lOMoAR cPSD| 44919514 Bài giảng
KHOA TOÁN KINH T Ế
B Ộ MÔN TOÁN C Ơ B Ả N
TOÁN CHO CÁC NHÀ KINH TẾ
Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Bài 1 + 2 + 3: Hàm tăng và hàm giảm
Cực trị tương đối
Tính lõm và điểm uốn
Vẽ đồ thị hàm số Mục tiêu bài học
❖ Tìm hiểu về hàm tăng và hàm giảm. lOMoAR cPSD| 44919514
❖ Tìm các điểm tới hạn và cực trị tương đối.
❖ Sử dụng đạo hàm cấp một để tìm cực trị tương đối và vẽ đồ thị hàm số.
❖ Tìm hiểu về tính lõm và điểm uốn.
❖ Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai để tìm các khoảng lõm và điểm uốn.
❖ Sử dụng đạo hàm cấp hai để kiểm tra cực trị tương đối.
❖ Xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị.
❖ Đưa ra một quy trình chung để vẽ đồ thị hàm số. ❖ Bài tập yêu cầu:
➢ Mục 3.1: 5, 7, 15, 17, 29, 47, 51, 53, 55, 57, 6, 8, 30, 48, 56.
➢ Mục 3.2: 1, 5, 11, 19, 23, 27, 47, 55, 57, 63, 16, 60.
➢ Mục 3.3: 11, 25, 33, 35, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 56, 64. 2
1. Hàmt ă ngvàhàmgi ả m lOMoAR cPSD| 44919514
Đồ thị dưới đây mô tả sự thay đổi ngân sách liên bang ở Hoa Kỳ (thặng dư
hoặc thâm hụt) theo thời gian trong các năm từ 2000 đến 2009. 3
1. Hàmt ă ngvàhàmgi ả m lOMoAR cPSD| 44919514 Định nghĩa:
Giả sử hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 , 𝑥 và 𝑥 là hai số bất kỳ trên
khoảng này. Khi đó 𝑓 𝑥 được gọi là: lOMoAR cPSD| 44919514
1. Hàm tăng và hàm giảm
Đạo hàm của các hàm số tăng và giảm: 5 lOMoAR cPSD| 44919514 1.
Hàm t ă ng và hàm gi ả m
Quy trình sử dụng đạo hàm để tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số 𝒇:
Bước 1. Tìm tất cả các giá trị của 𝑥 thỏa mãn 𝑓 𝑥 0 hoặc 𝑓 𝑥 không tồn
tại. Đánh dấu các giá trị trên trục số theo thứ tự tăng dần.
Bước 2. Trong mỗi khoảng con 𝑎 𝑥
𝑏 được xác định ở Bước 1, chọn số 𝑐
bất kỳ trong khoảng đó và tính 𝑓’𝑐. Khi đó:
➢ Nếu 𝑓’𝑐 0 thì hàm số 𝑓 𝑥 tăng (đồ thị đi lên) trong khoảng 𝑎 𝑥 𝑏.
➢ Nếu 𝑓’ 𝑐 0 thì hàm số 𝑓 𝑥 giảm (đồ thị đi xuống) trong khoảng 𝑎 𝑥 𝑏. 6 lOMoAR cPSD| 44919514
2. C ự ctr ị t ươ ng đố i Định nghĩa:
❖ Hàm số 𝑓 𝑥 được gọi là có một cực đại tương đối tại 𝑥 𝑓 𝑐 𝑓 𝑥 𝑐 nếu
với mọi 𝑥 thuộc một khoảng 𝑎 𝑥 𝑏 chứa c. ❖ Hàm số 𝑓 𝑥
được gọi là có một cực tiểu tương đối tại 𝑥 𝑐 nếu 𝑓 𝑐 𝑓 𝑥
với mọi 𝑥 thuộc một khoảng 𝑎 𝑥 𝑏 chứa c .
❖ Cực đại tương đối và cực tiểu tương đối của 𝑓 được chung gọi là cực trị tương đối.
❖ Một số 𝑐 trong miền xác định của hàm 𝑓 𝑥 được gọi là một số tới hạn nếu
𝑓′ 𝑐 0 hoặc 𝑓′ 𝑐 không tồn tại. Điểm tương ứng 𝑐, 𝑓 𝑐 trên đồ thị của 𝑓 𝑥
được gọi là một điểm tới hạn của 𝑓 𝑥 . 7 lOMoAR cPSD| 44919514 2.
C ự c tr ị t ươ ng đố i Chú ý:
Cực trị tương đối chỉ có thể xảy ra tại các điểm tới hạn, nhưng
không phải tất cả các điểm tới hạn đều tương ứng với cực trị tương đối.
Ba điểm tới hạn 𝒄, 𝒇 𝒄
ở đó 𝒇’𝒄 𝟎. lOMoAR cPSD| 44919514 8
2. C ự ctr ị t ươ ng đố i Chú ý:
Cực trị tương đối chỉ có thể xảy ra tại các điểm tới hạn, nhưng không phải
tất cả các điểm tới hạn đều tương ứng với cực trị tương đối.
Ba điểm tới hạn 𝒄, 𝒇 𝒄
ở đó 𝒇’𝒄 không xác định. lOMoAR cPSD| 44919514 9 2.
C ự c tr ị t ươ ng đố i
Sử dụng đạo hàm cấp một để kiểm tra cực trị tương đối:
Cho 𝑐 là một số tới hạn của 𝑓 𝑥 . Khi đó, điểm tới hạn 𝑐, 𝑓 𝑐 là: lOMoAR cPSD| 44919514
➢ Một cực đại tương đối nếu qua 𝑐 𝑓’ 𝑥 đổi dấu từ sang
➢ Một cực tiểu tương đối nếu qua 𝑐 𝑓’ 𝑥 đổi dấu từ sang
➢ Không phải là cực trị tương đối nếu
𝑓’𝑥 có cùng một dấu ở cả hai phía của 𝑐. 10
3. Phác họa đồ thị của hàm số
Quy trình phác họa đồ thị của hàm 𝒇 𝒙 liên tục trên miền xác định sử
dụng đạo hàm 𝒇’ 𝒙 : Bước 1. Tìm miền xác định của 𝑓 𝑥 . lOMoAR cPSD| 44919514
Bước 2. Tính 𝑓’𝑥, tìm các số tới hạn của 𝑓 𝑥 và xác định các khoảng tăng,
giảm của 𝑓 𝑥 trong miền xác định của nó.
Bước 3. Biểu diễn các điểm tới hạn 𝑐, 𝑓 𝑐 trên mặt phẳng tọa độ với hình "chóp mũ“
nếu nó là cực đại tương đối và hình "đáy cốc"
nếu nó là cực tiểu tương đối, tìm các giao điểm với các trục tọa độ
và một số điểm đặc biệt khác.
Bước 4. Phác họa đồ thị của 𝑓 là một đường cong trơn nối các điểm tới hạn,
sao cho đồ thị đi lên nếu 𝑓 𝑥 0, đi xuống nếu 𝑓 𝑥 0 và có tiếp tuyến
nằm ngang tại các điểm mà 𝑓 𝑥 0. 11 lOMoAR cPSD| 44919514 lOMoAR cPSD| 44919514 lOMoAR cPSD| 44919514 4. Tính lõm
Đồ thị sau mô tả sản lượng 𝑄 𝑡 của lao động trong 𝑡 giờ làm việc. Điểm 𝑃
được gọi là điểm hiệu suất giảm dần. 14 lOMoAR cPSD| 44919514 4. Tính lõm Định nghĩa:
Nếu hàm 𝑓 𝑥 khả vi trên khoảng 𝑎 𝑥
𝑏 thì đồ thị của 𝑓 được gọi là:
➢ Có bề lõm hướng lên trong khoảng 𝑎 𝑥 𝑏 nếu 𝑓′ 𝑥 tăng trong khoảng đó.
➢ Có bề lõm hướng xuống trong khoảng 𝑎 𝑥 𝑏 nếu 𝑓′ 𝑥 giảm trong khoảng đó. lOMoAR cPSD| 44919514 15 4. Tínhlõm
Minh họa tính lõm và độ dốc của tiếp tuyến: lOMoAR cPSD| 44919514 16 4. Tínhlõm lOMoAR cPSD| 44919514
Quy trình sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định các khoảng lõm của đồ
thị hàm 𝒇:
Bước 1. Tìm tất cả các giá trị của 𝑥 sao cho 𝑓’’𝑥 0 hoặc 𝑓’’𝑥 không tồn tại và
đánh dấu các giá trị này trên trục số.
Bước 2. Trên mỗi khoảng 𝑎 𝑥
𝑏 tìm được trong Bước 1, chọn một số
𝑐 bất kỳ và tính 𝑓’’𝑐. Khi đó:
➢ Nếu 𝑓’’ 𝑐 0 thì đồ thị của 𝑓 𝑥 có bề lõm hướng lên trong khoảng 𝑎 𝑥 𝑏.
➢ Nếu 𝑓’’ 𝑐 0 thì đồ thị của 𝑓 𝑥 có bề lõm hướng xuống dưới trong khoảng 𝑎 𝑥 𝑏. 17 lOMoAR cPSD| 44919514 4. Tính lõm Chú ý:
Cần phân biệt giữa tính lõm và tính tăng – giảm của đồ thị.