Bài giảng chương 4: tích phân - Tp bất định | Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng
Bài giảng chương 4: tích phân - Tp bất định | Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng. Tài liệu gồm 46 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Giải tích 1(GT 1)
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm c a hàm f(x)
trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thu c (a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
Từ đ nh nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm c a hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm c a f(x) đều có dạng F(x)+C
Đ nh lỦ: Mọi hàm liên t c trên [a,b] (liên t c trong khoảng (a,b)
và liên t c trái tại b, liên t c phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b]
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Đ nh nghĩa tích phân bất đ nh : Nếu hàm F(x) là m t nguyên
hàm c a hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích
phân bất đ nh c a hàm f(x), kí hiệu f (x)dx
F(x) C Tính chất: f (
x)dx f (x)C d f (x)dx f (x) dx . a f (x)dx . a f (x)dx
f (x) g(x)dx f (x)dx
g(x)dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x 1 x dx C, 1 dx tan x C 2 1 cos x 1 1 dx ln x C dx
cot x c 2 x sin x x 1 1 x x a a dx C dx arctan C 2 2 ln a a x a a sin xdx
cos x C 1 1 x a dx ln C 2 2 cos xdx sin x c a x 2a x a dx x dx x ln tan C
ln tan C sin x 2 cos x 2 4
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x dx arcsin c 2 2 a a x 1 2 2 dx
ln x x a C 2 2 x a 2 2 2 2 2 a x x a x a x dx arcsin C 2 a 2 dx shxdx chx C thx C 2 ch x chxdx shx C dx
cthx C 2 sh x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Phương pháp đổi biến: Định lý: V i φ(t) là hàm khả vi
Nếu: f (x)dx
F(x) C Thì: f (
(t)) (t)dt F((t)) C
Phương pháp đổi biến 1: Đ t x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và
có hàm ngược t= φ-1(x) thì f (x)dx f (
(t)) (t)dt Gsử nguyên hàm c a 1
f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì f (x)dx G(t) C G( (x)) C
Phương pháp đổi biến 2: Đ t u = φ(x), du=φ’(x)dx và giả sử f (x)dx g(
(x)) (x)dx v i g(x)dx
G(x) C
Thì f (x)dx
G((x)) C
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2 I 1 x dx x 4 x I e e dx 1 3 dx dx I I 2 2 2 4 x a 2x 1
Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có
nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có
nguyên hàm trên (a,b) và ta có u (
x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v ( x)dx
Ta còn viết CT trên ở dạng udv uv vdu
Ví d : Tính các tích phân I arcsin xdx I x ln xdx 5 2 6
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân các hàm hữu tỉ
1. Tích phân phân th c đơn giản lọai 1: M k M dx b x C 1 a a k 1 1
(ax b)k
2. Tích phân phân th c đơn giản lọai 2: v i ax2+bx+c là tam
th c b c 2 không có nghiệm thực Mx N du du dx , 2 k 2 2 k
(ax bx c)k u (u a )
Biến đổi để đưa tp trên thành tổng c a 2 tp cơ bản dạng
Ví d : Tính các tích phân x 1 2x 3 I dx I dx 7 2 2 2 2x 4x 5 (x x 1)
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm hữu tỉ tổng quát P (x) : f (x) n Q (x) m
Trường hợp 1: n < m Phân tích hàm thành tổng các phân th c đơn giản M M j x N j i , l k i 2 (a x b ) i i
(c x d x e ) j j j j
Trường hợp 2: n ≥ m
Ta chia đa th c : P (x) Q (x).T (x) R (x),l m n m k l
Rồi đưa về trường hợp 1
Ví d : Tính các tích phân 2x 3 3 x x 1 I dx 8 I dx 3 2 9
x 5x 6x 2 x 5x 4
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2x 1 3x 1 I dx I dx 10 2 2 2
x 2x 3 x 1 (x 2 1)(x 1)
Tích phân 1 số hàm vô tỉ ax b n 1. f ( , x )dx Đ t: ax b n t cx d cx d
Ví d : Tính các tích phân x 1 dx 1 x 1 3 I I dx 11 3 12 x 1 (x 1) x x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân 1 số hàm vô tỉ mx n 2. f dx Tính như tp hàm hữu t 2
ax bx c 1 3. f dx
Đ t (x-α)=1/t để đưa về x m 2
ax bx c dạng trên
Ví d : Tính các tích phân dx x 1 dx I 13 I 14 x 2 1 x x 1 2 x 2x 3 (x 1)dx 15 I 2
(x 1) x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm lượng giác
f cos x,sin xdx 2 x 2dt 1 t 2t
t tan dx ,cos x ,sin x 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t
Ví d : Tính các tích phân dx
3sin x 4cos x 16 I I dx
4sin x 3cos x 5 17
2cos x 5sin x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh Tính các tp dx I x 8
4cos x 3sin x 5 1 I e dx arcsin x dx I I 2 dx 9 2 x 3 cos x sin x dx dx I 3 I 2 10 2x 4x 5 2 2
4sin x 7cos x cos x I 1 x 1 4 dx x I dx e 11 x x 1 arcsin x x 1 I 5 dx I dx 1 x 12 2 1 2x x xdx I 2 6 4 2 I x x 4dx x 6x 13 13 4 3 2 dx
x 3x 3x 5 I I 14 7 2x 9 2 x dx 3 1 16 x
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Đ nh nghĩa tích phân xác đ nh: Cho hàm f(x) xác đ nh
trên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy Ủ bởi các điểm chia (ta
gọi là m t phân hoạch c a đoạn [a,b]) a 0 x 1 x ... n x b
Lấy điểm bất kỳ M x , k k k x 1
, l p tổng tích phân: n 1
S f (M ). x , n k k k x k x 1 k x (Tổng Riemann) k 0 Ta cho max 0 k x
, nếu Sn tiến đến m t gi i hạn hữu
hạn mà không ph thu c cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk
thì gi i hạn đó được gọi là tích phân xác đ nh c a hàm f(x)
trên [a,b] và kí hiệu là b
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b] f (x)dx a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Tính chất c a tích phân xác đ nh
Định lý 1: Hàm liên t c trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Trong các tính chất dư i đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả tích trên [a,b] b b b 1 / dx b a 2 / . c f (x)dx
.c f (x)dx a a a b b b
3 / f (x) g(x)dx f (x)dx
g(x)dx a a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh b a 4 / f (x)dx
f (x)dx a b b b 5 / f (x)dx
g(x)d ,x f (x)
g(x) x [a,b] a a b c b 6 / f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx f(x) khả tích trên [a,c], [c,b], [a,b] a a c b b 7 / f (x)dx
f (x) dx a a 0
, f (x) là hàm lẻ a 8 / f (x) a dx
2 f (x)dx, f (x) là hàm ch n a 0
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh a T a 9 / f (x)dx
f (x)dx, f (x)
là hàm tuần hoàn chu kỳ T a 0 b M, m là GLNN, GTNN c a 7 / (
m b a) f (x)dx
M (b a) f(x) trên [a,b] a
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên t c trên [a,b], tồn
tại điểm c trong [a,b] sao cho b f (x)dx
(b a) f (c) a
Ta gọi f(c) là giá tr trung bình c a hàm f(x) trên [a,b] 1 b f (c) f (x)dx b a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Công th c đạo hàm dư i dấu tích phân b(x) f (t)dt
f (b(x)).b (x) f (a(x)).a (x) a(x)
Ví d : Tính đạo hàm theo x c a cos x 2 f (x) cos(t )dt sin x x 2 (arctan t) dt Ví d : Tính gi i hạn 0 lim x 2 x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh Phương pháp đổi biến
f (x) liên t c trên [a,b] Nếu (t)
khả vi, liên t c trên [t1,t2] [ 1
t ,t2] [a,b], ( 1t) , a (t2) b b t2 Thì f (x)dx f (
(t)) (t)dt a 1 t 6 Ví d : Tính dx 1 3x2 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên t c trên [a,b] thì b b b u(x)v (
x)dx u(x)v(x) u (
x)v(x)dx a a a Ví d : Tính 1 arcsin xdx 0 1 x