Biến đổi laplace và ứng dụng - Giải tích | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Biến đổi laplace và ứng dụng - Giải tích | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜ NG Đ I HỌC SƯ PHẠM THÀNH PH H CHÍ MINH
Đặng Minh Thế
BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ M NG DT S NG
LU N VĂN TH C SĨ TOÁN HỌC
Thành ph H Chí Minh 2012
B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜ NG Đ I HỌC SƯ PHẠM THÀNH PH H CHÍ MINH
Đặng Minh Thế
BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ M NG DT S NG
Chuyên ngành: Toán Gi i Tích
Mã s: 60 46 01
LU N VĂN TH C SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚ NG D N KHOA HC
TS. NGUYN CAM
Thành ph H Chí Minh 2012
MC LC
Trang ph bìa
Li c ảm ơn
Mc l c
PHN M ĐẦU ........................................................................................................ 0
Chương 1 BIẾN ĐỔ ẤT CƠ BẢI LAPLACE VÀ MT S TÍNH CH N ......... 3
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví d ................................................................................ 3
1.2 Điều kin t n t i cho bi n ế đổi Laplace .................................................................................... 5
1.3 Các tính chất cơ bả ến đổn ca bi i Laplace .............................................................................. 8
1.4 Định lý tích chp ................................................................................................................... 12
1.5 Đạo hàm và tích phân ca biến đổi Laplace.......................................................................... 14
1.6 Biến đổi Laplace ngượ c và các ví d .................................................................................... 17
1.7 Đị đầu, định lý giá tr nh lý giá tr cu i ................................................................................... 32
Chương 2 MỘ ẾN ĐỔT S NG DNG CA BI I LAPLACE ....................... 34
2.1 Nghim của phương trình vi phân thường ............................................................................. 34
2.2 Phương trình đạo hàm riêng ................................................................................................... 56
2.3 Nghim của phương trình tích phân ....................................................................................... 73
2.4 Nghim ca bài toán giá tr biên .............................................................................................. 77
2.5 Nghim của phương trình sai phân và vi sai phân ................................................................. 82
2.6 Hàm chuyển và hàm đáp ứng xung ca m t h th ng tuyến tính .......................................... 90
PH L C. M T S KIN THỨC ĐƯỢC S DNG TRONG LU 95ẬN VĂN
A. Các hàm đặc bit ..................................................................................................................... 95
A.1 Hàm Gamma ..................................................................................................................... 95
A.2 Hàm Dirac Delta................................................................................................................ 98
B. Mt s định lý quan tr ng ....................................................................................................... 99
KT LUN ............................................................................................................ 105
TÀI LI U THAM KH O .................................................................................... 106
1
PHN M ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Laplace m t phép bi i tích phân quan tr ng d ng l ến đổ ng. n
nht c các bài toán liên quan (bài toán ủa để gi phân ải các phương trình vi
giá tr biên bài toán u ki u). Ngu n g ng d ng y điề n đầ c ca ch bi n ế
đổi Laplace cho phép chuyn t phép tính vi tích phân trên hàm sang các phép tính
đại s trên nh ca hàm qua biến đổi Laplace. Các phép bi i cho phép chuyến đổ n
như vậy gi chung là (operational calculus). phép tính toán tử
Biến đổi Laplace đượ ọc và thiên văn học đặt theo tên ca nhà toán h c ni ti ng ế
người Pháp 1827). Laplace nghiên cPierre Simon Laplace (1749- u vấn đề y đầu
tiên vào năm 1782. Tuy nhiên tính hu dng của phương pháp này không được
công nh n. K t th áp d ng bi i Laplace r t hi u qu n nay thu c tế để ến đổ như hiệ
đượ c phát trin khong một trăm năm sau bởi k điện người Anh Oliver
Heaviside (1850-1925). vy biến đi Lapla i ce cũng còn được g phép tính
Heaviside (Heaviside calculus).
Vic tìm hi u thuy t v t s ng d ng c a m t trong ế Laplace m
những đề tài có ý nghĩa cho họ giúp đỡ và hước viên cao hc. Vì thế được s ng dn
ca thy Ts. , t Nguyn Cam tôi quyế định chọn đề tài “ Biến đổi Laplace và m t s
ứng dụng” làm đề tài nghiên cu ca mình.
2. Mc tiêu của đề tài
Trình bày thuy n v t, biết cơ bả biến đổi Laplace như định nghĩa, tính chấ ến
đổi Laplace ngược và mt s i Laplace thông dphương pháp tìm biến đổ ng.
ng dng biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân thường, phương
trình vi phân đạo m riêng, phương trình sai phân vi sai phân,…các bài toán
liên quan thườ ọc kĩ thuậng xut hin trong vt lí và khoa h t.
2
3. Phương pháp nghiên cứu
Thu thp các bài báo khoa hc, các sách v có liên quan đến đề tài luận văn,
tìm hi u chúng trình y các k t qu tài theo hi u bi a mình, theo h ế v đ ết c
thng khoa hc vi các chng minh chi ti t. ế
S d t qu c a Hàm bi c, Bi i tích phân,… ng các kế ến ph ến đổ
4. B cc luận văn
Ngoài ph u, k t lu n và tài li u tham kh o, lu m có ba ph n n m đầ ế ận văn gồ
CHƯƠNG 1 ẾN ĐỔ ẤT CƠ BẢ BI I LAPLACE VÀ MT S TÍNH CH N
Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề bản ca bi i Laplace ến đ
như định nghĩa, tính cht, điều kin tn ti ca biến đổi Laplace mt s
phương pháp tìm biến đổ đã cho.i Laplace ngược ca các hàm nh
CHƯƠNG 2 MT S NG D NG C A BIẾN ĐỔI LAPLACE
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình y các ng dng ca bi i Laplace ến đổ
vào vi c gi i các phương trình
Phương trình vi phân thường,
Phương trình o hàm riêng, đạ
Phương trình tích phân,
Phương trình sai phân và phương trình vi sai phân.
Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày ng dng ca biến đổi Laplace vào vic
nghim ca bài toán giá tr biên, tìm hàm chuy ng xung c t h ển và đáp a m th ng
tuyến tính.
PH L C M T S KI N TH ỨC ĐƯỢC S DNG TRONG LU ẬN VĂN
3
Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MT S
TÍNH CHẤT CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví d
Biến đổi Laplace ca hàm s
( )
f t
vi
0 < t
mt hàm phức được định
nghĩa bởi tích phân suy rng
( )
{ }
( ) ( )
0
L
st
f t f s e f t dt
= =
( )
1.1.1
Phép biến đổi Laplace ca hàm
( )
f t
tn t i n u tích phân ế
( )
1.1.1
h vi t i
giá tr ca
s
thuc miền nào đó. Trườ ng h p ngược li ta nói phép bi i Laplace ến đổ
ca hàm s
( )
f t
không t i hàm n ti. Ta g
( )
f t
trong định nghĩa trên hàm gc
và hàm bi i ến đổ
là hàm nh.
S dụng định nghĩa
( )
1.1.1
ta bi t sến đổi Laplace ca m hàm bản sau
đây.
Ví dụ 1.1.1
Nếu
( )
1f t =
vi
0t >
thì
{}
( )
0 0
1 lim
1 1 1
lim lim 1.1.2
0
T
st st
T
st sT
T T
T
t
e dt e dt
e e
s s s
→∞
→∞ →∞
= =
= =
=
L
Do đó nếu
Re 0s >
thì gi i h n trên t n t i
{}
1
1 =L
s
.
Ví dụ 1.1.2
Nếu
( )
at
f t e=
, trong đó
a
là h th thì ta có ng s c
4
{ }
( )
( )
( )
( )
0
0
1 1
, Re . 1.1.3
s a t
at
s a t
t
e f s e dt
e s a
a s s a
=
= =
= = >
L
Ví dụ 1.1.3
Nếu
( )
n
f t t=
, trong đó
n
t s thì là m nguyên dương ta có
( )
{ }
1
!
.
n
n
n
f s t
s
+
= =L
( )
1.1.4
Tht vy, ta có
( )
( )
0 0
1
0
0
1
1
0
1
1
.
st n n st
n
n st n st
t
n st
n
I e t dt t d e
s
n
t e t e dt
s s
n n
t e dt I
s s
=
= =−
= +
= =
Do đó
{ }
1 0
1
! !
,
n
n n
n n
n n n
t I I I
s s s
+
= = = = =
L
vi
0
1
.=I
s
Ví dụ 1.1.4
Nếu
( )
sinf t at=
, trong đó
a
là s th c thì ta có
{ }
2 2
sin ,
a
at
s a
=
+
L
( )
1.1.5
Tht v t ậy, ta đặ
{ }
0
sin sin
st
I at e atdt
= =
L
Ta có
5
00
00
2 2
2 2
0
1
cos cos
1 1
sin sin
1 1
sin
st st
t
st st
t
st
s
I e at e atdt
a a
s s
e at e atdt
a a a a
s s
e atdt I
a a a a
=
=
=
= +
= =
Do đó
2
2
1 s
I I
a a
=
2
2
1
1
s
I
a a
+ =
Suy ra
{ }
2 2
sin .
a
at I
s a
= =
+
L
1.2 Điều ki n t i Laplace n t i cho bi ến đổ
Hàm
f
i là m n u nó th u ki n sau được g t hàm gốc ế ỏa mãn ba điề
i)
f
b tri t tiêu khi
0t <
,
ii)
f
liên t ng khúc ục từ (piecewise continous) trên
[
)
0,
,
iii)
f
không tăng nhanh hơn hàm mũ khi
t
nghĩa là tồn ti s
0M >
0
α
>
sao cho
( )
, 0.
t
f t Me t
α
S
0
inf
α α
=
, v i t t c
α
th i) sa mãn (ii được g i ch tăng của hàm
f
. Chú
ý r ng s
0
α
có th không th a (iii).
Hàm s
f
được gi liên t ng khúcục từ trên
[
)
0,
nếu hàm
f
liên tc ti
mọi điểm thuc
[
)
0,
ngo m hi tr t s u h ng thạn các điểm gián đoạn, đồ i ti
các điểm
t
f
không liên t c thì
( )
f t
+
( )
f t
t n t i.
6
Định lý 1.2.1
Nếu
( )
f t
là hàm g i chc v s tăng
0
α
thì biến đổi Laplace ca
( )
f t
tn ti vi
mi
s
tha
0
Re s
α
>
.
Chng minh
Do
f
là hàm g i ch s c v tăng
0
α
nên t n t i s
0M >
sao cho
( )
( )
0
, 0
t
f t Me t
α ε
+
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
0
0
0 0
0 0
0
,
x t
st
x t
t
e f t dt M e dt
Me M
x x
α ε
α ε
α ε α ε
=
= =
Chn
0
ε
>
sao cho
0
Re s x
α ε
= > +
.
Do đó biến đổi Laplace tn ti và tích phân
( )
1.1.1
là h i t tuy i khi ệt đố
0
Re s
α
>
.
Chú ý
a) Tích phân
( )
1.1.1
i là h i t tuy i n u được g ệt đố ế
( )
0
st
e f t dt
<
b) Tích phân
( )
1.1.1
được gi hi t đều đối vi
s
trên miền xác định
trong m t ph ng ph u b t c nế
, t n t i m t s
0
τ
sao cho vi mi
0
τ τ
thì
( )
st
e f t dt
τ
ε
<
vi mi
s
trong
.
Định lý 1.2.2
Cho
f
là hàm g s c có ch tăng
0
α
. Khi đó biến đổi Laplace
7
( )
0
st
e f t dt
( )
1.1.6
hi t n đều trên mi
{ }
0
Re ,s s
α α α
> >
.
Chng minh
Ta s B Trang 103] d ng tiêu chuẩn weierstrass [ nh Đị .3 để chng minh
định lý trên. Tht vy,
Do
f
là hàm g s c có ch tăng
0
α
nên t n t i s
0M >
sao cho
( )
( )
0
, 0
t
f t Me t
α ε
+
Khi đó
( )
( ) ( )
0 0
,
x t t
st
e f t Me Me
α ε α α ε
trong đó
Re s x
α
=
n và ta ch
ε
nh đủ để
0
α α ε
> +
.
Do
( )
0
0
t
e dt
α α ε
h v i i t
0
α α ε
> +
nên theo tiêu chu weierstrass ta tích n
phân
( )
1.1.6
h i t u trên mi n đề
{ }
0
Re ,s s
α α α
>
.
Định lý 1.2.3
Cho
f
hàm gc ch s tăng
0
α
. Khi đó
( )
f s
m gii tích trong min
0
Re s
α
>
.
Chng minh
Ta có
( )
( )
( ) ( )
0 0
=
st st
e f t dt f t e t dt
s
,
Do
f
là hàm g s c có ch tăng
0
α
nên ta có
( ) ( )
( ) ( )
0 1 0
,
x t t
st
t e f t tMe Me
α ε α α δ
trong đó
1
Re s x
α
=
có th ch nh ọn đủ để
1 0
α α δ
> +
.
8
Do tích phân
( )
1 0
0
t
e dt
α α δ
h n Weii t nên theo tiêu chu erstrass thì ta tích
phân
( )
( )
0
st
e f t dt
s
hi t u trên mi n đề
{ }
1
Re ,s s
α
v i i m
1 1 0
,
α α α
>
.
Như vậy ta có tích phân
( )
0
st
e f t dt
hi t tích phân
( )
( )
0
st
e f t dt
s
h i t
đều trên min
{ }
1
Re ,s s
α
v i i m
1 1 0
,
α α α
>
nên .4 Trang theo [Định B
103] ta có hàm o hàm là ảnh có đạ
( ) ( )
( )
0
=
st
f s e f t dt
s
,
ti mọi điểm
s
thuc các miền trên. Do đó
gi n i tích trong mi
0
Re .s
α
>
1.3 Các tính ch n c a bi i Laplaceất cơ bả ến đ
Định lý 1.3.1 (Tính ch t tuy n tính) ế
Cho các m gc
k
f
v s i các ch tăng
k
α
, biến đổi Laplace
,
k
f
1, 2,...,k n=
. Khi đó biến đổi Laplace ca hàm t hp tuyến tính
f
ca các hàm
k
f
( ) ( )
1
n
k k
k
f t c f t
=
=
, v i
k
c
là h ng s
là hàm
f
nh b i được xác đị
( ) ( )
1
,
n
k k
k
f s c f s
=
=
( )
1.3.1
vi miền xác định
Re max
k
s
α
>
.
Chng minh. Suy ra t t tuy n tính c a tích phân. định nghĩa và tính chấ ế
Ví dụ 1.3.1
T k c 1.1.ết qu a d 2 tính ch t tuy n tính ta bi ế ến đổi Laplace c a các
hàm sau
a) Ta có
9
{ }
( )
2 2
1
sin
2
1 1 1
2
, Re Im
i t i t
t e e
i
i s i s i
s
s
α α
α
α α
α
α
α
=
=
+
= >
+
L L
b) Tương tự ta có
{ }
( )
2 2
1
cos
2
α α
α
α
= + =
+
L L
i t i t
s
t e e
s
,
Re Ims
α
>
c)
{ }
( )
2 2
1
cosh , Re Re
2
L L
t t
s
t e e s
s
α α
α α
α
= + = >
d)
{ }
( )
2 2
1
sinh , Re Re .
2
t t
t e e s
s
α α
α
α α
α
= = >
L L
Định lý 1.3.2 (Tính ch ng dất đồ ng)
Cho
( )
{ }
( )
L f t f s=
,
f
là hàm g sc có ch tăng
0
α
0c >
là h ng s ố. Khi đó
( )
{ }
1
, ReL
s
f ct f s c
c c
α
= >
( )
1.3.2
Chng minh
( )
{ }
( ) ( )
0 0
1 1
L
st su c
s
f ct e f ct dt e f u du f
c c c
= = =
.
Định lý 1.3.3 (Tính ch t d ch chuy n nh)
Nếu
( )
{ }
( )
,f t f s=L
f
s có ch tăng là
0
α
thì
( )
{ }
( )
0
, Re Re
at
e f t f s a s a
α
= > +L
( )
1.3.3
Chng minh
Theo định nghĩa ta có
( )
{ }
( )
( ) ( )
0
.
s a t
at
e f t e f t dt f s a
= =
L
Ví dụ 1.3.2
10
Các k c d c ết qu dưới đây nhận đượ dàng t công th
( )
1.3.3
{ }
( )
1
!
, Re ReL
n at
n
n
t e s a
s a
+
= >
( )
1.3.4
{ }
( )
2
2
sin , Re Im Re
at
b
e bt s b a
s a b
= > +
+
L
( )
1.3.5
{ }
( )
2
2
cos , Re Im Re .
at
s a
e bt s b a
s a b
= > +
+
L
( )
1.3.6
Định lý 1.3.4
Nếu
( )
{ }
( )
L f t f s=
thì
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
, 0L L
as as
f t a H t a e f s e f t a
= = >
( )
1.3.7
hay
( ) ( )
{ }
( )
{ }
,
as
f t H t a e f t a
= +L L
( )
1.3.8
trong đó
( )
H t a
i là hàm bước nhảy đơn vị Heaviside được định nghĩa bở
( )
1,
0,
t a
H t a
t a
>
=
<
Chng minh
Theo định nghĩa ta có
( ) ( )
{ }
( ) ( )
( )
0
,
st
st
a
f t a H t a e f t a H t a dt
e f t a dt
=
=
L
Đặt
,t a dt d
τ τ
= =
Khi đó
( ) ( )
{ }
( ) ( )
0
.L
sa s as
f t a H t a e e f d e f s
τ
τ τ
= =
11
Chứng minh tương tự ta đượ c
( ) ( )
{ }
( )
{ }
.
as
f t H t a e f t a
= +L L
Đặc bit, nếu
( )
1f t =
thì
( )
{ }
( )
1
expH t a sa
s
= L
( )
1.3.9
Định lý 1.3.5 (Biến đổi Laplace ca hàm tun hoàn)
Cho
( )
{ }
( )
f t f s=L
f
là mt hàm tu n hoàn v i chu kì
T
thì ta có
( )
{ }
( ) ( )
1
0
1 expL
T
st
f t sT e f t dt
=
( )
1.3.10
Chng minh
Theo định nghĩa ta
( )
{ }
( ) ( ) ( )
0 0
L
T
st st st
T
f t e f t dt e f t dt e f t dt
= = +
.
Đặt
t T
τ
= +
trong tích phân th c hai ta đượ
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
exp
T
st s
f s e f t dt sT e f T d
τ
τ τ
= + +
Do
( ) ( )
f T f
τ τ
+ =
và thay bi n ế
τ
b i
t
trong tích phân th c hai ta đượ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0
exp
exp .
T
st st
T
st
f s e f t dt sT e f t dt
e f t dt sT f s
= +
= +
Suy ra
( )
{ }
( ) ( )
1
0
1 exp .L
T
st
f t sT e f t dt
=
Định lý 1.3.6 (Biến đổ ủa đại Laplace c o hàm)
Cho
( )
{ }
( )
L f t f s=
. Gi s
f
t n t i và là hàm g c thì
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( ) ( )
0
0 0 , ReL Lf t s f t f s f s f s
α
= = >
( )
1.3.11
12
Chng minh
Theo định nghĩa ta có
( )
{ }
( )
0
,L
st
f t e f t dt
=
Gi s
f
là hàm g s c có ch tăng là
0
α
. Khi đó
( ) ( )
( )
0
0
lim lim lim 0, Re
x tst xt
t t t
f t e e f t M e s x
α ε
ε α
→∞
= = > +
Tích phân t ng ph n c a tích phân trên ta c đượ
( )
{ }
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0 ,
L
st st
t
f t e f t s e f t dt
s f s f
=
= +
=
Tương tự ta có
( )
{ }
( )
{ }
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
0
0 0
0 0 .
L Lf t s f t f
s sf s f f
s f s sf f
=
=
=
Tng quát
Cho
( )
{ }
( )
L f t f s=
. Gi s
( ) ( )
( )
( )
1
, ,...,
n
f t f t f t
,
( )
( )
n
f t
các hàm gc thì ta
( )
( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1
0 0 0L
n
n n n n
f t s f s s f s f f
=
.
1.4 p Định lý tích ch
Định lý 1.4.1 (Định lý tích chp)
Cho
f
g
s t là là các hàm g c có ch tăng lần lư
0 0
,
α β
. Khi đó
( ) ( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
f t g t f t g t f s g s = =L L L
( )
1.4.1
trong đó
( ) ( )
f t g t
được gi tích chp ca
( )
f t
( )
g t
được định
nghĩa b i tích phân
( ) ( ) ( ) ( )
0
τ τ τ
=
t
f t g t f t g d
( )
1.4.2
13
Ta ghi t t là
( ) ( ) ( )( )
f t g t f g t =
.
Chng minh
Vi
0, 0t
ε
> >
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0 0 0
0
0
0 0
0 0
1 0 0
2 0 0
,
1.4.3
, ,
α ε τ β ε τ β ε α β τ
α ε
β ε
τ τ τ τ τ τ
τ τ
α β
β α
+ + +
+
+
=
=
>
t t
t t
t t
t
t
f g t f g t d f g t d
M e e d Me e d
M e
M e
bất đẳng th ng cách tính tr c ti p tích phân. Vức sau cùng được b ế y
f g
hàm gc có ch s tăng
{ }
0 0 0
max , .
γ α β
Ta có
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
.
.
L L
s su
s u
f t g t e f d e g u du
e f g u du d
τ
τ
τ τ
τ τ
+
=
=
Đặt
t u
τ
= +
,
du dt=
v i
τ
c nh đị
Khi đó ta có
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
0
.L L
τ
τ τ τ
=
st
f t g t e f g t dt d
( )
1.4.4
Do
( )
0, 0g t t= <
thì
( )
0,g t t
τ τ
= <
và ta vi t l i ế
( )
1.4.4
như sau
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
0 0
.L L
st
f t g t e f g t dt d
τ τ τ
=
.
Do bi i ến đổ Laplace ca
f
g
h t li t đều nên ta th đổi th y tích phân
[Định lý B.2 – Trang 102].
14
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
{ }
0 0
0 0
0 0
.
.
L L
L
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
=
=
=
=
st
t
st
t
st
f t g t e f g t d dt
e f g t d dt
e f g t d dt
f g t
1.5 Đạo hàm và tích phân c a bi i Laplace ến đ
Định lý 1.5.1 (Đạo hàm ca bi i Laplace)ến đổ
Nếu
( )
{ }
( )
L f t f s=
,
f
là hàm g có ch s c tăng là
0
α
thì
( )
{ }
( ) ( )
0
1 , Re
n
n
n
n
t f t f s s
s
α
= >
L
( )
1.5.1
trong đó
0,1, 2,3,....n =
Chng minh
Theo định 1.2.2 biến đổi Laplace ca m
f
hi t đều c điều ki n còn
li trên th mãn trong định lý a nh B Trang 103].4 – . Khi đó, đạo m theo
s
bên trong d u tích phân c a
( )
1.1.1
c cho phép đượ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ }
( )
0 0
0
1.5.2
= =
= =
L
st st
st
f s e f t dt e f t dt
s s s
t f t e dt t f t
Tương tự, ta có
( ) ( ) ( )
{ }
2
2
2
2
1 ,f s t f t
s
=
L
( )
1.5.3
( ) ( ) ( )
{ }
3
3
3
3
1 .f s t f t
s
=
L
( )
1.5.4
Tng quát
15
( ) ( ) ( )
{ }
1 .
n
n
n
n
f s t f t
s
=
L
( )
1.5.5
Định lý 1.5.2 (Tích phân c a bi i Laplace) ến đổ
Cho
( )
{ }
( )
L f t f s=
. N u ế
( )
f t t
là hàm g i ch s c v tăng là
0
α
thì
( )
( )
.L
s
f t
f u du
t
=
( )
1.5.6
Chng minh
Đặt
( )
( )
0
st
f t
G s e dt
t
=
Theo định lý 1.5.1 ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
.
st st
G s e t f t dt e f t dt f s
= = =
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
.
s s
f s ds G u du G s G
= =
( )
1.5.7
Mt khác
( )
( )
( )
( )
0
0
0 0
0 0
0
,
x t
xt
x t
t
f t
G s e dt M e dt
t
e M
M
x x
α ε
α ε
α ε α ε
+ +
+ +
=
= =
+ +
Chn
0
ε
>
sao cho
0
Re .s x
α ε
= > +
Cho
s
ta được
( )
0G =
. Thay vào
( )
1.5.7
ta có
( )
( )
.L
s
f t
f u du
t
=
Định lý đã được chng minh.
16
Ví dụ 1.5.1
Tính
1
sin
tan ,
at a
t s
=
L
Ta có
( )
2
2 2
1 1
sin 1
1
tan tan .
2
L
π
= =
+
+
= =
s s
at ds ds
a
t s a a
s a
s a
a s
Định lý 1.5.3 (Biến đổi Laplace ca tích phân)
Nếu
( )
{ }
( )
L f t f s=
f
là hàm liên t c thì
( )
( )
0
L
t
f s
f d
s
τ τ
=
( )
1.5.8
Chng minh
Đặt
( ) ( )
0
t
g t f d
τ τ
=
sao cho
( )
0 0g =
,
( ) ( )
g t f t
=
g
liên t c.
Gi
0
α
s là ch tăng của hàm
f
, thì v i i m
0 1
ε
< <
. Khi đó
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0 0
0 0
1
0
0
.
t t
t
t
g t f d M e d
M
e M e
α ε τ
α ε τ α ε
τ
τ τ τ
α ε
+
+ +
=
= <
+
Vy
g
là hàm g ốc. Do đó
( ) ( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
0
.L L L
t
f s f t g t sg s s f d
τ τ
= = = =
Chia c cho hai vế
s
, ta được
( )
1.5.8
. Định lý đã được chng minh.
Ví dụ 1.5.2
Hãy s d ng k t qu ế
( )
1.5.8
tìm để
17
(a)
0
,L
t
n a
e d
τ
τ τ
(b)
( )
{ }
1
1
tan ,
a
Si at
s s
=
L
trong đó
( )
0
sin
t
a
Si at d
τ
τ
τ
=
.
(a) Ta có
{ }
( )
1
!
.L
n at
n
n
t e
s a
+
=
+
Theo
( )
1.5.8
ta có
( )
1
0
!
.L
t
n a
n
n
e d
s s a
τ
τ τ
+
=
+
(b) Theo công thc
( )
1.5.8
và ví d 1.5.1, ta có
1
0
sin 1
tan .L
t
a a
d
s s
τ
τ
τ
=
1.6 Bi ến đổi Laplace ngược và các ví d
Cho hàm s
( )
g t
xác định trên trc thc
R
. Ta nói
g
đượ c biu din b i tích
phân Fourier nếu v i m i
t
ta có
( ) ( ) ( )
1 1
0 0
2 2
i t i x
g t g t e g x e dxd
τ τ
τ
π
+ + =
( )
1.6.1
Phương trình
( )
1.6.1
i là được g công th c Fourier.
Định lý 1.6.1
Cho
f
là hàm g c liên t ng khúc trên c t
[
)
0,
v i ch s tăng
0
α
. Khi đó
( ) ( )
0
1
,
2
c i
st
c i
f t e f s ds c
i
α
π
+
= >
.
( )
1.6.2
Công thc
( )
1.6.2
i là . được g công th c Mellin
Chng minh
| 1/20

Preview text:


B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG Ạ
Đ I HỌC SƯ PHẠM THÀNH PH H CHÍ MINH
Đặng Minh Thế
BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ MT S NG DNG LUẬN VĂN T Ạ H C SĨ TOÁN HỌC
Thành ph H Chí Minh 2012
B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG Ạ
Đ I HỌC SƯ PHẠM THÀNH PH H CHÍ MINH
Đặng Minh Thế
BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ MT S NG DNG
Chuyên ngành: Toán Gii Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN T Ạ H C SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYN CAM
Thành ph H Chí Minh 2012
MC LC
Trang ph bìa Lời cảm ơn Mục lục
PHN M ĐẦU ........................................................................................................ 0
Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MT S TÍNH CHẤT CƠ BẢN ......... 3
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví dụ ................................................................................ 3
1.2 Điều kiện tồn tại cho biến đổi Laplace .................................................................................... 5
1.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace .............................................................................. 8
1.4 Định lý tích chập ................................................................................................................... 12
1.5 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace.......................................................................... 14
1.6 Biến đổi Laplace ngược và các ví dụ .................................................................................... 17
1.7 Định lý giá trị đầu, định lý giá trị cuối ................................................................................... 32
Chương 2 MỘT S NG DNG CA BIẾN ĐỔI LAPLACE ....................... 34
2.1 Nghiệm của phương trình vi phân thường ............................................................................. 34
2.2 Phương trình đạo hàm riêng ................................................................................................... 56
2.3 Nghiệm của phương trình tích phân ....................................................................................... 73
2.4 Nghiệm của bài toán giá trị biên .............................................................................................. 77
2.5 Nghiệm của phương trình sai phân và vi sai phân ................................................................. 82
2.6 Hàm chuyển và hàm đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính .......................................... 90
PH LC. MT S KIN THỨC ĐƯỢC S DNG TRONG LUẬN VĂN 95
A. Các hàm đặc biệt ..................................................................................................................... 95
A.1 Hàm Gamma ..................................................................................................................... 95
A.2 Hàm Dirac Delta................................................................................................................ 98
B. Một số định lý quan trọng ....................................................................................................... 99
KT LUN ............................................................................................................ 105
TÀI LIU THAM KHO .................................................................................... 106 1
PHN M ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân quan trọng. Ứng dụng lớn
nhất của nó là để giải các phương trình vi phân và các bài toán liên quan (bài toán
giá trị biên và bài toán điều kiện đầu). Nguồn gốc của ứng dụng này là ở chỗ biến
đổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tích phân trên hàm sang các phép tính
đại số trên ảnh của hàm qua biến đổi Laplace. Các phép biến đổi cho phép chuyển
như vậy gọi chung là phép tính toán tử (operational calculus).
Biến đổi Laplace được đặt theo tên của nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng
người Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1827). Laplace nghiên cứu vấn đề này đầu
tiên vào năm 1782. Tuy nhiên tính hữu dụng của phương pháp này không được
công nhận. Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổi Laplace rất hiệu quả như hiện nay
được phát triển khoảng một trăm năm sau bởi kỹ sư điện người Anh là Oliver
Heaviside (1850-1925). Vì vậy biến đổi Laplace cũng còn được gọi là phép tính
Heaviside (Heaviside calculus).
Việc tìm hiểu lý thuyết về Laplace và một số ứng dụng của nó là một trong
những đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học. Vì thế được sự giúp đỡ và hướng dẫn
của thầy Ts. Nguyn Cam, tôi quyết định chọn đề tài “ Biến đổi Laplace và một số
ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mc tiêu của đề tài
Trình bày lý thuyết cơ bản về biến đổi Laplace như định nghĩa, tính chất, biến
đổi Laplace ngược và một số phương pháp tìm biến đổi Laplace thông dụng.
Ứng dụng biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân thường, phương
trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình sai phân và vi sai phân,…và các bài toán
liên quan thường xuất hiện trong vật lí và khoa học kĩ thuật. 2
3. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các bài báo khoa học, các sách vở có liên quan đến đề tài luận văn,
tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả về đề tài theo hiểu biết của mình, theo hệ
thống khoa học với các chứng minh chi tiết.
Sử dụng các kết quả của Hàm biến phức, Biến đổi tích phân,…
4. B cc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba phần
CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MT S TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề cơ bản của biến đổi Laplace
như là định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn tại của biến đổi Laplace và một số
phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh đã cho.
CHƯƠNG 2 MT S NG DNG CA BIẾN ĐỔI LAPLACE
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các ứng dụng của biến đổi Laplace
vào việc giải các phương trình
• Phương trình vi phân thường,
• Phương trình đạo hàm riêng,
• Phương trình tích phân,
• Phương trình sai phân và phương trình vi sai phân.
Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày ứng dụng của biến đổi Laplace vào việc
nghiệm của bài toán giá trị biên, tìm hàm chuyển và đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính.
PH LC MT S KIN THỨC ĐƯỢC S DNG TRONG LUẬN VĂN 3
Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MT S
TÍNH CHẤT CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví d
Biến đổi Laplace của hàm số f ( )t với 0 ≤t < ∞
là một hàm phức được định
nghĩa bởi tích phân suy rộng ∞ L { ( )} = ( ) s − t f t f s = e f ∫ ( )t dt (1.1. )1 0
Phép biến đổi Laplace của hàm f ( )t tồn tại nếu tích phân (1.1. ) 1 hội tụ với
giá trị của s thuộc miền nào đó. Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace
của hàm số f ( )t không tồn tại. Ta gọi hàm f ( )t trong định nghĩa trên là hàm gốc
và hàm biến đổi f ( )s là hàm ảnh.
Sử dụng định nghĩa (1.1. )1 ta có biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản sau đây. Ví dụ 1.1.1
Nếu f ( )t =1 với t > 0 thì ∞ T L {} 1 −st = ∫e dt= lim −st ∫e dt T →∞ 0 0 1 T − 1 1 = lim st − e = lim s − T − e (1.1. ) 2 T →∞ s t = 0 T→∞ s s
Do đó nếu Res > 0 thì giới hạn trên tồn tại và L {} 1 1 = . s Ví dụ 1.1.2 Nếu ( ) at
f t = e , trong đó a là hằng số thực t hì ta có 4 ∞ at − s−a t L {e } = f ( ) ( ) s = ∫ e dt 0 1 ∞ − s−a t 1 ( ) = e = , Res> a . (1.1. )3 t= 0 a − s s − a Ví dụ 1.1.3 Nếu ( ) n
f t = t , trong đó n là một số nguyên dương thì ta có f ( ) s =L {t } n! n = . (1.1. )4 n 1 s + Thật vậy, ta có ∞ 1 ∞ −st n n
I = ∫e t dt =− ∫t d (e − )st n s 0 0 1 ∞ = − ( ∞ − n n s t e )t n− 1 − st + ∫t e dt t =0 s s 0 n ∞ n− − n 1 st = ∫ t e dt= I . n 1 s s − 0 Do đó L {t}n n n! n! = I = I = ⋅⋅⋅ = = − I , n n 1 n 0 n 1 s s s + 1 với I = . 0 s Ví dụ 1.1.4
Nếu f ( )t = sin at , trong đó a là số thực thì ta có L { a sin a } t = , (1.1. )5 2 2 s +a Thật vậy, ta đặt ∞ = L {sin } − st I at = e sinatdt ∫ 0 Ta có 5 ∞ 1 − s ∞ st I = − e cos − st at − ∫e cosatdt a = a t 0 0 ∞ 1 s 1 s ∞ −st = − e sin s − t at + ∫e sinatdt a a a = a t 0 0 2 ∞ 2 1 s − 1 st s = − ∫ e sin atdt = − I 2 2 a a a a 0 Do đó 2 1 s I = − I 2 a a 2 s 1 ⇔ 1+ I= 2 a a Suy ra L { a sin a}t = I = . 2 2 s + a
1.2 Điều kin tn ti cho biến đổi Laplace
Hàm f được gọi là một hàm gốc nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau i) f ệ
bị tri t tiêu khi t < 0 ,
ii) f liên tục từng khúc
(piecewise continous) trên [0,∞ ) ,
iii) f không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t → ∞ M > nghĩa là tồn tại số 0 và α > 0 sao cho ( ) αt f t ≤ Me , ∀ t≥ 0.
Số α =inf α , với tất cả α thỏa mãn (iii) được gọi là chỉ số tăng của hàm f . Chú 0
ý rằng số α có thể không thỏa (iii). 0
Hàm số f được gọi là liên tục từng khúc trên [0,∞ ) nếu hàm f liên tục tại
mọi điểm thuộc [0,∞ ) ngoại trừ một số hữu hạn các điểm gián đoạn, đồng thời tại
các điểm t mà f không liên tục thì f ( t )+ và f (t )− tồn tại. 6 Định lý 1.2.1
Nếu f ( )t là hàm gốc với chỉ số tăng α thì biến đổi Laplace của f ( )t tồn tại với 0 mọi s thỏa Re s > α . 0 Chng minh
Do f là hàm gốc với chỉ số tăng α nên tồn tại số M > 0 sao cho 0 ( ) (α ε+ 0 ) t f t ≤ Me , ∀ t≥ 0 . Ta có ∞ ∞ − st ∫ e f ( ) ( − x α − ε − t 0 ) t dt ≤ M ∫ e dt 0 0 ( ∞ − x−α − ) ε t 0 Me M = = − ( , x− α −ε x α − ε − 0 ) 0 t =0
Chọn ε > 0 sao cho Re s = x >α ε + . 0
Do đó biến đổi Laplace tồn tại và tích phân (1.1. )1 là hội tụ tuyệt đối khi Re s > α . 0 Chú ý
a) Tích phân (1.1. )1 được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∞ −st e f ( )t dt< ∞ ∫ 0
b) Tích phân (1.1. )1 được gọi là hội tụ đều đối với s trên miền xác định Ω
trong mặt phẳng phức nếu bất kì ε > 0 , tồn tại một số τ sao cho với mọi 0 τ ≥τ thì 0 ∞ s − t e f ( )t dt < ε ∫ τ với mọi s trong Ω . Định lý 1.2.2
Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng α . Khi đó biến đổi Laplace 0 7 ∞ −st ∫ e f ( )t dt (1.1. )6 0
hội tụ đều trên miền {s Re s > } α ,α α > . 0 Chng minh
Ta sử dụng tiêu chuẩn weierstrass [Định lý B.3 – Trang 103] để chứng minh
định lý trên. Thật vậy,
Do f là hàm gốc có chỉ số tăng α nên tồn tại số M > 0 sao cho 0 f ( ) (α ε+ t 0 ) t ≤ Me , t≥ 0 Khi đó − st e f ( ) ( − x −α −)ε t (− α α − ε− ) t 0 0 t ≤ Me ≤ Me ,
trong đó Re s = x≥ α và ta chọn ε đủ nhỏ để α >α ε + . 0 ∞ Do −(α −α ε − 0 ) t e dt ∫ hội tụ với α >α
ε+ nên theo tiêu chuẩn weierstrass ta có tích 0 0 phân (1.1. )
6 hội tụ đều trên miền {s Re s ≥ } α ,α α > . 0 Định lý 1.2.3 Cho f α . Khi đó f ( )
là hàm gốc có chỉ số tăng
s là hàm giải tích trong miền 0 Re s > α . 0 Chng minh Ta có ∞ ∂ ∫ ( ∞ − st ( )) = ∫ () −s(t e f t dt f t e − )t dt , ∂s 0 0
Do f là hàm gốc có chỉ số tăng α ta có 0 nên (− ) − st t e f ( ) −(x α − ε − ) t (α − α − δ− ) t 0 1 0 t ≤ tMe ≤ Me ,
trong đó Re s = x≥ α và δ > 0 có thể chọn đủ nhỏ để α >α δ + . 1 1 0 8 ∞ − α − α −δ t Do tích phân ( 1 0 ) ∫ e
dt hội tụ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass thì ta có tích 0 ∞ ∂ phân ∫ ( −st
e f ( )t) dt hội tụ đều trên miền {s Re s ≥ α} với mọi α , α α > . ∂ , s 1 1 1 0 0 ∞ ∞ ∂ Như vậy ta có tích phân −st
∫ e f ( )t dt hội tụ và tích phân ∫ ( −st e f ( )t) dt hội tụ ∂s 0 0
đều trên miền {s Re s ≥α} với mọi α , α α >
nên theo [Định lý B.4 – Trang 1 , 1 1 0
103] ta có hàm ảnh có đạo hàm là ∞ ( ) ∂ ′ = ∫ ( −st f s e f ( )t dt, ∂s 0
tại mọi điểm s thuộc các miền trên. Do đó f ( )s giải tích trong miền Re s > α . 0
1.3 Các tính chất cơ bản ca biến đổi Laplace
Định lý 1.3.1 (Tính chất tuyến tính)
Cho các hàm gốc f với các chỉ số tăng là α , biến đổi Laplace là f , k k k
k =1,2,..., n . Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm f k f ( ) n
t = ∑ c f t , với c là hằng số k (k ) k k 1 =
là hàm f được xác định bởi f ( ) n s = ∑ c f( )s , (1.3. )1 k k k=1
với miền xác định Re s > maxα . k
Chng minh. Suy ra từ định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân. Ví dụ 1.3.1
Từ kết quả của ví dụ 1.1.2 và tính chất tuyến tính ta có biến đổi Laplace của các hàm sau a) Ta có 9 1 i t α i − αt L {sinα }t =L ( e − e ) 2i 1 1 1 = − 2i s − iα s + iα α = , Res> Imα 2 2 s + α b) Tương tự ta có s L { } 1 cos t = L (i αt − i α α e + t e ) = , Re s > Im α 2 2 2 s α + 1 α α − s c) L {coshα }t = L ( t t e + e ) = , Re s> Reα 2 2 2 s − α 1 − α d) L {sinh α } =L ( αt α − )t t e e = , Re s> Reα . 2 2 2 s −α
Định lý 1.3.2 (Tính chất đồng dạng) Cho L { f ( )t} = f ( )s , f ố ố α c > ằ ố. Khi đó
là hàm g c có chỉ s tăng và 0 là h ng s 0 s L { f ( ) ct} 1 = f , Re s> cα (1.3. )2 c c Chng minh ∞ ∞ {f (c)t} e− f ( c) 1 t dt e− = = (f ) 1 s L st su c u du = ∫ ∫ f . c c c 0 0
Định lý 1.3.3 (Tính chất dịch chuyển ảnh)
Nếu L { f ( )t} = f ( )s , f có chỉ số tăng là α thì 0 L { at e f ( )t} = f ( s− ) a , Re s> α + Re a (1.3. )3 0 Chng minh
Theo định nghĩa ta có ∞ L { at e f ( )t} ( − s − ) a t = e f ( )t dt = ( f s− )a . ∫ 0 Ví dụ 1.3.2 10
Các kết quả dưới đây nhận được dễ dàng từ công thức (1.3. ) 3 L { n t e } at n! = , Re s> Re a (1.3. )4 ( s − ) n 1 a + L { at b e sin b } t = > + (1.3. )5 (s − ) , Re s Im b Re a 2 2 a +b L { − at s a e cos } bt = > + (1.3. )6 ( s − ) , Re s Im b Re . a 2 2 a +b Định lý 1.3.4
Nếu L { f ( )t} = f ( )s thì L { ( ) ( ) } − as ( ) − − − = = L as f t a H t a e f s e { f ( )t} , a> 0 (1.3. )7 hay L { ( ) ( − )} −as f t H t a = e L { f ( t+ )a} , (1.3. )8 trong đó H (t − )
a là hàm bước nhảy đơn vị Heaviside được định nghĩa bởi ( − ) 1, t > a H t a = 0, t a < Chng minh
Theo định nghĩa ta có ∞ L {f (t − )a ( H t − )a } −st
= ∫e f (t− )a H( t − )a dt 0 ∞ −st = ∫e f (t− )a dt, a Đặt t − a =τ , dt= dτ Khi đó ∞ L { ( − ) ( − ) } − sa − sτ = (τ ) − as f t a H t a e e f dτ = ∫ e f ( ) s . 0 11
Chứng minh tương tự ta được as − L {f ( )t ( H t − ) a } = e L { f (t+ ) a} .
Đặc biệt, nếu f ( )t =1 thì L { H ( t− ) a} 1 = exp(− s ) a (1.3. ) 9 s
Định lý 1.3.5 (Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn) Cho L { f ( )t} = f ( )
s và f là một hàm tuần hoàn với chu kì T thì ta có T L { ( )} − = 1− exp (− ) 1 −st f t sT ∫ e f ( )t dt (1.3.1 )0 0 Chng minh Theo định nghĩa ta có ∞ T ∞ L {f ( )t} − st = e f ( ) − st t dt = e (f ) − st t dt+ ∫ ∫ ∫ e (f) t dt. 0 0 T
Đặt t = τ+ T trong tích phân thứ hai ta được T ∞ ( ) s − t = ( ) + ex (p − ) s f s e f t dt sT e− τ (f τ + ∫ ∫ )T dτ 0 0
Do f (τ + T ) = f (τ) và thay biến τ bởi t trong tích phân thứ hai ta được T ∞ f ( s) s − t
= ∫ e f ( )t dt+ ex (p− s ) s − t T ∫ e (f )t dt 0 0 T − st = ∫e f ( )t dt+ ex (p− s ) T (f )s . 0 Suy ra T L { ( )} − = 1− exp(− ) 1 −st f t sT ∫ e f ( )t . dt 0
Định lý 1.3.6 (Biến đổi Laplace của đạo hàm)
Cho L { f ( )t} = f ( )s . Giả sử f ′ tồn tại và là hàm gốc thì L {f ′ (t )} s
= L {f (t)} − f ( )0 =s f ( s)− f ( )0 , Res > α (1.3. ) 11 0 12 Chng minh Theo định nghĩa ta có ∞ L { ′( )} s − t f t = e f′ ∫ ( )t , dt 0
Giả sử f là hàm gốc có chỉ số tăng là α . Khi đó 0 − − − − − lim f ( ) st t e ≤ lim xt e (f ) ( x α ε t 0 ) t ≤ M lim e = 0, Re s= x> ε +α 0 t →∞ t→∞ t→∞
Tích phân từng phần của tích phân trên ta được ∞ L { ∞ f ′( )t} s − t = e f ( ) s − t t + s∫ e (f )t dt t =0 0 = s f ( )s − (f ) 0 , Tương tự ta có L {f ′ (t )} = L s {f ′(t )}− f ′ ( )0
= s (sf ( )s − f( )0 − f′( )0 2
= s f ( )s − s (f )0 − f (′ )0 . Tng quát Cho L { f ( )t} = f ( )s − . Giả sử ( ) (′ ) ( )1 , ,..., n f t f t f ( )t , ( )n
f ( )t là các hàm gốc thì ta có (n ) L { ( )} n = ( ) n−1 − ( ) n− 2 − (′ ) n f t s f s s f s f − ⋅⋅⋅ − f ( − 1 0 0 )0 .
1.4 Định lý tích chp
Định lý 1.4.1 (Định lý tích chập)
Cho f và g là các hàm gốc có chỉ số tăng lần lượt là α ,β . Khi đó 0 0 L { f ( )t ∗ (
g )t} =L { f ( )t}L { g( )t} = f ( )s (g )s (1.4. )1 trong đó f ( )t ∗ (
g )t được gọi là tích chập của f ( )t và g( t) và được định nghĩa bởi tích phân t f ( )t ∗ ( g )t = (f − ∫ t )τ (g )τ τd (1.4. )2 0 13 Ta ghi tắt là f ( )t ∗ ( g )t (= f ∗ )( g ) t . Chng minh Với t > 0, ε > 0 t t
( f ∗ g)( t) = ∫ f ( )τ (g −t )τ τd ≤ ∫ (f )τ (g −t )τ τd 0 0 t t (α ε + τ β ε + t τ − β ε + t α β − τ 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 )0 ≤ M e e τ d = Me e τ ∫ ∫ d 0 0 (α ε + 0 ) t M e , α β ≥ 1 0 0 ≤ (1.4. )3 (β + ) ε 0 t M e , β α > , 2 0 0
bất đẳng thức sau cùng có được bằng cách tính trực tiếp tích phân. Vậy f ∗ g là
hàm gốc có chỉ số tăng γ ≤ max α ,β . 0 { 0 }0 Ta có ∞ ∞ L { f ( )t} .L { g ( )t} s = ∫ e− τ f ( ) su τ dτ ∫ e− (g )u du 0 0 ∞ ∞ − (sτ + )u = ∫ ∫ e f ( ) τ (g )u du dτ. 0 0
Đặt t = τ+ u, du = dt với τ cố định Khi đó ta có ∞ ∞ L { ( )} .L { ( )} − = ( )τ ( τ − ∫ ∫ st f t g t e f g t ) dt τd (1.4. )4 0 τ Do g ( )
t = 0, t< 0 thì g (t −τ) = 0, t< τ và ta viết lại (1.4. ) 4 như sau ∞ ∞ L { ( )} .L { ( )} − st f t
g t = ∫ ∫ e f ( )τ (g t−τ ) dt dτ . 0 0
Do biến đổi Laplace của f và g hội tụ đều nên ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân
[Định lý B.2 – Trang 102]. 14 ∞ ∞ − st
L { f ( )t} .L {g( )t} = ∫ ∫ e f ( )τ (g −tτ ) τd dt 0 0 ∞ t − = ∫ ∫ st e f (τ) ( g t τ − ) τd dt 0 0 ∞ t − = ∫ st e ∫ f( )τ (g t τ − ) τd dt 0 0 = L ( { f∗ g)( )t} .
1.5 Đạo hàm và tích phân ca biến đổi Laplace
Định lý 1.5.1 (Đạo hàm của biến đổi Laplace) Nếu L { f ( )t} = f ( )s , f ố ỉ ố tăng là α là hàm g c c ó ch s thì 0 L { n ∂ t f ( )t} = ( − )n n 1 f ( )s , Re s > α (1.5. )1 0 n s ∂ trong đó n = 0,1,2,3,.... Chng minh
Theo định lý 1.2.2 biến đổi Laplace của hàm f hội tụ đều và các điều kiện còn
lại trong định lý trên thỏa mãn [Định lý B.4 – Trang 103]. Khi đó, đạo hàm theo s
bên trong dấu tích phân của (1.1. ) 1 được cho phép ∞ ∞ ∂ f ( ) ∂ ∂ − s = ∫ st e f ( ) − t d = t ∫ st e (f )t dt ∂s ∂s ∂ s 0 0 ∞ = −∫ t f ( ) −st t e dt = −L {t ( f ) } t (1.5. )2 0 Tương tự, ta có 2 ∂ f ( )s = (− )2 1 L t f t , (1.5. )3 2 { 2 ( )} s ∂ 3 ∂ f ( ) s = (− )3 1 L t f t . (1.5. )4 3 { 3 ( )} s ∂ Tng quát 15 n ∂ n f ( s) = (− ) 1 L { n t f ( )t} . (1.5. )5 n s ∂
Định lý 1.5.2 (Tích phân của biến đổi Laplace)
Cho L { f ( )t} = f ( )s . Nếu f ( )t t là hàm gốc với chỉ số tăng là α thì 0 f ( )t ∞ L = ∫ (f )u d .u t s (1.5. )6 Chng minh Đặt ∞ G ( ) − f t st ( ) s = ∫e dt t 0 Theo định lý 1.5.1 ta có ∞ ∞ ′( ) −s = (t −) ( ) s − t G s e t f t dt = − e (f )t dt= − ∫ ∫ (f )s . 0 0 Ta có ∞ ∞ ∫ f ( )s ds = −∫ ( G′ )u du = ( G )s − (G ) ∞ . (1.5. )7 s s Mặt khác ∞ ∞ G ( ) − (f )t xt (− x+α + ε 0 ) t s ≤ ∫ e dt ≤ M∫ e dt t 0 0 ( ∞ x − α + +ε 0 ) t e M = M = , x − +α + ε x α − −ε 0 = 0 t 0
Chọn ε > 0 sao cho Re s = x > α +ε . 0
Cho s → ∞ ta được G ( )
∞ = 0 . Thay vào (1.5. )7 ta có f ( )t ∞ L = ∫ f( )u d . u t s
Định lý đã được chứng minh. 16 Ví dụ 1.5.1 sin at − a Tính 1 L = tan , t s Ta có sin ∞ at ds 1 ∞ L = = ∫ ∫ ds a 2 2 t s + s a a s 1 ( + s a) 2 π s a 1 − 1 = − tan = tan− . 2 a s
Định lý 1.5.3 (Biến đổi Laplace của tích phân)
Nếu L { f ( )t} = f ( )s và f là hàm liên tục thì t f s L f ( ) ( ) τ dτ = ∫ (1.5. )8 s 0 Chng minh Đặt t g ( )t = ∫ ( f ) τ dτ 0 sao cho g ( ) 0 = 0 , g (
′ )t = (f )t và g liên tục.
Gọi α là chỉ số tăng của hàm f , thì với mọi 0 < ε <1. Khi đó 0 t t g ( )t ≤ ∫ f( ) (α ε+ τ 0 ) τ dτ ≤ M ∫ e dτ 0 0 M ( t α +ε τ α ε+ 0 ) ( 0 ) t = e < M e . 1 τ 0 α +ε = 0
Vậy g là hàm gốc. Do đó t f ( s) = L { f ( )t} L = {g′( )t} = sg ( )s = Ls f ∫ ( τ) dτ . 0
Chia cả hai vế cho s , ta được (1.5. )
8 . Định lý đã được chứng minh. Ví dụ 1.5.2
Hãy sử dụng kết quả (1.5. ) 8 để tìm 17 t − τ 1 − a (a) L n a τ ∫ e dτ , (b) L {Si( a)t} 1 = tan , s s 0 t τ trong đó sin a Si( a )t = ∫ dτ . τ 0 (a) Ta có L { n t e− } at n! = . ( + s + ) n 1 a Theo (1.5. ) 8 ta có t n − aτ n ! L τ ∫ e dτ = + s( s + ) . n 1 0 a (b) Theo công thức (1.5. ) 8 và ví dụ 1.5.1, ta có t sinaτ 1 − a 1 L ∫ dτ = tan . τ s s 0
1.6 Biến đổi Laplace ngược và các ví d Cho hàm số g ( )
t xác định trên trục thực R. Ta nói g được biểu diễn bởi tích
phân Fourier nếu với mọi t ta có 1 ∞ ∞ ( + ) + ( − ) 1 0 0 iτ t = ∫ ∫ ( ) −iτ x g t g t e g x e dxdτ (1.6. )1 2 2π −∞ −∞
Phương trình (1.6. )1 được gọi là công thức Fourier. Định lý 1.6.1
Cho f là hàm gốc liên tục từng khúc trên [0,∞ ) với chỉ số tăngα . Khi đó 0 c i + ∞ f ( ) 1 st t = e ∫
(f )s d ,s c> α . (1.6. )2 0 π 2 i c i−∞ Công thức (1.6. )
2 được gọi là công thức Mellin. Chng minh