Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm ca hàm f(x)
trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuc (a,b) ta đều có
F’(x) = f(x)
Từ đnh nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là mt nguyên hàm ca f(x) thì F(x)+C cũng là
nguyên hàm ca hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm ca f(x) đều có dạng F(x)+C
Đnh lỦ: Mọi hàm liên tc trên [a,b] (liên tc trong khoảng (a,b)
và liên tc trái tại b, liên tc phải tại a) thì có nguyên hàm trên
[a,b]
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Đnh nghĩa tích phân bất đnh : Nếu hàm F(x) là mt nguyên
hàm ca hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích
phân bất đnh ca hàm f(x), kí hiệu
( ) ( )f x dx F x C
Tính chất:
( ) ( )f x dx f x C

( ) ( )
d
f x dx f x
dx
. ( ) . ( )a f x dx a f x dx

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
1
,1
1
x
x dx C
1
lndx x C
x

ln
x
x
a
a dx C
a

2
2
1
tan
cos
1
cot
sin
dx x C
x
dx x c
x

ln tan
sin 2
dx x
C
x

ln tan
cos 2 4
dx x
C
x



Bảng tích phân các hàm cơ bản
22
11
arctan
x
dx C
aa
ax

22
11
ln
2
xa
dx C
a x a
ax

Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Bảng tích phân các hàm cơ bản
22
1
arcsin
x
dx c
a
ax

22
22
1
lndx x x a C
xa

2
2
dx
thx C
ch x
dx
cthx C
sh x

2 2 2
22
arcsin
22
a x x a x
a x dx C
a
shxdx chx C
chxdx shx C


Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Phương pháp đổi biến:
( ) ( )f x dx F x C
Thì:
( ( )) ( ) ( ( ))f t t dt F t C

Vi φ(t) hàm khả vi Định lý:
Phương pháp đổi biến 1: Đt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và
( ) ( ( )) ( )f x dx f t t dt


Gsử nguyên hàm ca
f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì
1
( ) ( ) ( ( ))f x dx G t C G x C
Nếu:
Phương pháp đổi biến 2: Đt u = φ(x), du=φ’(x)dx và giả sử
( ) ( ( )) ( )f x dx g x x dx


vi
( ) ( )g x dx G x C
Thì
( ) ( ( ))f x dx G x C

hàm ngược t= φ
-1
(x) thì
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Ví d: Tính các tích phân
2
1
1I x dx
2
22
dx
I
xa
3
4
xx
I e e dx
4
21
x
dx
I
Phương pháp tích phân từng phần:
Định : Cho các hàm u(x), v(x) khả vi u(x), v’(x)
nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng
nguyên hàm trên (a,b) và ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx



udv uv vdu

Ta còn viết CT trên ở dạng
5
arcsinI xdx
2
6
lnI x xdx
Ví d: Tính các tích phân
Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Tích phân các hàm hữu tỉ
1. Tích phân phân thc đơn giản lọai 1:
()
k
M
dx
ax b
1
1
1
k
M
b
xC
a
ak
2. Tích phân phân thc đơn giản lọai 2: vi ax
2
+bx+c là tam
thc bc 2 không có nghiệm thực
2
()
k
Mx N
dx
ax bx c

Biến đổi để đưa tp trên thành tổng ca 2 tp cơ bản dạng
22
,
()
kk
du du
u u a

Ví d: Tính các tích phân
7
22
23
( 1)
x
I dx
xx

2
1
2 4 5
x
I dx
xx

Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Tích phân hàm hữu tỉ tổng quát:
()
()
()
n
m
Px
fx
Qx
Trường hợp 1: n < m
2
,
()
()
ij
jj
i
lk
ii
j j j
M x N
M
a x b
c x d x e

Phân tích hàm thành tổng các phân
thc đơn giản
Trường hợp 2: n ≥ m
Ta chia đa thc :
( ) ( ). ( ) ( ),
n m k l
P x Q x T x R x l m
Rồi đưa về trường hợp 1
Ví d: Tính các tích phân
8
32
23
56
x
I dx
x x x

3
9
2
1
54
xx
I dx
xx


Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
10
22
31
( 1)( 1)
x
I dx
xx

Ví d: Tính các tích phân
2
2
21
2 3 1
x
I dx
x x x
Tích phân 1 số hàm vô tỉ
Đt:
n
ax b
t
cx d
1. ( , )
n
ax b
f x dx
cx d
Ví d: Tính các tích phân
3
11
3
1
1
( 1)
x dx
I
x
x
12
11
1
x
I dx
xx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đnh
Tính như tp hàm hữu t
Tích phân 1 số hàm vô tỉ
2
2.
mx n
f dx
ax bx c

2
1
3. f dx
x m ax bx c
Đt (x-α)=1/t để đưa về
dạng trên
Ví d: Tính các tích phân
13
2
11
dx
I
x x x
14
2
1
23
x dx
I
xx

15
2
( 1)
( 1) 1
x dx
I
xx

Chương 4: Tích phân Tp bất đnh
Tích phân hàm lượng giác
cos ,sinf x x dx
2
2 2 2
2 1 2
tan ,cos ,sin
2
1 1 1
x dt t t
t dx x x
t t t
Ví d: Tính các tích phân
16
4sin 3cos 5
dx
I
xx

17
3sin 4cos
2cos 5sin
xx
I dx
xx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đnh
Tính các tp
1
2
2
3
2
4
5
6
42
4 3 2
7
3
I
arcsin
2 4 5
cos
arcsin
1
6 13
3 3 5
1
x
x
e dx
x
I dx
x
dx
I
xx
x
I dx
e
x
I dx
x
xdx
I
xx
x x x
I dx
x


8
9
3
10
22
11
12
2
2
13
14
22
4cos 3sin 5
cos sin
4sin 7cos
11
1
1
12
4
9 16
dx
I
xx
dx
I
xx
dx
I
xx
x
I dx
xx
x
I dx
xx
I x x dx
dx
I
xx




Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Đnh nghĩa tích phân xác đnh: Cho hàm f(x) xác đnh
trên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy Ủ bởi các điểm chia (ta
gọi là mt phân hoạch ca đoạn [a,b])
01
...
n
a x x x b
Lấy điểm bất kỳ
1
,
k k k
M x x
, lp tổng tích phân:
1
1
0
( ). ,
n
n k k k k k
k
S f M x x x x
(Tổng Riemann)
Ta cho
hạn mà không ph thuc cách chia [a,b] và cách lấy điểm M
k
thì gii hạn đó được gọi là tích phân xác đnh ca hàm f(x)
trên [a,b] và kí hiệu là
max 0
k
x
, nếu S
n
tiến đến mt gii hạn hữu
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b]
()
b
a
f x dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Tính chất ca tích phân xác đnh
Định lý 1: Hàm liên tc trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả
tích trên [a,b]
Trong các tính chất dưi đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả
tích trên [a,b]
1/
b
a
dx b a
2/ . ( ) . ( )
bb
aa
c f x dx c f x dx

( ) ( ) ( )/ ()3
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
4/ ( ) ( )
ba
ab
f x dx f x dx

( ) ( ) , ( ) ( ) [ ,5/ ]
bb
aa
f x dx g x dx f x g x x a b

( ) ( ) (6/ )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
f(x) khả tích trên [a,c],
[c,b], [a,b]
7/ ( ) ( )
bb
aa
f x dx f x dx

0
0, ( )
()
2 ( )
/
, ( )
8
a
a
a
fx
f x dx
f x dx f x
là hàm lẻ
là hàm chn
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên tc trên [a,b], tồn
tại điểm c trong [a,b] sao cho
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx b a f c
Ta gọi f(c) là giá tr trung bình ca hàm f(x) trên [a,b]
1
( ) ( )
b
a
f c f x dx
ba
( ) ( )7/ ()
b
a
m b a f x dx M b a
M, m là GLNN, GTNN ca
f(x) trên [a,b]
0
( ) ( ) )9 ,(/
a T a
a
f x dx f x dx f x

là hàm tuần hoàn chu kỳ T
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Công thc đạo hàm dưi dấu tích phân
()
()
( ) ( ( )). ( ) ( ( )). ( )
bx
ax
f t dt f b x b x f a x a x






Ví d: Tính đạo hàm theo x ca
cos
2
sin
( ) cos( )
x
x
f x t dt
2
0
2
(arctan )
lim
1
x
x
t dt
x

Ví d: Tính gii hạn
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Phương pháp đổi biến
Nếu
1 2 1 2
()
()
[ , ] [ , ], ( ) , ( )
fx
t
t t a b t a t b
liên tc trên [a,b]
khả vi, liên tc trên [t
1
,t
2
]
Thì
2
1
( ) ( ( )) ( )
t
b
at
f x dx f t t dt


Ví d: Tính
6
1 3 2
1
dx
x

Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đnh
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tc trên [a,b] thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
b
a
aa
u x v x dx u x v x u x v x dx



Ví d: Tính
1
0
arcsin
1
xdx
x

Preview text:

Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm c a hàm f(x)
trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thu c (a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
Từ đ nh nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm c a hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm c a f(x) đều có dạng F(x)+C
Đ nh lỦ: Mọi hàm liên t c trên [a,b] (liên t c trong khoảng (a,b)
và liên t c trái tại b, liên t c phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b]
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Đ nh nghĩa tích phân bất đ nh : Nếu hàm F(x) là m t nguyên
hàm c a hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích
phân bất đ nh c a hàm f(x), kí hiệu f (x)dx
F(x) C Tính chất: f (
  x)dx f (x)C d f (x)dx   f (x) dx . a f (x)dx   . a f (x)dx
 f (x)  g(x)dx f (x)dx
g(x)dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản  1 x   1 x dx   C,  1 dx   tan x C    2 1 cos x 1 1 dx   ln x C dx
 cot x c 2 x sin x x 1 1 x x a a dx   C dx   arctan  C 2 2 ln a a x a a sin xdx
 cos x C 1 1 x a dx   ln  C 2 2 cos xdx   sin x c a x 2a x a dx x      dx x ln tan  C
 ln tan   C sin x 2 cos x 2 4  
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x dx   arcsin  c 2 2 a a x 1 2 2 dx
 ln x x a C 2 2 x a 2 2 2 2 2 a x x a x a   x dx  arcsin  C 2 a 2 dx shxdx   chx C   thx C 2 ch x chxdx   shx C dx
 cthx C 2 sh x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Phương pháp đổi biến: Định lý: V i φ(t) là hàm khả vi
Nếu: f (x)dx
F(x) C Thì: f (
 (t)) (t)dt F((t)) C
Phương pháp đổi biến 1: Đ t x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và
có hàm ngược t= φ-1(x) thì f (x)dx   f (
 (t)) (t)dt Gsử nguyên hàm c a 1      
f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì f (x)dx G(t) C G( (x)) C
Phương pháp đổi biến 2: Đ t u = φ(x), du=φ’(x)dx và giả sử f (x)dx   g(
 (x)) (x)dx v i g(x)dx
G(x) C
Thì f (x)dx
G((x)) C
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2 I  1   x dx x  4 x I e   e dx 1 3 dx dx I I  2   2 2 4 x a 2x 1
Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có
nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có
nguyên hàm trên (a,b) và ta có u (
  x)v(x)dx u(x)v(x)  u(x)v (   x)dx
Ta còn viết CT trên ở dạng udv   uv vdu
Ví d : Tính các tích phân I  arcsin xdx I x ln xdx 5  2 6 
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân các hàm hữu tỉ
1. Tích phân phân th c đơn giản lọai 1: Mk M dxbx   C 1  a a k 1 1
(ax b)k
2. Tích phân phân th c đơn giản lọai 2: v i ax2+bx+c là tam
th c b c 2 không có nghiệm thực Mx N du du dx   ,   2 k 2 2 k
(ax bx c)k u (u a )
Biến đổi để đưa tp trên thành tổng c a 2 tp cơ bản dạng
Ví d : Tính các tích phân x 1 2x  3 I dx I   dx 7 2  2 2 2x  4x  5 (x x 1)
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm hữu tỉ tổng quát P (x) : f (x) nQ (x) m
Trường hợp 1: n < m Phân tích hàm thành tổng các phân th c đơn giản M Mj x N j i  , l k i 2 (a x b ) i i
(c x d x e ) j j j j
Trường hợp 2: n ≥ m
Ta chia đa th c : P (x)  Q (x).T (x)  R (x),l m n m k l
Rồi đưa về trường hợp 1
Ví d : Tính các tích phân 2x  3 3 x x 1 I dx  8  I dx  3 2 9
x  5x  6x 2 x  5x  4
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2x 1 3x 1 I dxIdx 10 2  2 2
x  2x  3 x 1 (x   2 1)(x 1)
Tích phân 1 số hàm vô tỉ ax b n  1. f ( , x )dx  Đ t: ax b n t cx d cx d
Ví d : Tính các tích phân x 1 dx 1 x  1 3 IIdx  11  3 12 x 1 (x 1) x x  1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân 1 số hàm vô tỉ mx n 2. f dx  Tính như tp hàm hữu t 2
ax bx c 1 3. f dx
Đ t (x-α)=1/t để đưa về x m 2
ax bx c dạng trên
Ví d : Tính các tích phân dxx    1 dx I  13 I   14  x   2 1 x x  1 2 x  2x  3 (x  1)dx  15 I  2
(x  1) x  1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm lượng giác
f cos x,sin xdx  2 x 2dt 1  t 2t
t  tan  dx  ,cos x  ,sin x  2 2 2 2 1  t 1  t 1  t
Ví d : Tính các tích phân dx
3sin x  4cos x  16 II dx
4sin x  3cos x  5 17
2cos x  5sin x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh Tính các tp dx I   x  8
4cos x  3sin x  5 1 I e dx  arcsin x dx I I   2 dx  9 2 x 3 cos x sin x dx dx I  3  I   2 10 2x  4x  5 2 2
4sin x  7cos x cos x I  1 x 1 4 dxx Idx e 11  x x 1 arcsin x x 1 I  5 dxIdx  1  x 12 2 1  2x x xdx I  2 6  4 2 Ix x   4dx x  6x 13 13 4 3 2 dx
x  3x  3x  5 II  14  7    2x 9 2 x   dx 3 1 16  x
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Đ nh nghĩa tích phân xác đ nh: Cho hàm f(x) xác đ nh
trên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy Ủ bởi các điểm chia (ta
gọi là m t phân hoạch c a đoạn [a,b]) a  0 x  1 x  ...  n x b
Lấy điểm bất kỳ M x , k k k x 1
  , l p tổng tích phân: n 1 
S   f (M ). x  , n k k k x k x 1   k x (Tổng Riemann) k 0 Ta cho max 0 k x
  , nếu Sn tiến đến m t gi i hạn hữu
hạn mà không ph thu c cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk
thì gi i hạn đó được gọi là tích phân xác đ nh c a hàm f(x)
trên [a,b] và kí hiệu là b
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b] f (x)dxa
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Tính chất c a tích phân xác đ nh
Định lý 1: Hàm liên t c trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Trong các tính chất dư i đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả tích trên [a,b] b b b 1 / dx   b a 2 / . c f (x)dx
 .c f (x)dxa a a b b b
3 /   f (x)  g(x)dx f (x)dx
g(x)dxa a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh b a 4 / f (x)dx
  f (x)dxa b b b 5 / f (x)dx
g(x)d ,x f (x) 
g(x) x  [a,b] a a b c b 6 / f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx  f(x) khả tích trên [a,c], [c,b], [a,b] a a c b b 7 / f (x)dx
f (x) dxa a 0
 , f (x) là hàm lẻ a  8 / f (x) a dx
 2 f (x)dx, f (x)  là hàm ch n a    0
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh a Ta 9 / f (x)dx
f (x)dx, f (x) 
là hàm tuần hoàn chu kỳ T a 0 b M, m là GLNN, GTNN c a 7 / (
m b a)  f (x)dx
M (b a) f(x) trên [a,b] a
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên t c trên [a,b], tồn
tại điểm c trong [a,b] sao cho b f (x)dx
 (b a) f (c) a
Ta gọi f(c) là giá tr trung bình c a hàm f(x) trên [a,b] 1 b f (c)  f (x)dxb a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Công th c đạo hàm dư i dấu tích phân  b(x)   f (t)dt
  f (b(x)).b (x)  f (a(x)).a (x)   a(x)  
Ví d : Tính đạo hàm theo x c a cos x 2 f (x)  cos(t )dt  sin x x 2 (arctan t) dt  Ví d : Tính gi i hạn 0 lim x 2  x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh Phương pháp đổi biến
f (x) liên t c trên [a,b]  Nếu (t) 
khả vi, liên t c trên [t1,t2]    [     1
t ,t2] [a,b], ( 1t) , a (t2)  b b t2 Thì f (x)dx   f (
 (t)) (t)dt a 1 t 6 Ví d : Tính dx  1 3x2 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên t c trên [a,b] thì b b b u(x)v ( 
x)dx u(x)v(x)  u (
  x)v(x)dx a a a Ví d : Tính 1 arcsin xdx 0 1 x