BÀI 5. HÀM SỐ HỌC (2 BUỔI) Khái niệm
Một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương gọi là hàm số học. f  .
m n  f  m f  n  m,n 1
+ Hàm số học có tính chất khi
. Gọi là có tính chất nhân.   n + Hàm Euler:
là số các số nguyên dương không quá n và nguyên tố cùng nhau với n d  n + Số các ước :
số các ước nguyên dương của n   n + Tổng các ước số:
bằng tổng mọi ước nguyên dương của n +Hàm phần nguyên
+Hàm tổng các chữ số của số tự nhiên. I. HÀM EULER Tư tưởng: +Phân hoạch các tập
S  {m | m  , n ( , m n)  d } d n i i trong đó | i
T  {d | d  n, p | d} p n i i trong đó | i . 1 1 1
(n)  n(1 )(1 )...(1 ) +Sử dụng công thức: p p p 1 2 k k m
+Chia các trường hợp của số tự nhiên n theo số nguyên tố p : n  p , n  2 .(2k 1)
Hàm số Euler có tính chất nhân (học sinh tự chứng minh xem như bài tập)
Định nghĩa: (n) là số các số không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n
Định lý 1. Nếu p là số nguyên tố khi và chỉ khi ( p)  p 1 k k k 1 
Định lý 2. Nếu p là số nguyên tố và k là số tự nhiên thì ( p )  p  p 1 
Định lý 3. Giả sử n p ... k p 1
k phân tích ra thừa số nguyên tố. Khi đó: 1  1  2 1   1 (n) k      1 q ( 1 q
1)q2 (q2 1)...q (q 1) k k (5).  1  1   1 
(n)  n1 1 ...1  q q q
Kết quả này có thể viết dưới dạng:  1   2   k 
m | n    m |  n Nhận xét:
1.1. Các bài toán biến đổi (n) Bài 1.
1. Tìm các số tự nhiên thỏa mãn (n) | n
2. Nếu n là hợp số thì (n)  n  n n n : (n) 
3. Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương 3 p 1 p 1 p  4
3 p  p 4. Chứng minh nếu và
là các số nguyên tố với thì .
  n  n
Bài 2. Với mọi số nguyên dương n . Ta có:
 d  n
Bài 3. Chứng minh d|n
1.2. Ứng dụng hàm (n)  , m n   1   , m n 1
Bài 1. Cho m và n là 2 số nguyên dương lớn hơn 1 thỏa mãn . Xét dãy số n ,n ,... n  mn 1 * n  . n n 1, k   1 2 với 1 và k 1  k
 CMR m 1 số hạng đầu tiên của dãy trên tồn tại ít nhất 1 hợp số. Bài 2.
1. Chứng minh rằng nếu (n) là số lẻ thì n  1, n  2, n  2k 1
2. Kí hiệu  (n) là số các thừa số nguyên tố của n . Chứng minh rằng (n) | n 1,  (n)  3 thì là SNT.
II. HÀM SỐ CÁC ƯỚC Tư tưởng
+Ghép cặp các ước đôi một d(n)  1 +Sử dụng định nghĩa d|n     
+Sử dụng công thức: d (n) ( 1)...( 1) 1 k
Hàm số các ước là hàm nhân tính.
d  n  1
Định nghĩa.Số các ước nguyên dương của n : d|n
d  n      1 Giả sử: n p  thì 1 
d  n    1 ...  1 1   k  Giả sử n p ... k p 1
k phân tích ra thừa số nguyên tố. Khi đó: Nhận xét:        d  n n n n 1          + k 1    k   k  
+ n là số nguyên tố nếu và chỉ nếu d (n)  2  21 2 
+ Nếu n là số chính phương hay n p n p ... k p  1 1 k
khi đó số ước nguyên dương
d  n   2 1 ... 2 1 1
  k  là số lẻ.
2.1. Các bài toán biến đổi d(n) Bài 1. d  n  6
1. Tìm số nguyên dương n sao cho
2. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn: d (n)  14
d  n  2 n Bài 2. Chứng minh
với mọi số nguyên dương n. d  n
Bài 3 (Canada 1999). Với số nguyên dương n, kí hiệu
là số các ước nguyên dương của n (kể cả    2 n d n
1 và chính nó). Xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho .  2n d
 1  d  n
Bài 4. Chứng minh rằng
với mọi số nguyên dương n. d(n)
2.2. Các bài toán ứng dụng 2 d(n 1)
Bài 1. Chứng minh rằng
không thể đơn điệu kể từ một lúc nào đó. Bài 2.
1. Tìm tất cả các số nguyên dương d có đúng 16 ước nguyên dương
d , d ,..., d : 1  d  d  ...  d  ,
n d 18, d  d  17 1 2 16 1 2 16 6 9 8 2 2 2 2
n  d  d  d  d , d  d  d  d 1 2 3 4 1 2 3 4
2. Tìm số nguyên dương thỏa mãn:
là bốn ước số dương nhỏ n nhất của
III. TỔNG CÁC ƯỚC NGUYÊN DƯƠNG Tư tưởng:
+Ghép cặp các ước để ước lượng tổng các ước.  (n)  d
Định nghĩa. Cho số nguyên dương n .Tổng các ước số nguyên dương của n là d|n Định lý  1   p 1
 (n) 1 p  ... p  
+ Với n  p , p  2 và là số nguyên tố thì: p 1 k  1 i p  1   (n)  ( ) 1  + Với n p ... k p  1 k thì: i 1  p 1 Nhận xét n n n 1
 (n)  k([ ][ ]) + k 1  k k
  n  n 1
+ n là số nguyên tố nếu và chỉ nếu n
+Gọi a à một ước nào đó của n ( n không chính phương ) thì cũng là một ước của n và nếu xét a   d  n n    n a   n 0  a  < a<√n (a,
 (n)   (a  ), a | n a ) 0a n thì các bộ đôi một khác nhau và | a n ,  a a n n   n +
là một số lẻ khi và chỉ khi n là số chính phương hoặc 2 là số chính phương
3.1. Các biến đổi liên quan đến  (n)
  n  n 1.
Bài 1. Cho số tự nhiên n  1. Chứng minh rằng n  khi và chỉ khi Bài 2
1. Chứng minh rằng số nguyên dương n là hợp số khi và chỉ khi σ (n )>n+√n   2 n   1  n
2.. Chứng minh với n Z   chẵn thì
  n  n  n.
3. Chứng minh rằng n là hợp số khi và chỉ khi
  n  n n, n   2. 4. Chứng minh rằng
  n   n  2 .n
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có
3.2. Ứng dụng một số bài toán n   n
Bài 1. Chứng minh rằng
là một số lẻ khi và chỉ khi n là số chính phương hoặc 2 là số chính phương.
  n  2n 1
Bài 2. Chứng minh rằng nếu
thì n là bình phương của một số lẻ.
  n  3n
Bài 3. Chứng minh rằng bất đẳng thức
đúng với một tập hợp vô hạn các số tự nhiên . n SỐ HOÀN HẢO
Định nghĩa. Số nguyên dương n được gọi là số hoàn hảo nếu  (n)  2n với  (n) là tổng các ước dương của n( kể cả n). Tính chất m 1 2  2m n    1
Định lý 1. Số nguyên dương chẵn n là số hoàn hảo nếu và chỉ nếu trong đó m là số
nguyên dương sao cho 2m 1 là số nguyên tố. 1
Định lý 2. Nếu m là số hoàn hảo lẻ và m  p .... k p  1 k thì   le  i   p 1  i  mod4
+ Tồn tại duy nhất một chỉ số i sao cho: j   i,  + j chẵn
Các tính chất khác của số hoàn hảo.
Từ hai định lý trên, ta có thể suy ra được các tính chất sau của số hoàn hảo.
+Nếu n là số hoàn hảo thì n không là số chính phương.Chứng minh. m 1 2  2m n    1 + Nếu n chẵn thì
trong đó m là số nguyên dương sao cho 2m 1 là số nguyên tố và  m 1
2  , 2m  1 1 nên n không chính phương. 1  j  i j  
+ Nếu n lẻ thì n  p .... k p  i  1 k
tồn tại duy nhất một chỉ số : i lẻ và các chẵn nên n
không là số chính phương. 1   2
+ Nếu n là số hoàn hảo thì d n d
+Nếu n là số hoàn hảo chẵn thì n là số -triangular k  k   1
N  1 2  ...  (k 1) 
Một số N được gọi là triangular nếu 2 3 m 1    3 3 2       m 1 n 1 3 ... 2 1 2  2m n    1   n  6 Nếu là số hoàn hảo thì   m 1 2  2m n    1 Nếu
là số hoàn hảo chẵn và n viết trong hệ cơ số 2 thì có 2m 1 chữ số và
m chữ số đầu tiên là 1 và m 1 chữ số sau là 0 .
Bài 1.Nếu n là số hoàn hảo chẵn thì chữ số tận cùng của n là 6 hoặc 8.
Bài 2 .Nếu n là số hoàn hảo chẵn (khác 6) thì tổng các chữ số của n chia cho 9 dư 1. Nhận xét   1
n  p ... k p   n   1
1 p  ...  p ... 1 p  ... k  p 1 1   k k  1 k thì   n  1 1   1 1   1 ... ...1  ...    1 k n p p p p Thì  1 1   k k  và ta có đánh giá 1 1 1 1 1 k p 1 1  ... 1 .  1 k p p p 1 p 1 1 p
Bài 3. Cho n là số hoàn hảo và lẻ.Chứng minh n có ít nhất 3 ước nguyên tố khác nhau
Bài 4. Giả sử một số hoàn hảo nào đó có n ước nguyên tố khác nhau.
Chứng minh rằng trong các ước nguyên tố đó có ít nhất một số không vượt quá n . n n   1 n 1,  * n  N  Bài 5. Tìm n để 2 đều là số hoàn hảo 2 2
Bài 6. Cho hai số a,b là hai số hoàn hảo chẵn. Chứng minh a  b không là số chính phương.
 x, y 1, x, yZ hệ (**) vô nghiệm.
Bài 7. (VMO 2016).Số nguyên dương n được gọi là số hoàn hảo nếu n bằng tổng các ước số dương s 2
của nó (không kẻ chính nó).Chứng minh n là số hoàn hảo lẻ thì nó có dạng n  p m với p là số
nguyên tố dạng 4k 1, s là số nguyên dương dạng 4h 1 và m là số nguyên dương không chia hết cho p . n n   1
Bài 8. Tìm tất cả tất cả các số nguyên dương n  1 sao cho n 1 và 2 đều là số hoàn hảo.
3.2. Ứng dụng hàm số  (n)
Bài 1.Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n 1 chia hết cho 24. Chứng minh rằng tổng các ước dương của n
(kể cả n) cũng chia hết cho 24 F  n
Bài 2(St.Petersburg 1998) Với mỗi số nguyên dương, ta ký hiệu
là số ước nguyên dương của 2 n 1 F  
1 ,..., F  n . Chứng minh
,...không tăng ngặt từ bất kỳ điểm nào.
IV. HÀM TỔNG CÁC CHỮ SỐ
N  a a ...a a
Định nghĩa. Số nguyên dương N được viết trong hệ thập phân dạng k k 1  1 0 , kí hiệu
S  N   a  a  ...  a  a k k 1  1
0 là tổng các chữ số của N.
Một số tính chất cơ bản
9 |  S  N   N  + ;    N 
S N  N  9  + 1  10k k  ;
S  N  N  S N  S N 1 2   1  2 +
S  N N  S N S N 1 2   1  2 +
4.1. Bài toán liên quan đến biến đổi S(N )
Bài 1. (Russian MO 1999). Số nguyên dương N viết trong hệ thập phân có các chữ số tăng khi đọc từ S  9N  trái qua phải. Tính .
S  N  1996S  3N 
Bài 2. (Irish MO 1996). Tìm số nguyên dương N sao cho .
Bài 3. Tìm số tự nhiên n sao cho S(n) = n2 – 2016n + 9 S  8n 1  S  n 8
Bài 4. Cho n là số tự nhiên bất kì: Chứng minh rằng
Bài 5. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho S(n) và S(n +1) chia hết cho 7
Bài 6. Đặt A=S (44444444), và B = S(A). Tính S(B).
Bài 7. Cho m là số nguyên dương không chia hết cho 10. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n
đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
+ Trong dạng thập phân của n không chứ số 0 nào.
S  n  S  mn +
Bài 8. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho trong n số tự nhiên liên tiếp tùy ý ta luôn chọn được một số N sao cho S(N ) 1  3
4.2. Ứng dụng của S(N)   
Bài 1.(IMO 1978). Cho ,
m n N, n m 1. Trong cách viết thập phân, ba chữ số cuối cùng của số
198m theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của số 1978n . Tìm các số m,n sao cho m  n nhỏ nhất.
Bài 2. Trong bảng có 2n ô vuông liên tiếp và hai người chơi sẽ thay nhau điền vào các ô bằng một
trong 5 chữ số 1,2,3,4,5. Nếu sau khi điền xong mà số nhận được chia hết cho 9 thì người điền cuối
cùng thắng, ngược lại thì người điền đầu tiên thắng. Hỏi ai sẽ có chiến thuật thắng trong trường hợp n=3k, n=3k+1 Bài 3.
1. Viết các số 1,2,3,….,2023 thành một một dãy tùy ý và thu được số N.Hỏi số N có phải là số chính phương không?
2. Từ các chữ số 1,2,…,7 lập ra hai số có 7 chữ số x,y. Chứng minh rằng nếu x>y thì x không chia hết cho y. V.HÀM PHẦN NGUYÊN  x
Định nghĩa. Cho x là số thực, ta gọi phần nguyên của x , kí hiệu là
là số nguyên lớn nhất không vượt quá x . Nhận xét.
 x  a  a  x  a 1 +)
+) [x]  a  x  a  d trong đó a  và 0  d  1  x
+) Cho x là số thực, ta gọi phần lẻ của x . Kí hiệu
 x  x  x
 x  a  x  x  x  x  a  d  0; 1 hay
x   x  d, 0  d 1
khi làm toán ta thường viết
Một số kết quả về phần nguyên.
 x  y  x +
thì x là số nguyên và 0  y  1
n  Z :  n  x  n   x + Nếu  1  x 
  2x  x   +  2         x 1 2 n 1  x   x   ...  x    nx       +  n   n   n  a,b  ,
 a  b  Z , ab  Z :  a   b  a  b 1 + Cho a,b  ,
 a  b  Z , ab  Z :  a   b  a  b + Cho
Một số chú ý:
1  y  x   x  y   x   y +
 x  y  x  y  x  y 1 Hay thay phần lẻ ta có:
 x  y , 0  x      x  y y 1   x
   y 1, 1   x   y  2 Từ trên có thể suy ra:
 x   y  x  y 1 Bài 1.
1. Nếu n là số tự nhiên thì [nx ]≥ n [ x ]
2. Với mọi số tự nhiên n và q (q ≠ 0 ¿, ta có n<q(1+[nq ]) 1
3: Chứng minh rằng [x+2 ]=[2 x]−[x] với x là số thực.
Bài 2: Giả sử n là số nguyên dương. Tính tổng: Sn=[ n+1 2 ]+[ n+2
4 ]+…+[ n+2k 2k+1 ] Bài 3
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : [√n+√n+1]=[√4 n+2]      S  2 1 3 1 4 1 n 1 3 4 : S    ... n  2. Tính 2 3 4 n
 n 1   n
3. Với số nguyên dương n . Chứng minh   
 nếu n 1 không là số chính phương và
 n 1   n 1    
nếu n 1 là số chính phương. n  111
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho   chia hết cho 111.   n A B
Tính chất của khai triển và áp dụng
 A Bn  x  y B  A Bn  x  y B n n  và n n với x , y N n n n n n (a  b 
)  (a  b)  (a  b) 1  
với 0  a  b  1. u     n  n 2 3   Bài 5. Dãy số {u  n} được xác định với n=1,2,… 2 p  3 (  ) n p  1 1
Bài 6.Tìm nguyên tố nhỏ nhất sao cho  
chia hết cho 2n với mỗi số tự nhiên BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Chứng minh rằng (2m)!(2 ) n ! m  !n!(m  ) n !
Bài 2. Cho số nguyên dương a, n và các ước nguyên dương của a đều lớn hơn n . Chứng minh rằng 2 n 1 (a 1)(a 1)...(a    1) n  !
Bài 3. (VMO 2021). Với số nguyên n , gọi s(n) là tổng các số nguyên dương không vượt quá n và
nguyên tố cùng nhau với n . n
s(n)  (n 1(n)) 1. Chứng minh 2
2. Tìm n  2 thỏa mãn s(n)  s(n 11) .      
Bài 4.(VMO 2019). Cho dãy số nguyên dương thỏa mãn 0 x x 100, x 7x x 280 0 1 n2 n 1  n  
Chứng minh rằng nếu x 2, x 3 0 1
, mỗi số nguyên dương n , tổng các ước nguyên dương của x x  x x  x x  2018 24 n n 1  n 1  n2 n2 n3  Bài 5. (VMO 2016). s 2
1. Chứng minh rằng nếu n là số hoàn hảo lẻ thì n  p .m trong đó p  4k 1, s  4h 1 và m không
chia hết cho số nguyên tố p n(n 1) n 1,
2. Tìm các số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho 2 là số hoàn hảo. a b
Bài 6. Cho p, q là các số nguyên tố lẻ và a,b là các số nguyên dương sao cho p  q . Chứng minh
  a    b  a p q p   b  a q  p . rằng nếu  thì   1   2   n  ...  2 . n Bài 7 . Cho *
n   . Chứng minh rằng 1 2 n
         n 2 1 2 ...  n . Cho *
n   . Chứng minh rằng Bài 8.
Bài 9: GS a, b, c là số thực sao cho với mọi n nguyên dương: [na]+[nb ]=[nc ]. CMR c = a + b 1 2 n Bài 10 CMR −1
[ x ]+[x+n ]+[x+n ]+…+[x+ n ]=[nx] với x là số thực, n là số tự nhiên. 3 3 3 3
Bài 11.Tìm số nguyên dương n sao cho : 1  2  ...  n  2n  4  7225 3  u   Bài 12. Dãy số {u 2 n  n} xác định u1=2 và un+1= n=1,2,….
Chứng minh có vô số số hạng của dãy là số chẵn, cũng như có vô số số hạng của dãy là số lẻ.
Document Outline

• III. TỔNG CÁC ƯỚC NGUYÊN DƯƠNG
• Tư tưởng:
• +Ghép cặp các ước để ước lượng tổng các ước.
• Định nghĩa. Cho số nguyên dương .Tổng các ước số nguyên dương của là
• Định nghĩa. Số nguyên dương được gọi là số hoàn hảo nếu với là tổng các ước dương của n( kể cả n).
• Tính chất
• IV. HÀM TỔNG CÁC CHỮ SỐ
• V.HÀM PHẦN NGUYÊN
• Tính chất của khai triểnvà áp dụng