thuộc AM . Tứ giác OCMD là hình gì? Vì sao?
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O) . Kẻ các tiếp tuyến AB , AC với (O) trong
đó B , C là các tiếp điểm.
a) Chứng minh OA là trung trực của đoạn thẳng BC ;
b) OA cắt BC ở H . Biết OB = 4 cm, OH = 2 cm. Tính
i) Chu vi và diện tích tam giác ABC .
ii) Diện tích tứ giác ABOC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 78
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ các tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B , C là
các tiếp điểm). Qua điểm D thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với (O) , tiếp tuyến này cắt AB ,
AC lần lượt tại M , N . Chứng minh chu vi tam giác AMN bằng 2AB .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ đường tròn ( ;
A AH ) . Từ B và C kẻ
các tiếp tuyến BM , CN với ( )
A ( M , N là các tiếp điểm khác H ). Chứng minh
a) BC = BM + CN . ĐT: 0344 083 670 79
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc b)   MBC NCB 180° + =
, từ đó suy ra BM  CN .
c) M , A , N thẳng hàng.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn
vẽ tiếp tuyến Ax . Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax tại C .
a) Chứng minh OC là trung trực của đoạn thẳng AM ;
b) Chứng minh BM  OC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 80
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Cho đường tròn (O) , các điểm B , C thuộc (O) sao cho  BOC 90° =
. Hai tiếp tuyến tại B
và C thuộc (O) cắt nhau ở A .
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Tại sao?
b) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC của (O) . Tiếp tuyến tại M vủa (O) cắt AB , AC lần lượt tại
D , E . Chứng minh DE = BD + CE ;
c) Biết bán kính đường tròn (O) bằng 5 cm. Tính chu vi của tam giác ADE .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Cho đường tròn (O) . Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ hai tiếp tuyến ME , MF (
E , F là các tiếp điểm). Biết OE = 3 cm, OM = 5 cm.
a) Tính độ dài EF ;
b) Tính chu vi và diện tích tam giác MEF .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 81
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 8. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại M , N , P .
a) Chứng minh BC = BP + CN ; b) Chứng minh AB AC BC AN + − = ; 2
c) Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Tính độ dài CM .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 82
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT ---
Bài 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
 Hai đường tròn có hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau.
 Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung
đó gọi là tiếp điểm.
 Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.
2. Tính chất đường nối tâm
 Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là
đường nối tâm là đường trung trực của dây cung ấy.
 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh song song, vuông góc.
 Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-
ta-go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau…
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn ( ;
O R) và (O ;′r) tiếp xúc nhau tại A ( A nằm giữa O và O′ ). Một
đường thẳng đi qua A cắt ( ;
O R) tại B và cắt (O ;′r) tại C . Chứng minh OB  O C ′ .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O) và (O )′ cắt nhau tại hai điểm A và B . Kẻ các đường kính AOC , AO D ′ . Chứng minh: ĐT: 0344 083 670 83
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc a) AB ⊥ BC .
b) C , B , D thẳng hàng.
c) OO′  CD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
 Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-
ta-go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau…
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn ( ;
O 10 cm) và (O ;8
′ cm) cắt nhau tại hai điểm ,
A B . Biết AB =12
cm, tính đoạn nối tâm OO′ .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Cho hai đường tròn (O) và (O )′ cắt nhau tại A và B . Gọi I là trung điểm của OO′ . Qua
A vẽ đường thẳng vuông góc với AI , cắt đường tròn (O) và (O )′ tại C và D (C, D ≠ A). Chứng minh AC = AD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 84
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hai đường tròn (O ) và (O )′ tiếp xúc với nhau tại điểm A sao cho O′ nằm giữa O và A
. Gọi M là một điểm bất kì nằm trên (O) ( M ≠ A), AM cắt (O )′ tại B . Chứng minh rằng O B ′  OM .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Cho hai đường tròn ( ;
O R ) và ( I;r ) cắt nhau tại M và N , trong đó I thuộc đường tròn
(O) và R > r . Kẻ đường kính IOK của đường tròn (O) .
a) Chứng minh KM , KN là các tiếp tuyến của (I) .
b) Đường vuông góc với MI tại I cắt KN tại J . Chứng minh JI = JK .
c) Đường vuông góc với KM tại K cắt IN tại P . Chứng minh ba điểm O , J , P thẳng hàng.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 85
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O )′ cắt nhau tại hai điểm A và B . Gọi I là trung điểm của
OO′ , gọi C là điểm đối xứng với A qua I . Chứng minh: a) BC ⊥ AB .
b) AOCO′ là hình bình hành. c) OO B
′ C là hình thang cân.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O )′ tiếp xúc nhau tại A ( A nằm giữa O và O′ ). Một đường
thẳng đi qua A cắt (O) tại B , cắt (O )′ tại C . Vẽ tiếp tuyến Bx tại B của (O) , vẽ tiếp tuyến Cy
tại C của (O )′ . Chứng minh Bx  Cy .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 86
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho hai đường tròn ( ;
O 15 cm) và (O ;′13 cm) cắt nhau tại hai điểm ,
A B sao cho O và O′
nằm khác phía đối với AB . Biết AB = 24 cm. Tính độ dài OO′ .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 87
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT ---
Bài 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (TT)
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm
Hệ thức giữa OO ' với Số tiếp tuyến
(O;R) và (O ';r )(R > r ) chung
R và r chung
Hai đường tròn cắt nhau. 2
R −r <OO ' < R + r 2
Hai đường tròn tiếp xúc nhau 1  Tiếp xúc ngoài.
OO ' = R + r 1  Tiếp xúc trong.
OO ' = R −r
Hai đường tròn không giao nhau. 0  Ngoài nhau.
OO ' > R + r 4  Đựng nhau.
OO ' < R −r 0  Đồng tâm. OO ' = 0 0
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
 Vận dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường tròn ở phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Điền vào ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn ( ;
O R) và (O ;′r) có OO′ = d,R > r .
Vị trí tương đối của hai Số điểm chung
Hệ thức liên hệ giữa Số tiếp tuyến chung đường tròn d, R,r Đựng nhau
d = R + r Tiếp xúc trong Ngoài nhau Cắt nhau
Ví dụ 2. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (…):
a) Tâm của đường tròn có bán kính bằng 2 cm tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ;
O 3 cm) nằm trên ...
...............................................................................................................................................................
b) Tâm của đường tròn có bán kính bằng 5 cm tiếp xúc trong với đường tròn ( ;8 O cm) nằm trên …
...............................................................................................................................................................
Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau
 Vận dụng tính chất đường nối tâm, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; tính chất tiếp tuyến
chung của hai đường tròn; hệ thực lượng trong tam giác vuông… ĐT: 0344 083 670 88
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O) và (O )′ tiếp xúc ngoài tại A . Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài
của hai đường tròn với M ∈(O) và N ∈(O )′ . a) Tính số đo  MAN .
b) Tính độ dài MN biết OA = 9 cm; O A ′ = 4 cm.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Cho đường tròn ( ; O )
OA và đường tròn tâm I có đường kính . OA
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở M . Chứng minh AM = . MD
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường tròn ( ;
O 9 cm) và (O ;′3 cm) tiếp xúc ngoài tại .
A Vẽ hai bán kính OB và O C ′
song song với nhau và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ OO′ . a) Tính số đo của  BAC. ĐT: 0344 083 670 89
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
b) Gọi I là giao điểm của BC và OO′ . Tính độ dài OI .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Cho đường tròn ( ;
O R ) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn (R < OM < 3R). Vẽ đường tròn (M ;2R) .
a) Hai đường tròn (O) và (M ) có vị trí tướng đối như thế nào với nhau?
b) Gọi K là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính KOH của đường tròn (O) .
Chứng minh NH = NM.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D là hình chiếu của H trên AB, E là hình
chiếu của H trên AC. Gọi (O ) là tâm đường tròn kính HB , (O′ ) là tâm đường tròn đường kính HC. Chứng mình:
a) Điểm D thuộc đường tròn (O), điểm E thuộc đường tròn (O )′ ;
b) Hai đường tròn (O) và (O )′ tiếp xúc ngoài;
c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; ĐT: 0344 083 670 90
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc d) AH = DE ;
e) DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O )′ ;
f) Diện tích của tứ giác DEOO′ bằng nửa diện tích của tam giác ABC.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O )′ tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB , AO C ′ . Gọi
DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D∈(O) và E ∈(O )′ . Gọi M là giao điểm của BD và CE. a) Tính số đo của  DAE.
b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 91
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho hai đường tròn đồng tâm O . Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D
. Chứng minh AC = BD .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 92
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT ---
Bài. ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Xem lại kiến thức trọng tâm từ bài 1 đến bài 8.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: [TS10 Cần Thơ, 2018-2019]
Cho hai đường tròn (I;2 cm) và (J;3 cm) tiếp xúc ngoài
nhau (như hình bên dưới). Độ dài đoạn nối IJ bằng A. 1 cm. B. 5 cm. C. 10 cm. D. 13 cm.
Câu 2: [TS10 Phú Yên, 2018-2019]
Cho đường tròn tâm O đường kính 10 cm. Gọi H là trung điểm
của dây AB (hình bên). Tính độ dài đoạn OH , biết AB = 6 cm. A. OH = 4 cm. B. OH = 8 cm. C. OH =16 cm. D. OH = 64 cm.
Câu 3: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho đường tròng (O ; 2 cm), hai điểm A , B thuộc đường tròn và sđ  AB = 60°. Độ dài
d của dây cung AB là bao nhiêu? A. d = 2 cm. B. d = 4 cm. C. d = 5cm. D. d = 3cm.
Câu 4: [TS10 Phú Thọ, 2018-2019]
Cho đường tròn tâm I , bán kính R = 5 cm và dây cung AB = 6 cm. Tính khoảng cách d
từ I tới đường thẳng AB . A. d = 4 cm. B. d = 34 cm. C. d = 2 cm. D. d =1 cm.
Câu 5: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho đường tròn (O,5 cm) và dây cung AB = 8 cm . Tính khoảng cách d từ tâm O đến dây cung AB . A. d = 3 cm . B. d = 6 cm . C. d = 4 cm . D. d = 5 cm .
Câu 6: [TS10 Yên Bái, 2018-2019] ĐT: 0344 083 670 93
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc Cho đường tròn ( ;
O 15cm) , dây AB = 24 cm . Một tiếp tuyến của đường tròn song song
với AB cắt các tia OA, OB theo thứ tự ở E , F . Tính độ dài EF . A. EF = 40 cm . B. EF = 38 cm . C. EF = 36 cm . D. EF = 42 cm .
Câu 7: [TS10 Cần Thơ, 2018-2019]
Trong một đường tròn, xét các khẳng định sau:
(I): Đường kính là dây cung lớn nhất.
(II): Dây nhỏ hơn thì gần tâm hơn.
(III): Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
(IV): Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Số khẳng định đúng là A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3.
Câu 8: [TS10 Hưng Yên, 2018-2019] Có hai đường tròn ( ;4
O cm) và đường tròn (I;2 cm), biết OI = 6 cm. Số tiếp tuyến
chung của hai đường tròn đó là A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1.
Câu 9: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O′ ;3cm) có OO′ = 5cm. Hai đường tròn trên cắt nhau
tại A và B . Tính độ dài AB . A. AB = 3,2cm. B. AB = 4,8cm. C. AB = 2,4 cm. D. AB = 3,6 cm.
Câu 10: [TS10 Hưng Yên, 2018-2019]
Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán
kính 1m , người ta cắt ra một hình chữ nhật (phần tô đậm như hình vẽ).
Phần hình chữ nhật có diện tích lớn nhật có thể cắt được là A. 2 1,6m . B. 2 0,5m . C. 2 1m . D. 2 2m .
Câu 11: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho tam giác ABC , biết B = 60°, AB = 6 cm, BC = 4cm. Tính độ dài cạnh AC . A. AC = 2 7 cm. B. AC = 52 cm. C. AC = 4 5 cm. D. AC = 2 3 cm.
Câu 12: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 4 cm . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By ( Ax ,
By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm bất
kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax , By theo thứ tự ở D , C . Tính diện
tích của hình thang ABCD , biết chu vi của nó bằng 14 cm . ĐT: 0344 083 670 94
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc A. S = 20 2 cm . B. S =10 2 cm . C. S =12 2 cm . D. S =16 2 cm .
Câu 13: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho tam giác ABC có AB = 20 cm, BC =12 cm, CA =16 cm. Tính chu vi của đường
tròn nội tiếp tam giác đã cho A. 16π cm. B. 20π cm. C. 13π cm. D. 8π cm.
Câu 14: [TS10 Phú Yên, 2018-2019]
Cho đường tròn (O,6 cm) và đường tròn (O ,′5 cm)
có đoạn nối tâm OO′ = 8 cm. Biết đường tròn (O) và
(O )′ cắt OO′ lần lượt tại N , M (hình bên). Tính độ dài MN . A. MN = 4 cm. B. MN = 3 cm. C. MN = 2 cm. D. MN =1 cm.
Câu 15: [TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính độ dài
dây cung chung CF của đường tròn đường kính BE và đường tròn đường kính CD . A. a a a CF = a . B. 2 5 CF = . C. 2 3 CF = . D. 5 CF = . 5 3 5 II. TỰ LUẬN
Bài 1. Cho nửa đường tròn ( ;
O R) đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường
tròn vẽ các tiếp tuyến Ax , By . Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A , B ). Tiếp tuyến
tại M của (O) cắt Ax , By lần lượt tại C , D .
a) Chứng minh CD = AC + BD . b) Tính số đo góc  COD . c) Chứng minh 2
AC ⋅ BD = R .
d) Vẽ đường tròn tâm I , đường kính CD . Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 95
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 2. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB ,
AC với (O) ( B , C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh A , B , O , C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
c) Biết OA =10 cm, OB = 6 cm. Tính độ dài đoạn BC .
d) Đường tròn (O) cắt đoạn OA tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 96
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 3. Cho hai đường tròn ( ;
O R) và (O ;′ R )′ tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC
(B∈(O),C ∈(O ))
′ với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung tại A của (O) và (O )′ cắt BC tại M .
a) Chứng minh MA = MB = MC và  BAC 90° = . b) Tính số đo của  OMO′ .
c) Chứng minh OO′ tiếp xúc với đường tròn đường kính BC .
d) Biết R = 9 cm, R′ = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 97
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 4. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R . Điểm C nằm trên đường tròn (C khác A ,
B ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Vẽ đường tròn tâm I đường kính HA và
đường tròn tâm K đường kính HB . CA cắt (I) tại M (khác A ), CB cắt (K) tại N (khác B ).
a) Tứ giác CMHN là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của (I) và (K) .
c) Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN . d) Biết R
HA = . Tính diện tích tứ giác IMNK theo R . 2
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 98
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R . Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường
tròn, kẻ tiếp tuyến Ax . Điểm C nằm trên nửa đường tròn sao cho AC = R .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC .
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt Ax tại D . Chứng minh OD song song với BC .
c) Tia BC cắt Ax tại E . Chứng minh DE = DA .
d) Kẻ CH ⊥ AB với H thuộc AB , BD cắt CH tại I . Chứng minh I là trung điểm của CH .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 99
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 6. Cho đường tròn ( ;
O R) đường kính AB . Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến d và d′ với
(O) . Đường thẳng ∆ thay đổi qua O cắt d tại M và cắt d′ tại P . Từ O vẽ một tia vuông góc với
MP cắt d′ tại N .
a) Chứng minh OM = OP và tam giác MNP cân.
b) Gọi I là hình chiếu vuông góc của O lên MN . Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
c) Chứng minh MN = AM + BN .
d) Chứng minh AM ⋅ BN không đổi khi đường thẳng ∆ quay quanh O .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 100
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 7. Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB và điểm C là một điểm nằm trên (O) (C khác
A , B ). Tia phân giác của 
ABC cắt AC tại K và cắt (O) tại I ( I khác B ). Gọi D là giao điểm
của AI và BC .
a) Chứng minh tam giác ABD cân.
b) Chứng minh DK vuông góc với AB .
c) Gọi E là điểm đối xứng của K qua I . Tứ giác AEDK là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh EA là tiếp tuyến của (O) .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 101
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
Bài 8. Cho hai đường tròn ( ;
O R) và (O ;′ R )′ tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC
(B∈(O),C ∈(O ))
′ với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung ngoài tại A của (O) và (O )′ cắt BC tại D . a) Chứng minh ODO  ′ là tam giác vuông.
b) Gọi E là giao điểm của OD và AB , gọi F là giao điểm của O D
′ và AC . Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh BC tiếp xúc với đường tròn đường kính OO′ .
d) Chứng minh BC = 2 R ⋅ R′ .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐT: 0344 083 670 102
Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9
Taøi lieäu daïy hoïc
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................... --- HẾT --- ĐT: 0344 083 670 103
Toång hôïp: Thaày Hoùa

Vở bài tập Toán 9 tập 1 phần Hình học

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Đề cương giữa kì 1 Toán 9 năm 2024 – 2025 trường THCS Cự Khối – Hà Nội

Đề cương giữa kì 1 Toán 9 năm 2024 – 2025 trường THCS Văn Quán – Hà Nội

Ôn tập giữa kỳ 1 Toán 9 năm 2024 – 2025 trường THCS Đô Thị Việt Hưng – Hà Nội

Đề cương giữa học kì 1 Toán 9 năm 2024 – 2025 trường THCS Độc Lập – Thái Nguyên

Đề cương giữa học kì 1 Toán 9 năm 2024 – 2025 trường THCS Trần Đại Nghĩa – BR VT