0506 - Bài tập Khai triển Taylor và Maclaurin[Lời giải + Đáp án]

Học online tại: https://tcc.mapuni.vn BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I
CHƯƠNG V: CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI VÀ ÁP DỤNG
KHAI TRIỂN TAYLOR – KHAI TRIỂN MACLAURIN
Bài 1: Khai triển Px  x3  x 1 theo luỹ thừa nguyên dương của x1.
Hướng dẫn giải
Có Px  3x2 1,Px  6x,P x  6 . Vậy P1 P 1 P 1
Px  P1  x 1 (x 1)2  (x 1)3 1! 2! 3!
 1 4 x 1  6 (x 1)2  6 (x 1)3 1! 2! 3!
 1 4x 1  3(x 1)2  (x 1)3
Bài 2: Khai triển đa thức Px  x5  x3  3x2 1 theo luỹ thừa nguyên dương của x1.
Hướng dẫn giải
P x  x5  x3  3x2  1  P1  0  
 Px  5x4  3x2  6x
 P1  2
 Px  20x3 6x6  P 1  20   +) Có: 
P x  60x2 6
  P 166   
P4 x  120x
P4 1  120    
P5 x  120 
P5 1  120 2 20 66 120 120
Vậy: Px  x 1 
(x 1)2  (x 1)3  (x 1)4  (x 1)5 1! 2! 3! 4! 5!
 2x 1  10(x 1)2 11(x 1)3  5(x 1)4 (x 1)5.
Thầy Phạm Ngọc Lam 1 Trường
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
Thầy Phạm Ngọc Lam 2 Trường
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
Bài 3: Khai triển Taylor đến cấp 2 tại điểm x  1 với phần dư dạng peano của hàm số 2
f x  arcsinx .
Hướng dẫn giải  1  1 
Có f    arcsin   2  2 6
và f x  1
 f  1 
   2 và f x  x
 f   1     4 . 1 x2  2  3
1 x23  2  3 3  2 2 2  2  Vậy f x     
(x 1)  o 6 x 1  3 3
(x 1)  . 3
Bài 4: Khai triển Taylor đến cấp 5 tại điểm x  1 với phần dư dạng peano của hàm số
f x  (x 1)3arccosx 1.
Hướng dẫn giải
Ta khai triển Taylor đến cấp 2 tại điểm x  1 với phần dư dạng peano của hàm số
gx  arccosx 1.
Có g1  arccos0   và gx 1 1    
 g1  1 và 2
1(x 1)2 2x  x2  g 1 x x 
 g1  0 . Suy ra gx  x1o 2
(x1)2 .
2x  x2 3 
Vậy f x  (x1)3gx  (x 1)3 (x 1)4  o 2
(x 1)5  .
Bài 5: Khai triển Taylor theo các luỹ thừa của x 1 đến bậc ba của hàm số
a) f x  3 x  7
Thầy Phạm Ngọc Lam 3 Trường
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn 1
b) f x  x
c) f x  xx 1
d) f x  ln1 x  x2
Hướng dẫn giải a) Ta có:
f 1  2 2
f x  1 (x  
7) 3  f  1    1 3 12
f x   2  5
(x 7) 3  f  1     1 9 144 8
f x  10 (x  
7) 3  f  1    5 27 3456 1 1 5
Vậy f x  2 x 1  (x 1)2 
(x 1)3  o (x 1)3 .   12 288 20736 b) Ta có:
f x 1 
 f 1  1 x 3
f x   1 x2  f 1   1 2 2
f x 3 3
 x 52  f 1  4 4 7
f  x   15 x2  f 1   15 8 8 1 3 5
Vậy f x  1 x 1  (x 1)2  (x 1)3  o (x 1)3 .   2 8 16 c) Ta có:
Thầy Phạm Ngọc Lam 4 Trường
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
f x  xx 1 f 1  0
f x  exlnx 1 f x  lnx 1exlnx  f 1  1
f x  1 exlnx (lnx 1)2exlnx  f 1  2 x
f x   1 exlnx  1 lnx 1exlnx  2 lnx 1exlnx (lnx 1)3exlnx  f  1  3 x2 x x
Vậy f x  x 1(x1)2  1(x1)3  o 2
(x 1)3. d) Ta có:
f x  ln1 x  x2  f 1  0
f x  2x  1  f 1  1
x2  x  1
f x  2x2  2x 1  f 1 1
x2  x12
22x 1x2  x  2 f   x   f    1  
x2 x1 4 3
(x  1)2 2(x 1)3   3
Vậy f x  x 1    o (x 1) .   2 3
Bài 6: Viết công thức Maclaurin của các hàm:
a) f x  tanx đến ox6 
b) f x  esinx đến ox3
c) f x  exln1 x đến ox4 
d) f x  cos3x đến ox2n1   x  5 e) f x  đến ox3 x2  1   x2  5 f) f x 
đến oxn 
x2  x 12
g) f x  xln1 tdt đến ox4  0
Thầy Phạm Ngọc Lam 5 Trường
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
h) f x  etanx đến ox5 
i) f x  lnx  1x1đến ox4 
Hướng dẫn giải
a) Ta chuyển về các khai triển cơ bản:
tanx  sin x. 1  sin x. 1 cosx
1 1 cosx  sinx x3 x5  x    ox6  3! 5! 1 1 5
 1 1 cosx  1 cosx2  ox6   1 x2 
x4  ox5 
1 1cosx 2 24
Từ đây tổng hợp được. b)
f x  esinx  f 0  1
f x  cosxesinx  f 0   1
f x  sinxesinx  cos2xesinx  f 0  1
f x  cosxesinx  sinxcosxesinx  2cosxsinxesinx  cos3xesinx  f  0  0
Vậy f x  1 x  x2  ox3. 2  x2
ex  1 x   ox2   2   2  4 2  2 c) 
 ex.ln(1 x)  1 x  x . x  x   ox2    x  x  x  ox2 
ln(1 x)  x x2  ox2  2   2  2 2  2 d) f x 1 3
 cos3x  cos3x  cosx 4 4  1  (3x)2 (3x)4 (1)n(3x)2n  2n 3  x2 x4 (1)nx2n  1  
 ox   1    ox  2n  4  2! 4! 2n!  4  2! 4! 2n!  7  3 2 4 n 9n  3 2n 2n
1 x  x  (1)
x  ox . 2 8
42n!
Thầy Phạm Ngọc Lam 6 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
e) Bài này táchnhư sau: x5 x  5 3 2   
1 x2 1 x1  x 1 x 1 x
Mà: 3  31 x x2  x3  ox3  1 x
2  21xx2 x3 ox3 1 x
 f x 5  x  5x2  x3  ox3 x2  5 2 3 2 1 3 1
f) Có f x   1   1 
x2  x  12
x  3 x  4 3 x 1 4  1 x 3 4
2   x   x   x   2 n 3 
 x   x 2  x n
 1 1      (1)n    oxn   1      (1)n    o( xn) 3
 3   3   3 
 4   4   4   4     5 5 209
 2 1 3 1 n     x 
x2  (1)n  n
      xn  oxn  12 144 1728
 3 3 4  4    
g) f x  xln1 tdt 0
f 0  0
f x  ln1 x  f 0   0 f x 1 
 f 0  1 1 x
f  x   1
 f  0  1 (1 x)2
f 4 x  2
 f 4 0  2 (1 x)3 1 1 1
Vậy f x  x2  x3  x4  ox4 . 2 6 12
h) Tương tự trên, thay khai triển của tanx vào khai triển của ex ta có
f x  1 x  x2  x3  3x4  ox5  . 2 2 8
i) f x  lnx 1x1
Thầy Phạm Ngọc Lam 7 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
Thầy Phạm Ngọc Lam 8 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn  x2 x3  x2 x3
Đưa về đạo hàm cơ bản: f 'x  x  1ln1 x  x 1 x  
 o x3   x    o x3   2 3  2 6
Từ đó lấy nguyên hàm 2 vế tìm ra f x
Bài 7: Khai triển theo công thức Taylor các hàm sau tại lân cận các điểm tương ứng:   3x  3 a) f x 
,x  1 đến o x  1n 
3 2x  x2 0
b) f x  ln2x  x2  3, x  2 đến o 0
x2n
Hướng dẫn giải
Tách bậc hai thành nhân tử rồi đưa về hàm cơ bản 1 
a) f x  3x 1 1  3 
x 11 x12 2 
4  x  12 2  4  
b) ln2x  x2  3  lnx 13 x  ln1x  2 ln31 x  2  3   
Bài 8: Tính các giới hạn ex  1
1 1 x2cosx a) lim 1 x c) lim
x0 x tanx  sinx x0 x2 x 1
e  sinx  cosx b) lim
 2tanx 1cosx d) lim x   0 x2
x0  x sinx 
Hướng dẫn giải x 1
e  1 x
ex 1 x  1
ex 1 x  1
ex 1 x  ex 1 a) lim  x0  2 lim (Lopitan khá x x0
x2 1 x  lim  lim x0 x2 x0 2x 2 nhanh sau khi làm gọn)
Cách 2: (khai triển hữu hạn) 1 
 1 x  x2  ox ;ex  1 x  x  o  
  x      1 2 2 x2 TuSo o x2 lim 1 x 2 2 2
ex  sinx  cosx
ex  sinx cosx
ex  cosx  sin(x b) lim  lim  lim  1 x0 x2 x0 2x x0 2
Thầy Phạm Ngọc Lam 9 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn   x2  1
1 x2  1
 ox2 
1 1 x2cosx  2  c) lim = lim
x0 x tgxsinx x0  x3 x3 3  x x   x   ox   3 3!  x2
1 1 x2  1 x2 2 = lim 2   lim
6  6 1 x2 3x 1 x2 x0 x0 x4  1  x4 1/ 3  3!    x2 x4   1  6 6  1 
 o x4   3x2 1 x2  o(x2) = lim  2 8   2   3/ 2 x0 x4 2tanx  1 
1cosx
 2tanx   2x  d) 2 I  lim  lim 1 ln  lim ln x0 
x0 1  cosx  x0
 x  sinx    x  sin  x   x2 x  sin  x    ln 2x  x  sinx   lim 2   x0 x2  ' 2x L
 x  sinx   
limx0 2   2x2x
 x  sinx 
 2x  sinx  2x1 cosx     lim 2 
(x  sinx)2  x0  4x2  
x  sinx 
2x  2sinx  2x  2cos x x  lim 2 x0
4x2 x  sinx
sinx  xcosx
 limx0 x2xsinx x3 x5  x2 x4  x    x 1 
 ox4   lim 3! 5!   x0  2! 4! x5   16
x5  x2  x 
 ox3   3! 
 I  e1/6  6 e
Thầy Phạm Ngọc Lam 10 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
Bài 9: Tính đạo hàm cấp cao y10 0 với
a) yx  ex2
b) y x  ln1 x  x2 
Hướng dẫn giải
a) y  ex2 , tính y10 0 . t t2 t3 t4
Ta có khai triển Maclaurin: et  1   
 t5  ot5 . 1! 2! 3! 4! 5!
Vì limx2  0 , ta thay t bởi x2 , ta có khai triển Maclaurin của: x0
x2 2 x2 3 x2 4 x2 5 2
y  ex2  1 x    
 o x25 1! 2! 3! 4! 5!
 1 x2  x4  x6  x8  x10  ox10  1! 2! 3! 4! 5! 1
y10 0 10!
Hệ số của x10 trong khai triển trên là 
 y10 0   30240 . 5! 10! 5!
x2 x2 x2 x3 x2 x4 x2 x5
b) ln 1x2  x x2  x     0 x10  2 3 4 5 C0
 y(10)  10!. 55
Bài 10: Khai triển Mac - Laurin của hàm số f x  x3 1ex3 từ đó tính đạo hàm f 2019 0.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức ex  1 x  x2  x3  xn  oxn ta có 1! 2! 3! n!
f x  x3 1ex3  x3ex3  ex3  x3 x6 x9 x3n3   x3 x6 x9 x3n 
 x3 1   
 o x3n3   1   
 o x3n   1! 2! 3!
n 1!   1! 2! 3!
n 1!  
 1 2x3  3 x6  2 x9  1
 1  x3n  ox3n  2 3
 n 1! n!   
f 3n 0 1 1  1 1  Do đó  
 f 2019 0  2019!   .
3n! n 1! n!  672! 673! 
Bài 11: Khai triển Mac - Laurin của hàm số f x  ln1 x2  từ đó tính f 2020 0 .
Thầy Phạm Ngọc Lam 11 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn
Hướng dẫn giải x2 x3
(1)n1xn
Áp dụng công thức: ln1 x  x    o xn . 2 3 n Do đó x4 x6
(1)n1 x2n
f 2n 0 (1)n1 2020!
f x  ln1 x2   x2   
 ox2n   
 f 2020 0   2 3 n 2n! n 1010
Bài 12: Dùng khai triển Mac - laurin của hàm số f x  arcsinx tính f 21 0 .
Hướng dẫn giải Áp dụng công thức:    1
   1  n 1
(1 x)  1 x  x2 
xn  oxn  . 1! 2! n! Ta có: 1 1  f x   1  x2  x2 
2 1  1  1 x2  1  1  1   2  1  1  1   1 . .
 9 x2 10 1 x2 1! 2 2! 2  2  10! 2  2  
Do đó f 21 
 0  f  x 20 0  20! 1 10!  1 
2  121    1   2 
 9  20!19!! 21010! .     
Trong đó 19 !!  1 3 57 91113151719 .
Bài 13: Tìm a,b sao cho
ax2  blncosx a) lim  1 x0 x4
ax  bsinsinx b) lim  1 x x3 0
Hướng dẫn giải  x2 x4  4  b  2
ax  b. 
  ox  2! 4! a   0 a  12 a) Ta có: lim      2   x0 x4  b  1 b  24 4!
Thầy Phạm Ngọc Lam 12 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn  x3 
ax  b x   ox3 
a  b  0 a  6 b) Ta có: lim  3!    1 b   x0 x3   1 3! b  6
Bài 14: Cho f : 
là hàm khả vi với đạo hàm cấp 2 dương.
Chứng minh rằng f x  f x  f x với mọi số thực x .
Hướng dẫn giải
Khai triển Taylor tại x  x ta được: 0
f   x
f x  f x  f x  f xx  f x  x 
x  fx x2 2
f   x
Suy ra f x  f x  f x   f x2 
 fx2 0 2
Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Bài 15: Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn
f 0  f 1 và f x  A,x0;1 . A
Chứng minh rằng fx  ,x 2 0;1.
Hướng dẫn giải
Khai triển Taylor với phần dư dạng lagrange có: f  a
f 0  f x  f x  f x0  x  (0  x)2 2 f  b
f 1  f x  f x1  x  (1 x)2 2
Với a là số thực nằm giữa 0 và x; b là số thực nằm giữa 1 và x . f  a f  b
Kết hợp giả thiết có f x  x2  (1 x)2 và 2 2
Thầy Phạm Ngọc Lam 13 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Học online tại: https://tcc.mapuni.vn f a f b f a f b f x  x2  (1 x)2  x2  (1 x)2 2 2 2 2
 Ax2  A(1 x)2  A  2   2x 2x   A 1 2x  x   1
  A    1 , x 2 2 2 2 2 0;1
Bài 16: Cho f : 0,1  là hàm khả vi 2 lần so cho với mọi x0,1 thì fx  1. Chứng minh  1  1
rằng: f 0  2 f   f 1   2  4
Hướng dẫn giải  1  1
Để ý đến đại lượng f 0 , f 1 và 2f   điều này làm ta suy nghĩ đến khai triển Tayor tại x  . 0  2  2
Khai triển Taylor ta được
f 0  f  1   1 f  1  1 f x ,x 0, 1
 2 2  2 8 1 1  2       và
f 1  f  1   1 f  1  1 f x ,x  1 ,1
 2 2  2 8 2 2  2       
cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được
f 0  2 f  1   f 1  1  f x  f x    1 . 2  8 1 2 4  
Bài toán được chứng minh. max
f  x  8a  b
x0,1 HẾT
Thầy Phạm Ngọc Lam 14 Trường
Downloaded by Nguyen Linh (vjt11@gmail.com)
Document Outline