BÀIGI NG5.SỬD NGCÔNGTH CH B CCAO
Tóm t ắt lí thuyết
Trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác, ta thường gặp các dạng bài mà các
hàm sin x, cos x, tan x, cot x có b ậc 3 trở lên. Để giải quyết các dạng bài toán này, ta cần ghi nhớ
một số công th ức hạ bậc cao sau: 1. Công th c h b c ba
 sin 3 x 1 3sin x sin 3 x. 4
 cos 3 x 1 3cos x cos3 x. 4 3
3sin x sin 3x
x 3cos x
 tan  cos3x . cot 3 3cos x  x cos3x .
3sin x sin 3x
b c d ng sin n x cos n
2. Công th c h x.
sin 4 x cos 4 x 1  1 sin 2 2 x. 2
sin 6 x cos 6 x 3  1 sin 2 2 x. 4
cos 4 x sin 4 x cos2  x.   6 6  12 cos x sin   sin 
x cos2 x 1 2 x.  4
………………………………………………
3. Một số công th c h b c mở rộng tổng quát n1 k 1 cos 2n
C2 n cos2 n k 1  x n
2 n1 x 2n C2 n . 2 ko 2 n  cos 2 1 n1x 2n C k
2 n1cos 2 n 2 k1 x. 2 ko n n1   1  sin2n n 21n1
1 k C2kn cos2 n k 2n C2 n . x 2 ko 2
 sin2 n1 x1nn1 k C k sin 2n 2k1 x. 22n 2 k n 1 o
Nhận xét: Nhờ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba, công thức góc m ở rộng,… và qua
các biến đổi, ta nhận được công th ức hạ bậc cao như ở trên. I. Một số ví d 2
Ví d 1. Giải phương trình lượng giáccos 3 x.cos3 x sin 3 x. sin 3 x . 4 Giải
3 cos x cos3 PT x
cos3x3sin x sin 3 x 2  4 4 4
 3 cos 3 x cos x 3sin 3 x sin x cos 2 3  sin 2 3 x x 2
 3 cos 3 x cos x sin 3 x sin x cos6 x  2
 3 cos 2 x cos6 x 2  4 cos 3 2 x  2  cos 3 2 1 2x 4    3 2  cos2 x 1  cos 2 4   k  x k . 8  k x 
Vậỵ phương trình đã cho có nghiệm là  k . 8
Ví d 2. Giải phương trình lượng giáccos 3 x cos 3 x sin 3 x sin 3 x cos 3 4 x. Giải
4x2 x
PT 3cos x cos3x cos3x 3sin x sin 3x sin 2k 3x  4 4
4x 2x
1  cos2 3x sin2
3  cos3x cos x sin 3x  4 3x 4 sin
1 cos6x 3 cos2x cos3   4x 4 4 1  3
 4  4 cos3 2x 3cos 2x  4 cos2x cos3 4x
 cos3 2x cos3 4x
 cos4x cos2x k
 cos3 4x lim  3 x x cos 4x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  x k   k . 3 
Ví d 3. Giải phương trình lượng giácsin 4 x cos 4  1 x     .  4  4 Giải    2 PT      
 1  cos2x 2
 1  cos 2x  2  1  2   2  4         2
 1 cos2 x 2  1 sin 2x 1
 sin 2x  cos2x 1     2cos 2x   1     4  1   cos 2x     cos
 2x   2k 
 x  k  4 2 4  k.  4 4      x k
2x     2k   4    4 4 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
x k, x k  k. 4
Ví d 4. Giải phương trình lượng giác sin6 x cos6 x cos2 2x 1 . 16 Giải
sin2 2x cos2 PT 3 1 1 2x 4 16 3 1 sin2 2x  1 4 1  sin2 2x 16   
1 cos4x   4sin2 2x 1 4 1
 2 2 cos 4x 1 cos4x 1 cos2   2 3 4x   k 2 3     x
 k 2 k.   12 4  x 3  x  k 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là   k. 1 2
Ví d 5. Giải phương trình lượng giác sin 8 x cos 8 17 x cos 2 2 x. 16 Giải PT     cos 2x
 1 cos4 x  cos4 4  1 x4 17 2 1 2   2  6     cos2x 1  4 4   
 cos2x 1  17 cos2 2x.
Đặt t cos2x, t 1.
Khi đó, phương trình trở thành        t  1 4 t 1 4  17 t 2 
1 t 4 4t 3 6t 2 4t 1
 t 4  4t 3  6t 2 4t 17t 2
 2t 4 5t 2 2 0 t 1 2 2 Từ đó ta có cos2 2x
1  1 cos4x 1
 cos4x 0
4x  k  x   k  k. 2 2 2 2 8 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   k x  k . 8 4 2 sin6
os6 x sin x cos
Ví d 6. Giải phương trình lượng giác x c x  0. 2  2sin x Giải
Điều kiện : sin 1 x . 2  3 2  1 PT 21  sin 2x sin 2x 0 4 2 3sin2 2x sin 4  2x 0     sin 2x 4
 sin 2x 1 x 4 k k. sin 2x  1  3
Kết hợp với điều kiện, ta có x 5 2k  k. 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x 5 2k k . 4 II. Bài t p tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. cos3 x sin 3x sin3 x cos3x sin3 4x .
b. 4sin3 x sin 3x 4sin3 x cos3x 3 3cos4x 3.
c. cos3 x cos3x sin3 x sin 3x cos3 4x 1 . 4  k  k ; 
k k
Đ/S: a). x 12  k.
b). x 24  2x 8  2 .
c). x   k  k. 24 2
Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau
a. 2sin2 x 4sin4 x 1 cos2x 7 cos2 2x 3cos 2x 4. 4 2 x  b. sincos4 2x cos4 4x.       4   4  tan    x tan x c.
sin8 x cos8 x 17 . 32
d. sin8 2x cos8 2x 1 . 8 Đ/S: a).  k;   x  x
  k k. b). x k k . 4 6 2 2
c). x   k  k.
d). x   k  k. 8 4 8 4
Bài 3. Cho f x 3cos 6 2 x sin 4 2 x cos4 x m; g x 2 1 3cos 2 2 cos 2 2 x. x
. Tìm m để phương
trình f x g x có nghi ệm?
Đ/S:1 m 0.   x
Bài 4. Tìm m để phương trình sin 4 1
 sin x 4  m có nghi ệm?  1  Đ/S: m ;17.  8 
Xác định a để phương trình sin6 x cos6 x Bài 5. a
sin 2x có nghi ệm? Đ/S: a 1 . 4