



















Preview text:
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm c a hàm f(x)
trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thu c (a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
Từ đ nh nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm c a hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm c a f(x) đều có dạng F(x)+C
Đ nh lỦ: Mọi hàm liên t c trên [a,b] (liên t c trong khoảng (a,b)
và liên t c trái tại b, liên t c phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b]
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Đ nh nghĩa tích phân bất đ nh : Nếu hàm F(x) là m t nguyên
hàm c a hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích
phân bất đ nh c a hàm f(x), kí hiệu f (x)dx
F(x) C Tính chất: f (
x)dx f (x)C d f (x)dx f (x) dx . a f (x)dx . a f (x)dx
f (x) g(x)dx f (x)dx
g(x)dx
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x 1 x dx C, 1 dx tan x C 2 1 cos x 1 1 dx ln x C dx
cot x c 2 x sin x x 1 1 x x a a dx C dx arctan C 2 2 ln a a x a a sin xdx
cos x C 1 1 x a dx ln C 2 2 cos xdx sin x c a x 2a x a dx x dx x ln tan C
ln tan C sin x 2 cos x 2 4
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x dx arcsin c 2 2 a a x 1 2 2 dx
ln x x a C 2 2 x a 2 2 2 2 2 a x x a x a x dx arcsin C 2 a 2 dx shxdx chx C thx C 2 ch x chxdx shx C dx
cthx C 2 sh x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Phương pháp đổi biến: Định lý: V i φ(t) là hàm khả vi
Nếu: f (x)dx
F(x) C Thì: f (
(t)) (t)dt F((t)) C
Phương pháp đổi biến 1: Đ t x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và
có hàm ngược t= φ-1(x) thì f (x)dx f (
(t)) (t)dt Gsử nguyên hàm c a 1
f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì f (x)dx G(t) C G( (x)) C
Phương pháp đổi biến 2: Đ t u = φ(x), du=φ’(x)dx và giả sử f (x)dx g(
(x)) (x)dx v i g(x)dx
G(x) C
Thì f (x)dx
G((x)) C
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2 I 1 x dx x 4 x I e e dx 1 3 dx dx I I 2 2 2 4 x a 2x 1
Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có
nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có
nguyên hàm trên (a,b) và ta có u (
x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v ( x)dx
Ta còn viết CT trên ở dạng udv uv vdu
Ví d : Tính các tích phân I arcsin xdx I x ln xdx 5 2 6
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân các hàm hữu tỉ
1. Tích phân phân th c đơn giản lọai 1: M k M dx b x C 1 a a k 1 1
(ax b)k
2. Tích phân phân th c đơn giản lọai 2: v i ax2+bx+c là tam
th c b c 2 không có nghiệm thực Mx N du du dx , 2 k 2 2 k
(ax bx c)k u (u a )
Biến đổi để đưa tp trên thành tổng c a 2 tp cơ bản dạng
Ví d : Tính các tích phân x 1 2x 3 I dx I dx 7 2 2 2 2x 4x 5 (x x 1)
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm hữu tỉ tổng quát P (x) : f (x) n Q (x) m
Trường hợp 1: n < m Phân tích hàm thành tổng các phân th c đơn giản M M j x N j i , l k i 2 (a x b ) i i
(c x d x e ) j j j j
Trường hợp 2: n ≥ m
Ta chia đa th c : P (x) Q (x).T (x) R (x),l m n m k l
Rồi đưa về trường hợp 1
Ví d : Tính các tích phân 2x 3 3 x x 1 I dx 8 I dx 3 2 9
x 5x 6x 2 x 5x 4
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Ví d : Tính các tích phân 2x 1 3x 1 I dx I dx 10 2 2 2
x 2x 3 x 1 (x 2 1)(x 1)
Tích phân 1 số hàm vô tỉ ax b n 1. f ( , x )dx Đ t: ax b n t cx d cx d
Ví d : Tính các tích phân x 1 dx 1 x 1 3 I I dx 11 3 12 x 1 (x 1) x x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân 1 số hàm vô tỉ mx n 2. f dx Tính như tp hàm hữu t 2
ax bx c 1 3. f dx
Đ t (x-α)=1/t để đưa về x m 2
ax bx c dạng trên
Ví d : Tính các tích phân dx x 1 dx I 13 I 14 x 2 1 x x 1 2 x 2x 3 (x 1)dx 15 I 2
(x 1) x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh
Tích phân hàm lượng giác
f cos x,sin xdx 2 x 2dt 1 t 2t
t tan dx ,cos x ,sin x 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t
Ví d : Tính các tích phân dx
3sin x 4cos x 16 I I dx
4sin x 3cos x 5 17
2cos x 5sin x
Chương 4: Tích phân ậ Tp bất đ nh Tính các tp dx I x 8
4cos x 3sin x 5 1 I e dx arcsin x dx I I 2 dx 9 2 x 3 cos x sin x dx dx I 3 I 2 10 2x 4x 5 2 2
4sin x 7cos x cos x I 1 x 1 4 dx x I dx e 11 x x 1 arcsin x x 1 I 5 dx I dx 1 x 12 2 1 2x x xdx I 2 6 4 2 I x x 4dx x 6x 13 13 4 3 2 dx
x 3x 3x 5 I I 14 7 2x 9 2 x dx 3 1 16 x
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Đ nh nghĩa tích phân xác đ nh: Cho hàm f(x) xác đ nh
trên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy Ủ bởi các điểm chia (ta
gọi là m t phân hoạch c a đoạn [a,b]) a 0 x 1 x ... n x b
Lấy điểm bất kỳ M x , k k k x 1
, l p tổng tích phân: n 1
S f (M ). x , n k k k x k x 1 k x (Tổng Riemann) k 0 Ta cho max 0 k x
, nếu Sn tiến đến m t gi i hạn hữu
hạn mà không ph thu c cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk
thì gi i hạn đó được gọi là tích phân xác đ nh c a hàm f(x)
trên [a,b] và kí hiệu là b
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b] f (x)dx a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Tính chất c a tích phân xác đ nh
Định lý 1: Hàm liên t c trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Trong các tính chất dư i đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả tích trên [a,b] b b b 1 / dx b a 2 / . c f (x)dx
.c f (x)dx a a a b b b
3 / f (x) g(x)dx f (x)dx
g(x)dx a a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh b a 4 / f (x)dx
f (x)dx a b b b 5 / f (x)dx
g(x)d ,x f (x)
g(x) x [a,b] a a b c b 6 / f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx f(x) khả tích trên [a,c], [c,b], [a,b] a a c b b 7 / f (x)dx
f (x) dx a a 0
, f (x) là hàm lẻ a 8 / f (x) a dx
2 f (x)dx, f (x) là hàm ch n a 0
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh a T a 9 / f (x)dx
f (x)dx, f (x)
là hàm tuần hoàn chu kỳ T a 0 b M, m là GLNN, GTNN c a 7 / (
m b a) f (x)dx
M (b a) f(x) trên [a,b] a
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên t c trên [a,b], tồn
tại điểm c trong [a,b] sao cho b f (x)dx
(b a) f (c) a
Ta gọi f(c) là giá tr trung bình c a hàm f(x) trên [a,b] 1 b f (c) f (x)dx b a a
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Công th c đạo hàm dư i dấu tích phân b(x) f (t)dt
f (b(x)).b (x) f (a(x)).a (x) a(x)
Ví d : Tính đạo hàm theo x c a cos x 2 f (x) cos(t )dt sin x x 2 (arctan t) dt Ví d : Tính gi i hạn 0 lim x 2 x 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh Phương pháp đổi biến
f (x) liên t c trên [a,b] Nếu (t)
khả vi, liên t c trên [t1,t2] [ 1
t ,t2] [a,b], ( 1t) , a (t2) b b t2 Thì f (x)dx f (
(t)) (t)dt a 1 t 6 Ví d : Tính dx 1 3x2 1
Chương 4: Tích phân ậ Tp xác đ nh
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên t c trên [a,b] thì b b b u(x)v (
x)dx u(x)v(x) u (
x)v(x)dx a a a Ví d : Tính 1 arcsin xdx 0 1 x