Bài giảng chương 4: tích phân - Tp bất định | Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Bài giảng chương 4: tích phân - Tp bất định | Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng. Tài liệu gồm 46 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm ca hàm f(x)
trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuc (a,b) ta đều có
F’(x) = f(x)
Từ đnh nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là mt nguyên hàm ca f(x) thì F(x)+C cũng là
nguyên hàm ca hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm ca f(x) đều có dạng F(x)+C
Đnh lỦ: Mọi hàm liên tc trên [a,b] (liên tc trong khoảng (a,b)
và liên tc trái tại b, liên tc phải tại a) thì có nguyên hàm trên
[a,b]
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Đnh nghĩa tích phân bất đnh : Nếu hàm F(x) là mt nguyên
hàm ca hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích
phân bất đnh ca hàm f(x), kí hiệu
( ) ( )f x dx F x C
Tính chất:
( ) ( )f x dx f x C

( ) ( )
d
f x dx f x
dx
. ( ) . ( )a f x dx a f x dx

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
1
,1
1
x
x dx C
1
lndx x C
x

ln
x
x
a
a dx C
a

2
2
1
tan
cos
1
cot
sin
dx x C
x
dx x c
x

ln tan
sin 2
dx x
C
x

ln tan
cos 2 4
dx x
C
x



Bảng tích phân các hàm cơ bản
22
11
arctan
x
dx C
aa
ax

22
11
ln
2
xa
dx C
a x a
ax

Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Bảng tích phân các hàm cơ bản
22
1
arcsin
x
dx c
a
ax

22
22
1
lndx x x a C
xa

2
2
dx
thx C
ch x
dx
cthx C
sh x

2 2 2
22
arcsin
22
a x x a x
a x dx C
a
shxdx chx C
chxdx shx C


Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Phương pháp đổi biến:
( ) ( )f x dx F x C
Thì:
( ( )) ( ) ( ( ))f t t dt F t C

Vi φ(t) hàm khả vi Định lý:
Phương pháp đổi biến 1: Đt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và
( ) ( ( )) ( )f x dx f t t dt


Gsử nguyên hàm ca
f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì
1
( ) ( ) ( ( ))f x dx G t C G x C
Nếu:
Phương pháp đổi biến 2: Đt u = φ(x), du=φ’(x)dx và giả sử
( ) ( ( )) ( )f x dx g x x dx


vi
( ) ( )g x dx G x C
Thì
( ) ( ( ))f x dx G x C

hàm ngược t= φ
-1
(x) thì
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Ví d: Tính các tích phân
2
1
1I x dx
2
22
dx
I
xa
3
4
xx
I e e dx
4
21
x
dx
I
Phương pháp tích phân từng phần:
Định : Cho các hàm u(x), v(x) khả vi u(x), v’(x)
nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng
nguyên hàm trên (a,b) và ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx



udv uv vdu

Ta còn viết CT trên ở dạng
5
arcsinI xdx
2
6
lnI x xdx
Ví d: Tính các tích phân
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Tích phân các hàm hữu tỉ
1. Tích phân phân thc đơn giản lọai 1:
()
k
M
dx
ax b
1
1
1
k
M
b
xC
a
ak
2. Tích phân phân thc đơn giản lọai 2: vi ax
2
+bx+c là tam
thc bc 2 không có nghiệm thực
2
()
k
Mx N
dx
ax bx c

Biến đổi để đưa tp trên thành tổng ca 2 tp cơ bản dạng
22
,
()
kk
du du
u u a

Ví d: Tính các tích phân
7
22
23
( 1)
x
I dx
xx

2
1
2 4 5
x
I dx
xx

Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Tích phân hàm hữu tỉ tổng quát:
()
()
()
n
m
Px
fx
Qx
Trường hợp 1: n < m
2
,
()
()
ij
jj
i
lk
ii
j j j
M x N
M
a x b
c x d x e

Phân tích hàm thành tổng các phân
thc đơn giản
Trường hợp 2: n ≥ m
Ta chia đa thc :
( ) ( ). ( ) ( ),
n m k l
P x Q x T x R x l m
Rồi đưa về trường hợp 1
Ví d: Tính các tích phân
8
32
23
56
x
I dx
x x x

3
9
2
1
54
xx
I dx
xx


Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
10
22
31
( 1)( 1)
x
I dx
xx

Ví d: Tính các tích phân
2
2
21
2 3 1
x
I dx
x x x
Tích phân 1 số hàm vô tỉ
Đt:
n
ax b
t
cx d
1. ( , )
n
ax b
f x dx
cx d
Ví d: Tính các tích phân
3
11
3
1
1
( 1)
x dx
I
x
x
12
11
1
x
I dx
xx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đnh
Tính như tp hàm hữu t
Tích phân 1 số hàm vô tỉ
2
2.
mx n
f dx
ax bx c

2
1
3. f dx
x m ax bx c
Đt (x-α)=1/t để đưa về
dạng trên
Ví d: Tính các tích phân
13
2
11
dx
I
x x x
14
2
1
23
x dx
I
xx

15
2
( 1)
( 1) 1
x dx
I
xx

Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Tích phân hàm lượng giác
cos ,sinf x x dx
2
2 2 2
2 1 2
tan ,cos ,sin
2
1 1 1
x dt t t
t dx x x
t t t
Ví d: Tính các tích phân
16
4sin 3cos 5
dx
I
xx

17
3sin 4cos
2cos 5sin
xx
I dx
xx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đnh
Tính các tp
1
2
2
3
2
4
5
6
42
4 3 2
7
3
I
arcsin
2 4 5
cos
arcsin
1
6 13
3 3 5
1
x
x
e dx
x
I dx
x
dx
I
xx
x
I dx
e
x
I dx
x
xdx
I
xx
x x x
I dx
x


8
9
3
10
22
11
12
2
2
13
14
22
4cos 3sin 5
cos sin
4sin 7cos
11
1
1
12
4
9 16
dx
I
xx
dx
I
xx
dx
I
xx
x
I dx
xx
x
I dx
xx
I x x dx
dx
I
xx




Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Đnh nghĩa tích phân xác đnh: Cho hàm f(x) xác đnh
trên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy Ủ bởi các điểm chia (ta
gọi là mt phân hoạch ca đoạn [a,b])
01
...
n
a x x x b
Lấy điểm bất kỳ
1
,
k k k
M x x
, lp tổng tích phân:
1
1
0
( ). ,
n
n k k k k k
k
S f M x x x x
(Tổng Riemann)
Ta cho
hạn mà không ph thuc cách chia [a,b] và cách lấy điểm M
k
thì gii hạn đó được gọi là tích phân xác đnh ca hàm f(x)
trên [a,b] và kí hiệu là
max 0
k
x
, nếu S
n
tiến đến mt gii hạn hữu
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b]
()
b
a
f x dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Tính chất ca tích phân xác đnh
Định lý 1: Hàm liên tc trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả
tích trên [a,b]
Trong các tính chất dưi đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả
tích trên [a,b]
1/
b
a
dx b a
2/ . ( ) . ( )
bb
aa
c f x dx c f x dx

( ) ( ) ( )/ ()3
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
4/ ( ) ( )
ba
ab
f x dx f x dx

( ) ( ) , ( ) ( ) [ ,5/ ]
bb
aa
f x dx g x dx f x g x x a b

( ) ( ) (6/ )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
f(x) khả tích trên [a,c],
[c,b], [a,b]
7/ ( ) ( )
bb
aa
f x dx f x dx

0
0, ( )
()
2 ( )
/
, ( )
8
a
a
a
fx
f x dx
f x dx f x
là hàm lẻ
là hàm chn
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên tc trên [a,b], tồn
tại điểm c trong [a,b] sao cho
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx b a f c
Ta gọi f(c) là giá tr trung bình ca hàm f(x) trên [a,b]
1
( ) ( )
b
a
f c f x dx
ba
( ) ( )7/ ()
b
a
m b a f x dx M b a
M, m là GLNN, GTNN ca
f(x) trên [a,b]
0
( ) ( ) )9 ,(/
a T a
a
f x dx f x dx f x

là hàm tuần hoàn chu kỳ T
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Công thc đạo hàm dưi dấu tích phân
()
()
( ) ( ( )). ( ) ( ( )). ( )
bx
ax
f t dt f b x b x f a x a x






Ví d: Tính đạo hàm theo x ca
cos
2
sin
( ) cos( )
x
x
f x t dt
2
0
2
(arctan )
lim
1
x
x
t dt
x

Ví d: Tính gii hạn
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Phương pháp đổi biến
Nếu
1 2 1 2
()
()
[ , ] [ , ], ( ) , ( )
fx
t
t t a b t a t b
liên tc trên [a,b]
khả vi, liên tc trên [t
1
,t
2
]
Thì
2
1
( ) ( ( )) ( )
t
b
at
f x dx f t t dt


Ví d: Tính
6
1 3 2
1
dx
x

Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tc trên [a,b] thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
b
a
aa
u x v x dx u x v x u x v x dx



Ví d: Tính
1
0
arcsin
1
xdx
x
| 1/46

Preview text:

Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm c a hàm f(x)
trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thu c (a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
Từ đ nh nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm c a hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm c a f(x) đều có dạng F(x)+C
Đ nh lỦ: Mọi hàm liên t c trên [a,b] (liên t c trong khoảng (a,b)
và liên t c trái tại b, liên t c phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b]
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Đ nh nghĩa tích phân bất đ nh : Nếu hàm F(x) là m t nguyên
hàm c a hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích
phân bất đ nh c a hàm f(x), kí hiệu f (x)dx
F(x) C Tính chất: f (
  x)dx f (x)C d f (x)dx   f (x) dx . a f (x)dx   . a f (x)dx
 f (x)  g(x)dx f (x)dx
g(x)dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản  1 x   1 x dx   C,  1 dx   tan x C    2 1 cos x 1 1 dx   ln x C dx
 cot x c 2 x sin x x 1 1 x x a a dx   C dx   arctan  C 2 2 ln a a x a a sin xdx
 cos x C 1 1 x a dx   ln  C 2 2 cos xdx   sin x c a x 2a x a dx x      dx x ln tan  C
 ln tan   C sin x 2 cos x 2 4  
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x dx   arcsin  c 2 2 a a x 1 2 2 dx
 ln x x a C 2 2 x a 2 2 2 2 2 a x x a x a   x dx  arcsin  C 2 a 2 dx shxdx   chx C   thx C 2 ch x chxdx   shx C dx
 cthx C 2 sh x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Phương pháp đổi biến: Định lý: V i φ(t) là hàm khả vi
Nếu: f (x)dx
F(x) C Thì: f (
 (t)) (t)dt F((t)) C
Phương pháp đổi biến 1: Đ t x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và
có hàm ngược t= φ-1(x) thì f (x)dx   f (
 (t)) (t)dt Gsử nguyên hàm c a 1      
f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì f (x)dx G(t) C G( (x)) C
Phương pháp đổi biến 2: Đ t u = φ(x), du=φ’(x)dx và giả sử f (x)dx   g(
 (x)) (x)dx v i g(x)dx
G(x) C
Thì f (x)dx
G((x)) C
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2 I  1   x dx x  4 x I e   e dx 1 3 dx dx I I  2   2 2 4 x a 2x 1
Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có
nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có
nguyên hàm trên (a,b) và ta có u (
  x)v(x)dx u(x)v(x)  u(x)v (   x)dx
Ta còn viết CT trên ở dạng udv   uv vdu
Ví d : Tính các tích phân I  arcsin xdx I x ln xdx 5  2 6 
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân các hàm hữu tỉ
1. Tích phân phân th c đơn giản lọai 1: Mk M dxbx   C 1  a a k 1 1
(ax b)k
2. Tích phân phân th c đơn giản lọai 2: v i ax2+bx+c là tam
th c b c 2 không có nghiệm thực Mx N du du dx   ,   2 k 2 2 k
(ax bx c)k u (u a )
Biến đổi để đưa tp trên thành tổng c a 2 tp cơ bản dạng
Ví d : Tính các tích phân x 1 2x  3 I dx I   dx 7 2  2 2 2x  4x  5 (x x 1)
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm hữu tỉ tổng quát P (x) : f (x) nQ (x) m
Trường hợp 1: n < m Phân tích hàm thành tổng các phân th c đơn giản M Mj x N j i  , l k i 2 (a x b ) i i
(c x d x e ) j j j j
Trường hợp 2: n ≥ m
Ta chia đa th c : P (x)  Q (x).T (x)  R (x),l m n m k l
Rồi đưa về trường hợp 1
Ví d : Tính các tích phân 2x  3 3 x x 1 I dx  8  I dx  3 2 9
x  5x  6x 2 x  5x  4
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2x 1 3x 1 I dxIdx 10 2  2 2
x  2x  3 x 1 (x   2 1)(x 1)
Tích phân 1 số hàm vô tỉ ax b n  1. f ( , x )dx  Đ t: ax b n t cx d cx d
Ví d : Tính các tích phân x 1 dx 1 x  1 3 IIdx  11  3 12 x 1 (x 1) x x  1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân 1 số hàm vô tỉ mx n 2. f dx  Tính như tp hàm hữu t 2
ax bx c 1 3. f dx
Đ t (x-α)=1/t để đưa về x m 2
ax bx c dạng trên
Ví d : Tính các tích phân dxx    1 dx I  13 I   14  x   2 1 x x  1 2 x  2x  3 (x  1)dx  15 I  2
(x  1) x  1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm lượng giác
f cos x,sin xdx  2 x 2dt 1  t 2t
t  tan  dx  ,cos x  ,sin x  2 2 2 2 1  t 1  t 1  t
Ví d : Tính các tích phân dx
3sin x  4cos x  16 II dx
4sin x  3cos x  5 17
2cos x  5sin x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh Tính các tp dx I   x  8
4cos x  3sin x  5 1 I e dx  arcsin x dx I I   2 dx  9 2 x 3 cos x sin x dx dx I  3  I   2 10 2x  4x  5 2 2
4sin x  7cos x cos x I  1 x 1 4 dxx Idx e 11  x x 1 arcsin x x 1 I  5 dxIdx  1  x 12 2 1  2x x xdx I  2 6  4 2 Ix x   4dx x  6x 13 13 4 3 2 dx
x  3x  3x  5 II  14  7    2x 9 2 x   dx 3 1 16  x
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Đ nh nghĩa tích phân xác đ nh: Cho hàm f(x) xác đ nh
trên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy Ủ bởi các điểm chia (ta
gọi là m t phân hoạch c a đoạn [a,b]) a  0 x  1 x  ...  n x b
Lấy điểm bất kỳ M x , k k k x 1
  , l p tổng tích phân: n 1 
S   f (M ). x  , n k k k x k x 1   k x (Tổng Riemann) k 0 Ta cho max 0 k x
  , nếu Sn tiến đến m t gi i hạn hữu
hạn mà không ph thu c cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk
thì gi i hạn đó được gọi là tích phân xác đ nh c a hàm f(x)
trên [a,b] và kí hiệu là b
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b] f (x)dxa
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Tính chất c a tích phân xác đ nh
Định lý 1: Hàm liên t c trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Trong các tính chất dư i đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả tích trên [a,b] b b b 1 / dx   b a 2 / . c f (x)dx
 .c f (x)dxa a a b b b
3 /   f (x)  g(x)dx f (x)dx
g(x)dxa a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh b a 4 / f (x)dx
  f (x)dxa b b b 5 / f (x)dx
g(x)d ,x f (x) 
g(x) x  [a,b] a a b c b 6 / f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx  f(x) khả tích trên [a,c], [c,b], [a,b] a a c b b 7 / f (x)dx
f (x) dxa a 0
 , f (x) là hàm lẻ a  8 / f (x) a dx
 2 f (x)dx, f (x)  là hàm ch n a    0
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh a Ta 9 / f (x)dx
f (x)dx, f (x) 
là hàm tuần hoàn chu kỳ T a 0 b M, m là GLNN, GTNN c a 7 / (
m b a)  f (x)dx
M (b a) f(x) trên [a,b] a
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên t c trên [a,b], tồn
tại điểm c trong [a,b] sao cho b f (x)dx
 (b a) f (c) a
Ta gọi f(c) là giá tr trung bình c a hàm f(x) trên [a,b] 1 b f (c)  f (x)dxb a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Công th c đạo hàm dư i dấu tích phân  b(x)   f (t)dt
  f (b(x)).b (x)  f (a(x)).a (x)   a(x)  
Ví d : Tính đạo hàm theo x c a cos x 2 f (x)  cos(t )dt  sin x x 2 (arctan t) dt  Ví d : Tính gi i hạn 0 lim x 2  x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh Phương pháp đổi biến
f (x) liên t c trên [a,b]  Nếu (t) 
khả vi, liên t c trên [t1,t2]    [     1
t ,t2] [a,b], ( 1t) , a (t2)  b b t2 Thì f (x)dx   f (
 (t)) (t)dt a 1 t 6 Ví d : Tính dx  1 3x2 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên t c trên [a,b] thì b b b u(x)v ( 
x)dx u(x)v(x)  u (
  x)v(x)dx a a a Ví d : Tính 1 arcsin xdx 0 1 x