Bài giảng Chương 1. Vi phân hàm số một biến môn Giải tích | Trường Đại học Công Nghệ Đông Á

TÀI L TÀI IỆU GI L ẢI IỆU GI T ẢI ÍCH T [PHẦN 1] Chương 1. Chương V 1. i V phân phâ hà n m hà số m số một biế một n biế Chương 2. Chương Tí 2. ch Tí ch phâ n phâ hà n m hà số m m số ột m biế ột n biế Chương 3. Chương Chuỗi 3. Chuỗi số Chương 4. Chương Hàm 4. s Hàm ố n s hiề ố n u hiề biế u n biế Chương Ch 1. V ương i ph 1. V ân i ph hàm số một ân biến Bài 1. Bài 1. Giới hạ Giới n hạ và n li và ên li ên tục Bài 2. Bài 2. Đạo hà Đạo m hà và m ứ và ng ứ dụng ng dụng tìm giới tìm hạ giới n hạ Chương Ch 1. V ương i ph 1. V ân i ph hàm số một ân biến Bài 1. Bài 1. Giới hạ Giới n hạ và n li và ên li ên tục 1.1. 1. 1. Hàm s Hàm ố s lư ố ợng lư giá ợng c giá ngư c ợc ngư 1.2. 1. 2. Các Các quy quy tắc tắc tính giới tính hạ giới n hạ 1.3. 1. 3. Đại lư Đại ợng lư vô ợng c vô ùng c bé ùng , v bé ô , v cù ô ng cù lớn ng 1.4. 1. 4. Hàm s Hàm ố s liê ố n liê tục n Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên 1.2. 1. 2. 2. Các 2. Các quy quy tắc tắc tính giới tính hạ giới n hạ
Giả sử k   và lim f (x), lim g(x) tồn tại. Khi đó: x a  x a 
1) lim[k.f (x)]  k. lim f (x) x a  x a  2) lim[ m f (x ( )  g(x
( )]  lim f (x ( )  lim g(x ( ) x a  x a  x a 
3) lim[f (x)g(x)]  lim f (x). lim g(x) x a  x a  x a  lim f (x) f (x) 4) lim x a  
nếu lim g(x)  0. x a  g(x) lim g(x) x a  x a  Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên  Định lý
Nếu f (x)  g(x) khi x  a và lim f (x), lim g(x) x a  x a 
tồn tại thì lim f (x)  lim g(x). x a  x a 
 Định lý kẹp giữa Nếu N ếu f (x ( )  h(x ( )  g(x ( ) khi kh x  a và
lim f (x)  lim g(x)  L thì lim h(x)  L. x a  x a  x a   Chú ý 1 1 1  1   ,    ,   0 ,  0 0 0   Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên  Một Mộ số t số kế t quả kế t quả giới hạ giới n hạ cầ n n nh cầ ớ n nh sin (  x) tan (  x) 1) lim  lim  1 (x )0 (x )0 (  x) (  x) 2) lim ln x  ,
 lim ln x   x  x 0  0 x 1  1   3) lim 1     lim  
1xx  e x   x 0  x  n  
4) lim[f (x)]n  lim f (x)   x a  x a   , n    Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên  Một Mộ số t số kế t quả kế t quả giới hạ giới n hạ cầ n n nh cầ ớ n nh g x   5)  g x f x  lim ( ) ( ) lim [ ( )]
 lim f (x) x a    f x  ) x a  x a   (lim ( ) 0 x a 
6) lim n f (x)  n lim f (x), n    x a  x a  (nếu (n n l ẻ, l t ẻ, a t giả giả sử rằ sử n rằ g lim f (x ( )  0) ) x a  ln x x  7) lim  lim
 0 nếu   1,   1.  x x  x x   Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên 1.2. 1. 3. 2. 3. Mộ t Mộ số t v số í d v ụ í d cos x
VD1. Chứng tỏ rằng lim  0. x  x Giải. Ta có: 1 cos x 1    , x  (0 ( ; 0  )  . ) x x x  1 1   cos x Vì lim     lim  0    , nên lim 0. x   x  x   x x  x Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên 3x 2x 1   
VD2. Tính L  lim     .
x  2x  3 1 2
VD 3. Tìm giới hạn L  lim 1  tan x .  4x x 0 4 A. L  ;
B. L  1; C. L  L
e ; D. L  e . cotx VD4. Tính sin
L  lim(cos 2x) x . x 0 Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên 1.3. 1. 3. Đại lư Đại ợng lư vô ợng c vô ùng c bé ùng v bé à v vô à c vô ùng c lớn ùng 1.3. 1. 1. 3. 1. Các Các định định nghĩ a nghĩ  Định nghĩ Định a nghĩ 1 a
● f (x ) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x  a nếu lim f (x ( )  0. x a 
● f (x ) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x  a nếu
lim f (x)  . x a Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên  Chú ý Chú
● Ta cũng có định nghĩa tương tự cho trường hợp: x a, x a    , x   ,  x  . 1
● Khi x  a nếu f (x ) là vô cùng bé (VCB) thì f (x ) là vô cùng lớn (VCL). Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên Ví dụ:
• f (x)  tan(sin x) là VCB khi x  0;
• g(x )  tan(cos x ) không là VCB khi x  0;     
• cos x , cot x , sin x     là các VCB khi x  ;  2  2     2 • 3
tan sin 1x  là VCB khi x 1  ; 2x  3 •
là VCB khi x  . 2 x  x  5 Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên  Định nghĩ Định a nghĩ 2 a
Cho f (x ) và g(x ) là hai vô cùng bé khi x  a .
• f (x ) được gọi là VCB cấp cao hơn g(x ), ký hiệu f (x)
là f (x )  O(g(x )), nếu lim  0. x a  g(x)
• f (x ) được gọi là VCB cùng bậc với g(x ) nếu f (x) lim
 k (0  k  )  . x a  g(x)
• f (x ) và g(x ) được gọi là hai VCB tương đương, f (x)
ký hiệu là f (x )  g(x ), nếu lim  1. x a  g(x) Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên Ví dụ: 3 x • 3 2
x  O(x ) khi x  0 vì lim  lim x  0; 2 x 0 x 0 x • 2
sin x  O(sin 2x) khi x  0 vì 2 sin x sin x lim  lim  0; x 0 x 0 si s n 2x 2 2 co c s x • 2 2
(x  1)  O(tan(x  1)) khi x  1 vì 2  2 (x 1) x 1 x 1     lim  lim  .   0; 2  2 x 1  x 1 tan(x 1)  x 1 tan(x 1)    Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên • 3 3
sin x  x khi x  0 vì 3 3 sin x sinx  lim  lim     1; 3   x 0 x 0 x x   • 2 2
sin 3(x  1)  tan[9(x  1) ] khi x  1 vì  2 2 s  i s n 3( 3 x ( 1) 1  [3( 3 x ( 1) 1 ]   2 2
tan[9(x 1) ]  9(x 1) ; 
• 1  cos x là VCB cùng bậc với 2
x khi x  0, vì 2 x 2 sin 1  cos x 1 2 lim  lim  . 2 2 x 0 x 0 x x 2 Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên  Định nghĩ Định a nghĩ 3 a
Cho f (x ), g(x ) là hai vô cùng lớn (VCL) khi x  a .
• f (x ) được gọi là VCL cấp thấp hơn g(x ) nếu f (x) lim  0. x a  g(x) • f (x ( ) và và g(x ( ) ) được g đư ọi ợc g ọi là h l ai à h VC V L C L tương ươn đư g ơng đư , ơng , f (x)
ký hiệu là f (x )  g(x ), nếu lim  1. x a  g(x)
• f (x ) và g(x ) được gọi là hai VCL cùng cấp nếu f (x) lim
 k (0  k  )  . x a  g(x) Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên Ví dụ: Ví 1 x x x • Ta có lim  lim  0 2
x  x  1 x  1 1  2 x
 x là VCL cấp thấp hơn 2 x  1; 2 x 1 • lim  lim  1 x  4 8 6 x  3x  2 x x  3 2 4 1   2 7 x x 4 8 6 2
 x  3x  2x  x . Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên 1.3. 1. 2. 3. 2. Quy tắc Quy ng tắc ắt ng bỏ ắt vô vô cù ng cù bé ng bé cấ p cấ ca p o ca
Cho f (x ) và g(x ) là hai VCB khi x  a , ta có:
f (x) O(f (x)) f (x) lim  lim x a
 g(x) O(g(x)) x a  g(x) 3
x  cos x  1
VD8. Tính L  lim . 4 2 x 0 x  x Giải. Ta có: 3
x  (1  cos x) 1  cos x 1 L  li m  lim  . x 0 4 2 x  x 2 x 0 x 2 Bài 1. Bà Gi i 1. ới hạn ới và l hạn iên tục iên  Các Các vô c vô ùng c bé ùng tương bé tương đương đương cầ n cầ nhớ n
Khi u(x)  0, ta có công thức VCB tương đương:
1) sin u(x)  u(x);
2) tan u(x)  u(x);
3) arcsin u(x)  u(x); 4) arctan u(x)  u(x); 2 [u(x)] [ ( ) 1 5)  co c su(x ( )  u(x )  ; 6) e ( e 1  u(x ( ); 2
7) ln[1  u(x)]  u(x); 8) [1+u(x)]  1  u  (x). u(x)
Đặc biệt: n 1  u(x)  1  . n