








































Preview text:
Luyện tập VECTƠ Chủ đề:
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa góc giữa hai vectơ A B u O v
Cho hai vectơ u và v khác vectơ 0 . Từ một điểm O tuỳ ý, vẽ các vec tơ OA u và OB v . Khi đó
số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ u, v , kí hiệu là u, v . Chú ý
Quy ước rằng góc giữa hai vectơ u và 0 có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0 đến 180 .
Nếu u, v 90 thì ta nói rằng u và v vuông góc với nhau, kí hiệu là u v hoặc v u.
Đặc biệt: Vectơ 0 vuông góc với mọi vectơ.
2. Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u và v là một số, kí hiệu là .
u v được xác định bởi
công thức sau: u.v u . v .cos u,v . Chú ý
u v u.v 0 2 Tích .
u u còn được viết là u và được gọi là bình phương vô hướng của u. 2 Ta có 2
u u . u .cos 0 u .
3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ u ( ;
x y) và v(x ; y ) được tính theo công thức: u.v .
x x u.u Nhận xét
Hai vectơ u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi . x x . y y 0.
Bình phương vô hướng của vectơ u( ; x y) là 2 2 2
u x y . u.v xx yy u v
Nếu u 0 và v 0 thì cos , 2 2 2 2 u . v
x y . x y Tính chất
Với ba vectơ u, v, w bất kì và mọi số thực k ta có: . u v .
v u ( tính chất giao hoán); .
u v w . u v .
u w ( Tính chất phân phối đối với phép cộng);
ku.vk .uv .ukv .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: GÓC GIỮA HAI VECTO Câu 1.
Cho tam giác ABC như hình vẽ.
Xác định góc AB, AC . A. 45 . B. 120 . C. 15 . D. 165 . Câu 2.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 3.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và BC bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 4.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và CB bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 5.
Cho hình bình hành ABCD . Góc giữa 2 vectơ AB và BC là A. BAC . B. ADC . C. BAD . D. ABC . Câu 6.
Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC 100 . Số đo góc giữa hai véctơ AB và BC là A. 140 . B. 80 . C. 40 . D. 100 . 1 Câu 7.
Cho hai vectơ a ; b khác vectơ 0 thỏa mãn . a b
a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a ; b bằn 2 A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 8.
Cho hai vec tơ a và b biết a 6, b 12 và a b 10 . Khi đó, cosin của góc giữa hai vectơ
a và a b bằng 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 18 3 15 15 Câu 9.
Cho hai vecto a , b sao cho a 2 , b 2 và hai vectơ x a b , y 2a b vuông góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b . A. 120 . B. 60 . C. 90 . D. 30 .
Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG
Câu 10. Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích vô hướng của hai vectơ a ,b cùng khác 0 ? A. .
a b a .b.cos a ,b . B. .
a b a . b .cos a ,b . C. .
a b a . b .sin a ,b . D. .
a b a . b .
Câu 11. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2 2 A. .
a b a . b .cos a,b.
B. a . b . a b . 2 2 2 1 2 2 C. . a b
a b a b .
D. a a . 2
Câu 12. Cho hai véctơ a, b khác véctơ-không thỏa mãn a.b a . b . Khi đó, góc giữa hai vectơ a, b bằng A. 45 . B. 0 . C. 180 . D. 90 .
Câu 13. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? 2 2 2 1 2 2 2 1 A. . a b
a.b a b . B. . a b
a b a b 2 . . 2 2 2 1 2 2 1 C. . a b
a.b ab . D. . a b
a b a b 4 . . 2
Câu 14. Cho a 3 , b 5 , a b o ,
45 . Tích vô hướng của a và b bằng 15 15 3 15 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 15. Cho hai vectơ a và b . Biết a 2, b 3 và a,b 30 . Tính a b . A. 11 . B. 13 . C. 12 . D. 14 .
Câu 16. Cho a, b có a 4; b 5. và a.b 10. Tính cos a;b . A. a b 3 cos ; . B. a b 2 cos ; . C. a b 1 cos ; . D. a b 1 cos ; . 2 2 2 2
Câu 17. Cho hai véctơ a,b thỏa mãn: a 4; b 3; a b 4 . Gọi là góc giữa hai véctơ a,b . Khẳng
định nào dưới đây đúng? 1 3 A. 0 60 . B. 0 30 . C. cos . D. cos . 3 8
Câu 18. Cho tam giác ABC có ABC 30 ,
AB 5, BC 8. Tính B . A BC . A. 20. B. 20 3. C. 20 2. D. 40 3.
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a . Khi đó A . B AC bằng 2 A. 2 4a . B. 2 a 2 . C. 2 a . D. 2 a . 2
Câu 20. Cho tam giác vuông cân ABC có AB AC a . Tính A . B AC. 2 a 2 a 3 A. 2 a . B. . C. 0 . D. . 2 2
Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB a, BC 2a . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a 3 . D. 2 a . 2
Câu 22. Cho tam giác ABC vuông cân tại , A có AB .
a Tích vô hướng B . A BC bằng 2 a 2 a A. 2 a . B. . C. . D. 2 a . 2 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 23. Cho tam giác ABC có 0 ˆ A 90 , 0
ˆB 60 và AB a . Khi đó, AC.CB bằng A. 2 2a . B. 2 2a . C. 2 3a . D. 2 3a .
Câu 24. Cho ABC vuông cân tại A , cạnh AB 5 . Tích vô hướng BC.BA bằng A. 5 2 . B. 25 . C. 20 . D. 20 .
Câu 25. Góc tạo bởi m và n là 90 và m 2021, n 2022 . Khi đó, . m n bằng A. 4086462 . B. 0 . C. 4086462 . D. 1.
Câu 26. Cho hai véc tơ a , b thỏa mãn a 3, b 4 và (a,b) 60 . Tích vô hướng . a b bằng A. 6 . B. 6 3 . C. 12 . D. 4 3 .
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , BC 1 , BAD 60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1 . B. 1. C. . D. . 2 2
Câu 28. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ;
a AC a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vô hướng B . A AM . 2 a 2 a A. . B. 2 a . C. 2 a . D. . 2 2
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1 . B. 1. C. . D. . 2 2
Câu 30. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 1 A. 1 . B. C. 1 . D. . 2 2
Câu 31. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Độ dài đường chéo AC bằng 7 A. 5 . B. 7 . C. 5 . D. . 2
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Độ dài đường chéo BD bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 .
Câu 33. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3, gọi E là điểm đối xứng của D qua C . Giá trị AE.CD bằng A. 18 . B. 9 3 . C. 9 5 . D. 18 .
Câu 34. Cho hình bình hành ABCD có AB 2a, AD 3a, BAD 60 . Điểm K thuộc AD thỏa mãn
AK 2DK . Tính tích vô hướng BK.AC A. 2 3a . B. 2 6a . C. 0 . D. 2 a .
Câu 35. Cho hình vuông ABCD cạnh 5 . Khi đó, A . B AC bằng 25 2 25 A. 25. B. 25 2. C. . D. . 2 2
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính A . B AC. 2 3 2 A. . a AB AC . B. . a AB AC . C. 2 . AB AC a . D. 2 . AB AC 2a . 2 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 37. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a , M là trung điểm của cạnh CD . Chọn khẳng định đúng. 2 a
A. AM .DC .
B. AM .DC 0 . C. 2
AM .DC a . D. 2
AM .DC 2a . 2
Câu 38. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 10 . Tính giá trị A . B CD . A. 100 . B. 10 . C. 0 . D. 100 . 1
Câu 39. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn BM BC . Tính 2 BM .BA .
A. BM .BA 4 .
B. BM .BA 4 .
C. BM .BA 4 3 .
D. BM .BA 4 3 .
Câu 40. Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Tính AC.BD . A. 2
AC.BD 2a .
B. AC.BD 0 .
C. AC.BD 0 . D. 2
AC.BD 2a .
Câu 41. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G và độ dài cạnh bằng a . Tính A . B AG. 2 a 3 2 3a 2 a 3 2 a A. . B. . C. . D. . 6 4 4 2
Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính AC AC AB. 2 a 2 2 a 3 2 a 2 a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 43. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng a 2 và ABD 60 . Gọi I là điểm thỏa mãn
2IC ID 0 . Tính tích vô hướng A . O BI . 2 a 2 2 a 3 2 a A. . B. . C. .
D. u 2; 3 2 2 2
Câu 44. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3; AC 4 . Trên đoạn thẳng BC lấy điểm M sao
cho MB 2MC . Tính tích vô hướng AM .BC . 23 41 A. . B. . C. 8 . D. 23 . 3 3
Câu 45. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 5. Tính AB AC.BC BD BA. A. 10 2 . B. 50 . C. 0 . D. 75 .
Câu 46. Cho hai vectơ a và b có a
4 , b 5 và a b 0 ,
120 . Tính a b . A. 21 . B. 21 . C. 41 . D. 41 .
Dạng 3: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Câu 47. Cho hai vectơ u 2; 1 , v 3
;4 . Tích u.v bằng A. 11. B. 10. C. 5.
D. 2.
Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a (1; 4) , b ( 1
;3) . Khi đó giá trị tích vô hướng của hai
véctơ a và b là A. 12 . B. 11. C. 0. D. 11.
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u i 3j và v 2j 2i . Tính . u v . A. . u v 4 . B. . u v 4 . C. . u v 2 . D. . u v 2 .
Câu 50. Cho A0; 3 ; B4;0 ; C 2 ; 5 . Tính A . B BC .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A. 16 . B. 9 . C. 10 . D. 9.
Câu 51. Cho u 2; 3
. Với giá trị nào của m thì v 3;
m vuông góc với u ?
A. m 1.
B. m 2 .
C. m 1.
D. m 2 .
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các vectơ a 1; 3 , b 2;5 . Tính tích vô hướng của . a b . A. 7 . B. 13 . C. 17 . D. 13 .
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a 2; 5 và b m; m 2 . Tìm m biết a và b vuông góc. 10 10 10 10 A. m .
B. m .
C. m . D. m . 3 3 7 7
Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a (1; 4) ; b (4;0). Khi đó, cosin góc giữa hai vecto a và b là 17 17 A. . B. . C. 0. D. 2. 17 17
Câu 55. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a 2; 1 và b 2; 4
. Khi đó góc giữa hai vectơ a và b bằng A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 .
Câu 56. Cho hai vectơ a 3
;1 , b 3; 3. Góc giữa hai vectơ a và b bằng A. 15 . B. 30 . C. 45 . D. 60 .
Câu 57. Trong mặt phẳng Oxy , cho A1; 2, B 4
;1 , C 5; 4 . Tính góc BAC. A. 45 . B. 90 . C. 30 . D. 60 .
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết (
A 1; 2) , B(4;1) , C(5; 4) . Tính góc A của tam giác ABC . A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 120 .
Câu 59. Tam giác ABC có A1; 2 , B 0; 4 , C 3;
1 . Góc BAC của tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây? A. 90 . B. 36 5 2 . C. 143 7 . D. 53 7 .
Câu 60. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1 ; 1 ; B 3
;1 ; C 6;0 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. AB 4 ; 2 ; BC 3 ;1 . B. o B 135 .
C. AB 20 . D. BC 3.
Câu 61. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1
;2; B5;8 . Điểm M Ox sao cho tam giác MAB
vuông tại A . Diện tích tam giác MAB bằng A. 10 . B. 18 . C. 24 . D. 12 .
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A2; 3 . Tìm tọa độ điểm B thuộc trục tung, biết
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 2 5 và điểm B có tung độ dương. A. B 0; 1 .
B. B 0;7 .
C. B 2;0 .
D. B 7;0 .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 63. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A3 ; 4 và B 2
; 5 . Tọa độ điểm M thuộc trục Ox cách đều hai điểm ; A B là 2 2 1 9 1 A. ;0 . B. ; 0 . C. ; . D. ; 0 . 5 5 2 2 2
Câu 64. Trong hệ toạ độ Oxy , cho hai điểm (
A 1; 1) và B( 2 ; 2)
. Điểm C thuộc trục Ox sao cho tam
giác ABC cân tại A là
A. C(2; 0) .
B. C(0; 2) .
C. C(4; 0) .
D. C(2; 0) .
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A1; 2 ; B 1;
1 . Điểm M thuộc trục Oy thỏa
mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó, độ dài đoạn OM bằng 5 3 1 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A1; 1 , B 4;
1 , C 5; 7 . Tính diện
tích S của tam giác ABC . 3 13
A. S 26 .
B. S 13 .
C. S 3 13 65 . D. S . 2
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A3; 2, B 4;3 . Điểm M thuộc tia Ox .
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. M 7;0 .
B. M 5;0 .
C. M 9;0 .
D. M 2;0 .
Câu 68. Cho hai điểm A1;3, B 8; 2 . Gọi C là điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông
tại C và OC 6 . Giá trị của biểu thức 2 2
x y 5 là C C A. 9 . B. 14 . C. 21 . D. 30 .
Câu 69. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A1; 2 ,B 3
;1. Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao
cho tam giác ABC vuông tại A .
A. C 6;0 .
B. C 0;6 .
C. C 6;0 .
D. C 0; 6 .
Câu 70. Cho tam giác ABC có A 1
;2,B0;3,C5; 2. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. 0; 3 .
B. 0; 3 . C. 3;0 . D. 3 ;0 .
Câu 71. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A1; 1 , B 3;
1 và C 2; 4 . Tìm tọa độ trực
tâm H của tam giác ABC A. H 1; 1 . B. H 2; 1 .
C. H 1; 2 .
D. H 2; 2 .
Câu 72. Cho tam giác ABC có A1;3, B 3; 4 và C 6; 2 . Trực tâm của tam giác ABC là H a;b .
Tính giá trị biểu thức T a 2b . A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 7 .
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A3; 1 ,B 1
;2 và I 1;1 là trọng tâm
tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ a;b. Tính a 3 . b 2 4
A. a 3b .
B. a 3b .
C. a 3b 1.
D. a 3b 2. 3 3
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD với các đáy là AB và CD . Biết
A1; 2 , B 2; 3 , điểm C nằm trên trục tung, điểm D nằm trên trục hoành. Tính OC OD . 4 26 A. . B. 2 . C. 6 . D. . 3 3
Câu 75. Trong mặt phẳng Oxy , cho bốn điểm A 2
;3, B2;4, C 3;0, D 1 ; 1 . Có bao nhiêu
điểm M thuộc đường thẳng d : y 2x 1 sao cho MA MB MC.MD 3 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 3 ;
1 và B 5;0 . Biết có hai điểm C nằm trên parabol P 2
: y x 2x sao cho tam giác ABC vuông tại C là C x ; y ,C x ; y . 1 1 1 2 2 2
Tính giá trị biểu thức T x y x y . 1 2 2 1 A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 5 .
Câu 77. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A2; 4, B 1 ;1 , C 7; 1 . Biết M ;
a b a 0
là điểm nằm trong mặt phẳng Oxy thoả mãn tam giác ABM vuông cân tại B . Tính giá trị
T 3a 4b .
A. T 2 .
B. T 2 .
C. T 12 .
D. T 12 . 1
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A4;6 ; B 5; 1 ; C ;
n 3 . Tìm m , n để I ; m là tâm 2
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 5 5 5 n 1 5 n 1 A. m ; n 1 B. m ; n 1 . C. m ; .
D. m ; . 2 2 2 n 2 2 n 2
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biết H a;b là toạ độ chân đường cao đỉnh
A của tam giác ABC , biết toạ độ B 3 ;1 , C 4; 4
và trọng tâm G của tam giác ABC có toạ
độ G 4;0 . Tính a b . 2 33 35 68 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Câu 80. Cho a , b có a 2b vuông góc với vectơ 5a 4b và a b . Tính góc giữa vectơ a và b . A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 .
Câu 81. Cho biết ;
a b 120 ; a 3; b 3. Độ dài của véctơ a b bằng 3 3 3 A. 3 3 . B. 3 2 . C. . D. . 2 2
Câu 82. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm M 3; 4, N 2 ;1 , P 2 ; 3
. Tìm điểm I trên
đường thẳng NP sao cho góc MIN 135 . A. I 3; 2 .
B. I 2;3 .
C. I 5; 4 .
D. I 4;5 .
Câu 83. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , a 0 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC ,
CA , AB sao cho BM a , CN 2a , AP x 0 x 3a . Tìm x để AM PN .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 3a 2a 4a a A. x . B. x . C. x . D. x . 5 5 5 5
Câu 84. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Trên các cạnh BC,C ,
A AB lần lượt lấy các điểm M , N , P sao 1
cho MC 2MB , NA NC và AP x . Tìm x để AM vuông góc với PN . 2 4a a 2 6 3 1 3 3 A. . B. . C. a . D. a . 15 3 39 39
Câu 85. Cho hình chữ nhật ABCD thỏa AB 2a , AD a . Gọi M , N là hai điểm thỏa mãn
DM 2MC , AN x AB , x
. Tìm x để AM và DN vuông góc. 3 3 1 2 A. x .
B. x . C. x . D. x . 7 8 2 5
Câu 86. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và BAD 60 . Quỹ tích các điểm M thỏa mãn 2 M .
A MC a là đường tròn có bán kính bằng 7a 3a A. 2a . B. . C. . D. a . 2 2
Câu 87. Cho ba điểm không thẳng hàng ,
A B, C .Điều kiện cần và đủ để ba điểm ,
A B, C thỏa mãn điều
kiện (CA CB).AB 0 là:
A. ABC đều.
B. ABC cân tại C .
C. ABC vuông tại C .
D. ABC vuông cân tại C .
Câu 88. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB 2a, các cạnh đáy AD a và BC 3 . a Gọi
M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k.AC. Tìm k để BM và CD vuông góc. 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 9 7 3 5 2
Câu 89. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM là
A. đường tròn đường kính BC .
B. đường tròn B; BC .
C. đường tròn C;CB .
D. đường tròn C; 2CB .
Câu 90. Cho ba điểm ,
A B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB . CA CB là
A. đường tròn đường kính AB .
B. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
C. đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC .
D. đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB .
Câu 91. Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK 3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa
mãn KA KB 2KC 0 . Một điểm M thay đổi thỏa mãn 3MK AK.MA MB 2MC 0 .
Tập hợp điểm M là
A. đường tròn đường kính IJ .
B. đường tròn đường kính IK .
C. đường tròn đường kính JK .
D. đường trung trực đoạn JK .
Câu 92. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thoả mãn 2 2 2 2 2 2
MA MB MC 4GA GB GC là
A. Đường tròn tâm G bán kính bằng GB .
B. Đường tròn tâm G bán kính bằng GA .
C. Đường tròn tâm G bán kính bằng GC .
D. Đường tròn tâm G bán kính bằng 4GA .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Câu 93. Cho
ABC đều, cạnh bằng a 0 . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn 2 7a M . A MB M .
B MC MC.MA . 4
A. Quỹ tích điểm M là đường trung trực của AB .
B. Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua trọng tâm của ABC và song song với BC . 6a
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2 3a
D. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2
Câu 94. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Điểm M là một điểm thỏa mãn đẳng 2 a thức M . A MB M .
B MC MC.MA
. Biết tập hợp điểm M là một đường tròn. Bán kính 6 đường tròn đó là a a a
A. R 2 . B. R . C. R . D. R . 3 4 2
_____________________HẾT_____________________
Huế, 10h00’ Ngày 02 tháng 12 năm 2022
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
III. LỜI GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: GÓC GIỮA HAI VECTO Câu 1.
Cho tam giác ABC như hình vẽ.
Xác định góc AB, AC . A. 45 . B. 120 . C. 15 . D. 165 . Lời giải:
Ta có: AB, AC BAC 180 120 45 15 . Câu 2.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải: A C B Ta có A ;
B AC BAC 60 . Câu 3.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và BC bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải: A C' B C Ta có A ;
B BC 180 BAC 120 . Câu 4.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và CB bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A C' C B Ta có A ;
B AC BAC 60 . Câu 5.
Cho hình bình hành ABCD . Góc giữa 2 vectơ AB và BC là A. BAC . B. ADC . C. BAD . D. ABC . Lời giải:
Theo tính chất hình bình hành ta có BC AD .
Vậy AB, BC AB, AD BAD . Câu 6.
Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC 100 . Số đo góc giữa hai véctơ AB và BC là A. 140 . B. 80 . C. 40 . D. 100 . Lời giải:
Xét tam giác ABC cân tại A , góc 0 BAC 100 suy ra 0
ABC ACB 40 .
Dựng BM AB , khi đó, AB, BC BM , BC 0 0
MBC 180 ABC 140 . 1 Câu 7.
Cho hai vectơ a ; b khác vectơ 0 thỏa mãn . a b
a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a ; b bằn 2 A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải:
Ta có a a .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Vậy . a b 1
a . b cos a,b a . b a b 1 cos ,
a,b 60. 2 2 Câu 8.
Cho hai vec tơ a và b biết a 6, b 12 và a b 10 . Khi đó, cosin của góc giữa hai vectơ
a và a b bằng 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 18 3 15 15 Lời giải:
Dựng AB a, BC b . Khi đó a b AC .
Ta được tam giác ABC có AB 6, BC 12, AC 10 và a, a b AB , AC . 2
BC AC AB BC AC AB 2 2 2 2 2 2 2 AC AB BC 10 6 12 AC.AB 4 . 2 2 AB AC Vậy AB AC . 4 1 cos , . A . B AC 6.10 15 Câu 9.
Cho hai vecto a , b sao cho a 2 , b 2 và hai vectơ x a b , y 2a b vuông góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b . A. 120 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Lời giải:
Vì hai véc tơ x a b , y 2a b vuông góc với nhau nên 2 2
a b.2a b 2 2
0 2a b .
a b 0 2. a b a . b .cosa,b 0 2 2 2. 2
2 2.2.cosa,b 0 cosa,b 0 a,b 90.
Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG
Câu 10. Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích vô hướng của hai vectơ a ,b cùng khác 0 ? A. .
a b a .b.cos a ,b . B. .
a b a . b .cos a ,b . C. .
a b a . b .sin a ,b . D. .
a b a . b .
Câu 11. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? 2 2 2 A. .
a b a . b .cos a,b.
B. a . b . a b .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2 2 1 2 2 C. . a b
a b a b .
D. a a . 2 Lời giải: Câu A, C, D: Đúng. 2 2 2 Câu B sai vì 2 .
a b a . b .cos a,b .
Câu 12. Cho hai véctơ a, b khác véctơ-không thỏa mãn a.b a . b . Khi đó, góc giữa hai vectơ a, b bằng A. 45 . B. 0 . C. 180 . D. 90 . Lời giải: . a b a . b Ta có:
a b a b 0 cos ; 1 ; 180 . .
a b a . b cos a,b
Câu 13. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? 2 2 2 1 2 2 2 1 A. . a b
a.b a b . B. . a b
a b a b 2 . . 2 2 2 1 2 2 1 C. . a b
a.b ab . D. . a b
a b a b 4 . . 2 Lời giải: 1 1
Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số và nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặcD. 2 4 2 2 2 2 2 2 1
D đúng, Ta có : a .b a b a .b a .b 4 . a .b . a .b
a.b ab 4 2 2 2 2 A đúng, vì a b a b a b . a b . a a . a b . b a . b b a b 2 . a b a b 2 2 2 1 ..
a .b a b 2 2 2 2 2 B đúng, vì a b a b a b . a b . a a . a b . b a . b b a b 2 . a b a b 2 2 2 1 ..
a b a b . 2
Câu 14. Cho a 3 , b 5 , a b o ,
45 . Tích vô hướng của a và b bằng 15 15 3 15 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải: 15 Ta có .
a b a . b .cos a,b o 3.5.cos 45 . 2
Câu 15. Cho hai vectơ a và b . Biết a 2, b 3 và a,b 30 . Tính a b . A. 11 . B. 13 . C. 12 . D. 14 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2
Ta có: a b 2 2 2 2
a b 2ab a b 2 a . b .cosa,b ,
a b 2 0
4 3 2.2. 3.cos30 13 a b 13 .
Câu 16. Cho a, b có a 4; b 5. và a.b 10. Tính cos a;b . A. a b 3 cos ; . B. a b 2 cos ; . C. a b 1 cos ; . D. a b 1 cos ; . 2 2 2 2 Lời giải: a b Ta có a b . 1 cos ; . a . b 2
Câu 17. Cho hai véctơ a,b thỏa mãn: a 4; b 3; a b 4 . Gọi là góc giữa hai véctơ a,b . Khẳng
định nào dưới đây đúng? 1 3 A. 0 60 . B. 0 30 . C. cos . D. cos . 3 8 Lời giải:
Ta có: a b a b2 2 2 4
16 a 2a.b b 16 2 2 3
4 2.4.3.cos 3 16 cos . 8
Câu 18. Cho tam giác ABC có ABC 30 ,
AB 5, BC 8. Tính B . A BC . A. 20. B. 20 3. C. 20 2. D. 40 3. Lời giải: Ta có B . A BC B .
A BC.cos ABC 5.8.cos 30 20 3. Vậy . BA BC 20 3.
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a . Khi đó A . B AC bằng 2 A. 2 4a . B. 2 a 2 . C. 2 a . D. 2 a . 2 Lời giải:
Ta có AB AC AB AC AB AC 2 . .cos , 2 .
a 2a 2.cos 45 4a .
Câu 20. Cho tam giác vuông cân ABC có AB AC a . Tính A . B AC. 2 a 2 a 3 A. 2 a . B. . C. 0 . D. . 2 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Lời giải:
Tam giác ABC vuông cân tại A .
Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB a, BC 2a . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a 3 . D. 2 a . 2 Lời giải: a 2 B . A BC B . A BC.cos B . a 2 . a a . 2a
Câu 22. Cho tam giác ABC vuông cân tại , A có AB .
a Tích vô hướng B . A BC bằng 2 a 2 a A. 2 a . B. . C. . D. 2 a . 2 2 Lời giải:
Tam giác ABC vuông cân tại ,
A có AB a BC a 2.
BA BC BABC BA BC BA BC 2 , 45 . . .cos , .
a a 2.cos 45 a .
Câu 23. Cho tam giác ABC có 0 ˆ A 90 , 0
ˆB 60 và AB a . Khi đó, AC.CB bằng A. 2 2a . B. 2 2a . C. 2 3a . D. 2 3a . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Gọi D là điểm đối xứng với A qua C . 3
Khi đó: AC.CB . CD CB . CD . CB cos150 2 a 3.2 . a 3 a . 2
Câu 24. Cho ABC vuông cân tại A , cạnh AB 5 . Tích vô hướng BC.BA bằng A. 5 2 . B. 25 . C. 20 . D. 20 . Lời giải: B A C
Xét ABC vuông cân tại A , cạnh AB 5 suy ra BC 5 2 và ABC 45 .
Ta có BC.BA BC . BA .cosBC;BA BC.B .
A cos ABC 5.5 2.cos 45 25 .
Câu 25. Góc tạo bởi m và n là 90 và m 2021, n 2022 . Khi đó, . m n bằng A. 4086462 . B. 0 . C. 4086462 . D. 1. Lời giải: Ta có .
m n m . n .cos ;
m n 2021.2022.cos90 0 . Vậy . m n 0 .
Câu 26. Cho hai véc tơ a , b thỏa mãn a 3, b 4 và (a,b) 60 . Tích vô hướng . a b bằng A. 6 . B. 6 3 . C. 12 . D. 4 3 . Lời giải: Ta có .
a b a . b .cos(a, b) 3.4.cos 60 6 .
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , BC 1 , BAD 60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1 . B. 1. C. . D. . 2 2 Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A .
B AD AB . AD .cos A ; B AD A . B A .
D cos BAD 2.1.cos 60 1 .
Câu 28. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ;
a AC a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vô hướng B . A AM . 2 a 2 a A. . B. 2 a . C. 2 a . D. . 2 2
Lời giải: A B C M
Ta có tam giác ABC vuông tại A và có AM là trung tuyến nên BC 2 2 2 2 BC AB AC a 3a AM . AM a . 2 2 2 2
Tam giác AMB có AB BM AM a nên là tam giác đều. Suy ra góc MAB 60 . 2 a Ta có B . A AM A .
B AM AB . AM .cos ( AB , AM ) . a . a cos 60 . 2
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1 . B. 1. C. . D. . 2 2
Lời giải: D C A B A .
B AD AB . AD .cos A ; B AD A . B A .
D cos BAD 2.1.cos 60 1 .
Câu 30. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 1 A. 1 . B. C. 1 . D. . 2 2
Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ D C A B
Theo giả thiết: BAD 60 ABC 120 . B .
A BC BA . BC .cos B ; A BC A .
B BC.cos ABC 2.1.cos120 1 .
Câu 31. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Độ dài đường chéo AC bằng 7 A. 5 . B. 7 . C. 5 . D. . 2
Lời giải: D C A B Ta có: 2 2 2 2 2 2
AC AB AD AC AB AD 2A .
B AD AC 2 1 2.1 AC 7 .
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60 . Độ dài đường chéo BD bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 .
Lời giải: D C A B 2 2 2 2 2 2
BD BA BC BD BA BC 2B .
A BC BD 2 1 2. 1 BD 3 .
Câu 33. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3, gọi E là điểm đối xứng của D qua C . Giá trị AE.CD bằng A. 18 . B. 9 3 . C. 9 5 . D. 18 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Ta có C là trung điểm của DE nên DE 2.3 6 .
Khi đó: AE.CD AD DE.CD A .
D CD DE.CD 0 0 DE. .
CD cos180 6.3. 1 18 .
Câu 34. Cho hình bình hành ABCD có AB 2a, AD 3a, BAD 60 . Điểm K thuộc AD thỏa mãn
AK 2DK . Tính tích vô hướng BK.AC A. 2 3a . B. 2 6a . C. 0 . D. 2 a . Lời giải: B C O A K D 2
Ta có BK AB
AD ; AC AB AD 3 2 2 1 Khi đó: 2 2
BK.AC ( AB
AD)( AB AD) AB AD AB AD 3 3 3 2 1 2 2 2 BK.AC 4
a .9a 2 . a 3 .
a cos60 a 3 3
Câu 35. Cho hình vuông ABCD cạnh 5 . Khi đó, A . B AC bằng 25 2 25 A. 25. B. 25 2. C. . D. . 2 2 Lời giải:
Ta có ABCD là hình vuông nên AC 5 2 ; góc 0 BAC 45 ;
Tích vô hướng AB AC AB AC AB AC 0 . . .cos ; 5.5 2.cos 45 25 .
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính A . B AC. 2 3 2 A. . a AB AC . B. . a AB AC . C. 2 . AB AC a . D. 2 . AB AC 2a . 2 2 Lời giải:
Tam giác AB AC a và BAC 60 . 2 a A .
B AC AB . AC .cos A . a . a cos 60 . 2
Câu 37. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a , M là trung điểm của cạnh CD . Chọn khẳng định đúng.
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 a
A. AM .DC .
B. AM .DC 0 . C. 2
AM .DC a . D. 2
AM .DC 2a . 2 Lời giải:
Ta có AM .DC ( AD DM ).DC A .
D DC DM .DC Mà 0 A . D DC A . D DC.cos 90 0 Và 0 2
DM .DC DM .DC.cos 0 .2 a .1 a 2a Vậy 2
AM .DC DM .DC 2a .
Câu 38. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 10 . Tính giá trị A . B CD . A. 100 . B. 10 . C. 0 . D. 100 . Lời giải: Ta có A .
B CD AB . CD .cos AB,CD A . B .
CD cos180 10.10. 1 1 00 . 1
Câu 39. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn BM BC . Tính 2 BM .BA .
A. BM .BA 4 .
B. BM .BA 4 .
C. BM .BA 4 3 .
D. BM .BA 4 3 . Lời giải: 1 1
Ta có BM BC BM BC 2 . 2 2
Khi đó BM BA BM BA BM BA 0 . . .cos ; 2.4.cos120 4 .
Câu 40. Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Tính AC.BD . A. 2
AC.BD 2a .
B. AC.BD 0 .
C. AC.BD 0 . D. 2
AC.BD 2a . Lời giải:
Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau.
Hay AC BD nên AC.BD 0 .
Câu 41. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G và độ dài cạnh bằng a . Tính A . B AG. 2 a 3 2 3a 2 a 3 2 a A. . B. . C. . D. . 6 4 4 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Lời giải: a 3 Ta có A .
B AG AB AG .cos AB, AG ; với AB AB ; a AG AG ; AB, AG 0 30 . 3 2 a 3 a Vậy 0 A . B AG . a .cos 30 . 3 2
Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính AC AC AB. 2 a 2 2 a 3 2 a 2 a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải: a Ta có ACAC AB 2 0
AC.BC CA.CB CA.CB.cosC a.a.cos60 . 2
Câu 43. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng a 2 và ABD 60 . Gọi I là điểm thỏa mãn
2IC ID 0 . Tính tích vô hướng A . O BI . 2 a 2 2 a 3 2 a A. . B. . C. .
D. u 2; 3 2 2 2 Lời giải: B A C O I D
Do ABCD là hình thoi có cạnh bằng a và ABD 60 nên ABD và BCD là các tam giác đều cạnh a . Ta có: A . O BI A .
O BD DI A . O D B A . O DI 2 2 2 2 2 a 2. 3 a 2 a 2 A . O DC A . O AB . . . a cos 30 . Vậy, A . O BI . 3 3 3 2 2 2
Câu 44. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3; AC 4 . Trên đoạn thẳng BC lấy điểm M sao
cho MB 2MC . Tính tích vô hướng AM .BC .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 23 41 A. . B. . C. 8 . D. 23 . 3 3 Lời giải: 1 1 Ta có MB 2
MC AM AB 2AC , do đó AM.BC AB 2ACAC AB. 3 3
Vì tam giác ABC vuông tại A nên . AB AC 0 . 2 2 1 1 1 23
Vậy AM .BC AB 2AC AC AB 2AC AB 2 2
2.AC AB . 3 3 3 3
Câu 45. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 5. Tính AB AC.BC BD BA. A. 10 2 . B. 50 . C. 0 . D. 75 . Lời giải:
Ta có: AB AC.BC BD BA AB AC.2BD (Vì BC BA BD ) 2 A .
B BD AC.BD 2 A .
B BD (Vì AC.BD 0) 2 A . B BA A .
B AD 2 A . B BA (Vì . AB AD 0 ) 2
2.AB .cos180 50 .
Câu 46. Cho hai vectơ a và b có a
4 , b 5 và a b 0 ,
120 . Tính a b . A. 21 . B. 21 . C. 41 . D. 41 . Lời giải: 2 2 2 2 2
Ta có a b a b a b 2 . a b
a b 2 a b cos a,b 21 .
Dạng 3: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Câu 47. Cho hai vectơ u 2; 1 , v 3
;4 . Tích u.v bằng A. 11. B. 10. C. 5.
D. 2. Lời giải: u 2; 1 Với
u.v 2.3 v 1 4 10. 3; 4
Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a (1; 4) , b ( 1
;3) . Khi đó giá trị tích vô hướng của hai
véctơ a và b là A. 12 . B. 11. C. 0. D. 11. Lời giải: Ta có: . a b 1.( 1 ) 4.3 11.
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u i 3j và v 2j 2i . Tính . u v . A. . u v 4 . B. . u v 4 . C. . u v 2 . D. . u v 2 . Lời giải:
Theo giả thiết ta có u 1; 3 và v 2 ;2 . Khi đó . u v 1. 2 3.2 4 .
Câu 50. Cho A0; 3 ; B4;0 ; C 2 ; 5 . Tính A . B BC . A. 16 . B. 9 . C. 10 . D. 9 . Lời giải:
Ta có AB 4; 3 ; BC 6 ; 5 Vậy A . B BC 4. 6 3 . 5 9 .
Câu 51. Cho u 2; 3
. Với giá trị nào của m thì v 3;
m vuông góc với u ?
A. m 1.
B. m 2 .
C. m 1.
D. m 2 . Lời giải:
Ta có: v u 2. 3 3
.m 0 m 2 .
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các vectơ a 1; 3 , b 2;5 . Tính tích vô hướng của . a b . A. 7 . B. 13 . C. 17 . D. 13 . Lời giải: Ta có . a b 1.2 3 .5 1 3.
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a 2; 5 và b m; m 2 . Tìm m biết a và b vuông góc. 10 10 10 10 A. m .
B. m .
C. m . D. m . 3 3 7 7 Lời giải:
Để a b thì a b
m m 10 . 0 2 5 2 0 m . 3
Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a (1; 4) ; b (4;0). Khi đó, cosin góc giữa hai vecto a và b là 17 17 A. . B. . C. 0. D. 2. 17 17 Lời giải: . a b 4 17
Ta có: cos(a, b) . a . b 17. 16 17
Câu 55. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a 2; 1 và b 2; 4
. Khi đó góc giữa hai vectơ a và b bằng A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ b a b
a b a b a.b a. . .cos , cos ,
0 a,b 90 a . b
Câu 56. Cho hai vectơ a 3
;1 , b 3; 3. Góc giữa hai vectơ a và b bằng A. 15 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Lời giải: a b Ta có: a b . cos ; 3 3 3 1
;ab 60. a . b 2.2 3 2
Câu 57. Trong mặt phẳng Oxy , cho A1; 2, B 4
;1 , C 5; 4 . Tính góc BAC. A. 45 . B. 90 . C. 30 . D. 60 . Lời giải:
Ta có: AB 3; 1 , AC 4;2 . . AB AC 3.4 1 .2 2
Khi đó: cos BAC cos AB, AC . AB . AC 3 2 2 2 2 2 1 . 4 2 Suy ra 45o BAC .
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết (
A 1; 2) , B(4;1) , C(5; 4) . Tính góc A của tam giác ABC . A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 120 . Lời giải: Ta có: AB (3; 1
) , AC (4;2) . AB AC 3.4 ( 1
).2 10 , AB 10 , AC 2 5 . A . B AC 10 2 cos( ) A cos( A , B AC) A 45 . A . B AC 10.2 5 2
Câu 59. Tam giác ABC có A1; 2 , B 0; 4 , C 3;
1 . Góc BAC của tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây? A. 90 . B. 36 5 2 . C. 143 7 . D. 53 7 . Lời giải:
Ta có AB 1
;2; AC 2; 1 . . AB AC 2 2 4 cos BAC BAC 143 7 . AB . AC 5. 5 5
Câu 60. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1 ; 1 ; B 3
;1 ; C 6;0 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. AB 4 ; 2 ; BC 3 ;1 . B. o B 135 .
C. AB 20 . D. BC 3. Lời giải: BA 4 ; 2
; BC 3; 1
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ B BA BC . BA BC 4.3 2. 1 2 cos cos ; 2 2 2 2 BA . BC 2 4 2 . 3 1 o B 135 .
Câu 61. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1
;2; B5;8 . Điểm M Ox sao cho tam giác MAB
vuông tại A . Diện tích tam giác MAB bằng A. 10 . B. 18 . C. 24 . D. 12 . Lời giải:
Vì M Ox nên có tọa độ M a;0 , ta có AM a 1; 2
; AB 6;6 .
Tam giác MAB vuông tại A A .
B AM 0 6 a
1 12 0 a 1 M 1;0 . 2 2 2 2
Ta có AM 1
1 0 2 2 2 ; AB 5 1 8 2 6 2 . 1 1 Vậy S
.AM.AB .2 2.6 2 12 . ABM 2 2
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A2; 3 . Tìm tọa độ điểm B thuộc trục tung, biết
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 2 5 và điểm B có tung độ dương. A. B 0; 1 .
B. B 0;7 .
C. B 2;0 .
D. B 7;0 . Lời giải:
Ta có B thuộc trục tung nên gọi B 0,b , b 0 . Ta có AB 2 ;b 3 . 2 2 2 b 1(TM ) Theo giả thiết 2
AB 2 5 2
b 3 2
20 b 6b 7 0 . b 7 (L) Vậy B 0; 1 .
Câu 63. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A3 ; 4 và B 2
; 5 . Tọa độ điểm M thuộc trục Ox cách đều hai điểm ; A B là 2 2 1 9 1 A. ;0 . B. ; 0 . C. ; . D. ; 0 . 5 5 2 2 2 Lời giải:
Vì M Ox nên M ; x 0 .
Ta có: AM x 3; 4
; BM x 2; 5 . Để M cách đều ;
A B thì AM BM 2
x 2 2 x 2 2 3 4 2 5 x 5 2 Vậy M ;0 . 5
Câu 64. Trong hệ toạ độ Oxy , cho hai điểm (
A 1; 1) và B( 2 ; 2)
. Điểm C thuộc trục Ox sao cho tam
giác ABC cân tại A là
A. C(2; 0) .
B. C(0; 2) .
C. C(4; 0) .
D. C(2; 0) . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Ta có 2 2 AB ( 2 1) ( 2 1) 10
Do điểm C(a;b) thuộc trục Ox nên C(a; 0) suy ra 2 2
AC (a 1) (0 1)
Tam giác ABC cân tại A AB AC a 4 2 2
10 (a 1) (0 1)
Với C(4; 0) , ta có AB( 3 ; 1
), AC(3;1) suy ra 3 điểm a 2 ,
A B, C thẳng hàng, loại trường hợp này.
Với C(2; 0) , kiểm tra tương tự thấy thoả mãn. Vậy C(2; 0) .
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A1; 2 ; B 1;
1 . Điểm M thuộc trục Oy thỏa
mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó, độ dài đoạn OM bằng 5 3 1 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải:
Điểm M thuộc trục Oy M 0; y .
Ta có tam giác MAB cân tại M MA MB
y2 2 y2 2 1 2 1 1 4 4y 1 3 2 y y . 2 3 Vậy OM . 2
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A1; 1 , B 4;
1 , C 5; 7 . Tính diện
tích S của tam giác ABC . 3 13
A. S 26 .
B. S 13 .
C. S 3 13 65 . D. S . 2 Lời giải:
Ta có: AB 3; 2 , AC 4; 6 .
AB AC 0 AB AC 1 1 1 S A . B AC 9 4. 16 36 2.13 13 . ABC 2 2 2
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A3; 2, B 4;3 . Điểm M thuộc tia Ox .
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. M 7;0 .
B. M 5;0 .
C. M 9;0 .
D. M 2;0 . Lời giải:
M Ox M ;
x 0 (theo giả thiết thì x 0 ).
Ta có AM x 3; 2
, BM x 4; 3
Tam giác ABM vuông tại M AM .BM 0 x 3 x 4 2 3 0 x 2 (TM ) 2
x x 6 0 . x 3 (L)
Vậy x 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 68. Cho hai điểm A1;3, B 8; 2 . Gọi C là điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông
tại C và OC 6 . Giá trị của biểu thức 2 2
x y 5 là C C
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A. 9 . B. 14 . C. 21 . D. 30 . Lời giải:
Gọi C x ;0 là điểm thuộc trục hoành. Ta có: AC x 1; 3, BC x 8; 2 .
Do tam giác ABC vuông tại C nên AC.BC 0 x x
1 . x 8 3 . 2 7 2
0 x 9x 14 0 x 2
Vì OC 6 nên ta chọn x 2 . Suy ra C 2;0 . Vậy 2 2
x y 5 9 . C C
Câu 69. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A1; 2 ,B 3
;1. Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao
cho tam giác ABC vuông tại A .
A. C 6;0 .
B. C 0;6 .
C. C 6;0 .
D. C 0; 6 . Lời giải:
C Oy C 0; y AB 4 ; 1 , AC 1 ; y 2. AB 0
Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác vuông tại A AC 0 A .
B AC 0 y 6. AB AC Vậy C 0;6.
Câu 70. Cho tam giác ABC có A 1
;2,B0;3,C5; 2. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. 0; 3 .
B. 0; 3 . C. 3;0 . D. 3 ;0 . Lời giải: A B C
Ta có AB 1;1; AC 6; 4; BC 5; 5.
Nhận thấy rằng A . B BC 1.5 1.( 5
) 0 nên tam giác ABC vuông tại B.
Vậy chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC trùng với đỉnh B0; 3.
Câu 71. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A1; 1 , B 3;
1 và C 2; 4 . Tìm tọa độ trực
tâm H của tam giác ABC A. H 1; 1 . B. H 2; 1 .
C. H 1; 2 .
D. H 2; 2 . Lời giải: Gọi H ; x y .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
AH.BC 0
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có (1)
BH.AC 0
Mà AH x 1; y 1 , BC 1
;3 , BH x 3; y 1 , AC 3;3 . 1. x 1 3 y 1 0 x 2 Do đó 1 . Vậy H 2; 2 . 3
x 3 3 y 1 0 y 2
Câu 72. Cho tam giác ABC có A1;3, B 3; 4 và C 6; 2 . Trực tâm của tam giác ABC là H a;b .
Tính giá trị biểu thức T a 2b . A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 7 . Lời giải:
AH a 1;b 3 BC 3;6 Ta có: .
BH a 3;b 4 AC 5; 1 AH BC
Theo giả thiết H là trực tâm tam giác ABC nên ta có BH AC 45 a
BC.AH 0 3 a
1 6 b 3 0
a 2b 7 11 .
AC.BH 0 5
a 3 1b 4 0 5
a b 19 16 b 11 45 16 45 16 Suy ra H ; và T 2 7 . 11 11 11 11
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A3; 1 ,B 1
;2 và I 1;1 là trọng tâm
tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ a;b. Tính a 3 . b 2 4
A. a 3b .
B. a 3b .
C. a 3b 1.
D. a 3b 2. 3 3 Lời giải: A H B C
Giả sử C x ; y và H x ; y
. Có I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có H H C C
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
x x x A B C xI x 1 3 C C1; 4
y y y y 4 A B C C y 3 I
Ta có AH x 3; y 1; BC 2; 6
; BH x 1; y 2; AC 2 ; 3 H H H H
H là trực tâm tam giác ABC nên
AH.BC 0 x y 10 2 3 6 1 0 x H H H 3 10 8 a ; b 2 S . BH.AC 0 2
x 1 y 3 9 3 H 3 2 H 0 8 y H 9
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD với các đáy là AB và CD . Biết
A1; 2 , B 2; 3 , điểm C nằm trên trục tung, điểm D nằm trên trục hoành. Tính OC OD . 4 26 A. . B. 2 . C. 6 . D. . 3 3 Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình thang cân có các đáy là AB và CD CD t AB với t 0 .
Vì C Oy nên C 0;c , D Ox nên D d ;0 .
Ta có AB 1; 5;CD d ; c . d t d t
CD t.AB . c 5 t c 5t
Vì ABCD là hình thang cân nên AC BD 2 2 AC BD
2 c 2 d 2 2 0 1 2 2 0 3 *. c 5t Thay
vào * ta được: t 2 t 2 1 5 2 2 9 d t t 1 ktm 2 1 5 1
24t 16t 8 0 1
. Với t C 0; và D ;0 . t tm 3 3 3 3 5 1
Vậy OC OD 2 . 3 3
Câu 75. Trong mặt phẳng Oxy , cho bốn điểm A 2
;3, B2;4, C 3;0, D 1 ; 1 . Có bao nhiêu
điểm M thuộc đường thẳng d : y 2x 1 sao cho MA MB MC.MD 3 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Gọi M a;b là tọa độ điểm cần tìm.
Ta có: MA MB MC.MD 3
AM BM CM .DM 3 .
Lại có: M a;b thuộc đường thẳng d : y 2x 1 b 2a 1 M ; a 2a 1 .
AM a 2;2a 4
Khi đó: BM a 2; 2a 5 AM BM CM 3a 3;6a 10
CM a3;2a 1
DM a 1; 2a
Mà AM BM CM .DM 3 a 0
3a 3.a 1 6a 10 2 .2a 3
15a 20a 0 4 . a 3 Vậy M 4 5 0;1 hay M ; . 3 3
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 3 ;
1 và B 5;0 . Biết có hai điểm C nằm trên parabol P 2
: y x 2x sao cho tam giác ABC vuông tại C là C x ; y ,C x ; y . 1 1 1 2 2 2
Tính giá trị biểu thức T x y x y . 1 2 2 1 A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 5 . Lời giải: C A 2 3 ;
x 1 x 2x Gọi C 2 ;
x x 2x . C B 2 5 ;
x x 2x
Do tam giác ABC vuông tại C nên ta có C . A CB 0
x x 2
x x 2 3 5 1 2
x 2x 0 2
x 2x 3 0 1 4 3 2
x 4x 6x 4x 15 0 2
x 2x 3 2
x 2x 5 0 . 2
x 2x 5 0 2
x 1 C 1;3 1 Giải (1) được .
x 3 C 3;3 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Giải (2): Vô nghiệm.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán và T 1 .3 3.3 6 .
Câu 77. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A2; 4, B 1 ;1 , C 7; 1 . Biết M ;
a b a 0
là điểm nằm trong mặt phẳng Oxy thoả mãn tam giác ABM vuông cân tại B . Tính giá trị
T 3a 4b .
A. T 2 .
B. T 2 .
C. T 12 .
D. T 12 . Lời giải:
Ta có BA 1;3; BM a 1;b 1
Vì tam giác ABM vuông cân tại B , suy ra: 1 a 1 3b 1 0 BM .BA 0
a 3b 4 0 2 2 AB B M
1 3 1 a2 1 b2 2 2
a b 2a 2b 8 0 b 2
a 4 3b
a 4 3b a 2 b . 4 3b 0 2 2
b 24 3b 2b 8 0 b 0 b 2 l a 4
Vậy toạ độ điểm M 2
;2 , suy ra T 3a 4b 2 . 1
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A4;6 ; B 5; 1 ; C ;
n 3 . Tìm m , n để I ; m là tâm 2
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 5 5 5 n 1 5 n 1 A. m ; n 1 B. m ; n 1 . C. m ; .
D. m ; . 2 2 2 n 2 2 n 2 Lời giải:
AB 1; 5 , AC n 4; 9 . ,
A B, C là 3 đỉnh của một tam giác AB và AC không cùng 9 11
phương n 4 n . 5 5 9 11 1 Ta có: IA ; 6 m ; IB ;1 m ; IC n ; 3 m . 2 2 2 2 2 IA IB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi 2 2 IA IC 2 2 9 m2 11 6 1 m2 2 2 2 2 9 m2 1 6 n 3 m2 2 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 5 m 5 25 10m 0 2 m 1 3 2 2 2 9 n . m2 1 6 n 3 m2 n 1 2 2 t / m 2 2 1 3 n 2 n 2 2 5 n 1 Vậy m ; . 2 n 2
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biết H a;b là toạ độ chân đường cao đỉnh
A của tam giác ABC , biết toạ độ B 3 ;1 , C 4; 4
và trọng tâm G của tam giác ABC có toạ
độ G 4;0 . Tính a b . 2 33 35 68 A. , B. . C. . D. . 13 13 13 13 Lời giải:
x x x A B C x G x 5 3
G 4;0 là trọng tâm tam giác ABC , suy ra A
y y y y 3 A B C A y G 3 Gọi H ; x y là chân đường cao đỉnh A , suy ra
AH.BC 0 1 x 5 5 y 3 0 x 5y 10 0 1 x 3 y 1
Vì H BC nên BH ; BC cùng phương, suy ra
5x y 16 0 2 1 5 35 x
x 5y 1 0 13 Từ 1 và 2 ta có hệ . 5
x y 16 33 y 13 35 33 68 Toạ độ điểm H ;
, suy ra a b . 13 13 13
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Câu 80. Cho a , b có a 2b vuông góc với vectơ 5a 4b và a b . Tính góc giữa vectơ a và b . A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Lời giải:
+ Vì a 2b vuông góc với vectơ 5a 4b nên a 2b.5a 4b 0 . 2 2
5a 8b 6 . a b 0 2 2 5 8 . a b a b 6 2 2 5 a 8 b . a b (1) 6
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2
+ Theo đề a b a b . 2 a + Từ (1) ta được . a b 2 2 a . a b 1 + Ta có a b 2 cos ,
a,b 0 60 . 2 a b 2 a
+ Kết luận: Góc giữa vectơ a và b bằng 0 60 .
Câu 81. Cho biết ;
a b 120 ; a 3; b 3. Độ dài của véctơ a b bằng 3 3 3 A. 3 3 . B. 3 2 . C. . D. . 2 2 Lời giải: 2 2 2 2 2 2
Ta có a b a b a 2. .
a b b a b 1
2. a . b .cos a;b 9 9 2.3.3. 27 . 2
Suy ra: a b 3 3 .
Câu 82. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm M 3; 4, N 2 ;1 , P 2 ; 3
. Tìm điểm I trên
đường thẳng NP sao cho góc MIN 135 . A. I 3; 2 .
B. I 2;3 .
C. I 5; 4 .
D. I 4;5 . Lời giải:
+) Ta có NP 4 ; 4 ; Gọi I ;
x y IN 2 ; x 1 y . 2 x 1 y
Vì I NP IN , NP là hai vectơ cùng phương
y x 1 I ; x x 1 . 4 4 IM NP +) Ta có MIN IM NP . cos = cos , (1). IM . NP Vì MIN 135 và IM 3 ;
x 5 x; NP 4 ; 4 nên từ 1 ta có: 2 x 8 1
x 5 I 5; 4 2 2 2
x 8 2x 16x 34 x 8x 15 0 2
2x 16x 34. 2 2 x 3 I 3; 2 IM.IN 1
+) Trường hợp 1: I 5; 4 IM 2 ;0; IN 3;
3 cosMIN cosIM, IN IM . IN 2
MIN 45 (loại). IM.IN 1
+) Trường hợp 2: I 3; 2 IM 0; 2; IN 1
; 1 cosMIN cosIM, IN IM . IN 2
MIN 135(TM).
Vậy điểm cần tìm là I 3; 2.
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 83. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , a 0 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC ,
CA , AB sao cho BM a , CN 2a , AP x 0 x 3a . Tìm x để AM PN . 3a 2a 4a a A. x . B. x . C. x . D. x . 5 5 5 5 Lời giải: 1 1 2 1
Ta có AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC . 3 3 3 3 1 x
Ta có PN AN AP AC AB . 3 3a 2 1 1 x
Để AM PN thì AM .PN 0 AB AC AC AB 0 3 3 3 3a 2 2 2 2x 1 x A . B AC AB AC A . B AC 0 . 9 9a 9 9a 2 2x B AC a2 1 x A . .cos 60 3 3a2 A . B AC.cos 60 0 9 9a 9 9a 2 1 2x 1 x 1 5 4a 2 2
3a 3a 9a 9a
3a 3a 0 2
2a ax 0 x . 9 2 9a 9 9a 2 2 5 4a Vậy x
thì AM PN . 5
Câu 84. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Trên các cạnh BC,C ,
A AB lần lượt lấy các điểm M , N , P sao 1
cho MC 2MB , NA NC và AP x . Tìm x để AM vuông góc với PN . 2 4a a 2 6 3 1 3 3 A. . B. . C. a . D. a . 15 3 39 39 Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Đặt AB , b AC c 1 1 1 2
Ta có AM AB BM AB BC AB AC AB c b 3 3 3 3 1 x
PN AN AP c b 3 a 1 2 1 x
Để AM PN AM .PN 0 c b c b 0 3 3 3 a
c bac xb 2 2 2 3 0 . a c 3 . xb c 2 . a . b c 6 . x b 0 2
a c a x 2 . 2 3 . b c 6 . x b 0 2
a a a x 0 2 . 2 3 . . a . a cos 60 6 . x a 0 3x 2 15 4a a a a 6x 0 2a
x 0 x . 2 2 15
Câu 85. Cho hình chữ nhật ABCD thỏa AB 2a , AD a . Gọi M , N là hai điểm thỏa mãn
DM 2MC , AN x AB , x
. Tìm x để AM và DN vuông góc. 3 3 1 2 A. x .
B. x . C. x . D. x . 7 8 2 5 Lời giải: A N B D C M AN
Cách 1. Xét tam giác vuông DAN có tan ADN AD AD
Xét tam giác vuông ADM có cot MAD DM
Vì AM DN nên ADN MAD 90 . AN AD AD 3 a 3 3
Do đó tan ADN cot MAD .
AN a . AD DM 2 2 2a 4 4 DC 3 AN 3a 1 3 3 3 Suy ra .
AN AB . Vậy x . AB 4 2a 8 8 8 Cách 2. 2 2
Ta có AM AD DM AD DC AD AB 3 3
Ta có DN AN AD x AB AD . 2
Ta có AM .DN 0 AB AD .
xAB AD 0 3
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2 2 2 xAB A . B AD x A .
D AB AD 0 3 3 2 3 2 2 .4
x a a 0 x . 3 8
Cách 3. Chọn hệ trục tọa độ Oxy với D 0;0 , C 2a;0 ; A0; a ; B 2a; a . 4a 4a Ta suy ra M ; 0
, N t;a,0 t 2a ; AM ; a
; DN t;a . 3 3 4a 3a Ta có 2
AM DN AM .DN 0
t a 0 t . 3 4 3a 3a 3 3 Do đó N ; a ; AN ;0 ; AB
2 ;a0.Ta có AN AB . Vậy x . 4 4 8 8
Câu 86. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và BAD 60 . Quỹ tích các điểm M thỏa mãn 2 M .
A MC a là đường tròn có bán kính bằng 7a 3a A. 2a . B. . C. . D. a . 2 2 Lời giải: B A C 60° O a D
Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD . Ta có: M .
A MC MO OAMO OC MO OAMO OA 2 2 2 2 3a 3a 2 2
MO OA MO MO 2 4 2 7a 7a Do đó 2 2 M .
A MC a MO MO . 4 2
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yên cầu bài toán là đường tròn tâm O bán kính bằng 7a . 2
Câu 87. Cho ba điểm không thẳng hàng ,
A B, C .Điều kiện cần và đủ để ba điểm ,
A B, C thỏa mãn điều
kiện (CA CB).AB 0 là:
A. ABC đều.
B. ABC cân tại C .
C. ABC vuông tại C .
D. ABC vuông cân tại C . Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Ta có CA CB 2CM . Nên (CA CB).AB 0 2CM .AB 0 CM . AB
Vậy ABC cân tại C .
Câu 88. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB 2a, các cạnh đáy AD a và BC 3 . a Gọi
M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k.AC. Tìm k để BM và CD vuông góc. 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 9 7 3 5 Lời giải: B A M D H C
Hạ DH BC dễ thấy ABHD là hình chữ nhật và BH . a
Từ giả thiết AM k.AC AB BM k. AB BC BM k
1 .AB k.B . C
Mặt khác: DC DH HC. 2 2
Theo chứng minh trên ta có DH AB và HC
BC nên DC AB BC. 3 3
BM CD BM .DC 0 *. Do giả thiết ta có .
AB BC 0 nên k AB k BC 2 * 1 . . . AB BC 0 3 k 2 2k 2 2 1 .AB
.k.BC 0 4 k 2 2 1 .a .9a 2
0 4k 4 6k 0 k . 3 3 5 2
Câu 89. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM là
A. đường tròn đường kính BC .
B. đường tròn B; BC .
C. đường tròn C;CB .
D. đường tròn C; 2CB . Lời giải: 2 2
CM .CB CM CM .CB CM 0 CM .MB 0 .
Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC .
Câu 90. Cho ba điểm ,
A B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB . CA CB là
A. đường tròn đường kính AB .
B. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
C. đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC .
D. đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB . Lời giải: CM .CB .
CA CB CM .CB .
CA CB 0 CM CA.CB 0 AM.CB 0 .
Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 91. Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK 3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa
mãn KA KB 2KC 0 . Một điểm M thay đổi thỏa mãn 3MK AK.MA MB 2MC 0 .
Tập hợp điểm M là
A. đường tròn đường kính IJ .
B. đường tròn đường kính IK .
C. đường tròn đường kính JK .
D. đường trung trực đoạn JK . Lời giải: A I K J C B
Ta có: MA MB 2MC 4MK KA KB 2KC 4MK . 1 AB AC
Lấy điểm J thỏa mãn AK 3KJ . Ta có AK AI AC
, mà AK 3KJ nên 2 4 2 1 4 1 2
AJ AK KJ AK AK AK AB AC . 3 3 3 3 1 2 2 2 2
Lại có BJ AJ AB AB AC AB AB AC BC . 3 3 3 3 3 2
Suy ra J là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng BC xác định bởi hệ thức BJ BC . 3
Ta có 3MK AK 3MK 3KJ 3MJ .
Như vậy 3MK AK.MA MB 2MC 0 3MJ .4MK 0 MJ.MK 0 .
Từ đó suy ra điểm M thuộc đường tròn đường kính .
Vì , là các điểm cố định nên điểm luôn thuộc một đường tròn đường kính là đường tròn cố định.
Câu 92. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thoả mãn 2 2 2 2 2 2
MA MB MC 4GA GB GC là
A. Đường tròn tâm G bán kính bằng GB .
B. Đường tròn tâm G bán kính bằng GA .
C. Đường tròn tâm G bán kính bằng GC .
D. Đường tròn tâm G bán kính bằng 4GA . Lời giải:
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GC 0 . Khi đó 2 2 2 2 2 2
MA MB MC MA MB MC
MG GA2 MG GB2 MG GC2 2 2 2 2
3MG GA GB GC 2MG GAGB GC 2 2 2 2
3MG GA GB GC Suy ra 2 2 2 2 2 2
MA MB MC 4GA GB GC 2 2 2 2 2 2 2
3MG GA GB GC 4GA GB GC
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2
3MG 3GA MG GA
Do điểm G cố định và độ dài GA không đổi nên điểm M thuộc đường tròn tâm G bán kính bằng GA .
Vậy tập hợp điểm M thoả mãn đề bài là đường tròn tâm G bán kính bằng GA . Câu 93. Cho
ABC đều, cạnh bằng a 0 . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn 2 7a M . A MB M .
B MC MC.MA . 4
A. Quỹ tích điểm M là đường trung trực của AB .
B. Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua trọng tâm của ABC và song song với BC . 6a
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2 3a
D. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2 Lời giải:
Gọi O là trọng tâm của ABC , ta có: 2 2
MA MB MC 3MO MA MB MC 9.MO 2 2 2
MA MB MC MA MB MB MC MC MA 2 2 . . . 9MO 2 2 2 2 2 2 Mà: 2 2 2
MA MB MC MA MB MC MO OA MO OB MO OC 2 2 2 2
MO OA OB OC OAOB OC 2 2 3 2
.MO 3MO a 2 MO 2 2 2
MA MB MC 2 2 2 9 6MO a 7a Từ đó, ta có: M . A MB M .
B MC MC.MA 2 2 4 2 3a 3a 2 MO MO . 4 2 3a
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng . 2
Câu 94. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Điểm M là một điểm thỏa mãn đẳng 2 a thức M . A MB M .
B MC MC.MA
. Biết tập hợp điểm M là một đường tròn. Bán kính 6 đường tròn đó là a a a
A. R 2 . B. R . C. R . D. R . 3 4 2 Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm BC . Khi đó ta có:
MA MB MC MG MA MB MC2 2 3 9MG 2 2 2
MA MB MC MA MB MB MC MC MA 2 2 . . . 9MG
MG GA MG GB MG GC 2 2 2 2 a 2 9MG 3
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
MG MG GAGB GC 2 2 2 2 2 a 2 3 2
GA GB GC 9MG 3 2 2 a 4 a 2 2 2 2
6MG 3GA
6MG 3. AI 3 9 3 2 2 4 a 3 a a 2 6MG . MG . 3 2 3 3 a
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính R . 3
_____________________HẾT_____________________
Huế, 10h00’ Ngày 02 tháng 12 năm 2022
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115