Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Ch đề: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ
I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Định nghĩa góc gia hai vectơ
A
O
B
Cho hai vectơ
u
v
khác vectơ
0
. T một đim O tu ý, v các vec
OA u
OB v
. Khi đó
s đo của góc
được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ
,uv
, kí hiu là
,.uv
Chú ý
Quy ước rằng góc giữa hai vec
u
0
có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ
0
đến
180 .
Nếu
, 90uv
thì ta nói rằng
u
v
vuông góc với nhau, kí hiệu là
uv
hoc
.vu
Đặc biệt: Vectơ
0
vuông góc với mọi vectơ.
2. Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không
u
v
là mt s, kí hiu là
.uv
được xác định bi
công thc sau:
. . . , .u v u v cos u v
Chú ý
.0 u v u v
Tích
.uu
còn được viết là
2
u
và được gọi là bình phương vô hướng của
.u
Ta có
2
2
. .cos0 . u u u u
3. Biu thc to độ và tính cht của tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ
( ; )u x y
( ; )v x y

được tính theo công thức:
. . .
u v x x u u
Nhận xét
Hai vectơ
u
v
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
. . 0.x x y y


Bình phương vô hướng của vec
( ; )u x y
2 2 2
.u x y
Nếu
0u
0v
thì
2 2 2 2
.
cos ,
.
.




u v xx yy
uv
uv
x y x y
Tính chất
Với ba vectơ
, , u v w
bất kì và mọi số thực k ta có:
..u v v u
( tính chất giao hoán);
. . .u v w u v u w
( Tính chất phân phối đối với phép cộng);
. . . .ku v k u v u kv
u
v
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
II. BÀI TP TRC NGHIM
Dng 1: GÓC GIA HAI VECTO
Câu 1. Cho tam giác
ABC
như hình vẽ.
Xác định góc
,AB AC
.
A.
45
. B.
120
. C.
15
. D.
165
.
Câu 2. Cho tam giác
ABC
đều. Góc giữa hai vectơ
AB
AC
bằng
A.
60 .
B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Câu 3. Cho tam giác
ABC
đều. Góc giữa hai vectơ
AB
BC
bằng
A.
60 .
B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Câu 4. Cho tam giác
ABC
đều. Góc giữa hai vectơ
AB
CB
bằng
A.
60 .
B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Câu 5. Cho hình bình hành
ABCD
. Góc giữa 2 vectơ
AB
BC
A.
BAC
. B.
ADC
. C.
BAD
. D.
ABC
.
Câu 6. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
, góc
100BAC
. Số đo góc giữa hai véctơ
AB
BC
A.
140
. B.
80
. C.
40
. D.
100
.
Câu 7. Cho hai vectơ
a
;
b
khác vectơ
0
thỏa mãn
1
..
2
a b a b
. Khi đó góc giữa hai vectơ
a
;
b
bằn
A.
60 .
B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Câu 8. Cho hai vec
a
b
biết
6, 12ab
10ab
. Khi đó,
cosin
của góc giữa hai vectơ
a
ab
bằng
A.
1
18
. B.
2
3
. C.
1
15
. D.
1
15
.
Câu 9. Cho hai vecto
a
,
b
sao cho
a
2
,
2b
hai vectơ
x a b
,
2y a b
vuông góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ
a
b
.
A.
120
. B.
60
. C.
90
. D.
30
.
Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG
Câu 10. Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích hướng của hai vectơ
,ab
cùng khác
0
?
A.
. . . ,a b a b cos a b
. B.
. . . ,a b a b cos a b
.
C.
. . .sin ,a b a b a b
. D.
..a b a b
.
Câu 11. Cho hai vectơ
a
b
. Đẳng thức nào sau đây sai?
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
A.
. . .cos ,a b a b a b
. B.
2 2 2
..a b a b
.
C.
2 2 2
1
.
2
a b a b a b
. D.
2
2
aa
.
Câu 12. Cho hai véctơ
,ab
khác véctơ-không thỏa mãn
..a b a b
. Khi đó, góc giữa hai vectơ
,ab
bằng
A.
45 .
B.
0.
C.
D.
90 .
Câu 13. Cho hai vectơ
a
b
. Đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2 2 2
1
..
2
a b a b a b
. B.
2 2 2
1
. . .
2
a b a b a b
C.
22
1
..
2
a b a b a b
. D.
22
1
. . .
4
a b a b a b
Câu 14. Cho
3a
,
5b
,
o
, 45ab
. Tích vô hướng của
a
b
bằng
A.
15
2
. B.
15 3
2
. C.
15
2
. D.
15
2
.
Câu 15. Cho hai vectơ
a
b
. Biết
2, 3ab
, 30ab 
. Tính
ab
.
A.
11
. B.
13
. C.
12
. D.
14
.
Câu 16. Cho
,ab
4; 5.ab
. 10.ab
Tính
cos ; .ab
A.
3
cos ; .
2
ab
B.
2
cos ; .
2
ab
C.
1
cos ; .
2
ab
D.
1
cos ; .
2
ab
Câu 17. Cho hai véctơ
,ab
thỏa mãn:
4; 3; 4a b a b
. Gọi
góc giữa hai véctơ
,ab
. Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A.
0
60
. B.
0
30
. C.
1
cos
3
. D.
3
cos
8
.
Câu 18. Cho tam giác
ABC
30 ,ABC
5, 8AB BC
. Tính
.BA BC
.
A.
20.
B.
20 3.
C.
20 2.
D.
40 3.
Câu 19. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
2a
. Khi đó
.AB AC
bằng
A.
2
4a
. B.
2
2a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
a
.
Câu 20. Cho tam giác vuông cân
ABC
AB AC a
. Tính
..AB AC
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
0
. D.
2
3
2
a
.
Câu 21. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
,2AB a BC a
. Tích vô hướng
.BA B C
bằng
A.
2
a
. B.
2
1
2
a
. C.
2
3a
. D.
2
a
.
Câu 22. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
,A
.AB a
Tích vô hướng
.BA B C
bằng
A.
2
.a
B.
2
.
2
a
C.
2
.
2
a
D.
2
.a
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 23. Cho tam giác
ABC
0
ˆ
90A
,
0
ˆ
60B
AB a
. Khi đó,
.AC CB
bằng
A.
2
2a
. B.
2
2a
. C.
2
3a
. D.
2
3a
.
Câu 24. Cho
ABC
vuông cân tại
A
, cạnh
5AB
. Tích vô hướng
.BC BA
bằng
A.
52
. B.
25
. C.
20
. D.
20
.
Câu 25. Góc tạo bởi
m
n
90
2021m
,
2022n
. Khi đó,
.mn
bằng
A.
4086462
. B.
0
. C.
4086462
. D.
1
.
Câu 26. Cho hai véc tơ
a
,
b
thỏa mãn
3, 4ab
( , ) 60ab 
. Tích vô hướng
.ab
bằng
A.
6
. B.
63
. C.
12
. D.
43
.
Câu 27. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1BC
,
60BAD 
. Tích vô hướng
.AB AD
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 28. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
;3AB a AC a
AM
trung tuyến. Tính tích
hướng
..BA AM
A.
2
.
2
a
B.
2
.a
C.
2
.a
D.
2
.
2
a
Câu 29. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Tích vô hướng
.AB AD
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 30. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Tích vô hướng
.BA BC
bằng
A.
1
. B.
1
2
C.
1
. D.
1
2
.
Câu 31. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Độ dài đường chéo
AC
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
5
. D.
7
2
.
Câu 32. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Độ dài đường chéo
BD
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Câu 33. Cho hình vuông
ABCD
cạnh bằng 3, gọi
E
điểm đối xứng của
D
qua
C
. Giá trị
.AE CD
bằng
A.
18
. B.
93
. C.
95
. D.
18
.
Câu 34. Cho hình bình hành
ABCD
2 , 3 , 60AB a AD a BAD
. Điểm
K
thuộc
AD
thỏa mãn
2AK DK
. Tính tích vô hướng
.BK A C
A.
2
3a
. B.
2
6a
. C.
0
. D.
2
a
.
Câu 35. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
5
. Khi đó,
.AB AC
bằng
A.
25.
B.
25 2.
C.
25 2
.
2
D.
25
2
.
Câu 36. Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
. Tính
..AB AC
A.
2
3
..
2
a
AB AC
B.
2
..
2
a
AB AC
C.
2
..AB AC a
D.
2
. 2 .AB AC a
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 37. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
2a
,
M
là trung điểm của cạnh
CD
. Chọn khẳng định đúng.
A.
2
.
2
a
AM DC
. B.
.0AM DC
. C.
2
.AM DC a
. D.
2
.2AM DC a
.
Câu 38. Cho hình vuông
ABCD
có độ dài cạnh bằng
10
. Tính giá trị
.AB CD
.
A.
100
. B.
10
. C.
0
. D.
100
.
Câu 39. Cho tam giác đều
ABC
độ dài cạnh bằng 4 điểm
M
thỏa mãn
1
2
BM BC
. Tính
.BM BA
.
A.
.4BM BA
. B.
.4BM BA 
. C.
. 4 3BM BA
. D.
. 4 3BM BA 
.
Câu 40. Cho hình vuông
ABCD
có độ dài các cạnh bằng
a
. Tính
.A C BD
.
A.
2
.2AC BD a
. B.
.0AC BD
. C.
.0AC BD
. D.
2
.2AC BD a
.
Câu 41. Cho tam giác đều
có trọng tâm
G
và độ dài cạnh bằng
a
. Tính
..AB AG
A.
2
3
6
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
3
4
a
. D.
2
2
a
.
Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính
.AC AC AB
A.
2
2
2
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 43. Cho hình thoi
ABCD
tâm
O
cnh bng
2a
60ABD 
. Gi
I
điểm tha mãn
20IC ID
. Tính tích vô hướng
.AO BI
.
A.
2
2
2
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2; 3u 
Câu 44. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
3; 4AB AC
. Trên đoạn thẳng
BC
lấy điểm
M
sao
cho
2MB MC
. Tính tích vô hướng
.AM BC
.
A.
23
3
. B.
41
3
. C.
8
. D.
23
.
Câu 45. Cho hình vuông
ABCD
cạnh bằng 5. Tính
.. AB AC BC BD BA
A.
10 2
. B.
50
. C.
0
. D.
75
.
Câu 46. Cho hai vectơ
a
b
4a
,
5b
0
, 120ab
. Tính
ab
.
A.
21
. B.
21
. C.
41
. D.
41
.
Dạng 3: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG BNG BIU THC TỌA ĐỘ
Câu 47. Cho hai vectơ
2; 1u 
,
3;4v 
. Tích
.uv
bằng
A.
11.
B.
10.
C.
5.
D.
2.
Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
(1;4)a
,
( 1;3)b 
. Khi đó giá trị tích hướng của hai
véctơ
a
b
A.
12
. B.
11.
C.
0.
D.
11.
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai vectơ
3u i j
22v j i
. Tính
.uv
.
A.
.4uv
. B.
.4uv
. C.
.2uv
. D.
.2uv
.
Câu 50. Cho
0; 3A
;
4;0B
;
2; 5C 
. Tính
.AB BC
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
A.
16
. B.
9
. C.
10
. D.
9.
Câu 51. Cho
2; 3u
. Với giá trị nào của
m
thì
3;vm
vuông góc với
u
?
A.
1m
. B.
2m
. C.
1m
. D.
2m
.
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho các vectơ
1; 3a
,
2;5b
. Tính tích vô hướng của
.ab
.
A.
7
. B.
13
. C.
17
. D.
13
.
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho
2; 5a 
;2b m m
. Tìm
m
biết
a
b
vuông
góc.
A.
10
3
m 
. B.
10
3
m 
. C.
10
7
m 
. D.
10
7
m
.
Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
(1;4)a
;
(4;0).b
Khi đó, cosin góc giữa hai vecto
a
b
A.
17
17
. B.
17
.
17
C.
0.
D.
2.
Câu 55. Trên mặt phẳng
,Oxy
cho hai vectơ
2;1a
2; 4 .b 
Khi đó góc giữa hai vectơ
a
b
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
90
. D.
60
.
Câu 56. Cho hai vectơ
3;1a
,
3; 3b 
. Góc giữa hai vectơ
a
b
bằng
A.
15
. B.
30
. C.
45
. D.
60
.
Câu 57. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
1;2 , 4;1 , 5;4A B C
. Tính góc
.BAC
A.
45 .
B.
90
. C.
30
. D.
60
.
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
biết
(1;2)A
,
(4;1)B
,
(5;4)C
. Tính góc
A
của
tam giác
ABC
.
A.
60
. B.
45
. C.
90
. D.
120
.
Câu 59. Tam giác
ABC
1;2A
,
0;4B
,
3;1C
. Góc
BAC
của tam giác
ABC
gần với giá trị nào
dưới đây?
A.
90
. B.
36 52
. C.
143 7
. D.
53 7
.
Câu 60. Trong mt phng
Oxy
cho các điểm
1; 1 ; 3;1 ; 6;0A B C
. Khẳng định nào sau đây
đúng:
A.
4; 2 ; 3;1AB BC
. B.
o
135B
.
C.
20AB
. D.
3BC
.
Câu 61. Trong mặt phẳng
Oxy
cho các điểm
1;2 ; 5;8AB
. Điểm
M Ox
sao cho tam giác
MAB
vuông tại
A
. Diện tích tam giác
MAB
bằng
A.
10
. B.
18
. C.
24
. D.
12
.
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
2; 3A
. Tìm tọa đđiểm
B
thuộc trục tung, biết
khoảng cách giữa hai điểm
A
B
bằng
25
và điểm
B
có tung độ dương.
A.
0;1B
. B.
0;7B
. C.
2;0B
. D.
7;0B
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 63. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai điểm
3 ; 4A
2; 5B
. Tọa độ điểm
M
thuộc trục
Ox
cách đều hai điểm
;AB
A.
2
;0
5



. B.
2
;0
5



. C.
19
;
22



. D.
1
;0
2



.
Câu 64. Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho hai điểm
(1; 1)A
( 2; 2)B 
. Điểm
C
thuộc trục
Ox
sao cho tam
giác
ABC
cân tại
A
A.
( 2;0)C
. B.
(0; 2)C
. C.
(4;0)C
. D.
(2;0)C
.
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hai điểm
1;2A
;
1;1B
. Điểm
M
thuộc trục
Oy
thỏa
mãn tam giác
MAB
cân tại
M
. Khi đó, độ dài đoạn
OM
bằng
A.
5
2
. B.
3
2
. C.
1
2
. D.
7
2
.
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
1; 1A
,
4;1B
,
5; 7C
. Tính diện
tích
S
của tam giác
ABC
.
A.
26S
. B.
13S
. C.
3 13 65S 
. D.
3 13
2
S
.
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
3;2 ,A
4;3B
. Điểm
M
thuộc tia
Ox
.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
7;0M
. B.
5;0M
. C.
9;0M
. D.
2;0M
.
Câu 68. Cho hai điểm
1;3 , 8;2AB
. Gọi
C
điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác
ABC
vuông
tại
C
6OC
. Giá trị của biểu thức
22
5
CC
xy
A.
9
. B.
14
. C.
21
. D.
30
.
Câu 69. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai điểm
1;2 , 3;1 .AB
Tìm tọa độ điểm
C
trên trục
Oy
sao
cho tam giác
ABC
vuông tại
A
.
A.
6;0C
. B.
0;6C
. C.
6;0C
. D.
0; 6C
.
Câu 70. Cho tam giác
ABC
1;2 , 0;3 ,C 5; 2 .AB
Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh
A
của
tam giác
ABC
.
A.
0;3
. B.
0; 3
. C.
3;0
. D.
3;0
.
Câu 71. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
biết
1;1A
,
3;1B
2;4C
. Tìm tọa đtrực
tâm
H
của tam giác
ABC
A.
1;1H
. B.
2;1H
. C.
1;2H
. D.
2;2H
.
Câu 72. Cho tam giác
ABC
1;3 , 3; 4AB
6;2C
. Trực tâm của tam giác
ABC
;H a b
.
Tính giá trị biểu thức
2T a b
.
A.
10
. B.
6
. C.
8
. D.
7
.
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho tam giác
.ABC
Biết
3; 1 , 1;2AB
1; 1I
là trọng tâm
tam giác
.ABC
Trực tâm
H
của tam giác
ABC
có tọa độ
;.ab
Tính
3.ab
A.
2
3.
3
ab
B.
4
3.
3
ab
C.
3 1.ab
D.
3 2.ab
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa đ
Oxy
, cho hình thang cân
ABCD
với các đáy
AB
CD
. Biết
1;2A
,
2; 3B
, điểm
C
nằm trên trục tung, điểm
D
nằm trên trục hoành. Tính
OC OD
.
A.
4
3
. B.
2
. C.
6
. D.
26
3
.
Câu 75. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho bốn điểm
2;3 , 2;4 , 3;0 , 1; 1 .A B C D
bao nhiêu
điểm
M
thuộc đường thẳng
: 2 1d y x
sao cho
. 3?MA MB MC MD
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hai điểm
3; 1A 
5;0B
. Biết có hai điểm
C
nằm
trên parabol
2
:2P y x x
sao cho tam giác
ABC
vuông tại
C
1 1 1 2 2 2
; , ;C x y C x y
.
Tính giá trị biểu thức
1 2 2 1
T x y x y
.
A.
4
. B.
5
. C.
6
. D.
5
.
Câu 77. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
với
2;4 , 1;1 , 7; 1A B C
. Biết
;0M a b a
điểm nằm trong mặt phẳng
Oxy
thoả mãn tam giác
ABM
vuông cân tại
B
. Tính giá trị
34T a b
.
A.
2T
. B.
2T 
. C.
12T
. D.
12T 
.
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho
4;6A
;
5;1B
;
;3Cn
. Tìm
m
,
n
để
1
;
2
Im



tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
5
2
m 
;
1n 
B.
5
2
m
;
1n 
. C.
5
2
m
;
1
2
n
n

. D.
5
2
m 
;
1
2
n
n

.
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
, biết
;H a b
là toạ độ chân đường cao đỉnh
A
của tam giác
ABC
, biết toạ độ
3;1 , 4; 4BC
trọng tâm
G
của tam giác
ABC
toạ
độ
4;0G
. Tính
ab
.
A.
2
13
. B.
33
13
. C.
35
13
. D.
68
13
.
Dng 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Câu 80. Cho
a
,
b
2ab
vuông góc với vectơ
54ab
ab
. Tính góc giữa vectơ
a
b
.
A.
30
. B.
45
. C.
90
. D.
60
.
Câu 81. Cho biết
; 120ab 
;
3; 3ab
. Độ dài của véctơ
ab
bằng
A.
33
. B.
32
. C.
3
2
. D.
33
2
.
Câu 82. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho ba điểm
3;4 , 2;1 , 2; 3M N P 
. Tìm điểm
I
trên
đường thẳng
NP
sao cho góc
135MIN 
.
A.
3;2I
. B.
2;3I
. C.
5;4I
. D.
4;5I
.
Câu 83. Cho tam giác đều
ABC
cạnh
3a
,
0a
. Lấy các điểm
M
,
N
,
P
lần lượt trên các cạnh
BC
,
CA
,
AB
sao cho
BM a
,
2CN a
,
AP x
03xa
. Tìm
x
để
AM PN
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
A.
3
5
a
x
. B.
2
5
a
x
. C.
4
5
a
x
. D.
.
Câu 84. Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
. Trên các cạnh
,,BC CA AB
lần lượt lấy các điểm
,,M N P
sao
cho
2MC MB
,
1
2
NA NC
AP x
. Tìm
x
để
AM
vuông góc với
PN
.
A.
4
15
a
. B.
3
a
. C.
2 6 3
39
a
. D.
1 3 3
39
a
.
Câu 85. Cho hình chữ nhật
ABCD
thỏa
2AB a
,
AD a
. Gọi
,MN
hai điểm thỏa mãn
2DM MC
,
AN xAB
,
x
. Tìm
x
để
AM
DN
vuông góc.
A.
3
7
x
. B.
3
8
x
. C.
1
2
x
. D.
2
5
x
.
Câu 86. Cho hình thoi
ABCD
cạnh bằng
a
60BAD 
. Quỹ tích các điểm
M
thỏa mãn
2
.MA MC a
đường tròn có bán kính bằng
A.
2a
. B.
7
2
a
. C.
3
2
a
. D.
a
.
Câu 87. Cho ba điểm không thẳng hàng
,,A B C
.Điều kiện cần và đủ để ba điểm
,,A B C
thỏa mãn điều
kiện
( ). 0CA CB AB
:
A.
ABC
đều. B.
ABC
cân ti
C
.
C.
ABC
vuông ti
C
. D.
ABC
vuông cân ti
C
.
Câu 88. Cho hình thang vuông
ABCD
với đường cao
2,AB a
các cạnh đáy
AD a
3.BC a
Gọi
M
là điểm trên đoạn
AC
sao cho
..AM k AC
Tìm
k
để
BM
CD
vuông góc.
A.
4
.
9
B.
3
.
7
C.
1
.
3
D.
2
.
5
Câu 89. Cho hai điểm
,BC
phân biệt. Tập hợp những điểm
M
thỏa mãn
2
. CM CB CM
A. đường tròn đường kính
BC
. B. đường tròn
;B BC
.
C. đường tròn
;C CB
. D. đường tròn
;2C CB
.
Câu 90. Cho ba điểm
,,A B C
phân biệt. Tập hợp những điểm
M
..CM CB CACB
A. đường tròn đường kính
AB
.
B. đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
BC
.
C. đường thẳng đi qua
B
và vuông góc với
AC
.
D. đường thẳng đi qua
C
và vuông góc với
AB
.
Câu 91. Cho tam giác
ABC
, điểm
J
thỏa mãn
3AK KJ
,
I
trung điểm của cạnh
AB
,điểm
K
thỏa
mãn
20KA KB KC
. Một điểm
M
thay đổi thỏa mãn
3 . 2 0MK AK MA MB MC
.
Tp hợp điểm
M
A. đường tròn đường kính
IJ
. B. đường tròn đường kính
IK
.
C. đường tròn đường kính
JK
. D. đưng trung trực đoạn
JK
.
Câu 92. Cho tam giác
ABC
G
trọng tâm. Tập hợp các điểm
M
trong mặt phẳng thoả mãn
2 2 2 2 2 2
4MA MB MC GA GB GC
A. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
GB
. B. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
GA
.
C. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
GC
. D. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
4GA
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 93. Cho
ABC
đều, cạnh bằng
0a
. Tìm qu tích điểm
M
thỏa mãn
2
7
. . .
4
a
MAMB MB MC MC MA
.
A. Qu tích điểm
M
là đường trung trc ca
AB
.
B. Qu tích điểm
M
là đường thẳng đi qua trọng tâm ca
ABC
và song song vi
BC
.
C. Qu tích điểm
M
là đường tròn có bán kính bng
6
2
a
.
D. Qu tích điểm
M
là đường tròn có bán kính bng
3
2
a
.
Câu 94. Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
. Điểm
M
một điểm thỏa mãn đẳng
thức
2
. . .
6
a
MAMB MB MC MC MA
. Biết tập hợp điểm
M
một đường tròn. Bán kính
đường tròn đó là
A.
2R
. B.
3
a
R
. C.
4
a
R
. D.
2
a
R
.
_____________________HT_____________________
Huế, 10h00 Ngày 02 tháng 12 năm 2022
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
III. LI GII BÀI TP TRC NGHIM
Dng 1: GÓC GIA HAI VECTO
Câu 1. Cho tam giác
ABC
như hình vẽ.
Xác định góc
,AB AC
.
A.
45
. B.
120
. C.
15
. D.
165
.
Li gii:
Ta có:
, 180 120 45 15 . AB AC BAC
Câu 2. Cho tam giác
ABC
đều. Góc giữa hai vectơ
AB
AC
bằng
A.
60
. B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Li gii:
C
B
A
Ta có
; 60 .AB AC BAC
Câu 3. Cho tam giác
ABC
đều. Góc giữa hai vectơ
AB
BC
bằng
A.
60
. B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Li gii:
C'
C
B
A
Ta có
; 180 120 .AB BC BAC
Câu 4. Cho tam giác
ABC
đều. Góc giữa hai vectơ
AB
CB
bằng
A.
60
. B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
C'
C
B
A
Ta có
; 60 .AB AC BAC
Câu 5. Cho hình bình hành
ABCD
. Góc giữa 2 vectơ
AB
BC
A.
BAC
. B.
ADC
. C.
BAD
. D.
ABC
.
Li gii:
Theo tính cht hình bình hành ta có
BC AD
.
Vy
,,AB BC AB AD BAD
.
Câu 6. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
, góc
100BAC
. Số đo góc giữa hai véctơ
AB
BC
A.
140
. B.
80
. C.
40
. D.
100
.
Li gii:
Xét tam giác
ABC
cân ti
A
, góc
0
100BAC
suy ra
0
40ABC ACB
.
Dng
BM AB
, khi đó,
,,AB BC BM BC
00
180 140MBC ABC
.
Câu 7. Cho hai vectơ
a
;
b
khác vectơ
0
thỏa mãn
1
..
2
a b a b
. Khi đó góc giữa hai vectơ
a
;
b
bằn
A.
60
. B.
120
. C.
150
. D.
30
.
Li gii:
Ta có
aa
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Vy
. . cos ,a b a b a b
1
.
2
ab
1
cos ,
2
ab
, 60ab
.
Câu 8. Cho hai vec
a
b
biết
6, 12ab
10ab
. Khi đó,
cosin
của góc giữa hai vectơ
a
ab
bằng
A.
1
18
. B.
2
3
. C.
1
15
. D.
1
15
.
Li gii:
Dng
,AB a BC b
. Khi đó
a b AC
.
Ta được tam giác
ABC
6, 12, 10AB BC AC
,,a a b AB AC
.
2 2 2 2 2 2
2
2
10 6 12
.4
22
AC AB BC
BC AC AB BC AC AB AC AB
.
Vy
. 4 1
cos ,
. 6.10 15
AB A C
AB AC
AB AC
.
Câu 9. Cho hai vecto
a
,
b
sao cho
a
2
,
2b
hai vectơ
x a b
,
2y a b
vuông góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ
a
b
.
A.
120
. B.
60
. C.
90
. D.
30
.
Li gii:
Vì hai véc tơ
x a b
,
2y a b
vuông góc vi nhau nên
. 2 0a b a b
22
2 . 0a b a b
22
2. . .cos , 0a b a b a b
2
2
2. 2 2 2.2.cos , 0ab
cos , 0 , 90a b a b
.
Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG
Câu 10. Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích hướng của hai vectơ
,ab
cùng khác
0
?
A.
. . . ,a b a b cos a b
. B.
. . . ,a b a b cos a b
.
C.
. . .sin ,a b a b a b
. D.
..a b a b
.
Câu 11. Cho hai vectơ
a
b
. Đẳng thức nào sau đây sai?
A.
. . .cos ,a b a b a b
. B.
2 2 2
..a b a b
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
C.
2 2 2
1
.
2
a b a b a b
. D.
2
2
aa
.
Li gii:
Câu A, C, D: Đúng.
Câu B sai vì
2 2 2
2
. . .cos ,a b a b a b
.
Câu 12. Cho hai véctơ
,ab
khác véctơ-không thỏa mãn
..a b a b
. Khi đó, góc giữa hai vectơ
,ab
bằng
A.
45 .
B.
0.
C.
D.
90 .
Li gii:
Ta có:
..
. . cos ,


a b a b
a b a b a b
0
cos ; 1 ; 180 a b a b
.
Câu 13. Cho hai vectơ
a
b
. Đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2 2 2
1
..
2
a b a b a b
. B.
2 2 2
1
. . .
2
a b a b a b
C.
22
1
..
2
a b a b a b
. D.
22
1
. . .
4
a b a b a b
Li gii:
Nhn thy C và D ch khác nhau v h s
1
2
1
4
nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặcD.
D đúng, Ta có :
22
2 2 2 2
1
. . . 4 .. .. .
4
a b a b a b a b a b a b a b a b
A đúng, vì
22 22
. . . . . 2 .a b a b a b a a a b b a b b a b ab ba
2 2 2
1
.. .
2
a b a b a b
B đúng, vì
22 22
. . . . . 2 .a b a b a b a a a b b a b b a b ab ba
2 2 2
1
..
2
a b a b a b
.
Câu 14. Cho
3a
,
5b
,
o
, 45ab
. Tích vô hướng của
a
b
bằng
A.
15
2
. B.
15 3
2
. C.
15
2
. D.
15
2
.
Li gii:
Ta có
o
15
. . .cos , 3.5.cos45
2
a b a b a b
.
Câu 15. Cho hai vectơ
a
b
. Biết
2, 3ab
, 30ab 
. Tính
ab
.
A.
11
. B.
13
. C.
12
. D.
14
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Ta có:
2
2 2 2 2
2 2 . .cos , a b a b ab a b a b a b
,
2
0
4 3 2.2. 3.cos30 13ab
13ab
.
Câu 16. Cho
,ab
4; 5.ab
. 10.ab
Tính
cos ; .ab
A.
3
cos ; .
2
ab
B.
2
cos ; .
2
ab
C.
1
cos ; .
2
ab
D.
1
cos ; .
2
ab
Li gii:
Ta có
.1
cos ;
2
.

ab
ab
ab
.
Câu 17. Cho hai véctơ
,ab
thỏa mãn:
4; 3; 4a b a b
. Gọi
góc giữa hai véctơ
,ab
. Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A.
0
60
. B.
0
30
. C.
1
cos
3
. D.
3
cos
8
.
Li gii:
Ta có:
2
22
4 16 2 . 16a b a b a a b b
22
3
4 2.4.3.cos 3 16 cos .
8

Câu 18. Cho tam giác
ABC
30 ,ABC
5, 8AB BC
. Tính
.BA BC
.
A.
20.
B.
20 3.
C.
20 2.
D.
40 3.
Li gii:
Ta có
. . .cos 5.8.cos30 20 3.BA BC BA BC ABC
Vy
. 20 3.BA BC
Câu 19. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
2a
. Khi đó
.AB AC
bằng
A.
2
4a
. B.
2
2a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
a
.
Li gii:
Ta có
2
. .cos , 2 .2 2.cos45 4AB AC AB AC AB AC a a a
.
Câu 20. Cho tam giác vuông cân
ABC
AB AC a
. Tính
..AB AC
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
0
. D.
2
3
2
a
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Li gii:
Tam giác
ABC
vuông cân ti
A
.
Câu 21. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
,2AB a BC a
. Tích vô hướng
.BA BC
bằng
A.
2
a
. B.
2
1
2
a
. C.
2
3a
. D.
2
a
.
Li gii:
2
. . .cos .2 .
2
a
BA BC BA BC B a a a
a
.
Câu 22. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
,A
.AB a
Tích vô hướng
.BA B C
bằng
A.
2
.a
B.
2
.
2
a
C.
2
.
2
a
D.
2
.a
Li gii:
Tam giác
ABC
vuông cân ti
,A
2.AB a BC a
2
, 45 . . .cos , . 2.cos45 .BA BC BA BC BA BC BA BC a a a
Câu 23. Cho tam giác
ABC
0
ˆ
90A
,
0
ˆ
60B
AB a
. Khi đó,
.AC CB
bằng
A.
2
2a
. B.
2
2a
. C.
2
3a
. D.
2
3a
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Gi
D
là điểm đối xng vi
A
qua
C
.
Khi đó:
.AC CB
. . .cos150CD CB CD CB
2
3
3.2 . 3
2
a a a




.
Câu 24. Cho
ABC
vuông cân tại
A
, cạnh
5AB
. Tích vô hướng
.BC BA
bằng
A.
52
. B.
25
. C.
20
. D.
20
.
Li gii:
Xét
ABC
vuông cân ti
A
, cnh
5AB
suy ra
52BC
45ABC 
.
Ta có
. . .cos ; . .cos 5.5 2.cos45 25BC BA BC BA BC BA BC BA ABC
.
Câu 25. Góc tạo bởi
m
n
90
2021m
,
2022n
. Khi đó,
.mn
bằng
A.
4086462
. B.
0
. C.
4086462
. D.
1
.
Li gii:
Ta có
. . .cos ; 2021.2022.cos90 0m n m n m n
.
Vy
.0mn
.
Câu 26. Cho hai véc tơ
a
,
b
thỏa mãn
3, 4ab
( , ) 60ab 
. Tích vô hướng
.ab
bằng
A.
6
. B.
63
. C.
12
. D.
43
.
Li gii:
Ta có
. . .cos( , ) 3.4.cos60 6a b a b a b
.
Câu 27. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1BC
,
60BAD 
. Tích vô hướng
.AB AD
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Li gii:
B
A
C
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
. . .cos ; . .cos 2.1.cos60 1AB AD AB AD AB AD AB AD BAD
.
Câu 28. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
;3AB a AC a
AM
trung tuyến. Tính tích
hướng
..B A AM
A.
2
.
2
a
B.
2
.a
C.
2
.a
D.
2
.
2
a
Li gii:
C
B
A
M
Ta có tam giác
ABC
vuông ti
A
và có
AM
là trung tuyến nên
2
BC
AM
.
2 2 2 2
3
2 2 2
BC AB AC a a
AM a

.
Tam giác
AMB
AB BM AM a
nên là tam giác đều. Suy ra góc
60MAB 
.
Ta có
2
. . . .cos( , ) . .cos60
2
a
BA AM AB AM AB AM AB AM a a
.
Câu 29. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Tích vô hướng
.AB AD
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Li gii:
B
D
C
A
. . .cos ; . .cos 2.1.cos60 1AB AD AB AD AB AD AB AD BAD
.
Câu 30. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Tích vô hướng
.BA BC
bằng
A.
1
. B.
1
2
C.
1
. D.
1
2
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
B
D
C
A
Theo gi thiết:
60 120BAD ABC
.
. . .cos ; . .cos 2.1.cos120 1BA BC BA BC BA BC AB BC ABC
.
Câu 31. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Độ dài đường chéo
AC
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
5
. D.
7
2
.
Li gii:
B
D
C
A
Ta có:
222
2 2 2
2 . 2 1 2.1 7AC AB AD AC AB AD AB AD AC AC
.
Câu 32. Cho hình bình hành
ABCD
, với
2AB
,
1AD
,
60BAD 
. Độ dài đường chéo
BD
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Li gii:
B
D
C
A
2 2 2
2 2 2
2 . 2 1 2. 1BD BA BC BD BA BC BA BC BD
3BD
.
Câu 33. Cho hình vuông
ABCD
cạnh bằng 3, gọi
E
điểm đối xứng của
D
qua
C
. Giá trị
.AE CD
bằng
A.
18
. B.
93
. C.
95
. D.
18
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Ta có
C
là trung điểm ca
DE
nên
2.3 6DE 
.
Khi đó:
. . . .AE CD AD DE CD AD CD DE CD
0
0 . .cos180 6.3. 1 18DE CD
.
Câu 34. Cho hình bình hành
ABCD
2 , 3 , 60AB a AD a BAD
. Điểm
K
thuộc
AD
thỏa mãn
2AK DK
. Tính tích vô hướng
.BK A C
A.
2
3a
. B.
2
6a
. C.
0
. D.
2
a
.
Li gii:
O
B
C
A
D
K
Ta có
2
3
BK AB AD
;
AC AB AD
Khi đó:
22
2 2 1
. ( )( )
3 3 3
BK AC AB AD AB AD AB AD ABAD
2 2 2
21
. 4 .9 2 .3 . 60
33
BK AC a a a a cos a
Câu 35. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
5
. Khi đó,
.AB AC
bằng
A.
25.
B.
25 2.
C.
25 2
.
2
D.
25
2
.
Li gii:
Ta có
ABCD
là hình vuông nên
52AC
; góc
0
45BAC
;
Tích vô hướng
0
. . .cos ; 5.5 2.cos45 25AB AC AB AC AB AC
.
Câu 36. Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
. Tính
..AB AC
A.
2
3
..
2
a
AB AC
B.
2
..
2
a
AB AC
C.
2
..AB AC a
D.
2
. 2 .AB AC a
Li gii:
Tam giác
AB AC a
60BAC 
.
2
. . .cos . .cos60
2
a
AB AC AB AC A a a
.
Câu 37. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
2a
,
M
là trung điểm của cạnh
CD
. Chọn khẳng định đúng.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
A.
2
.
2
a
AM DC
. B.
.0AM DC
. C.
2
.AM DC a
. D.
2
.2AM DC a
.
Li gii:
Ta có
. ( ). . .AM DC AD DM DC AD DC DM DC
0
. . .cos90 0AD DC AD DC
02
. . .cos0 .2 .1 2DM DC DM DC a a a
Vy
2
. . 2AM DC DM DC a
.
Câu 38. Cho hình vuông
ABCD
có độ dài cạnh bằng
10
. Tính giá trị
.A B CD
.
A.
100
. B.
10
. C.
0
. D.
100
.
Li gii:
Ta có
. . .cos , . .cos180 10.10. 1 100 ABCD AB CD AB CD ABCD
.
Câu 39. Cho tam giác đều
ABC
độ dài cạnh bằng 4 điểm
M
thỏa mãn
1
2
BM BC
. Tính
.BM B A
.
A.
.4BM BA
. B.
.4BM BA 
. C.
. 4 3BM BA
. D.
. 4 3BM BA 
.
Li gii:
Ta có
11
2
22
BM BC BM BC
.
Khi đó
0
. . .cos ; 2.4.cos120 4BM BA BM BA BM BA
.
Câu 40. Cho hình vuông
ABCD
có độ dài các cạnh bằng
a
. Tính
.AC BD
.
A.
2
.2AC BD a
. B.
.0AC BD
. C.
.0AC BD
. D.
2
.2AC BD a
.
Li gii:
ABCD
là hình vuông nên hai đưng chéo
AC
BD
vuông góc nhau.
Hay
AC BD
nên
.0AC BD
.
Câu 41. Cho tam giác đều
có trọng tâm
G
và độ dài cạnh bằng
a
. Tính
..AB AG
A.
2
3
6
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
3
4
a
. D.
2
2
a
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Li gii:
Ta có
. .cos ,AB AG AB AG AB AG
; với
0
3
; ; , 30
3
a
AB AB a AG AG AB AG
.
Vậy
2
0
3
. . .cos30
32
aa
AB AG a
.
Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính
.AC AC AB
A.
2
2
2
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
2
a
.
Li gii:
Ta có
2
0
a
AC AC AB AC.BC CA.CB CA.CB.cosC a.a.cos60
2
.
Câu 43. Cho hình thoi
ABCD
tâm
O
cnh bng
2a
60ABD 
. Gi
I
điểm tha mãn
20IC ID
. Tính tích vô hướng
.AO BI
.
A.
2
2
2
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2; 3u 
Li gii:
O
I
C
B
A
D
Do
ABCD
hình thoi cnh bng
a
60ABD 
nên
ABD
BCD
các tam giác đều
cnh
a
.
Ta có:
. . . D .AO BI AO BD DI AO B AO DI
22
..
33
AO DC AO AB




2
2 2. 3 2
. . .cos30
3 2 2
aa
a
. Vy,
2
2
.
2
a
AO BI
.
Câu 44. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
3; 4AB AC
. Trên đoạn thẳng
BC
lấy điểm
M
sao
cho
2MB MC
. Tính tích vô hướng
.AM BC
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
A.
23
3
. B.
41
3
. C.
8
. D.
23
.
Li gii:
Ta có
1
22
3
MB MC AM AB AC
, do đó
1
.2
3
AM BC AB AC AC AB
.
Vì tam giác
ABC
vuông ti
A
nên
.0AB AC
.
Vy
22
22
1 1 1 23
. 2 2 2.
3 3 3 3
AM BC AB AC AC AB AC AB AC AB
.
Câu 45. Cho hình vuông
ABCD
cạnh bằng 5. Tính
.. AB AC BC BD BA
A.
10 2
. B.
50
. C.
0
. D.
75
.
Li gii:
Ta có:
.AB AC BC BD BA
.2AB AC BD
(Vì
BC BA BD
)
2 . .AB BD AC BD
2.AB BD
(Vì
. 0)AC BD
2 . .AB BA AB AD
2.AB BA
(Vì
.0AB AD
)
2
2. .cos180AB
50
.
Câu 46. Cho hai vectơ
a
b
4a
,
5b
0
, 120ab
. Tính
ab
.
A.
21
. B.
21
. C.
41
. D.
41
.
Li gii:
Ta có
2
22
22
2 . 2 cos , 21a b a b a b a b a b a b a b
.
Dạng 3: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG BNG BIU THC TỌA ĐỘ
Câu 47. Cho hai vectơ
2; 1u 
,
3;4v 
. Tích
.uv
bằng
A.
11.
B.
10.
C.
5.
D.
2.
Li gii:
Vi
2; 1
. 2. 3 1 4 10.
3;4
u
uv
v


Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
(1;4)a
,
( 1;3)b 
. Khi đó giá trị tích hướng của hai
véctơ
a
b
A.
12
. B.
11.
C.
0.
D.
11.
Li gii:
Ta có:
. 1.( 1) 4.3 11ab
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai vectơ
3u i j
22v j i
. Tính
.uv
.
A.
.4uv
. B.
.4uv
. C.
.2uv
. D.
.2uv
.
Li gii:
Theo gi thiết ta có
1;3u
2;2v 
.
Khi đó
. 1. 2 3.2 4uv
.
Câu 50. Cho
0; 3A
;
4;0B
;
2; 5C 
. Tính
.AB BC
.
A.
16
. B.
9
. C.
10
. D.
9
.
Li gii:
Ta có
4; 3AB 
;
6; 5BC
Vy
.AB BC
4. 6 3 . 5 9
.
Câu 51. Cho
2; 3u
. Với giá trị nào của
m
thì
3;vm
vuông góc với
u
?
A.
1m
. B.
2m
. C.
1m
. D.
2m
.
Li gii:
Ta có:
2. 3 3 . 0 2 v u m m
.
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho các vectơ
1; 3a
,
2;5b
. Tính tích vô hướng của
.ab
.
A.
7
. B.
13
. C.
17
. D.
13
.
Li gii:
Ta có
. 1.2 3 .5 13ab
.
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho
2; 5a 
;2b m m
. Tìm
m
biết
a
b
vuông
góc.
A.
10
3
m 
. B.
10
3
m 
. C.
10
7
m 
. D.
10
7
m
.
Li gii:
Để
ab
thì
10
. 0 2 5 2 0
3
a b m m m
.
Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
(1;4)a
;
(4;0).b
Khi đó, cosin góc giữa hai vecto
a
b
A.
17
17
. B.
17
.
17
C.
0.
D.
2.
Li gii:
Ta có:
. 4 17
cos( , )
17
17. 16
.
ab
ab
ab
.
Câu 55. Trên mặt phẳng
,Oxy
cho hai vectơ
2;1a
2; 4 .b 
Khi đó góc giữa hai vectơ
a
b
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
90
. D.
60
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
.
. . .cos , cos , 0 , 90
.
ab
a b a b a b a b a b
ab
Câu 56. Cho hai vectơ
3;1a
,
3; 3b 
. Góc giữa hai vectơ
a
b
bằng
A.
15
. B.
30
. C.
45
. D.
60
.
Li gii:
Ta có:
.
cos ;
.
ab
ab
ab
3 3 3 1
2
2.2 3

; 60ab
.
Câu 57. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
1;2 , 4;1 , 5;4A B C
. Tính góc
.BAC
A.
45 .
B.
90
. C.
30
. D.
60
.
Li gii:
Ta có:
3; 1AB 
,
4;2AC
.
Khi đó:
2
2 2 2
3.4 1 .2
.2
cos cos ,
2
.
3 1 . 4 2
AB AC
BAC AB AC
AB AC

.
Suy ra
45
o
BAC
.
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
biết
(1;2)A
,
(4;1)B
,
(5;4)C
. Tính góc
A
của
tam giác
ABC
.
A.
60
. B.
45
. C.
90
. D.
120
.
Li gii:
Ta có:
(3; 1)AB 
,
(4;2)AC
. 3.4 ( 1).2 10AB AC
,
10AB
,
25AC
.
. 10 2
cos( ) cos( , )
.2
10.2 5
AB AC
A AB AC
AB AC
45A
.
Câu 59. Tam giác
ABC
1;2A
,
0;4B
,
3;1C
. Góc
BAC
của tam giác
ABC
gần với giá trị nào
dưới đây?
A.
90
. B.
36 52
. C.
143 7
. D.
53 7
.
Li gii:
Ta có
1;2 ; 2; 1AB AC
.
. 2 2 4
cos
5
5. 5
.
AB AC
BAC
AB AC
143 7BAC
.
Câu 60. Trong mt phng
Oxy
cho các điểm
1; 1 ; 3;1 ; 6;0A B C
. Khẳng định nào sau đây
đúng:
A.
4; 2 ; 3;1AB BC
. B.
o
135B
.
C.
20AB
. D.
3BC
.
Li gii:
4; 2 ; 3; 1BA BC
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
2 2 2 2
4.3 2 . 1
.2
cos cos ;
2
.
4 2 . 3 1
BA BC
B BA BC
BA BC

o
135B
.
Câu 61. Trong mặt phẳng
Oxy
cho các điểm
1;2 ; 5;8AB
. Điểm
M Ox
sao cho tam giác
MAB
vuông tại
A
. Diện tích tam giác
MAB
bằng
A.
10
. B.
18
. C.
24
. D.
12
.
Li gii:
M Ox
nên có tọa độ
;0Ma
, ta có
1; 2 ; 6;6AM a AB
.
Tam giác
MAB
vuông ti
A
. 0 6 1 12 0 1AB AM a a
1;0M
.
Ta có
22
1 1 0 2 2 2AM
;
22
5 1 8 2 6 2AB
.
Vy
11
. . .2 2.6 2 12
22
ABM
S AM AB
.
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
2; 3A
. Tìm tọa đđiểm
B
thuộc trục tung, biết
khoảng cách giữa hai điểm
A
B
bằng
25
và điểm
B
có tung độ dương.
A.
0;1B
. B.
0;7B
. C.
2;0B
. D.
7;0B
.
Li gii:
Ta có
B
thuc trc tung nên gi
0,Bb
,
0b
.
Ta có
2; 3AB b
.
Theo gi thiết
2
22
22
1( )
2 5 2 3 20 6 7 0
7( )
b TM
AB b b b
bL

.
Vy
0;1B
.
Câu 63. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai điểm
3 ; 4A
2; 5B
. Tọa độ điểm
M
thuộc trục
Ox
cách đều hai điểm
;AB
A.
2
;0
5



. B.
2
;0
5



. C.
19
;
22



. D.
1
;0
2



.
Li gii:
M Ox
nên
;0Mx
.
Ta có:
3; 4AM x
;
2; 5BM x
.
Để
M
cách đều
;AB
thì
AM BM
2 2 2 2
3 4 2 5xx
2
5
x
Vy
2
;0
5
M



.
Câu 64. Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho hai điểm
(1; 1)A
( 2; 2)B 
. Điểm
C
thuộc trục
Ox
sao cho tam
giác
ABC
cân tại
A
A.
( 2;0)C
. B.
(0; 2)C
. C.
(4;0)C
. D.
(2;0)C
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Ta có
22
( 2 1) ( 2 1) 10AB
Do điểm
( ; )C a b
thuộc trục
Ox
nên
( ;0)Ca
suy ra
22
( 1) (0 1)AC a
Tam giác
ABC
cân tại
A
AB AC
22
4
10 ( 1) (0 1)
2
a
a
a

Với
(4;0)C
, ta có
( 3; 1), (3;1)AB AC
suy ra 3 điểm
,,A B C
thẳng hàng, loại trường hợp này.
Với
( 2;0)C
, kiểm tra tương tự thấy thoả mãn. Vậy
( 2;0)C
.
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hai điểm
1;2A
;
1;1B
. Điểm
M
thuộc trục
Oy
thỏa
mãn tam giác
MAB
cân tại
M
. Khi đó, độ dài đoạn
OM
bằng
A.
5
2
. B.
3
2
. C.
1
2
. D.
7
2
.
Li gii:
Đim
M
thuc trc
Oy
0;My
.
Ta có tam giác
MAB
cân ti
M
MA MB
2 2 2
2
1 2 1 1yy
4 4 1 2yy
3
2
y
.
Vy
3
2
OM
.
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
1; 1A
,
4;1B
,
5; 7C
. Tính diện
tích
S
của tam giác
ABC
.
A.
26S
. B.
13S
. C.
3 13 65S 
. D.
3 13
2
S
.
Li gii:
Ta có:
3;2AB
,
4; 6AC
.0AB AC AB AC
1 1 1
. 9 4. 16 36 2.13 13
2 2 2
ABC
S AB AC
.
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
3;2 ,A
4;3B
. Điểm
M
thuộc tia
Ox
.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
7;0M
. B.
5;0M
. C.
9;0M
. D.
2;0M
.
Li gii:
;0M Ox M x
(theo gi thiết thì
0x
).
Ta có
3; 2 ,AM x
4; 3BM x
Tam giác
ABM
vuông ti
M
.0AM BM
3 4 2 3 0xx
2
60xx
2 ( )
3 ( )
x TM
xL

.
Vy
2x
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 68. Cho hai điểm
1;3 , 8;2AB
. Gọi
C
điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác
ABC
vuông
tại
C
6OC
. Giá trị của biểu thức
22
5
CC
xy
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
A.
9
. B.
14
. C.
21
. D.
30
.
Li gii:
Gi
;0Cx
là điểm thuc trc hoành. Ta có:
1; 3 , 8; 2AC x BC x
.
Do tam giác
ABC
vuông ti
C
nên
.0AC BC
2
7
1 . 8 3 . 2 0 9 14 0
2
x
x x x x
x
6OC
nên ta chn
2x
. Suy ra
2;0C
. Vy
22
59
CC
xy
.
Câu 69. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai điểm
1;2 , 3;1 .AB
Tìm tọa độ điểm
C
trên trục
Oy
sao
cho tam giác
ABC
vuông tại
A
.
A.
6;0C
. B.
0;6C
. C.
6;0C
. D.
0; 6C
.
Li gii:
C Oy
0;Cy
4; 1AB
,
1; 2AC y
.
Ba điểm
A
,
B
,
C
to thành mt tam giác vuông ti
A
0
0
AB
AC
AB AC
.0AB AC
6.y
Vy
0;6 .C
Câu 70. Cho tam giác
ABC
1;2 , 0;3 ,C 5; 2 .AB
Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh
A
của
tam giác
ABC
.
A.
0;3
. B.
0; 3
. C.
3;0
. D.
3;0
.
Li gii:
A
B
C
Ta có
1;1 ; 6; 4 ; 5; 5 .AB AC BC
Nhn thy rng
. 1.5 1.( 5) 0AB BC
nên tam giác
ABC
vuông ti
.B
Vy chân đường cao h t đỉnh
A
ca tam giác
ABC
trùng vi đnh
0; 3 .B
Câu 71. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
biết
1;1A
,
3;1B
2;4C
. Tìm tọa đtrực
tâm
H
của tam giác
ABC
A.
1;1H
. B.
2;1H
. C.
1;2H
. D.
2;2H
.
Li gii:
Gi
;H x y
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
H
là trc tâm ca tam giác
ABC
nên ta có
.0
.0
AH BC
BH AC
(1)
1; 1AH x y
,
1;3BC 
,
3; 1BH x y
,
3;3AC
.
Do đó
1. 1 3 1 0
2
1
2
3 3 3 1 0
xy
x
y
xy


. Vy
2;2H
.
Câu 72. Cho tam giác
ABC
1;3 , 3; 4AB
6;2C
. Trực tâm của tam giác
ABC
;H a b
.
Tính giá trị biểu thức
2T a b
.
A.
10
. B.
6
. C.
8
. D.
7
.
Li gii:
Ta có:
1; 3
3;6
3; 4
5; 1
AH a b
BC
BH a b
AC

.
Theo gi thiết
H
là trc tâm tam giác
ABC
nên ta có
AH BC
BH AC
45
3 1 6 3 0
. 0 2 7
11
5 19 16
5 3 1 4 0
.0
11
a
ab
BC AH a b
ab
ab
AC BH
b

.
Suy ra
45 16
;
11 11
H



45 16
27
11 11
T



.
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho tam giác
.ABC
Biết
3; 1 , 1;2AB
1; 1I
là trọng tâm
tam giác
.ABC
Trực tâm
H
của tam giác
ABC
có tọa độ
;.ab
Tính
3.ab
A.
2
3.
3
ab
B.
4
3.
3
ab
C.
3 1.ab
D.
3 2.ab
Li gii:
C
B
A
H
Giả sử
;
CC
C x y
;y
HH
Hx
. Có I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
1
3
4
3
A B C
I
C
C
A B C
I
x x x
x
x
y
y y y
y





1; 4C
Ta có
3; 1 ; 2; 6
HH
AH x y BC
;
1; 2 ; 2; 3
HH
BH x y AC
H
là trực tâm tam giác
ABC
nên
10
2 3 6 1 0
.0
3
8
2 1 3 2 0
.0
9
H
HH
HH
H
x
xy
AH BC
xy
BH AC
y



10 8
;
39
ab
2
3
S
.
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa đ
Oxy
, cho hình thang cân
ABCD
với các đáy
AB
CD
. Biết
1;2A
,
2; 3B
, điểm
C
nằm trên trục tung, điểm
D
nằm trên trục hoành. Tính
OC OD
.
A.
4
3
. B.
2
. C.
6
. D.
26
3
.
Li gii:
T giác
ABCD
là hình thang cân có các đáy là
AB
CD
CD t AB
vi
0t
.
C Oy
nên
0;Cc
,
D Ox
nên
;0Dd
.
Ta có
1; 5 ; ;AB CD d c
.
.
55
d t d t
CD t AB
c t c t



.
ABCD
là hình thang cân nên
AC BD
22
AC BD
2 2 2 2
0 1 2 2 0 3 *cd
.
Thay
5ct
dt
vào
*
ta được:
22
1 5 2 2 9tt
2
24 16 8 0tt
1
1
3
t ktm
t tm

. Vi
15
0;
33
tC



1
;0
3
D



.
Vy
51
2
33
OC OD
.
Câu 75. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho bốn điểm
2;3 , 2;4 , 3;0 , 1; 1 .A B C D
bao nhiêu
điểm
M
thuộc đường thẳng
: 2 1d y x
sao cho
. 3?MA MB MC MD
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Gi
;M a b
là ta đ đim cn tìm.
Ta có:
. 3 . 3.MA MB MC MD AM BM CM DM
Li có:
;M a b
thuộc đường thng
: 2 1 2 1 ;2 1 .d y x b a M a a
Khi đó:
2;2 4
2;2 5 3 3;6 10
3;2 1
AM a a
BM a a AM BM CM a a
CM a a
1;2DM a a
.3AM BM CM DM
2
0
3 3 . 1 6 10 .2 3 15 20 0
4
3
a
a a a a a a
a
.
Vy
45
0;1 hay ; .
33
MM



Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hai điểm
3; 1A 
5;0B
. Biết có hai điểm
C
nằm
trên parabol
2
:2P y x x
sao cho tam giác
ABC
vuông tại
C
1 1 1 2 2 2
; , ;C x y C x y
.
Tính giá trị biểu thức
1 2 2 1
T x y x y
.
A.
4
. B.
5
. C.
6
. D.
5
.
Li gii:
Gi
2
;2C x x x
2
2
3 ; 1 2
5 ; 2
CA x x x
CB x x x
.
Do tam giác
ABC
vuông ti
C
nên ta có
.0CACB
22
3 5 1 2 2 0x x x x x x
432
4 6 4 15 0x x x x
2
22
2
2 3 0 1
2 3 2 5 0
2 5 0 2
xx
x x x x
xx
.
Giải (1) được
1
2
1 1;3
3 3;3
xC
xC

.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Gii (2): Vô nghim.
Vậy có hai điểm tha mãn yêu cu bài toán và
1 .3 3.3 6T
.
Câu 77. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
với
2;4 , 1;1 , 7; 1A B C
. Biết
;0M a b a
điểm nằm trong mặt phẳng
Oxy
thoả mãn tam giác
ABM
vuông cân tại
B
. Tính giá trị
34T a b
.
A.
2T
. B.
2T 
. C.
12T
. D.
12T 
.
Li gii:
Ta có
1;3 ; 1; 1B abA BM 
Vì tam giác
ABM
vuông cân ti
B
, suy ra:
22
22
22
1
3 4 0
.0
2 2 8 0
1 3 1 0
113 1
ab
BM BA
a b a b
AB
a
ab
B
b
M



2
2
2
43
43
2
0
0
4 3 4 3 2 8 0
2
2
4
b
ab
ab
a
b
b
b b bb
b
l
a






.
Vy to độ đim
2;2M
, suy ra
3 4 2T a b
.
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho
4;6A
;
5;1B
;
;3Cn
. Tìm
m
,
n
để
1
;
2
Im



tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
5
2
m 
;
1n 
B.
5
2
m
;
1n 
. C.
5
2
m
;
1
2
n
n

. D.
5
2
m 
;
1
2
n
n

.
Li gii:
1; 5AB 
,
4; 9AC n
.
,,A B C
3
đỉnh ca mt tam giác
AB
AC
không cùng
phương
9 11
4
55
nn
.
Ta có:
9
;6
2
IA m


;
11
;1
2
IB m


;
1
;3
2
IC n m


.
I
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
khi
22
22
IA IB
IA IC
22
22
22
22
9 11
61
22
91
63
22
mm
m n m
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
22
22
25 10 0
91
63
22
m
m n m

5
5
2
2
13
1
22
/
1 3 2
22
m
m
n
n
tm
n
n







.
Vy
5
2
m
;
1
2
n
n

.
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
, biết
;H a b
là toạ độ chân đường cao đỉnh
A
của tam giác
ABC
, biết toạ độ
3;1 , 4; 4BC
trọng tâm
G
của tam giác
ABC
toạ
độ
4;0G
. Tính
ab
.
A.
2
13
, B.
33
13
. C.
35
13
. D.
68
13
.
Li gii:
4;0G
là trng tâm tam giác
ABC
, suy ra
5
3
3
3
A B C
G
A
A
A B C
G
xxx
x
x
y
yyy
y



Gi
;H x y
chân đường cao đỉnh
A
, suy ra
. 0 1 5 5 3 0 5 10 0 1AH BC x y x y
H BC
nên
;BH BC
cùng phương, suy ra
31
5 16 0 2
15
xy
xy

T
1
2
ta có h
35
5 10
13
5 16 33
13
x
xy
xy
y


.
To độ đim
35 33
;
13 13
H



, suy ra
68
13
ab
.
Dng 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Câu 80. Cho
a
,
b
2ab
vuông góc với vectơ
54ab
ab
. Tính góc giữa vectơ
a
b
.
A.
30
. B.
45
. C.
90
. D.
60
.
Li gii:
+ Vì
2ab
vuông góc với vectơ
54ab
nên
2 . 5 4 0 a b a b
.
22
5 8 6 . 0 a b a b
22
58
.
6

ab
ab
22
58
.
6

ab
ab
(1)
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
+ Theo đề
22
a b a b
.
+ T (1) ta được
2
.
2
a
ab
+ Ta có
2
0
2
.1
2
cos , , 60
2
a
ab
a b a b
ab
a
.
+ Kết lun: Góc giữa vectơ
a
b
bng
0
60
.
Câu 81. Cho biết
; 120ab 
;
3; 3ab
. Độ dài của véctơ
ab
bằng
A.
33
. B.
32
. C.
3
2
. D.
33
2
.
Li gii:
Ta có
2
2 2 2
22
2. . 2. . . ;a b a b a a b b a b a b cos a b
1
9 9 2.3.3. 27
2



.
Suy ra:
33ab
.
Câu 82. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho ba điểm
3;4 , 2;1 , 2; 3M N P 
. Tìm điểm
I
trên
đường thẳng
NP
sao cho góc
135MIN 
.
A.
3;2I
. B.
2;3I
. C.
5;4I
. D.
4;5I
.
Li gii:
+) Ta có
4; 4NP
;
Gi
; 2 ; 1I x y IN x y
.
,I NP IN NP
là hai vectơ cùng phương
21
1 ; 1 .
44
xy
y x I x x


+) Ta có
.
cos = cos , (1).
.
IM NP
MIN IM NP
IM NP
135MIN 
3 ; 5 ; 4; 4IM x x NP
nên t
1
ta có:
2
28
1
2
2 16 34. 2
x
xx


22
5 5; 4
2 8 2 16 34 8 15 0
3 3; 2
xI
x x x x x
xI


+) Trường hp 1:
os os
.1
5; 4 2;0 ; 3; 3 ,
2
.
IM IN
I IM IN c MIN c IM IN
IM IN
45MIN 
(loi).
+) Trường hp 2:
os os
.1
3;2 0; 2 ; 1; 1 ,
2
.
IM IN
I IM IN c MIN c IM IN
IM IN
135MIN 
(TM).
Vậy điểm cn tìm là
3;2 .I
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 83. Cho tam giác đều
ABC
cạnh
3a
,
0a
. Lấy các điểm
M
,
N
,
P
lần lượt trên các cạnh
BC
,
CA
,
AB
sao cho
BM a
,
2CN a
,
AP x
03xa
. Tìm
x
để
AM PN
.
A.
3
5
a
x
. B.
2
5
a
x
. C.
4
5
a
x
. D.
.
Li gii:
Ta có
1
3
AM AB BM AB BC
1 2 1
3 3 3
AB AC AB AB AC
.
Ta có
1
33
x
PN AN AP AC AB
a
.
Để
AM PN
thì
2 1 1
. 0 0
3 3 3 3
x
AM PN AB AC AC AB
a
22
2 2 1
. . 0
9 9 9 9
xx
AB AC AB AC AB AC
aa
.
22
2 2 1
. .cos60 3 3 . .cos60 0
9 9 9 9
xx
AB AC a a AB AC
aa
22
2 1 2 1 1
3 3 9 9 3 3 0
9 2 9 9 9 2
xx
a a a a a a
aa
2
54
20
25
a
a ax x
.
Vy
4
5
a
x
thì
AM PN
.
Câu 84. Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
. Trên các cạnh
,,BC CA AB
lần lượt lấy các điểm
,,M N P
sao
cho
2MC MB
,
1
2
NA NC
AP x
. Tìm
x
để
AM
vuông góc với
PN
.
A.
4
15
a
. B.
3
a
. C.
2 6 3
39
a
. D.
1 3 3
39
a
.
Li gii:
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Đặt
,AB b AC c
Ta có
1 1 1 2
3 3 3 3
AM AB BM AB BC AB AC AB c b
1
3
x
PN AN AP c b
a
Để
1 2 1
. 0 0
3 3 3
x
AM PN AM PN c b c b
a
22
2 3 0 . 3 . 2 . . 6 . 0c b ac xb a c xb c a b c x b
22
. 2 3 . 6 . 0a c a x b c x b
2 0 2
. 2 3 . . .cos60 6 . 0a a a x a a x a
2
3
60
2
x
a a a x



15 4
20
2 15
a
a x x
.
Câu 85. Cho hình chữ nhật
ABCD
thỏa
2AB a
,
AD a
. Gọi
,MN
hai điểm thỏa mãn
2DM MC
,
AN xAB
,
x
. Tìm
x
để
AM
DN
vuông góc.
A.
3
7
x
. B.
3
8
x
. C.
1
2
x
. D.
2
5
x
.
Li gii:
N
M
D
C
B
A
Cách 1. Xét tam giác vuông
DAN
tan
AN
ADN
AD
Xét tam giác vuông
ADM
cot
AD
MAD
DM
AM DN
nên
90ADN MAD
.
Do đó
3 3 3
tan cot .
2
2 2 4 4
3
AN AD AD a
ADN MAD AN a
AD DM a
DC
.
Suy ra
3 1 3 3
.
4 2 8 8
AN a
AN AB
AB a
. Vy
3
8
x
.
Cách 2.
Ta có
22
33
AM AD DM AD DC AD AB
Ta có
DN AN AD xAB AD
.
Ta có
2
. 0 . 0
3
AM DN AB AD xAB AD



Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
22
22
. . 0
33
xAB AB AD xAD AB AD
22
23
.4 0
38
x a a x
.
Cách 3. Chn h trc ta đ
Oxy
vi
0;0D
,
2 ;0Ca
;
0;Aa
;
2;B a a
.
Ta suy ra
4
;0
3
a
M



,
; , 0 2N t a t a
;
4
;
3
a
AM a



;
;DN t a
.
Ta có
2
43
. 0 0
34
aa
AM DN AM DN t a t
.
Do đó
33
; ; ;0 ; 2 ;0
44
aa
N a AN AB a

.Ta có
3
8
AN AB
. Vy
3
8
x
.
Câu 86. Cho hình thoi
ABCD
cạnh bằng
a
60BAD 
. Quỹ tích các điểm
M
thỏa mãn
2
.MA MC a
đường tròn có bán kính bằng
A.
2a
. B.
7
2
a
. C.
3
2
a
. D.
a
.
Li gii:
a
60
°
O
C
D
A
B
Gi
O
là giao của hai đường chéo
AC
BD
.
Ta có:
.MA MC MO OA MO OC MO OA MO OA
2
2
22
22
33
24
aa
MO OA MO MO




Do đó
2
22
77
.
42
aa
MA MC a MO MO
.
Vy tp hợp các điểm
M
tha mãn yên cầu bài toán đường tròn tâm
O
bán kính bng
7
2
a
.
Câu 87. Cho ba điểm không thẳng hàng
,,A B C
.Điều kiện cần và đủ để ba điểm
,,A B C
thỏa mãn điều
kiện
( ). 0CA CB AB
:
A.
ABC
đều. B.
ABC
cân ti
C
.
C.
ABC
vuông ti
C
. D.
ABC
vuông cân ti
C
.
Li gii:
Gi
M
là trung điểm ca
AB
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Ta có
2CA CB CM
. Nên
( ). 0 2 . 0 .CA CB AB CM AB CM AB
Vy
ABC
cân ti
C
.
Câu 88. Cho hình thang vuông
ABCD
với đường cao
2,AB a
các cạnh đáy
AD a
3.BC a
Gọi
M
là điểm trên đoạn
AC
sao cho
..AM k AC
Tìm
k
để
BM
CD
vuông góc.
A.
4
.
9
B.
3
.
7
C.
1
.
3
D.
2
.
5
Li gii:
H
M
D
C
B
A
H
DH BC
d thy
ABHD
là hình ch nht và
.BH a
T gi thiết
..AM k AC AB BM k AB BC
1 . . .BM k AB k BC
Mt khác:
.DC DH HC
Theo chng minh trên ta có
DH AB
2
3
HC BC
nên
2
.
3
DC AB BC
. 0 * .BM CD BM DC
Do gi thiết ta có
.0AB BC
nên
2
* 1 . . . 0
3
k AB k BC AB BC



2 2 2 2
22
1 . . . 0 4 1 . .9 0
33
k
k AB k BC k a a
2
4 4 6 0 .
5
k k k
Câu 89. Cho hai điểm
,BC
phân biệt. Tập hợp những điểm
M
thỏa mãn
2
. CM CB CM
A. đường tròn đường kính
BC
. B. đường tròn
;B BC
.
C. đường tròn
;C CB
. D. đường tròn
;2C CB
.
Li gii:
22
. . 0 . 0 CM CB CM CM CB CM CM MB
.
Tập hợp điểm
M
là đường tròn đường kính
BC
.
Câu 90. Cho ba điểm
,,A B C
phân biệt. Tập hợp những điểm
M
..CM CB CACB
A. đường tròn đường kính
AB
.
B. đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
BC
.
C. đường thẳng đi qua
B
và vuông góc với
AC
.
D. đường thẳng đi qua
C
và vuông góc với
AB
.
Li gii:
. . . . 0 . 0 . 0 CM CB CACB CM CB CACB CM CA CB AM CB
.
Tập hợp điểm
M
là đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
BC
.
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
Câu 91. Cho tam giác
ABC
, điểm
J
thỏa mãn
3AK KJ
,
I
trung điểm của cạnh
AB
,điểm
K
thỏa
mãn
20KA KB KC
. Một điểm
M
thay đổi thỏa mãn
3 . 2 0MK AK MA MB MC
.
Tp hợp điểm
M
A. đường tròn đường kính
IJ
. B. đường tròn đường kính
IK
.
C. đường tròn đường kính
JK
. D. đưng trung trực đoạn
JK
.
Li gii:
J
K
I
C
B
A
Ta có:
2 4 2 4MA MB MC MK KA KB KC MK
.
Lấy điểm
J
tha mãn
3AK KJ
. Ta có
1
2 4 2
AB AC
AK AI AC
,
3AK KJ
nên
1 4 1 2
3 3 3 3
AJ AK KJ AK AK AK AB AC
.
Li có
1 2 2 2 2
3 3 3 3 3
BJ AJ AB AB AC AB AB AC BC
.
Suy ra
J
là điểm c định nằm trên đoạn thng
BC
xác định bi h thc
2
3
BJ BC
.
Ta có
3 3 3 3MK AK MK KJ MJ
.
Như vậy
3 . 2 0 3 . 4 0 . 0MK AK MA MB MC MJ MK MJ MK
.
T đó suy ra điểm
M
thuộc đường tròn đường kính .
, các đim c định nên điểm luôn thuc một đường tròn đường kính đường tròn c
định.
Câu 92. Cho tam giác
ABC
G
trọng tâm. Tập hợp các điểm
M
trong mặt phẳng thoả mãn
2 2 2 2 2 2
4MA MB MC GA GB GC
A. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
GB
. B. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
GA
.
C. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
GC
. D. Đưng tròn tâm
G
bán kính bng
4GA
.
Li gii:
Ta có
G
là trng tâm tam giác
ABC
nên
0GA GB GC
.
Khi đó
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
32
3
MA MB MC MA MB MC
MG GA MG MG
GA GB GC MG GA GB GC
GA GBM GC
GB GC
MG
G
Suy ra
2 2 2 2 2 2
4MA MB MC GA GB GC
2 2 2 2 2 2 2
34MG GA GB GC GA GB GC
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
22
33MG GA MG GA
Do đim
G
c định độ dài
GA
không đổi nên điểm
M
thuộc đường tròn tâm
G
bán kính
bng
GA
.
Vy tp hợp điểm
M
tho mãn đề bài là đường tròn tâm
G
bán kính bng
GA
.
Câu 93. Cho
ABC
đều, cạnh bằng
0a
. Tìm qu tích điểm
M
thỏa mãn
2
7
. . .
4
a
MAMB MB MC MC MA
.
A. Qu tích điểm
M
là đường trung trc ca
AB
.
B. Qu tích điểm
M
là đường thẳng đi qua trọng tâm ca
ABC
và song song vi
BC
.
C. Qu tích điểm
M
là đường tròn có bán kính bng
6
2
a
.
D. Qu tích điểm
M
là đường tròn có bán kính bng
3
2
a
.
Li gii:
Gi
O
trng tâm ca
ABC
, ta có:
3MA MB MC MO
22
9.MA MB MC MO
2 2 2 2
2 . . . 9MA MB MC MA MB MB MC MC MA MO
Mà:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
MA MB MC MA MB MC MO OA MO OB MO OC
2 2 2 2 2 2
3 2 . 3MO OA OB OC OA OB OC MO MO a
T đó, ta có:
2 2 2 2
2 2 2
9
67
. . .
2 2 4
MO MA MB MC
MO a a
MAMB MB MC MC MA
2
2
33
42
aa
MO MO
.
Vy qu tích điểm
M
là đường tròn tâm
O
,
bán kính bng
3
2
a
.
Câu 94. Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
. Điểm
M
một điểm thỏa mãn đẳng
thức
2
. . .
6
a
MAMB MB MC MC MA
. Biết tập hợp điểm
M
một đường tròn. Bán kính
đường tròn đó là
A.
2R
. B.
3
a
R
. C.
4
a
R
. D.
2
a
R
.
Li gii:
Gi
G
là trng tâm tam giác
ABC
,
I
là trung điểm
BC
. Khi đó ta có:
2
2
39MA MB MC MG MA MB MC MG
2 2 2
2
2 . . . 9MA MB MC MAMB MB MC MC MA MG
2
2 2 2
2
9
3
a
MG GA MG GB MG GC MG
Luyn tp VECTƠ
Lp Toán Thy Lê Bá Bo TP Huế 0935.785.115
2
2 2 2 2
2
3 2 9
3
a
MG MG GA GB GC GA GB GC MG
22
2 2 2 2
4
6 3 6 3.
3 9 3
aa
MG GA MG AI
2
2
2
43
6.
3 2 3 3
a a a
MG MG




.
Vy tp hợp điểm
M
là đường tròn tâm
G
bán kính
3
a
R
.
_____________________HT_____________________
Huế, 10h00 Ngày 02 tháng 12 năm 2022

Preview text:

Luyện tập VECTƠ Chủ đề:
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa góc giữa hai vectơ
A B u O v
Cho hai vectơ u v khác vectơ 0 . Từ một điểm O tuỳ ý, vẽ các vec tơ OA u OB v . Khi đó
số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ u, v , kí hiệu là u, v . Chú ý
Quy ước rằng góc giữa hai vectơ u và 0 có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0 đến 180 . 
Nếu u, v   90 thì ta nói rằng u v vuông góc với nhau, kí hiệu là u v hoặc v u.
Đặc biệt: Vectơ 0 vuông góc với mọi vectơ.
2. Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u v là một số, kí hiệu là .
u v được xác định bởi
công thức sau: u.v u . v .cos u,v . Chú ý
u v u.v  0  2 Tích .
u u còn được viết là u và được gọi là bình phương vô hướng của u.  2 Ta có 2
u u . u .cos 0  u .
3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ u ( ;
x y) và v(x ; y ) được tính theo công thức: u.v  .
x x  u.u Nhận xét
Hai vectơ u v vuông góc với nhau khi và chỉ khi . x x  . y y  0.
Bình phương vô hướng của vectơ u( ; x y) là 2 2 2
u x y . u.v xx  yyu v  
Nếu u  0 và v  0 thì cos  ,  2 2 2 2 u . v
x y . x  yTính chất
Với ba vectơ u, v, w bất kì và mọi số thực k ta có: . u v  .
v u ( tính chất giao hoán); .
u v w  . u v  .
u w ( Tính chất phân phối đối với phép cộng);
ku.vk .uv .ukv .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: GÓC GIỮA HAI VECTO Câu 1.

Cho tam giác ABC như hình vẽ.
Xác định góc  AB, AC . A. 45 . B. 120 . C. 15 . D. 165 . Câu 2.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB AC bằng A. 60 .  B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 3.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB BC bằng A. 60 .  B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 4.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB CB bằng A. 60 .  B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 5.
Cho hình bình hành ABCD . Góc giữa 2 vectơ AB BC A. BAC . B. ADC . C. BAD . D. ABC . Câu 6.
Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC  100 . Số đo góc giữa hai véctơ AB BC A. 140 . B. 80 . C. 40 . D. 100 . 1 Câu 7.
Cho hai vectơ a ; b khác vectơ 0 thỏa mãn . a b
a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a ; b bằn 2 A. 60 .  B. 120 . C. 150 . D. 30 . Câu 8.
Cho hai vec tơ a b biết a  6, b  12 và a b  10 . Khi đó, cosin của góc giữa hai vectơ
a a b bằng 1 2 1 1 A.  . B. . C. . D.  . 18 3 15 15 Câu 9.
Cho hai vecto a , b sao cho a  2 , b  2 và hai vectơ x a b , y  2a b vuông góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a b . A. 120 . B. 60 . C. 90 . D. 30 .
Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG
Câu 10.
Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích vô hướng của hai vectơ a ,b cùng khác 0 ? A. .
a b a .b.cos a ,b . B. .
a b a . b .cos a ,b . C. .
a b a . b .sin a ,b . D. .
a b a . b .
Câu 11. Cho hai vectơ a b . Đẳng thức nào sau đây sai?
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2 2 A. .
a b a . b .cos a,b.
B. a . b  . a b . 2 2 2 1 2 2 C. . a b
a b a b .
D. a a . 2  
Câu 12. Cho hai véctơ a, b khác véctơ-không thỏa mãn a.b   a . b . Khi đó, góc giữa hai vectơ a, b bằng A. 45 .  B. 0 .  C. 180 .  D. 90 . 
Câu 13. Cho hai vectơ a b . Đẳng thức nào sau đây sai? 2 2 2 1 2 2 2 1 A. . a b
a.b a b . B. . a b
a b a b 2  . . 2  2 2 1 2 2 1 C. . a b
a.b ab . D. . a b
a b a b 4  . . 2 
Câu 14. Cho a  3 , b  5 , a b o ,
 45 . Tích vô hướng của a b bằng 15 15 3 15 15 A. . B. . C.  . D.  . 2 2 2 2
Câu 15. Cho hai vectơ a b . Biết a  2, b  3 và a,b  30 . Tính a b . A. 11 . B. 13 . C. 12 . D. 14 .
Câu 16. Cho a, b a  4; b  5. và a.b  10. Tính cos a;b . A. a b 3 cos ;  . B. a b 2 cos ;  . C. a b 1 cos ;   . D. a b 1 cos ;  . 2 2 2 2
Câu 17. Cho hai véctơ a,b thỏa mãn: a  4; b  3; a b  4 . Gọi  là góc giữa hai véctơ a,b . Khẳng
định nào dưới đây đúng? 1 3 A. 0   60 . B. 0   30 . C. cos  . D. cos  . 3 8
Câu 18. Cho tam giác ABC ABC  30 ,
AB  5, BC  8. Tính B . A BC . A. 20. B. 20 3. C. 20 2. D. 40 3.
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a . Khi đó A . B AC bằng 2 A. 2 4a . B. 2 a 2 . C. 2 a . D. 2 a . 2
Câu 20. Cho tam giác vuông cân ABC AB AC a . Tính A . B AC. 2 a 2 a 3 A. 2 a . B. . C. 0 . D. . 2 2
Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB a, BC  2a . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a 3 . D. 2 a . 2
Câu 22. Cho tam giác ABC vuông cân tại , A AB  .
a Tích vô hướng B . A BC bằng 2 a 2 a A. 2 a . B.  . C. . D. 2 a . 2 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 23. Cho tam giác ABC có 0 ˆ A  90 , 0
ˆB  60 và AB a . Khi đó, AC.CB bằng A. 2 2a . B. 2 2a . C. 2 3a . D. 2 3a .
Câu 24. Cho ABC vuông cân tại A , cạnh AB  5 . Tích vô hướng BC.BA bằng A. 5 2 . B. 25 . C. 20 . D. 20 .
Câu 25. Góc tạo bởi m n là 90 và m  2021, n  2022 . Khi đó, . m n bằng A. 4086462 . B. 0 . C. 4086462  . D. 1.
Câu 26. Cho hai véc tơ a , b thỏa mãn a  3, b  4 và (a,b)  60 . Tích vô hướng . a b bằng A. 6 . B. 6 3 . C. 12 . D. 4 3 .
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , BC  1 , BAD  60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1  . B. 1. C.  . D. . 2 2
Câu 28. Cho tam giác ABC vuông tại A AB  ;
a AC a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vô hướng B . A AM . 2 a 2 a A. . B. 2 a . C. 2 a . D.  . 2 2
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1  . B. 1. C.  . D. . 2 2
Câu 30. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 1 A. 1  . B. C. 1  . D.  . 2 2
Câu 31. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Độ dài đường chéo AC bằng 7 A. 5 . B. 7 . C. 5 . D. . 2
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Độ dài đường chéo BD bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 .
Câu 33. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3, gọi E là điểm đối xứng của D qua C . Giá trị AE.CD bằng A. 18 . B. 9 3 . C. 9 5 . D. 18 .
Câu 34. Cho hình bình hành ABCD AB  2a, AD  3a, BAD  60 . Điểm K thuộc AD thỏa mãn
AK  2DK . Tính tích vô hướng BK.AC A. 2 3a . B. 2 6a . C. 0 . D. 2 a .
Câu 35. Cho hình vuông ABCD cạnh 5 . Khi đó, A . B AC bằng 25 2 25 A. 25. B. 25 2. C. . D. . 2 2
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính A . B AC. 2 3 2 A. .  a AB AC . B. .  a AB AC . C. 2 . AB AC a . D. 2 . AB AC  2a . 2 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 37. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a , M là trung điểm của cạnh CD . Chọn khẳng định đúng. 2 a
A. AM .DC  .
B. AM .DC  0 . C. 2
AM .DC a . D. 2
AM .DC  2a . 2
Câu 38. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 10 . Tính giá trị A . B CD . A. 100 . B. 10 . C. 0 . D. 100 . 1
Câu 39. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn BM   BC . Tính 2 BM .BA .
A. BM .BA  4 .
B. BM .BA  4 .
C. BM .BA  4 3 .
D. BM .BA  4 3 .
Câu 40. Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Tính AC.BD . A. 2
AC.BD  2a .
B. AC.BD  0 .
C. AC.BD  0 . D. 2
AC.BD  2a .
Câu 41. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G và độ dài cạnh bằng a . Tính A . B AG. 2 a 3 2 3a 2 a 3 2 a A. . B. . C. . D. . 6 4 4 2
Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính AC AC AB. 2 a 2 2 a 3 2 a 2 a A.  . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 43. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng a 2 và ABD  60 . Gọi I là điểm thỏa mãn
2IC ID  0 . Tính tích vô hướng A . O BI . 2 a 2 2 a 3 2 a A. . B. . C. .
D. u  2; 3   2 2 2
Câu 44. Cho tam giác ABC vuông tại A AB  3; AC  4 . Trên đoạn thẳng BC lấy điểm M sao
cho MB  2MC . Tính tích vô hướng AM .BC . 23 41 A. . B. . C. 8 . D. 23 . 3 3
Câu 45. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 5. Tính  AB AC.BC BD BA. A. 10 2 . B. 50 . C. 0 . D. 75 .
Câu 46. Cho hai vectơ a b a
4 , b  5 và a b 0 ,
120 . Tính a b . A. 21 . B. 21 . C. 41 . D. 41 .
Dạng 3: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Câu 47.
Cho hai vectơ u  2;   1 , v   3
 ;4 . Tích u.v bằng A. 11. B. 10. C. 5.
D. 2.
Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a  (1; 4) , b  ( 1
 ;3) . Khi đó giá trị tích vô hướng của hai
véctơ a b A. 12 . B. 11. C. 0. D. 11.
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u i  3j v  2j  2i . Tính . u v . A. . u v  4 . B. . u v  4 . C. . u v  2 . D. . u v  2 .
Câu 50. Cho A0; 3 ; B4;0 ; C  2  ; 5   . Tính A . B BC .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A. 16 . B. 9 . C. 10 . D. 9.
Câu 51. Cho u  2; 3
  . Với giá trị nào của m thì v   3;
m vuông góc với u ?
A. m  1.
B. m  2 .
C. m  1.
D. m  2 .
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các vectơ a 1; 3 , b 2;5 . Tính tích vô hướng của . a b . A. 7 . B. 13 . C. 17 . D. 13 .
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a  2;  5 và b  m; m  2 . Tìm m biết a b vuông góc. 10 10 10 10 A. m   .
B. m   .
C. m   . D. m  . 3 3 7 7
Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a  (1; 4) ; b  (4;0). Khi đó, cosin góc giữa hai vecto a b là  17 17 A. . B. . C. 0. D. 2. 17 17
Câu 55. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a  2;  1 và b  2; 4
 . Khi đó góc giữa hai vectơ a b bằng A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 .
Câu 56. Cho hai vectơ a   3 
;1 , b  3; 3. Góc giữa hai vectơ a b bằng A. 15 . B. 30 . C. 45 . D. 60 .
Câu 57. Trong mặt phẳng Oxy , cho A1; 2, B 4 
;1 , C 5; 4 . Tính góc BAC. A. 45 .  B. 90 . C. 30 . D. 60 .
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết (
A 1; 2) , B(4;1) , C(5; 4) . Tính góc A của tam giác ABC . A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 120 .
Câu 59. Tam giác ABC A1; 2 , B 0; 4 , C 3; 
1 . Góc BAC của tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây? A. 90 . B. 36 5  2 . C. 143 7   . D. 53 7   .
Câu 60. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1  ;  1 ; B 3 
;1 ; C 6;0 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. AB   4  ; 2  ; BC   3   ;1 . B. o B  135 .
C. AB  20 . D. BC  3.
Câu 61. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1
 ;2; B5;8 . Điểm M Ox sao cho tam giác MAB
vuông tại A . Diện tích tam giác MAB bằng A. 10 . B. 18 . C. 24 . D. 12 .
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A2; 3 . Tìm tọa độ điểm B thuộc trục tung, biết
khoảng cách giữa hai điểm A B bằng 2 5 và điểm B có tung độ dương. A. B 0;  1 .
B. B 0;7 .
C. B 2;0 .
D. B 7;0 .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 63. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A3 ; 4 và B  2
 ; 5 . Tọa độ điểm M thuộc trục Ox cách đều hai điểm ; A B là  2   2   1 9   1  A.  ;0   . B. ; 0   . C. ;   . D. ; 0   .  5   5   2 2   2 
Câu 64. Trong hệ toạ độ Oxy , cho hai điểm (
A 1; 1) và B( 2  ; 2)
 . Điểm C thuộc trục Ox sao cho tam
giác ABC cân tại A
A.
C(2; 0) .
B. C(0; 2) .
C. C(4; 0) .
D. C(2; 0) .
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A1; 2 ; B 1; 
1 . Điểm M thuộc trục Oy thỏa
mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó, độ dài đoạn OM bằng 5 3 1 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC A1;   1 , B 4; 
1 , C 5; 7 . Tính diện
tích S của tam giác ABC . 3 13
A. S  26 .
B. S  13 .
C. S  3 13  65 . D. S  . 2
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A3; 2, B 4;3 . Điểm M thuộc tia Ox .
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. M  7;0 .
B. M  5;0 .
C. M  9;0 .
D. M  2;0 .
Câu 68. Cho hai điểm A1;3, B 8; 2 . Gọi C là điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông
tại C OC  6 . Giá trị của biểu thức 2 2
x y  5 là C C A. 9 . B. 14 . C. 21 . D. 30 .
Câu 69. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A1; 2 ,B 3
 ;1. Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao
cho tam giác ABC vuông tại A .
A. C 6;0 .
B. C 0;6 .
C. C 6;0 .
D. C 0; 6 .
Câu 70. Cho tam giác ABC A 1
 ;2,B0;3,C5; 2. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. 0; 3 .
B. 0;  3 . C. 3;0 . D.  3  ;0 .
Câu 71. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A1;  1 , B 3; 
1 và C 2; 4 . Tìm tọa độ trực
tâm H của tam giác ABC A. H 1;  1 . B. H 2;  1 .
C. H 1; 2 .
D. H 2; 2 .
Câu 72. Cho tam giác ABC A1;3, B 3;  4 và C 6; 2 . Trực tâm của tam giác ABC H a;b .
Tính giá trị biểu thức T a  2b . A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 7 .
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A3; 1  ,B 1
 ;2 và I 1;1 là trọng tâm
tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ a;b. Tính a  3 . b 2 4
A. a  3b  .
B. a  3b   .
C. a  3b  1.
D. a  3b  2. 3 3
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD với các đáy là AB CD . Biết
A1; 2 , B 2; 3 , điểm C nằm trên trục tung, điểm D nằm trên trục hoành. Tính OC OD . 4 26 A. . B. 2 . C. 6 . D. . 3 3
Câu 75. Trong mặt phẳng Oxy , cho bốn điểm A 2
 ;3, B2;4, C 3;0, D 1  ;  1 . Có bao nhiêu
điểm M thuộc đường thẳng d : y  2x 1 sao cho MA MB MC.MD  3  ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 3  ; 
1 và B 5;0 . Biết có hai điểm C nằm trên parabol  P 2
: y x  2x sao cho tam giác ABC vuông tại C C x ; y ,C x ; y . 1  1 1  2  2 2 
Tính giá trị biểu thức T x y x y . 1 2 2 1 A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 5  .
Câu 77. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A2; 4, B 1  ;1 , C 7;   1 . Biết M  ;
a b a  0
là điểm nằm trong mặt phẳng Oxy thoả mãn tam giác ABM vuông cân tại B . Tính giá trị
T  3a  4b .
A. T  2 .
B. T  2 .
C. T  12 .
D. T  12 .  1 
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A4;6 ; B 5;  1 ; C  ;
n 3 . Tìm m , n để I  ; m   là tâm  2 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 5 5 5  n  1 5  n  1 A. m   ; n  1 B. m  ; n  1 . C. m  ;  .
D. m   ;  . 2 2 2 n  2  2 n  2 
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biết H a;b là toạ độ chân đường cao đỉnh
A của tam giác ABC , biết toạ độ B 3  ;1 , C 4; 4
  và trọng tâm G của tam giác ABC có toạ
độ G 4;0 . Tính a b . 2 33 35 68 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Câu 80.
Cho a , b có a  2b vuông góc với vectơ 5a  4b và a b . Tính góc giữa vectơ a b . A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 .
Câu 81. Cho biết  ;
a b 120 ; a  3; b  3. Độ dài của véctơ a b bằng 3 3 3 A. 3 3 . B. 3 2 . C. . D. . 2 2
Câu 82. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm M 3; 4, N 2  ;1 , P  2  ; 3
  . Tìm điểm I trên
đường thẳng NP sao cho góc MIN  135 . A. I 3; 2 .
B. I 2;3 .
C. I 5; 4 .
D. I 4;5 .
Câu 83. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , a  0 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC ,
CA , AB sao cho BM a , CN  2a , AP x 0  x  3a . Tìm x để AM PN .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 3a 2a 4a a A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 5 5 5 5
Câu 84. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Trên các cạnh BC,C ,
A AB lần lượt lấy các điểm M , N , P sao 1
cho MC  2MB , NA   NC AP x . Tìm x để AM vuông góc với PN . 2 4a a 2  6 3 1 3 3 A. . B. . C. a . D. a . 15 3 39 39
Câu 85. Cho hình chữ nhật ABCD thỏa AB  2a , AD a . Gọi M , N là hai điểm thỏa mãn
DM  2MC , AN x AB , x
. Tìm x để AM DN vuông góc. 3 3 1 2 A. x  .
B. x  . C. x  . D. x  . 7 8 2 5
Câu 86. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a BAD  60 . Quỹ tích các điểm M thỏa mãn 2 M .
A MC a là đường tròn có bán kính bằng 7a 3a A. 2a . B. . C. . D. a . 2 2
Câu 87. Cho ba điểm không thẳng hàng ,
A B, C .Điều kiện cần và đủ để ba điểm ,
A B, C thỏa mãn điều
kiện (CA CB).AB  0 là:
A.
ABC đều.
B. ABC cân tại C .
C. ABC vuông tại C .
D. ABC vuông cân tại C .
Câu 88. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB  2a, các cạnh đáy AD a BC  3 . a Gọi
M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k.AC. Tìm k để BM CD vuông góc. 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 9 7 3 5 2
Câu 89. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM
A. đường tròn đường kính BC .
B. đường tròn  B; BC  .
C. đường tròn C;CB .
D. đường tròn C; 2CB .
Câu 90. Cho ba điểm ,
A B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M CM .CB  . CA CB
A. đường tròn đường kính AB .
B. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
C.
đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC .
D.
đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB .
Câu 91. Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK  3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa
mãn KA KB  2KC  0 . Một điểm M thay đổi thỏa mãn 3MK AK.MA MB  2MC  0 .
Tập hợp điểm M
A. đường tròn đường kính IJ .
B. đường tròn đường kính IK .
C. đường tròn đường kính JK .
D. đường trung trực đoạn JK .
Câu 92. Cho tam giác ABC G là trọng tâm. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thoả mãn 2 2 2 2 2 2
MA MB MC  4GA GB GC
A. Đường tròn tâm G bán kính bằng GB .
B. Đường tròn tâm G bán kính bằng GA .
C. Đường tròn tâm G bán kính bằng GC .
D. Đường tròn tâm G bán kính bằng 4GA .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Câu 93. Cho
ABC đều, cạnh bằng a  0 . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn 2 7a M . A MB M .
B MC MC.MA  . 4
A. Quỹ tích điểm M là đường trung trực của AB .
B. Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua trọng tâm của ABC và song song với BC . 6a
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2 3a
D. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2
Câu 94. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Điểm M là một điểm thỏa mãn đẳng 2 a thức M . A MB M .
B MC MC.MA  
. Biết tập hợp điểm M là một đường tròn. Bán kính 6 đường tròn đó là a a a
A. R  2 . B. R  . C. R  . D. R  . 3 4 2
_____________________HẾT_____________________
Huế, 10h00’ Ngày 02 tháng 12 năm 2022
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
III. LỜI GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: GÓC GIỮA HAI VECTO Câu 1.

Cho tam giác ABC như hình vẽ.
Xác định góc  AB, AC . A. 45 . B. 120 . C. 15 . D. 165 . Lời giải:
Ta có:  AB, AC  BAC 180  120  45 15 .  Câu 2.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải: A C B Ta có A ;
B AC  BAC  60 . Câu 3.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB BC bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải: A C' B C Ta có A ;
B BC  180  BAC  120 . Câu 4.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB CB bằng A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A C' C B Ta có A ;
B AC  BAC  60 . Câu 5.
Cho hình bình hành ABCD . Góc giữa 2 vectơ AB BC A. BAC . B. ADC . C. BAD . D. ABC . Lời giải:
Theo tính chất hình bình hành ta có BC AD .
Vậy  AB, BC   AB, AD  BAD . Câu 6.
Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC  100 . Số đo góc giữa hai véctơ AB BC A. 140 . B. 80 . C. 40 . D. 100 . Lời giải:
Xét tam giác ABC cân tại A , góc 0 BAC  100 suy ra 0
ABC ACB  40 .
Dựng BM AB , khi đó,  AB, BC  BM , BC 0 0
MBC 180  ABC  140 . 1 Câu 7.
Cho hai vectơ a ; b khác vectơ 0 thỏa mãn . a b
a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a ; b bằn 2 A. 60 . B. 120 . C. 150 . D. 30 . Lời giải:
Ta có a  a .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Vậy . a b  1
a . b cos a,b  a . b  a b 1 cos ,
  a,b  60. 2 2 Câu 8.
Cho hai vec tơ a b biết a  6, b  12 và a b  10 . Khi đó, cosin của góc giữa hai vectơ
a a b bằng 1 2 1 1 A.  . B. . C. . D.  . 18 3 15 15 Lời giải:
Dựng AB a, BC b . Khi đó a b AC .
Ta được tam giác ABC AB  6, BC  12, AC  10 và  a, a b   AB , AC . 2    
BC AC AB BC   AC AB 2 2 2 2 2 2 2 AC AB BC 10 6 12  AC.AB    4  . 2 2 AB AC  Vậy AB AC . 4 1 cos ,     . A . B AC 6.10 15 Câu 9.
Cho hai vecto a , b sao cho a  2 , b  2 và hai vectơ x a b , y  2a b vuông góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a b . A. 120 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Lời giải:
Vì hai véc tơ x a b , y  2a b vuông góc với nhau nên  2 2
a b.2a b  2 2
0  2a b  .
a b  0  2. a b a . b .cosa,b  0   2 2 2. 2
 2  2.2.cosa,b  0  cosa,b  0  a,b  90.
Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG
Câu 10.
Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích vô hướng của hai vectơ a ,b cùng khác 0 ? A. .
a b a .b.cos a ,b . B. .
a b a . b .cos a ,b . C. .
a b a . b .sin a ,b . D. .
a b a . b .
Câu 11. Cho hai vectơ a b . Đẳng thức nào sau đây sai? 2 2 2 A. .
a b a . b .cos a,b.
B. a . b  . a b .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2 2 1 2 2 C. . a b
a b a b .
D. a a . 2   Lời giải: Câu A, C, D: Đúng. 2 2 2 Câu B sai vì 2 .
a b a . b .cos a,b .
Câu 12. Cho hai véctơ a, b khác véctơ-không thỏa mãn a.b   a . b . Khi đó, góc giữa hai vectơ a, b bằng A. 45 .  B. 0 .  C. 180 .  D. 90 .  Lời giải:  . a b   a .  b Ta có:  
a b    a b 0 cos ; 1 ; 180 .  .
a b   a . b cos  a,b
Câu 13. Cho hai vectơ a b . Đẳng thức nào sau đây sai? 2 2 2 1 2 2 2 1 A. . a b
a.b a b . B. . a b
a b a b 2  . . 2  2 2 1 2 2 1 C. . a b
a.b ab . D. . a b
a b a b 4  . . 2  Lời giải: 1 1
Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số và nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặcD. 2 4 2 2 2 2 2 2 1
D đúng, Ta có : a  .b a b  a .b  a .b  4 . a .b  . a .b
a.b ab 4  2 2 2 2 A đúng, vì a b a b a b . a b . a a . a b . b a . b b a b 2 . a b a b   2 2 2 1 ..
a  .b a b 2  2 2 2 2 B đúng, vì a b a b a b . a b . a a . a b . b a . b b a b 2 . a b a b   2 2 2 1 ..
a b a b . 2 
Câu 14. Cho a  3 , b  5 , a b o ,
 45 . Tích vô hướng của a b bằng 15 15 3 15 15 A. . B. . C.  . D.  . 2 2 2 2 Lời giải: 15 Ta có .
a b a . b .cos a,b o  3.5.cos 45  . 2
Câu 15. Cho hai vectơ a b . Biết a  2, b  3 và a,b  30 . Tính a b . A. 11 . B. 13 . C. 12 . D. 14 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2
Ta có:  a b  2 2 2 2
a b  2ab a b  2 a . b .cosa,b ,
  a b 2 0
 4  3  2.2. 3.cos30 13  a b  13 .
Câu 16. Cho a, b a  4; b  5. và a.b  10. Tính cos a;b . A. a b 3 cos ;  . B. a b 2 cos ;  . C. a b 1 cos ;   . D. a b 1 cos ;  . 2 2 2 2 Lời giải: a b Ta có a b . 1 cos ;   . a . b 2
Câu 17. Cho hai véctơ a,b thỏa mãn: a  4; b  3; a b  4 . Gọi  là góc giữa hai véctơ a,b . Khẳng
định nào dưới đây đúng? 1 3 A. 0   60 . B. 0   30 . C. cos  . D. cos  . 3 8 Lời giải:
Ta có: a b   a b2 2 2 4
 16  a  2a.b b  16 2 2 3
 4  2.4.3.cos  3  16  cos  . 8
Câu 18. Cho tam giác ABC ABC  30 ,
AB  5, BC  8. Tính B . A BC . A. 20. B. 20 3. C. 20 2. D. 40 3. Lời giải: Ta có B . A BC B .
A BC.cos ABC  5.8.cos 30  20 3. Vậy . BA BC  20 3.
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a . Khi đó A . B AC bằng 2 A. 2 4a . B. 2 a 2 . C. 2 a . D. 2 a . 2 Lời giải:
Ta có AB AC AB ACAB AC 2 . .cos ,  2 .
a 2a 2.cos 45  4a .
Câu 20. Cho tam giác vuông cân ABC AB AC a . Tính A . B AC. 2 a 2 a 3 A. 2 a . B. . C. 0 . D. . 2 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Lời giải:
Tam giác ABC vuông cân tại A .
Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB a, BC  2a . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a 3 . D. 2 a . 2 Lời giải: a 2 B . A BC B . A BC.cos B  . a 2 . aa . 2a
Câu 22. Cho tam giác ABC vuông cân tại , A AB  .
a Tích vô hướng B . A BC bằng 2 a 2 a A. 2 a . B.  . C. . D. 2 a . 2 2 Lời giải:
Tam giác ABC vuông cân tại ,
A AB a BC a 2.
BA BC  BABC BA BC BA BC 2 , 45 . . .cos ,  .
a a 2.cos 45  a .
Câu 23. Cho tam giác ABC có 0 ˆ A  90 , 0
ˆB  60 và AB a . Khi đó, AC.CB bằng A. 2 2a . B. 2 2a . C. 2 3a . D. 2 3a . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Gọi D là điểm đối xứng với A qua C .  3 
Khi đó: AC.CB  . CD CB  . CD . CB cos150 2  a 3.2 . a     3  a  . 2   
Câu 24. Cho ABC vuông cân tại A , cạnh AB  5 . Tích vô hướng BC.BA bằng A. 5 2 . B. 25 . C. 20 . D. 20 . Lời giải: B A C
Xét ABC vuông cân tại A , cạnh AB  5 suy ra BC  5 2 và ABC  45 .
Ta có BC.BA BC . BA .cosBC;BA  BC.B .
A cos ABC  5.5 2.cos 45  25 .
Câu 25. Góc tạo bởi m n là 90 và m  2021, n  2022 . Khi đó, . m n bằng A. 4086462 . B. 0 . C. 4086462  . D. 1. Lời giải: Ta có .
m n m . n .cos ;
m n  2021.2022.cos90  0 . Vậy . m n  0 .
Câu 26. Cho hai véc tơ a , b thỏa mãn a  3, b  4 và (a,b)  60 . Tích vô hướng . a b bằng A. 6 . B. 6 3 . C. 12 . D. 4 3 . Lời giải: Ta có .
a b a . b .cos(a, b)  3.4.cos 60  6 .
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , BC  1 , BAD  60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1  . B. 1. C.  . D. . 2 2 Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A .
B AD AB . AD .cos  A ; B AD  A . B A .
D cos BAD  2.1.cos 60  1 .
Câu 28. Cho tam giác ABC vuông tại A AB  ;
a AC a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vô hướng B . A AM . 2 a 2 a A. . B. 2 a . C. 2 a . D.  . 2 2
Lời giải: A B C M
Ta có tam giác ABC vuông tại A và có AM là trung tuyến nên BC 2 2 2 2 BC AB AC a  3a AM  . AM     a . 2 2 2 2
Tam giác AMB AB BM AM a nên là tam giác đều. Suy ra góc MAB  60 . 2 a Ta có B . A AM   A .
B AM   AB . AM .cos ( AB , AM )   . a . a cos 60   . 2
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Tích vô hướng A . B AD bằng 1 1 A. 1  . B. 1. C.  . D. . 2 2
Lời giải: D C A B A .
B AD AB . AD .cos  A ; B AD  A . B A .
D cos BAD  2.1.cos 60  1 .
Câu 30. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Tích vô hướng B . A BC bằng 1 1 A. 1  . B. C. 1  . D.  . 2 2
Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ D C A B
Theo giả thiết: BAD  60  ABC  120 . B .
A BC BA . BC .cos B ; A BC   A .
B BC.cos ABC  2.1.cos120  1  .
Câu 31. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Độ dài đường chéo AC bằng 7 A. 5 . B. 7 . C. 5 . D. . 2
Lời giải: D C A B Ta có: 2 2 2 2 2 2
AC AB AD AC AB AD  2A .
B AD AC  2 1  2.1  AC  7 .
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD , với AB  2 , AD  1 , BAD  60 . Độ dài đường chéo BD bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 .
Lời giải: D C A B 2 2 2 2 2 2
BD BA BC BD BA BC  2B .
A BC BD  2 1  2.  1  BD  3 .
Câu 33. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3, gọi E là điểm đối xứng của D qua C . Giá trị AE.CD bằng A. 18 . B. 9 3 . C. 9 5 . D. 18 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Ta có C là trung điểm của DE nên DE  2.3  6 .
Khi đó: AE.CD   AD DE.CD A .
D CD DE.CD 0  0  DE. .
CD cos180  6.3.  1  18  .
Câu 34. Cho hình bình hành ABCD AB  2a, AD  3a, BAD  60 . Điểm K thuộc AD thỏa mãn
AK  2DK . Tính tích vô hướng BK.AC A. 2 3a . B. 2 6a . C. 0 . D. 2 a . Lời giải: B C O A K D 2
Ta có BK   AB
AD ; AC AB AD 3 2 2 1 Khi đó: 2 2
BK.AC  ( AB
AD)( AB AD)   AB AD AB AD 3 3 3 2 1 2 2 2 BK.AC  4
a  .9a  2 . a 3 .
a cos60  a 3 3
Câu 35. Cho hình vuông ABCD cạnh 5 . Khi đó, A . B AC bằng 25 2 25 A. 25. B. 25 2. C. . D. . 2 2 Lời giải:
Ta có ABCD là hình vuông nên AC  5 2 ; góc 0 BAC  45 ;
Tích vô hướng AB AC AB ACAB AC 0 . . .cos ;  5.5 2.cos 45  25 .
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính A . B AC. 2 3 2 A. .  a AB AC . B. .  a AB AC . C. 2 . AB AC a . D. 2 . AB AC  2a . 2 2 Lời giải:
Tam giác AB AC a BAC  60 . 2 a A .
B AC AB . AC .cos A  . a . a cos 60  . 2
Câu 37. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a , M là trung điểm của cạnh CD . Chọn khẳng định đúng.
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 a
A. AM .DC  .
B. AM .DC  0 . C. 2
AM .DC a . D. 2
AM .DC  2a . 2 Lời giải:
Ta có AM .DC  ( AD DM ).DC A .
D DC DM .DC Mà 0 A . D DC A . D DC.cos 90  0 Và 0 2
DM .DC DM .DC.cos 0  .2 a .1 a  2a Vậy 2
AM .DC DM .DC  2a .
Câu 38. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 10 . Tính giá trị A . B CD . A. 100 . B. 10 . C. 0 . D. 100 . Lời giải: Ta có A .
B CD AB . CD .cos  AB,CD  A . B .
CD cos180  10.10.  1  1  00 . 1
Câu 39. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn BM   BC . Tính 2 BM .BA .
A. BM .BA  4 .
B. BM .BA  4 .
C. BM .BA  4 3 .
D. BM .BA  4 3 . Lời giải: 1 1
Ta có BM   BC BM BC  2 . 2 2
Khi đó BM BA BM BABM BA 0 . . .cos ;  2.4.cos120  4  .
Câu 40. Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Tính AC.BD . A. 2
AC.BD  2a .
B. AC.BD  0 .
C. AC.BD  0 . D. 2
AC.BD  2a . Lời giải:
ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC BD vuông góc nhau.
Hay AC BD nên AC.BD  0 .
Câu 41. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G và độ dài cạnh bằng a . Tính A . B AG. 2 a 3 2 3a 2 a 3 2 a A. . B. . C. . D. . 6 4 4 2
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Lời giải: a 3 Ta có A .
B AG AB AG .cos  AB, AG ; với AB AB  ; a AG AG  ; AB, AG 0  30 . 3 2 a 3 a Vậy 0 A . B AG  . a .cos 30  . 3 2
Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính AC AC AB. 2 a 2 2 a 3 2 a 2 a A.  . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải: a Ta có ACAC  AB 2 0
 AC.BC  CA.CB  CA.CB.cosC  a.a.cos60  . 2
Câu 43. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng a 2 và ABD  60 . Gọi I là điểm thỏa mãn
2IC ID  0 . Tính tích vô hướng A . O BI . 2 a 2 2 a 3 2 a A. . B. . C. .
D. u  2; 3   2 2 2 Lời giải: B A C O I D
Do ABCD là hình thoi có cạnh bằng a ABD  60 nên ABD BCD là các tam giác đều cạnh a . Ta có: A . O BI A .
O BD DI   A . O D B A . O DI  2  2 2 2  2 a 2. 3 a 2 a 2 A . O DC A . O AB    . . . a cos 30  . Vậy, A . O BI   . 3  3 3 2 2 2
Câu 44. Cho tam giác ABC vuông tại A AB  3; AC  4 . Trên đoạn thẳng BC lấy điểm M sao
cho MB  2MC . Tính tích vô hướng AM .BC .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 23 41 A. . B. . C. 8 . D. 23 . 3 3 Lời giải: 1 1 Ta có MB  2
MC AM  AB  2AC , do đó AM.BC  AB  2ACAC AB. 3 3
Vì tam giác ABC vuông tại A nên . AB AC  0 . 2 2 1 1 1 23
Vậy AM .BC   AB  2AC AC AB  2AC AB    2 2
2.AC AB   . 3 3 3 3
Câu 45. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 5. Tính  AB AC.BC BD BA. A. 10 2 . B. 50 . C. 0 . D. 75 . Lời giải:
Ta có:  AB AC.BC BD BA   AB AC.2BD (Vì BC BA BD )  2 A .
B BD AC.BD  2 A .
B BD (Vì AC.BD  0)  2 A . B BA A .
B AD  2 A . B BA (Vì . AB AD  0 ) 2
 2.AB .cos180  50 .
Câu 46. Cho hai vectơ a b a
4 , b  5 và a b 0 ,
120 . Tính a b . A. 21 . B. 21 . C. 41 . D. 41 . Lời giải: 2 2 2 2 2
Ta có a b  a b  a b  2 . a b
a b  2 a b cos a,b  21 .
Dạng 3: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Câu 47.
Cho hai vectơ u  2;   1 , v   3
 ;4 . Tích u.v bằng A. 11. B. 10. C. 5.
D. 2. Lời giải: u    2;  1 Với 
u.v  2.3      v     1 4 10. 3; 4
Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a  (1; 4) , b  ( 1
 ;3) . Khi đó giá trị tích vô hướng của hai
véctơ a b A. 12 . B. 11. C. 0. D. 11. Lời giải: Ta có: . a b  1.( 1  )  4.3  11.
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u i  3j v  2j  2i . Tính . u v . A. . u v  4 . B. . u v  4 . C. . u v  2 . D. . u v  2 . Lời giải:
Theo giả thiết ta có u  1; 3 và v   2  ;2 . Khi đó . u v  1. 2    3.2  4 .
Câu 50. Cho A0; 3 ; B4;0 ; C  2  ; 5   . Tính A . B BC . A. 16 . B. 9 . C. 10 . D. 9  . Lời giải:
Ta có AB  4;  3 ; BC   6  ; 5 Vậy A . B BC  4. 6     3  . 5    9  .
Câu 51. Cho u  2; 3
  . Với giá trị nào của m thì v   3;
m vuông góc với u ?
A. m  1.
B. m  2 .
C. m  1.
D. m  2 . Lời giải:
Ta có: v u  2. 3     3
 .m  0  m  2  .
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các vectơ a 1; 3 , b 2;5 . Tính tích vô hướng của . a b . A. 7 . B. 13 . C. 17 . D. 13 . Lời giải: Ta có . a b  1.2   3  .5  1  3.
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a  2;  5 và b  m; m  2 . Tìm m biết a b vuông góc. 10 10 10 10 A. m   .
B. m   .
C. m   . D. m  . 3 3 7 7 Lời giải:
Để a b thì a b
m  m   10 . 0 2 5 2  0  m   . 3
Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho a  (1; 4) ; b  (4;0). Khi đó, cosin góc giữa hai vecto a b là  17 17 A. . B. . C. 0. D. 2. 17 17 Lời giải: . a b 4 17
Ta có: cos(a, b)    . a . b 17. 16 17
Câu 55. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a  2;  1 và b  2; 4
 . Khi đó góc giữa hai vectơ a b bằng A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ b a b
a b a ba.b a. . .cos , cos , 
 0  a,b  90 a . b
Câu 56. Cho hai vectơ a   3 
;1 , b  3; 3. Góc giữa hai vectơ a b bằng A. 15 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Lời giải: a b  Ta có: a b . cos ;  3 3 3 1 
   ;ab  60. a . b 2.2 3 2
Câu 57. Trong mặt phẳng Oxy , cho A1; 2, B 4 
;1 , C 5; 4 . Tính góc BAC. A. 45 .  B. 90 . C. 30 . D. 60 . Lời giải:
Ta có: AB  3;  1 , AC  4;2 . . AB AC 3.4  1  .2 2
Khi đó: cos BAC  cos  AB, AC      . AB . AC 3   2 2 2 2 2 1 . 4  2 Suy ra 45o BAC  .
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết (
A 1; 2) , B(4;1) , C(5; 4) . Tính góc A của tam giác ABC . A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 120 . Lời giải: Ta có: AB  (3; 1
 ) , AC  (4;2)  . AB AC  3.4  ( 1
 ).2  10 , AB  10 , AC  2 5 . A . B AC 10 2 cos( ) A  cos( A , B AC)     A  45 . A . B AC 10.2 5 2
Câu 59. Tam giác ABC A1; 2 , B 0; 4 , C 3; 
1 . Góc BAC của tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây? A. 90 . B. 36 5  2 . C. 143 7   . D. 53 7   . Lời giải:
Ta có AB   1
 ;2; AC  2;  1 . . AB AC 2   2 4  cos BAC     BAC 143 7   . AB . AC 5. 5 5
Câu 60. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1  ;  1 ; B 3 
;1 ; C 6;0 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. AB   4  ; 2  ; BC   3   ;1 . B. o B  135 .
C. AB  20 . D. BC  3. Lời giải: BA   4  ; 2
 ; BC  3;  1
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ      B  BA BC . BA BC 4.3  2.  1 2 cos cos ;    2 2 2 2 BA . BC   2 4 2 . 3 1 o  B 135 .
Câu 61. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1
 ;2; B5;8 . Điểm M Ox sao cho tam giác MAB
vuông tại A . Diện tích tam giác MAB bằng A. 10 . B. 18 . C. 24 . D. 12 . Lời giải:
M Ox nên có tọa độ M a;0 , ta có AM  a 1; 2
 ; AB  6;6 .
Tam giác MAB vuông tại A A .
B AM  0  6 a  
1 12  0  a  1  M 1;0 . 2 2 2 2
Ta có AM  1 
1  0  2  2 2 ; AB  5   1  8  2  6 2 . 1 1 Vậy S
 .AM.AB  .2 2.6 2 12 . ABM  2 2
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A2; 3 . Tìm tọa độ điểm B thuộc trục tung, biết
khoảng cách giữa hai điểm A B bằng 2 5 và điểm B có tung độ dương. A. B 0;  1 .
B. B 0;7 .
C. B 2;0 .
D. B 7;0 . Lời giải:
Ta có B thuộc trục tung nên gọi B 0,b , b  0 . Ta có AB   2  ;b  3 . 2   2 2 b 1(TM ) Theo giả thiết 2
AB  2 5   2
   b  3 2
 20  b  6b  7  0   . b  7  (L) Vậy B 0;  1 .
Câu 63. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A3 ; 4 và B  2
 ; 5 . Tọa độ điểm M thuộc trục Ox cách đều hai điểm ; A B là  2   2   1 9   1  A.  ;0   . B. ; 0   . C. ;   . D. ; 0   .  5   5   2 2   2  Lời giải:
M Ox nên M  ; x 0 .
Ta có: AM   x  3; 4
  ; BM  x  2; 5   . Để M cách đều ;
A B thì AM BM   2
x  2   2   x  2   2 3 4 2 5  x   5  2  Vậy M  ;0   .  5 
Câu 64. Trong hệ toạ độ Oxy , cho hai điểm (
A 1; 1) và B( 2  ; 2)
 . Điểm C thuộc trục Ox sao cho tam
giác ABC cân tại A
A.
C(2; 0) .
B. C(0; 2) .
C. C(4; 0) .
D. C(2; 0) . Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Ta có 2 2 AB  ( 2  1)  ( 2  1)  10
Do điểm C(a;b) thuộc trục Ox nên C(a; 0) suy ra 2 2
AC  (a 1)  (0 1)
Tam giác ABC cân tại A AB AC a  4 2 2
 10  (a 1)  (0 1)  
Với C(4; 0) , ta có AB( 3  ; 1
 ), AC(3;1) suy ra 3 điểm a  2  ,
A B, C thẳng hàng, loại trường hợp này.
Với C(2; 0) , kiểm tra tương tự thấy thoả mãn. Vậy C(2; 0) .
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A1; 2 ; B 1; 
1 . Điểm M thuộc trục Oy thỏa
mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó, độ dài đoạn OM bằng 5 3 1 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải:
Điểm M thuộc trục Oy M 0; y .
Ta có tam giác MAB cân tại M MA MB
   y2   2    y2 2 1 2 1 1  4  4y  1 3 2 y y  . 2 3 Vậy OM  . 2
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC A1;   1 , B 4; 
1 , C 5; 7 . Tính diện
tích S của tam giác ABC . 3 13
A. S  26 .
B. S  13 .
C. S  3 13  65 . D. S  . 2 Lời giải:
Ta có: AB 3; 2 , AC 4; 6    .
AB AC  0  AB AC 1 1 1  SA . B AC  9  4. 16  36  2.13  13 . ABC  2 2 2
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A3; 2, B 4;3 . Điểm M thuộc tia Ox .
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. M  7;0 .
B. M  5;0 .
C. M  9;0 .
D. M  2;0 . Lời giải:
M Ox M  ;
x 0 (theo giả thiết thì x  0 ).
Ta có AM   x  3; 2
 , BM  x  4; 3  
Tam giác ABM vuông tại M AM .BM  0   x  3 x  4   2   3    0 x  2 (TM ) 2
x x  6  0   . x  3  (L)
Vậy x  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 68. Cho hai điểm A1;3, B 8; 2 . Gọi C là điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông
tại C OC  6 . Giá trị của biểu thức 2 2
x y  5 là C C
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ A. 9 . B. 14 . C. 21 . D. 30 . Lời giải:
Gọi C x ;0 là điểm thuộc trục hoành. Ta có: AC   x 1;  3, BC   x  8;  2 .
Do tam giác ABC vuông tại C nên AC.BC  0  x   x
1 . x  8   3  . 2   7 2
 0  x  9x 14  0   x  2
OC  6 nên ta chọn x  2 . Suy ra C 2;0 . Vậy 2 2
x y  5  9 . C C
Câu 69. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A1; 2 ,B 3
 ;1. Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao
cho tam giác ABC vuông tại A .
A. C 6;0 .
B. C 0;6 .
C. C 6;0 .
D. C 0; 6 . Lời giải:
C Oy C 0; yAB   4  ; 1   , AC   1  ; y  2. AB  0 
Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác vuông tại A  AC  0  A .
B AC  0  y  6. AB AC  Vậy C 0;6.
Câu 70. Cho tam giác ABC A 1
 ;2,B0;3,C5; 2. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. 0; 3 .
B. 0;  3 . C. 3;0 . D.  3  ;0 . Lời giải: A B C
Ta có AB  1;1; AC  6;  4; BC  5;  5.
Nhận thấy rằng A . B BC  1.5  1.( 5
 )  0 nên tam giác ABC vuông tại B.
Vậy chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC trùng với đỉnh B0; 3.
Câu 71. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A1;  1 , B 3; 
1 và C 2; 4 . Tìm tọa độ trực
tâm H của tam giác ABC A. H 1;  1 . B. H 2;  1 .
C. H 1; 2 .
D. H 2; 2 . Lời giải: Gọi H  ; x y  .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
AH.BC  0
H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có  (1)
BH.AC  0
AH   x 1; y   1 , BC   1
 ;3 , BH  x  3; y   1 , AC  3;3 . 1.  x   1  3 y   1  0 x  2 Do đó   1     . Vậy H 2; 2 . 3
  x  3  3 y   1  0  y  2
Câu 72. Cho tam giác ABC A1;3, B 3;  4 và C 6; 2 . Trực tâm của tam giác ABC H a;b .
Tính giá trị biểu thức T a  2b . A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 7 . Lời giải:
AH  a 1;b 3  BC   3;6 Ta có:  .
BH  a  3;b  4  AC   5;  1 AH BC
Theo giả thiết H là trực tâm tam giác ABC nên ta có  BH AC  45 a
BC.AH  0 3  a  
1  6 b  3  0
a  2b  7  11         .
AC.BH  0 5
 a 3 1b  4  0 5
a b 19 16 b    11  45 16  45 16  Suy ra H ;   và T   2  7   .  11 11  11  11 
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A3; 1  ,B 1
 ;2 và I 1;1 là trọng tâm
tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ a;b. Tính a  3 . b 2 4
A. a  3b  .
B. a  3b   .
C. a  3b  1.
D. a  3b  2. 3 3 Lời giải: A H B C
Giả sử C x ; y H x ; y
. Có I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có H H C C
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
x x x A B C   xI   x  1 3 C     C1; 4  
y y y  y  4  A B CCy  3 I
Ta có AH  x  3; y  1; BC  2; 6
 ; BH  x  1; y  2; AC   2  ; 3  H HH H
H là trực tâm tam giác ABC nên  
AH.BC  0  x    y   10 2 3 6 1  0 xHH H 3       10 8 a  ; b   2  S  . BH.AC  0   2 
 x  1  y   3 9 3 H  3 2 H  0 8 y   H  9
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD với các đáy là AB CD . Biết
A1; 2 , B 2; 3 , điểm C nằm trên trục tung, điểm D nằm trên trục hoành. Tính OC OD . 4 26 A. . B. 2 . C. 6 . D. . 3 3 Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình thang cân có các đáy là AB CD CD t AB với t  0 .
C Oy nên C 0;c , D Ox nên D d ;0 .
Ta có AB  1;  5;CD  d ;  c . d td t
CD t.AB     . c  5  tc  5t
ABCD là hình thang cân nên AC BD 2 2  AC BD
   2  c  2  d  2    2 0 1 2 2 0 3 *. c  5t Thay 
vào * ta được:   t  2  t  2 1 5 2 2  9 d tt  1 ktm     2   1 5 1
24t 16t  8  0  1 
. Với t    C 0;    và D  ;0   . t   tm      3 3 3  3 5 1
Vậy OC OD    2 . 3 3
Câu 75. Trong mặt phẳng Oxy , cho bốn điểm A 2
 ;3, B2;4, C 3;0, D 1  ;  1 . Có bao nhiêu
điểm M thuộc đường thẳng d : y  2x 1 sao cho MA MB MC.MD  3  ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Gọi M a;b là tọa độ điểm cần tìm.
Ta có: MA MB MC.MD  3
  AM BM CM .DM  3  .
Lại có: M a;b thuộc đường thẳng d : y  2x 1  b  2a 1  M  ; a 2a   1 .
AM  a  2;2a  4 
Khi đó: BM  a  2; 2a  5  AM BM CM  3a  3;6a 10
CM  a3;2a   1 
DM  a 1; 2a
Mà  AM BM CM .DM  3  a  0  
 3a  3.a   1  6a 10 2 .2a  3
  15a  20a  0  4  . a   3   Vậy M   4 5 0;1 hay M ; .    3 3 
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 3  ; 
1 và B 5;0 . Biết có hai điểm C nằm trên parabol  P 2
: y x  2x sao cho tam giác ABC vuông tại C C x ; y ,C x ; y . 1  1 1  2  2 2 
Tính giá trị biểu thức T x y x y . 1 2 2 1 A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 5  . Lời giải: CA    2 3   ;
x 1 x  2x Gọi C  2 ;
x x  2x   . CB    2 5  ;
x x  2x
Do tam giác ABC vuông tại C nên ta có C . A CB  0
   x  x   2
  x x 2 3 5 1 2
x  2x  0 2
x  2x  3  0 1 4 3 2
x  4x  6x  4x 15  0   2
x  2x  3 2
x  2x  5    0   . 2
x  2x  5  0  2
x  1 C 1;3 1   Giải (1) được  .
x  3  C 3;3  2  
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Giải (2): Vô nghiệm.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán và T    1 .3  3.3  6 .
Câu 77. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A2; 4, B 1  ;1 , C 7;   1 . Biết M  ;
a b a  0
là điểm nằm trong mặt phẳng Oxy thoả mãn tam giác ABM vuông cân tại B . Tính giá trị
T  3a  4b .
A. T  2 .
B. T  2 .
C. T  12 .
D. T  12 . Lời giải:
Ta có BA  1;3; BM  a 1;b   1
Vì tam giác ABM vuông cân tại B , suy ra: 1   a   1  3b   1  0 BM .BA  0 
a  3b  4  0      2 2 AB B M
 1  3  1 a2  1 b2 2 2
a b  2a  2b  8  0   b   2
a  4  3b 
a  4  3b   a  2         b .  4  3b   0 2 2
b  24  3b  2b 8  0   b   0 b  2  l a  4 
Vậy toạ độ điểm M  2
 ;2 , suy ra T  3a  4b  2 .  1 
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A4;6 ; B 5;  1 ; C  ;
n 3 . Tìm m , n để I  ; m   là tâm  2 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 5 5 5  n  1 5  n  1 A. m   ; n  1 B. m  ; n  1 . C. m  ;  .
D. m   ;  . 2 2 2 n  2  2 n  2  Lời giải:
AB  1; 5 , AC  n  4; 9 . ,
A B, C là 3 đỉnh của một tam giác  AB AC không cùng 9 11
phương  n  4   n   . 5 5  9  11   1  Ta có: IA ; 6  m   ; IB ;1 m   ; IC n  ; 3   m   .  2   2   2  2 2 IA IB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi  2 2 IA IC 2 2   9          m2 11 6     1 m2   2   2    2 2   9          m2 1 6  n     3 m2   2   2 
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ  5 m     5 25 10m  0 2  m     1 3  2 2 2   9    n      .         m2 1 6  n      3   m2  n  1 2 2       t / m 2   2   1 3   n  2  n      2 2 5  n  1 Vậy m  ;  . 2 n  2 
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biết H a;b là toạ độ chân đường cao đỉnh
A của tam giác ABC , biết toạ độ B 3  ;1 , C 4; 4
  và trọng tâm G của tam giác ABC có toạ
độ G 4;0 . Tính a b . 2 33 35 68 A. , B. . C. . D. . 13 13 13 13 Lời giải:
x x x A B C x   G  x  5 3
G 4;0 là trọng tâm tam giác ABC , suy ra A   
y y y y  3   A B C A y G  3 Gọi H  ; x y  là chân đường cao đỉnh A , suy ra
AH.BC  0  1 x  5  5 y  3  0  x  5y 10  0   1 x  3 y 1
H BC nên BH ; BC cùng phương, suy ra 
 5x y 16  0 2 1 5   35 x
x  5y  1  0  13 Từ   1 và 2 ta có hệ    . 5
x y 16 33 y   13  35 33  68 Toạ độ điểm H ; 
 , suy ra a b  .  13 13  13
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Câu 80.
Cho a , b có a  2b vuông góc với vectơ 5a  4b và a b . Tính góc giữa vectơ a b . A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Lời giải:
+ Vì a  2b vuông góc với vectơ 5a  4b nên a  2b.5a  4b  0 . 2 2
 5a  8b  6 . a b  0 2 2 5   8  .  a b a b 6 2 2 5  a  8 b  . a b  (1) 6
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2
+ Theo đề a b a b . 2 a + Từ (1) ta được . a b  2 2 a . a b 1 + Ta có a b 2 cos ,  
  a,b 0  60 . 2 a b 2 a
+ Kết luận: Góc giữa vectơ a b bằng 0 60 .
Câu 81. Cho biết  ;
a b 120 ; a  3; b  3. Độ dài của véctơ a b bằng 3 3 3 A. 3 3 . B. 3 2 . C. . D. . 2 2 Lời giải: 2 2 2 2 2 2   
Ta có a b  a b  a  2. .
a b b a b  1
2. a . b .cos a;b  9  9  2.3.3.  27   .  2 
Suy ra: a b  3 3 .
Câu 82. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm M 3; 4, N 2  ;1 , P  2  ; 3
  . Tìm điểm I trên
đường thẳng NP sao cho góc MIN  135 . A. I 3; 2 .
B. I 2;3 .
C. I 5; 4 .
D. I 4;5 . Lời giải:
+) Ta có NP   4  ; 4 ; Gọi I  ;
x y   IN  2  ; x 1 y  . 2  x 1 y
I NP IN , NP là hai vectơ cùng phương  
y x 1 I  ; x x   1 . 4  4  IM NP +) Ta có MINIM NP . cos = cos ,  (1). IM . NPMIN  135 và IM  3  ;
x 5  x; NP   4  ;  4 nên từ   1 ta có: 2  x  8 1
x  5  I 5; 4  2 2  2
x  8  2x 16x  34  x  8x 15  0   2
2x 16x  34. 2 2 x  3  I  3; 2 IM.IN 1
+) Trường hợp 1: I 5; 4  IM  2  ;0; IN  3;
  3  cosMIN cosIM, IN   IM . IN 2
MIN  45 (loại). IM.IN 1 
+) Trường hợp 2: I 3; 2  IM 0; 2; IN  1
 ;  1  cosMIN cosIM, IN   IM . IN 2
MIN  135(TM).
Vậy điểm cần tìm là I 3; 2.
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 83. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , a  0 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC ,
CA , AB sao cho BM a , CN  2a , AP x 0  x  3a . Tìm x để AM PN . 3a 2a 4a a A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 5 5 5 5 Lời giải: 1 1 2 1
Ta có AM AB BM AB BC AB   AC AB  AB AC . 3 3 3 3 1 x
Ta có PN AN AP AC AB . 3 3a  2 1  1 x
Để AM PN thì AM .PN  0  AB AC AC AB  0     3 3  3 3a  2 2 2 2x 1 xA . B AC AB AC A . B AC  0 . 9 9a 9 9a 2 2xB AC    a2 1 x A . .cos 60 3  3a2  A . B AC.cos 60  0 9 9a 9 9a 2 1 2x 1 x 1 5 4a 2 2
 3a 3a   9a  9a
3a 3a   0 2
 2a ax  0  x  . 9 2 9a 9 9a 2 2 5 4a Vậy x
thì AM PN . 5
Câu 84. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Trên các cạnh BC,C ,
A AB lần lượt lấy các điểm M , N , P sao 1
cho MC  2MB , NA   NC AP x . Tìm x để AM vuông góc với PN . 2 4a a 2  6 3 1 3 3 A. . B. . C. a . D. a . 15 3 39 39 Lời giải:
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ Đặt AB  , b AC c 1 1 1 2
Ta có AM AB BM AB BC AB   AC AB  c b 3 3 3 3 1 x
PN AN AP c b 3 a  1 2  1 x
Để AM PN AM .PN  0  c b c b  0     3 3  3 a
 c bac xb 2 2 2 3  0  . a c  3 . xb c  2 . a . b c  6 . x b  0 2
a c   a x 2 . 2 3 . b c  6 . x b  0 2
a a   a x 0 2 . 2 3 . . a . a cos 60  6 . x a  0  3x  2  15 4a a a a   6x  0    2a
x  0  x  .  2  2 15
Câu 85. Cho hình chữ nhật ABCD thỏa AB  2a , AD a . Gọi M , N là hai điểm thỏa mãn
DM  2MC , AN x AB , x
. Tìm x để AM DN vuông góc. 3 3 1 2 A. x  .
B. x  . C. x  . D. x  . 7 8 2 5 Lời giải: A N B D C M AN
Cách 1. Xét tam giác vuông DAN có tan ADN AD AD
Xét tam giác vuông ADM có cot MAD DM
AM DN nên ADN MAD  90 . AN AD AD 3 a 3 3
Do đó tan ADN  cot MAD     .
  AN a . AD DM 2 2 2a 4 4 DC 3 AN 3a 1 3 3 3 Suy ra  .
  AN AB . Vậy x  . AB 4 2a 8 8 8 Cách 2. 2 2
Ta có AM AD DM AD DC AD AB 3 3
Ta có DN AN AD x AB AD .  2 
Ta có AM .DN  0  AB AD . 
 xAB AD  0  3 
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2 2 2  xAB A . B AD x A .
D AB AD  0 3 3 2 3 2 2  .4
x a a  0  x  . 3 8
Cách 3. Chọn hệ trục tọa độ Oxy với D 0;0 , C 2a;0 ; A0; a ; B 2a; a .  4a   4a  Ta suy ra M ; 0 
 , N t;a,0  t  2a ; AM  ; a
 ; DN  t;a .  3   3  4a 3a Ta có 2
AM DN AM .DN  0 
t a  0  t  . 3 4  3a   3a  3 3 Do đó N ; a ; AN  ;0 ; AB     
2 ;a0.Ta có AN AB . Vậy x  .  4   4  8 8
Câu 86. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a BAD  60 . Quỹ tích các điểm M thỏa mãn 2 M .
A MC a là đường tròn có bán kính bằng 7a 3a A. 2a . B. . C. . D. a . 2 2 Lời giải: B A C 60° O a D
Gọi O là giao của hai đường chéo AC BD . Ta có: M .
A MC  MO OAMO OC  MO OAMO OA 2 2   2 2 3a 3a 2 2
MO OA MO     MO    2 4   2 7a 7a Do đó 2 2 M .
A MC a MO   MO  . 4 2
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yên cầu bài toán là đường tròn tâm O bán kính bằng 7a . 2
Câu 87. Cho ba điểm không thẳng hàng ,
A B, C .Điều kiện cần và đủ để ba điểm ,
A B, C thỏa mãn điều
kiện (CA CB).AB  0 là:
A.
ABC đều.
B. ABC cân tại C .
C. ABC vuông tại C .
D. ABC vuông cân tại C . Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Ta có CA CB  2CM . Nên (CA CB).AB  0  2CM .AB  0  CM  . AB
Vậy ABC cân tại C .
Câu 88. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB  2a, các cạnh đáy AD a BC  3 . a Gọi
M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k.AC. Tìm k để BM CD vuông góc. 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 9 7 3 5 Lời giải: B A M D H C
Hạ DH BC dễ thấy ABHD là hình chữ nhật và BH  . a
Từ giả thiết AM k.AC   AB BM   k. AB BC  BM  k  
1 .AB k.B . C
Mặt khác: DC DH HC. 2 2
Theo chứng minh trên ta có DH AB HC
BC nên DC AB BC. 3 3
BM CD BM .DC  0 *.   Do giả thiết ta có .
AB BC  0 nên     k   AB k BC 2 * 1 . . . AB BC  0    3   k   2 2k 2 2 1 .AB
.k.BC  0  4 k   2 2 1 .a  .9a  2
0  4k  4  6k  0  k  . 3 3 5 2
Câu 89. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM
A. đường tròn đường kính BC .
B. đường tròn  B; BC  .
C. đường tròn C;CB .
D. đường tròn C; 2CB . Lời giải: 2 2
CM .CB CM CM .CB CM  0  CM .MB  0 .
Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC .
Câu 90. Cho ba điểm ,
A B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M CM .CB  . CA CB
A. đường tròn đường kính AB .
B. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
C.
đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC .
D.
đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB . Lời giải: CM .CB  .
CA CB CM .CB  .
CA CB  0  CM CA.CB  0  AM.CB  0 .
Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
Câu 91. Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK  3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa
mãn KA KB  2KC  0 . Một điểm M thay đổi thỏa mãn 3MK AK.MA MB  2MC  0 .
Tập hợp điểm M
A. đường tròn đường kính IJ .
B. đường tròn đường kính IK .
C. đường tròn đường kính JK .
D. đường trung trực đoạn JK . Lời giải: A I K J C B
Ta có: MA MB  2MC  4MK KA KB  2KC  4MK . 1 AB AC
Lấy điểm J thỏa mãn AK  3KJ . Ta có AK  AI AC  
, mà AK  3KJ nên 2 4 2 1 4 1 2
AJ AK KJ AK AK AK AB AC . 3 3 3 3 1 2 2 2 2
Lại có BJ AJ AB AB AC AB   AB AC BC . 3 3 3 3 3 2
Suy ra J là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng BC xác định bởi hệ thức BJ BC . 3
Ta có 3MK AK  3MK  3KJ  3MJ .
Như vậy 3MK AK.MA MB  2MC  0  3MJ .4MK   0  MJ.MK  0 .
Từ đó suy ra điểm M thuộc đường tròn đường kính .
Vì , là các điểm cố định nên điểm luôn thuộc một đường tròn đường kính là đường tròn cố định.
Câu 92. Cho tam giác ABC G là trọng tâm. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thoả mãn 2 2 2 2 2 2
MA MB MC  4GA GB GC
A. Đường tròn tâm G bán kính bằng GB .
B. Đường tròn tâm G bán kính bằng GA .
C. Đường tròn tâm G bán kính bằng GC .
D. Đường tròn tâm G bán kính bằng 4GA . Lời giải:
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GC  0 . Khi đó 2 2 2 2 2 2
MA MB MC MA MB MC
 MG GA2 MG GB2 MG GC2 2 2 2 2
 3MG GA GB GC  2MG GAGB GC 2 2 2 2
 3MG GA GB GC Suy ra 2 2 2 2 2 2
MA MB MC  4GA GB GC 2 2 2 2 2 2 2
 3MG GA GB GC  4GA GB GC
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ 2 2
 3MG  3GA MG GA
Do điểm G cố định và độ dài GA không đổi nên điểm M thuộc đường tròn tâm G bán kính bằng GA .
Vậy tập hợp điểm M thoả mãn đề bài là đường tròn tâm G bán kính bằng GA . Câu 93. Cho
ABC đều, cạnh bằng a  0 . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn 2 7a M . A MB M .
B MC MC.MA  . 4
A. Quỹ tích điểm M là đường trung trực của AB .
B. Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua trọng tâm của ABC và song song với BC . 6a
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2 3a
D. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng . 2 Lời giải:
Gọi O là trọng tâm của ABC , ta có: 2 2
MA MB MC  3MO  MA MB MC  9.MO  2 2 2
MA MB MC  MA MB MB MC MC MA 2 2 . . .  9MO 2 2 2 2 2 2 Mà: 2 2 2
MA MB MC MA MB MC  MO OA  MO OB  MO OC  2 2 2 2
MO OA OB OC  OAOB OC 2 2 3 2
.MO  3MO a 2 MO   2 2 2
MA MB MC  2 2 2 9 6MO a 7a Từ đó, ta có: M . A MB M .
B MC MC.MA    2 2 4 2  3a 3a 2 MO   MO  . 4 2 3a
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng . 2
Câu 94. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Điểm M là một điểm thỏa mãn đẳng 2 a thức M . A MB M .
B MC MC.MA  
. Biết tập hợp điểm M là một đường tròn. Bán kính 6 đường tròn đó là a a a
A. R  2 . B. R  . C. R  . D. R  . 3 4 2 Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm BC . Khi đó ta có:
MA MB MC MG  MA MB MC2 2 3  9MG 2 2 2
MA MB MC  MA MB MB MC MC MA 2 2 . . .  9MG
 MG GA MG GB MG GC 2 2 2 2 a 2   9MG 3
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Luyện tập VECTƠ
MG MG GAGB GC 2 2 2 2 2 a 2 3 2
GA GB GC   9MG 3 2 2 a 4 a 2 2 2 2
 6MG  3GA
 6MG  3. AI  3 9 3 2 2 4  a 3  a a 2  6MG  .    MG    . 3 2 3 3   a
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính R  . 3
_____________________HẾT_____________________
Huế, 10h00’ Ngày 02 tháng 12 năm 2022
Lớp Toán Thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115